Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita” Faculdade de Engenharia Gilmar Tolentino Otimização multiobjetivo para o planejamento integrado do cultivo da cana-de-açúcar e da cana-energia visando a produção de sacarose e fibra Bauru 2021 Gilmar Tolentino Otimização multiobjetivo para o planejamento integrado do cultivo da cana-de-açúcar e da cana-energia visando a produção de sacarose e fibra Tese apresentada à Universidade Estadual Pau- lista “Júlio de Mesquita Filho”− Campus de Bauru, Faculdade de Engenharia, como parte dos requisitos necessários para obtenção do t́ıtulo de Doutor em Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Automação Orientador: Prof. Dr. Antonio Roberto Balbo Coorientadora: Profª. Drª. Sônia Cristina Poltroniere Bauru 2021 T649o Tolentino, Gilmar Otimização multiobjetivo para o planejamento integrado do cultivo da cana-de-açúcar e da cana-energia visando a produção de sacarose e fibra / Gilmar Tolentino. -- Bauru, 2021 146 p. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Faculdade de Engenharia, Bauru Orientador: Antonio Roberto Balbo Coorientadora: Sonia Cristina Poltroniere 1. Otimização Multiobjetivo. 2. Modelagem matemática e aplicações. 3. Cana-de-açúcar. 4. Cana-energia. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca da Faculdade de Engenharia, Bauru. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. Dedico a todos os leitores. Aos meus filhos Gui e Thaisa Aos meus familiares e amigos. Agradecimentos Primeiro agradeço a Deus por todas as coisas, boas e más, vivenciadas por mim. Cada uma delas, ao seu modo, contribúıram para eu chegar até aqui. Ao meu pai (em memória) e minha mãe que sempre me apoiaram nos estudos. A minha esposa e aos meus filhos, pela constante presença e por tudo o que representam para mim. Ao prof Dr. Antonio Roberto Balbo pelo apoio, amizade e por todos ensinamentos compartilhados a mim. A profa Dra Sônia Cristina Poltroniere Silva pelo apoio, amizade e pelos ensinamentos. A profa Dra Helenice de Oliveira Florentino Silva pela amizade, apoio e pelos ensinamentos. Aos professores e professoras participantes da banca de defesa, pelas colaborações e sugestões feitas à melhoria da escrita da tese. A Associação dos Plantadores de Cana do Médio Tiete e, em especial, ao Elio P. de Camargo pela cordialidade e informações prestadas. Ao Eng. Agrônomo Marcel Tomás Arantes pelas informações prestadas. A todos os professores e funcionários do Departamento de Matemática pela formação e pela amizade e companheirismo. Aos funcionários da Seção Técnica da Pós-Graduação da Faculdade de Engenharia, pela atenção e pronto atendimento. “O que impede de saber não são nem o tempo nem a inteligência, mas somente a falta de curiosidade” Agostinho da Silva Resumo Este trabalho propõe uma metodologia para a construção de um planejamento otimizado que integre o processo de plantio e colheita da cana-de-açúcar e da cana-energia com o intuito de obter sacarose e fibra dessas culturas para a produção de açúcar, etanol e bioeletricidade. Neste sentido, são propostos três modelos multiobjetivos que determinam variedades de cana-de-açúcar e cana-energia, obtendo um calendário de plantio e colheita, visando maximizar a produção de sacarose e fibra e, simultaneamente, minimizar o custo operacional de cultivo. O primeiro modelo multiobjetivo considera o plantio e primeira colheita, obtendo sacarose a partir da cana- de-açúcar e fibra por meio da cana-energia; o segundo modelo multiobjetivo também considera o plantio e primeira colheita, obtendo sacarose e a partir da cana-de-açúcar e fibra da cana-de- açúcar e cana-energia; o terceiro modelo multiobjetivo considera o plantio e múltiplas colheitas, obtendo sacarose e fibra a partir da cana-de-açúcar e cana-energia. Nos modelos propostos são consideradas restrições técnicas das usinas, como demanda mensal de sacarose e fibra e capacidade de moagem, para cada mês de colheita, em todos os peŕıodos considerados de colheitas. Para a resolução, os modelos multiobjetivos foram transformados pelo método das restrições canalizadas progressivas (MRCP) em um conjunto de problemas mono-objetivos, os quais, foram implementados na linguagem OPL ( Optimization Programming Language) e resolvidos pelo software CPLEX Optimizer. Os modelos foram simulados com dados de diferentes instâncias e variedades de cana-de-açúcar e cana-energia e os resultados obtidos mostram um cronograma de plantio e colheita das variedades selecionadas bem como, a produtividade de sacarose e fibra e o custo de cultivo, colheita e transporte destas plantas, auxiliando o tomador de decisões no planejamento deste processo. Palavras-chave:: Otimização. Modelagem matemática e aplicações. Modelagem multiobjetivo. Cana-de-açúcar. Cana-energia. Abstract This work proposes a methodology for the construction of an optimized planning that integra- tes the process of planting and harvesting of the sugarcane and energy-cane, in order to obtain sucrose and fiber from these cultures, for the production of sugar, ethanol and bioelectricity. In this sense, multiobjective models are proposed to choose varieties of sugarcane and energy-cane, obtaining a planting and harvesting scheduling, aiming to maximize the production of sucrose and fiber and, simultaneously, minimize the operational cost of cultivation. Three multiobjective models are proposed, of which, the first selects varieties of sugarcane in order to obtain sucrose and varieties of energy-cane for the use of fiber, considering the first harvest of the selected va- rieties; the second model chooses varieties of sugarcane to obtain sucrose and fiber and, from selected varieties of energy-cane is explored its fiber. This model also considers the first harvest of the selected varieties. The third model selects varieties of sugarcane and energy-cane for the utilization of the sucrose and fiber, considering multiple harvest periods. In the proposed models, technical constraints of the plants are considered, such as monthly demand of the sucrose and fi- ber and grinding capacity, for each month of harvest, in all considered harvesting periods. For the resolution, the multiobjective models were transformed by the progressive bounded constraints method (PBCM) into a set of mono-objective problems, which were implemented in the OPL (Optimization Programming Language) and solved by the CPLEX Optimizer software. The mo- dels were simulated with data from different instances and sugarcane and energy-cane varieties and the results obtained show a schedule of planting and harvesting of selected varieties, as well as the productivity of sucrose and the operational cost of growing, harvesting and transportation these plants, helping the decision maker in planning this process. Keywords: Mathematical Modeling and Applications. Optimization. Multiobjective Model. Sugarcane. Energy-cane. Lista de Figuras 2.1 Variedades resultantes do cruzamento e seleção de espécies do complexo Saccharum 34 2.2 Mecanismo de extração da colhedora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Evolução do custo de plantio da cana ao longo das safras . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.3). . . . . . . 66 5.2 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.3) e (5.4). . 67 5.3 Porcentagem de talhões que receberam o plantio das variedades selecionadas de cana-energia e da cana-de-açúcar no ponto de compromisso do modelo mono- objetivo (4.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.4 Porcentagem de talhões plantados em cada mês de plantio e porcentagem de co- lheita em cada mês do primeiro peŕıodo de colheita no ponto de compromisso do modelo mono-objetivo (4.6). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.5 Curva Pareto-Ótimo com os pontos eficientes apresentados na Tabela (5.5). . . . . 69 5.6 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.5) e (5.6). . 70 5.7 Porcentagem de talhões que receberam o plantio das variedades selecionads de cana-energia e da cana-de-açúcar no ponto de compromisso do modelo mono- objetivo (4.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.8 Porcentagem de talhões plantados em cada mês de plantio e porcentagem de co- lheita em cada mês do primeiro peŕıodo de colheita no ponto de compromisso do modelo mono-objetivo (4.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.9 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.7). . . . . . . 73 5.10 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.7) e (5.8). . 74 5.11 Porcentagem de talhões que receberam o plantio das variedades selecionadas de cana-energia e da cana-de-açúcar no ponto de compromisso do modelo mono- objetivo (4.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.12 Porcentagem de talhões plantados em cada mês de plantio e porcentagem de co- lheita em cada mês do primeiro peŕıodo de colheita no ponto de compromisso do modelo mono-objetivo (4.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.13 Curva Pareto-Ótimo com os pontos eficientes na Tabela (5.9). . . . . . . . . . . . . 76 5.14 Curva Pareto-Ótimo com os pontos eficientes nas Tabelas (5.9) e (5.10). . . . . . . 77 5.15 Porcentagem de talhões que receberam o plantio das variedades de cana-energia e da cana-de-açúcar, selecionadas no ponto de compromisso do modelo mono- objetivo (4.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.16 Porcentagem de talhões plantados em cada mês de plantio e porcentagem de co- lheita em cada mês do primeiro peŕıodo de colheita no ponto de compromisso do modelo mono-objetivo (4.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.17 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.12). . . . . . 80 5.18 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.12) e (5.13). 81 5.19 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.14). . . . . . 82 5.20 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.14) e (5.15). 83 5.21 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.16). . . . . . 84 5.22 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.16) e (5.17). 85 5.23 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.18). . . . . . 86 5.24 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.18) e (5.19). 87 5.25 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.20). . . . . . 88 5.26 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.20) e (5.21). 89 5.27 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.22). . . . . . 90 5.28 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.22) e (5.23). 91 5.29 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.24). . . . . . 92 5.30 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.24) e (5.25). 93 5.31 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.26). . . . . . 94 5.32 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.26) e (5.27). 95 5.33 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.28). . . . . . 96 5.34 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.28) e (5.29). 97 5.35 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.30). . . . . . 98 5.36 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.30) e (5.31). 99 5.37 Porcentagem de talhões que receberam o plantio da cana-de-açúcar e cana-energia na instância com 30 talhões no ponto de compromisso determinado pelo modelo mono-objetivo (4.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.38 Porcentagem de talhões que receberam o plantio da cana-de-açúcar e cana-energia na instância com 30 talhões no ponto de compromisso determinado pelo modelo mono-objetivo (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.39 Porcentagem de talhões que receberam o plantio da cana-de-açúcar nos meses destinado ao plantio no ponto de compromisso da implementação dos modelos mono-objetivos (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.40 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do primeiro peŕıodo colheita na instância com 30 talhões no ponto de compromisso da resolução dos modelos mono-objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.41 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do segundo peŕıodo colheita na instância com 30 talhões no ponto de compromisso da resolução dos modelos mono-objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.42 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do terceiro peŕıodo colheita na instância com 30 talhões no ponto de compromisso da resolução dos modelos mono-objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.43 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do quarto peŕıodo colheita na instância com 30 talhões no ponto de compromisso da resolução dos modelos mono-objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.44 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.33). . . . . . 105 5.45 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.34). . . . . . 106 5.46 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.34) e (5.35). 107 5.47 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.36). . . . . . 108 5.48 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.37). . . . . . 109 5.49 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabelas (5.37) e (5.38). 110 5.50 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.39). . . . . . 111 5.51 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.40). . . . . . 112 5.52 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.40) e (5.41). 113 5.53 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.42). . . . . . 114 5.54 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.43). . . . . . 115 5.55 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.43) e (5.44). 116 5.56 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.45). . . . . . 117 5.57 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados na Tabela (5.46). . . . . . 118 5.58 Curva Pareto-Ótimo dos pontos eficientes apresentados nas Tabelas (5.46) e (5.47). 119 5.59 Porcentagem de talhões que receberam o plantio da cana-de-açúcar e cana-energia na instância com 65 talhões no ponto de compromisso determinado pelo modelo mono-objetivo (4.10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.60 Porcentagem de talhões que receberam o plantio da cana-de-açúcar e cana-energia na instância com 65 talhões no ponto de compromisso determinado pelo modelo mono-objetivo (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.61 Porcentagem de talhões da instância com 65 talhões que receberam o plantio da cana-de-açúcar nos meses destinado ao plantio no ponto de compromisso da im- plementação dos modelos mono-objetivos (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . 121 5.62 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do primeiro peŕıodo colheita na instância com 65 talhões no ponto de compromisso da implementação dos modelos mono- objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.63 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do segundo peŕıodo colheita na instância com 65 talhões no ponto de compromisso da resolução dos modelos mono-objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.64 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do terceiro peŕıodo colheita na instância com 65 talhões no ponto de compromisso da resolução dos modelos mono-objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5.65 Porcentagem de talhões colhidos nos meses do quarto peŕıodo colheita na instância com 65 talhões no ponto de compromisso da resolução dos modelos mono-objetivo (4.10) e (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 A.1 Comparação de vetores em duas variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 A.2 Conceito de dominância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 A.3 Pontos notáveis de um problema multiobjetivo (r = 2) . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Lista de Tabelas 2.1 Exportações de açúcar e etanol nos anos de 2005 a 2020 . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2 Comparativo de cana-de-açúcar e cana-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3 Ciclo padrão do corte da cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4 Valores de colheita, transporte e transbordo da cana na safra 2016/2017 no estado de São Paulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.1 Produtividade, porcentagem de sacarose e fibra das variedades de cana-energia em cana planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2 Produtividade, porcentagem de sacarose e fibra das variedades de cana-de-açúcar em cana planta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Resultados em cada subintervalo obtidos por meio da resolução do modelo mono- objetivo (4.6) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.4 Resultados para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.6) para a instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.5 Resultados em cada subintervalo obtidos por meio da resolução modelo mono- objetivo (4.7) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.6 Resultados para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.7 Resultados obtidos em cada subintervalo por meio da resolução do modelo mono- objetivo (4.8) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.8 Resultados para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.8) para a instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.9 Resultados em cada subintervalo por meio da resolução do modelo mono-objetvio (4.9) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.10 Resultados para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.9) para a instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.11 Pontos lexicográficos e amplitudes para cada colheita da instância com 30 talhões . 79 5.12 Resultado para o plantio e primeira colheita obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.13 Resultados para o plantio e primeira nas partições com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.14 Resultado para o plantio e primeira colheita obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.15 Resultados em cada partição com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) no plantio e primeira colheita da instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.16 Resultado para a segunda colheita com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 5.17 Resultados da segunda colheita nas partições com a resolução do modelo mono- objetivo (4.10) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.18 Resultado para a segunda colheita da resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 5.19 Resultados em cada partição com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na segunda colheita da instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.20 Resultado para a terceira colheita obtidos por meio da resolução do modelo mono- objetivo (4.10) na instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.21 Resultados da terceira colheita nas partições com a resolução do modelo mono- objetivo (4.10) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.22 Resultado para a terceira colheita obtidos por meio da resolução do modelo mono- objetivo (4.11) na instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.23 Resultados em cada partição com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na terceira colheita da instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.24 Resultado para a quarta colheita com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.25 Resultados da quarta colheita nas partições com a resolução do modelo mono- objetivo (4.10) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 5.26 Resultado para a quarta colheita obtidos por meio da resolução do modelo mono- objetivo (4.11) na instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.27 Resultados em cada partição com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na quarta colheita da instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 5.28 Resultados em cada subintervalo considerando as quatro colheita obtidos por meio da resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 30 talhões. . . . . . 96 5.29 Resultados considerando as quatro colheitas nas partições com a resolução do mo- delo mono-objetivo (4.10) na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5.30 Resultados em cada subintervalo considerando as quatro colheita obtidos por meio da resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 30 talhões. . . . . . 98 5.31 Resultados em cada partição com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) considernado todas as colheitas da instância com 30 talhões. . . . . . . . . . . . . . 99 5.32 Pontos lexicográficos e amplitudes para cada colheita da instância com 65 talhões . 103 5.33 Resultados para o plantio e primeira colheita obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.34 Resultado para o plantio e primeira colheita obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.35 Resultados do plantio e primeira colheita para os novos subintervalos com a re- solução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . 106 5.36 Resultado para segunda colheita obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.37 Resultado para a segunda colheita obtidos com a resolução do modelo mono- objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.38 Resultados da segunda colheita para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . 109 5.39 Resultado para terceira colheita obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.40 Resultados para a terceira colheita obtidos com a resolução do modelo mono- objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 5.41 Resultados da terceira colheita para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . 112 5.42 Resultado para quarta colheita obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 5.43 Resultados para a quarta colheita obtidos com a resolução do modelo mono- objetivo (4.11) na instância com 65 talhões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.44 Resultados da quarta colheita para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . 115 5.45 Resultados considerando todas as colheitas obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.10) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.46 Resultados considerando todas colheitas na instância com 65 talhões, obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 5.47 Resultados de todas as colheitas para os novos subintervalos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.11) na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . 119 Lista de Abreviaturas e Unidades ANEEL Agência Nacional de Energia Elétrica BAR Medida de pressão Bit Binary Digit CONAB Companhia Nacional de Abastecimento CO2 Dióxido de carbono CTT Corte, Transporte e Transbordo EMBRAPA Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária GB Gigabyte GHz Gigahertz GWh Gigawatt-hora IBM International Business Machines Corporation kg Quilogramas km Quilômetros m metros MRCP Método das Restrições Canalizadas Progressivas MJ Megajoule MW Megawatt MWh Megawatt-hora NSGA Non-dominated Sorting Genetic Algorithm OIEE Oferta Interna de Energia Elétrica OPL Optimization Programming Language POL Teor de sacarose aparente da cana RAM Random Access Memory R$ Reais R$/t Reais por tonelada SIN Sistema Interligado Nacional US$ Dólar t/ha toneladas por hectare UNICA União das indústrias de cana-de-açúcar Sumário 1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.1 Revisão bibliográfica - Modelagem no setor sucroenergético . . . . . . . . . . . . . 27 1.2 Organização da tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2. Produção da cana-de-açúcar e cana-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1 O setor sucroenergético no Brasil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 A cana-energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.3 O plantio e colheita de cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4 Variedades de cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Custos operacionais da cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.6 Cogeração de energia através da fibra de cana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3. Modelos propostos para a escolha das variedades de cana-de-açúcar e cana-energia . . . 43 3.1 Primeiro modelo multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Segundo modelo multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Terceiro modelo multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4. Metodologia de solução para os modelos multiobjetivos propostos . . . . . . . . . . . . . 55 4.1 Definições e conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2 Método das restrições canalizadas progressivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Primeiro modelo multiobjetivo representado na forma mono-objetivo . . . . . . . . 59 4.4 Segundo modelo multiobjetivo representado na forma mono-objetivo . . . . . . . . 60 4.5 Terceiro modelo multiobjetivo representado na forma mono-objetivo . . . . . . . . 60 4.6 Refinamento do MRCP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5. Resultados da simulação computacional dos modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.1 Dados para testes computacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.2 Resultados do primeiro modelo multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2.1 Resultados obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.6) . . . . . 65 5.2.2 Resultados obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.7) . . . . . 68 5.3 Resultados do segundo modelo multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.3.1 Resultados obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.8) . . . . . 72 5.3.2 Resultados obtidos com a resolução do modelo mono-objetivo (4.9) . . . . . 75 5.4 Resultados do terceiro modelo multiobjetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.4.1 Pontos lexicográficos para cada peŕıodo de colheita na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.4.2 Resultados do plantio e primeira colheita na instância com 30 talhões . . . 79 5.4.3 Resultados da segunda colheita na instância com 30 talhões . . . . . . . . . 83 5.4.4 Resultados da terceira colheita na instância com 30 talhões . . . . . . . . . 87 5.4.5 Resultados da quarta colheita na instância com 30 talhões . . . . . . . . . . 91 5.4.6 Resultados considerando as quatro colheitas na instância com 30 talhões. . 95 5.4.7 Variedades selecionadas, meses de plantio e meses de colheita para cada peŕıodo de colheita da instância com 30 talhões no ponto de compromisso . 99 5.4.8 Pontos lexicográficos para cada peŕıodo de colheita na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.4.9 Resultados do plantio e primeira colheita na instância com 65 talhões . . . 104 5.4.10 Resultados da segunda colheita na instância com 65 talhões. . . . . . . . . . 107 5.4.11 Resultados da terceira colheita na instância com 65 talhões . . . . . . . . . 110 5.4.12 Resultados da quarta colheita na instância com 65 talhões . . . . . . . . . . 113 5.4.13 Resultados considerando todas as colheitas da instância com 65 talhões. . 116 5.4.14 Variedades selecionadas, agenda de plantio e colheita para cada colheita da instância com 65 talhões no ponto de compromisso . . . . . . . . . . . . . . 120 6. Conclusão e propostas futuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 6.1 Trabalhos apresentados em eventos e publicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Apêndice 137 A. Conceitos e definições de problemas multiobjetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 A.1 Definições e conceitos de OM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Caṕıtulo 1 Introdução A questão energética tem sido um dos maiores problemas mundiais, devido ao inevitável esgotamento das fontes de energia fósseis usadas em larga escala atualmente. Assim, tem-se buscado fontes de energia alternativas como a geração de energia a paritr da biomassa, que tem apresentado crescimento por ser uma fonte renovável, limpa e eficiente. Considerando as vantagens ambientais, sociais e estratégicas das fontes de energias renováveis, estas apresentam duas dificuldades a saber: investimento inicial elevado e, em muitos casos, a intermitência, como no caso da energia eólica e solar. No caso da biomassa, não existe o problema de intermitência, sendo que esta pode ser armazenada e com custo de geração de energia inferior aos das outras fontes renováveis (GOLDEMBERG, 2003) Para o Brasil que é um grande produtor mundial de cana-de-açúcar, o bagaço (biomassa obtida a partir da cana-de-açúcar pela separação do caldo e da fibra mediante o processo de moagem) vem sendo utilizado para cogeração de energia, obtendo cada vez mais participação na matriz energética nacional. Nos últimos anos, a cana-de-açúcar tem destacado tanto no mercado interno quanto no ex- terno, principalmente pela produção do etanol e pela cogeração de energia através da bagaço e reśıduos de colheita (ponta e plaha da cana). Como decorrência, a demanda de cana-de-açúcar tem aumentado cada vez mais e, portanto, faz-se necessário aumentar sua produção, melhorando sua produtividade, o que implica em um planejamento adequado no sistema de cultivo desta planta (RAMOS, 2014). Segundo Dantas Filho (2009), o setor sucroenergético, por meio de seus produtos, tais como, o etanol, açúcar e a cogeração de energia, contribuem para a diminuição do efeito estufa por meio de projetos regidos pelo Mecanismo de Desenvolvimento Limpo (MDL) do Protocolo de Kyoto. Isso porque vendem seus excedentes de energia para a rede elétrica nacional, deslocando e substituindo parte da geração de energia fóssil como, por exemplo, as usinas termoelétricas, cujo consumo de combust́ıveis fósseis seria muito maior sem esta contribuição. O chamado mercado de créditos de carbono contribui para tornar mais atrativos os projetos de cogeração com a fibra, viabilizando, em muitos casos, o aumento de produção de energia renovável e a diminuição do uso dos combust́ıveis fósseis. Segundo Matusoka et. al. (2016) a cogeração de eletricidade a partir da biomassa da cana- de-açúcar trouxe maior destaque à esta cultura, ganhando valor como matéria-prima alternativa energética. Ainda segundo estes autores, visando o mercado de cogeração da energia elétrica através do bagaço e reśıduos de colheita, está em experimento uma nova espécie de cana, denomi- nada cana-energia, que prioriza mais a fibra, ou seja, com maior potencial energético, resultando em uma cana com alta capacidade produtiva e mais resistente a pragas. A produção por hectare da cana-energia pode ser o dobro da obtida com a cana-de-açúcar com teor de fibras de aproximadamente 30%, sendo o teor médio de fibra da cana-de-açúcar por volta de 15%. Devido a essa caracteŕıstica, a variedade pode ser usada como matéria-prima para a produção de bioqúımicos e biocombust́ıveis de segunda geração, além da cogeração de eletricidade. Outra caracteŕıstica importante é que, por ser extremamente rústica, a cana-energia pode ser plantada em áreas mais restritivas, como em ambientes degradados ou com menor oferta h́ıdrica, sem a necessidade de concorrer com a produção de alimentos (GUARDABASSI, 2006) Levando em consideração todo cenário do setor sucroenergético, além da bioeletricidade, a cana-de-açúcar e cana-energia devem atender também a produção de açúcar e etanol e, para isso, é necessário considerar o peŕıodo de plantio e colheita, a escolha das variedades de cana com alta produção de sacarose e fibra, com melhor adaptação ao clima da região de plantio, além dos requisitos necessários para a colheita mecanizada, usada em grande escala atualmente. Assim, a escolha da variedade da cana interfere diretamente na produção, produtividade, longevidade, custos e, consequentemente, lucratividade. Segundo Espinoza (2012) as variedades escolhidas devem apresentar alto ı́ndice de produtividade, elevado teor de açúcar, boa capacidade de rebrota, sem florescimento ou fechamento, fácil despalha, resistência a pragas e doenças, bom perfilhamento, dif́ıcil tombamento, produção de fibra nas especificações recomendadas, levar em consideração as exigências do clima e solo onde serão cultivadas e peŕıodo de maturação. A boa qualidade das mudas é o fator que interfere na produção de mais baixo custo e de maior retorno econômico proporcionado ao agricultor. Além disto, a escolha da variedade pode otimizar os custos de cultivo, uma vez que, nos últimos anos ocorreu aumento no custo de cultivo da cana-de-açúcar e um dos motivos é a diminuição da produtividade. Toda redução na produtividade gera uma concentração de despesas, consequentemente ocorre um aumento nos custos por tonelada produzida (BIGATON et. al., 2017). 26 Assim, as contribuições do trabalho resumem-se em: i) proposição de três modelos multi- objetivos para planejamento da escolha de variedades de cana-de-açúcar e cana-energia para o plantio e colheita, levando em consideração o custo de plantio, cultivo, colheita e transporte; ii) adaptação do método MRCP à resolução desses modelos; iii) testes numéricos com instâncias reais para investigar sua confiabilidade. A seguir, são citados alguns trabalhos divulgados na literatura, com modelos que abordam problemas de planejamento no setor sucroenergético, aos quais os modelos propostos neste tra- balho foram baseados. 1.1 Revisão bibliográfica - Modelagem no setor sucroenergético Muitos dos problemas elencados sobre planejamento no setor sucroenergético podem ser mo- delados matematicamente e resolvidos através de técnicas de otimização afim de auxiliar nas tomadas de decisões. Homem et. al. (2011) propuseram a utilização do método de ponto interior e do método branch-and-bound em modelos multiobjetivos relacionados ao aproveitamento do palhiço de cana- de-açúcar com o objetivo de reduzir o custo e aumentar o balanço energético da biomassa residual, os quais são conflitantes. Furlan et. al. (2012) desenvolveram um modelo de otimização com dados de uma biorrefinaria integrada, que avalia as demandas do processo e determina uma solução viável para o conflito de interesses entre a produção de etanol de segunda geração e a autossuficiência energética, levando em consideração, dentre os critérios de decisão, qual quantidade de bagaço deve ser separado para a produção de vapor e eletricidade ou śıntese de etanol celulósico, dependendo do cenário econômico vigente. Em Ramos (2014), foram propostos dois modelos de otimização para auxiliar o planejamento da produção de cana-de-açúcar. O primeiro consiste em planejar, de forma otimizada, a divisão da área de plantio em talhões, visando o máximo rendimento da colhedora. O segundo consiste em escolher a variedade que deve ser plantada em cada talhão e determinar em qual peŕıodo do ano deve-se fazer o plantio e colheita, maximizando a produção total ao longo de quatro cortes. Ramos et. al. (2016) propuseram um modelo de otimização garantindo que a colheita da variedade de cana-de-açúcar deve acontecer no peŕıodo ideal de colheita (máxima produtividade de sacarose), garantindo as restrições impostas pela usina. Lima et. al. (2017) apresentaram nova abordagem de solução para o modelo multiobjetivo referentes à maximização do balanço de energia relativo ao aproveitamento do palhiço da cana- 27 de-açúcar e minimização do custo de colheita da cana-de-açúcar e do palhiço, considerando áreas mecanizáveis e semimecanizáveis, considerando o desenvolvimento de métodos h́ıbridos, envol- vendo os métodos de otimização multiobjetivo, de pontos interiores e de programação inteira binária. Nervis et. al. (2017) abordaram um planejamento otimizado que constrói uma agenda do peŕıodo de colheita da cana-de-açúcar que visa a maximização da produtividade de sacarose e a produção de cana-de-açúcar, respeitando todas as restrições impostas pela usina. Foram planejados os peŕıodos de colheita dos talhões de uma unidade agŕıcola alcançando a máxima produção de sacarose em um planejamento de quatro anos. Souza (2017) apresentou um modelo de otimização que escolhe variedades de cana-de-açúcar com objetivo de melhorar o planejamento do plantio e de colheita, visando a maximização da produção de sacarose, a partir de demandas mensais da usina. Caversan (2017) propõe um modelo de otimização que seleciona variedades de cana-de-açúcar e cana-energia de forma a maximizar a produção de sacarose proveniente da cana-de-açúcar e bagaço obtido da cana-energia, atendendo as demandas mensais impostas pela usina. Os modelos propostos em Ramos (2014), Nervis (2015), Souza (2017) e Caversan (2017) destinam-se a determinar as variedades que serão plantadas e também criam uma agenda de plantio e colheita, considerando o desvio do mês ideal de colheita das variedades para atender as demandas da usina. Florentino et. al. (2018) propuseram uma metodologia para auxiliar no planejamento na colheita da cana-de-açúcar, afim de melhorar a produção de POL (teor de sacarose aparente na cana) e a qualidade da matéria-prima, considerando as restrições impostas pela usina. Assim, foi proposto um modelo multiobjetivo com o intuito de otimizar o plano de colheita da cana-de- açúcar de modo que a colheita seja o mais próximo posśıvel do pico de maturação, maximizando assim, a produção de POL e, simultaneamente, minimizar o remanejamento das máquinas de colheita. Em Junqueira e Morabito (2019) foi proposto abordagens de otimização para lidar com a programação e sequenciamento das frentes de colheita da cana-de-açúcar em um horizonte de pla- nejamento dividido em peŕıodos. Tais abordagens foram baseadas em modelos de programação inteira mista para o problema geral de loteamento e escalonamento com linhas de produção para- lelas, visando o equiĺıbrio entre os recursos produtivos e as capacidades de colheita e transporte. Os autores apresentaram uma metodologia de solução heuŕıstica para lidar com o modelo para instâncias de problemas reais, baseada em relax-and-fix e fix-and-Optimize. Em Florentino et. al. (2020) foi proposto um modelo matemático integrado para cronograma de plantio e colheita da cana-de-açúcar, visando maximizar a produção total, permitindo desvios 28 no peŕıodo de colheita. O modelo foi resolvido usando técnicas exatas de programação inteira para pequenas e médias instâncias e os autores propuseram uma heuŕıstica h́ıbrida baseada em algoritmos genéticos para resolver problemas de grande porte. Poltroniere et. al. (2021) propuseram um novo modelo de otimização linear inteira mista para o planejamento integrado do plantio e colheita da cana-de-açúcar e cana-energia, visando manter o compromisso com a produção de açúcar e etanol a partir da cana-de-açúcar, enquanto a cana-energia auxilia na produção de energia e etanol de segunda geração. O modelo considera um peŕıodo de colheita flex́ıvel para atender às demandas do mercado consumidor e respeitar as restrições operacionais da empresa, que podem causar variações na produtividade. Uma heuŕıstica baseada nas técnicas relax-and-fix e relax-and-optimize foi proposta para resolver problemas de grande escala, que não podem ser resolvidos por métodos exatos de otimização inteira mista. Estes problemas de decisão, em geral, são de programação inteira com grande número de variáveis de decisão e restrições, sendo de dif́ıcil resolução e, neste caso, procedimentos que ex- ploram métodos determińısticos (BAZARAA et. al., 2006) ou meta-heuŕısticos (GOLDEBERG, 1989) poderão ser investigados para sua resolução. Como exemplos, Ramos et. al. (2016) e Nervis et. al. (2017) propuseram algoritmos genéticos para resolver os modelos por eles propostos. Explorando métodos determińısticos, Lima et al. (2017), Souza (2017) e Caversan (2017) determinaram as soluções dos modelos propostos através de implementação computacional de métodos determińısticos ou uso de pacotes computacionais como, por exemplo, o CPLEX. Unindo as boas caracteŕısticas apresentados nos trabalhos de Caversan (2017), Souza (2017), Nervis et. al. (2017), Ramos et. al. (2016), Florentino et. al (2018), Junqueira e Morabito (2019), Florentino et. al. (2020) e Poltroniere et. al. (2021), este trabalho propõe três modelos multiobjetivos integrados para escolha de variedades de cana-de-açúcar e cana-energia a serem plantadas, de forma a maximizar a produção de sacarose e fibra e, simultaneamente, minimizar o custo operacional de cultivo. A evolução destes modelos em relação aos anteriormente citados é que, além de escolherem as variedades de cana-de-açúcar e cana-energia com o intuito de ma- ximizar a produção de sacarose e fibra, estes visam a minimização do custo de plantio, cultivo, colheita e tranporte, os quais são conflitantes (aumentando a produção de sacarose e fibra, au- menta também o custo operacional de cultivo e, diminuindo o custo, a produção de sacarose e fibra também diminui) e requerem a utilização da otimização multiobjetivo à sua análise. Para os modelos apresentados, as soluções eficientes foram determinadas pelo Método de Restrições Canalizadas Progressivas (MRCP) conforme Gonçalves et al (2019), com adaptações para modelos multiobjetivos com variáveis de decisão binárias. O MRCP transforma o problema 29 multiobjetivo em um conjunto de sub-problemas mono-objetivos, otimizando uma das funções objetivo, enquanto as outras são inseridas no conjunto das restrições por meior de canalizações definidas por limitantes inferior e superior pré-definidos, possibilitando a investigação das soluções ótimas destes por métodos determińısticos ou metaheuŕısticos. As variáveis de decisão dos modelos multiobjetivos propostos são binárias e, dependendo do número de talhões e variedades de cana-de-açúcar e cana-energia a serem analisadas, os modelos podem apresentar grande quantidades de variáveis, tornando ainda mais complexa a obtenção de pontos eficientes por métodos exatos. Devido a estas restrições, os testes foram realizados com 25 variedades de cana-de-açúcar e cana-energia em instâncias de 30 e/ou 65 talhões. 1.2 Organização da tese O trabalho está organizado como segue: no Caṕıtulo 2 são apresentadas considerações sobre o setor sucroenergético no Brasil, o plantio e colheita da cana e a cogeração da energia com o aproeitamento do bagaço da cana; o Caṕıtulo 3 apresenta os três modelos multiobjetivos pro- postos; no Caṕıtulo 4 são apresentadas as definições do modelo multiobjetivo e o método das restrições canalizadas progressiva (MRCP) aplicado aos modelos multiobjetivos propostos; no Caṕıtulo 5 são apresentados os resultados obtidos por meio da simulação dos modelos propostos em instâncias com variedades de cana-de-açúcar e cana-energia. E, em seguida, são apresentadas as conclusões gerais, propostas futuras e os trabalhos já apresentados e publicados. 30 Caṕıtulo 2 Produção da cana-de-açúcar e cana-energia São apresentados a seguir uma revisão bibliográfica do setor sucroenergético brasileiro, abran- gendo as formas de plantio e colheita da cana, uma breve descrição da cana-energia, a importância da escolha da variedade e a cogeração de energia através do bagaço da cana. 2.1 O setor sucroenergético no Brasil A cultura da cana-de-açúcar brasileira desenvolveu-se gradativamente, modificando o cenário econômico nacional propiciando elevados lucros com a exportação realizada dos produtos oriundos desta planta para economia, evidenciando-se como um importante abastecedor das necessidades açucareiras em praticamente todo o mundo (MILANEZ et al., 2010). Com a crise petróleo, entre as décadas de 70 e 80, o Governo Federal criou o “Projeto Proálcool”, fazendo com que número de destilarias aumentassem, a maioria produtora de etanol a partir da cana-de-açúcar (SZMRECSANYI et al., 2008). Nesta época, a produção de etanol no Brasil cresceu significativamente, resultando nos primeiros 10 anos do programa um crescimento de 35% ao ano, além de consolidar-se como o segundo maior exportador de açúcar do mundo, precedido apenas por Cuba. (SILVA, 2007). Na década de 90, uma nova geração de produtores de cana passou a operar o negócio com outra visão da produção e de mercado. De 2000 a 2005, as exportações brasileiras cresceram de 258 milhões de litros de álcool para 2,4 bilhões, e as receitas, de 33 milhões de dólares para quase meio bilhão por ano. O açúcar brasileiro já movimentou 70% dos contratos na bolsa de mercadorias de Nova York. As exportações de açúcar atingiu 20,5 milhões de toneladas em 2015, conforme apresentado na Tabela (2.1). Tabela 2.1 - Exportações de açúcar e etanol nos anos de 2005 a 2020 Anos Total exportados Exportações de açúcar (em milhões de toneladas) 2005 16 2010 18,1 2015 20,5 2020 19,32 Exportações de etanol (em bilhões de litros) 2005 2,7 2010 4,3 2015 6,9 2020 5,8 Fonte:UNICA (2020) O Brasil conta hoje com 434 sucroenergéticas, das quais, 263 delas estão localizadas na região Centro-Sul, todas autossuficientes em energia elétrica, graças à cogeração através do bagaço. Porém, somente 88 unidades comercializam os seus excedentes de energia elétrica no mercado, sendo 54 centrais de cogeração exportando eletricidade para a rede de transmissão no estado de São Paulo e 34 centrais em outros 11 estados brasileiros, o que ainda é muito pouco, dado tanto a importância e tamanho do setor sucroenergetico na economia, quanto às necessidades socioeconômicas do Brasil (NOVACANA, 2020). 2.2 A cana-energia A cana-energia é originária do melhoramento genético de espécies selvagens (Sarcharum es- pontaneum e sarcharum robustum) com h́ıbridos comerciais de cana-de-açúcar, obtendo assim, uma cana com alto teor de fibra, alto ńıvel de perfilhamento e alta produção de biomassa (BAIÃO,2004). A ideia do aproveitamento da cana-de-açúcar como planta energética originou-se por volta dos anos 70. Demonstrou-se, naquela época, que, além da utilização para a produção de açúcar e etanol, como estava fazendo o Brasil, a cana-de-açúcar poderia ser aproveitada como planta produtora de biomassa para fins energéticos (ALEXANDER, 1985). Sendo a fibra um composto carbônico, ocorreu a possibilidade de aumentar a produtividade em maior porcentagem do que com a cana-de-açúcar, mesmo com a diminuição da porcentagem no teor de sacarose (ALEXANDER, 1985; GILMAVA et al., 1984). Esse novo tipo de cana foi chamado de cana-energia. Assim, Alexander(1985) demonstrou que, com uma redução de 25 a 32 35% na sacarose, ocorreria um aumento de mais de 100% no total da biomassa, se a colheita fosse de cana integral. A produção de mais fibra com a redução de sacarose traz uma série de vantagens econômicas e ambientais: as plantas são menos exigentes em solo, clima, água e nutrientes e mais resistentes a pragas e doenças, resultando maior eficiência energética no seu cultivo, se considerada toda a cadeia produtiva. Este é um parâmetro essencial e finalista que determinará as opções energéticas a serem consideradas, sendo que a preservação ambiental e a sustentabilidade devem ser levadas em consideração no processo (JOHNSON et al., 2007; HILL et al., 2006). Por outro lado e como já citado, a redução de sacarose ocorrida na cultura da cana-energia pode não ser de interesse se o objetivo principal é a de aumentar a produção de açúcar, que é mais produtivo na cultura de cana-de-açúcar. Por isso, uma combinação dessas duas culturas em modelos multiobjetivos é o foco principal desse trabalho. Assim, a cana-energia pode ser plantada em áreas de solo e clima piores do que aqueles reservados para a produção de alimentos, requerendo menos aplicação de fertilizantes e defensivos. Além disso, essas plantas podem conter a erosão dos solos bem como, auxiliar na recuperação daqueles degradados, em razão do seu vigoroso e abundante sistema radicular fasciculado e, devido ao vigor das socas, permitem maior número de cortes (JOHNSON et al., 2007). A cana-energia colhida em ciclos anuais aumenta sua produtividade nas próximas socas ou se mantém estável, na pior das hipóteses, durante pelo menos seis cortes, como destacou Giamalva et al. (1984). Graças ao vigoroso rizoma de S. spontaneum, caracteŕıstica que os pioneiros melhoristas de cana-de-açúcar buscaram nessa espécie como complemento à vulnerabilidade da espécie S. officinarum, pode-se chegar de 10 a 12 socas. Uma fonte de energia alternativa econômica de longo prazo deve estar dispońıvel durante todo ano. A maioria das culturas anuais são sazonais e tem disponibilidade de curta duração. Isso ocorre até mesmo com a cana-de-açúcar que segue um cronograma de colheita controlado pelo pico de maturação. Como no caso da cana-energia o interesse maior é o teor de fibra, quanto mais tempo ficar no campo, maior será a quantidade de fibra dispońıvel na planta. Assim a cana-energia pode ser mantida no campo e colhida quando for necessário seu uso (KNOL et al., 2013). Segundo a Unica (2020), na safra 2019/20, a produtividade agŕıcola na região centro-sul atingiu 86,3 toneladas por hectare, um aumento de 3,4% em relação a safra anterior. Utilizando a mesma área plantada, a cana-energia oferece uma produção de etanol 232% maior, além de um aumento na produção de energia elétrica através da fibra (NOVACANA, 2020). Apesar de ser desejável para os dias atuais, o elevado teor de fibra na cana traz problemas 33 para a potência das moendas instaladas nas usinas que não é suficiente para a moagem de cana com teor de fibra acima de 20%. As sáıdas passam a ser moendas com maior potência de moagem, mistura da cana-energia com cana-de-açúcar ou, o desenvolvimento de uma variedade intermediária com teor de fibra menor. Este é um dos motivos por que os principais programas de desenvolvimento da cana-energia estão apostando em dois tipos de cana-energia. A cana-energia tipo 1 possui teores de fibras inferiores a 20%, mantendo os ńıveis de açúcar acima dos 13%. Já a cana-energia tipo 2 possui baixo ńıvel de açúcar (sacarose menor que 6%) e alto teor de fibra, podendo ultrapassar 30%. Neste trabalho a cana-energia considerada para aplicação dos modelos é a do tipo 2. A Figura (2.1) apresenta o colmo de variedades de cana-de-açúcar e cana-energia selvagem, cana-de-açúcar tradicionalmente plantada e a cana-energia tipo I. Figura 2.1: Variedades resultantes do cruzamento e seleção de espécies do complexo Saccharum Fonte: Novacana (2016) A Tabela (2.2) mostra uma comparação entre a produtividade da cana-de-açúcar e da cana- energia. Tabela 2.2 - Comparativo de cana-de-açúcar e cana-energia Caracteŕısticas cana-de-açúcar cana-energia Fibra 17,4% 27% Açúcares 12,6% 8,5% Produtividade (massa verde t/ha) 92 180 Produtividade (fibra t/ha) 16 48,6 Produtividade (açúcares t/ha) 11,6 15,3 Ganho genétivo (ao ano) 2% 5% Exigência em fertilidade alta média Resistência a pragas e doenças baixa média Colheitas (por ciclo) 5 10 Fonte: Novacana (2016) Matsuoka et al (2012), afirmam que o cultivo, manejo, colheita e transporte da cana-energia são semelhantes da cana-de-açúcar. Dependendo do peŕıodo de plantio, esta pode ser “cana de 34 ano”ou “cana de ano e meio”. A colheita ocorre nos mesmos meses destinada a cana-de-açúcar no peŕıodo de safra. 2.3 O plantio e colheita de cana Conforme a Unica (2020) a área de cultivo da cana-de-açúcar no Brasil na safra 2019/2020 foi de 10,18 milhões hectares, sendo o estado de São Paulo o maior produtor brasileiro, com 5,6 milhões de hectares aplicados a esta cultura. Para Beauclair e Scarpari (2006) o plantio constitui uma das partes mais importantes no desenvolvimento de qualquer cultura, sendo a base de um bom desenvolvimento. O plantio influencia diretamente na alta produtividade da cultura e, também, na redução nos custos de produção (JANINI, 2007). A importância das operações no plantio exige bom planejamento e muito conhecimento técnico. Todas as decisões nesta fase vão influenciar todo o ciclo da cultura, uma vez que o pro- cesso de plantio destaca se pelos custos elevados (COLETI; STUPELLO, 2006). A implantação de uma lavoura de cana envolve um série de cuidados por se tratar de uma cultura semiperene. O sucesso da colheita depende da qualidade do plantio, além disto, a longevidade do canavial depende da interação entre estas duas operações. Dentre os fatores da qualidade do plantio, destacam-se: densidade, preparo do solo, época de plantio, escolha da variedade, qualidade e idade da muda e o paralelismo das fileiras de plantio (FRASSON, 2007). Na região Centro-Sul do Brasil, o plantio da cana-de-açúcar ocorre nos meses de janeiro a março e nos meses de setembro a outubro. Se a cana for plantada de janeiro a março, seu desenvolvimento dura por volta de 18 meses, passando a se chamar “cana de ano e meio”e se for plantada nos meses de setembro a outubro, geralmente é colhida em aproximadamente 12 meses, denominando-se por isso, “cana de ano”(ANJOS; FIGUEIREDO, 2010). Ainda conforme Anjos e Figueiredo (2010), na região Nordeste o plantio da “cana de ano e meio” é realizado de maio a agosto e o plantio da “cana de ano” ocorre entre setembro e ińıcio de janeiro. Rodrigues (1995) afirma que “cana de ano”, plantada nos meses de setembro e outubro, na região Centro Sul, tem crescimento máximo nos meses de novembro a abril, diminuindo a partir dai devido às condições climáticas adversas ao seu desenvolvimento e, neste caso, a colheita pode ser feita a partir de julho. Para a “cana de ano e meio”, plantada de janeiro ao ińıcio de abril, apresenta baixo crescimento de maio a setembro em função do inverno, com fase de maior 35 crescimento nos meses de outubro a abril, intensificando a partir de dezembro. Segundo a Embrapa(2013), o plantio da cana-de-açúcar no Brasil pode ser feita de forma manual ou mecanizada e para sua implantação, deve-se fazer, inicialmente, o planejamento da área, realizando um levantamento topográfico. Nos locais de plantio é feito uma sistematização do terreno, no qual subdivide-se a área em talhões e aloca-se os carreadores principais e secundários. Em geral, os talhões são subdivididos quanto à topografia e homogeneidade do solo e apresentam, em média, entre dez e 20 hectares. Ainda conforme esta agência, além do sistema de plantio de “cana de ano” e “cana de ano e meio”, na região Centro-Sul, tem-se o plantio de inverno, na qual, a cana é plantada nos meses de maio a agosto juntamente com a torta de filtro que contém cerca de 70% a 80% de umidade. Para melhor rendimento da colheita mecanizada, os talhões devem ter formatos retangulares e com no mı́nimo 600 metros de comprimento, a declividade não deve ser superior a 12%, com fileiras plantadas paralelamente e um espaçamento adequado do plantio (RIPOLI; RIPOLI, 2005). O terreno deve ser nivelado antes do plantio, melhorando o corte basal dos colmos e diminuindo o desńıvel entre o carreador e o talhão, evitando cortes manuais (ANSELMI, 2008). A colheita deve ser planejada para ocorrer no peŕıodo de pico de maturação da cultura, que varia de acordo com o sistema de cultivo adotado, variedade, região de cultivo, além de outros fatores. O sistema de produção adotado pode ser de 12, 18 meses ou ambos, em proporções espećıficas, sendo que este é fator de grande influência no planejamento do corte, estando direta- mente ligado ao planejamento do plantio (EMPRAPA, 2020). Conforme Caversan (2017), a produtividade de sacarose diminui se a variedade de cana-de- açúcar ou cana-energia for colhida antes ou depois do seu pico de maturação (por volta de 12 meses após o plantio para a “cana de ano”e 18 meses para a “cana de ano e meio”). Ainda conforme este autor, para as variedades de cana-energia, diferente do que ocorre com a produtividade de sacarose, a produtividade de fibra aumenta ao longo dos próximos cortes, com o crescimento da variedade de cana-energia. Assim, a cana-energia pode até ser colhida depois de um peŕıodo do pico de maturação, porém, não podendo ser muito extenso devido a cana-energia, assim como a cana-de-açúcar, floresce, frutifica e morre, garantindo a perpetuação da espécie. Em média, o canavial é colhido quatro vezes a partir da rebrota. O primeiro corte é chamado de colheita da cana planta e, em seguida, a partir do segundo corte, corresponde a colheita da cana soca. Na Tabela (2.3) a seguir é apresentado um ciclo t́ıpico da média de produtividade em cinco cortes. 36 Tabela 2.3 - Ciclo padrão do corte da cana Corte Produtividade da cana por corte (t/ha) 1º cana planta (18 meses) 113 1º cana planta (12 meses) 77 2º (1ª cana soca) 90 3º (2ª cana soca) 78 4º (3ª cana soca) 71 5º (4ª cana soca) 67 Média dos cinco cortes 82,4 Fonte: Macedo et al (2004) As canas tipo cana-energia, são plantas mais rústicas, por ter maior concentração de fibra e, portanto, mais resistentes às condições adversas se comparadas com a cana-de-açúcar, possuindo técnicas de produção apuradas, sua colheita pode ser realizada durante um longo peŕıodo do ano. De acordo com Evensen et al. (1997), a duração do crescimento da cana-energia pode variar de 9 a 36 meses, podendo produzir até 65 toneladas de massa seca por hectare (BAKKER, 1999). Segundo Giamalva et al. (1984) e Alexander (1985), se a colheita da cana-energia for realizada anualmente, a cada 12 meses, sua produtividade aumenta ou pelo menos se mantém estável nas próximas 6 ou 8 socas. Existem três tipo de sistemas de colheita da cana. O sistema manual, que é o emprego da mão-de-obra para o corte e carregamento da matéria-prima. O sistema semi-mecanizado, em que o corte é manual e o carregamento mecanizado e o corte mecanizado, no qual, a colheita e o carregamento são mecanizados (RIPOLI et al., 2007). O sistema de colheita semi-mecanizado, empregado por muito tempo no Brasil, onde o tra- balhador braçal realiza o corte com ferramenta apropriada e a cana é carregada inteira nos caminhões, com o uso de guinchos mecânicos, esta sendo substitúıdo gradativamente pelo sis- tema de colheita mecanizado. O percentual que era 24,4%, na safra 07/08, atingiu 91,8% na safra 19/20. Devido ao relevo que favorece a mecanização, a região Centro/Sul já chega a 97,7% da colheita com o uso de máquinas. Diferentemente dessa, a Região Norte/Nordeste ainda não ultrapassou os 25% de área total com colheita mecanizada, uma vez que as áreas de produção são acidentadas e com declives acentuados (CONAB, 2020). Atualmente, com a proibição total da queima da cana, há necessidade maior da colheita ser feita de forma totalmente mecanizada. No sistema mecanizado a máquina colhe a cana crua, separando a parte aérea do colmo, e vai depositando no caminhão, que transporta para a usina (PEREIRA; TORREZAM, 2006). A figura (2.2) mostra a forma de extração de reśıduos de 37 colheita de uma colhedora de cana. Figura 2.2: Mecanismo de extração da colhedora Fonte: Novacana (2016) A colheita da cana mecanizada não só aumenta o rendimento operacional do procedimento como também reduz seu impacto ambiental, por dispensar a queima de pontas e palhas, que pode ser usado para fins energéticos (Ripoli; Ripoli, 2009). Porém, na colheita mecânica de cana sem queima prévia, as perdas e matéria estranha aumentam em decorrência da grande quantidade de massa vegetal que é processada pela colhedora. Estas perdas podem ser de dois tipos: viśıveis e inviśıveis. As viśıveis são aquelas que podem ser detectada visualmente no campo após a colheita, podendo ser colmos inteiros e/ou suas frações, rebolos e tocos resultantes no corte basal e as perdas inviśıveis são na forma de caldo, serragem e estilhaços de cana que ocorrem em razão da ação dos mecanismos rotativos que cortam, picam e limpam a cana durante o processamento interno nas colhedoras (RODRIGUES, 2008) Conforme Braunbeck e Oliveira (2006), levando-se em consideração a legislação vigente para o fim da queima da cana e o aproveitamento da palha para aplicações, tais como, geração de energia e cobertura vegetal para agricultura convencional ou orgânica, o processo de colheita da cana vem sofrendo mudanças visando o seu aproveitamento integral. A mecanização total ou parcial representa uma opção para a colheita que atende, simultaneamente, aos requisitos ambientais e de viabilidade econômica do setor. 2.4 Variedades de cana A escolha da variedade de cana é um dos itens de menor custo ao produtor para garantir a melhor produtividade. Como boas caracteŕısticas das variedades, estas devem apresentar alta 38 produtividade, alto teor de sacarose, rebrota, ausência de tombamento, teor de fibra dentro das recomendações e resistência a pragas e doenças (SILVEIRA et al., 2002). Para a escolha da variedade para o plantio, é necessário observar suas caracteŕısticas que as tornam adequadas ao ambiente para não haver perdas do potencial produtivo e qualitativo. A escolha deve levar em consideração as variedades climatizada às condições locais, devendo uma mesma variedade ser plantada em, no máximo, 30% da área reservada para o plantio, para não haver contaminação de doença e pragas por toda a lavoura (CERVI, 2013). Em condições tecnológicas e econômicas de processamento industrial, a cana-de-açúcar deve apresentar teor de sacarose por volta de 12,5%. Ja o teor de fibra, importante para colheita mecanizada, devido ao porte ereto e no menor tombamento das plantas e à industrialização, impactando a moagem e produção de energia da fábrica, devem oscilar de 8 a 14% (LAVANHOLI, 2008). Para que a variedade de cana se adapte ao ambiente de plantio, são necessários que o clima, temperatura, umidade, luz, solo e disposição de nutrientes sejam favoráveis a variedade escolhida. Sendo assim importante o estudo da área a qual se pretende cultivar a cana, escolhendo dessa forma uma variedade que se adapte aquele ambiente. Outro dos fatores que deve ser analisado antes do plantio é a caracteŕıstica genética da cana pois, o melhoramento genético possibilita desenvolver variedades mais produtivas e com maior resistência aos ataques de pragas e doenças (GROFF, 2010). As variedades a serem escolhidas devem apresentar alto ı́ndice de produtividade, elevado teor de açúcar, boa capacidade de rebrota, ausência de florescimento, fácil despalha, resistência a pragas e doenças, bom perfilhamento, dif́ıcil tombamento, com teor de fibra dentro das reco- mendações. Também devem ser escolhidas de acordo com as exigências do clima e solo onde serão cultivadas, e como peŕıodo de maturação (tardia: setembro e novembro; média: julho a novembro ou precoce: maio e junho). A boa qualidade das mudas é o fator de produção de mais baixo custo e que maior retorno econômico proporciona ao agricultor, principalmente quando produzida por ele próprio (ESPINOZA, 2012) 2.5 Custos operacionais da cana Segundo Novacana (2019), na safra de 2017/2018 o produtor gastou em média R$7282,00 por hectare de plantio do canavial. O estudo foi feito em 33 amostras da região Centro-Sul não considerando a cana de fornecedores. A Figura (2.3) a seguir mostra a evolução do custo do plantio da cana-de-açúcar ao longo das safras. 39 Figura 2.3: Evolução do custo de plantio da cana ao longo das safras Fonte: Novacana (2019). De acordo com a Novacana (2020), o valor do plantio de um hectare do canavial pode variar de R$ 5.939,31 e R$ 9.054,49 de acordo com os insumos usados e as práticas de plantio adotadas pelo produtor. Em São Paulo, maior produtor de cana-de-açúcar do Brasil, há uma disparidade de custo total de corte, transporte e transbordo (CTT) para uma distância de 25km. Na região de Oĺımpia, o CTT, por tonelada, foi de R$26,77, enquanto que na região de Andradina esse mesmo CTT apresentou um valor de R$37,25. A mesma disparidade foi observada nos valores isolados de CTT. É posśıvel que esta disparidade esteja associada à quantidade de estradas em boas condições de rodagem, pelas quais o caminhão percorre (BIGATON et al., 2017). O custo médio, por tonelada, apurado na safra 2016/2017 por Bigaton et al. (2017) para a operação de transbordo foi de R$6,54 e de R$15,74 para o corte. No entanto, especificamente a operação de transporte, possui uma relação direta e positiva com a distância percorrida da propriedade até a usina. Assim como citado, para fins de balizamento, foi considerada uma distância média de 25km, a qual gerou um custo de transporte, por tonelada, na faixa de R$7,75, totalizando o custo total de CTT de R$30,03. A Tabela (2.4) mostra a estat́ıstica descritiva dos dados de corte, transbordo e transporte para a safra 2016/2017 no estado de São Paulo. Tabela 2.4 - Valores de colheita, transporte e transbordo da cana na safra 2016/2017 no estado de São Paulo Unidade Corte Transbordo Transporte CTT Média R$/t 15,74 6,54 7,75 30,03 Desvio Padrão 2.21 1,29 1,31 3,43 CV % 14,04 19,74 16,99 11,73 Fonte: Bigaton et al. (2017) 40 2.6 Cogeração de energia através da fibra de cana A cogeração de energia é uma prática cada vez mais usada pelas usinas sucroenergéticas. No Brasil, desde a instituição do Programa Brasileiro do Álcool (Proálcool), boa parte das usinas sucroenergéticas tornou-se auto-suficiente em termos energéticos. Elas passaram a gerar toda a energia necessária para suprir sua demanda utilizando cada vez mais o bagaço da cana, que responde por 30% do conteúdo energético da cana após a moagem, chegando a render excedentes que podem ser vendidos à rede de energia (BRIGHENTI, 2003). Segundo a UNICA (2020), a bioeletricidade ofertada para a rede pelo setor sucroenergético foi 21,5TWh em 2018, correspondendo 5% do consumo nacional de energia elétrica. Mesmo assim, o potencial técnico da bioeletricidade sucroenergética para a rede é aproveitado em somente 15% de seu total. Essa geração é suficiente para abastecer 12 milhões de residências ao longo do ano, evitar a emissão de 7,4 milhões de toneladas de CO2, volume que somente consegue-se com o cultivo de 45 milhões de árvores nativas ao longo de 20 anos, poupar 15% da energia armazenada total nos reservatórios das hidrelétricas, por conta da maior previsibilidade e disponibilidade da bioeletricidade no peŕıodo seco. Cada tonelada de cana-de-açúcar processada na fabricação de açúcar e etanol gera, em média, 250kg de bagaço e 280kg de palha e pontas (ambos com umidade de 50%). Em 2019, 82% da bioeletricidade que foi fornecida ao Sistema Interligado Nacional (SIN) vieram do setor sucroe- nergético (UNICA, 2020). Em estudo sobre o potencial energético da cana-de-açúcar, Ripolli et al. (2004) contabiliza o número de pessoas que poderiam ser atendidas por ano pela energia elétrica produzida pelo setor sucroenergético na região Centro-Sul do Brasil. Ao todo seriam 9,85 milhões, a partir do palhiço da cana-de-açúcar como fonte primária (se este não for queimado na lavoura) e 5,55 milhões a partir do bagaço, o que representa uma significativa quantidade de energia elétrica pasśıvel de comercialização. Levando em consideração a produção de bioeletricidade para a rede somada com a destinada ao autoconsumo, a bioeletricidade representa a 3ª fonte mais importante na Oferta Interna de Energia Elétrica (OIEE), quase empatando com o gás natural. Em 2018, a OIEE foi de 632,1 mil GWh. A geração h́ıdrica permaneceu na liderança com 67% da OIEE, seguida pelo gás natural com 8,5%. A biomassa gerou 52,5mil GWh, incluindo a parcela destinada ao autoconsumo, representando 8,3% de toda a oferta interna. Embora a fonte eólica continue aumentando sua participação, ainda ficou na 4ª posição, representando 7,7% da OIEE em 2018 (UNICA, 2018) O Brasil, com extensa área agricultável e um clima favorável, não pode descartar a energia 41 da biomassa como parte integrante de suas matrizes energéticas. A cultura canavieira é a mais proṕıcia para ampliar a participação da biomassa na matriz energética brasileira pois, além da extensão da área plantada, essa cultura oferece boas condições para transformar em energia elétrica o bagaço e o palhiço proveniente da colheita sem a queima prévia (RIPOLI et al., 1999). Considerando as informações desse caṕıtulo e devido ao interesse de se investigar a produção combinada das culturas de cana-de-açúcar e da cana-energia, no próximo caṕıtulo são propostos três modelos multiobjetivos, visando selecionar variedades de cana-de-açúcar e cana-energia com a intenção de maximizar a produtividade de sacarose e fibra da cana-de-açúcar e cana-energia e, simultaneamente, minimizar o custo operacional de plantio, cultivo, colheita e transporte. O primeiro e segundo modelos multiobjetivos consideram apenas a primeira colheita e o terceiro modelo multiobjetivo considera uma ou mais colheitas da cana-de-açúcar e cana-energia. 42 Caṕıtulo 3 Modelos propostos para a escolha das variedades de cana-de-açúcar e cana-energia Neste caṕıtulo, baseado em Caversan (2017), Souza (2017), Ramos et al. (2016). Nervis et al. (2017), Florentino et al. (2018), Junqueira e Morabito (2019), Florentino et al. (2020) e Poltroniere et al. (2021) são apresentados os três modelos multiobjetivos propostos. 3.1 Primeiro modelo multiobjetivo O primeiro modelo multiobjetivo proposto seleciona variedades de cana-de-açúcar e cana- energia, visando maximizar a produção de sacarose proveniente da cana-de-açúcar e fibra obtida por meio da cana-energia e minimizar, simultaneamente, o custo de plantio, cultivo, colheita e transporte, considerando um desvio do pico de maturação, se necessário, para suprir as demandas impostas pela usina. Estes objetivos são conflitantes, ja que maximizando a produção de sacarose e fibra, ocorre mais gastos com cultivo e transporte, e minimizando o custo, diminui a produção de sacarose e fibra. Assim, de acordo com a produtividade de sacarose da variedade de cana-de-açúcar e fibra da cana-energia ou de acordo com o custo de plantio, cultivo, colheita e transporte, a modelagem considera as tomadas de decisões: selecionar para cada talhão (predefinido para o plantio da cana- de-açúcar ou cana-energia) a variedade de cana-de-açúcar ou cana-energia que deve ser plantada; o mês de plantio em cada talhão; o mês da primeira colheita em cada talhão, de acordo com o pico de maturação e desvio para atender as demandas da usina. Desta forma, por meio da seleção das variedades de cana-de-açúcar e cana-energia, o modelo determina ponto eficiente com menor produção de sacarose e fibra e custo de produção mı́nimo até ponto eficiente com máxima produção de sacarose e fibra com custo de produção máximo, obtendo, para cada ponto eficiente, uma agenda de plantio e colheita. Os ı́ndices, parâmetros, conjuntos e variáveis de decisão utilizados no modelo matemático proposto são definidos como segue. Índices i : associado a cana-de-açúcar e cana-energia; j : associado aos talhões; h: associado ao mês de plantio; m: associado ao mês de colheita; d : associado aos desvios do mês de pico de maturação da cana. Parâmetros kA: número de talhões destinados ao plantio da cana-de-açúcar; kE : número de talhões destinados ao plantio da cana-energia; nA: número de variedades de cana-de-açúcar; nE : número de variedades de cana-energia; Lj : área do talhão j em ha; PCA1 i : produtividade da cana-de-açúcar no primeiro corte (t.ha−1); SAi: porcentagem de sacarose contida na variedade de cana-de-açúcar i ; PSA1 id: produtividade de sacarose (tha−1) da variedade i de cana-de-açúcar no seu primeiro corte, quando considerado o desvio no seu pico de maturação; PCE1 i : produtividade da cana-energia no primeiro corte (t.ha−1); FEi: porcentagem de fibra contida na variedade de cana-energia i ; PFE1 id: produtividade de fibra (tha−1) da variedade i de cana-energia no seu primeiro corte, quando considerado o desvio do seu pico de maturação; CA1 j : custo de plantio, cultivo, colheita e transporte de uma tonelada da variedade de cana-de- açúcar plantada no talhão j considerando o primeiro corte (em R$); CE1 j : custo de plantio, cultivo, colheita e transporte de uma tonelada da variedade de cana- energia plantada no talhão j considerando o primeiro corte (em R$). Conjuntos VE = {1, ..., nE} : conjunto das variedades de cana-energia; VA = {nE + 1, ..., nA + nE} : conjunto das variedades de cana-de-açúcar; JE = {1, ..., kE}: conjunto dos talhões destinados ao plantio da cana-energia; JA = {kE + 1, ..., kA + kE} : conjunto dos talhões destinados ao plantio da cana-de-açúcar; H : conjunto de meses para o plantio da cana; M : conjunto de meses para a colheita da cana; 44 DA: conjunto dos posśıveis desvios em relação ao pico de maturação da cana-de-açúcar; DE : conjunto dos posśıveis desvios em relação ao pico de maturação da cana-energia; DSm: demanda de sacarose, em toneladas, no mês m; DFm: demanda de fibra, em toneladas, no mês m; CMm: capacidade de moagem da cana, em toneladas, no mês m. Variáveis de decisão xijh =  1, se a variedade i for plantada no talhão j no mês h 0, caso contrário. tijmd =  1, se a variedade i plantada no talhão j for colhida no mês m com desvio d 0, caso contrário. yj =  1, se a variedade i for plantada no talhão j nos meses de setembro a outubro 0, se a variedade i for plantada no talhão j nos meses de janeiro a março. O primeiro modelo multiobjetivo está representado pelas expressões de (3.1) a (3.11) a seguir: Maximizar(P 1 SF ,−C1 CCT ) (3.1) Sujeito a∑ i∈(VA∪VE) ∑ h∈H xijh = 1, ∀j ∈ JA ∪ JE . (3.2) ∑ j∈JA ∑ h∈H xijh ≤ 0.3kA, ∀i ∈ VA. (3.3) ∑ j∈JE ∑ h∈H xijh ≤ 0.3kE , ∀i ∈ VE . (3.4) ∑ i∈VA∪VE ∑ h∈H hxijh − 4 ≤ 6yj ≤ ∑ i∈VA∪VE ∑ h∈H hxijh, ∀j ∈ JA ∪ JE . (3.5) ∑ i∈VA∪VE ∑ h∈H ixijh = ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ( ∑ d∈DA itijmd + ∑ d∈DE itijmd), ∀j ∈ JA ∪ JE . (3.6) 45 ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ( ∑ d∈DA itijmd + ∑ d∈DE itijmd) = 1, ∀j ∈ JA ∪ JE . (3.7) ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ( ∑ d∈DA mtijmd + ∑ d∈DE mtijmd) = ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ( ∑ d∈DA (18 + d)tijmd + + ∑ d∈DE (18 + d)tijmd)− 6yj , ∀j ∈ JA ∪ JE . (3.8) ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ d∈DA PSA1 idLjtijmd ≥ DSm, ∀m ∈M. (3.9) ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ d∈DE PFE1 idLjtijmd ≥ DFm, ∀m ∈M. (3.10) ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ d∈DA PCA1 iLjtijmd + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ d∈DE PCE1 i Ljtijmd ≤ CMm, ∀m ∈M. (3.11) xijh ∈ {0, 1}, yj ∈ {0, 1}, ∀ i ∈ VA ∪ VE , ∀ j ∈ JA ∪ JE , ∀ h ∈ H. (3.12) tijmd ∈ {0, 1}, ∀ i ∈ VA ∪ VE , ∀j ∈ JA ∪ JE , ∀ m ∈M, ∀ d ∈ DA ∪DE . (3.13) O cálculo da produção de sacarose proveniente da cana-de-açúcar e fibra obtida a partir da cana-energia no primeiro corte (P 1 SF ) (em toneladas) é obtida pelo somatório da produtividade de sacarose e fibra das variedades de cana-de-açúcar e cana-energia selecionadas, conforme a expressão (3.14) P 1 SF = ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ m∈M ∑ d∈DA PSA1 idLjtijmd + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ m∈M ∑ d∈DE PFE1 idLjtijmd. (3.14) O custo de plantio, cultivo, colheita e transporte no primeiro corte (C1 CCT ) (em reais) das variedades de cana-de-açúcar e cana-energia selecionadas é obtido pela expressão (3.15) 46 C1 CCT = ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ m∈M ∑ d∈DA CA1 jPCA1iLjtijmd + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ m∈M ∑ d∈DE CE1 jPCE1iLjtijmd. (3.15) A produção de sacarose das variedades de cana-de-açúcar, considerando o desvio do pico de maturação (12 meses após o plantio para a cana de ano e 18 meses para a cana de ano e meio) para o primeiro corte (PSA1 id) é calculada pela expressão (3.16) e proposta por Nervis et al. (2017). PSA1 id = (−0, 0243d2 + 1)SAiPCA 1 i , ∀i ∈ VA, ∀d ∈ DA. (3.16) A produção de fibra das variedades de cana-energia, considerando o desvio do pico de ma- turação (12 meses após o plantio para a cana de ano e 18 meses para a cana de ano e meio) para o primeiro corte (PFE1 id) é calculada pela expressão (3.17) e proposta por Caversan (2017). PFE1 id = (0, 0041d+ 1)FEiPCE 1 i , ∀i ∈ VE , ∀d ∈ DE . (3.17) Em (3.1) a expressão (3.14) é maximizada e a expressão (3.15 minimizada simultaneamente. As restrições (3.2) garantem que, em cada talhão j, seja plantada uma única variedade i de cana- de-açúcar ou cana-energia, no mês h. As restrições (3.3) e (3.4) garantem que cada variedade i escolhida de cana-de-açúcar e cana-energia, respectivamente, seja plantada em, no máximo, 30% dos talhões reservados para estas. As restrições (3.5) verificam se a variedade i de cana-de-açúcar ou cana-energia selecionada para o plantio no talhão j é de “ano”ou “ano e meio”. As restrições (3.6) asseguram que a variedade i de cana-de-açúcar ou cana-energia colhida no talhão j no mês de colheita m com desvio d seja a mesma plantada no mês h. O conjunto de restrições (3.7) garantem que a variedade i de cana-de-açúcar ou cana-energia plantada no talhão j tenha uma única colheita anual. As restrições (3.8) determinam o mês de colheita da variedade i de cana-de- açúcar ou cana-energia plantada no talhão j. As restrições (3.9) e (3.10) asseguram o atendimento da demanda mensal de sacarose e da fibra em toneladas, respectivamente. As restrições (3.11) estipulam um limite superior mensal para a moagem da cana-de-açúcar e da cana-energia em toneladas. As restrições (3.12) e (3.13) definem o domı́nio das variáveis de decisão. 47 3.2 Segundo modelo multiobjetivo O modelo multiobjetivo proposto nesta seção escolhe as variedades de cana-de-açúcar e cana- energia que devem ser plantadas, visando maximizar a produção de sacarose e fibra obtida a partir da cana-de-açúcar e fibra proveniente da cana-energia, minimizando, simultaneamente, o custo operacional de plantio, cultivo, colheita e transporte destas variedades. Diferenciando do primeiro modelo multiobjetivo por considerar também a fibra da cana-de-açúcar. O modelo multiobjetivo leva em consideração: determinar para cada talhão a variedade de cana-de-açúcar ou cana-energia que deve ser plantada; o mês do plantio em cada talhão; o mês da primeira colheita em cada talhão, de acordo com o pico de maturação e desvio para atender as demandas da usina. Assim, por meio de escolha de variedades de cana-de-açúcar e cana-energia, o modelo determina ponto eficiente de menor produção de sacarose e fibra com custo mı́nimo até ponto eficiente de máxima produção de sacarose e fibra com maior custo de produção das variedades, obtendo, para cada ponto eficiente, uma agenda de plantio e colheita. Os ı́ndices, parâmetros, conjuntos e variáveis de decisão utilizados na modelagem definida na Seção (3.1) foram também usados para este modelo. Além destes, seguem os parâmetros adicionais: Parâmetros FAi: Porcentagem de fibra contida na variedade de cana-de-açúcar i ; PFA1 id: produção de fibra (tha−1) da variedade i de cana-de-açúcar no seu primeiro corte; São apresentados a seguir, as funções objetivo e as restrições do segundo modelo proposto. Maximizar(P 1 SFA,−C1 CCT ) (3.18) Sujeito às mesmas restrições do modelo apresentado na Seção (3.1), porém, com acréscimo de fibra da cana-de-açúcar na restrição (3.10), conforme a expressão (3.19) a seguir: ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ d∈DA PFA1 idLjtijmd + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ d∈DE PFE1 idLjtijmd ≥ DFm, ∀m ∈M. (3.19) O cálculo da produção de sacarose obtida a partir da cana-de-açúcar e fibra proveniente da cana-de-açúcar e cana-energia no primeiro corte (P 1 SFA) (em toneladas) é obtido pelo somatório da produtividade de sacarose e fibra das variedades de cana-de-açúcar selecionadas e fibra das variedades de cana-energia escolhidas, conforme a expressão (3.20): 48 P 1 SFA = ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ m∈M ∑ d∈DA (PSA1 id + PFA1 id)Ljtijmd + + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ m∈M ∑ d∈DE PFE1 idLjtijmd. (3.20) A produção de fibra das variedades de cana-de-açúcar no primeiro corte e considerando o desvio do pico de maturação (PFA1 id), definida pela expressão (3.21), é uma extensão da expressão (3.16), para a produção de fibra. PFA1 id = (−0, 0243d2 + 1)FAiPCA 1 i , ∀i ∈ VA, ∀d ∈ DA. (3.21) Para o cálculo do custo operacional de plantio, cultivo, colheita e transporte da cana colhida (C1 CCT ), utiliza-se a expressão (3.15) já apresentada na Seção (3.1). Em (3.18) a expressão (3.20) é maximizada e a expressão (3.15) minimizada simultaneamente. As restrições (3.19) asseguram o atendimento da demanda mensal de fibra, em toneladas, obtida a partir da cana-de-açúcar e cana-energia. 3.3 Terceiro modelo multiobjetivo O modelo multiobjetivo proposto nesta seção seleciona as variedades de cana-de-açúcar e cana-energia, de forma a maximizar a produção de sacarose e fibra proveniente das duas espécies de cana, minimizando, simultaneamente, o custo de plantio, cultivo, colheita e transporte relativo a mais de um peŕıodo de colheita. No modelo multiobjetivo são considerada as decisões: determinar para cada talhão a variedade de cana-de-açúcar ou cana-energia que deve ser plantada; o mês do plantio nos talhões; o mês de colheita para cada peŕıodo de colheita nos talhões, de acordo com o pico de maturação e desvio para atender as demandas da usina. Assim, para cada peŕıodo de colheita, por meio de escolha de variedades de cana-de-açúcar e cana-energia, o modelo determina ponto eficiente de menor produção de sacarose e fibra com custo operacional mı́nimo até ponto eficiente de máxima produção de sacarose e fibra com maior custo operacional, obtendo, para cada ponto eficiente, uma agenda de plantio e colheita. Os ı́ndices, parâmetros, conjuntos e variáveis de decisão utilizados na modelagem definidas nas Seções(3.1) e (3.2) foram também usados neste modelo. Além destes, segue os ı́ndices, parâmetros, conjuntos e variáveis adicionais para este modelo: 49 Índices αA: associado a taxa de decréscimo da produção da cana-de-açúcar para cada corte; αE : associado a taxa de acréscimo da produção da cana-energia para cada corte; c: associado ao peŕıodo de colheita. Parâmetros PSAc id: produtividade de sacarose da variedade i de cana-de-açúcar em cada colheita c, conside- rando o desvio do mês ideal de colheita d em (tha−1); PFEc id: produtividade de fibra da variedade i de cana-energia em cada colheita c, considerando o desvio do mês ideal de colheita d em (tha−1); PFAc id: produtividade de fibra da variedade i de cana-de-açúcar em cada colheita c, considerando o desvio do mês ideal de colheita d em (tha−1); PSEc id: produtividade de sacarose da variedade i de cana-energia em cada colheita c, conside- rando o desvio do mês ideal de colheita d em (tha−1); SEi: porcentagem de sacarose contida na variedade de cana-energia i ; CAc j : custo operacional de cultivo, colheita e transporte da variedade de cana-de-açúcar plantada no talhão j em cada colheita c (na primeira colheita é considerado também o custo do plantio da variedade de cana-de-açúcar) (tha−1); CEc j : custo operacional de cultivo, colheita e transporte da variedade de cana-energia plantada no talhão j em cada colheita c (na primeira colheita é considerado também o custo do plantio da variedade de cana-energia) (tha−1); Conjuntos C: Conjunto dos peŕıodos de colheita c; D: Conjunto dos desvios d para a cana-de-açúcar e cana-energia; DScm: Demanda de sacarose, em toneladas, na colheita c, no mês de colheita m; DFcm: Demanda de fibra, em toneladas, na colheita c, no mês de colheita m; CMcm: Capacidade de moagem, em toneladas, na colheita c, no mês de colheita m; Variável de decisão tijcmd =  1, se a variedade i plantada no talhão j for colhida no mês m, no peŕıodo de colheita c com desvio d. 0, caso contrário. A seguir, são apresentadas a função multiobjetivo e as restrições do modelo proposto. 50 Maximizar(P c SF ,−Cc CCT ) (3.22) Sujeito às restrições de (3.2) a (3.5) e (3.12) do modelo multiobjetivo da Seção (3.1) com acréscimo das restrições apresentadas a seguir: ∑ i∈VA∪VE ∑ h∈H ixijh = ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ∑ d∈D itijcmd, ∀c ∈ C, ∀j ∈ JA ∪ JE (3.23) ∑ i∈(VA∪VE) ∑ m∈M ∑ d∈D itijcmd = 1, ∀c ∈ C, ∀j ∈ JA ∪ JE (3.24) ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ∑ d∈D mtij1md = ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ∑ d∈D (18 + d)tij1md − 6yj , ∀j ∈ JA ∪ JE (3.25) ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ∑ d∈D mtijcmd = ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ∑ d∈D mtij(c−1)md + + ∑ i∈VA∪VE ∑ m∈M ∑ d∈D (12 + d)tijcmd ∀c > 1 ∈ C, ∀j ∈ JA ∪ JE (3.26) ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ d∈D PSAc idLjtijcmd + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ d∈D PSEc idLjtijcmd ≥ DSc m, ∀c ∈ C (3.27) ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ d∈D PFAc idLjtijcmd + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ d∈D PFEc idLjtijcmd ≥ DF c m, ∀c ∈ C (3.28) ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ d∈D (1− αA)(c−1)PCA1 iLjtijcmd + + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ d∈D (1 + αE)(c−1)PCE1 i Ljtijmd ≤ CM c m ∀c ∈ C, ∀m ∈M (3.29) tijcmd ∈ {0, 1}, ∀ i ∈ VA ∪ VE , ∀j ∈ JA ∪ JE , ∀ c ∈ C, ∀ m ∈M, ∀ d ∈ D. (3.30) 51 O cálculo da produção de sacarose e fibra em c cortes (P c SF ) (em toneladas) é obtida pelo somatório da produção de sacarose e fibra das variedades de cana-de-açúcar e das variedades de cana-energia selecionadas para o plantio e colhidas em c peŕıodos, conforme a expressão (3.31). P c SF = ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ c∈C ∑ m∈M ∑ d∈D (PSAc id + PFAc id)Ljtijcmd + + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ c∈C ∑ m∈M ∑ d∈D (PFEc id + PSEc id)Ljtijcmd (3.31) Observa-se em (3.31) que para a definição de P c SF , são considerados dois termos a saber: o primeiro termo determina a produção de sacarose e da fibra (em toneladas) considerando as variedades de cana-de-açúcar selecionadas para o plantio em um ou mais peŕıodos de colheita e o segundo termo determina a produção de sacarose e fibra (em toneladas) considerando as variedades de cana-energia selecionadas para o plantio em um ou mais peŕıodos de colheita. O cálculo do custo de plantio, cultivo, colheita e transporte para c peŕıodos de colheita (Cc CCT ) (em reais) é a soma do custo operacional de plantio, cultivo, colheita e transporte das variedades selecionadas de cana-de-açúcar com o custo operacional de plantio, cultivo, colheita e transporte das variedades selecionadas de cana-energia, de acordo com a expressão (3.32). Cc CCT = ∑ j∈JA ∑ i∈VA ∑ c∈C ∑ m∈M ∑ d∈D CAc jLjtijcmd + ∑ j∈JE ∑ i∈VE ∑ c∈C ∑ m∈M ∑ d∈D CEc jLjtijcmd (3.32) Para determinar a produtividade de sacarose da variedade de cana-de-açúcar em cada corte considerando o desvio do mês ideal de colheita, utiliza-se a expressão (3.33), baseando-se na expressão (3.16) para o primeiro corte e estendida para c cortes. PSAc id = (−0, 0243d2 + 1)(1− αA)(c−1)SAiPCA 1 i , ∀c ∈ C, ∀i ∈ VA, ∀d ∈ D (3.33) Para a variedade de cana-de-açúcar, pode-se fazer uma aproximação da produtividade de fibra, usando a expressão (3.33), porém, substituindo a porcentagem da sacarose da cana-de-açúcar (SAi) pela porcentagem de fibra (FAi), conforme a expressão (3.34) para c cortes apresentada a seguir. 52 PFAc id = (−0, 0243d2 + 1)(1− αA)(c−1)FAiPCA 1 i , ∀c ∈ C, ∀i ∈ VA, ∀d ∈ D (3.34) Para calcular a produtividade de fibra da variedade da cana-energia em cada corte, conside- rando o desvio do mês ideal de colheita, utiliza-se a expressão (3.35) a seguir, estendida para c cortes a partir da expressão (3.17): PFEc id = (0, 0041d+ 1)(1 + αE)(c−1)FEiPCE 1 i , ∀c ∈ C, ∀i ∈ VE , ∀d ∈ D (3.35) Para calcular a produtividade de sacarose da variedade da cana-energia em cada corte, con- siderando o desvio do mês ideal de colheita, utiliza-se a expressão (3.36), determinada através da expressão (3.35) com substituição da porcentagem de fibra da cana-energia (FEi) pela porcenta- gem de sacarose (SEi). PSEc id = (0, 0041d+ 1)(1 + αE)(c−1)SEiPCE 1 i , ∀c ∈ C, ∀i ∈ VE , ∀d ∈ D (3.36) Em (3.22) a expressão (3.31) é maximizada e a expressão (3.32) minimizada simultaneamente. As restrições (3.23) asseguram que a variedade i, colhida no talhão j, no mês de colheita m, com desvio d, em cada peŕıodo c de colheita, seja a mesma selecionada para o plantio no mês h. As restrições (3.24) garantem que haverá um único corte nos talhões em cada peŕıodo c de colheita. As restrições (3.25) determinam o mês de colheita da variedade i de cana-de-açúcar ou cana-energia plantada no talhão j na primeira colheita. As restrições (3.26) determinam o mês de colheita da variedade i de cana-de-açúcar ou cana-energia plantada no talhão j a partir da segunda colheita. As restrições (3.27) garantem o atendimento da demanda mensal de sacarose em cada peŕıodo c de colheita, obtida a partir da cana-de-açúcar e cana-energia. As restrições (3.28) asseguram o atendimento da demanda mensal de fibra proveniente da cana-de-açúcar e da cana-energia para cada peŕıodo c de colheita. As restrições (3.29) estipulam um limite superior mensal para a moagem da cana-de-açúcar e da cana-energia em toneladas em cada peŕıodo c de colheita. As restrições (3.30) definem o domı́nio das variáveis de decisão. No próximo caṕıtulo são apresentados os conceitos e as definições da Otimização Multiobjetivo (OM) e uma metodologia para solucionar os modelos multiobjetivos propostos neste caṕıtulo, 53 dando ênfase ao Método das Restrições Canalizadas Progressivas (MRCP), que é um método que transforma um modelo multiobjetivo em um conjunto de modelos mono-objetivos, os quais foram resolvidos por métodos exatos. 54 Caṕıtulo 4 Metodologia de solução para os modelos multiobjetivos propostos Neste caṕıtulo são apresentados algumas definições e conceitos de otimização multiobjetivo, que são importantes para a resolução e aplicação do MCRP nos modelos multiobjetivos apre- sentados nas Seções 3.1, 3.2 e 3.3 conforme mostrado no Caṕıtulo 5. As definições e conceitos apresentados foram baseados em Jones e Tamiz (2010) e Ehrgott (2005). As definições formais e teóricas sobre a otimização multiobjetivo encontram-se no Apêndice A. 4.1 Definições e conceitos Um problema de otimização multiobjetivo tem um número r > 1 de funções objetivos que devem ser minimizadas, sujeito a um conjunto viável ∅ 6= X ⊆ Rn. De forma geral, um problema de otimização multiobjetivo é apresentado na forma: Minimize z = (f1(x), ..., fr(x)) Sujeito a x ∈ X = {x ∈ Rn : gj(x) ≤ 0, j = 0, ..., l} (4.1) em que: • x = (x1, x2, ..., xn)T ∈ Rn: vetor das variáveis de decisão; • zk = fk(x): k-ésima função objetivo a ser minimizada, k = 1,...,r; • ∅ 6= X ⊆ Rn: espaço de decisão ou fact́ıvel, gerada pelas l restrições gj(x) ≤ 0. Em um problema de otimização multiobjetivo todas as funções objetivo são conflitantes entre si, ou seja, a minimização em uma ocasiona o aumento de pelo menos uma outra função. Jones & Tamiz (2010) apresentam as seguintes definições para as soluções no espaço de de- cisões e respectivos valores das funções objetivo no espaço objetivo, definido a seguir, denominadas de Pareto-Ótimas. • Espaço critério: O espaço Z ⊆ Rr gerado pela aplicação das r funções objetivos no espaço X é chamado de espaço critério ou objetivo. Formalmente: Z = {zr ∈ R : zr = fr(x), r = 1, ..., l; ∀x ∈ X} • Dominância: Uma solução x1 domina outra solução x2, ambas pertencentes ao conjunto X , se as condições a seguir são satisfeitas: 1. A solução x1 não é pior que a solução x2 em todos os objetivos, isto é, fk(x1) ≤ fk(x2), k = 1,...,r. 2. A solução x1 é estritamente melhor que a solução x2 em pelo menos uma componente k̄ ∈ {1, ..., r}, isto é, fk̄(x1) < fk̄(x2). Assim, a solução x1 domina a solução x2, ou a solução x2 é dominada pela solução x1. Em notação: x1 � x2. O caso em que x1 não domina x2, a notação fica: x1 6≺ x2. • Solução eficiente ou Pareto-Ótima: Uma solução x∗ ∈ X é chamada eficiente ou não dominada ou Pareto-Ótima, se não existe uma outra solução x ∈ X , de maneira que x � x∗. Confome Jones e Tamiz (2010) uma solução de um problema multiobjetivo é eficiente se não existe nenhuma outra solução viável que é tão boa em relação a todos os objetivos e estritamente melhor em se tratando de pelo menos um objetivo. • Solução dominada ou não eficiente: Uma solução x ∈ X é chamada de dominada ou não eficiente quando é dominada por pelo menos uma solução x∗ ∈ X . Em notação: x∗ � x. A imagem no espaço critério de uma solução não eficiente resulta num ponto dominado e no interior do conjunto Z. • Conjunto eficiente: Denotado por X ∗, são todos os elementos de X que não são domi- nados por nenhum membro de X , ou seja, X ∗ = {x∗ ∈ X : x 6≺ x∗, ∀x ∈ X}. • Espaço critério não dominado: A imagem do conjunto eficiente X ∗ é o conjunto Z∗ ⊆ Z e chamado de espaço critério não dominado. Formalmente, Z∗ = {z∗ ∈ Rr : z∗ = f(x∗),∀x∗ ∈ X ∗}. Para o caso de um problema multiobjetivo com r = 2 objetivos, os pontos pertencentes ao espaço critério não dominado são utilizados para esboçar a curva Pareto-Ótimo. 56 • Ponto ideal: Um ponto zl ∈ Z em que cada objetivo de um problema de otimização multiobjetivo leva o seu valor ótimo quando otimizado individualmente, dentro da região viável, é chamado de ponto ideal. • Vetor nadir: O vetor zN ∈ Z é chamado de nadir e sua k -ésima componente é o maior valor da função objetivo k no espaço critério. Para um problema multiobjetivo com r = 2 é posśıvel determinar o vetor nadir da seguinte forma: no conjunto das soluções eficientes, o valor mı́nimo de uma função objetivo é o valor máximo da outra e vice-e-versa. Estes pontos são chamados de end-points ou lexicográficos da curva Pareto-Ótimo. Uma metodologia para solucionar problemas de otimização multiobjetivo deve determinar um conjunto eficiente que atenda à duas metas diferentes e conflitantes: produzir globalmente soluções eficientes e distribuir e diversificar os valores relativos a essas