UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" CAMPUS DE GUARATINGUETÁ DANIEL MARTIN GASLAC GALLARDO Dinâmica dos pequenos corpos de Netuno e o sistema Kepler-90 Guaratinguetá 2021 Daniel Martin Gaslac Gallardo Dinâmica dos pequenos corpos de Netuno e o sistema Kepler-90 : Trabalho de Pós Graduação apresentado ao Con- selho de Curso de Pós Graduação em FÍSICA da Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratin- guetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para obtenção do grado de Doutor em FÍSICA . Orientadora: Profa Dra. Silvia Maria Giuliatti Winter Guaratinguetá 2021 G163d Gallardo, Daniel Martin Gaslac Dinâmica dos pequenos corpos de Netuno e o sistema Kepler-90 / Daniel Martin Gaslac Gallardo – Guaratinguetá, 2021 144 f .: il. Bibliografia: f. 126-131 Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2021. Orientadora: Profª Drª Silvia Maria Giuliatti Winter 1. Radiação solar. 2. Satélites Órbitas. 3. Planetas Órbitas. 4. Telescópios. I. Título. CDU 551.521.1(043) Luciana Máximo Bibliotecária-CRB-8/3595 unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ DANIEL MARTIN GASLAC GALLARDO ESTA TESE FOI JULGADA ADEQUADA PARA A OBTENÇÃO DO TÍTULO DE “DOUTOR EM FÍSICA” PROGRAMA: FÍSICA CURSO: DOUTORADO APROVADA EM SUA FORMA FINAL PELO PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto Coordenador B A N C A E X A M I N A D O R A: Profª. Drª. SILVIA MARIA GIULIATTI WINTER Orientador - UNESP participou por videconferência Prof. Dr. RAFAEL SFAIR DE OLIVEIRA UNESP participou por videconferência Prof. Dr. VALERIO CARRUBA UNESP participou por videconferência Prof. Dr. NELSON CALLEGARI JÚNIOR IGCE / UNESP participou por videconferência Prof. Dr. ELBERT EINSTEIN NEHRER MACAU UNIFESP participou por videconferência Dezembro de 2021 DADOS CURRICULARES DANIEL MARTIN GASLAC GALLARDO NASCIMENTO 09/11/1989 - La Victoria / Lima-Perú FILIAÇÃO Celestino Gaslac Culqui Ysabel Gallardo Suazo 2008 / 2013 Bacharelado em Física (Graduação) Universidad del Callao 2014 / 2016 Mestrado em Física (Pós Graduação) Universidade Estadual Paulista-UNESP Esta tese é dedicada aos meus pais Celestino e Ysabel, pelo apoio e conselhos dados.. AGRADECIMENTOS Aos meus pais Ysabel e Celestino, que dignamente me apresentaram à importância da família e o caminho da honestidade e persistência. E à minha família pelo estímulo e paciência a mim transmitidos. A Profa. Silvia Giuliatti , meu orientadora, pela oportunidade de realizar este trabalho ao lado de alguém que inspira sabedoria; meu respeito e admiração pela sua serenidade, capacidade de análise do perfil de seus alunos, e pelo seu dom no ensino da ciência, inibindo sempre a vaidade em prol da simplicidade e eficiência. A realização de um projeto de pesquisa como este só foi possível com o apoio de vários colaboradores. Aos membros do grupo de dinâmica orbital e planetologia da FEG UNESP, sem este apoio esta luta seria mais complicada. Especialmente à Jady, Nilce, Patricia e Giuliano. Em especial aos professores Othon, Ernesto, Rafael e Julio pelos conselhos e amizade nestes quatro anos de doutorado que, direta ou indiretamente, contribuíram de alguma forma. O meu reconhecimento e gratidão. Aos amigos Alonso, Mariela, Angel, Alessandro e Rosana, os precursores de tudo, que exemplificam a ética e competência profissionais, com dedicação e aprimoramento contínuos e também pelo incentivo e oportunidade de convívio pessoal. Especialmente quero agradecer à Kelly, por conseguir me auxiliar neste último ano e que conseguiu, de alguma maneira, me fazer recuperar a motivação e inspiração que eu já havia perdido. Meus eternos agradecimentos a ela que, sem saber, me ajudou nos momentos mais difíceis. Este trabalho contou com o apoio da(s) seguinte(s) entidade(s): CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoa de Nível Superior RESUMO O sistema de anéis e satélites de Netuno foi descoberto (e o sistema de arcos de Netuno confirmado) durante a passagem da sonda espacial Voyager 2 em 1989 (SMITH et al., 1989). O sistema interno de Netuno possui um conjunto de sete satélites denominados Naiade, Thalassa, Despina, Galatea, Larissa, Hipocampo, Proteus e Tritão, além dos anéis Galle, Le Verrier, Lassell, Arago, anel coorbital de Galatea, e Adams. Neste trabalho analisamos a estabilidade da região interna do sistema de Netuno através dos mapas de difusão para um conjunto de partículas-teste sob a influência gravitacional de todos os satélites do sistema interno. Forças dissipativas como a pressão de radiação solar (para partículas micrométricas) e o arrasto devido ao plasma serão incluídas no estudo dos anéis. As partículas estarão inicialmente em órbitas excêntricas, onde serão assumidos os valores de excentricidade geométrica no intervalo de 0 a 0.04. O anel de Galle é o mais próximo ao planeta e está longe dos satélites, sendo localizado em uma região estável. Enquanto a borda interna do anel de Lassel (com largura igual a 4000 km) apresenta uma região estável dependente do valor da excentricidade. O mesmo ocorre com os anéis Le Verrier e Adams, esses anéis são estáveis para pequenos valores de excentricidade. Esses anéis podem sobreviver à perturbação dos satélites próximos para valores de e < 0.012. Quando a força de radiação solar é considerada, os anéis compostos por partículas de 1 µm apresentam um tempo de vida de 104 anos, enquanto as partículas maiores (10 µm de raio) podem sobreviver até 105 anos. Observações feitas pelo Telescópio Kepler durante quatro anos mostraram que existem sistemas multi- planetários, cujos planetas estão distribuídos de forma similar ao Sistema Solar (BORUCKI et al., 2010; BORUCKI et al., 2011). O sistema Kepler-90 apresenta um conjunto formado por oito planetas b, c, i, d, e, f , g e h, em distância crescente da estrela. Os planetas g e h são similares aos gigantes gasosos, enquanto os planetas d, e e f são similares às superterras. A configuração do sistema é similar ao Sistema Solar, pequenos planetas estão próximos e os maiores estão distantes da estrela, embora o planeta externo tenha uma distância orbital igual a 1 UA. Através da análise de frequência e simulações numéricas de longo período, analisamos a estabilidade das órbitas dos planetas para um conjunto de parâmetros, como a massa, o semieixo maior e excentricidade. Realizamos simulações numéricas para analisar três diferentes intervalos de excentricidade: o primeiro intervalo é de 0 a 1 × 10−3, o segundo intervalo é de 1× 10−3 a 1× 10−2 e o terceiro intervalo é de 1× 10−2 a 1× 10−1. Os valores de excentricidade, argumento do pericentro, longitude do nodo ascendente e longitude média foram escolhidos aleatoriamente em cada intervalo de excentricidade. Os resultados mostram que os planetas com excentricidades que pertencem aos dois primeiros intervalos são estáveis, enquanto a maioria dos planetas com excentricidade 1×10−2 a 1×10−1 são ejetados do sistema. A variação da excentricidade dos planetas nos dois primeiros intervalos indicam que o planeta h é dominante, sendo importante para a estabilidade do sistema Kepler-90. Identificamos as ressonâncias de movimento médio 5:4 e 3:2 dos planetas b e c e g e h, respectivamente. Simulamos numericamente um conjunto de partículas nos "sistemas Kepler-90", através do mapa de difusão, onde identificamos quatro regiões estáveis entre as órbitas dos planetas c-i, i-d, d-e, e além da órbita do planeta h sendo identificadas como regiões 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Os platôs associados às ressonâncias são identificadas com o planeta i e o planeta h. Os resultados mostraram que as partículas-teste estão em ressonância de movimento médio 2:3, 5:6, 7:8 e 9:10 com o planeta i, e 1:2, 3:4, 3:5, 3:7 e 3:8 com planeta h. PALAVRAS-CHAVE: Mapa de difusão. Pressão de radiação Solar. Sistema de Netuno. Kepler-90. ABSTRACT Neptune rings and small satellites system was discovered during the passage of Voyager 2 in 1989. The Neptune inner system has a cluster of seven satellites Naiade, Thalassa, Despina, Galatea, Larissa, Hippocampus, Proteus, and Triton and the rings Galle, Le Verrier, Lassell, Arago, Galatea’s coorbital, and Adams. In this work we analyze the stability of the inner region of the Neptune system through diffusion maps for a set of test particles under the gravitational influence of all satellites. Dissipative forces such as the solar radiation force (for micrometric particles) and the drag due to the plasma are included in the study of the rings. The particles in both cases are initially in eccentricity orbits, the geometric eccentricity values range in the interval from 0 to 0.04. The Galle ring, which is close to the planet and away from the inner satellites, is located in a stable region. Whereas, the inner edge of the Lassel ring (width of about 4000 km) is in a stable region that depends on the value of the eccentricity. Le Verrier and Adams rings also are stable for small values of the eccentricity. These rings can survive for the perturbation of the satellites for values of e < 0.012. When the solar radiation force is included, rings composed of 1 µm particles have a lifetime of 104 years, while larger particles (10 µm radius) can survive up to 105 years. Observations performed by the Kepler Telescope over four years have shown that multi-planetary systems exist, whose planets are distributed similar to our Solar System (BORUCKI et al., 2010; BORUCKI et al., 2011). The Kepler-90 system has eight planets b, c, i, d, e, f , g and h, in increasing distance from the star. Planets g and h are similar to the gas giants, while planets d, e and f are similar to super-Earths. This system is similar to the Solar System, small planets are close and larger ones are away from the star, although the outer planet has an orbital distance equals to 1 UA. The frequency map analysis and long period numerical simulations are used to analyze the stability of the planets’ orbits, for a set of parameters such as, the mass, semi-major axis, and eccentricity. We perform numerical simulations to analyze three different intervals of eccentricity: the first interval is from 0 to 1× 10−3, the second interval is from 1× 10−3 to 1× 10−2, and the third interval is from 1× 10−2 to 1× 10−1. The values of the eccentricity, argument of pericenter, longitude of the ascending node, and mean longitude were chosen randomly in each eccentricity interval. The results show that the planets with eccentricities belonged to the first two intervals are stable, while most of the planets with eccentricities 1× 10−2 to 1× 10−1 are ejected from the system. The eccentricity variation of the planets in the first two intervals indicate that the planet h is dominant in the systems being important for the stability of the Kepler-90 system. We identify the 5:4 and 3:2 mean motion resonances between planets b and c and g and h, respectively. We numerically simulated a set of particles in the "Kepler-90 systems", through diffusion maps. We identify four stable regions between the orbits of planets c-i, i-d, d-e, and beyond the orbit of planet h being identified as regions 1, 2, 3 and 4, respectively. The plateaus associated with the resonances are identified with planet i and planet h. The results showed that the test particles are in mean motion resonances 2:3, 5:6, 7:8 and 9:10 with planet i, and 1:2, 3:4, 3:5, 3:7 and 3:8 with planet h. KEYWORDS: Diffusion map. Pressure Solar radiation. Netuno inner system. Kepler-90. LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 Os resultados apresentados na Figura foram extraídos do artigo de Robutel e Laskar (2001). A figura mostra a curva de frequência, semieixo maior inicial vs n n8 das partículas com excentricidade igual a 0.15. Os platôs correspondem as RMMs com o planeta Netuno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Figura 2 Esboço da localização dos satélites internos e a Tritão e os anéis do sistema de Netuno. Observamos que os maiores anéis, o Anel Galle e o Lassel, apresentam uma largura de ∼ 2000 km e ∼ 4000 km, respectivamente. . . . . . . . . . . . 30 Figura 3 Arcos do anel Adams (Fraternidade, Igualdade, Liberdade e Coragem). . . . . . 31 Figura 4 Evolução temporal dos elementos geométricos a, e e I dos satélites internos de Netuno quando não é considerado o satélite Tritão no sistema. O tempo de integração numérica foi de ∼ 1.2× 105 anos. Na figura (a), (b) e (c) os satélites são identificados com os seguintes cores: roxo (Naiade), verde (Thalassa), azul- celeste (Despina), Laranja (Galatea), amarelo (Larissa), azul (Hipocampo) e vermelho (Proteus). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Figura 5 Evolução temporal dos elementos geométricos a, e e I dos satélites internos de Netuno incluindo o satélite Tritão no sistema. O tempo de integração numérica foi de ∼ 1.2 × 105 anos. Na figura (a), (b) e (c) os satélites são identificados com os seguintes cores: roxo (Naiade), verde (Thalassa), azul-celeste (Despina), Laranja (Galatea), amarelo (Larissa), azul (Hipocampo) e vermelho (Proteus). . 37 Figura 6 A figura apresenta o zoom da evolução temporal da inclinação geométrica dos satélites internos de Netuno incluindo o Tritão, no intervalo de tempo de 49.1× 103 anos a 49.3× 103 anos. Na figura (a), (b) e (c) os satélites são identificados com os seguintes cores: roxo (Naiade), verde (Thalassa), azul-celeste (Despina), Laranja (Galatea), amarelo (Larissa), azul (Hipocampo) e vermelho (Proteus). . 38 Figura 7 Mapa de análise de frequência na região do anel Galle, do satélite Naiade. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cuja nomenclatura são mos- tradas na parte superior. Os números localizados na parte superior apresentados em cor preta correspondem as RMMs de Galateia e a partícula. As linhas in- clinadas são os raios de apocentro e pericentro de Naiade. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. . . . . . . . . . . . . 41 Figura 8 Mapa de difusão dos anéis Le Verrier-Lassell-Arago e os satélites Thalassa e Despina. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor preto, azul- preto, laranja, marrom e azul pertencem as RMMs dos satélites Naiade, Thalassa, Galatea, Larissa, Proteus, e a partícula, respectivamente. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Thalassa e Despina. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. . . . . . . . . . . . . 42 Figura 9 Mapa de difusão dos anéis coorbital de Galatea e Adams e o satélite Galatea. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mos- trados na parte superior. Esses números apresentados em cor laranja e marrom pertencem as RMMs dos satélites Galatea, Larissa e a partícula, respectivamente. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Galatea. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. . . . . . . . . 43 Figura 10 Curva de frequência das partículas teste para todos os valores de excentricidade. Os platôs, indicados por uma flecha, representam as RMMs do satélite Galatea e a partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Figura 11 Mapa de difusão do satélite Larissa e o conjunto de partículas teste. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor preto, azul-preto, laranja e marrom pertencem as RMMs dos satélites Naiade, Thalassa, Galatea, Larissa e a partícula, respectivamente. A RMM de Despina e a partícula é identifica com o número 1:2d. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Larissa. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região corresponde às partículas ejetadas. . . . . 45 Figura 12 Mapa de difusão do satélite Hipocampo. As linhas tracejadas verticais correspon- dem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor laranja, marrom, verde e azul pertencem as RMMs dos satélites, Galatea, Larissa, Hipocampo, Proteus, e a partícula, respectivamente. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Hipocampo. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. . . . . . . . . 46 Figura 13 Mapa de difusão do satélite Proteus. As linhas tracejadas verticais correspon- dem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor azul pertencem as RMMs do satélite Proteus e a partícula. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Proteus. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou as partículas ejetadas do sistema. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Figura 14 Curva de frequência na região do satélite Proteus. Os platôs, indicados por uma flecha, representam as RMMs do satélite Proteus e a partícula. . . . . . . . . . 47 Figura 15 A figura mostra o tempo de difusão do sistema interno de Netuno no intervalo de 0.6DAA a 2.2DAA. Os círculos em preto indicam a localização dos satélites. . . 48 Figura 16 Tempo de difusão dos anéis do sistema de Netuno. Os pontos em cor azul, preto, vermelho, roxa, verde e marrom indicam o valor médio tD para cada valor de excentricidade (ver a figura da esquerda e direita). Na figura da esquerda mostra o decaimento do valor médio do tempo de difusão do anel Le Verrier (cor vermelha), no tanto, o anel Galle apresenta um comportamento quase constante e o anel Lassel apresenta uma variação de tD, decaindo aproximadamente uma ordem de grandeza. A figura da direita mostra o decaimento do valor médio de tD dos anéis Adams e Arago, no tanto, o anel Galatea apresenta um valor médio de tD de ∼ 105 anos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Figura 17 Mapa de difusão do anel Le Verrier (no intervalo de semi-eixo maior geomé- trico de 0.84459DAA a 0.84619DAA ) e a borda do anel Lassel localizado no semi-eixo maior geométrico igual a 0.8453DAA. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números são as RMM de Despina e a partícula. A linha inclinada é o raio do pericentro de Despina. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Figura 18 Curva de frequência com excentricidade iguais a 0 e 0.002. Os platôs, indicados por uma flecha, representam as RMMs do satélite Despina e a partícula. . . . . 51 Figura 19 Curva de frequência para partículas teste com excentricidade 0.004 a 0.01. Os platôs, indicados por uma zeta, representam as RMMs do satélite Despina e a partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 20 Evolução temporal do ângulo ressonante φ53:52 para diferentes valores de excen- tricidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 21 Mapa de difusão a vs λ do anel Le Verrier. A figura mostra a dinâmica global do anel Le Verrier (no intervalo de semi-eixo maior geométrico de 0.84459DAA a 0.84619DAA ) e a borda do anel Lassel para as partículas com um valor de excentricidade geométrico inicial igual a 1 × 10−4. A linha tracejada vertical localizada no semieixo maior 0.84459DAA indicam a borda do anel Le Verrier e a linha tracejada vertical localizada no semieixo maior 0.8453DAA indica a borda do anel Lassel. Os lóbulos de cor verde representam às partículas que estão em RMM. Os números da parte superior da figura indicam a RMM de Despina e a partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Figura 22 Curva de frequência do Anel Le Verrier para partículas com excentricidade igual a 1×10−4. Os platôs, indicados pelos números, representam as RMMs do satélite Despina e a partícula. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Figura 23 A figura mostra a intensidade das forças que atuam no sistema de anéis de Netuno em função da distância. As localizações dos satélites e dos anéis são exibidos na figura como linhas tracejadas verticais. A curva referente a J2 está representada como uma linha. A linha tracejada inclinada, localizada no médio da figura, representa o efeito gravitacional de Tritão e a linha tracejada horizontal representa o efeito da pressão de radiação solar. . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Figura 24 Variação no tempo da excentricidade de uma partícula representativa de cada anel. O nome do anel é mostrado na parte superior de cada figura. Cada sub-figura possui dois gráficos, sem e com os efeitos da pressão da radiação solar. Os efeitos da pressão da radiação solar são responsáveis pelo pequeno aumento na excentricidade da partícula de 1µm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Figura 25 Grade a vs R, satélites hipotéticos no sistema de Netuno, a paleta de cores indica o tempo de vida dos satélites hipotéticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Figura 26 Grade a vs R, satélites hipotéticos no sistema de Netuno. . . . . . . . . . . . . 60 Figura 27 Esboço da localização dos planetas do sistema Kepler-90. A figura mostra o tamanho do raio de cada planeta (Rp). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Figura 28 A figura mostra a estabilidade dos planetas nos três diferentes intervalos de excentricidade para os diferentes sistemas propostos do sistema Kepler-90. Cada símbolo apresentado na figura indica o Log D obtido para cada planeta. O Log D indica a intensidade da regularidade ou irregularidade da órbita dos planetas considerando que: se o Log D está suficientemente próximo à zero o planeta possuirá uma órbita irregular. Assumimos que os planetas com valores de Log D < −3 apresentam órbitas regulares, e caso contrário, os planetas apresentam órbitas irregulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Figura 29 As figuras mostram a variação do valor mínimo, máximo e a média da excen- tricidade dos planetas nos três intervalos de excentricidade. O primeiro gráfico está relacionado ao primeiro intervalo de excentricidade, a Figura (b) e a Fi- gura (c) estão relacionadas ao segundo e terceiro intervalo de excentricidade, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Figura 30 Primeiro intervalo de excentricidade: os planetas apresentam diferentes valores de Log D cuja intensidade pode ser observada nas subfiguras. Cada subfigura é identificada para cada planeta em cada sistema proposto. . . . . . . . . . . . . 72 Figura 31 Os planetas que estão localizados no segundo intervalo de excentricidade apre- sentam gráficos similares aos observados na Figura 30, com exceção do planeta c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 Figura 32 As figuras mostram o valor mínimo, máximo e a média de Log D dos sistemas propostos nos dois primeiros intervalos de excentricidade. A Figura (a) está relacionada ao primeiro intervalo e a Figura (b) está relacionada ao segundo intervalo de excentricidade. As partes inferiores e superiores das linhas verticais apresentam o nome do planeta que obtiveram os valores mínimos e máximos de Log D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Figura 33 Os valores mínimos, máximos e a média do Log D dos sistemas nominais que sobreviveram no terceiro intervalo de excentricidade. . . . . . . . . . . . . . . 76 Figura 34 Os histogramas mostram os planetas com órbitas mais sensíveis, o Log Dmax representa os planetas com órbitas regulares e o Log Dmin representa os planetas com órbitas que podem ser regulares ou irregulares, dependendo do tempo de integração. A Figura (a) apresenta os planetas do primeiro intervalo de excentri- cidade, a Figura (b) contém os planetas do segundo intervalo de excentricidade, a Figura (c) mostra a porcentagem dos planetas do primeiro intervalo de excen- tricidade que apresentam Log Dmin e Log Dmax quando o tempo de integração é de 105Th, e finalmente a Figura (d) é similar à Figura (c) mas para o segundo intervalo de excentricidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Figura 35 As figuras mostram a evolução temporal dos ângulos φ5:4 e φ3:2 de um sistema selecionado do primeiro intervalo de excentricidade. A Figura(a) e a Figura(c) são um zoom no intervalo de tempo de 0 a 190 anos do ângulo ressonante φ5:4. Figura (b) e Figura (d) são a evolução temporal do ângulo ressonante φ5:4 para um tempo total de 1.2×104 anos. Os ângulos ressonantes φ(1) 5:4 e φ(2) 5:4 seguem a evolução da equação 5λc − 4λb −$b (Figura (a) e Figura (b)), e 5λc − 4λb −$c (Figura (c) e Figura (d)), respectivamente. Os gráficos (e) e (g) são um zoom no intervalo de tempo de 0 a 500 anos para o ângulo φ3:2. Figura (f) e Figura (h) mostram a evolução do ângulo φ3:2 para um tempo total de 1.2×104 anos. Figura (e) e Figura (f) mostra o comportamento de φ(1) 3:2 = 3λg − 2λh −$g. Figura (g) e Figura (h) seguem a evolução da equação φ(2) 3:2 = 3λg − 2λh −$h. . . . . . . . 80 Figura 36 Os gráficos correspondem à evolução temporal dos ângulos φ5:4 e φ3:2 de outro sistema selecionado do primeiro intervalo de excentricidade. Apresentamos um zoom do comportamento dos ângulos nos mesmos intervalos de tempo que na Figura 35 para os ângulos φ(1) 5:4 (Figura (a)), φ(2) 5:4 (Figura (c)), φ(1) 3:2 (Figura (e)) e φ (2) 3:2 (Figura (g)). Os ângulos φ(1) 5:4, φ(2) 5:4, φ(1) 3:2 e φ(2) 3:2 seguem as mesmas equações que foram apresentadas na Figura 35. A Figura (d) mostra o comportamento intermitente por escala de tempo de curto e longo período para o ângulo φ(2) 5:4. . 81 Figura 37 Os ângulos ressonantes envolvidos nos gráficos para um sistema do segundo inter- valo de excentricidade. Os gráficos apresentados são similares aos da Figura 36. A descrição do comportamento dos ângulos ressonantes são apresentados no texto. 84 Figura 38 Os gráficos (a) e (c) são um zoom no intervalo de tempo de 0 a 500 anos do ângulo ressonante φ3:2. A Figura (b) e Figura (d) mostram a evolução do ângulo ressonante φ3:2 para um tempo total de 1.2×104 anos. Os ângulos ressonantes seguem as equações φ(1) 3:2 = 3λg − 2λh −$g (Figura (a) e Figura (b)), e φ(2) 3:2 = 3λg − 2λh −$h (Figura (c) e Figura (d)), para o par planetário g-h. . . . . . . 85 Figura 39 Os mapas de difusão no espaço de fase a vs e correspondem aos sistemas do primeiro intervalo de excentricidade. Os resultados apresentados nas Figura (a) e Figura (b) mostram a dinâmica geral dos dois sistemas K90-1a e K90-2a. Cada retângulo é plotado e centrado nas condições iniciais das partículas teste. A paleta de cores indica os valores de Log D. As regiões de cor azul correspondem a regiões estáveis, se a cor é vermelha as regiões serão instáveis. As zonas brancas em ambas figuras corresponderam a partículas ejetadas dos sistemas ou que sofreram colisão com os planetas, ou com a estrela. . . . . . . . . . . . . 92 Figura 40 A figura mostra a dinâmica global dos dois sistemas nomeados K90-3a e K90-4a do primeiro intervalo de excentricidade (Figura (c) e Figura (d)). As figuras são similares à Figura 39. As zonas brancas em ambas figuras corresponderam as partículas ejetadas dos sistemas ou que sofreram colisão com os planetas, ou com a estrela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Figura 41 A figura mostra o mapa de difusão no espaço de fase a vs e para o sistema K90-5a. 94 Figura 42 O histograma indica a porcentagem do número de partículas teste que colidem com os planetas ou com o corpo central dos sistemas K90-1a até K90-5a, e também as partículas que são ejetadas de cada sistema. Esses sistemas pertencem ao primeiro intervalo de excentricidade. Podemos identificar cada sistemas através da paleta de cores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Figura 43 Os resultados apresentados na figura correspondem aos mapas de difusão no espaço de fase a vs e dos sistemas K90-1b e K90-2b, pertencentes ao segundo intervalo de excentricidade. O regime de cores indica se uma órbita é regular ou irregular no sistema proposto. As linhas tracejadas são as linhas de colisão de todos os planetas. As zonas brancas no mapa representam aquelas partículas teste que sofreram ejeção ou colidiram com os planetas ou com o corpo central. 97 Figura 44 Mapas de difusão no espaço de fase a vs e dos sistemas K90-3b e K90-4b no segundo intervalo de excentricidade. Figura (h) e Figura (i) seguem as mesmas regras indicadas na Figura 43. As zonas com cor azul são regiões estáveis e as zonas de cor vermelha são regiões instáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Figura 45 Mapa de difusão no espaço de fase a vs e para o sistema nominal K90-5b. . . . 99 Figura 46 O histograma indica a porcentagem do número de partículas teste que colidem com os planetas ou com o corpo central dos sistemas K90-1b até K90-5b, e também as partículas que são ejetadas de cada sistema. Esses sistemas pertencem ao segundo intervalo de excentricidade. Podemos identificar cada sistemas através da paleta de cores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Figura 47 Apresentamos o comportamento do Log (tD)médio das partículas que sobrevi- veram o tempo total de integração numérica para cada valor de excentricidade. As quatro regiões estáveis são apresentadas nas Figura (a) (região 1), Figura (b) (região 2), Figura (c) (região 3) e Figura (d) (região 4) que apareceram nos sistemas do primeiro intervalo de excentricidade. . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Figura 48 Figura (a), Figura (b), Figura (c) e Figura (d) mostram o valor médio do tempo de difusão das partículas que apresentam órbitas regulares e irregulares nas quatro regiões estáveis, as quais são caracterizadas pelo log10 (tD)médio para cada valor de excentricidade. As condições iniciais dos planetas nos sistemas pertencem ao segundo intervalo de excentricidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Figura 49 Mapa de difusão no espaço de fase a vs e entre a órbita do planeta c e 0.1555 UA. Os elementos orbitais dos planetas correspondem ao sistema K90-1b que pertence ao segundo intervalo de excentricidade. As cores correspondem à paleta de cores que segue os valores de Log D. O gráfico segue o mesmo regime mostrado na Figura 45. A linha tracejada corresponde ao raio do pericentro do planeta c e o raio de apocentro do planeta i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Figura 50 Mapa de difusão no espaço de fase a vs e entre as órbitas das partículas lo- calizadas no intervalo de semieixo maior 0.1556 UA até 0.226 UA. As cores correspondem à paleta de cores que seguem os valores de Log D. A linha tracejada corresponde aos raios do pericentro e apocentro do planeta i. . . . . . 105 Figura 51 Os ângulos ressonantes ϕ(1) 1:2b, ϕ (2) 1:2b (figuras do lado esquerdo) libram em torno de zero e 180◦ com amplitudes constantes, respectivamente. Os ângulos resso- nantes ϕ(1) 1:2c e ϕ(2) 1:2c, apresentados na figura do lado direito, libra e circula e libra, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Figura 52 Apresentamos a evolução temporal dos ângulos ressonantes ϕ(1) 5:4i, ϕ (2) 5:4i que libram em torno de zero e 240◦, respectivamente. De mesmo modo, a figura a direita apresenta o comportamento temporal dos ângulos ressonantes ϕ(1) 9:7i, ϕ (2) 9:7i que libram em torno de 180◦ e 300◦, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . 106 Figura 53 Apresentamos a evolução temporal dos ângulos ressonantes ϕ(1) 3:2i, ϕ (2) 3:2b, ϕ (1) 4:3i e ϕ (2) 4:3i cujas amplitudes são maiores que as amplitudes das outras partículas que libram nos ângulos ressonantes apresentados anteriormente. Note que o ângulo ressonante ϕ(1) 3:2i e ϕ(2) 3:2i (figuras a esquerda) libram em torno de zero e 240◦, respectivamente. No caso dos ângulos ressonantes ϕ(1) 4:3i e ϕ(2) 4:3i (figuras a direita) também libram em torno de zero e 240◦, respectivamente. . . . . . . . . . . . 107 Figura 54 Os ângulos ressonantes ϕ(1) 9:8i e ϕ(2) 9:8i libram em torno de 180◦ e 60◦, respecti- vamente. Isto também ocorre para os ângulos ressonantes ϕ(1) 10:9i e ϕ(2) 10:9i. Os 4 ângulos ressonantes ϕ(1) 9:8i, ϕ (2) 9:8i, ϕ (1) 10:9i e ϕ(2) 10:9i apresentam amplitudes de ∼60◦. 107 Figura 55 Curva de frequência na região do planeta h para o primeiro intervalo de excentri- cidade. Cada figura representa um "sistema Kepler-90". Plotamos a razão entre o movimento médio das partículas teste (np) e o movimento médio do planeta h vs o semieixo maior inicial das partículas teste. Os platôs correspondem às RMM localizadas na curva correspondendo as ressonâncias 1:1 e 3:4 com o planeta h, localizadas nos semieixos maiores igual a 0.996 UA e 1.22 UA, respectivamente. Todos os valores de excentricidade foram incluídos na figura. . . . . . . . . . . 109 Figura 56 Curva de frequência na região do planeta h para o segundo intervalo de excen- tricidade. A curva de frequência está definida de acordo com o indicado na Figura 55. Os platôs foram identificados nos sistemas para as partículas em RMM 3:4 com o planeta h. Observamos que as partículas em RMM 1:1 com o planeta h não estão sempre no mesmo intervalo de excentricidade. Todos os valores de excentricidade foram incluídos na figura. . . . . . . . . . . . . . . . 110 Figura 57 Mapa de difusão no espaço de fase a vs e além da órbita do planeta h. Os dados dos planetas correspondem aos valores indicados no segundo intervalo de excentricidade. O gráfico segue o mesmo regime sinalado na Figura 45 para o tratamento das partículas teste. As linhas tracejadas são as linhas dos raios do pericentro do planeta g e do planeta h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Figura 58 Os resultados apresentados nessa figura mostram o comportamento da curva de frequência além da órbita do planeta h, cujos dados dos elementos orbitais dos planetas foram extraídos do segundo intervalo de excentricidade. Plotamos a razão entre o movimento médio das partículas teste (np) e o movimento médio do planeta h vs o semieixo maior inicial das partículas. Os platôs apareceram no intervalo de excentricidade de 0 a 0.06 correspondendo às RMMs 3:5 e 1:2 com o planeta h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Figura 59 As curvas de frequência no intervalo de excentricidade das partículas de 0.08 a 0.30. O regime que cumpre a curva de frequência é similar ao indicado na Figura 58. Os platôs correspondem as RMMs 3:5 e 1:2 com o planeta h. Esses platôs podem ser visualizados em todas as sub figuras da Figura 59. . . . . . . 113 Figura 60 Os ângulos ressonantes ϕ1:2h, ϕ3:4h e ϕ3:5h que aparecem na Figura 59 libram em torno de 180◦, com amplitudes de 130◦, 60◦ e 100◦, respectivamente. As amplitudes são constantes até o tempo final da integração numérica de 9×103 anos.114 Figura 61 O histograma apresenta a quantidade de asteroides localizados no Cinturão Principal em relação ao semieixo maior no intervalo de 1.5 UA a 4.5 UA. A nomenclatura das ressonâncias de movimento médio estão localizadas na parte superior da figura. As lacunas podem ser visualizadas na figura. . . . . . . . . 115 Figura 62 Mapa de difusão no espaço fase a vs e. A nomenclatura das RMMs está localizada na parte superior das figuras e as RMMs são identificadas com linhas tracejadas verticais. As linhas tracejadas inclinadas mostram os raios do pericentro do planeta b e do apocentro do planeta i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Figura 63 Plotamos os mapas, semieixo maior vs excentricidade (Figura (a) e (b)) e semi- eixo maior vs inclinação (Figura (c) e (d)) dos planetas menores do Cinturão de Kuiper, através dos dados observacionais extraídos da lista de objetos trans- netunianos da website Center (2021a). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 LISTA DE TABELAS Tabela 1 – Parâmetros físicos do planeta Netuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Tabela 2 – Parâmetros físicos dos satélites internos próximos ao planeta Netuno . . . . . . . 29 Tabela 3 – Parâmetros dos anéis de Netuno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Tabela 4 – As componentes da posição (x, y, z) e velocidade (vx, vy, vz) dos satélites de Ne- tuno. Esses valores foram extraídos de NASA (2017c) para a data 2017-02-01. . . 35 Tabela 5 – Elementos geométricos dos satélites do sistema interno de Netuno obtidos da Tabela 3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Tabela 6 – Valores numéricos das frequências principais dos satélites obtidos através de Šidli- chovskỳ e Nesvornỳ (1997). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Tabela 7 – Tempo de vida das partículas de 1µm e 10µm, devido ao efeito do arrasto de Poynting-Robertson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Tabela 8 – Tempo de vida das partículas de 1µm e 10µm, devido ao efeito do arrasto por plasma. 57 Tabela 9 – Variação da excentricidade geométrica em função do tempo dos satélites internos, cujo tempo de integração é de ∼ 105 anos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Tabela 10 – Parâmetros físicos dos planetas e a estrela do sistema Kepler-90. Os valores foram extraídos de Cabrera et al. (2014). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tabela 11 – Dados para a equação (3) para os planetas com valores de semieixo maior≤ 0.1 UA e para valores de a > 0.1 UA. As variáveis M0, b, w e p são constantes. . . . . . 65 Tabela 12 – Parâmetros físicos dos planetas e a estrela do sistema Kepler-90. Os valores foram extraídos de Contreras e Boley (2018), Shallue e Vanderburg (2018). . . . . . . . 66 Tabela 13 – Raios dos planetas que foram estimadas por Robnik e Seljak (2020). Calculamos os valores da massa dos planetas utilizando o método de raio-massa definido na equação (1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tabela 14 – Semieixo maior, excentricidade e inclinação dos planetas do sistema Kepler-90. Os valores foram extraídos de Contreras e Boley (2018) e Shallue e Vanderburg (2018). 67 Tabela 15 – Porcentagens das ressonâncias de movimento médio e sob o efeito das ressonâncias entre os planetas b e c, e g e h, no primeiro intervalo de excentricidade. . . . . . . 79 Tabela 16 – Similar à Tabela 15 para o segundo intervalo de excentricidade. . . . . . . . . . . 79 Tabela 17 – Largura da região coorbital dos planetas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Tabela 18 – Elementos orbitais dos sistemas nominais selecionados para o sistema Kepler-90 tomados do primeiro intervalo de excentricidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Tabela 19 – Elementos orbitais dos sistemas nominais selecionados para o sistema Kepler-90 tomados do segundo intervalo de excentricidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 MÉTODO DE ANÁLISE DE FREQUÊNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 MAPA DE DIFUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 DIFUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 RESSONÂNCIA DE MOVIMENTOS MÉDIOS (RMM) . . . . . . . . . . . . . 28 3 SISTEMA DE NETUNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1 NETUNO, ANÉIS E SATÉLITES INTERNOS A TRITÃO . . . . . . . . . . . . 29 3.2 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 EVOLUÇÃO ORBITAL DOS SATÉLITES DO SISTEMA INTERNO DE NETUNO 36 3.4 ESTUDO DA REGIÃO INTERNA DO SISTEMA DE NETUNO . . . . . . . . . 39 3.4.1 Dinâmica do sistema interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.4.1.1 Região do anel Galle e satélite Naiade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.4.1.2 Região dos anéis Le Verrier-Lassell-Arago e os satélites Thalassa e Despina . . . 42 3.4.1.3 Região do anel coorbital de Galatea, Adams e os satélites Galatea e Larissa . . . . 43 3.4.1.4 Região dos satélites Hipocampo e Proteus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.5 TEMPO DE DIFUSÃO DO SISTEMA GLOBAL . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.6 RMM NO ANEL LE VERRIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.7 FORÇAS DISSIPATIVAS NOS ANÉIS DE NETUNO . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.8 SATÉLITES HIPOTÉTICOS NO SISTEMA INTERNO DE NETUNO . . . . . . 58 3.9 DISCUSSÃO DO CAPÍTULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4 SISTEMA KEPLER-90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.1 ESTUDO DINÂMICO DO SISTEMA KEPLER-90 . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.1.1 Estabilidade dos planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.1.2 RMM dos planetas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.2 DISCUSSÃO DO CAPÍTULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5 ANÁLISE DE UM CONJUNTO DE PARTÍCULAS TESTE NO SISTEMA KEPLER-90 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.1 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.2 RMM ENTRE AS ÓRBITAS DOS PLANETAS C E I . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3 RMM ALÉM DA ÓRBITA DO PLANETA H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.1 Dinâmica das partículas teste além da órbita do planeta h . . . . . . . . . . . 111 5.4 ESTRUTURA DAS REGIÕES 1 E 4 DO SISTEMA KEPLER-90 . . . . . . . . . 114 5.5 DISCUSSÕES DO CAPÍTULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 6 DISCUSSÃO GERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 APÊNDICE A – ALGORITMO FMFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 A.1 ALGORITMO MFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 A.2 ALGORITMO FMFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 APÊNDICE B – ELEMENTOS GEOMÉTRICOS . . . . . . . . . . . . . . . 137 B.1 VETOR POSIÇÃO PARA ELEMENTOS GEOMÉTRICOS . . . . . . . . . . . 138 B.2 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS PARA VETOR POSIÇÃO . . . . . . . . . . . . 140 APÊNDICE C – ELEMENTOS ORBITAIS DOS SISTEMAS NOMINAIS . 142 ANEXO A – ARTIGO PUBLICADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 22 1 INTRODUÇÃO Neste trabalho estudamos dois sistemas diferentes, a região interna do sistema de Netuno e o sistema Kepler-90. Netuno, um planeta gasoso, é o último planeta do Sistema Solar, sendo o menor planeta entre os outros planetas gigantes. As sondas Voyager trouxeram descobertas e informações importantes sobre os anéis de Júpiter, Saturno , Urano e Netuno. Lançada em 20 de agosto de 1977, a missão Voyager 2 teve como objetivo aproximar-se dos planetas gigantes Urano e Netuno e extrair a maior quantidade de informação dos planetas e seus satélites. Após a descoberta dos seis satélites internos e anéis de Netuno em 1989 pela sonda espacial Voyager 2 (SMITH et al., 1989), foi descoberto outro satélite interno chamado Hipocampo. Através do Telescópio Espacial Hubble foi possível obter melhores imagens do sistema interno de Netuno. Showalter et al. (2013) descobriram um novo satélite através do Telescópio Espacial em 2013, inicial- mente denominado S/N2004 N1 e agora é conhecido como o satélite Hipocampo (SHOWALTER et al., 2019). Esse pequeno satélite orbita entre os satélites Larissa e Proteus. É importante ressaltar que a descoberta desses satélites Naiade, Thalassa, Despina, Galatea, Larissa, Hipocampo e Proteus e os anéis planetários Galle, Le Verrier, Lasell, Arago, anel coorbital de Galatea, e o anel Adams no sistema interno de Netuno, reforça a importância de se ter mais informação de regiões estáveis que existem no sistema, como também o comportamento geral das órbitas das partículas dos anéis. Miner, Wessen e Cuzzi (2007) sugeriram que o satélite Despina aparentemente não afeta gravitaci- onalmente o anel Le Verrier, apesar de que a ressonância de Lindblad 53:52 está localizada no centro do anel Le Verrier. Eles concluíram que a falta de não-homogeneidade azimutal ou estrutura radial pode excluir os efeitos gravitacionais do satélite Despina. Pater et al. (2018) mostraram que o brilho dos anéis Le Verrier e Adams provavelmente apresentam partículas com propriedades físicas similares. Showalter et al. (2019) estimaram os elementos orbitais dos sete satélites, sendo incluído também o satélite Tritão, através de dados extraídos do Telescópio Espacial Hubble. Eles sugeriram que o satélite Hipocampo é produto de uma colisão de um corpo externo com o satélite Proteus, sendo Hipocampo um fragmento desse evento catastrófico. Brozović et al. (2019) estudaram a estabilidade orbital dos satélites internos identificando a ressonância de movimentos médios 73:69 entre os satélites Naiade e Thalassa (73λThalassa-69λNaiade-4ΩNaiade). Eles sugeriram que os satélites Hipocampo e Proteus estão em ressonância de movimentos médios 11:13. Após a descoberta do primeiro exoplaneta por Mayor e Queloz (1995), muitos exoplanetas e sistemas multi-planetários foram descobertos através de diversas técnicas e Telescópios, tal como o Telescópio Espacial Kepler. Observações feitas pelo Telescópio Kepler durante quatro anos, mostraram que existem sistemas multi-planetários, cujos planetas estão distribuídos de forma similar ao Sistema Solar (BORUCKI et al., 2010; BORUCKI et al., 2011). O sistema multi-planetário KOI-351 é identificado como o sistema Kepler-90. Esse sistema contém oito planetas em torno da estrela KOI-351, onde os planetas internos b e c estão próximos da estrela, os 23 planetas i, d, e e f são intermediários e os planetas g e h são os mais externos, sendo que o planeta h está a uma distância orbital de 1 UA. Os raios dos planetas b e c são da ordem de 1.3R⊕, enquanto que os planetas g e h são similares aos planetas gigantes do Sistema Solar e os planetas d, e e f são similares às super-terras (CABRERA et al., 2014). Cabrera et al. (2014) estudaram a estabilidade do sistema Kepler-90 através de um conjunto de simulações numéricas por um tempo de 107 anos, embora nesse trabalho, os planetas b e c podem ser ignorados nas simulações numéricas. Além disso, nesse trabalho foi adotada uma série de estimativas com relação a massa dos planetas. Eles confirmaram que o sistema é um sistema hierárquico e que os planetas b e c estão em ressonância de movimentos médios 5:4. Contreras e Boley (2018) mostraram, através de simulações numéricas, que o sistema Kepler-90 é estável, embora tenham assumido a excentricidade dos planetas igual a zero. Eles também estimaram a massa e o semieixo maior de cada planeta. Eles identificaram que os planetas b e c estão em ressonância de movimentos médios 5:4 e os planetas g e h estão em ressonância de movimentos médios 3:2. Além disso, Shallue e Vanderburg (2018) identificaram o planeta i localizado entre as órbitas dos planetas c e d. Liang, Robnik e Seljak (2021) realizaram simulações numéricas de longo período para estudar a evolução orbital do planeta g e do planeta h, e observaram que os ângulos ressonantes, φg e φh, associados à ressonância 3:2 de movimentos médios desses planetas, em alguns períodos de tempo libra e em outros circula. É importante ressaltar que a descoberta do planeta i, e a não estimativa dos valores de excentricidade dos planetas b, c, i, d, e, f , g e h reforça a importância de estudar a estabilidade do sistema assumindo diferentes intervalos de excentricidade para os planetas. Portanto, o objetivo geral do trabalho é identificar as regiões de estabilidade de dois sistemas, o sistema de Netuno e Kepler-90, utilizando o método de análise de frequência. O primeiro objetivo específico deste trabalho é estudar a evolução orbital de um conjunto de partículas na região interna do sistema de Netuno através da análise de frequência, onde estão os satélites (Naiade, Thalassa, Despina, Galatea, Larissa, Hipocampo e Proteus) e seus anéis (Galle, Le Verrier, Lassel, Arago, anel coorbital de Galatea e o Adams) para diferentes valores de excentricidade das partículas. Também serão analisados os efeitos da pressão de radiação solar em partículas pequenas (da ordem de µm), que compõem os anéis de Netuno. O segundo objetivo específico deste trabalho é estudar a dinâmica dos planetas b, c, i, d, e, f , g e h do sistema Kepler-90 através do método de análise de frequência para três intervalos diferentes de excentricidade. Também estudaremos a dinâmica de um conjunto de partículas na região de semieixo maior de 0.06 UA a 2 UA para diferentes valores de excentricidade. No Capítulo 2 apresentamos a metodologia que é utilizada em ambos sistemas. No Capítulo 3 apresentamos uma revisão bibliográfica sobre os sete satélites internos e os cinco anéis do sistema interno de Netuno. Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos utilizando o método descrito no Capítulo 2. No Capítulo 4 apresentamos uma revisão bibliográfica sobre os oito planetas do sistema Kepler-90. Neste capítulo são apresentados os resultados obtidos ao assumir três intervalos de excentricidade para 24 os oito planetas. No Capítulo 5 são apresentados os resultados obtidos ao incluir conjuntos de partículas teste nos dez "sistemas Kepler-90" que foram selecionados aleatoriamente do capítulo 3. Neste capítulo selecionamos um sistema representativo e analisamos as regiões entre as órbitas dos planetas c e i, e além da órbita do planeta h. No Capítulo 6 é apresentada uma discussão geral. 25 2 MÉTODO DE ANÁLISE DE FREQUÊNCIA O método de análise de frequência é uma ferramenta que fornece informações da dinâmica global de sistemas multidimensionais e identifica comportamentos caóticos em sistemas dinâmicos para qualquer número arbitrário de graus de liberdade. A análise de frequência é baseada na análise das variações em função do tempo das frequências fundamentais de um sistema Hamiltoniano. Laskar (1990), Laskar (1993) mostraram que a análise de frequência permite estimar se uma órbita é regular ou irregular em um tempo de integração de curto período, além de estimar o tamanho das zonas caóticas no domínio da frequência. Laskar (1990), Laskar (1993) estudaram o comportamento caótico do Sistema Solar através desse método, o qual foi aplicado para uma série de problemas dinâmicos como apresentados em Nesvornỳ e Morbidelli (1998), Robutel e Laskar (2001), Munõz-Gutiérrez e Winter (2017), Gaslac et al. (2020), Roberts e Muñoz-Gutiérrez (2020) e Muñoz-Gutiérrez et al. (2021). O algoritmo da análise de frequência desenvolvido por Laskar, Froeschlé e Celletti (1992) busca calcular as frequências fundamentais do sistema. Laskar, Froeschlé e Celletti (1992) realizaram o fundamento matemático da análise de frequência considerando que a Hamiltoniana de um sistema dinâmico integrável de n graus de liberdade, definida como H(J, θ), é da forma: H(J, θ) = H0(J) + εH1(J, θ) (1) onde ε é um parâmetro adimensional que pode variar de 0 a 1, ou seja, quando ε = 0 a equação (1) não há perturbação no sistema, e quando ε = 1 a equação (1) apresenta uma perturbação no sistema. Assumimos um sistema de n graus de liberdade considerando que o sistema é integrável (para ε = 0). Através de transformações canônicas, o sistema é reduzido a variáveis de ação-ângulo (Jj, θj). A Hamiltoniana dependerá apenas das variáveis de ação, e a equação (1) fica da forma: H(J, θ) = H0(Jj) onde j=1,2,3...,n para um sistema de n-graus de liberdade. De modo que, as variáveis de ação da Hamiltoniana são constantes do movimento, J̇j = 0, enquanto as variáveis de ângulo evoluírem da seguinte maneira: θ̇j = ∂H0(Jj) ∂Jj = νj(J) (2) onde νj(J) são as frequências fundamentais do movimento. Robutel e Laskar (2001) e Munõz-Gutiérrez e Winter (2017) sugeriram que nos experimentos numéricos não é comum trabalhar com variáveis de ação-ângulo. De modo que, ainda podemos considerar algumas variáveis dinâmicas que estejam relacionadas às variáveis de ação-ângulo. Portanto, a variável dinâmica z′j é definida como z′j = J ′jexp(iθ ′ j) = f(z1, z2, z3, ...zn), onde zj = Jjexp(iθj). Isto significa que qualquer variável f será uma função que estará próxima da unidade. Apesar que (J ′j, θ ′ j) não são variáveis de ação-ângulo, a análise de z′j(t) ainda nos dará as frequên- cias fundamentais (νj). Para movimentos periódicos e quase-periódicos essas frequências fundamentais serão constantes. Se recuperarmos as frequências fundamentais em diferentes intervalos de tempo de uma integração 26 numérica, poderemos determinar a existência de movimento periódico. Se as frequências permanece- rem quase constantes o sistema será regular, e se as frequências variarem isto mostrará a existência de uma irregularidade (LASKAR; FROESCHLÉ; CELLETTI, 1992). Portanto, neste trabalho calcularemos a frequência principal, ν, usando a equação de Euler definida como z′j = a(t)eiλ(t) (3) Para obter a frequência principal das órbitas das partículas utilizamos o algoritmo da transformada de Fourier de frequência modificada (FMFT), que está descrito em Šidlichovskỳ e Nesvornỳ (1997) e disponível na página web publicada pelo autor1. O programa de Šidlichovskỳ e Nesvornỳ (1997) será descrito no Apêndice A. 2.1 MAPA DE DIFUSÃO Seguindo o algoritmo descrito no Apêndice A podemos construir o mapa de difusão através dos seguintes passos: 1.- Os valores dos ângulos de fase (θj = θj0) são fixos para qualquer valor das variáveis de ação (J0), 2.- integramos numericamente as trajetórias, a partir das condições iniciais (J0, θ0) em um tempo de integração T , 3.- Buscamos uma aproximação quasi-periódica da trajetória utilizando o algoritmo FMFT (ŠIDLI- CHOVSKỲ; NESVORNỲ, 1997), 4.- identificamos as frequências principais ou fundamentais (ν) do item [3]. O mapa é definido como: F T θ0 : J =⇒ ν (4) onde F T θ0 converge em uma função suave dos conjuntos de torus invariantes de KAM. As regiões caóticas podem ser identificadas se os torus invariantes são destruídos, identificado pela irregularidade do mapa F T θ0 (ROBUTEL; LASKAR, 2001). O mapa de difusão pode ser aplicado para um conjunto de partículas teste em um sistema, tipo estrela com planetas ou um sistema tipo planeta com satélites. O efeito gravitacional das partículas teste é nulo nos dois tipos de sistemas. As frequências correspondentes aos planetas ou aos satélites serão fixadas, sendo suficiente para estudar o mapa de frequência (equação 4) em um espaço de três dimensões das variáveis tipo ação (ROBUTEL; LASKAR, 2001). Para qualquer partícula teste as três variáveis de tipo ação são os elementos orbitais a, e e i (semieixo maior, excentricidade e inclinação), cujas três variáveis de ação são associadas aos ângulos M, ω e Ω (anomalia média, argumento do nodo ascendente, longitude de nodo ascendente). 1 Nesvorny (2018) visitado em 09/01/2018 27 Podemos construir o mapa de difusão definindo os valores dos ângulos iniciais M0, ω0 e Ω0 iguais a zero para as partículas teste. Construiremos numericamente o mapa de difusão para a variável de ação inicial (a0, e0, i0) para calcular as frequências fundamentais das trajetórias, cujas frequências estão relacionadas ao movimento médio (np), à frequência do pericentro (g) e à frequência do nodo (s): F T : (a0, e0, i0) =⇒ (np, g, s) (5) seguindo o indicado por Robutel e Laskar (2001) limitaremos o estudo ao cálculo da frequência de curto período (determinar o valor de movimento médio), utilizando o tempo de integração numérica de 104 Tp (onde Tp é o período de um planeta ou satélite dependendo do sistema). Além disso, fixamos um valor específico da inclinação inicial, sendo o mapa reduzido a F T i0 : (a0, e0) =⇒ np (6) A equação (6) mostra a localização aproximada das ressonâncias de movimentos médios. Como estudaremos o sistema interno de Netuno na subseção 2.5 é necessário incluir uma nova transformação dos elementos orbitais para elementos geométricos devido à perturbação do corpo central gerada pelo seu formato. Portanto, na seguinte subseção desenvolveremos uma descrição dos elementos geométricos. 2.2 DIFUSÃO Seguindo o item [3] da subseção 2.2.3, identificamos as partículas que sobreviveram o tempo total da integração numérica. Robutel e Laskar (2001) indicaram que a frequência principal de z′(t) estará relacionada ao movimento médio, np, da órbita. A função z′(t), através da análise de frequência, é definida como: z′(t) = α0e (iν0t) + N∑ j αje (iνjt), (7) onde ν0 = np no caso do movimento Kepleriano. Mas não é o caso, ambos valores de |α0| e ν0 são próximos aos, mas não são iguais, semieixo maior inicial e ao movimento médio, respectivamente. No entanto, as amplitudes dos seguintes termos são de 100 a 1000 vezes menores para as trajetórias quase-periódicas, portanto, as variações na frequência principal, ν0, serão suficientes para fornecer uma estimativa da estabilidade da órbita. O parâmetro da difusão (D) é definido como (CORREIA et al., 2005): D = |ν1t − ν2t| T (8) onde ν1t e ν2t são as frequências principais calculadas no item [3] da subseção 2.2.3, T é metade do tempo total da integração numérica. 28 Figura 1 – Os resultados apresentados na Figura foram extraídos do artigo de Robutel e Laskar (2001). A figura mostra a curva de frequência, semieixo maior inicial vs n n8 das partículas com excentricidade igual a 0.15. Os platôs correspondem as RMMs com o planeta Netuno. Fonte: Robutel e Laskar (2001). 2.3 RESSONÂNCIA DE MOVIMENTOS MÉDIOS (RMM) Determinar o movimento médio das partículas teste, ajudará a identificar as regiões associadas às RMM. Todas as partículas teste que apresentam o mesmo valor ressonante tem um valor aproximado de np (ROBUTEL; LASKAR, 2001). Se o movimento é Kepleriano, a partícula seguirá a equação (9) dn da ≈ −3 2 √ µa −5/2 0 (9) onde µ = GMsol e a0 é o semieixo maior inicial das partículas. De modo que é importante estimar a dimensão da largura das RMMs para os diferentes valores de excentricidade encontradas na curva de frequência (ver a Figura 1). Dessa maneira, identificaremos a estrutura da ressonância no mapa dinâmico a vs e (WISDOM, 1980), dado que a largura das RMMs aumenta quando a excentricidade aumenta (WISDOM, 1980; HADDEN; LITHWICK, 2018). Os pontos espalhados na curva de frequência são partículas que apresentam órbitas excêntricas, devido à superposição de RMMs sendo consideradas como zonas caóticas (CHIRIKOV, 1979; WALKER; FORD, 1969; WISDOM, 1980; HADDEN; LITHWICK, 2018) ou regiões com partículas com órbitas irregulares que foram identificadas pelo parâmetro de difusão (ver a Figura 1). Na seguinte capítulo estudaremos a dinâmica do sistema interno de Netuno incluindo o efeito gravitacional do satélite Tritão e também estudaremos as regiões entre as órbitas dos satélites utilizando o método de análise de frequência. Nos capítulos 4 e 5 estudaremos a dinâmica do sistema Kepler-90 usando as ferramentas apresentadas neste capítulo. 29 3 SISTEMA DE NETUNO 3.1 NETUNO, ANÉIS E SATÉLITES INTERNOS A TRITÃO Netuno é o planeta mais afastado do Sistema Solar, sendo parte dos planetas exteriores ou gigantes gasosos do sistema. Atualmente, o sistema de Netuno possui catorze satélites, sendo que o último satélite descoberto em 2013 é o satélite Hipocampo, que está localizado entre os satélites Larissa e Proteus (SHOWALTER et al., 2013) (ver a Figura 2). Netuno também possui seis anéis conhecidos, que são os aneís Galle, Leverrier, Lassell, Arago, anel coorbital de Galatea e o Adams. Esses anéis foram descobertos pela sonda espacial Voyager 2 em 1989 (SMITH et al., 1989), sendo o anel Adams relativamente joven devido à estrutura azimutal dos anéis (ESPOSITO, 2002; ESPOSITO, 2014; WINTER; MADEIRA; SFAIR, 2020). Os elementos orbitais estimados para o planeta Netuno são: semieixo maior (a) é igual a 30.068 Unidades Astronômicas (UA = 1.495978707× 108 km), excentricidade (e) é igual a 0.00858587, e a inclinação (i) é igual a 1.76917◦. Seu período orbital é de 164.79 anos (época JD 2451545.0 (J2000)). Os parâmetros físicos do planeta Netuno estão apresentados na Tabela 1, sendo esses valores utilizados nas simulações numéricas. Esses parâmetros físicos são a constante GM é o parâmetro gravitacional do sistema, M é a massa, R é o raio, e J2 e J4 são os coeficientes gravitacionais. Tabela 1 – Parâmetros físicos do planeta Netuno Constante Valor Referência GMsistema (km3 s−2) 6836527.100580397 ± 10 Jacobson (2009) MJ (1024) 102.41 ± 0.01 Jacobson (2009) RJ (km) 25225 Jacobson (2009) J2 (10−6) 3408.428530717952 ± 4.5 Jacobson (2009) J4 (10−6) -33.398917590066 ± 2.9 Jacobson (2009) Fonte: NASA (2017a). Tabela 2 – Parâmetros físicos dos satélites internos próximos ao planeta Netuno Satélite GM (km3/s2) Média do raio (km) Densidade (g/m3) Referência Naiade 0.013 33 ± 3 1.3 Karkoschka (2003) Thalassa 0.025 41 ± 3 1.3 Karkoschka (2003) Despina 0.14 75 ± 3 1.3 Karkoschka (2003) Galatea 0.25 88 ± 4 1.3 Karkoschka (2003) Larissa 0.33 97 ± 3 1.3 Karkoschka (2003) Hipocampo 0.0003 9 1.3 Showalter et al. (2013) Proteus 3.36 210 ± 7 1.3 Karkoschka (2003) Tritão 1427.6 ± 1.9 1353.4 ± 0.9 2.059 ± 0.005 Thomas (2000) Fonte: NASA (2017b). O anel Galle está localizado no intervalo de 41000 km a 43000 km a partir do centro do planeta, sendo o anel mais próximo a Netuno. Esse anel não apresenta nenhuma borda externa ou interna 30 Figura 2 – Esboço da localização dos satélites internos e a Tritão e os anéis do sistema de Netuno. Observamos que os maiores anéis, o Anel Galle e o Lassel, apresentam uma largura de ∼ 2000 km e ∼ 4000 km, respectivamente. Fonte: Próprio autor distinta. O anel Galle é largo, difuso e a quantidade de poeira é maior que a dos outros anéis (MINER; WESSEN; CUZZI, 2007). Os satélites Naiade, Thalassa e Despina são os satélites interiores que estão entre os anéis Galle e Le Verrier. Os parâmetros físicos desses satélites são apresentados na Tabela 2. Os anéis Le Verrier, Lassell e Arago são os três anéis planetários localizados a ∼53000 km, ∼56000 km, ∼57200 km, respectivamente, a partir do centro do planeta. As propriedades desses anéis estão apresentadas na Tabela 3. Miner, Wessen e Cuzzi (2007) sugeriram que o satélite Despina aparentemente não afeta gravi- tacionalmente o anel Le Verrier, apesar do satélite esta bem próximo ao anel. Eles encontraram que a posição da ressonância de Lindblad 53:52 está localizada próxima ao centro do anel Le Verrier, e que a ressonância 54:53 está localizada a 13.1 km do satélite Despina. Eles concluíram que a falta de não-homogeneidade azimutal ou de estrutura radial pode excluir os efeitos gravitacionais do satélite Despina. Galatea é o satélite que possui um anel coorbital (PATER et al., 2018). Miner, Wessen e Cuzzi (2007) sugeriram que o satélite Galatea pode ser o responsável pela formação do anel coorbital devido as colisões de objetos interplanetários em sua superfície. O satélite Galatea está próximo ao anel Adams. Esse anel é um anel externo e irregular, contendo partes mais densas, denominadas de arcos. Observações feitas por Pater et al. (2005) verificaram que os anéis de Netuno permaneceram de forma similar às imagens enviadas pela sonda Voyager 2 (1989), porém, os arcos do anel Adams apresentaram diferenças significativas, como localização e intensidade, em relação ao arco Fraternidade (ver a Figura 3). Esse arco apresenta um movimento médio orbital de 820.118 ± 0.0001 graus/dia. Pater et al. (2005) sugeriram que o efeito gravitacional entre Galatea e os arcos do anel Adams poderia ser responsável por este comportamento. Esposito (2002) mostrou que todos os anéis de Netuno estão no limite de Roche do planeta, onde as forças de maré destruíram um corpo fluido. Ele sugeriu também que o planeta apresenta uma região dominada pelo campo magnético e de partículas carregadas, isto é devido à alta inclinação do campo magnético de Netuno, sendo nomeada de magnetosfera do planeta. As partículas capturadas na 31 Tabela 3 – Parâmetros dos anéis de Netuno Anéis Localização Profundidade Fração de (largura W(km)) ótica poeira (%) Galle 42000 km ∼ 10−4 ? (W =∼ 2000 km) Le Verrier 53200 3× 10−3 4 - 70 (W =∼ 100 km) Lassell 55200 ∼ 10−4 ? (W =∼ 4000 km) Arago 57200 ? ? (W = 100 km) Galatea co-orbital 61953 km Adams 62933 km ∼ 3× 10−3 30-50 (W = 15) Adams arcos 62933 km ∼ 10−1 50 (W = 10) Fonte: Pater et al. (2018). Figura 3 – Arcos do anel Adams (Fraternidade, Igualdade, Liberdade e Coragem). Fonte: Pater et al. (2005). magnetosfera são repetidamente deslocadas além das órbitas dos satélites e anéis. Além disso, essas partículas podem ser absorvidas pelos satélites e como material dos anéis. Os satélites Larissa, Hipocampo e Proteus são os satélites mais afastados do sistema interno de Netuno. Entre os satélites Larissa e Hipocampo não existem corpos descobertos até agora. Existem trabalhos que estudaram a dinâmica dos satélites internos, além de propor a formação dos anéis internos do sistema de Netuno. Portanto faremos uma breve revisão geral desses trabalhos. Zhang e Hamilton (2007) analisaram o histórico ressonante da evolução orbital dos satélites Proteus e Larissa devido à migração por maré, os dois satélites provavelmente passaram pela ressonância de movimentos médios 2:1, 1000 anos atrás. Eles utilizaram um método numérico para excitar a excentricidade e inclinação obtendo restrições na densidade média dos satélites e seus parâmetros de dissipação por maré (Q). Zhang e Hamilton (2007) identificaram uma forte ressonância de movimentos 32 médios de três corpos entre Larissa, Proteus e Tritão, isto é devido à massa e inclinação do satélite Tritão, onde as perturbações seculares de Tritão afetam consideravelmente a ressonância de movimentos médios entre Larissa e Proteus. Zhang e Hamilton (2008) investigaram a evolução orbital dos satélites internos de Netuno. Nesse estudo foram incluídos os satélites de tamanho médio como Galatea e Despina. O objetivo de Zhang e Hamilton (2008) foi estudar a dinâmica dos satélites assumindo que a inclinação de cada satélite é igual a zero e que as ressonâncias orbitais excitaram as inclinações durante a migração por maré.Como resultado foi obtido que as inclinações orbitais dos satélites Proteus, Galatea e Despina são consistentes se densidade desses satélites estiver no intervalo 0.4 < ρ < 0.8 g/cm3. No caso do satélite Larissa, a variação da inclinação é alta devido provavelmente a uma captura ressonante anterior com os satélites Naiade ou Thalassa. Showalter et al. (2013) analisaram as imagens obtidas pelo telescópio espacial Hubble (TEH) durante os anos 2004 a 2009. Essas imagens foram comparadas às imagens obtidas pela sonda Voyager 2. O resultado dessa análise das imagens permitiu determinar a evolução orbital dos arcos desde o momento que as primeiras imagens foram obtidas (Voyager 2). Desde que foram identificados os quatro arcos do sistema de Netuno em 1989, Showalter et al. (2013) afirmaram que os dois primeiros arcos estão desaparecendo, mas os outros arcos permanecem estáveis. Além disso, a descoberta de um satélite chamado S/2004 N1 (SHOWALTER et al., 2013), nomeado Hipocampo, que orbita entre os satélites Larissa e Proteus, apresenta um movimento médio de 378.907 ± 0.001 graus por dia e o valor do seu semieixo maior é 105.283 km. Showalter et al. (2017) afirmaram que sem o confinamento dos arcos, esses teriam sobrevivido pouco tempo devido ao "Keplerian shear". Showalter et al. (2017) encontraram que o semieixo maior dos arcos estão próximos, ∼10 m, a uma ressonância de movimentos médios de três corpos, sendo os satélites Galatea e Larissa os responsáveis pela ressonância. Showalter et al. (2019) estimaram os elementos orbitais dos sete satélites usando os dados obtidos pelo TEH, além de confirmar a existência do satélite Hipocampo entre as órbitas dos satélites Larissa e Proteus através das observações realizadas entre os anos 2004 e 2016. Eles sugeriram que o satélite Hipocampo seja produto de uma colisão entre o satélite Proteus e um corpo externo ao sistema de Netuno. Brozović et al. (2019) estudaram a dinâmica dos sete satélites internos considerando, nas si- mulações, o efeito do satélite Tritão. Eles identificaram que os satélites Naiade e Thalassa estão em ressonância de movimentos médios 73:69, sendo o ângulo ressonante definido por 73λThalassa- 69λNaiade-4ΩNaiade. Eles também concluíram que os satélites Hipocampo e Proteus estão próximos da ressonância de movimentos médios 13:11. Charnoz et al. (2017) sugeriram que o mecanismo de formação dos anéis de Netuno pode ser devido aos pequenos satélites, através do processo de erosão ou destruição via bombardeamento de meteoritos. Como o raio dos satélites está no intervalo de 10 a 100 km, esses satélites poderiam ser uma fonte importante de material para os anéis. A re-acreção incompleta devido à maré pode fornecer uma explicação natural para a coexistência de anéis e satélites. Eles consideraram que os impactos de meteoritos foi importante para a configuração final do sistema interno de Netuno. 33 Isto motivou o estudo da dinâmica dos satélites da região interna do sistema de Netuno incluindo um conjunto de partículas teste. Esse estudo será apresentado nas seções 2.3 e 2.4. A descoberta do satélite Hipocampo foi importante para estudar em detalhes a dinâmica dos anéis e determinar regiões estáveis localizadas entre as órbitas dos satélites. Além disso, analisaremos a região interna considerando satélites hipotéticos, esse estudo será discutido na seção 2.5. Na seguinte seção utilizaremos o método descrito no capítulo anterior para estimar as regiões estáveis ou instáveis do sistema interno de Netuno. 34 3.2 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS Para dar início aos conjuntos de simulações numéricas devemos utilizar os dados apresentados na Tabela 4, que foram extraídos do site web HORIZONS2 para o dia Juliano 2457785.5, que corresponde a data de 1 de Fevereiro de 2017. Os dados de posição e velocidade apresentados na Tabela 4, deveram ser transformados para elementos orbitais geométricos (Tabela 5). Isto é importante para que possamos reduzir as perturbações de curto período (ver Apêndice B), e assim realizar estimações apropriadas para o cálculo da difusão de cada órbita de cada satélite do sistema interno de Netuno, e também para o conjunto de partículas teste que serão incluídos na próxima seção. Utilizamos o pacote computacional MERCURY (CHAMBERS, 1999), que permite simular um conjunto de n-corpos que orbitam ao redor de um corpo central e o integrador numérico Bulirsch e Stoer (1966) que está incluído no pacote. Tabela 5 observamos que as variáveis aGeo(DAA) é o semieixo maior, eGeo é a excentricidade, IGeo é a inclinação, $Geo é a longitude de pericentro, ΩGeo é a longitude de nodo ascendente e λGeo é a longitude média, todos são elementos geométricos. Notamos que o semieixo maior geométrico está normalizado como DAA que é a distância do centro de Netuno até o anel Adams, sendo DAA = 62932.7 km. O primeiro conjunto de simulações numéricas será de longo período, onde estudaremos a evolução temporal dos elementos orbitais a, e e i dos satélites internos do sistema de Netuno, com e sem o efeito gravitacional do satélite externo Tritão. O tempo de integração numérica será de ∼ 1.2 × 105 anos. Isto é importante para o trabalho já que definiremos a estabilidade ou não dos satélites internos como primeiro passo. Levar em consideração que o pacote computacional MERCURY não incluí a opção para elementos orbitais geométricos. Utilizaremos a Tabela 4 como dados de entrada no arquivo big.in, ao finalizar as simulações numéricas, os resultados deveram ser transformados para elementos orbitais geométricos. O segundo conjunto de simulações numéricas será de curto período, onde estudaremos a evolução orbital dos satélites internos e usaremos o método de análise de frequência para analisar a dinâmica global dos satélites. Estimando a difusão das órbitas e o tempo de difusão dos satélites e assim compará- los aos resultados apresentados para uma evolução orbital de longo período. Isto será abordado na subseção 3.4. 2 NASA (2017c) 35 Tabela 4 – As componentes da posição (x, y, z) e velocidade (vx, vy, vz) dos satélites de Netuno. Esses valores foram extraídos de NASA (2017c) para a data 2017-02-01. Satélite posição (km) velocidade (km/dias) -4.861598101194755E+03 -1.022607376451960E+06 Naiade 4.792192785052824E+04 -1.007473952748110E+05 -2.513901855087704E+03 5.737149709031385E+04 -4.536127084395342E+04 4.281143792543722E+05 Thalassa -2.123161142809179E+04 -9.145989649730624E+05 -6.882101766768756E+00 -1.064699239230846E+04 3.691546376852450E+04 7.013763660435721E+05 Despina -3.735597748047257E+04 6.933922389982601E+05 -4.305177328186073E+02 5.299076528200922E+03 -6.092150479333453E+04 1.639911934009283E+05 Galatea -1.118656310246041E+04 -8.931195696477976E+05 -1.351794468076787E+01 -8.423057548930225E+03 3.220023154660776E+04 -7.497834172900536E+05 Larissa 6.607288323931834E+04 3.643338200205931E+05 7.839652855768873E+02 7.040661389542341E+03 1.048292427174439E+05 6.050417340226601E+04 Hipocampo -9.118392454374658E+03 6.939273288189896E+05 -4.486626166000306E+02 1.032242074417382E+04 7.244449534921265E+04 -5.191391052146224E+05 Proteus 9.268331408207947E+04 4.052542585486157E+05 1.474307246998542E+03 8.462041124334502E+03 -3.384649833000187E+05 1.122533770419439E+05 Tritão 9.055438292073048E+04 3.353923148048871E+05 5.562943106087373E+04 1.370100134831567E+05 Fonte: NASA (2017c). Tabela 5 – Elementos geométricos dos satélites do sistema interno de Netuno obtidos da Tabela 3.1. Satélite aGeo(DAA) eGeo IGeo( ◦) $Geo( ◦) ΩGeo( ◦) λGeo( ◦) Naiade 0.7662936974 0.0028933904 4.3629736556 188.2828786823 138.9038344642 96.0416928089 Thalassa 0.7955775163 0.0003268493 0.6033164215 20.7223081675 24.3345566865 205.0851889228 Despina 0.8345261894 0.0002964914 0.5612815661 50.2566688896 11.4590451697 314.6928820767 Galatea 0.9842950420 0.0000704953 0.5311472156 182.0518196399 9.0559635089 190.4038414171 Larissa 1.1685233905 0.0010692628 0.7796604322 129.5811402013 12.4127449149 64.1321648913 Hipocampo 1.6727265144 0.0004180706 0.8832101088 344.0241374017 11.0844491331 355.0179103288 Proteus 1.8691460666 0.0003309937 1.0283412166 165.5275467689 7.7072669384 52.0269988864 Fonte: próprio autor 36 Figura 4 – Evolução temporal dos elementos geométricos a, e e I dos satélites internos de Netuno quando não é considerado o satélite Tritão no sistema. O tempo de integração numérica foi de ∼ 1.2× 105 anos. Na figura (a), (b) e (c) os satélites são identificados com os seguintes cores: roxo (Naiade), verde (Thalassa), azul-celeste (Despina), Laranja (Galatea), amarelo (Larissa), azul (Hipocampo) e vermelho (Proteus). 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 20 40 60 80 100 120 a G e o m é tr ic o tempo (10 3 anos) (a) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0 20 40 60 80 100 120 e G e o m é tr ic o tempo (10 3 anos) (b) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 20 40 60 80 100 120 I G e o m é tr ic o tempo (10 3 anos) (c) Fonte: próprio autor 3.3 EVOLUÇÃO ORBITAL DOS SATÉLITES DO SISTEMA INTERNO DE NETUNO As simulações numéricas de longo período são relevantes no estudo da evolução orbital dos corpos celestes. Portanto, fizemos dois conjuntos de simulações numéricas, o primeiro conjunto contém os satélites Naiade, Thalassa, Despina, Galatea, Larissa, Hipocampo e Proteus e o conteúdo do segundo conjunto são todos os satélites internos de Netuno mais o satélite Tritão. A Figura 4 e a Figura 5 mostram as simulações numéricas dos satélites internos de Netuno e outra simulação numérica incluindo o efeito gravitacional de Tritão, respectivamente. Na Figura 4(a), (b) e (c), as cores apresentadas se referem aos satélites: Naiade de cor roxo, Thalassa de cor verde, Despina de cor azul-celeste, Galatea de cor laranja, Larissa de cor amarelo, Hipocampo de cor azul e Proteus de 37 Figura 5 – Evolução temporal dos elementos geométricos a, e e I dos satélites internos de Netuno incluindo o satélite Tritão no sistema. O tempo de integração numérica foi de ∼ 1.2 × 105 anos. Na figura (a), (b) e (c) os satélites são identificados com os seguintes cores: roxo (Naiade), verde (Thalassa), azul-celeste (Despina), Laranja (Galatea), amarelo (Larissa), azul (Hipocampo) e vermelho (Proteus). 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 20 40 60 80 100 120 a G e o m é tr ic o tempo (10 3 anos) (a) 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025 0.003 0.0035 0 20 40 60 80 100 120 e G e o m é tr ic o tempo (10 3 anos) (b) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0 20 40 60 80 100 120 I G e o m é tr ic o tempo (10 3 anos) (c) Fonte: próprio autor 38 Figura 6 – A figura apresenta o zoom da evolução temporal da inclinação geométrica dos satélites internos de Netuno incluindo o Tritão, no intervalo de tempo de 49.1× 103 anos a 49.3× 103 anos. Na figura (a), (b) e (c) os satélites são identificados com os seguintes cores: roxo (Naiade), verde (Thalassa), azul-celeste (Despina), Laranja (Galatea), amarelo (Larissa), azul (Hipocampo) e vermelho (Proteus). 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 49.1 49.12 49.14 49.16 49.18 49.2 49.22 49.24 49.26 49.28 49.3 I G eo m ét ri co tempo (10 3 anos) Fonte: próprio autor cor vermelho. Na Figura 4(a) observamos que os satélites mantêm os semieixo maiores geométricos constante ao longo do tempo da integração numérica. Na Figura 4(b) observamos que o satélite Naiade apresenta a maior amplitude de excentricidade geométrica em relação aos outros satélites. Também é possível observar que as excentricidades dos satélites Thalassa, Galatea e Hipocampo apresentam uma evolução orbital periódica, sendo que para o satélite Galatea essa evolução tem curta periodicidade, e para o satélite Hipocampo a amplitude na excentricidade é maior. As excentricidades dos demais satélites permanecem constantes ao longo do tempo. Na Figura 4(c) notamos que os satélites Naiade até Proteus mostram comportamentos constantes na inclinação geométrica. Na Figura 5 notamos que o comportamento dos satélites internos diferem em relação à excentri- cidade e inclinação geométricas. Na Figura 5(a) não observamos diferenças notórias de aGeométrico dos satélites internos quando comparamos com a Figura 4(a) (a relação de cores são as mesmas para cada satélite mostrado anteriormente). Na Figura 5(b) notamos que os satélites Thalassa e Hipocampo apresentam valores menores de amplitude de eGeométrico, que o mostrado na Figura 4(b). Na Figura 5(c) identificamos variações de inclinação geométrica, sendo as maiores variações de IGeométrico para os satélites Larissa, Hipocampo e Proteus (ver a Figura 6). Isto indica que o efeito gravitacional de Tritão deve ser considerado nas simulações numéricas de curto período que será desenvolvido neste capítulo através do mapa de frequência. 39 3.4 ESTUDO DA REGIÃO INTERNA DO SISTEMA DE NETUNO Nesta seção analisaremos a dinâmica do sistema de Netuno mediante a análise de frequência dos satélites internos e também de um conjunto de partículas teste. Estudaremos o sistema interno através do mapa de difusão considerando o satélite Tritão. Identificaremos regiões estáveis, regiões caóticas e localizaremos ressonâncias de movimento médio. 3.4.1 Dinâmica do sistema interno Desenvolveremos um estudo da dinâmica do sistema dos satélites internos de Netuno e das partículas teste para um tempo de integração numérica de 104 vezes o período orbital do último satélite. Para o intervalo de semieixo maior geométrico de 0.6004DAA a 1.29DAA, o satélite Larissa é o satélite mais externo, e o tempo da simulação numérica será de 104 TL (TL é o período orbital do satélite Larissa)(∼ 18 anos), o outro intervalo de semieixo maior geométrico é 1.3DAA a 2.2009DAA que será simulado para um tempo de 104TP (TP é o período orbital do satélite Proteus)(35 anos), sendo Proteus o satélite mais externo. O sistema analisado é formado por 10 corpos: Netuno, 8 satélites (corpos massivos) e uma partícula teste. Na simulação numérica utilizamos um conjunto de 59000 partículas teste.Os parâmetros físicos dos corpos massivos são dados na Tabela 1 e Tabela 2. As condições iniciais da posição e velocidade dos satélites foram extraídas da Tabela 4. As condições iniciais das partículas teste foram selecionadas da seguinte maneira: • o semieixo maior geométrico a, medido em relação ao centro do sistema, assumimos valores de 0.6004DAA até 2.2009DAA, com passo de4a = 3× 10−4DAA; • a excentricidade geométrica foi considerada entre os valores de 0.0 a 0.04 com passo de4e = 4× 10−3; • a inclinação geométrica das partículas estão em relação ao plano equatorial de Netuno e são iguais a zero; • assumimos que $Geo, ΩGeo e λGeo são iguais a zero. As partículas teste estão organizadas na grade retangular do plano espaço-fase a vs e. Notar que o conjunto de partículas teste está inicialmente em elementos orbitais geométricos, depois são transfor- mados em elementos orbitais osculadores ou vetores de estado seguindo as equações apresentadas por Renner e Sicardy (2006). Logo, inserimos os dados de posição e velocidade das partículas teste no arquivo small.in do pacote MERCURY. Além disso, consideramos para o corpo central os harmônicos zonais J2 e J4 cujos valores estão apresentados na Tabela 1. Ao finalizar a integração numérica, transformamos os resultados obtidos nos arquivos de saída *.aei (posição e velocidade) para os elementos orbitais geométricos, seguindo o indicado por Renner e Sicardy (2006). Notar que para as partículas teste os elementos orbitais geométricos angulares foram assumidos iguais a zero, seguindo o sugerido por Robutel e Laskar (2001). 40 Portanto, construímos o mapa de análise de frequência usando a equação z′(t) = aGeo(t)exp(iλGeo) para cada partícula teste, onde aGeo é o semieixo maior geométrico e λGeo é a longitude média da órbita. Aplicamos o FMFT, descrito por Šidlichovskỳ e Nesvornỳ (1997), em z′(t) em dois intervalos diferentes de tempo que são de 0 a T e de T a 2T , onde 2T é o tempo total da integração numérica. Desta maneira, obtemos dois valores de frequência principal para cada intervalo de tempo, os quais serão chamados de ν1 e ν2. Robutel e Laskar (2001) e Correia et al. (2005) mostraram que o cálculo do parâmetro da difusão (D) para cada partícula teste é definido como: D = |ν2 − ν1| T Se uma partícula teste não consegue finalizar a simulação numérica devido à ejeção ou colisão com os corpos massivos, essas não serão consideradas no resultado final. No caso em que uma partícula teste sobrevive até o tempo final da integração numérica, podemos identificar se essa órbita é estável ou não estável. Quando a diferença |ν2 − ν1| apresenta um valor alto indicaremos que a órbita é instável ou irregular, e quando a diferença das frequências principais são da ordem ∼ 10−6 a ∼ 10−9 indicaremos que a órbita é estável. Também é possível estimar o tempo de difusão (tD) em anos para cada partícula teste. Munõz- Gutiérrez e Winter (2017) estimaram o tD como o inverso do produto do parâmetro D e o período da órbita (P ) de cada partícula teste. Além disso, indicaram que o tD é uma estimativa do tempo aproximado para que alguma variação no movimento médio das órbitas das partículas seja percebido. A escala da paleta de cores nas figuras aGeo vs eGeo e aGeo vs λGeo variam de acordo com o Log D para cada partícula teste. Cada partícula teste estará localizada em sua posição inicial nas grades a vs e e a vs λ. As ressonâncias de movimento médio são identificadas nas Figura 7, Figura 8, Figura 9, Figura 11, Figura 12 e Figura 13, onde as cores que identificam as ressonâncias de movimento médio de primeira e segunda ordem (e ordem maiores) são identificadas da seguinte forma: os números localizados na parte superior das imagens de cor preta são as RMMs com Naiade, os números de cor azul preto indicam as RMMs com Thalassa, os números de cor laranja indicam as RMMs com Galatea, os números de cor marrom as RMMs com Larissa, os números de cor verde as RMMs com Hipocampo e os números de cor azul as RMMs com Proteus. Os números que tenham a letra "d" ao lado representam as RMMs com Despina. 41 Figura 7 – Mapa de análise de frequência na região do anel Galle, do satélite Naiade. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cuja nomenclatura são mostradas na parte superior. Os números localizados na parte superior apresentados em cor preta correspondem as RMMs de Galateia e a partícula. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Naiade. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. Fonte: próprio autor 3.4.1.1 Região do anel Galle e satélite Naiade O anel Galle é identificado na Figura 7 de acordo com a Tabela 3, portanto, o anel Galle está localizado no intervalo de aGeo de 0.6515DAA a 0.6833DAA considerando o valor da excentricidade do anel igual a zero. O satélite Naiade está localizado em 0.7663DAA e não aparece a formação de partículas coorbitais. Os resultados apresentados na Figura 7 mostram que o anel Galle possui partículas teste em órbitas regulares. Observamos que as partículas que estão próximas ao satélite apresentam um Log D próximo de zero sendo partículas com órbitas irregulares. Identificamos duas ressonâncias de movimento médio de primeira ordem entre o satélite Naiade e partículas do anel Galle. Ditas RMMs são as RMM 5:4 e 6:5. Encontramos partículas teste em RMM 4:3 com o satélite Naiade sendo perturbadas significativamente. Essas partículas apresentam diferentes valores de Log D no intervalo de ∼-6.5 a ∼-3. As RMMs são identificada no gráfico como linhas tracejadas verticais e a flechas horizontais mostram as bordas interna e externa do anel Galle. As linhas diagonais delimitam a posição dos raios de pericentro e apocentro dos corpos massivos sendo apresentados nas Figura 7, Figura 8, Figura 9, Figura 11, Figura 12 e Figura 13 para cada satélite do sistema interno. 42 Figura 8 – Mapa de difusão dos anéis Le Verrier-Lassell-Arago e os satélites Thalassa e Despina. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor preto, azul-preto, laranja, marrom e azul pertencem as RMMs dos satélites Naiade, Thalassa, Galatea, Larissa, Proteus, e a partícula, respectivamente. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Thalassa e Despina. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. Fonte: próprio autor 3.4.1.2 Região dos anéis Le Verrier-Lassell-Arago e os satélites Thalassa e Despina Na Figura 8 observamos os satélites Thalassa, Despina e o conjunto de anéis. Os satélites Thalassa e Despina estão localizadas no aGeo igual a 0.7956DAA e 0.8346DAA, respectivamente. Os anéis estão localizados ao longo do semieixo maior de acordo com a Tabela 1 considerando o valor da excentricidade igual a zero. Portanto, o anel Le Verrier, Lassel e Arago são encontrados na Figura 8 nos seguintes intervalos de semieixo-maior geométrico que são: de 0.8445DAA a 0.8461DAA, de 0.8453DAA a 0.9089DAA e de 0.9081DAA a 0.9097DAA, respectivamente. Na Figura 8 notamos regiões estáveis entre as órbitas dos satélites Thalassa e Despina, as partículas com excentricidade iguais a zero apresentam um valor médio de Log D de -5.5, as partículas com outros valores de excentricidade apresentam valores similares ao valor médio de Log D para as partículas que estão próximos à RMM 17:13 com o satélite Galatea. Verificamos que as partículas que apresentam o Log D no intervalo de 0 a -3 são partículas teste que apresentam órbitas irregulares. Notamos que o satélite Despina (maior que os satélites Naiade, Thalassa e Hipocampo) consegue "limpar" a região ao seu redor. Observamos que o satélite Despina apresenta partículas coorbitais cujo 43 Figura 9 – Mapa de difusão dos anéis coorbital de Galatea e Adams e o satélite Galatea. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor laranja e marrom pertencem as RMMs dos satélites Galatea, Larissa e a partícula, respectivamente. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Galatea. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. Fonte: próprio autor valor médio de Log D é de -6 e o valor médio de tempo de difusão (t̄D) dessas partículas é igual a 2.5×108 anos. Além disso, observamos que o anel Le Verrier apresenta partículas teste com órbitas regulares e irregulares. Na Figura 8 observamos que as partículas desse anel estão "aparentemente" sob efeito da ressonância de movimentos médios 21:23 com o satélite Thalassa. Analisando o anel Lassel, notamos que surgem três ressonâncias de movimento médio 6:5 com o satélite Galatea, 2:3 com o satélite Larissa e 1:3 com o satélite Proteus (ver a Figura 8). 3.4.1.3 Região do anel coorbital de Galatea, Adams e os satélites Galatea e Larissa A Figura 9 mostra o comportamento dinâmico das partículas teste próximo ao satélite Galatea e os anéis coorbital de Galatea e Adams. Galatea está localizada no aGeo igual a 0.9843DAA e o anel coorbital de Galatea está no intervalo de aGeo de 0.9836DAA a 0.9852DAA e o anel Adams está no intervalo de semieixo maior geométrico de 0.9998DAA a 1.0001DAA. Observamos que o satélite Galatea "limpa" as partículas que estão ao seu redor. Identificamos as ressonâncias de movimento médio entre as partículas teste com os satélites Galatea e Larissa (ver a Figura 9). Ditas RMMs são a 1:1, 42:43, 13:14, 7:8 e 6:7 com o satélite Galatea e 44 Figura 10 – Curva de frequência das partículas teste para todos os valores de excentricidade. Os platôs, indicados por uma flecha, representam as RMMs do satélite Galatea e a partícula. 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 0.96 0.98 1 1.02 1.04 1.06 1.08 1.1 1/1 6/7 42/43 7/8 13/14n /n G al at ea Geometrical semimajor axis (d) Fonte: próprio autor as RMMs 15:13 e 12:13 com o satélite Larissa. Notamos que o anel coorbital de Galatea apresenta partículas teste com órbitas regulares e irregulares, dependendo do valor da excentricidade. O anel coorbital de Galatea apresenta um valor médio de Log D igual a -4, o que sugere que o valor médio de t̄D é igual a 1.959×108 anos. Observamos que o anel Adams apresenta um valor médio de Log D igual a -1.5, que sugere que o valor médio de tempo de tD desse anel é igual a 5.2×105 anos. Levando em consideração que o valor do movimento médio (np) é próximo aos valores das frequências principais, como foi definido na seção 2.2, encontramos as RMMs através da curva de frequência na região do satélite Galatea. A Figura 10 mostra a curva de frequência na região do satélite Galatea no gráfico do semieixo maior geométrico vs a relação de np/nGalatea. Os resultados apresentados na Figura 10 mostram que as RMMs podem ser identificadas na região do satélite Galatea (linhas horizontais ou platôs) Robutel e Laskar (2001). Na Figura 11 observamos que o satélite Larissa remove partículas que estão ao seu redor. Identifi- camos que as partículas que permanecem próximas ao satélite apresentam um valor médio de Log D próximo de zero. Notamos no gráfico que o satélite Larissa apresenta partículas coorbitais no intervalo da excentricidade geométrica de 0 até 0.04 cujo valor médio de Log D é de -5. As ressonâncias de movimento médio entre as partículas teste com os satélites, Larissa e Galatea são identificadas na parte superior da Figura 11. 45 Figura 11 – Mapa de difusão do satélite Larissa e o conjunto de partículas teste. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor preto, azul-preto, laranja e marrom pertencem as RMMs dos satélites Naiade, Thalassa, Galatea, Larissa e a partícula, respectivamente. A RMM de Despina e a partícula é identifica com o número 1:2d. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Larissa. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região corresponde às partículas ejetadas. Fonte: próprio autor 3.4.1.4 Região dos satélites Hipocampo e Proteus Nas simulações numéricas observamos que as partículas teste localizadas no intervalo de semieixo maior de 1.26DAA a 1.6DAA apresentam valores de Log D no intervalo de -6 a -9.5, sendo partículas com órbitas regulares. Observamos que as partículas em torno de Hipocampo não são perturbadas o suficiente para serem removidas. Segundo as observações mais recentes, no intervalo de 1.01DAA até além da órbita de Tritão, não foi possível observar um anel, mas pode ser provável encontrar um satélite (SHOWALTER et al., 2019). A Figura 12 mostra partículas em RMM, por exemplo, a RMM 3:4 com o satélite Larissa, e a RMMs 5:4, 11:9, 6:5 e 8:7 com o satélite Hipocampo. Além disso, temos as RMMs 4:3, 5:4, 6:5 e 7:6 com Proteus apresentadas na Figura 12, sendo que nessa região o valor de Log D está entre -3 e -5. Notamos que o satélite Proteus forma coorbitais cujo valor médio de tD das órbitas dessas partículas coorbitais são de ∼ 106 anos. Verifica-se que os satélites Proteus e Hipocampo estão sob o efeito da RMM 13:11 (BROZOVIĆ et al., 2019). Na Figura 13 observamos que o satélite Proteus é massivo e as partículas teste que estão ao seu 46 Figura 12 – Mapa de difusão do satélite Hipocampo. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor laranja, marrom, verde e azul pertencem as RMMs dos satélites, Galatea, Larissa, Hipocampo, Proteus, e a partícula, respectivamente. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Hipocampo. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. Fonte: próprio autor redor são removidas. Notamos que um conjunto de partículas que estão em torno desse satélite sobreviveram o tempo total da simulação. No entanto, essas partículas apresentam valores de Log D próximos de zero. Isto sugere que para simulações de longo período essas partículas serão ejetadas do sistema ou irão colidir com os outros corpos massivos. Observamos que entre as duas RMMs 5:6 e 9:11 com Proteus, existe uma região de partículas teste com um valor de Log D no intervalo de -5.5 a -9.0. Também notamos que todas as RMMs são com o satélite Proteus cujos valores das RMMs estão apresentados na parte superior da Figura 13. Identificamos as RMMs na curva de frequência próximas à região do satélite Proteus (ver a Figura 14). Na figura do semieixo maior geométrico vs np/nProteus. Na Figura 14 observamos que a curva de frequência apresenta descontinuidade, isto pode ser devido à sobreposição das ressonâncias de movimento médio de ordem superior e/ou o efeito gravitacional que exerce o satélite Proteus. 47 Figura 13 – Mapa de difusão do satélite Proteus. As linhas tracejadas verticais correspondem as RMMs cujos números são mostrados na parte superior. Esses números apresentados em cor azul pertencem as RMMs do satélite Proteus e a partícula. As linhas inclinadas são os raios de apocentro e pericentro de Proteus. A paleta de cores define a intensidade de Log D, se está próximo de zero a órbita das partículas são irregulares e se Log D < -5 a órbita das partículas são regulares. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou as partículas ejetadas do sistema. A região branca corresponde às partículas teste que colidiram com os satélites ou Netuno, ou essa região branca corresponde às partículas ejetadas. Fonte: próprio autor Figura 14 – Curva de frequência na região do satélite Proteus. Os platôs, indicados por uma flecha, representam as RMMs do satélite Proteus e a partícula. 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2 4/5 5/6 6/7 7/8 8/9 9/10 10/11 11/12 9/11 11/13 1/1 n /n P ro te u s Geometrical semimajor axis (d) Fonte: próprio autor 48 Figura 15 – A figura mostra o tempo