UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA FACULDADE DE ENGENHARIA CAMPUS DE BAURU Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica Willian Minnemann Kuhnert Isolamento de vibrações utilizando inerter e amortecimento não linear Bauru 2016 Willian Minnemann Kuhnert Isolamento de vibrações utilizando inerter e amortecimento não linear Dissertação de mestrado apresentada ao programa de Pós- graduação em Engenharia Mecânica da Universidade Estadual Pau- lista como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Orientador: Paulo José Paupitz Gonçalves Bauru 2016 Minnemann Kuhnert, Willian. Isolamento de vibrações utilizando inerter e amortecimento não linear / Willian Minnemann Kuhnert, 2016 117 f. : il. Orientador: Paulo José Paupitz Gonçalves Dissertação (Mestrado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2016 1. Isolamento de vibrações. 2. Inerter. 3. Amortecimento não linear. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. II. Título. Dedicatória... Dedico este trabalho de Mestrado aos meus pais, Werner Kuhnert e Maria Adelaide Saraiva Minnemann Kuhnert, pelo incentivo e apoio em todas as minhas escolhas e decisões durante a vida. Epígrafe "Quanto mais aumenta o nosso conhecimento, mais evidente fica nossa ignorância". John F. Kennedy Agradecimentos Agradeço à Deus por todas as oportunidades que me foram dadas. À Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” pela oportunidade do curso. Ao Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves pela orientação, pelo convívio, apoio, e por sempre ter acreditado em mim, no meu potencial e no potencial do projeto de pes- quisa. Aos professores Dr. Bento Rodrigues de Ponter Jr. e Dr. Paulo Sérgio da Silva pela composição da banca de qualificação, e aos professores Dr. Marcos Silveira e Dr. Dou- glas Domingues Bueno pela composição da banca de defesa. Todas as críticas e sugestões foram muito importantes para o término deste trabalho. Aos demais professores da área de projetos deste Programa de Pós-Graduação por me proporcionarem o conhecimento não apenas racional e técnico, mas também emocional e pessoal, para o processo da minha formação profissional. Aos meus pais que, com muito carinho e apoio, não mediram esforços para que eu chegasse até esta etapa da minha vida. À minha namorada Gabriela pela paciência e parceria em cada momento durante esse processo. Aos colegas que, de alguma forma, me ajudaram e/ou estiveram presentes durante esta etapa. À FUNDUNESP e à EMBRAER pelo projeto de cooperação e financiamento. Resumo O isolamento de vibração é a técnica mais utilizada atualmente para a proteção de mecanismos e estruturas que sofrem excitação, seja ela por choque/impacto, seja ela harmônica. Este trabalho adiciona ao isolador de vibração comum, composto por mo- las e amortecedores, um elemento conhecido como inerter, que recentemente tem cha- mado bastante a atenção da comunidade científica, e também, separadamente, adiciona amortecedores não lineares, com o intuito de avaliar a influência destes elementos no isolamento. As curvas de transmissibilidade obtidas, que indicam a performance do iso- lamento à excitação harmônica, para os isoladores com inerter são comparadas à de um isolador comum composto somente por uma mola, e entre elas, enquanto que as curvas obtidas para os isoladores com amortecedores não lineares são comparadas entre si e à de um isolador comum com amortecimento linear. Os resultados obtidos mostram que a adição do inerter aos isoladores de vibração pode ser muito benéfica para o isolamento em determinadas faixas de frequência, mas em outras não, e tais faixas dependem de como o isolador é construído. Além disso, os isoladores com inerter são benéficos prin- cipalmente para sistemas subamortecidos. Os isoladores subamortecidos com inerter apresentaram características de isolamento diferentes uns dos outros, o que os leva a serem aplicados em diferentes situações. Os resultados obtidos para os isoladores com amortecedores não lineares mostraram que tais sistemas também podem melhorar ou piorar o isolamento em determinadas faixas de frequência quando comparados à um isolador com amortecimento linear. Palavras-chave: Isolamento de vibrações, inerter, Amortecedor não linear Abstract The vibration isolation is currently the most used technique for protecting mech- anisms and structures which are under shock/impact or harmonic excitation. This work presents to the common vibration isolator, consisted by springs and dampers, an element known as inerter, which recently has took great attention in the scientific community, and also presents the use of non-linear dampers to analyze the influence of these elements on isolation. The transmissibility curves obtained, which indicate the performance of the isolation for systems under harmonic excitation, for the isolators with the inerter element are compared with the spring-damper isolator frequency re- sponse as well the isolators with non-linear damping. The results obtained show that the addition of the inerter element can be beneficial for the isolation performance in a frequency range, but degrades the high frequency isolation, and they depend on how the isolator is built. Besides, the isolators with inerter are beneficial mainly for under- damped systems. The different underdamped systems with inerter presented unique isolation characteristics. The results obtained for the isolators with non-linear dampers presented that such systems can also improve the isolation in certain frequency ranges when compared to an isolator with linear damping. Keywords: Vibration isolation, inerter, Nonlinear damper Lista de Figuras 1.1 Modelos com inerter. (a) S-1: Massa mola amortecedor inerter. (b) S-2: Inerter acoplado em série com amortecedor secundário. (c) S-3: Inerter acoplado em série com mola secundária. (d) S-4: Inerter acoplado em série com combinação de mola e amortecedor secundários. . . . . . . . . 4 1.2 Metodologia para os sistemas com inerter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Metodologia para os sistemas com amortecimento não linear . . . . . . . 6 2.1 Componentes de um sistema de isolamento de vibrações . . . . . . . . . . 9 2.2 Suspensão veicular composta por mola e amortecedor . . . . . . . . . . . 10 2.3 Inerter de pinhão e cremalheira. (a) Dispositivo. (b) Desenho esquemá- tico. Retirado de Papageorgiou, Houghton e Smith (2009). . . . . . . . . 11 2.4 Inerter de fuso de esferas recirculantes. (a) Dispositivo. (b) Desenho esquemático. Retirado de Papageorgiou, Houghton e Smith (2009). . . . 11 2.5 Não linearidades. (a) Rigidez. (b) Amortecimento. . . . . . . . . . . . . . 12 3.1 Sistema massa-mola-amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Transmissibilidade de um sistema massa-mola-amortecedor com 𝜉 = 0.1 . 18 3.3 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor . 18 3.4 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.5 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.6 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.7 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter com 𝜇 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.8 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter com 𝜉 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.9 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter elasticamente acoplado . . 23 3.10 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola secundária. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.11 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola secundária. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.12 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-mola secundária com 𝜇 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.13 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-mola secundária com 𝜉 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.14 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscosamente acoplado . . 27 3.15 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com amortecedor secundário. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.16 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com amortecedor secundário. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.17 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor secundário com 𝜇 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.18 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor secundário com 𝜉 = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.19 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscoelasticamente acoplado 31 3.20 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola e amortecedor secun- dários. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.21 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola e amortecedor secun- dários. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.22 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor e mola secundários com 𝜇 = 0.1 . . . . . . . . . . . 33 3.23 Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor e mola secundários com 𝜉 = 0.1 . . . . . . . . . . . . 34 4.1 Amortecedor linear. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. . . . . . . . . . 36 4.2 Ilustração do histórico de força e deslocamento de excitação de um amor- tecedor linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Transmissibilidade de deslocamento absoluto - Sistema com amorteci- mento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.4 Sistema com amortecimento quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.5 Amortecedor quadrático. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. . . . . . . . 39 4.6 Ilustração do histórico de força e deslocamento de excitação de um amor- tecedor quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.7 Histórico do deslocamento relativo para o sistema com amortecedor linear excitado pela base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.8 Transmissibilidade de deslocamento absoluto de um sistema com amor- tecimento quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.9 Sistema com amortecimento assimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.10 Amortecedor assimétrico. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. . . . . . . . 46 4.11 Ilustração do histórico de força e deslocamento de excitação de um amor- tecedor assimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.12 Transmissibilidade de deslocamento absoluto de um sistema com amor- tecimento assimétrico com 𝛽 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.13 Sistema com amortecimento geometricamente não linear . . . . . . . . . 51 4.14 Amortecedor com não linearidade geométrica. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.15 Histórico de força e deslocamento de excitação em um amortecedor com não linearidade geométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.16 Sistema com amortecimento geometricamente não linear . . . . . . . . . 54 5.1 Comparação entre os sistemas S-1 e massa-mola . . . . . . . . . . . . . . 56 5.2 Comparação entre os sistemas S-2 e massa-mola . . . . . . . . . . . . . . 58 5.3 Comparação entre os sistemas S-3 e massa-mola . . . . . . . . . . . . . . 60 5.4 Comparação entre os sistemas S-4 e massa-mola . . . . . . . . . . . . . . 61 5.5 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 0.1 e 𝜉 = 0.1 . . . . 62 5.6 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 0.1 e 𝜉 = 1 . . . . . 63 5.7 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 0.1 e 𝜉 = 1.5 . . . . 63 5.8 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 1 e 𝜉 = 0.1 . . . . . 64 5.9 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 1 e 𝜉 = 1 . . . . . . 65 5.10 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 1 e 𝜉 = 1.5 . . . . . 66 5.11 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 1.5 e 𝜉 = 0.1 . . . . 66 5.12 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 1.5 e 𝜉 = 1 . . . . . 67 5.13 Comparação entre os sistemas com inerter para 𝜇 = 1.5 e 𝜉 = 1.5 . . . . 67 5.14 Comparação entre os sistemas com amortecimento não linear para 𝜉 = 0.1 na frequência e amplitude de ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.15 Comparação entre os sistemas com amortecimento não linear para 𝜉 = 1 na frequência e amplitude de ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.16 Comparação entre os sistemas com amortecimento não linear para 𝜉 = 1.2 na frequência e amplitude de ressonância . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 C.1 Influência do valor de 𝑁𝑘 para o sistema com inerter elasticamente acoplado 94 C.2 Influência do valor de 𝑁𝑘 para o sistema com inerter elasticamente acoplado 95 C.3 Influência do valor de 𝑁𝑐 para o sistema com inerter viscosamente acoplado 96 C.4 Influência do valor de 𝑁𝑐 para o sistema com inerter viscosamente acoplado 96 C.5 Influência do valor de 𝑁𝑘 para o sistema com inerter acoplado em série com mola e amortecedor em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 C.6 Influência do valor de 𝑁𝑘 para o sistema com inerter acoplado em série com mola e amortecedor em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 C.7 Influência do valor de 𝑁𝑐 para o sistema com inerter acoplado em série com mola e amortecedor em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 C.8 Influência do valor de 𝑁𝑐 para o sistema com inerter acoplado em série com mola e amortecedor em paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Lista de Tabelas 4.1 Resultados de amplitude máxima de deslocamento relativo em regime permanente para diversos valores de 𝜉 no sistema com amortecimento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4.2 Valores de 𝑐 e 𝑐2 calculados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Valores dos coeficientes de amortecimento para o amortecedor linear e o amortecedor assimétrico com 𝛽 = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Lista de símbolos Letras latinas Símbolo Descrição 𝑥 Deslocamento 𝑥1 Grau de liberdade que corresponde ao ponto comum entre o terminal inferior do inerter e o terminal superior da mola, amortecedor ou mola-amortecedor secundários 𝑥0 Deslocamento da base do sistema 𝑧 Deslocamento relativo entre os terminais do elemento 𝑧0 Amplitude do deslocamento relativo entre os terminais do elemento 𝑡 Tempo 𝑚 Massa suspensa 𝑘 Rigidez da mola primária da suspensão 𝑐 Coeficiente de amortecimento linear do amortecedor primário da suspensão 𝑐2 Coeficiente de amortecimento quadrático 𝑐+ Coeficiente de amortecimento linear para velocidade relativa positiva 𝑐− Coeficiente de amortecimento linear para velocidade relativa negativa 𝑏 Inertância do inerter da suspensão 𝑠 Variável independente do domínio de Laplace 𝑁𝑘 Constante que indica o percentual de rigidez que a mola secundária possui 𝑁𝑐 Constante que indica o percentual do coeficiente de amortecimento que o amortecedor secundário possui 𝑗 Unidade imaginária 𝑇𝑑 Transmissibilidade de deslocamento absoluto 𝐹𝐴 Força do amortecedor 𝐷 Energia dissipada pelo amortecedor 𝑎 Distância entre o ponto do amortecedor que está engastado e o ponto do amortecedor que está preso na massa suspensa 𝑌𝑖 Variáveis de estado 𝑍𝑘 Impedância de mola 𝑍𝑐 Impedância de amortecedor 𝑍𝑏 Impedância de inerter 𝑍𝑚 Impedância de massa 𝑍0 Impedância equivalente Letras Gregas Símbolo Descrição 𝜔 Frequência de excitação 𝜔𝑛 Frequência natural do sistema 𝜔𝑏 Frequência fundamental em relação a inertância Ω Razão entre a frequência de excitação e a frequência natural Ω𝑏 Razão entre a frequência de excitação e a frequência 𝜔𝑏 𝜉 Fator de amortecimento 𝜇 Razão entre a inertância e a massa do sistema 𝛽 Razão de assimetria do amortecedor assimétrico Sumário Lista de Figuras ix Lista de Tabelas xii Lista de Símbolos xiii 1 Introdução 1 1.1 Introdução ao problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 Estrutura da dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Revisão Bibliográfica 9 3 Isolamento com o uso do inerter 16 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 Sistema mecânico de comparação: sistema massa-mola-amortecedor . . . 17 3.3 Sistemas mecânicos com inerter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.1 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter . . . . . . . . . . . . . . 19 3.3.2 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter elasticamente aco- plado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3.3 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscosamente aco- plado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.3.4 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter acoplado em série com conjunto mola-amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4 Isolamento com o uso de amortecedores não lineares 35 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Amortecimento linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.3 Amortecimento não linear quadrático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 Amortecimento não linear assimétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Amortecimento geometricamente não linear . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5 Comparações e Discussões 55 5.1 Comparação e discussão de sistemas com inerter e sistema massa-mola . 55 5.1.1 Comparação entre o sistema S-1 e o sistema massa-mola . . . . . 56 5.1.2 Comparação entre o sistema S-2 e o sistema massa-mola . . . . . 58 5.1.3 Comparação entre o sistema S-3 e o sistema massa-mola . . . . . 60 5.1.4 Comparação entre o sistema S-4 e o sistema massa-mola . . . . . 61 5.2 Comparação e discussão de sistemas com inerter . . . . . . . . . . . . . . 62 5.3 Comparação e discussão de sistemas com amortecimento não linear . . . 68 6 Considerações Finais 71 6.1 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 6.2 Trabalhos realizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6.3 Trabalhos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Referências Bibliográficas 75 A Modelagem 78 A.1 Modelagem do sistema de comparação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A.1.1 Resposta em frequência: Mecânica Newtoniana e Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 A.1.2 Resposta em frequência: Método da Impedância . . . . . . . . . . 79 A.2 Sistemas mecânicos com inerter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 A.2.1 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter . . . . . . . . . . . . . . 80 A.2.2 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter elasticamente aco- plado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 A.2.3 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscosamente aco- plado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 A.2.4 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter acoplado em série com conjunto mola-amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 B Procedimentos para obtenção de pontos de interesse em software CAS 92 B.1 Procedimento para obtenção de pontos de pico . . . . . . . . . . . . . . . 92 B.2 Procedimento para obtenção de pontos de zero . . . . . . . . . . . . . . . 93 B.3 Procedimento para obtenção de pontos de intersecção . . . . . . . . . . . 93 B.4 Procedimento para obtenção de comportamento assintótico/decaimento . 93 C Estudo dos valores de 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐 94 C.1 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter elasticamente acoplado . . 94 C.2 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscosamente acoplado . . 96 C.3 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter acoplado em série com con- junto mola-amortecedor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Capítulo 1 Introdução 1.1 Introdução ao problema A vibração é um fenômeno oscilatório que pode ser benéfico e/ou desejável para algumas aplicações, tais como música, massageadores, tratamentos médicos, alertas so- noros, dentre outros; enquanto que para outras aplicações, a vibração é indesejável devido aos seus efeitos negativos em estruturas e sobre o corpo humano. Esses efeitos negativos incluem o desgaste de estruturas e mecanismos por fadiga, o desgaste físico do corpo humano devido a exposição à vibração, o cansaço proveniente de uma viagem em um veículo que balança muito e até a surdez ocasionada devido a exposição à sons de determinadas amplitudes e frequências. De acordo com Ibrahim (2008), existe uma demanda crescente por proteção de instalações estruturais, reatores nucleares, compo- nentes mecânicos e instrumentos sensíveis, de movimentos ocasionados por terromotos e cargas de impacto. O controle da vibração então tornou-se necessidade devido aos seus efeitos negativos na maioria das aplicações e pode ser efetuado de três grandes maneiras, de acordo com Yan et al. (2007): reduzindo a excitação da vibração na fonte; modificando as propriedades físicas do receptor da vibração e; utilizando a técnica de isolamento de vibrações. Segundo Ruzicka e Derby (1971), a técnica de isolamento de vibrações é a mais prática de ser efetuada, e também a custo mais baixo. Essa técnica consiste em adi- cionar um isolador (suspensão) entre a fonte de vibração e o receptor (aquele que se quer proteger), de forma a se diminuir os níveis de vibração transmitidas ao mesmo. Segundo Rivin (2003), os isoladores podem ser ativos, semi ativos ou passivos. Os isola- dores ativos geralmente têm boa performance, reduzindo os níveis de vibração a níveis desejáveis, mas possuem um custo mais elevado devido à necessidade de computadores, sensores e atuadores empregados para modificar a resposta do sistema, além do gasto contínuo de energia. Os isoladores semiativos modificam as propriedades do sistema, têm boas performances em altas frequências, e utilizam pequenas quantidades de ener- 2 1.1. Introdução ao problema gia, mas geralmente têm uma maior complexidade construtiva. Por fim, um isolador de vibração passivo é composto geralmente por uma mola e um amortecedor localizados paralelamente entre a fonte de vibração e o receptor, não necessitam de suprimento de energia e podem ter elementos lineares e/ou não lineares, que caracterizam como as forças agem no sistema. Nesta dissertação, em um primeiro momento, o elemento conhecido como inerter será acoplado em isoladores passivos de vibração, e em outro momento, isoladores de vibração passivos terão amortecedores não lineares em conjunto com uma mola em paralelo, obtendo-se assim a resposta de isolamento para diferentes sistemas excitados harmonicamente em diferentes frequências. 3 1.2. Objetivos 1.2 Objetivos Os objetivos específicos desta dissertação são: • Avaliar a utilização do elemento inerter como componente de um sistema de iso- lamento de vibração. • Compreender o benefício da utilização do inerter como elemento de isolamento de vibração. • Comparar diferentes composições de modelos com inerter entre si e com um mo- delo de suspensão com o mínimo de amortecimento, descrevendo as suas vantagens e desvantagens. • Avaliar a utilização de amortecedores com comportamento não linear como ele- mentos de um sistema de isolamento de vibração. 4 1.3. Metodologia 1.3 Metodologia Nesta dissertação são utilizados dois métodos analíticos para desenvolver os modelos de suspensão com inerter, apresentados na figura 1.1. (a) (b) (c) (d) Figura 1.1: Modelos com inerter. (a) S-1: Massa mola amortecedor inerter. (b) S-2: Inerter acoplado em série com amortecedor secundário. (c) S-3: Inerter acoplado em série com mola secundária. (d) S-4: Inerter acoplado em série com combinação de mola e amortecedor secundários. O primeiro método considera a mecânica Newtoniana (MCN), onde são obtidas as equações diferenciais dos sistemas pelos respectivos diagramas de corpo livre e pos- teriormente tais equações são manipuladas aplicando-se a transformada de Laplace (TL) obtendo-se, por fim, as funções de transferência no domínio de Laplace (𝑠). O do- mínio da frequência (DF) é introduzido então nas funções de transferência, tendendo a variável de Laplace à 𝑗𝜔. As variáveis com dimensões são adimensionalizadas nas funções de transferência obtendo-se as funções de transmissibilidade de deslocamento absoluto. O segundo método analítico utilizado é o método da impedância (MIM), aplicável somente para sistemas lineares, onde considera-se que cada componente do sis- tema mecânico possui uma impedância própria e característica de seu comportamento dinâmico. Este método traz diretamente as funções de transferência no domínio da frequência. As equações obtidas tanto por um método quanto pelo outro são equiva- 5 1.3. Metodologia lentes. Os resultados são demonstrados de forma gráfica. A metodologia descrita neste parágrafo pode ser resumida como apresentado na figura 1.2. Figura 1.2: Metodologia para os sistemas com inerter O método numérico de Runge-Kutta de 4ª e 5ª ordem é utilizado para simu- lar os modelos de suspensão com amortecedores não lineares pois é um método de boa precisão e que consegue trabalhar grande parte das equações diferenciais ordinárias não lineares existentes. Primeiramente, as equações diferenciais ordinárias (EDO) dos modelos são obtidas a partir dos diagramas de corpo livre. Em seguida, é realizada a transformação das equações diferenciais para o espaço de estados, definindo-se as va- riáveis de estado para cada modelo, e reduzindo a equação diferencial de segunda ordem para um sistema de equações diferenciais com duas equações diferenciais de primeira ordem. Os parâmetros dos modelos são escolhidos de forma a facilitar a adimensi- onalização numérica dos resultados, possibilitando a sua generalização. Os modelos representados no espaço de estados são simulados no software MATLAB através da função ode45, que aplica o método numérico de Runge-Kutta de 4ª e 5ª ordem. Após a análise de convergência no domínio do tempo para verificar se as si- mulações estão corretas para os sistemas nas condições mais críticas de alteração de força (alta frequência), o método numérico é então utilizado para um vetor de razão de frequências, obtendo-se para cada valor desse vetor uma amplitude de deslocamento em regime permanente. A razão entre cada valor de amplitude de deslocamento em regime permanente e o valor da amplitude da excitação (conhecido) fornece a transmissibili- dade de deslocamento absoluto. Esses valores de transmissibilidade são guardados de forma a corresponder a cada valor do vetor de razão de frequências utilizado, criando-se então o vetor de transmissibilidade de deslocamento absoluto. Os resultados então são apresentados graficamente. A metodologia descrita neste parágrafo pode ser resumida como apresentado na figura 1.3. 6 1.3. Metodologia Figura 1.3: Metodologia para os sistemas com amortecimento não linear Para a análise dos resultados obtidos são efetuadas diversas comparações. Primeiramente, comparações são realizadas entre os sistemas com inerter e o sistema massa-mola, com análise das equações obtidas, obtendo-se expressões para os valores de pico, zero, intersecções e decaimento. O procedimento está melhor detalhado no apêndice B. Posteriormente, os sistemas com inerter são analisados individualmente por meio da variação de seus parâmetros que podem ser, dependendo do sistema, a razão de massas, o fator de amortecimento, a razão entre a mola secundária e primária 𝑁𝑘, e a razão entre o amortecedor secundário e primário 𝑁𝑐. Os sistemas com amortecimento não linear são analisados com variação de um fator de amortecimento correspondente ao sistema linear. Finalmente, os modelos de suspensão com inerter são comparados entre si e com um sistema composto por uma massa e uma mola (com 0.1 de fator de amortecimento para evitar valores muito altos de transmissibilidade na região de ressonância) para cada valor de fator de amortecimento e razão de massas utilizado, enquanto que os modelos de suspensão com amortecedores não lineares são comparados para cada valor de fator de amortecimento linear, por meio do coeficiente de amortecimento equivalente para cada modelo. 7 1.4. Contribuições 1.4 Contribuições As principais contribuições desta dissertação são: • O desenvolvimento de expressões analíticas de transmissibilidade de deslocamento absoluto para diferentes modelos de isoladores com inerter, com parâmetros adi- mensionais. • A demonstração de que os isoladores com inerter podem ser úteis na redução de vibrações para determinadas faixas de frequência. Essas faixas de frequência mudam conforme a característica construtiva do isolador é alterada. • A demonstração de que existe pelo menos um tipo de amortecimento que possui bom desempenho de isolamento tanto na região de ressonância (embora pior se comparado à um sistema com amortecimento linear) quanto para frequências mais altas (amortecimento geometricamente não linear). • A demonstração de que o amortecimento assimétrico não tem grande influência na transmissibilidade de deslocamento absoluto. • Uma proposta de processo de análise com comparações, para escolher ou dimen- sionar o melhor isolador, dentre os modelos que foram estudados. • Publicações: Trabalho intitulado “VIBRATION TRANSMISSIBILITY IN SYSTEMS WITH NONLINEAR DAMPERS”, apresentado ao International Congress on Sound and Vibration ICSV 2015 em Florença, Itália. Trabalho intitulado “VIBRATION DISPLACEMENT TRANSMISSIBILITY IN SYSTEMS WITH INERTER”, apresentado ao COBEM 2015 Rio de Janeiro, Brasil. 8 1.5. Estrutura da dissertação 1.5 Estrutura da dissertação Esta dissertação está dividida em seis capítulos. O Capítulo 1 contém a introdução ao problema do isolamento de vibrações, bem como os objetivos dessa dissertação, a metodologia que foi utilizada para a realização do trabalho, as contribuições do trabalho realizado no âmbito científico e a estrutura da dissertação. O Capítulo 2 apresenta uma revisão bibliográfica sobre o isolamento de vibrações, de forma a basear essa dissertação em diversos trabalhos que foram produzidos nos últimos anos, além de situá-la e justificar os objetivos propostos. O Capítulo 3 apresenta uma breve introdução ao uso do inerter no isolamento de vi- brações, o modelo de comparação e os modelos de suspensão com inerter desenvolvidos, e os resultados de transmissibilidade de deslocamento absoluto obtidos analiticamente para os mesmos. Apresenta-se também uma discussão sobre a influência dos parâmetros adimensionais (razão de massas e fator de amortecimento) nesses sistemas. O Capítulo 4 apresenta o modelo de comparação e os modelos de suspensão com amortecedores não lineares desenvolvidos, e os resultados de transmissibilidade de deslo- camento absoluto obtidos numericamente para os mesmos. Durante o desenvolvimento de cada modelo são apresentadas as curvas de força do amortecedor em função da ve- locidade, de força do amortecedor em função do tempo e a curva de histerese, que representa a dissipação de energia em um ciclo de amortecimento. O Capítulo 5 apresenta as comparações entre os diversos sistemas estudados e é dividido em três partes: uma para a comparação e discussão dos sistemas com inerter com o sistema massa-mola, uma para a comparação e discussão dos sistemas com inerter e uma para os sistemas com amortecedores não lineares. O Capítulo 6 apresenta as principais conclusões do trabalho conduzido nessa disser- tação, trabalhos desenvolvidos e possíveis trabalhos a serem desenvolvidos. O Apêndice A apresenta o passo a passo da modelagem dos sistemas apresentados no Capítulo 3, partindo das equações diferenciais ordinárias e chegando à equação de transmissibilidade para cada sistema com parâmetros adimensionais. O Apêndice B apresenta o procedimento de cálculo dos pontos apresentados na primeira seção do Capítulo 5. O Apêndice C apresenta um estudo sobre os valores de 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐, isto é, as contantes das molas e amortecedores secundários utilizados nos modelos com inerter. Capítulo 2 Revisão Bibliográfica Ainda hoje o controle de vibração em sistemas mecânicos é um desafio em engenharia. Segundo Ruzicka e Derby (1971), o isolamento de vibração é uma técnica de controle de vibração em que o isolador é acoplado entre a fonte de vibração e o sistema que requer proteção para reduzir o nível da vibração transmitida da fonte para o sistema em questão. De acordo ainda com Ruzicka e Derby (1971), sistemas de isolamento de vibração podem ser lineares ou não lineares, ativos ou passivos, e sua inserção no isolador de vibração faz com que o sistema composto pelo sistema mecânico, isolador e fonte de vibração gere um comportamento de ressonância na resposta em frequência. Para frequências mais altas, os isoladores fazem com que a resposta em frequência tenda a diminuir. A figura 2.1 apresenta os componentes da técnica de isolamento de vibrações: fonte ou source, caminho ou path e recebedor ou receiver. A fonte de vibração pode ser, por exemplo, o pavimento de uma pista, o caminho, portanto, o isolador, e a carroceria do carro, o receptor. Figura 2.1: Componentes de um sistema de isolamento de vibrações 10 De acordo com Harris e Piersol (2010), os isoladores são compostos por pelo menos um elemento que proporciona rigidez (mola) e por pelo menos um elemento que propor- ciona dissipação de energia (amortecedor). O isolador então, tende a isolar, ou proteger, uma determinada inércia (massa) de uma fonte de vibração. A fonte de vibração pode ser uma força atuante ou um deslocamento, velocidade ou aceleração da base, isto é, o local onde a inércia está apoiada por meio do isolador. A figura 2.2 mostra uma típica suspensão veicular, que é um isolador de vibrações, composta por mola e amortecedor. Figura 2.2: Suspensão veicular composta por mola e amortecedor Em 2002, Malcolm C. Smith introduziu pela primeira vez o conceito de um ele- mento mecânico conhecido como inerter, descrevendo-o como um dispositivo mecânico cuja propriedade é ter sua força de reação proporcional à aceleração relativa entre os seus terminais (SMITH, 2002). O inerter ideal tem essa relação de maneira linear. Tal elemento foi concebido por meio da observação das correspondências entre os elemen- tos mecânicos e os elementos que compõem um circuito elétrico, isto é, por meio da analogia eletromecânica, ou analogia de mobilidade. Por meio dessa analogia é possível representar um sistema mecânico por um sistema elétrico equivalente ou um sistema elétrico por um sistema mecânico equivalente. Para que haja equivalência, portanto, deve-se notar que o elemento mecânico “amortecedor” pode ser representado pelo ele- mento elétrico “resistor”, e vice-versa, pois ambos possuem a função de dissipar energia do sistema; o elemento mecânico “mola” pode ser representado pelo elemento elétrico “indutor”, e vice-versa, pois ambos possuem a função de restaurar energia ao sistema; força mecânica pode ser representada por corrente elétrica, e vice-versa; velocidade pode ser representada por tensão e vice-versa; massa pode ser representada por um capacitor aterrado em um dos terminais e vice-versa. No entanto, Malcolm observou que fal- tava um elemento mecânico que representasse o capacitor sem aterramento e conseguiu desenvolver o inerter, que passou a completar a analogia da mobilidade. A partir de então, os isoladores de vibração passaram a ter a possibilidade de serem constituídos de molas, amortecedores e inerters. As figuras 2.3 e 2.4 mostram dois exemplos de inerter que foram construídos, e os respectivos desenhos esquemáticos. 11 (a) (b) Figura 2.3: Inerter de pinhão e cremalheira. (a) Dispositivo. (b) Desenho esquemático. Retirado de Papageorgiou, Houghton e Smith (2009). (a) (b) Figura 2.4: Inerter de fuso de esferas recirculantes. (a) Dispositivo. (b) Desenho esquemático. Retirado de Papageorgiou, Houghton e Smith (2009). Da figura 2.3, pode-se observar que ao mover-se o terminal 2 da cremalheira (rack) no sentido do terminal 1 ou no sentido contrário, gira-se o pinhão (pinion) do eixo da engrenagem (gear), fazendo-a entrar em movimento. Com isso, a engrenagem gira o pinhão do eixo com o volante de inércia (flywheel). Da figura 2.4, pode-se observar que ao mover-se o terminal 2 do fuso (screw), faz-se com que as esferas recirculantes dentro da castanha (nut) acionem a roda livre (flywheel). Em ambos os casos supracitados, a inertância do inerter é determinada a partir do momento de inércia do volante de inércia. Os elementos que compõem um isolador de vibração, no entanto, são mais do que simplesmente molas, amortecedores e inerters lineares, isto é, as forças reativas que 12 tais elementos exercem muitas vezes são mais complexas do que se tem idealmente. A construção desses elementos acarreta, geralmente, em características não lineares que podem, segundo Harris e Piersol (2010), criar novos e inesperados fenômenos. Tais fênomenos não podem ser detectados por meio da análise linear, isto é, a análise linear é insuficiente para descrever o comportamento do sistema em questão. Assim, modelos de isoladores compostos por molas, amortecedores e inerters não lineares poderiam descrever melhor comportamentos de determinados sistemas mecânicos. De acordo com Harris e Piersol (2010), alguns sistemas que possuem características não lineares são: pêndulo simples, sendo a não linearidade um seno dependente do deslocamento angular na equação diferencial; sistema massa-mola simples com deformações maiores da mola apresentam os fenômenos de endurecimento (do inglês “hardening”) ou amolecimento (do inglês “softening”) e, tal não linearidade, é representada na equação diferencial por meio da famosa “Rigidez Duffing”, que depende da própria deformação; sistemas com cordas esticadas, sendo a não linearidade representada por alteração da constante de rigidez; sistemas com amortecimento viscoso quadrático ou superior, ou ainda, segundo Ruzicka e Derby (1971), com força de dissipação propocional à velocidade de enésima ordem; sistemas com amortecimento por fricção; sistemas com assimetria de rigidez; sistemas com rigidez, amortecimento e/ou inertância geometricamente não lineares; entre outros. A figura 2.5 mostra exemplos de rigidez e de amortecimento não lineares. Na figura 2.5a, a força de mola linear e as forças de mola com hardening e softening são mostradas, enquanto que na figura 2.5b, a força de amortecedor linear e as forças de amortecedor por atrito e quadrático são mostradas. −1 −0.5 0 0.5 1 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 Deslocamento relativo [m] F or ça [N ] Linear Hardening Softening (a) −10 −5 0 5 10 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 Velocidade relativa [m/s] F or ça [N ] Linear Atrito Quadrático (b) Figura 2.5: Não linearidades. (a) Rigidez. (b) Amortecimento. 13 Os isoladores passivos diferem dos ativos por não precisarem utilizar energia para o controle da vibração, enquanto que os isoladores ativos requerem uma fonte de ener- gia, além de uma malha de controle fechada (sensor) para controlarem devidamente a vibração. Enquanto que os isoladores passivos possuem a vantagem de não gastarem energia, os isoladores ativos possuem a vantagem de controlar vibrações com diferentes frequências e amplitudes. De qualquer forma, ambos os tipos de isoladores possuem aplicações. Suspensões de veículos, por exemplo, utilizam geralmente isoladores passi- vos, enquanto que controladores de superfícies de comando de asas de aviões utilizam atuadores, que agem como isoladores ativos. Um meio de verificar a performance de um isolador de vibração é por meio da fun- ção de transmissibilidade de deslocamento absoluto (RUZICKA; DERBY, 1971). Vários autores desenvolveram diversos trabalhos verificando a transmissibilidade de isoladores para sistemas mecânicos, tanto lineares, quanto não lineares. De acordo com Carrella et al. (2012), o isolador de vibração ideal deve ter alta rigidez estática para suportar cargas estáticas sem deslocamentos muito grandes e, ao mesmo tempo, baixa rigidez dinâmica de forma que a frequência fundamental do sistema seja a mais baixa possí- vel, resultando em uma maior região de isolamento. Segundo Carrella et al. (2012), esses dois efeitos são mutualmente exclusivos quando se trata de isoladores lineares, mas podem ser obtidos mutualmente se isoladores não lineares forem adequadamente configurados. Um exemplo de isolador que atende a estes dois requisitos é o amortece- dor geometricamente não linear descrito por Tang e Brennan (2013). Esse amortecedor só atua no isolador quando o deslocamento relativo entre os terminais é grande e isso ocorre na região de ressonância. Portanto, esse amortecedor consegue limitar a ampli- tude da resposta em frequência do sistema quando excitado próximo à sua frequência fundamental. Esse mesmo amortecedor melhora o isolamento em altas frequências pois o deslocamento relativo entre os terminais do isolador é pequeno, o que faz esse amor- tecedor ter menos influência no sistema. No mesmo artigo publicado, Tang e Brennan (2013) apresentaram um amortecedor cúbico. Eles concluíram que ambos os amorte- cedores são melhores que o amortecedor linear quando considerando transmissibilidade de força, porém, quando considerando transmissibilidade de deslocamento, somente o amortecedor goemetricamente não linear demonstrou caracterísitcas desejáveis. López (2013) também mostrou que sistemas com amortecedor geometricamente não linear são bons isoladores de vibração. Outro amortecedor que apresentou características desejá- veis para o isolamento de vibração é o amortecedor assimétrico. Silveira, Pontes Junior e Balthazar (2014) mostraram que esse tipo de amortecedor pode aumentar o conforto de passageiros em veículos submetidos à excitações transientes (choque), aplicando tal amortecedor em modelos de um quarto de veículo e metade de veículo. Flannelly (1968) propôs um amortecedor cuja força depende da velocidade, mas que não utiliza fluido. Os isoladores que possuem inerter, em contrapartida aos isoladores que utilizam 14 amortecimento não linear, são mais raros, provavelmente devido à recente divulgação do elemento. O dispositivo inerter ganhou maior notoriedade na comunidade científica em 2008, após a divulgação por algumas revistas do segmento automotivo de que os carros de corrida da Fórmula 1 estavam utilizando um dispositivo na suspensão conhecido como J-Damper, que aumentava a manobrabilidade e a aderência do carro à pista. Chen et al. (2009) afirmam que o J-Damper é, na realidade, o inerter, e que ele é o dispositivo responsável pelos benefícios do novo tipo de suspensão. Componentes mecânicos com comportamento similar (ou igual) ao do inerter foram considerados em outras referências. Em Rivin (2003), o inerter é descrito como um sistema vibratório que transforma o movimento retilíneo em rotação e, além disso, desenvolve a função de transmissibilidade de um sistema desse tipo. Analisando outros tipos de isoladores mecânicos, pode ser observado que o com- portamento do inerter é muito similar ao do isolador de vibração anti-ressonante do tipo “alavanca”, apresentado por Yilmaz e Kikuchi (2006). Aparentemente, a primeira patente dessa aplicação fora obtida em 1969 por W. G. Flannelly, com base em um trabalho de sua autoria (FLANNELLY, 1966). O mecanismo, à época, foi chamado de DAVI - Dynamic Vibration Antiresonant Isolator (Isolador de vibração dinâmico anti-ressonante). Em Dylejko e MacGillivray (2014), esse mecanismo foi utilizado para suprimir a ressonância interna em sistemas mecânicos. Em Chen et al. (2014), os au- tores investigaram a influência do inerter nas frequências naturais de um sistema com múltiplos graus de liberdade. Em Hu, Chen e Shu (2014), os autores estudaram suspen- sões passivas de veículos com inerter, considerando múltiplos requisitos de performance incluindo conforto, deflexão da suspensão e aderência do pneu. Outros trabalhos com inerter também foram realizados: Em Smith e Wang (2004), os autores modelaram vários sistemas de isolamento passivos simples que incluiam um inerter e verificaram os benefícios na performance do elemento isolado; em Jiang et al. (2012), os autores incorporaram o inerter à suspensão passiva de um trem; em Wang et al. (2007), os au- tores analisaram a performance do controle exercido pelo inerter em uma suspensão; em Wang e Su (2008), o impacto de não linearidades no inerter foi analisado no controle da suspensão de veículos; em Wang, Hong e Lin (2011), foi desenvolvido um inerter hidráulico, trazendo mais uma forma de construção desse tipo de dispositivo e novas possibilidades de controle; em Zhang e Hu (2014), o inerter foi aplicado na suspensão de um caminhão pesado; em Zhang, Chen e Huang (2014), os autores analisaram a resposta em frequência de um sistema de suspensão com inerter e folga, e; Hu e Chen (2015) avaliaram e otimizaram a perfomance de absorvedores dinâmicos de vibração com inerter. Levando-se em consideração a revisão bibliográfica realizada, este trabalho investiga a utilização de algumas configurações de isoladores com inerter, algumas delas sugeridas por Chen et al. (2009) e algumas já investigadas por Hu et al. (2014), além de alguns 15 isoladores com amortecimento não linear, nomeadamente, o quadrático, o assimétrico e o geométrico, com o intuito de verificar as funções de transmissibilidade de deslocamento absoluto de cada um, e compará-los para identificar em quais regiões os isoladores possuem melhor ou pior isolamento. Com relação aos modelos com inerter, não foram encontradas comparações entre os quatro modelos desenvolvidos nesse trabalho, embora o primeiro modelo seja conhecido, como mostrado por Rivin (2003). Com relação aos amortecedores não lineares, muito embora o amortecedor geometricamente não linear tenha sua função de transmissibilidade conhecida, não há comparações prévias com o amortecedor assimétrico ou quadrático. Assim, o que se propõe neste trabalho é verificar regiões de frequência nas funções de transmissibilidade dos modelos desenvolvidos que possuam melhor e pior isolamento. Capítulo 3 Isolamento com o uso do inerter 3.1 Introdução O conceito de um inerter ideal foi primeiramente mencionado por Smith (2002), descrevendo-o como um dispositivo mecânico de dois terminais com a propriedade de que a força aplicada aos seus terminais é proporcional à aceleração relativa entre eles. Essa definição pode ser representada pela expressão 𝐹 = 𝑏(𝑎2 − 𝑎1), sendo que 𝐹 é a força aplicada, 𝑎1 e 𝑎2 são as acelerações dos terminais e 𝑏 é um coeficiente de inertância. De acordo com Smith, o inerter é o dispositivo mecânico equivalente a um capacitor sem qualquer terminal aterrado. Em outras palavras, para que um circuito elétrico tenha uma equação diferencial ordinária equivalente à equação de um oscilador massa- mola-amortecedor, o capacitor do circuito elétrico deve ser aterrado em um de seus terminais. Nas próximas seções deste capítulo são desenvolvidos analiticamente os modelos de sistemas mecânicos com inerter com o intuito de verificar as respectivas transmissibi- lidades de deslocamento absoluto e identificar regiões de frequência em que há melhor ou pior isolamento, de maneira semelhante ao que foi feito por Smith e Wang (2004), mas com modelos com apenas um grau de liberdade. 17 3.2. Sistema mecânico de comparação: sistema massa-mola-amortecedor 3.2 Sistema mecânico de comparação: sistema massa- mola-amortecedor O sistema mecânico composto por uma massa 𝑚, uma mola de rigidez 𝑘 e um amortecedor de coeficiente de amortecimento 𝑐, apresentado na figura 3.1, é a base de comparação para os sistemas subsequentes. Figura 3.1: Sistema massa-mola-amortecedor Resultados gráficos para esse sistema A equação A.7 demonstrada no Apêndice A (seção A.1) é reapresentada a seguir e descreve a transmissibilidade 𝑇𝑑 do sistema, definida como a razão entre a amplitude de deslocamento da massa 𝑋 pela amplitude de deslocamento da base 𝑋0, em função da razão de frequências Ω e do fator de amortecimento 𝜉: |𝑇𝑑| = ⃒⃒⃒⃒ 𝑋 𝑋0 ⃒⃒⃒⃒ = ⎯⎸⎸⎷ 1 + (2𝜉Ω)2 (1 − Ω2)2 + (2𝜉Ω)2 O sistema descrito, composto por uma mola, uma massa e um amortecedor, é si- mulado com fator de amortecimento (𝜉 = 0.1) e comparado aos outros sistemas com inerter que serão simulados com variação do fator de amortecimento e da razão de mas- sas. O fator de amortecimento utilizado neste sistema de comparação tem como único objetivo evitar valores muito altos de transmissibilidade de deslocamento absoluto, pois a intenção é de que todos os outros sistemas sejam comparados à um sistema sem amor- tecimento (ou com o mínimo possível), para verificar apenas a influência do inerter no isolamento. A figura 3.2 mostra a transmissibilidade do sistema massa-mola-amortecedor com 0.1 de fator de amortecimento. Esse sistema é a base de comparação para os sistemas subsequentes e é denominado, a partir deste ponto, como sistema “massa-mola” ou simplesmente “sistema de comparação”, pelos motivos supracitados. 18 3.2. Sistema mecânico de comparação: sistema massa-mola-amortecedor 10 −2 10 −1 10 0 10 1 10 2 10 −3 10 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e Figura 3.2: Transmissibilidade de um sistema massa-mola-amortecedor com 𝜉 = 0.1 A figura 3.3 mostra a superfície gerada da função de transmissibilidade com vari- ação do fator de amortecimento e da razão de frequências, demonstrando o efeito do amortecimento no sistema. Figura 3.3: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor Conforme amplamente discutido na literatura, o aumento do amortecimento no sis- tema resulta em melhoria do isolamento na região de ressonância e piora do isolamento em frequências mais altas. 19 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 3.3 Sistemas mecânicos com inerter Com o intuito de apresentar os efeitos que o uso de um inerter em determinados sistemas mecânicos pode ocasionar, alguns modelos de sistemas mecânicos foram anali- ticamente desenvolvidos. 3.3.1 Sistema massa-mola-amortecedor-inerter O primeiro sistema mecânico investigado, em que um inerter é adicionado, é o sistema massa-mola-amortecedor-inerter como mostrado na figura 3.4 a seguir. A iner- tância do elemento adicionado é denotada por 𝑏. Tal sistema é denominado S-1. Figura 3.4: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter Resultados gráficos para esse sistema Com a equação A.18 reapresentada a seguir, demonstrada no Apêndice A (se- ção A.2.1) e que descreve a transmissibilidade para este sistema, é possível obter diversas curvas de resposta em frequência com variação dos parâmetros de fator de amorteci- mento 𝜉 e razão de massas 𝜇, definida como a razão entre a inertância do inerter 𝑏 e a massa do sistemas 𝑚, com o intuito de verificar a influência destes no sistema em estudo. |𝑇𝑑| = ⎯⎸⎸⎷ (1 − 𝜇Ω2)2 + (2𝜉Ω)2 (1 − (1 + 𝜇)Ω2)2 + (2𝜉Ω)2 A figura 3.5 mostra o desempenho do sistema com valores de razão de massas cons- tantes para as três condições de amortecimento: subamortecido (𝜉 = 0.1), criticamente amortecido (𝜉 = 1) e superamortecido (𝜉 = 1.5). 20 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (c) Figura 3.5: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. Ao observar as figuras 3.5a a 3.5c, verifica-se que o aumento do amortecimento no sistema para os três valores de razão de massas diminui o efeito benéfico que o inerter proporciona ao isolamento, enquanto que para frequências mais altas, as curvas de transmissibilidade se mantêm convergentes. A figura 3.6 mostra o desempenho do sistema com valores de fator de amortecimento constante para as três condições de razão de massas: inertância menor que massa sus- pensa (𝜇 = 0.1), inertância igual à massa suspensa (𝜇 = 1) e inertância maior que a massa suspensa (𝜇 = 1.5). 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (c) Figura 3.6: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. Ao observar a figura 3.6a, verifica-se que o aumento da razão de massas diminui o valor da frequência de ressonância do sistema, bem como o valor da transmissibilidade no respectivo pico, no entanto, aumenta o valor da transmissibilidade no vale, isto é, na região de melhor isolamento do sistema. Para frequências mais altas, o aumento da razão de massas resulta em uma piora do isolamento. Ao observar as figuras 3.6, verifica-se novamente que o aumento do amortecimento tende a retirar o efeito positivo que o inerter fornece ao isolamento e, que a diferença das curvas de transmissibilidade para cada 𝜇 se tornam cada vez menores na região de ressonância. Ainda com a equação A.18, é possível gerar superfícies formadas pela transmissibili- dade em função da razão de frequências, da razão de massas e do fator de amortecimento. Como pode ser observado nas figuras anteriores, a melhor condição para se visualizar 21 3.3. Sistemas mecânicos com inerter o efeito do amortecimento é mantendo a razão de massas em 0.1, dentre as três op- ções apresentadas, e a melhor condição para se visualizar o efeito da razão de massas é mantendo o fator de amortecimento em 0.1, dentre as três opções apresentadas. As figu- ras 3.7 e 3.8 mostram, respectivamente, as superfícies para a razão de massas contante e o fator de amortecimento constante. Figura 3.7: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter com 𝜇 = 0.1 Ao observar a figura 3.7, conclui-se que o aumento do fator de amortecimento re- almente retira o efeito benéfico que o inerter apresenta ao isolamento do sistema, mas não influencia no valor assintótico que a transmissibilidade do sistema assume para frequências mais altas. 22 3.3. Sistemas mecânicos com inerter Figura 3.8: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter com 𝜉 = 0.1 Ao observar a figura 3.8, conclui-se que o aumento da razão de massas realmente des- loca o pico da região de ressonância e o vale de isolamento para frequências mais baixas, enquanto que na região de alta frequência o valor assintótico que a transmissibilidade do sistema assume aumenta. 23 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 3.3.2 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter elastica- mente acoplado O segundo sistema mecânico investigado, em que um inerter é adicionado, é o sis- tema massa-mola-amortecedor com um inerter em série com uma segunda mola de rigidez 𝑁𝑘𝑘, sendo 𝑁𝑘 uma constante, como mostrado na figura 3.9. Tal sistema é denominado S-2. Figura 3.9: Sistema massa-mola-amortecedor com inerter elasticamente acoplado Resultados gráficos para esse sistema Com a equação A.32 reapresentada a seguir, demonstrada no Apêndice A (se- ção A.2.2) e que descreve a transmissibilidade para este segundo sistema, é possível obter diversas curvas de resposta em frequência com variação dos parâmetros 𝜉 e 𝜇, com o intuito de verificar a influência destes no sistema em estudo. O valor escolhido para 𝑁𝑘, depois do estudo realizado no Apêndice C (seção C.1), foi de 𝑁𝑘 = 0.1. Com o estudo realizado no Apêndice C para esse sistema, foi concluído que valores baixos de 𝑁𝑘 resultaram em um efeito anti-ressonante, enquanto que valores mais altos resultaram em maior banda de isolamento. |𝑇𝑑| = ⎯⎸⎸⎸⎸⎷ (︁ 1 − Ω2𝜇 (︁ 1 + 1 𝑁𝑘 )︁)︁2 + (︁ −2Ω3𝜇 𝜉 𝑁𝑘 + 2Ω𝜉 )︁2 (︁ 1 + Ω4𝜇 1 𝑁𝑘 − Ω2 − Ω2𝜇 (︁ 1 + 1 𝑁𝑘 )︁)︁2 + (︁ −2Ω3𝜇 𝜉 𝑁𝑘 + 2Ω𝜉 )︁2 A figura 3.10 mostra o desempenho do sistema com valores de razão de massas cons- tantes para as três condições de amortecimento: subamortecido (𝜉 = 0.1), criticamente amortecido (𝜉 = 1) e superamortecido (𝜉 = 1.5). 24 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 10 −2 10 0 10 2 10 −2 10 0 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 2 10 −2 10 0 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 2 10 −2 10 0 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (c) Figura 3.10: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola secundária. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. A figura 3.11 mostra o desempenho do sistema com fator de amortecimento 𝜉 = 0.1 para três condições de razão de massas: inertância menor que massa suspensa (𝜇 = 0.1), inertância igual à massa suspensa (𝜇 = 1) e inertância maior que a massa suspensa (𝜇 = 1.5). 10 −2 10 0 10 2 10 −2 10 0 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 2 10 −2 10 0 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 2 10 −2 10 0 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (c) Figura 3.11: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola secundária. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. Ao observar as figuras 3.10a a 3.10c, verifica-se novamente que o aumento do amor- tecimento no sistema diminui o efeito positivo que o inerter proporciona ao isolamento, para os valores de razão de massas utilizados. Ao observar as figuras 3.11a a 3.11c, verifica-se que o aumento da razão de mas- sas desloca os dois picos e o vale da curva para frequências mais baixas. Para alta frequência, as curvas convergem para o mesmo decaimento para qualquer valor de 𝜇. Pode-se observar também a supressão do efeito do inerter devido ao amortecimento nas figuras 3.11b e 3.11c. As figuras apresentadas que possuem subamortecimento (𝜉 = 0.1) mostram que esse sistema gera dois picos e um vale de isolamento no que seria uma região próxima a região de ressonância de um sistema massa-mola (Ω = 1). Para frequências mais altas, pode- se verificar que os valores de transmissibilidade continuam decaindo. Assim, pode-se concluir que a vantagem desse sistema sobre o sistema anterior é o decaimento em alta frequência e, sua desvantagem, é a geração de um segundo pico de transmissibilidade. Com relação ao sistema massa-mola, o vale gerado é a vantagem, enquanto que o segundo 25 3.3. Sistemas mecânicos com inerter pico gerado e o decaimento menor na alta frequência são desvantagens. Ainda com a equação A.32, é possível gerar superfícies formadas pela transmissibili- dade em função da razão de frequências, da razão de massas, do fator de amortecimento e dos valores de 𝑁𝑘. Novamente, como pode ser observado nas figuras anteriores, a me- lhor condição para se visualizar o efeito do amortecimento é mantendo a razão de massas em 0.1, e a melhor condição para se visualizar o efeito da razão de massas é mantendo o fator de amortecimento em 0.1. O valor de 𝑁𝑘 também deve ser constante para gerar as superfícies e foi escolhido o valor supracitado (0.1). As figuras 3.12 e 3.13 mostram, res- pectivamente, as superfícies para a razão de massas contante e o fator de amortecimento constante. para o valor de 𝑁𝑘 = 0.1. Figura 3.12: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-mola secundária com 𝜇 = 0.1 Ao observar a figura 3.12, verifica-se que realmente há a geração de dois picos e um vale para esse sistema e que, para os valores constantes de 𝑁𝑘 e 𝜇, a geração destes são sempre na mesma frequência para qualquer valor de 𝜉. É evidente que o aumento do fator de amortecimento passa a suprimir os efeitos positivos e negativos da nova configuração ao isolamento no sistema na região de ressonância, enquanto que para a alta frequência o decaimento dos valores de transmissibilidade é levemente deteriorado. 26 3.3. Sistemas mecânicos com inerter Figura 3.13: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-mola secundária com 𝜉 = 0.1 Ao observar a figura 3.13, verifica-se que o aumento do valor da razão de massas (𝜇) faz com que os picos e o vale se desloquem no eixo da razão de frequências (Ω) para frequências mais baixas, sendo que o maior pico se desloca pouco, enquanto que o pico menor, bem como o vale, se deslocam muito significativamente. Além disso, é possível verificar que o efeito anti-ressonante só ocorre para valores baixos da razão de massas, isto é, 0 < 𝜇 6 0.1. Também é possível observar descontinuidades presentes na superfície. Estas se devem a problemas de discretização, não comprometendo o entendimento da tendência do formato da superfície caso tal discretização fosse perfeita. 27 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 3.3.3 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscosa- mente acoplado O terceiro sistema mecânico investigado, em que um inerter é adicionado, é o sistema massa-mola-amortecedor com um inerter em série com um segundo amortecedor viscoso, com coeficiente de amortecimento 𝑁𝑐𝑐, sendo 𝑁𝑐 uma constante, como mostrado na figura 3.14. Tal sistema é denominado S-3. Figura 3.14: Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscosamente acoplado Resultados gráficos para esse sistema Com a equação A.48 reapresentada a seguir, demonstrada no Apêndice A (se- ção A.2.3) e que descreve a transmissibilidade para este terceiro sistema, é possível obter diversas curvas de resposta em frequência com variação dos parâmetros 𝜉 e 𝜇, com o intuito de verificar a influência destes no sistema em estudo. O valor escolhido para 𝑁𝑐, depois do estudo realizado no Apêndice C (seção C.2) para esse sistema, foi de 𝑁𝑐 = 2, visto que há benefício se comparado com outros valores mais baixos. Com o estudo realizado no Apêndice C, concluiu-se que para esse sistema o maior benefício para a região de ressonância ocorre com altos valores de 𝑁𝑐 enquanto que para a alta frequência, valores mais baixos trazem maiores benefícios. |𝑇𝑑| = ⎯⎸⎸⎸⎸⎷ (︁ 1 − Ω2𝜇 (︁ 1 + 1 𝑁𝑐 )︁)︁2 + (︁ Ω (︁ 2𝜉 + 𝜇 2𝑁𝑐𝜉 )︁)︁2 (︁ 1 − Ω2 (︁ 1 + 𝜇 + 𝜇 𝑁𝑐 )︁)︁2 + (︁ Ω (︁ 2𝜉 + 𝜇 2𝑁𝑐𝜉 )︁ − Ω3𝜇 1 2𝑁𝑐𝜉 )︁2 A figura 3.15 mostra o desempenho do sistema com 𝜇 = 0.1 para as três condi- ções de amortecimento: subamortecido (𝜉 = 0.1), criticamente amortecido (𝜉 = 1) e superamortecido (𝜉 = 1.5). 28 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (c) Figura 3.15: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com amortecedor secundário. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. Ao observar as figuras 3.15a a 3.15c, verifica-se novamente que o aumento do amorte- cimento no sistema tende a suprimir os efeitos que o inerter proporciona ao isolamento. A adição do segundo amortecedor, como explicado no Apêndice C, traz vantagem desse sistema em relação a um sistema massa-mola na região de ressonância quando 𝑁𝑐 for um valor mais alto, mas em alta frequência apresenta desvantagens. Portanto, a grande vantagem desse sistema é que é possível regular o parâmetro 𝑁𝑐 de forma a se configurar o quanto se quer obter de vantagem na região de ressonância em detrimento da alta frequência ou o inverso. Esse sistema, no entanto, não é possível de ser construído, uma vez que não há força restauradora agindo sobre o grau de liberdade 𝑥1, embora sugere o que pode ocorrer para o sistema analisado na próxima seção. A figura 3.16 mostra o desempenho do sistema com fator de amortecimento 𝜉 = 0.1 para três condições de razão de massas: inertância menor que massa suspensa (𝜇 = 0.1), inertância igual à massa suspensa (𝜇 = 1) e inertância maior que a massa suspensa (𝜇 = 1.5). 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (c) Figura 3.16: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com amortecedor secundário. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. Ao observar as figuras 3.16a a 3.16c, verifica-se que o aumento da razão de massas melhora a performance do sistema na região de ressonância, mas, em consequência, piora a performance em uma região de frequências intermediária entre a região de ressonância e a de alta frequência. Para frequências mais altas, as curvas são convergentes e há decaimento, portanto, uma vantagem sobre o primeiro sistema com inerter. 29 3.3. Sistemas mecânicos com inerter Ainda com a equação A.48, é possível gerar superfícies formadas pela transmissibili- dade em função da razão de frequências, da razão de massas, do fator de amortecimento e dos valores de 𝑁𝑐. Como nas seções anteriores, as melhores condições de visualização das curvas de transmissibilidade ocorrem para quando 𝜇 = 0.1 e 𝜉 = 0.1, variando-se o parâmetro não fixado. O valor de 𝑁𝑐 também deve ser constante para gerar as superfícies e foi escolhido o valor supracitado (2). As figuras 3.17 e 3.18 mostram, respectivamente, as superfícies para a razão de massas e o fator de amortecimento constantes. Figura 3.17: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor secundário com 𝜇 = 0.1 Ao observar a figura 3.17, verifica-se que os efeitos gerados pelo aumento de 𝜉 são se- melhantes aos efeitos que o aumento de 𝜉 gera em um sistema massa-mola-amortecedor. 30 3.3. Sistemas mecânicos com inerter Figura 3.18: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor secundário com 𝜉 = 0.1 Ao observar a figura 3.18, verifica-se que o aumento de 𝜇 diminui o valor do pico na região de ressonância e diminui o decaimento para frequências mais altas (degrada o iso- lamento). Conclui-se, portanto, que a razão de massas tem um efeito muito semelhante ao fator de amortecimento para esse sistema. 31 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 3.3.4 Sistema massa-mola-amortecedor com inerter acoplado em série com conjunto mola-amortecedor O quarto sistema mecânico investigado, em que um inerter é adicionado, é o sis- tema massa-mola-amortecedor com um inerter em série com um conjunto de mola e amortecedor secundários, com rigidez 𝑁𝑘𝑘 e com coeficiente de amortecimento 𝑁𝑐𝑐, res- pectivamente, sendo 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐 constantes, como mostrado na figura 3.19. Tal sistema é denominado S-4. Figura 3.19: Sistema massa-mola-amortecedor com inerter viscoelasticamente acoplado Resultados gráficos para esse sistema Com a equação A.68 reapresentada a seguir, demonstrada no Apêndice A (se- ção A.2.4) e que descreve a transmissibilidade para este quarto sistema, é possível obter diversas curvas de resposta em frequência com variação dos parâmetros 𝜉 e 𝜇, com o intuito de verificar a influência destes no sistema em estudo. Os valores escolhidos para 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐 foram, respectivamente, 𝑁𝑘 = 0.1 e 𝑁𝑐 = 2, para não diferenciá-los dos es- colhidos nas seções anteriores, embora um estudo destes parâmetros fora realizado no Apêndice C (seção C.3). Neste estudo foi constatado que valores mais altos de 𝑁𝑐 em relação a 𝑁𝑘 levam o comportamento da curva de transmissibilidade de deslocamento absoluto mais próximo do encontrado na seção 3.3.3, enquanto que valores mais bai- xos de 𝑁𝑐 em relação a 𝑁𝑘 levam o comportamento da curva de transmissibilidade de deslocamento absoluto mais próximo do encontrado na seção 3.3.2. 32 3.3. Sistemas mecânicos com inerter |𝑇𝑑| = √︃ 𝐴2 + 𝐵2 𝐶2 + 𝐷2 𝐴 = (︃ 1 − (︃ 𝜇 + 𝜇 𝑁𝑘 + 4𝑁𝑐𝜉 2 𝑁𝑘 )︃ Ω2 )︃ 𝐵 = (︃ 2𝜉 (︂ 1 + 𝑁𝑐 𝑁𝑘 )︂ Ω − 2𝜇𝜉 𝑁𝑘 (1 + 𝑁𝑐) Ω3 )︃ 𝐶 = (︃ 1 + 𝜇 𝑁𝑘 Ω4 − (︃ 1 + 𝜇 + 𝜇 𝑁𝑘 + 4𝑁𝑐𝜉 2 𝑁𝑘 )︃ Ω2 )︃ 𝐷 = (︃ 2𝜉 (︂ 1 + 𝑁𝑐 𝑁𝑘 )︂ Ω − 2𝜉 𝑁𝑘 (𝑁𝑐 + 𝜇 + 𝑁𝑐𝜇) Ω3 )︃ A figura 3.20 mostra o desempenho do sistema com valores de razão de massas cons- tantes para as três condições de amortecimento: subamortecido (𝜉 = 0.1), criticamente amortecido (𝜉 = 1) e superamortecido (𝜉 = 1.5). 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.5 (c) Figura 3.20: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola e amortecedor secun- dários. (a) 𝜇 = 0.1. (b) 𝜇 = 1. (c) 𝜇 = 1.5. Ao observar as figuras 3.20a a 3.20c, verifica-se praticamente o mesmo das figu- ras 3.15a a 3.15c. A vantagem desse sistema, no entanto, sobre o anterior, é a de que há uma força de restauração de mola agindo sobre o grau de liberdade 𝑥1, tornando esse sistema possível de ser construído. Além disso, é possível regular os parâmetros 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐 para obter benefício de isolamento na região desejada (região de ressonância ou de alta frequência). A figura 3.21 mostra o desempenho do sistema com fator de amortecimento 𝜉 = 0.1 para três condições de razão de massas: inertância menor que massa suspensa (𝜇 = 0.1), inertância igual à massa suspensa (𝜇 = 1) e inertância maior que a massa suspensa (𝜇 = 1.5). 33 3.3. Sistemas mecânicos com inerter 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (a) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (b) 10 −2 10 0 10 210 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e µ = 0.1 µ = 1 µ = 1.5 (c) Figura 3.21: Sistema massa-mola-amortecedor-inerter com mola e amortecedor secun- dários. (a) 𝜉 = 0.1. (b) 𝜉 = 1. (c) 𝜉 = 1.5. Ao observar as figuras 3.21a a 3.21c, verifica-se praticamente o mesmo das figu- ras 3.16a a 3.16c. Assim, tem-se conclusões semelhantes. Ainda com a equação A.68, é possível gerar superfícies formadas pela transmissibili- dade em função da razão de frequências, da razão de massas, do fator de amortecimento, dos valores de 𝑁𝑘 e dos valores de 𝑁𝑐. Como explicado anteriormente, a melhor condi- ção para se visualizar o efeito do amortecimento é mantendo a razão de massas em 0.1, e a melhor condição para se visualizar o efeito da razão de massas é mantendo o fator de amortecimento em 0.1. Os valores de 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐 também devem ser constantes para gerar as superfícies e foram escolhidos os supracitados (0.1 e 2, respectivamente). As figuras 3.22 e 3.23 mostram, respectivamente, as superfícies para a razão de massas e o fator de amortecimento constantes. Figura 3.22: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor e mola secundários com 𝜇 = 0.1 As conclusões da figura 3.22 são semelhantes às da figura 3.17 devido aos valores de 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐 escolhidos aproximarem esse sistema ao sistema da seção anterior. Similar- 34 3.3. Sistemas mecânicos com inerter mente, as conclusões da figura 3.23 são semelhantes às da figura 3.18 devido aos valores de 𝑁𝑘 e 𝑁𝑐 escolhidos também aproximarem esse sistema ao sistema da seção anterior. Figura 3.23: Superfície de transmissibilidade para o sistema massa-mola-amortecedor- inerter-amortecedor e mola secundários com 𝜉 = 0.1 Capítulo 4 Isolamento com o uso de amortecedores não lineares 4.1 Introdução O que apresenta-se neste capítulo são as transmissibilidades de deslocamento abso- luto para sistemas mecânicos utilizando os amortecedores linear, quadrático, assimétrico e não-linear geométrico, e compará-los com o intuito de identificar as faixas de frequência em que cada um deles melhora ou piora o isolamento. 36 4.2. Amortecimento linear 4.2 Amortecimento linear O sistema com amortecimento linear foi apresentado na seção 3.2. É o sistema me- cânico - com amortecimento - trivial quando tratamos de isolamento de vibrações. Esse tipo de amortecimento é do tipo fluídico-viscoso, dependendo linearmente da velocidade relativa entre os terminais do amortecedor, de acordo com a equação 4.1. 𝐹𝐴 = 𝑐(�̇� − �̇�0) (4.1) Com a equação 4.1 e excitação harmônica imposta ao amortecedor, é possível obter a curva da força do amortecedor em função da velocidade relativa entre os terminais (figura 4.1a), bem como a curva de histerese (figura 4.1b) que representa a dissipação de energia desse tipo de amortecimento em um ciclo. −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Velocidade [m/s] F or ça [N ] (a) −0.05 0 0.05 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Deslocamento [m] F or ça [N ] (b) Figura 4.1: Amortecedor linear. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. Ainda sobre o amortecedor linear, é possível obter o histórico da força junto com o histórico do deslocamento de excitação (figura 4.2), para fins de observação dos valores assumidos pela força em certos instantes de tempo e dos valores do deslocamento de excitação, e se o valor da velocidade de excitação é maior ou menor que zero (ângulo da reta tangente à curva do deslocamento). 37 4.2. Amortecimento linear 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Tempon[s] A m pl itu de Forçan[N] Deslocamenton[m] Figura 4.2: Ilustração do histórico de força e deslocamento de excitação de um amorte- cedor linear A figura 4.3 é obtida da equação A.7 e mostra o resultado da transmissibilidade de deslocamento absoluto para esse sistema, com variação de 𝜉 entre os valores 𝜉 = 0.1, 𝜉 = 1 e 𝜉 = 1.2. Como esse sistema é o de base de comparação para os outros sistemas com amortecimento não linear, e a intenção é a de verificar a influência do amortecimento no isolamento da vibração, então caberá, nesse tipo de comparação, a variação do fator de amortecimento do sistema com amortecimento linear (ao contrário do que foi feito com o sistema de base de comparação para os sistemas com inerter). A figura 4.3 será utilizada como base de comparação para os resultados obtidos para os sistemas com amortecedores não lineares. 38 4.2. Amortecimento linear 10 −1 10 0 10 1 10 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.2 Figura 4.3: Transmissibilidade de deslocamento absoluto - Sistema com amortecimento linear 39 4.3. Amortecimento não linear quadrático 4.3 Amortecimento não linear quadrático A figura 4.4 mostra um sistema mecânico com amortecimento quadrático. Esse amortecimento é do tipo fluido viscoso, mas com dependência quadrática da velocidade relativa entre os terminais do amortecedor, como mostra a equação 4.2, de acordo com Ruzicka e Derby (1971). 2 Figura 4.4: Sistema com amortecimento quadrático 𝐹𝐴 = 𝑐2 |(�̇� − �̇�0)|2 𝑠𝑖𝑔𝑛(�̇� − �̇�0) (4.2) Com a equação 4.2 e impondo excitação harmônica ao amortecedor quadrático, é possível obter a curva da força do amortecedor em função da velocidade relativa entre os seus terminais (figura 4.5a), bem como a curva de histerese que representa a dissipação de energia desse tipo de amortecimento em um ciclo (figura 4.5b). −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Velocidade [m/s] F or ça [N ] (a) −0.05 0 0.05 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Deslocamento [m] F or ça [N ] (b) Figura 4.5: Amortecedor quadrático. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. 40 4.3. Amortecimento não linear quadrático É possível obter também o histórico da força junto com o histórico do deslocamento de excitação (figura 4.6), para fins de observação dos valores assumidos pela força e pelo deslocamento de excitação para certos instantes de tempo, bem como verificar o sinal da velocidade. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Tempo [s] A m pl itu de Força [N] Deslocamento [m] Figura 4.6: Ilustração do histórico de força e deslocamento de excitação de um amorte- cedor quadrático Por meio do diagrama de corpo livre para a massa da figura 4.4 e, de acordo com a segunda lei de Newton, a EDO para o sistema com amortecimento quadrático é: 𝑚�̈� = −𝑘(𝑥 − 𝑥0) − 𝑐2 |(�̇� − �̇�0)|2 𝑠𝑖𝑔𝑛(�̇� − �̇�0) (4.3) Rearranjando-se a equação 4.3 torna-se: 𝑚�̈� + 𝑐2 |(�̇� − �̇�0)|2 𝑠𝑖𝑔𝑛(�̇� − �̇�0) + 𝑘(𝑥 − 𝑥0) = 0 (4.4) Para realizar a simulação numérica da equação 4.4 alguns procedimentos são neces- sários. Primeiro, deve-se transformar a equação diferencial ordinária (EDO) de segunda ordem para o espaço de estados. Como essa EDO é de segunda ordem, são necessárias duas variáveis de estado com condições iniciais conhecidas para que se possa predizer o comportamento dinâmico do sistema. Segue: 41 4.3. Amortecimento não linear quadrático 𝑌1 = 𝑥 𝑌2 = �̇� (4.5) Como 𝑥0 e �̇�0 são conhecidas (excitação imposta) e, portanto, não correspondem a um grau de liberdade, não são consideradas variáveis de estado para elas. Com as variáveis de estado definidas na equação 4.5, deve-se obter as taxas de variação no tempo das mesmas: �̇�1 = �̇� �̇�2 = �̈� = −𝑐2 |(�̇� − �̇�0)|2 𝑠𝑖𝑔𝑛(�̇� − �̇�0) − 𝑘(𝑥 − 𝑥0) 𝑚 (4.6) Finalmente o sistema de equações nas variáveis de estado se torna: �̇�1 = 𝑌2 �̇�2 = −𝑐2 |(𝑌2 − �̇�0)|2 𝑠𝑖𝑔𝑛(𝑌2 − �̇�0) − 𝑘(𝑌1 − 𝑥0) 𝑚 (4.7) O sistema de equações 4.7 está na estrutura necessária para a simulação numérica no software MATLAB, utilizando o método de Runge-Kutta de quarta e quinta ordem, através do comando MATLAB ode45, bastante utilizado na simulação de problemas em engenharia. No entanto, deve-se atribuir valores aos parâmetros do sistema, bem como determinar-se as condições iniciais das variáveis de estado escolhidas e estruturar os resultados de forma adimensional, para que estes possam ser generalizados. Como o objetivo é obter a curva de transmissibilidade de deslocamento absoluto em função da razão de frequências, pode-se fazer uma simulação do sistema de equações 4.7 para cada valor de frequência de excitação e obter-se um ponto correspondente de transmis- sibilidade de deslocamento absoluto. Se o valor da frequência natural do sistema for a unidade, então, a razão de frequências será igual ao valor da frequência de excitação, consequentemente, tem-se: 𝜔𝑛 = 1 [rad/s] Ω = 𝜔 𝜔𝑛 = 𝜔 1 = 𝜔 [adimensional] 𝑚 = 1 [Kg] 𝑘 = 1 [N/m] (4.8) 42 4.3. Amortecimento não linear quadrático Finalmente, para que se possa comparar o sistema com amortecimento quadrático ao sistema linear é necessário que haja pelo menos uma relação entre eles. Como o objetivo deste trabalho, nesta seção, é preparar a comparação entre o isolamento de vibração proveniente de um isolador com amortecimento quadrático com o isolamento de vibração proveniente de um isolador com amortecimento linear, pode-se estabelecer que ambos os sistemas estejam nas mesmas condições de amortecimento: subamortecido (𝜉 = 0.1), criticamente amortecido (𝜉 = 1) e, superamortecido (𝜉 = 1.2.). De acordo com Ruzicka e Derby (1971), o coeficiente de amortecimento linear equivalente é relacionado ao coeficiente de amortecimento quadrático pela equação 4.9: 𝑐 = 8𝑐2𝜔𝑧0 3𝜋 (4.9) onde 𝑐 é o coeficiente de amortecimento viscoso linear, 𝑐2 é o coeficiente de amorteci- mento viscoso quadrático, 𝜔 é uma determinada frequência de excitação e 𝑧0 é amplitude em regime permanente do deslocamento relativo entre os terminais do amortecedor. Nota-se pela equação 4.9 que há dependência do coeficiente de amortecimento qua- drático com o deslocamento relativo em regime permanente e com a frequência de exci- tação. Assim, para determinada frequência de excitação e correspondente amplitude de deslocamento relativo entre os terminais do amortecedor linear, haverá um valor para 𝑐2 em que o amortecedor quadrático dissipará a mesma energia que o amortecedor linear. Portanto, convenientemente, para fins de comparação, foi escolhida a frequência na- tural do sistema como sendo a frequência de excitação, com o intuito de que ambos os sistemas tenham a dissipação de energia por ciclo equivalente nessa frequência, isto é, 𝜔𝑛 = 1 [𝑟𝑎𝑑/𝑠], bastando apenas determinar qual é a amplitude do deslocamento relativo entre os terminais do amortecedor linear. Como este procedimento deverá ser efetuado para os diferentes valores de 𝜉, o sistema com amortecimento linear deverá ser simulado então para a frequência de ressonância, para os mesmos parâmetros de sistema (massa e rigidez) e mesmas condições iniciais. As condições iniciais de desloca- mento e velocidade são convenientemente adotadas como zero. O resultado da simulação está demonstrado na figura 4.7. Os valores apontados na figura 4.7 estão dispostos na tabela 4.1. Outra maneira de determinar a amplitude do deslocamento relativo entre os ter- minais do amortecedor linear é a analítica. Para o sistema com amortecimento linear, obtém-se do diagrama de corpo livre a EDO 4.10: 𝑚�̈� + 𝑐(�̇� − �̇�0) + 𝑘(𝑥 − 𝑥0) = 0 (4.10) Na equação 4.10, pode-se substituir o deslocamento relativo como 𝑧 = 𝑥 − 𝑥0, 43 4.3. Amortecimento não linear quadrático 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 X: 59.69 Y: 0.5 Tempo [s] D es lo ca m en to r el at iv o [m ] X: 84.82 Y: 0.4167 X: 91.11 Y: 5 ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.2 Figura 4.7: Histórico do deslocamento relativo para o sistema com amortecedor linear excitado pela base resultando em: 𝑚𝑧 + 𝑐�̇� + 𝑘𝑧 = 𝑚�̈�0 = 𝐹 (4.11) Assim, em termos do deslocamento relativo, obtém-se uma EDO equivalente a equa- ção diferencial de um sistema forçado, sem excitação de base, cuja solução de resposta em frequência é: ⃒⃒⃒⃒ 𝑍 𝐹 ⃒⃒⃒⃒ = ⎯⎸⎸⎷ 1 (1 − Ω2)2 + (2𝜉Ω)2 (4.12) Como 𝜔 = 𝜔𝑛 = 1, então Ω = 1. Para os valores de 𝜉 = 0.1, 𝜉 = 1 e 𝜉 = 1.2, obtém-se, respectivamente, os seguintes valores da equação 4.12: ⃒⃒⃒ 𝑍 𝐹 ⃒⃒⃒ = 5, ⃒⃒⃒ 𝑍 𝐹 ⃒⃒⃒ = 0.5 e⃒⃒⃒ 𝑍 𝐹 ⃒⃒⃒ = 0.4167. Tabela 4.1: Resultados de amplitude máxima de deslocamento relativo em regime per- manente para diversos valores de 𝜉 no sistema com amortecimento linear Valores de 𝜉 Amplitude de 𝑧0 [m] 𝜉 = 0.1 5 𝜉 = 1 0.5 𝜉 = 1.2 0.4167 Com os valores de amplitude da tabela 4.1, o valor da respectiva frequência de 44 4.3. Amortecimento não linear quadrático excitação, que é a frequência natural do sistema, e a equação 4.9, pode-se então calcular o valor de 𝑐2 equivalente para essa condição. Ao utilizar o parâmetro 𝑐2 calculado para cada 𝜉 para determinar a transmissibilidade de deslocamento absoluto do sistema em função da razão de frequências obtém-se curvas generalizadas para o sistema mecânico representado pela equação 4.4. Os valores obtidos para 𝑐2 estão dispostos na tabela 4.2. Tabela 4.2: Valores de 𝑐 e 𝑐2 calculados Valores de 𝜉 Amplitude de 𝑧0 [m] Valor de 𝑐2 [Ns2/m2] Valor de 𝑐 [Ns/m] 𝜉 = 0.1 5 0.04715 0.2 𝜉 = 1 0.5 4.7115 2 𝜉 = 1.2 0.4167 6.7853 2.4 Pode-se impor excitação harmônica como a da equação 4.13 ao sistema e então simulá-lo variando-se a frequência de excitação, que no caso é a própria razão de frequên- cias, e obter-se assim o gráfico da figura 4.8 de transmissibilidade de deslocamento absoluto em função da razão de frequências para os diversos valores de 𝜉. Os resul- tados da figura 4.8 serão comparados posteriormente com os de outros sistemas com amortecimento não linear. 𝑥0 = sin(𝜔𝑡); �̇�0 = 𝜔 cos(𝜔𝑡); (4.13) 10 −1 10 0 10 1 10 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.2 Figura 4.8: Transmissibilidade de deslocamento absoluto de um sistema com amorteci- mento quadrático 45 4.4. Amortecimento não linear assimétrico 4.4 Amortecimento não linear assimétrico A figura 4.9 mostra um sistema mecânico com amortecimento assimétrico. Esse amortecimento é do tipo fluídico-viscoso, com dependência linear da velocidade relativa entre os terminais do amortecedor. No entanto, quando essa velocidade relativa é posi- tiva, o coeficiente de amortecimento possui um valor, e quando essa velocidade relativa é negativa, o coeficiente de amortecimento possui um valor diferente. A equação 4.14 descreve o comportamento da força desse tipo de amortecedor em função da velocidade relativa entre seus terminais. +- Figura 4.9: Sistema com amortecimento assimétrico 𝐹𝐴 = 𝑐+(�̇� − �̇�0), se �̇� − �̇�0 ≥ 0; 𝐹𝐴 = 𝑐−(�̇� − �̇�0), se �̇� − �̇�0 < 0; (4.14) Com a equação 4.14 e impondo excitação harmônica ao amortecedor assimétrico, é possível obter a curva da força do amortecedor em função da velocidade relativa entre os seus terminais (figura 4.10a), bem como a curva de histerese que representa a dissipação de energia desse tipo de amortecimento em um ciclo (figura 4.10b). É possível obter também o histórico da força junto com o histórico do deslocamento de excitação (figura 4.11), para fins de observação dos valores assumidos pela força em certos instantes de tempo, bem como do valor do deslocamento de excitação e se o valor da velocidade de excitação é maior ou menor que zero. 46 4.4. Amortecimento não linear assimétrico −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Velocidade [m/s] F or ça [N ] (a) −0.05 0 0.05 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Deslocamento [m] F or ça [N ] (b) Figura 4.10: Amortecedor assimétrico. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 Tempo [s] A m pl itu de Força [N] Deslocamento [m] Figura 4.11: Ilustração do histórico de força e deslocamento de excitação de um amor- tecedor assimétrico Por meio do diagrama de corpo livre para a massa da figura 4.9 e, de acordo com a segunda lei de Newton, a EDO para o sistema com amortecimento assimétrico é: 𝑚�̈� = −𝑘(𝑥 − 𝑥0) − 𝑐+(�̇� − �̇�0), se �̇� − �̇�0 ≥ 0; 𝑚�̈� = −𝑘(𝑥 − 𝑥0) − 𝑐−(�̇� − �̇�0), se �̇� − �̇�0 < 0; (4.15) Rearranjando-se a equação 4.15 torna-se: 47 4.4. Amortecimento não linear assimétrico 𝑚�̈� + 𝑐+(�̇� − �̇�0) + 𝑘(𝑥 − 𝑥0) = 0, se �̇� − �̇�0 ≥ 0; 𝑚�̈� + 𝑐−(�̇� − �̇�0) + 𝑘(𝑥 − 𝑥0) = 0, se �̇� − �̇�0 < 0; (4.16) Para realizar a simulação numérica da equação 4.16 deve-se repetir os procedimentos efetuados na seção anterior, para o amortecimento quadrático. Transforma-se a EDO de segunda ordem para o espaço de estados. Como essa EDO é de segunda ordem, são necessárias duas variáveis de estado com condições iniciais conhecidas para que se possa predizer o comportamento dinâmico do sistema. Segue: 𝑌1 = 𝑥 𝑌2 = �̇� (4.17) Como 𝑥0 e �̇�0 são conhecidas (excitação imposta), não há necessidade de considerar- mos variáveis de estado para elas. Com as variáveis de estado definidas na equação 4.17, devemos obter as taxas de variação no tempo das mesmas: �̇�1 = 𝑌2 = �̇�; �̇�2 = �̈� = −𝑐+(�̇� − �̇�0) − 𝑘(𝑥 − 𝑥0) 𝑚 , se �̇� − �̇�0 ≥ 0; �̇�2 = �̈� = −𝑐−(�̇� − �̇�0) − 𝑘(𝑥 − 𝑥0) 𝑚 , se �̇� − �̇�0 < 0; (4.18) (4.19) Finalmente o sistema de equações nas variáveis de estado se torna: �̇�1 = 𝑌2; �̇�2 = −𝑐+(𝑌2 − �̇�0) − 𝑘(𝑌1 − 𝑥0) 𝑚 , se �̇� − �̇�0 ≥ 0; �̇�2 = −𝑐−(𝑌2 − �̇�0) − 𝑘(𝑌1 − 𝑥0) 𝑚 , se �̇� − �̇�0 < 0; (4.20) O sistema de equações 4.20 está na estrutura necessária para a simulação numérica no software MATLAB. Novamente, deve-se atribuir valores aos parâmetros do sistema, bem como determinar-se as condições iniciais das variáveis de estado escolhidas e estruturar os resultados de forma adimensional, para que estes possam ser generalizados. Os mesmos valores de massa, rigidez, condições iniciais e excitação externa do sistema com 48 4.4. Amortecimento não linear assimétrico amortecimento quadrático são utilizados para o sistema com amortecimento assimétrico, portanto, utilizando o mesmo método de adimensionalização numérica. Os parâmetros que faltam ser calculados agora são apenas 𝑐+ e 𝑐−. Segundo Ruzicka e Derby (1971), se um elemento de amortecimento está sob excitação harmônica 𝑧 = 𝑧0 sin(𝜔𝑡), a energia dissipada "D"em um ciclo de vibração é dada por: 𝐷 = 4𝜔𝑧0 ∫︁ 𝜋 2𝜔 0 𝐹𝐴 cos(𝜔𝑡) d𝑡 (4.21) Para o amortecimento viscoso, um ciclo completo de vibração gera a energia de 𝜋𝑐𝜔𝑧2 0 . Para o amortecimento assimétrico, pode-se aproximar um exato meio ciclo para 𝑐+ e um exato meio ciclo para 𝑐−, e somar as energias, resultando em: 𝜋𝑐𝜔𝑧2 0 = 𝜋𝑐+𝜔𝑧2 0 2 + 𝜋𝑐−𝜔𝑧2 0 2 𝑐 = 𝑐+ 2 + 𝑐− 2 (4.22) Nota-se, na equação 4.22 que não há dependência da frequência de excitação e nem da amplitude em regime permanente. No entanto, como demonstrado por Silveira, Wahi e Fernandes (2017), os meio ciclos de extensão e compressão não possuem o mesmo período, e essa diferença depende da razão de assimetria e da frequência de excitação. Assim, a equação 4.22 representa o coeficiente de amortecimento linear equivalente em termos do coeficiente de amortecimento para o semiciclo positivo e do coeficiente de amortecimento para o semiciclo negativo do amortecimento assimétrico. Um valor adimensional 𝛽 pode ser obtido da relação entre 𝑐+ e 𝑐−, que indica o quão assimétrico esse amortecedor é. Se 𝛽 = 1, o amortecedor assimétrico é, na realidade, um amortece- dor simétrico. De acordo com Dixon (2008), é comum encontrar valores de 𝛽 entre 3 e 4, nos amortecedores em uso, portanto este valor de 𝛽 será utilizado. Então, sabendo-se o valor utilizado para 𝑐, tem-se: 𝑐 = 𝑐+ 2 + 𝑐− 2 → 2𝑐 = 𝑐+ + 𝑐−; 𝛽 = 𝑐+ 𝑐− → 2𝑐 = 𝛽𝑐− + 𝑐−; então 𝑐− = 2𝑐 1 + 𝛽 e 𝑐+ = 𝛽𝑐− (4.23) Como o objetivo desta seção é preparar a comparação entre o isolamento de vibra- ção proveniente de um isolador com amortecimento assimétrico com o isolamento de 49 4.4. Amortecimento não linear assimétrico Tabela 4.3: Valores dos coeficientes de amortecimento para o amortecedor linear e o amortecedor assimétrico com 𝛽 = 3 Valores de 𝜉 𝑐 [Ns/m] 𝑐+ [Ns/m] 𝑐− [Ns/m] 𝜉 = 0.1 0.2 0.3 0.1 𝜉 = 1 2 3 1 𝜉 = 1.2 2.4 3.6 1.2 vibração proveniente de um isolador com amortecimento linear, pode-se estabelecer que ambos os sistemas estejam nas mesmas condições de amortecimento: subamortecido (𝜉 = 0.1), criticamente amortecido (𝜉 = 1) e, superamortecido (𝜉 = 1.2). Com o valores de massa e da frequência natural escolhidos anteriormente é possível, para cada valor de 𝜉 e determinado 𝛽, calcular os valores de 𝑐+ e 𝑐−. O parâmetro 𝑐 pode ser calculado pela equação 4.24: 𝑐 = 2𝜉𝑚𝜔𝑛 (4.24) Os resultados obtidos então para os parâmetros 𝑐, 𝑐+ e 𝑐−, para os valores de 𝜉 = 0.1, 𝜉 = 1 e 𝜉 = 1.2, com 𝛽 = 3, estão dispostos na tabela 4.3: Ao utilizar os parâmetros 𝑐+ e 𝑐− calculados para cada 𝜉 relacionado a determinado 𝛽 para determinar a transmissibilidade de deslocamento absoluto do sistema em fun- ção da razão de frequências, obtém-se curvas generalizadas para o sistema mecânico representado pelo sistema de equações 4.16. Simulando o sistema então obtém-se o gráfico da figura 4.12, de transmissibilidade de deslocamento absoluto em função da razão de frequências para a variação de 𝜉. Os resultados da figura 4.12 serão comparados posteriormente com os de outros sistemas com amortecimento não linear. 50 4.4. Amortecimento não linear assimétrico 10 −1 10 0 10 1 10 −2 10 −1 10 0 10 1 Razão de frequências T ra ns m is si bi lid ad e ξ = 0.1 ξ = 1 ξ = 1.2 Figura 4.12: Transmissibilidade de deslocamento absoluto de um sistema com amorte- cimento assimétrico com 𝛽 = 3 51 4.5. Amortecimento geometricamente não linear 4.5 Amortecimento geometricamente não linear A figura 4.13 mostra um sistema mecânico com amortecimento geometricamente não linear. Esse amortecimento é do tipo fluido viscoso. Se o amortecedor fosse montado no sistema paralelamente à mola, o amortecimento seria linear mas, em razão da geometria da montagem, a força de amortecimento tornou-se não linear. Figura 4.13: Sistema com amortecimento geometricamente não linear Segundo López (2013), a força que um amortecedor linear colocado nesta posição exerce na vertical é dada pela equação 4.25: 𝐹𝐴 = 𝑐 𝑧2 𝑧2 + 𝑎2 �̇� (4.25) onde 𝑎 é a distância inicial entre os terminais do amortecedor e 𝑧 é o deslocamento relativo entre os terminais do mesmo. Assim, ao observar-se a equação 4.25, pode-se notar que a força do amortecedor de- pende quadraticamente do deslocamento relativo entre os terminais, bem como depende linearmente da velocidade relativa entre os mesmos. Assim, para baixas frequências de excitação, o amortecedor tende a inclinar mais na vertical, aumentando sua influência no sistema, enquanto que para frequências mais altas, o amortecedor tende a ser man- tido na horizontal, minimizando sua ação na vertical. Assim, os dois efeitos citados por Carrella et al. (2012) ocorrem nesse tipo de amortecedor, que terá sua maior ação na região de ressonância, que é quando o amortecedor terá deslocamento e velocidade relativos consideráveis. Com a equação 4.14 e impondo excitação harmônica ao amortecedor com não li- nearidade geométrica, é possível obter a curva da força do amortecedor em função da velocidade relativa entre os seus terminais (figura 4.14a), bem como a curva de histe- rese que representa a dissipação de energia desse tipo de amortecimento em um ciclo (figura 4.14b). 52 4.5. Amortecimento geometricamente não linear −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 Velocidade [m/s] F or ça [N ] (a) −0.05 0 0.05 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 Deslocamento [m] F or ça [N ] (b) Figura 4.14: Amortecedor com não linearidade geométrica. (a) Curva de força do amortecedor em função da velocidade relativa dos terminais. (b) Curva de histerese. É possível obter também o histórico da força junto com o histórico do deslocamento de excitação (figura 4.15), para fins de observação dos valores assumidos pela força em certos instantes de tempo, bem como do valor do deslocamento de excitação. 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 −0.05 −0.04 −0.03 −0.02 −0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 Tempo [s] A m pl itu de Força [N] Deslocamento [m] Figura 4.15: Histórico de força e deslocamento de excitação em um amortecedor com não linearidade geométrica Por meio do diagrama de corpo livre para a massa da figura 4.13 e, de acordo com a segunda lei de Newton, a EDO para o sistema com amortecimento geometricamente não linear é: 𝑚�̈� = −𝑘(𝑥 − 𝑥0) − 𝑐 (𝑥 − 𝑥0)2 (𝑥 − 𝑥0)2 + 𝑎2 (�̇� − �̇�0) (4.26) 53 4.5. Amortecimento geometricamente não linear Rearranjando-se a equação 4.26 torna-se: 𝑚�̈� + 𝑐 (𝑥 − 𝑥0)2 (𝑥 − 𝑥0)2 + 𝑎2 (�̇� − �̇�0) + 𝑘(𝑥 − 𝑥0) = 0 (4.27) Para realizar a simulação numérica da equação 4.27 deve-se repetir os procedimentos efetuados na seções anteriores, para o amortecimento quadrático e para o amortecedor assimétrico. Transforma-se a EDO de segunda ordem para o espaço de estados. Como essa EDO é de segunda ordem, são necessárias duas variáveis de estado com condições iniciais conhecidas para que se possa predizer o comportamento dinâmico do sistema. Segue: 𝑌1 = 𝑥 𝑌2 = �̇� (4.28) Como 𝑥0 e �̇�0 são conhecidas (excitação imposta), não há necessidade de considerar- mos variáveis de estado para elas. Com as variáveis de estado definidas na equação 4.28, devemos obter as taxas de variação no tempo das mesmas: �̇�1 = 𝑌2 = �̇�; �̇�2 = �̈� = −𝑘(𝑥 − 𝑥0) − 𝑐 (𝑥−𝑥0)2 (𝑥−𝑥0)2+𝑎2 (�̇� − �̇�0) 𝑚 (4.29) Finalmente, o sistema de equações nas variáveis de estado se torna: �̇�1 = 𝑌2 = �̇�; �̇�2 = �̈� = −𝑘(𝑌1 − 𝑥0) − 𝑐 (𝑌1−𝑥0)2 (𝑌1−𝑥0)2+𝑎2 (𝑌2 − �̇�0) 𝑚 (4.30) O sistema de equações 4.20 está na estrutura necessária para a simulação numérica no software MATLAB, utilizando o mesmo método numérico da seções anteriores. No- vamente, deve-se atribuir valores aos parâmetros do sistema, bem como determinar-se as condições iniciais das variáveis de estado escolhidas e estruturar os resultados de forma adimensional, para que estes possam ser generalizados. Os mesmos valores de massa, rigidez, condições iniciais e excitação externa do sistema com amortecimento quadrático e do sistema com amortecimento assimétrico serão utilizados para o sistema com amortecimento geometricamente não linear, portanto, utilizando o mesmo método 54 4.5. Amortecimento geometricamente não linear de adimensionalização numérica. O parâmetro 𝑎 pode ser estipulado com base em amortecedores reais. Para fins de simulação numérica o parâmetro 𝑎 foi adotado como sendo de 0.1 metro. O último parâmetro a ser determinado passou a ser, portanto, o coeficiente de amortecimento 𝑐 do amortecedor não linear. Como o sistema possui um amortecedor que é geometricamente não linear e deseja-se compará-lo à um sistema com amortecimento linear, os mesmos valores para 𝑐 serão utilizados, dispostos na tabela 4.3. Como o objetivo desta seção é preparar a comparação entre o isolamento de vibra- ção proveniente de um isolador com amortecimento geometricamente não linear com o isolamento de vibração proveniente de um isolador com amortecimento linear, pode-se estabelecer que ambos os sistemas estejam nas mesmas condições de amortecimento: subamortecido (𝜉 = 0.1), criticamente amortecido (𝜉 = 1) e, superamortecido (𝜉 = 1.2). Ao utilizar o parâmetro 𝑐 calculado para cada 𝜉, que é um parâmetro adimen