Programa de Pós-Graduação em
Matemática em Rede Nacional

A geometria fractal para o ensino de
diversos tópicos de matemática no

Ensino Médio

Soraia Perez de Souza

Rio Claro
2022





Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Câmpus de Rio Claro

A geometria fractal para o ensino de
diversos tópicos de matemática no

Ensino Médio

Soraia Perez de Souza

Dissertação apresentada como parte dos requisitos para
obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao
Programa de Pós-Graduação – Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional, do Instituto de Geociên-
cias e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista
“Júlio de Mesquita Filho”, Câmpus de Rio Claro.

Orientadora
Profa. Dra. Ariane Luzia dos Santos

Co-orientadora
Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues

Rio Claro
2022



S729g
Souza, Soraia Perez de
    A geometria fractal para o ensino de diversos tópicos de
matemática no Ensino Médio / Soraia Perez de Souza. --
Rio Claro, 2022
    85 f. : il., tabs., fotos

    Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista
(Unesp), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio
Claro
    Orientadora: Ariane Luzia dos Santos
    Coorientadora: Tatiana Miguel Rodrigues

    1. Fractais. 2. Ensino Médio. 3. Geogebra. I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo

autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.



TERMO DE APROVAÇÃO

Soraia Perez de Souza

A geometria fractal para o ensino de diversos tópicos
de matemática no Ensino Médio

Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do
grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação – Mestrado Profissional
em Matemática em Rede Nacional, do Instituto de Geociências e Ci-
ências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita
Filho”, pela seguinte banca examinadora:

Profa. Dra. Tatiana Miguel Rodrigues
Coorientadora

Profa. Dra. Carina Alves Severo
Departamento de Matemática - Unesp

Prof. Dr. Gustavo Antônio Pavani
Departamento de Matemática- UEMS

Rio Claro, 21 de janeiro de 2022





Dedico essa dissertação aos meus avós que me inspiraram a seguir na área da educação e
a meus familiares que são minha base.



Agradecimentos

Agradeço aos meus pais, Elvira e João Carlos; aos meus avós, que são meu porto
seguro; à minha irmã, Renata, pessoa essencial na minha vida, e à minha tia Luciana,
que sempre me apoiou nessa caminhada com a educação.

À professora Tatiana Miguel Rodrigues, pelas orientações, ensinamentos e exemplo de
docência. A realização deste trabalho não seria concretizada sem sua imensa colaboração
e paciência. Obrigada por todos os momentos dedicados a mim e a esta pesquisa.

Agradeço ao professor Gustavo Antônio Pavani e à professora Carina Alves Severo, pela
participação na banca de defesa. Obrigada pelas contribuições e por aceitarem integrar
este trabalho.

Agradeço aos docentes do Programa de Pós-Graduação - Mestrado Profissional em
Matemática em Rede Nacional, do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Uni-
versidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Campus de Rio Claro, aos docentes
de graduação em Matemática, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da
Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, Campus de São José do Rio
Preto.

Aos meus amigos de graduação, pós-graduação, docentes com quem leciono nos colé-
gios e, em especial, às amigas Aneri Pistolato e Mariana Chibebe, que trouxeram alegria
e conforto aos meus dias sempre.

A direção dos colégios Criarte Anglo e Objetivo, à todos os meus alunos, em especial
aos que me ajudaram na pesquisa e na aplicação dessa sequência, por serem o motivo de
uma constante procura por um ensino melhor.



“O conjunto de Mandelbrot é tão belo como a Vênus de Milo ".
Carlos Fiolhais



Resumo

O presente trabalho tem como objetivo utilizar a Geometria Fractal como motivadora
no ensino de áreas e perímetros de figuras geométricas Euclidianas. Além disso, com o
intuito de contribuir para um ensino mais prazeroso e dinâmico da Matemática aliado
ao uso das tecnologias propõe-se, por meio do Software Geogebra a criação de atividades
a serem desenvolvidas no contexto da sala de aula do Ensino Médio no desenvolvimento
de conceitos matemáticos como Progressão Geométrica, Geometria, Trigonometria, Loga-
ritmo e noções de limites entre outros temas. Apresentam-se os fractais clássicos : Tapete
de Cantor, Tapete de Sierpinski, Ilha de Koch, Esponja de Menger, Fractal Hexagonal de
Dürer, Fractal Octagonal de Dürer e os fractais circulares: Fractal Circuntexto , Fractal
Tetracírculo, Fractal Antena Circular, Fractal Peneira de Apolônio e Fractal Flor da Vida.
Concluí-se que a Geometria Fractal possibilita ao aluno contemplar o belo e descobrir a
harmonia existente nestas figuras sem deixar de formalizar o seu conhecimento.

Palavras-chave: Fractais, Ensino Médio, Geogebra.



Abstract

The present work aims at using Fractal Geometry as a motivator in teaching areas
and perimeters of Euclidean geometric figures. In addition, in order to contribute to a
more pleasant and dynamic teaching of Mathematics combined with the use of techno-
logies, it is proposed, through the Software Geogebra, the creation of activities to be
developed in the context of the High School classroom in the development of mathema-
tical concepts such as Geometric Progression, Geometry, Trigonometry, Logarithm and
notions of limits, among other topics. The classic fractals are presented: Cantor’s Carpet,
Sierpinski’s Carpet, Koch Island, Menger’s Sponge, Dürer’s Hexagonal Fractal, Dürer’s
Octagonal Fractal and the circular fractals: Circumtext Fractal, Tetracircle Fractal, Cir-
cular Antenna Fractal, Sieve Fractal Fractal Apollonius and Fractal Flower of Life. It is
concluded that Fractal Geometry allows the students to contemplate the beauty and dis-
cover the harmony existing in these figures, without ceasing to formalize their knowledge.

Keywords: Fractal, High School, Geogebra.



Lista de Figuras

2.1 Figura inicial e primeiras duas iterações da construção do Tapete de Cantor 27
2.2 Figura inicial e primeiras três iterações da construção do Tapete de Sierpinski 30
2.3 Figura inicial e primeiros quatro passos da construção da curva de Koch . . 32
2.4 Figura inicial e primeiras três iterações do Fractal Esponja de Menger . . . 34
2.5 Figura inicial e primeiras duas iterações do Fractal Hexagonal de Dürer . . 37
2.6 Figura inicial e primeiras três iterações do Fractal Octagonal de Dürer . . . 39
2.7 Octógono Circunscrito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8 Triângulo Retângulo entre Octógono Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 Primeiros Três Pontos na Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Cálculo do Raio s na Circunferência menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3 Etapas da Construção do Circuntexto Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4 Etapas da Construção do Circuntexto Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.5 Etapas da Construção do Circuntexto Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Fractal Circuntexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.7 Etapas da Construção do Tetra Círculo Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.8 Etapas da Construção do Tetra Círculo Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.9 Fractal Tetra Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.10 Monopole Antena – Fractal da Categoria de Sierpisnki . . . . . . . . . . . 51
3.11 Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 0 . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.12 Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 1 . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.13 Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 2 . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.14 Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 3 . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.15 Fractal Antena Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.16 Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 1 . . . . . . . . . . . . 56
3.17 Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 2 . . . . . . . . . . . . 57
3.18 Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 3 . . . . . . . . . . . . 58
3.19 Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 4 . . . . . . . . . . . . 59
3.20 Fractal Peneira de Apolônio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.21 A Semente da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.22 O Padrão da Gênese da Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.23 Área do Segmento Circular na Vesica Piscis . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.24 Comprimento da Vesica Piscis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.25 Os Sólidos Platônicos gerados na Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.26 Etapas construção Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.27 Etapas construção Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.28 Fractal Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.29 Área das pétalas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65



3.30 Números Triangulares no Fractal Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.31 Números Hexagonais no Fractal Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1 Construção Fractal Flor da Vida Turma 7°A . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Construção Fractal Flor da Vida Turma 7°A . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.3 Construção Fractal Flor da Vida Turma 7°A . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.4 Construção Fractal Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Construção Tetraedro Fractal Turma 7°B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6 Construção Tetraedro Fractal Turma 7°B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7 Diagrama de Fatoração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.8 Decomposição em Fatores Primos Turma 7°A . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.9 Decomposição em Fatores Primos Turma 7°A . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.10 Decomposição em Fatores Primos Turma 7°A . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.11 Decomposição em Fatores Primos Turma 7°A . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.12 Diagrama de Fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.13 Etapas Cartão Fractal Triângulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.14 Etapas Cartão Fractal Triângulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.15 Cartão Fractal Triângulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.16 Cartão Fractal Triângulo Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.17 Etapas Cartão Fractal Degraus Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.18 Etapas Cartão Fractal Degraus Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.19 Cartão Fractal Degraus Centrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80



Lista de Tabelas

2.1 As iterações no processo de construção Fractal Tapete de Cantor . . . . . . 28
2.2 As iterações no processo de construção do Fractal Tapete de Sierpinski . . 31
2.3 As iterações no processo de construção Fractal Ilha de Koch . . . . . . . . 33
2.4 As iterações no processo de construção Fractal Esponja de Menger . . . . . 35
2.5 As iterações no processo de construção Fractal Hexágono de Dürer . . . . . 38
2.6 As iterações no processo de construção Fractal Octógono de Dürer . . . . . 42

3.1 As iterações no processo de construção Fractal Circuntexto . . . . . . . . . 46
3.2 As iterações no processo de construção Fractal Tetracírculo . . . . . . . . . 48
3.3 As iterações no processo de construção Fractal Antena Circular . . . . . . 53



Sumário

Introdução 14

1 Conceitos Básicos 15
1.0.1 Função Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.0.2 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.0.3 Sequência Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.0.4 Progressões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.0.5 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.0.6 Sequência de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Fractais Clássicos 24
2.1 Fractais Clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Tapete de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Tapete de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.3 Ilha de Koch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1.4 Esponja de Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.5 Fractal Hexagonal de Dürer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.6 Fractal Octagonal de Dürer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Fractais Circulares 43
3.1 Fractais Circulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1 Fractal Circuntexto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.2 Fractal Tetra Círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Fractal Antena Circular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.1.4 Fractal Peneira de Apolônio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.1.5 Fractal Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Atividades para o Ensino Médio 70
4.1 Atividades para o Ensino Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.1.1 Atividade Fractal Flor da Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.1.2 Atividade Fractal Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.1.3 Atividade Diagrama de Fatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.4 Cartões Fractais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 Conclusão 81

Referências 82



Introdução

Não há dúvida de que a geometria euclidiana teve um grande impacto na história
cultural da humanidade. Não apenas a matemática, mas a arte, a arquitetura e as ciências
naturais criaram suas estruturas a partir dos elementos da geometria euclidiana ou de suas
generalizações para geometrias projetivas e não euclidianas. No entanto, por sua natureza,
a geometria euclidiana parece ser mais adequada para lidar com os aspectos “ordenados”
dos fenômenos ou como uma forma de descrever os produtos da civilização do que como
uma ferramenta para descrever as formas “caóticas” que ocorrem na natureza.

Em 1975, Benoit Mandelbrot descobriu novas estruturas geométricas adequadas para
descrever conjuntos irregulares de pontos, curvas e superfícies do mundo natural. Ele usou
a palavra “fractais” para essas entidades e inventou uma nova ramificação da matemática
para lidar com elas, uma combinação de geometria, probabilidade e estatística

Os fractais estão relacionados às áreas da física e da matemática chamadas Sistemas
Dinâmicos e Teoria do Caos, pois suas equações são utilizadas para descrever fenômenos
ordenados gerados aleatoriamente. Estes não são explicados pela geometria euclidiana
por possuírem dimensão fracionária.

Segundo a BNCC (Base Nacional Comum Curricular), o assunto de fractais está asso-
ciado à competência específica de utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemá-
ticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam
fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas,
divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma formação geral.

A matemática fractal está na raiz do conhecimento universal e, ao aplicá-la, abri-
mos as portas da eficiência e da inovação. A versatilidade apresentada pela referida
habilidade mostra afinidade com diversas áreas do conhecimento, como Linguagens, Ci-
ências Naturais e campos do saber, como Artes e Arquitetura. O uso tecnológico, como
o software Geogebra, na construção de fractais para reproduzir iterações (repetições) de
padrões, leva o estudante a conceber um tipo de Geometria não-euclidiana, que representa
mais fielmente as formas encontradas na Natureza. Além disso, podemos observar algu-
mas aplicações em tecnologias como antenas fractais, transistor fractal, imagem digital,
classificação de lâminas histopatológicas, geração de novas músicas, mercado financeiro,
neurociência, geologia, entre outras.

O objetivo deste trabalho é apresentar aos alunos do Ensino Médio o conceito de
fractais. Os alunos aprenderão sobre processos iterativos, funções exponenciais, limites,
escrever fórmulas gerais, criar e seguir algoritmos, como, também, calcular áreas e pe-
rímetros de figuras cada vez mais complexas. Para tanto, essa dissertação será dividida
nos seguintes capítulos: Conceitos Básicos que serão usados nos capítulos subsequentes,
Fractais Clássicos, Fractais Circulares, além das atividades que envolvam fractais para o
Ensino de Matemática.

14



1 Conceitos Básicos

Ao longo deste capítulo, introduziremos os conceitos matemáticos que são necessários
à compreensão do tema ao estudo dos fractais utilizando o software Geogebra. Para este
capítulo foram utilizado os livros [4],[10],[12],[15].

1.0.1 Função Exponencial

Definição 1.1. Dada uma função definida f : R → R∗+ chama-se função exponencial
; f(x) = ax , em que a ∈ R, 0 < a 6= 1. O número a é chamado de base e o x seu
expoente. A função exponencial f(x) = ax, é uma função crescente se a > 1 e decrescente
se 0 < a < 1.

A função exponencial é caracterizada como uma extensão do processo de potenciação
para expoentes não inteiros. Quando n ∈ N ; n ≥ 1, a potência an indica a multiplicação
da base a por ela mesma, tantas vezes quanto indicar o expoente n, isto é,

an = a× · · · × a︸ ︷︷ ︸
n

.

Desta forma, dado a, b ∈ R∗ , m,n ∈ Z, temos as seguintes propriedades :

1. an+m = an · am

2. an−m = an

am

3. (an)m = an·m

4. a−n = 1
an

.

5. (a · b)n = an · bn

6.
(
a

b

)n

= an

bn

7.
(
a

b

)−n

=
(
b

a

)n

8. a0 = 1.

15



16 Conceitos Básicos

1.0.2 Logaritmos

Definição 1.2. Sejam a, b ∈ R∗+, com a < 0 6= 1, o logaritmo de um número positivo
real b, na base a, é o expoente pelo qual a deve ser elevado para se chegar a um número
positivo real diferente de 1. Isto é, o logaritmo de b na base a é a solução de x na equação
ax = b.

loga b = x⇔ ax = b. ,

Sendo loga b pronunciado como o “o logaritmo de b na base a”, onde a: base, b:
logaritmando e x: logaritmo. O logaritmo de base 10 é chamado logaritmo decimal, sua
representação é dada da seguinte forma:

log10 b = log b.

Propriedades dos Logaritmos

Em qualquer base a, em que a, x, y ∈ R∗+, a 6= 1, temos as seguintes propriedades :
O logaritmo do produto de dois fatores reais positivos é igual à soma dos logaritmos

dos fatores.
loga x · y = loga x+ loga y.

O logaritmo do quociente de dois fatores reais positivos é igual à diferença entre o
logaritmo do dividendo e o logaritmo do divisor.

loga

x

y
= loga x− loga y.

O logaritmo de uma potência de base real positiva e expoente real é igual ao produto
do expoente pelo logaritmo da base da potência.

loga y
x = x · loga y.

A n -ésima raiz de um número é o logaritmo do número dividido por n.

loga
n
√
x = loga x

1
n = 1

n
· loga x.

O logaritmo loga x pode ser calculado a partir dos logaritmos de x e de a, ambos com
uma base arbitrária k, utilizando a seguinte fórmula :

loga x = logk x

logk a
.



Conceitos Básicos 17

1.0.3 Sequência Numérica

Uma sequência de números reais é uma função real, cujo domínio é o conjunto dos
números naturais. Isto é, uma sequência de números reais (an)n é uma função a : N→ R.

Exemplos :

1.
( 1
n

)
n
=
(

1, 1
2 ,

1
3 , · · · ,

1
n− 1 , · · ·

)
;

2. (2n− 4)n = (−2, 0, 2, · · · , 2n− 4, · · · ).

Uma sequência pode ser definida como convergente ou divergente. Quando se afirma
que uma sequência é convergente, significa que ela possui um limite, ou seja, existe um
número real L que, na medida em que o índice n cresce, os termos de xn vão se tornando
mais próximos desse número real L. Quando não há limite finito, diz-se que a sequência
diverge.

Sequências monótonas
As sequências monótonas são todas as sequências crescentes, não-decrescentes, decres-

centes e não-crescentes:

(i) crescente:
A sequência é crescente quando xn < xn+1, ou seja,

x1 < x2 < x3 < · · · < xn < xn+1 < · · · ∀n;

(ii) não-decrescente:
quando xn ≤ xn+1, ou seja,

x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ · · · ≤ xn ≤ xn+1 ≤ · · · ∀n;

(iii) decrescente:
quando xn > xn+1, ou seja,

x1 > x2 > x3 · · · > xn > xn+1 > · · · ∀n;

(iv) não-crescente:
quando xn ≥ xn+1, ou seja,

x1 ≥ x2 ≥ x3 ≥ · · · ≥ xn ≥ xn+1 ≥ · · · ∀n.

Definição 1.3. Dizemos que uma sequência (an) está recursivamente definida quando são
dados o seu primeiro termo a1 e uma lei explícita que relaciona seu n -ésimo termo, n > 1,
com um ou mais termos anteriores, isto é, dada uma função an = f(a1, a2, · · · , an−1). Em
outras palavras, uma sequência recursivamente definida é aquela em que seu termo é dado
em função de um ou mais termos anteriores a ele. Sequências definidas recursivamente
são, também, chamadas de sequências indutivas ou recorrentes.



18 Conceitos Básicos

1.0.4 Progressões

Progressões são sequências numéricas com determinada regra ou formulação. Dentre
estas, existem as progressões aritméticas, chamadas de P.A, e progressões geométricas,
chamadas de P.G .

Em uma progressão aritmética P.A, cada termo é igual à soma do termo anterior com
uma constante, denominada razão da P.A, denotada geralmente por r e o primeiro termo
a1.

A razão de uma progressão aritmética pode ser um número negativo, zero ou positivo,
assim:

(i) Se a razão é negativa, a progressão aritmética é dita decrescente;

(ii) Se a razão é zero, a progressão aritmética é dita constante;

(iii) Se a razão é positiva, a progressão aritmética é dita crescente.

Proposição 1.1 Se (a1, a2, · · · , an) é uma progressão aritmética de razão r, então para
todo n ∈ Z+, n > 1, o n - ésimo termo, denotado por an pode ser obtido pela fórmula:

an = a1 + (n− 1) · r. (1.1)

Demonstração. Pela definição de progressão aritmética, o termo geral da progressão pode
ser demonstrado por indução matemática.

Seja P(n) a equação (1.1) em que é válida a partir do segundo termo pois, por definição,
cada termo é igual ao anterior mais uma constante fixa r .

a2 = a1 + 1 · r.

Assumindo como hipótese de indução que a fórmula é válida para n = k − 1, k > 1,
k ∈ N∗, P(k - 1) a proposição, observa que:

ak−1 = a1 + (k − 2) · r.

Sendo assim, o k -ésimo termo da progressão é dado por:

ak = ak−1︸ ︷︷ ︸
H.I

+r = (a1 + (k − 2) · r) + r

ak = a1 + [r + (k − 2) · r]

ak = a1 + (k − 1) · r.

Portanto, a fórmula do termo geral de progressão aritmética é válida para todo n ∈ N∗,

an = a1 + (n− 1) · r.



Conceitos Básicos 19

Proposição 1.2 Seja (a1, a2, · · · , an) uma progressão aritmética de razão r, então,
para todo n ∈ Z+, n > 1, a soma Sn dos n- primeiros termos de uma progressão aritmética
pode ser obtida, pela fórmula :

Sn = n · (a1 + an)
2 .

Demonstração. Considerando a progressão aritmética (a1, a2, · · · , an−1, an) , a soma Sn

de todos os termos dessa progressão pode ser escrita como :

Sn = a1 + a2 + · · ·+ an−1 + an

Sn = an + an−1 + · · ·+ a2 + a1.

Somando membro a membro, temos:

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + · · ·+ (an−1 + a2) + (an + a1)

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an−1) + · · ·+ (a2 + an−1) + (a1 + an).

Todos os pares entre parênteses têm o mesmo valor por serem simétricos em relação
aos extremos da progressão aritmética;

(a2 + an−1) = (a1 + r + an − r) = (a1 + an)

(a3 + an−2) = (a1 + 2r + an − 2r) = (a1 + an)

e, assim por diante. Logo,

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + ...+ (a1 + an) + (a1 + an)︸ ︷︷ ︸
n

2Sn = (a1 + an) · n⇒ Sn = (a1 + an) · n
2 .

Uma progressão geométrica P.G é uma sequência numérica na qual cada termo, a
partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, a razão da
progressão geométrica é indicada geralmente por q, onde q ∈ R e o seu primeiro termo a1.

O termo geral de uma P.G dado por:

an = a1 · qn−1.

Dependendo da razão, a PG pode ser classificada no seguinte modo:

(i) Se q > 1 e a1 > 0 então a progressão geométrica é crescente;

(ii) Se q > 1 e a1 < 0 então a progressão geométrica é decrescente;

(iii) Se 0 < q < 1 e a1 > 0 a progressão geométrica é decrescente;

(iv) Se 0 < q < 1 e a1 < 0 a progressão geométrica é crescente;

(v) Se q < 0, os termos oscilam entre valores negativos e positivos.



20 Conceitos Básicos

Proposição 1.3 A soma Sn de n termos de uma P.G ; Sn = a1 + a2 + ·+ +an é dada
por:

Sn = a1 · (qn − 1)
(q − 1) .

Demonstração. Seja a P.G de n- termos ; (a1, a2, · · · , an−1, an), a soma de n termos da
P.G, é dada da seguinte maneira:

Sn = a1 + a1 · q + · · ·+ a1 · qn−1 (1.2)

Multiplica-se a igualdade (1.2) pela razão q, tal que q 6= 0,

q · Sn = a1 · q + a1 · q2 + · · ·+ a1 · qn.

Subtrai-se as duas igualdades, onde (q · Sn ≥ Sn), cancela-se os termos iguais :

q · Sn − Sn = a1 · qn − a1

(q − 1) · Sn = (qn − 1) · a1. (1.3)

Dividem ambos os lados na igualdade (1.3) por (q − 1) 6= 0,

Sn = a1 · (qn − 1)
(q − 1) .

Nas aplicações de fractais, utilizaremos a razão q onde q 6= 1 e q > 0. Observe
que, quando temos n → ∞, sendo o primeiro termo constante a1, os valores de an e Sn

dependerão da razão q em duas situações q > 1 e q < 1.
Quando q > 1, temos :

lim
n−→∞

an = lim
n−→∞

a1 · qn−1 = a1 · lim
n−→∞

qn−1 =∞.

lim
n−→∞

Sn = lim
n−→∞

a1 · (qn − 1)
(q − 1) = a1

(q − 1) · lim
n−→∞

(qn − 1) =∞.

Quando q < 1, temos :

lim
n−→∞

an = lim
n−→∞

a1 · qn−1 = a1 · lim
n−→∞

qn−1 = 0.

lim
n−→∞

Sn = lim
n−→∞

a1 · (qn − 1)
(q − 1) = a1 ·

−1
(q − 1) = a1

1− q .



Conceitos Básicos 21

1.0.5 Limite de uma função

Definição 1.4. Considere f uma função e p um ponto do domínio ou extremidade de um
dos intervalos que compõem o domínio de f . Dizemos que f tem limite L, em p, se para
todo ε > 0 dado, existir um δ > 0 tal que, para todo x ∈ Df ,

0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Tal número L que, quando existe é único, será indicado por lim
x−→p

f(x). Sendo assim;

lim
x−→p

f(x) = L⇔


∀ε > 0,∃δ > 0,∀x ∈ Df ,

0 < |x− p| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.

Proposição 1.4 Sejam f , g funções e k uma constante, suponha que existam os
limites lim

x−→p
f(x) = L e lim

x−→p
g(x) = L1, então :

1. lim
x−→p

[f(x) + g(x)] =L+ L1 = lim
x−→p

f(x) + lim
x−→p

g(x).

2. lim
x−→p

k · f(x) = ·L = k · lim
x−→p

f(x).

3. limx−→p f(x) · g(x) = L · L1 = lim
x−→p

f(x) · lim
x−→p

g(x).

4. lim
x−→p

f(x)
g(x) = L

L1
;L1 6= 0.

Limites no Infinito

Definição 1.5. Seja f uma função e suponha-se que exista a tal que ]a,+∞[⊂ Df .
Definimos,

lim
x−→+∞

f(x) = L⇔

∀ε > 0,∃δ > 0, δ > a;
x > δ ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε.

Definição 1.6. Seja f uma função e suponha-se que exista a tal que ] − ∞, a[⊂ Df .
Definimos,

lim
x−→−∞

f(x) = L⇔

∀ε > 0,∃δ > 0,−δ < a;
x < −δ ⇒ L− ε < f(x) < L+ ε.



22 Conceitos Básicos

Proposição 1.5 Sejam f , g funções e k uma constante, suponha-se que existam os
limites lim

x−→∞
f(x) = L e lim

x−→∞
g(x) = L1, então :

1. lim
x−→∞

[f(x) + g(x)] = L+ L1 = lim
x−→∞

f(x) + lim
x−→∞

g(x).

2. lim
x−→∞

f(x) = k · L = k · lim
x−→∞

f(x).

3. lim
x−→∞

f(x) · g(x) = L · L1.

4. lim
x−→∞

f(x)
g(x) = L

L1
, L1 6= 0.

Definição 1.7. Suponha-se que exista a tal que ]a,+∞[⊂ Df . Definimos :

• lim
x−→+∞

f(x) = +∞⇔

∀ε > 0,∃δ > 0, δ > a;
x > δ ⇒ f(x) > ε.

• lim
x−→−∞

f(x) = −∞⇔

∀ε > 0,∃δ > 0, δ > a;
x > δ ⇒ f(x) < −ε.

1.0.6 Sequência de Limite

Definição 1.8. Consideremos uma sequência de termo geral an e seja a um número real.
Definimos;

• lim
n−→+∞

an = a⇔

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N;
n > n0 ⇒ a− ε < an < a+ ε.

• lim
n−→+∞

an = +∞⇔

∀ε > 0,∃n0 ∈ N;
n > n0 ⇒ an > ε.

• lim
n−→+∞

an = −∞⇔

∀ε > 0,∃n0 ∈ N;
n > n0 ⇒ an < −ε.

Proposição 1.6 : Suponha que a > 1 e 0 < b < 1, temos os seguintes resultados:
1. lim

x−→+∞
ax = +∞.

2. lim
x−→−∞

ax = 0.

3. lim
n−→+∞

bn = +∞.

Demonstração. 1. Dado ε > 0, ∃n0 ∈ N, tal que n ≥ n0 ⇒ an > ε. Como ax é
crescente (a > 1), temos que : x > n0 ⇒ ax > ε. Logo, lim

x−→+∞
ax = +∞.



Conceitos Básicos 23

Identidades Trigonométricas

Proposição 1.7 Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos
internos Â, B̂, Ĉ, com medidas respectivamente a, b, c valem as relações :

(i) a2 = b2 + c2 − 2 · b · c · cos Â;

(ii) b2 = a2 + c2 − 2 · a · c · cos B̂;

(iii) c2 = a2 + b2 − 2 · a · b · cos Ĉ.

No estudo da trigonometria, as fórmulas da soma de arcos e as fórmulas do arco
duplo são fundamentais para o cálculo do seno, cosseno e tangente dos arcos e para a
simplificação de expressões trigonométricas.

Proposição 1.8 As funções trigonométricas básicas são o seno e o cosseno de um
ângulo, justamente porque se pode escrever qualquer outra função trigonométrica a partir
das funções seno e cosseno. Há, também nesse mesmo contexto, as fórmulas do arco
metade.

Sendo assim, as fórmulas da metade do arco seno e cosseno estão definidas da seguinte
forma:

sen
(
θ

2

)
= ±

√
1− cos θ

2 e cos
(
θ

2

)
= ±

√
1 + cos θ

2 .

Em geometria, o Teorema do círculo de Descartes estabelece a relação entre quatro
círculos tangentes entre si por meio de sua curvatura.

Teorema do Círculo de Descartes [14] Os raios r1, r2, r3, r4 de quatro círculos
mutuamente tangentes satisfazem:

2 ·
(

1
r2

1
+ 1
r2

2
+ 1
r2

3
+ 1
r2

4

)
=
( 1
r1

+ 1
r2

+ 1
r3

+ 1
r4

)2
.



2 Fractais Clássicos

“A geometria fractal é a geometria das formas irregulares que encontramos na natureza...”
(Mandelbrot, 1982).

O matemático polonês Beinoît Mandelbrot propôs, em 1975, o termo “fractal” para
identificar as classes de objetos rugosos, quebrados e aparentemente sem forma que reinam
absolutamente no mundo em que vivemos. O termo fractal tem sua origem na palavra
fractus do Latim, que significa “quebrado” .

A geometria fractal consiste em uma extensão da geometria Euclidiana tradicional,
não a substituindo, mas trazendo a possibilidade de descrever com precisão objetos dire-
tamente relevantes para a compreensão do mundo real.

Fractais são caracterizados por detalhes infinitos, autossimilaridade e dimensão fractal.
Por autossimilaridade, ou autosemelhança, significa que um objeto é composto de cópias e
subcópias em vários níveis que se assemelham à estrutura do objeto todo. Outro fator é a
complexidade infinita está relacionada ao processo de construção do fractal, em que cada
etapa de criação segue um padrão, que pode ser compreendido como do processo anterior.
Isso significa que nunca conseguiremos representá-los completamente, pois a quantidade
de detalhes é infinita.

Um bom exemplo de fractal, ou melhor, pseudo-fractal (possui repetições mas que
não seja infinitamente) é nosso cérebro, entre outros exemplos. Independentemente de
qual pedaço ampliarmos ou reduzirmos, a imagem se repete, dada sua autossemelhança.
Esta característica é conhecida como autossimilaridade, e é uma propriedade intrínseca
aos fractais.

Apesar de ser comum encontrar na natureza, a propriedade não é observada na maioria
dos objetos Euclidianos. Por exemplo, o arco do arco-íris de um círculo não é sozinho um
círculo; um lado de um triângulo é uma reta, e não um triângulo; um pedaço de melancia,
não é um setor circular.

Há dois tipos principais de autossimilaridade:
• Autossimilaridade estrita: Quando o objeto é composto por cópias aproximadas de

si mesmo um pedaço, independentemente do tamanho, é similar ao outro.
• Autoafinidade: Quando o objeto é formado por cópias menores, mas com uma

pequena variação em relação ao todo.
Alguns objetos matemáticos, hoje denominados fractais, são construídos no final do

século XIX, esses objetos divergem da linha de pensamento da época sendo vistos como
“curvas monstruosas e patológicas”. Nossos antepassados não teriam deixado de dizer que
toda função contínua tem uma derivada, já que toda curva tem uma tangente e quando
imaginamos uma curva, não podemos representá-la sem espessura. Da mesma forma,
quando representamos uma reta, vêmo-la sob a forma de uma faixa retilínea dotada

24



Fractais Clássicos 25

de certa largura. Além de curvas desprovidas de derivadas em todos os seus pontos,
outras questões apresentavam dificuldade, no início do século XX, por não permitirem
a abordagem por meio da Matemática clássica, como o conceito de dimensão, a Curva
de Koch, o Triângulo de Sierpinski, a Poeira de Cantor, a Curva de Peano, a Curva de
Hilbert, o Conjunto de Julia, entre outros. E, apesar de seus criadores Helge von Koch,
Waclaw Sierpinski, Georg Cantor, Giuseppe Peano, David Hilbert e Gaston Julia não
terem desenvolvido uma nova geometria com base neles, estes foram fundamentais para
os estudos de Benoit Mandelbrot.

Ao divulgar sua teoria para um público não especializado, Mandelbrot apresenta uma
série de objetos matemáticos, focando uma das suas principais características, sua dimen-
são fractal, que é uma medida do grau de irregularidade e de fragmentação. É conveniente
dizer que, em curvas planas muito irregulares, a dimensão fractal se situa entre 1 e 2. Em
certas superfícies muito enrugadas e cheias de pregas, a dimensão fractal está entre 2 e
3. E enfim, definimos conjuntos de pontos sobre uma linha cuja dimensão fractal está
entre 0 e 1. Logo, além da autossimilaridade, um fractal pode ser caracterizado por sua
Dimensão Fractal. A Dimensão Fractal é menor ou igual a dimensão topológica, ou seja,
menor ou igual a dimensão de objetos Euclidianos, como o ponto, a reta, o plano, ou o
espaço. Tecnicamente, um fractal é um objeto que apresenta invariância na sua forma, à
medida em que a escala, sob a qual o mesmo é analisado, é alterada, mantendo-se a sua
estrutura idêntica à original. (Oliveira, 2014).

O conceito de dimensão fractal ajuda muito a entender melhor fractais em que se
diferencia a dimensão topológica e dimensão Euclidiana. Ao considerar uma reta, podemos
dividi-la em p partes iguais semelhantes ao segmento original, porém reduzidas à uma
razão r. O número n de segmentos de reta obtidos relaciona-se a razão de semelhança r
da seguinte forma :

n = 1
r
.

Tomemos um quadrado, em seguida façamos a divisão de cada lado em p partes iguais.
Então, obtemos p2 quadrados semelhantes ao original. Assim temos n= p2.

Relacionando o número de segmentos n e a razão de semelhança r temos:

n = 1
r2 .

Analogamente, se tivermos um cubo e o dividirmos cada face em p partes iguais iremos
obter p3 quadrados semelhantes ao original. Desse modo, temos que n = p3 .

Relacionando o número de segmentos n e a razão de semelhança r, temos:

n = 1
r3 .

Considerando que a dimensão espacial das figuras tradicionais é igual à dimensão
topológica, e que um segmento de reta tem dimensão 1; um quadrado dimensão 2; um
cubo dimensão 3; é possível afirmar que:

n = 1
rD
.

onde D é dimensão espacial, n o número de réplicas da figura original, obtida através
da divisão em p partes iguais, e r a razão de semelhança. Calculemos a dimensão D, apli-



26 Fractais Clássicos

cando a função logarítmica (em uma base arbitrária) em ambos os membros da igualdade,
obteremos uma expressão para D.

log n = log 1
rD

.

log n = log 1 - log rD.

log n = 0 - D · log r.

D · log r = - log n.

D = − log n
log r .

O conceito definido de dimensão fractal se dá pelo fato de que os fractais aprensentam
autossimilaridade, assim, sua dimensão é determinada pela relação acima. A seguir,
calcularemos a dimensão fractal de alguns fractais clássicos.



Fractais Clássicos 27

2.1 Fractais Clássicos
Nesta seção, serão apresentados os fractais clássicos, obtidos geometricamente através

de processos iterativos e por remoção, tais como: Tapete de Cantor, Tapete de Sierpinski,
Ilha de Koch, Esponja de Menger.

2.1.1 Tapete de Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu em 1845, na cidade de São Pe-

tersburgo, Rússia, onde dedicou a maior parte dos seus estudos à Teoria dos Conjuntos.
Cantor levou o estudo da matemática para campos inteiramente novos, como o dos nú-
meros transfinitos, e é considerado um dos maiores matemáticos de seu tempo.

Cantor apresentou, em 1883, o conjunto que pode ser considerado como uma, das mais
antigas construções encontradas na Matemática, e que hoje leva o seu nome, “Conjunto
de Cantor”. A construção numérica nos leva ao conjunto numérico de Cantor, visto como
um subconjunto fechado dos números reais, o qual demonstrou não ser um conjunto
enumerável. Por outro lado, é uma construção geométrica do fractal Tapete de Cantor.

Tapete de Cantor é do tipo fractal por remoção, que consiste em criar um fractal por
meio da remoção de partes dele. Sua construção é a partir de um quadrado. Iniciando-se
com uma região quadrada, dividi-se em 9 regiões quadradas menores cujos lados medem
1
3 do quadrado original, sendo retirados os quadrados pequenos que não fazem parte dos
cantos. Seguindo o processo, cada quadrado novo é novamente transformado em nove
quadrados e, retirados os quadrados que não fazem parte dos cantos, o processo continua
sucessivamente.

O Tapete de Cantor é o produto cartesiano de duas cópias do Conjunto de Cantor.
Assim, a construção por remoção inicia-se com uma região quadrada A0 x A0, em que
essa região é dividida em 9 regiões quadradas menores, cujos os lados medem 1

3 do lado
de A0 x A0. Retiram-se os quadrados que não estão nos cantos. Dessa forma, obtemos
A1 x A1 que é a região formada por quatro quadrados menores.

Figura 2.1: Figura inicial e primeiras duas iterações da construção do Tapete de Cantor



28 Fractais Clássicos

Conjuntos N°de Quadrados Lados Perímetro Área unitária Área total

A0 × A0 40 = 1 l 4 · l l2 l2

A1 × A1 41 = 4 l

3
4
3 · l

l2

9

(4
9

)
· l2

A2 × A2 42 = 16 l

32

(4
3

)2
· l l2

92

(4
9

)2
· l2

A3 × A3 43 = 64 l

33

(4
3

)3
· l l2

93

(4
9

)3
· l2

... ... ... ... ... ...

An × An 4n l

3n

(4
3

)n

· l l2

9n

(4
9

)n

· l2

Tabela 2.1: As iterações no processo de construção Fractal Tapete de Cantor

A cada etapa de construção, o número de quadrados quadriplica, enquanto a medida de
cada lado reduz 1

3 ao lado da etapa anterior. Sendo assim, o número de quadrados gerados
no Tapete de Cantor trata-se de uma progressão geométrica de razão q = 4 e primeiro
termo a1 = 1. Da mesma forma, a medida dos lados é uma progressão geométrica de
razão q = 1

3 , e primeiro termo a1 = 1.
Repetimos esse processo indefinidamente, até An×An, deixando apenas os cantos dos

quadrados do conjunto An−1×An−1 . O número de quadrados de An×An é o termo geral
da progressão geométrica, de modo que:

an = a1 · qn−1

an = 1 · 4n−1 = 4n−1.

Assim, temos que

A0 × A0 ⊃ A1 × A1 ⊃ . . . ⊃ An−1 × An−1 ⊃ An × An.

O Tapete de Cantor é a interseção dos conjuntos An × An, onde n ∈ N ,

A× A =
⋂

n∈N
An × An.

Proposição 2.1.1.1. O perímetro do Tapete de Cantor é infinito.

Demonstração. No nível n, cada produto cartesiano do conjunto de Cantor An×An possui
4n quadrados gerados de medidas de lados

(1
3

)n

. Então, o perímetro Pn do Fractal Tapete
de Cantor é dado por:



Fractais Clássicos 29

Pn = 4n ·
(
l

3n

)
=
(4

3

)n

· l

Considerando n tendendo ao infinito, temos que:

Pn = lim
n−→∞

(4
3

)n

· l

Pn = l · lim
n−→∞

(4
3

)n

=∞.

Em particular, apesar do perímetro do Fractal Tapete de Cantor crescer infinitamente,
a sua área total é uma progressão geométrica de razão q = 4

9 < 1 e diminui tendendo a
zero.

Proposição 2.1.1.2. A área total do Fractal Tapete de Cantor é nula.

Demonstração. No nível n, o conjunto A×A possui 4n quadrados gerados de área unitária
de l2

9n
. Então, a área total do Tapete de Cantor A× A é dado por:

A× A = 4n ·
(
l2

9n

)

A× A =
(4

9

)n

· l2.

Considerando n tendendo ao infinito, temos que :

A× A = lim
n−→∞

(4
9

)n

· l2

A× A = l2 · lim
n−→∞

(4
9

)n

= 0.

Calculemos sua dimensão topológica visto que, em cada nível, dividimos o quadrado
original em quatro quadrados medindo, de lado, um terço de seu lado original. Portanto,
n = 4 partes, e seu fator de redução r = 1

3 . Aplicando na fórmula de dimensão fractal,
temos que:

D = − log n
log r

D = − log 4
log 1

3

D = log 4
log 3

D = 1, 2618 · · ·



30 Fractais Clássicos

2.1.2 Tapete de Sierpinski
Waclaw Sierpinski, matemático polonês nascido em Varsóvia foi um dos mais influentes

na Polônia, com maior área de contribuição da Matemática em Teoria dos Números e
Topologia. Em uma de suas pesquisas em Topologia descobriu a caracterização topológica
dos conjuntos dos números reais um fractal que levou seu nome: Triângulo de Sierpinski
e Tapete de Sierpinski.

O tapete de Sierpinski é considerado uma generalização do conjunto de Cantor para
duas dimensões, como também é considerado base para Esponja de Menger para três di-
mensões. Além dessas descobertas a curva de Sierpinski é uma curva fechada, iniciada por
um quadrado, que preenche toda sua área quadrangular e tem como aplicação otimização
de rotas.

É um fractal de remoção, em que partimos de um quadrado preenchido que é dividido
em 9 quadrados iguais e retiramos o quadrado do meio. Ficamos, portanto, com a figura
geradora. A 1◦ iteração é obtida através de uma aplicação da figura geradora a cada um
dos quadrados preenchidos que a constituem. A figura final deste passo de construção
é o elemento de construção da figura seguinte (2◦ a iteração), por aplicação da figura
geradora. O processo iterativo consiste em aplicar a mesma regra a cada um dos quadrados
preenchidos que resultam da iterada anterior, em que está ilustrado na figura 2.2. O
processo é repetido indefinidamente obtendo-se a figura limite a que chamamos de Tapete
de Sierpinski.

Figura 2.2: Figura inicial e primeiras três iterações da construção do Tapete de Sierpinski

Na etapa inicial A0, temos o quadrado original, na etapa A1 oito quadrados obtidos
pela remoção do quadrado central, na etapa A2, sessenta e quatro quadrados. Assim, o
processo é feito até o a etapa An, em que é obtido removendo o quadrado central dos
quadrados da etapa anterior An−1.



Fractais Clássicos 31

Conjuntos N°de Quadrados Lados Área unitária Área Total
A0 1 l l2 l2

A1 8 l

3

(
l

3

)2 (8
9

)
· l2

A2 82 l

32

(
l

9

)2 (8
9

)2
· l2

... ... ... ... ...

An 8n l

3n

(
l

3n

)2 (8
9

)n

· l2

Tabela 2.2: As iterações no processo de construção do Fractal Tapete de Sierpinski

Proposição 2.1.2.1. O Perímetro do Tapete de Sierpinski é infinito.

Demonstração. No nível n, temos 8n quadrados gerados e de medida de lados l

3n
, assim,

seu perímetro Pn é dado por: Pn = 8n ·
(
l

3n

)
.

Em que tendendo ao infinito;

Pn = lim
n−→∞

(8
3

)n

· l = l · lim
n−→∞

(8
3

)n

=∞.

Analogamente, a área total é uma progressão geométrica, onde a razão q = 8
9 < 1 e,

sendo assim, sua área An tende a zero, conforme aumenta as iterações.

Proposição 2.1.2.2. A área total do Tapete de Sierpinski é nula.

Demonstração. No nível n, temos 8n quadrados e de área unitária
(
l

3n

)2

, assim, temos

que An é dado por : An = 8n ·
(
l2

9n

)
.

Em que tendendo ao infinito;

An = lim
n−→∞

(8
9

)n

· l2 = l2 · lim
n−→∞

(8
9

)n

= 0.

Calculemos sua dimensão, visto que o quadrado original é transformado em oito qua-
drados de lado, medindo um terço do seu lado, devido à remoção do quadrado central.
Portanto, n = 8 e seu fator de redução é r = 1

3 .
Aplicando a fórmula de dimensão fractal, temos que:

D = − log n
log r

D = − log 8
log 1

3
= log 8

log 3 = 1, 8928 · · ·



32 Fractais Clássicos

2.1.3 Ilha de Koch
Niels Fabian Helge Von Koch, sueco nascido em Estolcomo, desenvolveu trabalhos

nas áreas de Teoria dos Números e Equações Diferenciais. Foi criador do “mosntro”
matemático curva de Koch, considerado fractal pela fronteira, isto é, fractais gerados por
funções iteradas definidas por substituições de uma parte do seu gerador, aumentando
seu comprimemento ou área.

Figura 2.3: Figura inicial e primeiros quatro passos da construção da curva de Koch

A curva de Koch como é conhecida, é uma curva contínua, porém, sem nenhuma
tangente, em que por um segmento de reta, se divide em três partes congruentes e, retira-
se o segmento central, que é substituído por outros dois segmentos de mesmo comprimento
inclinados formando um triângulo equilátero sem a sua base.

Analogamente, com a mesma construção, podemos formar as ilhas de Koch. Inicia-se
com um polígono regular (no caso, um triângulo equilátero) e, em cada lado, é realizado
o procedimento da curva de Koch, isto é, divide-se cada lado em três partes congruentes
e, no terço médio de cada um, constrói-se um triângulo equilátero apontando para fora,
em seguida, removemos as partes em comum ao novo triângulo e ao anterior. Seguimos
com o processo sucessivamente e iterativamente.

Na etapa A0, temos um triângulo equilátero de área A0 =
√

3·l2
4 e lado de medida l. Na

etapa A1, temos doze segmentos medindo l
3 de lado, sendo que cada triângulo formado

possui área equivalente a 1
9 do triângulo anterior, na etapa A2 temos quarenta e oito

segmentos, medindo l
9 cada lado.

Observe que a sequência de segmentos gerados trata-se de uma progressão geométrica
crescente, com razão q = 4 > 1 e primeiro termo a1 = 3, tal que, seu termo geral será:

an = a1 · qn−1

an = 3 · 4n−1.

Da mesma forma, temos que a medida dos segmentos gerados é uma progressão geo-
métrica decrescente, com razão q = 1

3 < 1 e primeiro termo a1 = 1.
Dessa forma, seu termo geral será:

an = a1 · qn−1

an = 1 ·
(1

3

)n−1
=
(1

3

)n−1
.



Fractais Clássicos 33

Conjunto N°de segmentos Segmento Perímetro Área total
A0 3 l 3l A0

A1 3 · 4 l

3 3 ·
(4

3

)
· l 3 · 40

(1
9

)
· A0 + A0

A2 3 · 42 l

32 3 ·
(4

3

)2
· l 3 · 41

(1
9

)2
· A0 + A1

... ... ... ... ...

An 3 · 4n l

3n
3 ·
(4

3

)n

· l 3 · 4n−1
(1

9

)n

· A0 + An−1

Tabela 2.3: As iterações no processo de construção Fractal Ilha de Koch

Proposição 2.1.3.1 O Perímetro da Ilha de Koch é infinito.

Demonstração. No nível n, temos 3 · 4n segmentos gerados e, de medida de comprimento
l

3n
. Sendo assim, o perímetro é dado por:

Pn = 3 · 4n

(
l

3n

)
= 3 · l

(4
3

)n

.

Em que, tendendo ao infinito:

Pn = lim
n−→∞

3 · l
(4

3

)n

= 3 · l lim
n−→∞

(4
3

)n

=∞.

Enquanto isso, a área da Ilha de Koch será uma P.G infinita convergente a partir da
segunda iteração, com aumento de 4

9 em relação à área anterior. Assim temos uma soma
infinita convergente de P.G, onde sua razão será q = 4

9 < 1, e primeiro termo a1 = a0
3

Sn = a1

1− q =
a0
3

1− 4
9

= a0

3 ·
9
5 = 3

5a0.

Proposição 2.1.3.2 A área delimitada pela Ilha de Koch é finita.

Demonstração. O cálculo da área da Ilha de Koch será adicionada à área original do
triângulo equilátero, com um aumento de 3

5 · A0, ou seja, 60% de área original

An = A0 + A0 ·
3
5 = A0 ·

8
5 =

(
l2
√

3
4

)
· 85 =

(
2 · l2
√

3
5

)
.

Calculemos a dimensão topológica do fractal Ilha de Koch que dá origem a n = 4
novos segmentos a cada iteração. Com fator de redução r = 1

3 , a sua dimensão será da
forma:

D = − log n
log r = − log 4

log 1
3

= log 4
log 3 = 1, 2618 · · ·



34 Fractais Clássicos

2.1.4 Esponja de Menger
Karl Menger, nascido em 1902, Viena, matemático austríaco que teve várias contri-

buições nas áreas de Álgebra e Geometria Hiperbólica. Em 1924, Menger apresentou sua
tese de doutorado na área de Topologia sobre dimensionalidade dos conjuntos de pontos,
que recebeu o nome de Esponja de Menger, um fractal construído a partir de um cubo,
constituindo-se como um exemplo clássico de um fractal em três dimensões. Podemos
considerá-lo uma extensão tridimensional do tapete de Sierpinski.

Figura 2.4: Figura inicial e primeiras três iterações do Fractal Esponja de Menger

Trata-se de um fractal de remoção, a partir de um cubo. No caso em questão, de
aresta medindo a, dividindo cada face do cubo em 9 quadrados de medida

(
a
3

)
, de modo

que se transforme em 27 cubos menores. Em seguida, removemos o cubo do meio de cada
face e o cubo central, ou seja, removemos 7 cubos, deixando apenas 20 cubos. Assim, na
etapa A0, temos um cubo de aresta medindo a. Na etapa A1, vinte cubos medindo

(
a
3

)
de

aresta. Na etapa A2, em cada um dos 20 cubos, faremos o mesmo processo, removeremos
7 cubos obtendo 202 cubos de arestas medindo

(
a
32

)
.

O processo é feito até o conjunto An, que é obtido retirando-se o cubo central e o cubo
dos lados do cubo do conjunto An−1. Temos no conjunto An, a quantidade de 20n cubos,
com cada aresta dos cubos resultantes medindo

(
a

3n

)
, sendo a a medida da aresta do cubo

inicial.
Repetindo-se o processo, encontra-se pela relação de inclusão;

A0 ⊃ A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ · · · ⊃ An−1 ⊃ An,

em que a interseção dos conjuntos An, cujo limite dessa sequência será o fractal Esponja
de Menger. A esponja de Menger é um bom exemplo para mostrar a autossimilaridade,
sendo que os volumes que permanecem ou que são retirados serão sempre cubos.



Fractais Clássicos 35

Conjuntos Cubos Arestas Faces Volume unitário Volume

A0 1 a F V V

A1 20
(
a

3

) (1
9

)
· F

( 1
27

)
· V V ·

(20
27

)

A2 202
(
a

9

) (1
9

)2
· F

( 1
27

)2
· V V ·

(20
27

)2

... ... ... ... ... ...

An 20n

(
a

3n

) (1
9

)n

· F
( 1

27

)n

· V V ·
(20

27

)n

Tabela 2.4: As iterações no processo de construção Fractal Esponja de Menger

Proposição 2.1.4.1. A área total da Esponja de Menger é infinita.

Demonstração. Sendo o cubo composto por faces quadradas, retiramos um quadrado de
aresta a

3 do cubo dividido, formando um buraco nas faces, isto é, 6 quadrados de face de
mesma área do quadrado retirado. Note, também que a área de cada face com o buraco
somada com a área de um dos quadrados de face obtido é a área da face do cubo, que foi
dividido. Portanto, na primeira iteração, a área será a área do cubo A0 adicionada com
6 · 3 a área de cada quadrado de face. Na segunda iteração, a área será a área obtida na
primeira, adicionada com 20 ·3 ·6 a área de cada quadrado de face desta iteração e, assim,
sucessivamente.

Portanto, a área An da Esponja de Menger na n-ésima iteração, é dada por:

A0 = 6a2 A1 = A0 + 6︸︷︷︸
faces

· 3︸︷︷︸
quadradosface

·
(
a

3

)2
= 6a2 + 2a2

A2 = A1 + 20︸︷︷︸
cubos

· 6︸︷︷︸
faces

· 3︸︷︷︸
quadradosfaces

·
(
a

32

)2
= 6a2 + 2a2 + 2a2 ·

(20
9

)

A3 = A2 + 202︸︷︷︸
cubos

· 6︸︷︷︸
faces

· 3︸︷︷︸
quadradosfaces

·
(
a

33

)2
= 6a2 + 2a2 + 2a2 ·

(20
9

)
+ 2a2 ·

(20
9

)2

...

An = 6a2 + 2a2 + 2a2 ·
(20

9

)
+ · · ·+ 2a2 ·

(20
9

)n−1
= 6a2 + 2a2

∞∑
n=0

(20
9

)n−1
.

Sendo assim, quando a área da Esponja de Menger tende ao infinito temos que:

A = lim
n−→∞

An = lim
n−→∞

(
6a2 + 2a2

∞∑
n=0

(20
9

)n−1)
=∞.

em que temos uma série geométrica de razão q = 20
9 > 1, portanto é uma série divergente.



36 Fractais Clássicos

Proposição 2.1.4.2. O volume da Esponja de Menger é nulo.

Demonstração. Observemos que, a cada iteração, em cada cubo dividido, obtemos 20
cubos de aresta a

3 da aresta do cubo dividido. Além disso, pela construção da esponja
de Menger, a cada iteração, o volume da figura diminui, denotando por a o comprimento
da aresta do cubo inicial, V0 o volume do cubo inicial e Vn o volume obtido na n-ésima
iteração, temos:

V0 = a3

V1 = 20 ·
(
a

3

)3
=
(20

27

)
a3

V2 = 202 ·
(
a

32

)3
=
(20

27

)2
a3

...

Vn = 20n ·
(
a

3n

)3
=
(20

27

)n

a3.

Logo, temos que a sequência dos volumes é uma progressão geométrica de termo inicial
V0 e razão q = 20

27 < 1, sendo uma sequência decrescente, o que é esperado pela construção:

Vn = lim
n−→∞

a3 ·
(20

27

)n

= 0

Vn = a3 · lim
n−→∞

(20
27

)n

= 0.

Calculemos a dimensão topológica do fractal Esponja de Menger, em que temos que
o cubo original foi dividido em vinte partes e, com fator de redução r = 1

3 :

D = − log n
log r

D = − log 20
log

(
1
3

)

D = log 20
log 3

D = 2, 7268 · · ·



Fractais Clássicos 37

2.1.5 Fractal Hexagonal de Dürer
Albrecht Dürer, nascido em 1471, em Noremberga, Alemanha, foi um matemático com

grande prestígio, um dos mais importantes pintores da sua época e um dos primeiros a
introduzir perspectiva nas suas pinturas. O nome do fractal deve-se ao estilo do matemá-
tico, que construía polígonos congruentes ao longo dos vértices de um polígono inicial, de
modo que polígonos adjacentes tinham um vértice em comum. Neste trabalho, apresen-
taremos relações matemáticas existentes no Fractal Hexagonal, figura de extrema beleza,
mas não podemos deixar de citar os Fractais Pentagonal, Heptagonal e Octogonal.

Na construção do Fractal Hexágonal de Dürer, inicialmente, temos um hexágono re-
gular. Em um dos seus lados e em cada vértice desse hexágono, constrói-se um hexágono
regular menor, de forma que os vértices dos dois hexágonos maior e menor coincidam. Re-
petimos o processo de construção em cada lado, formando seis novos hexágonos regulares.
Então, removemos a região poligonal (floco de neve de Koch), parte central do hexágono,
assim temos o nível 1 do fractal de Dürer.

Figura 2.5: Figura inicial e primeiras duas iterações do Fractal Hexagonal de Dürer

Inicialmente, no nível 0, temos um hexágono regular de medida de lado l. No nível
1, construa um hexágono regular semelhante ao nível anterior, em que a medida de cada
lado é l1 = l0

3 . Em seguida, remova os seis triângulos equiláteros e a parte central, que
será uma região polígona (floco da ilha de Koch).

No segundo nível, cada novo hexágono do primeiro nível irá gerar novos outros seis
hexágonos menores em que a medida de cada lado é l2 = l1

3 = l0
9 . Repetiremos o processo

de construção, como no nível anterior.
Sendo assim, a medida dos lados reduzem em uma razão q = 1

3 < 1 formando uma
progressão geométrica decrescente de primeiro termo a1 = 1, e com termo geral dado por:

an = a1 · qn−1 = 1 ·
(1

3

)n−1
=
(1

3

)n−1
.

Analogamente, temos uma progressão geométrica decrescente na área dos hexágonos
regulares gerados em cada iteração.

Podemos observar, detalhadamente o número de hexágonos gerados, o fator de redução
na medida de cada lado, perímetro e área total na tabela a seguir:



38 Fractais Clássicos

Nível Hexágonos Medida do lados Perímetro Área Total

0 1 l0 6 · l0 A0

1 6 l0
3 62 · l03 62 ·

(
l0
3

)2

·
√

3
4

2 62 l0
32 63 · l032 63 ·

(
l0
32

)2

·
√

3
4

... ... ... ... ...

n 6n l0
3n

6n+1 · l03n
6n+1 ·

(
l0
3n

)2

·
√

3
4

Tabela 2.5: As iterações no processo de construção Fractal Hexágono de Dürer

Proposição 2.1.5.1 O Perímetro do Fractal Hexagonal de Dürer é infinito.

Demonstração. No nível n, temos 6n hexágonos, de medida de lado
(
l0
3n

)
, assim:

Pn = 6n ·
(
l0
3n

)
=
(6

3

)n

· l0 = 2n · l0.

Observe que o perímetro é uma progressão geométrica crescente, em que, tendendo ao
infinito, é dada por:

Pn = lim
n−→∞

2n · l0 = l0 · lim
n−→∞

2n =∞.

Proposição 2.1.5.2 A área do Fractal Hexagonal de Dürer é nula.

Demonstração. No nível n, temos 6n hexágonos, isto é, 6n+1 triângulos equiláteros

An = 6n+1 ·
(
l0
3n

)2

·
√

3
4 = 6 · l20

√
3

4 ·
( 6n

32n

)
.

E, quando fazemos a àrea do Fractal Hexagonal de Dürer tender ao infinito, temos
que:

An = lim
n−→∞

6 · l20
√

3
4 ·

(6n

9n

)
= 6 · l20

√
3

4 · lim
n−→∞

(6
9

)n

= 0.

Calculemos a dimensão topológica do fractal hexagonal de Dürer, que é dada por um
fator de aumento 6 em cada nível, e os seus lados, um fator de redução em 1

3 . Assim,
temos que:

D = − log n
log r = − log 6

log
(

1
3

) = log 6
log 3 = 1, 6309 · · ·



Fractais Clássicos 39

2.1.6 Fractal Octagonal de Dürer

Na construção do Fractal Octagonal de Dürer, inicialmente, temos um octógono re-
gular. Em um dos lados do octógono inicial, devemos construir dois octógonos regulares
menores que tenham um lado em comum. De tal forma que um dos seus ângulos coinci-
dam com o ângulo do octógono regular inicial e tenham, dois a dois, um lado em comum.
Repetimos esse processo de construção em cada lado, formando oito novos octógonos re-
gulares. Removemos os oito triângulos intermediários, e o hexadecágono estrelado central.
Obtemos, assim, o nível 1 do fractal de Dürer.

Figura 2.6: Figura inicial e primeiras três iterações do Fractal Octagonal de Dürer

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Observemos que a figura geradora do octógono gera oito novos octógonos regulares,
com lados diminuídos em um fator de redução r. Inicialmente, devemos calcular os ângulos
internos do octógono. Sabemos que a soma dos ângulos internos de um octógono é dada
por Si = 1080◦. Então, seus ângulos internos valem ai = 135◦.

Trace uma circunferência de raio qualquer circunscrita ao octógono, seja O o centro
dessa circunferência. Em seguida, trace dois diâmetros perpendiculares à circunferência,
formando uma cruz. Nas intersecções dos diâmetros com a circunferência marque os
pontos A, C , E e G. Faça uma cruz como a anterior, mas rotacionada em 45◦ em relação
à anterior. Ou seja, as bissetrizes dos ângulos AÔC, CÔE, EÔG, GÔA. Esta nova cruz
intersectará a circunferência nos pontos B, D, F e H. Una os pontos dois a dois, de tal
forma que tenhamos no nível 0 o octógono regular ABCDEFG.

Figura 2.7: Octógono Circunscrito

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)



40 Fractais Clássicos

Observemos que o raio da circunferência bissecta os ângulos internos do octógono
regular. Considerando o triângulo AOB, temos que OÂB = OB̂A = 135◦

2 . Então, o ângulo
AÔB = 45◦, pela soma dos ângulos internos de um triângulo.

Calculemos o lado l0 do octógono regular nível 0, admitindo o triângulo AOB de lados
R, R e l0. Sendo l0 o lado oposto ao ângulo central 45◦, pela lei dos cossenos, temos que :

l20 = R2 +R2 − 2 ·R ·R · cos 45◦

l20 = 2 ·R2(1−
√

2
2 )

l20 = R2(2−
√

2)

l0 = R
√

2−
√

2.

No octógono do nível 0, temos 8 triângulos idênticos ao AOB, do qual sabemos seus
lados e ângulos internos. Assim, será l0 a base desse triângulo e h sua altura relativa do
lado AB no ponto H. No triângulo retângulo AOH, temos que a altura h = OH pode ser
calculada da seguinte forma :

cotg(AÔH) = 1
tg(AÔH)

= 1
tg(45◦/2) = OH

AH

cotg(AÕH) = h

l0/2
⇒ h = l0

2 · cotg(AÔH).

Substituindo o valor do ângulo AÔH = 45◦
2 , temos que :

h = l0
2 ·

cos(45◦/2)
sen(45◦/2) = l0

2 ·

√
1 + cos 45◦

2√
1− cos 45◦

2

= l0
2 ·

√√√√(1 + cos 45◦) · (1 + cos 45◦)
(1− cos 45◦) · (1 + cos 45◦)

h = l0
2 ·

√√√√(1 + cos 45◦)2

(1− cos2 45◦) = l0
2 ·

√√√√(1 + cos 45◦)2

(sen245◦) = l0
2 ·

(1 + cos 45◦)
sen45◦

h = l0
2 · (1 +

√
2).

Assim, a área A0 do octógono regular nível 0 será dada por :

A0 = 8 · l0 · h2 = 4 · l0 ·
l0
2 · (1 +

√
2) = 2l20 · (1 +

√
2).

A quantidade de octógonos aumenta em um fator 8 a cada etapa de nível, sendo
que cada octógono divide-se em 8 octógonos regulares. Calculemos a medida do lado
dos octógonos regulares no nível 1, denotado por l1 e, assim, a razão entre os lados do
octógono seu fator de redução r.



Fractais Clássicos 41

Observemos o triângulo B’C’A’ que está entre dois a dois dos octógonos formados
no nível 1. O triângulo B’C’A’ possui dois ângulos internos, suplementares ao ângulo
interno do octógono de 135◦. Sendo assim, dois dos seus ângulos internos medem 45◦, e o
terceiro ângulo interno é reto. Dessa forma, observa-se que o triângulo B’C’A’ é isósceles
e retângulo.

Figura 2.8: Triângulo Retângulo entre Octógono Nível 1

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

No triângulo retângulo isósceles ’B C’A’, a medida do lado B’A’ será chamada de x e
que corresponde à hipotenusa. A medida dos lados A’C’ e C’B’ chamaremos de l1, seus
catetos do octógono reduzido, por um fator de redução r. Sendo l0 o lado do octógono
inicial, temos:

x2 = l21 + l21 = 2l21
x =
√

2l1

l0 = 2l1 + x = 2l1 +
√

2l1 = l1(2 +
√

2)⇒ l1 = l0

(2 +
√

2)
.

Dessa forma, seu fator de redução será dado por:

r = l1
l0

=

l0

(2 +
√

2)
l0

= 1
(2 +

√
2)
.

A cada nível, a quantidade de octógonos regulares aumentam em um fator 8 e o
tamanho dos seus lados reduzem em um fator 1

(2 +
√

2)
.

Assim, a dimensão topológica do fractal octagonal de Dürer é dada por:

D = − log n
log r = − log 8

log 1
(2 +

√
2)

= log 8
log(2 +

√
2)

= 1, 6934 · · ·

Podemos reunir os dados calculados dos níveis 0, 1, 2 e 3 na tabela a seguir e conjec-
turar os dados ao nível n.



42 Fractais Clássicos

Nível Octógonos Lado Perímetro Área Total

0 1 l0 8 · l0 A0 = 2 · l20 · (1 +
√

2)

1 8 l0

(2 +
√

2)
82 · l0

(2 +
√

2)
A1 = 8 · 2

[
l0

(2 +
√

2)

]2

(1 +
√

2)

2 82 l0

(2 +
√

2)2

83 · l0
(2 +

√
2)2

A2 = 82 · 2 ·
[

l0

(2 +
√

2)2

]2

(1 +
√

2)

3 83 l0

(2 +
√

2)3

84 · l0
(2 +

√
2)3

A3 = 83 · 2 ·
[

l0

(2 +
√

2)3

]2

(1 +
√

2)

... ... ... ... ...

n 8n l0

(2 +
√

2)n

8n+1 · l0
(2 +

√
2)n

An = 8n · 2 ·
[

l0

(2 +
√

2)n

]2

(1 +
√

2)

Tabela 2.6: As iterações no processo de construção Fractal Octógono de Dürer

Proposição 2.1.6.1. A área do Fractal Octagonal de Dürer é nula.

Demonstração. A soma das áreas dos octógonos resulta em um valor desprezível quando
estamos em níveis muito elevados na construção do fractal.

An = 8n · 2 ·
[

l0

(2 +
√

2)n

]2

· (1 +
√

2) = 2(1 +
√

2) · 8n · l20
(2 +

√
2)2n

= 2(1 +
√

2) · l20 ·
8n

(6 + 4
√

2)n

An = 2(1 +
√

2) · l20 ·
8n

2n(3 + 2
√

2)n
= 2(1 +

√
2) · l20 ·

(
4

(3 + 2
√

2)

)n

= A0 ·
(

4
(3 + 2

√
2)

)n

.

Portanto, quando n tende ao infinito, temos que:

An = lim
n−→∞

A0 ·
(

4
(3 + 2

√
2)

)n

= 0.

Proposição 2.1.6.2. O perímetro do Fractal Octagonal de Dürer cresce infinitamente.

Demonstração. Nesta demonstração, vamos considerar n como sendo o nível e l0 o valor
inicial do lado do octógono.

Pn = lim
n−→∞

8n+1 · l0
(2 +

√
2)n

Pn = lim
n−→∞

8 · l0
(

8
2 +
√

2

)n

= 8 · l0 · lim
n−→∞

(
8

2 +
√

2

)n

=∞.



3 Fractais Circulares

3.1 Fractais Circulares
Os estudos de fractais circulares apresentam uma grande beleza em suas figuras e,

por existirem inúmeros fractais, ainda não é muito abordado. Estes fractais são obtidos,
geralmente, por processos repetitivos que envolvam figuras circulares, incluindo tangências
de retas e de circunferências. Ao longo desse capítulo, foram utilizados as referências
[2],[7],[8],[19].

Existem inúmeros fractais que utilizam círculos em sua construção. Neste trabalho,
apresentaremos os fractais circuntexto, tetra círculo, antena circular, peneira de Apolônio
e fractal flor da vida.

3.1.1 Fractal Circuntexto
Este fractal baseia-se na construção de uma círculo de raio r e na inscrição de circunfe-

rências tangentes entre si e internamente ao círculo. Na construção do fractal circuntexto,
utilizaremos o software geogebra e os seguintes passos: traçar um círculo de medida de
raio qualquer r. No caso, adotamos r = 4. Divida o ângulo central em três ângulos de
120◦, marque os pontos na circunferência B’, B”, B”’ e una os pontos com o centro da
circunferência formando três segmentos. Inscreva três círculos tangentes internamente à
circunferência anterior e tangentes entre si.

Para a inscrição desses círculos, insira um triângulo equilátero ABC, em que cada um
dos seus vértices será o centro de cada novo círculo inscrito. Encontremos uma relação
para o cálculo do raio dos círculos menores.

Figura 3.1: Primeiros Três Pontos na Circunferência

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

43



44 Fractais Circulares

Figura 3.2: Cálculo do Raio s na Circunferência menor

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Seja r o raio do círculo maior, adotamos r = 4, m = OA e chamaremos de s o raio do
círculo menor. Assim, temos que:

s = m · cos δ.

O segmento m = OA é bissetriz do ângulo δ = 60◦ e tem por valor, m = r - s, em que
r é o raio do círculo maior. Assim,

s = (r − s) · cos 30◦ = r · cos 30◦ − s · cos 30◦

s+ s · cos 30◦ = r · cos 30◦

s · (1 + cos 30◦) = r · cos 30◦

s = cos 30◦
(1 + cos 30◦) · r

s ≈ 0, 4641 · r.

Figura 3.3: Etapas da Construção do Circuntexto Nível 1

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Nos pontos da circunferência B’,B” e B”’, construa três círculos de medida com centros
nos pontos e de medida de raio 0, 4641 · r. Assim, a intersecção dos segmentos de retas
OB’, OB” e OB”’ com as circunferências nos dará os centros das novas circunferências.



Fractais Circulares 45

Figura 3.4: Etapas da Construção do Circuntexto Nível 2

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Nos centros encontrados construa círculos de medida de raio 0, 4641·0, 4641·r, gerando
três novas circunferências tangentes entre si e com a circunferência anterior. Repetindo o
processo iterativamente, temos o Fractal Circuntexto.

Figura 3.5: Etapas da Construção do Circuntexto Nível 3

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Figura 3.6: Fractal Circuntexto

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)



46 Fractais Circulares

Nível Círculos Raio Comprimento Área Unitária

0 1 = 30 r C0 = 2π · r A0 = π · r2

1 31 r1 = 0, 4641 · r C1 = 2π · 0, 4641 · r A1 = π · (0, 4641 · r)2

2 32 r2 = (0, 4641)2 · r C2 = 2π · (0, 4641)2 · r A2 = π · (0, 46412 · r)2

3 33 r3 = (0, 4641)3 · r C3 = 2π · (0, 4641)3 · r A3 = π · (0, 46413 · r)2

... ... ... ... ...
n 3n rn = (0, 4641)n · r Cn = 2π · (0, 4641)n · r An = π · (0, 4641n · r)2

Tabela 3.1: As iterações no processo de construção Fractal Circuntexto

Observe a análise da construção da Tabela (3.1), paralelamente com a construção
geométrica do Fractal Circuntexto. Relacionamos a circunferência anterior com a nova
circunferência inserida.

Proposição 3.1.1.1. O comprimento do Fractal Circuntexto é infinito.

Demonstração. No nível n de iteração temos que seu comprimentos é dado por:

Cn = lim
n−→∞

2π · (0, 4641)n · r

Cn = 2π · r lim
n−→∞

(0, 4641)n =∞.

Proposição 3.1.1.2. A área do Fractal Circuntexto é nula.

Demonstração. No nível n de iteração temos que seu comprimentos é dado por:

An = lim
n−→∞

π · (0, 4641nr)2

An = π · r2 lim
n−→∞

(0, 4641)2n = 0.



Fractais Circulares 47

3.1.2 Fractal Tetra Círculo

O Fractal Tetra Círculo baseia-se em um círculo de quatro pontos equidistantes que
divide-se em quatro arcos congruentes e que são centros de novos círculos menores.

Construa um círculo de medida de raio qualquer com controle deslizante que será
a medida do raio, adotamos r = 4. Marque um ponto qualquer e, sobre ele, trace duas
perpendiculares passando pelo centro do círculo. Os pontos interseccionados com o círculo
maior serão os novos centros dos novos círculos menores. Em cada um desses pontos,
tracemos círculos de raios de medida com a metade do círculo anterior.

Figura 3.7: Etapas da Construção do Tetra Círculo Nível 1

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Observe que há 4 novos círculos de medida de raio com a metade do raio do círculo
anterior. Repetiremos, em cada círculo menor, o processo de marcar um ponto e traçar
as retas perpendiculares em cada novo centro. Construiremos, então, novos círculos de
medida de raio com a metade do raio anterior.

Figura 3.8: Etapas da Construção do Tetra Círculo Nível 2

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Repetiremos novamente o processo de construção em cada um dos novos círculos ob-
tidos a etapa anterior, com medida de raio de metade do raio anterior.

Considerando-se as iterações de níveis 0, 1, 2, 3, o fractal correspondente a essa cons-
trução de figura limite é o Fractal Tetra Círculo.



48 Fractais Circulares

Nível Círculos Total de Círculos Raio Comprimento Área Unitária
0 1 = 40 1 r C0 = 2πr A0 = π · r2

1 4 5 r

2 C1 = 2π ·
(
r

2

)
A1 = π ·

(
r

2

)2

2 16 = 42 21 r

4 C2 = 2π ·
(
r

4

)
A2 = π ·

(
r

4

)2

3 64 = 43 85 r

8 C3 = 2π ·
(
r

8

)
A3 = π ·

(
r

8

)2

... ... ... ... ... ...

n 4n tn
r

2n
Cn = 2π ·

(
r

2n

)
An = π ·

(
r

2n

)2

Tabela 3.2: As iterações no processo de construção Fractal Tetracírculo

Figura 3.9: Fractal Tetra Círculo

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Analisando os níveis de construção do Fractal Tetra Círculo, pela Tabela (3.2), pode-
mos obter uma generalização aos itens das colunas. Observamos que o número de círculos
gerados em cada nível nos fornece a sequência de números:

1, 4, 16, 64, · · ·

40, 41, 42, 43, · · ·

Podemos concluir que a sequência de círculos gerados em cada nível é uma progressão
geométrica de razão q = 4 e a1 = 1 .

Assim, temos que o número gerado de círculos no nível n dado por:

an = a1 · qn−1 = 1 · 4n−1 = 4n−1; n ∈ N.



Fractais Circulares 49

Analogamente, observamos na tabela que o número total de círculos gerados após cada
iteração é dado por :

40 = 1

40 + 41 = 5

40 + 41 + 42 = 21

40 + 41 + 42 + 43 = 85
...

40 + 41 + 42 + 43 + · · ·+ 4n = tn.

À quantidade total de círculos gerados que representa a soma dos círculos gerados no
nível analisado com o nível anterior, denominamos de tn. Com a soma de n+ 1, temos
uma progressão geométrica. Sendo assim temos :

tn = a1 · (qn − 1)
q − 1

tn = 1 · (4n+1 − 1)
4− 1

tn = 4n+1 − 1
3 ; n ∈ N.

Nota-se que a soma total de círculos a cada nível é crescente, conforme se aumenta o
número de iterações:

tn = lim
n−→∞

4n+1 − 1
3 =∞.

Analisando na Tabela (3.2), o número de círculos e o comprimento de cada círculo em
cada nível de iteração, temos a seguinte relação:

1 · 2πr = 2πr

4 · 2π
(
r

2

)
= 4πr = 22πr

16 · 2π
(
r

4

)
= 8πr = 23πr

64 · 2π
(
r

8

)
= 16πr = 24πr.

Deste modo, denotamos por pn o comprimento de todos os círculos e, fazendo as
iterações sucessivamente, temos a relação:



50 Fractais Circulares

pn = 4n · 2π
(
r

2n

)

pn = (22)n · 2π
(
r

2n

)

pn = 22n · 2π
(
r

2n

)

pn = πr

(
22n+1

2n

)

pn = 2n+1 · πr.

Proposição 3.1.2.1. O comprimento do Fractal Tetra Círculo é infinito.

Demonstração. No nível n, temos que, a cada iteração, o comprimento de todos os círculos
gerados aumentam infinitamente. Isto é,

pn = lim
n−→∞

2n+1 · πr

pn = 2πr · lim
n−→∞

2n =∞.

Proposição 3.1.2.2. A área do Fractal Tetra Círculo é nula.

Demonstração. No nível n de iteração, a área unitária de cada círculo gerado, sendo que o
raio de cada círculo se reduz pela metade em relação ao círculo anterior, temos de acordo
com a Tabela (3.2) que sua área é dada por:

An = lim
n−→∞

π
[
r

2n

]2

An = lim
n−→∞

π

[
r2

22n

]

An = lim
n−→∞

π

[
r2

(22)n

]

An = π
(
r

2

)2
· lim

n−→∞

[ 1
2n

]
= 0.



Fractais Circulares 51

3.1.3 Fractal Antena Circular
Há muitas pesquisas na área de Física e Engenharia que são baseadas na utilização de

antenas utilizando a geometria fractal em sua construção, que apresentam muitas vanta-
gens em relação a antenas convencionais. Um dos aspectos importantes é a propriedade
de autossimilaridade da estrutura fractal, que são convertidos para o comportamento ele-
tromagnético, utilizado para projetar antenas fractais multibanda. A construção dessas
antenas consiste de um processo de iteração circular, o que possibilita um ganho direcional,
segundo as pesquisas na área.

Figura 3.10: Monopole Antena – Fractal da Categoria de Sierpisnki

Fonte: PIERS Proceedings.[23]

O Fractal Antena Circular é baseado em processos de remoção semelhante ao Tapete
de Sierpinski e ao Tapete de Cantor, presentes nesse trabalho, mas, agora, sendo círculos
e removendo-se os círculos da etapa anterior.

As etapas de construção iniciam-se ao adotarmos um fator deslizante de medida de
raio r e traçarmos um círculo. Dividimos o círculo em 6 partes iguais. Para este processo,
marcamos um ponto qualquer no círculo e, a partir dele, inserimos 6 ângulos iguais, de
medida 60◦. Unimos cada um desses pontos ao centro dessa circunferência, inserindo
segmentos.

Figura 3.11: Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 0

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Os segmentos são construídos a partir dos pontos marcados na circunferência da Figura
(3.10), dividimos os segmentos formados com o centro original em 3 partes iguais, a partir
do centro. No ponto 2

3 do segmento, constrói-se um novo círculo com medida de raio 1
3 do

anterior. Assim, teremos 6 novos círculos tangentes entre si e do círculo maior, conforme
a Figura (3.11). Da mesma forma, no centro do círculo maior, podemos construir um
círculo com raio de 1

3 do anterior, e este será tangente aos 6 círculos construídos, gerando
7 círculos.

Repetiremos o processo de construção nos 7 círculos construídos anteriormente. Divi-
dimos os círculos em 6 partes iguais, unimos cada um desses pontos ao centro e inserimos
segmentos. Nos segmentos construídos, nos novos pontos marcados na circunferência,



52 Fractais Circulares

Figura 3.12: Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 1

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

dividimos os segmentos formados com o centro do círculo anterior em 3 partes iguais e,
a partir do centro, no ponto 2

3 , constrói-se um novo círculo, com medida de raio 1
3 do

anterior, ou seja, com medida de 1
9 do raio do círculo original. Assim, teremos 6 novos

círculos tangentes em entre si e ao círculo anterior. Da mesma forma, o círculo central
será tangente aos 6 círculos construídos.

Figura 3.13: Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 2

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

A partir da construção do Fractal Antena Circular, vamos analisar o número de círculos
gerados, comprimentos, área de cada círculo e pela Tabela (3.3) podemos obter uma
generalização aos itens das colunas.

Figura 3.14: Etapas da Construção da Antena Fractal Nível 3

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)



Fractais Circulares 53

Nível Círculos Total de Círculos Raio Comprimento Área Unitária
0 1 1 r 2πr πr2

1 7 8 r

3 2π
(
r

3

)
π
(
r

3

)2

2 72 57 r

32 2π
(
r

32

)
π
(
r

32

)2

3 73 400 r

33 2π
(
r

33

)
π
(
r

33

)2

... ... ... ... ... ...

n 7n Tn
r

3n
2π
(
r

3n

)
π
(
r

3n

)2

Tabela 3.3: As iterações no processo de construção Fractal Antena Circular

Nas iterações de níveis 0, 1, 2, 3, o fractal correspondente a essa construção é o Fractal
Antena Circular.

Figura 3.15: Fractal Antena Circular

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Observamos que em cada nível, o número de círculos gerados é uma progressão geo-
métrica de razão q = 7 e a1 = 1. Sendo assim:

an = a1 · qn−1 = 1 · 7n−1 = 7n−1; n ∈ N∗.

Denotamos por T n a soma de n+1 termos do número total de círculos gerados após
cada iteração. Observa-se que:

70 = 1

70 + 71 = 8

70 + 71 + 72 = 57

70 + 71 + 72 + 73 = 400



54 Fractais Circulares

...

70 + 71 + 72 + 73 + · · ·+ 7n = Tn.

Assim, a soma total de círculos gerados, sendo n+1 termos de uma progressão geométrica,
é representada por:

Tn = a1(qn+1 − 1)
q − 1

Tn = 1(7n+1 − 1)
7− 1

Tn = 7n+1 − 1
6 .

Analisando na Tabela (3.3) o número de círculos e o comprimento de cada círculo em
cada nível, temos a relação:

1 · 2πr = 2πr

7 · 2π
(
r

3

)
= 14π

(
r

3

)
72 · 2π

(
r

32

)
= 98π

(
r

9

)
73 · 2π

(
r

33

)
= 686π

(
r

27

)
.

Deste modo, fazendo as iterações sucessivamente, temos a relação entre o nível n e o
comprimento de todos os círculos gerados :

Cn = 7n · 2π
(
r

3n

)

Cn = 2πr
(7

3

)n

.

Proposição 3.1.3.1. O comprimento do Fractal Antena Circular é infinito.

Demonstração. O comprimento de todos os círculos gerados no Fractal Antena Circular,
é dado por:

Cn = lim
n−→∞

2πr ·
(7

3

)n

Cn = 2πr · lim
n−→∞

(7
3

)n

=∞.



Fractais Circulares 55

Proposição 3.1.3.2. A área do Fractal Antena Circular é nula.

Demonstração. A área unitária de todos os círculos gerados do Fractal Antena Circular
é dada por:

An = lim
n−→∞

π ·
(
r

3n

)2

An = lim
n−→∞

πr2 ·
(1

3

)n

An = πr2 · lim
n−→∞

(1
3

)n

= 0.

Dessa forma, temos que, a cada nível, a quantidade de círculos aumentam em um
fator 7, e a medida dos seus raios reduzem em um fator 1

3 . Assim, a dimensão fractal do
Fractal Antena Circular é dada por:

D = − log n
log r

D = − log 7
log 1

3

D = log 7
log 3

D = 1, 7171 · · ·



56 Fractais Circulares

3.1.4 Fractal Peneira de Apolônio

A peneira apolínea, na geometria, é um fractal gerado por conjuntos de círculos mu-
tuamente tangentes densamente compactados em um circunscrito. O nome deve-se ao
geômetra Apolônio de Perga, grande matemático grego que escreveu um tratado sobre
cônicas, e é atribuída a ele a invenção sobre o relógio solar, além dos nomes elipse, hipér-
bole e parábola. Apolônio propôs o seguinte problema: encontrar um círculo tangente a
três outros círculos. Ele descobriu que existem dois círculos que não se interceptam e são
tangentes ao círculos originais, então chamados de apolônicos.

A peneira de Apolônio é construída usando-se um procedimento geométrico recursivo
que começa com três círculos C1, C2, C3, cada um dos quais é mutuamente tangente aos
outros dois. Na construção geral, os três círculos podem ter qualquer raio, podendo ter
seus três pontos de tangência em qualquer caso. Existem dois outros círculos C4 e C5, que
têm a propriedade de serem tangentes aos três círculos iniciais. Esses dois círculos são
chamados de círculos de Apolônio. Se adicionarmos esses dois círculos aos três iniciais, a
construção geométrica agora terá cinco círculos: C1, C2, C3, C4 e C5.

A construção inicia-se por um círculo de medida de raio r qualquer, em seguida,
traçamos um novo círculo de medida de raio qualquer. No entanto, para a nossa finalidade,
o segundo círculo será traçado de forma que o seu centro fique na metade do raio do
círculo maior. Façamos, agora, outro círculo, ao lado do primeiro círculo menor. Esse
novo círculo deverá ser tangente tanto ao círculo maior, quanto ao círculo interno menor,
o que significa que os dois círculos internos deverão se tocar no centro do círculo maior,
ou seja, no ponto médio do seu diâmetro .

Figura 3.16: Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 1

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Em geometria, o teorema do círculo de Descartes[14] estabelece a relação entre quatro
círculos tangentes entre si por meio de sua curvatura. Agora que temos três círculos na
circunferência de Apolônio, podemos utilizar o teorema para o raio do próximo círculo.

O teorema é mais fácil de definir em termos da curvatura dos círculos. A curvatura
de um círculo é definida como k = ±1

r
, onde r é o raio. Quanto maior o círculo, menor

sua curvatura e vice-versa. O sinal (+) na curvatura se aplica a um círculo tangente ao
exterior dos outros círculos. Uma curvatura negativa indica que os outros círculos são
tangentes internamente ao círculo, ou seja, é um círculo que os contém.



Fractais Circulares 57

Se dois dos círculos geradores que compõem os três iniciais tiverem o mesmo raio, e
o terceiro, dois terços dos outros dois como seu raio, temos que, nesse caso, a peneira
possui duas linhas de simetria reflexiva, em que uma linha une os centros dos dois círculos
de raio igual; a outra é a linha que passa por suas duas tangências mútuas, uma linha
que também passa pelo centro do terceiro círculo. Sendo assim, esses dois eixos têm a
propriedade de serem perpendiculares entre si.

Denotamos as variáveis k1 , k2 , k3 que representam as curvaturas dos três círculos
tangentes e k4, que representa a curvatura do círculo tangente aos outros três. Portanto,
para chegar ao valor do raio do próximo círculo, vamos primeiro encontrar a curvatura
de cada um dos círculos traçados até agora, para, depois, encontrarmos a curvatura do
próximo círculo e, finalmente, converter esse valor no seu raio. A tentar encontrar o raio
do quarto círculo tangente aos outros três círculos, a equação é reescrita como:

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2
√
k1 · k2 + k1 · k3 + k2 · k3. (3.1)

Consideremos que o raio do círculo maior é igual a 1, como os outros círculos estão
dentro dele, iremos calcular a sua curvatura interna e, consequentemente, sabemos que o
valor da sua curvatura será negativo, isto é, k = −1

r
= −1

1 = −1. Assim, a curvatura do
círculo maior é igual a k1 = −1.

O raio dos dois círculos internos menores é igual à metade do raio do círculo maior,
isto é, 1

2 . Como esses círculos tocam um ao outro e ao círculo maior, iremos calcular a
curvatura externa. Portanto, o valor da curvatura será positivo, e a curvatura dos dois
círculos menores é igual a k2 = k3 = 2.

Observe que, na circunferência de Apolônio, todos os círculos devem ser tangentes
uns aos outros. Agora que temos três círculos na circunferência de Apolônio, podemos
utilizar o teorema de Descartes para determinar o raio do próximo círculo. Sendo o valor
das curvaturas dos círculos encontrados −1, 2, 2, substituindo na equação, temos:

k4 = k1 + k2 + k3 ± 2
√
k1 · k2 + k1 · k3 + k2 · k3

k4 = −1 + 2 + 2 +±
√
−1 · 2 +−1 · 2 + 2 · 2

k4 = 3.

Figura 3.17: Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 2

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

A curvatura do quarto círculo é igual 3, assim, a medida do seu raio 1
3 . Usando o

valor do raio determinado no passo anterior para traçarmos os próximos dois círculos,
observa-se que, eles deverão ser tangentes ao círculo maior e aos dois círculos internos.
Para que esses dois novos círculos toquem todos os outros círculos, precisarão estar nos
espaços vazios que ficaram na parte superior e inferior do círculo maior.



58 Fractais Circulares

Para calcular o próximo círculo da sua circunferência de Apolônio, substitua os valores
das curvaturas dos três círculos que o novo tangenciará no teorema de Descartes. A
próxima iteração é dada pelas curvaturas dos círculos anteriores, os valores calculados
pela Equação (3.1), sendo −1, 2, 3. Analogamente, substituindo na fórmula de Descartes,
temos que:

k6 = k1 + k2 + k4 ± 2
√
k1 · k2 + k1 · k4 + k2 · k4

k6 = −1 + 2 + 3± 2
√
−1 · 2 +−1 · 3 + 2 · 3

k6 = 4± 2⇒ k6 = 6 e k5 = 2.

Figura 3.18: Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 3

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

O novo círculo será menor que os círculos que os tangenciam, apenas a curvatura terá
valor 6 e, portanto, o raio terá a de medida 1

6 . Tomemos um dos círculos apolônicos, por
exemplo C5 conforme a Figura (3.17). Sabemos que C5 é tangente a C1 e C2 e logo, este
trio tem dois círculos apolônícos. Sabemos que um deles é o círculo C3 , mas o outro é um
novo círculo, denotado por C6. Agora, podemos construir um novo círculo C7 tomando o
trio C1 , C3 e C5 e outro C8 tomando o trio C1, C2 e C4. Deste modo, teremos três novos
círculos totalizando nove círculos de Apolônio, em que, pela simetria, os quatro novos
círculos serão denotados por C6, C7, C8 e C9.

Nos próximos círculos da circunferência de Apolônio, serão substituídos as curvaturas
−1, 3, 6, valores calculados na Equação (3.1), aplicando-se a fórmula de Descartes, temos:

k10 = k1 + k5 + k6 ± 2
√
k1 · k5 + k1 · k6 + k5 · k6

k10 = −1 + 3 + 6± 2
√
−1 · 3 +−1 · 6 + 3 · 6

k10 = 8± 6⇒ k10 = 2 e k10 = 14.

Da mesma forma, temos pela simetria os quatro novos círculos, totalizando treze
círculos e denotados por C10, C11, C12 e C13 de medida de raio 1

14 .
Por serem fractais, as circunferências de Apolônio possuem complexidade infinita, isto

é, são círculos cada vez menores, em que, não importa o quão pequenos sejam, deverão
ser tangentes aos outros três.



Fractais Circulares 59

Figura 3.19: Etapas da Construção da Peneira de Apolônio Nível 4

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Analogamente, os próximos círculos da circunferência de Apolônio, em que substituindo-
se as curvaturas −1, 2, 18, valores calculados na Equação (3.1) e aplicando-se a fórmula
de Descartes, temos:

k27 = k1 + k2 + k18 ± 2
√
k1 · k2 + k1 · k18 + k2 · k18

k27 = −1 + 2 + 18± 2
√
−1 · 2 +−1 · 18 + 2 · 18

k27 = 19± 8⇒ k27 = 27.

Ao resolver o problema de Apolônio para encontrar a circunferência repetidamente ins-
crita, os interstícios entre as circunferências mutuamente tangentes podem ser preenchidos
tão finamente quanto desejado.

No limite ao infinito, faz com que esse conjunto de circunferências obtido seja chamado
Fractal Peneira de Apolônio, em que existe uma dimensão topológica desconhecida, em-
bora seja assumida estar no intervalo: 1, 300197 < D < 1, 314534, em que alguns cálculos
aproximam o valor de 1, 3.

Figura 3.20: Fractal Peneira de Apolônio

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)



60 Fractais Circulares

3.1.5 Fractal Flor da Vida
“Olhar pela janela da Flor da Vida nos desafia a unificar nossa mente,
coração e espírito. Quando podemos realmente ver toda a vida tecida

tão intimamente fortalecemos a compreensão do divino em nossas vidas
e podemos transformar nosso mundo através da visão da unidade universal.”

Drunvalo Melchizedek

No presente trabalho abordaremos a transversalidade da flor da vida, embora que
não seja um fractal, por apresentar determinados padrões, convencionou-se a chamar de
fractal. Ao longo desse capítulo, foram utilizados as referências [2] e [8].

A “flor da vida” é o nome dado a uma figura geométrica composta de vários círculos
sobrepostos e uniformemente espaçados, dispostos de modo que formam um padrão de
uma flor. O centro de cada círculo é a circunferência de seis outros círculos em torno do
mesmo, figura essa que recebe o nome de “semente da vida”.

A Semente da Vida é formada por sete círculos organizados com simetria ao redor
de um círculo central, formando um padrão de círculos. Em seu processo iterativo de
formação, cada círculo da semente da vida é atribuído a um dia da criação do mundo,
também conhecido como os 7 dias da Criação. No segundo passo da iteração, ocorre a
criação do símbolo da Vesica Piscis, na terceira iteração a criação do tripé da Vida.

Figura 3.21: A Semente da Vida

A Vesica Piscis também dá origem à Flor da Vida, trata-se da geometria do espaço em
si,responsável pela autossimilaridade em todas as escalas e dimensões, presente no DNA
e nas células de todos os seres. Ao completar os 7 círculos, a Semente da Vida é revelada,
a forma primordial da Criação. A expansão da Semente da Vida com a continuação das
rotações ou círculos resulta na forma da Flor da Vida e, a partir daí, de todos os outros
padrões existentes.

Figura 3.22: O Padrão da Gênese da Flor da Vida

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)



Fractais Circulares 61

A Vesica Piscis é uma forma geométrica resultante da interseção de dois círculos de
mesma proporção, em que a borda de cada círculo passa pelo centro do outro. Sendo
assim, forma o primeiro passo na construção de uma triângulo equilátero, o hexágono e o
pentágono, além de embutir os projetos para todas as espirais que existem na natureza.

Para construirmos uma Vesica Piscis em um plano, consideremos um ponto A e um
círculo de raio R com centro neste ponto. Escolhendo um ponto B da circunferência deste
círculo, traçamos outro círculo de mesmo raio R. Com esta construção, formando uma
região de sobreposição dos dois círculos, denotada como a Vesica Piscis.

Proposição 3.1.5.1. A área da Vesica Piscis construída a partir de dois círculos de
raio R é dada por :

A =

(
4π − 3

√
3
)

6 ·R2.

Figura 3.23: Área do Segmento Circular na Vesica Piscis

Fonte: Autoria própria.(Utilizando o Geogebra)

Demonstração. Sejam os pontos A e B os centros dos círculos utilizados na construção de
uma Vesica Piscis, e sejam C e D os pontos de interseção dos círculos, e raio dos círculos
de medida R, então os segmentos AC, AB, BC, AD e BD são congruentes e assim, os
triângulos ABC e ABD são equiláteros, de medida de lado R, sendo os quatros segmentos
circulares congruentes, representado pelos segmentos AC, BC, AD, BD.

Seja o triângulo equilátero ABC de lado R e o segmento circular definido por BC
formam um setor circular ABC com ângulo central  = 60◦. No triângulo equilátero
ABC temos a sua área e a área do setor circular dadas por:

Atri.equi =
√

3
4 ·R

2 Asetor = π

6 ·R
2

Sendo assim, temos que a área do segmento circular definido por BC é a diferença das
áreas

Aseg.circ =
(
π

6 −
√

3
4

)
·R2.



62 Fractais Circulares

Somando as áreas do dois triângulos equiláteros ABC e ABD e dos quatro segmentos
circulares, obtemos a área da Vesica Piscis, dada por:

Avesica = 2
√

3
4 ·R2 + 4R2 ·

(
π

6 −
√

3
4

)

Avesica =

(
4π − 3

√
3
)

6 ·R2.

Proposição 3.1.5.2. O comprimento da Vesica Piscis Cvesica é dado por:

Cvesica = 4πR
3 .

Demonstração. Analogamente, temos a construção da Vesica como na Proposição 3.1.5.1,
de círculos de raio R, formando dois arcos circulares ĈAD e ĈBD de mesmo comprimento
e ângulo central 120◦.

Figura 3.24: Comprimento da Vesica Piscis

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

O comprimento de uma circunferência de medida de raio R é dado por P = 2πR. O
perímetro de um arco circular formado por um ângulo central de 120◦ é dado por:

Carco.circ = 2πR
3 .

Sendo assim, o comprimento da região limitada pela Vesica Piscis, Pvesica é dado por:

Cvesica = 4πR
3 .



Fractais Circulares 63

Flor da Vida

Uma das formas geométricas mais interessantes, mais antigas e que, atualmente, é
muito utilizada como transmissão de ensinamentos de certos movimentos espiritualistas é
a chamada Flor da Vida. Este é o nome moderno dado a uma figura geométrica composta
de dezenove círculos de igual raio, sobrepostos de maneira padronizada, e trinta e seis
arcos circulares, que formam um conjunto de forma hexagonal, circunscritos por uma
circunferência maior, formando uma estrutura semelhante à uma flor composta, em seu
núcleo, por seis pétalas simétricas.

Um dos maiores gênios da humanidade, o renascentista italiano Leonardo da Vinci,
realizou estudos a respeito da Flor da Vida e de suas propriedades matemáticas. Através
da Flor da Vida, Leonardo desenhou, de próprio punho, diversos de seus componentes
geométricos, como é o caso dos cinco sólidos platônicos e da Semente da Vida.

Acrescentando seis círculos à estrutura básica da Semente da Vida, temos a forma
mais elementar da Flor da Vida. Esta, por sua vez, pode ser convertida no Ovo da Vida,
um símbolo composto por sete círculos tomados do desenho da Flor. O formato do Ovo da
Vida é semelhante ao formato do embrião nas primeiras horas de sua criação. Por sua vez,
o Ovo da Vida é o fundamento para a formação de diversas outras figuras geométricas. A
estrutura bidimensional de sobreposição de sessenta e um círculos interseccionados da Flor
da Vida, que seria equivalente a quatro iterações ao redor do círculo central, é possível
gerar as estruturas dos cincos Sólidos Platônicos, que juntos compõem a base geométrica
de todas as formas de elementos atômicos da Tabela Periódica.

Figura 3.25: Os Sólidos Platônicos gerados na Flor da Vida

Figura 3.26: Etapas construção Flor da Vida

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

A construção da Flor da Vida é baseada em traçarmos um círculo de medida R de
raio qualquer, marquemos um ponto sobre a circunferência e, nele, traçamos um novo
círculo, de mesma medida R de raio, que passe pelo centro do círculo anterior. A partir
das intersecções, marquemos os dois pontos que intersectam os dois círculos. Novamente,
em cada ponto, traçamos dois novos círculos de medida R de raio e que passem pelo centro
do círculo gerador. Repetindo o processo, temos os sete círculos que compõem a semente
da vida.



64 Fractais Circulares

Figura 3.27: Etapas construção Flor da Vida

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Analogamente, fazendo as iterações sucessivamente, temos o então chamado Fractal
Flor da Vida.

Figura 3.28: Fractal Flor da Vida

Fonte: Autoria própria.(Utilizando o Geogebra)

Retirando da estrutura da flor da vida somente uma circunferência central e outras
seis a sua volta, teremos uma forma geométrica semelhante a uma flor, inscrita na circun-
ferência central. Nesta forma geométrica, as pétalas são as regiões mais escuras formadas
por seis arcos de circunferências congruentes.

Proposição 3.1.5.3. Uma pétala na Flor da Vida tem sua área dada por:

Apétala =
(
2π − 3

√
3
)
· R

2

6 .



Fractais Circulares 65

Figura 3.29: Área das pétalas

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)

Demonstração. Sejam os pontos B, C, D, E, F, G vértices do hexágono inscrito em uma
circunferência de raio R, e o ponto A, centro desta circunferência, os segmentos AB, AC
e BC formam o triângulo equilátero ABC de lado R. Os dois arcos circulares congruentes
delimitados pelo segmento secante AC formam uma pétala. A área de uma pétala é o
dobro da área de um segmento circular definido por um triângulo equilátero, cujos lados
são iguais ao raio R, e possui um dos vértices no centro da circunferência.

Apétala =
(
π

6 −
√

3
4

)
· 2R2

Apétala =
(
2π − 3

√
3
)
· R

2

6 .

Proposição 3.1.5.4. Uma pétala na Flor da Vida tem comprimento dado por:

Ppétala = 2πR
3 .

Demonstração. O comprimento de uma pétala é o dobro do comprimento de um arco
circular de raio R de ângulo central medindo 60◦, isto é,

Ppétala = 2πR
3 .



66 Fractais Circulares

Números Poligonais no Fractal Flor da Vida
Números figurados ou números poligonais são números que podem ser modelados por

meio de arranjos de pontos equidistantes, representando figuras geométricas regulares,
com certas configurações geométricas. Os percursores foram os pitagóricos, em meados
de 600 a.C, na Grécia, e tinham como marca a investigação intensiva dos números. Para
eles, eram considerados “os princípios do mundo”, representando um elo de ligação entre
a geometria e a aritmética.

Os números figurados podem ser classificados como números lineares, planos e sólidos.
Os números lineares são os que se apresentam em uma só dimensão. Os números planos são
os que podem representar figuras geométricas em duas dimensões: triângulos, quadrados,
pentágonos, hexágonos, etc. Os números sólidos são os que podem representar figuras
geométricas em três dimensões.

Por convenção, o número 1 é o primeiro número poligonal, independente do número de
lados, sendo que, para aumentar um polígono, ao próximo tamanho é acrescentada uma
fileira de pontos a partir das extremidades de dois lados adjacentes e, então, completar os
outros lados, de modo a manter a forma do mesmo polígono. Em especial, pela disposição
dos números, estudaremos os números triangulares e hexagonais na flor da vida.

Números Triangulares
Um número triangular é um número natural que pode ser representado na forma de

um triângulo equilátero. A sequência de números triangulares, começando pelo 0-ésimo
termo até o 20-ésimo termo, é dada por:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210.

Os números triangulares podem ser obtidos por arranjos de pontos formando os lados
dos triângulos. Notavelmente, a série de números triangulares é gerada pela Flor da Vida.

Figura 3.30: Números Triangulares no Fractal Flor da Vida

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)



Fractais Circulares 67

Proposição 3.1.5.5. A soma de dois números naturais consecutivos é um número
triangular.

Demonstração. Em geral, o n-ésimo número triangular é dado por:

Tn = 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ (n− 1) + n = n(n+ 1)
2 =

n∑
t=1

t. (3.2)

Para termos essa igualdadade válida, iremos demonstrar pelo princípio de indução
matemática. Seja P (n) a proposição associada a Equação (3.2), a base de indução P (1)
é trivial, isto é,

T1 = 1 = 1(1 + 1)
2 = 1 · 2

2 = 2
2 = 1.

Na hipótese de indução, suponhamos P (k) seja válida para um certo n = k−1, k ≥ 1,
k ∈ N.

Tk−1 = 1 + 2 + · · ·+ (k − 1) = (k − 1)k
2 =

k−1∑
t=1

t.

Devemos mostrar a validade P (k − 1) implica P (k),
De fato,

Tk = 1 + 2 + · · ·+ (k − 1) + k = (k − 1)k
2︸ ︷︷ ︸

H.I

+k

Tk = k2 + k

2 = k(k + 1)
2

Tk = Tk−1 + k =
k−1∑
t=1

t+ k =
k∑

t=1
t.

Os números triangulares possuem uma infinidade de relações com os números figura-
dos, como é o caso do matemático, já citado no trabalho, Wacław Franciszek Sierpiński,
que propôs a pergunta da existência de quatro números triangulares em progressão ge-
ométrica. Apenas em 2007, a conjectura foi provada pelos matemáticos Jin-Hui Fang e
Yong-Gao Chen.

O número triangular Tn resolve o problema do aperto de mão, que pergunta o número
de apertos de mão em uma sala com n+ 1 pessoas, sendo que cada pessoa cumprimenta
outra apenas uma vez.



68 Fractais Circulares

Números Hexagonais
O número hexagonal é um número poligonal, ou seja, natural que pode ser representado

na forma de um hexágono. A sequência de números hexagonais, começando pelo 0 -ésimo
termo até o 20 -ésimo termo é dada por:

1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780.

Todos os números hexagonais são um número triangular, mas nem todo número tri-
angular é um número hexagonal, apenas os números triangulares de ordem ímpar como
é o caso do 1◦, 3◦, 5◦, 7◦. Ou seja, os números 1, 6, 15, 28, entre outros, são também
hexagonais.

Como acontece com os números triangulares, a raiz númerica em base 10 de um número
hexagonal só pode ser 1, 3, 6, ou 9, sendo raiz numérica a soma sucessiva dos algarismos,
até que reste apenas um algarismo, como por exemplo:

A raiz numérica do número hexagonal 15◦, sendo ele o número 435, é da seguinte
forma:

435→ 4 + 3 + 5 = 12→ 1 + 2 = 3,

portanto 3 é a raiz numérica de 435.
Os números hexagonais podem ser obtidos por arranjos de pontos, partindo-se de um

dos vértices. Os pontos são alocados nos próprios vértices e distribuídos, formandos os
lados dos hexágonos. Notavelmente, a série de números hexagonais é gerada pela Flor da
Vida.

Figura 3.31: Números Hexagonais no Fractal Flor da Vida

Fonte: Autoria própria. (Utilizando o Geogebra)



Fractais Circulares 69

Observamos a sequência de números hexagonais da seguinte forma:

H(1) = 1

H(2) = H(1) + 5 = 1 + 5 = 6

H(3) = H(2) + 9 = 1 + 5 + 9 = 15

H(4) = H(3) + 13 = 1 + 5 + 9 + 13 = 28
...

H(n) = H(n− 1) + (4n− 3).

E, assim, a fórmula iterativa dos números hexagonais,

H(n) = 1 + 5 + 9 + 13 + 17 + · · ·+ (4n− 3).

Proposição 3.1.5.6. Os números hexagonais são “quase triangularizáveis”, isto é,

H(n) = 4T (n− 1) + n. (3.3)

Demonstração. Para termos a igualdade válida, iremos demonstrar pelo princípio de in-
dução matemática. Seja P (n) a proposição associada a Equação (3.3), a base de indução
P (1) é trivial. Tomemos os quatro triângulos T (n− 1) dados, na sua forma iterativa.

H(1) = 4T (1− 1) + 1 = 4T (0) + 1 = 1.

Na hipótese de indução, suponhamos P (k) seja válida para um certo n = k, k ≥ 1, k ∈ N.

H(k) = 4T (k − 1) + k

H(k) = 4[1 + 2 + 3 + · · ·+ (k − 1)] + k

H(k) = 4k(k − 1)
2 + k = 2k2 − k = k(2k − 1).

Devemos demonstrar que, a validade de P (k) implica P (k + 1).
Adicionemos estas k - parcelas, uma a uma, os (k + 1) elementos tem-se que:

H(k + 1) = 4T (k) + (k + 1)

H(k + 1) = 4(1 + 2 + · · ·+ k)︸ ︷︷ ︸
H.I

+(k + 1)

H(k + 1) = 4(k + 1)k
2 + (k + 1)

H(k + 1) = 2k2 + 3k + 1 = (k + 1)(2k + 1).



4 Atividades para o Ensino Médio

4.1 Atividades para o Ensino Médio
O objetivo desse capítulo é relacionar alguns contéudos envolvendo fractais, que podem

ser trabalhados em sala de aula, tanto no ensino fundamental, quanto no ensino médio, e
que pertencem aos PCN (Parâmetros Nacionais Curriculares) correspondentes à área de
Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias.

O uso dos fractais traz consigo um atrativo diferenciado na área de Matemática, des-
perta a curiosidade e a criatividade dos alunos com os “monstros da geometria” por se
relacionar com a arte visual de sua beleza, de forma lúdica, além de aplicações em softwa-
res, fazendo-os participarem das atividades e aprendizagem, a partir dos seus próprios
erros, característica marcante no uso de recursos tecnológicos em sala de aula.

Os três temas estruturantes em acordo com os PCN são: Álgebra: Números e Funções,
Geometria e Medidas e Ánalise de Dados. A partir desses três temas, apresentaremos
algumas atividades para serem aplicadas em sala de aula. Fica a critério do professor se
essa atividade será realizada antes, durante ou depois de apresentar os contéudos teóricos
relacionados ao tema que será trabalhado.

As atividades propostas neste trabalho foram desenvolvidas com alunos do ensino
fundamental de colégios particulares, que estudam no sexto ano e terceiro ano do ensino
médio do Colégio Objetivo, localizado na cidade de Potirendaba - SP e sétimo ano, no
Colégio Criarte, localizado na cidade de São José do Rio Preto - SP.

4.1.1 Atividade Fractal Flor da Vida

Esta a