UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM DOCÊNCIA PARA A EDUCAÇÃO BÁSICA A ARTE NA MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA PRISCILA BEZERRA ZIOTO BARROS BAURU-SP 2017 PRISCILA BEZERRA ZIOTO BARROS A ARTE NA MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA Dissertação apresentada ao Programa de Pós- graduação em Docência para a Educação Básica, Mestrado Profissional, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho – UNESP, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Docência para a Educação Básica, sob a orientação do Prof. Dr. José Roberto Boettger Giardinetto. BAURU-SP 2017 PRISCILA BEZERRA ZIOTO BARROS A ARTE NA MATEMÁTICA: CONTRIBUIÇÕES PARA O ENSINO DE GEOMETRIA Dissertação apresentada ao Programa de Pós- graduação em Docência para a Educação Básica, , Mestrado Profissional, da Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho – UNESP, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Docência para a Educação Básica. Orientador: Prof. Dr. José Roberto Boettger Giardinetto. Dissertação apresentada e aprovada em ___/___/2017, pela comissão julgadora: _________________________________________________ Prof. Dr. José Roberto Boettger Giardinetto (Orientador) Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho – UNESP _________________________________________________ Profa. Dra. Wania Tedeschi Instituto Federal de São Paulo – IFSP – Campus São Carlos _________________________________________________ Profa. Dra. Maria do Carmo Monteiro Kobayashi Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho – UNESP Bauru, ____ de __________ de 2017. Barros, Priscila Bezerra Zioto. A Arte na Matemática: contribuições para o ensino de geometria / Priscila Bezerra Zioto Barros, 2017 206f. Orientador: José Roberto Boettger Giardinetto; Dissertação (Mestrado) – Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências, Bauru, 2017 1. Arte. 2. Matemática. 3. Geometria. 4. Interdisciplinaridade. 5. Processo Ensino- Aprendizagem. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências. II. Título. Dedico este trabalho a toda minha família. Em especial, aos meus pais Maria Aparecida e Ezequiel pelas orações e demonstração de fé e carinho. Ao meu companheiro e amado esposo, Ronaldo, pelo carinho, ajuda, incentivo e paciência infinita, que foram a base para a realização deste trabalho. AGRADECIMENTOS Primeiramente à Deus, que me deu forças na busca deste sonho profissional e me capacitou para superar as dificuldades encontradas no caminho. Ao meu orientador, Prof. Dr. José Roberto Boettger Giardinetto, pela paciência nas orientações e por ser mediador de muitas dificuldades; mesmo assim, ensinou-me a trilhar este caminho. Às professoras doutoras Wania Tedeschi e Maria do Carmo Monteiro Kobayashi, membros da banca examinadora pelas valiosas contribuições ao trabalho. À escola na qual foi realizada a pesquisa, à equipe gestora, aos professores, aos funcionários, aos alunos e especialmente à Nilce pelo apoio e orações e, igualmente, aos professores Alexandre, Amarildo, Andréia, Audrey, Michele, Patrícia e Sueli que colaboraram para o desenvolvimento e realização deste trabalho. Ao Programa de Pós-graduação em Docência para a Educação Básica – UNESP – Bauru, por promover conhecimentos no processo ensino-aprendizagem e realizar sonhos profissionais. Aos colegas de curso, pela amizade e pela aprendizagem coletiva, principalmente às amigas Joseane, Larissa, Michele, Michelle e especialmente à Patrícia e à Viviane, pela cumplicidade nos trabalhos e por sempre estarem ao meu lado nos momentos felizes e infelizes. À galera do Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica (IMECC), UNICAMP 2013, pelo apoio e aprendizagem e por terem contribuído mesmo indiretamente para este trabalho. Aos professores Agnaldo, Andreia, Elisa, Júlio, Liberto e Viviane pelas cartas de recomendações em outros momentos importantes e na contribuição indireta a este trabalho. A todos os meus amigos pela força e torcida por esta conquista profissional. À minha família linda que, mesmo à distância, me incentivou para superar todas as dificuldades com muita oração e pensamentos positivos. A você, Ronaldo, por ser paciente e compreensivo, e por ter demonstrado todo o seu amor e apoio em toda esta trajetória. A todos que, direta e indiretamente, contribuíram à realização desta dissertação. Obrigada a todos! Sou muito grata! Farei que a minha instrução resplandeça como aurora, para que ilumine os lugares mais distantes. [...] Derramarei o ensinamento como profecia e o transmitirei para as gerações futuras. [...] Vejam: Não trabalhei apenas para mim, mas para todos os que procuram a sabedoria. Eclesiastes (24, 30-32) RESUMO Este trabalho de investigação é um estudo que visa a melhoria do ensino de Matemática. Tem como objetivo a revitalização do ensino de Geometria numa perspectiva interdisciplinar entre Matemática e Arte. O estudo envolveu alunos de uma turma do 6.º ano do Ensino Fundamental - Anos Finais de uma Escola Pública Estadual do Interior do Estado de São Paulo. A pesquisa aplicada em três etapas se deu por meio de Sequências didáticas A, B e C compostas por conteúdos de Geometria. Foram analisadas as transformações geométricas, em especial a simetria de reflexão, rotação e translação, bem como, a aprendizagem de conceitos matemáticos. Conceitos como: simetria, proporção, polígonos, poliedros, pontos, retas, curvas, ângulos, cores, figuras e formas geométricas, dentre outros, foram verificados em recursos como vídeos, softwares educativos Simetrizadores, obras de arte e banco de questões, envolvendo habilidades de leitura visual e geométrica. O desenvolvimento metodológico se deu por pesquisa de abordagem qualitativa, do tipo descritiva, intencionando a retomada da “Geometria Básica”, no sentido de valorização de tais conceitos geométricos, como elementos relevantes para estabelecer a conexão entre a Arte e a Matemática. Os dados foram recolhidos a partir da aplicação das Sequências didáticas A – Transformações Geométricas, B – Obras de Arte e C – Banco de Questões envolvendo materiais manipuláveis, recursos tecnológicos, análise de imagem, contexto histórico e fazer artístico. Os resultados mostraram uma oportunidade de minimizar as defasagens de aprendizagens em conceitos geométricos; houve evolução na construção e ampliação do conhecimento matemático com a interação aluno/aluno, professor/aluno e trabalho em equipe. Apresenta-se, anexo a dissertação, o produto educacional, elaborado com os dados do trabalho, cuja finalidade é fornecer aos professores de Matemática e de Arte, Sequências didáticas envolvendo a Geometria Básica de forma interdisciplinar e contribuir para o ensino interdisciplinar. Palavras-chave: Arte. Matemática. Geometria. Interdisciplinaridade. Processo Ensino-Aprendizagem. ABSTRACT This research is a study aimed at improving Mathematics teaching. Its purpose is to revitalize the teaching of Geometry in an interdisciplinarity perspective between Mathematics and Art. The study involved students from a sixth grade Elementary School group of a State Public School in the interior of the State of São Paulo The research applied in three stages was done through didactic Sequences A, B and C and composed og Geometry contents. The geometrical transformations, especially the symmetry of reflection, rotation and translation, as well as the learning of mathematical concepts were analyzed. Concepts such as: symmetry, proportion, polygons, polyhedra, points, lines, curves, angles, colors, figures and geometrical shapes, geometrical thoughts, among others, were verified in resources such as videos, symmetrizing educational software, works of art and question bank, involving visual and geometrical reading skils. The methodological development happened through a qualitative research, descriptive type, intending the “Basic Geometry” resumption, considering the importance of such geometrical concepts, as relevant elements to establish a connection between Art and Mathematics. The data were collected from the application of the didactic Sequences A - Geometric Transformations, B - Works of Art and C - Question Bank involving manipulable materials, technological resources, image analysis, historical context and artistical making. The results showed an opportunity to minimize the lags of learning in geometrical concepts; there was an evolution in the construction and expansion of mathematical knowledge with the student/student, teacher/student interactions and teamwork. An educational product and the dissertation, prepared with the data of all the work is presented in an annex, whose purpose is to provide teachers of Mathematics and Art, didactic Sequences involving the "Basic Geometry" in an interdisciplinary way and to contribute to interdisciplinary teaching. Keywords: Art. Mathematics. Geometry. Interdisciplinarity. Teaching-Learning Process. LISTA DE FIGURAS Figura 1 Fluxograma Espaço e Forma.......................................................... 45 Figura 2 Simetrizador 1................................................................................. 57 Figura 3 Simetrizador 2................................................................................. 58 Figura 4 Fluxograma representando as Transformações Geométricas........ 59 Figura 5 Simetria de Reflexão Vertical, Horizontal e Diagonal..................... 61 Figura 6 (F) – Simetria de Reflexão Vertical, Horizontal e Diagonal ........... 62 Figura 7 (F) – Simetria de Reflexão Vertical e Horizontal............................. 63 Figura 8 (F) – Simetria de Reflexão Vertical e Horizontal............................. 64 Figura 9 Simetria de Reflexão no Plano Cartesiano com 2 Eixos de Simetria........................................................................................... 65 Figura 10 Simetria de Rotação Diagonal com 1 Eixo de Simetria.................. 66 Figura 11 Simetria de Rotação no Plano........................................................ 66 Figura 12 Simetria de Rotação no Plano........................................................ 67 Figura 13 Simetria de Rotação no Plano com Infinitos Eixos de Simetria.... 67 Figura 14 Simetria de Rotação no Plano........................................................ 67 Figura 15 Simetria Central de Centro O no Plano........................................... 68 Figura 16 Simetria de Translação Vertical com 1 Eixo de Simetria................ 69 Figura 17 Simetria de Translação Horizontal.................................................. 69 Figura 18 Simetria de Translação no Plano Cartesiano.................................. 70 Figura 19 Simetria de Translação no Plano com Infinitos Eixos de Simetria 70 Figura 20 Simetria de Translação no Plano com Infinitos Eixos de Simetria 70 Figura 21 Representação da Homotetia de Centro O e Razão k, ou seja, |k|>1................................................................................................ 71 Figura 22 Representação da Homotetia de Centro O e Razão k, ou seja, 0<|k|<1............................................................................................. 72 Figura 23 Obtida pelo Simetrizador 2.............................................................. 91 Figura 24 Obtida pelo Tangram....................................................................... 91 Figura 25 Atividade Tangram desenvolvida pelos alunos em díade no Simetrizador 2 (Figura 3)................................................................. 94 Figura 26 Simetria de “Reflexão”, eixo de simetria vertical, desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)................................ 95 Figura 27 Simetria de “Reflexão”, eixo de simetria diagonal, desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2).......................... 95 Figura 28 Simetria de “Reflexão”, com 2 (dois) eixos de simetria (diagonal e vertical), desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2). 96 Figura 29 Simetria de “Rotação” no plano, desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)................................................ 96 Figura 30 Simetria de “Rotação”, no plano com infinitos eixos de simetria, desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2). 96 Figura 31 Simetria de “Rotação” no plano, desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)................................................ 97 Figura 32 Simetria de “Translação” com eixo horizontal, desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2).............................. 97 Figura 33 Simetria de “Translação” com 2 (dois) eixos de simetria (diagonal e vertical), desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)............................................................... 97 Figura 34 Simetria de “Translação” no plano com infinitos eixos de simetria, desenvolvida por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)....................................................................................... 98 Figura 35 Símbolo do time de futebol Santos representando a Simetria de “Reflexão”, eixo de simetria vertical, desenvolvido por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)................................................ 98 Figura 36 Símbolo do time de futebol Corinthians representando a Simetria de “Reflexão” eixo de simetria diagonal, desenvolvido por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)........................ 99 Figura 37 Símbolo do time de futebol Flamengo, representando a Simetria de “Translação”, desenvolvido por alunos em díade no Simetrizador 1 (Figura 2)............................................................... 99 Figura 38 Mosaicos e Malhas baseados em Escher desenvolvidos por alunos em díade no Simetrizador 2 (Figura 3).............................. 100 Figura 39 Título: Soltando Pipa IV................................................................. 105 Figura 40 Título: A Gare, 1925...................................................................... 108 Figura 41 Título: Calmaria II, 1929................................................................ 112 Figura 42 Título: Carnaval em Madureira, 1924............................................ 113 Figura 43 A Obra Mural "Todos Somos Um"................................................. 116 Figura 44 Pôster oficial da Rio 2016.............................................................. 116 Figura 45 Mão em 3D.................................................................................... 120 Figura 46 Atividade desenvolvida pelos alunos............................................. 121 Figura 47 Alunos desenvolvendo o Banco de Questões............................... 123 Figura 48 Dragão 3D..................................................................................... 162 Figura 49 Mosaicos de Escher...................................................................... 164 LISTA DE QUADROS Quadro 1 Principais Temas, Contribuições e Referências............................. 32 Quadro 2 Cronograma/ Resumo das Atividades............................................ 80 Quadro 3 Desempenho dos alunos nas atividades 1, 2 e 3 – Transformações Geométricas......................................................... 85 Quadro 4 Desempenho dos alunos na atividade 4 – Obras de Arte............... 103 Quadro 5 Desempenho dos alunos nas atividades Banco de Questões...... 124 Quadro 6 Desempenho dos alunos nas atividades Banco de Questões – Resposta Aberta............................................................................. 126 Quadro 7 Desempenho dos alunos nas Sequências Didáticas A, B e C...... 165 LISTA DE GRÁFICOS Gráfico 1 Evolução dos Resultados do Brasil no SAEB em Matemática (2005 a 2015)................................................................................ 23 Gráfico 2 Desempenho dos alunos nas atividades 1, 2 e 3 – Transformações Geométricas......................................................... 86 Gráfico 3 Desempenho dos alunos na atividade 4 – Obras de Arte............... 104 Gráfico 4 Desempenho dos alunos nas atividades Banco de Questões...... 125 Gráfico 5 Desempenho dos alunos nas atividades Banco de Questões – Resposta Aberta............................................................................. 127 Gráfico 6 Desempenho dos alunos nas Sequências Didáticas A, B e C... 165 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS AD Avaliação Diagnóstica ANA Avaliação Nacional de Alfabetização BDTD Biblioteca Digital Brasileira de Teses e Dissertações CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior CECIBA Centro de Estudos de Ciências da Bahia CI Cópia da Internet DAEB Diretoria de Avaliação da Educação Básica DCNs Diretrizes Curriculares Nacionais EB Em Branco EF Ensino Fundamental EM Ensino Médio ENEM Exame Nacional do Ensino Médio FEM Fórum Econômico Mundial GEEM Grupo de Estudos do Ensino da Matemática GEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática GEMEG Grupo de Estudos em Educação Matemática do Estado da Guanabara GEMPA Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e Ação de Porto Alegre GEPEM Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática GIT Global Information Technology GTG Grupo de Trabalho e Geometria IDEB Índice de Desenvolvimento da Educação Básica IMECC Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica IMESP Imprensa Oficial do Estado de São Paulo S/A INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais IREM Instituto de Investigação do Ensino de Matemática IS Insatisfatório IUFM Instituto Universitário de Formação de Professores LDB Lei de Diretrizes e Bases LDBEN Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional LIBRAS Língua Brasileira de Sinais MAC Museu de Arte Contemporânea de São Paulo MEC Ministério da Educação MMM Movimento da Matemática Moderna NEDEM Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática OBMEP Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas OCDE Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico PCN+ Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio PCNEM Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio PCNs Parâmetros Curriculares Nacionais PISA Programa Internacional de Avaliação de Alunos PNDL Programa Nacional do Livro Didático PNLEM PPP Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio Projeto Político-Pedagógico PROFMAT Programa Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional PS Parcialmente Satisfatório PUCPR Pontifícia Universidade Católica do Paraná PUCRS Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul PUCSP Pontifícia Universidade Católica de São Paulo RA Resposta Aberta S Satisfatório SAEB Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica SAEMI-PE Sistema de Avaliação Educacional Municipal do Ipojuca SARESP Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo SEDUC-GO Secretaria de Educação, Cultura e Esporte do Estado de Goiás SEESP Secretaria de Estado da Educação de São Paulo SQ Sequência Didática SQA Sequência Didática A SQB Sequência Didática B SQC Sequência Didática C SQCRA Sequência Didática C Resposta Aberta TALE Termo de Assentimento Livre e Esclarecido TECLE Termo de Consentimento Livre e Esclarecido TICs Tecnologias da Informação e Comunicação TT Temas Transversais UFPR Universidade Federal do Paraná UFSC Universidade Federal de Santa Catarina UNESP Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho UNICAMP Universidade Estadual de Campinas UNIFAI Centro Universitário de Adamantina UNIRIO Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro UR Unidade de Registro SUMÁRIO APRESENTAÇÃO............................................................................................ 18 INTRODUÇÃO.................................................................................................. 20 1 O PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA: GEOMETRIA POR MEIO DA INTERDISCIPLINARIDADE............................ 33 1.1. Binômio Interdisciplinar: “Arte e Matemática”............................................ 41 2 MATEMÁTICA: DA IMAGEM AO CONCEITO DE TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS – PERSPECTIVAS SIMÉTRICAS........................................ 50 2.1 Isometria: Reflexão, Rotação, Central e Translação.................................. 60 2.1.1 Simetria de Reflexão ou Axial ou Ortogonal......................................... 60 2.1.2 Simetria Rotacional ou de Rotação....................................................... 65 2.1.3 Simetria Central.................................................................................... 68 2.1.4 Simetria de Translação......................................................................... 68 2.2 Homotetia................................................................................................... 71 3 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...................................................... 73 3.1 Participantes/Escola................................................................................... 75 3.2 Plano de Trabalho, Sequências Didáticas e Coleta de Dados.................. 77 4 APRESENTAÇÃO E RESULTADO DAS ATIVIDADES ‒ ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS.............................................................................. 82 4.1 Sequência Didática A: Transformações Geométricas.............................. 83 4.2 Sequência Didática B: Obras de Arte....................................................... 101 4.3 Sequência Didática C: Banco de Questões................................................ 122 CONSIDERAÇÕES FINAIS............................................................................. 167 REFERÊNCIAS................................................................................................ 172 APÊNDICES..................................................................................................... 180 18 APRESENTAÇÃO O fascínio pela Geometria vem desde a época de estudante. Apesar de se tratar, para mim, de um conteúdo de difícil apropriação, este se tornou um desafio a ser superado e um objetivo a ser atingido, mediante as dificuldades apresentadas na aprendizagem escolar. Tais dificuldades se estenderam no Ensino Superior uma vez que nas disciplinas desses conteúdos foram obtidas as notas mínimas necessárias para aprovação. Já formada, minha trajetória profissional refletiu essas dificuldades conceituais na prática docente, o que ocasionou muita insegurança no processo de ensino e aprendizagem dos conteúdos de Geometria. Minha atuação como professora iniciou-se em 2004 no Estado do Mato Grosso do Sul e desde 2005 sigo como professora efetiva no Estado de São Paulo. Durante esse período houve a observação da desvalorização do processo ensino- aprendizagem da Geometria de acordo com o Currículo Escolar e o baixo desempenho dos alunos no desenvolvimento e análise dos conteúdos matemáticos em avaliações internas e externas. Assim, com o decorrer do ensino escolar, notei a necessidade de implantar projetos para a revitalização desse processo de ensino-aprendizagem de Geometria que, atualmente, vem mostrando índices abaixo do adequado e esperado para um ensino de qualidade em relação a outros países. A partir desta reflexão e análise procurei buscar aperfeiçoamento em minha prática pedagógica para o desenvolvimento de um plano de aula/ensino, no tocante ao ensino de Geometria, que seja eficiente e eficaz. Isto se tornou um desafio profissional que me instigou, inicialmente, a tentar o aperfeiçoamento como continuidade dos estudos em nível de Pós-Graduação Stricto Sensu. O primeiro processo foi o Programa de Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) desde sua primeira seleção em 2011 até 2015, sempre aprovada, mas não classificada nas vagas. Com o tempo apareceu o desânimo e a baixa estima. Motivada pela reflexão e a vontade de fazer parte da luta por uma Educação de qualidade, participei de outros processos de seleção, sendo aprovada na Pós-Graduação no Programa de Mestrado em Matemática da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP), o que representou uma grande alegria, um mestrado com muita aprendizagem acadêmica. Porém, os estudos 19 realizados estavam distantes da minha realidade como professora de Matemática do Ensino Fundamental (EF)/Anos Finais e Ensino Médio (EM). Entristecia-me a realidade inalterada, então, decidi buscar novos processos, mas, agora na área da Educação. Após pesquisa na internet encontrei o Mestrado Profissional em Docência para a Educação Básica, na Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho" (UNESP) de Bauru, sendo o seu segundo processo seletivo a ser realizado em 2015. Ao tomar ciência desse processo seletivo, bem como da elaboração de projeto de pesquisa, uma das etapas do processo, houve a compreensão de que seria essa a oportunidade de toda a minha trajetória, isto é, o estudo de “Geometria” e principalmente a “Geometria básica1” que representa o alicerce de todos os conceitos geométricos. Mas, existia a dúvida! Se houve sempre a dificuldade de aprender, por que estudar Geometria? Não seria mais confortável estudar outra área de menor dificuldade de aprendizagem e abstração? Sim, mas o foco era buscar a resposta, de que todos nós somos capazes de aprender e nos aprofundar em qualquer conteúdo ou disciplina, desde que haja a decisão, motivação e dedicação ao estudo proposto. A decisão pelo tema de pesquisa se deu por meio da análise e reflexão da prática docente e das avaliações internas e externas como questões norteadoras. Por que ensinar Geometria? Por que a luta pela revitalização da Geometria? Por que e para que utilizar o binômio: Arte e Matemática no ensino da Geometria? O enfoque passou a ser o aprofundamento da base de conceitos matemáticos do processo ensino-aprendizagem, professor e aluno, para assim reduzir as defasagens em Geometria e propiciar ao preparo de avaliações e reflexão sobre os problemas da sociedade. 1 Neste trabalho foram considerados como “Geometria Básica” os conteúdos de Matemática do Currículo do Estado de São Paulo, sendo no Ensino Fundamental – Anos Iniciais os conteúdos do bloco “Espaço e Forma” e no Ensino Fundamental – Anos Finais os conteúdos de “Geometria” do 6.º e 7.º ano. Disponível em: . http://www.educacao.sp.gov.br/curriculo 20 INTRODUÇÃO A Matemática é baseada na lógica, a arte, na reconstrução imaginativa de imagens perceptivas. Michael Holt No Estado de São Paulo, em 2008, iniciou-se a implementação da Proposta Curricular do Estado de São Paulo que, a partir de 2009, homologou-se como Currículo2 Oficial do Estado de São Paulo. Nos primeiros 40 dias letivos de 2008, a Proposta Curricular propiciou o desenvolvimento do Jornal do aluno. Esse recurso caracterizou a recuperação ou retomada de conteúdo, por conter atividades práticas e diferenciadas, correlato a cada disciplina. Cada aluno recebeu o exemplar com todas as disciplinas de acordo com sua série/ano. Já o professor recebeu a “Revista do Professor” com as orientações do processo, ou seja, o apoio didático aos professores. Em continuidade, o professor recebeu o “Caderno do Professor” contendo as situações de aprendizagem a serem trabalhadas com os alunos, orientações metodológicas, isto é, outro recurso para o professor. A partir de 2009, o governo propiciou o “Caderno do Professor” e o “Caderno do Aluno” como suporte ao desenvolvimento do Currículo. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), publicados em 2007 (BRASIL, 1998) recomenda-se aos professores como recursos didáticos e pedagógicos: livros didáticos, jogos, vídeos, computadores e materiais diversificados, na transmissão da informação, do conhecimento, na inserção social e por estes representarem fonte importante no processo de ensino-aprendizagem. A área de estudo em 2008 era Ciências da Natureza e suas Tecnologias (Biologia, Química, Física e Matemática). Atualizada em 2010 para Matemática e suas Tecnologias tornou-se uma área isolada (SÃO PAULO, 2008). Em Matemática o Currículo do Estado de São Paulo organizou-se em três grandes blocos temáticos: NÚMEROS, GEOMETRIA e RELAÇÕES representados por Álgebra, Funções, Equações, Números Complexos, Geometria, Trigonometria, Combinatória, Matrizes, Estatística ou Tratamento da Informação entre outros. No Caderno do Professor e 2 A Edição Especial da Proposta Curricular do Estado de São Paulo assim define o Currículo “é a expressão de tudo o que existe na cultura científica, artística e humanista, transposto para uma situação de aprendizagem e ensino” (SÃO PAULO, 2008, p.11). 21 do Aluno os conteúdos de Geometria em algumas séries/anos foram reorganizados de forma diferente dos planos de aula/ensino do professor. Isto é, no 6.º/9.º ano e no 7.º ano EF/Anos Finais e na 3.ª série do EM o conteúdo de Geometria foi deslocado e alterado para 3.º, 2.º e 1.º bimestre respectivamente e nas demais séries não houve alteração, continuando no 4.º bimestre. Pressupõe-se que as devidas mudanças objetivem a revitalização do ensino de Geometria, cujo foco é minimizar as defasagens de aprendizagens em conceitos geométricos. A cada ano o ensino na educação brasileira apresenta um considerável nível de dificuldade de aprendizagem, que é medido por meio de testes padronizados. Esses testes sondam os conhecimentos, as competências e habilidades necessárias para cada ciclo da Educação e a capacidade de análise, de raciocínio, de interpretação, bem como as ideias desses estudantes da sociedade atual. Os testes abrangem as áreas de leitura, principalmente na Língua Portuguesa, Matemática, Ciências e Conhecimentos Gerais com a finalidade de obter uma análise parcial da educação brasileira. Esses testes são aplicados em avaliações internas e externas como: Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar do Estado de São Paulo (SARESP), Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB e Prova Brasil), Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA), Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), Vestibulares, entre outros. E a partir desta análise, traçam-se metas e parâmetros de qualidade a serem atingidos pelas escolas. Almeja-se, assim, a evolução dos sistemas de ensino, com vistas a conduzir todos a uma educação básica obrigatória, gratuita, com qualidade e adequada à sociedade. É cada vez mais crescente a preocupação de e entre professores e pesquisadores em relação ao estudo de Geometria nos Currículos da disciplina Matemática, devido ao baixo desempenho dos alunos em Geometria. [...] a Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Em que pese seu abandono, ela desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive (BRASIL, 1998, p.122). Com o Movimento da Matemática Moderna (MMM), por volta dos anos 50 e 60 do século passado, sugeriu-se em Geometria o desenvolvimento do conteúdo 22 Transformações Geométricas. Segundo Pavanello (1989, 1993), antes do MMM o conteúdo de Matemática dividia-se em Aritmética, Álgebra e Geometria. Esses conteúdos eram ensinados por professores diferentes, ou seja, os conteúdos eram ministrados separadamente. Com o início do MMM, a Geometria passou a ser desenvolvida por Transformações Geométricas o que ocasionou dificuldade em sua implementação propiciando o não domínio do conteúdo por grande parte dos professores, iniciando- se o distanciamento. A partir da antiga Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDBEN), a Lei nº 5692/71, excluiu-se a obrigatoriedade do currículo e se permitiu a autonomia do professor em desenvolver seu próprio plano e de acordo com sua clientela e realidade social, então, este se limitou a trabalhar somente a Aritmética e a Álgebra, deixando de lado o ensino de Geometria. Entretanto, se observou que o problema do ensino da Geometria surgiu e se evoluiu a partir do MMM, e na medida em que as escolas passaram a atender um número crescente de alunos das classes menos favorecidas. Assim, para Pavanello (1993, p.15) foram atribuídos alguns termos do ensino de Matemática como: “escola da elite x escola do povo ou escola particular x escola pública” e conclui-se como “escola onde se ensina geometria” (escola para a elite) e "escola onde não se ensina geometria" (escola para o povo). E a partir de então, iniciou-se o distanciamento que gerou um grande abandono no ensino de Geometria e, consequentemente, o não conhecimento dos alunos da “Geometria básica”. Tal fato contribuiu para os históricos e os atuais índices insatisfatórios em Matemática em avaliações internas e externas. De acordo com os índices atuais obtidos na avaliação do Fórum Econômico Mundial3 (FEM, 2016) em Genebra, na Suíça, tem-se que a qualidade da educação em Matemática e Ciências no Brasil é uma das piores do mundo. De acordo com o relatório Global Information Technology (GIT, 2016)4, apesar de haver melhorado em 3 O Fórum Econômico Mundial, Genebra (Suíça), foi criado em 1971 com o nome de Fórum Europeu de Gerenciamento e seu principal objetivo é “melhorar a situação do mundo”. Cf. Word Economic Forum. Disponível em: . Acesso em 15 out. 2016. 4 A Global Information Technology desde 2001 avalia como os países estão se preparando para a nova era de inovação tecnológica. O link mostra relatório sobre o ranking dos países em que o Brasil se encontra na posição 133 nos estudos de Ciência e Matemática, publicado pela Global Information Technology Report 2016 Innovating in the Digital Economyp (2016, p.233). Disponível em: . Acesso em: 17 nov. 2016. https://www.weforum.org/about/world-economic-forum http://www3.weforum.org/docs/GITR2016/WEF_GITR_Full_Report.pdf 23 relação à Tecnologia da Informação, o país está entre os últimos colocados em conceitos matemáticos e científicos. Dentre 139 países avaliados o Brasil ocupa a 133ª posição. Segundo um relatório recente da Organização para a Cooperação e o Desenvolvimento Econômico (OCDE), o Brasil é um dos dez países com o maior número de alunos com baixo rendimento escolar em Matemática, Leitura e Ciência. Segundo o Programa Internacional de Avaliação de Alunos (PISA) o Brasil encontra- se na 58ª colocação5 entre 65 países em conhecimentos de Matemática. Segundo o Gráfico 1 é possível constatar o baixo desempenho da aprendizagem em Matemática no Brasil, de acordo com o Índice de Desenvolvimento da Educação Básica6 (IDEB) (BRASIL, 2015). Houve uma pequena evolução no Ensino Fundamental – Anos Iniciais e Finais, mas, no Ensino Médio houve o pior desempenho desde 2005, início do Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (SAEB), conforme resultados da PROVA BRASIL (BRASIL, 2015). Gráfico 1 – Evolução dos Resultados do Brasil no SAEB em Matemática (2005 a 2015) Fonte: PROVA BRASIL (2015) Diretoria de Avaliação da Educação Básica – DAEB/ Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais – INEP (2015) 5 RANKING PISA 2012. Disponível em: Acesso em: 11 out. 2016. 6 PROVA BRASIL. Disponível em: Acesso em 20 set. 2016. http://provabrasil.inep.gov.br/artigo/-/asset_publisher/B4AQV9z%20FY7Bv/content/inep-apresenta-resultados-do-saeb-prova-brasil-2015/21206 http://provabrasil.inep.gov.br/artigo/-/asset_publisher/B4AQV9z%20FY7Bv/content/inep-apresenta-resultados-do-saeb-prova-brasil-2015/21206 24 Em Matemática, o Ensino Fundamental - Anos Iniciais (5.º ano), em 2013, obteve a pontuação de 211, em 2015 atingiu 219, ficando abaixo da meta esperada de 225. Em seguida, Matemática no Ensino Fundamental - Anos Finais (9.º ano), em 2013, obteve a pontuação de 252, em 2015 atingiu 256, ficando abaixo da meta que era de 300. Por fim, Matemática no Ensino Médio, em 2013, obteve a pontuação de 270, em 2015 atingiu 267, ficando abaixo da meta que era de 350 reduzindo, assim, sua pontuação anterior de 270 para 267. Entretanto, os índices indicam que para obter a nota adequada no EF - Anos Iniciais o índice era 225 atingindo 219, no EF - Anos Finais era 300 atingindo 256 e no EM era 350 atingindo 267. Comprova-se o baixo desempenho dos alunos em Matemática, permanecendo abaixo do rendimento escolar. Retornando aos índices históricos, o Ministério da Educação (MEC) desenvolveu nos anos de 1997 e 1998 os “Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do Ensino Fundamental (Anos Iniciais e Anos Finais) e do Ensino Médio. Inseriu-se nos PCNs o bloco “Espaço e Forma” que abrange os conteúdos de Geometria Básica em especial as Transformações Geométricas. As noções de “ponto, reta e plano” são o elo de partida entre os conhecimentos prévios dos alunos e o ponto inicial no ensino de “Geometria”. Entretanto, os PCNs enfatizam que a Geometria desenvolve nos alunos o pensamento geométrico, que gera um entendimento e uma compreensão da visão geométrica no seu cotidiano e no mundo. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNEM): [...] as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca (BRASIL, 1998a, p. 44). Na busca de melhoria para os índices de desenvolvimento no ensino- aprendizagem de Matemática, este trabalho requer o retorno ao currículo escolar do ensino de “Geometria” relacionado à disciplina de Matemática, principalmente no Ensino Fundamental (EF) e de forma interdisciplinar. 25 Segundo Sherard III (1981) a Geometria é considerada em 7 (sete) habilidades de competência básica7: 1- Geometria é uma competência básica porque é uma ajuda importante na comunicação. Nosso vocabulário básico escrito e falado tem muitos termos geométricos; por exemplo: ponto, reta, plano, curva, ângulo, paralelo, perpendicular, circulo, quadrado, retângulo e triângulo. Se vamos comunicar a alguém a localização, o tamanho ou a forma de um objeto, a terminologia geométrica é essencial. 2- Geometria é uma competência básica porque tem ampliações importantes a problemas da vida real. 3- Geometria é uma competência básica porque tem aplicações importantes em outros tópicos da Matemática básica. A Geometria é um tema unificador em todo o currículo da Matemática, e como tal é uma rica fonte de visualizações para os conceitos aritméticos, algébricos e estatísticos. Com frequência usamos exemplos ou modelos geométricos para ajudar nossos alunos a compreender conceitos matemáticos. 4- Geometria é uma competência básica porque dá uma preparação valiosa para cursos mais avançados de Ciências e Matemática e para uma variedade de carreiras que exigem competências matemáticas. 5- Geometria é uma competência básica pelas oportunidades que oferece para desenvolver a percepção espacial. A visualização e a percepção espaciais vêm sendo reconhecidas como competência extremamente importantes para o sucesso em Ciências e Matemática. Mesmo desconsiderando a necessidade de uma boa percepção espacial em ocupações específicas, todos nós precisamos de habilidade de visualizar objetos no espaço e as relações entre eles. Precisamos, ainda, da habilidade para interpretar representações bidimensionais de objetos tridimensionais. Muitos de nós enfrentamos a tarefa de montar um móvel ou um brinquedo seguindo um conjunto de instruções relativas a um esboço bidimensional do objeto real. E a maioria de nós tem a experiência de olhar a planta de uma casa ou de um apartamento e tentar visualizar como serão a casa ou apartamento. 6- Geometria é uma competência básica porque pode servir como veículo para estimular e exercitar habilidades gerais de pensamento e de resolução de problemas. A Geometria oferece aos nossos alunos as oportunidades de olhar, comparar, medir, adivinhar, generalizar e abstrair. Essas oportunidades podem ajudar os estudantes a descobrir relações por si próprios e se tornarem melhores resolvedores de problemas. 7- E, finalmente, a Geometria é uma competência básica porque existem valores culturais e estéticos que vêm de seu estudo. Ninguém pode negar que a Geometria é um veículo para se ensinar Estética. W.D. Reeve expressou-se nesse sentido quando escreveu que o nosso fracasso na apreciação das formas de vida à nossa volta nos leva também a falhar na apreciação de grande parte da beleza do mundo. (SHERARD III, 1981, s. p.). 7 Por que a Geometria é uma competência básica? SHERARD III, Wade H. Why Is Geometry a Basic Skill? Mathematics Teacher (1981) Vol. 74, No. 1. A tradução para o Português foi feita pelas professoras Maria da Conceição Ferreira Reis Fonseca e Maria Laura Magalhães Gomes. Disponível em: . Acesso em: 15 dez. 2016. https://pactuando.files.wordpress.com/2014/10/texto-por-que-geometria-c3a9-uma-competc3aa%20ncia-bc3a1sica.pdf https://pactuando.files.wordpress.com/2014/10/texto-por-que-geometria-c3a9-uma-competc3aa%20ncia-bc3a1sica.pdf 26 E a revitalização ao ensino-aprendizagem de Geometria propicia a inserção, a relação social e a visualização espacial do mundo e do seu redor. É a relação entre as diferentes áreas de conhecimento que se unem à compreensão e resolução de uma problemática em diferentes pontos de vista. Assim, o ensino da Matemática contribui para a formação do aluno, como bem aponta Miskulin (1994). O ensino da Matemática contribuiria efetivamente na formação do indivíduo, como um ser capaz de interpretar, compreender e apreciar o mundo físico que o cerca, e, nesse sentido, faz-se necessário essa abordagem da Matemática, a fim de que resgate os aspectos geométricos que permeiam a relação entre esse indivíduo e o espaço em que está inserido (MISKULIN, 1994, p.29). Para auxiliar neste resgate uma possível intervenção é a interdisciplinaridade. Essa conexão interdisciplinar é um instrumento, um complemento e uma nova metodologia na prática pedagógica na transmissão do conhecimento escolar e não escolar. O conceito de interdisciplinaridade se encontra na Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) e nos Parâmetros Curriculares Nacionais, em especial o do Ensino Médio (PCNEM). Seu conceito não é apenas uma interligação de disciplinas, mas, uma interação entre as pessoas e dela consigo mesma. Trata-se de uma oportunidade de ampliar o olhar, o sentir, o fazer e os conhecimentos de diversas disciplinas no contexto de sua realidade, ou seja, num trabalho que é interdisciplinar e sistemático ao processo de ensino-aprendizagem, segundo os PCNEM (2000). [...] a interdisciplinaridade deve ser compreendida a partir de uma abordagem relacional, em que se propõe que, por meio da prática escolar, sejam estabelecidas interconexões e passagens entre os conhecimentos através de relações de complementaridade, convergência ou divergência (BRASIL, 2000, p.21). A interdisciplinaridade faz com que as disciplinas fundam-se uma com as outras em um elo que integra, dialoga e facilita a compreensão e a construção do conhecimento, na solução de um problema cotidiano ou social. A interconexão entre as disciplinas fortalece a contextualização e a aprendizagem significativa, conforme propõe os PCNEM (2000). Ao propor uma nova forma de organizar o currículo, trabalhado na perspectiva interdisciplinar e contextualizada, parte-se do pressuposto de que toda aprendizagem significativa implica uma relação sujeito-objeto e que, para que esta se concretize, é necessário oferecer as condições para que os dois polos do processo interajam (BRASIL, 2000, p.22). 27 De acordo com os PCNs, terceiro e quarto ciclos, que apresentam os Temas Transversais (TT), a interdisciplinaridade se fundamenta em uma concepção de diferentes campos de conhecimentos científicos, envolve-se uma abordagem epistemológica de acordo com a realidade de cada escola. Propicia-se uma escola cidadã em que cada vez mais se desenvolve a compreensão do conhecimento em sua totalidade (BRASIL, 1998a). Moreira (2016, p.51) destaca que “a interdisciplinaridade surgiu no campo educacional com a premissa de favorecer o conhecimento da totalidade”. A prática pedagógica e o trabalho interdisciplinar se relacionam e se contextualizam em forma de espiral, com reflexões e com a compreensão da totalidade do conhecimento. E “com a interdisciplinaridade vive-se aprendendo pelo trabalho reflexivo sobre as dimensões da prática real e contextualizada [...] para as experiências formadoras da própria prática e da vida interdisciplinar” (FERREIRA, 2010, p. 21). A intervenção da aprendizagem interdisciplinar se insere na realidade social do aluno, isto é, na situação real do seu cotidiano de forma significativa e contextualizada. Assim, se aprende: Muito mais que acreditar que a interdisciplinaridade se aprende praticando ou vivendo, os estudos mostram que uma sólida formação à interdisciplinaridade encontra-se acoplada às dimensões advindas de sua prática em situação real e contextualizada (FAZENDA, 2002, p.14). Em outro documento, nas Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs), publicado em 2013, há a interconexão, a interdisciplinaridade e a transversalidade de métodos, de conhecimentos e de saberes na reflexão e análise dos conteúdos e currículos escolares, desenvolvendo habilidades sociais e educativas que devem ser constantes, como aponta o referido documento. [...] da interdisciplinaridade e da contextualização, que devem ser constantes em todo o currículo, propiciando a interlocução entre os diferentes campos do conhecimento e a transversalidade do conhecimento de diferentes disciplinas, bem como o estudo e o desenvolvimento de projetos referidos a temas concretos da realidade dos estudantes; [...] A perspectiva da articulação interdisciplinar é voltada para o desenvolvimento não apenas de conhecimentos, mas também de habilidades, valores e práticas (BRASIL, 2013, p. 34). Há inúmeras formas de se trabalhar a interdisciplinaridade, de modo a propiciar o conhecimento e a recuperação desse conhecimento. Mas, sem que se esqueça das particularidades de cada conteúdo, de cada disciplina, de cada ponto 28 de vista, da realidade em questão desenvolvendo o “aprender a trabalhar coletivamente”, ou seja, “aprender a conviver”. O objetivo é repensar sobre a importância da escola, a reorganização do processo educativo, a apropriação do conhecimento historicamente acumulado, o saber sistematizado e um método diferenciado de trabalho em que o professor é mediador nesse processo. A escola propiciar a todos os indivíduos o acesso ao saber sistematizado, produzido historicamente pela humanidade, bem como a transformação do cidadão- crítico social. Assim, o espaço escola é um “espaço institucional da socialização do saber elaborado, sistematizado e não do saber espontâneo, não intencional” segundo Giardinetto (1999, p.40). O professor como mediador é aquele que planeja, organiza e desenvolve ações que fornece a fundamentação para a possível formação de sujeitos críticos e transformadores, a partir da apropriação do conhecimento historicamente produzido e da realidade social. Os conceitos a serem apropriados são os denominados por Saviani (2011) de “clássicos”: O clássico não se confunde com o tradicional e também não se opõe, necessariamente, ao moderno e muito menos ao atual. O clássico é aquilo que se firmou como fundamental, como essencial. Pode, pois, constituir-se num critério útil para a seleção dos conteúdos do trabalho pedagógico (SAVIANI, 2011, p.13). A escola com seus conteúdos clássicos busca a mediação da socialização do saber entre as objetivações do indivíduo singular e as objetivações do gênero humano. Enquanto atividade mediadora, o trabalho educativo apresenta uma dupla função: por um lado, produz em cada indivíduo singular a história do gênero humano na medida em que, pela apropriação dos conteúdos escolares, o indivíduo se forma enquanto elemento do gênero humano; por outro lado, ao viabilizar essa formação, viabiliza-se a possibilidade da constante formação histórica do gênero humano enquanto a totalidade das relações sociais de objetivação presentes a cada momento histórico (GIARDINETTO, 1999, p.44). Além disso, sem as possibilidades de conhecimento e a apropriação de seus conteúdos, no processo de humanização mediado pela escola, não é possível a evolução da sociedade. 29 Não é possível à sociedade ter novos engenheiros, médicos, cientistas, educadores, arquitetos, mecânicos etc., em suas diversas áreas, sem a apropriação daquilo que é ‘clássico’ em matemática (e nos demais saberes escolares) e que forma engenheiros, médicos, cientistas, educadores, etc. (GIARDINETTO, 2010, p.761). Para ampliação desses conceitos clássicos em especial a “Geometria” optou- se, neste trabalho, pela escolha da Arte na relação com a Matemática, por meio da qual se busca desenvolver um trabalho interdisciplinar. Portanto, o problema que motiva o desenvolvimento desta dissertação é: a necessidade de superação do esvaziamento do ensino de “Geometria” desde a época do MMM. E assim, pergunto-me: Como propiciar a revitalização8 do ensino de “Geometria” utilizando a Arte de modo interdisciplinar com a Matemática? E neste contexto de reflexão que esta pesquisa entende-se como hipótese de trabalho que a perspectiva interdisciplinar pode contribuir para a superação do problema relativo ao ensino de Geometria. Um momento de realização desta perspectiva interdisciplinar é o trabalho com o Binômio “Arte e Matemática”. Os objetivos específicos desta pesquisa são: 1- Buscar procedimentos e possibilidades de revitalização da “Geometria básica” com a Matemática e a Arte, de forma interdisciplinar. 2- Desenvolver Sequências didáticas, com alunos do 6.º ano EF - Anos Finais que envolvam a “Geometria básica”, trabalhadas em sala de informática e também com vídeo. 3- Averiguar se os softwares educativos Simetrizadores9 e as obras de arte são estratégias e recursos facilitadores no processo de ensino-aprendizagem da 8 Este trabalho tem como objetivo propiciar a revitalização do ensino de Geometria numa perspectiva interdisciplinar entre a Matemática e a Arte. No desenvolvimento da retomada dos conteúdos matemáticos e a superação das dificuldades encontradas nestes conceitos geométricos na Educação Básica. 9 Softwares Simetrizadores são recursos tecnológicos que propiciam o processo ensino- aprendizagem do conteúdo simetria como: simetria de reflexão, rotação e translação. O Simetrizador 2 foi baseado nas obras de Escher. O material elaborado será apresentado como um produto educacional e à parte desta dissertação. 30 Matemática e para o melhor conhecimento geométrico, ou seja, do binômio: Arte e Matemática, Geometria e suas conexões. 4- Desenvolver um produto educacional envolvendo a Geometria Básica de forma interdisciplinar. Para melhor compreensão da pesquisa realizada, esta dissertação está estruturada em 4 (quatro) capítulos. No Capítulo 1, intitulado “O Processo Ensino-aprendizagem em Matemática: Geometria por meio da Interdisciplinaridade” é apresentado o processo de abandono da Geometria a partir do MMM e as consequências desse abandono, com base nos estudos de Bastos (2006), Ponte (1994), Pavanello (1989, 1993), dentre outros. Também é apresentada a conexão interdisciplinar entre Arte e Matemática, como um recurso à mediação escolar, na concepção de Saviani (2008, 2011), Giardinetto (1999, 2004, 2010) e outros. Intenciona o capítulo oferecer ações propostas para o ensino da Matemática, em especial a “Geometria básica” com o auxílio da Arte. No item 1.1 intitulado “Binômio Interdisciplinar: Arte e Matemática” defende-se como importante essa interdisciplinaridade da Arte com a Matemática. Analisam-se o desenvolvimento da Metodologia Triangular de Barbosa (2005) e os conceitos geométricos nas transformações geométricas, nas obras de arte, na tecnologia, dentre outros. Na Arte interdisciplinar são analisados os conceitos geométricos nas obras dos artistas: Maurits Cornelis Escher, Tarsila do Amaral, Ivan Cruz, Eduardo Kobra e João Carvalho, pelo fato de serem artistas renomados na transmissão visual dos conceitos geométricos em suas obras e, igualmente, pela maioria ser brasileira. No Capítulo 2, intitulado “Matemática: da imagem ao conceito de transformações geométricas – perspectivas simétricas” aponta-se a retomada de conceitos geométricos através de recursos tecnológicos conforme estudos de Veloso, Bastos e Figueirinhas (2009), dentre outros. Esses conceitos são as transformações geométricas, em especial as Simetrias em livros didáticos do EF e EM e nos softwares educativos Simetrizadores 1 e 2. São apresentadas algumas análises do conteúdo transformações geométricas em especial “Simetria” nos livros didáticos, pesquisadas por Mabuchi (2000), Silva (2014), Oliveira (2015), Santos e Teles (2011), Silva e Lima (2010), Pereira (2005) e outros. Nos itens 2.1 a 2.2 são relacionadas às definições e demonstrações das Transformações Geométricas 31 (Simetrias e homotetia), segundo Pinho, Batista e Carvalho (2010) e também os Simetrizadores 1 e 2. Já no Capítulo 3, intitulado “Procedimentos Metodológicos” aponta-se o desenvolvimento de uma metodologia de pesquisa com abordagem qualitativa e descritiva na retomada de conceitos geométricos no sentido de uma valorização desses como elementos imprescindíveis para a realização da conexão Arte e Matemática baseada nos autores Triviños (1987), Fonseca (2002), dentre outros. E o desenvolvimento da Metodologia Tiangular de Barbosa (2005) nas obras de arte. Os itens 3.1 e 3.2 referem-se aos participantes, à escola, ao plano de trabalho, as Sequências didáticas e a coleta de dados. As Sequências didáticas propiciam ao aluno à construção do seu conhecimento geométrico, por meio de recursos Simetrizadores, obras de arte e banco de questões, descobrindo, vivenciando e resolvendo situações-problema tornando-as significativas atingindo ou ampliando seus conhecimentos geométricos. E que as interações entre professor e alunos são mediadas pelo saber, como enfatiza Zabala (1998). Por fim, no Capítulo 4 intitulado “Apresentação e Resultado das Atividades - análise e discussão dos dados” se mostra o desenvolvimento da metodologia qualitativa e descritiva com a aplicação das atividades junto aos alunos, seguida da análise do produto aplicado na escola (análise da prática, de como foi o resultado do produto, o dia a dia, o desenvolvimento inicial e final). O Quadro 1 apresenta os principais temas, contribuições e referências. 32 Quadro 1 – Principais Temas, Contribuições e Referências Fonte: Elaborado pela Autora Nas Considerações Finais aponta-se uma síntese da pesquisa e sugestões para estudos futuros. Por fim, são apresentadas as Referências e os Apêndices contendo um link para o produto educacional – Sequências didáticas, intitulado Binômio: “Arte e Matemática” – geometria e suas conexões. TEMAS CONTRIBUIÇÕES PRINCIPAIS REFERÊNCIAS O abandono da Geometria e as consequências desse abandono Análise das dificuldades em Geometria que se intensificaram e, aos poucos, foram sendo eliminadas dos currículos escolares a partir do MMM. Bastos (2006, 2007); Ponte (1994); Pavanello (1989, 1993, 2004). A conexão interdisciplinar entre Arte e Matemática A revitalização do ensino de Geometria na retomada de conceitos geométricos e a valorização desses como elementos imprescindíveis para o ensino-aprendizagem interdisciplinar. Saviani (2008, 2011); Giardinetto (1999, 2004, 2010); As transformações geométricas • Análise das transformações geométricas abordadas nos livros didáticos, em especial a “Simetria”. • Definições e demonstrações. • Mabuchi (2000); Silva (2014); Oliveira (2015); Santos e Teles (2011); Silva e Lima (2010); Pereira (2005), Ripplinger (2006), Tonetto (2004), dentre outros. • Pinho, Batista e Carvalho (2010). Recursos tecnológicos A revitalização do ensino de Geometria e a retomada de conceitos geométricos através de recursos tecnológicos. Veloso, Bastos e Figueirinhas (2009). Arte e as obras de arte A Metodologia Triangular e a análise dos conceitos geométricos, por meio das obras de arte dos artistas. Barbosa (2005), Maurits Cornelis Escher; Tarsila do Amaral; Ivan Cruz; Eduardo Kobra e João Carvalho. Procedimentos metodológicos Desenvolver uma pesquisa qualitativa e descritiva baseada na retomada de conteúdos, questões objetivas e dissertativas, na observação e discussão dos conceitos geométricos, através de Sequências didáticas. Triviños (1987); Fonseca (2002); Zabala (1998). 33 1. O PROCESSO ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA: GEOMETRIA POR MEIO DA INTERDISCIPLINARIDADE O abandono da Matemática traz dano a todo o conhecimento, pois aquele que a ignora não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo. Roger Bacon A Matemática se desenvolveu a partir da necessidade de contagem e medição, pois, foi preciso resolver problemas cotidianos como, por exemplo, a medição de terras, a construção de pirâmides, as representações monetárias, culturais, artísticas (artesanatos, desenhos, pinturas, etc.) que até hoje estão presentes na arquitetura, na engenharia, na própria natureza e o porquê da importância em desenvolver os conhecimentos de Geometria. Cerca de 3.000 a.C. se desenvolveu a Geometria, que do grego significa geo = terra e metria = medida, isto é, “medir terra”. Nessa época, também os babilônios utilizavam as tábulas de argila cozida para fazer o cálculo de áreas e de volumes. Darela, Cardoso e Rosa (2011) apontam que os principais precursores da Geometria foram os egípcios: No Egito, havia necessidade prática de refazer a subdivisão das terras após cada cheia do Nilo. Segundo o historiador grego Heródoto, é provável que os primeiros a acumular conhecimentos práticos da Geometria tenham sido os estiradores de corda, que eram assim chamados, devido aos instrumentos de medida com cordas entrelaçadas utilizados para marcar ângulos retos. [...] Esses agrimensores aprendiam a determinar as áreas de lotes de terreno, dividindo-os em retângulos e triângulos, tarefa conhecida como triangulação. Acredita-se que foi assim que nasceu a Geometria (DARELA; CARDOSO; ROSA, 2011, p.105). Há 300 a.C., Euclides foi o precursor da Geometria Euclidiana e sistematizou a geometria espacial, plana e de posição10. “Os Elementos” tornou-se a obra Matemática de referência por séculos. Esta se divide em 13 (treze) livros ou capítulos, sendo os seis primeiros sobre a “Geometria Plana Elementar” e os três seguintes sobre a “Teoria dos Números”, o décimo sobre os “Incomensuráveis” e os três últimos sobre a “Geometria no Espaço”. O primeiro livro apresenta conceitos básicos de Geometria entre definições, postulados e axiomas. Darela, Cardoso e 10 Geometria de posição é a área da Matemática que estuda as posições relativas entre formas geométricas presentes no espaço, por meio das noções de forma, tamanho e posição (ponto, reta, plano e espaço). 34 Rosa (2011, p.124-125) apresentam as cinco primeiras definições, postulados e axiomas: Vejamos as cinco primeiras, das vinte e três definições: 1. Ponto é o que não tem parte. 2. Linha é o comprimento sem largura. 3. Os extremos de uma linha são pontos. 4. Linha reta é a que repousa igualmente sobre todos os pontos. 5. Superfície é aquilo que só tem comprimento e largura. [...] Os cinco postulados presentes no livro I estão relacionados abaixo. 1. Traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto. 2. Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta. 3. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio. 4. Que todos os ângulos retos são iguais. 5. Que, se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as duas retas, se prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em que os ângulos são menores que dois ângulos retos. [...] Vamos a seguir relacionar os cinco axiomas presentes no livro I. 1. Coisas que são iguais a uma mesma coisa são também iguais entre si. 2. Se iguais são somados a iguais, os totais são iguais. 3. Se iguais são subtraídos de iguais, os restos são iguais. 4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais uma a outra. 5. O todo é maior que a parte. No decorrer dos séculos a Geometria, segundo Darela, Cardoso e Rosa (2011, p.15), “ramificou-se em várias geometrias, destacando-se a euclidiana, a não euclidiana, a analítica, a projetiva e a dos fractais”. Continua a ramificação em diversas outras Geometrias como: plana, espacial, molecular, descritiva, esférica, ortogonal, complexa, computacional, topológica, dentre outras. E assim, o ensino de Geometria na escola forma a base de estudos em Ciências Exatas, Engenharia, Arquitetura e Tecnologia. Na década de 50 do século XX, para a melhoria do ensino secundário, foram propostas metodologias pedagógicas americanas e esse fato desencadeou o desenvolvimento de um Movimento Internacional de Modernização conhecido como o Movimento da Matemática Moderna (MMM). Através desse movimento houve a criação e o incentivo, aos grupos nacionais, para repensar, refletir e estudar novas propostas de currículo para a escola sobre o ensino de Matemática e o de Ciências. Segundo Silva (2006) e Gomes (2013), no Brasil, em 1955, na Bahia foi realizado o primeiro Congresso Nacional de Ensino de Matemática no Curso Secundário, organizado pela professora Martha Maria de Souza Dantas, com a participação de Manoel Jairo Bezerra, Osvaldo Sangiorgi, Omar Catunda, Ana Averbuch e outros. 35 Em 1961, o movimento foi representado pelo Grupo de Estudos do Ensino da Matemática (GEEM) organizado pelo Prof. Osvaldo Sangiorgi e professores do Estado de São Paulo, considerado o pioneiro no Brasil. Posteriormente, surgiram diversos grupos de estudos, dentre eles o Grupo de Estudos em Educação Matemática do Estado da Guanabara (GEMEG) (Estado da Guanabara 1960-1975) e atualmente denominado Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática do Rio de Janeiro (GEPEM), o Grupo de Estudos e Pesquisas em Educação Matemática de São Paulo (GEM), o Grupo de Estudos sobre Educação, Metodologia da Pesquisa e Ação de Porto Alegre (GEEMPA), o Núcleo de Estudos e Difusão do Ensino da Matemática de Curitiba (NEDEM) e o Centro de Ensino de Ciências da Bahia (CECIBA) liderado pelo professor Omar Catunda. Com o MMM no século XX, o ensino da Matemática se tornou abstrato para o aluno e, consequentemente, um dificultador da aprendizagem e, mesmo com avanços significativos na aprendizagem, não conseguiu cumprir determinados objetivos no processo de ensino-aprendizagem em Matemática. [...] afirmamos que o movimento em foco acarretou uma maior formalização da Matemática ensinada nas escolas e, consequentemente, um distanciamento das questões práticas. E quanto mais distante de situações utilizáveis em Matemática, mais difícil ela se torna, a ponto de tornar-se algo assustador (FELICETTI, 2007, p.31). E esse distanciamento prejudicou o desenvolvimento da Geometria no Ensino Superior, tanto do campo das Ciências Exatas como no da formação de professores. Durante séculos, a Geometria foi ensinada na sua forma dedutiva. Ainda assim, a Geometria formava a base das Ciências Exatas, da Engenharia, da Arquitetura e do desenvolvimento tecnológico. A partir da metade do século passado, porém, o chamado movimento da ‘Matemática Moderna’ levou os matemáticos a desprezarem a abrangência conceitual e filosófica da Geometria Euclidiana, reduzindo-a a um exemplo de aplicação da Teoria dos Conjuntos e da Álgebra Vetorial. Desta forma, a Geometria foi praticamente excluída dos programas escolares e também dos cursos de formação de professores do ensino fundamental e do ensino médio, com consequências que se fazem sentir até hoje (BARBOSA, 2003, p.15). Assim, a Geometria tem sido pouco a pouco excluída do currículo escolar a partir do MMM e as consequências estão sendo refletidas na formação dos alunos. A geometria é praticamente excluída do currículo escolar ou passa a ser, em alguns casos restritos, desenvolvida de uma forma muito mais formal a partir da introdução da Matemática Moderna, a qual se dá justamente quando se acirra a luta pela democratização das oportunidades educacionais, concomitante à necessidade de expansão da escolarização a uma parcela mais significativa da população. [...] É evidente que a exclusão 36 da geometria dos currículos escolares ou seu tratamento inadequado podem causar sérios prejuízos à formação dos indivíduos (PAVANELLO, 2004, p.2-3). Progressivamente, após o MMM iniciaram-se movimentos realizados em diversos países e organizados por professores e pesquisadores para discussão e reflexão sobre a questão do abandono e do fracasso da Geometria. Apesar da diferença de ensino entre os países, a busca pelo resgate do ensino de Geometria foi pesquisada por alguns autores como Bastos (2006, 2007), Ponte (1994), Pavanello (1989, 1993), dentre outros, principalmente de Portugal e Brasil. Entretanto, houve preocupação na revitalização do ensino de Geometria. A preocupação em resgatar o ensino da geometria como uma das áreas fundamentais da Matemática tem levado muitos professores e pesquisadores a se dedicarem à reflexão e à elaboração, implementação e avaliação de alternativas, que busquem superar as dificuldades não raro encontradas na abordagem desse tema, na escola básica ou em níveis superiores de ensino (FONSECA et al., 2002, p. 91). Pereira (2001) fez uma análise sobre o abandono do ensino de Geometria para melhor compreensão e retomada da Geometria nos currículos escolares. Na análise usou 6 (seis) dissertações de mestrado e 2 (duas) teses de doutorado de alguns autores, dentre eles, Pavanello (1989). A pesquisa/inventário verificou problemas com a formação do professor, omissão da Geometria em livros didáticos e lacunas deixadas pelo MMM. O autor chegou à conclusão que o MMM contribuiu para o abandono da Geometria: O MMM propõe um trabalho com Geometria sob o enfoque das estruturas, feito por planos vetoriais ou por transformações, provocando um descontentamento entre os professores. [...] o MMM levou os professores a uma compilação dos livros didáticos da época, e pela dificuldade de uma nova abordagem teórica, conduziu-os para a Teoria dos Conjuntos, abandonando ou mesmo diminuindo o ensino da Geometria; predominando, pois, o ensino da Álgebra (PEREIRA, 2001, p. 63). Assim, as dificuldades em Geometria se intensificaram e, aos poucos, foram sendo eliminadas dos currículos escolares e, no decorrer do tempo, observou-se que o aluno aprendeu muito pouco de Geometria através dos currículos. Fato esse responsável pelo fraco desempenho em Geometria por parte dos alunos em diversas avaliações. O aluno não compreende a Geometria, o que torna a sua aprendizagem difícil e desafiadora. Miskulin (1994) assim se refere ao ensino- aprendizagem de conceitos geométricos e a atitude negativa dos alunos com a Matemática: 37 Da maneira como os conceitos geométricos vêm sendo apresentados e trabalhados no contexto educacional, poderíamos inferir que a Geometria tem sido vista como um tópico da Matemática que tem provocado um sentimento forte de aversão aos que com ela convivem. Nota-se também que a riqueza intuitiva dos alunos, em relação à Geometria, foi ‘sufocada’ pelo sistema escolar (MISKULIN, 1994, p. 37). O desenvolvimento da Tecnologia na sociedade vêm sendo propagada em alta velocidade, tornando inevitável o impacto de novos recursos tecnológicos nos currículos escolares. Nota-se que os recursos didáticos utilizados nos conteúdos do currículo de Matemática como calculadoras, vídeos, livros e outros estão se tornando incompletos. Como exemplo pode ser citado apenas a utilização do livro didático no processo ensino-aprendizagem, o que o torna um recurso incompleto à obtenção de um resultado satisfatório. Conforme Pereira (2005), a partir de 1988, a escolha do livro didático passou a ser feita pelos próprios professores, conforme nova legislação no Programa Nacional do Livro Didático (PNDL). Constantemente o Ministério da Educação (MEC) vem desenvolvendo a avaliação para o Ensino Fundamental e Médio nas disciplinas básicas e publicado no Guia de Livros Didáticos (BRASIL, 2008) e o Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio (PNLEM). Por meio da avaliação dos livros didáticos identificou-se um pequeno avanço nos conteúdos propostos de cada área e suas abordagens propícias no auxílio ao professor para a escolha do livro. Repara-se que no Brasil os livros didáticos destacam-se não apenas nos aspectos pedagógicos e de ensino- aprendizagem, mas, como mercadoria com produção, fabricação e comercialização. Essa comercialização do livro didático tem sido investida há décadas em programas de distribuição às escolas públicas, contudo, se percebe a não melhoria da qualidade do ensino-aprendizagem. Igualmente nota-se que os livros didáticos depreciam os conteúdos matemáticos de Geometria, inclusive por sua localização ao final das obras, embora oriente o trabalho pedagógico no ensino de Geometria interdisciplinar com outros conteúdos e áreas de apoio. Mesmo assim, o ensino aprendizagem em Matemática necessita de um apoio tecnologizado, com vistas a minimizar as defasagens de aprendizagem, retomada aos conceitos de Geometria e o despertar do querer aprender nos alunos. Aborda Miskulin (1994) que as novas tecnologias para o ensino da Matemática contribuem para a formação do indivíduo ao desenvolver sua capacidade de interpretar, compreender, visualizar, direcionar, retomar os conceitos geométricos e dar, assim, a devida importância ao ensino da Geometria nesse mundo tecnologizado. 38 Há alguns anos a disciplina de Matemática tem demonstrado resultados insatisfatórios em avaliações internas e externas, e esse insucesso escolar parece incontornável, o que resulta em prejuízos à aprendizagem e formação do aluno. Essa problemática representa uma preocupação constante, e os professores atribuem como foco principal da situação o currículo, os alunos, as famílias e até os próprios professores com suas metodologias e práticas de ensino. Já os alunos atribuem o fato de que é uma disciplina difícil de entender, assim como apontam que os professores não explicam bem e as aulas são desinteressantes, ou seja, desde o Ensino Fundamental já se desenvolve uma atitude negativa com a Matemática. Para a sociedade o problema está tanto nos professores como nos alunos, mas, a maioria dos professores, alunos, pais e comunidade escolar concorda que é uma disciplina de difícil compreensão e assimilação, resultando em consequências negativas à aprendizagem. Conforme Ponte (1994) esse fato tem algumas implicações. Para os professores, as causas do insucesso dos seus alunos são frequentemente a sua ‘má preparação’ em anos anteriores. [...] Apontam igualmente o facto de muitas famílias terem um nível sócio-económico e cultural muito baixo — ou terem um nível aceitável mas não incentivarem suficientemente os alunos. [...] os alunos não se esforçam, não prestam atenção nas aulas nem estudam em casa. Contestam também que os currículos são excessivamente longos e que a necessidade do seu cumprimento obriga a deixar para trás os alunos mais ‘lentos’. Para os alunos, a principal razão do insucesso na disciplina de Matemática resulta desta ser extremamente difícil de compreender. No seu entender, os professores não a explicam muito bem e nem a tornam interessante. Para os pais e para a opinião pública em geral, a responsabilidade está nos professores que não ensinam convenientemente — ou por falta de preparação ou porque não assumem o necessário nível de exigência — e nos alunos que não se esforçam o suficiente (PONTE, 1994, p.1-2). Entretanto, o insucesso no ensino-aprendizagem da Matemática, de acordo com Felicetti (2007), decorre dos séculos em que é trabalhada e desenvolvida de forma errada e, assim, desenvolvendo no aluno uma atitude negativa em relação à Matemática. [...] os fracassos apresentados pela disciplina de Matemática ao longo dos anos são devidos ao fato de a mesma ser erroneamente trabalhada, desenvolvendo dessa forma, no aluno, um sentimento negativo em relação à disciplina. O discente passa a não gostar de Matemática, toma aversão pela mesma, desenvolve o sentimento de medo em relação à Matemática, isto é, tornam-se alunos matofóbicos, pessoas matofóbicas (FELICETTI, 2007, p. 45). Uma possibilidade de resolução do problema que gera o insucesso em Matemática seriam as mudanças no sistema de ensino e adequações do currículo, 39 através de recursos que instiguem o aluno a querer aprender de forma significativa e interdisciplinar com outras áreas de conhecimento. E essas adequações conduzem à reflexão e análise das práticas pedagógicas, à formação continuada, à valorização da formação dos professores e o retorno da família e comunidade à escola. Moreira e Giardinetto (2016, p. 6) sugere a interdisciplinaridade: Como um momento possível na socialização do saber matemático aos alunos da educação básica, está se propiciando a análise de tais conceitos à luz das múltiplas determinações e mediações históricas que levou a humanidade a produzir aquele determinado conceito. Atualmente, devido à influência das pedagogias do “aprender a aprender11”, tem ocorrido um esvaziamento dos conteúdos. A escola pública sob a égide das pedagogias do ‘aprender a aprender’ não tem cumprido a sua função social cujo objetivo principal é a socialização do saber mais elaborado produzido pela humanidade. Ao contrário, o que essas pedagogias têm revelado é justamente uma secundarização dos conteúdos, um esvaziamento do trabalho dos professores e uma violação de direito dos filhos das classes trabalhadoras ao acesso a conhecimentos historicamente acumulados (PEREIRA, 2016, p. 35). A interdisciplinaridade contribui com a oportunidade de se trabalhar um determinado conceito sem limitá-lo a uma única disciplina, o que proporciona uma aprendizagem significativa e leva o aluno à reflexão crítica e à superação. O conhecimento do aluno desenvolve-se culturalmente e socialmente e, desse modo, o método de trabalho pedagógico requer diferenciação. [...] um método diferenciado de trabalho, especificando-se por passos que são imprescindíveis para o desenvolvimento do educando. O método de ensino visa estimular a atividade e a iniciativa do professor; favorecer o diálogo dos alunos entre si e com o professor, mas sem deixar de valorizar o diálogo com a cultura acumulada historicamente; levar em conta os interesses dos alunos, os ritmos de aprendizagem e o desenvolvimento psicológico, mas sem perder de vista a sistematização lógica dos conhecimentos, sua ordenação e gradação para efeitos do processo de transmissão-assimilação dos conteúdos cognitivos (PETENUCCI, 2008, p. 13). O trabalho pedagógico é fundamental na mediação do desenvolvimento do processo de ensino-aprendizagem do aluno, do pensamento, da análise, da imaginação e realidade da Matemática na vida. O professor se autoanalisa, reflete e repensa o seu papel na busca por obter meios de transformar e ampliar a 11 Segundo Martins e Duarte (2010, p.8) as pedagogias do “aprender a aprender” são: Escola Nova, do construtivismo, das competências, do professor reflexivo, dos multiculturalistas, de projetos, dentre outras. Disponível em: . Acesso em 20 set. 2016. http://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/109149/ISBN978857983%201034.pdf?sequence=2&isAllowed=y http://repositorio.unesp.br/bitstream/handle/11449/109149/ISBN978857983%201034.pdf?sequence=2&isAllowed=y 40 aprendizagem. “Ser professor é ser capaz de implementar seu próprio programa de desenvolvimento profissional. É estar aberto à aprendizagem no todo, é ser investigador no conjunto do trabalho docente” (FELICETTI, 2007, p. 43), e fazer parte da luta em prol da conquista de uma Educação de qualidade. O presente trabalho busca utilizar a Arte como caminho, ou seja, o meio de criação entre a imagem e os conceitos geométricos. Recurso interdisciplinar que propicia a utilização das obras de arte, a retomada da atração, pela análise de suas imagens na forma tridimensional ou pintada de modo bidimensional. Isto é, a leitura visual e geométrica no desenvolvimento do pensamento geométrico. E também a construção e investigação com os recursos softwares educativos, em especial os Simetrizadores. A Arte propicia o trabalho interdisciplinar numa perspectiva desejada que os conteúdos matemáticos sejam priorizados e, principalmente, que gerem o conhecimento. Propor neste trabalho o ensino da Matemática, em especial o da “Geometria Básica” com o auxílio da Arte significa: • Oportunizar atividades de Matemática para a compreensão dos conteúdos geométricos sistematizados como o desenvolvimento do raciocínio lógico e dedutivo, do pensamento geométrico, da visão bi e tridimensional, dentre outros. • Realizar uma reflexão crítica com a conexão interdisciplinar entre os conteúdos de Matemática e da Arte. • Traçar caminhos pedagógicos que possibilitem aos alunos associar essa conexão, utilizando como recursos os livros didáticos aliados à tecnologia, ou seja, conteúdos clássicos e não clássicos. • Buscar ampliar os conhecimentos, o ensino-aprendizagem na perspectiva de minimizar as defasagens de aprendizagem, desenvolvendo e transformando o ensino e sua visão social. • Possibilitar a intervenção pedagógica por meio da reflexão e análise dos conteúdos assimilados pelos alunos e a aplicação desses conteúdos no mundo, na sociedade e no seu cotidiano. A conexão interdisciplinar entre a Matemática e a Arte possibilita o processo de formação de conceitos e o professor é essencial na viabilização de tal processo. 41 1.1 Binômio Interdisciplinar: “Arte e Matemática” A Matemática apresenta invenções tão sutis que poderão servir não só para satisfazer os curiosos, como também para auxiliar as artes e poupar trabalho aos homens. René Descartes A interdisciplinaridade entre a Arte e a Matemática em sala de aula pode proporcionar uma melhora na aprendizagem, ativar a motivação pela análise e percepção dos efeitos visuais e no reconhecimento dos conceitos geométricos, bem como sua importância e a beleza escondida nas obras. Os traços da Matemática são encontrados nas fascinantes obras de arte, histórias em quadrinhos, mangás, fotografias, dentre outros. A Geometria é investigada através da Arte e desenvolve no aluno um olhar matemático diferenciado, reflexivo e analisador no processo formativo humano. Segundo os fundamentos filosóficos de Duarte Júnior (2007, p. 72), é preciso afirmar que: [...] arte-educação não significa o treino para alguém se tornar um artista. Ela pretende ser uma maneira mais ampla de se abordar o fenômeno educacional considerando-o não apenas como transmissão simbólica de conhecimento, mas como um processo formativo do humano. Um processo que envolve a criação de um sentido para a vida Alguns artistas plásticos não só influenciaram o estudo de Geometria, mas desenvolveram em suas obras as “geometrias das imagens e formas” transformando-as em simples composições de cores e formas geométricas. Os PCNs de Matemática (BRASIL, 1998) discorre sobre a possibilidade de fascínio do ensino da Geometria: Uma das possibilidades mais fascinantes do ensino de Geometria consiste em levar o aluno a perceber e valorizar sua presença em elementos da natureza e em criações do homem. Isso pode ocorrer por meio de atividades em que ele possa explorar formas como as de flores, elementos marinhos, casa de abelha, teia de aranha, ou formas em obras de arte, esculturas, pinturas, arquitetura, ou ainda em desenhos feitos em tecidos, vasos, papéis decorativos, mosaicos, pisos, etc. As atividades geométricas podem contribuir também para o desenvolvimento de procedimentos de estimativa visual, seja de comprimentos, ângulos ou outras propriedades métricas das figuras, sem usar instrumentos de desenho ou de medida. Isso pode ser feito, por exemplo, por meio de trabalhos com dobraduras, recortes, espelhos, empilhamentos, ou pela modelagem de formas em argila ou massa (BRASIL, 1998, p. 82-83). 42 É perceptível que a Matemática e a Arte demonstram diferenças em suas representações, mas, ao mesmo tempo, suas leituras se entrelaçam nas formas concretas ou abstratas, surgindo descobertas Matemática em suas obras. A natureza traz a visão de entrelaçamento do binômio: Arte e Matemática. Segundo Barth (2006, p. 2) “Artistas e matemáticos são privilegiados leitores da natureza; é, pois, com a linguagem visual e a linguagem formal que complementam essa leitura inspirada na natureza, realizam novas descobertas, encontrando formas geométricas bem definidas e inspiradoras [...]”. A partir da Geometria na Arte, surgem as visões de verdadeiras obras de arte, utilizando os conceitos geométricos como formas e figuras geométricas, simetria, ângulo, perspectiva, ponto de fuga, distância, dentre outros, proporcionando ao observador/aluno a construção do pensamento visual do concreto ou/e do abstrato. De acordo com os PCNs verifica-se que “o trabalho é feito a partir da exploração dos objetos do mundo físico, de obras de arte, estabelecendo conexões entre a Matemática e outras áreas do conhecimento [...]” (BRASIL, 1998, p. 39). No que tange aos conceitos geométricos desenvolvidos em sala de aula, em sua maioria, encontram-se restritos às aplicações no cotidiano, como visualizações de formas geométricas, surgindo limitações à aprendizagem Matemática. E o objetivo é unir tais conceitos com o apoio da Arte e assim reduzir as defasagens e ampliar a aprendizagem e a compreensão dos conteúdos matemáticos do Ensino Fundamental, principalmente, os conhecimentos “Geométricos Básicos”. De acordo com o Currículo de Matemática do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2012) a Geometria no Ensino Fundamental e Médio tem quatro faces “a percepção, a concepção, a construção e a representação”. A compreensão da Geometria no mundo e ao nosso redor, relaciona-se as formas, as figuras e o espaço em real ou imaginário. [...] Geometria, tanto no Ensino Fundamental quanto no Ensino Médio, é o fato de que o conhecimento geométrico apresenta quatro faces, que se relacionam permanentemente na caracterização do espaço: a percepção, a concepção, a construção e a representação. Não são fases, como as da Lua, que se sucedem linear e periodicamente, mas faces, como as de um tetraedro, que se tocam mutuamente, contribuindo para uma compreensão mais rica da natureza do espaço em que vivemos. [...] Geometria costuma realizar-se por meio da percepção imediata das formas geométricas e de suas propriedades características, tendo por base atividades sensoriais como a observação e a manipulação de objetos, desde muito cedo tais atividades relacionam-se diretamente com a construção, a representação ou a concepção de objetos, existentes ou imaginados (SÃO PAULO, 2012, p. 42). 43 A Geometria no estudo de figuras, formas e relações deve propiciar aos alunos a possibilidade de relacionar a Matemática na perspectiva do desenvolvimento do pensar, do saber e dos conceitos geométricos. Para Barth (2006, p. 4) “entender o espaço e as formas geométricas significa também prevenir determinadas dificuldades de aprendizagem; algumas de percepção espacial, por exemplo, essencialmente ao início do processo de alfabetização [...]”. As noções de Geometria também são desenvolvidas nas relações espaciais, ou seja, do específico para o geral, da plana para a espacial, ou vice-versa, ampliando a visão espacial do aluno, conforme os PCNs de Matemática. Os objetos que povoam o espaço são a fonte principal do trabalho de exploração das formas e o aluno deve ser incentivado, a identificar, a reconhecer e encontram formas distintas, tridimensionais e bidimensionais, planas e não planas ao seu redor e a fazer construções, modelos ou desenhos do espaço e descrevê-los. [...] Dessa exploração resultará o reconhecimento de figuras tridimensionais (como cubos, paralelepípedos, esferas, cilindros, cones, pirâmides, etc.) e bidimensionais (como quadrados, retângulos, círculos, triângulos, pentágonos, etc.) e a identificação de suas propriedades (BRASIL, 1998, p. 82). No entanto, o trabalho geométrico não proporciona apenas o reconhecimento das figuras e formas geométricas, mas, também, as noções de perspectivas do espaço bidimensional ou tridimensional. Um conceito importante na Arte é a tridimensionalidade, que parte de um plano bidimensional (comprimento e largura), ou seja, de uma folha de papel, dobrada ou cortada, para um plano tridimensional (comprimento, largura ou profundidade e altura). Uma representação dessa tridimensionalidade é a perspectiva, desenvolvendo os princípios básicos da Geometria com muita precisão, ampliando a percepção visual e a ilusão de realidade. O artista Escher (1898-1972) desenvolveu essa técnica em suas obras. A partir de formas geométricas a tridimensionalidade se transforma em uma escultura ou desenho em relevo. E o raciocínio espacial ou imaginação Matemática é desenvolvido na visualização mental de todas as fases da escultura ou desenho em relevo inclui-se o brilho e a sombra. Verifica-se que a introdução da tridimensionalidade nas pinturas, de acordo com Silva (2013), ocorreu nas pinturas renascentistas, possibilitando a representação dos conceitos geométricos, seu desenvolvimento no ensino- aprendizagem e a visualização da ilusão nas obras. 44 Focar nas pinturas renascentistas, pois o que as diferencia das pinturas das épocas anteriores é precisamente a introdução da terceira dimensão, que permite ver a cena no espaço, representar a distância, o volume, a massa e os efeitos visuais. Além disso, esse não é um assunto comumente trabalhado no ensino fundamental, mas que é fértil em conhecimentos geométricos e que devem ser explorados como: razão, proporção, semelhança, congruência, áreas, perímetros, figuras geométricas e suas propriedades (SILVA, 2013, p. 16). O Renascimento surge na Itália, a partir do século XIV, com a valorização do homem (humanismo) e da natureza, com características de racionalidade, dignidade do ser humano, rigor científico e ideal humanista na arquitetura, pintura e escultura. Além de reviver a antiga cultura greco-romana, houve progressos e realizações no campo das artes, da literatura e das ciências. E com a reutilização das artes greco- romana como um movimento artístico que demonstrou o elo entre a Arte e Matemática, em uma conexão interdisciplinar. Com o surgimento do movimento artístico Op Art (Optical art ou arte óptica) na década de 60, as demonstrações de ilusão de ótica tridimensional tiveram impacto nessa conexão de abstração geométrica, se tornando mais próxima das ciências do que das humanidades e as possibilidades quanto na ciência como na tecnologia. Victor Vassarely (1908-1997) fora considerado o pai da Op Art e, no século XX, Maurits Cornelis Escher (1898- 1972) demonstrou em suas obras tal ilusão. Os conceitos representativos como instrumentos utilizados nessa conexão Arte e Matemática exemplificam: as transformações geométricas, as figuras e formas geométricas, os objetos bi e tridimensionais, dentre outros. Na arte, a matemática propiciou instrumentos eficazes. Muitas vezes, foram tais instrumentos que se revelaram pontos de referência para caracterização de determinados períodos da arte. Por exemplo, um elemento importante que difere a arte renascentista da arte no período medieval foi a utilização da perspectiva na representação plana de objetos do espaço tridimensional (BOYER, 1974, p. 215). As concepções de transformações geométricas (reflexão, rotação e translação) e a perfeição das formas geométricas foram elementos de inspiração de muitos artistas, como por exemplo, Escher (GIARDINETTO, 2004, p. 12-13). E esses conceitos geométricos utilizados no mundo real e imaginário colaboram na construção e ampliação do conhecimento e aprendizagem do aluno, como mostra a Figura 1 ao apresentar o fluxograma Espaço e Forma. 45 Figura 1 ‒ Fluxograma Espaço e Forma Fonte: Adaptado a partir do fluxograma no site da UFRGS O binômio “Arte e Matemática” são utilizados como instrumento de análise, de desenvolvimento e de conhecimento geométrico sobre as transformações geométricas, as obras de arte e os softwares educativos com a demonstração de que as duas áreas de conhecimento, mesmo sendo diferentes, se interligam interdisciplinarmente. Na concepção de Cândido (2011) a Arte e a Matemática são áreas distintas, mas, em determinados momentos, elas se integram, completam-se em conhecimento, e a conexão entre as áreas é incontestável. E essa ligação na Educação Matemática tem o olhar geométrico bem conectado com a Matemática e a Arte, o que propicia o enriquecimento da aprendizagem e a compreensão dos conteúdos sobre Geometria e Arte auxiliar. Conforme Fonseca et al. (2002) a Geometria é um caminho para a compreensão e apreciação das obras do homem, que promove valores culturais e estéticos. A contextualização da Arte como auxílio à Matemática proporciona o aluno a perceber a conexão entre as áreas de conhecimento e instiga o interesse e a curiosidade Matemática ou/ artística. Segundo Alves (2013) trabalhar interdisciplinarmente significa: http://mdmat.mat.ufrgs.br/anos_iniciais/simetria/simetria.htm 46 Trabalhar a Matemática através da Arte é utilizar os elos atrás descritos, existentes entre a Arte e a Matemática, para fornecer aos alunos uma visão mais ampla do mundo, ao mesmo tempo em que abordagens mais interessantes e apelativas da Matemática são possíveis. [...] o ensino da Matemática carece de uma forma de apresentação mais apelativa do que aquela a que tradicionalmente se recorre. O recurso à ludicidade, assim como a sua contextualização (aspetos que se encontram inter- relacionados), são modos importantes de motivar para a aprendizagem desta disciplina (ALVES, 2013, p.44). E essa ligação aproxima o aluno do conhecimento matemático e do desenvolvimento da visão geométrica, através da análise de obras de artes, desenhos, fotografias, histórias em quadrinhos, dentre outros. As imagens apresentadas na arte, em especial nas obras de arte, surgem como um caminho ao ensino, por facilitar ao aluno a compreensão, leitura e representação da imagem, visão de mundo e significados escondidos no olhar de quem as produziu. Essa visão de mundo inclui o passado, o presente e o futuro, segundo Peixoto (2003, p. 52-53). [...] toda grande obra – em especial de filósofos, escritores ou artistas – expressa, de modo relativamente coerente e adequado, uma visão de mundo. [...] A visão de mundo envolve, não apenas um momento presente ou passado: também pode expressar projeções do futuro, com base nas percepções e interpretações possibilitadas pelo movimento da historia humana. E os significados escondidos na obra, revelam que a Arte não é uma produção automática, mas, produto humano que pode determinar as transformações no plano original do trabalho do artista e no desenvolver de sua criação, elaboração, compreensão no conteúdo da obra, isto é, nas maneiras de ser, pensar e criar do artista. Afirma Zamboni (1998, p. 54) que “[...] o ver em sentido mais amplo requer um grau de profundidade muito maior, porque o indivíduo tem, antes de tudo, de perceber o objeto em suas relações com o sistema simbólico que lhe dá significado”. Conclui-se que esse olhar analisador na arte, representa o significado do passado, do presente e do futuro, sendo mediador de significados, em especial significados da Geometria. Assim, [...] ao olhar para uma obra de arte, uma imagem ou outra representação, o fruto desse olhar é reflexo de uma história pessoal e única, vivida em determinada sociedade, cultura e época. Cada pessoa gera um repertório individual, um conjunto de valores, conceitos, ideias, sentimentos e emoções que vão tecendo uma rede de significados para si. [...] a arte é mediadora de significados e cada pessoa poderá ter uma resposta na apreciação de um objeto artístico. [...] Da mesma forma como busquei 47 aspectos significativos da arte, fui em busca daqueles significativos da geometria (CÂNDIDO, 2011, p. 69-73). A arte na sociedade atual tornou-se um produto e conhecimento da burguesia, excluindo-se a sociedade menos favorecida, afetando o saber artístico e, consequentemente, a não valorização deste conhecimento. Uma obra de arte produzida em sociedades do passado gera em nós essa autoconsciência, porque a relação entre seu conteúdo e sua forma nos leva a viver os conflitos humanos representados na obra artística como nossos conflitos. [...] Se a arte propiciar aos indivíduos uma vivência subjetiva intensificada de conflitos que impulsionem a autoconsciência a níveis cada vez mais elevados, ela desempenhará uma função formadora, isto é, educativa. (DUARTE, 2009, p. 469-470). A arte não se limita apenas ao cotidiano e ao mundo social, mas, na superação da vida e dos acontecimentos sociais e naturais. As obras de arte propiciam a universalidade do sentimento e a apreciação dos variados estilos artísticos e suas manifestações. Assim, arte desenvolve o não fetichismo da realidade e de si mesmo, “a arte uma missão desfetichizadora, ou seja, missão de mostrar o mundo como obra humana (os seus aspectos positivos e negativos)” (DUARTE, 2016, p. 85). Utilizar a Arte como um meio interdisciplinar se torna essencial a relação Arte e Matemática, por valorizar as experiências e conhecimentos. Prioriza-se a compreensão da Matemática e a contribuição de conceitos para atender as necessidades da sociedade. Portanto, é fundamental desenvolver a visão geométrica e artística do aprendiz na sociedade, pela produção, pela apreciação artística e pela reflexão. Para desenvolver esse tripé (produção, apreciação artística e reflexão ou o fazer artístico, a história da arte e a leitura de obras) tomou-se como base a “Proposta ou Metodologia Triangular12” de Ana Mae Barbosa foi sistematizada em 1987, e inseriu-se na década de 90 na LDB nº 9394/96 composto pelo fazer artístico, análise de obras e objetos de arte e a história da arte. O componente curricular Arte, previsto nos PCNs de Arte, parte de quatro linguagens sendo: as artes visuais, o teatro, a dança e a música. Os principais pontos no processo ensino-aprendizagem da Arte são: a leitura, a análise e a interpretação da 12 Ana Mae Barbosa apresenta a “Metodologia Triangular”, a história da arte, leitura da obra de arte e fazer artístico que foi adotada no Museu de Arte Contemporânea de São Paulo (MAC). A leitura da imagem no ensino da Arte. Cf. BARBOSA, A. M. A imagem no ensino da arte: anos oitenta e novos tempos. 6.ed. São Paulo: Perspectiva, 2005. 48 imagem, o fazer artístico e sua contextualização. A democratização do saber e o ensino em Arte, de acordo os PCNs de Arte (BRASIL, 1998, p.29), desenvolvem “habilidades de percepção, intuição, raciocínio e imaginação”. O conhecer da Arte contempla o pensamento visual e geométrico, a sensibilização e a imaginação desde as obras tradicionais às modernas e tecnológicas, possibilitando combinações entre elas. As artes visuais, além das formas tradicionais (pintura, escultura, desenho, gravura, arquitetura, artefato, desenho industrial), incluem outras modalidades que resultam dos avanços tecnológicos e transformações estéticas a partir da modernidade (fotografia, artes gráficas, cinema, televisão, vídeo, computação, performance). Cada uma dessas visualidades é utilizada de modo particular e em várias possibilidades de combinações entre imagens, por i