
POLINÔMIOS FRACIONÁRIOS EM MODELOS DE REGRESSÃO

Vińıcius Alande

Dissertação apresentada à Universidade Es-
tadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em Bio-
metria.

BOTUCATU
São Paulo - Brasil

Março - 2012


POLINÔMIOS FRACIONÁRIOS EM MODELOS DE REGRESSÃO

Vińıcius Alande

Orientadora: Prof. Dr. Luzia A. Trinca

Dissertação apresentada à Universidade Es-
tadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”
para a obtenção do t́ıtulo de Mestre em Bio-
metria.

BOTUCATU
São Paulo - Brasil

Março - 2012


iii

Dedicatória

À Deus pela saúde e força, à minha mãe por ser a base de tudo que sou hoje, aos

mestres que passaram pela minha vida pregando o conhecimento e a melhora

cont́ınua.


Agradecimentos

À Deus por me dar a vida, mostrar o caminho correto a seguir, e suprir

todas as minhas necessidades.

À minha famı́lia, Izabel, Aline e Gilberto pelo amor, educação, apoio,

incentivo, compreensão nos momentos dif́ıceis, por estarem do meu lado em todos os

momentos da minha vida.

À minha orientadora, Profa Luzia Aparecida Trinca, por me mostrar

o caminho da ciência, pela confiança depositada, pela forma e excelência que realiza

seu trabalho e principalmente pela paciência.

À UNESP, ao programa de Pós-Graduação em Biometria, e ao De-

partamento de Bioestat́ıstica do Instituto de Biociências de Botucatu pela ótima

estrutura f́ısica que me foi concebida, pelos apoios financeiros para eventos e con-

gressos e pela oportunidade de realização do mestrado.

Ao corpo docente do departamento e funcionários, pela amizade,

aux́ılio, incentivo e pelas horas de descontração no café.

Aos professores das bancas de qualificação e defesa por terem contri-

buido com sugestões, dicas e correções para o enriquecimento deste trabalho.

Aos amigos pós-graduandos e graduandos que fiz durante esse tempo

que, sem dúvida, contribuiram e muito, para o desenvolvimento deste estudo, e para

a minha estadia em Botucatu.

À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior (CA-

PES) pelo apoio financeiro durante esses anos.

À todas as pessoas que direta ou indiretamente contribuiram para a

realização deste trabalho.


v

“Bem-aventurado o homem que acha sabedoria, e o homem que adquire

conhecimento. Porque é melhor a sua mercadoria do que artigos de prata, e maior

o seu lucro que o ouro mais fino.”

Provérbios 3:13-14


Sumário

Página

LISTA DE FIGURAS viii

LISTA DE TABELAS x

RESUMO xi

SUMMARY xiii

1 INTRODUÇÃO 1

2 MODELOS DE REGRESSÃO 4

2.1 Regressão Linear com Erros Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Modelos Lineares Generalizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Regressão Loǵıstica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Modelo Binomial Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Polinômios Fracionários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4.1 Polinômios Fracionários para uma Variável Regressora . . . . . . . . . 21

2.4.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 APLICAÇÕES 31

3.1 Exemplo 1: Estimação da densidade de Rot́ıferos . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Exemplo 2: Tolerância do Paracoccidioides brasiliensis a altas temperaturas 38

3.3 Exemplo 3: Relação Peso e Comprimento de Aranhas . . . . . . . . . . . 42

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS 52


vii

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 54


Lista de Figuras

Página

1 Modelos ajustados por PF1(2) e PF2(-2,-2). . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 Análise de reśıduos para o Modelo Original, Exemplo 1. . . . . . . . . . . 33

3 Análise de reśıduos para o Modelo PF, Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . 34

4 Curvas das probabilidades ajustadas pelo Modelo Original e pelo Modelo

PF, Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Análise de Reśıduos para o Modelo Binomial Misto com X linear, dado

por (9), Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Análise de reśıduos para o Modelo Binomial Misto transformado, dado

por (10), Exemplo 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

7 Análise de Reśıduos para o Modelo Binomial Misto com efeito linear de

X, Exemplo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8 Análise de reśıduos para o Modelo Binomial Misto transformado, Exem-

plo 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

9 Diagrama de dispersão do Comprimento (mm) e Peso (mg) de aranhas,

Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10 Análise de reśıduos para o modelo da equação (13), Exemplo 3. . . . . . 44

11 Análise de reśıduos para o modelo da equação (14), Exemplo 3. . . . . . 45

12 Análise de reśıduos para o modelo da equação (15), Exemplo 3. . . . . . 47

13 Análise de reśıduos para o modelo da equação (16) (sem a observação 4),

Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

14 Curva ajustada para o modelo da equação (16) considerando os dados

transformados e removida a observação 4, Exemplo 3. . . . . . . . . . . . 50


ix

15 Curvas ajustadas e intervalos de predição do peso (transformado) para os

Modelos PF, com e sem a abservação 4, Exemplo 3. . . . . . . . . . . . . 50


Lista de Tabelas

Página

1 Estimativas dos parâmetros do PF para os modelos tentativos e suas

respectivas diferenças de deviances (D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Aplicação dos procedimentos de testes para selecionar o melhor modelo . 28

3 Estimativas dos coeficientes e matriz de variância e covariância para o

modelo loǵıstico com preditor linear do tipo PF2 para pressão arterial

sistólica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Estimativas dos parâmetros das transformações de Box-Cox e de PF,

Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Estimativas dos parâmetros das transformações de Box-Cox e de PF sem

a observação 4, Exemplo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


POLINÔMIOS FRACIONÁRIOS EM MODELOS DE REGRESSÃO

Autor: VINÍCIUS ALANDE

Orientadora: Prof. Dr. LUZIA A. TRINCA

RESUMO

Neste trabalho, a flexibilidade dos modelos de polinômios fracionários

foi explorada como alternativa quando polinômios simples mostram falta de ajuste

em modelos de regressão. Vários tipos de modelos de regressão foram considerados

incluindo regressão loǵıstica, regressão loǵıstica com efeitos aleatórios, e regressão

para resposta quantitativa cont́ınua com aumento de variância. Três aplicações para

dados biológicos foram realizadas: o exemplo dos rot́ıferos apresentado em Collett

(1991), o estudo da tolerância para temperaturas de células de fungos apresentado em

Theodoro et al. (2008) e o estudo da relação entre peso e comprimento de uma espécie

de aranhas considerado em Stropa & Trinca (2005). Nos dois primeiros exemplos

o modelo de regressão loǵıstica foi considerado e o ajuste mostrou sobredispersão

dos dados, bem como falta de ajuste dos modelos simples. O uso de polinômios

fracionários e a inclusão de efeitos aleatórios nas funções dos preditores lineares

mostraram benef́ıcios para ambos os problemas de modelagem. No terceiro exemplo,


xii

a relação entre a variável resposta e a regressora foi não-linear com variância do erro

não constante. O uso simultâneo de polinômios fracionários e transformações do tipo

Box-Cox resultaram em funções preditivas razoáveis para o problema. A influência

de pontos particulares foi explorada e todos os exemplos ilustraram que o processo

de modelagem, na prática, requer cuidados nas inspeções das violações do modelo,

considerações do problema em particular, e na tomada de decisões.


FRACTIONAL POLYNOMIALS IN REGRESSION MODELS

Author: VINÍCIUS ALANDE

Adviser: Prof. Dr. LUZIA A. TRINCA

SUMMARY

In this work the flexibility of fractional polynomial models were ex-

plored as alternative when simple polynomials show lack of fit in regression models.

Several types of regression models were considered including logistic regression, mi-

xed logistic regression, and regression for a continuous quantitative response with

increasing variance. Three applications to biological data were shown: the rotifers

example of Collett (1991); the study of tolerance to temperature of fungus cells of

Theodoro et al. (2008); and the study of the relationship between weight and size of

a specie of spiders of Stropa & Trinca (2005). In the first two examples the logis-

tic model was considered and overdispersion as well as lack of fit of simple models

were detected. The use of fractional polynomials and the inclusion of random ef-

fects in the linear predictor function showed benefits to both modeling problems.

In the third example the relation was non-linear with nonconstant error variance.

The simultaneous use of fractional polynomials and Box-Cox transformation resulted


xiv

in very reasonable prediction functions. Influence of particular points were explo-

red. All examples illustrated that the modeling process in practice includes careful

inspections of model violations, practical considerations and decisions.


1 INTRODUÇÃO

Várias são as áreas da ciência que adquirem conhecimento por meio

da coleta de dados, seja por amostragem em estudos observacionais ou por expe-

rimentação. Em estudos observacionais é comum a coleta de dados de diversas

variáveis para investigar a inter-relação entre elas e/ou identificar fatores que pos-

sivelmente afetam algum evento de interesse. Os estudos experimentais, por serem

controlados, permitem a investigação de relação do tipo causa e efeito. Os Modelos

de Regressão são ferramentas de grande potencial de aplicação em ambos os tipos de

estudos. Por exemplo, na área médica, a partir de um Modelo de Regressão pode-se

investigar a relação entre o tempo de sobrevivência de pacientes após determinado

tratamento para o câncer e caracteŕısticas como a idade, tamanho ou estágio do

tumor, local do tumor, entre outros. Nesse contexto, tais variáveis são chamadas

de fatores de prognóstico. Os Modelos de Regressão constituem uma classe ampla

de modelos estat́ısticos, com origem no modelo mais simples posśıvel que é aquele

que simplifica a relação entre uma variável resposta quantitativa y por uma expli-

cativa x através de uma reta. Essa ideia simples se estendeu muito e hoje abrange

modelos com múltiplas variáveis explicativas, termos polinomiais, relações não line-

ares, respostas discretas, observações com censura, entre outras. Essa ampliação foi

posśıvel principalmente pelo desenvolvimento tecnológico que permitiu a construção

de computadores e programas computacionais capazes de ajustar quase que qualquer

tipo de modelo. Mas é importante lembrar que cada modelo, embora possivelmente

útil para explicar ou aproximar um fenômeno desconhecido, tem como base algumas

suposições e faz parte da análise de dados a investigação sobre a sua coerência. É de

consenso que um modelo “bom” é aquele que explica o problema e é simples, parci-


2

monioso, produz resultados interpretáveis do ponto de vista do objetivo do estudo,

é robusto a pequenas variações dos dados e permite previsões com margem de erro

razoável para novos casos. Ou seja, na prática, encontrar um “bom” modelo é um

desafio.

Um problema na construção de um modelo é a presença de não li-

nearidade entre a variável resposta e a variável explicativa. Quando não há uma

expressão não linear, originada do conhecimento f́ısico do problema, para a relação,

as estratégias usuais têm sido a inclusão de termos polinomiais no modelo ou a

categorização das variáveis explicativas. A primeira estratégia pode resultar em

modelos mais complicados do que o necessário e de dif́ıcil interpretação biológica,

por exemplo, a inclusão de termos polinomiais de ordem 3 ou 4 pode não ser jus-

tificada na prática. A necessidade destes termos pode ser simplesmente devido a

escolha “errada” da métrica para medir a variável explanatória (a escolha certa tal-

vez um polinômio de primeira ordem resolvesse o problema). A categorização da(s)

variável(ies) explicativa(s) envolve subjetivismo e perda de informação.

O problema da escolha “certa” da métrica tem sido considerado e no

caso de apenas uma variável explicativa tem-se as usuais transformações, conforme

a forma do gráfico de y versus x, recomendadas nos livros clássicos de regressão

linear. No caso mais geral, o problema foi explorado por Box & Tidwell (1962)

com a sugestão de uma famı́lia de transformações em x análoga à familia de Box-

Cox (Box & Cox, 1964) que é aplicada em y. No entanto, a metodologia proposta

não ganhou muito espaço nas aplicações devido ao custo computacional. Com o

avanço computacional, a ideia de transformações Box & Tidwell (1962) foi estendida

e formalizada na forma de uma classe de modelos envolvendo Polinômios Fracionários

(PF) por Royston & Altman (1994). Essa classe de modelos inclui termos do tipo xp

em que p é escolhido a partir de um pequeno conjunto de valores inteiros e/ou não-

inteiros pré-especificados. As funções polinomiais posśıveis, englobam como casos

particulares, os polinômios convencionais. A metodologia é aplicável tanto para

modelos com erros supostos normais quanto para a classe mais geral de Modelos


3

Lineares Generalizados e modelos para tempo de sobrevivência.

Este trabalho foi desenvolvido com o objetivo de estudar a metodologia

proposta por Royston & Altman (1994), conhecer ferramentas computacionais para

o ajuste e explorar a flexibilidade de tais modelos aplicando-os a conjuntos de dados

da área biológica. No Caṕıtulo 2 são apresentados alguns conceitos básicos ligados

aos métodos de estimação dos parâmetros dos Modelos de Regressão, assim como

a apresentação da famı́lia de Modelos de Polinômios Fracionários, a metodologia de

ajuste e de comparações entre modelos proposta por Royston & Sauerbrei (2008).

Um exemplo da literatura foi reproduzido com o objetivo de esclarecimento didático.

O caṕıtulo 3 contempla três exemplos. O primeiro exemplo trata de um estudo sobre

a densidade de uma espécie de microorganismos do zooplâncton, descrito por Collett

(1991). O segundo se refere a um estudo da viabilidade de células do fungo Pa-

racoccidioides brasiliensis sob diferentes temperaturas. Nestes dois exemplos foram

utilizados um modelo loǵıstico para ajustar os dados. O terceiro exemplo trata do

estudo da relação entre o peso e o tamanho de aranhas femêas do tipo Loxosceles gau-

cho. Nesse caso, a relação observada foi não linear e heterogeneidade de variâncias.

Explora-se então a aplicação de transformações, tanto na variável resposta como na

explicativa a fim de obter um modelo final parcimonioso e coerente com as premissas

usuais da modelagem.


2 MODELOS DE REGRESSÃO

Os Polinômios Fracionários (PF) podem ser utilizados em qualquer

tipo de Modelo de Regressão com variáveis regressoras quantitativas, cuja parte

preditiva envolve preditores lineares. Antes de introduzir a metodologia de PF, uma

breve introdução, principalmente visando o estabelecimento da notação a respeito

dos Modelos de Regressão, a começar pelos Modelos Lineares com Erros Normais,

Modelos Lineares Generalizados (MLG), e em particular, o Modelo de Regressão

Loǵıstica e o Modelo Binomial Misto.

2.1 Regressão Linear com Erros Normais

Dados n conjunto de valores de k variáveis regressoras (X1, . . . , Xk) e

uma variável aleatória resposta Y , o modelo de regressão linear múltiplo é escrito

como

yi = β0 +
k∑

j=1

βjxij + εi,

ou ainda, na forma matricial,

y = Xβ + ε, (1)

em que y é o vetor (n×1) de respostas, β = (β0, β1, . . . , βk)
′ é o vetor (q = (k+1)×1)

de parâmetros, X é a matriz (n× (k + 1)) cujas colunas são as variáveis regressoras

e ε é o vetor (n × 1) de erros aleatórios com E(ε) = 0. O modelo usual assume que

V (ε) = Iσ2.

Para ajustar um modelo de regressão aos dados observados deve-se

estimar o vetor de parâmetros β. Existem vários métodos de estimação como, por


5

exemplo, o de Máxima Verossimilhança (MV) e o de Mı́nimos Quadrados (MQ). O

método MQ dos erros é bastante popular em modelos lineares devido a sua sim-

plicidade mas também pelos estimadores serem equivalentes aos de MV no caso de

normalidade e homocedasticidade dos erros. Se dispõe-se de apenas q observações, a

determinação dos parâmetros se reduz a um problema matemático de resolução de

um sistema de q equações com q incógnitas, não sendo posśıvel fazer qualquer análise

estat́ıstica. Portanto, deve-se ter n > q. Além disso, para obter as estimativas de

mińımos quadrados dos parâmetros, a matriz X′X deve ser não-singular, isto é, seu

posto deve ser igual a q. Nessa condição, sua matriz inversa (X′X)−1 existe, e a

solução de mińımos quadrados para β̂ é dada por

β̂ = (X′X)−1X′y.

Esse estimador é não viesado, pois E(β̂) = β, com V (β̂) = (X′X)−1σ2. Pode-

se mostrar que este estimador é também de variância mı́nima entre todos os outros

estimadores não viesados, que são funções lineares de y. Sob normalidade dos erros β̂

coincide com o estimador de MV que, assintoticamente, segue a distribuição normal,

ou seja, β̂ ∼ N(β, (X′X)−1σ2).

Testes de hipóteses sobre os parâmetros e intervalos de confiança po-

dem ser constrúıdos utilizando-se as estat́ısticas clássicas do tipo F baseadas na

análise de variância e do tipo t usuais (ver, por exemplo, Montgomery et al. (2006)

Draper & Smith (2008)).

Na prática, para inferência utilizando o modelo ajustado, é necessário

a investigação sobre a validade (ao menos aproximada) sobre as pressuposições do

modelo. Violações comuns são a não linearidade e heterogeneidade de variâncias dos

erros.

Caso a variável resposta não tenha distribuição normal uma das al-

ternativas é buscar alguma transformação que amenize o problema. A longa ex-

periência em análise de dados tem proporcionado recomendações sobre posśıveis

transformações de acordo com o tipo de dado, porém Box & Cox (1964) propuseram

uma famı́lia de transformações que se popularizou como transformação Box-Cox. A


6

aplicação da metodologia de Modelos Lineares Generalizados, assunto da próxima

seção, é uma outra alternativa, porém, na prática nem sempre se adequa aos dados.

Sejam y > 0 e X as variáveis resposta e regressoras, respectivamente. A base fun-

damental da transformação Box-Cox é que existe uma potência yλ que se relaciona

linearmente com uma função de X de forma que os erros satisfaçam a condição de

normalidade e variância constante. O método de transformação consiste na busca

do valor para λ que maximiza a função de verossimilhança e é definido por:

y(λ) =

⎧⎪⎨⎪⎩
yλ−1

λ
λ �= 0

log (y) λ = 0.
(2)

Encontrado λ̂ utiliza-se y(λ̂) = Xβ + ε como modelo e procede-se da mesma forma

para estimação de β̂.

2.2 Modelos Lineares Generalizados

Nelder & Wedderburn (1972) propuseram uma teoria unificadora da

modelagem estat́ıstica a que deram o nome de Modelos Lineares Generalizados

(MLG), como uma extensão dos modelos lineares clássicos. Na realidade, eles mos-

traram que uma série de técnicas comumente estudadas separadamente podem ser

reunidas sob o nome de Modelos Lineares Generalizados. Mostraram também que

a maioria dos problemas estat́ısticos que surgem nas mais diversas áreas do conhe-

cimento podem ser formulados, de uma maneira unificada, como nos Modelos de

Regressão. Além de Nelder & Wedderburn (1972), na literatura, existem diversos

livros clássicos que trata de MLGs, como exemplo, McCullagh & Nelder (1989), e em

ĺıngua portuguesa pode-se encontrar Demétrio (2002) e Paula (2004). Esses modelos

envolvem uma variável resposta e um conjunto de variáveis explicativas, sendo que

a variável resposta, componente aleatório do modelo, tem uma distribuição perten-

cente à famı́lia exponencial na forma canônica (distribuição normal, gama e normal

inversa, para dados cont́ınuos; binomial para proporções; Poisson e binomial negativa

para dados de contagens). As variáveis explicativas entram na forma de uma função


7

linear (componente sistemático) relacionada aos componentes aleatórios a partir de

uma função de ligação, por exemplo, logaŕıtmica para os modelos log-lineares, logito

para regressão loǵıstica, e outras.

Seja Y uma variável aleatória e associado a ela um conjunto de q

variáveis explicativas que como no modelo linear podem ser organizadas numa matriz

X. Para uma amostra de n observações os três componentes envolvidos no MLG são

descritos a seguir.

1. Componente Aleatório: representado por uma famı́lia de variáveis aleatórias

independentes Y1, Y2, . . . , Yn, cada uma com função densidade ou função de

probabilidades na forma dada por

f(yi; θi, φ) = exp (φ[yiθi − b(θi)] + c(yi, φ)), (3)

chamada de famı́lia exponencial. Pode-se mostrar sob as condições usuais de

regularidade que

E

(
∂ ln f(yi; θi, φ)

∂θi

)
= 0

e

E

(
∂2 ln f(yi; θi, φ)

∂θ2
i

)
= −E

⎡⎣(∂ ln f(yi; θi, φ)

∂θi

)2
⎤⎦ ,

para ∀i, que E(Yi) = μi = b′(θi), V (Yi) = φ−1V (μi), em que Vi é uma função

de μi dada por V (μi) = dμi

dθi
e φ−1 é o parâmetro de dispersão. Vi é chamada

de função de variância, e como depende unicamente da média tem-se que o

parâmetro natural θi pode ser expresso como

θi =
∫

V −1
i dμi = q(μi)

para q(μi) uma função conhecida de μi.

A função de variância desempenha um papel importante na famı́lia exponencial,

uma vez que a mesma caracteriza a distribuição. Isto é, dada a função de


8

variância, tem-se uma classe de distribuições correspondentes, e vice-versa.

Essa propriedade permite a comparação de distribuições por meio de testes

simples para a função de variância. Para ilustrar, a função de variância definida

por V (μ) = μ(1−μ), 0 < μ < 1, caracteriza a classe de distribuições binomiais

com probabilidades de sucesso μ ou 1 − μ.

Exemplificando, para melhorar o entendimento, sejam dois casos particulares;

o primeiro assumindo uma variável aleatória com distribuição normal, e o se-

gundo, com distribuição binomial.

Seja Y uma variável aleatória com distribuição normal com média μ e variância

σ2, ou seja, Y ∼ N(μ, σ2). A função densidade de Y é expressa na forma

f(y; μ, σ2) =
1

σ
√

2π
exp

(
− 1

2σ2
(y − μ)2

)

= exp

(
1

σ2

(
yμ − μ2

2

)
− 1

2
(ln 2πσ2 +

y2

σ2
)

)
,

em que −∞ < μ, y < ∞, e σ2 > 0. Logo, para θ = μ, b(θ) = θ2

2
, φ = σ−2

e c(y, φ) = 1
2
ln φ

2π
− y2φ

2
, temos (3). Verifica-se facilmente que a função de

variância é dada por V (μ) = 1.

Seja Y a proporção de sucessos em n ensaios independentes, cada um com

probabilidade de ocorrência μ. Supõe-se que nY ∼ B(n, μ). A função de

probabilidade nY é expressa por⎛⎜⎝ n

ny

⎞⎟⎠μny(1 − μ)n−ny = exp

⎛⎜⎝ln

⎛⎜⎝ n

ny

⎞⎟⎠+ ny ln

(
μ

1 − μ

)
+ n ln 1 − μ

⎞⎟⎠,

em que 0 < μ, y < 1. Obtem-se (3) fazendo φ = n, θ = ln
(

μ
1−μ

)
, b(θ) =

ln (1 + expθ) e c(y, φ) = ln

⎛⎜⎝ n

ny

⎞⎟⎠. A função de variância aqui é dada por

V (μ) = μ(1 − μ).

2. Componente Sistemático ou Preditor Linear: como no modelo (1) as variáveis


9

explicativas entram na forma de uma combinação linear de seus efeitos

ηi =
k∑

j=0

xijβj = x′
iβ ⇒ η = Xβ (4)

em que xi = (xi0, xi1, . . . , xik)
′ é o vetor de covariáveis para a i−ésima ob-

servação (xi0 = 1 para i = 1, 2, . . . , n) se o preditor inclui o intercepto,

β = (β0, β1, . . . , βk)
′ o vetor de parâmetros e η = (η1, η2, . . . , ηn)′ o preditor

linear.

3. Função de Ligação: uma função que liga o componente aleatório ao componente

sistemático, ou seja, relaciona a média da resposta com o preditor linear, isto

é,

ηi = g(μi)

em que g(.) é uma função monótona e diferenciável. Note que g(.) transforma

a esperança da variável resposta no preditor linear.

Assim, vê-se que para a especificação do modelo, os parâmetros θi da

famı́lia exponencial não são de interesse direto (pois há um para cada observação)

mas sim um conjunto menor de parâmetros β0, β2, . . . , βq tais que uma combinação

linear dos β’s seja igual a alguma função do valor esperado de Yi. Portanto, as

decisões importantes na escolha do MLG são a escolha da distribuição da variável

resposta, da matriz do modelo e da função de ligação. Se a função de ligação é esco-

lhida de tal forma que g(μi) = θi, o preditor linear modela diretamente o parâmetro

canônico e tal função de ligação é chamada ligação canônica. Isto resulta, frequente-

mente, em uma escala adequada para a modelagem com interpretação prática para

os parâmetros de regressão, além de vantagens teóricas em termos da existência de

um conjunto de estat́ısticas suficientes (Mood et al., 1974) para os parâmetros β’s e

alguma simplificação no algoritmo de estimação. A ligação identidade (η = μ) para

a distribuição normal, a ligação logaŕıtmica (η = ln μ) para a distribuição Poisson,

a ligação loǵıstica (η = ln π
1−π

) para a distribuição binomial, e a ligação rećıproca


10

(η = 1
μ
) para a distribuição gama são exemplos de funções de ligação canônicas. A

estimação dos parâmetros é feita pelo método da máxima verossimilhança e tem que

ser resolvida de forma numérica por métodos iterativos do tipo Newton-Raphson, já

que em geral as soluções não apresentam forma fechada.

Para estimar um dado parâmetro β constrói-se a função de verossimi-

lhança que, tomando-se o log resulta em

l(β,y) = log
n∏

i=1

(exp (φ[yiθi − b(θi)] + c(yi, φ))) =
n∑

i=1

log(f(yi; θi, φ)).

Derivando-se em relação a cada parâmetros tem-se a função escore que é calculada

por

∂l(β;y)

∂βj

=
n∑

i=1

φ

{
yi

dθi

dμi

dμi

dη1

ηi

βj

− db(θi)

dθ1

dθi

dμi

dμi

dηi

dηi

dβj

}

=
n∑

i=1

φ

{
yiV

−1
i

dμi

dηi

xij − μiV
−1
i

dμi

dηi

xij

}

=
n∑

i=1

φ

{√
ωi

Vi

(yi − μi)xij

}
,

em que ωi = (dμi/dηi)
2/Vi. Logo, pode-se escrever a função escore na forma vetorial

U(β) =
∂L(β; y)

∂β
= φX′W1/2V−1/2(y − μ)

em que X é a matriz do modelo definida em (4), W = diag(ω1, ω2, . . . , ωn) é a

chamada matriz de pesos e V = diag(V1, V2, . . . , Vn).

Assim, o processo iterativo de Newton-Raphson para a obtenção da

estimativa de máxima verossimilhança de β é definido expandindo-se a função escore

U(β) em torno de um valor inicial β(0), tal que

U(β) = U(β(0)) + U’(β(0))|(β − β(0)),

em que U’(β(0)) denota a primeira derivada de U(β(0)) com respeito a β. Assim,

repetindo o procedimento acima, chega-se ao processo iterativo

β(m+1) = β(m) − U’(β(m))
−1

U(β(m)),


11

m = 0, 1, . . .. Como a matriz U’(β) pode não ser positiva definida, pode-se aplicar o

método de scoring de Fisher, substituindo a matriz U’(β) pelo correspondente valor

esperado, e assim chegar a um processo iterativo de mı́nimos quadrados repondera-

dos,

β(m+1) = (X′W(m)X)−1X′W(m)z(m), (5)

m = 0, 1, . . ., em que z = η + W−1/2V−1/2(y − μ). Note que z desempenha o papel

de uma variável dependente modificada, enquanto W é a matriz de pesos que muda

a cada passo do processo iterativo. A convergência ocorre em um número finito

de passos, independente dos valores iniciais utilizados. É usual iniciar o processo

iterativo com η(0) = g(y). Apenas para ilustrar, note que para o caso loǵıstico

binomial, tem-se ω = nμ(1 − μ) e variável dependende modificada dada por z =

η + (y − nμ)/nμ(1 − μ). Como visto em (2.1), para o Modelo Linear com Erros

Normais não é preciso recorrer ao processo iterativo para a obtenção da estimativa

de máxima verossimilhança. Nesse caso, β̂ assume forma fechada β̂ = (X′X)−1X′y.

As informações sobre as propriedades assintóticas dos estimadores de

máxima verossimilhança dos MLGs podem ser vistas em Fahrmeir & Kaufmann

(1985).

Sem perda de generalidade, suponha que o logaritmo da função de

verossimilhança seja agora definido por

l(μ;y) =
n∑

i=1

l(μi, yi),

em que μi = g−1(ηi) e ηi = x′
iβ. Para o modelo saturado (q = n) a função l(μ;y) é

estimada por

l(y;y) =
n∑

i=1

l(yi, yi),

ou seja, a estimativa de máxima verossimilhança de μi fica nesse caso dada por

μ̂0
i = yi. Quando q < n, denota-se a estimativa de l(μ;y) por l(μ̂;y). A qualidade

do ajuste de um MLG é avaliada a partir da deviance ou função desvio dada por

D∗(y; μ̂) = φD(y; μ̂) = 2(l(y;y) − l(μ̂;y)),


12

que é uma distância entre o logaritmo da função de verossimilhança do modelo

saturado (com n parâmetros) e do modelo sob investigação (com q parâmetros)

avaliado na estimativa de máxima verossimilhança β̂. Um valor pequeno para a

função desvio indica que, para um número menor de parâmetros, obtém-se um ajuste

tão bom quanto o ajuste com o modelo saturado.

A Análise de Deviance (ANODEV) é uma generalização da Análise

de Variância para os modelos lineares generalizados, visando obter, a partir de uma

sequência de modelos, cada um incluindo mais termos que os anteriores, os efeitos

de fatores, variáveis regressoras e suas interações. Dada uma sequência de mode-

los encaixados, utiliza-se a deviance como uma medida de discrepância do modelo

e forma-se uma tabela de diferenças de deviances. Esses modelos precisam ter ne-

cessariamente a mesma distribuição para a variável resposta e as funções de ligações

idênticas para serem comparados.

A ANODEV é realizada com base no teste da razão de verossimilhança

que envolve a comparação dos valores do logaritmo da função de verossimilhança

maximizada. Quando se tem um vetor de parâmetros, muitas vezes há o interesse

no teste de hipótese de apenas um subconjunto deles. Seja, então, uma partição de

parâmetros β = (β1, β2) em que β1 de dimensão r é o vetor de interesse e β2 de

dimensão (q − r) o vetor coeficientes considerados de nuisance. Sejam as hipóteses

H0 : β1 = β1,0 e Ha : β1 �= β1,0 sendo β1,0 um vetor de valores especificados

para β1. Sabendo que β̂ = (β̂1, β̂2) é o estimador de máxima verossimilhança

para β sem restrição e β̂2,0 = (β1,0, β̂2,0) em que β̂2,0 é o estimador de β2 sob H0,

tem-se que o teste da razão de verossimilhanças compara o logaritmo da função de

verossimilhança maximizada sem restrição, dada por l(β̂1, β̂2;y) com o valor sob

H0, dado por l(β1,0, β̂2,0;y). Esse teste é geralmente prefeŕıvel no caso de hipóteses

relativas a vários coeficientes β’s. Se a diferença for grande, então, H0 é rejeitada.

A estat́ıstica para esse teste é dada por:

Λ = −2 ln λ = 2(l(β̂1, β̂2; y) − l(β1,0, β̂2,0;y)),

que sob H0 se distribui assintóticamente de acordo com uma distribuição χ2
r. Para


13

amostras grandes, rejeita-se H0, ao ńıvel α de significância, se Λ > χ2
r,1−α. No caso

do modelo (1) este teste se reduz ao teste F com o numerador sendo o acréscimo na

Soma de Quadrados devido a β1, quando H0 : β1 = 0.

Além do teste da razão de verossimilhança existem outros como o teste

de Wald e o teste score (McCulloch et al., 2008). O teste de Wald é baseado na

distribuição normal assintótica de β̂ e é uma generalização da estat́ıstica t de Student

(Wald, 1941). É, geralmente, o mais usado no caso de hipóteses relativas a um único

coeficiente βj. Tem como vantagem em relação ao teste da razão de verossimilhanças,

o fato de não haver necessidade de se calcular β̂2,0. A estat́ıstica para esse teste é

dada por

W = (β̂1 − β1,0)
′(V̂ (β̂1))

−1(β̂1 − β1,0),

sendo que, para amostras grandes rejeita-se H0, ao ńıvel α de significância se W >

χ2
r,1−α.

A partir da estat́ıstica de teste da razão de verossimilhanças, uma

região de confiança para β1, com coeficiente de confiança (1 − α), inclui todos os

valores de β1 tais que

2(l(β̂1, β̂2,y) − l(β1, β̂2,1;y)) < χ2
q,1−α

sendo β̂2,1 a estimativa de verossimilhança de β2 para cada valor de β1 que é testado

ser pertencente ou não à região.

Para um parâmetro βj o intervalo de confiança a 100(1 − α)% obtido

pela estat́ıstica de Wald é dado por β̂j ± zα
2
σ̂β̂j

.

Para os Modelos Lineares e Lineares Generalizados existe uma extensa

lista de referência que tratam da checagem das suposições usuais desses modelos,

como análise de reśıduos e diagnósticos, uma referência clássica é Mosteller et al.

(1977) para modelos lineares e Collett (1991) para modelos loǵısticos.


14

2.2.1 Regressão Loǵıstica

A Regressão Loǵıstica é um modelo particular da classe dos Modelos

Lineares Generalizados em que a variável resposta Y assume distribuição Binomial

ou Bernoulli e a função de ligação é do tipo logito. Esse modelo tem grande aplicação

nas mais diversas áreas pois se encaixa bem nos estudos em que a unidade de ob-

servação é classificada em duas categorias, genericamente tratadas como sucesso ou

fracasso. Seja Y ∼ Binomial(n, π) em que n é o número de unidades, consideradas

independentes, de observação a serem classificadas como sucesso e π a probabilidade

de se observar sucesso na j-ésima unidade (j = 1, 2, . . . , n). Y representa o número

de sucessos em n. Se n = 1 tem-se que Y é uma variável binária. Suponha que N

realizações (yi, i = 1, 2, . . . , N) de Y são tomadas, sendo que cada realização pode

ser tomada sob diferentes condições de forma que π possa variar em i. Na prática é

comum n variar em i também. Segue que E(Yi) = niπi e V ar(Yi) = niπi(1−πi). Se-

jam xij (i = 1, 2, . . . , N e j = 1, 2, . . . , k) os valores das covariáveis que representam

as condições na observação i, que possivelmente afetam πi. O modelo linear loǵıstico

é dado por

logit(πi) = log
πi

1 − πi

= β0 + β1x1i + β2x2i + . . . + βkxki.

Aplicando a transformação inversa obtém-se

πi =
eβ0+β1xi1+β2xi2+...+βkxik

1 + eβ0+β1xi1+β2xi2+...+βkxik
.

Escrevendo π = (π1, π2, . . . , πN)′ tem-se

π =
eη

1 + eη

em que ηi =
∑k

j=0 βjxij = x′
iβ, e então η = Xβ (xi0 = 1 para qualquer i).

Particularizando a interpretação da relação entre π e uma variável

explanatória Xj tem-se que ela é sempre sigmóide, crescente se βj > 0 e decrescente

se βj < 0, enquanto que a função logit(π) é linearmente relacionada a Xj.


15

Várias quantidades derivadas da expressão do modelo loǵıstico são de

grande interesse prático. Por exemplo

Oi = πi/(1 − πi) = eη
i

mede a chance de sucesso, cujo termo em Inglês, também bastante usado em Por-

tuguês, é odds. A razão de chances ou odds ratio é dada por

ORii′ =
Oi

Oi′

πi/(1 − πi)

πi′/(1 − πi′)
= eηi−ηi′

que compara a chance do evento de interesse ocorrer sob as duas condições i e i′ e é,

portanto, interpretada como uma medida relativa do risco do evento ocorrer. Como

πi é função de xi convém escrever πi = π(xi).

Em regressão linear, cada coeficiente da regressão está relacionado à

variação em E(y) quando do incremento de uma unidade no valor da variável regres-

sora respectiva, dado todas as demais regressores mantidas constantes.

No modelo loǵıstico a interpretação é similar, ilustrando o caso de

apenas uma variável regressora para simplificar, leva ao resultado

β1 = logit(π(x + 1)) − logit(π(x))

= log(O(x + 1)) − log(O(x))

= log

(
O(x + 1)

O(x)

)
= log(eβ1).

O mesmo resultado é obtido quando há várias variáveis regressoras e o valor de apenas

uma delas é incrementado de uma unidade. Desta forma, tem-se que eβj representa

a razão de chances quando Xj aumenta em uma unidade e os ńıveis das demais

regressoras são mantidos constantes. Assim, βj representa o log[OR(xj + 1; xj)].

Os parâmetros β do Modelo Loǵıstico podem ser facilmente estimados

usando-se o método de máxima verossimilhança. Dados as observações yi’s, a função

de verossimilhança é dada por

L(β) =
N∏

i=1

⎛⎜⎝ ni

yi

⎞⎟⎠ πyi
i (1 − πi)

ni−yi


16

que depende das probabilidades desconhecidas, que por sua vez dependem dos

parâmetros β. Assim, a função de verossimilhança pode ser escrita como uma função

de β. O problema é obter os valores de β̂ que maximize L(β) ou equivalentemente

logL(β) (l(β)). O logaritmo da função de verossimilhança é

l(β) =
N∑

i=1

⎧⎪⎨⎪⎩log

⎛⎜⎝ ni

yi

⎞⎟⎠+ yiηi − ni log(1 + eηi)

⎫⎪⎬⎪⎭ .

Derivando-se l(β) com respeito a cada βj (j = 0, 1, . . . , k) tem-se k +1 equações não

lineares

∂ ln L(β)

∂βj

=
N∑

i=1

yixij −
N∑

i=1

nixije
ηi(1 + eηi)−1,

j = 0, 1, . . . , k que igualadas a zero e resolvidas numericamente resultam no estima-

tidor de β (β̂). Uma vez obtido β̂, as outras quantidades de interesse como η, π, e

as razões de chances são estimadas substituindo-se os β̂j’s nas respectivas expressões.

Por exemplo, o preditor linear é obtido por

η̂i = β̂0 + β̂1xi1 + β̂2xi2 + . . . + β̂kxik,

e a probabilidade estimada π̂i é dada por

π̂i =
exp η̂i

1 + exp η̂i

.

A precisão de β̂ é aproximada pela expressão da variância assintótica de estimadores

de máxima verossimilhança, dada por

̂
V ar(β̂) = (X′V̂X)−1,

em que

V̂ =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

n−1
1 π̂1(1 − π̂1) 0 . . . 0

0 n−1
2 π̂2(1 − π̂2) . . . 0

...
...

...
...

0 0 . . . n−1
N π̂N(1 − π̂N)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.


17

Testes de hipóteses e construção de intervalos de confiança para β são usualmente

baseados nas propriedades assintóticas de β̂. Por exemplo, o intervalo com 100(1 −
α)% de confiança para βj (j = 0, 1, . . . , k) baseado na estat́ıstica de Wald é da forma

β̂j ± zα
2

√ ̂
V ar(β̂j).

Similarmente, um intervalo de confiança aproximado para a razão de chances

OR(xj + 1, xj) é dado por⎡⎣eβ̂j−z α
2

√ ̂V ar(β̂j); e
β̂j+z α

2

√ ̂V ar(β̂j)

⎤⎦ . (6)

2.3 Modelo Binomial Misto

Os modelos estat́ısticos apresentados nas seções anteriores são funções

de parâmetros, ou seja, de coeficientes considerados fixos, e de um termo ou compo-

nente aleatório. São genericamente chamados de modelos de efeitos fixos. No entanto

existem situações em que a natureza das variáveis explanatórias e/ou a estrutura de

aleatorização (sorteio) utilizada no experimento, ou amostragem, impõem ao modelo

mais de um termo aleatório. Um modelo linear que é função dos parâmetros (efeitos

das regressoras) e de mais de um componente aleatório é chamado de Modelo Misto.

Um exemplo simples e clássico é o caso do Modelo Linear Misto para um experimento

em blocos em que os blocos são considerados de efeitos aleatórios já que é razoável se

pensar que aqueles utilizados no experimento constituem uma amostra aleatória de

uma população de blocos posśıveis e não se tem interesse no efeito de nenhum deles

em particular, apenas são utilizados como forma de controle da heterogeneidade nas

respostas. O fato é que a incorporação de efeito aleatório no modelo induz uma

estrutura de correlação entre unidades de observação sob uma mesma classificação

do fator de efeito aleatório.

No caso do Modelo Binomial, dado πi, a variância está automatica-

mente determinada (V ar(yi) = πi(1 − πi)). Porém, é comum a análise de dados

indicar uma variabilidade maior do que a esperada, fenômeno este chamado de so-

bredispersão McCulloch et al. (2008), Collett (1991), Demétrio (2002) e Hinde &


18

Demétrio (1998). Muitas vezes isso ocorre pelo negligenciamento do plano de amos-

tragem ou de delineamento na fase de modelagem. Por exemplo, num experimento

em que yi, a resposta na unidade experimental i, é o número de sucesso em ni sub-

unidades (ou observações), a rigor o Modelo Binomial não é apropriado já que a

hipótese de independência entre as ni repetições é irreaĺıstica.

A bibliografia especializada apresenta algumas alternativas para con-

tornar o problema como o Modelo Beta-binomial que assume que πi’s são variáveis

aleatórias com distribuição Beta. A flexibilidade desse modelo na incorporação de

correlação entre observações que ocorrem agrupadas pode ser vista em Hinde &

Demétrio (1998).

O Modelo Binomial Misto é outra alternativa de extensão do modelo

de efeitos fixos bastante flex́ıvel para modelar dados de contagem na presença de

vários fatores que acarretam no posśıvel aumento de variabilidade, incorporando

também uma estrutura de correlação entre as observações que naturalmente ocorrem

agrupadas.

O Modelo Binomial Misto será introduzido supondo um experimento

inteiramente aleatorizado. Deseja-se modelar a proporção de sucessos yi em ni na

unidade experimental i (i = 1, 2, . . . , N) em função das condições experimentais xi.

Um modelo razoável é dado por

E(yi|bi) = πi =
eβ0+bi+β1xi

1 + eβ0+bi+β1xi

niyi|bi ∼ Binomial(ni, πi)

bi ∼ Normal(0, σ2
b ). (7)

Esse modelo resulta numa correlação não negativa entre observações do mesmo grupo,

ou seja, observações pertencentes à mesma unidade experimental tendem a ser mais

parecidas do que observações de unidades experimentais diferentes. Quanto maior

o valor de σ2
b maior a correlação. O parâmetro σ2

b é chamado de componente de

variância.

Assim, dado bi’s, os efeitos aletórios das unidades i’s, as respostas se-


19

guem o modelo loǵıstico no qual o intercepto varia com a unidade experimental, ou

seja, permite-se heterogeneidade da probabilidade de sucesso nas unidades experi-

mentais dentro de mesma condição experimental x.

No caso de mais de uma variável regressora e mais de um fator com

efeito aleatório, para o Modelo Binomial Misto o preditor linear é definido como

η = log
(

π

1 − π

)
= Xβ + Zb,

em que b é um vetor de efeitos aleatórios as quais as respostas estão sujeitas e Z é

a matriz de colunas indicadoras dos fatores de efeitos aleatórios. Condicionando-se

em b, βj tem a mesma interpretação do modelo de efeitos fixos.

O método de estimação dos parâmetros é o de Máxima Verossimi-

lhança. Para modelos com componente de variância, os parâmetros a serem esti-

mados são o vetor β e σ2
b . Os efeitos aleatórios bi’s são variáveis aleatórias não ob-

serváveis. A verossimilhança é constrúıda assumindo-se b dado e então eliminando-os

da expressão tomando-se a integral, ou seja, obtendo-se

L(β, σ2) =
N∏

i=1

∫ ∞

−∞

ni∏
j=1

e(bi+x′β)yij

1 + e(bi+x′β)yij

e−
b2
i

2σ2

√
2πσ2

dbi.

Na expressão acima yij é uma variável binária. A expressão deixa claro que a maxi-

mização é complicada, mesmo para modelos bem simples não há forma fechada para

a integral e aproximações numéricas são utilizadas. Para modelos com apenas um

fator aleatório o procedimento de Gauss-Hermite pode ser utilizado. Para modelos

mais complicados outros métodos como por exemplo Monte Carlo é recomendado

Agresti (2007).

Testes e intervalos de confiança para β são obtidos da maneira usual. O

teste da razão de verossimilhanças pode ser usado para comparar modelos encaixados.

Testes para os componentes de variância são mais dif́ıcies. Como σ2
b não pode ser

negativo, a hipótese H0 : σ2
b = 0 especifica o valor do parâmetro no limite do espaço

paramétrico e portanto o teste da razão de verossimilhanças não é válido.

Para avaliação do ajuste no Modelo Misto destaca-se o cálculo dos

reśıduos condicionais e marginais que são úteis para detectar violações do modelo.


20

O reśıduo condicional nada mais é do que a diferença entre a resposta

observada e sua estimativa condicional, ou seja

rc = y − (Xβ̂ + Zb̂).

Xβ̂ + Zb̂ é a estimativa condicional de y, ou seja, dado b = b̂. O vetor b̂ é a

predição dos efeitos aleatórios. Como nos outros modelos, é comum padronizar o

reśıduo como forma de tornar a investigação mais fácil, Pinheiro & Bates (2000)

sugerem usar rci/
√ ̂V (yi).

Para a parte aleatória do modelo, o vetor b é suposto ter distribuição

normal, portanto, o gráfico quantil quantil normal para os valores estimados de b é

útil para checar esta suposição.

2.4 Polinômios Fracionários

Em Modelos de Regressão, a relação entre a variável resposta e uma

ou mais regressoras pode ser não linear, que muitas vezes, pode ser aproximada por

curvas quadráticas ou cúbicas. A representação dessas curvas pode ser feita incluindo

termos de potências nas variáveis regressoras. No entanto, potências de baixa ordem

fornecem formas de curvas limitadas e de alta ordem podem não ajustar bem aos

dados devido aos valores extremos, assim como, complicar o modelo atrapalhando

a interpretação. Royston & Altman (1994) propuseram uma extensão dessa famı́lia

de curvas chamada de Polinômios Fracionários (PF), cujos termos são restritos a um

pequeno conjunto de inteiros e não inteiros pré-definidos. Os termos são selecionados

de forma que os polinômios convencionais são um subconjunto dessa famı́lia.

Os Modelos de Regressão utilizando PF têm aparecido na literatura

de forma variada durante um longo peŕıodo a partir de uso de regras ditadas pela

prática. Royston & Altman (1994) forneceram uma descrição unificada e um grau

de formalização para eles. Eles são vantajosos por terem flexibilidade considerável

no ajuste de modelos em que não há linearidade entre a resposta e as regressoras ou

na parte sistemática de um MLG. Na realidade a ideia surgiu com Box & Tidwell


21

(1962), porém as dificuldades computacionais da época impediram sua disseminação

nas aplicações. A proposta de restringir valores das potências a um conjunto restrito

acarreta na facilidade de ajuste utilizando um método padrão.

2.4.1 Polinômios Fracionários para uma Variável Regressora

Nesta secção, considera-se um modelo de regressão com apenas

uma variável regressora e positiva. Definindo x0 = log x, então trans-

formações do tipo xp para diferentes valores de p provenientes do conjunto S =

{−2;−1;−0, 5; 0; 0, 5; 1; 2; 3}, podem ser razoáveis para tentar linearizar o modelo.

Esse conjunto de valores incluem transformações usuais como 1
x

e log x e também o

modelo linear (p = 1).

Royston & Altman (1994) desenvolveram uma estrutura para essas

transformações, definindo funções da forma β0 + β1x
p com p pertecente a S como

polinômios fracionários de grau 1, denotado por PF1. Por exemplo, com p =0,5 a

função do modelo é β0 + β1

√
x. Se um polinômio de grau 1 não for suficiente para

encontrar a melhor transformação em x, eles definem os polinômios fracionários de

grau 2, denotado por PF2, como β0 + β1x
p1 + β2x

p2 , com p1 e p2 pertencentes ao

conjunto S. Naturalmente, o polinômio de grau m, com m inteiro e maior que 1, é

denotado por PFm. Os modelos PF1 e PF2 podem gerar uma variedade de curvas

bastante atrativas do ponto de vista de aplicações e por esse motivo, será dado mais

atenção a essas duas classes de polinômios fracionários.

Um modelo polinômial fracionário de grau 1 é definido como

ϕ∗
1(x; p) = β0 + β1x

p = β0 + ϕ1(x; p),

em que ϕ1(x; p) = β1x
p.

Para uma transformação de x de grau 2 (PF2) com potências p =

(p1, p2) defini-se xp o vetor linha com

xp = x(p1,p2) =

⎧⎪⎨⎪⎩ (xp1 , xp2), p1 �= p2

(xp1 , xp1 log x) p1 = p2

.


22

Assim um modelo com vetor de parâmetros de regressão β = (β1, β2)
′

e vetor de potências p é

ϕ∗
2(x;p) = β0 + β1x

p1 + β2x
p2 = β0 + xpβ = β0 + ϕ2(x;p).

A constante β0 é opcional e depende do contexto. Por exemplo, β0 é usado nos

modelos com erros normais e em geral nos modelos loǵısticos, mas não nos modelos

de regressão de Cox.

Uma definição geral de uma função PFm com potências p = (p1 ≤
p2 ≤ . . . ≤ pm) é facilmente escrita como uma relação de recorrência. Supondo

h0(x) = 1 e p0 = 0, tem-se

ϕ∗
m(x;p) = β0 + ϕm(x;p) =

m∑
j=1

βjhj(x)

em que

hj(x) =

⎧⎪⎨⎪⎩ xpj , pj �= pj−1

hj−1(x) log x pj = pj−1

para j = 1, . . . ,m. Note que ϕ∗ inclui o termo β0, enquanto a função ϕ o exclui.

Por exemplo, para m = 2 e p = (−1, 2) tem-se h1(x) = x−1, h2(x) = x2, então o

modelo pode ser escrito como β0 + β1
1
x

+ β2x
2. Para p = (2, 2) tem-se h1(x) = x2,

h2(x) = x2 log x e o modelo β0 + β1x
2 + β2x

2 log x.

A prática mostra que raramente é necessário um polinômio com grau

maior que 2 para ajustar uma regressora no Modelo de Regressão.

Os Modelos de Polinômios Fracionários podem ser ajustados via

máxima verossimilhança. Fixado um valor da potência, a estimativa dos coeficientes

de regressão consiste em encontrar um valor para β que maximiza a verossimilhança

dos modelos com preditor linear β0 + xpβ. Para estimar p o método de MV é

aplicado ao conjunto S discreto. O melhor modelo ajustado é aquele cujo valor de

p apresenta maior verossimilhança. Para PF1, oito modelos devem ser ajustados,

enquanto 36 modelos são examinados para PF2 (28 se p1 �= p2 mais 8 com p1 = p2).

Suponha que a cada um dos m elementos de p nos modelos PFm seja

permitido variar continuamente no intervalo (−∞,∞), em vez dos valores restritos


23

de S. Então β0 +ϕm(x;p) se torna um modelo não linear com 2m+1 parâmetros (m

potências, m coeficientes de regressão mais o intercepto). Seja D(m,p) a deviance

de um modelo PFm com potências p, e D(0) a deviance do modelo nulo (só com

β0 no preditor), e seja p̂ a Estimativa de Máxima Verossimilhança (EMV) para p.

Sob a hipótese nula β = 0, a distribuição de D(0) − D(m, p̂) é aproximadamente

χ2 com 2m graus de liberdade (Royston e Altman, 1994). Este resultado se aplica

assintoticamente a todos os modelos considerados neste estudo.

Seja pPF a EMV das potências p restritas ao conjunto S. Então

D(m, p̂) ≤ D(m,pPF ). A diferença da deviance ΔDPF = D(0)−D(m,pFP ) também

tem distribuição aproximadamente χ2 com 2m graus de liberdade. Ambler e Royston

(2001), a partir de estudos de simulação, comentam que a probabilidade de signi-

ficância encontrada para o conjunto restrito é superestimada em relação ao valor p

para o conjunto de valores reais, mas concluiram que, a versão restrita pode ser uma

boa aproximação e traz vantagens no processo de estimação, evitando os problemas

de convergência frequentes nos modelos não lineares. Ainda, a versão discretizada

está estreitamente ligada à facilidade de interpretação do modelo ajustado.

Por similaridade, a diferença da deviance entre os modelos PFm e

PF(m − 1) é aproximadamente distribúıda como χ2 com 2 graus de liberdade, sob

a hipótese nula que os β’s adicionais são iguais a zero. Para uma variável X, a

comparação entre os modelos PF1 e PF2 requer 2 graus de liberdade, e entre os

modelos PF1 e linear requer 1 grau de liberdade.

Um modelo do tipo PF1 está aninhado em um do tipo PF2 no sentido

que, para cada modelo PF1 com potências p∗1, há oito modelos PF2 com potências

(p∗1, p2). Assim, os procedimentos para comparação de modelos aninhados podem ser

aplicados de maneira usual.

Em Modelos de Regressão com Erros Normais, a distribuição F é usada

ao invés da distribuição χ2 para testar hipóteses (comparar modelos), melhorando

as aproximações em amostras pequenas.

Intervalos de Confiança (IC) para a curva ajustada podem ser calcu-


24

lados por aproximações via métodos usuais ignorando o erro de estimação de pPF ,

ou via métodos de reamostragem como o bootstrap.

A escolha do melhor modelo PF1 ou PF2 pelo critério de deviance

seria simples. Contudo, ter uma função padrão é importante para dar parcimônia,

estabilidade e utilidade geral para as funções selecionadas. Na maioria dos algoritmos

que implementam a modelagem via PF, a função padrão é a linear.

Para uma variável explicativa X, Royston e Altman (1994) sugerem o

seguinte procedimento para selecionar a curva que melhor ajusta os dados. A variável

X é incluida no modelo devido a significância do teste de comparação a um ńıvel

pré-estabelecido (ou devido algum outro critério definido a priori), e suas potências

são determinadas pelos seguintes passos:

1. Teste o melhor modelo PF2 para X contra o modelo nulo (somente β0) usando

4 graus de liberdade. Se o resultado do teste for não significativo, pare, con-

cluindo que o efeito de X é não significativo ao ńıvel α. Caso contrário, conti-

nue.

2. Teste o melhor modelo PF2 para X contra o modelo linear (β0+β1X) usando 3

graus de liberdade. Se o resultado do teste é não significativo, pare, e o modelo

final é uma reta. Caso contrário, continue.

3. Teste o melhor modelo PF2 para X contra o melhor modelo PF1 usando 2 graus

de liberdade. Se o resultado do teste é não significativo, pare, e o modelo final

é do tipo PF1. Caso contrário, o modelo final é FP2. Fim do procedimento.

O teste no passo 1 é um teste de associação global das respostas com

X. O teste no passo 2 examina evidências de não-linearidade. E no passo 3, escolhe-

se entre um modelo não-linear simples ou mais complexo. Um procedimento similar

pode ser aplicado para modelos com grau m maior que 2. Quanto maior o valor de

m mais complexo o modelo. Normalmente, é escolhido m = 2 e α =0,05.

Como em qualquer tipo de procedimento de seleção de variáveis ou

de modelos, o método proposto está sujeito a probabilidade do erro tipo I ser mais


25

alta e/ou perda de poder. Ambler & Royston (2001) estudaram esse problema e

concluiram que, no geral, o procedimento é conservador rejeitando a hipótese nula

quando ela é verdadeira com menor probabilidade do que o ńıvel de significância

nominal.

No ajuste dos modelos, devido a problemas computacionais,

recomenda-se corrigir a escala e centrar as variáveis quando a ordem de magnitude

pode causar problemas numéricos. Além disso, como o modelo PF é definido para

X > 0 e a variável regressora apresentar valores iguais a zero, sugere-se a adição de

uma constante c, de forma que x + c > 0.

Nota-se que o procedimento de modelagem proposto pode ser aplicado

utilizando qualquer programa ou pacote capaz de ajustar modelos de regressão li-

neares. Porém, existe um pacote automático desenvolvido por Gareth Ambler e

Axel Benner chamado mfp (Ambler & Royston (2001) e Royston & Altman (1994))

dispońıvel no software R (R Development Core Team, 2010). Exitem também ferra-

mentas automáticas no SAS (Software, 2008) e STATA (Stata Statistical Software:

Release 12., 2011).

2.4.2 Exemplo

Será apresentado, na sequência, um exemplo de Royston & Altman

(1994) para esclarecer melhor a ideia da modelagem por Polinômios Fracionários

apresentada até aqui. O exemplo tem com base o conjunto de dados identificado

por Whitehall I que foi tratado por Royston & Altman (1994) e também Royston &

Sauerbrei (2008). A análise desses dados foi reproduzida como forma de aprendizado

e exploração das ferramentas computacionais dispońıveis. Trata-se de um estudo

de coorte prospectivo com 17260 servidores civis do governo britânico, cujo objetivo

principal foi estudar a associação entre óbito e a pressão arterial sistólica (sysbp), num

peŕıodo de 10 anos. Então, para o exemplo, a resposta é binária (óbito no peŕıodo

(1670 casos) ou não) e a explicativa sysbp é quantitativa com média observada igual

136, 1 mmHg. A classe de modelos sugerida é a de Regressão Loǵıstica que tentará


26

explicar o logaritmo da chance de óbito por uma função de sysbp.

Dado o conjunto de potências posśıveis S e considerando PF no

máximo grau 2 como sugerem os autores, tem-se 8 modelos ajustados de grau 1

e 36 modelos ajustados de grau 2. Para escolher qual o melhor ajuste, utilizam-se as

diferenças de deviances comparando com a função base definida pela a função linear.

O melhor modelo é aquele que produz a maior diferença de deviance em relação à

função linear.

A Tabela 1 apresenta as diferenças entre as deviances comparadas com

a deviance do modelo linear para todos os 8 modelos de PF1 e todos os 36 mode-

los de PF2 considerando a variável sysbp como explicativa. A maior diferença de

deviance mostra o melhor ajuste das potências dos modelos de PF1 e PF2. Como

pode ser visto, os melhores modelos de PF1 e PF2 tem potências 2 e (−2,−2),

respectivamente.

Os passos do procedimento de seleção entre esses dois modelos e os

resultados de cada teste são mostrados na Tabela 2. Para escolher o melhor entre os

graus 1 e 2 do polinômio fracionário a sequência proposta de comparações é: (1) PF2

versus modelo nulo, resultado é significativo, (2) PF2 versus modelo linear, resultado

é significativo, e (3) PF2 versus PF1, resultado também é significativo ao ńıvel de

5% de significância. Portanto, baseado no critério usado, o melhor modelo é do tipo

PF2. A Figura 1 mostra a diferença entre os ajustes do modelo PF1(2) e modelo

PF2(-2,-2) indicando a flexibilidade do segundo modelo. Salienta-se que, embora o

gráfico mostra alguns pontos bastante destacados dos demais, o logaritmo da odds

de óbito observado foi calculado com base no número de óbitos dividido pelo número

total de servidores para cada valor de sysbp. Em alguns casos, o número de réplicas

foi bem baixo fazendo com que tais estimativas sejam bastante incertas.

Como padrão, os softwares dispońıveis hoje para a técnica de PF au-

tomatizada (SAS, Stata e R) tranformam, se apropriado, os valores observados das

covariáveis dividindo todos por uma constante para obter estabilidade numérica.

No exemplo, como o melhor modelo indicou PF2(-2,-2), para ajustar o


27

Tabela 1: Estimativas dos parâmetros do PF para os modelos tentativos e suas

respectivas diferenças de deviances (D)

PF1 PF2

p D p1 p2 D p1 p2 D p1 p2 D

−2 -79,19 −2 −2 26,22 −1 1 12,97 0 2 7,05

−1 -43,15 −2 −1 24,43 −1 2 7,80 0 3 3,74

-0,5 -29,40 −2 -0,5 22,80 −1 3 2,53 0,5 0,5 10,95

0 -17,37 −2 0 20,72 -0,5 -0,5 17,93 0,5 1 9,51

0,5 -7,45 −2 0,5 18,23 -0,5 0 16,00 0,5 2 6,80

1 0,00 −2 1 15,38 -0,5 0,5 13,93 0,5 3 4,41

2 6,43 −2 2 8,85 -0,5 1 11,77 1 1 8,46

3 0,98 −2 3 1,63 -0,5 2 7,39 1 2 6,61

−1 -1 21,62 -0,5 3 3,10 1 3 5,11

−1 -0,5 19,78 0 0 14,24 2 2 6,44

−1 0 17,69 0 0,5 12,43 2 3 6,45

−1 0,5 15,41 0 1 10,61 3 3 7,59

Modelo de Regressão Loǵıstica são requeridas duas covariáveis: X∗−2 e X∗−2 log X,

em que X∗ = sysbp/100. Ainda, para facilidade de interpretação recomenda-se

centrar as variáveis na média, que no caso, se equivale a obtenção de (136, 1/100)−2 =

0, 5399 e (136, 1/100)−2 log(136, 1/100) = 0, 1664. Fazendo, então, X1 = X∗−2 −
0, 5399 e X2 = X∗−2 log X∗−0, 1664, tem-se que o preditor linear do modelo loǵıstico

é dado por β0 + β1X1 + β2X2. Os parâmetros estimados, erros padrão e a matriz de

variância-covariância das estimativas são apresentados na Tabela 3. A constante β̂0 =

−2, 388 fornece o valor preditivo do logaritmo da chance de morte para um indiv́ıduo

da amostra que tenha pressão média (136, 1mmHg), e fornece a probabilidade de

óbito estimada de exp (−2, 388)/(1 + exp (−2, 388)) = 0, 084.

Ilustra-se, a seguir, o cálculo da variância do erro padrão do valor de

predição η̂ deste modelo, ignorando no cálculo o fato de que as potências do PF são


28

Tabela 2: Aplicação dos procedimentos de testes para selecionar o melhor modelo

Modelo deviance p̂ Comparação D Valor p

PF2 10641,17 -2;-2
PF2 vs Nulo

PF2 vs Linear

33,57

26,22

< 0,001

< 0,001

PF1 10660,96 2 PF2 vs PF1 19,79 < 0,001

Linear 10667,39 1

Nulo 10973,74

Tabela 3: Estimativas dos coeficientes e matriz de variância e covariância para o

modelo loǵıstico com preditor linear do tipo PF2 para pressão arterial sistólica

Parâmetro Estimativa Erro padrão (EP) Matriz de Var-Cov

β̂1 -5,433 0,321 0,103

β̂2 -14,300 1,317 0,374 1,734

β̂0 -2,388 0,032 0,005 0,024 0,001

estimadas, onde η̂ estima o logaritmo da chance de um indiv́ıduo morrer dado o valor

da covariável. A variância de η̂ com (X1, X2) é calculada de acordo com

V (η̂(x1, x2)) = V (β̂0 + β̂1X1 + β̂2X2)

= V (β̂0) + V (β̂1)X
2
1 + V (β̂2)X

2
2 + 2Cov(β̂0, β̂1)X1

+2Cov(β̂0, β̂2)X2 + 2Cov(β̂1, β̂2)X1X2.

Por exemplo, com X = 150mmHg então X∗ = 1, 5, X1 = −0, 095,

X2 = 0, 013, η̂(150) = −2, 066. A partir da equação acima, temos V (η̂(150)) =

0, 000936, EP (η̂(150)) = 0, 03. A probabilidade estimada de óbito é exp η̂/(1 +

exp η̂) = 0, 1124 e o intervalo de confiança aproximado é dado por

exp (η̂ ± 1, 96EP (η̂))

1 + exp (η̂ ± 1, 96EP (η̂))
= (0, 1066; 0, 1185).

Finalmente pode-se calcular a estimativa odds ratio (razão de chances)


29

100 150 200 250

−3
−2

−1
0

Pressão sistólica

Lo
g 

od
ds

 d
e 

ób
ito

PF2 (−2,−2)

PF1 (2)

Figura 1 - Modelos ajustados por PF1(2) e PF2(-2,-2).

e seu intervalo de confiança para comparar um dado valor de X com um valor

referência Xref . Portanto,

LogOR = (β̂0 + β̂1X1 + β̂2X2) − (β̂0 + β̂1X
ref
1 + β̂2X

ref
2 )

= β̂1(X1 − Xref
1 ) + β̂2(X2 − Xref

2 ),

onde Xref
1 = X−2

ref − 0, 5399, Xref
2 = X−2

ref log X∗
ref − 0, 1664, X∗

ref = Xref/100. Sua

variância estimada é

V (LogOR) = V (β̂1)(X1 − Xref
1 )2 + V (β̂2)(X2 − Xref

2 )2

+2Cov(β̂1, β̂2)(X1 − Xref
1 )(X2 − Xref

2 ).

Usando, por exemplo, X = 150mmHg e Xref = 105mmHg, encon-

tramos Xref
1 = 0, 3671, Xref

2 = −0, 1221, logOR = 0, 5691, V (logOR) = 0, 007,


30

EP (logOR) = 0, 08. A razão de chances é dada por exp (0, 5691) = 1, 77 com

intervalo de confiança dado por (1, 50; 2, 08).

Esta seção teve o objetivo de ilustrar a forma de seleção dos modelos

proposta por Royston & Altman (1994) e a estimação dos parâmetros. Porém,

lembra-se que realização do estudo de diagnóstico do modelo e análise de reśıduo são

fundamentais para colaborar com a seleção do modelo. Nas aplicações a seguir será

feito um estudo mais detalhado desse assunto.


3 APLICAÇÕES

Para ilustrar a flexibilidade da técnica de Polinômios Fracionários, será

apresentado neste caṕıtulo três exemplos.

O primeiro é um exemplo descrito em Collett (1991), em que micro-

organismos foram estudados para detectar em qual densidade relativa eles ficariam

em suspensão em tubos com uma determinada solução. Para isso foi utilizado a

metodologia da Regressão Loǵıstica usual, Regressão Loǵıstica transformada pelos

PFs e o Modelo Binomial Misto.

O segundo exemplo trata de um estudo realizado com fungos, cujo ob-

jetivo foi estudar a tolerância de células cultivadas a diferentes temperaturas. Como

no exemplo anterior, o modelo mais adequado encontrado foi o Modelo Binomial

Misto transformado pelo PF.

O terceiro exemplo traz uma aplicação de PF a dados de comprimentos

e pesos de aranhas fêmeas coletados no Jardim Botânico de Botucatu, o objetivo

principal foi estudar a relação entre essas duas caracteŕısticas e modelar o peso em

função do tamanho. A modelagem envolveu transformações do tipo Box-Cox na

variável peso e de PF na variável regressora.

3.1 Exemplo 1: Estimação da densidade de Rot́ıferos

Os dados deste experimento foram apresentados em Collett (1991) que

utilizou um Modelo Binomial Misto devido à sobredispersão. O experimento envolveu

duas espécies de microorganismos aquáticos, pertencentes ao filo Rotifera, comuns

no zooplâncton de água doce. O objetivo foi determinar as densidades relativas de


32

cada espécie. Aqui será considerada apenas a espécie Keratella cochlearis.

As densidades relativas dos rot́ıferos foram obtidas usando um método

indireto. Certas quantidades de microorganismos foram centrifugadas em tubos com

soluções de diferentes densidades conhecidas. O número de indiv́ıduos centrifugados

por tubo variou. Ao final do experimento contou-se o número de ind́ıviduos em

suspensão em cada tubo. A densidade relativa da espécie é estimada pela densidade

da solução que proporciona 50% dos animais em suspensão, ou seja, a quantidade

conhecida por LD50. Portanto considerando a densidade como variável regressora e

a resposta binária (rot́ıfero em suspensão ou não) foram ajustados modelos loǵısticos

com preditor linear do tipo

η = log
(

πi

1 − πi

)
= ϕm(xi,p),

em que πi é a probabilidade de um rot́ıfero ficar em suspensão na densidade xi.

Embora a natureza do experimento leva diretamente à proposta de um

Modelo Misto, aqui será apresentado uma sequência de estratégias que são comu-

mente utilizadas na prática. Vários modelos foram ajustados, desde o mais simples

até o Modelo Misto com variável regressora transformada por PF. O primeiro de-

les, um Modelo Loǵıstico com efeito linear de X, ou seja, m = 1 e p = 1 (Modelo

Original), resultou na equação

η̂ = −114,35(4,03) + 108,75(3,86)X,

em que os valores entre parênteses são os erros-padrão. Esse ajuste mostrou sobre-

dispersão (deviance=300,19 e 18 graus de liberdade), posśıveis pontos influentes e

valores altos de reśıduos como pode ser visto na Figura 2. Portanto considera-se que

o ajuste não está adequado. O gráfico da esquerda da Figura 2 indica falta de ajuste

no preditor linear.

O segundo modelo ajustado foi o loǵıstico considerando a técnica de

PF para tentar melhorar a falta de ajuste. O modelo encontrado é um modelo de

segundo grau (m = 2) com a melhor transformação p1 = p2 = 3, referido como


33

−3 −2 −1 0 1 2

−5
0

5

Predicted values

Re
sid

ua
ls

Residuals vs Fitted

14

203

0.00 0.10 0.20

−5
0

5
10

Leverage

St
d. 

Pe
ar

so
n r

es
id.

Cook’s distance

1
0.5

0.5
1

Residuals vs Leverage

3

14

20

Figura 2 - Análise de reśıduos para o Modelo Original, Exemplo 1.

Modelo PF, cuja expressão do preditor linear ajustado é

η̂ = 701,17(63,58) − 701,37(63,18)X3 + 1947,84(168,61)X3 log X. (8)

Esse modelo apresentou deviance de 143,19 e 15 graus de liberdade. A deviance

praticamente diminuiu pela metade, porém, não o suficiente para resolver o problema

de sobredispersão. O ajuste ainda apresenta alguns valores altos de reśıduos para

algumas densidades, e indica posśıveis pontos influentes nas estimativas como pode

ser visto na Figura 3.

A Figura 4 mostra a flexibilidade do Modelo PF para explicar a relação

entre a probabilidade de suspensão dos rot́ıferos e a densidade relativa, já que a curva

ajustada acompanha melhor os pontos do que a curva ajustada pelo modelo linear.

Como o planejamento do experimento já indicava a necessidade de

inclusão de efeito aleatório para cada tubo (unidade experimental), fato também

apontado pelas análises preliminares que indicaram variação extra-binomial nos da-

dos, dois Modelos Mistos foram ajustados, um com X sem transformar e o outro

incorporando a técnica de PF no Modelo Binomial Misto. A equação ajustada para


34

−2 −1 0 1 2 3

−4
−2

0
2

4
6

Predicted values

Re
sid

ua
ls

Residuals vs Fitted

15
6

4

0.00 0.10 0.20 0.30

−4
−2

0
2

4
6

Leverage

St
d. 

Pe
ar

so
n r

es
id.

Cook’s distance

1

0.5

0.5

1

Residuals vs Leverage

15

2

14

Figura 3 - Análise de reśıduos para o Modelo PF, Exemplo 1.

a parte fixa do Modelo Misto mais simples foi

η̂ = −123,68(16,33) + 117,93(15,64)X, (9)

com componente de variância estimada igual a 1, 21. A deviance resultante deste

modelo é 76,43 com 17 graus de liberdade. Na análise de reśıduos para este modelo

(Figura 5) percebe-se uma observação com reśıduo bem maior do que as demais

assim como uma tendência de curvatura em função da densidade (X). A suposição

de normalidade dos efeitos aleatórios parece razoável, porém com um ponto bem

longe do esperado.

Transformações em X também podem ser usadas no Modelo Misto.

Intuitivamente espera-se que a melhor transformação encontrada para o modelo só

com efeitos de X seja também a melhor para o Modelo Misto. No entanto, a me-

todologia de busca do polinômio proposta por Royston & Sauerbrei (2008) pode ser

estendida para o Modelo Misto. Para este exemplo, essa busca levou às mesmas

potências encontradas no Modelo PF. Essa tranformação é de segundo grau, com


35

1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07

0.0
0.2

0.4
0.6

0.8
1.0

Densidade

Pr
op

or
çã

o d
os

 R
otí

fer
os

Modelo PF

Modelo Original

Figura 4 - Curvas das probabilidades ajustadas pelo Modelo Original e pelo Modelo

PF, Exemplo 1.

p1 = p2 = 3. A estimativa da parte fixa desse modelo é

η̂ = 690,2(183,2) − 690,6(181,9)X3 + 1923,3(482,1)X3 log X, (10)

e a componente de variância estimada é igual a 0,5654. A transformação ajudou a

reduzir um pouco mais a deviance que passou de 76,43 com 17 graus de liberdade

para 63,99 com 14 graus de liberdade. Os gráficos de reśıduos (Figura 6) deste modelo

dado a transformação na variável regressora não levanta muitas preocupações com

relação à qualidade do ajuste. Vale notar que o efeito de X sobre a resposta é muito

grande e portanto, todos os modelos o detecta sem problemas. No entanto, dado o

objetivo do experimento ser o de estimar a LD50, conclui-se que o melhor modelo

é aquele que acompanha melhor os dados e nesse caso, como mostra a Figura 4,

a transformação PF captura bem o comportamento. Para ilustrar as diferenças, a

estimativa da LD50 pelo modelo mais simples foi igual a 1,0514 com o intervalo de

95% de confiança estimado em (1, 0506; 1, 0526) e pelo modelo mais completo igual

a 1,0541 com intervalo de confiança de (1, 0537; 1, 0556).


36

1.02 1.04 1.06

−
0.

5
0.

0
0.

5
1.

0

Densidade

R
es

íd
uo

5 10 15 20

−
0.

5
0.

0
0.

5
1.

0
Número da observação

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
0.

5
0.

0
0.

5
1.

0

Quantil normal

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
1.

0
0.

0
1.

0

Quantil normal

E
fe

ito
 a

le
at

ór
io

Figura 5 - Análise de Reśıduos para o Modelo Binomial Misto com X linear, dado

por (9), Exemplo 1.


37

1.02 1.04 1.06

−
0.

5
0.

0
0.

5
1.

0

Densidade

R
es

íd
uo

5 10 15 20

−
0.

5
0.

0
0.

5
1.

0
Número da observação

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
0.

5
0.

0
0.

5
1.

0

Quantil normal

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
1.

0
0.

0
1.

0

Quantil normal

E
fe

ito
 a

le
at

ór
io

Figura 6 - Análise de reśıduos para o Modelo Binomial Misto transformado, dado

por (10), Exemplo 1.


38

3.2 Exemplo 2: Tolerância do Paracoccidioides brasiliensis

a altas temperaturas

Esse conjunto de dados origina-se de um estudo experimental para in-

vestigar a tolerância de culturas de células de isolados do fungo Paracoccidioides

brasiliensis a altas temperaturas. Esse fungo é o agente causador da Paracoccidi-

oidomicose (PCM), uma micose sistêmica endêmica de regiões rurais da América

Latina, considerado um importante problema de saúde pública no Brasil, por inca-

pacitar e levar a óbito, principalmente homens na idade ativa. Amostras do fungo

são encontradas em tecidos de humanos, cães e tatus. Theodoro et al. (2008) isola-

ram amostras do fungo em vários organismos e, dentre outros objetivos, estudaram

a tolerância à temperatura de células cultivadas. Nesse exemplo foi utilizado ape-

nas amostra de um dos isolados. Fragmentos de fungo sofreram pré-cultura padrão,

após o qual amostras foram tomadas e cultivadas por mais 15 dias variando-se a

temperatura em cinco ńıveis igualmente espaçados entre 37 e 41oC. Para cada tra-

tamento foram realizadas cinco réplicas. Em cada réplica contou-se o número de

células viáveis e o número de células mortas da cultura.

Novamente o delineamento experimental sugere o uso de um Modelo

Binomial Misto, porém seguindo a mesma sequência de estratégias de modelagem do

exemplo anterior, inicialmente foi ajustado o Modelo de Regressão Loǵıstica usual

sem transformação. Este modelo apresentou sobredispersão dos dados uma vez que

sua deviance é de 230,34 com 23 graus de liberdade e ainda a análise de reśıduos

não foi satisfatória pois o ajuste mostrou valores altos para os reśıduos, sendo alguns

pontos influentes. Aplicando a técnica de PF, o melhor modelo se revelou de segundo

grau (m = 2) com a transformação (p1 = p2 = −2), cuja expressão para o preditor

linear ajustado é dado por:

η̂ = −551,8(53,25) + 228,9(23,13)X−2 + 153,7(15,96)X−2 log X. (11)

Esse modelo apresentou deviance de 163,6 e 20 graus de liberdade. A


39

37 38 39 40 41

−
0.

6
−

0.
2

0.
2

0.
4

Temperatura

R
es

íd
uo

5 10 15 20 25

−
0.

6
−

0.
2

0.
2

0.
4

Número da observação

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
0.

6
−

0.
2

0.
2

0.
4

Quantil normal

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
1.

5
−

0.
5

0.
5

Quantil normal

E
fe

ito
 a

le
at

ór
io

Figura 7 - Análise de Reśıduos para o Modelo Binomial Misto com efeito linear de

X, Exemplo 2.


40

deviance diminui, porém, ainda é bem mais alta do que o esperado. O ajuste ainda

apresenta valores altos de reśıduos para algumas temperaturas, indicando posśıveis

pontos influentes nas estimativas e falta de ajuste do modelo.

Aparentemente tem-se o mesmo problema de sobredispersão do exem-

plo anterior, e assim como Collett (1991) sugere, o próximo passo foi ajustar um

modelo considerando as unidades experimentais com efeitos aleátorios. Para efeito

de comparação ajustou-se o Modelo Binomial Misto com apenas o termo linear de

temperatura. As seguintes estimativas para os parâmetros da parte fixa do modelo

é dada por

η̂ = 90, 43(8, 38) − 2, 31(0, 21)X.

A estimativa para a componente de variância é 1,71, a deviance é

78,31 com 22 graus de liberdade. Apesar da deviance ter praticamente diminuido

pela metade, a análise de reśıduos mostrou ind́ıcios de falta de ajuste do modelo já

que os pontos se apresentam de forma tendenciosa como pode ser visto na Figura

7. Aplicando a técnica de PF para tentar resolver o problema da falta de ajuste e

melhorar os gráficos de checagem das suposições do modelo, a transformação indicada

foi a mesma do modelo de efeitos fixos, ou seja um modelo de segundo grau com p1 =

p2 = −2 como sendo as melhores potências para transformar a variável temperatura.

O Modelo Binomial Misto com trasformação na temperatura apresentou as seguintes

estimativas para os parâmetros da parte fixa

η̂ = −466,6(116,5) + 191,7(50,8)X−2 + 128,0(35,1)X−2 log X. (12)

A estimativa da componente de variância é 1,14, a deviance igual a

69,94 com 19 graus de liberdade. Para este modelo a análise de reśıduos se apresentou

de forma satisfatória as suposições iniciais (Figura 8), além da deviance diminuir um

pouco mais em relação ao modelo anterior. O problema da falta de ajuste também

parece ter sido sanado.

Portanto, conclúımos que, dentre os modelos investigados, o que se

mostrou mais apropriado para ajustar a probabilidade de células viáveis do fungo


41

37 38 39 40 41

−
0.

6
−

0.
2

0.
0

0.
2

0.
4

Temperatura

R
es

íd
uo

5 10 15 20 25
−

0.
6

−
0.

2
0.

0
0.

2
0.

4
Número da observação

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
0.

6
−

0.
2

0.
0

0.
2

0.
4

Quantil normal

R
es

íd
uo

−2 −1 0 1 2

−
1

0
1

2

Quantil normal

E
fe

ito
 a

le
at

ór
io

Figura 8 - Análise de reśıduos para o Modelo Binomial Misto transformado, Exemplo

2.


42

em relação à temperatura foi o Modelo Binomial Misto com a variável temperatura

transformada por um PF de segundo grau.

Para ilustrar as consequências nas interpretações dos resultados dos

diversos modelos, intervalos de confiança para a razão de chances foram constrúıdos.

Vale notar que o Modelo Loǵıstico usual assume razão de chances constante quando

se aumenta a temperatura em uma unidade, independentemente da referência. Em

alguns casos essa pode ser a razão da frequente falta de ajuste de tal modelo. Já o

Modelo PF apresenta a flexibilidade de razões de chances dependentes da referência.

Embora a interpretação se torna mais complexa, o modelo representa melhor a rea-

lidade.

Foram calculadas estimativas do risco relativo quando muda-se a tem-

peratura de 39o para 40oC, para o Modelo Linear sem transformação e para o Modelo

Binomial Misto transformado. Para o Modelo Linear o risco é constante indepen-

dente da temperatura, ou seja, o risco de morte da célula conforme aumenta-se a

temperatura de 39o para 40oC é 11,13. O intervalo de 95% de confiança para esta

estimativa é (9, 39; 13, 33). Para o Modelo Binomial Misto, o risco é bem maior,

17,15, com intervalo de confiança estimado em (10, 07; 29, 20). Definindo, agora, a

mudança da temperatura 38o para 39oC, para o Modelo Misto, o risco diminui para

6,81 com intervalo de confiança de (4, 48; 10, 34). Como esperado, o intervalo de

confiança para o Modelo Misto pode ser mais amplo do que o linear, dependendo da

região de interesse. Isto se deve ao fato de se considerar as unidades experimentais

como um fator aleatório, ou seja, a variabilidade extra.

3.3 Exemplo 3: Relação Peso e Comprimento de Aranhas

A distinção direta entre aranhas fêmeas jovens e adultas (a partir das

linhagens basais) dos gêneros (Mygalomorphae e Haplogynae) é impraticável em mui-

tos estudos ecológicos, pois para a avaliação do seu estado reprodutivo a aranha ne-

cessita estar morta. Acredita-se que o estado reprodutivo esteja relacionado à relação

peso-tamanho dos indiv́ıduos. Nesse sentido, Stropa & Trinca (2005) estudaram a


43

relação entre o comprimento (mm) e peso (mg) do corpo de aranhas do tipo mar-

rom (nome cient́ıfico) coletadas no Jardim Botânico do Instituto de Biociências de

Botucatu (n = 289 indiv́ıduos). A natureza não linear da relação (Figura 9) e a forte

evidência de heterogeneidade de variâncias levou os autores a aplicarem uma trans-

formação ad hoc (logaritmica) no peso e estudar a relação através de Modelos de

Regressão Segmentada. Nesta aplicação será feito um estudo diferenciado tentando

explicar a relação entre as duas variáveis a partir de Polinômios Fracionários.

2 4 6 8 10 12

0
50

10
0

15
0

20
0

Comprimento (mm)

Pe
so

 (m
g)

Figura 9 - Diagrama de dispersão do Comprimento (mm) e Peso (mg) de aranhas,

Exemplo 3.

A metodologia de PF tem como objetivo corrigir problemas de falta de

ajuste do modelo mas não consegue corrigir os desvios aos pressupostos do Modelo

de Regressão clássico sobre a variável resposta. Embora a metodologia de Modelos

Lineares Generalizados estende em muito as alternativas de modelagem, na prática,

ainda pode-se encontrar dificuldades para ajustar um dado modelo. Isso ocorreu

com esse exemplo e uma sáıda como a proposta de modelagem, se baseou no uso de

Polonômios Fracionários conjuntamente com transformações na variável resposta.

Ignorando a heteregeneidade de variâncias, o primeiro passo foi utilizar


44

o procedimento de seleção do melhor modelo de PF que resultou em:

ŷ = 1,93(1,0400) + 0,10(0,0016)X3. (13)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−2
0

2
4

6

Theoretical Quantiles

St
an

da
rd

ize
d r

es
idu

als

Normal Q−Q

105

167

31

0 50 100 150 200
−4

0
−2

0
0

20
40

60

Fitted values

Re
sid

ua
ls

Residuals vs Fitted

105

167

31

Figura 10 - Análise de reśıduos para o modelo da equação (13), Exemplo 3.

Como esperado, a análise de reśıduos mostrou, com mais destaque,

ind́ıcios de que a variância está aumentando com os valores ajustados e que existe

problemas com a normalidade dos erros (Figura 10). Na prática, aplicam-se trans-

formações na resposta para contornar este tipo de problema. Surge então uma dúvida

do que transformar primeiro: a variável resposta ou a regressora? No caso, como Y e

X podem precisar de transformação, Royston & Sauerbrei (2008) sugerem que Y seja

transformada primeiro e fixada essa transformação busca-se a melhor transformação

em X. Porém, como λ de (2) é otimizado supondo a média da resposta dada por Xβ̂

e Xβ̂ não necessariamente é o melhor preditor, propõe-se um método iterativo de

transformações. Então, a partir do modelo dado na equação (13) estimou-se λ por

máxima verossimilhança, o que resultou em λ̂ = 0,325. Com a resposta transformada

y(0,325) foi determinado o melhor modelo PF ajustado, dado por:

ŷ(0,325) = −22,04(0,98) + 12,97(1,06)X−0,5 + 9,07(0,22)X0,5. (14)


45

Para esse modelo, parece que o problema de heteroscedasticidade de variância foi

atenuado, mas não o de normalidade dos erros (Figura 11), mostrando observações

com reśıduos padronizados alt́ıssimos.

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4
−2

0
2

4

Theoretical Quantiles

St
an

da
rd

ize
d r

es
idu

als

Normal Q−Q

289

105

23

0 2 4 6 8 10 14

−2
−1

0
1

2

Fitted values

Re
sid

ua
ls

Residuals vs Fitted

289

105

23

Figura 11 - Análise de reśıduos para o modelo da equação (14), Exemplo 3.

Tabela 4: Estimativas dos parâmetros das transformações de Box-Cox e de PF,

Exemplo 3

Passo λ m p1 p2 Deviance

0 1 1 3 35210,04

1 0,325 2 -0,5 0,5 115,89

2 0,280 2 0 0 83,69

3 0,260 2 0 0 72,71

Assim, o processo iterativo deve buscar um novo valor para λ e suces-

sivamente, valores para as potências do PF, até que não haja mais mudanças nos

parâmetros estimados (p̂1 e p̂2 ou λ̂). A Tabela 4 resume os resultados deste processo


46

iterativo.

Foram necessários três passos para o processo convergir indicando a

transformação y0,26 na resposta e o modelo quadrático para X na escala log, dado

por:

ŷ(0,26) = −0,09(0,26) − 1,39(0,32) log X + 2,31(0,10)(log X)2. (15)

O intervalo de confiança para λ não incluiu os valores 0 e nem 0,5, os quais levariam às

transformações logaritmica e ráız quadrada, costumeiramente utilizadas na prática.

O diagnóstico do ajuste do modelo ainda não é o ideal e mostra que

existe uma observação (indiv́ıduo 4) com alto leverage que pode ser influente nas

estimativas (Figura 12). Para estudar a influência deste ponto em espećıfico, fez-

se sua exclusão e repetiu-se o processo iterativo de transformações de variáveis. A

Tabela 5 resume os resultados dos parâmetros estimados para o conjunto de dados

sem a observação 4.

Tabela 5: Estimativas dos parâmetros das transformações de Box-Cox e de PF sem

a observação 4, Exemplo 3

Passo λ m p1 p2 Deviance

1 1 3 35210,00

1 0,330 2 -1 0,5 119,06

2 0,280 2 -2 0,5 82,90

3 0,270 2 -0,5 0 77,26

4 0,254 2 -0,5 0 69,13

Os resultados mostram certa diferença entre os dois modelos finais

indicados nas Tabelas 4 e 5. A observação 4, foi influente na estimação do PF mas

não muito importante na estimação de λ. É interessante notar que essa observação

se refere a um indiv́ıduo cujas medidas foram muito pequenas (ponto de menor

comprimento que aparece bem separado dos demais na Figura 9). Como na prática


47

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4
−2

0
2

Theoretical Quantiles

St
an

da
rd

ize
d r

es
idu

als

Normal Q−Q

289

23

105

0 2 4 6 8 10
−2

−1
0

1

Fitted values

Re
sid

ua
ls

Residuals vs Fitted

289

23

105

0.0 0.2 0.4

−4
−2

0
2

Leverage

St
an

da
rd

ize
d r

es
idu

als

Cook’s distance

1

0.5

0.5

1

Residuals vs Leverage

4

289

53

Figura 12 - Análise de reśıduos para o modelo da equação (15), Exemplo 3.


48

a obtenção de medidas de organismos muito pequenos não é muito acurada, talvez,

seja justificado a remoção desse indiv́ıduo para o estudo. Portanto o modelo final do

processo iterativo eliminando o ponto 4 é dado por:

ŷ(0,254) = −38,54(1,99) + 40,02(2,44)X−0,5 + 15,06(0,54) log X. (16)

O diagnóstico do modelo obtido é satisfatório (Figura 13), apesar de ainda apresentar

uma observação com reśıduo fora da faixa de valores esperada. A Figura 14 ilustra

o ajuste desse modelo com os dados transformados em y. Embora as equações dos

dois modelos PF pareçam muito diferentes fez-se um exerćıcio para avaliar o quão

diferentes seriam as predições do peso a partir de medidas do comprimento. Como a

transformação Box-Cox foi praticamente a mesma nos dois casos, isso fica mais fácil

e é ilustrado na Figura 15.

As diferenças aparecem, praticamente, apenas nos extremos e são mar-

cantes no extremo inferior. Essa análise salienta os perigos de se fazer extrapolações

por Modelos de Regressão. Avaliando esse aspecto, embora a observação 4 tenha

apresentado alto leverage, o modelo com os dados completos parece mais robusto

para predições e talvez mais razoável na prática. No entanto, se essa região for

considerada importante, mais observações devem ser tomadas para melhor esclareci-

mento da relação.

Esse exemplo mostrou que embora os PFs representem alternativas

flex́ıveis para lidar com falta de ajuste, as transformações encontradas podem ser

muito dependentes de observações influentes e, portanto, investigações cuidadosas

devem ser feitas durante a modelagem. A aplicação mostrou benef́ıcio no processo

iterativo para encontrar transformações tanto na variável resposta quanto na variável

explicativa. No caso dos dados completos o modelo final pelo processo iterativo foi

mais simples (quadrático na escala log) do que aquele resultante da aplicação da

transformação Box-Cox antes de se realizar a busca do melhor PF. Outra alterna-

tiva ao processo iterativo, quando o número de observações é razoavelmente grande,

é discretizar X num número de intervalos de classes e estimar λ utilizando como

preditor linear o modelo as classes (fator qualitativo). Desta forma a transformação


49

−3 −2 −1 0 1 2 3

−4
−2

0
2

Theoretical Quantiles

St
an

da
rd

ize
d r

es
idu

als

Normal Q−Q

289

23

105

0 2 4 6 8 10
−2

−1
0

1
Fitted values

Re
sid

ua
ls

Residuals vs Fitted

289

23

105

0.00 0.04 0.08 0.12

−4
−2

0
2

Leverage

St
an

da
rd

ize
d r

es
idu

als

Cook’s distance

1

0.5

0.5

Residuals vs Leverage

289

53
170

Figura 13 - Análise de reśıduos para o modelo da equação (16) (sem a observação

4), Exemplo 3.


50

2 4 6 8 10 12

0
2

4
6

8
10

Comprimento(mm)

Tra
nfo

rm
aç

ão
 em

 Y

Figura 14 - Curva ajustada para o modelo da equação (16) considerando os dados

transformados e removida a observação 4, Exemplo 3.

2 4 6 8 10 12

0
5

10

Comprimento (mm)

Tr
an

fo
rm

aç
ão

 e
m

 Y

Figura 15 - Curvas ajustadas e intervalos de predição do peso (transformado) para

os Modelos PF, com e sem a abservação 4, Exemplo 3.


51

Box-Cox é baseada na variabilidade de erro puro e, portanto, robusta a mudanças

da parte preditiva. Essa alternativa foi testada resultando em λ̂ =0,265 e portanto

bem próxima das estimativas por iteração.


4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Esse trabalho considerou a aplicação de Polinômios Fracionários na

análise de dados da área Biológica a partir de Modelos de Regressão. O uso de

PF aumenta a flexibilidade dos modelos quando o preditor linear que inclui apenas

efeitos simples das regressoras mostra falta de ajuste. Os três exemplos ilustrados se

beneficiaram do uso de PF. Nos exemplos com o Modelo Loǵıstico foi necessário a

extensão para Modelos Mistos devido a presença de sobredispersão. Embora Royston

& Altman (1994), Ambler & Royston (2001) e Royston & Sauerbrei (2008) tenham

apresentado muitos exemplos práticos envolvendo uma ampla classe de modelos, o

Modelo Misto não havia sido explorado. A estratégia de estimação das potências

restrita a um conjunto enumerável de valores permite que a estimação possa ser

realizada por qualquer software capaz de ajustar Modelos Mistos, basta repetir a

tarefa para cada valor do conjunto e comparar as deviances dos modelos.

Para os três exemplos foi necessário um modelo de grau 2. Embora

essa não seja a situação ideal, já que não se pode dizer que tal modelo é de simples

interpretação, a análise indicou a necessidade da complexidade para explicar a va-

riabilidade dos dados. No caso do estudo da tolerância à temperatura dos fungos

a análise indicou que o risco relativo varia com a temperatura de referência. Esse

resultado parece bastante coerente do ponto de vista biológico. Vale ressaltar que

parâmetros do tipo potência são de dif́ıcil estimação, em geral, e que no caso, a

variável regressora com apenas cinco ńıveis distintos, pode causar viés na estimação

da potência. O erro de estimação da potência não foi considerado nesse trabalho

mas seu estudo pode ser feito pela teoria de modelos não-lineares.

O estudo da relação entre peso e comprimento das aranhas salientou o


53

cuidado que se deve ter na avaliação do modelo ajustado. Foi ilustrado o problema

da influência de certas observações na determinação do polinômio e o perigo de

extrapolações a partir do modelo ajustado. Embora nos extremos os dois modelos

estudados mostraram-se bem distintos, para a faixa de valores da regressora na qual

os modelos ajustados são válidos, as predições foram muito similares, indicando que

no caso de predição, os Modelos de PF são bastante úteis apesar de estarem sujeitos

à alta influência de algumas poucas observações.


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	CAPA
	FOLHA DE ROSTO
	DEDICATÓRIA
	AGRADECIMENTOS
	EPÍGRAFE
	SUMÁRIO
	LISTA DE FIGURAS
	LISTA DE TABELAS
	RESUMO
	SUMMARY
	1 INTRODUÇÃO
	2 MODELOS DE REGRESSÃO
	3 APLICAÇÕES
	CONSIDERAÇÕES FINAIS
	REFERÊNCIAS