unesp UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA CAMPUS DE GUARATINGUETÁ FACULDADE DE ENGENHARIA FACULDADE DE ENGENHARIA DE GUARATINGUETÁ Cálculo de Coeficientes de Arrasto para Satélites Artificiais TIAGO RAIMUNDO DA SILVA PUBLICAÇÃO GUARATINGUETÁ - SP BRASIL CÁLCULO DE COEFICIENTES DE ARRASTO PARA SATÉLITES ARTIFICIAIS TIAGO RAIMUNDO DA SILVA Orientador: Prof. Dr. Rodolpho Vilhena de Moraes Guaratinguetá 2001 Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá da Universidade Estadual Paulista, para a obtenção do título de Mestre em Física. S586c Silva, Tiago Raimundo da Silva Cálculo de coeficientes de arrasto para satélites artificiais /Tiago Raimundo da Silva – Guaratinguetá, 2001. 104f.: il.; 30cm Bibliografia: f. 98-104 Dissertação (mestrado) -Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2001. Orientador: Prof. Dr. Rodolpho Vilhena de Moraes 1.Satélite Artificial - Dinâmica Orbital I. Título CDU 629.783 DADOS CURRICULARES TIAGO RAIMUNDO DA SILVA NASCIMENTO 05.02.1960 - GUARATINGUETÁ /SP FILIAÇÃO João Raimundo da Silva Maria de Lourdes Monteiro da Silva 1990/1994 Curso de Graduação Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá 1997/2001 Curso de Pós-Graduação em Física, nível de Mestrado, na Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá dedico em especial, à minha mãe Maria de Lourdes, e a minha avó, Anunciação Maria, que sempre me incentivaram nesta trajetória de vida. AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus, em primeiro lugar, por sempre ter me dado as forças necessárias para perseverar na caminhada, ao Professor Rodolpho Vilhena pela orientação, atenção, incentivo e por acreditar, apesar das circunstâncias, que tudo daria certo, à chefia do Departamento de Física e Química pelo apoio dado ao possibilitar adequar o horário de trabalho com os horários de aulas, aos colegas Fátima Peixoto e José Benedito Galhardo pela ajuda em cobrir horários de laboratório, às colegas Vânia Sant'ana Antunes e Ângela Manchini pelo apoio nesta caminhada, aos Professores do Departamento de Física e Química, em especial aos de Física Experimental, pelo apoio e compreensão nas constantes mudanças de horário que possibilitaram caminhar com este trabalho, às funcionárias da Biblioteca do Campus de Guaratinguetá pela dedicação e paciência em atender, em especial à Grácia pelas conversas de incentivo e à Ana Maria pela atenção e ajuda nas pesquisas bibliográficas, aos Professores Valdemir Carrara e Hélio Koiti Kuga do Inpe pela atenção e presteza em atender-me nos momentos de dúvidas. ao Professor Dr. L. Sehnal do Astronomical Institute of the Academy of Sciences of the Czech Republic, pelo envio de seus artigos e pelo esclarecimento de dúvidas. A Sabedoria é radiante, não fenece, facilmente é contemplada por aqueles que a amam e se deixa encontrar por aqueles que a buscam. Ela mesma se dá a conhecer aos que a desejam. Quem por ela madruga não se cansa: encontra-a sentada à porta. Meditá-la é a perfeição da inteligência; quem vigia por ela logo se isenta de preocupações; ela mesma busca, em toda parte, os que a merecem; benigna, aborda- os pelos caminhos e a cada pensamento os precede. Seu princípio é o desejo autêntico de instrução, o afã da instrução é o amor, o amor é a observância de suas leis, o respeito das leis é garantia de incorruptibilidade e a incorruptibilidade aproxima de Deus. Sabedoria 6, 12-19 SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS LISTA DE SÍMBOLOS Resumo Abstract INTRODUÇÃO......................................................................................18 SÍNTESE DO TRABALHO...................................................................20 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA................................................................21 1 O MEIO E SUAS CARACTERÍSTICAS.........................................31 1.1 Introdução..........................................................................................31 1.2 A Atmosfera da Terra........................................................................31 1.3 Caminho Livre Médio.......................................................................35 1.4 Altura de Escala (H)..........................................................................39 2 FORÇAS AERODINÂMICAS.........................................................42 2.1 Introdução..........................................................................................42 2.2 Forças e Torques Aerodinâmicos......................................................45 2.3 Fatores que afetam o arrasto aerodinâmico.......................................47 2.4 Coeficiente de Arrasto Aerodinâmico...............................................52 2.5 O efeito do arrasto atmosférico sobre um satélite artificial...............54 3 MODELOS DE INTERAÇÃO MOLÉCULA-SUPERFÍCIE.............58 3.1 Introdução..........................................................................................58 3.2 Modelo de Schamberg.......................................................................59 3.3 Modelo de Stalder e Zurick...............................................................61 3.4 Aplicações do Modelo de Shamberg para o cálculo do CD encontrados na literatura.........................................................................69 3.5 Aplicações do Modelo de Stalder e Zurick para o cálculo de CD encontrados na literatura.........................................................................74 3.6 Outro método para o cálculo do coeficiente de arrasto.....................78 4 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ARRASTO PARA OS SATÉLITES SCD1, SCD2 E CBERS1..................................................80 4.1 Introdução..........................................................................................80 4.2 Desenvolvimento analítico para o cálculo do CD..............................81 4.3 Resultados do cálculo do coeficiente de arrasto................................85 4.4 Cálculo do coeficiente de arrasto para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1 em função da razão das velocidades e coeficiente de acomodação térmica................................................................................88 5 CONCLUSÃO E TRABALHOS FUTUROS......................................95 5.1 Conclusões........................................................................................95 5.2 Propostas para trabalhos futuros.......................................................97 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS....................................................98 LISTA DE FIGURAS FIGURA 1.1 - Altitude versus Temperatura da Atmosfera....................35 FIGURA 1.2 - Caminho Livre Médio versus Altitude............................36 FIGURA 2.1 - Forças que atuam num corpo que se desloca em um fluido.......................................................................................................43 FIGURA 2.2 - Representando 'γ e φ ..................................................49 FIGURA 2.3 - Efeito da ação do arrasto atmosférico na órbita de um satélite......................................................................................................55 FIGURA 3.1 - Esquema do modelo de Schamberg................................60 FIGURA 3.2 - Sistema de coordenadas utilizado para análise da placa plana........................................................................................................63 FIGURA 3.3 - Elemento de área para o cilindro.....................................65 FIGURA 3.4 - Elemento de área para a esfera........................................66 FIGURA 3.5 - Elemento de área para o forma cônica............................67 FIGURA 3.6 - Área da superfície cônica coberta pelo fluxo..................67 FIGURA 3.7 - Geometria cilíndrica utilizada por Moe e Tsang............73 FIGURA 3.8 - Geometria cônica utilizada por Moe e Tsang................73 FIGURA 3.9 - Modelo de um hipotético satélite brasileiro...................75 FIGURA 3.10- Ângulos de ataque e de guinada.....................................76 FIGURA 4.1 - Valores de CD para os satélites SCD1 e SCD2..............86 FIGURA 4.2 - Valores de CD para os satélites SCD1 e SCD2..............87 FIGURA 4.3 - Valores de CD para o satélite SCD1...............................89 FIGURA 4.4 - Valores de CD para o satélite SCD1...............................90 FIGURA 4.5 - Valores de CD para o satélite SCD2...............................91 FIGURA 4.6 - Valores de CD para o satélite SCD2...............................92 FIGURA 4.7 - Valores de CD para o satélite CBERS1..........................93 FIGURA 4.8 - Valores de CD para o satélite CBERS1..........................94 LISTA DE TABELAS TABELA 1.1 - Composição do ar seco na superfície da Terra...............32 TABELA 3.1 - Equações para cálculo do coeficiente de arrasto............70 TABELA 4.1 - Parâmetros orbitais dos satélites SCD1, SCD2 e CBERS1..................................................................................................84 TABELA 4.2 - Valores do CD para o satélite SCD1, SCD2 e CBERS1..................................................................................................85 TABELA 4.3 - Valores do CD para o satélite SCD1, SCD2 e CBERS1..................................................................................................88 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS CML Caminho Médio Livre VHS Variable cross-section Hard Sphere MSISE-90 Mass Spectrometer and Incoherent Scatter TD Total Density ODERACS Orbital Debris Radar Calibration Spheres INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais CESAR Central European for Advanced Research SCD 1/2 Satélite de Coleta de Dados 1 e 2 CBERS1 China-Brazil Earth Resources Satellites 1 LISTA DE SÍMBOLOS km kilômetro K Kelvin m massa da partícula V Volume p pressão R constante dos gases T temperatura vc calor específico pc calor específico a pressão constante J Joules ρ densidade maxρ densidade máxima mimρ densidade mínima g aceleração da gravidade Γ taxa de queda L dimensão linear λ caminho médio livre vµ coeficiente de viscosidade Tσ seção transversal da esfera σ seção transversal média d diâmetro Σ inverso da altura de escala ε elipcidade La latitude pr posição do pericentro 0p altura inicial do perigeu DF força de arrasto D arrasto A área de referência v velocidade relativa MN número de Mach nK número de Knudsen RN número de Reinolds DC coeficiente de arrasto aF r força aerodinâmica sr r vetor posição do elemento dA τ forças tangenciais nσ coeficiente de acomodação normal iσ coeficiente de acomodação tangencial 'σ coeficiente de momento normal σ coeficiente de momento tangencial q pressão aerodinâmica sV velocidade do satélite em relação à atmosfera da Terra AV velocidade da atmosfera z altura iT temperatura da molécula incidente rT temperatura da molécula re-emitida wT temperatura da superfície do satélite sm massa do satélite iDC coeficiente de arrasto devido a molécula incidente rDC coeficiente de arrasto devido a molécula re-emitida DsC coeficiente de arrasto devido a reflexão especular α coeficiente de acomodação α coeficiente de acomodação médio s razão das velocidades 10 , II funções de Bessel mV velocidade molecular mais provável xU componente de velocidade na direção x xdl cossenos diretores β recíproco de mV vr razão de velocidade entre molécula re-emitida e molécula incidente S área projetada média l comprimento ( )sG função da razão de velocidade Aα ângulo de atáque Aβ ângulo de guinada Eω rotação da atmosfera m massa molecular effA área efetiva µ parâmetro gravitacional SILVA, T. R. Cálculo de Coeficientes de Arrasto para Satélites Artificiais. Guaratinguetá, 2001. 104p. Dissertação (Mestrado em Física) - Faculdade de Engenharia, Campus de Guaratingetá, Universidade Estadual Paulista. Resumo Devido à sua dependência a um grande número de parâmetros de difícil determinação, o cálculo de coeficiente de arrasto para satélites artificiais torna-se extremamente complexo. Teorias, como as desenvolvidas por Schamberg e Sehnal levam em consideração o coeficiente de acomodação térmico e os ângulos de incidência e reflexão das moléculas na superfície do satélite. Outras teorias como a de Stalder e Zurick utilizam nas suas formulações os seguintes parâmetros: a razão entre as velocidades do satélite e das moléculas da atmosfera, o coeficiente de acomodação térmico, o ângulo de ataque e a razão entre as temperaturas da superfície do satélite e a temperatura das moléculas incidentes. Neste trabalho algumas teorias para o cálculo do coefienciente de arrasto são analisadas comparativamente. Exemplos são exibidos, utilizando como modelo os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1. PALAVRAS - CHAVE: Coeficiente de Arrasto, arrasto atmosférico, forças não - gravitacionais. SILVA, T. R. Artificial Satellite Drag Computation. Guaratinguetá, 2001. 104p. Dissertação (Mestrado em Física) - Faculdade de Engenharia, Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista. ABSTRACT Drag coefficient computation for artificial satellite is extremely complex due to its dependence on several parameters that are difficult to determine. Some theories for drag coefficient computation, such as those developed by Schamberg and Sehnal, took into account the thermal accommodation coefficient and the incident and reflection angles of the molecules in the satellite surface. Others theories, such as the Stalder and Zurick theories, use in their formulations the following parameters: the ratio between the satellite velocity and the velocity of the molecules in the atmosphere, the thermal accommodation coefficient, the attack angle and the ratio between the temperatures of the satellite surface and of the incident molecules. In this work some theories for drag coefficients computation are comparatively analyzed. Examples are exhibited using the satellites SCD1, SCD2 and CBERS1 as models. KEYWORDS: drag coefficients, atmospheric drag, non-gravitational forces, artificial satellites INTRODUÇÃO Recentes avanços tecnológicos no uso de satélites artificiais, principalmente para uso em geodésia espacial e geodinâmica, requerem determinação de órbita e atitude cada vez mais precisa. Dependendo da missão, a força aerodinâmica constitui uma das principais fontes de perturbação do movimento do satélite. A força aerodinâmica agindo sobre um satélite é definida por (Cornelisse et al., 1979): ∫ →→ = dApF a em que → p é a soma da força devida a pressão aerodinâmica e forças tangenciais, dA é um elemento de superfície do satélite. Costuma-se representar a força aerodinâmica em termos de duas de suas componentes: a força de arrasto aerodinâmico D r , oposta ao vetor velocidade, e a força de sustentação aerodinâmica L r perpendicular ao vetor velocidade. As magnitudes destas forças são dadas por relações bem conhecidas (Vinh, 1981): Ls Ds CAVL CAVD 2 2 2 1 2 1 ρ ρ = = em que ρ é a densidade atmosférica, sV é a velocidade do satélite em relação a atmosfera, A é uma área de referência e os coeficientes DC e LC são, respectivamente os coeficiente de arrasto e de sustentação. Os coeficientes DC e LC da força aerodinâmica são definidos por LD LD qA p C , , = onde os subscritos D e L referem-se ao arrasto e à sustentação, respectivamente, q é a pressão dinâmica e A é uma área de referência Diversos modelos tem sido propostos para o cálculo do arrasto aerodinâmico de acordo com o mecanismo de interação molécula-superfície bem como algumas hipóteses feitas com relação a velocidade, temperatura e condições físicas e químicas da superfície do satélite. No presente trabalho, pretende-se analisar alguns modelos existentes para o cálculo do coeficiente de arrasto. SÍNTESE DO TRABALHO No capítulo 1 apresentaremos o meio em que o satélite orbita e suas características, o conceito de caminho médio livre e de altura de escala. No capítulo 2 apresentaremos os conceitos de forças e torques aerodinâmicos, fatores que afetam o arrasto aerodinâmico, o conceito de coeficiente de arrasto aerodinâmico e o efeito do arrasto atmosférico sobre um satélite artificial. No capítulo 3 apresentaremos os modelos de interação molécula- superfície, utilizados nos cálculos do coeficiente de arrasto, de Schamberg e Stalder e Zurick. Será mostrada as formulações de Stalder e Zurick para o cálculo do coeficiente de arrasto para diferentes formas geométricas. Apresentaremos algumas aplicações dos modelos de Schamberg e Stalder e Zurick para o cálculo do coeficiente de arrasto encontrados na literatura. No capítulo 4 apresentaremos alguns exemplos de cálculo do coeficiente de arrasto para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1, utilizando alguns dos modelos encontrados na literatura. No capítulo 5 apresentaremos nossas conclusões sobre o estudo do coeficiente de arrasto e algumas sugestões para trabalho futuro. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Stalder & Zurick (1951) publicaram um estudo analítico sobre os coeficientes aerodinâmicos em corpos de diferentes formas imersos num fluxo de moléculas livres e assumindo dois tipos de reflexão molecular: reflexão especular e difusa. Foram estudados corpos com os seguintes formatos: placa plana, cilindro, esfera e cone. Para estes corpos foram calculados os coeficientes de arrasto e sustentação utilizando a razão entre as velocidades do fluxo e a velocidade molecular mais provável, com valores para a razão numa faixa de 0 a 20. Para o cálculo dos coeficientes aerodinâmicos para a forma cônica, foram utilizados ângulos de ataque variando de 00 a 600 e com ângulo de semi-vértice variando de 2,50 a 300. Além disto, para o estudo do cone considerou-se que as moléculas não são reemitidas do corpo, mas espalham-se em sua superfície. Schamberg (1959) propõe um modelo de interação entre a superfície do satélite e as moléculas da alta atmosfera sob um fluxo de moléculas livres. Em seu trabalho, Schamberg leva em consideração os ângulos de incidência e reflexão das moléculas. O trabalho de King-Hele (1964) tem sido muito utilizada nos estudos de astrodinâmica, pois apresenta muitos conceitos importantes para o estudo da dinâmica dos satélites artificiais. Stuhlinger & Mesmer (1964) apresentam um estudo sobre a física da atmosfera e as diversas perturbações associadas à sua dinâmica. Assumindo que as moléculas da atmosfera são difusamente reemitidas com velocidades correspondentes à temperatura da superfície, Cook (1965) faz um estudo para o cálculo do coeficiente de arrasto DC para corpos de diferentes formas sob fluxo molecular hipertérmico. Seus resultados são apresentados no artigo sendo que os valores de DC são dados em função da razão entre as velocidades do corpo e do fluxo, em função do ângulo de incidência, caso da placa plana e do ângulo do semi-vértice no caso da forma cônica. Cook (1965), assume que a razão iw TT em que wT é a temperatura da superfície e iT é a temperatura das moléculas incidentes é muito pequena, em torno de 0,006, isto por considerar um fluxo hipertérmico de moléculas. Portanto a razão das velocidades pode ser escrito como: α−1 em que α é o coeficiente de acomodação. Em artigos mais recentes, Carrara (1980) e Venkataraman (1983) o valor de iw TT é assumido como sendo unitário e 0,5 respectivamente. No trabalho de Cook (1965) é apresentado também o cálculo do coeficiente de arrasto para um cilindro circular que rotaciona num fluxo de moléculas livres hipertérmico em função do seu comprimento, diâmetro e razão das velocidades e para uma razão de velocidade molecular baixa numa altitude de 800 km. Cook (1966) apresenta um trabalho que propõe o cálculo do coeficiente de arrasto para satélites esféricos em função do coeficiente de acomodação. Neste trabalho é apresentado também um estudo sobre os efeitos do movimento térmico aleatório, arrasto devido a carga das moléculas e efeitos devido ao potêncial de Coulomb. Para estudos da mecânica de vôo espacial, a obra de El'yasberg (1967) tem sido uma referência para todos os que trabalham com a teoria da dinâmica dos satélites artificiais. A obra procura abranger vários tópicos relacionados não só com o movimento dos satélites bem como os efeitos perturbadores de sua órbita. Sentman e Neice (1967) propõem um método para calcular o coeficiente de arrasto DC para satélites que "capotam" devido a perda do controle de atitude. Como há vários "capotamentos" o que é obtido das equações de Sentman e Neice é o valor de um DC médio cujo valor é apresentado no artigo para diferentes modos de "capotamento". Nocilla (1972) apresenta um estudo teórico sobre a determinação das forças aerodinâmicas sobre um satélite. Neste artigo Nocilla apresenta um resumo teórico dos conceitos envolvidos nos cálculos dos coeficientes aerodinâmicos como o coeficiente de acomodação, onde é mostrado a equação clássica do coeficiente de acomodação que relaciona as energias absorvida e refletida e a equação aplicada para casos onde a velocidade do corpo é muito maior do que a velocidade do gás, por exemplo, um míssel. Utilizando o modelo de Schamberg (Schamberg, 1959), Moe & Tsang (1973) apresentam equações para o cálculo do coeficiente de arrasto para corpos de forma cônica e cilíndrica. Em seu estudo, Moe e Tsang consideram que o feixe de moléculas reemitidas deixam a superfície formando um cone de reflexão. Utilizando formas geométricas para o cilindro e cone apresentadas no artigo, eles apresentam as equações para o cálculo do DC que relaciona, além do ângulo de reflexão, a razão entre as velocidades das moléculas refletidas e incidentes e uma função que relaciona a forma do objeto e o parâmetro de reflexão v , onde para 1=v temos reflexão especular e ∞=v temos reflexão difusa. Imbro & Moe (1975), utilizando o modelo de interação molécula - superfície de Schamberg obtêm equações para o cálculo do coeficiente de acomodação e coeficiente de arrasto em função da forma do corpo e do parâmetro de reflexão, que é aplicado no cálculo da taxa de decaimento do satélite. Seus resultados são aplicados para o satélite Ariel 2 considerando reflexões especular, 1=v , intermediária, 20=v e difusa ∞=v . O seu objetivo é obter um bom valor para o DC devido a sua importância no cálculo da densidade atmosférica utilizando o cálculo do decaimento orbital. Jacchia (1975), faz um estudo sobre a alta atmosfera da Terra onde apresenta diversos conceitos, dentre eles as variações de temperatura, o efeito da radiação solar, a pressão e a densidade atmosférica em diversas regiões, a estrutura e composição da atmosfera e efeitos geomagnéticos na atmosfera. Neste artigo são apresentados os conceitos necessários para entender o ambiente em que está imerso um satélite artificial e as diferentes interações sofridas pelo mesmo. Utilizando um estudo da variação da densidade com a altitude, King-Hele (1978) apresenta um estudo para calcular o tempo de vida dos satélites artificiais. Neste trabalho é apresentado correções para a variação da altura do perigeu, achatamento atmosférico e variações da densidade atmosférica. A modelagem dos efeitos do arrasto atmosférico é apresentado por Dowd & Tapley (1979) onde eles estudam o modelo Jacchia-Robert e o modelo Harris-Priester modificado e fazem uma comparação, através de dados numéricos, entre os modelos estudados. Carrara (1980) utilizando a equação para o cálculo do arrasto apresentado por Stalder e Zurick (1951) elabora um programa de computador que calcula o coeficiente de arrasto em função da razão das velocidades e do ângulo de ataque. Seus dados são aplicados para um hipotético satélite brasileiro (SB1) que possui características similares ao satélite brasileiro SCD1. Em seu trabalho, Carrara, devido a definição de caminho livre médio, considera os efeitos das partículas neutras e carregadas na interação com o satélite. Utilizando formas geométricas básicas como: cilindro circular, esfera, cone circular, placa plana e forma triângular, Fredo & Kaplan (1981), demonstram um procedimento para obter algumas propriedades aerodinâmicas de espaçonaves considerando um fluxo de moléculas livres. Seu método consiste em dividir a superfície da espaçonave em várias partes geométricas e calcular a contribuição da força para cada uma delas e depois integrar o resultado para toda a superfície. Fredo & Kaplan (1981), aplicam este método para o laboratório Skylab e comparam seus resultados com os fornecidos pela NASA que, estão bem próximos. Sehnal (1981), demonstra que a diminuição na inclinação orbital do satélite 1974-70A mostra algumas peculiaridades que não podem ser explicadas através de efeitos perturbadores usuais. Para explicar estes efeitos, Sehnal (1981) sugere a atuação de uma força de sustentação normal ao plano orbital. Em 1982, Carrara apresentou uma dissertação de mestrado (Carrara, 1982) em que faz um estudo analítico das forças e torques que atuam num satélite. Neste trabalho são apresentados os conceitos de interação gás-superfície, expressões para força e torque num satélite, diversos tipos de radiação solar, direta, refletida pela Terra e emitida pela Terra que atuam num satélite bem como forças e torques eletromagnéticos devido ao potencial do satélite e força de Coulomb além de torques e corrente de Foucault na superfície e no interior do satélite condutor. Seus resultados foram aplicados em um hipotético satélite brasileiro similar ao atual satélite SCD1. Através de análise dos dados observacionais da órbita do satélite 1974-70A, Sehnal (1982) propõe um método para o cálculo do coeficiente de arrasto baseado na lei de reflexão do modelo de Schamberg (1959). Um dos fatores importantes para os cálculos de Sehnal é a razão área-massa do satélite que neste trabalho não é tida como constante pois foi considerado que: o satélite rotaciona de maneira não conhecida, o satélite pode estar "capotando" e nesta "capotagem", áreas antes consideradas podem estar encobertas por outras mudando as características consideradas. Utilizando a teoria de Stalder & Zurick (1951), Venkataraman & Rao (1983) calculam o tempo de vida para satélites próximos à Terra e aplicam seus resultados para um hipotético satélite brasileiro SB-1. Para isto eles utilizaram a equação do coeficiente de arrasto apresentada em Carrara (1980) e calcularam a variação do semi-eixo e da excentricidade do satélite e aplicaram os seus dados estimando o tempo de vida para os satélites: Sputnik-3, San Marco 2, San Marco 3 e Transit- 1B adotando o valor de CD como sendo 2,0. Partindo da equação convencional do caminho livre médio, Bird (1983) formula uma nova definição de caminho livre médio baseado no conceito de seção transversal variável de uma esfera rígida. Neste artigo Bird (1983) apresenta a definição de número de Knudsen e faz uma comparação entre os modelos clássico e modelo da seção transversal variável de uma esfera rígida para o caminho livre médio. O coeficiente de arrasto para satélites cilíndricos em órbitas acima de 150 km é estudado por Herrero (1983). Neste trabalho Herrero (1983) faz um estudo dos conceitos de caminho livre médio, momento do coeficiente de acomodação e aplica a equação do coeficiente de arrasto obtida para o satélite GRM (Geopotential Research Mission). Sehnal (1983), obtém um estudo sobre a densidade atmosférica numa altitude de 280 km, analisando dados do movimento diário do satélite 1974-70A. Neste trabalho, Sehnal (1983) demonstra os conceitos de: razão área-massa, taxa de decaimento orbital, correções da altura padrão e comparações com modelos para alta atmosfera. Seus resultados são comparados com os resultados da densidade atmosférica obtidos através do estudo da órbita do satélite Cosmos 462. A partir da análise do movimento orbital do satélite 1974-70A, Sehnal (1983) determina as constantes básicas encontradas na interação satélite-atmosfera. Herrero (1983) apresenta um método para o cálculo do coeficiente de arrasto para satélite cilíndrico em altitudes acima de 150 km e seus resultados são aplicados para o satélite GRM (Geopotential Research Mission). Herrero (1984) apresenta algumas equações para o cálculo do coeficiente de arrasto para a superfície lateral de um satélite cilíndrico em função do ângulo de ataque. Neste trabalho é apresentado também equações para cálculo do coeficiente de arrasto para formas como: placa plana, cone e tronco de cone. Vilhena (1985) apresenta em sua obra alguns fundamentos necessários a todos aqueles que estudam a dinâmica de veículos espaciais. Nesta obra são apresentados os diferentes sistemas de referência adotados nos estudos de dinâmica de satélites, os conceitos de forças e torques aerodinâmicos e conceitos sobre trajetórias e vôo sub- orbital. O modelo atmosférico Total Density, TD88, é utilizado por Sehnal (1990) para desenvolver uma teoria do movimento de um satélite artificial da Terra. São incluidos neste trabalho, estudos sobre a influência do achatamento da Terra e possíveis efeitos de ressonância. Um estudo para o cálculo dos efeitos do arrasto é apresentado por Sehnal & Perrotta (1993) para satélites de órbita baixa. Neste trabalho são apresentados os conceitos de arrasto e sustentação, coeficiente de arrasto em função do coeficiente de acomodação térmico, modelos termosféricos e efeito sombra, isto é, estudo que leva em conta a passagem do satélite por regiões não iluminadas da Terra pelo Sol durante sua órbita. Para todos aqueles que estudam dinâmica molecular do gás, a obra de Bird (1994) é uma das referências mais completas. Nesta obra, Bird (1994) apresenta os conceitos de modelo molecular, colisões entre moléculas, teoria cinética e propriedades de equilíbrio do gás, além de conceitos de fluxos, utilizados no estudo atmosférico. Para determinar o arrasto atmosférico e efeitos de sustentação, Sehnal (1994) apresenta um estudo analítico utilizando o modelo atmosférico TD88 (Total Density). Neste trabalho, Sehnal (1994) apresenta as equações de aceleração devido ao arrasto e a sustentação, o modelo TD88 e aplica seus resultados para o satélite ROHINI (1980- 68A). Uma coletânea de estudos sobre forças e torques aerodinâmicos, modelos de densidade atmosférica, coeficientes aerodinâmicos e modelagem de atmosfera rotacional encontrados na literatura são apresentados por Vilhena (1994). Neste trabalho é apresentado também os conceitos de torque e radiação solar, perturbações eletromagnéticas e perturbações acopladas. Para estudar perturbações não-gravitacionais, Sehnal & Vokrouhlicky (1995) fazem a análise de um experimento, um micro- acelerômetro (MACEK), colocado a bordo do satélite CESAR (Central European Satellite for Advanced Research). O principal objetivo desta missão foi o estudo da variação e distribuição da densidade termosférica da Terra. Utilizando o modelo de Schamberg (1959), Moe et al. (1996) apresentam equações para o cálculo do coeficiente de arrasto para satélites esféricos num ambiente de fluxo molecular livre. Apresentam também modelos de coeficiente de arrasto, modelos de coeficiente de acomodação e fazem aplicações para as esferas experimentais ODERACS (Orbital Debris Radar Calibration Spheres). Através de análise da taxa de decaimento orbital das esferas ODERACS (Orbital Debris Radar Calibration Spheres), Tan & Badhwar (1997) estudam a variação da densidade atmosférica num determinado período de tempo e demonstram que neste período a atmosfera sofreu uma compressão e que num outro período de tempo a atmosfera sofreu uma forte expansão. Utilizando dados de decaimento orbital das esferas esferas ODERACS (Orbital Debris Radar Calibration Spheres), Chao et al. (1997) estudam um método para determinar variações nos modelos atmosféricos Jacchia 71 e MSIS90. Neste trabalho, o coeficiente de arrasto é obtido utilizando a definição de coeficiente balístico. Inserindo parâmetros apropriados nos modelos teóricos do coeficiente de arrasto, Moe et al. (1998) apresentam um estudo para aperfeiçoar o cálculo do coeficiente de arrasto para satélites de órbita baixa e diferentes formas geométricas. Capítulo 1 O MEIO E SUAS CARACTERÍSTICAS 1.1 - INTRODUÇÃO Para estudarmos as forças que atuam num satélite em órbita é necessário conhecermos o meio em que o satélite se encontra. Neste capítulo apresentaremos a atmosfera da Terra e seus principais constituintes, as equações da termodinâmica que regem a dinâmica do meio, a definição de caminho livre médio que é um importante conceito para entender a validade das equações das forças que agem num satélite em órbita e apresentaremos também o conceito de altura de escala, conceito este muito empregado nas teorias de modelamento de atmosfera planetária. 1.2 - A ATMOSFERA DA TERRA A atmosfera do planeta Terra pode ser dividida em três partes distintas (Stuhlinger & Mesmer, 1965): 1- a homosfera que compreende a troposfera, que vai de 0 a 12 km de altitude; a estratosfera, que vai de 12 a 50 km de altitude e a mesosfera, que vai de 50 a 90 km de altitude. 2- a termosfera que estende-se de 90 km de altitude até 250 km ou 400 km dependendo do nível de atividade solar e geomagnética. 3- a exosfera que inicia-se no topo da termosfera e extende-se para o espaço. A composição da homosfera é de aproximadamente: 78,1% de N2, 20,9% de O2 e 0,9% de Ar. A Tabela 1.1 mostra os gases que constituem a atmosfera terrestre próximo a superfície. TABELA 1.1- Composição do ar seco na superfície da Terra. (Adaptada de: Stuhlinger e Mesmer, 1965) Elemento Densidade a 0oC, 760 torr, g/litro Volume (%) Peso molecular Nitrogênio (N2) 1,2506 78,08 28,016 Oxigênio (O2) 1,4290 20,95 32,000 Argônio (Ar) 1,7837 0,93 39,944 Dióxido de Carbono (CO2) 1,9769 0,03 44,010 Neônio (Ne) 0,9004 1,8x10-3 20,183 Hélio (He) 0,1785 5,2x10-4 4,003 Kriptônio (Kr) 3,708 1,0x10-4 83,7 Hidrogênio (H2) 0,0899 5,0x10-5 2,016 Xenônio (Xe) 5,851 8,0x10-6 131,3 Ozônio (O3) 2,22 1,0x10-6 48,000 Valores típicos de temperatura, para uma determinada atividade solar, são de aproximadamente 220 K na troposfera, 280 K na estratosfera e 150 K na mesosfera. Esta variação de temperatura é devido a quantidade de moléculas de gases presentes nas diferentes camadas da atmosfera, pois da equação cinética dos gases temos que: kTv 2 3 m 2 1 2 = (1.1) em que, m é a massa da partícula, v é a sua velocidade, k é a constante de Boltzmann e T a temperatura do gás em Kelvin. Para que um objeto ganhe ou perca calor é preciso haver transferência de energia, que pode se dar por contato molecular com outros objetos, por condução, por convecção, ou por radiação. Quando uma certa quantidade de ar, de volume V , eleva-se na atmosfera, seu volume expande-se para dVV + , devido a redução na pressão dp . Se não há perdas de calor o processo é adiabático. Da primeira lei da termodinâmica, considerando uma quantidade de massa unitária , temos: dWdUdQ += (1.2) em que dQ é a quantidade de calor da quantidade de ar, dU é a sua energia interna e dW é o trabalho realizado pela quantidade de ar. O trabalho realizado por uma quantidade de ar em expansão é: pdVdW = (1.3) a equação de estado para um gás ideal é: RTpV = (1.4) em que R é a constante do gás por unidade de massa. Diferenciando a equação temos: RdTVdppdV =+ (1.5) a variação de energia interna dU pode ser expressa como uma troca de temperatura da quantidade de ar a volume constante, isto é: dTCdU v= (1.6) em que vC é o calor específico a volume constante. Substituindo este valor na equação (1.2) temos: VdpRdTdTCdQ v −+= (1.7) ou VdpdTRCdQ v −+= )( . (1.8) Como para um gás ideal temos : RCC vp += (1.9) em que PC é o calor específico a pressão constante, a equação (1.7) pode ser escrita : VdpdTCdQ p −= . (1.10) Para um processo adiabático 0=dQ e, portanto, VdpdTCp = . (1.11) Por coerência nas unidades, incluiremos o equivalente mecânico do calor caljoulesJ / , ficando: J Vdp dTC p = . (1.12) A equação hidrostática é dada por (Stuhlinger & Mesmer, 1965): dzgdp ρ−= (1.13) por unidade de massa, a equação (1.12), torna-se: Γ==− JC g dz dT p (1.14) em que Γ é a taxa de queda que é igual a 9,8oC por km. A Figura 1.1 mostra-nos a altitude versus temperatura da atmosfera. FIGURA 1.1. Adaptada de (Jacchia, 1975) 1.3 - CAMINHO LIVRE MÉDIO O caminho livre médio (CLM) é definido como sendo a distância média percorrida por uma molécula de gás até sua colisão com outra molécula (Chapman,1980). A teoria cinética assume que não há interações entre as moléculas do gás, exceto durante as colisões. A probabilidade de colisão, consequentemente o caminho livre médio, depende do tamanho da molécula e isto varia de gás para gás. Em um ambiente muito rarefeito, como a alta atmosfera, o tempo que as moléculas levam para colidirem-se é muito grande, consequentemente temos que o caminho livre médio para o ambiente em que orbitam os satélites artificiais podem chegar a ordem de quilômetros, como mostra a Figura 1.2 dada por U.S. Standard Atmosphere (1962), (Cook, 1965). FIGURA 1.2 - Caminho Livre Médio versus Altitude. Adaptada de Cook (1965). Uma nova definição para caminho livre médio (CLM) foi estabelecida por Bird (1983). A equação utilizada para definir o CLM em trabalhos numéricos e analíticos era dada como (Bird, 1983): ( ) ρπµλ 2 1 5 16 −    = TR (1.15) em que ρ é a densidade do gás, o fator 516 pode ser substituído por π , R é a constante do gás, T é a temperatura do gás e µ é o coeficiente de viscosidade para um gás modelado como uma esfera rígida, sendo dado por: ( )( ) TTRm σπµ 21165= (1.16) em que m é a massa molecular e Tσ é a seção transversal da esfera dada por 2dT πσ = , em que d é o diâmetro da esfera . A inconsistência deste modelo é que o coeficiente de viscosidade tem um expoente de temperatura fixo, isto é: 21Tv ∝µ (1.17) enquanto que num gás real o coeficiente de viscosidade é: ωµ Tv ∝ (1.18) em que ω está na faixa de 0,6 a 0,9 (Bird, 1983). Uma definição consistente para o CLM pode ser obtida utilizando o modelo VHS, “Variable Cross-Section Hard Sphere”, desenvolvido por Bird (1994). O modelo VHS utiliza a lei de espalhamento de esferas rígidas para colisões, mas sua seção reta é inversamente proporcional a energia translacional relativa na colisão, elevada a potência ξ− . Para um gás em equilíbrio, a seção transversal média σ está relacionada com a temperatura da seguinte maneira: ξσ −∝T . (1.19) Desta maneira, o CLM no modelo VHS (Bird, 1994) pode ser dado por: ( ) ( )[ ] 121 n222 −ξ σξ−Γξ−=λ (1.20) e o coeficiente de viscosidade como: ( )( ) ( ) ( )[ ]σξξπµ ξ −Γ−= 42815 21TRmv . (1.21) em que Γ é a função gama. Das equações (1.16), (1.17) e (1.19) podemos ver que: ξω += 2 1 . (1.22) Combinando as equações de (1.18) a (1.20) temos que: ( )( )( )( ) ρπωωµλ 2122527152 −−−= TRv , (1.23) que difere da equação (1.15) pelo seguinte fator: ( )( ) 242527 ωω −− , ou 1 para 5,0=ω (moléculas de esfera rígida), 96 71 para 75,0=ω (moléculas com inverso da nona potência) e 8 5 para 1=ω (moléculas de Maxwell). O parâmetro que descreve o grau de rarefação é dado pela razão L λ que é conhecida como número de Knudsen Kn. Para um ambiente rarefeito temos que o regime de fluxo de moléculas livre ocorre quando Kn >>1, em que L é uma dimensão linear. O modelo VHS permite a definição de um caminho livre médio que leva em conta o expoente de temperatura do coeficiente de viscosidade de um gás real. Desta maneira, o número de Knudsen, baseado nesta consideração nos leva a uma correlação mais consistente entre os resultados experimentais e teóricos. 1.4 - ALTURA DE ESCALA ( H ) Para grandes altitudes as colisões entre as partículas (átomos e moléculas) são tão raras que a atmosfera não sustenta uma mistura turbulenta necessária num meio homogêneo. Desta maneira a separação gravitacional entre os constituintes ocorre, fazendo com que as partículas mais leves tendem a ficar em camadas superiores e as mais pesadas em camadas inferiores. Os componentes individuais tendem a dispersar-se em gases que, sujeitos ao campo gravitacional da Terra, produzem uma condição conhecida como Equilíbrio Difuso. Nestas condições podemos aplicar as leis barométricas para cada gás separadamente. Esta lei estabelece que o logarítmo da pressão decresce com a altura e é igual a TRgm , em que m é a massa molecular, g a aceleração da gravidade, T a temperatura e R a constante universal dos gases. Chamamos o recíproco desta lei, isto é: gm TR (1.24) como a Altura de Escala de Pressão e é igual ao intervalo no qual a pressão cai com a fração e 1 de seu valor original. Vários são os modelos atmosféricos empregados nas teorias sobre os efeitos do arrasto (Vilhena de Moraes, 1994). Apresentaremos algumas equações destes modelos utilizados. (1) Modelo usado por Brouwer & Hori, (1961) dado por: ( )[ ]rp Σ−= expρρ (1.25) em que pρ , a densidade da atmosfera no perigeu e Σ , o inverso da altura de escala são constantes e r o módulo do vetor posição do satélite. Esta equação tem sido aperfeiçoada como podemos ver a seguir. (2) Incluindo o achatamento da atmosfera (Cook et al. 1961): ( )[ ]Θ−Σ−= 1exppρρ (1.26) em que ( )[ ]221 eoLasinE +−Θ=Θ ε é a distância radial do centro da Terra à superfície de um esferóide achatado de raio EΘ , elipcidade ε e La é a latitude do ponto considerado na atmosfera. (3) Altura de escala dependente da altitude (Cook & King-Hele, 1963): ( ) ( )[ ]{ }pppp HrrrrB −−−+= exp1 2ρρ (1.27) onde o sufíxo p refere-se ao perigeu e ( )00 pppp rruHH −+= e ( )[ ]212 2 uoHuB p += , u é uma constante e 0p altura inicial do perigeu. (4) Incluindo achatamento e altura de escala variando com a altitude (Cook & King-Hele, 1965). ( ) ( )[ ]0 * 0 expcos1 rrBF −−+= φρρ (1.28) em que 0ρ é a densidade na distância 0r do centro da Terra quando 090=φ e F é uma constante escolhida tal que FFmim −+= 11max ρρ , maxρ é a máxima densidade no ponto 0r , mimρ é a densidade no ponto diametralmente oposto, ( ) 0pp0p * rruBB −+= e u é uma constante em torno de 0.1. Capítulo 2 FORÇAS AERODINÂMICAS 2.1 - INTRODUÇÃO Quando um objeto sólido move-se através de um fluido (líquido ou gasoso), aparece uma força mecânica que opõe-se ao movimento do objeto. A esta força damos o nome de arrasto aerodinâmico, representada na literatura com a letra D do inglês "Drag" ou DF . Este conceito será precisado mais adiante. A força de arrasto não é uma força de campo onde existe interação sem contato físico. O arrasto é gerado devido à diferença de velocidade entre o objeto e o fluido. Como o movimento é relativo, não faz diferença se o objeto está parado e o fluido é que se movimenta ou vice- versa; portanto, sem movimento não há arrasto. A Figura 2.1 mostra-nos as forças que atuam num objeto que se desloca através de um fluido. FIGURA 2.1 - Forças que atuam num objeto que se desloca através de um fluido. Portanto, podemos considerar o arrasto como um atrito aerodinâmico causado pela interação das moléculas da atmosfera, no caso do objeto ser um satélite artificial, com a superfície deste satélite. Foi verificado experimentalmente que o arrasto D é função da densidade ρ do meio, da área de referência A do objeto que está sofrendo atrito direto com as moléculas e é perpendicular ao fluxo do meio, da velocidade sV com que o objeto desloca-se no meio, da viscosidade µ do meio e da velocidade de propagação do som a . Direção de movimento do satélite Centro de massa Sustentação Arrasto Momento Portanto, )( aVAfD s µρ= (2.1) que, fazendo uma análise dimensional (Vilhena de Moraes & Fernandes,1985), nos leva a: e s d s s V a VA VAD               ∝ 2 1 2 ρ µ ρ (2.2) fazendo lA ≅2 1 como uma dimensão linear que descreve o corpo, fica: e s d s s V a Vl VAD             ∝ ρ µ ρ 2 (2.3) usando o valor do coeficiente de proporcionalidade temos: e s d ss a VlVV KD −−             = µ ρρ 2 2 (2.4) onde podemos identificar que: 2 2 sVρ é a pressão dinâmica, µ ρ lVs é conhecido como número de Reynolds, RN , que relaciona a força de inércia com a força de atrito, a Vs é o número de Mach, MN , que relaciona a força de inércia e a compressibilidade do fluido e K é a razão entre o arrasto real e a resultante da pressão dinâmica que atua na área de referência do corpo. Portanto, temos que: MRs NNKAVD 2 2 1 ρ= (2.5) a combinação dos parâmetros MR NNK nos leva a um outro parâmetro adimensional que os que trabalham com projetos aerodinâmicos usam para modelar toda a complexa dependência do arrasto, conhecido como coeficiente de arrasto, DC , que estudaremos com detalhes ao longo deste trabalho. Sendo assim, a equação do arrasto pode ser escrita como: Ds CAVD 2 2 1 ρ= (2.6) 2.2 - FORÇAS E TORQUES AERODINÂMICOS. Seja dAum elemento da superfície A de um satélite artificial que orbita na atmosfera da Terra. A força aerodinâmica resultante aF r que atua sobre o satélite é definida por: ∫= dApFa rr (2.7) em que p r é a soma das forças de pressão aerodinâmica e tangenciais atuantes no satélite dadas por: τrrr += app , em que ap r é a pressão aerodinâmica e τ r é a pressão resultante das forças tangenciais. A força aerodinâmica aF r pode ser decomposta nas seguintes componentes:     L D Fa r r r : (2.8) em que a componente L r é chamada de força de sustentação e a componente D r é chamada de força de arrasto. O torque aerodinâmico aM r devido a força aF r é definido por : ∫ ×= dAprM sa rrr (2.9) em que sr r é o vetor posição do elemento dA em relação ao centro de massa do satélite. Para calcular a resultante das forças e torques que atuam num satélite podemos usar as seguintes expressões para um grupo de forças de pressão p r e um grupo de forças tangenciais τ r : ( ) ωσσ ppp nina rrr +−= 2 (2.10) itτστ rr = (2.11) em que nσ e tσ são os coeficientes de acomodação dos momentos normal e tangencial, respectivamente, ip r é a pressão devido ao fluxo molecular incidente, wp r é a pressão exercida pelas moléculas re-emitidas da superfície (considerando uma distribuição molecular maxwelliana) com temperatura igual à da superfície e iτr é a força tangencial devido ao fluxo molecular incidente. Os coeficientes da força aerodinâmica resultante e momento aerodinâmico são definidos como: ( )AqpCa = (2.12) ( )AqMCM = (2.13) em que q é a pressão aerodinâmica e A a área de referência. A força de arrasto é a componente da força aerodinâmica paralela ao fluxo. A força de sustentação é normal à força de arrasto. Portanto, a força de arrasto atmosférico sobre um satélite artificial está orientada na mesma direção da velocidade mas em sentido oposto. Normalmente, representamos a força de arrasto atmosférico em módulo da seguinte maneira: Ds CAVD 221 ρ= (2.14) em que ρ é densidade atmosférica, sV é a velocidade do satélite em relação à atmosfera da Terra, A a área de referência e DC um coeficiente sem dimensão chamado de coeficiente de arrasto. 2.3 - FATORES QUE AFETAM O ARRASTO AERODINÂMICO. Os fatores que afetam diretamente o arrasto aerodinâmico são: =a velocidade com que o objeto se desloca através do fluxo, =a geometria do objeto, =as características do fluxo, tais como, sua densidade, viscosidade e compressibilidade. Como nos mostra a equação (2.6), o arrasto é diretamente proporcional ao quadrado da velocidade sV , que é a velocidade do satélite em relação a atmosfera da Terra. Podemos expressar esta velocidade em termos de ν ,que é a velocidade em relação ao centro da Terra, (King-Hele, 1964). A velocidade ν do satélite em relação ao centro da Terra, nada mais é do que o vetor soma da velocidade do satélite em relação a atmosfera, sV → e a velocidade da atmosfera AV , em relação ao centro da Terra. A velocidade AV r é assumida como sendo de Oeste para Leste. Sendo assim: →→→ += As VV ν (2.15) γνν cos2222 AAs VVV −+= (2.16) em que γ é o ângulo entre AV e ν . Se a atmosfera da Terra rotaciona com velocidade Eω em torno do eixo da Terra, temos que: φω cosEA rV = (2.17) em que r é a distância com origem no centro da Terra e φ latitude geocêntrica. Aplicando trigonometria esférica no triângulo SNL da Figura (2.2), temos que: icoscoscos , =φγ (2.18) em que ,γ é o ângulo entre AV → e a componente horizontal Hν de ν . FIGURA 2.2 Figura mostrando 'γ e φ (King-Hele,1964). De (2.17) e (2.18) podemos escrever que: ( ){ }01,01coscos oirVA += ωγ (2.19) que, substituindo em (2.16) nos dá: ( )[ ] ( )iroi v r V E E s 2222 2 22 coscos01,01cos1 −+       +−= φω ω ν (2.20) i γπ − 2 Projeção da órbita no espaço Equador N S L Polo Norte Posição do Satélite φ como 222 005,0 sE Vr <ω , para Eω da mesma ordem da velocidade angular da Terra, pode ser deprezado e o termo v r Eω . Podemos escrever v r como po po v r , válida para órbitas quase circulares, em que po indica os valores iniciais no perigeu, uma vez que as forças aerodinâmicas não são desprezíveis em altitudes próximo do perigeo. Finalmente, como a inclinação i varia muito pouco durante o tempo de vida do satélite, podemos substituí-la pelo valor inicial oi . Sendo assim, a equação (2.20) pode ser reescrita como:         −≅ o po Epo s i v r V cos1 ω ν (2.21) então, podemos escrever a força de arrasto resultante como: Ds CAFVD 2 2 1 ρ= (2.22) que atua paralela a sV → , onde, de (2.21) e (2.6) temos que: 2 cos1         −= o po Epo i v r F ω (2.23) e representa o efeito da rotação atmosférica sobre o arrasto, sendo que seu valor está entre 0,9 e 1,1; o que indica que o efeito da rotação atmosférica sobre o arrasto é pequena mas não desprezível. Outro fator que afeta o arrasto aerodinâmico é a forma geométrica do corpo que se desloca através do fluxo. Como o valor do arrasto é diretamente proporcional ao coeficiente de arrasto DC , podemos verificar o efeito da forma geométrica sobre o arrasto, comparando os valores de DC entre quaisquer dois objetos, com o mesmo valor de área de referência. Se a força gravitacional fosse a única a atuar num satélite artificial, o mesmo continuaria em sua órbita para sempre. Mas, o satélite está imerso num meio que, apesar de ter um alto índice de rarefação, há a presença de moléculas que ao se chocarem com o satélite vão fazendo com que o mesmo saia de sua órbita e reentrando na atmosfera. Este desvio acontece principalmente em sua passagem pelo perigeo onde a influência da atmosfera é maior. Para satélites com órbita abaixo de 700 km, a densidade atmosférica decresce exponencialmente com a altura, numa altura de escala H entre 30 km e 50 km. Matematicamente, isto é representado pela seguinte equação: H z e − = 0ρρ (2.24) em que ρ é a densidade da atmosfera, 0ρ é a densidade em uma altura de referência, usualmente utiliza-se a altura do perigeu, z a altura considerada para a medida da densidade e H a altura de escala. O efeito da atmosfera sobre a dinâmica do satélite tem sido estudado por muitos autores (Dowd (1979), Badhwar (1996) e Chao, et.al. (1997)). 2.4 - COEFICIENTE DE ARRASTO AERODINÂMICO Em astrodinâmica, o coeficiente de arrasto ( DC ), sem dimensão, é utilizado de duas maneiras diferentes, (Moe et al 1996): (1) Como parâmetro de ajuste, fazendo com que modelos termosféricos fiquem de acordo com o decaimento orbital do satélite observado, (Chao et al. , 1997). (2) Como uma quantidade física que define a componente de arrasto da força de interação entre as moléculas da atmosfera e o satélite, (Moe et al. , 1996). Para calcular o DC num fluxo de moléculas livres, aplicado ao caso de um satélite artificial, assume-se que o fluxo de moléculas que passam pelo satélite tem uma distribuição maxwelliana e sua velocidade térmica é considerada constante; que as moléculas que se chocam com o satélite são temporariamente retidas e então re-emitidas e que colisões entre as moléculas incidentes e as moléculas re-emitidas são desprezíveis. As moléculas que se chocam não são re-emitidas especularmente, como se a superfície do satélite fosse um espelho, mas a re-emissão dá- se de maneira difusa e é assumida que elas obedecem a lei do cosseno de Knudsen que diz que o número de moléculas re-emitidas na direção compreendida entre θ e θθ d+ com relação à normal da superfície, é proporcional a δθθcos . A magnitude da velocidade das moléculas, considerada como tendo uma distribuição maxwelliana, é determinada pela "temperatura de re- emissão". Usualmente, é assumido que a temperatura das moléculas re- emitidas, rT , é a mesma temperatura da superfície do satélite, wT . Desta maneira, relacionando a temperatura das moléculas incidentes, iT , com a temperatura das moléculas re-emitidas, rT , temos um coeficiente chamado de coeficiente de acomodação, α , que nos dá a quantidade de energia transferida entre as moléculas de gás e a superfície do satélite. O coeficiente de acomodação, α , é definido pela seguinte equação: wi ri TT TT − − =α (2.25) em que iT é a temperatura da molécula incidente, rT a temperatura da molécula re-emitida e wT a temperatura da superfície do satélite. Outro fator que influência no valor do DC é o ângulo que a área de referência do satélite faz em relação ao fluxo de moléculas quando se desloca através dele, conhecido como ângulo de ataque. Portanto, o cálculo do DC tem sido muito difícil de ser modelado analíticamente, devido a depender de muitos fatores; o que se faz é um estudo numérico para uma determinada modelagem. Usualmente, para efeitos práticos adota-se o valor de DC como sendo de 2.2 ( Cook, 1965, Tan & Badwar, 1997). 2.5 - O EFEITO DO ARRASTO ATMOSFÉRICO SOBRE UM SATÉLITE ARTIFICIAL Se a força que atua em um satélite em órbita da Terra fosse apenas a força gravitacional, o mesmo continuaria em sua órbita indefinidamente. Mas, para satélites que orbitam na atmosfera terrestre, aparecem forças que atuam no satélite fazendo com que haja dissipação de energia de sua órbita e com isso mudando a sua órbita original fazendo com que a órbita comece a circularizar e posteriormente espiralar em direção à Terra. Esta força, conhecida como força de arrasto, foi deduzida na seção (2.1) e está representada pela equação (2.14). O atrito do satélite com a atmosfera, por ser uma força não conservativa, faz com que a cada volta do satélite haja perda de energia, que é maior quando da passagem do satélite pelo perigeu. De fato, no perigeu, que é o ponto da órbita mais próximo da superfície da Terra, a densidade atmosférica é maior, fazendo com que ocorra uma dissipação maior de energia. O que é esperado acontecer, é que este efeito atue na variação do semi-eixo maior e na excentricidade da órbita, fazendo com que a mesma se circularize. Uma representação deste efeito pode ser visto na Figura 2.3. FIGURA 2.3 Efeito da ação do arrasto atmosférico na órbita de um satélite. FONTE: (Sellers, 1996 ) Analiticamente (Roy 1994), temos que a força de arrasto por unidade de massa é dada por: 2 2 1 VAC m D D s ρ= (2.26) onde sm é a massa do satélite. Utilizando a equação (2.26) como função perturbadora nas equações de Lagrange e usando a relação de órbita elíptica dada por, (Roy, 1994): fe ef E cos1 cos cos + + = (2.27) onde E é a anomalia excentrica e f a anomalia verdadeira, podemos escrever as equações dos elementos orbitais como: ( ) ( ) 212 212 2 cos21 1 fee en VC m A dt da sD s ++ −      −= ρ (2.28) ( ) ( ) 212 2122 cos21 cos1 fee ef an eVC m A dt de sD s ++ +−       −= ρ (2.29) 0= dt di (2.30) 0= Ω dt d (2.31) ( ) ( ) 212 2122 cos21 1 fee fsin ean eVC m A dt d sD s ++ −       −= ρω (2.32) ( ) ( ) × ++ −       −= 212 22 cos21 1 fee fsinee an VC m A dt d sD s ρε       + − −+− × feee cos1 1 11 1 22 (2.33) em que n é o movimento médio, a , e , i , w , Ω e M são os elementos keplerianos e ε , longitude na época é definido por: ( )Ω+−+= wtnM ε . Observando as equações (2.30) e (2.31), vemos que nem a inclinação da órbita nem a longitude do nodo ascendente são afetados pelo efeito do arrasto. Por outro lado, o lado direito das equações (2.28), (2.29), (2.32) e (2.33) possuem um fator, smA , razão área/massa que é diferente de zero, mostrando que uma alta razão área/massa produz um alto efeito do arrasto. Capítulo 3 MODELOS DE INTERAÇÃO MOLÉCULA - SUPERFÍCIE 3.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo apresentaremos o modelo de Schamberg (1959) que foi desenvolvido na década de 50 para descrever a interação de um satélite com a alta atmosfera. Este modelo aplica-se a um ambiente onde é considerado existir um fluxo de moléculas livres, isto é, os efeitos sobre o satélite podem ser obtidos considerando apenas a interação individual de cada molécula com a superfície do satélite. Mostraremos também o modelo de interação molécula superfície de Stalder e Zurick (1951) que apresenta estudos analíticos de corpos com diferentes formas em um fluxo molecular livre, assumindo que as moléculas do gás tem uma distribuição molecular maxwelliana e sua velocidade térmica é maior que a velocidade do fluxo. E apresentaremos também algumas equações para o cálculo do coeficiente de arrasto, utilizando os modelos de Schamberg e Stalder & Zurick encontradas na literatura. 3.2 MODELO DE SCHAMBERG Schamberg (1959) desenvolveu seu modelo para descrever a interação entre a superfície do satélite artificial e as moléculas da alta atmosfera da Terra. Como a dimensão do satélite é muito reduzida em relação ao caminho médio livre, o choque entre as moléculas incidentes e aquelas reemitidas pela superfície ou entre as moléculas na atmosfera, é praticamente inexistente. Sendo assim, podemos considerar o fluxo de moléculas como um "fluxo molecular livre" e estudar a interação molécula-superfície como o choque de cada molécula com a superfície do satélite. O modelo de interação gás-superfície de Schamberg (1959) foi elaborado de tal maneira que o ângulo de reflexão está relacionado com o ângulo de incidência, com a velocidade das moléculas refletidas e com a largura angular do feixe refletido. Como é mostrado na Figura 3.1, as moléculas incidentes são descritas pela velocidade uniforme iV r e pelo ângulo iθ em relação a superfície. FIGURA 3.1- Esquema do modelo de Schamberg. Quanto as moléculas reemitidas pela superfície, admite-se que deixam a superfície com velocidade rV r ′ em um feixe cônico que tem a metade da largura angular 0φ . A distribuição de moléculas no feixe refletido é tida como sendo simétrica em relação ao eixo do feixe, eixo este que faz um ângulo rθ com a superfície. O número de moléculas reemitidas por unidade de tempo é proporcional a ( ) ( )[ ]2cos 0 πφφ × em que φ é o ângulo entre o vetor velocidade de reflexão e o eixo do feixe, (Imbro & Moe, 1975). Schamberg, por conveniência matemática, escolheu a seguinte lei da reflexão: 1,coscos ≥= νθθ ν ir (3.1) onde iθ é o ângulo de incidência e rθ é o ângulo entre o eixo do feixe e a superfície. Nos casos limites de reflexão temos para 1=ν , reflexão especular e para ∞=ν , reflexão difusa. Apesar da aparência artificial desta lei da reflexão, a mesma tem sido adequada para descrever observações realizadas em laboratório desde 1960. 3.3 MODELO DE STALDER E ZURICK Assumindo uma distribuição maxwelliana de velocidade térmica das moléculas (Present, 1958) e que colisões entre moléculas incidentes e reemitidas podem ser desprezadas, Stalder & Zurick (1951) sugeriram em seu trabalho algumas fórmulas analíticas para o cálculo do coeficiente aerodinâmico de corpos com os seguintes formatos: placa plana, cilindro, esfera e cone. Os cálculos foram realizados usando valores da razão da velocidade molecular e a razão entre a velocidade do fluxo. Para a forma cônica, o coeficiente aerodinâmico foi calculado para ângulos de ataque na faixa de 0o a 60o com o ângulo do semi-vértice do cone variando de 2,5o a 30o. Os cálculos são realizados para dois tipos de reflexão molecular: reflexão especular, onde o ângulo de reflexão das moléculas que deixam a superfície é determinado pelo ângulo com que as moléculas incidem na superfície e reflexão difusa, onde as moléculas deixam a superfície em diversas direções e tem uma distribuição maxwelliana de velocidades que depende da temperatura da superfície. A suposição de que as colisões entre as moléculas incidentes e reemitidas podem ser desprezadas, leva-nos a dividir a força sobre um corpo em um fluxo molecular livre em duas partes: uma devido ao bombardeamento das moléculas incidentes e outra devido as moléculas reemitidas da superfície. Desta maneira, temos que o coeficiente de arrasto ( DC ) pode ser calculado somando-se o coeficiente de arrasto devido as moléculas incidentes e o coeficiente de arrasto devido as moléculas reemitidas pela superfície, dando: ri DDD CCC += (3.2) Os resultados de Stalder e Zurick para o cálculo dos coeficientes de arrasto para corpos de diferentes formas foram: Placa Plana Utilizando a geometria apresentada na Figura 3.2 o coeficiente de arrasto total para uma placa plana com reflexão difusa é: ( ) ( ) r D s sin sinserf s sinsins s C απ ααα π 2 2 22 2 1 12exp 2 +      ++−= (3.3) e com reflexão especular, o coeficiente de arrasto total para uma placa plana é dado por: ( ) ( )            ++−= αααα π α sinserf s sinsinssin s sinC SD 2 222 2 1 4exp 4 (3.4) em que s é a razão de velocidades dada por ms VVs = , em que sV é a velocidade do satélite e mV é a velocidade molecular mais provável dada por ( ) 2 1 2 mTR em que R é a constante dos gases, T é a temperatura da atmosfera e m a massa molecular, rs é a razão de velocidade de re- emissão difusa dada por rsr VVs = , em que rV é a velocidade de re- emissão mais provável, α é o ângulo de ataque do satélite em relação ao fluxo e ( )αsinserf é a função erro definida como ( ) ( ) tdtxerf x ∫ −= − 0 221 exp2π . FIGURA 3.2 - Sistema de coordenadas utilizado para análise da placa plana em que θ é o ângulo de ataque do elemento dA da superfície do satélite. Cilindro Baseado na área área projetada de um cilindro apresentada na Figura 3.3 e utilizando o elemento de área dado pela equação θdRLdA = , Stalder e Zurique calcularam o coeficiente de arrasto para reflexão molecular difusa como sendo: ( ) r D s s I s I ss I s s C 4222 21 22 exp 232 1 2 0 22 0 2 ππ +                     +     + +            −= (3.5) e para o caso da reflexão especular, temos que o coeficiente de arrasto é dado por: ( ) ( )             ++      +      −= 2 21 2 23 2 exp 3 2 2 1 2 2 0 2 2 s Is s Is s s C SD π (3.6) em que 0I é a função modificada de Bessel de primeira classe e ordem zero e 1I é a função modificada de Bessel de primeira classe e primeira ordem. FIGURA 3.3 - Elemento de área para o cilindro. Esfera Para corpos de forma esférica, Stalder & Zurick (1951), utilizando o elemento de área apresentado na Figura 3.4 como sendo θθπ dRdA cos2 2= , calcularam o coeficiente de arrasto para reflexão difusa como sendo: ( ) ( ) r D s serf ssss s C 3 2 4 11 12 2 1 1 exp2 422 2 π π +      −++      + − = (3.7) e o coeficiente de arrasto para reflexão especular referente a área projetada frontal da esfera é dado por: ( ) ( )serf s ss s s s C SD       −+ +− + = 4 24 2 3 2 2 144 exp 12 π (3.8) FIGURA 3.4 - Elemento de área para a esfera. Cone Stalder e Zurich estudaram o corpo de forma cônica para os seguintes casos: a) Com o ângulo de ataque menor ou igual ao ângulo do semivértice do cone. b) Com o ângulo de ataque maior do que o ângulo do semivértice do cone. FIGURA 3.5 - O elemento de área é dado por: φ δ δ d L dA 2cos tan 2 = a) Ângulo de ataque menor ou igual ao ângulo do semivértice do cone. Quando um corpo de forma cônica se desloca de maneira que o ângulo de ataque seja menor ou igual ao ângulo de seu semivértice, toda área da superfície fica exposta à velocidade do fluxo e o momento total é calculado por uma simples integral. O coeficiente aerodinâmico devido às moléculas incidentes, referentes à área da base do cone é dado por: ( ) ( )[ ] δπ δδπδ sins sinserfssinsinss CDi 2 222 1 2 1exp +      ++− = (3.9) em que δ ângulo do semi-vértice do cone. b) Ângulo de ataque maior do que o ângulo do semivértice do cone. Neste caso, parte da superfície é coberta pelo fluxo principal. Esta área é demarcada pelas linhas do cone e nesta fronteira o fluxo é tangente a superfície do cone, isto é, a componente da velocidade na direção normal da superfície é zero. FIGURA 3.6 - Área da superfície coberta pelo fluxo. O coeficiente de arrasto total devido a reflexões especulares é dado por: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ϕββπββ ϕββπββ δπ π ϕ ϕ dUUerfUUl dUUerfUUl sins C xxxxxd xxxxxdDs             +++− +             +−−−= ∫ ∫ 2 1 1exp 2 1 1exp 2 2222 0 22 223 1 1 2''2''' (3.10) em que xdl são cossenos diretores na direção do arrasto, sem dimensão, xU é a componente da velocidade do fluxo na direção x e β o recíproco da velocidade molecular mais provável, mV 1 . 3.4 - APLICAÇÕES DO MODELO DE SCHAMBERG PARA O CÁLCULO DE CD ENCONTRADOS NA LITERATURA. O coeficiente de arrasto de satélites num fluxo hipertérmico de moléculas livres, estudado por Schamberg (1959), é mostrado na Tabela 3.1. TABELA 3.1 - Equações para o cálculo do Coeficiente de Arrasto. Adaptada de Cook (1965). Coeficiente de Arrasto Baseado na área projetada na direção perpendicular à direção do movimento Forma Re-emissão Difusa Reflexão especular Placa Plana Fluxo normal       + vr3 2 12 ( )vr+12 Placa plana com ângulo de incidência θ       + θsinrv3 2 12 ( )θ2cos12 vr− Esfera       + vr9 4 12 2 Cilindro perpendicular ao fluxo       + vr6 12 π       + vr 3 1 12 Cone com ângulo de semi-vértice ψ com vértice frontal e paralelo ao fluxo       + ψsinrv3 2 12 ( )ψ2cos12 vr− Em que vr é a razão entre a velocidade das moléculas re-emitidas rv e as moléculas incidentes iv . Para satélites cilíndricos que giram sobre si mesmo, o modelo de Schamberg (1959) mostra que o coeficiente de arrasto para re-emissão difusa é dado por (Cook, 1965): ( ) ( )       + + += r dl dl CD π π 46 12 2 (3.11) em que, l é o comprimento do cilindro e d seu diâmetro. A área de referência, que é a área projetada média perpendicular a direção do movimento é dado por :       += 4 2 2d dlS π π (3.12) Utilizando o modelo de Schamberg (1959), Moe & Tsang (1973) calcularam o Coeficiente de Arrasto para forma cilíndrica e cônica. Baseando-se nas figuras geométricas do cilindro e do cone dadas na Figura 3.7 e 3.8, Moe & Tsang (1973) calcularam o coeficiente de arrasto como sendo: ( ) ( )           + Φ−= ∫ ∫ s i s rii i r D dAsin dAsin v v C θ θθθ φ cos 12 0 (3.13) em que ( ) ( )formaf dAsin dAsin s i s rii , cos ν θ θθθ = + − ∫ ∫ (3.14) é função da forma do corpo, cone ou cilindro e da reflexão das moléculas incidentes, se especular ou difusa, 1=ν e ∞=ν respectivamente. Da Figura 3.7, temos que βαθ coscos 0=isin em que β é o ângulo azimutal no plano xz medido a partir do eixo x. Substituindo o valor de isinθ na equação (3.14) nos dá: ( ) ( )∫ +−= 2 0 coscos, π βθθβν dformaf ri (3.15) em que , ( ) ( ) αααθθ νν cos1cos 2 121 sinsinri −−=+ + (3.16) e ( ) 2 12 0 2 coscos1 βαα −=sin . Para o cone temos que: ( ) ( ) ∫∫ +−= mm ddformaf ri ββ βαβθθαν 00 coscoscos, (3.17) em que, πβ =m se ψθ ≤0 e [ ]0 1 tantancos θψβ −= − m se ψθ ≥0 . FIGURA 3.7 - Geometria Cilindrica utilizada nos cálculos de Moe e Tsang, (Moe & Tsang, 1973). FIGURA 3.8 - Geometria Cônica utilizada nos cálculos de Moe e Tsang, (Moe & Tsang, 1973). 3.5 - APLICAÇÕES DO MODELO DE STALDER E ZURICK PARA O CÁLCULO DE CD ENCONTRADOS NA LITERATURA. Utilizando a teoria de Stalder & Zurick (1951), Carrara apresenta um método, (Carrara, 1980), para calcular o coeficiente de arrasto e forças aerodinâmicas atuantes num satélite artificial. Neste trabalho o coeficiente de arrasto é uma função da razão de velocidades, como mostra a equação (3.18). ( )∫= dAsG A CD 1 (3.18) em que A é uma área de referência da superfície do satélite e ( )sG é uma função da razão das velocidades, dos coeficientes de acomodação e da relação entre a temperatura da atmosfera e a da superfície do satélite. Seus resultados são aplicados para uma hipotético satélite brasileiro cuja configuração é mostrada na Figura 3.9 e analisados numéricamente através de uma rotina chamada DRAG. FIGURA 3.9 - Modelo de um hipotético satélite brasileiro utilizado por Carrara (1980) para teste da rotina DRAG. Dando sequência ao seu trabalho, Carrara (1982) apresenta um trabalho em que estuda a modelagem de forças e torques atuantes num satélite artificial. Em seu trabalho, Carrara (1982) faz um estudo das principais teorias encontradas na literatura, onde é levado em consideração as forças e torques aerodinâmicos, forças de radiação, torque devido ao gradiente de gravidade e forças e torques magnéticos devido ao potencial de Coulomb e correntes de Foucault. Seus resultados analíticos são integrados numéricamente e aplicados num hipotético satélite brasileiro semelhante ao apresentado na Figura 3.9 e o coeficiente de arrasto é calculado em função da razão das velocidades, do coeficiente de acomodação e em função dos ângulos Aα e Aβ que são os ângulos de ataque e de guinada, respectivamente, como pode ser visto na Figura 3.10. FIGURA 3.10 - Ângulos de ataque e de guinada considerados por Carrara (1982) em seu estudo analítico de forças e torques aerodinâmicos. Utilizando as equações (3.19) e (3.20), Venkataraman & Rao (1981) propõem um método para o cálculo do tempo de vida de satélites artificiais. Em seu trabalho, Venkataraman & Rao (1981) utilizam para o cálculo do coeficiente de arrasto a equação apresentada por Schaaf (1961) para satélites esféricos e levam em consideração a rotação atmosférica no cálculo da velocidade relativa, como mostra a equação (3.23). ( ) ( )∫ − + −=∆ π ρ 2 0 21 23 2 cos1 cos1 dE Ee Ee CaF m A D s a (3.19) ( ) ( ) ( )∫ − + −−=∆ π ρ 2 0 21 21 2 cos cos1 cos1 1 dEE Ee Ee CeF m A D s e (3.20) em que: 2 cos1         −= i v r F E p p ω , A é a área de referência, sm a massa do satélite, e a excentricidade, ρ a densidade atmosférica, DC o coeficiente de arrasto calculado pela equação (3.21), Eω rotação da atmosfera, considerada simétricamente esférica e tendo a mesma velocidade de rotação ângular da Terra, pr posição do satélite no perigeu, pv velocidade do satélite no perigeu e i inclinação do plano orbital. Para aplicações gerais podemos utilizar para o cálculo do coeficiente de arrasto, válida para satélites esféricos, a equação apresentada em Nelore & Kondapaly (1983), dada por: ( ) ( ) ( ) TiT s s serf s ss s C w s D π σ π σσ 3 2 exp 12 2 124 2 2 '224 3 ' 2 +      + + −++− = − (3.21) em que: ,σ e σ são os coeficientes de acomodação, wT e iT são as temperaturas da superfície do satélite e do gás incidente, respectivamente, ( )serf é a função erro dada por ( ) ( ) tdtxerf x ∫ −= − 0 221 exp2π e s é a razão das velocidades dada pela seguinte equação: m 2 TR V s s= (3.22) em que: R é a constante dos gases, T é a temperatura atmosférica, m é a massa molecular média e sV é dado pela seguinte equação:         −= i v r vV E p p s cos1 ω (3.23) em que, v é a velocidade do satélite em relação a um sistema inercial. Seus cálculos são aplicados para os satélites : Sputnik-3, San- Marco 2, San-Marco 3 e Transit-1B utilizando um 0.2=DC e DC calculado pela equação (3.21) que demonstram estar de acordo com os resultados esperados. 3.6 - OUTRO MÉTODO PARA O CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ARRASTO. Supondo que a área de arrasto efetiva do satélite seja constituida de várias partes com superfície plana kA , com diferentes inclinações em relação ao vetor velocidade e que além disso, estes ângulos definem os ângulos de incidência iθ das moléculas que se chocam com o satélite, Sehnal e Perrota (Sehnal & Perrota, 1993) propuseram um modelo para o cálculo do coeficiente de arrasto baseado em medidas de laboratório. Considerando que num satélite de múltiplas faces o produto eff A AC seja considerado uma soma em toda superfície k , tendo diferentes áreas e coeficientes de arrasto, temos que, (Sehnal & Perrota, 1993) : ∑= k eff k k D eff D ACAC (3.24) em que, effA é a área efetiva, eff kA é a área efetiva de toda superfície e DC o coeficiente de arrasto, Sehnal & Perrota (1993) definem um coeficiente de arrasto médio dado por: eff k eff k k D D A AC C ∑= (3.25) Considerando a lei de reflexão mostrada na Figura 3.1, as partículas incidentes iθ são refletidas formando um cone de largura 02φφ =r inclinado de um ângulo rθ com o plano da superfície, Sehnal & Perrota (1993) definem uma expressão para o coeficiente de arrasto para toda a superfície k como sendo dado por: ( )[ ]rir k DC θθφα +−−= cos112 (3.26) em que α é o coeficiente de acomodação médio, ( )αφ arcsinr 535185.0cos= , i v r θθ coscos = e ( )21 1 α− =v . Capítulo 4 CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ARRASTO PARA OS SATÉLITES SCD1, SCD2 E CBERS1 4.1 - INTRODUÇÃO Apesar da extrema complexidade para calcular coeficientes de arrasto, devido aos inúmeros parâmetros envolvidos, podemos estimar seu valor para um determinado satélite, utilizando algumas equações apresentadas neste trabalho. Resolvendo a equação (2.28) para o coeficiente de arrasto, podemos estimar um valor do DC para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1. O valor da densidade atmosférica considerada nos cálculos é um valor aproximado dado pela tabela MSISE-90 (1998). 4.2 - DESENVOLVIMENTO ANALÍTICO PARA O CÁLCULO DO CD. Resolvendo a equação (2.28) para DC temos: ( ) ( ) dt da fcose2e1V e1n A m C 2122 s 212 s D ++ρ −      = (4.1) em que, sm é a massa do satélite, A a área de referência, n o movimento médio, e a excentricidade da órbita, ρ a densidade atmosférica, sV a velocidade do satélite em relação à atmosfera e dtda a taxa de variação do semi-eixo maior. No cálculo da equação (4.1) devemos lembrar que a anomalia verdadeira f pode ser colocada em termos de múltiplos da anomalia média M (Brouwer & Clemence, 1961): +      +−+= MeeMf sen 4 1 2 3 K (4.2) KKK +     +     + MeMe 3sen 12 13 2sen 4 5 32 e da mesma forma senos e cossenos de múltiplos da anamolia verdadeira, por exemplo: +      +−+      +−+−= MeeMeef 2cos 3 9 cos 8 9 1cos 32 KK KKK +      ++      −+ MeMe 4cos 3 4 3cos 3 9 32 (4.3) Para o cálculo da velocidade do satélite em relação à atmosfera utilizamos a equação (3.23), reescrita a seguir.         −= i v r V p Ep s cos1 ω ν (4.4) em que i é a inclinação da órbita, Eω a velocidade angular de rotação da atmosfera, considerada simétricamente esférica e tendo a mesma velocidade angular de rotação da Terra, pr a posição do satélite no perigeu, pv a velocidade do satélite no perigeu. A velocidade do satélite no perigeu, pv é dada pela seguinte equação: 2 111 2                 + −= app p rrr v µ (4.5) em que ( )earp −= 1 , ( )eara += 1 e 23510986012,3 skm×=µ . Substituindo os dados dos satélites SCD1, SCD2 e CBERS1, apresentados na Tabela 4.1, na equação (4.1), calculamos os valores de DC , utilizando um programa elaborado com o software Matemathica®. Os cálculos foram feitos considerando sV no pericentro e para condições de densidade atmosférica sob alta atividade solar com densidades retiradas da tabela do MSISE-90 (1998) mas que poderão não ser as mesmas nos dias considerados. TABELA 4.1 - Parâmetros órbitais dos satélites SCD1, SCD2 e CBERS1. Fonte: Site do INPE (2001) SCD1 - Parâmetros Orbitais SCD2 - Parâmetros Orbitais Época:28/08/2000 08:30:00 GMT Época:29/08/2000 21:29:59 GMT Semi-eixo maior = 7136121.96 m Semi-eixo maior = 7136324.76 m Excentricidade = 0.00449 Excentricidade = 0.00177 Inclinação = 24.969 graus Inclinação = 24.998 graus Anomalia média = 64.692 graus Anomalia média = 333.654 graus Movimento médio = 14.415 Rev/dia Movimento médio = 14.415 Rev/dia Altitude Perigeu = 725.921 [km] Altitude Perigeu = 745.526 [km] da/dt = 3,0 x 10-5 [m/s] (1) da/dt = 3,0 x 10-5 [m/s] (1) Densidade = 2.22x10-12 [kg/m3] (2) Densidade = 2.22x10-12 [kg/m3] (2) Massa = 115 [Kg] Massa = 115 [Kg] Area de referência = 0,7 [m2] (3) Area de referência = 0,7 [m2] (3) CBERS1 - Parâmetros Orbitais Época:29/08/2000 12:00:00 GMT Semi-eixo maior = 7149013.27 m Inclinação = 98.523 graus Excentricidade = 0.00013 Anomalia média = 167.453 graus Movimento médio = 14.354 Rev/dia Altitude Perigeu = 769.945 [km] da/dt = 3,0 x 10-5 [m/s] (1) Densidade = 8.50x10-13 [kg/m3] (2) Massa = 1450 [Kg] Area de referência = 20.8 [m2] (3) (1) valor estimado, considerando um decaimento muito lento. (2) tabela do MSISE-90, alta atividade solar. (3) valor estimado da área de referência. 4.3 - RESULTADOS DO CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ARRASTO Apresentamos na Tabela 4.2 os resultados dos cálculos do DC para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1. Na coluna quatro da Tabela 4.2 temos o valor do erro percentual dado em função da comparação entre o valor do DC para os satélites SCD1 e SCD2, fornecidos pelo INPE (informação pessoal), e os valores obtidos através de cálculo, apresentados na coluna três da Tabela 4.2. O valor do DC para o satélite CBERS1 não foi fornecido. TABELA 4.2 - Resultado do valor do DC para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1. Satélite Densidade Atmosférica ρ [kg/m3] DC 7.2=DC Erro percentual SCD1 2.22 x 10-12 2.68 0.74 % SCD2 2.22 x 10-12 2.69 0.37 % CBERS1 8.5 x 10-13 2.61 Considerando os satélites SCD1 e SCD2 como cilindros cujas dimensões são: 1 metro de diâmetro e 1.25 metros de comprimento, incluindo as antenas e utilizando a equação (3.11) proposta por Schamberg, onde a razão das velocidades r é definida como: 2 1 11             −+= i w T T r α em que α é o coeficiente de acomodação, calculamos, através de um programa elaborado no software Matemathica®, o valor do CD, assumindo iw TT variando de 0 a 1 e iw TT muito pequeno, fluxo hipertérmico. FIGURA 4.1 - Cálculo do CD considerando os satélites SCD1 e SCD2 como cilindros, para uma relação iw TT entre 0 e 1. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ALFA 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tw/Ti 2.4 2.6 2.8 CD 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ALFA FIGURA 4.2 - Cálculo do CD considerando os satélites SCD1 e SCD2 como cilindros, para uma relação iw TT muito pequena, fluxo de moléculas livres hipertérmico. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ALFA 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 Tw/Ti 2.2 2.4 2.6 2.8 CD 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 ALFA 4.4 - CÁLCULO DO COEFICIENTE DE ARRASTO CD PARA OS SATÉLITES SCD1, SCD2 E CBERS1 EM FUNÇÃO DA RAZÃO DAS VELOCIDADES E COEFICIENTE DE ACOMODAÇÃO TÉRMICA. Utilizando as equações (3.21), (3.22) e (3.23), válidas para satélites esféricos e fazendo 8.0, == σσ e 1/ =iw TT , calculamos, utilizando um programa elaborado com o software Matemathica®, o valor do CD para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1 como mostrado na Tabela 4.3 e nas Figuras 4.3, 4.4, 4.5, 4.6, 4.7 e 4.8. Nas Figuras 4.3, 4.5 e 4.7 o valor da razão de velocidades s está entre 1 e 5 enquanto que nas Figuras 4.4, 4.6 e 4.8 o valor da razão de velocidades s está entre 5 e 20. Na coluna quatro da Tabela 4.3 temos o valor do erro percentual dado em função da comparação entre o valor do DC para os satélites SCD1 e SCD2, enviado pelo INPE, e os valores obtidos através de cálculo, apresentados na coluna três da Tabela 4.3. TABELA 4.3 - Valores encontrados de razão das velocidades, s e coeficiente de arrasto, CD para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1. s DC 7.2=DC Erro percentual SCD1 5.27 2.21 22.2 % SCD2 5.21 2.22 21.6 % CBERS1 5.74 2.19 FIGURA 4.3- Valores de CD para o satélite SCD1, em que s é a razão das velocidades 51 << s , SIGMA é o coeficiente de acomodação e CD o coeficiente de arrasto. 1 2 3 4 5 s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 SIGMA 2 3 4 5 CD 1 2 3 4 5 s FIGURA 4.4 - Valores de CD para o satélite SCD1, em que s é a razão das velocidades 205 << s , SIGMA é o coeficiente de acomodação e CD o coeficiente de arrasto. 5 10 15 20 s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 SIGMA 2 2.1 2.2 CD 5 10 15 20 s FIGURA 4.5 - Valores de CD para o satélite SCD2, em que s é a razão das velocidades 51 << s , SIGMA é o coeficiente de acomodação e CD o coeficiente de arrasto. 1 2 3 4 5 s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 SIGMA 2 3 4 5 CD 1 2 3 4 5 s FIGURA 4.6 - Valores de CD para o satélite SCD2, em que s é a razão das velocidades 205 << s , SIGMA é o coeficiente de acomodação e CD o coeficiente de arrasto. 5 10 15 20 s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 SIGMA 2 2.1 2.2 CD 5 10 15 20 s FIGURA 4.7 - Valores de CD para o satélite CBERS1, em que s é a razão das velocidades 51 << s , SIGMA é o coeficiente de acomodação e CD o coeficiente de arrasto. 1 2 3 4 5 s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 SIGMA 2 3 4 5 CD 1 2 3 4 5 s FIGURA 4.8 - Valores de CD para o satélite CBERS1, em que s é a razão das velocidades 205 << s , SIGMA é o coeficiente de acomodação e CD o coeficiente de arrasto. 5 10 15 20 s 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 SIGMA 2 2.1 2.2 CD 5 10 15 20 s Capítulo 5 CONCLUSÕES E PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS 5.1 - CONCLUSÕES O trabalho realizado compreendeu o estudo comparativo do cálculo do coeficiente de arrasto para satélites artificiais. Como foi visto, o valor do coeficiente de arrasto é sensível a parâmetros (área de referência e mecânismos de reflexão) cujos valores podem sofrer grandes variações ao longo da órbita do satélite. Foram utilizados nos cálculos os dados orbitais dos satélites SCD1, SCD2 e CBERS1 apresentados na Tabela 4.1. No caso da obtenção do DC a partir da taxa de variação do semi-eixo maior, os valores da densidade atmosférica utilizados nos cálculos foram estimados em torno do valor tabelado para a altitude do pericentro, podendo portanto, não ser os mesmos nos dias considerados. Apesar das considerações feitas acima e aquelas apresentadas no capítulo 4 nas seções 4.2, 4.3 e 4.4, podemos concluir que: l analisando a Tabela 4.2 vemos que os valores calculados do DC para os satélites SCD1 e SCD2 estão bem de acordo com o valor esperado se compararmos com aqueles que nos foram enviados pelo INPE. Para o satélite CBERS1, encontramos um valor compatível com o usual, l considerando os satélites SCD1 e SCD2 como cilindros, vemos pelas Figuras 4.1 e 4.2 que os valores do DC em relação a α e a razão iw TT estão de acordo com os esperados pela teoria, l calculando o valor do DC para os satélites SCD1, SCD2 e CBERS1 em função da razão da velocidade, utilizando as equações (3.21), (3.22) e (3.23), vemos que os valores obtidos, apresentados na Tabela 4.3, também estão dentro dos valores esperados pela teoria. Analisando as Figuras 4.3, 4.5 e 4.7, vemos que a variação mais significativa do valor do DC ocorre para valores da razão de velocidade na faixa de 51 << s , enquanto que nas Figuras 4.4, 4.6 e 4.8 o valor do DC tende a 2.0, para valores da razão de velocidade na faixa de 205 << s , como previsto pela teoria se analisarmos a equação (3.21). Desta maneira, concluímos que apesar da extrema dificuldade em obtermos os valores precisos para os parâmetros envolvidos no cálculo do DC , podemos fazer considerações que não chegam a comprometer o cálculo do valor do DC em aplicações reais. 5.2 - PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS Nossas propostas para futuros trabalhos seriam: l Utilizar fórmulas que forneçam valores de áreas de seção transversal A , de coeficientes de acomodação α e de razões de temperatura i W T T mais próximos da realidade, l obter com maior precisão as taxas de decaimento dos satélites e densidades, ambas utilizadas no cálculo de DC a partir da taxa de decaimento, l introduzir efeitos devidos a rotação da atmosfera, l considerar vários satélites com diferentes geometrias orbitais, l elaborar um fator de ajuste para o parâmetro de arrasto BSTAR dos elementos de dados orbitais Two-Line, para ser utilizado no cálculo do coeficiente de arrasto de satélites, l fazer estudo aplicando as diferentes formas de calcular coeficiente de arrasto em equações para determinar o tempo de vida de satélites artificiais. Fazer análise comparativa dos valores encontrados e aplicar para o caso de satélites com tempos de vida já conhecidos, l desenvolver teoria para obtenção de valores para coeficiente de sustentação de satélites artificiais. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIRD, G. A. Definition of mean free path for real gases; Phys. Fluids, v. 26, n. 11, November 1983. BIRD, G. A. Molecular Gas Dynamics and the Direct Simulation of Gas Flows; Oxford Science Publications, Oxford Engineering Science Series, 1994. BROUWER, D, CLEMENCE, G. M. Methods of Celestial Mechanics. New York: Academic Press, 1961. BROUWER, D., HORI, G. I. Theoretical Evaluation of Atmospheric Drag effects in the Motion of an Artificial Satellite. Aston. J. 66, 193, 1961. CARRARA, V. Estimação das forças aerodinamicas em satélites terrestres, aplicação a um satélite experimental; INPE-COM. 4/RPE, INPE-1944-RPE/262, Novembro 1980. CARRARA, V. Modelagem das forças e torques atuantes em satélites; INPE-2454-TDL/094, Junho 1982. CHAO, C. C., GUNNING, G. R., MOE, K. CHASTAIN, S. H., SETTECERRI, T. J. An evaluation of Jacchia 71 and MSIS 90 atmosphere models with NASA ODERACS decay data. The Journal of the Astronautical Sciences, v. 45, n. 2, p. 131-141, April-June 1997. CHAPMAN, B. Glow Discharge Processes sputtering and plasma etching. John Wiley & Sons, 1980. COOK, G. E. Drag Coefficients of Spherical Satellites. Annales de Géophysique, 1966. COOK, G. E. Satellite Drag Coefficients. Planetary Space Science, v.13, p. 929-946, 1965. COOK, G. E., KING-HELE, D., WALKER, D. M. The Contraction of Satellite Orbits under influence of air drag - Part II: With Oblate Atmosphere. Proc. of Royal Soc., 264, 88-121, 1961. COOK, G. E., KING-HELE, D., WALKER, D. M. The Contraction of Satellite Orbits under influence of air drag - Part IV: With Scale height dependent on Attitude. Proc. Royal Soc. London 275, # A, 357, 1963. FREDO, R. M., KAPLAN, M. H. Procedure for Obtaining Aerodynamic Properties of Spacecraft. Journal Spacecraft, v. 18, n. 4, July-August 1981. ECSS E-10-04 DRAFT 02 7-17 The Neutral Earth atmosphere. Disponível em: . Acesso em: 28 fev. 2001. HERRERO, F. A. The Drag Coefficient of Cylidrical Spacecraft in orbit at altitudes greater than 150 km. NASA Technical Memorandum 85043, 1983. HERRERO, F. A. The lateral Surface Drag Coefficient of Cylindrical Spacecraft in a rarefied finite temperature atmosphere. AIAA Journal, v. 23, n.6, 1984. IMBRO, D. R., MOE, M. M.. On fundamental Problems in the Deduction of Atmosphere Densities from Satellite Drag. Journal of Geophysical Research, v. 80, n. 22, 1975. JACCHIA, L. G. The Earth's Upper Atmosphere -I. Sky and Telescope, March 1975. JACCHIA, L. G. The Earth's Upper Atmosphere -II. Sky and Telescope, April 1975. JACCHIA, L. G. The Earth's Upper Atmosphere -III. Sky and Telescope, May 1975. KING-HELE, D. Theory of satellite orbits in an atmosphere. Butterworths & Co. Ltd, 1964. MOE, K., MOE, M. M., WALLACE, S. D. Drag Coefficients of Spheres in free-molecular flow; SPACE FLIGHT MECHANICS MEETING, Session 4: Orbit Modeling, v. 93, Advances in the Astronautical Science, Space Flight Mechanics, 1996. MOE, K., MOE, M. M., WALLACE, S. D.; Improved Satellite Drag Coefficient calculations from orbital measurements of energy accomodation. Journal of Spacecraft and Rockets, v. 35, n. 3, May-June 1998. MOE, M. M., TSANG, L. C. Drag Coefficients for Cones and Cylinders According to Schamberg's Model. AIAA Jounal, Vol. 11, No. 3, 1973. MOE, M. M., WALLACE, S. D. Refinements in determination satellite drag coefficients: Method for resolving density discrepancies; Journal of Guidance Control and Dynamics, v. 16, n. 3, May-June 1993. NELORE, S. V., KONDAPALY, R. R. Prelauch Estimate of Near Earth Satellite Lifetimes - Application to a Proposed Brazillian Satellite. J. Astronaut. Sci, X X X I, #1, 151-160, January-March, 1983. NOCILLA, S. Theoretical Determination of the Aerodynamic Forces on Satellites. Astronautica Acta, v.17, p. 245-258, 1972. PARÂMETROS ORBITAIS DOS SATÉLITES SCD1, SCD2 E CBERS1. Disponível em: . Acesso em 28. fev. 2001. PRESENT, R. D. Kinetic Thory of Gases. Mcgraw-Hill Book Company Inc. 1958. ROY, A. E. Orbital Motion. Institute of Physics Publishing Bristol and Philadelphia, 1991. SCHAMBERG, R. A New Analytic Representation on Surface Interaction for Hiperthermal Free Molecule Flow. Rep. RM-2313, Rand Corp., 1959. SEHNAL, L., VOKROUHLICKY, D. Model of non-gravitational perturbations for CESAR experiment with MACEK accelerometer. Adv. Space Res. v.16, n.12, p. (12) 3-(12) 13, 1995. SEHNAL, L. Determination of Basic Constants of Satellite-Atmosphere interaction from the analysis of motion of 1974-70A. Adv. Space Res., v. 3, n. 1, p. 91-94, 1983. SEHNAL, L. Determ