UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Câmpus de Ilha Solteira Fabrício Ely Gossler Projeto de Bancos de Filtros Wavelet Quase-Ortogonais Simétricos e de Suporte Compacto Baseado no Processo de Ortogonalização Wavelet Ilha Solteira 2021 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Câmpus de Ilha Solteira Fabrício Ely Gossler Projeto de Bancos de Filtros Wavelet Quase-Ortogonais Simétricos e de Suporte Compacto Baseado no Processo de Ortogonalização Wavelet Tese apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira - UNESP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Orientador: Dr. Francisco Villarreal Alvarado Ilha Solteira 2021 À minha querida mãe, uma verdadeira guerreira. Ao meu irmão. Agradecimentos Gostaria de agradecer a Deus, em sua absoluta expressão Jesus Cristo, pela vida e a força dada até aqui. Agradeço a Ele também por me rodear de pessoas incríveis, a quem agradeço sinceramente: – professor Dr. Francisco Villarreal, pela orientação, contribuição, incentivo e apoio das ideias propostas neste trabalho. Agradeço também pela oportunidade e confi- ança; – professor Dr. Marco Aparecido Queiroz Duarte que, como grande incentivador deste estudo, também me orientou dedicadamente neste trabalho. Acompanhou e contri- buiu imensamente ao longo de toda a jornada, sempre incentivando o desenvolvi- mento de novas ideias; – membros da banca examinadora, professores Drs. Jozue Vieira Filho, Ricardo Tokio Higuti, Cristiano Quevedo Andrea e Caio Cesar Enside de Abreu, pelas sugestões valiosas; – laboratório de processamento de sinais e instrumentação (LabPSI - FEIS - UNESP), por ter fornecido os sinais utilizados em uma das aplicações exploradas neste traba- lho; – todos os professores e funcionários do PPGEE e da biblioteca FEIS; – amigos e colegas do PPGEE, Bruno, Julio, Natalia, Patrícia e Monara e todos os outros, cuja amizade foi tão significativa quanto os nomes citados; – amigos que fiz em Ilha Solteira - SP, João Batista, André, Alan, Rafael e Lucas, pela colaboração e momentos de descontração igualmente importante para a realização deste trabalho; – todos os amigos que, independentemente de terem sido citados, direta ou indireta- mente contribuíram para a realização deste trabalho; – minha família, pelo incentivo e apoio, especialmente à minha mãe e ao meu irmão. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. Agradeço à CAPES pelo suporte financeiro concedido. Uma única chance é uma galáxia de esperança. Star wars: a guerra dos clones RESUMO A análise wavelet baseada em um banco de filtros de dois canais tem sido usada com frequência em várias aplicações. O algoritmo utilizado para tal propósito é a transfor- mada wavelet rápida, que permite obter os coeficientes wavelet a partir da decompsição de um sinal de tempo discreto. Neste caso, o resultado dessa decomposição depende dire- tamente dos filtros wavelet escolhidos para tal análise. Geralmente, os filtros ortogonais e biortogonais, de suporte compacto, são os mais utilizados para esse fim, pois fornecem a propriedade de perfeita reconstrução. Entretanto, as propriedades de ortogonalidade e biortogonalidade podem implicar em distorções de fase e ganho, respectivamente. Dessa forma, utilizando-se tais bases, a análise wavelet de um sinal pode ser comprometida de- vido a essas distorções. Por meio das wavelets quase-ortogonais, as distorções de fase e ganho podem ser praticamente anuladas. Entretanto, para obter tal vantagem é preciso permitir que tais bases apresentem desvios de ortogonalidade, o que implica em erros no processo de reconstrução do sinal. Neste trabalho é proposto um novo método para projetar bancos de filtros wavelet quase-ortogonais, simétricos e de suporte compacto, sendo baseado na metodologia proposta para extrair filtros semi-conjugados a partir de uma wavelet não-ortogonal. Ao contrário das estratégias adotadas pelos projetos clássi- cos, o método proposto permite projetar filtros wavelet de acordo com as especificações desejadas no domínio da frequência, satisfazendo tolerâncias mínimas de desvios de orto- gonalidade. Isso é possível por meio da função de Ely que pode ser vista como um filtro particular de Butterworth. As wavelets obtidas a partir dessa função podem ser carac- terizadas como versões relaxadas da wavelet ideal, conhecida como wavelet de Shannon. Para os filtros wavelet obtidos, os desvios de ortogonalidade podem ser minimizados em função do aumento da ordem dos seus coeficientes. A fim de testar as wavelets propostas, três aplicações diferentes são exploradas neste trabalho. Tais aplicações envolvem os te- mas de monitoramento de integridade estrutural, compressão de imagens e classificação de distúrbios de tensão em sistemas elétricos de potência. Para essa última aplicação, é apresentado um novo método para construir vetores wavelet característicos utilizando a transformada wavelet contínua. Tal método implica melhores resultados quando com- parado com outras técnicas utilizadas na literatura especializada. Os resultados obtidos pelas wavelets de Ely são significativos quando comparados com os resultados de outras wavelets clássicas. Palavras-chave: Banco de filtros wavelet. Filtros wavelet simétricos. Transformada wa- velet rápida. Wavelets de suporte compacto. Wavelets quase-ortogonais. ABSTRACT Wavelet analysis based on a two-channel filter bank has been frequently used in several applications. The algorithm used for this purpose is the fast wavelet transform, which allows to obtain the wavelet coefficients from a discrete time signal decomposition. In this case, the result of this decomposition depends directly on the choices of wavelet filters for such analysis. Generally, orthogonal and biorthogonal compactly support wavelet filters are the most used for this purpose, since they provide the perfect reconstruction property. However, orthogonality and biortogonality properties can result in phase and gain distortions, respectively. Thus, using such bases, the signal analysis in the wavelet domain can be compromised due to these distortions. Through nearly-orthogonal wavelet filters, phase and gain distortions can be practically eliminated. However, to obtain such an advantage it is necessary to allow such bases to present orthogonality deviations, which imply errors in the signal reconstruction process. In this work, a new method is proposed to design symmetrical and compactly support nearly-orthogonal wavelet filter banks, which is based on the proposed methodology to extract semi-conjugate filters from a non-orthogonal wavelet. Unlike the classical design methods, the proposed method allows the design of wavelet filters according to the desired specifications in frequency domain, satisfying minimum orthogonality deviations tolerances. This is possible through the Ely function that can be seen as a particular Butterworth filter. The wavelets obtained from this function can be characterized as relaxed versions of the ideal wavelet, known as Shannon wavelet. For the obtained wavelet filters, the orthogonality deviations can be minimized due to the increase in their coefficients. In order to test the proposed wavelets, three different applications are explored in this work. Such applications involve the topics of structural health monitoring, image compression and voltage disturbances classification in electrical power systems. For this last application, a new method to construct wavelet feature vectors using the continuous wavelet transform is presented. Such a method implies better results when compared to other ones proposed in the specialized literature. Results obtained by Ely wavelets are significant when compared to the results of other classical wavelets. Keywords: Wavelet filter bank. Symmetrical wavelet filters. Fast wavelet transform. Compactly support wavelets. Nearly-orthogonal wavelets. Lista de ilustrações Figura 1 – Formas de onda das wavelets de (a) Haar; (b) Morlet; (c) Mexican hat e (d) Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Figura 2 – Representação em diagrama de blocos da FWT . . . . . . . . . . . . . 33 Figura 3 – Resultados obtidos pelo filtro semi-conjugado OQB. (a) Espectro de magnitude. (b) Desvio de ortogonalidade. Função escala. (d) Função wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Figura 4 – Resultados obtidos pelo filtro semi-conjugado NO5b. (a) Espectro de magnitude. (b) Desvio de ortogonalidade. (c) Função escala. (d) Função wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Figura 5 – Resultados obtidos pelo filtro semi-conjugado ER3. (a) Espectro de magnitude. (b) Desvio de ortogonalidade. (c) Função escala. (d) Função wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Figura 6 – Atraso de grupo dos filtros wavelet ortogonais passa-baixa de decom- posição: db10, db30, sym10, sym30, coif2 e coif5 . . . . . . . . . . . . . 45 Figura 7 – Espectro de magnitude dos filtros wavelet biortogonais passa-baixa (li- nha contínua) e passa-alta (linha tracejada) de decomposição: bior2.2, bior2.4, bior3.3, bior3.9, bior4.4, bior6.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Figura 8 – Processo de quase-ortogonalização wavelet . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Figura 9 – Mexican hat quase-ortogonalizada no domínio do (a) tempo e da (b) frequência. Mexican hat no domínio do (c) tempo e da (d) frequência. . 51 Figura 10 – Wavelets Meyer (traço preto), Battle-Lemarié (traço azul) e Mexican hat quase-ortogonalizada (traço vermelho) nos domínios (a) tempo e (b) frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 11 – Resultados obtidos pelo filtro Mexican hat. (a) ODF para L = 69. (b) MOD para cada valor de L considerado 9 ≤ L ≤ 97 . . . . . . . . . . . 54 Figura 12 – Espectros de magnitude dos filtros OQB , NO5b e ER3. Magnitudes em dB. (a) Faixa de passagem. (b) Faixa de rejeição . . . . . . . . . . 55 Figura 13 – Especificações do filtro semi-conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Figura 14 – Wavelets Gaussianas quase-ortogonais ψ#N gs (t) para N = 1, ..., 16. As amplitudes foram normalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Figura 15 – Gráficos de (a) ΘN gs(Ω) e (b) dos respectivos espectros de magnitudes dos filtros semi-conjugados HgsN(ω) para N = 1, ..., 16 . . . . . . . . . 60 Figura 16 – Função de distribuição de probabilidade contínua . . . . . . . . . . . . 62 Figura 17 – Espectro de potência de um filtro de Butterworth . . . . . . . . . . . . 63 Figura 18 – Gráficos de (a) Θely(α,Ω) e (b) dos respectivos espectros de magnitude dos filtros semi-conjugados Helyα(ω) para 0,5 ≤ α ≤ 5 . . . . . . . . . . 65 Figura 19 – Espectro de magnitude do filtro ely3,0L para L = 45, 65, 89 . . . . . . . 66 Figura 20 – Formas de onda das wavelets de Ely de acordo com α (amplitudes normalizadas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Figura 21 – (a) Formas de onda das wavelets ely0,529 (linha preta) e db1/Haar (linha tracejada vermelha) e (b) seus respectivos espectros de magnitude 68 Figura 22 – Resultados do MIOD apresentado pelo filtro semi-conjugado e do MIOD estimado para 0,5 ≤ α ≤ 1,5. Valores dados em dB . . . . . . . . . . . 71 Figura 23 – Fluxograma da metodologia proposta para o projeto de um BFWQO . 73 Figura 24 – Sinal discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Figura 25 – Sinal original (preto) e o sinal de aproximação via SWT (vermelho) por ely1,57425 (primeira linha), coif4 (segunda linha), db10 (terceira linha), sym10 (quarta linha) and bior3.9 (última linha). . . . . . . . . . . . . . 76 Figura 26 – Comparação entre as wavelets de Coiflets e de Ely . . . . . . . . . . . . 79 Figura 27 – Circuito elétrico para medir a tensão de resposta do PZT . . . . . . . . 81 Figura 28 – Esquema PZT/estrutura usada no procedimento experimental. Medi- das dadas em milímetro (mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Figura 29 – Resposta temporal da estrutura íntegra (preto) e com dano simulado (vermelho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Figura 30 – Impedância do PZT referente a estrutura íntegra (preto) e com dano simulado (vermelho) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 Figura 31 – Resultados do CCDM obtido pelas wavelets (a) dbN , symN e coifN e (b) elyαL para cada valor de N , α e Lλδ considerado. A linha tracejada indica o valor do CCDM calculado no domínio do tempo . . . . . . . . 87 Figura 32 – Processo de decomposição da FWT-2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 Figura 33 – Formas de onda da operação normal e dos distúrbios explorados neste trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Figura 34 – Escalogramas da operação normal e dos distúrbios de tensão explorados neste trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 Figura 35 – Coeficientes normalizados da CWT nas escalas s1 = 208 (coluna es- querda), s2 = 69,33 (coluna central) e s3 = 41,60 (coluna direita) . . . 96 Figura 36 – Metodologia proposta para a construção de vetores característicos . . . 98 Figura 37 – Intervalos dos sinais de distúrbios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Figura 38 – Projeção bidimensional de F2vi considerando (a) sinais puros e (b) si- nais ruidosos (20 dB) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Lista de tabelas Tabela 1 – Filtro semi-conjugado de uma wavelet OQB. . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tabela 2 – Coeficientes do filtro semi-conjugado referente a NO5b. . . . . . . . . . 41 Tabela 3 – Coeficientes do filtro hmh[k] para hmh[k] > 10−3. . . . . . . . . . . . . . 51 Tabela 4 – Desvios de ortogonalidade dos filtros semi-conjugados das wavelets OQB, NO5b e ER3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Tabela 5 – Características de banda dos filtros conjugados e semi-conjugados re- ferentes a algumas wavelets ortogonais e quase-ortogonais. . . . . . . . 56 Tabela 6 – Caracterização do filtro semi-conjugado Mexican hat hmhL [k]. . . . . . 57 Tabela 7 – Resultados dos filtros semi-conjugados gsNL para N = 1, . . . , 16. . . . . 59 Tabela 8 – Valores de dispersões de ΘN gs(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tabela 9 – Resultados obtidos pelos filtros semi-conjugados para diferentes valores de γ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Tabela 10 – Resultados dos filtros semi-conjugados de Ely para diferentes valores de α. O simbolo ∞ é referente a um valor consideravelemnte grande (não necessariamente infinito). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tabela 11 – Resoluções de tempo e frequência das wavelets de Ely. . . . . . . . . . 69 Tabela 12 – Resoluções de tempo e frequência referente a wavelet ely1,0L para di- ferentes valores de L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Tabela 13 – MSE entre o sinal original e o sinal filtrado. . . . . . . . . . . . . . . . 77 Tabela 14 – MSE entre o sinal original e o sinal reconstruído utilizando os filtros ely1,574L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Tabela 15 – Coeficientes de alguns filtros semi-conjugados elyαL em comparação com os filtros conjugados coifN , para N = 1, 2, 3, 4. . . . . . . . . . . . 78 Tabela 16 – Faixas de frequência relativas aos coeficientes de detalhes para cada nível de decomposição. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Tabela 17 – Valores do CCDM para as wavelets com melhores desempenho em cada família considerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Tabela 18 – Valores médios da PSNR para cinco imagens de 512x512 pixels com suas respectivas taxas de compressão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 Tabela 19 – Desvios de ortogonalidade das wavelets quase-ortogonais. . . . . . . . . 91 Tabela 20 – Modelo matemático dos distúrbios de tensão. . . . . . . . . . . . . . . 99 Tabela 21 – Resultados da classificação em termos de porcentagem usando diferen- tes famílias de wavelets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Tabela 22 – Comparação de desempenho de resultados de classificação. . . . . . . . 103 Tabela 23 – Resultados obtidos pelas wavelets de Ely para diferentes tamanhos de suporte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Tabela 24 – Resultados da classificação considerando sinais ruidosos. . . . . . . . . 105 Lista de abreviaturas e siglas BWFB Banco de filtros wavelet biortogonal - Biorthogonal wavelet filter bank CCDM Métrica de desvio do coeficiente de correlação - Correlation coefficient deviation metric CMF Filtros conjugados espelhados - Conjugate mirror filter CWT Transformada wavelet contínua - Continuous wavelet transform dB Decibels DTFT Transformada de Fourier de tempo discreto - Discrete time Fourier transform DWT Transformada wavelet discreta - Discrete wavelet transform EMI Impedância eletromecânica - Electromechanical impedance ER3 Wavelet quase-ortogonal com 3 momentos nulos FIR Resposta ao impulso com duração finita - Finite impulse response FRF Função de resposta em frequência - Frequency response function FT Transformada de Fourier - Fourier transform FWT Transformada wavelet rápida - Fast wavelet transform IIR Resposta ao impulso com duração infinita - Infinite impulse response JPEG Joint photographic experts group MIOD Mínimo desvio de ortogonalidade - Minimum orthogonality deviation MOD Máximo desvio de ortogonalidade - Maximum orthogonality deviation MRA Análise de multirresolução - Multiresolution analysis MSE Erro médio quadrático - Mean squared error NOβ Wavelet quase-ortogonal com β momentos nulos NOWFB Banco de filtros wavelet quase-ortogonal - Nearly-orthogonal wavelet flter bank ODF Função desvio de ortogonalidade - Orthogonality deviation function OQB Optimum quasi-biorthogonal wavelets OWFB Banco de filtros wavelet ortogonal - Orthogonal wavelet flter bank PCC Condição complementar de potência - Power complementary condition PSNR Relação sinal-ruído de pico - Peak signal noise ratio PZT Titanato zirconato de chumbo - Pb-lead zirconate titanate QEE Qualidade de energia elétrica QMF Filtros de quadratura espelhada - Quadrature mirror filters SHM Monitoramento de integridade estrutural - Structural health monitoring STFT Transformada de Fourier para tempo curto - Short time Fourier trans- form SWT Transformada wavelet estacionária - Stationary wavelet transform WPT Transformada wavelet packet - Wavelet packet transform WQOP Processo de quase-ortogonalização wavelet - Wavelet quasi-orthogona- lization process Lista de símbolos ψ(t) Função wavelet R Conjunto dos números reais L2(R) Espaço das funções contínuas de energia finita cψ Valor da condição de admissibilidade de ψ Ψ(Ω) Transformada de Fourier da função wavelet ψha Wavelet de Haar ψmo Wavelet de Morlet ψmh Wavelet Mexican hat ψsh Wavelet de Shannon ψs,τ (t) Função wavelet escalonada por s e transladada por τ s Parâmetro de escala τ Parâmetro de translação xc(t) Sinal de tempo contínuo W ψ xc (s, τ) Transformada wavelet contínua de xc(t) fs Frequência associada a escala s η Frequência central de uma wavelet Ts Período de amostragem W ψ xc [m, k] Transformada wavelet discreta de xc(t) Z Conjunto dos números inteiros Vm Espaço vetorial do conjunto de todas as aproximações na resolução m θ(t) Função escala não-ortogonal φ(t) Função escala ortogonal PVm (xc) Projeção ortogonal de xc no espaço Vm am[k] Coeficiente de aproximação no nível m Θ(Ω) Transformada de Fourier da função escala não-ortogonal Φ(Ω) Transformada de Fourier da função escala ortogonal h[k] Filtro conjugado H(ω) Transformada de Fourier de tempo discreto do filtro conjugado Wm Espaço vetorial do conjunto de todas os detalhes na resolução m H∗ Complexo conjugado de H G(ω) Transformada de Fourier de tempo discreto do g dm[k] Coeficiente de detalhe no nível m g[k] Filtro passa-alta no domínio do tempo ↓ 2 Operador downsampling ↑ 2 Operador upsampling x[n] Sinal de tempo discreto ℓ2(Z) Espaço de sinais discretos de energia finita N Número de momentos nulos de uma wavelet dbN Wavelet de Daubechies com N momentos nulos symN Wavelet de Symmlets com N momentos nulos coifN Wavelet de Coiflets com 2N momentos nulos biorNr.Nd Wavelet Splines com Nr e Nd momentos nulos para a decomposição e reconstrução, respectivamente δ[n] Impulso unitário H(z) Transformada z do filtro conjugado Γh(ω) Atraso de grupo do filtro h ψ# Versão quase-ortogonalizada de ψ hL[k] Filtro semi-conjugado de ordem L DHL (ω) Função desvio de ortogonalidade δH[L] Máximo desvio de ortogonalidade apresentado pelo filtro hL δHmin Mínimo desvio de ortogonalidade apresentado pelo filtro semi-conjugado h ωp Frequência de passagem Ap Ganho mínimo da banda passante ωs Frequência de rejeição As Ganho máximo na banda de rejeição ∆ω Largura na faixa de transição ǫδ Tolerância do MOD permitido Lδλ Comprimento mínimo que satisfaz a tolerância ǫδ ǫπ Tolerância do máximo valor permitido em H(π) Lπλ Comprimento mínimo que satisfaz a tolerância ǫπ gausN Wavelet Gaussiana com N momentos nulos gsNL Filtro semi-conjugado de comprimento L obtido a partir de gausN σ2 Variância Ωi Ponto de inflexão Θely(α,Ω) Função de Ely α Parâmetro que controla a largura na faixa de transição do filtro semi- conjugado de Ely elyαL Filtro semi-conjugado de comprimento L obtido pela função de Ely µ Localização no tempo ϑ Localização na frequência σt Dispersão no tempo σΩ Dispersão na frequência w Coeficientes wavelet X[n, p] Sinal discreto bidimensional (imagem) ζ Limiar universal ρ Perfil de ruído na imagem Pk Máximo valor possível de um pixel fN Frequência natural da tensão elétrica Ev(sk) Energia dos coeficientes da CWT Fv Vetor wavelet característico Sumário 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2 OBJETIVOS E ORGANIZAÇÃO DA TESE . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ANÁLISE WAVELET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1 WAVELETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 ANÁLISE DE MULTIRRESOLUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 BANCO DE FILTROS WAVELET . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1 FILTROS WAVELET ORTOGONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 FILTROS WAVELET BIORTOGONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 FILTROS WAVELET QUASE-ORTOGONAIS . . . . . . . . . . . . . 38 3.3.1 Exemplos de wavelets quase-ortogonais . . . . . . . . . . . . . . 38 3.4 DISTORÇÕES DOS FILTROS WAVELET . . . . . . . . . . . . . . . 43 4 PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 47 4.1 MÉTODO PROPOSTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1 Versão quase-ortogonalizada da wavelet Mexican hat . . . . . 49 4.2 CARACTERIZAÇÃO DOS FILTROS SEMI-CONJUGADOS . . . . . 51 4.2.1 Quantificação dos desvios de ortogonalidade . . . . . . . . . . . 53 4.2.2 Especificações da resposta em frequência . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.3 Tolerâncias de desvios de ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 FILTROS SEMI-CONJUGADOS A PARTIR DAS GAUSSIANAS . . 58 5 PROJETO DE BANCOS DE FILTROS WAVELET QUASE- ORTOGONAIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1 WAVELETS DE ELY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1.1 Função de Ely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5.1.2 Resultados obtidos a partir da função de Ely . . . . . . . . . . 64 5.1.3 Resolução tempo-frequência das wavelets de Ely . . . . . . . . 68 5.2 MÉTODO PROPOSTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.2.1 Exemplo: transformada wavelet estacionária . . . . . . . . . . . 74 5.3 COMPARAÇÕES COM AS WAVELETS COIFLETS . . . . . . . . . 77 6 APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1 SISTEMAS SHM E WAVELETS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.1.1 Método explorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.1.1.1 Contexto dos sinais analisados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 6.1.1.2 Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.2 COMPRESSÃO DE IMAGENS E WAVELETS . . . . . . . . . . . . 88 6.2.1 Método explorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2.1.1 Métrica de avaliação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.2.1.2 Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 7 CLASSIFICAÇÃO DE DISTÚRBIOS DE TENSÃO . . . . . . 92 7.1 EXTRAÇÃO DE CARACTERÍSTICAS NO DOMÍNIO WAVELET . 92 7.2 MÉTODO PROPOSTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 7.3 SIMULAÇÃO E ANÁLISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 7.3.1 Geração dos sinais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3.2 Construção dos vetores característicos . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.3.3 Estágio da Classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.3.4 Resultados e Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 7.4 COMPARAÇÃO DE DESEMPENHO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 7.5 RESULTADOS CONSIDERANDO RUÍDOS . . . . . . . . . . . . . . 105 8 CONCLUSÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 8.1 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . 109 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 19 1 INTRODUÇÃO A análise do conteúdo de informação de um sinal no domínio do tempo não é uma tarefa fácil, uma vez que características como singularidades e transitórios podem ser confundidos como componentes de alta frequência do mesmo. No entanto, no contexto de processamento de sinais, existem várias ferramentas práticas que podem ser utilizadas na análise de sinais. Tais ferramentas implicam na representação destes sinais em outros do- mínios, por meio de transformações matemáticas específicas (VETTERLI; KOVAČEVIĆ, 1995). Uma ferramenta clássica na análise de sinais é a transformada de Fourier (FT - Fourier Transform). Tal ferramenta é muito eficiente para a obtenção do conteúdo de frequência de um sinal (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). Historicamente, a série de Fou- rier é o primeiro exemplo de expansão de sinais periódicos, e começou a ser desenvolvida no início do século XIX por Jean Baptiste Joseph Fourier, tendo seu método publicado em 1822 no tratado Théorie Analytique de la Chaleur (FOURIER, 1822). Nesse trabalho, Fourier mostrou que uma ampla classe de sinais, incluindo todos os sinais com energia finita, podem ser representados como uma combinação de exponenciais complexas. Entre- tanto, tal ferramenta possui algumas limitações, ao ser utilizada para representar sinais não-estacionários ou sinais com descontinuidades e transitórios, como os descritos pelo fenômeno de Gibbs (HEWITT; HEWITT, 1979). Apenas com a análise de Fourier clássica não se pode determinar quando uma frequência particular ocorreu em um dado instante de tempo. Uma forma de localizar a ocorrência de frequências em um sinal é a utilização da transformada de Fourier para tempo curto (STFT - Short Time Fourier Transform) (GABOR, 1946). Essa transfor- mada é uma modificação da FT, que introduz uma função janela que se desloca ao longo do sinal, analisando cada parte separadamente. Desse modo, o resultado depende da escolha do tipo e do tamanho da janela utilizada. Para uma resolução boa no domínio do tempo é preciso uma janela estreita, e para obter uma boa resolução no domínio da frequência é preciso uma janela larga. Assim, a STFT é eficaz em sinais que não incluem estruturas com diferentes resoluções de tempo-frequência, ou seja, alguns sendo muito localizados no tempo e outros muito localizados na frequência (DAUBECHIES, 1992). Muitos sinais requerem uma abordagem mais versátil do que a STFT, onde é pre- ciso variar o tamanho da janela para determinar com precisão as características distintas do sinal. Logo, a deficiência da STFT está no fato de que ela é dependente da resolução fornecida pela janela, ou seja, da escala usada. A transformada wavelet (WT - Wavelet Transform) é uma alternativa de escolha para a STFT, e que de modo similar, permite decompor sinais em diferentes componentes de frequência associados a uma escala, por meio de suas funções básicas denominadas wavelets (MORLET et al., 1982; MORLET, Capítulo 1. INTRODUÇÃO 20 1983; GROSSMANN; MORLET, 1984). O termo wavelet significa “pequena onda” (small wave em inglês ou ondelette em francês). Tal ferramenta foi se inserindo de forma independente em diversas áreas: matemática (CALDERÓN, 1964), física (ASLAKSEN; KLAUDER, 1968) e engenharia (ESTEBAN; GALAND, 1977; SMITH; BARNWELL, 1984; VETTERLI, 1986). Uma das primeiras aplicações das wavelets foi na análise de sinais sísmicos por Morlet (1983). Desde então, as wavelets ganharam espaço em diversas áreas (ARNEODO; GRASSEAU; HOLSCHNEIDER, 1988; ANTONINI et al., 1992; GRINSTED; MOORE; JEVREJEVA, 2004; BANERJEE; MITRA, 2013; SHARMA; SUNKARIA, 2018). O conceito de wavelet em sua forma teórica atual foi proposto por Grossmann e Morlet em 1984 (GROSSMANN; MORLET, 1984). Os métodos de análise wavelet foram desenvolvidos principalmente por Yves Meyer, que garantiu sua disseminação (MEYER, 1985-1986). Por meio da formulação da análise de multirresolução (MRA - Multiresolution Analysis), a teoria wavelet se desenvolveu no entendimento e construção de novas bases wavelets (MEYER, 1986; MALLAT, 1989a). Em 1989, Mallat apresenta um algoritmo prático para analisar sinais de tempo discreto no domínio wavelet (MALLAT, 1989b). Tal algoritmo foi denominado mais tarde transformada wavelet rápida (FWT - Fast Wavelet Transform), constituindo a base para a implementação da transformada wavelet discreta (DWT - Discrete Wavelet Transform). A FWT representa os coeficientes wavelet ortogonais de um sinal medido em uma resolução finita. Tal ferramenta consiste em um banco de filtros digitais de dois canais que decompõe sinais em componentes de baixa e alta frequências, sendo ambos os re- sultados subamostrados por um fator de ordem dois. Bancos de filtros com tal estrutura foram estudados inicialmente por Croisier, Esteban e Galand em 1976, motivados pela compressão de sinais de voz (CROISIER; ESTEBAN; GALAND, 1976). Naquele traba- lho, os autores mostraram que é possível recuperar o sinal original utilizando uma classe específica de filtros chamados filtros de quadratura espelhada (QMF - Quadrature Mirror Filters). Mais tarde, em 1984, Smith, Barnwell e Mintzer encontraram condições necessá- rias e suficientes para obter filtros de resposta ao impulso com duração finita (FIR - Finite Impulse Response) que também implicam em perfeita reconstrução, sendo chamados de filtros conjugados espelhados (CMF - Conjugate Mirror Filters) (SMITH; BARNWELL, 1984; MINTZER, 1985). Da teoria da MRA prova-se que qualquer conjunto de filtros CMF (filtros wavelet) caracteriza uma wavelet ortogonal e que a FWT pode ser implementada por estes filtros (MALLAT, 1989b). Assim, se estabelece a relação entre wavelets, banco de filtros e MRA (VETTERLI; HERLEY, 1992). Na prática, os filtros wavelet são obtidos a partir de um filtro de tempo discreto que é denominado na literatura como filtro conjugado (MALLAT, 1999). Assim, por meio deste filtro é possível obter uma wavelet ortogonal que pode ser Capítulo 1. INTRODUÇÃO 21 utilizada na análise de um sinal via FWT ou pela transformada wavelet contínua (CWT - Continuous Wavelet Transform). A forma de onda da wavelet e o resultado da decomposição de um sinal via FWT dependem diretamente da escolha dos filtros wavelet. Existem vários que podem ser esco- lhidos para uma determinada análise. Do ponto de vista da teoria de banco de filtros wa- velet, as propriedades mais interessantes são ortogonalidade, simetria e suporte compacto (o que implica filtros do tipo FIR). Ortogonalidade implica na propriedade de perfeita reconstrução e preservação da energia dos coeficientes wavelet. A simetria da resposta impulsiva implica filtros com fase linear, ou seja, que não resultam em distorção de fase na decomposição. A propriedade de suporte compacto implica filtros do tipo FIR que têm a vantagem de baixa complexidade de implementação. Em 1988, Daubechies construiu o mais usado conjunto de bases wavelets ortogonais de suporte compacto (DAUBECHIES, 1988). A construção das wavelets de Daubechies é baseada nos clássicos filtros digitais MAXFLAT (HERRMANN, 1971), e que estão relacionados com interpoladores Lagrangeanos (SHENSA, 1992). Uma das desvantagens de se utilizar os filtros de Daubechies é que eles são altamente assimétricos. De fato, considerando wavelets ortogonais, não se pode obter propriedades de simetria e suporte compacto ao mesmo tempo (exceto para os filtros wavelets de Haar). Embora não seja possível obter filtros wavelet FIR ortogonais e simétricos, é pos- sível construir filtros wavelet ortogonais de suporte compacto que sejam aproximada- mente simétricos. Por exemplo, os filtros Symmlets são quase simétricos e são obtidos por meio de modificações da metodologia utilizada na obtenção dos filtros de Daube- chies (DAUBECHIES, 1993). Outro exemplo clássico de filtros wavelet quase simétricos são os filtros Coiflets, que também são frequentemente utilizados em diversas aplicações (HUANG; HSIEH, 2002; RODNEY TAN; LUM; MOK, 2006; HUGENSCHMIDT; KA- LOGEROPOULOS, 2009; DIXIT; MAJUMDAR, 2013; ZHANG et al., 2016; JAVADI; GHASEMZADEH, 2017). Outros exemplos (não tão populares) podem ser encontrados em Selesnick, Odegard e Burrus (1996), Abdelnour e Selesnick (2001), Murugesan e Tay (2012), Murugesan e Tay (2014). Filtros wavelet biortogonais são uma alternativa para o problema de simetria dos filtros ortogonais (COHEN; DAUBECHIES; FEAUVEAU, 1992; VETTERLI; HER- LEY, 1992). As wavelets biortogonais Splines são uma das mais utilizadas na literatura (COHEN; DAUBECHIES; FEAUVEAU, 1992). Para essa classe de filtros, é possível ob- ter a propriedade de simetria que também implica perfeita reconstrução. Para o caso biortogonal, as condições necessárias e suficientes foram estabelecidas por Vetterli (1986). Entretanto, uma das desvantagens é que os filtros de decomposição e reconstrução são diferentes. Assim, é necessário projetar dois filtros diferentes para um banco de filtros wavelet biortogonal. Outra desvantagem desses filtros é que eles não preservam a energia Capítulo 1. INTRODUÇÃO 22 dos coeficientes wavelet. Isso pode ser interpretado como ganhos variados nas faixas de passagem. De fato, os filtros wavelet ortogonais e biortogonais são os mais usados na litera- tura. Entretanto, existe uma outra classe de filtros wavelet que não é muito explorada: filtros wavelet quase-ortogonais. Geralmente, estes filtros são projetados a partir de um filtro que satisfaz aproximadamente a condição de um filtro conjugado (condição que caracteriza um banco de filtros wavelet ortogonal). Nete trabalho, tal filtro é denomi- nado semi-conjugado. Por meio deste, é possível obter filtros wavelet com propriedades de simetria e ganho aproximadamente constante na faixa de passagem. Em 1996, Jin, Luo e Wong projetaram o primeiro conjunto de filtros wavelet quase- ortogonais (JIN; LUO; WONG, 1996). Esses filtros foram utilizados no problema de can- celamento de eco, e os resultados obtidos foram superiores aos apresentados pelos filtros de Daubechies. Posteriormente, alguns desses filtros foram usados em aplicações que envol- viam simulações em salas acústicas e medição de tempo de vôo de ecos de pulso ultrassô- nico (WYK; VIROLLEAU, 1998; GRIMALDI, 2006). Zhao e Swamy (2000) propuseram uma metodologia para projetar filtros wavelet quase-ortogonais e simétricos. Mais tarde, um filtro projetado em Zhao e Swamy (2000) foi usado para diminuir ruídos de sinais de eletrocardiogramas (CHEN et al., 2008). A ortogonalidade e correlação para algu- mas bases wavelet quase-ortogonais são estudadas em Chen et al. (2009). Recentemente, Edavoor e Rahulkar (2019) apresentam uma abordagem para projetar um filtro wavelet quase-ortogonal simétrico de ordem seis com coeficientes racionais. Este filtro foi utilizado na compressão de imagens, sistema de reconhecimento de íris e multiplexação por divisão ortogonal de frequência. 1.1 MOTIVAÇÃO DO TRABALHO É extremamente importante ter uma representação mais precisa do sinal em suas respectivas bandas. Para filtros FIR wavelet ortogonais, a limitação referente é a não li- nearidade da fase. Se as respostas ao impulso dos filtros são simétricas/anti-simétricas, então elas levam a uma resposta de fase linear (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). Con- sequentemente, os filtros wavelet ortogonais podem implicar distorção de fase. Por outro lado, a principal desvantagem dos filtros FIR wavelet biortogonais é que muitos deles mos- tram variações consideráveis em sua faixa de ganho na resposta em frequência. Assim, no processo de análise do sinal decomposto, os filtros biortogonais podem comprometer sua avaliação, devido ao fato de que os ganhos de amplitudes devem variar para diferentes frequências. Em muitas aplicações a linearidade da fase é desejada, e por isso, filtros simétri- cos são bastante requisitados. Estes filtros são preferíveis em processamento de imagens, Capítulo 1. INTRODUÇÃO 23 uma vez que linhas e bordas são particularmente suscetíveis a distorção de fase (MURU- GESAN; TAY, 2014). Em análises de séries temporais, a simetria possui a vantagem de permitir o alinhamento dos coeficientes wavelet (PERCIVAL; WALDENR, 2006). Uma outra vantagem na utilização de filtros simétricos é o menor uso de memória, devido à simetria, e a maior rapidez na implementação. Em aplicações onde se deseja fazer algum tipo de processamento relacionado a energia dos coeficientes wavelets, os filtros biortogo- nais podem prejudicar a análise, uma vez que não preservam a energia dos mesmos. Desta forma, pode ser interessante explorar as bases wavelets do tipo quase-ortogonais que não impliquem em distorções de fase ou de ganho variado. De fato, os filtros wavelet quase-ortogonais não atendem a propriedade de perfeita reconstrução. Essa característica, pode ser um dos principais motivos para um uso menos frequente desse tipo de filtros em aplicações envolvendo a FWT. Quanto maior for o desvio de ortogonalidade, maior será o erro de reconstrução do sinal. Entretanto, para muitos filtros desse tipo, é possível minimizar os desvios de ortogonalidade conforme a ordem dos mesmos aumenta. Pode-se chegar então em uma ordem ótima para que um filtro wavelet quase-ortogonal satisfaça uma tolerância mínima de desvio de ortogonalidade. Além do mais, muitas aplicações utilizam apenas o processo de decomposição da FWT, conforme mostrado em uma das aplicações exploradas neste trabalho. Dessa forma, não é necessária uma precisão extrema de reconstrução. 1.2 OBJETIVOS E ORGANIZAÇÃO DA TESE Esta Tese de doutorado tem por objetivos e contribuições: 1. Propor um método de projeto de bancos de filtros wavelet quase-orto- gonais. O objetivo principal desta Tese de Doutorado é propor um novo método que permite o projeto de bancos de filtros wavelet quase-ortogonais. Tal método é baseado na metodologia descrita no próximo item. 2. Apresentar uma metodologia para obter versões quase-ortogonalizadas de uma wavelet. Sabe-se que algumas wavelets como Mexican hat, Gaussianas e outras do tipo não podem ser utilizadas na decomposição de sinais via FWT, uma vez que não possuem filtros conjugados associados. No presente trabalho é apresentado um método para extrair filtros semi-conjugados a partir de uma wavelet não-ortogonal, obtendo-se assim, sua versão quase-ortogonalizada para ser utilizada em aplicações que envolvem a FWT. 3. Apresentar uma metodologia para a classificação de distúrbios de ten- são. Uma das aplicações exploradas nesse trabalho é a classificação de distúrbios de tensão em sistemas elétricos de potência. Utilizando a CWT, apresenta-se um Capítulo 1. INTRODUÇÃO 24 método para a construção de vetores wavelet característicos para serem utilizados na classificação de distúrbios de tensão. Este trabalho está dividido em oito capítulos, incluindo esta introdução. O restante do texto é organizado da seguinte forma: • Capítulo 2. Uma revisão dos conceitos básicos da análise wavelet é apresentada, com os diferentes tipos da transformada wavelet e também com uma revisão sobre a MRA. • Capítulo 3. Este capítulo trata da estrutura da FWT, dos filtros wavelet ortogonais e biortogonais mais utilizados na literatura, bem como as estratégias utilizadas para obter tais filtros. Também são apresentadas as estratégias utilizadas no projeto de alguns filtros wavelet quase-ortogonais. • Capítulo 4. Aqui apresenta-se o método para extrair filtros semi-conjugados a partir de wavelets. Tal método é aplicado na wavelet Mexican hat e em algumas wavelets Gaussianas. A caracterização dos filtros semi-conjugados projetados neste trabalho é estabelecida neste capítulo. • Capítulo 5. O principal objetivo desta Tese de doutorado é apresentado neste capítulo, onde uma nova metodologia para projetar filtros semi-conjugados de acordo com especificações desejadas é proposta como ponto de partida para projetar os bancos de filtros wavelet quase-ortogonais. • Capítulo 6. Duas aplicações envolvendo a FWT são apresentadas neste capítulo: monitoramento de integridade estrutural e compressão de imagens. • Capítulo 7. A aplicação explorada neste capítulo envolve a classificação de dis- túrbios de tensão em sistemas elétricos de potência. Uma nova metodologia para construir vetores wavelet característicos baseada na CWT é proposta. • Capítulo 8. Considerações finais e perspectivas para trabalhos futuros. 25 2 ANÁLISE WAVELET Neste capítulo é apresentada uma introdução a análise wavelet. Existem muitas semelhanças entre a análise de Fourier e análise wavelet pois, em ambos os casos, sinais são analisados por expansões em termos de funções básicas elementares. A base de Fourier são funções senoidais que oscilam indefinidamente, já a base da análise wavelet consiste em funções wavelets, que são localizadas no tempo e por isso duram apenas um ou poucos ciclos. 2.1 WAVELETS Wavelets são funções, geralmente denotadas por ψ(t), que satisfazem certas con- dições e propriedades. Uma wavelet real é uma função ψ(t) ∈ L2(R)1 e que satisfaz a condição de admissibilidade (GROSSMANN; MORLET, 1984): cψ = ∫ +∞ 0 |Ψ(Ω)|2 Ω dΩ < +∞, (1) onde, Ψ(Ω) = ∫ +∞ −∞ ψ(t) e−j Ω t dt (2) é a FT de ψ(t). A condição de admissibilidade implica que Ψ(0) = ∫ +∞ −∞ ψ(t) dt = 0, (3) o que significa que as wavelets têm valor médio nulo. As formas de onda das wavelets se assemelham a ondas de curta duração. Na Figura 1 são exibidas formas de ondas das wavelets de Haar, Morlet (parte real da versão reduzida), Mexican hat e Shannon, sendo definidas respectivamente: Haar: ψha(t) =    1 se 0 ≤ t < 1/2 −1 se 1/2 ≤ t < 1 0 caso contrário , (4) Morlet: ψmo(t) = e−j5te−t2/2, (5) Mexican hat: ψmh(t) = (1− t2)e−t2/2, (6) Shannon: ψsh(t) = (πt)−1(sen 2πt− sen πt). (7) 1 Espaço das funções contínuas de energia finita. Capítulo 2. ANÁLISE WAVELET 26 Figura 1 – Formas de onda das wavelets de (a) Haar; (b) Morlet; (c) Mexican hat e (d) Shannon. -0.5 0 0.5 1 1.5 t -1 0 1 -6 -3 0 3 6 t -1 0 1 -5 0 5 t -1 0 1 -10 -5 0 5 10 t -1 0 1 (a) (b) (c) (d) ψ h a (t ) ψ m o (t ) ψ m h (t ) ψ sh (t ) Fonte: Elaborado pelo autor. Historicamente, a wavelet de Haar é o exemplo mais simples e antigo de uma wavelet. Note que tal wavelet é descontínua no domínio do tempo e, além do mais, não possui uma boa localização no domínio da frequência (DAUBECHIES, 1992). A wavelet de Shannon apresenta propriedades tempo-frequência complementares a wavelet de Haar, ou seja, tal wavelet possui suporte compacto no domínio da frequência com descontinuidade em Ω = ±π e Ω = ±2π (MALLAT, 1999). A essência da análise wavelet é a representação de sinais em diferentes resoluções de frequência. Para isso, utilizam-se famílias de funções wavelets do tipo ψs,τ (t) = 1√ s ψ ( t− τ s ) , s, τ ∈ R, s > 0, (8) geradas por uma função wavelet e pelos operadores de escala s e de translação τ . Utili- zando essa estratégia, a análise wavelet pode ser dividida em dois tipos principais (DAU- BECHIES, 1992): 1. Transformada wavelet contínua (CWT); 2. Transformada wavelet discreta (DWT). A escolha do tipo da transformada depende da aplicação. A CWT é mais indicada na exploração de características a fim de extrair informações de variações em certas bandas de frequência. Por outro lado, a DWT é usada para obter uma representação mais esparsa possível, sendo aplicada, entre outros, em compressão, redução de ruído ou transmissão de sinal (MALLAT, 1999). Capítulo 2. ANÁLISE WAVELET 27 2.2 TRANSFORMADA WAVELET CONTÍNUA A CWT é definida pelo produto interno de um sinal com versões transladadas e dilatadas de uma wavelet, resultando em coeficientes que carregam informações associadas a certas bandas de frequência. Isso é feito pelos parâmetros s e τ , conforme indicado em (8). Escolhendo-se uma wavelet real ψ(t), e considerando s, s > 0, a CWT de um sinal de tempo contínuo xc(t) ∈ L2(R) é definida como (DAUBECHIES, 1992): W ψ xc (s, τ) = ∫ +∞ −∞ xc(t)ψs,τ (t)dt. (9) Para uma wavelet real, qualquer xc(t) ∈ L2(R) satisfaz (GROSSMANN; MOR- LET, 1984): xc(t) = 1 cψ ∫ +∞ 0 ∫ +∞ −∞ 1 s2 W ψ xc (s, τ)ψs,τ (t) dτ ds. (10) Assim, a CWT inversa pode ser definida pela resolução de identidade definida em (10). De (9), pode-se dizer que os coeficientes wavelet W ψ xc (s, τ) não são afetados apenas pelos valores de s e τ , mas também pela escolha de ψ(t). Desse modo, a escolha da wavelet deve ser feita de acordo com a natureza e características do sinal a ser analisado. Por exemplo, para medir a regularidade local de um sinal deve-se escolher uma wavelet com um número de momentos nulos apropriado (MALLAT, 1999). Note que W ψ xc (s, τ) representa as flutuações de xc(t) em torno de τ para uma escala de decomposição s. Quando s aumenta, ψ(t) é expandida e seu conteúdo de frequência se move para as bandas de frequência mais baixas. Por outro lado, diminuir s implica na compressão da wavelet e seu conteúdo de frequência se move para as bandas mais altas. Para relacionar escala e frequência, a seguinte relação é usada (ABRY, 1997): fs = η Ts s , (11) onde Ts é o período de amostragem do sinal analisado, η é a frequência central da wavelet em Hz e fs é a pseudo-frequência correspondente à escala s, em Hz. Na prática a CWT é implementada discretizando os parâmetros de escala e de translação. Dependendo da função wavelet utilizada, tal discretização pode implicar em dois tipos de bases wavelets: frames e ortogonais (DAUBECHIES, 1992). Na próxima seção será discutida a DWT. 2.3 TRANSFORMADA WAVELET DISCRETA As wavelets discretas não são transladadas nem escalonadas continuamente, mas sim em intervalos discretos. Isto pode ser feito com uma pequena modificação dos parâ- metros da CWT: Capítulo 2. ANÁLISE WAVELET 28 • s = sm0 , s0 > 1; • τ = k τ0 s m 0 , τ0 > 1; • s0 e τ0 são valores fixos; • m e k são inteiros. Para o parâmetro de escala é escolhido um valor inteiro m cuja operação de es- calonamento é multiplicativa. Assim, diferentes valores de m correspondem a wavelets de diferentes comprimentos. Dessa forma, conforme m aumenta, o suporte da wavelet para representar o sinal na escala sm0 também aumenta em comparação com a escala anterior sm−1 0 . Assim, são necessários menos translados para cobrir todo o sinal. Por este motivo, o parâmetro τ é discretizado também na dependência de m (DAUBECHIES, 1992). Desse modo, a wavelet discretizada é expressa como: ψm,k(t) = s −m/2 0 ψ ( s−m 0 t− kτ0 ) . (12) Logo, supondo que ψ seja real, a versão discretizada de (9), denominada DWT, toma a seguinte forma: W ψ xc [m, k] = ∫ +∞ −∞ xc(t)ψm,k(t) dt. (13) O processo de reconstrução da DWT não é similiar ao caso da CWT, onde se tem uma resolução de identidade. A reconstrução irá depender de ψm,k(t), desde que existam duas constantes positivas C1 e C2, que satisfaçam a seguinte condição: C1||xc||2 ≤ ∑ m,k∈Z | 〈ψm,k, xc〉 |2 ≤ C2||xc||2, (14) onde ||xc||2 = ∫ +∞ −∞ |xc(t)|2 dt, (15) e 〈ψm,k, xc〉 denota o produto interno entre ψm,k e xc. Se a condição (14) é satisfeita, então {ψm,k; m, k ∈ Z} é chamado de frame. Assim, pode-se reconstruir o sinal a partir dos coeficientes wavelet 〈ψm,k, xc〉 xc(t) ∼= 2 C1 + C2 ∑ m,k∈Z ψm,k(t) 〈ψm,k, xc〉 . (16) A exatidão da reconstrução de xc(t) depende das cotas (limites) C1 e C2 do frame. Quanto mais próximos de um valor, mais exata será a reconstrução. Para uma escolha apropriada de ψ(t), e fazendo s0 = 2 e τ0 = 1, têm-se que ψm,k(t) = 1√ 2m ψ ( 2−mt− k ) , (17) Capítulo 2. ANÁLISE WAVELET 29 constitui uma base ortogonal de L2(R) (DAUBECHIES, 1992). Neste caso, toda a redun- dância é removida na representação wavelet, e a reconstrução pode ser obtida de forma exata, o que implica C1 = C2 = 1. Bases de wavelets ortogonais estão relacionadas com a MRA (MALLAT, 1989a). De fato, wavelets ortogonais, bancos de filtros e MRA foram utilizados de forma indepen- dente nas áreas da matemática aplicada, processamento de sinais e visão computacional. Entretanto, tais teorias convergiram mais tarde para formar uma única teoria (VET- TERLI; HERLEY, 1992). A expressão máxima dessa relação é dada pela FWT, que pode ser vista como um algoritmo rápido para o cálculo da DWT. 2.4 ANÁLISE DE MULTIRRESOLUÇÃO Novas possibilidades de construção de bases wavelets ortogonais foram exploradas com o surgimento da MRA. Formulada por Meyer e Mallat (MEYER, 1986; MALLAT, 1989a), a MRA mostra que as bases wavelets são uma ferramenta matemática para o incremento de informação necessária. Assim, partindo de uma aproximação de baixa re- solução pode-se chegar em uma aproximação de resolução mais alta. De acordo com Mallat (1989a), uma MRA em L2(R) é uma sequência de subespaços fechados Vm, m ∈ Z, de L2(R), satisfazendo as seguintes propriedades: (M1) ∀ (m, k) ∈ Z 2, xc(t) ∈ Vm ⇔ xc(t− 2mk) ∈ Vm, (M2) ∀ m ∈ Z, Vm+1 ⊂ Vm , (M3) ∀ m ∈ Z, xc(t) ∈ Vm ⇔ xc ( t 2 ) ∈ Vm+1, (M4) lim m→+∞ Vm = +∞⋂ m=−∞ Vm = {0}, (M5) lim m→−∞ Vm = +∞⋃ m=−∞ Vm = L2(R), (M6) Existe uma função θ ∈ V0 tal que {θ(t− k); k ∈ Z} é uma base de Riesz de V0. Cada espaço Vm pode ser visto como o espaço de todas as aproximações possíveis na resolução 2−m das funções em L2(R). A demonstração das propriedades (M1) - (M6) também podem ser encontradas em Daubechies (1992). A propriedade (M1) significa que o espaço Vm é invariante por qualquer translação proporcional à escala 2m. (M2) é uma propriedade de causalidade que prova que uma aproximação em uma resolução 2−m contém todas as informações necessárias para calcular uma aproximação em um resolução menor 2−m−1. Na propriedade (M3) têm-se que os detalhes que aparecem em Capítulo 2. ANÁLISE WAVELET 30 uma escala 2m também aparecem na escala 2m−1. A propriedade (M4) significa que a função identicamente nula é a única que pode ser representada em qualquer escala, sendo uma consequência das demais propriedades. A propriedade (M5) afirma que L2(R) contém todas as escalas possíveis (MALLAT, 1999). A aproximação de xc(t) na resolução 2−m pode ser obtida pela projeção ortogonal PVm (xc) = ∑ k 〈xc, φm,k〉φm,k. (18) onde { 2−m/2φ(2−mt− k) } k∈Z é uma base ortogonal de Vm. Assim, tendo uma base orto- gonal de Vm, pode-se aproximar um sinal (ou uma função) xc(t) na escala 2m. O produto interno am[k] = 〈xc, φm,k〉 = ∫ +∞ −∞ xc(t) 1√ 2m φ ( 2−mt− k ) dt, (19) fornece uma aproximação discreta na escala 2m. Uma vez que φ(t) pode ser visto como um filtro passa-baixa, am[k] pode ser interpretado como uma filtragem de xc(t) seguida de uma amostragem uniforme a uma taxa de 2m (MALLAT, 1999). No contexto da MRA, φ(t) é obtida a partir da base de Riesz conforme (M6). Desse modo, para que {θ(t− k)}k∈Z seja considerada uma base de Riesz, basta que existam constantes A e B tais que 0 < A ≤ +∞∑ k=−∞ |Θ(Ω− 2πk)|2 ≤ B <∞, (20) onde Θ(Ω) é a FT de θ(t) (MALLAT, 1999). Dessa forma, se a condição (20) é verificada, φ(t) pode ser obtida no domínio da frequência por Φ(Ω) = Θ(Ω) ( ∑ k |Θ(Ω− 2πk)|2)1/2 . (21) Assim, a família φm,k(t) = 1√ 2m φ ( 2−mt− k ) (22) é uma base ortogonal de Vm, ∀ m ∈ Z. A função φ(t) é denominada função escala. Uma vez que φ(t) ∈ V0 ⊂ V−1 e que φ−1,k(t) é uma base ortonormal em V−1, pode-se escrever φ(t) = √ 2 ∑ k h[k]φ(2t− k), (23) onde h[k] = 〈φ, φ−1,k〉 = √ 2 ∫ +∞ −∞ φ(t)φ(2t− k) dt. (24) A sequência discreta h[k] é um filtro discreto do tipo passa-baixa. Assim, qualquer função escala é especificada por um filtro discreto que satisfaz (23) e (24). A transformada Capítulo 2. ANÁLISE WAVELET 31 de Fourier para tempo discreto (DTFT - Discrete Time Fourier Transform) do filtro h[k] pode ser obtida por (MALLAT, 1989b): H(ω) = √ 2 Φ(2ω) Φ(ω) , (25) e que satisfaz a condição complementar de potência (PCC - Power Complementary Con- dition), ou seja, |H(ω)|2 + |H(ω + π)|2 = 2. (26) Filtros que satisfazem (26) são chamados filtros conjugados (MALLAT, 1989b). As aproximações de um sinal xc(t) nas escalas 2m e 2m−1 são, respectivamente, iguais às suas projeções ortogonais em Vm e Vm−1. Se Wm é o complemento ortogonal de Vm em Vm−1, então, a projeção ortogonal de xc(t) em Vm−1 pode ser decomposta como a soma das projeções ortogonais em Vm e Wm: PVm−1 (xc) = PVm (xc) + PWm (xc). (27) Logo, o complemento PWm (xc) fornece os detalhes de xc(t) que aparecem na escala 2m−1, mas que desaparecem na escala de menor resolução 2m. Conforme demonstrado em Mallat (1989b), uma base do espaço Wm é uma base wavelet ortogonal do tipo (17). De Φ(Ω) e H(ω), tal base pode ser obtida a partir da wavelet definida por Ψ(Ω) = 1√ 2 G(Ω/2)Φ (Ω/2) , (28) onde G(ω) = e−jωH∗ (ω + π) , (29) e * denota o complexo conjugado (MALLAT, 1989b).2 Dessa forma, a projeção ortogonal de um sinal xc(t) em um espaço de “detalhe” Wm é obtida com uma expansão parcial em sua base de wavelets: PWm (xc) = ∑ k 〈xc, ψm,k〉ψm,k, (30) onde o produto interno dm[k] = 〈xc, ψm,k〉 = ∫ +∞ −∞ xc(t) 1√ 2m ψ ( 2−mt− k ) dt, (31) fornece os detalhes na escala 2m. Na prática, a construção de novas bases wavelets ortogonais parte do filtro H(ω) definido em (25). As wavelets de Daubechies, por exemplo, são construídas dessa forma 2 Note que ω é usado como o parâmetro de frequência de um sinal de tempo discreto, em contraste com o parâmetro de frequência do sinal de tempo contínuo, onde Ω é a notação referente. Portanto, é necessário ajustar as Equações (25) e (28) para a notação correta. Capítulo 2. ANÁLISE WAVELET 32 (DAUBECHIES, 1992). Assim, uma wavelet ortogonal é completamente caracterizada pelo filtro conjugado associado, que pode ser definida no domínio do tempo por ψ(t) = √ 2 ∑ k g[k]φ(2t− k), (32) onde g[k] = (−1)1−kh[1− k]. (33) No próximo capítulo, será mostrado como os filtros h e g são as bases para o algoritmo da FWT. De fato, esse algoritmo é um padrão clássico na comunidade de processamento de sinais, conhecido como codificador de sub-banda de dois canais. Assim, a FWT é implementada utilizando um banco de filtros wavelet de dois canais, cujo projeto é baseado no filtro conjugado. 33 3 BANCO DE FILTROS WAVELET Conforme visto no Capítulo 2, como {φm,k}k∈Z e {ψm,k}k∈Z são bases ortogonais dos espaços Vm e Wm, a projeção ortogonal de um sinal nestes espaços é caracterizada por am e dm, conforme (19) e (31), respectivamente. Mallat mostrou que tais coeficientes podem ser obtidos por um banco de filtros wavelet de dois canais (FWT) baseado nos filtros h e g definidos por (24) e (33), respectivamente (MALLAT, 1989b). Na Figura 2 é mostrada a estrutura da FWT tanto no processo de decomposição como no processo de reconstrução. Figura 2 – Representação em diagrama de blocos da FWT. Decomposição Reconstrução x xr h g h̃ g̃ a1 d1 ↓ 2 ↓ 2 ↑ 2 ↑ 2 Fonte: Elaborado pelo autor. Assim, a representação wavelet de um sinal de tempo discreto x[n] ∈ ℓ2(Z)1 utili- zando a FWT pode ser obtida pela decomposição do mesmo por meio dos filtros passa- baixa h e passa-alta g, sendo que após o processo de filtragem, o operador downsampling (↓ 2) remove as amostras de forma alternada dos sinais filtrados. Os resultados obtidos são os coeficientes wavelet de aproximação a1 e detalhe d1. Na Figura 2 mostra-se a decomposição da FWT em apenas um nível. Entretanto, o processo de decomposição pode ser realizado em vários níveis, onde cada nível considera o sinal de aproximação do nível anterior como ponto de partida para a decomposição. Assim, para calcular os coeficientes de aproximação e detalhe no nível m + 1, pode-se utilizar am como ponto de partida: am+1[k] = +∞∑ n=−∞ h[2k − n]am[n], (34) dm+1[k] = +∞∑ n=−∞ g[2k − n]am[n], (35) sendo h[k] = h[−k] e g[k] = g[−k] (MALLAT, 1989b). 1 Espaço de sinais discretos de energia finita Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 34 No processo de reconstrução, os coeficientes wavelet passam pelo operador de up- samling (↑ 2) que insere um zero entre as amostras, e posteriormente são novamente filtrados pelos respectivos filtros passa-baixa h̃ e passa-alta g̃, e então, a soma destes re- sultados fornece o sinal reconstruído. No caso da Figura 2, onde se considera apenas o primeiro nível de decomposição, o sinal reconstrído xr é obtido por: xr[n] = +∞∑ k=−∞ h̃[n− 2k]a1[k] + +∞∑ k=−∞ g̃[n− 2k]d1[k]. (36) No contexto da FWT, os filtros passa-altas são definidos em função dos filtros passa-baixas: g[k] = (−1)1−kh̃[1− k], e g̃[k] = (−1)1−kh[1− k]. Desse modo, a propriedade de perfeita reconstrução se resume em satisfazer (MALLAT, 1999): H∗(ω)H̃(ω) +H∗(ω + π)H̃(ω + π) = 2. (37) Assim, o projeto de um banco de filtros wavelet se resume em projetar os filtros H(ω) e H̃(ω) que satisfazem (37). Os bancos de filtros wavelet clássicos são do tipo ortogonal ou biortogonal. De fato, a maioria das aplicações que utilizam a FWT, a implementam por meio de um banco de filtros wavelet ortogonal (OWFB - Orthogonal Wavelet Filter Bank) ou por um banco de filtros wavelet biortogonal (BWFB - Biorthogonal Wavelet Filter Bank). Nas Seções 3.1 e 3.2 são apresentados os principais filtros wavelet utilizados nos casos ortogonal e biortogonal. Outra possibilidade de banco de filtros wavelet, que é o foco deste trabalho, é o banco de filtros wavelet quase-ortogonal (NOWFB - Nearly-Orthogonal Wavelet Filter Bank). Uma descrição sobre os NOWFBs é realizada na Seção 3.3. 3.1 FILTROS WAVELET ORTOGONAIS Para o caso ortogonal, h̃[k] = h[k], onde h[k] é a resposta impulsiva do filtro conjugado H(ω) definido em (25). Logo, para um OWFB tem-se que H(ω) = H̃(ω), implicando que a condição de perfeita reconstrução se resume na condição complementar de potência dada em (26). Portanto, os filtros de decomposição e reconstrução de um OWFB são definidos a partir de h[k]: • Filtro passa-baixa de decomposição: h[k] = h[−k]; • Filtro passa-alta de decomposição: g[k] = (−1)1+kh[1 + k]; • Filtro passa-baixa de reconstrução: h̃[k] = h[k]; • Filtro passa-alta de reconstrução: g̃[k] = (−1)1−kh[1− k]. Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 35 As wavelets ortogonais mais conhecidas e utilizadas são as de Daubechies, as Symmlets e as Coiflets: Daubechies Em 1988, Daubechies apresentou um método utilizado para construir bases orto- gonais de wavelets com suporte compacto e regularidade arbitrariamente alta (DAUBE- CHIES, 1988). Os filtros wavelet associados a tais wavelets são do tipo FIR, com compri- mentos determinados pelo número N de momentos nulos. A construção das wavelets de Daubechies é baseada na seguinte identidade para obter o filtro conjugado: H(ω) = √ 2 ( 1 + e−jω 2 )N R(e−jω), (38) em que P (sen2ω/2) = |R(e−jω)|2 pode ser escrito como P (y) = N−1∑ k=0 ( N − 1 + k k ) yk, (39) com P (y) ≥ 1 para y ∈ [0, 1]. Uma vez que os coeficientes de R(e−jω) são reais, tem-se que R∗(e−jω) = R(ejω) e desse modo: |R(e−jω)|2 = R(e−jω)R(ejω) = P ( 2− ejω − e−jω 4 ) = Q(e−jω). (40) A fatoração em (40) é resolvida estendendo-a para todo o plano complexo z = e−jω (MALLAT, 1999): Q(z) = 2N−1 ∏ k (1− akz)(1− akz−1). (41) Na obtenção dos zeros de Q(z), tem-se que, se ak é um zero, então 1/ak, a∗ k, 1/a ∗ k também são zeros. Dessa forma, R(e−jω) é obtido escolhendo-se um zero real do par {rk, 1/rk} e um par dos zeros complexos do quadrúpulo {zk, z∗ k, 1/zk, 1/z ∗ k} para obter coeficientes reais. Para os filtros de Daubechies são escolhidos os zeros de tal forma que |ak| ≤ 1, ou seja, zeros que estão dentro do círculo de raio unitário (DAUBECHIES, 1988). Nesse caso, tal escolha implica em sistemas de fase mínima (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). Symmlets As wavelets de Daubechies são muito assimétricas, pois são construídas a partir dos zeros que implicam em fase mínima de R(e−jω). A única wavelet de Daubechies simétrica é a wavelet de Haar (N = 1). Em Daubechies (1993) são apresentadas as Symmlets, que Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 36 são uma adaptação das wavelets de Daubechies. Os filtros Symmlets são obtidos por meio da otimização da escolha dos zeros em R(e−jω), a fim de obter-se filtros conjugados mais simétricos possíveis. Coiflets Assim como as Symmlets, Coiflets também foram apresentadas em Daubechies (1993). Tais wavelets foram projetadas para serem utilizadas em análise numérica. O dife- rencial destas wavelets é que as funções escalas associadas também possuem um número N de momentos nulos: ∫ +∞ −∞ tkφ(t) dt = 0, para 1 ≤ k < N. (42) Dizer que uma wavelet ortogonal ψ(t) possui N momentos nulos é equivalente dizer que seu filtro conjugado correspondente possui N zeros em H(ω) (ou N zeros em z = −1 no plano complexo) (DAUBECHIES, 1992). No caso das funções escalas de Coiflets, o número de momentos nulos também é preservado. Uma wavelet com um número alto de momentos nulos possui vantagens em detectar singularidades e transitórios (MALLAT, 1999). Nesse caso, em baixas escalas, os coeficientes de detalhes são nulos onde o sinal é suave, diferente do que acontece para os coeficientes de aproximação. A condição suple- mentar (42) implica no aumento do suporte da wavelet obtida. As wavelets de Coiflets possuem um suporte de comprimento 3N − 1 em vez de 2N − 1 como nas wavelets de Daubechies e Symmlets. É muito comum encontrar na literatura nomes curtos para famílias de wavelets. Por exemplo, dbN e symN são os nomes curtos para as wavelets Daubechies e Symmlets, respectivamente. Nesse caso, N indica o número de momentos nulos e também a metade do comprimento dos respectivos filtros wavelet. Geralmente, as Coiflets são denotadas por coifN , e, nesse caso, o respectivo filtro possui comprimento 6N e as funções wavelets e de escala possuem ambas 2N momentos nulos. 3.2 FILTROS WAVELET BIORTOGONAIS É possível construir wavelets biortogonais suaves de suporte compacto, simétricas ou anti-simétricas. No caso das wavelets biortogonais o filtro conjugado h é diferente do filtro de reconstrução h̃. Assim, diferente do caso ortogonal, é necessário projetar o filtro h̃. Logo, para o caso biortogonal, são definidas duas funções escalas e duas funções wavelets. Desse modo, qualquer xc(t) ∈ L2(R) possui duas possibilidades de decomposição nessas bases: xc(t) = +∞∑ k,m=−∞ 〈xc, ψm,k〉 ψ̃m,k(t) = +∞∑ k,m=−∞ 〈 xc, ψ̃m,k 〉 ψm,k(t). (43) Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 37 Em Cohen, Daubechies e Feauveau (1992) é apresentada uma metodologia para projetar wavelets biortogonais que, assim como no caso ortogonal, os filtros h e h̃ são projetados considerando uma restrição do número de zeros em z = −1: H(ω) = √ 2e−jǫω/2 ( cos ω 2 )N A(cosω), (44) H̃(ω) = √ 2e−jǫω/2 ( cos ω 2 )Ñ Ã(cosω), (45) com ǫ = 0 para N e Ñ com valores pares e ǫ = 1 para N e Ñ de valores ímpares. Dessa forma, a condição (37) implica A(cosω)Ã(cosω) = P ( sen2ω 2 ) , (46) onde o polinômio P (y) é definido conforme (39) P (y) = q−1∑ k=0 ( q − 1 + k k ) yk, (47) com q = (N + Ñ)/2. Splines As wavelets Splines biortogonais são projetadas considerando A(cosω) = 1 em (44). Dessa forma, têm-se (MALLAT, 1999) H(ω) = √ 2e−jǫω/2 ( cos ω 2 )N . (48) e H̃(ω) = √ 2e−jǫω/2 ( cos ω 2 )Ñ q−1∑ k=0 ( q − 1 + k k )( sen ω 2 )2k . (49) O projeto de outras wavelets biortogonais com suporte compacto pode ser encon- trado em Cohen, Daubechies e Feauveau (1992), Vetterli e Herley (1992). Entretanto, as wavelets Splines são as bases biortogonais mais utilizadas na literatura. Tais wavelets são comumente denotadas por biorNr.Nd, onde Nr e Nd são respectivamente o número de momentos nulos das wavelets de decomposição e reconstrução. Os respectivos filtros wavelet Splines de decomposição e reconstrução geralmente possuem comprimentos muito diferentes, o que pode ser uma desvantagem em algumas aplicações onde os comprimentos dos mesmos devem ser próximos (DAUBECHIES, 1992). Porém, alguns filtros wavelet biorNr.Nd possuem comprimentos próximos, como bior4.4, que corresponde aos filtros de decomposição e reconstrução de tamanhos 9 e 7, respecti- vamente. Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 38 3.3 FILTROS WAVELET QUASE-ORTOGONAIS Como o nome já diz, wavelets quase-ortogonais satisfazem aproximadamente as condições de ortogonalidade. Logo, deve-se esperar que um banco de filtros wavelet quase- ortogonal (NOWFB) não implica na propriedade de perfeita reconstrução. Assim como no caso ortogonal, a maioria dos métodos de projetos de wavelets quase-ortogonais utiliza a condição (26) como base. Tal condição, também pode ser vista no domínio temporal da seguinte forma (STRANG; NGUYEN, 1996): ∑ k h[k − 2n]h[k] = δ[n], (50) onde δ[n] é a sequência de amostra unitária (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). Em resumo, a estratégia de projeto dos NOWFBs é similar a do caso ortogonal: primeiro projeta-se o filtro conjugado passa-baixa apropriado h[k], e a partir deste, obtém- se os filtros de decomposição e reconstrução do banco de filtros. Uma vez que o filtro h[k] projetado no caso quase-ortogonal satisfaz aproximadamente a condição (26), chamaremos esse filtro de semi-conjugado. Na próxima seção serão apresentados alguns exemplos de bases wavelets quase-ortogonais. Considerando os principais trabalhos na literatura, será apresentado um resumo sobre o método de projeto dos mesmos. 3.3.1 Exemplos de wavelets quase-ortogonais No que segue, os três principais exemplos de wavelets quase-ortogonais encontra- das na literatura especializada são apresentados. Em 1996, as primeiras wavelets quase- ortogonais foram projetadas para serem utilizadas em algoritmos adaptativos para can- celamento de eco (JIN; LUO; WONG, 1996). A família de wavelets obtida para este propósito foi denominada OQB (Optimum Quasi-Biorthogonal). O segundo exemplo é re- ferente as wavelets quase-ortogonais apresentada por Zhao e Swamy (2000). Tais wavelets são denotadas por NOβ, onde β representa o número de momentos nulos e a variação de parâmetros no método de projeto considerado. O último exemplo é referente a uma wavelet quase-ortogonal projetada por Edavoor e Rahulkar (2019). Tal wavelet se baseia no método para projetar a wavelet db3, que por meio de algumas modificações, se ob- tém uma wavelet simétrica cujo filtro semi-conjugado possui coeficientes racionais. Para simplificar a notação, denotamos tal wavelet como ER3. OQB Em Jin, Luo e Wong (1996), a estratégia utilizada para projetar os filtros semi- conjugados se baseou em maximizar o conteúdo de energia dos mesmos na faixa de pas- Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 39 sagem, ou seja, max h[k] Ep = max h[k] 1 2π ∫ +π/2 −π/2 |H(ω)|2 dω, (51) sujeito a condição (50). Para resolver esse problema de otimização os autores utilizaram um algoritmo de penalização. Na Tabela 1 são apresentados os coeficientes de um filtro semi-conjugado referente a uma wavelet OQB. Note que este filtro não é simétrico, o que implica uma wavelet assimétrica. Utilizando tal filtro, pode-se obter os resultados mostrados na Figura 3, onde são exibidos o espectro de magnitude do filtro semi-conjugado (Figura 3-(a)), o resultado de |H(ω)|2 + |H(ω+ π)|2 (Figura 3-(b)), e as formas de onda da função escala (Figura 3- (c)) e da wavelet (Figura 3-(d)). Observando a Figura 3-(b), pode-se notar a característica de um filtro semi-conjugado, onde |H(ω)|2 + |H(ω + π)|2 oscila em torno de 2. Tabela 1 – Filtro semi-conjugado de uma wavelet OQB. k h[k] k h[k] k h[k] k h[k] 0 -0,0095 5 0,0664 10 0,4672 15 0,1760 1 -0,0059 6 0,0839 11 0,6233 16 0,0688 2 0,0212 7 -0,1775 12 0,3115 17 0,0116 3 0,0088 8 -0,4096 13 0,0998 18 0,0261 4 -0,0113 9 -0,1139 14 0,1574 19 0,0197 Fonte: (JIN; LUO; WONG, 1996). Os filtros wavelet OQB obtiveram melhores resultados que outros filtros ortogonais no problema de cancelamento de eco. Assim, embora que estes filtros não implicassem perfeita reconstrução, eles apresentaram resultados superiores a outras wavelets ortogonais utilizadas. Alguns dos filtros projetados por Jin, Luo e Wong (1996) também foram usados em aplicações que envolviam simulações em salas acústicas e medição de tempo de vôo de ecos de pulso ultrassônico (WYK; VIROLLEAU, 1998; GRIMALDI, 2006). Observa-se que nestes trabalhos as wavelets OQB foram mais eficientes que outras wavelets clássicas. A estratégia de projeto das wavelets OQB não garante que H(π) = 0. Assim, a wavelet gerada pelo filtro semi-conjugado, não satisfaz a condição (1). Isso pode ser provado, uma vez que a partir de (2), (28) e (29) tem-se que Ψ(0) = ∫ +∞ −∞ ψ(t) dt = 1√ 2 H∗ (π) . (52) Para a wavelet exibida na Figura 3-(d), Ψ(0) ≈ 0, 0018 que de fato é um valor relativamente próximo de zero. Embora possa parecer uma desvantagem, é comum utilizar wavelets que não satisfazem a condição de admissibilidade. A forma reduzida da wavelet de Morlet, conforme descrita pela Equação (5), ψmo(t) = ejΩ0te−t2/2, onde Ω0 denota a frequência central da wavelet, também não satisfaz a condição (1). No entanto, pode ser observado que Ψmo(0) é suficientemente pequeno para Ω0 ≥ 5, o que permite o uso dessa Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 40 Figura 3 – Resultados obtidos pelo filtro semi-conjugado OQB. (a) Espectro de magni- tude. (b) Desvio de ortogonalidade. (c) Função escala. (d) Função wavelet. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.997 1.998 1.999 2 2.001 2.002 2.003 0 5 10 15 -1 -0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 -1 -0.5 0 0.5 1 (a) (b) (c) (d) |H (ω )| |H (ω )|2 + |H (ω + π )|2 φ (t ) ψ (t ) ω/πω/π tt Fonte: Elaborado pelo autor. wavelet em diversas aplicações onde o processo de reconstrução não é necessário (LIN; QU, 2000; CHEN; CHU, 2017; AYAD et al., 2014). NOβ Uma das desvantagens das wavelets OQB é que as mesmas não são simétricas. Pensando nisso, Zhao e Swamy (ZHAO; SWAMY, 2000) propuseram uma metodologia para projetar filtros wavelet quase-ortogonais simétricos (ou anti-simétricos). O método de projeto apresentado pelos autores também utiliza a PCC como base, para medir os desvios de ortogonalidade. Além disso, tal método também se baseia na técnica de restringir zeros em z = −1 para o filtro semi-conjugado. Assim, o filtro semi-conjugado proposto por Zhao e Swamy (2000) é baseado na seguinte identidade: H(ω) = √ 2 ( 1 + e−jω 2 )N S(ω), (53) onde S(ω) é um filtro FIR simétrico. Tal metodologia utiliza o critério de erro E = ∫ +π 0 ( |H(ω)|2 + |H(ω + π)|2 − 2 )2 dω (54) Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 41 para minimizar os desvios de ortogonalidade. Nesse caso, os autores utilizaram o algoritmo simplex de otimização não linear padrão, para o qual as informações do gradiente não são necessárias. Em Zhao e Swamy (2000) foram apresentados resultados de 6 wavelets quase- ortogonais com 4 e 5 momentos nulos. Na Tabela 2 são apresentados os coeficientes de um filtro semi-conjugado de uma dessas wavelets. Tal wavelet possui 5 momentos nulos e é nomeada NO5b. Note que o filtro possui 32 coeficientes e é simétrico. Na Figura 4 são exibidos os resultados obtidos pelo filtro NO5b. Observando as Figuras 3-(b) e 4-(b), pode-se notar que os desvios de ortogonalidade de NO5b são menores do que os de OQB. Tabela 2 – Coeficientes do filtro semi-conjugado referente a NO5b. k h[k] k k h[k] k 0 -0,00007292034375 31 8 0,00055422390625 23 1 -0,00001310115625 30 9 -0,02015219500000 22 2 -0,00002274962500 29 10 0,00490765875000 21 3 0,00037446578125 28 11 0,04529840187500 20 4 0,00058140968750 27 12 -0,02690016234375 19 5 -0,00238138846875 26 13 -0,09894403390625 18 6 -0,00114585725000 25 14 0,11772493578125 17 7 0,00786055584375 24 15 0,47230872546875 16 Fonte: (ZHAO; SWAMY, 2000) A wavelet NO5b foi utilizada em uma aplicação de compressão de imagens. Os resultados obtidos não foram comparados com outras wavelets ortogonais ou biortogonais. De fato, os resultados obtidos pela NO5b foram comparados com os resultados de um banco de filtros QMF proposto por Sriram e Marcellin (1995), e que também foi utilizado com êxito no problema de compressão de imagens. Os resultados obtidos pela NO5b foram levemente superiores a este banco de filtros (ZHAO; SWAMY, 2000). Um filtro projetado em Zhao e Swamy (2000) também foi usado em uma metodologia para remover ruídos em sinais de eletrocardiograma (CHEN et al., 2008). Nesse caso a comparação dos resultados se deu pela wavelet sym8, e verificou-se que a wavelet quase-ortogonal foi mais eficiente. ER3 Recentemente, Edavoor e Rahulkar (2019) apresentaram uma abordagem para projetar um NOWFB simétrico com coeficientes racionais. Nesse caso, os autores apre- sentaram um filtro semi-conjugado com 6 coeficientes, onde a estratégia para projetar tal filtro é baseada no projeto do filtro wavelet db3: H(z) = (1 + z−1)3(p1 + z−1)(p2 + z−1), (55) sendo os parâmetros p1 e p2 (com p1p2 = 1) obtidos de tal forma a obter um filtro simétrico. A partir de uma modificação da condição (50), e utilizando métodos de otimização, os Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 42 Figura 4 – Resultados obtidos pelo filtro semi-conjugado NO5b. (a) Espectro de magni- tude. (b) Desvio de ortogonalidade. (c) Função escala. (d) Função wavelet. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.9999 2 2.0001 2.0002 2.0003 2.0004 2.0005 0 5 10 15 20 25 30 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 5 10 15 20 25 30 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (a) (b) (c) (d) |H (ω )| |H (ω )|2 + |H (ω + π )|2 φ (t ) ψ (t ) ω/πω/π tt Fonte: Adaptado de Zhao e Swamy (2000) autores obtiveram o seguinte resultado: H(z) = 1 16 ( 1− z−1 − 8z−2 − 8z−3 − z−4 + z−5 ) . (56) Este filtro também foi utilizado em compressão de imagens, sistema de reconhe- cimento de íris e multiplexação por divisão ortogonal de frequência, obtendo resultados significativos em relação a outros filtros wavelet clássicos. Na Figura 5 são exibidos os re- sultados obtidos por tal filtro. Note que, comparando os desvios de ortogonalidades com os das wavelets OQB e NO5b, pode-se concluir que os mesmos são consideravelmente maiores do que os destas wavelets. Outra caracterísitca que se destingue é que a largura na faixa de transição do filtro em questão é maior do que os filtros de OQB e NO5b. Apesar da wavelet ER3 implicar maiores desvios de ortogonalidade, os resultados das aplicações exploradas pelos autores (exceto compressão de imagens), mostram que, tal wavelet atinge melhores resultados do que os demais filtros wavelet ortogonais explo- rados. Assim, para algumas aplicações, como as apresentadas pelos autores, os desvios de ortogonalidade podem ser irrelevantes e não interferem nas análises feitas a partir dos resultados obtidos por um NOWFB. Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 43 Figura 5 – Resultados obtidos pelo filtro semi-conjugado ER3. (a) Espectro de magni- tude. (b) Desvio de ortogonalidade. (c) Função escala. (d) Função wavelet. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 1.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 2 2.02 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12 2.14 0 1 2 3 4 5 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 0 1 2 3 4 5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 (a) (b) (c) (d) |H (ω )| |H (ω )|2 + |H (ω + π )|2 φ (t ) ψ (t ) ω/πω/π tt Fonte: Elaborado pelo autor. Na Seção 3.4, serão discutidas as distorções que filtros wavelet ortogonais, biorto- gonais e quase-ortogonais podem causar quando utilizadas em aplicações que envolvem o processo de decomposição da FWT. 3.4 DISTORÇÕES DOS FILTROS WAVELET No processo de análise da FWT, os filtros influenciam diretamente no resultado dos coeficientes wavelet. Em várias aplicações que utilizam tal ferramenta, é conveniente analisar os resultados dos respectivos coeficientes de aproximação e detalhe a cada banda de decomposição. Assim, é extremamente importante utilizar filtros que implicam uma boa representação do sinal, evitando assim qualquer tipo de distorção após o processo de convolução. No contexto de processamento de sinais, a resposta ao impulso do sistema (filtro) h[k] pode ser caracterizada por sua resposta em frequência (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989) H(ω) = +∞∑ k=−∞ h[k]e−jωk. (57) Em geral, H(ω) assume valores complexos, podendo ser reescrito em termos de suas partes Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 44 real HR(ω) e imaginária HI(ω): H(ω) = HR(ω) + jHI(ω), (58) ou em termos de magnitude e fase H(ω) = |H(ω)|ejϕh(ω), (59) onde |H(ω)|2 = H(ω)H∗(ω) = H2 R(ω) +H2 I (ω), (60) e ϕh(ω) = tan−1 HI(ω) HR(ω) . (61) Fisicamente, H(ω) fornece a interpretação de como o sistema modifica o sinal de entrada, em termos de magnitude e fase, para cada componente de frequência. O atraso de grupo também é uma função importante na avaliação da distorção de fase: Γh(ω) = − d dω ϕh(ω). (62) Os desvios de Γh em torno de uma constante indica o grau de não linearidade da fase (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). Uma das propriedades de interesse da resposta impulsiva de um sistema é a causa- lidade, uma vez que essa propriedade permite que o mesmo seja implementado em tempo real (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). Como os filtros wavelet podem ser vistos como sistemas lineares e invariantes no tempo, a propriedade de causalidade dos mesmos é ob- tida quando h[k] = g[k] = 0 para k < 0. Além disso, dependendo do comprimento de h[k], os filtros digitais podem ser classificados em dois tipos: FIR ou filtros de resposta ao impulso com duração infinita (IIR - Infinite Impulse Response). Filtros FIR podem ser implementados de forma não-recursiva a partir de sua res- posta impulsiva. Além do mais, é possivel obter fase linear por meio destes filtros, que é uma propriedade de interesse em muitas aplicações. Isso ocorre, uma vez que é possível projetar filtros FIR com resposta impulsiva satisfazendo propriedades de simetria, o que garante a linearidade da fase (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). Para os filtros wavelet ortogonais do tipo FIR, o principal problema é a simetria. É provado que o filtro de Haar é o único simétrico e ortogonal ao mesmo tempo (DAU- BECHIES, 1992). Assim, devido a não-linearidade da fase destes filtros, a análise de um sinal pode ser comprometida durante a decomposição devido às distorções de fase. Na Figura 6 são mostrados os atrasos de grupo para algumas wavelets ortogonais discutidas anteriormente. Note que a variação de Γh(ω) é menor para as symN e coifN , pois as mesmas são quase simétricas. Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 45 Figura 6 – Atraso de grupo dos filtros wavelet ortogonais passa-baixa de decomposição: db10, db30, sym10, sym30, coif2 e coif5. 12 15 18 db10 8.5 9 9.5 sym10 40 50 60 db30 30 30.5 31 sym30 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 6.9 7 7.1 coif2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 18.8 19 19.2 coif5 ω/πω/π Γ h (ω ) Γ h (ω ) Γ h (ω ) Γ h (ω ) Γ h (ω ) Γ h (ω ) Fonte: Elaborado pelo autor. No caso das wavelets biortogonais tipo FIR é possível obter filtros wavelet simé- tricos. No entanto, diferentemente do caso ortogonal, muitos desses filtros apresentam variações consideráveis na faixa de ganho de sua resposta em frequência. Assim, no pro- cesso de análise de sinais, os filtros biortogonais podem comprometer sua avaliação, devido ao fato de que o ganho pode ser diferente para as frequências pertencentes a faixa de passa- gem. Na Figura 7 são mostrados os espectros de magnitude para alguns filtros biorNr.Nd. Em linha contínua mostra-se o espectro de magnitude do filtro passa-baixa de decompo- sição, e em linha tracejada é mostrado o espectro de magnitude do filtro passa-alta da decomposição. Note que, exceto para bior6.8, a variação do ganho na faixa de passagem é significativa. Portanto, utilizando a decomposição de um sinal via FWT, podemos dizer que filtros wavelet ortogonais e biortogonais podem implicar distorções de fase e de ganho, respectivamente. Consequentemente, em aplicações onde se deseja obter uma representa- ção mais precisa do sinal em um determinado nível de resolução, pode ser que, utilizando estes filtros, não se tenha uma boa representação (veja o exemplo da Seção 5.2.1). Conforme pode ser visto em Zhao e Swamy (2000), pode-se obter filtros wavelet quase-ortogonais do tipo FIR com fase linear e ganho praticamente constante na faixa de passagem. Por isso, justifica-se o estudo de bases wavelets quase-ortogonais onde se pode ativar tais propriedades. Dependendo da aplicação, um NOWFB pode ser mais indicado do que um OWFB ou BWFB. De fato, a vantagem de se optar por um NOWFB que não implique em distorção de fase e consideráveis distorções de ganho está no processo de decomposição da FWT. Capítulo 3. BANCO DE FILTROS WAVELET 46 Figura 7 – Espectro de magnitude dos filtros wavelet biortogonais passa-baixa (linha contínua) e passa-alta (linha tracejada) de decomposição: bior2.2, bior2.4, bior3.3, bior3.9, bior4.4, bior6.8. 0.5 1 1.5 bior2.2 0.5 1 1.5 bior2.4 0.5 1 1.5 2 bior3.3 0.5 1 1.5 2 bior3.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 bior4.4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 bior6.8 Passa-baixa Passa-alta ω/πω/π A m p li tu d e A m p li tu d e A m p li tu d e A m p li tu d e A m p li tu d e A m p li tu d e Fonte: Elaborado pelo autor. Neste trabalho, propõe-se uma nova metodologia de projeto de filtros wavelet quase-ortogonais do tipo FIR. Tais filtros possuem resposta ao impulso simétrica e podem implicar ganhos aproximadamente constantes na faixa de passagem. No próximo capítulo será apresentado um método que possibilita obter filtros semi-conjugados simétricos a par- tir de uma wavelet não-ortogonal. Tal método é baseado em dois resultados da literatura: cálculo da função escala associada a wavelet e o processo de ortogonalização da função escala. A partir dessa metodologia, pode-se calcular uma versão quase-ortogonalizada de uma função wavelet e utilizá-la em aplicações que envolvam a FWT. 47 4 PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET Conforme visto no Capítulo 3, o projeto de um OWFB se resume em projetar um filtro conjugado apropriado. De forma semelhante, o projeto de um NOWFB pode ser resumido em projetar um filtro semi-conjugado. Neste capítulo, propõe-se uma nova metodologia para extrair um filtro semi-conjugado a partir de uma wavelet não-ortogonal e que, a partir deste filtro, pode-se obter uma versão quase-ortogonalizada da wavelet associada. Como será visto, o método proposto não restringe um número específico de zeros em z = −1. Isso permite uma flexibilização para o projeto de filtros semi-conjugados de acordo com as especificações desejadas conforme será descrito no Capítulo 5. 4.1 MÉTODO PROPOSTO Wavelets não-ortogonais não possuem filtros conjugados associados e, por isso, não podem ser utilizadas em aplicações envolvendo a FWT. Entretanto, por meio da metodologia proposta, pode-se extrair filtros semi-conjugados a partir dessas wavelets. Desse modo, por meio destes filtros, é possível obter uma versão quase-ortogonalizada da wavelet não-ortogonal, o que possibilita a utilizações das mesmas em aplicações que envolvem a FWT. O método proposto tem como ponto de partida o cálculo da função escala associ- ada: |Θ(Ω)| = √∫ +∞ Ω |Ψ(ξ)|2 ξ dξ. (63) Conforme descrito em Mallat (1999), se a CWT for calculada para um número finito de escalas, é necessário usar um complemento de informação para recuperar o sinal decom- posto. Isso é possível calculando uma função escala associada θ(t) conforme Equação (63), onde o espectro de fase de θ(t) pode ser escolhido arbitrariamente (MALLAT, 1999). A função escala calculada em (63) não é ortogonal, uma vez que é obtida a partir de uma wavelet não-ortogonal. Entretanto, existe uma estratégia para ortogonalizá-la. Com base nos resultados da MRA, em Daubechies (1992) é fornecida um procedimento para a construção de bases wavelets ortogonais partindo de uma função escala não-ortogonal. Para isso, é necessário que {θ(t− k)}k∈Z seja uma base Riesz, e que θ(t) satisfaça θ(t) = ∑ n c[n]θ(2t− n), (64) sendo c[n] uma sequência discreta que satisfaz ∑ n |c[n]|2 <∞. Logo, θ(t) pode ser ortogo- nalizada utilizando (21). Dessa forma, a base wavelet ortogonal pode ser obtida por meio de (28). Capítulo 4. PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 48 A estratégia descrita acima foi utilizada em Battle (1987) e em Lemarié (1988) para obter as wavelets da família Battle-Lemarié. Nos dois trabalhos, as funções Splines são definidas como as funções escala não-ortogonais. Esse procedimento também foi apre- sentado como exemplos em Mallat (1989b) e Daubechies (1992). Entretanto, nem sempre é fácil construir funções básicas que satisfazem a condição (64), cuja definição de θ(t) é recursiva. Uma vez que o interesse neste trabalho está em se obter filtros semi-conjugados, definimos uma estratégia semelhante a utilizada em Daubechies (1992), mas que descon- sidera a necessidade de verificar a condição (64). Assim, para o método proposto, se a função obtida em (63) satisfaz (20), então, sem verificar a condição (64), aplica-se o pro- cesso de ortogonalização (21) para obter uma função escala quase-ortogonal. A estratégia pode ser resumida utilizando os seguintes passos: PASSO 1: Calcular a FT da wavelet ψ(t) não-ortogonal: Ψ(Ω) = ∫ +∞ −∞ ψ(t) e−j Ω t dt. PASSO 2: Obter a FT da função escala associada, considerando que a fase seja nula: Θ(Ω) = √∫ +∞ Ω |Ψ(ξ)|2 ξ dξ. PASSO 3: Verificar se 0 < +∞∑ k=−∞ |Θ(Ω− 2πk)|2 <∞. PASSO 4: Se o PASSO 3 se verifica, aplicar o processo de ortogonalização: Φ(Ω) = Θ(Ω) ( ∑ k |Θ(Ω− 2πk)|2)1/2 . PASSO 5: Calcular o filtro semi-conjugado: H(ω) = √ 2 Φ(2ω) Φ(ω) . PASSO 6: Obter a versão quase-ortogonalizada da wavelet: Ψ#(Ω) = 1√ 2 e−jω/2H∗ (ω/2 + π) Φ (Ω/2) . Assim, diferente da estratégia adotada para obter as wavelets Battle-Lemarié por exemplo, esta metodologia utiliza como ponto de partida uma função escala associada a uma wavelet não-ortogonal. Além disso, uma vez que a condição (64) não é verificada, define-se o filtro H(ω) obtido no PASSO 5 como sendo um filtro semi-conjugado. Na Capítulo 4. PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 49 Figura 8 – Processo de quase-ortogonalização wavelet. 0p s i -2 0 2 Wpi0 2 T h 0 1 P S S I 0 1 P h i2 -2 0 2 Wpi 0 1 p h i -4 0 4 wpi0 1.5 H 2 -1 0 1 wpi0 1.5 H 1 -10 0 10 t -1 0 1 p s i2 ψ(t) Θ(Ω) Φ(Ω) H(ω)|Ψ#(Ω)| Φ(Ω/2) |G(Ω/2)| ψ#(t) × (63) (21) (25) (29) (28) FT inversa Fonte: Elaborado pelo autor. Figura 8 é mostrado o resumo do método proposta, fornecendo a estratégia para se ob- ter uma versão quase-ortogonalizada de uma wavelet, denotada por ψ#(t). O método proposto é chamado de processo de quase-ortogonalização wavelet (WQOP - Wavelet Quasi-Orthogonalization Process). O método WQOP fornece uma maneira simples de obter uma versão quase-orto- gonalizada de uma wavelet, utilizando apenas manipulações algébricas e, possivelmente, soluções numéricas para o cálculo de integrais. Observe que o método é modelado utili- zando apenas resultados clássicos da MRA e da teoria wavelet. Aplicando o método WQOP é possível obter um filtro semi-conjugado associado a uma wavelet não-ortogonal. Como será visto no próximo capítulo, tal filtro pode ser uti- lizado para projetar um NOWFB que, de certo modo, pode representar a implementação discreta da versão quase-ortogonalizada de uma wavelet. Na Seção 4.1.1, será mostrado um exemplo onde o método proposto foi aplicado em uma wavelet clássica. 4.1.1 Versão quase-ortogonalizada da wavelet Mexican hat Como exemplo, o método proposto WQOP é aplicado para obter uma versão quase-ortogonalizada da wavelet Mexican hat definida em (6), conforme cada passo a ser considerado: Capítulo 4. PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 50 PASSO 1: Calculando a FT da Mexican hat obtém-se Ψmh(Ω) = √ 8π1/4 √ 3 Ω2e−Ω2/2. (65) PASSO 2: Substituindo (65) em (63), obtém-se a seguinte função escala: Θmh(Ω) = 2 π1/4 √ 3 √ Ω2 + 1 e−Ω2/2. (66) PASSO 3: Neste caso, não é possível obter uma expressão fechada para ∑ k |Θmh(Ω− 2πk)|2. Entretanto, pode ser verificado que Θmh(Ω) ∈ L2(R) possui um decaimento razoável e é estritamente positiva. Isso implica que 0 < ∑ k |Θmh(Ω− 2πk)|2 <∞. Portanto, Θmh(Ω) satisfaz a condição (20). PASSO 4: Considerando k = −1, 0, 1 em (21), obtém-se a seguinte expressão para a função escala quase-ortogonal: Φmh(Ω) = e−Ω2/2 √ Ω2 + 1√ e−(Ω+2π)2 (e4π(Ω+π)(Ω2 + 1) + (Ω + 2π)2 + e8πΩ((Ω− 2π)2 + 1) + 1) . (67) PASSO 5: Substituindo (67) em (25) obtém-se o filtro semi-conjugado Hmh(ω) asso- ciado a wavelet Mexican hat. Na Tabela 3 são fornecidos os coeficientes do filtro semi-conjugado da Mexican hat para valores de k tais que hmh[k] > 10−3. Ob- servando o comportamento destes coeficientes, nota-se que hmh[k] −→ 0 quando |k| −→ ∞. Note também que este filtro é simétrico em torno de k = 0. Tal carac- terísitca também pode ser observada para alguns filtros wavelet de Battle-Lemarié (MALLAT, 1999). PASSO 6: Por fim, a partir deHmh(ω) e Φmh(Ω) obtém-se a versão quase-ortogonalizada da wavelet Mexican hat Ψ#mh(Ω) por meio de (28). Na Figura 9, são exibidas as formas de onda das wavelets Mexican hat e de sua versão quase-ortogonalizada nos domínios do tempo e da frequência. Conforme pode ser observado, o WQOP implicou uma mudança considerável no formato de onda original. A forma de onda da wavelet Ψ#mh(Ω) exibida na Figura 9-(a) foi obtida por meio do algoritmo em cascata, que é o mesmo processo utilizado para obter outras formas de onda de wavelets que não possuem expressões analíticas, como as wavelets de Daubechies por exemplo (DAUBECHIES, 1992). Capítulo 4. PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 51 Tabela 3 – Coeficientes do filtro hmh[k] para hmh[k] > 10−3. k hmh[k] k hmh[k] k hmh[k] k hmh[k] 0 0,73446609 7,-7 -0,04539885 14,-14 -0,00689057 21,-21 0,00324572 1,-1 0,44650585 8,-8 0,01562461 15,-15 -0,00918078 22,-22 -0,00207958 2,-2 -0,02626839 9,-9 0,02927792 16,-16 0,00512947 23,-23 -0,00233034 3,-3 -0,13970634 10,-10 -0,01210267 17,-17 0,00643124 24,-24 0,00153707 4,-4 0,02337827 11,-11 -0,01949882 18,-18 -0,00380280 25,-25 0,00168220 5,-5 0,07451062 12,-12 0,00918870 19,-19 -0,00455044 26,-26 -0,00113650 6,-6 -0,01955379 13,-13 0,01327179 20,-20 0,00281335 27,-27 -0,00121980 Fonte: Elaborado pelo autor. Figura 9 – Mexican hat quase-ortogonalizada no domínio do (a) tempo e da (b) frequên- cia. Mexican hat no domínio do (c) tempo e da (d) frequência. -10 -5 0 5 10 -1 -0.5 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -10 -5 0 5 10 -1 -0.5 0 0.5 1 0 2 4 6 8 10 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 (a) (b) (c) (d) ψ # m h (t ) ψ m h (t ) |Ψ m h (Ω )| |Ψ # m h (Ω )| tt ΩΩ Fonte: Elaborado pelo autor. Observando a Figura 9-(b), pode ser verificado que a energia da wavelet Mexi- can hat quase-ortogonalizada é aproximadamente concentrada no intervalo (−2π,−π) ∪ (π, 2π). Existem outras wavelets ortogonais onde Ψ(Ω) possui energia concentrada neste mesmo intervalo, como a wavelet de Meyer e algumas wavelets de Battle-Lemarié (MAL- LAT, 1999; DAUBECHIES, 1992). Na Figura 10 mostra-se as formas de onda destas wavelets e da wavelet Mexican hat quase-ortogonalizada, nos domínios do tempo e da frequência. Verifica-se grande similiaridade entre estas wavelets nos respectivos domínios. 4.2 CARACTERIZAÇÃO DOS FILTROS SEMI-CONJUGADOS Conforme pode ser observado, o filtro semi-conjugado obtido a partir da wavelet Mexican hat possui um comprimento relativamente longo (possivelmente IIR). De fato, tal comportamento pode ser verificado para outros filtros semi-conjugados obtidos pelo Capítulo 4. PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 52 Figura 10 – Wavelets Meyer (traço preto), Battle-Lemarié (traço azul) e Mexican hat quase-ortogonalizada (traço vermelho) nos domínios (a) tempo e (b) frequência. -6 -4 -2 0 2 4 6 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Meyer Battle-Lemarié Mexican hat quase-ortogonalizada 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 Meyer Battle-Lemarié Mexican hat quase-ortogonalizada (a) (b) ψ (t ) |Ψ (Ω )| t Ω Fonte: Elaborado pelo autor. WQOP. Entretanto, pode ser observado para estes filtros que h[k] −→ 0 para |k| −→ ∞. Assim, tais filtros podem ser truncados a fim de reduzir o número de coeficientes. Verificou- se que dependendo da ordem do truncamento, a condição (26) não é consideravelmente comprometida, mantendo-se assim, a característica de um filtro semi-conjugado. Dessa forma, a partir do filtro semi-conjugado h[k] e tomando L = M+1 amostras é possível obter um filtro FIR causal e simétrico hL[k]: hL[k] =    h[k −M/2] se 0 ≤ k ≤M = L− 1. 0 caso contrário. , (68) onde hL[k] = hL[M − k] para 0 ≤ k ≤ M = L − 1, com M par. Isso implica em filtros FIR simétricos de ordem ímpar e com atraso de grupo constante e inteiro. Assim, no contexto de processamento de sinais, o filtro truncado hL[k] é um filtro FIR do tipo 1 (OPPENHEIM; SCHAFER, 1989). De fato, o truncamento em (68) implica em desvios nas faixas de passagem e rejeição, contribuindo para um maior desvio de ortogonalidade. Nas próximas seções, os filtros semi-conjugados obtidos pelo WQOP serão caracterizados de acordo com os desvios de ortogonalidade e características de banda. Na Seção 4.2.1 será definida uma métrica que permite quantificar os desvios de ortogonalidade de maneira simples. As frequências de passagem e de rejeição serão definidas na 4.2.2. Na Seção 4.2.3 serão definidas tolerâncias de desvios de ortogonalidade, que servirão como referência para obter o comprimento apropriado do filtro semi-conjugado. Capítulo 4. PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 53 4.2.1 Quantificação dos desvios de ortogonalidade Para quantificar os desvios de ortogonalidade dos filtros semi-conjugados é ne- cessário definir uma métrica que deve ser baseada na condição (26). Em Zhao e Swamy (2000) os autores utilizaram a condição (54) para minimizar os desvios de ortogonalidade. Neste trabalho será definida uma métrica mais simples e prática, que não dependa de um processo de integração. Para este propósito, definimos uma função que representa os desvios de ortogonalidade como sendo DHL (ω) = ||HL(ω)|2 + |HL(ω + π)|2 − 2|, (69) onde HL(ω) é a DTFT de hL[k]. Tal função é denominada de função desvio de ortogona- lidade (Orthogonality Deviation Function - ODF), uma vez que ela caracteriza os desvios da PCC. A partir da ODF define-se uma métrica que irá quantificar os desvios de ortogona- lidade dos filtros semi-conjugados obtidos pelo método WQOP. Uma vez que os desvios de ortogonalidade dependem diretamente da ordem do truncamento, define-se δH [L] = max 0≤ω<π {DHL (ω)} , (70) como sendo o máximo desvio de ortogonalidade (Maximum Orthogonality Deviation - MOD) apresentado pelo filtro HL(ω). É de se esperar que quanto maior for L, menor será o MOD apresentado pelo filtro semi-conjugado. Como exemplo, na Figura 11-(a) é mostrado o resultado da ODF relativo ao truncamento de hmh[k] considerando L = 69. Tal truncamento implica aproxi- madamente δHmh [69] ≈ 0, 007. A Figura 11-(b) exibe o MOD do filtro Mexican hat, para cada comprimento do truncamento considerado. Observe que quanto maior for este valor, menor será o desvio de ortogonalidade. De fato, utilizando o método proposto, o filtro semi-conjugado obtido não se anula em z = −1. Para a Mexican hat, por exemplo, observa-se que Hmh(π) ≈ 3, 4 × 10−8. Portanto, é de se esperar que filtros obtidos pela metodologia proposta impliquem δHmin ≤ δH [L], (71) onde δHmin denota o mínimo desvio de ortogonalidade (Minimum Orthogonality Deviation - MIOD) possível do filtro semi-conjugado. Como discutido na Seção 3.3.1, este resultado não apenas compromete a condição de ortogonalidade, mas também a condição de ad- missibilidade. Como será visto na Seção 4.3, o valor de δHmin depende da função escala associada. Na Tabela 4 são exibidos os desvios de ortogonalidade dos filtros semi-conjugados das wavelets OQB, NO5b e ER3. Em tal Tabela são fornecidos o comprimento L dos Capítulo 4. PROCESSO DE QUASE-ORTOGONALIZAÇÃO WAVELET 54 Figura 11 – Resultados obtidos pelo filtro Mexican hat. (a) ODF para L = 69. (b) MOD para cada valor de L considerado 9 ≤ L ≤ 97. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 0 0.005 0.01 9 17 25 33 41 49 57 65 73 81 89 97 0 0.2 0.4 0.6 0.8 D H m h L (ω ) ω/π δ H m h [L ] (a) (b) L Fonte: Elaborado pelo autor. respectivos filtros e os valores de δh[L] e HL(π). Note que a wavelet OQB é a única que apresenta HL(π) 6= 0, uma vez que as wavelets NO5b e ER3 são projetadas restringindo um número de zeros em z = −1. Note que a NO5b foi a que apresentou menor δh[L], enquanto que ER3 apresentou um valor consideravelmente grande. OQB apresentou um MOD relativamente pequeno, mostrando que, apesar de não implicar HL(π) = 0, é possível obter desvios de ortogonalidade relativamente pequenos. Tabela 4 – Desvios de ortogonalidade dos filtros semi-conjugados das wavelets OQB, NO5b e ER3. Wavelet L δh[L] HL(π) OQB 20 0,0021 0,0026 NO5b 32 0,0004 0 ER3 6 0,1250 0 Fonte: Elaborado pelo autor. A fim de verificar os ganhos dos filtros OQB, NO5b e ER3 nas faixas de passagem e de rejeição, na Figura 12 são exibidos os espectros de magnitude (em dB) dos mesmos nas respectivas faixas. Conforme pode ser observado, as distorções de ganho apresentadas pelos filtros OQB e NO5b são praticamente irrelevantes. Por isso, pode-se dizer que estes filtros possuem ganho praticamente constante na faixa de passagem. Por outro