. ESTUDO DE MANOBRAS EVASIVAS COM PERTURBAÇÕES ORBITAIS Rafael Ribeiro de Sousa Rafael Ribeiro de Sousa ESTUDO DE MANOBRAS EVASIVAS COM PERTURBAÇÕES ORBITAIS Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, para a obtenção do título de Mestre em Física. Orientador: Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto Co-orientador: Prof. Dr. Antônio Delson Conceição de Jesus GUARATINGUETÁ 2015 S725e Sousa, Rafael Ribeiro de Estudo de manobras evasivas com perturbações orbitais / Rafael Ribeiro de Sousa. - Guaratinguetá, 2015 88 f .: il. Bibliografia: f. 86-88 Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2015. Orientador: Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto Co-orientador: Antônio Delson Conceição de Jesus 1. Satélites artificiais -- Orbitas 2. Perturbação (Astronomia) 3. Veículos espaciais – Sistema de propulsão I. Título CDU 629.783(043) DADOS CURRICULARES RAFAEL RIBEIRO DE SOUSA NASCIMENTO 06.04.1990− Santo Antônio de Jesus- BA / Brasil FILIAÇÃO José Nilson de Sousa Nair Ribeiro de Sousa 2008/2013 Curso de Graduação em Bacharelado em Física Universidade Estadual de Feira de Santana-UEFS 2013/2015 Curso de Pós-Graduação em Física, Nivel de Mestrado Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá Universidade Estadual Paulista-UNESP Dedico este trabalho a minha amada mãe que está sem- pre no meu coração. AGRADECIMENTOS Agradeço primeiramente a Deus pela iluminação nos meus dias. A minha mãe Nair por todos os conselhos que me guiou para a busca da sabedoria. Ao meu pai Nilson que me apoia quando necessário. Aos meus irmãos Lucas e Gabriela que são meus exemplos. A minha namorada Simone por sempre me incentivar e está do meu lado me conduzindo a momentos felizes. Aos meus orientadores Profo Dr. Ernesto, e Profo Dr. Antônio Delson pela boa amizade e sobretudo pela plena con�ança no meu trabalho. A todos os meus professores que me ensinaram tudo que eu sei. A todos os meus amigos que me acolheram na Unesp e a transformou em um lar. Este trabalho contou com o suporte �nanceiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES `But only in their dreams can men be truly free. Twas always thus, and always thus will be' John Keating SOUSA, R.R. Estudo de Manobras Evasivas com perturbações orbitais. 2015. Disser- tação (Mestrado em Física) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, UNESP, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015. Resumo Neste trabalho, estudamos o problema da viabilidade de missões espaciais em ambiente de detritos espaciais. Geralmente, um veículo espacial em curso de colisão com um detrito espacial é destruído ou dani�cado e tem sua missão prejudicada. A preservação destas missões depende da capacidade do satélite de evitar a colisão, como por exemplo, através de uma manobra orbital conhecida como manobra evasiva. Neste estudo, estabelecemos estratégias de manobras evasivas realizadas por um satélite através de um sistema de pro- pulsão, cuja e�ciência é medida por parâmetros tecnológicos. Os parâmetros tecnológicos são con�gurados no planejamento da missão, e descrevem a quantidade de combustível a bordo e a capacidade de expelir propelente do sistema de propulsor. As manobras eva- sivas foram estudadas para serem aplicadas de tal forma que o satélite escape do detrito espacial sem a evasão da sua órbita nominal de missão, e para este objetivo, incluímos uma propulsão de controle e tratamos o sistema de propulsão como uma perturbação na órbita do satélite. Também foi estabelecido, para realizar manobras evasivas econômicas, uma propulsão que é ligada em uma fração do tempo total disponível para a manobra. Esta fração de tempo é de�nida como um tempo de pulso de propulsão. As manobras evasivas são estudadas por simulações numéricas da dinâmica de um detrito e um veículo espacial sob a ação da força gravitacional da Terra e de perturbações orbitais oriundas de um sistema de propulsão e da atmosfera da Terra. Nestas simulações calculamos as condições de colisão do detrito e do satélite, que ocorrem ao redor da Terra, e utilizamos para criar catálogos de parâmetros tecnológicos acessíveis ao satélite para escapar destas colisões. PALAVRAS-CHAVE: Detritos espaciais, Manobras evasivas, Sistema de propulsão, Perturbações, Arrasto atmosférico. SOUSA, R.R. Study of evasive maneuvers considering orbital perturbations. 2015. Dis- sertação (Mestrado em Física) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, UNESP, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015. Abstract We studied the problem of the viability of space missions in debris environment space. Generally, a space vehicle in collision course with a space debris is destroyed or damaged and has impaired their mission. The preservation of these missions depends on the satel- lite capacity to avoid the collision, for example by an orbital maneuver known as evasive maneuver. In this study, we established strategies evasive maneuvers performed by a sa- tellite via a propulsion system, whose e�ciency is measured by technological parameters. Technological parameters are set in the planning of the mission, and describe the amount of fuel on board and the ability to expel propellant propulsion system. The evasive ma- neuvers were studied to be applied in such a way that the satellite escape the space debris without evasion of its nominal orbit mission, and for this purpose, include a propulsion control and treat the propulsion system as a disturbance in the orbit of satellite. It has also been established, to perform evasive maneuvers driven, propulsion which is connected at a fraction of the total time available for the maneuver. This fraction of time is de�ned as a propulsion pulse time. The evasive maneuvers are studied by numerical simulations of the dynamics of a debris and a vehicle space under the action of the Earth's gravitational and orbital perturbations arising from a propulsion system and the Earth's atmosphere. In these simulations calculate the debris of the collision conditions and the satellite, which occur around the Earth, and used to create technological parameters catalogs accessible to the satellite to escape these collisions. KEYWORDS: Debris, Evasive maneuvers, Propulsion system, Pertubations, Drag. Lista de Figuras 3.1 Número de objetos catalogados por ano pela NASA. . . . . . . . . . . . . . 25 3.2 Detritos espaciais que cairam no Brasil: à esquerda um detrito espacial de 3 kg, a queda do objeto aconteceu no estado de São Paulo em 2014, à direita um tanque de nitrogênio que caiu em Mato Grosso do Sul, em 2014. 26 4.1 Sistema de referência co-orbital posicionado no satélite, pelo qual o detrito espacial é observado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.2 Órbita do satélite no plano equatorial da Terra. . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.3 Acelerações atuantes no satélite em órbita circular ao redor da Terra. . . . 38 5.1 Possibilidades de colisões por distribuição de velocidades iniciais relativas em LEO, MEO e GEO- I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 5.2 Possibilidades de colisões por Distribuição de velocidades relativas em LEO, MEO e GEO- II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.3 Possibilidades de colisões por distribuição de velocidades iniciais relativas � (III) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.4 Acelerações atuantes no detrito e no satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.5 Razão entre as acelerações de propulsão e gravitacional para um satélite em LEO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 5.6 Análise da convergência da solução do movimento tangencial do satélite. . 56 5.7 Acréscimo na velocidade angular do satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.8 Decréscimo na velocidade angular do satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.9 Aceleração de propulsão radial pelo tempo de manobra. . . . . . . . . . . . 58 5.10 Variação da velocidade (m/s) devido ao sistema de propulsor. . . . . . . . 60 5.11 Relação entre o empuxo e o impulso especí�co. . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.12 Aceleração de controle do satélite durante a ação do propulsor. . . . . . . . 63 5.13 Dimensão dos objetos esféricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.14 Representação de uma manobra contínua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.15 Dimensão dos objetos por fator de massa do propulsor. . . . . . . . . . . . 65 5.16 Dimensão dos objetos por fator de massa do propulsor modelo Jesus et al. (2012). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.17 Representação de uma manobra de evasão semi-contínua. . . . . . . . . . . 67 11 5.18 Dimensão dos objetos por tempo pulsado de uso do propulsor para fatores de potência de 1E-3 1/s e 1E-6 1/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.19 Esquema de acelerações aplicadas ao satélite e o detrito espacial. . . . . . . 69 5.20 Comparação entre as trajétorias relativas com e sem arrasto atmosférico. . 70 5.21 Comparação entre as trajétorias radias do movimento com e sem arrasto atmosférico do detrito espacial no sistema geocêntrico. . . . . . . . . . . . 71 5.22 Comparação entre as trajétorias numéricas e semi-analíticas do detrito- satélite com arrasto atmosférico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.23 Variação da aceleração radial de propulsão para o arrasto atmosférico. . . . 73 5.24 Trajétorias das partículas do PSO inicializadas com velocidades relativas aleatórias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.25 Trajétorias relativas do detrito e do satélite com a informação das partículas do PSO após algumas interações do método. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.26 Trajétorias das partículas do PSO inicializadas no sistema geocêntrico. . . 77 5.27 Trajétorias das partículas do PSO inicializadas no sistema geocêntrico. . . 77 5.28 Partículas do PSO no espaço das velocidades iniciais relativas (I). . . . . . 78 5.29 Partículas do PSO no espaço das velocidades iniciais relativas (II). . . . . . 79 5.30 Partículas do PSO no espaço das velocidades iniciais relativas (III). . . . . 80 5.31 Trajétorias de colisão com e sem o arrasto atmosférico (I). . . . . . . . . . 81 5.32 Trajétorias de colisão com e sem o arrasto atmosférico (II). . . . . . . . . . 82 12 Lista de Tabelas 3.1 Riscos recentes de colisões de detrito espaciais com a Estação Espacial In- ternacional (ISS). Fonte: Adaptado de NASA/ The Orbital Debris Quar- terly News, 2013. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 5.1 Tabela das características da atmosfera e físicas do detrito e do satélite. . . 70 5.2 Comparação entre as velocidades relativas de colisão entre os objetos. . . . 78 13 Sumário 1 Introdução 16 1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.2 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Revisão Bibliográ�ca 19 3 Conceitos Prévios 22 3.1 Manobras Orbitais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Detritos Espaciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Manobras evasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4 Perturbações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 Modelo Matemático 29 4.1 Equações de Clohessy-Wiltshire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Sistema de propulsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.3 Perturbação do Arrasto Atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.4 Equação do movimento do satélite perturbado . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.5 Escrita das equações de Clohessy-Wiltshire com as perturbações . . . . . . 44 5 Resultados 48 5.1 Dinâmica colisional com gravidade (Modelo de Jesus et al 2012) . . . . . . 48 5.1.1 Mapas de condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.2 Manobras evasivas na região de LEO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.2.1 Descrição da Manobra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.2 Avaliação dos parâmetros tecnológicos . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.2.3 Parâmetros de performance do Sistema de Propulsão . . . . . . . . 59 5.2.4 A retropropulsão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2.5 Manobras de evasão com uso da propulsão contínua . . . . . . . . . 62 5.2.6 Manobras de evasão com uso da propulsão semi-contínua . . . . . . 66 5.3 Dinâmica colisional com o Arrasto atmosférico . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3.1 Aplicação do método do Particle Swarm Optimization . . . . . . . . 74 14 6 Conclusão 83 15 Capítulo 1 Introdução Devido ao grande número de detritos espaciais em órbita da Terra, o perigo de colisão com um satélite operacional tem aumentado muito ao longo dos anos. De fato, desde 1996, tem sido relatadas colisões entre satélites e detritos espaciais, e nos anos de 1999 e 2000, houveram sérios alertas sobre a possibilidade de colisão com a constelação de satélites chamada de Iridium (Rossi et al., 1999, 2000). O caso mais dramático ocorreu em fevereiro de 2009 quando o satélite Iridium 33 colidiu com o Cosmos 2251, que já estava fora de operação. Este evento gerou uma nuvem de detritos espaciais incluindo cerca de 2 000 fragmentos maiores que uns poucos centímetros (Jesus et al., 2012). Esse assunto é tão relevante que em outubro de 2013 foi apresentado o �lme Gravidade. Esse �lme conta a estória de um acidente em que astronautas, ao fazerem manutenção fora do ônibus espacial, são surpreendidos por restos de um satélite. O Comando Estratégico Americano (United States Strategic Command � �USSTRAT- COM�) possui um catálogo com cerca de 16 000 objetos que vão de 5 cm a 1 m de tamanho. Tais objetos estão orbitando em torno de mil quilômetros de altitude até as órbitas geo- estacionárias.. A partir deste catálogo e de outros serviços, é possível obter informações sobre aproximações perigosas que possam envolver um determinado satélite em operação, de forma que o operador do satélite pode decidir se faz, ou não, uma manobra evasiva para fugir da colisão. Estudos mostram que nas faixas de altitude de 900 km a 1 400 km, a proliferação de detritos espaciais tem um caráter autossustentável, ou seja, mesmo que não sejam inseridos novos objetos na região, a colisão entre os objetos já existentes aumenta o número de detritos (Kessler, 1991; Rossi et al., 1994, 1997). Ou seja, é importante considerar, no estudo dos detritos espaciais, a fragmentação provocada pela colisão entre os próprios detritos espaciais. Para entender o efeito de colisões em baixa gravidade e alta velocidade, podemos usar estudos sobre formação planetária a partir de planetesimais como o de Greenberg et al. (1978) e estudos sobre evolução colisional de asteroides como os de Farinella et al. (1992). O cinturão principal de asteroides do Sistema Solar é um bom exemplo de laboratório 16 para o estudo da evolução dos detritos espaciais. Podemos usar o trabalho de Bagatin and Petit (2001) para entender a distribuição de tamanhos gerados pela fragmentação dos satélites, guardando as devidas proporções de impacto e massas. Devido ao crescente risco de colisão entre satélites e detritos espaciais nos próximos anos (Rossi et al., 2009), maneiras efetivas de remoção dos detritos, junto com o de- senvolvimento de manobras evasivas, são práticas que vem se tornando cada vez mais importantes. Analisar o risco que os detritos espaciais representam aos veículos espaciais é ainda um desa�o para ciência e tecnologia, visto que o rastreamento e detecção de de- tritos espaciais milimétricos é difícil ou impossível pelos radares e telescópios óticos das agências espaciais. Apenas a partir de dados extraídos de satélites LDEF (Long Duration Exposure Facility) expostos em órbita e depois recuperados, fornecem uma distribuição es- tatística da quantidade e da direção do �uxo de detritos espaciais que não são detectáveis por estes radares (Kessler and Cour-Palais, 1978). Modelos de evolução da população de detritos espaciais devem levar em conta os frag- mentos não catalogados e as forças dissipativas que agem sobre eles no ambiente de ope- ração das missões espaciais. Estas forças podem ser o arrasto atmosférico, o achatamento da Terra, a perturbação da Lua e o efeito de maré planetário. Podemos identi�car três regiões em que existem satélites em torno da Terra, a região de satélites de órbita baixa (LEO � Low-altitude Earth Orbit) cuja altitude vai de 160 km à 2 000 km, a região de satélites de órbitas médias (MEO � Medium-altitude Earth Orbit) cuja altitude vai 2 000 km até 35 800 km, e a região dos satélites geoestacionários (GEO � Geostationary Earth Orbit) com a altitude acimea de 35 800 km (Vatalaro et al., 1995) até o �m da zona de in�uência do campo gravitacional da Terra. Satélites nessas regiões orbitais sofrem vários tipos de perturbações e, devido a distância da Terra, existem certas perturbações que são dominantes para cada região. Essas perturbações desviam o satélite de sua órbita nomi- nal. E assim como os satélites, as partículas de detritos espaciais também estão sujeitas as estas perturbações. A consequência desses efeitos nos detritos é que previsões de colisões podem ser calcu- ladas erroneamente se não forem consideradas as perturbações especí�cas de cada região. Na região LEO, o arrasto atmosférico (Jacchia, 1960; Delhaise, 1991; Bezd¥k and Vokrouh- lick�y, 2004; Colombo and McInnes, 2012) pode ser a maior perturbação, dependendo da altitude do satélite. Na região MEO, a perturbação devido a não esfericidade da Terra (Bertachini de Almeida Prado, 2003; Colombo and McInnes, 2012) provoca a maior per- turbação. E na região GEO, a perturbação devido a Lua (Valk et al., 2009; Lara et al., 2012) é mais intensa no caso dos detritos espaciais. Como em cada uma dessas regiões a perturbação orbital é predominante diferente, os cálculos das manobras evasivas são diferenciados quando levado em conta cada uma dessas perturbações. Neste trabalho, é proposto o estudo de manobras evasivas para evitar colisões de um ou mais detritos espaciais com um satélite em que ambos estão sob a ação de forças dissipa- 17 tivas presentes em suas órbitas. Na estratégia das manobras evasivas, estão envolvidas a força de um sistema de propulsão e da perturbação do arrasto atmosférico, com o objetivo de que o problema se torne mais realista do ponto de vista físico e que tenha uma solução mais segura. 1.1 Objetivos O objetivo geral desse trabalho, é desenvolver manobras evasivas levando em conta pertur- bações orbitais, inclusive a força dissipativa mais relevante na região de operação espacial LEO. Especi�camente, para este trabalho, vamos apresentar e utilizar a metodologia usada em Jesus et al. (2012) para realizar as manobras evasivas, levando em conta a força perturbativa do arrasto atmosférico. Além disso, avaliamos a possibilidade de tratar o sistema de propulsão como uma perturbação para a realização das manobras evasivas mais econômicas, e, aplicando um sistema de propulsão de controle, evitar a retirada do satélite de sua órbita circular de missão. Com uma modelagem mais próxima dos efeitos reais de um sistema, esperamos melhorar a aproximação do trabalho de Jesus et al. (2012). 1.2 Organização do trabalho O trabalho é apresentado da seguinte forma: No Capítulo 1, apresentamos uma introdução geral sobre o tema de estudo, os objetivos gerais e especí�cos. No Capítulo 2, é apresentado um levantamento bibliográ�co sobre as questões dos detritos espaciais, das manobras evasivas e da inclusão das perturbações na dinâmica relativa de dois objetos. No Capítulo 3, introduzimos os conceitos principais como a de�nição de manobras evasivas, de detritos espaciais e a preocupação das agências espaciais com o tema. No Capítulo 4, apresentamos a fundamentação matemática sobre a dinâmica relativa do satélite e do detrito espacial, de como tratar o sistema de propulsão como uma perturbação e como acrescentar a perturbação do arrasto atmosférico na dinâmica relativa destes objetos. No Capítulo 5, apresentamos os resultados das simulações numéricas, assim como a estratégia para a construção da dinâmica relativa de colisão com e sem o arrasto atmosférico. Também mostramos os resultados de manobras evasivas realizadas com o sistema de propulsor tratado como uma perturbação diante do risco de colisão iminente. Por �m, no Capítulo 6, está a conclusão. 18 Capítulo 2 Revisão Bibliográ�ca É imprescindível para o sucesso das manobras evasivas, que se conheça os objetos dos quais se deseja escapar, neste caso, os detritos espaciais. É importante conhecer como os detritos estão distribuídos no espaço ao redor da Terra, os seus tamanhos e a evolução da população. Estudos apontam para o aumento das colisões entre os detritos espaciais, em um tipo de reação em cadeia, correspondente a um crescimento exponencial de objetos or- bitais não úteis (Kessler and Cour-Palais, 1978). Satélites de longa duração como o LDEF (Long Duration Exposure Facility), expostos em órbita e depois recuperados, fornecem uma distribuição estatística da quantidade e da direção do �uxo de detritos espaciais nas regiões orbitais. Estes dados estimularam trabalhos numéricos com respeito a população dos detritos es- paciais. Kessler e cooperadores foram pioneiros no ajuste de dados do LDEF e concluíram que existem milhares de objetos maiores que 10 cm, além de uma imensa quantidade de objetos menores (Kessler, 1989). Outros trabalhos mostraram que os micro detritos são predominantes e o �uxo de detritos espaciais chegam a uma população de 70.000 objetos em órbitas LEO (Kessler, 1991). Cordelli et al. (1998) criaram um modelo numérico da evolução da população de detritos espaciais de massas maiores que 1 mg e encontraram diversas faixas de crescimento de população, desde linear a exponencial (Cordelli et al., 1998). Segundo Davis, o processo das colisões mútuas de altas velocidades perturba a evolução de longo alcance das distribuições por tamanho dos DE (Davis et al., 1989, 1994). O satélite francês Cerise em operação foi fortemente dani�cado quando colidiu com um fragmento do corpo do foguete Ariane. Além desse acidente, outros acidentes menores e muitos outros não catalogados têm ocorrido durante vários anos. A energia cinética associada ao movimento de um detrito de poucas gramas, conver- tida no impacto desta com outro corpo, corresponde àquela de uma granada de mão e pode destruir uma espaçonave não protegida. Obviamente, a consequência destas colisões produziria uma nuvem com muito mais objetos resultados de uma reação em cadeia, fato que aumentaria a probabilidade de novas colisões. Simulações numéricas mostram que, 19 se a taxa de atividade espacial for mantida nos padrões atuais, a quantidade de detritos espaciais continuará crescendo, criando um cinturão de partículas em torno da terra, se- melhantemente a um cinturão de asteroides, o que seria su�ciente para desencadear uma reação em cadeia em torno de 2 ou 3 vezes a população atual dentro de 20 a 50 anos (Rossi et al., 1994). A Agência Espacial Europeia a�rmou que �a produção de detritos es- paciais auto-sustentável por colisões é de longo prazo. Contudo, corresponde maior parte do perigo de longo prazo que inviabilizará toda atividade espacial no mundo. Portanto, este mecanismo requer estudo ulterior e cuidadoso� (Debris, 1988). As manobras espaciais com objetivo de escapar de iminentes colisões com objetos espa- ciais estão incluídas no contexto das manobras orbitais. Estas manobras são comumente utilizadas nas missões espaciais, envolvendo objetos operacionais (satélites, sondas, ôni- bus espaciais, estação espacial internacional, etc.) diante de uma provável colisão com objetos espaciais não operacionais (detritos espaciais). O estudo de manobras de evasão realizado tem uma abordagem muito singular no trabalho de Jesus et al. (2012). Em Jesus et al. (2012), foi explorada a possibilidade de se fazer uma manobra rápida em um satélite operacional para evitar a colisão com um detrito espacial. Para cálculo do tempo de desvio, o trabalho leva em conta as equações de movimento relativo de Clohessy- Wiltshire e parâmetros tecnológicos, tais como velocidade de exaustão dos gases, fator de potência do motor foguete e do fator de massa do satélite. O trabalho mostra que há uma in�nidade de possibilidades de colisão, mas que as características físicas e tecnológicas do fenômeno terminam limitando o conjunto de condições iniciais de colisão, que é in�nito. Então, o trabalho mostra que é possível encontrar parâmetros tecnológicos que permitam a implementação de manobras evasivas de colisões com detritos de diversos tamanhos, chegando até a ordem de centímetros. Mostrou também que é possível controlar o gasto de combustível da missão espacial através desses parâmetros, viabilizando a missão. O trabalho de Clohessy e Wiltshire (1960) determinou as equações da dinâmica relativa entre dois objetos espaciais sujeitos ao campo gravitacional da Terra com a restrição da proximidade destes objetos e que um deles esteja em órbita circular (Clohessy, 1960), mais detalhes serão dados sobre este trabalho na seção do modelo matemático. Nos trabalhos de Clohessy e Wiltshire e Jesus et al. (2012) não foram incluídas nenhuma força de perturbação. A inclusão das perturbações na dinâmica relativa de Chohessy e Wiltshire se iniciou com o trabalho de Leonard et al. (Leonard, 1986; Le- onard et al., 1989) com a inclusão do arrasto atmosférico com o objetivo de avaliar o controle de formação de vôo de dois satélites operacionais. Os trabalhos de Carter e Humi (Carter and Humi, 2002) aperfeiçoaram o modelo de Leonard e reescreveram uma forma fechada para as equações de Clohessy-Wiltshire devido as perturbações do arrasto atmosférico com diferentes modelos de densidade atmosférica. Baseado em algumas supo- sições a análise da dinâmica relativa com o arrasto atmosférico, é feita com a integração de simples equações diferenciais. Schweighart e Sedwick (2002) (Schweighart and Sedwick, 20 2002) também desenvolveram um conjunto de equações diferenciais para o movimento relativo, mas, agora, com a inclusão do achatamento da Terra incluído o efeito J2. A grande maioria destes trabalhos incluem os efeitos perturbativos para estudar a formação de voo de satélite ou para manobras de rendezvous. A preocupação com a realização das manobras evasivas só aumentou no ínicio do século 21, com a ameaça da colisão com de- tritos espaciais cada vez mais presente. Desta forma, existe pouco material na literatura aberta publicado com respeito a este tema. 21 Capítulo 3 Conceitos Prévios 3.1 Manobras Orbitais As missões espaciais realizadas por veículos operacionais requerem a implementação de manobras orbitais nas diversas regiões do espaço. Estas manobras são indispensáveis para se alcançar os objetivos da missão. Uma manobra orbital é a transferência de um veículo espacial de uma órbita para outra por meio de mudanças da sua velocidade orbital. Mais especi�camente, dizemos que elas são realizadas pela atuação do sistema de propulsão que alterará o estado inicial de veículo espacial, de�nido pela sua posição, velocidade e massa (~ro, ~vo,mo) num instante inicial, to, para outro estado, de�nido pelas suas respec- tivas variáveis de estado (~rf , ~vf ,mf ) num instante �nal, tf > to. De�nidas desta forma, as manobras orbitais assumem a nomenclatura de transferências orbitais, as quais são realizadas para se atender a determinados objetivos. A dinâmica associada às manobras espaciais é de�nida pelas leis de Newton e de Kepler, geralmente, dando ênfase ao pro- blema de dois corpos ideal ou perturbado, ao problema de três corpos com suas variações e ao problema de N-corpos. É uma dinâmica não linear que não oferece solução analítica para o problema perturbado, nem para o problema de N-corpos, mas que possui inúmeros caminhos da Física-Matemática que permitem abordagens semi-analíticas ou mesmo algé- bricas para o problema. Esta dinâmica que trata apenas do problema orbital é chamada de Dinâmica Orbital, que rege o movimento orbital dos objetos espaciais (arti�ciais, como veículos espaciais, por exemplo, e naturais, como planetas, detritos espaciais, etc.). As aplicações destas manobras são diversas dentro das atividades espaciais, lidando com problemas desde as longas viagens interplanetárias (missões Voyager I e II, Pioneer, Galileo, etc., sondas dos programas norte americano, russo e japonês, etc.) até as pequenas correções de órbita de um satélite arti�cial da Terra. O posicionamento de satélites arti�ciais em órbitas geoestacionárias, o deslocamento de uma estação espacial, as missões de rendezvous, as missões de interceptação, etc. são também exemplos de aplicações das manobras orbitais. 22 No contexto brasileiro, podemos exempli�car o posicionamento, a operação e a ma- nutenção em órbita dos satélites de Sensoriamento Remoto (SSR1, SSR2, entre outros), dos satélites Sino-Brasileiros de Recursos Terrestres (CBERS 1 a 4). Através dos serviços dos satélites, a sociedade mundial tem acesso a informações que permitem, por exemplo, a previsão do tempo, o sensoriamento remoto de grandes regiões, as telecomunicações (celular, internet, TV, etc.), o estudo de sistemas astronômicos, entre outros. A Dinâmica Orbital é uma sub-área de conhecimento da Mecânica Celeste, pois trata da parte especí�ca orbital dos objetos espaciais em torno da Terra e também da exploração espacial. É importante ser dito que desde a corrida espacial, iniciada com o lançamento do Sputnik em 1957, a Mecânica Celeste se fortaleceu com a criação de um grande cabedal teórico para aplicações nas manobras espaciais. 3.2 Detritos Espaciais Veículos espaciais possuem tempo de vida operacional limitado. Na maioria dos casos, depois de cumprir o tempo previsto de sua vida útil, realizando a missão em órbita, o veículo espacial torna-se num artefato sem função útil. Em alguns casos, com a atuação de forças dissipativas o veículo perde altitude e com combustível interno faz manobras de correção. Com o uso completo do combustível, não há mais como corrigir a órbita e o veículo espacial perde a utilidade, tornando-se um detrito espacial. Além disso, ainda em órbita, a vida útil dos seus equipamentos internos também vai se esgotando ao longo do tempo da missão espacial. Depois de um tempo em órbita decrescente pela ação das forças dissipativas, em alguns casos, ocorre a sua reentrada na atmosfera que na maioria dos casos consome o corpo do veículo e, neste caso, não é um risco para a população da Terra. Isto porque se o corpo do detrito é consumido, não resta densidade su�ciente do material para ameaçar a vida na Terra. As fontes principais de detritos espaciais são: 1) detritos produzidos pelo homem (human debris) e; 2) detritos produzidos pela natureza (natural debris); As fontes secundárias são as que geram detritos a partir de colisões entre eles, que produz fragmentos de detritos menores do que os originais, as explosões não induzidas de veículos espaciais e as colisões de detritos com veículos espaciais. Os detritos produzidos pelo homem são aqueles resultantes das atividades espaciais que geram partes e fragmentos de espaçonaves deixados para trás nos lançamentos, ferramentas e luvas perdidas em atividades extra-veiculares, estágios de foguetes, explosões induzidas de veículos, vazamentos de combustível, escape de tinta de fuselagem, atividade de satélites militares com armas anti-satélites, etc. Os detritos naturais são aqueles resultantes de processos naturais que aconteceram em épocas remotas e/ou acontecem atualmente no universo. Exemplos deste tipo de detritos são: poeira cósmica e gás deixado por passagem de cometas próximo da Terra (estes formam meteoroides), meteoros, partículas diversas do espaço sideral que são capturadas pelo campo gravitacional terrestre. Neste sentido, 23 consideramos todos os corpos e partículas capturados pelo campo gravitacional terrestre, como sendo detrito espacial. Segundo a Agência Espacial Europeia (ESA), desde o lançamento do Sputnik, mais de 4.600 lançamentos deixaram em órbita cerca de 6.000 satélites, dos quais, atualmente, cerca de 800 estão em operação. Os demais são lixo espacial, distribuído em diversas camadas, entre elas, aquelas de operação das missões espaciais. Neste caso, as manobras e órbitas realizadas em missões espaciais podem interceptar as manobras destes detritos, o que possibilitaria a colisão entre os objetos espaciais. Os detritos movimentam-se com velocidades relativas grandes, o que lhes confere energia su�ciente para gerar acidentes de grandes proporções com veículos espaciais e poderão ocasionar perdas de vidas da tripulação e cifras de milhares de dólares. Analisar o risco que os detritos espaciais representam aos veículos espaciais em opera- ção é ainda um desa�o para a ciência, visto que o rastreamento e detecção de detritos de dimensões menores que 10 cm é difícil, ou quase impossível, pelos melhores radares e te- lescópios óticos. As Agências Espaciais internacionais mantêm centros de observações dos detritos maiores que 10 cm com observações exaustivas e diárias. Um exemplo importante é a operação do telescópio de detritos espaciais da agência espacial europeia (ESA Space Debris Telescope), que fornece dados dos detritos através de catálogos de observação que são utilizados para a validação de modelos de evolução da população dos detritos e para a avaliação de risco de colisão com veículos operacionais. Segundo estas observações, atu- almente, existem cerca de 18.000 objetos maiores que 10 cm, 200.000 objetos entre 1 cm e 10 cm e mais de 330 milhões de objetos menores que 1 cm. A grande preocupação das Agências Espaciais internacionais está na frequência das colisões detrito-detrito que geram detritos secundários menores. Ao aumentar a atividade espacial, aumenta-se a quantidade de detritos secundários em uma reação em cadeia e quando a taxa de deposição destes detritos for maior do que a taxa de entrada na atmosfera, uma espécie de cinturão arti�cial se forma ao redor da Terra, inviabilizando o espaço de valor operacional para as missões espaciais. A vida dos detritos espaciais em órbita depende das suas taxas de remoção e deposição. O principal meio de remoção dos detritos é o arrasto atmosférico da Terra, que os leva a reentrada na atmosfera e são, na maioria das vezes, destruídos pelo atrito. Porém, o arrasto atmosférico é limitado às órbitas do tipo LEO (Orbitas Baixas da Terra). Em órbitas médias (MEO) e grandes altitudes (GEO) os detritos levam centenas ou milhares de anos para reentrar na atmosfera da Terra. A taxa de criação devida aos lançamentos orbitais é altíssima e supera a taxa de remoção o que leva ao crescimento da população de detritos espaciais. No grá�co da Figura (3.1), exibimos a distribuição de detritos espaciais por ano, desde o lançamento do Sputnik, em 1957. Veri�ca-se uma taxa crescente de detritos derivados de qualquer fonte das operações humanas catalogadas. Devido à difração dos lasers dos telescópios, não é possível a detecção de detritos 24 Figura 3.1: Número de objetos catalogados por ano pela NASA. Fonte: NASA/ The Orbital Debris Quarterly News, 2013. Os objetos catalogados em 2013 estão no total de 17000 objetos oriundos de fragmentação de outros detritos espacias (curva rosa), oriundos de dejetos de espaço-naves (curva azul), de missões extra-veiculares de astronautas (curva laranja), e por último de restos de foguetes espaciais (curva verde). menores do que 10 cm. Para se ter uma estatística da sua quantidade, usa-se placas detectoras acopladas aos veículos espaciais, com as quais ocorre colisão destes objetos menores. Depois, calcula-se o número de colisão por unidade de área, etc. É desta forma que se faz uma estimativa da ordem de centenas de milhões de detritos minúsculos existentes nas regiões em LEO. Outro aspecto importante que não pode ser desconsiderado é o risco de queda de detritos maiores em regiões habitadas da Terra. A Figura (3.2), mostram dois detritos espaciais que cairam no Brasil. Felizmente, não ocorreu um acidente com humanos, mas poderia acontecer, visto que as quedas destes objetos são muitos frequentes no globo terrestre. Entendemos que se não houver um controle mais e�caz das atividades espaciais, atre- lado a políticas de remoção ou de não deposição de detritos espaciais, em poucas décadas os detritos espaciais constituir-se-ão em mais uma fonte de risco para a vida humana na Terra. Atualmente, os detritos espaciais já interferem nas telecomunicações e em ativida- des outras de satélites espaciais. 3.3 Manobras evasivas Manobras evasivas são especi�camente implementadas através do sistema de propulsão do veículo espacial, frente a uma colisão iminente com um detrito espacial. Acidentes podem 25 Figura 3.2: Detritos espaciais que cairam no Brasil: à esquerda um detrito espa- cial de 3 kg, a queda do objeto aconteceu no estado de São Paulo, à direita um tanque de nitrogênio que caiu em Mato Grosso do Sul. Estes objetos quase não foram dani�- cados na sua reentrada e poderiam ser um risco enorme para áreas populosas. Fonte: http://g1.globo.com/, 2014. ser evitados com a implementação destas manobras e tudo isto depende da e�ciência da manobra e da tecnologia associada à missão. Uma missão espacial nunca pode abrir mão de uma política de manobras evasivas, sob a pena de perder o veículo espacial, além de vidas humanas e não cumprir os objetivos da missão. Uma manobra evasiva pode ser realizada através da atuação do sistema de propulsão, que demandará consumo de combustível a bordo. As manobras evasivas implementadas através de um sistema propulsor podem ser de duas categorias. A primeira é aquela na qual os propulsores aplicam uma força num intervalo de tempo considerado muito pequeno em relação ao período da órbita e de grande magnitude. Esta manobra é dita ser impulsiva. A segunda é aquela na qual os propulsores aplicam uma força considerada não instantânea e de magnitude considerada não elevada, que opera ao longo do arco de queima. Esta manobra é dita ser contínua. O Dr. Heiner Klinkrad especialista em detritos espaciais do Centro Europeu de Ope- rações Espaciais (ESOC), Darmstadt, Alemanha diz: �É agora prática comum que os satélites que orbitam próximo da Terra transportem uma reserva de combustível apenas para efetuar as manobras de evasão durante a vida útil� (Klinkrad, 2005). É neste contexto que o estudo do problema da realização das manobras evasivas é fundamental para as missões espaciais em ambientes de alto risco de colisão com detritos espaciais. A tabela (3.1), mostra uma série de manobras evasivas que foram implementadas entre 2011 e 2012 para a Estação Espacial Internacional (ISS) frente a ameaças reais de colisão 26 com detritos decorrentes de outros objetos espaciais, que no passado, eram componentes de veículos espaciais em operação. Tabela 3.1: Riscos recentes de colisões de detrito espaciais com a Estação Espacial Inter- nacional (ISS). Fonte: Adaptado de NASA/ The Orbital Debris Quarterly News, 2013. Data da Manobra ou do encontro próximo Objeto Evitado 2 de Abril de 2011 Fragmento de detrito da Cosmos 2251 13 de Janeiro de 2012 Fragmento de detrito gerado na missão Iridium 33 28 de Janeiro de 2012 Detrito gerado a partir de Fengyun-1C 24 de Março de 2012 Fragmento de detrito da Cosmos 2251 3.4 Perturbações A dinâmica de um corpo que está sujeito a força gravitacional da Terra é descrita pela solução do problema de dois corpos. A solução deste problema é a mais simples da dinâmica do sistema solar, e ela revela que as leis de Kepler são consistentes e que o movimento orbital do corpo pode ser qualquer uma das cônicas conhecidas: circulo, elípse, hipérbole e parábola. O que determina a forma, a orientação e o tamanho da órbita é a velocidade e a posição do corpo que estão relacionadas com seis constantes de integração conhecidas como elementos keplerianos da órbita. Estes elementos são: o semieixo maior, excentricidade, a inclinação, a longitude do nódo ascendente, o argumento do pericentro e o tempo de passagem no pericentro. Porém, para a descrição real do movimento orbital destes objetos é preciso incluir outras forças além da gravidade da Terra. Para um objeto ao redor da Terra, por exemplo, podemos listar alguns dos efeitos atuantes sobre ele (Roy, 1994): i) Achatamento da Terra, ii) A atração gravitacional do Sol, Lua e planetas e iii) A atmosfera da Terra. Os objetos espaciais próximos à Terra têm como o maior controlador orbital o campo gravitacional da Terra. Porém, a Terra é achatada em seus polos e isso modi�ca a sua distribuição de massa causando também uma mudança no seu campo gravitacional. Con- sequentemente, os termos adicionais ao potencial gravitacional terrestre devido a forma irão causar mudanças na órbita dos objetos que orbitam a Terra. Quando, o objeto é afastado da Terra torna-se mais próximos ao campo gravitacional da Lua, do Sol e outros planetas. E a in�uência gravitacional destes corpos devem ser acrescentas no estudo da dinâmica destes objetos. Sendo assim, o problema deixa de ser de dois corpos para um problema de N corpos que é só resolvido numericamente. Alguns estudos corroboram que objetos com altitudes menores que 1600 km, os efeitos do Sol e 27 da Lua são muito pequenos, porém, para altitudes maiores, as órbitas dos objetos sofrem modi�cações consideráveis (Roy, 1994). Existe uma força chamada de arrasto atmosférico que é devida às colisões contínuas do objeto com as moléculas de ar, átomos e os íons que compõem a atmosfera. A intensidade da força de arrasto atmosférico depende da atitude e altitude do satélite. Para objetos que estão abaixo de 150 km esta força é muito intensa e ela age retirando o objeto da órbita e o conduzindo a superfície da Terra. A inclusão de qualquer uma destas forças para o estudo da dinâmica do objeto em órbita da Terra oferece mais precisão e acurácia. Entretanto, a inclusão destas forças e a sua complexidade matemática, quebra a analiticidade que existe no problema de dois corpos e as órbitas não são as cônicas perfeitas. Embora, em determinadas condições estas forças são pequenas comparadas com a força gravitacional e a órbita do objeto é apenas perturbada por elas. Desta forma, pequenas mudanças nos elementos keplerianos da órbita destes objetos podem ser calculadas como consequência da atuação da perturbação. 28 Capítulo 4 Modelo Matemático 4.1 Equações de Clohessy-Wiltshire As equações de Clohessy-Wiltshire (1960) modelam o movimento relativo entre dois ob- jetos próximos que estão sob a ação gravitacional de um corpo principal e uma força de perturbação. Estas equações foram obtidas para a aplicação de uma manobra de rendez- vous que consiste em dois veículos espaciais em que, hipoteticamente, se deseja o encontro ou interceptação com velocidade relativa nula. A manobra de rendezvous envolve a inter- ceptação entre um veículo controle e o alvo com velocidade relativa estacionária. Neste trabalho, vamos assumir que o veículo interceptador é substituído por um detrito espacial e que o objetivo agora é realizar o inverso de uma manobra de rendezvous. Desta forma, o veículo de controle terá a mesma função, mas agora deverá ser capaz de agir com uma delicada propulsão para evitar a colisão com o detrito espacial, colisão que se caracteriza como um encontro com velocidade relativa dos objetos diferente de zero. Na Figura (4.1), temos o sistema de referência geocêntrico com coordenadas (X, Y, Z) e um sistema de referência posto no satélite com coordenadas (x, y, z). A posição do satélite é dado pelo vetor ~R. O sistema de referência que tem origem no satélite é orientado de tal forma que o eixo x tem a mesma direção do vetor ~R. O eixo y é orientado na direção tangencial ao movimento do satélite de tal forma que o plano orbital do satélite contém os eixos x e y. O eixo z é normal ao plano do satélite e paralelo ao seu momento angular. O vetor posição do detrito espacial é medido pelo vetor ~r, chamado de vetor posição relativo. As equações de Chohessy-Wiltshire descrevem a variação das componentes da posição relativa e estas são (Clohessy, 1960): ẍ− 2ωẏ − 3ω2x = fDex − fSatx (4.1) ÿ + 2ωẋ = fDey − fSaty (4.2) z̈ + ω2z = fDez − fSatz (4.3) 29 Figura 4.1: Sistema de referência co-orbital posicionado no satélite, pelo qual o detrito espacial é observado. O sistema de referência geocêntrico tem coordenadas (X, Y, Z), o sistema de referência posto no satélite tem coordenadas (x, y, z) com suas direções radial, tangencial e normal à órbita do satélite. O vetor ~R é a posição do satélite medido no sistema geocêntrico, o vetor ~r é a posição do detrito em relação ao sistema de referência posto no satélite e este vetor representa a dinâmica relativa destes objetos. Estas equações são ditas semi-analíticas, porque foram obtidas através de uma expansão em Taylor dos termos gravitacionais, na condição r/R << 1, o que indica matematica- mente quanto o veículo e detrito devem estar próximos. Além disso, a velocidade angular do veículo espacial é de�nida como ~ω = ωk̂ , e neste caso é uma constante do movimento circular do veículo espacial. Os vetores acelerações ~fDe e ~fSat são geradas por uma força externa de perturbação que atuam no detrito e veículo espacial respectivamente. 4.2 Sistema de propulsão Para realizar a manobra de evasão, o satélite precisa ser munido de um sistema capaz de modi�car seu estado de movimento. O princípio fundamental de um sistema de propulsão nas missões espaciais é o de ejeção de gases pelos propulsores, e pela 2 lei de Newton existe uma força que impulsiona o veículo espacial, tornando possível o seu movimento. Estes 30 propulsores podem ser usados tanto no sentido de reduzir ou aumentar a velocidade do veículo para ajustá-lo a alguma órbita desejada. Este sistema também é usado na correção de manobras, quando se aplica pequenos empuxos para se colocar o veículo de volta à sua órbita nominal. A força de propulsão por unidade de massa, atuante no veículo é dada pela equação vetorial a seguir (Jesus et al., 2012), ~fp = − 1 M(t) ~ve dM(t) dt = −~ve d dt ln(M(t)) (4.4) M(t) é a massa total do veículo, que inclui a massa do combustível e ~ve é a velocidade de exaustão dos gases. Para esta equação vetorial devemos escolher um modelo de variação de massa para o sistema de exaustão de combustível. Este modelo descreverá como a massa total decrescerá no tempo. A equação da massa total deve, portanto, ser escrita como: M(t) = M +m(t) (4.5) Nesta equação, M é a massa do veículo sem combustível e m(t) é a função que determina a queima do combustível em função do tempo. Neste trabalho, escolhemos o modelo exponencial, tal que a massa de combustível decresce exponencialmente no tempo com uma frequência constante (γ). Além disso, assumimos que a massa M é proporcional à massa inicial do combustível (mo) por uma constante de proporcionalidade χ, tal que: M = χmo (4.6) A manobra evasiva é controlada a partir de parâmetros que dependem da tecnologia utilizada para a construção do sistema propulsor. Estes parâmetros tecnológicos são: 1) γ é o fator de potência do propulsor, medido em unidades de frequência. 2) χ é o fator de massa, que é a razão entre a massa do corpo do satélite pela massa inicial de combustível a bordo. 3) ~ve é velocidade de exaustão de propelente. Portanto, a equação para a massa variando exponencialmente com o tempo é: M(t) = mo(χ+ e−γt) (4.7) Com a inclusão do sistema de propulsão as equações de Chohessy-Wiltshire são agora: ẍ− 2ωẏ − 3ω2x = −vex d dt ln(M(t)) (4.8) ÿ + 2ωẋ = −vey d dt ln(M(t)) (4.9) z̈ + ω2z = −vez d dt ln(M(t)) (4.10) 31 No modelo de Jesus et al. (2012), é apresentado uma solução analitica para as equações acima, assim: x(t) = 2A sen(ωt)− 2B cos(ωt) + Et+ ∞∑ n=1 Fne −nγt +G (4.11) y(t) = A cos(ωt) +B sen(ωt)− ∞∑ n=1 Cne −nγt +D (4.12) z(t) = H cos(ωt) + I sen(ωt)− ∞∑ n=1 Jne −nγt (4.13) Todos os coe�cientes destas equações depedem das condições iniciais e dos parâmetros tecnológicos, tal que podem ser escritos como uma função L = L(~ro, ~vo, ~ve, γ, χ, ω), e estes são: A = 2ẋo ω − 3yo + 2vex ω ln( χ+ 1 χ )− ∞∑ n=1 (−1)n+1 nχn ( 2vex ω + nγvey ω2 ) 1 1 + (nγ ω )2 (4.14) B = ẏo ω + vey ω ln( χ+ 1 χ ) + ∞∑ n=1 (−1)n+1 nχn ( 2nγvex ω2 + vey ω ) 1 1 + (nγ ω )2 (4.15) E = 6ωyo − 3ẋo − 3vex ln( χ+ 1 χ ) (4.16) Fn = (−1)n+1 nχn ( 4vex nγ + 2vey ω ) 1 1 + (nγ ω )2 − vex nγ (4.17) G = 2ẏoω + xo + 2vey ω ln( χ+ 1 χ )− ∞∑ n=1 (−1)n+1 n2χn 3vex ω (4.18) Cn = (−1)n+1 nχn (vex + nγvey ω2 ) 1 1 + (nγ ω )2 (4.19) D = 4yo − 2xo ω − 2vex ω ln( χ+ 1 χ ) (4.20) H = zo + ∞∑ n=1 (−1)n+1vezγ χnω2 1 1 + (nγ ω )2 (4.21) I = żo ω − vez ω ln( χ+ 1 χ ) + (−1)n+1 n2χ2ω vez 1 1 + (nγ ω )2 (4.22) Jn = (−1)n+1 nχnω vez 1 1 + (nγ ω )2 (4.23) Então com o controle destes coe�cientes, com parâmetros tecnológicos apropriados, é possivel distanciar os objetos diante de uma colisão com o detrito espacial. Há uma con- sequência do uso desta solução. Quando o propulsor é acionado, o satélite escapa da sua órbita nominal circular e cometemos um erro ao utilizar as equações de Chohessy- Wiltshire. Para melhorar esta aproximação, o sistema de propulsão pode ser tratado como 32 uma perturbação arti�cial, desde que a sua magnitude seja controlada por parâmetros tec- nológicos de�nidos e que ela seja pequena comparada com a força gravitacional atuante no satélite. Além disso, é desejável que durante qualquer manobra orbital a missão do veículo espacial não seja prejudicada. Como por exemplo, determinados satélites de senso- riamento remoto que necessitam constante monitoramento da superfície terrestre em uma órbita nominal planejada pela missão e qualquer desvio pode deixá-los sem utilidade por horas ou até inviabilizá-los totalmente. Da mesma forma, com o passar do tempo, o efeito do arrasto atmosférico ou de outras perturbações gravitacionais irão retirar o satélite da sua órbita inicial, e, portanto, irá comprometer a missão. Entretanto, os satélites de hoje utilizam um sistema de propulsão para corrigir este decaimento com o objetivo de prolon- gar a vida útil e otimizar a missão espacial. Diante da frequente ameaça de colisão com detritos espaciais o satélite deve realizar várias manobras evasivas. Portanto, um critério importante é que as manobras de evasão sejam realizadas preservando a órbita nominal da missão. Com este objetivo vamos escolher parâmetros tecnológicos que sejam capazes de produzir uma força muito menor que a gravitacional de tal forma que possamos tratá-la como uma perturbação no movimento do satélite. A estratégia para realizar a manobra de evasão é aplicar a força de propulsão de�nida em (4.4) tangencialmente à órbita do satélite, de tal modo que a velocidade angular do satélite seja reduzida ou aumentada, com o objetivo de permitir a passagem do detrito espacial. Ao mesmo tempo, uma acele- ração de propulsão radial é aplicada para estabilizar o satélite em sua órbita circular. No próximo capítulo, é apresentado uma representação grá�ca e a execução desta estratégia. 4.3 Perturbação do Arrasto Atmosférico Nesta seção, é apresentada a força de perturbação que atua sobre o satélite e o detrito espacial: o arrasto atmosférico. O arrasto atmosférico é uma perturbação natural mais forte nas regiões orbitais onde a atmosfera da Terra tem densidade su�ciente para afetar as trajetórias destes objetos, como por exemplo, na região das órbitas LEO. Um corpo que se move com velocidade relativa, ~vrel, a um ambiente com atmosfera está sujeito a uma aceleração, que pode ser escrita na forma, (David and McClain, 2007): ~fDrag = −1 2 CDA m ρ|~vrel|~vrel (4.24) ρ é a densidade da atmosfera, A é a área do objeto que está perpendicular a direção do seu movimento, e CD é um parâmetro adimensional conhecido como coe�ciente de arrasto atmosférico. Em geral, a densidade da atmosfera de um planeta pode mudar por um fator de 10 quando a distância do centro do planeta muda de 1 por cento (King-Hele, 1964) e portanto objetos que estão mais propícios a esta perturbação estão na região LEO, entre altitudes de 160 km a 2000 km. Os efeitos do arrasto são bem conhecidos em satélites 33 dentro destas altitudes e como principal consequência, a excentricidade diminui e eles retornam a atmosfera do planeta. O objetivo deste trabalho é estudar o efeito desta força de arrasto atmosférico na dinâmica relativa do satélite e do detrito espacial, estabilizando a possível queda do veículo espacial causada pelo arrasto atmosférico por meio de um sistema de propulsor. Para a descrição da força de arrasto atmosférico fazemos algumas suposições: (a) Vamos assumir que a densidade atmosférica depende somente da distância R até o centro da Terra, conforme (Delhaise, 1991): ρ = ρo ( R− s Ro − s )τ (4.25) Em que ρo é a densidade atmosférica inicial calculada no ponto do perigeu que tem distância Ro do centro da Terra, τ e s são parâmetros ajustáveis. Os parâmetros s e τ podem ser adaptados para estimar as observações das atividades solares e atualizar as constantes mudanças na dinâmica da atmosfera. Neste trabalho utilizamos s = 0, o que indica que não temos correções nas atividades solares e o valor de τ igual a -3 que representa o modelo de densidade exponencial frequentemente usado. (b) A atmosfera é simetricamente esférica e rotaciona com velocidade angular constante ωE. (c) Não há mudanças na atmosfera durante a passagem dos dias e das noites, devido a in�uência solar. A aceleração de arrasto atmosférico que atua no satélite: ~fDragSat = −1 2 CDSatASat mSat ρ|~vrelSat|~vrelSat (4.26) Conforme (David and McClain, 2007), a velocidade do satélite relativa a atmosfera em rotação é calculada por: ~vrelSat = ~V − ~ωE × ~R (4.27) ~V e ~R são a velocidade e a posição do satélite em relação ao sistema de referência ge- ocêntrico. Por simplicidade vamos considerar o satélite em uma órbita circular contida no plano do equador da Terra, ou seja, o satélite possui inclinação nula e sua órbita está contida no plano XY, conforme a Figura (4.2). 34 Y X Terra Satélite i j V R  θ Figura 4.2: Órbita do satélite no plano equatorial da Terra. O plano XY é o plano orbital do satélite, o satélite está em órbita circular. ~R = Rî (4.28) ~V = Rθ̇θ̂ = Rωĵ (4.29) O vetor ~ωE que representa a velocidade de rotação da Terra, de modulo igual a 7.2921150× 10−5 rad/s, é escrito no sistema equatorial geocêntrico, (Reid, 2009) por: ~ωE = ωE k̂ (4.30) Utilizando as equações acima podemos escrever a velocidade relativa do satélite à atmos- fera: ~vrelSat = R(ω − ωE)ĵ (4.31) Como consequência, a aceleração de perturbação atmosférica atua tangencialmente ao satélite e pode ser escrita como: ~fDragSat = −1 2 CDSatASat mSat ρ [R(ω − ωE)]2 ĵ (4.32) Para a inclusão do arrasto atmosférico no detrito espacial, adaptamos do trabalho de (Reid, 2009). A posição do detrito espacial é medida com respeito ao sistema posto no 35 satélite, e por isso devemos escrever a equação (4.24) neste sistema de referência. Se a Terra tem uma velocidade de rotação ωE e ela transporta esta rotação da atmosfera, temos que calcular a velocidade relativa do detrito em relação a rotação da atmosfera : ~VDeRel = ~VDe − ~wE × ~RDe (4.33) ~VDe e ~RDe são a velocidade e a posição do detrito com respeito ao sistema geocêntrico. Como queremos obter a aceleração de arrasto atmosférico no sistema de referência do satélite , então temos que escrever a equação (4.33) neste sistema. A posição do detrito espacial em relação ao sistema geocêntrico pode ser escrita como: ~RDe = ~R + ~r (4.34) A velocidade do detrito com respeito ao sistema girante do satélite é expressa por: ~VDe = ~VSat + ~̇r + ~ω × ~r (4.35) ~VDe =  Ṙ Rω 0 +  ẋ ẏ ż +  −yωxω 0  (4.36) Com a ação de uma aceleração de controle radial no satélite, conforme de�nida em (4.89), podemos garantir que Ṙ = 0 e a velocidade do detrito com respeito ao sistema �xo do satélite é escrita por: ~VDe =  ẋ− yω Rω + ẏ + ωx ż  (4.37) Agora, devemos escrever a velocidade angular de rotação da atmosfera de�nida pela equa- ção (4.30) também com respeito ao sistema �xo do satélite. Devemos então realizar as rotações de Euler em uma sequência conhecida como 3->1->3, e então transformaremos do sistema geocêntrico equatorial da Terra para o sistema perifocal e �nalmente para o sistema �xo do satélite. Para escrever a velocidade angular de rotação da atmosfera da Terra, no sistema �xo do satélite (~wESat), aplicamos o produto das matrizes de Euler: ~wESat = R3(θ)R1(i)R3(Ω)~wE (4.38) 36 Em que θ, i, Ω é a posição angular, inclinação e nodo ascendente do sistema de referência do satélite, neste caso, do próprio veículo espacial. As matrizes R1(δ), R3(ξ) são as matrizes de Euler: R1(δ) = 1 0 0 0 cos(δ) sen(δ) 0 − sen(δ) cos(δ)  (4.39) R3(ξ) =  cos(ξ) sen(ξ) 0 − sen(ξ) cos(ξ) 0 0 0 1  (4.40) Aplicando o produto (4.38), a velocidade angular da Terra escrita no sistema �xo do satélite é: ~ωE =  sen(θ) sen(i) cos(θ) sen(i) cos(i)  (4.41) Agora, voltando a equação (4.33) e aplicando as equações (4.37) e (4.41) podemos escrever a velocidade relativa do detrito espacial a atmosfera da Terra: ~VDeRel =  ẋ− y(ω − wE cos(i))− zwE cos(θ) sen(i) ẏ + (R + x)(ω − wE cos(i)) + zwE sen(θ) sen(i) ż + (R + x)(wE cos(θ) sen(i))− ywE sen(θ) sen(i)  (4.42) Portanto a aceleração de arrasto atmosférico que atua no detrito espacial pode ser escrita: ~fDragDe = −1 2 CDA,De mDe ρ~VDeRel|~VDeRel| (4.43) Seguindo o trabalho de (Reid, 2009), a expressão da aceleração do arrasto atmosférico no detrito espacial na aproximação R >> r é: ~fDragDe = −1 2 CDA,De mDe ρvoy ∣∣∣∣∣∣∣ v1x voy + 2v1y voz + v1z ∣∣∣∣∣∣∣ (4.44) Em que: 37 voy = R(ω − ωEcos(i)) (4.45) voz = R(ωE cos(θ) sen(i)) (4.46) v1x = ẋ− y(ω − ωE cos(i))− zωE cos(θ) sen(i) (4.47) v1y = ẏ + x(ω − ωE cos(i)) + zωE sen(θ) sen(i) (4.48) v1z = ż + x(ωE cos(θ) sen(i))− yωE sen(θ) sen(i) (4.49) 4.4 Equação do movimento do satélite perturbado Antes de tratar os objetos com sua dinâmica relavita, vamos estudar o movimento do satélite. Na Figura (4.3), o satélite está sob a ação da aceleração da gravidade da Terra (~fgravSat), de uma aceleração de propulsão (~fp), e da aceleração de perturbação do arrasto atmosférico(~fDragSat). Y X Terra Satélite ij θ f  gravSat f  DragSat fp Figura 4.3: Acelerações atuantes no satélite em órbita circular ao redor da Terra. O satélite está sob a ação da aceleração da gravidade da Terra, da propulsão e da perturbação do arrasto atmosférico. Aplicando a segundo lei de Newton, temos a aceleração absoluta do satélite dada por: ~̈R = −µ ~R R3 + ~fp + ~fDragSat (4.50) 38 Podemos escrever as acelerações de forma vetorial, no sistema do satélite: ~̈R = (R̈−Rθ̇2)̂i+ ( 1 R d dt (Rθ̇))ĵ (4.51) ~fgravSat = − µ R2 î (4.52) ~fp = f ?î− veθ d dt ln(M(t))ĵ (4.53) ~fDragSat = −1 2 CDSatASat mSat ρ [R(ω − ωE)]2 ĵ (4.54) Em que, µ = GME é o produto da constante gravitacional pela massa da Terra. Podemos decompor a aceleração do satélite em duas componentes: R̈−Rθ̇2 + µ (R)2 = f? (4.55) 1 R d dt (Rθ̇) = −veθ d dt ln(M(t))− 1 2 CDSatASat mSat ρ[R(ω − wE)]2 (4.56) Por de�nição, θ = ∫ ωdt, θ̈ é a aceleração angular do satélite e f? é a aceleração de propulsão radial para estabilizar o satélite em órbita circular. A aceleração f? é um controle que deve ser igual a: f? = −Rθ̇2 + µ (R)2 (4.57) Desta forma, a aceleração radial do satélite R̈ é sempre nula, e R é constante. Com este controle, podemos escrever a equação (4.56) na forma: Rθ̈ = −veθ d dt ln(M(t))− 1 2 CDSatASat mSat ρ[R(ω − wE)]2 (4.58) As equações (4.57) e (4.58) descrevem, respectivamente, o movimento radial e tangen- cial do satélite. Para obter uma solução para o movimento tangencial do satélite, vamos utilizar o mé- todo de variação de paramêtros. Primeiramente, devemos calcular o movimento tangencial do satélite sem nenhuma perturbação: θ̈ = 0 (4.59) E a solução é: 39 θ = ωot+ η (4.60) Em que ωo é a velocidade angular do satélite sem perturbação. O parâmetro η é uma cons- tante arbitrária que deve variar lentamente devido a perturbação da propulsão tangencial do satélite. Derivando a equação (4.60), obtemos a velocidade angular do satélite: ω = θ̇ = ωo + η̇ (4.61) θ̈ = η̈ (4.62) A equação diferencial que representa o movimento tangencial perturbado do satélite é, agora: η̈ = −veθ R d dt ln(M(t))− 1 2 CDSatASat mSat ρR(ωo + η̇ − wE)2 (4.63) Ao estabilizar o satélite a uma distância �xa ao centro da Terra, utilizando a aceleração de controle, a densidade atmosférica em que está contido o satélite não deve variar ao longo da órbita do satélite. E, assim, podemos de�nir os termos ψ = 1 2 CDSatASat mSat ρR e ωl = ωo − ωE como constantes. Reescrevendo a equação (4.63): η̈ = −veθ R d dt ln(M(t))− ψ(ωl + η̇)2 (4.64) η̈ = −veθ R d dt ln(M(t))− ψ(ω2 l + 2ωlη̇ + η̇2) (4.65) Por se tratar de uma perturbação, η varia muito lentamente no tempo e pode-se desprezar termos da ordem de η̇2, supondo que estes termos sejam pequenos. Então: η̈ = −veθ R d dt ln(M(t))− ψ(ω2 l + 2ωlη̇) (4.66) A solução da equação diferencial (4.66) resulta em um acréscimo na velocidade angular do satélite, ou seja, uma mudança na dinâmica do satélite devido as perturbações do sistema de propulsão e do arrasto atmosférico. Infelizmente, não encontramos uma so- lução analítica para esta equação diferencial quando as duas perturbações são inseridas. Porém, é importante para este trabalho resolver esta equação diferencial aplicando uma perturbação de cada vez, neste caso, tem solução analítica. 40 Primeiro iremos resolver a equação diferencial somente com a perturbação do sistema de propulsão e denotar o indice p para as variáveis que representam apenas a perturbação do sistema propulsor, ou seja, a equação diferencial é agora: η̈p = −veθ R d dt ln(M(t)) (4.67) Integrando, temos: η̇p = −veθ R ln(M(t)) + C1 (4.68) Com o modelo de massa exponencial apresentado na equação (4.7), escrevemos: η̇p = −veθ R ln(mo(χ+ e−γt)) + C1 (4.69) Integrando novamente, obtemos: ηp = −veθ R ∫ ln(mo(χ+ e−γt))dt+ C1t+ C2 (4.70) A integral da equação acima pode ser escrita como: ∫ ln(mo(χ+ e−γt))dt = ∫ ln(moχ)dt+ ∫ ln(1 + e−γt χ )dt (4.71) Realizando a expansão em série de Taylor: ln(1 + x) = ∞∑ n=0 (−1)n n+ 1 xn+1 (4.72) O limite de convergência é |x| < 1. Seja x = e−γt χ podemos reescrever a integral: ∫ ln(mo(χ+ e−γt))dt = ∫ ln(moχ)dt+ ∫ ∞∑ n=0 (−1)n n+ 1 ( e−γt χ )n+1 dt (4.73) A solução desta integração nesta aproximação é: ∫ ln(mo(χ+ e−γt))dt = ln(moχ)t− ∞∑ n=0 (−1)n (n+ 1)2γ ( e−γt χ )n+1 (4.74) Assim, 41 ηp = −veθ R ( ln(moχ)t− ∞∑ n=0 (−1)n (n+ 1)2γ ( e−γt χ )n+1 ) + C1t+ C2 (4.75) Retornando a equação (4.60), a perturbação do sistema de propulsão causa uma variação na posição angular do satélite descrita por: θp = ωot− veθ R ( ln(moχ)t− ∞∑ n=0 (−1)n (n+ 1)2γ ( e−γt χ )n+1 ) + C1t+ C2 (4.76) Consequentemente existe uma variação na velocidade angular do satélite que pode ser escrita como: ωp = θ̇ = ωo − veθ R ln(mo(χ+ e−γt)) + C1 (4.77) C1 e C2 são constantes de integração que podem ser determinadas pela condição que em t = 0, wp = wo e θp = 0 e não há perturbação. Desta forma, C1 = veθ R ln(mo(χ+ 1)) (4.78) C2 = −veθ R ∞∑ n=0 (−1)n (n+ 1)2γ ( 1 χ )n+1 (4.79) Determinado as constantes, temos a dinâmica angular do satélite com a perturbação do sistema de propulsão: θp = ( ωo + veθ R ln ( χ+ 1 χ )) t+ veθ R ∞∑ n=0 (−1)n (n+ 1)2γχn+1 (e−γ(n+1)t − 1) (4.80) ωp = θ̇ = ωo + η̇ = ωo − veθ R ln ( χ+ e−γt χ+ 1 ) (4.81) Assim, temos uma velocidade angular adicional ao satélite devido a perturbação de pro- pulsão e utilizando os parâmetros tecnológicos, temos o controle desta grandeza para atingir os objetivos de escapar do detrito espacial. Vamos agora retornar a equação (4.66) e tratá-la apenas com a perturbação atmosférica e fazendo a notação com o idice a para representar as variáveis que representa a dinâmica 42 com o arrasto atmosférico. Agora, desligando o sistema de propulsão a equação diferencial é: η̈a = −ψ(ω2 l + 2ωlη̇a) (4.82) η̈a + 2ψωlη̇a = −ψω2 l (4.83) Esta equação diferencial possui solução analítica como mostrada abaixo: ηa = C3e −2ψωlt − ωl 2 t+ C4 (4.84) η̇a = −2ψωlC3e −2ψωlt − ωl 2 (4.85) Determinadas as constantes C3 e C4 pela condição inicial que em t=0 o satélite não está sofrendo nenhuma perturbação de arrasto atmosférico. A dinâmica da posição e velocidade angular do satélite acrescidas pela perturbação do arrasto atmosférico são: θa = (ωo − ωl 2 )t− (e−2ψωlt − 1) 4ψ (4.86) ωa = θ̇ = ωo + wl 2 (e−2ψωlt − 1) (4.87) Observamos na equação (4.87) que se ψ e wl são grandezas sempre positivas, o arrasto atmosférico causa uma diminuição exponencial na velocidade angular do satélite, e, depois de um longo tempo, essa diminuição é constante e a velocidade angular do satélite atinge um valor médio de (ωo + wE)/2. Desta forma, podemos estudar os efeitos das perturbações separadamente através das mudanças na velocidade angular do satélite. A equação (4.81) representa a velocidade angular do satélite quando o sistema de propulsão é tratado como uma perturbação e vamos chama-la de wp, já a equação (4.87) é a velocidade angular do satélite quando existe apenas a perturbação da atmosfera e a chamaremos de wa. Para manter o satélite em órbita circular é necessário que a altitude e a sua velocidade orbital sejam tais que haja um equilíbrio entre as forças centrífuga e a força de gravidade. Analisando o movimento na equação (4.57), o primeiro termo é a aceleração centrífuga e o segundo termo é a aceleração da gravidade. A aceleração radial de propulsão deve ser capaz de estabelecer o equilíbrio entre as acelerações da gravidade e centrífuga na 43 presença das perturbações. Sendo assim, para cada perturbação existe uma quantidade diferente desta força de propulsão radial. Para a perturbação do sistema de propulsor e do arrasto as forças radiais de propulsão para estabilizar o satélite são respectivamente: f?p = −Rω2 p + µ (R)2 (4.88) f?a = −Rω2 a + µ (R)2 (4.89) 4.5 Escrita das equações de Clohessy-Wiltshire com as perturbações Como vimos com as perturbações a velocidade angular do satélite tem termos adicionais que dependem do tempo. Nesta seção mostramos como escrever as equações do movimento relativo e as consequências das perturbações. As equações do movimento relativo entre o satélite e o detrito no campo gravitacional da Terra são obtidas diretamente da 2a Lei de Newton, tratando-os como corpos isolados sofrendo ações das forças gravitacionais e das forças externas. A aceleração do satélite é portanto, ~̈R = − µ R3 ~R + ~fSat (4.90) Analogamente para o detrito espacial, temos: ~̈R + ~̈r = − µ |~R + ~r|3 (~R + ~r) + ~fDe (4.91) Subtraindo as equações do movimento, (4.91) - (4.90) : ~̈R + ~̈r − ~̈R = − µ |~R + ~r|3 (~R + ~r) + µ R3 ~R + ~fDe − ~fSat (4.92) A aceleração relativa entre eles é: ~̈r = − µ |~R + ~r|3 (~R + ~r) + µ R3 ~R + ~fDe − ~fSat (4.93) A função r(t), solução da equação acima, descreve a história da dinâmica relativa entre os objetos orbitantes da Terra. Nesta dinâmica encontramos a possibilidade de rendez- vous e/ou de colisão, além de um movimento relativo geral. A colisão entre o detrito e o veículo operacional será possível toda vez que esta grandeza for nula e sua primeira 44 derivada diferente de zero. Infelizmente, para estas equações, não encontramos solução analítica, tornando o problema mais difícil de ser resolvido com precisão. Contudo, é pos- sível encontrar uma solução semi-analítica ou algébrica, mesmo para aplicações realistas no âmbito da ciência e tecnologia espaciais. Por exemplo, se considerarmos que a distân- cia relativa entre os objetos espaciais seja muito menor do que a distância do veículo a Terra, poderemos expandir em série de Taylor o termo gravitacional |~R+ ~r|−3 e este fato possibilitará uma solução fechada, contudo limitada a |~r| |~R| << 1. Esta condição engloba diversos objetivos das missões espaciais e é completamente aplicável a elas. Desta forma, temos: |~R + ~r|−3 = R−3(1− 3 ~R • ~r R2 ) +O(r2) (4.94) Substituindo esta última equação na equação da aceleração relativa (4.93),temos: ~̈r = − µ R3 (1− 3 ~R • ~r R2 )(~R + ~r) + µ R3 ~R + ~fDe − ~fSat (4.95) ~̈r = − µ R3 ((~R + ~r)− 3(~R + ~r) ~R • ~r R2 ) + µ R3 ~R + ~fDe − ~fSat (4.96) ~̈r = − µ R3 ((~R− ~R + ~r)− 3(~R + ~r) ~R • ~r R2 ) + ~fDe − ~fSat (4.97) ~̈r = − µ R3 (~r − 3 ~R • ~r R2 ~R− 3 ~R • ~r R2 ~r) + ~fDe − ~fSat (4.98) ~̈r = − µ R3 (~r − 3 ~R • ~r R2 ~R) + ~fDe − ~fSat (4.99) Como foi dito, o sistema de referência no veículo espacial possui rotação não nula. Além disso, a velocidade angular do satélite tem uma dependência temporal devido às perturba- ções aplicadas ao satélite. Para escrever a posição relativa entre os objetos no sistema de referência animado de rotação devemos adicionar as acelerações �ctícias de�nidas como: ~̈r = ~̈R + ~̇ω × ~r + ~ω × (~ω × ~r) + 2~ω × ~̇r + ~̈rrot (4.100) ou, 45 ~̈rrot = ~̈r − ~̈R− ~̇ω × ~r − ~ω × (~ω × ~r)− 2~ω × ~̇r (4.101) Aplicando estas equações ao satélite, com o satélite controlado em órbita circular, ~̈R = 0, então: ~̈rrot = ~̈r − ~̇ω × ~r − ~ω × (~ω × ~r)− 2~ω × ~̇r (4.102) Aplicando a equação (4.99) na (4.102), temos: ~̈rrot = − µ R3 (~r − 3 ~R • ~r R2 ~R) + ~fDe − ~fSat − ~̇ω × ~r − ~ω × (~ω × ~r)− 2~ω × ~̇r (4.103) Sendo: ~R = Rî (4.104) ~fDe = fDex î+ fDey ĵ + fDez k̂ (4.105) ~fSat = fSatx î+ fSaty ĵ + fSatz k̂ (4.106) ~̈rrot = ẍî+ ÿĵ + z̈k̂ (4.107) ~ω = ωk̂ (4.108) ω2 o = µ R3 (4.109) ~r = xî+ yĵ + zk̂ (4.110) ~̇r = ẋî+ ẏĵ + żk̂ (4.111) Usando as equações acima, podemos calcular os produtos vetorias e escalares dos termos da equação (4.103): ~ω × (~ω × ~r) = ~ω(~ω • ~r)− ω2~r = ω2zk̂ − w2(xî+ yĵ + zk̂) (4.112) ~ω × ~̇r = −ωẏî+ ωẋĵ (4.113) ~̇ω × ~r = −ω̇yî+ ω̇xĵ (4.114) µ R3 (~r − 3 ~R • ~r R2 ~R) = ω2 o(xî+ yĵ + zk̂ − 3xî) (4.115) Introduzindo os resultados acima na equação (4.103) obtemos as novas acelerações, e por- tanto, a nova forma das equações de Chohessy-Wiltshire levando em conta as perturbações são: 46 ẍ− x(ω2 + 2ω2 o)− 2ωẏ − ω̇y = fDex − fSatx (4.116) ÿ + y(ω2 o − ω2) + 2ωẋ+ ω̇x = fDey − fSaty (4.117) z̈ + ω2 oz = fDez − fSatz (4.118) Estas equações são analogas as equações de Schaub e Junkins (2003) que não restrigem a excentricidade da órbita do satélite de referência (Schaub and Junkins, 2003). Entre- tanto, as equações acima são um caso especial, quando impomos a condição da distância do satélite a Terra uma constante. Se a velocidade angular do satélite é desprovida dos termos da perturbação do arrasto atmosférico e do sistema de propulsão, é fácil mostrar que retornarmos as equações de Chohessy-Wilthsire mostradas em (4.1). A principal mo- di�cação está na velocidade angular do satélite depender do tempo devido as perturbações do satélite. A depender da perturbação escolhida, a velocidade angular do satélite é des- crita pela equação (4.81) ou (4.87). As equações diferenciais para o movimento no plano x e y são um sistema de equações diferenciais de segunda ordem não homogêneas com coe�cientes que variam no tempo e não foi achada uma solução analítica. O movimento no eixo z é uma equação diferencial de segunda ordem em que na ausência de forças externas é uma equação de um oscilador harmonico, isto porque ambas perturbações que o satélite sofre são tangenciais ou radias ao seu movimento e, portanto, o movimento sob o eixo z é governado apenas pela ação da força gravitacional da Terra. Com estas perturbações não encontramos uma solução analítica e a dinâmica relativa deve ser calculada com métodos númericos. Neste trabalho as integrações numéricas são realizados pelo Método de Runge Kutta de 4 ordem. 47 Capítulo 5 Resultados 5.1 Dinâmica colisional com gravidade (Modelo de Je- sus et al 2012) Na ausência de forças externas de perturbação, as equações diferenciais (4.1)-(4.3) pos- suem soluções analíticas, mostradas abaixo: x(t) = ( ẋo ωo ) sen(ωot)− ( 2ẏo ωo + 3xo ) cos(ωot) + ( 4xo + 2 ẏo ωo ) (5.1) y(t) = ( 4ẏo ωo + 6xo ) sen(ωot) + ( 2ẋo ωo ) cos(ωot)− (6ωoxo + 3ẏo) t+ ( yo − 2ẋo ωo ) (5.2) z(t) = zo cos(ωot) + ( żo ωo ) sen(ωot) (5.3) Esta solução é obtida pelo problema do valor inicial, no qual as condições iniciais, tais como a posição relativa inicial (xo, yo, zo) e a velocidade relativa inicial (ẋo, ẏo, żo) são fornecidas no instante to. Sem considerar as forças externas de perturbação e com a solução analitica das equações de Clohessy-Wiltshire é possível encontrar condições iniciais de colisão que irão formar a dinâmica colisional detrito-veiculo espacial com apenas a força gravidade (Jesus et al., 2012). Esta dinâmica é obtida, quando, para um tempo �xo, chamado tempo de colisão (tc), impusermos a ela as �condições iniciais favoráveis à colisão� (CIC), dadas abaixo: x(tc) = 0, y(tc) = 0, z(tc) = 0⇒ r(tc) = 0 (5.4) Resolvendo este sistema de equações descrito em (5.4), obtemos as componentes da velo- cidade inicial relativa que permitem a colisão: 48 ẏo = [6xo(ωotc − sen(ωotc))− yo]ωo sen(ωotc)− [2ωoxo(4− 3 cos(ωotc))(1− cos(ωotc))] (4 sen(ωotc)− 3ωotc) sen(ωotc) + 4(1− cos(ωotc))2 (5.5) ẋo = −ωoxo(4− 3 cos(ωotc)) + 2(1− cos(ωotc))ẏo sen(ωotc) (5.6) żo = −zoωo cos(ωotc) sen(ωotc) (5.7) A natureza das equações (5.5), (5.6) e (5.7) declara que o número de soluções para o con- junto CIC é in�nito. Ou seja, para qualquer tempo de colisão diferente de zero, é possível encontrar as três componentes da velocidade inicial relativa. Contudo, devido a limitações tecnológicas, o número de soluções será reduzido consideravelmente. Uma das limitações está relacionada com a capacidade de detecção da posição inicial dos detritos em relação ao veículo espacial pelos radares. Outra condição é a distribuição de velocidades colisi- onais especí�cas (velocidades típicas) dos detritos espaciais nas regiões operacionais do espaço em torno da Terra. Para estabelecermos o conjunto CIC, aplicamos a metodologia de (Jesus et al., 2012) que segue os seguintes passos: 1-Fornecemos uma esfera de possibilidades de posições iniciais relativas para o detrito espacial, que constituem as informações colhidas no radar do satélite. Para isto, consi- deramos coordenadas esféricas com a varredura angular no plano 0 ≤ α < 360 graus, no espaço 0 ≤ β < 180 graus e �xamos ro, obtemos suas componentes (xo, yo, zo): xo = ro cos(β) sen(α) (5.8) yo = ro sen(β) sen(α) (5.9) zo = ro sen(β) (5.10) 2- Fixamos diversos tempos de colisão no intervalo de 1 ≤ tc ≤ 106 segundos (11,57 dias), com passo de 1 segundo. Estes tempos são escolhidos, tais que sejam possíveis as manobras evasivas frente a colisões iminentes nas região orbitais de LEO, MEO e GEO. 3-Para de�nir a região orbital, fornecemos as altitudes das regiões orbitais, e calculamos o valor da velocidade angular do satélite em cada uma destas altitudes, aplicando a terceira lei de Kepler: 49 ωo = √ µ R3 (5.11) 4-Com estas condições, podemos calcular as velocidades iniciais relativas para a coli- são. A partir daí, �ltramos aquelas velocidades que atendam a condição das velocidades relativas dos satélites com detritos espaciais. Sabemos que estas velocidades encontram-se na faixa entre 1 e 20 km/s (Kessler and Cour-Palais, 1978). Nas simulações numéricas deste modelo, usamos um código em linguagem C. Encon- tramos as condições iniciais que atendem a estratégia acima. Na seção a seguir, exibimos os resultados encontrados. 5.1.1 Mapas de condições iniciais Os resultados das simulações numéricas da solução das equações homogêneas da dinâmica relativa permitiram catalogar as condições iniciais favoráveis a colisão entre os objetos espaciais. Este conjunto de con�gurações é identi�cado como as con�gurações que o sistema colisional (detrito e veículo espacial) pode assumir. Isto é, elas são os estados que o sistema pode assumir em curso de colisão com as distâncias relativas entre os objetos na faixa entre 3 km e 500 km. O número de estados, chamamos de �Possibilidades de Colisão�. Nas Figuras (5.1) à (5.3) , mostramos a distribuição do número de con�gurações colisionais relativas ao conjunto de condições iniciais CIC, de�nido na estratégia. Estas �guras dão uma ideia de como estão distribuídas o grande número de con�gurações colisionais que o sistema pode assumir durante um intervalo entre 1 a 106 segundos, em um total de 6× 1010 possibilidades de colisão para cada região orbital. Para efeito de discussão, nós dividimos a faixa de velocidades iniciais relativas como: 1) velocidades relativas baixas- entre 0 e 1,0 km/s; 2) velocidades relativas médias-entre 1,0 e 7,5 km/s; 3) velocidades relativas altas- entre 7,5 e 20,0 km/s. Na Figura (5.1), os objetos estão separados inicialmente por 3 km. Para qualquer região orbital, na qual o veículo espacial se encontra, uma colisão com detritos espaciais são improváveis de acontecer com velocidades relativas médias ou altas. A maior concentração de possibilidades de colisão em velocidades relativas médias está presente quando o satélite se encontra na região orbital do tipo LEO com cerca de 0,13 % do número total de possibilidades, e com menos de 0,005 % do número total de possibilidades quando as velocidades relativas são altas. Na Figura (5.2), notamos que quando aumentamos a separação inicial dos objetos para 50 km, a incidência de possibilidades de colisão com velocidades relativas baixas diminuem para qualquer região orbital. E existe um ligeiro aumento das possibilidades de colisão com velocidades relativas médias ou altas também para as três regiões orbitais simuladas. Este aumento é mais signi�cativo em LEO que para velocidades relativas médias e apresentam 50 Figura 5.1: Possibilidades de colisões por distribuição de velocidades iniciais relativas em LEO, MEO e GEO- I. Este grá�co é muito signi�cativo, porque mostra as possibilidades de colisões por cada faixa de velocidades iniciais, entre 0 e 20 km/s, desde que a separação inicial dos objetos (ro) seja de 3 km. Além da faixa de velocidade inicial relativa, cada possibilidade de colisão é computada com a informação do tempo de colisão, entre 1 e 1 × 106 s, e a posição relativa dos objetos no sistema de coordenadas esféricos, ( 3 km,0 ≤ α < 360 ◦, 0 ≤ β < 180 ◦). Com estas condições qualquer região operacional quase 100 % das possibilidades de colisão devem acontecer com velocidades relativas baixas entre 0 e 1 km/s. agora 2,0% das possibilidades de colisão e cerca de 0,2 % para velocidades relativas altas. Em seguida, é mais provável possibilidades de colisões com velocidades relativas médias ou altas em MEO do que em GEO. Na Figura (5.3), mostramos o aumento de possibilidades de colisão em velocidades relativas médias ou altas continua ao aumentarmos a separação inicial dos objetos, que neste caso é de 350 km. As velocidades relativas médias ou altas já passam de 2 % para as regiões orbitais de MEO e GEO, entretanto é bem mais provável ocorrer colisão com estas velocidades em orbitas do tipo LEO com cerca de 16 % das possibilidades de colisão. Nesta seção, mostramos os resultados das simulações numéricas de um modelo de dinâ- mica orbital relativa para dois objetos colisionais, a partir das condições iniciais de colisão. A dinâmica dos objetos espaciais que satisfazem o conjunto CIC fornece possibilidades de colisão entre os objetos espaciais (detrito e veículo espacial) na região operacional de LEO. O conjunto CIC, derivado de uma estratégia estabelecida no modelo de Jesus, produz con- dições favoráveis para a ocorrência de colisões entre os objetos espaciais que se aproximam em diversas distâncias relativas. Este resultado é fundamental para o andamento do tra- balho e, nas próximas seções, escolheremos algumas condições iniciais particulares das inúmeras possibilidades de colisão mostradas acima, das quais tomaremos soluções que 51 Figura 5.2: Possibilidades de colisões por Distribuição de velocidades relativas em LEO, MEO e GEO- II. Este grá�co também mostra as possibilidades de colisão por faixa de velocidade iniciais entre 0 e 20 km/s. Entretanto, mostramos aqui um número de possibilidades de colisão um pouco reduzido por motivo de tempo de processamento na simulação. Existem cerca de 6, 6× 109 possibilidades de colisão, e a separação inicial dos objetos (ro) aqui é de 50 km. Cada possibilidade de colisão foi computada com a informação do tempo de colisão entre 1 e 105 segundos, e das posições inicias no sistema de coordenadas esféricos (50 km, 0 ≤ α < 360 ◦, 0 ≤ β < 180 ◦). A porcentagem de possibilidades de colisão aumentou em todas as velocidades relativas acima de 1 km/s, principalmente na região em LEO. chamaremos de �soluções nominais�. É a partir destas soluções nominais que iremos reali- zar uma política de manobras evasivas com um sistema de propulsão do veículo espacial. Além disso vamos estudar como estas condições de colisão vão se modi�car com a inclusão da perturbação do arrasto atmosférico. 52 Figura 5.3: Possibilidades de colisões por distribuição de velocidades iniciais relativas em LEO, MEO e GEO- III. Este grá�co mostra a possibilidade de colisão por faixa de velocidade iniciais entre 0 e 20 km/s, mas agora com a separação inicial dos objetos (ro) de 350 km. Dentro do total de 6, 6 × 109 possibilidades de colisão, cerca de 16 % já estão presentes nas velocidades relativas entre 1 e 2,5 km/s na região LEO. Em geral, para as outras regiões, a tendência do aumento das possibilidades de colisão se con�rma em todas as velocidades relativas acima de 1 km/s. Para obter as possibilidades de colisão computamos com a informação do tempo de colisão entre 1 e 105 segundos, e das posições inicias relativas no sistema de coordenadas esféricos (350 km, 0 ≤ α < 360 ◦, 0 ≤ β < 180 ◦). 5.2 Manobras evasivas na região de LEO Nesta seção, vamos usar a dinâmica relativa do satélite e do detrito espacial que agora é calculada numericamente com as equações (4.116), sendo a velocidade angular do satélite dada pela equação (4.61). Não há perturbações nem forças externas atuando no detrito espacial e as acelerações externas aplicadas ao satélite são: ~fSat =  f?p −veθ ddt ln(M(t)) 0  (5.12) A �gura (5.4) mostra o diagrama de forças atuantes no detrito e no satélite. 53 Figura 5.4: Acelerações atuantes no detrito e no satélite. As acelerações são as gravitacionais e a única força externa é a força de propulsão. O ponto C é a colisão prevista nos mapas de condições inicias de colisão. Neste momento, acionamos a propulsão para atingir um decréscimo na velocidade angular do satélite de forma que o detrito espacial passe em C primeiro que o satélite evitando a colisão. 5.2.1 Descrição da Manobra A manobra evasiva será realizada seguindo os passos: 1) O detrito espacial é localizado pelo radar do satélite e a sua posição e velocidade relativa é medida. 2) O computador de bordo, com o banco de dados dos mapas de condições inicias de colisão da seção 5.1.1, calcula o tempo de colisão que é igual o tempo disponível para escapar. 3) A manobra de evasão é inciada pela ação do sistema de propulsão. 4) Depois do escape, o satélite aplica uma retropropulsão para retornar ao seu estado inicial de movimento. 5.2.2 Avaliação dos parâmetros tecnológicos Segundo Jesus et al. (2012), a escolha dos parâmetros tecnológicos deve ser feita levando em conta o limite de quantidade de combustível abordo nos veículos espaciais. Os valores dos paramêtros tecnológicos utilizados em seu trabalho são a velocidade de exaustão de gases ve = 2, 5 km/s (veθ = ve), o fator de massa χ = 10 e o fator de potência do motor γ = 10−6s−1 . Dados estes parâmetros tecnológicos, precisamos garantir que possamos tratar a propulsão como uma perturbação e para isso provar que a aceleração total de propulsão é menor que a aceleração da gravidade atuante no satélite. A aceleração total 54 de propulsão é o módulo do vetor ~fp, dado abaixo: ~fp = f ?p î− veθ d dt ln(M(t))ĵ = f ?p î+ veθγe −γt χ+ e−γt ĵ (5.13) Na Figura (5.5), mostramos a razão entre as acelerações de propulsão e a de gravidade que atuam no satélite para diversos fatores de potência do motor em uma manobra de 3000 segundos (50 minutos). O satélite está em uma altitude de 220 km, e tomamos uma massa de combustível inicial mo de 1 kg. Figura 5.5: Razão entre as acelerações de propulsão e gravitacional para o satélite em LEO. As razões foram calculadas para uma manobra de 3000 segundos (50 minutos), com uma massa inicial de combustível �xa de mo = 1 kg, assim como o fator de massa χ = 10, 0 e a velocidade de ejeção de gases ve = 2, 5 km/s. O estudo é realizado através do parâmetro de potência do motor γ com o objetivo de de�nir o seu valor para que a propulsão possa ser tratada como uma perturbação. Observarmos que para estas condições os fatores de γ = 10−1 e γ = 10−2 não podem ser utilizados para tratar a propulsão como uma perturbação. As curvas com fatores de potência do motor de γ = 10−3 a γ = 10−6 1/s representam uma aceleração de propulsão de no mínimo duas ordens de grandeza menor que a ace- leração de gravidade, e possivelmente podem ser escolhidos com o objetivo de tratar a propulsão como uma perturbação. Enquanto, as outras curvas chegam até serem 2,5 vezes mais poderosas que a aceleração da gravidade e não podem ser escolhidos para perturbar o movimento do satélite. A razão desta diferença está no fato de que o fator de potência do motor é ao mesmo tempo uma frequência de ejeção de massa do combustível do sa- télite. Quando este fator de potência é grande, como, por exemplo, para γ = 10−1 1/s, para os primeiros segundos da manobra ejeta-se uma grande quantidade de combustível, 55 o que representa uma força grande de propulsão. Entretanto, a ejeção de uma alta quan- tidade de combustível no inicio do movimento diminui a reserva de combustível para os segundos �nais da manobra e isso faz com que a aceleração de propulsão diminua muito nestes instantes. Observe que, no �nal da manobra para este mesmo fator de potência a aceleração de propulsão é cerca de uma ordem de grandeza menor que a de gravidade. Um outro aspecto importante para avaliar a escolha dos parâmetros tecnológicos, é a convergência da aproximação da integração realizada na equação (4.73). Neste caso, devemos satisfazer a condição | e−γt χ | < 1. Na Figura (5.6), mostramos que esta condição é satisfeita para todos os fatores de potência simulados. Figura 5.6: Análise da convergência da solução do movimento tangencial do satélite. Nesta simulações, durante os 3000 segundos (50 minutos), com uma massa inicial de combustível de mo = 1 kg, fator de massa χ = 10, 0 e a velocidade de ejeção de gases ve = 2, 5 km/s é calculada a razão e−γt χ . Para diferentes valores do fator de potência, a razão é menor que 1. Na equação (4.81), mostramos que a escolha dos parâmetros tecnológicos pode diminuir ou aumentar a velocidade angular do satélite. E com esta possibilidade de variação da velocidade angular do satélite possibilita implementar a manobra de evasão com o detrito espacial. Um estudo do sinal da função η̇p = −veθ R ln(χ+e −γt χ+1 ), é possivel inferir que, desde que γ e o tempo sejam grandezas positivas, desta forma, o que indica se ocorre um decréscimo ou aumento na velocidade angular do satélite é o sentido da velocidade de exaustão de gases. Nas Figuras (5.7) e (5.8), mostramos respectivamente um acréscimo e uma diminuição na velocidade angular do satélite devido ao sinal oposto da velocidade de exaustão de gases. Um outro aspecto é que a aceleração de propulsão radial f?p, aplicada para manter 56 Figura 5.7: Acréscimo na velocidade angular do satélite. Para os parâmetros �xos, mo = 1 kg, o fator de massa χ = 10, 0 e a velocidade de ejeção de gases ve = 2, 5 km/s da tecnologia do propulsor. Durante uma manobra de 3000 segundos, mostramos que podemos ter um acréscimo na velocidade angular do satélite tomando a velocidade de ejeção de gases positiva. Figura 5.8: Decréscimo na velocidade angular do satélite. Para os parâmetros �xos, mo = 1 kg, o fator de massa χ = 10, 0 e a velocidade de ejeção de gases ve = −2, 5 km/s da tecnologia do propulsor. Durante uma manobra de 3000 segundos, mostramos que podemos ter um decréscimo na velocidade angular do satélite tomando a velocidade de ejeção de gases negativa. a distância do satélite a terra �xa, não pode ser tão custosa. Na Figura (5.9), está o comportamento da aceleração de propulsão radial com o tempo de manobra para alguns 57 fatores de potência do motor. Figura 5.9: Aceleração de propulsão radial pelo tempo de manobra. A aceleração de propulsão radial é a aceleração de controle necessária para o satélite está em órbita circular (f?p). Com parâmetros �xos como mo = 1 kg, o fator de massa χ = 10, 0 e a velocidade de ejeção de gases ve = 2, 5 km/s, mostramos que para o controle do satélite, em uma manobra de 3000 segundos, o gasto máximo é de uma aceleração de magnitude de aproximadamente 0,6 m/s2. Para fatores de potência pequenos e intervalos curtos da manobra, não precisamos adicionar muita propulsão radial para manter o satélite em sua órbita circular. Porém, com o passar do tempo da manobra aumenta a necessidade de mais aceleração radial de propulsão. Ao contrário disso, o comportamento das curvas com os fatores de potência mais altos mostra que é necessário mais aceleração radial em tempos de manobra curtos. 58 5.2.3 Parâmetros de performance do Sistema de Propulsão Nesta seção, vamos estudar a performance do sistema de propulsão proposto neste traba- lho. De acordo com a equação (4.4), a aceleração devida ao sistema de propulsão é: ~fp = −~ve d dt ln(M(t)) (5.14) Portanto, d~v dt = −~ve d dt ln(M(t)) (5.15) Integrando a equação (5.15), em um instante to = 0 até um tempo t > to, temos: ∆~v = −~ve ln( M(t) M(0) ) (5.16) Com o modelo de variação de massa do satélite dado pela equação (4.7), podemos calcular: ∆~v = −~ve ln( (χ+ e−γt) (χ+ 1) ) (5.17) A equação acima mostra a depedência entre a massa necessária de propolente para atingir uma velocidade �nal do satélite. Utilizando esta equação, e para os parâmetros tecnológicos ve = 2, 5 km/s e χ = 10 , calculamos a componente tangencial do satélite do vetor ∆~v, para alguns valores particulares do fator de potência, como mostrado na Figura (5.10). O impulso especí�co é a razão entre o módulo do empuxo e o peso de combustível, ou seja: I = |E| Ṁ(t)g (5.18) Em que g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra e E é o empuxo dado por: E = ve dM(t) dt (5.19) Para o sistema de propulsão deste trabalho, o empuxo é: E = −γvemoe −γt (5.20) 59 Figura 5.10: Variação da velocidade ∆v (m/s) devido ao sistema de propulsor. O sistema de propulsão, com um γ = 10−1 1/s, é capaz de oferecer uma variação de velocidade de até 100 m/s. Mas, para um γ = 10−6 1/s, a variação na velocidade do satélite é de até 1 m/s. O impulso especí�co é, portanto: I = |E| Ṁ(t)g (5.21) O impulso especí�co é o tempo para acelerar o satélite, com o uso de um determinado sistema de propulsão, na condição gravitacional da superfície da Terra. Na Figura (5.11), mostramos a relação entre o empuxo e o impulso especí�co, calculados com os parâmetros tecnológicos, tais que, são sugeridos neste trabalho. Na Figura (5.11(b)) está a relação en- tre o empuxo e o impulso especí�co para os tipos de propulsão que são usados atualmente, tais como o químico e o iônico. Podemos notar que o sistema de propulsor, sugerido neste trabalho, se ajusta à performance tecnológica de um sistema de propulsão químico. O propulsor químico fornece um impulso especí�co em torno de 250 segundos, e um empuxo da ordem de 10−5 até 105 N. O sistema de propulsor, deste trabalho, encontra-se nesta região, em torno de 250 segundos de impulso especí�co e de 10−2 até 10−1 N de empuxo. 60 (a) Sistema de propulsão deste trabalho. (b) Sistemas de propulsão da literatura. Fonte: Cunha et al 2009. Figura 5.11: Relação entre o empuxo e o impulso especí�co. A Figura (5.11(a)), está a relação entre estas grandezas para o sistema de propulsão sugerido neste trabalho, na Figura (5.11(b)), esta relação é calculada para diversos tipos de propulsão. Fonte: Cunha et al 2009. 61 5.2.4 A retropropulsão Após o escape do detrito espacial, o satélite está com uma velocidade angular diferente da sua velocidade angular nominal. Para retornar a velocidade angular nominal, da sua órbita inicial, é preciso aplicar uma retropropulsão. Se a manobra de evasão for feita de tal modo que a velocidade de exaustão de propolente seja positiva, o satélite tem um aumento na velocidade angular do satélite. Para diminuir a velocidade angular do satélite é preciso aplicar uma retropropulsão, fazendo a velocidade de exaustão ser negativa. Nas Figuras (5.12) estão representadas, a aceleração de controle (5.12(a)) , a velocidade angular (5.12(b)) e a altitude do satélite (5.12(c)) em função do tempo da manobra, com a ação da propulsão e da retropropulsão. Mostramos que o tempo para a velocidade angular retornar ao seu valor inicial, utilizando a retropropulsão, é o dobro do tempo da manobra de evasão. Ao �nal da ação da retropropulsão, a aceleração de controle é nula e não é mais necessária. Na Figura (5.12(c)), a altitude do satélite é modi�cada, sem o uso do sistema de controle, curvas em azul e rosa. Durante a ação da propulsão, a altitude do satélite varia de aproximadamente 2 km, em relação a altitude incial de 220 km, observe na curva em azul. A ação da retropropulsão modi�ca a altitude inicial do satélite, ainda mais, em 4 km, observe na curva em rosa. O sistema de controle não permite a variação na altitude do satélite, independente da ação dos propulsores, observe nas curvas em vermelho e verde. 5.2.5 Manobras de evasão com uso da propulsão contínua Assim como adotado por Jesus et al. em 2012, vamos utilizar uma propulsão cuja a queima ocorre durante toda a manobra de evasão. Escolhendo uma solução nominal das condições iniciais de colisão, de uma maneira ad hoc, como: 1. A posição angular do detrito espacial é α = 57◦ , β = 68◦ e os objetos estão a 3 km de distância; 2. Os dois objetos estão na região LEO, com altitudes inicias de 220 km e 223 km para o satélite e o detrito, respectivamente; 3. O tempo de colisão é de 2667 segundos (44,45 minutos); Consideramos a distância entre os dois objetos colisionais como sendo aquela que se estende pela linha que liga os seus centros de massa. Tomando o detrito espacial e o satélite como objetos esféricos com raios bem de�nidos, esta linha contém os raios das esferas e a distância entre as bordas das esferas. Neste modelo, o detrito espacial tem raio igual a rD, o veículo espacial tem raio igual rV e a distância entre as bordas das esferas destes objetos é rb. Pela Figura (5.13), estas grandezas estão relacionadas pela equação: 62 (a) Aceleração de controle do satélite (b) Velocidade angular do satélite 216 218 220 222 224 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 A lti tu de ( km ) Tempo (s) χ=10,0, ve=2,5km/s,γ =10−6 1/s controle−propulsao controle−retropropulsao sem controle−propulsao sem controle−retropropulsao (c) Altitude do satélite Figura 5.12: Aceleração de controle do satélite durante a ação do propulsor. Aqui estão representadas a aceleração de controle (5.12(a)), a velocidade angular (5.12(b)) e a altitude do satélite (5.12(c)), em função do tempo da manobra, com a ação da propulsão e da retropropulsão. Observarmos que a altitude do satélite sofre modi�cações na ausência da aceleração de controle, tanto na propulsão ou retropropulsão. O controle permite ao satélite manter a sua altitude constante, conforme as leis das equações (4.55) e (4.57). r = rD + rV + rb (5.22) A colisão de fato acontece quando a distância entre as bordas das esferas é menor que zero, rb < 0,temos: r = rD + rb = D (5.23) Em que D é a dimensão dos dois objetos. A manobra de evasão será avaliada considerando as dimensões dos objetos e analisada no instante de colisão (tc). Desta forma se a distância 63 relativa r(tc) é calculada com a perturbação do sistema de propulsão para não haver a colisão: D ≤ r(tc) (5.24) Figura 5.13: Dimensão dos objetos esféricos. Independente do formato real do detrito e do satélite, modelamos estes objetos como esferas. A distância relativa dos centros de massa contém o raio do veículo e do detrito espacial a colisão deve acontecer quando a soma destes raios é maior do que a distância relativa dos objetos. A seguir, na Figura (5.14), apresentamos uma representação de uma manobra evasiva contínua. Figura 5.14: Representação de uma manobra contínua. Para to < t1 < tc, o satélite tem um decréscimo na sua velocidade angular devido ao uso contínuo de propulsão fp. Na posição e no tempo de colisão tc, o detrito espacial passa primeiro e a distância relativa neste instante é agora diferente de zero r(tc). O grá�co da Figura (5.15), mostra a relação entre as dimensões dos detritos espaciais que o satélite pode escapar com o uso do fator de massa do propulsor. A velocidade de 64 exaustão de gases assume alguns valores particulares no intervalo de 0,1 km/s até 3,5 km/s e o fator de potência é de 10−6 1/s. Com estes parâmetros, podemos escapar de objetos de até 0,7 m de raio. Ao aumentar o fator de potência para 10−3 1/s podemos escapar de objetos de até 600 m de raio. Para o fator de massa igual a 10, já utilizado nas simulações anteriores é possivel escapar de detritos espaciais de até 0,11 m de raio ou de 110 m ao aumentar o fator de potência. É mais e�ciente em termos de colisão com detritos espacias grandes utilizar valores pequenos para o fator de massa e maiores valores para as velocidades de exaustão e fator de potência do propulsor. Entretanto, grandes valores do fator de massa torna a propulsão e�ciente apenas para detritos espacias pequenos independente dos valores de velocidade de exaustão e do fator de potência do propulsor. Isto mostra que o mais importante está