RESSALVA Atendendo solicitação do autor, o texto completo desta tese será disponibilizado somente a partir de 26/04/2019. Ilha SolteiraIlha Solteira UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” FACULDADE DE ENGENHARIA CÂMPUS DE ILHA SOLTEIRA JOSÉ RENATO CAMPOS PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR E INTERVALAR FUZZY Ilha Solteira 2018 JOSÉ RENATO CAMPOS PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR E INTERVALAR FUZZY Tese apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Engenharia Elétrica da Uni- versidade Estadual Paulista - UNESP - Campus de Ilha Solteira, como parte dos requisitos necessários para obtenção do tí- tulo de Doutor em Engenharia Elétrica. Área de Concentração: Automação. Prof. Dr. Edvaldo Assunção Orientador Ilha Solteira 2018 Campos Problemas de controle ótimo intervalar e intervalar fuzzyIlha Solteira2018 107 Sim Tese (doutorado)Engenharia ElétricaAutomaçãoNão . . . FICHA CATALOGRÁFICA Desenvolvido pelo Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação Campos, José Renato. Problemas de controle ótimo intervalar e intervalar fuzzy / José Renato Campos. -- Ilha Solteira: [s.n.], 2018 105 f. : il. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. Área de conhecimento: Automação, 2018 Orientador: Edvaldo Assunção Inclui bibliografia 1. Problemas de controle ótimo intervalar. 2. Problemas de controle ótimo intervalar fuzzy. 3. Aritmética intervalar. 4. Programação dinâmica. 5. Incerteza generalizada. 6. Conjuntos fuzzy. C198p A todos que acreditaram e estiveram comigo durante este trabalho. DEDICO. AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar eu agradeço à Deus por tudo. Agradeço também à Nossa Senhora Apa- recida que sempre esteve ao meu lado. Essa tese de doutorado foi um grande desafio. Desde a graduação almejava a obtenção do título e por uma série de razões desisti de cursar o doutorado tempos atrás. Para minha felicidade, o retorno ao doutorado e todos os muitos e longosanos de estudo para a conclusão foram todos bem aproveitados pois tive a oportunidade de conhecer e conviver com pessoas fantásticas. Era impressionante que todas elas sempre estavam dispostas a apoiar e ajudar. Elas estavam na USP de São Carlos, na FATEC de Jales, no IF de Birigui,na UNESP de São José do Rio Preto e de Ilha Solteira, e também no IF de Votuporanga. Agradeço particularmente à Ulcilea A. S. Leal e ao Gino G. M. Huamán pois sem eles essa tesenão teria acontecido. Essa tese também não seria possível sem a grande ajuda dos professores que sempre me acompanharam e auxiliaram. Todos eles sempre muito dispostos a ajudar e a contribuir nos mo- mentos mais difícies. Agradeço ao professor Edvaldo Assunção por toda confiança, paciência e contribuição. Ao professor Geraldo N. Silva que sempre apoiou, ajudou e acreditou no meu trabalho desde a iniciação científica até o doutorado. Agradeço também ao professor Weldon A. Lodwick por estar sempre disposto a ajudar, e pela participação significativa em minha for- mação no doutorado. Ao professor Marcelo C. M. Teixeira agradeço pelas excelentes dicas e contribuições durante o desenvolvimento de todo o trabalho. Agradeço ao professor Valeriano A. Oliveira pelos questionamentos realizados nos muitos seminários apresentados na UNESP de São José do Rio Preto. Agradeço especialmente à minha família, a minha esposa Lidiane e ao meu filho Lucas por todos os momentos maravilhosos e incentivo, a minha mãe Denir e ao meu irmão José Ricardo que sempre me apoiram e deram suporte desde à graduação. Agradeço também a minha avó Antonia por toda a preocupação dela com os meus estudos. À minha sogra Olivia e ao meu sogro Natalino por também terem contribuído para a realização desse trabalho. Termino agradecendo ao IFSP, à UNESP e à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior. “A incerteza que nos cerca.” José Renato Campos “Acreditar é ter fé naquilo que ninguém prova, é dispensar certeza que geralmente comprova.” Bráulio Bessa RESUMO Neste trabalho estudamos problemas de controle ótimo intervalar e intervalar fuzzy. Em particular, propomos problemas de controle ótimo via teoria de incerteza generalizada e teoria dos conjuntos fuzzy. Dentre os vários tipos de incerteza generalizada utilizamos apenas a inter- valar. Embora as abordagens do processo de solução dos problemas de controle ótimo intervalar e intervalar fuzzy sejam similares, as premissas iniciais para o uso e identificação de aplicação delas em problemas práticos são distintas assim como é distinto o processo de tomada de deci- são. Assim, propomos inicialmente o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto. A primeira proposta de solução para o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto é construída usando a aritmética intervalar restrita de níveis simples juntamente com a técnica de programação dinâmica. As respostas do problema de controle ótimo intervalar contêm as possibilidades de soluções viáveis, e para implementar umasolução viável para o usuário fi- nal usamos a solução que minimiza o arrependimento máximo nos exemplos numéricos. A segunda proposta de solução para o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto é realizada com a aritmética intervalar restrita uma vez queessa aritmética intervalar é mais geral do que a aritmética intervalar restrita de níveis simples pois não considera os intervalos envolvidos nas operações variando de forma dependente. Exemplos numéricos também foram construídos e ilustram o método de solução. Por fim estudamoso problema de controle ótimo intervalar fuzzy em tempo discreto via aritmética fuzzy restrita de níveis simples. Desta forma inicialmente definimos funções intervalares fuzzy para permitir lidar com a dinâmica de uma equação de diferença intervalar fuzzy. Além disso, a programação dinâmica intervalar fuzzy é desenvolvida para obter a solução intervalar fuzzy ótima.Alguns exemplos numéricos ilus- tram a teoria e fornecem ao usuário uma solução prática por meio do método de defuzzificação chamado centro de gravidade. Palavras-chave:Problemas de controle ótimo intervalar. Problemas de controle ótimo inter- valar fuzzy. Aritmética intervalar. Programação dinâmica. Incerteza generalizada. Conjuntos fuzzy. ABSTRACT In this work we study the interval optimal control problem and fuzzy interval optimal control problem. In particular, we propose optimal controlproblems via theory of generalized uncertainty and fuzzy set theory. Among the various types ofgeneralized uncertainty we use only the interval uncertainty. Although the approaches to solve the interval optimal control problem and fuzzy interval optimal control problem are similar, the input data for problems with generalized uncertainty and flexibility are distinct as is distinct the decision-making process. Thus, we initially propose the discrete-time interval optimal control problem. The first solution method to solve the discrete-time interval optimal controlproblem is constructed using single- level constrained interval arithmetic coupled with a dynamic programming technique. The optimal interval solution contains the real-valued optimal solutions, and to implement a feasible solution to the user we use the minimax regret criterion in numerical examples. The second solution method to solve the discrete-time interval optimal control problem is done with the constrained interval arithmetic since this interval arithmetic is more general than the single- level constrained interval arithmetic because it does not have its intervals varying of dependent form in interval operations. Numerical examples have also been constructed and illustrate the method of solution. Finally, we study the discrete-time fuzzy interval optimal control problem via single-level constrained fuzzy arithmetic. Thus, fuzzy interval functions are established and allow us to evaluate the dynamic of the fuzzy interval difference equation. Moreover, the fuzzy interval dynamic programming is developed to obtain the optimal fuzzy interval solution. Some numerical examples illustrate the theory and provides the practical solution to the user using a defuzzification process called center of gravity. Keywords: Interval optimal control problem. Fuzzy interval optimal control problem. Interval arithmetic. Dynamic programming. Generalized uncertainty. Fuzzy Sets. LISTA DE FIGURAS Figura 1 Trajetória intervalarX1 para o Exemplo 5. 27 Figura 2 Trajetória intervalarX2 para o Exemplo 5. 28 Figura 3 Trajetória intervalarX1 para o Exemplo 6. 28 Figura 4 Trajetória intervalarX2 para o Exemplo 6. 29 Figura 5 Estado intervalarX para o Exemplo numérico 2.4.1 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 41 Figura 6 Controle intervalarU para o Exemplo numérico 2.4.1 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 41 Figura 7 Estado intervalarX1 para o Exemplo numérico 2.4.2 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 42 Figura 8 Estado intervalarX2 para o Exemplo numérico 2.4.2 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 43 Figura 9 Controle intervalarU1 para o Exemplo numérico 2.4.2 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 43 Figura 10 Controle intervalarU2 para o Exemplo numérico 2.4.2 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 44 Figura 11 Trajetória intervalarX1 para o Exemplo 15. 53 Figura 12 Trajetória intervalarX2 para o Exemplo 15. 54 Figura 13 Trajetória intervalarX1 para o Exemplo 16. 55 Figura 14 Trajetória intervalarX2 para o Exemplo 16. 55 Figura 15 Trajetória intervalarX1 para o Exemplo 17. 56 Figura 16 Trajetória intervalarX2 para o Exemplo 17. 57 Figura 17 Trajetória intervalarX1 para o Exemplo 17: 130 períodos. 57 Figura 18 Estado intervalarX para o Exemplo numérico 3.4.1. 67 Figura 19 Controle intervalarU para o Exemplo numérico 3.4.1. 67 Figura 20 Estado intervalarX1 para o Exemplo numérico 3.4.2. 68 Figura 21 Estado intervalarX2 para o Exemplo numérico 3.4.2. 69 Figura 22 Controle intervalarU1 para o Exemplo numérico 3.4.2. 69 Figura 23 Controle intervalarU2 para o Exemplo numérico 3.4.2. 70 Figura 24 Estado intervalarX1 para o Exemplo numérico 3.4.3 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 71 Figura 25 Estado intervalarX2 para o Exemplo numérico 3.4.3 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 72 Figura 26 Controle intervalarU para o Exemplo numérico 3.4.3 com a solução que minimiza o arrependimento máximo. 72 Figura 27 Gráfico fuzzy para o Exemplo 18. 77 Figura 28 Trajetória intervalar fuzzyx1 para o Exemplo 23. 82 Figura 29 Trajetória intervalar fuzzyx2 para o Exemplo 23. 82 Figura 30 Trajetória intervalar fuzzyx1 para o Exemplo 24. 83 Figura 31 Trajetória intervalar fuzzyx2 para o Exemplo 24. 83 Figura 32 Funcional intervalar fuzzy ótimo para o Exemplo numérico 4.4.1. 93 Figura 33 Estado intervalar fuzzyx para o Exemplo numérico 4.4.1. 93 Figura 34 Controle intervalar fuzzyu para o Exemplo numérico 4.4.1. 94 Figura 35 Estado intervalar fuzzyx1 para o Exemplo numérico 4.4.2. 95 Figura 36 Estado intervalar fuzzyx2 para o Exemplo numérico 4.4.2. 96 Figura 37 Controle intervalar fuzzyu1 para o Exemplo numérico 4.4.2. 96 Figura 38 Controle intervalar fuzzyu2 para o Exemplo numérico 4.4.2. 97 LISTA DE TABELAS Tabela 1 Valores da variável de estado intervalarX e controle intervalarU via SLCIA. 64 Tabela 2 Valores da variável de estado intervalarX e controle intervalarU via CIA. 66 LISTA DE SIGLAS E ABREVIAÇÕES AI Análise Intervalar CIA Constraint Interval Arithmetic EPCOID Exemplo de Problema de Controle Ótimo Intervalar em Tempo Discreto EPCOID1 Exemplo de Problema de Controle Ótimo Intervalar em Tempo Discreto Associado LMIs Linear Matrix Inequalities PCOID Problema de Controle Ótimo Intervalar em Tempo Discreto PCOID1 Problema de Controle Ótimo Intervalar em Tempo Discreto Associado Usando SLCIA PCOID2 Problema de Controle Ótimo Intervalar em Tempo Discreto Associado Usando CIA PD Programação Dinâmica SIA Standard Interval Arithmetic SLCIA Single Level Constraint Interval Arithmetic LISTA DE SÍMBOLOS Kn C Espaço de conjuntos não-vazios compactos e convexos doR n I(R) Conjunto dos intervalos fechados e limitados da reta real A,B Elementos deI(R) X,U Elementos deI(R)n ⊕,⊖,⊗,⊘ Operações aritméticas intervalares ≤SL Relação de ordem conforme a aritmética intervalar restrita de níveis simples F,G,C Funções intervalares DF Domínio de uma função intervalarF CDF Contradomínio de uma função intervalarF Cad Conjunto dos controles admissíveis emRm Sad Conjunto dos estados admissíveis emR n Uad Conjunto dos controles intervalares admissíveis emI(R)m Xad Conjunto dos estados intervalares admissíveis emI(R)n Λ Intervalos próprios presentes em um problema intervalar e que foram reescritos de acordo com a aritmética intervalar restrita ≤CIA Relação de ordem conforme a aritmética intervalar restrita RF Conjunto de todos os números fuzzy ≤F Relação de ordem conforme a aritmética intervalar fuzzy restrita de níveis simples a,b Elementos deRF x,u Elementos deRn F f ,g,c Funções intervalares fuzzy ⊕̃,⊖̃,⊗̃,⊘̃ Operações aritméticas intervalares fuzzy UF ad Conjunto dos controles intervalares fuzzy admissíveis emR m F XF ad Conjunto dos estados intervalares fuzzy admissíveis emR n F SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 16 2 PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DIS- CRETO 21 2.1 CONCEITOS BÁSICOS 21 2.1.1 Aritmética intervalar 21 2.1.2 Funções intervalares 24 2.1.3 Equações a diferenças intervalares 26 2.1.4 Conjuntos admissíveis 29 2.2 O PROBLEMA DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DIS- CRETO 30 2.3 A PROGRAMAÇÃO DINÂMICA INTERVALAR 33 2.3.1 O princípio de otimalidade intervalar 33 2.3.2 O algoritmo de programação dinâmica intervalar 34 2.4 EXEMPLOS NUMÉRICOS 37 2.4.1 Exemplo numérico 2.4.1 37 2.4.2 Exemplo numérico 2.4.2 41 2.5 COMENTÁRIOS 44 3 PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DIS- CRETO USANDO A ARITMÉTICA INTERVALAR RESTRITA 46 3.1 CONCEITOS BÁSICOS 46 3.1.1 Aritmética intervalar 46 3.1.2 Relação de ordem entre intervalos 47 3.1.3 Conjunto de incertezas 48 3.1.4 Funções intervalares via CIA 49 3.1.4.1 Funções intervalaresF : I(R)n → I(R) 50 3.1.5 Equações a diferenças intervalares via CIA 52 3.1.5.1 Equações a diferenças intervalares lineares 56 3.1.6 Conjuntos admissíveis via CIA 58 3.2 ABORDAGEM DO PROBLEMA DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DISCRETO VIA CIA 58 3.3 ABORDAGEM DA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA INTERVALAR VIA CIA 60 3.3.1 O princípio de otimalidade intervalar via CIA 60 3.3.2 O algoritmo de programação dinâmica intervalar via CIA 61 3.4 EXEMPLOS NUMÉRICOS 63 3.4.1 Exemplo numérico 3.4.1 63 3.4.1.1 O problema intervalar 63 3.4.1.2 Solução via SLCIA 64 3.4.1.3 Solução via CIA 64 3.4.1.4 Solução gráfica e comparações das soluções 67 3.4.2 Exemplo numérico 3.4.2 68 3.4.3 Exemplo numérico 3.4.3 70 3.5 COMENTÁRIOS 73 4 PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR FUZZY EM TEMPO DISCRETO 74 4.1 CONCEITOS BÁSICOS 74 4.1.1 Aritmética fuzzy restrita de níveis simples 74 4.1.2 Relação de ordem entre números fuzzy 77 4.1.3 Funções intervalares fuzzy 77 4.1.4 Equações a diferenças intervalares fuzzy 81 4.1.5 Conjuntos admissíveis fuzzy 84 4.2 O PROBLEMA DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR FUZZY EM TEMPO DISCRETO 84 4.3 A PROGRAMAÇÃO DINÂMICA INTERVALAR FUZZY 88 4.3.1 O princípio de otimalidade intervalar fuzzy 88 4.3.2 O algoritmo de programação dinâmica intervalar fuzzy 89 4.4 EXEMPLOS NUMÉRICOS 91 4.4.1 Exemplo numérico 4.4.1 91 4.4.2 Exemplo numérico 4.4.2 94 4.5 COMENTÁRIOS 97 5 CONCLUSÕES 99 5.1 PERSPECTIVAS FUTURAS 99 5.2 PARTICIPAÇÃO EM TRABALHOS 99 5.2.1 Artigos em periódicos 100 5.2.2 Artigos em congressos 100 5.2.3 Apresentação em congresso 100 5.2.4 Prêmio 100 REFERÊNCIAS 101 APÊNDICE A - IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO DE PROGRAMA- ÇÃO DINÂMICA 106 16 1 INTRODUÇÃO Problemas de otimização tiveram origem no cálculo das variações no final do século XVII com o problema da braquistócrona proposto por John Bernoulli(1667–1748) e a teoria de controle teve início nos anos 30 em estudos de problemas de Engenharia Elétrica e Mecânica (PINCH, 1997; CERDÁ, 2001). Nos anos 50, com os métodos de otimização de Bellman em 1957 (BELLMAN, 1957) e de Pontryagin em 1958 (PONTRYAGIN, 1958; PONTRYAGIN et al., 1962), temos hoje o que é chamado de teoria moderna de controle ou teoria de controle ótimo. As técnicas mais comuns para a solução dos problemas de controle ótimo são a pro- gramação dinâmica e o princípio do máximo de Pontryagin, e asaplicações desta teoria são as mais diversas. Atualmente, para abordar problemas de controle ótimo com incerteza utilizamos a esto- casticidade (BERTSEKAS, 1976; KENNEDY, 1986), a incerteza generalizada representada por intervalos (LEAL, 2015; CAMPOS et al., 2017) ou a teoria deconjuntos fuzzy (FILEV; ANGELOV, 1992; DINIZ; BASSANEZI, 2013; NAJARIYAN; FARAHI, 2013). Já o estudo de problemas de controle com incertezas paramétricas (BOYD et al., 1994) e, em particular, problemas de projeto de controladores para planta intervalar (LORDELO, 2004; LORDELO; FERREIRA, 2005; PRADO, 2006) são diferentes do estudo de problemas de controle ótimo propostos nesse trabalho. Problemas envolvendo estocasticidade supõem conhecidas as funções de distribuição de probabilidade e são exaustivamente estudados na literatura (BELLMAN, 1957; BELLMAN; DREYFUS, 1962; BERTSEKAS, 1976; KENNEDY, 1986; BERTSEKAS, 1995). Os problemas de controle ótimo intervalar foram propostos recentemente (LEAL, 2015; CAMPOS et al., 2016a; CAMPOS et al., 2017; CAMPOS et al., 2018) e consideram a ausência de informação nos parâmetros. Intervalos podem ser usados para representar essa ausência de informação nos modelos matemáticos. Segundo Phillips (1981) intervalos foram utilizados por Arquimedes para representar aproximações do númeroπ, mas foi somente com o trabalho de Moore (1959) que as aritméticas intervalares ganharam destaque. Inicialmente Moore (1959) estudou intervalos como forma de realizar aproximações computacionais uma vez que os com- putadores empregam aritméticas chamadas de ponto flutuante. Em seguida diversos avanços ocorreram e aplicações da aritmética intervalar padrão, doinglêsStandard Interval Arithmetic 17 (SIA), podem ser encontradas em Moore (1979), Rohn (1989), Hansen (1992) e Jaulin et al. (2001). Por outro lado, mesmo com o grande avanço, a aritmética intervalar padrão proposta por Moore (1959) apresenta alguns problemas quando realizamos operações entre intervalos. Um problema imediato é que a aritmética intervalar padrão não possui inverso aditivo e distri- butividade. Outro problema da SIA é a sobrestimação (CHALCO-CANO; LODWICK; BEDE, 2014). Principalmente preocupados em ter uma álgebra de intervalos em que são válidas as propri- edades de inverso aditivo, distributividade e ainda outraspropriedades, alguns autores criaram novas aritméticas intervalares (MARKOV, 1977; KAUCHER, 1980); no entanto, outros proble- mas surgiram. A aritmética intervalar de Markov (1977) apresenta problema quando lidamos com intervalos simétricos. Já a aritmética intervalar proposta por Kaucher (1980) lida com in- tervalos impróprios ou intervalos podem ser interpretadoscomo intervalos com comprimento negativo. A aritmética intervalar proposta por Lodwick (1999) e Lodwick (2007) reescreve um in- tervalo como uma função real e assim, propriedades antes indesejadas em outras aritméticas como o inverso aditivo ou a distributividade, passam a ser válidas. Essa aritmética é conhecida como aritmética intervalar restrita, do inglêsConstraint Interval Arithmetic (CIA); e a CIA é uma aritmética intervalar próxima ao espaço dos números reais quando comparada com outras aritméticas intervalares existentes. Segundo Lodwick (2012), a CIA possui uma rica estrutura algébrica. Recentemente, Chalco-Cano, Lodwick e Bede (2014) propuseram uma nova aritmética intervalar denominada aritmética intervalar restrita de níveis simples, do inglêsSingle Level Constraint Interval Arithmetic (SLCIA). A SLCIA considera sempre o mesmo nível para todos os intervalos envolvidos nas operações, isto é, opera com osintervalos nível a nível. Logo, a SLCIA é uma particularização da CIA; além disso, a SLCIA é utilizada em Costa et al. (2017) e Fard e Ramezanzadeh (2017) e pode ser utilizada também para estudar os problemas prá- ticos apresentados em Assunção et al. (2007) e Buzachero (2010). Portanto, nesse trabalho abordamos inicialmente o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto usando a aritmética intervalar restrita de níveis simples. Para resolver o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto usamos a progra- mação dinâmica. A Programação Dinâmica (PD), introduzida por Bellman, determina a solução ótima de um problema de multi-estágios decompondo-o em estágios, sendo que cada estágio corresponde a um subproblema. A vantagem dessa decomposição é que o processo de otimiza- ção em cada estágio se torna uma tarefa mais simples em termosde cálculo do que lidar com todos os estágios simultaneamente. Além disso, um modelo dePD é uma equação recursiva que liga os diferentes estágios do problema de maneira que garante que a solução ótima viável de cada estágio também é ótima e viável para o problema inteiro (TAHA, 2008). Segundo Taha 18 (2008), a natureza combinatória dos cálculos em programação dinâmica também impossibilita o desenvolvimento de um código geral de computador que possalidar com todos os problemas, e isso talvez justifique a ausência de softwares comerciais.Além disso, o esforço computaci- onal cresce exponencialmente em função do número de iterações e quantidade de variáveis do problema, e então para problemas complexos os cálculos computacionais podem ser excessivos (KENNEDY, 1986). A solução intervalar ótima fornece a amplitude da incertezae assim, para viabilizar uma implementação da solução por um usuário, propomos a soluçãoque minimiza o arrependimento máximo (do inglêsminimax regret solutionou minimum of maximum regret). Logo, encontra- mos o menor do maior arrependimento entre todas as soluções admissíveis ótimas e uma entrada de controle pontual é fornecida para o usuário realizar a tomada de decisão na prática. Algumas aplicações do problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto utilizando a aritmética intervalar restrita de níveis simples podem ser encontradas em Campos et al. (2015), Campos et al. (2016a), Campos et al. (2016b) e Campos et al. (2017). Por outro lado, a aritmé- tica intervalar restrita de níveis simples nem sempre é adequada para a modelagem matemática de diversos problemas reais. Com o objetivo de estender a solução do problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto com uma aritmética intervalar mais geral do que a SLCIA, propomos também um método de solução para o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto utilizando CIA (CAMPOS et al., 2018). Na proposta de solução novamente utilizamos a técnica de programação dinâmica (BERTSEKAS, 1995; TAHA, 2008). Assim, propomos a solução do problema de controle ótimo intervalar via aritmética inter- valar restrita, sendo que essa abordagem via CIA é importantepois não considera o mesmo nível quando realizamos operações intervalares mas, ao mesmo tempo, exige grande esforço computacional. Problemas de controle ótimo fuzzy supõem conhecidas as funções de pertinência e podem ser encontrados em Filev e Angelov (1992), Li et al. (2000), Zhao e Zhu (2010), Farhadinia (2014) e Najariyan e Farahi (2015). Em Filev e Angelov (1992)o problema de controle ótimo fuzzy considera o funcional e a condição de transversalidade incertos, sendo que a solução é realizada utilizando a programação matemática fuzzy (BELLMAN; ZADEH, 1970; ZIMMER- MANN, 1983). Em Li et al. (2000) o problema de controle ótimo fuzzy considera o sistema realimentado e o processo de solução é feito por LMIs (do inglês,Linear Matrix Inequality). Já o problema de controle ótimo fuzzy apresentado em Zhao e Zhu (2010) usa o conceito de credibilidade (LIU; LIU, 2002; LIU, 2004) e obtém condiçõesnecessárias e suficientes para a existência do controle ótimo. O trabalho apresentado em Farhadinia (2014) obtém condições necessárias de otimalidade para o problema de controle ótimo fuzzy usando o princípio do mí- nimo de Pontryagin. Najariyan e Farahi (2015) usam a derivada generalizada de Hukuhara e o princípio do máximo de Pontryagin para resolver o problemade controle ótimo fuzzy com 19 condições de contorno fuzzy e regido por uma equação diferencial fuzzy. Problemas de controle fuzzy também são encontrados na literatura. Teixeira, Assunção e Avellar (2003) consideram o modelo fuzzy de Takagi-Sugeno e obtém condições de estabilidade para sistemas não lineares. De modo mais geral, Driankov, Hellendoorn e Reinfrank (1996)e Passino e Yurkovich (1998) também abordam problemas de controle fuzzy. Nesse trabalho propomos o problema de controle ótimo intervalar fuzzy em tempo discreto cuja solução é realizada com a aritmética fuzzy restrita de níveis simples. Esse estudo é possível pois a aritmética fuzzy restrita de níveis simples é uma aritmética intervalar sobre os seusr- níveis. Segundo Kaufmann e Gupta (1985) e Chalco-Cano, Lodwick e Bede (2014), uma vez que as operações algébricas fuzzy são funções contínuas, o princípio da extensão de Zadeh pode ser aplicado a essas operações para produzir a aritmética intervalar sobre osr-níveis uma vez que osr-níveis de números fuzzy são intervalos. Além disso, a aritmética fuzzy restrita de níveis simples permite calcular funções com todas as variáveis no contexto fuzzy. A programação dinâmica intervalar fuzzy desenvolvida nesse trabalho torna o processo de otimização mais simples e permite obter a solução intervalar fuzzy ótima para o problema de controle ótimo intervalar fuzzy em tempo discreto. O problema de controle ótimo intervalar fuzzy é importante pois considera a incerteza em seus parâmetros e variáveis, o que significa que ele é útil para descrever fenômenos naturais com incerteza e imprecisão intrínseca. A solução do problema decontrole ótimo intervalar fuzzy também fornece ao usuário uma tomada de decisão realística,sendo que essa é obtida de acordo com a escolha do método de defuzzificação. Assim, o problema de controle ótimo intervalar fuzzy fornece uma alternativa para resolver problemas práticos e complexos do mundo real. Este trabalho está organizado da seguinte maneira. No Capítulo 2 inicialmente apresenta- mos os conceitos preliminares para resolver o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto via SLCIA. Assim apresentamos conceitos da aritmética intervalar restrita de níveis simples, assim como de funções intervalares, de equações a diferenças intervalares e de con- juntos admissíveis. Em seguida o problema de controle ótimointervalar em tempo discreto é proposto de forma inédita juntamente com o conceito de solução usando SLCIA. O algoritmo de programação dinâmica intervalar também é proposto e a demonstração via SLCIA é construída. Exemplos numéricos ilustram a teoria. No Capítulo 3 mostramos os conceitos preliminares para resolver o problema de controle ótimo intervalar via CIA. Assim, definimos uma nova relação deordem entre intervalos. O con- ceito de funções intervalares para essa aritmética também éexposto. As definições de equações a diferenças intervalares e de conjuntos admissíveis também são expostos para essa aritmética. O algoritmo de programação dinâmica intervalar também é avaliado e a apresentação de alguns exemplos numéricos ilustram o capítulo. 20 No Capítulo 4 propomos o problema de controle ótimo intervalar fuzzy em tempo discreto. A solução do PCOIFD é feita usando a aritmética fuzzy restritade níveis simples. Assim, construímos o conceito de funções intervalares fuzzy que permite realizar operações com todas as variáveis no contexto fuzzy. Além disso, definimos uma relação de ordem entre números fuzzy assim como definimos equações a diferenças intervalares fuzzy e conjuntos admissíveis fuzzy. A programação dinâmica intervalar fuzzy é proposta efinalizamos o capítulo com alguns exemplos numéricos. No último capítulo apresentamos as conclusões, as perspectivas de trabalhos futuros e as publicações decorrentes desse trabalho. 99 5 CONCLUSÕES Problemas de controle ótimo intervalar e intervalar fuzzy foram propostos sendo que o problema de controle ótimo intervalar em tempo discreto foiresolvido usando a aritmética in- tervalar restrita de níveis simples e a aritmética intervalar restrita. Já o problema de controle ótimo intervalar fuzzy foi resolvido usando a aritmética fuzzy restrita de níveis simples. Para a solução de todos os problemas propostos utilizamos a técnica de programação dinâmica, e todos os resultados necessários foram construídos para as situações apresentadas. Nos exemplos nu- méricos a aplicação dos resultados por um usuário final foi realizada com o método denominado mínimo arrependimento para o problema de controle ótimo intervalar e utilizamos o processo de defuzzificação chamado centro de gravidade para o problema de controle ótimo intervalar fuzzy. Mesmo considerando a grande dificuldade computacional que os problemas estudados exigem, os resultados apresentados nesse trabalho mostram viabilidade prática. Portanto, mostramos através de teorias, exemplos e aplicações uma nova forma de estudar problemas de controle ótimo com incerteza. Além disso, cabe destacar que embora astécnicas para resolver os pro- blemas de controle ótimo intervalar e intervalar fuzzy sejam relativamente próximas (fazemos uso da Análise Intervalar em ambas), a utilização ou implementação prática do problema de controle ótimo intervalar e do problema de controle ótimo intervalar fuzzy são distintas. No contexto de otimização esses problemas se referem à otimização com incerteza generalizada e à teoria de otimização flexível. 5.1 PERSPECTIVAS FUTURAS Para trabalhos futuros pretendemos estudar os problemas decontrole ótimo com incerteza usando a aritmética fuzzy restrita e também analisar a estabilidade de sistemas intervalares fuzzy e a estabilidade de sistemas de controle intervalares. 5.2 PARTICIPAÇÃO EM TRABALHOS A seguir apresentamos uma relação dos trabalhos desenvolvidos pelo autor e colaboradores. 100 5.2.1 Artigos em periódicos • Discrete-time interval optimal control problem.International Journal of Control, 2017, 7 Páginas. J. R. Campos, E. Assunção, G. N. Silva, W. A. Lodwick eM. C. M. Teixeira. • Biological control of sugarcane caterpillar (Diatraea saccharalis) using interval mathe- matical models.International Journal on Mathematical Methods and Models in Biosci- ences, 2016, 11 Páginas. J. R. Campos, E. Assunção, G. N. Silva e W. A. Lodwick. • A programação dinâmica na solução de problemas de controle ótimo com incerteza intervalar.Biomatemática, 2016, 13 Páginas. J. R. Campos, E. Assunção, G. N. Silva e W. A. Lodwick. 5.2.2 Artigos em congressos • Constrained interval arithmetic to solve the discrete-timeinterval optimal control pro- blem. V Congresso Brasileiro de Sistemas Fuzzy.CBSF, Fortaleza - CE, 2018. J. R. Campos, E. Assunção, G. N. Silva, W. A. Lodwick, M. C. M. Teixeira e U. A. S. Leal. • Problemas de controle ótimo com incerteza intervalar: uma aplicação em Agricultura. IX Congresso Latino Americano de Biomatemática.SOLABIMA, Botucatu - SP, 2015. J. R. Campos, E. Assunção, G. N. Silva e W. A. Lodwick. 5.2.3 Apresentação em congresso • Solution of interval optimal control problem in discrete time using the constrained inter- val arithmetic.Conferência Brasileira de Dinâmica, Controle e Aplicações.DINCON, São José do Rio Preto - SP, 2017. J. R. Campos, E. Assunção, G. N. Silva, W. A. Lodwick, M. C. M. Teixeira e U. A. S. Leal. 5.2.4 Prêmio • Prêmio Melhor Trabalho Estudante (2o. Colocado) no V Congresso Brasileiro de Sis- temas Fuzzy (CBSF 2018) / 37th North American Fuzzy Information Processing Society Annual Conference (NAFIPS 2018). 101 REFERÊNCIAS ASSUNÇÃO, E.; TEIXEIRA, M. C. M.; FARIA, F. A.; SILVA, N. A. P. D.; CARDIM, R. Robust state-derivative feedback lmi-based designs for multivariable linear systems. International Journal of Control , Oxfordshire, v. 80, n. 8, p. 1260–1270, 2007. BARROS, L. C.Sobre sistemas dinâmicos fuzzy:teoria e aplicações. 1997. 103 f. 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Biologicalcontrol of sugarcane caterpillar (diatraea saccharalis) using interval mathematical models.International Journal on Mathematical Methods and Models in Biosciences, Sofia, v. 5, n. 1, p. 1–11, 2016. CAMPOS, J. R.; ASSUNÇÃO, E.; SILVA, G. N.; LODWICK, W. A. A programação dinâmica na solução de problemas de controle ótimo com incerteza intervalar.Biomatemática, Campinas, v. 26, n. 1, p. 13–24, 2016. CAMPOS, J. R.; ASSUNÇÃO, E.; SILVA, G. N.; LODWICK, W. A.; TEIXEIRA,M. C. M. Discrete-time interval optimal control problem.International Journal of Control , Oxfordshire, v. 1, n. 1, p. 1–7, 2017. CAMPOS, J. R.; ASSUNÇÃO, E.; SILVA, G. N.; LODWICK, W. A.; TEIXEIRA, M. C. M.; LEAL, U. A. S. Constrained interval arithmetic to solve the discrete-time interval optimal control problem. In: CONGRESSO BRASILEIRO DE SISTEMAS FUZZY, 5., 2018, Fortaleza.Anais... Fortaleza: SBMAC, 2018. p. 1–12. Disponível em: . Acesso em: 7 nov. 2018. CERDÁ, E.Optimización dinámica. 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INTRODUÇÃO PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DISCRETO CONCEITOS BÁSICOS Aritmética intervalar Funções intervalares Equações a diferenças intervalares Conjuntos admissíveis O PROBLEMA DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DISCRETO A PROGRAMAÇÃO DINÂMICA INTERVALAR O princípio de otimalidade intervalar O algoritmo de programação dinâmica intervalar EXEMPLOS NUMÉRICOS Exemplo numérico 2.4.1 Exemplo numérico 2.4.2 COMENTÁRIOS PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DISCRETO USANDO A ARITMÉTICA INTERVALAR RESTRITA CONCEITOS BÁSICOS Aritmética intervalar Relação de ordem entre intervalos Conjunto de incertezas Funções intervalares via CIA Funções intervalares F: I(R)n I(R) Equações a diferenças intervalares via CIA Equações a diferenças intervalares lineares Conjuntos admissíveis via CIA ABORDAGEM DO PROBLEMA DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR EM TEMPO DISCRETO VIA CIA ABORDAGEM DA PROGRAMAÇÃO DINÂMICA INTERVALAR VIA CIA O princípio de otimalidade intervalar via CIA O algoritmo de programação dinâmica intervalar via CIA EXEMPLOS NUMÉRICOS Exemplo numérico 3.4.1 O problema intervalar Solução via SLCIA Solução via CIA Solução gráfica e comparações das soluções Exemplo numérico 3.4.2 Exemplo numérico 3.4.3 COMENTÁRIOS PROBLEMAS DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR FUZZY EM TEMPO DISCRETO CONCEITOS BÁSICOS Aritmética fuzzy restrita de níveis simples Relação de ordem entre números fuzzy Funções intervalares fuzzy Equações a diferenças intervalares fuzzy Conjuntos admissíveis fuzzy O PROBLEMA DE CONTROLE ÓTIMO INTERVALAR FUZZY EM TEMPO DISCRETO A PROGRAMAÇÃO DINÂMICA INTERVALAR FUZZY O princípio de otimalidade intervalar fuzzy O algoritmo de programação dinâmica intervalar fuzzy EXEMPLOS NUMÉRICOS Exemplo numérico 4.4.1 Exemplo numérico 4.4.2 COMENTÁRIOS CONCLUSÕES PERSPECTIVAS FUTURAS PARTICIPAÇÃO EM TRABALHOS Artigos em periódicos Artigos em congressos Apresentação em congresso Prêmio REFERÊNCIAS APÊNDICE A - IMPLEMENTAÇÃO DO ALGORITMO DE PROGRAMAÇÃO DINÂMICA