Lucas Romero Galvão Silva Modelagem Computacional do Controle Mecânico Aplicado na Dinâmica Populacional do Mosquito da Dengue Botucatu 2016 Lucas Romero Galvão Silva Modelagem Computacional do Controle Mecânico Aplicado na Dinâmica Populacional do Mosquito da Dengue Trabalho de Conclusão de Curso apresen- tado ao Instituto de Biociências da Uni- versidade Estadual Paulista “Júlio de Mes- quita Filho”, Campus de Botucatu, para obtenção do tı́tulo de Bacharel em Fı́sica Médica. Orientador: Prof. Dr. Fernando Luiz Pio dos Santos Botucatu 2016 Palavras-chave: Controle mecânico; Dengue; Diferenças finitas; Equações diferenciais ordinárias; Modelagem matemática. Silva, Lucas Romero Galvão. Modelagem computacional do controle mecânico aplicado na dinâmica populacional do mosquito da Dengue / Lucas Romero Galvão Silva. - Botucatu, 2016 Trabalho de conclusão de curso (bacharelado - Física Médica) - Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", Instituto de Biociências de Botucatu Orientador: Fernando Luiz Pio dos Santos Capes: 10104003 1. Dengue. 2. Equações diferenciais ordinárias. 3. Modelos matemáticos. 4. Diferenças finitas. 5. Dinâmica populacional. DIVISÃO TÉCNICA DE BIBLIOTECA E DOCUMENTAÇÃO - CÂMPUS DE BOTUCATU - UNESP BIBLIOTECÁRIA RESPONSÁVEL: ROSEMEIRE APARECIDA VICENTE-CRB 8/5651 FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA SEÇÃO TÉC. AQUIS. TRATAMENTO DA INFORM. Agradecimentos Primeiramente agradeço a Deus, por ter me dado à vida, saúde e força para superar todas as dificuldades. A minha mãe Aparecia Lucia, agradeço por toda a sua dedicação durante a minha jornada. Por seu amor, compreensão, apoio e incentivo em todos os momentos e por me dar suporte e atenção nos momentos difı́ceis. Desejo que saiba que você é a pessoa mais importante do mundo para mim, a você dedico toda a minha admiração, amor e respeito. Ao meu irmão Matheus, por toda amizade e companherismo desde os bons e maus momen- tos. A toda a minha famı́lia por estar sempre presente na minha vida me ajudando, guiando e dando suporte em todas as ocasiões. A esta universidade, seu corpo docente, direção e administração que me forneceram suporte à minha permanência estudantil, e que oportunizaram a janela que hoje vislumbro um horizonte superior, eivado pela acendrada confiança no mérito e ética aqui presentes. Ao meu professor e orientador, Fernando, por todo suporte, paciência, sabedoria, por suas correções e incentivos, pela confiança depositada. Muito obrigado pela oportunidade de fazer com que eu me tornar-se uma pessoa melhor e mais sábia. Em especial aos meus cachorros, Gudo, Jade, Milu, Eboni e Amarelinho e ao meu gato Tinico e minha galinha Pintinha, alguns não se encontram mais presentes mas agradeço imen- samente por seu amor incondicional e por mostrar o quão simples pode-se ser feliz através de pequenas atitudes. Aos meu amigos, Silas, Fernanda, Rebeca, Amanda, Nelson, Raphaella, Tiago, Karina, Bia, Jéssica, Sarah, Letı́cia e Franciane, por sua amizade, suporte e apoio nos bons e maus momen- tos. Aos alunos da turma X da Fı́sica Médica, pelos bons momentos proporcionados, pude aprender muito com todos. E a todos que direta ou indiretamente fizeram parte da minha formação , o meu muito obri- gado. Resumo Modelos compartimentais com base no sistema de equações diferenciais são muito úteis no estudo da dinâmica de doenças infecciosas transmitidas ao ser humano por um vetor. Neste trabalho considerou-se o vetor Aedes aegypti, que transmite as Doenças Febre amarela, Den- gue, Chikungunya e Zika vı́rus. Devido à elevada resistência e impossibilidade de erradicação do Aedes aegypti, formas eficazes de controle de mosquitos devem ser consideradas. Controle mecânico como a remoção de criadouros de mosquitos foi considerado no modelo matemático. O controle mecânico foi modelado em função de dois parâmetros relacionados aos esforços da população em remover os locais de reprodução de mosquitos e em investimentos do governo. O principal objetivo foi investigar numericamente os efeitos desses parâmetros na dinâmica po- pulacional do mosquito. Para se obter a solução numérica, o modelo foi discretizado usando o método das Diferenças Finitas. Foram realizadas simulações computacionais considerando diferentes cenários para o controle mecânico dos mosquitos. Os resultados numéricos são apresentados e mostram a existência de um conjunto de parâmetros eficazes no controle da população do mosquito da Dengue. Palavras-chave: Dengue,Equações Diferencial Ordinárias, Diferenças Finitas, Controle Mecânico. Abstract Compartmental models based on the system of differential equations are very useful to study the dynamics of infectious diseases transmitted to humans by a vector. In this study, we considered the Aedes aegypti vector that transmits Yellow Fever, Dengue, Chikungunya and Zika virus diseases. Due to the high resistance and impossibility of eradication of Ae- des aegypti, effective ways to control mosquitoes should be considered. Mechanical control to remove breeding grounds from mosquitoes was considered in the mathematical model. The mechanical control was modeled on two parameters concerning efforts from the population to remove the mosquito breeding sites, as well as government investments. The main aim was to investigate numerically the effects of these parameters on the population dynamics of mosqui- toes. To obtain the numerical solution, the model was discretized using the Finite Difference method. Computational simulations were performed considering different scenarios for the me- chanical control of mosquitoes. The numerical results are presented and show the existence of a set of parameters effective in controlling the population of the Dengue mosquito. Keywords: Dengue, Ordinary Differential Equations, Finite Difference, Mechanical Control. 6 Sumário Resumo 4 Abstract 5 1 Introdução 9 2 O Modelo 10 2.1 Dinâmica Populacional do Mosquito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Dinâmica Populacional do Mosquito com Controle Mecânico . . . . . . . . . . 12 2.3 Discretização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Validação do modelo com controle mecânico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Verificação do Controle via Solução Analı́tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Resultados 16 3.1 Simulações com os parâmetros τ e u variados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.1.1 τ = 0.01 e u = 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.2 τ = u = 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.1.3 τ e u variáveis ao longo do tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 Discussão 19 5 Conclusão 20 7 Lista de Figuras 1 Esquema compartimental das fases aquática (A) e alada da população de mos- quitos machos (M ), fêmeas não-fertilizadas (I) e fêmeas fertilizadas (F ). . . . 11 2 Crescimento populacional na ausência dos parâmetros de controle τ e u. Parâmetros de Simulação: dt = 0.1; τ = u = 0; T = 300. . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Comparação entre modelos sem controle e controle não efetivo no estado epidêmico: (a) Modelo sem controle: desconsiderando o parâmetro de controle, α = 0; (b) Modelo com controle não efetivo: considerando α 6= 0 não-efetivo, τ = 1.0 e u = 0.01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Comparação da solução analı́tica e numérica do controle mecânico com os parâmetros τ = u = 0 com t = 8 dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Análise comportamental da dinâmica populacional do mosquito da dengue para valores arbitrários de α, com controle constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 Controle efetivo das populações para parâmetros de controle τ = 0.01 (baixa taxa de esquecimento) e u = 1.0 (alta taxa de investimento; Tempo total: T = 100. 18 7 Alta taxa de investimento e alta taxa no esquecimento, τ = u = 1 e t = 140. . . 18 8 Crescimento populacional com taxas variadas ao longo do tempo. baixa taxa de esquecimento e alta taxa de investimento, para T < 200 dias. Alta taxa de esquecimento, τ = 1.0, e baixa taxa de investimento, u = 0.01, T ≥ 200 dias. . 19 8 Lista de Tabelas 1 Variáveis de estado (densidade populacional) no tempo t. . . . . . . . . . . . . 11 2 Parâmetros e descrição biológicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 Condições iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 4 Parâmetros biológicos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 9 1 Introdução Modelos compartimentalizados baseados em sistemas de equações diferenciais estão sendo cada vez mais utilizados para estudar e entender a dinâmica de doenças infecciosas, muitas ve- zes transmitidas ao homem por meio de um vetor, (Silva, 2013), (Figueiredo et al., 2007), (Zill, 2011). A ciência conhecida como epidemiologia matemática nos permite conhecer e propor modelos que auxiliam na criação de estratégias de controle, (Silva, 2013). O vetor em questão é o mosquito Aedes Aegypti, portador e transmissor de doenças epidemiológicas como a Dengue, Zika, Chikungunya e Febre Amarela, (Ministério da Saúde, 2016). A Dengue é uma arbovirose que vem preocupando as autoridades sanitárias de todo o mundo em virtude de sua circulação nos cinco continentes e do grande potencial para desenvolvimento de formas graves e letais de doença. Cerca de 2,5 bilhões de pessoas encontram-se em risco de infecção, particularmente em paı́ses tropicais e subtropicais, onde a umidade e a temperatura favorecem a proliferação do mosquito vetor, (Flauzino et al., 2009), (WHO, 2010). Existem quatro sorotipos diferentes do vı́rus causador da Dengue, sendo eles: DEN-1, DEN- 2, DEN-3 e DEN-4; a transmissão deles ao ser humano se deve ao mosquito fêmea infectado do Aedes Aegypti, que necessita de sangue para desenvolver seus ovos, que por sua vez, são resistentes á longos perı́odos de secas, podendo sobreviver por mais de 1 ano sem contato com a água para completar o seu desenvolvimento,(Ministério da Saúde, 2016), (Silva H.H.G e Silva I.G.,1999). Devido ao fato de sua grande resistência e impossibilidade de erradicação até o pre- sente momento, faz se necessário a formulação de mecanismos de controle, no qual é utilizado pela SUCEN (Superintendência de Controle de Endemias), sendo eles: o controle quı́mico, o controle fı́sico e o controle biológico. O Controle fı́sico ou mecânico atua na forma de remoção de criadouros, já o controle quı́mico atua por meio de inseticidas e o controle biológico atua por inserção organismos vivos no ambiente (SUCEN,2008), (CDC,2010). Trabalhos cientı́ficos mostram que os controles quı́mico e biológico devem atuar de maneira conjunta para obter efe- tividade, (Florentino et al., 2014). Por isso, este trabalho concentra-se na aplicação de um controle mecânico que é modelado dependente de parâmetros relacionados ao grau de esquecimento da população na remoção de criadouros do vetor e investimentos do poder público em agentes de saúde. Para obter a solução numérica do modelo, as equações diferenciais são discretizadas pelo Método de Diferenças Finitas (MDF) explı́cito. Simulações computacionais considerando parâmetros que definem 10 ausência de controle e um controle efetivo da população de mosquitos foram efetuadas. Resul- tados numéricos convergidos são apresentados e mostram os efeitos do controle na dinâmica populacional dos mosquitos, e com isso, descobrir quais são os parâmetros que tornam esse controle efetivo. Na próxima seção será descrito o modelo matemático que será utilizado para analisar os efeitos do controle mecânico na dinâmica populacional do mosquito. 2 O Modelo O modelo compartimental baseado em sistemas de equações diferenciais é utilizado para entender a dinâmica da população do mosquito da dengue considerando as fases aquática (ovo, larva e pupa) como fase imatura e alada como fase adulta. Na fase alada, têm-se a população dos mosquitos machos e fêmeas não-fertilizadas e fertilizadas. Neste modelo compartimental baseado em (Thomé et al.; 2010) , adotaremos os seguintes parâmetros: A(t), I(t), F (t),M(t), como populações de mosquitos na fase aquática, população de fêmea imatura, fêmea fertilizada e machos, respectivamente. A estas populações são aplica- das taxas de mortalidade descritas como: µA, µI , µF e µM , onde os ı́ndices de µ referenciam-se as repectivas populações citadas anteriormente. A taxa de oviposição da fêmea fertilizada F (t) é proporcional a sua densidade e dependerá do número de criadouros e é dado por φ ( 1− A(t) C ) , sendo φ a taxa de oviposição intrı́nseca eC a capacidade de suporte do meio. Os mosquitos pas- sam para a fase alada numa taxa γ, onde r representa a proporção de fêmeas e (1-r) a proporção de machos. A trasição da fêmea imatura para a fertilizada provém do seu encontro com os mosquitos machos e uma taxa β que representa a taxa de acasalamento de mosquitos naturais. Por fim temos uma taxa α sendo α > 0, que representa o controle mecânico aplicado na fase aquática. Dessa forma, as Tabelas (1) e (2) resumem, respectivamente, as variáveis de es- tado representando a modelagem da densidade populacional no tempo t, para um t > 0 e os parâmetros biológicos do problema. A Figura (1) representa o diagrama da dinâmica populacional do mosquito da dengue, no qual é utilizado para descrever o modelo em sistema de equações diferenciais ordinárias. 11 Tabela 1: Variáveis de estado (densidade populacional) no tempo t. A(t) população de mosquito na fase aquática I(t) população de fêmeas não-fertilizadas F (t) população de fêmeas fertilizadas M(t) população de machos Tabela 2: Parâmetros e descrição biológicas. Parâmetros Descrição biológica µA Taxa de mortalidade na fase aquática µI Taxa de mortalidade da fêmea não-fertilizadas µF Taxa de mortalidade da fêmea fertilizada µM Taxa de mortalidade do macho φ Taxa de oviposição intrı́nseca C Capacidade de suporte do meio γ Passagem para a fase alada r e 1− r Proporção de fêmeas e machos, respectivamente β Taxa de acasalamento dos mosquitos α Controle mecânico Figura 1: Esquema compartimental das fases aquática (A) e alada da população de mosquitos machos (M ), fêmeas não-fertilizadas (I) e fêmeas fertilizadas (F ). Na próxima seção será descrito a dinâmica populacional do mosquito. 12 2.1 Dinâmica Populacional do Mosquito O modelo compartimental apresentado anteriormente descreve a dinâmica populacional do mosquito da dengue. Para simplificar as notações representaremos as variáveis de estado do sis- tema A(t), I(t), F (t), M(t) e α(t) por A, I , F , M e α. Assim o modelo pode ser representado pelo seguinte sistema de equações diferenciais:  dA dt = φ ( 1− A C ) F − (γ + µA)A dI dt = rγA− (β + µI)I dF dt = βI − µFF dM dt = (1− r)γA− µMM (1) 2.2 Dinâmica Populacional do Mosquito com Controle Mecânico Como proposta para o controle do mosquito, considera-se α variável no tempo, dependente de uma taxa fixa, u, representando o esquecimento de cuidados ao combate da dengue (limpeza ou remoção de ovos na fase aquática) e de uma taxa fixa, τ , representando investimentos no combate do vetor. A Equação seguinte representa o modelo de controle proposto aqui, na qual deve ser resolvida de forma acoplada ao sistema (1). dα dt = −τα + u (2) Sendo: τ : Taxa fixa representando o esquecimento de cuidados no combate do vetor. u: Taxa fixa de investimentos para o combate do vetor. Sendo assim, acoplando o controle no modelo resulta no seguinte sistema: 13  dA dt = Φ ( 1− A C ) F − (γ + µA)A− αA dI dt = rγA− (β + µI)I dF dt = βI − µFF dM dt = (1− r)γA− µMM dα dt = −τα + u (3) Na próxima seção será abordado o sistema de discretização aplicado ao modelo. 2.3 Discretização Para obtenção da solução numérica, o modelo contı́nuo (3) foi discretizado pelo Método das Diferenças Finitas explı́cito (DF) de ordem 1 (Fortuna, 2000), (Holmes, 2007) e as equações discretas resultantes, apresentadas abaixo, foram implementadas utilizando a linguagem de programação C++. Simulações numéricas computacionais foram efetuadas com o intuito de verificar o comportamento da dinâmica populacional do mosquito para diferentes valores dos parâmetros de controle mecânico u e τ , relacionados ao grau de esquecimento dos cuidados e à importância do investimentos no combate dos mosquitos, respectivamente.  An+1 = 1 1 + dt(γ + µA + αn) [ An + dtφ(1− An C )F n ] In+1 = 1 1 + dt(β + µI) [ In + dtγrAn+1 ] F n+1 = 1 1 + dtµF [ F n + dtβIn+1 ] Mn+1 = 1 1 + dtµM [ Mn + dtγ(1− r)An+1 ] αn+1 = 1 1+τdt ( αn + udt ) (4) 2.4 Validação do modelo com controle mecânico Para a realização das simulações e estudo de verificação do modelo utilizou se parâmetros descritos nas tabelas a seguir, (Rodrigues et al., 2010). 14 Tabela 3: Condições iniciais. A(t) I(t) F (t) M (t) Estado natural 0.0001 0 0 0 Estado epidêmico 8.3200 0.2773 5.5467 2.9120 Tabela 4: Parâmetros biológicos. C γ φ r β µA µI µF µM 13 0.07 0.5 0.5 1 0.05 0.05 0.05 0.1 Com esses parâmetros realizou-se inicialmente a comparação entre o modelo discretizado sem controle e um controle nulo, ou seja, α = 0 para averiguação da validade do modelo proposto para controle mecânico. Em seguida aplicou-se uma população iniciando em estado epidêmico em um controle nulo e confrontou se com a aplicação de um controle mecânico não efetivo, com parâmetros τ = 1.0 e u = 0.01. Figura 2: Crescimento populacional na ausência dos parâmetros de controle τ e u. Parâmetros de Simulação: dt = 0.1; τ = u = 0; T = 300. Confrontando-se o modelo discretizado com controle nulo versus controle não efetivo, onde ambos iniciam no estado epidêmico, obtêve-se o resultado apresentados na sequência. 15 (a) Modelo sem controle (b) Modelo com controle não efetivo Figura 3: Comparação entre modelos sem controle e controle não efetivo no estado epidêmico: (a) Modelo sem controle: desconsiderando o parâmetro de controle, α = 0; (b) Modelo com controle não efetivo: considerando α 6= 0 não-efetivo, τ = 1.0 e u = 0.01. 2.5 Verificação do Controle via Solução Analı́tica Sobre o modelo de controle mecânico visto em (2), verificou se a existência de uma solução analı́tica visto que o modelo de controle isolado do sistema pode ser resolvido facilmente pelo método de separação de variáveis ou computacionalmente através de programas como Maple, obtendo se a seguinte solução: α(t) = u τ (1− e−τt) (5) A análise comparativa entre solução discreta e analı́tica fez se necessária para avaliação da precisão do sistema discretizado, que pode ser observado na figura abaixo. 16 Figura 4: Comparação da solução analı́tica e numérica do controle mecânico com os parâmetros τ = u = 0 com t = 8 dias Na seção seguinte serão apresentado os resultados obtidos. 3 Resultados A modelagem do controle mecânico veio em resposta a falta de informações e estudos sobre o parâmetro deste controle. a figura a seguir mostra a aplicação de três valores arbitrários, α = 0.1, α = 1.0 e α = 10.0, para expressar a dimensão no qual o controle pode ser tomado. 17 (a) Modelo com α = 0.1 (b) Modelo com α = 1.0 (c) Modelo com α = 10.0 Figura 5: Análise comportamental da dinâmica populacional do mosquito da dengue para valo- res arbitrários de α, com controle constante. No estudo do modelo proposto obtêve-se os resultados numéricos de simulação da dinâmica populacional do mosquito da dengue nas fases imatura e alada com controle mecânico na fase aquática. O modelo contı́nuo descrito na seção anterior foi discretizado pelo método de Diferenças Finitas de ordem 1, visto que esquemas de maior ordem, tal como Runge-Kutta, não produziram melhoras significativas. 3.1 Simulações com os parâmetros τ e u variados Verificou se os efeitos das combinações dos parâmetros do modelo de controle mecânico sobre a dinâmica populacional do vetor. 18 3.1.1 τ = 0.01 e u = 1.0 Primeiro parâmetro a ser verificado é quando o modelo possui uma baixa taxa de esqueci- mento da remoção de criadouros e uma alta taxa de investimento. Figura 6: Controle efetivo das populações para parâmetros de controle τ = 0.01 (baixa taxa de esquecimento) e u = 1.0 (alta taxa de investimento; Tempo total: T = 100. 3.1.2 τ = u = 1.0 Neste caso foi realizada a simulação da proposta de um alto investimento para combater uma alta taxa de esquecimento. Figura 7: Alta taxa de investimento e alta taxa no esquecimento, τ = u = 1 e t = 140. 19 3.1.3 τ e u variáveis ao longo do tempo A proposta deste caso foi simular a aplicação de um controle efetivo num perı́odo de t = 200 dias onde as densidades de mosquitos e ovos se aproximam de zero. Após este perı́odo o controle deixa de ser efetivo, aplicando-se uma baixa taxa de investimento e alta taxa de esquecimento, o que ocorre com a dinâmica populacional do mosquito . Esta simulação foi realizada para verificar a importância de ser mantido um controle efetivo. Figura 8: Crescimento populacional com taxas variadas ao longo do tempo. baixa taxa de esquecimento e alta taxa de investimento, para T < 200 dias. Alta taxa de esquecimento, τ = 1.0, e baixa taxa de investimento, u = 0.01, T ≥ 200 dias. Na próxima seção será apresentado a discussão dos resultados obtidos. 4 Discussão Na dinâmica populacional do mosquito da dengue que foi utilizada um controle dependente do esquecimento da população no controle mecânico e o investimento no combate, fornece uma boa noção para compreender as populações do mosquito e seu comportamento perante um controle definido ou a falta deste em medida de quantidade por tempo. • Na Figura (2) podemos averiguar que, na ausência de controle, inicialmente o compor- tamento das populações são quase imperceptı́veis e a partir de um certo tempo o cresci- mento explode chegando rapidamente ao estado epidêmico. A partir deste estado utliza-se as condições epidêmicas juntamente com parâmetros de controle τ = 0.01 e u = 1.0. 20 • Na Figura (3) comparou-se dois resultados. O primeiro apresentado na Figura (3.a) exibe o comportamento das populações iniciando em estado epidêmico e sem atuação de con- trole e a segunda Figura (3.b) exibe o comportamento contendo os mesmos parâmetros porém aplicou-se um controle não efetivo. Como pôde ser observado ambas apresenta- ram um comportamento muito semelhante, com um leve decaimento na Figura (3.b) que adquiriu estabilidade ao longo do tempo, assemelhando-se a Figura (3.a). • Na Figura (4) equipara-se as duas soluções do modelo de controle mecânico, soluções numérica e analı́tica, e podemos ver que ambas exibem os mesmo comportamento, pro- vando que a solução discretizada é válida para ser aplicada ao modelo. • Na Figura (6) é possı́vel observar uma boa perturbação na dinâmica do sistema por meio do controle aplicado, resultando no decrescimento das populações dos mosquitos, estabilizando-se em zero. • Averiguando a Figura (7) verifica-se que o investimento provoca uma boa perturbação no sistema, sobrepondo-se à taxa de esquecimento, sendo necessário apenas 140 dias para as populações chegarem a zero, em comparação com a Figura (8) em que levou-se 200 dias para obter-se o mesmo resultado. • Na Figura (8) pôde-se ver claramente que mesmo depois da atuação de um controle com resultados efetivos, se não for mantido um investimento proporcional ao esquecimento, a população de mosquito volta a crescer e atingir nı́vel epidêmico novamente. Segue na próxima seção a conclusão do trabalho. 5 Conclusão Como pôde ser observado anteriormente, vemos que a criação de modelos matemáticos dentro da dinâmica populacional do mosquito aedes aegypt oferece uma boa noção e compre- ensão comportamental das populações. Dito isto podemos concluir que: 1. O resultado de simulação mostrou que mesmo depois da atuação do controle efetivo dos mosquitos da dengue, essa população voltou a crescer ao estado epidêmico, para baixos valores de investimento e dos cuidados no combate ao vetor, vide figura (8). 21 2. O modelo matemático epidemiológico com controle mostrou ser importante na investigação dos efeitos dos parâmetros de controle da população de mosquitos da dengue. 3. O código numérico desenvolvido permitiu simular com diversos parâmetros o controle mecânico, permitindo de fato, encontrar e definir um parâmetro de controle efetivo. Também mostrou ser uma importante ferramenta na simulação numérica em dengue, abrindo possibilidades de aplicações em doenças causadas por vetores. 4. A solucão numérica obtida através do método das diferenças finitas, mostrou-se ser uma boa ferramenta para a dicretização do modelo em questão e realizar simulações, pois segue o mesmo comportamento da solução analı́tica, podendo reproduzir uma simulação com uma boa precisão. 5. A partir da Figura (5), pôde se concluir que ao ser considerado o controle mecânico com um valor constante, obtém se uma gama de valores arbitrários que necessitam de uma otimização para encontrar um valor especı́fico que resulte em um controle efetivo. Referências [1] CDC(2010).Centers for Disease Control and Prevention. Disponı́vel em: http://www.cdc.gov/Dengue/ (Acessado: 20 Setembro 2010). [2] DE FIGUEIREDO, D.; NEVES,A. Equações diferenciais aplicadas. Coleção ma- temática universitária. Ed 3. Rio de Janeiro: IMPA,2008. [3] Flauzino, R. F.; Santos, R. 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