UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MATHEUS PREVELATO DE ANDRADE ANÁLISE PARAMÉTRICA E OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE PRÓTESE DENTÁRIA UNITÁRIA SOBRE IMPLANTE UTILIZANDO MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS BAURU - SP 2022 MATHEUS PREVELATO DE ANDRADE ANÁLISE PARAMÉTRICA E OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL DE PRÓTESE DENTÁRIA UNITÁRIA SOBRE-IMPLANTE UTILIZANDO MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS Dissertação de Mestrado apresentada à Faculdade de Engenharia de Bauru, ao programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, na Área de Projeto Mecânico, como parte das exigências à obtenção de título de Mestre em Engenharia Mecânica. Prof. Dr. Edson Antonio Capello Sousa Orientador Prof. Dr. Bruno Agostinho Hernandez Coorientador BAURU – SP 2022 A553a Andrade, Matheus Prevelato de Análise paramétrica e otimização estrutural de prótese dentária unitária sobre implante utilizando modelos de Elementos Finitos / Matheus Prevelato de Andrade. -- Bauru, 2022 96 f. : il., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Faculdade de Engenharia, Bauru Orientador: Edson Antonio Capello Sousa Coorientador: Bruno Agostinho Hernandez 1. Biomecânica. 2. Implante dentário. 3. Análise paramétrica. 4. Otimização estrutural. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca da Faculdade de Engenharia, Bauru. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. DEDICATÓRIA Dedico este trabalho aos meus pais, Verônica e Renato, aos meus avós, Neuza, Luzia (in memoriam), José (in memoriam) e Wanderlei (in memoriam), à minha irmã, Mirian, e à minha namorada, Laura, que sempre me encorajaram, me apoiaram e acreditaram em mim durante esta jornada. Sou eternamente grato a todos vocês. AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado o dom da vida, por me guiar durante esta jornada e me dar força. Sou eternamente grato a meus familiares, especialmente meus pais, Verônica e Renato, minha irmã, Mirian, e a minha namorada, Laura, que sempre estiveram ao meu lado, me apoiando, encorajando e dando forças para seguir em frente, principalmente durante momentos conturbados nos últimos anos. Sem vocês eu não teria conseguido. Aos meu orientador, Prof. Dr. Edson Antonio Capello Sousa, e coorientador Prof. Dr. Bruno Agostinho Hernandez, por depositar confiança em mim, me incentivar, e sempre estar à disposição para me ajudar, me guiando mostrando o caminho para o desenvolvimento deste projeto. Aos professores do Departamento de Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia da Unesp de Bauru que me transmitiram conhecimento e me ajudaram durante a realização deste trabalho. A todos os funcionários da Faculdade de Engenharia de Bauru e da Pós- Graduação em Engenharia Mecânica pela prestatividade, sempre dispostos a me ajudar quando precisei. Por fim, agradeço à CAPES pelo suporte financeiro através da concessão da Bolsa de Mestrado. Andrade, M. P. Análise paramétrica e otimização estrutural de prótese dentária unitária sobre implante utilizando modelos de Elementos Finitos. Dissertação de Mestrado (Mestrado em Engenharia Mecânica) – Faculdade de Engenharia de Bauru, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Estadual Paulista, 2022. RESUMO Próteses odontológicas sobre-implantes são amplamente utilizadas no tratamento de pacientes com perda dentária. Apesar da alta taxa de sucesso, falhas mecânicas ainda ocorrem, muitas das quais causadas por falta de osseointegração, processo diretamente ligado às características geométricas e estruturais da prótese e da relação desta com o osso. Neste contexto, análises paramétricas e de otimização são utilizadas para identificar a influência de parâmetros construtivos no comportamento mecânico de próteses e encontrar uma combinação destes parâmetros que levam a melhores níveis de tensão no osso. O Método dos Elementos Finitos (MEF) é amplamente aplicado no desenvolvimento de novas próteses devido à capacidade de análise de estruturas complexas. O objetivo deste projeto é realizar uma análise paramétrica e um processo de otimização de uma prótese odontológica unitária sobre- implante. A análise paramétrica foi desenvolvida através de uma função matemática obtida a partir da Metodologia de Superfície de Resposta (RSM), que representa o comportamento estrutural da prótese em função de parâmetros pré-definidos, como a altura do implante, altura do abutment, Módulo de Elasticidade do osso cortical e carga aplicada. Para construir esta função, utilizou-se dos resultados de vinte e cinco modelos de Elementos Finitos com diferentes combinações dos parâmetros, as quais foram determinadas pela metodologia de Projeto por Experimentação (DOE). Através dessa função, analisou-se a influência de cada parâmetro na resposta mecânica, em termos de tensão de von Mises na região de interface entre osso cortical e implante. Esta função também foi utilizada no desenvolvimento de um processo de otimização que minimizou a tensão de von Mises no osso cortical. Constatou-se que dentro do domínio estudado todos os parâmetros têm comportamento linear e o mais influente é a carga aplicada. A tensão de von Mises é inversamente proporcional à altura do implante, e diretamente proporcional à altura do abutment, ao módulo de elasticidade do osso cortical e à força aplicada na coroa, portanto, o valor máximo da altura do implante juntamente com os valores mínimos da altura do abutment, módulo de elasticidade do osso cortical e de força aplicada é a combinação de parâmetros que minimiza a tensão de von Mises. Desta forma, apresenta-se além da influência dos parâmetros na resposta mecânica no osso cortical, um processo mais ágil na estimativa das tensões atuantes, através de uma função, e também a combinação de parâmetros obtida através da otimização que minimiza a tensão de von Mises no osso cortical. Palavras-chave: Prótese odontológica, Análise Paramétrica, Método dos Elementos Finitos, DOE, RSM, Otimização. Andrade, M. P. Parametric analysis and structural optimization of single-unit dental prosthesis over-implant using Finite Element models. Master of Science Dissertation (Master of Science in Mechanical Engineering) – Engineering College of Bauru, Post-graduating Program, São Paulo State University, 2022. ABSTRACT Dental prosthesis over-implants are widely used in the treatment of patients with tooth loss. Despite the high success rate, mechanical failures still occur, many of which are likely caused by a lack of osseointegration, process directly dependent on the geometric and structural characteristics of the prosthesis and its relationship with the bone. In this context, parametric and optimization analyzes are used to find the best combination of constructive parameters leading to better stress levels in the bone. The Finite Element Method (FEM) is widely applied to the development of new prostheses due to its ability to analyze complex structures. The objective of this project is to develop a parametric analysis and optimization process of a single dental prosthesis over-implant. The parametric analysis was developed through a mathematical function obtained from the Response Surface Methodology (RSM), which represents the structural behavior of the prosthesis as a function of pre-defined parameters, such as implant height, abutment height, Young’s modulus of cortical bone and applied load. To build this function, the results of twenty-five Finite Element models with different combinations of parameters was used, which were determined by Design of Experiments Methodology (DOE). Through this function, the influence of each parameter on the mechanical response was analyzed, in terms of von Mises stress in the region of interface between cortical bone and implant. This function was also used in the development of an optimization process that minimized von Mises stress in cortical bone. It was found that within the studied domain all parameters have linear behavior and the most influential is the applied load. The von Mises stress is inversely proportional to implant height, and directly proportional to the abutment height, the Young’s modulus of cortical bone and the applied load, therefore, the maximum value of implant height, together with the minimum values of the abutment height, Young’s modulus of cortical and applied load is the combination of parameters that minimizes von Mises stress. Thus, in addition to the influence of parameters on the mechanical response in cortical bone, a more agile process is presented in the estimation of the acting stresses, through a function, and the combination of parameters obtained through the optimization process that minimizes the von Mises stress in cortical bone. Keywords: Dental Prosthesis, Parametric Analysis, Finite Element Method, DOE, RSM, Optimization. LISTA DE FIGURAS Figura 2.1: Regiões cortical e medular do osso mandibular. ..................................... 25 Figura 2.2: (a) Tensões triaxiais; (b) Componentes hidrostáticas; (c) Componentes distorcionais. ................................................................................................................. 28 Figura 2. 3: Comparação dos três tipos de modelos centrais compostos. ................ 34 Figura 2.4: Representação gráfica do Modelo CCF. .................................................. 36 Figura 2.5: Superfícies de restrição em um espaço de projeto hipotético bidimensional. ...................................................................................................................................... 38 Figura 2.6: Superfícies de função objetivo de um problema hipotético bidimensional ...................................................................................................................................... 39 Figura 3. 1: Componentes da prótese utilizada por Albarracín, 2011. ....................... 47 Figura 3.2: Equipamento Next Engine 3D Scanner HD.............................................. 48 Figura 3.3: (a) Nuvem de pontos gerada pelo escaneamento e (b) superfície gerada. ...................................................................................................................................... 49 Figura 3.4: Região externa da coroa (a) no software SolidWorks e (b) em ambiente Ansys. ........................................................................................................................... 50 Figura 3.5: Camadas geradas pela Microtomografia Computadorizada antes do tratamento..................................................................................................................... 51 Figura 3.6: Região metálica da coroa (a) no software SolidWorks e (b) em ambiente Ansys. ........................................................................................................................... 51 Figura 3.7: Modelo geométrico dos componentes internos: (a) implante, (b) abutment, (c) parafuso do implante e (d) parafuso do abutment. ................................................ 52 Figura 3.8: Regiões cortical e medular do osso mandibular. ..................................... 53 Figura 3.9: Modelo geométrico da prótese instalada no osso mandibular. ............... 54 Figura 3.10: Superfícies de aplicação de elementos de contato................................ 56 Figura 3.11: (a) Aplicação da pré-carga; (b) dimensões da seção transversal do parafuso. ....................................................................................................................... 57 Figura 3.12: (a) Aplicação da pré-carga; (b) dimensões da seção transversal do parafuso. ....................................................................................................................... 58 Figura 3.13: Carregamento e restrições. ..................................................................... 59 Figura 3.14: (a) Ensaio de compressão; (b) posicionamento dos extensômetros. ... 61 Figura 3.15: Modelo discretizado e carregamento axial. ............................................ 62 Figura 3.16: (a) Disposição dos extensômetros no experimento de Albarracín (2011); (b) pontos equivalentes ao modelo experimental onde avaliou-se as deformações. 63 Figura 3.17: Análise de convergência de malha. ........................................................ 64 Figura 3.18: Modelo parametrizado de Elementos Finitos ......................................... 66 Figura 4.1: Representação das variáveis estudadas na análise paramétrica. .......... 68 Figura 4.2: Distribuição de resíduos para a regressão de primeira ordem. ............... 73 Figura 4.3: Correlação para a regressão de primeira ordem. .................................... 73 Figura 4.4: Valores-p dos coeficientes da regressão de primeira ordem. ................. 74 Figura 4.5: Coeficientes normalizados da regressão de primeira ordem. ................. 74 Figura 4.6: Distribuição de resíduos para a regressão de primeira ordem com interação. ...................................................................................................................... 75 Figura 4.7: Correlação para a regressão de primeira ordem com interação. ............ 76 Figura 4.8: Valor-p dos coeficientes da regressão de primeira ordem com interação. ...................................................................................................................................... 76 Figura 4.9: Coeficientes normalizados da regressão de primeira ordem com interação. ...................................................................................................................................... 77 Figura 4.10: Distribuição de resíduos para a regressão de segunda ordem. ............ 78 Figura 4.11: Correlação na regressão de segunda ordem. ........................................ 78 Figura 4.12: Valores-p dos coeficientes da regressão de segunda ordem. .............. 79 Figura 4.13: Coeficientes normalizados da regressão de segunda ordem. .............. 79 Figura 4.14: Superfície de Resposta em função dos parâmetros de entrada. .......... 82 Figura 4.15: Influência dos parâmetros analisados sobre a resposta........................ 82 Figura 5.1: Plotagem da tensão de Von Mises em função de cada iteração. ........... 85 Figura 5.2: Plotagem da convergência dos parâmetros de entrada. ......................... 85 Figura 5.3: Configuração otimizada que minimiza a resposta.................................... 86 Figura 5.4: Distribuição de tensões de von Mises no osso cortical. .......................... 88 LISTA DE TABELAS Tabela 2.1: Codificação de parâmetros do modelo CCF............................................ 35 Tabela 3.1: Propriedades mecânicas dos componentes do modelo. ........................ 55 Tabela 3.2: Propriedades mecânicas do Poliuretano F-16. ....................................... 61 Tabela 3.3: Deformações obtidas por Albarracín (2011) e pelo modelo de EF......... 64 Tabela 4.1: Valores mínimos e máximos de cada parâmetro de entrada. ................ 68 Tabela 4.2: Combinações de parâmetros para o desenvolvimento dos modelos de elementos finitos........................................................................................................... 69 Tabela 4.3: Resultados obtidos nos vinte e cinco Modelos de Elementos Finitos. ... 72 Tabela 5.1: Combinação de parâmetros ótimos. ........................................................ 86 LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS ANOVA: Análise de variância; APDL: Ansys Parametric Design Language; CAD: Computer Aided Design; CCC: Central Composite Circumscribed; CCD: Central Composite Design; CCF: Central Composite Face Centered; CCI: Central Composite Inscribed; Co-Cr: Liga metálica composta de Cobalto e Cromo; DOE: Design of Experiments; EF: Elementos Finitos; IGS: Initial Graphic Exchange Specification; MEF: Método dos Elementos Finitos; Micro-CT: Microtomografia Computadorizada; RNA: Redes Neurais Artificiais; RSM: Response Surface Methodology; STL: StereoLithograph; TIFF: Tag Image File Format. LISTA DE SÍMBOLOS dp: diâmetro médio da rosca de um parafuso; da: diâmetro médio da rosca do parafuso do abutment; dc: diâmetro médio da rosca do parafuso da coroa; E: Módulo de elasticidade; Ec: Módulo de elasticidade codificado; Er: Módulo de elasticidade real; F: Carregamento aplicado; Fc: Carregamento aplicado codificado; Fr: Carregamento aplicado real; Fp: Força de tração em um parafuso; Fpa: Força de tração no parafuso do abutment; Fpc: Força de tração no parafuso da coroa; f: Função resposta; f(X): Função objetivo; gj(X): Festrições de desigualdade; H: Altura do implante; Hc: Altura do implante codificada; Hr: Altura do implante real; h: Altura do abutment; hc: Altura do abutment codificada; hr: Altura do abutment real; L: função lagrangeana; lj(X): Restrições de igualdade; n: Ordem da equação; R: Função de erro estatístico nulo; R²: Coeficiente de determinação ajustado; S: Função resposta com erro estatístico nulo; S: Vetor das variáveis de folga positivas; Scalc: Tensão de von Mises calculada pelo MEF; Sest: Tensão de von Mises estimada pela RSM; Sy: Limite de escoamento; Tp: torque aplicado em um parafuso; Tpa: torque aplicado no parafuso do abutment; Tpa: torque aplicado no parafuso da coroa; u: Energia de deformação por unidade de volume; ud: Energia de distorção; uv: Energia de deformação necessária à produção de mudança de volume; xck: Variáveis codificadas; xk: Variáveis reais; X: Vetor de projeto; y: Resposta com inclusão do erro estatístico; 𝛼𝑠: Nível de significância; 𝛽𝑗, 𝛽𝑖,𝑗: Coeficientes reais; 𝜀: Deformação normal; 𝜀1, 𝜀2, 𝜀3: Deformações normais principais; 𝜖: erro estatístico; 𝜂: Resposta sem inclusão do erro estatístico; 𝜆: multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade; 𝜋: multiplicadores de Lagrange associados às restrições de desigualdade; 𝜇: parâmetro de barreira; 𝜈: Coeficiente de Poisson; 𝜎: Tensão normal; 𝜎𝑎𝑣: Tensão normal média; 𝜎1, 𝜎2, 𝜎2: Tensões normais principais; 𝜎2: Variância; 𝜎𝑒𝑞𝑣: Tensão de von Mises. SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 19 1.1. Objetivos ................................................................................................................ 21 1.2. Organização do trabalho ....................................................................................... 21 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA .............................................................................. 22 2.1. Implantes dentários e osseointegração ................................................................ 22 2.2. Estudo de próteses dentárias utilizando o método dos elementos finitos .......... 24 2.3. Critério de falha de von Mises .............................................................................. 26 2.4. Metodologia de Superfície de Resposta e Projeto por Experimentação ............ 28 2.5. Processo de otimização ........................................................................................ 35 2.6. Análise paramétrica e otimização de implantes dentários................................... 42 3. CONSTRUÇÃO DO MODELO PARAMETRIZADO DE ELEMENTOS FINITOS 47 3.1. Componentes da prótese ...................................................................................... 47 3.2. Modelagem geométrica ........................................................................................ 48 3.3. Estruturação do modelo prótese-implante-mandíbula ......................................... 53 3.4. Caracterização física do modelo .......................................................................... 54 3.4.1. Aplicação das propriedades mecânicas............................................................ 54 3.4.2. Discretização do modelo ................................................................................... 55 3.4.3. Introdução de elementos de contato ................................................................. 55 3.4.4. Aplicação da pré-carga ...................................................................................... 56 3.5. Análise do modelo de Elementos Finitos ............................................................. 58 3.5.1. Convergência de malha ..................................................................................... 58 3.5.2. Procedimento de validação do modelo ............................................................. 60 3.5.3. Avaliação da funcionalidade e validação do modelo ........................................ 63 4. ANÁLISE PARAMÉTRICA...................................................................................... 67 4.1. Parâmetros avaliados ........................................................................................... 67 4.2. Procedimento de execução da análise paramétrica ............................................ 68 4.3. Resultados dos modelos de Elementos Finitos ................................................... 71 4.4. Resultados das regressões .................................................................................. 72 4.4.1. Regressão de primeira ordem ........................................................................... 72 4.4.2. Regressão de primeira ordem com interação ................................................... 75 4.4.3. Regressão de segunda ordem .......................................................................... 77 4.5. Avaliação das regressões e discussão dos resultados ....................................... 80 5. OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL ................................................................................. 83 5.1. Estruturação do problema de otimização.............................................................81 5.2. Resultados e discussão da otimização.................................................................83 6. CONCLUSÕES ........................................................................................................ 89 REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 91 19 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Próteses odontológicas sobre implantes osseointegrados são amplamente utilizadas no tratamento de reabilitação oral de pacientes com perda dentária. Elas têm a função de reestabelecer a função mastigatória exercida pela dentição natural extraída, assim como promover adaptação estética. Estudos registram alta taxa de sucesso no tratamento com próteses sobre implantes, entretanto, complicações de naturezas mecânicas e biológicas ainda acontecem. A mastigação é um processo exclusivamente mecânico, onde a prótese é submetida a carregamentos de mastigação. Por consequência, os sistemas de próteses odontológicas implanto suportadas são analisados como estruturas mecânicas, possibilitando que análises frequentemente utilizadas na engenharia sejam aplicadas no estudo de seu comportamento estrutural. A dentição natural apresenta diferentes características biomecânicas dos implantes dentários. Uma delas é a presença do ligamento periodontal, um tecido conjuntivo localizado entre a raiz do dente e o osso. Este tecido permite micro deformações, absorvendo tensões geradas por cargas de mastigação impostas sobre o dente. Na substituição de um dente por um implante, este ligamento também é removido, permitindo que as tensões transferidas ao implante e ao osso excedam limites fisiológicos, resultando em possíveis falhas. Ao longo do tempo, componentes protéticos foram desenvolvidos através de cálculos analíticos e da construção de experimentos simplificados. No entanto, a precisão destes cálculos limita-se a problemas envolvendo geometrias, carregamentos, propriedades mecânicas e condições de contorno bem definidas. Próteses odontológicas apresentam condições mais complexas, o que inviabiliza soluções analíticas e dificulta a construção de experimentos que representam os problemas investigados. Visando a obtenção de resultados mais precisos, métodos numéricos vêm sendo largamente utilizados no estudo de próteses dentárias nas últimas décadas, em razão do constante avanço da capacidade de processamento computacional. Um dos métodos numéricos mais utilizados na área de bioengenharia no estudo de próteses dentárias é o Método dos Elementos Finitos (MEF). 20 O MEF é um método numérico que simula de forma aproximada condições reais de tensão e deformação de todo um conjunto. É amplamente utilizado no estudo do comportamento biomecânico de próteses dentárias. Ele permite o estudo de estruturas com geometria, condições de contorno, propriedades mecânicas, solicitações externas complexas, além de possibilitar análises não lineares e dinâmicas e ser não invasivo. O MEF é baseado na discretização de um modelo geométrico contínuo em elementos pequenos, que se conectam entre si através de nós, formando uma malha de elementos finitos. Todos os cálculos executados pelo método são baseados nos deslocamentos dos nós. Ao executar-se os cálculos nodais em todos os elementos, consequentemente, calcula-se toda a estrutura. A função do MEF não é substituir procedimentos experimentais. Na verdade, modelos experimentais e modelos de Elementos Finitos são complementares. O MEF gera resultados aproximados que devem ser comparados com resultados obtidos através de experimentos que avaliam o mesmo problema, buscando-se a comprovação da representatividade do modelo numérico. A validação do modelo numérico permite uma extrapolação de análises, executada a partir de variação de carregamentos, condições de contorno, propriedades mecânicas e características geométricas, possibilitando a execução de diversas investigações. As próteses odontológicas sobre-implantes geralmente são compostas por um implante, um abutment, parafusos fixação e uma coroa protética. Neste sistema, forças de mastigação são aplicadas na coroa e transmitidas por todo o conjunto até o implante, e por consequência até o osso. A configuração de um sistema protético implanto-suportado é dada por uma determinada combinação destes parâmetros que descrevem toda a estrutura. Com base em estudos anteriores desenvolvidos por este grupo de pesquisa, os parâmetros avaliados neste projeto são: altura do implante, altura do abutment, Módulo de Elasticidade do osso cortical e carga aplicada. À procura de alternativas melhores que as já conhecidas, é fundamental avaliar qual a influência de cada parâmetro construtivo no comportamento mecânico de todo o sistema. O desenvolvimento de um modelo parametrizado de Elementos Finitos, em conjunto com as Metodologias de Superfície de Resposta (Response Surface Methodology - RSM) e de Design of Experiments (DOE) torna possível a realização desta análise e também o desenvolvimento de um procedimento de otimização para a customização de próteses. 21 1.1. Objetivos O principal objetivo deste projeto de pesquisa é desenvolver procedimentos de análise paramétrica, que identifica a influência de parâmetros de entrada na resposta, e de otimização, que minimiza os níveis de tensão no osso cortical. Será desenvolvido um modelo parametrizado de Elementos Finitos de uma prótese odontológica unitária sobre-implante. A partir deste modelo, utilizando-se da metodologia de Design of Experiments (DOE), será criada uma equação chamada de Superfície de Resposta, que permite a avaliação do comportamento mecânico do sistema implante-prótese em termos de tensão de von Mises na região peri-implantar do osso cortical. Através de variação de parâmetros que dão entrada na função (altura do implante, altura do abutment, intensidade da carga aplicada e módulo de elasticidade do osso cortical), objetiva-se identificar qual a influência de cada um deles na resposta, assim como desenvolver um procedimento mais ágil na estimativa de tensões atuantes no osso cortical através de uma função matemática. A equação de Superfície de Resposta será utilizada como base para o desenvolvimento do processo de otimização, onde deseja-se obter uma combinação dos parâmetros de entrada que minimiza as tensões no osso cortical ao redor do implante. 1.2. Organização do trabalho Este trabalho encontra-se organizado da seguinte forma: • Capítulo 1: Introdução, contextualização e objetivos; • Capítulo 2: Fundamentação teórica e revisão bibliográfica abordando estudos importantes sobre a temática; • Capítulo 3: Construção do modelo parametrizado de Elementos Finitos; • Capítulo 4: Análise paramétrica para identificar a influência de cada parâmetro construtivo no comportamento mecânico da prótese; • Capítulo 5: Processo de otimização para encontrar a combinação de parâmetros construtivos que minimiza tensão de von Mises no osso cortical; • Capítulo 6: Conclusões e trabalhos futuros. 22 CAPÍTULO 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Apresenta-se neste capítulo os conceitos teóricos e uma revisão bibliográfica sobre estudos relevantes que fundamentaram o desenvolvimento deste trabalho, tais como: implantes odontológicos e osseointegração, utilização do Método dos Elementos Finitos na análise de próteses dentárias, estudos da influência de parâmetros que definem a configuração de uma prótese, a utilização do critério de falha de von Mises, as Metodologias de Superfície de Resposta (RSM), de Projeto por Experimentação (DOE) e processos de otimização de próteses. 2.1. Implantes dentários e osseointegração Próteses odontológicas são estruturas biomecânicas que têm a função de reestabelecer as funções da dentição natural, que por algum motivo foi extraída. Eles surgiram na década de 1960, a partir de estudos desenvolvidos por pesquisadores da Universidade de Gotemburgo, liderados pelo professor Per-Ingvar Brånemark, onde observaram que o titânio é um material biocompatível com o osso, permitindo o fenômeno da osseointegração. A partir desta descoberta, Brånemark deu início ao desenvolvimento de diversos tipos de próteses e implantes para atender pacientes com complicações odontológicas, como as próteses odontológicas sobre implantes (BRÅNEMARK et al., 1969). As próteses implanto suportadas mais comuns são compostas por um implante, um abutment, parafusos de fixação e coroa protética. Embora os implantes osseointegrados sejam atualmente utilizados no tratamento de pacientes com perda dentária, as falhas ainda ocorrem pois seu desempenho clínico depende da qualidade dos fenômenos de osseointegração na região de interface entre osso e implante (KWAK et al., 2021). No tratamento odontológico com implantes, de acordo com Borie, Orsi e de Araujo (2014), limites biomecânicos devem ser respeitados para que não ocorra sobrecarga no osso ao redor do implante. Tensões na região peri-implantar devem permanecer dentro de limites fisiológicos para evitar anomalias patológicas, como a reabsorção óssea, e o consequente risco de sucesso a longo termo do implante. 23 Em sua revisão, Chrcanovic, Albrektsson e Wennerberg (2014) afirmam que as falhas em implantes são relacionadas a fenômenos de estabilidade primária ou secundária. A estabilidade primária refere-se a um período de cura onde não há qualquer tipo de perturbação do implante. A frequência de falhas primárias está na faixa de 1 a 2% na maioria dos estudos clínicos, e acredita-se que o volume e qualidade óssea são uns dos mais importantes fatores que determinam tais falhas. No decorrer do tempo, é possível a ocorrência de aumento de perda óssea ao redor do implante ocasionando falha secundária, que está relacionada à estabilidade primária, a complicações biológicas e a utilização de implantes inadequados. A utilização de implantes de grandes comprimentos é favorável à sua durabilidade, pois fornece vantagens como estabilidade inicial, cura acelerada e diminuição do risco de micromovimentações (fator que oferece risco à osseointegração). Alguns estudos avaliaram a aplicação de um carregamento no implante antes do período de cura, com a finalidade de atingir um tratamento mais rápido e reduzir o desconforto de pacientes ao utilizar próteses removíveis durante este período. Constatou-se que a taxa de falha para implantes carregados imediatamente após a inserção no osso do paciente é significantemente maior que implantes carregados após um período mínimo de seis semanas. Busenlechner et al. (2014) avaliaram 13147 próteses dentárias de diversos tipos instaladas em 4316 pacientes de ambos os sexos e das mais variadas faixas etárias, na Academia de Implantologia Oral em Viena, no período de 2004 a 2012. Implantes de diversos fabricantes, principalmente Nobel Biocare (Gothenburg, Sweden), Astra Tech AB (Mölndal, Sweden), Dentsply (Mannheim, Germany) e Biomet 3i (West Palm Beach, FL, USA), com as mais variadas geometrias foram inseridos em diversas regiões tanto da maxila quanto da mandíbula. Implantes unitários implanto-suportados representaram 17,2% da amostra. Ao longo dos anos, a taxa de falha média entre todas as próteses instalados permaneceu estável em torno de 3%. A taxa de sucesso depois de 8 anos foi de 94,8% para próteses implanto suportadas inseridas no osso mandibular. A durabilidade de uma prótese dentária é intimamente relacionada com os níveis e distribuição de tensões nos elementos estruturais da prótese. Fatores biomecânicos indesejáveis são razões que geram falha de implantes, em particular, picos de tensão no osso cortical ao redor do implante quando uma carga de mastigação é aplicada na prótese (ELLEUCH et al., 2021; KITAGAWA et al., 2005). 24 2.2. Estudo de próteses dentárias utilizando o método dos elementos finitos O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método numérico, uma significativa ferramenta de pesquisa para análises biomecânicas de próteses odontológicas, pois permite a análise de estruturas com geometria complexa, compostas de materiais das mais variadas propriedades mecânicas e submetidas a carregamentos e condições de contorno complicadas. No MEF, uma aproximação da solução é obtida através da construção de um modelo computacional da estrutura. O modelo é fisicamente discretizado em partes pequenas e simples, chamada de elementos, com um número finito de graus de liberdade, dimensões e propriedades físicas definidas. Estes elementos são conectados uns aos outros através de pontos, chamados de nós. O comportamento de cada elemento do sistema discretizado é calculado, e a partir das respostas obtidas em cada elemento, obtém-se uma previsão e simulação do comportamento estrutural de todo o sistema original. O tipo, arranjo e número de elementos presentes no modelo impactam diretamente a acurácia dos resultados. Segundo Mohammed e Desai (2014) o MEF apresenta algumas vantagens e desvantagens. Entre as vantagens, destacam-se: é um estudo não destrutivo, de baixo custo, mais ágil que outros procedimentos de análise (como experimentação, por exemplo), apto para simular aspectos mecânicos e biológicos e útil para solução de problemas lineares, não lineares, estáticos e dinâmicos. Algumas desvantagens do uso do MEF: é extremamente sensível à precisão dos dados de entrada do modelo, requer valores precisos de propriedades físicas das estruturas analisadas e há a presença de erros numéricos devido a simplificações aplicadas. Na utilização de MEF em análise de implantes, a literatura registra inúmeras suposições e simplificações aplicadas aos modelos, no que diz respeito a modelagens geométricas, aplicações de carregamento, de condições de contorno e de propriedades mecânicas. A precisão dos resultados obtidos é diretamente dependente das simplificações adotadas, as mais comuns são relatadas a seguir. Existe uma distinção entre dois tipos de osso: um osso de alta densidade localizado em uma região externa, o cortical, e outro situado internamente, o osso medular (SCHWIEDRZIK; WOLFRAM; ZYSSET, 2013). O osso medular é um tecido altamente poroso, anexo ao osso cortical em núcleos em com formato de ossos chatos 25 e pequenos (Kristic, 1991; Weiner e Wagner, 1998). Essas duas regiões são indicadas no osso mandibular ilustrado na Figura 2.1. Figura 2.1: Regiões cortical e medular do osso mandibular. Fonte: Adaptado de Sobotta, 2000. Turner, Anne e Pidaparti (1997) e O’Mahony et al. (2000) afirmam que a densidade do osso pode variar em diferentes regiões ósseas, idades, sexos e estados de saúde, em uma faixa de 1,7-2,0 g/cm³ para o osso cortical e 0,23-1,0 g/cm³ para o osso esponjoso. A estrutura óssea é anisotrópica. Entretanto, algumas simplificações são frequentemente adotadas em estudos de Elementos Finitos devido ao desafio em obter-se as corretas propriedades mecânicas em todas as direções. O osso pode ser assumido como ortotrópico, possuindo propriedades mecânicas únicas e independentes em relação a três direções mutuamente ortogonais; transversalmente isotrópico, possuindo as mesmas propriedades mecânicas em todas as direções em relação a um eixo de simetria; ou como isotrópico, condição adotada em grande parte dos estudos, onde as propriedades mecânicas são constantes e iguais em qualquer direção (CHOI; CONWAY; BEN-NISSAN, 2014). De acordo com Maminskas et al. (2016) em situações reais o implante não é completamente osseointegrado. Em análises de elementos finitos, não há um consenso sobre as condições de integração do implante ao osso. Alguns estudos adotam osseointegração parcial, mas muitos estudos são conduzidos sob condição de total osseointegração para fins de simplificação do modelo. 26 Segundo Xu, Wang e Li (2015), muitos estudos consideram que os componentes que compõe uma prótese dentária estão unidos rigidamente uns aos outros, e que essa abordagem convencional leva a interpretações errôneas. Em um volume contínuo compreendendo elementos estruturais que não estão perfeitamente unidos, as superfícies interfaciais podem entrar e sair do contato umas com as outras em um nível microscópico, e a transferência de tensão entre as superfícies em contato pode não ser contínua, dessa forma, a distribuição de tensões pode mudar dramaticamente. Portanto, a utilização de elementos de contato entre os componentes leva à criação de modelos mais realistas. Diferentes técnicas são aplicadas na construção dos modelos geométricos dos componentes de uma prótese dentária. A geometria do contorno da coroa é geralmente digitalizada através do procedimento de escaneamento 3D e os modelos dos implantes são frequentemente criados em softwares CAD ou diretamente em um software de Elementos Finitos. (WAKABAYASHI; MURAKAMI; TAKAICHI, 2019). Geometrias mais complexas e camadas internas de coroas podem ser obtidas a partir de procedimentos como a Microtomografia Computadorizada (Micro-CT) (AUSIELLO et al., 2011). As próteses são estruturas que estão submetidas à atuação de forças de mastigação. Rezaie et al. (2020) afirmam que essas forças são cargas oclusais que atuam sobre implantes dentários e possuem componentes axiais e horizontais, que geram tensões de tração e compressão. As magnitudes dessas forças estão diretamente relacionadas à região da boca, formato do osso, geometria do sistema protético, idade, sexo, tamanho do músculo e muitos outros fatores. Forças mastigatórias são carregamentos dinâmicos, no entanto, para facilitar a etapa de cálculo das simulações, as cargas aplicadas nos modelos de EF são consideradas estáticas. Aplicam-se condições de contorno restringindo-se deslocamentos de nós da estrutura óssea, impossibilitando translações e rotações em todas as direções, simulando a fixação real de uma prótese dentária no osso. Análises por elementos finitos podem e devem ser utilizados para analisar implantes dentários. Apesar das limitações, simplificações e premissas adotadas em modelos de EF, dados obtidos em estudos de elementos finitos podem ser cuidadosamente extrapolados à prática clínica diária para melhorar o entendimento do comportamento mecânico de próteses odontológicas. 27 2.3. Critério de falha de von Mises Elementos estruturais devem ser projetados de modo que não falhem sob a ação de esforços solicitantes. Dessa forma, na elaboração de um projeto de componentes feitos de um determinado material, deve-se estabelecer um limite superior para o estado de tensão que defina a falha do sistema. Se o material for dúctil, normalmente a falha é definida pelo escoamento. Se for frágil, a falha é especificada pela fratura. Os modos de falha são facilmente determinados se o elemento estiver submetido a um estado de tensão uniaxial. Caso o elemento esteja submetido a um estado plano ou triaxial de tensão, há maior dificuldade em definir o critério de falha. Nestes casos, é necessário considerar o mecanismo real de falha, ou seja, averiguar qual combinação de todas as componentes de tensão presentes no material o levam a falhar. A Teoria da Máxima Energia de Distorção para materiais dúcteis sob carregamentos estáticos prevê que a falha ocorrerá se a Tensão de von Mises ultrapassar o limite de escoamento do material. A demonstração desta teoria pode ser consultada no livro de Budinas e Nisbett (2011). Em síntese, a teoria da energia de distorção originou-se pela observação de que materiais dúcteis submetidos a tensões hidrostáticas exibiam resistências ao escoamento bem acima dos valores apresentados pelo ensaio de tração simples. Consequentemente, foi suposto que o escoamento não era um fenômeno simples de tração ou compressão, mas que de alguma forma era relacionado à distorção angular do elemento solicitado. A Figura 2.2(a) ilustra a unidade infinitesimal de volume sujeita a um estado de tensão tridimensional qualquer, designado pelas tensões 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3. O estado de tensão mostrado na Figura 2.2(b) é de tensão hidrostática devido a tensões médias 𝜎𝑎𝑣 atuando em cada uma das mesmas direções principais que as da Figura 2.2(a). A equação de 𝜎𝑎𝑣 é dada por: 𝜎𝑎𝑣 = 𝜎1 + 𝜎2 + 𝜎3 3 (2.1) Assim, o elemento da Figura 2.2(b) passa por mudança de volume sem alteração de seu formato. Considerando-se 𝜎𝑎𝑣 uma componente de 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3, e subtraindo-se tal componente das tensões principais, como resultado, têm-se o estado 28 de tensão mostrado na Figura 2.2(c), onde o elemento não está sujeito à mudança de volume, mas sim à distorção angular. Figura 2.2: (a) Tensões triaxiais; (b) Componentes hidrostáticas; (c) Componentes distorcionais. Fonte: Budinas e Nisbett, 2011. A energia de distorção é obtida através da expressão: 𝑢𝑑 = 1 + 𝜈 3𝐸 [ (𝜎1 − 𝜎2)2 + (𝜎2 − 𝜎3)2 + (𝜎3 − 𝜎1)2 2 ] (2.2) Para o ensaio simples de tração, quando a tensão principal 𝜎1 se iguala ao limite de escoamento 𝑆𝑦, 𝜎2 = 𝜎3 = 0. Assim, com base na Equação 2.2, a energia de distorção resulta em: 𝑢𝑑 = 1 + 𝜈 3𝐸 𝑆𝑦 2 (2.3) Portanto, para o estado geral de tensões dado pela Equação 2.2, o escoamento é predito se o termo entre colchetes se iguala ou excede 𝑆𝑦 2, ou seja: [ (𝜎1 − 𝜎2)2 + (𝜎2 − 𝜎3)2 + (𝜎3 − 𝜎1)2 2 ] 1 2 ≥ 𝑆𝑦 (2.4) Na hipótese de um caso simples de tração 𝜎, o escoamento ocorreria quando 𝜎 ≥ 𝑆𝑦 2. Dessa forma, os termos à esquerda da Equação 2.4 podem ser interpretados como uma tensão equivalente para o estado geral de tensão completo dado por meio 29 de 𝜎1, 𝜎2 e 𝜎3. Essa tensão é chamada de tensão de Von Mises (𝜎𝑒𝑞𝑣). Portanto, a tensão de von Mises é dada por: 𝜎𝑒𝑞𝑣 = [ (𝜎1 − 𝜎2)2 + (𝜎2 − 𝜎3)2 + (𝜎3 − 𝜎1)2 2 ] 1 2 (2.5) 2.4. Metodologia de Superfície de Resposta e Projeto por Experimentação A Metodologia de Superfície de Resposta, do inglês Response Surface Methodology (RSM) é uma união de procedimentos matemáticas e estatísticas utilizadas no desenvolvimento, melhoria e otimização de processos. Também possui importantes aplicações no desenvolvimento e projeto de novos produtos, assim como a melhoria de produtos já existentes (MYERS; MONTGOMERY; ANDERSON-COCK, 2016). O artigo de Myers (1999) sobre direções futuras em RSM oferece uma visão das necessidades de pesquisa na área. Existem também dois outros livros completos sobre o assunto: Box e Draper (1987) e Khuri e Cornell (1996). Uma segunda edição do livro Box and Draper foi publicada em 2007 com um título ligeiramente diferente. Um volume editado por Khuri (2006) considera alguns tópicos especializados de RSM. A monografia de Myers (1976) foi o primeiro livro dedicado exclusivamente a RSM. É no setor industrial que se encontram a maioria das aplicações da RSM, principalmente em situações onde a qualidade do produto final, ou o desempenho de processos, são influenciados por muitas variáveis de entrada. Tais variáveis são chamadas de “variáveis independentes” (às vezes também são chamadas de “fatores” ou “variáveis de processo”) e estão submetidas ao controle do cientista ou engenheiro, e o produto final ou processo são chamados de “resposta”. Na maioria das situações práticas, a função exata que relaciona as variáveis independentes com a resposta é desconhecida. A RSM consiste em uma estratégia no desenvolvimento de procedimentos experimentais que exploram todo o domínio das variáveis independentes e de modelagens estatísticas empíricas com o objetivo de desenvolver uma aproximação matemática que relaciona as variáveis de entrada com a resposta desejada. Myers, Montgomery e Anderson-Cock (2016) recomendam a seguinte metodologia para a construção da Superfície de Resposta. 30 Dado um sistema hipotético, pretende-se calcular uma resposta 𝑦 que é dependente das variáveis de entrada 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘. As variáveis de entrada e a resposta são relacionadas através de uma função: 𝑦 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘) + ∈ (2.6) onde a natureza da função resposta exata é desconhecida, ∈ é um termo que caracteriza fontes de variabilidade não aferidas em 𝑓, como erros de medição, outras fontes de variação inerentes ao sistema ou efeitos de outras variáveis possivelmente desconhecidas. ∈ é chamado de erro estatístico, que muitas vezes assume uma distribuição normal com média zero e variância 𝜎². Se a média de ∈ é zero, então: 𝑅(𝑦) ≡ 𝑦 = 𝑅[𝑓(𝑥1, 𝑥2,⋯𝑥𝑘)] + 𝑅(∈) = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘) (2.7) onde R é uma função que aplica erro estatístico nulo. As variáveis 𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘, se estiverem declaradas em suas unidades de medidas naturais, são denominadas variáveis naturais. Frequentemente, é apropriado converter as variáveis naturais em variáveis codificadas 𝑥𝐶1, 𝑥𝐶2,⋯𝑥𝐶𝑘, que são adimensionais, com média zero e mesmas amplitudes e desvios padrão. A resposta pode ser reescrita em função das variáveis codificadas: 𝜂 = 𝑓(𝑥𝐶1, 𝑥𝐶2, . . . , 𝑥𝐶𝑘) (2.8) Pelo fato da natureza da função resposta 𝑓 ser desconhecida, é necessário aproximá-la. O uso satisfatório da RSM é intimamente dependente de uma aproximação adequada para 𝑓. Normalmente, um polinômio de primeira ou segunda ordem restrito a um relativo domínio reduzido das variáveis de entrada é adequado para caracterizar a função resposta, portanto modelos lineares e não lineares são úteis no desenvolvimento das funções superfícies de resposta exigidos pela RSM. Em um problema hipotético com duas variáveis de entrada, o modelo linear é dado por: 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝐶1 + 𝛽2𝑥𝐶2+∈ (2.9) 31 onde 𝑦 representa a resposta e 𝑥𝐶1 e 𝑥𝐶2 as variáveis codificadas. Este modelo é denominado de modelo de regressão linear múltipla com duas variáveis de entrada. Em um sistema de coordenadas cartesianas tridimensional, esta Superfície de Resposta é representada por um plano. O parâmetro 𝛽0 corresponde ao valor da resposta quando as variáveis de entrada assumem o valor codificado zero. Os coeficientes 𝛽1 e 𝛽2 medem, respectivamente, a variação de 𝑦 por unidade de mudança em 𝑥1, quando 𝑥2 é mantido constante, e a variação de 𝑦 por unidade de mudança em 𝑥2, quando 𝑥1 é mantido constante. Modelos de primeira ordem são possivelmente adequados quando se deseja aproximar a exata superfície de resposta em um domínio relativamente reduzido das variáveis independentes onde há pouca curvatura em 𝑓. Considerando-se erro estatístico com distribuição normal igual a zero, a função de primeira ordem pode ser reescrita e dada por: 𝜂 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝐶1 + 𝛽2𝑥𝐶2 (2.10) O modelo da Equação 2.9 também pode ser chamado de modelo de efeitos principais, pois este inclui apenas os principais efeitos das duas variáveis codificadas. Se houver uma interação entre as variáveis de entrada, ela pode ser adicionada facilmente ao modelo, resultando no modelo de primeira ordem com interação: 𝜂 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝐶1 + 𝛽2𝑥𝐶2 + 𝛽12𝑥𝐶1𝑥𝐶2 (2.11) O modelo expresso pela Equação 2.10 introduz uma curvatura na função resposta. Frequentemente, esta curvatura é tão significativa que um modelo de primeira ordem, mesmo com interação entre as variáveis, se torna inapropriado. Nestas circunstâncias, um modelo de segunda ordem é requerido. Para duas variáveis de entrada, ele pode ser expresso por: 𝜂 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝐶1 + 𝛽2𝑥𝐶2 + 𝛽12𝑥𝐶1𝑥𝐶2 + 𝛽1𝑥𝐶1 2 + 𝛽22𝑥𝐶2 2 (2.12) O modelo de segunda ordem é amplamente utilizado em RSM por várias razões, entre elas: é um modelo muito flexível, podendo assumir uma grande 32 variedade de formatos funcionais, e que funcionará como uma boa aproximação da Superfície de Resposta exata; há facilidade na estimativa dos coeficientes 𝛽′𝑠, onde o método dos mínimos quadrados pode ser utilizados para este propósito; e há uma considerável experiência prática que indica que os modelos de segunda ordem é uma boa solução para a criação de uma Superfícies de Resposta com boa aproximação. De forma generalizada, o modelo de primeira ordem pode ser escrito como: 𝜂 = 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑗𝑥𝐶𝑗 𝑘 𝐽=1 (2.13) O modelo de primeira ordem com interação pode ser dado por: 𝜂 = 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑗𝑥𝐶𝑗 𝑘 𝐽=1 + ∑ ∑ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝐶𝑖𝑥𝐶𝑗 𝑘 𝑖<𝑗=2 (2.14) E o modelo de segunda ordem pode ser expresso por: 𝜂 = 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑗𝑥𝐶𝑗 𝑘 𝐽=1 + ∑ 𝛽𝑗𝑗𝑥𝐶𝑗 2 𝑘 𝑗=1 + ∑ ∑ 𝛽𝑖𝑗𝑥𝐶𝑖𝑥𝐶𝑗 𝑘 𝑖<𝑗=2 (2.15) A RSM é útil na solução de muitos tipos de problemas. Geralmente, estes problemas se encaixam em três categorias: mapeamento da Superfície de Resposta em uma determinada região de interesse; seleção de condições operacionais e de projeto que atendam os requisitos desejados por um cliente; e otimização de uma resposta. Para estimar os valores dos coeficientes 𝛽’𝑠 e modelar a superfície de resposta é necessário coletar os dados das respostas em função das variáveis de entrada em um dado sistema estudado. Entretanto, muitas vezes essas informações não são suficientes para desenvolver uma função que forneça uma boa aproximação. Nota-se que a etapa de coleta de dados para a modelagem de superfície de resposta é muito importante. A RSM suporta o Projeto por Experimentações, do inglês, Design of 33 Experiments (DOE). O DOE é uma metodologia baseada na variação de combinações de parâmetros em um determinado experimento, onde tais combinações e respostas obtidas são avaliadas e norteiam a modelagem de uma função que representa matematicamente o fenômeno estudado. Há uma combinação pré-determinada de fatores para cada modelo DOE para obter-se a resposta, onde objetiva-se reduzir o número de experimentos necessários para a modelagem sem perda de acurácia. As combinações de fatores foram estudadas a partir de experimentações, gerando os modelos DOE. De acordo com o Handbook de Engenharia Estatística (NIST/SEMATECH, 2012) o DOE pode ser utilizado para alcançar tais objetivos: A) Escolha entre alternativas; B) Seleção de fatores-chaves que influenciam em uma determinada resposta; C) Modelagem de superfície de resposta para: C.1) Atingir um objetivo; C.2) Reduzir variabilidade; C.3) Maximizar ou minimizar uma resposta; C.4) Tornar um processo robusto (isto é, respostas certas são obtidas apesar de existirem fatores de ruído não controláveis); C.5) Buscar múltiplos objetivos; D) Modelar regressões. Para a utilização de modelos DOE, é imprescindível a codificação dos parâmetros de entrada. Este processo converte os valores reais das variáveis de entrada em códigos, permitindo que os parâmetros analisados se encontrem dentro de uma mesma escala. O Modelo Central Composto e o de Box-Behnken são os dois modelos DOE mais utilizados para a modelagem de Superfícies de Resposta. São recomendados para modelagens de problemas que possuem de dois à cinco parâmetros de entrada (ou fatores). Caso o número de fatores exceda 5, recomenda-se uma reavaliação do problema para reduzir esta quantidade (NIST/SEMATECH, 2012). De acordo com Khuri e Mukhopadhyay (2010), o modelo central composto, do inglês Central Composite Design (CCD), é o mais utilizado entre os modelos de segunda ordem. Existem três tipos de modelo CCD, que estão exemplificados na Figura 2.3 para um problema envolvendo dois fatores. 34 Figura 2. 3: Comparação dos três tipos de modelos centrais compostos. Fonte: Nist/Sematech, 2012. Observa-se na Figura 2.3 que o modelo Central Composto Circunscrito, do inglês Central Composite Circumscribed (CCC), possui pontos externos aos valores codificados de mínimo (-1) e máximo (+1). No modelo Central Composto Inscrito, do inglês Central Composite Inscribed (CCI), existem pontos internos aos pontos máximos e mínimos codificados. No modelo Central Composto de Face Centrada, do inglês Central Composite Face Centered (CCF), estão presentes pontos nas medianas das arestas formadas pela união dos pontos codificados. Em um problema envolvendo três variáveis, a codificação dos valores pode ser representada em um cubo. No modelo CCF, as combinações de parâmetros estão localizadas nos vértices e no centro das faces de um cubo e em seu centro. Para um problema de quatro ou mais fatores, a representação gráfica torna-se dificultosa. Para quatro ou mais fatores, a utilização do modelo CCD é recomendada pois exige um menor número de combinações que o modelo de Box-Behnken. Para três fatores, o modelo de Box-Behnken é vantajoso pois fornece um número menor de combinações que o modelo CCD. 35 Com o auxílio destes modelos, são definidas as combinações primordiais entre parâmetros para que se tenham as melhores correlações para a resposta requerida. A Tabela 2.1 apresenta um exemplo genérico com os fatores codificados para melhor compreensão, em um modelo CCF com 3 fatores, sendo cada fator relacionado a um parâmetro de entrada. O termo máximo refere-se ao maior valor da variável da coluna (+1), enquanto que o termo mínimo é o menor valor (-1), e o valor médio (0) é a média entre os valores máximo e mínimo. Na Figura 2.4 observa-se as combinações dos valores codificados representados graficamente em um cubo. Tabela 2.1: Codificação de parâmetros do modelo CCF. Modelo Xcod Ycod Zcod Xreal Yreal Zreal 1 -1 -1 -1 Mínimo Mínimo Mínimo 2 +1 -1 -1 Máximo Mínimo Mínimo 3 -1 +1 -1 Mínimo Máximo Mínimo 4 +1 +1 -1 Máximo Máximo Mínimo 5 -1 -1 +1 Mínimo Mínimo Máximo 6 +1 -1 +1 Máximo Mínimo Máximo 7 -1 +1 +1 Mínimo Máximo Máximo 8 +1 +1 +1 Máximo Máximo Máximo 9 -1 0 0 Mínimo Médio Médio 10 +1 0 0 Máximo Médio Médio 11 0 -1 0 Médio Mínimo Médio 12 0 +1 0 Médio Máximo Médio 13 0 0 -1 Médio Médio Mínimo 14 0 0 +1 Médio Médio Máximo 15 0 0 0 Médio Médio Médio 36 Figura 2.4: Representação gráfica do Modelo CCF. Fonte: Do autor. 2.5. Processo de otimização Otimização é procedimento em que se obtém os melhores resultados sob determinadas circunstâncias. Na construção e manutenção de qualquer projeto de engenharia, decisões tecnológicas e gerenciais são tomadas com o objetivo de alcançar determinado objetivo. Estes objetivos podem ser expressos em função de certas variáveis, e a otimização pode ser definida como o processo de obtenção das condições que fornecerem os valores ótimos de uma função. Otimização com os mais variados objetivos são muito aplicados em próteses odontológicas na busca do desenvolvimento de projetos cada vez melhores e mais customizados. Não existe um único método que resolva todos os problemas de otimização com eficiência. Uma série de métodos foram desenvolvidos para resolver diferentes tipos de problemas. A seguir, apresenta-se a estruturação de um problema de otimização, assim como os conceitos utilizados pra tal, como vetor de projeto, restrições de projeto, superfícies de restrição, função objetivo, superfícies da função objetivo e as classificações dos problemas. Esta estruturação é dada por Rao (2009). 37 Um problema de otimização pode ser dado da seguinte forma: Encontrar 𝑿 = { 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 } que minimiza f(X). Sujeito às restrições: 𝑔𝑗(𝑋) ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑚 (2.15) 𝑙𝑗(𝑋) = 0, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑝 Onde X é um vetor de n dimensões, chamado de vetor de projeto, f(X) é a função objetivo, e 𝑔𝑗(𝑋) e 𝑙𝑗(𝑋) são restrições de desigualdade e igualdade, respectivamente. As restrições impostas pela Equação 2.15 caracteriza um problema de otimização como restrito. Alguns problemas de otimização não envolvem restrições e são chamados de irrestritos. Qualquer sistema de engenharia é definido por um conjunto de parâmetros, alguns são variáveis durante o projeto e outros permanecem constantes. Os parâmetros constantes são chamados de parâmetros predefinidos, e todos os outros parâmetros variáveis são chamados de variáveis de decisão ou variáveis de projeto 𝑥𝑖, 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑛. As variáveis de projeto são representadas como um vetor de projeto 𝑿 = {𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛}. Em muitos problemas práticos, as variáveis de decisão não podem ser escolhidas arbitrariamente, devendo satisfazer certos requisitos específicos. As restrições que devem ser satisfeitas na construção de um projeto aceitável são chamadas coletivamente de restrições de projeto. Restrições que representam limitações no comportamento ou desempenho de um sistema são chamadas de restrições funcionais ou de comportamento. Restrições que representam limitações físicas de variáveis de decisão são chamadas de restrições geométricas ou laterais. A Figura 2.5 ilustra um espaço de projeto hipotético bidimensional onde as regiões inviáveis (regiões que não se enquadram nas restrições do problema) são indicadas pelas linhas hachuradas. Um ponto de projeto que se encontra em uma ou mais superfícies de restrição é chamado de ponto limite, e a restrição associada a este ponto é chamada de restrição ativa. Os pontos de projeto que não se encontram em nenhuma superfície de restrição são chamados de pontos livres. Um ponto de 38 projeto pode ser classificado em quatro tipos: ponto livre e aceitável, ponto livre e inaceitável, ponto limite e aceitável, e ponto limite e inaceitável. Estes pontos podem ser observados na Figura 2.5. Figura 2.5: Superfícies de restrição em um espaço de projeto hipotético bidimensional. Fonte: Rao, 2009. Os procedimentos convencionais de desenvolvimento de projetos visam encontrar valores das variáveis de decisão que solucionam um problema. No geral, há mais de uma combinação destas variáveis que é aceitável. A otimização tem o objetivo de escolher a melhor opção entre elas. Portanto, um critério deve ser escolhido para comparar as diferentes alternativas de projetos aceitáveis e selecionar a melhor delas. O critério em relação a qual o projeto é otimizado é chamado de função objetivo e é expresso em função das variáveis de decisão. A escolha da função objetivo é governada pela natureza do problema. No projeto de estruturas aeroespaciais e de aeronaves, geralmente a função objetivo a ser minimizada é o peso. Em projetos de engenharia civil, normalmente o objetivo é minimizar o custo. Em alguns sistemas mecânicos, como máquinas térmicas, o objetivo pode ser a maximização da eficiência. Dessa forma, a escolha da função objetivo apresenta-se de forma clara na maioria dos projetos. Entretanto, em algumas 39 situações, a otimização em relação a um determinado critério leva a resultados não satisfatórios em relação a outro critério, necessitando-se que os dois critérios sejam satisfeitos simultaneamente. Este tipo de problema é chamado de problema multiobjetivo, e por não pertencer ao escopo deste trabalho, não será explorado. O local geométrico dos pontos que satisfazem a função objetivo f(X) = C, em que C é uma constante real, gera uma superfície no espaço de projeto, e cada valor de C corresponde a um membro diferente de uma família de superfícies. Tais superfícies são chamadas de superfícies de função objetivo, e são demonstradas em um espaço de projeto hipotético bidimensional conforme a Figura 2.6. Figura 2.6: Superfícies de função objetivo de um problema hipotético bidimensional Fonte: Rao, 2009. Plotando-se as superfícies da função objetivo juntamente com as superfícies de restrição, o ponto ótimo pode ser determinado graficamente sem muitas dificuldades. O principal problema é quando o número de variáveis de decisão excede dois ou três, pois as superfícies de restrições e de função objetivo tornam-se complexas de serem visualizadas, e o problema deve ser resolvido puramente como um problema matemático. 40 Problemas de otimização podem ser classificados de várias formas descritas a seguir: A) Quanto a existência de restrições: se há algum tipo de restrição de projeto, ele é um problema restrito. Caso contrário, é sem restrição. B) Quanto à natureza das variáveis de decisão: Quando as variáveis de decisão são escritas em função de outros parâmetros de projeto, têm-se um problema de otimização dinâmico. Se as variáveis de decisão não são escritas em função de outros parâmetros, têm-se um problema de otimização estático. C) Quanto à estrutura física do problema: Quando se têm um problema de otimização que pode ser dividido em um determinado número de estágios, onde cada estágio evolui a partir do anterior de uma maneira prescrita, o problema é classificado como ideal. Do contrário, o problema é chamado de não-ideal. D) Quanto à natureza das equações envolvidas: essa classificação baseia-se na natureza das expressões da função objetivo e das restrições. Se as expressões da função objetivo ou as de alguma restrição são não lineares, o problema de otimização é não linear. Caso a função objetivo e restrições são escritas como posinômios das variáveis de decisão, o problema de otimização é geométrico. Se a função objetivo é não-linear de ordem quadrática e as restrições são lineares, têm-se um problema de otimização quadrático. Por fim, têm-se um problema de otimização linear quando a função objetivo e todas as restrições são escritas de forma linear em relação às variáveis de decisão. E) Quanto aos valores permitidos das variáveis de decisão: Se uma ou mais variáveis de decisão são restritas a assumir apenas valores inteiros (ou discretos), o problema de otimização é chamado de problema de otimização discreta. Se todas as variáveis de projeto podem assumir valores reais, o problema é chamado de problema contínuo. F) Quanto à natureza determinística das variáveis de decisão: Caso algum dos parâmetros (variáveis de decisão ou parâmetros predeterminados) possa ser tratado como probabilísticas, não-determinístico ou estocástica, o problema é estocástico. Caso contrário, o problema é determinístico. G) Quanto à separabilidade das funções: Se um problema de otimização de n variáveis pode ser expresso como a soma de n funções de uma única variável, ele é dito separável. Caso a separação seja impossível, ele é classificado como não-separável. 41 H) Quanto ao número de funções objetivo: Quando há mais de um objetivo a ser atingido no processo de otimização, têm-se um problema multiobjetivo. Quando há apenas um objetivo a ser atingido, o problema é mono-objetivo. Devido às várias técnicas disponíveis para a solução de diferentes tipos de otimização, a primeira tarefa de um projetista é investigar a classe de problema encontrado a partir dos critérios de classificação. Isso ditará os tipos de procedimentos de solução que serão adotados como melhor alternativa na solução do problema. Segundo Peng, Roos e Terlaky (2002), os avanços nos métodos de otimização sempre se iniciam com problemas lineares, e os cientistas passaram a estudar as complexidades das teorias dos métodos de otimização a partir dos anos 60, devido ao avanço da computação. O método simplex para solução de problemas lineares criado por Dantzig (1963) alcançou grande sucesso tanto em teoria quanto em sua aplicação. Karmakar (1984) deu início a uma “nova era” na otimização com a utilização do método dos pontos interiores, que tem a capacidade de resolver problemas lineares de forma mais rápida que o método simplex. A grande diferença entre os dois métodos, é que no de pontos interiores as iterações sempre permanecem dentro da região viável. Gill, Saunders e Shinnerl (1996) observou que algumas simples variações no algoritmo de Karmakar poderiam levar à um algoritmo muito antigo utilizado em otimizações de problemas não lineares, o método de barreira logarítmica. Este fato permitiu que Frisch (1995) desenvolvesse um dos primeiros métodos de pontos interiores que trata de problemas de otimização não lineares. Entretanto, este método apresenta problemas de convergência em determinadas situações. Wright (1997) apresentou o método primal-dual de pontos interiores, que é um método versátil, adequado para resolução problemas de otimização lineares ou não lineares e não apresenta problemas de convergência. Este método transforma problemas restritos em problemas equivalentes sem restrição, e a solução do problema restrito se dá pela solução de uma série de problemas irrestritos. Dado o problema da Equação 2.15, acrescentam-se variáveis de folga positivas para transformar as restrições de desigualdade em igualdade, conforme Equação 2.16: 42 Encontrar 𝑿 = { 𝑥1 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 } que minimiza f(X). Sujeito às restrições: 𝑙𝑗(𝑋) = 0, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑝 (2.16) 𝑔𝑗(𝑋) + 𝑠 ≤ 0, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑚 𝑠 ≥ 0 onde s é o vetor das variáveis de folga positivas. Desta forma, a condição de não negatividade das variáveis de folga é lavada à função objetivo através da função de barreira logarítmica: Minimizar: 𝑓(𝑋) − 𝜇 ∑ ln (𝑠𝑖) 𝑘 𝐽=1 Sujeito as restrições: 𝑙𝑗(𝑋) = 0, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑝 (2.17) 𝑔𝑗(𝑋) + 𝑠 = 0, 𝑗 = 1, 2, . . . , 𝑚 𝑠 ≥ 0 onde μ é chamado de parâmetro de barreira. Ao problema de otimização dado pela Equação 2.17, associa-se a seguinte função lagrangiana: 𝐿(𝑥, 𝑠, 𝜆, 𝜋) = 𝑓(𝑥) − 𝜇 ∑ ln(𝑠𝑖) 𝑘 𝑖=1 + ∑ 𝜆𝑗ℎ𝑗(𝑥) + 𝑚 𝐽=𝑖 ∑ 𝜋𝑖[ 𝑝 𝑖=1 𝑔𝑖(𝑥) + 𝑠𝑖] (2.18) onde 𝜆𝑗, 𝑗 = 1, … , 𝑚 são os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de igualdade e 𝜋𝑖, 𝑖 = 1, … , 𝑝 são os multiplicadores de Lagrange associados às restrições de desigualdade. 43 Portanto, têm-se uma sequência de problemas irrestritos a serem resolvidos. Para 𝜇 = �̅� fixo, minimiza-se 𝐿(𝑥, 𝑠, 𝜆, 𝜋) e à medida que 𝜇 tende a zero, o valor mínimo do problema dado pela Equação 2.18 tende ao valor mínimo da Equação 2.16. Neste trabalho, para resolver o problema de otimização, que é não linear e com restrições, utilizou-se o método de pontos interiores primal-dual, através da função fmincon do pacote de otimização do MATLAB (v.R2015a). O desenvolvimento e resultados obtidos por este processo de otimização é exibido no Capítulo 5. 2.6. Análise paramétrica e otimização de implantes dentários A análise paramétrica é um método utilizado para determinar quantitativamente os efeitos de parâmetros que definem a configuração de um determinado sistema na resposta desejada. É executada através da variação destes parâmetros dentro de um intervalo pré-definido. Estudos paramétricos em próteses odontológicas geralmente avaliam como os parâmetros relacionados à geometria de implantes e abutments, formato e propriedades constituintes do osso e diferentes condições de carregamento aplicados na prótese influenciam a distribuição de tensões e deformações no conjunto implante-prótese e no osso do paciente. Os procedimentos de otimização buscam encontrar a combinação destes parâmetros avaliados que leva a uma determinada resposta desejada. Ueda, Takayama e Yokoyama (2017) investigaram a influência da qualidade óssea e das dimensões do implante sobre a deformação elástica equivalente máxima no osso peri-implantar utilizando modelos de Elementos Finitos e otimizaram as dimensões do implante com base na deformação. Quatro parâmetros foram analisados em seus estudos: espessura do osso cortical, módulo de elasticidade do osso medular, diâmetro e altura do implante. De acordo com combinações de variáveis determinadas utilizando-se a técnica de amostragem por hipercubo latino, 500 modelos de elementos finitos foram construídos e analisados sob diferentes condições de carregamento, permitindo a construção de uma superfície de resposta, onde a saída é a deformação equivalente máxima. O diâmetro e a altura do implante foram minimizados através de um processo de otimização, em que a deformação elástica máxima equivalente teve a restrição de respeitar o limite fisiológico de 3000 με conforme proposto pela teoria de Frost (1994). 44 Roy et al. (2018) realizaram a otimização de um implante utilizando algoritmos genéticos, juntamente com modelos de redes neurais artificiais e de Elementos Finitos. Os parâmetros otimizados foram: diâmetro, comprimento e porosidade do implante, assim como a qualidade óssea. 180 modelos de Elementos Finitos com diferentes combinações de parâmetros de entrada, onde os resultados foram utilizados para a modelagem de dois modelos de Redes Neurais Artificiais (RNA). O primeiro modelo de RNA foi gerado a partir das microdeformações na região de interface osso-implante. O segundo modelo de RNA foi desenvolvido a partir de tensões no implante e também foi utilizado para formular uma restrição no problema de otimização. A resposta do modelo de RNA para microdeformações foi convertida em valores de desejabilidade adimensional entre 0 e 1, para serem usados em uma desirability function, de tal forma que o valor 0 corresponde à microdeformações menores que 1500 με e maiores que 3000 με, e o valor 1 corresponde à microdeformação de 2500 με. Esta combinação entre RNA e desirability function foi defindia como a função objetivo da otimização utilizando-se algoritmos genéticos como método de solução. O objetivo desta otimização foi encontrar a combinação de parâmetros relacionados a porosidade e dimensões do implante que maximiza a desirability function o mais próximo possível de 1, ou seja, almejou-se microdeformações de 2500 με, que são os níveis mais favoráveis ao processo da osseointegração. Quatro combinações de parâmetros que maximizam a desirability function foram obtidos pela otimização. Segundo Haiat, Wang e Brunski (2014), mesmo após a perfeita osseointegração entre o implante dentário e o osso, os sucessivos e intensos carregamentos podem aumentar os níveis de tensão na interface entre osso e implante, levando a uma maior probabilidade de reabsorção óssea e, consequentemente, de falha. Verri et al. (2017), utilizando nove modelos de elementos finitos tridimensionais, analisaram a distribuição de tensão transferida ao osso cortical por uma prótese unitária implanto suportada de 4 mm de diâmetro e 10 mm de altura utilizando três diferentes tipos de conexão entre abutment e implante, três técnicas cirúrgicas de instalação de implante no osso e três inclinações diferentes de um carregamento de 178 N (0º, 30º e 60º em relação ao eixo longitudinal do implante. Todos os modelos utilizaram as mesmas condições de contorno e as mesmas propriedades mecânicas dos materiais que constituem o conjunto. Verificou-se que a 45 tensão de von Mises na estrutura interna do implante e no osso peri-implantar aumenta quanto maior for a inclinação da carga aplicada, independente dos tipos de conexão e técnicas de inserção do implante no osso. Zmudzki, Chladek e Kasperski (2012) afirmam que a direção da força de mastigação pode variar dependendo das angulações da cúspide e da consistência do alimento. Guan et al. (2009), através de modelos de elementos finitos, analisaram as relações entre o módulo de elasticidade dos ossos cortical e esponjoso e a espessura do osso cortical na transmissão de tensões ao tecido ósseo. A espessura do osso cortical foi variada de 0,3 a 2,1 mm, o módulo de elasticidade do osso cortical foi variado de 7 à 20 GPa e o módulo de elasticidade do osso medular foi variado de 1 à 4 GPa. Verificou-se que, com o decréscimo da espessura do osso cortical, sua capacidade de suportar o carregamento também diminuiu, levando a um leve aumento na magnitude das tensões ao longo de todo o comprimento do implante. O aumento do módulo de elasticidade do osso trabecular leva ao aumento da tensão nesta região óssea, pois esta região óssea passa a suportar uma maior parte do carregamento aplicado. A tensão no osso cortical aumenta com a diminuição do módulo de elasticidade do osso esponjoso, pois dessa forma, pois o osso cortical passa a suportar uma maior porção do carregamento aplicado. Uma diminuição do módulo de elasticidade do osso cortical leva a um leve aumento de tensão no osso medular, como resultado do osso medular tendo que suportar uma maior porção do carregamento. Quanto maior o módulo de elasticidade do osso cortical, maior será a tensão, devido ao aumento da resistência do osso cortical em suportar a carga aplicada. Niroomand e Arabbeiki (2020) estudaram os efeitos dos parâmetros relacionados a dimensões do implante, comprimento e diâmetro, e à rosca do implante (profundidade, altura, passo e ângulo interno) sobre a tensão de von Mises no implante-abutment e no osso medular. Modelos tridimensionais de Elementos Finitos foram construídos com diferentes combinações de parâmetros obtidos através do método de Design of Experiments. Para estudar os efeitos dos seis parâmetros na resposta utilizou-se da metodologia de Superfície de Resposta. A análise simultânea destes parâmetros foi executada para obter uma melhor perspectiva sobre seus efeitos nas respostas mecânicas. Como modelo matemático para estimar a resposta utilizou-se de uma superfície de resposta de segunda ordem. Os resultados indicaram que o diâmetro do implante e sua interação com a profundidade da rosca são efetivos 46 em diminuir a probabilidade de reabsorção óssea. O comprimento do implante afeta as tensões de von Mises no implante-abutment e tem efeito desprezível sobre tensões no osso medular. O processo de otimização utilizando da superfície de resposta como função objetivo reduziu em 10% e 30% a tensão de von Mises no implante-abutment e no osso medular, respectivamente. Freitas et al. (2021) utilizando modelos de Elementos Finitos juntamente com as metodologias de Design of Experiments (DOE) e de Superfície de Resposta desenvolveram um procedimento de otimização multiobjetivo simplificado para projetos de implantes dentários. Com base em dados e resultados de estudos anteriores, modelos bidimensionais de Elementos Finitos de uma prótese unitária composta por um implante Branemark, um abutment multi-unit, dois parafusos protéticos, uma coroa protética e uma região de osso mandibular foram construídos. Combinações de valores do diâmetro da superfície superior, diâmetro externo, diâmetro interno e comprimento do implante foram definidas com base no DOE para analisar a influência da geometria na distribuição de tensões na interface osso implante. O problema de otimização formulado foi encontrar a combinação destes quatro parâmetros que minimizam a tensão de von Mises no osso cortical na região de interface entre osso implante e também a superfície de contato entre implante e osso. 47 CAPÍTULO 3 CONSTRUÇÃO DO MODELO PARAMETRIZADO DE ELEMENTOS FINITOS Neste capítulo, apresenta-se a construção do modelo parametrizado de Elementos Finitos de uma prótese dentária unitária sobre-implante, juntamente com as hipóteses simplificadoras adotadas em seu desenvolvimento, assim como o procedimento de validação deste modelo. 3.1. Componentes da prótese O modelo de Elementos Finitos desenvolvido neste trabalho é baseado na prótese sobre-implante utilizada por Albarracín (2011) e posteriormente estudada numericamente por Hernandez (2015). A prótese é composta por um implante Branemark System MK III Groov (Nobel Biocare – Götemburg, Sweden), onde fixou- se um intermediário do tipo multi-unit (Nobel Biocare – Götemburg, Sweden) através de um parafuso de titânio. Foi fixada sobre o intermediário instalado no implante uma prótese na forma de coroa protética composta de uma liga Cromo-Cobalto (Cr-Co) revestida por uma cerâmica feldspática (CNG Soluções Protéticas – São Paulo, SP, Brasil) através de um parafuso protético de titânio. Na Figura 3.1 observa-se a prótese utilizada por Albarracín (2011) e a prótese digitalizada por Hernandez (2015). Figura 3. 1: Componentes da prótese utilizada por Albarracín, 2011. Fonte: Hernandez, 2015. 48 3.2. Modelagem geométrica A construção da geometria do modelo foi dividida em três partes devido às diferentes técnicas utilizadas na modelagem de cada componente: modelagem do osso mandibular, modelagem dos componentes internos (implante, abutment e parafusos de fixação) e modelagem da coroa protética. A coroa possui um formato assimétrico e é composta por duas estruturas diferentes, uma parte metálica interna composta por uma liga Cobalto-Cromo (Co-Cr) e um revestimento externo de cerâmica feldspática, o que torna impraticável a construção de sua geometria diretamente no software Ansys. A modelagem geométrica foi desenvolvida a partir de técnicas de aquisição de dados de imagens, procedimento desenvolvido no Centro de Simulações em Bioengenharia, Biomecânica e Biomateriais – CS3B, Faculdade de Engenharia de Bauru - UNESP e é descrito detalhadamente em Freitas et al. (2013) e Freitas et al. (2014). Tal procedimento consistiu em obter informações geométricas por meio da técnica de escaneamento 3D para a camada externa de revestimento cerâmico e da técnica de microtomografia computadorizada na região interna metálica (liga Co-Cr). A região externa da coroa foi escaneada utilizando-se equipamento Next Engine 3D Scanner HD, disponível no laboratório CS3B. Os procedimentos de montagem deste equipamento são mostrados na Figura 3.2. O conjunto é composto por um emissor de feixes que escaneia a peça, uma base giratória que rotaciona o corpo em 360º e hastes e bases de apoio para a fixação da peça. Figura 3.2: Equipamento Next Engine 3D Scanner HD. Fonte: Hernandez, 2015. 49 Figura 3.3: (a) Nuvem de pontos gerada pelo escaneamento e (b) superfície gerada. Fonte: Adaptado de Hernandez, 2015. A nuvem de pontos gerada pelo escoamento tridimensional e a superfície gerada a partir da nuvem de pontos é ilustrada na Figura 3.3. Após o escaneamento, a superfície gerada foi exportada para um arquivo de extensão STL (StereoLithograph). Observa-se na Figura 3.3 que a superfície gerada através da nuvem de pontos possui algumas falhas e perda de informações, tornando-se necessário exportá-la para o software MeshLab, que possui um recurso que realiza o acabamento e a suavização da superfície gerada, eliminando falhas na aquisição dos dados de imagem. Este recurso é conhecido como filtro de reconstrução de malha por Poisson. Após os ajustes executados no MeshLab, o modelo da coroa foi novamente exportado em um arquivo de extensão STL. Até então, o modelo geométrico da região externa da coroa é composto apenas por sua superfície, não possuindo volume, que é necessário para a criação de um modelo tridimensional sólido para a posterior construção do modelo de Elementos Finitos. O arquivo STL gerado pelo MeshLab foi exportado para o software CAD SolidWorks (v. 2012). Através de ferramentas de modelagem disponíveis no software, gerou-se o volume da coroa e alguns ajustes e simplificações foram executados. Inseriu-se também a “linhas guia”, que serão utilizadas posteriormente na criação da malha de Elementos Finitos. Finalizada a modelagem geométrica da região externa da corona no software CAD, ela foi exportada no formato de arquivo IGS (Initial Graphic Exchange Specification) para o software Ansys (v. 2019.R3). Na Figura 3.4 visualiza-se o volume gerado no software SolidWorks e o modelo geométrico final que é utilizado no software de Elementos Finitos. 50 Figura 3.4: Região externa da coroa (a) no software SolidWorks e (b) em ambiente Ansys. Fonte: Adaptado de Hernandez, 2015. Para a modelagem geométrica da região interna, composta de liga Co-Cr, utilizou-se o processo de aquisição de imagens por Microtomografia Computadorizada (Microtomografia ou Micro-CT). O equipamento utilizado na aquisição de imagens foi o SkyScan 1176, disponível na Faculdade de Odontologia – UNESP – Câmpus de Araraquara. A Micro-CT obtém imagens de seções do volume através de consecutivas emissões de raios-X. Os arquivos gerados são imagens segmentadas da geometria que criam a visualização da geometria quando sobrepostas. A Figura 3.5 ilustra algumas das camadas geradas pela Microtomografia Computadorizada, que precisam passar por um processo de tratamento antes de serem combinadas e manipuladas para a geração de um sólido tridimensional. Este tratamento tem a finalidade de corrigir falhas na aquisição dos dados de imagem, alto reflexo ou brilho, melhorando as imagens geradas pela Micro-CT. É possível observar na Figura 3.5 que há duas regiões distintas, uma externa com densidade menor (revestimento de porcelana feldspática) e uma interna com densidade maior (liga metálica de Co-Cr). Pretende-se apenas aproveitar a camada metálica da estrutura, excluindo-se o revestimento de porcelana, já obtido através do escaneamento 3D. O processamento das imagens leva à separação das regiões interna e externa, buscando-se contornos bem definidos para a criação da geometria tridimensional. Para a realização deste tratamento, as imagens da Micro-CT foram exportadas em formato TIFF (Tag Image File Format) para o software ImageJ (v.1.48), onde tratamentos de contraste e brilho foram realizados para uma melhor visualização da estrutura metálica coroa. 51 Figura 3.5: Camadas geradas pela Microtomografia Computadorizada antes do tratamento. Fonte: Hernandez, 2015. Após a execução do tratamento, exportou-se as imagens em arquivos de formato TIFF para o software Simpleware (v.4.2). Este software é responsável por ler as imagens obtidas na Micro-CT e reconstruí-las como sólidos tridimensionais, possibilitando a criação do volume posteriormente discretizado em Elementos Finitos. O volume gerado após a reconstrução no Simpleware (v.4.2) foi exportado em extensão STL para o software CAD Solidworks (v.2012). Através das mesmas ferramentas utilizadas no revestimento de cerâmica, criou-se o volume do metal e aplicou-se alguns ajustes e simplificações de superfície. Também se inseriu as “linhas- guia” para a criação posterior da malha de elementos finitos. Finalizada a modelagem geométrica no software CAD, a parte metálica da coroa foi exportada no formato IGS para o software Ansys. A Figura 3.6 mostra o volume gerado no software Solidworks e o modelo geométrico final utilizado no software de Elementos Finitos. Figura 3.6: Região metálica da coroa (a) no software SolidWorks e (b) em ambiente Ansys. Fonte: Adaptado de Hernandez, 2015. 52 Os componentes internos da prótese (implante, abutment e parafusos de fixação), por serem de geometrias simples e simétricas, compostas basicamente por cilindros e troncos de cone, foram modelados diretamente no software de Elementos Finitos Ansys (v.2019.R3) no módulo Mechanical APDL, utilizando-se da linguagem APDL (Ansys Parametric Design Language) de programação. Na Figura 3.7 visualiza- se os modelos geométricos dos componentes internos da prótese em vista isométrica no ambiente de software Ansys. Figura 3.7: Modelo geométrico dos componentes internos: (a) implante, (b) abutment, (c) parafuso do implante e (d) parafuso do abutment. Fonte: Do autor. Nota-se que algumas simplificações foram aplicadas nas geometrias. Os filetes de rosca dos dois parafusos de fixação foram omitidos. No parafuso do intermediário, construiu-se apenas o primeiro filete de rosca, pois é um local de alta incidência de falhas (SILVA et al., 2014). No implante, a rosca também foi removida pois não é objeto de estudo deste trabalho, implicando na condição de completa osseointegração entre implante e osso mandibular na execução das análises. Essas simplificações objetivaram a melhoria da capacidade de processamento computacional. 53 O osso mandibular é composto de uma região medular e uma região cortical e foram modeladas geometricamente por Hernandez (2010) utilizando-se o software CAD SolidWorks (v. 2012) e são ilustradas na Figura 3.8 em ambiente Ansys. A espessura utilizada para o osso cortical foi de 2 mm. Figura 3.8: Regiões cortical e medular do osso mandibular. Fonte: Do autor. 3.3. Estruturação do modelo prótese-implante-mandíbula Após a modelagem geométrica de todos os componentes que constituem a prótese, é necessário realizar a junção dos componentes internos à coroa protética no software de Elementos Finitos. Primeiramente, os componentes internos foram montados no Ansys na configuração ilustrada na Figura 3.1. Estes componentes foram inseridos no modelo geométrico do osso mandibular, composto pelas regiões cortical e medular, conforme observado na Figura 3.8. O furo no osso que recebe o sistema protético foi criado no software Ansys, através de ferramentas booleanas, que têm a capacidade de extrair um sólido, de mesmas geometria e dimensões do implante, do osso, deixando uma região vazia. Essas ferramentas também permitem que áreas que entram em contato compartilhem suas superfícies, possibilitando a introdução de futura condição de osseointegração entre implante e osso mandibular. Para a fixação da coroa protética aos componentes internos da prótese, a mesmas ferramentas booleanas foram utilizadas. O volume correspondente ao metal interno foi extraído do volume da cerâmica, criando-se assim uma região vazia. Nesta 54 região, adicionou-se a estrutura metálica da coroa para compor todo o conjunto da coroa protética. Inseriu-se a condição de colagem entre as duas regiões, formando um único sólido composto de materiais diferentes. Em seguida, também através de ferramentas booleanas de subtração de volumes, criou-se na coroa protética os furos para inserção dos parafusos de fixação. Por fim, uniu-se a coroa protética ao restante do conjunto. A Figura 3.9 ilustra o modelo geométrico final em ambiente Ansys. Figura 3.9: Modelo geométrico da prótese instalada no osso mandibular. Fonte: Do autor. 3.4. Caracterização física do modelo 3.4.1. Aplicação das propriedades mecânicas Após a montagem do modelo geométrico, atribuiu-se a cada componente do conjunto as suas propriedades mecânicas. Na fundamentação teórica, apresentou-se uma simplificação considerando-se que os materiais que compõem o osso mandibular apresentam as mesmas propriedades mecânicas em todas as direções, ou seja, isotropia. Dessa maneira, todos os materiais utilizados neste estudo foram considerados homogêneos, isotrópicos e linearmente elásticos, apresentando a mesma composição e as mesmas propriedades mecânicas em todas as direções em um mesmo ponto do elemento estrutural, e foram caracterizados pelo módulo de elasticidade e coeficiente de Poisson. A Tabela 3.1 ilustra as propriedades mecânicas dos materiais. 55 Tabela 3.1: Propriedades mecânicas dos componentes do modelo. Componente Material Módulo de Elasticidade Coeficiente de Poisson Referência Mandíbula Osso cortical 14 GPa 0,3 Juodzbalys et al. (2005) Mandíbula Osso medular 1 GPa 0,3 Juodzbalys et al. (2005) Implante Liga Ti-6Al-4V 110 GPa 0,34 Elsayyad et al. (2020) Abutment Liga Ti-6Al-4V 110 GPa 0,34 Elsayyad et al. (2020) Parafuso da coroa Titânio puro 102 GPa 0,35 Kong et al. (2009) Parafuso intermediário Titânio puro 102 GPa 0,35 Kong et al. (2009) Coroa interna Liga Cr-Co 218 GPa 0,33 Craig e Powers (1989) Coroa revestimento Cerâmica 68,9 GPa 0,28 Geng et al. (2001) 3.4.2. Discretização do modelo O elemento utilizado na construção da malha de Elementos Finitos foi o SOLID187. Este elemento é um sólido tetraédrico, de função de interpolação quadrática e possui dez nós com três graus de liberdade em cada nó. Ele foi escolhido porque sua função oferece boa aproximação às condições reais e é capaz de adaptar- se a malhas irregulares, mantendo suas propriedades. Neste trabalho, a região de análise é a interface entre osso e implante, possuindo, portanto, uma malha com maior grau de refinamento e, à medida que os elementos se distanciam dessa região, eles suavemente passam a assumir tamanhos maiores. A quantidade de elementos finitos e suas dimensões foram parametrizados em função geometria do modelo, devido à realização dos estudos paramétricos que serão descritos no Capítulo 4. 3.4.3. Introdução de elementos de contato Elementos de contato foram aplicados nas superfícies de interação entre implante e abutment e entre o abutment e a coroa. De acordo Xu, Wang e Li (2015), um comportamento de união rígida entre tais superfícies não corresponde à real caracterização destes elementos estruturais, alterando a distribuição de tensões em todo o modelo. Para determinadas condições de esforços solicitantes, como carregamentos oblíquos, é possível o surgimento de um gap entre os componentes e até mesmo deformações plásticas na região de contato. 56 A estas superfícies, foram adicionados os elementos de contato CONTACT175 (elementos atribuídos a superfícies que induzem o contato) e TARGET170 (elementos aplicados nas superfícies que recebem o contato). Estas superfícies podem ser visualizadas na Figura 3.10 em ambiente Ansys. Figura 3.10: Superfícies de aplicação de elementos de contato. Fonte: Do autor. 3.4.4. Aplicação da pré-carga Os componentes estruturais que receberam os elementos de contato não se encontram mais unidos rigidamente ao conjunto. Portanto, é necessário aplicar pré- carga nos parafusos do abutment e da coroa, que é uma força de aperto dos parafusos aplicada no modelo que simula o torque necessário para a fixação e junção dos componentes uns com os outros como em uma estrutura real. Para reproduzir o torque de aperto no modelo de elementos finitos, é introduzida aos corpos do parafuso uma força de compressão, que é aplicada em uma seção intermediária dos parafusos de fixação do abutment e da coroa. Essa força de compressão gera uma reação que traciona os parafusos. Essa força de tração em elementos de fixação como parafusos é responsável pela união e fixação dos componentes por ele unidos (GUPTA, GUPTA e TANDAN, 2015; CAPELLO SOUSA, 2010; SILVEIRA, 2013; BUDINAS e NISBETT, 2011). A relação entre forças de tração e compressão no corpo de parafusos é explicitada no trabalho de Silveira (2013). 57 Segundo Budinas e Nisbett (2011), a força de tração em um parafuso 𝐹𝑝 que equivale à aplicação de um torque é dada por: 𝐹𝑝 = 𝑇𝑝 0.20 ⋅ ⅆ𝑝 (3.1) Onde 𝑇𝑝 é o torque aplicado ao parafuso e ⅆ𝑝 é o diâmetro médio da rosca do parafuso. O diâmetro médio da rosca do parafuso do abutment ⅆ𝑝𝑎 é de 1,68 mm e o torque usualmente empregado neste parafuso 𝑇𝑝𝑎 é de 200 N.mm de acordo com Albarracín (2011). Portanto, a força de tração 𝐹𝑃𝑎 no parafuso do abutment é: 𝐹𝑝𝑎 = 200 𝑁 ⋅ 𝑚𝑚 0,20 ⋅ 1,68 𝑚𝑚 = 595 𝑁 (3.2) É necessário aplicar uma carga compressiva no modelo, na seção intermediária do parafuso, de forma que as forças resultantes ocasionadas por este carregamento correspondam à força de aperto de 595 N. A Figura 3.11 mostra a relação entre as forças compressivas e de tração, bem como as dimensões do parafuso de travamento do abutment e a seção intermediária onde é aplicada a pré-carga. Figura 3.11: (a) Aplicação da pré-carga; (b) dimensões da seção transversal do parafuso. Fonte: Adaptado de Hernandez, 2015. Para determinar as resultantes que devem ser aplicadas no modelo para gerar a força de aperto de 595 N é necessário elaborar um cálculo analítico baseado 58 nas equações de compatibilidade de deslocamentos da Resistência dos Materiais. Estes cálculos foram descritos e desenvolvidos no trabalho de Silveira (2013). Para a aplicação da pré-carga no parafuso de fixação da coroa, utilizou-se da mesma técnica. O diâmetro médio da rosca do parafuso da coroa ⅆ𝑝𝑐 é de 1,4 mm, e o torque normalmente aplicado neste parafuso 𝑇𝑝𝑐 é de 100 N.mm segundo Albarracín (2011). Portanto, de acordo com a Equação 3.1, a força de tração no parafuso da coroa é dada por: 𝐹𝑝𝑐 = 100 𝑁 ⋅ 𝑚𝑚 0,20 ⋅ 1,4 𝑚𝑚 = 357 𝑁 (3.3) A força de tração no parafuso originada de um torque de aperto de 100 N.mm é de 357 N. Na Figura 3.12 observa-se a relação entre forças de tração e de compressão, assim como as dimensões do parafuso da coroa e a seção intermediária onde a pré-carga é aplicada. Figura 3.12: (a) Aplicação da pré-carga; (b) dimensões da seção transversal do parafuso. Fonte: Adaptado de Hernandez, 2015. 3.5. Análise do modelo de Elementos Finitos 3.5.1. Convergência de malha Uma vez que se tem o modelo representativo quanto à aplicação de cargas, condições de contorno e propriedades de materiais, a variável de modelagem que ainda pode causar divergência entre resultados é o refinamento de malha. Portanto, 59 é necessário realizar um estudo de convergência de resultados em função da discretização da malha, ou seja, da quantidade de elementos presentes no modelo e do tamanho do elemento na região de análise. A convergência é obtida quando a variação dos resultados entre duas etapas subsequentes da análise é mínima, fornecendo processamento numérico suficiente e resultados confiáveis. Na região de interface entre osso e implante a malha possui um maior grau de refinamento, e a medida que os elementos se distanciam dessa região eles passam a ter tamanhos maiores. Neste trabalho a convergência de malha foi executada através da geração de sete modelos de Elementos Finitos, onde variou-se a quantidade de elementos em cada um, os demais parâmetros permaneceram constantes. Nestes modelos, utilizou- se um implante com altura de 11 mm e um abutment de 1 mm, o módulo de elasticidade do osso cortical utilizado foi de 20 GPa. Esta configuração foi definida arbitrariamente. Aplicou-se um carregamento oblíquo de intensidade 100 N e restrições de movimento em todos os graus de liberdade foram aplicadas nos nós do osso mandibular, estas condições podem ser visualizadas na Figura 3.13. O estudo iniciou-se com um modelo de 50000 elementos, quantidade definida arbitrariamente. Os modelos seguintes tiveram um incremento de 50000 elementos de um modelo para o outro, até a obtenção da malha onde houve convergência dos resultados. Figura 3.13: Carregamento e restrições. Fonte: Do autor. 60 3.5.2. Procedimento de validação do modelo Todo modelo numérico precisa ser validado experimentalmente. A validação é um procedimento que busca certificar a funcionalidade do modelo numérico. Ela é executada através de um modelo experimental com os componentes reais que embasaram a criação do modelo computacional. Os mesmos testes são realizados no modelo matemático e no modelo experimental, e os resultados obtidos nos dois modelos são comparados. A convergência ou divergência dos resultados fornece a informação da funcionalidade do modelo. Para verificar a funcionalidade do modelo numérico desenvolvido neste trabalho, o procedimento experimental realizado por Albarracín (2011) foi reproduzido utilizando-se o Método dos Elementos Finitos. Albarracín (2011) realizou diversos experimentos em próteses dentárias sobre-implante utilizando-se diferentes materiais na confecção da coroa protética. Através da medição da deformação gerada no abutment e no osso peri-implantar utilizando-se extensômetros li