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Universidade Estadual Paulista

TESE DE DOUTORAMENTO IFT�T.004/10

Evolução Cosmológica de Perturbações de
Densidade Inhomogêneas

Alberto Sanoja

Orientador

Prof. Dr. Rogério Rosenfeld

Dezembro de 2010



El cientí�co no estudia la naturaleza porque es útil, sino porque le cautiva, y le cautiva porque es

bella. Si la naturaleza no fuera hermosa, no valdría la pena conocerla, y si no valiera la pena

conocerla, tampoco valdría la pena vivir. Por supuesto, no me re�ero aquí a la belleza que

estimula los sentidos, la de las cualidades y las apariencias; no es que la desdeñe, en absoluto,

sino que ésta nada tiene que hacer con la ciencia. Me re�ero a la belleza más profunda, la que

procede del orden armonioso de las partes y que puede captar una inteligencia pura.

Henri Poincaré



Agradecimentos

Eu gostaria expressar minha gratidão a Rogério Rosenfeld e Thiago Pereira pelas

suas discussões, sugestões e ajuda. Ademais, quero agradecer de forma especial a

Almeira Sampson pelo seu apoio, ajuda e valiosos conselhos ao longo da realiza-

ção deste trabalho. Por último, quero agradecer a CAPES por prover o suporte

�nanceiro para a realização deste trabalho.

i



Resumo

Fazemos uma revisão do modelo cosmológico padrão, apresentando suas bases ob-

servacionais e mostrando os aspectos conceituais mais relevantes. Depois realizamos

uma revisão da teoria de in�ação, indicando as motivações conceituais que levaram

à formulação da teoria, o mecanismo que faz possível a in�ação cósmica e como esse

processo resolve os problemas clássicos da cosmologia padrão. Após mostrar que a

in�ação é um mecanismo bem-sucedido para explicar a origem das perturbações de

densidade primordiais, concentramo-nos em descrever a evolução das perturbações

de densidade cosmológica, tanto na sua fase linear como não-linear. Além disso,

mostramos como o campo de perturbações de densidade linear permite predizer

estatisticamente a abundância e a distribuição das estruturas cósmicas. Posterior-

mente, consideramos a expansão acelerada do universo e discutimos os candidatos

que têm sido propostos para tentar explicar a origem dessa aceleração, especialmente

o candidato da energia escura, no qual nos detemos para revisar os modelos bási-

cos propostos com respeito à sua natureza. Adicionalmente, mostramos como sua

presença afeta a evolução das perturbações de densidade. Finalmente, baseando-

nos no modelo de Lemaître-Tolman-Bondi, fazemos uma generalização do modelo

do colapso esférico para estudar a evolução não-linear de perturbações de densi-

dade inhomogêneas, tanto em um universo Einstein-de Sitter como em um universo

ΛCDM.

Palavras chaves: Formação de estruturas; modelo de colapso esférico; modelo de

Lemaître-Tolman-Bondi, perturbações de densidade inhomogêneas.

Área de conhecimento: Cosmologia.

ii



Abstract

We present a review of the standard cosmological model, showing both its observa-

tional basis as well as the most revelant conceptual aspects. Subsequently, we give

an overview of the in�ation theory , pointing out the conceptual motivations that

led to its formulation, the mechanism that allow the cosmic in�ation and how that

process resolves the classical problems of the standard cosmology. After showing

that the in�ation theory provides a successful mechanism to explain the origin of

the primordial density perturbations, we focus on describing the evolution of the cos-

mological density perturbations, both in linear and nonlinear phase. On the other

hand, we show how the linear density perturbation �eld allows to predict statisti-

cally the abundance and distribution of the cosmic structures. Next, we consider

the accelerated expansion of the universe and mention the candidates that have

seen proposed to try to explain the origin of the acceleration; especially the dark

energy candidate, in which we pause to examine the basic models proposed about its

nature. Further, we expose how its presence a�ects the evolution of the density per-

turbations. Finally, based on the Lemaître-Tolman-Bondi, we make a generalization

of the spherical collapse model to study the evolution of inhomogeneous nonlinear

density perturbations, both in an Einstein-de Sitter as ΛCDM universe.

iii



Sumário

Introdução 1

1 Modelo Cosmológico Padrão 3

1.1 Bases Observacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 A expansão do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 A abundância de elementos leves . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 A radiação cósmica de fundo (RCF) . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.4 As estruturas cósmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Cinemática do Espaço-Tempo no Modelo Cosmológico Padrão . . . . 5

1.2.1 A métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW) . . . . . . 5

1.2.2 Movimento de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.3 Propagação da luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.4 Tipos de espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.5 Distância própria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.6 Distância de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.7 Distância ao horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Dinâmica do Espaço-Tempo de Friedmann-

Robertson-Walker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.1 Equações básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.3.2 Soluções para a (t) e ρ (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.3 Idade do universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Termodinâmica do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.1 Equilíbrio termodinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.2 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

iv



2 Teoria da In�ação 18

2.1 Problemas da Cosmologia Padrão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.1.1 Problema do horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.2 Problema da planura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.3 Problema dos monopolos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.4 Problema das estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Dinâmica da In�ação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 Como In�ação resolve os Problemas da Cosmologia Padrão . . . . . . 25

2.3.1 Problema do horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3.2 Problema da planura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.3 Problema dos monopolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3.4 Problema das estruturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Descrição das Perturbações de um Campo Escalar 32

3.1 Fluido de um campo escalar homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Fluido de um campo escalar inhomogêneo . . . . . . . . . . . . . . . 34

4 Formação de Estruturas 38

4.1 Teoria Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2 Os efeitos da expansão acelerada del universo . . . . . . . . . . . . . 42

4.3 Modelo do Colapso Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Formalismo de Press-Schechter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Perturbações de Densidade Inhomogêneas 55

5.1 O caso sem pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2 O caso com pressão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Conclusões 73

A Soluções Paramétricas 75

B Tensores 76

Referências Bibliográ�cas 78

v



Introdução

Entender a formação de estruturas em grande escala, como galáxias, aglomerados de

galáxias e super-aglomerados de galáxias, é um dos maiores desa�os da cosmologia

atual. Suas pesquisas serão usadas para determinar os parâmetros cosmológicos

fundamentais em futuros levantamentos do desvio para o vermelho de galáxias, tais

como o Dark Energy Survey [1], o Large Synoptic Survey telescope [2], o Euclid

Survey [3] e DEEP2 Redshift Survey [4]. Além disso, oferece um cenário para a física

de partículas testar teorias sobre a natureza da matéria escura e energia escura.

A imagem fundamental para a formação de estruturas em grande escala sugere que

pequenas perturbações geradas por �utuações quânticas na fase in�acionária crescem

na matéria escura para formar poços de potencial gravitacional onde os bárions caem

posteriormente. A parte linear desse processo na matéria escura é bem entendida

e descrita pela teoria das perturbações lineares [5, 6]. No entanto, a etapa não lin-

ear não admite um tratamento com estes métodos perturbativos, mesmo nos casos

em que apenas a matéria escura está presente. Então, usualmente se apela a sim-

ulações numéricas de N-corpos com o �m de obtermos a distribuição de massa de

grandes halos de matéria escura. Infelizmente, estas simulações são custosas; por-

tanto é desejável uma ferramenta simples para poder determinarmos propriedades

de halos de matéria escura. Tal modelo é conhecido como o modelo do colapso

esférico [7]. Nesse modelo extremamente simples, uma perturbação esféricamente

simétrica e homogênea, chamado per�l de densidade top-hat, evolui dentro de um

universo homogêneo em expansão. Os argumentos de simetria mostram que pode-se

considerar a região sobredensa como um mini-universo de curvatura positiva. Con-

sequentemente, a equação de continuidade e de Raychadhury podem ser usadas para

descrever a evolução da densidade e o raio da perturbação esférica [8, 9]. Quando

esta se combina com o formalismo de Press-Schechter [10], este marco fornece uma

base estatística para a formação de estruturas, da qual a densidade de número de

halos de matéria escura podem ser estimados.

O modelo de colapso esférico tem sido recentemente usado para estudar a formação

de estruturas em modelos com uma simples modi�cação tipo Yukawa da gravidade

1



[11], em modelos f (R) [12], em cosmologia de branas [13], em modelos que permitem

�utuações de energia escura [14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24] e em os modelos

chamados de camaleão [25].

O objetivo deste estudo é relaxar a suposição de um per�l top-hat e estudar a

evolução não-linear de uma perturbação esférica inhomogênea en um marco com-

pletamente relativista. Para cumprir com esse objetivo, empregaremos o modelo

de Lemaître-Tolman-Bondi [26, 27, 28], que procura descrever um universo inho-

mogêneo e isotrópico. Este modelo foi pouco usado desde sua publicação até a

descoberta da expansão acelerada do universo [29, 30]. A partir desse momento foi

revivido para tentar explicar tais observações [27, 28, 31, 32, 33, 34]. Para nossa �-

nalidade, o aplicaremos não para um universo inteiro, mas para descrever a evolução

de perturbações de densidade [35].

2



Capítulo 1

Modelo Cosmológico Padrão

A cosmologia padrão é uma teoria bem-sucedida, que resulta de aplicar a relatividade

geral a um universo homogêneo e isotrópico. Ela fornece uma descrição apropriada

do universo observável, desde as primeiras frações de segundo depois do Big Bang

até o presente. A cosmologia padrão descreve a origem, a geometria, a evolução,

a composição, estrutura e o possível futuro do universo. O conjunto de evidências

observacionais que sustentam a teoria são: a expansão do universo, percebida pelo

desvio para o vermelho de galáxias distantes, a nucleossíntese primordial, con�rmada

pela observação da abundância de elementos leves como Hidrogênio, Deutério, Hélio

e Lítio, a radiação de fundo de microondas, e a formação de estruturas cósmicas,

sua abundância e distribuição.

1.1 Bases Observacionais

1.1.1 A expansão do universo

A expansão do universo é a caraterística mais fundamental da cosmologia padrão.

Foi descoberta em 1929 por Edwin Hubble e joga um papel importante na cosmologia

observacional. As galáxias que pertencem a outros aglomerados de galáxias estão

se afastando de nós com uma velocidade que é proporcional à distância que se

encontram de nós. Este comportamento é revelado pelo red shift do espectro da luz

que nos chega dessas galáxias e é expressado pela lei de Hubble. Se todo o espaço

se expandir a mesma escala em um intervalo de tempo dado, então as galáxias se

expandirão umas com respeito às outras, de maneira que, as galáxias distantes se

moverão relativamente mais rapidamente do que as galáxias próximas. A lei de

Hubble é o comportamento esperado para um universo homogêneo e isotrópico em

expansão, tal como é corroborado pelas observações.

3



1.1.2 A abundância de elementos leves

A nucleossíntese é a formação de núcleos atômicos leves que resulta da fusão de

prótons e nêutrons. Essas reações nucleares tomaram lugar entre os 0,01 segundos

e 3 minutos depois do Big Bang, a uma temperatura aproximada de 10MeV até

0, 01MeV , resultando na produção de quantidades substancias de Deutério, com

uma proporção relativa de D
H
≈ 10−5, de Hélio 3, com

3He
H
≈ 10−5, de Hélio 4,

com
4He
H
≈ 0, 24, e de Lítio 7, com

7Li
H
≈ 10−10. A abundância predita depende

da densidade de matéria presente nesse momento. A comparação e concordância da

abundância predita e observada para estes 4 isótopos fornece uma con�rmação muito

poderosa da cosmologia padrão. A nucleossíntese, de fato, fornece a determinação

mais precisa da densidade de bárions a qual é Ωb ≈ 0, 0449 [36] .

1.1.3 A radiação cósmica de fundo (RCF)

A teoria do Big Bang prediz que o universo primordial foi um lugar muito quente.

Quando o universo se expande, a radiação se esfria; portanto o universo deveria estar

permeado por uma radiação que é o calor remanecente deixado desde o Big Bang,

chamada a RCF. A RCF fornece a evidência de que o universo começou com um Big

Bang quente. A medição do espectro de energia, feitas no presente, são consistentes

com a de um corpo negro a T ≈ 2, 725K [37]. Tal temperatura corresponde a

uma densidade de número para os fótons de n ≈ 422 cm−3. O alto grau de isotropía,
∆T
T
≈ 10−5 [37], provê uma evidência forte para o nível de homogeneidade e isotropía

em larga escala do universo observável e também fornece uma evidência importante

das condições presentes no universo com um red shift de z ≈ 1100, correspondendo

a uma idade do universo de t ≈ 3, 8 × 105 anos. As perturbações de densidade

primordiais necessárias para iniciar a formação de estruturas resulta em �utuações de

temperatura na RCF. Tais anisotropias da RCF fornecem uma con�rmação poderosa

das teorias de formação de estruturas.

1.1.4 As estruturas cósmicas

Apesar que o universo é homogêneo para escalas maiores que 100Mpc, em escalas

menores o universo atual é muito inhomogêneo. Este contém inhomogeneidades

como galáxias e aglomerados de galáxias. A densidade dentro de uma galáxia é

cerca de 105 vezes maior que a densidade média do universo e dentro de um aglom-

erado de galáxias é cerca de 103 vezes [38]. A cosmologia padrão fornece um marco

para entender a formação de estruturas cósmicas tais como galáxias e aglomerados

4



de galáxias observados atualmente no universo. Ela assume a existência de pequenas

perturbações de densidade presentes no universo, que depois por instabilidade grav-

itacional ampli�caram-se e terminam dando origem a estruturas cósmicas. Os val-

ores preditos pelas teorias de formação de estructuras dentro do marco da cosmologia

padrão concordam com os parâmetros associados às estruturas cósmicas observadas

e além disso prediz sua abundância e distribuição observada. Este mecanismo de

instabilidade gravitacional é uma parte geralmente aceita da cosmologia padrão.

1.2 Cinemática do Espaço-Tempo no Modelo Cos-

mológico Padrão

1.2.1 A métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW)

As observações cosmológicas têm demostrado que o universo observável é estatísti-

camente homogêneo e isotrópico em largas escalas. A métrica de FRW é a maneira

matemática de expressar as noções de homogeneidade e isotropia do espaço-tempo.

Para obter a métrica de FRW fazemos as seguintes considerações:

1. O espaço-tempo é dividido em tri-superfícies com t = constante;

2. Cada tri-superfície é homogênea e isotrópica;

3. Em cada tri-superfície colocamos um sistema de coordenadas comóvel para eti-

quetar a posição de um objeto com um conjunto de coordenadas xi = (r, θ, ϕ);

4. A coordenada t é o tempo próprio do objeto.

O elemento de linha na tri-superfície é

dσ2 = fij (t) dxidxj (1.1)

e usando a isotropia espacial

fij (t) = a2 (t)hij (1.2)

na qual hij é independente do tempo. Portanto, o elemento de linha do espaço-tempo

completo é

5



ds2 = dt2 − 2g0idx
0dxi − a2 (t)hijdx

idxj (1.3)

Os elementos g0i são zero porque o vetor ~e0 é tangente à linha de mundo da galáxia

e o vetor ~ei é tangente à tri-superfície t = constante. Portanto

g0i = ~e0~ei = 0 (1.4)

tal que

ds2 = dt2 − a2 (t)hijdx
idxj (1.5)

A métrica hij descreve a tri-superfície isotrópica ao redor de qualquer ponto, em

particular é esféricamente simétrica em torno da origem e portanto escolhemos co-

ordenadas esféricas, de forma que

dl2 = hijdx
idxj = e2λ(r)dr2 + r2

(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)
(1.6)

Calculando o escalar de curvatura para esta métrica, obtemos

3R =
2

r2

{
e−2λ(r) [2r∂rλ (r)− 1] + 1

}
(1.7)

Da homogeneidade espacial, tomamos o escalar de curvatura constante, de maneira

que

3R = 6k (1.8)

A solução a (1.7) e (1.8) é

e2λ(r) =
1

1− kr2 + M
r

(1.9)

na qual M é uma constante de integração. Pelo princípio de equivalência, grr → 1

quando r → 0 , de maneira que M = 0. Por conseguinte, a métrica global resulta

ds2 = dt2 − a2 (t)

{
dr2

1− kr2
+ r2

(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)}
(1.10)

a qual é chamada a métrica de Friedmann-Robertson-Walker.

6



1.2.2 Movimento de partículas

Considere uma partícula movendo-se com uma quatro-velocidade uα = (u0, ui) com

respeito ao sistema comóvel, a qual segue uma geodésica descrita por

duα

ds
+ Γαβσu

βuσ = 0 (1.11)

Consideremos a componente α = 0; neste caso, a única componente não nula da

conexão Γ0
βσ é Γ0

ij = Ṙ
R
hij, e como u2 = hiju

iuj, a equação (5.76) resulta

du0

ds
+
ȧ

a
u2 = 0 (1.12)

Como (u0)
2 − u2 = 1, então u0du0 = udu e a equação (1.12) pode ser escrita como

1

u0

du

ds
+
ȧ

a
u = 0 (1.13)

Já que u0 = dt
ds
, a equação (1.13) resulta u̇

u
+ ȧ

a
= 0, a qual tem como solução

u ∝ 1

a
(1.14)

Portanto, para partículas movendo-se livremente no espaço-tempo de FRW, suas

velocidades peculiares tendem a desaparecer pela expansão do universo, tendendo

ao repouso com respeito ao sistema comóvel.

1.2.3 Propagação da luz

Supúnhamos que um raio de luz que foi emitido em um tempo t1 por uma galáxia

localizada em r1 é recebido em um instante t0. Uma seguinte onda é emitida no

tempo t1 + dt1 , a qual é recebida no tempo t0 + dt0. Já que a luz se propaga sobre

a geodésica nula ds2 = 0, temos

ˆ t0

t1

dt

a (t)
=

ˆ t0+dt0

t1+dt1

dt

a (t)
=

ˆ r1

0

dr√
1− kr2

≡ f (r1) (1.15)

Como dt1 e dt0 são pequenos com respeito à escala de tempo da expansão, obtemos

dt0
a (t0)

=
dt1
a (t1)

(1.16)

7



Já que dt1 e dt0 são o intervalo de tempo próprio para a emisão e recepção dessas

ondas, resulta que o comprimento de onda dos raios de luz é (em unidades c = 1)

λ1 = dt1 e λ0 = dt0, tal que

λ0

λ1

=
a (t0)

a (t1)
(1.17)

Se nós de�nirmos o desvio para o vermelho, como z = λ0−λ1
λ1

, resulta que

1 + z =
a (t0)

a (t1)
(1.18)

Este desvio para o vermelho é um efeito Doppler devido à expansão do espaço.

1.2.4 Tipos de espaço

Pode ser mostrado que a distorsão correspondente do espaço, devido aos efeitos

gravitacionais da matéria e a energia, pode ter apenas uma de três formas possíveis.

De (5.75), consideremos o elemento de linha da tri-superfície t = t0

dσ2 = a2 (t0)

{
dr2

1− kr2
+ r2

(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)}
(1.19)

Do elemento de linha (1.19) há três tipos diferentes de espaço, correspondendo a

diferentes valores de k.

• Caso k = +1 o universo fechado.

Fazendo a mudança de variável r = sin l , o elemento de linha (1.19) pode se escrever

dσ2 = a2 (t0)
{
dl2 + sin2 l

(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)}
(1.20)

Este é o elemento de linha de uma tri-superfície esférica cujo volume correspondente

é

V =

ˆ
R3

√
gd3x = 2π2a3 (t0) (1.21)

Em um universo fechado há um número �nito de galáxias.

• Caso k = 0 o universo plano.

8



O elemento de linha (1.19) resulta

dσ2 = a2 (t0)
{
dr2 + r2

(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)}
(1.22)

Este elemento de linha descreve uma tri-superfície plana cujo volume associado é

V =

ˆ
R3

√
gd3x =∞ (1.23)

Em um universo plano há um número in�nito de galáxias.

• Caso k = −1 o universo aberto.

Fazendo a troca de variável r = sinh l, o elemento de linha (1.19) torna-se

dσ2 = a2 (t0)
{
dl2 + sinh2 l

(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)}
(1.24)

Esse elemento de linha descreve uma tri-superfície hiperbólica cujo volume corresp-

ndente é

V =

ˆ
R3

√
gd3x =∞ (1.25)

Em um universo aberto há um número in�nito de galáxias.

1.2.5 Distância própria

Para k = +1, 0,−1 é possível de�nir a distância entre duas galáxias, chamada

distância própria ou física, denotada por s (t). Se etiquetarmos uma galáxia como

a origem, com coordenadas r = 0, e outra galáxia com coordenadas (r, θ, ϕ), ambas

no sistema comóvel, então, da métrica (5.75) nós obtemos

s (t0) = a (t0)

ˆ r

0

dr′√
1− kr′2

(1.26)

• Para k = +1, e estabelecendo r = sin l

s (t0) = a (t0) arcsin r (1.27)

• Para k = 0

9



s (t0) = a (t0) r (1.28)

• Para k = −1, e fazendo r = sinh l

s (t0) = a (t0) arcsinh r (1.29)

Se quisermos a distância própria em qualquer tempo t , escrevemos

s (t) =
a (t)

a (t0)
s (t0) (1.30)

Derivando a expressão (1.30) com respeito ao tempo, obtemos

v (t) =
ds (t)

dt
=

ȧ (t)

a (t0)
s (t0) =

ȧ (t)

a (t)

{
a (t)

a (t0)
s (t0)

}
= H (t) s (t) (1.31)

na qual H (t) ≡ ȧ(t)
a(t)

é chamado o parâmetro de Hubble. A relação (1.31) é conhecida

como a lei de Hubble.

Esta lei governa para escalas de longitude maiores do que 100Mpc, na qual o universo

é estatísticamente homogêneo e isotrópico. A estas escalas, a velocidade de expansão

das galáxias domina qualquer movimento local ou velocidades que elas poderiam

adquirir da atração gravitacional de outras galáxias próximas. A escalas menores do

que 100Mpc, o movimento de galáxias próximas é dominado pelas inhomogeneidades

no campo gravitacional, o qual leva a movimentos locales que resistem a expansão de

Hubble. A velocidade destes objetos relativo ao sistema comóvel é conhecida como

velocidade peculiar. Em conclusão, a lei de Hubble é válida apenas para escalas de

homogeneidade.

1.2.6 Distância de Hubble

Consideremos a lei de Hubble

v (t) = H (t) s (t) (1.32)

Esta relação nos diz que a velocidade de recessão de uma galáxia é proporcional à

distância própria. Agora, considere uma distância tal que a velocidade da galáxia é

a velocidade da luz (em unidades c = 1)

1 = H (t) s (t) (1.33)

10



Portanto,

dl ≡ s (t) = H−1 (t) (1.34)

Essa é chamada a distância de Hubble, a qual de�ne o horizonte de Hubble. Toda

galáxia localizada na superfície do horizonte de Hubble se afasta de nós à velocidade

da luz.

1.2.7 Distância ao horizonte

Um universo em expansão tem um horizonte de partículas [39, 40, 41], uma fronteira

além da qual a comunicação causal não pode acontecer . A distância ao horizonte

pode ser de�nida como a distância máxima que a luz tem viajado desde o Big Bang

até o presente. A distância ao horizonte de�ne o universo observável.

Considere um raio de luz viajando radialmente desde o Big Bang, o qual tem asociado

coordenadas(0, r), até o presente, o qual tem associado coordenadas (t, 0). Como os

raios de luz descrevem geodésicas nulas, resulta que

ˆ t

0

dt′

a (t′)
=

ˆ r

0

dr′√
1− kr′2

(1.35)

e a distância própria desde nós r = 0 até o horizonte r = rh resulta

dh =

ˆ rh

0

√
grrdr = a (t)

ˆ rh

0

dr′√
1− kr′2

= a (t)

ˆ t

0

dt′

R (t′)
(1.36)

Se a integral à direita converge no limite t → 0, nós obtemos um horizonte de

partículas. Se diverge, dh é in�nito e o universo completo está causalmente conec-

tado.

1.3 Dinâmica do Espaço-Tempo de Friedmann-

Robertson-Walker

Nós mostraremos que o fator de escala a (t) é determinado pelas equações de Ein-

stein, dependendo do contéudo material do universo que consideremos. Assumimos

que a distribuição material no universo é homogênea e isotrópica, representada pelo

tensor de energia-momento de um �uido perfeito.

11



1.3.1 Equações básicas

Consideremos as equações de Einstein

Gab = 8πGTab (1.37)

na qual

Tab = (ρ+ p)uaub − pgab (1.38)

é o tensor de energia-momento de um �uido perfeito, ρ é a densidade, p é a pressão,

e gab é a métrica de FRW.

Para a componente t− t obtemos a equação de Friedmann

ȧ2

a2
+
k

a2
=

8πG

3
ρ (1.39)

Para a componente r − r obtemos

2
ä

a
+
ȧ2

a2
+
k

a2
= −8πGp (1.40)

As equações para as componentes θ−θ e ϕ−ϕ são iguais à equação (1.40), enquanto

as equações para as componentes 0− i são idênticamente zero.

Consideremos a equação de continuidade

∇aT
ab = 0 (1.41)

Para a componente t obtemos a equação

ρ̇+ 3
ȧ

a
(ρ+ p) = 0 (1.42)

Podemos combinar a equação (1.39) e (1.40) para obter

ä

a
= −4πG

3
(ρ+ 3p) (1.43)

a qual é conhecida como a equação de aceleração.

Assumimos também uma equação de estado

p = ωρ (1.44)

12



onde ω é um parâmetro, que para a radiação tem o valor ω = 1
3
e para a matéria

ω = 0.

Nós temos quatro equações com as incógnitas a (t), ρ (t) e p (t), tal que o sistema

resulta inde�nido. Como as equações de Einstein são relacionadas com as equações

de continuidade pelas identidades de Bianchi, então é usual escolher as equações

(1.39), (1.42) e (1.44).

Dividindo a equação de Friedmann (1.39) por H, podemos rescrevê-la como

k

H2a2
= Ω (t)− 1 (1.45)

na qual Ω ≡ ρ
ρc

é o razão entre a densidad e a densidade crítica ρc ≡ 3H2

8πG
.

Já que H2a2 ≥ 0, há uma correspondência entre o sinal de k e Ω, as quais são

k = +1→ Ω > 1 (1.46)

k = 0→ Ω = 1 (1.47)

k = −1→ Ω < 1 (1.48)

Portanto, um universo com uma densidade igual à densidade critica tem curvatura

espacial zero.

De�namos o raio físico de curvatura do universo. É claro que os efeitos de curvatura

são signi�cativos para r ∼ |k|−
1
2 , de maneira que Rcur ≡ a (t) |k|−

1
2 . Usando a

equação (1.45) obtemos

Rcur =
H−1

|Ω− 1|
1
2

(1.49)

Um universo com densidade próxima à densidade crítica Ω → 1 é quase plano

Rcur →∞.

1.3.2 Soluções para a (t) e ρ (t)

Das equações (1.39), (1.42) e (1.44) podemos encontrar as soluções para o fator de

escala e a densidade para diferentes contéudos materiais do universo.

• Universo dominado por radiação

13



a (t) = a0

(
t

t0

) 1
2

ρ (t) = ρ0

{
a (t)

a0

}−4

(1.50)

• Universo dominado por matéria

a (t) = a0

(
t

t0

) 2
3

ρ (t) = ρ0

{
a (t)

a0

}−3

(1.51)

Da forma para o fator de escala, e usando as equações (1.34) e (1.36), são obtidas a

distância de Hubble e a distância ao horizonte de partículas.

• Para radiação

dl = 2t dh = 2t (1.52)

• Para matéria

dl =
3

2
t dh = 3t (1.53)

Notemos que na época dominada por radiação, dl e dh aumentam à mesma veloci-

dade, de maneira que o horizonte de Hubble concorda com o horizonte de partículas

no universo cedo.

Atualmente, o universo observável tem uma distância de Hubble de 13, 7×109 anos-

luz, e a distância ao horizonte de patículas é de 46× 109 anos-luz. As galáxias que

se encontram entre a esfera de Hubble e o horizonte de partículas estão se afastando

de nós com uma velocidade de recessão maior do que a velocidade da luz.

1.3.3 Idade do universo

Os astrônomos estimam a idade do universo de dois modos:

1. Estudando as estrelas mais antigas.

2. Medindo a taxa de expansão do universo.

Usando o segundo modo, a equação (1.39) pode ser integrada para obter a idade do

universo em função dos parâmetros cosmológicos atuais.

t =
1

H0

ˆ 1
1+z

0

dx

x

{∑
i

Ω0
ix
−3(1+ωi)

} 1
2

(1.54)

14



onde H0 é o parâmetro de Hubble no presente, Ω0
i é o parâmetro de densidade de

cada componente no presente, e ωi é o parâmetro da equação de estado de cada

componente. A idade do universo corresponde a z = 0. Segundo as observações

atuais, a idade do universo corresponde a t0 = 13, 75× 109 anos [36].

1.4 Termodinâmica do Universo

Durante a história passada do universo, a maioria dos constituintes do universo

estiveram em equilíbrio térmico.

1.4.1 Equilíbrio termodinâmico

Na cosmologia padrão, o universo primordial é considerado homogêneo e isotrópico,

prenchido com um gás em equilíbrio térmico, o qual está constituído por todas as

partículas do modelo padrão.

A densidade de energia ρ e a pressão p de todas as partículas em equilíbrio podem

ser expressas em termos da temperatura T da radiação eletromagnética [41] como

p =
1

3
ρ =

π2

90
g∗T

4 (1.55)

na qual

g∗ =
∑
i=b

gi

(
Ti
T

)4

+
7

8

∑
i=f

gi

(
Ti
T

)4

(1.56)

conta o número total de graus de liberdade sem massa efetiva entre partículas bosôni-

cas e fermiônicas do modelo padrão. A soma corre sobre as partículas com massa

mi � T , ou seja, partículas relativistas.

Para T � 1MeV , as únicas partículas relativistas são os três tipos de neutrinos e

o fóton, assim que, g∗ = 3.36;

Para 1MeV ≤ T ≤ 100MeV , o elétron e o pósitron são graus de liberdade rela-

tivistas adicionais, portanto g∗ = 10.75;

Para T ≥ 100MeV , todas as partículas do modelo padrão são relativistas, de

maneira que g∗ = 106.5.

15



1.4.2 Entropia

A entropia em um volume comóvel provê uma quantidade muito útil durante a

expansão do universo. Aplicando a primeira lei da termodinâmica ao volume comóvel

V = a3 (t), obtemos

TdS = d (ρV ) + pdV (1.57)

na qual ρ e p são a densidade e pressão em equilíbrio. Usando a condição de inte-

grabilidade

∂2S

∂T∂V
=

∂2S

∂V ∂T
(1.58)

resulta que

dp =
ρ+ p

T
dT (1.59)

Substituindo (1.59) em (1.57), obtemos

dS = d

{
ρ+ p

T
V

}
(1.60)

Se compararmos esta equação com (1.42), concluimos que em equilíbrio térmico

a entropia por volume comóvel é conservada, portanto a expansão do universo é

isentrópica.

De�namos a densidade de entropia como

s ≡ S

V
=
ρ+ p

T
(1.61)

Já que a densidade de entropia é dominada pela contribuição de partículas relativis-

tas, resulta que

s =
2π2

45
g∗T

3 (1.62)

Como S = a3s é conservada, temos que:

1) g∗a3T 3 = constante durante a expansão do universo, portanto

T ∝ g
− 1

3
∗ a−1 (1.63)

16



O fator g∗ aparece porque, quando uma partícula torna-se não relativista e desa-

parece, sua entropia é transferida às partículas relativistas ainda presentes no plasma

térmico, causando uma disminuição mais lenta da temperatura. Se g∗ for constante

se recupera o resultado conhecido T ∝ a−1.

2) a3 ∝ s−1 e como o número de partículas em um volume comóvel é de�nido como

a3n, onde n é a densidade de número das partículas, é útil de�nir a magnitude

N ≡ n

s
(1.64)

Se as partículas da espécie não estiverem sendo criadas nem destruidas, então n será

constante.

A entropia do universo é

SU = VUs ≈ a3T 3 (1.65)

De acima, sabemos que aT = a0T0, tal que

SU ≈ a3
0T

3
0 ≈ 1088 (1.66)

O tamanho do horizonte de partículas em uma época dada, é comvencionalmente

expressa em termos da entropia dentro de um volume de horizonte:

• Durante a época dominada por radiação

A distância ao horizonte de partículas está dada por (1.52) e a densidade de entropia

por (1.62), tal que

Sh = sVh ≈ s
4πt3

3
≈ g

− 1
2
∗

(mp

T

)3

(1.67)

onde mp é a massa de Planck.

• Durante a época dominada por matéria

A distância ao horizonte está dada por (1.53) e a densidade de entropia por (1.62),

tal que

Sh = sVh ≈ s
4πt3

3
≈ 1087

(
Ω0h

2
)− 3

2 (1 + z)−
2
3 (1.68)

Hoje o universo contém uma entropia da ordem de SU ≈ Sh ≈ 1088, e no universo

primordial o horizonte de partículas conteve uma entropia da ordem de Sh ≈
(mp
T

)3
.

Como veremos no próximo capítulo, esta diferença é problemática para a cosmologia

padrão.

17



Capítulo 2

Teoria da In�ação

A cosmología padrão é uma teoria bem-sucedida que fornece uma descrição apro-

priada do universo observável desde os primeiros segundos depois do Big Bang até

o presente. No entanto, sugere e deixa aberto um número de perguntas importantes

que não podem ser respondidas. Portanto, estes defeitos necessitam ser atendidos.

Tentar resolver esses problemas foi a motivação para formular a teoria da in�ação. A

in�ação é uma fase de expansão acelerada de 10−35 s do universo primordial quando

a gravidade atua de forma repulsiva. Durante esta fase, um domínio homogêneo

de 10−33 cm cresce até atingir um tamanho maior do que o universo observável

[42, 43, 44, 45]. Devido à importancia da in�ação como um mecanismo para gerar

perturbações de densidade no universo primordial, faremos uma revisão das moti-

vações físicas que levaram à teoria de in�ação, a dinâmica da teoia para resolver os

problemas da cosmologia padrão e apresentamos de um modo heurístico o modo no

qual a in�ação gera tais perturbações.

2.1 Problemas da Cosmologia Padrão

A cosmologia padrão requer a suposição de condições iniciais muito precisas para

ter sucesso, as quais são problemáticas por várias razões. Primeiro, o universo pri-

mordial se assume altamente homogêneo, apesar que domínios separados estiveram

causalmente desconectados. Segundo, o valor inicial do parâmetro de Hubble deve

estar ajustado com extraordinária precisão para produzir um universo tão plano

como o universo observado. Terceiro, se assume que o modelo padrão da física

de partículas provêm de uma teoria de grande uni�cação; neste caso, uma grande

quantidade de monopolos magnéticos teriam sido produzidos no universo primordial,

contribuindo demasiadamente à densidade atual do universo. Quarto, é assumido

18



sem explicação a existência de pequenas perturbações de densidade que posterior-

mente deram origen às estruturas cósmicas.

2.1.1 Problema do horizonte

O espaço-tempo de FRW é a solução para um universo homogêneo e isotrópico.

A indicação mais precisa da homogeneidade do universo é fornecida pela radiação

cósmica de fundo, a qual é uniforme uma parte em 105 [37]. Se o universo fosse

inhomogêneo e a expansão anisotrópica, anisotropias de temperatura comparável

existiriam na RCF.

Se o universo completo esteve em contato causal durante a super�cíe de último

espalhamento (SUE), processos microscópicos como o espalhamento de Compton

suavizaram qualquer �utuação de temperatura, de maneira que uma RCF com tem-

peratura uniforme teria resultado. No entanto, dentro do contexto da cosmologia

padrão isto não pôde haver acontecido devido à existência do horizonte de partículas.

Nós podemos expressar o tamanho do horizonte de partículas antes da recombinação

em termos da equação (1.67), e depois da recombinação como (1.68). Observe

que a entropia contida dentro do horizonte de partículas em tempos pequenos foi

muito menor do que a atual, ao redor de SU ≈ 1088. Na época da nucleossíntese,

T ≈ 1010MeV , e a entropia dentro do horizonte foi Sh ≈ 1063. Como a entropia

do universo é conservada, signi�ca que o universo observável esteve constituído por

1025 domínios causalmente desconectados na nucleossíntese.

Na época da recombinação, T ≈ 0.3 eV , e a entropia dentro do horizonte de partícu-

las foi Sh ≈ 1083. Isso signi�ca que o universo observável consistiu de 105 domínios

causalmente desconectados na recombinação. Portanto, a distância de Hubble na

recombinação subtende um ângulo de 1 grau sobre o céu de hoje [8, 39, 41]. Por-

tanto, quando nós detectamos RCF com uma separação angular maior do que isso,

estamos detectando RCF que nunca esteve em contacto causal. Apesar disso, a RCF

é uniforme em todo o céu. Esse é o problema do horizonte.

2.1.2 Problema da planura

As observações atuais conferem um valor a Ω0 muito proxímo à unidade. Além

disso, Ω varia com o tempo como

|Ω (t)− 1| = |k|
H2a2

(2.1)

19



Essa equação tem implicações profundas se considerarmos o caso k 6= 0. Observe

que

∣∣Ω (10−43seg
)
− 1
∣∣ ≈ 10−60 (2.2)

|Ω (1seg)− 1| ≈ 10−16 (2.3)

os quais implicam que

Rcur

(
10−43seg

)
≈ 1030dl (2.4)

Rcur (1seg) ≈ 108dl (2.5)

O universo, visto no contexto das condição iniciais, foi muito especial.

Se a quantidade (2.2) for da ordem da unidade, um universo fechado, k > 0, teria

alcançado seu tamanho máximo na ordem da escala de Planck, e um universo aberto,

k < 0, teria alcançado uma temperatura de 3K em um tempo de 10−11 s [41]. Um

universo pode sobreviver 1010 anos apenas através de ajuste �no do valor inicial

de H. Na cosmologia padrão, essa condição inicial incrívelmente precisa deve ser

assumida sem explicação. Esse é o problema da planura.

2.1.3 Problema dos monopolos magnéticos

Existe um problema na cosmología padrão quando assume-se que o modelo padrão

da física de partículas provêm de uma teoria de grande uni�cação. Dentro do con-

texto das teorias de grande uni�cação, há uma variedade de partículas pesadas e

estáveis, as quais teriam sido produzidas no universo primordial e contribuído de-

masiadamente à densidade de energia atual, Ωx � 1. O exemplo mais notável

são os monopolos descobertos por 't Hooft e Polyakov. Estes monopolos têm uma

massa 1016 vezes a massa do próton. Isto é problemático para a cosmología padrão,

porque é difícil encontrar um mecanismo que erradique estes resíduos que teriam

sido produzidos no universo primordial.

2.1.4 Problema das estruturas

O universo atual é estatísticamente homogêneo e isotrópico em escalas maiores do

que 100Mpc. Em escalas menores está constituído por galáxias e aglomerados de

20



galáxias, resultando inhomogêneo. Essas estruturas foram criadas a partir de peque-

nas perturbações de densidade presentes na SUE, as quais começaram a crescer por

instabilidade gravitacional, para depois colapsar e formar as estruturas que vemos

hoje. Como se originaram essas pequenas inhomogeneidades? A cosmologia padrão

somente postula sua existência, porém não oferece um mecanismo físico que origine

essas pequenas pertubações de densidade. Esse é o problema das estruturas.

A natureza desses problemas aponta na direção na qual a cosmologia padrão deve

assumir condições iniciais muito especí�cas para descrever o universo. É claro,

qualquer tentativa de resolver os problemas que envolva condições iniciais pode

ser adiado até entender a cosmologia quântica. Contudo, o propósito da teoria de

in�ação, uma teoria cosmológica baseada na gravidade clássica, é mostrar que esses

problemas podem ser evitados se o universo sofrer uma fase de expansão exponencial

extremamente rápida abaixo da escala de Planck, e assim explicar as propriedades

do universo atual, independentemente das condições iniciais. Essa fase de expansão

exponencial é denominada de in�ação.

2.2 Dinâmica da In�ação

A dinâmica do campo escalar é a chave para entender o mecanismo da in�ação

no universo em expansão. A característica essencial da in�ação é a evolução lenta

de um campo escalar através de um potencial su�cientemente plano, até alcançar

seu mínimo e começar a oscilar ao redor deste. Atualmente a maioria dos modelos

in�acionários estão baseados sobre este princípio de �slow roll�.

Para analisar a evolução do campo escalar façamos as seguintes considerações:

• Espaço-Tempo FRW de fundo, com uma taxa de expansão

H2 +
k

a2
=

8πG

3
ρφ (2.6)

onde ρφ é a densidade do campo escalar.

• Campo escalar homogêneo em uma escala dl, com um valor inicial

φi = σ (2.7)

onde σ está associado com a escala de energia à qual se produz in�ação.

• Densidade lagrangeana de um campo escalar homogêneo, dada por

21



L =
1

2
∂µφ∂

µφ− V (φ) =
1

2
φ̇2 − V (φ) (2.8)

e o tensor de energia-momento para um campo escalar

Tµ
ν = ∂µφ∂

νφ− δµ νL (2.9)

com componentes

T0
0 = ρφ =

1

2
φ̇2 + V (φ) (2.10)

−Ti j = δi
jpφ = δi

j

(
1

2
φ̇2 − V (φ)

)
(2.11)

• A equação dinâmica para o campo φ é obtida da equação de Euler-Langrange

φ̈+ 3Hφ̇+ Γφ̇+ V
′
(φ) = 0 (2.12)

O termo Γφ̇ não provem da densidade lagrangeana (2.8) e necessita uma explicação

adicional. As oscilações do campo φ ao redor do seu mínimo corresponde a partículas

φ de massa mφ = V ′′ (φ), a qual decai devido à criação quântica de partículas de

otros campos que se acoplam a φ. O amortecimento destas oscilações pela criação

quântica de partículas é equivalente ao decaimento de partículas φ nas outras mais

leves à qual elas se acoplam, e a quantidade Γ é a taxa de decaimento das partículas

associadas ao campo φ e τ = Γ−1 é sua vida média [46, 47, 48].

A equação dinâmica (2.12) tem dois regimes diferentes, cada um dos quais tem uma

solução analítica.

• In�ação: O campo φ move-se lentamente ao mínimo de V (φ), enquanto o

universo primordial sofre uma fase de expansão acelerada extremamente breve,

durante a qual a gravidade atua como uma força repulsiva e o universo se esfria.

Durante esta fase o termo de fricção de Hubble é muito grande e portanto o campo

evolui lentamente, resultando que o termo 3Hφ̇ � φ̈e então a equação dinâmica é

dada por

3Hφ̇ = V
′
(φ) (2.13)

Devido à evolução lenta do campo, sua energia cinética será menor do que a sua

energia potencial, 1
2
φ̇2 � V (φ), portanto as expressões (2.10) e (2.11) podem ser

reescritas como pφ = −ρφ = −V (φ).

22



Por outro lado, como o tensor de energia-momento é T µν = ρφg
µν , o qual satisfaz a

lei de conservação ∇µT
µν = ∇µg

µν = 0, resulta que ρφ = constante.

As condições para desprezar φ̈ e 1
2
φ̇2 requerem que

∣∣∣V ′′
(φ)
∣∣∣� 9H2 (2.14)

∣∣∣∣mp
V

′
(φ)

V (φ)

∣∣∣∣� (48π)
1
2 (2.15)

as quais são conhecidas como condições de slow-roll. Como consequência destas

condições obtemos que a taxa de expansão é

H2 ≈ 8π

3m2
p

V (φ) (2.16)

Integrando a equação (2.16) obtemos

a (t) ≈ a0e
Ht (2.17)

Este estado de expansão exponencialmente rápido do universo é conhecido como

in�ação.

De (2.13) e (2.16) calculamos o número de e-folds de crescimento no fator de escala

quando o campo φ desliza sobre seu potencial, desde o valor φi, o qual é o valor

do campo quando começa a in�ação, até φf , o qual é o valor do campo quando as

condições de slow-roll são violadas:

N (φi → φf ) ≡ ln

(
af
ai

)
= − 8π

m2
p

ˆ φf

φi

V (φ)

V ′ (φ)
dφ (2.18)

Para o modelo de in�ação caótica com um potencial V (φ) = 1
2
m2φ2, o universo

experimentou um crescimento de 101010 vezes seu tamanho original de l ≈ 10−33cm,

em apenas 10−35s. Nesta breve fase, o universo atingiu um tamanho de l ≈ 101010cm,

muitas ordens de grandeza maior do que a parte de universo que podemos ver no

presente, a qual é de l ≈ 1028cm. Durante este período o campo escalar pasou de

ter um valor de φi > 3mp a φf ≈ 0.28mp, onde mp es la masa de Planck [49].

• Reaquecimento: O campo φ oscila rapidamente ao redor do mínimo de V (φ)

e perde energia por criar pares de partículas elementares. Essas partículas

interagem umas com as outras e atingem um estado de equilíbrio término com

23



temperatura T com a qual o universo é reaquecido. Uma vez �nalizada essa

fase, o domínio causalmente desconectado pode ser descrito pela cosmologia

padrão.

Durante este regime as condições de slow-roll são violadas. Multiplicando a equação

(2.12) por φ̇, a mesma pode ser reescrita para este regime como

ρ̇φ + 3Hφ̇2 + Γφ̇2 = 0 (2.19)

Quando φ oscila rápidamente ao redor do mínimo de seu potencial, φ̇2 oscila e pode

ser substituído pela média sobre um ciclo de oscilação, tal que
〈
φ̇2
〉

= ρφ. Desta

maneira, a equação (2.19) resulta

ρ̇φ + 3Hρφ + Γρφ = 0 (2.20)

A equação (2.20) governa o decaimento das partículas escalares. A solução desta

equação é

ρφ = α4

(
a

af

)−3

e−Γ(t−tf) (2.21)

onde f signi�ca o começo das oscilações e α4 o valor da densidade nesse tempo.

Estas oscilações se comportam como partículas massivas não-relativistas (ρφ ∝ a−3)

decaindo
(
ρφ ∝ e−Γt

)
.

Suponhamos que os produtos do dacaimento destas partículas são fótons e aplique-

mos a segunda lei da termodinâmica

d
(
a3ργ

)
= −pγd

(
a3
)
− d

(
a3ρφ

)
(2.22)

Usando as equações (1.55) e (2.21), podemos reescrever a equação (2.22) como

ρ̇γ + 4Hργ = Γρφ (2.23)

Uma solução aproximada para a equação (2.23), durante o período dominado por

partículas φ, o qual vai de tf ≈ mp
α2 a t ≈ 1

Γ
, é

ργ ≈ mpΓα
2

{
1−

(
a

af

)− 5
2

}(
a

af

)− 3
2

(2.24)

De (2.24) concluímos que:

24



1. A densidade de energia ργ incrementa-se rápidamente de zero a mpΓα
2 para

depois decrescer como a−
3
2 .

2. A temperatura atinge seu máximo em Tmax ≈ g
− 1

4
∗ α

1
2 (mpΓ)

1
2 e depois decresce.

3. A temperatura ao começo do período de dominação por radiação é Tr ≡
T
(

1
Γ

)
≈ g

− 1
4
∗ (mpΓ)

1
2 .

4. A entropia por volume comóvel se incrementa como S ∝ a
15
8 .

5. A entropia por volume comóvél se estabiliza no tempo t = 1
Γ
, porque as partícu-

las escalares decaem rápidamente e o universo começa a ser dominado por

radiação.

Por outro lado, a taxa de expansão do universo neste regime está dada pela equação

de Friedmann

H2 =
8π

3m2
p

(ρφ + ργ) (2.25)

Assim, as equações (2.20), (2.23) e (2.25) governam a evolução de ρφ, ργ e a,

fornecendo uma descrição do processo de reaquecimento. É importante destacar

que este processo acontece fora do equilíbrio e a entropia não é conservada. Além

disso, durante este processo as partículas φ dominam a densidade do universo, de

modo que o universo é dominado por matéria.

2.3 Como In�ação resolve os Problemas da Cos-

mologia Padrão

A expansão exponencial durante a in�ação e o enorme crescimento da entropia

durante o reaquecimento permitem resolver alguns dos problemas da cosmologia

padrão. Conhecendo a dinâmica de in�ação de slow roll, é possível calcular a quan-

tidade mínima necessaria de in�ação NT para resolver o problema do horizonte e a

planura. Além disso, oferece uma solução ao problema dos monopolos e das estru-

turas.

2.3.1 Problema do horizonte

Antes da in�ação, o tamanho do domínio é dh = mp
α2 , portanto a entropia é

25



Sa ≈ d3
hT

3 (2.26)

Durante a in�ação o domínio cresce por um fator eNT e durante o reaquecimento

por ar
af
≈
(
α
Tr

) 4
3
, portanto, a entropia resultante ao �nal da in�ação é

Sd ≈ e3NT
m3
p

α2Tr
(2.27)

Com o propósito de resolver o problema do horizonte, a entropia deve ser maior do

que 1088, de maneira que

NT ≥ 67 +
1

3
ln
α2Tr
m3
P

(2.28)

Se escolhermos α e Tr da ordem de 1019GeV , temos como mínimo NT = 67.

2.3.2 Problema da planura

Consideremos o raio de curvatura do universo antes da in�ação como:

(Rcur)a =
H−1

|Ωa − 1|
1
2

(2.29)

Já que durante in�ação, o domínio cresce por um fator eNT e durante o reaquecimento

por ar
af
≈
(
α
Tr

) 4
3
, temos que depois da in�ação

|Ωd − 1| = e−2NT

(
α

Tr

)− 8
3

|Ωa − 1| (2.30)

e o raio de curvatura incrementa-se até ser

(Rcur)d =
H−1

|Ωd − 1|
1
2

= eNT
(
α

Tr

) 4
3

(Rcur)a (2.31)

depois da in�ação, assim que a entropia contida dentro do volume de curvatura é

Scur ≡ (Rcur)
3
d T

3
r ≈

(
e3NT

m3
p

α2Tr

)
1

|Ωa − 1|
3
2

(2.32)

Como o fator em parêntese é a mesma entropia dentro do domínio depois de in�ação

e está dividido por o factor |Ωa − 1|
3
2 , isto segura que a entropia dentro do volume de

26



curvatura do universo, a qual será constante depois de in�ação, sempre será maior

do que a entropia dentro do domínio que chegará a ser o universo observável.

O problema da planura será resolvido se a entropia for maior do que 1088, de maneira

que

NT ≥ 67 +
1

3
ln

(
α2Tr
m3
p

)
+

1

2
ln |Ωa − 1| (2.33)

Por último, a curvatura do universo depois de in�ação é

|Ωd − 1| = e−2NT |Ωa − 1| (2.34)

o qual traz como consequência, pela grade quantidade de in�ação, que

|Ωd − 1| � 1 (2.35)

Portanto, a teoria de in�ação prediz que o universo observável é quase exponencial-

mente plano.

2.3.3 Problema dos monopolos

Assumamos que os monopolos foram produzidos antes de in�ação com uma abundân-

cia dada por

Ni =
n

si
(2.36)

Depois de in�ação a abundância é reduzida exponencialmente pelo mesmo fator pela

qual a entropia incrementou-se, resultando

Nf = e−3NT

(
n

si

)
= e−3NTNi (2.37)

de modo que os monopolos resultariam indetectáveis.

2.3.4 Problema das estruturas

A caraterística mais atraente da in�ação é a de fornecer um mecanismo físico que

gere as perturbações de densidade responsáveis da formação de estruturas cósmicas.

27



Já que no momento da in�ação os processos físicos que tomam lugar são mecânico

quânticos por natureza, existirão �utuações quânticas no campo do in�aton, que

atuarão como sementes das perturbações de densidade presentes na SUE.

As �utuações quânticas no campo escalar são caraterizadas por um comprimento de

onda e uma amplitude. O comprimento de onda cresce exponencialmente durante

a in�ação. Quando o comprimento de onda das �utuações torna-se maior do que

H−1, estas �utuações se desacoplam dos processos causais e param de oscilar, de

maneira que sua amplitude se congela em algum valor δφ (~x). A amplitude dessa

�utuação é preservada intacta durante um longo tempo, enquanto seu comprimento

de onda cresce exponencialmente. Portanto, a �utuação congelada é equivalente a

um campo clássico δφ (~x). Finalizada a in�ação, o universo é dominado por radiação

e o comprimento de onda das �utuações cresce como t
1
2 , enquanto o raio de Hubble

cresce como t. Desta maneira, existe um instante no qual as �utuações entrarão de

novo no horizonte de Hubble em forma de perturbações de densidade clássica que

mais tarde se apli�carão para formar galáxias.

Estritamente falando, o que segue é um cálculo aproximado, que ignora muitos

detalhes importantes como o backreaction do campo de in�ação sobre a geometria

do espaço-tempo de fundo, a escolha de gauges e a teoria dos campos quânticos. No

entanto, neste caso, toda a física relevante pode ser mostrada heuristicamente.

O ponto de partida para entender como a in�ação gera as perturbações de densidade

é a amplitude média das �utuações no campo escalar durante um intervalo de tempo

H−1. Para obter essa quantidade de grande importância, começamos usando a

equação dinâmica para o campo escalar

φ̈ (~x, t) + 3Hφ̇ (~x, t)− ∇
2φ (~x, t)

a2 (t)
+ V

′
(φ) = 0 (2.38)

Expressemos as �utuações δϕ do campo escalar como

φ (~x, t) = φc (t) + δφ (~x, t) (2.39)

com δφ (~x, t)� φc (t).

Assim, introduzindo (2.39) em (2.38), e considerando que o campo clássico satisfaz

a equação dinâmica homogênea, obtemos

δ̈φ+ 3Hδ̇φ− ∇
2δφ

a2
+ V

′′
(φc) δφ = 0 (2.40)

Agora, representemos a �utuação sobre o campo escalar clássico como o operador

de campo

28



δ̂φ (t, ~x) =
1

(2π)
3
2

ˆ
d3~k

{
ψ~k (t) a~ke

i~k~x + ψ∗~k (t) a†~ke
−i~k~x

}
(2.41)

Substituindo o operador (2.41) na equação (2.40), obtemos

ψ̈~k (t) + 3Hψ̇~k (t) + a−2 (t) k2ψ~k (t) + V
′′

(φc)ψ~k (t) = 0 (2.42)

Ao começo de in�ação, o comprimento de onda físico das �utuações é menor do que

o raio de Hubble, levando a condição

k � Ha (2.43)

De acordo com a condição (2.14), obtemos que

∣∣∣V ′′
∣∣∣� H2 �

(
k

a

)2

(2.44)

Isto está nos dizendo que, durante a in�ação o campo escalar pode ser considerado

sem massa, portanto, temos que

ψ̈~k (t) + 3Hψ̇~k (t) + a−2 (t) k2ψ~k (t) = 0 (2.45)

com a (t) = a0e
Ht durante a expansão in�acionária. Usando a nova variável

η = −a−1
0 H−1e−Ht (2.46)

a equação (2.45) resulta

ψ
′′

~k
− 3η−1ψ

′

~k
+ k2ψ~k = 0 (2.47)

A solução geral é dada em termo das funções de Hankel

ψ~k (η) =
(π

4

) 1
2
η

3
2H
{
c1 (k)H

(1)
3
2

(kη) + c2 (k)H
(2)
3
2

(kη)
}

(2.48)

Retendo a parte de frequências positivas c2 (k) = 1 para o caso k � aH, obtemos

para |ψk|2

∣∣ψ~k (η)
∣∣2 =

H2

2k3

(
1 + k2a−2

0 H−2e−2Ht
)

(2.49)

29



Agora, o cálculo de
〈
(δφ)2〉 é obtido cortando a integral em k = a0He

Ht, porque

essa é a condição para o instante em que o cumprimento de onda físico atinge o

horizonte de Hubble (λf = H−1) e onde a perturbação para de oscilar

〈
(δφ)2〉 =

1

(2π)3

ˆ
d3~k

∣∣ψ~k (η)
∣∣2 ≈ H3

4π2
t (2.50)

De maneira que

δφ =
√〈

(δφ)2〉 ≈ H

2π

√
Ht (2.51)

Para uma escala típica de in�ação Ht = 1, obtemos

δφ ≈ H

2π
(2.52)

Por conseguinte, �utuações no campo φ dão origem a pertubações de densidade

durante in�ação com um contraste de densidade dado por

δρ

ρ
≈ V

′
(φ) δφ

V (φ)
(2.53)

Analisemos o que acontece quando o comprimento de onda das �utuações no campo

φ atingem e superam o raio de Hubble. Com essa �nalidade, expandimos a pertur-

bação em modos de Fourier

δφ (~x, t) =

ˆ
d3~k

(2π)
3
2

δφ~ke
−i~k~x (2.54)

e depois substituida na equação (2.40), a equação perturbada resulta

δ̈φ~k + 3Hδ̇φ~k +
k2

a2
δφ~k + V

′′
(φc) δφ~k = 0 (2.55)

Impondo a condição de slow-roll (2.14) sobre a equação (2.55), esta se simpli�ca a

δ̈φ~k + 3Hδ̇φ~k +
k2

a2
δφ~k = 0 (2.56)

De�nindo a variável v~k = aδφ~k e mudando ao tempo conforme τ = −H−1a−1, a

equação (2.56) pode ser reescrita como

v
′′

~k
+

(
k2 − a

′′

a

)
v~k = 0 (2.57)

Esta equação tem dois limites especiais:

30



• Quando k2 � a
′′

a
, o qual é equivalente a k � aH, ou seja, escalas inferiores

ao radio de Hubble. Neste caso a solução é

v~k ∝
e−ikτ√

2k
(2.58)

o qual indica que os modos oscilam dentro do raio de Hubble.

• Quando k2 � a
′′

a
, o qual é equivalente a k � aH, ou seja, escalas superiores

ao raio de Hubble. Neste caso a solução é

v~k ∝ a ⇒ δφ~k = constante (2.59)

indicando que os modos são congelados fora do raio de Hubble. São estes modos

de �utuação do campo de in�ação, os que serão convertidos em perturbações de

densidade clássica a�nal da in�ação, e terminarão levando à formação de estruturas

uma vez entrem no horizonte de Hubble na epoca de dominação por matéria.

A in�ação prediz que uma vez que as perturbações entrem no horizonte de Hubble na

época de dominação por materia, adquirirão o contraste de densidade [49, 50, 51, 52]

δρ

ρ
=

H2

2πφ̇
(2.60)

o qual deve imprimir �utuações de temperatura na RCF via o efeito Sachs-Wolfe

[53].

Considerando o modelo de in�ação caótica com potencial V (φ) = 1
2
m2φ2 o cálculo

do contraste de densidade resulta δ ≈ 1
m3
p
mφ2. Em escalas do horizonte, instante

no qual as �utuações param de oscilar, o valor do campo é φ ≈ 15mp [49]. Para

produzir perturbações de densidade de δ ≈ 10−5, como a medida pelo COBE [38],

o valor da massa do campo deve ser m ≈ 10−6mp.

31



Capítulo 3

Descrição das Perturbações de um

Campo Escalar

A descrição de perturbações de densidade em um campo escalar são de grande

utilidade em diversas situações cosmológicas. Em particular, se a energia escura

é constituída por um campo escalar, então esta pode aglomerar. Neste contexto,

o colapso de estruturas, composta de matéria que interage com o campo escalar

gravitacionalmente, perturbaria-o, criando zonas subdensas e sobredensas do campo

escalar, as quais se propagariam na energia escura.

Aqui apresentamos o modo de abordar e descrever estas perturbações em um uni-

verso em expansão.

3.1 Fluido de um campo escalar homogêneo

Nós começamos descrevendo o comportamento de um campo escalar ϕ0 (η) homogê-

neo em um universo FRW com curvatura k = 0. Neste caso, a métrica do espaço-

tempo em coordenadas cartesianas e tempo conforme η =
´

dt
a
é escrita como

ds2 = a2 (η)
[
dη2 − δijdxidxj

]
(3.1)

A lagrangiana que descreve o campo escalar homogêneo embebido em um universo

FRW com métrica ḡ é

L =
√
−g
(

1

2
ḡµν∂µϕ0∂νϕ0 − V (ϕ0)

)
(3.2)

e a equação de Euler-Langrange

32



∂µ
(√
−ḡḡµν∂νϕ0

)
+
√
−ḡV ′ (ϕ0) = 0 (3.3)

que neste caso para um campo escalar homogêneo e métrica ḡ resulta em

d2ϕ0

dη2
+ 2H

dϕ0

dη
+ a2V ′ (ϕ0) = 0 (3.4)

onde H = 1
a
da
dη

é o parâmetro de Hubble em tempo conforme.

O tensor de energia-momento para o campo escalar é dado por

T̄µ
ν = ∂µϕ0∂

νϕ0 − δµ νL (3.5)

Considerando que o campo escalar é um �uido perfeito, o tensor de energia-momento

também está dado por

T̄µ
ν = (ρ0 + p0) ūµū

ν − pδµ ν (3.6)

onde ūµ é a 4-velocidade do �uido, que em um sistema comóvel com o �uido toma

a forma ūµ =
{

(ḡ00)−
1
2 , 0
}
.

Igualando (3.5) com (3.6) obtemos a densidade e a pressão do �uido de campo

escalar, resultando

ρ0 =
a−2

2

(
dϕ0

dη

)2

+ V (ϕ) (3.7)

p0 =
a−2

2

(
dϕ0

dη

)2

− V (ϕ) (3.8)

Por outro lado, as equações de hidrodinâmica do �uido de campo escalar são obtidas

a partir da conservação do tensor-energia momento:

∇νT
µν = 0 (3.9)

Para µ = 0 obtemos a equação de continuidade

dρ0

dη
+ 3H (ρ0 + p0) = 0 (3.10)

e para µ = i obtemos a equação de Euler, que neste caso resulta uma identidade

0 = 0.

33



3.2 Fluido de um campo escalar inhomogêneo

De acordo com a relatividade geral toda distribuição de matéria e energia produz

uma distorção na geometria do espaço-tempo. Essa conexão entre matéria e geome-

tria implica que perturbações em um �uido de campo escalar induzem perturbações

na geometria do espaço-tempo de fundo; perturbações que serão relevantes sempre

e quando o comprimento de onda associada às perturbações seja da ordem do hor-

izonte de Hubble; portanto, nesse caso a métrica perturbada para ser usada será

[39, 54]

ds2 = a2 (η)
[
(1 + 2Φ) dη2 − (1− 2Φ) δijdx

idxj
]

(3.11)

sendo Φ uma variável que caracteriza a perturbação métrica escalar e está associada

com o potencial gravitacional.

Consideremos o campo escalar perturbado linearmente

ϕ (~x, η) = ϕ0 (η) + δϕ (~x, η) (3.12)

Considerando a equação de Euler-Lagrange (3.3) para o campo ϕ, substituindo as

componentes métricas do elemento de linha (3.11) e a expressão para o campo escalar

(3.12) na equação (3.3), conservando os fatores lineares no potencial gravitacional

e nas perturbações do campo escalar, e usando a equação dinâmica para o campo

escalar homogêneo (3.4) encontramos a equação dinâmica para δϕ

δ̈ϕ−∇2δϕ− 4Φ̇ϕ̇0 + 2a2ΦV ′ (ϕ0) + 2
ȧ

a
δ̇ϕ+ a2V ′′ (ϕ0) δϕ = 0 (3.13)

Os termos três e quatro do lado esquerdo dessa equação provêm das perturbações

do espaço-tempo geradas pelas �utuações do �uido de campo escalar.

Agora obteremos as perturbações na densidade e pressão do �uido de campo escalar.

Para tal �m, usamos a componente µ = 0 e ν = 0 do tensor de energia-momento

(3.5) e desta forma obter a expressão da densidade do �uido

ρ =
a−2

2
(1− 2Φ) ϕ̇2 +

a−2

2
(1 + 2Φ)

(
~∇ϕ
)2

+ V (ϕ) (3.14)

Substituindo as perturbações ρ = ρ0 + δρ e ϕ = ϕ0 + δϕ na expressão (3.14), conser-

vando apenas os fatores lineares nas perturbações e usando a equação homogênea

(3.7), a perturbação de densidade resulta

34



δρ = a−2
(
ϕ̇2

0δ̇ϕ− Φϕ̇2
0

)
+ V ′ (ϕ0) δϕ (3.15)

Para obter a pressão exercida pelo �uido de campo escalar, usamos as componentes

espaciais µ = i e ν = j do tensor de energia-momento (3.7), desta forma

p =
a−2

2
(1− 2Φ) ϕ̇2 − a−2

6
(1 + 2Φ)

(
~∇ϕ
)2

− V (ϕ) (3.16)

Inserindo p = p0 + δp e ϕ = ϕ0 + δϕ na expressão (3.16), mantendo só os fatores lin-

eares no potencial gravitacional e nas perturbações, e usando a equação homogênea

(3.8), obtemos

δp = δρ− 2V ′ (ϕ0) δϕ (3.17)

Para conseguir a perturbação na 3-velocidade, trabalhamos com a componente µ = 0

e ν = i do tensor energia-momento (3.6), que neste caso, ρ = ρ0 + δρ, p = p0 + δp e

uα = ūα + δuα. Conservando os fatores lineares nas perturbações, resulta

T0
i = − (ρ0 + p0) a−1δijδuj (3.18)

Por outro lado, trabalhando com a componente µ = 0 e ν = i do tensor energia-

momento (3.5), usando ϕ = ϕ0 + δϕ e conservando fatores lineares conseguimos

T0
i = −a−2 (ϕ̇0∂jδϕ) δij (3.19)

Igualando (3.18) e (3.19), obtemos a equação para a perturbação da 3-velocidade do

�uido de campo escalar

(ρ0 + p0) δuj = a−1ϕ̇o∂jδϕ (3.20)

Para obter as equações de hidrodinâmica perturbadas, usamos (3.9). Para µ = 0

obtemos a equação de continuidade. Neste caso, as componentes diferentes de zero

a primeira ordem nas perturbações do tensor de energia-momento são

T 00 = a−2 (ρ0 + δρ− 2ρ0Φ) (3.21)

T 0i = a−1 (ρ0 + p0) δui (3.22)

35



T ij = a−2 (p0 + δp0 + 2p0Φ) δij (3.23)

e as componentes a primeira ordem nas perturbações da conexão são

Γ0
00 = H + Φ̇ (3.24)

Γ0
0i = ∂iΦ (3.25)

Γ0
ij =

(
H − 4HΦ− Φ̇

)
δij (3.26)

Γν 0ν = 2
(

2H − Φ̇
)

(3.27)

Γν iν = −2∂iΦ (3.28)

Substituimos essas componentes na equação de continuidade e mantendo apenas os

fatores lineares no potencial gravitacional e nas perturbações, usamos a equação

homogênea (3.10), para obter a equação

δ̇ρ = (ρ0 + p0)
{

3Φ̇− a∂iδui
}
− 3H (δρ+ δp) (3.29)

No caso em que µ = i, a equação (3.9) resulta na equação de Euler. As componentes

diferentes de zero para o tensor de energia-momento, são as mesmas que no caso

anterior, enquanto as componentes diferentes de zero para a conexão, adicionais ao

caso µ = 0, são

Γi 00 = δij∂iΦ (3.30)

Γi 0j =
(
H − Φ̇

)
δi
j (3.31)

Γi jk = δilδjk∂lΦ− δi j∂kΦ− δi k∂jΦ (3.32)

Substituindo todas elas na equação de Euler e linearizando no potencial gravitacional

e nas perturbações, obtemos

∂0

{
a5 (ρ0 + p0) δui

}
+ a4

{
(ρ0 + p0) δij∂iΦ + δij∂iδp

}
= 0 (3.33)

36



e aplicando a derivada ∂i à equação, podemos escrevê-la como

∂0

{
a5 (ρ0 + p0) ∂iδu

i
}

+ a4
{

(ρ0 + p0)∇2Φ +∇2δp
}

= 0 (3.34)

Este conjunto de equações permite-nos estudar as perturbações na energia escura e

conhecer sua evolução em um universo em expansão.

37



Capítulo 4

Formação de Estruturas

O universo está constituido por estruturas inhomogêneas como galáxias, aglomera-

dos de galáxias e superaglomerados de galáxias. Aqui, estudaremos os mecanismos

básicos oferecidos pela cosmologia padrão para descrever a evolução e formação

dessas estruturas. Estas abordagens assumem a existência de pequenas inhomo-

geneidades presentes no universo primordial sem oferecer uma explicação para sua

origem. Neste sentido são modelos incompletos. Para ser considerados completos, o

modelo cosmológico deveria produzir também estas inhomogeneidades iniciais medi-

ante algum mecanismo. A in�ação fornece um mecanismo bem-sucedido para gerar

estas perturbações.

Em um instante ti = teq, ou desvio para o vermelho z ≈ 3196, a radiação e a

matéria tiveram iguais densidades. A formação de estruturas começa a partir de

t > teq, quando o universo é dominado por matéria, já que esse é o instante no qual

as perturbações de densidade presentes na componente de matéria podem começar

a crescer, porque a taxa de expansão do universo diminui e a matéria se desacopla

da radiação. Desta maneira, o tempo de igualdade entre a densidade de matéria e

radiação marca o início para a formação de estruturas.

Para t > teq, praticamente todas as perturbações de densidade estarão dentro do hor-

izonte (λf < H−1). Portanto, o efeito da curvatura espacial é pequeno (λf < Rcur)

e usualmente pode ser desprezado, de maneira que a teoria newtoniana pode ser

usada para estudar a evolução das perturbações a partir desse momento.

4.1 Teoria Linear

Desde as observações realizadas pelo satélite COBE, sabemos que as �utuações de

temperatura presentes na SUE foram da ordem de 10−5. Por outro lado, também

38



sabemos que essas �utuações na temperatura foram impressas devido a perturbações

de densidade presentes nesse momento via o efeito Sachs-Wolfe [53]. Portanto, per-

turbações de densidade da mesma ordem estiveram presentes na matéria para esse

momento. Essa é uma evidência que faz plausível o uso de uma teoria linear para

a evolução das perturbações de densidade ao começo da formação de estruturas.

Uma vez que essas perturbações crescem e o contraste de densidade é da ordem da

unidade, a teoria linear não é mais apropriada e nós devemos usar outros modelos

para estudar sua posterior evolução.

Consideremos a distribuição de matéria no universo acoplada à gravidade newtoni-

ana, de maneira que podemos caracterizar o �uido mediante sua densidade ρ, sua

velocidade ~v, sua pressão p e o potencial gravitacional ϕ. O comportamento dessas

grandezas são determinadas pela equação de continuidade, a equação de Euler e a

equação de Poisson, complementadas com uma equação de estado

∂ρ

∂t
+ ~∇. (ρ~v) = 0 (4.1)

∂~v

∂t
+

~∇p
ρ

+
(
~v.~∇

)
~v + ~∇ϕ = 0 (4.2)

∇2ϕ = 4πGρ (4.3)

p = p (ρ) (4.4)

Consideremos que cada uma dessas grandezas que carateriza o �uido provém de uma

pequena perturbação sobre uma distribuição de matéria homogênea e isotrópica, de

maneira que

ρ (~x, t) = ρ0 (t) + δρ (~x, t) (4.5)

~v (~x, t) = ~v0 (~x,t) + δ~v (~x, t) (4.6)

p (~x, t) = p0 (t) + δp (~x, t) (4.7)

ϕ (~x, t) = ϕ0 (t) + δϕ (~x, t) (4.8)

39



onde ~v0 = H (t) ~x (t). As respectivas perturbações são muito menores do que suas

respectivas magnitudes de fundo. Da equação de estado (4.4), podemos escrever na

aproximação linear

p (ρ0 + δρ) = p0 (t) + v2
sδρ (~x, t) (4.9)

onde δp = v2
sδρ e v

2
s ≡

∂p
∂ρ

é o quadrado da velocidade do som das perturbações na dis-

tribuição de matéria. Inserimos o ansatz (4.5), (4.6), (4.8) e (4.9), nas equações (4.1),

(4.2) e (4.3). Depois, linearizamos nas perturbações para as equações obtidas, e tra-

balhando em coordenadas comóveis q, as quais estão relacionadas às coordenadas

físicas como ~x = a (t) ~q, as equações são simpli�cadas. Combinando as equações

diferenciais de primeira ordem em uma única equação diferencial de segunda ordem

para δ ≡ δρ
ρ0
, obtemos

δ̈ (~q, t) + 2H (t) δ̇ (~q, t)− v2
s

a2 (t)
∇2δ (~q, t)− 4πGρ0 (t) δ (~q, t) = 0 (4.10)

Tomando a transformada de Fourier com respeito à coordenada comóvel q

δ (~q, t) =
1

(2π)
3
2

ˆ
δ~k (t) ei

~k~qd3~k (4.11)

nós obtemos

δ̈~k (t) + 2H (t) δ̇~k (t) +

(
v2
sk

2

a2 (t)
− 4πGρ0 (t)

)
δ~k (t) = 0 (4.12)

a qual descreve a evolução dos diferentes modos das perturbações de densidade em

um universo em expansão. Restringindo a atenção ao terceiro termo da equação

(4.12); a quantidade entre parêntese de�ne um número de onda crítico, o número de

onda de Jeans, cujo valor kJ é dado por

kJ =
a

vs
(4πGρ0)

1
2 (4.13)

Já que k = 2π
λ
, também se de�ne o comprimento de onda de Jeans, dada por

λJ =
vs
a

(
π

Gρ0

) 1
2

(4.14)

O comprimento de onda de Jeans λJ separa os modos de perturbação gravitacional-

mente estáveis e instáveis.

40



Consideremos primeiramente o crescimento de perturbações em um universo sem

expansão onde H (t) = 0:

• Equação para λ < λJ

δ̈~k (t) +
(
k2v2

s − 4πGρ0

)
δ~k (t) = 0 (4.15)

cuja solução é

δ~k (t) ∝ e±iwt (4.16)

As perturbações oscilam como ondas de som com frequência w = (k2v2
s − 4πGρ0)

1
2 .

• Equação para λ > λJ

δ̈~k (t)−
(
4πGρ0 − k2v2

s

)
δ~k (t) = 0 (4.17)

cuja solução está dada por

δ~k (t) ∝ e±
t
T (4.18)

As perturbações crescem o decaem sobre uma escala de tempo T = (4πGρ0 − k2v2
s)
− 1

2 .

Consideremos agora o crescimento de perturbações em um universo com H (t) 6= 0:

• Equação para λ� λJ

δ̈~k (t) + 2H (t) δ̇~k (t) +
v2
sk

2

a2 (t)
δ~k (t) = 0 (4.19)

Assumindo a (t) ∝ tn, a solução é

δ~k (t) ∝ e±iwt (4.20)

Neste caso, as perturbações oscilam como ondas de som com frequência w = vsk
a(t)(1−n)

.

• Equação para λ� λJ

41



δ̈~k (t) + 2H (t) δ̇~k (t)− 4πGρ0 (t) = 0 (4.21)

Como podemos observar, o termo de gradiente de pressão é desprezível, caso que

corresponde à matéria. Assumindo a (t)∝ t
2
3 , caso de um universo Einstein-de Sitter,

a solução é

δ~k (t) = c1t
2
3 + c2t

−1 (4.22)

a qual é uma combinação linear de modos de crescimento e decaimento. Apenas os

modos de crescimento contribuem na formação de estruturas. Estes modos crescem

proporcionalmente ao crescimento do fator de escala a. Tomando o modo de cresci-

mento e considerando condições iniciais que identi�caremos com o tempo teq, pode-

mos escrever

δ~k (t) = δeq

(
t

teq

) 2
3

= δeq
a (t)

aeq
(4.23)

Comparando as soluções (4.18) e (4.23), concluimos que a expansão do universo

leva o crescimento das perturbações de uma lei exponencial a uma lei de potên-

cia. Portanto, a expansão do universo tem como efeito moderar o crescimento das

perturbações de densidade.

De forma geral podemos expressar o crescimento de uma perturbação de densidade

como

Crescimento = (Gravidade− Pressão)− Expansão (4.24)

O termo de gravidade sempre vai atuar tentando produzir o colapso e formar a

estrutura. O termo de pressão sempre funciona como suporte, podendo suprimir

a formação da estrutura no caso que λ < λj. O termo de expansão sempre vai

amortecer o crescimento. Será a atuação conjunta destes fatores que determinarão

a evolução da perturbação de densidade.

4.2 Os efeitos da expansão acelerada del universo

No ano de 1998, os grupos Supernova Cosmology Project [29] e High-Z Supernova

Team [30], realizando observações de Supernovas tipo Ia (SN Ia) obtiveram evidên-

cias da expansão acelerada do universo. Desde esse momento, observações indepen-

dentes do CMB, LSS e Weak Gravitational Lensing (WGL) tem resultado em mais

evidências a favor da expansão acelerada do universo [55].

42



Os candidatos propostos para explicar o mecanismo físico que gera a recente expan-

são acelerada do universo têm sido a Energia Escura, teorias de gravidade modi�cada

e a hipótese de um universo não homogêneo.

A Energia Escura é entendida como uma componente exótica que domina a densi-

dade de energia do universo e cuja principal característica é a geração de pressão

negativa, uma espécie de repulsão gravitacional que causa a expansão acelerada do

universo. Esta proposta concorda muito bem com as observações realizadas até

agora [29, 30].

As teorias de gravidade modi�cada são mudanças à teoria da Relatividade Geral,

baseadas na hipótese de que a expansão acelerada do universo é a consequência de

uma nova física gravitacional não contemplada na Relatividade Geral e portanto

esta teoria deve ser substituída por uma nova teoria que considere os novos efeitos

[56, 57, 58, 59].

A teoria de um universo não homogêneo é baseada na hipótese de que a matéria

está distribuída de forma não homogênea no universo, formando grandes vazios,

ocupando nós o centro de um desses, o qual cria a aparente ilusão da expansão

acelerada do universo [27, 28, 31, 32].

Para explicar a natureza da energia escura tem-se proposto diferentes candidatos.

Entre os mais conhecidos está a Constante Cosmológica e os Campos Escalares.

Os diferentes modelos distinguem-se pelo parâmetro (w) que relaciona a presão (p)

e a densidade de energia (ρ) na equação de estado (p = wρ) da Energia Escura.

A Constante Cosmológica é associada com a energia do vácuo e tem uma equação

de estado constante ω = −1.

O modelo ΛCDM é o modelo conhecido mais simples que concorda com as obser-

vações realizadas da CMB, LSS, WGL e SN Ia. Este modelo considera a Energia

Escura como uma Constante Cosmológica com um parâmetro de densidade asso-

ciado ΩΛ = 0.73, a matéria escura fria com Ωme = 0.23 e a matéria atômica com

Ωb = 0.04.

Consideremos a equação de Einstein (1.37). O tensor de Einstein Gab e o tensor de

energia-momento Tab satisfazem respectivamente a identidade de Bianchi ∇aG
ab = 0

e a conservação de energia ∇aT
ab = 0. Como ∇ag

ab = 0, temos a liberdade de somar

o termo Λgab à equação de Einstein, onde o fator Λ é conhecido como a constante

cosmológica. Desta forma, a equação de Einstein pode ser escrita

Gab = 8πG

(
Tab +

Λ

8πG
gab

)
(4.25)

43



de�nindo

T̃ab =
Λ

8πG
gab (4.26)

como o tensor de energia-momento do vácuo.

Asumindo um �uido perfeito, a equação de estado da energia do vácuo é

p = −ρ = − Λ

8πG
(4.27)

da qual segue-se que ω = −1.

Como o tensor de energia-momento é T̃ ab = ρgab, o qual satisfaz∇aT̃
ab = ∇µg

µν = 0,

resulta que a densidade ρ = constante.

Usando a equação (1.40) e a equação de estado (4.27), vemos que a pressão negativa

é a responsável da expansão acelerada do universo.

Vejamos a época na qual começa a expansão acelerada do universo. Usando o

parâmetro de Hubble, escrito na forma

H = H0

{∑
i

Ω0
i (1 + z)3(1+ωi)

} 1
2

(4.28)

onde Ω0
i é o parâmetro de densidade de uma componente particular no presente, e

mediante a equação (1.40), podemos escrever o parâmetro de aceleração q = − ä
a

1
H2

como

q =
1

2

∑
i

Ω0
i (1 + 3ωi) (1 + z)3(1+ωi)

∑
i

Ω0
i (1 + z)3(1+ωi)

(4.29)

Considerando o modelo ΛCDM, o universo entra em uma fase de expansão acelerada

quando q < 0 ou um desvio para o vermelho

z <

(
2Ω0

Λ

Ω0
m

) 1
3

− 1 = 0, 75 (4.30)

Desta maneira, concluímos que a expansão acelerada do universo é um fenômeno

recente.

A constante cosmológica está dada por Λ = 8πGρΛ, além disso, considerando que

ρΛ = Ω0
Λ

3H2
0

8πG
, seu valor observacional é

44



Λ = 3Ω0
ΛH

2
0 ∼ H2

0 (4.31)

Segundo o modelo ΛCDM H0 ≈ 10−43GeV , obtendo

Λ ∼ 10−83GeV 2 (4.32)

e a densidade de energia do vácuo resulta

ρΛ ∼ 10−46GeV −4 (4.33)

Como podemos observar, o valor observacional de Λ depende do ajuste da taxa de

expansão atual.

O crescimento das perturbações de densidade com contraste de densidade pequeno,

em escalas menores que a distância de Hubble, está determinado por

δ̈~k + 2Hδ̇~k − 4πGρδ~k = 0 (4.34)

A presença da constante cosmológica afeta as estruturas em grande escala pela sua

in�uência sobre a taxa de expansão do universo quando as perturbações de densidade

estão crescendo. Esta in�uência é dada através do termo de amortecimento 2Hδ̇~k.

Fazamos esse análise para um universo com matéria e energia escura. Em esse caso,

o parâmetro de Hubble resulta

H2 =
8πG

3
ρt (4.35)

onde ρt, a densidade total, que resulta de somar a densidade de matéria e energia

escura, é dada por

ρt = ρeqm

(aeq
a

)3

+ ρeqee

(aeq
a

)3(1+ω)

(4.36)

na qual ρeqm e ρeqee são as densidades de matéria e energia na época em que a densidade

de matéria e energia escura estão nas mesmas proporções; aeq é o fator de escala em

essa mesma época, e ω é o parâmetro da equação de estado da energia escura.

A densidade total na época de igualdade das duas componentes é

ρeqt = 2ρeqm = 2ρeqee (4.37)

45



Portanto, a densidade total pode ser reescrita como

ρt =
ρeqt
2

{(aeq
a

)3

+
(aeq
a

)3(1+ω)
}

(4.38)

Usando como variável de evolução x ≡ a
aeq

, ao invés de t, e inserindo a expressão

(4.35) e (4.38) na equação (4.34) , resulta

x2
(
1 + x−3ω

) d2δ

dx2
+

3

2
x
(
1 + {1− ω}x−3ω

) dδ
dx
− 3

2
δ = 0 (4.39)

O caso em que a energia escura é a constante cosmológica, o parâmetro da equação

de estado é ω = −1. Adicionalmente, se consideramos a época onde a densidade da

energia escura domina sobre a densidade de matéria, então x � 1. Fazendo essas

duas considerações, a solução da equação (4.39) é dada por

δ (x) ≈ c1 + c2x
−2 (4.40)

onde c1 e c2 são constantes.

De acordo à solução (4.40), uma vez que a expansão acelerada do universo começa

o crescimento das perturbações de densidade linear �naliza. Isto é devido a que o

tempo de amortecimento de Hubble, t = 1
2H

, torna-se menor do que a escala de

tempo para o crescimento das perturbações de densidade, t = 1√
4πGρm

.

Visto com uma perspectiva mais física, ocorre que a constante cosmológica atua

como anti-gravidade e inibe o crescimento das perturbações de densidade.

4.3 Modelo do Colapso Esférico

Já que a maioria das estruturas observadas no universo apresentam um contraste de

densidade maior do que a unidade, a evolução das perturbações de densidade termina

sendo entendida apenas com uma teoria não-linear. A versão mais simples da teoria

das perturbações não-lineares é conhecido como o modelo de colapso esférico [7].

Este modelo descreve a evolução não-linear de uma perturbação com simetria esférica

e densidade uniforme (per�l top-hat), até o momento do colapso gravitacional e

formação da estrutura.

Consideremos o campo de densidade para a matéria no tempo ti = teq

ρ (r, ti) = ρ0 (ti) + δρ (r, ti) = ρ0 (ti) {1 + δ (r, ti)} (4.41)

46



onde ρ0 é a densidade do fundo, δρ é a perturção de densidade e δ é o contraste de

densidade que carateriza a perturbação.

O campo de densidade gera um potencial gravitacional

ϕ (r, t) = ϕ0 (r, t) + δϕ (r, t) (4.42)

onde ϕ0 é o potencial gravitacional de fundo e δϕ é a perturbação do potencial

gerado pela perturbação de densidade δρ.

O potencial gravitacional ϕ0 associado ao espaço-tempo de FRW é

ϕ0 = −1

2

(
ä

a

)
r2 (4.43)

Usando a equação de aceleração sem pressão

ä

a
= −4πG

3
ρ0 (4.44)

e da expressão para a perturbação do potencial gravitacional

δϕ = −Gδm
r

(4.45)

obtemos que

ϕ (r, t) =
2

3
πGρ0r

2 −Gδm
r

(4.46)

onde δm é a massa de uma camada da perturbação.

Fazendo a suposição que cada partícula em uma camada da perturbação não cruza a

camada seguinte enquanto a perturbação evolui no tempo, leva a que δm é constante.

Por conseguinte, a equação dinâmica para a perturbação de densidade resulta

d2~r

dt2
= −~∇ϕ = −G

r2
(m0 + δm) r̂ (4.47)

onde m0 é a massa do fundo e vem dada por

m0 =
4

3
πρ0 (t) r3 (t) = constante (4.48)

e a massa da perturbação é

47



δm = 4πρ0

ˆ r

0

q2δ (q, t) dq (4.49)

Considerando o anterior obtemos

d2~r

dt2
= −G

r2
{m0 (ti) + δm (r, ti)} r̂

= −G
r2

[
ρ0 (ti)

(
4π

3
r3
i

){
1 +

3

4πr3
i

ˆ ri

0

4πr2δi (r) dr

}]
~r (4.50)

onde o contraste de densidade médio está de�nido por

δ̄i =
3

4πr3
i

ˆ ri

0

4πr2δi (r) dr (4.51)

Dessa forma pode se reescrever a equação (4.50) como

d2~r

dt2
= −Gm

r2
r̂ (4.52)

onde

m = ρ0

(
4π

3
r3
i

)(
1 + δ̄i

)
(4.53)

A solução da equação (4.52) é

E =
1

2

(
dr

dt

)2

− Gm

r
(4.54)

onde E é a energia total da perturbação. Quando E > 0, a perturbação se expande

para sempre, mas se E < 0, a perturbação atinge um máximo e depois colapsa. A

energia cinética inicial para a perturbação é

Ki =
1

2

(
dr

dt

)2

t=ti

=
H2
i r

2
i

2
(4.55)

onde usamos a lei de Hubble dentro da perturbação. A energia potencial inicial para

a perturbação é

Ui = −
(
Gm

r

)
t=ti

= KiΩi

(
1 + δ̄i

)
(4.56)

48



para o qual usamos Ωi = 8πG
3H2

i
ρ0. Por conseguinte a energia total resulta

E = KiΩi

{
Ω−1
i −

(
1 + δ̄i

)}
(4.57)

Como nos interessa a formação das estruturas, concentrar-nos-emos no caso E < 0,

caso para o qual obtemos a condição

δ̄i > Ω−1
i − 1 (4.58)

Como consequência dessa condição, se o universo for fechado ou plano (Ωi ≥ 1),

qualquer perturbação com δ̄i ≥ 0 colapsará em algum momento. Se for aberto

(Ωi < 1), então δ̄i deve ser maior do que um valor crítico para colapsar.

A evolução temporal de uma camada da perturbação de densidade pode ser encon-

trada integrando a equação (4.54). A solução é dada na forma paramêtrica:

r = A (1− cos θ) (4.59)

t = B (θ − sin θ) (4.60)

onde o parâmetro θ aumenta com o aumento de t e a constante A é relacionada a

B por A3 = GmB2.

Quando a perturbação atinge o tamanho máximo, θ = π, ṙ = 0 e r = rmax, portanto

E = −Gm
rmax

= −
(

ri
rmax

)
ΩiKi

(
1 + δ̄i

)
(4.61)

Igualando (4.57) com (4.61) obtemos

rmax
ri

=

(
1 + δ̄i

){
δ̄i −

(
Ω−1
i − 1

)} (4.62)

Já que neste instante rmax = 2A, a expressão para A resulta

A =
ri
(
1 + δ̄i

)
2
{
δ̄i −

(
Ω−1
i − 1

)} (4.63)

Da relação entre A e B, a expresão para B resulta

B =
1

2HiΩ
1
2
i

(
1 + δ̄i

){
δ̄i −

(
Ω−1
i − 1

)} 3
2

(4.64)

49



Consideremos o caso de um universo Einstein-de Sitter (Ωi = 1) a partir de agora.

A densidade da perturbação é

ρ̄ (θ) =
3

4πr3
m =

3m

4πA3 (1− cos θ)3 (4.65)

e a densidade do fundo, usando a equação de Friedmann, resulta

ρ0 (t) =
1

6πGt2
=

1

6πGB2 (θ − sin θ)2 (4.66)

Portanto, o contraste de densidade não-linear da perturbação é

δ̄ (θ) =
ρ̄ (t)

ρ0 (t)
− 1 =

9

2

(θ − sin θ)2

(1− cos θ)3 − 1 (4.67)

Fazendo θ � 1 na equação (4.67) recuperamos o limite linear

δ̄l (θ) ≈
3θ2

20
(4.68)

No limite linear a solução (4.60) resulta t ≈ Bθ3

6
, por conseguinte

δ̄l (t) ≈
3

5

(
t

ti

) 2
3

δ̄i (4.69)

valor que difere por um fator de 3
5
do contraste de densidade da teoria linear. Con-

siderando δ̄i � 1, a solução (4.60) e Hi = 2
3ti
, podemos reescrever o limite linear

(4.69) como

δ̄l =
3

5

(
3

4

) 2
3

(θ − sin θ)
2
3 (4.70)

Agora podemos estimar a exatidão da teoria linear com respeito à teoria do colapso

esférico comparando a solução (4.67) com (4.70):

Para θ � 1

δ̄l ≈ δ̄ (4.71)

Para θ = π
2

δ̄l ≈ 0, 34 (4.72)

50



δ̄ ≈ 0, 46 (4.73)

Para θ = 2π
3
acontece a transição ao regime não-linear

δ̄l ≈ 0, 57 (4.74)

δ̄ ≈ 1, 01 (4.75)

Para θ = π a perturbação atinge o raio máximo (inversão)

δ̄l ≈ 1, 061 (4.76)

δ̄ ≈ 4, 54 (4.77)

Para θ = 2π a perturbação condensa

δ̄l ≈ 1, 686 (4.78)

δ̄ ≈ ∞ (4.79)

Neste instante, a teoria do colapso esférico sugere que toda a massa colapsa em um

ponto. No entanto, antes de que isso aconteça, a aproximação que a matéria está

distribuída em camadas esféricas, e que as velocidades aleatorias das partículas são

pequenas, deixa de se cumprir, e o objeto colapsante atingirá o equilíbrio virial por

um processo conhecido como �violent relaxation� [60]. Durante este proceso haverá

grandes �utuações no potencial gravitacional, em uma escala de tempo da ordem

do tempo do colapso da perturbação t = (Gρ0)−1 permitindo deter o colapso. Neste

estado, seu raio tem sido reduzido por um fator de dois em comparação ao raio da

perturbação no instante da inversão [8]. É neste estado que pode se dizer que o

objeto gravitacionalmente ligado tem sido formado.

Apesar que o modelo do colapso esférico tem o defeito de predizer um colapso pon-

tual, o valor do contraste de densidade linear no instante que o contraste de den-

sidade não linear marca o colapso da perturbação é de grande importância para os

modelos que tentam estimar a abundância das estruturas cósmicas. De fato, a maior

utilidade do modelo do colapso esférico é precisamente a de fornecer esse valor para

o contraste de densidade linear.

51



Na realidade, a evolução não-linear que leva à formação de estruturas não é entendida

totalmente. Portanto, predizer as propriedades de uma galáxia particular, localizada

em uma coordenada particular ~x, ou conhecer a distribuição de massa exata δ (~x) do

universo, com o objetivo de contrastar a teoria com a observação, não é possível, e

mesmo que for possível, os cálculos não-lineares requereriam um esforço descomunal.

Por conseguinte a pergunta é, como comparar a teoria com a observação? Predizendo

as propiedades estatísticas da distribuição de massa. Na próxima parte, estudaremos

o modelo básico que oferece a maneira de fazê-lo.

4.4 Formalismo de Press-Schechter

A teoria das perturbações lineares é uma ferramenta que pode ser usada para realizar

previções aproximadas sobre a abundancia das estruturas cósmicas. No entanto,

para comparar essas predições com as observações realizadas, é necessário entender

algumas caraterísticas estatísticas das perturbações de densidade. Nesse contexto

foi desenvolvido o formalismo de Press-Schechter [10].

Este formalismo derivou uma relação em 1974 que permite predizer a abundância

das estruturas sobre um intervalo de massas a partir de um campo de perturbações

de densidade aleatôrio e gaussiano.

Consideremos �utuações em um campo de densidade ρ (~x) descrito pelo contraste

de densidade

δ (~x) ≡ ρ (~x)− ρ0

ρ0

(4.80)

onde ρ0 é a densidade de massa média no universo.

Uma quantidade física de interesse é o contraste de densidade suavizado em uma

escala comóvel RW , de�nido por

δ (~x,RW ) ≡
ˆ
d3x

′
W
(∣∣∣~x′ − ~x

∣∣∣ , RW

)
δ
(
~x

′
)

(4.81)

A função W (x,RW ) é chamada função janela e pesa o campo de densidade de uma

maneira que é relevante para a aplicação particular.

Press e Schechter assumiram as seguintes hipóteses para estudar a formação de

estruturas não-lineares:

• A caracterização das propriedades estatísticas das �utuações de densidade para

o tempo t = teq por uma distribuição de densidade de probabilidade gaussiana

52



p (δl, RW ) =
1√

2πσ2
e−

δ2l
2σ2 (4.82)

onde σ (RW ) = (〈δ2 (~x,RW )〉)
1
2 é a desvio padrão da perturbação de densidade linear

sobre a escala RW . Esta distribuição é estabelecida durante a época in�acionária,

quando o universo foi dotado de um campo de �utuações de densidade primordial

aleatório e gaussiano.

• A evolução das perturbação de densidade é determinada pela teoria de per-

turbações lineares.

• Os objetos colapsaram em alguma escala RW , uma vez que o contraste de

densidade suavizado δ (~x,RW ) sobre essa escala exceda algum valor crítico δc.

Esse valor crítico para o colapso em objetos virializados é determinada pelo

valor do contraste de densidade linear quando o contraste de densidade do

modelo do colapso esférico associado com a massam diverge. Como mostramos

acima, esse valor para um universo Einstein-de Sitter é δc = 1, 686.

Dada a simetria esférica da perturbação, a escolha mais natural para a função janela

é

W (r, RW ) =
3

4πR3
W

Θ (RW − r) (4.83)

O volume da janela será VW = 4π
3
R3
W e a massa dentro dessa esfera estará dada por

m = ρ0VW .

Uma região com contraste de densidade suavizado igual ao valor crítico δc, cor-

responde a um objeto que acabará virializado com massa m (RW ); então a prob-

abilidade acumulada para uma região ter um contraste de densidade suavizado

δ (~x,RW ) > δc, dá a fração de volume ocupado por objetos virializados com m
′
> m

F (m) =

ˆ ∞
δc

p (δl, RW ) dδl =
1

2
erfc

(
δc√

2σ (m)

)
(4.84)

onde erfc (x) é a função error.

Para obter a densidade de número comóvel de objetos virializados por unidade de

massa, devemos multiplicar a quantidade dF (m)
dm

(a qual expressa a quantidade de

objetos virializados por unidade de massa) por ρ0
m

(a qual expressa o inverso do

volume da região). Desta maneira obtemos

dn (m, z)

dm
= 2

ρ0

m

∣∣∣∣dF (m, z)

dm

∣∣∣∣ =

√
2

π

ρ0

m2

δc (z)

σ (z)

∣∣∣∣d lnσ (z)

d lnm

∣∣∣∣ e− δ2c (z)

2σ2(z) (4.85)

53



O fator de dois deve-se a que a equação F apenas cobre a metade da massa em obje-

tos virializados, já que não conta regiões subdensas. Press e Schechter argumentaram

que as regiões subdensas colapsaram sobre as regiões sobredensas e multiplicaram F

por dois com o �m de incluir toda a massa. Um modelo conhecido como Excursion

Set derivou de maneira rigurosa o fator de dois [31].

Para conhecer a densidade de número comóvel de objetos virializados em um inter-

valo de massa, o formalismo de Press-Schechter prediz

n (z) =

ˆ m2

m1

dn (m, z)

dm
dm (4.86)

Embora o colapso gravitacional é mais complexo do imaginado nesta derivação;

esta função de massa começou a adquirir interesse na cosmologia a partir de 1988,

uma vez que começaram a se realizar simulações de N-corpos, e tais resultados

concordavam bastante bem com as predições da função de massa de Press-Schechter

[10].

54



Capítulo 5

Perturbações de Densidade

Inhomogêneas

Como vimos, o modelo do colapso esférico descreve uma perturbação de densidade

esfericamente simétrica e uniforme, que evolui dentro de um universo homogêneo e

em expansão.

Agora, estudaremos a evolução de perturbações de densidade inhomogêneas no uni-

verso de um modo que generaliza de uma forma clara o modelo do colapso esférico.

Para esse �m, derivamos uma equação dinâmica para a evolução do contraste de

densidade no contexto de um espaço-tempo de Lemaître-Tolman-Bondi e obtemos

soluções para a evolução de perturbações de densidade esfericamente simétricas com

um per�l radial inicial, embebidas em um universo Einstein-de Sitter e ΛCDM.

Depois, considerando um universo permeado por uma componente material com

pressão, empregamos o modelo de Lemaître para estudar a evolução de perturbações

de densidade esfericamente simétricas e inhomogêneas, com um dado per�l radial

inicial.

5.1 O caso sem pressão

No caso de uma perturbação inhomogênea não é possível usar uma métrica de FRW,

a qual é valida somente para uma distribuição de matéria homogênea. A métrica

mais geral esfericamente simétrica é dada por

ds2 = eA(r,t)dt2 − eB(r,t)dr2 −R2 (r, t)
(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)
(5.1)

onde t é o tempo cósmico, r é o raio comóvel, θ a coordenada azimutal e ϕ a

coordenada angular. A métrica é determinada por três funções: A (r, t), B (r, t) e

55



R (r, t), onde esta última função é conhecida como o raio areal, já que a área de uma

superfície em um tempo dado t e raio comóvel r é dado por S = 4πR (r, t)2. Para

uma exposição sobre modelos inhomogêneos com simetria esférica, ver [61].

Nós assumimos um �uido perfeito com tensor de energia-momento dado por

T µ µ = (ρ+ p)uµuν − pδµ ν (5.2)

onde ρ é a densidade do �uido, p a pressão e uµ é a 4-velocidade, que cumpre a

condição uµuµ = 1 e em um sistema de referência comóvel resulta uµ =
(
e−

A
2 , 0, 0, 0

)
.

Nesta métrica, as equações de Einstein com uma constante cosmológica, Gµ
ν =

8πGT µ ν + Λδµ ν , podem ser escritas como:

Gt
t = e−A

(
Ṙ2

R2
+
ḂṘ

R

)
− e−B

(
2
R′′

R
+
R′2

R2
− B′R′

R

)
+

1

R2
= 8πGρ+ Λ (5.3)

Gr
t = Gt

r = e−B

(
2
Ṙ′

R
− ḂR′

R
− A′Ṙ

R

)
= 0 (5.4)

Gr
r = e−A

(
2
R̈

R
+
Ṙ2

R2
− ȦṘ

R

)
− e−B

(
R′2

R2
+
A′R′

R

)
+

1

R2
= −8πGp+ Λ (5.5)

Gθ
θ = Gϕ

ϕ =
e−A

4

(
4
R̈

R
− 2

ȦṘ

R
+
ḂṘ

R
+ 2B̈ + Ḃ2 − ȦḂ

)
−

−e
−B

4

(
4
R′′

R
+ 2

A′R′

R
− 2

B′R′

R
+ 2A′′ + A′2 − A′B′

)
= −8Gp+ Λ (5.6)

onde ponto e linhas referem-se a derivadas parciais com respeito ao tempo e ao

espaço respectivamente.

A conservação do tensor de energia-momento, ∇µT
µ
ν = 0, neste espaço-tempo

resulta nas seguintes equações:

Ḃ + 4
Ṙ

R
+ 2

ρ̇

ρ+ p
= 0 (5.7)

A′ + 2
p′

ρ+ p
= 0 (5.8)

56



∂p

∂θ

1

R2
= 0 (5.9)

∂p

∂ϕ

1

R2 sin2 θ
= 0 (5.10)

De acordo às equações (5.9) e (5.10) temos que p = p (r, t).

Para reescrever as equações de Einstein de uma forma simpli�cada, multiplicamos

a equação (5.3) pelo fator R2R′. Nessa nova equação substituimos o fator Ḃ obtido

da equação (5.4), resultando em

2m′ (r, t)

R2R′
= 8πGρ (5.11)

Agora multiplicamos a equação (5.5) pelo fator R2Ṙ e na equação resultante substi-

tuimos o fator A′ obtido da equação (5.4), resultando em

2ṁ (r, t)

R2Ṙ
= −8πGp (5.12)

onde m (r, t) = e−ARṘ2 − e−BRR′2 + R − 1
3
ΛR3 é conhecida como a massa ativa

gravitacional e gera o campo gravitacional.

No caso de matéria sem pressão, obtemos da equação (5.12)

ṁ (r, t) = 0 ⇒ m = m (r) (5.13)

Nesse caso, da equação (5.8) obtemos A = A (t) e fazendo a transformação

t′ =

ˆ
e
A(t)
2 dt (5.14)

a qual leva a A = 0 no novo sistema de coordenadas.

Considerando A = 0 a equação (5.4) resulta ∂t
(

2e−
B
2 R′
)

= 0, a qual tem como

solução

eB =
R′2

1 + f (r)
(5.15)

onde f (r) é uma função arbitrária e é conhecida como curvatura.

Neste caso a métrica toma a forma da métrica Lemaître-Tolman-Bondi (LTB) [26,

27, 28]

57



ds2 = dt2 − R′2

1 + f (r)
dr2 −R2 (r, t)

(
dθ2 + sin2 θdϕ2

)
(5.16)

Para que a métrica tenha a assinatura correta é necessário que a curvatura f (r)

cumpra f (r) > −1.

A curvatura está determinada por

f (r) = Ṙ2 − 2m (r)

R
− 1

3
ΛR3 (5.17)

Modelos com grandes inhomogeneidades, descritos por uma métrica de LTB, como o

modelo da Bolha de Hubble, tem sido usado como uma alternativa para a expansão

aparente do universo [62, 63, 64, 65].

A equação dinâmica para o modelo de LTB pode ser escrita como uma generalização

da equação de Friedmann

Ṙ2

R2
=

2m (r)

R3
+
f (r)

R2
+

Λ

3
(5.18)

e uma generalização da equação de aceleração

R̈

R
= −m (r)

R3
+

Λ

3
(5.19)

a qual é independente da curvatura como no caso de FRW.

Até aqui temos trabalhado em unidades onde c = 1. Para analisar a função m (r)

que aparece em (5.19) recobremos o fator c por um momento. A função m (r) tem

unidades de comprimento, de maneira que multiplicada pelo fator c2

G
torna-se uma

função massa, chamada massa ativa gravitacional, a qual é a responsável de gerar

o campo gravitacional. Integrando a equação (5.11) para o caso em que p = 0,

obtemos

c2m

G
= 4π

ˆ rf

ri

R2R′ρdr (5.20)

Agora consideremos a soma da massa das partículas que compõem o corpo grav-

itante. Para isso, suponhamos que a matéria ocupa uma esfera de volume V , de

forma que

c2M

G
=

ˆ
R3

ρdV =

ˆ
R3

ρ
√
−g3d

3x =

ˆ rf

ri

ˆ π

0

ˆ 2π

0

ρ
√
−g3drdθdϕ (5.21)

58



Da parte espacial da métrica LTB obtemos
√
−g3 = R2R′ sin θ√

1+f(r)
, resultando

c2M

G
= 4π

ˆ rf

ri

R2R′ρ√
1 + f (r)

dr (5.22)

Comparando (5.20) com (5.22), observamos que dependendo do sinal da curvatura,

M pode ser maior, menor ou igual a m. Essa diferença de massa é conhecida como

defeito de massa. Em um sistema ligado (f < 0), parte da energia das partículas

que compõem o corpo se perde e essa perda de energia é responsável pelo defeito de

massa. Este é o caso que nos interessa.

As equações de LTB se reduzem às equações de FRW se estabelecermos

R (r, t) = ra (t) (5.23)

f (r) = −kr2 (5.24)

onde k é a curvatura espacial.

Para descrever a evolução de perturbações de densidade inhomogêneas, de�nimos o

contraste de densidade dentro da perturbação

δ (r, t) =
ρ (r, t)− ρ̄ (t)

ρ̄ (t)
(5.25)

oonde ρ (r, t) é a densidade dentro da perturbação e ρ̄ (t) é a densidade de fundo em

expansão.

A equação dinâmica para δ (r, t) pode ser deduzida da equação (5.7), que para um

�uido sem pressão resulta

ρ̇+ 3hρ = 0 (5.26)

onde h ≡ ḃ
b
e b ≡ (R2R′)

1
2 , junto com a equação de continuidade para o fundo em

expansão

˙̄ρ+ 3Hρ̄ = 0 (5.27)

na qual H = ȧ
a
. Tomando a derivada à equação (5.25) com respeito ao tempo,

obtemos

59



ρ̇ = ˙̄ρ (1 + δ) + ρ̄δ̇ (5.28)

a qual pode ser escrita como

δ̇ = 3 (H − h) (1 + δ) (5.29)

usando as equações (5.26) e (5.27).

Derivando a equação (5.29) com respeito ao tempo, resulta

δ̈ = 3
(
Ḣ − ḣ

)
(1 + δ) + 3 (H − h) δ̇ (5.30)

Usando a equação de Friedmann e a equação de aceleração podemos escrever

Ḣ =
Λ

2
− 3

2
H2 (5.31)

e combinando as equações (5.3)-(5.6) chegamos a que

ḣ = 4πGρ+
2

3R

(
f

R
+
f ′

R′

)
+ Λ− 3h2 (5.32)

Substituindo a expressão (5.31) e (5.32) em (5.30) e fazendo um pouco de álgebra,

obtemos

δ̈ + 2Hδ̇ − 4πGρ0δ (1 + δ)− 4

3

δ̇2

1 + δ
=

Λ

2
+

2

3

[
∂

∂t
ln
R

R′

]2

(1 + δ) (5.33)

Para uma perturbação de densidade homogênea com per�l top-hat o raio areal é

R = ra. O último termo do lado direito da equação (5.33) se anula, de maneira que

esta equação se reduze à equação [20] no caso de um único �uido sem pressão.

A equação (5.33) generaliza a evolução de δ para perturbações esféricas com um

per�l radial inicial arbitrário. No entanto, para o caso de matéria sem pressão, a

solução desta equação pode ser obtida diretamente da equação (5.26) e (5.11), o

qual é o que faremos no que segue.

Consideremos inicialmente um per�l de densidade radial expandindo-se com o fundo

Ri = rai (5.34)

o qual está caracterizado por uma função independente do tempo g (r)

60



ρi (r) = ρ̄i {1 + δi (r)} = ρ̄ig (r) (5.35)

Como a equação (5.11) em LTB é independente do tempo, podemos estabelecer

4πGR2
iR
′
iρi (r) = 4πGR2R′ρ (5.36)

Já que ρ̄0 = ρ̄a3 e ρ = ρ̄ {1 + δ} obtemos

δ (r, t) = a3 (t)
g (r) r2

R2R′
− 1 (5.37)

De�nindo um raio areal adimensional

R̃ =
R

r
(5.38)

a equação (5.37) resulta

δ (r, t) = a3 (t)
g (r)

R̃2
[
R̃ + rR̃′

] − 1 (5.39)

o qual é, por suposto, a solução formal para a equação de evolução não-linear (5.33)

com as condições iniciais dadas acima.

Antes de encontrar a evolução do contraste de densidade, nós necessitamos resolver

as equações dinâmicas do fundo de FRW para a (t) e as equações dinâmicas da

perturbação de LTB para R̃ (r, t).

Soluções do modelo LTB para um per�l de densidade inicial

dado

Consideramos inicialmente soluções do modelo LTB aplicados a uma perturbação de

densidade inhomogênea com um per�l de densidade inicial embebido em um fundo

Einstein-de Sitter e ΛCDM.

Fundo Einstein-de Sitter. O primeiro objetivo é estudar a evolução de uma pertur-

bação de densidade inicial esfericamente simétrica em um universo dominado por

matéria com um fundo Einstein-de Sitter no contexto da relatividade geral.

Para conhecer a (t) resolvemos numericamente a equação de aceleração reescrita

como

61



d2a

dt̃2
= −1

2
Ω0a

2 (5.40)

com a mudança de variável t̃ = tH0.

A primeira condição inicial é especi�cada como

a
(
t̃i
)

= ai (5.41)

A segunda condição inicial é �xada usando a equação de Friedmann como

(
da

dt̃

)
t̃i=0

=
{

Ω0a
−1
i − (Ω0 − 1)

} 1
2 (5.42)

Para resolver R̃
(
r, t̃
)
nós assumimos que em um tempo incial arbitrário t̃ = t̃i, o

universo completo segue a expansão de fundo com R (r, ti) = ra (ti), mas tem uma

perturbação de densidade pequena inicial especi�cada por um per�l g (r):

ρ (r, ti) = ρ̄ (ti) g (r) (5.43)

onde ρ̄ (ti) é a densidade de fundo homogênea inicial.

Já que m (r) é independente do tempo, esta pode ser calculada como:

m (r) = 4πGρ̄ia
3

ˆ r

0

dr′r′2g (r′) (5.44)

De�nindo

h (r) =
3

r3

ˆ r

0

dr′r′2g (r′) (5.45)

podemos escrever

m (r) =
1

2
Ω0H

2
0r

3h (r) (5.46)

onde foi usado ρ̄0 = a3
i ρ̄i e ρ̄0 = Ω0

3H2
0

8πG
.

Usando o tempo em unidades do parâmetro de Hubble hoje t̃ = tH0 e o raio areal

em unidades do raio comóvel R̃ = R
r
nós resolvemos a equação de aceleração

∂2R̃

∂t̃2
= −1

2
Ω0R̃

−2h (r) (5.47)

62



para um dado valor de r e condições iniciais

(
∂R̃

∂t̃

)
t̃i=0

=
√
a−1
i Ω0 + (1− Ω0) (5.48)

e R̃i = ai.

Dada as condições iniciais, a evolução da perturbação de densidade inhomogênea é

completamente determinada pelo seu per�l inicial. Como um exemplo deste método

escolhemos um per�l de densidade gaussiano com uma largura dada σ, a qual car-

acteriza o tamanho comóvel da pertubação:

g (r) = 1 + δie
− r

2

σ2 (5.49)

Começamos a evolução desde ai = 10−5 e escolhemos δi = 10−4.552, o qual resulta

no colapso no presente (a = 1 quando t̃ = 0.667) no centro da perturbação. As

soluções exatas para as equações dinâmicas de LTB neste caso existem em uma

forma paramêtrica e as usamos para fazer um check-up do método numérico (ver

apêndice A).

Na Fig.(5.1) mostramos a evolução temporal de R̃
(
r, t̃
)
para valores diferentes do

raio comóvel r em unidades de σ. Nós podemos ver que camadas diferentes colapsam

em tempos diferentes com a camada exterior colapsando depois. Portanto, não há

nenhum cruzamento de camadas neste caso, como é esperado, já que o per�l de

densidade decresce radialmente.

0.2 0.4 0.6 0.8
t
�

0.1

0.2

0.3

0.4

R
�

Hr,t
�

L

Figura 5.1: Raio areal R̃
(
r, t̃
)
como uma função do tempo t̃ para r

σ
= 0 (linha

sólida), 0.2 (linha tracejada) e 0.5 (linha ponto-tracejada).

63



A presença de uma perturbação de densidade em o universo Einstein-de Sitter,

mesmo quando está inicialmente localizada, leva �nalmente ao universo inteiro ao

colapso. Por exemplo, uma região com um raio comóvel de r = 2σ colapsa a t̃ = 34.1.

Portanto, a taxa de expansão do universo neste raio é levemente diferente do fundo

Einstein-de Sitter.

Na Fig.(5.2) mostramos os instantes iniciais da evolução do per�l do contraste de

densidade δ
(
r, t̃
)
.

0.5 1.0 1.5
r�rc

0.00005

0.00010

0.00015

0.00020

∆Hr,t
�

L

Figura 5.2: Contraste de densidade δ
(
r, t̃
)
como uma função do raio comóvel em

unidades de σ para o contraste de densidade inicial (linha sólida), contraste de

densidade em t̃ = 10−7 (linha tracejada) e t̃ = 10−6 (linha ponto-tracejada).

No regime linear, a forma do per�l de densidade não muda signi�cativamente. Para

tempos próximos ao colapso do centro, o per�l de densidade se aproxima a um per�l

gaussiano com larguras diferentes, como é mostrado na Fig.(5.3).

64



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
r�rc

50

100

150

∆Hr,t
�

L

Figura 5.3: Contraste de densidade δ
(
r, t̃
)
como uma função do raio comóvel em

unidades de σ para t̃ = 0.5 (linha tracejada), contraste de densidade em t̃ = 0.60

(linha ponto-tracejada) e t̃ = 0.61 (linha solida).

Fundo ΛCDM. Agora procedemos a estudar a evolução de uma perturbação de

densidade esférica e inhomogênea em um fundo commatéria e constante cosmológica,

onde ρ̄ (t) = ρ̄0m
a3

+ ρΛ e Ω0
m + Ω0

Λ = 1.

Como a constante cosmológica não é perturbada, apenas afeta o comportamento do

contraste de densidade através da mudança da evolução de a (t) e R