
Gabriel Gouvêa Slade

Modelos mecânicos para o estudo da dinâmica do DNA

São José do Rio Preto - SP

2013


Gabriel Gouvêa Slade

Modelos mecânicos para o estudo da dinâmica do DNA

Tese apresentada como parte dos requisitos para a ob-

tenção do t́ıtulo de Doutor em Biof́ısica Molecular,

junto ao Programa de Pós-Graduação em Biof́ısica

Molecular, Área de Concentração - Biof́ısica Mole-

cular, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências

Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de

Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. José Roberto Ruggiero

Coorientador: Prof. Dr. Elso Drigo Filho

São José do Rio Preto - SP

2013


Slade, Gabriel Gouvêa.
Modelos mecânicos para o estudo da dinâmica do DNA / Gabriel 

Gouvêa Slade. -- São José do Rio Preto, 2013
56 f. : il., gráfs., tabs.

Orientador: José Roberto Ruggiero
Coorientador: Elso Drigo Filho
Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista 

“Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências 
Exatas 

1. Biologia molecular. 2. Biofísica. 3. Dinâmica molecular. 4. 
DNA. 5. DNA superhelicoidal. I. Ruggiero, José Roberto. II. Drigo 
Filho, Elso. III. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita 
Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. IV. Título.

CDU – 577.3
 

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE
UNESP - Campus de São José do Rio Preto 


Modelos mecânicos para o estudo da dinâmica do DNA

Tese apresentada como parte dos requisitos para a ob-

tenção do t́ıtulo de Doutor em Biof́ısica Molecular,

junto ao Programa de Pós-Graduação em Biof́ısica

Molecular, Área de Concentração - Biof́ısica Mole-

cular, do Instituto de Biociências, Letras e Ciências

Exatas da Universidade Estadual Paulista “Júlio de

Mesquita Filho”, Campus de São José do Rio Preto.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. José Roberto Ruggiero

UNESP - São José do Rio Preto

Orientador

Prof. Dr. Gerald Weber

UFMG - Belo Horizonte

Prof. Dr. Antonio Caliri

USP - Ribeirão Preto

Prof. Dr. Edson Denis Leonel

UNESP - Rio Claro

Prof. Dr. Jorge Chahine

UNESP - São José do Rio Preto

São José do Rio Preto - SP

13 de Setembro de 2013


Agradecimentos

A minha esposa Natália por todo o seu incentivo, carinho e paciência durante esta

jornada, além do pequeno Estevão, que é uma graça em nossas vidas.

Aos meu pais, avós e irmão que não mediram esforços para me dar toda a educação

necessária para chegar até aqui, além de serem um exemplo para mim.

Aos meus amigos que sempre estiveram presentes nessa caminhada e compartilharam

das minhas alegrias e tristezas ao longo desses anos.

Aos professores do departamento, que foram fundamentais na minha formação.

Aos meus orientadores Prof. Dr. José Roberto Ruggiero e Prof. Dr. Elso Drigo

Filho, por toda amizade e dedicação durante esses anos, sempre buscando o meu melhor

aprendizado.

A Dra. Sarah Harris, Dra. Agnes Noy e ao Thana Sutthibutpong (James), pelo

acolhimento, aprendizado e amizade durante minha estadia na University of Leeds.

Ao CNPq e a CAPES pelo suporte financeiro.

A Deus por tudo que tem feito na minha vida.


Resumo

O comportamento dinâmico do DNA apresenta movimentos de grande amplitude e loca-

lizados ao longo da cadeia, contendo inclusive aberturas locais de pares de bases. Esse

comportamento está relacionado com aspectos funcionais da molécula, como por exem-

plo a transcrição e a replicação. Neste trabalho, procuramos compreender essa dinâmica

através da criação e estabilidade de breathers no modelo de Peyrard-Bishop. Estudamos

a influência da variação de energia em uma estrutura de breather estável e por meio

da dinâmica do modelo, inferimos a densidade de energia necessária para que ocorra a

transição de fase do sistema, ou seja, a desnaturação do DNA de forma minimalista.

Na sequência do trabalho, utilizamos de dinâmica molecular no ńıvel de representação

atômica para relacionar o modelo mecânico com a dinâmica in silico do sistema. Por fim,

verificamos a instabilidade da dupla hélice do DNA, quando a molécula é submetida a um

estresse torcional.

Palavras chaves: Breather, modelo de Peyrard-Bishop, transição de fase, dinâmica

molecular do DNA, DNA super enrolado.

I


Abstract

The dynamic behavior of the DNA shows motions of great amplitude and localized by the

chain. The motions are even capable to open a single base pair on its biological tempe-

rature. This behavior is related to functional aspects of the molecule, like transcription

and replication. In this work, we aim to understand this dynamic through the creation

of breathers and its stability in the Peyrard-Bishop model. We study the influence of the

energy change in a stable breather solution. By the dynamic of the model, we infer the

energy density that is needed to happen the phase transition in the system, that is, the

DNA denaturation in a minimalistic view. In the sequence, we use atomistic molecular

dynamics to relate the mechanical model with the in silico dynamic of the system. In the

end, we verify the DNA double helix instability through induced torsional stress.

Keywords: Breather, Peyrard-Bishop model, phase transition, DNA molecular dy-

namics, DNA supercoiling.

II


Lista de Figuras

2.1 Parâmetros internos para a caracterização de um par de bases (esquerda -

cada base é tratada como um corpo ŕıgido) e entre pares de bases adjacentes

(direita - cada par de bases é tratado como um corpo ŕıgido). Figura

adaptada de [32]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Duas curvas fechadas com Lk = 7. Esse número de ligação é encontrado

contando o número de cruzamentos existente entre as curvas e dividindo

esse valor por dois. Figura adaptada de [33]. . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 DNA modelado como uma única fita. Na primeira imagem a fita está

torcida com Tw = 1. Em seguida, se une as pontas formando uma curva

fechada com Lk = 1. Sem desconectar as pontas, é posśıvel formar uma

figura em oito Wr = 1, convertendo a torção em contorção. . . . . . . . . . 8

3.1 Representação do modelo de Peyrard-Bishop. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Representação do modelo que emerge do Lagrangiano Ly. . . . . . . . . . . 11

3.3 Representação do potencial de Morse. Valor assintótico da energia, ou seja,

D = 0, 5u.a.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.4 Amplitude de cada oscilador no instante t = 0. Frequência wb = 0, 8 e

acoplamento igual a: a) C = 0 e b) C = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.1 Valor absoluto dos multiplicadores de Floquet em função do parâmetro de

acoplamento C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Representação dos multiplicadores de Floquet, com as respectivas assina-

turas de Krein (+ → κ = +1, X → κ = −1 e O → κ = 0), para os

diferentes valores de acoplamento. a) C = 0, b) C = 0,1, c) C = 0,1297

(casos estáveis) e d) C = 0,13 (caso instável). . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Energia de cada oscilador em função do tempo. C = 0,1 e wb = 0,8. . . . . 23

III


4.4 a) Fração de osciladores com valores de energia significativa em função da

energia do sistema. b) Detalhe da Figura “a”. . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.5 Módulo G(w) da transformada complexa de Fourier do décimo primeiro

oscilador. a) E = 0,0556, nosc = 0,684 e C = 0,1; b) E = 1,5, nosc = 0,251

e C = 0,1; c) A representação do ramo óptico e d) A representação do ramo

acústico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.6 a) Posição de cada oscilador sobreposta como função do tempo. b) Detalhe

da região onde ocorre a quebra do potencial onsite. N = 21 e E
N

= 0,7857. 27

4.7 Potencial onsite de cada oscilador. A coloração preta indica que o oscilador

está ligado pelo potencial de Morse, enquanto que a branca representa que

o oscilador atingiu o platô do potencial. N = 21 e E
N

= 0,881. . . . . . . . 27

4.8 Tempo necessário para ocorrer a transição de fase em função da densidade

de energia. N = 21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1 Taxa de crescimento dos parâmetros rise e stretch em função da tempera-

tura, para as sequências poli(TA) e poli(CG). . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6.2 Representação inicial e final das cadeias com twist inicial de 30◦. A cor

verde se refere a sequência CG e a cor vermelha à sequência AT. . . . . . . 38

6.3 Representação inicial e final das cadeias com twist inicial de 29◦. A cor

verde se refere a sequência CG e a cor vermelha à sequência AT. . . . . . . 39

6.4 Representação inicial e final das cadeias com twist inicial de 28◦. A cor

verde se refere a sequência CG e a cor vermelha à sequência AT. . . . . . . 39

6.5 Visualização inicial da estrutura circular do DNA com diferentes densidades

de super hélice. a) Molécula relaxada (σ = 0) com 108 pares de base e dez

voltas, b) Molécula com σ = −0.05 contendo 102 pares de base e nove

voltas e c) Molécula com σ = −0.1 contendo 108 pares de base e 9 voltas. . 40

6.6 Visualização inicial da estrutura circular do DNA para as diferentes si-

mulações realizadas para a estrutura com 108 pares de base e 9 voltas. A

seta indica a região que contêm a sequência ...TATATA... (região 1). a)

Sequência g108A, b) Sequência g108B e c) Sequência g108C. A cor laranja

representa nucleot́ıdeos formados por Adenina, a cor verde para Timina, a

cor azul para Citosina e a cor vermelha para Guanina. . . . . . . . . . . . 41

IV


6.7 Gráfico de superf́ıcie em escala de cores que mostra a evolução temporal da

porcentagem de ocupação das ligações de hidrogênio de cada par de bases.

A cor vermelha indica que todas as ligações estão formadas durante cada

nano segundo de simulação. Já a cor azul indica que todas as ligações que

formam o par de bases estão desfeitas. As figuras a), b) e c) representam

estruturas relaxadas (σ = 0, 0). Para as figuras d), e) e f) representam

estruturas com σ = −0, 05. Enquanto que as figuras g), h) e i) são de

estruturas com σ = −0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.8 Visualização dos defeitos estruturais gerados na dupla hélice do DNA du-

rante a simulação por dinâmica molecular. a) Estado transiente, b) Kink

do tipo II, c) Bolha de Desnaturação e d) Despareamento dos pares de base. 46

V


Lista de Tabelas

5.1 Protocolo para equilibração das simulações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

6.1 Sequências das cadeias de DNA utilizadas nas simulações . . . . . . . . . . 42

VI


Sumário

Resumo I

Abstract II

Lista de Figuras III

Lista de Tabelas VI

1 Introdução 1

2 Aspectos estruturais do DNA 4

2.1 Caracteŕısticas gerais da molécula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Descritores da estrutura em hélice e Parâmetros dos pares de base . . . . . 5

2.3 Empacotamento e aspectos topológicos do DNA . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Modelos mecânicos para o DNA 9

3.1 O modelo de Peyrard-Bishop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2 Potencial de Morse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Criação do Breather . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.4 Estabilidade do breather . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Resultados para modelos mecânicos do DNA 20

4.1 Influência da variação de energia no breather . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.2 Densidade de energia e transição de fase no modelo de Peyrard-Bishop . . 25

5 Dinâmica molecular atomı́stica do DNA 29

5.1 Dinâmica molecular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Metodologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

VII


6 Resultado das simulações do DNA por dinâmica atomı́stica 35

6.1 Relacionando dinâmica molecular com modelos minimalistas para o DNA . 35

6.2 Bolhas de desnaturação por estresse torsional induzido . . . . . . . . . . . 37

7 Conclusões 47

Referências Bibliográficas 50

A Parâmetros do Modelo de Peyrard-Bishop 57

B Publicações 58

VIII


Caṕıtulo 1

Introdução

O DNA é a molécula que contém a informação genética e é responsável pela transmissão

da hereditariedade [1]. A determinação da estrutura em dupla hélice [2] é considerada

um marco para o desenvolvimento da biologia molecular. Contudo estudos nas últimas

décadas têm revelado que a dinâmica do DNA é rica e essencial para suas funções. A

informação genética está armazenada na sequência de pares de bases que, na estrutura de

dupla hélice, ficam escondidas no seu interior. As sequências que codificam as protéınas

têm que ser lidas, o que exige a exposição das bases à solução. Isso implica movimentos

de grande amplitude e uma dinâmica não linear.

A estrutura em dupla hélice é, em parte, mantida pelas pontes de hidrogênio entre

as bases nitrogenadas, os pares de Watson-Crick: Adenina-Timina (A-T) e Citosina-

Guanina (C-G). A absorção na região do UV de uma solução de DNA é fortemente

dependente da quantidade de pares de base formados. Isso proporciona uma forma simples

de monitorar a separação das fitas, ou a desnaturação do DNA, que pode ocorrer por um

ou pela combinação de fatores como a temperatura, pH, concentração salina ou de outros

desnaturantes, como a uréia, por exemplo [3]. O modelo de Ising, com dois estados - o par

de bases está fechado, ou seja, as pontes de hidrogênio formadas, ou está aberto, com as

pontes quebradas - foi proposto há quase meio século [4] e continua sendo implementado

e estudado até hoje para explicar a desnaturação do DNA [5]. A desnaturação térmica

do DNA representa um problema interessante para os f́ısicos, pois permite ser modulada

através de uma transição de fase em uma cadeia unidimensional em termos mesoscópicos

[6, 7, 8].

A formação das chamadas bolhas de desnaturação envolvem o rompimento das pontes


CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 2

de hidrogênio em regiões localizadas do DNA. Experimentos de troca de prótons [9, 10] re-

velam que as flutuações podem ser altamente localizadas, com a possibilidade de abertura

de um único par de bases. Estas informações indicam que a dinâmica do DNA, em parti-

cular o estudo de modos de vibração localizados em poucos pares de base, é importante

para a compreensão destes aspectos.

Em sistemas não lineares, breathers são soluções espacialmente localizadas e periódicas

no tempo [11, 12]. Esse tipo de solução é gerado pela combinação da discretização e

da não linearidade do sistema [13]. A discretização faz com que a banda de dispersão

(modos lineares de vibração) seja finita e descont́ınua, enquanto a não linearidade faz

com que a frequência passe a ser dependente da amplitude. A existência dessas estruturas

localizadas foi demonstrada por Mackay e Aubry [14] e é válida para redes Hamiltonianas

de osciladores não harmônicos com acoplamento fraco. Essa prova é baseada no limite

do anticont́ınuo, onde inicialmente a interação entre osciladores vizinhos é nula. Mostra-

se que a solução encontrada persiste em um espaço de soluções periódicas com o tempo

de peŕıodo fixo, além de decáırem exponencialmente no espaço. Em suma, as condições

necessárias para a existência de um breather é que nenhum múltiplo inteiro de frequência

da solução coincida com algum modo linear de vibração da rede.

Soluções do tipo breather têm sido alvo de diversos estudos nas últimas duas décadas

[15]. Esses estudos, analisam tanto numérica como analiticamente modos de criar o bre-

ather e estudar sua estabilidade para variados sistemas discretos. Além disso, existem

alguns trabalhos [16, 17] que estudam o comportamento da interação entre breathers, es-

tudando a colisão entre eles, ou a interação dos mesmos com alguma impureza na cadeia,

o que pode gerar o aprisionamento desse tipo de solução em uma região espećıfica da rede.

Simulação por dinâmica molecular é uma outra ferramenta que vem sendo utilizada

para estudar o DNA desde 1983 [18]. Essa técnica permite um olhar microscópico sobre

os aspectos estruturais da molécula. Além disso, a análise de dados provenientes da

simulação pode fornecer informações a respeito da termodinâmica, cinética e flexibilidade

do sistema. Por essa razão, a simulação por dinâmica molecular tem se tornado uma

ferramenta extremamente popular para o estudo de biomoléculas [19, 20].

Um dos tópicos que vem sendo estudado por dinâmica molecular do DNA diz res-

peito ao DNA super enrolado[21, 22, 23]. Uma vez que o DNA raramente existe como

uma molécula linear e relaxada no ambiente celular, este tipo de estudo se torna impor-


CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3

tante para compreender aspectos dinâmicos relacionados ao comportamento desta macro-

molécula. O estresse torcional nas estruturas super enroladas é capaz de desestabilizar

a estrutura em dupla hélice do DNA [24], podendo promover inclusive o rompimento

localizado de alguns pares de base. Este comportamento pode influenciar no reconheci-

mento das protéınas em sequências espećıficas do DNA durante os processos de replicação,

transcrição e recombinação [25].

Na parte inicial deste trabalho, revisamos aspectos do modelo minimalista de Peyrard-

Bishop (PB) [26] e apresentamos formas de estudar a criação e a estabilidade de breathers

neste tipo de sistema [27]. Exploramos a influência da variação de energia em uma solução

de breather estável e os motivos para a perda da estabilidade [28]. Em seguida, revisamos

a transição de fase que ocorre neste modelo unidimensional do ponto de vista dinâmico e

inferimos a densidade de energia necessária para ocorrer esse fenômeno [29].

Na continuação do trabalho, estudamos aspectos relativos ao DNA por meio da dinâmica

atomı́stica molecular. Em um primeiro momento, procuramos caracterizar os tipos de

movimento (transversal ou longitudinal) em diferentes temperaturas e relacionar os re-

sultados obtidos in silico com o modelo minimalista estudado nos caṕıtulos iniciais. Em

seguida, avaliamos a instabilidade da dupla hélice quando submetida a uma tensão torci-

onal e a dependência comportamental do sistema com relação ao tipo de sequência que

compõe a macromolécula.


Caṕıtulo 2

Aspectos estruturais do DNA

Neste caṕıtulo abordamos alguns dos aspectos estruturais e topológicos do DNA. O intuito

é propiciar a familiarização de conceitos referentes a essa molécula, que são utilizados nos

caṕıtulos seguintes. Para uma compreensão mais aprofundada desses aspectos é recomen-

dado os livros textos de Alberts [1] e Schlick [30], diversas vezes citados na escrita desse

caṕıtulo.

2.1 Caracteŕısticas gerais da molécula

A partir do clássico trabalho de Watson e Crick [2], o modelo em dupla hélice tornou-se

base para o estudo do DNA. Cada fita é um poĺımero formado por repetições de nu-

cleot́ıdeos unidos por ligações fosfodiesteres. Os nucleot́ıdeos, por sua vez, são compostos

por um açucar, a desoxirribose, um grupo fosfato e uma base nitrogenada. Essa última

pode ser de dois tipos: as purinas (estruturas com dois anéis aromáticos), a Adenina (A)

e a Guanina (G), e as pirimidinas (estrutura com apenas um anel aromático), Citosina

(C) e Timina (T) [1].

Os nucleot́ıdeos são covalentemente ligados formando cadeias polinucleot́ıdicas, com

um esqueleto fosfato-açúcar a partir da qual as bases se estendem. Esse esqueleto é

responsável por manter a estrutura da cadeia externa do DNA. Já as bases encontram-se

no interior da dupla hélice e mantém as fitas unidas através de ligações de hidrogênio.

As bases purinas preferencialmente se pareiam com a pirimidinas de modo que no DNA

natural temos os pares de Adenina e Timina, ligados por duas pontes de hidrogênio, e os

de Guanina e Citosina, ligados por três pontes. Esse pareamento de base complementar

4


CAPÍTULO 2. ASPECTOS ESTRUTURAIS DO DNA 5

faz com que o arranjo formado seja o mais favorável energeticamente no interior da dupla

hélice.

A estrutura helicoidal do DNA ocorre graças a esse pareamento de bases, pelas in-

terações existentes entre as bases adjacentes ao longo da cadeia devido a elétrons π dos

anéis aromáticos e à hidrofobicidade das bases. Além disso, surgem também as interações

com o meio ambiente, como por exemplo, a blindagem eletróstatica dos grupos fosfatos

que auxiliam na manutenção da dupla fita.

2.2 Descritores da estrutura em hélice e Parâmetros

dos pares de base

Apresentamos nesta seção algumas definições e parâmetros utilizados para se obter uma

descrição global da estrutura helicoidal do DNA [30].

Os descritores da estrutura em hélice do DNA levam em conta as caracteŕısticas básicas

da dupla fita e dentre eles podemos destacar:

- Passo de hélice (Ph): mede a distância ao longo da hélice para uma volta completa.

- Número de reśıduos por volta (nb): é o número de pares de base para cada volta de

hélice completa.

-Rise axial ou aumento axial (h): é a distância vertical caracteŕıstica entre os pares de

base adjacentes ao longo do eixo da dupla hélice.

- Unidade de twist ou rotação por reśıduo (Ω): descreve a rotação caracteŕıstica sobre

o eixo global da hélice entre dois pares de base vizinhos. A unidade de twist é definida

como Ω = 360◦/nb.

As variáveis geométricas apresentadas acima, são necessárias para descrever arranjos

locais dos pares de base na dupla hélice do DNA. Esses arranjos formam os chamados

parâmetros internos do par de base e os parâmetros entre os pares de base. Pelo fato das

bases serem internamente ŕıgidas, é apropriado tratá-las como corpos ŕıgidos, ou seja, sem


CAPÍTULO 2. ASPECTOS ESTRUTURAIS DO DNA 6

graus de liberdade internos. Do mesmo modo, apesar da menor rigidez, o par de bases

também pode ser tratado como um corpo ŕıgido. Assim, é posśıvel descrever a molécula

através da orientação e posição relativa das bases pareadas e dos pares de base vizinhos

ao longo da cadeia.

Para quantificar estes parâmetros helicoidais, é colocado um conjunto de três eixos

ortogonais (base vetorial unitária) para cada corpo ŕıgido. Assim, para as bases de um

par de bases ou para o passo entre dois pares de base vizinhos pode ser definido três

parâmetros de translação e três parâmetros de rotação para cada eixo ortogonal, como

apresentado na figura 2.1. Existem vários programas computacionais que calculam esses

parâmetros para as estruturas atômicas, entre eles se destacam o 3DNA e o Curves+

(utilizado nos cálculos realizados na seção de resultados) [31, 32].

Figura 2.1: Parâmetros internos para a caracterização de um par de bases (esquerda -

cada base é tratada como um corpo ŕıgido) e entre pares de bases adjacentes (direita -

cada par de bases é tratado como um corpo ŕıgido). Figura adaptada de [32].


CAPÍTULO 2. ASPECTOS ESTRUTURAIS DO DNA 7

2.3 Empacotamento e aspectos topológicos do DNA

Um dos fatos mais intrigantes com relação ao DNA, diz respeito a alta compactação e

organização da molécula no meio celular. Se o conteúdo genômico de cada cromossomo

humano for esticado, resulta em 4cm de DNA; e, esticando todos os cromossomos exis-

tentes no núcleo celular se obtém um tamanho de quase 2 metros [30]. Lembrando que

o tamanho do núcleo eucarioto possui aproximadamente 5µm, nota-se a extrema neces-

sidade de ocorrer a condensação do DNA. Esta alta condensação é obtida através do

chamado super enrolamento, onde a dupla fita é enrolada no seu próprio eixo.

A topologia é uma das principais ferramentas que auxiliam na caracterização ma-

temática da estrutura super enrolada do DNA. Uma propriedade topológica importante

é o número de ligação (linking number, Lk), que caracteriza a ordem de ligação de duas

curvas fechadas e orientadas no espaço. O número de ligação é o número de vezes que duas

curvas estão entrelaçadas e pode ser obtido através da contagem do número de cruzamen-

tos existente entre as curvas e dividindo esse valor por dois. Na figura 2.2, temos quatorze

cruzamentos existentes entre as curvas, portanto Lk = 7. Uma caracteŕıstica importante

do número de ligação é o fato de ele ser um invariante topológico, ou seja, mudanças feitas

na forma das curvas como esticando ou puxando elas, não altera o número de ligação.

Essa quantidade, varia apenas quando as fitas são cortadas e ligadas novamente. Para

o DNA em seu estado relaxado, o número de ligação (Lk0) é igual ao número de voltas

formadas pela dupla hélice, ou seja, Lk0 = n/nb onde n é o número de pares de bases da

molécula.

Figura 2.2: Duas curvas fechadas com Lk = 7. Esse número de ligação é encontrado

contando o número de cruzamentos existente entre as curvas e dividindo esse valor por

dois. Figura adaptada de [33].


CAPÍTULO 2. ASPECTOS ESTRUTURAIS DO DNA 8

Em particular, uma identidade atribúıda a Calugareanu [34] e White [35] é funda-

mental para o estudo do DNA super enrolado. Esta identidade relaciona o invariante

topológico Lk com as quantidades geométricas torção (twist, Tw) e contorção (writhe,

Wr), equação 2.1. A torção mede o número de vezes que a hélice gira em torno do seu

eixo. Já a contorção descreve a geometria global da hélice e é dado, essencialmente, pela

contagem do número de cruzamentos realizados pela molécula no eixo principal da hélice

[36]. A figura 2.3 ilustra essas quantidades geométricas e mostra a conversão de uma

torção em uma contorção, para o caso de uma curva fechada com Lk = 1.

Lk = Tw +Wr. (2.1)

Geralmente, o DNA não é encontrado na sua forma relaxada no núcleo celular, de

modo que existe então uma diferença no seu número de ligação, ∆Lk = Lk − Lk0. Essa

diferença é frequentemente descrita como uma quantidade normalizada e é conhecida

como a densidade de super hélice:

σ =
∆Lk

Lk0

=
Lk − Lk0

Lk0

. (2.2)

Figura 2.3: DNA modelado como uma única fita. Na primeira imagem a fita está torcida

com Tw = 1. Em seguida, se une as pontas formando uma curva fechada com Lk = 1.

Sem desconectar as pontas, é posśıvel formar uma figura em oito Wr = 1, convertendo a

torção em contorção.


Caṕıtulo 3

Modelos mecânicos para o DNA

3.1 O modelo de Peyrard-Bishop

Existem inúmeros modelos mecânicos para descrever a molécula do DNA, cada um con-

siderando caracteŕısticas particulares para simular um aspecto espećıfico a ser estudado

[37]. Como estamos interessados na formação de estruturas com energia localizada prove-

nientes de movimentos de grande amplitude precisamos de um modelo capaz de descrever

o afastamento entre os nucleot́ıdeos de um mesmo par de base. O modelo de Peyrard-

Bishop (PB) preenche de forma minimalista estas condições. Este modelo foi introduzido

no final da década de 1980 para estudar a desnaturação do DNA por meio da mecânica

estat́ıstica. Nele, cada fita do DNA é mimetizada por uma cadeia de osciladores acoplados

harmonicamente. As fitas interagem uma com a outra por meio de um potencial não li-

near. Assim, cada nucleot́ıdeo de uma fita é representado por uma massa m. Cada massa

está ligada a duas vizinhas, adjacentes, por uma mola de constante k, que representa um

potencial efetivo que contém as interações de empilhamento entre pares da mesma fita,

efeitos estéricos da distribuição atômica e efeitos do ambiente. As duas fitas são mantidas

“paralelas”por um potencial não linear que mimetiza as pontes de hidrogênio entre as

bases nitrogenadas A-T e C-G. Aspectos tridimensionais da estrutura helicoidal não são

considerados e o movimento analisado é perpendicular ao eixo principal da dupla fita. As

posições dos nucleot́ıdeos das fitas são rotuladas uj e vj, respectivamente; com o ı́ndice

j = 1, ..., N enumerando os nucleot́ıdeos. Por simplicidade, estudaremos esse modelo so-

mente para cadeias homogêneas (homopoĺımero), ou seja, as massas e as constantes de

acoplamento elástico de cada fita são iguais. Da mesma forma, o potencial que une as

9


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 10

duas fitas é o mesmo para todos os pares de base. Esse modelo está esquematizado na

figura 3.1.

Figura 3.1: Representação do modelo de Peyrard-Bishop.

O Lagrangiano do modelo de PB para uma cadeia homogênea é descrito por:

LPB =
N∑
i=1

{mu̇2
j

2
+
mv̇2

j

2
− k

2
(uj+1 − uj)2 − k

2
(vj+1 − vj)2 − V (uj − vj)

}
(3.1)

Podemos desacoplar o Lagrangiano introduzindo as variáveis xj = uj+vj√
2

e yj = uj−vj√
2

e descrevê-lo como a soma de dois termos Lx e Ly, que são expressos pelas equações 3.2

e 3.3 respectivamente. A parte do Lagrangiano dependente apenas de x representa uma

cadeia harmônica de osciladores e não é importante na discussão que fazemos aqui, uma

vez que não apresenta modos localizados de vibração.

Lx =
N∑
i=1

{mẋ2
j

2
− k

2
(xj+1 − xj)2

}
(3.2)

Por outro lado, a parte dependente de y representa uma cadeia de osciladores harmônicos


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 11

com um potencial não linear adicional, on site (local), importante para gerar estruturas

localizadas no sistema.

Ly =
N∑
i=1

{mẏ2
j

2
− k

2
(yj+1 − yj)2 − V (yj

√
2)
}
. (3.3)

Uma representação esquemática de uma cadeia descrita pelo Lagrangiano Ly está

na figura 3.2. Para determinar as equações de movimento desse sistema, temos que

∂Ly

∂yj
= d

dt
∂Ly

∂ẏj
e ao resolvê-la encontramos:

mÿj + k(2yj − yj+1 − yj−1) + V ′(yj
√

2) = 0, (3.4)

com j = 1, 2, ..., N .

Devido à presença dos termos yj±1 nas equações de movimento 3.4, devemos introduzir

condições de contorno para tratar os efeitos de borda. Aqui vamos restringir às situações

descritas pelas condições periódicas de contorno, ou seja, y0 = yN e yN+1 = y1.

Figura 3.2: Representação do modelo que emerge do Lagrangiano Ly.

3.2 Potencial de Morse

Originalmente o potencial utilizado para descrever as pontes de hidrogênio no modelo PB

foi o potencial de Morse, que é dado pela função

V (y) = D(e−ay − 1)2, (3.5)

onde D é a profundidade do poço do potencial e representa a energia de dissociação (ener-

gia necessária para a quebra da ligação), a possui dimensão do inverso do comprimento

e está relacionado à largura do poço e y representa o deslocamento do par de base em

relação à posição de equiĺıbrio (uj − vj).


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 12

Figura 3.3: Representação do potencial de Morse. Valor assintótico da energia, ou seja,

D = 0, 5u.a..

O potencial de Morse é não confinante e, por isso, simula de maneira satisfatória as

pontes de hidrogênio existentes entre as bases nitrogenadas. Na situação de equilibrio,

y = 0, a ponte de hidrogênio está em configuração ótima, para y < 0 a aproximação

das cadeias gera uma repulsão devido aos impedimentos estéricos existentes e para y > 0

primeiramente o afastamento das fitas faz com que haja uma atração entre elas, entretanto

a partir de um determinado valor de y as pontes de hidrogênio podem ser consideradas

rompidas e ocorre a desnaturação local da estrutura em dupla hélice do DNA.

Substituindo o potencial de Morse no Lagrangiano 3.3 temos:

Ly =
N∑
i=1

{mẏ2
j

2
− k

2
(yj+1 − yj)2 −D[e−ayj

√
2 − 1]2

}
. (3.6)

É conveniente para o desenvolvimento tanto anaĺıtico quanto computacional deixar as

equações dependentes do menor número posśıvel de parâmetros. Pode-se reduzir o modelo

a dependência de um único parâmetro utilizando variáveis adimensionais, definidas por:

ξj = ayj
√

2 e τ = 2
√

Da2

m
t, e assim, reescrever o Lagrangiano como função de um único

parâmetro, C.

L =
N∑
i=1

{ ξ̇2
j

2
− C

2
(ξj+1 − ξj)2 − 1

2
[e−ξj − 1]2

}
, (3.7)

onde ξ̇ = dξ
dτ

, C = k
4Da2

e Ly ≡ 2DL.


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 13

3.3 Criação do Breather

Nesta seção apresentamos o método para obtenção de breathers em cadeias harmônicas

com potencial de interação on site (como a cadeia descrita na seção anterior). Para isso,

seguimos a aproximação do limite do anticont́ınuo de MacKay e Aubry [14] e que foi

implementada por Marin e Aubry [38] e Cuevas [39].

O Lagrangiano desse tipo de sistema é dado por:

L =
N∑
j=1

{
1

2
u̇2
j −

1

2
C(uj+1 − uj)2 − V (uj)

}
, (3.8)

onde C é o parâmetro de interação harmônico e V (uj) o potencial on site não linear.

As equações de movimento correspondentes ao Lagrangiano 3.8, obtidas por ∂L
∂uj

=

d
dt

∂L
∂u̇j

, são:

Fj ≡ üj + C(2uj − uj+1 − uj−1) + V ′(uj) = 0. (3.9)

Como procuramos por soluções periódicas, podemos tratar o problema no espaço de

Fourier e escrever a solução do sistema em termos de uma série de Fourier em funções

cosseno:

uj(t) = z0
j + 2

km∑
k=1

zkj cos(kwbt), (3.10)

onde wb é a frequência do breather, zkj e km são, respectivamente, os coeficientes e o

número total de termos da série.

Substituindo a expressão 3.10 na equação de movimento 3.9 e colecionando os termos

correspondentes ao k-ésimo elemento, encontramos N(km + 1) equações algébricas do

tipo:

F k
j ≡ −k2w2

bz
k
j + C(2zkj − zkj+1 − zkj−1) + V

′k
j = 0, (3.11)

onde V
′k
j é o k-ésimo coeficiente de Fourier de V ′(uj).

O cálculo de V
′k
j é realizado através da Transformada Discreta de Fourier (DFT).

A partir de zkj se calcula uj(t) como sequência de km + 1 termos usando DFT-cosseno

inversa:

uj(ti) = z0
j + 2

km∑
k=1

zkj cos(kwbti), (3.12)


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 14

onde ti = 2πi
wb(2km+1)

, para i = 0, 1, ..., km.

Assim,

V
′k
j =

1

2km+ 1
[V
′
(uj(0)) + 2

km∑
i=1

V
′
(uj(ti))cos(kwbti)]. (3.13)

Uma aproximação linear da equação 3.11 nos leva à:

F k
j (Z) = F k

j (X) +
∂F k

j (X)

∂z0
1

(z0
1 − x0

1) + ...+
∂F k

j (X)

∂zkm1

(zkm1 − xkm1 ) +

...+
∂F k

j (X)

∂z0
2

(z0
2 − x0

2) + ...+
∂F k

j (X)

∂zkm2

(zkm2 − xkm2 ) +

...+
∂F k

j (X)

∂z0
N

(z0
N − x0

N) + ...+
∂F k

j (X)

∂zkmN
(zkmN − xkmN ), (3.14)

onde Z = [z0
1 ... z

km
1 z0

2 ... z
km
2 ... z0

N ... zkmN ]T é o vetor dos coeficientes de Fourier das N

oscilações e Z = [x0
1 ... x

km
1 x0

2...x
km
2 ... x0

N ... xkmN ]T representa um ponto na vizinhança

de Z.

Considerando F k
j como F = [F 0

1 ... F km
1 F 0

2 ... F km
2 ... F 0

N ... F km
N ]T e considerando o

sistema de equações 3.14, temos:

0 = F (Z) = F (X) + [JF ](X)(Z −X), (3.15)

onde [JF ](X) é o Jacobiano da função F determinado no vetor X.

Rearranjando a equação 3.15, podemos encontrar a solução X dos coeficientes Z do

sistema através de:

Z = X − ([JF ](X))−1F (X), (3.16)

que representa uma generalização do método de Newton para sistemas de equações. Os

coeficientes Z são considerados satisfatórios quando a norma de F (Z) dividido pela norma

de Z é menor que ε, onde ε << 1.

O procedimento numérico para gerar o breather é, em um certo sentido, perturbativo.

Inicialmente cria-se o perfil do breather considerando a cadeia no limite em que C = 0,

ou seja, os osciladores estão desacoplados. Esse é o limite do anticont́ınuo. Nas situações

que abordamos são criados 1-site breathers, o que significa que somente um oscilador tem

elongação diferente de zero nesse estágio do procedimento. O perfil obtido é utilizado

como semente para a resolução do sistema de equações 3.16 quando o acoplamento é


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 15

“ligado”. Para que possa ser tratado como uma perturbação do perfil inicial, trabalha-se

com aĺıquotas de incremento de C pequenas, δC. A solução obtida para δC serve como

semente para o próximo valor de C, ou seja, C = 2δC. O procedimento é repetido até

que o valor desejado de C seja obtido.

Exemplos de breathers criados podem ser vistos na Figura 3.4, onde mostramos o

perfil do breather em t = 0 para duas situações: (a) C = 0 e (b) C = 0, 1; utilizando o

potencial de Morse. A semente inicial foi Z = [0,3 0,4 0 ... 0 ]T e a frequência de

oscilação do breather wb = 0, 8. A partir dessa configuração inicial é realizado tanto a

análise de Floquet, como as simulações de dinâmicas apresentadas.

Figura 3.4: Amplitude de cada oscilador no instante t = 0. Frequência wb = 0, 8 e

acoplamento igual a: a) C = 0 e b) C = 0, 1.

Quando utilizamos o potencial de Morse, podemos relacionar a energia inicial para a

criação de um breather (C = 0) com a sua frequência de vibração wb. A energia do 1-site

breather é dada por:

E =
1

2
ξ̇2 +

1

2
(e−ξ − 1)2. (3.17)

Como inicialmente a velocidade do oscilador é nula podemos determinar os pontos

de retorno de ξ, que são equivalentes à ξ1 = − ln (1 +
√

2E) e ξ2 = − ln (1−
√

2E).

Considerando a solução ξ(0) = ξ1, t(ξ) é dado por t(ξ) =
∫ ξ
ξ1

dx√
2(E− (e−x−1)2

2
)

, que implica:

t(ξ) =
1√

1− 2E

{
π

2
− arcsen[

1√
2E

(1 +
2E − 1

e−ξ
)]
}
. (3.18)


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 16

Fazendo t = T
2

= π
wb

e ξ = ξ2 obtemos a seguinte relação entre a frequência do breather

e a energia:

wb =
√

1− 2E. (3.19)

3.4 Estabilidade do breather

Além da formação, é necessário estudar a estabilidade do breather. Sendo uj(t) uma

solução periódica da equação 3.9, introduzimos uma perturbação por meio de ψj(t) =

uj(t) + ζj(t) para analisar o comportamento próximo a essa solução. Exigimos que ψj(t)

também seja solução do sistema e expandimos a equação em torno da solução de uj(t):

ζ̇j(t) + C[2ζj(t)− ζj+1(t)− ζj−1(t)] + V
′′
(uj)ζj(t) = 0, (3.20)

que é a equação linearizada do sistema (Equação de Hill).

A equação 3.20 pode ser reescrita como o seguinte sistema de equações:

ζ̇j(t) = πj(t) (3.21)

π̇j(t) = −C[2ζj(t)− ζj+1(t)− ζj−1(t)]− V ′′(uj)ζj(t), (3.22)

ou ainda, escrevendo Ω(t) = [ζ(t) π(t)]T , onde ζ(t) = {ζj(t)} e π(t) = {πj(t)}, ou seja,

Ω(t) é um vetor coluna com dimensão 2N , sendo N o número de graus de liberdade do

sistema, temos:

Ω̇(t) = A(t)Ω(t), (3.23)

onde A(t) =

 0 I

J 0

. Cada elemento de A(t) são matrizes N × N e a matriz J tem

elementos Ji,j = −(2C+V
′′
(uj))δi,j+C(δi+1,j+δi−1,j) com δi,j sendo o delta de Kronecker

e para i = 1 temos δi−1,j = δ0,j = δN,j e para i = N temos δi+1,j = δN+1,j = δ1,j (condição

de contorno periódica).

Como tratamos de equações periódicas podemos analisar a estabilidade do sistema

através da teoria de Floquet [40]. Nesse contexto, considerando que seja φ(t) uma matriz

2N×2N em que cada coluna representa uma solução linearmente independente do sistema


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 17

dado pela equação 3.23, correspondente as diferentes condições iniciais e definidas em t = 0

como um vetor com 2N − 1 zeros e 1 na i-ésima posição (i =1, 2, ... , 2N). Essa matriz

é conhecida como matriz fundamental e satisfaz:

φ̇(t) = A(t)φ(t). (3.24)

Como A(t) é periódica de peŕıodo T , φ(t + T ) também é solução da equação 3.24 e

consequentemente cada coluna de φ(t+ T ) é uma combinação linear de φ(t), ou seja:

φ(t+ T ) = φ(t)M, (3.25)

onde M é uma matriz constante. Como φ(0) = I, temos que φ(T ) = M e M é conhecida

como a matriz monodromia ou matriz (operador) de Floquet F .

O operador de Floquet F determina a evolução do sistema em um peŕıodo T e é

expresso da seguinte forma:

Ω(T ) = FΩ(0). (3.26)

Para sistemas periódicos regidos por um potencial que apresente segunda derivada

cont́ınua, o teorema de Bloch garante autofunções da forma ζ(t) = eiθ
t
T ν(t), com ν(t)

periódica com peŕıodo T . Essas autofunções correspondem a autovalores de F na forma

λ = eiθ, (θ ∈ C). Esses autovalores são conhecidos como multiplicadores de Floquet,

enquanto que θ é chamado de argumento de Floquet. O operador de Floquet é real e

simplético, ou seja, suas propriedades f́ısicas são invariantes no tempo. Isso implica que

se λ é autovalor, então λ∗, 1
λ

e 1
λ∗

também são autovalores.

Pela teoria de Floquet a órbita de u(t) é linearmente estável se nenhum dos multi-

plicadores de Floquet tiver módulo maior do que 1, assim uma condição necessária para

a estabilidade linear é que todos os multiplicadores de Floquet estejam sobre o ćırculo

unitário, ou seja, que θ seja real.

Para que ocorra a instabilidade do sistema, um par ou mais de autovalores deve co-

lidir e sair do ćırculo unitário gerando assim uma bifurcação, responsável pela troca de

estabilidade. Se os autovalores saem em θ = 0 temos uma bifurcação harmônica, se saem

em θ = π bifurcação sub-harmônica e em θ 6= 0, π bifurcação oscilatória.

Uma ferramenta útil para o estudo da estabilidade é a assinatura de Krein (κ) [41] defi-

nida inicialmente como o sinal do produto simplético da parte real com a parte imaginária


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 18

do vetor posição-velocidade. Pelo critério de Krein para que uma colisão de autovalores

gere uma instabilidade, as respectivas assinaturas de Krein deverão ser distintas.

κ(θ) = sgn([Re{Ω(t)}, Im{Ω(t)}]) = sgn[i
∑
j

(ζj(t)ζ̇j
∗
(t)− ζ∗j ζ̇j(t))]. (3.27)

No limite do anticont́ınuo, Cuevas mostra em sua tese [39] que a assinatura de Krein

passa a ser:

κ(θ) = sgn(senθ). (3.28)

Para o potencial de Morse, quando C = 0, obtemos da equações 3.22 que oscilador

inicialmente excitado (n) obedece a seguinte relação:

ζ̈n(t) + (2e−2un(t) − e−un(t))ζn(t) = 0, (3.29)

enquanto que os osciladores em repouso são ditos como osciladores lineares são descritos

por:

ζ̈j(t) + ζj(t) = 0. (3.30)

As soluções da equação 3.29 são ζn(t) = ξ̇n(t) e ζn(t) = ξw(t) = ∂ξ
∂wb

que são deno-

minadas modo de fase e modo de crescimento, respectivamente. Isso pode ser verificado

derivando a equação de movimento 3.9 com relação tanto ao tempo como à frequência.

Esses modos correspondem a autovetores do tipo Ωf (t) =

 ξ̇(t)

ξ̈(t)

 e Ωc(t) =

 ξw(t)

ξ̇w(t)

, e

estão relacionados com a evolução de um peŕıodo da seguinte forma:

Ωf (T ) = Ωf (0)

Ωc(T ) = Ωc(0) +
T

wb
Ωf (0) (3.31)

Tanto {Ωf (0),Ωc(0)}, como {Ωf (T ),Ωc(T )} são bases do espaço formado pelas soluções

da equação 3.29. Então Ω(T ) = a(T )Ωf (0)+b(T )Ωc(0) ou Ω(T ) = a(0)Ωf (T )+b(0)Ωc(T ).

Utilizando a equação 3.31, podemos escrever Ω(T ) = (a(0) + T
wb
b(0))Ωf (0) + b(0)Ωc(0),

assim:


CAPÍTULO 3. MODELOS MECÂNICOS PARA O DNA 19

 a(T )

b(T )

 = F

 a(0)

b(0)

 (3.32)

onde F =

 1 T
wb

0 1

 é o operador de Floquet com autovalor duplamente degenerado e

igual a 1.

No caso da equação 3.30, temos como solução o autovetor ζj(t) = e±itζj(0) que está

N − 1 vezes degenerado e corresponde a argumentos de Floquet θ = ±T . Estes modos

correspondem a oscilações lineares.

Os autovalores em θ = nπ, sendo n um número inteiro, tem assinatura de Krein

nula, enquanto que os autovalores em θ = ±T tem assinatura de κ = 1 se θ ∈ (0, π) e

κ = −1 se θ ∈ (π, 2π). Para os autovalores dos osciladores lineares não coincidirem com o

autovalor do oscilador inicialmente excitado é necessário cumprir a seguinte condição de

não ressonância:

n

2
wb 6= 1, (3.33)

com n = 0, 1, 2, ... .


Caṕıtulo 4

Resultados para modelos mecânicos

do DNA

4.1 Influência da variação de energia no breather

Neste caṕıtulo mostramos o comportamento de um breather sob a influência da variação

de energia. Para isso, inicialmente criamos uma solução do tipo breather e estudamos

sua estabilidade através da teoria de Floquet. Após determinar uma estrutura estável

verificamos seu comportamento dinâmico e como esta estrutura se comporta ao se variar

a energia do sistema.

Os resultados apresentados a seguir foram obtidos usando cadeias com 21 osciladores

(N = 21). Esse número de osciladores é compat́ıvel com o utilizado na literatura [39]. Os

coeficientes da série de Fourier são lm = 17 e o incremento no parâmetro C, δC, utilizado

para se obter o valor desejado do acoplamento, aplicando o método de Newton para

resolução das equações algébricas foi da ordem de 10−3. A convergência foi considerada

satisfatória para ε = 10−4.

Na figura 4.1 mostramos os resultados referentes aos valores absolutos dos multiplica-

dores de Floquet em função do parâmetro de acoplamento C. A frequência do breather

criado é wb = 0,8. Nota-se que para pequenos valores do acoplamento C todos os mul-

tiplicadores de Floquet tem módulo igual a um, assim a estabilidade é garantida. Após

um determinado valor de C (C = 0,1297), algumas bifurcações ocorrem e a estabilidade

é perdida.

Uma outra forma de ilustrar a estabilidade de uma solução do tipo breather é através

20


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 21

Figura 4.1: Valor absoluto dos multiplicadores de Floquet em função do parâmetro de

acoplamento C.

da distribuição dos diferentes autovalores λ = eiθ da matriz de Floquet e suas respectivas

assinaturas de Krein. Isso pode ser visto na figura 4.2 para quatro valores do parâmetro

de acoplamento C: (a) C = 0; (b) C = 0,1; (c) C = 0,1297 e (d) C = 0,13. Nota-se

que, para a situação (a), os autovalores são θ = 0 (referente ao autovalor do oscilador

excitado) e θ = ±π
2

(equivalente aos osciladores em repouso). Acoplar os osciladores faz

com que os autovalores caminhem sobre o ćırculo unitário. Quando dois autovalores com

assinaturas de Krein distintas colidem eles podem sair do ćırculo e causar instabilidade

no sistema (Figura 4.2d).

Um breather linearmente estável pela análise de Floquet apresenta em sua dinâmica

uma estrutura espacialmente localizada, bem definida e que persiste pelo tempo. Isso pode

ser visto pela figura 4.3, onde ilustramos a evolução temporal da energia de cada oscilador

utilizando padrões de cores com oito ńıveis. A cor vermelha representa as maiores energias

e a azul escuro energia praticamente nula. Esse gráfico foi criado através da integração

das equações de movimento do sistema utilizando o método de Runge-Kutta de quarta

ordem [42]. Como condição inicial, temos para as posições o perfil do breather obtido

com o método demonstrado no caṕıtulo 3 e as velocidade iniciais iguais a zero. O tempo

de integração foi de 104 unidades arbitrárias de tempo (u.a.).

A análise de Floquet nos permite conhecer o comportamento do sistema como função


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 22

Figura 4.2: Representação dos multiplicadores de Floquet, com as respectivas assinaturas

de Krein (+ → κ = +1, X → κ = −1 e O → κ = 0), para os diferentes valores de

acoplamento. a) C = 0, b) C = 0,1, c) C = 0,1297 (casos estáveis) e d) C = 0,13 (caso

instável).

do parâmetro de acoplamento, mas não fornece diretamente qualquer informação a res-

peito da influência da variação de energia no breather. Para testar isto, utilizamos uma

solução estável, C = 0, 1, e variamos sua energia através do aumento e diminuição das

posições iniciais de todos os osciladores, mas mantemos as proporções entre eles iguais.

Dessa forma, usamos essas novas soluções como condições iniciais e integramos novamente

as equações de movimento para verificar o comportamento dinâmico do sistema.

O critério para analisar o comportamento do sistema relativo a localização de energia


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 23

Figura 4.3: Energia de cada oscilador em função do tempo. C = 0,1 e wb = 0,8.

é baseado na entropia informacional e medidas do número de osciladores com energia

significativa do sistema, Nosc. Isso pode ser visto em trabalhos anteriores, como o de De

Luca et al. [43] e Silva et al. [44], que usaram esse conceito para caracterizar a localização

de energia em cadeias do tipo Peyrard-Bishop.

A entropia informacional é definida como:

S = −
N∑
j=1

ej ln (ej), (4.1)

onde ej = Ej

E
e representa uma probabilidade de energia. Supondo que a energia esteja

distribúıda uniformemente (equipartida) entre r osciladores e r < N , cada um desses

r osciladores tem energia ej = 1
r
, e a energia dos demais pode ser desprezada. Nessa

situação S pode ser escrita como S ≈ ln r. Invertendo essa relação se obtem r ≈ eS.

Vê-se então, que a entropia informacional é uma medida do número de osciladores que

tem uma quantidade de energia significativa, ou seja, Nosc = eS. Se todos os osciladores

tivessem a mesma energia, obviamente Nosc = N .

Na Figura 4.4 mostramos a fração de osciladores com valores de energia significativa

(nosc = Nosc

N
) em função da energia. Nota-se a existência de um valor mı́nimo de nosc

para a energia equivalente ao breather estável com C = 0, 1, (E = 0, 645). Se olharmos


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 24

cuidadosamente os valores de energia próximos ao do breather, notamos que os valores

de nosc são menores que 0,2 no intervalo de energia entre 0,291 - 1,203. Isso significa que

para o tempo observado (t = 10000u.a.) a energia não se espalha pela rede e permanece

localizada em um número pequeno de osciladores.

Figura 4.4: a) Fração de osciladores com valores de energia significativa em função da

energia do sistema. b) Detalhe da Figura “a”.

Entretanto, para valores de energia fora dessa faixa de energia (0,291 - 1,203), os

valores de nosc começam a crescer e a localização de energia é perdida. Nestas situações o

sistema apresenta o comportamento de cadeias harmônicas, onde a energia se difunde pela

cadeia. Uma análise de Fourier nos permite racionalizar uma explicação para esse fato.

A figura 4.5 mostra o módulo G(w) da transformada complexa de Fourier do décimo

primeiro oscilador (N = 11) para duas energias do sistema: a) E = 0,0556 e b) E =

1,5. No caso de baixas energias, a análise de Fourier (figura 4.5a) mostra que o sistema

apresenta oscilações dentro do ramo óptico, 1 ≤ w ≤
√

1 + 4C (figura 4.5c). Então,

nesse caso, não temos localização de energia porque os modos não lineares não foram

excitados. Quando lidamos com altas energias, (figura 4.5b), todas as frequências com

intensidades significativas estão dentro do ramo acústico, 0 ≤ w ≤
√

4C (figura 4.5d),

então novamente o valor de nosc aumenta. Isto ocorre pois alguns osciladores possuem

energia suficiente para superar a barreira do potencial de Morse e o sistema se comporta

como uma cadeia puramente harmônica. Estes resultados concordam com a conjectura

que para a existência de modos localizados, o sistema deve oscilar fora do espectro linear


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 25

de frequência.

Figura 4.5: Módulo G(w) da transformada complexa de Fourier do décimo primeiro osci-

lador. a) E = 0,0556, nosc = 0,684 e C = 0,1; b) E = 1,5, nosc = 0,251 e C = 0,1; c) A

representação do ramo óptico e d) A representação do ramo acústico.

4.2 Densidade de energia e transição de fase no mo-

delo de Peyrard-Bishop

Nesta seção vamos abordar a transição de fase no modelo de Peyrard-Bishop conside-

rando os aspectos dinâmicos do comportamento da rede. Para isso, propomos observar a

evolução temporal da posição dos osciladores para diferentes energias.


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 26

O estudo termodinâmico do modelo de Peyrard-Bishop através do método do operador

integral de transferência, mostra que quando todos os osciladores da rede têm energia

acima da barreira do potencial de Morse, ou seja, a energia de cada par de base é igual

ou superior ao parâmetro D, a função de onda não é mais quadraticamente integrável e a

transição de fase ocorre [29]. Em suma, tem-se que a desnaturação ocorre quando a energia

por oscilador é no mı́nimo igual à profundidade do poço do potencial de Morse. Com o

adimensionamento realizado no lagrangiano do modelo de Peyrard-Bishop, equação 3.7,

a altura do poço passa a ser equivalente à 0,5. Assim para densidades de energia (E/N)

iguais ou superiores a 0,5 é esperado que ocorra a transição de fase do modelo estudado.

Nas simulações apresentadas, integramos as equações de movimento derivadas do La-

grangiano 3.7 utilizando o método de Runge-Kutta Nystrom de décima ordem [45]. Nas

condições iniciais, o oscilador central da cadeia é excitado de modo a conter somente ener-

gia cinética. Então, em t = 0 todos os osciladores estão em suas respectivas posições de

equiĺıbrio e em repouso, exceto o oscilador central que possui velocidade inicial. Condições

periódicas de contorno são utilizadas, ou seja, ξ0 = ξN e ξN + 1 = ξ1. A idéia é verificar

como a energia concentrada na cadeia se espalha até atingir a “desnaturação”.

A figura 4.6 mostra as posições ξ de todos os osciladores sobrepostas como função do

tempo. Na simulação utilizamos novamente uma rede de 21 osciladores e a densidade de

energia é 0,7857. Quando todos os osciladores adquirem energia referente ao termo do

potencial de Morse equivalente a profundidade do poço, as posições de todos os osciladores

começam a crescer constantemente, então a cadeia adquire um movimento translacional

constante. Uma vez que ξ representa a separação do par de base, este comportamento

caracteriza qualitativamente a quebra das ligações de hidrogênio e consequentemente a

desnaturação do DNA.

Outra análise que pode ser feita diz respeito ao comportamento da cadeia próximo

ao momento da transição de fase. Na figura 4.7 temos representado na forma de um

gráfico de superf́ıcie os osciladores que atingem o platô do potencial de Morse em função

do tempo. Para os osciladores que estão confinados no poço do potencial, temos a co-

loração preta. Já para aqueles que atingiram o platô, temos a coloração branca. Nota-se

que, inicialmente, todos os osciladores estão confinados no potencial de Morse. A partir

de aproximadamente t = 880u.a., uma região de osciladores começa a atingir o platô do

potencial, região entre os osciladores 15 e 20. Já próximo de 900u.a., três regiões apresen-


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 27

Figura 4.6: a) Posição de cada oscilador sobreposta como função do tempo. b) Detalhe

da região onde ocorre a quebra do potencial onsite. N = 21 e E
N

= 0,7857.

tam esse comportamento e começam a se juntar até que toda a cadeia adquira energia de

Morse suficiente para se “desconectar”do potencial on site, caracterizando a transição de

fase no modelo. Qualitativamente, esse comportamento assemelha-se com a desnaturação

do DNA, onde existe a formação das chamadas bolhas de desnaturação que vão crescendo

e se somando até que ocorra a separação da dupla fita [46].

Figura 4.7: Potencial onsite de cada oscilador. A coloração preta indica que o oscilador

está ligado pelo potencial de Morse, enquanto que a branca representa que o oscilador

atingiu o platô do potencial. N = 21 e E
N

= 0,881.

Por fim, analisamos o comportamento da rede em função da energia por oscilador.


CAPÍTULO 4. RESULTADOS PARA MODELOS MECÂNICOS DO DNA 28

O intuito é encontrar o valor mı́nimo necessário para ocorrer a transição de fase da ca-

deia unidimensional através da dinâmica do modelo. Para isso simulamos o sistema com

diferentes densidades de energia e verificamos o tempo necessário para ocorrer a “des-

naturação”. Esse resultado pode ser visto na figura 4.8. Nota-se que, altas densidades

de energia promovem a transição de fase de maneira rápida. Conforme essa densidade

diminui, maior é o tempo necessário para ocorrer a transição de fase. O resultado sugere

também um comportamento assintótico próximo a uma densidade de energia de 0,5, que

corresponde à profundidade do poço do potencial (D = 0, 5), concordando qualitativa-

mente com o resultado termodinâmico citado.

Figura 4.8: Tempo necessário para ocorrer a transição de fase em função da densidade de

energia. N = 21.

Apesar da transição de fase ocorrer para densidades de energia tendendo ao valor

do poço do potencial D, ela não atinge esse valor para a análise dinâmica. A causa

para esse comportamento, consiste no fato da energia na simulação dinâmica não estar

localizada apenas no potencial de Morse, mas também no termo harmônico. Isto gera

uma situação única para a transição nessa densidade de energia, na qual a cadeia deveria

estar em repouso, todos os osciladores com energia igual ao platô do potencial e em suas

respectivas posições de equiĺıbrio.


Caṕıtulo 5

Dinâmica molecular atomı́stica do

DNA

5.1 Dinâmica molecular

Simulação por dinâmica molecular (DM) tem sido uma ferramenta importante para o

estudo de biomoléculas em geral [30]. O conceito de DM foi originalmente desenvolvido

na década de 50, como uma técnica para simular sistemas de colisão de esferas ŕıgidas

[47] e a partir da década de 70, começou a ser utilizada para o estudo de macromoléculas

biológicas, como protéınas e DNA [48, 49, 50]. Essa técnica consiste em calcular a força

momentânea existente em cada átomo e integrando as equações de movimento determinar

as posições dos átomos para um pequeno intervalo de tempo. Repetindo esse procedi-

mento é posśıvel construir a trajetória dos átomos constitúıntes da molécula que se deseja

estudar.

A energia potencial do sistema em simulações atomı́sticas é calculada através de

funções potenciais clássicas, que são dependentes apenas das posições entre núcleos dos

átomos envolvidos na dinâmica, de modo que os elétrons são tratados de maneira impĺıcita.

O termo da energia potencial é escrito por:

V (rN) =
∑

ligação

hi
2

(li − li,0)2 +
∑

ângulos

ki
2

(θi − θi,0)2 +
∑

torção

kφi
2

(1 + cos(nω − γ))

+
N∑
i=1

N∑
j=i+1

4εij

[(
ωij
rij

)12

−
(
ωij
rij

)6]
+

N∑
i=1

N∑
j=i+1

qiqj
4πε0rij

. (5.1)

Devido ao fato dos elétrons serem tratados de maneira impĺıcita, todas as ligações

29


CAPÍTULO 5. DINÂMICA MOLECULAR ATOMÍSTICA DO DNA 30

covalentes devem ser pré definidas e não podem ser quebradas ou formadas durante a

simulação. Os três primeiros termos da equação 5.1 representam a interação entre átomos

ligados (átomos separados por até três ligações qúımicas) e estão relacionados com o

estiramento da ligação entre dois átomos, o ângulo entre duas ligações e o ângulo torcional

entre quatro átomos em sequência (ângulo diedral), respectivamente.

Já os últimos dois termos da equação 5.1 modelam as interações entre átomos não

ligados. São considerados não ligados todos os átomos separados por mais de três ligações

covalentes. Um é o potencial de Lennard-Jones e o outro a interação eletrostática entre

átomos carregados (Potencial de Coulomb). O potencial de Lennard-Jones contém um

termo repulsivo ( 1
r12

), que está relacionado ao impedimento da interpenetração das nuvens

eletrônicas dos átomos envolvidos e outro atrativo ( 1
r6

), que é devido a dispersão de London

(interação dipolo-induzido dipolo-induzido).

Os parâmetros envolvidos para o cálculo da energia potencial do sistema estão rela-

cionados diretamente com os tipos de átomos presentes na simulação e são determina-

dos tanto pelo conjunto de dados experimentais, como também por cálculos de mecânica

quântica [30]. Os termos que descrevem as interações entre as part́ıculas de uma simulação,

juntamente com a parametrização espećıfica dos átomos que a compõem, formam o cha-

mado Campo de Força. A partir desse campo de forças é posśıvel determinar as forças

que atuam em cada átomo e consequentemente as equações de movimento do sistema a

ser estudado.

Os termos não ligados da função energia potencial devem ser calculados para todos

os posśıveis pares de átomos do sistema a ser estudado. Isso demanda um alto custo

computacional para a sua realização. Em resposta a esse problema, métodos foram de-

senvolvidos para a otimização destes cálculos. Entre eles, se destacam a utilização de uma

distância de raio de corte (cut-offs) e o somatório de Ewald [51]. As interações de Van der

Waals decaem rapidamente com a distância, assim, uma aproximação razoável é utilizar

a técnica do raio de corte. Quando a distância entre os átomos é maior que o tamanho

do raio de corte, a energia de Van der Waals muda imediatamente para zero. Entretanto,

para a energia eletroestática que decai mais lentamente com a distância é necessário uma

outra alternativa. Nesse caso, o método de particle-mesh Ewald (PME) é empregado [52].

Neste método, a soma das energias de interações no espaço real é substitúıda por uma

soma equivalente no espaço de Fourier [53]. Dado que a energia eletroestática é composta


CAPÍTULO 5. DINÂMICA MOLECULAR ATOMÍSTICA DO DNA 31

por uma interação de curto alcance e outra de longo alcance, a convergência máxima é

obtida quando a interação de curto alcance é somada no espaço real e a de longo alcance

no espaço de Fourier.

Antes de iniciar a dinâmica propriamente dita, realizando a integração das equações

de movimento e construindo as trajetórias dos átomos da molécula, se faz necessário

realizar um processo de minimização da energia potencial do sistema. Isso porque a

estrutura utilizada pode apresentar problemas com relação ao posicionamento dos átomos

e consequentemente distorções nas ligações entre eles, uma vez que essa estrutura é obtida

através de dados de cristalografia, ressonância nuclear magnética (RNM) ou por meio

de construções arbitrárias. Assim, os métodos de minimização visam otimizar ângulos

e comprimentos de ligações qúımicas, caracterizando o processo como uma otimização

geométrica.

Os métodos geralmente utilizados para realizar a minimização são conhecidos como

métodos gradientes e trabalham com as derivadas da função de energia potencial. A

magnitude da primeira derivada é utilizada para determinar a direção de um passo que

nos guia para uma configuração de menor energia potencial e um mı́nimo local próximo

é alcançado quando as primeiras derivadas tenderem a zero. Os algoŕıtimos aqui utili-

zados são o Steepest Descent e o Gradiente Conjugado. O primeiro deles é muito eficaz

para trazer configurações distantes para próximas do mı́nimo local, entretanto converge

lentamente nas vizinhanças dele. Já o segundo, é empregado quando o sistema está em

uma configuração geométrica em que a energia potencial está próxima do mı́nimo local.

Esse último método, além de utilizar a informação da primeira derivada, utiliza também

informações da interação anterior, como direção e tamanho do passo.

Uma vez obtida a estrutura da molécula minimizada, é necessário integrar as equações

de movimento do sistema. Como tratamos de um problema de muitos corpos, as soluções

das equações devem ser obtidas através de integração numérica. Um dos mais simples

e melhores métodos de integração numérica para a dinâmica molecular é o algoŕıtmo

de Verlet [54], que possui boa estabilidade temporal e mantém a energia do sistema

conservada [52].


CAPÍTULO 5. DINÂMICA MOLECULAR ATOMÍSTICA DO DNA 32

5.2 Metodologia

As simulações em sua maioria foram realizadas com o pacote computacional de dinâmica

molecular AMBER 10 [51]. O campo de força utilizado foi o PARM94 [55] com as mo-

dificações para a melhoria da rigidez dos ângulos de torção no backbone PARMM99 e

PARMBSC0 [56, 57]. A parametrização desenvolvida recentemente por Cheatham et al.

foi empregada para evitar a cristalização dos sais de maneira não natural, uma vez que

observações em longas simulações de biomoléculas em soluções salinas com os campos de

força do AMBER, mostram a formação de cristais de sal abaixo do seu limite de solubi-

lidade [58]. As simulações foram realizadas no supercomputador Arc1 da University of

Leeds e foram paralelizadas utilizando de 8 a 64 processadores.

Para construir as estruturas lineares do DNA utilizamos o Nucleic Acid Builder (NAB),

que é uma ferramenta do AMBER. O NAB é uma linguagem computacional de alto ńıvel

que permite a criação e manipulação de moléculas e seus fragmentos. Com essa ferramenta

é posśıvel criar estruturas de DNA nas suas diferentes formas (A-DNA, B-DNA, etc),

com a sequência desejada e inclusive alterar os valores dos parâmetros entre pares de base

(como o rise e o twist, por exemplo). No caso das moléculas circulares de DNA, utilizamos

um programa em Fortran criado por Charles Laughton que a partir de um arquivo em

PDB da estrutura linear permite criar o DNA circular com o linking number desejado

[22]. Nele, cada par de bases é tratado como um corpo ŕıgido. Através de translações

e rotações, os pares de bases são colocados de modo a formar uma ćırculo e o passo de

torção entre eles é definido como entrada do programa. Uma vez que a estrutura não

apresenta contorção, o valor do linking number é simplesmente o valor do twist total.

Todas as simulações apresentadas foram realizadas com solvente expĺıcito. Contra ı́ons

de sódio (Na+) foram adicionados utilizando o módulo tleap do AMBER para neutralizar

o sistema. Moléculas de água foram adicionadas usando o modelo TIP3P formando caixas

retangulares ( DNA linear) e octaédricas (DNA circular). Concentrações de 0,1mol de sal

(́ıons de Na+ e Cl−) foram colocadas de maneira randômica.

Para minimizar os efeitos das superf́ıcies das caixas contendo água e simular o com-

portamento de um sistema real, foram utilizadas condições periódicas de contorno. Esse

método consiste basicamente em replicar várias vezes o sistema de modo que não haja

espaços não preenchidos entre as caixas, ou seja, o sistema é transladado nas três direções

espaciais, formando uma rede. Quando uma part́ıcula sai de um lado da caixa, ela entra


CAPÍTULO 5. DINÂMICA MOLECULAR ATOMÍSTICA DO DNA 33

pela face oposta com a mesma velocidade, mantendo constante o número de átomos do

sistema original.

Os processos de minimização e aquecimento foram realizados baseando-se no protocolo

desenvolvido por Shields et al. [59] para tripla hélice de DNA e modificado para DNA

circulares por Harris et al. [22]. Os passos podem ser vistos na tabela 5.1.

Inicialmente, temos 4 etapas para a minimização. Em cada uma delas, são realizados

10000 passos de minimização sendo que nos 5000 primeiros são utilizados o método do

Steepest Descent e nos passos restantes o método do Gradiente Conjugado. Durante

cada uma dessas etapas, os átomos que compõem o DNA estão sujeitos a uma restrição

de posição, que visa restringir o movimento desses átomos em torno de uma posição

de referência. Esse procedimento evita que ocorram rearranjos drásticos nos átomos da

molécula alvo de estudo. A cada etapa da minimização, a intensidade da constante de

força da restrição diminui, até ser nula na última etapa.

Terminada a minimização do sistema, inicia-se a fase de aquecimento e equilibração

do sistema, que consiste em mais 8 etapas com a duração de 10ps cada. Novamente,

restrições de posição são utilizadas nos átomos que compõem o DNA e a cada etapa, essa

restrição diminui até ser anulada. O aquecimento do sistema se dá em duas fases. Na

primeira, as velocidades dos átomos são distribúıdas de modo aleatório e proporcionando

um temperatura de 100K. Já na segunda, durante a dinâmica a temperatura aumenta

de forma gradativa até atingir a temperatura final desejada (300K). A temperatura é

mantida constante pelo acoplamento de Berendsen [60] que mimetiza um acoplamento à

um banho térmico através de um fator de escala. A pressão de 1 atm também é mantida

constante através do escalonamento das coordenadas cartesianas de todos os átomos [61],

via acoplamento de Berendsen. As interações eletroestáticas de longo alcance são tratadas

com o método de particle mesh Ewald e contam com um raio de corte de 12Å. O algoŕıtimo

SHAKE foi utilizado para restringir a liberdade do estiramento das ligações covalentes

envolvendo hidrogênio, o que permite a utilização de um passo de integração de 2fs sem

comprometer a estabilidade das trajetórias. Completada a equilibração do sistema inicia-

se a dinâmica propriamente dita, salvando as posições e velocidades a cada 1ps.


CAPÍTULO 5. DINÂMICA MOLECULAR ATOMÍSTICA DO DNA 34

Tabela 5.1: Protocolo para equilibração das simulações.

Estágio da equilibração Protocolo de Simulação

1 Minimização com restrição de posição no DNA 10000 ciclos

(K=500 kcal/Mol/Å2)

2 Minimização com restrição de posição no DNA 10000 ciclos

(K=50 kcal/Mol/Å2)

3 Minimização com restrição de posição no DNA 10000 ciclos

(K=25 kcal/Mol/Å2)

4 Minimização, sem restrição de posição 10000 ciclos

5 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=100 kcal/Mol/Å2, Tfinal=100K)

6 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=50 kcal/Mol/Å2, Tfinal=300K)

7 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=50 kcal/Mol/Å2, T=300K)

8 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=25 kcal/Mol/Å2, T=300K)

9 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=10 kcal/Mol/Å2, T=300K)

10 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=5 kcal/Mol/Å2, T=300K)

11 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=2,5 kcal/Mol/Å2, T=300K)

12 DM com restrição de posição no DNA 10ps

(K=1 kcal/Mol/Å2, T=300K)


Caṕıtulo 6

Resultado das simulações do DNA

por dinâmica atomı́stica

Neste caṕıtulo apresentamos os estudos realizados por meio de simulações por dinâmica

molecular. Em um primeiro momento, procuramos relacionar aspectos da dinâmica do

DNA por simulação molecular atomı́stica com o comportamento previsto por modelagem

minimalista. Aspectos de como o movimento interno dos pares de base se comporta em

função da temperatura foram abordados. Em seguida, estudamos a formação de bolhas

de desnaturação sob uma outra perspectiva, o estresse torcional induzido.

6.1 Relacionando dinâmica molecular com modelos

minimalistas para o DNA

Na seção 2.2 apresentamos os seis tipos de movimentos internos do par de bases e os seis

tipos de movimentos entre os pares de bases. Estes movimentos caracterizam a dinâmica

dos nucleot́ıdeos que compõem o DNA. Se observarmos a figura 2.1, podemos relacionar

os movimentos de rise e stretch como sendo longitudinal e transversal ao eixo da molécula,

respectivamente. Os modelos mecânicos minimalistas geralmente descrevem a dinâmica

do DNA sob uma ótica unidimensional. O modelo de Peyrard Bishop, por exemplo, simula

a separação da dupla hélice considerando apenas os movimentos na transversal ao eixo do

DNA. Assim, os movimentos mimetizados pelo modelo PB poderiam estar relacionados

com o movimento interno do par de bases do tipo stretch. Lembrando-se que esse modelo

descreve corretamente a desnaturação do DNA, é esperado que para altas temperaturas

35


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 36

o movimento de stretching seja relevante na dinâmica da macromolécula para que assim,

ocorra a separação da dupla fita.

Com intuito de caracterizar os tipos de movimento no DNA em diferentes temperaturas

e relacioná-los com posśıveis modelos minimalista, realizamos simulações de duas cadeias

de DNA para quatro temperaturas distintas. As estruturas contém 30 pares de bases

e as sequências estudadas foram uma poli(CG) e outra poli(TA). As simulações foram

realizadas nas temperaturas de 283K, 300K, 310K e 353K e o tempo de simulação foi de

2ns. Os resultados foram analisados utilizando o programa Curves+ [32] que analisa a

estrutura de ácidos nucleicos e, dentre outras funções, calcula os parâmetros internos do

par de bases e entre os pares de base.

Na figura 6.1 temos representado a taxa de crescimento do módulo da amplitude

máxima dos parâmetros rise e stretch em função da temperatura para as duas sequências

estudadas. Os valores foram obtidos considerando os pares de base da faixa central da

molécula (do 13◦ ao 17◦) para se evitar interferência das bordas. Nota-se que, em geral, o

aumento da temperatura confere ao movimento do tipo stretching um crescimento muito

maior do que para o tipo rise. Esses resultados, qualitativamente reforçam a aproximação

do modelo de Peyrard-Bishop que considera o movimento transversal mais relevante em

temperaturas próximas a desnaturação.

Figura 6.1: Taxa de crescimento dos parâmetros rise e stretch em função da temperatura,

para as sequências poli(TA) e poli(CG).


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 37

6.2 Bolhas de desnaturação por estresse torsional in-

duzido

Nesta parte do trabalho abordamos os efeitos causados pela tensão torcional induzida no

DNA. Em um primeiro momento, exploramos os resultados obtidos para cadeias lineares

visando obter informações a respeito do efeito gerado por diferentes graus de tensão em

sequências distintas de pares de base. Em seguida, partimos para o estudo de estruturas

circulares do DNA, que além de fornecerem uma melhor investigação sobre o estresse

torcional, também levam em conta os efeitos da curvatura da molécula. O intuito é

verificar a dependência da formação de bolhas de desnaturação em relação à sequência de

pares de base.

Para as simulações com o DNA linear utilizamos 30 pares de base. A tensão torcional

foi introduzida da seguinte forma: constrúımos a molécula com valores do parâmetro he-

licoidal twist diferente do encontrado na estrutura da forma B-DNA (por volta de 36◦) e

fixamos as bordas da molécula. Assim variamos o número de pares de base por volta da

hélice e consequentemente produzimos um efeito de torção na estrutura do DNA. No pro-

tocolo adicionamos em cada etapa da equilibração um v́ınculo com K = 100kcal/Mol/Å2

nos pares de base 1, 2, 29 e 30 para fixar as bordas.

Simulamos duas moléculas com diferentes sequências de pares de base, uma ATAT...

e a outra CGCG... . Para cada uma delas, estudamos o comportamento do sistema para

três parâmetros de twist iniciais: 28◦, 29◦ e 30◦. O tempo de simulação foi da ordem de

10ns. Quanto menor o valor do twist inicial, maior a diferença entre a estrutura criada

e a estrutura relaxada encontrada no DNA na forma B e consequentemente, maior é a

tensão torcional produzida na molécula.

Na sequência de figuras 6.2, 6.3 e 6.4 mostramos as representações da molécula para

cada uma das simulações em tempos distintos. Nota-se pela figura 6.2, que para o DNA

com um twist inicial de 30◦, a tensão produzida não induziu efeito de desestabilização da

dupla hélice na sequência formada por pares CG, entretanto na molécula formada por

AT nota-se um despareamento de um par de base. Para o DNA com twist inicial de 29◦,

figura 6.3, temos novamente que, para a sequência CG, não há desestabilização da dupla

hélice, mas para a sequência AT temos que após 1,5ns de simulação ocorre a ruptura de

um par de base e a abertura daquela região. Esse efeito persiste por toda a simulação.


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 38

Por fim, na figura 6.4, temos o DNA com twist inicial de 28◦. Em ambas as sequências

o efeito do estresse torcional induz a desestabilização da dupla hélice, criando estruturas

abertas no DNA. No caso da sequência AT o efeito é ainda maior e ocorre a ruptura de

dois pares de base.

Figura 6.2: Representação inicial e final das cadeias com twist inicial de 30◦. A cor verde

se refere a sequência CG e a cor vermelha à sequência AT.

Em suma, os resultados obtidos estão de acordo com o esperado. As cadeias que

apresentam maior variação no valor do twist com relação a estrutura relaxada, sofrem um

estresse torcional maior e geram, portanto, estruturas abertas no DNA para aliviarem essa

tensão induzida. Um outro aspecto que pode ser notado é o fato de que as sequências do

tipo AT são mais suscet́ıveis ao efeito torcional, uma vez que a energia de ligação relativa

a ligação de hidrogênio é menor.

Em seguida, estudamos os efeitos do estresse torcional no DNA circular. Para isso,

analisamos estruturas com diferentes densidades de super hélice σ: σ = 0, 0 (estrutura

relaxada), σ = −0, 05 e σ = −0, 1. Essas estruturas continham, respectivamente, 108

pares de base e dez voltas; 102 pares de base e nove voltas e 108 pares de base e 9

voltas (figuras 6.5 a, b e c, respectivamente). As estruturas com menor número de voltas,

possuem uma quantidade maior de pares de base por volta. Esse fato acarreta a diminuição

do valor do parâmetro entre os pares de base twist e consequentemente, ocorre o estresse


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 39

Figura 6.3: Representação inicial e final das cadeias com twist inicial de 29◦. A cor verde

se refere a sequência CG e a cor vermelha à sequência AT.

Figura 6.4: Representação inicial e final das cadeias com twist inicial de 28◦. A cor verde

se refere a sequência CG e a cor vermelha à sequência AT.


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 40

torcional na molécula.

Uma vez que a estabilidade relativa da dupla hélice do DNA dependem não só da

composição dos pares de base, mas também da sequência de pares que a formam [62];

as cadeias foram criadas de modo a conter diferentes regiões com sequências distintas.

Desse modo, podemos relacionar a dependência da formação de estruturas abertas no

DNA com o tipo de sequência que o compõe. Todas as estruturas contêm quatro regiões

ricas em AT e obedecem as seguintes sequências: ...TATATA... (região 1), ...ATATAT...

(região 2), ...AAAAAA... (região 3) e ...CACACA... (região 4). Essas regiões estão

separadas por quatro trechos contendo apenas a sequência ...CGCGCG... . A idéia de se

construir a molécula obedecendo essa sequência de pares de base, é baseada nos artigos

de Breslauer [62] e SantaLucia [63] que medem, por meio de cálculos de energia livre,

o grau de estabilidade da dupla hélice do DNA de acordo com a sequência de pares de

base. Segundo esses estudos, a ordem crescente de estabilidade consiste nas sequências,

TATATA, ATATAT, AAAAAA, CACACA e CGCGCG. Assim, a estrutura criada possui

regiões com diferentes estabilidade, sendo a região 1 a mais suscet́ıvel para ocorrer a

separação da dupla fita e a região com a sequência CGCG sendo a mais estável.

Figura 6.5: Visualização inicial da estrutura circular do DNA com diferentes densidades

de super hélice. a) Molécula relaxada (σ = 0) com 108 pares de base e dez voltas, b)

Molécula com σ = −0.05 contendo 102 pares de base e nove voltas e c) Molécula com

σ = −0.1 contendo 108 pares de base e 9 voltas.

Para cada densidade de super hélice realizamos três simulações distintas. Em cada

uma delas a sequência utilizada é a mesma, entretanto transladamos os pares de base que

formam a dupla hélice em cinco posições, de modo que o par de base de número N da

primeira simulação (cadeia A), passa a ser o N−5 em uma repetição (cadeia B) e N+5 na


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 41

outra repetição (cadeia C). As sequências podem ser vistas pela tabela 6.1. O intuito de

realizar essas repetições de maneira distinta é verificar se, além do tipo de sequência que

compõe a cadeia, existe a influência da alça maior ou menor do DNA na desestabilização

da dupla fita. Na figura 6.6 mostramos as três estruturas utilizadas nas simulações da

cadeia com 108 pares de base e 9 voltas. Nota-se que na figura 6.6a, a alça maior da região

1 (indicada por uma seta na figura) está voltada para o interior da dupla fita, enquanto

que nas figuras 6.6b e c, a alça maior está voltada para o exterior do ćırculo.

Figura 6.6: Visualização inicial da estrutura circular do DNA para as diferentes simulações

realizadas para a estrutura com 108 pares de base e 9 voltas. A seta indica a região que

contêm a sequência ...TATATA... (região 1). a) Sequência g108A, b) Sequência g108B e

c) Sequência g108C. A cor laranja representa nucleot́ıdeos formados por Adenina, a cor

verde para Timina, a cor azul para Citosina e a cor vermelha para Guanina.

Os resultados foram obtidos utilizando o pacote computacional GROMACS. Tanto o

procedimento realizado para a construção das estruturas de DNA, como também o campo

de forças foram os mesmos que os utilizados com o AMBER. A troca do pacote computa-

cional se deve ao fato do GROMACS realizar os cálculos das trajetórias mais rapidamente.

Nessas simulações, acrescentamos mais uma etapa no protocolo de simulação, uma vez

que as estruturas do DNA circular, muitas vezes, já apresentavam algum tipo de defeito

(quebra da ligação de hidrogênio, despareamento de pares de base, etc) após o passo md8

da tabela 5.1. Essa nova etapa consistiu em colocar restrições de distância entre as fitas,

para manter as ligações de Watson-Crick formadas. Essa etapa durou 100ps e a restrição

era de 20kcal/mol/Å. Assim, quando a dinâmica de produção era iniciada, a estrutura da

molécula estava completamente formada de modo a podermos analisar o efeito do estresse

torcional induzido no DNA.


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 42

Tabela 6.1: Sequências das cadeias de DNA utilizadas nas simulações

N◦ de pares de base Sequência

102A CGCGCGCGTATATATATATACGCGCGCGCGCGCATAT

ATATATATCGCGCGCGCGCGCAAAAAAAAAAAACGC

GCGCGCGCGCCACACACACACACGCGCGC

102B GCGTATATATATATACGCGCGCGCGCGCATATATATA

TATCGCGCGCGCGCGCAAAAAAAAAAAACGCGCGCG

CGCGCCACACACACACACGCGCGCCGCGC

102C CGCGCCGCGCGCGTATATATATATACGCGCGCGCGCG

CATATATATATATCGCGCGCGCGCGCAAAAAAAAAA

AACGCGCGCGCGCGCCACACACACACACG

108A CGCGCGCTATATATATATACGCGCGCGCGCGCGCATA

TATATATATCGCGCGCGCGCGCGCAAAAAAAAAAAA

CGCGCGCGCGCGCGCCACACACACACACGCGCGCG

108B GCTATATATATATACGCGCGCGCGCGCGCATATATAT

ATATCGCGCGCGCGCGCGCAAAAAAAAAAAACGCGC

GCGCGCGCGCCACACACACACACGCGCGCGCGCGC

108C GCGCGCGCGCGCTATATATATATACGCGCGCGCGCGC

GCATATATATATATCGCGCGCGCGCGCGCAAAAAAA

AAAAACGCGCGCGCGCGCGCCACACACACACACGC


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 43

As análises são feitas através de gráficos de superf́ıcie que mostram a porcentagem

de ocupação das ligações de hidrogênio de cada par de bases para cada nano segundo,

cálculado a cada 100ps. Dessa forma, podemos acompanhar a evolução temporal da

quebra das ligações de hidrogênio e a consequente formação de bolhas de desnaturação.

Os cálculos foram realizados utilizando a função hbond da ferramenta PTRAJ do pacote

computacional AMBER. Essa função determina a existência da ligação através de uma

distância de corte (3,5Å), entre os átomos pesados que formam o par doador-aceitador e

de um ângulo de corte (120◦), entre aceitador, hidrogênio e doador.

Na figura 6.7 temos os gráficos de superf́ıcie para cada uma das nove simulações rea-

lizadas, que tiveram duração de 50ns. Para as estruturas relaxadas (figuras 6.7a, 6.7b e

6.7c), nota-se que na maior parte do tempo as ligações de hidrogênio estão formadas (cor

vermelha). Existem alguns pequenos trechos em que observa-se a quebra parcial de uma

ou mais ligações de hidrogênio que formam um par de bases (cor amarela), mas sem a

separação completa do par de bases. Entretanto, na figura 6.7a nota-se que nos últimos

nano segundos da simulação tem-se a quebra de todas as ligações existentes (cor azul) no

par de base TA (38), pertencente à segunda região rica em AT.

Para as estruturas com densidades de super hélices σ = −0, 05 nota-se que a ocorrência

de trechos com alguma quebra de ligação de hidrogênio é maior do que para a estrutura

relaxada. Além disso, observa-se o despareamento de um par de base AT (95), pertencente

à quarta região rica em AT. Essa separação dura cerca de 5ns e após esse peŕıodo, o par

de bases é refeito.

As estruturas com maior estresse torcional induzido , σ = −0, 1, apresentam regiões

onde há a separação de um ou mais pares de base e geralmente após ocorrer a quebra

das ligações, essa queda persiste até o final da simulação. Na figura 6.7g, nota-se em um

primeiro instante a separação do par de bases TA (36) pertencente à segunda região rica

em AT, que após alguns nano segundos é refeito. Instantes depois, ocorre a quebra dos

pares e base AT (100) e CG (101), que estão localizados na interface da região quatro

com a região que contém apenas pares CG. Essa quebra persiste até o final da simulação.

Já na figura 6.7h, observa-se que as quebras ocorrem entre os pares AT (32), TA (33) e

AT (34) pertencentes a região dois; e temos separações entre o par de bases AT (93) da

quarta região que são refeitos e no final da simulação tornam a se desfazer. Por fim, na

figura 6.7i nota-se a ocorrência da separação dos pares de base AT (24) e GC (25), na


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 44

interface da região um; e dos pares CG (60) e CG (61) que não pertencem a nenhuma

região rica em AT.

Desse modo, como visto também nas cadeias lineares, quanto maior o estresse torcional

induzido no DNA, mais facilmente ocorre a formação de estruturas abertas na molécula. A

maioria das quebras de ligações de hidrogênio ocorreram em sequências contendo TA/AT,

que além de possuir apenas duas ligações, apresentam o menor grau de estabilidade para

a formação da dupla hélice quando considerada a interação entre vizinhos mais próximos

[62]. Entretanto, observa-se também estruturas abertas contendo pares CG/GC, que

pelo fato de possuir três pontes de hidrogênio e ter um grau de estabilidade maior, seria

menos provável de ocorrer. Isso indica, que a formação de estruturas abertas no DNA

dependeriam não somente do tipo de sequência que compõe a molécula, como também

a flexibilidade geral da estrutura helicoidal. Vale ressaltar, que ao verificar as regiões

onde ocorreram a desestabilização da dupla fita, elas ocorreram tanto onde a alça maior

da molécula estava voltada para fora do ćırculo, como também para dentro do ćırculo.

Sendo assim, não foi posśıvel verificar a influência deste aspecto estrutural na ruptura das

ligações de hidrogênio.

Através da análise da figura 6.7 podemos inferir onde o estresse torcional ocasiona a

quebra das ligações de hidrogênio, entretanto ela não possibilita identificar como ocorre

essa quebra. Na figura 6.8 mostramos os diversos tipos de defeitos na estrutura que

causam as quebras das ligações de hidrogênio e a consequente separação dos pares de

base. Na figura 6.8a temos um estado transiente, onde a quebra das ligações de hidrogênio

ocorrem pelo afastamento dos nucleot́ıdeos, entretanto não envolvem grandes ditorções na

estrutura da molécula. Encontramos esse caso, por exemplo, na estrutura relaxada e uma

continuação da simulação mostra que a ligação é refeita. Um outro defeito encontrado

foi um kink do tipo II, figura 6.8b. Esse caso é caracterizado pela separação de um único

par de bases e existe uma desestruturação da interação de empilhamento com os vizinhos

próximos. Houve também a formação de bolhas de desnaturação (figura 6.8), onde mais

de um par de bases é rompido sucessivamente e nota-se uma estrutura aberta na dupla

fita. Por fim, temos o caso do despareamento dos pares de base, onde nucleot́ıdeos de

pares vizinhos fazem ligação de hidrogênio entre si e sobram dois nucleot́ıdeos sem par,

figura 6.8. Esses três últimos casos foram observados nas estruturas com σ = −0.1.


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 45

Figura 6.7: Gráfico de superf́ıcie em escala de cores que mostra a evolução temporal da

porcentagem de ocupação das ligações de hidrogênio de cada par de bases. A cor vermelha

indica que todas as ligações estão formadas durante cada nano segundo de simulação. Já

a cor azul indica que todas as ligações que formam o par de bases estão desfeitas. As

figuras a), b) e c) representam estruturas relaxadas (σ = 0, 0). Para as figuras d), e) e

f) representam estruturas com σ = −0, 05. Enquanto que as figuras g), h) e i) são de

estruturas com σ = −0, 1.


CAPÍTULO 6. RESULTADO DAS SIMULAÇÕES DO DNA POR DINÂMICA
ATOMÍSTICA 46

Figura 6.8: Visualização dos defeitos estruturais gerados na dupla hélice do DNA durante

a simulação por dinâmica molecular. a) Estado transiente, b) Kink do tipo II, c) Bolha

de Desnaturação e d) Despareamento dos pares de base.


Caṕıtulo 7

Conclusões

O trabalho consiste no estudo do comportamento dinâmico no DNA. Em particular, pro-

curamos analisar o comportamento de estruturas localizadas espacialmente, que podem

estar relacionadas com as funções de transcrição, replicação e recombinação dessa impor-

tante macromolécula.

A prinćıpio, tratamos o problema através de um modelo mecânico, o modelo de

Peyrard-Bishop, que mimetiza o comportamento do DNA. Estudamos o método de criação

de 1-site breathers para cadeias não lineares homogêneas, utilizando o procedimento

numérico sugerido inicialmente por Marin e Aubry. Após a criação deste tipo de solução

localizada, verificamos a sua estabilidade através da teoria de Floquet. A partir do mo-

mento que obtivemos uma estrutura do tipo breather e linearmente estável, discutimos

a influência da variação de energia no comportamento dinâmico do breather, utilizando

como critério um parâmetro baseado na entropia informacional.

Observamos que a variação de energia, em um determinado intervalo, permite a lo-

calização da energia em um pequeno número de osciladores (menor que 20% do total da

rede). Entretanto, quando a energia do sistema é menor que este intervalo, a localização

de energia é perdida devido ao fato do modos não lineares não serem excitados e o sistema

oscilar no ramo ótico. Já para energias superiores ao intervalo mencionado, a localização

é perdida, pois o sistema possui energia suficiente para um ou mais osciladores atingirem

o platô do potencial de Morse e consequentemente passa a se comportar como uma cadeia

puramente harmônica.

Pelo fato de obtermos para altas energias o comportamento puramente harmônico,

verificamos a densidade de energia necessária para obter a transição de fase do sistema

47


CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES 48

em termos dos aspectos dinâmicos. Pudemos verificar que para densidades de energia

superiores ao platô do potencial de Morse, obtemos a transição de fase do sistema que

está relacionado com a desnaturação do DNA. Observamos que essa transição ocorre

através de um movimento de translação da cadeia de osciladores e que devido a forma

como o lagrangiano é escrito, representa a separação da dupla fita. Os resultados mostram

a transição de fase do sistema para densidades de energia superiores à profundidade do

poço do potencial de Morse D. Entretanto, diferentemente do caso termodinâmico, para

E/N = D não foi posśıvel obter a transição de fase. Apesar disso, o comportamento

qualitativo encontrado para o modelo está de acordo com a fenomenologia do DNA.

Em um segundo momento, começamos a estudar o comportamento dinâmico do DNA

por meio de simulações atomı́sticas. Este tipo de estudo, nos permite obter uma visão

microscópica do comportamento dessa macromolécula. Procuramos inicialmente relacio-

nar os tipos de movimentos presentes no DNA em diferentes temperaturas com as apre-

sentadas no modelo minimalista. Nota-se que para altas temperaturas os movimentos

relacionados com o stretch tornam-se mais relevantes na dinâmica da molécula. Este fato

corrobora com o modelo de Peyrard-Bishop para temperaturas próximas à temperatura

de desnaturação. Entretanto para temperaturas mais baixas, os resultados sugerem que

para mimetizar a dinâmica do DNA, os modelos mecânicos devem conter movimentos

longitudinais e/ou rotacionais.

Por fim, estudamos o efeito gerado pelo estresse torcional induzido no DNA. Os resul-

tados obtidos indicam, para cadeias lineares, que quanto maior o grau de tensão induzida

mais fácil ocorre a formação de bolhas de desnaturação. Sequências do tipo AT demons-

tram maior propensão a desnaturar, uma vez que a energia de ligação relativa à ponte de

hidrogênio é menor. Para o DNA circular, encontramos também que o aumento no grau

de torção confere maior quebra das ligações de hidrogênio e, consequentemente, estruturas

abertas na molécula. Como esperado, as quebras geralmente ocorreram em sequências do

tipo TA/AT, entretanto elas também ocorreram nos pares CG/GC. Esse fato, indica que

não somente a sequência de pares de base que compõem a molécula, mas também outros

fatores como a flexibilidade geral do DNA, são responsáveis pela formação de estruturas

abertas.

Através da dinâmica molecular podemos inferir detalhes atomı́sticos do DNA, como a

forma que ocorre a quebra das pontes de hidrogênio e a consequente abertura dos pares


CAPÍTULO 7. CONCLUSÕES 49

de base. Entretanto, devido ao alto custo computacional, esse tipo de simulação não

fornece estat́ıstica suficiente para quantificar os efeitos da dependência com relação ao

tipo de sequência para a formação de bolhas de desnaturação na molécula. Dessa forma,

a união desse tipo de análise com o de modelos simplificados poderiam ser úteis para a

compreensão deste e de outros fenômenos relacionados com a dinâmica do DNA.


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