UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA

"JÚLIO DE MESQUITA FILHO"
CAMPUS DE SÃO JOÃO DA BOA VISTA

LUCAS TREVISAN LUCATELLI

ESTUDO NUMÉRICO DE BOLHAS DE SEPARAÇÃO LAMINAR EM UM CANAL
CONVERGENTE-DIVERGENTE

São João da Boa Vista
2022



Lucas Trevisan Lucatelli

ESTUDO NUMÉRICO DE BOLHAS DE SEPARAÇÃO LAMINAR EM UM CANAL
CONVERGENTE-DIVERGENTE

Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de
Curso de Graduação em Engenharia Aeronáutica
do Campus de São João da Boa Vista, Universidade
Estatual Paulista, como parte dos requisitos para
obtenção do diploma de Graduação em Engenharia
Aeronáutica .

Orientador: Profº Dr. Elmer Mateus Gennaro

São João da Boa Vista
2022





L933e
Lucatelli, Lucas Trevisan

    Estudo numérico de bolhas de separação laminar em um canal

convergente-divergente / Lucas Trevisan Lucatelli. -- São João da Boa

Vista, 2022

    60 p.

    Trabalho de conclusão de curso (Bacharelado - Engenharia

Aeronáutica) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Faculdade de

Engenharia, São João da Boa Vista

    Orientador: Elmer Mateus Gennaro

    1. Aerodinâmica. 2. Mecânica dos fluidos. 3. Escoamento. 4.

Bolhas (Física). 5. Turbulência. I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca da Faculdade de
Engenharia, São João da Boa Vista. Dados fornecidos pelo autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.



 

 

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” 

FACULDADE DE ENGENHARIA - CÂMPUS DE SÃO JOÃO DA BOA VISTA 

GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA AERONÁUTICA 

 

 

 

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO 

 

 

 

ESTUDO NUMÉRICO DE BOLHAS DE SEPARAÇÃO LAMINAR EM UM CANAL 

CONVERGENTE-DIVERGENTE 

 

 

Aluno: Lucas Trevisan Lucatelli 
Orientador: Prof. Dr. Elmer Mateus Gennaro 
 

 

 

       

Banca Examinadora: 

- Elmer Mateus Gennaro (Orientador) 

- Daniel Sampaio Souza (Examinador) 

- Luiz Augusto Camargo Aranha Schiavo (Examinador) 

 

 

 

 

 

 

A ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no prontuário do 
aluno (Expediente nº 016/2022) 

 

São João da Boa Vista, 07 de julho de 2022 



Dedico esse trabalho aos meus pais, amigos e familiares que contribuíram em meu desenvolvimento
acadêmico ao longo de todos esses anos.



AGRADECIMENTOS

Agradeço aos meus pais familiares, por todo o apoio ao longo de toda minha trajetória acadêmica.
Agradeço ainda ao professor Dr. Elmer Mateus Gennaro, por ter sido meu orientador e ter

desempenhado tal função com dedicação e me auxiliado no desenvolvimento desse presente trabalho.
Além disso, agradeço aos professores e à Universidade Estadual “Júlio de Mesquita Filho"Campus
São João da Boa Vista por todos os ensinamentos e por todas as condições oferecidas durante minha
graduação.

Por fim, agradeço a todos aqueles que contribuíram, de alguma forma, para a realização deste
trabalho e à CNPq pelo financiamento dos meus projetos de Iniciação Científica realizados ao longo da
minha graduação.



Este trabalho contou com o apoio da seguinte entidade:
CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico



“Inventar é imaginar o que ninguém pensou; é acreditar no que ninguém jurou; é arriscar o que

ninguém ousou; é realizar o que ninguém tentou. Inventar é transcender.“

(Alberto Santos-Dumont)



RESUMO

O objetivo principal desse Trabalho de Conclusão de Curso foi o estudo dos efeitos da intensidade
turbulenta em bolhas de separação geradas em um canal convergente-divergente. Para o estudo de tais
efeitos, foi realizada a análise de diferentes modelos de turbulência, escolhendo o modelo k-ω SST para
realização das simulações. As simulações numéricas bidimensionais, foram realizadas no software
ANSYS Fluent, de modo que a etapa de pós-processamento dos resultados obtidos foi realizada em
MATLAB. Assim, como condição de contorno na entrada do canal convergente-divergente, utilizou-se
o perfil de velocidade na saída da placa plana, realizando ainda um estudo de convergência de malha de
modo a escolher a malha mais adequada. Assim, um dos resultados desse trabalho foi a identificação
da bolha de separação, dos pontos de separação e recolamento da camada limite e do comprimento da
bolha, a partir de propriedades do escoamento como coeficiente de atrito, Cf , coeficiente de pressão,
Cp, derivada da velocidade na direção x na posição y e a vorticidade. Concomitantemente, estudou-se
os efeitos da variação de determinados parâmetros, como a velocidade na entrada do canal, o ângulo de
divergência e a intensidade turbulenta, na bolha de separação. Assim, fixou-se o ângulo de divergência
em 4° e variou-se a velocidade, variando em seguida a intensidade turbulenta para um valor fixo de
velocidade e por fim, variou-se o ângulo de divergência para uma velocidade de 0,15 m/s. Desta forma,
observou-se que o aumento da velocidade de entrada do canal, da intensidade turbulenta e do ângulo
de divergência ocasionam a redução do comprimento da bolha. Ademais, plotou-se os contornos
e streamlines, além dos perfis de velocidade em uma posição x fixa para diferentes velocidades e
intensidades turbulentas, notando que o aumento desses parâmetros causa uma redução no escoamento
reverso.

PALAVRAS-CHAVE: Aerodinâmica, Mecânica dos fluidos, Escoamento, Bolhas (Física), Turbulên-
cia.



ABSTRACT

The main objective of this Course Conclusion Work was the study of the effects of turbulence in
separation bubbles generated in a convergent-divergent channel, for the study of such effects, the
analysis of different turbulence models was performed, choosing the k-ω SST model to carry out
the simulations. The two-dimensional numerical simulations were performed in the ANSYS Fluent
software, so that the post-processing step of the results obtained was carried out in MATLAB. Thus, as
a boundary condition at the entrance of the convergent-divergent channel, we used the velocity profile
at the exit of the flat plate, also carrying out a study of mesh covergence in order to choose the most
suitable mesh. Thus, one of the results of this work was the identification of the separation bubble, the
boundary layer separation and reattachment points, and the length of the bubble, from flow properties
such as friction coefficient, Cf , pressure coefficient, Cp, derivative of the velocity in the x direction at
the y position and the vorticity. At the same time, we studied the effects of varying certain parameters,
such as the velocity at the channel entrance, the angle of divergence and turbulent intensity, in the
separation bubble, thus, the divergence angle was fixed at 4° and the velocity was varied, then the
turbulent intensity was varied for a fixed value of speed and finally, the divergence angle was varied to
a speed of 0.15 m/s. This way, it was observed that the increase in channel inlet velocity, turbulent
intensity and angle of divergence cause the bubble length to be reduced. In addition, the contours and
streamlines were plotted, in addition to velocity profiles at a fixed x position for different velocities and
turbulent intensities, noting that the increase in these parameters causes a reduction in the flow reverse.

KEYWORDS: Aerodynamics, Fluid mechanics, Flow, Bubbles (Physics), Turbulence.



LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1 Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda com números
de Reynolds baixo e alto: (a) escoamento do Re baixo, laminar; (b) escoamento
com Re alto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Figura 2 Crescimento de uma camada-limite sobre uma placa plana. . . . . . . . . . . . 20
Figura 3 Camada limite sobre uma placa plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Figura 4 Efeito do gradiente de ressão sobre os perfis de camada limite . . . . . . . . . . 22
Figura 5 Crescimento da camada limite e separação em uma configuração bocal-difusor . 23
Figura 6 Detalhes do escoamento viscoso em torno de um aerofólio . . . . . . . . . . . 23
Figura 7 Bolha de separação laminar em um aerofólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Figura 8 Bolha de separação laminar em um aerofólio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Figura 9 Descrição do escoamento da bolha de separação . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 10 Bolha curta laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Figura 11 Bolha curta laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 12 Escoamento sobre uma placa fina inclinada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Figura 13 Estrutura interna da bolha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Figura 14 Medição típica de velocidade em um escoamento turbulento . . . . . . . . . . 28
Figura 15 Geometria selecionadas pela AIAA para o evento de previsão de arrasto . . . . 30
Figura 16 Polar de arrasto nos testes da AIAA para previsão de arrasto (esqeurda). Conver-

gência da sustentação e do arrasto (direita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Figura 17 Canal convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 18 Dimensões externas do canal convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . 32
Figura 19 Ângulos de convergência e divergência do canal . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 20 Geometria original estabelecida por (PINEDO, 2018) . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 21 Junções modificadas do canal convergente-divergente para um ângulo de diver-

gência β = 4º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Figura 22 Condições de contorno da geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 23 Condições de contorno da placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Figura 24 Geometria placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 25 Resíduos numéricos da simulação sobre placa plana . . . . . . . . . . . . . . . 35
Figura 26 Velocidade média na direção x na saída da placa plana . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 27 Perfil de velocidade na saída da placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Figura 28 Propriedades para diferentes modelos de turbulência e para o modelo laminar no

canal convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 29 Propriedades para o modelo de turbulência k − ϵ . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Figura 30 Numeração de arestas de 1 a 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 31 Numeração de arestas de 7 a 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Figura 32 Numeração de arestas de 7 a 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39



Figura 33 Distribuição da velocidade ao longo de uma linha horizontal no interior da bolha
de separação para as diferentes malhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Figura 34 Resíduos da malha M1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 35 Resíduos da malha M2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 36 Resíduos da malha M3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Figura 37 Velocidade média na saída do canal para malha M1 . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 38 Velocidade média na saída do canal para malha M2 . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 39 Velocidade média na saída do canal para malha M3 . . . . . . . . . . . . . . . 42
Figura 40 Vértice na saída do canal de máxima energia cinética turbulenta da malha M1 . 43
Figura 41 Vértice na saída do canal de máxima energia cinética turbulenta da malha M2 . 43
Figura 42 Vértice na saída do canal de máxima energia cinética turbulenta da malha M2 . 43
Figura 43 Distribuição do coeficiente de atrito Cf para diferentes velocidades na entrada

do canal convergente-divergente com um ângulo de divergência fixao de 4° . . 44
Figura 44 Distribuição do coeficiente de atrito Cp para diferentes velocidades na entrada do

canal convergente-divergente com um ângulo de divergência fixado em 4◦ . . . 44
Figura 45 Distribuição da derivada ∂u

dy
para diferentes velocidades na entrada do canal

convergente-divergente com um ângulo de divergência em 4◦ . . . . . . . . . . 45
Figura 46 Distribuição da vorticidade para diferentes velocidades na entrada do canal

convergente-divergente com um ângulo de divergência em 4◦ . . . . . . . . . . 45
Figura 47 Coeficiente de atrito Cf para diferentes intensidades turbulentas considerando as

três velocidades de entrada no canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Figura 48 Derivada ∂u

∂y
para diferentes intensidades turbulentas considerando as três veloci-

dades de entrada no canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 49 Vorticidade para diferentes intensidades turbulentas considerando as três veloci-

dades de entrada no canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Figura 50 Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 0,5 % e uma veloci-

dade de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 51 Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade

de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Figura 52 Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 1,5 % e uma veloci-

dade de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Figura 53 Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 2 % e uma velocidade

de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 54 Streamline da velocidade para um intensidade turbulenta de 0,5 % e uma veloci-

dade de 0,25 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
Figura 55 Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 0,5 % e uma velocidade

de 0,25 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Figura 56 Streamline da velocidade para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade

de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52



Figura 57 Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de
0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Figura 58 Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de
0,25 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 59 Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de
0,30 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 60 Streamline da velocidade para um intensidade turbulenta de 1,5 % e uma veloci-
dade de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Figura 61 Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1,5 % e uma velocidade
de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 62 Perfis de velocidade para diferentes intensidades turbulentas com uma velocidade
fixa de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 63 Perfis de velocidade para diferentes intensidades turbulentas com uma velocidade
fixa de 0,25 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Figura 64 Perfis de velocidade para diferentes intensidades turbulentas com uma velocidade
fixa de 0,30 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Figura 65 Distribuição do coeficiente de atrito Cf para diferentes ângulos de divergência
com uma velocidade fixa de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 66 Distribuição do coeficiente de pressão Cp para diferentes ângulos de divergência
com uma velocidade fixa de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 67 Distribuição da derivada ∂u
∂y

para diferentes ângulos de divergência com uma
velocidade fixa de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Figura 68 Distribuição da vorticidade para diferentes ângulos de divergência com uma
velocidade fixa de 0,15 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57



LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Parâmetros malha da placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Tabela 2 – Parâmetros das diferentes malhas analisadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Tabela 3 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para cada

velocidade na entrada do canal convergente-divergente . . . . . . . . . . . . . . 45
Tabela 4 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para

diferentes intensidades turbulentas para uma velocidade de 0,15 m/s na entrada do
canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Tabela 5 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para
diferentes intensidades turbulentas para uma velocidade de 0,25 m/s na entrada do
canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Tabela 6 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para
diferentes intensidades turbulentas para uma velocidade de 0,30 m/s na entrada do
canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Tabela 7 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para
diferentes ângulos de divergência do canal convergente-divergente . . . . . . . . 55



LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

BSL Bolhas de Separação Laminar

RANS Reynolds-Averaged Navier-Stokes

TCC Trabalho de Conclusão de Curso

UNESP Universidade Estadual Paulista



LISTA DE SÍMBOLOS

α Ângulo de convergência

β Ângulo de divergência

ϵ Representação da escala de comprimento l

ω Frequência turbulenta

ν Viscosidade cinemática

µ Viscosidade dinâmica

µt Viscosidade de vórtice

ρ Densidade

δ Espessura da camada limite

τp Ponto de separação

Cf Coeficiente de atrito

Cp Coeficiente de pressão

k Representação da escala de velocidade v

l Escala de comprimento

p Pressão

pa Pressão atmosférica

U Velocidade externa na direção x

V Velocidade externa na direção y

W Velocidade externa na direção z

P Pressão externa

U(x) Escoamento principal

u Componente da velocidade na direção x

v Componente da velocidade na direção y

u′ Componente da velocidade na direção x que varia no tempo

v’ Componente da velocidade na direção y que varia no tempo



w’ Componente da velocidade na direção z que varia no tempo

p’ Componente da pressão que varia no tempo

∂τ
∂y
|parede Quantidade de movimento aplicada à parede

y+ Distância da parede adimensional

dp/dx Gradiente de pressão

Recrit Número de Reynolds crítico

Rex Número de Reynolds em função da direção x

XR Posição de recolamento da camada limite



SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1 Camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Camada limite sobre uma placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Influência do gradiente de pressão sobre a camada limite . . . . . . . . . . . . 19
2.1.3 Separação da camada limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Bolhas de Separação Laminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 Bolhas de separação laminar curta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2.2 Bolhas de separação laminar longa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Modelos de turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.1 Modelo k-ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3 DESENVOLVIMENTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1.2 Simulação sobre a placa plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.3 Análise dos modelos de turbulência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.4 Análise da convergência de malha do canal convergente-divergente . . . . . . 38
3.2 Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2.1 Análise da variação da velocidade de entrada do canal convergente-divergente 42
3.2.2 Análise da variação da intensidade turbulenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.2.2 Contornos de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2.3 Streamline de velocidade e bolha de separação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2.4 Perfis de velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.3 Variação do ângulo de divergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59



16

1 INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO E OBJETIVOS

1.1 INTRODUÇÃO

Bolhas de separação podem desempenhar um papel significativo em muitos escoamentos em
aerofólios, turbinas e superfícies sustentadoras em geral, especialmente a baixo número de Reynolds.
O processo de formação e desaparecimento de bolhas de separação produz forças não-estacionárias,
dificultando a concepção de uma nova seção do aerofólio. Em condições próximos ao estol, as fortes
variações observadas nas propriedades das bolhas de separação também podem gerar assimetrias nas
forças aerodinâmicas nas semi-asas gerando importantes momentos que afetarão a controlabilidade do
avião. O estudo de bolhas de separação laminar representa um grande desafio, já que elas envolvem
um grande número de fenômenos, tais como separação da camada limite, transição laminar-turbulento,
desprendimento de vórtices, dentre outros.

Adicionalmente, podem surgir outros fenômenos devido à instabilidade das bolhas, como o
“flapping”, o “bursting” e a transição by-pass. “Flapping” é a oscilação do tamanho da bolha, “bursting”
a mudança súbita nas características da bolha (longa-curta ou curta-longa) e a transição by-pass aquela
que não passa pelos mecanismos conhecidos de instabilidade primária e secundária da camada limite.

(MAYLE, 1991) comenta em seu trabalho que toda essa variedade de fenômenos não eram
consideradas, por exemplo, pelos projetistas de turbo-máquinas, uma vez que vários desses fenômenos
não eram compreendidos. No projeto de compressores e turbinas de baixa pressão era considerado
mais uma arte que uma ciência. Atualmente vários desses fenômenos ainda não são completamente
compreendidos. A eficiência de uma turbina tem forte impacto no consumo de combustível do motor.

Estudos computacionais envolvendo o processo da bolha de separação tem recebido ainda muita
atenção, especialmente na tentativa de encontrar um método de previsão mais refinado para análise de
desempenho de aerofólios e a localização do ponto de transição na separação da bolha (DAM, 2002).

Algumas aplicações, tais como dispositivos de hipersustentação, são especialmente sensíveis a
problemas com predição de transição. A transição em uma bolha de separação no bordo de fuga
do eslate, por exemplo, pode mudar consideravelmente características do elemento principal, a asa
da aeronave. Mesmo em casos mais simples, o uso dos métodos de predição tradicionais utilizados
na análise do aerofólio não são suficientes. Existe portanto uma clara necessidade de aprimorar os
métodos de previsão, e entender o surgimento de instabilidades do escoamento na separação de bolhas
podem contribuir para o aprimoramento destes métodos segundo (GRUBER K. BESTEK, 1987)

(HORTON, 1968) e (GASTER, 1969) estudaram a bolha de separação laminar em uma placa
plana e fizeram uma classificação em dois tipos: “curta” ou “longa” na qual estabeleceu-se um critério
para predizer de qual tipo será a bolha de separação. Porém, questões relacionadas com a aparência,
estrutura e comportamento das bolhas de separação permanecem abertas. Algumas destas questões
sobre características aerodinâmicas de um aerofólio em condições de estol (antes e depois) foram
encaminhadas primeiramente nos trabalhos de (GAULT, 1949) e (MCCULLOUGH, 1951). Eles
observaram a existência de três diferentes tipos de bolhas de separação laminar: para aerofólios
relativamente espessos, a separação ocorre perto do bordo de fuga e se move para cima com o aumento



17

do ângulo de ataque; a física envolvida é semelhante ao que acontece nos corpos-rombudos. Em
aerofólios em ângulo de ataque moderado e baixo número de Reynolds, bolhas de separação são
formadas na vizinhança da região da corda média e podem ser divididas em três tipos: laminar, de
transição e turbulenta, dependendo do estado da fronteira entre o escoamento interno à camada limite
e à bolha de separação (HÄGGMARK; HILDINGS; HENNINGSON, 2001). Por outro lado, em
aerofólios finos a separação ocorre próximo ao bordo de ataque, imediatamente depois do pico de
sucção.

1.2 MOTIVAÇÃO

O estudo de bolhas de separação laminar via métodos computacionais tem-se tornado cada vez mais
importante, visto que esse fenômeno pode ocasionar incremento na intensidade de forças indesejáveis,
como o arrasto ou estolagem da aeronave, além da perda da sustentação.

Desta forma, de modo a entender melhor esse fenômeno, esse trabalho buscou induzir numerica-
mente o surgindo de bolhas de separação laminar (BSL) em uma geometria de um canal convergente-
divergente, estudando ainda os efeitos da variação de determinados parâmetros da bolha, de modo
a identificar, de forma precisa, a bolha de separação e qual o seu comportamento com a variação de
certos parâmetros.

1.3 OBJETIVOS

Esse trabalho tem por objetivo principal o estudo dos efeitos da intensidade de turbulência em
bolhas de separação geradas em um canal convergente-divergente.

Concomitantemente, tem-se como objetivo, caracterizar as bolhas de separação laminar na geome-
tria de um canal convergente-divergente, obtendo os pontos de separação e recolamento da camada
limite, além do comprimento da bolha. Além disso, busca-se estudar o efeito da variação de certos
parâmetros como a velocidade de entrada, a intensidade turbulenta e o efeito do ângulo de divergência
na formação da bolha de separação.

Ademais, tem-se por objetivo, a aplicação de conceitos de aerodinâmica e mecânica os fluidos em
um estudo computacional, e a construção de uma base de dados para futuras comparações com dados
experimentais.



18

2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

2.1 CAMADA LIMITE

Prandlt, em 1904, publicou a teoria da camada limite, ao observar que os escoamentos de fluidos
com baixa viscosidade, como por exemplo, os escoamentos de ar e água, podem ser divididos em uma
camada viscosa delgada, denominada camada-limite, próxima às superfícies sólidas e interfaces, ligada
a uma camada externa que pode ser considerada não viscosa, na qual são válidas as equações de Euler
e Bernoulli. Assim, a camada limite se tornou uma ferramenta importante na análise de escoamentos
(WHITE, 2018)

Segundo (SCHLICHTING; GERSTEN, 2017), no caso de escoamentos em que a distribuição de
pressão se relaciona com a teoria dos fluidos ideais, como no caso de um aerofólio, a influência da
viscosidade em um alto número de Reynolds se restringe a uma fina camada na proximidade da parede
sólida do corpo. Assim, o fluido cola na parede, devido ao fato da força de atrito retardar o movimento
do fluido em uma fina camada próxima a parede, denominada camada limite, na qual a velocidade
aumenta partindo do zero na parede, até a velocidade externa do escoamento sem atrito.

Concomitantemente, a análise da camada limite pode ser utilizada para calcular os efeitos viscosos
próximos a parede sólidas e sobrepor esses efeitos ao escoamento não viscoso externo ao corpo. Assim,
essa sobreposição dos efeitos viscosos é melhor visualizada à medida que se aumenta o número de
Reynolds, de modo que, conforme relatado por Prandlt, um escoamento com alto número de Reynolds
é mais aplicável a um tratamento de camada limite.(WHITE, 2018).

A Figura 1 ilustra escoamentos com baixo e alto número de Reynolds sobre uma placa plana aguda.
Observa-se uma corrente uniforme U movendo-se paralelamente a uma placa plana de comprimento L,
de modo que se o número de Reynolds, dado por UL/ν, for baixo, a região viscosa é mais ampla, se
extendendo a montante e para os lados da placa plana.(WHITE, 2018).

Além disso, tem-se que a placa retarda a corrente uniforme, de modo que pequenas variações nos
parâmetros do escoamento causem grandes alterações nas distribuições de pressão ao longo da placa
(WHITE, 2018).

A espessura da camada-limite δ é definida como o lugar geométrico dos pontos no qual a velocidade
u paralela à placa alcança 99% da velocidade externa U (WHITE, 2018) .

2.1.1 Camada limite sobre uma placa plana

Como solução clássica da teoria da camada limite tem-se o escoamento sobre a placa plana, o qual
pode ser tanto laminar como turbulento. Assim, as fórmulas para o escoamento sobre uma placa plana
são apresentadas nas equações 1 e 2.

Para escoamento laminar com 103 < Rex < 106:

δ

x
=

5, 0

Re
1/2
x

(1)



19

Figura 1 – Comparação dos escoamentos em torno de uma placa plana aguda com números de Reynolds
baixo e alto: (a) escoamento do Re baixo, laminar; (b) escoamento com Re alto

Fonte: (WHITE, 2018)

Para escoamento turbulento com Rex > 106:

δ

x
=

0, 16

Re
1/7
x

(2)

Rex = Ux/ν é denominado número de Reynolds local do escoamento ao longo da superfície da
placa plana, de modo que o escoamento é considerado turbulento quando Rex > 106, aproximadamente
(WHITE, 2018).

A Figura 2 ilustra o crescimento da camada limite sobre uma placa plana. A transição da camada
limite de laminar para turbulenta em uma placa plana é ilustrada na Figura 3. Nessa Figura observamos
que a camada limite é laminar por uma curva distância a jusante do bordo de ataque, de modo que haja
a transição em uma região da placa, a qual se estente para jusante até o ponto em que a camada limite
se torna turbulenta, conforme relatado por (FOX ALAN T. MCDONALD, 2014).

2.1.2 Influência do gradiente de pressão sobre a camada limite

A separação do escoamento, apresentada por Prandlt, é originada pela perda excessiva de quantidade
de movimento próximo à parede em uma camada limite que buscar mover-se a jusante do escoamento
contra um aumento de pressão, dp/dx > 0, o qual é denominado de gradiente adverso de pressão

(WHITE, 2018). Por outro lado, o caso de pressão descrescente dp/dx < 0 é denominado de gradiente

de pressão favorável, sendo que nesse caso não haverá a separação do escoamento. Assim, em um



20

Figura 2 – Crescimento de uma camada-limite sobre uma placa plana.

Fonte: (WHITE, 2018)

Figura 3 – Camada limite sobre uma placa plana.

Fonte: (FOX ALAN T. MCDONALD, 2014)

escoamento sobre um corpo imerso, o gradiente de pressão favorável ocorre na parte frontal do corpo,
enquanto o gradiente de pressão adverso ocorre na região traseira do corpo (WHITE, 2018).

2.1.3 Separação da camada limite

A separação da camada limite pode ser explicada a partir da segunda derivada da velocidade u

da parede. Considerando a equação da quantidade de movimento aplicada à parede, sendo u = v = 0,
tem-se as Equações 3 e 4 aplicadas tanto para escoamentos laminares quanto para turbulentos (WHITE,
2018).

∂τ

∂y
|parede = µ

∂2u

∂y2
|parede = −ρU

dU

dx
=

dp

dx
(3)

∂2u

∂y2
|parede =

1

µ

dp

dx
(4)

Desta forma, com um gradiente de pressão adverso, a segunda derivada da velocidade é positiva na
parede, devendo ser negativa na camada externa (y > δ), de modo que haja uma ligação suave com
o escoamento principal U(x). Logo, a segunda derivada deverá passar por zero em algum ponto da
camada limite, em um ponto de inflexão, sendo que qualquer perfil de camada limite com gradiente de
pressão adverso deve possuir um formato característica em forma de S (WHITE, 2018).



21

A Figura 4 ilustra o caso geral do efeito do gradiente de pressão. Nessa figura, observa-se que, no
caso de um gradiente de pressão favorável, o perfil é mais arredondado, não havendo ponto de inflexão,
de forma que não seja possível haver separação e os perfis laminares desse caso são bastante resistentes
a transição da camada limite de laminar para turbulenta (WHITE, 2018).

Concomitantemente, em um gradiente de pressão nulo, como no caso de um escoamento sobre uma
placa plana, o ponto de inflexão ocorre sobre a própria parede, não havendo separação e o escoamento
transicionará para um Rex não superior a aproximadamente 3× 106 (WHITE, 2018).

Já no caso de um gradiente de pressão adverso, um ponto de inflexão, denotado por PI, ocorre na
camada limite, com uma distância da parede que aumenta com a intensidade do gradiente adverso
de pressão. Assim, para um gradiente fraco, não haverá separação do escoamento, podendo haver
transição para turbulência a um Reynolds de aproximadamente 105. No caso de um gradiente moderado,
atinge-se uma condição crítica na qual o cisalhamento na parede é nulo (∂u/∂y = 0). Esse ponto é
definido como o ponto de separação (τp = 0), uma vez que qualquer gradiente mais elevado acarretará
em um fluxo reverso junto à parede (WHITE, 2018).

Outro exemplo é o escoamento em um duto formado por bocal, garganta e difusor, conforme
ilustrado na Figura 5. O escoamento no bocal possui um gradiente de pressão favorável, não havendo
separação, assim como no escoamento na garganta, no qual o gradiente de pressão é aproximadamente
zero. Contudo, o difusor, a partir da expansão de área, gera uma velocidade decrescente que resulta em
uma pressão crescente e um gradiente de pressão adverso (WHITE, 2018).

Desta forma, caso o ângulo do difusor seja muito elevado, o gradiente adverso será excessivo,
resultando na separação da camada limite em um ou em ambos os lados, além de fluxo reverso,
aumento de perdas e uma recuperação fraca de pressão. Esse fenômeno é denominado como estol de

difusor, também utilizado em aerodinâmica de aerofólios para denotar a separação massiva da camada
limite sobre um aerofólio (WHITE, 2018).

Outro exemplo é o escoamento externo sobre um aerofólio, havendo a transição da camada
limite e a separação da mesma, conforme ilustrado na Figura 6. Na Figura 6, segundo (FOX ALAN
T. MCDONALD, 2014), tem-se que o escoamento da corrente livre dividi-se no ponto de estagnação,
percorrendo o aerofólio, de modo que o fluido em contato com a superfície é acelerado devido a
condição de não deslizamento. Assim, camadas limites se formam tanto na superfície superior quanto
na superfície inferior do aerofólio. O escoamento da camada-limite é inicialmente laminar, havendo a
transição de laminar para turbulenta nos pontos indicados pela letra "T", de modo que a camada limite
turbulenta cresce mais rapidamente que a laminar.

Desta forma, havendo uma região de pressão crescente, ou seja, um gradiente de pressão adverso
que desacelera as partículas fluidas, pode ocorrer a separação da camada limite nos pontos indicados
pela letra "S"na Figura 6. Por fim, o fluido que estava nas camadas limites sobre a superfície do
aerofólio forma a esteira viscosa atrás dos pontos de separação. (FOX ALAN T. MCDONALD, 2014).

2.2 BOLHAS DE SEPARAÇÃO LAMINAR

As bolhas de separação laminares surgem devido à um gradiente de pressão adverso, ou seja, o
auamento da pressão ao longo da superfície de um canal convergente-divergente ou de um aerofólio, o



22

Figura 4 – Efeito do gradiente de ressão sobre os perfis de camada limite

Fonte: (WHITE, 2018)

qual faz com que haja a separação da camada limite na superfície. O aumento da pressão é ocasionado
devido a queda da velocidade em direção ao bordo de fuga do aerofólio (HEPPERLE, 2018).

A Figura 7 ilustra uma bolha de separação laminar em um aerofólio. A curvatura no bordo de ataque
dos aerofólios atrasa o surgimento do ponto de separação sobre a superfície, de modo que,o aumento do
ângulo de ataque insere uma assimetria no escoamento causando o aumento da sustentação, surgindo
assim, uma bolha de separação próxima ao bordo de fuga. Em um escoamento laminar, o aumento
do número de Reynolds causa o deslocamento do ponto de separação da camada limite em direção
ao bordo de ataque, ocasionando o aumento do arrasto e a redução da sustentação, havendo assim
uma queda no desempenho. Com o aumento do ângulo de ataque, tem-se o aumento da sustentação,
contudo, a partir do aumento da bolha de separação, pode-se ocorrer o fenômeno da estolagem, no qual
o escoamento se separa da superfície, acarretando uma forte perda da sustentação (REZENDE, 2009).



23

Figura 5 – Crescimento da camada limite e separação em uma configuração bocal-difusor

Fonte: (WHITE, 2018)

Figura 6 – Detalhes do escoamento viscoso em torno de um aerofólio

Fonte: (FOX ALAN T. MCDONALD, 2014)

Figura 7 – Bolha de separação laminar em um aerofólio

Fonte: (HEPPERLE, 2018)

A separação da camada limite e o fenômeno da estolagem são ilustrados na Figura 8. Conforme
constatado por (BROWN; STEWARTSON, 1969), as bolhas de separação laminar ocorrem em uma
faixa de números de Reynolds em função da corda entre 5×10−5 e 5×10−6 de acordo com a geometria
do aerofólio, o nível de turbulência do escoamento livre e ângulo de ataque.

Concomitantemente, as bolhas de separação laminar surgem quando a camada limite laminar se



24

Figura 8 – Bolha de separação laminar em um aerofólio

Fonte: (REZENDE, 2009)

separa antes da transição para turbulência. Assim, segundo (BROWN; STEWARTSON, 1969), o fluxo
laminar separado apresenta uma elevada instabilidade, de modo que, após o ponto de separação, como
existe um crescimento nas perturbações para que o escoamento se torne turbulento, existe um aumento
da transferência de momentum através das diferentes regiões da camada cisalhante. Esse fenômeno
ocasiona um aumento da quantidade de movimento próximo a parede, promovendo o recolamento
da bolha, levando ao recolamento do escoamento, o que gera uma região fechada de baixo fluxo de
momentum conhecida como bolha de separação laminar (PINEDO, 2018).

O fenômeno da separação do escoamento laminar e a formação de bolhas de separação laminar
(BSL) possuem uma grande relação com com as propriedades aerodinâmicas das superfícies de
sustentação que operam em altos ângulos de ataque (RODRÍGUEZ; GENNARO; JUNIPER, 2013).

A estrutura típica de uma bolha de separação de uma camada limite laminar 2D foi descrita por
(HORTON, 1968) e pode ser vista na Figura 9. Na Figura 9, existe um gradiente de pressão adverso,
após o pico de sucção do bordo de ataque, ocasionado devido à curvatura do aerofólio e ao ângulo
de ataque, de modo que, caso esse gradiente de pressão seja suficiente forte, haverá a separação da
camada limite e o surgimento de uma mistura separada. Esta camada de mistura apresenta uma região
com movimento de fluido lento e na direção oposta ao escoamento, a qual é denominada zona de
recirculação. A camada de mistura é bastante instável, podendo ocorrer a transição do escoamento
laminar para o turbulento, de forma que uma camada de mistura forte fornecida pela turbulência induz
o recolamento do escoamento (RODRÍGUEZ; GENNARO; JUNIPER, 2013).

2.2.1 Bolhas de separação laminar curta

A bolha curta laminar surge após o ponto de separação da camada limite, o qual é determinado pelo
número de Reynolds e pela geometria do aerofólio, sendo a camada limite laminar desenvolvida na
superfície do aerofólio, conforme indica a Figura 10, e devido a curvatura, existe uma queda na pressão.



25

Figura 9 – Descrição do escoamento da bolha de separação

Fonte: (HORTON, 1968)

Assim, após a passagem pelo ponto de mínima pressão, existe um gradiente de pressão adverso na
camada limite, a qual é desacelerada e o fluido próximo à superfície passa a se mover no sentido
oposto, ocasionando a separação da camada limite (REZENDE, 2009).

Figura 10 – Bolha curta laminar

Fonte: (CROMPTON, 2001)

Após a separação, caso o número de Reynolds do escoamento seja elevado, a camada cisalhante
laminar sofrerá transição para o regime turbulento, de modo que essa região apresentará uma energia
cinética mais alta e atingirá novamente a superfície do aerofólio, gerando o fenômeno denominado
recolamento da camada limite. Em seguida ao recolamento, o escoamento é dividido em duas correntes:
uma camada limite turbulenta, a qual se direciona ao bordo de fuga; e uma segunda vertente, na qual
ocorre o desvio para o montante do aerofólio, completando assim a recirculação (REZENDE, 2009).

Aumentando-se ainda mais o número de Reynolds, eleva-se a energia da camada de fluido, a qual
passa a vencer o gradiente de pressão adverso, diminuindo a extensão da bolha até que não haja mais a
separação da camada limite (REZENDE, 2009). A Figura 11 apresenta os fenômenos descritos para a
bolha curta laminar.

2.2.2 Bolhas de separação laminar longa

Em um escoamento sobre uma placa plana fina inclinada observa-se a formação de uma bolha
fina e alongada, denominada de bolha de separação laminar longa, a qual surge devido à separação
abrupta causada pela geometria. Assim, a camada cisalhante que se separa na placa é instável para



26

Figura 11 – Bolha curta laminar

Fonte: (HORTON, 1969)

certos níveis de escoamento reverso, de modo que existe o desprendimento de vórtices da ponta da
placa, os quais se propagam ao longo da camada cisalhante livre (REZENDE, 2009). A Figura 12
ilustra o escoamento sobre uma placa fina inclinada.

Figura 12 – Escoamento sobre uma placa fina inclinada

Fonte: (REZENDE, 2009)

Segundo (CROMPTON, 2001), a camada cisalhante separada sofre transição imediatamente após o
descolamento da placa, de modo que após a transição, existe um aumento da energia cinética turbulenta
devido ao alto nível de cisalhamento. Tal aumento da energia cinética turbulenta torna a camada
cisalhante mais espessa, fazendo com que o escoamento seja deslocado de volta para a superfície da
placa. O recolamento do escoamento ocorre a uma distância XR, conforme indicado na Figura 12, de
modo que nesse ponto existe a bifurcação do escoamento, onde parte do fluxo se direciona a jusante
da placa e a outra parte retorna a montante, completando assim a bolha de recirculação (REZENDE,
2009).

Concomitantemente, a camada limite que se forma a jusante do ponto de recolamento é turbulenta,
apresentando a possibilidade da separação devido aos gradientes de pressão adversos. Por outro lado,
a camada limite que vai em direção ao bordo de ataque está sujeita ao regime turbulento, sofrendo
um gradiente de pressão favorável, o qual é formado entre o ponto de recolamento, sendo o ponto de
pressão máxima, e a região central, onde existe a pressão mínima. Tal região de pressão mínima ocorre



27

para proporcionar a força centrípeta suficiente para manter a recirculação do fluido, de modo que entre
essa região e o bordo de ataque, existe um gradiente de pressão adverso, o qual pode gerar uma nova
separação da camada limite, formando uma bolha de recirculação secundária. Esse fenômeno ocorre,
uma vez que após essa nova separação, o fluido provavelmente recolará antes de reencontrar as linhas
de corrente oriundas da primeira separação da camada limite (REZENDE, 2009).

A Figura 13 apresenta a bolha de separação principal e a bolha de separação secundária.

Figura 13 – Estrutura interna da bolha

Fonte: (COLLIE, 2005)

2.3 MODELOS DE TURBULÊNCIA

A caracterização de escoamentos laminares e turbulentos é baseada no número de Reynolds, de
modo que em experimentos que possuem um número de Reynolds abaixo do Reynolds crítico Recrit,
o escoamento é organizado, de modo que as camadas de escoamento deslizam umas sobre as outras
de forma ordenada. Assim as condições de parede não são alteradas em função do tempo, sendo esse
escoamento denominado de laminar (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

Já em escoamentos com número de Reynolds superior ao número de Reynolds crítico Recrit existem
grades alterações nas propriedades do escoamento, como por exemplo a velocidade, tornando-o aleató-
rio e caótico. Esse regime é denominado de escoamento turbulento (VERSTEEG; MALALASEKERA,
2007). Uma medição típica de velocidade ilustrada na Figura 14.

A velocidade apresentada na Figura 14 é decomposta, a partir da decomposição de Reynols, em
dois termos, um valor médio constante U e um termo que varia no tempo u’(t), sendo a velocidade
resultante u(t) = U + u’(t). Sendo assim, o escoamento turbulento é caracterizado pelo velor médio
constante das propriedades (U,V,W,P) e as variações dessas propriedades (u’,v’,w’,p’). Além disso, por
mais que existam variações em apenas uma ou duas dimensões espaciais, as flutuações turbulentas
possuem um caráter espacial tridimensional (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

Os modelos de turbulência podem ser divididos em três grupos:
• Modelos de turbulência do tipo Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS): focado no escoamento

médio e nos efeitos da turbulência no valor médio das propriedades do escoamento. As equações de
Navier-Stokes são calculadas em seus valores médios em função do tempo, antes da aplicação dos
métodos numéricos. Assim, termos extras surgem no tempo médio das equações do escoamento em
função das interações entre as diferentes flutuações turbulentas. Esses termos extras são determinados



28

Figura 14 – Medição típica de velocidade em um escoamento turbulento

Fonte: (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007)

a partir dos modelos de turbulência clássicos, como o modelo k-ϵ, modelo de tensões de Reynolds, o
modelo k-ω, o modelo k − kl − ω e o modelo SST k-ω (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

• Large eddy simulation: forma que trata dos cálculos na vizinhança de grandes vórtices, sendo
que esse método envolve a filtragem no espaço das equações de Navier-Stokes, de modo que sejam
considerados os vórtices maiores e os vórtices menores têm o seu efeito modelado por um modelo
sub-malha. Os efeitos, devido aos vórtices menores, no escoamento resolvido são incluídos a partir de
um método em escala de sub-grade (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

• Direct numerical simulation (DNS): esse modelo considera tanto o valor médio da velocidade
no escoamento quanto as flutuações da velocidade devido à turbulência. As equações instáveis de
Navier-Stokes são resolvidas por meio de malhas finas que podem resolver as escalas de comprimento
de Kolmogorov em que a energia de dissipação ocorre em passos de tempo pequenos para resolver o
período de flutuações mais rápidas (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

O modelo de turbulência k-ϵ apresenta duas equações como base, uma para k, que representa a
energia cinética turbulenta, e outra para ϵ, que simboliza a taxa de dissipação turbulenta, utilizadas para
representar a escala de velocidade v e a escala de comprimento l, conforme apresentado nas Equações
5 e 6 (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

v = k1/2 (5)

l =
k3/2

ϵ
(6)

Já o modelo k-ω utiliza, como segunda variável além do k, a frequência turbulenta ω=ϵ/k Logo, a
escala de comprimento é dada por l=

√
k/ω (VERSTEEG; MALALASEKERA, 2007).

Assim a viscosidade do vórtice é dada pela Equação 7.

µt = ρk/ω (7)



29

2.3.1 Modelo k-ω SST

O modelo k-ω SST utiliza os maiores benefícios dos modelos k-ω e k-ϵ, sendo utilizado principal-
mente k-ω (REZENDE, 2009).

Concomitantemente, em escoamentos onde existe a formação da camada limite, na região viscosa
próxima a parede, o modelo k-ω é superior ao modelo k-ϵ, uma vez que é mais eficiente em situações
de gradiente de pressão adverso. Contudo, o modelo k-ω, na corrente livre, requer uma condição de
contorno diferente de zero para ω, de modo que a solução final é sensível a essa condição de contorno.
Assim, o modelo k-ϵ não apresenta essa sensibilidade (REZENDE, 2009).

Sendo assim, o modelo k-ω SST combina a formulação robusta e precisa, próxima a parede, do
modelo k-ω, com a independência, na corrente livre, do modelo k-ϵ (REZENDE, 2009).

O desenvolvimento do modelo k-ω SST foi inspirado na necessidade de uma precisão acurada
para escoamentos aeronáuticos com fortes gradientes de pressão adverso e com separação da camada
limite. Assim, considera-se o modelo k-ω, o qual é mais preciso nas proximidades da parede, sendo
bem sucedido para escoamentos com gradientes de pressão adverso, mas que não é adequado para
escoamentos com separação devido à pressão. Além disso, combina-se o fato do modelo k-ϵ ser menos
sensível no escoamento livre fora da camada limite (MENTER, 2003).

O modelo k-ω SST foi inicialmente utilizado para aplicações aeronáuticas, mas devido a uma
formulação adequada na região próxima a parede, reduziu-se a resolução de grade nesse região,
proporcionando uma melhoria para a indústria de transferência de calor. Além disso, esse modelo é
benéfico para a formulação Detached Eddy Simulation (DES) utilizada na indústria (MENTER, 2003).
A formulação do modelo k-ω SST é descrita nas Equações 8,9, 10.

∂ρk

∂t
+

∂ρUik

∂xi

= P̃k − β∗ρkω+
∂

∂xi

[
(µ+ σkµt)

∂k

∂xi

]
(8)

∂(ρω)

∂t
+

∂(ρUiω)

∂xi

= α2 − βρω2 +
∂

∂xi

[
(µ+ σωµt)

∂ω

∂xi

]
+ 2(1− F1)ρσw2

1

ω

∂k

∂xi

∂ω

∂xi

(9)

Sendo F1 definido na Equação 10.

F1 = tanh

[
min

[
max

( √
k

β∗ωy
,
500v

y2ω

)
,
4ρσw2k

CDkωy2

]]
(10)

Onde CDkω = max(2ρσω2
1
ω

∂k
∂xi

∂ω
∂xi

, 10−10), sendo y a distância a parede mais próxima.
F1 é igual a zero longe da superfície (modelo k-ϵ) e se torna igual a 1 dentro da camada limite

(modelo k-ω (MENTER, 2003).
A viscosidade turbulenta é apresentada na Equação 11.

vt =
a1k

max(a1ω, SF2

) (11)

Onde S é uma medida constante da taxa de deformação e F2 é uma segunda função, apresentada na
Equação 12



30

F2 = tanh

[max

(
2
√
k

β∗ωy
,
500v

y2ω

)]2 (12)

Um limitador de produção é utilizado nesse modelo para evitar o acúmulo de turbulência na região
de estagnação (MENTER, 2003). Esse limitador é apresentado na Equação 13

Pk = µt
∂Ui

∂xj

(
∂Ui

∂xj

+
∂Uj

∂xi

) → P̃k = min(Pk, 10 · β∗ρkω) (13)

Destaca-se que todas as constantes são calculadas a partir da combinação de constantes dos dois
modelos, k-ω e k-ϵ, por meio da seguinte expressão α = α1F + α2(1 − F ). Assim, as constantes
do modelo k-ω SST são: β∗=0,09, α1=5/9, β1=3/40, σk1=0,85, σω1=0,5, α2=0,44,β2=0,0828,σk2=1 e
σω2=0,856 (MENTER, 2003).

Como aplicação do modelo SST em escoamentos aerodinâmicos tem-se a seleção desse mo-
delo pela CFX para contribuir com os testes do segundo evento de previsão de arrasto da AIAA
(http://aaac.larc.nasa.gov/tsab/cfdlarc/aiaa-dpw/) (MENTER, 2003).

Assim duas geometrias foram selecionadas pela AIAA, as quais são apresentadas na Figura
Figura 15.

Figura 15 – Geometria selecionadas pela AIAA para o evento de previsão de arrasto

Fonte: (MENTER, 2003)

As malhas com baixo número de Reynolds possuem células hexaédricas de 5,83m (WB) e 8,43m
(WBNP), de modo que a convergência do arrasto ocorreu por volta de 120 à 150 passos de tempo. A
Figura 16 Figura apresenta a polar de arrasto dos resultados obtidos com os dados experimentais, além
do histórico de convergência (MENTER, 2003).

Desta forma, a partir da Figura 16, observa-se que os resultados simulados são bem próximos aos
dados experimentais, de modo que os modelos de turbulência do tipo RANS são precisos para simular
configurações de aeronaves (MENTER, 2003).



31

Figura 16 – Polar de arrasto nos testes da AIAA para previsão de arrasto (esqeurda). Convergência da
sustentação e do arrasto (direita)

Fonte: (MENTER, 2003)



32

3 DESENVOLVIMENTO

3.1 METODOLOGIA

3.1.1 Geometria

No desenvolvimento desse trabalho foi utilizada uma geometria de um canal convergente-divergente,
o qual é apresentado na Figura 17, de modo que o canal deste trabalho utilizou-se de algumas dimensões
externas do canal proposto por (PINEDO, 2018), as quais são apresentadas na Figura 18.

Figura 17 – Canal convergente-divergente

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 18 – Dimensões externas do canal convergente-divergente

Fonte: Elaborada pelo autor

Além das dimensões externas, outros dois parâmetros geométricos considerados no estudo foram
os ângulos de convergência e de divergência do canal, representados pelos símbolos α e β, respec-
tivamente, e são apresentados na Figura 19. Assim, estabeleceu-se α = 35° e inicialmente β = 4°,
conforme definido por (PINEDO, 2018).

Modificações em relação ao projeto desenvolvido por (PINEDO, 2018) nas junções da geometria
foram conduzidas com objetivo se obter uma malha mais estruturada, conforme ilustrado na Figura 21,
sendo a geometria original apresentada na Figura 20

As condições de contorno estabelecidas para a simulação na geometria estão apresentadas na
Figura 22. Estabeleceu-se como condição de contorno no inlet, um perfil de velocidade extraído do
outlet da simulação sobre uma placa plana. No caso da saída, ou seja, do outlet, estabeleceu-se a
condição de contorno de pressão, enquanto nas demais arestas da geometria inseriu-se a condição de



33

Figura 19 – Ângulos de convergência e divergência do canal

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 20 – Geometria original estabelecida por (PINEDO, 2018)

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 21 – Junções modificadas do canal convergente-divergente para um ângulo de divergência β =
4º

Fonte: Elaborada pelo autor

contorno de parede. Além disso, inseriu-se um ponto de sucção na garganta do canal, ou seja, no início
da região de divergência, com uma velocidade de 0,02 m/s.

Desta forma, para obter a condição de contorno do inlet realizou-se simulações sobre uma placa
plana.



34

Figura 22 – Condições de contorno da geometria

Fonte: Elaborada pelo autor

3.1.2 Simulação sobre a placa plana

Considerando a geometria de uma placa plana, realizou-se simulações para diferentes dimensões
dessa geometria e diferentes malhas, totalizando um conjunto de 8 malhas analisadas, buscando a
malha que tivesse melhor convergência nos resultados e um perfil de velocidade desenvolvido no outlet,
de modo que fosse similar à um perfil de Blasius. Nas simulações, considerou-se o ar como fluido do
escoamento e a placa com material de alumínio, além do modelo laminar para simulação.

Como condições de contorno da placa plana nas simulações realizadas, considerou-se a velocidade
de entrada no inlet, estabelecendo uma velocidade uniforme de 0,15 m/s. No outlet estabeleceu-se
a condição de pressão de saída, enquanto na aresta superior da geometria inseriu-se a condição de
simetria e na aresta inferior a condição de placa. Assim, todas essas condições são apresentadas na
Figura 23.

Figura 23 – Condições de contorno da placa plana

Fonte: Elaborada pelo autor

Após as simulações e análises dos resultados, escolheu-se a geometria da placa plana com dimen-
sões de 3m de comprimento e 0,5 de altura, sendo essa geometria apresentada na Figura 24.

Para geração da malha da placa plana, estabeleceu-se um Face meshing com método dos quadrilá-
teros para toda a geometria. No inlet e no outlet inseriu-se um Edge sizing com um número de 100
divisões e um Bias Factor de 100. Já para as arestas superior e inferior da geometria estabeleceu-se
um Edge sizing com um número de 600 divisões. Tais números de divisões foram estabelecidos
considerando que o número de divisões na direção x da placa deve ser 6 vezes maior que o número de
divisões na direção y, uma vez que o comprimento da placa é 6 vezes maior que a altura da placa. Os
principais parâmetros da malha utilizadas nas simulações de um escoamento sobre a placa plana são
apresentados resumidamente na Tabela 1.



35

Figura 24 – Geometria placa plana

Fonte: Elaborada pelo autor

Tabela 1 – Parâmetros malha da placa plana

Número de nós 60701
Número de elementos 60000
Máxima relação de aspecto 20,8
Qualidade ortogonal mínima 1
Qualidade de elemento máxima 0,954

Fonte: Produção do Próprio Autor.

Na Tabela 1 cada nó representa a junção entre dois ou mais elementos da malha, sendo que cada
elemento possui um formato quadrilátero. A razão de aspecto é para cada elemento quadrilátero
utilizando apenas os nós de canto dos elementos. A qualidade ortogonal é limitada pela faixa de valores
entre 0 e 1, de modo que o valor 0 seja o pior possível e o valor 1 o melhor. Por fim, a qualidade de
elemento fornece uma métrica de qualidade composta que varia entre 0 e 1. Essa métrica é baseada
na razão entre o volume e a soma do quadrado dos comprimentos das arestas para elementos 2D
quadriláteros ou triangulares, ou a raiz quadrada do cubo da soma do quadrado dos comprimentos das
arestas para elementos 3D. Um valor de 1 indica um cubo ou quadrado perfeito, enquanto um valor de
0 indica que o elemento tem um volume zero ou negativo.

A convergência da solução computacional é apresentado na Figura 25, e o gráfico da velocidade
média na direção x na saída da placa em função das iterações, pode ser visto na Figura 26 e indica a
convergência da velocidade.

Figura 25 – Resíduos numéricos da simulação sobre placa plana

Fonte: Elaborada pelo autor



36

Figura 26 – Velocidade média na direção x na saída da placa plana

Fonte: Elaborada pelo autor

Desta forma, a partir do estudo de convergência compilados nas figuras Figura 25 e Figura 26
observa-se que houve convergência no resultados, uma vez que a velocidade média na saída da placa
convergiu ao longo das iterações e que os resíduos atingiram uma ordem na faixa entre 10−4 e 10−10.

O perfil de velocidade na saída da placa plana que será utilizado como condição de contorno na
entrada do canal convergente-divergente, é apresentado na Figura 27.

Figura 27 – Perfil de velocidade na saída da placa plana

Fonte: Elaborada pelo autor

3.1.3 Análise dos modelos de turbulência

Após a definição da geometria, da malha e das condições de contorno da placa plana, analisou-se
os diferentes modelos de turbulência e o laminar, de modo a estabelecer o modelo a ser utilizado no
setup da simulação do canal convergente-divergente. Os modelos de turbulência analisados foram os
seguintes: modelo k − ω, modelo k − kl − ω, modelo k − ϵ e modelo k − ω SST.

Assim, realizou-se simulações para os diferentes modelos considerando uma velocidade uniforme
de 0,15 m/s na entrada do canal convergente-divergente, considerando a água líquida como fluido, a
qual possui uma densidade ρ = 998,2 kg/m3 e uma viscosidade dinâmica µ = 0,001003 kg/m.s, de
modo que a viscosidade cinemática ν = µ/ρ. Logo, a viscosidade cinemática do fluido utilizada nas



37

simulações foi ν = 1, 00481× 10−6 m2/s, sendo extraídos os gráficos do coeficiente de atrito (Cf ),
do coeficiente de pressão (Cp), da derivada da velocidade ∂u

dy
e a vorticidade.

Os resultados obtidos para as propriedades nos diferentes modelos são apresentados na Figura 28.
As propriedades para o modelo de turbulência k − ϵ podem ser vistas em Figura 29.

Figura 28 – Propriedades para diferentes modelos de turbulência e para o modelo laminar no canal
convergente-divergente

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 29 – Propriedades para o modelo de turbulência k − ϵ

Fonte: Elaborada pelo autor

Analisando gráficos da Figura 28 e da Figura 29, nota-se que o modelo laminar não é adequado,
uma vez que apresenta grandes oscilações nas propriedades, e o modelo de turbulência escolhido para
estudo e realização das demais simulações numéricas foi o modelo k − ω SST, pois é um modelo
mais refinado, permitindo a identificação mais precisa e a melhor visualização da bolha, além de ter
sido o modelo utilizado por (PINEDO, 2018). Observamos que existe uma melhor visualização do
gráfico nesse caso, sem muitas variações, sendo possível identificar com uma maior precisão a bolha
de separação.

O modelo SST é um modelo híbrido que combina dois modelos de turbulência:
(i) O modelo k− ϵ, que prevê com boa aproximação de fluxo livre, mas tem baixo desempenho em

regiões de camada limite com gradientes de pressão adversos;



38

(ii) O modelo k − ω que apresenta bom desempenho para o fluxo dentro do camada limite com
gradientes de pressão moderados, mas apresenta sensibilidade em relação aos valores de nas regiões
fora da camada limite.

Outro aspecto importante do modelo de turbulência SST é a capacidade de ter um tratamento
de parede preciso e robusto, considerando a distância adimensional y+ que relaciona a distância do
primeiro elemento de malha fora a parede, sua velocidade de referência e a viscosidade do fluido.
Além disso, para modelo k − ω SST y+ < 2.

3.1.4 Análise da convergência de malha do canal convergente-divergente

A partir da definição do modelo de turbulência k−ω SST para realização das simulações numéricas,
realizou-se o estudo de convergência de malha escolha da malha mais adequada a qual os resultados
estejam convergidos numericamente.

Na primeira malha analisada, denominada de M1, considerou-se o método de multizona de
quadriláteros para todo o corpo da geometria. Considerou-se a numeração das arestas apresentada nas
Figura 30 e Figura 31 e a face apresentada na Figura 32.

Figura 30 – Numeração de arestas de 1 a 6

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 31 – Numeração de arestas de 7 a 8

Fonte: Elaborada pelo autor



39

Figura 32 – Numeração de arestas de 7 a 8

Fonte: Elaborada pelo autor

A partir das arestas numeradas na Figura 30 e Figura 31 e a face apresentada na Figura 32,
estabeleceu-se, para malha M2, que as arestas de número 1 possuem 50 divisões, as arestas de número
2 possuem 10 divisões, as arestas de número 3 possuem 3 divisões, as arestas de número 4 possuem 50
divisões, as arestas de número 5 possuem 130 divisões, as arestas de número 6 possuem 195 divisões,
as arestas de número 7 possuem 40 divisões e as arestas de número 8 possuem 210 divisões. Além
disso, inseriu-se um Face meshing com método dos quadriláteros na face apresentada na Figura 32.

Para a segunda malha analisada, denominada de M2, estabeleceu-se diferentes Edge sizing, consi-
derando um número de 89 divisões nas arestas de número 1 e um número de 20 divisões nas arestas de
número 2 apresentadas na Figura 30, com um comportamento hard e sem estiramento. Já nas arestas
de número 3 considerou-se um número de 4 divisões e nas arestas de número 4 considerou-se um
número de 80 divisões, todas com comportamento hard e sem estiramento.

Nas arestas de número 5 considerou-se um número de 182 divisões e nas arestas de número 6
considerou-se um número de 266 divisões, toda com comportamento hard e sem estiramento. Além
disso, nas arestas de número 7, apresentadas na Figura 31, considerou-se um número de 65 divisões
com comportamento hard e um estiramento de transição suave, enquanto nas arestas de número 8
considerou-se um número de 354 divisões com um comportamento hard e sem estiramento. Por
fim, manteve-se o Face meshing com métodos dos quadriláteros na face da Figura 32 e o método de
multizona de quadriláteros para todo o corpo da geometria.

No caso da terceira malha analisada, denominada M3, aumentou-se o número de elementos, de
modo que as arestas de número 1 possuem 110 divisões, as arestas de número 2 possuem 30 divisões,
as arestas de número 3 possuem 10 divisões, as arestas de número 4 possuem 100 divisões, as arestas
de número 5 possuem 200 divisões, as arestas de número 6 possuem 290 divisões, as arestas de número
7 possuem 85 divisões e as arestas de número 8 possuem 400 divisões. Além disso, manteve-se o
procedimento de face meshing e o método de multizona de quadriláteros para essa malha.

Desta forma, os parâmetros das três malhas M1, M2 e M3, do canal convergente-divergente são
apresentados na Tabela 2.

Após a definição das três malhas analisadas, realizou-se simulações em 2D em cada uma das
malhas, utilizando precisão dupla e o Modelo k-ω SST, considerando o perfil de velocidade extraído
do outlet da placa plana, a qual foi simulada com uma velocidade de uniforme 0,15 m/s, na entrada no



40

Tabela 2 – Parâmetros das diferentes malhas analisadas

Malhas
Parâmetro M1 M2 M3

Número de nós 127749 311370 423111
Número de elementos 127020 310244 421800

Máxima relação de aspecto 53,5 144 250
Qualidade ortogonal mínima 0,814 0,82 0,822

Qualidade de elemento máxima 0,941 0,95 0,95

canal convergente-divergente.
A partir dessas simulações, plotou-se o gráfico da distribuição da velocidade ao longo de uma linha

horizontal, em y = 0, 0075m, no interior da bolha de separação para as diferentes malhas, o gráfico
dos resíduos para cada malha, além do gráfico da velocidade média na saída do canal e o gráfico do
vértice de máxima energia cinética turbulenta na saída do canal. Tais gráficos foram obtidos para
realização da análise de convergência de malha e são apresentadosFigura 33, Figura 34, Figura 35,
Figura 36-Figura 45.

Figura 33 – Distribuição da velocidade ao longo de uma linha horizontal no interior da bolha de
separação para as diferentes malhas

Fonte: Elaborada pelo autor

A partir da Figura 33 observa-se que existe uma convergência das três malhas, uma vez que as
curvas se sobrepõem. Além disso, os gráficos da Figura 34-Figura 36 ilustram uma convergência dos
resultados, uma vez que os resíduos obtidos são da ordem de 10−4 a 10−8, de modo que os resíduos da
malha M2 estabilizam com as iterações.

Os gráficos da velocidade média e da energia cinética turbulenta na saída do canal, apresentados
da Figura 37-Figura 45, demonstram que existe a convergência dessas propriedades para as três
malhas. Desta forma, como as três malhas analisadas apresentam convergência nos resultados, a malha
escolhida para prosseguir com as demais simulações é a malha M2.

Outro parâmetro analisado foi a velocidade na restrição do canal convergente-divergente. Logo,
considerando a velocidade da corrente livre como 0,15m/s, tem-se que a velocidade na restrição é de
aproximadamente 0,5 m/s, havendo assim uma relação de contração de 3,33:1.



41

Figura 34 – Resíduos da malha M1

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 35 – Resíduos da malha M2

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 36 – Resíduos da malha M3

Fonte: Elaborada pelo autor



42

Figura 37 – Velocidade média na saída do canal para malha M1

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 38 – Velocidade média na saída do canal para malha M2

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 39 – Velocidade média na saída do canal para malha M3

Fonte: Elaborada pelo autor

3.2 RESULTADOS E DISCUSSÃO

3.2.1 Análise da variação da velocidade de entrada do canal convergente-divergente

Após a definição da geometria, da malha a ser utilizada e das condições de contorno, iniciou-se,
primeiramente, a análise da variação da velocidade de entrada do canal convergente-divergente. Para



43

Figura 40 – Vértice na saída do canal de máxima energia cinética turbulenta da malha M1

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 41 – Vértice na saída do canal de máxima energia cinética turbulenta da malha M2

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 42 – Vértice na saída do canal de máxima energia cinética turbulenta da malha M2

Fonte: Elaborada pelo autor

essa análise, simulou-se a placa plana com velocidades e 0,15 m/s, 0,25 m/s e 0,30 m/s, extraindo o
perfil de velocidade no outlet da placa para cada velocidade, e inserindo esse perfil na entrada do canal
convergente-divergente. Além disso, utilizou-se uma intensidade turbulenta de 0,5% e um ângulo de



44

divergência de 4º no canal.
Desta forma, a partir das simulações das diferentes velocidades, extraiu-se os gráficos do coeficiente

de atrito (Cf ), do coeficiente de pressão (Cp), da derivada da velocidade u na posição y e da vorticidade,
de modo que fosse visualizada a bolha de separação para cada velocidade na entrada do canal.

Os resultados obtidos para as diferentes velocidades na entrada do canal são apresentadas da
Figura 43-Figura 46.

Figura 43 – Distribuição do coeficiente de atrito Cf para diferentes velocidades na entrada do canal
convergente-divergente com um ângulo de divergência fixao de 4°

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 44 – Distribuição do coeficiente de atrito Cp para diferentes velocidades na entrada do canal
convergente-divergente com um ângulo de divergência fixado em 4◦

Fonte: Elaborada pelo autor

Analisando da Figura 43-Figura 46, tem-se que para o gráfico do coeficiente de atrito e da
vorticidade, o ponto de separação da camada limite, ou seja, o início da bolha, ocorre quando o gráfico
atinge o valor de zero, de modo que o coeficiente de atrito e a vorticidade sejam nulos. Assim, o ponto
de recolamento da camada limite, ou seja, o final da bolha de separação, ocorre quando o gráfico
retorna para o valor igual a zero, de forma que o coeficiente de atrito e a vorticidade sejam nulos
novamente.

Concomitantemente, a partir da Figura 43-Figura 46, observando o gráfico da derivada ∂u
∂y

, tem-se
que o ponto de separação da camada limite ocorre quando a derivada ∂u

∂y
atinge o valor igual a zero e



45

Figura 45 – Distribuição da derivada ∂u
dy

para diferentes velocidades na entrada do canal convergente-
divergente com um ângulo de divergência em 4◦

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 46 – Distribuição da vorticidade para diferentes velocidades na entrada do canal convergente-
divergente com um ângulo de divergência em 4◦

Fonte: Elaborada pelo autor

passa a assumir um valor negativo, passando para o quadrante abaixo do zero, e o ponto de recolamento
da camada limite ocorre quando a derivada retorna para zero. Já no gráfico do coeficiente de pressão
Cp a bolha de separação ocorre quando existe um platô na curva dessa propriedade.

Desta forma, os pontos de separação e de recolamento da camada limite, além do comprimento da
bolha para cada velocidade na entrada do canal são apresentados na Tabela 3.

Tabela 3 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para cada veloci-
dade na entrada do canal convergente-divergente

Velocidade (m/s) 0,15 0,25 0,30
Ponto de separação (m) 0,5913 0,5733 0,5703

Ponto de recolamento (m) 0,9629 0,8281 0,7921
Comprimento da bolha (m) 0,3716 0,2548 0,2218

Fonte: Produção do Próprio Autor.

A partir da Tabela 3 e da Figura 43-Figura 46 observa-se que conforme se aumenta a velocidade na
entrada do canal os pontos de separação e de recolamento da camada limite ocorrem em uma posição



46

mais a montante do canal convergente-divergente. Além disso, conforme se aumenta a velocidade, o
comprimento da bolha de separação diminui, devido ao aumento do gradiente de pressão adverso.

3.2.2 Análise da variação da intensidade turbulenta

3.2.2.1 Propriedades

Outra análise realizada foi da influência da variação da intensidade turbulenta nos resultados das
simulações no canal. Os valores da intensidade turbulenta considerados no estudo foram 0,5%, 1%,
1,5% e 2%, e as velocidade de 0,15 m/s, 0,25 m/s e 0,30 m/s na entrada no canal.

Os gráficos do coeficiente de atrito Cf , do coeficiente de pressão Cp, da derivada ∂u
∂y

e da vorticidade
para as diferentes intensidades turbulentas são apresentados da Figura 47-Figura 49.

Figura 47 – Coeficiente de atrito Cf para diferentes intensidades turbulentas considerando as três
velocidades de entrada no canal

Fonte: Elaborada pelo autor.

Desta forma, a partir dos gráficos da Figura 47-Figura 49 é possível observar que para a velocidade
de 0,15 m/s na entrada do canal, existe bolha de separação para as intensidades turbulentas de 0,5%,
1% e 1,5%, de modo que para a intensidade turbulenta de 2% não se observa a formação de bolha de
separação.

Já para as velocidade de 0,25 m/s e 0,30 m/s na entrada do canal, existe bolha de separação para as
intensidades turbulentas de 0,5%, 1%, sendo que para as intensidades turbulentas de 1,5% e 2% não se
observa a formação de bolha de separação.

Concomitantemente, as Tabelas 4,5 e 6 apresentam os pontos de separação e de recolamento da
camada limite, além do comprimento da bolha para as diferentes intensidade turbulentas de cada
velocidade de entrada no canal.



47

Figura 48 – Derivada ∂u
∂y

para diferentes intensidades turbulentas considerando as três velocidades de
entrada no canal

Fonte: Elaborada pelo autor.

Figura 49 – Vorticidade para diferentes intensidades turbulentas considerando as três velocidades de
entrada no canal

Fonte: Elaborada pelo autor.

A partir das Tabelas 4,5, nota-se que conforme se aumenta a intensidade turbulenta, o ponto



48

Tabela 4 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para diferentes
intensidades turbulentas para uma velocidade de 0,15 m/s na entrada do canal

Velocidade (m/s) 0,15
Intensidade turbulenta (%) 0,5 1 1,5

Ponto de separação (m) 0,5913 0,5973 0,6542
Ponto de recolamento (m) 0,9629 0,882 0,7502

Comprimento da bolha (m) 0,3716 0,2847 0,096
Fonte: Elaborada pelo autor.

Tabela 5 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para diferentes
intensidades turbulentas para uma velocidade de 0,25 m/s na entrada do canal

Velocidade (m/s) 0,25
Intensidade turbulenta (%) 0,5 1

Ponto de separação (m) 0,5733 0,6003
Ponto de recolamento (m) 0,8281 0,7891

Comprimento da bolha (m) 0,2548 0,1888
Fonte: Elaborada pelo autor.

Tabela 6 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para diferentes
intensidades turbulentas para uma velocidade de 0,30 m/s na entrada do canal

Velocidade (m/s) 0,30
Intensidade turbulenta (%) 0,5 1

Ponto de separação (m) 0,5703 0,6183
Ponto de recolamento (m) 0,7921 0,7741

Comprimento da bolha (m) 0,2218 0,1558
Fonte: Elaborada pelo autor.

de separação da camada limite ocorre a uma posição mais a jusante do canal, enquanto o ponto de
recolamento ocorre em uma posição mais antecipada do canal. Portanto, conforme se aumenta a
intensidade turbulenta, o comprimento da bolha de separação diminui, sendo que para intensidades
turbulentas mais elevadas não existe mais bolha, ou seja, a bolha de separação desaparece.

3.2.2.2 Contornos de velocidade

Plotou-se ainda os contornos da componente da velocidade na direção x conforme se aumenta a
intensidade turbulenta. Assim, fixando a intensidade turbulenta em 0,5% e variando a velocidade para
os valores de 0,15 m/s, 0,25 m/s e 0,30 m/s, tem-se um desses casos apresentado na Figura 50, sendo
que normalizando as velocidades máxima e mínima para o contorno apresentado pela velocidade de
entrada tem-se os resultados de -0,1465 e 4,6407, de modo que para o caso de 0,25 m/s o contorno de
velocidade normalizado pela velocidade de entrada do canal está na faixa de -0,1465 até 4,512. Já para
o caso de 0,30 m/s o contorno de velocidade normalizado varia de -0,1756 até 4,4967.

Em seguida, fixando a intensidade turbulenta em 1% e variando a velocidade, tem-se o contorno
apresentado na Figura 51, de modo que esse contorno normalizado pela velocidade de entrada varida
de -0,1288 até 4,594. Assim, para esse mesmo valor de intensidade turbulenta e uma velocidade de
0,25 m/s, o contorno de velocidade normalizado está na faixa entre -0,1429 e 4,496, enquanto para



49

Figura 50 – Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 0,5 % e uma velocidade de 0,15
m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

uma velocidade de 0,30 m/s o contorno de velocidade possui valores de máximo e mínimo de -0,1762
e 4,4733, respectivamente.

Figura 51 – Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de 0,15
m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Para a intensidade turbulenta de 1,5 % tem-se o contorno de velocidade da Figura 52 referente à



50

uma velocidade de 0,15 m/s, sendo que esse contorno normalizado pela velocidade de entrada de 0,15
m/s varia da faixa de -0,0576 até 4,5487. No caso da velocidade de 0,25 m/s, o contorno de velocidade
normalizado varia de -0,1377 até 4,468. Já para 0,30 m/s, o contorno de velocidade normalizado está
na faixa entre -0,1609 até 4,4733.

Figura 52 – Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 1,5 % e uma velocidade de 0,15
m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Por fim, para uma intensidade turbulenta de 2 %, onde já não existe bolha de separação para
nenhuma das velocidades, tem-se o contorno de velocidade da Figura 53, sendo que esse contorno
normalizado pela velocidade de entrada de 0,15 m/s varia de -0,0520 até 4,55. Nesse caso, para a
velocidade de 0,25 m/s, o contorno de velocidade normalizado varia de -0,1376 até 4,46. Já para a
velocidade de entrada de 0,30 m/s, o contorno de velocidade normalizado varia de -0,1923 até 4,43.

Considerando os gráficos da Figura 50-Figura 53, além dos demais casos descritos para as diferentes
velocidades, tem-se que, conforme se aumenta a velocidade na entrada do canal, a velocidade na
direção x aumenta. Além disso, aumentando a intensidade turbulenta, a velocidade na direção x

diminui.

3.2.2.3 Streamline de velocidade e bolha de separação

Além do contorno de velocidade, plotou-se a streamline colorida de acordo com a velocidade
na direção x, de modo que fosse possível visualizar a bolha de separação a partir dessas imagens,
aplicando ainda um zoom na bolha de separação para facilitar a visualização.

Fixando a intensidade turbulenta em 0,5 % e variando a velocidade, tem-se o caso para 0,25
m/s, onde a streamline é apresentada na Figura 54, de modo que essa intensidade turbulenta é a que
apresenta o maior comprimento da bolha, sendo possível visualizá-la na Figura 55.



51

Figura 53 – Contorno de velocidade para um intensidade turbulenta de 2 % e uma velocidade de 0,15
m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 54 – Streamline da velocidade para um intensidade turbulenta de 0,5 % e uma velocidade de
0,25 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Para o caso da intensidade turbulenta de 1 %, tem-se os casos para as três velocidades apresentados
da Figura 56-Figura 59, de modo que é possível observar por meio das imagens do zoom da bolha que,
conforme se aumenta a velocidade, o comprimento da bolha diminui.



52

Figura 55 – Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 0,5 % e uma velocidade de 0,25 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 56 – Streamline da velocidade para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de 0,15
m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 57 – Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de 0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Já no caso da intensidade turbulenta de 1,5 %, plotou-se a streamline para velocidade de 0,15
m/s, sendo essa a única em que existe a formação da bolha para essa intensidade turbulenta, sendo
os gráficos apresentados na Figura 60 e na Figura 61. Assim, nota-se que conforme a intensidade
turbulenta aumenta, o comprimento da bolha diminui.

Desta forma, observando os gráficos da Figura 50-Figura 61 é possível visualizar a bolha de
separação para os diferentes casos, corroborando o que foi apresentado na Seção 3.2.2.1 e nas Tabelas
4, 5 e 6, de que o aumento da velocidade faz com que haja a redução do comprimento da bolha, devido



53

Figura 58 – Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de 0,25 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 59 – Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1 % e uma velocidade de 0,30 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 60 – Streamline da velocidade para um intensidade turbulenta de 1,5 % e uma velocidade de
0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

ao aumento do gradiente de pressão adverso e que o aumento da intensidade turbulenta também reduz
o comprimento da bolha.

3.2.2.4 Perfis de velocidade

Considerando a velocidade na entrada do canal fixa e variando a intensidade turbulenta, plotou-se
os perfis da velocidade na direção x (u) em função da posição y para uma posição x fixa do canal.



54

Figura 61 – Bolha de separação para um intensidade turbulenta de 1,5 % e uma velocidade de 0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Assim, extraiu-se quatro perfis para cada velocidade sendo esses nas seguintes posições: x = 0,5913 m,
que representa o início da bolha para uma intensidade turbulenta de 0,5 % e velocidade de 0,15 m/s; x
= 0,7771 m, que representa o meio da bolha para uma intensidade turbulenta de 0,5 % e velocidade de
0,15 m/s; x = 0,87 m, x = 0,9629 m, que representa o final da bolha para uma intensidade turbulenta de
0,5 % e velocidade de 0,15 m/s.

Os resultados dos perfis de velocidade obtidos são apresentados da Figura 62-Figura 64.

Figura 62 – Perfis de velocidade para diferentes intensidades turbulentas com uma velocidade fixa de
0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 63 – Perfis de velocidade para diferentes intensidades turbulentas com uma velocidade fixa de
0,25 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor



55

Figura 64 – Perfis de velocidade para diferentes intensidades turbulentas com uma velocidade fixa de
0,30 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

A partir da Figura 62, observa-se que existe escoamento reverso, o qual surge devido ao aumento
do gradiente de pressão adverso, nos perfis em x = 0,7771 m para as intensidades turbulentas de 0,5 %
e 1 % e em x = 0,87 m para intensidade turbulenta de 0,5 %.

Na Figura 63 nota-se que existe escoamento reverso apenas na posição x = 0,7771 m para intensi-
dade turbulenta de 0,5 %.

Já no caso da Figura 64 não existe escoamento reverso para nenhum dos perfis analisados.
Desta forma, a partir da Figura 62-Figura 64, nota-se que o aumento da velocidade, assim como o

aumento da intensidade turbulenta, geram a redução do escoamento reverso, o qual não é possível de
ser visualizado em determinadas velocidades e intensidades turbulentas.

3.2.3 Variação do ângulo de divergência

Uma última análise realizada foi a variação do ângulo de divergência do canal, simbolizado
por β, de modo a visualizar o efeito dessa variação na bolha. Logo, realizou-se simulações para
β = 4◦, β = 6◦ e β = 8◦. Os resultados obtidos para a variação do ângulo β são apresentados da
Figura 65-Figura 68.

A partir da Figura 65-Figura 68, é possível obter os pontos de separação e de recolamento da
camada limite, assim como o comprimento da bolha para cada ângulo analisado, sendo esses parâmetros
apresentados na Tabela 7.

Tabela 7 – Pontos de separação e recolamento e comprimento da bolha de separação para diferentes
ângulos de divergência do canal convergente-divergente

Ângulo de divergência (º) 4 6 8
Ponto de separação (m) 0,5913 0,4983 0,4534

Ponto de recolamento (m) 0,9629 0,9375 -
Comprimento da bolha (m) 0,3716 0,4392 -

Fonte: Produção do Próprio Autor.

Considerando a Figura 65-Figura 68 e a Tabela 7, nota-se que conforme se aumenta o ângulo de
divergência, os pontos de separação e recolamento da camada limite ocorrem em uma posição mais



56

Figura 65 – Distribuição do coeficiente de atrito Cf para diferentes ângulos de divergência com uma
velocidade fixa de 0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 66 – Distribuição do coeficiente de pressão Cp para diferentes ângulos de divergência com uma
velocidade fixa de 0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

Figura 67 – Distribuição da derivada ∂u
∂y

para diferentes ângulos de divergência com uma velocidade
fixa de 0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

antecipada do canal, de modo que o comprimento da bolha diminua com o aumento do ângulo. A
redução do comprimento da bolha com o aumento do ângulo de divergência é explicada devido ao



57

Figura 68 – Distribuição da vorticidade para diferentes ângulos de divergência com uma velocidade
fixa de 0,15 m/s

Fonte: Elaborada pelo autor

aumento do gradiente de pressão adverso.
Além disso, para β = 8◦, é possível identificar o ponto de separação, ou seja, o início da bolha,

mas não existe o ponto de recolamento da camada limite, não sendo possível extrair o comprimento da
bolha.



58

4 CONCLUSÃO

No desenvolvimento desse trabalho, estudou-se os diferentes modelos de turbulência, verificando
como tais modelos interferem nas propriedades do escoamento e na bolha de separação, de modo
que foi o escolhido o modelo k-ω SST para realização das simulações, uma vez que esse modelo se
mostrou mais preciso e adequado para o prosseguimento das análises.

Concomitantemente, estudou-se o efeito da variação de determinados parâmetros na bolha de
separação, observando que o aumento da velocidade na entrada do canal, de modo que foram analisadas
três velocidades, faz com que o ponto de separação ocorra em uma posição mais a montante do canal,
reduzindo ainda o comprimento da bolha, sendo isso ocasionado devido ao aumento do gradiente de
pressão adverso. Já com o aumento da intensidade turbulenta, onde foram analisados três valores
dessa propriedade, a separação da camada limite ocorre em uma posição mais a jusante do canal e o
recolamento em uma posição mais a montante, havendo ainda a redução do comprimento da bolha, de
modo que em um valor de intensidade turbulenta não é possível observar a formação da bolha. Assim,
a intensidade turbulenta pode ser um mecanismo de controle da bolha.

Além das propriedades do escoamento, estudou-se os contornos de velocidade, as streamlines e os
perfis para diferentes velocidades e intensidades turbulentas, observando que o aumento da intensidade
turbulenta reduz a velocidade na direção x do canal, enquanto o aumento da velocidade na entrada
do canal aumenta a velocidade u. Outro fenômeno observado, é que o aumento da velocidade e da
intensidade turbulenta induz na redução do nível de escoamento reverso.

Outra análise realizada foi da variação do ângulo de divergência β do canal, considerando três
valores β, de forma que conforme se aumenta o ângulo β, existe um aumento do gradiente de pressão
adverso, ocasionando a redução do comprimento da bolha. Além disso, observou-se ângulos de
divergência β superiores a 8◦, o escoamento separa, no entanto, não se observou o recolamento.



59

REFERÊNCIAS

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	3c28d03ac93be3e749fb69c34fe08c8e2531612f7526b89d75e499e737cc4c07.pdf
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	Camada limite
	Camada limite sobre uma placa plana
	Influência do gradiente de pressão sobre a camada limite
	Separação da camada limite

	Bolhas de Separação Laminar
	Bolhas de separação laminar curta
	Bolhas de separação laminar longa

	Modelos de turbulência
	Modelo k- SST 


	Desenvolvimento
	Metodologia
	Geometria
	Simulação sobre a placa plana
	Análise dos modelos de turbulência
	Análise da convergência de malha do canal convergente-divergente

	Resultados e Discussão
	Análise da variação da velocidade de entrada do canal convergente-divergente
	Análise da variação da intensidade turbulenta
	Propriedades
	Contornos de velocidade
	Streamline de velocidade e bolha de separação
	Perfis de velocidade

	Variação do ângulo de divergência


	Conclusão
	Referências