João Evangelista Brito da Silva Teorema de Pitágoras: algumas extensões/generalizações e atividades com o Software GeoGebra São José do Rio Preto 2014 João Evangelista Brito da Silva Teorema de Pitágoras: algumas extensões/generalizações e atividades com o Software GeoGebra Dissertação de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós- Graduação em Matemática Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto. Orientadora: Profª. Drª. Ermínia de Lourdes Campello Fanti São José do Rio Preto 2014 Silva, João Evangelista Brito da. Teorema de Pitágoras : algumas extensões/generalizações e atividades com o Software GeoGebra / João Evangelista Brito da Silva. -- São José do Rio Preto, 2014 152 f. : il. Orientador: Ermínia de Lourdes Campello Fanti Dissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. Matemática - Estudo e ensino. 2. Pitágoras, Teorema de - Estudo e ensino. 3. Tecnologia educacional. 4. Ensino auxiliado por computador. I. Fanti, Ermínia de Lourdes Campello. II. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. III. Título. CDU – 51(07) Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto João Evangelista Brito da Silva Teorema de Pitágoras: algumas extensões/generalizações e atividades com o Software GeoGebra Dissertação de Mestrado Profissional apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós- Graduação em Matemática Profissional em Rede Nacional - PROFMAT, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto. Banca Examinadora: Profª. Drª. Ermínia de Lourdes Campello Fanti UNESP – São José do Rio Preto Orientador Profª. Drª. Evelin Meneguesso Barbaresco UNESP – São José do Rio Preto Prof. Dr. Tomas Edson Barros UFSCAR – Universidade Federal de São Carlos São José do Rio Preto 2014 Dedico este trabalho a minha esposa Jô e aos meus estimados filhos, Gabriel e Jordana. AGRADECIMENTOS Primeiramente, sempre a Deus, que nos brindou com saúde para a realização deste. Por sempre estar presente, iluminando o nosso caminho. À minha esposa e filhos, pelo apoio, incentivo nos momentos difíceis e que, pacientemente, souberam dividir o nosso precioso tempo com este projeto. A toda minha família, que mesmo à distância, sempre incentivou e torceu pelo sucesso deste trabalho. À Profª. Drª. Ermínia de Lourdes Campello Fanti, pela tranquilidade e paciência que conduziu a orientação deste trabalho. Muito obrigado pelas sábias sugestões e ensinamentos, sem os quais seria impossível a conclusão deste trabalho. Especialmente ao Prof. Hermes Antonio Pedroso, que colaborou efetivamente na realização deste. Muito obrigado por sua característica paciência, por indicar os caminhos e por todas as sugestões, principalmente as de História da Matemática. Sem você este trabalho não seria o mesmo. Aos membros da banca, pelas sugestões que tornaram este trabalho mais completo. À Coordenação do PROFMAT e a todos os docentes do Departamento de Matemática envolvidos neste importante projeto. À CAPES pela concessão da bolsa de estudos. A todos os colegas de curso, pela amizade, incentivo, exemplo e determinação. Ao Fábio Maia, pelo companheirismo nos incontáveis sábados e domingos de estudos e preparação para o ENQ. Ao amigo Leonardo, sempre presente, não nos deixando desanimar nos momentos ruins e pelos palpites nas figuras. Ao amigo João Paulo Vani, pelas excelentes e valiosas dicas na formatação do texto. À amiga e Prof. Célia Regina Barbieri, pelo apoio na aplicação da atividade proposta na sala de informática. Aos Professores Eurípides Alves da Silva e Adalberto Spezamiglio, pela atenção dispensada. A todos, que direta ou indiretamente, fizeram parte deste belíssimo e importante momento de minha vida. “A educação é a arma mais poderosa que você pode usar para mudar o mundo.” Nelson Mandela “Há uma força motriz mais poderosa que o vapor, a eletricidade e a energia atômica: a vontade.” Albert Einstein RESUMO O objetivo principal deste trabalho é estudar algumas extensões de um dos teoremas mais importantes e divulgados da matemática elementar: o Teorema de Pitágoras, que tem suas aplicações em diversas áreas do conhecimento. A princípio é realizado um breve resgate histórico da vida de Pitágoras, o surgimento do teorema e suas aplicações. Por possuir mais de 400 demonstrações, elencamos algumas delas e as reproduzimos. Algumas demonstrações podem ser feitas de maneira lúdica, em forma de quebra-cabeça e outras que se tornaram famosas ao longo da história. São feitas várias extensões do teorema, para polígonos regulares, polígonos semelhantes e figuras não retilíneas. A generalização de Polya também é enunciada e demonstrada, situação em que o padrão pitagórico (relação entre as áreas) é válido para quaisquer tipos de figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, sendo o Teorema de Pitágoras um caso particular, bem como a generalização de Pappus. Com o uso do software GeoGebra, foram propostas e desenvolvidas atividades em sala de informática, explorando o Teorema de Pitágoras e algumas de suas extensões. Por fim, é analisado como o Teorema de Pitágoras e o seu ensino são abordados em certos documentos oficiais de ensino no Brasil (PCNs, Currículo do Estado de São Paulo, matrizes de referências do SARESP, SAEB e ENEM). Palavras-chave: Teorema de Pitágoras, Extensões e generalizações do Teorema de Pitágoras, Generalização de Polya, Generalização de Pappus, Ensino de Matemática; Software Geogebra. ABSTRACT The main objective of this work is to study some extensions of one of the most important and published elementary mathematics theorem: the Pythagorean Theorem, which has applications in many areas of knowledge. We begin with a brief historical review of the life of Pythagoras, the emergence of the theorem and its applications. From over 400 existing proofs, we list some of them and reproduce. Some proofs can be made in a playful manner, as shaped puzzle and others have become famous throughout the history. Several extensions of the theorem are presented for regular polygons, similar polygons and non-rectilinear figures. The generalization of Polya is also stated and demonstrated, in which the Pythagorean pattern (area ratio) is valid for any kind of similar figures constructed on the sides of a right triangle, being the Pythagorean theorem a particular case, as well as the generalization of Pappus. By using the GeoGebra software, we proposed and developed activities in a computer lab, exploring the Pythagorean Theorem and some of its extensions. Finally, it is analyzed how the Pythagorean Theorem and its teaching are cited in some official documents concerning education in Brazil (PCNs, Curriculum of São Paulo, matrices of references SARESP, SAEB and ENEM) . Keywords: Pythagorean Theorem, extensions and generalizations of the Pythagorean Theorem, Generalization of Polya, Generalization of Pappus, Teaching of Mathematics, Software Geogebra. SUMÁRIO INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 11 CAPÍTULO 1 – UM POUCO DE HISTÓRIA ................................................................... 13 1.1. Pequena biografia de Pitágoras ............................................................................ 13 1.2. Teorema de Pitágoras: alguns dados históricos ............................................... 16 1.3. Importância e aplicações do Teorema de Pitágoras ........................................ 19 CAPÍTULO 2 – O TEOREMA DE PITÁGORAS – ALGUMAS DEMONS- TRAÇÕES ............................................................................................................................... 21 2.1. O Teorema de Pitágoras no livro “Os Elementos” de Euclides....................... 21 2.2. Outras demonstrações do Teorema de Pitágoras ............................................ 27 2.2.1. O enunciado do Teorema de Pitágoras .................................................. 27 2.2.2. A demonstração clássica: uma prova experimental ............................. 28 2.2.3. Mais uma prova experimental: decomposição em 5 polígonos.......... 30 2.2.4. A prova tradicional: a demonstração que usa semelhança ................ 33 2.2.5. A demonstração de Bhaskara.................................................................... 34 2.2.6. A demonstração do presidente ................................................................. 35 2.2.7. A demonstração de Perigal ........................................................................ 36 2.2.8. A demonstração de Leonardo da Vinci ................................................... 38 2.3. A recíproca do Teorema de Pitágoras ................................................................ 39 CAPÍTULO 3 – TEOREMA DE PITÁGORAS: EXTENSÕES E GENERALI- ZAÇÕES.................................................................................................................................... 42 3.1. Extensões do Teorema de Pitágoras para polígonos: ...................................... 42 3.1.1. Triângulos obtidos a partir dos quadrados dos catetos e hipotenusa.. 42 3.1.2. Triângulos equiláteros ................................................................................. 43 3.1.3. Triângulos semelhantes ............................................................................. 45 3.1.4. Hexágonos regulares .................................................................................. 48 3.1.5. Polígonos regulares: caso geral ............................................................... 49 3.1.6. Polígonos semelhantes .............................................................................. 50 3.2. Algumas extensões retilíneas ................................................................................ 52 3.3. Extensões não retilíneas ......................................................................................... 56 3.3.1. Círculos inscritos nos quadrados ............................................................. 56 3.3.2. Semicírculos com diâmetros iguais aos lados ....................................... 57 3.3.3. Quadrantes de círculos ............................................................................... 57 3.3.4. Setores angulares ........................................................................................ 58 3.3.5. Arcos ogivais ................................................................................................. 59 3.3.6. Outras extensões não retilíneas................................................................. 61 3.4. Lúnulas de Hipócrates e algumas extensões do Teorema de Pitágoras ..... 67 3.4.1. Construção geométrica de uma lúnula .................................................... 68 3.4.2. Aplicação: as lúnulas no triângulo retângulo ......................................... 68 3.4.3. As lúnulas e uma extensão do Teorema do Pitágoras para triângulo retângulo isósceles .................................................................................. 70 3.4.4. As lúnulas e mais uma extensão do Teorema de Pitágoras ............... 71 3.5. Uma extensão elíptica ............................................................................................. 74 3.6. A generalização de Polya ...................................................................................... 77 3.6.1. Um pouco sobre George Polya ................................................................. 77 3.6.2. A generalização de Polya e o Teorema de Pitágoras........................... 77 3.7. A generalização de Pappus ................................................................................... 82 3.7.1. Um pouco sobre Pappus ............................................................................ 82 3.7.2. A generalização de Pappus e o Teorema de Pitágoras ...................... 82 CAPÍTULO 4 – PROPOSTA DE ATIVIDADE EM SALA DE INFORMÁTICA COM O USO DO SOFTWARE GEOGEBRA ................................................................. 86 4.1. Parte : atividades propostas para alunos que já tiveram contato com o Teorema de Pitágoras, a partir da 8ª série/9ºano ............................................. 88 4.2. Parte : atividade proposta para alunos da 6ª série/7ºano, que ainda não tiveram contato com o Teorema de Pitágoras ................................................... 95 4.3. Relato de experiência .............................................................................................. 98 4.4. Dificuldades encontradas ....................................................................................... 101 CAPÍTULO 5 – O TEOREMA DE PITÁGORAS EM ALGUNS DOCUMENTOS OFICIAIS DE ENSINO ......................................................................................................... 103 5.1. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) e o Teorema de Pitágoras. 103 5.1.1. Um pouco sobre os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do Ensino Fundamental ................................................................................................ 103 5.1.2. Os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática no Ensino Fundamental (5ª série/6º ano à 8ª série/9º ano) e o Ensino do Teorema de Pitágoras ............................................................................................................... 105 5.2. O ensino do Teorema de Pitágoras de acordo com o Currículo do Estado de São Paulo ............................................................................................................. 108 5.2.1. Um pouco sobre o Currículo do Estado de São Paulo ........................ 108 5.2.2. O Currículo de Matemática e suas Tecnologias e o ensino do Teorema de Pitágoras ............................................................................................. 109 5.3. O Teorema de Pitágoras nas Matrizes de Referência para avaliação do SARESP ..................................................................................................................... 116 5.3.1. Um pouco sobre o SARESP ...................................................................... 116 5.3.2. Matrizes de Referência para a avaliação ............................................... 117 5.4. As avaliações do SAEB e o Teorema de Pitágoras .......................................... 120 5.4.1. Um pouco sobre o SAEB ........................................................................... 120 5.4.2. A Matriz de Referência de Matemática do SAEB e o Teorema de Pitágoras ..................................................................................................................... 121 5.5. O Teorema de Pitágoras na Matriz de Referência para o ENEM .................. 122 5.5.1. Um pouco sobre o ENEM .......................................................................... 122 5.5.2. A matriz de referência para o ENEM ....................................................... 123 Apêndice ............................................................................................................................... 126 Apêndice .............................................................................................................................. 132 Considerações finais ............................................................................................................. 147 Referências bibliográficas .................................................................................................... 148 INTRODUÇÃO O tema deste trabalho é um dos teoremas mais importantes e conhecidos na Matemática: o Teorema de Pitágoras. Este é considerado um dos alicerces da Matemática, pois possui inúmeras aplicações em diversas áreas do conhecimento. Nosso objetivo principal foi estudar e demonstrar várias extensões do teorema, finalizando com as generalizações de George Polya e de Pappus de Alexandria, nas quais o Teorema de Pitágoras é um caso particular. Também foram realizadas atividades em sala de informática, aplicadas a alunos de uma escola pública, com o uso do software GeoGebra. O trabalho ficou dividido em cinco capítulos e dois apêndices. No Capítulo 1, é feita uma breve pesquisa histórica sobre a vida de Pitágoras, importância e aplicações do Teorema. No Capítulo 2, são apresentadas diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras, como a demonstração que consta no livro Os Elementos, de Euclides, um dos primeiros registros históricos da demonstração do teorema (Proposição 2.4). Constam também algumas demonstrações que se tornaram famosas ao longo do tempo, como a que foi feita por Ozanam, utilizando uma decomposição adequada em 5 polígonos (Proposição 2.6), e a de Perigal (Proposição 2.10), demonstrações estas que podem ser exploradas de maneira lúdica com a construção de quebra- cabeças. Demonstrações de pessoas ilustres, como a de Bhaskara, Leonardo da Vinci e até uma de um ex-presidente dos Estados Unidos também são realizadas neste capítulo. No Capítulo 3 são estudadas e demonstradas diversas “extensões” do teorema, para polígonos regulares, polígonos semelhantes e figuras retilíneas. Também foram realizadas várias extensões com figuras não retilíneas, figuras formadas por arcos de circunferências e/ou segmentos de reta. É apresentada e demonstrada a generalização de Polya, mostrando que o padrão pitagórico (relação entre áreas) continua válido para quaisquer figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, independente de suas formas geométricas. Por fim, é feita a generalização de Pappus, onde é possível construir paralelogramos sobre os lados de um triângulo qualquer de modo que os mesmos preservam a relação entre as áreas (padrão pitagórico), sendo o Teorema de Pitágoras um caso particular. No Capítulo 4, é apresentada uma proposta de atividades em sala de informática com o uso do software GeoGebra. Nessas atividades são explorados o Teorema de Pitágoras e algumas de suas extensões, com a construção de alguns polígonos e também figuras circulares sobre os lados do triângulo retângulo, levando os alunos a verificarem que o padrão pitagórico (relação entre as áreas) é válido também para outros tipos de figuras construídas sobre os lados do triângulo retângulo e não somente para quadrados. No Capítulo 5, é analisado como o Teorema de Pitágoras e o seu ensino são abordados em certos documentos oficiais de ensino (PCNs, Currículo do Estado de São Paulo, Matrizes de Referências do SARESP, SAEB e ENEM). Finalizando o trabalho, nos Apêndices e , são realizadas as demonstrações das extensões retilíneas e não retilíneas apresentadas no Capítulo 3, e que não tinham sido provadas Vale ressaltar que as duas referências principais para o desenvolvimento do Capítulo 3 foram LOURENÇO; SILVA (1992) e BARBOSA (1998) e que a maioria das figuras foram baseadas nestas referências e reconstruídas pelo próprio autor com o uso do software GeoGebra. CAPÍTULO 1 – UM POUCO DE HISTÓRIA 1.1. PEQUENA BIOGRAFIA DE PITÁGORAS Pitágoras nasceu em Samos, uma ilha grega na costa marítima do que hoje é a Turquia, por volta de 570 a.C. Como todos os documentos da época se perderam, a doutrina e a vida de Pitágoras está envolta de muitos mistérios, nada pode ser afirmado com muita certeza. Tudo que se sabe sobre Pitágoras veio através de referências de outros autores que viveram séculos depois. Sua morte se deu em Crotona, cidade da Itália meridional, provavelmente, por volta de 500 a.C., com a destruição de sua Escola Pitagórica e o seu possível assassinato. Porém, não existe certeza sobre a data de sua morte, alguns dizem que Pitágoras conseguiu fugir para Metaponto, sul da Itália, onde permaneceu até o fim de sua vida. Figura 1 – busto de Pitágoras. Fonte: Site “Mundo da Filosofia”1 Pitágoras, que quando criança já se revelava prodigioso, até os 18 anos teve como mestre Hermodamas, de Samos. Posteriormente, foi aluno de Tales, em Mileto, e depois foi ouvinte das conferências de Anaximandro, onde provavelmente recebeu instrução matemática e filosófica. Em todas as fontes sobre a vida de Pitágoras, relata-se que realizou inúmeras viagens e peregrinações. Permaneceu cerca de 25 anos no Egito, onde, provavelmente, extraiu os conhecimentos matemáticos e filosóficos que fundamentariam o seu ensinamento futuro. Encontrou-se com o faraó Amasis que o admitiu nos templos iniciáticos do Egito. Existem ainda indícios de que teria sido discípulo de Zorastro (profeta e sacerdote persa), e que talvez tenha ido até à Índia. Pitágoras teria voltado para Samos com 56 anos, com a intenção de ali fundar uma escola iniciática. Seus ensinamentos atraiu a atenção de muitos discípulos, mas também provocou a inimizade de Policrates, tirano de Samos. Partiu então para Crotona, reunindo ali um grupo de discípulos e iniciando-os nos conhecimentos de Matemática, Música e Astronomia. Estava fundada então a Escola Pitagórica, uma instituição religiosa e intelectual, cujos principais conceitos eram: Prática de rituais religiosos na crença de que as almas se transmigram de um corpo a outro após a morte; Lealdade entre os membros; Total entrega da mente ao estudo de Geometria, Aritmética, Música e Astronomia. Com o passar do tempo e devido às ideias da Escola Pitagórica, Pitágoras foi colecionando vários inimigos. Um deles, que não foi aceito em sua Escola, começou a persegui-lo e, através de falsos testemunhos, colocou o povo da cidade de Crotona contra Pitágoras. A Escola então fora destruída. Como a Escola Pitagórica era secreta, Pitágoras não deixou nenhum registro escrito, e provavelmente, todos os que existiam foram perdidos com a morte de seus discípulos, e a aniquilação dos pitagóricos. Pitágoras foi uma das personalidades retratadas no famoso afresco “A Escola de Atenas”, uma das mais famosas pinturas do renascentista italiano Rafael Sanzio (1483 – 1520) e representa a Academia de Platão. Foi pintada entre 1509 e 1510 na Stanza della Segnatura sob encomenda do Vaticano. Figura 2 – “A Escola de Atenas”, de Rafael Sanzio - Stanza della Segnatura, Vaticano. Fonte: Museu Vaticano2 No detalhe, na figura abaixo, a imagem de Pitágoras que foi representada no afresco pintado por Rafael. Figura 3 – Pitágoras, no detalhe de “A Escola de Atenas” Fonte: Museu Vaticano2 Além da grande contribuição para a Matemática, Pitágoras teve um importante papel na Música. A ele é atribuída a descoberta dos intervalos musicais, que quando dividimos uma corda ao meio, aumentamos o som em uma oitava. Na Astronomia, Pitágoras elaborou ideias revolucionárias para a época, como a tese de que a Terra e os outros planetas eram esféricos e que giravam ao redor do fogo central. Além disso, previu que os planetas possuíam órbitas com diferentes velocidades, e que existe uma ordem no Universo. No ramo da Filosofia, Pitágoras foi o primeiro a pensar na justiça, elaborando uma premissa a qual denominou de "justiça aritmética", em que, para cada ato, o indivíduo deveria receber uma punição ou um ganho proporcional ao ato cometido. 1.2. TEOREMA DE PITÁGORAS: ALGUNS DADOS HISTÓRICOS "Num triângulo retângulo, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos". Essa importante relação entre os três lados de um triângulo retângulo, ficou conhecida na Geometria Euclidiana como Teorema de Pitágoras. Mas séculos antes da existência de Pitágoras, o teorema já era conhecido por babilônios, egípcios e chineses, que utilizavam o resultado na resolução de problemas. Figura 4 – lustração do Teorema de Pitágoras. Fonte: Site “Grandes Matemáticos”3 Em seu livro "Was Pythagoras Chinese?" (1977), o autor Frank Swetz relata que o teorema já era conhecido pelos chineses e que pode ser encontrado no livro chinês "Zhoubi Suanjing", que data de 1100 a.C., embora haja alguns autores que datam o mesmo livro de 300 a.C. Esse livro reuniu 246 problemas muito antigos e, entre eles está o “Gou Gu”, o equivalente chinês do Teorema de Pitágoras, como pode ser visto na figura a seguir. A Figura 5, abaixo, contém uma demonstração do teorema de Pitágoras usando áreas. Estimativa de historiadores é que ela seja da dinastia Han, cerca de 1100 a. C. Como é certo que nenhuma publicação chinesa da antiguidade chegou ao ocidente, podemos concluir que dois povos distintos, com alguns séculos de diferença, descobriram o mesmo teorema. Figura 5 – Gou Gu. Fonte: Site Cultura Científica4 Alguns acreditam que a utilização do teorema é mais antiga ainda e há provas concretas que os babilônios antigos conheciam o Teorema de Pitágoras. Muitos dos tabletes de barro, que datam de 1800 a 1600 a. C., que foram encontrados e decifrados evidenciam este fato. Um deles, que se chama Plimpton 322, e se encontra atualmente na Universidade de Columbia, contém uma tabela de 15 linhas e 3 colunas, contendo ternos pitagóricos, ou seja, com medidas dos três lados de um triângulo retângulo. A tábua babilônica BM 85196, datada de 1200 a.C., contém problemas que são resolvidos usando o Teorema de Pitágoras. Figura 6 – Placa Plimpton 322. Fonte: Universidade Columbia5 Também é muito conhecida a história de que, por volta de 4000 a.C., os egípcios, para obterem um ângulo reto, utilizavam uma corda com 13 nós equidistantes, delimitando assim 12 unidades de comprimento. Uniam o 1º com 13º, fixando com estacas no solo o 4º e o 8º nó, obtendo assim um triângulo com lados medindo 3, 4 e 5 unidades de comprimento. Nesse triângulo, o ângulo formado pelos dois lados menores é um ângulo reto. Figura 7 – lustração de egípcios usando a corda com 13 nós. Fonte: SÃO PAULO, 2009a, p. 43. O papiro Cairo, do século III a.C., primeiro documento escrito em demótico (escrita egípcia para documentos) contém problemas que são resolvidos aplicando o Teorema de Pitágoras. O primeiro documento escrito no Egito, em grego, que se conhece e que trata do Teorema de Pitágoras são “Os Elementos”, de Euclides (360 – 295 a.C.). Trata- se da Proposição -47. No Capítulo 2, enunciaremos tal proposição e faremos a demonstração realizada por Euclides, que envolve áreas. É importante observar que, como nenhum dos escritos originais chegou até os nossos dias, não podemos afirmar com absoluta certeza se Pitágoras apresentou ou não uma prova do teorema que leva seu nome. Como a Escola Pitagórica, além de secreta era comunitária, ou seja, todo o conhecimento e todas as descobertas pertenciam a todos, pode ser que algum de seus discípulos tenha demonstrado e tenha dado o crédito ao mestre, conforme as normas da comunidade. É certo que Pitágoras não inventou o teorema, mas é possível que leve o seu nome por acreditar-se que ele tenha sido o primeiro a se preocupar em dar uma demonstração (geral). Também não se sabe qual foi a demonstração original feita pelos Pitagóricos, mas historiadores acreditam que deve ter sido alguma usando áreas. Hoje sabemos que existem mais de 400 demonstrações diferentes do Teorema de Pitágoras, algumas feitas por personalidades como Bháskara e Leonardo da Vinci e até mesmo um presidente dos Estados Unidos (em 1871), James Abram Garfield (1831 – 1881). O clássico livro The Pythagorean Proposition, do professor norte-americano Elisha Scott Loomis (1852 – 1940), contém uma compilação de 370 demonstrações diferentes do Teorema de Pitágoras. 1.3. IMPORTÂNCIA E APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS O Teorema de Pitágoras é muito útil na resolução de problemas cotidianos. É de grande importância para a análise geométrica em diferentes áreas do conhecimento. Na Geometria Euclidiana é a base para as definições de distância. Através de triangulações, é possível fazer levantamentos topográficos. Tem várias aplicações em muitos outros ramos da Matemática como na Trigonometria, Geometria Analítica e Geometria Espacial (Poliedros). Na Física, também são inúmeras as situações em que são aplicadas o Teorema de Pitágoras. O grande físico, matemático e um dos maiores astrônomos da história, Galileu Galilei (1564 - 1642) usou o Teorema de Pitágoras para determinar a extensão de algumas montanhas lunares. Historicamente, em diversos momentos aparecem aplicações do Teorema de Pitágoras. Os mesopotâmicos, por exemplo, usaram o Teorema de Pitágoras na arquitetura para resolverem problemas referentes às construções de moradias. Utilizando o Teorema de Pitágoras, os povos antigos conseguiam calcular áreas e distâncias; dessa forma, foram elaborando e aprimorando cada vez mais as relações dos poliedros, por exemplo, até chegar no nível de conhecimento que temos atualmente. Uma ilustração interessante sobre aplicações desse resultado é relatada no seguinte episódio, extraído do documentário “The Tunnel of Eupalinos” (History Channel), conhecido como “O Túnel de Samos”. Por volta de 540 a.C. Samos era governada pelo tirano Policrates. Com o aumento da população era preciso resolver um problema que atormentava muitas cidades no clima mediterrâneo: a falta de água potável. Havia água potável numa nascente abundante que ficava do outro lado da montanha, mas construir um aqueduto em volta da montanha não era uma boa opção. Policrates consultou então o engenheiro Eupalinos, que sugeriu que fosse construído um túnel que atravessasse o Monte Castro, mas este projeto despendia de muito tempo e assim ser bem elaborado. Eupalinos dividiu a escavação do túnel em duas partes, uma de cada lado da montanha, para que se encontrassem no meio. Para se ter certeza que isso acontecesse, ele teria que certificar que cada túnel começasse na mesma altura nos dois lados da montanha e também teriam que se coincidir no plano horizontal. Sem grandes equipamentos topográficos, Eupalinos simulou um caminho da fonte para a cidade através de linhas perpendiculares (vide Figura 8, abaixo). As linhas horizontais e verticais se transformaram então em dois lados de um triângulo retângulo. Com dois lados do triângulo retângulo, a hipotenusa seria o comprimento do túnel através da montanha, que depois de construído, ficou do tamanho de 1066 metros. Um segundo túnel que serviu como aqueduto foi cavado adjacente e abaixo do túnel principal e com um leve declive que pudesse levar a água potável da nascente até a cidade. Figura 8 – Esquema da construção do túnel de Samos. Fonte: Print Screen do documentário “The Tunnel of Eupalinos”, modificado pelo autor6. Este episódio nos dá uma pequena ideia da importância do Teorema de Pitágoras. Disponível em: . Acesso em julho de 2013. CAPÍTULO 2 – O TEOREMA DE PITÁGORAS: ALGUMAS DEMONSTRAÇÕES Como foi citado no Capítulo 1, existem mais de 400 demonstrações do Teorema de Pitágoras. Elisha Scott Loomis, professor de Matemática em Cleveland, Ohio (Estados Unidos) era realmente um apaixonado pelo Teorema de Pitágoras. Durante 20 anos, de 1907 a 1927, colecionou demonstrações desse teorema, agrupou-as e as organizou num livro, ao qual chamou “The Pythagorean Proposition” (A Proposição de Pitágoras). A primeira edição, em 1927, continha 230 demonstrações. Na segunda edição, publicada em 1940, este número foi aumentado para 370 demonstrações. O Professor Loomis classifica as demonstrações do Teorema de Pitágoras em basicamente dois tipos: provas “algébricas”, baseadas nas relações métricas nos triângulos retângulos e provas “geométricas”, baseadas em comparações de áreas. Neste capítulo veremos algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras, algumas clássicas e outras que ficaram “famosas” ao longo do tempo. 2.1. O TEOREMA DE PITÁGORAS NO LIVRO “OS ELEMENTOS” DE EUCLIDES Um dos primeiros registros históricos que se tem do Teorema de Pitágoras foi no livro “Os Elementos” de Euclides (Euclides, 2009). Neste livro, os teoremas são citados como proposições e o hoje conhecido como Teorema de Pitágoras é a Proposição –47, a qual será enunciada e demonstrada no final desta seção. Para isso, se faz necessário alguns resultados (proposições) que serão úteis na demonstração da Proposição –47, de Euclides. Observação: Usaremos as seguintes notações: para o segmento de extremidades e ; para a medida do segmento ; (ABC) para a área do triângulo e (ABCD) para a área do quadrilátero ; Por um abuso de linguagem, a congruência entre dois segmentos será indicada pelo sinal de igualdade. Proposição 2.1 (Proposição –35 de Os Elementos): Dois paralelogramos com a mesma base, e situados entre duas retas paralelas, tem a mesma área. Figura 9 – Paralelogramos entre duas retas paralelas. Demonstração: Devemos mostrar que os paralelogramos e tem sma área. Para isso, vamos analisar os 3 casos possíveis: 1º caso: Os segmentos e têm mais de um ponto em comum. Figura 10 – lustração do 1º caso. Temos que ( ) = ( ) + ( ) e ( ) = ( ) + ( ). Como = , = e , temos, pelo caso L.A.L. (Lado, Ângulo, Lado) que r s r // s os triângulos e são congruentes. Daí, considerando que o trapézio é comum aos dois paralelogramos, segue que ( ) = ( ). 2º caso: Os segmentos e tem um único ponto em comum, ou seja, os pontos e são coincidentes. Figura 11 – lustração do 2º caso. Semelhante ao 1º caso, temos que os triângulos e são congruentes, logo ( ) = ( ), pois ( ) = ( ) + ( ) e ( ) = ( ) + ( ). 3º caso: Os segmentos e não têm pontos em comum. Figura 12 – lustração do 3º caso. Temos que os triângulos e são congruentes pelo caso L.L.L. (Lado, Lado, Lado), pois = , = são lados opostos do paralelogramo e = ( = + e = + e = ). Seja o ponto de intersecção dos segmentos e . Logo, ( ) = = ( ), pois, como os triângulos e são congruentes, temos que ( ) = = ( ) ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ). Como ( ) = = ( ) + ( ) e ( ) = ( ) + ( ), temos que ( ) = ( ). Proposição 2.2 (Proposição –37 de Os Elementos): Triângulos que tem a mesma base e estão entre retas paralelas tem a mesma área. Figura 13 – Triângulos entre duas retas paralelas r e s. Demonstração: Sendo r // s, devemos provar que os triângulos e tem a mesma área. Seja ’ um ponto em s tal que ’ // , como na Figura 14, a seguir. Assim, temos que ’ é um paralelogramo e o triângulo ABC é congruente ao triângulo C’CB pelo caso L.A.L, pois = , = e = . Como o paralelogramo ’ é decomposto em dois triângulos congruentes, e ’ , podemos concluir que o triângulo tem a metade da área do paralelogramo ’ . Analogamente, se tomarmos ’ s, tal que ’ // , teremos que o triângulo tem a metade da área do paralelogramo ’. Figura 14 – lustração para a demonstração a Proposição 2.2. r s r // s r s r // s Como e ’ são paralelogramos com a mesma base, e situados entre retas paralelas, pela Proposição 2.1, eles tem a mesma área. Mas os triângulos e tem cada um, a metade da área desses paralelogramos, logo podemos concluir que eles têm a mesma área. Proposição 2.3 (Proposição –41 de Os Elementos): Se um paralelogramo e um triângulo tem a mesma base e estão situados entre duas paralelas dadas, então o paralelogramo tem duas vezes a área do triângulo. Figura 15 – Triângulo e paralelogramo entre duas retas paralelas Demonstração: Sejam r e s retas paralelas, como na figura acima. Sendo r // s, devemos provar que o triângulo tem a metade da área do paralelogramo . A demonstração desta proposição segue um raciocínio análogo à demonstração da proposição anterior. Figura 16 – lustração para a demonstração da Proposição 2.3. s r r s r // s Seja ’ um ponto da reta s tal que ’ // . Como visto na proposição anterior, temos que o triângulo tem a metade da área do paralelogramo e este, por sua vez, pela Proposição 2.2, tem área igual ao paralelogramo , já que são paralelogramos de mesma base e situados entre duas retas paralelas. Portanto, o triângulo tem a metade da área do paralelogramo . Enunciaremos agora o Teorema de Pitágoras, exatamente como feito por Euclides, em Os Elementos. Proposição 2.4 (Teorema de Pitágoras. Proposição –47 de Os Elementos): Nos triângulos retângulos, o quadrado sobre o lado que se estende sob o ângulo reto é igual aos quadrados sobre os lados que contém o ângulo reto. Demonstração: Seja um triângulo retângulo, reto em . Sobre os três lados deste triângulo, construímos os quadrados , e (vide Figura 17, abaixo). Considerando os segmentos e , temos, pelo caso L.A.L., que os triângulos e são congruentes, pois = , e = . Sejam o ponto do segmento tal que seja paralelo ao lado e o ponto de intersecção entre e . Figura 17 – lustração da demonstração de Euclides. Observemos que o triângulo e o retângulo tem a mesma base e estão situados entre duas retas paralelas. Logo, pela Proposição 2.3, ( ) = ( ). Da mesma forma, temos que ( ) = ( ), pois o triângulo e o quadrado cumprem com as hipóteses da Proposição 2.3. Como os triângulos e são congruentes (vide Figura 18), temos que ( ) = ( ) ( ). Analogamente, construindo os segmentos e (Figura 19), mostra-se que ( ) = ( ) ( ). Como ( ) = ( ) + ( ), segue, usando as igualdades apresentadas em ( ) e ( ), que ( ) = ( ) + ( ). Figuras 18 e 19 – Equivalência entre as áreas do retângulo e quadrado. Figura 18 Figura 19 2.2. OUTRAS DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS Nesta seção apresentaremos algumas demonstrações do Teorema de Pitágoras. 2.2.1. O ENUNCIADO DO TEOREMA DE PITÁGORAS Atualmente, por motivos didáticos, o Teorema de Pitágoras não é mais enunciado como foi em “Os Elementos”, de Euclides. Para facilitar o entendimento do leitor, a maioria dos livros didáticos traz o famoso teorema da seguinte maneira: “Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que têm como lados cada um dos catetos” No entanto, alguns livros, com a intensão de facilitar a memorização, enuncia o teorema de uma maneira mais simplificada: “Num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos” e é dessa forma que a maioria de nossos alunos “aprende/memoriza” o Teorema de Pitágoras. Figura 20 – Triângulo retângulo com os quadrados construídos sobre seus lados. Se a medida da hipotenusa é a e se b e c são as medidas dos catetos, o enunciado é equivalente a: a2 = b2 + c2, o que pode ser observado na Figura 20, ou seja, o Teorema de Pitágoras afirma que a área sombreada em tom mais escuro é igual à soma das áreas sombreadas em tom mais claro, como já mostrado no Proposição 2.4. (Por um abuso de linguagem referiremos, às vezes, a também como sendo a hipotenusa (lado). Analogamente para b e c). 2.2.2. A DEMONSTRAÇÃO CLÁSSICA: UMA PROVA EXPERIMENTAL Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, vamos considerar o quadrado cujo lado é b + c. Agora observe duas situações. Na Figura a c b 21, retirou-se do quadrado de lado b + c quatro triângulos congruentes ao triângulo dado, restando um quadrado de lado a. Já na Figura 22, também do quadrado de lado b + c, porém em posições diferentes, foi retirado quatro triângulos congruentes ao dado, restando um quadrado de lado b e outro de lado c. Comparando as duas situações, conclui-se que a área do quadrado de lado a é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados medem b e c. Figuras 21 e 22 – lustração da atividade experimental. Proposição 2.5: A área do quadrado de lado a na Figura 21 é equivalente à soma das áreas dos quadrados de lados b e c, na Figura 22. Demonstração: Analisando a área do quadrado de lado b + c, tem-se que: a área do quadrado de acordo com a Figura 21 é dada por , e a área, na Figura 22, é . Como as duas áreas são iguais, obtém-se . Não se sabe ao certo qual foi a demonstração feita por Pitágoras (ou pelos pitagóricos), mas os historiadores acreditam que foi uma demonstração do tipo “geométrico”, como esta, baseada na comparação de áreas. b c b c a b c c b a b cb c Figura 21 Figura 22 Esta demonstração “geométrica” do Teorema de Pitágoras pode ser facilmente trabalhada em sala de aula de maneira lúdica. Basta construir (pode ser em papel cartão) as figuras apresentadas, que são: quatro triângulos retângulos de hipotenusa de medida a e catetos com medidas b e c e quatro quadrados de lados a, b, c e b + c. Depois de construídos, se deve dispor as peças conforme a Figura 21, em cima do quadrado de medida b + c, pedir para que o aluno retire os quadrados de lados b e c, e em seguida, mova os triângulos retângulos e encaixe o quadrado de medida a, obtendo uma disposição semelhante à Figura 22. O aluno deve concluir que a soma das áreas dos dois quadrados com medidas dos catetos é igual à área do quadrado que tem lado com medida igual à hipotenusa. Tem-se assim uma prova experimental do Teorema de Pitágoras. Vale ressaltar que atividades como esta não tem valor demonstrativo do teorema, são úteis para que o aluno raciocine, descubra e interaja com colegas e professores e verifique a veracidade do teorema de uma maneira lúdica, diferente da usual. 2.2.3. MAIS UMA PROVA EXPERIMENTAL: DECOMPOSIÇÃO EM 5 POLÍGO- NOS A decomposição a seguir foi feita por Jacques Ozanam (1640 – 1717), um matemático francês que escreveu vários livros, dentre eles um dicionário de matemática e outro sobre recreações matemáticas e físicas, intitulado “Recreations in Mathematics and Natural Philosophy”, publicado em 1814. Seja um triângulo reto em . Considere os quadrados e construídos, respectivamente, sobre os catetos e . Sejam tal que , tal que e tal que . Dessa forma, os quadrados construídos sobre os catetos ficaram decompostos em 5 polígonos, conforme pode ser observado na Figura 23, a seguir. Figura 23 – Decomposição de Jacques Ozanam. Proposição 2.6: Na decomposição de Ozanam, a soma das áreas dos polígonos , , , e , obtidos a partir dos quadrados construídos sobre os catetos é igual à área do quadrado que se constrói sobre a hipotenusa. Demonstração: Sejam = a, = b, = c, = e = . Primeiramente, observe, com o auxílio da Figura 24, abaixo, que: = = = = e = = = = = . Figura 24 – Indicação dos ângulos na decomposição de Ozanam. Temos que os triângulos e são congruentes por A.L.A. (Ângulo, Lado, Ângulo), pois = (reto), = (por construção) e = . Logo = = = a. Seja o ponto de intersecção das semirretas com . Dessa forma, é um quadrado de lado a, igual à hipotenusa do triângulo . Como os triângulos e tem a mesma área, então, basta provarmos que a soma das áreas de e é equivalente à área de . De fato. Seja o ponto de intersecção das semirretas e . Note que e . Dessa forma, os pontos , e estão alinhados, pois + + = 180º e o quadrilátero é um retângulo de lados b e c. Figura 25 – Construções auxiliares na decomposição de Ozanam. Temos que o triângulo é congruente ao triângulo , por L.A.L. ( = = , = , = ). Logo, = c e = c – b. Então, os triângulos e são congruentes por A.L.A. Note o quadrilátero é congruente ao quadrilátero , pois , , , e , , , . Assim sendo, temos que + = + = = , pois = c. Por outro lado, como = , temos que + = . Como + + = b c, temos que = . Logo + = = . Portanto, + + + + = = a2. a b c c b a b c – b b b c – b Na Figura 26, abaixo, apresentamos uma ilustração mostrando como que as peças obtidas nos quadrados construídos nos catetos ficam dispostas no quadrado construído sobre a hipotenusa. Figura 26 – Disposição das peças no quadrado da hipotenusa. 2.2.4. A PROVA TRADICIONAL: A DEMONSTRAÇÃO QUE USA SEMELHANÇA A demonstração do Teorema de Pitágoras por semelhança de triângulos é uma das mais utilizadas nas escolas, pois é possível, de forma muito simples, além de demonstrar o Teorema, encontrar várias outras importantes relações métricas no triângulo retângulo. Talvez por isso seja uma das demonstrações mais conhecidas. É atribuída a John Wallis (1616 – 1703), um matemático britânico cujos trabalhos sobre o Cálculo foram precursores e de grande importância para Isaac Newton (1642 – 1727). Proposição 2.7: Seja um triângulo retângulo em com hipotenusa de medida a e catetos b e c. Temos que . Figura 27 – Triângulos retângulos semelhantes. m n c b a Demonstração: Seja a altura relativa ao vértice , e m e n, respectivamente, as projeções ortogonais dos catetos e sobre a hipotenusa . Temos que os triângulos e são semelhantes ao triângulo , pois , que é o complemento de e , complemento de . Logo, devido à proporcionalidade entre os lados homólogos, temos que: e que fornecem as conhecidas relações métricas de Euclides: c2 = a m e b2 = a n. Somando essas duas relações membro a membro, encontramos: c2 + b2 = a m + a n = a (m + n) = a a = a2 2.2.5. A DEMONSTRAÇÃO DE BHASKARA Bhaskara (1114 – 1185) foi um matemático hindu que ensinou em Ujjain, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia, na época. Foi mais um compilador de trabalhos hindus anteriores. No Brasil é conhecido principalmente pela fórmula resolutiva da equação do 2º grau, o que não é adequado, pois problemas de equação do 2º grau já apareciam quase quatro mil anos antes em textos escritos pelos babilônios, nas tábuas cuneiformes. O trabalho mais célebre de Bhaskara foi o manuscrito Lilavati, obra elementar dedicada a problemas simples de Aritmética, Geometria Plana (medidas e trigonometria elementar) e Combinatória. Sobre a sua demonstração do Teorema de Pitágoras, segundo os historiadores, Bhaskara apresentou a figura sem qualquer explicação, apenas uma palavra cujo significado é “Veja” ou “Contemple”. Figura 28 – Construção de Bhaskara. Proposição 2.8: Sobre os lados de um quadrado de lado a, são construídos quatro triângulos retângulos com catetos de medidas b e c, conforme a construção de Bhaskara. Temos então que . Demonstração: Observe na Figura 28, que no interior do quadrado de lado a, no centro, aparecerá um quadrado de lado b – c. Temos, por considerar a área, que: 2.2.6. A DEMONSTRAÇÃO DO PRESIDENTE James Abrahan Garfield (1831 – 1881) foi o vigésimo presidente dos Estados Unidos, por apenas quatro meses, de 4 de março a 19 de setembro de 1881. Era um general e um grande estudioso de Matemática. Em 1876, enquanto estava na Câmara de Representantes, rabiscou num papel uma interessante demonstração do Teorema de Pitágoras. A prova foi publicada em 1882, no Mathematical Magazine. A prova de Garfield também foi por comparação de áreas e é baseada na figura a seguir: a a b c b b c c a a Figura 29 – Construção de Garfield. Proposição 2.9: Considerando a construção feita por Garfield, temos . Demonstração: A área do trapézio é dada por: . Por outro lado, a área do trapézio também pode ser calculada pela composição dos três triângulos, ou seja: . Comparando estas duas expressões e multiplicando-as por 2, temos: . 2.2.7. A DEMONSTRAÇÃO DE PERIGAL Henry Perigal (1801 – 1898), um astrônomo e matemático amador londrino publicou, em 1873, uma curiosa demonstração do Teorema de Pitágoras. Perigal cortou o quadrado construído sobre o maior cateto por duas retas passando pelo seu centro , uma paralela e outra perpendicular à hipotenusa, dividindo esse quadrado em quatro partes congruentes. Essas quatro partes e mais o quadrado construído sobre o cateto menor, preenchem completamente o quadrado construído sobre a hipotenusa. Essa construção ficou conhecida como Dissecção de Perigal. Figura 30 – Construção de Perigal. No entanto, apesar da belíssima construção de Perigal ser bastante convincente, devemos provar que a região que fica no interior do quadrado maior, construído sobre a hipotenusa, é realmente congruente ao quadrado menor, construído sobre o menor cateto. Proposição 2.10: Na construção de Perigal, o quadrilátero formado no interior do quadrado construído sobre a hipotenusa é um quadrado congruente ao quadrado construído sobre o cateto menor. Demonstração: Considere a Figura 31 (a e b), a seguir, com os pontos em destaque. Sejam e as medidas dos lados construídos sobre os catetos. Seja também . Considerando as diagonais e e por congruência de triângulos (caso A.L.A.), temos que os triângulos , , e são congruentes (vide Figura 31a), assim como os triângulos , , e . Dessa forma teremos , , e , , . Logo, as quatro peças interiores ao quadrado são congruentes e então, . Como, por construção, é um paralelogramo, temos que c – d = b + d b = c – 2d. Visto que = c – d, = d, e , teremos c – d – d = c – 2d = b. Analogamente, mostra-se que b e, por construção, = 90º, teremos também 90º. Temos então que o quadrilátero é um quadrado com lado de medida b, portanto é congruente ao quadrado construído sobre o cateto menor. Figura 31 – Esquema para a demonstração de Perigal. Perigal era tão orgulhoso do seu feito que tinha a sua dissecção impresso em seus cartões de visita, e deixou encomendado que a mesma fosse lapidada em seu túmulo. 2.2.8. A DEMONSTRAÇÃO DE LEONARDO DA VINCI Leonardo di Ser Piero da Vinci (1452-1519) foi um dos maiores e mais importantes gênios da humanidade. Foi um dos maiores pintores italianos do Renascimento e seu quadro “Mona Lisa” é um dos mais famosos do mundo. Destaca-se também a obra “A Última Ceia”, que exerceu poderosa influência sobre geração de vários artistas. Leonardo da Vinci se destacou em várias áreas do conhecimento. Foi músico, inventor, filósofo, engenheiro, arquiteto, escultor, anatomista, entre outras. Também foi um estudioso da Matemática, pesquisando áreas de figuras e o desenho em perspectiva. Ele também brindou a humanidade com uma demonstração do Teorema de Pitágoras, baseada na comparação entre áreas e motivada pela Figura 32, a seguir. À figura padrão, com o triângulo retângulo e os quadrados apoiados em seus catetos e hipotenusa, Leonardo da Vinci acrescentou no lado oposto do quadrado maior, um triângulo retângulo congruente ao triângulo . Também acrescentou o segmento , obtendo assim o triângulo congruente a e por fim, uniu os dois vértices opostos ao vértice , comum aos dois quadrados construídos sobre os catetos, obtendo assim o segmento , já que os pontos , e c b d . . . . . . . . são colineares, pois e são ângulos adjacentes e somam 180º. Considerando os segmentos e , temos, pelo caso L. A. L. (Lado, Ângulo, Lado) que os triângulos e são congruentes, assim . Dessa forma, os quadriláteros , , e são congruentes. Figura 32 – Construção de Leonardo da Vinci. Proposição 2.11: Na construção de Leonardo da Vinci, a soma das áreas dos quadrados e é igual à área do quadrado . Demonstração: Considerando a área de cada dois desses quadriláteros, como na Figura 32, temos ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = ( ) + ( ) + ( ). Como ( ) = ( ) = ( ), temos que ) + ( ) = ( ). 2.3. A RECÍPROCA DO TEOREMA DE PITÁGORAS Num triângulo qualquer, se o quadrado da medida de um lado for a soma dos quadrados das medidas dos outros lados, então o triângulo é retângulo? Intuitivamente parece ser bem apropriado dizer sim, mas devemos mostrar que isso acontece de fato. Proposição 2.12: Se a, b e c forem as medidas dos lados de um triângulo tal que a2 = b2 + c2, então o triângulo é retângulo de hipotenusa a e catetos b e c. a Vin x h a c b Demonstração: Consideremos então um triângulo com , e . Vamos incialmente analisar dois casos: 1º caso: O ângulo é agudo, ou seja, < 90º. Figura 33 – Triângulo com ângulo agudo. Vamos supor que c b. Seja a projeção de sobre . Observe que é um ponto interior ao segmento . Sejam e . Como o triângulo é retângulo, temos c2 = x2 + h2. O triângulo também é retângulo, logo, a2 = (b – x)2 + h2 a2 = b2 – 2bx + x2 + h2 a2 = b2 + c2 – 2bx, ou seja, a2 < b2 + c2. 2º caso: O ângulo é obtuso, ou seja, > 90º. Fazendo as mesmas considerações do 1º caso e observando que agora o ponto H não está no interior do segmento , temos que, pelo fato do triângulo ser retângulo, c2 = h2 + x2. Como o triângulo também é retângulo, temos: a2 = (b + x)2 + h2 a2 = b2 + 2bx + x2 + h2 a2 = b2 + c2 + 2bx, ou seja, a2 > b2 + c2. Figura 34 – Triângulo com ângulo obtuso. Acabamos de mostrar que se < 90º, temos a2 < b2 + c2 e, se > 90º, a2 > b2 + c2. Logo, se a2 = b2 + c2, devemos ter = 90º. c a b – x x h x No intuito de se fazer um resgate histórico, vamos enunciar a recíproca do Teorema de Pitágoras exatamente como feito por Euclides, em Os Elementos. A demonstração também será de maneira semelhante à contida no livro. Proposição 2.13 (Proposição –48 de Os Elementos): Caso o quadrado sobre um dos lados de um triângulo seja igual aos quadrados sobre os dois lados restantes do triângulo, o ângulo formado pelos dois lados restantes do triângulo é reto. Demonstração: Seja um triângulo tal que a área do quadrado construído sobre o lado seja igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os lados e . Devemos mostrar que é reto. De fato. Seja um ponto do plano determinado pelo triângulo , tal que seja perpendicular a e . Consideremos também o segmento . Figura 35 – Triângulo ABC que possui quadrados sobre AB e AC equivalente ao quadrado sobre BC, e triângulo ACD (figura “fantasma” e figura real). Como o triângulo é retângulo, então a soma da área do quadrado construído sobre com a área do quadrado sobre é igual à área do quadrado sobre . Por construção, a área do quadrado sobre é igual à área do quadrado sobre . Por Pitágoras, a área do quadrado sobre é igual à soma das áreas sobre o quadrado (ou ) e . Por hipótese a área do quadrado sobre é igual à soma das áreas dos quadrados sobre e . Logo, a área do quadrado sobre é igual à área do quadrado sobre . Assim temos que = . Desse modo, pelo caso L.L.L. (pois = , = e é comum), temos que os triângulos e são congruentes. Logo, 90º e portanto, o triângulo é retângulo. a a c b a a c b a a c b CAPÍTULO 3 – TEOREMA DE PITÁGORAS: EXTENSÕES E GENERALIZAÇÕES No capítulo anterior vimos o Teorema de Pitágoras, que em termos de áreas, nos diz que a soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo é igual à área do quadrado construído sobre a hipotenusa. Será que esse padrão pitagórico (relação entre as áreas) é válido para outras figuras construídas tendo como base um triângulo retângulo, de modo a obter “extensões” do Teorema de Pitágoras? Ainda podemos pensar em trabalhar com um triângulo não retângulo? É o que vamos estudar um pouco neste capítulo. 3.1. EXTENSÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS PARA POLÍGONOS: Em quase todas as situações deste capítulo (excetuando as seções 3.6 e 3.7), consideraremos um triângulo retângulo com hipotenusa medindo e catetos medindo e e, portanto, válida a relação , dada pelo Teorema de Pitágoras. 3.1.1. TRIÂNGULOS OBTIDOS A PARTIR DOS QUADRADOS DOS CATETOS E HIPOTENUSA Consideremos um triângulo , reto em e os já tradicionais quadrados construídos sobre os catetos b e c e hipotenusa a. Consideremos também, triângulos obtidos nos quadrados, que tenha como base o lado do quadrado e um vértice no lado oposto, por exemplo, dividindo-os por diagonais ou por outros segmentos quaisquer, conforme a Figura 36, abaixo. Figura 36 – Triângulos obtidos a partir dos quadrados. Será que a área do triângulo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos? Vamos mostrar que isso ocorre de fato. Proposição 3.1: Seja um triângulo retângulo e considere quadrados construídos sobre cada um de seus lados. Se em cada um desses quadrados são construídos triângulos de tal forma que a base seja o lado do triângulo retângulo e um vértice está no lado oposto do quadrado, então a soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos é igual à área do triângulo construído sobre a hipotenusa. Demonstração: Sejam , e as áreas dos quadrados e A, e as áreas dos triângulos construídos sobre a hipotenusa a e catetos b e c, respectivamente. Pela Proposição 2.3, do capítulo anterior, temos que a área de cada triângulo é igual à metade do respectivo quadrado, ou seja, , e . Assim, . Mas pelo Teorema de Pitágoras, sabe-se que , isto é, , logo , ou seja, a área do triângulo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos. 3.1.2. TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS Nesta seção vamos verificar o padrão pitagórico, isto é, a relação entre áreas similar à do Teorema de Pitágoras na construção de triângulos equiláteros sobre os catetos e hipotenusa de um triângulo retângulo. Primeiramente, vamos analisar para um caso bem particular, o famoso triângulo retângulo de catetos 3 e 4 e hipotenusa 5. Porém aqui ao invés de quadricular, como é feito nos quadrados, vamos, por analogia, usar a triangulação. Vamos tomar como unidade de medida um pequeno triângulo equilátero, conforme a Figura 37, a seguir. Assim, uma unidade de área corresponde à área de um triângulo pequeno. Figura 37 – Triangulação dos triângulos equiláteros de lados 3, 4 e 5. Sendo Sa a área do triângulo construído sobre a hipotenusa e b e c, as áreas dos triângulos construídos sobre os catetos, obtemos a = 25, b = 16 e c = 9, obtendo facilmente a relação a = b + c. Isto nos leva a acreditar que o padrão pitagórico é válido para triângulos equiláteros construídos sobre os lados de um triângulo retângulo qualquer. Vamos mostrar, logo a seguir, que isso realmente ocorre. Observação: Num triângulo equilátero de lado temos: I. A altura h é dada por l . Isto segue do Teorema de Pitágoras no triângulo , (vide Figura 38, abaixo). II. A área do triângulo é dada por l , já que l l , onde b= l é a medida da base e h é a medida da altura relativa a esta base. Figura 38 – Elementos do triângulo equilátero. h l Proposição 3.2: A área do triângulo equilátero, construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, é igual à soma das áreas dos triângulos equiláteros construídos sobre os catetos deste triângulo. Figura 39 – Triângulos equiláteros sobre os lados do triângulo retângulo. Demonstração: Seja um triângulo reto em , com hipotenusa a e catetos b e c. Sejam a, b e c as áreas dos triângulos equiláteros construídos, respectivamente, sobre a hipotenusa e os catetos deste triângulo. Dessa forma, a = , b = e c = . Somando as áreas b e c, obtemos b + c = = a. Portanto, a = b + c. 3.1.3. TRIÂNGULOS SEMELHANTES Queremos mostrar que o padrão pitagórico (relação entre áreas) é válido para triângulos semelhantes construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. Para isso, antes vamos provar um resultado que será útil na demonstração que desejamos. a b c B’ C’ H’ Lema 1: Se dois triângulos são semelhantes, então a razão entre as suas áreas é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de dois lados correspondentes quaisquer. Demonstração: Sejam e dois triângulos semelhantes, como na Figura 40. Queremos mostrar que , onde é a razão de semelhança. Figura 40 – Triângulos semelhantes. De fato, sendo e as alturas relativas às bases e , temos que as áreas dos triângulos são dadas por e . Dividindo uma expressão por outra, obtemos . Proposição 3.3: Se construirmos triângulos semelhantes sobre os lados de um triângulo retângulo e se os lados (segmentos) do triângulo retângulo são lados homólogos (correspondentes) aos lados dos triângulos semelhantes que os contém, então a área do triângulo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos triângulos construídos sobre os catetos. Demonstração: Sejam a, b e c, respectivamente, as áreas dos triângulos semelhantes construídos sobre a hipotenusa a e catetos b e c, como na Figura 41, a seguir. Pelo Lema 1, temos que e , de onde obtemos e . a b c Somando as duas expressões e usando a relação de Pitágoras, obtemos . Portanto, . Figura 41 – Triângulos semelhantes construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Observação: A relação entre as áreas continua válida mesmo que os triângulos não sejam semelhantes, basta que as alturas dos triângulos sejam proporcionais aos respectivos lados do triângulo retângulo. Justificativa: Sejam , e as alturas relativas e a, b e c, as áreas dos triângulos construídos tendo como bases, respectivamente, a hipotenusa a e catetos b e c, e satisfazendo a hipótese. Figura 42 – Triângulos com alturas proporcionais aos lados. Temos que , de onde obtemos e . As áreas dos triângulos são dadas por: , e . Somando as áreas b e c e dividindo por a, obtemos: . Portanto, b + c = a. a a a a a a b b b b b b c c c c c c c c 3.1.4. HEXÁGONOS REGULARES Dando sequência em nosso estudo, vamos construir hexágonos regulares sobre os lados de um triângulo retângulo e mostrar que a relação entre as áreas continua válida. Proposição 3.4: A área do hexágono regular construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo, é igual à soma das áreas dos hexágonos regulares construídos sobre seus catetos. Figura 43 – Hexágonos regulares construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Demonstração: Sejam a, b e c as áreas dos hexágonos regulares construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Observe na Figura 44, abaixo, que um hexágono regular pode ser decomposto em 6 triângulos equiláteros. Figura 44 – Triangulação dos hexágonos regulares. a b c Indiquemos por a, b e c a área de qualquer um dos seis triângulos da divisão/decomposição de cada hexágono construído sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo, respectivamente. Temos então que Sa = a, Sb = b e Sc = c. Assim, b + c = ( b + c). Como foi visto na Proposição 3.2, b + c = a, logo b + c = a e, portanto b + c = a, o que demonstra a proposição. 3.1.5. POLÍGONOS REGULARES: CASO GERAL Já provamos que o padrão pitagórico (relação entre as áreas) é válido para alguns polígonos regulares, mais especificamente nos casos de triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares. No entanto, mostraremos a sua validade para todos os polígonos regulares e a demonstração é semelhante à que foi feita no caso anterior. Proposição 3.5: A área do polígono regular de n lados construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos polígonos regulares de n lados construídos sobre seus catetos. Figura 45 – Polígonos regulares de n lados sobre os lados do triângulo retângulo Demonstração: Consideremos um triângulo retângulo em que foram construídos sobre os seus lados polígonos regulares de n lados, conforme a Figura 45. Como no caso anterior, do hexágono regular, vamos dividir esse polígono regular em triângulos n n cujos vértices são: dois vértices consecutivos do polígono e o seu centro, que é também o centro das suas circunferências inscrita e circunscrita. Sendo a, b e c as áreas dos polígonos regulares construídos sobre os lados do triângulo retângulo, temos a = n a, b = n b e c = n c, onde a, b e c, são, respectivamente, as áreas de cada triângulo em que foi decomposto o polígono regular, construído sobre a hipotenusa de medida a e catetos de medidas b e c. Então, b + c = n ( b + c) = n a = a, uma vez que, pela Proposição 3.3 temos b + c = a (já que os triângulos (isósceles) apoiados sobre os lados do triângulo retângulo são semelhantes). 3.1.6. POLÍGONOS SEMELHANTES Até aqui verificamos que o padrão pitagórico (relação entre as áreas) é válido para polígonos regulares e também para triângulos semelhantes. É indiscutível que se torna natural a seguinte pergunta: “A relação entre as áreas dos polígonos construídos sobre os lados de um triângulo retângulo poderia ser generalizada para polígonos semelhantes?” Antes de adentrarmos nesta questão, vamos recordar a definição de polígonos semelhantes e demonstrar um lema (que é uma extensão do Lema 1, p.46). Definição: Dois polígonos (convexos ou não convexos) n e 1 2 3 4... n, (onde i, i, i = 1,..., n indicam seus vértices) são semelhantes, quando seus ângulos correspondentes são congruentes e seus lados correspondentes, denominados homólogos, são proporcionais, ou seja, , , ,..., e , onde a constante k é chamada razão de semelhança. Figura 46 – Polígonos semelhantes de n lados. Lema 2: Se dois polígonos são semelhantes, então eles possuem áreas proporcionais aos quadrados da razão das medidas entre dois lados homólogos quaisquer (razão de semelhança), ou seja, sendo 1 a área do polígono 1 2 3 4... n e 2 a área de 1 2 3 4... n, temos que , com k a razão de semelhança. Demonstração: Se os dois polígonos não forem convexos podemos decompô-los de forma a obter vários polígonos convexos mantendo a semelhança nos polígonos correspondentes. A área de cada polígono inicial será a soma das áreas dos polígonos (semelhantes) convexos. Assim é suficiente considerar o caso convexo. Para mostrar esse resultado, traça-se as diagonais a partir de um mesmo vértice, por exemplo, A1 e B1, nos dois polígonos semelhantes, obtendo os pares de triângulos semelhantes e , e , ..., e . Pelo Lema 1, apresentado em 3.1.3, . Por propriedades de proporção temos . Como e , segue que . Proposição 3.6: Se construirmos polígonos semelhantes sobre os lados de um triângulo retângulo e se os lados (segmentos) do triângulo retângulo são lados homólogos (correspondentes) aos lados dos polígonos semelhantes que os contém, então a área do polígono construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos polígonos construídos sobre os catetos. Demonstração: Considerando que os polígonos construídos sobre a hipotenusa e os catetos são semelhantes e a, b e c são suas respectivas áreas, mostraremos que a = b + c. a b c Figura 47 – Polígonos semelhantes de n lados construídos sobre os lados de um triângulo retângulo. De fato. Como os polígonos são semelhantes e os lados do triângulo são lados correspondentes dos polígonos, podemos escrever, conforme o Lema 2, e . Somando membro a membro as duas igualdades, obtemos , ou seja, . Portanto, . 3.2. ALGUMAS EXTENSÕES RETILÍNEAS No que segue, apresentamos algumas extensões do Teorema de Pitágoras, para certas figuras “retilíneas”, polígonos construídos a partir do triângulo retângulo, porém não tendo um de seus lados como sendo um dos lados do triângulo retângulo (mas possuem relação com o quadrado que se constrói sobre o lado). Proposição 3.7: Em todas as situações abaixo, as regiões (figuras coloridas) construídas sobre os lados do triângulo retângulo preservam o padrão pitagórico das áreas, ou seja, a área da região construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das regiões construídas sobre os catetos. As regiões ou figuras coloridas são caracterizadas do seguinte modo: 1) Complementares dos triângulos equiláteros construídos no interior dos quadrados e tendo como base os lados do triângulo retângulo. Figura 48 – Triângulos equiláteros no interior do quadrado. 2) Quadrados inscritos tomando os pontos médios dos quadrados dos lados do triângulo retângulo. Figura 49 – Quadrados inscritos nos pontos médios. 3) Triângulos equiláteros inscritos considerando os pontos médios dos triângulos equiláteros que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 50 – Triângulos equiláteros inscritos nos pontos médios. a 4) Quadriláteros não-convexos cujos vértices são: os extremos de um lado do triângulo retângulo, o ponto médio do lado oposto do quadrado que tem como base o lado do triângulo retângulo, e o centro de tal quadrado. Figura 51 – Quadriláteros não-convexos inscritos nos quadrados. 5) Quadrados cujos centros coincidem com os centros dos quadrados construídos sobre os lados do triângulo retângulo e suas diagonais têm como medida , onde d indica a medida da diagonal do quadrado básico. Figura 52 – Quadrados com vértices nas diagonais. 6) Quadrados cujos centros coincidem com o centro dos quadrados construí- dos sobre os lados do triângulo retângulo e suas diagonais têm como medida l , onde indica a medida do lado do quadrado básico. Figura 53 – Quadrados com diagonais iguais a 1 3 do lado. a1 a2 7) Quadrados inscritos nos quadrados construídos sobre os lados do triângulo retângulo em pontos que os dividem na mesma razão k, como ilustra a figura seguinte. Figura 54 – Quadrados dividindo o lado na razão k. 8) Triângulos inscritos nos triângulos equiláteros construídos sobre os lados do triângulo retângulo em pontos que os dividem na mesma razão k. Figura 55 – Triângulos equiláteros dividindo o lado na razão k. Demonstração: Vide Apêndice . As demonstrações das extensões enunciadas na proposição usam raciocínio parecido com o que foi feito até agora (em geral compara-se a área da região com a do quadrado associado, e o resultado segue como aplicação do Teorema de Pitágoras). a1 a2 a b c 3.3. EXTENSÕES NÃO RETILÍNEAS Nas seções anteriores apresentamos várias extensões do Teorema de Pitágoras, em termos de equivalência de áreas, mas todas elas com polígonos. Nesta seção, vamos estudar algumas extensões para outros tipos de figuras, não necessariamente polígonos, ou seja, figuras “não retilíneas”, formadas por segmentos de retas e/ou por arcos de circunferência, (referidas às vezes como “figuras curvilíneas” ou “mistas”), mostrando que elas preservam o padrão pitagórico. 3.3.1. CÍRCULOS INSCRITOS NOS QUADRADOS Proposição 3.8: A área do círculo inscrito no quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos círculos inscritos nos quadrados construídos sobre os catetos. Figura 56 – Círculos inscritos nos quadrados. Demonstração: Sejam a, b e c as áreas dos círculos inscritos nos quadrados construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Temos que C , C e C . Então, usando a relação de Pitágoras, obtemos b + c = a. a b c 3.3.2. SEMICÍRCULOS COM DIÂMETROS IGUAIS AOS LADOS Proposição 3.9: A área do semicírculo cujo diâmetro é a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma dos semicírculos cujos diâmetros são os catetos. Demonstração: Sejam, a, b e c as áreas dos semicírculos cujos diâmetros são os lados de um triângulo retângulo. Figura 57 – Semicírculos com diâmetro sobre os lados do triângulo. Temos que s , s e s . Então, b + c a. 3.3.3. QUADRANTES DE CÍRCULOS Proposição 3.10: A área do quadrante de círculo construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos quadrantes de círculos construídos sobre os catetos. Demonstração: Sejam, a, b e c as áreas dos quadrantes de círculos construídos, respectivamente, sobre a hipotenusa a e catetos b e c, vide a Figura 58, a seguir. Temos Q , Q e Q . Assim, b + c a. a b c l Figura 58 – Quadrantes sobre os lados do triângulo. 3.3.4. SETORES ANGULARES Definição: Um setor circular é a região do círculo limitada por dois raios e um arco, conforme a Figura 59, abaixo. Todo setor circular de raio tem um arco corresponde l e um ângulo central , onde a medida de em radianos é dada por l . Figura 59 – Setor angular. Como o setor circular é uma fração do círculo, a sua área é diretamente proporcional ao ângulo central . O mesmo acontece com o comprimento l do arco e, devido a essa proporcionalidade com o ângulo , podemos escrever S l . Como l = , temos então que a área de um setor circular é dada por S . Proposição 3.11: A área do setor angular de ângulo construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos setores angulares de ângulo construídos sobre os catetos de um trângulo retângulo. Figura 60 – Setores angulares sobre os lados do triângulo retângulo. Demonstração: Sejam a, b e c as áreas de cada um destes setores angulares de ângulo . Conforme observado acima, temos que a , b e c . Dessa forma, b + c a . 3.3.5. ARCOS OGIVAIS Definição: Um arco ogival é uma figura obtida a partir da reunião de dois arcos simétricos, cujos centros são as extremidades de um segmento AB qualquer. Um arco ogival também é conhecido como mitra, uma espécie de chapéu alto e pontudo, usado em solenidades pontificiais. Figuras 61 e 62 – Arco ogival e Mitra. Figura 61 – Arco Ogival Figura 62 – Papa Francisco usando uma Mitra (fonte: Vaticano7). a b c    a b c a bb c a a b b c c Observação: Um arco ogival é formado por dois segmentos circulares e um triângulo equilátero e sua área é dada por = + 2 , onde é a área do triângulo equilátero e a área de cada um dos segmentos circulares. Por outro lado, a região formada por um dos segmentos circulares e o triângulo equilátero corresponde a um setor circular com = 60º e sua área será igual a da área do círculo, ou seja, , onde . Assim, . Proposição 3.12: A área do arco ogival construído sobre a hipotenusa de um triângulo retângulo é igual à soma das áreas dos arcos ogivais construídos sobre os catetos. Demonstração: Sejam a, b e c as respectivas áreas de cada arco ogival, a, b e c as áreas dos triângulos equiláteros que compõem os arcos e a, b e c a área de cada um dos dois segmentos circulares que formam cada arco ogival. Figura 63 – Arcos ogivais construídos sobre os lados do triângulo retângulo. Temos, usando a observação anterior, que: . Analogamente, e . Logo, . Como (Proposição 3.2), e usando a relação de Pitágoras, podemos concluir que . 3.3.6. OUTRAS EXTENSÕES NÃO RETILÍNEAS Apresentaremos agora mais algumas extensões não retilíneas, cujas regiões construídas sobre os lados do triângulo retângulo são indicados pelas “figuras coloridas” a seguir. Proposição 3.13: Em todos os casos a seguir, as regiões (figuras coloridas) construídas sobre os lados do triângulo retângulo preservam o padrão pitagórico das áreas, ou seja, a área da figura construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos. As regiões ou figuras coloridas são caracterizadas do seguinte modo: 1) Exteriores aos quadrantes de círculos e interiores aos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 64 – Exteriores aos quadrantes de círculos. 2) Exteriores aos semicírculos e interiores aos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 65 – Exteriores aos semicírculos. 3) Exteriores aos arcos ogivais e interiores aos quadrantes de círculo que tem como raio os lados do triângulo retângulo. Figura 66 – Exteriores às ogivas e interiores aos quadrantes. 4) Exteriores aos arcos ogivais e interiores aos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 67 – Exteriores às ogivas e interiores aos quadrados. 5) Exteriores aos semicírculos e interiores aos quadrantes que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 68 – Exteriores aos semicírculos e interiores aos quadrantes. 6) Interiores aos quadrados e exteriores aos círculos que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 69 – Exteriores aos círculos e interiores aos quadrados. 7) Exteriores aos triângulos equiláteros e interiores aos arcos ogivais que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 70 – Exteriores aos triângulos e interiores às ogivas. 8) Exteriores aos semicírculos e interiores aos arcos ogivais que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 71 – Exteriores aos semicírculos e interiores às ogivas. 9) Círculos inscritos em triângulos equiláteros que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 72 – Círculos inscritos aos triângulos equiláteros. 10) Interiores aos triângulos equiláteros que tem como base os lados do triângulo retângulo e exteriores aos círculos inscritos nestes triângulos. Figura 73 – Exteriores aos círculos e interiores aos triângulos. 11) Exteriores aos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo e interiores aos círculos circunscritos nestes quadrados, exceto as regiões comuns ao triângulo retângulo. Figura 74 – Exteriores aos quadrados e interiores aos círculos. 12) Exteriores aos triângulos equiláteros que tem como base os lados do triângulo retângulo e interiores aos círculos circunscritos nestes triângulos, exceto as regiões comuns ao triângulo retângulo. Figura 75 – Exteriores aos triângulos e interiores aos círculos circunscritos. 13) Coroas circulares dos círculos inscritos e circunscritos aos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo, exceto as regiões comuns ao triângulo retângulo. Figura 76 – Exteriores aos círculos inscritos e interiores aos círculos circunscritos do quadrado. 14) Coroas circulares dos círculos inscrito e circunscrito aos triângulos equiláteros que tem como base os lados do triângulo retângulo, exceto as regiões comuns ao triângulo retângulo. Figura 77 – Exteriores aos círculos inscritos e interiores aos círculos circunscritos do triângulo. 15) Interior a um semicírculo e exterior ao outro cujos centros estão nos pontos médios de dois lados consecutivos dos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 78 – Obtidas de dois semicírculos. 16) Intersecção de setores angulares com centros em vértices opostos dos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 79 – Obtidas de arcos de circunferência. 17) Intersecção de semicírculos de centros nos pontos médios dos lados dos quadrados que tem como base os lados do triângulo retângulo. Figura 80 – Obtidas a partir de semicircunferências. Demonstração: Vide Apêndice . As provas são similares às feitas anteriormente. 3.4. LÚNULAS DE HIPÓCRATES E ALGUMAS EXTENSÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS Nesta seção apresentamos uma relação entre o Teorema de Pitágoras e as Lúnulas de Hipócrates. Antes, porém, vamos falar um pouco sobre Hipócrates e como se obtém uma lúnula. Pouco foi registrado sobre a sua vida, mas sabe-se que Hipócrates de Quios (cerca de 470 — 410 a.C) foi um excelente geômetra. Ensinou Geometria em Atenas e dedicou-se aos clássicos problemas da época: A Quadratura do Círculo e Duplicação do Cubo. Nas tentativas de quadrar o círculo, Hipócrates calculou a área de certas “lúnulas”. Definição: Uma lúnula é uma figura geométrica limitada por dois arcos circulares de raios distintos. Uma lúnula é também popularmente conhecida por "meia-lua" ou apenas “lua”. As lúnulas são, em geral, também referidas como lúnulas de Hipócrates. 3.4.1. CONSTRUÇÃO GEOMÉTRICA DE UMA LÚNULA Consideremos um círculo de centro , e corda . Seja o ponto médio do segmento . Construímos agora, um círculo de centro e diâmetro . A região exterior ao círculo de centro e interior ao círculo de centro forma uma lúnula e aparece destacada na Figura 81, abaixo. Figura 81– Construção de uma lúnula. 3.4.2. APLICAÇÃO: AS LÚNULAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Seja um triângulo retângulo, reto em . Usando três semicírculos: o de diâmetro (passando por ), o de diâmetro e o de diâmetro , obtemos as lúnulas b e c sobre os catetos como na Figura 82, a seguir. Figura 82 – Lúnulas sobre os catetos do triângulo retângulo. Proposição 3.14: A área do triângulo é igual à soma das áreas das lúnulas b e c, construídas sobre os catetos. a b c b c b Demonstração: Sejam e , respectivamente, as regiões delimitadas pelo semicírculo de diâmetro e pelos catetos e , conforme a indicação na Figura 83, a seguir. Figura 83 – Lúnulas: indicação das áreas de cada região. Sendo , ( b), ( c), e , áreas respectivamente do triângulo, das lúnulas e das regiões e podemos escrever: Área do semicírculo de diâmetro : + + = = (1); Área do semicírculo de diâmetro : ( b) + = = (2); Área do semicírculo de diâmetro : ( c) + = = (3). Somando membro a membro as igualdades (2) e (3), obtemos: ( b) + + ( c) + = + = . Como o triângulo ABC é retângulo, temos que a, b e c satisfazem a relação dada pelo Teorema de Pitágoras, de modo que a relação anterior pode ser reescrita da seguinte forma: ( b) + + ( c) + = . Comparando essa última relação com a igualdade (1), obtemos: ( b) + + ( c) + = + + , o que nos permite concluir que ( b) + ( c) = . 3.4.3. AS LÚNULAS E UMA EXTENSÃO DO TEOREMA DO PITÁGORAS PARA TRIÂNGULO RETÂNGULO ISÓSCELES O resultado que demonstraremos a seguir é consequência imediata da aplicação feita anteriormente e pode ser considerado mais uma extensão do Teorema de Pitágoras. Proposição 3.15: Seja um triângulo retângulo e isósceles. A área das lúnulas construídas sobre os catetos desse triângulo retângulo (isósceles) é igual à área da lúnula construída sobre a hipotenusa. Figura 84 – Lúnulas sobre os lados do triângulo retângulo isósceles. Demonstração: Seja um triângulo retângulo reto em e isósceles. A lúnula sobre a hipotenusa é assim construída. Considere os seguintes círculos: um com centro em , e raio (que tem a mesma medida de ) e o outro com centro em , ponto médio de e raio (ou ). A lúnula desejada é a região exterior ao primeiro e interior ao segundo círculo, conforme pode ser observado na Figura 84, acima. Usaremos as mesmas notações feitas em 3.4.2. para as lúnulas b e c e acrescentaremos a para a lúnula construída sobre a hipotenusa e ( a) à sua área. Convém observar agora que o triângulo é isósceles implicando que a lúnula b construída sobre o cateto é congruente à c construída sobre e, portanto, possuem a mesma área. Primeiramente, vamos mostrar que a área da Lúnula a é igual à área do triângulo . a b b Observe na Figura 85, abaixo, que a soma das áreas da lúnula a com a do setor circular é igual à soma das áreas do semicírculo de diâmetro com a área do triângulo . Figura 85 – Decomposição das regiões. Considerando que a hipotenusa tem medida a e os dois catetos medem b, temos que e podemos escrever: ( a) ( a) . Logo, ( a) . Mas, pela Proposição 3.14, a soma das áreas das lúnulas b e c é também igual à área do triângulo retângulo , assim concluímos que ( b) + ( c) = ( a). 3.4.4. AS LÚNULAS E MAIS UMA EXTENSÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS Consideremos a seguinte construção de uma lúnula: dado um segmento , sobre esse segmento construímos um triângulo equilátero . O arco circular definido pelos três vértices do triângulo será o arco externo da lúnula e o arco interno é dado pelo arco que tem como centro o ponto , médio de , conforme pode ser observado na Figura 86, a seguir. ( a) Figura 86 – Outro tipo de lúnula. Lema 3: Se indica a medida de , então a área da lúnula construída a partir de , como acima, é ( ) = . Demonstração: Observe na Figura 86, acima, que a área da lúnula será dada pela diferença entre as áreas do arco externo e interno. Para o cálculo da área do arco externo note, na Figura 87, abaixo, que ele pode ser decomposto em 2 segmentos circulares e um triângulo equilátero. Figura 87 – Decomposição do arco externo. Neste caso, a área de um segmento circular é a diferença entre as áreas do setor circular de 120º e do triângulo isósceles , onde é o centro do arco externo. O ponto é o baricentro do triângulo equilátero, logo , onde h é altura do triângulo e, conforme visto em 3.1.2., , sendo a medida de . Dessa forma, . Assim, teremos as seguintes áreas, ilustradas a seguir: Figura 88 – Setor circular e seus elementos. Área do setor circular: . l l Figura 89 –Triângulo isósceles e seus elementos. Figura 90 – Segmento circular. A área do arco externo é então dada por: = + (EFG) . Como o arco interno é delimitado por uma semicircunferência de raio , a área será dada por . Figura 91 – Arco Interno. Finalmente, a área ( ) da lúnula será dada por: ( ) = . Portanto, ( ) = . l l Área do triângulo isósceles : . Daí, (EFG) = 3 . Portanto, a área do setor de segmento será dada por = . l l Agora, vamos à extensão. Proposição 3.16: Dado um triângulo retângulo , sobre os lados deste, construa lúnulas de maneira análoga à que foi construída anteriormente sobre o segmento . Sejam a, b e c essas lúnulas. Então a área da lúnula a construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das lúnulas b e c construídas sobre os catetos. Figura 92 – Lúnulas sobre o triângulo retângulo. Demonstração: Sejam ( a), ( b) e ( c), respectivamente, as áreas das lúnulas construídas sobre os lados a, b e c do triângulo retângulo. Pelo lema anterior temos que ( a) = , ( b) = e ( c) = . Dessa forma, usando a relação de Pitágoras, obtemos: ( b) + ( c) = ( a). 3.5. UMA EXTENSÃO ELÍPTICA Para finalizar, vamos apresentar uma extensão do Teorema de Pitágoras usando elipses. Antes, porém, vamos fazer uma breve recordação dessa cônica. A B C a c b a c b x y Definição: Dados dois pontos distintos do plano, 1 e 2, sejam c a distância entre eles e a , a > c. Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias de a 1 e 2 é constante e igual a a (onde a > c). Figura 93 – Elipse e seus elementos. Um ponto x y pertence à elipse d( , ) + d( , ) = a > c. Os elementos da elipse são: Os pontos e , chamados focos. A reta que contém os focos, chamada reta focal. Os pontos e , chamados vértices sobre a reta focal, obtidos com a intersecção da elipse com a reta focal . O segmento de comprimento 2a, chamado eixo focal ou eixo maior. O centro , ponto médio do eixo focal . A reta , perpendicular a em , reta não focal. Os pontos e , chamados de vértices sobre a reta não focal, dados pela interseção da elipse com a reta não focal . O segmento de comprimento b chamado eixo não focal ou eixo menor. O número , denominado excentricidade da elipse. Note que 0 e < 1. A área de uma elipse é dada por a b, sendo e . Vejamos então a extensão. Proposição 3.17: Seja um triângulo retângulo com hipotenusa a1 e catetos a2 e a3. Sobre os lados desse triângulo, construímos três elipses, cada uma tendo como seu eixo maior (eixo focal) exatamente um dos lados do triângulo. Assim, a1, a2 e a3 são as medidas dos eixos maiores e sejam b1, b2 e b3 as medidas dos eixos menores (não focais) tais que , ou seja, as elipses são semelhantes. Então, a área da elipse construída sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas das elipses construídas sobre os catetos. Figura 94 – Elipses sobre os lados do triângulo retângulo. Demonstração: Sejam 1, 2 e 3 as elipses construídas, respectivamente, sobre a hipotenusa a1 e os catetos a2 e a3. Sejam também , e as suas áreas. Temos que: , e . Como , e temos: , e . Logo, usando a relação , tem-se: + = = . a1a2 a3 12 3   ' '   3.6. A GENERALIZAÇÃO DE POLYA 3.6.1. UM POUCO SOBRE GEORGE POLYA George Polya (1887 – 1985), nasceu na Hungria e foi um brilhante matemá- tico, com contribuições fundamentais em áreas como Análise, Combinatória e Pro- babilidade. Um de seus mais conhecidos livros, escrito em 1945, “How to Solve it”, que em português recebeu o título “A Arte de Resolver Problemas”, é um trabalho dedicado à “investigação sobre a descoberta e invenção em Matemática”. Polya nos brindou com uma notável prova e generalização do Teorema de Pitágoras: Se as figuras construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, independentes de sua forma geométrica, forem semelhantes, então o padrão pitagórico das áreas é satis- feito, isto é, a área da figura construída sobre o hipotenusa é igual à soma das áreas das figuras construídas sobre os catetos. 3.6.2. A GENERALIZAÇÃO DE POLYA E O TEOREMA DE PITÁGORAS Definição: Duas figuras geométricas e são semelhantes se a cada ponto de é possível fazer uma correspondência a um e só um ponto de ’, cha- mado homólogo do ponto , de tal forma que se e são pontos quaisquer de e e são seus pontos homólogos em ’, então a razão é constante, e é denominada razão ou coeficiente de semelhança da figura para a figura ’. De modo similar ao caso de polígonos semelhantes, dizemos que e são seg- mentos (lados, se for o caso) homólogos. Figura 95 – Figuras semelhantes. Observações: 1) O conceito de polígonos semelhantes é um caso particular do conceito anterior. 2) Para o próximo resultado usamos uma generalização do Lema 2 (Seção 3.1.6.) para figuras semelhantes quaisquer, ou seja: A razão entre as áreas de duas figuras semelhantes quaisquer estão entre si assim como o quadrado da razão de semelhança. Uma prova deste fato pode ser encontrada em LIMA (1991, p49) usando a ideia de aproximações por retângulos. A proposição a seguir foi enunciada e demonstrada por Polya. Proposição 3.18 (Polya): Sejam , e três figuras semelhantes, construídas, respectivamente, sobre a hipotenusa e os catetos de um triângulo retângulo. Se os lados (segmentos) do triângulo retângulo são lados homólogos (correspondentes) aos lados das figuras semelhantes que os contém, então as áreas ( ), ( ) e ( ) satisfazem a relação ( ) = ( ) + ( ) (padrão pitagórico). Demonstração: Faremos a demonstração em duas etapas. Na primeira, mostraremos que se a relação entre áreas for satisfeita para uma terna particular de figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, então será satisfeita para qualquer outra terna de figuras semelhantes construídas sobre esses mesmos lados. Na segunda etapa exibiremos uma terna particular de figuras semelhantes construídas sobre os lados de um triângulo retângulo, que satisfazem a condição enunciada na proposição, isto é, são semelhantes e satisfazem o padrão pitagórico (relação entre áreas). 1ª Etapa: Seja um triângulo retângulo, cuja hipotenusa e catetos medem, respectivamente, a, b e c. Sejam , e , três figuras semelhantes construídas, respectivamente, sobre a hipotenusa e os catetos do triângulo , para as quais, seja válida a relação ( ) = ( ) + ( ), vide Figura 96, a seguir. Figura 96 – Figuras semelhantes construídas sobre os lados do triângulo retângulo. Se ’, ’ e ’ são outras três figuras semelhantes construídas, respectiva- mente, sobre a hipotenusa e catetos do triângulo , na mesma ordem que as anteriores e lembrando que a razão entre as áreas de duas figuras semelhantes é igual ao quadrado da razão de semelhança entre elas (observação anterior, item 2), podemos escrever: F G F G e F H F H . Logo, F F G G e F F H H , o que nos permite concluir que F F G G H H , cujo valor comum denotaremos por m. Assim, F = m F , G = m G e H = m H . Então, G + H = m G + m H = m ( G H ) = m F = = F , ou seja, G + H = F . 2ª Etapa: Devemos mostrar que é possível construir 3 figuras semelhantes, , e , sobre os lados do triângulo retângulo que, de acordo com a hipó- tese, satisfazem a relação entre áreas. Sendo o pé da altura relativa à hipotenusa do triângulo (Figura 97), te- mos três triângulos semelhantes. Podemos tomar uma cópia do triângulo com sendo a figura , do triângulo como a figura e do triângulo como a fi- gura . Temos então uma terna de figuras semelhantes que satisfazem as condi- ções da proposição. Note que F G H , pois ( ) = ( ) + + ( ). ’ ’ ’ a b c ab c Figura 97 – Altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo . A Figura 98, a seguir, ilustra os 3 triângulos construídos sobre os lados do triângulo , onde ’ é a reflexão do ponto em relação à hipotenusa , ’ e ’’ são as reflexões de , respectivamente, em relação aos catetos e . Figura 98 – Construção dos três triângulos semelhantes sobre os lados do triângulo retângulo. Observamos que a relação entre áreas para triângulos semelhantes (quaisquer) foi provada na Proposição 3.3, usando o Teorema de Pitágoras. Entretanto, para os três triângulos semelhantes considerados acima, a relação entre áreas se verifica sem usar o Teorema de Pitágoras. Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser obtido como uma consequência do teorema anterior, uma vez que os quadrados são semelhantes. Uma pergunta natural é: na generalização de Polya é realmente necessário que o triângulo seja retângulo? Analisando superficialmente, tem-se a impressão que a extensão se aplicaria a qualquer tipo de triângulo. Na proposição seguinte encontramos a resposta. Proposição 3.19: Num triângulo ABC, com lados de medidas x, y e z, são construídos sobre os seus lados, respectivamente, figuras semelhantes, , e , tal que as suas áreas satisfaçam a relação ( ) = ( ) + ( ) e os vértices do triângulo são pontos homólogos das figuras que os contém, então ABC é retângulo de hipotenusa x. Figura 99 – Figuras semelhantes sobre os lados de um triângulo qualquer. Demonstração: Sendo , e figuras semelhantes, podemos escrever: G F G F e H F H F Então: ( ) = ( ) + ( ) ( ) = F + F ( ) = F x, y e z são respectivamente, as medidas da hipotenusa e catetos de um triângulo retângulo (pela recíproca do Teorema de Pitágoras, Proposição 2.12, Seção 2.3.). Observações: 1) De acordo com a Proposição 3.19, fica claro então, que a generalização de Polya só se aplica mesmo a triângulos retângulos. 2) Quase todas as extensões apresentadas anteriormente, em que as figuras possuem como um de seus lados um lado do triângulo retângulo são, de fato, casos particulares da generalização de Polya, pois se tratavam de figuras semelhantes. x y z 3.7. A GENERALIZAÇÃO DE PAPPUS 3.7.1. UM POUCO SOBRE PAPPUS Pappus de Alexandria (c. 290 – 350) foi um dos últimos grandes matemáticos gregos da antiguidade. Apesar de pouco se saber sobre a sua vida, sabe-se que ele foi um importante pesquisador e autor de muitos textos sobre cientistas da antiga civilização grega. Pappus raramente alegou possuir ideias originais, mas tinha o olho voltado para obras de seus predecessores. Umas das suas mais famosas obras, “Synagoge” (340 d. C.), ou “Coleção Matemática” é uma composição de oito livros, onde são encontrados relatos e novas provas e temas suplementares para várias proposições de Arquimedes, Euclides, Apolônio e Ptolomeu. Muitos de seus estudos foram o ponto de partida para a invenção da Geometria Analítica por Descartes (1596 – 1650), 13 séculos depois. Curiosamente, foi Pappus que formulou a conjectura de que o formato em hexágono dos favos de mel é o que permite armazenar a maior quantidade de mel com o menor gasto de cera. Também ficaram famosos os seus estudos sobre centros de gravidade de sólidos e superfícies de revolução, e sobre seções cônicas. 3.7.2. A GENERALIZAÇÃO DE PAPPUS E O TEOREMA DE PITÁGORAS Finalizando este capítulo sobre as extensões e generalizações do Teorema de Pitágoras, vamos ver mais uma interessante “generalização”. O resultado a seguir, f