Dissertação de Mestrado Estudo do Comportamento de Skyrmions em Materiais Magnéticos na Presença de Defeitos Anisotrópicos Aluno: José Carlos Bellizotti Souza Orientador: Prof. Dr. Pablo Antonio Venegas Urenda Co-orientador: Dr. Nicolas Porto Vizarim Brasil 2025 José Carlos Bellizotti Souza Estudo do Comportamento de Skyrmions em Materiais Magnéticos na Presença de Defeitos Anisotrópicos Orientador: Prof. Dr. Pablo Antonio Venegas Urenda Coorientador: Dr. Nicolas Porto Vizarim Brasil 2025 S729e Souza, José Carlos Bellizotti Estudo do Comportamento de Skyrmions em Materiais Magnéticos na Presença de Defeitos Anisotrópicos / José Carlos Bellizotti Souza. -- Bauru, 2025 236 p. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (UNESP), Faculdade de Ciências, Bauru Orientador: Pablo Antonio Venegas Urenda Coorientador: Nicolas Porto Vizarim 1. Magnetismo. 2. Skyrmions. 3. Defeitos Anisotrópicos. 4. Dinâmica. 5. Texturas Magnéticas. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Dados fornecidos pelo autor(a). UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Câmpus de Bauru ATA DA DEFESA PÚBLICA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE JOSÉ CARLOS BELLIZOTTI SOUZA, DISCENTE DO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE MATERIAIS, DA FACULDADE DE CIÊNCIAS - CÂMPUS DE BAURU. Aos 17 dias do mês de junho do ano de 2025, às 10h, por meio de Videoconferência, realizou-se a defesa de DISSERTAÇÃO DE MESTRADO de JOSÉ CARLOS BELLIZOTTI SOUZA, intitulada Estudo do Comportamento de Skrymions em Materiais Magnéticos na Presença de Defeitos Anisotrópicos. A Comissão Examinadora foi constituída pelos seguintes membros: Prof. Dr. PABLO ANTONIO VENEGAS URENDA (Orientador(a) - Participação Virtual) do(a) Departamento de Fi ́sica / Faculdade de Ciências - Unesp/Câmpus de Bauru, Prof. Dr. RICARDO LOPES DA SILVA (Participação Virtual) do(a) Departamento de Ciências Naturais / Universidade Federal do Espírito Santo, Prof. Dr. ELIEZER FERNANDO DE OLIVEIRA (Participação Virtual) do(a) Departamento de Física e Meteorologia / Faculdade de Ciências - Unesp/Câmpus de Bauru. Após a exposição pelo mestrando e arguição pelos membros da Comissão Examinadora que participaram do ato, de forma presencial e/ou virtual, o discente recebeu o conceito final:_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . Nada mais havendo, foi lavrada a presente ata, que após lida e aprovada, foi assinada pelo(a) Presidente(a) da Comissão Examinadora. Prof. Dr. PABLO ANTONIO VENEGAS URENDA Faculdade de Ciências - Câmpus de Bauru - Eng. Luiz Edmundo Carrijo Coube, 14-01, 17033360, Bauru - São Paulo http://www.fc.unesp.br/#!/posmatCNPJ: 48.031.918/0028-44. APROVADO Aos meus pais e à minha irmã, Carlos Alberto, Sidnéia Aparecida e Maria Luiza. Agradecimentos Começo agradecendo meus pais, Carlos Alberto e Sidnéia Aparecida, pelo apoio e por proporcionarem condições para que eu pudesse realizar minha graduação e meu mestrado sem que eu precisasse me preocupar com nada além. Agradeço também à minha irmã que, embora não ela saiba, é o motivo da nossa casa ter vida. Agradeço meu orientador Prof. Dr. Pablo por sempre me incentivar a buscar entender as coisas mais à fundo, me dar dicas sobre carreira, e mais importante, por me orientar. Gosto de dizer aos meus amigos que não consigo pensar em orientador melhor que o senhor. Também agradeço meu coorientador Dr. Nicolas, que me acompanha desde o ínicio da minha iniciação científica. As conversas que tivemos sobre simulações, resultados, e a física por trás dos sistemas que investigamos, foram essenciais para meu desenvolvimento como pesquisador. I thank Dr. Charles Reichhardt and Dr. Cynthia Reichhardt, from Los Alamos National Laboratory, for the collaboration, and specially for taking me as a student. The 6 months I spent doing research under your supervision were terrific. I also thank you for encouraging me to try a PhD in the US. Agradeço aos meus colegas de laboratório, Lucas e Felipe, pelas discussões nas nossas reuniões. Agradeço à todos amigos feitos na Unesp, mas em especial agradeço à Milena, Marcela, Pexe e Lucas, pela companhia. Também agradeço à todos amigos de fora da Unesp, mas em especial agradeço à Loló e ao Enrico por sempre estarem presentes. Agradeço à FAPESP pelo financiamento para realizar este projeto, processos 2022/14053-8 e 2023/17545- 1. Também agradeço à FAPESP por prover os recursos computacionais utilizados na execução deste trabalho, processos 2024/02941-1 e 2021/04655-8. Agradeço à CAPES pelo financiamento inicial do meu mestrado. As students of Physics we observe phenomena under varied circumstances, and endeavor to deduce the laws of their relations. Every natural phenomena is, to our minds, the result of an infinitely complex system of conditions. What we set ourselves to do is to unravel these conditions, and by viewing the phenomenon in a way which is in itself partial and imperfect, to piece out its features one by one, beginning with that which strikes us first, and thus gradually learning how to look at the whole phenomenon so as to obtain a continually greater degree of clearness and distinctness. J. C Maxwell, The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, vol. 2 (1965), p. 217 Resumo Originalmente propostos para explicar a estabilidade de hádrons em física de partículas por Tony Skyrme, skyrmions são objetos topologicamente protegidos representados por spins envolvendo a es- fera unitária. Skyrmions são observados em diferentes áreas da física, sendo uma delas o magnetismo. Skyrmions magnéticos são a projeção dos spins envolvendo a esfera unitária no plano. Devido ao tamanho reduzido dos skyrmions, baixo custo energético, e estabilidade garantida pela sua topologia, skyrmions magnéticos são candidatos promissores para aplicações em dispositivos spintrônicos. O comportamento dinâmico de skyrmions se assemelha ao de partículas sobreamortecidas; no entanto um termo de força de Magnus não dissipativo torna a dinâmica não trivial. Skyrmions podem ser movidos por correntes de spin polarizados, gradientes de parâmetros magnéticos e temperatura, e ondas de spins. Quando em movimento, skyrmions apresentam um ângulo de Hall intrínseco como consequência da força de Magnus, e uma habilidade de contornar defeitos da amostra, reduzindo a força de arraste necessária para movê-los. Alguns dispositivos baseados em skyrmions já foram propostos, tais como diodos, transistores e portas lógicas. Skyrmions também podem ser utilizados para computação não convencional, como computa- ção neuromórfica e inteligência artificial. Neste trabalho, utilizando simulações atomísticas, investigamos a dinâmica e estabilidade de skyr- mions interagindo com diferentes arranjos de defeitos modelados através de anisotropia magnética perpendicular (ou Perpendicular Magnetic Anisotropy, PMA). Foram investigados arranjos de PMA line- ares, protrusões lineares, padrões assimétricos e arranjos de PMA periódicos, com diferentes simetrias. Estes arranjos foram investigados com correntes alternadas, contínuas e combinações dos dois tipos de correntes. O objetivo dos diferentes arranjos de defeitos é caracterizar os diferentes comportamentos dinâmicos que podem ser utilizados para controlar o movimento dos skyrmion. Condições para aniquilação também foram investigadas nos sistemas, evidenciando como diferentes valores de corrente, e tipos de correntes, podem afetar a estabilidade de skyrmions interagindo com defeitos na amostra. Ainda no quesito de estabilidade, condições para deformação dos skyrmions foram investigadas. Skyrmions não são a única textura promissora para aplicação em dispositivos de spintrônica, portanto outras texturas também foram investigadas e comparadas com os skyrmions. As texturas investigadas foram skyrmioniums, antiskyrmions, hopfions e torons. Condições para aniquilação destas texturas, assim como comportamento dinâmico interagindo com diferentes arranjos de defeitos, foram investi- gadas. Abstract Firstly proposed for explaining hadrons’ stability in particle physics by Tony Skyrme, skyrmions are topologically protected objects represented by spins involving the unit sphere. Although skyrmions were proposed in a different physics field, skyrmions are present in different fields of physics, one of them being magnetism. Magnetic skyrmions are the projection of the spins wrapping the unit sphere on the plane. Magnetic skyrmions have reduced size, small energy cost, and guaranteed stability from their topology. This characteristics made skyrmions gain attention from the scientific community as a candidate for creating spintronic devices. The skyrmions dynamics resemble the dynamics of overdamped particles; however a strong non-dissipative Magnus force makes the skyrmions dynamics non trivial. Skyrmions can be set in motion by polarized spin currents, magnetic parameters and temperature gradients and spin waves. During the skyrmion motion, as a consequence of the effects from the Magnus force, skyrmions exhibit motion following an angle, known as the skyrmion intrinsic Hall angle; also as consequence of the Magnus force, skyrmions can contour defects instead of being pinned by them, which reduces the required drag force for moving. Different devices using skyrmions were already proposed, such as diodes, transistors and logic gates. Skyrmions also can be used for non-conventional computing, such as neuromorphic computing and artificial intelligence. In this work, using atomistic simulations, we investigate the dynamics and stability of skyrmions inte- racting with different defect arrays modeled using perpendicular magnetic anisotropy (PMA). Arrays of linear defects, linear protrusions, asymmetric arrays and periodic defects, with different symmetries, were investigated. The arrays were investigated in a combination of dc, ac and combinations of both. The objective of investigating different arrays of defects is to characterize different dynamical beha- vior, which can be used to control the skyrmions motion. Annihilation conditions were investigated, showing how different current values, and type of currents, can affect skyrmions stability. Conditions for skyrmions deformations were also investigated. Since skyrmions are not the only promising candidates for spintronic devices, we investigated the dynamics and stability of skyrmioniums, antiskyrmions, hopfions and torons. We investigated annihi- lation conditions and dynamics when interacting with different arrays of defects. Sumário 1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3 Descrição do Skyrmion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Estabilidade e Comportamento Dinâmico de Skyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5 Interações Magnéticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.1 Interação de Troca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.5.2 Interação de Dzyaloshinskii-Moriya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.5.3 Interação Zeeman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5.4 Anisotropia Magnética Perpendicular (PMA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.6 Magnetização e Torques por Correntes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7 O Ângulo de Hall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8 Além de Skyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.9 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2 Simulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1 Modelo Atomístico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.1 Hamiltoniano Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.2 Campo efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.1.3 Spin Transfer Torque e Spin Orbit Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.1.4 Evolução Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.1.5 Comparado ao Modelo Micromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2 Integração numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.3 Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3 Dinâmica e Estabilidade de Skyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1 Spontaneous Skyrmion Conformal Lattice and Transverse Motion During dc and ac Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.1.3 Compression and Dynamics Under a dc drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.4 Compression under rectified ac drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.5 The influence of j0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.1.6 Varying the skyrmion size with D/J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.1.7 The influence of the applied magnetic field H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.1.8 Particle Based Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.1.9 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.1.10 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.2 Controlled skyrmion ratchet in linear protrusion defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.2.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.3 Ac drive along the x direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 3.2.3.1 Influence of the frequency ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.2.3.2 Conditions for skyrmion transport with ac drive along the x direction . 77 3.2.4 Ac drive along the y direction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.2.4.1 Influence of the frequency ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3.2.4.2 Conditions for skyrmion transport with ac drive along the y direction . 80 3.2.5 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2.6 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.3 Shapiro steps and stability of skyrmions interacting with alternating anisotropy under the influence of ac and dc drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.3.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.3.3 Dc drive along x and ac drive along y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.3.3.1 Varying the ac amplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3.3.2 The influence of D/J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3.4 Ac and dc drives in different configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 3.3.5 Skyrmion Instability and Future Directions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3.6 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 3.3.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.3.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.4 Reversible to irreversible transitions for ac driven skyrmions on periodic substrates . . . 111 3.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.4.3 Effective Diffusivity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.4.4 Dimer Peak Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.4.5 Trimer Peak Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 3.4.6 Bipartite Lattices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.4.7 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.4.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.5 Skyrmion Molecular Crystals and Superlattices on Triangular Substrates . . . . . . . . . 127 3.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.5.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.5.3 Dimers on Triangular Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 3.5.4 Trimers on Triangular Lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.5.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 3.5.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3.5.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4 Movimentos Soliton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.1 Soliton motion induced along ferromagnetic skyrmion chains in chiral thin nanotracks . 138 4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 4.1.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 4.1.3 Soliton Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.1.4 Magnitude of Transport Current . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.1.5 Pinning Center Strength . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.1.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.1.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 4.2 Skyrmion soliton motion on periodic substrates by atomistic and particle-based simula- tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.2.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.2.2.1 Atomistic Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 4.2.2.2 Particle Based Simulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.2.3 Square array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.2.4 Triangular array . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.2.5 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 4.2.6 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.2.7 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 5 Outras Texturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.1 Comparing Dynamics, Pinning and Ratchet Effects for Skyrmionium, Skyrmions, and Antiskyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 5.1.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5.1.3 Hall angle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.1.4 Interaction with a rigid wall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.1.5 Interaction with a circular defect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.1.6 Interaction between textures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.1.7 Dynamics with random disorder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 5.1.8 Diode and Ratchet Effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 5.1.9 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.1.10 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 5.1.11 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 5.2 Skyrmionium Dynamics and Stability on One Dimensional Anisotropy Patterns . . . . . 188 5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 5.2.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.2.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 5.2.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 5.2.5 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 5.3 Topological Transitions, Pinning and Ratchets for Driven Magnetic Hopfions in Nanos- tructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.2 Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 5.3.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.3.4 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.3.6 Acknowledgments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.3.7 Data availability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 5.3.8 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 6 Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.1 Spontaneous Skyrmion Conformal Lattice and Transverse Motion During dc and ac Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.2 Soliton motion induced along ferromagnetic skyrmion chains in chiral thin nanotracks . 214 6.3 Controlled skyrmion ratchet in linear protrusion defects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.4 Shapiro steps and stability of skyrmions interacting with alternating anisotropy under the influence of ac and dc drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 6.5 Reversible to irreversible transitions for ac driven skyrmions on periodic substrates . . . 217 6.6 Skyrmion soliton motion on periodic substrates by atomistic and particle–based simula- tions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.7 Skyrmion Molecular Crystals and Superlattices on Triangular Substrates . . . . . . . . . 219 SUMÁRIO 14 6.8 Comparing Dynamics, Pinning and Ratchet Effects for Skyrmionium, Skyrmions, and Antiskyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 6.9 Skyrmionium Dynamics and Stability on One Dimensional Anisotropy Patterns . . . . . 222 6.10 Topological Transitions, Pinning and Ratchets for Driven Magnetic Hopfions in Nanos- tructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 7 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 8 Produção Científica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227 Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 15 1 Introdução 1.1 Motivação Skyrmions magnéticos são texturas magnéticas presentes em materiais magnéticos quirais, ou em ma- teriais multicamadas. Essas texturas apresentam proteção topológica, o que garante que a aniquilação de um skyrmion magnético somente é possível através da injeção de energia por fontes externas, ga- rantindo robustidade aos skyrmions magnéticos. Skyrmions magnéticos também apresentam correntes de deslocamento reduzidas quando comparadas com as correntes de deslocamento de outras texturas magnéticas [1]. As características dos skyrmions magnéticos fazem com que ele seja um ótimo candidato para apli- cações em spintrônica. Foi proposto que skyrmions poderiam agir como portadores de informação, onde a presença e ausência do skyrmion seria codificado como um bit 1 ou bit 0; graças à proteção to- pológica, skyrmions são resistentes aos efeitos térmicos [2, 3], possibilitando sua utilização em cenários não voláteis. Um cenário não volátil, por exemplo, é a aplicação em dispositivos de armazenamento de dados baseado em magnetismo, sendo um substituto ao HDD i. Nesta situação, é desejado que os skyrmions não sofram aniquilações, evitando perda de informações. Outra aplicação dos skyrmions como portadores de informação é a criação de dispositivos de lógica digital, tal como transistores e portas lógicas. Existem outras aplicações de skyrmions, tal como computação não convencional, onde arranjos de skyrmions são utilizados como portadores de informação, e não skyrmions individuais. No entanto a aplicação de skyrmions em dispositivos spintrônicos tem desafios, um deles é o ângulo de Hall intrínseco dos skyrmions. Em amostras limpas, skyrmions se movem segundo um ângulo, de forma que é inevitável a eventual interação dos skyrmions com bordas da amostra; interação esta que pode aniquilar o skyrmion. Caso não fosse necessária a movimentação do skyrmion, esse movimento não seria observado e portanto a aniquilação não ocorreria, no entanto, em qualquer situação onde o skyrmion age como um portador de informação, a informação deverá ser transportada de um local ao outro no dispositivo, e portanto o controle do movimento do skyrmion é necessário. Assim se torna necessária investigações de como controlar o movimento do skyrmion e garantir sua estabilidade durante o movimento na presença de correntes junto de analises de estabilidade dos skyrmions durante seu movimento. Nas próximas seções serão detalhados os desafios da aplicação de skyrmions em spintrônica, al- gumas soluções propostas, diferentes comportamentos dinâmicos observados, estabilidade e da onde surge o ângulo de movimento dos skyrmions. 1.2 Histórico Os skyrmions foram inicialmente propostos por Tony Skyrme no contexto de física nuclear, com o objetivo de explicar hádrons como defeitos topológicos [4, 5]. Embora este tenha sido o propósito original dos skyrmions, estes objetos topológicos foram observados em diferentes áreas da física, sendo uma delas sistemas magnéticos [6, 7]. Skyrmions magnéticos são objetos topologicamente protegidos, que por conta de seu tamanho (variando entre 0.5 nm e 1.5 µm [8]), e do baixo custo energético comparado com outras texturas magnéticas [1, 3, 9, 10], atrai a atenção da comunidade científica como uma nova maneira de criar i Como o funcionamento de SSDs é através de memórias NAND flash, skyrmions não são substitutos diretos, uma vez que SSDs não funcionam baseados em magnetismo. Capítulo 1. Introdução 16 (a) (b) (c) (d) Figura 1.1 – (a, b) Representação 3D dos skyrmions, (a) mostra um skyrmion do tipo Néel e (b) um do tipo Bloch. (c, d) Projeção dos skyrmions em (a, b) no plano, mostrando a representação 2D dos skyrmions. (c) Mostra um skyrmion Néel e (d) um skyrmion Bloch. As cores representam a componente z dos momentos magnéticos que compõem os skyrmions. Fonte: Elaborado pelo autor. dispositivos spintrônicos. A proteção topológica garante que para destruir skyrmions seja necessária a injeção de energia por fontes externas, normalmente na forma de correntes de spin polarizados ou campos magnéticos, garantindo estabilidade aos skyrmions. Skyrmions podem ser descritos por mo- mentos magnéticos envolvendo a esfera unitária exatamente uma vez, conforme ilustrado na Figura 1.1 (a, b); estes podem ser de dois tipos, Néel como na Figura 1.1 (a, c), ou Bloch como na Figura 1.1 (b, d). O tipo de skyrmion presente num dado material depende dos parâmetros deste material e fortemente da simetria do material. Materiais não centro simétricos, como MnSi e FeGe, apresentam skyrmions do tipo Bloch, enquanto que materiais multicamadas, como Pt/Co/MgO, ou materiais polares, como GaV4S8 [11], estabilizam skyrmions Néel. A primeira descrição teórica de skyrmions magnéticos foi feita por Bogdanov e Hubert [6] em 1994; no entanto a observação de uma rede triangular de skyrmions magnéticos só foi feita em 2009 por Mühlbauer et al. [7]. Utilizando técnicas de espalhamento de nêutrons, Mühlbauer et al. observou a formação de uma rede de skyrmions com simetria triangular, conforme ilustrado na Figura 1.2 (a), no espaço reciproco. Esta fase com simetria triangular foi observada em determinados intervalos de temperatura (T) e campo magnético (B), e foi chamada de A–Phaseii. Na Figura 1.2 (b) está presente o diagrama de fases de MnSi obtido pelos autores. A fase helicoidal (helical) é caracterizada pelos momentos magnéticos rotacionando ao longo da direção normal ao material; essa fase ocorre para baixos campos magnéticos externos e por grandes intervalos de temperatura. Aumentando o campo, a fase cônica (conical) é observada, onde os momentos magnéticos apresentam a componente na direção do campo aplicado fixa com rotações no plano perpendicular ao campo; essa fase ocorre para gran- des intervalos de campo magnético externo e temperatura. Para altos campos magnéticos externos todos os momentos magnéticos alinham na direção do campo, caracterizando a fase saturada (field- polarized). Em regimes de altas temperaturas MnSi se torna paramagnético e os momentos magnéticos ii Atualmente essa fase é chamada de SkX Capítulo 1. Introdução 17 Figura 1.2 – (a) Representação do espaço reciproco da A–phase, obtido utilizando espalhamento de nêutrons, caracterizando a rede triangular de skyrmions em MnSi, com parâmetros T = 26.45 K e B = 0.164 T. (b) Diagrama de fases em função de temperatura e do campo aplicado em MnSi. As fases helicoidais, cônicas, paramagnéticas, ferromagnéticas estão presentes. A nova fase, A-Phase, presente é uma fase onde uma rede triangular de skyrmions é formada na amostra. Fonte: Adaptado de Mühlbauer et al. [7]. não apresentam ordenamento. Uma nova fase foi observada, a A–Phase, onde um arranjo triangular de skyrmions é presente na amostra. Essa fase cobre uma pequena região no diagrama de fases. 1.3 Descrição do Skyrmion Skyrmions magnéticos são projeções estereográficas no plano dos skyrmions 3D presentes na Figura 1.1 (a, b), e segundo Wang et al. [8], a projeção 2D da distribuição de momentos magnéticos que envolvem a esfera unitária é bem descrita por Θ(r) = 2 arctan [ sinh(R/w) sinh(r/w) ] , (1.1) onde r2 = x2 + y2 é a distância de um ponto (x, y) até o centro do skyrmion, R é o raio do skyrmion e w é o tamanho da parede de domínio do skyrmion. Os momentos magnéticos são dados por m = cos Φ sin Θ(r)x̂ + sin Φ sin Θ(r)ŷ + sin Θ(r)ẑ , (1.2) onde Φ = νφ + γ, φ é o ângulo polar, ν a vorticidade e γ uma constante para classificar skyrmions; quando ν = 1 são observados skyrmions, e quando ν = −1 antiskyrmions. Skyrmions do tipo Néel são obtidos com γ = 0, π e do tipo Bloch com γ = ±π/2, conforme ilustrado na Figura 1.3. É possível modificar a Equação 1.1 para incluir um termo k, de forma que ela se torna Θ(r) = 2k arctan [ sinh(R/w) sinh(r/w) ] . (1.3) k tem o efeito de mudar quantas vezes mz varia de −1 → 1 ao longo de r. O comportamento da energia em função de k está presente na Figura 1.4. Um mínimo de energia próximo de k = 1 é presente, correspondendo ao skyrmion. O mínimo em k = 0 corresponde à fase ferromagnética; k é um parâmetro arbitrário introduzido para analisar a estabilidade de kπ–skyrmions (melhor discutidos na seção 1.8). A caracterização de uma textura magnética é feita através da carga topológica Q = 1 4π ∫ ∫ dxdy m · [ ∂m ∂x × ∂m ∂y ] , (1.4) Capítulo 1. Introdução 18 (a) Skyrmion ν = 1 γ = −π/2 (b) Skyrmion ν = 1 γ = π/2 (c) Skyrmion ν = 1 γ = 0 (d) Skyrmion ν = 1 γ = π (e) Antiskyrmion ν = −1 γ = −π/2 (f) Antiskyrmion ν = −1 γ = π/2 (g) Antiskyrmion ν = −1 γ = 0 (h) Antiskyrmion ν = −1 γ = π Figura 1.3 – Diferentes configurações dos skyrmions em função de ν e γ, conforme descrito por Wang et al. [8]. (a-d) mostram skyrmions (e-h) mostram antiskyrmions. (a, b) mostram skyrmions do tipo Bloch, e (e, f) os correspondentes antiskyrmions do tipo Bloch. (c, d) mostram skyrmions do tipo Néel, e (g, h) os correspondentes antiskyrmions do tipo Néel. Fonte: Elaborado pelo autor. 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 k E Figura 1.4 – Comportamento da energia em função de k, segundo a Equação 1.3. Um mínimo de energia próximo de k = 1 é presente, correspondendo ao skyrmion. A energia foi calculada usando a Equação 2.2. Fonte: Elaborado pelo autor. que é uma grandeza que mede quantas vezes m envolve a esfera unitária. Skyrmions apresentam carga topológica quantizada, Q = ±1, com o sinal da carga ditado pela direção de mz no núcleo do skyrmion; quando mz = ±1 no núcleo, a carga será Q = ±1. Skyrmions são formados principalmente pela competição de duas interações magnéticas, a inte- ração de troca e a interação de Dzyaloshinskii-Moriya (DM) (também chamada de interação de troca assimétrica) [12]. A interação de troca favorece momentos magnéticos colineares, enquanto que a in- teração de DM favorece momentos magnéticos não colineares. Essa competição entre colinearidade e não colinearidade criam mínimos de energia onde diferentes texturas magnéticas são formadas. As diferentes interações magnéticas presentes nos sistemas são discutidas nas próximas seções. 1.4 Estabilidade e Comportamento Dinâmico de Skyrmions O comportamento de skyrmions já foi investigado extensivamente nos últimos anos, uma vez que para poderem ser utilizados em dispositivos spintrônicos, é necessário ter controle dos skyrmions. Yu et al. [13] observou a formação de uma rede de skyrmions em um filme fino de Fe0.5Co0.5Si em diferentes valores de campo externo e temperatura. O diagrama de fases obtido, presente na Figura 1.5 Capítulo 1. Introdução 19 Figura 1.5 – (a, c) Texturas magnéticas obtidas em diferentes campos magnéticos externos através de microscopia de transmissão de Lorentz (LTEM), (d) diagrama de fases como função do campo externo B e da temperatura T, de uma amostra de filme fino de Fe0.5Co0.5Si. Em (a) uma fase mista de stripes e skyrmions é presente, (b) mostra um cristal de skyrmions (SkX), e (c) mostra uma fase mista de estado ferromagnético e SkX, onde por conta do alto campo magnético skyrmions são aniquilados deixando a amostra mais ferromagnética. Fonte: Yu et al. [13]. (c), compartilha semelhanças com o diagrama de fases obtido por Mühlbauer et al. [7], presente na Figura 1.2 (a); a fase helicoidal em regimes de baixos campos, a fase SkX para campos intermediários e a fase ferromagnética para campos altos. A fase cônica não é vista no trabalho feito por Yu et al. por se tratar de um filme fino. Yu et al. também realizou investigações numéricas utilizando técnicas de Monte-Carlo, e os resultados obtidos são semelhantes aos resultados obtidos experimentalmente. No caso do filme fino de Fe0.5Co0.5Si são estabilizados skyrmions Bloch. Iwasaki et al. [1] investigou a dinâmica de skyrmions interagindo com defeitos de PMA aleatórios distribuídos pela amostra utilizando o modelo atomístico. Neste trabalho foi mostrado que o movi- mento dos skyrmions não é fortemente afetado por defeitos de PMA; oposto do que ocorre no estado helicoidal, onde os defeitos de PMA afetam fortemente a dinâmica. O autor argumenta que este com- portamento é consequência da habilidade dos skyrmions deformarem e se adaptarem ao defeito. É possível ver a deformação de alguns skyrmions interagindo com os defeitos na Figura 1.6. Iwasaki et al. [14] também investigou a dinâmica, criação e aniquilação de skyrmions em uma geometria com um buraco e condições de contorno abertas. Neste trabalho foi constatado que a introdução de um buraco na amostra, em conjunto com a aplicação de correntes, pode induzir a criação de skyrmions. Além disso, foi mostrado que quando o skyrmion interage com as paredes da amostra pode ocorrer a aniquilação do skyrmion. Na Figura 1.7 está presente a taxa de criação de skyrmions no sistema investigado. Tolley et al. [15] realizou a investigação da criação e do controle de movimento de skyrmions no material multicamada Pt/Co/Os através da aplicação de correntes de spin polarizados em tempera- tura ambiente T = 300 K. Tolley et al. observou a formação de stripes em regimes de baixos campos magnéticos externos, redes mistas de skyrmions e stripes para campos de ordem de H = 0.5 Oe, e redes de skyrmions para campos na ordem de H = 1 Oe; no entanto a rede de skyrmions não apresentou simetria triangular como consequência dos efeitos térmicos. Aplicando correntes de spins polarizados, Capítulo 1. Introdução 20 Figura 1.6 – Movimento de uma rede de skyrmions interagindo com um arranjo de defeitos aleatórios. (a) t = 13 ns (b) t = 26 ns (c) t = 48.7 ns. (e) Zoom na região indicada em (b) mostrando a distorção dos skyrmions quando interagindo com os defeitos. Os insets mostram o espaço recíproco naquele instante de tempo. Fonte: Adaptado de Iwasaki et al. [1]. Figura 1.7 – Mapa de calor de campo versus corrente onde as cores representam o número de skyrmions criados por segundo em decorrência do buraco na amostra de Iwasaki et al. [14]. Fonte: Adaptado de Iwasaki et al. [14]. Tolley et al. observou o movimento de skyrmions induzido pela corrente, conforme mostrado na Fi- gura 1.8. O movimento dos skyrmions observado na Figura 1.8 ocorre majoritariamente na direção da corrente, mas com componentes na direção perpendicular a corrente, mostrando o ângulo de Hall do skyrmion. Ainda na Figura 1.8 é possível observar a criação de skyrmions como consequência da ação de corrente. Tolley et al. ainda observou que a dependência da velocidade do skyrmion com a corrente é linear, com valores críticos para início do movimento na ordem de 108 A m−2. Adicionando uma camada de Pt ao material investigado por Tolley et al. [15], Brock et al. [16] in- vestigou a criação de skyrmions induzida por corrente no material multicamada Pt/Co/Os/Pt. Brock et al. observou que após a aplicação de correntes de spins polarizados, foram criados skyrmions na amostra. A criação de skyrmions através de correntes, sem a presença de um defeito para que sejam criadas as paredes de domínio dos skyrmions (conforme observado por Iwasaki et al. [14] e Tolley et al. [15]) indica que correntes fazem mais do que apenas mover os skyrmions, podendo alterar a estrutura Capítulo 1. Introdução 21 Figura 1.8 – Morfologia de domínios mostrando o movimento e criação de skyrmions em Pt/Co/Os em temperatura ambiente na presença de um campo magnético externo H = −0.9 Oe na direção z e corrente de spins polarizados na direção y. A corrente aplicada foi de 1 × 1010 A m−2. Fonte: Adaptado de Tolley et al. [15]. Figura 1.9 – Imagens obtidas através de efeito Kerr magnetoóptico (magneto-optic Kerr effect - MOKE) de amostras de Pt/Co/Os/Pt. (a, b) logo antes de aplicação de correntes de spins polarizados (c, d) 10 s após a aplicação da corrente. Fonte: Adaptado de Brock et al. [16]. interna dos skyrmions. De fato, Brock et al. observou que durante a aplicação de corrente, alguns skyrmions se tornam alongados, formando stripes isoladas. Um resultado interessante observado por Brock et al. é de que após a corrente ser desligada, mais skyrmions surgem na amostra. Brock et al. atribuiu este efeito ao colapso das stripes isoladas, formadas durante a aplicação da corrente, em skyr- mions. Brock et al. também observou que a taxa de criação de skyrmions apresenta comportamento não monotônico com o campo magnético externo aplicado. Figura 1.10 – Curvas de velocidade versus corrente para o modelo de partículas (linhas solidas) e o modelo micromagnético (pontos) sob ação de correntes. O inset mostra o mesmo gráfico em escala logarítmica. Fonte: Lin et al. [17]. Em meados de 2013, época em que começaram a ser simulados skyrmions, não existiam recursos Capítulo 1. Introdução 22 computacionais poderosos suficientes para simular amostras inteiras. Foi necessária a criação de um modelo mais simples para simular a dinâmica de skyrmions. Em 2013 Lin et al. [17] propôs o modelo de partículas para simular o comportamento dinâmico de skyrmions. O modelo assume skyrmions rígidos e baixas densidades de correntes; nestes regimes o modelo de partículas converge com mo- delos mais complexos, conforme ilustrado na Figura 1.10. O modelo de partículas para skyrmions foi intensivamente utilizado para investigação da dinâmica de skyrmions em diferentes arranjos de defeitos. Figura 1.11 – Diagrama de fases de skyrmions se movendo por uma rede aleatória de defeitos usando o modelo de partículas como função da força dos defeitos Fp e da força de corrente FD . As fases PC (Pinned Crystal), PG (Pinned Glass), ML (Moving Liquid) e MC (Moving Crystal) foram observadas. Os insets mostram o espaço recíproco da rede de skyrmions nas fases MC e ML. Fonte: Reichhardt et al. [18]. Um dos arranjos de defeito estudado foi o de um arranjo aleatório de defeitos, feito por Reichhardt et al. [18]. Neste trabalho foram caracterizadas quatro fases diferentes, cristal aprisionado (PC) em que os skyrmions não se movem e mantém o formato de uma rede triangular, vidro aprisionado (PG) em que os skyrmions não se movem e formam redes amorfas, cristal móvel (MC) onde uma rede triangular de skyrmions se move sem sentir fortemente os defeitos, de maneira similar aos resultados observados por Iwasaki et al. [1], e líquido móvel (ML) onde o movimento dos skyrmions lembra o movimento das moléculas de um líquido. As fases estão presentes na Figura 1.11. Ainda neste trabalho foi proposto que o motivo para os skyrmions apresentarem correntes tão baixas para darem início ao movimento é a presença da força de Magnus. A força de Magnus faz com que skyrmions sejam mais fracamente aprisionados [19]. Woo et al. [20] fez a investigação da criação e dinâmica de skyrmions em duas amostras, uma amostra de Pt/Co/Ta, e outra de Pt/CoFeB/MgO. Nas duas amostras skyrmions foram criados através de pulsos bipolares de corrente; inicialmente as amostras apresentam texturas magnéticas de stripes, e sob a aplicação de pulsos positivos e negativos de corrente sequenciais, foram criadas redes de skyrmions. Após criados, a dinâmica dos skyrmions foi investigada quando pulsos de corrente foram aplicados; aqui não foram utilizados pulsos bipolares, somente pulsos com apenas uma polarização. Woo et al. reportou que em amostras de Pt/CoFeB/MgO é possível mover skyrmions com velocidades superiores à 100 m s−1, conforme ilustrado na Figura 1.12 (c). Também é observado que a velocidade dos skyrmions aumenta aproximadamente linear com a corrente aplicada. As altas velocidades obtidas por Woo et al. são desejadas para aplicações de skyrmions em spintrônica, criando dispositivos mais rápidos. Os resultados de Woo et al. mostram que através de engenharia de materiais é possível modificar a velocidade dos skyrmions. Utilizando defeitos de PMA controlados por voltagens Zhao et al. [21] propôs um dispositivo do tipo Capítulo 1. Introdução 23 Figura 1.12 – (a) Esquema mostrando onde pulsos de corrente são gerados, a direção do campo magnético e onde os skyrmions se movem na amostra. (b) Sequência de imagens obtidas através de STXM mostrando o movimento de skyrmions sob aplicação de pulsos de corrente em amostras de Pt/Co/Ta com uma densidade de corrente de 2.2 × 1011 A m−2; os pulsos foram aplicados na direção +x e na direção −x. (c) curvas de velocidade versus densidade de corrente para amostras de Pt/Co/Ta (símbolos cheios) e Pt/CoFeB/MgO (símbolos vazios). Fonte: Woo et al. [20]. diodo utilizando skyrmions. O dispositivo é criado adicionando um defeito assimetrico na amostra, a assimetria do defeito faz com que surjam direções de movimento facilitado e de movimento dificultado. Outros trabalhos investigando o efeito diodo em skyrmions foram realizados [21–28]. A outra face do efeito diodo é o efeito ratchet. Em sistemas onde o efeito diodo é observado, usualmente o efeito ratchet também será observado. Enquanto o efeito diodo é realizado utilizando correntes contínuas, o efeito ratchet utiliza correntes alternadas. Em sistemas com efeito ratchet, um movimento líquido é observado, mesmo com a aplicação de correntes alternadas. Göbel e Mertig [29] observaram o efeito rachet utilizando uma combinação de correntes alternadas com um arranjo periódico de defeitos, conforme ilustrado na Figura 1.14. Efeitos ratchet são maneiras de controlar o movimento do skyrmion, característica desejada para aplicação de skyrmions em dispositivos spintrô- nicos. Ainda neste trabalho, Göbel e Mertig [29] utilizaram um toy model para investigar as diferenças entre o efeito ratchet observado e o efeito ratchet clássico. Foi observado que durante o ciclo negativo de corrente alternada, partículas clássicas ficam aprisionadas nos potenciais, enquanto skyrmions, em decorrência da força de Magnus, apresentam movimento. Outros trabalhos investigando efeitos ratchet foram realizados [29–38] buscando por diferentes maneiras de controlar o movimento dos skyrmions. Zhang et al. [39] propôs portas lógicas usando skyrmions. O design e funcionamento da porta lógica OR está presente na Figura 1.15. Neste trabalho Zhang et al. mostrou que é possível construir as portas lógicas OR e AND utilizando skyrmions. Infelizmente as portas lógicas OR e AND não são suficientes para criar qualquer dispositivo lógico; para isso a porta lógica NOT é necessária, sendo usada para criar portas lógicas NAND e NOR, estas que podem ser utilizadas para criar qualquer outra porta lógica. Embora não seja possível construir qualquer porta lógica usando apenas OR e AND, a possibilidade de construir estas portas lógicas age como uma prova de conceito de que é possível construir diferentes dispositivos lógicos utilizando apenas dinâmica, duplicação e aniquilação de skyrmions. Utilizando filmes finos de Pt/Co/MgO, Juge et al. [40] investigou o comportamento dinâmico de skyrmions e como o ângulo de Hall de skyrmions pode depender da corrente aplicada. Um dos re- sultados apresentados por Juge et al. está presente na Figura 1.16. Embora a direção do movimento do skyrmion mude com a direção da corrente aplicada, o ângulo entre a corrente e a velocidade do skyrmion permanece o mesmo, conforme mostrado na Figura 1.16 (a-c) onde o sentido da corrente aplicada é invertido. Na Figura 1.16 (d, e) estão presentes as curvas de velocidade e ângulo de Hall Capítulo 1. Introdução 24 Figura 1.13 – Dispositivo diodo proposto por Zhao et al. (a) Esquema da amostra de CoPt (rosa) e do defeito de PMA (vermelho). (b) Movimento do skyrmions na direção facilitada +x e dificultada −x. (c) Fotos do movimento do skyrmion em diferentes tempos de simulação, mostrando o efeito diodo. (d) Região de funcionamento do dispositivo em função da altura da parede w e da espessura l. Fonte: Zhao et al. [21]. em função da corrente, com dados experimentais e teóricos obtidos através de aproximações de Thiele, semelhante ao realizado por Iwasaki et al. [1]. Tanto a curva de velocidade quanto a curva de ângulo de Hall apresentam divergências entre os resultados obtidos experimentalmente e teoricamente. Na curva de velocidade o valor crítico de corrente onde os skyrmions iniciam o movimento não está de acordo entre experimento e teoria; o coeficiente angular das curvas teóricas e experimentais são levemente diferentes. Na curva do ângulo de Hall o modelo teórico prevê que o ângulo de Hall do skyrmion é constante, enquanto que os dados experimentais mostram que o ângulo de Hall varia com a corrente. Com o objetivo de explicar as divergências Juge et al. realizou simulações utilizando modelos micro- magnéticos de amostras com defeitos e sem defeitos. Os resultados obtidos nas simulações indicam que a divergência observada entre o modelo de aproximações de Thiele e os dados experimentais está na presença de defeitos na amostra. As simulações micromagnéticas apresentam curvas de velocidade e ângulo de Hall semelhantes às obtidas experimentalmente. Juge et al. mostrou, através deste trabalho, que o ângulo de Hall do skyrmion pode apresentar variações na presença de defeitos na amostra. O controle e estabilidade dos skyrmions são o foco de diversos estudos. Aqui foram apresentados alguns dos estudos onde o controle do movimento e a estabilidade foram investigados. O controle do movimento dos skyrmions é essencial para aplicações em dispositivos spintrônicos. Alguns dos méto- dos que já foram explorados para buscar maneiras de controlar o movimento dos skyrmions incluem arranjos periódicos de defeitos [41–51], efeitos ratchet [29, 31–35], movimento guiado por interfaces [49, 52, 53], gradientes de temperatura ou propriedades magnéticas [54–57] poços de potencial [58], curvatura da amostra [59–61], acoplamento skyrmion-vortice [62], entre outros [63–70]. A investigação dos skyrmions em diferentes sistemas evidenciou que a dinâmica dos skyrmions Capítulo 1. Introdução 25 Figura 1.14 – (a) Movimento do skyrmion interagindo com os defeitos (região cinza) sob ação de correntes alternadas. (b) Gráfico de posição versus tempo; a posição x do skyrmion aumenta indefinidamente. (c) Gráfico de vx versus x − vxt mostrando o movimento quase periódico do skyrmion. Fonte: Göbel e Mertig [29]. Figura 1.15 – Porta lógica OR proposta por Zhang et al. Fonte: Zhang et al. [39]. é bem parecida com o comportamento de outras partículas sobre amortecidas, como vórtices super- condutores [71]. No entanto, conforme mencionado anteriormente, os skyrmions se movem com um ângulo em relação à força de arraste aplicada como consequência da força de Magnus. Esse ângulo depende do tipo de corrente [43], assim como da carga topológica [14, 17, 72–76]. Em sistemas de skyrmioniums, onde a carga topológica é zero, o movimento ocorre sem esse ângulo e sem força de Magnus [77]. Durante a dedução do modelo de partículas, termos da força de Magnus surgiram na equação de movimento [17], onde uma força proporcional à velocidade, mas com direção perpendi- cular, é presente, ẑ × v. Essa força torna a dinâmica de skyrmions rica, de forma que alguns efeitos observados são exclusivos de sistemas onde a força de Magnus é presente. As investigações dos diferentes tipos de dinâmica dos skyrmions possibilitaram a aplicação de skyrmions em diferentes áreas, assim como a criação de diferentes dispositivos utilizando skyrmions, como portas lógicas magnéticas [28, 39, 78], diodos [21–28], transistores [79, 80], análogos a circuitos RC [81], inteligencia artificial [82] e computação neuromórfica [83–85]. Capítulo 1. Introdução 26 Figura 1.16 – (a-c) Sequência de imagens obtidas através de XMCD-PEEM mostrando o movimento do skyrmion depois da aplicação de um pulso de corrente de 8 ns. Em (b) a corrente aplicada é na direção +y, e o skyrmion apresenta mo- vimento diagonal superior; (c) mostra o oposto, corrente na direção −y com o skyrmion apresentando movimento diagonal inferior. O ângulo de Hall é indicado pelas setas verdes e definido como o ângulo entre a velocidade do skyrmion e a corrente aplicada. (d) curva de velocidade versus corrente aplicada no material Pt/Co/MgO. As li- nhas são obtidas utilizando aproximações Thiele. (e) curva do ângulo de Hall versus corrente aplicada; novamente as linhas são obtidas utilizando aproximações de Thiele. Fonte: Juge et al. [40]. 1.5 Interações Magnéticas 1.5.1 Interação de Troca A interação de troca é consequência de se utilizar estados antissimétricos em sistemas de férmions idênticos. Uma derivação simplificada da origem da interação de troca pode ser obtida considerando um Hamiltoniano de dois elétrons interagentes H(r1, r2) = H1(r1) +H2(r2) + V(r12) , (1.5) Capítulo 1. Introdução 27 onde ri é a posição do i-ésimo elétron e r12 é a distância entre os dois elétrons. Aqui Hi(ri) representa o i-ésimo Hamiltoniano que depende somente da posição do i-ésimo elétron. O potencial de interação V(x) = −e2/x é o potencial Coulombiano; é assumida que esta interação é fraca o suficiente para que possa ser tratada por teoria de pertubações [86]. Como o Hamiltoniano presente na Equação 1.5 é escrito como a soma dos Hamiltonianos individuais de cada elétron, é possível escrever um autoestado de H como um produto de autoestados de H1 e H2, |1 : n, k; 2 : n′, k′〉 = |1 : n, k〉 |2 : n′, k′〉, onde n é um número quântico da solução do Hamiltoniano, H |1 : n, k; 2 : n′, k′〉 = (En + E′ n) |1 : n, k; 2 : n′, k′〉, e k um índice de degenerescência; assumiremos que n e n′ são estados sem degenerescência. Para simplificar a notação |1 : n; 2 : n′〉 = |nn′〉 deixando implícito qual n de cada elétron. Como estamos tratando de elétrons, o estado que descreve o sistema deve ser antissimétrico. Dessa forma, levando em conta os spins dos elétrons, temos quatro possibilidades para construir cada estado (i) ambos spins para cima associados com estados n e n′; (ii) spin para cima associado com estado n e spin para baixo associado com n′; (iii) spin para baixo associado com estado n e spin para cima associado com n′; e (iv) ambos spins para baixo associados com estados n e n′, formando os seguintes estados antissimétricos: |ψ1〉 = 1√ 2 (∣∣nn′; ↑↑ 〉 − ∣∣n′n; ↑↑ 〉) (1.6) |ψ2〉 = 1√ 2 (∣∣nn′; ↑↓ 〉 − ∣∣n′n; ↓↑ 〉) (1.7) |ψ3〉 = 1√ 2 (∣∣nn′; ↓↑ 〉 − ∣∣n′n; ↑↓ 〉) (1.8) |ψ4〉 = 1√ 2 (∣∣nn′; ↓↓ 〉 − ∣∣n′n; ↓↓ 〉) (1.9) Esses quatro estados constituem uma base ortonormal, e portanto podem ser utilizados para cons- truir um novo Hamiltoniano. Utilizando a Equação 1.5 Hex =  En + En′ + Snn′ −Jnn′ 0 0 0 0 En + En′ + Snn′ −Jnn′ 0 0 −Jnn′ En + En′ + Snn′ 0 0 0 0 En + En′ + Snn′ −Jnn′  , (1.10) onde Snn′ = 〈nn′| V(r12)| nn′〉 e Jnn′ = 〈nn′| V(r12)| n′n〉. Diagonalizando Hex são encontrados dois níveis de energia, Es =En + En′ + Snn′ + Jnn′ (1.11) Et =En + En′ + Snn′ −Jnn′ , (1.12) onde é obtido um singleto de energia Es, correspondendo ao estado |φ1〉 = (1/ √ 2) (|ψ2〉 − |ψ3〉), e um tripleto de energia Et, correspondendo aos estados |ψ1〉, |ψ4〉 e |φ2〉 = (1/ √ 2) (|ψ2〉+ |ψ3〉). iii O novo Hamiltoniano Hex compartilha semelhanças com o operador de spin ao quadrado total S2 = (h̄2/4)(6 + 2σ1 · σ2), em que σi = σx i x̂ + σ y i ŷ + σz i ẑ, que possui representação matricial dada por [87] S2 = h̄2  2 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2  , (1.13) iii Estes não são os estados singleto e tripleto originários da adição dos spins de cada elétron. Os estados singleto e tripleto originários da adição dos spins foram utilizados na construção da base {|ψ〉} com o objetivo de garantir antisimetria dos estados |ψ〉. Capítulo 1. Introdução 28 de forma que é possível reescrever Hex adaptando a expressão de S2. Sabendo que os termos fora da diagonal principal são resultantes de σ1 ·σ2, a expressão para Hex em termos dos spins de cada elétron é Hn = Es + 3Et 4 − Es − Et 4 σ1 · σ2 (1.14) ou, redefinindo o nível zero de energia e chamando J = (Es − Et)/4 Hex = −Jσ1 · σ2 (1.15) que agora recebe uma face mais familiar: a interação de troca de Heinsenberg. A interação de troca, portanto, é uma consequência da antisimetria dos estados do sistema e da presença de um potencial eletrostático entre os elétrons. Na ausência de V(r12), o valor de J seria nulo, não existindo portanto interação de troca. A dedução aqui apresentada é simplificada; para a dedução completa veja White [86]. 1.5.2 Interação de Dzyaloshinskii-Moriya A interação de Dzyaloshinskii-Moriya (DM) surge quando há quebra de inversão de simetria no sis- tema; condição esta imposta pelas regras de Moriya [88]. Ainda no artigo de Moriya, a expressão do Hamiltoniano da interação de DM é dada, HDM = −Dij · [ mi × mj ] , (1.16) onde Dij é o vetor de DM, com direção e sentido determinados pelas regras de Moriya, e mi o momento magnético do i-ésimo átomo. Figura 1.17 – Figura com diferentes tipos de interação de DM. (a) a descrição de uma matriz de DM, usada para generalizar a interação de DM, de forma a incluir termos anisotrópicos de DM. Nos casos de interação de DM que geram skyrmions do tipo Bloch e Néel, as matrizes podem ser reduzidas aos vetores D; aqui estão presentes as orienta- ções de D com relação aos dois sítios atômicos interagentes. (b) os tipos mais comuns de interação de DM e as respectivas texturas geradas por este tipo de interação. (c) representação dos diferentes tipos de interação de DM correspondentes aos diferentes tipos de materiais não centro simétricos. Fonte: Adaptado de Niu et al. [89]. No caso de materiais multicamadas, com uma camada de um metal pesado e uma camada de material ferromagnético, o vetor de DM aponta na direção da interface, ou seja, perpendicular ao plano que os átomos da camada de FM estão dispostos, Dij = Dij r̂ij × ẑ, em que Dij é o valor da interação de DM, r̂ij é o vetor distância unitário entre os átomos i e j e ẑ é o vetor normal à interface. Esquemas mostrando a interação de DM do tipo interfacial em um material multicamadas estão presente nas Figuras 1.17 e 1.18. Neste caso a interação de DM é chamada de interfacial e os skyrmions que esse tipo de DM estabilizam são skyrmions Néel. Em materiais não centro simétricos, como MnSi, o vetor de DM aponta na direção do vetor que une dois átomos, Dij = Dij r̂ij. Nesse caso skyrmions do tipo Bloch estão presentes. Um esquema mostrando os vetores D para o caso de DM em materiais não centro simétricos está presente na Figura 1.17. Capítulo 1. Introdução 29 Figura 1.18 – Esquema mostrando os spins Si e Sj do material FM, junto do vetor de DM D. O tipo de interação de DM observada nesta situação é chamada de DM interfacial. Fonte: Kuepferling et al. [90]. Pelo Hamiltoniano na Equação 1.16, a interação de DM favorece momentos magnéticos não coline- ares, uma vez que o Hamiltoniano depende do produto vetorial entre os dois momentos magnéticos. 1.5.3 Interação Zeeman Com o avanço da mecânica quântica e a solução analítica do átomo de Hidrogênio, as linhas espectrais observadas em diferentes átomos durante emissões pôde ser explicada. No entanto, um fenômeno ainda não tinha sido explicado; sob aplicação de um campo magnético, as linhas espectrais se des- dobravam, conforme ilustrado esquematicamente na Figura 1.19. Em 1897, Zeeman [91] propõe uma explicação para tal fenômeno. Zeeman normal Zeeman anômalo Sem campo Com campo Figura 1.19 – Esquemáticos mostrando o desdobramento dos níveis de energia, e consequentemente o desdobramento das linhas espectrais, na presença de campos magnéticos. No caso do Zeeman normal, as transições são de estados singletos para estados singletos; no caso anômalo são de estados dupletos para estados dupletos. Isso é evidenciado pelo número impar de desdobramentos no caso do Zeeman normal, enquanto que o Zeeman anômalo apresenta número par de desdobramentos. Fonte: Elaborado pelo autor. É possível mostrar que na presença de um campo magnético externo o Hamiltoniano tem um termo a mais de energia dado por HZee = −µmi · H . (1.17) Aqui ficam implícitas as contribuições orbitais e de spin no momento magnético µ. Capítulo 1. Introdução 30 1.5.4 Anisotropia Magnética Perpendicular (PMA) A origem da palavra anisotropia tem relação com a diferença de comportamentos em diferentes dire- ções. No caso da anisotropia magnética, a magnetização do material apresenta direções preferenciais de alinhamento. Um tipo de material que tipicamente apresenta comportamentos anisotrópicos são cristais. Cristais apresentam ordenamento em altas distâncias, de forma que é esperado que esse or- denamento influencie nas propriedades do material de acordo com a simetria da rede cristalina. O exemplo mais comum de propriedade anisotrópica é a birrefringência, primeiramente descrita por Bartholin em 1669 [92] utilizando cristais de calcita. No caso da birrefringência, por consequência da rede cristalina do material, ondas eletromagnéticas que penetram o material sofrem efeitos de refração de maneira anisotrópica. Os materiais magnéticos mais comumente utilizados para investigação de skyrmions são cristais, uma vez que para a estabilização de skyrmions é necessária a presença de simetrias, tornando D não nulo segundo as regras de Moriya iv. A rede cristalina de um material magnético pode gerar anisotropias, criando direções preferencais para m. Como a anisotropia emerge como consequência da simetria da rede cristalina, ela recebe o nome de anisotropia magnetocristalina [99]. No caso de Fe, conforme ilustrado na Figura 1.20, a direção preferencial de m é a 〈100〉; assim para modelar um material magnético cristalino é necessária a inclusão de um termo referente à direção preferencial. No caso da anisotropia magnetocristalina, a sua origem vêm do acoplamento spin-órbita e do acoplamento órbita-rede [99]. Quando a anisotropia tem apenas um eixo preferencial, ela é chamada de anisotropia uniaxial; esta é a anisotropia que utilizamos neste trabalho. Figura 1.20 – Curva da magnetização M em função do campo externo H para um cristal de Fe. No caso de Fe a direção 〈100〉 é preferencial, enquanto que a direção 〈111〉 é evitada pela magnetização. Fonte: Adaptado de Cullity [99]. Neste trabalho focaremos em anisotropias com direção perpendicular ao material modelado, co- nhecida como anisotropia magnética perpendicular, ou PMA. Esse tipo de anisotropia é o comumente utilizado para modelar defeitos e filmes finos de materiais magnéticos. A escolha é baseada no fato de que esse tipo de anisotropia pode ser induzido por diferenças de potenciais [100] e lasers [101]. É possível mostrar que a anisotropia magnetocristalina depende dos ângulos entre m e os eixos do cristal iv É possível estabilizar skyrmions sem interações de DM [93–98], usando outras interações, como a interação de desmagneti- zação. Outras maneiras de estabilizar skyrmions não foram exploradas neste trabalho. Capítulo 1. Introdução 31 [99]. De maneira geral, a anisotropia uniaxial pode ser descrita por Hani = −K ( mi · d̂ )2 , (1.18) onde K é a constante de anisotropia e d̂ a direção da anisotropia. Se K > 0 a anisotropia é dita de eixo fácil; se K < 0 a anisotropia é de plano fácil. Em todos os sistemas estudados neste trabalho d̂ = ẑ é fixo. Uma representação gráfica do Hamiltoniano da PMA está presente na Figura 1.21. Figura 1.21 – Visualização do Hamiltoniano da PMA. (m · d̂)2 é representado pela cor. A construção desse objeto 3D é feita em coordenadas esféricas, com 0 ≤ φ ≤ 2π , 0 ≤ θ ≤ π, e ρ dado por ρ = (m · d̂)2 = cos2 θ. Fonte: Elaborado pelo autor. 1.6 Magnetização e Torques por Correntes Os momentos magnéticos são o foco do modelo utilizado, uma vez o modelo simula os momentos magnéticos atômicos individuais. Partindo de primeiros princípios podemos determinar a evolução temporal que o momento magnético de um átomo executa na presença de um campo magnético. Partindo da energia potencial de um momento magnético, descrito por M = γL, onde γ é o fator giromagnético do elétron, e L o momento angular do elétron, interagindo com um campo magnético externo [102], W = −γL · H = −γLz H0 , (1.19) onde foi assumido que o campo magnético externo H = H0ẑ define o eixo z. É possível determinar uma constante ω0 = −γH0 que tem unidades de frequência. O análogo quântico é obtido fazendo Lz → Sz, onde Sz é o operador de spin na direção z com autoestados Sz |±〉 = ±h̄/2 |±〉, e o Hamiltoniano é portanto H = ω0Sz , (1.20) com autoestados de energia H |±〉 = ±ω0(h̄/2) |±〉. Sabendo os autoestados do Hamiltoniano, podemos determinar a evolução temporal de um estado arbitrário inicial |ψ(0)〉 trivialmente, uma vez que estamos trabalhando na base do Hamiltoniano. Utilizando um estado inicial descrito por um ângulo polar ϕ e um ângulo azimutal θ, que descrevem um estado de spin conforme ilustrado na Figura 1.22, |ψ(0)〉 = cos θ 2 e−i ϕ 2 |+〉+ sin θ 2 ei ϕ 2 |−〉 , (1.21) Capítulo 1. Introdução 32 y z x |ψ(0)〉 ϕ θ Figura 1.22 – Representação do estado inicial |ψ(0)〉 utilizado para determinar a evolução temporal na presença de um campo magnético externo. O campo magnético é paralelo à z. Fonte: Elaborado pelo autor. a evolução temporal deste estado, |ψ(t)〉 = e−iH t h |ψ(0)〉 é obtida, |ψ(t)〉 = cos θ 2 e− i 2 (ϕ+ω0t) |+〉+ sin θ 2 e i 2 (ϕ+ω0t) |−〉 . (1.22) Se φ(t) = ϕ + ω0t, a Equação 1.22 pode ser rearranjada de forma a ficar igual à Equação 1.21 fazendo ϕ → φ. Esses dois fatos combinados mostram que o efeito de um campo magnético num estado inicial arbitrário é de precessionar o estado inicial em torno do campo magnético, com frequência ω0 = −γH0. O movimento de precessão é conhecido como precessão de Larmor [102, 103]. O mesmo comportamento é obtido calculando o valor médio dos operadores 〈ψ(t)| Sx| ψ(t)〉 = cos (ϕ + ω0t) sin θ (1.23)〈 ψ(t) ∣∣ Sy ∣∣ ψ(t) 〉 = sin (ϕ + ω0t) sin θ (1.24) 〈ψ(t)| Sz| ψ(t)〉 = cos θ . (1.25) Embora tenhamos apresentado a precessão utilizando somente a expressão que descreve o estado |ψ(t)〉, a forma mais familiar desta precessão aparece utilizando o teorema de Ehrenfest [102] d〈Si〉 dt = 1 ih̄ 〈[Si,H]〉+ 〈 dSi dt 〉 , (1.26) onde a expressão d〈S〉 dt = −γ〈S〉 × H (1.27) é obtida. O primeiro a descrever a evolução temporal de momentos magnéticos foi Bloch [104] em 1946. Essa expressão evidencia o movimento de precessão em torno de H. A expressão diz respeito à evolu- ção temporal do valor médio de S, condição necessária por decorrência do tratamento quântico, uma vez que os operadores de spin não comutam entre si, de forma que uma medida em qualquer compo- nente afeta outras componentes, impossibilitando descrever a evolução temporal de cada componente e no lugar descrevendo a evolução temporal da média de cada componente. No limite semiclássico, onde S é um vetor clássico, essa condição de descrever apenas o valor médio não é necessária, nos possibilitando descrever a evolução temporal de cada componente de S individualmente. Embora o Capítulo 1. Introdução 33 processo realizado para obter a precessão utilize o operador de spin, os resultados são válidos para o momento magnético m, uma vez que este interage com o campo magnético externo da mesma maneira. A precessão em torno de um campo magnético externo descrita anteriormente, embora derivada de primeiros princípios, não é completa. Em situações reais, o momento magnético de um átomo dissipa energia conforme precessiona em torno do campo magnético, e eventualmente m ‖ H. A inclusão de um termo dissipativo foi feita por Landau e Lifshitz [105], modificando a equação da evolução temporal para dm dt = −γm × Heff + γλm × ( m × Heff ) , (1.28) onde λ é uma constante de amortecimento introduzida por Landau e Lifshitz e Heff é o campo mag- nético efetivo, que inclui o campo magnético externo e as contribuições das interações magnéticas descritas anteriormente. O termo de amortecimento foi introduzido fenomenologicamente. Posteriormente Gilbert modificou o termo de amortecimento para um termo proporcional à deri- vada temporal de m [106]. Embora Landau e Lifshitz tenham adicionado um termo dissipativo na precessão do momento mangético m, a expressão falha em descrever a evolução da magnetização de materiais onde o amortecimento é intenso [107]; o termo adicionado por Gilbert descreve corretamente esse tipo de material [106]. Com o objetivo de descrever como correntes agem na evolução temporal de m, Slonczewski adicionou termos referentes à contribuição de efeitos de transferência de torque realizado pelos elétrons de condução [108]. A evolução temporal dos nossos sistemas é feita através da equação de Landau-Lifshitz-Gilbert- Slonczewski (LLGS) dada por [12] dmi dt = −γmi × Heff i + αmi × dmi dt + τfield−like + τdamping−like , (1.29) onde γ = 1.76 × 1011 T−1 s−1 é o fator giromagnético do elétron, Heff i o campo magnético efetivo que o i-ésimo momento magnético sente, α é a constante de amortecimento introduzido fenomeno- logicamente por Gilbert, e τ são os termos de torque induzidos por correntes de spins polarizados, introduzidos por Slonczewski [108]. Estes torques podem ser do tipo field-like, onde são da forma τfield−like = aJ βmi × p com p sendo um termo de direção, associado com a direção da corrente; ou do tipo damping-like, onde os termos tem a forma τdamping−like = aJmi × p × mi. A constante aJ é uma constante de proporcionalidade, e a constante β é determinada pelo material sendo modelado. É possível obter a equação de Landau-Lifshitz (LL) partindo da equação de LLGS. Sabendo que m2 = 1, e derivando em relação ao tempo m2 = 1 =⇒ dm dt · m = 0 . (1.30) Usando este resultado na equação de LLGS dmi dt =− γmi × Heff i + αmi × dmi dt + τfield−like + τdamping−like (1.31) =− γmi × Heff i + αmi × [ −γmi × Heff i + αmi × dmi dt + τfield−like + τdamping−like ] (1.32) + τfield−like + τdamping−like , onde dm/dt foi substituído recursivamente. Expandindo e usando o fato de que mi × mi × dmi dt = (mi · dmi dt )mi − (mi · mi) dmi dt = −dmi dt , dmi dt =− γmi × Heff i − γαmi × mi × Heff − α2 dmi dt + αmi × [ τfield−like + τdamping−like ] (1.33) + τfield−like + τdamping−like , Capítulo 1. Introdução 34 ou seja (1 + α2) dmi dt =− γmi × Heff i − γαmi × mi × Heff + αmi × [ τfield−like + τdamping−like ] (1.34) + τfield−like + τdamping−like , que se torna a equação de LL na ausência de torques dmi dt = − γ 1 + α2 mi × Heff i − γα 1 + α2 mi × mi × Heff . (1.35) O primeiro termo é responsável pelo movimento de precessão em torno de Heff, enquanto o se- gundo termo é responsável pela dissipação de energia e consequentemente do alinhamento de m com Heff. Um esquema mostrando como cada termo atua em m está presente na Figura 1.23. Embora na Figura 1.23 os termos de corrente não estejam presentes, é possível determinar qual o efeito do field-like e do damping-like se baseando nos efeitos dos termos de campo e de amortecimento. Torques do tipo field-like farão m precessionar em torno de p; termos do tipo damping-like farão m alinhar com p. Heff m m×Heff m×m×Heff Figura 1.23 – Esquema mostrando como cada termo da Equação 1.35 age no momento magnético m. A linha preta mostra a evolução temporal de m. Fonte: Elaborado pelo autor. A topologia não trivial dos skyrmions faz com que os elétrons de condução ganhem uma fase de Berry [72, 109]. A fase de Berry ganha pelos elétrons de condução afetam sua trajetória, de acordo com o mostrado na Figura 1.24. O spin do elétron durante o movimento dentro de um skyrmion tem suas componentes afetadas, de forma a se alinharem com as componentes de m que formam o skyrmion. Essa variação nas componentes de spin fazem com que o elétron ganhe uma fase de Berry [12, 109, 111], e mude seu movimento. Outro ponto de vista é utilizando campos eletromagnéticos emergentes. Neste caso, os campos produzidos por um skyrmion são dados por [9, 12, 109] Eem i = h̄ e m · ( ∂m ∂i × ∂m ∂t ) (1.36) Bem i = h̄ 2e εijkm · ( ∂m ∂j × ∂m ∂k ) , (1.37) de forma que o desvio no movimento do elétron é consequência da força de Lorentz F = q [Eem + v × Bem], onde v ∝ j é a velocidade dos elétrons de condução. Uma consequência desse desvio do elétron é que o movimento do skyrmion também é afetado [14, 19, 72, 74]; a trajetória do movimento de um skyr- mion faz um ângulo com relação à direção da corrente, conhecido como ângulo de Hall intrínseco dos Capítulo 1. Introdução 35 Figura 1.24 – O movimento de um elétron e como suas componentes de spin variam quando atravessando um skyrmion. Fonte: Pfleiderer e Rosch [110]. skyrmions θint sk , com o sinal desse ângulo dependendo da carga topológica [14, 17, 72–76]. Esse desvio é decorrente da presença de uma força de Magnus não dissipativa na dinâmica dos skyrmions [1, 17]. É possível utilizar os campos emergentes para determinar a velocidade dos skyrmions [9], Eem = −vd × Bem , (1.38) onde vd é a velocidade do skyrmion. 1.7 O Ângulo de Hall O ângulo de Hall foi observado inicialmente nas simulações realizadas por Zang et al. [111]; no entanto uma observação experimental do ângulo de Hall somente foi possível em 2017, feita por Jiang et al. [74]. Na Figura 1.25 está presente a observação experimental do ângulo de Hall realizada por Jiang et al. utilizando técnicas de MOKE. Nas Figuras 1.25 (a-f) está presente o movimento de um skyrmion com carga topológica Q = −1 na presença de corrente de spins polarizados na direção x. O skyrmion apresenta movimento diagonal inferior (note que o eixo y cresce para baixo). Ainda nas Figuras 1.25 (a- e) é possível observar dois skyrmions que são aniquilados quando interagem com a borda da amostra. As Figuras 1.25 (g-l) mostram o mesmo, mas para um skyrmion com carga topológica Q = +1; aqui os skyrmions apresentam movimento diagonal superior, oposto ao que foi observado para skyrmions com Q = −1, mostrando assim a dependência do sinal do ângulo de Hall intrínseco com a carga topológica do skyrmion. O maior desafio na utilização de skyrmions para criação de dispositivos spintrônicos está no ângulo de Hall. Conforme mostrado brevemente na Figura 1.25, quando um skyrmion interage com a borda de um material, ele pode ser aniquilado. O ângulo de Hall intensifica a probabilidade de aniquilação dos skyrmions na borda do material, uma vez que estes terão movimentos diagonais. Uma possibilidade para mitigar o ângulo de Hall é aplicar a corrente num ângulo tal que o skyr- mion se mova sem movimentos diagonais [52]. Embora essa solução resolva o problema da aniquilação, ela adiciona a complexidade de ser necessário saber o ângulo de Hall intrínseco dos skyrmions de ante- Capítulo 1. Introdução 36 Figura 1.25 – Evolução temporal do movimento de um skyrmion sob aplicação de correntes, obtida através de MOKE. A corrente utilizada foi de j = 2.8 × 106 A m−2 na direção x com um campo magnético de H = 5.2 Oe na direção z. (a- e) movimento de um skyrmion com carga topológica Q = −1; além do skyrmion principal, outros skyrmions menores são vistos sendo aniquilados nas bordas. (g-k) o mesmo de (a-e) mas para um skyrmion com carga topológica Q = +1. (f) trajetória do skyrmion com carga Q = −1; o movimento diagonal devido ao ângulo de Hall intrínseco é evidente. (l) o mesmo de (f) mas para um skyrmion com carga topológica Q = −1. Fonte: Adaptado de Jiang et al. [74]. mão antes de aplicar a corrente, que pode ser determinado experimentalmente, através de simulações, ou utilizando métodos analíticos. É possível determinar o ângulo de Hall, e a velocidade dos skyrmions, utilizando a equação de evolução temporal dos momentos magnéticos e as expressões dos campos emergentes. Aqui vamos assumir duas condições (i) m está em uma configuração de mínimo de energia, (m ‖ Heff), de forma que termos contendo m × Heff são nulos (ii) a corrente aplicada é tal que p = (∇ · j)m v. Partindo da Equação 1.34, (1 + α2) dm dt =− γm × Heff − γαm × m × Heff + αm × [ τfield−like + τdamping−like ] (1.39) + τfield−like + τdamping−like , zerando os termos contendo m × Heff, e utilizando as expressões τdamping−like = aJm × p × m, e τfield−like = −aJ βm × p, (1 + α2) dm dt =αm × [ −aJ βm × p + aJm × p × m ] − aJ βm × p + aJm × p × m (1.40) =aJαm × [−βm × p + (m · m)p − (m · p)m] + aJ [−βm × p + (m · m)p − (m · p)m] (1.41) =aJα {−β [(m · p)m − p] + m × p}+ aJ [−βm × p + p − (m · p)m] , (1.42) onde foi utilizado m · m = 1 e m × m = 0. v Essa forma de p é elucidada na subseção 2.1.3. Capítulo 1. Introdução 37 Para simplificar a dedução, novos eixos são utilizados, dados por η = x cos φ + y sin φ (1.43) ξ = −x sin φ + y cos φ , (1.44) onde φ é o ângulo da corrente aplicada, j = j cos φx̂ + j sin φŷ, de forma que no novo eixo de coordena- das j = jη̂. Nossa escolha de p é dada por p = (j · ∇)m, ou no novo eixo de coordenadas p = j∂m/∂η, e usando m · (∂m/∂η) = 0, de forma que m · p = 0, a expressão de dm/dt se torna( 1 + α2 ) dm dt =aJ [αβp + αm × p − βm × p + p] (1.45) =aJ j [ (αβ + 1) ∂m ∂η + (α − β)m × ∂m ∂η ] . (1.46) Com essa expressão para variação temporal de m, podemos utilizar a equação do campo elétrico emergente Eem i = h̄ e m · ( ∂m ∂i × ∂m ∂t ) (1.47) = aJ jh̄ e (1 + α2) m · { ∂m ∂i × [ (αβ + 1) ∂m ∂η + (α − β)m × ∂m ∂η ]} (1.48) = aJ jh̄ e (1 + α2) m · [ (αβ + 1) ∂m ∂i × ∂m ∂η + (α − β) ∂m ∂i × m × ∂m ∂η ] (1.49) = aJ jh̄ e (1 + α2) [ − (αβ + 1)m · ( ∂m ∂η × ∂m ∂i ) + (α − β) ∂m ∂i · ∂m ∂η ] (1.50) onde foi utilizado m · (∂m/∂i) = 0. Esta é a expressão para o campo emergente num ponto η, ξ da amostra, Eem i = Eem i (η, ξ); no entanto, nos interessamos somente pela região do skyrmion, região que chamaremos de S . Calculando a média do campo elétrico sobre S , Ẽem i = aJ jh̄ e (1 + α2) 1 S ∫ ∫ S dA [ − (αβ + 1)m · ( ∂m ∂η × ∂m ∂i ) + (α − β) ∂m ∂i · ∂m ∂η ] , (1.51) onde ∼ sinaliza a média sobre a área do skyrmion S . Na Equação 1.51 é possível observar duas expressões conhecidas dos skyrmions [1], Dij = ∫ ∫ S dA ∂m ∂i · ∂m ∂j = Dδij (1.52) G = ∫ ∫ S dA m · ( ∂m ∂x × ∂m ∂y ) = 4πQ , (1.53) de forma que Ẽem i = aJ jh̄ eS (1 + α2) [ − (αβ + 1) Gδiξ + (α − β)Dδiν ] . (1.54) Assim a média do campo elétrico emergente sobre um skyrmion é dada por Ẽem = aJ jh̄ eS (1 + α2) [ (α − β)Dη̂− (αβ + 1) G ξ̂ ] . (1.55) Exatamente o mesmo procedimento é feito para o campo magnético emergente. Partindo da Equa- ção 1.37 Bem i = h̄ 2e εijkm · ( ∂m ∂j × ∂m ∂k ) , (1.56) e usando o fato de trabalharmos com filmes finos, ∂m/∂z = 0, podemos ignorar todos os termos em que ε não seja da forma εzηξ , εzξη , uma vez estes termos apresentam ∂m/∂z. Assim o campo magnético Capítulo 1. Introdução 38 emergente se reduz à Bem = Bemẑ. Expandindo os termos do campo magnético emergente Bem = h̄ 2e [ εzηξ m · ( ∂m ∂η × ∂m ∂ξ ) + εzξηm · ( ∂m ∂ξ × ∂m ∂η )] (1.57) = h̄ e m · ( ∂m ∂η × ∂m ∂ξ ) , (1.58) onde εijk = −εikj foi usado. Calculando a média sobre a área de um skyrmion S vi B̃em = h̄ eS ∫ ∫ S dA m · ( ∂m ∂η × ∂m ∂ξ ) = 4πQh̄ eS = G h̄ eS , (1.59) e portanto o campo magnético emergente médio sobre um skyrmion é dado por B̃em = G h̄ eS ẑ . (1.60) Utilizando as expressões para os campos emergentes encontradas, e utilizando a Equação 1.38, a velocidade do skyrmion pode ser calculada, e é dada por vη =− aJ j (αβ + 1) α2 + 1 η̂ (1.61) vξ =− aJ jD (α − β) G (α2 + 1) ξ̂ . (1.62) É possível deixar as velocidades do skyrmion em função da velocidade dos elétrons de condução. Sabendo que ve = −aJ jĵ as velocidades se tornam vη = ve (αβ + 1) α2 + 1 η̂ (1.63) vξ = veD (α − β) G (α2 + 1) ξ̂ , (1.64) e o ângulo de Hall intrínseco é dado por θint sk = arctan ( vξ vη ) = arctan ( D (α − β) G (αβ + 1) ) . (1.65) A expressão para aJ para este tipo de corrente é aJ = pa3/(2e), onde p é a polarização da corrente e a a constante de rede. A polarização é dada por p = # ↑ −# ↓ # ↑ +# ↓ , (1.66) onde #[↑, ↓] indica o número de elétrons de condução com spin para cima e para baixo respectivamente. Pela Equação 1.65, o ângulo de Hall intrínseco do skyrmion depende exclusivamente de α, β,D e G; parâmetros que dependem do material utilizado. O coeficiente de amortecimento de Gilbert α e o coeficiente β das correntes field-like, variam de material a material; D depende da estrutura do skyrmion, como tamanho, que pode ser ajustado escolhendo materiais com diferentes valores de D, J, K ou variando o valor de campo externo H. O único parâmetro invariante é G, que tem valor fixo 4πQ. Quando α = β o skyrmion não apresenta ângulo de Hall, e portanto se move na direção que os elétrons de condução estão se movendo. Em MnSi, D = 5.557π e α = 0.04 [1]; assumindo β = 0, encontramos um ângulo de Hall intrínseco dos skyrmions em MnSi de θint sk ≈ 3◦; embora esse seja um ângulo de Hall baixo, a força induzida por correntes STT damping-like vii é perpendicular à direção da corrente [1, vi A mesma integral poderia ser realizada, mas ao invés de calcular a média, calcular o fluxo de campo emergente. Seria encontrado que skyrmions têm fluxo de campo quantizados quanta de fluxo dado por G h̄/e. vii Spin Transfer Torque, discutida na subseção 2.1.3. Capítulo 1. Introdução 39 43], assim o ângulo de Hall é baixo mas a força de Magnus é alta. Utilizando a aproximação de Thiele feita por Iwasaki et al. [1], a razão entre a intensidade da força de Magnus e a intensidade da força de arraste é dada por G/(αD), e portando em MnSi a força de Magnus é cerca de 18 vezes mais intensa que a força de arraste. Quanto menor α, mais a força de Magnus domina a dinâmica do skyrmion [1]; no limite α → 0 somente a força de Magnus é presente no sistema. Embora o ângulo de Hall aumente os riscos de aniquilação na borda do material, é possível utilizar outros efeitos da força de Magnus para controlar o movimento do skyrmion. Alguns movimentos ratchet somente são possíveis devido à força de Magnus [33–35, 38], assim como alguns tipos de efeito diodo [25, 27], de forma que a presença da força de Magnus em sistemas de skyrmions aumenta as pos- síveis fases dinâmicas em comparação com outros sistemas de partículas sobreamortecidas. As novas fases dinâmicas aumentam a gama de possibilidades de controle do movimento do skyrmions, possi- bilitando a criação de dispositivos baseados em skyrmions que utilizam comportamentos dinâmicos variados para o controle do movimento. Além de novas fases dinâmicas, um efeito da força de Magnus é o aumento de velocidade indu- zido por Magnus [23, 112–116]. O aumento de velocidade induzido por Magnus pode ser utilizado para criar dispositivos mais eficientes em decorrência da maior velocidade para um mesmo valor de corrente. Outro efeito importante decorrente da presença da força de Magnus é a redução da corrente ne- cessária para mover skyrmions. Durante a interação com defeitos na amostra, no lugar de serem atraídos/repelidos diretamente ao defeito, skyrmions apresentam um movimento de rotação em torno do defeito [19], tornando os skyrmions mais fracamente aprisionados, reduzindo a corrente necessária para iniciar o movimento. Tendo em vista que a força de Magnus apresenta benefícios na dinâmica de skyrmions, neste trabalho tentaremos tirar proveito dos diferentes efeitos observados na presença da força de Magnus. 1.8 Além de Skyrmions Embora skyrmions sejam promissores candidatos para aplicações em spintrônica, eles não são as únicas texturas magnéticas que podem ser utilizadas. Algumas destas texturas estão presentes na Figura 1.26. Uma das possíveis texturas é o skyrmionium, presente na Figura 1.26 (f). Ao contrário do skyr- mion, o skyrmionium não apresenta ângulo de Hall e possui maior velocidade [77, 118]. A primeira observação experimental de um skyrmionium foi em 2018, por Zhang et al. [119]. Diferentes sistemas foram investigados usando skyrmioniums, tais como skyrmioniums movidos por correntes de spin polarizados [77, 118, 120–122], movimento por spin waves [123], e movimento por gradientes de PMA [124]. Além disso, um dispositivo do tipo diodo foi proposto utilizando skyrmioniums por Wang et al. [125]. O skyrmionium foi previsto teoricamente por Bogdanov e Hubert [126] em 1999; o skyrmionium foi chamado de 2π–vortex, enquanto o skyrmion foi chamado de π–vortex. Atualmente kπ–skyrmions tem ganhado atenção [127]; quando k é par, podem ser estabilizadas texturas sem ângulo de Hall, ao preço de criarem texturas maiores. É possível ver a estabilidade de um skyrmionium na Figura 1.4, próximo de k = 2 existe um mínimo de energia, semelhante ao mínimo em k = 1, mas que corresponde ao skyrmionium. Uma textura magnética que não está presente na Figura 1.26 é a skyrmions-bag, onde uma parede de domínio é usada para prender skyrmions dentro de uma “bolsa”. Liu et al. [128] realizou a criação e conversão destas bolsas de skyrmions em temperaturas ambientes em um material de multicamadas. Foster et al. [129] observou bolsas de skyrmions em materiais ferromagnéticos e cristais líquidos; neste trabalho Foster et al. conseguiu utilizar a carga topológica das bolsas como bits, de maneira a escrever a palavra “SKYRME” usando 6 bolsas de skyrmions com diferentes cargas. Capítulo 1. Introdução 40 Figura 1.26 – Outras texturas magnéticas possíveis de serem estabilizadas em materiais magnéticos. Fonte: Göbel et al. [117]. Uma textura magnética na vanguarda do magnetismo é o hopfion. Hopfions são caracterizados pelo índice de Hopf [130–132], dado por QH = ∫ V B · A d3x, (1.67) onde B = ∇× A é o campo magnético emergente. O campo magnético emergente dos hopfions pode ser calculado de maneira semelhante aos skyrmions; mas no lugar de realizar as derivadas somente no plano xy, devem ser considerados os planos xy, xz e yz, de forma que a expressão para o campo magnético emergente normalizado de um hopfion é dada por Bi = 1 8π εijkm · ( ∂jm × ∂km ) . Hopfions já foram observados experimentalmente em materiais quirais em 2023 por Zheng et al. [133]. Diversos trabalhos considerando a dinâmica de hopfions já foram realizados [134–137], e nestes o hopfion se move sem ângulo de Hall, com movimento ocorrendo na direção da corrente. Nenhum destes trabalhos contemplou a dinâmica de hopfions na presença de defeitos. Estes são alguns exemplos de outras texturas magnéticas que mostram um futuro promissor na área do magnetismo para aplicações em dispositivos spintrônicos. 1.9 Objetivos Sabendo que para tornar possível a utilização de skyrmions magnéticos em dispositivos spintrônicos é necessário o controle de seu movimento, este trabalho tem como objetivo investigar diferentes maneiras de controlar o movimento dos skyrmions em conjunto com análises de estabilidade e condições para aniquilações e deformações. As diferentes maneiras de controlar skyrmions são realizadas através de diferentes arranjos de defeitos de PMA, combinados com diferentes correntes de spin polarizados, sejam estas correntes con- tínuas, correntes alternadas, ou combinações das duas. No caso de correntes alternadas vários parâ- metros podem ser explorados, tais como frequência, excentricidade da corrente aplicada e polarização da corrente. Capítulo 1. Introdução 41 Trabalhos anteriores realizados por nosso grupo em dinâmica de skyrmions, além de trabalhos realizados por nossos colaboradores no Los Alamos National Laboratory, observaram efeitos ratchet [18, 33] e Shapiro steps [47, 138, 139] em simulações utilizando o modelo de partículas, desenvolvido por Lin et al. [17], na presença de potenciais assimétricos. No entanto, o modelo de partículas não contempla deformações ou aniquilações, uma vez que os regimes de validez deste modelo são situações de skyrmions rígidos, baixa densidade de skyrmions e baixas correntes. Efeitos ratchet são efeitos que ocorrem por consequência da combinação da assimetria do potencial e simetria da corrente alternada; essa combinação faz com que durante um intervalo de tempo exista movimento numa direção, mas durante outro intervalo de tempo não exista movimento viii. Assim, um movimento líquido é observado numa direção que depende do tipo de corrente alternada e do potencial assimétrico. Esse efeito é muitas vezes chamado de efeito catraca. Degraus de Shapiro são degraus de voltagem V constante nas curvas VI de junções Josephson [140], associados com ressonâncias entre a corrente aplicada e a corrente Josephson. No caso dos sistemas de skyrmions investigados anteriormente, os degraus de Shapiro foram observados em curvas de velocidade versus força de arraste, onde degraus de velocidade constante foram observados em diferentes intervalos de força de arraste. Aqui os degraus estão associados com ressonâncias entre o movimento do skyrmion e a corrente alternada. Dessa forma, investigamos a dinâmica de skyrmions interagindo com potenciais assimétricos vi- sando buscar por efeitos ratchet e degraus de Shapiro. No entanto, ao contrário dos trabalhos anterio- res, aqui utilizamos o modelo atomístico, que simula o momento magnético individual de cada átomo, possibilitando a análise de aniquilações e deformações de skyrmions. Além de investigar a dinâmica e estabilidade de skyrmions em potenciais assimétricos, investiga- mos as configurações estáticas e comportamentos dinâmicos de skyrmions quando interagindo com potenciais de aprisionamento periódicos com n skyrmions por mínimo de potencial. Também investigamos a dinâmica de skyrmions interagindo com potenciais de aprisionamento periódicos em situações onde existe um skyrmion por mínimo de potencial, mas com a adição de um skyrmion a mais, caracterizando um estado fora de comensurabilidade; aqui o skyrmion a mais age como um defeito móvel na rede de skyrmions. Esperamos que, com os resultados obtidos nos diferentes arranjos, novas possibilidades de controlar o movimento do skyrmions sejam observadas. É conhecido que a força de Magnus proporciona um aumento de velocidade durante interações com defeitos na presença de correntes [23, 112–116], de forma que podemos induzir a interação com defeitos para aumentar a velocidade dos skyrmions; no entanto, a corrente aplicada deve ser baixa suficiente para que não ocorra a aniquilação do skyrmion. Embora investigações da estabilidade e dinâmica de skyrmions correspondam à maioria dos tra- balhos realizados, também investigamos a estabilidade e comportamento de diferentes texturas. Estas texturas são o skyrmionium, antiskyrmion, hopfion e o toron. Conforme mencionado na seção 1.8, skyrmioniums apresentam velocidades superiores aos skyrmions e ausência de ângulo de Hall, os tornando candidatos para aplicações em spintrônica. No entanto, pouco se sabe sobre a estabilidade de skyrmioniums interagindo com defeitos de PMA. O comportamento e estabilidade de hopfions e torons ainda não foram investigados na presença de defeitos, apenas em amostras limpas. Utilizando dois arranjos de defeitos de PMA, um semelhante a uma cerca, e outro assimétrico, investigamos a dinâmica de estabilidade de hopfions e torons interagindo com defeitos sob efeitos de correntes. Nos próximos capítulos apresentaremos como as equações de Landau-Lishiftz-Gilbert-Slonczewski, e o Hamiltoniano de materiais quirais, foram utilizados para realizar as simulações (Capítulo 2). Depois apresentamos os resultados obtidos (iniciando na seção 3.1 e terminando na seção 5.3). Esta dissertação está em formato de artigo, e portanto cada seção de resultados é um artigo diferente. Uma discussão viii Em correntes alternadas linearmente polarizadas, esses intervalos de tempo correspondem aos ciclos negativos e positivos. Capítulo 1. Introdução 42 dos resultados é feita no Capítulo 6, onde os resultados de cada artigo são discutidos e comparados com os objetivos do trabalho, e concluímos no Capítulo 7. Finalizamos apresentando os trabalhos que foram originados desta dissertação (Capítulo 8). 43 2 Simulação Neste capítulo serão discutidos os métodos utilizados para realizar a investigação dos sistemas. 2.1 Modelo Atomístico O modelo atomístico foi utilizado, onde o momento magnético de cada átomo é simulado individual- mente [141]. Neste modelo é feita a aproximação semiclássica de que o spin é um vetor clássico. Nesta seção descrevemos o Hamiltoniano total, o campo efetivo devido às interações, a evolução temporal, e diferenças quando comparado com o modelo micromagnético. 2.1.1 Hamiltoniano Total Com as interações presentes no sistema propriamente descritas, é possível montar o Hamiltoniano utilizado neste trabalho, H = Hex +HDM +HZee +Hani , (2.1) que ao expandir os termos, considerar todos os sítios atômicos e seus primeiros vizinhos, e aplicar a aproximação semiclássica de que spins são vetores clássicos, se torna H = − ∑ i,〈i,j〉 Jmi · mj − ∑ i,〈i,j〉 Dij · ( mi × mj ) − ∑ i µmi · H − ∑ i K(xi, yi) (mi · ẑ)2 , (2.2) onde m = µ/µ é o vetor unitário do momento magnético e µ a magnitude do momento magnético atômico. J é a constante de troca, Dij é o vetor de DM; majoritariamente utilizamos Dij = Dij r̂ij × ẑ, e portanto nossos materiais estabilizam skyrmions Néel. H é o campo magnético externo, K(xi, yi) a constante de anisotropia, onde xi e yi são as posições x e y do i-ésimo sítio atômico. Existe a necessidade de escrever explicitamente que a constante de anisotropia depende da posição do sítio, uma vez que diferentes arranjos são estudados. A notação 〈i, j〉 indica que a soma é feita nos primeiros vizinhos de i. 2.1.2 Campo efetivo Embora o Hamiltoniano descreva o sistema, é do nosso interesse escrever o campo efetivo agindo no i-ésimo momento magnético. Esse campo efetivo é o campo utilizado na evolução temporal do sistema. Para obter o campo efetivo de cada interação, é utilizado Heff i = − 1 µ ∂H ∂mi . (2.3) Partindo do Hamiltoniano da interação troca com a aproximação de spins como vetores clássicos Hex = −Jmi · mj , (2.4) a contribuição desta interação para o campo efetivo total é dada por( Heff ex ) i = J µ mj , (2.5) de forma que o i-ésimo sítio atômico sente um campo proporcional à mj, favorecendo mi e mj coline- ares. Capítulo 2. Simulação 44 Para determinar o contribuição ao campo efetivo da interação de DM utilizamos a identidade a · (b × c) = b · (a × c). Reescrevendo a Equação 1.16 como HDM = −mi · ( Dij × mj ) , (2.6) e usando a expressão do campo efetivo, obtemos( Heff DM ) i = 1 µ ( Dij × mj ) . (2.7) O campo que o i-ésimo sítio atômico é proporcional à D × mj, favorecendo mi e mj não colineares. Utilizando a Equação 2.3 na interação Zeeman, H = −µmi · H, é trivialmente obtido ( Heff Zee ) i = H. Novamente, usando a expressão para o campo efetivo, a contribuição ao campo efetivo devido à PMA é obtida ( Heff ani ) i = − 1 µ ∂Hani ∂mi = 2K µ ( mi · d̂ ) d̂ . (2.8) O campo efetivo total é dado por Heff i = ( Heff ex ) i + ( Heff DM ) i + ( Heff Zee ) i + ( Heff ani ) i . Expandindo a expressão do campo utilizando a contribuição de cada interação, é obtida a expressão do campo efetivo no i-ésimo sítio atômico Heff i = 1 µ J ∑ 〈i,j〉 mj + ∑ 〈i,j〉 Dij × mj + µH + 2K(xi, yi) ( mi · d̂ ) d̂  (2.9) 2.1.3 Spin Transfer Torque e Spin Orbit Torque Na expressão da evolução dos momentos magnéticos atômicos, Equação 1.29, os efeitos de correntes aplicadas no material estão presentes através dos torques. Esses torques podem ser damping-like, com a contribuição dada por τdamping−like = aJmi × p × mi, ou do tipo field-like, onde a contribuição é τfield−like = aJ βmi × p. Nas duas contribuições o vetor p é presente, este é o vetor que relaciona a corrente aplicada, j, com o torque que os momentos magnéticos m sentem como consequência da corrente. Figura 2.1 – Esquemáticos mostrando como as correntes CIP (STT) e CPP (SOT) são aplicadas numa amostra. Fonte: Yang e Zhang [142]. A expressão de p depende do tipo de corrente aplicada. Neste trabalho são considerados dois tipos de correntes. O primeiro tipo é a corrente Spin Transfer Torque (STT) (ou Current in Plane (CIP)) onde a corrente é aplicada no plano da amostra. No caso de STTs é feita a consideração de que o spin dos elétrons de condução são paralelos à mi [1, 12]. Correntes STT têm p da forma p = (j · ∇)m, onde j é a corrente aplicada, e a constante aJ dada por aJ = pa3/(2e), onde p é a polarização, Equação 1.66, e a o parâmetro de rede do material. O segundo tipo é corrente Spin Orbit Torque (SOT) (ou Current Perpendicular to Plane (CPP)), onde a corrente é aplicada perpendicularmente à amostra. Neste caso p Capítulo 2. Simulação 45 é da forma p = j × n̂, onde n̂ é a normal do material, e a constante aJ dada por aJ = h̄γpa2/(2eµ). As montagens experimentais para a gerações dos dois tipos de corrente estão presentes na Figura 2.1. Na maioria dos nossos sistemas são utilizadas STTs, no entanto sistemas que possuem texturas com cargas topológicas Q = 0 requerem o uso de SOTs. 2.1.4 Evolução Temporal Conforme descrito na seção 1.6, a evolução temporal é feita utilizando a equação de LLGS. Aqui será apresentada somente a LLGS com termos de STT do tipo damping-like, uma vez que este é o tipo de corrente majoritariamente utilizado nos trabalhos produzidos. A utilização de SOTs ocorreu somente para os trabalhos envolvendo outras texturas magnéticas, e nestes a corrente SOT está propriamente descrita. A evolução temporal segue dmi dt = −γmi × Heff i + αmi × dmi dt + pa3 2e (j · ∇)mi , (2.10) onde p é a polarização, definida anteriormente na Equação 1.66, a é o parâmetro de rede, e j é a corrente aplicada. Em todos os trabalhos p = −1 e a = 0.5 nm. A escolha de p é feita de forma que o movimento dos skyrmions ocorra com mesmo sinal da corrente; as equações de velocidade do skyrmion mostram que o skyrmion apresenta velocidade no sentido oposto ao da corrente aplicada, usar p = −1 inverte essas componentes. A escolha de a = 0.5 nm é baseada no MnSi [1]; no entanto a somente é utilizado na interação com a corrente, de forma que mudar a, na ausência de termos field-like, tem o efeito de mudar j. A expressão para j, assim como os valores dos parâmetros do material (J, D, K) variam de trabalho a trabalho. As constantes do material são sempre normalizadas em unidades de J, de forma que a constante da interação de troca dita a escala energética do sistema. Nossas simulações contemplam amostras de filmes finos de diferentes materiais, onde os diferentes materiais são modelados mudando as constantes J e D. Embora a equação da evolução temporal seja escrita da forma presente na Equação 1.29, a imple- mentação computacional segue a Equação 1.34. A utilização da equação de LL, aumentada com os termos de torque gerados por correntes de spin polarizados, garante maior estabilidade computacio- nal, uma vez que não é necessário utilizar derivadas temporais do passo anterior, reduzindo os erro