UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA �JÚLIO DE MESQUITA FILHO� CAMPUS DE GUARATINGUETÁ Carlos Hugo Coronado Villalobos Álgebra de Espinores e novos espinores em Física Guaratinguetá 2017 Álgebra Espinorial e novos espinores em Física Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para a obtenção do Titulo de Doutor em Fí- sica na área de Partículas e Campos Orientador: Prof. Dr. Júlio Marny Ho� da Silva. Guaratinguetá 2017 V714a Villalobos, Carlos Hugo Coronado Álgebra de espinores e novos espinores em física / Carlos Hugo Coronado Villalobos – Guaratinguetá, 2017 89 f .: il. Bibliografia: f. 86-89 Tese (doutorado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia de Guaratinguetá, 2017. Orientadora: Prof. Dr. Júlio Marny Hoff da Silva 1. Spinor – análise. 2. Clifford, álgebra de. 3. Dirac, Equações de. 4. Física. I. Título CDU 53(043) DADOS CURRICULARES Carlos Hugo Coronado Villalobos NASCIMENTO 03.08.1984 / LIMA-PERÚ FILIAÇÃO Hugo Aristides Coronado Zapata Catalina Villalobos Guarniz 2003 / 2008 Curso de Graduação - Bacharelado em Física Facultad de Ciencias Naturales y Matemáticas Universidad Nacional del Callao - UNAC, Lima Perú. 2011 / 2013 Curso de Pós-Graduação em Física, nível Mestrado, na Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá Universidade Estadual Paulista - UNESP, Guaratinguetá-SP Brasil. 2013 / 2017 Curso de Pós-Graduação em Física, nível Doutorado, na Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá Universidade Estadual Paulista - UNESP, Guaratinguetá-SP Brasil. Esta Tese está dedicada aos meus pais e meus irmãos pelo grande apoio e amor que sempre me mostraram. AGRADECIMENTOS Eu ofereço a minha mais profunda gratidão para com aqueles que de uma forma ou de outra participaram na culminação desta dissertação do qual estou orgulhoso. • A minha familia: especialmente a meus pais Hugo e Catalina e meus irmãos Allan e Miguel, que completam todos meus espaços seu amor e apoio. • A meu orientador Julio Marny Ho� da Silva, quem re�etindo a sua formação aca- dêmica, me dá as bases necessárias para que eu possa formar a minha. • Aos professores do grupo de partículas e campos da Feg-Unesp campus de Guara- tinguetá. • A meus amigos que sempre me apoiram, Angel pela convivência e também pe- las discussões pro�ssionais e pessoais, também gostaria de agradecer a �Sala 1� da Pós-Graduação em Física, especialmente ao Ricardo (Pinky) pela amizade, quero também fazer um agradecimento especial à meu colega e amigo Rodolfo pela dispo- sição, sabedoria e por sempre me aconselhar e sobre tudo pelo tempo de trabalho juntos os quais foram produtivos. • Também gostaria de agradecer a minha noiva, Ananda, pela paciência, amor e suporte, também agradeço à toda sua família, pelo acolhimento, em especial à meu sogro Ícaro. • Agradeço esta grande universidade e este grande país que me acolhe e me faz sentir em casa. E por último e o mais importante, meu agradecimentoDeus Nosso Senhor...Obrigado, muito obrigado Senhor por manter a todos exatamente onde eles estão, cumprindo exa- tamente o papel que cumprem, pois eles são em conjunto minha inspiração, minha força e a razão para sempre querer superar os desa�os que a vida me apresenta... Obrigado Bom Padre!.... Este trabalho contou com o apoio �nanceiro da PEC-PG. A matemática, vista corretamente, possui não apenas verdade, mas também suprema beleza, uma beleza fria e austera, como a da escultura. Bertrand Russell. Coronado Villalobos, C. H. Álgebra Espinorial e novos espinores em Física. 2017. 87 f. Tese de Doutorado em Física � Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratin- guetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2017. RESUMO Na presente tese abordaremos quatro tópicos importantes: espinores, covariantes bilineares, classi�cação de Lounesto e o teorema da inversão. Apresentamos a construção de covariantes bilineares para o espinor Elko e mostraremos a necessidade da deformação dos elementos da base da álgebra de Cli�ord com a �nalidade de que as identidades de Fierz-Pauli-Ko�nk sejam satisfeitas. Estudamos também os ingredientes principais da classi�cação de espinores elaborada por Lounesto. Por último, construiremos três novas classes de espinores via o teorema da inversão a partir da premissa que o covariante bilinear Jµ seja nulo. Como consequência desta consideração esses novos espinores não possuem a dinâmica de Dirac, haja visto que Jµ na teoria de Dirac representa a corrente conservada. O surgimento de apenas três novas classes de espinores é uma consequência direta da imposição de que as identidades de Fierz-Pauli-Ko�nk sejam satisfeitas. PALAVRAS-CHAVE: Espinores, Covariantes bilineares, identidades de Fierz-Pauli- Ko�nk, Classi�cação de Lounesto, Teorema da inversão. Coronado Villalobos, C. H. Spinorial Algebra and new Spinors in Physics. 2017. 87 f. Tese (Doctor in Physics) � Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá, 2017. ABSTRACT The present thesis covers four important topics: spinors, bilinear covariants, Lou- nesto's classi�cation and the inversion theorem. We show and explicit the construction of bilinear covariants for the Elko spinors and the necessity of deformation of the Cli�ord algebra basis elements in order to satisfy the Fierz-Pauli-Ko�nk identities. We also study the main ingredients of the classi�cation of spinors elaborated by Lounesto. Finally, we construct three new classes of spinors via the inversion theorem from the premise that the bilinear covariant Jµ is null. As a consequence, these new spinors do not have usual dyna- mics of Dirac, have seen that Jµ in Dirac's theory represents the conserved current. The emergence of only three new classes of spinors is a direct consequence of the requeriment that Fierz-Pauli-Ko�nk's identities must hold. KEYWORDS: Spinors, Bilinear covariants, Fierz-Pauli-Ko�nk identities, Lounesto clas- si�cation, Inversion Theorem. Lista de Figuras 2.1 O bivetor expressa um fragmento de área dado pelo produto e1e2. . . . . . 19 2.2 Orientação do bivetor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Produto exterior do ponto de vista geométrico. . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.4 O elemento de volume expresso geometricamente. . . . . . . . . . . . . . . 21 5.1 Diagrama esquemático do teorema da inversão . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Sumário 1 Introdução 13 2 Álgebra de Cli�ord 17 2.1 Álgebra de Cli�ord no espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Álgebra exterior e álgebra de Cli�ord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Representação matricial de Cℓ3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Quatérnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Isomor�smo entre Cℓ+3 e quatérnions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Espinores 30 3.1 Espinor de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Espinor de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 O espinor Elko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3.1 Estrutura dos espinores Elko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.2 Somas de spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.3 Dinâmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Construção dos covariantes bilineares e estrutura multivetorial 49 4.1 Estruturas bilineares para os espinores de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.1.1 Álgebra de Cli�ord real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.2 Identidades de Fierz-Pauli-Ko�nk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 Deformação da álgebra de Cli�ord para o espinor Elko . . . . . . . . . . . 59 4.3 Covariância das estruturas bilineares para o Elko . . . . . . . . . . . . . . 64 4.4 Espinores Elko na VSR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5 Classi�cação de Lounesto e Teorema da inversão 70 5.1 Classi�cação de Lounesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.1.1 Caracterização algébrica dos espinores . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.2 Teorema da inversão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.3 Construção algébrica de novos espinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6 Conclusões e Comentários 84 11 Referências bibliográ�cas 85 Capítulo 1 Introdução Em 1878, William K. Cli�ord publicou um artigo no American Journal of Mathematics intitulado �Applications of Grassmann extensive algebra� [1]. Naquele trabalho Cli�ord apresentou uma nova estrutura matemática, a qual é por ele denominada �álgebra geo- métrica�, conhecida na atualidade como álgebra de Cli�ord. As álgebras de Cli�ord têm como origem esforços em representar geometricamente um número complexo. Cabe men- cionar que a ideia de relacionar operações geométricas e algébricas não era uma novidade, já que em 1679 Leibniz em uma carta dirigida a Huygens menciona esse fato. Tal carta foi posteriormente publicada em 1833. A grande contribuição de Cli�ord foi a introdução do análogo do produto de quatérnions na estrutura da álgebra de extensão de Grassmann, obtendo assim um sistema naturalmente adaptado para a geometria ortogonal de um es- paço arbitrário. Nesse cenário, os quatérnions se apresentam como um caso particular de uma álgebra de Cli�ord (álgebra de Cli�ord par). Devido à repentina morte de Cli�ord, muitos cientistas deram continuidade para com o desenvolvimento da teoria das álgebras de Cli�ord. Um dois mais importantes foi certamente Elie Cartan. Foi justamente Cartan quem introduziu em 1913 o conceito de espinor [2]. Foi através do conceito de espinor que as álgebras de Cli�ord marcaram presença decisiva na Ciência. Dirac mostrou em 1928 [3] que a equação fundamental da mecânica quântica relativística é escrita em termos de uma álgebra de Cli�ord, sendo a partícula elementar, o elétron, descrito por um espinor. É pertinente, mesmo hoje, se perguntar o que é um espinor? De�nir com exatidão o conceito de espinor é uma tarefa extremamente complexa. Isto é devido ao fato que tanto físicos como matemáticos têm tratado de maneira independente os espinores, o que tem gerado diversas de�nições e aplicações destes objetos. A de�nição feita por Cartan é a mais relevante, e esta diz que o espinor é o objeto matemático que carrega a mais rica informação sobre o espaço-tempo que conhecemos. Mencionaremos três de�nições dos espinores as quais são de muita importância, a de�nição clássica ou de�nição covariante 13 que foi proposta por Cartan em 1966, seguindo a linha estabelecida por Brauer e Weyl [4] que de�niram os espinores como um conjunto de variáveis complexas de�nido por sua transformação dentro de um grupo de spin particular. A segunda de�nição é chamada de algébrica ou ideal, proposta por Chevalley em 1954 [5] e estudada posteriormente por Riesz em 1958 [6] e Graf em 1978 [7], onde um tipo de espinor algébrico é um elemento de um minimal ideal (de�nido também como idempotente primitivo) em uma álgebra de Cli�ord. Por último temos a de�nição operatorial para espinores, proposta por Hestenes e Sobezyk em 1984 [8]; nessa de�nição usa-se como espaço de representação a subálgebra par de uma álgebra de Cli�ord. Essa última de�nição, embora aparentemente bem distinta das outras, é equivalente às anteriores. Devemos enfatizar que os espinores, independentemente da de�nição, possuem as mesmas aplicações físicas. Justamente essas aplicações surgem quando Cartan percebeu que os espinores não eram invariantes por rotações de 2π, já que o espinor original após a rotação citada ganha um sinal. Por tal motivo era necessário construir um objeto a partir dos espinores de tal maneira que por rotações de 2π se mantivesse invariante. Tais objetos são conhecidos como observáveis físicos ou covariantes bilineares. Na presente tese apresentamos a abordagem desenvolvida por Crawford [9, 10] para construir os covariantes bilineares associados ao espinor de Dirac, de�nida em um espaço- tempo de dimensão par. Do ponto de vista físico os covariantes bilineares tem muita relevância já que fazem o link entre os espinores e as aplicações físicas, como veremos mais adiante. Um grupo de cientistas encabeçado por Fierz encontrou certas relações que são satisfeitas pelos covariantes bilineares [11, 12, 13]. Tais relações são conhecidas como identidades de Fierz-Pauli-Ko�nk (FPK) e são de muita importância, uma vez que a partir das mesmas é possível classi�car os espinores e também recuperar propriamente um espinor em termos de seus covariantes bilineares. Com respeito a classi�cação de espinores devemos mencionar que muitos cientistas tentaram classi�car os espinores já conhecidos na literatura (espinores de Dirac, Majorana e Weyl) mas sem muito êxito. Por exemplo, Been e Tucker em 1987 [14] e posteriormente Crymeyrolle [15] em 1990, introduziram propriedades matriciais com o objetivo de es- tabelecer uma classi�cação para espinores, mas infelizmente não tiveram muito sucesso. Até que Pertti Lounesto conseguiu realizar uma classi�cação para espinores [16]. Tal clas- si�cação possui um caráter geométrico, isto é consequência de considerar os covariantes bilineares e um novo objeto chamado de estrutura multivetorial, os ingredientes principais desta classi�cação. Portanto, podemos a�rmar que a classi�cação de Lounesto é a mais completa, pois além de conter os espinores já conhecidos na literatura fornece um novo tipo de espinor chamado de �ag-dipole, o qual ainda não possui um tratamento físico completo, apenas se tem evidência desse espinor na solução da equação de Dirac em uma teoria f(R) com torsão [17]. Se inicialmente pensávamos existirem apenas seis classes de espinores de�nidos na 14 classi�cação de Lounesto, recentemente foi proposto por Ahluwalia e Grumiller um novo espinor de dimensão de massa um [18], chamado Elko, que é um acrônimo alemão para Eigenspinoren des Ladungskojugationsoperator, cuja tradução é Autoespinor do Operador Conjugação de Carga. Podemos dizer que tal espinor possui algumas características dos espinores de Majorana, mas na realidade são bem diferentes, uma vez que os espinores Elko possuem helicidade dual, enquanto os espinores de Majorana tem helicidade única. Outra característica marcante é a estrutura dual do Elko, que é extremamente diferente das estruturas duais dos espinores conhecidos. Uma característica importante a salientar sobre o Elko é que ele não satisfaz a equação de Dirac. Isso é devido ao fato que as componentes espinoriais do Elko não estão relacionadas entre si pela simetria de paridade mas sim através das matrizes de Pauli. Assim, o espinor Elko apenas satisfaz a equação de Klein-Gordon, assim como esperado para todo campo relativístico. Outra particularidade do Elko está nas somas de spin, ela não é invariante por transformações de Lorentz. De fato, para o estudo do Elko é necessário se considerar a chamada de Very Special Relativity ou simplesmente VSR, proposta por Cohen e Glashow em 2006 [19]. O espinor Elko apesar de descrever um férmion, possui dimensão de massa um. Isso implica que o campo associado ao Elko não interage com o campo eletromagnético apenas interage com o tensor eletromagnético, Lint = ge ¬ λ (x)[γµ, γν ]λ(x)Fµν(x), por ser eletrica- mente neutro via atuação do operador conjugação de carga, e as interações com todas as partículas do modelo padrão, exceto com o bóson de Higgs, Lint = αeϕ †(x)ϕ(x) ¬ λ (x)λ(x), não são renormalizáveis perturbativamente [20]. Elko tem sido estudado em diferentes ce- nários, em 2006 Bohmer mostrou que o Elko é um candidato natural a descrever matéria escura [21]. É importante mencionar que no escopo da presente tese de�niremos os espinores do ponto de visto algébrico, mas isto não será feito para o caso do espinor Elko, devido ao fato dele pertence ao grupo de simetria HOM(2) ou SIM(2) que embasam a VSR. Porém, visando de�nir algumas caracterísitcas algébricas do Elko, construíremos as es- truturas bilineares associadas, para as quais usaremos a prescrição usada por Crawford na construção dos covariantes bilineares do espinor de Dirac. Por último, abordaremos o teorema da inversão proposto por Crawford em 1985 [22]. Devemos salientar que o precursor do teorema da inversão foi Takahashi, quando em 1982 [23] propôs a construção de espinores via as identidades de FPK. A proposta de Takahashi é conhecida como algoritmo de Takahashi e foi a primeira a mencionar a possibilidade de escrever os espinores em termos de seus covariantes bilineares. Entretanto Crawford simpli�cou o algoritmo de Takahashi, de tal maneira que conseguiu recuperar o espinor original em termos de seus covariantes bilineares de um modo mais simples e elegante. A presente tese está divida da seguinte maneira: No segundo capítulo apresentamos as ferramentas matemáticas que usaremos ao 15 longo da tese. De�niremos as álgebras de Cli�ord e alguns isomor�smos importantes que serão usados nos capítulos posteriores. De�niremos no terceiro capítulo os espinores do ponto de vista algébrico, exceção feita ao Elko, o qual de�niremos com o enfoque físico, tal como já mencionado. No quarto capítulo, construiremos as estruturas bilineares do espinor Elko, conside- rando sua estrutura dual correspondente. Para isso, será necessário entender o mecanismo usado por Crawford quando construiu as estruturas bilineares para o espinor de Dirac a partir da álgebra de Cli�ord Real. Nesse capítulo analisamos a covariância das estruturas bilineares, tanto por transformações de Lorentz quanto por transformações da VSR. Por �m, no quinto capítulo apresentamos a classi�cação de Lounesto e o teorema da inversão. Cabe mencionar que neste capítulo apresentamos três novas classes de espinores os quais surgem da premissa que o bilinear Jµ seja nulo, o que traz como consequência que esses novos espinores não satisfaçam a equação de Dirac. Portanto, apenas satisfazem a equação de Klein-Gordon. O quarto e quinto capítulo trazem nossas contribuições para a área. O último capítulo é reservado às considerações �nais. 16 Capítulo 2 Álgebra de Cli�ord O formalismo da álgebra de Cli�ord permite diversas aplicações, em particular a proemi- nente construção de espinores e operadores de Dirac. Porém, nesse capítulo apresentare- mos os conceitos gerais sobre a álgebra de Cli�ord e multivetores, os quais serão usados nos próximos capítulos. 2.1 Álgebra de Cli�ord no espaço Euclidiano Seja um vetor v pertencente a R3. Considerando que a base do espaço R3 seja {e1, e2, e3}, podemos expressar v em termos dos vetores da base v = v1e1 + v2e2 + v3e3, onde, v1, v2 e v3 pertencem a R. (2.1) A última expressão não é nada mais que a de�nição de um vetor no espaço Euclidiano. Uma pergunta que surge de maneira natural é: como podemos medir um vetor? A resposta tem a ver com a geometria ortogonal dos elementos da base do espaço Euclidiano. Para medir um vetor precisamos de�nir a norma do vetor e para isso é necessário que os vetores da base sejam unitários e ortogonais. Com essas considerações podemos de�nir a norma de um vetor como segue |v|2 = v21 + v22 + v23. (2.2) É necessário de�nir o produto entre os vetores do espaço R3, tal produto vamos chamar de P P (v,v) = |v|2. (2.3) 17 Vamos exigir que o produto P seja bilinear, ou seja, sendo α e β escalares P (αv1 + βv2,u) = αP (v1,u) + βP (v2,u), (2.4) P (v, αu1 + βu2) = αP (v,u1) + βP (v,u2). Das de�nições anteriores é possível encontrar a relação entre os vetores da base {ei}. Para tanto usamos a de�nição do produto entre dos vetores e aplicamos a de�nição de bilinearidade (2.4) P (v,v) = v21P (e1, e1) + v22P (e2, e2) + v23P (e3, e3) + v1v2[P (e1, e2) + P (e1, e2)] + v1v3[P (e1, e3) + P (e3, e1)] + v2v3[P (e2, e3) + P (e3, e2)]. (2.5) Comparando as equações (2.5) e (2.4), obtemos as seguintes relações P (e1, e1) = 1, P (e2, e2) = 1, P (e3, e3) = 1 (2.6) e P (e1, e2) + P (e2, e1) = 0, P (e1, e3) + P (e3, e1) = 0, (2.7) P (e2, e3) + P (e3, e2) = 0. Desta maneira, podemos induzir uma possível solução para as equações (2.7) P (ei, ej) = P (ej, ei) = 0, (i ̸= j). (2.8) Vamos impor que o resultado do produto P (ei, ej)(i ̸= j) seja um escalar. Desta maneira a equação (2.8) seria a única solução. Denota-se o produto P , por um ponto, ou seja, P (v,u) = v · u. O produto ponto é chamado de "escolha de Gibbs". Das relações anteriores e da imposição que o resultado do produto ponto forneça um escalar, encontramos as seguintes relações ei · ei = 1, (i = 1, 2, 3), (2.9) ei · ej = ej · ei = 0 (i ̸= j). (2.10) Assim, garantimos que a norma |v|2 = v · v se preserve quando introduzimos o produto P . Esse produto é o usual "produto escalar". Por outro lado, da equação (2.9), podemos a�rmar que os vetores da base {ei} são unitários, e da equação (2.10) é fácil ver que são também ortogonais para i ̸= j. É importante ressaltar que a escolha de Gibbs só se 18 justi�ca se o resultado do produto P (ei, ej), (i ̸= j) for escalar [24]. Mas como podemos ver, a escolha de Gibbs é um caso particular, já que existe uma outra possibilidade de denotar as equações (2.6) e (2.8), para a qual vamos de�nir o produto simplesmente por justaposição, ou seja, P (v,u) = vu, assim eiei = e2i = 1 (i = 1, 2, 3), (2.11) eiej + ejei = 0 (i ̸= j). (2.12) Das relações anteriores, de�nimos a norma |v|2 = vv = v2. Esta última de�nição é chamada de escolha de Cli�ord. Na escolha de Cli�ord o produto entre dois vetores é chamado de produto de Cli�ord ou produto geométrico. Da mesma maneira que na escolha de Gibbs, os vetores da base {ei} são unitários e ortogonais (i ̸= j). Uma característica particular da escolha de Cli�ord é a interpretação que temos que dar a e1e2 = 0. Do fato de não considerar mais a escolha de Gibbs, sabemos que e1e2 não pode ser um escalar. Para mostrar essa a�rmação, usamos um exemplo. Consideremos que e1e2 seja um escalar α, (tal que vα = αv), e fazendo a seguinte escolha v = e1, por exemplo, temos e1(e1e2) = e2, (e1e2)e1 = −e21e2 = −e2, (2.13) o que nos mostra que e1e2 não é um escalar. Por outro lado, também é fácil ver que e1e2 não é um vetor de R3, já que para v ∈ R3 a norma é não negativa, enquanto que (e1e2) 2 = (e1e2)(e1e2), (2.14) = −e21e22 = −1. (2.15) Desta maneira podemos descartar que o produto e1e2 seja um escalar e um vetor. Essa quantidade é chamada de bivetor. Um bivetor em R3 é um fragmento de plano com certa orientação. Assim, no espaço tridimensional não existem apenas segmentos de reta, mas também existem fragmentos de plano, superfícies, etc. Figura 2.1: O bivetor expressa um fragmento de área dado pelo produto e1e2. Daqui em diante vamos nos referir ao vetor que representa os segmentos de planos como um 2-vetor (bivetor). O bivetor pertence ao espaço vetorial ∧2(R3). Desta última de�nição, podemos escrever um vetor, de modo análogo, como ∧1(R3) = R3. Do mesmo modo, quando nos referirmos a um escalar (0-vetor) vamos denotar por ∧0(R3) = R. 19 O fato de que e1e2 = −e2e1, quer dizer que e1e2 e e2e1 são segmentos de plano com orientações opostas, ver Figura 2.2. A área ou norma de um bivetor A é denotado por | A |. Figura 2.2: Orientação do bivetor. O bivetor é unitário, de modo que A = αβe1e2 representa um fragmento de plano de área dado por | αβ |. Um bivetor arbitrário em ∧2(R3) é da forma 2∧ (R3) ∋ A = A12e12 + A13e13 + A23e23, (2.16) onde vamos denotar o produto de vetores da base como eiej = eij e A12, A13 e A23 são escalares, tais que Aij = −Aji, (i ̸= j). Olhando a equação (2.16), podemos ver que a dimensão de ∧2(R3) é três. Sabendo que é possível representar um bivetor como um paralelogramo orientado, isto sugere pensar que o bivetor é um produto geométrico de vetores ao longo de seus lados. Com isso em mente vamos introduzir o produto exterior −→a ∧ −→ b de dois vetores −→a e −→ b , como a varredura de −→a ao longo de −→ b . Os bivetores Figura 2.3: Produto exterior do ponto de vista geométrico. −→a ∧ −→ b e −→ b ∧ −→a tem a mesma área, mas tem sentidos opostos de rotação. Podemos expressar esta última a�rmação da seguinte maneira −→a ∧ −→ b = − −→ b ∧ −→a . (2.17) No espaço Euclidiano R3, podemos também de�nir um elemento de volume de uma maneira geométrica, se tomarmos os seguintes segmentos de reta OA, OB e OC, os quais são representados pelos vetores e1, e2 e e3 e estão orientados como mostra a Figura 2.4. Um tal vetor será dito um 3− vetor e o espaço vetorial será denotado por ∧3(R3). Note que existem duas possíveis orientações para um 3− vetor, de acordo com a regra da mão direita, orientação positiva no sentido anti-horário e negativa no sentido horário. Daqui em diante interpretaremos o objeto e1e2e3 como um 3− vetor. Notemos que a dimensão 20 Figura 2.4: O elemento de volume expresso geometricamente. de ∧3(R3) é 1, de modo que qualquer 3− vetor, Z, pode ser escrito como 3∧ (R3) ∋ Z = αe1e2e3, (2.18) onde α é um escalar. Notar que se α > 0, então Z representa um elemento de volume na orientação e1e2e3. Para α < 0, Z representa um elemento de volume com orientação oposta. Podemos também expressar um elemento de volume fazendo uso do produto exterior de três vetores, −→a ∧ −→ b ∧−→c , onde −→a = a1e1+a2e2+a3e3, −→ b = b1e1+ b2e2+ b3e3 e −→c = c1e1 + c2e2 + c3e3, o qual representa a orientação do volume de um paralelepípedo com arestas −→a , −→ b ,−→c −→a ∧ −→ b ∧ −→c = ∣∣∣∣∣∣∣ a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3 ∣∣∣∣∣∣∣ e1 ∧ e2 ∧ e3, (2.19) e a norma ou volume | −→ V | de um 3− vetor é dada por −→ V = V e1 ∧ e2 ∧ e3, (2.20) onde | −→ V | = V, o qual é de�nido por |V e1 ∧ e2 ∧ e3| = V. Como vimos até agora, em um espaço tridimensional encontramos, escalares, 1-vetor ou vetores, 2-vetor ou bivetor e por último o elemento de volume 3-vetor, os quais podemos expressar como seções do próprio espaço R3, como segue; ∧0(R3), ∧1(R3), ∧2(R3) e∧3(R3). É importante de�nir um nova estrutura, chamada multivetor, a qual contém todas essas seções do espaço ∧ (R3). Desta a�rmação, podemos dizer então que uma estrutura multivetorial ou multivetor é a soma direta de cada uma das seções anteriores, ou seja ∧ (R3) = 3 ⊕ k=0 ∧k(R3). Assim, um multivetor arbitrário A é da forma ∧ (R3) ∋ A = a︸︷︷︸ Escalar + a1e1 + a2e2 + a3e3︸ ︷︷ ︸ vetor + a12e1e2 + a13e1e3 + a23e2e3︸ ︷︷ ︸ bivetor + a123e1e2e3︸ ︷︷ ︸ volume . (2.21) 21 O espaço vetorial ∧ (R3) dotado do produto de�nido nas equações (2.11) e (2.12), é o que se denomina álgebra geométrica, no caso do espaço Euclidiano tridimensional. Denotaremos a álgebra associada com o espaço Euclidiano tridimensional por Cℓ3. O produto geométrico é justamente uma generalização do produto quaterniônico, o qual vamos de�nir mais adiante, enquanto a estrutura multivetorial de Cℓ3 é justamente a estrutura da álgebra de extensão de Grassmann. 2.2 Álgebra exterior e álgebra de Cli�ord Como vimos o objeto matemático ∧ (R3) é usado para abarcar seções do espaço Euclidiano R3. Esse objeto engendra a álgebra exterior do espaço linear R3 e representa uma soma direta de Subespaços de com base escalares R 1 vetores R3 e1, e2, e3 bivetores ∧2(R3) e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3 elemento de volume ∧3(R3) e1 ∧ e2 ∧ e3. Assim, podemos expressar a álgebra exterior como ∧ (R3) = 0∧ (R3)⊕ 1∧ (R3)⊕ 2∧ (R3)⊕ 3∧ (R3), ou simplesmente ∧ (R3) = R⊕ R3 ⊕ 2∧ (R3)⊕ 3∧ (R3). As dimensões de R,R3, ∧2(R3), ∧3(R3) e ∧ (R3) são 1, 3, 3, 1 e 23, respectivamente. A álgebra exterior ∧ (R3) é uma álgebra associativa com o elemento unidade, satis- fazendo ei ∧ ej = −ej ∧ ei, ∀ i ̸= j, ei ∧ ei = 0, sendo {e1, e2, e3} a base do espaço linear R3. Por outro lado, de�nimos o produto exterior de dois elementos homogêneos como a ∧ b ∈ i+j∧ (R3) ∀ a ∈ i∧ ,b ∈ j∧ (R3). (2.22) O produto de dois elementos u e v na álgebra de Cli�ord Cℓ3 do espaço Euclidiano R3 é dotado por justaposição, uv, para diferenciar do produto exterior u ∧ v. Uma base 22 ortonormal {e1, e2, e3} no espaço Euclidiano R3 ⊂ Cℓ3 satisfaz eiej = −ejei, ∀ i ̸= j, eiei = e2i = 1, (2.23) a qual gera a base de Cℓ3, que também corresponde com a base de ∧ R3: Cℓ3 ∧ R3 1 1 e1, e2, e3 e1, e2, e3 e1e2, e1e3, e2e3 e1 ∧ e2, e1 ∧ e3, e2 ∧ e3 e1e2e3 e1 ∧ e2 ∧ e3. Esta correspôndencia entre estas duas álgebras nos induz a representar o espaço linear Cℓ3 como Cℓ3 = R⊕ R3 ⊕ 2∧ (R3)⊕ 3∧ (R3). (2.24) Tal como de�nimos a estrutura multivetorial dentro do produto exterior, dada pela equa- ção (2.21), podemos dizer que a álgebra de Cli�ord pode ser de�nida como uma estrutura multivetorial. Produto de Cli�ord de dois vetores: O produto de Cli�ord entre dois vetores a e b é obtido pela adição do produto escalar a.b com o bivetor a ∧ b, ou seja ab = a.b+ a ∧ b. (2.25) Lembrando que no produto escalar a regra de comutação, a.b = b.a, é satisfeita, enquanto a regra de anti-comutação para o produto exterior, a∧ b = −b∧ a, também tem que ser considerada, temos a seguinte relação entre ab e ba ba = b.a+ b ∧ a, (2.26) = b.a− a ∧ b. (2.27) Como podemos ver o produto de Cli�ord não é comutativo. Por outro lado, o produto de Cli�ord é composto de uma parte simétrica, expressa pelo produto escalar, e parte antissimétrica, expressa pelo produto exterior. De�nição da Álgebra de Cli�ord versus álgebra exterior: Ambas as álgebras, a álge- bra de Cli�ord Cℓ3 e a álgebra exterior ∧ R3,1 contêm uma cópia de R3, que permite aplicações para fazer cálculos geométricos em R3. A diferença entre as duas álgebras consiste basicamente na multiplicação, já que a multiplicação de Cli�ord de dois vetores preserva a norma, |ab| = |a||b|, para todo a,b ∈ R3, enquanto a multiplicação no produto 23 exterior não preserva a norma, |a ∧ b| ≤ |a||b|. Considerações Gerais Seja B = {e1, ....., en} uma base ortogonal do espaço vetorial V , tal que eiej = ei ∧ ej, (i ̸= j), (2.28) com a qual podemos generalizar a seguinte relação eµ1eµ2 · · · ·eµp = eµ1 ∧ eµ2 ∧ · · · · ∧eµp , (µ1 ̸= µ2 ̸= · · · · µp). (2.29) A dimensão de Cℓ(V, g) é obviamente dada por n∑ p=0 ( n p ) , ou seja, dim Cℓ(V, g) = 2dim V . (2.30) É importante mencionar a existência do isomor�smo entre a álgebra de Cli�ord Cℓ(V, g) e a álgebra exterior ∧ (V ) ou a álgebra de Grassmann G (V ). É evidente que este isomor�smo não é um isomor�smo algébrico (do fato que tinhamos mencionado anteriormente, sobre a preservação da norma) mas sim um isomor�smo de espaços vetoriais, Cℓ(V, g) ≃ V ∧ (V ). (2.31) Por isso é normal que encontremos em muitos livros-texto o uso da mesma notação tanto para a álgebra de Cli�ord Cℓ(V, g), como para as operações de espaço vetorial que é de�nida para a álgebra exterior. Deste modo o subespaço dos p-vetores continuará sendo denotado por ∧ p(V ), de modo, que como espaço vetorial, podemos representar Cℓ(V, g) como Cℓ(V, g) = n ⊕ p=0 ∧ p (V ). (2.32) De�niremos os operadores de projeção em termos da álgebras de Cli�ord ⟨ ⟩p : Cℓ(V, g)→ ∧ p (V ). (2.33) Cabe mencionar que o operador projeção na parte escalar ⟨ ⟩0 possui uma utilidade muito grande dentro do formalismo das álgebras de Cli�ord. Façamos uma observação sobre as álgebras de Cli�ord. A estrutura multivetorial por detrás da álgebra de Cli�ord Cℓ(V, g), a qual é dada pela equação (2.29), tem uma base ortogonal. Tentar ver esta estrutura multivetorial utilizando uma base que não seja ortogonal, leva a usar uma 24 álgebra de Cli�ord Z2-graduada [24], enquanto as álgebras exterior e de Grassmann são Zn-graduadas, que é o que permite identi�car a estrutura multivetorial. Entretanto, a estrutura multivetorial é independente de bases. O fato de se trabalhar com álgebras de Cli�ord com uma base ortogonal é devido a que todos os cálculos �cam mais simpli�cados [25]. 2.2.1 Representação matricial de Cℓ3 Denotamos o conjunto de matrizes 2 × 2, com números complexos como entrada, por Mat(2,C). Esse é o conjunto das matrizes de Pauli σ1 = ( 0 1 1 0 ) , σ2 = ( 0 −i i 0 ) , σ3 = ( 1 0 0 −1 ) , (2.34) que satisfazem as seguintes regras de multiplicação σ2 1 = σ2 2 = σ2 3 = I, (2.35) σ1σ2 = iσ3 = −σ2σ1, (2.36) σ3σ1 = iσ2 = −σ1σ3, (2.37) σ2σ3 = iσ1 = −σ3σ2. (2.38) É importante salientar que as matrizes de Pauli são geradores da álgebra Mat(2,C). Assim, podemos identi�car a seguinte correspondência entre os geradores da álgebra Mat(2,C) com os geradores ou base da álgebra de Cli�ord, e1 ≃ σ1, e2 ≃ σ2, e3 ≃ σ3. Tal identi�cação estabelece um isomor�smo entre as álgebras reais Cℓ3 ≃Mat(2,C), com a seguinte correspondência dos elementos da base: Mat(2,C) Cℓ3 I I σ1, σ2, σ3 e1, e2, e3 σ1σ2, σ1σ3, σ2σ3 e1e2, e1e3, e2e3 σ1σ2σ3 e1e2e3 lembrando que eiej = −ejei, para i ̸= j. Em função do isomor�smo, podemos representar os vetores {e1, e2, e3} pelas matrizes {σ1, σ2, σ3} e trabalhar com a álgebra Mat(2,C) ao invés de Cℓ3. Por um lado, é certo que muitas vezes é mais útil trabalhar com a álgebra Mat(2,C) ao invés de Cℓ3, mas devemos evitar esse abuso sempre que possível, já que usando só a álgebra Mat(2,C) perdemos a estrutura multivetorial de Cℓ3, a qual é de extrema importância e utilidade. Exempli�caremos melhor o isomor�smo quando de�nirmos, na seguinte seção, os quatérnions dentro de Cℓ3. Sub-álgebra par Cℓ+3 : Os elementos I e e1e2, e1e3 e e2e3, são chamados pares, porque eles são produto de número par de vetores. Desta maneira podemos representar um 25 elemento de Cℓ+3 como ω + xe2e3 + ye3e1 + ze1e2. (2.39) Os elementos pares formam um subespaço real R⊕ 2∧ (R3) = {ω + xe2e3 + ye3e1 + ze1e2/ω, x, y, z ∈ R}, (2.40) ≃ {ω + xiσ1 + yiσ2 + ziσ3/ω, x, y, z ∈ R}, (2.41) o qual é fechado sob a multiplicação. Com isso, podemos a�rmar que o subespaço R ⊕∧2(R3) é uma sub-álgebra, chamada sub-álgebra par de Cli�ord. Daqui em adiante denotaremos a sub-álgebra par por Cℓ+3 . É importante mencionar que Cℓ+3 é isomorfa à álgebra dos quatérnions H, que abordaremos na seguinte seção. 2.3 Quatérnions Como é sabido, empregamos os números complexos para representar rotações no plano R2. Para estudar rotações em R3, de�niremos uma nova estrutura matemática chamada de quatérnions H. A composição espacial de rotações não é comutativa, porém precisamos de�nir uma multiplicação que seja não comutativa para representar o grupo de rotações SO(3). Para fazer essa abordagem podemos empregar a álgebra real de matrizes 3 × 3 (Mat(3,R)), ou a álgebra real dos quatérnions H. Os quatérnions são uma generalização dos números complexos, e tem a seguinte estrutura q = ω + ix+ jy + kz, (2.42) onde ω, x, y e z são números reais, e as unidades imaginárias i, j, k, satisfazem as seguintes regras de multiplicação i2 = j2 = k2 = −1, ij = k = −ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik. (2.43) Notemos que a multiplicação é por de�nição não comutativa. Entretanto pode-se mostrar que a multiplicação entre quatérnions é associativa i2 = j2 = k2 = ijk = −1 = (ij)k = i(jk). (2.44) Parte pura e o produto cruzado entre quatérnions: Dado um quatérnion q, podemos ver que o mesmo é formado pela soma de um escalar e um vetor. Chamaremos a parte real do quatérnion por Re(q) = ω ∈ R, e a parte pura do quatérnion por Pu(q) = ix+jy+kz ∈ 26 R3. Os quatérnions formam um espaço linear real de 4-dimensões H, o qual contém um eixo real R e um espaço linear de 3 dimensões R3, assim podemos representar o espaço dos quatérnions como H = R⊕R3. O produto de dois quatérnions a = a0 + −→a e b = b0 + −→ b , pode ser escrito como ab = a0b0 −−→a . −→ b + a0 −→ b +−→a b0 +−→a × −→ b . (2.45) Conjugação de quatérnions, norma e inversa: Dado um quatérnion q = ω + ix + jy + kz, o conjugado q, nada mais é do que q com parte pura conjugada, ou seja q = ω − ix− jy − kz. (2.46) A multiplicação de um quatérnion q e seu conjugado q, resulta em um número escalar qq = ω2 + x2 + y2 + z2, chamado de norma ao quadrado de q. Assim a norma |q| é dada por |q| = √ qq |ω + ix+ jy + kz| = √ ω2 + x2 + y2 + z2. (2.47) A norma do produto de dois quatérnions a e b é o produto de suas normas, |ab| = |a||b|, para a e b ∈ H. A inversa q−1, de um quatérnion não nulo q, é obtida de maneira simples, a partir de uma manipulação algébrica de qq = |q|2, assim, temos q−1 = q |q|2 , (2.48) de forma explícita, podemos representar a equação anterior como 1 ω + îx+ ĵy + k̂z = ω − îx− ĵy − k̂z ω2 + x2 + y2 + z2 . (2.49) Vejamos agora as rotações em 3 dimensões, usando os quatérnions. Rotações em 3 dimensões: Consideremos um quatérnion puro ou em outras palavras um vetor −→r = ix+ jy + kz ∈ R3, (2.50) de comprimento |−→r | = √ x2 + y2 + z2. Para um quatérnion a não nulo, a expressão a−→r a−1 é também um quatérnion puro com o mesmo comprimento |−→r | a−→r a−1 ∈ R e |a−→r a−1| = |−→r |. (2.51) 27 Em outras palavras, existe o seguinte mapeamento R3 → R3, (2.52) −→r 7→ a−→r a−1, (2.53) o qual representa uma rotação no espaço quadrático R3 de quatérnions puros. Como é sabido, cada rotação em SO(3) = {U ∈ Mat(3,R)/UTU = I, det(U) = 1}, pode ser representado por dois quatérnions, a e −a, os quais representam a mesma rotação, a−→r a−1 = (−a)−→r (−a)−1. Em outras palavras, uma esfera unitária S3 = {q ∈ H/|q| = 1}, (2.54) é um recobrimento duplo do grupo SO(3), ou seja, SO(3) ≃ S3/{±1}. 2.4 Isomor�smo entre Cℓ+3 e quatérnions Como tinhamos de�nido anteriormente, um elemento da sub-álgebra Cℓ+3 é representado por A = ω + xe2e3 + ye3e1 + ze1e2. (2.55) Vamos introduzir a seguinte notação î = e2e3, ĵ = e3e1, k̂ = e1e2, (2.56) de maneira que A = ω − îx− ĵy − k̂z. (2.57) Notemos que, usando as relações (2.11) e (5.32) î2 = ĵ2 = k̂2 = −1, (2.58) îĵ = −ĵ î = k̂, (2.59) ĵk̂ = −k̂ĵ = î, (2.60) k̂î = −îk̂ = ĵ, (2.61) observando as relações (2.43) e (2.60)-(2.61) ambas são idênticas. É possível então a�rmar que Cℓ+3 é uma álgebra isomorfa a dos quatérnions, Cℓ+3 ≃ H, desde que identi�quemos {i, j, k} ↔ {̂i, ĵ, k̂}. É importante mencionar que os quatérnions são de muita importância para caracte- 28 rizar espinores, uma vez que os espinores poderão ser de�nidos como matrizes 2× 2 com entradas quaterniônicas representadas pela álgebraMat(2,H), como veremos na aplicação no teorema da inversão. 29 Capítulo 3 Espinores De�nir espinores não é uma tarefa simples, e de fato existem diferentes de�nições na li- teratura. Um fator determinante para tal é a não unicidade na de�nição sob a teoria de espinores, devido ao desenvolvimento independente de físicos e matemáticos. Menciona- remos três de�nições de espinores, que são as que consideramos mais importantes e as quais foram usadas no escopo desta tese. Cada uma destas de�nições tem um enfoque diferente. Cabe mencionar, que duas destas estão bem de�nidas, enquanto a outra vem tomando bastante importância, devido a sua aplicação. As três de�nições de espinores são i) Clássica, ii) Algébrica e iii) Operatorial [14]-[28]. Tanto a de�nição Clássica quanto a Algébrica são as bem estabelecidas. O termo �clássico� de espinores clássicos não está relacionado ao aparecimento desses objetos dentro da mecânica clássica. Espinores Clássicos: Do ponto de vista matemático, um espinor Clássico é um ele- mento de C2. Tais espinores foram utilizados por Pauli na descrição do comportamento de um elétron segundo a mecânica quântica não relativista, considerando o spin do elétron. A grande diferença entre a teoria de Pauli e Schrödinger é basicamente a consideração do spin. Dentro da mecânica quântica esses objetos são conhecidos como espinores de Pauli. Mais adiante falaremos com mais detalhe sobre tais espinores. Do ponto de vista relativístico, as rotações no espaço-tempo são descritas por elementos do grupo SO+(1, 3), chamado grupo de Lorentz ortócrono próprio ou simplesmente grupo de Lorentz. Existe um grupo de simetria que tem um papel análogo ao anterior, esse grupo é SL(2,C), grupo de matrizes complexas de ordem dois e determinante igual a um. O grupo SL(2,C) é o recobrimento duplo de SO+(1, 3). Porém existe um isomor�smo SL(2,C) ≃ Spin+(1, 3), e como é sabido C2 é o espaço de representação do grupo Spin. Assim �ca óbvio que C2 é também o espaço de representação de SL(2,C). Existem duas representações não equivalentes de SL(2,C), essas representações são denotadas por D(1/2, 0) e D(0, 1/2). Elementos de um espaço que carregam só uma dessas representações são chamados espino- res de Weyl. Assim os espinores de Weyl são elementos do espaço de representação de um grupo de Spin, ou seja, Spin+(1, 3) ≃ SL(2,C), e eles estão dentro da de�nição dos chama- dos espinores clássicos. Por outro lado, os espinores de Dirac, segundo a de�nição clássica 30 são elementos de C4 e carregam uma representação irredutível de Spin+(1, 3) ≃ SL(2,C), formada por dois espinores de Weyl, um para cada uma das representações irredutíveis D(1/2, 0) e D(0, 1/2). Assim, podemos dizer que do ponto de vista clássico, os espinores são objetos que carregam uma representação irredutível do grupo Spin+(1, 3) [2]. Espinores Algébricos: Um espinor algébrico é um elemento de um ideal minimal à esquerda de uma álgebra de Cli�ord. A representação da álgebra de Cli�ord obtida do argumento anterior é chamada representação espinorial. Espinor Operatorial: O espinor operatorial, o qual tem uma abordagem diferente de outra representação da álgebra de Cli�ord. Essa representação utiliza como espaço de representação a sub-álgebra par de uma álgebra de Cli�ord [8] . Como podemos ver existem diversas de�nições, porém devemos tomar muito cuidado e deixar bem claro que de�nição ou com que tipo de espinor estamos trabalhando. 3.1 Espinor de Pauli Na teoria não relativística já era considerada a existência do spin do elétron, cuja descrição requeria a função de onda como uma matriz coluna. Esse objeto matemático é chamado de espinor de Pauli o qual é dado por ψ = ( ψ1 ψ2 ) ∈ C2, onde ψ1, ψ2 ∈ C. (3.1) Um isomor�smo de um espaço linear complexo é obtido substituindo o espinor de Pauli por um espinor representado por uma matriz quadrática, assim como segue ψ = ( ψ1 0 ψ2 0 ) . (3.2) Cabe mencionar que desse modo a representação matricial do espinor de Pauli tem a característica que só a primeira coluna é não nula. Desse fato podemos de�nir o seguinte ψ ∈Mat(2,C)f, (3.3) onde f = ( 1 0 0 0 ) , (3.4) lembrando queMat(2,C) é a álgebra das matrizes complexas 2×2 gerada por {I, σ1, σ2, σ3}. Vimos a existência da correspondência entre e1 ≃ σ1, e2 ≃ σ2, e3 ≃ σ3, explicitando o iso- mor�smo entre Cℓ3 e Mat(2,C). Agora, se multiplicamos ψ ∈ C pela esquerda por um 31 elemento arbitrário u ∈ Cℓ3 ≃Mat(2,C), o resultado dessa multiplicação nos fornece uma matriz com as mesmas características( u11 u12 u21 u22 )( ψ1 ψ2 ) = ( φ1 0 φ2 0 ) , (3.5) onde φ1 = u11ψ1 + u12ψ2, (3.6) φ2 = u21ψ1 + u22ψ2. (3.7) Tal conjunto de matrizes, das quais só a primeira coluna é não nula, é o ideal pela esquerda S de Cℓ3, tal que uψ ∈ S, para todo u ∈ Cℓ3 e ψ ∈ S ⊂ Cℓ3. (3.8) Agora, vamos procurar uma de�nição equivalente do espinor de Pauli em termos de Cℓ3, o qual deve fornecer uma interpretação geométrica. Consideremos o multivetor f dado por f = 1 2 (1 + e3) ≃ ( 1 0 0 0 ) . (3.9) O multivetor f tem a característica de ser um idempotente, uma vez que f 2 = f. Assim podemos concluir que C2 é isomorfo ao ideal minimal pela esquerda de forma Cℓ3(1/2)(1+ e3), ou seja C2 ∋ ( ψ1 ψ2 ) ←→ ( ψ1 0 ψ2 0 ) ∈ Cℓ3 1 2 (1 + e3). (3.10) Notemos que os elementos da sub-álgebra par Cℓ+3 são representados por matrizes da seguinte forma ( ψ1 −ψ∗ 2 ψ2 ψ∗ 1 ) . (3.11) Como podemos ver, as estruturas matriciais dadas por (3.10) e (3.11) tem os mesmos graus de liberdade, e pode-se estabelecer o isomor�mo Cℓ+3 ≃ Cℓ3(1/2)(1 + e3) ≃ C2. Devido ao isomor�smo podemos representar os espinores de Pauli como matrizes, o que é de muito auxílio na manipulação do espinor, já que há casos nos quais a manipulação álgebrica do espinor é muito trabalhosa. Ao �nal, caso trabalhemos com a representação matricial e queiramos recuperar a representação álgebrica, devemos simplesmente lembrar 32 que ( ψ1 ψ2 ) = ( ψ1 −ψ∗ 2 ψ2 ψ∗ 1 )( 1 0 ) . (3.12) Portanto, devido ao isomor�smo, podemos observar que Spin(3) ≃ SU(2) e é dado por Spin(3) = {A ∈ Cℓ+3 /Aà = ÃA = 1}. (3.13) 3.2 Espinor de Dirac Como é sabido a equação de Schrödinger não descreve fenômenos quânticos e relativísticos. Para levar em conta fenômenos relativísticos devemos considerar a equação de dispersão E2 = p2 +m2, na qual as grandezas energia e momento são tratados como operadores. Dessa consideração é que surge a equação de Klein-Gordon (∂µ∂µ +m2)ψ = 0. (3.14) A equação de Klein-Gordon trata o espaço e tempo em mesmo pé de igualdade, mas apresenta um problema: a densidade de probabilidade não positiva de�nida. Esse fato, motivou Dirac em 1928, a linearizar a equação de Klein-Gordon. O resultado da lineari- zação é a bem conhecida equação de Dirac (iγµ∂µ −m)ψ = 0. (3.15) Cabe mencionar que a equação de Dirac é obtida dado que as matrizes γ satisfaçam a condição das álgebras de Cli�ord {γµ, γν} = 2gµνI, onde µ, ν = 0, 1, 2, 3 e (3.16) γ20 = I, γ21 = γ22 = γ23 = −I. 33 Das relações anteriores, Dirac encontrou o conjunto de matrizes quadradas e de dimensão 4 que as satisfazem, as matrizes de Dirac, dadas por γ0 =  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1  , γ1 =  0 0 0 −1 0 0 −1 0 0 1 0 0 1 0 0 0  , (3.17) γ2 =  0 0 0 i 0 0 −i 0 0 −i 0 0 i 0 0 0  , γ3 =  0 0 −1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 −1 0 0  , (3.18) na representação de Weyl (chiral). É possível expressar as matrizes de Dirac de uma maneira mais elegante e reduzida, em termos das matrizes de Pauli σκ, assim γ0 = ( I O O −I ) , γκ = −γκ = ( O −σκ σκ O ) . (3.19) Com essas considerações, devemos de�nir a �função de onda� ψ, como um espinor coluna dado por ψ =  ψ1 ψ2 ψ3 ψ4  ∈ C4 onde ψα ∈ C. (3.20) A grande diferença entre a equação de Schrödinger-Pauli e a equação de Dirac (5.27), é que a equação de Dirac leva em conta o fenômeno relativístico e também o spin para o caso de partículas de spin-1/2, tipo o elétron. Por outro lado, a função de onda ψ, além de poder ser representada por um espinor coluna ψ ∈ C4, pode também ser representada em termos de uma matriz quadrada de dimensão quatro de entradas complexas. Para que a a�rmação anterior seja válida, será necessário que a primeira coluna de tal matriz seja não nula. Sendo assim, o espinor ψ �caria de�nido em uma outra álgebra, a álgebra de�nida por Mat(4,C). Após desta de�nição, surge uma pergunta intuitiva: como podemos conectar elementos de C4 com os elementos de�nidos como matrizes quadradas de dimensão quatro? A resposta é simples, precisamos de�nir um elemento f, chamado idempotente primitivo, tal que, f 2 = f. Cabe mencionar que caso os espinores estejam de�nidos no espaço-tempo de Minkowski (R1,3), o idempotente primitivo estará associado aos operadores de projeção de energia 1/2(I + γ0) e com o operador projeção associado com o spin 1/2(I + iγ1γ2). Em outras palavras, o spin é quantizado na direção dada por γ3 ou mais precisamente no 34 plano formado pelos vetores γ1 e γ2. Desta maneira um elemento de�nido em C4, ou seja o espinor ψ, pode também ser representado como ψ ∈Mat(4,C)f, onde f é de�nido por f = 1 2 (I+ γ0) 1 2 (1 + iγ1γ2) =  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  . (3.21) Assim, podemos a�rmar que o espinor de Dirac pode ser representado como um espinor coluna, ou de maneira análoga como um espinor representado por uma matriz quadrada ψ =  ψ1 ψ2 ψ3 ψ4  ∈ C4, ou ψ =  ψ1 0 0 0 ψ2 0 0 0 ψ3 0 0 0 ψ4 0 0 0  ∈ Mat(4,C)f. (3.22) Vamos de�nir o espinor ψ ∈ C4, da seguinte maneira ψ = ψ1f1 + ψ2f2 + ψ3f3 + ψ4f4, (3.23) onde ψ expressa uma base do espaço linear complexo do espinor, o qual denotaremos por S = (C⊗ Cℓ1,3)f. De�namos os fi como f1 = 1 4 (I+ γ0 + iγ12 + iγ012) = f, (3.24) f2 = 1 4 (−γ13 + iγ23 − γ013 + iγ023) = −γ13f, (3.25) f3 = 1 4 (γ3 − γ03 + iγ123 − iγ0123) = −γ03f, (3.26) f4 = 1 4 (γ1 − iγ2 − γ01 + iγ02) = −γ01f, (3.27) onde γ12 = γ1γ2 e γ0123 = γ0γ1γ2γ3. Como vimos o espinor ψ pode ser representado como diferentes estruturas algébricas sem perda de generalidade. Isto é de muita importância desde que nos fornece uma diversidade de opções para abordar os espinores. É claro que devemos fazer a escolha correta, de tal maneira que os cálculos a realizar com os espinores sejam mais simples e mais familiares. Tal diversidade de opções de abordar os espinores do ponto de vista matemático são garantidas pelos isomor�smos relacionados com a estrutura algébrica do espinor C4 ≃Mat(4,C)f ≃ (C⊗ Cℓ1,3)f. (3.28) 35 Da última equação observamos que Mat(4,C) ≃ C⊗ Cℓ1,3. (3.29) Devemos enfatizar o seguinte, embora sejam álgebras isomorfas, ambas álgebras possuem diferentes de�nições. Mostraremos essas diferenças na seguinte Tabela 3.1. Portanto, se Tabela 3.1: Diferenças entre as álgebras C⊗ Cℓ1,3 e Mat(4,C) C⊗ Cℓ1,3 Mat(4,C) complexo conjugado u∗ γ013u ∗γ−1 013 γ013u ∗γ∗013 u∗ complexo conjugado conjugação de Cli�ord u γ02u Tγ−1 02 γ13ũγ −1 13 uT Transposta γ0ũ ∗γ−1 0 u† = u∗T Conjugado Hermitiano ũ∗ γ0u †γ−1 0 Adjunto de Dirac consideramos um elemento u que pertence a álgebra das matrizes Mat(4,C), o complexo conjugado associado é de�nido por u∗ = (ujk) ∗ = u∗kj, enquanto um elemento u ∈ C⊗Cℓ1,3 tem seu complexo conjugado de�nido por u∗ = (a+ib)∗ = a−ib para a, b ∈ Cℓ1,3. Por outro lado, uT na álgebra Mat(4,C) é de�nido como a transposta conjugada de u, enquanto seu análogo nas álgebras C⊗ Cℓ1,3 é dado pelo elemento ũ o qual é chamado de reverso. Finalmente podemos a�rmar que o espinor de Dirac pode ser representado como um espinor columa ψ ∈ C4 ou como uma matriz quadrada ψ ∈Mat(4,C)f ou também dentro das álgebras de Cli�ord ele aparece como ψ ∈ (C⊗ Cℓ1,3)f. Uma outra forma de se representar os espinores de Dirac é através das matrizes de dimensão 2⊗2 com entradas quaterniônicas de�nida porMat(2,H), essa abordagem será utilizada no capítulo �nal da tese, quando abordaremos a construção de novos espinores via o teorema da inversão [25]. 3.3 O espinor Elko É bem conhecido que todos os espinores no espaço-tempo de Minkowski são dados, do ponto de vista clássico, como elementos que carregam as representações do espaço, (D(1/2,0) ⊕ D(0,1/2)), ou D(1/2,0), ou (D(0,1/2)), do grupo SL(2,C). No entanto, o espinor Elko pode ser entendido como um objeto que carrega a representação linear do subgrupo do grupo de Lorentz SIM(2) ou HOM(2) [29, 30]. Sendo assim, usaremos outros ingre- dientes para de�nir e construir o espinor Elko. Como é sabido, Ettore Majorana em 1937 propôs autoespinores do operador con- jugação de carga [31], com autovalor positivo, os quais descrevem partículas sem carga elétrica. A primeira modi�cação, no que concerne ao Elko, é a consideração dos auto- valores negativos da atuação do operador conjugação de carga. Desta maneira, pode-se 36 de�nir inicialmente os espinores Elko como satisfazendo Cλ(p) = ±λ(p), (3.30) onde C é o operador conjugação de carga C = ( O σ2 −σ2 O ) . (3.31) Portanto, o espinor Elko possui autovalores ±1, sob atuação do operador conjugação de carga, formando um conjunto completo espinores autoconjugados (autovalor +1) e anti- autoconjugados (com autovalor -1). Os espinores Elko tem intrinsecamente helicidade dual. Ao se de�nir a helicidade de uma das componentes espinoriais como positiva ou negativa a outra componente automaticamente adota helicidade oposta. Esse fenômeno está relacionado a algumas propriedades do operador de Wigner, Θ, que mostraremos a seguir. 3.3.1 Estrutura dos espinores Elko Para de�nir a estrutura dos espinores Elko é necessário rever algumas propriedades dos operadores de boost e do operador de Wigner. Na representação do espaço (1/2, 0) ⊕ (0, 1/2) com a estrutura do grupo de Lorentz, podemos a�rmar que existe uma relação entre os operadores de boost κ(1/2,0) e κ(0,1/2), dada pelo operador de paridade, pois é possível construir κ(1/2,0) a partir de κ(0,1/2) apenas pela aplicação de P [29]. Vamos de�nir os operadores de boost como κ(1/2,0) = e −→σ 2 .−→φ = √ E +m 2m ( I+ −→σ .−→p E +m ) , (3.32) κ(1/2,0) = e −−→σ 2 .−→φ = √ E +m 2m ( I− −→σ .−→p E +m ) . Tais operadores satisfazem as seguintes relações (κ(0,1/2))−1 = (κ(1/2,0))†, (κ(1/2,0))−1 = (κ(0,1/2))†. (3.33) O operador de Wigner ou também chamado de operador reversão temporal, Θ, é dado por Θ = ( 0 −1 1 0 ) . (3.34) 37 Combinando o operador de Wigner com as matrizes de Pauli, encontrarmos a seguinte propriedade (neste caso para a representação de spin 1/2) ΘσiΘ −1 = −σ∗ i . (3.35) Tal relação nos permite a construção das componentes do espinor Elko em termos de componentes de mão direita, ϕR(p), e componente de mão esquerda, ϕL(p). Assim ϕR(p) se transforma como objeto de (1/2, 0) no espaço de representações e a componente ϕL(p) como um objeto de (0, 1/2) : ϕR(p) → e −→σ 2 .−→φϕR(0), (3.36) ϕL(p) → e− −→σ 2 .−→φϕL(0). O raciocínio para construir os espinores Elko é usar a relação (3.35) para expressar a trans- formação das componentes de mão direita em mão esquerda e vice-versa. Para conseguir atingir nosso objetivo precisamos conjugar a equação (3.36) e em seguida multiplicamos pela esquerda por Θ, o que nos leva a Θϕ∗ R(p) = e− −→σ 2 .−→φΘϕ∗ R(0), (3.37) Θϕ∗ L(p) = e −→σ 2 .−→φΘϕ∗ L(0). Quando comparamos as transformações (3.36) e (3.37), podemos concluir o seguinte: • Se ϕL(p) se transforma como componente de mão esquerda, então (Ξ(p)λΘ)ϕ∗ L(p) se transforma como componente de mão direita, onde Ξ(p)λ é um fator de fase, o qual ainda não está especi�cado. • Se ϕR(p) se transforma como componente de mão direita, então (ζρΘ)∗ϕ∗ R(p) se transforma como mão esquerda, com o fator de fase ζρ a ser de�nido mais adiante. Na construção do espinor Elko a expressão (3.35) representa o único relação entre os espaços de representação. Já no caso do espinor de Dirac quem está encarregado de fazer o elo entre os espaços de representação é o operador paridade. Por outro lado, é nosso dever deixar claro que no caso do espinor Elko, devido ao fato da não consideração do operador paridade na sua construção, pode não obedecer a dinâmica de Dirac, uma vez que o operador paridade e o operador de Dirac estão relacionados [32, 33]. Limitando-nos apenas a autovalores reais pela atuação do operador conjugação de carga temos que as fases devem tomar os valores ±i. Por simplicidade e com o intuito de obter a forma explícita os espinores λS/A(p), vamos escrevê-los no referencial de repouso e 38 uma vez tenhamos encontrado sua forma explícita aplicamos um boost para obter λS/A(p) [18]. Assim, de�nimos o conjunto dos λS/A(p), no referêncial em repouso, como segue λS(0) = ( iΘϕ∗ L(0) ϕL(0) ) , λA(0) = ( −iΘϕ∗ L(0) ϕL(0) ) . (3.38) A forma explícita é implementada via atuação do operador helicidade [34]. Para repre- sentar tal operador, usaremos as matrizes de Pauli. Usaremos também o vetor unitário do momento, p̂ = p |p| , assim a equação de autovalor para o operador helicidade �ca dada por σ.p̂|ϕR/L⟩ = ±|ϕR/L⟩, (3.39) onde o vetor unitário p̂ na forma parametrizada em coordenadas esféricas é p̂ = (sin θ cosϕ, sin θ sinϕ, cos θ). (3.40) Para resolver a equação (3.39), de�niremos ϕL como um espinor de duas componentes ϕ± L(0) = ( ϕ± L1(0) ϕ± L2(0) ) , (3.41) de modo que ( cos θ sin θe−iϕ sin θeiϕ − cos θ )( ϕ+ L1(0) ϕ+ L2(0) ) = + ( ϕ+ L1(0) ϕ+ L2(0) ) , (3.42) e �nalmente, após algumas manipulações, obtemos ϕ+ L(0) = √ m ( cos θ/2e−iϕ/2 sin θ/2eiϕ/2 ) . (3.43) Procedendo de maneira análoga para a componente com helicidade negativa, chegamos a ϕ− L(0) = √ m ( sin θ/2e−iϕ/2 − cos θ/2eiϕ/2 ) . (3.44) É importante mencionar que o fator de massa m é escolhido de forma que no limite de partículas sem massa (m → 0), os espinores em repouso no espaço de representação desapareçam, pois não podem existir partículas sem massa em repouso [35]. De maneira análoga, podemos calcular os autoestados de helicidade para a com- ponente que se transforma como mão direita Θϕ±∗ L . Para tanto, conjugamos a equação 39 σ.p̂ϕ± L( −→ 0 ) = ±ϕ± L( −→ 0 ), obtendo σ∗.p̂[ϕ± L(0)] ∗ = ±[ϕ± L(0)] ∗. (3.45) Substituindo σ∗ dado na equação (3.35), a expressão anterior �ca ΘσΘ−1.p̂[ϕ± L(0)] ∗ = ∓[ϕ± L(0)] ∗ (3.46) e usando a propriedade do operador de Wigner Θ−1 = −Θ, temos −Θσ.Θp̂[ϕ± L(0)] ∗ = ∓[ϕ± L(0)] ∗. (3.47) Finalmente multiplicamos Θ pela esquerda em ambos os lados da equação (3.47), obtendo σ.p̂Θ[ϕ± L(0)] ∗ = ∓Θ[ϕ± L(0)] ∗. (3.48) Como podemos observar da equação anterior, a componente Θ[ϕ± L(0)] ∗ pela ação do ope- rador helicidade troca de helicidade com relação a ϕ± L(0). Esse resultado contrasta com os espinores de Dirac e Majorana, pois ambos possuem helicidade única [29]. Com todas essas considerações, podemos de�nir os espinores autoconjugados como λS{−+}(0) = ( iΘ[ϕ+ L(0)] ∗ ϕ+ L(0) ) , λS{+−}(0) = ( iΘ[ϕ− L(0)] ∗ ϕ− L(0) ) (3.49) e de maneira análoga escrevemos os espinores anti-autoconjugados como λA{−+}(0) = ( −iΘ[ϕ+ L(0)] ∗ ϕ+ L(0) ) , λA{+−}(0) = ( −iΘ[ϕ− L(0)] ∗ ϕ− L(0) ) . (3.50) Neste ponto é importante fazermos uma pausa para entender a estrutura dos espinores que escrevemos (3.49) e (3.50). As quantidades entre chaves {±,∓}, estão relacionadas com a helicidade: a primeira entrada corresponde a helicidade da componente superior, enquanto a segunda entrada refere-se a helicidade da componente inferior. Uma vez de�nidos os espinores Elko no referencial em repouso, é fácil obtê-los em um referencial arbitrário, aplicando o boost de Lorentz completo λ{h−h}(p) = ( κ(1/2,0) O O κ(0,1/2) ) λ{h−h}(0). (3.51) 40 A expressão anterior pode ser escrita de uma forma mais explícita, usando a expressão estendida do operador de boost dado na equação (3.32) e trocando σ.p por pσ.p̂: λ(p) = √ E +m 2m ( I− pσ.p̂ E +m )( iΘ[ϕ+ L(0)] ∗ ϕ+ L(0) ) . (3.52) Da equação (3.39), sabemos como age o operador σ.p̂ sobre as componentes do espinor. Com essa consideração é possível escrever de uma maneira mais completa os espinores em termos das helicidades e para um momento arbitrário λS{∓±}(p) = E +m 2m ( 1∓ p E +m ) λS{∓±}(0). (3.53) Cabe mencionar que a expressão anterior não possui mais o operador helicidade, já que ele atuou sobre as componentes do espinor λS{∓±}(0). Da mesma maneira podemos proceder com os cálculos para encontrar os λA{∓±}(p), λA{∓±}(p) = E +m 2m ( 1∓ p E +m ) λA{∓±}(0). (3.54) Uma vez de�nida a forma explícita dos espinores Elko em um referencial arbitrário, precisamos de�nir a estrutura dual. Diferentemente dos espinores de Dirac, a estrutura dual do Elko é bem complexa. Baseados no critério que a norma dos espinores seja real e invariante por transformações de Lorentz, é necessário considerar que o dual do Elko troque de helicidade [36]. Assim, vamos de�nir inicialmente a estrutura dual como segue ¬ λ S α (p) def. ≡ [Ξ(p)λα(p)] †η, (3.55) onde o operador Ξ(p) está encarregado de trocar a helicidade de λα(p) para algum espinor λβ(p) que pertença ao conjunto dos autoespinores de C. Requeremos apenas que Ξ(p)2 = I, para garantir um mapa invertível. Para o caso do espinor Elko o operador Ξ(p) é dado por [37] Ξ(p) def. = 1 2m { λS{+−}(p)λ S {+−}(p)+λ S {−+}(p)λ S {−+}(p) − λA{+−}(p)λ A {+−}(p)−λA{−+}(p)λ A {−+}(p) } . (3.56) Devemos dizer que na equação anterior os espinores λ S/A {α} (p) representam o dual a la Dirac. Justi�camos a necessidade de que o dual tenha helicidade trocada, apreciando as relações 41 de ortogonalidade usuais λ S {±∓}(p)λ S {±∓}(p) = 0, λ S {±∓}(p)λ A {±∓}(p) = 0, λ S {±∓}(p)λ A {∓±}(p) = 0, λ A {±∓}(p)λ A {±∓}(p) = 0, λ A {±∓}(p)λ S {±∓}(p) = 0, λ A {±∓}(p)λ S {∓±}(p) = 0. Ainda, outras duas relações de ortogonalidade estão associadas com as �normas� imági- narias λ S {±∓}(p)λ S {∓±}(p) = ∓2im, (3.57) λ A {±∓}(p)λ A {∓±}(p) = ±2im. (3.58) Essa situação indesejável é evitada com a nova estrutura do dual. Antes de calcularmos as novas relações, vejamos um exemplo de como age o operador Ξ(p) sobre o espinor λ S {+−}(p): Ξ(p)λS{+−}(p) = 1 2m λS{−+}(p)λ S {−+}(p)λ S {+−}(p)︸ ︷︷ ︸ 2im , Ξ(p)λS{+−}(p) = iλS{−+}(p). (3.59) Essa simples mudança atuará de maneira importante. Para expressar de maneira formal a estrutura dual do espinor λS{+−}(p), substituimos (3.59) em (3.55) e obtemos ¬ λ S {+−} (p) = −i[λS{−+}p] †η. (3.60) Como haviamos mencionado, a função do operador Ξ(p) é trocar a helicidade do espinor. O próximo passo será encontrar a matriz η, lembrando que a norma [λα(p)] †ηλα′ (p) do espinor deve ser real e invariante por transformações de Lorentz [18, 38]. Para determinar η, notemos que tal matriz deve comutar com os operadores de rotação e anticomutar com os operadores de boots [36] [ −→ J , η] = 0, { −→ K, η} = 0. (3.61) 42 Considerando as duas relações anteriores, e levando em conta que os espaços de represen- tação (1/2, 0) e (0, 1/2) devem ser tratados da mesma maneira, é possível ver que η = γ0 = ( O I I O ) , (3.62) a menos de uma constante irrelevante. Sendo assim, estrutura completa do dual de Elko é de�nida da seguinte maneira ¬ λ S α (p) = [Ξ(p)λα(p)] †γ0 ≡ iϵβαλ † β(p)γ0, (3.63) onde o fator ϵ está associado com os valores de helicidade, ϵ{−+} {+−} := −1 = −ϵ{+−} {−+}. Tal fator deve ser entendido apenas como um compensador de sinal entre as quantidades indicadas pelos índices superiores e inferiores, sem fazer referência alguma a qualquer tipo de métrica para subir ou descer índices. Finalmente, podemos escrever a estrutura dual dada em (3.63) como ¬ λ S/A {−+} (p) = i[λ S/A {+−}(p)] †γ0, ¬ λ S/A {+−} (p) = −i[λ S/A {−+}(p)] †γ0, (3.64) e estabelecer as novas relações de ortogonalidade ¬ λ S α (p)λSα′(p) = 2mδα′α, ¬ λ A α (p)λAα′(p) = −2mδα′α. Destas duas relações, podemos obter a relação de completeza para o Elko, dada por 1 2m ∑ α [ λSα ¬ λ S α (p)− λAα ¬ λ A α (p) ] = I. (3.65) 3.3.2 Somas de spin Nesta subseção falaremos de uma característica importante do espinor Elko, a relação entre a soma de spin e o operador de onda associado. Para tanto, vamos escrever a forma estendida de ∑ α λSα ¬ λ S α (p): ∑ α λSα(p) ¬ λ S α (p) = λS{+−}(p) ¬ λ S {−+} (p) + λS{−+}(p) ¬ λ S {+−} (p), (3.66) 43 pois λS{+−}(p) ¬ λ S {+−} (p) = 0, (3.67) λS{−+}(p) ¬ λ S {−+} (p) = 0. (3.68) Utilizando a forma explícita dos espinores pode se mostrar que ∑ α λSα(p) ¬ λ S α (p) = m  1 0 0 −ie−iϕ 0 1 ieiϕ 0 0 −ie−iϕ 1 0 ieiϕ 0 0 1  . (3.69) De maneira análoga, calculamos a somatório para os espinores anti autoconjugados ∑ α λAα (p) ¬ λ A α (p) = m  −1 0 0 −ie−iϕ 0 −1 ieiϕ 0 0 −ie−iϕ −1 0 ieiϕ 0 0 −1  , (3.70) e com a �nalidade de simpli�car a expressão �nal da soma de spin de�niremos uma matriz, G(ϕ), como G(ϕ) =  0 0 0 −ie−iϕ 0 0 ieiϕ 0 0 −ie−iϕ 0 0 ieiϕ 0 0 0  . (3.71) Considerando a matriz G(ϕ), podemos escrever as expressões (3.69) e (3.70) de uma forma compacta ∑ α λSα(p) ¬ λ S α (p) = m(I+G(ϕ)), (3.72)∑ α λAα (p) ¬ λ A α (p) = −m(I−G(ϕ)). Como podemos ver, a soma de spin para o conjunto de espinores Elko está associada ao operador (I ± G(ϕ)). Cabe mencionar que a atuação do operador soma de spin aniquila os espinores Elko. Entretanto esse operador não representa um operador de onda, di- ferentemente do caso usual de Dirac, pois não tem dependência temporal. Portanto, a soma de spin para o Elko só tem dependência espacial, mas essa dependência tem uma peculiaridade, já que apresenta explícita e não covariantemente uma direção de parame- 44 trização do momento contida em G(ϕ): há uma violação explícita da simetria de Lorentz. Uma vez que entendemos que soma de spin está no centro da estrutura do propagador associado ao campo, e está relacionada com a interpretação de partícula e localidade, o fato da soma de spin do espinor Elko violar a simetria de Lorentz afetará a localidade do campo quântico [30]. Na seguinte subseção, vamos analisar a dinâmica do espinor Elko. 3.3.3 Dinâmica Mostraremos que o espinor Elko não é aniquilado pela atuação do operador de Dirac no espaço dos momentos. Para explicitar esse fato vamos escolher o espinor λS{−+}(p) do conjunto de espinores Elko, e veremos que acontece se o operador de Dirac atua sobre ele: γµp µλS{−+}(p) = √ E +m 2m ( 1− p E +m )[ Eγ0 + p ( 0 σ.p̂ −σ.p̂ 0 )] λS{−+}(0). (3.73) Atentando para as equações (3.45) e (3.48), e após alguma manipulação algébrica, pode- mos escrever ( 0 σ.p̂ −σ.p̂ 0 ) λS{−+}(0) = γ0λ S {−+}(0). (3.74) Como consequência da equação anterior, podemos escrever (3.73) como γµp µλS{−+}(p) = √ E +m 2m ( 1− p E +m ) (E +m)γ0λ S {−+}(p). (3.75) É fácil mostrar a seguinte relação γ0λ S {−+}(0) = −iλS{+−}(0), (3.76) e evocando a relação de dispersão temos( 1− p E +m ) (E + p) = ( 1 + p E +m ) . (3.77) Finalmente podemos escrever γµp µλS{−+}(p) = −im √ E +m 2m ( 1 + p E +m ) (E +m)γ0λ S {+−}(p), (3.78) e recorrendo a equação (3.53) chegamos a γµp µλS{−+}(p) = −imλS{+−}(p). (3.79) 45 De maneira similar podemos atuar com γµp µ nos outros espinores Elko, cujo resultado é γµp µλS{−+}(p) = −imλS{+−}(p), (3.80) γµp µλS{+−}(p) = imλS{−+}(p), (3.81) γµp µλA{+−}(p) = −imλA{−+}(p), (3.82) γµp µλA{−+}(p) = imλA{+−}(p). (3.83) As relações contidas de (3.80) a (3.83) podem ser escritas sob a forma matricial como se segue [29, 38] γµp µ 0 0 0 0 γµp µ 0 0 0 0 γµp µ 0 0 0 0 γµp µ   λS{−+}(p) λS{+−}(p) λA{−+}(p) λA{+−}(p) − imI  −λS{+−}(p) λS{−+}(p) λA{+−}(p) −λA{−+}(p)  = 0. (3.84) É ainda possível escrever de uma maneira mais compacta a última expressão (γµp µδβα + imIϵβα)λSβ(p) = 0, (3.85) (γµp µδβα − imIϵβα)λAβ (p) = 0. (3.86) Na equação (3.85) o símbolo δβα é responsável por fazer a troca da helicidade do espinor que aparece à sua direita e ϵβα é de�nido como anteriormente. É importante enfatizar que a presença de δβα e ϵβα nestas equações mostra que o Elko não satisfaz a equação de Dirac. O passo a seguir será analisar a relação de covariância das equações (3.85) e (3.86). Para tanto vamos considerar uma transformação linear sobre os campos dada por λ′(x′) = S(Λ)λ(x), (3.87) onde a transformação S(Λ) é representada por uma matriz 4× 4 não nula e não singular, porque deve admitir inversa. Desta maneira, substituindo a transformação dos campos (3.87) em (3.85) vamos de�nir a equação transformada por (iγµ∂µδ β α + imIϵβα)λβ(x), iγµ∂′µδ ′β α S −1(Λ)λ′β(x ′) + imIϵ′βα S−1(Λ)λ′β(x ′) = 0. (3.88) Lembremos que estamos abordando o caso geral do espinor Elko, por conseguinte os cálcu- los valem para os casos de espinores autoconjugados e anti-autoconjugados. Introduzindo S−1(Λ)S(Λ) = 1 na equação (3.88) e sabendo que ∂ ′ µ = Λν µ∂ν , multiplicamos pela esquerda 46 da equação (3.88) por S(Λ) temos iS(Λ)γµS−1(Λ)S(Λ)∂′µS −1(Λ)S(Λ)δ′βα S −1(Λ)λ′β(x ′) + imIS(Λ)ϵ′βα S−1(Λ)λ′β(x ′) = 0. Sabendo que as quantidades δ′βα e ϵ′βα se mantêm invariantes, a expressão anterior �ca (i S(Λ)γµS−1(Λ)Λν µ︸ ︷︷ ︸ γµ′ ∂′νδ β α + imIϵβα)λ′β(x) = 0. (3.89) Portanto, a equação na forma covariante �ca escrita como (iγµ′∂′µδ β α + imIϵβα)λ′β(x′) = 0. (3.90) Como consequência, temos que para qualquer λS/Aβ (x) S(Λ)γµS−1(Λ) = γνΛµ ν . (3.91) Desta maneira, se Λ for uma rotação, então a transformação aplicada em λ(x) é unitária, mas no caso em que Λ represente um boost de Lorentz a transformação não será unitária. Sendo assim, os espinores Elko não podem representar um estado quântico, mas servirão como coe�cientes de expansão do campo quântico, o qual, transformar-se-á de maneira unitária [39]. A atuação (novamente) de γµpµ nas equações (3.85) e (3.86) mostra que o Elko satisfaz a equação de KG. De fato, novamente utilizando λS{−+}(p) para ilustração γνp νγµp µλS{−+}(p) = imγνp µλS{+−}(p). (3.92) Escrevendo o momento como pµ = −i∂µ e usando a identidade γµγν = 1 2 [γµ, γν ]+ 1 2 {γµ, γν}, a equação (3.92) �ca −1 2 {γµ, γν}∂µ∂νλS{−+}(p) = imγνp µλS{+−}(p)︸ ︷︷ ︸ m2λS {−+}(p) . (3.93) Finalmente usando a identidade das álgebras de Cli�ord (3.16), obtemos (�+m2)λS{−+}(p) = 0. (3.94) A equação anterior representa a equação de Klein-Gordon. Assim, conseguimos provar que os espinores Elko só satisfazem a equação de Klein-Gordon. Uma vez que a equação de Klein-Gordon é uma relação que expressa conservação de energia, ela deve ser satisfeita por qualquer campo independentemente do spin. Como no caso do campo escalar, a 47 densidade de probabilidade não é positivo de�nida. Portanto isso deve ser resolvido se deixarmos de lado a intepretação de uma única partícula descrita por uma função de onda e passarmos a pensar em um campo quântico. 48 Capítulo 4 Construção dos covariantes bilineares e estrutura multivetorial Neste capítulo apresentamos as estruturas bilineares, chamadas também de densidades bispinoriais. Como mencionamos anteriormente, os espinores são estruturas matemáti- cas que fornecem uma rica informação sobre o espaço de representação, mas quando eles são inseridos na física é necessário de�nir estruturas bilineares, uma vez que os espino- res sozinhos não são invariantes mediante rotações de 2π, haja visto que mediante tal transformação o espinor ganha um sinal [40]. Diante disso a conjugação de dois espinores pela mesma transformação faz com que esse sinal seja compensado, ou seja, os bilineares não são alterados por uma rotação completa. A forma explícita das estruturas bilineares podem ser encontradas em qualquer livro texto como [41, 42]. Entretanto neste capítulo mostraremos a construção deles a partir das álgebras de Cli�ord. Tal construção, fornece um melhor entendimento sobre o espaço de representação associado com as estruturas bilineares [9, 10]. 4.1 Estruturas bilineares para os espinores de Dirac É sabido que as propriedades geométricas do campo espinorial de Dirac sobre o espaço- tempo de dimensão par são explorados com o objetivo de formular uma associação com o modelo sigma [9]. Um campo espinorial ψ pode ser construído apenas em termos de suas densidades bilineares ρi = ψΓiψ, mais um fator de fase; onde ρi constitui uma re- presentação das informações físicas contidas nos espinores ψ. Essa a�rmação é conhecida como �Teorema da Inversão� que abordaremos no último capítulo. Considerando o espaço- tempo de dimensão N = 2n, o espinor de Dirac correspondente tem D = 2n componentes complexas e as densidades bispinoriais satisfazem um sistema algébrico de (D− 1)2 equa- ções quadráticas homogêneas, conhecidas como identidades de Fierz-Pauli-Ko�nk. Para a construção dos bilineares, usaremos a de�nição das álgebras de Cli�ord reais. Um ponto 49 importante será a condição física de realidade destas estruturas e a normalização de Di- rac, que vai nos permitir deformar os elementos da álgebra, de modo que nos possibilite encontrar uma regra para construir novos elementos de vetores da base. 4.1.1 Álgebra de Cli�ord real Como vimos anteriormente, a de�nição da álgebra de Cli�ord está associada com a con- dição de que os vetores da base devam satisfazer a relação {γµ, γν} = 2gµνI, µ, ν = 0, 1, ..., N − 1, (4.1) onde gµν representa a métrica do espaço-tempo de dimensão par, N = 2n, que em coorde- nadas Cartesianas tem a forma diag(1,−1,−1, ....,−1). Entretanto, os elementos γµ e I, são os principais blocos constituintes da álgebra de Cli�ord. Denotaremos a álgebra real de Cli�ord como R1,N−1, cuja base pode ser construída a partir das diferentes combina- ções entre as matrizes γµ e a identidade. Os elementos que derivam de tais combinações são de�nidos como γ̃µ1,µ2,..,µN−M ≡ 1 M ! ϵµ1µ2...µN γµN−M+1γµN−M+2...γµN , (4.2) onde, M = 2, 3, ..., N. Assim, o conjunto de elementos que forma a base da álgebra real de Cli�ord será dado por {Γi} ≡ {I, γµ, γ̃µ1µ2...µN−2 , ...., γ̃µ, γ̃}, (4.3) onde utilizamos γ̃ ≡ γ̃µ1,µ2,..,µN−N . O próximo passo será usar a condição de normalização para calcular os elementos que advém da deformação. A partir dos elementos principais da base, I e γµ, construiremos as duas primeiras estruturas bilineares: σ ≡ ψ†γIψ ≡ ψψ, (4.4) Jµ ≡ ψγµψ. (4.5) As quantidades (4.4) e (4.5) podem ser intepretadas como comprimento invariante σ e densidade de corrente Jµ para o caso especí�co de espinores de Dirac. Da condição de realidade das quantidades (4.4) e (4.5), mostraremos quais relações devem satisfazer as matrizes de Dirac, γ. Para o primeiro caso teremos σ = σ∗, ψψ = (ψψ)∗, ψ†γψ = ψ†γ†ψ, (4.6) 50 e da equação (4.6) obtemos a seguinte condição γ = γ†. Entretanto, a única matriz que satisfaz essa condição é a matriz γ0. De modo análogo, imporemos que a quantidade Jµ seja real Jµ = J∗ µ, ψ†γγµψ = (ψ†γγµψ) ∗, ψ†γγµψ = ψ†γ†µγ †ψ, ψ†γγµψ = ψγ†γ†µγψ. (4.7) É fácil ver que para garantir a realidade do bilinear Jµ, deve existir a seguinte relação γ−1ㆵγ = γµ, (4.8) mas como já havíamos visto na equação (4.6), γ = γ0 e podemos reescrever a equação (4.8). Usando então a seguinte propriedade γ0 = γ†0 = γ−1 0 , segue-se que γµ = γ0γ † µγ0. (4.9) Desta maneira encontramos duas relações para as matrizes de Dirac que nos garan- tem duas quantidades reais σ e Jµ. O próximo passo será construir novos bilineares a partir da �deformação� dos vetores da base {Γi}. Para isso, precisaremos da normalização de Dirac com o intuito de encontrá-los. Esses novos vetores da base fornecerão novas estruturas bilineares, as quais também devem ser reais, uma vez que estão associadas a observáveis físicos. Sendo assim, de�nirmos a normalização de Dirac para o caso das densidades biespinoriais construídas a partir dos elementos da base dadas em (4.2): ψγ̃µ1,µ2,..,µN−M ψ = (ψγ̃µ1,µ2,..,µN−M ψ)∗. (4.10) Usando a condição (4.1) para as matrizes de Dirac obtemos (ψγ̃µ1,µ2,..,µN−M ψ)∗ = (−1)M(M−1)/2ψγ̃µ1,µ2,..,µN−M ψ, (4.11) onde o termo (−1)M(M−1)/2 é um regulador de sinal proveniente das relações de comutação entre as matrizes de Dirac. Para evidenciar esse fato, faremos um exemplo para o caso onde M = 2 e N = 4, obtendo a seguinte relação (ψγ̃µ1µ2ψ) ∗ = ψγ̃†µ1µ2 γ0ψ. (4.12) 51 Vamos usar a equação (4.2) para de�nir γ̃µ1µ2 , γ̃µ1µ2 = 1 2! ϵµ3µ0µ4γ µ3γµ0γµ4 . (4.13) Agora, calculando o adjunto de (4.13) obtemos γ̃†µ1µ2 = 1 2! ϵµ3µ0µ4γ †µ4ㆵ0ㆵ3 . (4.14) Usando a relação (4.9) e (γ0)2 = I, encontrarmos que γ̃†µ1µ2 é dado por γ̃†µ1µ2 = − 1 2! ϵµ3µ0µ4γ 0γµ3γµ0γµ4γ0. (4.15) Finalmente, substituindo a equação (4.15) em (4.12), obtemos (ψγ̃µ1µ2ψ) ∗ = −ψγ̃µ1µ2ψ. (4.16) Como podemos ver há um fator (−1) compatível com o termo (−1)M(M−1)/2 da equação (4.11), já que para o caso de nosso exemplo M = 2. Assim, temos justi�cado a presença do fator (−1)M(M−1)/2. Contudo, isso ainda não é garantia de que os novos bilineares que surgirão da norma- lização de Dirac serão reais, uma vez que o termo (−1)M(M−1)/2 não assegura a realidade para certos valores de M . Portanto, vamos impor a seguinte relação γ̃µ1,µ2,..,µN−M ≡ (iM(M−1)/2/M !)ϵµ1µ2...µN γµN−M+1γµN−M+2...γµN . (4.17) Da normalização (4.10), podemos dizer que o conjunto de vetores da base devem satisfazer a equação (4.9) e que os bilineares construídos da consideração da equação (4.17) deverão ser reais. Com essas considerações podemos a�rmar que Γi ≡ γ0Γ † iγ0 = Γi, (4.18) ρi ≡ ψΓiψ = ρ∗. (4.19) Desta maneira, de�nimos o caminho para encontrar todos os elementos (combinações) possíveis da base {Γi}, a partir das relações encontradas para as matrizes de Dirac e da consideração que as estruturas bilineares devem ser reais. Consideraremos um caso familiar como exemplo, o espaço de Minkowski N = 4. Usaremos a normalização de Dirac nos elementos da base e �nalmente o leitor poderá comparar os resultados que vamos obter com as estruturas bilineares fornecidas em di- versos livros textos, como o Bjorken e Drell [41] por exemplo. Para o caso de N = 4, os valores de M vão de 2 até 4, ou seja, M = 2, 3, 4. Obviamente estamos partindo do 52 pressuposto que as quantidades σ e Jµ são reais, desde que satisfaçam as equações (4.6) e (4.9). Assim, devemos analisar os casos nos quais M = 4, M = 3 e �nalmente para com- pletar o conjunto de elementos da base, calcularemos as quantidades relevantes quando M = 2. Para M = 4, temos γ̃µ4−4 = (i6/4!)ϵµ1µ2µ3µ4γ µ1γµ2γµ3γµ4 . (4.20) Como sabemos as matrizes γµi podem tomar os valores γ0, γ1, γ2 e γ3, mas devido ao símbolo de Levi-Civita podemos ver que o denominador, 4!, na expressão anterior deve se cancelar quando consideramos todas as possíveis combinações das matrizes γµ (µ = 0, 1, 2, 3), de modo que a expressão anterior �ca simplesmente γ̃ = −γ0γ1γ2γ3, (4.21) onde, γ̃µ4−4 = γ̃. De�nindo γ5 = iγ0γ1γ2γ3, a equação (4.21) leva ao resultado usual γ̃ = −iγ5. (4.22) Para M = 3, temos γ̃µ4−3 = (i3/3!)ϵµ1µ2µ3γ µ1γµ2γµ3 . (4.23) Da mesma maneira que no caso anterior, o símbolo de Levi-Civita e o denominador, 3!, vão se cancelar, e a equação (4.23) �ca γ̃µ = γ5γµ. (4.24) Por último, para M = 2, obtemos γ̃µν = 1 2 ϵµνλκσ λκ, onde σλκ = (i/2)[γλ, γκ]. (4.25) Desta maneira o conjunto completo de vetores da base Γi é dado por {Γi} = {I, γµ, γ̃, γ̃µ, γ̃µν}. (4.26) De�niremos então as densidades bilineares ρi ≡ ψΓiψ = ρ∗i , associadas a cada valor de M : Para M = 4, vamos chamar o bilinear associado por ω. Assim ω = −ψγ5ψ. (4.27) 53 Para M = 3, Kµ = −ψγ5γµψ, (4.28) e por último, para M = 2, temos Sµν = ψ 1 2 ϵµνλκσ λκψ, ou Sµν = ψiγµγνψ. (4.29) 4.1.2 Identidades de Fierz-Pauli-Ko�nk As identidades de Fierz-Pauli-Ko�nk são relações quadráticas entre os covariantes bili- neares [12, 11, 13]. Uma vez que os covariantes bilineares de um determinado espinor satisfaçam as identidades de FPK, podemos dizer que será possível recuperar um espinor a partir de seus covariantes bilineares mais um fator de fase. Com respeito às identidades de FPK devemos acrescentar a seguinte a�rmação: as identidades podem se dividir em dois blocos, o primeiro para o caso de espinores regulares e o segundo para espinores singulares. Para os espinores singulares será necessário reescrever as identidades de FPK em termos de uma nova estrutura, chamada de multivetor que será de�nida em breve. Chamamos de espinores regulares aqueles cujos covariantes bilineares σ ou ω são simulta- neamente não nulos ou quando apenas um deles é não nulo. Para esse caso as identidades de FPK são as seguintes [12, 11, 13] JµJ µ = σ2 + ω2, JµJ µ = −KµK µ, JµK µ = 0, JµKν −KµJν = −ωSµν − σ 2 ϵµναβS αβ. (4.30) Vamos veri�car as identidades de FPK para um caso abstrato e ilustrativo onde de�nire- mos um espinor algébrico geral, o qual será dado por ψ =  a b c d  , (4.31) onde as compontes a, b, c e d ∈ C. O espinor adjunto é ψ = ( c∗ d∗ a∗ b∗ ) . (4.32) 54 Diante disso, podemos calcular os covariantes bilineares em termos das componentes do espinor (4.31) e (4.32); comecemos com σ σ = ψψ, = a∗c+ b∗d+ c∗a+ d∗b, (4.33) = ∆+ ρ, onde, ∆ = c∗a+ d∗b e ρ = a∗c+ b∗d. De forma similar para ω temos ω = −ψγ0123ψ, = i{c∗a+ d∗b− a∗c− b∗d}, (4.34) = i{∆− ρ}, onde γ0123 = γ0γ1γ2γ3. O quadri-vetor Jµ tem componentes dadas por J0 = ψγ0ψ, J2 = ψγ2ψ = |a|2 + |b|2 + |c|2 + |d|2, = i{−c∗d+ d∗c+ a∗b− b∗a} = i{▽ − π} J1 = ψγ1ψ, J3 = ψγ3ψ, = c∗d+ d∗c− a∗b− b∗a, = |c|2 − |d|2 − |a|2 + |b|2 = π +▽, = κ− τ, onde τ = |d|2 + |a|2, κ = |c|2 + |b|2, π = c∗d− a∗b, ▽ = d∗c− b∗a, enquanto as componentes de Kµ são K0 = ψiγ0123γ0ψ, K2 = ψiγ0123γ2ψ, = |c|2 + |d|2 − |a|2 − |b|2, = i{−c∗d+ d∗c− a∗b+ b∗a}, = Γ + Λ, = i{λ− Ξ}, K1 = ψiγ0123γ1ψ, K3 = ψiγ0123γ3ψ, = c∗d+ d∗c+ a∗b+ b∗a, = |c|2 − |d|2 + |a|2 − |b|2, = Ξ + λ, = Γ− Λ, com as seguintes de�nições Γ = |c|2 − |d|2, Λ = |d|2 − |a|2, (4.35) λ = d∗c+ b∗a, Ξ = c∗d+ a∗b. (4.36) Finalmente, calculamos as componentes para o bivetor Sµν levando em conta que tal covariante bilinear é antissimétrico pelo troca µ→ ν: 55 S01 = ψiγ01ψ, S12 = ψiγ12ψ, = i{−c∗b− d∗a+ a∗d+ b∗c}, = −{−c∗a+ d∗b− a∗c+ b∗d}, = i{g + η}, = −{f −m}, S02 = ψiγ02ψ, S13 = ψiγ13ψ, = −{c∗b− d∗a− a∗d+ b∗c}, = i{c∗b− d∗a+ a∗d− b∗c}, = −{g − η}, = i{η̃ + g̃}, S03 = ψiγ03ψ, S23 = ψiγ23ψ, = i{−c∗a+ d∗b+ a∗c− b∗d}, = {c∗b+ d∗a+ a∗d+ b∗c}, = i{f +m}, = {η̃ − g̃}, com os parâmetros das equações anteriores escritos da seguinte maneira g = −d∗a+ b∗c, η = −c∗b+ a∗d, f = −c∗a+ d∗b, m = a∗c− b∗d, (4.37) η̃ = c∗b+ a∗d, g̃ = −d∗a− b∗c. Uma vez de�nidos todos os bilineares covariantes em termos das componentes do espi- nor ψ e seu respectivo adjunto, ψ̄, procedemos com a veri�cação das identidades FPK, começando com a identidade JµJ µ = σ2 + ω2, (4.38) que de acordo com as de�nições anteriores �ca 4{τκ−▽π} = 4∆ρ. (4.39) Após algumas manipulações simples encontrarmos JµJ µ = 4{|a|2|c|2 + |d|2|b|2 + d∗ca∗b+ b∗ac∗d}, (4.40) σ2 + ω2 = 4{|a|2|c|2 + |d|2 |b|2 + d∗ca∗b+ b∗ac∗d}. (4.41) Como podemos notar, as equações (4.40) e (4.41) são equivalentes. Consequente- mente, podemos a�rmar que a identidade JµJµ = σ2 + ω2 é de fato válida para esse caso. A próxima identidade a ser veri�cada será −KµK µ = JµJ µ, calcularemos apenas KµK µ, pois a quantidade JµJµ pode ser encontrada em (4.40). Assim KµK µ = 4{ΓΛ− Ξλ} (4.42) e é fácil mostrar que ΓΛ− Ξλ = −{|c|2|a|2 + c∗db∗a+ |b|2|d|2 + a∗bd∗c}, (4.43) 56 de modo que veri�ca-se JµJµ = −KµK µ. Para veri�car as identidades restantes basta seguir com o mesmo procedimento. A �m de estudarmos melhor a estrutura algébrica em questão, devemos de�nir uma nova quantidade chamada de multivetor Z. Como veremos no próximo capítulo a estrutura multivetorial tem um papel importante na classi�cação de espinores, pois traz informação geométrica sobre os covariantes bilineares. A estrutura multivetorial é dada por Z = σ + J+ iS+ iKγ0123 + ω. (4.44) Vejamos agora algumas propriedades e características relevantes de Z De�nição 1: Se os bilineares σ, ω,J,K e S, satisfazem as identidades de FPK, então nesse caso o multivetor Z será dito ser um agregado de Fierz. De�nição 2: Um multivetor Z será adjunto de Dirac se e somente se Z̃∗ = Z (onde ∼ e ∗ são de�nidas na Tabela 3.1), nesse caso diremos que é um boomerang se as estruturas bilineares σ, ω,J,K,S são covariantes por transformações de Lorentz. Aqui temos um lugar para fazermos um preâmbulo ao teorema da inversão. Vamos abordar o algorítimo de Takahashi [23], o qual diz o seguinte: seja η ∈ C⊗Cℓ1,3 um espinor tal que η̃∗ψ ̸= 0, ou, equivalentemente, η ∈ Mat(4,C) um espinor tal que η†γ0ψ ̸= 0. O espinor ψ difere apenas por uma fase de Zη. Desta maneira, o espinor original, ψ, pode ser recuperado a partir de seus covariantes bilineares. É importante se observar que no caso de espinores regulares, Z será um boomerang, se somente se Z é um agregado de Fierz. No caso de espinores singulares, desde o princípio poderiamos dizer que Z é um agregado de Fierz mas não é um boomerang. Por exemplo, se Z = J e J2 = 0 e claro J ̸= 0. Neste exemplo podemos ver que Z é um agregado de Fierz. Entretanto isso não é su�ciente para garantir que o agregado seja um boomerang [44]. Esses tipos de casos serão abordados quando de�nirmos as identidades de FPK em termos do multivetor Z. Antes disso, analisaremos o multivetor associado com espinores singulares, onde J, K e S satisfazem as identidades de FPK. Nesse caso o espinor pode ser construído como ψ = 1 4N Zη, Z = J+ iS+ iKγ0123, (4.45) e para o caso de espinores singulares tais que Z ̸= 4ψψ̃∗ as identidades de FPK se reduzem a J2 = K2 = 0, J ·K = J ∧K = 0. (4.46) Podemos de�nir condições mais restritivas das identidades de FPK, as quais estão asso- ciadas direitamente com a estrutura multivetorial Z e são válidas tanto para espinores 57 regulares como para espinores singulares: Z2 = 4σZ, ZγµZ = 4JµZ, ZiγµνZ = 4SµνZ, Ziγ0123γµZ = 4KµZ, Zγ0123Z = −4ωZ. (4.47) Checar as identidades anteriores é um trabalho extremamente árduo. Caso o leitor tenha interesse em veri�car as identidades anteriores, damos como sugestão utilizar os espinores operatoriais, reduzindo assim os cálculos. Agora, partimos do pressuposto que Z = J + iS + iKγ0123 seja um boomerang, de modo que Z2 = 0. Desta a�rmação encontrarmos as seguintes relações ⟨Z2⟩0 = J2 − S · S−K2, (4.48) ⟨Z2⟩1 = 2γ0123(S ∧K), (4.49) ⟨Z2⟩2 = 2iγ0123(J ∧K), (4.50) ⟨Z2⟩3 = 2iJ ∧ S, (4.51) ⟨Z2⟩4 = −S ∧ S. (4.52) Vamos analisar a informação que está contida em cada uma das relações anteriores. Da equação (4.49), podemos ver que o vetor axial K é de�nido dentro do plano formado pelo bivetor S. De (4.50) a�rmamos que J e K, são paralelos. Porém, podemos inferir que J é um vetor que está também de�nido no plano de S, essa a�rmação é con�rmada pela equação (4.51). Com todas essas considerações, podemos reescrever o agregado da seguinte maneira Z = J(1 + is+ ihγ0123), (4.53) onde h é um número real, o qual pode ser interpretado como a helicidade associada a um tipo de espinor particular [45], como veremos no capítulo relacionado com a classi�cação de Lounesto. O vetor s é um vetor tipo-espaço ortogonal a J, isto é, J·s = 0, tal que S = J∧s. Para garantir que Z seja um boomerang Z2 = J2(1+ (s+ hγ0123)2) = 0, lembrando que o produto ZZ é dada pelo produto de Cli�ord (ver equação (2.25)), concluímos que temos dois casos 1. J2 = 0, ou 2. (s+ hγ0123)2 = −1. Para que Z seja um agregado de Fierz e seja um boomerang, ambas as condições devem ser satisfeitas simultaneamente [44]. 58 4.2 Deformação da álgebra de Cli�ord para o espinor Elko A motivação de deformar os elementos da base da álgebra de Cli�ord para o caso de espinores de dimensão de massa 1 surge do fato que a estrutura dual desses espinores é totalmente diferente da estrutura dual do espinor de Dirac. Desse fato surgem imediata- mente as seguintes questões: os espinores de dimensão de massa 1 possuem as mesmas estruturas bilineares que os espinores de Dirac? Seriam as estruturas bilineares associadas ao espinor Elko reais? As estruturas bilineares do espinor Elko satisfazem as identidades de FPK? 1. Para responder a primeira questão, consideremos que as estruturas bilineares associadas ao espinor Elko tenham a mesma estrutura que os bilineares associados ao espinor de Dirac, assim ρi ≡ λ S/A h (p)Γiλ S/A h (p), (4.54) com Γi dado em (4.3), que representa o conjunto de elementos da base da álgebra de Cli�ord real. Da equação (4.54) nos deparamos com um grande problema, alguns ρi não serão reais nem covariantes. 2. Para responder a segunda questão basta analisar as estruras construídas a partir dos elementos �primitivos� da álgebra de Cli�ord {I, γµ}. Para a estrutura σ que é cons- truída a partir do elemento I, temos que dada quantidade está associada com a norma do espinor, σ = ±2m, que necessariamente é um número real e ademais é um invariante de Lorentz. Assim, devemos agora analisar o próximo bilinear, Jµ, construído a partir do elemento da base γµ, o qual é de�nido por Jµ = ¬ λ S/A h (p)γµλ S/A h (p). (4.55) Substituindo os espinores dados nas equações (3.53) e (3.54) na equação anterior, encon- traremos as seguintes componentes J0 = 0, J1 = 2im cos θ cosϕ, J2 = 2im cos θ sinϕ, J3 = −2im sin θ. (4.56) Como podemos ver, por construção, o bilinear Jµ não é real, mas é covariante por transformações de Lorentz. Portanto, a segunda questão foi resolvida parcialmente, já que devemos analisar se as outras quantidades bilineares, porventura, também são reais. 59 Para isto, usaremos o mesmo critério para de�nir os bilineares do espinor de Dirac, com a diferença que consideraremos ao invés do dual de Dirac o dual do Elko. Assim, de�nimos as seguintes quantidades ω = − ¬ λ S/A h (p)iγ0123λ S/A h (p), (4.57) Kµ = − ¬ λ S/A h (p)γ5γµλ S/A h (p), (4.58) Sµν = i 1 2 ¬ λ S/A h (p)γµνλ S/A h (p). (4.59) Substituindo os espinores (3.53) e (3.54) nas quantidades anteriores, encontrarmos as seguintes relações ω = 0, (4.60) K0 = 0, K1 = −2m sinϕ, K2 = 2m cosϕ, K3 = 0, (4.61) S01 = −2im sin θ cosϕ, S02 = −2im sin θ sinϕ, S03 = −2im cos θ, S12 = S13 = S23 = 0. (4.62) Assim, deparamo-nos com o fato de outra quantidade não real. O próximo passo importante será veri�car se as formas bilineares satisfazem as identidades de FPK (4.30). Mostraremos que, de fato, a primeira identidade J2 = σ2+ω2 é satisfeita. Como podemos ver para o caso em que ω = 0 a primeira identidade se reduz a J2 = σ2. (4.63) Para tanto vamos considerar os valores dos cálculos anteriores para σ e Jµ. Sendo assim, encontramos de maneira simples o valor para σ2 = 4m2. Após algumas manipulações simples veri�ca-se J2 = 4m2. (4.64) Portanto a identidade (4.63) é satisfeita. A próxima identidade a ser mostrada será JµKµ = 0, a qual pode ser escrita de 60 maneira estendida como: JµK µ = J0K 0 + J1K 1 + J2K 2 + J3K 3. (4.65) Das expressões (4.56) e (4.61) temos que JµK µ = −2im2 cos θ sin 2ϕ+ 2im2 cos θ sin 2ϕ, (4.66) desta maneira temos veri�cado que JµK µ = 0. (4.67) A próxima identidade a ser examinada é JµJµ = −KµK µ. KµK µ fornece KµK µ = K0K 0 +K1K 1 +K2K 2 +K3K 3, (4.68) substituindo as componentes de Kµ veri�ca-se KµK µ = −4m2 sin2 ϕ− 4m2 cos2 ϕ, (4.69) que se reduz a KµK µ = −4m2. (4.70) Por outro lado, as equações (4.64) e (4.70) fornecem JµJ µ = −KµK µ. (4.71) Portanto, e identidade anterior é satisfeita. Finalmente calcularemos a identidade JµKν − KµJν = −σ 2 ϵµνλκS λκ, considerando que ω = 0. Veremos apenas dois casos para mostrar que esta identidade não é totalmente satisfeita: Primeiro caso: Para µ = 0 e ν = 1, teremos J0K1 −K0J1 = − σ 2 ϵ01λκS λκ. (4.72) A �m de veri�car se a identidade anterior é satisfeita, recorremos aos valores calculados anteriormente para (4.56), (4.61) e (4.62). Uma consideração importante que devemos levar em conta são as propriedes do simbolo de Levi-Civita [43]. Com tudo isto, a equação (4.72) �ca dada por (0)(−2m sinϕ)− (0)(2im cos θ cosϕ) = −2mS23, (4.73) 61 como sabemos S23 = S23 = 0, assim veri�ca-se que a identidade anterior é satisfeita. Segundo caso: Quando µ = 1 e ν = 2, temos J1K2 −K1J2 = −σ 2 ϵ12λκS λκ. (4.74) De maneira análoga ao primeiro caso, substituindo os valores dados em (4.56), (4.61) e (4.62) na expressão anterior e após de algumas manipulações simples encontramos 4im2 cos θ ̸= −4im2 cos θ. (4.75) Como podemos observar, a última identidade não é satisfeita. Por outro lado, sa- bemos que as identidades de FPK são muito importantes, já que a partir delas é possível recuperar o espinor original em termos de seus bilineares via o algoritmo de Takahashi, por exemplo. Assim, precisamos reformular as estruturas bilineares associadas ao Elko de tal maneira que seus bilineares satisfaçam as identidades de FPK. Para alcançar esse objetivo, usaremos a deformação dos elementos da base. Nesta etapa não teremos como foco que as formas bilineares associados a Elko sejam todas reais, isto por que a princípio já nos deparamos com o bilinear Jµ não real, por construção. A partir dos elementos �primitivos�, I e γµ, podemos encontrar novos elementos da base, desde que consideremos todas as combinações possíveis entre eles. Essas possíveis combinações são representadas pela equação (4.2). Como vimos, M representa o número de combinações possíveis dos elementos �primitivos� da base. Por tal motivo, o valor mínimo de M deve ser dois, já que é o mínimo de combinações possíveis das matrizes γµ, e o limite superior é N , a dimensão do espaço-tempo, ou seja, M = 2, ...., N . Com tais considerações os elementos da base são dados por (4.3). Como havíamos mencionado, a deformação dos elementos da base da álgebra de Cli�ord é feita com a �nalidade de encontrar novas estruturas bilineares, com forte consideração que essas quantidades sejam reais, já que fornecem informação física associada aos espinores. Mas como vimos, no caso dos espinores Elko a deformação dos elementos da base visará obter estruturas bilineares que satisfaçam as identidades de FPK. Vamos começar mostrando a impossibilidade da quantidade Jµ ser real. De fato, impondo a condição de realidade para σ, temos σ = σ∗ = ([Ξ(p)λh(p)] †γ0λh(p)) ∗, (4.76) = λ†h(p)γ0Ξ(p)λh(p), (4.77) com Ξ de�nido em (3.56). Valendo-nos do fato que Ξ(p)†Ξ(p) = I, temos σ∗ = [Ξ(p)λh(p)] †Ξ(p)γ0Ξ(p)λh(p). (4.78) 62 Portanto, do requerimento que σ = σ∗ obtemos automaticamente γ0 = Ξ(p)γ0Ξ(p). (4.79) Para veri�car se a relação anterior é satisfeita, é necessário se utilizar o operador Ξ(p) na forma matricial. Usando a equação (3.56), após alguns cálculos simples, pode-se ver que Ξ(p) é dado por Ξ(p) =  ip sin(θ) m −i(E+p cos(θ))e−iϕ m 0 0 i(E−p cos(θ))eiϕ m −ip sin(θ) m 0 0 0 0 −ip sin(θ) m −i(E−p cos(θ))e−iϕ m 0 0 i(E+p cos(θ))eiϕ m ip sin(θ) m  . (4.80) Considerando a expressão matricial (4.80) e γ0 podemos mostrar que a equação (4.79) é satisfeita, logo podemos a�rmar que σ é real. Faremos a mesma abordagem para o bilinear Jµ. Assim, vamos impor a seguinte condição de realidade Jµ = J∗ µ: γ0γµ = Ξ†(p)ㆵγ0Ξ(p). (4.81) A última relação não é satisfeita por nenhuma das matrizes de Dirac. Por tal motivo, con�rmamos o que tinhamos encontrado em (4.56). Esse resultado é importante. Se comparamos com a relação obtida para o caso do espinor de Dirac (γµ = γ−1 0 ㆵγ0), existe uma grande diferença devido ao fato que o espinor Elko possui uma estrutura dual bastante mais complexa. Tal resultado não deve, entretanto, causar espécie, pois Jµ não está associado à corrente conservada para o caso do espinor Elko. Exploraremos esse fato mais adiante na tese. Por completeza, mencionamos que qualquer alteração em γµ, de modo a se tentar obter γµ real, leva a uma mudança na relação constitutiva da álgebra de Cli�ord. Em geral, tal mudança leva a inconsistências. Vamos agora deformar a base usual para rede�nir os covariantes bilineares que sa- tisfazem as identidades FPK. Fazendo uso da equação (4.2) e considerando que a norma para o espinor de Elko é real, obtemos [ ¬ λh (p)γ̃µ1µ2...µN−M λh(p)] † = (−1)M(M−1)/2 ¬ λh (p)Ξ(p)γ̃µ1µ2...µN−M Ξ(p)λh(p). Pode ser facilmente veri�cado que a seguinte rede�nição de γ̃µ1µ2...µN−M é apropriada para que possamos garantir que a quantidade Kµ seja real, assim γ̃µ1...µN−M = (iM(M−1)/2/M !)Ξ(p)ϵµ1...µN γµN−M+1...γµNΞ(p). (4.82) 63 Com a rede�nição anterior, é possível de�nir um conjunto completo de elementos da base da álgebra de Cli�ord como em (4.3). Com tal conjunto encontramos os bilineares associados. Como exemplo, consideremos o espaço-tempo de quatro dimensões. Neste caso, a base é dada, consequentemente, por M = 4 ⇒ γ̃ = −iΞ(p)γ5Ξ(p) =,−iγ5 onde [Ξ(p), γ5] = 0, (4.83) M = 3 ⇒ γ̃µ = −Ξ(p)γ5γµΞ(p), (4.84) M = 2 ⇒ γ̃µν = i 2 Ξ(p)γµγνΞ(p), (4.85) onde γ5 = −iγ0γ1γ2γ3. Agora, com esse conjunto de elementos da base da álgebra de Cli�ord em mente, é possível construir os bilineares, os quais são de�nidos por I ⇒ σE = ¬ λh (p)Iλh(p), γµ ⇒ JµE = ¬ λh (p)γµλh(p), γ̃ ⇒ ωE = −i ¬ λh (p)γ5λh(p), (4.86) γ̃µ ⇒ KµE = − ¬ λh (p)Ξ(p)γ5γµΞ(p)λh(p), γ̃µν ⇒ SµνE = i ¬ λh (p)Ξ(p)γµγνΞ(p)λh(p). A partir da construção acima, garantimos que as ligeiras modi�cações dos bilineares são su�cientes para satisfazer as identidades FPK (4.30). Finalmente, concluímos que σ e Kµ são as únicas quantidades reais não nulas. 4.3 Covariância das estruturas bilineares para o Elko Até agora trabalhamos as quantidades de�nidas em (4.86) alegando que elas devem ser encaradas como covariantes bilineares. Embora sejam quantidades bilineares, sua estru- tura covariante deve ser evidenciada. Toda a questão está relacionada com a presença (necessária) do operador Ξ(p). Suponhamos que o espinor Elko pertença a uma representação linear do grupo de simetria em questão, que é o grupo de Lorentz ortócrono próprio (L↑ +), de tal maneira que o campo espinorial sofre uma transformação do tipo λ ′S/A h (p′) = S(Λ)λ S/A h (p). (4.87) Analisaremos a covariância da equação que �aniquila� os espinores Elko [46], dada por ( γµp µΞ(p)±m ) λ S/A h (p) = 0. (4.88) 64 É da equação anterior que vamos extrair a condição de covariância. Substituindo a trans- formação (4.87) na equação (4.88), temos ( γµp ′µΞ(p)±m ) S−1λ ′S/A h (p′) = 0. (4.89) Como sabemos, o momento pode ser escrito como pµ ↔ i∂µ e a derivada parcial se transforma como ∂′µ = Λµ β∂ β. Destas considerações, reescrevemos a equação (4.89) como segue ( iγµΛ µ β∂ ′βΞ(p)±m ) S−1λ ′S/A h (x′) = 0. (4.90) Agora, multiplicamos por S pela esquerda na equação anterior �camos com ( iS(Λ)γµS −1(Λ)Λµ βγ ′ µ∂ ′βS(Λ)Ξ(p)S−1(Λ)±m ) λ ′S/A h (x′) = 0. (4.91) Visando obter a equação (4.88), será necessário de�nir as seguintes relações para as matrizes de Dirac e para o operador Ξ(p) γ′β = S(Λ)γµS −1(Λ)Λµ β, (4.92) Ξ′(p′) = S(Λ)Ξ(p)S−1(Λ). (4.93) Como podemos ver a equação (4.92) é a mesma transformação encontrada para o caso da covariância da equação de Dirac. O requerimento dado por (4.93) é o novo ingrediente na teoria do Elko. Curiosamente, a partir da expressão (3.56) vemos que a transformação para o operador Ξ(p) se dá por Ξ′(p′) = 1 2m ( λ′S{+−}(p ′)λ̄′S{+−}(p ′) + λ′S{−+}(p ′)λ̄′S{−+}(p ′)− λ′A{+−}(p ′)λ̄′A{+−}(p ′) − λ′A{−+}(p ′)λ̄′A{−+}(p ′) ) . Considerando a transformação (4.87) e a identidade S−1 = γ0S †γ0 [42] na equação anterior encontrarmos a seguinte expressão [32, 46] Ξ′(p′) = 1 2m S(Λ) ( λS{+−}(p)λ̄ S {+−}(p) + λS{−+}(p)λ̄ S {−+}(p)− λA{+−}(p)λ̄ A {+−}(p) − λA{−+}(p)λ̄ A {−+}(p) ) γ0S †(Λ)γ0︸ ︷︷ ︸ S−1 . Por conseguinte, �camos com Ξ′(p′) = S(Λ)Ξ(p)S−1(Λ), (4.94) 65 exatamente como apontado anteriormente. Uma vez de�nida a transformação correta para o operador Ξ(p), estamos aptos a estudar a covariância por transformações de Lorentz dos bilineares associados. Começamos por σ σ′ E = ¬ λ ′S/A h (p′)λ ′S/A h (p′) = λ †S/A h (p)S†(Λ)S−1†(Λ)Ξ†(p)γ0γ0S †(Λ)γ0S(Λ)λ S/A h (p) = λ †S/A h (p)Ξ†(p)γ0S −1(Λ)S(Λ)λ S/A h (p), = ¬ λ S/A h (p)λ S/A h (p), = σE, e portanto σ é um escalar. Repetindo o mesmo procedimento para calcular a covariância das restantes formas bilineares. Assim, para Jµ temos J ′ µE = ¬ λ S/A ′ h (p′)γ′νλ S/A ′ h (p′), e para analisar como se transforma o bilinear Jµ utilizarmos (4.92). Desta maneira a relação anterior �ca J ′ µE = ¬ λ S/A h (p)S−1(Λ)Λβ µS(Λ)γβS −1(Λ)S(Λ)λ S/A h (p), = Λβ µ ¬ λ S/A h (p)γβλ S/A h (p), = Λβ µJβE . O fator Λβ µ revela que JµE é um vetor. Para ωE, temos ω′ E = −i ¬ λ S/A ′ h (p′)γ5λ S/A ′ h (p′), = −i ¬ λ S/A h (p)S−1(Λ)γ5S(Λ)︸ ︷︷ ︸ det(Λ)γ5 λ S/A h (p), = −i det(Λ) ¬ λ S/A h (p)γ5λ S/A h (p), = det(Λ)ωE. Assim, ωE se transforma como um (pseudo) escalar. Para KµE, temos K ′ µE = ¬ λ S/A ′ h (p′)Ξ′(p′)γ5γ ′ νΞ ′(p′)λ S/A ′ h (p′), (4.95) 66 substituindo as transformações (4.92) e (4.93) na expressão anterio temos K ′ µE = − ¬ λ S/A h (p)S−1(Λ)S(Λ)Ξ(p)S−1(Λ)γ5S(Λ)︸ ︷︷ ︸ det(Λ)γ5 Λβ