UNESP
FACULDADE DE ENGENHARIA DO CAMPUS DE GUARATINGUETÁ
PROJETO E CONSTRUÇÃO DE UM DISPOSITIVO PARA
TESTES EM COLUNA VERTEBRAL
GUARATINGUETÁ – SP
2014
ALVARO HENRIQUE PEREIRA
PROJETO E CONSTRUÇÃO DE UM DISPOSITIVO PARA
TESTES EM COLUNA VERTEBRAL
Tese apresentada ao Departamento de
Mecânica da Faculdade de Engenharia de
Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista,
como parte dos requisitos para obtenção do
título de Doutor em Engenharia Mecânica
Orientador: Prof. Dr. José Elias Tomazini
Guaratinguetá
2014
P436p
Pereira, Alvaro Henrique
Projeto e construção de um dispositivo para testes em coluna vertebral /
Alvaro Henrique Pereira - Guaratinguetá, 2014
88 f .: il.
Bibliografia: f. 73-74
Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de
Engenharia de Guaratinguetá, 2014.
Orientador: Prof. Dr. José Elias Tomazini
1. Biomecânica 2. Disco intervertebral 3. Coluna vertebral I. Título
CDU 612.766(043)
DADOS CURRICULARES
ALVARO HENRIQUE PEREIRA
NASCIMENTO 03.06.1956 – RIO DE JANEIRO / RJ
FILIAÇÃO Alvacy Caiado Pereira
Zulma Henrique de Faria Pereira
1974/1978 Curso de Graduação
Engenharia Mecânica - Universidade Federal do Rio de
Janeiro
2000/2002 Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica,
nível de Mestrado, na Faculdade de Engenharia do
Campus de Guaratinguetá da Universidade Estadual Paulista.
2010/2014 Curso de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica,
nível de Doutorado, na Faculdade de Engenharia do
Campus de Guaratinguetá da Universidade Estadual Paulista.
Dedico este trabalho à: minha esposa Elizabeth, minha filha
Fabiana, a memória de meu pai Alvacy, a minha mãe Zulma,
meus irmãos Antônio Carlos e Olympio e aos amigos e
familiares pelo constante apoio.
AGRADECIMENTOS
Ao meu orientador, Prof. Dr. José Elias Tomazini pela sua orientação, dedicação e
conhecimento.
Aos funcionários do Campus e do Departamento de Mecânica: Eliane, Gabriel, Lúcia,
Miguel, Rizatto, Salete, Urbano e Walter que me ajudaram muito na fabricação do
dispositivo, na realização dos testes e pela cordialidade.
Aos professores Brandão, Mauro Hugo, Fenando, Victor, Tamotsu Hirata e a todos os
professores do Departamento pelos conhecimentos transmitidos e por todas as informações
passadas.
Agradeço a Instituição por me proporcionar realizar um curso desse nível.
PEREIRA, A. H. Projeto e construção de um dispositivo para testes em coluna vertebral.
2014. 88 f. Tese para Doutorado em Engenharia Mecânica – Faculdade de Engenharia do
Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2014.
RESUMO
A degenerescência em função da idade, de posturas e de movimentos não ergonômicos
acarreta perdas das funções mecânicas e patologias nas colunas, principalmente nos discos
intervertebrais. Ultimamente têm sido desenvolvidos muitos modelos matemáticos e feitas
muitas experiências para avaliação desses discos. Neste trabalho foi desenvolvido e fabricado
um dispositivo para testar partes de coluna vertebral objetivando obter dados de
características mecânicas dos discos intervertebrais, fornecendo informações para
desenvolvimento de próteses. Concomitantemente foi desenvolvido um programa matemático
para tratamento dos dados dos sensores do dispositivo em informações cinemáticas, além do
desenvolvimento de um programa de simulação para comparação com os dados dos testes. O
modelo matemático para simulação baseou-se no corpo de teste utilizado nos testes e os dados
experimentais foram compatíveis com os resultados obtidos na simulação.
PALAVRAS-CHAVE: disco intervertebral, biomecânica, dispositivo de teste, coluna
vertebral
PEREIRA, A. H. Project and construction of device for tests in spine. 2014. 88 f. Thesis
for doctoral degree in Mechanical Engineering – Faculdade de Engenharia do Campus de
Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2014.
ABSTRACT
The degeneration in function of age, postures and movements not ergonomic causes loss of
mechanical functions and pathologies in spinal column, mainly in intervertebral discs. Lately
it has been developed many mathematical models and made many experiments for evaluation
of these discs. In this work it was developed and manufactured a device to test parts of the
spinal column aiming to obtain data of mechanical characteristics of intervertebral discs,
providing information for the development of prosthesis. At the same time it was developed a
program to turn the data of the sensors of the device into kinematical information, besides the
development of a program of simulation for comparison with the data of the tests. The
mathematical model for simulation was based on a body of test used in the tests and the
experimental data were compatible with the results obtained in the simulation.
KEY WORDS: intervertebral disc, biomechanics, device of test, spine
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Modelo de um disco intervertebral - af (ânulo fibroso) e np (núcleo pulposo) ....... 14
Figura 2 – Utilização de sensor de pressão tipo agulha “in vivo”: (a) sensor; (b) imagem do
sensor introduzido no disco; (c) voluntário durante os testes ................................................... 15
Figura 3 – Modelagem por elementos finitos – disco intervertebral ........................................ 16
Figura 4 – Dispositivo para aplicação de força cortante e força de compressão: (a) vista geral;
(b) mesa; (c) diagrama de esforços. .......................................................................................... 17
Figura 5 – Dispositivo para movimentos simultâneos da coluna ............................................. 18
Figura 6 – Modelo biomecânico de um corpo humano pelo sistema multicorpo..................... 21
Figura 7 – Modelo com elementos finitos ................................................................................ 22
Figura 8 – Utilização de sensor de pressão tipo agulha para disco intervertebral: (a) sensor;
(b) sensor aplicado no disco ..................................................................................................... 22
Figura 9 – Detalhe esquemático de sensor tipo agulha ............................................................ 23
Figura 10 – Utilização de scanner para medir a deformação das fibras do ânulo – Extensão . 23
Figura 11 – Utilização de scanner para medir a deformação das fibras do ânulo – Flexão ..... 24
Figura 12 – Deformações das fibras do ânulo .......................................................................... 24
Figura 13 – Dispositivo de teste - Projeto desenvolvido em 3D .............................................. 26
Figura 14 – Vista geral do dispositivo; (a) vista geral; (b) Vista do dispositivo ...................... 27
Figura 15 – Corpo de teste - Disco de aço/anel de borracha/disco de aço ............................... 27
Figura 16 – Montagem do corpo de teste ................................................................................. 28
Figura 17 – Fixador inferior solidário ao cavalete e o superior montado na placa móvel ....... 28
Figura 18 – Simulação do peso corporal .................................................................................. 29
Figura 19 – Flexão no plano sagital e lateral - Atuador vertical .............................................. 30
Figura 20 – Rolete/placa móvel ................................................................................................ 30
Figura 21 – Célula de carga – força de flexão .......................................................................... 31
Figura 22 – Regulagem do braço de alavanca para momento de flexão .................................. 32
Figura 23 – Placa móvel e fixador superior rotacionados com a carga de flexão .................... 32
Figura 24 – Sistema de torque longitudinal .............................................................................. 33
Figura 25 – Detalhes do sistema de torção: (a) parte externa da célula de carga; (b) parte
interna do da célula de carga .................................................................................................... 34
Figura 26 – Detalhe do sistema de monitoração da placa móvel ............................................. 35
Figura 27 – Detalhe da bucha rotativa e haste .......................................................................... 36
Figura 28 – Potenciômetros - Sentido positivo dos ângulos .................................................... 37
Figura 29 – Posição dos pontos P20 a P24 e P30 a P34 ........................................................... 38
Figura 30 – Placa móvel - Posição inicial sem aplicação de esforços ...................................... 39
Figura 31 – Placa móvel - Posição do ponto P20 na posição n ................................................ 42
Figura 32 – Corpo de teste Corte no plano sagital – Posição inicial e num tempo (t) ............. 43
Figura 33 – Perspectiva - Modelo para Corpo de teste ............................................................. 43
Figura 34 – Vista lateral - Modelo para Corpo de teste............................................................ 44
Figura 35 – Esforços atuantes na placa móvel - Vista lateral ................................................... 48
Figura 36 – Esforços atuantes na placa móvel - Vista superior................................................ 48
Figura 37 – Esforços atuantes no corpo de teste - Vista frontal ............................................... 49
Figura 38 – Medições dos pontos P20 a P24, P1 e P2 ............................................................. 51
Figura 39 – Medições dos pontos P20 a P24- Referencial fixo a placa móvel ........................ 51
Figura 40 - Curso do parafuso atuador x torção da vértebra L5 do corpo de teste................... 55
Figura 41 – Modelo tridimensional S1-L5 ............................................................................... 56
Figura 42 – Desenho em 3D S1-L5 .......................................................................................... 57
Figura 43 – L5/ posicionamento do CG ................................................................................... 57
Figura 44 – Modelo sacro/disco/L5 .......................................................................................... 58
Figura 45 – Modelo sacro/disco/L5 - Referencial adotado ...................................................... 59
Figura 46 – Discriminação dos conjuntos mola/ amortecedor ................................................. 60
Figura 47 – Diagrama do modelo para simulação virtual ........................................................ 62
Figura 48 – Diagrama do modelo para teste – Detalhe do atuador 1 do momento de flexão .. 62
Figura 49 – Entrada de dados do atuador 1 – Momento de flexão ........................................... 63
Figura 50 - Parâmetros de simulação no SimMechanics .......................................................... 64
Figura 51 - Modelo de simulação sem aplicação de esforços .................................................. 65
Figura 52 - Modelo de simulação na posição final ................................................................... 65
Figura 53 - Dados de força registrados pela célula de carga .................................................... 66
Figura 54 - Momento aplicado no corpo de teste ..................................................................... 66
Figura 55 - Deslocamento do ponto P22 na direção vertical (y) .............................................. 67
Figura 56 - Deslocamento do ponto P24 na direção vertical (y) .............................................. 67
Figura 57 - Ângulo de rotação da vértebra: 2,1º ....................................................................... 68
Figura 58 - Ângulo de rotação da vértebra: 2,1º ....................................................................... 69
Figura 59 - Ângulo de rotação da vértebra: 2,1º ....................................................................... 69
Figura 60 - Aplicação de torque de 0,0 a 7,0 N.m - Período de 64 a 72 segundos .................. 70
Figura 61 - Ângulo de torção de 8,5º ........................................................................................ 70
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – Matriz “d” parcial - Dados iniciais .......................................................................................52
Tabela 2 – Matriz “d” parcial - Ângulos dos potenciômetros, cargas verticais e tempo - Dados relativos
à flexão do corpo de teste .......................................................................................................................53
LISTA DE SÍMBOLOS
Δ: Deslocamento dos pontos [mm]
ρ: Densidade
[g/cm3]
β: Ângulo de rotação do potenciômetro associado a translação da haste [°]
φ: Ângulo de rotação do potenciômetro associado a rotação da bucha [°]
C: Coeficiente de amortecimento linear [N.s/m]
Eb: Módulo de compressibilidade [MPa]
F1: Força de compressão atuante no corpo de teste [N]
F2 a F5: Reações das guias na placa móvel [N]
G: Módulo de elasticidade transversal [MPa]
ICG: Tensor de inércia da vértebra matriz 3x3 [g.mm2]
k: Rigidez de mola [N/m]
M1: Momento de torção no corpo de teste devido ao sistema de torção [N.m]
M2: Momento de flexão no corpo de teste devido à placa móvel [N.m]
M3: Momento de flexão no corpo de teste devido ao fixador inferior [N.m]
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 13
1.1 DESCRIÇÃO .................................................................................................................... 13
1.2 OBJETIVOS ...................................................................................................................... 18
1.3 CONTRIBUIÇÕES ........................................................................................................... 18
1.4 ESTRUTURA DA TESE .................................................................................................. 19
2 REVISÃO DA LITERATURA .......................................................................................... 20
2.1 MODELOS MATEMÁTICOS .......................................................................................... 20
2.2 DISPOSITIVOS DE TESTES ............................................................................................ 22
3 METODOLOGIA ................................................................................................................ 25
3.1 DISPOSITIVO DE TESTES .............................................................................................. 25
3.1.1 Diretrizes para concepção do dispositivo .................................................................... 25
3.1.2 Funcionamento do dispositivo ...................................................................................... 26
3.1.2.1 Montagem do corpo de teste ......................................................................................... 27
3.1.2.2 Montagem de carga para simulação de peso corporal .................................................. 29
3.1.2.3 Flexão no plano sagital e lateral ................................................................................... 29
3.1.2.3.1 Aplicação da carga .................................................................................................... 29
3.1.2.3.2 Braço de alavanca ...................................................................................................... 31
3.1.2.4 Torção da coluna em torno do eixo longitudinal .......................................................... 33
3.1.2.5 Sensores de posicionamento da placa móvel ................................................................ 35
3.1.3 Calibrações dos instrumentos ....................................................................................... 36
3.1.3.1 Célula de carga de torção.............................................................................................. 36
3.1.3.2 Potenciômetros ............................................................................................................. 37
3.2 EQUAÇÕES DOS MOVIMENTOS .................................................................................. 37
3.2.1 Posições iniciais das placas fixa e móvel ...................................................................... 38
3.2.2 Corpo de teste com esforços aplicados ......................................................................... 41
3.2.3 Rotação e translação da vértebra L5 ........................................................................... 42
3.2.4 Posições dos pontos P20 a P24 ...................................................................................... 43
3.2.4.1 Referencial móvel ligado a placa móvel....................................................................... 44
3.2.4.2 Distâncias entre os pontos P21 a P24 em relação aos pontos P31 a P34 ..................... 45
3.2.4.3 Velocidades dos pontos P21 a P24 ............................................................................... 45
3.3 PROGRAMA MATEMÁTICO ......................................................................................... 46
3.4 ESFORÇOS APLICADOS ................................................................................................ 47
3.5 REALIZAÇÃO DOS TESTES E DADOS OBTIDOS ...................................................... 50
3.5.1 Procedimentos e medidas iniciais ................................................................................. 50
3.5.2 Testes .............................................................................................................................. 52
3.5.3 Aquisição de dados para flexão .................................................................................... 52
3.5.4 Aquisição de dados para torção ................................................................................... 54
3.6 MODELAGEM MATEMÁTICA ................................................................................... 55
3.6.1 Concepção de modelo similar a coluna vertebral para testes “in vitro” .................. 55
3.6.1.1 Geometria dos componentes ......................................................................................... 56
3.6.1.2 Modelo matemático de modelo similar à coluna vertebral........................................... 58
3.6.2 Concepção de modelo para realização dos testes ........................................................ 59
3.6.3 Programa de simulação ................................................................................................. 60
3.6.4 Simulação ....................................................................................................................... 63
3.6.4.1 Dados do anel de borracha (disco intervertebral) ......................................................... 63
3.6.4.2 Constante de rigidez das molas 1 a 4 ............................................................................ 63
3.6.4.3 Constante de rigidez da mola 5..................................................................................... 63
3.6.4.4 Constante de rigidez das molas 6 e 7 ............................................................................ 64
3.6.4.5 Parâmetros do programa de simulação ......................................................................... 64
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES ...................................................................................... 66
5 CONCLUSÕES .................................................................................................................... 72
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 73
APÊNDICE A – Programa para 41 posições ....................................................................... 75
APÊNDICE B – Cálculos de rigidez elástica do corpo de teste .......................................... 83
13
1 INTRODUÇÃO
1.1 DESCRIÇÃO
Na biomecânica busca-se, apesar de toda a complexidade do corpo humano,
desenvolver modelos matemáticos que forneçam dados compatíveis aos elementos analisados.
A consolidação dos modelos matemáticos permite a utilização dos mesmos para
desenvolvimentos de órteses e próteses que apresentem comportamentos mais próximos
possíveis dos elementos naturais aos quais substituirão. A busca de modelos matemáticos para
discos intervertebrais da coluna vertebral com o intuito de obtenção de dados mecânicos que
forneçam informações para o desenvolvimento e manufatura de próteses para esses discos,
tem sido objetivo para muitos pesquisadores.
A coluna vertebral é um sistema multicorpo constituído por 33 vértebras separadas por
discos intervertebrais, diversos ligamentos, músculos e articulações. Além de proteção da
medula espinhal proporciona ao tronco movimentos concomitantes nos planos sagital, frontal
e transversal (HALL, 2009). Pela complexidade da coluna vertebral, as pesquisas de uma
forma geral são realizadas em partes dessa coluna (CRIPTON et al., 2001).
Os discos intervertebrais são constituídos basicamente de dois componentes principais
conforme é mostrado na Figura 1. A parte mais interna é formada por um material mais
cartilaginoso do que fibroso, denominada de núcleo pulposo e a parte que envolve esse
núcleo, denominada ânulo, é formada por diversas camadas lamelares preponderantemente
fibrosas (HALL, 2009).
A degenerescência em função da idade, de posturas e de movimentos não ergonômicos
acarreta perdas das funções mecânicas dos discos provocando danos aos mesmos, uma dessas
patologias são as herniações com as extrusões dos núcleos pulposos (HALL, 2009).
No estudo mecânico do disco intervertebral o objetivo é a criação de um modelo
formado por molas e amortecedores (lineares e rotacionais) que apresentem valores de
parâmetros (rigidez e amortecimento) compatíveis com o mesmo. Nos movimentos da coluna,
as interfaces entre duas vértebras adjacentes se dão através de diversos ligamentos e do disco
intervertebral, necessitando, portanto, de estudo para cada movimento e posição dos esforços
(momentos e forças) absorvidos pelos ligamentos e dos absorvidos pelo disco, para isso
realizam-se testes “in vitro” com e sem os ligamentos.
14
Figura 1 - Modelo de um disco intervertebral - af (ânulo fibroso) e np (núcleo pulposo)
Fonte: (DOLAN e ADAMS, 2001)
Wilke et al. (2001) realizaram testes “in vivo” para se medir a pressão intradiscal em
atividades de vida diária, como sentar, inclinar para frente, suspender uma carga com e sem
flexão de joelho, etc. Para tanto, foi introduzido um transdutor de pressão do tipo agulha no
núcleo pulposo do disco intervertebral entre as vértebras L4-L5 de um voluntário conforme
mostrado na Figura 2. No entanto testes deste tipo são difíceis de executar, pois é necessária
uma intervenção cirúrgica para introdução e outra para a retirada da agulha, além dos naturais
riscos dos procedimentos invasivos, junte-se a isso a difícil disponibilidade de voluntários.
Desta forma, a maioria dos experimentos é realizada “in vitro”, utilizando dispositivos
mecânicos ou eletromecânicos para simular movimentos de flexão, extensão, flexão lateral,
torção, etc. Normalmente são utilizadas colunas de animais, por exemplo, suínos, para a
realização dos testes (LEMOS, 2011). Muitas pesquisas também utilizam colunas de
cadáveres.
Em pesquisa de Holm et al. (2007), testes foram realizados em dezessete suínos “in
vivo”. Foram produzidos ferimentos no núcleo pulposo de oito animais e na placa terminal
cartilaginosa nos outros nove animais nos discos L3-L4. Posteriormente medições das
pressões nos núcleos pulposos foram realizadas para avaliar o impacto na pressão no núcleo
pulposo do disco com degeneração e no disco adjacente L2-L3 (sem danos), as medições
foram realizadas com introdução de sensores de pressão tipo agulha nesses dois discos
adjacentes.
15
Figura 2 – Utilização de sensor de pressão tipo agulha “in vivo”: (a) sensor; (b) imagem do sensor
introduzido no disco; (c) voluntário durante os testes
Fonte: Adaptado de (WILKE, 2001)
Tomazini (2009) utilizou um modelamento baseado no método de Kane para determinar
as pressões intradiscais no disco L4-L5 e os esforços reativos nas articulações na parte da
coluna lombar entre o sacro e L4 conforme mostrado na Figura 6.
Strange et al. (2010) utilizaram modelos pelo método de elementos finitos para o disco
L4-L5 para avaliar os efeitos mecânicos na implantação de elastômero para substituição
parcial do ânulo, em função de ocorrência de herniações. Nas simulações computacionais os
discos foram submetidos a cargas axiais. Esse modelo está mostrado na Figura 3.
16
Figura 3 – Modelagem por elementos finitos – disco intervertebral
Fonte: (STRANGE, 2010)
Os dados obtidos com os modelos fornecem subsídios para manufatura de próteses e os
testes a serem realizados para atender as normas vigentes. No caso específico de testes
estáticos e dinâmicos para homologação do disco, deve-se atender a norma (MATERIALS,
2011).
Em função de cada tipo de teste são desenvolvidos dispositivos para simular os esforços
atuantes, tais como: flexão/extensão (plano sagital), flexão lateral, rotação em torno do eixo
longitudinal e o peso próprio da parte superior do corpo, simulando as cargas atuantes.
Skrzypiec et al. (2012) utilizaram um dispositivo, mostrado na Figura 4, para induzir
uma força cortante entre L2 e L3 no plano sagital, além de uma força compressiva simulando
o peso próprio, nesse caso apenas um par de vértebras juntamente com o disco intervertebral é
testado.
Crisco, Fujita e Spenciner (2007) desenvolveram um dispositivo, conforme mostrado na
Figura 4, para provocar momento de flexão e extensão e uma força compressiva devido ao
peso próprio, o dispositivo não provoca torção nem a flexão lateral.
Zhu et al. (2012) desenvolveram um equipamento para simulação de diversos
movimentos simultâneos da coluna. Nesse dispositivo os diversos atuadores são montados em
diversas estruturas de suportação, ou seja, não são montados num sistema monobloco, o que a
princípio podem requerer muitos ajustes para as interfaces entre esses atuadores. Esse
dispositivo está mostrado na Figura 5.
17
Figura 4 – Dispositivo para aplicação de força cortante e força de compressão: (a) vista geral; (b)
mesa; (c) diagrama de esforços.
Fonte: Adaptado de (SKRZYPIEC, 2012)
Cripton et al. (2001) desenvolveram um dispositivo para provocar momento de torção
em torno do eixo longitudinal da coluna para estudo do segmento da coluna cervical C2-C3.
Ahn e Diangelo (2007) desenvolveram um dispositivo para aplicar flexão e cargas
compressivas para testes na coluna cervical.
A razão da construção de um dispositivo de testes e o desenvolvimento de um modelo
matemático para comparar com os dados experimentais das partes das colunas testadas, é para
possibilitar a consolidação dos parâmetros mecânicos de rigidez elástica e de amortecimento
viscoso dos discos intervertebrais testados.
18
Figura 5 – Dispositivo para movimentos simultâneos da coluna
Fonte: Adaptado de (ZHU, 2012)
1.2 OBJETIVOS
Este trabalho tem como objetivos:
Desenvolver, projetar e construir um dispositivo para realização de testes de flexão,
torção e compressão em colunas ou partes de colunas vertebrais.
Desenvolver um modelo matemático para avaliação do comportamento do disco
intervertebral entre vértebras (S1-L5, L5-L4, L4-L3, até C2-C1) para consolidação de
parâmetros mecânicos de efeito de mola e de amortecimento do disco, objetivando subsídios
para manufatura de próteses.
1.3 CONTRIBUIÇÕES
Além de contribuir para realizações de testes em partes da coluna vertebral (unidade
funcional: vértebra-disco-vértebra), trata-se de um dispositivo inédito.
19
1.4 ESTRUTURA DA TESE
No capítulo 1 é apresentada a descrição do problema analisado, trabalhos correlatos, os
objetivos a serem alcançados e a estrutura do trabalho.
No capítulo 2 é apresentada uma revisão da literatura onde são apresentados alguns
trabalhos que desenvolveram e utilizaram modelagens matemáticas e trabalhos com utilização
de dispositivos de testes.
No capítulo 3 é descrita a metodologia utilizada, o funcionamento e as características do
dispositivo utilizado, os movimentos a serem realizados nos testes e as medições a serem
obtidas e a concepção do modelo matemático considerado.
No capítulo 4 são apresentados os resultados dos testes com um modelo de um conjunto
vértebra/disco/vértebra e os valores de rigidez e de amortecimento do modelo compatíveis
com os resultados obtidos.
No capítulo 5 é apresentada a conclusão do trabalho e a sua relevância.
20
2 REVISÃO DA LITERATURA
Alguns resumos de trabalhos utilizados para estudo biomecânico de partes da coluna
lombar que analisam os discos intervertebrais, com modelagem matemática e dispositivos
para testes e monitoração, são comentados nesse capítulo.
2.1 MODELOS MATEMÁTICOS
Lemos (2011) analisou a influência da desidratação no coeficiente de amortecimento
viscoso e como esta variação pode alterar o comportamento mecânico do disco intervertebral
lombar. Nesse estudo o coeficiente de amortecimento viscoso foi obtido experimentalmente
de unidades funcionais de colunas lombares suínas antes e após o processo de desidratação
das mesmas, e também simulado em modelo computacional a resposta harmônica, utilizando-
se dados da literatura e do coeficiente de amortecimento viscoso, analisando as diferenças
entre uma simulação com o disco intervertebral hidratado e desidratado. A conclusão do
estudo mostra que os discos intervertebrais desidratados respondem de forma diferente à
vibração, o que pode contribuir para os processos lesivos da coluna vertebral.
Tomazini (2009) realizou um trabalho, onde objetivou aplicar um formalismo
multicorpo, mais precisamente, o método de Kane a um modelo do corpo humano conforme
mostrado na Figura 6. A finalidade foi determinar a pressão intradiscal entre as vértebras
L4/L5 da coluna lombar, em algumas atividades normais de vida diária, como: sentar, abaixar,
pegar e elevar cargas, realizar movimentos de flexão e extensão. Tomazini (2009) determinou
também os esforços internos nas diversas articulações deste modelo. Inicialmente, foi
proposto um modelo do corpo humano e o método de Kane foi aplicado para se obter as
equações do movimento. Para resolvê-las, foi necessário realizar a filmagem de um sujeito
realizando as atividades citadas, a fim de se obter as equações das trajetórias dos diversos
segmentos do corpo humano. Foi obtida também, de forma analítica uma expressão da
pressão intradiscal em função do deslocamento axial do disco intervertebral, a qual era função
do movimento de flexão e extensão da coluna. Após a simulação, os parâmetros desejados
foram obtidos e comparados com valores experimentais citados na literatura.
21
Figura 6 – Modelo biomecânico de um corpo humano pelo sistema multicorpo
Fonte: (TOMAZINI, 2009)
Schmidt et al. (2010) desenvolveu um modelo matemático utilizando o método de
elementos finitos, no qual considerou o ânulo como um material isotrópico com coeficiente
elástico linear e para o núcleo pulposo um elemento poro elástico no qual representa seu
comportamento por uma equação de energia não linear. O objetivo do estudo foi avaliar o
disco intervertebral em trabalhos diários durante uma simulação de 2 dias com carga de 350 N
em repouso de 8 horas, e durante as 16 horas uma carga também compressiva variando de
1000 a 1600 N. Os resultados obtidos com simulação em relação: aos deslocamentos; a perda
de água e a pressão intradiscal, se aproximaram dos testes realizados “in vitro” e “in vivo”. Os
modelamentos dos elementos da coluna lombar estão representados na Figura 7.
22
Figura 7 – Modelo com elementos finitos
Fonte: Adaptado de (SCHMIDT, 2010)
2.2 DISPOSITIVOS DE TESTES
Dennison et al. (2008) realizaram um trabalho para medição de pressão intradiscal em
cadáveres no qual foram utilizados sensores tipo agulha, conforme mostrado nas Figuras 8 e
9.
Figura 8 – Utilização de sensor de pressão tipo agulha para disco intervertebral: (a) sensor;
(b) sensor aplicado no disco
Fonte: Adaptado de (DENNISON et al., 2008)
23
Os valores medidos são similares aos obtidos em estudos anteriores, conforme literatura
descrita no estudo, o que consolida esse tipo de medição “in vivo” ou “in vitro”.
Figura 9 – Detalhe esquemático de sensor tipo agulha
Fonte: Adaptado de (DENNISON et al., 2008)
Wilke et al. (2008) utilizaram um dispositivo para teste de coluna para aplicação de
esforços simultâneos (flexão, extensão, flexão lateral, rotação axial e compressão), sendo
acoplado ao mesmo um sistema para captura de imagens a base de laser, conforme mostrado
nas Figura 10 e 11. Observação deve ser feita em relação ao feixe de laser aplicado ao
conjunto L2-disco-L3 mostrado no destaque da Figura 10.
Figura 10 – Utilização de scanner para medir a deformação das fibras do ânulo – Extensão
Fonte: Adaptado de (WILKE et al., 2008)
24
Figura 11 – Utilização de scanner para medir a deformação das fibras do ânulo – Flexão
Fonte: Adaptado de (WILKE et al., 2008)
Obtiveram com as imagens anteriores aos esforços e as posteriores aos esforços as
deformações das fibras do ânulo, por consequência as trações atuantes em cada fibra. Na
Figura 12 são mostradas as imagens sem carga, com aplicação de uma flexão com momento
de 7,5N.m e uma imagem dos deslocamentos na forma cromática.
Figura 12 – Deformações das fibras do ânulo
Fonte: (WILKE, 2008)
A literatura apresenta diversos trabalhos na área de modelamento, assim como os
diversos equipamentos, dispositivos e formas de testes utilizados. Alguns dispositivos de
testes foram apresentados no capítulo 1. Pela característica desse trabalho e pelas suas
especificidades dos objetivos, pode-se considerar a sua contribuição para a área de
biomecânica da coluna vertebral.
25
3 METODOLOGIA
As etapas para desenvolvimento dessa tese para atingir os objetivos propostos são:
a) Diretrizes para concepção de um dispositivo de testes, os parâmetros a serem seguidos e
os experimentos a serem realizados;
b) Projeto e fabricação de um dispositivo de testes com a especificação de sensores e
atuadores, e a fabricação de um corpo de teste (similar a um conjunto
vértebra/disco/vértebra);
c) Desenvolvimento de um programa matemático para transformar os sinais dos sensores
de posicionamento em valores cinemáticos para os componentes móveis do dispositivo
de testes;
d) Avaliação dos esforços envolvidos nos testes;
e) Realização dos experimentos;
f) Obtenção dos dados cinemáticos e dinâmicos dos experimentos realizados;
g) Paralelamente ao projeto e fabricação, o desenvolvimento de um modelo matemático
para uma simulação em laboratório virtual;
h) Realização da simulação similar ao teste com aplicação de esforços idênticos ao dos
experimentos;
i) Avaliação entre os valores experimentais e os valores da simulação;
j) Consolidação do modelo matemático utilizado e dos valores de rigidez elástica e de
amortecimento dos componentes relativos ao disco intervertebral
3.1 DISPOSITIVO DE TESTES
3.1.1 Diretrizes para concepção do dispositivo
Para elaboração desse trabalho foi idealizado um dispositivo, conforme Figura 13, para
realizações de movimentos de flexão, de torção em torno do eixo longitudinal e de esforços
axiais de compressão, tendo como premissas: os movimentos acionados manualmente,
instrumentos de medição dentro do orçamento previsto ou instrumentos disponíveis no
laboratório de Biomecânica do Departamento de Mecânica da Faculdade de Engenharia de
26
Guaratinguetá (FEG/UNESP) e instalação do dispositivo em cavalete padronizado existente
no laboratório.
O custo para fabricação do dispositivo foi limitado à R$ 4.000,00, essa estimativa foi
idealizada em meados do ano de 2012.
A utilização do sistema de aquisição de dados do laboratório de Biomecânica.
Figura 13 – Dispositivo de teste - Projeto desenvolvido em 3D
3.1.2 Funcionamento do dispositivo
A Figura 14 apresenta uma vista geral do dispositivo já construído durante a realização
de um experimento.
A sequência de montagem para realização do primeiro experimento foi a utilizada para
a apresentação do funcionamento dos sistemas do dispositivo. A sequência é a seguinte:
� Colocação do corpo de teste;
� Colocação dos pesos para simulação da massa corpórea;
� Aplicação de carga para flexão;
� Aplicação de carga para torção.
27
Figura 14 – Vista geral do dispositivo; (a) vista geral; (b) Vista do dispositivo
(a)
(b)
3.1.2.1 Montagem do corpo de teste
Para realização dos testes e levantamento de dados foi desenvolvido um conjunto
conforme mostrado na Figura 15 para simular um par de vértebras (discos de aço) e um disco
intermediário (borracha). A parte superior do corpo de teste será denominada como vértebra
L5, a parte inferior como sacro S1 e o disco de borracha como disco intervertebral.
Figura 15 – Corpo de teste - Disco de aço/anel de borracha/disco de aço
28
Para fabricação desse corpo de teste foram usinados dois discos de aço com ø40 x 20
mm de altura e colado entre eles um disco de borracha com espessura de 8 mm com dureza de
70 Shore A.
O corpo de teste é montado no dispositivo conforme mostrado na Figura 16. A vértebra
L5 é travada ao fixador superior através dos parafusos sextavados, assim como S1 é montado
no fixador inferior. O fixador inferior é fixo conforme mostrado na Figura 17 e o fixador
superior acompanha o movimento da placa móvel durante a flexão, e tem um grau de
liberdade em relação a essa placa, que é o giro em torno do seu eixo longitudinal. Esse item
será detalhado em 3.1.2.4 referente a aplicação de torção.
Figura 16 – Montagem do corpo de teste
Figura 17 – Fixador inferior solidário ao cavalete e o superior montado na placa móvel
29
3.1.2.2 Montagem de carga para simulação de peso corporal
Para simular a compressão devida ao peso corporal acima dessa parte da coluna, foram
colocados dois cabos de aço fixados no lado externo do fixador superior, conforme mostrado
na Figura 16, num plano paralelo ao plano frontal, com colocação de anilhas na chapa de base
do fixador inferior e numa mesma posição relativa para passagem desses cabos. Na parte
inferior do cavalete estão colocadas as massas para simular o peso próprio do corpo. Esse
sistema está mostrado na Figura 18.
Figura 18 – Simulação do peso corporal
3.1.2.3 Flexão no plano sagital e lateral
3.1.2.3.1 Aplicação da carga
O atuador vertical, conforme mostrado na Figura 19, é o conjunto formado por: volante,
fuso, guia fixa, guia móvel, célula de carga de flexão e rolete. A guia fixa é aparafusada ao
quadro.
A flexão é provocada pela rotação do volante, vide Figura 19, que realiza o movimento
vertical do fuso. O fuso está acoplado à guia móvel que desliza sobre a guia fixa, sendo que a
célula de carga, denominada de célula de carga de flexão, está fixada à essa guia móvel.
30
Figura 19 – Flexão no plano sagital e lateral - Atuador vertical
‘
Na parte inferior da célula de carga se tem um rolete mostrado na Figura 20 para que
sejam aplicadas apenas cargas verticais no ponto de contato com a placa móvel.
A parte superior do conjunto da coluna é presa ao fixador superior, dessa forma a
vértebra superior fica solidária ao movimento de flexão da placa móvel.
Figura 20 – Rolete/placa móvel
31
Os sinais das cargas verticais através da célula de carga (Fabricante HBM – modelo
S40 – capacidade de 50 kgf.) mostrada na Figura 21, serão processados pelo equipamento de
aquisição de dados Spider 8 (HBM, Darmstadt, Alemanha) pertencente ao Departamento de
Mecânica da Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá (FEG-UNESP).
Figura 21 – Célula de carga – força de flexão
3.1.2.3.2 Braço de alavanca
O braço (“d1”) conforme mostrado na Figura 19, distância entre a linha de centro do
fuso e a fixação superior da coluna, para aplicação do momento pode ser alterado com a
movimentação horizontal do atuador na direção do eixo x, conforme mostrado na Figura 19.
Os dois parafusos que travam a guia fixa ao cavalete, conforme mostrado na Figura 22,
devem ser “afrouxados” para permitir a movimentação do atuador para uma nova posição
desejada. A curva de força e essa distância determinam a curva do momento de flexão
imposta ao conjunto da coluna vertebral durante os experimentos.
32
Figura 22 – Regulagem do braço de alavanca para momento de flexão
Na Figura 23 está mostrada a placa móvel inclinada e o fixador superior, onde é fixada a
vértebra L5, naturalmente acompanhando esse movimento e induzindo um momento fletor ao
conjunto da vértebra, já que S1 é mantido fixo.
Figura 23 – Placa móvel e fixador superior rotacionados com a carga de flexão
33
3.1.2.4 Torção da coluna em torno do eixo longitudinal
O sistema de torque em torno do eixo longitudinal, conforme mostrado nas Figura 24 e
25, é composto por: parafuso atuador, porca rotativa, célula de carga tipo “U”, que será aqui
denominada célula de carga de torção, e eixo excêntrico solidário ao fixador superior.
Figura 24 – Sistema de torque longitudinal
O copo fixador superior da coluna é livre para girar em torno da bucha fixada à placa
móvel, conforme mostrado nas Figuras 24 e 25.
O movimento é exercido com aplicação de torque no parafuso atuador que gira em
relação a porca rotativa, podendo ser no sentido horário ou anti-horário. A célula de carga de
torção transmite o deslocamento linear do parafuso atuador para um eixo solidário
excentricamente ao copo de fixação superior da coluna, logicamente por estar descentrado
essa força transmitida provoca um torque ao elemento de coluna.
A vértebra L5 gira juntamente com o fixador superior e S1 permanece fixo, dessa forma
o disco entre esses dois elementos sofre uma torção.
A força atuante num raio determinado (torque) do fixador superior será registrada
através da célula de carga de torção. Os sinais serão processados pelo equipamento de
aquisição de dados Spider 8.
34
Figura 25 – Detalhes do sistema de torção: (a) parte externa da célula de carga; (b) parte interna do da
célula de carga
(a)
(b)
35
3.1.2.5 Sensores de posicionamento da placa móvel
Como citado anteriormente a vértebra inferior (S1) é fixa e a vértebra superior L5
movimenta-se com a placa móvel durante a flexão. Para definir a cinemática do movimento
da vértebra L5 é necessário se ter a cada instante o posicionamento da placa móvel, e esse
movimento é determinado pelas posições dos pontos P1, P2, P3 e P4, sendo que os pontos P3
e P4 do outro lado da placa móvel e não visíveis na Figura 26, estão alinhados
respectivamente com os pontos P1 e P2. As quatro hastes estão acopladas à placa móvel
através desses pinos P1 a P4 e a variação de posição de cada pino é determinada por dois
potenciômetros num total de oito.
Figura 26 – Detalhe do sistema de monitoração da placa móvel
Observando as Figuras 26 e 27 verifica-se os seguintes movimentos:
a) A haste com cremalheira apresenta um grau de liberdade em relação a bucha rotativa,
pois a mesma pode deslizar no furo da bucha, e essa translação da haste acarreta o giro
da engrenagem. O potenciômetro-haste mede essa rotação da engrenagem e
consequentemente a translação da haste.
b) A base da engrenagem está fixada a bucha rotativa.
36
c) A bucha rotativa apresenta um grau de liberdade, pois a mesma pode girar em relação
ao mancal. O potenciômetro-bucha mede essa rotação.
Figura 27 – Detalhe da bucha rotativa e haste
Os potenciômetros (Fabricante Sharma – modelo: WXD3590 – capacidade: 100 a 100K
ohms) para translação da haste em relação à bucha rotativa e para monitoração dos giros das
buchas são do tipo multivoltas.
As rotações dos potenciômetros serão processadas pelo equipamento de aquisição de
dados Spider 8.
3.1.3 Calibrações dos instrumentos
3.1.3.1 Célula de carga de torção
Para a calibração da célula de carga de torção (tipo “U”) foi utilizada como padrão de
calibração a mesma célula de carga de flexão (Fabricante HBM – modelo S40 – capacidade
de 50 kgf.) instalada no dispositivo para medir a carga de flexão.
Foi montada uma base para fixação da célula a ser calibrada, e a força foi aplicada por
um sistema de porca/parafuso similar ao utilizado no dispositivo de testes, tendo a célula de
carga de calibração posicionada entre o atuador e a célula de carga de torção.
37
Com os sinais elétricos (tensões elétricas) medidos dos extensômetros através de um
sistema de aquisição de dados composto por um equipamento condicionador/amplificador
(Spider 8) e um programa específico (Catman 3.4.2), foi obtida uma equação considerada a
referência de calibração.
3.1.3.2 Potenciômetros
O processo de calibração consistiu na coleta de dados (medições) dos potenciômetros
utilizados na experimentação, montada em uma base adaptada em conjunto com um
instrumento de medição angular (goniômetro de 360°).
Por meio de deslocamentos angulares previamente determinados, obteve-se os sinais
elétricos (tensões elétricas) correspondentes através de um sistema de aquisição de dados
composto por um equipamento condicionador/amplificador (Spider 8) e um programa
específico (Catman 3.4.2).
O processo foi realizado tanto para deslocamentos angulares considerados positivos
(sentido horário), olhando-se o potenciômetro de “A” conforme mostrado na Figura 28, como
para deslocamentos considerados negativos (anti-horário).
De posse dos dados foi obtida uma equação considerada a referência de calibração.
Figura 28 – Potenciômetros - Sentido positivo dos ângulos
3.2 EQUAÇÕES DOS MOVIMENTOS
Essas equações desenvolvidas e apresentadas nesse item têm por objetivo transformar
os dados de rotação dos potenciômetros em parâmetros cinemáticos para posicionamento dos
38
pontos P1 a P4 da placa móvel a cada instante do experimento, e dessa forma definir a
cinemática do corpo de teste.
A parte superior do corpo de teste (vértebra L5) está fixada à placa móvel, e o ponto
P20, conforme mostrado na Figura 29, representa o centroide da face inferior do cilindro de
aço (vértebra L5).
Esse ponto P20 é a referência para definir a translação da vértebra nesse ponto e a sua
inclinação em relação à posição de repouso.
Figura 29 – Posição dos pontos P20 a P24 e P30 a P34
3.2.1 Posições iniciais das placas fixa e móvel
É fundamental determinar a posição inicial da placa móvel antes da realização de cada
experimento, nessa situação o corpo de teste está montado no dispositivo sem esforços
atuantes e somente com o peso corporal aplicado.
Na Figura 30 estão indicados os referenciais Newtonianos (X, Y) e os referenciais
móveis (x, y). Os referenciais móveis acompanham o giro da bucha rotativa e o eixo x é
coincidente com o eixo longitudinal da haste.
O sacro é ligado ao copo fixador inferior e a vértebra L5 é ligada ao copo fixador
superior. Vide a Figura 30 para essa posição sem esforços aplicados.
39
A convenção de rotação dos potenciômetros está indicada na Figura 28, olhando-se de
A na direção indicada, os ângulos dos potenciômetros são positivos no sentido horário, exceto
o potenciômetro da haste de translação referente ao ponto P1 que é anti-horário.
Nessa posição inicial, sem esforços aplicados exceto a massa simulada corporal,
registram-se os vetores posição dos pontos P1 a P4.
Observações:
a) Para o outro lado da placa se tem os pontos P3 e P4, alinhados respectivamente com P1
e P2;
b) As equações serão desenvolvidas e mostradas para os pontos P1 e P2, e são similares
para os pontos P3 e P4;
c) Em função de limitação de entradas e saídas do sistema de aquisição de dados, os testes
são realizados medindo-se apenas os posicionamentos dos pontos P1 e P2, e os valores
replicados para os pontos P3 e P4 respectivamente;
d) Todos os vetores serão referenciados ao referencial Newtoniano localizado no ponto
fixo 2 (P2F) da placa fixa conforme Figura 30;
Figura 30 – Placa móvel - Posição inicial sem aplicação de esforços
40
e) Observando que os pontos na placa móvel são denominados P1 a P4 e pontos fixos
respectivos nos centros das buchas rotativas são denominados de P1F a P4F.
f) Observando-se os ângulos das hastes 1 e 2 na Figura 30, os subscritos mostrados (1-t1)
e (2-t2) referem-se aos tempos t1 (inicial). As posições nesse trabalho foram medidas
para 40 intervalos de tempos iguais, dessa forma para os tempos: t1 a t41.
θ11=atan( Y1
X1
) (1)
Esse ângulo formado pela haste 1 com o eixo horizontal X. Os valores indicados X1 e Y1 são
as cotas em relação ao referencial Newtoniano localizado na bucha 1.
Vetores posição de P1 e P2:
No referencial xy:
p1�������⃗ =[�1�, 0, 0]T (2)
p21
������⃗ =[�21, 0, 0]T (3)
Obs.: O subscrito 1 refere-se a posição inicial. Para a posição final nesse trabalho para os
pontos P1 e P2, os vetores de posicionamento serão: p1����⃗
41 e p2����⃗
41
Sendo:
x11=�X12+Y12 (4)
x21=�X22+Y22 (5)
Nos referenciais XY:
P11������⃗ =[A1_1][x11, 0, 0]T (6)
P21������⃗ =[A2_1][x21, 0, 0]T (7)
Obs.: Para a posição final nesse trabalho as matrizes de rotação serão denominadas de A1_41
e A2_41
Onde as matrizes A1_1 e A2_1:
A1_1= � cosθ11 senθ11 0
-senθ11 cosθ11 0
0 0 1
� (8)
41
A2_1= � cosθ21 senθ21 0
-senθ211 cosθ21 0
0 0 1
� (9)
3.2.2 Corpo de teste com esforços aplicados
Para os testes foram consideradas 41 posições (1 a 41). Como citado a posição 1 é a
posição inicial (sem carga) e com esforços aplicados, as posições registradas são de: n= 2
a 41.
No dispositivo os potenciômetros são ligados diretamente às buchas rotativas, e para
cada haste é utilizada uma roda (engrenagem) com raio primitivo Rr, dessa forma os novos
posicionamentos apresentam:
Vetores posição de P1 e P2:
No referencial xy:
p1n
������⃗ =[x1n, 0, 0]T (10)
p2n
������⃗ =[x2n, 0, 0]T (11)
Sendo:
x1n=x11 + β1n*Rr (12)
x2n=x21+β2n*Rr (13)
Onde:
β1n e β2n: ângulos de rotação dos potenciômetros de translação das hastes na posição n
em relação à posição 1 (inicial).
Nos referenciais XY:
P1n������⃗ =[A1_n][x1n, 0, 0]T (14)
P2n������⃗ =[A2_n][x2n, 0, 0]T (15)
Onde as matrizes A1_n e A2_n:
A1_n= � cosθ1n senθ1n 0
-senθ1n cosθ1n 0
0 0 1
� (16)
A2_n= � cosθ2n senθ2n 0
-senθ2n cosθ2n 0
0 0 1
� (17)
42
De forma idêntica será realizado para o lado oposto em relação aos pontos P3 e P4.
Numa posição qualquer n se tem os seguintes ângulos para as buchas rotativas:
θ1n= θ11+φ1n (18)
θ2n= θ21+φ2n (19)
φ1n e φ2n: ângulos de rotação dos potenciômetros de giro das buchas rotativas no tempo
tn em relação à posição 1 (inicial).
3.2.3 Rotação e translação da vértebra L5
A cada instante se tem um centro instantâneo de rotação da placa móvel e a posição do
ponto P20 conforme mostrado na Figura 29. Nessa mesma Figura 29 estão discriminados os
pontos na interface da vértebra L5 com o disco intervertebral e na interface entre o disco e o
sacro onde serão ancorados os conjuntos de molas e amortecedores do modelo matemático
usado.
A Figura 31 apresenta a posição do ponto P201 – sem carga na parte da coluna em
estudo, e a posição indicada pelo ponto P20n, refere-se a uma posição qualquer com aplicação
dos esforços. A cada momento se tem uma nova posição para o ponto P20 e um centro
instantâneo de rotação para a placa móvel.
Figura 31 – Placa móvel - Posição do ponto P20 na posição n
43
3.2.4 Posições dos pontos P20 a P24
Além dos referenciais móveis utilizados em cada uma das quatro buchas conforme
mostrados na Figura 30, será utilizado um referencial móvel ligado a placa móvel e sua
origem posicionada no ponto P2. Os vetores de posicionamento dos pontos de ancoragem P21
a P24, em relação a esse referencial móvel são somados ao vetor posição do ponto P2 (placa
móvel) em relação ao referencial Newtoniano (ponto P2F), dessa forma se tem a cada instante
as posições dos pontos P21 a P24. Na parte inferior do disco, os pontos P31 à P34 são fixos.
A diferença entre essas posições e os seus pares na vértebra superior (P21 à P24) a cada
instante fornece um comprimento de mola, que comparado ao comprimento inicial determina
a tração ou compressão a cada instante na mola.
A Figura 32 apresenta esquematicamente as posições no instante inicial (sem carga) e
num instante qualquer dos pontos P22/24/32/34. O mesmo ocorre para os pontos
P21/23/31/33 não mostrados na figura.
Figura 32 – Corpo de teste Corte no plano sagital – Posição inicial e num tempo (t)
As Figuras 33 e 34 apresentam o modelo matemático para esse corpo de teste.
Figura 33 – Perspectiva - Modelo para Corpo de teste
44
As funções dos pontos P21 a P24 e P31 a P34 são as ancoragens dos conjuntos
mola/amortecedor verticais. Esse modelo é discutido mais detalhadamente no item 3.6
relacionado a modelagem matemática.
Figura 34 – Vista lateral - Modelo para Corpo de teste
3.2.4.1 Referencial móvel ligado a placa móvel
Para determinação dos vetores unitários nas direções x, y e z do referencial fixado a
placa móvel, foram utilizados os pontos P1 a P4 da placa móvel.
- Unitário i na direção x:
i⃗= P1����⃗ -P2����⃗ P1����⃗ -P2����⃗ (20)
Unitário k na direção z:
k�⃗ = P4����⃗ -P2����⃗ P4����⃗ -P2����⃗ (21)
- Unitário j na direção y:
j⃗=k�⃗ x i⃗ (22)
Observando-se que no referencial móvel o vetor unitário i �⃗ =[1,0,0]T e no referencial
Newtoniano i �⃗ =[ix,iy,iz]T, da mesma forma para os vetores unitários nas direções y e z.
Dessa forma as matrizes rotação desse referencial para o referencial Newtoniano, com
sua origem localizada no ponto P2F, apresentam a seguinte forma da posição inicial (n=1) até
a última posição (n=41):
45
APM_n=
ix jx kx
iy jy ky
iz jz kz
� (23)
3.2.4.2 Distâncias entre os pontos P21 a P24 em relação aos pontos P31 a P34
Na posição inicial se tem a distância denominada L0. Utilizando como exemplo os pontos 21 e
31, essa distância apresenta o seguinte valor:
L1(21-31) = �21�������⃗ � − �31�������⃗ � (24)
Onde: �21�������⃗ �: Posição do ponto P21 em relação ao referencial Newtoniano em P2F; �31�������⃗ �: Posição do ponto P31 em relação ao referencial Newtoniano em P2F.
Para uma posição qualquer:
Ln(21-31) = P21�������⃗ n-P31�������⃗ n (25)
Dessa forma a variação do comprimento em uma posição qualquer n em relação a posição
inicial:
∆n(21-31)=Ln(21-31)-L1(21-31) (26)
Essas variações acarretam na simulação as forças contrárias ao movimento devidas a
rigidez de cada mola (FMola = k.Δn).
3.2.4.3 Velocidades dos pontos P21 a P24
Serão utilizados espaços de tempo iguais entre as 41 posições dos pontos P21 a P24,
dessa forma se tem 40 espaços de tempo (Δt).
Para cálculo da velocidade na posição n foi utilizada a velocidade média entre as
posições (n-1) e n. Considerando como exemplo os pontos 22 e 32, a velocidade média do
ponto 22 na posição n apresenta o seguinte valor:
vn(22-32)= (∆n(22-32)-∆n-1(22-32))/∆t (27)
Essas velocidades serão utilizadas para as forças contrárias ao movimento devidas ao
amortecimento de cada elemento na simulação (Famortecedor = C.vn).
46
3.3 PROGRAMA MATEMÁTICO
Esse programa foi desenvolvido para transformar os sinais dos sensores de
posicionamento utilizados no dispositivo em valores cinemáticos.
As equações mostradas no item 3.2 foram desenvolvidas no ambiente MATLAB para
obtenção de curvas de: posições dos pontos P21 a P24, velocidades dos pontos P21 a P24 e as
distâncias entre os pontos P21 a P24 da vértebra L5 e seus equivalentes no sacro (P31 a P34).
Esse programa está em sua íntegra no Apêndice A.
O programa consiste em uma matriz 468 linhas x 15 colunas, e a mesma foi denominada
de matriz d e suas células denominadas d(linha, coluna).
Dados de entrada são as medições realizadas antes do início do experimento e os dados
de aquisição dos testes.
Nessa mesma matriz ocorre a inserção de dados e os processamentos matemáticos.
3.3.1 Dados de entrada na posição inicial
a) As posições iniciais dos pontos P1 e P4 da placa móvel, cotas x e y em relação ao
referencial fixo em P2F, conforme mostrado na Figura 30. Os valores x1, y1, x2, y2, x3,
y3, x4 e y4 são introduzidos em d(1;1) a d(1;8);
b) Peso corporal na célula d(1;11), conforme mostrado na Figura 18;
c) Ângulos iniciais das hastes θ1 a θ4 conforme mostrados na Figura 30, em d(3;1) a
d(3;4);
d) Posições dos pontos P20 a P24 em relação a P2F. As medidas: y20, y21, y22, y23 e y24
são inseridas em d(4;1) a d(4;5) e x20, x21, x22 x23 e x24 em d(5;1) a d(5;5).
Obs.: As medidas na direção z são determinadas pelo valor “f” mostrado na Figura 29;
e) Posições dos pontos fixos P30 a P34 em relação a P2F. As medidas: y30, y31, y32, y33,
y34 e x30 e são os elementos d(4;6) a d(4;11).
Obs.: As medidas na direção z e as medidas na direção x de P31 a P34 são determinadas
pelo valor “f” mostrado na Figura 29;
f) O valor “f” conforme mostrado na Figura 29 é o elemento d(1;9). Esse valor de “f” é
explicado no Apêndice B;
g) O valor do arco em mm/ 1° de giro da engrenagem foi denominado de tr1, tr2, tr3 e tr4 e
foram inseridos nos elementos d(6;5) a d(6;9).
47
3.3.2 Dados de entrada do experimento
Após as medições iniciais realiza-se os experimentos. Os dados adquiridos durante esses
experimentos, para as posições 1 (inicial) a 41 são inseridos da seguinte forma:
a) Ângulos de rotação das buchas 1 a 4 (em graus) nas células d(19;1) a d(59;4);
b) Ângulos de rotação das engrenagens 1 a 4 (em graus) nas células d(19;5) a d(59;8);
c) Cargas verticais registradas pela célula de carga em d(19;9) a d(59;9);
d) Tempo registrado em d(19;10) a d(59;10).
3.3.3 Dados cinemáticos (saídas)
Com esses dados de entrada e através de equações e matrizes de rotação introduzidas no
programa se tem os resultados finais:
a) Posições x, y e z do ponto P21 nas 41 posições estão representadas na coluna 1 desde a
posição inicial em d(346 a 349, 1) até a 41ª posição em d(466 a 468;1). Para os pontos
P22, P23 e P24 altera-se a coluna para 2, 3 e 4 respectivamente;
b) As variações Δx, Δy e Δz do ponto P21 em relação a sua posição inicial estão
representadas na coluna 5, desde a posição inicial em d(346 a 349;5) até a 41ª posição
em d(466 a 468;5). Para os pontos P22, P23 e P24 altera-se a coluna para 6, 7 e 8
respectivamente;
c) A distância entre os pontos P21 e P31 denominada P21-P31, a diferença entre P21-P31
em uma posição qualquer e P21-P31 em sua posição inicial e a velocidade de P21, estão
representadas na coluna 9 desde a posição inicial em d(346 a 349;9) até a 41ª posição
em d(466 a 468;9). Para os pontos P22, P23 e P24 altera-se a coluna para 10, 11 e 12
respectivamente.
3.4 ESFORÇOS APLICADOS
Pelas interfaces do sistema (atuador vertical/ placa móvel/ sistema de torque/ copo
fixador superior/ guias fixas verticais/ cavalete/ massas para compressão/ corpo de teste) são
transmitidos os movimentos para atingir os esforços desejados. A parte inferior do corpo de
48
teste, chamada de sacro, é presa ao fixador inferior e não apresenta nenhum grau de liberdade
(engastada).
Figura 35 – Esforços atuantes na placa móvel - Vista lateral
Nesse item serão vistos os esforços atuantes na placa móvel e no corpo de teste,
excetuando-se a massa corporal que simula a compressão.
Nas Figuras 35 e 36 estão indicados os esforços atuantes na placa móvel
Figura 36 – Esforços atuantes na placa móvel - Vista superior
Onde:
F1: esforço aplicado pelo atuador vertical/ reação do corpo de prova sobre o copo fixador
superior;
M1: Reação do corpo de prova ao torque aplicado pelo parafuso atuador;
M2: Reação do corpo de prova à flexão longitudinal ou lateral imposta pelo atuador vertical;
49
F2 a F5: Reações das guias verticais fixas sobre a placa móvel.
Sendo:
M1=FPAx R ; (28)
Onde:
FPA: Força parafuso atuador;
R: Distância de aplicação da força e o eixo de rotação do fixador superior;
R=38 mm; (29)
M2=F1 x d1; (30) ∑ Fi
4
i=1 =0; (31)
M1= �(F2+F3)-(F4+F5)� xd2 (32)
A Figura 37 apresenta os esforços atuantes no corpo de teste.
Figura 37 – Esforços atuantes no corpo de teste - Vista frontal
Onde:
M3: Momento aplicado pelo copo fixador inferior ao corpo de teste.
Sendo:
M3=M2+F1.d3 (33)
Os valores de d1 e d3 são variáveis durante a flexão, mas a soma d1 + d3 é um valor
constante.
50
3.5 REALIZAÇÃO DOS TESTES E DADOS OBTIDOS
3.5.1 Procedimentos e medidas iniciais
Foram colocados os discos de aço para simulação do peso corporal conforme mostrado
na Figura 18 e em seguida foram realizadas as medições de diversas posições da placa móvel
e do conjunto do corpo de prova
Os posicionamentos foram definidos em relação ao referencial Newtoniano (ponto P2F)
posicionado no mancal 2 (placa fixa) e inseridos na matriz em sua posição d(i;j).
Para o início dos testes as seguintes medidas foram tomadas:
a) Colocação da carga vertical (peso corporal) com a utilização de 4 pesos num total de
30,54 kg. Dado inserido em d(1;11);
b) Medição do posicionamento da guia móvel em relação ao centro da fixação inferior da
coluna, representada pela cota d1 da Figura 19. Essa dimensão (d1=394 mm) determina
o momento de flexão no corpo de teste devido a carga aplicada através da célula de
carga da flexão;
c) Medições das posições dos pontos P1 e P2 da placa móvel, cotas x e y em relação ao
referencial fixo, conforme mostrado na Figura 30. Esses valores foram replicados para
os pontos P3 e P4. Essas cotas: x1, y1, x2, y2, x3, y3, x4 e y4 estão mostradas na Figura
38 e foram inseridas em d(1;1) a d(1;8);
d) Medições dos ângulos iniciais das hastes com o eixo x (θ1 e θ2), conforme mostrados na
Figura 30. Esses ângulos têm os valores mostrados na Figura 38 e foram replicados
como θ3 e θ4, os mesmos foram inseridos em d(3;1) a d(3;4);
e) Em seguida foram medidas as posições dos pontos P20 a P24 em relação as direções x e
y, as cotas em relação ao eixo z foram acrescidas/decrescidas do valor “f”. Essas cotas
foram medidas em relação ao referencial fixado à placa móvel, conforme mostrado nas
Figuras 38 e 39. Essas medidas: y20, y21, y22, y23 e y24 inseridas em d(4;1) a d(4;5) e
x20, x21, x22 x23 e x24 em d(5;1) a d(5;5);
f) Foi medida a posição da parte metálica (sacro) do ponto P30. Como a face permanece
paralela a placa fixa, os pontos P31 à P34 apresentam a mesma cota y e as dimensões
nas direções x e z são modificadas em função do valor de “f”, vide Figura 39. Essas
medidas: y30, y31, y32, y33, y34 e x30 e são os elementos d(4;6) a d(4;11);
g) O valor “f” conforme mostrado na Figura 29 é o elemento d(1;9);
51
h) As engrenagens utilizadas para movimentação dos potenciômetros, fabricadas com
correia dentada apresentam um passo de 2 mm e 24 passos por engrenagem, vide a
Figura 27. A relação mm/grau de giro da engrenagem foi denominado de tr1, tr2, tr3 e
tr4 e foram inseridos nos elementos d(6;5) a d(6;9), conforme mostrado na Tabela 1;
Figura 38 – Medições dos pontos P20 a P24, P1 e P2
Figura 39 – Medições dos pontos P20 a P24- Referencial fixo a placa móvel
Esses valores iniciais mostrados nas Figuras 38 e 39 estão indicados Tabela 1 que
representa uma parte da matriz “d”. No caso da tabela os valore d(1;1) e d(1;2) representam as
cotas “x” e “y” do ponto P1 em relação ao referencial Newtoniano localizado na bucha 2,
assim como d(1;3) a d(1;8) representam os valores para os pontos P2 a P4. Todos os pontos
52
inseridos na tabela estão descritos no programa no ambiente MATLAB mostrado no apêndice
“A”.
Tabela 1 – Matriz “d” parcial - Dados iniciais
3.5.2 Testes
Foram utilizados seis canais dos oito disponíveis no equipamento de aquisição de dados.
Foram registrados: a carga de torção, a carga vertical e as rotações nos quatro potenciômetros
instalados nos mancais 1 e 2 da placa fixa.
Foi utilizada uma frequência de 50 Hz para aquisição dos dados.
O teste foi realizado em cinco etapas, a primeira referente à flexão e posteriormente a
torção realizada em quatro etapas
Foi aplicada carga vertical através da guia móvel e a intensidade da carga registrada
através da célula de carga.
Após o período de flexionamento, foi provocada uma torção por meio de 4 voltas no
parafuso atuador mostrado na Figura 25. O teste não foi contínuo e sim dividido em quatro
etapas, sendo cada etapa referente a uma volta do atuador.
Todos os esforços naturalmente aplicados manualmente.
Os dados obtidos durante a torção não foram introduzidos na matriz “d”. Os dados
foram utilizados para comparação com a simulação. Olhando-se no sentido da cabeça do
parafuso para a ponta, a rotação foi anti-horária.
3.5.3 Aquisição de dados para flexão
O período de aquisição foi de 64 segundos. Em função desse tempo foi utilizado um
período de 1,6 segundos (0,625 Hz) configurando 41 posições de leitura. Importante frisar que
os valores de aquisição foram obtidos numa frequência de 50 Hz (0,02 seg.), entretanto o
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 207,10 155,50 38,60 132,80 207,10 155,50 38,60 132,80 12 170,00 30,54
2 159,86 138,30 159,86 138,30
3 76,60 73,80 76,60 73,80
4 43,20 43,20 41,60 43,20 44,80 200,00 200,00 200,00 200,00 200,00 154,00
5 2,30 2,30 14,20 2,30 -9,60
6 0,1333 0,1333 0,1333 0,1333
MATRIZ d - PROGRAMA PARA 40 PONTOS
53
período de 1,6 segundos e 41 posições foi adequado para elaboração das curvas cinemáticas e
para os testes feitos em simulação.
Tabela 2 – Matriz “d” parcial - Ângulos dos potenciômetros, cargas verticais e tempo - Dados relativos
à flexão do corpo de teste
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
19 0,0000 -0,4749 0,0000 -0,4749 -1,3914 -9,5798 -1,3914 -9,5798 0,2142 0,0000
20 0,0000 -0,4749 0,0000 -0,4749 -1,3914 -9,5798 -1,3914 -9,5798 0,2662 1,6000
21 0,0000 -0,4749 0,0000 -0,4749 0,0000 -8,9316 0,0000 -8,9316 0,5665 3,2000
22 0,0000 -0,2375 0,0000 -0,2375 3,1489 -8,2833 3,1489 -8,2833 0,9488 4,8000
23 0,0000 -0,0792 0,0000 -0,0792 6,2246 -4,6098 6,2246 -4,6098 1,5612 6,4000
24 0,0000 0,0792 0,0000 0,0792 7,8356 0,0720 7,8356 0,0720 1,9976 8,0000
25 0,0000 0,0792 0,0000 0,0792 12,0830 4,3938 12,0830 4,3938 2,5320 9,6000
26 0,0000 0,0792 0,0000 0,0792 17,0627 8,0672 17,0627 8,0672 2,9043 11,2000
27 0,0000 0,7520 0,0000 0,7520 20,4313 12,3890 20,4313 12,3890 3,2286 12,8000
28 0,0000 1,4248 0,0000 1,4248 25,1912 16,0624 25,1912 16,0624 3,6069 14,4000
29 0,0000 1,5831 0,0000 1,5831 30,3906 20,4562 30,3906 20,4562 3,9832 16,0000
30 0,0000 1,7256 0,0000 1,7256 34,3450 23,9136 34,3450 23,9136 4,3094 17,6000
31 0,0000 1,8681 0,0000 1,8681 37,3475 28,7395 37,3475 28,7395 4,5897 19,2000
32 0,0000 2,0106 0,0000 2,0106 40,9357 31,8367 40,9357 31,8367 4,8939 20,8000
33 0,0000 2,1530 0,0000 2,1530 45,2563 36,3746 45,2563 36,3746 5,1341 22,4000
34 0,0000 2,2955 0,0000 2,2955 48,4052 38,4274 48,4052 38,4274 5,4163 24,0000
35 0,0000 3,0079 0,0000 3,0079 51,5541 40,4802 51,5541 40,4802 5,7306 25,6000
36 0,0000 3,4037 0,0000 3,4037 54,7030 47,6831 54,7030 47,6831 5,9067 27,2000
37 0,0000 3,0079 0,0000 3,0079 59,3898 50,3482 59,3898 50,3482 6,1369 28,8000
38 0,0000 2,8496 0,0000 2,8496 62,5387 53,5174 62,5387 53,5174 6,3711 30,4000
39 0,0000 3,9578 0,0000 3,9578 65,6876 57,1669 65,6876 57,1669 6,8195 32,0000
40 0,0000 4,5910 0,0000 4,5910 68,7633 60,8164 68,7633 60,8164 7,0236 33,6000
41 0,0000 5,1451 0,0000 5,1451 70,3743 64,4658 70,3743 64,4658 7,1517 35,2000
42 0,0000 5,2243 0,0000 5,2243 71,9122 66,7707 71,9122 66,7707 7,1737 36,8000
43 0,2958 5,3034 0,2958 5,3034 71,9122 68,9316 71,9122 68,9316 7,2618 38,4000
44 0,2958 5,5884 0,2958 5,5884 75,3540 74,6939 75,3540 74,6939 7,4540 40,0000
45 0,5177 5,8734 0,5177 5,8734 76,6721 77,8632 76,6721 77,8632 7,5721 41,6000
46 0,6656 6,1583 0,6656 6,1583 78,2100 79,4478 78,2100 79,4478 7,7082 43,2000
47 0,8135 6,4433 0,8135 6,4433 79,7478 81,0324 79,7478 81,0324 7,6501 44,8000
48 1,1832 6,7282 1,1832 6,7282 81,3589 84,2017 81,3589 84,2017 7,8423 46,4000
49 1,2572 6,8865 1,2572 6,8865 82,1644 85,7863 82,1644 85,7863 7,7142 48,0000
50 1,4790 6,9657 1,4790 6,9657 82,8967 88,8116 82,8967 88,8116 7,9584 49,6000
51 1,4790 6,9657 1,4790 6,9657 84,4345 89,9640 84,4345 89,9640 7,8122 51,2000
52 1,6270 6,8074 1,6270 6,8074 84,5810 90,6123 84,5810 90,6123 7,7522 52,8000
53 1,6270 6,9393 1,6270 6,9393 86,0456 91,2605 86,0456 91,2605 7,8643 54,4000
54 1,6270 7,0712 1,6270 7,0712 86,9244 92,4130 86,9244 92,4130 7,9744 56,0000
55 1,6270 7,2032 1,6270 7,2032 87,5834 93,5655 87,5834 93,5655 7,8603 57,6000
56 1,6270 7,3351 1,6270 7,3351 87,5834 93,7095 87,5834 93,7095 7,8943 59,2000
57 1,6270 7,4670 1,6270 7,4670 89,1213 94,6459 89,1213 94,6459 7,9524 60,8000
58 1,6270 7,5989 1,6270 7,5989 89,1945 95,5823 89,1945 95,5823 7,8223 62,4000
59 1,6270 7,9947 1,6270 7,9947 89,1945 96,5186 89,1945 96,5186 7,8062 64,0000
MATRIZ d - PROGRAMA PARA 40 PONTOS
54
Os valores registrados para os mancais 1 e 2 foram replicados para os mancais 3 e 4
respectivamente.
Os valores foram inseridos na matriz nos elementos d(19;1) a d(59;10), onde os valores
das colunas representam:
� Coluna 1 a 4: ângulos de rotação das buchas 1 a 4 (o);
� Coluna 5 a 8: ângulos de rotação das engrenagens 1 a 4 (°);
� Coluna 9: cargas verticais (kgf.);
� Coluna 10: tempo (s).
Os dados coletados estão indicados na Tabela 2 que representa uma parte da matriz “d”.
3.5.4 Aquisição de dados para torção
Foram realizados testes consistindo de uma volta completa no parafuso atuador. As
rotações por serem manuais não apresentaram um avanço contínuo e constante, porém os
valores finais e iniciais de torque para cada 360º permitem uma avaliação da rigidez torsional.
A Figura 40 apresenta o ângulo de rotação de 8,5º após 4 rotações no parafuso. Nesse
intervalo cada volta apresenta uma rotação do fixador superior, na primeira rotação o ângulo
foi de 2,1º (teste 1), 2,1º na segunda (teste 2), 2,2º na terceira (teste 3) e 2,1º na quarta (teste
4).
O passo do parafuso é de 1,25 milímetros.
A força final após a 4ª volta do parafuso, medida pela célula de carga de torção,
apresentou um valor de 18,7 kgf. Com o raio de atuação da força (braço de alavanca) R = 38
mm, se têm o seguinte torque final atuante:
T = FCélula de carga de torção x 0,038
T = 7 N.m (34)
55
Figura 40 - Curso do parafuso atuador x torção da vértebra L5 do corpo de teste
3.6 MODELAGEM MATEMÁTICA
Foi desenvolvido um modelo similar a coluna vertebral para exemplificar um modelo
para testes em “in vitro” e desenvolvido um conjunto manufaturado com dois discos de aço e
um disco feito de borracha para realização dos testes e consolidação da ideia do equipamento.
3.6.1 Concepção de modelo similar a coluna vertebral para testes “in vitro”
Os componentes da coluna alvo desse trabalho são todas as possibilidades de pares de
vértebras e o disco intervertebral entre as mesmas desde S1-L5 até C1-C2. Para
desenvolvimento dessa concepção foram desenvolvidos modelos do disco e das interfaces do
disco que são o sacro e a vértebra L5. Para determinação dos parâmetros mecânicos,
coeficientes de rigidez e de amortecimento para os diversos movimentos, o disco foi
modelado com a composição de diversos conjuntos mola/amortecedor.
Os movimentos para avaliação desses parâmetros são: a flexão no plano sagital, a flexão
lateral, a compressão e a torção em torno do eixo longitudinal da coluna, sendo que os
movimentos de flexão longitudinal e torção e a flexão lateral e torção são os movimentos
56
possíveis de serem realizados concomitantemente em função das limitações do dispositivo
desenvolvido para esse trabalho.
3.6.1.1 Geometria dos componentes
Para desenvolvimento de um modelo em 3D foi utilizado um modelo de coluna lombar
(mod.: A74) adquirido da 3B Scientific conforme mostrado na Figura 41.
Foram realizadas medições com paquímetro, esquadros e mesa de desempeno. Com os
dados foi desenhado em 3D: a vértebra L5, o disco intervertebral e a parte do sacro na região
do disco conforme mostrado na Figura 42.
O tensor de inércia da vértebra L5 em relação ao seu centro de gravidade (CG) e
alinhado com os eixos x, y e z, conforme mostrado na Figura 43 apresenta o seguinte valor
expressa em g.mm2:
ICG= �31042 -185 -1
-185 42839 0
-1 0 20409
� .ρ (35)
Figura 41 – Modelo tridimensional S1-L5
Onde:
ρ: densidade óssea (g/mm3)
57
Figura 42 – Desenho em 3D S1-L5
Considerando a densidade da vértebra L5 homogênea, a posição do centro de gravidade
em relação aos eixos x/y/z da vértebra, mostrado na Figura 43:
CG = [29; 16,1; 0]T (36)
Figura 43 – L5/ posicionamento do CG
58
3.6.1.2 Modelo matemático de modelo similar à coluna vertebral
Baseado no modelo tridimensional foi desenvolvido um modelo matemático para o
disco intervertebral e para os ligamentos das facetas sacro/L5 compostos de molas e
amortecedores, conforme mostrado na Figura 44. Para não sobrecarregar a figura, os
amortecedores não foram representados, ou seja, onde estão representadas as molas lineares
ou torcionais se tem conjuntos mola/amortecedor.
As ligações das facetas da L5 com o sacro estão representadas pelos conjuntos
mola/amortecedor lineares verticais e horizontais, esses conjuntos estão denominados na
Figura 44 como “faceta”. Os movimentos de torção entre o disco e o sacro e entre o disco e
L5 são vinculados através de molas/amortecedores de torção, sendo denominados como
“torção disco/L5” e “torção disco/sacro” respectivamente. Para suportar as cargas verticais
pelo disco, transmitidas através da vértebra L5 para o sacro, foi modelado um sistema
composto por 4 conjuntos molas/amortecedores, denominados “disco” na mesma figura.
As posições de ancoragem do conjunto mola/amortecedor no sacro e na vértebra L5
estão referenciados ao eixo Newtoniano mostrado nas Figuras 44 e 45.
A parte em forma de “L” mostrada nas Figuras 44 e 45 representa o sacro, que nesse
estudo é um elemento fixo. Os movimentos são impostos à vértebra L5.
Figura 44 – Modelo sacro/disco/L5
59
Figura 45 – Modelo sacro/disco/L5 - Referencial adotado
3.6.2 Concepção de modelo para realização dos testes
Como citado, para realização dos experimentos e certificar-se da eficácia do mesmo, foi
desenvolvido um corpo de teste com materiais de características mecânicas conhecidas. O
corpo de teste está apresentado na Figura 15 e o modelo está apresentado nas Figuras 33, 34 e
46.
As indicações dos conjuntos mola/amortecedor estão indicadas na Figura 46 e o modelo
matemático (diagrama) desenvolvido utilizando o SimMechanics está representado na Figura
47. As discriminações dos itens na Figura 46 estão compatibilizadas com os conjuntos
mola/amortecedor mostrados no modelo da Figura 47.
As molas 1 a 4 trabalham à tração/compressão, a mola 5 trabalha à torção e as molas 6 e
7 trabalham à tração/compressão para resistirem ao movimento de cisalhamento.
60
Figura 46 – Discriminação dos conjuntos mola/ amortecedor
3.6.3 Programa de simulação
Para a simulação virtual foi utilizada a ferramenta SimMechanics do Simulink. O
Simulink é um aplicativo para modelagem de sistemas dinâmicos lineares e não lineares e
esse aplicativo encontra-se na plataforma do MATLAB. A modelagem do Simulink é
realizada através de diversos operadores (blocos) que são utilizados nos três sistemas básicos:
sinais de entrada, sistema modelado propriamente dito e os sinais de saída. O Simulink
fornece diversas opções de métodos numéricos (processadores) possibilitando a escolha do
mais adequado para cada sistema e simulações específicas.
O modelo é desenvolvido com a utilização de diversos operadores. De forma sucinta a
discriminação da função de cada operador utilizado é a seguinte:
A nomenclatura segue ao discriminado nas Figuras 47 e 48, e entre parênteses o nome
do bloco conforme o programa simulinks.
a) Corpo (Body): Esse bloco equivale, no caso dessa tese, aos corpos metálicos do corpo
de teste. O inferior chamado de sacro e o superior de vértebra L5;
b) Atuador (Body actuator): Define os esforços generalizados de força e torque aplicados
em função do tempo F(t) e T(t). No caso a caixa Atuador 1 mostrada na Figura 48
refere-se ao momento de flexão aplicado ao disco superior. Os outros 3 blocos referem-
61
se a: carga vertical aplicada (atuador 2), torque em relação ao eixo longitudinal (atuador
3) e o peso próprio (atuador 4). As três entradas conforme mostradas na Figura 48
referem-se aos sinais nos eixos: x (constante 2 = 0), y (constante 3 = 0) e z momento de
flexão (“signal builder”), a entrada desse sinal no eixo z está indicada na Figura 49.
c) Constante (Constant): Esse bloco gera um valor real ou complexo para os parâmetros
utilizados no atuador;
d) Deslocamento (Scope): Permite visualizar sinais de dados (torque/força/deslocamento)
em tempo real da simulação;
e) Mola/amortecedor (molas 1 a 7): Esse bloco define o valor da constante de mola, o
comprimento livre da mola e a constante de amortecimento;
f) Junta (Joint): Bloco que define o grau de liberdade entre dois corpos, nesse caso entre o
sacro e L5. Os blocos permitem juntas com até 6 graus de liberdade;
g) Joint springer & damper: Nesse bloco são definidas as constantes de mola e de
amortecimento lineares e rotacionais em 3 direções ortogonais;
h) Body sensor: Esse bloco mede os parâmetros cinemáticos posição/velocidade/aceleração
de pontos do corpo;
i) Sensor de deslocamento (Joint sensor): Esse bloco mede os parâmetros cinemáticos e as
reações Força/Torque através da junta;
j) Machine environment: Nesse bloco são determinados os parâmetros de simulação e de
ambiente de trabalho, tais como: gravidade, modelo de análise (nesse trabalho foi
utilizado a dinâmica direta), espaço de simulação (1 a 3D) e tipo de resolução das
restrições (vínculos);
k) Ground: Esse bloco trabalha posiciona o eixo de referência do sistema. Nesse caso
ligado ao sacro;
l) Weld: A ligação desse bloco a um corpo define uma ancoragem absoluta, ou seja,
nenhum grau de liberdade ao corpo. Foi utilizado esse bloco para tornar o sacro um
corpo fixo.
62
Figura 47 – Diagrama do modelo para simulação virtual
Figura 48 – Diagrama do modelo para teste – Detalhe do atuador 1 do momento de flexão
A Figura 49 apresenta a entrada de dados do atuador 1 (eixo z), que vem a ser o
momento de flexão.
63
Figura 49 – Entrada de dados do atuador 1 – Momento de flexão
3.6.4 Simulação
Para realização da simulação foi elaborado o modelo conforme mostrado nas
Figuras 46 a 48.
Para realização da simulação, foram utilizados naturalmente os esforços registrados dos
testes.
O modelo de simulação foi mostrado na Figura 47.
Para introdução dos parâmetros das molas 1 a 7 foram feitos cálculos para essas
constantes de mola e amortecimento baseados na borracha utilizada.
3.6.4.1 Dados do anel de borracha (disco intervertebral)
A borracha utilizada apresenta as seguintes características:
Borracha de neoprene com dureza shore A 70.
3.6.4.2 Constante de rigidez das molas 1 a 4
O detalhamento de cálculo dessas molas está apresentado no Apêndice B – item 1.
Os pontos de ancoragem de cada conjunto amortecedor/mola estão mostrados na Figura 29,
que são os pontos P21 a P24 na L5 e P31 a P34 no sacro. O valor encontrado foi de:
k1a k4=550.000N/m
3.6.4.3 Constante de rigidez da mola 5
64
O detalhamento de cálculo dessa mola está apresentado no Apêndice B – item 2. Os
pontos de ancoragem do conjunto amortecedor/mola estão mostrados na Figura 29, que são os
pontos P20 na L5 e P30 no sacro. O valor encontrado foi de:
kt=1,28 N.m/grau
3.6.4.4 Constante de rigidez das molas 6 e 7
O detalhamento de cálculo dessas molas está apresentado no Apêndice B – item 3. Os
pontos de ancoragem do conjunto amortecedor/mola estão mostrados na Figura 46. O adendo
(bloco retangular) colocado no modelo matemático no sacro foi para possibilitar as
ancoragens das molas horizontais. O valor encontrado foi de:
k6e k7=156.000N/m
3.6.4.5 Parâmetros do programa de simulação
Os parâmetros de simulação utilizados estão mostrados na Figura 50.
Figura 50 - Parâmetros de simulação no SimMechanics
Importante frisar que a velocidade de cálculo depende fundamentalmente do
processador. No caso dessa modelagem foi utilizado o processador indicado na Figura 50.
65
As Figuras 51 e 52 apresentam imagens do modelo resultante do SimMechanics sem
esforço e após aplicação dos esforços.
O programa foi iniciado com os valores de molas conforme os valores de 3.6.4.2 a
3.6.4.4.
A maior velocidade (média) ocorreu no ponto P24 no intervalo entre 44,8 e 46,4
segundos e apresentou um valor de 0,29 mm/s, devido a essa ordem de grandeza das
velocidades o efeito de amortecimento apresenta um valor desprezível em relação a força
devida ao efeito mola.
Figura 51 - Modelo de simulação sem aplicação de esforços
Figura 52 - Modelo de simulação na posição final
66
4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
A seguir são apresentados os resultados para os testes realizados com o corpo de teste,
os resultados obtidos com a simulação e o comparativo entre os resultados experimentais e os
obtidos com a simulação no SimMechanics.
A Figura 53 apresenta os esforços aplicados e medidos pela célula de carga de flexão.
Figura 53 - Dados de força registrados pela célula de carga
Na Figura 54 é apresentado o momento devido à distância de 394 mm da aplicação da
força ao centro da vértebra. Esses esforços mostrados nas Figuras 53 e 54 foram aplicados nas
simulações.
Figura 54 - Momento aplicado no corpo de teste
0 10 20 30 40 50 60 70
-80
-70
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
TEMPO (S)
FO
R
Ç
A
V
E
R
TI
C
A
L
(N
)
CÉLULA DE CARGA
0 10 20 30 40 50 60 70
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
0
MOMENTO APLICADO
TEMPO (s)
M
O
M
E
N
TO
(N
.m
)
67
Com os dados medidos pelos potenciômetros e com o processamento realizado pelo
programa MATLAB foram obtidas as curvas de posicionamento dos pontos P22 e P24.
Para a comparação entre a simulação e a experimentação, foram confrontados os
deslocamentos verticais desses dois pontos apresentados nas curvas das Figuras 55 e 56.
Figura 55 - Deslocamento do ponto P22 na direção vertical (y)
Figura 56 - Deslocamento do ponto P24 na direção vertical (y)
Houve uma maior proximidade entre as curvas real e simulada em relação ao ponto P22,
mas apresenta uma convergência a partir do tempo de 50 segundos para ambas as curvas
(pontos P22 e P24).
0 10 20 30 40 50 60 70
-10
-5
0
5
DESLOCAMENTO DO PONTO P22 - EXPERIMENTAÇÃO x SIMULAÇÃO
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
e
m
y
(m
m
)
REAL
SIMULAÇÃO
0 10 20 30 40 50 60 70
-5
0
5
10
Tempo (s)
D
es
lo
ca
m
en
to
e
m
y
(m
m
)
DESLOCAMENTO DO PONTO P24 - EXPERIMENTAÇÃO x SIMULAÇÃO
REAL
SIMULAÇÃO
68
No início os deslocamentos, naturalmente em relação ao tempo final do teste,
apresentam valores menores do deslocamento em y. A proporção que o deslocamento vertical
aumenta, o valor simulado se aproxima do valor do experimento.
Os pontos P22 e P24 foram escolhidos por serem os pontos de ancoragem das molas e
amortecedores, e os mesmos se encontram a uma distância do centro do corpo de teste em 12
mm.
Na simulação os valores de rigidez das molas 1 a 4 foram exatamente o valor calculado
de 550.000 N/m conforme 3.6.4.2.
Nas Figuras 57 a 59 estão apresentadas as torções reais em torno do eixo longitudinal do
corpo de teste. A volta indicada em 360º é a rotação do parafuso atuador equivalente a um
avanço igual ao passo. Nesse teste esse avanço impôs uma rotação vértebra de 2,1º.
Figura 57 - Ângulo de rotação da vértebra: 2,1º
Foi utilizado na simulação o torque final de 7 N.m conforme indicado na Figura 59, e
utilizando a rigidez torsional calculada de 1,28 N.m/grau conforme 3.6.4.3. A aplicação do
torque na simulação foi em rampa, conforme mostrado na Figura 60, no período entre 64
(final da flexão) e 72 segundos.
-0,50
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00
To
rq
ue
(N
.m
)
Tempo (s)
TORÇÃO - 0 a 360º - 1a volta
69
Figura 58 - Ângulo de rotação da vértebra: 2,1º
Figura 59 - Ângulo de rotação da vértebra: 2,1º
O resultado do ângulo de torção encontrado na simulação de 8,5º, foi exatamente igual
ao obtido na experimentação, vide a Figura 40.
Na Figura 61 está mostrada a curva do ângulo de torção obtida na simulação.
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00
To
rq
ue
(N
.m
)
Tempo (s)
TORÇÃO 2 - 360 a 720º - 2a volta
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
To
rq
ue
(N
.m
)
Tempo (s)
TORÇÃO 4 - 1080 a 1440º - 4a volta
70
Figura 60 - Aplicação de torque de 0,0 a 7,0 N.m - Período de 64 a 72 segundos
Figura 61 - Ângulo de torção de 8,5º
Na simulação o valor calculado para as molas horizontais (6 e 7) foram majoradas para
220.000 N/m em relação ao calculado de 156.000 N/m conforme valor em 3.6.4.4. Com os
valores de 156.000 N/m o modelo mostrou-se instável na simulação. Entre todas as molas pré-
calculadas tendo por base os dados do elastômero utilizado, essa foi a única mola cujo
coeficiente de rigidez teve que ser ajustado.
Os potenciômetros utilizados apresentam uma precisão de 5%. Para curvas cinemáticas
mais precisas é importante utilizar sensores com maior precisão, pois em função da utilização
de vários potenciômetros o erro aumenta exponencialmente.
71
A utilização de um atuador vertical, atua sobre a célula de carga de flexão, para
provocar movimentos mais rápidos (cilindros pneumáticos ou motores de passo) de flexão
possibilitará análise dos parâmetros de amortecimento.
72
5 CONCLUSÕES
A proposta desse trabalho foi o desenvolvimento de um equipamento de baixo custo, a
elaboração de um programa matemático para transformar os dados coletados nos sensores
desse equipamento para obtenção dos dados cinemáticos e o desenvolvimento de um
programa de simulação para comparar com os dados obtidos em testes “in vitro” em partes de
coluna vertebral e avaliar mecanicamente discos intervertebrais, e dessa forma fornecer
informações para manufatura de próteses no que tange a escolha de elastômeros ou compostos
mais adequados.
Pelos dados e curvas obtidas pode-se dizer que o objetivo foi alcançado. O programa de
processamento dos dados e o programa de simulação se mostraram eficazes. O equipamento
mostrou-se adequado na realização dos testes, naturalmente algumas melhoras podem ser
realizadas no equipamento, como atuadores mais rápidos e sensores mais precisos.
Os dados utilizados da literatura, para avaliação dos parâmetros mecânicos da borracha
do corpo de teste, mostraram-se adequados para a determinação dos dados iniciais utilizados
na simulação. Somente foi alterada a rigidez horizontal do elastômero, as demais foram
utilizadas exatamente como calculadas.
Os dados obtidos nos testes fornecem subsídios para melhorar o equipamento, que
apresenta uma concepção inédita, e o sistema utilizado, por tratar-se naturalmente de um
protótipo, para obtenção de dados com maior exatidão.
73
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21, suppl. 5, p. 599–611.
75
APÊNDICE A – Programa para 41 posições
'PARA INSERÇÃO DE DADOS: todos os dados serão inseridos na matriz d(i,10)';
'ETAPA 1: ZERAR - POSIÇÃO ZERO (