Tese de doutorado . Modelos não-lineares de teoria de campos e mundos-brana Augusto Enrique Rueda Chumbes Universidade Estadual Paulista Campus Guaratinguetá 2013 Augusto Enrique Rueda Chumbes Modelos não-lineares de teoria de campos e mundos-brana Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, para a obtenção do t́ıtulo de Doutor em F́ısica. Orientador: Professor Dr. Marcelo Batista Hott Guaratinguetá 2013 C559m Chumbes, Augusto Enrique Rueda Modelos não-lineares de teoria de campos e mundos-brana / Augusto Enrique Rueda Chumbes – Guaratinguetá : [s.n], 2013. 90 f : il. Bibliografia: f. 75-82 Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2013. Orientador: Prof. Dr. Marcelo Batista Hott 1. Teoria quântica de campos I. Título CDU 530.145(043) DADOS CURRICULARES AUGUSTO ENRIQUE RUEDA CHUMBES NASCIMENTO 08 / 08 / 1974 - CALLAO, PERU FILIAÇÃO Hernan Rueda Velasco Delia Emperatriz Chumbes Arias 1994 / 2001 Curso de Graduação - Bacharelado em F́ısica Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas Universidad Nacional del Callao - UNAC Callao - Peru. 2007 / 2009 Curso de Pós-Graduação em F́ısica, ńıvel Mestrado Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá Universidade Estadual Paulista - UNESP Guaratinguetá - SP - Brasil. 2009 / 2013 Curso de Pós-Graduação em F́ısica, ńıvel Doutorado Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá Universidade Estadual Paulista - UNESP Guaratinguetá - SP - Brasil. DEDICATÓRIA “Dedico à memória de minha mãe Delia Emperatriz” AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por suas bençãos e por proporcionar harmonia em minha vida; a minha mãe Delia Emperatriz por haver me ensinado a ter perseverança, coragem e saber enfrentar as dificuldades com calma e firmeza, a quem dedico esta tese de maneira especial; a meu pai Hernan, a meus avós Fortunata e Justo, e familiares pelo aconchego profundo de amor e carinho; também agradeço a minha esposa Angela Cristina pelo amor e dedicação que me proporciona dia a dia. Saindo do âmbito familiar, agradeço a meu orientador, Professor Doutor Marcelo Ba- tista Hott, pelos anos de orientação que foi essencial para minha formação acadêmica. Obrigado professor pelo apoio, confiança e incentivo na realização desta tese. Agradeço aos professores do grupo de part́ıculas e campos da Unesp-Campus de Gua- ratinguetá. Professores Doutores: Julio Marny Hoff da Silva (pela ajuda e apoio no desenvolvimento da publicação em conjunto), Antonio Soares de Castro, Alvaro de Souza Dutra, Denis Dalmazi e Fernando Luiz de Campos Carvalho, todos eles professores for- madores e amigos os quais me aconselharam e me apoiaram nesta etapa do doutorado. Agradeço a todos meus amigos conterrâneos peruanos pela confiança e apoio durante estes 6 anos, GRACIAS MUCHACHOS !. Também agradeço a todos os colegas da pós- graduação pelos bons momentos de convivência na FEG. Agradeço aos funcionários do curso de Pós-Graduação: Regina, Cristina, Juliana e Sidney, pela atenção, apoio e disposição. De um modo mais amplo quero agradecer à FEG/UNESP por todos esses anos, por ter me recebido e ter contribúıdo para meu crescimento professional. OBRIGADO !. À Reitoria da Unesp, em especial ao Programa da Pós-Graduação em F́ısica da Unesp- Campus de Guaratinguetá e à agência de fomento para formação de pessoal em ńıvel superior CAPES pelo apoio financeiro 01/08/2009 até 28/02/2010 e CAPES/CNPq-IEL Nacional - Brasil, 01/03/2010 até 01/08/2013. Também quero agradecer à Pró-Reitoria da Pós-Graduação pelo apoio financeiro para minha participação nos eventos no exterior: “Workshop in High Energy Physics in the LHC Era 2012”, ocorrido em Valparaiso-Chile e “Summer school on Cosmology 2012”, ocorrido em Trieste-Itália, por meio do convênio UNESP-ICTP. Este trabalho contou com o apoio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior - CAPES, e do Conselho Nacio- nal de Desenvolvimento Cientifico e Tecnológico CNPq. Programa CAPES/CNPq-IEL Nacio- nal - Brasil. “a natureza é um enorme jogo de xadrez disputado por deuses, e que temos o privilégio de observar. As regras do jogo são o que chamamos de f́ısica fundamental, e compreender essas regras é a nossa meta” Richard Feynman Chumbes, A. E. R. Modelos não-lineares de teoria de campos e mundos-brana. 2013. 90 f. Tese (Doutorado em F́ısica) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013 Resumo Nesta tese analisamos a localização de campo de matéria em branas duplas. Estudamos a localização de férmions não-massivos em paredes de domı́nio (3-brana) imersa no espaço de 4+1 dimensões em cenários Randall-Sundrum (espaço warped), e Rubakov-Shaposhnikov (espaço plano), respectivamente. Abordamos a localização do campo fermiônico, aco- plando os férmions com uma função de campo escalar, cuja solução tipo kink simples é deformada a uma solução tipo kink duplo. No contexto de nosso estudo, este tipo de con- figuração kink duplo permite ilustrar o fenômeno da separação das branas. Constrúımos novos modelos não-lineares em teoria de campos que forneçam configurações do tipo kink duplo. Estes modelos são constrúıdos a partir da deformação do modo-zero associado à equação de estabilidade de outros modelos bem estabelecidos. Por sua vez, estes modelos são aplicáveis na descrição de fenômenos cŕıticos e em cenários de mundos-brana. Além disso, temos conhecimento de que não é posśıvel a localização de campo de gauge por meio unicamente da curvatura (warped). Propomos um mecanismo que leve à localização do modo-zero do campo de gauge abeliano em branas espessas por meio de uma função suave e cont́ınua que torna a ação normalizável. Esta função suave funcionaria como uma função dielétrica. Neste mesmo contexto, aplicamos este mecanismo para a localização do modo-zero do campo de Kalb-Ramond em branas espessas. PALAVRAS - CHAVE:Mundos-brana. Separação de branas. Localização de férmions. Localização de campo de gauge. Localização do campo de Kalb-Rammond. Chumbes, A. E. R. Non-linear models in field theory and braneworlds. 2013. 90 p. Thesis (PhD in Physics) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2013 Abstract In this thesis we analyze the localization of matter field in double branes. We study the localization of massless fermions in domain wall (3-branes) immerse in a space 4+1 dimensions in Randall-Sundrum (warped space), and Rubakov-Shaposhnikov (flat space) scenarios, respectively. We approach the fermions localization, coupling the fermions to a scalar field functional, whose kink-like solutions are deformed to double kink solutions. In the context of our study, this double kink (two-kink) allows to illustrate the brane splitting phenomenon. We construct new non-linear models in field theory which provides double kink configurations. These models are constructed from the deformation of the zero mode associated to the stability equations of well-established models. In turn, these models are applicable in the description of critical phenomena and brane-worlds scenarios. Moreover, we know that it is not possible to achieve gauge fields localization on brane by means of only the warped curvature. We propose a mechanism that leads to the localization of zero mode of Abelian gauge field in thick branes by means of a smooth and continuous function which turns out the action normalizable. This smooth function would work as a dielectric function. In this same context we apply this mechanism for the localization of zero mode of Kalb-Ramond field in thick branes. KEYWORDS: Brane-worlds. Brane splitting. Fermions localization. Gauge field loca- lization. Kalb-Ramond field localization. Lista de Figuras 2.1 Perfil do potencial V (φ). Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Perfil do campo escalar φ. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Perfil do fator de deformação. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4 Perfil da densidade de energia matéria. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Escalar de Ricci. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6 Perfil t́ıpico da solução kink. L = 0.01 (linha pontilhada) corresponde a uma solução kink simples, L = 2.6 (linha fina) corresponde a uma solução kink duplo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.7 Fator de deformação avaliado para dois valores diferentes de L, para L=0.01 (linha fina) e L=4.6 (linha sólida). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.8 Perfil da densidade de energia matéria. L = 0.01 (linha grossa), e L = 2.6 (linha fina). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.9 Escalar de Ricci para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e, L = 4.5 (linha grossa). Evidencia a formação de brana dupla à medida que L aumenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.10 Escalar de Kretschmann para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.5 (linha grossa). Evidencia a formação de brana dupla à medida que L aumenta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 10 3.1 αL0 (modo-zero esquerdo) nos casos F (φ) = ηφ(r) (lado esquerdo), F (φ) = η(φ(r) +M(r)) (lado direito), para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.5 (linha sólida). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 αL0 (modo-zero esquerdo) no caso de F (φ) = −ηWφφ, para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.5 (linha sólida). . . . . . . . . . . 39 3.3 Modo-zero para F (φ) = −ηφ, para L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.4 Potenciais efetivos UL(r) e UR(r) para o caso F (φ) = ηφ. Para L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). . . . . . . 42 3.5 Modo-zero para F (φ + 1 2 tanh(2L)), para L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.6 Potenciais efetivos UR(r) e UL(r) para o caso F (φ) = η(φ+ 1 2 tanh(2L)), e L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). . 43 3.7 αL0(r) no caso de F (φ) = −ηWφφ, para L = 1.6 (linha fina), e L = 4.5 (linha sólida). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.8 Potencial efetivo para o acoplamento F (φ) = −ηWφφ com L = 1.5, UL(r) (linha solida), UR(r) (linha pontilhada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.9 αL1 (lado esquerdo) e αR1 (lado direito) no caso F (φ) = −ηWφφ para L = 1.6 (linha azul) e para L = 3.6 (linha preta). . . . . . . . . . . . . . . 45 3.10 Autovalores de energia m2 1 do primeiro estado excitado αL1 em função de L. Obtidos numericamente por meio de cálculos numéricos. (ver tabela 3.1) 46 3.11 Autovalores de energia do segundo estado excitado αL2 em função de L. . . 47 3.12 Perfil de ρ(r, t) para distintos valores de t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1 Lado esquerdo: modo-zero deformado correspondente à eq.(4.17) para L = 0.5 (linha fina) e L = 6.1 (linha espessa). Lado direito: Perfil tipo kink da eq. (4.18) para L = 0.65 (linha fina), e L = 4.5 (linha espessa). . . . . . . . 56 4.2 Potencial do modelo seno-Gordon deformado, eq. (4.19), para L = 0.05 (linha tracejada), L = 1.0 (linha fina) e L = 1.5 (linha grossa). . . . . . . . 57 4.3 O potencial da teoria de campos da equação (4.25), para L = 0.65 (linha pontilhada), L = 1.5 (linha fina) e L = 10.5 (linha grossa). . . . . . . . . . 59 11 4.4 Perfil do potencial da equação (4.28), para β=0.25 (linha solida) e β=0.3 (linha tracejada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 4.5 O potencial de teoria de campos (2.6) comW (φ) correspondente ao modelo seno-Gordon deformado, para L = 10.5 (linha tracejada), L = 1.5 (linha fina) e L = 0.65 (linha grossa). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Lista de Tabelas 3.1 Tabela dos autovalores de energia do primeiro estado excitado αL1 (figura 3.10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2 Tabela dos autovalores de energia do segundo estado excitado αL2 (figura 3.11). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 13 Sumário 1 Introdução 16 1.1 Estrutura da Tese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Mundos-Brana 25 2.1 Modelo de Gremm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 Modelo não-polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Localização de férmions em branas espessas 35 3.1 Localização de férmions no espaço deformado . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Localização de férmions no cenário de Rubakov-Shaposhnikov . . . . . . . 40 3.2.1 Estados massivos mistos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.3 Comentários sobre a localização de férmions . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Reconstrução de defeitos deformados em teoria de campos a partir da deformação de modos-zero 51 4.1 Aspectos gerais de modelos não-lineares em teoria de campos . . . . . . . . 52 4.2 Método de reconstrução dos MNLTC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Reconstrução do MNLTC a partir dos modos-zero. . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1 Modelo de seno-Gordon deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3.2 Modelo φ4 deformado I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.3 Modelo φ4 deformado II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.4 Simetrização do potencial Scarf-II da mecânica quântica e um novo MNLTC deformado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 14 4.4 Aplicações dos modelos MNLTC deformados . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 5 Localização de campos vetorial e tensorial em branas espessas 62 5.1 Localização de campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 5.2 Localização do campo de Kalb-Ramond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 6 Conclusões e perspectivas 73 A Equações de Movimento 83 B Escalar de Kretschmann 86 C Construção das autofunções da equação de Schrödinger pelo método de Numerov 88 15 Caṕıtulo 1 Introdução A possibilidade de que nosso universo apresenta mais de três dimensões espaciais tem atráıdo cont́ınuo interesse durante anos. Uma forte motivação para considerar o espaço multidimensional provem de teorias que incorporam a gravidade, tais como a teoria de cordas e a teoria M; as quais são consistentemente formuladas no espaço-tempo com mais de 4 dimensões. Em paralelo com o desenvolvimento da teoria fundamental, estudos ao longo da linha fenomenológica recentemente nos conduzem a novas perspectivas de como as dimensões extras poderiam se manifestar, e como estas poderiam nos ajudar a solucionar alguns velhos problemas da f́ısica de part́ıculas (problema da hierarquia de massas, o problema da constante cosmológica, etc.). Esses estudos fenomenológicos são muitas vezes baseados em modelos simplificados em teoria de campos [81], os quais nos ajudam a descrever essas dimensões extras. As ideias de construir teorias com mais de quatro dimensões surgiram a partir das tentativas de poder unificar as 4 forças fundamentais da natureza. Historicamente as primeiras ideias de dimensões extras que foram introduzidas à comunidade cient́ıfica da- tam de 1914. Gunna Nordström [71], propôs uma teoria vetorial em 4+1 dimensões para descrever o acoplamento entre o eletromagnetismo e a gravitação, ainda sem incorporar a teoria geral da relatividade. Após o desenvolvimento da relatividade geral por Einstein, as ideias de estender esta teoria unificando a gravitação com o eletromagnetismo, datam de 1921 por Theodor Kaluza e estendida em 1926 por Oscar Klein [58]. A ideia do modelo de Kaluza-Klein (K-K) foi considerar um espaço plano de cinco dimensões (quatro espa- ciais e uma temporal). A dimensão espacial adicional seria inviśıvel à nossa percepção por ser compacta e de raio microscópico, cuja dimensão é da ordem da escala de Planck (10−35m). Por outro lado, a métrica de K-K no espaço de 5 dimensões possui 15 graus de liberdade (constitúıdos pelo métrica quadridimensional gµν , pelo campo vetorial Aµ e por um campo escalar φ) [76] ĝAB =   | gµν | Aµ | − − − | − ATµ | φ   (1.1) Portanto, a parte da métrica que faz referência às quatro dimensões (uma temporal e outras três espaciais) terá uma consistência tensorial, gµν(1 + f(φ,A2)) + AµAνh(φ,A 2), de forma que se fizermos o campo vetorial Aµ = 0 e o campo escalar φ = 0, obtemos a métrica de Minkowski usual. Assim ĝAB em 5 dimensões pode ser escrito da seguinte forma [73] ĝAB = ( gµν + φ2AµAν φ2Aµ φ2Aν φ2 ) , (1.2) onde os ı́ndices A,B vão de 1 a 5. Para poder explicar, no cénario de K-K, que não existe nenhum efeito detectado pela existência das dimensões extras, consideramos que estas sejam suficientemente compactas e representadas por uma esfera S1 de raio de compactificação rc ≤ 10−17 cm. Além disso, podemos expressar os campos gµν , Aµ e φ como uma expansão em série de Fourier. gµν(x, r) = n=∞∑ n=−∞ g(n)µν (x)e inr rc , Aµ(x, r) = n=∞∑ n=−∞ A(n) µ (x)e inr rc , φ(x, r) = n=∞∑ n=−∞ φ(n)(x)e inr rc , (1.3) onde n representa os modos de Kaluza-Klein (K-K). Observemos que se o raio de com- pactificação rc é pequeno (tal como foi proposto por Klein), o momento associado n/rc terá uma magnitude enorme, tal que os modos com n = 0 serão os observáveis. Esta teoria serviu de base para o surgimento de outras vertentes de pesquisa considerando espaço multidimensionais. Talvez seja posśıvel observar ressonâncias massivas K-K. Mais adiante comentaremos sobre ressonâncias. 17 Nos anos 60, foi abordado o estudo de espalhamento de hádrons. Neste estudo um modelo de ressônancia dupla foi descrito [86], sendo que o espectro dos estados no modelo reproduz o espectro de uma corda vibrante. A motivação referente a dimensões extras é devida a que o modelo apresenta consistência com 26 dimensões referente à teoria bosônica, e a 10 dimensões se o modelo é de caráter supersimétrico. Conhecida como teoria das cordas, que foi constrúıda inicialmente para descrever as interações fortes apresentando uma escala hadrônica na ordem dos Gev. A presença de um modo não-massivo de spin 2, sem part́ıcula hadrônica equivalente conhecida, mostrava-se inconsistente, o qual se propôs relacionar com o gráviton. Portanto, a escala hadrônica foi substitúıda pela escala de massa de PlanckMPl = 2, 44×1018 Gev [22] (MPl ∼ G −1/2 Newton)(GNewton ≡ constante de Newton da Gravitação). A partir desta reformulação da teoria de cordas, deu-se origem à primeira fusão entre ambas teorias; a gravitação e a mecânica quântica. Em 1983, Rubakov e Shaposhnikov propuseram um cenário em que nosso universo estaria confinado a uma parede de domı́nio [80]. Esta parede de domı́nio, chamada na literatura de 3-brana seria uma variedade topológica e estaria mergulhada em um mundo de 4+1 dimensões - chamado de bulk - e é descrita por uma solução tipo kink (solução topológica) que se estende ao longo da dimensão extra (isto é, feito em analogia com a descrição de paredes de domı́nio que se formam entre domı́nios magnéticos). Uma brana é um defeito topológico como aqueles que aparecem em teorias de campo não- lineares em 1+1 dimensões do espaço-tempo. Ao discutirem a necessária localização da matéria, ou seja, a posśıvel realização de nosso universo na brana (dentro de una parede de domı́nio), Rubabov e Shaposhnikov observaram que os férmions poderiam ser localizados, via mecanismo de Jackiw e Rebbi [56]. Com o surgimento natural de férmions sem massa e, dependendo do modelo não-linear utilizado para fornecer a brana, alguns modos massivos podem ser localizados na brana (parede de domı́nio). Nos anos 90 surgiram novas propostas que vale a pena destacar: Polchinski e outros autores [75], mostraram que a teoria de cordas aborda outros objetos estendidos que são restritos a se movimentar com extremos das cordas abertas fixos na brana. São as chamadas de Dp-branas. D representa a condição de Dirichlet, e p representa o número de dimensões espaciais. Diz-se, 0-brana o objeto pontual, 1-brana uma corda, 2-brana é uma membrana e 3-brana é uma parede de domı́nio. Os modelos de mundos-brana ressurgiram com grande impacto após as ideias de Arkani-Hamed, Dimopolos e Dvali (ADD), publicadas em 1998 [2]. Estas ideias con- sistem em considerar as dimensoẽs extras suficientemente extensas. O modelo ADD faz uma especulação referente ao tamanho permitido para as dimensões extras, e tem como propósito solucionar o problema da hierarquia de massa. O modelo em menção também 18 discute as grandes diferenças entre a escala de massa eletrofracaMef = 10 3Gev, e a escala de massa de Planck [22]. Outro dos principais pontos importantes do modelo ADD é que a gravidade é controlada pela escala eletrofraca em vez da escala de Planck, com a intenção de poder unificar as interações gravitacional e eletrofraca. Além disso, as linhas de campo gravitacional podem ficar potencialmente confinadas a nosso mundo de 4 dimensões, as quais é descrita pelo potencial gravitacional : V (r) = m1m2/(M n+2 Pl(4+n)rr n c ) em M(3, 1)× Sn, sendo Sn uma bolha de n dimensões rela- cionada com as dimensões extra, e M(3, 1) está relacionado como o espaço de Minkowski. Por outro lado, o resultado do acoplamento gravitacional em 4 dimensões é descrito por M2 P l =Mn+2 Pl(4+n)r n c , ondeMPl(4+n) ∼ Mef , sendoMPl a (massa de Planck 10 18 Gev), e cujo raio de compactificação esta descrito por rc =M−1 ef ( MPl Mef )2/n ∼ 1032/n10−17cm [2]. No caso de n = 1, temos que o raio de compactificação é rc = 10 15cm, o qual apresenta um desa- cordo com as observações experimentais da gravidade testadas naquela escala. No caso de duas dimensões extra, o raio de compactificação é aproximadamente rc ∼ 1 mm[76], o que é interessante, pois não viola a lei de Newton da gravitação na escala milimétrica. Uma solução mais completa para o problema de hierarquia de massa foi proposta por Lisa Randall e Raman Sundrum em 1999 (RS-I) [79] a qual apresenta os seguintes aspectos importantes: • Nesse cenário considera-se o espaço-tempo de 5 dimensões com simétria S1/Z2. • Nesse cenário foram propostas duas branas com um espaço (bulk) anti-de Sitter entre elas. Considerando uma brana onde as part́ıculas do modelo padrão estão confinadas, e outra brana onde a gravidade está localizada, denominada brana de Planck. • A razão pela qual a gravidade parece fraca na brana onde as part́ıculas do modelo padrão estão confinadas é que ela é exponencialmente suprimida com a distância entre as branas (devido à curvatura). A métrica de Randall-Sundrum é descrita por ds2 = e−2krcrηµνdx µdxν − dr2, onde xµ são as coordenadas em 4 dimensões, k está associada à curvatura AdS (Anti-de Sitter) do espaço-tempo, e ηµν= diag(1,−1,−1,−1) é a métrica usual de Minkowski. Podemos reescrever a métrica de maneira mais compacta na forma: ds2 = gMNdx MdxN , (1.4) 19 onde gMN é definido como gMN = ( e−2krcrηµν 0 0 −1 ) (1.5) A métrica apresentada por Randall-Sundrum (RS-I) é do tipo não fatorável (warped), e pode ser interpretada como a descrição de infinitas fatias quadridimensionais (3-brana) ao longo de toda a dimensão extra [47]. Pode ser entendido como que em cada ponto da dimensão extra há uma fatia quadrimensional de Minkowski. Por outro lado, o warp factor (fator de deformação) é o responsável pela mudança de escala de energia entre dois pontos −π < r < π. Diz-se, que para r = 0 representará a escala de energia da brana no limite ultravioleta e para r = π a brana está no limite infravermelho (setor viśıvel na brana). O modelo RS relaciona a escala de massa de Planck com a escala fundamental M 2 Pl =M3rc ∫ r=π r=−π dre−2krcr = M3 k ( 1− e−2krcπ ) , (1.6) M representa a massa em 5 dimensões. Dessa maneira podemos ver que a exponencial terá pouco efeito para determinar a escala de Planck, e o parâmetro k (associada à curvatura) se aproxima à escala de massa de Planck k ∼ M ∼ MPl [78]. Por outro lado, analisamos a ação do campo escalar de Higgs em 4+1 dimensões na métrica warped no setor viśıvel SHiggs = ∫ d4x ∫ π −π dr √ g δ(r − π) [ gµνDµH †DνH − λ(H†H − υ2)2 ] SHiggs = ∫ d4x √ gvis [ gµνvisDµH †DνH − λ(H†H − υ2)2 ] SHiggs = ∫ d4x e−4krcπ [ e2krcπDµH †DνH − λ(H†H − υ2)2 ] . (1.7) Para obter uma ação normalizável precisamos redefinir o campo de Higgs H → ekrcπ �H, o qual torna a ação quadridimensional na forma SHiggs = ∫ d4x [ Dµ �H†Dν �H − λ( �H† �H − (e−krcπυ)2)2 ] , (1.8) onde temos que o valor esperado no vácuo e−krcπυ → �υeff fica suprimido à brana pelo fator exponencial, e a massa nuam0 também fica suprimida na brana (onde nosso universo é realizado) pelo warp factor �m = e−krcπm0 [38]. Assim para poder resolver o problema de hierarquia relacionamos a massa na escala eletrofraca com a escala de Planck Mew = 10−15MPl [79], de forma que para krcπ ≃ 37 a massa na escala de Planck fica suprimida 20 pelo warp factor (fator de deformação) na brana à escala dos TeV [47]. Mas isto nos levaria a outros problemas associados como é o caso do decaimento do próton [64]. No segundo modelo de Randall-Sundrum chamado de (RS-II) [78], é considerada uma única brana (a o modelo padrão) a uma dimensão extra infinita. A principal constatação do modelo (RS-II) vem da forma do potencial gravitacional entre duas part́ıculas de massas m1 e m2 na brana V (r) = GN m1m2 r ( 1 + 1 k2 r2 ) , (1.9) onde o primeiro termo provém da interação gravitacional em 4 dimensões, e o segundo termo provém da troca dos modos cont́ınuos de K-K, onde o parâmetro k é da ordem da escala de Planck. O fator 1/k2 r2 é o termo de correção ao potencial newtoniano devido aos grávitons massivos de Kaluza-Klein que são suprimidos a baixas energias. Esta seria uma boa motivação para se considerar modos K-K mais altos, ou seja embora não observais poderiamos influenciar na interação gravitacional. Podemos explorar isto em branas duplas. No modelo de brana fina RS-I observamos que a massa na escala de Planck é suprimida pelo warp factor na brana na escala dos Tev (GUT) o que é desejável para solucionar o problema de hierarquia. Mas uma posśıvel objeção ao modelo é que sua densidade de energia apresenta uma singularidade. Pelo que é mais fact́ıvel considerar branas espessas os quais são estruturas suaves, continuas e livres de singularidades. No contexto de branas espessas é recorrente a análise de localização de matéria, da própria gravitação (grávitons) e da radiação (fótons) nas branas. Fótons parecem ser claustrofóbicos, ou seja, são quase imposśıveis de serem localizados em branas no cenário de Rubakov-Shaposhnikov [80], e definitivamente não localizáveis no contexto de geome- tria deformada [60]. Com a finalidade de solucionar esta problemática Dvali-Gabadadze- Shifmann [36] propuseram um mecanismo para a localização de campo de gauge na brana, chamado de quasi localização de campo de gauge na brana. Seguindo este procedimento Guerrero e Melfo [53] propuseram a localização do campo de gauge em branas espessas. O estudo da localização de gravidade no contexto de branas espessas foi estudado em [20]. Outro mecanismo para a localização do campo de gauge usando acoplamento dilatônico foi descrito por Kehagias e Tamvakis [60] e Teixera Cruz e Almeida [21]. Por outro lado publicamos em [24] uma proposta diferente na qual consiste no acoplamento do campo escalar que gera a brana com um campo de gauge abeliano. Seguindo analogia com o mo- delo de Friedberg-Lee (colour dielectric model) [46] para aspectos não perturbativos da Cronodinâmica Quântica (CDQ), inclúımos uma função dielétrica (função de campo esca- 21 lar) com algumas propriedades espećıficas que levam à localização dos campos de gauge. Mostramos que o mecanismo proposto funciona bem tanto no contexto de geometria plana quanto no de geometria deformada. Foi mostrado em [84] que campos de Kalb-Ramond, assim como ocorre com campos de gauge vetoriais [60], [21], não são localizados no interior de branas espessas unicamente por meio da gravitação. Investigamos o acoplamento entre um campo escalar neutro e um campo de Kalb-Ramond K-R de forma de proporcionar a localização de modos zero de K-R em branas espessas tanto no cenário de Randall-Sundrum como no cenário de Rubakov- Shaposhnikov. Em [21] e [84] é introduzido um campo escalar adicional (dilaton) para localizar campos vetoriais e tensoriais em branas, enquanto que em nosso mecanismo não há necessidade de fazer uso de dilaton na teoria original. A localização é proporcionada apenas pelo defeito topológico que gera a brana, de uma maneira similar à que ocorre na localização de matéria. Uma motivação para se estudar a localização de campos de K-R é que estes podem descrever uma f́ısica axiônica, os ax́ıons aparecem naturalmente em teoria de cordas a partir de campos tensoriais antissimétricos [57] e também são candidatos a descreverem a matéria escura. Em [25] foi considerado um modelo com um único campo escalar que apresenta como soluções de energia mı́nima configurações de paredes de domı́nio similares àquelas mos- tradas que ocorrem nas chamadas branas degeneradas [42]. O modelo considerado em [25] tinha sido constrúıdo anteriormente [17] como um modelo efetivo a partir daquele proposto em [42] e apresenta uma peculiaridade que consiste no fato da solução clássica ser do tipo kink simples, que se deforma continuamente em uma configuração tipo kink duplo, reproduzindo o fenômeno de separação de paredes de domı́nio (separação de bra- nas) [17], o sistema de dois campos acoplados foi abordado em [4, 5] o que foi de base para o estudo da localização com dois campos escalares. Alguns modelos com configuração de energia mı́nima que exibem configuração dois kink foram estudadas em [6],[41]e o estudo da localização de férmions em uma parede de domı́nio foi abordada em [59],[66],[67]. Es- tudamos o destino de férmions sem massa localizados em uma parede de domı́nio (brana) que se divide em duas paredes (parede dupla). Encontramos que um acoplamento con- veniente de férmions com o campo escalar exibe supersimetria, no caso de geometria não deformada (espaço plano), ou seja, os férmions apresentam o mesmo espectro de energia das excitações do campo escalar que proporciona a brana (branons). O que chamamos de acoplamento conveniente é aquele em que a densidade de probabilidade de encontrar os férmions em ambas branas é a mesma, ou seja, uma das branas não é preferida em relação a outra. É interessante observar que neste caso espećıfico, os férmions sem massa seriam interpretados como férmions de Majorana. 22 Também discutiremos a construção de novos modelos não-lineares em teoria de cam- pos, baseado nos trabalhos de [45] e [85]. Estes modelos são usados para descrever fenômenos cŕıticos como a separação de paredes de domı́nios e a formação de uma fase wetting (molhada) em alguns materiais ferromagnéticos e paramagnéticos. A motivação do estudo destes novos modelos está na descrição da separação de paredes de domı́nios em cenários de mundos-brana. 1.1 Estrutura da Tese Está tese tem como base as seguintes artigos publicados pelo autor e colaboradores ao longo do peŕıodo de doutorado. • Chumbes, A. E. R. ; Vasquez, A. ; Hott, M. Fermion localization on a split brane. Physical Review. D, v. 83, p. 105010, 2011. • Chumbes, A. E. R. ; Obispo Vasquez, A. E. ; Hott, M. B. Reconstruction of deformed defects in field theory from deformed zero modes and applications. Europhysics Letters, v. 98, p. 31004, 2012. • Chumbes, A. E. R. ; Hoff da Silva, J. M. ; Hott, M. B. Model to localize gauge and tensor fields on thick branes. Physical Review. D, v. 85, p. 085003, 2012. A presente tese está estruturada da seguinte maneira: No caṕıtulo 2, fazemos uma breve revisão de modelos com branas espessas como de modelos com branas duplas. Discuti- remos a distribuição de densidade de energia em cada um destes modelos apresentados. Assim como as aplicações desses modelos em cenários de mundos-brana. No caṕıtulo 3, abordamos o problema da localização de férmions em branas espessas que exibem separação tanto no espaço warped (Randall-Sundrum) como no espaço plano (Rubakov-Shaposnhikov). Fazemos uso de um modelo não-linear com um só campo escalar (que exibe uma solução tipo kink deformado). O modelo possui um parâmetro que modula a solução tipo kink para uma solução tipo kink duplo [26]. Acoplamos o campo fermiônico com o campo escalar, por meio de um acoplamento geral de tipo Yukawa ψF (φ)ψ, onde F (φ) representa uma função de campo escalar φ avaliada na solução clássica . A forma de F (φ) é fundamental para a localização do modo-zero em branas que exibem separação. No caṕıtulo 4, constrúımos modelos não-lineares em teoria de campos a partir da deformação de modo-zero bosônico (excitações de um campo escalar real em modelos não- lineares). Estes modelos estão associados à equação de estabilidade de outros modelos bem 23 conhecidos como seno-Gordon, φ4 e Scarf-II. Os novos modelos não-lineares em teoria de campos tem solução de energia mı́nima (kink) o qual pode ser continuamente deformado a uma solução kink duplo (2-kink) por meio de um parâmetro de auto interação do potencial de teoria de campos. Sugerimos aplicações destes modelos deformados, que exibem separação de paredes de domı́nio, em cenários de mundos-brana. No caṕıtulo 5, abordamos o estudo da localização de campo de gauge abeliano em branas espessas. É bem sabido que nem sempre é posśıvel obter a localização do campo de gauge na brana por meio unicamente da curvatura do espaço. Abordamos a localização introduzindo uma função suave e continua na ação do campo de gauge de 5 dimensões, com a finalidade de obter a localização de campo de gauge na brana. Além disso, este mecanismo de localização também será aplicado na localização de campo tensorial de Kalb-Ramond. No Caṕıtulo 6, apresentamos as considerações finais deste trabalho. No final desta tese inclúımos três apêndices: Apêndice A, demonstramos como obter as equações de movimento estáticas para o campo escalar acoplado à gravidade em 4 + 1 dimensões em geometria warped, no apêndice B, descrevemos o escalar de Kretschmann apresentado no caṕıtulo 2. Finalmente no apêndice C, fazemos a construção das autofunções da equação de Schrödinger pelo método de Numerov que são usadas para analisar o comportamento dos estados excitados massivos discutido no caṕıtulo 3. 24 Caṕıtulo 2 Mundos-Brana Nesta seção, vamos analisar modelos de mundo-brana onde o nosso universo (brana) tem uma espessura. Em primeiro lugar estas soluções aparecem em várias teorias de campo multidimensional acopladas com a gravidade, conduzindo a uma variedade de possibili- dades de mundo-brana, que é interessante em si [37]. Em segundo lugar, a espessura da brana deve ser um ingrediente essencial para estender a ideia de mundo-brana para um espaço-tempo multidimensional. Iniciamos nosso estudo revisando modelos que geram branas espessas, tais como o modelo de M. Gremm [49], este modelo possui soluções anaĺıticas que nos ajuda a ilustrar a localização da gravidade na brana. Seria interessante analisar modelos com branas espessas geradas por campos escalares, onde a separação da brana (splitting brane) fosse observada. Com esse propósito A. Campos [17] construiu um modelo com um campo escalar complexo(brana) acoplado com a gravidade. Ampliamos nossa revisão de modelos com um só campo escalar que incorporam branas espessas proposto em [26]. Este modelo apresenta uma peculiaridade possui soluções tipo kink que são deformadas a soluções tipo kink duplo (2-kink)[27], este modelo ao igual ao modelo- p introduzido nas referências [7] e [12] nos ajuda a ilustrar o fenômeno da separação das branas e podem ser aplicados em cenários de mundos brana. Para descrever branas espessas por meio de teorias de campos consideramos um campo escalar (gerado pelo defeito) acoplado à gravidade em 4+1 dimensões, cuja ação é dada S = ∫ d4xdr √ |g| ( −1 4 R + 1 2 ∂aφ gab∂bφ− V (φ) ) , (2.1) onde g ≡ Det(gab) e a métrica para descrever branas espessas, cujo bulk tem um compor- 25 tamento AdS5 ds2 = gabdx adxb = e2A(r)ηµνdx µdxν − dr2, (2.2) com a, b = 0, ..., 4, r = x4 representa a dimensão extra, e ηµν é a métrica minkowskiana (1,−1,−1,−1). Os ı́ndices gregos correm de 0 a 3, e2A(r) é o fator de deformação o qual depende da dimensão extra, R é o escalar de curvatura. As equações de movimento estáticas que provêm da ação (2.1) e considerando que o campo escalar depende somente da dimensão extra, podemos escrever (ver apêndice A) d2φ dr2 + 4 dA dr dφ dr = dV (φ) dφ , (2.3) d2A dr2 = −2 3 ( dφ dr )2 , (2.4) ( dA dr )2 = 1 6 ( dφ dr )2 − 1 3 V (φ). (2.5) Considera-se [39] que o potencial V (φ) (obtido do contexto de supergravidade) possa ser escrito na forma V (φ) = 1 2 ( dW (φ) dφ )2 − 4 3 (W (φ))2 . (2.6) Assim pode-se verificar que as soluções das seguintes equações diferenciais de primeira ordem dφ dr = dW (φ) dφ , (2.7) dA dr = −2 3 W (φ), (2.8) são também soluções das equações diferenciais de segunda ordem (2.3)-(2.5). 2.1 Modelo de Gremm Começamos revisando o modelo apresentado por M. Gremm em [49]. Este modelo é am- plamente estudado devido à sua aplicação nas diversas áreas da f́ısica, como por exemplo na matéria condensada, na f́ısica de part́ıculas, na cosmologia, etc. Além disso, mostra várias caracteŕısticas do cenário de branas espessas. Na publicação de M. Gremm se considera o superpotencial W (φ) da forma W (φ) = 3bc sin (√ 2 3b φ ) . (2.9) 26 As soluções das equações (2.7) e (2.8) são dadas pelas seguintes expressões φ(r) = √ 6b arctan (tanh (cr)) , (2.10) A(r) = −b ln(2 cosh(2cr)). (2.11) A configuração do potencial V (φ) equação (2.6), com o superpotencial W (φ) dada em (2.9), é representada na figura (2.1) �4 �2 2 4 Φ �6 �4 �2 2 V �Φ� Figura 2.1: Perfil do potencial V (φ). Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. Podemos mostrar o perfil do campo escalar φ da equação (2.10) na figura (2.2) obser- �4 �2 2 4 r �2 �1 1 2 Φ Figura 2.2: Perfil do campo escalar φ. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. vando que o campo escalar φ tem um perfil tipo kink, conectando os mı́nimos do potencial φ(r → −∞) = − √ 6b π/4 com φ(r → ∞) = √ 6b π/4. Mostrando que o defeito (brana) encontra-se em torno de r = 0. Um fato relevante deste modelo é que a espessura da brana varia da acordo como o parâmetro c varia, ou seja, o parâmetro c está associado com a espessura da brana. 27 �3 �2 �1 0 1 2 3 r 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 e2 A Figura 2.3: Perfil do fator de deformação. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. A configuração do fator de deformação apresenta simetria Z2, ou seja, se cumpre eA(r) = eA(−r), e o comportamento assintótico para o modelo apresentado por Gremm [49] esta dado pelo produto dos parâmetros bc. A densidade de energia do campo escalar, é dada pela seguinte expressão T00 = e2A(r) ( 1 2 ( dφ dr )2 + V (φ) ) . (2.12) Substituindo as equações (2.10) e (2.11) em (2.12), obtemos a densidade de energia do campo escalar em função da dimensão extra r. A configuração desta densidade de energia é mostrada na figura (2.4). �3 �2 �1 1 2 3 r �1 1 2 3 Ε�r� Figura 2.4: Perfil da densidade de energia matéria. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. 28 No gráfico da densidade de energia matéria, a brana está localizada em torno de r = 0 na região de densidade de energia positiva, tal como o podemos observar na figura (2.4). Substituindo as equações (2.4) e (2.5) na equação (2.12), o tensor T00 fica expressado em termos de A(r) T00 = −1 2 e2A(r) ( 6 ( dA dr )2 + 3 d2A dr2 ) . (2.13) Temos que a energia do campo escalar é definida da forma E = ∫ ∞ −∞ drT00, (2.14) tal que substituindo (2.13) em (2.14) temos a energia do campo escalar E = 1 2 (e2A(∞)W (φ(∞))− e2A(−∞)W (φ(−∞))). (2.15) O valor da energia do campo escalar E depende do comportamento assintótico do warp factor (fator de deformação), e do superpotencial W (φ) no limite assintótico das soluções do campo escalar. No limite assintótico o fator de deformação vai a zero (como pode ser apreciado na figura (2.3)), e a solução clássica (2.10) conecta os mı́nimos do potencial, pelo que o superpotencial toma um valor constante. Portanto a energia do campo escalar é igual a zero. Este resultado indicaria que a contribuição da densidade energia positiva é a mesma que a densidade de energia negativa [65]. É interessante também comparar o escalar de Ricci gerado pela função A(r). Para isto traçamos R = −(8d2A/dr2 + 20(dA/dr)2) na figura (2.5). Nota-se que o escalar de Ricci tem sua maior variação em torno de r = 0 (região onde a brana se estende). Observamos que quando r → ±∞ este toma um valor constante e negativo. Dessa forma podemos dizer que em regiões distintas de onde está localizada a brana, adquire um comportamento assintótico de tipo AdS5. 29 �3 �2 �1 1 2 3 r �50 �40 �30 �20 �10 10 R Figura 2.5: Escalar de Ricci. Para c = 1 (linha grossa), c = 1.2 (linha fina) e c = 1.5 (linha pontilhada), com b=1. 2.2 Modelo não-polinomial Um segundo modelo em revisão é o modelo que publicamos em [26]. Este modelo exibe soluções tipo kink que podem ser continuamente deformados em soluções tipo kink duplo (dois kink). Nosso modelo foi constrúıdo a partir de modelos de dois campos escalares [42], e possui um parâmetro interno chamado de ¨parâmetro de degenerescência¨ que controla a separação das branas. Nosso modelo apresenta um Wφ(φ) da forma Wφ(φ) = 2µ(φ 2 + b2 − a2 + b √ φ2 + b2 − a2), (2.16) com f = √ b2 − a2 e b < −a. Onde b é o parâmetro de degenerescência. Integrando (2.16) nos permite mostrar W (φ) = 2µ [ φ( φ2 3 + f 2 + b 2 √ φ2 + f 2) + bf 2 2 sinh−1( φ f ) ] , (2.17) cuja solução clássica é φ = ±a sinh(2µar) cosh(2µar)− b/f . (2.18) O sinal +(−) representa a solução do tipo kink (anti-kink). Com b = −a coth(2µaL), a solução clássica (2.18) pode ser convenientemente reescrita da seguinte maneira φ(r) = ±a 2 [tanh(aµ(r + L)) + tanh(aµ(r − L))] . (2.19) Vemos que a solução (2.19) pode ser vista como a junção de duas soluções tipo kink φ± = a 2 (±1 + tanh(µa(r ∓ L))). Assim temos uma situação que se assemelha a 2 paredes 30 de domı́nio, ou duas branas localizadas em ±L, sendo 2L a separação entre as paredes de domı́nio (branas). �4 �2 2 4 x �1.0 �0.5 0.5 1.0 Φ�x� Figura 2.6: Perfil t́ıpico da solução kink. L = 0.01 (linha pontilhada) corresponde a uma solução kink simples, L = 2.6 (linha fina) corresponde a uma solução kink duplo. A configuração do campo φ é mostrada na figura (2.6). Vemos que quando L = 0.01, a solução φ apresenta a um perfil tipo kink, permitindo conectar os mı́nimos locais. Isso indica que o defeito (brana) encontra-se em torno de r = 0. A solução clássica tipo kink se deforma a uma solução de tipo 2-kink quando o parâmetro L cresce. Este tipo de comportamento pode ser observado na figura (2.6). Concernente ao warp factor (fator de deformação) podemos observar na figura (2.7) que este se separa em duas regiões similares ao longo da dimensão extra, cujo comporta- mento assintótico é de tipo AdS5, à medida que L aumenta a estrutura de brana dupla é observada. �15 �10 �5 5 10 15 r 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 � 2 A�r� Figura 2.7: Fator de deformação avaliado para dois valores diferentes de L, para L=0.01 (linha fina) e L=4.6 (linha sólida). 31 A estrutura de brana dupla pode também ser observado a partir da densidade de energia do campo escalar. A densidade de energia do campo escalar T00 é dada pela equação (2.12), e a configuração desta densidade de energia é mostrada na figura (2.8). Para L = 0.01 a brana está localizada em torno de r = 0 e quando L cresce, por exemplo para L = 2.6 temos duas branas onde T00 apresenta valores positivos. �15 �10 �5 5 10 15 r �0.08 �0.06 �0.04 �0.02 0.02 0.04 0.06 Ε�r� Figura 2.8: Perfil da densidade de energia matéria. L = 0.01 (linha grossa), e L = 2.6 (linha fina). É interessante também analisar o escalar de Ricci gerado pela função A(r). Para isto traçamos R = −(8d2A/dr2 + 20(dA/dr)2) na figura (2.9) �5 5 r �2 2 4 6 R�r� Figura 2.9: Escalar de Ricci para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e, L = 4.5 (linha grossa). Evidencia a formação de brana dupla à medida que L aumenta. O comportamento do escalar de Ricci varia à medida que o parâmetro L aumenta, observamos que quando r → ±∞ este toma um valor constante e negativo. dessa forma 32 podemos dizer que em regiões distintas de onde estão localizadas as branas, o escalar de Ricci é mais proeminente indicando maior curvatura. Outra forma de reafirmar a formação das branas duplas, é mediante o uso do escalar de Kretschmann em 5 dimensões K = RabcdR abcd (ver apêndice B). Este escalar esta associado à soma de quadrados das componentes do tensor de curvatura de Riemann em 5 dimensões, K = RabcdR abcd = 24 ( dA dr )4 + 16 (( dA dr )2 + ( d2A dr2 ))2 . (2.20) �5 5 r 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 K Figura 2.10: Escalar de Kretschmann para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.5 (linha grossa). Evidencia a formação de brana dupla à medida que L aumenta. Podemos observar que os picos do escalar de Kretschmann coincidem com os picos do escalar de Ricci. Reafirmando a formação das branas duplas. Também vemos que K assume constante assintoticamente. Vale a pena comentar que a separação entre as branas não é de caráter dinâmico, ou seja, não acontece à medida que o tempo transcorre. Note-se que a separação entre as branas acontece à medida que o parâmetro L cresce. Os modelos que poderiam ser usados para representar a separação entre as branas devem fornecer soluções que além de saturar o limite de Bogomol’nyi, exibam uma configuração tipo kink duplo para as soluções clássicas. Este tipo de soluções é de grande interesse em várias áreas da ciência, como é o caso de F́ısica de altas energias e matéria condensada. O estudo da separação de branas ou chamado também de splitting brane foi estabelecida por A. Campos [17] no qual faz uso de um campo escalar complexo (descrito pela brana) acoplado à gravidade, com simetria Z3. Também foi mencionado na literatura a construção de um modelo 33 U(φ) = aφ2+ bφ4 − cφ6 [87], que proporciona separação de paredes de domı́nio, mediante um parâmetro a que conduz à separação entre estes domı́nios. Observamos que o potencial V (φ) (2.6) na maioria de modelos polinomiais [30],[31], [39],[40],[50],[52],[82] com exceção do modelo sino-Gordon [49] que é de tipo oscilante, não são limitados inferiormente, devido que (W (φ))2 é um termo predominante dentro do potencial da brana. Este comportamento de não serem limitados inferiormente não per- mitiria fazer uma expansão perturbativa em torno da solução clássica para a quantização do sistema. O estudo destes modelos não-lineares são inspirados no estudo sobre estabilidade das flutuações da gravidade em paredes de domı́nio em teorias de supergravidade [32]-[34]. Um problema interessante em cenários de mundos-brana é a localização de campo de matéria na brana, ou seja, a realização estável de nosso universo observável. Abordaremos na caṕıtulo seguinte a localização de férmions em branas que exibem separação. 34 Caṕıtulo 3 Localização de férmions em branas espessas Em teoria de mundos-brana, um problema interessante é a localização de campos de matéria e de campos de gauge na brana, ou seja, a realização estável de nosso universo observável na brana. Estudaremos neste caṕıtulo a localização de férmions sem massa em paredes de domı́nio que se dividem em duas paredes. O estudo da localização de férmions será feita tanto no cenário de Randall-Sundrum como no cenário de Rubakov- Shaposhnikov. Fazemos uso do modelo não-linear apresentado no caṕıtulo 2 (este modelo apresenta uma peculiaridade que consiste em que a solução clássica do tipo kink se deforma continuamente em uma solução kink duplo) que nos permitira descrever a localização em branas duplas. Acoplamos o campo férmionico com o campo escalar (gerado pelo próprio defeito) via acoplamento geral tipo Yukawa ΨF (φ)Ψ, onde F (φ) é uma função de campo escalar φ tomado na solução clássica. A forma desta função F (φ) é fundamental para a localização de férmions em branas duplas. 3.1 Localização de férmions no espaço deformado A ação para férmions de spin 1/2 acoplados com o campo escalar(defeito topológico) e a gravidade em (4 + 1) dimensões é dada na forma: S1/2 = ∫ d 5x √ g [ iΨΓaDaΨ−ΨF (φ)Ψ ] , (3.1) 35 cuja correspondente equação de movimento é ( iΓaDa − F (φ) ) Ψ = 0, (3.2) onde o ı́ndice a, b = 0, 1, 2, 3, 5 e µ = 0, 1, 2, 3, e as matrices gamma satisfazem a álgebra {Γa,Γb} = 2gab e podem ser escritas em termos da representação irredut́ıvel das matrices gamma 4× 4: Γµ = e−A(r)γµ Γ5 = −iγ5. (3.3) A derivada covariante é definida como DaΨ = (∂a + ωa)Ψ = ( ∂a + 1 4 ωa ba ΓaΓb ) Ψ, (3.4) onde ωa é chamado de conexão spin, e as matrices gamma obedecem a relação Γa = eaaΓa, onde a se refere-se ao sistema de coordenadas locais, e eaa é chamado de vielbein. Sabemos que para generalizar a equação de Dirac em um campo gravitacional deve- mos preservar a invariância local sob transformações de Lorentz. Portanto, definimos a derivada covariante de modo que, quando esta atue no espinor, resulte em um objeto que se transforme da mesma forma que a derivada na ausência de gravidade [22]. O termo de conexão spin ωa = 1 4 ωaba , tem a componente ωaba definida na forma: ωaba = 1 2 eba ( ∂ae b b − ∂be b a ) − 1 2 ebb ( ∂ae a b − ∂be a a ) − 1 2 ecaedb ( ∂cedf − ∂decf ) efa. (3.5) onde as componentes não-nulas de ωa são ωµ = 1 2 eA(∂rA)γ µγ5. Agora a e b denota os ı́ndices locais de Lorentz. Subtituindo na equação de movimento temos: [ i γµ∂µ + eA(r)γ5(∂r + 2∂rA)− eAF (φ) ] Ψ(x, r) = 0. (3.6) As soluções da equação (3.6) podem ser obtidas com a ajuda da seguinte decomposição quiral, que tem a forma Ψ(x, r) = ∑ n ψLn(x)αLn(r) + ∑ n ψRn(x)αRn(r), (3.7) onde ψLn(x) e ψRn(x) são as componentes do campo espinorial quadridimensional esquerda e direita, respectivamente, e que satisfazem γ5ψLn(x) = −ψLn(x) e γ 5ψRn(x) = ψRn(x), juntamente com a equação de Dirac em quatro dimensões com massa iγµ∂µψLn(x) = mnψRn(x) e iγ µ∂µψRn(x) = mnψLn(x). 36 As funções αLn(r) e αRn(r) representam os modos de K-K e satisfazem às seguintes equações acopladas ( d dr + 2 d dr A(r) + F (φ) ) αLn(r) = mne −A(r)αRn, (3.8) ( d dr + 2 d dr A(r)− F (φ) ) αRn(r) = −mne −A(r)αLn. (3.9) Redefinimos os modos αLn(r) = e−2A(r)Ln(r) e αRn(r) = e−2A(r)Rn(r). Substituindo em (3.8) e (3.9) são reduzidas à forma: ( d dr − F (φ) ) Rn(r) = −mne −A(r)Ln(r) ( d dr + F (φ) ) Ln(r) = mne −A(r)Rn(r). (3.10) As funções αLn(r) e αRn(r) cumprem certa condição de ortonormalização. Chegamos a essa condição de ortonormalização substituindo a decomposição quiral (3.7) na ação (3.1), empregando as equações acopladas (3.8) e (3.9) e exigindo que o resultado tenha a forma da ação quadridimensional para férmions quirais massivos S1/2 = ∑ n ∫ d4xψn(γ µ∂µ −mn)ψn (3.11) onde ψn = ψLn+ψRn e mn ≥ 0. Assim, as funções αLn(r) e αRn(r) satisfazem as seguintes relações de ortonormalização [54], [61] ∫ ∞ −∞ e3AαLn(r)αLm(r)dr = ∫ ∞ −∞ e3AαRn(r)αRm(r)dr = δmn, ∫ ∞ −∞ e3AαLn(r)αRm(r)dr = 0. (3.12) Nestas relações podemos notar que o warp factor desempenha um papel fundamental para a determinação da localização dos modos não-massivos. Particularmente, os modos não-massivos encontrados são αR0 = NR0 exp [ −2A+ ∫ r f(r′)dr′ ] , αL0 = NL0 exp [ −2A− ∫ r f(r′)dr′ ] . (3.13) onde f(r) = F (φ(r)) e NR(L)(0) são as constantes de normalização que podem ser encon- 37 tradas na relação de normalização |NR0|2 ∫ ∞ −∞ e−A(r)+2 ∫ F (r′)dr′ = 1 (3.14) ou |NL0|2 ∫ ∞ −∞ e−A(r)−2 ∫ F (r′)dr′ = 1. (3.15) Naturalmente, uma dessas duas soluções pode ser normalizada, ou seja, quando αLn(r) é normalizável, αRn(r) não é normalizável, e vice-versa. As condições de normalização são determinadas pelo comportamento assintótico dos integrandos na expressão acima. Escolhemos a função F (φ(r)) de forma que o decréscimo de e± ∫ r F (r′)dr′ seja mais rápido que o acréscimo e−A(r), mas esta escolha não garante a normalização de ambas quiralidades simultaneamente, por causa dos diferentes sinais ± no exponente. Portanto, somente temos uma solução normalizável. Analisamos o comportamento do modo quiral não-massivo para dois diferentes tipos de acoplamento F (φ) = ηφ(r) e F (φ) = −ηWφφ, onde η > 0 é chamada de constante de acoplamento de Yukawa, eWφφ é a segunda derivada do superpotencial tomada na solução clássica. No primeiro caso, descrevemos um simples acoplamento entre os férmions e o campo escalar o qual fornece a localização de modos não-massivos de mão esquerda. Neste caso αL0 não segue a separação entre as branas. Enquanto a brana dupla é formada, o pico do modo-zero αL0 fica localizada entre as branas (na região no bulk), apresentando uma mı́nima densidade de probabilidade de ser encontrado no núcleo das branas. O comportamento αL0(r) não normalizado é mostrado na figura (3.1) (lado esquerdo). Para obter o modo-zero αL0 pelo menos no núcleo de uma das branas adicionamos uma constante de massa de 5 dimensões ao acoplamento de Yukawa, F (φ) = η(φ(r) + M). O termo de massa é escolhido de maneira que o pico do modo-zero αL0(r) acompanhe o núcleo da brana e que αL0(r) em (3.15) continue sendo normalizável. Uma escolha adequada para a constante de massa é M = a 2 tanh(2µaL). Na figura (3.1) (lado direito) podemos observar que αL0 tem pico no núcleo da brana esquerda. Se invertemos o sinal de M a localização de αL0 passa a ser na brana direita. O termo de massa M pode assumir diferentes valores para diferentes sabores de férmions a fim de ter uma distinguibilidade de férmions em diferentes pontos dentro da mesma brana [1]. 38 �5 0 5 r 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Α L0 �10 �5 0 5 10 r 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Α L0 Figura 3.1: αL0 (modo-zero esquerdo) nos casos F (φ) = ηφ(r) (lado esquerdo), F (φ) = η(φ(r) +M(r)) (lado direito), para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.5 (linha sólida). Ao escolher uma das branas como a preferida, onde o Universo seria realizado, natu- ralmente quebramos a simetria sob a inversão de coordenada r. Uma maneira de manter tal simetria é de perceber a localização de ambas as branas. Ao considerar o segundo acoplamento F (φ(r)) = −ηWφφ, o modo-zero αL0(r) fica localizado no núcleo de cada uma das branas. Observamos este comportamento na figura (3.2). �5 0 5 r 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Α L0 Figura 3.2: αL0 (modo-zero esquerdo) no caso de F (φ) = −ηWφφ, para L = 0.01 (linha pontilhada), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.5 (linha sólida). O modo-zero αL0 diminui suavemente na região do bulk localizada entre as branas e se localiza nos núcleos das branas à medida em que L cresce, sinalizando uma pequena pro- babilidade para que os modos não-massivos esquerdo sejam encontradas entre as branas. O acoplamento F (φ(r)) = −ηWφφ provém da supersimetria a ńıvel fundamental N = 1. Esta pode ser apreciada na proxima seção, quando a brana é imersa em um espaço-tempo plano em 5 dimensões (cenário de Rubakov-Shaposhnikov). 39 3.2 Localização de férmions no cenário de Rubakov- Shaposhnikov Estudamos nesta seção a localização de férmions em (3-brana) num espaço-tempo de 5 dimensões com geometria não warped, (cenário de Rubakov-Shaposhnikov). Definimos a ação para o campo fermiônico no espaço plano S1/2 = ∫ d 5x [ iΨΓa∂aΨ−ΨF (φ)Ψ ] , (3.16) a qual nos fornece a seguinte equação de movimento ( iΓµ∂µ + iΓ5∂5 − F (φ) ) Ψ = 0, (3.17) e as matrizes gamma obedecem à álgebra {Γa,Γb} = 2gab, e podem ser escritas em termos das matrizes gamma 4× 4, Γµ = γµ e Γ5 = −iγ5. Substituindo as matrizes gamma na equação de movimento (3.17) temos ( i γµ∂µ + γ5∂5 − F (φ) ) Ψ = 0. (3.18) Usando a decomposição quiral na forma Ψ(x, r) = ∑ n ψLn(x)αLn(r) + ∑ n ψRn(x)αRn(r), (3.19) onde ψLn(x) e ψRn(x) são os modos quirais que satisfazem γ5ψLn(x) = −ψLn(x) e γ 5ψRn(x) = ψRn(x), e juntamente com a equação de Dirac em 4 dimensões com massa iγµ∂µψLn(x) = mnψRn(x) e iγ µ∂µψRn(x) = mnψLn(x). Aplicando estas condições encontramos que elas obedecem as equações ( d dr − F (φ) ) αRn = −mnαLn, ( d dr + F (φ) ) αLn = mnαRn. (3.20) Particularmente para modos não-massivos encontramos αR0(r) = NR0 exp [ + ∫ r f(r′)dr′ ] , (3.21) 40 αL0(r) = NL0 exp [ − ∫ r f(r′)dr′ ] , (3.22) Podemos observar que a normalização dos modos não-massivos dependem unicamente do comportamento assintótico de ∫ r f(r′)dr′. Portanto, usualmente temos modo-zero ı́mpar de quiralidade bem definida (de mão esquerda ou de mão direita), a qual é a principal carateristica para obter número fermiônico fracionário, como mostra a ref. [56]. As equações diferenciais de primeira ordem (3.20) podem ser desacopladas nas equações diferenciais de segunda ordem (3.23) e (3.24), respectivamente ( − d2 dr2 + UL(r) ) αLn = m2 nαLn, (3.23) ( − d2 dr2 + UR(r) ) αRn = m2 nαRn (3.24) onde UR(r) = f 2(r) + d dr f(r) e UL(r) = f 2(r) − d dr f(r), são os potenciais efetivos da equação de Schrödinger independente do tempo, cujas correspondentes hamiltonianas são parceiras supersimétricas uma da outra. Assim temos a mecânica quântica supersimétrica. As implicações da teoria supersimétrica, neste contexto, permitem deduzir que, para o caso F (φ > 0)(< 0) , haberá estados localizáveis no potencial UL(UR). Novamente analisamos o comportamento dos modos não-massivos para F (φ) = ηφ(r), F (φ(r)) = η(φ(r) +M) e F (φ(r)) = −ηWφφ, com η > 0. O primeiro tipo de acoplamento ηΨφΨ é o acoplamento mais usado na literatura para a descrição de férmions interagindo com campos escalares. Este tipo de acoplamento foi es- tudado por Rubakov-Shaposhnikov para a localização de férmions em paredes de domı́nio [80]. É posśıvel verificar de (3.21) e (3.22), que soamente o modo αL0 é normalizável: αR0 = 0 e αL0 = NL0(cosh(2L) + cosh(2r)) −η/2. (3.25) 41 �10 �5 5 10 r 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ΑLO Figura 3.3: Modo-zero para F (φ) = −ηφ, para L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). Como na seção anterior comentamos, a função αL0(r) é simétrica em r e tem um pico em r = 0. Assim, o modo-zero fica localizado na região entre as branas. Para L = 0.01 o pico do modo-zero localizado em torno de r = 0, e para L = 4.6 o pico de modo-zero sofre um achatamento e não acompanha a separação entre as branas. �10 �5 5 10 r �1.0 �0.5 0.5 1.0 UL�r� �10 �5 5 10 r 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 UR�r� Figura 3.4: Potenciais efetivos UL(r) e UR(r) para o caso F (φ) = ηφ. Para L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). Os potenciais da mecânica quântica UL(r) e UR(r) podem suportar estados localizáveis massivos, dependendo do valor de L. O segundo tipo de acoplamento que estudamos é F (φ) = (η(φ) + 1 2 (tanh(2L))), este tipo de acoplamento permite localizar modo-zero em uma das branas. Assim podemos verificar que αR0 e αL0 são dadas por αR0 = 0 e αL0 = NL0e − ηM 2 r (cosh(2L) + cosh(2r))−η/2 . (3.26) 42 �10 �5 5 10 r 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ΑLO Figura 3.5: Modo-zero para F (φ + 1 2 tanh(2L)), para L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). Observamos na figura (3.5) que podemos localizar modo-zero αL0 em uma das bra- nas, mas como mencionamos na seção anterior, ao escolher uma das branas como nosso universo, quebramos a simetria de inversão de coordenada r e a simetria Z2 presente no modelo descrito no caṕıtulo 1. Os potenciais da mecânica quântica UR(r) e UL(r) na figura (3.6) não suportam ne- nhum estado localizável que corresponderia a férmions massivos. Isto é porque UR(r), neste caso, apresenta uma barreira enquanto UL(r) apresenta um potencial tipo poço, em torno de r = −L. Além disso, a partir da mecânica quântica supersimétrica, podemos mostrar que qualquer estado localizado de UR(r) implicaria estados localizáveis de UL(r), mas os modos-zero pertencem somente a UL(r). �10 �5 5 10 r 0.5 1.5 2.0 UR �10 �5 5 10 r �1.0 �0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 UL�r� Figura 3.6: Potenciais efetivos UR(r) e UL(r) para o caso F (φ) = η(φ + 1 2 tanh(2L)), e L = 0.01 (linha sólida), L = 1.6 (linha fina) e L = 4.6 (linha pontilhada). Para o terceiro acoplamento, F (φ) = −ηWφφ. Neste tipo de acoplamento temos os potenciais UR = η2W 2 φφ − ηW ′ φφ e UL = η2W 2 φφ + ηW ′ φφ. Esses potenciais são idênticos em estrutura aos potenciais da mecânica quântica supersimétrica em 1 + 1 dimensões, onde −ηWφφ desempenha o papel de superpotencial. Resulta interessante notar que essa 43 mesma estrutura pode ser encontrada pode ser encontrada no estudo da estabilidade das soluções clássicas. No caso das excitações do campo escalar (branons), foi interessante mostrar que a equação de Schrödinger que obedece esta equação é semelhante à equação de Schrödinger que obedece αLn(r) na equação (3.23) com η = 1, com um potencial efetivo dada por Uef (r) = W 2 φφ +W ′ φφ, (3.27) justamente o fato de poder ter espectros idênticos entre as excitações bósonicas e fermiônicas é um dos ingredientes fundamentais da supersimetria. Encontramos neste terceiro acoplamento que αL0 é a única solução normalizável αR0 = 0 e αL0 = NL0(sech 2(r + L) + sech2(r − L))η. (3.28) Na fig. (3.7) podemos notar que αL0(r) é simétrica referente a r e apresenta um pico em cada uma das branas formadas. Podemos observar que a densidade de probabilidade encontrada no meio das branas decresce à medida que L aumenta. �5 0 5 r 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Α L0 Figura 3.7: αL0(r) no caso de F (φ) = −ηWφφ, para L = 1.6 (linha fina), e L = 4.5 (linha sólida). A figura (3.8) mostra a forma dos potenciais efetivos UR(r) e, UL(r) para valores espećıficos para L = 1.5 e η = 1. Para valores de L perto de zero, UL(r) é um potencial poço, o qual começa a ser deformado em um potencial com poço duplo à medida que L cresce e se aproxima Lc (valor cŕıtico), o qual é determinado pela condição U ′′ L(r = 0) = 0. Para L ≥ Lc, dois pequenos poços são observados em torno de r = ±L que logo adotam a forma de um poço duplo para L = l correspondente a UL(r = 0) = 0, sinalizando a possibilidade de aprisionar um estado massivo além do modo-zero. Podemos observar que UL(r) = 2(2 − 3sech2(r)) e UR(r) = 2(2 − sech2(r)) para L = 0 e fixando η = 1. O primeiro potencial admite dois estados ligados e o seguinte admite um estado ligado. O 44 �4 �2 2 4 r �3 �2 �1 1 2 3 4 UR,L Figura 3.8: Potencial efetivo para o acoplamento F (φ) = −ηWφφ com L = 1.5, UL(r) (linha solida), UR(r) (linha pontilhada). estado fundamental de UL(r) para L = 0 e η = 1 é αL0 ≃ sech2(r), enquanto que o primeiro estado excitado é αL1 ≃ sech(r) tanh(r) e o estado fundamental de UR(r) para L = 0 e η = 1 é αR1 ≃ sech(r). Além disso, a partir da expressão (3.28) considerando η = 1, podemos construir uma função antisimétrica αL1 ∼ (sech2(r + L) − sech2(r − L)) como uma expressão aproximada para o primeiro estado excitado para UL(r) quando L ≫ l. Esta aproximação para o primeiro estado excitado é comummente usada no estudo do tunelamento quando o potencial apresenta poço duplo [48, 68]. Usamos o método de Numerov [70] para analisar o comportamento do primeiro estado excitado αL1 e αR1. A figura (3.9) mostra que αR1 tem máximo na região entre as branas, indicando-nos que temos uma pequena probabilidade de observar modos massivos de mão direita dentro das paredes onde o universo é realizado, enquanto que para o modo massivo de mão esquerda, αL1, a densidade de probabilidade é pronunciada no núcleo das branas. �6 �4 �2 2 4 6 r �1.0 �0.5 0.5 1.0 ΑL1 �3 �2 �1 1 2 3 r �1.0 �0.5 0.5 1.0 ΑR1 Figura 3.9: αL1 (lado esquerdo) e αR1 (lado direito) no caso F (φ) = −ηWφφ para L = 1.6 (linha azul) e para L = 3.6 (linha preta). 45 Na figura (3.10) vemos que o autovalor m2 1 decresce suavemente à medida que L vai crescendo; o que é um resultado esperado quando se está lidando com potenciais poço duplo na mecânica quântica não-relativista. Os estados excitados αL1 e αL0 são próximos para valores de L muito grandes, são estados quasedegenerados. Os autovalores de energia associado a αL1 em função de L podem ser apreciados na tabela (3.1). Fizemos uso do método de Numerov para obter estes resultados. 0 1 2 3 4 5 L 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 m2 Figura 3.10: Autovalores de energia m2 1 do primeiro estado excitado αL1 em função de L. Obtidos numericamente por meio de cálculos numéricos. (ver tabela 3.1) Tabela 3.1: Tabela dos autovalores de energia do primeiro estado excitado αL1 (figura 3.10) L m2 1 0.001 3.0 0.145 2.9 0.5 2.02818 1.0 0.70619 1.3 0.30025 1.6 0.11344 3.6 0.00011443 4.5 0.00001903 5.0 0.0000001953 46 Na figura (3.11) um segundo estado excitado pode ser observado à medida que L cresce. Os autovalores de energia associada a αL2 em função de L podem ser observados na tabela (3.2) 0 1 2 3 4 5 L 1 2 3 4 m2 2 Figura 3.11: Autovalores de energia do segundo estado excitado αL2 em função de L. Tabela 3.2: Tabela dos autovalores de energia do segundo estado excitado αL2 (figura 3.11). L m2 2 0.2535 3.976 0.53475 3.7 1.0 3.09255 1.6 2.8491 2.0 2.8808 2.6 2.951 3.6 3.0 5.0 3.0 Estes dados tabulados foram encontrados com o método de Numerov para o primeiro e segundo estado excitado. Observamos que à medida em que o potencial UL,R(r) (3.8) vai se separando novos estados excitados aparecem. Os estados espalhados localizados na borda do potencial UL,R(r) descem para formar um novo estado ligado ao potencial supersimétrico, tal como podemos apreciar nas figuras (3.10) e (3.11), respectivamente. 47 3.2.1 Estados massivos mistos Baseados nos resultados numéricos encontrados com o método de Numerov para os estados excitados αL0 e αL1, construimos um estado massivo misto de quiralidade esquerda a partir da mistura entre estes estados excitados, da seguinte forma ΨL,mix(x, t) = N(αL0(r) + αL1(r)e −im1t)χL, (3.29) onde χL é um espinor constante o qual satisfaz γ5χL = −χL. Um caso semelhante é en- contrado na literatura no estudo quântico da molécula da amônia (NH3). Neste estudo, um potencial efetivo tipo poço duplo é usado para descrever a inversão de um átomo de nitrogênio ao passar através de uma barreira formada pelos 3 átomos de hidrogênio por meio do efeito tunel. Podemos mostrar este exemplo através da densidade de probabili- dade dependente do tempo, constrúıda por meio da superposição de duas funções de onda simétrica e antisimétrica geradas por um pequeno splitting de energia, o qual simula a transição das moléculas de amônia de uma parede de domı́nio para a outra [72]. A cons- trução do estado massivo misto é baseado no argumento de tunelamento da molécula de amônia. Somos cuidadosos ao propor este estado misturado, visto que, estamos supondo que existe um sistema de referência em repouso para as part́ıculas em estado mistos. Ba- seados neste racioćınio, a equação de Dirac iγµ∂µψL,mix = mnψR é satisfeita, já que m1γ 0χLe −im1t = m1χRe −im1t, (γ5χR = χR), e não apresenta part́ıculas sem massivas de mão direita, nem fora nem dentro das branas. A densidade de probabilidade ρ(r, t) associado ao estado misturado é dada ρ(r, t) = N2(α2 L0(r) + α2 L1(r) + 2αL0(r)αL1(r) cos(m1t)), (3.30) ou seja, é uma densidade de probabilidade oscilante com peŕıodo de oscilação é T = h/m1c 2. Fazendo uso do método de Numerov, calculamos numericamente o comporta- mento da densidade ρ(x, t), o qual pode ser vista na figura (3.12). No instante inicial (t = 0), o férmion exibe uma máxima probabilidade na brana esquerda. À medida que o tempo cresce, t > 0, a probabilidade na brana esquerda decresce e aumenta a probabili- dade na brana direita. O tunelamento ocorre em um tempo t = T , sempre e quando seja máxima a probabilidade de encontrar o férmion na brana direita. 48 �10 �5 0 5 10 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Ρ �10 �5 0 5 10 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Ρ �10 �5 0 5 10 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Ρ �10 �5 0 5 10 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Ρ �10 �5 0 5 10 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Ρ �10 �5 0 5 10 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Ρ t � 0 t � Π 4 E1 t � Π 2 E1 t � 3 Π 4 E1 t � Π E1 t � 5 Π 4 E1 Figura 3.12: Perfil de ρ(r, t) para distintos valores de t. 3.3 Comentários sobre a localização de férmions Estudamos ao longo deste caṕıtulo o mecanismo da localização de férmions em branas que exibem separação, em cenários com geometria warped (Rundall-Sundrum), e geometria plana (Rubakov-Shaposhnikov). A brana ou parede de domı́nio é imersa no espaço-tempo de 4+1 dimensões e é definida pelo comportamento de um campo escalar acoplado com a gravidade no caso de espaço-tempo warped. O potencial não-polinomial de um campo escalar auto-interagente o qual gera a separação entre as branas foi introduzido para descrever a localização [26], mas qualquer outro modelo por exemplo, o potencial φ6, pode ser utilizado para a localização sempre que seja um modelo não-linear em teoria de campos e possua uma solução solitônica deformável. Por outro lado, observamos que é mais fácil trabalhar com geometria plana do que com a geometria warped, pois com geometria plana é posśıvel obter os modos não-massivos e massivos de maneira fácil. Além disso, no cenário de Rubakov-Shaposhnikov podemos ver que o acoplamento funcional F (φ) = −ηWφφ leva a uma supersimetria em mecânica quântica, a qual é um reflexo da SUSY, a um ńıvel fundamental entre férmions e bra- 49 nons (excitações da brana). O acoplamento F (φ) = −ηWφφ fornece um comportamento conveniente para os férmions não-massivos, qual seja os modos-zero fermiônicos que acom- panham a separação das branas, onde o pico destes modos estão localizados nos núcleos das branas. O acoplamento F (φ) = ηφ(r) há uma probabilidade de localizar modos-zero em branas duplas. Os modos-zero se localizam na região entre as branas, e não no interior das branas, tal como foi observado na figura (3.1) lado esquerdo. Outra análise feita é a localização de férmions não-massivos em uma das branas. Para tal fim, adicionamos uma constante de massa M = 1 2 tanh(2L) de 5 dimensões que permi- tiu a localização em uma das branas. Baseados na SUSY verificamos que tal acoplamento não suporta estados localizados associados aos férmions massivos. Não obstante, no caso de F (φ) = −ηWφφ os modos massivos podem ser localizados na brana no espaço-tempo plano (Rubakov-Shaposhnikov). Em nosso estudo, analisamos o comportamento dos esta- dos massivos, observando que férmions massivos podem eventualmente se tunelar entre as branas. Também observamos que o número de estados massivos localizados depende da profundidade do poço potencial determinada pela constante de acoplamento de Yukawa η e da largura do potencial efetivo L, o que depende do modelo em teoria de campos a lidar. Vale mencionar que a constante de acoplamento de Yukawa η foi fixada em nosso modelo. 50 Caṕıtulo 4 Reconstrução de defeitos deformados em teoria de campos a partir da deformação de modos-zero Neste caṕıtulo tratamos modelos não-lineares com um campo escalar auto-interagente em 1 + 1 dimensões do espaço-tempo e que forneçam soluções clássicas de energia mı́nima do tipo kink deformável a soluções tipo kink duplo. Descreveremos um método de construção de modelos não-lineares em teoria de campos, baseados em [45]. Esta publicação considera a solução de modo-zero do espectro de excitação do defeito como ponto de referência para o processo de reconstrução de modelos em teoria de campos. Visamos neste caṕıtulo a construção de novos modelos não-lineares em teoria de cam- pos que forneçam soluções clássicas de energia mı́nima com perfil kink duplo e que possam ser usadas para a descrever a separação entre as paredes de domı́nio e a formação de uma fase desordenada chamada de wetting (molheada). Esta fase cresce à medida que se aproxima da temperatura cŕıtica do sistema, o que é chamado de complete wetting (com- pletamente molhado) [17]. Este tipo de fenômeno ocorre em materiais paramagnéticos [51], ferroelétricos [43], assim como na supersimetria na QCD [18]. 51 4.1 Aspectos gerais de modelos não-lineares em teo- ria de campos Diversos modelos não-lineares em teoria de campos (MNLTC) descritos em 1+1 dimensões do espaço-tempo são representados pela densidade lagrangiana L = 1 2 ∂νφ∂ νφ− U(φ), (4.1) onde o ı́ndice espacial e temporal são representados por ν = 0, 1 e U(φ) representa o poten- cial de auto-interação, o qual admite soluções clássicas exatas φ(x, t) que são conhecidas como soluções solitônicas, tal como foi discutido na literatura [55],[77],[85]. A existência destas soluções solitônicas depende das exigências que o potencial U(φ) tem que satisfazer na maioria dos casos. O potencial U(φ) possue ao menos dois mı́nimos globais e é não-negativo. Na configuração estática do campo, ou seja, φ = φ(x) a equação de movimento é dada por d2φ dx2 = dU(φ) dφ , (4.2) e as soluções da equação de movimento são chamadas de kink(antikink), as quais são soluções de energia mı́nima que conectam os dois mı́nimos do potencial. Quando o poten- cial U(φ) é escrito na forma de supersimetria, a saber U(φ) = W 2 φ/2. W (φ) é chamado de superpotencial. Podemos expressar a energia para a configuração de campo estática em termos do superpotencial E = 1 2 ∫ ∞ −∞ [ ( dφ dx )2 +W 2 φ ] = = 1 2 ∫ ∞ −∞ [ ( dφ dx ±Wφ) 2 ∓ 2dφ dx W 2 φ ] , (4.3) onde a energia de Bogomol’nyi se torna mı́nima quando o primeiro termo vai a zero dφ dx = ∓Wφ, (4.4) obtendo a equação diferencial de primeira ordem, que é solução da equação diferencial de segunda ordem. A energia de Bogomol’nyi está associada à diferença dos superpotenciais avaliados nos 52 extremos assintóticos EB = ∫ ∞ −∞ dφWφ = |W (φ(+∞))−W (φ(−∞))|, (4.5) e é chamada de energia de Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield [16],[74] ou chamada também de energia BPS. Dizemos que (4.4) satura o limite de Bogomol’nyi. As soluções de energia mı́nima são estáveis sob pequenas perturbações em torno da solução clássica da forma φ(x, t) = φ(x) + Σnψn(x)e −iωnt, (4.6) e mantendo termos quadráticos na ação. Usando a equação de movimento encontramos que as flutuações ψn(x) satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo −ψ′′ n(x) + Uφφ(φ)ψn(x) = ω2 nψn(x), (4.7) também chamada de equação de estabilidade, com Uφφ(φ) = Wφφ +WφWφφφ |φ=φ= Wφφ ± d dx Wφφ |φ=φ (4.8) onde o sinal (±) corresponde à solução (4.4) com sinal superior e inferior. A equação tipo Schrödinger pode ser fatorada como o produto de dois operadores adjuntos um do outro [27] Hψn =M†Mψn = ω2 nψn, (4.9) onde M† = d dx − ω(x) e M = − d dx − ω(x), (4.10) e o superpotencial da mecânica quântica é ω(x) = ∓Wφφ |φ=φ(x). A fatoração da equação de Schrödinger nos permite mostrar que ω2 n ≥ 0. Para o caso de ω0 = 0, temos Mψ0 = 0 − d dx ψ0 ∓Wφφ |φ ψ0 = 0, (4.11) pelo que − d dx ψ0 = ±Wφφ |φ ψ0. (4.12) A seguir desenvolvemos o formalismo matemático de reconstrução de modelos e logo discutiremos as aplicações do método de reconstrução. 53 4.2 Método de reconstrução dos MNLTC Nesta seção usaremos o método empregado em [19] e [45] para a reconstrução de alguns MNLTC, cuja solução clássica de energia mı́nima exibe perfil kink duplo. As soluções kink duplo aparecem em muitos contextos da f́ısica, por exemplo: nas primeiras tentativas de descrever os hádrons como sólitons, particularmente no modelo de duas sacolas [23]. Na descrição teórica da separação de paredes de domı́nio em alguns materiais paramagnéticos [51] e ferroelétricos [43], e também para descrever o fenômeno da separação em cenários de mundos-brana [17]. O estudo de modelos deformados aplicados a cénarios de mundos- brana foi abordado em [8], onde foi proposto um método de deformação, o qual consiste em um mapeamento de um MNLTC para outro modelo cujas soluções são bem conhecidas, outros modelos constrúıdos neste caṕıtulo foram obtidos por outros métodos deformação tais como [3],[8],[9],[10],[13]. Em nossa abordagem de reconstrução, consideramos um modo-zero deformado. Este modo-zero deformado é constrúıdo a partir da superposição de duas cópias de modo-zero de um modelo bem estabelecido. Esta autofunção de modo- zero apresenta dois picos, cada um localizado em lados opostos da origem, e são colocados em forma simétrica em x = ±L. Consideramos estas como autofunção de energia zero de uma nova equação de estabilidade. A solução clássica de energia mı́nima e o MNLTC são obtidos pelo modo-zero deformado. Descrevemos MNLTC deformados tais como seno-Gordon, φ4 tipo I e II, modelos de simetrização do potencial de Scarf-II, e suas aplicações tanto na descrição de materi- ais paramagnéticos e ferroelétricos, como cenários de mundos-brana, especificamente em modelos com separação de branas. 4.3 Reconstrução do MNLTC a partir dos modos- zero. Nesta seção discutiremos o método de construção de um MNLTC a partir do modo-zero. Observemos que o modo-zero é obtido viaMψ0 = 0, que é − d dx ψ0 = ±Wφφ |φ ψ0 (equação (4.12)), desta expressão é facil observar que o modo-zero pode ser escrito na forma: ψ0(x) = ±N Wφ|φ=φ(x) = N dφ dx , (4.13) onde N = E −1/2 BPS é a constante de normalização. Portanto, dada uma solução de modo- zero associada a um problema quântico não-relativista, cujo espectro é não negativo, 54 integramos a equação (4.13) φ(x) ∝ ∫ x ψ0(y)dy, (4.14) para obter a solução kink (antikink) do respectivo MNLTC. Fazemos a escolha de uma constante de integração conveniente, que esteja relacionada com os mı́nimos do potencial da teoria de campos. Procuramos neste mecanismo por funções inverśıveis de φ(x), es- crevendo x como função de φ. Podemos expressar o potencial da teoria de campos em função da solução clássica da forma U(φ̄) = 1 2 W 2 φ̄ ≡ 1 2 ψ2 0 ( x(φ̄) ) . (4.15) Por outro lado, podemos estender o domı́nio de U(φ̄) sempre que seja cont́ınuo e limitado inferiormente, já que apresenta uma estrutura periódica como é o caso do mo- delo seno-Gordon, Scarf II, ou apresenta os mı́nimos unicamente pelo comportamento assintótico de φ. O potencial da teoria de campos pode ser escrito como U(φ) = W 2 φ 2 ≡ 1 2 ψ2 0 (x(φ)) . (4.16) Desta forma, lembramos que a partir das equações (4.13) e (4.14) temos duas cons- tantes arbitrárias de integração que estão associadas à fase e amplitude de φ(x), de tal forma que o modelo em teoria de campos não é único. Observamos que estas constantes implicam deslocamento sobre os mı́nimos e redimensionamento do modelo em teoria de campos. Aquelas constantes não afetarão a positividade nem o número de mı́nimos no potencial. As constantes serão postas a mão ao final dos cálculos de cada exemplo de acordo com o modelo que desejamos reconstruir. Na seção seguinte descreveremos a aplicabilidade do método de reconstrução para alguns modelos conhecidos. 4.3.1 Modelo de seno-Gordon deformado O modelo seno-Gordon é um dos modelos mais estudados na teoria de campos clássicos não-lineares, pois fornece soluções exatas. O modelo seno-Gordon deformado a investigar é uma modificação do modelo seno-Gordon original cuja autofunção de modo-zero é ψ0(x) = sech(x). Para a construção da autofunção do seno-Gordon deformado, pensamos na junção de dois modos-zero associados à equação de estabilidade do modelo seno-Gordon original, 55 um localizado em x = L e outro localizado em x = −L ψ0(x) = sech(L + x) + sech(L− x). (4.17) A solução clássica é obtida a partir da equação (4.14) φ(x) = 2 [ tan−1 ( tanh ( L + x 2 )) − tan−1 ( tanh ( L− x 2 ))] − π, (4.18) onde escolhemos a constante de integração convenientemente, de tal maneira que o resul- tado do potencial em teoria de campos reproduza o modelo de seno-Gordon para L = 0. Na figura (4.1) mostramos os perfis da autofunção ψ0 (lado esquerdo) para dois dife- rentes valores de L, observando que para L = 0 o modo-zero fica localizando em torno de r = 0. Agora, para L = 6.1 o pico de modo-zero fica localizado nos núcleos de cada parede de domı́nio. O perfil da solução tipo kink pode ser observada no (lado direito) para dois diferentes valores de L. Para L = 0 mostra um perfil tipo kink, agora para L = 4.5 mostra um perfil tipo kink duplo (2-kinks). �10 �5 5 10 x 0.5 1.0 1.5 Ψ0 �15 �10 �5 5 10 15 x �6 �5 �4 �3 �2 �1 Φ Figura 4.1: Lado esquerdo: modo-zero deformado correspondente à eq.(4.17) para L = 0.5 (linha fina) e L = 6.1 (linha espessa). Lado direito: Perfil tipo kink da eq. (4.18) para L = 0.65 (linha fina), e L = 4.5 (linha espessa). Invertendo x como função de φ e usando (4.16), obtemos Uds−G(φ) = 2 [ cot2 ( φ 2 ) + sech2L ] sin4 ( φ 2 ) . (4.19) Para L = 0 o modelo seno-Gordon é recuperado. Um modelo seno-Gordon deformado foi anteriormente obtido no primeiro trabalho em [10]-[9],[13],[14] usando outro método de deformação. O perfil do potencial pode ser observado na figura (3.2). O modelo apresenta uma estrutura periódica de mı́nimos globais em φ = 2nπ com n = 0,±1,±2,±3, .... para o 56 �10 �5 0 5 10 Φ 0.5 1.0 1.5 2.0 Uds�G Figura 4.2: Potencial do modelo seno-Gordon deformado, eq. (4.19), para L = 0.05 (linha tracejada), L = 1.0 (linha fina) e L = 1.5 (linha grossa). caso em que tanh(L) ≤ 1/ √ 2. No caso de tanh(L) > 1/ √ 2 pode-se observar um mı́nimo local entre os dois mı́nimos globais vizinhos, sendo que este mı́nimo local vira um mı́nimo global quando L→ +∞. Portanto, podemos dizer que o modelo (4.19) é uma deformação do modelo seno-Gordon, no caso L = 0. 4.3.2 Modelo φ4 deformado I O modelo φ4 é o modelo mais usado na literatura, as aplicações deste modelo são inu- meráveis, podemos citar por exemplo: Materia condensada, modelos cosmológicos, entre outros. O modelo φ4 deformado I é uma modificação do modelo φ4 original, cuja auto- função de energia nula é ψ0 = sech 2(x). Ao igual que no modelo seno-Gordon pensamos na junção de dois modos-zero do modelo φ4, um localizado em x = L e outro em x = −L ψ0(x) = 1 2 ( sech2(L− x) + sech2(L + x) ) . (4.20) A integração desta expressão leva a seguinte solução clássica φ(x) = 1 2 (tanh(L + x) + tanh(x− L)) = sinh(2x) cosh(2x) + cosh(2L) . (4.21) Dado que nossa solução clássica é inverśıvel e usando (4.16), podemos expressar o potencial da teoria de campos na forma Udφ4−1(φ) = 2(φ2 − 1)2 ( 1 + (φ2 − 1) tanh2 2L ) ( 1 + √ 1 + (φ2 − 1) tanh2 2L )2 . (4.22) 57 Deste modo, o potencial apresenta dois mı́nimos globais para φ = ±1 no caso tanh 2L ≤ √ 3/2; e para tanh 2L > √ 3/2, exibe um mı́nimo local em φ = 0, o qual vira um mı́nimo global quando L → ∞. Embora o modelo apresente 3 mı́nimos globais, não foi posśıvel reproduzir o modelo φ6 da teoria de campos. A seguir mostramos a reconstrução de um MNLTC alternativo ao modelo (4.22) que recupera satisfatoriamente os modelos usuais com 2 e 3 mı́nimos globais para L = 0 e L −→ ∞, respectivamente. 4.3.3 Modelo φ4 deformado II A construção deste modelo surgiu da finalidade de encontrar um modelo MNLTC defor- mado que possa reproduzir o modelo φ6 com três vácuos. O seguinte modelo φ4 deformado II o construimos da seguinte forma: ψ0(x) = cosh2 L cosh(x) ( sinh2 L + cosh2(x) )3/2 . (4.23) Podemos observar que para L = 0, temos a autofunção ψ0(x) = sech2(x) própria de um modelo φ4. A solução clássica obtida ao integrar (4.14) é φ(x) = sinh(x)√ sinh2 L + cosh2(x) , (4.24) e o potencial deformado correspondente à teoria clássica de campos pode ser expresso como Udφ4−II(φ) = 1 2 (φ2 − 1)2 ( (φ2 − 1)tanh2L + 1 ) . (4.25) Este modelo apresenta dois mı́nimos globais em φ = ±1, para o caso que sech(L) ≥ 1/ √ 3. Quando sech(L) < 1/ √ 3 temos um mı́nimo local em φ = 0, que vira mı́nimo global quando L→ ∞. Este tipo de modelo MNLTC em particular recupera o modelo φ4 para L = 0 e o modelo φ6 para L→ ∞. Modelos MNLTC similares a (4.25) foi constrúıdo em [8] usando outro método de deformação. 58 �1.5 �1.0 �0.5 0.0 0.5 1.0 1.5Φ 0.1 0.2 0.3 0.4 UdΦ4�2 Figura 4.3: O potencial da teoria de campos da equação (4.25), para L = 0.65 (linha pontilhada), L = 1.5 (linha fina) e L = 10.5 (linha grossa). 4.3.4 Simetrização do potencial Scarf-II da mecânica quântica e um novo MNLTC deformado O modelo apresentado nesta seção está relacionado com a simetrização do potencial Scarf- II e está associado à equação de estabilidade de um dos MNLTC estudados em [45] e [63]. A simetrização do potencial Scarf-II foi o resultado da simetrição da autofunção de modo-zero ψ0(x) = sech(x) exp(β tan−1(sinh(x)), com β > 0, dando origem à seguinte autofunção de energia nula da equação de estabilidade do modelo deformado que preten- demos construir ψ0(x) = N sech(x) cosh(β tan −1(sinh x)). (4.26) Devido à simetrição a autofunção ψ0 apresenta um comportamento similar aos modelos anteriormente discutidos. A separação do modo-zero é controlada pelo parâmetro β > 1. Nesse caso a solução tipo clássica tipo kink dada por φ(x) = 1 β sinh(β tan−1(sinh x)), (4.27) a qual pode ser continuamente deformada em kink duplo. Seguindo o processo de recons- trução, encontramos um novo MNLTC deformado dado por U(φ) = 1 2 cos2 ( 1 β sinh−1(β φ) ) (1 + β2φ2), (4.28) cujo comportamento para dois diferentes valores de β é mostrado na figura (4.4). Este modelo, assim como o modelo seno-Gordon deformado, apresenta um número infinito de mı́nimos para φ̄ = ±(1/β) sinh((2n + 1)πβ/2), com β > 0 e n como número 59 �4 �2 2 4 Φ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 U�Φ� Figura 4.4: Perfil do potencial da equação (4.28), para β=0.25 (linha solida) e β=0.3 (linha tracejada). inteiro não negativo. Qualquer par de mı́nimos vizinhos podem ser conectados através da generalização da solução (4.27), na forma φn(x) = ± 1 β sinh β(nπ + tan−1(sinh x)), n ∈ N (4.29) onde o sinal superior (inferior) corresponde às soluções que conectam os mı́nimos positivos (negativos). Estas soluções representam os diferentes setores topológicos. Cada um destes setores é especificado por um valor da energia BPS: EBPS(n) = 1+cosh(πβ) cosh(2nπβ)/(1+4β 2), contrário ao modelo seno-Gordon, cujos setores topológicos são degenerados devido aos vácuos vizinhos serem equidistantes uns dos outros. Além disso, podemos perceber que o setor topológico com menor energia BPS, conecta os mı́nimos ±φ̄0 = ± sinh(βπ/2)/β e, é o único cujas soluções clássicas não triviais exibem perfil de kink duplo. 4.4 Aplicações dos modelos MNLTC deformados O potencial φ6, obtido em (4.25), é um bom candidato para descrever qualitativamente a separação de domı́nios e a formação de uma fase desordenada e homogênea chamada de complete wetting. De fato, os parâmetros do potencial deveriam depender da tem- peratura, enquanto que em (4.25) a dependência é só do parâmetro L, o qual poderia ser pensado como portador da dependência com a temperatura. Em (4.25), observamos que para L = 0 corresponde à temperatura inicial do sistema e para L < sech−1(1/ √ 3) significa que a temperatura do sistema é menor que a temperatura T0, que é o limite de estabilidade da fase homogênea, enquanto que em L = sech−1(1/ √ 3) o sistema está à tem- peratura T0 (temperatura da fase wetting). Isto acontece quando a separação da parede 60 de domı́nio é manifestada. A temperatura do sistema aumenta conforme a distância das interfaces (domı́nios) aumenta. O aumento da separação das interfaces vai até L→ ∞, o que significaria que a temperatura do sistema aproxima-se da temperatura cŕıtica do sis- tema TC , implicando o crescimento da fase desordenada complete wetting (completamente molhado) [62] e a separação entre os domı́nios. Na seção (2.2) foi apresentado um modelo não-linear em teoria de campos com um único campo escalar que é deformável em kink duplo. Este modelo em particular foi aplicado em mundos-brana e usado para descrever a separação entre as branas. A ca- rateŕıstica deste modelo como os modelos polinomiais muito usados na literatura é não serem limitados inferiormente. Mas existe outros modelos limitados inferiormente como é o caso do modelo seno-Gordon deformado discutido na seção (4.3.1), onde Wφ = 2 √ cot2 (φ/2) + sech2L sin2 (φ/2) é o mais adequado para descrever a solução anaĺıtica de splitting brane (separação da brana), e proporciona um potencial V (φ) limitado infe- riormente. Na figura 4.5 mostramos o comportamento de V (φ) para alguns valores de L. �20 �10 10 20 Φ �20 �15 �10 �5 V�Φ� Figura 4.5: O potencial de teoria de campos (2.6) com W (φ) correspondente ao modelo seno-Gordon deformado, para L = 10.5 (linha tracejada), L = 1.5 (linha fina) e L = 0.65 (linha grossa). Cabe mencionar que os modelos estudados neste caṕıtulo, apresentam uma peculia- ridade que consiste no fato da solução clássica ser do tipo kink simples que se deforma continuamente em uma configuração tipo kink duplo, reproduzindo o fenômeno de se- paração de paredes de domı́nio (separação de branas) [17]. De fato qualquer destes mo- delos MNLTC poderiam ser aplicados em cenários de mundos-brana. No caṕıtulo 2, foi abordado a localização de férmions na brana fazendo uso de um destes modelos não- lineares. Também observamos o modelo seno-Gordon deformado fornece um potencial que é limitado inferiormente e adequado para descrever a separação das branas. 61 Caṕıtulo 5 Localização de campos vetorial e tensorial em branas espessas Neste caṕıtulo estudamos a localização de campos vetoriais (de gauge) e tensorial em branas espessas. A localização de campo de gauge no espaço warped foi estudada em [36], onde não foi posśıvel a localização na brana por meio unicamente da curvatura, pelo que a ação em 4+1 dimensões não é normalizável. Uma alternativa para contornar este problema é introduzindo um campo escalar dilatônico, possibilitando a localização do modo-zero de campo de gauge na brana [22, 60]. Nesta seção discutimos a localização introduzindo uma função suave da configuração clássica de mińıma energia que leva à localização do campo da gauge, de maneira alterna- tiva ao acoplamento dilatônico mencionado acima. Esta função suave funcionaria como uma função dielétrica. Também analisamos nesta seção a localização de campo tensorial antissimétrico de rank-2, chamado na literatura de campo de Kalb-Ramond (K-R) [57]. Para a localização do campo de K-R introduzimos o mesmo procedimento da localização de campo de gauge, permitindo localizar o modo-zero tensorial na brana. 5.1 Localização de campo vetorial Nesta seção discutiremos a localização de campos vetoriais (campo de gauge) em branas espessas. Este tipo de problema foi estudada na literatura em cenários de espaço warped [36]. Onde foi mostrado que nem sempre é posśıvel conseguir a localização do campo de gauge na parede de domı́nio unicamente pela curvatura do espaço-tempo (warped factor). 62 Diante dessa dificuldade outros modelos foram propostos para a localização do campo de gauge como é o caso do acoplamento dilatônico descritas por Kehagias-Tamvakis [60], Teixera Cruz e Almeida [21] entre outros. Por outro lado propomos a localização de campo de gauge acoplando um campo escalar que gera a brana com o campo de gauge abeliano [25]. Esta função de campo escalar tem algumas propriedades espećıficas que conduz à localização de campo vetorial (campo de gauge). Iniciamos nossa discussão definindo na ação do campo gauge o acoplamento entre o tensor de campo FMN com a gravidade em (4+1) dimensões que é dada por S = −1 4 ∫ d5x √ gFMNFMN , (5.1) com M,N = 0, 1, 2, 3, 4, e os ı́ndices gregos correm µ, ν de 0 a 3. O tensor intensidade de campo é dado por FMN = ∂MAN − ∂NAM . A correspondente equação de movimento é dado na forma ∂Q( √ ggQMgRNFMN ) = 0, (5.2) podemos expandir esta expressão ∂µ( √ ggµαgνβFαβ) + ∂4( √ gg44gνβF4β) = 0. (5.3) Estabelecendo as condições de gauge ∂µA µ = 0 e A4 = 0, e decompondo o campo vetorial usando os modos de Kaluza-Klein Aµ(x, r) = Σ ∞ n=0Aµ(x)αn(r), onde αn(r) são os modos de Kaluza-Klein e Aµ(x) é o potencial vetor que representa o campo vetorial. Podemos expressar a equação de movimento (5.2) na forma: m2 nαn(r) + e2A(α′′ n(r) + 2A ′α′ n(r)) = 0, (5.4) onde o śımbolo primo denota a diferenciação a respeito de r. A fim de definir um problema t́ıpico da mecânica quântica fazemos a seguinte transformação αn(r) = e−γ(r)gn(r). (5.5) Mediante a identificação 2γ ′ = 2A′ , o termo de primeira ordem na equação (5.4) desaparece e temos como resultado uma equação tipo Schrödinger −g′′n(r) + (γ ′′ + (γ′)2 −m2 ne −2A)gn(r) = 0. (5.6) 63 Para o modo zero sem massa (g0 ≡ g) −g′′(r) + (γ′′ + (γ′)2)g(r) = 0, (5.7) o que conduz a g(r) ∼ eγ e α0 termina sendo constante. Substituindo em (5.2) podemos escrever a ação efetiva como S = −1 4 ∫ ∞ −∞ drα2 0(r) ∫ d4xF µνFµν . (5.8) Sendo α0(r) uma constante, observamos que a ação efetiva é divergente, o que não permitiria garantir a existência de um modo-zero localizado para o campo de gauge [35], [36],[44]. Uma alternativa de contornar este problema é introduzir uma função suave G(φ) da configuração clássica de minima energia que conduz à localização do campo de gauge. S = −1 4 ∫ d5x √ gG(φ)FMNFMN . (5.9) A correspondente equação de movimento é dada na forma ∂Q( √ gG(φ)gQMgRNFMN ) = 0, (5.10) podemos expandir esta expressão ∂µ( √ gG(φ)gµαgνβFαβ) + ∂4( √ gG(φ)g44gνβF4β) = 0. (5.11) Estabelecendo as condições de gauge ∂µA µ = 0 e A4 = 0, e decompondo o campo vetorial usando os modos de Kaluza-Klein Aµ(x, r) = Σ ∞ n=0Aµ(x)αn(r), podemos expressar a equação de movimento (5.10) na forma: m2 nαn(r) + e2A ( α′′ n(r) + ( G′(φ) G(φ) + 2A′ ) α′ n(r) ) = 0, (5.12) onde o śımbolo primo denota a diferenciação a respeito r. A fim de definir um problema t́ıpico da mecânica quântica fazemos a transformação escrita em (5.5) Mediante a identificação 2γ ′ = 2A′ + G′(φ)/G(φ) , o termo de primeira ordem da equação (5.12) desaparece e temos como resultado uma equação tipo Schrödinger −g′′n(r) + (γ ′′ + (γ′)2 −m2 ne −2A)gn(r) = 0. (5.13) 64 Para o modo zero sem massa (g0 ≡ g) −g′′(r) + (γ′′ + (γ′)2)g(r) = 0, (5.14) o que conduz a g(r) ∼ eγ e α0 termina sendo constante. Substituindo em (5.9) podemos escrever a ação efetiva como S = −1 4 ∫ ∞ −∞ drα2 0(r)G(φ) ∫ d4xF µνFµν . (5.15) Nota-se que se G(φ) fosse constante a ação efetiva diverge igual a (5.8). Devemos estabelecer algumas condições para a construção da função G(φ). Primeiro notemos que não temos modos de massa negativa no espectro de campo de gauge. Isto pode ser visto ao escrever a equação (5.12) em termos da coordena comformal z = ∫ dζe−A(ζ), de modo que podamos expressà-lo como −d2�gn(z) dz2 + �V (z)�gn(z) = m2 n�gn(z), (5.16) onde �V (z) = (d�γ/dz)2 − (d2�γ/dz2), e usando a redefinição αn(z) = e−�γ(z)�gn(z) com (d�γ/dz) = 1/2((1/G)(dG/dz) + (dA/dz)). A equação diferencial para �gn(z) pode ser fatorada como DD†�gn(z) = m2 n�gn(z) onde D = (d/dz) − (d�γ/dz). Logo cada um dos autoestados normalizáveis tem 0 ≤ ∫ dz|D†�gn(z)|2 = m2 n. Portanto a função G(φ) é de fato estável. Tomando como base os modelos de Julian Schwinger [83] e do Friedberg-Lee [46], constrúımos nossa motivação f́ısica para a construção da função G(φ). A ideia de que o campo escalar neutro poderia ser efetivamente acoplado com o campo de gauge provém das observações do decaimento anômalo π0 → 2γ por intermédio de férmions virtuais. Tal acoplamento efetivo foi encontrado por Julian Schwinger [83] aco- plando o campo escalar neutro com o campo eletromagnético. Este último acoplament