...... ............... unesp TÃT UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA PROGRAMA DE , - POS-GRADUAÇAO , EM FISICA ÁREA DE FÍSICA APLIC-ADA INSTITUTO DE GEOCI NCIAS E Cl RIO CLARO Maria Júlia Fassis Órbitas Periódicas Retrógradas em Sistemas Binários 2025 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA ”Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Maria Júlia Fassis Órbitas periódicas retrógradas em sistemas binários Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Fi- lho”, como parte dos requisitos para a ob- tenção do t́ıtulo de Mestre em F́ısica. Orientadora: Prof. Dra. Maria Helena Moreira Morais Rio Claro - SP 2025 F249o Fassis, Maria Júlia Órbitas periódicas retrógradas em sistemas binários / Maria Júlia Fassis. -- Rio Claro, 2025 130 p. : il., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (UNESP), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro Orientadora: Maria Helena Moreira Morais 1. Problema dos três corpos. 2. Órbitas. 3. Mecânica celeste. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Dados fornecidos pelo autor(a). UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA ”Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Maria Júlia Fassis Órbitas periódicas retrógradas em sistemas binários Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Fi- lho”, como parte dos requisitos para a ob- tenção do t́ıtulo de Mestre em F́ısica. Comissão Examinadora Profa. Dra. Maria Helena Moreira Morais IGCE/UNESP/Rio Claro (SP) Profa. Dra. Alessandra Ferraz da Silva Ferreira FEG/UNESP/Guaratinguetá (SP) Prof. Dr. André Luis Prando Livorati IGCE/UNESP/Rio Claro (SP) Conceito: Aprovado Rio Claro (SP), 21 de maio de 2025. Agradecimentos Quero agradecer a toda minha famı́lia por sempre terem estado ao meu lado. Em especial, agradeço aos meu pais, Anáı e Marcos, e meus irmãos, Cauã e Fabiano, que me apoiaram a vida toda. Obrigada também aos meus avós, tios, tias e Aline. Também quero agradecer aos meus amigos por todo carinho e suporte não só em questões acadêmicas como também em questões pessoais. Em especial, obrigada aos meus amigos: Duda, Heloisa, Kaio, Lara, Luisa, Luiz Ricardo, Lucas, Luana, Victor, Victória, Thayná, Xandy, Érika, Bruna, Natália, Alan, Lariele, Luis Renato e Mayla. Também quero agradecer a todos os meus professores desde a educação infantil e, em especial, à Marta que me orientou como aluna de iniciação cient́ıfica por anos e foi uma das primeiras pessoas a apoiar minha decisão em fazer o mestrado na f́ısica. Agradeço à Helena primeiro por ter me aceitado como sua aluna e também por toda ajuda e excelente orientação durante esses anos de mestrado. Obrigada às instituições de ensino que tiveram papel fundamental em minha vida: Colégio SOE, Cotil (Colégio Técnico de Limeira) e Unesp (Universidade Estadual Paulista). O presente trabalho foi realizado com apoio da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), Brasil. Processo nº 2022/15410-9. As opiniões, hipóteses e conclusões ou recomendações expressas neste material são de responsa- bilidade do(s) autor(es) e não necessariamente refletem a visão da FAPESP. Resumo Nesse trabalho, buscamos numericamente órbitas periódicas simétricas (OPSs) retrógradas dentro do problema gravitacional circular restrito de 3 corpos (PCR3C), onde temos dois corpos (chamados primário e secundário) com massas finitas e um terceiro corpo com massa despreźıvel. Estudamos as órbitas descritas pelo terceiro corpo, as quais pertencem a famı́lias e das quais analisamos a estabilidade e seus pontos de bifurcação. Exploramos também a existência ou não de ressonância entre o peŕıodo dessas órbitas e o peŕıodo da órbita do secundário em torno do primário; em especial, estudamos e detalhamos as ressonâncias coorbitais retrógradas (ressonância 1/-1) encontradas. Investigamos nove sistemas diferentes dentro do PCR3C planar, buscando entender como as diferentes razões de massa influenciam na existência das famı́lias de OPSs retrógradas e em suas caracteŕısticas. Palavras-chave: órbitas retrógradas, órbitas periódicas simétricas, problema cir- cular restrito de 3 corpos, estabilidade, bifurcação, razão de massa, ressonância coorbital retrógrada. Abstract In this work, we numerically searched for retrograde symmetric periodic orbits (SPOs) within the circular restricted 3-body gravitational problem (CR3BP), where we have two bodies (called primary and secondary) with finite masses and a third body with negligible mass. We studied the orbits described by the third body, which belong to families and of which we analyzed the stability and their bifurcation points. We also explored the existence or not of resonance between the period of these orbits and the period of the secondary orbit around the primary; in particular, we studied and detailed the retrograde coorbital resonances (1/-1 resonances) found. We inves- tigated nine different systems within the planar CR3BP, seeking to understand how the different mass ratios influence the existence of the families of retrograde SPOs and their characteristics. Keywords: retrograde orbits, symmetric periodic orbits, circular restricted 3- body problem, stability, bifurcation, mass ratio, retrograde coorbital resonance. Lista de Abreviações Abreviação Descrição OP Órbita Periódica OPS Órbita Periódica Simétrica PCR3C Problema Circular Restrito de 3 Corpos P2C Problema de 2 Corpos PR3C Problema Restrito de 3 Corpos SoS Superf́ıcies de Poincaré (Surfaces of Section) Lista de Śımbolos Śımbolo Descrição f Anomalia verdadeira ω Argumento do pericentro C Conjunto dos números complexos Z Conjunto dos números inteiros N Conjunto dos números naturais R Conjunto dos números reais R+ Conjunto dos números reais não negativos CJ Constante de Jacobi G Constante gravitacional universal: G = 6, 6726× 10−11 Nm2 kg2 detA Determinante da matriz A e Excentricidade I Inclinação K2D Índice de estabilidade horizontal K3D Índice de estabilidade vertical Ω Longitude do nodo ascendente ϖ Longitude do pericentro: ϖ = Ω+ ω θ Longitude verdadeira: θ = f +ϖ ∆(T ) Matriz de monodromia ∆(t) Matriz fundamental de soluções I4 Matriz identidade 4x4 AT Matriz transposta da matriz A n Movimento médio (mean motion) k Ordem de ressonância T Peŕıodo µ2 Razão de massa (mass ratio): µ2 = m2 m1+m2 a Semi-eixo maior tr(A) Traço da matriz A Sumário 1 Introdução 11 1.1 Revisão teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Trabalhos na área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3 Organização desse trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Metodologia 30 3 Resultados 33 3.1 As famı́lias no sistema Sol-Netuno (µ2 = 5.15463× 10−5) . . . . . . . 36 3.2 As famı́lias no sistema Sol-Júpiter (µ2 = 0.001) . . . . . . . . . . . . 39 3.3 As famı́lias no sistema Terra-Lua (µ2 = 0.0121506683) . . . . . . . . . 43 3.4 As famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.04 . . . . . . . 46 3.5 As famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.1 . . . . . . . 54 3.6 As famı́lias no sistema Plutão-Caronte (µ2 = 0.1056338028) . . . . . . 62 3.7 As famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.3 . . . . . . . 70 3.8 As famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.4 . . . . . . . 75 3.9 As famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.5 - Problema de Copenhaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4 Conclusão 83 Referências 85 A Cálculo das matrizes Jacobianas 88 B Bifurcações com multiplicação de peŕıodo 92 C Diagramas caracteŕısticos 94 D Bifurcações em famı́lias 3D no sistema Sol-Netuno 99 E Pontos onde ocorrem troca de estabilidade 102 E.1 Das famı́lias no sistema Sol-Netuno (µ2 = 5.15463× 10−5) . . . . . . 102 E.2 Das famı́lias no sistema Sol-Júpiter (µ2 = 0.001) . . . . . . . . . . . . 104 E.3 Das famı́lias no sistema Terra-Lua (µ2 = 0.0121506683) . . . . . . . . 106 E.4 Das famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.04 . . . . . . 108 E.5 Das famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.1 . . . . . . . 114 E.6 Das famı́lias no sistema Plutão-Caronte (µ2 = 0.1056338028) . . . . . 119 E.7 Das famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.3 . . . . . . . 124 E.8 Das famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.4 . . . . . . . 129 E.9 Das famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.5 - Problema de Copenhaga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Caṕıtulo 1 Introdução A importância do estudo de órbitas periódicas (OPs) quando se trata de siste- mas dinâmicos vem sendo destacada por diversos pesquisadores desde o trabalho de Poincaré. Esse tipo de pesquisa é importante para entender a dinâmica de ob- jetos no Sistema Solar e em sistemas extrassolares. Trabalhos recentes, como [1] e [2], foram essenciais para identificar objetos com órbitas retrógradas ressonantes por meio do desenvolvimento de modelos anaĺıticos para sistemas com configurações de alta inclinação. Um exemplo particularmente interessante comentado em [3] é o asteroide (514107) Ka‘epaoka‘awela na ressonância retrógrada 1/1 (coorbital) com Júpiter. Os conceitos de órbitas retrógradas e ressonância serão explicados mais à frente no texto. 1.1 Revisão teórica 1.1.1 Problema gravitacional de 2 corpos e elementos orbitais Conforme [4], o Universo é um sistema formado por N corpos, N ∈ N, cuja força dominante é a força gravitacional Newtoniana. A evolução desse sistema depende, a longo prazo, da existência de regiões caóticas ou ordenadas do seu espaço de fase, o qual tem sua topologia determinada pela posição e estabilidade das órbitas periódicas do sistema. Sistemas binários são sistemas constitúıdos por dois corpos massivos cujo movi- mento é determinado pela sua interação gravitacional ([5]). Muitos sistemas do Sistema Solar podem ser abordados de uma forma simplifi- cada como um problema de dois corpos (P2C) quando consideramos um corpo se movendo ao redor de outro corpo mais massivo. Nesses casos, tratamos o efeito dos demais corpos como perturbações ao sistema. Segundo [6], o P2C corresponde a um sistema composto por dois corpos massivos (tratados como pontos de massa) que se movem segundo sua atração gravitacional, descrita pela Lei da Gravitação Universal de Newton: F = G m1m2 d2 (1.1) 11 onde G = 6, 6726 × 10−11 Nm2 kg2 é a constante gravitacional universal, m1 e m2 são as massas dos corpos e d é a distância entre eles, ou melhor, a distância entre os centros de massa. Consideremos, então, um sistema formado por dois corpos C1 e C2 com massas m1 e m2 e vetores de posição r⃗1 e r⃗2 em relação à origem O, respectivamente, assim como ilustrado na Figura 1.1. A origem O é um ponto fixado no espaço inercial. Figura 1.1: Esquema representando os vetores das forças agindo nos dois corpos de massa m1 e m2 com vetores de posição r⃗1 e r⃗2 em relação à origem O. [Fonte: Imagem baseada em [6]] Denotando a posição relativa entre os corpos por r⃗ = r⃗2 − r⃗1, temos da Lei da Gravitação Universal de Newton - equação (1.1) - e da Segunda Lei de Newton as seguintes equações para as forças associadas ao sistema:{ F⃗1 = G m1m2 r3 r⃗ = m1 ⃗̈r1 F⃗2 = −G m1m2 r3 r⃗ = m2 ⃗̈r2 (1.2) onde F⃗1 e F⃗2 são as forças gravitacionais exercidas pelos corpos e G é a constante gravitacional universal. Da equação de posição relativa segue que ⃗̈r = ⃗̈r2 − ⃗̈r1. Assim, note que substi- tuindo nela as equações (1.2) 1 temos d2r⃗ dt2 + µ r⃗ r3 = 0 . (1.3) Agora, olhando para esse sistema em coordenadas polares (r, θ) e definindo a origem em C1, denotaremos por ˆ⃗r o versor ao longo do vetor raio e por ˆ⃗ θ o versor perpendicular ao vetor raio. Assim, podemos escrever os vetores posição, velocidade e aceleração da seguinte forma: r⃗ = rˆ⃗r ; (1.4) 1De fato, das equações (1.2) temos ⃗̈r1 = G m2 r3 r⃗ e ⃗̈r2 = −G m1 r3 r⃗, logo ⃗̈r = ⃗̈r2 − ⃗̈r1 = −G m1 r3 r⃗ − G m2 r3 r⃗ = −G r⃗ r3 (m1 + m2) ⇔ ⃗̈r = −G(m1 + m2) r⃗ r3 ⇔ ⃗̈r = −µ r⃗ r3 ⇔ ⃗̈r + µ r⃗ r3 = 0 definindo µ = G(m1 +m2). 12 ˙⃗r = ṙˆ⃗r + rθ̇ ˆ⃗ θ ; (1.5) ¨⃗r = ( r̈ − rθ̇2 ) ˆ⃗r + [ 1 r d dt (r2θ̇) ] ˆ⃗ θ . (1.6) Dáı, comparando os componentes associados a ˆ⃗r nas equações que descrevem ¨⃗r em (1.3) e (1.6) e sabendo que r⃗ r3 ≡ 1 r2 ˆ⃗r, segue que r̈ − rθ̇2 = − µ r2 . (1.7) Então, definindo u = 1 r e h = r2θ̇ (isto é, h = 1 u2 θ̇) podemos reescrever 2 os vetores de velocidade e aceleração como ˙⃗r = − 1 u2 θ̇ du dθ = −hdu dθ e ¨⃗r = −hd2u dθ2 θ̇ = −h2u2 d2u dθ2 . Assim, segue de (1.7) que −h2u2 d2u dθ2 − 1 u h2u4 = − µ (1/u)2 ⇒ h2u2 d2u dθ2 + 1 u h2u4 = µu2 ⇒ h2 d2u dθ2 + 1 u h2u2 = µ ⇒ d2u dθ2 + 1 u u2 = µ h2 ⇒ ⇒ d2u dθ2 + u = µ h2 (1.8) uma equação diferencial linear de segunda ordem com solução geral dada por u = µ h2 [1 + e cos(θ−ϖ)], onde e (a amplitude) e ϖ (a fase) são constante de integração. Substituindo de volta u por r e definindo p = h2 µ (chamado semilatus rectum), obtemos r = p 1 + e cos(θ −ϖ) . (1.9) Note que essa é uma equação geral para cônicas em coordenadas polares. Portanto, conclúımos que o movimento no P2C é descrito por cônicas. Existem quatro possi- bilidades de cônicas: ćırculos, elipses, parábolas ou hipérboles; suas caracteŕısticas estarão sendo expressas na Tabela 1.1. Por exemplo, no P2C com o Sol e um planeta o orbitando, o movimento desse planeta é descrito por uma elipse que tem o Sol em um dos focos. Apesar de cometas terem órbitas com e ≈ 1, a maioria dos corpos permanentes do Sistema Solar tem órbitas com e << 1. Caracteŕısticas das cônicas Ćırculo e = 0 p = a Elipse 0 < e < 1 p = a(1− e2) Parábola e = 1 p = 2q Hipérbole e > 1 p = a(e2 − 1) Tabela 1.1: Classificação das cônicas quanto ao valor da excentricidade e e qual o valor de p para cada um dos casos; a é o semi-eixo maior da órbita e q é a distância até o centro de massa mais próximo. 2De fato, para reescrever (1.5), note que u̇ = du dt = du dθ dθ dt = θ̇ du dθ . Assim, temos r = 1 u ⇒ ṙ = d(1/u) dt = 1̇u−1u̇ u2 = 0−u̇ u2 = − 1 u2 u̇ = − 1 u2 θ̇ du dθ . Análogo para (1.6). 13 Assim, seguindo a Tabela 1.1 podemos reescrever a Eq. (1.9) para elipses como: r = a(1− e2) 1 + e cos(θ −ϖ) . (1.10) Elementos orbitais Ainda seguindo [6], considere dois corpos C1 e C2 com massas m1 e m2, respecti- vamente. O corpo C2 orbita C1 em uma órbita eĺıptica, a qual tem C1 um dos focos enquanto o outro foco permanece vazio. Seja o eixo x definido pelos dois focos dessa elipse e o eixo y perpendicular a ele. Considere ainda que assumimos uma direção de referência assim como ilustrado na Figura 1.2. Chamamos de pericentro o ponto da elipse onde C2 tem a menor distância posśıvel em relação a C1 e de apocentro o ponto C2 tem a maior distância posśıvel em relação a C1. Os elementos orbitais são definidos a seguir: • Denotamos por ϖ a longitude do pericentro, isto é, o ângulo entre a dire- ção de referência e o vetor que liga C1 ao pericentro. Esse valor é constante quando tratamos do P2C, mas pode variar com o tempo quando se introduz perturbações. • Denotamos por f a anomalia verdadeira, isto é, o ângulo entre o vetor que liga C1 ao pericentro e r⃗ (vetor que conecta C1 à C2). Essa é uma variável periódica com peŕıodo 2π. • Denotamos por θ a longitude verdadeira, isto é, o ângulo entre a direção de referência e o vetor r⃗ (vetor que conecta C1 à C2). Logo, θ = f + ϖ. Essa também é uma variável periódica com peŕıodo 2π. Perceba que podemos reescrever (1.10) como r = a(1−e2) 1+e cos(f) . Note que quando C2 está no aponcentro da órbita, ra = a + ae = a(1 + e) e θa = ϖ + π. Quando C2 está no pericentro da órbita, rp = a − ae = a(1 − e) e θp = ϖ. Esses são os valores máximo e mı́nimo do raio orbital. 14 Figura 1.2: Elementos orbitais f (anomalia verdadeira), ϖ (longitude do pericentro) e θ (longitude verdadeira) em órbita eĺıptica que descreve o movimento de um corpo com massa m2 (em M) ao redor de outro com massa m1, o qual está fixado no foco F2. O foco F1 é vazio e as medidas representadas por a e b são, respectivamente, o semi-eixo maior e o semi-eixo menor. [Fonte: Imagem constrúıda pela autora e baseada em [6]] Já na Figura 1.3 temos uma ilustração da órbita quando consideramos uma trajetória inclinada em relação a um plano de referência. Nela podemos ver os seguintes elementos orbitais: • Denotamos por I a inclinação, isto é, o ângulo entre o plano de referência e o plano que contém a órbita. A inclinação assume valores no intervalo [0◦, 180◦]. • O ponto onde a órbita intersecciona o plano de referência com a trajetória do corpo C2 na direção debaixo para cima é chamado de nodo ascendente. Linha dos nodos é o nome dado à reta que conecta o foco onde está C1 ao nodo ascendente. • Denotamos por Ω a longitude do nodo ascendente, isto é, o ângulo entre o vetor da direção de referência e a linha dos nodos (vetor que conecta o foco onde está C1 ao nodo ascendente). • Denotamos por ω o argumento do pericentro, isto é, o ângulo entre a linha dos nodos (vetor que conecta o foco onde está C1 ao nodo ascendente) e o vetor que conecta o foco onde está C1 ao pericentro. Logo, ϖ = Ω+ ω. 15 Figura 1.3: Elementos orbitais I (inclinação), nodo ascendente, Ω (longitude do nodo ascendente) e ω (argumento do pericentro) em órbita eĺıptica inclinada (tridi- mensional). [Fonte: Imagem constrúıda pela autora e baseada em [6]] Por outro lado, ainda conforme [6], podemos escrever o sistema de coordenadas em função de (r, f) definindo { x = r cosf y = r senf Considerando o movimento do corpo C2 durante um intervalo de tempo δt, temos em coordenadas polares que t = 0 → (r, θ) e t = δt → (r+ δr, θ+ δθ) . Logo, a área varrida pelo vetor r⃗ no intervalo δ é δA ≈ r(r+δr) 2 sen(δθ) ≈ r2 2 δθ. Então, dividindo essa equação por δt e tomando o limite quando t → 0, temos dA dt = r2 2 dθ dt = h 2 . A área total de uma elipse é dada pela equação A = πa′b′ onde a′ = 2a é o comprimento do eixo maior e b′ = 2b o comprimento do eixo menor. Além disso, usando p = h2 µ conforme definido após (1.9) temos para elipses p = h2 µ ⇒ h2 = pµ = a(1− e2)µ (1.11) e como da última equação temos A = hT 2 , segue que 3 T 2 = 4π2 µ a3 , (1.12) 3De fato, πa′b′ = A = hT 2 ⇔ πa′b′ = hT 2 (1.11)⇔ (π2a2b)2 = a(1−e2)µT 2 22 ⇔ π216a2b2 = a(1−e2)µT 2 4 ⇔ π216a2a2(1− e2) = a(1−e2)µT 2 4 ⇔ π216a3 = µT 2 4 ⇔ T 2 = π216a3 µ4 ⇔ T 2 = π24a3 µ . 16 o que corresponde à terceira lei de Kepler. Ainda, como θ cobre 2π rad durante um peŕıodo orbital, podemos definir a velocidade angular média ou movimento médio (mean motion) por n = 2π T . (1.13) Assim, segue de (1.12) e (1.13) que µ = 4π2 T 2 a 3 = (2π T )2a3 ⇒ µ = n2 a3 e segue dessa última equação e de (1.11) que h2 = aµ(1− e2) = an2a3(1− e2) ⇒ h = a2 n √ 1− e2. 1.1.2 Problema gravitacional de 3 corpos Segundo [4], quando tratamos de um sistema composto por três corpos, podemos classificá-lo quanto aos valores das massas: • Problema restrito de 3 corpos (PR3C): Nesse caso, consideramos inicialmente um sistema de dois corpos com massa finita m1 e m2 (os quais chamamos de primário e secundário) que se movem segundo sua interação gravitacional. A esse sistema, adicionamos um terceiro corpo com massa m3 despreźıvel (isto é, m3 tende a zero; [7]), o qual não afetará o movimento dos outros dois corpos, mas terá seu próprio movimento determinado pela atração gravitacional deles. – Problema circular restrito de 3 corpos (PCR3C): Nesse caso, o primário e o secundário se movem em órbitas circulares ao redor de seu centro de massa comum. • Problema geral de 3 corpos : Nesse caso, temos um sistema composto por três corpos com massa finita que se movem segundo sua interação gravitacional. Enquanto o caso restrito do problema de três corpos pode ser usado para estudar os objetos transnetunianos (tomando Sol e Netuno como primário e secundário, respectivamente) ou asteróides (tomando Sol e Júpiter como primário e secundário, respectivamente), por exemplo, o caso geral é aplicado em sistemas estelares triplos ou dois planetas orbitando uma estrela ou ainda dois satélites orbitando um planeta. Em [8], por exemplo, o autor explora órbitas no problema geral de 3 corpos. Problema gravitacional circular restrito de 3 corpos Para trabalhar com o problema circular restrito de 3 corpos (PCR3C), considere um sistema com dois corpos C1 (primário) e C2 (secundário) com massas finitas m1 e m2, respectivamente, e um terceiro corpo C3 de massa despreźıvel m3 posicionado em P . Nesse cenário, temos m1 ≥ m2 e m3 tende a zero. Veja a Figura 1.4. Apesar 17 de C3 não afetar o movimento do primário e do secundário, ele tem sua trajetória definida pela interação gravitacional deles e é sua trajetória que iremos estudar. Podemos estudar o movimento do corpo C3 por dois sistemas de coordenadas diferentes: (x, y, z) segundo o referencial sinódico ou (ξ, η, ζ) segundo o referencial inercial em relação ao centro de massa do sistema. O referencial sinódico, assim como explicado por [9], é um referencial que acom- panha o movimento rotacional dos corpos primário e secundário. Basicamente, con- sideramos um plano Gxy com origem em G, o centro de massa entre os corpos de massa m1 e m2. O eixo x desse plano é definido pela direção C1 para C2 e o eixo y é perpendicular ao eixo x. Perceba, então, que os corpos primário e secundário aparecem no referencial sinódico fixados no eixo x. Segundo [6], em t = 0, o eixo ξ coincide com o segmento C1C2. O eixo ζ é perpendicular ao plano ξη, logo, coincide com o vetor momento angular. Em ambos os sistemas de coordenadas citados, a origem O está fixada no centro de massa comum entre C1 e C2. Figura 1.4: Ilustração do PR3C com corpos C1 e C2 de massa m1 e m2 e o terceiro corpo C3 com massa despreźıvel em P . Sistemas de coordenadas (x, y, z) segundo o referencial sinódico e (ξ, η, ζ) segundo o referencial inercial em relação ao centro de massa do sistema (ponto O). [Fonte: Imagem constrúıda pela autora e baseada em [6]] Seja a posição de C1 dada por (ξ1, η1, ζ1) e a de C2 por (ξ2, η2, ζ2). Vamos definir uma unidade de medida de comprimento nesse sistema onde 1un equivale à distância entre C1 e C2, a qual é constante. Além disso, C1 e C2 tem a mesma velocidade angular em relação a outra e seu centro de massa comum. Também, eles tem o mesmo valor de movimento médio, n. Assumindo m1 > m2 e tomando µ = G(m1 +m2), podemos definir µ = m2 m1+m2 < 1 2 18 e, portanto, µ1 = Gm1 = 1− µ e µ2 = Gm2 = µ . (1.14) O valor µ2 = m2 m1+m2 é chamado razão de massa (mass ratio) e tem um papel de destaque em nossa pesquisa. Podemos, ainda, deduzir equações para as distâncias r1 (entre os corpos C1 e C3) e r2 (entre os corpos C2 e C3): r21 = (ξ1 − ξ)2 + (η1 − η)2 + (ζ1 − ζ)2 (1.15) r22 = (ξ2 − ξ)2 + (η2 − η)2 + (ζ2 − ζ)2 (1.16) e, assim, aplicando a forma vetorial da lei do inverso ao quadrado ([10]), as equações de movimento da part́ıcula em P são dadas por ξ̈ = µ1 ξ1−ξ r31 + µ2 ξ2−ξ r32 η̈ = µ1 η1−η r31 + µ2 η2−η r32 ζ̈ = µ1 ζ1−ζ r31 + µ2 ζ2−ζ r32 (1.17) Considerando que os corpos C1 e C2 estão em movimento circular no espaço (PCR3C), podemos supor um plano de rotação referencial em ξη rotacionando a uma taxa n na direção positiva (isto é, o referencial sinódico). Assim, no sistema (x, y, z) temos { r21 = (x+ µ2) 2 + y2 + z2 r22 = (x− µ1) 2 + y2 + z2 (1.18) e a matriz de transição ξ η ζ  = cos nt −sen nt 0 sen nt cos nt 0 0 0 1 x y z  com derivadas ξ̇ η̇ ζ̇  = cos nt −sen nt 0 sen nt cos nt 0 0 0 1 ẋ− ny ẏ + nx ż  eξ̈ η̈ ζ̈  = cos nt −sen nt 0 sen nt cos nt 0 0 0 1 ẍ− 2nẏ − n2x ÿ + 2nẋ− n2y z̈  . Logo, segue de (1.17) as equações de movimento para o terceiro corpo C3 ẍ− 2nẏ − n2x = − [ µ1 x+µ2 r31 + µ2 x−µ1 r32 ] ÿ + 2nẋ− n2y = − [ µ1 r31 + µ2 r32 ] y z̈ = − [ µ1 r31 + µ2 r32 ] z (1.19) Essas acelerações também podem ser escritas como o gradiente de uma função escalar U = U(x, y, z) = n2 2 (x2 + y2) + µ1 r1 + µ2 r2 , onde o termo (x2 + y2) representa o 19 potencial centŕıfugo do sistema e os termos ( 1 r1 ) e ( 1 r2 ) o potencial gravitacional. Temos: ẍ− 2nẏ = ∂U ∂x (1.20) ÿ + 2nẋ = ∂U ∂y (1.21) z̈ = ∂U ∂z . (1.22) Ainda conforme [6], veja que somando (1.20) · ẋ com (1.21) · ẏ e (1.22) · ż, segue que ẋẍ+ ẏÿ + żz̈ = ∂U ∂x ẋ+ ∂U ∂y ẏ + ∂U ∂z ż = dU dt e integrando essa equação temos ẋ2 + ẏ2 + ż2 = 2U − CJ , (1.23) onde CJ é uma constante de integração. Como v2 = ẋ2 + ẏ2 + ż2, segue que v2 = 2U − CJ . Substituindo o valor de U , obtemos a equação da chamada constante de Jacobi, uma constante de movimento, CJ = n2(x2 + y2) + 2 ( µ1 r1 + µ2 r2 ) − ẋ2 − ẏ2 − ż2 . (1.24) Ademais, existem no PR3C cinco pontos de equiĺıbrio chamados pontos Lagran- gianos. Conforme [6], chamamos de pontos de equiĺıbrio do sistema os pontos onde a part́ıcula possui velocidade e aceleração nulas no referencial sinódico. Figura 1.5: Ilustração da posição dos pontos de equiĺıbrio Lagrangianos. [Fonte: Imagem retirada do Google Images] 20 Os pontos Lagrangianos são distribúıdos da seguinte forma: L4 e L5 são, separa- damente, vértices de triângulos equiláteros cujo primário e secundário se encontram nos outros dois vértices; L1, L2 e L3 pertencem à mesma reta que o primário e o secundário, isto é, são colineares a eles. A posição dos pontos de equiĺıbrio Lagran- gianos estão ilustrados na Figura 1.5. 1.1.3 Órbitas Órbitas periódicas Chamamos de órbitas as trajetórias descritas pelos corpos ao longo do tempo. Quando elas se repetem por inúmeras vezes a partir de um certo peŕıodo de tempo T , dizemos que essas órbitas são periódicas com peŕıodo T ou podemos chamá-las órbitas T -periódicas. Conforme [4], podemos definir matematicamente uma condição Eq. (1.28) para que órbitas sejam periódicas. Para isso, considere o seguinte sistema de equações diferenciais de segunda ordem que descrevem um sistema dinâmico qualquer com dois graus de liberdade { ẍ1 = F1(x1, x2, ẋ1, ẋ2) ẍ2 = F2(x1, x2, ẋ1, ẋ2) . (1.25) Perceba que as equações de movimento do PR3C (apresentadas em (1.19)) em um contexto plano (bidimensional), isto é,ẍ− 2nẏ − n2x = − [ µ1 x+µ2 r31 + µ2 x−µ1 r32 ] ÿ + 2nẋ− n2y = − [ µ1 r31 + µ2 r32 ] y , (1.26) correspondem à descrição genérica apresentada em (1.25). Assim, assumindo as condições iniciais x10 , x20 , ẋ10 , ẋ20 (1.27) para o sistema (1.25), temos soluções da forma xi(x10 , x20 , ẋ10 , ẋ20 ; t) e a solução será periódica se xi(x10 , x20 , ẋ10 , ẋ20 ; t+ T ) = xi(x10 , x20 , ẋ10 , ẋ20 ; t) (1.28) para todo t ∈ R+. Essa é a chamada condição de periodicidade. Formas de representação e famı́lias Existem algumas formas de representar órbitas periódicas em figuras como por meio de superf́ıcies de Poincaré (SoS) ou diagramas caracteŕısticos, por exemplo (como discutido em [11]). Nos diagramas caracteŕısticos, cada ponto está associado a uma OP e para constrúı-los basta escolher dois elementos relacionados às órbitas, como CJ e x0 por exemplo, e utilizá-los como eixos de um gráfico bidimensional. 21 No geral, órbitas periódicas não são isoladas no espaço, mas pertencem a fa- mı́lias; as órbitas de uma mesma famı́lia possuem morfologia parecida e valores de peŕıodo muito próximos. Essas famı́lias podem ser representadas em diagramas caracteŕısticos por curvas cont́ınuas chamadas curvas caracteŕısticas. Nessa pesquisa, optamos por apresentar nossos resultados por meio de diagra- mas caracteŕısticos. Por outro lado, definição e mais informações sobre SoS são apresentadas em [6]. Vale comentar que nos SoS, segundo [12], as órbitas periódicas instáveis correspondem aos pontos de sela (X) e as órbitas periódicas estáveis aos pontos centrais (O). Órbitas retrógradas Para diferenciar as órbitas prógradas das retrógradas, seguiremos a classificação apresentada em [1]. As órbitas prógradas são caracterizadas por valores de inclinação I (entre o plano da órbita do terceiro corpo e o plano que contém o primário e o secundário) baixos, isto é, no intervalo I ∈ (0◦, 90◦), sendo que I ≈ 0◦ caracteriza o movimento prógrado coplanar. As órbitas retrógradas, por sua vez, possuem inclinações altas, isto é, no intervalo I ∈ (90◦, 180◦), sendo o movimento retrógrado coplanar definido por I ≈ 180◦. Para que as órbitas sejam retrógradas no referencial sinódico, é preciso que elas satisfaçam a seguinte condição: x0 · ẏ0 < 0 . (1.29) Vale notar que x0 ≡ x10 e ẏ0 ≡ ẋ20 quando comparamos as notações utilizadas em [1] e em [4]. Ainda, é definido por [1] uma condição para que a órbita seja retrógrada também no referencial do primário: CJ < 2µ1 |x0+µ2| + 2µ2 |x0−µ1| − µ2(µ2 + 2x0) para x0 > −µ2 e ẏ0 < 0 ou x0 < −µ2 e ẏ0 > 0. Essa condição vem do fato de que o momento angular nesse refencial deve ser negativo para que o movimento da órbita no mesmo seja considerado retrógrado. Órbitas simétricas Conforme [4], assumindo que as equações variacionais em (1.25) são invariantes pela transformação x1 → x1, x2 → −x2 e t → −t, temos que: se x1(t), x2(t) é solução do sistema, então x1(−t), −x2(−t) também é. Ainda, essa segunda solução é simétrica à primeira com respeito ao eixo x1. Logo, se uma órbita tem seu movimento iniciado em um ponto no eixo x1 (isto é, x20 = 0) e perpendicular a ele (isto é, com ẋ10 = 0) e se em outro momento ela cruza o eixo x1 perpendicularmente de novo, então ela é uma órbita fechada, periódica e simétrica em relação ao eixo x1. 22 Para uma órbita periódica com peŕıodo T , podemos escrever a condição de si- metria para órbitas bidimensionais assim: em t = 0 e em t = T/2 x2 = 0 = ẋ1 . (1.30) É importante esclarecer que entre t = 0 e t = T/2, a órbita pode cruzar o eixo x1 uma ou algumas vezes de forma não perpendicular (isto é, com ẋ1 ̸= 0). Apesar do foco desse trabalho ser voltado para o caso planar do PCR3C, também estudamos algumas famı́lias de OPSs retrógradas tridimensionais e, portanto, vale entender a classificação de órbitas simétricas também para o caso 3D. Segundo a classificação apresentada por [13], existem alguns tipos de simetria para órbitas tridimensionais a serem considerados. Nessa pesquisa, trabalhamos com dois tipos: • Simetria 3D - tipo 1: órbitas 3D simétricas em relação ao eixo x. As condições iniciais (x, y, z, ẋ, ẏ, ż) para esse tipo de órbita tem x = z = ẏ = 0. • Simetria 3D - tipo 2: órbitas 3D simétricas em relação ao plano xz. As condi- ções iniciais (x, y, z, ẋ, ẏ, ż) para esse tipo de órbita tem x = ẏ = ż = 0. 1.1.4 Ressonância Conforme [14], no caso do PCR3C onde o primário é mais massivo que o secundá- rio, existem famı́lias de órbitas periódicas ressonantes e não ressonantes. Enquanto as primeiras são caracterizadas pela comensurabilidade entre as frequências orbi- tais (isto é, pela ressonância), as segundas correspondem às soluções circulares que permanecem do problema não perturbado. Segundo [6], ressonâncias acontecem quando a divisão entre frequências ou peŕıo- dos resultam em frações com numerador e denominador inteiros. No caso abordado nessa pesquisa, ressonâncias retrógradas acontecem quando a divisão entre o peŕıodo das órbitas do secundário e do terceiro corpo em torno do primário resulta em uma fração p/q com p, q ∈ Z. Temos diversos exemplos de ressonância no Sistema Solar. Por exemplo, as luas de Júpiter Io, Europa e Ganymede estão em uma configuração onde Io tem ressonância 2/1 com Europa e Europa tem ressonância 2/1 com Ganymede, logo, enquanto Ganymede completa uma volta orbital ao redor de Júpiter, Europa repete sua órbita duas vezes e Io repete sua órbita quatro vezes. Órbitas em ressonância retrógrada p/q (também denotadas por órbitas em res- sonância p/-q), com p, q ∈ Z, tem ordem de ressonância equivalente à quantidade de vezes que a órbita intersecta a seção de Poincaré (SoS), ou ainda, equivalente à quantidade de vezes que a condição ẋ = 0 com ẏ · ẏ0 > 0 é satisfeita por peŕıodo. Devido a isso e denotando a ordem de ressonância em ressonâncias retrógradas por k, órbitas retrógradas circulares tem k = 1. Ainda, foi observado por [1] que, no geral, k = p+ q . (1.31) 23 Em especial, chamamos a ressonância 1/-1 de ressonância coorbital retrógrada. Ela foi descrita pela primeira vez em [1]. As órbitas em ressonância coorbital retró- grada, por exemplo, têm k = 1 + 1 ⇒ k = 2. 1.1.5 Estabilidade de órbitas periódicas Estabilidade horizontal Além da possibilidade de ressonâncias, outra caracteŕıstica que analisamos nas OPSs retrógradas encontradas foi a estabilidade. Seguindo a discussão apresentada em [4], a estabilidade das OPs é determinada pelo que acontece na vizinhança das soluções (órbitas) periódicas x(t) do sistema de equações de movimento. Classificaremos a estabilidade ou instabilidade dessas soluções ao definir um pequeno desvio inicial ξ(0) e analisar como ele se comporta com o passar do tempo. Caso esse desvio se mantenha mı́nimo em t = T , a solução é considerada estável; caso contrário, instável. A partir do pequeno desvio inicial ξ(0), temos a solução perturbada x′(t) = x(t) + ξ(t) e, dáı, obtemos o sistema de equações variacionais ξ̇(t) = Jξ(t) onde J é a matriz jacobiana do sistema. O processo para obter o sistema de equações variacionais é descrito em [4] e os cálculos para obter J são descritos no Apêndice A. O sistema de equações variacionais é formado por 4 equações diferenciais lineares com coeficientes dependentes do tempo. Se a solução x(t) for periódica com peŕıodo T , então as derivadas parciais serão T -periódicas e, portanto, o sistema é linear com coeficientes periódicos. Segue do teorema de existência e unicidade que o sistema de equações variacionais ξ̇(t) = Jξ(t) tem uma matriz fundamental de soluções, denotada por ∆(t) e definida por ∆̇(t) = J ∆(t) ,∀t ∈ R . (1.32) A matriz fundamental de soluções, ∆(t), no PCR3C planar é uma matriz 4×4 cujas colunas são soluções linearmente independentes correspondentes à condição inicial ∆(0) = I4 (matriz identidade 4 × 4). Aplicada no peŕıodo T , ∆(T ), ela recebe o nome de matriz de monodromia. Vale aqui uma definição (dada em [15]): Definição 1. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Se Av⃗ = λv⃗ com v⃗ ̸= 0⃗ e λ ∈ R, então λ é um autovalor de A e v⃗ um autovetor de A associado a λ. Temos em [4] três resultados importantes para esse trabalho: Resultado 1. O sistema de equações variacionais tem solução T -periódica se, e somente se, a matriz de monodromia, ∆(T ), tem um autovalor unitário. Resultado 2. A existência de uma integral de movimento não estacionária no sis- tema dinâmico implica que a matriz de monodromia, ∆(T ), tem um autovalor uni- tário. 24 Resultado 3. O sistema de equações variacionais tem uma solução especial, com condição inicial ξ(0), tal que ξ(t+ T ) = λξ(t) (1.33) se, e somente se, a matriz de monodromia, ∆(T ), tem autovalor λ com autovetor ξ(0) associado a ele. As demonstrações dos três resultados citados acima são feitas em [4]. Segue desse último resultado que para todo autovalor λ da matriz de monodromia, existe solução da forma ξ(t) = f(t) λt/T (1.34) onde f(t) é T -periódica e cuja condição inicial é o autovetor f(0) com autovalor λ associado. Retomando, temos uma solução periódica xi(t) e uma solução perturbada x′ i(t) = xi(t) + ξi(t) onde ξi(t) é solução do sistema de equações variacionais. Segue dáı que ξi(t) é expresso por ξ(t) = ∆(t) ξ(0) e, em t = T , temos ξ(T ) = ∆(T ) ξ(0) . (1.35) Logo, segue por indução que ξ(nT ) = [∆(t)]n ξ(0). Esse é um mapa do desvio inicial ξ(0) para diversos intervalos de tempo nT , então, note que o desvio ξ(nT ) da órbita depende de ∆(T ) e quanto mais a órbita se afastar da solução periódica (isto é, quanto maior o desvio), menos estável ela é. Isto é, a estabilidade das OPs dependem de ∆(T ). Ainda segundo [4], os autovalores de ∆(T ) são também necessariamente pares reais rećıprocos ou complexos conjugados por estarmos trabalhando com um sistema Hamiltoniano, assim a matriz de monodromia associada ao sistema de equações variacionais, que possui solução periódica, tem um par de autovalores unitários; vamos dizer λ1 = 1 = λ2. O que vai determinar se as órbitas são estáveis ou não serão os dois autovalores não unitários da matriz de monodromia (no caso planar, a matriz de monodromia possui quatro autovalores). Quando representamos os autovalores λ3, λ4 no plano complexo, as órbitas asso- ciadas a eles serão estáveis se eles estiverem no ćırculo unitário (isto é, quando eles tem módulo igual a 1) e instáveis se estiverem dentro ou fora do ćırculo unitário. Ainda, se λ3, λ4 estiverem nos pontos (±1, 0), então os autovalores estarão em pon- tos cŕıticos onde bifurcações (trocas de estabilidade horizontal) podem acontecer. Por outro lado, se λ3, λ4 forem números reais diferentes de ±1, as órbitas associadas a eles serão instáveis. Veja na Figura 1.6 um esquema indicando a relação descrita. 25 Figura 1.6: Quando λ3, λ4 são valores reais diferentes de 1 - como em (a), as órbitas são instáveis e quando λ3, λ4 são complexos com módulo igual a 1 - como em (c), as órbitas são estáveis. Quando λ3, λ4 = ±1, os autovalores estão em pontos cŕıticos onde trocas de estabilidade horizontal podem acontecer - como em (b). [Fonte: Imagem constrúıda pela autora e baseada em [4]] Na prática, para classificar as OPSs retrógradas encontradas quanto a estabili- dade, vamos utilizar os ı́ndices de estabilidade apresentados em [4]. Para estabilidade horizontal, temos um parâmetro K2D que depende dos auto- valores da matriz de monodromia e é denominado ı́ndice de estabilidade horizontal. Ele é definido por K2D = tr(∆(T ))− 2 . (1.36) Quando −2 < K2D < 2, a órbita é considerada horizontalmente estável e quando K2D > 2 ou K2D < −2, a órbita é considerada horizontalmente instável. Perceba, então, que temos os pontos de troca de estabilidade horizontal em K2D = ±2. Bifurcações com multiplicação de peŕıodo Esse ı́ndice, K2D, também indica pontos de bifurcação onde uma nova famı́lia surge com peŕıodo M ·T , com M ∈ N, a partir de uma famı́lia com peŕıodo T . Cha- mamos essas bifurcações de bifurcações com multiplicação de peŕıodo e dizemos que as famı́lias originadas por elas tem multiplicidade M . Segundo [11], quanto maior a multiplicidade de uma OP, mais loops ela terá e mais complexa será sua morfologia. Órbitas retrógradas ressonantes com esse tipo de bifurcação foram descritas em [16]. Segundo [4], quando K2D = −2, por exemplo, ocorrem bifurcações com dupli- cação de peŕıodo. Isto é, a partir de uma órbitas de uma famı́lia com peŕıodo T surge uma nova famı́lia com peŕıodo 2T (multiplicidade M = 2). Apresentamos no Apêndice B uma discussão de quando bifurcações com multiplicação de peŕıodo ocorrem com base em [4]. Nesse trabalho, iremos investigar a existência dessas bifurcações a partir dos valores de peŕıodo nas famı́lias encontradas cujas origens estão claramente em outras famı́lias nos diagramas caracteŕısticos. Mais especificamente, como utilizamos a contagem do número de vezes que a condição ẋ = 0 com ẏ · ẏ0 > 0 é satisfeita por peŕıodo para determinar a ordem de ressonância das OPSs encontradas, quando analisamos órbitas com multiplicidade maior que 1 (isto é, órbitas originadas a partir de bifurcações com multiplicação de peŕıodo) o valor de k calculado sofre uma multiplicação na mesma proporção que o 26 peŕıodo. Assim identificamos posśıveis bifurcações com multiplicação de peŕıodo nos diagramas caracteŕısticos gerados como resultados e confirmamos essas bifurcações a partir dos valores de peŕıodo nessas famı́lias. Estabilidade vertical Voltando na questão da estabilidade, a discussão acima levava em consideração a questão da estabilidade horizontal das órbitas. Seguindo [17], podemos ainda discutir a questão da estabilidade vertical das mesmas, isto é, a estabilidade da órbita fora do plano. Quando as posições e velocidades do terceiro corpo C3 são dadas no mesmo plano que contém o primário e o secundário, é esperado que C3 permaneça nesse plano sempre. Porém, é interessante analisar a estabilidade vertical dessas órbitas para entender as perturbações contra sua natureza planar que estão agindo nelas. Para isso, temos no caso do PR3C tridimensional as equações de movimento (1.19) para o terceiro corpo, C3, que podem ser reescritas de forma compacta por ẋi = fi(x1, x2, x3, x4, x5, x6) para i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Perceba que x1 ≡ x, x2 ≡ y, x3 ≡ z, x4 ≡ ẋ, x5 ≡ ẏ e x6 ≡ ż; análogo para os valores de ẋi. Associado a esse caso temos o sistema de equações variacionais dado por d dt ( ∂xi ∂x0j ) = ∑6 k=1 ∂fi ∂xk ∂xk ∂x0j para i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Nesse sistema, os elementos ∂x3 ∂x03 ; ∂x3 ∂x06 ; ∂x6 ∂x03 ; ∂x6 ∂x06 são os que indicam a estabilidade vertical das órbitas e são chamados parâmetros de estabilidade vertical. A equação que determina a evolução da matriz fundamental de soluções no tempo (1.32) associada ao sistema de equações variacionais para esse caso é dada por ∆̇z(t) = ( 0 1 Uzz 0 ) ∆z(t) (1.37) com Uzz sendo a derivada parcial dupla de U = U(x, y, z) = n2 2 (x2 + y2) + µ1 r1 + µ2 r2 , logo Uzz = −µ1 r31 + 3z2µ1 r51 − µ2 r32 + 3z2µ2 r52 . Os cálculos para obte-la estão descritos no Apêndice A. A matriz de monodromia nesse caso, ∆z(T ), será da forma 2x2, terá dois auto- valores e o valor de seu traço irá definir a estabilidade fora do plano das órbitas 2D. Isto é, trabalhamos com o ı́ndice de estabilidade vertical K3D = tr(∆z(T )) . (1.38) Esse ı́ndice equivale a K3D = ∂x3 ∂x03 + ∂x6 ∂x06 . Ainda segundo [17], existem alguns valores cŕıticos de K3D que podem levar a bifurcações verticais (isto é, bifurcações em famı́lias de órbitas 3D): 27 • QuandoK3D = 2, a famı́lia plana de órbitas periódicas bifurca em uma famı́lia tridimensional de órbitas periódicas mantendo a multiplicidade (isto é, mesmo peŕıodo). • Quando K3D = −2, a famı́lia plana de órbitas periódicas bifurca em uma famı́lia tridimensional de órbitas periódicas dobrando a multiplicidade (isto é, duplicação do peŕıodo). • E, no geral, quando −2 < K3D < 2 e K3D/2 = cos(2πm/n), m < n inteiros, a famı́lia plana de órbitas periódicas com multiplicidade M pode bifurcar em uma famı́lia tridimensional de órbitas periódicas com multiplicidade nM. Para esse trabalho, vamos considerar os pontos de bifurcação que originam fa- mı́lias 3D nas famı́lias de órbitas planas com K3D = ±2. Estabilidade em órbitas tridimensionais Quando trabalhamos com órbitas tridimensionais e usamos as equações de movi- mento (1.19) com as seis coordenadas (x, y, z, ẋ, ẏ, ż), podemos ainda obter a matriz de monodromia completa do sistema com tamanho 6 × 6, ∆3D(T ). Ela terá três pares de autovalores em vez de dois (sendo um par de autovalores unitários) e a classificação de estabilidade a partir dos módulos dos autovalores apresentada acima é análoga, isto é, a estabilidade das órbitas 3D irá depender dos quatro autovalores não unitários da matriz ∆3D(T ) e as órbitas serão estáveis quando esses autovalores forem números complexos com módulo igual a um. 1.2 Trabalhos na área É importante deixar claro que todo o exposto acima nesse caṕıtulo vem do tra- balho dos pesquisadores citados ao longo do texto, nenhum desses resultados ou conclusões foi feito pela autora (com exceção de algumas rápidas demonstrações pontuais). Trabalhos como [18], [19] e [20] mostraram que em sistemas estelares binários, planetas em movimento retrógrado são mais estáveis que planetas em movimento prógrado. Vários trabalhos abordam sistemas em configurações retrógradas. Por exemplo, em [14] os autores estudam famı́lias coorbitais retrógradas no PCR3C para Sol e Jú- piter como primário e secundário, em [21] estudam famı́lias para outras ressonâncias retrógradas assumindo esses mesmos corpos porém no PR3C circular e no eĺıptico, em [22] os autores fazem um estudo análogo a esse último porém assumindo Netuno como secundário e em [23] é estudado o caso PR3C tridimensional para Sol e Júpiter como primário e secundário. Além disso, o PR3C é abordado também de outras maneiras, como em [16] onde os autores buscam por órbitas retrógradas a partir de Superf́ıcies de Poincaré (SoS) 28 e como em [24] onde os autores analisam mapas de estabilidade para certas resso- nâncias retrógradas. Essas diferentes abordagens complementam nossos estudos. 1.3 Organização desse trabalho Nessa pesquisa, obtivemos numericamente órbitas periódicas simétricas (OPSs) retrógradas no problema circular restrito de 3 corpos (PCR3C) quando analisamos o movimento do terceiro corpo (com massa despreźıvel) e analisamos caracteŕısti- cas dessas OPSs tais como estabilidade e ressonância. Em particular, o caso da ressonância retrógrada 1/1 (coorbital) foi estudado com atenção especial. Estudamos 9 sistemas diferentes dentro do PCR3C, cada um com seu valor de razão de massa. Assim, conseguimos também observar como o aumento da razão de massa influencia nas caracteŕısticas das OPSs encontradas e na existência de famı́lias ressonantes. No Caṕıtulo 1 desse trabalho, fizemos uma discussão teórica dos conceitos neces- sários para realização dessa pesquisa, indicamos os objetivos da mesma e como esse trabalho está organizado. No Caṕıtulo 2, indicamos como a busca por OPSs foi feita e a metodologia utilizada. No Caṕıtulo 3, exibiremos e discutiremos os resultados obtidos nessa pesquisa. Por fim, conclúımos o trabalho no Caṕıtulo 4 retomando os pontos principais discutidos ao longo do texto. 29 Caṕıtulo 2 Metodologia Esse trabalho tem por objetivo encontrar numericamente OPSs retrógradas quando analisamos o movimento do corpo de massa despreźıvel no PCR3C. Para isso, desenvolvemos e utilizamos alguns algoritmos computacionais conforme vamos explicar a seguir. De forma geral, a busca por OPSs retrógradas bidimensionais foi feita a par- tir de dois métodos: método Grid-Search (método explicado em [25]) e método da continuação diferencial (utilizado em [14]). Além disso, escolhemos condições inicias (x0, y0, ẋ0, ẏ0) que respeitem tanto a condição de simetria (1.30) quanto a condição para que a órbita seja retrógrada no referencial sinódico (1.29), isto é, y0 = 0 = ẋ0 e x0 · ẏ0 < 0 . Inicialmente usamos o método Grid-Search para varrer uma grade de condições iniciais composta por valores de x0 e constante de Jacobi CJ . Neste método, o algoritmo escrito pela autora em linguagem Julia leva as condições iniciais dadas x0, CJ , y0 = 0, ẋ0 = 0 e calcula o valor de ẏ0 de acordo com a equação (1.24) para o caso planar CJ = n2(x2 + y2) + 2(µ1 r1 + µ2 r2 )− ẋ2 − ẏ2 ⇒ ẏ0 = ± √ (x2 0 + y20) + 2(µ1 r1 + µ2 r2 )− ẋ2 0 − CJ = ± √ x2 0 + 2(µ1 r1 + µ2 r2 )− CJ de forma a garantir que x0 · ẏ0 < 0. Com o conjunto de condições iniciais completo, o algotimo integra numericamente as equações de movimento (1.26) usando integrador Radau ([26]) para descobrir a partir da condição apresentada na Eq. (1.30) se este conjunto de condições iniciais resulta em uma órbita periódica simétrica ou não. Esse procedimento é repetido para todos os pares de condições iniciais (x0, CJ) dados na grade inicial. Caso o algoritmo não encontre OPSs retrógradas a partir das condições iniciais dadas, ele ainda pode identificar se duas soluções x̄1, x̄2 geradas por dois valores diferentes de x0 (x01 e x02) para o mesmo valor de CJ têm em algum momento y1 = 0 = y2 e ẋ1·ẋ2 < 0. Quando isso acontece, significa que entre esses valores de x0, existe um terceiro que resultará em uma OP simétrica para este CJ , pois por questões 30 de continuidade ẏ precisa ser zero em algum ponto entre ter um valor positivo e um valor negativo. Assim, o algoritmo calcula a média entre esses dois valores de x0, encontra ẏ0 a partir das demais condições iniciais definidas para esta parte da busca e testa novamente se encontrou uma OP simétrica baseado na condição apresentada na Eq. (1.30). Esse trecho do algoritmo é baseado no método da bissecção e será repetido quantas vezes for necessário para encontrar a OPS retrógrada entre as soluções x̄1, x̄2. Um esquema ilustrando essa passagem é feito na Figura 2.1. Figura 2.1: Caso o algoritmo não encontre SPOs retrógradas a partir das condições iniciais (C.I.s) dadas na grade inicial, o seguinte procedimento é feito: olharemos para as órbitas geradas a partir de condições iniciais com mesmo valor de CJ de duas a duas. Caso elas cruzem o eixo x em outro ponto que não o inicial, comparamos o sinal de ẋ nesses pontos; como em (a). Se os sinais forem opostos, fazemos uma média entre os x0 que geraram essas duas órbitas e integramos para gerar uma nova órbita; como em (b). Caso ela ainda não cruze o eixo x em um ponto onde ẋ = 0 - como em (c), identificamos em qual dos intervalos ẋ troca de sinal e geramos uma nova órbita nesse intervalo a partir do valor de x0 médio; como em (d). Esse processo é repetido até encontrarmos uma OPS retrógrada. [Fonte: Imagem constrúıda pela autora] Portanto, observe que o algoritmo pode testar todas as condições dadas na grade inicial e até mesmo valores de x0 dentre os fornecidos inicialmente, tornando nossa busca dinâmica e assertiva. Após esta etapa, obtemos diagramas caracteŕısticos de CJ X x0 com os resultados da pesquisa fornecidos pelo método Grid-Search. Porém, devido ao longo tempo de execução do programa, os autores optaram por utilizar uma grade com intervalos 31 não tão pequenos entre seus valores. Porém, como a grade não é tão detalhada, acabamos não obtendo as famı́lias completas de OPSs, apenas pedaços delas e é áı que passamos também a utilizar o método de correção diferencial. A partir dos resultados obtidos pelo método Grid-Search, sabemos exatamente qual conjunto de condições iniciais leva a OPSs para cada famı́lia presente nos dia- gramas caracteŕısticos. Então, selecionamos a famı́lia que estamos interessados em encontrar, pegamos algumas das condições iniciais que levaram a ela e colocamos esses valores no algoritmo escrito pela orientadora da autora em linguagem Fortran usando o método de correção diferencial. Este algoritmo integra as equações de movimento (1.26) usando o integrador Bulirsch-Stoer ([27]) para a condição inicial dada. Com base em correção diferencial, o algoritmo varia x0 ou ẏ0 para encon- trar outra OPS da mesma famı́lia na vizinhança de uma OPS já encontrada. Dessa forma, conseguimos encontrar a famı́lia completa. Figura 2.2: Fluxograma ilustrando a metodologia dessa pesquisa. [Fonte: Imagem constrúıda pela autora] Metodologia para o caso do PCR3C tridimensional No caso das OPSs tridimensionais, o processo para encontrá-las foi o seguinte: Encontramos os pontos nas famı́lias de OPSs 2D onde K3D = ±2 (isto é, pontos onde ocorrem bifurcações em famı́lias de órbitas 3D) e utilizamos eles como condição inicial em um algoritmo escrito pela orientadora da autora em linguagem Fortran usando o método de correção diferencial e as equações de movimento (1.19) para o PCR3C tridimensional. Para essas órbitas 3D, a análise de estabilidade foi feita baseada nos módulos dos seis autovalores da matriz de monodromia do sistema. Para que a órbita seja considerada estável, é preciso que |λi| = 1 para todos os i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. 32 Caṕıtulo 3 Resultados Nessa seção, vamos apresentar e discutir as caracteŕısticas das famı́lias de OPSs retrógradas encontradas em 9 sistemas diferentes no contexto do PCR3C, variando o valor da razão de massa no conjunto µ2 ∈ {5.15463× 10−5 ; 0.001 ; 0.0121506683 ; 0.04 ; 0.1 ; 0.1056338028 ; 0.3 ; 0.4 ; 0.5}. Em um sistema com primário de massa m1 e secundário de massa m2, a razão de massa é calculada por µ2 = m2 m1+m2 ; assim como indicado no Caṕıtulo 1. Veja, então, que estamos explorando quatro sistemas binários espećıficos, são eles: Sol-Netuno (cuja razão de massa é µ2 = 5.15463 × 10−5), Sol-Júpiter (cuja razão de massa aproximada é µ2 = 0.001), Terra-Lua (cuja razão de massa é µ2 = 0.0121506683) e Plutão-Caronte (cuja razão de massa é µ2 = 0.1056338028); além de outros cinco sistemas binários genéricos com certo valor de razão de massa (µ2 = 0.04; 0.1; 0.3; 0.4; 0.5). Ainda, vamos analisar como essas famı́lias se comportam conforme aumentamos o valor da razão de massa, em especial as famı́lias coorbitais retrógradas (ressonância 1/-1). No geral, os sistemas no PCR3C possuem três famı́lias de OPSs retrógradas coorbitais: uma que bifurca da famı́lia retrógrada circular externa, outra que bi- furca da famı́lia retrógrada circular interna (essas duas são denominadas coorbitais retrógradas modo 23 em trabalhos como [14]) e uma terceira que chamamos de coorbital excêntrica e existe para valores de excentricidade um pouco mais altos (de- nominada coorbital retrógrada modo 1 em trabalhos como [14]). Veja na Figura 3.1 um esquema 4 de onde cada uma dessas famı́lias aparece, no geral, nos diagramas caracteŕısticos CJXx0. 4Para construir esse esquema, usamos o diagrama caracteŕıstico CJXx0 encontrado ao analisar o sistema com razão de massa µ2 = 0.1, o qual será melhor discutido na subseção 3.5.1. 33 Figura 3.1: Esquema ilustrando onde as famı́lias coorbitais retrógradas aparecem, no geral, nos diagramas caracteŕısticos CJXx0 que veremos a seguir nesse caṕıtulo. As OPSs retrógradas nessas famı́lias também mantém uma morfologia seme- lhante independente do sistema em que estamos analisando. Nas Figuras 3.2, 3.3 e 3.4 apresentaremos um exemplo de OPS retrógrada no referencial sinódico em cada uma das duas famı́lias circulares e três famı́lias coorbitais. Figura 3.2: Exemplo (no referencial sinódico) de OPSs retrógradas da famı́lia cir- cular externa (à esquerda) e da ressonante coorbital que bifurca dela (à direita); encontradas ao estudar o sistema com razão de massa µ2 = 0.1. À esquerda: OPS com x0 = −1.1665, ẏ0 = 2.1453 e CJ = −1.4572. À direita: OPS com x0 = −1.1921, ẏ0 = 2.0775 e CJ = −1.1509. Primário em (0;−0.1) e secundário em (0; 0.9) repre- sentados por pontos pretos nas figuras. 34 Figura 3.3: Exemplo (no referencial sinódico) de OPSs retrógradas da famı́lia cir- cular interna (à esquerda) e da ressonante coorbital que bifurca dela (à direita); encontradas ao estudar o sistema com razão de massa µ2 = 0.1. À esquerda: OPS com x0 = −0.33625, ẏ0 = 2.1873 e CJ = 3.1095. À direita: OPS com x0 = −1.3571, ẏ0 = 1.9040 e CJ = −0.26299. Primário em (0;−0.1) e secundário em (0; 0.9) repre- sentados por pontos pretos nas figuras. Figura 3.4: Exemplo (no referencial sinódico) de OPS retrógrada da famı́lia coorbital excêntrica; encontrada ao estudar o sistema com razão de massa µ2 = 0.1. OPS com x0 = 2.0633, ẏ0 = −2.1888 e CJ = 0.47008. Primário em (0;−0.1) e secundário em (0; 0.9) representados por pontos pretos na figura. Por outro lado, encontramos nos 9 sistemas estudados algumas famı́lias que são retrógradas no referencial sinódico, mas são prógradas no referencial inercial. Op- tamos por não analisar em detalhes as que são prógradas no referencial inercial e, por isso, elas não aparecem nos diagramas caracteŕısticos presentes nas figuras desse caṕıtulo. Porém, vamos apresentá-las em diagramas no Apêndice C. 35 NOTA: Todas as figuras desse caṕıtulo foram constrúıdas pela autora. 3.1 As famı́lias no sistema Sol-Netuno (µ2 = 5.15463 × 10−5) Assumindo Sol (M1 = 1.98911 × 1030 kg)5 como primário e Netuno (M2 = 1.0243×1026 kg)6 como secundário, temos como razão de massa µ2 = 5.15463×10−5. A partir de duas grades iniciais: CJ ∈ [−2; 2] com x0 ∈ [0; 4] e CJ ∈ [−2; 0] com x0 ∈ [−3; 0], conseguimos encontrar trechos de várias famı́lias de OPSs retrógradas, cujas ordem de ressonância variam de 1 a 11, utilizando o método GridSearch. Na Figura 3.5, temos um diagrama CJ X x0 com os resultados dessa busca, nele a ordem de ressonância das famı́lias e suas estabilidades horizontais estão sendo indicados por meio de diferentes cores. Figura 3.5: Diagrama CJXx0 obtido inicialmente das famı́lias no sistema Sol- Netuno. A abreviação ’hor.’ significa ’horizontalmente’. Na Figura 3.5 temos apenas as famı́lias de OPSs retrógradas em ambos os re- ferenciais sinódico e inercial. As famı́lias denotadas por 1i, 1ii, 2i, 2ii e 2iii serão 5Dado em [6]. 6Dado em [6]. 36 melhor exploradas ao longo dessa seção e referenciadas com essa nomenclatura. Para esse sistema especificamente, decidimos explorar também os pontos das famı́lias circulares e coorbitais retrógradas encontradas onde K3D = ±2, isto é, onde ocorrem bifurcações em famı́lias de órbitas tridimensionais. Tais famı́lias são exibidas no Apêndice D. Vale comentar que esse sistema já foi estudado em trabalhos como [22] e [23]. Além disso, fizemos o artigo [28] sobre as famı́lias circulares e coorbitais retrógradas 2D no sistema Sol-Netuno, suas bifurcações em famı́lias 3D e o processo de captura de corpos em movimento retrógrado por esse sistema. 3.1.1 Famı́lias retrógradas coorbitais e circulares Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular externa retrógrada em CJ ≈ −1.0092. Chamaremos de famı́lia I a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular inicialmente horizontalmente estável e de famı́lia II a que bifurca inicialmente horizontalmente instável. A famı́lia I termina em colisão com Netuno (secundário) próximo a CJ ≈ −0.67615 com x0 ≈ −0.43026, já a famı́lia II termina colidindo também com Netuno (secundário) perto de CJ ≈ −0.99846 com x0 ≈ −0.95032. A famı́lia ressonante I é horizontalmente estável no intervalo CJ < −0.93471 e é verticalmente estável no intervalo CJ ≤ −0.90243. Já a famı́lia ressonante II é inteira horizontalmente instável e é verticalmente estável no intervalo −1.0092 ≤ CJ < −1.0008. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lia estão descritos na Tabela E.1 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.6 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular interna retrógrada em CJ ≈ −0.99051. Chamaremos de famı́lia III a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular e existe para mais valores de CJ e de famı́lia IV a outra. Enquanto a famı́lia III termina por colisão com o Sol (primário) perto de CJ ≈ 0.80039 com x0 ≈ −1.9950, a famı́lia IV termina por colisão com Netuno (secundário) perto de CJ ≈ −0.99639 com x0 ≈ −1.0498. A famı́lia ressonante III é horizontalmente e verticalmente estável durante toda sua existência. Já a famı́lia ressonante IV é horizontalmente estável no intervalo −0.99733 ≤ CJ ≤ −0.99051 onde −1.0287 ≤ x0 ≤ −1.0008 e é inteira verticalmente instável. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lias estão descritos na Tabela E.2 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.6 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. A famı́lia coorbital excêntrica retrógrada, por sua vez, existe para valores de excentricidade e ≥ 0.037233. Ela é limitada por colisão com o Sol (primário) próximo a CJ ≈ 0.80023 (onde x0 ≈ 1.9951) e por colisão com Netuno (secundário) próximo a CJ ≈ −1.2560 (onde x0 ≈ 1.3115). Esta famı́lia é horizontalmente estável para CJ ≥ −1.1351 e verticalmente estável para CJ ≥ −1.0122. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessa 37 famı́lia estão descritos na Tabela E.3 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.6 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. Figura 3.6: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 no sistema Sol - Netuno da famı́lia retrógrada coorbital excêntrica (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) e das famı́lias retrógradas circulares (violeta para OPSs horizontalmente estáveis e lilás para horizontalmente instáveis) e das coorbitais retrógradas (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) que bifurcam delas. Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o Sol (primário) ou com Netuno (secundário), respectivamente. Figura 3.7: Zoom no diagrama caracteŕıstico da Figura 3.6. 38 3.1.2 Famı́lias horizontal e verticalmente estáveis Veja na Figura 3.8 as famı́lias de OPSs que são horizontal e verticalmente estáveis nesse sistema. Figura 3.8: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 dos trechos horizontal e verticalmente estáveis das famı́lias circulares (k = 1) e famı́lias coorbitais (k = 2) no sistema Sol - Netuno analisadas em detalhes nesse trabalho. 3.2 As famı́lias no sistema Sol-Júpiter (µ2 = 0.001) Assumindo Sol (M1 = 1.98911 × 1030 kg)7 como primário e Júpiter (M2 = 1.8986 × 1027 kg)8 como secundário, decidimos utilizar a aproximação µ2 = 0.001 para analisar as famı́lias de OPSs retrógradas nesse sistema. A partir de duas grades iniciais: CJ ∈ [−3; 4] com x0 ∈ [0; 3] e CJ ∈ [−2; 4] com x0 ∈ [−3; 0], conseguimos encontrar trechos de várias famı́lias de OPSs retrógradas, cujas ordem de ressonância variam de 1 a 11, utilizando o método GridSearch. Na Figura 3.9, temos um diagrama CJ X x0 com os resultados dessa busca, nele a ordem de ressonância das famı́lias e suas estabilidades horizontais estão sendo indicados por meio de diferentes cores. Na Figura 3.9 temos apenas as famı́lias de OPSs retrógradas em ambos os re- ferenciais sinódico e inercial. As famı́lias denotadas por 1i, 1ii, 2i, 2ii e 2iii serão melhor exploradas ao longo dessa seção e referenciadas com essa nomenclatura. 7Dado em [6]. 8Dado em [6]. 39 Nossa motivação inicial para estudar esse sistema veio do fato de o mesmo já ter sido analisado em trabalhos como [29], [14] e [21]. Assim, conseguimos a partir desse estudo validar nosso método de busca. Figura 3.9: Diagrama CJXx0 obtido inicialmente das famı́lias no sistema Sol - Júpiter. A abreviação ’hor.’ significa ’horizontalmente’. 3.2.1 Famı́lias retrógradas coorbitais e circulares Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular externa retrógrada em CJ ≈ −1.0387. Chamaremos de famı́lia I a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular inicialmente horizontalmente estável e de famı́lia II a que bifurca inicialmente horizontalmente instável. A famı́lia I termina em colisão com Júpiter (secundário) próximo a CJ ≈ −0.41813 com x0 ≈ −1.7449, já a famı́lia II termina em colisão também com Júpiter (secundário) perto de CJ ≈ −0.66616 onde x0 ≈ −0.42494. A famı́lia ressonante I é horizontalmente estável no intervalo −1.0387 ≤ CJ ≤ −0.95527 onde −1.2837 ≤ x0 ≤ −0.99655 e é verticalmente estável no intervalo CJ ≤ −0.90790. Já a famı́lia ressonante II é inteira horizontalmente instável e é verticalmente estável no intervalo CJ < −1.0047. Os pontos de troca de estabili- dade horizontal e vertical dessas famı́lia estão descritos na Tabela E.4 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.10 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos 40 de estabilidade e de instabilidade horizontal. Figura 3.10: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 no sistema Sol - Júpiter da famı́lia retrógrada coorbital excêntrica (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) e das famı́lias retrógradas circulares (violeta para OPSs horizontalmente estáveis e lilás para horizontalmente instáveis) e das coorbitais retrógradas (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) que bifurcam delas. Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o Sol (primário) ou com Júpiter (secundário), respectivamente. Figura 3.11: Zoom no diagrama caracteŕıstico da Figura 3.10. Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular interna retrógrada em CJ ≈ −0.95625. Chamaremos de famı́lia III a famı́lia ressonante que bifurca 41 da famı́lia circular com os valores maiores de x0 e de famı́lia IV a que bifurca com os valores menores de x0. Enquanto a famı́lia III termina por colisão com o Sol (primário) perto de CJ ≈ 0.80400 com x0 ≈ −1.9953, a famı́lia IV termina por colisão com Júpiter (secundário) perto de CJ ≈ −0.73062 com x0 ≈ −1.5088. A famı́lia ressonante III é horizontalmente instável no intervalo −0.86425 ≤ CJ < −0.33487 onde −1.7378 < x0 ≤ −1.3039 e é inteira verticalmente estável. Já a famı́lia ressonante IV é horizontalmente estável no intervalo −0.97997 < CJ ≤ −0.95625 onde −1.0737 < x0 ≤ −1.0037 e é verticalmente estável no pequeno intervalo −0.95698 ≤ CJ ≤ −0.95625. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lias estão descritos na Tabela E.5 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.10 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. A famı́lia coorbital excêntrica retrógrada, por sua vez, existe para valores de excentricidade e ≥ 0.096607. Ela é limitada por colisão com o Sol (primário) próximo a CJ ≈ 0.80116 (onde x0 ≈ 1.9961) e por colisão com Júpiter (secundário) próximo a CJ ≈ −1.4157 (onde x0 ≈ 2.0605); existindo nos intervalos CJ ∈ [−1.4372; 0.80116] e x0 ∈ [1.1531; 2.0605]. Esta famı́lia possui um pequeno trecho de estabilidade horizontal em CJ ≈ −1.4372 com 1.8717 < x0 < 1.8742 e outro trecho de estabilidade horizontal no intervalo CJ > −1.2256. Ainda, ela é verticalmente estável para valores −1.0507 ≤ CJ ≤ 0.80116 onde 1.1538 < x0 < 1.9961. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessa famı́lia estão descritos na Tabela E.6 dispo- ńıvel no Apêndice E e na Figura 3.10 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. 3.2.2 Famı́lias horizontal e verticalmente estáveis Veja na Figura 3.12 as famı́lias de OPSs que são horizontal e verticalmente estáveis nesse sistema. 42 Figura 3.12: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 dos trechos horizontal e verticalmente estáveis das famı́lias circulares (k = 1) e famı́lias coorbitais (k = 2) no sistema Sol - Júpiter analisadas em detalhes nesse trabalho. 3.3 As famı́lias no sistema Terra-Lua (µ2 = 0.0121506683) Assumindo Terra (M1 = 5.9736× 1024 kg)9 como primário e Lua (M2 = 7.349× 1022 kg)10 como secundário, temos como razão de massa µ2 = 0.0121506683. A partir de duas grades iniciais: CJ ∈ [−3; 3] com x0 ∈ [0; 3] e CJ ∈ [−2; 2] com x0 ∈ [−2; 0], conseguimos encontrar trechos de várias famı́lias de OPSs retrógradas, cujas ordem de ressonância variam de 1 a 12, utilizando o método GridSearch. Na Figura 3.13, temos um diagrama CJ X x0 com os resultados dessa busca, nele a ordem de ressonância das famı́lias e suas estabilidades horizontais estão sendo indicados por meio de diferentes cores. Na Figura 3.13 temos apenas as famı́lias de OPSs retrógradas em ambos os referenciais sinódico e inercial. As famı́lias denotadas por 1i, 1ii, 2i, 2ii e 2iii serão melhor exploradas ao longo dessa seção e referenciadas com essa nomenclatura. 9Dado em [6]. 10Dado em [6]. 43 Figura 3.13: Diagrama CJXx0 obtido inicialmente das famı́lias no sistema Terra - Lua. A abreviação ’hor.’ significa ’horizontalmente’. 3.3.1 Famı́lias retrógradas coorbitais e circulares Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular externa retrógrada em CJ ≈ −1.1168. Chamaremos de famı́lia I a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular inicialmente horizontalmente estável e de famı́lia II a que bifurca inicialmente horizontalmente instável. Enquanto a famı́lia I termina próximo a CJ ≈ −0.51899 com x0 ≈ −1.7019, a famı́lia II termina em colisão também com a Lua (secundário) perto de CJ ≈ −0.44355 onde x0 ≈ −0.13352. A famı́lia ressonante I é horizontalmente estável no intervalo −1.1168 ≤ CJ ≤ −1.0233 onde −1.2916 ≤ x0 ≤ −0.98725 e é verticalmente estável no intervalo CJ < −0.99180 onde x0 > −1.3379. Já a famı́lia ressonante II é horizontalmente estável no intervalo −0.41304 ≤ CJ < −0.41292 onde −0.17814 ≤ x0 < −0.17508 e é verticalmente estável nos intervalos CJ < −1.0161 onde x0 < −0.84578. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lia estão descritos na Tabela E.7 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.14 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular interna retrógrada em CJ ≈ −0.828067. Chamaremos de famı́lia III a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular com os valores maiores de x0 e de famı́lia IV a que bifurca com 44 os valores menores de x0. Enquanto a famı́lia III termina por colisão com a Terra (primário) perto de CJ ≈ 0.84560 com x0 ≈ −1.9988, a famı́lia IV termina por colisão com a Lua (secundário) próximo a CJ ≈ 0.65293 com x0 ≈ −2.1589. A famı́lia ressonante III é horizontalmente estável nos intervalos −0.82807 ≤ CJ ≤ −0.74185 e CJ ≥ 0.66626 onde −1.3022 ≤ x0 ≤ −1.0138 e x0 ≤ −1.9882, respectivamente, e é verticalmente estável nos intervalos CJ ≤ −0.62482 e CJ ≥ −0.0099679 onde x0 ≥ −1.4529 e x0 ≤ −1.8396, respectivamente. Já a famı́lia res- sonante IV é horizontalmente estável no intervalo −0.88523 ≤ CJ ≤ −0.82807 onde −1.1536 ≤ x0 ≤ −1.0136 e é verticalmente estável no intervalo CJ ≥ −0.83641 onde x0 ≥ −1.0231. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́- lias estão descritos na Tabela E.8 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.14 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. Figura 3.14: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 no sistema Terra - Lua da famı́lia retrógrada coorbital excêntrica (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) e das famı́lias retrógradas circulares (violeta para OPSs horizontalmente estáveis e lilás para horizontalmente instáveis) e das coorbitais retrógradas (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) que bifurcam delas. Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com a Terra (primário) ou com a Lua (secundário), respectivamente. A famı́lia coorbital excêntrica retrógrada, por sua vez, existe para valores de ex- centricidade e ≥ 0.22587. Ela é limitada por colisão com a Terra (primário) próximo a CJ ≈ 0.81146 (onde x0 ≈ 2.0076) e por colisão com a Lua (secundário) próximo a CJ ≈ −1.1657 (onde x0 ≈ 2.4932); existindo nos intervalos CJ ∈ [−1.4109; 0.81146] e x0 ∈ [1.3626; 2.4932]. Esta famı́lia possui dois trechos de estabilidade horizontal nos intervalos 45 −1.4109 < CJ < −1.4103 e CJ ≥ −1.3010 onde 1.8675 < x0 < 1.8976 e x0 ≥ 1.5126, respectivamente. Ainda, ela é verticalmente estável também em dois trechos: −1.3001 < CJ < −1.2908 e CJ ≥ −1.1498 com 2.3192 < x0 < 2.3028 e x0 ≥ 1.3752, respectivamente. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessa famı́lia estão descritos na Tabela E.9 dispońıvel na Apêndice E e na Figura 3.14 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. 3.3.2 Famı́lias horizontal e verticalmente estáveis Veja na Figura 3.15 as famı́lias de OPSs que são horizontal e verticalmente estáveis nesse sistema. Figura 3.15: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 dos trechos horizontal e verticalmente estáveis das famı́lias circulares (k = 1) e famı́lias coorbitais (k = 2) no sistema Terra - Lua analisadas em detalhes nesse trabalho. 3.4 As famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.04 Aqui, vamos considerar um sistema genérico onde a razão de massa entre o primário e o secundário é µ2 = 0.04. A partir de uma grade inicial: CJ ∈ [−3; 3] com x0 ∈ [−3; 3], conseguimos encontrar trechos de várias famı́lias de OPSs retrógradas, cujas ordem de ressonância variam de 1 a 12, utilizando o método GridSearch. Na Figura 3.16, temos um diagrama CJ X x0 com os resultados dessa busca, nele a ordem de ressonância das 46 famı́lias e suas estabilidades horizontais estão sendo indicados por meio de diferentes cores. Na Figura 3.16 temos apenas as famı́lias de OPSs retrógradas em ambos os referenciais sinódico e inercial. As famı́lias denotadas por 1i, 1ii, 2i, 2ii, 2iii, 3i, 6i, 6ii, 8i, 9i, 10i, 10ii e 12i serão melhor exploradas ao longo dessa seção e referenciadas com essa nomenclatura. Nesse sistema, encontramos algumas bifurcações com multiplicação de peŕıodo cujas famı́lias serão analisadas em detalhes na Subseção 3.4.2. Figura 3.16: Diagrama CJXx0 obtido inicialmente das famı́lias no sistema com µ2 = 0.04. A abreviação ’hor.’ significa ’horizontalmente’. 3.4.1 Famı́lias retrógradas coorbitais e circulares Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular externa retrógrada em CJ ≈ −1.1774. Chamaremos de famı́lia I a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular inicialmente horizontalmente estável e de famı́lia II a que bifurca inicialmente horizontalmente instável. Enquanto a famı́lia I termina em colisão com o secundário próximo a CJ ≈ −0.93381 (com x0 ≈ −1.1829), a famı́lia II termina colidindo também com o secundário perto de CJ ≈ −0.57459 (com x0 ≈ −0.12850). A famı́lia ressonante I é horizontalmente estável nos intervalos −1.1774 ≤ CJ < −1.0681 e −0.65709 < CJ ≤ −0.65697 onde −1.3019 < x0 ≤ −0.97496 e −1.6139 < 47 x0 ≤ −1.6125, respectivamente, e é verticalmente estável no intervalo CJ ≤ −1.0748. Já a famı́lia ressonante II é horizontalmente estável no intervalo −0.44257 ≤ CJ < −0.44133 onde −0.21314 ≤ x0 < −0.20287 e é verticalmente estável nos intervalos CJ < −1.0220. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lia estão descritos na Tabela E.10 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.17 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. Figura 3.17: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 no sistema com µ2 = 0.04 da famı́lia retrógrada coorbital excêntrica (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) e das famı́lias retrógradas circulares (violeta para OPSs horizontalmente estáveis e lilás para horizontalmente instáveis) e das coorbitais retrógradas (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) que bifurcam delas. Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o primário (corpo de massa M1) ou com o secundário (corpo de massa M2), respectivamente. Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular interna retrógrada em CJ ≈ −0.64954. Chamaremos de famı́lia III a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular com os valores maiores de x0 e de famı́lia IV a que bifurca com os valores menores de x0. Enquanto a famı́lia III termina por colisão com o primário perto de CJ ≈ 0.93017 com x0 ≈ −2.0067, a famı́lia IV termina por colisão com o secundário perto de CJ ≈ 2.4592 com x0 ≈ −2.3389. A famı́lia ressonante III é horizontalmente estável no intervalo −0.64955 ≤ CJ ≤ −0.56696 onde −1.3060 ≤ x0 ≤ −1.0269 e é verticalmente instável no intervalo −0.45500 ≤ CJ ≤ 0.54254 onde −1.9693 ≤ x0 ≤ −1.4525. Já a famı́lia resso- nante IV é horizontalmente estável no intervalo −0.72801 < CJ ≤ −0.64954 onde −1.2098 < x0 ≤ −1.0269 e é verticalmente estável para CJ ≥ −0.67475. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lias estão descritos na Tabela E.11 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.17 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. 48 A famı́lia coorbital excêntrica retrógrada, por sua vez, existe para valores de excentricidade e ≥ 0.37418. Ela é limitada por colisão com o primário próximo a CJ ≈ 0.83349 (onde x0 ≈ 2.0352) e por colisão com o secundário próximo a CJ ≈ −0.64922 (onde x0 ≈ 2.8724); existindo nos intervalos CJ ∈ [−1.3418; 0.83349] e x0 ∈ [1.5553; 2.8724]. Esta famı́lia possui dois trechos de estabilidade horizontal nos intervalos −1.3418 ≤ CJ ≤ −1.3337 onde 1.8597 ≤ x0 ≤ 1.9563 e CJ ≥ −1.2787 com x0 ≤ 1.7039 inicialmente (x0 volta a ser maior que esse valor um pouco após CJ ≈ −0.8). Ainda, ela é verticalmente estável também em dois trechos: −1.2542 < CJ ≤ −1.2210 onde 2.3500 ≤ x0 < 2.2912 e CJ ≥ −1.2111. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessa famı́lia estão descritos na Tabela E.12 dispo- ńıvel no Apêndice E e na Figura 3.17 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. 3.4.2 Bifurcações com multiplicação de peŕıodo no sistema com µ2 = 0.04 Dessa forma, analisaremos aqui 8 famı́lias de OPSs retrógradas no sistema com razão de massa µ2 = 0.004: cinco delas bifurcam da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada (famı́lias 6i, 8i, 10i, 12i e 10ii na Figura 3.16) e duas bifurcam da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 (famı́lias 6ii e 9i bifurcam de 3i na Figura 3.16). Sobre as famı́lias que bifurcam da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada com multiplicação de peŕıodo, temos: • A famı́lia 6i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 3 (isto é, ocor- reu uma triplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ −1.2284 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ −1.0001) e existe até CJ ≈ −0.87435. Ela tem quatro pontos de troca de estabilidade horizontal e seis pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.13 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 8i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 4 (isto é, ocorreu uma quadruplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ −1.1531 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ −3.0414 × 10−6) e existe até CJ ≈ −0.59040. Ela tem um ponto de troca de estabilidade horizontal e três pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.14 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 10i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 5 (isto é, ocorreu uma quintuplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ −1.0685 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ 0.61800) e existe até CJ ≈ 0.10266. Ela tem quatro pontos de troca de estabilidade horizontal e cinco pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.15 dispońıvel no Apêndice E. 49 • A famı́lia 12i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 6 (isto é, ocor- reu uma sextuplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ −0.9625 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ 0.99997) e existe até CJ ≈ −0.041018, onde volta a se encontrar com a famı́lia coorbital excêntrica retrógrada. Ela tem dois pontos de troca de esta- bilidade horizontal e quatro pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.16 dispońıvel no Apêndice E. Além disso, essa famı́lia possui uma segunda interseção com a famı́lia coorbital excêntrica retrógrada próximo a CJ ≈ −0.041003, onde K2D ≈ 2.0000 no ponto da famı́lia 12i e K2D ≈ 0.99999 no ponto da famı́lia 2iii. • A famı́lia 10ii é composta por OPSs tem multiplicidade M = 5 (isto é, ocorreu uma quintuplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ 0.5002 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ 0.61800) e existe até CJ ≈ 0.67650. Ela tem um ponto de troca de estabilidade horizontal e dois pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.17 dispońıvel no Apêndice E. Veja na Figura 3.18 um diagrama caracteŕıstico com a famı́lia coorbital excêntrica retrógrada e das 5 famı́lias com multiplicação de peŕıodo que bifurcam dela. Sobre a famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 e as que bifurcam dela com multiplicação de peŕıodo: • A famı́lia 3i é composta por OPSs de ressonância 1/-2 com multiplicidade M = 1. Essa famı́lia existe a partir de CJ ≈ −1.8785338120251227 até CJ ≈ −0.85846780417471. Ela tem dois pontos de troca de estabilidade horizontal e quatro pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.18 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 6ii é composta por OPSs tem multiplicidade M = 2 (isto é, ocor- reu uma duplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 em CJ ≈ −1.4525 (em um ponto na famı́lia 3i onde K2D ≈ −1.9999) e existe até CJ ≈ −1.2985. Ela tem três pontos de troca de estabilidade horizontal e três pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.19 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 9i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 3 (isto é, ocor- reu uma triplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 em CJ ≈ −1.5076 (em um ponto na famı́lia 3i onde K2D ≈ −1.0000) e existe até CJ ≈ −1.3717. Ela tem cinco pontos de troca de estabilidade horizontal e oito pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.20 dispońıvel no Apêndice E. Veja na Figura 3.20 um diagrama caracteŕıstico com a famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 e das famı́lias com multiplicação de peŕıodo que bifurcam dela. 50 Figura 3.18: Diagrama CJXx0 no sistema com µ2 = 0.04 das famı́lias com multi- plicação M = 3 (rosa escuro para OPSs horizontalmente estáveis e rosa claro para horizontalmente instáveis), M = 4 (marrom escuro para OPSs horizontalmente es- táveis e marrom claro para horizontalmente instáveis), M = 5 (azul turquesa para OPSs horizontalmente estáveis e azul ciano para horizontalmente instáveis) e M = 6 (verde musgo para OPSs horizontalmente estáveis e verde oliva para horizontalmente instáveis) que bifurcam da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis). Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o primário (corpo de massa M1) ou com o secundário (corpo de massa M2), respectivamente. 51 Figura 3.19: Exemplo (no referencial sinódico) de OPSs retrógradas da famı́lia re- trógrada coorbital excêntrica (verde escuro) e das famı́lias com multiplicação M = 3 (rosa escuro), M = 4 (marrom escuro), M = 5 (azul turquesa) e M = 6 (verde musgo) que bifurcam dela. Em cima à esquerda em verde escuro: OPS com x0 = 1.6451, ẏ0 = −2.2800 e CJ = −1.2361. Em cima no meio em rosa escuro: OPS com x0 = 1.7898, ẏ0 = −2.3548 e CJ = −1.1957. Em cima à direita em marrom es- curo: OPS com x0 = 1.9766, ẏ0 = −2.4381 e CJ = −1.0063. Embaixo à esquerda em azul turquesa: OPS com x0 = 1.3665, ẏ0 = −1.8439 e CJ = 2.9129×10−2. Embaixo à direita em verde musgo: OPS com x0 = 2.4933, ẏ0 = −2.6727 e CJ = −0.11645. Primário em (0;−0.04) e secundário em (0; 0.96) representados por pontos pretos nas figuras. 52 Figura 3.20: Diagrama CJXx0 no sistema com µ2 = 0.04 da famı́lia com multipli- cação M = 2 (rosa escuro para OPSs horizontalmente estáveis e rosa claro para horizontalmente instáveis) e da famı́lia com multiplicação M = 3 (vermelho para OPSs horizontalmente estáveis e preto para horizontalmente instáveis) que bifurcam da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 (azul escuro para OPSs horizontalmente estáveis e azul claro para horizontalmente instáveis). Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o primário (corpo de massa M1) ou com o secundário (corpo de massa M2), respectivamente. Figura 3.21: Exemplo (no referencial sinódico) de OPSs retrógradas da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 (azul escuro) e das famı́lias com multiplicação M = 2 (rosa escuro) e M = 3 (vermelho). À esquerda em azul escuro: OPS com x0 = 2.2495, ẏ0 = −2.7619 e CJ = −1.6675. No meio em rosa escuro: OPS com x0 = 2.2755, ẏ0 = −2.7467 e CJ = −1.4766. À direita em vermelho: OPS com x0 = 2.2417, ẏ0 = −2.7272 e CJ = −1.5085. Primário em (0;−0.04) e secundário em (0; 0.96) representados por pontos pretos nas figuras. 53 3.4.3 Famı́lias horizontal e verticalmente estáveis Veja na Figura 3.22 as famı́lias de OPSs que são horizontal e verticalmente estáveis nesse sistema. Figura 3.22: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 dos trechos horizontal e verticalmente estáveis das famı́lias circulares (k = 1), famı́lias coorbitais (k = 2), famı́lias com ordem de ressonância k = 3, famı́lias com k = 6, famı́lias com k = 8, famı́lias com k = 9, famı́lias com k = 10 e famı́lias com k = 12 no sistema com razão de massa µ2 = 0.04 analisadas em detalhes nesse trabalho. 3.5 As famı́lias em um sistema com razão de massa µ2 = 0.1 Aqui, vamos considerar um sistema genérico onde a razão de massa entre o primário e o secundário é µ2 = 0.1. A partir de duas grades iniciais: CJ ∈ [−3; 3] com x0 ∈ [0; 4] e CJ ∈ [−2; 1] com x0 ∈ [−2; 0], conseguimos encontrar trechos de várias famı́lias de OPSs retrógradas, cujas ordem de ressonância variam de 1 a 12, utilizando o método GridSearch. Na Figura 3.23, temos um diagrama CJ X x0 com os resultados dessa busca, nele a ordem de ressonância das famı́lias e suas estabilidades horizontais estão sendo indicados por meio de diferentes cores. Na Figura 3.23 temos apenas as famı́lias de OPSs retrógradas em ambos os referenciais sinódico e inercial. As famı́lias denotadas por 1i, 1ii, 2i, 2ii, 2iii, 3i, 4i, 54 6i, 6ii, 9i e 10i serão melhor exploradas ao longo dessa seção e referenciadas com essa nomenclatura. Figura 3.23: Diagrama CJXx0 obtido inicialmente das famı́lias no sistema com µ2 = 0.1. A abreviação ’hor.’ significa ’horizontalmente’. Nesse sistema, encontramos algumas bifurcações com multiplicação de peŕıodo cujas famı́lias serão analisadas em detalhes na Subseção 3.5.2. 3.5.1 Famı́lias retrógradas coorbitais e circulares Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular externa retrógrada em CJ ≈ −1.2112. Chamaremos de famı́lia I a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular inicialmente horizontalmente estável e de famı́lia II a que bi- furca inicialmente horizontalmente instável. Enquanto a famı́lia I termina perto de CJ ≈ −0.84522 com x0 ≈ −1.4698, a famı́lia II termina colidindo com o secundário próximo a CJ ≈ −0.75646 onde x0 ≈ −0.16835. A famı́lia ressonante I é horizontalmente estável no intervalo −1.2112 ≤ CJ < −1.0701 onde −1.3107 < x0 ≤ −0.95262 e é verticalmente estável no intervalo CJ < −1.1485 onde x0 > −1.1967. Já a famı́lia ressonante II é horizontalmente estável no intervalo −0.49976 ≤ CJ ≤ −0.49167 onde −0.29019 ≤ x0 ≤ −0.26219 e é verticalmente estável nos intervalos CJ ≤ −1.0197 onde x0 ≤ −0.76811. Os pontos 55 de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lia estão descritos na Tabela E.21 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.24 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. Figura 3.24: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 no sistema com µ2 = 0.1 da famı́lia retrógrada coorbital excêntrica (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) e das famı́lias retrógradas circulares (violeta para OPSs horizontalmente estáveis e lilás para horizontalmente instáveis) e das coorbitais retrógradas (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis) que bifurcam delas. Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o primário (corpo de massa M1) ou com o secundário (corpo de massa M2), respectivamente. Duas famı́lias ressonantes retrógradas bifurcam da circular interna retrógrada em CJ ≈ −0.36756. Chamaremos de famı́lia III a famı́lia ressonante que bifurca da famı́lia circular com os valores maiores de x0 e de famı́lia IV a que bifurca com os valores menores de x0. Enquanto a famı́lia III termina por colisão com o primário perto de CJ ≈ 1.1281 com x0 ≈ −2.0233, a famı́lia IV termina por colisão com o secundário perto de CJ ≈ 2.6559 com x0 ≈ −2.2936. A famı́lia ressonante III é horizontalmente estável no intervalo −0.36756 ≤ CJ ≤ −0.28841 onde −1.3173 ≤ x0 ≤ −1.0494 e é verticalmente estável nos intervalos CJ ≤ −0.19681 e CJ ≥ 1.0903 onde x0 ≥ −1.4415 e x0 ≤ −2.0254, respectivamente. Já a famı́lia ressonante IV é horizontalmente estável no intervalo −0.46076 ≤ CJ ≤ −0.36756 onde −1.2617 ≤ x0 ≤ −1.0492 e é verticalmente instável nos intervalos −0.42226 < CJ < 2.3929 e CJ > 2.5920 onde −2.3286 < x0 < −1.1227 e x0 > −2.3052, respectivamente. Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessas famı́lias estão descritos na Tabela E.22 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 56 3.24 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. A famı́lia coorbital excêntrica retrógrada é limitada por colisão com o primário próximo a CJ ≈ 0.90547 (onde x0 ≈ 2.0909) e por colisão com o secundário próximo a CJ ≈ 0.87812 (onde x0 ≈ 3.3567); existindo nos intervalos CJ ∈ [−1.1809; 0.90547] e x0 ∈ [1.7795; 3.3567]. Esta famı́lia possui dois trechos de estabilidade horizontal nos intervalos −1.1809 ≤ CJ ≤ −1.1473 e −1.1044 ≤ CJ ≤ 0.75753 onde 1.9216 ≤ x0 ≤ 2.0724 e 1.8609 ≤ x0 ≤ 2.0867, respectivamente. Ainda, ela é verticalmente estável tam- bém em dois trechos: −1.1668 ≤ CJ < −1.0641 onde 2.1847 ≤ x0 < 2.4104 e CJ ≥ −1.1787 com x0 ≤ 2.0307 inicialmente (x0 volta a ser maior que esse valor um pouco após CJ = 0). Os pontos de troca de estabilidade horizontal e vertical dessa famı́lia estão descritos na Tabela E.23 dispońıvel no Apêndice E e na Figura 3.24 temos um diagrama caracteŕıstico indicando os trechos de estabilidade e de instabilidade horizontal. 3.5.2 Bifurcações com multiplicação de peŕıodo no sistema com µ2 = 0.1 Dessa forma, analisaremos aqui 6 famı́lias de OPSs retrógradas no sistema com razão de massa µ2 = 0.1: três delas bifurcam da famı́lia coorbital excêntrica retró- grada (famı́lias 4i, 10i e 6i na Figura 3.23) e duas bifurcam da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 (famı́lias 6ii e 9i bifurcam de 3i na Figura 3.23, respectivamente). Sobre as famı́lias que bifurcam da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada com multiplicação de peŕıodo, temos: • A famı́lia 4i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 2 (isto é, ocor- reu uma duplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ −1.1044 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ −2.0) e existe até CJ ≈ 0.44990. Ela tem um ponto de troca de esta- bilidade horizontal e cinco pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.24 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 10i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 5 (isto é, ocorreu uma quintuplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ −1.0481 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ −1.6181) e existe até CJ ≈ −0.75216. Ela tem dois pontos de troca de estabilidade horizontal e quatro pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.25 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 6i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 3 (isto é, ocor- reu uma triplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada em CJ ≈ −0.94453 (em um ponto na famı́lia 2iii onde K2D ≈ −0.99998) e existe até CJ ≈ 0.52133. Ela tem cinco pontos de troca de estabilidade horizontal e sete pontos de troca de estabilidade vertical que 57 serão descritos na Tabela E.26 dispońıvel no Apêndice E. Além disso, essa famı́lia possui uma segunda interseção com a famı́lia coorbital excêntrica re- trógrada próximo a CJ ≈ 0.17859, onde K2D ≈ 2.0 no ponto da famı́lia 6i e K2D ≈ −1.0000 no ponto da famı́lia 2iii. Veja na Figura 3.25 um diagrama caracteŕıstico com a famı́lia coorbital excêntrica retrógrada e das 3 famı́lias com multiplicação de peŕıodo que bifurcam dela. Figura 3.25: Diagrama CJXx0 no sistema com µ2 = 0.1 das famı́lias com multiplica- ção M = 2 (laranja escuro para OPSs horizontalmente estáveis e laranja claro para horizontalmente instáveis), M = 5 (azul turquesa para OPSs horizontalmente está- veis e azul ciano para horizontalmente instáveis) e M = 3 (rosa escuro para OPSs horizontalmente estáveis e rosa claro para horizontalmente instáveis) que bifurcam da famı́lia coorbital excêntrica retrógrada (verde escuro para OPSs horizontalmente estáveis e verde claro para horizontalmente instáveis). Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o primário (corpo de massa M1) ou com o secundário (corpo de massa M2), respectivamente. 58 Figura 3.26: Exemplo (no referencial sinódico) de OPSs retrógradas da famı́lia re- trógrada coorbital excêntrica (verde escuro) e das famı́lias com multiplicação M = 2 (laranja escuro), M = 3 (rosa escuro) e M = 5 (azul turquesa) que bifurcam dela. Em cima à esquerda em verde escuro: OPS com x0 = 2.0633, ẏ0 = −2.1888 e CJ = 0.47008. Em cima à direita em laranja escuro: OPS com x0 = 2.5379, ẏ0 = −2.8383 e CJ = −0.81067. Embaixo à esquerda em rosa escuro: OPS com x0 = 2.3319, ẏ0 = −2.5012 e CJ = 6.1996 × 10−2. Embaixo à direita em azul turquesa: OPS com x0 = 2.4798, ẏ0 = −2.7952 e CJ = −0.83914. Primário em (0;−0.1) e secundário em (0; 0.9) representados por pontos pretos nas figuras. Sobre a famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 e as que bifurcam dela com multiplicação de peŕıodo: • A famı́lia 3i é composta por OPSs de ressonância 1/-2 com multiplicidade M = 1. Essa famı́lia existe a partir de CJ ≈ −1.8748 até CJ ≈ −1.0230. Ela tem dois pontos de troca de estabilidade horizontal e seis pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.27 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 6ii é composta por OPSs tem multiplicidade M = 2 (isto é, ocorreu uma duplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 em CJ ≈ −1.5489 (em um ponto na famı́lia 3i onde K2D ≈ 59 −1.9999) e existe até CJ ≈ −1.0507. Ela tem quatro pontos de troca de estabilidade horizontal e seis pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.28 dispońıvel no Apêndice E. • A famı́lia 9i é composta por OPSs tem multiplicidade M = 3 (isto é, ocor- reu uma triplicação de peŕıodo). Essa famı́lia bifurca da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 em CJ ≈ −1.5968 (em um ponto na famı́lia 3i onde K2D ≈ −0.99997) e existe até CJ ≈ −1.3081. Ela tem três pontos de troca de estabilidade horizontal e oito pontos de troca de estabilidade vertical que serão descritos na Tabela E.29 dispońıvel no Apêndice E. Veja na Figura 3.27 um diagrama caracteŕıstico com a famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 e as famı́lias com multiplicação de peŕıodo que bifurcam dela. Figura 3.27: Diagrama CJXx0 no sistema com µ2 = 0.1 das famı́lias com multi- plicação M = 2 (rosa escuro para OPSs horizontalmente estáveis e rosa claro para horizontalmente instáveis) e com multiplicação M = 3 (vermelho para OPSs hori- zontalmente estáveis e preto para horizontalmente instáveis) que bifurcam da famı́lia retrógrada com ressonância 1/-2 (azul escuro para OPSs horizontalmente estáveis e azul claro para horizontalmente instáveis). Os śımbolos 1 e 2 na figura indicam os extremos onde as famı́lias terminam em colisão com o primário (corpo de massa M1) ou com o secundário (corpo de massa M2), respectivamente. 60 Figura 3.28: Exemplo (no referencial sinódico) de OPSs retrógradas da famı́lia re- trógrada com ressonância 1/-2 (azul escuro) e das famı́lias com multiplicação M = 2 (rosa escuro) e M = 3 (vermelho) que bifurcam dela. À esquerda em azul escuro: OPS com x0 = 2.2682, ẏ0 = −2.7763 e CJ = −1.6569. No meio em rosa escuro: OPS com x0 = 2.1256, ẏ0 = −2.6527 e CJ = −1.5464. À direita em vermelho: OPS com x0 = 2.1516, ẏ0 = −2.6768 e CJ = −1.5767. Primário em (0;−0.1) e secundário em (0; 0.9) representados por pontos pretos nas figuras. 3.5.3 Famı́lias horizontal e verticalmente estáveis Veja na Figura 3.29 as famı́lias de OPSs que são horizontal e verticalmente estáveis nesse sistema. 61 Figura 3.29: Diagrama caracteŕıstico CJ X x0 dos trechos horizontal e verticalmente estáveis das famı́lias circulares (k = 1), famı́lias coorbitais (k = 2), famı́lias com ordem de ressonância k = 3, famı́lias com k = 4, famı́lias com k = 6, famı́lias com k = 9 e famı́lias com k = 10 no sistema com razão de massa µ2 = 0.1 analisadas em detalhes nesse trabalho. 3.6 As famı́lias no sistema Plutão-Caronte (µ2 = 0.1056338028) O sistema binário Plutão-Caronte é um sistema binário formado pelo planeta- anão Plutão e seu satélite natural Caronte. Assumindo Plutão (M1 = 1.27 × 1022 kg)11 como primário e Caronte (M2 = 1.5×1021 kg)12 como secundário, temos como razão de massa µ2 = 0.1056338028. A partir de uma grade inicial: CJ ∈ [−3; 3] com x0 ∈ [−3; 3], conseguimos encontrar trechos de várias famı́lias de OPSs retrógradas, cujas ordem de ressonância variam de 1 a 12, utilizando o método GridSearch. Na Figura 3.30, temos um diagrama CJ X x0 com os resultados dessa busca, nele a ordem de ressonância das famı́lias e suas estabilidades horizontais estão sendo indicados por meio de diferentes cores. Na Figura 3.30 temos apenas as famı́lias de OPSs retrógradas em ambos os referenciais sinódico e inercial. As fam