Tereza C. Ramponi 

 

Dualidade Holográfica: contribuições da 

teoria Ads/CFT na descrição de 

supercondutores usuais 

 

 

 

Rio Claro - SP  

2018 



Universidade Estadual Paulista

�Júlio de Mesquita Filho�

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

Tereza C. Ramponi

Dualidade Holográ�ca: contribuições da teoria
Ads/CFT na descrição de supercondutores usuais

Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-

grama de Pós-Graduação em Física do Ins-

tituto de Geociências e Ciências Exatas da

Universidade Estadual Paulista �Júlio de

Mesquita Filho�, câmpus Rio Claro, como

parte dos requisitos para obtenção do título

de Mestre em Física.

Orientador: Prof. Dr. Luiz Antonio Barreiro

Rio Claro - SP

2018



R177d
Ramponi, Tereza C.
    Dualidade Holográfica: contribuições da teoria
Ads/CFT na descrição de supercondutores usuais / Tereza
C. Ramponi. -- Rio Claro, 2018
    55 p. : il.

    Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista
(Unesp), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio
Claro
    Orientador: Luiz Antônio Barreiro

    1. Ads/CFT. 2. Dualidade holográfica. 3.
Supercondutores. 4. Matéria condensada. I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo

autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.



Tereza C. Ramponi

Dualidade Holográ�ca: contribuições da teoria
Ads/CFT na descrição de supercondutores usuais

Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-

grama de Pós-Graduação em Física do Ins-

tituto de Geociências e Ciências Exatas da

Universidade Estadual Paulista �Júlio de

Mesquita Filho�, câmpus Rio Claro, como

parte dos requisitos para obtenção do título

de Mestre em Física.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Luiz Antonio Barreiro (DF - UNESP - RC)

Prof. Dr. Alexandre Mesquita (DF - UNESP - RC)

Prof. Dr. Denis Eduardo Peixoto (PECIM-UNICAMP)

Conceito: Aprovada

Rio Claro - SP, 28 de setembro de 2018.





Dedico este trabalho aos meus pais: Rosana Aparecida Sobrinho e Pascoal Ramponi

Junior.



Agradecimentos

Agradeço primeiramente a Deus pela realização e conclusão deste trabalho, que por vá-

rios momentos parecia impossível. Em seguida a meu orientador: Prof. Dr. Luiz Antonio

Barreiro pela paciência, inspiração, dedicação, respeito e compreensão; a todos os pro-

fessores do Departamento da Física pelas lições valiosas; a minha família pelo amor e

suporte, principalmente meus pais , tia Rita e tio �Salim� que foram anjos na minha vida

e de meus irmãos; tia e madrinha Maristela Ramponi pelo apoio incondicional. A todos

aqueles amigos pelas horas de descontração , em especial Ana Laura Cursio, André Ra-

malho, Laryssa Kimi, Francisco Bauquer, Bárbara Carneiro,Viviane Fernandes, Adriano

A. Feitosa, Paulo Vinicius S. dos Santos, entre outros colegas que estudamos juntos. A

todos aqueles que tornaram este trabalho possível, minha eterna gratidão! O presente

trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.



Resumo

O objetivo desse trabalho concentra-se em estudar uma nova metodologia para resolução

de problemas em matéria condensada, nos quais as partículas estão fortemente acopladas,

não permitindo um tratamento perturbativo padrão. Esse método, originário da dualidade

AdS/CFT (Anti-de Sitter/Conformal Field Theory), está sendo conhecido na comunidade

de matéria condensada como Dualidade Holográ�ca. Como aplicação desta teoria, o

comportamento de supercondutores foi escolhido. A metodologia da dualidade holográ�ca

utiliza uma teoria de campos em um espaço-tempo curvo. Partindo da ação associada é

possível obter as equações de movimento das partículas envolvidas. A seguir foi empregado

o uso do software Mathematica-Wolfram, para a resolução das Equações Diferenciais

através do Método de Frobenius. Os resultados obtidos expressam que os valores esperados

de operadores, as chamadas funções de correlação, são bem similares à curva de intervalo

de energia previsto pela teoria BCS em função da temperatura. Também infere-se a partir

da fórmula de Kubo, que os resultados numéricos da condutividade elétrica, claramente

indicam uma condutividade in�nita abaixo de uma determinada temperatura crítica Tc,

resultando em um supercondutor.

Palavras-chave

AdS/CFT , Dualidade Holográ�ca, Supercondutores





Abstract

The objective of this work is to study a new methodology for solving problems in conden-

sed matter, in which the particles are strongly coupled, not allowing a standard perturba-

tive treatment. This method, originating from the AdS / CFT (Anti-Sitter / Conformal

Field Theory) duality, is being known in the condensed matter community as Holographic

Duality. As an application of this theory, the behavior of superconductors was chosen.

The holographic duality methodology uses a �eld theory in a curved space-time. From the

associated action it is possible to obtain the equations of motion of the particles involved.

Next, the use of the Mathematica-Wolfram software was used to solve the Di�erential

Equations by the Frobenius Method. The obtained results express that the expected va-

lues of operators, so-called correlation functions, are very similar to the energy interval

curve predicted by the BCS theory as a function of temperature. It is also inferred from

the Kubo formula that the numerical results of electrical conductivity clearly indicate an

in�nite conductivity below a given critical temperature Tc, resulting in a superconductor.

Key-words

AdS/CFT , Holographic Duality, Superconductors





ix

Lista de Figuras

2.1 Transformação conforme em duas dimensões. . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4.1 Resultados numéricos do valor esperado para: a) o operador 〈O1〉 e b)

o operador 〈O2〉 . Tc é chamado de temperatura crítica e ao passar por

essa temperatura, o sistema sofre uma transição de fase, de modo que os

condensados assumem valores diferentes de zero abaixo dessa temperatura. 31

4.2 Resultados para: a) a parte real da condutividade e b) a parte imaginária

da condutividade. Resultados obtidos para as condições de contorno que

satisfazer a relação (4.18). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

A.1 Um campo φ traçando uma região quadrimensional R em um espaço pen-

tadimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38





xi

Sumário

1 Introdução 1

2 Geometria do Espaço AdS e Simetria Conforme 7

2.1 Transformação Conforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Espaço Anti-de Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3 Graus de Liberdade no Espaço AdS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Dualidade AdS/CFT para o Campo Escalar Neutro 13

3.1 Equação de Movimento do Campo Escalar no espaço AdSd+1 . . . . . . . . 13

3.2 Soluções nas Fronteiras do espaço AdSd+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1 Comportamento para z′s pequenos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2 Comportamento para z′s elevados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Funções de Correlação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.4 Função de um ponto para o campo escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.5 Teoria da Resposta Linear e a Função de Correlação de dois pontos . . . . 22

3.6 Coe�cientes de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Campo Escalar Carregado em Temperatura não nula 25

4.1 Temperatura e Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Equações de Movimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Resolução das Equações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Supercondutividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Conclusões e Discussões 35

A Princípio de Mínima Ação para Campos 37

B Obtenção das equações de movimento 41

C Planilha Mathematica-Wolfram para Resolução de Equações Diferenci-

ais pelo Método de Frobenius 45

D O funcional gerador 49



xii Sumário



1

Capítulo 1

Introdução

Física da matéria condensada é o campo da física que trata das propriedades físicas da

matéria. Em particular, é a que se ocupa com a fase"condensada" que aparece sempre

que o número de constituintes de um sistema (átomos, elétrons, etc.) é extremamente

grande e as interações entre os constituintes são fortes. A física da matéria condensada

é uma área da física cujo objeto de investigação engloba o da física do estado sólido e

inclui sólidos amorfos e líquidos[1]. Muitos problemas em física da matéria condensada

atuais escapam ao tratamento ordinário que utiliza basicamente a consagrada teoria de

perturbações em mecânica quântica.

Uma moderna metodologia para entender esses sistemas não perturbativo tem carac-

terísticas tais que acabou �cando conhecida como dualidade holográ�ca. A hologra�a é

um conceito muito fascinante, já explorado na antiga Grécia pelo �lósofo pré-socrático

Anaxágoras (500-428 A.C.)[2], cujas idéias sugerem que cada uma e toda substância do

universo pode ser dividida in�nitamente em partes cada vez menores, no entanto, por

menor que seja essa parte, haverá fragmentos presentes contendo informações a respeito

de todas as outras partes do universo. Essa noção de tudo em tudo é muito bem ilustrada

pela hologra�a [3]. Mais do que isso, qualquer parte de um holograma contém toda a

informação contida em todo o holograma. De fato, mesmo com uma pequena parte de

um holograma consegue se reproduzir a imagem tridimensional armazenada.

Atualmente, esse conceito pode ser estendido considerando que todas as propriedades

matemáticas presentes em um sistema contido em um volume de dimensão arbitrária d,

podem ser descritas em termos dos graus de liberdade da superfície ou fronteira desse

volume, a qual tem uma dimensão d-1. Um novo campo para uma moderna aplicação do

conceito holográ�co se encontra em fenômenos coletivos na matéria condensada.

De fato, existem sistemas importantes para os quais as interações entre as partículas

não são fracas, e essas interações desempenham um papel importante na determinação das

propriedades coletivas de tais sistemas. Alguns exemplos desses sistemas são apresentados

a seguir:

1. Supercondutores convencionais. A interação de Coulomb entre elétrons e íons



2 1. Introdução

nesses materiais, resulta em um novo estado fundamental, que pode suportar um �uxo de

corrente elétrica sem dissipação. De fato, esse novo estado fundamental é representado

por um par de elétrons acoplados se comportando como um bóson, o qual viaja pelo

material sem sofrer dissipação de energia.

2. Supercondutores de alta temperatura. Nesse caso, a temperatura de transição é

surpreendentemente alta. A origem da supercondutividade nesse caso ainda não está

clara, mas provavelmente deve ter origem em algum mecanismo de interação Coulombi-

ana entre os elétrons, ao invés das interações elétron-íon, que são importantes para os

supercondutores convencionais.

3. Sistemas magnéticos. A interação de Coulomb entre os elétrons pode levar a uma

variedade de padrões de ordenação de spin, incluindo ferromagnetismo (spins de todas

as partículas são alinhados), antiferromagnetismo (spins das partículas vizinhas são anti-

alinhados).

4. Sistemas Hall Quânticos. Na presença de um campo magnético perpendicular

forte, elétrons con�nados em uma ou várias camadas bidimensionais, formam um novo

estado líquido quântico, que pode ter propriedades incomuns, como excitações fracamente

carregadas, que dessa forma representam um novo grau de liberdade para o sistema.

Muitos outros exemplos aparecem no estudo de novos materiais em matéria conden-

sada. Dessa forma, têm-se observado que é muito comum que quando um sistema de

partículas é fortemente acoplado, esse sistema se reorganiza de modo que um novo grau

de liberdade, fracamente acoplado, emerge dinamicamente, de modo que o novo estado

possa ser descrito somente em termos dos campos emergentes.

Nessa dissertação nos concentraremos no fenômeno da supercondutividade que é um

fenômeno físico que foi descoberto em 1911 pelo físico holandês Kamerlingh Onnes, o

qual recebeu o prêmio Nobel dois anos mais tarde em virtude de seus trabalhos com bai-

xas temperaturas. Ele veri�cou que certos tipos de substâncias quando em temperaturas

muito baixas, muito próximas do zero absoluto, apresentavam resistência elétrica quase

nula, ou seja, os elétrons livres que fazem a condução da corrente elétrica podiam transi-

tar livremente na rede cristalina. Esse fenômeno, observado por Onnes, �cou conhecido

como supercondutividade e o material que se encontra nesse estado é denominado de

supercondutor.[4]

A Teoria BCS foi proposta por John Bardeen, Leon Cooper, e John Robert Schrie�er

e explica o fenômeno da supercondutividade. Ela a�rma principalmente que os elétrons

em um material quando no estado supercondutor se agrupam em pares chamados pares de

Cooper. Os pares de Cooper são elétrons condensados em estados de menor energia. Esta

formação de pares de Cooper depende da microestrutura do material, da forma da rede

cristalina, já que este par de elétrons se move de forma acoplada com a rede, formando

um campo emergente.[5]

A grande e surpreendente novidade é que o campo emergente pode ser estudado em um

espaço com uma dimensão extra, sendo que esse espaço apresenta características de uma



1. Introdução 3

teoria gravitacional einsteniana. Em outras palavras, existe uma correspondência entre

um sistema de muitos corpos fortemente correlacionados e a dinâmica clássica de uma

teoria de gravitação de Einstein com uma dimensão extra. Essa correspondência �cou

conhecida como dualidade holográ�ca. Esse moderno conceito de dualidade holográ�ca,

que será o principal objeto de estudos dessa pesquisa, tem sua origem na conjectura de

Maldacena [6].

Maldacena descobriu uma correspondência entre uma Teoria Quântica de Campos

(QFT - Quantum Field Theory), invariante sob transformações que preservam ângulos,

conhecida como Teoria de Campo Conforme (Conformal Field Theory - CFT) e um es-

paço constituí�do de uma variedade Lorentziana, simplesmente conexa e maximamente

simétrico com curvatura negativa, o qual é conhecido como espaço Anti-de Sitter (AdS).

Essas idéias serão descritas claramente mais à frente.

A conjectura de Maldacena nada mais é do que uma dualidade entre CFT e AdS. Nesse

sentido, a dualidade AdS/CFT é uma realização moderna da hologra�a que relaciona uma

teoria com gravidade em d dimensões e uma teoria quântica de campo em d = 1 dimensões.

Na verdade, da forma como Maldacena conjecturou a dualidade AdS/CFT, é necessário

que o espaço AdS seja governado por uma teoria que envolva não somente aspectos de

relatividade geral, mas também aspectos quânticos. Essa teoria é conhecida como Teoria

das Cordas. De fato, o interior (ou o corpo) do espaço AdS é governado pela teoria de

cordas com supergravidade, enquanto que em sua superfície (ou fronteira) está localizada

a CFT. A dualidade holográ�ca ou dualidade AdS/CFT tem aberto novas portas para

se estudar fenômenos de muitos corpos fortemente acoplados, que quando comparada aos

métodos tradicionais apresenta novas características marcantes, das quais podemos citar:

1. Questões a respeito de fenômenos complicados de muitos corpos podem ser ma-

peados em um sistema de um ou poucos corpos vivendo em um campo gravitacional de

Einstein;

2. Colocar o problema em temperatura e densidade �nitas no sistema de muitos

corpos a ser estudado, o qual se localiza em um espaço de d dimensões (uma fronteira),

corresponde a colocar uma deformação na geometria do espaço de d + 1 dimensões (volume

interno `a fronteira);

3. Para pequenas curvaturas e baixas energias, a geometria pode ser estudada pela

gravitação clássica de Einstein com campos de matéria, que através da dualidade se liga

a sistemas N corpos fortemente acoplados. Com isso se pode extrair propriedades físicas

universais do sistema de N corpos. Essas são algumas das características básicas do

método.

A Teoria de Campos Conforme ganhou grande destaque nos últimos anos devido a

quantidade de aplicações nas mais diversas áreas da física. A física da matéria condensada

é uma das áreas em que as CFTs tem demonstrado sua capacidade de tratar uma ampla

gama de problemas. De forma geral, pode-se dizer que as CFTs são teorias de campos

(clássicas ou quânticas) que descrevem sistemas que possuem simetria conforme, ou seja,



4 1. Introdução

são invariantes por uma transformação conforme. É um fato bem conhecido [7] que

sistemas bidimensionais exibindo invariância de escala em pontos próximos às transições

de fase possuem simetria conforme. As quantidades físicas relevantes são dadas pelo que

podemos chamar de campos de escala. Exemplos de campos de escala são a densidade de

spin e a densidade de energia no modelo de Ising bidimensional.

O campo da ciência que aplica a correspondencia AdS/CFT em física da matéria

condensada é chamado de AdS/CMP (condensed matter phisycs). Assim, como dito

anteriormente, algo que podemos esperar deste modelo são os supercondutores, e mais

precisamente aqueles de alta temperatura crítica (Tc). A principal razão é que desde

a sua descoberta em 1986, supercondutores de alta Tc tem resistido a descrição teórica

microscópica. A teoria BCS (Bardeen, Cooper, Schrie�er)[5] que descreve os supercondu-

tores �usuais� parece ser inadequada para descrever esses sistemas e a esperança é de que a

AdS/CMP irá de alguma forma prover uma nova aproximação teórica neste problema. Há

indicadores que esse é o caso, mas a acurância da correspondência AdS/CFT no presente

momento torna isso ainda difícil.

Algumas das possíveis aplicações da correspondência holográ�ca ainda estão em anda-

mento. De acordo com Horowitz e Polchinski [8] considera-se difícil acreditar a natureza

não fazer uso dessa correspondência, mas a maneira exata em que ela o faz permanece

sem ser descoberta. Além dos supercondutores holográ�cos, a abordagem holográ�ca

tem sido usada para entender alguns outros aspectos da física da matéria condensada,

incluindo líquidos não-de-Fermi [9, 10], efeito Hall quântico [11, 12], metais estranhos

[13, 14], isolantes topológicos [15, 16, 17], modelo de Hubbard [18] e assim por diante.

Uma aplicação importante usando a dualidade holográ�ca é descrever a cromodinâmica

quântica (QCD), especialmente o plasma de quarks e glúons produzido em aceleradores de

partículas. É referida como AdS/QCD ou QCD holográ�ca, que tem sido amplamente es-

tudada [19, 20, 21, 22, 23]. Outro assunto emergente é a correspondência �uido/gravidade,

que traduz problemas em dinâmica de �uidos em problemas na relatividade geral [24, 25].

Esse número enorme de aplicações dentre outras explica por que alguns pesquisadores

consideram o buraco-negro para a física do século XXI o que foi o oscilador harmônico

para a física do século XX.

O objetivo geral dessa dissertação é estudar a dualidade holográ�ca como um novo

método para resolução de problemas em matéria condensada, nos quais as partículas estão

fortemente acopladas. Dentre os objetivos especí�cos estão:

� Apresentar a Teoria do Campo Conforme e a Geometria Anti-de Sitter;

� Analisar a aplicação da dualidade holográ�ca para Campo Escalar neutro e carre-

gado;

� Aplicar todos os conceitos numa teoria para a supercondutividade;

� Obter resultados, através do uso do software Wolfram-Mathematica, similares à

teoria BCS (supercondutores).

Assim, nessa dissertação procura-se explorar quais os limites e contribuições da teoria



1. Introdução 5

AdS/CMP na descrição de supercondutores �usuais�, e como a teoria AdS/CMP pode ser-

vir de apoio teórico/metodológico para uma melhor descrição de supercondutores �usuais�,

descritos pela teoria BCS.

No capítulo 2 estão descritos com maiores detalhes a geometria do espaço AdS e a

invariância conforme, que caracterizam a dualidade holográ�ca.

No capítulo 3 é apresentado o método básico da dualidade AdS/CFT, descrita para

um campo escalar neutro que representa uma partícula bosônica1. Será demonstrado o

método de renormalização holográ�ca, necessário para eliminação dos termos divergentes.

Finalmente serão obtidas as funções de correlação de um e dois pontos, essenciais para se

obter quantidades físicas de um sistema, como as condutividades térmica e elétrica.

No capítulo 4, utilizando-se de toda a teoria apresentada nos capítulos anteriores, é

obtida uma relação de dependência entre a métrica de Schwarzschild-AdS (buraco negro)

e a temperatura da região do espaço-tempo. Então a dualidade AdS/CFT será estendida

para o campo escalar carregado. As equações de movimento obtidas são então resolvidas

através do software Wolfram-Mathematica, de modo que as funções de correlação possam

ser obtidas. Dessa forma, será determinado o �uxo do campo escalar carregado o qual re-

presenta o comportamento de uma corrente elétrica perante uma diferença de potencial.

Pode-se então determinar a condutividade do sistema em função da temperatura. Fe-

chando o capítulo 4, será discutido o problema prático da supercondutividade, revisando

os principais resultados do modelo tradicional (teoria BCS - Bardeen-Cooper-Schrie�er)

e comparando com resultados produzidos pela dualidade holográ�ca.

No capítulo 5 são apresentadas as conclusões gerais e discussões acerca dos resulta-

dos obtidos neste trabalho. Para �naliza a dissertação são apresentadas as referências

utilizadas nesse trabalho.

1Na natureza, as partículas se classi�cam em dois tipos: bósons e férmions. Os férmions obedecem o
princípio exclusão de Pauli, enquanto que os bósons não. Os pares de Cooper que aparecem na supercon-
dutividade, são construídos com dois férmions acoplados (dois elétrons) formando um bóson. Por isso,
essa dissertação será focada no estudo de campos escalares.



6 1. Introdução



7

Capítulo 2

Geometria do Espaço AdS e Simetria

Conforme

2.1 Transformação Conforme

Para entendermos a transformação conforme, consideremos primeiramente um espaço

plano em d dimensões e transformações nesse espaço que, localmente, conserve ângulos

entre duas linhas quaisquer, como mostrado na Figura 2.1. Na �gura abaixo, ocorre o

mapeamento de uma função complexa com coordenadas x e y, plotadas no plano z, para

uma função com coordenadas planares u e v, presentes no plano w. A transformação

conforme é feita com o objetivo de facilitar o cálculo de determinado processo.

Figure 2.1: Transformação conforme em duas dimensões.

De um ponto de vista formal, uma transformação geral de coordenadas, xµ → x′µ, que
representa um mapeamento φ entre dois espaços, tal que x′ = f(x), é dita conforme se o

mapeamento leva ao seguinte efeito na métrica :



8 2. Geometria do Espaço AdS e Simetria Conforme

g′ρσ(x´)
∂x′ρ

∂xµ
∂x′σ

∂xν
= Ω(x)gµν(x). (2.1)

onde g′ρσ(x') e gµν(x) são os tensores métricos de cada plano de coordenadas, Ω(x) é o fator

de escala e levamos em conta o critério de Einstein de soma em índices repetidos para

tensores. Considere agora uma TQC (Teoria Quântica de Campos) que descreve algum

problema físico em um espaço-tempo de d-dimensões (t, ~x), com ~x = (x1, x2, . . . , xd−1).

Considere que esse problema está imerso em um espaço com d + 1 dimensões (t, ~x, z).

Nesse caso, se o problema apresentar invariância conforme, podemos escrever a distância

entre pontos como

ds2 = Ω(z)gµνdx
µdxν

= Ω(z)
(
−dt2 + d~x2 + dz2

)
onde Ω(z) é uma função a ser determinada para satisfazer a invariância conforme.

Como comentado no capítulo anterior, muitos problemas em matéria condensada apre-

sentam invariância de escala, que é um tipo particular de invariância conforme. Nesse caso,

o termo ds2 deve ser invariante pela seguinte transformação:

(t, ~x, z) −→ λ (t, ~x, z)

onde λ é um fator de invariância conforme.

Portanto, para que ds2 seja invariante, a função Ω(z) deve se transformar como

Ω(z) −→ λ−1Ω(z).

Consequentemente, uma forma apropriada é

Ω(z) =
L2

z2
,

onde L é uma constante especí�ca da curvatura do espaço. Com isso, pode-se escrever

ds2 =
L2

z2

(
−dt2 + d~x2 + dz2

)
, (2.2)

que é um elemento de linha de um espaço AdS em (d+ 1)-dimensões.Note que a TQC de

interesse �ca na fronteira do espaço AdS com z = 0. Entretanto, a métrica é divergente

em z = 0, de modo que deve-se tratar com cuidado as soluções nessa fronteira. A partir



2.2. Espaço Anti-de Sitter 9

dessa métrica, o tensor métrico �ca escrito como

gµν =



−L2/z2 0 0 · · · 0

0 L2/z2 0 · · · 0

0 0 L2/z2 · · · 0
...

...
...

. . .
...

0 0 0 · · · L2/z2


(2.3)

2.2 Espaço Anti-de Sitter

Pode-se mostrar que a métrica (2.2) é solução da equação de movimento obtida por meio

da seguinte ação gravitacional

S =
1

16πGN

∫
dd+1x

√
−g
[
−2Λ+

∑
ciR

i
]
.

Nessa expressão GN é a constante de gravitação de Newton, Λ é a constante cosmoló-

gica, g = det[gµν ], ci′s são constantes a serem determinadas e R é o escalar de curvatura

do espaço-tempo, que pode ser obtido por

R = gµνRµν ,

sendo Rµν conhecido como tensor de Ricci.

Escolhendo c1 = 1 e c2 = c3 = · · · = 0 temos a ação de Einstein-Hilbert. Aplicando

o princípio variacional e tomando a métrica como variável dinâmica, obtem-se a seguinte

equação de movimento

Rµν −
1

2
gµνR = Λgµν . (2.4)

Contraindo com a métrica inversa, ou seja, tomando o traço dessa equação, obtemos

R = gµνRµν = 2
d+ 1

d− 1
Λ.

Por outro lado, o tensor de Ricci é de�nido por

Rµν = Rλ
γλν .

onde Rλ
γλν é conhecido como tensor de curvatura de Riemann,

Rα
γλβ =

∂Γα
λγ

∂xβ
−
∂Γ α

βγ

∂xλ
+ Γα

βκΓ
κ
λγ − Γα

λκΓ
κ
βγ.



10 2. Geometria do Espaço AdS e Simetria Conforme

em que Γ é o símbolo de Christo�el, expresso por:

Γµνγ =
1

2

(
∂gνγ
∂xµ

+
∂gγµ
∂xν

− ∂gµν
∂xγ

)
.

Com as expressões até aqui apresentadas, é possível encontra a curvatura característica

do espaço descrito pela métrica encontrada em (2.2). Essa curvatura é dada por

R = −d(d+ 1)

L2

que claramente é negativa, caracterizando o espaço anti-de Sitter. Além disso, esse espaço-

tempo possui uma constante cosmológica, dada por:

Λ = −d(d− 1)

2L2
.

Assim, a equação de movimento (2.4) se estabeleceu como:

Rµν +
d

L2
gµν = 0. (2.5)

Caracterizando a equação de movimento para o espaço Anti de Sitter.

2.3 Graus de Liberdade no Espaço AdS

Como é bem conhecido, em teoria quântica de campos, normalmente são produzidos

termos divergentes. Assim, para regularizar uma teoria de campos, é preciso eliminar esses

termos, uma vez que o resultado �nal deve ser comparado a um resultado físico �nito.

Dessa forma, foi desenvolvida a teoria do grupo de renormalização, que é um procedimento

matematicamente preciso no qual os in�nitos podem ser eliminados de forma consistente.

De fato, muitas vezes pode ser necessário regularizar a teoria tanto no limite de baixas

energias (limite infravermelho) e no limite de altas energias (limite ultravioletas).

Primeiramente o sistema pode ser colocado em um caixa de tamanho R, que serve de

limite infravermelho e também pode-se introduzir uma célula de espaçamento mínimo ε

que servirá de regulador ultravioleta. Em um espaço-tempo de d dimensões, o sistema �ca

com (R/ε)d−1 células. Se cTQC é o número de graus de liberdade por célula, que também

é conhecido como carga central, então o número total de graus de liberdade é dado por

NTQC =

(
R

ε

)d−1

cTQC .

Por outro lado, de acordo com a fórmula de Bekenstein-Hawking, o número de graus

de liberdade contidos em uma região do espaço AdS é igual à sua entropia total, que é



2.3. Graus de Liberdade no Espaço AdS 11

proporcional à superfície dessa região:

NAdS =

(
A∂

4GN

)
,

com A∂ sendo a área da fronteira do espaço AdSd+1 com z → 0. A área pode ser obtida

integrando o elemento de volume correspondente à métrica (2.2) na fatia z = ε→ 0

A∂ =

∫
z=ε

dd−1x
√
g =

(
L

ε

)d−1 ∫
z=ε

dd−1x.

Se o sistema é colocado em uma caixa, então∫
z=ε

dd−1x = Rd−1 =⇒ A∂ =

(
RL

ε

)d−1

=⇒ NAdS =
1

4GN

(
RL

ε

)d−1

.

Finalmente, pode-se comparar os graus de liberdade

1

4GN

(
RL

ε

)d−1

=

(
R

ε

)d−1

cTQC =⇒ Ld−1

4GN

= cTQC .

Devido ao fato de a curvatura escalar aumenta com 1/L2, implica que quanto maior

o número de graus de liberdade da TQC, menor é a curvatura. Assim, para a resolução

de problemas na área da matéria condensada, com muitos graus de liberdade, podemos

utilizar a gravitação clássica de Einstein com baixas curvaturas, para facilitarmos

os cálculos através da teoria holográ�ca.



12 2. Geometria do Espaço AdS e Simetria Conforme



13

Capítulo 3

Dualidade AdS/CFT para o Campo

Escalar Neutro

3.1 Equação de Movimento do Campo Escalar no es-

paço AdSd+1

O exemplo mais simples no qual se pode aplicar as técnicas da dualidade AdS/CFT é o

campo escalar. Consideraremos o espaço AdSd+1 na forma euclidiana

ds2 =
L2

z2
[dz2 + δµνdx

µdxν ]. (3.1)

Por outro lado, a densidade lagrangeana para o campo escalar φno espaço AdSd+1é

descrita por

L = −η
2

[gMN∂Mφ∂Nφ+m2φ2] (3.2)

onde η representa uma constante de normalização, que será útil mais a frente, e onde

utilizamos a notação compacta

∂Mφ =
∂φ

∂xM
.

Dessa forma, a ação do campo escalar φ é descrita por

S =

∫
dd+1x

√
gL. (3.3)

onde a g representa o determinante da métrica do espaço AdSd+1.

Com o princípio de mínima ação, chegamos à equação de Euler-Lagrange para o campo

φ
∂L
∂φ
− ∂M

(
∂L

∂ (∂Mφ)

)
= 0.

Usando a densidade Lagrangeana (3.2) , a equação do movimento em função do campo

escalar obtida é



14 3. Dualidade AdS/CFT para o Campo Escalar Neutro

1
√
g
∂M(
√
ggMN∂Nφ)−m2φ = 0. (3.4)

De maneira mais explícita, usando a métrica (2.3), esta equação se torna:

zd+1∂z(z1−d∂zφ) + z2δµν∂µ∂νφ−m2L2φ = 0 (3.5)

Um método para a resolução dessa equação diferencial consiste em fazer a transfor-

mada de Fourier de φ nas coordenadas xµ. Dessa forma, encontra-se

φ(z, xµ) =

∫
ddk

(2π)d
eikxfk(z). (3.6)

Logo, a equação do movimento torna-se

zd+1∂z(z1−d∂zfk)− k2z2fk −m2L2fk = 0 . (3.7)

Para resolver a equação (3.7) próxima da borda z = 0, faz-se a seguinte tentativa com

fk ∼ zβpara algum expoente β, em que β deva satisfazer a expressão quadrática

β(β − d)−m2L2 = 0, (3.8)

cuja solução é dada por:

β =
d

2
±
√
d2

4
+m2L2. (3.9)

Assim sendo, próximo a z ∼ 0 a funçãofk(z) se comporta como:

fk(z) ≈
z→0

A(k)zd−∆ +B(k)z∆ (3.10)

onde Ǝ dado por:

∆ =
d

2
+ ν, com ν =

√
d2

4
+m2L2. (3.11)

Usando a transformada inversa de Fourier pode-se escrever a expansão próxima da

borda no espaço das posições da seguinte maneira:

φ(z, x) ≈
z→0

A(x)zd−∆ +B(x)z∆. (3.12)

Nota-se que ∆ é real se ν ∈ R, o que ocorre quando a massa m satisfaz a desigualdade

m2 ≥ −(
d

2L
)2. (3.13)

O que implica que m2 pode ser negativo e ao mesmo tempo satisfazer (3.13). Desta

forma, e considerando ν ≥ 0, temos



3.1. Equação de Movimento do Campo Escalar no espaço AdSd+1 15

ν = ∆− d

2
≥ 0⇐⇒ d−∆ ≤ ∆ (3.14)

que é satisfeito próximo à borda, tornando o termo proporcional a zd−∆ em (3.12) domi-

nante quando z → 0. Assim, negligenciando o termo B(x) da solução independente do

campo (3.12), teremos

φ(z = ε, x) ≈ εd−∆A(x). (3.15)

Devido ao fato do termo d−∆ tornar-se negativo quando m2 ≥ 0, o termo relativo a

A(x) da Equação (3.15) normalmente diverge, tendendo ao in�nito assim que aproximamos

da borda em z ≈ ε→ 0. Com o intuito de remover a divergência posteriormente, de�nimos

uma nova função ϕ(x) , cuja função é de anular os fatores das potências que seriam

divergentes (3.15),

ϕ(x) = limz→0z
∆−dφ(z, x). (3.16)

Da forma como está de�nida, podemos identi�car

ϕ(x) = A(x). (3.17)

Notadamente, essa de�nição de ϕ(x) é sempre tida como �nita.

De acordo com a metodologia AdS/CFT, se O é o operador dual a φ, a ação é dada

por:

Sbdy ∼
∫
ddx
√
γεφ(ε, x)O(ε, x) (3.18)

onde γε = (L
ε
)2d é o determinante da métrica induzida no contorno z = ε. Então, com a

substituição φ(ε, x) = εd−∆ϕ(x) na ação Sbdy, obtem-se:

Sbdy ∼
∫
ddxϕ(x)ε−∆O(ε, x)

Para fazer Sbdy �nito e independente de ε quando ε→ 0 , devemos exigir:

O(ε, x) = ε∆O(x) (3.19)

Essa relação mostra que ∆ deve ser interpretado como a dimensão de escala do ope-

rador dual O. Da mesma forma , da relação de φ(ε, x) = εd−∆ϕ(x) segue que d−∆ deve

ser interpretado como a dimensão de escala da fonte ϕ. Retomando de (3.11) onde

∆ =
d

2
+

√
(
d

2
)2 +m2L2,



16 3. Dualidade AdS/CFT para o Campo Escalar Neutro

sem2 ≥ −( d
2L

)2, a dimensão de escala correspondente é real. Assim, existem três diferentes

situações, dependendo do valor de massa m.

O primeiro caso é aquele em que m2 > 0. Neste caso, ∆ > d e dessa forma, está

sendo acessado as distâncias curtas ou seja, a região do ultravioleta da teoria. Quando

m2 = 0 nós temos que ∆ = d. Finalmente, se m2 é negativo e toma valores no intervalo

−( d
2L

)2 > m2 > 0, obtem-se ∆ < d momento em que é acessado a região do infravermelho

da teoria.

3.2 Soluções nas Fronteiras do espaço AdSd+1

Começamos de�nindo a função gk(z) como:

fk(z) = zd/2gk(z). (3.20)

substituindo em (3.7), é facil veri�car que gk satisfaz a equação:

z2∂2
zgk + z∂zgk − (ν2 + k2z2)gk = 0, (3.21)

que é justamente a equação modi�cada de Bessel, para a qual existem duas soluções

independentes entre si, de modo que

gk = a+Iν(kz) + a−I−ν(kz),

onde I±νsão as funções modi�cadas de Bessel.

3.2.1 Comportamento para z′s pequenos.

Note que para z → 0, a função modi�cada de Bessel comporta-se como:

I±ν(z) ≈
z→0

1

Γ (1± ν)
(
z

2
)±ν .

Assim, fk(z) �ca escrito como

fk(z) = zd/2 (a+Iν(kz) + a−I−ν(kz)) (3.22)

Portanto, quando z → 0, temos

fk(z) ≈
z→0

a+z
∆ 1

Γ (1 + ν)

(
k

2

)∆− d
2

+ a−z
d−∆ 1

Γ (1− ν)

(
k

2

)−∆+ d
2



3.3. Funções de Correlação 17

e comparando com (3.10), obtem-se

a+ = B(k)Γ (1 + ν)

(
k

2

)−∆+ d
2

e

a− = A(k)Γ (1− ν)

(
k

2

)∆− d
2

.

Voltando em (3.22)

fk(z) = zd/2

[
A(k)Γ (1− ν)

(
k

2

)ν
I−ν(kz) +B(k)Γ (1 + ν)

(
k

2

)−ν
Iν(kz)

]
(3.23)

3.2.2 Comportamento para z′s elevados.

Vamos considerar agora o comportamento quando z → ∞. Para z′s muito grandes, a

função I±ν(z) se comporta como

I±ν(z) ≈
z→∞

ez√
2πz

,

Então, depois de mudar z → kz, nós temos para grandes z′s

fk(z) ≈ z
d
2 ekz√
2πkz

[
A(k)Γ (1− ν)

(
k

2

)ν
+B(k)Γ (1 + ν)

(
k

2

)−ν]
,

o qual diverge quando z → ∞ a menos que o coe�ciente no colchete desapareça. Então,

deve-se exigir que:

B(k)

A(k)
= −Γ (1− ν)

Γ(1 + ν)

(
k

2

)2ν

=
Γ(−ν)

Γ(ν)

(
k

2

)2ν

. (3.24)

Esse resultado mostra que A(k) e B(k) não são independentes.

3.3 Funções de Correlação

Muitas quantidades físicas importantes como a condutividade térmica ou elétrica podem

ser obtidas através das funções de correlação. Vejamos agora como calcular funções de

correlação a partir da dualidade holográ�ca, cujo objetivo seja obter uma função de cor-

relação do tipo

〈O(x1)...O(xn)〉 .

Na teoria de campos essas funções de correlação podem ser calculadas a partir da

função geratriz, a qual é obtida perturbando-se a função lagrangeana através de um termo



18 3. Dualidade AdS/CFT para o Campo Escalar Neutro

de fonte (interação)

L → L+ J(x)O(x) ≡ L+ LJ . (3.25)

O funcional gerador é dado por

ZQFT [J ] =

〈
exp[

∫
LJ ]

〉
QFT

(3.26)

e as funções de correlação conectadas são obtidas das derivadas funcionais de Z〈∏
i

O(xi)

〉
=
∏
i

δ

δJ(xi)
logZQFT [J ]cJ=0

Vamos considerar agora um campo qualquer φ(z, x) imerso no espaço AdS. Se φ0(x)

for o valor no contorno z = 0, então denota-se

φ0(x) = φ(z = 0, x) = φc∂AdS(x) (3.27)

O campo φ0 é descrito como uma fonte do operador dual O na QFT1. Conforme foi visto,

a fonte real não deve ser o valor de φ em z = 0, pois φ é tipicamente divergente nesse

limite. Dessa forma, pode-se de�nir uma nova fonte que seja �nita nesse limite da seguinte

forma

ϕ(x) ≡ lim
z→0

z∆−dφ(z, x). (3.28)

A prescrição da correspondência Ads/CFT para o funcional gerador é [7, 26]:

ZQFT [φ0] =

〈
exp[

∫
φ0O]

〉
QFT = Zgravidade[φ→ φ0]

onde Zgravidade[φ→ φ0] é a função de partição da teoria gravitacional que pode ser obtida

como uma soma da exponencial da ação avaliada em todas funções que tem o valor φ0 no

contorno do espaço AdS. Entretanto, no limite em que a gravidade clássica domina, ou

seja em baixas energias, pode-se substituir a soma pelo termo correspondente a solução

clássica. Assim, o funcional gerador pode ser escrito como

Zgravidade[φ→ φ0] =
∑
{φ→φ0}

eSgravidade ≈ exp
(
S

(clássica)
gravidade

)

Por outro lado, o valor da ação da gravidade clássica é tipicamente divergente e tem

de ser renormalizada seguindo os processos de renormalização holográ�ca [27, 28] o qual

será visto mais adiante. Dessa forma, a ação clássica passa a ser substituida pela versão

1φ0 exerce o papel de J (fonte/interação) na QFT usual



3.4. Função de um ponto para o campo escalar 19

renormalizada, a qual será denotado por Srengrav , de modo que

logZQFT = Srengrav[φ→ φ0].

Além disso, a função de correlação de N-pontos poderá ser obtida computando as

derivadas com respeito à função �nita ϕ = z∆−dφ(Apêndice D)

〈O(x1)...O(xn)〉 =
δnSrengrav[φ]

δϕ(x1)...ϕ(xn)

cϕ=0. (3.29)

Para entendermos melhor esse processo, vamos considerar alguns exemplos importan-

tes: as funções de correlação de um e dois pontos.

3.4 Função de um ponto para o campo escalar

Nessa seção será apresentada com detalhes, a técnica de renormalização holográ�ca. Esta

técnica é necessária para se obter a função de correlação de um ponto. Voltemos à ação

para o campo escalar imerso no espaço AdS, que foi apresentada em (3.3)

Sgrav = −η
2

∫
dd+1x

√
g
[
gMN∂Mφ∂Nφ+m2φ2

]
.

Essa ação pode ser reescrita como

Sgrav = −η
2

∫
dd+1x∂M

[√
ggMNφ∂Nφ

]
+
η

2

∫
dd+1xφ

[
∂M
(√

ggMN∂Nφ
)
−√gm2φ

]
.

Usando a equação de movimento (3.4) veri�ca-se que o segundo termo deve se anular.

Fazendo com que a ação passe a ser descrita como

Sgrav = −η
2

∫
dz

∫
ddx∂M

[√
ggMNφ∂Nφ

]
,

onde explicitamos a coordenada extra z. Expandindo a derivada, encontra-se

Sgrav = −η
2

∫
dz

∫
ddx [∂z (

√
ggzzφ∂zφ) + ∂µ (

√
ggµνφ∂νφ)]

= −η
2

∫
ddx

 ∞∫
ε

dz ∂z (
√
ggzzφ∂zφ)

− η

2

∞∫
ε

dz

[∫
ddx ∂µ (

√
ggµνφ∂νφ)

]
.

A integração é feita em todo o volume do espaço AdS, sendo as fronteiras da coor-

denada z em ε e no ∞. Assim, levando em conta que os campos se anulam no in�nito,

o segundo termo deve se anular, e a integral em z no primeiro termo também pode ser



20 3. Dualidade AdS/CFT para o Campo Escalar Neutro

resolvida de modo que resta

Sgrav =
η

2

∫
ddx (

√
ggzzφ∂zφ)|z=ε .

Essa ação também pode ser reescrita como

Sgrav =
1

2

∫
ddx [Π(z, x)φ(z, x)]|z=ε ,

onde foi de�nido o momentum canonicamente conjugado como

Π = − ∂L
∂ (∂zφ)

= η
√
ggzz∂zφ. (3.30)

Trabalhando com a transformada de Fourier do campo e de seu momentum canonica-

mente conjugado,

φ(z, x) =

∫
ddk

(2π)d
eikxfk(z) Π(z, x) =

∫
ddk

(2π)d
eikxΠk(z) (3.31)

obtemos

S =
1

2

∫
ddk

(2π)d

∫
ddk′

(2π)d

∫
ddx ei(k+k′)x [fk(z)Πk′(z)]|z=ε =

1

2

∫
ddk

(2π)d
[fk(ε)Π−k(ε)] .

De acordo com a equação (3.10), próximo de zero temos o seguinte comportamento

fk(z) ≈
z→0

A(k)zd−∆ + B(k)z∆. Usando a de�nição do momentum canonicamente conju-

gado (3.30) encontra-se

Πk(z) ≈
z→ε

η
√
ggzz∂z

(
A(k)zd−∆ +B(k)z∆

)∣∣
z=ε

= η

(
L

ε

)d−1 [
(d−∆)A(k)εd−∆−1 + ∆B(k)ε∆−1

]
= ηLd−1

[
(d−∆)A(k)ε−∆ + ∆B(k)ε∆−d

]
.

Dessa forma, chegamos a seguinte ação

Sgrav =
ηLd−1

2

∫
ddk

(2π)d
{(
A(k)εd−∆ +B(k)ε∆

) [
(d−∆)A(−k)ε−∆ + ∆B(−k)ε∆−d

]}
=

ηLd−1

2

∫
ddk

(2π)d
{∆A(k)B(−k) + (d−∆)A(−k)B(k)+

+ (d−∆)A(k)A(−k)εd−2∆ + ∆B(k)B(−k)ε2∆−d}
trocando o sinal dos momenta em alguns termos e utilizando o fato que na região que

estamos tratando, d −∆ < ∆ (3.14), para conservar somente termos que não se anulam



3.4. Função de um ponto para o campo escalar 21

com ε→ 0, obtemos �nalmente

Sgrav =
ηLd−1

2

∫
ddk

(2π)d
{
dA(k)B(−k) + (d−∆)A(k)A(−k)εd−2∆

}
.

Uma vez que d < 2∆ o segundo termo é divergente. Dessa forma, para obter uma fun-

ção de correlação com sentido físico, deve-se acrecentar o que é chamado de contratermo

na Lagrangeana, de modo que o termo divergente seja cancelado, o que é conhecido como

procedimento de renormalização em teoria quântica de campos.

Para darmos andamento ao procedimento, primeiramente notamos que o termo di-

vergente envolve o produto A(k)A(−k). Dessa forma, para que o termo divergente seja

eliminado, sem que o resultado físico seja alterado, um candidato a ser inserido na ação

e, que possivelmente consiga removê-lo, deve ser proporcional ao quadrado do campo, de

forma que a ação dos contratermos possa ser escrita como

SCT = N
∫

Fronteira

ddx
√
κφ2(ε, x)

onde N é um fator a ser determinado e κ é a métrica induzina na fronteira dada por

ds2
z=ε = κµνdx

µdxν =
L2

ε2
δµνdx

µdxν .

Levando em conta (3.31), chega-se em

SCT = N
∫

Fronteira

ddx
√
κ

∫
ddk

(2π)d

∫
ddk′

(2π)d
ei(k+k′)x

(
A(k)εd−∆ +B(k)ε∆

)
×
(
A(k′)εd−∆ +B(k′)ε∆

)
= NLd

∫
ddk

(2π)d
[
A(k)A(−k)εd−2∆ + 2A(−k)B(k)

]
.

Então se escolhermos

N = − η

2L
(d−∆) ,

a ação

SCT = − η

2L
(d−∆)

∫
Fronteira

ddx
√
κφ2(ε, x)

= −η
2

(d−∆)Ld−1

∫
ddk

(2π)d
[
A(k)A(−k)εd−2∆ + 2A(−k)B(k)

]
quando somada à ação original produz uma ação sem divergências. Dessa forma, a ação

renormalizada �ca escrita como

Srengrav = −η
2

∫
dd+1x

√
g
[
gMN∂Mφ∂Nφ+

(
m2 +

ε

L2
(d−∆) δ(z − ε)

)
φ2
]
.



22 3. Dualidade AdS/CFT para o Campo Escalar Neutro

O termo entre parenteses atua como uma massa renormalizada, cujo fator de renor-

malização é proporcional a ε , con�gurando-se na massa física medida experimentalmente

em laboratório.

No espaço dos momenta, a ação renormalizada passa a ser escrita como

Srengrav =
η

2
Ld−1(2∆− d)

∫
ddk

(2π)d
A(−k)B(k).

Levando em conta (3.17), ϕ(x) = A(x) e que existe uma relação funcional entre A e

B, Eq. (3.24), podemos reescrever a Srengrav como

Srengrav =
η

2
Ld−1(2∆− d)

∫
ddk

(2π)d
ϕ(−k)

Γ(−ν)

Γ(ν)

(
k

2

)2ν

ϕ(k).

De acordo com a seção anterior, especi�camente na equação (3.29), a função de cor-

relação do operador O na presença da fonte envolve derivadas funcionais δ/δϕ(x) que no

espaço dos momenta �ca escrita da seguinte forma:

δ

δϕ(x)
−→ (2π)d

δ

δϕ(−k)
.

Para o caso de 1 ponto obtém-se

〈O(k)〉ϕ = (2π)d
δSrengrav[φ]

δϕ(−k)
= ηLd−1(2∆− d)

Γ(−ν)

Γ(ν)

(
k

2

)2ν

ϕ(k).

Utilizando novamente (3.17) e (3.24), obtém-se

〈O(k)〉ϕ = ηLd−1(2∆− d)B(k) . (3.32)

Sendo que B(k) está diretamente relacionada à função de correlação de um ponto e

de acordo com

3.5 Teoria da Resposta Linear e a Função de Correlação

de dois pontos

Na representação de integrais de caminho de Feynman, a função de um-ponto com uma

fonte é escrita como

〈O(x)〉ϕ =

∫
[Dψ]OeSE [ψ]+

∫
ddyϕ(y)O(y),

onde ψ representa os campos e ϕ representa a fonte. Expandindo o expoente dessa

expressão numa série de potências da fonte ϕ, obtém-se

〈O(x)〉ϕ = 〈O(x)〉ϕ=0 +

∫
ddy 〈O(x)O(y)〉ϕ ϕ(y) + ...



3.6. Coe�cientes de Transporte 23

Considerando observáveis ordenados normalmente (operadores de destruição à direita)

de modo que no vácuo teremos 〈O(x)〉ϕ=0 = 0. Note que isso sempre pode ser obtido se

for subtraido de O seu valor esperado no vácuo (VEV) sem fonte. Então, 〈O(x)〉ϕ mede a

�utuação do observável em torno de valores esperados, ou seja, temos a resposta linear do

sistema para a perturbação externa pela fonte. Assim, de�nindo a função de dois-pontos

no espaço euclidiano como

GE(x− y) = 〈O(x)O(y)〉ϕ

podemos escrever:

〈O(x)〉ϕ =

∫
ddyGE(x− y)ϕ(y). (3.33)

Dessa forma, no espaço dos momenta, a função de correlação de dois pontos �ca escrita

como

GE(k) =
〈O(k)〉ϕ
ϕ(k)

= ηLd−1 (2∆− d)︸ ︷︷ ︸
2ν

B(k)

A(k)
= 2νηLd−1 Γ(−ν)

Γ(ν)

(
k

2

)2ν

. (3.34)

onde foram utilizados os resultados (3.32) e (3.24), além do fato que ϕ(k) = A(k).

3.6 Coe�cientes de Transporte

Neste ítem, vamos estabelecer a importância das funções de correlação de um ponto, que

no limite de baixos momenta e baixas frequências, auxilia-nos a obter o coe�ciente de

transporte de um sistema que reage à uma fonte variável no tempo . Esta interpretação

física nos dá a parte experimental das equações aboradadas até aqui, próprias da dualidade

holográ�ca. Considere uma TQC na qual é incluida uma fonte ϕ(x) (interação) acoplada

a um operador de campo O(x) da seguinte forma

S = S0 +

∫
ddxO(x)ϕ(x)

Como vimos em (3.32) a função de correlação de um ponto é dada por

〈O(x)〉ϕ = −
∫
ddyGR(x− y)ϕ(y). (3.35)

A causalidade leva a seguinte dependência temporal

iGR(x− y) = Θ(x0 − y0) 〈[O(x),O(y)]〉 .

No espaço dos momenta, a função de correlação �ca escrita como〈
O(ω,~k)

〉
ϕ

= −GR(ω,~k)ϕ(ω,~k). (3.36)



24 3. Dualidade AdS/CFT para o Campo Escalar Neutro

No limite de baixos momenta e baixas frequências, a resposta do sistema a um fonte

variável no tempo, pode-se fazer a seguinte aproximação

〈O〉ϕ ≈ −χ∂tϕ

onde χ é uma constante de proporcionalidade chamada de coe�ciente de transporte.

No espaço de frequências, considerando ω → 0, tem-se

〈O〉ϕ ≈ iωχϕ(ω).

Comparando com (3.36), quando ~k → 0, obtêm-se

lim
~k→0

GR(ω,~k) = −iωχ, (3.37)

ou seja, o coe�ciente de transporte pode ser calculado por

χ = − lim
ω→0

(
lim
~k→0

1

ω
Im
[
GR(ω,~k)

])
. (3.38)

Como a função GR deve obedecer a causalidade, então sua parte imaginária deve ser

analítica. Esse resultado é muitas vezes denominado fórmula de Kubo.



25

Capítulo 4

Campo Escalar Carregado em

Temperatura não nula

4.1 Temperatura e Métrica

Vamos descobrir agora, uma relação de dependência entre a métrica de Schwarzschild-AdS

e a temperatura desta região do espaço-tempo. Através do raio do horizonte de eventos de

um buraco negro, seremos capazes de achar sua temperatura local, e consequentemente

estabelecer a densidade de cargas no horizonte de eventos.

A função de partição em mecânica estatística no ensemble canônico é dado por

Z = Tr
[
e
− H
kBT

]
, (4.1)

onde H é o operador hamiltoniano, T é a temperatura e a constante de Boltzmann é

tomada como sendo kB = 1.1 A média térmica de um operador O à temperatura T é

〈O〉T =
Tr[Oe−HT ]

Z

Como o traço é a soma dos elementos da diagonal, na aproximação da integral de

caminho, a média 〈O〉T pode ser escrita como

〈O〉T ∼
∫

[Dψ] 〈ψ(x), t| Oe−
H
T |ψ(x, t)〉 , (4.2)

onde o valor esperado é tomado entre o mesmo inicial e estado �nal |ψ(x, t)〉 (�elementos

da diagonal�). Por outro lado, uma vez que o operador de evolução temporal é escrito

como U = eiHt (~ = 1), pode-se reescrever (4.2) como

1Nesse trabalho é adotado o sistema de Unidades Naturais nos quais kB = ~ = c = 1. A análise
dimensional dos resultados permite que se retorne ao Sistema Internacional de Unidades



26 4. Campo Escalar Carregado em Temperatura não nula

〈O〉T ∼
∫

[Dψ] < ψ(x), t|O|ψ(x), t+
i

T
>

Então, para realizar médias térmicas deve-se considerar evolução de tempo imaginária

e nós temos que impor condições de fronteira periódicas no espaço de Hilbert ( antipe-

riódica para férmions). Então, o tempo Euclidiano tE deve ter uma periodicidade dada

por

tE ≡ tE +
1

T
(4.3)

Portanto, a compactação do tempo Euclideano é equivalente a ter T 6= 0.Vamos aplicar

essa ideia na métrica de Schwarzschild-AdS.2

Partindo de um espaço tempo bastante geral cuja forma é dada por

ds2 =
L2

r2

(
−f(r)dt2 + g(r)d−→x 2 + h(r)dr2

)
. (4.4)

Para obter as funções f(r), g(r) e h(r), retorna-se à equação de movimento (2.5) e

então se obtem a solução de Schwarzschild-AdS

ds2 =
L2

r2

(
−f(r)dt2 + d−→x 2 +

dr2

f(r)

)
,

com

f(r) = 1−
(
r

rH

)d
sendo rH o raio do horizonte de eventos de um buraco negro.

Como deseja-se obter uma temperatura nessa fronteira, efetua-se a seguinte expansão

f(r) ≈ − d

rH
(r − rH) +O

(
(r − rH)2

)
Trabalhando com o tempo Euclidiano, e considerando somente a primeira ordem na

expansão, inicialmente pode-se de�nir uma nova coordenada radial ξde tal modo que

− dr2

d
rH

(r − rH)
= dξ2

a qual pode ser integrado para dar a seguinte relação entre ξ e r

ξ = −2rH

√
1

d

(
1− r

rH

)
2A métrica de Schwarzschild é uma solução das equações de campo gravitacional de Einstein que descreve
o campo gravitacional externo a um corpo esférico, porém desprezando qualquer rotação de massa. Trata-
se de uma boa aproximação para campos gravitacionais de corpos de lenta rotação e pode ser considerado
uma descrição para os casos de uma estrela, um planeta ou um buraco negro.



4.2. Equações de Movimento 27

De�nindo também uma coordenada angular θ de tal modo que

− d

rH
(r − rH)dt2E = ξ2dθ2

então θ pode ser escrito como

θ =
d

2rH
tE (4.5)

Nas novas variáveis, a parte da métrica (tE, r) toma a forma dξ2+ξ2dθ2, que é parecida

localmente com a métrica de um plano. Com o intúito de ter ξ = 0 (i.e. o horizonte)

com um ponto regular sem nenhuma singularidade de curvatura, a variável θ deve ser

uma variável periódica com período 2π. De acordo com (4.5), essa periodicidade em θ

implica, em uma periodicidade no tempo Euclidiano, ou seja, uma compactação do tempo

euclidiano, que é equivalente a ter uma temperatura T diferente de zero. Portanto, segue

que podemos atribuir uma temperatura T a um buraco negro e já que a periodicidade

θ → θ + 2π é equivalente a periodicidade sob tE → tE + 1
T
, obtém-se a denominada

temperatura de Hawking, dada por

2π =
d

2rH

1

T
⇒ T =

d

4πrH
(4.6)

Levando em conta (4.17), a temperatura, então, é calculada como

T =
3

4π
√
ρ

(4.7)

Essa é uma relação entre a densidade de carga no horizonte de eventos e a temperatura

do buraco-negro.

4.2 Equações de Movimento

Como foi visto no �nal da sessão anterior, se quisermos um sistema com dependência na

temperatura precisamos de um espaço-tempo com curvatura variável, cujo exemplo mais

simples de métrica é a de um buraco-negro. Além disso, é necessário que o espaço seja

conforme somente na fronteira na qual está o problema . Iniciamos nossa discussão com

a métrica de buraco negro de Schwarzschild (AdS) representada por

ds2 = −f(r)dt2 +
dr2

f(r)
+ r2(dx2 + dy2)

onde

f(r) =
r2

L2
− M

r

O objetivo aqui é descrever (efetivamente) um sistema 2+1 dimensional, então são

necessárias 4 dimensões no corpo do espaço-tempo. Desde que se queira descrever um



28 4. Campo Escalar Carregado em Temperatura não nula

supercondutor, espera-se que as partículas (campos) envolvidas interajam via campos

elétrico e magnético. Isto signi�ca que o espaço contenha um campo eletromagnético

(EM) governado pelas equações de Maxwell e um campo escalar governado pela equação

de Klein-Gordon (KG), cujas ações são representadas respectivamente por

SEM = −1

4

∫
ddx
√
−gF µνFµν (4.8)

e

SKG = −1

2

∫
ddx
√
−g(|∇ψ|2 +m2 |ψ|2), (4.9)

onde

∇µA
ν = ∂µA

ν + ΓνµρA
ρ.

é a derivada covariante no espaço-tempo. Para propriamente incluir a gravidade na ação

principal, é necessário adicionar o chamado termo Einstein-Hilbert para a ação, que é da

seguinte forma:

SEH =
1

2κ2

∫
ddx
√
−g(R +

d(d− 1)

L2
) (4.10)

ondeκ =
√

8πG, e o segundo termo é uma constante cosmológica negativa inerente a

geometria AdS.

Agora, se somar as ações SEH , SKG e SEM e incluir um termo de interação (mínimo) de

Gauge,3 de modo que ∇µ é passado a uma derivada covariante de Gauge Dµ = ∇µ− iAµ,
obtêm-se a ação completa que passa a ser escrita como

Stotal =

∫
dd
√
−g
[

1

2κ2

(
R +

d(d− 1)

L2

)
− 1

4
F µνFµν −m2 |ψ|2 − |∇µψ − iAµψ|2

]
Considerando o limite de baixa gravidade, ou seja, onde a métrica do espaço-tempo é

�xada para ser a métrica de Schwarzschild (métrica de um sistema gravitacional esférica-

mente simétrico), e o campo gravitacional das partículas (campos) envolvidas são fracos

o su�ciente para não reagir na métrica, deixando inalterada a estrutura do espaço-tempo,

obtém-se a seguinte ação

Sbulk =

∫
ddx
√
−g
[
−1

4
F µνFµν −m2 |ψ|2 − |∇µψ − iAµψ|2

]
(4.11)

3As Teorias de Gauge, também chamadas de Teorias de Calibre, representam uma classe de teorias
físicas descritas por lagrangianas, que são invariantes sob determinados grupos de transformações de
simetria. Quando tais grupos são invariantes sob uma transformação em cada ponto do espaço, esses
grupos descrevem uma simetria global. Quando a lagrangiana possui uma simetria meramente local,
pode ser visto como uma generalização do princípio de equivalência da Relatividade Geral, onde em cada
ponto do espaço-tempo é permitida uma escolha de um referencial local. Quando o grupo de simetria é
o grupo U(1), temos o eletromagnetismo. Quando o grupo é o SU(2) temos a teoria eletrofraca, e para o
grupo SU(3) temos a descrição da interação forte.



4.2. Equações de Movimento 29

Para simpli�car os cálculos, são consideradas as soluções estáticas em um espaço-

tempo com simetria esférica, ou seja, assume-se que os campos dependem somente da

coordenada radial. Assim, nessas condições, se for utilizada a mesma técnica do capítulo

anterior (princípio de mínima ação) obtem-se a seguite equação de movimento (detalhes

no Apêndice B)

ψ′′ + (
f ′

f
+

2

r
)ψ′ +

φ2

f 2
ψ − m2

2L2f
ψ = 0. (4.12)

Nesse resultado foi utilizada a seguinte notação

At = φ

ou seja, a componente temporal do potencial vetor é o potencial elétrico, denotado por φ

e Ar = Ax = Ay = 0.

Da mesma forma, o uso do princípio de mínima ação permite obter a equação de

movimento para o potencial (detalhes no Apêndice B)

φ′′ +
2

r
φ′ − 2ψ2

f
φ = 0. (4.13)

As equações (4.12) e (4.13) são duas equações diferenciais não lineares acopladas que

devem ser resolvidas numericamente. Algumas das sutilezas da resolução numérica são

discutidas em mais detalhes no Apêndice C.

O comportamento assintótico na fronteira conforme (r → ∞), levando em conta que

f(r) ∼ r2

L2 →∞, é obtido para o campo escalar considerando uma solução do tipo

ψ ≈ ψ0r
α

que ao ser substituida na equação (4.12) resulta em

−ψ0r
α−2 (2α2L2m+m2r3 − 2α(α + 3)r3)

2 (r3 − L2m)
= 0,

cuja expansão em r →∞ �ca escrita como

rα

[
2α2ψ0 −m2ψ0 + 6αψ0

2r2
+O

((
1

r

)3
)]

= 0.

De modo que

α = −3±
√

9 + 2m2

2
.

Como desejamos que ψ seja bem comportada no in�nito, podemos escolher o parâme-



30 4. Campo Escalar Carregado em Temperatura não nula

tro m2 = −4 de modo que a solução assintótica �que escrita como

ψ(r) ≈ ψ
(−)
0

r
+
ψ

(+)
0

r2
(4.14)

Para a equação (4.13) está claro que no limite para r → ∞, a equação �ca escrita

como

φ′′ = 0 =⇒ φ(r) = µ+
ρ

r
(4.15)

onde µ e ρ são duas constantes. Claramente ρ deve ser interpretado como a densidade de

carga na superfície do horizonte do buraco-negro.

Por outro lado, a densidade de carga pode ser obtida pela componente temporal da

quadricorrente (Jt) que é obtida pela derivada funcional (veja Apêndice B)

ρ ≡ 〈Jt〉 =
δStotal
δAt

= 2
r2

f(r)
φψ2.

Se as condições de contorno forem tais que, quando r → rH (horizonte de eventos

do buraco negro) ocorrer

r → rH

φ ∼ 1

ψ ∼
√
f/2 ∼ 0

(4.16)

então teremos

ρ = r2
H . (4.17)

Outras condições de contorno podem produzir a mesma relação entre a densidade de

carga e o raio do horizonte, como φ ∼ 1/2 e ψ ∼
√
f ∼ 0.

4.3 Resolução das Equações

A resolução das equações (4.12) e (4.13) deve ser feita numericamente. Nesse processo foi

utilizado o software Mathematica e o método de resolução utilizado foi o de Frobenius. Os

detalhes da planilha do Mathematica estão no Apêndice C. Como visto anteriormente, é

possível ter uma variação nas condições de contorno na fronteira e manter a relação (??).

Dessa forma, as condições de contorno no in�nito podem ser impostas de modo que haja

duas possibilidades de escolhas

ψ
(−)
0 = 0 =⇒ ψ

(+)
0 =

〈O2〉√
2

(4.18)

ψ
(+)
0 = 0 =⇒ ψ

(−)
0 =

〈O1〉√
2

(4.19)



4.4. Supercondutividade 31

onde os valores esperados 〈O1〉 e 〈O1〉 representam operadores de dimensão de escala 1 e

2 respectivamente4. O fator segue a normalização utilizada nas referências [29, 30]. Como

os valores esperados desses operadores dependem das condições de contorno, que por sua

vez estão relacionadas à temperatura, é possível fazer um grá�co do valor desses valores

esperados em relação à temperatura. O resultado é apresentado na Figura 4.1

Figura 4.1: Resultados numéricos do valor esperado para: a) o operador 〈O1〉 e b) o
operador 〈O2〉 . Tc é chamado de temperatura crítica e ao passar por essa temperatura,
o sistema sofre uma transição de fase, de modo que os condensados assumem valores
diferentes de zero abaixo dessa temperatura.

O resultado apresentado na Figura 4.1 merece destaque pois é bem similar a curva de

intervalo de energia previsto pela teoria BCS [5], que foi a primeira teoria microscópica a

conseguir explicar satisfatoriamente as propriedades dos materiais supercondutores. Esse

também é um resultado típico obtido pela teoria de Ginzburg-Landau para a qual

〈O〉 ∼
√
Tc − T .

As �guras mostram que os condensados assumem valores diferentes de zero abaixo

de uma determinada temperatura crítica denotada por Tc. Isso representa uma quebra

expontânea da simetria de calibre do grupo U(1) do eletromagnetismo.

4.4 Supercondutividade

Para realmente mostrar que foi construída uma teoria/modelo para a supercondutividade

não é su�ciente mostrar que a teoria apresenta um operador cujo condensado tem valor

não nulo abaixo de uma temperatura crítica, é necessário mostrar que há uma condutivi-

dade in�nita. Entretanto, para falar sobre condutividade deve-se levar em conta cargas

em movimento, que podem ser apenas em uma única direção espacial, ou seja, podem ser

formados campos magnéticos que por sua vez podem produzir campos elétricos. Assim,

sem perder a generalidade (devido a invariancia rotacional) assumimos perturbação na

4Aqui a determinação da dimensão de escala segue a de�nição dada em (3.19)



32 4. Campo Escalar Carregado em Temperatura não nula

direção-x, além de assumir uma dependência do tempo na forma e−iωt. Utilizando nova-

mente o princípio de mínima ação em (4.11) obtém-se para a componente x do potencial

vetor eletromagnético a equação

A′′x +
f ′′

f
A′x + (

ω2

f 2
− 2ψ2

f
)Ax = 0. (4.20)

A idéia por trás da resolução dessa equação é exatamente a mesma: cria-se uma

expansão no horizonte, integramos saindo de uma fronteira, com algum valor para a

condutividade e temperatura características à esta região do espaço. Perto desta borda

assintótica conforme, o campo de Maxwell se comporta como

Ax = A(0)
x +

A
(1)
x

r
+ ... (4.21)

A fórmula de Kubo (3.37), permite-nos computar o componente do campo elétrico Exe

a corrente associada <Jx> . Lembramos o que a lei de Ohm explicita

χ(ω) =
i

ω
G(ω, 0) = − iA

(1)
x

ωA
(0)
x

= −〈Jx〉
Ȧx

=
〈Jx〉
Ex

= σ(ω) (4.22)

onde σ(ω) é a condutividade elétrica. Na derivação dessa expressão foi utilizada a corres-

pondencia AdS/CFT no sentido do capítulo 3 onde A(0)
x deve ser a fonte e A(1)

x deve ser

o operador dual. Na etapa intermediária foi utilizado que a dependência do tempo vem

de exp [−iωt] e no último passo foi simplesmente utilizada a lei de Ohm. Os resultados

numéricos para algumas escolhas de temperaturas (sempre abaixo da Tc) são apresentados

na �gura

Figura 4.2: Resultados para: a) a parte real da condutividade e b) a parte imaginária da
condutividade. Resultados obtidos para as condições de contorno que satisfazer a relação
(4.18).

Considerando a relação de Kubo (3.38), destaca-se a componente imaginária da con-

dutividade, Figura (4.2), grá�co b, que no limite para baixas frequências levará ao valor

da condutividade física (medida). Os resultados indicam que abaixo da temperatura crí-



4.4. Supercondutividade 33

tica Tc, as curvas representando a condutividade elétrica (grá�co b) tendem ao in�nito,

resultando claramente em um supercondutor.



34 4. Campo Escalar Carregado em Temperatura não nula



35

Capítulo 5

Conclusões e Discussões

A dualidade forte/fraca, característica da correspondência holográ�ca, nos fornece uma

ferramenta poderosa para estudar as propriedades de sistemas fortemente interativos por

uma teoria da gravidade fracamente acoplada com uma dimensão espacial extra. Embora

as dinâmicas que governam a teoria do campo dual e a gravidade sejam aparentemente

diferentes, no âmbito da hologra�a, os cálculos quânticos na teoria de campo dual (forte-

mente acoplada) podem ser traduzidos em cálculos onde se pode apenas resolver equações

diferenciais com condições de contorno adequadas. Nesse contexto, a correspondência ho-

lográ�ca é considerada uma abordagem esperançosa para entender as propriedades de

sistemas de elétrons fortemente correlacionados.

O modelo gravitacional analisado é fenomenológico e em tal abordagem os campos

duais da gravidade foram construídos usando o conjunto mínimo de campos que captu-

raram a dinâmica essencial. Essas dinâmicas envolvem apenas a gravidade interagindo

com um campo de calíbre (gauge) efetivo U(1) e um campo escalar carregado servindo

como parâmetro de ordem. Temos muitos graus de liberdade para escolher a forma de

interação, bem como o valor dos acoplamentos. Entretanto, apesar de se tratar de um

modelo simples, há uma boa descrição das principais características de supercondutores.

Obviamente que o ingrediente chave na construção de um supercondutor dual gravita-

cional é determinar uma instabilidade de quebra de ao menos uma simetria U(1). Pode-se

perguntar se essas dualidades fenomenológicas dos supercondutores são apenas uma nova

versão da descrição de Ginzburg-Landau. A resposta é não. De fato, vamos enfatizar

duas diferenças fundamentais. Primeiro, a instabilidade no modelo de Ginzburg-Landau

deve ser colocada à mão, enquanto que na con�guração holográ�ca surge naturalmente,

de forma espontânea. Em segundo lugar, o modelo de Ginzburg-Landau só é válido perto

do ponto de transição, enquanto a descrição gravitacional pode caracterizar toda a dinâ-

mica. Para uma determinada ação, a veri�cação dos valores dos parâmetros do modelo

corresponde à análise de várias teorias de campo duais diferentes. Nesse sentido, um mo-

delo holográ�co simples tem uma espécie de universalidade, ou seja, os resultados podem

ser verdadeiros para uma grande classe de teorias de campo dual, bastante insensíveis aos



36 5. Conclusões e Discussões

detalhes de sua dinâmica.

Seria interessante discutir o efeito das correções quânticas no espaço-tempo, que cor-

respondem às correções 1/N na teoria de campo dual [31], pois para a quebra espontânea

de uma simetria contínua de calibre U(1) em dimensões 2 + 1 com temperatura �nita,

aparentemente há a contradição do teorema de Coleman-Mermin-Wagner.1 Na verdade,

o limite para grandes valores de N evita o teorema. Finalmente, embora o campo rompa a

simetria U(1) localmente, de acordo com o dicionário AdS/CFT, o sistema dual consiste

em um condensado que quebra uma simetria global de U(1).

Por outro lado, o início da supercondutividade é caracterizado pela condensação de

um operador carregado quebrando espontaneamente a simetria de calibre U(1). Assim,

estritamente falando, o que se tem é uma teoria dual de super�uido [32, 33, 34, 35]. No

entanto, no limite em que a simetria U(1) é �avaliada fracamente�, ainda se pode ver a

teoria dual que descreve um supercondutor.

1Na teoria quântica de campos e mecânica estatística, o teorema de Coleman-Mermin-Wagner a�rma que
simetrias contínuas não podem ser quebradas espontaneamente a temperatura �nita em sistemas com
interações de curto alcance nas dimensões d ≤ 2.



37

Apêndice A

Princípio de Mínima Ação para

Campos

A passagem de uma partícula pontual na posição x(t) para um campo φ(xµ) = φ(x, y, z, t)

pode ser visualizado como a mudança de x para φ,e de t para xµ. O campo escalar obedece

a denominada equação de Klein-Gordon

(∂µ∂
µ +m2)φ = 0.

Aqui deve �car claro que φé interpretado somente como um campo escalar, não como

uma função de onda de uma partícula única. Neste caso, deve ser perguntado o que é m?

A resposta é que quando é feita a quantização do campo escalar clássico, chegamos a uma

interpretação da partícula, e ela possui massa m.

No caso de campos, a ação pode ser escrita como

S =

∫
L(φ, ∂µφ)d4x (A.1)

onde L é a densidade lagrangena, uma vez que a Lagrangena é dada por L =
∫
Ld3x.

Nessa expressão foi utilizada a seguinte notação ∂µφ ≡ ∂φ/∂xµ. Considere então a densi-

dade Lagrangena para o campo escalar como

L =
1

2
(∂µφ)(∂µφ)− m²

2
φ² =

1

2
[(∂0φ)²− (∇φ)²−m²φ²] (A.2)

O campo φ traça uma região 4-dimensional R no espaço 5-dimensional que contem

seu grá�co no espaço-tempo, como na �gura A.1



38 A. Princípio de Mínima Ação para Campos

Figura A.1: Um campo φ traçando uma região quadrimensional R em um espaço penta-
dimensional

O inicio e o �nal das hypersuperfícies podem ser tomados com t = tiet = tf , o qual

forma parte da borda ∂R da região R. Agora, sujeitando ambos o campo φ e a coordenada

x a uma variação que se anula na fronteira , obtem-se

xµ → x′µ = xµ + δxµ (A.3)

e

φ(x)→ φ′(x) = φ(x) + δφ (A.4)

Será considerado o caso geral onde L pode até depender explicitamente de xµ

L = L(φ, ∂µφ, x
µ) (A.5)

É importante notar que δφcomo de�nido em (A.4) é meramente a variação funcional

em φ.φ′ é comparado com φ no mesmo ponto do espaço-tempoxµ. Pode-se em adição

de�nir a variação total em φ, designada como∆φ por:

φ′(x′) = φ(x) + ∆φ(x) (A.6)

e segue que, para a primeira ordem em δx,

∆φ = φ′(x′)− φ(x′) + φ(x′)− φ(x) = δφ+ (∂µφ)δxµ (A.7)

A variação da ação é



A. Princípio de Mínima Ação para Campos 39

δS =

∫
L(φ′, ∂µφ

′, x′µ)d4x′ −
∫
L(φ, ∂µφ, x

µ)d4x

onde d4x′ = J(x′|x)d4x, sendo J(x′|x) o Jacobiano da transformação x→ x′. De (A.3)

∂x′µ

∂xλ
= δµλ + ∂λδx

µ

então

J(
x′

x
) = det(

∂x′µ

∂xλ
) = 1 + ∂µ(δxµ);

e consequentemente

δS =

∫
(δL+ L∂µδxµ)d4x, (A.8)

onde

δL =
∂L
∂φ

δφ+
∂L

∂(∂µφ)
δ(∂µφ) +

∂L
∂xµ

δxµ. (A.9)

De (A.3) vemos que δ(∂µφ) = ∂µδφ, então (A.8) e (A.9) resultam em

δS =

∫
R

[
∂L
∂φ

δφ+
∂L

∂(∂µφ)
∂µ(δφ) + ∂µ(Lδxµ)]d4x, (A.10)

onde , conforme indicado, a integral é tomada ao longo da região R do espaço-tempo.

O terceiro termo da equação acima é uma divergência total. O segundo termo pode ser

reescrito para introduzir uma divergência total

∂L
∂(∂µφ)

∂µ(δφ) = ∂µ[
∂L

∂(∂µφ)
δφ]− ∂µ[

∂L
∂(∂µφ)

]δφ,

e a integral resultante da divergência total ao longo de R pode ser escrita como uma

integral ao longo de ∂R,usando a generalização 4-dimensional do teorema de Gauss

(
∮
∂V
A.dS =

∫
V
divAdV ). Isto nos dá

δS =

∫
R

{∂L
∂φ
− ∂µ[

∂L
∂(∂µφ)

]}δφd4x+

∫
∂R

[
∂L

∂(∂µφ)
δφ+ Lδxµ]dσµ. (A.11)

Já que não há variações de φ e xµ na fronteira de R, então δφ = 0 e δxµ = 0 em

∂R. Dessa foram, o segundo termo na equação (A.11) é identicamente nulo, e a condição

para uma ação estacionária é que o primeiro termo também deva se anular no geral,

independentemente de R



40 A. Princípio de Mínima Ação para Campos

∂L
∂φ
− ∂µ

∂L
∂(∂µφ)

= 0 (A.12)

Esta é conhecida como a equação de Euler-Lagrange para o campo φ.



41

Apêndice B

Obtenção das equações de movimento

A métrica do espaço anti de Sitter (tempo Euclidiano)

ds2 = −f(r)dt2 +
dr2

f(r)
+ r2

(
dx2 + dy2

)
Nesse caso o tensor métrico será dado por

gµν =


−f(r) 0 0 0

0 r2 0 0

0 0 r2 0

0 0 0 1/f(r)

 =⇒ gµν =


−1/f(r) 0 0 0

0 1/r2 0 0

0 0 1/r2 0

0 0 0 f(r)


onde, para a solução de Schwarzschild

f(r) = r2

(
1− r3

0

r3

)
sendo r0 conhecido como raio de Schwarzschild.

O determinante da métrica é dado por

g = Det[gµν ] = −r4

e a ação é dada por

S =

∫
ddx
√
−g
[
−1

4
gαα

′
gββ

′
FαβFα′β′ −m2ψψ∗ − (∇αψ − ieAαψ)∗ gαβ (∇βψ − ieAβψ)

]
ou

S =

∫
ddx
√
−g
{
−1

4
gαα

′
gββ

′
FαβFα′β′ −m2ψψ∗ − [(∇αψ)∗ + ieAαψ

∗] gαβ (∇βψ − ieAβψ)

}
onde

∇µA
ν = ∂µA

ν + ΓνµρA
ρ.



42 B. Obtenção das equações de movimento

Continuando com os cálculos, se forem utilizadas as equações de Euler-Lagrange

(A.12), temos
∂L
∂ψ∗

=
√
−g
[
−m2ψ + ieAαg

αβ (∇βψ − ieAβψ)
]

∂µ

(
∂L

∂ (∂µψ∗)

)
= ∂µ

{√
−g
[
δµαg

αβ (∇βψ − ieAβψ)
]}

Considere agora que os campos só dependem de r (não dependem do tempo)(∂µ → ∂r)

e que Ax = Ay = Ar = 0 e A0 = φ (potencial elétrico). Então,

∂L
∂ψ∗

= r2
[
−m2ψ − ieA0g

0β (∇βψ − ieAβψ)
]

= r2
[
−m2ψ − ieA0g

00 (∇0ψ − ieA0ψ)
]

= r2

[
−m2ψ − ieφ

(
− 1

f(r)

)
(−ieφψ)

]
= −r2

(
m2ψ − e2 φ

2ψ

f(r)

)
e

∂µ

(
∂L

∂ (∂µψ∗)

)
= −∂r

{
r2
[
δrαg

αβ (∇βψ − ieAβψ)
]}

= −∂r
{
r2
[
grβ (∇βψ − ieAβψ)

]}
= −∂r

{
r2 [grr (∇rψ − ieArψ)]

}
= −∂r

{
r2 [f ∂rψ]

}
= −

(
2rf ∂rψ + r2 (∂rf) (∂rψ) + r2f ∂2

rψ
)

= −
(
2rfψ′ + r2f ′ψ′ + r2fψ′′

)
Assim,

∂L
∂ψ∗
− ∂µ

(
∂L

∂ (∂µψ∗)

)
=
(
r2fψ′′ + r2f ′ψ′ + 2rfψ′

)
− r2

(
m2ψ − e2φ

2ψ

f

)
= 0

Dividindo por −r2f , temos

ψ′′ +

(
f ′

f
+

2

r

)
ψ′ +

(
e2φ

2

f 2
− m2

f

)
ψ = 0 (B.1)

Aplicando novamente Euler-Lagrange (A.12) para o campo de calibre, obtem-se

∂L
∂Aµ

=
√
−g
[
−ieδµαψ∗gαβ (∇βψ + iAβψ) + [(∇αψ)∗ − ieAαψ∗] gαβ

(
ieδµβψ

)]
= r2

[
−ieψ∗gµβ (∇βψ + iAβψ) + ie [(∇αψ)∗ − ieAαψ∗] gαµψ

]
Levando em conta as restrições que os campos só dependem de r e que Ax = Ay =



B. Obtenção das equações de movimento 43

Ar = 0 e A0 = φ (potencial elétrico), então

∂L
∂A0

= r2
[
−ieψ∗g00 (∇0ψ + iA0ψ) + ie [(∇0ψ)∗ − ieA0ψ

∗] g00ψ
]

= r2

[
−ieψ∗

(
− 1

f(r)

)
(iA0ψ) + ie (−iA0ψ

∗)

(
− 1

f(r)

)
ψ

]
= − r2

f(r)
[−ieψ∗ (ieφψ) + ie (−ieφψ∗)ψ]

= −2e2 r2

f(r)
φψ2

∂µ

(
∂L
∂µA0

)
= ∂µ

∂

∂µA0

{√
−g
(
−1

4
gαα

′
gββ

′
FαβFα′β′

)}
= ∂µ

∂

∂µA0

{√
−g
[(
−1

4
gαα

′
gββ

′
)

(∂αAβ − ∂βAα) (∂α′Aβ′ − ∂β′Aα′)
]}

= ∂r

{
r2

(
−1

4
gαα

′
gββ

′
)[(

δrαδ
0
β − δrβδ0

α

)
(∂α′Aβ′ − ∂β′Aα′)

+
(
δrα′δ

0
β′ − δrβ′δ0

α′

)
(∂αAβ − ∂βAα)

]}
= −1

4
∂r

{
r2
[(
grα

′
g0β′ − g0α′grβ

′
)

(∂α′Aβ′ − ∂β′Aα′)

+
(
gαrgβ0 − gα0gβr

)
(∂αAβ − ∂βAα)

]}
= −1

4
∂r
{
r2 [((−1) (∂rA0)− (−1) (−∂rA0)) + ((−1) (∂rA0)− (−1) (−∂rA0))]

}
= ∂r

{
r2 (∂rφ)

}
= 2r∂rφ+ r2∂2

rφ

onde foi utilizado o fato que grrg00 = f × (−1/f) = −1. Então, Euler-Lagrange produz

∂L
∂Aµ

− ∂µ
(

∂L
∂ (∂µA0)

)
= −2e2 r

2

f
φψ2 + 2r∂rφ+ r2∂2

rφ = 0

Dividindo por r2

φ′′ +
2

r
φ′ − 2

e2ψ2

f
φ = 0 (B.2)



44 B. Obtenção das equações de movimento



45

Apêndice C

Planilha Mathematica-Wolfram para

Resolução de Equações Diferenciais

pelo Método de Frobenius

Programa

A resolução das equações diferenciais obtidas nessa dissertação são obtidas com a utili-

zação do software Mathematica 111. Os comentários explicando cada etapa da planilha

foram acrescentadas com uso de parenteses e asteriscos (* comentário *) . Os comandos

da linguagem utilizada no Mathematica estão em itálico.

� ClearAll[f,M,L,psieqmoriginal,phieqmoriginal,psieqmZ,fSchwarzschild];

� ParallelEvaluate[$HistoryLength=0]; (* Esse comando faz com que os cáculos sejam

executados em paralelo, usando memória mínima *)

� M=1;L=1; (* aqui os parâmetros L e M são �xados *)

� (* De�nição da equação na função "psieqmoriginal" *)

� psieqmoriginal=ψ�[r]+(f '[r]/f[r]+2/r) ψ'[r]+(φ[r])^2/(f[r])^2 ψ[r]+2/(L^2 f[r])

ψ[r] ;

� (* De�nição de *) fSchwarzschild[r_]=r^2/L^2-M/r ;

� (* De�nição da equação *) phieqmoriginal=φ�[r]+(2/r) φ'[r]+(2(ψ[r])^2)/f[r] φ[r] ;

� (* Mudança de Variável r→ L/z resultado em ψ como função de z *) psieqmZ=(z^3-

1)^2/z^2*(psieqmoriginal/.{ψ→ Function[r,psi[1/r]],φ→ Function[r,phi[1/r]],f→
Function[r,fSchwarzschild[r]]}/.r→ L/z)//FullSimplify;

1Wolfram: http://www.wolfram.com/



46
C. Planilha Mathematica-Wolfram para Resolução de Equações Diferenciais

pelo Método de Frobenius

� (* φ como função de z *) phieqmZ=(1/z^2-z)(phieqmoriginal/.{ψ→ Func-

tion[r,psi[1/r]],φ→ Function[r,phi[1/r]],f→ Function[r,fSchwarzschild[r]]}/.r→
L/z)//FullSimplify

� (*Resolução do sistema de equações diferenciais para ψ e φ (Essa parte utiliza o

comando NDSolve que resolve equações diferenciais numericamente - Veja no Help

do Mathematica mais detalhes)*)

� (*Decide quantos termos serão utilizados na expansão*) Num=6;

� (*Cria um ansatz para ψ e φ, cujos parametros ψp e φp são inseridos para abilitar o

ajuste das soluções para encontrar os operadores com dimensões 1 e 2 para diferentes

temperaturas *)

� psiAnsatz[z_]=(ψp+Sum[a[k]*(1-z)^k,{k,1,Num}]);

� phiAnsatz[z_]=(1-z)*(φp+Sum[b[p]*(1-z)^p,{p,1,Num}]);

� (*Em primeiro lugar, após os ansatz de Frobenius em torno do horizonte (z=1),

todos os coe�cientes da série de ψ são extraidos com os seguinte comandos*)

� SetAttributes[a,NHoldAll];

� SetAttributes[b,NHoldAll];

� exp1=psieqmZ/.{psi→psiAnsatz,phi→phiAnsatz}//Simplify;

� eq1=ParallelTable[SeriesCoe�cient[exp1,{z,1,i}],{i,1,Num}];

� (*Em segundo lugar após os ansatz de Frobenius em torno do horizonte (z=1), todos

os coe�cientes da série de φ são extraidos com os seguinte comandos*)

� exp2=phieqmZ/.{psi→psiAnsatz,phi→phiAnsatz}//Simplify;

� eq2=ParallelTable[SeriesCoe�cient[exp2,{z,1,i}],{i,1,Num}];

� (*Usando as tabelas acimas é possível encontrar os coe�cientes em termos de ψp e

φp *)

� sol=First[Solve[{eq1==0,eq2==0},Join[Table[a[i],{i,Num}],Table[b[i],{i,Num}]]]];

� (*Obtem as soluções resolvendo as equações diferenciais com o comando NDSolve.*)

� Clear[psisol,phisol];

� psisol[ψprep_,φprep_][z_]=psiAnsatz[z]/.sol/.{ψp→ψprep,φp→φprep};

� phisol[ψprep_,φprep_][z_]=phiAnsatz[z]/.sol/.{ψp→ψprep,φp→φprep};



C. Planilha Mathematica-Wolfram para Resolução de Equações Diferenciais
pelo Método de Frobenius 47

� (*Usa a expansão de Frobenius como conditição inicial em uma distância deltado

horizonte*)

� delta=1/100000;

� deltaHorizon=1/100000000;

� Clear[di�Sol];

� di�Sol[ψprep_?NumberQ,φprep_?NumberQ]:=NDSolve[{phieqmZ==0, psi-

eqmZ==0, phi[1-delta] == phisol[ψprep,φprep][1-delta],phi'[1-delta] ==

phisol[ψprep,φprep]'[1-delta],psi[1-delta] == psisol[ψprep,φprep][1-delta],psi'[1-

delta] == psisol[ψprep,φprep]'[1-delta]},{psi,phi},{z,1-deltaHorizon,delta},

WorkingPrecision→30, AccuracyGoal→30, PrecisionGoal→20, MaxSteps→100000,

InterpolationOrder→All][[1]];

Esse é o programa básico para se obter as soluções das equações. Essas são soluções que

dependem dos parâmetros ψp e φp que podem ser utilizados para ajustar à solução no

horizonte de modo que se possa obter, para cada temperatura, uma solução diferente.



48
C. Planilha Mathematica-Wolfram para Resolução de Equações Diferenciais

pelo Método de Frobenius



49

Apêndice D

O funcional gerador

A amplitude de transição de qiti para qf tf é dada pela integral de caminho de Feynman

< qf tf |qiti >= N

∫
Dqexp[

i

~

∫
dtL(q, q′)

no caso em que H = (p2/2m) + V (q), o qual é su�cientemente geral para o presente

propósito, e as condições de contorno do problema são

q(tf ) = qf e q(ti) = qi.

Esse tipo de condição de contorno será apropriado no movimento de partículas clás-

sicas, mas isso não é o que encontramos na teoria de campos. É análogo se fosse , por

exemplo, ψ(ti) = ψi,ψ(tf ) = ψf . Mas o que realmente acontece é essas partículas são cri-

ada (por exemplo, por colisão), elas interagem, e são destruídas por observação (i.e. por

detecção). Por exemplo, medindo a seção diferencial cruzada dσ/dΩ para o espalhamento

πN , o píon é criado por uma colisão NN, e depois é destruído quando é detectado.

O ato da criação pode ser representado por uma fonte, e a destruição por um ver-

tedouro, isso é, na forma de falar da teoria de campos. As condições de contorno do

problema podem ser representados pela o vácuo em t = −∞ ocorre uma evolução com a

criação da partícula e termina-se no vácuo a t → ∞, via criação, interação e destruição

de uma partícula, através da ação de uma fonte. Deseja-se saber a amplitude de transição

vácuo-a-vácuo na presença de uma fonte.

Esta formulação, usando a linguagem das fontes, é devido a Schwinger(1969). A fonte

J(t) é representada através da mudança na Lagrangiana:

L → L+ ~J(t)q(t). (D.1)

Se |0, t >J é o vetor estado fundamental (vácuo) na presença da fonte, então a aplitude

transição é



50 D. O funcional gerador

Z[J ] ∝ < 0,∞|0,−∞ >J (D.2)

onde um fator de proporcionalidade foi omitido (normalização). Isso é conhecido como

amplitude vácuo-à-vácuo. A fonte J(t) faz um análogo ao de uma corrente eletromagné-

tica, a qual age como uma �fonte� do campo eletromagnético. O campo escalar carregado

φ, por exemplo, tem a lagrangeana e sua interação com o campo eletromagnético Aµ dado

pela Lagrangeana na forma JµAµ. A corrente Jµ age como uma fonte do campo eletro-

magnético, e essa idéia foi generalizada por Schwinger na seguinte formulação: qualquer

campo φ pode ser �criado� por uma fonte apropriada J e Z[J ] é um funcional de J . A

fonte J(t) é não nula somente entre os tempos t e t' (t< t′). Considerando T como um

tempo antes de t , e T' um tempo depois de t', (no �nal faz-se T → −∞ e T ′ → ∞e

recupera-se a amplitude vácuo-à-vácuo) então a amplitude de transição é

< Q′T ′|QT >J= N

∫
Dqexp[

i

~

∫ T ′

T

dt(L+ ~Jq)].

Pode-se escrever

< Q′TQT >J=

∫
dq′dq < Q′T ′|q′t′ >< q′t′|qt >J< qt/QT > (D.3)

Levando em conta que

< Q′T ′|q′t′ >=< Q′|exp(− i
~
HT ′)exp(

i

~
Ht′)|q′ >=

∑
m

φm(Q′)φ∗n(Q)exp[− i
~
En(t− T )]

(D.4)

onde φm(q) são um conjunto completo de autoestados de energia, similarmente,

< qt|QT >=
∑
n

φn(q)φ∗n(Q)exp[− i
~
En(t− T )]

Substituindo em (D.3) e utilizando um pequeno �truque� para isolar o estado fun-

damental, que consiste em utilizar os limites T ′ → ∞e−iδ e T → −∞e−iδ, com um δ

um angulo arbitrário ≤ π/2, obtem-se que a parte imaginária de T é i |T | sinδ, de modo

que o termo (i/~)EnT contem a parte real -i |T | sinδ que dá um fator de amortecimento

exp {(−1/~)En |T | sinδ} . Na somatória (D.4), então, todos os termos sofrem amorteci-

mento, mas quanto maior é o En mais ele é amortecido. Consequentemente o termo que

sofre menos amortecimento é o com menor En, ou seja, é o E0, o menor estado de energia,

ou vácuo. Então na somatória somente a comtribuiçao do estado fundamental (vácuo)

sobrevive. Esta é a característica desejavel. Então,

T ′ →∞e−iδ, T → −∞e−iδ



D. O funcional gerador 51

lim
T ′→∞e−iδ
T→−∞e−iδ

< Q′T ′|QT >J= φ∗0(Q)φ0(Q′)exp[− i
~
E0(t−T )]

∫
dq′dqφ∗0(q′, t′) < q′t′/qt >J φ0(q, t)

ou ∫
dq′dqφ∗0(q′, t′) < q′t′|qt >J φ0(q, t) = lim

T ′→∞e−iδ
T→−∞e−iδ

< Q′T |QT >J

φ∗0(Q)φ0(Q′)exp[− i
~E0(t− T )]

.

O lado esquerdo é o valor esperado para o estado fundamental da transição de am-

plitude. O tempo t' e -t podem ser tomados tão grande quanto quiser, então o lado

esquerdo torna-se <0,∞/0,−∞>J .O denominador no lado direito é simplesmente um

fator numérico, então temos

< 0,∞|0,−∞ > J ∝ lim
T ′→∞e−iδ
T→−∞e−iδ

N

∫
DQexp{ i

~

∫ T ′

T

dt[L(Q,Q′) + ~JQ]}.

Finalmente, ao invés de rodar o eixo do tempo (acrecentar a fase δ) como foi feito,

a contribuição do estado fundamental pode ser isolada adicionando uma pequena parte

negativa imaginária na Hamiltoniana (energia) o que resulta em

Z[J ] =

∫
Dqexp[ i

~

∫ ∞
−∞

dt(L+ ~Jq +
1

2
iεq²] ∝< 0,∞|0,−∞ >J . (D.5)

Dessa de�nição de Z[J] está claro que

δZ[J ]

δJ(t1)
= i

∫
Dqq(t1)exp[

i

~

∫ ∞
−∞

dt(L+ ~Jq +
1

2
iεq²)].

Consequentemente,

δnZ[J ]

δJ(t1)...δJ(tn)
= in

∫
Dqq(t1)...q(tn)exp[

i

~

∫ ∞
−∞

dt(L+ ~Jq +
1

2
iεq²)], (D.6)

o que dá , colocando J=0:

δnZ[J ]

δJ(t1)...δJ(tn)
|J=0 = in

∫
Dqq(t1)...q(tn)exp[

i

~

∫ ∞
−∞

dt(L+
1

2
iεq²)]. (D.7)

Entretanto, com as técnicas das integrais de caminho de Feynman (veja por exemplo

a referência [36]), pode-se obter



52 D. O funcional gerador

< qf tf |T [q(t1)q(t2)...q(tn)]|qiti >=

∫
DqDp
h

q(t1)q(t2)...q(tn)exp

{
i

~

∫ tf

ti

[pq′ −H(p, q)]dt

}
,

onde T [q(t1)q(t2)...q(tn)] representa o produto ordenado no tempo, preservando causali-

dade. No caso em que H = p2/2m+ V (q) isso se torna

< qf tf |T [q(t1)q(t2)...q(tn)]|qiti >= N

∫
Dqq(t1)q(t2)...q(tn)exp

{
i

~

∫ tf

ti

Ldt

}
.

Portanto, o valor esperado no vácuo do produto ordenado no tempo (vácuo-a-vácuo)

é a derivada funcional em relação à fonte,

δnZ[J ]

δJ(t1)...δJ(tn)
|J=0 ∝ in < 0,∞|T [q(t1)...q(tn)]|0,−∞ > . (D.8)



53

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