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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS DE COMPUTAÇÃO E ESTATÍSTICA

ÁLGEBRAS NÃO ASSOCIATIVAS OCTONIÔNICAS

E RELAÇÕES EXTENSIVAS DO TIPO “DE MOIVRE”

Cristiane Aparecida Pendeza

Dissertação de Mestrado
Pós-Graduação em Matemática Aplicada

Rua Cristóvão Colombo, 2265

15054-000 - São José do Rio Preto - SP - Brasil

Telefone: (017) 221-2444

Fax: (017) 221-2445


Álgebras não associativas octoniônicas e relações

extensivas do tipo “De Moivre”

Cristiane Aparecida Pendeza 1

Dissertação apresentada ao Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da

Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José

do Rio Preto, São Paulo, para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em Matemática

Aplicada.

Orientador: Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto

São José do Rio Preto

20 de fevereiro de 2006

1contato: jrc crispen@ibilce.unesp.br

i


“Uma longa jornada se começa com um simples passo.”

Provérbio chinês

ii


A Deus.

À minha famı́lia.

Aos meus amigos.

Dedico

iii


Agradecimentos

Uma dissertação não se faz somente com esforço e conhecimento, mas

também com o apoio e confiança de grandes amigos. Dentre eles quero agradecer:

A Deus, por tudo.

À minha famı́lia que sempre me apoiou.

Em especial ao Prof. Dr. Manoel Ferreira Borges Neto, pela confiança,

amizade, orientação e paciência que sempre foram para mim um incentivo na

elaboração deste trabalho.

À todos meus amigos de curso agradeço, já com sintomas de saudade,

pelo apoio nos momentos dif́ıceis e pelos momentos de descontração e em especial

aos amigos Carol e Ricardo pelo companheirismo nesses dois anos.

À todas as pessoas que, direta ou indiretamente, contribúıram para a ela-

boração deste trabalho, em especial à Gabi, Bárbara e Lucia pelo apoio, paciência

e amizade.

À CAPES pelo apoio financeiro.

iv


Resumo

O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma análise dos octônios,

bem como da álgebra octoniônica 8-dimensional, que, apesar de não associativos,

são descritos para um número de estruturas excepcionais como por exemplo os

grupos de Lie excepcionais e suas respectivas álgebras, favorecendo assim o en-

tendimento das rotações de espaços euclidianos de dimensão inferior. Por essa

razão se tornam fascinantes em aplicações nas diversas áreas da Matemática e

F́ısica. Apresenta-se também uma aplicação dos octônios na analogia da relação

clássica de Moivre, e presentes conexões entre funções octoniônicas transcenden-

tais e operadores diferencias da teoria de Fueter.

Palavras-chave: Octônios, teoria de Fueter, funções hipercomplexas, relação De

Moivre.

v


Abstract

The objective of this work is to present an analysis of the octonions, as

well as the octonionic algebras 8-dimensional. Although they aren’t associative,

they are described by a number of structures, such as the Lie’s exceptional groups

and its respective algebras, which help the understanding of rotations of Euclidian

spaces of lower dimension. Because of that they are fascinating in applications

in several areas of Mathematics and Physics. This work also presents application

of octonions in the analog of The Classical De Moivre Relation and presents

connections between octonionic transcendent functions and differential operators

of Fueter Theory.

Keywords: Octonions, Fueter theory, hipercomplex functions, De Moivre rela-

tion.

vi


Sumário

Introdução 1

1 Introdução à análise octoniônica 3

1.1 Nota histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Tópicos de álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Construindo os octônios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Construção da álgebra octoniônica 20

2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 O problema de Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Construção Cayley-Dickson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Análise do teorema de Hurwitz generalizado . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Octônios relacionados à estruturas excepcionais 38

3.1 Octônios e os grupos de Lie excepcionais . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.1.2 Conceitos de topologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.3 Propriedades topológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.4 Propriedades algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1.5 Unificação da Álgebra e Topologia . . . . . . . . . . . . . . 47

vii


Sumário

3.2 Octônios e as álgebras de Lie excepcionais . . . . . . . . . . . . . 56

3.3 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 Extensão do teorema de Moivre para octônios e operadores de

Fueter 73

4.1 Relação de Moivre generalizada para octônicos . . . . . . . . . . . 74

4.1.1 Conceitos básicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.2 Definição da função exponencial octoniônica . . . . . . . . 79

4.2 Operadores de Fueter e funções octoniônicas transcendentais . . . 86

4.2.1 Funções octoniônicas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2.2 Integração e diferenciação em octônios . . . . . . . . . . . 89

4.3 Aplicação da função exponencial octoniônica à equações de opera-

dores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

4.4 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

Conclusão 114

Referências Bibliográficas 116

viii


Introdução

Trabalhos recentemente exibidos [17], [18], [19] e [20] mostram resultados de uma

teoria quaterniônica que vem se solidificando em várias aplicações na Matemática

e F́ısica. Uma primeira tentativa de generalizar duas pra quatro dimensões foi

graças a Rudolf Fueter que, na década de 1930, definiu conceitos de regularidade

à esquerda e à direita de funções de uma variável quaterniônica, apresentando

análogos quadri-dimensionais das Equações de Cauchy-Riemann. Embora es-

forços, até o presente não se tem uma teoria quadri-dimensional completa, devido

a questões de analiticidade dessas funções.

Em matemática, é imprescind́ıvel a busca por teoria unificadas que per-

mitem estabelecer generalizações. Com a análise octoniônica não foi diferente.

A teoria octoniônica vista como uma extensão quaterniônica, assim como esta,

sofre a carência de uma teoria completa. Os quatérnios foram descobertos pelo

irlandês William Rowan Hamilton. Neste mesmo ano, John T. Graves, um amigo

de Hamilton, descobre uma álgebra de 8 dimensões, os octônios, os quais não sa-

tisfaziam a propriedade da associatividade. Sem muitos avanços, somente foram

redescobertos em 1845 por Arthur Cayley. Por essa razão são mais conhecidos

como números de Cayley. Surgia assim uma nova álgebra abandonando os pos-

tulados de comutatividade e associatividade para multiplicação. Essa álgebra

generaliza o conceito dos quatérnios não possuindo a estrutura de um corpo, nem

de anel e nem de grupo, mas sim de quasi grupos e será denotada por O.

Este trabalho busca criar uma aproximação em oito dimensões da teoria

quaterniônica (ver Oliveira [21]) através da generalização da relação clássica de

1


Introdução

Moivre para octônios.

No primeiro caṕıtulo desta dissertação temos por objetivo apresentar a

origem dos octônios ressaltando tópicos algébricos, designados bases, que per-

mitem ao leitor um bom entendimento do texto, familiarizando-se assim, com a

teoria octoniônica.

O segundo caṕıtulo é dedicado a uma análise da construção da álgebra de

divisão normada dos octônios com o intuito de solidificar essa teoria. Começaremos

por analisar o problema considerado primeiramente por Hurwitz em se obter

formas quadráticas o que é equivalente a se obter todas as álgebras de divisão

posśıveis sobre o corpo R.

No terceiro caṕıtulo apresentaremos os octônios relacionados à estruturas

excepcionais. Dentre elas destacamos os grupos de Lie excepcionais e as álgebras

não associativas excepcionais: Lie e Jordan. A teoria dos grupos desempenha um

papel de extrema importância nas relações f́ısicas no estudo sobre simetrias. Os

grupos de Lie excepcionais, relatados para os octônios, são representados como

grupos de transformações lineares num espaço 8-dimensional. Relacionados a

estes grupos temos as álgebras de Lie excepcionais, formadas pelas álgebras de

Hurwitz e as álgebras excepcionais de Jordan. Os resultados serão apresenta-

dos brevemente, em virtude de certos conceitos estarem além do propósito deste

trabalho.

No último caṕıtulo desta dissertação mostraremos que a relação de Moi-

vre clássica bi-dimensional pode ser reescrita sob uma generalização octoniônica,

definimos assim a função exponencial octoniônica generalizada. Uma analogia à

teoria das funções regulares de Fueter, definimos funções octoniônicas regulares

estabelecidas sob condições de integrabilidade e diferenciabilidade, bem como ope-

radores octoniônicos. Uma aplicação desses operadores a exponencial octoniônica

nos fornecem equações de operadores, permitindo estabelecer uma conexão entre

esses operadores da teoria de Fueter generalizados e funções octoniônicas trans-

cendentais.

2


Caṕıtulo 1

Introdução à análise octoniônica

Este caṕıtulo tem por objetivo apresentar os octônios como estruturas algébricas,

vistas como uma extensão não associativa dos quatérnios. Na primeira parte fa-

zemos uma breve introdução histórica, na qual toma-se como apoio as referências

[1] e [2]. A segunda parte refere-se a conceitos algébricos preliminares, através,

sobretudo de consultas às referências [3], [4] e [5]. Na seqüência apresenta-se

a construção dos octônios como uma álgebra de divisão normada 8-dimensional

mostrada na terceira parte deste caṕıtulo.

1.1 Nota histórica

O processo que levou à introdução de um ponto de vista verdadeiramente abstrato

em álgebra teve ińıcio em 1815, quando vários matemáticos da Universidade de

Cambridge fundaram a Analytical Society, uma sociedade que tinha por finalidade

reformar o ensino do cálculo, adotando as notações em uso no continente. Porém,

sua contribuição fundamental foi repensar e discutir os fundamentos da álgebra.

Foi no peŕıodo de intensa atividade na direção de uma crescente abs-

tração, que um notável matemático irlandês, Sir William Rowan Hamilton

(1805-1865), deu a fundamentação definitiva dos números complexos como pares

ordenados de números reais.

3


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Sua reformulação da teoria dos números complexos parte de uma ob-

servação muito simples; ele nota que a expressão a + bi não denota uma soma

genúına do mesmo tipo que 2 + 3 e afirma que o uso do sinal + é um acidente

histórico e, certamente, bi não pode ser adicionado a a. Assim, percebe que es-

crever um número complexo na forma a + bi não é mais do que o par ordenado

de números reais (a,b). A partir desta observação, Hamilton desenvolve a teoria

formalmente, definindo soma e produto de pares da forma que hoje nos é familiar:

(a,b) + (c,d) = (a+b,c+d)

(a,b)(c,d) = (ac - bd,ad+bc)

Hamilton adota um ponto de vista formal. Ele era também um f́ısico e

percebia claramente as implicações de sua descoberto: ele tinha desenvolvido uma

álgebra que permitia trabalhar com os vetores do plano. Isto o levou a considerar

um problema que seria fundamental para a f́ısica da época: desenvolver uma

álgebra de ternas que daria a linguagem para trabalhar com vetores do espaço.

Trabalhou durante dez anos neste problema antes de descobrir onde es-

tava a dificuldade essencial. Uma carta a seu filho Archibald, de Outubro de

1843, revela sua obsessão com a questão:

Toda manhã, quando descia para o café, teu irmão William Edwin e

você mesmo costumavam perguntar-me “Bem, pai, você já pode mul-

tiplicar ternas?” A isso eu sempre me via obrigado a responder, com

um triste balanço de cabeça, “Não, eu posso somá-las e subtráı-las”.

Para compreender como poderia ser feita esta multiplicação, Hamilton

escrevia suas ternas na forma a + bi + cj, por semelhança ao que era feito com

os complexos e tentava desenvolver o produto (a+bi+cj)(x+yi+zj) e representá-

lo como um elemento da mesma forma. Esperava ainda que o comprimento do

produto de vetores fosse igual ao produto dos comprimentos,i.e., que a2+b2+c2 =

x2 + y2 + z2 fato que chamou lei dos módulos.

Para desenvolver o produto, assumiu naturalmente que i2 = j2 = −1

mas a dificuldade estava em determinar qual devia ser o valor dos produtos ij

4


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

e ji. Foi a tentativa de preservar a lei dos cossenos que lhe impôs finalmente a

necessidade de trabalhar com uma dimensão a mais.

Numa carta a seu filho, Hamilton descreve como foi a descoberta final:

Mas no dia 16 de outubro de 1843 - que era uma segunda-feira e

reunião do Conselho da Real Sociedade da Irlanda - eu ia andando

para participar e presidir, e tua mãe andava comigo, ao longo do

Royal Canal,. . . , embora ela falasse comigo ocasionalmente, uma cor-

rente subjacente de pensamento estava acontecendo na minha mente,

que finalmente teve um resultado, cuja importância senti imediata-

mente. Pareceu como se um circuito elétrico tivesse se fechado; e

saltou uma fáısca, o heraldo de muitos anos vindouros de pensamento

trabalho dirigidos, por mim, se poupando, e de qualquer forma por

parte de outros, se eu vivesse o suficiente pa comunicar minha desco-

berta. Nesse instante eu peguei uma libreta de anotações que ainda

existe e fiz um registro naquela hora. Não pude resistir ao impulso -

tão não filósofo quanto possa ser - de gravar com um canivete numa

pedra da ponte Brougham, quando a cruzamos, a fórmula fundamental

dos śımbolos i, j, k,

i2 = j2 = k2 = ijk = −1

que contém a solução do Problema.

Com a multiplicação definida dessa forma, o conjunto dos quatérnios

constitui o primeiro exemplo de anel não comutativo, com divisão. Hamilton

reconheceu imediatamente a importância de sua descoberta, especialmente pelas

suas implicações para o desenvolvimento da f́ısica.

No dia seguinte, em 17 de outubro de 1843, Hamilton escreveu a seu

amigo John T. Graves comunicando-lhe seus resultados. A semente de novos

desenvolvimentos tinha sido plantada: em dezembro desse mesmo ano, Graves

descobriu uma álgebra de dimensão 8, os octônios. Havia, porém, uma notável

diferença: em julho de 1844 Hamilton lhe observou que a propriedade associativa

5


1.2. TÓPICOS DE ÁLGEBRA

valia claramente para os quatérnios mas não valia para os octônios. Escreve para

Graves apontando que octônios são não-associativos: “A.BC = AB.C, se A,B,C

serem quatérnios, mas não octônios”.

Em 26 de dezembro, Graves escreveu para Hamilton dizendo ter desco-

berto uma nova álgebra 8-dimensional, mostrando que formam uma álgebra de

divisão normada, e usou para expressar o produto de duas soma de oito quadrados

perfeitos é igual a outra soma de oito quadrados perfeitos.

Este sistema foi redescoberto independentemente em 1845 por Arthur

Cayley (1821-1895) e por essa razão os octônios são conhecidos também como

Números de Cayley. Estava assim aberto o caminho para novas generalizações.

1.2 Tópicos de álgebra

Definição 1.1. (Álgebra) Consideremos uma álgebra A sobre o corpo dos reais

como um espaço vetorial equipado com um mapeamento bilinear B : A×A −→ A

chamado “multiplicação” e o elemento “unidade” denotado por 1 tal que 1 ∈ A
e B(1, x) = B(x, 1) = x. Como é usual abreviaremos por B(x, y) = xy.

Definição 1.2. (Grupo) Um conjunto G com uma operação

G×G −→ G

(x, y) 7−→ x · y

é um grupo se as condições seguintes são satisfeitas:

i) A operação é associativa, isto é,

x · (y · z) = (x · y) · z, ∀x, y, z ∈ G.

ii) Existe um elemento neutro, isto é,

e ∈ G tal que e · x = x · e = x,∀x ∈ G

iii) Todo elemento possui um elemento inverso, isto é,

∀x ∈ G, ∃y ∈ G tal que x · y = y · x = e

6


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Observação 1.2.1. 1) O elemento neutro é único. De fato, se e,e’ ∈ G, então

e = e · e′ pois e′ é elemento neutro

= e′ pois e é elemento neutro

2) O elemento inverso é único. De fato, seja x ∈ G, e sejam então y,y’ ∈ G
dois elementos inversos de a, temos:

y = y · e = y · (x · y′) pois y′ é inverso de x

= (y · x) · y′ = e · y′ = y′ pois y é inverso de x

Denotaremos o único inverso de x por x−1.

3) Da unicidade do inverso de um elemento x ∈ G, obtém-se o fato mais geral

seguinte:

Se x, x, y ∈ G, então a equação x ·x = y tem a única solução em G, a saber

y · x−1.

De fato, se z é uma solução de x · x = y, então temos z · x = by, logo

z · x · x−1 = y · x−1. Por outro lado, y · x−1 é claramente uma solução.

Se maneira similar, obtém-se que a equação x·x = y tem uma única solução

em G, a saber y · x−1.

4) Em de decorrência do terceiro item de (1.2.1), para mostrar que um ele-

mento f ∈ G é igual ao elemento neutro do grupo, basta mostrar que que

f · x = x para algum elemento a ∈ G.

5) (x · y)−1 = y−1 · x−1

Prova

Seja multiplicação

(x · y) · y−1 · x−1 = x · (y · y−1)x−1 = x · e · x−1 = e⇒ (x · y)−1 = y−1 · x−1

Nota: 1. Muitas vezes deixaremos de indicar a operação do grupo, escrevemos

G para denotar (G, ·). Também quando não existir ambigüidade, escrevemos xy

no lugar de x · y.

7


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Definição 1.3. (Grupo Abeliano) Um grupo é abeliano ou comutativo se:

- A operação é comutativa, isto é,

x · y = y · x, ∀x, y ∈ G

Exemplo 1.2.1. O grupo aditivo dos inteiros (Z,+) é um grupo abeliano infinito.

Isso decorre de que para a adição usual em Z vale:

x+ (y + z) = (x+ y) + z;x+ 0 = 0 + x = x;

x+ (−x) = (−x) + x = 0;x+ y = y + x.

Exemplo 1.2.2. (Q,+), (R,+),(C,+) são grupos (aditivos) abelianos.

Exemplo 1.2.3. O grupo multiplicativo dos racionais (Q∗, ·) também é um grupo

abeliano infinito.

Exemplo 1.2.4. O grupo G = {1,−1} é um grupo em relação à multiplicação

usual. É um grupo abeliano finito de ordem 2.

Definição 1.4. (Subgrupo) Seja G, · um grupo. Um subconjunto não-vazio H

de G é um subgrupo de G (denotamos H < G) quando, com a operação de G, o

conjunto H é um grupo, isto é, quando as condições seguintes são satisfeitas:

0) h1 · h2 ∈ H, ∀ h1 · h2 ∈ H.

i) h1 · (h2 · h3) = (h1 · h2) · h3, ∀ h1, h2, h3 ∈ H.

ii) ∃ eH ∈ H tal que eH · h = h · eH = h, ∀ h ∈ H.

iii) Para cada h ∈ H, existe k ∈ H tal que h · k = k · h = eH .

Observação 1.2.2. 1) A condição i) é sempre satisfeita, pois a igualdade

g1 · (g2 · g3) = (g1 · g2) · g3 é válida para todos os elementos de G.

2) o elemento neutro eH de H é necessariamente igual ao elemento neutro e

de G. De fato, tomando a ∈ H ⊆ G, temos eH · a = a; multiplicando os

dois lados por a−1 à direita, obtemos eH = e.

8


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

3) Dado h ∈ H, o inverso de h em H é necessariamente igual ao inverso de h

em G. De fato, se k é o inverso de h em H, então h · k = k · h = eH , logo

h · k = k · h = e pois eH = e, e portanto k é o inverso de h em G.

Exemplo 1.2.5. Se G é um grupo, então {e} e G são subgrupos de G.

Exemplo 1.2.6. Seja (2Z,+) G é um subgrupo de (Z,+). De maneira mais

geral, se n é um inteiro qualquer, (nZ,+) é um subgrupo de (Z,+).

Definição 1.5. (Quasegrupo) Seja um conjunto Q e uma operação binária

* : Q × Q −→ Q ∀ a,b ∈ Q, ∃ únicos elementos a,b ∈ Q de modo que

a ∗ x = b e y ∗ a = b.

As únicas soluções destas equações são x = a \ b and y = b / a, onde as operações

\ e / são chamadas divisão à direita e à esquerda.

Exemplo 1.2.7. Os inteiros Z com operação de subtração formam um quase-

grupo.

Exemplo 1.2.8. Todo grupo é um quasegrupo, porque a * x = b ⇐⇒ x = a−1 ∗b,
e y * a = b ⇐⇒ y = b ∗ a−1.

Definição 1.6. (Loop) Um loop é um quasegrupo com elemento identidade. Cada

elemento de um quasegrupo tem um único inverso à direita e à esquerda.

Definição 1.7. (Moufang Loop) Um Moufang loop L é um quasegrupo (L,*)

satisfazendo

(a ∗ b) ∗ (c ∗ a) = (a ∗ (b ∗ c)) ∗ a ∀ a, b, c ∈ L.

Definição 1.8. (Anel) Um anel ou anel comutativo (A,+, .) é uma conjunto

A com pelo menos dois elementos, munidos de uma operação denotada por +

(chamada adição) e de outra operação denotada por · (chamada multiplicação)

que satisfazem as condições seguintes:

9


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

A.1) A adição é associativa, isto é,

∀ x, y, z ∈ A, (x+ y) + z = x+ (y + z)

A.2) Existe um elemento neutro com respeito à adição, isto é,

∃ 0 ∈ A tal que,∀ x ∈ A, 0 + x = x e x+ 0 = x.

A.3) Todo elemento de A possui um inverso com respeito à adição, isto é,

∀ x ∈ A, ∃z ∈ A tal que x+ z = 0 e z + x = 0.

A.4) A adição é comutativa, isto é,

∃x, y ∈ A, x+ y = y + x.

M.1) A multiplicação é associativa, isto é,

∀x, y ∈ A, (x · y) · z = x · (y · z).

M.2) Existe um elemento neutro com respeito à multiplicação, isto é,

∃ 1 ∈ A tal que,∀ x ∈ A, 1 · x = x e x · 1 = x.

M.3) A multiplicação é comutativa, isto é,

∀ x, y ∈ A, x · y = y · x.

AM) A adição é distributiva relativamente à multiplicação, isto é,

∀x, y, z ∈ A, x · (y + z) = x · y + x · z.

Se todas as condições são satisfeitas com exceção de M.3), então (A,+,·)
é chamado de anel não-comutativo.

Exemplo 1.2.9. (Z,+, ·), (Q,+, ·), (R,+, ·), (C,+, ·) são anéis comutativos com

unidades.

Exemplo 1.2.10. Mn×n(R) = {(aij) : aij ∈ N, i, j = 1, . . . , n} é anel não

comutativo com unidades In (matriz identidade de ordem n).

Exemplo 1.2.11. Seja Mn×n(R) o conjunto das matrizes n × n com entradas

em R, sejam + a adição usual de matrizes e · a multiplicação usual de matrizes.

Então, Mn×n(R,+, ·) é um anel não-comutativo se n ≥ 2.

10


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Definição 1.9. (Subanel) Seja (A,+, .) um anel. Um subconjunto L ⊂ A,L 6=
∅, é um subanel de A, se e somente se, cumpre o seguinte:

1) o subconjunto L é fechado para ambas as operações de A, isto é,

(∀x, y)(x, y ∈ L −→ x+ by ∈ L e xy ∈ L)

2) (L,+, ·) também é um anel.

Definição 1.10. (Anel com divisão) Um anel (A,+, .) é um anel com di-

visão ( ou quase corpo) se (A− {0}, ·) é um grupo.

No caso de anel com divisão, temos 1 ∈ A, e ∀x ∈ A, x 6= A,∃y ∈
A, tal que x · y = y · x = 1. O elemento y é inverso de x e é denotado por x−1.

Exemplo 1.2.12. (Anel dos Quatérnios) Veremos agora um exemplo de anel

não comutativo com unidade.

Seja R4 = {(a, b, c, d)\a, b, c, d ∈ R}, onde

(a, b, c, d) = (a′, b′, c′, d′)⇐⇒ a = a′, b = b′, c = c′, d = d′.

O anel (R4,+, ·) pode ser identificado com o anel (H,+, ·), ou seja, anel

dos Quatérnios não comutativo com a unidade.

Definamos as operações de soma e produto em R4 como

(a, b, c, d) + (a′, b′, c′, d′) = (a+ a′, b+ b′, c+ c′, d+ d′),

(a, b, c, d).(a′, b′, c′, d′) = (aa′ − bb′ − cc′ − dd′, ab′ + ba′ + cd′ − c′d,

ac′ + a′c+ db′ − d′b, ad′ + da′ + bc′ − b′c).

com zero do anel como (0,0,0,0) e unidade (1,0,0,0). Faremos algumas identi-

ficações:

1 ←→ (1, 0, 0, 0)

i ←→ (0, 1, 0, 0)

j ←→ (0, 0, 1, 0)

k ←→ (0, 0, 0, 1) (1.1)

assim,a+bi+cj+dk e identificamos assim uma base para R4.

11


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Observação 1.2.3. Podemos verificar que a multiplicação entre dois elementos

quaisquer i, j, k desta base, não é comutativa. Como por exemplo i · j 6= j · i.
Para isto analisemos a seguinte definição:

Definição 1.11. (Produto vetorial) Seja uma base ortonormal positiva (i, j, k) ∈
R3. Sendo dois vetores (u = x1, y1, z1), (v = x2, y2, z2) relativos a esta base, tem-

se

u× v =











i j k

x1 y1 z1

x2 y2 z2











Através da definição 1.9 verificamos que i · j 6= j · i. Então,

i× j =











i j k

1 0 0

0 1 0











= k e j× i =











i j k

0 1 0

1 0 0











= -k

Logo as posśıveis produtos vetoriais entre os elementos desta base é {i × j =

k, j×k = i,k×i = j, j×i = -k,k×j = -i, i×k = -j}. Informações complementares

sobre quatérnios podem ser encontradas em [21].

Definição 1.12. (Corpo) Um anel (A,+, .) é chamado corpo se todo elemento

não nulo de A possui um inverso com respeito à multiplicação, isto é,

∀x ∈ A\{0}, ∃y ∈ A talque x · y = 1

Exemplo 1.2.13. Os anéis (2Q,+, ·), (2C,+, ·), (2R,+, ·) são corpos.

Exemplo 1.2.14. O anel (Z,+, ·) não é um corpo, pois existe um simétrico

multiplicativo para qualquer inteiro diferente de 1 e -1.

Definição 1.13. (Álgebra de divisão) Seja A uma álgebra de dimensão finita.

Dizemos que A é uma álgebra de divisão se a operação de “multiplicação” pela di-

reita e pela esquerda por algum elemento não-nulo da álgebra é inverśıvel. Dados

x, y ∈ A de modo que xy = 0, temos

12


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

x · y · y−1 = 0 então x=0

x−1 · x · y = 0 então y=0

As álgebras de divisão admitem também uma operação de anti-evolução, tal que

(x∗)∗ = x, (xy)∗ = y∗x∗

A operação de conjugação corresponde à transposição na representação

matricial.

Definição 1.14. (Álgebra de divisão Normada) Seja A é uma álgebra de

divisão. Dizemos que A é uma álgebra de divisão normada se existe uma forma

quadrática Q positivo-definida

Q : A −→ R+

x−→ Q(x) = x∗x, ∀x, y ∈ A

Q (xy) = Q(x)Q(y).

Toda álgebra de divisão normada é uma álgebra de divisão de modo que

as condições de álgebra de divisão seguem para as condições de norma. Suponha

xy = 0 para quaisquer x, y ∈ A. Então Q(xy) = Q(x)Q(y) = 0. Desde que

campos são domı́nios inteiros, isto implica Q(x) = 0 ou Q(y) = 0 o que implica

que x = 0 ou y = 0.

Definição 1.15. (Álgebra associativa) Uma álgebra sobre um corpo F é um

par consistindo de uma anel (A,+, ·, 0, 1) e um espaço vetorial A sobre F de modo

que o conjunto subjacente A, a adição e o elemento neutro são os mesmos no anel

e espaço vetorial, e

a(xy) = (ax)y = x(ay) ∀a ∈ F, x, y ∈ A (1.2)

Denotamos a álgebra pela letra A para designar o conjunto subjacente A.

Exemplo 1.2.15. Sejam R,C e H exemplos de álgebras associativas. Estaremos

fazendo a verificação da demonstração no caṕıtulo 2.

13


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Definição 1.16. (Álgebra alternativa) Uma álgebra A é alternativa se a subálgebra

gerada por qualquer par de elementos da álgebra é associativo. Então sejam

x, y ∈ A, temos:

x(xy) = x2y, (xy)y = xy2

então a álgebra A é alternativa.

Observação 1.2.4. Mais detalhes sobre a definição (1.16) se encontram em [4]

e estaremos discutindo no caṕıtulo 2.

Definição 1.17. (Homomorfismo(homo=igual; morphos=forma) Sejam

(A,+, ·) e (B,⊕,⊗) dois anéis. Uma aplicação f : A −→ B é um homomorfismo

se ela é compat́ıvel com as estruturas de anéis, isto é, se

i) f(x+y) = f(x) ⊕ f(y), ∀ x, y ∈ A.

ii) f(x.y) = f(x) ⊙ f(y), ∀ x, y ∈ A.

i) f(1A) = 1A.

Exemplo 1.2.16. Id: (A, +, ·)−→(A, +, ·), definido por Id(a)=a, ∀ a ∈A, é

um homomorfismo chamado identidade.

Definição 1.18. (Isomorfismo(iso=igual/mesma; morphos=forma) Um

homomorfismo de anéis f : A −→ B é um isomorfismo se ele é injetivo e sobre-

jetivo.

Definição 1.19. (Automorfismo(auto=si mesmo/próprio; morphos=forma )

Seja G um grupo. Uma aplicação f : G −→ G é um isomorfismo, então f é dito

ser um automorfismo.

Definição 1.20. (Função injetiva) Seja f: X −→ Y uma função. Dizemos

que f é injetiva quando:

∀x1, x2 ∈ X, f(x1) = f(x2) =⇒ x1 = x2.

Definição 1.21. (Função sobrejetiva) Dizemos que f é sobrejetiva quando:

∀ y ∈ Y,∃ x ∈ X tal que f(x) = y ou seja Imf = Y.

14


1.3. CONSTRUINDO OS OCTÔNIOS

1.3 Construindo os octônios

Os octônios são uma uma extensão não-associativa dos quatérnios. Eles formam

uma álgebra de divisão normada 8-dimensional sobre R.

A álgebra de Cayley, também chamada de oitavas ou álgebra dos

octônios é denotada por O, sendo uma álgebra de divisão alternativa de di-

mensão 8.

Define-se o conjunto dos octônios O como

O = {(a, b, c, d, e, f, g, h)/a, b, c, d, e, f, h ∈ R},

onde

(a, b, c, d, e, f, g, h) = (a′, b′, c′, d′, e′, f ′, g′, h′)⇐⇒ a = a′, b = b′, c = c′, d = d′ ,

e = e′, f = f ′, g = g′, h = h′ ,

no qual as operações de adição e multiplicação são definidas por:

( a, b, c, d, e, f, g, h) + (a′, b′, c′, d′, e′, f ′, g′, h′)

= ( a+ a′, b+ b′, c+ c′, d+ d′, e+ e′, f + f ′, g + g′, h+ h′) (1.3)

e

(a, b, c, d, e, f, g, h).(a′, b′, c′, d′, e′, f ′, g′, h′)

= (aa′ − bb′ − cc′ − dd′ − ee′ − ff ′ − gg′ − hh′,

ab′ + ba′ + cd′ − dc′ − ef ′ + fe′ − gh′ + hg′,

ac′ − bd′ + ca′ + db′ − eg′ + fh′ + ge′ − hf ′,

ad′ + bc′ − cb′ + da′ − eh′ − fg′ + gf ′ + he′,

ae′ + bf ′ + cg′ + dh′ + ea′ − fb′ − gc′ − hd′,

af ′ − be′ − ch′ + dg′ + eb′ + fa′ − gd′ + hc′,

ag′ + bh′ − ce′ − df ′ + ec′ + fd′ + ga′ − hb′,

ah′ − bg′ + cf ′ − de′ + ed′ − fc′ + gb′ + ha′). (1.4)

15


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Vemos que os números octoniônicos (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) e (1, 0, 0, 0, 0, 0,

0, 0) são os respectivos elemento neutro da adição e a unidade da multiplicação,

existindo ainda o inverso aditivo e multiplicativo para cada elemento não-nulo

em O.

Logo o anel dos octônios representado por (O,+, ·), não é um corpo pois

não satisfaz a propriedade comutativa da multiplicação, pois de acordo com (1.4)

(0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0).(0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) 6= (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)(0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

Conseqüentemente, dizemos que (O, +, ·) é um anel com divisão ou um

corpo não comutativo. O anel dos octônios não é um grupo por não satisfazer o

item 1 em (1.2). Os octônios formam um Moufang Loop (1.7).

Fazendo as identificações:

1←→ (1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0) l←→ (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)

i ←→ (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0) li←→ (0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0)

j←→ (0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0) lj←→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)

k←→ (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0) lk←→ (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1) (1.5)

temos um número octoniônico o = (a, b, c, d, e, f, g, h) com a,b,c,d,e,f,g,h ∈ R,

pode ser representado na forma

o = (a, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)(1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

+(0, b, 0, 0, 0, 0, 0, 0)(0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)

+(0, 0, c, 0, 0, 0, 0, 0)(0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0)

+(0, 0, 0, d, 0, 0, 0, 0)(0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0)

+(0, 0, 0, 0, e, 0, 0, 0)(0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0)

16


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

+(0, 0, 0, 0, 0, f, 0, 0)(0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0)

+(0, 0, 0, 0, 0, 0, g, 0)(0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0)

+(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, h)(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1), (1.6)

na qual a é chamada de parte escalar positiva do octônio o e r = bi + cj + dk +

el + f li + glj + hlk a sua parte vetorial. Assim O pode ser representado com a

soma direta

O = R⊕ V (1.7)

onde R é o corpo dos reais e V é um espaço euclidiano.

Definimos as unidades octoniônicas 1, i, j, k, l, li, lj, lk, como uma res-

pectiva base ortonormal da álgebra 8-dimensional. Tomando esta base e utili-

zando em (1.4) obtemos a seguinte tábua de multiplicação:

∗ 1 i j k l li lj lk

1 1 i j k l li lj lk

i i −1 k −j −li l −lk lj

j j −k −1 i −lj lk l −li
k k j −i −1 −lk −lj li l

l l li lj lk −1 −i −j −k
li li −l −lk lj i −1 −k j

lj lj lk −l −li j k −1 −i
lk lk −lj li −l k −j i −1

(1.8)

Uma maneira conveniente para lembrar a multiplicação dos octônios é

dado por um diagrama chamado Plano Fano:

17


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Figura 1.1: Plano Fano

Observe que as linhas são orientadas neste diagrama. Os pontos cor-

respondem aos elementos da base dos octônios. As setas indicam os sinais dos

resultados da multiplicação de cada elemento da base.

Nota: 2. O nome do diagrama é devido aos axiomas de Gino Fano (1892), um

italiano que definiu as primeiras fundamentações à geometria projetiva:

Axioma 1: Existem uma reta e um ponto que não são incidentes.

Axioma 2: Toda reta é incidente com pelo menos três pontos distintos.

Axioma 3: Dois pontos distintos são incidentes com exatamente uma reta.

Definição 1.22. (Octônio conjugado) Definimos o octônio conjugado ō de um

octônio o = (a, b, c, d, e, f, g, h) = a+bi+cj+dk+el+f li+glj+hlk como sendo o

número ō = (a,−b,−c,−d,−e,−f,−g,−h) = (a−bi−cj−dk−el−f li−glj−hlk).

Definição 1.23. (Norma) A norma ‖o‖ de um octônio o = a+bi+cj+dk+el+

f li + glj + hlk é um número real ‖o‖ =
√

a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f 2 + g2 + h2.

Note que esta é a norma euclidiana em R8

A existência de uma norma sobre O implica a existência de um inverso

para todo elemento não nulo de O.

18


Caṕıtulo 1.Introdução à análise octoniônica

Definição 1.24. (Inverso de um octônio) O inverso de um número octônio

é dado por

o−1 =
ō

‖o‖2

Isto satisfaz oo−1 = o−1o = 1.

Sejam algumas propriedades dos octônios que estaremos utilizando mais

adiante.

Propriedade 1.1. Dados dois números octônios o1 e o2, temos que:

o1o2 = ō2ō1.

Propriedade 1.2. Dado um número octônio o1, temos que:

ō1o1 = o1ō1 = |o1|2.

1.4 Conclusão

Como pode-se analisar, os octônios são uma generalização dos números reais,

complexos e quatérnios, com posśıveis e vastas aplicações à F́ısica e à geometria.

Sua relevância à geometria era obscura em 1925, até Élie Cartan descrever a

“triality” - a simetria entre vetores e spinors e um espaço euclidiano 8-dimensional

[6]. Sua relevância à F́ısica foi noticiado em 1934 por Jordan, von Neumann e

Wigner sobre fundamentações da mecânica quântica [7]. Em [8] nota-se que

em 1980 observou-se que octônios explicam algumas caracteŕısticas da teoria de

Cordas. Além disso os octônios são relatados para um número de estruturas

excepcionais, entre elas os grupos de Lie excepcionais. Além disso, como mostrado

em [9] sobre emaranhados quânticos, pode-se traçar paralelos à essas construções

com álgebras octoniônicas que são não associativas.

19


Caṕıtulo 2

Construção da álgebra

octoniônica

Este caṕıtulo têm por objetivo apontar a construção das álgebras de divisão

normadas octoniônicas. Para isso, tomamos como referências [4] e [10]. Na pri-

meira parte deste caṕıtulo apontamos algumas preliminares como a base para

esta construção. Na segunda parte analisamos o Problema de Hurwitz para soma

dos quadrados. Dessa forma descrevemos o processo Cayley-Dickson chegando a

construção da álgebra octoniônica. Boa parte das demonstrações são apresenta-

das em detalhes.

2.1 Preliminares

Um caminho para se criar uma nova forma matemática sob uma teoria exis-

tente, especialmente apresentada numa forma axiomática, é generalizar a teoria

“enfraquecendo” algumas de suas hipóteses. Usando este caminho no conceito

de álgebras associativas (1.15), somos conduzidos ao conceito de álgebras não-

associativas. Interessantes classes das álgebras não associativas chamam à atenção

dos algebristas devido à suas aplicações a outros campos.

Definição 2.1. (Álgebra não associativas) Uma álgebra A é chamada não

associativa se a lei associativa para multiplicação (1.2) não é considerada para

20


Caṕıtulo 2.Construção da álgebra octoniônica

x, y ∈ A.

Exemplo 2.1.1. Podemos citar dois exemplos de álgebras não-associativas: Lie

e Jordan que serão analisadas no caṕıtulo 3.

Definição 2.2. (Comutador) O comutador é um mapeamento bilinear na álgebra

[. . . , . . .] : A2 −→ A

(x, y) −→ [x, y] = xy − yx

Definição 2.3. (Associador) Seja o associador um mapeamento trilinear na

álgebra

[. . . , . . . , . . .] : A3 −→ A

(x, y, z) −→ [x, y, z] = (xy)z − x(yz)

Observação 2.1.1. Assim como o comutador mede a falha da comutatividade o

associador mede a falha da associatividade.

Definição 2.4. (Forma Bilinear) Seja o corpo R e um espaço vetorial A de

dimensão não-nula sobre R. Definimos uma forma bilinear B sobre V como um

mapeamento B(x, y) : A×A −→ R de modo que, para x, x’,y, y’ ∈ A e a ∈ R, o

mapeamento
yR : x→ B(x, y) ou xL : y → B(x, y)

é uma função linear sobre A. Nestas condições segue-se que:

1) B(x+x’,y)=B(x,y)+B(x’,y),

2) B(x,y+y’)=B(x,y)+B(x,y’),

3) B(ax,y)=aB(x,y),

4) B(x,ay)=aB(x,y).

Definição 2.5. (Forma Bilinear não-degenerativa) Seja uma forma bili-

near B(x,y) simétrica, ou seja, B(x,y)=B(y,x) ∀ x, y ∈ A. A forma bilinear

simétrica é chamada não-degenerativa se , para B(a,x)=0, segue que a = 0.

21


2.2. O PROBLEMA DE HURWITZ

Nota: 3. A geometria euclidiana vista analiticamente é o estudo do espaço ve-

torial n-dimensional sobre R relativa a uma forma bilinear simétrica que serve

para definir o comprimento de um vetor e cosseno do ângulo entre dois vetores.

Tomando V = Rn podemos tomar uma forma bilinear como

x · y =
n
∑

1

xiyi

para x = (x1, . . . , xn),y = (y1, . . . , yn). Então x · x =
∑

x2
i = |x|2, o quadrado

do comprimento de x,e se θ é o ângulo entre dois vetores x e y, então cos =

(x.y)/|x|.|y|. O produto escalar de x e y, é bilinear no sentido que

(x+ x′)y = x.y + x′.y

x(y + y′) = x.y + x.y′

a(xy)y = a(xy) = x(ay)

para os vetores x, x’, y, y’ e o número real a, e o produto escalar é simétrico e

positivo definido (x · x > 0, se x 6= 0).

Podemos considerar extensões da geometria euclidiana obtida em tro-

cando Rn = A, um espaço vetorial de dimensão finita sobre R e o produto es-

calar por alguma forma bilinear B(x,y) não-degenerativa. Podemos chamar essa

forma bilinear B(x,y) uma métrica sobre A. A geometria obtida tomando B(x,y)

simétrica é chamada geometria ortogonal e que a associada com a forma alterna-

tiva é chamada geometria simpléctica.

2.2 O problema de Hurwitz

Consideremos o problema de Adolf Hurwitz em 1898.“Para quais valores de n

existem identidades da forma
(

n
∑

1

x2
i

)(

n
∑

1

y2
i

)

=
n
∑

1

z2
i (2.1)

onde os zi são da forma

22


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

zi =

(

n
∑

j,k=1

)

aijkxjyk, (2.2)

aijk são números complexos?”

Para n = 1 é trivial:
(

1
∑

1

x2
i

)(

1
∑

1

y2
i

)

=
n
∑

1

z2
i =⇒ x2

1y
2
1 = (x1y1)

2

Para n = 2 é trivial:

(

2
∑

1

x2
i

)(

2
∑

i

y2
i

)

=
2
∑

1

z2
i ⇒ (x2

1 + x2
2) · (y2

1 + y2
2) = z2

1 + z2
2 ⇒

(x1y1)
2 + (x1y2)

2 + (x2y1)
2 + (x2y2)

2 = (x1y1 − x2y2)
2 + (x1y2 + x2y1)

2 = z2
1 + z2

1

Para n = 4 :

(

4
∑

1

x2
i

)(

4
∑

1

y2
i

)

=
4
∑

1

z2
i ⇒ (x2

1+x
2
2+x

2
3+x

2
4)·(y2

1+y
2
2+y

2
3+y

2
4) = z2

1+z
2
2+z

2
3+z

2
4 ⇒

(x2
1y

2
1 +x2

2y
2
2 +x2

3y
2
3 +x2

4y
2
4) +(x2

1y
2
2 +x2

2y
2
1 +x2

3y
2
4 +x2

4y
2
3) +(x2

1y
2
3 +x2

2y
2
4 +x2

3y
2
1 +x2

4y
2
2)

+(x2
1y

2
4+x

2
2y

2
3+x

2
3y

2
2+x

2
4y

2
1) = (x1y1 − x2y2−x3y3−x4y4)

2+(x1y2+x2y1+x3y4 − x4y3)
2

+(x1y3 − x2y4 + x3y1 + x4y2)
2 + (x1y4 + x2y3 − x3y2 + x4y

2
1) = (z1 + z2 + z3 + z4)

2.

Para n = 8 :

(x2
1 + x2

2 + x2
3 + x2

4 + x2
5 + x2

6 + x2
7 + x2

8)· (y2
1 + y2

2 + y2
3 + y2

4 + y2
5 + y2

6 + y2
7 + y8)

= z2
1 + z2

2 + z2
3 + z2

4 + z2
5 + z2

6 + z2
7 + z2

8 ⇒

= (x1y1 − x2y2 − x3y3 − x4y4 − x5y1 − x6y2 − x7y3 − x8y4)
2

+(x1y2 + x2y1 + x3y4 − x4y3 − x5y2 + x6y1 − x7y4 + x8y3)
2

+(x1y3 − x2y4 + x3y1 + x4y2 − x5y3 + x6y4 − x7y1 − x8y2)
2

+(x1y4 + x2y3 − x3y2 + x4y1 − x5y4 − x6y3 + x7y2 + x8y1)
2

+(x1y5 + x2y6 + x3y7 + x4y8 + x5y5 − x6y6 − x7y7 − x8y8)
2

23


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

+(x1y6 − x2y5 − x3y8 + x4y7 + x5y6 + x6y5 − x7y8 + x8y7)
2

+(x1y7 + x2y8 − x3y5 − x4y6 + x5y7 + x6y8 + x7y5 − x8y6)
2

+(x1y8 − x2y7 + x3y6 − x4y5 + x5y8 − x6y7 + x7y6 + x8y5)
2

= (z1 + z2 + z3 + z4 + z5 + z6 + z7 + z8)
2.

Hurwitz propôs e resolveu este problema usando um número de tentativas abor-

dadas para encontrar outras e as identificou para n = 1, 2, 4, 8.

Não se sabe quem primeiro descobriu a identidade antecedente à n = 2,

soma de dois quadrados. Exemplos de identidades para a soma com n = 4

foi conhecido por Euler e Lagrange, concordando para L. E. Dickson. A soma

da identidade com n = 4 jogam a importante regra para prova do teorema de

Lagrange. Para n = 8 foi encontrado por C. F. Degen em 1822.

Em 1843 Hamilton construiu uma álgebra de divisão 4-dimensional para

a soma de quatro quadrados. Em 1845 Cayley construiu uma álgebra de divisão

dando a identidade par a soma de oito quadrados. Uma álgebra análoga foi cons-

trúıda por Graves em 1844. Hamilton notou que a existência da identidade (2.1)

é equivalente à existência de uma álgebra de divisão de uma forma definida com

dimensão n sobre R. Neste caso podemos definir em Rn a seguinte multiplicação:

se x = (x1, . . . xn), y = (y1, . . . yn) e z = (z1, . . . zn) então x · y = z, onde zi são

funções de xi e yi determinadas pela identidade (2.1) em termos dos números

complexos fixados aijk. Desde que para tal álgebra (2.1) pode ser escrito como

|x||y| = |x · y|. (2.3)

Definimos em (2.3) z = xy como uma composição bilinear, obtendo uma álgebra

não-associativa. Também denotamos
∑

x2
i como Q(x) e temos

Q(x)Q(y) = Q(xy) ∀ x, y ∈ A. (2.4)

Em conexão com o problema de Hurwitz surge a seguinte questão: O

que acontece se no lugar das somas de quadrados considerarmos alguma forma

quadrática não-degenerativa sobre o espaço, e em que esta influencia sobre o

problema de Hurwitz?

24


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

O problema então se reduz à descrição de uma certa classe de álgebras:

as Álgebras de Composição.

Definição 2.6. (Álgebras de Composição) Álgebras de Composição (A,Q) é

um par consistindo de uma álgebra não-associativa A com uma unidade e uma

forma quadrática não-degenerativa Q sobre A de modo que Q(xy) = Q(x)Q(y) ∀x, y ∈
A.

As álgebras de composição são uma natural generalização das álgebras

dos números complexos, quatérnios e octônios e jogam uma importante regra na

teoria das álgebras alternativas e de Jordan. Temos por objetivo verificar, a partir

das considerações de (2.6), que A é uma álgebra de composição.

Ao definir-se uma operação numa álgebra A, convém que esta satisfaça

algumas propriedades. Uma propriedade se referindo às condições de regularidade

é dada como:

Definição 2.7. (Regularidade) Um elemento a ∈ A é regular para uma operação

∗ se satisfizer as seguintes condições:

x ∗ a = y ∗ a, com x, y ∈ A⇒ x = y(a é regular à esquerda). e

a ∗ x = a ∗ y, com x, y ∈ A⇒ x = y(a é regular à direita)

Seja A uma álgebra não associativa. Podemos mostrar que modificando

o produto em A, assumimos que tem uma unidade. Por hipótese, escolhermos o

elemento v ∈ A de modo que Q(v) 6= 0 e escrevemos u = Q(v)−1v2 = 1. Então

Q(u) = 1, temos Q(xu) = Q(x) = Q(ux) ∀x.
Portanto, chamemos uR e uL as multiplicações à direita e à esquerda em

relação à u, e temos que são transformações ortogonais de A em relação à Q.

Assim estas são inverśıveis e seus inversos também são ortogonais.

Definimos então um novo produto x ∗ y em A por

x ∗ y = (u−1
R x)(u−1

L y)

e temos
Q(x ∗ y) = Q(u−1

R x) ∗Q(u−1
L y) = Q(x) ∗Q(y).

25


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

Agora definimos uma unidade para nossa foram quadrática Q em relação a mul-

tiplicação ∗. Sendo

u−1
L u2 = u−1

L (uLu) = u ⇒ u2

uL
=
uLu

uL
= u e

u−1
R u2 = u−1

R (uRu) = u ⇒ u2

uR
=
uRu

uR
= u,

então

u2 ∗ x = (u−1
R u2)(u−1

L x) = u(u−1
L x) = x

x ∗ u2 = (u−1
R x)(u−1

L u2) = (u−1
R )u = x

Portanto u2 é uma unidade relativa à multiplicação ∗. Podemos então,

reverter a notação original xy por x∗y e assumimos que a álgebra A tem unidade,

denotada por 1. O próximo passo é verificar que A contém uma forma quadrática

Q(xy) = Q(x)Q(y) ∀x, y ∈ A. Para isto faremos algumas considerações.

Definição 2.8. (Forma Quadrática) Uma forma quadrática Q é um mapea-

mento Q : A −→ R em uma base R de modo que

i) Q(ax) = a2Q(x), a ∈ F, x ∈ A.
ii) B(x, y) = Q(x+ y)−Q(x)−Q(y)

é bilinear, isto é, (x, y) −→ B(x, y) é uma forma bilinear simétrica.

Definição 2.9. (Involução) Seja j : x −→ x̄ uma função linear definida como

uma involução em A. Introduzimos map j = −S1, onde S1 é a simetria no

hiperplano ortogonal a 1,

j : x −→ B(x, 1)− x,

abreviando x̄ = j(x), T (x) = B(x, 1).

Nota: 4. A definição (2.7) é equivalente à definição (2.9).

Então temos

Q(x̄) = Q(x), ¯̄x = x (2.5)

e podemos enunciar o seguinte lema:

26


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

Lema 2.1. Sejam as seguintes propriedades

x̄x = Q(x) = xx̄ (2.6)

x̄(xy) = (x̄x)y = Q(x)y (2.7)

(yx)x̄ = y(xx̄) = Q(x)y (2.8)

xy = ȳx̄. (2.9)

A demonstração do Lema (2.1) será omitida e pode ser encontrada, para uma

análise mais completa, em [4].

Da definição de x̄, temos x + x̄ = T (x). Além disso, (2.8) e (2.9) resultam nas

relações do associador

[x̄, x, y] = 0 = [y, x, x̄].

Desde que [1, x, y] = 0 = [y, x, 1] e x = T (x)− x̄, estas relações implicam em

[x, x, y] = 0 = [y, x, x]. (2.10)

Portanto A é uma álgebra alternativa no sentido de que a identidade (2.10) é

válida ∀ x, y ∈ A.

Temos agora mostrado que se (A,Q) é uma álgebra de composição, então A é

alternativa com involução j : x −→ x̄ de modo que x̄x = Q(x). Podemos em

(2.10) assumir a seguinte identidade para álgebras alternativas:

Definição 2.10. (Identidade de Moufang) Seja A uma álgebra alternativa.

Então definimos a identidade

(ux)(yu) = u(xy)u,

[y(xy)]u = y[x(yu)],

u[y(xy)] = [(uy)x]y.

como sendo as identidades de R.Moufang ∀ x, y, u ∈ A.

27


2.3. CONSTRUÇÃO CAYLEY-DICKSON

Agora supondo A é a álgebra alternativa com 1 e involução j :−→ x̄ de modo

que x̄x = Q(x) onde Q(x) é uma forma não-degenerativa. Então por linearização

temos

x̄y + ȳx = Q(x, y). (2.11)

Em (2.11) trocamos y = 1 e obtemos x + x̄ = T (x) onde T (x) = Q(x, 1). Então

de (2.11) e x+ x̄ = T (x), temos x̄(xy) = (x̄x)y = Q(x)y. Agora se fizermos

Q(xy) = (x̄y)(xy) = (ȳx̄)(xy) = [(T (y)− y)x̄](xy)

= (T (y)x̄− yx̄)(xy) = T (y)x̄(xy)− (yx̄)(xy)

= Q(x)T (y)y − y(x̄x)y

= Q(x)[T (y)− y]y = Q(x)(ȳy)

= Q(x)Q(y).

Logo seja (A,Q) uma álgebra de composição onde Q(xy) = Q(x)Q(y). Para isto

conclúımos que

Teorema 2.1. Alguma álgebra alternativa (A,Q) é alternativa e tem a involução

j : x −→ x̄ de modo x̄x = Q(x). Reciprocamente, seja A a álgebra alternativa

com unidade e a involução j : x −→ x̄ de modo que x̄x = Q(x), onde Q(x) é uma

forma quadrática não-degenerativa. Então (A,Q) é uma álgebra de composição.

Nossa próxima seção tem por objetivo construir todas álgebras de com-

posição. Esta constitui uma generalização da construção dos números complexos

como pares de reais.

2.3 Construção Cayley-Dickson

O processo Cayley-Dickson permite construir uma nova álgebra com involução

que contenha A como subálgebra. Se a dimensão da álgebra A é igual a m, então

a dimensão da nova álgebra é igual a 2m.

28


Caṕıtulo 2.Construção da álgebra octoniônica

Tomando os resultados obtidos do final da seção 2.2, A é uma álgebra de

composição não-associativa com unidade 1 e involução j, que contém uma forma

quadrática Q(x) não-degenerativa. Então, de (2.11) e x+ x̄ = T (x), consideremos

um elemento não-nulo c da base de R. Considerando A, j e c podemos construir

então uma nova álgebra D satisfazendo as mesmas condições que A e tendo

dimensão 2 dimA. Seja D = A2, o espaço vetorial do par (x, y), x, y ∈ A, com a

soma direta usual da estrutura de um espaço vetorial. Introduzindo um produto

binário nessa nova álgebra D pela fórmula,

(u, v)(x, y) = (ux+ cȳv, yu+ vx̄). (2.12)

Temos que (2.12) é bilinear e (1,0) é unidade sobre D. Podemos identifi-

car A como subálgebra de D produzida a partir dos elementos (u, 0) onde u ∈ A.

Portanto temos que a involução j sobre A como mapeamento linear

j : (x, y) −→ (x, y) = (x̄,−y). (2.13)

é a involução sobre a nova álgebra D. Além disso temos

(x, y)(x, y) = (x̄,−y)(x, y) = ((Q(x)− cQ(y)), 0) = (Q(x)− cQ(y)).

O par (x, y) −→ Q(x)−cQ(y) é uma forma quadrática sobre D. A forma

bilinear correspondente ((u, v), (x, y)) −→ B(u, x)− cB(v, y) é não-degenerativa.

Logo D satisfaz as mesmas condições que A como no teorema (2.1) e podemos

chamar D de c− dobro de A.

Para isto sejam as seguintes condições do lema em relação à D :

Lema 2.2. 1) O c− dobro D é comutativa e associativa se e somente se A é

comutativa e associativa e j = 1.

2) D é associativa se e somente se A é comutativa e associativa.

3) D é alternativa se e somente se A é associativa.

29


Caṕıtulo 2.Construção da álgebra octoniônica

Prova

Tomemos X = (x, y), U = (u, v), Z = (z, t) para x, y, u, v, z, t ∈ A. Então usando

o comutador (2.2), o associador (2.3) e usando (2.12) temos

[U,X] = [(u, v), (x, y)] = [(u+ iv), (x+ iy)]

= (u+ vi)(x+ iy)− (x+ iy)(u+ vi)

= (ux+ uyi+ vxi− vy)− (xu+ xvi+ yxi− yv)

= ux+ uyi+ vxi− vy − xu− xvi− yxi+ yv

= ux− vy − xu+ yv + i(uy + vx− xv − yu)

= ([x, u] + c(ȳv − v̄y), y(u− ū+ v(x̄− x)) (2.14)

da mesma forma obtemos

[U,X,Z] = ([u, x, z] + c{t̄(yu)− u(t̄y) + t̄(vx̄)− (x̄t̄)v + (ȳv)z

−(zȳ)v}, t(ux)− (tx)u+ (yu)z̄ − (yz̄)u+ (vx̄)z̄

−v(z̄x̄) + c{t(ȳv)− v(ȳt)}). (2.15)

Como A é uma subálgebra de D, temos que D é comutativa ou associativa, então

A é comutativa ou associativa. De (2.14) com u = 0 = x, v = 1 mostra que

[U,X] = 0 implica que ȳ = y. Reciprocamente em (2.14) A é associativa e co-

mutativa, então D é comutativa (1). Em (2.15) se substituirmos v = x = z = 0

e t = 1 obtemos a condição necessaria yu = uy, y, u ∈ A para a associativi-

dade de D. Logo D associativa temos que A é associativa e comutativa. Assim

provamos que se A é associativa e comutativa, então D é associativa (2). De

(2.10) para alternatividade, D é alternativa se e somente se [X,X,Z] = 0 ∀X,Z
e X + X̄ = T (X). Se considerarmos a relação [X,Y, Z] = (XY )Z −X(Y Z) =

Z(Y X) − (ZY )X = −[Z, Y ,X]. Então temos [Z,X,X] = 0 ∀Z,X. Assumindo

A alternativa. Tomamos U = X = (x̄,−y) em (2.15) e usando o associador,

obtemos

[X,X,Z] = (c[x̄, t̄, y],−[y, z̄, x̄])

30


Caṕıtulo 2.Construção da álgebra octoniônica

o qual mostra que [X,X,Z] = 0 ∀X,Z, se e somente se A é associativa. Com

isto conclúımos que D é alternativa e provamos (3).

Nota: 5. As álgebras que estamos considerando neste lema são álgebras de com-

posição se e somente se são álgebras alternativas. Assim podemos considerar os

exemplos:

1) Tomando A = R, não há restrições quanto à comutatividade e associativi-

dade.

2) Um dobro de A é uma álgebra associativa e comutativa de acordo com o

primeiro item do Lema (2.2) que é bidimensional. Estas álgebras de com-

posição são álgebras quadráticas ou álgebras dos números complexos, uma

extensão de R.

3) Um dobro das álgebras quadráticas é associativo mas não comutativo. São

álgebras 4-dimensional chamadas álgebras quaterniônicas.

4) Um dobro destas álgebras são chamadas álgebras octoniônicas e não são

nem comutativas nem associativas.

Um resultado do processo de construção da nova álgebra a partir da

álgebra A podemos dizer que

Proposição 2.1. A = R(portanto comutativa)⇔ D é comutativa.

Proposição 2.2. A é comutativa e associativa ⇔ D é associativa.

Proposição 2.3. A é associativa e normada ⇔ D é alternativa e normada.

Proposição 2.4. A é normada ⇔ D é normada.

Através da construção Cayley-Dickson obtemos todas as álgebras de com-

posição. Faremos a verificação através da análise do teorema de Hurwitz genera-

lizado na próxima seção.

31


2.4. ANÁLISE DO TEOREMA DE HURWITZ GENERALIZADO

2.4 Análise do teorema de Hurwitz generalizado

O que acontece se no lugar da soma de quadrados, alguma forma quadrática

não-degenerativa sobre o corpo dos R for considerada? Hurwitz em 1898 prova

que a identidade de interesse somente é posśıvel para n = 1, 2, 4, 8. Antes de

analisarmos os resultados de Hurwitz para essas identidade, faremos a seguinte

observação à respeito de cada passo que analisamos para obtermos uma álgebra

de composição:

Proposição 2.5. Seja A uma álgebra de composição definida em (2.6) então:

1) A álgebra A tem uma unidade;

2) A álgebra A contém uma forma Q sobre A de modo que Q(xy) = Q(x)Q(y),∀x, y ∈
A;

3) A forma quadrática Q é não-degenerativa;

4) Essa forma quadrática possui uma forma bilinear B(x, y) não-degenerativa;

5) Em A definimos uma involução j de modo que x̄ = j(x), ∀x ∈ A;

Teorema 2.2. Seja a lista completa de todas álgebras de composição sobre R de

dimensão finita: (I) o corpo R; (II) as álgebras quadráticas; (III) as álgebras

quaterniônicas; (IV ) as álgebras octoniônicas;

Prova: Temos observado, a partir dos resultados analisados, que a álgebra A

considerada é uma álgebra de composição. Então:

(I): Tomando A = R, a unidade 1 esta em A. A álgebra A contém uma forma

quadrática Q de modo que ∀a ∈ R, Q(a) = a2. A forma quadrática Q possui uma

forma bilinear B(a, b) = Q(a + b) − Q(a) − Q(b),∀a, b ∈ R. Essa forma bilinear

é não-degenerativa como definida em (2.5). O corpo R é ordenado e seu próprio

conjugado. Logo uma ∀a ∈ R, ā = j(a) e j pode ser considerado uma involução

em R. Logo dimensão de R = 20 = 1, então em dimensão finita. Portanto R é

uma álgebra de composição. Além disse afirmamos, da definição (1.14), que A é

uma álgebra de divisão normada.

32


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

(II): Se R ⊂ A, A contém uma subálgebra quadrática C que é não-degenerativa.

Se A coincide com esta subálgebra, então ela é quadrática. A unidade 1 esta em C.

A álgebra C contém uma forma quadrática Q de modo que ∀x, y ∈ C, Q(x, y) =

Q(x)Q(y). A forma quadrática Q possui uma forma bilinear B(x, y) = Q(x+y)−
Q(x)−Q(y),∀x, y ∈ C não-degenerativa. O conjugado de x é x̄ e estabelecemos

uma involução j : x −→ x̄ em C. Logo dimensão de C = 21 = 2. Logo C é

uma álgebra de composição. Também afirmamos que A é uma álgebra de divisão

normada.

(III): Se C ⊂ A, A contém uma subálgebra H que é não-degenerativa. Se A

coincide com esta subálgebra, temos então uma álgebra quaterniônica. A uni-

dade 1 esta em H. A álgebra H contém uma forma quadrática Q de modo que

∀x, y ∈ H, Q(x, y) = Q(x)Q(y). A forma quadrática Q possui uma forma bili-

near B(x, y) = Q(x+y)−Q(x)−Q(y),∀x, y ∈ H não-degenerativa. O conjugado

de x é x̄ e estabelecemos uma involução j : x −→ x̄ em H. Logo dimensão de

H = 22 = 4. Logo H é uma álgebra de composição. Também afirmamos que A é

uma álgebra de divisão normada.

(IV): Se H ⊂ A, A contém uma subálgebra O que é não-degenerativa. Se A

coincide com esta subálgebra, temos então uma álgebra octoniônica. A uni-

dade 1 esta em O. A álgebra O contém uma forma quadrática O de modo que

∀x, y ∈ O, Q(x, y) = Q(x)Q(y). A forma quadrática Q possui uma forma bili-

near B(x, y) = Q(x+y)−Q(x)−Q(y),∀x, y ∈ O não-degenerativa. O conjugado

de x é x̄ e estabelecemos uma involução j : x −→ x̄ em O. Logo dimensão de

O = 23 = 8. Logo O é uma álgebra de composição e também dizemos que A é

uma álgebra de divisão normada octoniônica.

Podemos obter através do processo Cayley-Dickson uma forma para as

bases referentes a cada álgebra e suas respectivas tábuas de multiplicação:

(I): A álgebra R é considerada A0 com a base i20 = i0.

33


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

(II): Consideremos A1 como a álgebra quadrática C, e c1 − dobro de A1. A base

que escolhemos para A1 é i0 = 1 e i1 = (0, 1). Temos que

i21 = c1. (2.16)

(III): No próximo passo temos a álgebra A2, H, e formamos o c2 − dobro A2 de

A1 escrevendo i2 = (0, 1) em A2. A base formada é (i0, i1, i2, i3 = i1i2). A parte

essencial da tábua de multiplicação da álgebra quaterniônica é

i21 = c1. i22 = c2. i23 = −c1c2.
Logo

i1i2 = i3 = −i2i1
i2i3 = −c2i1 = −i3i2 (2.17)

i3i1 = −c1i2 = −i1i3.

(IV): Finalmente consideramos a álgebra octoniônica A3, O,que é o c3− dobro de

A2 e escrevemos a base

i0 = 1, i1, i2, i3 = i1i2, i4, i5 = i1i4, i6 = i2i4, i7 = (i1i2)i4. (2.18)

A tábua de multiplicação para A3 é

∗ i0 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7

i0 i0 i1 i2 i3 i4 i5 i6 i7

i1 i1 c1i0 i3 c1i2 i5 c1i4 −i7 −c1i6
i2 i2 −i3 c2i0 −c2i1 i6 i7 c2i4 c2i5

i3 i3 −c1i2 c2i1 −c1c2i0 i7 c1i6 −c2i5 −c1c2i4
i4 i4 −i5 −i6 −i7 c3i0 −c3i1 −c3i2 −c3i3
i5 i5 −c1i4 −i7 −c1i6 c3i1 −c1c3i0 c3i3 c1c3i2

i6 i6 i7 −c2i4 c2i5 c3i2 −c3i3 −c2c3i0 −c2c3i1
i7 i7 c1i6 −c2i5 c1c2i4 c3i3 −c1c3i2 c2c3i1 c1c2c3i0

34


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

Através dessas bases referentes as álgebras, podemos definir formas quadráticas

conforme definição (2.6) para álgebras de composição.

Em A0 se tomarmos x = x0i0 , aplicando o primeiro resultado (2.6) do

lema (2.1), obtemos

Q(x) = x2
0. (2.19)

Para A1 se tomarmos x = x0i0 + x1i1,

Q(x) = x2
0 − c1x2

1. (2.20)

Da mesma forma tomando y = y0i0 + y1i1 temos

x.y = (x0i0 + x1i1)(y0i0 + y1i1) = (x0y0 + x1y1c1)i0 + (x0y1 + x1y0)i1

a forma quadrática Q(x) para A1 fica

Q(x)Q(y) = (x2
0− c1x2

1)(y
2
0 − c1y2

1) = (x0y0 + c1x1y1)
2− c1(x0y1 + c1x1y

2
0) (2.21)

Em A2 se tomarmos x = x0i0 + x1i1 + x2i2 + x3i3,

Q(x) = x2
0 − c1x2

1 − c2x2
2 + c1c2x

2
3 (2.22)

Da mesma forma tomando y = y0i0 + y1i1 + y2i2 + y3i3 temos

x.y = (x0i0 + x1i1 + x2i2 + x3i3)(y0i0 + y1i1 + y2i2 + y3i3)

= (x0y0 + x1y1c1 + x2y2c2 − x3y3c1c2c3)i0

+ (x0y1 + x1y0 − x2y3c2 + x3y2c2)i1

+ (x0y2 + x1y3c1 + x2y0 − x3y1c1)i2

+ (x0y3 + x1y2 − x2y1 + x3y0)i3 (2.23)

a forma quadrática Q(x) para A2 fica

Q(x)Q(y) = (x2
0 − c1x2

1 − c2x2
2 + c1c2x

2
3)(y

2
0 − c1y2

1 − c2y2
2 + c1c2y

2
3)

= (x0y0 + c1x1y1 + c2x2y2 − c1c2x3y3)
2

−c1(x0y1 + x1y0 − c2x2y3 − c2x3y2)
2

−c2(x0y2 + x2y0 + c1x1y3 − c1x3y1)
2

35


Caṕıtulo 2.Construção da análise octoniônica

+c1c2(x0y3 + x3y0 + x1y2 − x2y1)
2. (2.24)

Da mesma forma, tomando em A3 x = x0i0 + x1i1 + x2i2 + x3i3 + x4i4 + x5i5 +

x6i6 + x7i7,
Q(x) = x2

0 − c1x2
1 − c2x2

2 + c1c2x
2
3 − c3x2

4 + c1c3x
2
5 + c2c3x

2
6 − c1c2c3x2

7. (2.25)

Da mesma maneira y = y0i0 + y1i1 + y2i2 + y3i3 + y4i4 + y5i5 + y6i6 + y7i7 então

x.y = (x0i0 + x1i1 + x2i2 + x3i3 + x4i4 + x5i5 + x6i6 + x7i7)

( y0i0 + y1i1 + y2i2 + y3i3 + y4i4 + y5i5 + y6i6 + y7i7)

=(x0y0 + x1y1c1 + x2y2c2 − x3y3c1c2 + x4y4c3 − x5y5c1c3 − x6y6c2c3 + x7y7c1c2c3)i0

+(x0y1+x1y0−x2y3c2+x3y2c2−x4y5c3+x5y4c3−x6y7c2c3+x7y6c2c3)i1

+(x0y2 + x1y3c1 + x2y0 − x3y1c1 − x4y6c3 + x5y7c1c3 + x6y4c3 − x7y5c1c3)i2

+(x0y3 + x1y2 − x2y1 + x3y0 − x4y7c3 + x5y6c3 − x6y5c3 + x7y4c3)i3

+(x0y4 + x1y5 + x2y6c2 − x3y7c1c2 + x4y0 − x5y1c1 − x6y2c2 + x7y3c1c3)i4

+(x0y5 + x1y4 + x2y7c2 − x3y6c2 − x4y1 + x5y0 + x6y3c2 − x7y2c2)i5

+(x0y6 − x1y7c1 + x2y4 + x3y5c1 − x4y2 − x5y3c1 + x6y0 + x7y1c1)i6

+(x0y7 − x1y6 + x2y5 + x3y4 − x4y3 − x5y2 + x6y1 + x7y0c1c3)i7, (2.26)

a forma quadrática Q(x) para A3 fica

Q(x)Q(y) = (x2
0 − c1x2

1 − c2x2
2 + c1c2x

2
3 − c3x2

4 + c1c3x
2
5 + c2c3x

2
6 − c1c2c3x2

7)

( y2
0 − c1y2

1 − c2y2
2 + c1c2y

2
3 − c3y2

4 + c1c3y
2
5 + c2c3y

2
6 − c1c2c3y2

7)

=(x0y0+x1y1c1+x2y2c2+x3y3c1c2+x4y4c3+x5y5c1c3+x6y6c2c3+x7y7c1c2c3)
2

−c1(x0y1 + x1y0 + x2y3c2 + x3y2c2 + x4y5c3 + x5y4c3 + x6y7c2c3 + x7y6c2c3)
2

−c2(x0y2 + x1y3c1 + x2y0 + x3y1c1 + x4y6c3 + x5y7c1c3 + x6y4c3 + x7y5c1c3)
2

+ c1c2(x0y3 + x1y2 + x2y1 + x3y0 + x4y7c3 + x5y6c3 + x6y5c3 + x7y4c3)
2

−c3(x0y4 + x1y5 + x2y6c2 + x3y7c1c2 + x4y0 + x5y1c1 + x6y2c2 + x7y3c1c3)i
2

+ c1c3(x0y5 + x1y4 + x2y7c2 + x3y6c2 + x4y1 + x5y0 + x6y3c2 + x7y2c2)
2

+ c2c3(x0y6 + x1y7c1 + x2y4 + x3y5c1 + x4y2 + x5y3c1 + x6y0 + x7y1c1)
2

−c1c2c3(x0y7 + x1y6 + x2y5 + x3y4 + x4y3 + x5y2 + x6y1 + x7y0c1c3)
2. (2.27)

36


2.5. CONCLUSÃO

Tomando ci = −1 obtemos as identidades que listamos para R,C,H,O

para o problema dos n quadrados de Hurwitz. Através do processo de obter-

mos as bases e respectivas tábuas de multiplicacao dessas álgebras conseguimos

determinar as formas quadradas e as leis de composição correspondentes.

A álgebra O de Cayley-Dickson é uma álgebra de divisão onde, para

algum x 6= 0 ∈ O temos x−1 onde x · x−1 = x−1 · x = 1. Vemos então que

alguma álgebra de composição cuja forma quadrática é não-nula é uma álgebra

de divisão.

2.5 Conclusão

A álgebra dos octônios é uma álgebra de composição. Surgem em conexão com

um problema sobre formas quadráticas considerado primeiramente por Hurwitz.

Através do processo Cayley-Dickson vemos que são o c-dobro da álgebra de H.

Seja
∑

x2
i = |x|2 e

∑

y2
i = |y|2, então do resultado (2.1) chegamos que a álgebra

de composição dos octônios, de (1.14), é uma álgebra de divisão normada. Por-

tanto o problema de Hurwitz em determinar todas as álgebras de composição

sobre R só é posśıvel para n = 1, 2, 4 e 8. Se continuarmos aplicando o pro-

cesso Cayley-Dickson para os octônios, obtemos uma seqüência de c-álgebras de

dimensões 16, 32, 64, assim por diante. A primeira delas é chamada de sedênios

e é 16-dimensional. Todas c-álgebras nesta seqüência são satisfatoriamente nor-

madas mas não reais, nem comutativas, nem alternativas. Todas tem inversos

multiplicativos, mas não são álgebras de divisão, pois o cálculo mostra que os

sedênios e todas as outras, tem zero divisores. Em [11] e [12], vemos que os ze-

ros divisores da norma dos sedênios formam um subespaço que é homeomórfo ao

grupo de Lie G2 que definiremos no próximo caṕıtulo.

No caṕıtulo 4 deste trabalho faremos uma aplicação da relação de Moivre

clássica para octônios com conexões à operadores da teoria de Fueter. Temos por

objetivo fazer a extensão para a álgebra dos sedênios com posśıveis resultados.

37


Caṕıtulo 3

Octônios relacionados à

estruturas excepcionais

Neste caṕıtulo faremos uma breve apresentação dos octônios relacionados a es-

truturas excepcionais como, por exemplo, os grupos de Lie e álgebras de Lie.

Tomamos como base para esta análise as referências [4], [5], [13], [14], [15] e [16].

Na primeira parte estaremos analisando os grupos de Lie, especialmente os gru-

pos de Lie excepcionais. Na segunda parte iremos tratar das respectivas álgebras

excepcionais relacionadas.

3.1 Octônios e os grupos de Lie excepcionais

Grupos de Lie são bonitos e importantes pois tem suas bases em duas grandes di-

visões da matemática: álgebra e geometria. Suas propriedades algébricas derivam

dos axiomas de grupo. Suas propriedades geométricas derivam da identificação

das operações de grupo com pontos num espaço topológico.

38


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

3.1.1 Introdução

A teoria de Lie surgiu em 1870 desenvolvida por Marius Sophus Lie, um noru-

eguês que publicou alguns artigos com colaborações de F. Engel. Inicialmente

foi desenvolvida para facilitar a solução de equações diferenciais. Também era

chamada de teoria dos “grupos cont́ınuos e finitos”.

Lie em seu programa tenta usar ferramentas chamadas teoria dos gru-

pos pra resolver, ou mais simplificar, equações diferenciais ordinárias. São uma

extensão dos métodos de Évareste Galois para equações algébricas no estudo de

equações diferenciais. Embora mais cedo Galois já tinha usado a teoria dos grupos

para resolver equações algébricas quadráticas, cúbicas e quárticas.

Primeiramente Lie considerou apenas a noção de “grupos de transformações”

a um parâmetro gerado por “muitas repetições infinitesimais”. Tomou o grupo

das matrizes n × n, A ∈Mn(C). Isto gera o grupo a um parâmetro consistindo

das transformações

etA =
∑

n≥0

tn · An
n!

(t ∈ C). (3.1)

A série é absolutamente convergente para todo t, e satisfaz a relação

esA · etA = e(s+t)A (s, t ∈ C). (3.2)

A procura por pontos fixados para grupos a um parâmetro é então reduzido a

um problema da álgebra linear.

Mais geralmente, um espaço vetorial X =
∑

iXi(x) · ∂
∂xi

, geram equações dife-

renciais
dxi
dt

= Xi(x1, . . . , xn) (i = 1, . . . ,m). (3.3)

Se x(x0, t) = x(x0, t)1 . . . , x(x0, t)n denota a curva da integral de x0 para t = 0,

então temos, em (3.1),

x(x0, t)i =
∑

j≥0

Xjxi
j!

:= (etX(x0))i (3.4)

39


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

e para valores de s, t em (3.2)

esX(etX(x0)) = e(s+t)X(x0). (3.5)

Os pontos fixos dessas transformações são os zeros do espaço vetorial. Aqui as

componentes do espaço vetorial definido por A são Xi

∑

j aijxj, onde aij são os

coeficientes de A.

A noção de grupo abstrato não era familiar para a época. Podemos

dizer que a noção básica de grupos que usamos nos dias atuais teve sua origem

nos grupos de transformações. Supondo que U é um conjunto aberto de Cn

com coordenadas xi, e V uma vizinhança de origem em Cp com coordenadas

a1, . . . , ap. Seja G um conjunto de transformações de U parametrizado por V .

Sejam f1, . . . fn : U × V → C funções holomórfas de modo que fixando a ∈ V , a

aplicação

ga : x −→ f(x, a) (x ∈ U, a ∈ V )), (3.6)

onde ga = f(x, a) = (f1(x, a), . . . fn(x, a)) tem as coordenadas fi(x, a), define

uma transformação local de U , i.e, do conjunto aberto U sobre outro subconjunto

aberto de Cn para cada a ∈ V . Se g0 é o mapeamento identidade de U e

gb(ga(x)) = gϕ(a,b)(x)

onde ϕ = (ϕ1, . . . , ϕn) e ϕi : V × V −→ C, então este define um grupo G de

transformações de U .

Tomando primeiro derivações com respeito a a na origem em Cp, Lie ob-

teve transformações infinitesimais e mostrou que o grupo a um parâmetro gerado

por alguma delas pertence a G, e que elas formam um espaço vetorial fechado

sob os “bracket”de transformações infinitesimais, ou seja, um objeto que hoje é

chamado de “Álgebra de Lie” que é denotado por g .

Um exemplo é grupo de transformações lineares inverśıveis: as exponen-

ciais dos elementos de uma álgebra de Lie de matrizes formam, geram, um grupo

40


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

de Lie. O termo “álgebra de Lie” foi popularizado a partir de 1920 com Her-

mann Weyl, em substituição ao “grupo infinitesimal” que se utilizava desde os

tempos de Lie. Os “grupos infinitesimais” foram considerados objetos concretos

associados a grupos de transformações.

3.1.2 Conceitos de topologia

Definição 3.1. (Conjunto fechado) Um conjunto S é fechado se seu comple-

mentar Sc é aberto.

Definição 3.2. (Conjunto aberto) Dizemos que um conjunto G é aberto se

todos seus pontos são pontos interiores, ou seja, G é vizinhança de cada um de

seus pontos.

Definição 3.3. (Caminho) Dados dois pontos x e y de um espaço topológico M,

um caminho ligando x a y em M é uma aplicação cont́ınua f : [a, b] ⊂ R → M

tal que f(a) = x e f(b) = y.

Figura 3.1: Caminho

Definição 3.4. (Função cont́ınua) Uma função f : R → R é cont́ınua no

ponto x0 se para cada ε > 0 ∃ δ > 0 tal que |x − x0| < δ ⇒ |f(x) − f(x0)| < ε.

A função f é cont́ınua se o é em cada pinto do seu domı́nio.

Definição 3.5. (Função anaĺıtica) Seja uma função f definida em um domı́nio

complexo X, diz-se que:

i) f é anaĺıtica em z0 ∈ X se, e somente se, f é diferenciável em cada ponto

z0 de uma vizinhança V ⊂ X do ponto z0;

41


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

ii) f é anaĺıtica em um domı́nio X se, e somente se, f é anaĺıtica em cada ponto

z0 de X.

Definição 3.6. (Vizinhança) Seja p um ponto de um espaço topológico M.

Um subconjunto N de M é uma vizinhança de p se, e somente se, N contém um

conjunto aberto G que contém p: p ∈ G ⊂ N.

Definição 3.7. (Espaço Topológico) Um espaço localmente euclidiano de di-

mensão d é um espaço topológico M em que cada ponto p ∈ M possui um vizi-

nhança U ⊂M homeomórfa a um aberto de Rd.

Figura 3.2: Espaço Topológico

Ao homeomorfismo φ : U −→ Rd chamamos um sistema de coordenadas , às

funções φi = xi ◦ φ chamamos funções coordenadas e designamos o sistema de

coordenadas abreviadamente por (U, φ).

Definição 3.8. (Espaço conexo) Um espaço topológico M é conexo, se e so-

mente se,

(i) M não é a união de dois aberto não vazios disjuntos, ou

(ii) M e ∅ são os únicos subconjuntos de M que são, simultaneamente, abertos

e fechados.

Definição 3.9. (Domı́nio simplesmente conexo) Um domı́nio, ou região, é

chamado simplesmente conexo se todo caminho simples e fechado contido nesse

domı́nio tem em seu interior só pontos do domı́nio.

42


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

O espaço topológico que parametriza os elementos em um grupo é cha-

mado de variedade.

Definição 3.10. (Manifold) Um manifold ou Variedade (topológica) é um espaço

de Hausdorff em que todo ponto tem uma vizinhança homeomórfa.

Definição 3.11. (Espaço Hausdorff) Um espaço de Hausdorff é um espaço

topológico M, onde x, y ∈M existem vizinhanças U de x e V de y, tal que U ∩ V.

O conceito de variedade é uma generalização da idéia de superf́ıcie em

R3, que é uma superf́ıcie com um plano tangente em cada ponto. Um manifold

é um espaço em que qualquer região em pequena escala parece Euclidiano. Veja

o exemplo:

Exemplo 3.1.1. Todo ponto sobre uma superf́ıcie de uma esfera unitária S2 ⊂
R3 : x2 + y2 + z2 = 1, tem uma vizinhança que é semelhante, numa pequena

distância, a um pedaço do plano R2. Localmente, os dois espaços S2 e R2 são

topologicamente equivalentes mas globalmente são diferentes.

Figura 3.3: Cada ponto p sobre a esfera S2 é cercada por uma vizinhança aberta que

é igual a uma vizinhança aberta em algum ponto no plano R2. Localmente os dois

espaços são iguais. Globalmente são diferentes.

Definição 3.12. (Estrutura diferenciável) Uma estrutura diferenciável de

classe Ck(1 ≤ k ≤ ∞) num espaço topológico M de dimensão d, é uma coleção

de sistemas de coordenadas C = {(Uα, φα) : α ∈ A} que satisfaz as seguintes

propriedades:

i) {Uα : α ∈ A} é uma cobertura aberta de M, i.e.,
⋃

α∈A Uα = M ;

43


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

ii) As funções de transição φα ◦ φ−1
β são de classe Ck para quaisquer α, β ∈ A;

iii) A coleção C é maximal: se (U, φ) é um sistema de coordenadas com a

propriedade de que φ ◦ φ−1
α e φ−1

α ◦ φ são de classe Ck ∀ α ∈ A, então

(U, φ) ∈ C.

Um par (M, C) chamamos de uma variedade diferenciável de dimensão d.

Figura 3.4: Esboço de Variedade Diferenciável

Exemplo 3.1.2. Uma esfera n-dimensional, com topologia relativa é um espaço

topológico: se N = (0, . . . , 0, 1) e S = (0, . . . , 0,−1) designam os pólos norte e

sul, então obtemos dois sistemas de coordenadas (Sn−{N}, πN) e (Sn−{S}, πS),
onde πN e πS designam as projeções estereográficas por N e S.

Figura 3.5: A estrutura diferenciável principal na esfera obtém-se considerando a

coleção de coordenadas que contém estes dois sistemas de coordenadas.

44


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

Definição 3.13. (Grupo Topológico) Podemos definir um grupo topológico

como sendo uma variedade topológica G equipada da estrutura de um grupo de

modo que as operações de grupo são cont́ınuas, e uma ação cont́ınua de G sobre

uma variedade topológica M ser um homeomorfismo de G dentro do grupo de

homeomorfismos de M.

3.1.3 Propriedades topológicas

A estrutura geométrica de um grupo de Lie vem da identificação de cada elemento

no grupo com um ponto no mesmo espaço topológico. A conexão entre a álgebra

e estruturas topológicas é que a multiplicação de grupos e um map x→ x−1 são

cont́ınuos.

Definição 3.14. (Grupos de Lie) Um grupo de Lie é uma variedade dife-

renciável G equipado com a estrutura de um grupo de modo que as operações

de grupo como definido em (1.2) são diferenciáveis.

Definição 3.15. (Grupos Cont́ınuos) Um grupo cont́ınuo de dimensão n é

um conjunto cujos elementos estão em correspondência biuńıvoca com os pon-

tos de uma variedade diferenciável n-dimensional, e se estrutura como um grupo

satisfazendo os axiomas apresentados no caṕıtulo 1. Ambas estruturas estão re-

lacionadas pelo fato de que a lei de composição dos elementos do grupo, é uma

aplicação cont́ınua sobre a variedade.

Observação 3.1.1. Continuidade quer dizer que para algum ponto na variedade

existem pontos na variedade que são próximos a este, quanto se queira. Podemos

dizer que grupos de Lie são grupos cont́ınuos.

Definição 3.16. (Ação da Variedade) Uma ação da variedade sobre um grupo

de Lie G numa variedade diferenciável M é um função φ : G×M −→M de modo

que
φ(1, x) = x, φ(g2, φ(g1, x)) = φ(g2g1) · x.

1 · x = x, g2 · (g1 · x) = (g2g1) · x.

45


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

Definição 3.17. (Difeomorfismo) Sejam M1 e M2 variedades diferenciáveis.

Uma aplicação ϕ : M1 −→M2 é um difeomorfismo se ela é diferenciável, biuńıvoca,

sobrejetiva e sua inversa ϕ−1 é diferenciável.

Um grupo cont́ınuo ou grupo topológico tem dois tipos diferentes de es-

truturas: estrutura algébrica e estrutura topológica. Algebricamente é um grupo

e topologicamente é um manifold. O espaço topológico que parametriza os ele-

mentos num grupo de Lie é um manifold (3.10). O exemplo (3.1.1) ilustra bem

essa definição.

Exemplo 3.1.3. Matrizes reais 2 × 2 são identificadas por quatro variáveis. A

condição para essas quatro variáveis é que det(A) = 1. Todo elemento de grupo

em SL(2,R) é determinado por um ponto no mesmo espaço real 3-dimensional.

Uma posśıvel parametrização é

(x1, x2, x3)→





x1 x2

x3
1+x2x3

x1



 x1 6= 0 (3.7)

A dimensão do manifold que parametriza um grupo de Lie é a dimensão do grupo

de Lie, ou seja, número de parâmetros reais cont́ınuos exigidos para descrever cada

operação no grupo.

3.1.4 Propriedades algébricas

As propriedades algébricas de um grupo de Lie originam nos axiomas de um

grupo como definido em 1.2.

Exemplo 3.1.4. Consideremos o conjunto das matrizes reais 2× 2 SL(2,R):

A =





α β

γ δ



 det(A) = αδ − βγ = +1

46


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

onde α, β, γ, δ são números reais. Este conjunto forma um grupo sob a multi-

plicação de matriz. Verifiquemos que satisfaz os axiomas de um grupo:

Fechamento: A e B são matrizes reais, e A ·B = C, então C é uma matriz real

2× 2. Se det(A) = +1 e det(B) = +1, então det(C) = det(A)det(B) = +1.

Associatividade: (A ·B) · C e A · (B · C) são dados por

∑

k

(
∑

j

AijBjk)Ckl =
∑

j

Aij(
∑

k

BjkCkl) ⇒
∑

k

∑

j

AijBjkCkl =
∑

j

∑

k

AijBjkCkl

Identidade: A matriz identidade é





1 0

0 1



 = I2 −→ e

Inverso: A única matriz de A é





A11 A12

A21 A22



 −→





A11 A12

A21 A22





−1

= 1
A11A22−A12A21





A22 −A12

−A21 A11





3.1.5 Unificação da Álgebra e Topologia

A exigência das estruturas dos grupos de Lie é que a combinação de propriedades

algébricas e topológicas deva satisfazer uma continuidade. O espaço topológico

que parametriza os elementos num grupo de Lie é um manifold.

Um grupo de Lie consiste de um manifold M que parametriza as operações

de grupo (1.2) e uma operação x · y = z, onde a coordenada z ∈M depende con-

tinuamente das coordenadas x, y ∈ M . Em outras palavras, z = φ(x, y), onde φ

é cont́ınua em (x, y).

Exemplo 3.1.5. Seja SL(2,R) com parametrização (3.7), então a função de

composição z = φ(x, y) é constrúıda facilmente da multiplicação de matriz x ·y =

φ(x, y)

47


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

(x1, x2, x3) · (y1, y2, y3) = (z1, z2, z3) = φ(x1, x2, x3; y1, y2, y3)










x1 x2

x3
1+x2x3

x1











×





y1 y2

y3
1+y2y3
y1



 =





x1y1 + x2y3 x1y2 + x2
1+y2y3
y1

x3y1 + y3
1+x2x3

x1

∗





(3.8)
O resultado é facilmente interpretado fazendo as respectivas identificações:

z1 = φ1(x1, x2, x3; y1, y2, y3) = x1y1 + x2y3

z2 = φ2(x1, x2, x3; y1, y2, y3) = x1y2 + x2
1 + y2y3

y1

z3 = φ3(x1, x2, x3; y1, y2, y3) = x3y1 + y3
1 + x2x3

x1

(3.9)

A função φ é anaĺıtica nestes dois pares de argumentos desde que x1 e y1 são

limitados, ou seja, x1 6= 0 e y1 6= 0. Na vizinhança destes valores a parametrização

do grupo é necessária. A exigência de que a função φ(x, y) seja anaĺıtica pode

ser substitúıda por uma exigência que liga fortemente a álgebra com a geometria.

Esta suposição é que a aplicação de cada operação de grupo e sua inversa sejam

cont́ınuas.

Exemplo 3.1.6. Tomando o exemplo acima, podemos determinar as coordenadas

(y1, y2, y3) de (x1, x2, x3)
−1 fixando (z1, z2, z3) = (1, 0, 0) e calculando (y1, y2, y3)

em termos de (x1, x2, x3). Ou simplificando, podemos calcular o inverso da matriz

(3.7)




x1 x2

x3
1+x2x3

x1





−1

=





1+x2x3

x1

−x2

−x3 x1



 . (3.10)

A aplicação inversa (x)−1 = y = ψ(x) é

ψ1(x1, x2, x3) = y1 = (1 + x2x3)/x1

ψ2(x1, x2, x3) = y2 = −x2

ψ2(x1, x2, x3) = y2 = −x3 (3.11)

48


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

Esta aplicação é anaĺıtica exceto em x1 = 0, onde a parametrização é exigida. O

exemplo a seguir descreve este problema.

Exemplo 3.1.7. Toda matriz em SL(2,R) pode ser escrita como o produto de

uma matriz simétrica e uma matriz de rotação. A matriz simétrica é parametriza

por um manifold 2-dimensional, a hipérbolóide z2 − x2 − y2 = 1. A matriz

de rotação é parametrizada por um ponto sobre um ćırculo. O manifold que

parametriza SL(2; R) é H2 × S1 3-dimensional.

z2 − x2 − y2 = 1 SL(2; R) =





z + x y

y z − x



×





cos θ sen θ

−sen θ cos θ





Nota: 6. (Importante) Os elementos de grupo são pontos numa variedade e

assim são parametrizados por variáveis reais cont́ınuas. Esses pontos são des-

critos satisfazendo os axiomas de grupo (1.2). A operação φ(x, y) definida por

x · y = z = φ(x, y) é cont́ınua em ambos conjuntos de variáveis. Desta forma,

assumimos que a aplicação y = ψ(x) é uma operação de grupo e a inverso

(x)−1 = y = ψ(x) é cont́ınua.

Quase todos grupos de Lie que encontramos em aplicações são grupos de

matrizes. Estes simplificam a descrição de propriedades algébricas, topológicas

e de continuidade destes grupos. Algebricamente a operação de grupos que

consideramos é a multiplicação de matrizes. Geometricamente os manifolds

49


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

que encontramos são aqueles que podem ser constrúıdos de matrizes impondo

restrições algébricas. A propriedade de continuidade é simplesmente a inversão

de matrizes. Vejamos alguns exemplos de grupos de Lie de matrizes:

Exemplo 3.1.8. O grupo linear geral GL(n) é o grupo das matrizes não

singulares n × n. O grupo linear em n-dimensões é não abeliano. O número

essencial de parâmetros é n2. Por essa razão, em Rn2

estes grupos operam como

os subconjuntos de matrizes de determinantes não nulos. Esses grupos munidos

com a operação composição de funções, tornam-se um grupo de Lie, ou seja, a

aplicação
φ : GL(n,R)×GL(n,R) → GL(n,R)

(M,N) 7−→ M ·N−1

onde é diferenciável, quaisquer que sejam M,N ∈ GL(n,R).

De fato, sabemos que o produto dos elementos é simplesmente a multiplicação das

matrizes, com a inversa dada pela inversa das matrizes. O números de parâmetros

ou coordenadas é n2 inteiros, então, seja M = {aij} e N = {bij}, temos N−1 =

{cij}. Logo MN−1 = {∑n

k=1 aikckj}. Assim,

dφ =
∑

j

∑

i

∂

∂aij
(
n
∑

k=1

aikckj)daij +
∑

j

∑

i

∂

∂bij
(
n
∑

k=1

aikckj)dbij =
∑

j

∑

i

cijdaij.

Como φ é diferenciável, então GL(n,R) é um grupo de Lie.

Exemplo 3.1.9. Grupo linear em duas dimensões, GL(2):

x′ = a1x+ a2y, y′ = a3x+ a4y,





a1 a2

a3 a4



 6= 0.

Os quatro parâmetros são essenciais. Se considerarmos x,y como componentes de

um vetor r, a transformação pode ser escrita na notação de matriz:

r′ = Ar,





x′

y′



 =





a1 a2

a3 a4









x

y



 .

50


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

O grupo linear em duas dimensões é isomórfo ao grupo de matrizes 2 × 2, com

multiplicação de matrizes com a lei de combinação.

E lemento identidade : A =





1 0

0 1



 = 1.

E lemento inverso : A = A1.

E lemento produto : C = BA

O grupo linear em duas dimensões é um grupo não abeliano a quatro parâmetros.

Exemplo 3.1.10. São de particular interesse em aplicações f́ısicas o grupo li-

near especial SL(n), subgrupos dos espaços GL(n,R)(ou GL(n,C), conhecidos

como espaços das aplicações lineares bijetivas de Rn em Rn ou (Cn em Cn), onde

as transformações são definidas com determinante igual a unidade e o números

de parâmetros essenciais é n2 − 1.

Observação 3.1.2. Similarmente definimos GL(n,C) e SL(n,C).

Exemplo 3.1.11. O grupo ortogonal O(n) é um subgrupo fechado de GL(n)

definido por XX t = X tX = I, onde X representa as matrizes do grupo. Con-

siderando duas dimensões temos um subgrupo de O(n) das matrizes ortogonais

dado por

SO(2) =





cosθ senθ

−senθ cosθ



 = X θ ∈ [0, 2π)

É um subgrupo fechado de GL(n) definido por XX t = X tX = I.

Observação 3.1.3. grupos ortogonais são grupos que preservam métricas simétricas

bilineares.

Exemplo 3.1.12. A rotação em torno da origem em um espaço tridimensional

forma um grupo de Lie. Este grupo pode ser representado pelas matrizes ortogo-

nais O(3) = {X ∈ GL(3,R)|XX t = X tX = I}, onde X t é a transposta de X,

51


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

que é um subgrupo de GL(3,R). Portanto, O(3) com a operação composição é

um grupo de Lie.

Exemplo 3.1.13. O grupo ortogonal especial SO(n) é O(n) ∩ SL(n,R) é um

grupo de Lie. Dessa maneira podemos SO(n) = {x ∈ R : XX−1 = X−1X =

1, det(X) = 1}.

Exemplo 3.1.14. O grupo unitário U(n) é um subgrupo de GL(n,C) definido

por XX−1 = X−1X = I onde X−1 denota o conjugado transposto da matriz de

X. Este grupo é relatado para os números complexos.

Observação 3.1.4. grupos unitários são grupos que preservam métricas anti-

simétricas bilineares.

Exemplo 3.1.15. Seja S1 = {eiθ| θ ∈ R(mod 2 π)} a esfera unitário no plano

complexo. Definiremos as operações do grupo como

eiθ · eiϕ = ei(θ+ϕ) e (eiθ)−1 = e−iθ

Para que S1 seja um grupo de Lie , mostremos que a aplicação

ψ : S1 × S1 −→ S1

( eiθ, eiϕ) 7−→ (eiθ) · (eiϕ)−1 = ei(θ−ϕ)

seja diferenciável, quaisquer que sejam θ, ϕ ∈ R(mod2π).

De fato, seja ψ(eiθ, eiϕ) = ei(θ−ϕ), então

dψ =
∂ψ

∂θ
· dθ +

∂ψ

∂ϕ
· dϕ = ei(θ−ϕ)i · dθ + ei(θ−ψ)(−i)dϕ = i · ei(θ−ϕ)(dθ − dϕ).

Como dψ existe para quaisquer θ, ϕ ∈ R(mod 2 π), então ψ é diferenciável.

Portanto, S1 é um grupo de Lie, que chamaremos de U(1).

Exemplo 3.1.16. Seja o grupo unitário especial SU(n) dado como a in-

tersecção dos grupos U(n) ∩ SL(n,C). è um subgrupo de U(n). Temos então

SU(n) = {x ∈ C : XX−1 = X−1X = 1, det(X) = 1}. Este é um grupo de Lie.

52


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

Observação 3.1.5. O conjunto de todos os automorfismos da álgebras de com-

posição formam um grupo. Por exemplo, o grupo de automorfismos dos quatérnios

é o grupo SU(2).

Exemplo 3.1.17. O grupo simpléctico(complexo) Sp(n) é um subgrupo de

GL(n,H) definido por Sp(n) = {X ∈ H : XX−1 = X−1X = I}. Como vemos, o

grupo Sp(n) é relatado para números quaterniônicos.

Exemplo 3.1.18. O grupo de transformações lineares preservando a métrica

de Minkowski corresponde ao grupo ortogonal O(n,1) e a componente identidade

deste é chamado grupo de Lorentz SO(n,1). É um exemplo de grupo de Lie

fundamental na teoria da relatividade geral.

Exemplos como tais apresentados formam os grupos clássicos de Lie. São

quatro séries infinitas de grupos de Lie de translações num espaço n-dimensional,

An,Bn,Cn e Dn, e são relatados para espaços simétricos tal como espaços

projetivos e esferas.

An corresponde ao grupo das rotações generalizadas complexas SU(n+

1) · SU(1) é o grupo trivial com um único elemento. Bn corresponde ao grupo

das rotações, uma cobertura dos grupos SO(n). Correspondem as rotações num

espaço 2n+1-dimensional onde contém uma esfera 2n-dimensional. Por exemplo,

o grupo SO(2) é isomórfo a S1 que denota a multiplicação de grupo dos números

complexos de raio 1. Este isomorfismo mandam o número complexo eiθ = cosθ+

isenθ para matriz ortogonal




cosθ −senθ
senθ cosθ



 .

Cn corresponde ao grupo simpléctico Sp(n) que são os grupos de trans-

formações num espaço quaterniônico 2n-dimensional sobre R. Dn corresponde ao

grupo SO(2n), i.é., rotações no espaço (2n)-dimensional que contém uma esfera

2n+1-dimensional, e são denotadas por Spin(2n). Contem o grupo de Lorentz

SO(n, 1) num espaço 4-dimensional.

53


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

Esses são os exemplos de grupos clássicos de matrizes admitindo repre-

sentações sobre R,C e H. São exemplos de Grupos de Lie, muito importantes

para as aplicações f́ısicas.

Definição 3.18. (Representação de um grupo) Uma Representação de um

grupo G num espaço vetorial V é uma ação φ : G −→ V tal que todas trans-

formações lineares φ(g) são aplicações lineares de V.

A partir das propriedades das ações temos que cada φ(g) é inverśıvel

e que φ : G −→ Gl(V ) é um homomorfismo, e GL(V ) denota o grupo das

transformações lineares inverśıveis de V . Então, V é chamado de espaço da

representação. Essas representações são ações lineares de uma variedade.

Seja M uma variedade. Uma ação ϕ : M −→ M é chamada difeomor-

fismo. Chamamos de representação ϕ : G −→ diff(M) de um grupo, uma ação

linear da variedade ou uma representação.

A noção de representação vem da idéia de descrever (representar) os gru-

pos de Lie como grupos de transformações lineares. A teoria das representações

estuda propriedades de grupos via suas transformações lineares de espaços veto-

riais.

Além dos grupos clássicos, podemos também relatar os grupos excepci-

onais: G2,F4,E6,E7 e E8. Todos eles são relatados param os octônios. Eles

não formam as séries infinitas devido a não associatividade dos octônios que fin-

dam as séries. Octônios não são associativos, mas leis de multiplicação associativa

podem ser definidas sobre conjuntos de elementos de octônios para criar grupos

de Lie.

Os grupos excepcionais podem ser constrúıdos através das álgebras de

automorfismos das álgebras de Jordan J i3 (i = 1, 2, 4, 8) e as álgebras de automor-

fismos das álgebras de Hurwitz Hj (j = 1, 2, 4, 8) por meio de uma construção

chamada Construção Tits. Esta se deve a Jacques Tits que prove modelos de

álgebras de Lie simples excepcionais usando álgebras de composição e as álgebras

54


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

de Jordan. Nessa construção, os grupos excepcionais surgem num quadrado cha-

mado quadrado mágico de Freudenthal como mostrado na tabela (3.1.5):

- - J1
3 J2

3 J4
3 J8

3

H1 • SO(3) SU(3) Sp(3) F4

H2 • SU(3) SU(3)⊕ SU(3) SU(6) E6

H4 SU(2) Sp(3) SU(6) SO(12) E7

H8 G2 F4 E6 E7 E8

Tabela 3.1.4- Quadrado mágico

Na tabela (3.1.5) as linhas J i3 correspondem aos grupos de automorfismos

das álgebras de Jordan J i3, que estaremos tratando na próxima seção, enquanto

que as colunas Hj correspondem aos grupos de automorfismos das álgebras de

Hurwitz Hj. Os grupos de Lie excepcionais surgem na intersecção (ij).

G2 surge como o grupo de automorfismos dos octônios 14-dimensional,

ou seja, o grupo de operações sobre os octônios que preservam o produto oc-

toniônico. O grupo de automorfismos de JR

n é SO(n). O grupo de automorfismos

de JC

n é SU(n). O grupo de automorfismos de JH

n é Sp(2n).

O grupo de automorfismos das álgebras de Jordan excepcionais JO

n é F4.

É representado por matrizes hermitianas 3× 3 dos octônios











a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33











onde a11, a22, a33 ∈ R e a12, a13, a23 são octônios conjugados de a21, a31, a32. Um

plano projetivo octoniônico foi constrúıdo em 1949 por Jordan, usando projeções

no grupos de matrizes hermitianas. Mais tarde Borel notou que F4 é o grupo de

isometrias do plano projetivo sobre os octônios, 52-dimensional. E6 é como F4,

expandido para os números complexos. É o grupo de isometrias, 78-dimensional,

de planos projetivos sobre as álgebras: C ⊗ O, os bioctônios. E7 é como F4

55


3.2. OCTÔNIOS E AS ÁLGEBRAS DE LIE EXCEPCIONAIS

expandido para os quatérnios, o grupo de isometrias, 133-dimensional, de pla-

nos projetivos sobre as álgebras: H ⊗ O, os quateroctônios. E E8 é como F4

expandido para os octônios, o grupo de isometrias de planos projetivos sobre as

álgebras: O⊗O, os octooctônios 248-dimensional. Os bioctônios, quateroctônios

e os octooctônios não são álgebras de divisão.

3.2 Octônios e as álgebras de Lie excepcionais

Um dos programas de Lie era o de classificar os grupos de Lie de transformações

agindo num determinado espaço. Deve-se a Wilhelm Killing (1884) a idéia de

dividir esse problema em dois: o de classificar o objeto abstrato que corresponde

à álgebra de Lie e logo após analisar as ações dos grupos correspondentes. Em

uma série de artigos ele classificou as álgebras de Lie complexas e obteve as

quatro álgebras de Lie Clássicas e cinco excepcionais. Mais tarde Élie Cartan em

1894 deu a segunda contribuição fundamental à teoria de álgebras de Lie. Ele

corrigiu e completou o trabalho de Killing e provou a existência das álgebras de

Lie simples complexas excepcionais. A cada grupo de Lie existe uma álgebra de

Lie associada. Considerando aplicações em áreas da Matemática e da F́ısica, uma

importante classe de álgebras são as álgebras de Lie e Jordan.

Em 1931, Pascual Jordan analisou que observáveis na mecânica quântica

são descritos por matrizes complexas hermitianas n × n formando uma álgebra

não associativa. Tentando entender melhor esse fato, inventou a definição de que

hoje chamamos de álgebras de Jordan [2].

Definição 3.19. (Álgebra de Jordan) Uma álgebra de Jordan é uma álgebra

não associativa sobre R, onde o produto x ·y de dois elementos da álgebra satisfaz

as leis:

x · y = y · x, (x2 · y) · x = x2 · (y · x) (3.12)

Introduzimos nessa álgebra o produto de Jordan (ou anti-comutador) dado por

56


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

x · y =
1

2
(xy + yx) (3.13)

Substituindo o produto associativo xy por x · y obtemos a álgebra de Jordan A+.

A classificação das álgebras simples de Jordan finitas dimensionais foram

dadas em 1934 por Jordan, von Neumann e Wigner. Seus resultados encontrados

descrevem dois caminhos para obter essas álgebras:

I)Podem ser obtidas de alguma álgebra associativa. De modo que resultam em

álgebras chamadas álgebras de Jordan especiais. Há quatro tipos de álgebras

especiais.

i) J(Q) = R⊕ V,

ii) hn(R),

iii) hn(C),

iv) hn(H),

onde (i) vem de uma forma quadrática Q(x, y) = x · y ∀ x, y ∈ V . O significado

de J(Q) pode ser entendido mais facilmente em termos de uma álgebra de Jordan

em = (1, e1 . . . en), onde i = 1, 2, . . . , n..

Cada elemento de uma álgebra de Jordan pode ser escrito como um combinação

linear dessa base. Os outros três tipos (ii), (iii), (iv) são descritas como matrizes

hermitianas n×n JAn , onde A são representações sobre R,C, e H. Essas álgebras

são caracterizadas pelo produto de Jordan x·y = 1
2
(xy+yx) como anticomutador.

II)A álgebra de Jordan é uma álgebra 27-dimensional e pode ser constrúıda como

segue. Seja

X =











a1 x ȳ

x̄ a2 z

y z̄ a3











, (3.14)

onde a1, a2 e a3 são números reais ou complexos e x, y, z são octônios e x̄, ȳ, z̄

são octônios conjugados. Definindo o produto de Jordan X · Y = 1
2
(XY + Y X)

57


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

em (3.14) e o produto XY é não associativo já que octônios são não associativos.

Este define uma a álgebra de Jordan h3(O) excepcional 27-dimensional.

Álgebras de Jordan estão associadas a espaços projetivos, o plano proje-

tivo octoniônico. São aplicadas em análise, geometria, além de serem utilizadas

para construção dos grupos excepcionais.

Outro exemplo de álgebra não associativa são as álgebras de Lie. Os

grupos de Lie são de natureza geométrica enquanto que as álgebras de Lie, ou

grupos infinitesimais como relatados por Lie, são objetos algébricos. Uma álgebra

de Lie é um espaço vetorial linear que pode ser pode ser estudado usando as

principais ferramentas de um espaço vetorial.

Definição 3.20. (Álgebra de Lie) Uma álgebra de Lie consiste de um espaço

vetorial g munido de um produto (colchete ou comutador)

[ , ] : g× g −→ g

com as seguintes propriedades:

1. é bilinear,

2. é anti-simétrico, isto é, [X,X] = 0 para todo X ∈ g (o que implica [X,Y]=

- [Y,X] para todo X,Y ∈ g ),

3. satisfaz a identidade de Jacobi, isto é, para todo X,Y, Z ∈ g,

[X, [Y, Z]] + [Z, [X,Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0.

A anti-simetria e a identidade de Jacobi são caracteŕısticas das álgebras de Lie. O

colchete de Lie ou “bracket de Lie” não é, em geral, associativo, pois em qualquer

circunstância [[X,X], Y ] = 0 e no entanto [X, [X,Y ]] nem sempre se anula.

Existe um grande número de exemplos interessantes de álgebras de Lie,

desde o ponto de vista da teoria em si como das aplicações desta teoria aos grupos

de Lie. A noção de representação das álgebras de Lie vem da idéia de representar

essas álgebras como álgebras de transformações lineares. Antes de ver alguns

exemplos de álgebras de Lie, é conveniente introduzir o conceito de subálgebra

de Lie.

58


Octônios relacionados à estruturas excepcionais

Definição 3.21. (Subálgebra de Lie) Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra

de g é um subespaço vetorial h de g que é fechado pelo colchete, isto é, [X,Y ] ∈ h

se X,Y ∈ h. Evidentemente, uma subálgebra de Lie é uma álgebra de Lie com a

estrutura de g.

Exemplo 3.2.1. gl(n,K) : O espaço de todas transformações lineares de um

espaço vetorial de dimensão n sobre um corpo K que é o mesmo que o espaço das

matrizes n× n com coeficientes em K O colchete é dado por

[X,Y ] = XY − Y X
com X e Y matrizes.

Exemplo 3.2.2. Álgebras de Lie provenientes de álgebras associativas: Seja A

uma álgebra associativa e nesta álgebra defina o colchete comutador

[x, y] = xy − yx x, y ∈ A.

Este colchete define em A uma estrutura de álgebra de Lie.

Exemplo 3.2.3. Subálgebras de gl(n,R) :

(a) so(n,K) = {X ∈ gl(n,K) : X +X t = 0} onde indica a matriz transposta.

O espaço das matrizes simétricas

{X ∈ gl(n,K) : X = X t

(b) sl(n,K) = {X ∈ gl(n,K) : trX = 0}. Como no caso de gl(n), muitas vezes

denotará estas álgebras apenas por sl(n).

(c) sp(n,K) = {X ∈ gl(2n,K) : XJ + JX t = 0} onde J é escrito em blocos

n× n como

J =





0 −1

1 0





com 0 representando a matriz nula e 1 a matriz identidade n × n. Para

ver que este subespaço é de fato uma subálgebra, observe em primeiro lugar

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Octônios relacionados à estruturas excepcionais

que J2 = −1 e, portanto, X ∈ sp(n,K) se e só se X t = JXJ . Se X,Y ∈
sp(n,K), então

[X,Y ]t = (XY − Y X)t = −X tY t + Y tX t

= −JXJ2Y J + JY J2XJ

= J(XY − Y X)J

= J [X,Y ]J,

isto é, [X,Y ] ∈ sp(n,K).

(d) u(n) = {X ∈ gl(n,C) : X + X̄ t = 0} onde X̄ é a matriz obtida de X por

conjugação de suas entradas. u(n) é uma álgebra de Lie sobre o corpo dos

reais. É denominada de álgebra unitária por ser a álgebra de Lie do grupo

de matrizes unitárias.

(e) su(n) = {X ∈ u(n) : trX = 0}.

Definição 3.22. (Ideal) Um subespaço g é um ideal se

∀Y ∈ h, X ∈ g, [X,Y ] ∈ h,

isto é,

[g,h] = {[X,Y ] : X ∈ g, Y ∈ h} ⊂ h.

Definição 3.23. (Ideal de Lie) Podemos dizer que h é um ideal de g se para

x, y ∈ g, então é válido [x, y] ∈ h.

Vamos citar duas categorias para álgebras de Lie:

Definição 3.24. (Álgebras simples) Uma álgebra de Lie g é uma álgebra de

Lie simples se [g,g] 6= 0 e se não tem outros ideais além de zero. Ou seja, não

apresenta outros ideais além dos triviais.

Definição 3.25. (Álgebras semi-simples) Uma álgebra de Lie g é uma álgebra

de Lie semi-simples se é a soma direta de álgebras de Lie simples, ou seja

g =
⊕r

i=1 gi. A soma direta
⊕

implica que [gi, gj] = 0 ∀ i 6= j e cada gi é

simples.

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Octônios relacionados à estruturas excepcionais

A classificação das álgebras de Lie fornece a classificação dos espaços

de simetrias. As álgebras de Lie são classificadas em duas grandes divisões: as

álgebras de Lie clássicas e as álgebras de Lie excepcionais. As álgebras de Lie

clássicas são an, bn, cn e dn e correspondem aos grupos de Lie clássicos como

foram mencionados anteriormente, enquanto que as álgebras correspondem aos

grupos de Lie excepcionais são: g2, f 4, e6, e7 e e8. A construção das álgebras

excepcionais apresentadas são devidas a H.Freudenthal. Uma forma alternativa é

apresentar as álgebras excepcionais como álgebras de derivações de certas álgebras

não associativas.

A construção Tits relatada para construção dos grupos de Lie excepcio-

nais demonstra essa forma de obter essas álgebras.

Sejam Hj (j = 1, 2, 4, 8) as álgebras de Hurwitz e J i3 (i = 1, 2, 4, 8) as

quatro álgebras de Jordan constrúıdas das álgebras de Hurwitz. Temos que dada

álgebra de Lie é determinada da segunda forma:

g ij = AutJ i3 + J
i(0)
3 ⊗Hj(0) + AutHj (3.15)

onde J
i(0)
3 é uma matriz hermitiana 3 × 3 com traço nulo e Hj(0) é a parte ima-

ginária pura do numero de Hurwitz Hj.

Em 1914, Èlie Cartan descobriu g2, a álgebra de derivação dos octônios.f 4

é a álgebra das derivações de uma álgebra de Jordan de dimensão 27, a álgebra

de Jordan excepcionais J8
3 , que pode ser realizada como uma subálgebra de ma-

trizes sobre os octônios. Assim consideramos as outras três álgebras excepcionais

relativas e6, e7, e e8. Um exemplo seguinte podemos demonstrar a construção

(3.15) para a álgebra excepcional g ij.

Exemplo 3.2.4. Seja gij uma álgebra de Lie com i = 2 e j = 8. Então temos

g28 = AutJ2
3 + J

2(0)
3 ⊗H8(0) + AutH8

= SU(3) + J
2(0)
3 ⊗H8(0) + g2 = e6

e a dimensão correspondente

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Octônios relacionados à estruturas excepcionais

d(g28) = [d(SU(3)) + [d(J2
3 )− 1][d(H8)− 1]− 1 + d(G2)

= 8 + [9− 1][8− 1] + 14 = 78.

A álgebra correspondente à esta construção é e6. Da mesma forma obtemos as

outras álgebras de Lie excepcionais. As dimensões relativas a essas álgebras de

Lie excepcionais correspondem as dimensões dos grupos de Lie excepcionais.

A essas álgebras podemos associar siste