Estudos de Acoplamento Spin-Órbita em
Dinâmica do Sistema Solar

Luiz Augusto Guimarães Boldrin





Luiz Augusto Guimarães Boldrin

Estudos de Acoplamento Spin-Órbita
em Dinâmica do Sistema Solar

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do
Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual
Paulista, como requisito parcial para a obtenção do
t́ıtulo de Doutor em F́ısica.

Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter
Co-orientador: Prof. Dr. Ernesto Viera Neto

Guaratinguetá

2015







Dados Curriculares

Luiz Augusto Guimarães Boldrin

NASCIMENTO 03.08.1984 - GUARULHOS / SP

FILIAÇÃO Luiz Cezar Soares Boldrin
Neusa Maria Guimarães Boldrin

FORMAÇÃO

2004 - 2009 Bacharelado em F́ısica
FEG/UNESP - Universidade Estadual Paulista, Campus de Guaratinguetá

2009 - 2011 Mestrado em F́ısica
FEG/UNESP - Universidade Estadual Paulista, Campus de Guaratinguetá

2011 - 2015 Doutorado em F́ısica
FEG/UNESP - Universidade Estadual Paulista, Campus de Guaratinguetá



Dedico esse trabalho aos meus pais.



Agradecimentos

Agradeço a todos que estiveram comigo e fizeram parte desse grande peŕıodo da minha
vida. Em especial:

Ao meu orientador, Dr. Othon Cabo Winter, por todos esses anos de orientação.
Ao meu co-orientador, Dr. Ernesto Vieira Neto, que, além da co-orientação, desenvolveu

a ferramenta computacional inicial na qual pude implementar os modelos utilizados neste
trabalho.

Ao Dr. Daniel J. Scheeres, que me orientou durante meu peŕıodo de estágio no exterior.
Ao Dr. Rodney Gomes, que vem colaborando conosco no estudo da origem da obliquidade

de Urano.
Aos meus colegas de pós-graduação e à todos os professores do Grupo de Dinâmica Orbital

e Planetologia.
Aos meus irmãos e meus pais, em destaque ao meu irmão Luis Cesar S. Boldrin Junior,

que sempre me incentivou em momentos de desânimo.
À Fernanda Lopes Sá porque sem ela tudo seria muito mais dif́ıcil.
Aos meus amigos de banda que me proporcionaram “a cachaça” do final de semana.
Ao Marcelo Wendling por ter me ajudado nas figuras ilustrativas da tese.
Ao Dr. Helton Gaspar pela ajuda em todo o trabalho.
À Capes, pelo apoio financeiro que tornou posśıvel a realização desse trabalho.



Este trabalho contou com o apoio financeiro da Capes.



In a dark place we find ourselves, and a little

more knowledge lights our way.

(Mestre Yoda)



BOLDRIN, L. A. G. Estudos de Acoplamento Spin-Órbita em Dinâmica do Sis-
tema Solar. 2015. 111 f. Tese (Doutorado em F́ısica) - Faculdade de Engenharia do Campus
de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015.

Resumo

Realizamos dois diferentes estudos envolvendo o acoplamento spin-órbita. Um deles foi
sobre a origem da obliquidade de Urano, que ainda permanece desconhecida. Algumas te-
orias de formação foram publicadas nas ultimas décadas, sendo que as duas mais citadas:
por meio de uma colisão (Urano sofreu uma grande colisão tangencial); e por meio de um
efeito ressonante entre a rotação de Urano e um satélite. Focamos nosso estudo no modelo de
ressonância. Baseado num artigo de Boué & Laskar (2010), no qual os autores estudam a ori-
gem da obliquidade de Urano por meio de uma ressonância que só ocorre na presença de um
satélite de grande porte (Satélite X). Fizemos um estudo numérico do problema em questão.
Utilizando órbitas já integradas do Modelo de Nice, estudamos a possibilidade de obter a
atual obliquidade de Urano devido a perturbações dos planetas gigantes, Sol e o Satélite X.
Nossos resultados mostram que o Satélite X ocasiona crescimento na obliquidade de Urano,
podendo assim ser o responsável pela atual configuração do eixo de rotação de Urano, onde
esse crescimento da obliquidade ocorre somente para determinadas configurações de semi-eixo
maior e massa do Satélite X, sendo máximo quando o ângulo ressonante (Ω− φ) (longitude
do equador de Urano menos a longitude do nodo ascendente do Satélite X) é zero e mı́nima
quando é 180 graus. Porém, assim como no estudo anterior, só foi posśıvel reproduzir a atual
obliquidade de Urano com Satélite X com massas excessivamente grandes, da ordem de 0, 01
da massa de Urano. As simulações mostraram também que o Satélite X causa instabilidade
no sistema de satélites internos desestabilizando-os a ponto de extingui-los. Outro estudo
realizado foi sobre a origem de sistemas binários de asteroides por meio de ruptura rotaci-
onal. O processo de fissão rotacional de asteroides foi estudado teoricamente por Scheeres
(2007) e numericamente Jacobson & Scheeres (2011) com modelos simplificados restritos ao
movimento planar. No entanto, a configuração f́ısica observada em binários de contato nos
leva a concluir que a maioria deles não estão em uma configuração planar e, portanto, não
seriam restritos ao movimento planar, uma vez que sofreram fissão rotacional. Isso motivou
um estudo mais geral não planar sobre a evolução do fenômeno de criação de binários por
fissão. Usando um modelo de dois elipsoides, fizemos simulações levando em conta as in-
terações gravitacionais desse sistema após o rompimento, sem qualquer tipo de mecanismo
de dissipação de energia. Simulamos 90 diferentes inclinações iniciais do equador θ0 (obli-
quidade) do corpo secundário para 14 diferentes razões de massa (q). Após o rompimento,
os sistemas binários começam com uma dinâmica caótica instáveis, como é previsto a partir
da teoria. Iniciando o sistema numa configuração não plana, muda a configuração dinâmica
do sistema, inicializando-o com maior energia, permitindo ocorrer fenômenos não encontra-
dos no caso planar, como por exemplo o re-impacto. Isso levou a diferenças em relação ao



estudo anterior planar, com colisões e ruptura secundária ocorrendo para todos os razões
de massa escolhidas. Colisões ocorrem somente em casos com θ0 > 40o, assemelhando-se
com o mecanismo Lidov-Kozai. Foram estudados 1260 casos, dos quais ≈ 16% resultam em
ruptura secundária e ≈ 22% resultam em colisões. Em Jacobson & Scheeres (2011), binários
estáveis via ruptura secundária são formados unicamente nos casos com q < 0, 20. Os nossos
resultados mostram que é posśıvel obter um binário estável via ruptura rotacional para casos
de q > 0, 20, porém o sistema tem de começar com uma configuração não planar.

Palavras-chave: Urano, obliquidade, satélites, asteroides binários, ruptura rotacional.

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BOLDRIN, L. A. G. Spin-orbit coupling studies in the Solar System Dynamics.
2015. 111 f. Tese (Doutorado em F́ısica) - Faculdade de Engenharia do Campus de Guara-
tinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2015.

Abstract

We conducted two different studies about the spin-orbit coupling. One of them was about
the origin of Uranus obliquity, that still remains unknown. Some theories of formations have
been published in the last decades, the two most cited is: by collision (Uranus suffered a
great tangential collision) and by a resonance between Uranus rotation and a satellite. We
focused our study on the resonance model. Based on article of Boué & Laskar (2010), in
which the authors study the origin of Uranus obliquity by a resonance that occurs only in
the presence of a large satellite (Satellite X). We did a numerical study of this problem.
Using orbits previously integrated by Nice Model, we studied the possibility of obtaining the
current Uranus obliquity due to disturbances of the giant planets, the Sun and the Satellite
X. Our results show that the Satellite X causes growth in Uranus obliquity and so may be
the responsible for the current configuration of the Uranus rotation axis. And this growth
of obliquity occurs only for certain configurations of semi-major axis and mass of the Sa-
tellite X, and maximum when the resonant angle (Ω − φ) (Uranus’s equator longitude less
the longitude of the ascending node of the Satellite X) is zero and minimal when it is 180
degrees. However, as in the previous study, it was only possible to reproduce the current
Uranus obliquity with Satellite X with excessively large masses, about 0.01 mass of Uranus.
The simulations also showed that Satellite X causes instability in the satellite with inter-
nal orbits until extinguishing them. Another study was about the origin of binary asteroid
systems through rotational fission. The process of rotational fission of asteroids has been
studied theoretically Scheeres (2007) and numerically Jacobson & Scheeres (2011) with sim-
plified models restricted to planar motion. However, the observed physical configuration of
contact binaries leads one to conclude that most of them are not in a planar configuration
and hence would not be restricted to planar motion once they undergo rotational fission.
This motivated a more general non-planar study about the evolution of binaries created by
fission phenomenon. Using a two-ellipsoid model, we made simulations taking into account
gravitational interactions of this system after the disruption without any kind of energy dis-
sipation mechanism. We simulated 90 different initial inclinations of the equator (obliquity)
θ0 of the secondary body for 14 different mass ratios (q). After the disruption, the binary
systems start with a unstable chaotic dynamics, as is predicted from theory. Starting the
system in a non-planar configuration change the dynamic configuration of the system, initi-
alizing it with greater energy, allowing occur phenomena not found in the planar case, for
example re-impact. This led to differences from the previous planar study, with collisions and
secondary spin fission occurring for all mass ratios chosen. Collisions occur only in cases with
θ0 ≥ 40o, and resemble the Lidov-Kozai mechanism. Out of 1260 studied cases, we found
≈ 16% result in secondary disruption and ≈ 22% result in collisions. In Jacobson & Scheeres



(2011) stable binaries only formed in cases with q < 0.20. Our results show that it is possible
obtain a stable binary with the same mechanisms for cases of q > 0.20, but the system has
to start in a non-planar configuration.

Keywords: Uranus, obliquity, satellites, binary asteroid, rotational fission .

12



Lista de Figuras

2.1 Foto Itokawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2 Figura ilustrativa do cenário de fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 A energia total e o módulo do momento angular total em função de θ0 . . . . 23
2.4 Figura ilustrativa do modelo completo de dois corpos . . . . . . . . . . . . . 25
2.5 Geometria das condições iniciais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.6 Exemplo da dinâmica complexa do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.7 Comportamento da velocidade angular em encontros próximos. . . . . . . . . 30
2.8 Comportamento caótico do sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.9 Estados finais e extremos q = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Estados finais e extremos q = 0, 15. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Estados finais e extremos q = 0, 25. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.12 Gráficos de < tv > em função de q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.13 Gráficos de < Tmin > e < V∞ > em função de q. . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.14 Gráficos de If , Tmin e tv em função de q para θ0= 0,0001, 30, 60 e 90 graus. . 39

3.1 Figura dos resultados de Boué & Laskar (2010) . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Figura ilustrativa do modelo de N-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Evolução temporal da inclinação orbital durante o tombo forçado . . . . . . 48
3.4 Gráfico de re × tT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.5 Movimento de rotação de Urano: Integração direta com todos os corpos . . . 51
3.6 Movimento de rotação de Urano: Integração direta sem os planetas . . . . . 51
3.7 Movimento de rotação de Urano: Integração direta sem o Satélite X . . . . . 52
3.8 Evolução orbital dos planetas via Modelo de Nice . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.9 Evolução orbital do Satélite X. Semi-eixo maior inicial igual à 30RU . . . . . 56
3.10 Evolução orbital do Satélite X. Semi-eixo maior inicial igual à 40RU . . . . . 57
3.11 Evolução orbital do Satélite X. Semi-eixo maior inicial igual à 50RU . . . . . 58
3.12 Evolução orbital do Satélite X. Semi-eixo maior inicial igual à 60RU . . . . . 59
3.13 Evolução temporal de (Ω− φ) e θ de Urano: Caso a1, M4. . . . . . . . . . . 59
3.14 Evolução temporal de (Ω− φ) e θ de Urano: Caso a2, M4. . . . . . . . . . . 60
3.15 Evolução temporal de (Ω− φ) e θ de Urano: Caso a4, M1. . . . . . . . . . . 61
3.16 Evolução orbital do Satélite X. Estudo longitude média. Caso: a4, m1. . . . 63
3.17 Evolução orbital do Satélite X. Estudo longitude média. Caso: a4, m2. . . . 64
3.18 Evolução orbital do Satélite X. Estudo longitude média. Caso: a4, m3. . . . 65
3.19 Evolução orbital do Satélite X. Estudo longitude média. Caso: a4, m4. . . . 66
3.20 Evolução temporal de (Ω− φ) e θ de Urano: Caso a4, M2 e λ = 180o. . . . . 66
3.21 Evolução orbital de Oberon. Casos que os satélites sobrevivem. . . . . . . . 68

13



3.22 Evolução orbital do Satélite X para os casos com e sem Oberon. . . . . . . . 69
3.23 Evolução orbital dos Satélites X e dos 5 satélites naturais . . . . . . . . . . . 70
3.24 Evolução do sistema durante encontros próximos com Júpiter . . . . . . . . 72

A.1 Figura ilustrativa para o desenvolvimento das equações de movimento 1 . . . 81
A.2 Figura ilustrativa para o desenvolvimento das equações de movimento 2 . . . 84

14



Lista de Tabelas

2.1 Tabela com as porcentagem de colisão e ruptura secundária para cada q . . . 37

3.1 Condições iniciais de Urano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Condições iniciais: estudo integração direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Condições iniciais dos satélites naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.4 Condições iniciais dos Satélites X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

15



Conteúdo

Lista de Figuras 14

Lista de Tabelas 15

1 Introdução 18

2 Formação de asteroides duplos por meio de ruptura rotacional 20
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.1 Cenário de fissão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Modelo Utilizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2.1 Problema completo de dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Condições iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2.3 Conservação da energia e do momento angular . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Evolução temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Estados finais e extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Origem da obliquidade de Urano 41
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.1 Modelo de Nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Modelos Utilizados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1 Problema de N-Corpos com o corpo central elipsoidal . . . . . . . . . 44
3.2.2 Modelo de tombo forçado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.1 Estudo preliminar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.2 Variação da obliquidade via ressonância com Satélite X . . . . . . . . 50

Integração simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Via Modelo de Nice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

a- Dependência da massa e semi-eixo maior inicial do Satélite X: 53
b- Sensibilidade da longitude média inicial do Satélite X: . . . 62
c- Satélite X mais Oberon: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
d- Satélites naturais e alguns Satélites X: . . . . . . . . . . . . 70
e-Efeito de encontros próximos com Júpiter: . . . . . . . . . . 71

3.4 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

16



Apêndice 79

A Desenvolvimento das Equações de Movimento 80
A.1 Problema completo de dois corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
A.2 Problema de N-Corpos com o corpo central elipsoidal . . . . . . . . . . . . . 84
A.3 Movimento rotacional: Torque devido à n-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . 86

B Momento angular e energia total 89
B.1 Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
B.2 Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

17



Caṕıtulo 1

Introdução

O movimento rotacional1 do corpo central acoplado com o movimento orbital dos corpos

orbitantes durante muito tempo não foi foco de estudos devido sua tamanha complexidade.

As primeiras tentativas para descrever sistemas dessa forma foram feitas por Brouwer (1959)

e Kozai (1960). Um trabalho de destaque foi realizado por Goldreich (1965) ao estudar o

movimento orbital dos satélites de Marte. Nesse estudo, foi levado em conta a evolução

orbital dos satélites Phobos e Deimos em torno de Marte com movimento de precessão.

Grandes trabalhos envolvendo o estudo sobre o movimento rotacional dos corpos do Sistema

Solar foram publicados nas últimas décadas. Entre eles, destacam-se o trabalho realizado por

Laskar et al. (1993), que mostra efeito estabilizante que a Lua tem no movimento de nutação

(analisado através da variação da obliquidade2) da Terra de modo a proporcionar pequenas

variações da temperatura terrestre e, consequentemente, condições para o desenvolvimento de

vida humana no planeta e o trabalho de Lissauer et al. (2012) que posteriormente contestou

os resultados de Laskar et al. (1993) mostrando que a não necessidade da Lua para a baixa

amplitude no movimento de nutação da Terra. Outro trabalho famoso foi desenvolvido

por Wisdom et al. (1984), no qual é mostrado o comportamento caótico no movimento de

atitude de Hyperion. Porém, esse e outros trabalhos foram sempre modelados de forma

aproximada e sem levar em conta a perturbação mútua entre o satélite e o bojo do corpo

central. Essa perturbação mútua para sistemas com pequenas razões de massa tem que ser

levada em consideração. Explicando o acoplamento spin-órbita de uma forma mais minuciosa,

1definindo movimento rotacional (ou somente movimento de rotação) como sendo o movimento completo
de um corpo ŕıgido, composto pela rotação (spin), nutação e precessão. Frequentemente chamado de movi-
mento de atitude do corpo.

2a obliquidade é definida como sendo o ângulo entre plano de equador e o plano da órbita do corpo, onde o
plano de equador é definido como o plano perpendicular ao eixo de rotação. Porém, neste trabalho trataremos
a obliquidade como sendo o ângulo entre o plano do equador do corpo e o plano de referência inercial, onde
o equador é o plano xy do sistema dos eixos principais de inércia. Em alguns momentos chamaremos a
obliquidade também de inclinação do equador.

18



considerando em principio somente dois corpos (um central e outro satélite), esse problema

trata a dinâmica orbital do satélite perturbado pelo corpo central não esférico com movimento

rotacional, juntamente com a dinâmica rotacional desse corpo central. Assim, esses dois

movimentos funcionam de forma acoplada havendo interação mútua entre eles, conservando

a energia e o momento angular total do sistema. No entanto, obter soluções anaĺıticas

para esses problemas mais reaĺısticos não é trivial. Entretanto, com o avanço tecnológico,

criaram-se ferramentas computacionais que possibilitam estudos numérico desses problemas

de maior complexidade. Mais recentemente, um modelo desse problema, somente integrado

numericamente, foi desenvolvido por Boué & Laskar (2006) no qual possibilitou os autores a

publicação de um estudo sobre a origem da obliquidade de Urano perturbado por um satélite

de grande porte (Boué & Laskar 2010).

Com o intuito de dar continuidade aos nossos estudos sobre o sistema triplo de asteroide

87 Sylvia (Winter et al. 2009), desenvolvemos uma ferramenta computacional para estudar

sistemas de N-corpos orbitando um corpo de forma elipsoidal com movimento de atitude

perturbado por esses N-corpos. Esse programa foi utilizado para estudar o movimento orbital

de satélites de sistemas triplos de asteroides acoplado com o movimento rotacional do corpo

central. Os sistemas triplos estudados foram o 87 Sylvia e o 45 Eugenia (Boldrin 2011).

Apresentaremos nesta tese dois trabalhos que são continuidade de nossos estudos envol-

vendo acoplamento spin-órbita em problemas de dinâmica do Sistema Solar. Um trabalho é

sobre a origem da obliquidade de Urano e outro sobre a formação de asteroides duplos por

meio de ruptura rotacional.

19



Caṕıtulo 2

Formação de asteroides duplos por

meio de ruptura rotacional

2.1 Introdução

O estudo de asteroides múltiplos é uma grande chave para o conhecimento do passado

do Sistema Solar, uma vez os mesmos são remanescentes da formação planetária. Desde

a descoberta do primeiro sistema binário Dactyl e (243) Ida (Chapman et al. 1995), mui-

tos estudos têm sido feitos para entender a dinâmica e origem de tais sistemas múltiplos.

Analisando a estrutura de asteroides tipo rubble pile (tipo de asteroide formado por uma

coleção de pedras de diferentes tamanhos fracamente ligadas por força gravitacional), foi

proposto um modelo de criação por meio de quebra por aumento da taxa de rotação do

asteroide, ou seja, o asteroide do tipo rubble pile se quebra em casos que a força centŕıfuga

se torna maior que a força de contato entre os corpos. Esse fenômeno de quebra nós cha-

mamos de ruptura rotacional. Um modo de ocorrer esse aumento é quando o corpo possui

encontros próximos com os planetas. No entanto, encontros próximos com os planetas prova-

ram não ser suficiente para a criação da população atual de sistemas binários (Margot et al.

2002, Walsh & Richardson 2008). Outro modo é o aumento da velocidade de rotação devido

a reemissão do calor absorvido pela incidência da luz solar, conhecido como o efeito YORP

(Yarkovsky-O’Keefe Radzievskii-Paddack). Alguns trabalhos têm sido feitos a fim de estudar

o efeito YORP em asteroide tipo rubble pile (Merline et al. 2002, Scheeres 2002, Bottke et al.

2002, Walsh & Richardson 2006). Usando um modelo com um elipsoide e uma esfera, em

um caso planar, Scheeres (2007) estudou limites de fissão (limite de rotação para ocorrer

fissão) e a estabilidade deste tipo de sistema para diferentes condições iniciais. Depois disso,

o mesmo autor estudou estabilidade do binário formado por fissão usando um modelo planar

de dois elipsoides (Scheeres 2009). Caso planar é quando os corpos possuem inclinação orbital

20



igual a zero e os bojos, eixos de maior dimensão do elipsoide, coincidem com o plano orbital.

Pravec et al. (2010) fez um estudo bastante completo sobre a formação de pares de asteroi-

des através da fissão por rotação. Jacobson & Scheeres (2011) estudaram criação de binários

por fissão rotacional analisando a formação de vários tipos de sistemas NEA (Near Earth

Asteroid : asteroides com órbitas próximas da Terra, com semi-eixos maiores menores que

1, 3UA) incluindo: binários duplamente śıncronos, binários de alta excentricidade, sistemas

triplos e binários de contato. Os autores estudaram a dinâmica logo após a quebra. Usando

um modelo de dois elipsoides, levando em conta interação gravitacional (incluindo o Sol) e

dissipação por marés, eles analisaram a dinâmica de criação de binários estáveis, para o caso

planar, para diferentes razões de massa do sistema. Observando esses trabalhos anteriores e

percebendo que em todos os casos só foram levados em conta casos planares, nós decidimos

fazer um trabalho semelhante ao Jacobson & Scheeres (2011) em configurações mais natural-

mente prováveis, ou seja, em casos não-planares levando em conta o movimento de rotação

de cada corpo e comparar com os resultados obtidos por Jacobson & Scheeres (2011).

Após o rompimento, o sistema binário se inicia com dinâmica (rotacional e orbital) instável

(Scheeres 2009). Para estabilizar o sistema, é necessário que a energia diminua. Assim, se

a velocidade de rotação de um dos membros do binário aumentar por interações dinâmicas

(acoplamento spin órbita) e a velocidade de rotação se tornar maior do que o velocidade

de rotação limite (ou menor que o peŕıodo de spin limite, que chamamos de peŕıodo de

ruptura Tr), uma segunda fissão (fissão secundária) pode ocorrer. O sistema triplo criado

após a segunda fissão também é instável, mas o escape de um dos membros altera a energia

do sistema e pode estabilizar o sistema binário. Obviamente, as colisões também podem

diminuir a energia. Assim, o objetivo principal deste presente trabalho é estudar a criação

de um binário via fissão secundária e re-impacto, analisando a percentagem que ocorre cada

caso.

O modelo matemático utilizado para a realização desse estudo será apresentado na seção

2.1 e os resultados na seção 3.1.

2.1.1 Cenário de fissão

Asteroides do tipo Rubble pile são constitúıdos por um aglomerado de pedras com ta-

manhos diferentes que se uniram sob a influência da gravidade. Um binário de contato é

composto por dois corpos principais encostado um sobre o outro. Um asteroide pode ser

tanto uma pilha de escombros, tanto um binário de contato. Um excelente exemplo de

asteroide de contato é o asteroide 25143 Itokawa (figura 2.1).

A velocidade de rotação de um asteroide pode ser aumentada pelo efeito YORP até atingir

o seu limite de fissão de modo que uma quebra ocorra, criando assim um asteroide binário. A

21



Figura 2.1: Foto do asteroide Itokawa extráıda do artigo de Scheeres (2007). Podemos
observar que Itokawa é predominantemente composto por dois corpos maiores, classificado
como asteroide de contato, com densidade 2, 9g/cm3.

ωb

ω0c ω0s

Figura 2.2: Figura para ilustrar o cenário de fissão. O binário de contato quando adquire
velocidade de rotação maior que a velocidade limite de fissão ocorre a quebra e um sistema
binário é formado.

22



 3.79
 3.8

 3.81
 3.82
 3.83
 3.84
 3.85
 3.86
 3.87
 3.88
 3.89

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90
 6.4
 6.405
 6.41
 6.415
 6.42
 6.425
 6.43
 6.435
 6.44
 6.445
 6.45

En
er

gi
a 

(1
010

 J
)

M
om

en
to

 A
ng

ul
ar

 (1
014

 k
g.

m
2 /s

) 

θ0 (graus)

Energia Momento

Figura 2.3: A energia total e o módulo do momento angular total do sistema em função
obliquidade inicial θ0 para um . Note que a energia é maior e o momento angular é menor
para maiores valores de θ0. As condições iniciais: corpo central com dimensões (a(c) = 1km,
b(c) = 0, 7km, c(c) = 0, 65km); densidade (d = 2, 0g/cm3); razão de massa (q = 0, 1); peŕıodo
de rotação inicial T = 5, 3586h.

figura 2.2 ilustra isso com um modelo de dois elipsoides encostado um no outro com diferentes

orientações tais que, após a ruptura os corpos têm obliquidades iniciais diferentes de zero.

Estes cenários diferentes iniciam os sistema com diferentes energias e momentos angulares. A

energia é maior e o momento (em módulo) é menor para obliquidades maiores (θ), resultando

em um comportamento diferente na dinâmica translacional (orbital) e rotacional, vide figura

2.3.

2.2 Modelo Utilizado

Para este estudo utilizamos o modelo completo de dois corpos, no qual foi integrado nu-

mericamente usando o método Bulirsch-Stoer (Press et al. 2007). O modelo está apresentado

abaixo e o desenvolvimento das equações do movimento estão apresentadas no Apêndice.

2.2.1 Problema completo de dois corpos

Ao estudar a formação de binários por ruptura rotacional estamos interessados na evolução

orbital e rotacional (problema completo) de duas grandes partes de um asteroide logo após

sua ruptura. Consideramos apenas as interações gravitacionais entre os corpos e adotamos

um modelo do problema completo de dois elipsoides com densidade uniforme. Não levamos

23



em conta efeitos não-gravitacionais como YORP, BYORP e dissipação por maré. A figura

2.4 mostra um esquema do modelo com os sistemas de referência.

O problema completo de dois corpos consiste em estudar os movimentos orbital e ro-

tacional de forma acoplada, de dois corpos de forma elipsoidal. A equação do movimento

de translação desses dois corpos pode ser expressa utilizando o potencial gravitacional ex-

pandido até à segunda ordem em termos de harmônicos esféricos C20 (achatamento) e C22

(elipticidade). Assim, com o sistema de coordenadas centrado no centro de massa de um dos

corpos (corpo central), a equação tem a forma (Beutler 2005):

�̈r = −μ
�r

r3
+ μT T

(c)
�∇′U (c)

2 + μT T
(s)

�∇′U (s)
2 (2.1)

onde μ = k2 (mc +ms), �r é o vetor posição, �∇ é o gradiente da função, mi são as massas

dos corpos, k2 é a constante gravitacional, T(i) é a matriz de rotação entre não girante do

corpo (x, y, z) e o sistema dos eixos principais de inércia (SEPI) sistema (x′, y′, z′), ou seja (′)

significa que as coordenadas estão com respeito ao SEPI. U
(i)
2 é o potencial gravitacional, onde

i = c para o corpo central e s para corpo secundário. O sistema não girante centralizado no

corpo central também é chamado de pseudo-inercial (SPsI), pois não se encontra no baricentro

do sistema, mas não possui rotação, assim ele é inercial se tratando do movimento de rotação,

portanto podemos estudar a rotação do corpo neste referencial.

O potencial gravitacional U
(i)
2 é dado por:

U
(i)
2 =

R2
(i)

r3

[
C

(i)
20

2

(
3z′2

r2
− 1

)
+ 3C

(i)
22

(
x′2 − y′2

r2

)]
. (2.2)

Considerando a densidade constante e homogênea para os dois corpos, podemos obter os

coeficientes gravitacionais C
(i)
20 e C

(i)
22 usando as dimensões do elipsoide (a(i), b(i), c(i))

C
(i)
20 = − 1

5R2
(i)

⎡
⎣c2(i) −

(
a2(i) + b2(i)

)
2

⎤
⎦ , C

(i)
22 =

1

20R2
(i)

(
a2(i) − b2(i)

)
, (2.3)

onde R(i) é o raio equatorial médio do elipsoide.

A matriz do rotação T(i) usada é escrita da forma:

T =

⎛
⎜⎝

η21 − η22 − η23 + η24 2(η1η2 + η3η4) 2(η1η3 − η2η4)

2(η2η1 − η3η4) −η21 + η22 − η23 + η24 2(η2η3 + η1η4)

2(η3η1 + η2η4) 2(η3η2 − η1η4) −η21 − η22 + η23 + η24

⎞
⎟⎠ , (2.4)

24



z

y

c

c

xc

y’c

z’c

x’c ys

y’s

z s

x’s

xs

z’s

ωc

θ c

φc

ψc

ωs

θ
s

φs

ψ
s

r

Figura 2.4: Figura ilustrativa do modelo usado para estudar a dinâmica completa (rotacional
e orbital) de dois elipsoides. Os elipsoides vermelho e azul representam o corpo central e o
corpo secundário, respectivamente. Os sub-́ındices c e s indicam que as grandezas estão
em relação ao corpo central e secundário, respectivamente, e, (’) (linha) significa que as
coordenadas estão no sistema dos eixos principais de inércia (SEPI). O sistema na cor preta
é o sistema inercial (SI). É importante ressaltar que estes sistemas não são exatamente
sistemas inerciais, porque eles não estão no baricentro do sistema. Este tipo de sistema
é frequentemente chamado na literatura de sistema pseudo-inercial, porque não é inercial
se tratando do movimento de translação, mas pode ser considerado inercial no movimento
rotacional. Sendo assim, podemos utilizar estes sistemas para estudar o movimento de rotação
usando a variação temporal dos ângulos de Euler (φ, θ, ψ). O vetor �ω é o vetor velocidade
angular do corpo.

25



onde (η1, η2, η3, η4) são os quatérnios.

Para estudar o movimento de rotação, usamos as equações de Euler com torque gravita-

cional devido à um outro corpo (Beutler 2005),

⎛
⎜⎝

ω̇′
x

ω̇′
y

ω̇′
z

⎞
⎟⎠+

⎛
⎜⎝

γ1ω
′
yω

′
z

γ2ω
′
zω

′
x

γ3ω
′
xω

′
y

⎞
⎟⎠ =

3k2md

r5d

⎛
⎜⎝

γ1y
′
dz

′
d

γ2z
′
dx

′
d

γ3x
′
dy

′
d

⎞
⎟⎠ , (2.5)

onde md é a massa do corpo perturbador, rd é o módulo do vetor posição do corpo pertur-

bador, (x′
d, y

′
d, z

′
d) as coordenadas do corpo perturbador, γ1 = (C − B)/a, γ2 = (A − C)/B,

γ3 = (B −A)/C; e A, B e C são os momentos principais de inércia do corpo, e ω′
x, ω

′
y, ω

′
z são

as componentes da velocidade angular.

Como estamos interessados no movimento de atitude do corpo, precisamos da variação

temporal dos ângulos de Euler (φ, θ, ψ), que são os ângulos que relacionam o SEPI do corpo

em relação ao SPsI, vide figura 2.4. Há uma relação direta entre as componentes da velocidade

angular e a variação temporal dos ângulos de Euler, porém essa relação possui singularidades

(termos cosec θ = 1
sen θ ), vide equação abaixo:

⎛
⎜⎝

φ̇

θ̇

ψ̇

⎞
⎟⎠ =

⎛
⎜⎝

− cotg θ senφ cosφ cotg θ 1

cosφ senφ 0

cosec θ senφ − cosφ cosec θ 0

⎞
⎟⎠

⎛
⎜⎝

ωx

ωy

ωz

⎞
⎟⎠ . (2.6)

Para evitar essas singularidades, decidimos trabalhar com os quatérnios e, a partir deles,

obter ângulos de Euler. A equação da variação temporal dos quatérnios em função das

componentes da velocidade angular é escrita no forma (Wertz 1978):

η̇1 =
1

2

(
η4ω

′
x − η3ω

′
y + η2ω

′
z

)
, (2.7)

η̇2 =
1

2

(
η4ω

′
y − η1ω

′
z + η3ω

′
x

)
, (2.8)

η̇3 =
1

2

(
η4ω

′
z − η2ω

′
x + η1ω

′
y

)
, (2.9)

η̇4 = −1

2

(
η1ω

′
x + η2ω

′
y + η3ω

′
z

)
. (2.10)

Note que as equações do movimento de rotação (equações 2.5 - 2.10) são apenas para um

corpo, portanto precisamos de dois conjuntos de equações, um para cada corpo.

Seguem abaixo as equações que relacionam os ângulos de Euler (φ, θ, ψ), sequência 3-1-3,

26



e os quatérnios (η1, η2, η3, η4) (Wertz 1978).

⎛
⎜⎝

φ

θ

ψ

⎞
⎟⎠ =

⎛
⎜⎜⎜⎝

arctg
(
η1η3+η4η2
η4η1−η2η3

)
2 arctg

(√
η21+η

2
2

η24+η
2
3

)
arctg

(
η1η3−η4η2
η4η1+η2η3

)
⎞
⎟⎟⎟⎠ , (2.11)

⎛
⎜⎜⎜⎜⎝

η1

η2

η3

η4

⎞
⎟⎟⎟⎟⎠ =

⎛
⎜⎜⎜⎜⎝

cos
(
θ
2

)
cos

(
φ+ψ
2

)
sen

(
θ
2

)
cos

(
φ−ψ
2

)
sen

(
θ
2

)
sen

(
φ−ψ
2

)
cos

(
θ
2

)
sen

(
φ+ψ
2

)

⎞
⎟⎟⎟⎟⎠ , (2.12)

2.2.2 Condições iniciais

Observando as equações do movimento, notamos que são necessários muitos parâmetros

iniciais para executar as simulações. Os parâmetros são: posição inicial e velocidade do

corpo secundário (rx, ry, rz, vx, vy, vz), velocidade de rotação (ω′
x, ω

′
y, ω

′
z), dimensões, massa,

orientação inicial (ângulos de Euler) de cada corpo. Fixamos as dimensões do corpo central

(a(c) = 1km, b(c) = 0, 7km, c(c) = 0, 65km) e a densidade (d = 2, 0g/cm3), considerados bons

valores comparados com trabalhos anteriores (Jacobson & Scheeres 2011, Pravec et al. 2010).

Foram utilizadas 14 diferentes valores de razão de massa (q ≡ ms/mc): q1 = 0, 01; q2 = 0, 05;

q3 = 0, 1; q4 = 0, 15; q5 = 0, 16; q6 = 0, 17; q7 = 0, 18; q8 = 0, 19; q9 = 0, 20; q10 = 0, 21;

q11 = 0, 22; q12 = 0, 23; q13 = 0, 24 e q14 = 0, 25. Para as dimensões do corpo secundário,

usamos as relações a(s) = q1/3a(c), b(s) = q1/3b(c) e c(s) = q1/3c(c). A velocidade de rotação

que usamos é �ω = (0, 0, ω0), onde ω0 é a taxa de rotação na configuração de equiĺıbrio que

obtemos pela relação (Scheeres 2009):

ω0 =

[
μ

r3

[
1 +

3

2r2

[
1

m(c)

Tr(Ī(c)) +
1

m(s)

Tr(Ī(s))− 3
(
A(c) + A(s)

)]]]1/3
, (2.13)

onde Ī(i) é o tensor de inércia do corpo, e Tr é o traço da matriz. Finalmente, a velocidade

de rotação no SEPI é �ω′
i = Ti �ω. A posição inicial do corpo secundário é �r = (r0, 0, 0) onde

r0 = (a(c)+a(s)+1×10−5)km (1cm de distância entre as superf́ıcies no caso planar, vide figura

2.5), e a velocidade inicial é de �v = �ω × �r. Para cada razão de massa foram consideradas

90 diferentes valores da inclinação do equador (θ0) para o corpo θ(s) = 0, 1, 2, 3 . . . , 90 graus,

vide figura 2.5.

27



z c

xc

z s

xs

z c

xc

z s

xs

θ

(a)

(b)

Figura 2.5: Geometria das condições iniciais. A figura (a) mostra o caso planar, θ0 = 0
(Jacobson & Scheeres 2011) e figura (b) mostra o caso não planar θ0 �= 0.

2.2.3 Conservação da energia e do momento angular

Sabendo que a energia total e o momento angular total do sistema têm que ser conservado

e, a fim de ter a certeza da validade de nossas simulações, nós fizemos alguns testes calculando

a energia e momento angular total do sistema. Os resultados mostraram que as quantidades

são conservadas com erro relativo da ordem de ≈ 10−11 para a energia e ≈ 10−12 para o

momento angular.

2.3 Resultados

2.3.1 Evolução temporal

Para mostrar como é o comportamento dinâmico dos casos que estudamos fizemos algumas

figuras mostrando a evolução dinâmica de um exemplo de nossas simulações. A figura 2.6

mostra a evolução temporal do caso com razão de massa igual a 0,1 e obliquidade inicial do

corpo secundário igual a 45o. Note que a variação irregular e abrupta dos elementos orbitais

e dos ângulos de Euler mostram a complexidade da dinâmica orbital e rotacional do sistema.

Esta complexidade ocorre porque a órbita inicial começa numa configuração de equiĺıbrio

instável (Scheeres 2007) e o movimento de rotação é também uma configuração instável, pois

a direção da velocidade de rotação não coincide com o eixo de maior momento de inércia.

Esta configuração inicial ocorre porque a direção inicial da velocidade de rotação é sempre

no mesmo sentido da velocidade de rotação antes da ruptura (ver figura 2.2).

28



 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 10

 11

 12

 0  2  4  6  8  10

a 
(k

m
)

t (dias)

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 0  2  4  6  8  10

e

t (dias)

 0

 0.5

 1

 1.5

 2

 2.5

 3

 0  2  4  6  8  10

I (
gr

au
s)

t (dias)

 0

 50

 100

 150

 200

 250

 300

 350

 0  2  4  6  8  10

φ 
(g

ra
us

)

t (dias)

 0

 20

 40

 60

 80

 100

 120

 140

 160

 180

 0  2  4  6  8  10

θ 
(g

ra
us

)

t (dias)

Figura 2.6: Elementos orbitais a, e e I, e os ângulos de Euler θ (ângulo de nutação) e φ
(ângulo de precessão) do corpo secundário em função do tempo em um peŕıodo 10 dias. A
obliquidade inicial é θ = 45o e a razão em massa é q = 0, 1. Analisando os elementos orbitais
e os ângulos de Euler, podemos concluir movimento orbital e rotacional (nutação e precessão)
mostram um comportamento complexo.

29



 0

 2

 4

 6

 8

 10

 12

 14

 16

 18

 0  50  100  150  200
 80

 90

 100

 110

 120

 130

 140

 150

 160

 ω
 (g

ra
us

/h
)

r (
km

)

t (h)

r ω

Figura 2.7: O módulo da velocidade de rotação (ω) e o módulo do vetor posição em função
do tempo. Note as mudanças de velocidade de rotação abruptas quando ocorre o encontro
próximo (valor mı́nimo de r).

Também fizemos um gráfico para mostrar o comportamento da velocidade de rotação do

corpo secundário durante encontros próximos com o corpo central (figura 2.7). Note que a

velocidade de rotação muda abruptamente quando a distância é mı́nima. A velocidade de

rotação pode aumentar ou diminuir dependendo da orientação relativa dos corpos durante o

encontro (Scheeres et al. 2000).

A evolução dinâmica do sistema é completamente caótica. Assim, uma pequena diferença

na condição inicial causa um evolução dinâmica totalmente diferente. A figura 2.8 mostra

a elevada sensibilidade do sistema para a inclinação inicial do equador do corpo secundário.

Esta figura ainda mostra a evolução do semi-eixo maior de dois casos com uma pequena

diferença de 0, 01o nos valores iniciais de θ. Note que os dois comportamentos divergem

fortemente depois de apenas alguns dias.

30



 0

 5

 10

 15

 20

 25

 30

 35

 40

 0  50  100  150  200  250

a 
(k

m
)

tempo (h)

θ0=45.00o θ0=45.01o

Figura 2.8: Evolução temporal do semi-eixo maior de dois valores iniciais diferentes de obli-
quidade (θ0 = 45, 00o (vermelho) e θ0 = 45, 01o (verde)). Observe que a figura ilustra
claramente o comportamento caótico do sistema no qual os semi-eixos maior de cada caso
divergem fortemente após alguns dias.

31



2.3.2 Estados finais e extremos

Nesta seção vamos analisar os estados finais e extremos de nossas simulações. Estados

finais são os estados após o corpo secundário sofrer escape ou no momento da colisão e os

estados extremos são os valores mı́nimos ou máximos de uma variável durante a simulação.

Com estes valores podemos obter informações importantes sobre o sistema, tais como a

possibilidade de criação de um sistema triplo.

Para mostrar exemplos dos resultados que podemos obter, fizemos algumas figuras dos

estados extremos e finais para 3 diferentes razões de massa q = 0, 01 (valor baixo), q = 0, 15

(valor médio) e q = 0, 25 (valor grande), para os 90 valores diferentes de θ0. As figuras 2.9,

2.10 e 2.11 apresentam a energia, a velocidade no infinito (V∞) para os casos de escape, o

estado final do peŕıodo de rotação (Tf ), o tempo de vida (tv), estado final da inclinação

orbital (If ) e peŕıodo mı́nimo de rotação durante a simulação (Tmin) para q = 0, 01, q = 0, 15

e q = 0, 25, respectivamente. Foi colocado nos gráficos de Tf e Tmin duas retas que indicam o

peŕıodo de rotação inicial (T (t = 0)) e o peŕıodo de rotação necessário para ocorrer a segunda

ruptura (Tr). Assim, os casos com Tmin < Tr indicam que a ruptura secundária ocorre.

Podemos fazer algumas conclusões gerais em algumas variáveis comparando esses três

diferentes sistemas. As variáveis tv, Tf , e Tmin são diretamente proporcional à razão de

massa do sistema, em outras palavras, elas são maiores para valores maiores de q. Para

melhor compreender o comportamento geral de nossos resultados, fizemos gráficos da média

de algumas destas variáveis com os seus respectivos desvios-padrão, vide figuras 2.12 e 2.13.

Nestas figuras é claro ver que o < TMin >, < tl > e < If > são diretamente proporcionais, e,

< V∞ > é inversamente proporcional à razão entre a massa q. Isso significa que os casos com

grandes razões de massa tendem a ter uma vida mais longa, maior inclinação final e menos

casos de ruptura secundária do que os casos com baixa de razão de massa. É importante

citar que esse comportamento geral concorda com o estudo planar de Jacobson & Scheeres

(2011).

Para entender como a evolução do sistema depende da inclinação inicial do equador θ0, nós

escolhemos quatro valores diferentes de θ0: dois valores extremos (0,0001 e 90 graus) e dois

médios (valores de 30 e 60 graus). Em seguida fizemos simulações utilizando ummaior número

de razões de massa q, mostrado na Figura 2.14. Obviamente, como dito anteriormente, estes

sistemas são caóticos, por isso não podemos tirar conclusões fortes relacionando a dinâmica

do sistema com suas condições iniciais. No entanto, podemos concluir que If tende a ser

maior nos valores médios de θ0 (azul e linhas verdes) que pode ser explicado devido ao

troca de momento angular de rotação e momento angular orbital. Nós também podemos

concluir comportamentos semelhantes em TMin para todo valor de θ0. Se pensarmos no

comportamento médio, casos com θ0 = 60o tende a ter uma vida mais longa do que os outros

32



casos.

As colisões e as fissões secundárias são de extrema importância para o nosso trabalho, uma

vez que os fenômenos que podem levar o sistema inicialmente instável se tornar um binário

estável. Começando com os casos de colisões podemos dizer que os resultados concordam

com os estudos anteriores (Scheeres 2009), já que não obtivemos colisões em casos planares

(θ0 = 0). Por outro lado, há colisões e ruptura secundária para todas as outras razões de

massa escolhidas. As figuras 2.9, 2.10 e 2.11 mostram uma caracteŕıstica interessante: colisões

ocorrem somente em casos com θ0 ≥ 50o (na verdade, nós observamos em colisão casos com

θ0 = 40o para q = 0, 17). Este fenômeno se assemelha ao mecanismo de Lidov-Kozai (Kozai

1962, Lidov 1962), merecendo um estudo futuro mais cauteloso. Calculamos a frequência de

casos que produziram colisões e ruptura secundária e relatamos esses resultados na tabela 2.1.

Note na tabela 2.1 que, embora tenha pequenas oscilações em grandes valores de q, podemos

concluir que o comportamento geral da percentagem de colisão é diretamente proporcional e

ruptura secundária é inversamente proporcional à razão de massa q. Essa pequena oscilação

no comportamento geral é claramente observado em q = 0, 18 e q = 0, 21, no qual podem

ser entendidas devido ao comportamento caótico do sistema. Casos de colisão, como foi

dito antes, não ocorrem em casos planares, mas em casos não-planares pelo menos 4, 4% das

simulações terminou em colisão. O caso q = 0, 20, por exemplo, tem 32, 2% ocorrem colisão,

ou seja, quase um terço de colisões.

Um importante resultado encontrado foi que obtivemos ruptura secundária em casos

com q > 0, 20. Jacobson & Scheeres (2011) não encontraram ruptura secundária em casos de

q > 0, 20, e sua conclusão foi que esses sistemas só podem se tornar um binário estável através

de efeito BYORP ou efeito dissipativo por marés, entretanto nossos resultados mostraram

que para o caso não planar isso não é verdade. Em outras palavras, é posśıvel obter binários

estáveis para q > 0.20 através de um processo dinâmico (ruptura secundária ou colisão), mas

com baixa probabilidade. Isso significa que o sistema com grande razão entre as massas pode

se tornar um binário estável somente por processo dinâmico, em alguns casos na configuração

inicial não planar.

33



 10.1605

 10.161

 10.1615

 10.162

 10.1625

 10.163

 10.1635

 10.164

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 E
ne

rg
ia

 (1
010

 J
)

θ0 (graus)

q=0,01

(a)

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

V ∞
 (k

m
/h

)

θ0 (graus)

(b)

 2

 4

 6

 8

 10

 12

 14

 16

 18

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 T
f (

h)

θ0 (graus)

(c)

 0

 50

 100

 150

 200

 250

 300

 350

 400

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 t v
 (d

ia
s)

θ0 (graus)

(d)

 0

 0.2

 0.4

 0.6

 0.8

 1

 1.2

 1.4

 1.6

 1.8

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 I f
 (g

ra
us

)

θ0 (graus)

(e)

 1.5

 2

 2.5

 3

 3.5

 4

 4.5

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 T
m

in
 (h

)

θ0 (graus)

Escape
Colisao

T(t=0)
Tr

(f)

Figura 2.9: Os estados finais e extremos do corpo secundário em função da obliquidade inicial
(θ0) para o caso com razão de massa q = 0, 01. Apresentamos nesta figura a energia total, a
velocidade no infinito (V∞) para os casos de escape, o peŕıodo de rotação final (Tf ), o tempo
de vida (tv), inclinação orbital final (If ) e o valor mı́nimo do peŕıodo de rotação durante a
simulação (Tmin). Onde em vermelho são os casos que ocorrem escape e em verde são os casos
que ocorrem colisão. Há duas linhas onde uma delas indica o valor do peŕıodo de spin inicial
(T (t = 0)) e o outro é o peŕıodo limite para que ocorra fissão do segundo corpo (chamado
de peŕıodo limite de ruptura Tr), assim, casos em que Tmin possuem valores abaixo da Tr
ocorrem ruptura secundária. Neste caso (q = 0, 01) 83% ocorrem ruptura secundária.

34



 2.74

 2.76

 2.78

 2.8

 2.82

 2.84

 2.86

 2.88

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 E
ne

rg
ia

 (1
010

 J
)

θ0 (graus)

q=0,15

(a)

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0.3

 0.35

 0.4

 0.45

 0.5

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

V ∞
 (k

m
/h

)

θ0 (graus)

(b)

 0

 5

 10

 15

 20

 25

 30

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 T
f (

h)

θ0 (graus)

(c)

 0

 100

 200

 300

 400

 500

 600

 700

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 t v
 (d

ia
s)

θ0 (graus)

(d)

 0

 0.5

 1

 1.5

 2

 2.5

 3

 3.5

 4

 4.5

 5

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 I f
 (g

ra
us

)

θ0 (graus)

(e)

 2.5

 3

 3.5

 4

 4.5

 5

 5.5

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 T
m

in
 (h

)

θ0 (graus)

Escape
Colisao

T(t=0)
Tr

(f)

Figura 2.10: Os estados finais e extremos do corpo secundário em função da obliquidade
inicial (θ0) para o caso com razão de massa q = 0, 15. Apresentamos nesta figura a energia
total, a velocidade no infinito (V∞) para os casos de escape, o peŕıodo de rotação final (Tf ),
o tempo de vida (tv), inclinação orbital final (If ) e o valor mı́nimo do peŕıodo de rotação
durante a simulação (Tmin). Onde em vermelho são os casos que ocorrem escape e em verde
são os casos que ocorrem colisão. Há duas linhas onde uma delas indica o valor do peŕıodo
de spin inicial (T (t = 0)) e o outro é o peŕıodo limite para que ocorra fissão do segundo
corpo (chamado de peŕıodo limite de ruptura Tr), assim, casos em que Tmin possuem valores
abaixo da Tr ocorrem ruptura secundária. Neste caso (q = 0, 15) 11, 1% ocorrem ruptura
secundária. 35



 0.64
 0.66
 0.68

 0.7
 0.72
 0.74
 0.76
 0.78

 0.8
 0.82
 0.84

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 E
ne

rg
ia

 (1
010

 J
)

θ0 (graus)

q=0,25

(a)

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0.3

 0  10  20  30  40  50  60  70  80

V ∞
 (k

m
/h

)

θ0 (graus)

(b)

 2

 4

 6

 8

 10

 12

 14

 16

 18

 20

 22

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 T
f (

h)

θ0 (graus)

(c)

 0

 500

 1000

 1500

 2000

 2500

 3000

 3500

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 t v
 (d

ia
s)

θ0 (graus)

(d)

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 I f
 (g

ra
us

)

θ0 (graus)

(e)

 2.5

 3

 3.5

 4

 4.5

 5

 5.5

 6

 0  10  20  30  40  50  60  70  80  90

 T
m

in
 (h

)

θ0 (graus)

Escape
Colisao

T(t=0)
Tr

(f)

Figura 2.11: Os estados finais e extremos do corpo secundário em função da obliquidade
inicial (θ0) para o caso com razão de massa q = 0, 25. Apresentamos nesta figura a energia
total, a velocidade no infinito (V∞) para os casos de escape, o peŕıodo de rotação final (Tf ),
o tempo de vida (tv), inclinação orbital final (If ) e o valor mı́nimo do peŕıodo de rotação
durante a simulação (Tmin). Onde em vermelho são os casos que ocorrem escape e em verde
são os casos que ocorrem colisão. Há duas linhas onde uma delas indica o valor do peŕıodo de
spin inicial (T (t = 0)) e o outro é o peŕıodo limite para que ocorra fissão do segundo corpo
(chamado de peŕıodo limite de ruptura Tr), assim, casos em que Tmin possuem valores abaixo
da Tr ocorrem ruptura secundária. Neste caso (q = 0, 15) 4, 4% ocorrem ruptura secundária.

36



-400
-300
-200
-100

 0
 100
 200
 300
 400
 500
 600

 0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

< 
t v 

> 
 (h

)

q

Colisao

Tr -400

-200

 0

 200

 400

 600

 800

 1000

 1200

 0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

< 
t v 

> 
 (h

)

q

Escape

Figura 2.12: A média do tempo de vida (< tv >) em função da razão de massa q. Os pontos
são a média dos 90 valores de obliquidade inicial com seu respectivo desvio-padrão (barra
vermelha). À direita são os casos de escape e à esquerda os casos de colisão.

q Ruptura secundária Colisão
0,01 83, 0% 4, 4%
0,05 44, 4% 13, 3%
0,10 25, 5% 21, 1%
0,15 11, 1% 21, 1%
0,16 8, 8% 24, 4%
0,17 5, 5% 28, 8%
0,18 11, 1% 22, 2%
0,19 5, 5% 23, 3%
0,20 4, 4% 32, 2%
0,21 14, 4% 4, 4%
0,22 5, 5% 25, 5%
0,23 2, 2% 27, 7%
0,24 4, 4% 28, 8%
0,25 4, 4% 27, 7%

Tabela 2.1: Tabela com a porcentagem de colisão e os casos de ruptura secundária para cada
razão de massa q. Esta percentagem é de 90 diferentes obliquidades inicial θ0.

37



 2

 2.5

 3

 3.5

 4

 4.5

 0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

< 
T M

in
 >

  (
h)

q

Tr  0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

< 
v ∞

> 
 (k

m
/h

)

q

 0

 0.5

 1

 1.5

 2

 2.5

 3

 0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

< 
I f 

> 
 (g

ra
us

)

q

Figura 2.13: As médias de peŕıodo mı́nimo de rotação (< Tmin >), velocidade no infinito
(< V∞ >) e estado final da inclinação orbital (< If >) em função da razão de massa q. Os
pontos são a média dos 90 valores de obliquidade iniciais com seu respectivo desvio-padrão
(barra vermelha).

38



 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 0  0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

 I f
 (g

ra
us

)

q

 1.5

 2

 2.5

 3

 3.5

 4

 4.5

 5

 5.5

 0  0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

 T
m

in
 (h

)

q

 0

 500

 1000

 1500

 2000

 2500

 3000

 3500

 0  0.05  0.1  0.15  0.2  0.25

 t v
 (d

ia
s)

q

θ0=0.0001
θ0=30

θ0=60
θ0=90

Figura 2.14: O estado final da inclinação orbital (If , peŕıodo de rotação mı́nimo (Tmin) e
vida (tv) em função da razão de massa q para 4 diferentes obliquidades iniciais (θ0= 0,0001,
30, 60 e 90 graus ).

39



2.4 Conclusões

Foi estudado a origem de sistemas duplos de asteroides em configurações iniciais antes

não estudadas, consideradas mais prováveis de se encontrar. Estudamos várias configurações

iniciais de inclinação do equador e razão de massa com o intuito de tentar obter casos em que

ocorram ruptura secundária e re-impacto. Fizemos simulações para o total de 1260 condições

iniciais diferentes e obtivemos ruptura secundária em 16, 43% dos casos e colisões em 21, 82%

dos casos. Assim, uma parte significativa dos resultados é candidata a se tornar um sistema

binário estável.

O estudo do problema utilizando um conjunto mais realista das condições iniciais nos

possibilitou observar casos antes não observados. Jacobson & Scheeres (2011) separam seus

resultados em dois regimes: um de elevada razão de massa (q > 0, 2) e um de baixa razão

de massa (q < 0, 2); e conclúıram que no regime de elevada razão de massa não ocorre fissão

secundária, de modo que o sistema só pode se tornar um binário estável por um caminho

evolutivo diferente. No entanto, nossos resultados mostram que é posśıvel ocorrer fissão

secundária em alguns poucos casos (≈ 4%) para elevada razão de massa, porém o sistema

têm que se iniciar numa configuração não planar.

É importante citar que os gráficos dos valores médios possui comportamento similar ao

encontrado nos estudos anteriores. A figura 2.13, juntamente com a tabela 2.1, mostram

que o número de ruptura secundária, assim como a velocidade de escape (V∞), decrescem,

tendendo assim a desaparecer para um determinado valor de razão de massa.

Este resultado tem considerável relevância se formos comparar com resultados anteri-

ores apresentados por Pravec et al. (2010) e mais recentemente por Scheeres et al. (2015).

Pravec et al. (2010) mostraram um valor limite de q ≈ 0, 2 encontrado para asteroides

binários, como previsto pela teoria. Estudos mais recentes têm mostrado alguns corpos com

razão de massa além desse limite. Assim, levando em conta estes estudos, podemos concluir

que a maioria dos binários candidatos a serem fruto de uma ruptura rotacional tendem de

ter possúıdo uma configuração mais próxima da planar.

Para trabalhos futuros pretendemos analisar a dependência dos parâmetros iniciais do

corpo central (dimensões, densidade e direção da velocidade de rotação) sobre os resultados

e estudar o posśıvel mecanismo Lidov-Kozai nos casos de colisão.

40



Caṕıtulo 3

Origem da obliquidade de Urano

3.1 Introdução

A origem da grande obliquidade de Urano, 97, 8o, permanece indefinida. O primeiro

cenário proposto para explicar esta configuração foi uma grande colisão tangencial com ou-

tro protoplaneta durante sua formação (Korycansky et al. 1990, Slattery 1992). O modelo

de formação por colisão foi muito criticado porque uma colisão causaria a variação muito

rápida do eixo de rotação, de modo que impossibilitaria o plano orbital dos satélites de

acompanhar o plano do equador, não coincidindo assim com a atual configuração planar

dos satélites naturais do sistema. Alguns estudos foram feitos para melhor compreender e

justificar o modelo de colisão (Brunini 1995, Parisi & Brunini 1997). Morbidelli et al. (2012)

propõem solucionar o problema da existência de satélites prógrados equatoriais no cenário

de colisão, por meio de um sistema com Urano composto por um disco de proto-satélites.

Morbidelli et al. (2012) afirmam também a necessidade de Urano ter sofrido, no mı́nimo, duas

colisões. Kubo-Oka & Nakazawa (1995) estudaram a origem da obliquidade de Urano através

de evolução de maré devida as órbitas de satélites, porém seus resultados exigiram satélites

muito massivos (da ordem de 1, 2% da massa de Urano). Mais recentemente, Izidoro et al.

(2015) propuseram que as peculiares obliquidades de Urano e Netuno são assinaturas de seus

processos de formação. Eles propõem que a acresção desses planetas foi dominada por colisões

entre grandes embriões planetários numa época onde o disco gasoso protoplanetário ainda

estava presente, anteriormente a formação dos satélites naturais. Uma outra proposta para

explicar a origem da obliquidade foi que ela cresceu devida a uma ressonância entre as taxa

de variação do nodo orbital (longitude do nodo ascendente) de Urano e a taxa de variação

da precessão do eixo de rotação (spin) do mesmo, que só ocorre se Urano possuir um satélite

de grande porte (nomeado Satélite X), da ordem de 1% da massa de Urano (Boué & Laskar

2010). Boué & Laskar (2010) afirmam também que, além de possuir este grande satélite,

41



Figura 3.1: Figura extráıda do artigo de Boué & Laskar (2010). A figura apresenta três
gráficos (a), (b) e (c), que são o ângulo ressonante (φα−φν−π), a obliquidade (ε) e inclinação
de Urano em função do tempo, respectivamente. φα é ângulo ( ambos medidos positivamente)
entre o eixo de referência e a projeção do eixo de rotação do spin e (φν) é o ângulo entre eixo de
referência e a projeção do vetor perpendicular ao plano orbital de Urano. Ambas as projeções
são no plano de referência inercial xy. Podemos observar que além da alta inclinação orbital,
é necessário que o ângulo ressonante (φα − φν − π) possua valores próximos de (π/2) para
que ocorra o aumento da obliquidade, vide sub-divisões II (em preto), III (em azul) e V
(vermelho).

Urano teve que ter alta inclinação durante este peŕıodo, vide figura 3.1. Boué & Laskar

(2010) estudam o crescimento da obliquidade utilizando a evolução orbital de Urano durante

o Modelo de Nice. Apesar dos resultados satisfatórios, é pouco aceitável que Urano tenha tido

um satélite com essa ordem de grandeza e, se existiu, sua presença perturbaria fortemente

os outros satélites a ponto de desestabiliza-los.

Realizamos nosso estudo da origem da obliquidade de Urano inspirado no trabalho de

Boué & Laskar (2010), de modo a tentar reproduzir a atual obliquidade por meio de per-

turbações de seus satélites e dos planetas durante o Modelo de Nice.

42



3.1.1 Modelo de Nice

Em 2005, foram publicado três artigos sobre a formação do Sistema Solar, propondo

explicar a origem da configuração do Sistema Solar por meio de interação entre os plane-

tas gigantes (Júpiter, Saturno, Netuno e Urano) e um disco de planetesimais (Gomes et al.

2005, Tsiganis et al. 2005, Morbidelli et al. 2005). Através deste modelo, para determinadas

condições iniciais dos planetas e do disco, os autores conseguiram reproduzir grande parte

da atual configuração do Sistema Solar com sucesso. Em homenagem aos pesquisadores que

neste momento estavam trabalhando no Observatoire de la Côte d’Azur, localizado na cidade

de Nice, na França, o modelo foi batizado de Modelo de Nice e atualmente é o modelo que

melhor explica a atual configuração do Sistema Solar. É importante ressaltar que apesar

das condições finais reproduzirem bem a atual configuração do Sistema Solar, a evolução

dinâmica dos planetas durante o modelo é extremamente complexa, havendo abruptas va-

riações de semi-eixo maior, excentricidade e inclinação orbital para os planetas gigantes, em

especial para os planetas de gelo (Urano e Netuno).

Com o passar dos anos, surgiram modificações do Modelo de Nice. Morbidelli et al. (2007)

e Brasser et al. (2009) criaram uma segunda versão na qual, por meio de condições iniciais

diferentes, ocorre grande quantidade de encontros próximos entre um dos planetas de gelo e

Júpiter. Essa segunda versão também é conhecida como Jumping-Jupiter. Posteriormente,

Walsh et al. (2011) publicou um trabalho estudando a origem do Sistema Solar durante o

peŕıodo anterior ao Modelo de Nice, no qual o Sistema Solar ainda possúıa um disco de gás.

Também conhecido como modelo Grand Tack, os autores conseguem reproduzir as condições

iniciais usadas no trabalho de Morbidelli et al. (2007) e conseguem explicar um pouco da

atual configuração do Sistema Solar interior (Marte e cinturão principal de asteroides). Mais

recentemente foram publicados dois trabalhos propondo a formação do Sistema Solar com 5

ou 6 planetas gigantes (Nesvorný 2011, Nesvorný & Morbidelli 2012).

As órbitas dos planetas utilizadas no nosso trabalho são provenientes do Modelo de Nice

“tradicional” (Gomes et al. 2005, Tsiganis et al. 2005, Morbidelli et al. 2005).

3.2 Modelos Utilizados

Utilizamos dois diferentes modelos para estudar a origem da obliquidade de Urano, no

qual pelo menos um dos corpos possui dinâmica rotacional e translacional acoplada.

Os modelos são: 1) um modelo no qual N = n+ 1 corpos interagem gravitacionalmente,

onde o referencial é centrado em um dos corpos denominado corpo central. Este corpo central

é o único que possui forma não pontual (elipsoide) e movimento rotacional, sofrendo assim

torques dos demais corpos que o orbitam. Inclúımos também mais quatro corpos com órbitas

43



já integradas perturbando o sistema. Em nosso estudo espećıfico, o corpo central é Urano e

inclúımos também perturbações dos planetas gigantes (Netuno, Júpiter e Saturno) e o Sol,

que possuem órbitas integradas previamente utilizando o Modelo de Nice; 2) nomeado de

“tombo” forçado, onde tombo significa o eixo de rotação se deslocar angularmente de 0 à

90 graus, este modelo tem como objetivo estudar n corpos que interagem somente com um

corpo central. O corpo central possui forma elipsoidal com movimento de rotação controlada.

As desenvolvimento das equações do movimento estão apresentadas no Apêndice.

Utilizamos o método Bulirsch-Stoer (Press et al. 2007) para integrar as equações do movi-

mento do modelo 1) e utilizamos o método de Gauss-Radau (Everhart 1985) para as equações

do movimento do modelo 2) no qual não foram integradas as equações do movimento de

rotação em nosso estudo preliminar da origem da obliquidade de Urano.

Apresentaremos separadamente os dois modelos nos tópicos a seguir.

3.2.1 Problema de N-Corpos com o corpo central elipsoidal

Modelo utilizado para estudar a origem da obliquidade de Urano. Este modelo leva em

conta atrações gravitacionais de n-corpos pontuais e um corpo de forma elipsoidal (corpo

central). É levado em conta também as perturbações dos planetas com órbitas determinadas

anteriormente através de simulação do Modelo de Nice. As equações de movimento de um

corpo (i) perturbado por n-corpos pontuais (j), mais a perturbação de quatro corpos com

órbitas já definidas, onde o referencial está centrado no corpo central de forma elipsoidal, é

escrita da forma (Beutler 2005, Marchis et al. 2010):

�̈ri = −k2 (m0 +mi)

(
�ri
r3i

− T T �∇′U (i)
2

)
− k2

n∑
j=1,j �=i

mj

(
�ri − �rj

|�ri − �rj|3 +
�ri
r3j

− T T �∇′U (j)
2

)

− k2

4∑
p=1

mp

(
�ri − �rp

|�ri − �rp|3 +
�rp
r3p

)
(3.1)

onde mp é massa e �rp é o vetor posição dos quatro corpos (Sol, Netuno, Saturno e Júpiter)

com órbitas determinadas anteriormente. Assim como no modelo anterior, o potencial U2 é

dado pela equação 2.2 e T é a matriz de rotação dada pela equação 2.4.

A equação de Euler para movimento de rotação do corpo central é similar a equação 2.5,

porém os toques são devidos à (n + 4) corpos (n corpos, Sol, Júpiter, Saturno e Netuno).

44



Assim, a equação é escrita da forma:

⎛
⎜⎝

ω̇′
x

ω̇′
y

ω̇′
z

⎞
⎟⎠+

⎛
⎜⎝

γ1ω
′
yω

′
z

γ2ω
′
zω

′
x

γ3ω
′
xω

′
y

⎞
⎟⎠ = 3k2

n∑
j=1

mj

r5j

⎛
⎜⎝

γ1y
′
jz

′
j

γ2z
′
jx

′
j

γ3x
′
jy

′
j

⎞
⎟⎠+ 3k2

4∑
p=1

mp

r5p

⎛
⎜⎝

γ1y
′
pz

′
p

γ2z
′
px

′
p

γ3x
′
py

′
p

⎞
⎟⎠ . (3.2)

Por fim, obtemos, analogamente ao modelo anterior, os ângulos de Euler por meio do

quatérnios dados pelas equações 2.7 - 2.10.

A figura 3.2 mostra uma ilustração do modelo (sem levar em conta os corpos com órbitas

já integradas).

Figura 3.2: Figura ilustrativa do modelo do problema de N-corpos, considerando um corpo
central elipsoidal com movimento de atitude. O sistema vermelho é o SEPI do corpo central
(x′, y′, z′) e o sistema preto (x, y, z) é o SI. Note que os dois sistemas estão relacionados
através dos ângulos de Euler (φ, θ, ψ).

3.2.2 Modelo de tombo forçado

Modelo utilizado no estudo preliminar da origem da obliquidade de Urano. Utilizamos

este modelo para analisar o acompanhamento do plano orbital dos satélites durante a variação

45



da obliquidade de Urano. A variação da obliquidade foi feita de forma forçada por meio da

variação controlada dos ângulos de Euler dada pelas equações:

ψ(t) =
2π

Ts
t, (3.3)

φ(t) =
2π

Tp
t, (3.4)

onde o Tp é o peŕıodo de precessão que é dado em função dos eixos principais de inércia A e

C, do peŕıodo orbital Torb, do peŕıodo de rotação (spin) Ts e de θ (Goldreich 1965):

Tp =
2T 2

orbC

3Ts (C − A)
sec θ. (3.5)

Para o ângulo θ, foram usados dois tipos de comportamento, nomeados de linear e amor-

tecido. Em outras palavras, escolhermos dois tipos de tombos: um linear, que o corpo

tomba com velocidade constante e para instantaneamente; e outro amortecido, que o corpo

desacelera até atingir sua posição final (θf ). As equações para os dois casos estão abaixo:

θ(t) = θ0 +
2π

Tt
t, θ(t) = θ0 + θ̇t+

θ̈

2
t2. (3.6)

As condições iniciais de θ foram determinadas para um dado tempo de tombo (Tt) e

obliquidade inicial (θ0) e final (θf ).

Para o cálculo do movimento orbital nós utilizamos um modelo simples de 2 corpos, sendo

um corpo pontual orbitando outro de forma de elipsoide com movimento de atitude dado pela

variação temporal dos ângulos de Euler conforme as equações 3.3, 3.4 e 3.5. Por simplicidade

nós simulamos o sistema com n-part́ıculas, ou seja, a simulação ocorre para todos os corpos ao

mesmo tempo, porém cada corpo só interage com o corpo central. A equação do movimento

de uma part́ıcula i pode ser escrita da forma:

�̈ri = −k2 (m0 +mi)

(
�ri
r3i

− T T �∇′U (i)
2

)
, (3.7)

onde o potencial U2 é dado pela equação 2.2. Como as equações de movimento de atitude não

são integradas, nós não trabalhamos com quatérnios, assim, a matriz de rotação (sequência

3-1-3: rotação do eixo z(3) de φ; rotação do eixo x(1) de θ e rotação do eixo z(3) de ψ) usada

46



é dada em função dos ângulos de Euler escrita na forma:

T =

⎛
⎜⎝

cosψ cosφ− cos θ senφ senψ cosψ senφ+ cos θ cosφ senψ senψ sen θ

− senψ cosφ− cos θ senφ cosψ − senψ senφ+ cos θ cosφ cosψ cosψ sen θ

sen θ senφ − sen θ cosφ cos θ

⎞
⎟⎠ .

(3.8)

3.3 Resultados

Nosso estudo sobre a origem da obliquidade de Urano está separada em duas partes.

A primeira parte, nomeado de estudo preliminar, é sobre os primeiros resultados obtidos

envolvendo análises de alguns parâmetros do problema em questão. A segunda parte envolve

a ressonância do acoplamento spin-órbita entre Urano e um satélite de grande porte (Satélite

X).

A tabela 3.1 mostra as condições iniciais de Urano utilizadas em todos os estudos.

Massa (MU) Raio equatorial (RU) C22 C20 Peŕıodo de rotação

1, 478× 1019kg 26200km 0 −3343, 0× 10−6 17, 24 h

Tabela 3.1: Condições iniciais de Urano (Murray & Dermott 1999), onde C20 e C22 são os
coeficientes de achatamento e elipticidade, respectivamente.

3.3.1 Estudo preliminar

Partindo do argumento da impossibilidade de Urano, após a colisão, possuir satélites

com orbitas equatoriais no modelo de colisão, iniciamos nossos estudos sobre a origem da

obliquidade de Urano focando exatamente nesse problema, analisando o quão rápido o eixo

de rotação pode tombar mantendo seus satélites em órbitas equatoriais. Para isso, realizamos

um estudo fazendo Urano tombar forçadamente com diferentes tempos de tombo observando

qual seria o semi-eixo maior limite que o satélite pode ter, ou seja, qual seria a maior distância

que o satélite poderia ter de modo que seu plano orbital acompanhe o plano do equador do

corpo central, isso para diferentes tempo de tombo.

O modelo utilizado neste estudo está apresentado na seção 2.3.

Realizamos este estudo por meio de simulações de Urano tombando forçadamente com

um disco de part́ıculas, igualmente espaçadas, com semi-eixos maior entre 5, 0 × 105km e

7, 0× 105km, com órbitas equatoriais e circulares. Definimos o raio orbital estável (re) como

sendo raio orbital cujo o corpo possui inclinação máxima (ou final) de 5 graus. Utilizamos

o número suficiente de part́ıculas para a obtenção do re. Escolhemos 6 diferentes tempos de

47



tombo (tT ) para a realização de nosso estudo: tT = 1 ano, tT = 10 anos, tT = 100 anos,

tT = 1 mil anos, tT = 10 mil anos e tT = 50 mil anos. Fizemos o mesmo estudo para os dois

tipos de tombo e conclúımos que o valor máximo da inclinação do corpo durante o tombo

linear é aproximadamente igual ao valor final da inclinação do corpo para o caso amortecido

(ver figura 3.3). Os resultados deste estudo estão apresentados por meio de um gráfico do

raio estável em função do tempo de tombo juntamente com a melhor curva ( re(tT )) extráıda

dos resultados, vide figura 3.4. Como já era esperado, quanto mais distante o corpo estiver

do corpo central, mais lento tem que ser o tombo para que o plano da órbita do mesmo

acompanhe o plano do equador do corpo central. É claro observar que re respeita uma lei

de potência em relação à tT . A equação 3.9 é a equação da curva média encontrada. O

coeficiente de correlação encontrado à 0, 97. Portanto, para que o sistema atual de satélites

naturais de Urano fosse exatamente nesta configuração antes do tombo, a equação obtida

nos fornece que o tempo de tombo teria que ser no mı́nimo 33067, 6 anos, tendo como base

o satélite natural mais externo Oberon, com semi-eixo maior de 583520km (22.84RU).

 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9

 10

 0  0.2  0.4  0.6  0.8  1  1.2  1.4

i (
gr

au
s)

tempo (anos)

Linear Amortecido

Figura 3.3: Inclinação orbital em função do tempo, para um tempo de tombo de um ano.
Perceba que o pico da oscilação do caso linear é aproximadamente igual ao valor final do caso
amortecido. Tomando como referência para o caso linear o valor máximo e como referência
para o caso amortecido o valor final, o resultado dos dois são aproximadamente iguais. O
coeficiente de correlação encontrado à 0, 97

re(tT ) = 29962, 9× t0,285322T (3.9)

48



 1

 10

 100

 0.0001  0.001  0.01  0.1  1  10  100

r e
 (1

04  k
m

)

tT (103 anos)

resultados re(tT)

Figura 3.4: re × tT em escala dilog. Os pontos vermelhos representam os resultados obtidos
das simulações e em verde está a melhor curva obtida dos resultados.

49



3.3.2 Variação da obliquidade via ressonância com Satélite X

Subdividimos este estudo em algumas partes. Primeiramente estudamos o sistema por in-

tegração simples (simples no sentido de não utilizar o Modelo de Nice) observando a evolução

temporal de um sistema composto pelos planetas gigantes, Sol e o Satélite X em condições

iniciais ditas ideais para o aumento da obliquidade de Urano (Boué & Laskar 2010). Poste-

riormente, já utilizando o Modelo de Nice com todos os planetas e Sol, simulamos os sistema

considerando somente o Satélite X, posteriormente o Satélite X e Oberon, e por fim um

sistema com todos os satélites naturais de Urano mais alguns outros satélites hipotéticos.

Integração simples

Como apresentado, estudos anteriores mostraram que se Urano possuiu em algum mo-

mento de sua vida grande inclinação orbital e um satélite de grande porte com determinada

configuração de semi-eixo maior e massa, seu movimento de rotação pode entrar em uma

determinada ressonância com o movimento orbital e vir adquirir altos valores de obliquidade

reproduzindo assim a atual configuração do sistema (Boué & Laskar 2010). Partindo deste

argumento, iniciamos nosso estudo fazendo simulações utilizando essas condições iniciais ade-

quadas de modo a tentar reproduzir a atual configuração rotacional de Urano. As condições

iniciais usadas estão apresentadas na tabela 3.2.

Massa (kg) a e i(o) Ω(o) ω(o) f(o)

Satélite X 86, 8323× 1022 1, 31× 106 km 0 0 0 0 0
Sol 1, 98× 1030 15 UA 0, 5 17 0 180 0

Júpiter* 1, 89× 1027 5, 2 UA 0, 05 0, 05 0 0 0
Netuno* 102, 43× 1024 25 UA 0, 05 1 0 0 0
Saturno* 568, 46× 1024 9, 3 UA 0, 06 1, 5 0 0 0

Tabela 3.2: Condições iniciais utilizadas para simulação.(*Sol é o corpo central)

Utilizando estas condições iniciais, fizemos este estudo em três etapas: 1a) Simulamos o

sistema com todos os corpos (sistema completo); 2a) simulamos somente o Satélite X e o Sol

e 3a) simulamos o sistema com todos os corpos com exceção do Satélite X.

Nossos resultados mostraram que utilizando as condições iniciais apropriadas é posśıvel

obter a configuração atual da obliquidade somente levando em consideração perturbações

dos gigantes gasosos e o Satélite X. A figuras 3.5 mostra o movimento rotacional de Urano

considerando todos os corpos na simulação, onde pode-se observar a inclinação do equador

obtendo o valor próximo de 90 graus. Outro resultado importante foi a não obtenção da

alta obliquidade sem considerar os planetas nas simulações. A figura 3.6 mostra a evolução

temporal da posição do eixo de rotação de Urano, para o caso sem os planetas, onde a

50



inclinação do equador de Urano possui comportamento oscilatório com valor máximo de 40

graus. Simulamos também com todos os planetas sem o Satélite X e, como já era esperado,

os resultados mostram que não há grande aumento da inclinação do equador de Urano sem

o mesmo possuir um satélite de grande porte ao seu redor (ver figura 3.7).

 0

 50

 100

 150

 200

 250

 300

 350

 0  2  4  6  8  10

φ 
(g

ra
us

)

tempo (104 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 90

 0  2  4  6  8  10

θ 
(g

ra
us

)
tempo (104 anos)

Figura 3.5: Evolução temporal dos ângulos de Euler θ (inclinação do equador) e φ (do nódo do
equador) de Urano para o caso completo (Urano, Satélite X, Sol, Júpiter, Saturno e Netuno).

 0

 50

 100

 150

 200

 250

 300

 350

 0  2  4  6  8  10

φ 
(g

ra
us

)

tempo (104 anos)

 0

 5

 10

 15

 20

 25

 30

 35

 40

 45

 0  2  4  6  8  10

θ 
(g

ra
us

)

tempo (104 anos)

Figura 3.6: Evolução temporal dos ângulos de Euler θ (inclinação do equador) e φ (do nódo
do equador) de Urano para o caso considerando somente Urano, Satélite X e Sol.

Apesar das conclusões satisfatórias deste tópico, algumas perguntas ainda devem ser

respondidas. Uma delas é como Urano pode obteve alta inclinação orbital durante sua vida.

Outra seria a não existência do Satélite X nos dias de hoje. Tentaremos resolver essas e outras

perguntas no próximo tópico, no qual adotaremos os planetas com órbitas provenientes do

Modelo de Nice.

51



 0

 50

 100

 150

 200

 250

 300

 350

 0  5  10  15  20

φ 
(g

ra
us

)

tempo (104 anos)

 0

 0.005

 0.01

 0.015

 0.02

 0.025

 0.03

 0.035

 0.04

 0  5  10  15  20

θ 
(g

ra
us

)

tempo (104 anos)

Figura 3.7: Evolução temporal dos ângulos de Euler θ (inclinação do equador) e φ (do nódo
do equador) de Urano para o caso sem o Satélite X.

52



Via Modelo de Nice

O objetivo deste tópico é tentar reproduzir a atual obliquidade de Urano via Modelo de

Nice. Fizemos este estudo focando na dependência das condições iniciais para que ocorra o

fenômeno. A primeiras condições iniciais para análise foram o semi-eixo maior e a massa do

Satélite X, pois estas foram ditas importantes no trabalho de Boué & Laskar (2010). Poste-

riormente analisamos a dependência dos resultados em função da posição orbital (longitude

média) do Satélite X. Por fim, estudamos a influência e a dinâmica de mais satélites no

problema.

A evolução orbital dos planetas adotada provenientes de uma simulação do Modelo de

Nice está apresentado na figura 3.8. Utilizamos simulações do modelo de Nice integradas

previamente com passos de sáıda com intervalos de 100 anos. Entre cada ponto de sáıda

foi interpolado funções lineares para as simulações. Em outras palavras, por exemplo, entre

t0 = 0 anos e t100 = 100 anos interpolamos um polinômio de primeiro grau para cada elemento

orbital, com exceção da anomalia média que foi obtida pela equação M = n(t− τm), o onde

n é o movimento médio e τ é a média dos tempos de passagem pelo periélio de t0 e t100, ou

seja, τm = (τ(t100)− τ(t0))/2.

a- Dependência da massa e semi-eixo maior inicial do Satélite X: Foram estudados

16 casos: 4 diferentes valores de massa e 4 diferentes valores semi-eixo maior do Satélite X,

onde todos os casos o corpo possui órbita inicial plana (i = 0), circular (e = 0) e longitude

do média λ = 0. As quatro massas utilizadas foram: m1 = 1/100MU ;m2 = 1/150MU ;m3 =

1/200MU ;m4 = 1/1000MU ; e os quatro semi-eixos foram: a1 = 30RU ; a2 = 40RU ; a3 =

50RU ; a4 = 60RU ; onde MU e RU são a massa e o raio equatorial de Urano (ver tabela 3.2),

respectivamente.

Apresentamos os resultados através da evolução temporal dos elementos orbitais do

Satélite X e a inclinação do equador de Urano que estão apresentados nas figuras 3.9, 3.10,

3.11 e 3.12. Observando os resultados, pode-se concluir que a massa e o semi-eixo maior

inicial do Satélite X têm grande importância na dinâmica do sistema. Uma conclusão geral

que tiramos é que a amplitude de oscilação da obliquidade de Urano é diretamente propor-

cional à massa do satélite (os resultados em vermelho nas figuras 3.9, 3.10, 3.11, 3.12). O

semi-eixo maior inicial, mesmo tendo variações abruptas durante sua evolução, também in-

fluencia diretamente na variação da obliquidade de Urano. Pode-se também observar que

a inclinação orbital do satélite tem ligação direta com a obliquidade do corpo central, fato

este esperado pela troca de momento angular orbital e rotacional entre os dois corpos. Nes-

sas primeiras simulações, somente o caso com maior massa (m1) conseguimos obter a atual

configuração do eixo de rotação de Urano. A simulação é interrompida quando o módulo do

53



vetor posição do Satélite X em relação à Urano ultrapassa um Raio de Hill. Não se observa

o semi-eixo maior do Satélite X crescendo antes do término da simulação porque o fenômeno

de escape possivelmente ocorre entre as sáıdas de dados (o passo de sáıda usado foi de 20

anos). Dos casos com escape, o único que podemos afirmar a causa é o caso com massa m1,

pois o mesmo ocorre no momento que Urano “troca de órbita”com Netuno (t ≈ 14 × 105

anos), vide figura 3.8. Por fim, conclui-se que o aumento da obliquidade só ocorre quando a

longitude do nodo do satélite (Ω) entra em sincronismo com a longitude do equador de Urano

(φ), como observado anteriormente no trabalho de Yokoyama et al. (2013). É claro observar

essa importância quando comparamos as figuras 3.13, 3.14 e 3.15, de modo que a situação

de crescimento da obliquidade só ocorre quando o ângulo ressonante (Ω − φ) está próximo

de zero. Fizemos esta mesma análise utilizando o ângulo ressonante citado Boué & Laskar

(2010) porém não foi observado relação entre a libração deste ângulo com o aumento da

obliquidade de Urano. Apesar de parecerem semelhantes, os ângulos ressonantes utilizado

por Boué & Laskar (2010) (φα−φν−π) e por Yokoyama et al. (2013) (Ω−φ) são diferentes.

φα é ângulo entre o eixo de referência e a projeção do eixo de rotação do spin, ou seja, é

um ângulo similar ao ângulo de Euler φ (ângulo de precessão do eixo de rotação), e (φν) é o

ângulo entre eixo de referência e a projeção do vetor perpendicular ao plano orbital de Urano

que é similar à longitude do nodo ascendente de Urano. A diferença principal entre esses dois

ângulos ressonantes é que o usado por Boué & Laskar (2010) está relacionado com o plano

orbital de Urano (φν ∝ ΩU) enquanto o usado por Yokoyama et al. (2013) está relacionado

com o plano orbital do Satélite X (Ω).

54



 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 0  2  4  6  8  10  12  14  16  18

a 
(U

A)

tempo (105 anos)

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 0  2  4  6  8  10  12  14  16  18

e 

tempo (105 anos)

 0

 2

 4

 6

 8

 10

 12

 14

 16

 0  2  4  6  8  10  12  14  16  18

i (
gr

au
s)

 

tempo (105 anos)

Jup Sat Net Ura

Figura 3.8: Evolução temporal dos elementos orbitais (semi-eixo maior a, excentricidade e e
inclinação i) dos planetas Júpiter, Saturno, Urano e Netuno, provenientes de uma simulação
do Modelo de Nice.

55



 26

 27

 28

 29

 30

 31

 32

 33

 34

 35

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

a1

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos)

 0

 5

 10

 15

 20

 25

 30

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0

 5

 10

 15

 20

 25

 30

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

M1 M2 M3 M4

Figura 3.9: Evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X (semi-eixo maior a,
excentricidade e e inclinação i) e da inclinação do equador de Urano (θ) de simulações com
semi-eixo maior a1 = 30RU para 4 diferentes massas do Satélite X.

56



 30

 35

 40

 45

 50

 55

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

a2

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 90

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0

 5

 10

 15

 20

 25

 30

 35

 40

 45

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

M1 M2 M3 M4

Figura 3.10: Evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X (semi-eixo maior a,
excentricidade e e inclinação i) e da inclinação do equador de Urano (θ) de simulações com
semi-eixo maior a2 = 40RU para 4 diferentes massas do Satélite X.

57



 35

 40

 45

 50

 55

 60

 65

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

a3

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

M1 M2 M3 M4

Figura 3.11: Evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X (semi-eixo maior a,
excentricidade e e inclinação i) e da inclinação do equador de Urano (θ) de simulações com
semi-eixo maior a3 = 50RU para 4 diferentes massas do Satélite X.

58



 0

 20

 40

 60

 80

 100

 120

 140

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 90

 100

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 90

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

M1 M2 M3 M4

Figura 3.12: Evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X (semi-eixo maior a,
excentricidade e e inclinação i) e da inclinação do equador de Urano (θ) de simulações com
semi-eixo maior a4 = 60RU para 4 diferentes massas do Satélite X.

 0
 0.2
 0.4
 0.6
 0.8

 1
 1.2
 1.4
 1.6
 1.8

 2

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

-150

-100

-50

 0

 50

 100

 150

θ 
(g

ra
us

)

 Ω
-φ

 (g
ra

us
)

tempo (105 anos)

M4 e a1

 Ω-φ θ

Figura 3.13: Evolução temporal do ângulo ressonante Ω − φ (em vermelho) e da inclinação
do equador de Urano θ (em verde) para o caso semi-eixo maior a1 e massa M4.

59



 0
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9

 10

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

-150

-100

-50

 0

 50

 100

 150

θ 
(g

ra
us

)

 Ω
-φ

 (g
ra

us
)

tempo (105 anos)

M4 e a2

 Ω-φ θ

Figura 3.14: Evolução temporal do ângulo ressonante Ω − φ (em vermelho) e da inclinação
do equador de Urano θ (em verde) para o caso semi-eixo maior a2 e massa M4.

60



 0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 70
 80
 90

 0  2  4  6  8  10  12  14

-150

-100

-50

 0

 50

 100

 150

θ 
(g

ra
us

)

 Ω
-φ

 (g
ra

us
)

tempo (105 anos)

M1 e a4

 Ω-φ θ

Figura 3.15: Evolução temporal do ângulo ressonante Ω − φ (em vermelho) e da inclinação
do equador de Urano θ (em verde) para o caso semi-eixo maior a4 e massa M1.

Observando que o sistema é senśıvel as condições iniciais, resolvemos explorar outra

condição inicial que até então mantivemos iguais em todas as simulações, a longitude média

do Satélite X. Os resultados estão apresentados no próximo tópico.

61



b- Sensibilidade da longitude média inicial do Satélite X: Foram estudados no total

24 casos: O Satélite X com 4 diferentes massas (m1 = 1/100MU ;m2 = 1/150MU ;m3 =

1/200MU ;m4 = 1/1000MU) e semi-eixo maior igual à a4 = 60RU . Para esses quatro casos

foram feitas simulações para 6 diferentes valores iniciais da longitude média do Satélite X

(λ = 0, 60, 120, 180, 240, 300 graus). Os resultados estão apresentados nas figuras 3.16, 3.17,

3.18 e 3.19, por meio da evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X e da inclinação

do equador θ de Urano. Os resultados mostram que a longitude média inicial possui grande

influência nos resultados.

A figura 3.16 mostra os resultados dem1 e a4, condição inicial que conseguimos reproduzir

o valor atual de θ no tópico anterior. Note que dos 6 λ’s usados, somente 2, λ = 0o (em

preto) e λ = 60o (em vermelho), foram obtido valores altos da obliquidade, assim, mesmo

nas condições ditas ideais, há casos, a maioria deles, em que não foi posśıvel reproduzir a

atual obliquidade de Urano. E desses dois casos, só com λ = 0o o Satélite X deixa de orbitar

Urano após o crescimento da obliquidade, resultado ideal. Outro caso que conseguimos obter

esse resultado foi com massa m2. Note na figura 3.17 que o caso λ = 180o (curva em azul

escuro) que a obliquidade atinge o valor próximo de 90 graus e o Satélite X é ejetado em

t ∼ 11 × 105anos. Os casos com massa de menor valor (m3 e m4) não mostraram eficiência

no aumento da obliquidade (figuras 3.18 e 3.19). Plotamos também o gráfico do ângulo

ressonante (Ω− φ) e θ em função do tempo para o outro resultado ideal encontrado (a4, m2

e λ = 180o), apresentado na figura 3.20.

62



 40

 60

 80

 100

 120

 140

 160

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

M1 a4

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 90

 100

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 70
 80
 90

 100

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

λ=0
λ=60

λ=120
λ=180

λ=240
λ=300

Figura 3.16: Figuras da evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X e da inclinação
do equador de Urano (θ) de simulações com semi-eixo maior a4 e m1 para 6 diferentes valores
inicial da longitude média do Satélite X.

63



 0

 500

 1000

 1500

 2000

 2500

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

M2 a4

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos)

 0

 20

 40

 60

 80

 100

 120

 140

 160

 180

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 70
 80
 90

 100

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

λ=0
λ=60

λ=120
λ=180

λ=240
λ=300

Figura 3.17: Figuras da evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X e da inclinação
do equador de Urano (θ) de simulações com semi-eixo maior a4 e m2 para 6 diferentes valores
inicial do longitude média do Satélite X.

64



 0

 20

 40

 60

 80

 100

 120

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos)

 0

 20

 40

 60

 80

 100

 120

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

λ=0
λ=60

λ=120
λ=180

λ=240
λ=300

Figura 3.18: Figuras da evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X e da inclinação
do equador de Urano (θ) de simulações com semi-eixo maior a4 e m3 para 6 diferentes valores
inicial do longitude média do Satélite X.

65



 0

 20

 40

 60

 80

 100

 120

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

 0

 0.1

 0.2

 0.3

 0.4

 0.5

 0.6

 0.7

 0.8

 0.9

 1

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e

tempo (105 anos )

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 80

 90

 100

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i (
gr

au
s)

tempo (105 anos)

 0

 2

 4

 6

 8

 10

 12

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

λ=0
λ=60

λ=120
λ=180

λ=240
λ=300

Figura 3.19: Figuras da mostram a evolução temporal dos elementos orbitais do Satélite X
e da inclinação do equador de Urano (θ) de simulações com semi-eixo maior a4 e m4 para 6
diferentes valores inicial do longitude média do Satélite X.

 0
 10
 20
 30
 40
 50
 60
 70
 80
 90

 100

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

-150

-100

-50

 0

 50

 100

 150

θ 
(g

ra
us

)

Ω
-φ

 (g
ra

us
)

tempo (105 anos)

M2 a4 l180

Ω-φ θ

Figura 3.20: Figura da evolução temporal do ângulo ressonante (Ω− φ) (em vermelho) e da
inclinação do equador de Urano (θ) (em verde) do caso com semi-eixo maior a4, massa M2 e
longitude média inicial (λ) 180 graus.

66



c- Satélite X mais Oberon: Um dos argumentos contrários ao modelo de origem da

obliquidade via Satélite X é o fato do mesmo perturbar fortemente os satélites internos a

ponto de desestabilizá-los. A fim de estudar este problema, resolvemos incluir Oberon na

simulações. As condições iniciais de Oberon são semelhantes as atuais e estão apresentadas

na tabela 3.3.

Massa a e

Miranda 7, 90747× 10−7 MU 4, 95413 RU 0, 000657723
Ariel 1, 62349× 10−5 MU 72, 9758 RU 0, 000997302

Umbriel 1, 4063× 10−5 MU 10, 1525 RU 0, 000769895
Titania 4, 2321× 10−5 MU 16, 6333 RU 0, 000310916
Oberon 3, 61655× 10−5 MU 22, 2745 RU 0, 000993576

Tabela 3.3: Condições iniciais dos satélites naturais de Urano utilizadas. Todos iniciam com
orbitas planares (i = 0). Note que Ariel não utilizamos o semi-eixo maior correspondente ao
atual, porém acreditamos que está diferença não influencia as conclusões obtidas do nosso
estudo.

Iniciamos nossas simulações utilizando a condição mais favorável pra crescimento da obli-

quidade, M1 e a4, porém, em nenhum dos casos obtivemos sucesso, pois rapidamente Oberon

foi ejetado do sistema devido à perturbação do Satélite X. Posteriormente, utilizando o mesmo

semi-eixo maior inicial, simulamos para os outros valores de massa (M2, M3 e M4), entretanto

em nenhum dos casos obtivemos sobrevivência de Oberon. Após a falta de sucesso destas

primeiras simulações, resolvemos repetir a mesma estratégia anterior e ver como os resulta-

dos com Oberon se comportam para diferentes valores de longitude de pericentro inicial do

Satélite X. Utilizamos o menor valor de massa a fim de minimizar sua perturbação. Plotamos

todos os resultados deste último estudo nas figuras 3.21 e 3.22. Note que Oberon só sobrevi-

veu em dois casos, λ = 120o e λ = 240o, no entanto as configurações de Oberon diferem muito

da configuração atual e a obliquidade de Urano não cresce o suficiente. Portanto, podemos

concluir que não é posśıvel reproduzir a atual obliquidade de Urano e manter Oberon em

órbita do mesmo. No entanto, ao observar a figura 3.22, notamos que a presença de Oberon

proporciona um efeito de “boost” (amplificação) na amplitude da oscilação da obliquidade

de Urano. Este resultado nos faz concluir que de certa forma a combinação de dois ou mais

satélites podem amplificar a perturbação no eixo de rotação de Urano, de modo talvez seja

posśıvel obter a atual obliquidade de Urano com alguns satélites de menor massa. Partindo

desses resultados, resolvemos fazer um estudo considerando mais satélite em torno de Urano

que está apresentado no próximo tópico.

67



 0

 5

 10

 15

 20

 25

 30

 35

 40

 45

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a O
b 

(R
U

)

tempo (105 anos)

 0

 20

 40

 60

 80

 100

 120

 140

 160

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i O
b 

(g
ra

us
)

tempo(105 anos)

 0

 0.2

 0.4

 0.6

 0.8

 1

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

e O
b

tempo (105 anos)

λ=0
λ=60

λ=120
λ=180

λ=240
λ=300

Figura 3.21: Os gráficos acima mostram a evolução temporal dos elementos orbitais de
Oberon de simulações com semi-eixo maior e massa do Satélite X iguais a a4 e M4, respecti-
vamente. Dos 6 diferentes valores iniciais do longitude média inicial do Satélite X simulados,
somente dois casos os satélites sobrevivem: λ = 120o e λ = 240o.

68



 40

 50

 60

 70

 80

 90

 100

 110

 120

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

 0

 10

 20

 30

 40

 50

 60

 70

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

i O
b 

(g
ra

us
)

tempo (105 anos)

 0

 1

 2

 3

 4

 5

 6

 7

 8

 0  2  4  6  8  10  12  14  16

θ 
(g

ra
us

)

tempo (105 anos)

λ=120 Ob.
λ=240 Ob.

λ=120
λ=240

Figura 3.22: Os gráficos acima mostram a evolução temporal dos elementos orbitais do
Satélite X de simulações com semi-eixo maior e massa do Satélite X iguais a a4 e M4, respec-
tivamente. Em vermelho e preto são os resultados com Oberon e em azul e verde os casos
sem Oberon.

69



 0

 50

 100

 150

 200

 0  0.2  0.4  0.6  0.8  1

a 
(R

U
)

tempo (105 anos)

Miranda
Ariel

Umbriel

Titania
Oberon

SatX1

SatX2
SatX3
SatX4

Figura 3.23: Gráfico dos semi-eixos maiores de todos os satélites em função do tempo. Note
que somente os Satélite X1 (em amarelo) e Satélite X2 (em preto) sobrevivem durante 100
mil anos de integração.

d- Satélites naturais e alguns Satélites X: Como já dito anteriormente, o efeito de

boost observado no estudo com Oberon nos instigou a realizar simulações com mais satélites

na esperança de conseguir obter a atual obliquidade de Urano sem a necessidade de um

corpo extremamente massivo. Decidimos por simular um sistema com os 5 satélites naturais

(Miranda, Ariel, Umbriel, Titania e Oberon) e mais quatro Satélites X (X1, X2, X3 e X4).

As condições iniciais usadas nesta simulação estão apresentadas nas tabelas 3.3 e 3.4.

Infelizmente, os resultados foram insatisfatórios, pois todos os satélites naturais foram

ejetados dos sistema em menos de 100 mil anos de tempo de integração. A figura 3.23

mostra o semi-eixos maiores de todos os satélites em função do tempo, e, podemos notar que

somente dois dos corpos sobrevivem, Satélite X1 (em amarelo) e Satélite X2 (em preto).

Massa a e

X1 5, 96693× 10−5 MU 28, 5492 RU 0, 000725429
X2 1, 19339× 10−4 MU 57, 0984 RU 0, 000742293
X3 2, 38677× 10−4 MU 114, 197 RU 0, 000336387
X4 3, 58016× 10−4 MU 171, 0 RU 0, 000236387

Tabela 3.4: Condições iniciais dos Satélites X utilizadas. Todos iniciam com orbitas planas
(i = 0).

70



e-Efeito de encontros próximos com Júpiter: Apresentamos neste tópico um estudo

sucinto da influência dos encontros próximos de Urano com Júpiter na dinâmica do Satélite

X durante o Modelo de Nice. Essa influência está mostrada por meio da evolução temporal

dos elementos orbitais do Satélite X, juntamente com a inclinação do equador e a distância

radial entre Júpiter e Urano.

O Raio de Hill de Urano (RH) utilizado na figura 3.24 foi calculado por meio da equação

(3.10) (Murray & Dermott 1999).

RH = a (1− e)

(
mU

3mSol

) 1
3

(3.10)

onde a, e e mU são respectivamente o semi-eixo maior, a excentricidade e a massa de Urano,

e, mSol a massa do Sol.

A influência de Júpiter no movimento orbital do Satélite X está mostrada claramente

na figura 3.24, na qual podemos observar variações no semi-eixo maior e excentricidade do

Satélite X quando Júpiter tem encontro próximo com Urano (rJupiter < 0, 1UA). A inclinação

orbital do satélite e a inclinação do equador de Urano não sofrem influência direta de Júpiter,

porém, como já visto anteriormente, o semi-eixo maior do Satélite X é um fator determinante

para o aumento de θ, portanto, Júpiter ao afetar o semi-eixo maior do Satélite X, afeta

também, de forma indireta, a variação da obliquidade de Urano.

71



 0.0087

 0.00875

 0.0088

 0.00885

 0.0089

 0.00895

 0.009

 0.00905

 0.0091

 0  500  1000  1500  2000  2500  3000

a 
(U

A)

tempo (anos)

 0

 0.02

 0.04

 0.06

 0.08

 0.1

 0.12

 0.14

 0  500  1000  1500  2000  2500  3000

e

tempo (anos)

 0

 2

 4

 6

 8

 10

 12

 0  500  1000  1500  2000  2500  3000

i (
gr

au
s)

tempo (anos)

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0.25

 0.3

 0.35

 0  500  1000  1500  2000  2500  3000

θ 
(g

ra
us

)

tempo (anos)

 0

 0.05

 0.1

 0.15

 0.2

 0  500  1000  1500  2000  2500  3000

r (
U

A)

tempo (anos)

rJup rSat. X RHillUranus

Figura 3.24: Os gráficos acima mostram a evolução temporal dos elementos orbitais do
Satélite X, e o módulo do vetor posição de Júpiter em ralação Urano (curva em do vermelho),
o módulo do vetor posição entre Satélite X e Urano (em verde), e o Raio de Hill de Urano
(em azul).

72



3.4 Conclusões

Em um estudo preliminar, considerando que Urano sofreu a variação de sua obliquidade

de forma única, em uma espécie de tombo, conclúımos que o plano orbital de seus satélites

naturais só conseguiriam acompanhar o plano do equador se esse tombo durar um peŕıodo

maior que 33067, 6 anos.

Baseado no trabalho de Boué & Laskar (2010), utilizando metodologia diferente, estu-

damos a origem da obliquidade de Urano via perturbação de um satélite de grande porte.

Estudamos o sistema primeiramente utilizando integração direta, levando em conta as in-

terações gravitacionais entre os planetas gigantes, o Sol e o Satélite X, onde todos causam

torques no eixo de rotação de Urano. Utilizando condições iniciais ideais (Urano com alta

incl