Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Câmpus de Rio Claro

Estabilidade de equações diferenciais
ordinárias através de funções dicotômicas

Evelize Aparecida dos Santos Ferracini

Dissertação apresentada ao Programa de
Pós-Graduação – Mestrado Profissional em
Matemática Universitária como requisito par-
cial para a obtenção do grau de Mestre

Orientadora
Profa. Dra. Suzinei Aparecida Siqueira Marconato

Rio Claro
Dezembro - 2011



517.38
F368e

Ferracini, Evelize Aparecida dos Santos
Estabilidade de equações diferenciais ordinárias através de

funções dicotômicas / Evelize Aparecida dos Santos Ferracini.
- Rio Claro: [s.n.], 2011.

54 f. : il., figs., gráfs.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista,
Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Orientadora: Suzinei Aparecida Siqueira Marconato

1. Equações Diferenciais. 2. Funções de Liapunov. I.
Título

Ficha Catalográfica elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP
Câmpus de Rio Claro/SP



TERMO DE APROVAÇÃO

Evelize Aparecida dos Santos Ferracini
Estabilidade de equações diferenciais ordinárias através

de funções dicotômicas

Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de
Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Profissional em Matemática
Universitária do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Universidade
Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, pela seguinte banca examina-
dora:

Profa. Dra. Suzinei Aparecida Siqueira Marconato
Orientadora

Profa. Dra. Maria Aparecida Bená
FFCLRP - USP - Ribeirão Preto/SP

Profa. Dra. Renata Zotin Gomes de Oliveira
IGCE - UNESP - Rio Claro/SP

Rio Claro, 08 de Dezembro de 2011



Aos meus amados pais,
Jaques e Santa,

e ao meu querido esposo Michel,
dedico.



Agradecimentos

Ao concluir este trabalho, agradeço:
A Deus, pois sem Ele nada seria.
A Professora Dra. Suzinei Aparecida Siqueira Marconato, meu sincero agradeci-

mento pela orientação, pela dedicação, exigência e principalmente, pela paciência, sem
a qual este trabalho não se realizaria.

Aos meus pais Jaques e Santa pela educação que me deram, pelo carinho e dedi-
cação, por estar sempre presente me apoiando em tudo o que faço. Amo muito vocês.

Ao meu esposo Michel, um grande companheiro, pela paciência, carinho e com-
preensão, por acreditar em mim e sempre me incentivar nos momentos de desânimo e
dificuldades.

Aos professores do Programa de Pós-Graduação em Matemática Universitária, pelos
ensinamentos.

A todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho.



Felicidade é quando o que pensamos,
o que dizemos

e o que fazemos estão em harmonia.
Mahatma Ghandi



Resumo

Neste trabalho apresentamos um estudo sobre estabilidade do equilíbrio nulo de
equações diferenciais ordinárias autônomas através do Segundo Método de Liapunov
e do Método das Funções Dicotômicas, que é uma extensão do Segundo Método de
Liapunov.

Palavras-chave: Equações Diferenciais Ordinárias, Estabilidade, Funções de Lia-
punov, Funções Dicotômicas.



Abstract

This work presents a study about stability of the null equilibrium of autonomous or-
dinary differential equations by Liapunov’s Second Method and Method of Dichotomic
Maps, which is an extension of the Liapunov’s Second Method.

Keywords: Ordinary Differential Equations, Stability, Liapunov Functions, Dichotomic
Maps.



Lista de Figuras

2.1 Gráfico da solução x(t) =
(t+ c)2

4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Gráfico da solução x(t) = −k, onde k > 0. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Gráfico da solução para c > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Gráfico da solução para c < 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Esboço do gráfico de
dP

dt
como uma função de P . . . . . . . . . . . . . 23

2.6 Esboço do comportamento das soluções P (t). . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1 Gráfico da função x1 = h(x2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Gráfico da função x1 = g(x2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Região A = {(x2, x1) ∈ R

2/x1 >
√

x3
2 − x2

2}, onde V é positiva. . . . . . 31
3.4 Região B = {(x2, x1) ∈ R

2/x1 < −
√

x3
2 − x2

2}, onde V é positiva. . . . . 32
3.5 Região C = {(x2, x1) ∈ R

2/x2 < 1, x2 �= 0}, onde V é positiva. . . . . . 32
3.6 Região Ω = {(x2, x1) ∈ R

2 / x2 > 1, h(x2) < x1 < g(x2)} ∪
{(x2, x1) ∈ R

2 / x2 < 1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.7 Sistema massa-mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



Sumário

1 Introdução 9

2 Preliminares 11
2.1 Equações Diferenciais Ordinárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Existência e Unicidade de Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Equações Autônomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Estabilidade Segundo Liapunov 27
3.1 Função de Liapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2 Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov . . . . . . . . . . . . . 37

4 Funções Dicotômicas 43

5 Considerações Finais 53

Referências Bibliográficas 54



1 Introdução

O estudo das equações diferenciais ordinárias começou com os próprios criadores
do Cálculo, Newton e Leibniz, no final do século XVII, motivados por problemas físi-
cos. Atualmente, além dos problemas físicos conseguimos modelar muitos fenômenos
biológicos, econômicos, ecológicos, químicos, entre outros.

No início era natural tentar expressar as soluções de uma equação diferencial ex-
plicitamente; entretanto, logo se verificou que o número de equações que podiam ser re-
solvidas desta forma era muito pequeno, até mesmo quando introduzidas novas funções.
Mediante as dificuldades em obter soluções por métodos confiáveis, surgiram os teore-
mas de existência e unicidade, tornando-se justificável a busca de soluções através de
processos informais, uma vez que obtida, podia ser verificada posteriormente. A partir
daí, iniciou-se no século XIX, com Henri Poincaré (1854− 1912), a fase moderna, que
é marcada pelo interesse nas questões qualitativas, ou seja, é marcada pela atitude de
retirar das equações diferenciais informações sobre o comportamento de suas soluções,
sem a preocupação de escrevê-las explicitamente. Por exemplo, podemos analisar qua-
litativamente o comportamento oscilatório do sistema massa-mola que é dado por um
bloco de massa m, sobre uma superfície horizontal sem atrito, preso a uma das ex-
tremidades de uma certa mola, enquanto a outra extremidade está ligada a um ponto
fixo, observando que o seu estado inicial é estável, pois à medida que afastamos o bloco
do seu estado inicial (chamado de ponto de equilíbrio) e o soltamos, vemos iniciar um
movimento contínuo e oscilatório ao redor do seu ponto de equilíbrio.

Assim, no presente trabalho nos propomos a estudar as equações diferenciais or-
dinárias de modo qualitativo, buscando informações que permitam concluir algo sobre
o comportamento de suas soluções ao longo do tempo. Mais especificamente, estudare-
mos o comportamento assintótico do equilíbrio nulo das equações diferenciais autôno-
mas

ẋ = f(x),

através do Segundo Método de Liapunov e, também, através do método das Funções
Dicotômicas, que é uma extensão do Segundo Método de Liapunov.

Para tanto, no Capítulo 1 apresentaremos elementos básicos para o desenvolvimento
da teoria subsequente, garantindo as condições necessárias para a existência e unicidade
de soluções, bem como os principais resultados das equações autônomas e as definições

9



10

de ponto de equilíbrio, de estabilidade e estabilidade assintótica.
No Capítulo 2, desenvolveremos a teoria do Segundo Método de Liapunov, definindo

função de Liapunov através da qual demonstraremos os teoremas que determinam as
condições suficientes para que o equilíbrio nulo de um sistema autônomo seja estável
ou assintoticamente estável.

Por fim, no Capítulo 3, estabeleceremos o Método das Funções Dicotômicas, onde
definiremos função dicotômica e estritamente dicotômica, e demonstraremos os teo-
remas que garantem a estabilidade e a estabilidade assintótica do equilíbrio nulo da
equação autônoma.

A maioria dos exemplos apresentados neste trabalho são de sistemas lineares que
foram analisados através de Funções de Liapunov ou Funções Dicotômicas. Embora
existam ferramentas mais simples para estes casos, o objetivo principal deste trabalho
é explorar as teorias que envolvem Funções de Liapunov e Funções Dicotômicas.

Observamos que todos os gráficos apresentados no decorrer do texto, foram esboça-
dos com o software Maple 12.



2 Preliminares

Neste capítulo apresentamos alguns conceitos fundamentais da teoria de Equações
Diferenciais Ordinárias, os quais são necessários ao longo deste trabalho.

2.1 Equações Diferenciais Ordinárias

Nesta seção introduzimos o conceito de equação diferencial ordinária e solução desta
equação; vemos também o que é um problema de valor inicial e mostramos que o estudo
das equações de ordem superior se reduz a um sistema de equações de primeira ordem.

Para isso, seja D um subconjunto aberto do espaço euclidiano R
n+1 = R × R

n,
onde R é a reta real e R

n o espaço euclidiano n-dimensional, onde um elemento de D

é denotado por (t, x), com t ∈ R e x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ R
n.

Considere agora, f : D → R
n uma função contínua, x : I → R

n uma função

diferenciável definida em um intervalo I dos reais e ẋ =
dx

dt
a derivada de x com

relação à variável independente t.
Assim, uma Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem é uma relação da

forma:
ẋ(t) = f(t, x(t)) ou, simplesmente, ẋ = f(t, x). (2.1)

Definição 2.1. Dizemos que uma função diferenciável x : I → R
n, onde I ⊂ R, é

solução da equação (2.1) em I se:
(i) (t, x(t)) ∈ D, para todo t ∈ I, e
(ii) x satisfaz a equação (2.1) para todo t ∈ I.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 2.1. Considerando a função

f(t, x) =

{ √
x, se x ≥ 0

0, se x < 0,

temos que a equação diferencial ẋ = f(t, x) admite como solução a função x(t) =
(t+ c)2

4
para t ∈ [−c,+∞) ou a função x(t) = −k, onde k é uma constante positiva

qualquer.

11



Equações Diferenciais Ordinárias 12

De fato, para x = 0, a função nula é solução da equação e para x > 0, a equação

ẋ =
√
x é equivalente a x− 1

2
dx

dt
= 1. Integrando ambos os membros da última equação

com relação à t, obtemos:∫
x− 1

2
dx

dt
dt =

∫
dt ⇔ 2x

1
2 = t+ c ⇔ x(t) =

(t+ c)2

4
,

onde c é uma constante real arbitrária.
Assim, para t ∈ [−c,+∞), x(t) =

(t+ c)2

4
é uma solução.

Agora, para x < 0 temos ẋ = 0, logo a função x(t) = −k para t ∈ R, onde k é uma
constante positiva, é solução. Veja as figuras abaixo, onde estão ilustradas as famílias
de soluções:

Figura 2.1: Gráfico da solução

x(t) =
(t+ c)2

4
.

Figura 2.2: Gráfico da solução
x(t) = −k, onde k > 0.

Exemplo 2.2. Seja a função f(x) = x2, definida em D = R. Logo, considerando a

equação diferencial ẋ = x2 temos que a função x(t) =
−1

t+ c
é uma família de soluções

para t ∈ (−c,+∞) se c > 0, e para t ∈ (−∞,−c) se c < 0, sendo c uma constante real.
De fato, para x = 0, a função nula é solução da equação e para x �= 0, sendo ẋ = x2

uma equação do tipo separável, é interessante re-escrevê-la como x−2ẋ = 1.
Logo, integrando ambos os membros da última equação com relação à t, obtemos:∫

x−2ẋdt =

∫
dt ⇔ −x−1 = t+ c ⇔ x(t) =

−1

t+ c
,

onde c é uma constante real arbitrária.
Veja as figuras a seguir, onde estão ilustradas as famílias de soluções:



Equações Diferenciais Ordinárias 13

Figura 2.3: Gráfico da solução para
c > 0.

Figura 2.4: Gráfico da solução para
c < 0.

Agora, considere (t0, x0) ∈ D um ponto dado arbitrariamente. Resolver um pro-
blema de valor inicial para a equação (2.1) consiste em encontrar um intervalo I con-
tendo t0 e uma solução x da equação (2.1) satisfazendo x(t0) = x0. Simbolicamente, o
problema de valor inicial é denotado por:

ẋ = f(t, x), x(t0) = x0, t ∈ I. (2.2)

Observamos que, se existir um intervalo I contendo t0 e uma solução x satisfazendo
(2.2), então dizemos que x(t) é uma solução da equação (2.1) passando por (t0, x0). A
notação usual para as soluções de (2.2) é x(t, t0, x0), entretanto somente a utilizaremos
quando for indispensável.

A seguir, analisaremos um problema de valor inicial para cada exemplo anterior.

Exemplo 2.3. Considerando um problema de valor inicial para o Exemplo 2.1, onde
x(0) = 0 é a condição inicial, temos que x(t) = 0 para t ∈ R, é uma solução e que a
função

x(t) =

⎧⎨⎩
(t− c)2

4
se t ≥ c ≥ 0

0 se t < c

é também uma solução.

Exemplo 2.4. Considerando o problema de valor inicial ẋ = x2, x(0) = x0, e ad-

mitindo a solução encontrada no Exemplo 2.2, para a equação, precisamos ter c =
−1

x0

para que x(t, x0) =
x0

1− x0t
seja solução do problema dado. Observemos que a solução



Equações Diferenciais Ordinárias 14

x(t, x0) =
x0

1− x0t
torna-se ilimitada quando t → 1

x0

, de modo que o intervalo de exis-

tência da solução é (−∞, 1
x0
), se x0 > 0, e é ( 1

x0
,+∞), se x0 < 0. Logo, este exemplo

ilustra que o intervalo I pode depender da condição inicial e podendo não ser toda a
reta.

Observemos que, nos Exemplos 2.1 e 2.2 as funções f dadas são contínuas, mas isso
não nos garantiu soluções únicas. Mais adiante veremos que a continuidade da função
f garante a existência de solução, mas não a unicidade. Veremos, também, condições
para a unicidade.

Agora, tomando a base canônica do R
n e escrevendo x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

e f(t, x) = (f1(t, x), f2(t, x), . . . , fn(t, x)), observamos que a equação (2.1), em R
n, nada

mais é que uma equação diferencial vetorial. Logo, podemos interpretá-la como um
sistema de equações diferenciais escalares, como segue:⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

ẋ1(t) = f1(t, x1(t), . . . , xn(t))

ẋ2(t) = f2(t, x1(t), . . . , xn(t))
...

ẋn(t) = fn(t, x1(t), . . . , xn(t)).

Assim, uma condição inicial para esse sistema é dada por (x0
1, . . . , x

0
n) onde x1(t0) =

x0
1, x2(t0) = x0

2, . . ., xn(t0) = x0
n. Uma solução em I ⊂ R consiste em n funções reais

diferenciáveis xj : I → R tais que, para cada t ∈ I,

ẋj(t) = fj(t, x1(t), . . . , xn(t)), com j = 1, 2, . . . , n,

enquanto que a n-upla x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)) dada por estas funções constitui
uma solução da equação (2.1) em R

n.
A equação vetorial ẋ = f(t, x) em R

n é classificada como sendo de primeira ordem,
por envolver apenas a derivada primeira. Como nosso estudo inclui, pelo menos no
aspecto teórico, equações de ordens superiores, podemos considerar uma equação dife-
rencial x(n) = g(t, x, ẋ, . . . , x(n−1)), de ordem n em R, dada por uma função g : D → R

onde D é um aberto de Rn+1, que pode ser estudada admitindo-se um sistema associado
com uma equação diferencial de primeira ordem em R

n, como dado abaixo:⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩

y1(t) = x(t)

y2(t) = ẏ1(t) = ẋ(t)

y3(t) = ẏ2(t) = ÿ1(t) = ẍ(t)
...

yn(t) = ẏn−1(t) = . . . = x(n−1)(t),

onde temos ẏn(t) = x(n)(t) = g(t, x(t), ẋ(t), . . . , x(n−1)(t)) = g(t, y1(t), y2(t), . . . , yn(t)).



Existência e Unicidade de Soluções 15

Logo, como y(t) = (y1(t), y2(t), . . . , yn(t)), então

ẏ(t) = (ẏ1(t), ẏ2(t), . . . , ẏn(t))

= (y2(t), y3(t), . . . , yn(t), g(t, y1(t), y2(t), . . . , yn(t)))

= (y2(t), y3(t), . . . , yn(t), g(t, y(t))).

Portanto, para obtermos uma solução de x(n) = g(t, x, ẋ, . . . , x(n−1)) basta obtermos
uma solução (y1(t), y2(t), . . . , yn(t)) do sistema associado, dado acima, pois se x(t) é
uma solução da equação de ordem n, então necessariamente

(y1(t), y2(t), . . . , yn(t)) = (x(t), ẋ(t), . . . , x(n−1)(t))

é solução do sistema associado.
Observamos, portanto, que não é necessário estabelecer um estudo separado para as

equações de ordem n e que por isso vamos trabalhar somente com equações de primeira
ordem.

A partir de agora vamos nos ater às condições que garantem existência e unicidade
de solução para o problema de valor inicial (2.2).

2.2 Existência e Unicidade de Soluções

Nesta seção o objetivo principal é apresentar a demonstração do teorema de exis-
tência e unicidade de soluções, mas antes disso, apresentamos o Lema que relaciona a
equação diferencial com uma equação integral e a definição de função Lipschitziana na
segunda variável, pois desempenham papel fundamental na demonstração.

Lema 2.1. Seja f : D → R
n uma função contínua no aberto D ⊂ R

n+1. Então, uma
função diferenciável x : I → R

n é solução do problema de valor inicial (2.2) se, e
somente se, for solução da equação integral

x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s))ds, para todo t ∈ I. (2.3)

Demonstração. Se x : I → R
n é solução do problema de valor inicial (2.2), isto é,

x(t0) = x0 e ẋ(t) = f(t, x(t)) para t ∈ I, então integrando de t0 a t ambos os membros

de ẋ(t) = f(t, x(t)) obtemos x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s))ds, para todo t ∈ I.

Reciprocamente, se x : I → R
n é solução da equação (2.3), então necessariamente

temos x(t0) = x0 +

∫ t0

t0

f(s, x(s))ds = x0. Como x(t) é diferenciável em I, podemos

derivar x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s))ds, e usando o Teorema Fundamental do Cálculo (per-

mitido pois f é contínua) obtemos ẋ(t) = f(t, x(t)), para t ∈ I.



Existência e Unicidade de Soluções 16

Definição 2.2. Uma função f : D ⊂ R × R
n → R

n chama-se Lipschitziana em
D relativamente à segunda variável ou, simplesmente, Lipschitziana, se existir uma
constante L tal que:

‖f(t, x)− f(t, y)‖ ≤ L‖x− y‖
para quaisquer (t, x), (t, y) em D. A constante L é chamada de constante de Lipschitz
de f .

Teorema 2.1. (Picard− Lindelöf) Seja f uma função contínua e Lipschitziana em
relação à segunda variável em um cilindro D = Ia×Bb, onde Ia = {t ∈ R : |t−t0| ≤ a}
e Bb = {x ∈ R

n : ‖x − x0‖ ≤ b}. Se ‖f(t, x)‖ ≤ M em D, para algum M ∈ R, então
existe uma única solução para o problema de valor inicial (2.2) no intervalo Iα, onde
α = min{a, b

M
}.

Demonstração. O raciocínio utilizado é conhecido como Método Iterativo de Picard,
que consiste em definir uma sequência de funções (xn(t)) que convergirá para a solução
procurada do problema de valor inicial. Definimos em [t0, t0 + α] as funções

x0(t) = x0, x1(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x0(s))ds, . . . , xn+1(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, xn(s))ds, . . .

As funções xn+1(t) satifazem a desigualdade

‖xn+1(t)− x0‖ ≤ b

para todo t ∈ [t0, t0 + α]. De fato,

‖xn+1(t)− x0‖ =

∥∥∥∥∫ t

t0

f(s, xn(s))ds

∥∥∥∥
≤

∫ t

t0

‖f(s, xn(s))‖ds
≤ M |t− t0|
≤ Mα ≤ M

b

M
= b.

Por indução finita é possível mostrar que

‖xn+1(t)− xn(t)‖ ≤ MLn(t− t0)
n+1

(n+ 1)!
, n = 0, 1, 2, . . . (2.4)

para todo t ∈ [t0, t0 + α], sendo L a constante de Lipschitz de f . De fato, suponha
n = 0, então

‖x1(t)− x0‖ =

∥∥∥∥∫ t

t0

f(s, x0(s))ds

∥∥∥∥
≤ M |t− t0|.

Suponha que a desigualdade (2.4) seja verdadeira para n = k, mostraremos que
também é válida para n = k + 1.



Existência e Unicidade de Soluções 17

‖xk+2(t)− xk+1(t)‖ =

∥∥∥∥∫ t

t0

[f(s, xk+1(s))− f(s, xk(s))]ds

∥∥∥∥
≤

∫ t

t0

‖f(s, xk+1(s))− f(s, xk(s))‖ds

≤
∫ t

t0

L‖xk+1(s)− xk(s)‖ds

≤
∫ t

t0

LMLk(s− t0)
k+1

(k + 1)!
ds

=
Lk+1M

(k + 1)!

∫ t

t0

(s− t0)
k+1ds

=
MLk+1(t− t0)

k+2

(k + 2)!
.

e assim, a prova de (2.4) está concluída.
Agora, defina a série

∞∑
n=0

[xn+1(t)− xn(t)]. (2.5)

Note, por (2.4), que

‖xn+1(t)− xn(t)‖ ≤ MLnαn+1

(n+ 1)!

em [t0, t0 + α]. Por outro lado, temos pelo Critério da Razão que a série de termos
positivos

∞∑
n=0

MLnαn+1

(n+ 1)!

é convergente. Então, segue do Teste de Weierstrass que a série (2.5) converge uniforme-
mente em [t0, t0 + α]. Seja Sk(t) a sequência das somas parciais da série (2.5), então
Sk(t) converge uniformemente para alguma função uniformemente contínua definida no
intervalo [t0, t0+α]. Além disso, a série dada em (2.5) representa uma série telescópica,
uma vez que

Sk(t) = (x1(t)−x0)+(x2(t)−x1(t))+· · ·+(xk(t)−xk−1(t))+(xk+1(t)−xk(t)) = xk+1(t)−x0.

Assim, existe uma função uniformemente contínua x(t) em [t0, t0 + α] tal que

xk+1(t) → x(t)

uniformemente em [t0, t0 + α].
O próximo passo consiste em provar que a função x(t) satisfaz a equação integral

(2.3).
Afirmamos que f(s, xn(s)) → f(s, x(s)) uniformemente em [t0, t0 + α]. Como f é

Lipschitziana em relação à segunda variável, e se L denota a constante de Lipschitz,
então ‖f(s, xn(s))−f(s, x(s))‖ ≤ L‖xn(s)−x(s)‖. Como xn(t) → x(t) uniformemente



Existência e Unicidade de Soluções 18

em [t0, t0 + α], dado ε > 0, existe n0 tal que se n ≥ n0, então ‖xn(t) − x(t)‖ ≤ ε

L
para todo t ∈ [t0, t0 + α]. Logo, ‖f(s, xn(s)) − f(s, x(s))‖ ≤ ε para todo n ≥ n0 e
t0 ≤ t ≤ t0 + α. Temos ainda que

lim
n→+∞

∫ t

t0

f(s, xn(s))ds =

∫ t

t0

f(s, x(s))ds. (2.6)

Para demonstrar a convergência (2.6) obtemos a seguinte estimativa∥∥∥∥∫ t

t0

f(s, xn(s))ds−
∫ t

t0

f(s, x(s))ds

∥∥∥∥ ≤
∫ t

t0

‖f(s, xn(s))− f(s, x(s))‖ds
≤ sup

t0≤s≤t
‖f(s, xn(s))− f(s, x(s))‖|t− t0|

≤ ε|t− t0|
≤ εα

para todo n ≥ n0. Assim, como a igualdade (2.6) implica na identidade (2.3) temos o
resultado.

Agora vamos provar a unicidade de solução e para isso suponhamos que o problema
de valor inicial (2.2) admita uma outra solução z(t) em [t0, t0 + α].

Provemos que x(t) = z(t) para t ∈ [t0, t0 + α].
Temos que

x(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, x(s))ds e z(t) = x0 +

∫ t

t0

f(s, z(s))ds.

Subtraindo essas duas equações membro a membro, obtemos

‖x(t)− z(t)‖ =

∥∥∥∥∫ t

t0

[f(s, x(s))− f(s, z(s))]ds

∥∥∥∥
≤

∫ t

t0

‖f(s, x(s))− f(s, z(s))‖ds

≤ L

∫ t

t0

‖x(s)− z(s)‖ds,

ou seja,

‖x(t)− z(t)‖ ≤ L

∫ t

t0

‖x(s)− z(s)‖ds, (2.7)

onde L é a constante de Lipschitz de f .
Seja U a função definida por

U(t) =

∫ t

t0

‖x(s)− z(s)‖ds, t ∈ [t0, t0 + α].

Então, segue imediatamente que

U(t0) = 0, e (2.8)

U(t) ≥ 0, para t ∈ [t0, t0 + α]. (2.9)



Existência e Unicidade de Soluções 19

Além disso, U é diferenciável e U ′(t) = ‖x(t)− z(t)‖.
Logo, pela equação (2.7), temos

U ′(t)− LU(t) ≤ 0. (2.10)

Considerando o fator integrante, eL(t0−t), da equação (2.10), obtemos

[eL(t0−t)U(t)]′ ≤ 0. (2.11)

Então, integrando a equação (2.11) de t0 a t e usando a equação (2.8) obtemos

eL(t0−t)U(t) ≤ 0 para t ∈ [t0, t0 + α].

Portanto, U(t) ≤ 0 para t ∈ [t0, t0 + α] e, considerando a equação (2.9) temos
que U(t) = 0 para t ∈ [t0, t0 + α]. Assim, U ′(t) ≡ 0 e, então, x(t) ≡ z(t), para
t ∈ [t0, t0 + α].

Exemplo 2.5. A solução do problema de valor inicial{
ẋ = y, x(0) = 1

ẏ = −x, y(0) = 1

pode ser dada pelo Método Iterativo de Picard. Com efeito, observamos que o sistema
pode ser escrito na forma matricial{

Ẏ = f(t, Y ),

Y (t0) = Y0

se considerarmos Y =

(
x

y

)
, f(t, Y ) =

(
y

−x

)
e Y0 =

(
x(0)

y(0)

)
. Note que f é uma

função que independe da variável t.
Mostremos que f é Lipschitziana em relação à segunda variável. De fato,

‖f(t, Y1)− f(t, Y2)‖ =

∥∥∥∥f
(
t,

(
x1

y1

))
− f

(
t,

(
x2

y2

))∥∥∥∥
=

∥∥∥∥
(

y1

−x1

)
−

(
y2

−x2

)∥∥∥∥ =

∥∥∥∥
(

y1 − y2

x2 − x1

)∥∥∥∥
=

∥∥∥∥
(

x1 − x2

y1 − y2

)∥∥∥∥ =

∥∥∥∥
(

x1

y1

)
−

(
x2

y2

)∥∥∥∥ = ‖Y1 − Y2‖.

Logo, ‖f(t, Y1) − f(t, Y2)‖ ≤ ‖Y1 − Y2‖, sendo K = 1 a constante de Lipschitz, e
portanto f satisfaz as hipóteses do Teorema de Picard. O Método Iterativo de Picard
é dado pelas seguintes funções⎧⎨⎩

Y0(t) = Y0, t ∈ R

Yn(t) = Y0 +

∫ t

t0

f(s, Yn−1(s))ds, t ∈ R, n = 1, 2, . . .



Equações Autônomas 20

Note que,

Y0(t) = Y (0) =

(
1

1

)
, t ∈ R.

Daí, para t ∈ R, temos

Y1(t) = Y0 +

∫ t

t0

f(s, Y0(s))ds

=

(
1

1

)
+

∫ t

0

f

(
s,

(
1

1

))
ds

=

(
1

1

)
+

∫ t

0

(
1

−1

)
ds

=

(
1 + t

1− t

)
.

e

Y2(t) = Y0 +

∫ t

t0

f(s, Y1(s))ds

=

(
1

1

)
+

∫ t

0

f

(
s,

(
1 + s

1− s

))
ds

=

(
1

1

)
+

∫ t

0

(
1− s

−1− s

)
ds

=

⎛⎜⎜⎝ 1 + t− t2

2

1− t− t2

2

⎞⎟⎟⎠ .

Continuando este processo obtemos, para t ∈ R,

Yn(t) =

⎛⎜⎜⎝ 1 + t− t2

2
− t3

3!
+

t4

4!
+

t5

5!
− · · ·+ tn

n!

1− t− t2

2
+

t3

3!
+

t4

4!
− t5

5!
− · · ·+ tn

n!

⎞⎟⎟⎠ .

Fazendo n → +∞ obtemos, para t ∈ R,(
x(t)

y(t)

)
=

(
cos t+ sen t

cos t− sen t

)
,

que é a solução procurada do problema de valor inicial dado.

2.3 Equações Autônomas

O estudo desenvolvido neste trabalho se dará para equações em que a função f não
depende explicitamente da variável independente t, ou seja, equações autônomas, que
são estudadas a seguir.



Equações Autônomas 21

Definição 2.3. Uma equação da forma

ẋ = f(x), (2.12)

onde a função f depende somente de x e não explicitamente da variável independente
t, é chamada de equação autônoma.

As equações dos Exemplos 2.1, 2.2 e 2.5 são exemplos de equações autônomas.
Agora vamos estudar alguns resultados importantes sobre as equações autônomas.

Proposição 2.1. Se x(t) é uma solução da equação (2.12) com domínio I e se h é um
número real, então x(t+h) é uma solução de (2.12) com domínio Ih = {t−h : t ∈ I}.

Demonstração. Seja x(t) = x(t+ h). Então, considerando s = t+ h, temos:

d

dt
x(t) =

d

ds
x(s)

d

dt
s(t) =

d

ds
x(s) = f(x(s))

= f(x(t+ h))

= f(x(t))

e isto completa a demonstração.

Observemos que o argumento usado na prova da Proposição 2.1 não é verdadeiro
se a equação (2.12) é não autônoma pois

d

dt
x(t) =

d

dt
x(t+ h) = f(t+ h, x(t+ h))

= f(t+ h, x(t)).

Portanto, concluimos que, se transladarmos uma solução da equação (2.12) no eixo
t, obteremos ainda uma solução da equação (2.12).

O próximo resultado evidencia que o comportamento da solução de uma equação
diferencial autônoma independe do valor inicial dado.

Proposição 2.2. Supondo existência e unicidade de solução para o problema de valor
inicial

ẋ = f(x), x(t0) = x0 (2.13)

podemos afirmar que x(t) é solução de (2.13) se, e somente se, x(t+ t0) é solução de

ẋ = f(x), x(0) = x0. (2.14)



Equações Autônomas 22

Demonstração. Se x(t) é solução do problema de valor inicial (2.13), então pela Proposi-
ção 2.1 temos que x(t) = x(t+ t0) é solução da equação ẋ = f(x).

Como x(0) = x(t0) = x0 temos, portanto, que x(t + t0) é solução do problema de
valor inicial (2.14).

Reciprocamente, se x(t + t0) é solução do problema de valor inicial (2.14), então
considerando x(t) = x(t+ t0) e s = t+ t0 teremos que x(s− t0) = x(s), logo

d

ds
x(s) =

d

ds
x(s− t0) = f(x(s− t0)) = f(x(s)),

ou seja, x(s) é solução da equação ẋ = f(x).
Agora, como x(t0) = x(t0 − t0) = x(0) = x0 temos, então, que x(t) é solução do

problema de valor inicial (2.13).

A partir deste resultado podemos estudar todas as soluções das equações autôno-
mas (2.12) tomando sempre a condição inicial t0 = 0.

Notemos que, pela unicidade de soluções, vale a igualdade

x(t+ t0, x0) = x(t, x(t0, x0))

para todo t0 > 0, lembrando que a notação x(t, x0) indica o instante x(t) com a condição
inicial x(0) = x0. De fato, as funções

φ1(t) = x(t+ t0, x0) e φ2(t) = x(t, x(t0, x0))

são soluções da equação ẋ = f(x) e coincidem em t = 0, pois φ1(0) = x(t0, x0) e
φ2(0) = x(0, x(t0, x0)) = x(t0, x0) e portanto, as funções coincidem para todo t ≥ 0.

Também, pela unicidade de soluções, podemos garantir que os gráficos das soluções
distintas da equação autônoma (2.12) em R não irão se cruzar e assim, as soluções
constantes desempenham um papel importante na análise do comportamento das solu-
ções em geral, que deverão se aproximar ou se afastar das soluções constantes. Situação
análoga ocorre com as equações autônomas no R

n, onde as soluções em geral deverão se
aproximar ou se afastar, ou até mesmo oscilar em torno das soluções constantes. Ilus-
traremos este fato, em R, analisando o modelo de Dinâmica Populacional de Verhulst;
para maiores detalhes ver [1].

Exemplo 2.6. O modelo de Verhulst é dado pela equação

dP

dt
= λP

(
1− P

P∞

)
, (2.15)

onde P = P (t) é o total da população num instante t, λ é uma constante positiva e
P∞ é o limite máximo sustentável, dado por P∞ = lim

t→∞
P (t).



Equações Autônomas 23

Vamos analisar o comportamento de suas soluções, sem encontrá-las efetivamente

e para isso vamos estudar
dP

dt
como uma função de P .

Sabemos que o gráfico da função
dP

dt
é uma parábola de concavidade para baixo

com raízes P = 0 e P = P∞. Assim, as funções constantes P (t) = 0 e P (t) = P∞ são
soluções de (2.15).

Figura 2.5: Esboço do gráfico de
dP

dt
como uma função de P .

Como λ > 0, teremos que a função
dP

dt
é crescente para 0 < P <

P∞
2

e decrescente

para
P∞
2

< P < P∞.

O valor máximo de
dP

dt
é atingido quando P =

P∞
2

, que é o valor onde a derivada

da função
dP

dt
se anula. Isto é, a maior taxa de variação populacional é dada quando

a população for igual à metade da população limite.
Salientamos que, dada a condição inicial P (0) = P0, temos que a solução da equação

(2.15) é

P (t) =
P∞[

P∞
P0

− 1

]
e−λt + 1

.

Logo, substituindo o valor
P∞
2

na expressão P (t), poderemos obter o instante de
máxima variação:

P∞
2

=
P0P∞

(P∞ − P0)e−λt + P0

ou
(P∞ − P0)e

−λt = 2P0 − P0

e portanto

eλt =
P∞ − P0

P0



Equações Autônomas 24

o que implica

tM =
1

λ
ln

∣∣∣∣P∞ − P0

P0

∣∣∣∣ .
Assim, tM é o instante em que a variação da população é máxima, considerando

P0 <
P∞
2

.
Neste instante tM , verificamos que

dP

dt
=

λP∞
4

�= 0 e
d2P

dt2
= 0.

Logo, temos que em t = tM ocorre um ponto de inflexão de P (t). Desta forma, se

P0 =
P∞
2

, então tM = 0.

Se P0 >
P∞
2

, a curva não tem ponto de inflexão, e a população cresce (ou decresce)
para P∞, sem mudar de concavidade.

Verificamos assim que as soluções P (t) se afastam da solução constante P (t) = 0 e
se aproximam da solução constante P (t) = P∞; vejamos a ilustração no gráfico abaixo.

Figura 2.6: Esboço do comportamento das soluções P (t).

A próxima definição caracteriza as soluções constantes.

Definição 2.4. Se x é um zero de f , isto é, f(x) = 0, então x(t) ≡ x é solução da
equação (2.12) e é chamada de solução de equilíbrio ou estacionária de (2.12) e o ponto
x é chamado de ponto de equilíbrio ou singularidade de (2.12).

Desta forma notamos que basta f(x) ser zero para que a função constante x(t) ≡ x

seja solução da equação (2.12). E reciprocamente, se x(t) ≡ x para t ≥ 0 é solução da
equação (2.12), então f(x) = 0.



Equações Autônomas 25

Observamos que a função constante nula, isto é, x(t) ≡ 0 é solução de equilíbrio da
equação (2.12), quando temos f(0) = 0, e é chamada de equilíbrio nulo de (2.12).

Agora, quando uma solução com valor inicial próximo ao valor de um ponto de
equilíbrio x, permanecer próxima da solução x(t) = x com o passar do tempo, daremos
uma denominação especial ao ponto de equilíbrio, a saber:

Definição 2.5. O ponto de equilíbrio x da equação (2.12) é estável, se dado ε > 0,
existe δ > 0 tal que, para ‖x0 − x‖ < δ a solução do problema de valor inicial

ẋ = f(x), x(0) = x0

é tal que ‖x(t, x0)− x‖ < ε para todo t ≥ 0.

Definição 2.6. O ponto de equilíbrio x da equação (2.12) é assintoticamente estável
se for estável e se existir ρ > 0 tal que, para ‖x0 − x‖ < ρ, a solução do problema de
valor inicial

ẋ = f(x), x(0) = x0

é tal que x(t, x0) → x, quando t → +∞.

Exemplo 2.7. Toda solução da equação ẋ = 0 é estável, mas nemhuma solução é
assintoticamente estável.

De fato, vemos claramente que x(t) = c, onde c é uma constante real arbitrária, é
solução da equação ẋ = 0.

Mostremos que x(t, c) = c é estável, para todo c ∈ R
n.

Dado ε > 0, podemos tomar δ =
ε

2
de modo que se ‖x0 − c‖ < δ, então ‖x(t, x0)−

x(t, c)‖ = ‖x0 − c‖ < δ =
ε

2
< ε.

Para todo c ∈ R
n, a solução x(t, c) = c não é assintoticamente estável pois, para x0

próximo de c, temos que x(t, x0) � c, quando t → +∞.

Notamos que, sem perda de generalidade, podemos nos limitar ao estudo da estabi-
lidade do equilíbrio nulo de (2.12) pois, se x(t) é qualquer solução da equação ẋ = f(x),
definida em [0,+∞) então com a mudança de variável y = x− x obteremos

ẏ = ẋ− ẋ

= f(x)− f(x)

= f(y + x)− f(x).

Assim, fazendo
f(y + x)− f(x) = g(y)

obtemos
g(y) = ẏ,



Equações Autônomas 26

de modo que g(0) = 0.
Logo, podemos afirmar que x(t) é estável ou assintoticamente estável se a solução

nula da equação ẏ = g(y) é estável ou assintoticamente estável, respectivamente.
Vamos agora então definir a estabilidade do equilíbrio nulo.

Definição 2.7. O equilíbrio nulo da equação (2.12) é estável, se dado ε > 0, existe
δ > 0 tal que, para ‖x0‖ < δ a solução do problema de valor inicial

ẋ = f(x), x(0) = x0

é tal que ‖x(t, x0)‖ < ε para todo t ≥ 0.

Definição 2.8. O equilíbrio nulo da equação (2.12) é assintoticamente estável se for
estável e se existir ρ > 0 tal que, para ‖x0‖ < ρ, a solução do problema de valor inicial

ẋ = f(x), x(0) = x0

é tal que x(t, x0) → 0, quando t → +∞.

Encerramos este capítulo discutindo o conceito de estabilidade do equilíbrio nulo
de (2.12), que é nosso principal foco. Entretanto, como em geral este conceito não
é de fácil verificação, via definição, e também por não conhecermos as soluções para
todas as equações, vamos no próximo capítulo estudar um método eficiente que permite
investigar a estabilidade do equilíbrio nulo de (2.12), sem o prévio conhecimento de suas
soluções, conhecido como Segundo Método de Liapunov.



3 Estabilidade Segundo Liapunov

O matemático e engenheiro russo Aleksandr M. Liapunov (1857-1918), em sua tese
de doutorado, "General problem of stability of motion"(Problema geral de estabilidade
de movimento) publicado em 1892, encontrou um importante critério que avalia a
estabilidade de pontos de equilíbrio. Este critério ficou conhecido como Método Direto
ou Segundo Método de Liapunov.

O seu primeiro método, também conhecido como Método Indireto ou Método da
Linearização, permite investigar a estabilidade local de um sistema não linear através
de seu modelo linearizado.

O segundo método surgiu com a tentativa de estudar a estabilidade de pontos de
equilíbrio sem qualquer conhecimento das soluções da equação autônoma

ẋ = f(x), (3.1)

ou seja, sem usar a forma explícita das soluções. Neste método, as conclusões sobre a
estabilidade são obtidas através de uma função auxiliar apropriada, chamada função
de Liapunov.

Assim, neste capítulo, continuamos a estudar a estabilidade e a estabilidade assin-
tótica de pontos de equilíbrio da equação diferencial autônoma (3.1), mas agora através
de funções de Liapunov.

Para isso, consideremos as definições abaixo que são de grande importância para
que possamos, posteriormente, estabelecer a teoria de Liapunov.

Vamos supor que f(0) = 0 para que a função nula seja solução e, também, ponto
de equilíbrio da equação (3.1).

Consideremos Ω como sendo uma vizinhança da origem do R
n.

Definição 3.1. Dizemos que uma função escalar V : Ω → R é semi definida positiva
(negativa) em Ω quando:
• V é contínua e
• V (x) ≥ 0 (V (x) ≤ 0), para todo x ∈ Ω.

Definição 3.2. Dizemos que uma função escalar V : Ω → R é definida positiva
(negativa) em Ω quando:
• V é semi definida positiva (negativa) em Ω,

27



28

• V (0) = 0 e
• V (x) > 0 (V (x) < 0), para todo x ∈ Ω \ {0}.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.1. A função V : R2 → R dada por V (x1, x2) = x1
2+x2

2+1 é semi definida
positiva em R

2, pois V é contínua em R
2 e V (x1, x2) > 0, para todo (x1, x2) ∈ R

2.

Exemplo 3.2. A função escalar V definida por V (x1, x2, x3) = −2x2
3 é semi definida

negativa em R
3.

De fato, temos que V é contínua em R
3 e V (x1, x2, x3) ≤ 0 para todo (x1, x2, x3) ∈ R

3,
pois para todo ponto (x1, x2, x3) ∈ R

3 com x3 �= 0 temos V (x1, x2, x3) < 0 e se x3 = 0,
teremos então V (x1, x2, 0) = 0.

Exemplo 3.3. Temos que a função

V (x1, x2) = ax1
2 + bx1x2 + cx2

2

é definida positiva se, e somente se,

a > 0 e 4ac− b2 > 0,

e é definida negativa se, e somente se,

a < 0 e 4ac− b2 > 0.

De fato, como podemos observar

V (x1, x2) = ax1
2 + bx1x2 + cx2

2

= ax1
2 + bx1x2 +

b2

4a
x2

2 + cx2
2 − b2

4a
x2

2

= a

(
x1

2 +
b

a
x1x2 +

b2

4a2
x2

2

)
+ x2

2

(
c− b2

4a

)
= a

(
x1 +

b

2a
x2

)2

+ x2
2

(
4ac− b2

4a

)
.

Assim, se V é definida positiva em R
2 temos então que

a

(
x1 +

b

2a
x2

)2

+ x2
2

(
4ac− b2

4a

)
> 0 para todo (x1, x2) �= (0, 0) e V (0, 0) = 0.

Logo, como
(
x1 +

b

2a
x2

)2

≥ 0 e x2
2 ≥ 0 para todo (x1, x2) �= (0, 0) então para

obtermos V (x1, x2) > 0 para todo (x1, x2) ∈ R
2\{(0, 0)} devemos ter a > 0 na primeira

parcela e 4ac− b2 > 0 na segunda parcela, ou seja, devemos ter necessariamente a > 0

e 4ac− b2 > 0.
Reciprocamente, se a > 0 e 4ac− b2 > 0 temos então que

V (x1, x2) = a

(
x1 +

b

2a
x2

)2

+ x2
2

(
4ac− b2

4a

)
> 0 para todo (x1, x2) �= (0, 0)



29

e V (0, 0) = 0, ou seja, V é definida positiva em R
2.

Agora, se V é definida negativa em R
2 então temos que

a

(
x1 +

b

2a
x2

)2

+ x2
2

(
4ac− b2

4a

)
< 0 para todo (x1, x2) �= (0, 0) e V (0, 0) = 0.

Logo, como
(
x1 +

b

2a
x2

)2

≥ 0 e x2
2 ≥ 0 para todo (x1, x2) �= (0, 0) então para

obtermos V (x1, x2) < 0 para todo (x1, x2) ∈ R
2\{(0, 0)} devemos ter a < 0 na primeira

parcela e 4ac − b2 > 0 na segunda parcela para que tenhamos a

(
x1 +

b

2a
x2

)2

< 0 e

x2
2

(
4ac− b2

4a

)
< 0. Portanto, devemos ter a < 0 e 4ac− b2 > 0.

Reciprocamente, se a < 0 e 4ac − b2 > 0 então V (x1, x2) = a

(
x1 +

b

2a
x2

)2

+

x2
2

(
4ac− b2

4a

)
< 0 para todo (x1, x2) �= (0, 0) e V (0, 0) = 0, ou seja, V é definida

negativa em R
2.

Exemplo 3.4. Dada a função V : R2 → R definida por V (x1, x2) = x2
1 + x2

2 − x3
2,

delimitemos a maior região Ω do R
2 onde V seja definida positiva.

Para isso, devemos determinar a região Ω do R
2 onde V seja contínua em Ω,

V (0, 0) = 0 e V (x1, x2) > 0, para todo (x1, x2) ∈ Ω \ {(0, 0)}.
Vemos claramente que V é contínua em R

2.
Agora, para que tenhamos V (x1, x2) = 0 somente para (x1, x2) = (0, 0), devemos

excluir os demais pontos onde, possivelmente, V se anula, e para isso observamos que:

V (x1, x2) = 0 ⇔ x1 = ±
√

x3
2 − x2

2,

de onde, analisando x3
2 − x2

2, seguem as possibilidades:

(1) x3
2 − x2

2 = 0 e (2) x3
2 − x2

2 > 0.

Caso (1): x3
2 − x2

2 = 0 ⇔ x2
2(x2 − 1) = 0 ⇔ x2 = 0 ou x2 = 1.

Assim, além do ponto (0, 0) temos o ponto (0, 1) onde V se anula.

Caso (2): x3
2 − x2

2 > 0 ⇔ x2
2(x2 − 1) > 0 ⇔ x2 > 1. Neste caso, para termos

V (x1, x2) = 0, devemos analisar os pontos (x1, x2) tais que

(a) x1 =
√

x3
2 − x2

2 e (b) x1 = −
√

x3
2 − x2

2,

com x2 > 1, e que não devem ser incluídos na região Ω.
No caso (a), considerando a função h : (1,+∞) → (0,+∞) definida por

h(x2) := x1 =
√

x3
2 − x2

2, temos que



30

h′(x2) =
3x2

2 − 2x2

2
√

x3
2 − x2

2

=
3x2

2 − 2x2

2|x2|
√
x2 − 1

=
3x2 − 2

2
√
x2 − 1

, pois x2 > 1.

Logo, temos h′(x2) > 0, o que implica que h é estritamente crescente no intervalo
(1,+∞).

Agora,

h′′(x2) =
3(2

√
x2 − 1)− (3x2 − 2)( 2

2
√
x2−1

)

4(x2 − 1)
=

3x2 − 4

4(x2 − 1)
√
x2 − 1

=
3x2 − 4

4(x2 − 1)3/2

e assim h′′(x2) < 0 no intervalo (1, 4
3
) e h′′(x2) > 0 no intervalo (4

3
,+∞), o que implica

que h tem a concavidade voltada para baixo no intervalo (1, 4
3
) e a concavidade voltada

para cima no intervalo (4
3
,+∞); sendo (4

3
, h(4

3
)) o ponto de inflexão.

Graficamente, temos:

Figura 3.1: Gráfico da função x1 = h(x2).

Agora, no caso (b), considerando a função g : (1,+∞) → (−∞, 0) definida por
g(x2) := x1 = −

√
x3
2 − x2

2, temos que

g′(x2) = − 3x2
2 − 2x2

2
√

x3
2 − x2

2

= − 3x2
2 − 2x2

2|x2|
√
x2 − 1

=
−3x2 + 2

2
√
x2 − 1

.

Como x2 > 1, temos g′(x2) < 0, o que implica que g é estritamente decrescente no
intervalo (1,+∞).

Agora,

g′′(x2) =
−3(2

√
x2 − 1)− (−3x2 + 2)( 2

2
√
x2−1

)

4(x2 − 1)
=

−3x2 + 4

4(x2 − 1)
√
x2 − 1

=
−3x2 + 4

4(x2 − 1)3/2

o que implica g′′(x2) > 0 no intervalo (1, 4
3
) e g′′(x2) < 0 no intervalo (4

3
,+∞), isto é, g

têm a concavidade voltada para cima no intervalo (1, 4
3
) e a concavidade voltada para

baixo no intervalo (4
3
,+∞); e, ainda, (4

3
, g(4

3
)) como ponto de inflexão.

Graficamente, temos:



31

Figura 3.2: Gráfico da função x1 = g(x2).

Assim, além dos pontos (0, 0) e (0, 1) a função V também se anula nos pontos dados
pelas funções h e g, de modo que não devemos incluí-los, exceto o ponto (0, 0), na região
Ω.

Agora, para V satisfazer a condição V (x1, x2) > 0 para todo (x1, x2) ∈ Ω \ {(0, 0)}
devemos ter

V (x1, x2) > 0 ⇔ x2
1 > x3

2 − x2
2,

e deste fato seguem as possibilidades:
(i) x1 > 0 e x3

2 − x2
2 ≥ 0,

(ii) x1 < 0 e x3
2 − x2

2 ≥ 0 e
(iii) x3

2 − x2
2 < 0.

Em (i) temos a região formada pelos pontos (x1, x2) tais que x1 >
√

x3
2 − x2

2.
Graficamente, temos:

Figura 3.3: Região A = {(x2, x1) ∈ R
2/x1 >

√
x3
2 − x2

2}, onde V é positiva.



32

O caso (ii) estabelece a região formada pelos pontos (x1, x2) tais que x1 < −
√

x3
2 − x2

2.
Graficamente, temos:

Figura 3.4: Região B = {(x2, x1) ∈ R
2/x1 < −

√
x3
2 − x2

2}, onde V é positiva.

E finalmente, no caso (iii), temos:

x3
2 − x2

2 < 0 ⇔ x2
2(x2 − 1) < 0 ⇔ x2 < 1 e x2 �= 0,

o que implica em uma região do R
2 onde x1 ∈ R, x2 < 1 e x2 �= 0. Graficamente,

temos:

Figura 3.5: Região C = {(x2, x1) ∈ R
2/x2 < 1, x2 �= 0}, onde V é positiva.

Assim, a região onde a função V é estritamente positiva é composta pela união das
regiões A, B e C.

Concluímos, portanto, que a região Ω do R
2 procurada, onde V é definida positiva,

é a região representada graficamente a seguir:



Função de Liapunov 33

Figura 3.6: Região Ω = {(x2, x1) ∈ R
2 / x2 > 1, h(x2) < x1 < g(x2)} ∪

{(x2, x1) ∈ R
2 / x2 < 1}.

3.1 Função de Liapunov

Nesta seção vemos como Liapunov, em seu método, definiu a função auxiliar ade-
quada, chamada Função de Liapunov.

Para isso, vamos considerar uma função escalar diferenciável

V : Ω ⊂ R
n → R,

que deve ser escolhida de tal modo que seja definida positiva em Ω e a sua derivada
V̇ , ao longo de qualquer solução x(t) da equação (3.1), seja semi definida negativa em
Ω, sendo que V̇ (x) é dada pelo produto escalar do gradiente de V , ∇V , com a função
f(x), ou seja,

• V (0) = 0,
• V (x) > 0 para todo x ∈ Ω \ {0} e, além disso,
• V̇ (x) = 〈∇V, f(x)〉 ≤ 0 para todo x ∈ Ω.

Observamos que as notações 〈 , 〉 e ∇V representam, respectivamente, o produto
interno usual do R

n, chamado de produto interno euclidiano, e o vetor gradiente de V ,
que é dado por

∇V (x1, x2, ..., xn) =

(
∂V (x1, x2, ..., xn)

∂x1

,
∂V (x1, x2, ..., xn)

∂x2

, ...,
∂V (x1, x2, ..., xn)

∂xn

)
.

Agora, se x(t) é solução da equação (3.1), então temos que

d

dt
V (x(t)) = V̇ (x(t)),

isto é, V̇ (x(t)) é a derivada de V ao longo das soluções da equação (3.1).



Função de Liapunov 34

De fato, se x(t) é solução da equação (3.1), então ẋ(t) = f(x(t)).
Logo, utilizando a regra da cadeia, temos que

d

dt
V (x(t)) = 〈∇V (x(t)), ẋ(t)〉

= 〈∇V (x(t)), f(x(t))〉
= V̇ (x(t)).

As condições exigidas refletem que V (x) é não crescente ao longo de qualquer solução
x(t) da equação (3.1), e que como V é limitada inferiormente por zero, temos que existe
o limite de V (x(t)) quando t → +∞. Temos também que a derivada de V (x(t)) em
relação à t é chamada de taxa de variação de V ao longo das soluções da equação (3.1).

Logo, uma definição formal de função de Liapunov pode então ser dada, como segue.

Definição 3.3. Seja V : Ω → R uma função diferenciável em Ω. Dizemos que V é
uma função de Liapunov para a equação (3.1) em Ω se V é definida positiva em Ω e,
além disso, V̇ é semi definida negativa em Ω.

É importante observar que, em qualquer ponto x ∈ Ω, a taxa de variação de V (x)

ao longo da solução nele definida, é calculada sem que seja necessário resolver a equação
(3.1). É precisamente este fato que nos permite usar o segundo método de Liapunov
para equações cujas soluções não conhecemos e esta é a principal razão de sua im-
portância.

Notemos que não foi estabelecida qualquer técnica para obtermos uma função de
Liapunov. Infelizmente, não existe método geral para construí-las; entretanto, já foi
feito um extenso trabalho de construção de funções de Liapunov para classes especiais
de equações. Em geral, elas estão relacionadas com a norma do R

n ou com a energia
do sistema quando damos uma interpretação física para o mesmo. Neste último caso,
as condições V̇ = 0 ou V̇ < 0 significam, respectivamente, conservação ou dissipação
de energia.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 3.5. O oscilador harmônico é o modelo matemático para o movimento
retilíneo de uma partícula sujeita a uma força atratora que tende a trazer ou man-
ter a partícula no seu ponto de equilíbrio e com magnitude igual ao deslocamento da
partícula vezes um múltiplo k (constante positiva), sendo o ponto de equilíbrio aquele
onde a força exercida sobre a partícula é nula.

Designando a origem como o ponto de equilíbrio, por m a massa da partícula e por
x o deslocamento da partícula, obtemos da Segunda Lei de Newton mẍ = −kx, ou seja

mẍ+ kx = 0,

que é a equação do oscilador harmônico simples.



Função de Liapunov 35

Um sistema conhecido que se comporta dessa maneira é o sistema massa-mola, que
consiste em um bloco com uma massa de valor m sobre uma superfície horizontal sem
atrito, preso a uma das extremidades de uma certa mola com fator de restauração k

(também chamado constante de deformação), enquanto a outra extremidade, da mola,
está ligada a um ponto fixo. A posição A representa a mola comprimida, enquanto que
a posição B representa a mola estendida.

Figura 3.7: Sistema massa-mola.

Toda vez que tentamos tirar o sistema da origem, surge uma força restauradora
que tenta trazê-lo de volta à situação inicial, assim, à medida que afastamos o bloco
de massa m da posição de equilíbrio, a força restauradora vai aumentando.

Analisando a energia do sistema massa-mola podemos definir que a energia potencial
Ep(x) no ponto x é o trabalho necessário para levar o bloco de massa m da posição 0

até a posição x, ou seja, é o trabalho necessário para distender ou comprimir a mola
até a posição x. Assim,

Ep(x) =

∫ x

0

ksds =
1

2
kx2.

A energia cinética Ec(x) é o trabalho necessário para colocar o corpo de massa m

em movimento. Assim,

Ec(x) =
1

2
mẋ2.

Logo, a energia total será

E(x) = Ep(x) + Ec(x) =
1

2
kx2 +

1

2
mẋ2.

Calculando a derivada de E com relação a t, obtemos

dE

dt
= (kx+mẍ)ẋ

que é igual a zero uma vez que x satisfaz a equação do oscilador harmônico simples.
Consequentemente, a energia total do sistema massa-mola é constante, tendo-se assim
conservação de energia, ou seja, uma redução no valor da energia cinética é acompa-
nhada de um aumento na energia potencial e vice-versa permanecendo a soma desses
dois valores sempre constante. Assim, se puxarmos o bloco de massa m e, em seguida,
o soltarmos, veremos o sistema oscilando.



Função de Liapunov 36

Podemos analisar o nosso sistema massa-mola encontrando uma função de
Liapunov, e para isso vamos considerá-lo como um sistema do R

2,⎧⎨⎩ ẋ = y

ẏ = − k

m
x.

Tomando como uma possível função de Liapunov a energia total do sistema, ou seja,

a função V (x, y) =
1

2
kx2 +

1

2
my2, observamos facilmente que a função V é definida

positiva em R
2 e que

V̇ (x, y) = 〈∇V (x, y), F (x, y)〉 = 〈(kx,my), (y,− k

m
x)〉 = kxy − kxy = 0,

ou seja, V̇ (x, y) = 0 para todo (x, y) ∈ R
2, isto é, V̇ é semi definida negativa em R

2.
Portanto, a função V é uma função de Liapunov para o sistema massa-mola.

Exemplo 3.6. Considerando o sistema{
ẋ1 = −x1|x2|α
ẋ2 = −x2|x1|β,

onde α > 0 e β > 0, notamos que F (x1, x2) = (ẋ1, ẋ2) tem a origem como ponto de
equilíbrio, pois F (0, 0) = (0, 0).

Tomando a função V (x1, x2) = x2
1 + x2

2, temos que
• V é diferenciável em R

2,
• V (0, 0) = 0 e
• V (x1, x2) > 0, para todo (x1, x2) ∈ R

2\{(0, 0)}.
Logo, V é definida positiva em R

2.
Temos ainda que

〈∇V (x1, x2), F (x1, x2)〉 = 〈(2x1, 2x2), (−x1|x2|α,−x2|x1|β)〉
= −2x2

1|x2|α − 2x2
2|x1|β

= −2(x2
1|x2|α + x2

2|x1|β),

ou seja, V̇ (x1, x2) = −2(x2
1|x2|α + x2

2|x1|β). Assim, V̇ é semi definida negativa em R
2,

pois V̇ (x1, x2) ≤ 0 para todo (x1, x2) ∈ R
2.

Portanto, V é uma função de Liapunov para o sistema em R
2.

Exemplo 3.7. Considerando o sistema do R
2{

ẋ1 = −x1[x2]
4h(t, x1, x2),

ẋ2 = x2[x1]
4h(t, x1, x2)

vemos que f(x1, x2) = (ẋ1, ẋ2) tem a origem como ponto de equilíbrio, pois f(0, 0) =

(0, 0).



Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov 37

Tomando a função V (x1, x2) =
1
4
[x1]

4 + 1
4
[x2]

4, temos que
• V é diferenciável em R

2 e, portanto, contínua em R
2,

• V (0, 0) = 0 e
• V (x1, x2) > 0, para todo (x1, x2) ∈ R

2\{(0, 0)}.
Assim, temos que V é definida positiva em R

2.
Temos ainda que

〈∇V (x1, x2), f(x1, x2)〉 = 〈([x1]
3, [x2]

3), (−x1[x2]
4h(t, x1, x2), x2[x1]

4h(t, x1, x2))〉
= −[x1]

4[x2]
4h(t, x1, x2) + [x1]

4[x2]
4h(t, x1, x2)

= 0,

ou seja, V̇ (x1, x2) = 0 para todo (x1, x2) ∈ R
2. Logo, V̇ é semi definida negativa em

R
2.

Portanto, V é uma função de Liapunov para o sistema em R
2.

A existência de uma função de Liapunov para a equação (3.1) nos dá informações
importantes a respeito da estabilidade e da estabilidade assintótica do equilíbrio nulo
de (3.1), sem requerer diretamente a obtenção da solução.

Assim, na próxima seção, apresentaremos os principais resultados para o estudo do
comportamento assintótico das soluções da equação (3.1).

3.2 Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov

Nesta seção, enunciamos e demonstramos os teoremas do método.

Teorema 3.1. Se existir uma função de Liapunov V para a equação (3.1) em Ω, então
a solução nula, x(t) ≡ 0, é estável. Se, em adição, V é continuamente diferenciável
em Ω e V̇ é definida negativa em Ω, então a solução nula é assintoticamente estável.

Demonstração. Estabilidade: Seja B(r) a bola aberta do R
n de raio r e centro na

origem tal que B(r) ⊂ Ω.
Para 0 < ε < r, seja k = min{V (x); ‖x‖ = ε} que existe pois V é contínua e

∂B(ε) ⊂ Ω é compacto e além disso k > 0 já que V (x) > 0, para x ∈ Ω\{0}.
Novamente pela continuidade de V e como V (0) = 0, segue que existe δ = δ(ε) com

0 < δ < ε tal que se ‖x‖ < δ então V (x) < k.
Nessas condições, podemos mostrar que as soluções da equação (3.1), com condições

iniciais na bola de raio δ, são estáveis, isto é,

‖x0‖ < δ ⇒ ‖x(t, x0)‖ < ε, para todo t ≥ 0. (3.2)

Para isso, suponhamos que ‖x(t, x0)‖ ≥ ε, para algum t ≥ 0.



Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov 38

Seja t = min{s ∈ [0, t]; ‖x(s, x0)‖ ≥ ε}. Temos então que

V (x(t, x0)) ≥ k. (3.3)

Como por hipótese V̇ (x(t)) ≤ 0, ou seja, V é não crescente ao longo das soluções
da equação (3.1), temos que V (x(t, x0)) ≤ V (x(0, x0)) = V (x0); logo por V (x0) < k

segue que V (x(t, x0)) ≤ V (x0) < k, contradição com (3.3).
Portanto, a solução nula da equação (3.1) é estável.

Estabilidade Assintótica: Por (3.2), e para R > 0 temos δ = δ(R), tal que

‖x0‖ < δ(R) ⇒ ‖x(t, x0)‖ < R, para todo t ≥ 0,

isto é, a solução permanece dentro do domínio da função de Liapunov V . Provemos
que essa solução tende a zero, quando t → +∞, no caso em que V̇ é definida negativa.
Dado ε > 0, vamos mostrar que existe t0 = t0(ε) > 0, tal que

‖x(t, x0)‖ < ε, se t ≥ t0.

Tome δ(ε) definido em (3.2). Se existir t0 = t0(ε) > 0 tal que

‖x(t0, x0)‖ < δ(ε),

temos por (3.2) que

‖x(t, x(t0, x0))‖ = ‖x(t+ t0, x0)‖ < ε para todo t ≥ 0

e o teorema estaria demonstrado, usando na última igualdade o fato de que a equação
é autônoma, e portanto

x(t+ t0, x0) = x(t, x(t0, x0)).

Suponhamos, por contradição, que não exista um tal t0, isto é,

‖x(t, x0)‖ ≥ δ(ε)

para todo t ≥ 0. Então, a solução permanece durante todo o tempo na coroa circular

δ(ε) ≤ ‖x(t, x0)‖ ≤ R, para todo t ≥ 0.

Como V̇ é estritamente negativa, e a coroa é um conjunto compacto, temos que

V̇ (x(t, x0)) ≤ −c, com c > 0, para todo t ≥ 0.

Então, integrando os dois membros de 0 a t, obtemos

V (x(t, x0)) ≤ V (x0)− ct, para todo t ≥ 0,

que é uma contradição, pois V teria que assumir valores negativos.
E isso completa a demonstração.

Vejamos alguns exemplos.



Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov 39

Exemplo 3.8. No Exemplo 3.5, vimos que a função V (x, y) =
1

2
kx2 +

1

2
my2, que é a

energia total do sistema massa-mola⎧⎨⎩ ẋ = y

ẏ = − k

m
x,

é uma função de Liapunov. Logo, temos pelo Teorema 3.1 que o seu ponto de equilíbrio
é estável.

Exemplo 3.9. Quando discutimos o sistema{
ẋ1 = −x1|x2|α
ẋ2 = −x2|x1|β,

onde α > 0 e β > 0,

apresentado no Exemplo 3.6 foi possível definir uma função de Liapunov, logo, pelo
Teorema 3.1 o equilíbrio nulo desse sistema é estável.

Exemplo 3.10. No Exemplo 3.7 discutimos o sitema{
ẋ1 = −x1[x2]

4h(t, x1, x2),

ẋ2 = x2[x1]
4h(t, x1, x2)

onde foi possível definir uma função de Liapunov; agora, temos pelo Teorema 3.1 que
seu equilíbrio nulo é estável.

Exemplo 3.11. Seja ẍ + g(x) = 0, onde a função g : R → R é diferenciável. Se
xg(x) > 0 para x �= 0, então a origem é um ponto de equilíbrio estável.

De fato, considerando a equação diferencial vetorial ẍ + g(x) = 0 temos o sistema
associado a ela, dado por: {

ẋ = y,

ẏ = −g(x).

Observamos que, se x = 0 temos ẋ = 0 e como y = ẋ e ẏ = −g(x) logo temos que
g(0) = 0. Assim, vemos que a origem é ponto de equilíbrio.

Tomando a função V (x, y) = 1
2
y2 +G(x), onde G(x) =

∫ x

0

g(s)ds, temos que

• V é contínua e diferenciável em R
2,

• V (0, 0) = 0, pois G(0) = 0 e
• V (x, y) > 0, para todo (x, y) �= (0, 0), pois se x > 0 temos que g(x) > 0, logo∫ x

0

g(s)ds > 0 o que implica G(x) > 0; agora se x < 0 temos que g(x) < 0, logo∫ x

0

g(s)ds = −
∫ 0

x

g(s)ds > 0 o que implica G(x) > 0.

Logo V é definida positiva em R
2.



Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov 40

Temos ainda que V̇ (x, y) = 〈(g(x), y), (y,−g(x))〉 = g(x)y − yg(x) = 0, ou seja,
V̇ (x, y) = 0. Assim, V̇ é semi definida negativa em R

2.
Portanto, pelo Teorema 3.1 temos que a origem é um ponto de equilíbrio estável,

pois a função V (x, y) é uma função de Liapunov.

O próximo exemplo pode ser encontrado em [3].

Exemplo 3.12. Considerando o sistema{
ẋ = x(1− x− y),

ẏ = y(0, 75− y − 0, 5x)
(3.4)

mostraremos que o ponto de equilíbrio (0, 5; 0, 5) é assintoticamente estável, encon-
trando uma função de Liapunov adequada.

Para isso, encontremos um sistema equivalente que tenha a origem como ponto de
equilíbrio. Assim, sejam

x = 0, 5 + u, y = 0, 5 + v. (3.5)

Logo, substituindo x e y nas equações (3.4), obtemos o novo sistema{
u̇ = −0, 5u− 0, 5v − u2 − uv,

v̇ = −0, 25u− 0, 5v − 0, 5uv − v2.
(3.6)

Para manter os cálculos relativamente simples, considere a função V (u, v) = u2+v2

como uma função de Liapunov possível. Essa função é claramente definida positiva, de
modo que só precisamos determinar se existe uma região contendo a origem no plano
uv onde a derivada de V em relação ao sistema (3.6) é sempre definida negativa.

Calculando V̇ (u, v) encontramos

V̇ (u, v) =
∂V

∂u
u̇+

∂V

∂v
v̇ = 2u(−0, 5u−0, 5v−u2−uv)+2v(−0, 25u−0, 5v−0, 5uv−v2),

ou
V̇ (u, v) = −[(u2 + 1, 5uv + v2) + (2u3 + 2u2v + uv2 + 2v3)], (3.7)

onde agrupamos os termos quadráticos e os cúbicos. Queremos mostrar agora que a
expressão entre colchetes na equação (3.7) é definida positiva, pelo menos para u e v

suficientemente pequenos. Observe que os termos quadráticos podem ser escritos na
forma

u2 + 1, 5uv + v2 = 0, 25(u2 + v2) + 0, 75(u+ v)2 (3.8)

de modo que esses termos são definidos positivos. Por outro lado, os termos cúbicos
na equação (3.7) podem ter qualquer sinal. Precisamos mostrar, então, que em alguma
vizinhança da origem, os termos cúbicos são menores, em módulo, do que os termos
quadráticos, ou seja,



Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov 41

|2u3 + 2u2v + uv2 + 2v3| < 0, 25(u2 + v2) + 0, 75(u+ v)2. (3.9)

Para estimar a expressão à esquerda do sinal de desigualdade na equação (3.9),
vamos introduzir coordenadas polares u = r cos θ, v = r sen θ. Então,

|2u3 + 2u2v + uv2 + 2v3| = r3|2 cos3 θ + 2 cos2 θ sen θ + cos θ sen2 θ + 2 sen3 θ|
≤ r3[2| cos3 θ|+ 2 cos2 θ| sen θ|+ | cos θ| sen2 θ + 2| sen3 θ|]

≤ 7r3,

já que | sen θ| ≤ 1 e | cos θ| ≤ 1. Para satisfazer a equação (3.9) é certamente suficiente
satisfazer a condição mais forte

7r3 < 0, 25(u2 + v2) = 0, 25r2,

que fornece r < 1
28

. Logo, pelo menos nesse disco as hipóteses do Teorema 3.1 são
satisfeitas, de modo que a origem é um ponto crítico assintoticamente estável do sistema
(3.6). O mesmo é verdade, então para o ponto crítico (0, 5; 0, 5) do sistema original
(3.4).

Para obtermos uma melhor estimativa do disco, os termos na equação (3.9) teriam
que ser estimados de modo mais preciso, teria que ser usada uma função de Liapunov
melhor (e, possivelmente, mais complicada), ou ambos.

Exemplo 3.13. Considerando o sistema{
ẋ = y,

ẏ = −2x− 2y

vemos que a equação (ẋ, ẏ) = g(x, y) = (y,−2x− 2y) do R
2 tem a origem como ponto

de equilíbrio, pois g(0, 0) = (0, 0).
Tomando a função V (x, y) = x2 + 1

2
y2, notamos que

• V é diferenciável em R
2,

• V (0, 0) = 0 e
• V (x, y) > 0, para todo (x, y) ∈ R

2\{(0, 0)}.
Assim, temos que V é definida positiva em R

2.
Temos ainda que

〈∇V (x, y), g(x, y)〉 = 〈(2x, y), (y,−2x− 2y)〉
= 2xy − 2xy − 2y2

= −2y2,

ou seja, V̇ (x, y) = −2y2, para todo (x, y) ∈ R
2; de modo que V̇ é semi definida negativa

em R
2.

Logo, a função V é uma função de Liapunov para o sistema em R
2.

Portanto, pelo Teorema 3.1, temos que a origem é ponto de equilíbrio estável.



Teoremas sobre o Segundo Método de Liapunov 42

Exemplo 3.14. Considerando o sistema{
ẋ = y,

ẏ = −x

vemos que a origem é ponto de equilíbrio.
Tomando a função V (x, y) = x2 + 1

2
y2, notamos que V é definida positiva em R

2;
temos ainda que

〈∇V (x, y), g(x, y)〉 = 〈(2x, y), (y,−x)〉
= 2xy − xy

= xy,

ou seja, V̇ (x, y) = xy, para todo (x, y) ∈ R
2.

Logo, não existe vizinhança da origem do R
2 onde V̇ é semi definida negativa.

Portanto, não podemos concluir nada com respeito à estabilidade do sistema.

Com estes dois últimos exemplos, 3.13 e 3.14, encerramos a discussão sobre o Se-
gundo Método de Liapunov. No Exemplo 3.13, a função de Liapunov definida nos
permitiu verificar a estabilidade do equilíbrio nulo, entretanto não foi possível veri-
ficar a estabilidade assintótica, com o uso dessa função. Já no Exemplo 3.14, não
conseguimos definir uma função de Liapunov e, portanto, não chegamos a qualquer
conclusão sobre a estabilidade do sistema.

No próximo capítulo, introduziremos uma nova teoria que se baseia nas funções
chamadas dicotômicas, que podem ser utilizadas, por exemplo, nos casos em que não
foi possível encontrar uma função de Liapunov. Para as funções dicotômicas V não
é exigido que V̇ (x(t)) tenha sinal constante ao longo das soluções x(t), para se ter
estabilidade.

Teremos, com esta teoria, condições de retomar aos exemplos 3.13 e 3.14.



4 Funções Dicotômicas

Neste capítulo, apresentamos uma extensão do Segundo Método de Liapunov apre-
sentado no capítulo anterior, que também garante a estabilidade e a estabilidade as-
sintótica do equilíbrio nulo da equação autônoma

ẋ = f(x), (4.1)

através de Funções Dicotômicas.
No Segundo Método de Liapunov é exigido que uma determinada função V só

decresça ao longo das soluções. No método que agora apresentamos, usaremos uma
função V , chamada de Função Dicotômica que, ao longo das soluções, pode apresentar
uma variação no seu comportamento, da seguinte maneira: se em uma vizinhança de
um instante t a função V (x(t)) for não decrescente, basta que, exista um instante
anterior (t−T ) tal que V (x(t)) não cresça ou permaneça constante, do instante (t−T )

ao instante t.
O Método das Funções Dicotômicas teve origem no trabalho de doutorado que

resultou no artigo de referência [5], trabalhando com equações discretas. Tal método
assemelha-se ao Princípio de Razumikhin, que se aplica a equações diferenciais com
retardamento, mas não se aplica a equações diferenciais ordinárias e equações discretas.

Salientamos que a solução do problema de valor inicial

ẋ = f(x), x(0) = x0 (4.2)

será denotada por x(t, y), para simplificar a notação.
Vamos supor que f(0) = 0 para que a função nula seja solução e, também, ponto

de equilíbrio da equação (4.1).
Ressaltemos que, dada uma função escalar diferenciável

V : Ω ⊂ R
n → R,

definimos a sua derivada ao longo de qualquer solução x(t) da equação (4.1) como
sendo a função

V̇ (x) = 〈∇V, f(x)〉,

43



44

como já apresentada no terceiro capítulo.
As definições que se seguem são de extrema importância para o desenvolvimento

da presente teoria.

Sejam T > 0 uma constante dada e Ω uma vizinhança da origem. Vamos assumir
que, para y ∈ Ω, a solução x(t, y) esteja definida para todo t entre −T e T , passamos
então a definir os seguintes subconjuntos do R

n, que caracterizam as diferentes variações
do comportamento da função V (x(t)), como segue

Ω−(T ) = {y ∈ Ω : V (y) < V (x(−T, y))},
Ω0(T ) = {y ∈ Ω : V (y) = V (x(−T, y))},

Ω′
+ = {y ∈ Ω : V̇ (y) > 0},

Ω′
0 = {y ∈ Ω : V̇ (y) = 0},

sendo que Ω0
−(T ) = Ω−(T ) ∪ Ω0(T ).

Observamos que dado um subconjunto A do R
n que contém a origem, A∗ representa

o conjunto {x ∈ A : x �= 0}, A o fecho de A e B(r) representa a bola aberta do R
n de

centro na origem e raio r.

Definição 4.1. Dizemos que uma função diferenciável V : Rn → R é dicotômica em
relação à equação (4.1) (em Ω) se existir uma constante T > 0 tal que

Ω′
+ ⊂ Ω0

−(T ).

Definição 4.2. Dizemos que uma função V é estritamente dicotômica em relação à
equação (4.1) (em Ω) se é dicotômica em relação a esta equação e, além disso, satisfaz
a condição suplementar:

(Ω′
+)

∗ ⊂ Ω−(T ) e Ω0(T ) ∩ Ω′
0 = {0}.

Coloquialmente, a Definição 4.1 nos diz que V é uma função dicotômica em relação
à equação (4.1) em Ω, se para todo y ∈ Ω, onde existir um crescimento de V ao longo
da solução, exige-se que exista um instante T tal que V não cresça ou permaneça
constante do instante −T ao instante zero.

E, no caso da Definição 4.2, V é uma função estritamente dicotômica em relação à
equação (4.1) em Ω, se para todo y ∈ Ω \ {0}, onde existir um crescimento de V ao
longo da solução, exige-se que exista um instante T tal que V decresça do instante −T

ao instante zero e no caso em que a função V ao longo da solução permanece constante,
necessariamente y = 0.

Vejamos alguns exemplos.



45

Exemplo 4.1. O sistema {
ẋ = y,

ẏ = −x,

foi apresentado no Exemplo 3.14, onde verificamos que a função V (x, y) = x2+ 1
2
y2 não

é uma função de Liapunov e, portanto, nada concluimos com respeito à estabilidade;
agora, vamos provar que a mesma função V é uma função dicotômica.

Dada a condição inicial x(0) = x0 e y(0) = y0 vemos, por técnica de resolução, que
a solução deste sistema é x(t) = x0 cos t+ y0 sen t, y(t) = −x0 sen t+ y0 cos t.

Temos pelo Exemplo 3.14 que V̇ (x, y) = xy, para todo (x, y) ∈ R
2. Logo, tomando

T = 2π, vemos que
V (x(−2π), y(−2π))− V (x0, y0) = 0

e considerando Ω = B(1), obtemos

Ω−(2π) = ∅,
Ω0(2π) = B(1) e

Ω′
+ = {(x, y) ∈ Ω : V̇ (x, y) > 0} = {(x, y) ∈ Ω : xy > 0},

ou seja,

Ω0
−(2π) = Ω−(2π) ∪ Ω0(2π) = B(1) e Ω

′
+ = {(x, y) ∈ Ω : xy ≥ 0}.

Como Ω
′
+ ⊂ Ω0

−(2π) temos, portanto, que V é uma função dicotômica em relação
ao sistema dado inicialmente em B(1).

Exemplo 4.2. Seja o sistema {
ẋ = y,

ẏ = −2x− 2y

apresentado no Exemplo 3.13, em que provamos estabilidade do equilíbrio nulo através
da Função de Liapunov V (x, y) = x2+ 1

2
y2. Agora vamos provar que V também é uma

função estritamente dicotômica para esse sistema.
Dada a condição inicial x(0) = x0 e y(0) = y0 vemos, por técnica de resolução,

que a solução deste sistema é x(t) = e−t[x0 cos t + (x0 + y0) sen t], y(t) = ẋ(t) =

e−t[y0 cos t− y0 sen t− 2x0 sen t].
Pelo Exemplo 3.13 temos que V̇ (x, y) = −2y2, para todo (x, y) ∈ R

2. Logo,
tomando T = 2π, temos que

V (x(−2π), y(−2π))− V (x0, y0) = e4πx0
2 + e4πy0

2 − (x0
2 + y0

2) = (e4π − 1)(x0
2 + y0

2)

e, considerando Ω = B(1), teremos consequentemente que

Ω0(2π) = {(0, 0)} e Ω−(2π) = {(x, y) ∈ Ω : (x, y) �= (0, 0)} = B(1)∗



46

logo Ω0
−(2π) = Ω−(2π) ∪ Ω0(2π) = B(1).

Como Ω′
+ = {(x, y) ∈ Ω : −2y2 > 0} = ∅ então Ω

′
+ = ∅, em B(1).

Assim, como Ω
′
+ ⊂ Ω0

−(2π) então temos que V é dicotômica.
Temos ainda que Ω′

0 = {(x, y) ∈ Ω : −2y2 = 0} = {(x, y) ∈ Ω : y = 0}.
Logo, notamos que (Ω

′
+)

∗ ⊂ Ω−(2π) e Ω0(2π) ∩ Ω′
0 = {(0, 0)}.

Portanto, V é estritamente dicotômica em relação ao sistema dado inicialmente, em
B(1).

Observamos que toda função de Liapunov é dicotômica em relação à equação (4.1).
Com efeito, seja V uma função de Liapunov em Ω. Como já sabemos V é uma função

não crescente ao longo de qualquer solução x(t), da equação (4.1), pois V̇ (x) ≤ 0 para
todo x ∈ Ω, logo temos que Ω′

+ = ∅; consequentemente, V satisfaz a Definição 4.1.
Assim, V é uma função dicotômica em Ω.

Para provar os teoremas que garantem estabilidade e estabilidade assintótica do
equilíbrio nulo, são necessários algumas notações e resultados, como veremos a seguir.

Dado y ∈ R
n, define-se

cj = max{V (x(t, y)) : (j − 1)T ≤ t ≤ jT}, j ∈ N

e
tj = min{t ∈ [(j − 1)T, jT ] : cj = V (x(t, y))},

ou seja, cj é o máximo valor que V assume, ao longo da solução x(t, y), no inter-
valo [(j − 1)T, jT ] para j variando em {0, 1, 2, ...}, e tj é o menor valor do intervalo
[(j − 1)T, jT ] no qual V (x(t, y)) assume o valor máximo, para j ∈ N.

Lema 4.1. Se V é dicotômica e x(t, y) está definida para 0 ≤ t ≤ jT , então cj−1 ≥ cj.

Demonstração. Para t ∈ [(j − 1)T, jT ] temos dois casos a serem analisados, quando:
(i) tj = (j − 1)T e
(ii) tj > (j − 1)T .
No caso (i), temos por definição que

cj−1 = max{V (x(t, y)) : (j−2)T ≤ t ≤ (j−1)T} ≥ V (x((j−1)T, y)) = V (x(tj, y)) = cj,

ou seja, cj−1 ≥ cj.
Agora, no caso (ii), considere g(t) = V (x(t, y)) e note que g(t) = V (x(t, y)) <

V (x(tj, y)) = g(tj), para (j − 1)T ≤ t < tj, pois tj é o menor valor do intervalo
[(j − 1)T, jT ] no qual V (x(tj, y)) = g(tj) assume valor máximo.

Logo, pelo Teorema do Valor Médio existe t̃ ∈ (t, tj) com
g(tj)− g(t)

tj − t
= g′(t̃), onde

g′(t̃) > 0. Então, g′(t̃) = 〈∇V (x(t̃, y)), f(x(t̃))〉 > 0.



47

Agora, por x(t̃, y) → x(tj, y) quando t → tj, segue que g′(tj) ≥ 0, ou seja, x(tj, y) ∈
Ω′

+ e como V é dicotômica em Ω temos então que x(tj, y) ∈ Ω0
−(T ), isto é, V (x(tj, y)) ≤

V (x(tj − T, y)). (I)

Como tj − T ∈ [(j − 2)T, (j − 1)T ], então temos V (x(tj − T, y)) ≤ cj−1. (II)

Logo, por (I) e (II) temos que cj = V (x(tj, y)) ≤ cj−1. E a prova está completa.

Lema 4.2. Se V é estritamente dicotômica, x(t, y) está definida para 0 ≤ t ≤ jT , e
tj > (j − 1)T , então cj−1 > cj.

Demonstração. Repetindo o mesmo raciocínio da demonstração do Lema 4.1, vemos
que x(tj, y) ∈ Ω′

+. Considerando y �= 0 e sendo V estritamente dicotômica em Ω temos
que x(tj, y) ∈ Ω−(T ), isto é, V (x(tj − T, y)) > V (x(tj, y)) e assim cj < cj−1.

Lema 4.3. Se V é estritamente dicotômica e definida positiva em Ω, x(t, y) está
definida para 0 ≤ t ≤ jT , e cj−1 �= 0, então cj−2 > cj.

Demonstração. Sob as hipóteses acima, sabemos do Lema 4.1 que cj−2 ≥ cj−1 ≥ cj.
Além disso, sabemos que existem dois casos a serem analisados, a saber:

(1) tj > (j − 1)T e
(2) tj = (j − 1)T .
No caso (1), sabemos do Lema 4.2 que cj−1 > cj, e então temos que cj−2 ≥ cj−1 > cj,

ou seja, cj−2 > cj.
Agora, no caso (2), temos duas possibilidades a serem consideradas
(i) cj−1 > cj ou
(ii) cj−1 = cj.
Em (i) temos novamente que cj−2 ≥ cj−1 > cj, ou seja, cj−2 > cj.
E em (ii) notemos que Ω0(T ) ∩ Ω′

0 = {0} e cj−1 �= 0, e se tj−1 = (j − 2)T , então
para g(t) = V (x(t, y)), analisemos g′(tj):

(a) Se g′(tj) = 0, então V̇ (x(tj, y)) = 0 e temos que V (x(tj, y)) = V (x(tj−1, y)) e
portanto x(tj, y) ∈ Ω′

0∩Ω0(T ) = {0}, ou seja, x(tj, y) = 0, logo V (x(tj, y)) = V (0) = 0

e como cj−1 = cj = V (x(tj, y)) = 0 segue que cj−1 = 0, que contraria a hipótese de
cj−1 �= 0.

(b) Se g′(tj) > 0 com tj = (j−1)T , então g′((j−1)T ) > 0 (V (x(t, y)) é crescente) e
como tj é, por definição, o menor valor do intervalo [(j − 1)T, jT ] em que g(t) assume
valor máximo, então tj > (j − 1)T , o que é uma contradição.

(c) Se g′(tj) < 0 com tj = (j−1)T , então g′((j−1)T ) < 0 (V (x(t, y)) é decrescente)
e como tj−1 é, por definição, o menor valor do intervalo [(j−2)T, (j−1)T ] em que g(t)

assume valor máximo, então tj−1 > (j − 2)T , o que é uma contradição.
Concluindo então que tj−1 > (j − 2)T . E portanto temos cj−2 > cj.

Teorema 4.1. Se V é uma função definida positiva e dicotômica (em Ω) em relação
à equação (4.1), então o equilíbrio nulo de (4.1) é estável.



48

Demonstração. Seja r > 0 arbitrário, considere R ≥ r tal que Ω ⊃ {y ∈ R
n : ‖y‖ ≤ R}

e sup{‖x(t, y)‖ : ‖y‖ ≤ r, 0 ≤ t ≤ T} ≤ R. (1)

Fixado δ = inf{V (y) : r ≤ ‖y‖ ≤ R}, note que δ > 0, pois V é definida positiva em
Ω.

Agora, se ‖y‖ ≤ R e V (y) < δ, então ‖y‖ < r. (2)

Como V é contínua em zero, temos que para δ > 0, existe γ > 0 tal que se ‖y‖ < γ

então V (y) < δ. (3)

E pela continuidade da função (t, y) → x(t, y) para t ∈ [0, T ], temos que para
γ > 0, existe μ > 0 tal que, se ‖y‖ < μ então ‖x(t, y)‖ < γ. E por (3), segue que
V (x(t, y)) < δ.

Vamos supor μ < r. Logo, para ‖y‖ < μ < r e t ∈ [0, T ] temos que ‖x(t, y)‖ ≤
sup{‖x(t, y)‖ : ‖y‖ ≤ r, 0 ≤ t ≤ T} ≤ R, ou seja, ‖x(t, y)‖ ≤ R.

Para t ∈ [0, T ], ‖x(t, y)‖ ≤ R e V (x(t, y)) < δ, segue por (2) que ‖x(t, y)‖ < r.
Considerando x(t, y) definida para t ∈ [(j − 1)T, jT ], para algum j ≥ 1, temos que

x(jT + ξ, y) = x(ξ, x(jT, y)) para ξ ∈ [0, T ]. (4)

Se ‖x(t, y)‖ < r para t ∈ [(j − 1)T, jT ], então ‖x(jT, y)‖ < r e, por (1), temos
‖x(ξ, x(jT, y)‖ ≤ R; e assim, por (4), temos ‖x(t, y)‖ ≤ R para t ∈ [jT, (j + 1)T ].

E visto que c1(y) < δ e que V é dicotômica em relação à equação (4.1) em Ω, pelo
Lema 4.1 temos que cj+1(y) < δ. Assim, V (x(t, y)) < δ para jT ≤ t ≤ (j + 1)T , e por
(2) segue que ‖x(t, y)‖ < r para jT ≤ t ≤ (j + 1)T .

Deste argumento indutivo no índice j ≥ 1, vemos que ‖x(t, y)‖ < r para todo t ≥ 0.
Portanto, para r > 0 arbitrário é possível encontrar μ > 0 tal que se ‖y‖ < μ, então

‖x(t, y)‖ < r para t ≥ 0.

Teorema 4.2. Suponha, em adição às hipóteses do Teorema 4.1 que V seja conti-
nuamente diferenciável e estritamente dicotômica em relação a equação (4.1) (em Ω).
Então, o equilíbrio nulo de (4.1) é assintoticamente estável.

Demonstração. De acordo com a demonstração do Teorema 4.1, podemos tomar 0 <

μ < r tal que ‖y‖ < μ implica que V (x(t, y)) < δ para t ∈ [0, T ] e V (x) < δ implica
que ‖x‖ < r. Suponhamos que y ∈ B(μ)∗.

Sejam cj e tj como nas definições acima. Logo, pelo Lema 4.1 temos que cj−1 ≥ cj

para j = 1, 2, .....
Desejamos provar que cj → 0 quando j → +∞. Visto que V é definida positiva

em Ω, isto implicará que x(t, y) → 0 quando j → +∞, pois caso x(t, y) → d temos
V (x(t, y)) → V (d) e como cj → 0, V (d) = 0, o que implica que d = 0.

Para simplificar a notação nesta demonstração, denotaremos a solução x(t, y) por
apenas "x(t)". Relativo a x(t), existem duas alternativas:

(1) x(tj) ∈ Ω′
+ para infinitos índices j e

(2) x(tj) ∈ Ω\Ω′
+ para j ≥ j0 ≥ 0 para algum inteiro j0.

Então, suponhamos que exista c > 0 tal que cj → c quando j → +∞, pois (cj) é
uma sequência decrescente e limitada, logo convergente.



49

Devido a continuidade de V̇ e pelo fato de V ser estritamente dicotômica em relação
a equação (4.1), existe uma constante α > 0 tal que V (x(−T, z)) − V (x(0, z)) > α se
z ∈ Ω′

+ e V (z) ≥ c. De fato, se existir z∗ ∈ Ω′
+, V (z∗) ≥ c tal que para todo α > 0,

em particular para α = 1/n com n ∈ N, temos 0 < V (x(−T, z∗)) − V (z∗) ≤ 1/n,
então teríamos que V (x(−T, z∗)) − V (z∗) = 0. E sendo V estritamente dicotômica e
V (x(−T, z∗)) = V (z∗), então V (x(·, z∗)) é constante para t ∈ [−T, 0]. E como z∗ ∈ Ω′

+,
necessariamente V̇ (z∗) = 0, ou seja, z∗ ∈ Ω′

0. Assim, z∗ ∈ Ω0(T ) ∩ Ω′
0, ou seja, z∗ = 0.

Por consequência, V (z∗) = 0; contradição, pois V (z∗) ≥ c > 0.
Assim, no caso (1) temos infinitas relações do tipo cj′′ < cj′ − α, para quaisquer

dois consecutivos índices j′ < j′′ da sequência (x(tj)) tal que x(tj) ∈ Ω′
+. De fato, em

tal caso, temos a seguinte sequência

cj′ = V (x(tj′)) ≥ V (x(tj′+1)) = cj′+1 ≥ ... > V (x(tj′′−1)) = cj′′−1 > V (x(tj′′)) = cj′′ .

Consequentemente, visto que V (x(tj′′−1)) − V (x(tj′′)) > α, segue que cj′ − cj′′ ≥
cj′′−1−cj′′ > α, o que implica que cj′′ < cj′−α, como afirmado anteriormente. Observe-
mos que, para um índice genérico j da referida sequência temos que cj < cj−1 − α <

cj−2 − 2α < ... < cj−n − nα, ou seja, cj → −∞ quando j → +∞. Contradição da su-
posição inicial de existência do limite positivo c para a sequência (cj). E considerando
que cj > 0 para todo j ∈ N então, necessariamente, cj → 0 quando j → +∞.

Agora, para a alternativa (2) suponhamos, sem perda de generalidade, que j0 =

0, visto que a equação (4.1) é autônoma. Assim, x(tj) ∈ Ω\Ω′
+ para todo j ≥ 0.

Suponhamos, também, que tj = (j − 1)T para j = 0, 1, 2, . . ..
Como V é continuamente diferenciável em Ω, existe uma vizinhança de tj suficien-

temente pequena tal que V̇ (x(t)) ≤ 0 para t nesta vizinhança.
Temos dois casos a considerar:
(i) existem infinitos índices j tais que o intervalo ((j − 1)T, jT ) contém ao menos

um ponto s com x(s) ∈ Ω′
+ e,

(ii) x(t) ∈ Ω\Ω′
+ para t ≥ t′, onde t′ é uma constante não negativa.

No caso (i), sejam sj = maxA, onde A = {s ∈ ((j − 1)T, jT ) : x(s) ∈ Ω′
+} e

dj = V (x(sj)), e para os infinitos índices j do caso (i) vale cj+1 ≤ dj ≤ cj. De
fato, se sj é o valor máximo de A então, para todo t ∈ (sj, tj+1), x(t) �∈ Ω′

+, ou seja,
V̇ (x(t)) ≤ 0. Assim, V (x(t)) é não crescente ou constante em (sj, tj+1) e portanto
dj ≥ cj+1, e pela definição de cj temos dj ≤ cj, e segue o resultado.

Sejam c e α como anteriormente.
Como x(sj) ∈ Ω′

+ e V (x(sj)) ≥ c, V (x(sj−T ))−V (x(sj)) > α, isto é, V (x(sj−T )) >

α + V (x(sj)) e por sj − T ∈ ((j − 2)T, (j − 1)T ) temos V (x(sj − T )) ≤ cj−1, logo
cj−1 > α + V (x(sj)) = α + dj e como dj ≥ cj+1, segue que cj−1 > α + cj+1, ou
seja, cj+1 < cj−1 − α para infinitos índices j. Consequentemente, cj → −∞ quando
j → +∞; que é uma contradição. Logo, c = 0, isto é, cj → 0 quando j → +∞, que é
o resultado desejado.



50

Agora, no caso (ii), temos V̇ (x(t)) ≤ 0 para t ≥ t′.
Afirmamos que V (x(t)) → c quando t → +∞ pois, caso contrário teríamos a

existência de ε > 0 tal que: ∀M > 0, ∃tM > 0 tal que V (x(tM)) �∈ (c−ε, c+ε). (�) Como
cj → c, para ε > 0, existe j◦ ∈ N tal que para j ∈ N, j > j◦, cj ∈ (c − ε, c + ε). Para
M > (j◦−1)T , por (�) segue que existe tM > M tal que V (x(tM)) �∈ (c−ε, c+ε). (��)
Temos que tM ∈ [(j∗−1)T, j∗T ], para algum j∗ ≥ j◦, e assim por (��), cj∗ ∈ (c−ε, c+ε).
Assim, deve existir um instante t ∈ [(j∗−1)T, j∗T ] tal que V̇ (x(t)) > 0. Se (j◦−1)T ≥ t′

temos uma contradição. E se (j◦− 1)T < t′, basta tomar M > t′, para obter, também,
uma contradição.

Assim, V (x(t−T ))−V (x(t)) → 0 quando t → +∞ e isto significa que V (x(t−T )) ∼=
V (x(t)) quando t → +∞, ou seja, x(t) → Ω0(T ) quando t → +∞.

Se V̇ (x(t)) → 0 quando t → +∞, temos que x(t) → Ω′
0 e assim x(t) → Ω0(T )∩Ω′

0,
que pela definição de dicotomia estrita, necessariamente x(t) → 0 quando t → +∞ e
temos o resultado desejado.

Se V̇ (x(t)) � 0 quando t → +∞, sendo V̇ (x(t)) ≤ 0 para t ≥ t′, então existe β > 0

tal que V̇ (x(t)) < β para t ≥ t′.

Então, visto que V (x(t)) = V (x(t′))+
∫ t

t′
V̇ (x(s))ds para t ≥ t′, temos que V (x(t)) =

V (x(t′))−
∫ t

t′
[−V̇ (x(s))]ds > V (x(t′))−

∫ t

t′
βds = V (x(t′))− βt+ βt′ para t ≥ t′. Daí,

quando t → +∞ temos que V (x(t)) → −∞; contradição, pois V é definida positiva
em Ω, e portanto, V (x(t)) → 0 quando t → +∞ e temos assim que o equilíbrio nulo
de (4.1) é assintoticamente estável.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 4.3. Quando discutimos o sistema{
ẋ = y,

ẏ = −x

apresentado no Exemplo 3.14, verificamos que a função V (x, y) = x2 + 1
2
y2 não é

uma função de Liapunov e, portanto, não chegamos a qualquer conclusão sobre a
estabilidade do sistema; agora, no Exemplo 4.1 conseguimos provar que a mesma função
V é dicotômica, logo, temos pelo Teorema 4.1 que seu equilíbrio nulo é estável.

Exemplo 4.4. O sistema {
ẋ = y,

ẏ = −2x− 2y

foi abordado no Exemplo 3.13, no qual foi possível definir uma função de Liapunov que
nos permitiu verificar somente a estabilidade do equilíbrio nulo; agora, no Exemplo 4.2
conseguimos provar que a mesma função é definida positiva e estritamente dicotômica
e, portanto, temos pelo Teorema 4.2 que seu equilíbrio nulo é assintoticamente estável.



51

Vamos agora trabalhar com uma nova função, V (x, y) = 1
2
(3x2+ y2), provando que

V é estritamente dicotômica.
Observamos que V é diferenciável em R

2, V (0, 0) = 0 e que V (x, y) > 0, para todo
(x, y) ∈ R

2\{(0, 0)}, ou seja, V é definida positiva em R
2.

Temos ainda que

〈∇V (x, y), g(x, y)〉 = 〈(3x, y), (y,−2x− 2y)〉
= 3xy − 2xy − 2y2

= xy − 2y2,

ou seja, V̇ (x, y) = xy − 2y2, para todo (x, y) ∈ R
2.

Considerando T = 2π e que a solução do sistema é dado por:

x(t) = e−t[x0 cos t+ (x0 + y0) sen t], y(t) = ẋ(t) = e−t[y0 cos t− y0 sen t− 2x0 sen t]

onde x(0) = x0 e y(0) = y0, temos:

V (x(−2π), y(−2π))− V (x0, y0) =
1

2
[3x0

2e4π + y0
2e4π]− 1

2
[3x0

2 + y0
2]

=
1

2
[(e4π − 1)(3x0

2 + y0
2)]

e, tomando Ω = B(1), obtemos

Ω−(2π) = {(x, y) ∈ Ω :
1

2
[(e4π − 1)(3x2 + y2)] > 0} = B(1)∗ e Ω0(2π) = {(0, 0)},

ou seja, Ω0
−(2π) = Ω−(2π) ∪ Ω0(2π) = B(1).

Temos ainda, que

Ω′
+ = {(x, y) ∈ Ω : xy − 2y2 > 0}

= {(x, y) ∈ Ω : (y > 0 e x > 2y) ou (y < 0 e x < 2y)}
e que

Ω′
0 = {(x, y) ∈ Ω : xy − 2y2 = 0}

= {(x, y) ∈ Ω : y = 0 ou x = 2y}.
Como temos Ω

′
+ ⊂ Ω0

−(2π) então, V é uma função dicotômica em B(1).
Observamos, ainda, que (Ω

′
+)

∗ ⊂ Ω−(2π) e que Ω0(2π) ∩ Ω′
0 = {(0, 0)} logo, V é

uma função estritamente dicotômica em relação ao sistema dado inicialmente em B(1).
Portanto, pelo Teorema 4.2 o equilíbrio nulo é assintoticamente estável.

Exemplo 4.5. Seja o sistema ⎧⎨⎩ ẋ = y

ẏ = − k

m
x,

apresentado no Exemplo 3.8, em que provamos estabilidade do equilíbrio nulo através
de Função de Liapunov. Agora vamos provar o mesmo resultado utilizando Função
Dicotômica.



52

Dada a condição inicial x(0) = x0 e y(0) = y0 vemos, por técnica de resolução, que
a solução desta equação é x(t) = x0 cosw0t +

y0
w0

senw0t, y(t) = ẋ(t) = y0 cosw0t −

x0w0 senw0t, onde w0
2 =

k

m
.

Vamos considerar a função V (x, y) =
1

2
kx2+

1

2
my2, que é a energia total do sistema,

como uma possível função dicotômica. Notamos que V é uma função definida positiva
em R

2 e que V̇ (x, y) = 0, para todo (x, y) ∈ R
2.

Tomando T =
2π

w0

a constante positiva, notamos que

V

(
x

(
−2π

w0

)
, y

(
−2π

w0

))
− V (x0, y0) = 0

e, considerando Ω = B(1), teremos consequentemente que

Ω0

(
2π

w0

)
= B(1) e Ω−

(
2π

w0

)
= ∅

logo Ω0
−

(
2π

w0

)
= Ω−

(
2π

w0

)
∪ Ω0

(
2π

w0

)
= B(1).

Como Ω′
+ = ∅ então Ω

′
+ = ∅, em B(1).

Assim, como temos Ω
′
+ ⊂ Ω0

−

(
2π

w0

)
então V é uma função dicotômica em B(1).

Portanto, pelo Teorema 4.1, temos que o equilíbrio nulo do sistema massa-mola é
estável em B(1).

Encerramos este capítulo observando que foi possível obter melhores resultados de
estabilidade através de funções dicotômicas, apesar de termos necessitado da solução
para calcularmos o período T exigido na definição de função dicotômica.



5 Considerações Finais

Ao estudar a estabilidade de equações diferenciais ordinárias através do Segundo
Método de Liapunov e, também, através do Método das Funções Dicotômicas, nota-
mos que em alguns casos pode ser difícil concluir algo a respeito da estabilidade do
equilíbrio nulo, pois nem sempre é fácil encontrar uma função de Liapunov adequada
para a equação, como também avaliar as condições necessárias para que uma função
seja dicotômica, mesmo sendo esta, em geral, mais simples se comparada com as de
Liapunov.

A utilização de Funções Dicotômicas na teoria de Equações Diferenciais Ordinárias
serviu de base para, posteriormente, estender o conceito no estudo de Equações Dife-
renciais Funcionais, particularmente para equações com retardamento; teoria que pode
ser encontrada nas referências [2] e [6].

53



Referências Bibliográficas

[1] BASSANEZI, R. C.; JR., W. C. F. Equações Diferenciais com Aplicações. São
Paulo: Editora Harbra, 1988.

[2] BENÁ, M. A.; DOS REIS, J. G. Some results on stability of retarded functional
equations using dichotomic map techniques. Positivity, v. 2, p. 229–238, 1998.

[3] BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas
de Valores de Contorno. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

[4] BUSENBERG, S.; MARTELLI, M. Delay Differential Equations and Dynamical
Systems. In: CARVALHO, L. A. V. On the stability of discrete equation and ordinary
differential equations. California: Springer - Verlag, 1990. p. 88–97.

[5] CARVALHO, L. A. V.; FERREIRA, R. R. On a new extension of Liapunov’s direct
method to discrete equations. Quart. Appl. Math., v. 46, n. 4, p. 779–788, 1988.

[6] CARVALHO, L. A. V.; MARCONATO, S. A. S. On dichotomic maps for differential
equations with piecewise continuous argument (EPCA). Communications in Applied
Analysis, v. 1, n. 1, p. 103–112, 1997.

[7] FIGUEIREDO, D. G.; NEVES, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. 3. ed. Rio
de Janeiro: IMPA, 2010.

[8] HALE, J. K. Ordinary Differential Equations. New York: Wiley-Interscience, 1977.

[9] LIMA, E. L. Análise Real: Funções de uma variável. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA,
2007.

54


	FOLHA DE ROSTO
	FICHA CATALOGRÁFICA
	COMISSÃO EXAMINADORA
	DEDICATÓRIA
	AGRADECIMENTOS
	EPÍGRAFE
	RESUMO
	ABSTRACT
	LISTA DE FIGURAS
	SUMÁRIO
	1. INTRODUÇÃO
	2. PRELIMINARES
	3. ESTABILIDADE SEGUNDO LIAPUNOV
	4. FUNÇÕES DICOTÔMICAS
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	REFERÊNCIAS