UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Instituto de Ciência e Tecnologia Campus de Sorocaba ALEXANDRE BORGES MARCELO CONTRIBUIÇÕES NA MODELAGEM E PROJETO DE CONTROLADORES PARA CONVERSORES CC-CC DO TIPO BOOST EM ARQUITETURA CELULAR OPERANDO NO MODO DE CONDUÇÃO CRÍTICA Sorocaba 2020 ALEXANDRE BORGES MARCELO CONTRIBUIÇÕES NA MODELAGEM E PROJETO DE CONTROLADORES PARA CONVERSORES CC-CC DO TIPO BOOST EM ARQUITETURA CELULAR OPERANDO NO MODO DE CONDUÇÃO CRÍTICA Dissertação apresentada ao Instituto de Ciência e Tecnologia de Sorocaba, Universidade Estadual Paulista (UNESP), como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Orientador: Prof. Dr. Flávio Alessandro Serrão Gonçalves Coorientador: Prof. Dr. Fernando Pinhabel Marafão Sorocaba 2020 M314c Marcelo, Alexandre Borges Contribuições na modelagem e projeto de controladores para conversores CC-CC do tipo boost em arquitetura celular operando no modo de condução crítica / Alexandre Borges Marcelo. -- Sorocaba, 2020 144 p. : il., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Ciência e Tecnologia, Sorocaba Orientador: Flávio Alessandro Serrão Gonçalves Coorientador: Fernando Pinhabel Marafão 1. Circuitos de comutação. 2. Circuitos elétricos não-lineares. 3. Modelos matemáticos. 4. Sistemas lineares de controle. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de Ciência e Tecnologia, Sorocaba. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Câmpus de Sorocaba CERTIFICADO DE APROVAÇÃO TÍTULO DA DISSERTAÇÃO: Contribuições na Modelagem e Projeto de Controladores para Conversores CC-CC do Tipo Boost em Arquitetura Celular Operando no Modo de Condução Crítica AUTOR: ALEXANDRE BORGES MARCELO ORIENTADOR: FLÁVIO ALESSANDRO SERRÃO GONÇALVES COORIENTADOR: FERNANDO PINHABEL MARAFAO Aprovado como parte das exigências para obtenção do Título de Mestre em ENGENHARIA ELÉTRICA, área: Sistemas Eletrônicos pela Comissão Examinadora: Prof. Dr. FLÁVIO ALESSANDRO SERRÃO GONÇALVES Departamento de Engenharia de Controle e Automação / Instituto de Ciência e Tecnologia - UNESP - Câmpus de Sorocaba Prof. Dr. HELMO KELIS MORALES PAREDES Departamento de Engenharia de Controle e Automação / Instituto de Ciência e Tecnologia - UNESP - Câmpus de Sorocaba Prof. Dr. JAKSON PAULO BONALDO Departamento de Engenharia Eletrônica / Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Sorocaba, 28 de maio de 2020 Instituto de Ciência e Tecnologia - Câmpus de Sorocaba - Três de Março, 511, 18087180, Sorocaba - São Paulo http://www.sorocaba.unesp.br/#!/pos-graduacao/--engenharia-eletrica-local/CNPJ: 48031918003573. Dedico este trabalho à minha esposa Juliana e à minha filha Amanda, por batalharem ao meu lado durante essa grande jornada. AGRADECIMENTOS À UNESP – Universidade Estadual Paulista, Campus de Sorocaba. Ao professor Flávio Alessandro Serrão Gonçalves pela oportunidade de desenvolver este trabalho, bem como sua orientação e, principalmente, sua paciência. Ao professor Fernando Pinhabel Marafão, pela disposição em sua co-orientação e seu incentivo. Ao mestre Marcelo Nogueira Tirolli, pelo auxílio indispensável e companheirismo. Às doutoras Maria Sílvia B.F. de Moraes e Márcia R.C. do Carmo, pelo apoio profissional. À minha esposa Juliana e minha filha Amanda, por estarem sempre ao meu lado, e aos meus pais, Gerson e Eliana, pelo constante apoio e incentivo. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. “In the beginner’s mind there are many possibilities, but in the expert’s there are few” – Shunryu Suzuki RESUMO Este trabalho aborda o desenvolvimento e a avaliação de modelos matemáticos aplicados à análise e projeto do conversor CC-CC do tipo Boost, operando em modo de condução crítica (MCCr). Por meio de análises qualitativas e quantitativas, o trabalho traz subsídios para avaliação da aderência e eficácia da técnica de simplificação convencional, considerando modelos desenvolvidos para frequência constante, em comparação com modelos fundamen- tados para a operação em MCCr. Além disso, este trabalho também apresenta e analisa a expansão dos modelos desenvolvidos, para representar de forma geral os conversores compostos por múltiplas células de potência do tipo Boost, em uma arquitetura paralela e com a aplicação da técnica de entrelaçamento. Os desenvolvimentos dos modelos matemá- ticos se fundamentam na técnica de modelagem de valor médio, empregando inicialmente sua forma clássica, que considera a perturbação da razão cíclica enquanto mantém uma frequência de comutação constante. Em seguida, o trabalho apresenta o desenvolvimento de um novo modelo, diverso da forma clássica, baseado em uma perturbação no período de comutação, cuja variabilidade é característica inerente do MCCr. Os modelos matemáticos desenvolvidos são classificados com relação as ordens das funções de transferência, sendo denominados de modelo de ordem reduzida e modelo de ordem completa. Os modelos desenvolvidos são empregados em metodologias de projeto de controladores lineares (PI), visando prover a regulação da tensão de saída, e avaliados com relação aos efeitos resultan- tes na operação frente a distúrbios (carga, tensão de entrada e razão cíclica). Por fim, com o objetivo de validar as análises, resultados de simulações computacionais desenvolvidas no ambiente Simulink do software MATLAB são apresentados, considerando o comportamento de conversores Boost operando no MCD e no MCCr, e com dois arranjos de células de potência (uma ou duas com a técnica de entrelaçamento). Palavras-chave: Modelos matemáticos. Circuitos de comutação. Circuitos elétricos não- lineares. Sistemas lineares de controle. ABSTRACT This work deals with the development and evaluation of mathematical models applied to the analysis and design of the Boost DC-DC converter operating in critical conduction mode (MCCr). Through qualitative and quantitative analysis, the work provides subsidies for assessing the adherence and effectiveness of the conventional simplification technique, considering models developed for constant frequency, in comparison with models based on the operation in MCCr. In addition, this work also presents and analyzes the expansion of the developed models, to represent in general the converters composed of multiple power cells of the type Boost, in a parallel architecture and with the application of the interleaving technique. The developments in mathematical models are based on average value modeling technique, initially using its classic form, which considers the disturbance of the duty cycle while maintaining a constant switching frequency. Then, the work presents the development of a new model, different from the classic form, based on a disturbance in the switching period, whose variability an inherent characteristic of MCCr. The mathematical models developed are classified in relation to the orders of the transfer functions, being called the reduced order model and the full order model. The developed models are used in methodologies of design of linear controllers (PI), aiming to provide the regulation of the output voltage, and evaluated in relation to the resulting effects in the operation in the face of disturbances (load, input voltage and duty cycle). Finally, in order to validate the analyzes, results of computational simulations developed in MATLAB’s Simulink environment are presented, considering the behavior of Boost converters operating in the MCD and MCCr, and with two power cell arrangements (one or two with the technique interleaving). Keywords: Mathematical models. Switching circuits. Nonlinear electric circuits. Linear control systems. LISTA DE FIGURAS FIGURA 1.1 – Conversor CC-CC elevador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 FIGURA 1.2 – Entrelaçamento de conversores em MCCr. . . . . . . . . . . . . . . . 24 FIGURA 2.1 – Funcionamento e formas de ondas em MCC. . . . . . . . . . . . . . 30 FIGURA 2.2 – Funcionamento e formas de ondas em MCD. . . . . . . . . . . . . . 33 FIGURA 2.3 – Funcionamento e formas de ondas em MCCr. . . . . . . . . . . . . . 38 FIGURA 3.1 – Diagrama de controle por modo de tensão do conversor CC-CC Boost. 47 FIGURA 3.2 – Resposta em frequência de v̂o em função de d̂ para o MCD. . . . . . 51 FIGURA 3.3 – Variação relativa a GPMCD (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 FIGURA 3.4 – Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCD. . . . . 52 FIGURA 3.5 – Variação relativa a GGMCD (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 FIGURA 3.6 – Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCD. . . . . . 53 FIGURA 3.7 – Variação relativa a GJMCD (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 FIGURA 3.8 – Resposta em frequência de v̂o em função de d̂ para o MCD com N células. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 FIGURA 3.9 – Variação relativa a GPsMCD (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 FIGURA 3.10–Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCD com N células. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 FIGURA 3.11–Variação relativa a GGsMCD (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 FIGURA 3.12–Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCD com N células. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 FIGURA 3.13–Variação relativa a GJsMCD (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 FIGURA 3.14–Resposta em frequência de v̂o em função de ˆton para o MCCr. . . . . 60 FIGURA 3.15–Variação relativa a GPMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 FIGURA 3.16–Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCCr. . . . . 61 FIGURA 3.17–Variação relativa a GGMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 FIGURA 3.18–Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCCr. . . . . 62 FIGURA 3.19–Variação relativa a GJMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 FIGURA 3.20–Resposta em frequência de v̂o em função de ˆton para o MCCr com N células. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 FIGURA 3.21–Variação relativa a GPMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 FIGURA 3.22–Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCCr com N células. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 FIGURA 3.23–Variação relativa a GGMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 FIGURA 3.24–Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCCr com N células. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 FIGURA 3.25–Variação relativa a GJMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 FIGURA 3.26–Resposta em frequência de v̂o em função de ˆton, modelos de ordem completa para o MCCr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 FIGURA 3.27–Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in, modelos de ordem completa para o MCCr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 FIGURA 3.28–Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo, modelos de ordem completa para o MCCr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 FIGURA 3.29–Resposta em frequência de v̂o em função de ˆton para o MCCr. . . . . 71 FIGURA 3.30–Variação relativa a GPMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 FIGURA 3.31–Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCCr. . . . . 72 FIGURA 3.32–Variação relativa a GGMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 FIGURA 3.33–Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCCr. . . . . 73 FIGURA 3.34–Variação relativa a GJMCCr (s). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 FIGURA 3.35–Diagrama de blocos do sistema controlado. . . . . . . . . . . . . . . 74 FIGURA 4.1 – Diagrama de blocos do sistema controlado, com distúrbios. . . . . . 79 FIGURA 4.2 – Implementação da equação (4.4) no Simulink. . . . . . . . . . . . . . 81 FIGURA 4.3 – Subsistema completo do bloco Conversor por modelos. . . . . . . . . 81 FIGURA 4.4 – Implementação da equação (4.8) no Simulink. . . . . . . . . . . . . . 82 FIGURA 4.5 – Subsistema do circuito chaveado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 FIGURA 4.6 – Subsistema completo do bloco conversor chaveado em MCD. . . . . 83 FIGURA 4.7 – Subsistema completo do bloco conversor chaveado em MCCr. . . . . 83 FIGURA 4.8 – Subsistema PWM no bloco Conversor chaveado em MCCr. . . . . . 84 FIGURA 4.9 – Subsistema completo do bloco Conversor chaveado em MCD com duas células e técnica de entrelaçamento. . . . . . . . . . . . . . . . 85 FIGURA 4.10–Subsistema completo do bloco Conversor chaveado em MCCr com duas células e técnica de entrelaçamento. . . . . . . . . . . . . . . . 85 FIGURA 4.11–Subsistema PWM no bloco Conversor chaveado em MCCr com duas células. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 FIGURA 4.12–Sistema completo por modelos em MCD. . . . . . . . . . . . . . . . 87 FIGURA 4.13–Linha de tempo dos sinais externos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 FIGURA 4.14–Subsistema do controlador PI em MCD. . . . . . . . . . . . . . . . . 88 FIGURA 4.15–Sistema completo chaveado em MCD. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 FIGURA 4.16–Sistema completo chaveado em MCCr. . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 FIGURA 4.17–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com controlador C1sMCD . 89 FIGURA 4.18–Detalhe da tensão de saída do sistema chaveado em MCD com controlador C1sMCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 FIGURA 4.19–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com controlador C1sMCD . 90 FIGURA 4.20–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com controlador C1rsMCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 FIGURA 4.21–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com controlador C3sMCD . 92 FIGURA 4.22–Perturbação da razão cíclica do sistema chaveado em MCD com controlador C3sMCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 FIGURA 4.23–Perturbação da tensão de entrada do sistema chaveado em MCD com controlador C3sMCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 FIGURA 4.24–Variação da carga do sistema chaveado em MCD com controlador C3sMCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 FIGURA 4.25–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com controlador C3rsMCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 FIGURA 4.26–Tensão de saída dos sistemas chaveados em MCD. . . . . . . . . . . 94 FIGURA 4.27–Detalhe da tensão de saída dos sistemas chaveados em MCD. . . . . 95 FIGURA 4.28–Detalhe da tensão de saída dos sistemas por modelos em MCD. . . . 95 FIGURA 4.29–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica aditiva com controlador C1NsMCD . . . . . . . . . . . . . . . . 96 FIGURA 4.30–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica aditiva com controlador C1NsMCD . . . . . . . . . . . . . . 96 FIGURA 4.31–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica aditiva com controlador C1NsMCD . . . . . . . 97 FIGURA 4.32–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCD . . . . . . . . . . 97 FIGURA 4.33–Detalhe da tensão de saída do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCD . . . . 97 FIGURA 4.34–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCD . . . . . . . . 98 FIGURA 4.35–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCD . 98 FIGURA 4.36–Tensão de saída dos sistemas chaveados e por modelos em MCD com duas células com controlador C1NsMCD . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 FIGURA 4.37–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica aditiva com controlador C3NsMCD . . . . . . . . . . . . . . . . 99 FIGURA 4.38–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica aditiva com controlador C3NsMCD . . . . . . . . . . . . . . 100 FIGURA 4.39–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica aditiva com controlador C3NsMCD . . . . . . . 100 FIGURA 4.40–Tensão de saída do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCD . . . . . . . . . . 101 FIGURA 4.41–Detalhe da tensão de saída do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCD . . . . 101 FIGURA 4.42–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCD . . . . . . . . 102 FIGURA 4.43–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCD com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCD . 102 FIGURA 4.44–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C1sMCCr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 FIGURA 4.45–Detalhe da tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C1sMCCr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 FIGURA 4.46–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C1sMCCr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 FIGURA 4.47–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C1rsMCCr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 FIGURA 4.48–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C1s∗ MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 FIGURA 4.49–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C1rs∗ MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 FIGURA 4.50–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C3sMCCr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 FIGURA 4.51–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C3s∗ MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 FIGURA 4.52–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com controlador C3rs∗ MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 FIGURA 4.53–Tensão de saída dos sistemas chaveados em MCCr. . . . . . . . . . . 108 FIGURA 4.54–Detalhe da tensão de saída dos sistemas chaveados em MCCr. . . . . 109 FIGURA 4.55–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica aditiva com controlador C1NsMCCr . . . . . . . . . . . . . . . . 109 FIGURA 4.56–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica aditiva com controlador C1NsMCCr . . . . . . . . . . . . . . 110 FIGURA 4.57–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica aditiva com controlador C1NsMCCr . . . . . . . 110 FIGURA 4.58–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCCr . . . . . . . . . 110 FIGURA 4.59–Detalhe da tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCCr . . . 111 FIGURA 4.60–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCCr . . . . . . . 111 FIGURA 4.61–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C1NsMCCr .112 FIGURA 4.62–Tensão de saída dos sistemas chaveados e por modelos em MCCr com duas células com controlador C1NsMCCr . . . . . . . . . . . . . . 112 FIGURA 4.63–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica aditiva com controlador C3NsMCCr . . . . . . . . . . . . . . . . 113 FIGURA 4.64–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica aditiva com controlador C3NsMCCr . . . . . . . . . . . . . . 113 FIGURA 4.65–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica aditiva com controlador C3NsMCCr . . . . . . . 113 FIGURA 4.66–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr . . . . . . . . . 114 FIGURA 4.67–Detalhe da tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr . . . 114 FIGURA 4.68–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr . . . . . . . 115 FIGURA 4.69–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr .115 FIGURA 4.70–Tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr ajustado. . . . 116 FIGURA 4.71–Detalhe da tensão de saída do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr ajustado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 FIGURA 4.72–Corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr ajustado. . 117 FIGURA 4.73–Detalhe da corrente de entrada do sistema chaveado em MCCr com duas células em técnica de entrelaçamento com controlador C3NsMCCr ajustado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 FIGURA 4.74–Diagrama Kiviat da Tabela 4.1 normalizada. . . . . . . . . . . . . . 118 FIGURA 4.75–Comparação relativa da Tabela 4.1 normalizada. . . . . . . . . . . . 118 FIGURA 4.76–Diagrama Kiviat da Tabela 4.2 normalizada. . . . . . . . . . . . . . 119 FIGURA 4.77–Comparação relativa da Tabela 4.2 normalizada. . . . . . . . . . . . 119 FIGURA 4.78–Diagrama Kiviat da Tabela 4.3 normalizada. . . . . . . . . . . . . . 120 FIGURA 4.79–Comparação relativa da Tabela 4.3 normalizada. . . . . . . . . . . . 121 FIGURA 4.80–Diagrama Kiviat da Tabela 4.4 normalizada. . . . . . . . . . . . . . 121 FIGURA 4.81–Comparação relativa da Tabela 4.4 normalizada. . . . . . . . . . . . 122 FIGURA B.1 –Circuito genérico de dois processos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 FIGURA B.2 –Tensão de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 FIGURA B.3 –Detalhe da tensão de saída . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 FIGURA B.4 –Correntes nos indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 FIGURA B.5 –Detalhe das correntes nos indutores . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.1 Estrutura do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS . . . . . . . . . . . . 29 2.1 Modelagem por Valores Médios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.1.1 Modo de Condução Contínua (MCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Modo de Condução Descontínua (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.3 Modo de Condução Crítica (MCCr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2 Extensão da Modelagem para Arquitetura Celular . . . . . . . . 41 2.2.1 Modo de Condução Contínua (MCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.2 Modo de Condução Descontínua (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.3 Modo de Condução Crítica (MCCr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3 PROJETO DE CONTROLADORES . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1 Especificações de Operação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Análise dos Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Modo de Condução Descontínua (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Modo de Condução Crítica (MCCr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.3 Parâmetros do Controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.3.1 Controlador Proporcional-Integrativo (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.3.1.1 Modo de Condução Descontínua (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3.1.2 Modo de Condução Crítica (MCCr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 4 SIMULAÇÃO DO SISTEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1 Implementação do Sistema Simulado . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Desenvolvimento do Sistema por Meio dos Modelos . . . . . . . . . . . 80 4.1.2 Desenvolvimento do Sistema por Meio de Circuitos Chaveados . . . . 82 4.1.3 Sinais Externos e Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.1 Modo de Condução Descontínua (MCD) . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.2.2 Modo de Condução Crítica (MCCr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.2.3 Índices de Mérito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 4.3 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 5 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.1 Trabalhos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.2 Artigos Publicados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 APÊNDICES 133 APÊNDICE A – FUNÇÕES EMBARCADAS . . . . . . . . . 135 A.1 Modelo Completo em MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.2 Modelo Completo em MCCr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.3 Modelo Reduzido em MCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.4 Modelo Reduzido em MCCr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 APÊNDICE B – IMPLEMENTAÇÃO EM HARDWARE . . 137 B.1 Programação em VHDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 B.1.1 Modelagem Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 B.1.2 Metodologia Estruturada em VHDL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 B.2 Simulação Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 B.3 Implementação do Conversor Analógico/Digital em VHDL . . 143 23 1 INTRODUÇÃO O constante uso de máquinas elétricas na indústria, bem como a crescente demanda por armazenadores de energia para aplicação em fontes renováveis, impõe aos conversores de energia elétrica um alto grau de importância. Conversores chaveados de potência podem oferecer alta eficiência energética e grande flexibilidade em sua aplicação (RASHID, 2010). Especificamente os conversores do tipo Boost (elevadores) podem ser utilizados tanto na adequação do nível de tensão em sistemas de corrente contínua (SABANCI; BALCI, 2020), tais como geradores de energia empregando painéis fotovoltaicos (FATHABADI, 2016; GONZÁLEZ et al., 2019) ou células combustível (BABU; KUMAR; RAO, 2017), quanto em pré-reguladores para sistemas de conversão CC-CA (PARK et al., 2019; FER- NANDES et al., 2018), ou ainda como interface de correção do fator de potência (LI et al., 2018; YAO et al., 2018; KULASEKARAN; AYYANAR, 2018; ZHANG et al., 2019), levando em consideração que para todos os casos o fluxo de potência deve ser unidirecional. O circuito da figura 1.1 ilustra o diagrama esquemático do conversor tipo Boost. A razão cíclica do transistor, acionado pelo sinal de comando q, controla a elevação do nível de tensão de Vin para Vo, e o indutor funciona como armazenador de energia para permitir o aumento na diferença de potencial. O capacitor representa um filtro para garantir a entrega de tensão contínua à carga. Para minimizar as dimensões dos elementos passivos, é comum a utilização de altas frequências para o chaveamento. Figura 1.1 – Conversor CC-CC elevador. − +Vin + − Vo q Fonte: Autoria própria. A construção dessa estrutura leva a uma de- pendência do seu modo de operação em função da carga. Se o indutor for capaz de garantir o fluxo contínuo de corrente ao longo de um período de cha- veamento para uma configuração específica, o con- versor opera no modo de condução contínua (MCC), caso contrário o conversor opera no modo de condu- ção descontínua (MCD), sendo o modo de operação limite entre ambos os casos chamado de modo de condução crítica (MCCr)(MOHAN, 2011). Por ser definido exclusivamente na transição entre o MCC e o MCD, para manter o funcionamento do conversor Boost no MCCr, uma alteração no ponto de operação implica em uma variação no período de chaveamento e, portanto, frequência variável. É necessário um diodo de rápida recuperação reversa para trabalhar em níveis de tensão elevados, mas o mesmo introduz perdas significativas ao trabalhar em MCC com chaveamento de alta frequência. Tais perdas podem ser reduzidas com a utilização de técnicas de comutação suave, como a ZCS (Zero Current Switching) e a ZVS (Zero Voltage 24 CAPÍTULO 1. Introdução Switching), normalmente implementadas com circuitos snubbers ativos para o controle das derivadas de correntes e/ou tensões durante as comutações (KULASEKARAN; AYYANAR, 2018; WAKABAYASHI; BONATO; CANESIN, 2001; GONÇALVES, 2005). Outra forma de evitar essas perdas é projetar o conversor Boost para trabalhar em MCD ou MCCr, pois no processo de bloqueio do diodo a recuperação reversa ocorre após o decréscimo de corrente com derivada suave (NUSSBAUMER; RAGGL; KOLAR, 2009). Porém, a operação em tais modos traz como desvantagens um aumento significativo da ondulação na corrente de entrada no indutor, resultando em maiores esforços nos semicondutores para uma mesma corrente média e exigindo filtragens adicionais para evitar a possível geração de ruídos e interferências eletromagnéticas (BHUVANESHWARI; TAMILSELVAN, 2015; DENISOV et al., 2014). Uma metodologia que permite o uso desses modos atenuando suas desvantagens de forma global para a entrada, saída e componentes do sistema, consiste em empregar uma arquitetura celular para a construção do conversor. Visando permitir um aumento da potência processada, devido ao compartilhamento de corrente entre células, a arquitetura celular emprega as estruturas em arranjo paralelo, formando um conversor equivalente de menor custo. Figura 1.2 – Entrelaçamento de conversores em MCCr. iin − + Vin + − Vo q1 iL1 q2 iL2 0 t q1 T s 0 t q2 Ts 2 0 t iL1 Iin 2 0 t iL2 Iin 2 0 t iin Iin Fonte: Autoria própria. Uma técnica utilizada em estruturas paralelas é o entrelaçamento (interleaving), ilustrada na figura 1.2, onde a frequência de chaveamento é a mesma em todas as estruturas, 25 mas os sinais de comando são defasados em frações iguais do período de chaveamento, conforme o número de ramos em paralelo existentes (MIWA; OTTEN; SCHLECHT, 1992; BANERJEE; GHOSH; RANA, 2017). O sistema de controle rege o funcionamento do conversor ao comandar o chaveamento do interruptor, sendo então responsável pela razão cíclica e frequência de chaveamento, de forma a regular a tensão de saída em valor de referência desejado. Desta forma, o projeto do sistema de controle para atendimento de algum ponto de ajuste desejado envolve a determinação do funcionamento do conversor, de forma a prever como as variações de suas entradas e perturbações influenciam em sua operação. Os modelos matemáticos são ferramentas importantes para estimar o comportamento em relação a perturbações em torno do ponto de operação. (OGATA, 2010) Diferentes metodologias podem ser empregadas para determinação de modelos de conversores chaveados, com o objetivo de descrever matematicamente o comportamento de interesse dos conversores estudados. Exemplos destas metodologias são modelos baseados no emprego de valores médios, de um fator de energia, de um resistor sem perdas e em média no espaço de estados. A metodologia por média no espaço de estados escolhe um conjunto de características, usualmente dos armazenadores de energia, que define o comportamento do conversor. Esse conjunto, bem como suas variações (derivadas), são organizados em sistemas de equações que descrevam tais características em forma matricial, gerando um sistema para cada mudança de estado durante os intervalos do período e encontrando o modelo pela média ponderada dos sistemas de estado relativa a seus intervalos. O desenvolvimento detalhado desta metodologia para o modelo de conversores do tipo Buck, Boost e Buck-Boost podem ser encontrados em (TAN; HOO, 2015). O emprego de fator de energia, por sua vez, consiste em analisar as energias dos elementos armazenadores e definir fatores que as relacionam, de modo a encontrar direta- mente os coeficientes da função de transferência esperada. A proposta desta metodologia, bem como o desenvolvimento para conversores do tipo Buck e super-lift Luo, encontra-se em (LUO; YE, 2005). Outro exemplo, considerando a técnica de entrelaçamento, pode ser encontrado em (NAZERAJ; HEGAZY; VAN MIERLO, 2017). A metodologia do resistor sem perdas parte do comportamento médio equivalente do conversor como um transformador ideal com componente contínua, sendo visto como um resistor equivalente na porta de entrada do conversor que, ao invés de dissipar potência, transfere-a para um gerador controlado de potência na saída do conversor. Conforme descrição detalhada em (SINGER; OZERI; SHMILOVITZ, 2004), tal metodologia tecnica- mente só pode ser chamada de resistor sem perdas quando a porta de entrada é controlada de forma a obedecer a lei de Ohm, emulando uma resistência invariante. Esse tipo de comportamento é desejado por exemplo em carregadores de bateria, pois funciona como um retificador com rejeição de componentes harmônicas. 26 CAPÍTULO 1. Introdução A metodologia por valores médios possui mecânica similar à por média no espaço de estados, porém cada equação do sistema é considerada isoladamente ao invés de uma única entidade matricial, desacoplando o comportamento dos elementos e resultando num modelo mais preciso, conforme apresentado em (SUN et al., 2001). O nível de detalhamento a ser considerado em tais métodos pode resultar em modelos com diversos graus de complexidade, refletida no número de coeficientes necessários para expressar tais modelos (MOHAN, 2011; ERICKSON; MAKSIMOVIC, 2007). Como consequência, maiores simplificações tendem a produzir modelos simples equivalentes, ou até idênticos, independente da metodologia utilizada (SUN et al., 1998). Embora os modelos relativos aos conversores CC-CC do tipo Boost operando com frequência de comutação constante, em MCC ou em MCD, sejam bem conhecidos na literatura, a operação considerando a condição de frequência variável imposta pelo MCCr geralmente é simplificada como sendo um dos casos da operação com frequência cons- tante. Entretanto, a ocorrência de perturbações nas condições operacionais (carga, tensão de alimentação, razão cíclica, paramétrica nos dispositivos) no MCCr pode refletir em alteração da frequência de comutação, a depender das magnitudes das perturbações, consequentemente afetando a eficácia dos modelos simplificados considerando frequência constante. (SONG; CHUNG, 2008; GONÇALVES, 2005; TSAI et al., 2007) Neste sentido, este trabalho se propõe a examinar, expandir e contribuir com modelos matemáticos aplicados à análise e projeto do conversor CC-CC do tipo Boost operando no MCCr. Assim, trazendo subsídios por meio de análises qualitativas e quantitativas para avaliar a aderência e a eficácia da técnica convencionalmente aplicada de simplificação em comparação com modelos fundamentados para a operação em MCCr. Especialmente, considerando o emprego de metodologias de projeto de controladores contínuos (PI), visando prover a regulação da tensão de saída, e, a análise dos efeitos na operação frente a distúrbios (carga, tensão de entrada e razão cíclica). Além disso, este trabalho também apresenta e analisa a expansão dos modelos desenvolvidos para representar de forma geral os conversores compostos por múltiplas células de potência do tipo Boost em uma arquitetura paralela, com a aplicação da técnica de entrelaçamento. As análises e desenvolvimentos dos modelos matemáticos se fundamentam na técnica de modelagem de valor médio, empregando inicialmente sua forma clássica, que considera a perturbação da razão cíclica enquanto mantém uma frequência de comutação constante. Em seguida, o trabalho apresenta o desenvolvimento de um novo modelo, diverso da forma clássica, baseado em uma perturbação no período de comutação, cuja variabilidade é característica inerente do MCCr. Os modelos matemáticos desenvolvidos apresentam diferentes níveis de complexidade, sendo classificados com relação as ordens das funções de transferência, denominados de modelo de ordem reduzida e modelo ordem completa. 1.1. Estrutura do Trabalho 27 Por fim, com o objetivo de corroborar as análises, resultados de simulações computacio- nais desenvolvidas no ambiente MATLAB são apresentados considerando o comportamento de conversores operando no MCD e no MCCr, e, dois arranjos de células de potência (uma ou duas com a técnica de entrelaçamento). 1.1 Estrutura do Trabalho A apresentação das informações da dissertação foi realizada através da elaboração de cinco capítulos, incluindo este capítulo introdutório. A descrição resumida das informações abordadas nos capítulos é apresentada a seguir. O capítulo 2 apresenta o desenvolvimento dos modelos matemáticos, em que a função de transferência da variação da tensão de saída pela da variação da tensão de entrada, será deduzida em conjunto com outras funções normalmente ausentes, cujos aspectos adicionais não são necessários para o projeto de um controlador realimentado simples, mas podem ser inclusos em controles preditivos com realimentação positiva. O capítulo 3 trata do projeto dos controladores fundamentados nos modelos matemá- ticos desenvolvidos no capítulo 2. A analise dos modelos é apresentada nas seções 3.1 e 3.2, a escolha do controlador na seção 3.3 e a definição dos parâmetros do controlador na seção 3.3. O capítulo 4 apresenta o desenvolvimento de simulações computacionais e análises quantitativas e qualitativas dos modelos matemáticos desenvolvidos. Por fim, as conclusões gerais são apresentadas no capítulo 5, fundamentadas nas constatações inferidas no capítulo 4. 29 2 DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS A modelagem de sistemas dinâmicos pode ser executada através de equações mate- máticas que representam, com razoável grau de precisão, o comportamento das variáveis de estado e saídas desses sistemas. Um determinado sistema não tem um modelo matemático exclusivo, podendo ser representado de várias maneiras distintas e por meio de diferentes modelos matemáticos (OGATA, 2010). Assim, a escolha do modelo envolve a adoção do mais adequado às restrições impostas pela aplicação desejada. O funcionamento de um conversor CC-CC demanda que seus terminais de saída ofereçam uma tensão constante e uma corrente contínua. Como o conversor Boost é chaveado e não é possível implementar um filtro ideal no terminal de saída, existem naturalmente pequenas ondulações relativas à dinâmica de chaveamento levando a oscilação das grandezas de saída em torno de seus valores médios. Assim, um sistema de equações pode ser construído para contabilizar essa dinâmica, de forma a obter o comportamento completo fielmente descrito pelo modelo. Porém, o trabalho envolvido e o resultado final são complexos, agravado ainda pelo fato de estar modelando um comportamento indesejado e relativamente pequeno. A metodologia por valores médios despreza as oscilações relacionadas com ondulações devido a componentes alternadas de ordens elevadas, calculando o valor médio de tensão e corrente no período de chaveamento, dessa forma contabilizando apenas o comportamento de baixa frequência desejado. Neste sentido, o método de modelagem por valores médios foi adotado para modelar o conversor Boost. 2.1 Modelagem por Valores Médios Com o objetivo de elevar a tensão em corrente contínua, a estrutura do conversor Boost possui um indutor em seu terminal de entrada que, dependendo da situação imposta pela razão cíclica no interruptor semicondutor, armazena energia da fonte de tensão, ou a entrega ao filtro capacitivo de forma a manter um nível de tensão maior em relação ao estágio de entrada, alimentando a carga. Levando em consideração que a energia no indutor é diretamente relacionada à sua corrente, o conversor Boost pode funcionar de dois modos diferentes. Caso a operação do conversor permita um fluxo contínuo de corrente em seu indutor, temos o chamado Modo de Condução Contínua (MCC). A interrupção dessa corrente no indutor, pela entrega de toda a energia ao capacitor antes de finalizar o período de chaveamento, caracteriza o Modo de Condução Descontínua (MCD). O limiar entre esses modos de operação, onde o fluxo de corrente se mantém contínuo, porém com um momento onde a corrente se anula instantaneamente em cada período, é chamado Modo de Condução Crítica (MCCr). 30 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos 2.1.1 Modo de Condução Contínua (MCC) Basicamente, o conversor CC-CC Boost operando no MCC possui duas etapas de funcionamento, conforme ilustra a Figura 2.1. Figura 2.1 – Funcionamento e formas de ondas em MCC. − + Vin vL = Vin + − + − vA = 0 + − Vo q = 1 iL − + Vin vL = Vin − V0 + − + − vA = V0 + − Vo q = 0 iL 0 t q D.T s (1 − D).T s T s 0 t vA = Vin vA Vo 0 t vL Vin −(Vo − Vin) 0 t iL ∆iL IL 0 t idiodo Idiodo(= Io) 0 t iC −(Io) Fonte: (MOHAN, 2011, p. 47), adaptado pelo autor. A primeira etapa ocorre durante o intervalo de tempo D.Ts, quando o sinal de comando q aciona o interruptor para condução, sendo Ts o período de chaveamento e D a razão cíclica em regime permanente, relação entre o intervalo de tempo que o interruptor permanece conduzindo e Ts. Estando em condução, o interruptor conecta o indutor à fonte de tensão Vin e há o aumento da corrente iL. O diodo, estando inversamente polarizado, tem corrente idiodo nula, sendo a carga alimentada exclusivamente pelo capacitor através de sua corrente iC . A etapa seguinte, de duração (1−D).Ts, ocorre quando o interruptor é comandado para o bloqueio. Como a característica do indutor é de reagir contra a variação de corrente, este polariza diretamente o diodo para manter iL fluindo, impondo a mesma corrente em idiodo. O fluxo de corrente permite a recarga do capacitor, através de sua corrente iC , e também alimenta a carga que consome a corrente contínua Io. 2.1. Modelagem por Valores Médios 31 Em regime permanente, a tensão média no indutor é nula. Dada a notação 〈x(t)〉T como sendo a média de x(t) durante o período T , e supondo variação de tensão no capacitor desprezível, a razão M entre o valor médio das tensões Vin e Vo é dada por (2.1). 〈vL(t)〉Ts = 1 Ts ∫ Ts 0 vL(τ)dτ ≈ 1 Ts ∫ D.Ts 0 Vindτ − 1 Ts ∫ Ts D.Ts (Vo − Vin) dτ = 0 D.Vin − (Vo − Vin) +D (Vo − Vin) = 0 M = Vo Vin = 1 (1−D) (2.1) De acordo com (ERICKSON; MAKSIMOVIC, 2007), considerando o sistema variável no tempo, a tensão média no indutor e a corrente média no capacitor são analisadas conforme suas características de funcionamento, descritas nas equações (2.2) e (2.3). L d〈iL(t)〉Ts dt = 〈vL(t)〉Ts (2.2) C d〈vC(t)〉Ts dt = 〈iC(t)〉Ts (2.3) Utilizando as formas de ondas apresentadas na Figura 2.1, porém substituindo os valores quiescentes D, Vin e Vo pelos seus equivalentes variáveis no tempo d(t), 〈vin(t)〉Ts e 〈vo(t)〉Ts , encontram-se as expressões (2.4) e (2.5), relacionadas com o comportamento médio em Ts de vL(t) e iC(t). 〈vL(t)〉Ts = 1 Ts ∫ t+Ts t vL(τ)dτ ≈ d(t).〈vin(t)〉Ts − (1− d(t)) (〈vo(t)〉Ts − 〈vin(t)〉Ts) 〈vL(t)〉Ts = 〈vin(t)〉Ts − (1− d(t))〈vo(t)〉Ts (2.4) 〈iC(t)〉Ts = 1 Ts ∫ t+Ts t iC(τ)dτ ≈ −d(t)〈io(t)〉Ts + (1− d(t)) (〈iL(t)〉Ts − 〈io(t)〉Ts) 〈iC(t)〉Ts = (1− d(t))〈iL(t)〉Ts − 〈io(t)〉Ts (2.5) Considerando a carga composta por uma componente resistiva constante R e uma fonte de corrente variável jo(t), tem-se (2.6). 〈io(t)〉Ts = 〈vo(t)〉Ts R + jo(t) (2.6) E portanto, substituindo (2.6) em (2.5), obtém-se (2.7). 〈iC(t)〉Ts = (1− d(t))〈iL(t)〉Ts − 〈vo(t)〉Ts R − jo(t) (2.7) 32 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos Substituindo (2.4) em (2.2), e (2.7) em (2.3), resulta (2.8) e (2.9). L d〈iL(t)〉Ts dt = 〈vin(t)〉Ts − (1− d(t))〈vo(t)〉Ts (2.8) C d〈vC(t)〉Ts dt = (1− d(t))〈iL(t)〉Ts − 〈vo(t)〉Ts R − jo(t) (2.9) As equações resultantes (2.8) e (2.9) são não-lineares, pois são compostas de multi- plicações entre quantidades variáveis no tempo. Perturbando e linearizando pelo método da expansão de Taylor, obtém-se (2.10) e (2.11). L dîL dt = v̂in − v̂o M + Vo.d̂ (2.10) C dv̂C dt = îL M − v̂o R − ĵo − Vo.M R d̂ (2.11) Aplicando a Transformada de Laplace considerando a resistência série equivalente (ESR) r do capacitor, conforme (2.12), isolando e substituindo îL e v̂C , com resultado em (2.13), é possível determinar a resposta do sistema por meio de (2.14), sendo composta pelas funções de transferência (2.15), (2.16) e (2.17). v̂0 = (1 + s.r.C)v̂C (2.12) L.s ( C.M.v̂o (1 + s.r.C)s+ M R v̂o +M.ĵo + Vo.M 2 R d̂ ) = v̂in − v̂o M + Vo.d̂ ( L.C.M2. ( R + r R ) .s2 + ( L.M2 + r.R.C R ) s+ 1 ) v̂o = (1 + s.r.C) ( M.v̂in − L.M2.s.ĵo + Vo.M. ( 1− L.M2 R s ) d̂ ) (2.13) v̂o = GPMCC (s).d̂+GGMCC (s).v̂in +GJMCC (s).ĵo (2.14) GPMCC (s) = v̂o d̂ = Vo.M ( 1− L.M2 R s ) (1 + s.r.C)( L.C.M2. ( R+r R ) .s2 + ( L.M2+r.R.C R ) s+ 1 ) (2.15) GGMCC (s) = v̂o v̂in = M (1 + s.r.C)( L.C.M2. ( R+r R ) .s2 + ( L.M2+r.R.C R ) s+ 1 ) (2.16) GJMCC (s) = v̂o ĵo = −L.M2 s(1 + s.r.C)( L.C.M2. ( R+r R ) .s2 + ( L.M2+r.R.C R ) s+ 1 ) (2.17) 2.1. Modelagem por Valores Médios 33 2.1.2 Modo de Condução Descontínua (MCD) A principal característica desse modo é que a corrente se reduz a zero no indutor antes do período se completar, compondo uma etapa adicional de funcionamento quando comparado ao MCC, conforme ilustra a Figura 2.2. Figura 2.2 – Funcionamento e formas de ondas em MCD. q = 1 iL q = 0 iL q = 0 iL = 0 0 t q D1 · Ts D2 · Ts T s 0 t vA = Vin vA Vo 0 t vL Vin −(Vo − Vin) 0 t iL ∆iL = ipk IL 0 t idiodo Idiodo(= Io) 0 t iC −(Io) Fonte: Autoria própria. O sinal de comando q aciona o interruptor, definindo a primeira etapa de funciona- mento durante o intervalo D1.Ts. O funcionamento desta é idêntica à primeira etapa no MCC, exceto que a corrente necessariamente se inicia nula em cada novo período. A segunda etapa, com duração deD2.Ts, ocorre enquanto o interruptor está bloqueado e há corrente circulando no indutor. Novamente, sendo a mesma topologia sob as mesmas condições, esta se comporta de forma análoga à segunda etapa no MCC, entretanto o fluxo de corrente se anula. Com a extinção da corrente no indutor, o mesmo deixa de polarizar diretamente o diodo, que passa a para o estado de bloqueio. Este intervalo (1 −D1 −D2).Ts define a terceira e última etapa, que garante o início da etapa inicial sempre com corrente nula 34 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos e permite uma comutação suave no diodo com relação às suas correntes, minimizando as perdas de recuperação reversa. A imposição desta situação também facilita o controle da estrutura, já que uma condição interna é conhecida em instantes específicos, além de contribuir no processo de estabilidade do controle realimentado. Uma das dificuldades de se trabalhar no MCD está na forma de onda da corrente exigida na fonte de tensão. Quanto maior a descontinuidade da corrente durante sua operação, maior o valor do pico de corrente necessário para atingir o mesmo valor médio de entrada. Por este motivo, utiliza-se usualmente o conversor em MCD para cargas leves, em baixas e médias potências. Em regime permanente, a tensão média no indutor é nula. Supondo a variação no capacitor desprezível, a razão M pode ser obtida por meio de (2.18). 〈vL(t)〉Ts = 1 Ts ∫ Ts 0 vL(τ)dτ ≈ 1 Ts ∫ D1.Ts 0 Vindτ − 1 Ts ∫ (D1+D2)Ts D1.Ts (Vo − Vin) dτ = 0 D1.Vin − (D1 +D2) (Vo − Vin) +D1 (Vo − Vin) = 0 M = Vo Vin = (D1 +D2) D2 (2.18) A razão cíclica D1 é imposta no circuito pelo controle, portanto, sendo parâmetro conhecido. A grandeza D2, porém, por depender do ponto de operação, inicialmente é desconhecida. Como a corrente média no capacitor é nula em regime permanente, o valor médio de idiodo(t) em Ts pode ser dado por (2.19). idiodo(t) = iC(t) + vo(t) R =⇒ 〈idiodo(t)〉Ts = Vo R (2.19) Considerando o equilíbrio de potências, encontra-se a relação entre 〈idiodo(t)〉 e 〈iL(t)〉 apresentada em (2.20). 〈iL(t)〉.Vin = 〈idiodo(t)〉.Vo =⇒ 〈iL(t)〉 = 〈idiodo(t)〉.M = Vo.M R (2.20) Por outro lado, de acordo com as formas de onda de iL, o comportamento médio da corrente iL(t) em Ts também pode ser descrito por (2.21). 〈iL(t)〉Ts = 1 Ts ∫ Ts 0 iL(τ)dτ ≈ 1 2ipk. (D1 +D2) (2.21) onde: ipk = Vin L D1.Ts (2.22) Portanto, aplicando (2.22) em (2.21) e igualando a (2.20), obtém-se (2.23). Vin 2.LD1. (D1 +D2) .Ts = Vo.M R D2 = −D1 + 2.L.M2 R.D1.Ts (2.23) 2.1. Modelagem por Valores Médios 35 Substituindo (2.23) em (2.18), e organizando em forma de polinômio em (2.24). M2 −M − R.D2 1.Ts 2.L = 0 (2.24) Ignorando a resposta negativa, tem-se (2.25). M = 1 + √ 1 + 2.R.D2 1 .Ts L 2 (2.25) Considerando agora o sistema variável no tempo, a tensão média no indutor e a corrente média no capacitor são analisadas, com suas características de funcionamento descritas nas equações (2.2) e (2.3). Utilizando as formas de ondas apresentadas na Figura 2.2, porém substituindo os valores quiescentes D1, D2, Vin e Vo pelos seus equivalentes variáveis no tempo d(t), d2(t), 〈vin(t)〉Ts e 〈vo(t)〉Ts , encontram-se (2.26) e (2.27). 〈vL(t)〉Ts = 1 Ts ∫ t+Ts t vL(τ)dτ ≈ d(t).〈vin(t)〉Ts − d2(t) (〈vo(t)〉Ts − 〈vin(t)〉Ts) 〈vL(t)〉Ts = (d(t) + d2(t))〈vin(t)〉Ts − d2(t)〈vo(t)〉Ts (2.26) 〈iC(t)〉Ts = 1 Ts ∫ t+Ts t iC(τ)dτ ≈ d2(t)ipk2 − 〈io(t)〉Ts 〈iC(t)〉Ts = d2(t)〈vin(t)〉Ts 2.L d(t).Ts − 〈io(t)〉Ts (2.27) Substituindo (2.26) em (2.2), seguido de (2.6) e (2.27) em (2.3), obtém-se (2.28) e (2.29). L d〈iL(t)〉Ts dt = (d(t) + d2(t))〈vin(t)〉Ts − d2(t)〈vo(t)〉Ts (2.28) C d〈vC(t)〉Ts dt = d2(t)〈vin(t)〉Ts 2.L d(t).Ts − 〈vo(t)〉Ts R − jo(t) (2.29) A variável d2(t) é dependente das condições de operação. Portanto, deve ser simplifi- cada. Substituindo nas equações (2.21) e (2.22) os valores quiescentes pelos equivalentes variáveis no tempo, a restrição da razão cíclica pode ser encontrada através de (2.30)(SUN et al., 2001). d2(t) = −d(t) + 2.L.〈iL(t)〉Ts d(t).Ts.〈vin(t)〉Ts (2.30) Substituindo (2.30) em (2.28) e (2.29), obtém-se (2.31) e (2.32). L d〈iL(t)〉Ts dt = 2.L.〈iL(t)〉Ts d(t).Ts + d(t)〈vo(t)〉Ts − 2.L.〈iL(t)〉Ts .〈vo(t)〉Ts d(t).Ts.〈vin(t)〉Ts (2.31) C d〈vC(t)〉Ts dt = 〈iL(t)〉Ts − d(t)2.Ts 2.L 〈vin(t)〉Ts − 〈vo(t)〉Ts R − jo(t) (2.32) 36 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos Por conseguinte, perturbando e linearizando pelo método da expansão de Taylor, tem-se (2.33) e (2.34). L dîL dt = −2.L(M − 1) D.Ts îL + D.M2 (M − 1) v̂in − D (M − 1) v̂o + 2.Vo.d̂ (2.33) C dv̂C dt = îL − D2.Ts 2.L v̂in − v̂o R − ĵo − D.Ts.Vin L d̂ (2.34) Aplicando a Transformada de Laplace e considerando a resistência série equivalente (ESR) r do capacitor, conforme (2.12), e isolando e substituindo îL e v̂C obtém-se (2.35). L. ( s+ 2(M − 1) D.Ts )( C.s (1 + s.r.C) v̂o + D2.Ts 2.L v̂in + v̂o R + ĵo + D.Ts.Vin L d̂ ) = D.M2 (M − 1) v̂in − D (M − 1) v̂o + 2.Vo.d̂ D(2.M − 1) M(M − 1) ( (R + r).C.D.Ts 2.(2.M − 1) s2 + D.Ts + 2.(M − 1)(R + r)C 2.(2.M − 1) s+ 1 ) v̂o = = (1 + s.r.C) (D.(2.M − 1) (M − 1) − D2.Ts 2 s ) v̂in − ( R.D M + R.D2.Ts 2.M.(M − 1)s ) ĵo + (2.Vo M − D.Ts.Vo M s ) d̂  (2.35) A resposta do sistema é dada por (2.36), sendo composta pelas funções de transfe- rência (2.37), (2.38) e (2.39). v̂o = GPMCD (s).d̂+GGMCD (s).v̂in +GJMCD (s).ĵo (2.36) GPMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.(M − 1) D.(2.M − 1) ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( (R+r).C.D.Ts 2.(2.M−1) s2 + D.Ts+2.(M−1)(R+r)C 2.(2.M−1) s+ 1 ) (2.37) GGMCD (s) = v̂o v̂in = M ( 1− D.Ts.(M−1) 2.(2.M−1) s ) (1 + s.r.C)( (R+r).C.D.Ts 2.(2.M−1) s2 + D.Ts+2.(M−1)(R+r)C 2.(2.M−1) s+ 1 ) (2.38) GJMCD (s) = v̂o ĵo = −R.(M − 1) (2.M − 1) ( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) (1 + s.r.C)( (R+r).C.D.Ts 2.(2.M−1) s2 + D.Ts+2.(M−1)(R+r)C 2.(2.M−1) s+ 1 ) (2.39) O polinômio característico dessas funções, se a condição D.Ts � 2(M − 1)(R + r)C for atendida (SUN et al., 2001), pode ser aproximadamente fatorado, resultando em (2.40), (2.41) e (2.42). GPfMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.(M − 1) D.(2.M − 1) ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1)(R+r).C (2.M−1) s+ 1 ) (2.40) GGfMCD (s) = v̂o v̂in = M ( 1− D.Ts.(M−1) 2.(2.M−1) s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1)(R+r).C (2.M−1) s+ 1 ) (2.41) GJfMCD (s) = v̂o ĵo = −R.(M − 1) (2.M − 1) ( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1)(R+r).C (2.M−1) s+ 1 ) (2.42) Adicionalmente, supondo r � R, as funções de transferência podem ainda ser 2.1. Modelagem por Valores Médios 37 aproximadas por (2.43), (2.44) e (2.45). GPsMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.(M − 1) D.(2.M − 1) ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.43) GGsMCD (s) = v̂o v̂in = M ( 1− D.Ts.(M−1) 2.(2.M−1) s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.44) GJsMCD (s) = v̂o ĵo = −R.(M − 1) (2.M − 1) ( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.45) O conjunto de funções de transferência encontrado é o modelo de ordem completa do conversor CC-CC Boost em MCD. Caso a restrição da razão cíclica seja calculada sobre a tensão média no indutor (SUN et al., 2001), ao invés de sua corrente média como em (2.30), a resposta será o modelo de ordem reduzida, dado por (2.46), (2.47) e (2.48). GPrMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.(M − 1) D.(2.M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).R+(2.M−1)r (2.M−1) C.s+ 1 ) (2.46) GGrMCD (s) = v̂o v̂in = M (1 + s.r.C)( (M−1).R+(2.M−1)r (2.M−1) C.s+ 1 ) (2.47) GJrMCD (s) = v̂o ĵo = −R.(M − 1) (2.M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).R+(2.M−1)r (2.M−1) C.s+ 1 ) (2.48) Caso a condição r � R possa ser satisfeita, o conjunto de funções de transferência pode ser simplificado para (2.49), (2.50) e (2.51). GPrsMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.(M − 1) D.(2.M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.49) GGrsMCD (s) = v̂o v̂in = M (1 + s.r.C)( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.50) GJrsMCD (s) = v̂o ĵo = −R.(M − 1) (2.M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.51) Assim, o modelo de ordem reduzida é aproximadamente equivalente ao de ordem completa, quando desconsiderados o polo e zero de alta frequência. Porém, caso r.C � Ts, o zero relativo à ESR do capacitor também possui localização em alta frequência e pode ser desconsiderado, conforme (2.52), (2.53) e (2.54). GPrxMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.(M − 1) D.(2.M − 1) 1( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.52) GGrxMCD (s) = v̂o v̂in = M 1( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.53) GJrxMCD (s) = v̂o ĵo = −R.(M − 1) (2.M − 1) 1( (M−1).R.C (2.M−1) s+ 1 ) (2.54) 38 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos 2.1.3 Modo de Condução Crítica (MCCr) Correspondendo ao modo de condução limítrofe entre os modos de condução contínua (MCC) e descontínua (MCD), neste modo a corrente se reduz a zero em apenas um instante, voltando a conduzir imediatamente, como mostra o gráfico de iL na Figura 2.3. Figura 2.3 – Funcionamento e formas de ondas em MCCr. − + Vin vL = Vin + − + − vA = 0 + − Vo q = 1 iL − + Vin vL = Vin − V0 + − + − vA = V0 + − Vo q = 0 iL 0 t q D.T s (1 − D).T s T s 0 t vA = Vin vA Vo 0 t vL Vin −(Vo − Vin) 0 t iL ∆iL = ipk IL 0 t idiodo Idiodo(= Io) 0 t iC −(Io) Fonte: Autoria própria. Para manter o funcionamento do conversor Boost neste modo de condução, qualquer alteração no ponto de operação implica em uma variação no período de chaveamento, ou seja, sua frequência deve ser variável. Para levar este aspecto em consideração, a metodologia por valores médios deve ser alterada, definindo o período de chaveamento também como uma grandeza variável e contabilizando sua perturbação durante o desen- volvimento (GONÇALVES, 2005). Em frequência constante, utilizar a razão cíclica como variável de controle é in- teressante, pois a mesma pode ser interpretada como a largura do pulso de controle normalizada, independente da frequência. Porém, com período de chaveamento variável, a grandeza de controle também deve ser alterada, sendo então utilizada diretamente a largura do pulso de controle, ou seja, efetivamente o intervalo de tempo ton de acionamento 2.1. Modelagem por Valores Médios 39 do interruptor (GONÇALVES, 2005; PAZ et al., 2013). Por possuir apenas duas etapas de funcionamento, de forma análoga ao MCC, a razão de conversão M entre as tensões médias Vin e Vo em regime permanente é dada por (2.1). M = Vo Vin = 1 (1−D) (2.1) Porém, a segunda etapa de funcionamento se comporta como no MCD, devido à corrente no indutor se anular ao final da etapa. Portanto, a razão de conversão M também pode ser dada por (2.25). M = 1 + √ 1 + 2.R.D2 1 .Ts L 2 (2.25) Utilizando as formas de ondas apresentadas na Figura 2.3, porém substituindo os valores quiescentes D, Vin e Vo pelos seus equivalentes variáveis no tempo ton(t) ts(t) , 〈vin(t)〉ts e 〈vo(t)〉ts , encontram-se (2.55) e (2.56). 〈vL(t)〉ts = 1 ts ∫ t+ts t vL(τ)dτ ≈ ton(t) ts(t) .〈vin(t)〉ts − ( 1− ton(t) ts(t) ) (〈vo(t)〉ts − 〈vin(t)〉ts) 〈vL(t)〉ts = 〈vin(t)〉ts − 〈vo(t)〉ts + ton(t) ts(t) 〈vo(t)〉ts (2.55) 〈iC(t)〉ts = 1 ts ∫ t+ts t iC(τ)dτ ≈ ( 1− ton(t) ts(t) ) 〈iL(t)〉ts − 〈io(t)〉ts (2.56) Substituindo (2.55) em (2.2), seguido de (2.6) e (2.56) em (2.3), obtém-se (2.57) e (2.58). L d〈iL(t)〉Ts dt = 〈vin(t)〉ts − 〈vo(t)〉ts + ton(t) ts(t) 〈vo(t)〉ts (2.57) C d〈vC(t)〉Ts dt = ( 1− ton(t) ts(t) ) 〈iL(t)〉ts − 〈vo(t)〉ts R − jo(t) (2.58) A variável ts(t) é dependente das condições de operação. Conforme (GONÇALVES, 2005), a restrição do período de chaveamento pode ser definida como ts(t) = ton(t) + 2.L.〈iL(t)〉ts (〈vo(t)〉ts − 〈vin(t)〉ts) (2.59) Perturbando e linearizando pelo método da expansão de Taylor, obtém-se (2.60), (2.61) e (2.62). L dîL dt = v̂in − v̂o M + Vo Ts ˆton − Vo.D Ts t̂s (2.60) C dv̂C dt = îL M − v̂o R − ĵo − Vo.M R.Ts ˆton + Vo.M.D R.Ts t̂s (2.61) t̂s = ˆton + 2.L.M R.Vo.D2 v̂in − 2.L.M R.Vo.D2 v̂o + 2.L Vo.D îL (2.62) 40 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos Substituindo (2.62) em (2.60) e (2.61), resulta em (2.63) e (2.64). L dîL dt = (M − 1) M v̂in + Vo M.Ts ˆton − 2.L Ts îL (2.63) C dv̂C dt = 2.M − 1 M2 îL − 2 R v̂o + v̂in R − ĵo − Vo R.Ts ˆton (2.64) Aplicando a Transformada de Laplace e considerando a resistência série equivalente (ESR) r do capacitor, conforme (2.12), isolando e substituindo îL e v̂C , obtém-se (2.65). L.M2 (2.M − 1) ( s+ 2 Ts )( C.s (1 + s.r.C) v̂o + 2 R v̂o − v̂in R + ĵo + Vo R.Ts ˆton ) = (M − 1) M v̂in + Vo M.Ts ˆton 4 R.Ts ( Ts 2 s+ 1 )((R + 2.r).C 2 s+ 1 ) v̂o = (1 + s.r.C) ( 4.M R.Ts + s R ) v̂in − ( 2 Ts + s ) ĵo + ( 2.Vo R.T 2 s .D − Vo R.Ts s ) ˆton  (2.65) A resposta do sistema é dada por (2.66), sendo composta pelas funções de transfe- rência (2.67), (2.68) e (2.69). v̂o = GPMCCr (s). ˆton +GGMCCr (s).v̂in +GJMCCr (s).ĵo (2.66) GPMCCr (s) = v̂o ˆton = Vo 2.D.Ts ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( (R+2.r).C 2 s+ 1 ) (2.67) GGMCCr (s) = v̂o v̂in = M ( Ts 4.M s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( (R+2.r).C 2 s+ 1 ) (2.68) GJMCCr (s) = v̂o ĵo = −R2 ( Ts 2 s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( (R+2.r).C 2 s+ 1 ) (2.69) Caso a condição r � R possa ser atendida, o conjunto pode ser simplificado para (2.70), (2.71) e (2.72). GPsMCCr (s) = v̂o ˆton = Vo 2.D.Ts ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( R.C 2 s+ 1 ) (2.70) GGsMCCr (s) = v̂o v̂in = M ( Ts 4.M s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( R.C 2 s+ 1 ) (2.71) GJsMCCr (s) = v̂o ĵo = −R2 ( Ts 2 s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( R.C 2 s+ 1 ) (2.72) 2.2. Extensão da Modelagem para Arquitetura Celular 41 Desconsiderando o polo e zero de alta frequência, obtém-se (2.73), (2.74) e (2.75). GPrsMCCr (s) = v̂o ˆton = Vo 2.D.Ts (1 + s.r.C)( R.C 2 s+ 1 ) (2.73) GGrsMCCr (s) = v̂o v̂in = M (1 + s.r.C)( R.C 2 s+ 1 ) (2.74) GJrsMCCr (s) = v̂o ĵo = −R2 (1 + s.r.C)( R.C 2 s+ 1 ) (2.75) O conjunto (2.73), (2.74) e (2.75) será utilizado então como modelo de ordem reduzida do MCCr. Adicionalmente, caso r.C � Ts, o zero relativo à ESR do capacitor também será localizado em alta frequência, podendo ser desconsiderado e resultando em (2.76), (2.77) e (2.78). GPrxMCCr (s) = v̂o ˆton = Vo 2.D.Ts 1( R.C 2 s+ 1 ) (2.76) GGrxMCCr (s) = v̂o v̂in = M 1( R.C 2 s+ 1 ) (2.77) GJrxMCCr (s) = v̂o ĵo = −R2 1( R.C 2 s+ 1 ) (2.78) 2.2 Extensão da Modelagem para Arquitetura Celular Quando a aplicação do conversor exige operação com níveis elevados de corrente ou tensão, a construção de uma estrutura individual pode representar, além de custos elevados, limitações físicas nos semicondutores e demais componentes, confiabilidade limitada e eficiência prejudicada, ou até mesmo ser inviável. A associação de estruturas conversoras, denominada arquitetura celular, permite o arranjo de estruturas em paralelo para o caso de correntes elevadas, ou em série para tensões, de forma a exigir menores esforços de tensão e/ou corrente em cada componente individual e potencialmente reduzir o custo final do projeto. No caso deste estudo, onde os conversores Boost tem por finalidade adequar níveis de tensão provenientes de fontes de energias renováveis, para serem processadas em estágio posterior para uso e integração na rede de distribuição, será utilizada apenas a associação em paralelo das células individuais. Adicionalmente, a extensão da modelagem leva em consideração que as células compondo o arranjo em paralelo são idênticas. Sendo o sistema em arquitetura celular a ser modelado um conjunto de N conversores CC-CC do tipo Boost independentes, apenas com os respectivos terminais de entrada e saída conectados em paralelo, temos que o funcionamento de cada célula em regime permanente mantém as características individuais já estudadas, como a razão de conversão M definida em cada modo de condução e as características de funcionamento dos seus 42 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos componentes, descritas por (2.2) e (2.3). Considerando o sistema variável no tempo, a tensão média no indutor também permanece idêntico, supondo uma divisão balanceada das correntes médias entre as células. No entanto, a corrente média no capacitor de cada conversor Boost fornecerá apenas uma fração da corrente integral consumida pela carga. 2.2.1 Modo de Condução Contínua (MCC) Conforme definido previamente, temos que o funcionamento de cada célula em regime permanente mantém a razão de conversão M definida na equação (2.1). Considerando o sistema variável no tempo, a tensão média no indutor permanece descrita por (2.4). No entanto, a corrente média no capacitor, por fornecer apenas uma fração da corrente integral consumida pela carga, pode ser expressa por (2.79). 〈iC(t)〉Ts = 1 Ts ∫ t+Ts t iC(τ)dτ ≈ −d(t)〈io(t)〉Ts N + (1− d(t)) ( 〈iL(t)〉Ts − 〈io(t)〉Ts N ) 〈iC(t)〉Ts = (1− d(t))〈iL(t)〉Ts − 〈io(t)〉Ts N (2.79) Seguindo o procedimento executado na subseção 2.1.1, encontra-se a resposta do sistema, dada então por (2.80), sendo composta pelas funções de transferência (2.81), (2.82) e (2.83). v̂o = GPNMCC (s).d̂+GGNMCC (s).v̂in +GJNMCC (s).ĵo (2.80) GPNMCC (s) = v̂o d̂ = Vo.M ( 1− L.M2 R s ) (1 + s.r.C)( L.C.M2. ( N.R+r N.R ) .s2 + ( L.M2+r.N.R.C N.R ) s+ 1 ) (2.81) GGNMCC (s) = v̂o v̂in = M (1 + s.r.C)( L.C.M2. ( N.R+r N.R ) .s2 + ( L.M2+r.N.R.C N.R ) s+ 1 ) (2.82) GJNMCC (s) = v̂o ĵo = −L.M 2 N s(1 + s.r.C)( L.C.M2. ( N.R+r N.R ) .s2 + ( L.M2+r.N.R.C N.R ) s+ 1 ) (2.83) 2.2.2 Modo de Condução Descontínua (MCD) Conforme definido previamente, temos que o funcionamento de cada célula em regime permanente mantém a razão de conversão M definida na equação (2.25). Considerando o sistema variável no tempo, a tensão média no indutor permanece descrita por (2.26). No entanto, a corrente média no capacitor, por fornecer apenas uma fração da corrente integral consumida pela carga, pode ser expressa por (2.84). 〈iC(t)〉Ts = 1 Ts ∫ t+Ts t iC(τ)dτ ≈ d2(t)ipk2 − 〈io(t)〉Ts N 〈iC(t)〉Ts = d2(t)〈vin(t)〉Ts 2.L d(t).Ts − 〈io(t)〉Ts N (2.84) 2.2. Extensão da Modelagem para Arquitetura Celular 43 Seguindo o procedimento executado na subseção 2.1.2, encontra-se a resposta do sistema, dada então por (2.85), sendo composta pelas funções de transferência (2.86), (2.87) e (2.88). v̂o = GPNMCD (s).d̂+GGNMCD (s).v̂in +GJNMCD (s).ĵo (2.85) GPNMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.N.(M−1) D.((N+1).M−1) ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( (N.R+r).C.D.Ts 2.((N+1).M−1) s 2 + D.Ts+2.(M−1)(N.R+r)C 2.((N+1).M−1) s+ 1 ) (2.86) GGNMCD (s) = v̂o v̂in = N.M.(2.M−1) ((N+1).M−1) ( 1− D.Ts.(M−1) 2.(2.M−1) s ) (1 + s.r.C)( (N.R+r).C.D.Ts 2.((N+1).M−1) s 2 + D.Ts+2.(M−1)(N.R+r)C 2.((N+1).M−1) s+ 1 ) (2.87) GJNMCD (s) = v̂o ĵo = − R.(M−1) ((N+1).M−1) ( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) (1 + s.r.C)( (N.R+r).C.D.Ts 2.((N+1).M−1) s 2 + D.Ts+2.(M−1)(N.R+r)C 2.((N+1).M−1) s+ 1 ) (2.88) O polinômio característico dessas funções, quando D.Ts � 2(M − 1)(N.R + r)C, pode ser aproximadamente fatorado, resultando em (2.89), (2.90) e (2.91). GPNfMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.N.(M − 1) D. ((N + 1).M − 1) ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1)(N.R+r).C ((N+1).M−1) s+ 1 ) (2.89) GGNfMCD (s) = v̂o v̂in = N.M.(2.M − 1) ((N + 1).M − 1) ( 1− D.Ts.(M−1) 2.(2.M−1) s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1)(N.R+r).C ((N+1).M−1) s+ 1 ) (2.90) GJNfMCD (s) = v̂o ĵo = − R.(M − 1) ((N + 1).M − 1) ( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1)(N.R+r).C ((N+1).M−1) s+ 1 ) (2.91) Adicionalmente, supondo r � R, as funções de transferência podem ainda ser aproximadas por (2.92), (2.93) e (2.94). GPNsMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.N.(M − 1) D. ((N + 1).M − 1) ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.92) GGNsMCD (s) = v̂o v̂in = N.M.(2.M − 1) ((N + 1).M − 1) ( 1− D.Ts.(M−1) 2.(2.M−1) s ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.93) GJNsMCD (s) = v̂o ĵo = − R.(M − 1) ((N + 1).M − 1) ( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) (1 + s.r.C)( D.Ts 2.(M−1)s+ 1 ) ( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.94) O conjunto de funções de transferência encontrado é o modelo de ordem completa do MCD para N células. Caso a restrição da razão cíclica seja calculada sobre a tensão média 44 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos no indutor, ao invés de sua corrente média como em (2.30), a resposta será o modelo de ordem reduzida, dado por (2.95), (2.96) e (2.97). GPNrMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.N.(M − 1) D. ((N + 1).M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).N.R+((N+1).M−1)r ((N+1).M−1) C.s+ 1 ) (2.95) GGNrMCD (s) = v̂o v̂in = N.M.(2.M − 1) ((N + 1).M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).N.R+((N+1).M−1)r ((N+1).M−1) C.s+ 1 ) (2.96) GJNrMCD (s) = v̂o ĵo = − R.(M − 1) ((N + 1).M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).N.R+((N+1).M−1)r ((N+1).M−1) C.s+ 1 ) (2.97) Caso a condição r � R possa ser satisfeita, o conjunto de funções de transferência pode ser simplificado para (2.98), (2.99) e (2.100). GPNrsMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.N.(M − 1) D. ((N + 1).M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.98) GGNrsMCD (s) = v̂o v̂in = N.M.(2.M − 1) ((N + 1).M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.99) GJNrsMCD (s) = v̂o ĵo = − R.(M − 1) ((N + 1).M − 1) (1 + s.r.C)( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.100) Finalmente, caso r.C � Ts, o zero relativo à ESR do capacitor também possui locali- zação em alta frequência e pode ser desconsiderado, resultando em (2.101), (2.102) e (2.103). GPNrxMCD (s) = v̂o d̂ = 2.Vo.N.(M − 1) D. ((N + 1).M − 1) 1( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.101) GGNrxMCD (s) = v̂o v̂in = N.M.(2.M − 1) ((N + 1).M − 1) 1( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.102) GJNrxMCD (s) = v̂o ĵo = − R.(M − 1) ((N + 1).M − 1) 1( (M−1).N.R.C ((N+1).M−1)s+ 1 ) (2.103) 2.2.3 Modo de Condução Crítica (MCCr) Conforme definido previamente, temos que o funcionamento de cada célula em regime permanente mantém a razão de conversão M , definida tanto por (2.1) quanto (2.25). Considerando o sistema variável no tempo, a tensão média no indutor permanece descrita por (2.26). No entanto, a corrente média no capacitor, por fornecer apenas uma fração da corrente integral consumida pela carga, pode ser expressa por (2.104). 〈iC(t)〉ts = 1 ts ∫ t+ts t iC(τ)dτ ≈ ( 1− ton(t) ts(t) ) 〈iL(t)〉ts − 〈io(t)〉ts N (2.104) 2.2. Extensão da Modelagem para Arquitetura Celular 45 Seguindo o procedimento executado na subseção 2.1.3, encontra-se a resposta do sistema, dada então por (2.105), sendo composta pelas funções de transferência (2.106), (2.107) e (2.108). v̂o = GPNMCCr (s). ˆton +GGNMCCr (s).v̂in +GNJMCCr (s).ĵo (2.105) GPNMCCr (s) = v̂o ˆton = N.Vo (N + 1).D.Ts ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( (N.R+(N+1).r).C (N+1) s+ 1 ) (2.106) GGNMCCr (s) = v̂o v̂in = 2.N.M (N + 1) ( Ts 4.M s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( (N.R+(N+1).r).C (N+1) s+ 1 ) (2.107) GJNMCCr (s) = v̂o ĵo = − R (N + 1) ( Ts 2 s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( (N.R+(N+1).r).C (N+1) s+ 1 ) (2.108) Supondo r � R, as funções de transferência podem ser aproximadas por (2.109), (2.110) e (2.111). GPNsMCCr (s) = v̂o ˆton = N.Vo (N + 1).D.Ts ( 1− D.Ts 2 s ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.109) GGNsMCCr (s) = v̂o v̂in = 2.N.M (N + 1) ( Ts 4.M s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.110) GJNsMCCr (s) = v̂o ĵo = − R (N + 1) ( Ts 2 s+ 1 ) (1 + s.r.C)( Ts 2 s+ 1 ) ( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.111) Como o polo e zero de alta frequência não sofrem influência do número N de células, é possível desconsiderá-los para obter (2.112), (2.113) e (2.114), conjunto utilizado então como modelo de ordem reduzida do MCCr para N células. GPNrsMCCr (s) = v̂o ˆton = N.Vo (N + 1).D.Ts (1 + s.r.C)( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.112) GGNrsMCCr (s) = v̂o v̂in = 2.N.M (N + 1) (1 + s.r.C)( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.113) GJNrsMCCr (s) = v̂o ĵo = − R (N + 1) (1 + s.r.C)( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.114) 46 CAPÍTULO 2. Desenvolvimento dos Modelos Finalmente, caso r.C � Ts, o zero relativo à ESR do capacitor também terá localiza- ção em alta frequência e pode ser desconsiderado, resultando em (2.115), (2.116) e (2.117). GPNrxMCCr (s) = v̂o ˆton = N.Vo (N + 1).D.Ts 1( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.115) GGNrxMCCr (s) = v̂o v̂in = 2.N.M (N + 1) 1( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.116) GJNrxMCCr (s) = v̂o ĵo = − R (N + 1) 1( N.R.C (N+1)s+ 1 ) (2.117) 2.3 Conclusões A metodologia baseada no emprego dos valores médios foi aplicada nas equações que descrevem a operação do conversor CC-CC Boost para determinar seu modelo matemático. Os modelos foram desenvolvidos considerando os três modos de condução de corrente (contínuo, descontínuo e crítico), para a determinação das funções de transferência (tensão de saída em função do sinal de controle, tensão de saída em função da tensão de entrada e tensão de saída em função da variação de carga). Especificamente para a operação em MCCr, a metodologia clássica foi alterada, no que tange a adoção de variável de controle e perturbação do período de chaveamento. Os modelos obtidos considerando a operação de apenas um conversor foram estendidos considerando arquitetura paralela de N conversores. Os modelos obtidos previamente foram considerados de ordem completa e poste- riormente procedimentos de simplificação foram adotados para reduzir as ordens dos modelos. Como os modelos de ordem reduzida são aproximadamente equivalente aos de ordem completa, quando desconsiderados o polo e zero de alta frequência, espera-se que a resposta de ambos seja idêntica para baixas frequências, sendo o modelo de ordem completa supostamente mais preciso em frequências maiores. Porém, de acordo com (ZHANG et al., 2001), a modelagem por valores médios não contabiliza a influência da fase das perturbações, e esta se torna significativa em frequências acima de um terço da frequência de chaveamento. Para o projeto dos controladores, cada modelo será analisado e modelos represen- tativos serão escolhidos para projetar e simular os controles no sistema chaveado. Serão também efetuadas simulações dos próprios modelos, de forma a avaliar o quão precisas são as aproximações para ordem reduzida e se há vantagens no uso dos modelos de ordem completa. 47 3 PROJETO DE CONTROLADORES Considerando que em operação os conversores CC-CC são afetados naturalmente por distúrbios na tensão de entrada e/ou variações na carga, para garantir na operação uma tensão de saída com uma tolerância estabelecida é necessário que a mesma seja regulada através de um sistema de controle. Utiliza-se então um controle de malha fechada, conforme a Figura 3.1, onde a tensão de saída Vo é medida, comparada com um valor de referência Vref e o controlador atua sobre o erro atual. Tal configuração é denominada controle por modo de tensão. Figura 3.1 – Diagrama de controle por modo de tensão do conversor CC-CC Boost. Controle Conversor CC-CC Boost VoVref d ton Vin Fonte: Autoria própria. Para permitir a análise do sistema, são definidos valores para a operação do con- versor, que então deve ser adequadamente dimensionado para o modo de condução de interesse. Em seguida, são definidos os cri- térios de desempenho que o sistema deve obedecer, por exemplo, sobretensão, sub- tensão, tempo de estabelecimento, etc. 3.1 Especificações de Operação Com o objetivo de estabelecer uma aplicação prática de forma concreta para avaliar a operação do conversor CC-CC Boost, as especificações operacionais são estabelecidas tomando como base uma planta para geração de energia elétrica renovável através do uso de painéis fotovoltaicos, que deve adequar a tensão gerada por tais painéis para permitir a alimentação de um conversor CC-CA (inversor), ligado à rede. Para o ponto de operação quiescente, a tensão de entrada Vin do conversor é definida como sendo 220V, a tensão de saída Vo como 400V, sua frequência de chaveamento fs como 50kHz, e a carga consome uma potência nominal Po de 500W. Assim, a razão de conversão é M = Vo Vin = 1, 818 e a resistência equivalente da carga é R = V 2 o Po = 320Ω. A faixa de variação da tensão de entrada é definida como ±30% sobre o valor nominal, ou seja, a tensão Vin pode variar de 154V até 286V. A carga pode ser reduzida para até 25% do seu valor nominal, ou seja, a potência consumida pode estar entre 500W e 125W. A carga é considerada com sendo composta por uma componente resistiva e uma fonte de corrente variável jo(t), onde a corrente consumida pela componente resistiva é de 1, 25A e a fonte jo(t) possui faixa de variação entre zero e −0, 9375A. Com a carga definida, o dimensionamento do indutor determina o modo de condução desejado. O MCC aumenta de certa forma a complexidade do controle, tanto no sentido de que seu modelo tem função de transferência de segundo grau, sem possibilidade de 48 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores simplificação, quanto em relação à uniformidade da distribuição de corrente entre estruturas em arquitetura celular paralela. Além disso, a condução contínua exige comutação forçada dos semicondutores, aumentando as perdas nos mesmos. Os modos MCD e MCCr, conforme apresentado no capítulo 2, permitem o emprego de funções de transferência simplificadas, contribuem no processo de equilíbrio e distribuição de corrente entre as estruturas em arquitetura celular paralela, e ainda contribuem com atenuação de perdas por comutação na entrada em condução dos interruptores e bloqueio dos diodos. Desta forma, os modos MCD e MCCr serão adotados para avaliação e projeto do conversor CC-CC Boost. Para o caso em MCD, devemos analisar as faixas de operação dos parâmetros para garantir que a corrente no indutor permaneça com descontinuidades durante o funcionamento. Utilizando (2.1) e (2.25) e manipulando as variáveis para isolar L, tem- se (3.1). Lcrit = (M − 1) 2.M3.fs . V 2 o Po (3.1) A tensão de saída Vo e a frequência de chaveamento fs são parâmetros considerados constantes neste caso. No entanto, os valores de Po e f(M) = M3 (M−1) possuem faixas de operação que devem ser analisadas. A potência máxima é exigida pela carga em sua condição nominal. Dentro dos limites de operação definidos, o valor máximo da função f(M) encontra-se no limite superior de M , ou seja, quando a tensão de entrada Vin é mínima. Substituindo os valores na equação (3.1), tem-se (3.2). Lcrit = ( 400 154 − 1 ) 2. ( 400 154 )3 .50000 . 4002 500 ≈ 291, 7µH (3.2) Portanto, qualquer valor de indutância menor que Lcrit = 291, 7µH garante a operação descontínua em regime permanente, mas valores muito próximos podem levar à períodos de condução contínua, principalmente em transitórios de carga ou tensão de entrada, e quanto menor o valor maiores os picos de corrente durante o funcionamento. Portanto, a indutância L = 200µH será adotada para o MCD. Para o caso em MCCr, o valor Lcrit é calculado com os valores nominais quiescentes e utilizado diretamente. Substituindo os valores na equação (3.1), tem-se (3.3). Lcrit = ( 400 220 − 1 ) 2. ( 400 220 )3 .50000 . 4002 500 = 435, 6µH (3.3) Através de (3.1) é possível perceber que, ao definir a operação em MCCr e fixar Lcrit, a frequência de chaveamento fs passa a ser dependente das flutuações de tensão e variações de carga, não sendo mais constante como no caso em MCD. De acordo com (GONÇALVES, 2005), o filtro capacitivo do conversor pode ser obtido através de (3.4). C ≥ Po 2.π.fs.Io.∆Vo (3.4) 3.2. Análise dos Modelos 49 Adotando que a variação de tensão de saída ∆Vo deve ser no máximo 1% do valor médio da tensão de saída Vo, tem-se (3.5). C ≥= 500 2.π.50000.1, 25.4 = 318, 31µF (3.5) Portanto, para as simulações será utilizado o valor comercial mais próximo, neste caso C = 330µF. A resistência série equivalente (ESR) r do capacitor foi escolhida como sendo a média de valores comerciais disponíveis encontrados para esta capacitância e tensão entre 500V e 1kV (MOUSER ELECTRONICS, 2016), resultando em r = 45mΩ. 3.2 Análise dos Modelos Definidos os parâmetros de operação e dimensionados os componentes armazenadores de energia (L e C) dos conversores Boost para os MCD e MCCr no capítulo 3, torna-se possível a análise numérica dos modelos literais previamente desenvolvidos no capítulo 2. Além disso, é importante ressaltar que a arquitetura celular permite o controle individual das células, possibilitando o uso de técnicas de acionamento como o entrelaçamento (interleaving), que geram dinâmicas adicionais não consideradas na modelagem por valores médios. Levando isso em consideração, a análise da modelagem estendida para arquitetura celular se limitará a modelos de ordem completa. 3.2.1 Modo de Condução Descontínua (MCD) Aplicando os valores definidos para o MCD nas equações (2.37), (2.38) e (2.39), encontra-se o modelo de ordem completa, dado por (3.6), (3.7) e (3.8). GPMCD (s) = v̂o d̂ = 814, 2372(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1, 4709.10−7.s2 + 0, 032778.s+ 1) (3.6) GGMCD (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1− 1, 1395.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1, 4709.10−7.s2 + 0, 032778.s+ 1) (3.7) GJMCD (s) = v̂o ĵo = −99, 3103(1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1, 4709.10−7.s2 + 0, 032778.s+ 1) (3.8) A expressão em (3.9) demonstra o atendimento da condição de fatoração D.Ts � 2(M − 1)(R + r)C. Assim, o polinômio característico pode ser aproximadamente fatorado por (2.40), (2.41) e (2.42), resultando em (3.10), (3.11) e (3.12). D.Ts ≈ 7, 3434.10−6 � 2(M − 1)(R + r)C ≈ 0, 1728 (3.9) 50 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores GPfMCD (s) = v̂o d̂ = 814, 2372(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 032777.s) = 814, 2372(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1, 4709.10−7.s2 + 0, 032782.s+ 1) (3.10) GGfMCD (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1− 1, 1395.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 032777.s) (3.11) GJfMCD (s) = v̂o ĵo = −99, 3103(1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 032777.s) (3.12) Comparando os coeficientes do polinômio característico fatorado desenvolvido em (3.10) com os de (3.6), conclui-se que inicialmente a aproximação pode ser considerada satisfató- ria, pois os valores absolutos necessitam de pelo menos cinco algarismos significativos para haver alguma diferença. Adicionalmente, como r = 0, 045� R = 320, pode-se ainda simplificar para (2.43), (2.44) e (2.45), resultando em (3.13), (3.14) e (3.15). GPsMCD (s) = v̂o d̂ = 814, 2372(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 032772.s) = 814, 2372(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) 1, 4707.10−7.s2 + 0, 032777.s+ 1 (3.13) GGsMCD (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1− 1, 1395.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 032772.s) (3.14) GJsMCD (s) = v̂o ĵo = −99, 3103(1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 032772.s) (3.15) Novamente, comparando os coeficientes do polinômio característico fatorado desen- volvido em (3.13) com os de (3.6), conclui-se que esta aproximação também é satisfatória, pois há alguma diferença apenas a partir do quinto algarismo significativo. Considerando agora o modelo de ordem reduzida, aplicando os valores definidos para o MCD nas equações (2.46), (2.47) e (2.48), encontra-se (3.16), (3.17) e (3.18). GPrMCD (s) = v̂o d̂ = 814, 2372(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 032787.s) (3.16) GGrMCD (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 032787.s) (3.17) GJrMCD (s) = v̂o ĵo = −99, 3103(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 032787.s) (3.18) 3.2. Análise dos Modelos 51 Adicionalmente, como r = 0, 045 � R = 320, pode-se aproximar para as equa- ções (2.49), (2.50) e (2.51), resultando em (3.19), (3.20) e (3.21). GPrsMCD (s) = v̂o d̂ = 814, 2372(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 032772.s) (3.19) GGrsMCD (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 032772.s) (3.20) GJrsMCD (s) = v̂o ĵo = −99, 3103(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 032772.s) (3.21) Dado que r.C = 1, 485.10−5 6� Ts = 2.10−5, a condição r.C � Ts não é atendida, portanto as equações (2.52), (2.53) e (2.54) não oferecem aproximações adequadas e não serão aplicadas neste caso. As Figuras de 3.2 a 3.7 mostram, através das curvas de resposta em frequência, uma análise comparativa entre os modelos calculados. Como a modelagem por valores médios não contabiliza a influência da fase das perturbações, e esta se torna significativa em frequências acima de um terço da frequência de chaveamento (SUN et al., 2001), a análise será limitada até a frequência de 16, 67kHz. Figura 3.2 – Resposta em frequência de v̂o em função de d̂ para o MCD. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. O comportamento das funções de transferência na Figura 3.2 varia numa escala muito maior que as diferenças entre cada função individual. Para facilitar a análise, a função descrita por (3.6) é definida como referência, e a diferença entre o comportamento das funções descritas por (3.10), (3.13), (3.16) e (3.19) relativa à referência é representada na 52 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Figura 3.3. Essa mesma definição será repetida para as Figuras 3.4 e 3.6, com as diferenças relativas a (3.7) e (3.8) representadas nas Figuras 3.5 e 3.7, respectivamente. Figura 3.3 – Variação relativa a GPMCD (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.4 – Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCD. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 3.2. Análise dos Modelos 53 Figura 3.5 – Variação relativa a GGMCD (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.6 – Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCD. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 54 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Figura 3.7 – Variação relativa a GJMCD (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Observando as Figuras 3.3 e 3.5, nota-se que, confirmando a análise dos coeficientes, os modelos de ordem completa são virtualmente idênticos, agrupados sobre os eixos de magnitude em 0dB e de fase em 0°. Os modelos de ordem reduzida, como esperado, divergem dos de ordem completa conforme o aumento da frequência, mas também não diferem perceptivelmente entre si. Com relação à Figura 3.7, a aparência de um comportamento divergente é consequência de uma alteração de escala, observando-se então que os modelos de ordem completa e reduzida possuem comportamento virtualmente idêntico. Portanto, nas análises serão utilizados apenas os modelos mais simplificados, com- postos por (3.13), (3.14) e (3.15) no caso de ordem completa e por (3.19), (3.20) e (3.21) no caso de ordem reduzida. Adicionalmente, as diferenças de magnitude entre os modelos analisados é muito pequena, resultando em menos de 1dB no pior caso do intervalo analisado em 16, 67kHz. As diferenças de fase são significativas, chegando a até 45° no intervalo analisado, também em 16, 67kHz. Porém, devido às dinâmicas não contabilizadas pela modelagem por valores médios, a precisão do modelo em frequências elevadas já é incerta, e caso a escolha da frequência de corte para o projeto do controlador esteja em torno de 1kHz, as diferenças de fase estarão em torno de 5° e a complexidade adicional do modelo de ordem completa se torna desnecessária. Analisando agora o comportamento dos modelos em arquitetura celular, aplicando para cada célula os mesmos valores de operação definidos para o caso de uma célula, com a carga proporcional ao número de células, conforme (2.92), (2.93) e (2.94), encontra-se o 3.2. Análise dos Modelos 55 modelo de ordem completa simplificado com N células em paralelo. Para este estudo, serão analisadas as configurações com duas a cinco células e com- paradas com o caso de apenas uma célula. Para duas células, tem-se (3.22), (3.23) e (3.24). GP2sMCD (s) = v̂o d̂ = 963, 7909(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 038792.s) (3.22) GG2sMCD (s) = v̂o v̂in = 2, 1521(1− 1, 1395.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 038792.s) (3.23) GJ2sMCD (s) = v̂o ĵo = −58, 7755(1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 038792.s) (3.24) Para três células, tem-se as funções de transferência (3.25), (3.26) e (3.27). GP3sMCD (s) = v̂o d̂ = 1026, 6469(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 041321.s) (3.25) GG3sMCD (s) = v̂o v̂in = 2, 2925(1− 1, 1395.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 041321.s) (3.26) GJ3sMCD (s) = v̂o ĵo = −41, 7391(1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 041321.s) (3.27) Para quatro células, tem-se as funções de transferência (3.28), (3.29) e (3.30). GP4sMCD (s) = v̂o d̂ = 1061, 2529(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 042715.s) (3.28) GG4sMCD (s) = v̂o v̂in = 2, 3698(1− 1, 1395.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 042715.s) (3.29) GJ4sMCD (s) = v̂o ĵo = −32, 3596(1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 042715.s) (3.30) Para cinco células, tem-se as funções de transferência (3.31), (3.32) e (3.33). GP5sMCD (s) = v̂o d̂ = 1083, 1595(1− 3, 6717.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 043596.s) (3.31) GG5sMCD (s) = v̂o v̂in = 2, 4187(1− 1, 1395.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 043596.s) (3.32) GJ5sMCD (s) = v̂o ĵo = −26, 4220(1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 4, 4876.10−6.s) (1 + 0, 043596.s) (3.33) 56 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Nota-se que há um aumento nos ganhos estáticos com cada adição de células, exceto a função GJNsMCD (s) relativa à carga, bem como um deslocamento do polo de baixa frequência. As curvas de resposta em frequência, apresentadas nas figuras de 3.8 a 3.13, permitem uma melhor visualização e comprovação dessas diferenças. Figura 3.8 – Resposta em frequência de v̂o em função de d̂ para o MCD com N células. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.9 – Variação relativa a GP sMCD (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 3.2. Análise dos Modelos 57 Apesar do polo de baixa frequência se reduzir com o aumento do número de células, sua variação é muito pequena e com influência limitada às frequências vizinhas ao mesmo, conforme ilustram as variações de fase na Figuras 3.9, 3.11 e 3.13. Figura 3.10 – Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCD com N células. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.11 – Variação relativa a GGsMCD (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 58 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Figura 3.12 – Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCD com N células. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.13 – Variação relativa a GJsMCD (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Com relação ao ganho da função GJNsMCD (s), o mesmo decresce com o aumento do número de células. Isso decorre da escolha de manter o dimensionamento das células conversoras com a mesma potência de carga, efetivamente aumentando a carga total proporcionalmente ao número de células, e diminuindo a influência de sua variação sobre a tensão de saída. 3.2. Análise dos Modelos 59 3.2.2 Modo de Condução Crítica (MCCr) Aplicando os valores definidos para o MCCr em (2.67), (2.68) e (2.69), encontra-se o modelo de ordem completa dado por (3.34), (3.35) e (3.36). GPMCCr (s) = v̂o ˆton = 2, 2222.107 (1− 4, 5.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 052815.s) (3.34) GGMCCr (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1 + 2, 75.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 052815.s) (3.35) GJMCCr (s) = v̂o ĵo = −160(1 + 10−5.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 052815.s) (3.36) Como r = 0, 045� R = 320, o conjunto pode ser simplificado por (2.70), (2.71) e (2.72) para as funções de transferência (3.37), (3.38) e (3.39). GPsMCCr (s) = v̂o ˆton = 2, 2222.107 (1− 4, 5.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 05313.s) (3.37) GGsMCCr (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1 + 2, 75.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 05313.s) (3.38) GJsMCCr (s) = v̂o ĵo = −160(1 + 10−5.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 05313.s) (3.39) Considerando agora o modelo de ordem reduzida simplificado definido pelas equa- ções (2.73), (2.74) e (2.75), encontra-se as funções de transferência (3.40), (3.41) e (3.42). GPrsMCCr (s) = v̂o ˆton = 2, 2222.107 (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 05313.s) (3.40) GGrsMCCr (s) = v̂o v̂in = 1, 8182(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 05313.s) (3.41) GJrsMCCr (s) = v̂o ĵo = −160(1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 0, 05313.s) (3.42) Dado que r.C = 1, 485.10−5 6� Ts = 2.10−5, a condição r.C � Ts não é atendida, portanto as equações (2.52), (2.53) e (2.54) não oferecem aproximações adequadas e não serão aplicadas neste caso. 60 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Confrontando os modelos calculados através das curvas de resposta em frequência é possível efetuar uma análise comparativa entre estes, conforme as Figuras de 3.14 a 3.19 ilustram. Figura 3.14 – Resposta em frequência de v̂o em função de ˆton para o MCCr. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.15 – Variação relativa a GPMCCr (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 3.2. Análise dos Modelos 61 Semelhante ao caso emMCD, o comportamento das funções na Figura 3.14 varia numa escala muito maior que as diferenças entre cada função individual. Mantendo a técnica da análise anterior, a função de ordem completa descrita por (3.34) é definida como referência, e a diferença relativa entre esta e o comportamento das funções (3.37) e (3.40) é representada na Figura 3.15. Essa mesma definição será usada nas Figuras 3.16 e 3.18, com as diferenças relativas a (3.35) e (3.36) apresentadas nas Figuras 3.17 e 3.19, respectivamente. Figura 3.16 – Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCCr. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.17 – Variação relativa a GGMCCr (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 62 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Figura 3.18 – Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCCr. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.19 – Variação relativa a GJMCCr (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Observando as Figuras 3.15 e 3.17, nota-se que os modelos de ordem completa são praticamente idênticos, agrupados sobre os eixos de magnitude em 0dB e de fase em 0°. 3.2. Análise dos Modelos 63 O modelo de ordem reduzida, como esperado, diverge dos de ordem completa conforme o aumento da frequência. Com relação à Figura 3.19, assim como no caso em MCD, os modelos de ordem completa e reduzida são muito próximos, permitindo à visualização das curvas numa escala maior. Portanto, nas análises serão utilizados apenas os modelos mais simplificados, com- postos por (3.37), (3.38) e (3.39) no caso de ordem completa e por (3.40), (3.41) e (3.42) no caso de ordem reduzida. Adicionalmente, as diferenças de magnitude entre os modelos escolhidos é muito pequena, com menos de 3dB no pior caso do intervalo analisado em 16kHz. As diferenças de fase são significativas, chegando a até 72° no intervalo analisado, também em 16kHz. Porém, conforme já exposto no caso em MCD, a precisão do modelo em frequências elevadas é incerta devido às dinâmicas não contabilizadas pela modelagem por valores médios, e caso a escolha da frequência de corte para o projeto do controlador esteja em torno de 1kHz, as diferenças de fase estarão em torno de 5° e a complexidade adicional do modelo de ordem completa se torna desnecessária. Analisando agora o comportamento dos modelos em arquitetura celular, aplicando para cada célula os mesmos valores de operação definidos para o caso de uma célula, com a carga proporcional ao número de células, conforme (2.109), (2.110) e (2.111), encontra-se o modelo de ordem completa simplificado com N células. Para este estudo, serão analisadas as configurações com duas a cinco células e com- paradas com o caso de apenas uma célula. Para duas células, tem-se (3.43), (3.44) e (3.45). GP2sMCCr (s) = v̂o ˆton = 2, 9630.107 (1− 4, 5.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 07073.s) (3.43) GG2sMCCr (s) = v̂o v̂in = 2, 4242(1 + 2, 75.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 07073.s) (3.44) GJ2sMCCr (s) = v̂o ĵo = −106, 6667(1 + 10−5.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 07073.s) (3.45) Para três células, tem-se as funções de transferência (3.46), (3.47) e (3.48). GP3sMCCr (s) = v̂o ˆton = 3, 3333.107 (1− 4, 5.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 07953.s) (3.46) GG3sMCCr (s) = v̂o v̂in = 2, 7272(1 + 2, 75.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 07953.s) (3.47) GJ3sMCCr (s) = v̂o ĵo = −80(1 + 10−5.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 07953.s) (3.48) 64 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Para quatro células, tem-se as funções de transferência (3.49), (3.50) e (3.51). GP4sMCCr (s) = v̂o ˆton = 3, 5556.107 (1− 4, 5.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 08481.s) (3.49) GG4sMCCr (s) = v̂o v̂in = 2, 9091(1 + 2, 75.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 08481.s) (3.50) GJ4sMCCr (s) = v̂o ĵo = −64(1 + 10−5.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 08481.s) (3.51) Para cinco células, tem-se as funções de transferência (3.52), (3.53) e (3.54). GP5sMCCr (s) = v̂o ˆton = 3, 7037.107 (1− 4, 5.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 08833.s) (3.52) GG5sMCCr (s) = v̂o v̂in = 3, 0303(1 + 2, 75.10−6.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 08833.s) (3.53) GJ5sMCCr (s) = v̂o ĵo = −53, 3333(1 + 10−5.s) (1 + 1, 485.10−5.s) (1 + 10−5.s) (1 + 0, 08833.s) (3.54) Nota-se que há um aumento nos ganhos estáticos com cada adição de células, exceto a função relativa à carga, bem como um deslocamento do polo de baixa frequência. As curvas de resposta em frequência, apresentadas nas figuras de 3.20 a 3.25, permitem uma melhor visualização e comprovação dessas diferenças. Figura 3.20 – Resposta em frequência de v̂o em função de ˆton para o MCCr com N células. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 3.2. Análise dos Modelos 65 Figura 3.21 – Variação relativa a GPMCCr (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.22 – Resposta em frequência de v̂o em função de v̂in para o MCCr com N células. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 66 CAPÍTULO 3. Projeto de Controladores Figura 3.23 – Variação relativa a GGMCCr (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. Figura 3.24 – Resposta em frequência de v̂o em função de ĵo para o MCCr com N células. M ag n it u d e (d B ) F as e (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. 3.2. Análise dos Modelos 67 Figura 3.25 – Variação relativa a GJMCCr (s). M ag n it u d e R el at iv a (d B ) F as e R el at iv a (g ra u s) Frequência (Hz) Fonte: Autoria própria. De forma análoga ao MCD, o aumento do número de células reduz o polo de baixa frequência, pois a variação é muito pequena e com influência limitada às frequências vizinhas ao mesmo, como apresentam as variações de fase na Figuras 3.21, 3.23 e 3.25. Com relação ao ganho da função GJNsMCCr (s), o mesmo decresce com o aumento do número de células. Conforme já apontado no caso MCD, isso decorre da escolha de manter o dimensionamento das células conversoras com a mesma potência de carga. Como a potência nominal total aumenta com o número de células, a amplitude de uma perturbação na carga deve também aumentar proporcionalmente para surtir o mesmo efeito no sistema. Levando em consideração que o MCCr se encontra no limiar entre os MCC e MCD, pode-se supor que os model