Campus de Ilha Solteira PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA “Diagnose de Trincas em Sistemas Rotativos, Utilizando Modelos de Falhas Através da Metodologia dos Observadores de Estados” Jesus Antônio Fernandes Júnior Orientador : Prof. Dr. Gilberto Pechoto de Melo Co-Orientador: Prof. Dr. Gustavo Luis Chagas Manhães de Abreu Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Área de Conhecimento: Mecânica dos Sólidos. Ilha Solteira – SP Dezembro de 2011 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira. Fernandes Júnior, Jesus Antônio. F363d Diagnose de trincas em sistemas rotativos, utilizando modelos de falhas através da metodologia dos observadores de estados / Jesus Antônio Fernandes Júnior. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2012 142 f. : il. Dissertação (mestrado em Engenharia Mecânica) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de Conhecimento: Mecânica dos Sólidos, 2012 Orientador: Gilberto Pechoto de Melo Co-orientador: Gustavo Luis Chagas Manhães de Abreu 1. Detecção de falhas baseada em modelos. 2. Observadores de estados. 3. Observadores de estados com entradas desconhecidas. 4. Sistemas rotativos. 5. Localização de falhas (Engenharia). Dedico este trabalho a minha família, meus amigos e a minha namorada pela imensa motivação nesta etapa da minha vida. ...e a memória de Edivino Benedito Guimarães, Irene Giglioli Fernandes e Gabriel Briante Garcia. Agradecimentos A Deus Aos meus pais, Jesus Antônio Fernandes e Maria Alzenir Guimarães Fernandes. A minha irmã, Juliana Carla Fernandes. A minha namorada, Iara de Souza Barbosa. Ao amigo e orientador, Gilberto Pechoto de Melo. Aos amigos e colegas, Marcelo Dias de Lima, Thiago Andreotti, Rodrigo Augusto Ferreira, Isac Soler Gibin Júnior, Victor Suman Guirao, Marcelo Camargo da Silva, William Monte Verde, Marcelo Ferrarezi da Silva, Tiago Henrique Machado, Fernando Brandão de Oliveira, Breno Marotti de Oliveira, Ricardo Vendrame Borges, Bruno César Piza de Araújo, Fabio Kenji Suguimoto, Franco Barbi, Cássio Tomé de Faria, Lucas Aziz Trevisan, Thiago Galbiati Lagoin, Sanderson Manoel da Conceição, Marcelo Francisco Maesta, Edson Luiz Valverde Castilho Filho, Vinícius Fernandes, Aldemir Aparecido Cavallini Júnior, Vitor Ramos Franco, Sérgio Nunes Caetano, Felipe Ignácio Ferreira da Silva, Éliton Silva Batista, Thiago Antônio Rocha Abdala, Flávio Molnar Piancastelli de Siqueira, Juliano Estadulho dos Santos, Jorge Ribeiro dos Santos Júnior, Kleber Sevioli Pinheiro e Thiago Fernando Segura Butarello. A toda a equipe do Departamento de Engenharia Mecânica da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, em especial aos professores João Antônio Pereira, Luiz de Paula do Nascimento, Marcio Antônio Bazani, Antônio Eduardo Turra, Vicente Lopes Júnior, Gustavo Luis Chagas Manhães de Abreu, Amarildo Tabone Paschoalini, Michael John Brennan, Sérgio Said Mansur, João Batista Aparecido, José Luiz Gasche, José Luiz Seixlack, Edson Del Rio Vieira e ao técnico Carlos José Santana. Ao professor Shreyas Sundaram A professora Kátia Lucchesi Cavalca Dedini A Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (Capes) "A condição natural dos corpos não é o repouso, mas o movimento.” Galileu Galilei – físico, matemático, astrônomo e filósofo italiano. Resumo Os métodos de diagnose de falhas buscam evitar que estas ocorram sem predição, de modo que medidas preventivas possam ser tomadas para garantir a integridade física dos equipamentos e pessoas envolvidas no processo em que o sistema monitorado está inserido. Os eixos rotativos são elementos passíveis de fenômenos prejudiciais causados pela própria condição de movimento, que são refletidas na ciclagem das tensões atuantes em seu material. Este trabalho propõe a detecção em tempo real de trincas em eixos rotativos, pelo monitoramento do sistema em operação, usando a metodologia dos observadores de estados. Inicialmente, o projeto de observadores de estado via Regulador Linear Quadrático e Filtro de Kalman é introduzido. Em seguida, os observadores de estados com entradas desconhecidas são apresentados. Os modelos numéricos são obtidos por discretização através do Método dos Elementos Finitos e pelo ajuste da resposta em freqüência. A validação numérica do método proposto é feita pela identificação de alterações de parâmetros de rigidez de um sistema massa-mola-amortecedor e de trincas simuladas em um eixo rotativo numérico através de um modelo de falha empírico. A validação experimental da técnica proposta é obtida pela identificação de um entalhe transversal causado no eixo de um sistema rotativo experimental. Palavras-chave: Detecção de falhas baseada em modelos. Observadores de estados. Observadores de estados com entradas desconhecidas. Sistemas rotativos. Abstract The faults diagnosis methods seeks to avoid them not to occur without prediction, so that preventive tasks can be taken to ensure the physical integrity of equipments and people involved in the process where the monitored system is inserted. The rotating shafts are elements capable of harmful phenomena caused by its own movement condition, which are reflected on the cycling of the acting stresses on its material. This work proposes the real-time structural crack detection in rotating shafts, by the monitoring of the system in operation, using the methodology of the state observers. Initially, the project of state observers via Linear Quadratic Regulator and Kalman Filter are introduced. Then, the unknown input state observers are presented. The numerical models are obtained by discretization through the Finite Elements Method and the frequency response fitting. The numerical validation of the proposed method if verified by the identification of stiffness parameters change of a mass-spring-damper system and flaws simulated in a numerical rotating shaft using an empirical model of failure. The experimental validation is obtained by the identification of a transversal dent caused in the shaft of an experimental rotating system. Keywords: Model-based fault detection. State observers. Unknown input state observers. Rotating systems. Lista de Figuras Figura 1- Fluxograma de um processo de monitoramento. ......................................................... 28 Figura 2 - Diagrama de blocos da representação em espaço de estados. ..................................... 36 Figura 3 - Diagrama de blocos de um sistema de observação de estados. ................................... 53 Figura 4 - Diagrama de blocos de observação de estados com a presença de ruídos de estado e ruídos de observação. ................................................................................................... 55 Figura 5 - Diagrama de blocos de um sistema de estimação offline com atraso, dos estados de um sistema com a presença de ruídos de estados, ruídos de medição e excitações desconhecidas. ............................................................................................................. 57 Figura 6 - Sistema de monitoramento baseado na estimação redundante de estados. ................. 65 Figura 7 - Sistema de monitoramento baseado em observadores de estados tradicionais. .......... 66 Figura 8 - Diagrama de blocos de um sistema de observação plena de um sistema generalizado utilizando um observador baseado em um sistema reduzido. ...................................... 68 Figura 9 - Diagrama de blocos de um sistema de observação plena de um sistema generalizado com entradas desconhecidas utilizando um observador baseado em um sistema reduzido. ...................................................................................................................... 68 Figura 10 - Sistema de coordenadas de um disco em um eixo flexível girante. R0[X Y Z] – Sistema inercial. R[x y z] – Sistema móvel solidário ao disco. ................................... 70 Figura 11 - Elemento de eixo delimitado por dois pontos nodais, com quatro graus de liberdade cada. ............................................................................................................................. 72 Figura 12 - Coordenadas inerciais e móveis do centro geométrico C e coordenadas móveis do ponto arbitrário B no eixo. ........................................................................................... 75 Figura 13 - Massa de desbalanceamento ........................................................................................ 79 Figura 14 - Exemplo básico de um sistema rotativo. ..................................................................... 80 Figura 15 - Valores dos coeficientes utilizados na formulação da matriz de rigidez do elemento trincado. ....................................................................................................................... 84 Figura 16 - Sistema massa-mola-amortecedor. .............................................................................. 86 Figura 17 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador de estados global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no sistema massa-mola-amortecedor utilizando o observador de Luenberger . ......................................................................................... 88 Figura 18 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o sistema com redução de 20% de k2. . 89 Figura 19 - Ruído de medição da resposta de aceleração da massa 2. ........................................... 90 Figura 20 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no sistema massa-mola-amortecedor utilizando o Filtro de Kalman .................................................................................................................... 90 Figura 21 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o sistema com redução de 20% de k2. ................ 91 Figura 22 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no sistema massa-mola-amortecedor utilizando o observador com entradas desconhecidas. .................................................................... 92 Figura 23 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema com redução de 20% de k2 .................................................................................................................... 93 Figura 24 - Desenho representativo do sistema rotativo experimental. ......................................... 94 Figura 25 - Modelo simplificado do sistema rotativo experimental. .............................................. 95 Figura 26 - Diagrama de Campbell do modelo do sistema rotativo experimental. ........................ 95 Figura 27 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no modelo do sistema rotativo utilizando o observador de Luenberger. ............................................................................................................. 97 Figura 28 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .................................................................................................................................. 98 Figura 29 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .................................................................................................................................. 99 Figura 30 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. ................................................................................................................................ 100 Figura 31 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. ................................................................................................................................ 101 Figura 32 - Ruídos de medição das resposta de aceleração vertical dos mancais 1 (a) e 2 (b). ... 102 Figura 33 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no modelo do sistema rotativo utilizando o Filtro de Kalman. ...................................................................................................................... 103 Figura 34 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. 104 Figura 35 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. 105 Figura 36 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. 106 Figura 37 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro, utilizando a leitura do mancal 2. ....................... 106 Figura 38 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no modelo do sistema rotativo utilizando o observador com entradas desconhecidas. ..................................................................................... 108 Figura 39 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .................................................................................................... 109 Figura 40 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .................................................................................................................... 110 Figura 41 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .................................................................................................... 111 Figura 42 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .................................................................................................... 112 Figura 43 - Sistema rotativo experimental. .................................................................................. 113 Figura 44 - Massa desbalanceada acoplada no disco, representada pelo parafuso de fixação do disco no eixo. ............................................................................................................. 114 Figura 45 - Acelerômetros acoplados nos mancais 1 (a) e 2 (b). ................................................. 114 Figura 46 - Respostas da aceleração vertical dos mancais 1 (a) e 2 (b), obtidas do sistema íntegro em operação. .............................................................................................................. 115 Figura 47 - Ruídos de medição obtidos dos acelerômetros acoplados nos mancais 1 (a) e 2 (b). 115 Figura 48 - Entalhe com profundidade de 30% do diâmetro do eixo, na região correspondente ao elemento 1 do modelo. ............................................................................................... 116 Figura 49 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no sistema rotativo experimental, no primeiro caso, utilizando o observador com entradas desconhecidas. .............................................. 117 Figura 50 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. ................................................................................ 118 Figura 51 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro na região correspondente ao elemento 1 no modelo, utilizando a leitura do mancal 2. ............ 119 Figura 52 - Entalhe com profundidade de 40% do diâmetro do eixo, na região correspondente ao elemento 1 do modelo. ............................................................................................... 120 Figura 53 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro, utilizando a leitura do mancal 1. ............................................................................................................... 120 Figura 54 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro na região correspondente ao elemento 1 no modelo, utilizando a leitura do mancal 2. ............ 121 Figura 55 - Respostas da aceleração vertical dos mancais 1 (a) e 2 (b), obtidas do sistema íntegro em operação. .............................................................................................................. 122 Figura 56 - Ruídos de medição obtidos dos acelerômetros acoplados nos mancais 1 (a) e 2 (b). 122 Figura 57 - Entalhe com profundidade de 30% do diâmetro do eixo, na região correspondente ao elemento 5 do modelo. ............................................................................................... 123 Figura 58 - Respostas temporais reais e estimadas pelo observador global obtidas antes (a) e depois (b) da inserção da falha no sistema rotativo experimental, no segundo caso, utilizando o observador com entradas desconhecidas. .............................................. 124 Figura 59 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 1. ............ 125 Figura 60 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 2. ............ 126 Figura 61 - Entalhe com profundidade de 40% do diâmetro do eixo, na região correspondente ao elemento 5 do modelo. ............................................................................................... 127 Figura 62 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 1. ............ 127 Figura 63 - Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 2. ............ 128 Figura 64 - Desvios entre pontos da curva a ser ajustada (curva contínua) e da curva de referência (curva pontilhada). ..................................................................................................... 135 Figura 65 - Fluxograma do processo iterativo de busca do ponto de mínimo local da função objetivo. ..................................................................................................................... 136 Figura 66 - Modelo simplificado do sistema rotativo experimental. ............................................ 137 Figura 67 - Entrada e saídas do sistema em análise transiente para obtenção das respostas no domínio da freqüência, no plano z-y. ........................................................................ 139 Figura 68 - Respostas no domínio da freqüência do sistema real e do modelo numérico ajustado, obtidas da aceleração vertical do mancal 1 do primeiro sistema rotativo experimental. ............................................................................................................. 140 Figura 69 - Respostas no domínio da freqüência do sistema real e do modelo numérico ajustado, obtidas da aceleração vertical do mancal 2 do primeiro sistema rotativo experimental. ............................................................................................................. 140 Figura 70 - Respostas no domínio da freqüência do sistema real e do modelo numérico ajustado, obtidas da aceleração vertical do mancal 1 do segundo sistema rotativo experimental. ............................................................................................................. 141 Figura 71 - Respostas no domínio da frequência do sistema real e do modelo numérico ajustado, obtidas da aceleração vertical do mancal 2 do segundo sistema rotativo experimental. ............................................................................................................. 141 Lista de Tabelas Tabela 1 – Parâmetros físicos do sistema massa-mola-amortecedor. ......................................... 87 Tabela 2 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da falha no sistema massa-mola-amortecedor utilizando o observador de Luenberger................................................................................................................. 88 Tabela 3 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o sistema com redução de 20% de k2. 89 Tabela 4 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da falha no sistema massa-mola-amortecedor utilizando o Filtro de Kalman. ..................................................................................................................... 91 Tabela 5 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o sistema com redução de 20% de k2. .............. 91 Tabela 6 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da falha no sistema massa-mola-amortecedor utilizando o observador com entradas desconhecidas. ..................................................................................... 92 Tabela 7 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema com redução de 20% de k2. ................................................................................................................. 93 Tabela 8 – Valores singulares de Hankel e normas Hankel modal do modelo completo do sistema rotativo experimental em operação. ............................................................. 96 Tabela 9 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da trinca no modelo do sistema rotativo utilizando o observador de Luenberger. ................................................................................................................ 98 Tabela 10 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. ................................................................................................................................ 99 Tabela 11 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. ................................................................................................................................ 99 Tabela 12 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .............................................................................................................................. 100 Tabela 13 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador de Luenberger, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .............................................................................................................................. 101 Tabela 14 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da trinca no modelo do sistema rotativo utilizando o Filtro de Kalman. ................................................................................................................... 103 Tabela 15 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .............................................................................................................................. 104 Tabela 16 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .............................................................................................................................. 105 Tabela 17 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .............................................................................................................................. 106 Tabela 18 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o Filtro de Kalman, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .............................................................................................................................. 107 Tabela 19 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da falha no modelo do sistema rotativo utilizando o observador com entradas desconhecidas. ........................................................................................... 108 Tabela 20 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .............................................................................................. 109 Tabela 21 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 30% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .............................................................................................. 110 Tabela 22 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 1. .............................................................................................. 111 Tabela 23 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o modelo do sistema rotativo com trinca com profundidade de 40% do diâmetro no elemento 1, utilizando a leitura do mancal 2. .............................................................................................. 112 Tabela 24 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da falha no sistema rotativo experimental, no primeiro caso, utilizando o observador com entradas desconhecidas. ................................................................ 116 Tabela 25 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro na região correspondente ao elemento 1 no modelo, utilizando a leitura do mancal 1. .......... 118 Tabela 26 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro na região correspondente ao elemento 1 no modelo, utilizando a leitura do mancal 2. .......... 119 Tabela 27 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro na região correspondente ao elemento 1 no modelo, utilizando a leitura do mancal 1. .......... 120 Tabela 28 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro, utilizando a leitura do mancal 2. ............................................................................................................ 121 Tabela 29 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo observador global antes e depois da inserção da falha no sistema rotativo experimental, no segundo caso, utilizando o observador com entradas desconhecidas. ................................................................ 123 Tabela 30 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 1. .......... 125 Tabela 31 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 30% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 2. .......... 126 Tabela 32 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 1. .......... 127 Tabela 33 – Valores RMS-1 dos sinais residuais produzidos pelo banco de observadores robustos utilizando o observador com entradas desconhecidas, para o sistema rotativo experimental com trinca com profundidade de 40% do diâmetro na região correspondente ao elemento 5 no modelo, utilizando a leitura do mancal 2. .......... 128 Tabela 34 – Parâmetros conhecidos do sistema rotativo experimental. ...................................... 138 Tabela 35 – Parâmetros desconhecidos do sistema rotativo experimental. ................................ 138 Tabela 36 – Valores iniciais e valores ajustados dos parâmetros desconhecidos, obtidos na primeira análise do sistema. .................................................................................... 141 Tabela 37 – Valores iniciais e valores ajustados dos parâmetros desconhecidos, obtidos na segunda análise do sistema. ..................................................................................... 142 Lista de Símbolos A Matriz dinâmica do sistema em espaço de estados B Matriz de entradas do sistema em espaço de estados n Número de estados C Matriz de saídas do sistema em espaço de estados D Matriz de transmissão direta do sistema em espaço de estados m Número de entradas p Número de saídas x Vetor de estados u Vetor de entradas y Vetor de saídas q Vetor de coordenadas generalizadas M Matriz de massa aC Matriz de amortecimento K Matriz de rigidez 0B Matriz de entradas do sistema em coordenadas generalizadas oqC Matriz de saídas de deslocamento ovC Matriz de saídas de velocidade 'α e 'β Constantes escalares empíricas de proporcionalidade de amortecimento Q Vetor de coordenadas generalizadas no domínio de Laplace V Matriz de autovetores Ω Matriz de autovalores w Frequência natural mM Matriz modal de massa mK Matriz modal de rigidez maC Matriz modal de amortecimento mqC Matriz modal de saídas de deslocamento mvC Matriz modal de saídas de velocidade mB Matriz modal de entradas do sistema em coordenadas generalizadas Z Matriz de fatores de amortecimento modais ζ Fator de amortecimento modal mbdA Matriz dinâmica do sistema em espaço de estados em coordenadas modais em blocos diagonais mbdB Matriz de entradas do sistema em espaço de estados em coordenadas modais em blocos diagonais mbdC Matriz de saídas do sistema em espaço de estados em coordenadas modais em blocos diagonais `C Matriz de controlabilidade `O Matriz de observabilidade cW Matriz grammiana de controlabilidade oW Matriz grammiana de observabilidade Γ, V e U Matrizes diagonal e unitárias, respectivamente, obtidas da decomposição singular da matriz H H Matriz produto das matrizes P e Q P e Q Matrizes obtidas da decomposição dos grammianos de controlabilidade e observabilidade, respectivamente. cbW Matriz grammiana de controlabilidade do sistema balanceado obW Matriz grammiana de observabilidade do sistema balanceado γ Valor singular de Hankel h G Norma Hankel he Energia eliminada do sistema pela redução modal A′ Matriz dinâmica do sistema em espaço de estados no domínio temporal discreto B′ Matriz de entradas do sistema em espaço de estados no domínio temporal discreto Ca Matriz de saídas de aceleração do sistema em espaço de estados ex Vetor de estados estimados ey Vetor de saídas do observador de estados kL Matriz de ganho ou matriz do observador de estados e Vetor de erro de estimação kK Matriz de ganho em malha fechada J Índice de desempenho quadrático 'Q Matriz hermitiana positiva definida de ponderação da importância do erro de estimação 'R Matriz hermitiana positiva definida de ponderação da importância do dispêncio de energia dos sinais de controle kP Matriz de covariância dos estados do sistema w Vetor de ruídos de estado v Vetor de ruídos de medição E Matriz de transmissão direta dos ruídos de estado Q Matriz de covariância dos ruídos de estado R Matriz de covariância dos ruídos de medição α Número de passos temporais discretos de avanço x Vetor de estados expandido n Vetor de ruídos expandido A Matriz dinâmica expandida B e nB Matrizes de entradas expandidas C Matriz de saídas expandida αΘ Matriz de saídas expandida para α passos de avanço αM e α,nM Matrizes de transmissão direta expandida para α passos de avanço 'T Matriz de transformação de coordenadas F Base ortogonal do espaço nulo à esquerda de 1−αM H Base ortogonal do espaço nulo à esquerda de αΘF αβ Número de estados estimados obtidos diretamente das saídas do sistema 1x̂ Vetor de estados estimados obtidos diretamente das saídas do sistema 2x̂ Vetor de estados estimados obtidos pelo observador U Base ortogonal do espaço nulo de F N Base ortogonal do espaço nulo à esquerda das últimas αm colunas de αGM xkP , Matriz de covariância do vetor de estados do sistema original erx Vetor dos estados dos l modos estimados pelo observador Mg Matriz global de massa do sistema Dg Matriz global de amortecimento estrutural proporcional do sistema Gg Matriz global giroscópica do sistema Kg Matriz global de rigidez do sistema φ& ,Ω Velocidade angular do rotor T Função de energia cinética. U Função de energia potencial. R Função de dissipação de energia de Rayleigh. Fq Vetor de excitações generalizadas. iq Vetor de coordenadas do i-ésimo ponto nodal do sistema u Deslocamento linear horizontal do ponto nodal do elemento de eixo w Deslocamento linear vertical do ponto nodal do elemento de eixo θ Deslocamento angular do ponto nodal do elemento de eixo em torno do eixo X ψ Deslocamento angular do ponto nodal do elemento de eixo em torno do eixo Z 0/ RRω Velocidade angular do disco solidária ao sistema de coordenadas móvel 0/ RR Rω Velocidade angular do disco solidária ao sistema de coordenadas inercial xω Velocidade angular do disco em relação ao eixo x yω Velocidade angular do disco em relação ao eixo x zω Velocidade angular do disco em relação ao eixo x DT Energia cinética do disco Dm Massa do disco xDI Momento de inércia do disco em relação ao eixo x yDI Momento de inércia do disco em relação ao eixo y zDI Momento de inércia do disco em relação ao eixo z RI Tensor de inércia do disco DM Matriz de massa do disco DG Matriz do efeito giroscópio do disco ET Energia cinética do elemento de eixo xq Vetor de coordenadas do sistema na direção x zq Vetor de coordenadas do sistema na direção z ρ Densidade do material do elemento S Área da seção transversal do elemento L Comprimento do elemento de eixo I Momento de inércia da área da seção transversal do elemento em relação ao eixo neutro 1N e 2N Funções de deslocamento entre os pontos nodais do elemento de eixo EM Matriz de massa clássica do elemento de eixo SEM Matriz do efeito secundário de inércia rotacional do elemento de eixo EG Matriz do efeito giroscópio do elemento de eixo *u Deslocamento horizontal do ponto nodal em relação ao sistema de coordenadas móvel *w Deslocamento vertical do ponto nodal em relação ao sistema de coordenadas móvel E Módulo de elasticidade do material do elemento 1U Energia potencial de deformação elástica do elemento de eixo devida à Flexão 2U Energia potencial de deformação elástica do elemento de eixo devida à aplicação de força axial 0F Força axial aplicada no eixo EU Energia potencial de deformação elástica combinada do elemento de eixo 1EK e 2EK Matrizes de rigidez clássicas do eixo 3EK e 4EK Matrizes de rigidez do eixo devido à aplicação de força axial cα Coeficiente de cisalhamento rS Área da seção transversal reduzida G Módulo de Cisalhamento v Coeficiente de Poisson gK Matriz de rigidez global do eixo CK Matriz de rigidez clássica do elemento de eixo FK Matriz de rigidez do elemento de eixo devido à aplicação de força axial um Massa desbalanceada do sistema rotativo mT Energia cinética da massa desbalanceada um du Deslocamento da massa desbalanceada em relação ao centro geométrico do eixo tnq Vetor de translação do ponto nodal do eixo uf Componente horizontal da força de desbalanceamento wf Componente vertical da força de desbalanceamento sC Matriz de amortecimento da suspensão do sistema rotativo C fK Matriz de rigidez clássica do elemento de eixo com falha Lista de Siglas FEM Finite Elements Method (Método dos Elementos Finitos) RMS Root Mean Square (Raiz da Média Quadrática) FRF Frequency Response Function (Função de Resposta em Frequência) SISO Single Input Single Output (Única Entrada Única Saída) MIMO Multiple Input Multiple Output (Múltiplas Entradas Múltiplas Saídas) Sumário 1 INTRODUÇÃO E REVISÃO DA LITERATURA ...................................................... 27 1.1 Diagnose de Falhas em Sistemas Mecânicos ......................................................................... 27 1.1.1 Diagnose de Falhas via Observadores de Estados ........................................................... 29 1.2 Diagnose de Trincas em Sistemas de Rotativos ..................................................................... 30 1.3 Ajuste de Incertezas de Modelos Numéricos Através do Ajuste da Resposta em Frequência via Métodos dos Mínimos Quadrados ....................................................................................... 32 1.4 Objetivos do Trabalho ......................................................................................................... 32 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ...................................................................................... 34 2.1 Sistemas de Controle ........................................................................................................... 34 2.1.1 Definição de Espaço de Estados ...................................................................................... 34 2.1.2 Modelo de Sistema Dinâmico em Espaço de Estados ..................................................... 36 2.1.3 Modelo de Sistema Estrutural em Espaço de Estados .................................................... 37 2.1.3.1 Modelo em Coordenadas Nodais ................................................................................... 38 2.1.3.2 Modelo em Coordenadas Modais ................................................................................... 39 2.1.4 Controlabilidade e Observabilidade ................................................................................. 44 2.1.4.1 Princípio da Dualidade .................................................................................................. 46 2.1.5 Redução de Modelos ......................................................................................................... 46 2.1.5.1 Realização Balanceada .................................................................................................. 47 2.1.5.2 Norma Hankel ................................................................................................................ 48 2.1.6 Modelos em Espaço de Estados no Domínio Temporal Discreto ................................... 49 2.1.7 Modelos em Espaço de Estados Utilizando Sensores de Aceleração ............................. 50 2.2 Observadores de Estado ...................................................................................................... 51 2.2.1 Observador de Luenberger ............................................................................................... 52 2.2.1.1 Regulador Linear Quadrático ........................................................................................ 54 2.2.2 Filtro de Kalman ............................................................................................................... 55 2.2.3 Observador de Estados com Entradas Desconhecidas .................................................... 56 2.3 Metodologia de Detecção de Falhas via Observadores de Estados ........................................ 65 2.4 Modelo de Sistema Rotativo ................................................................................................ 69 2.4.1 Modelo em Coordenadas Nodais ..................................................................................... 69 2.4.1.1 Modelo de Disco ............................................................................................................. 70 2.4.1.2 Modelo de Eixo ............................................................................................................... 71 2.4.1.3 Forças de Desbalanceamento ........................................................................................ 79 2.4.1.4 Modelo Global ................................................................................................................ 80 2.5 Modelo de Falha.................................................................................................................. 83 2.5.1 Modelo Analítico de Trinca .............................................................................................. 84 3 SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL ............................................................................ 86 3.1 Sistema Massa-Mola-Amortecedor ...................................................................................... 86 3.1.1 Observador de Luenberger ............................................................................................... 87 3.1.2 Filtro de Kalman ............................................................................................................... 89 3.1.3 Observador com Entradas Desconhecidas ...................................................................... 92 3.2 Sistema Rotativo ................................................................................................................. 94 3.2.1 Observador de Luenberger ............................................................................................... 97 3.2.2 Filtro de Kalman ............................................................................................................. 101 3.2.3 Observador com Entradas Desconhecidas .................................................................... 107 4 VALIDAÇÃO EXPERIMENTAL ............................................................................... 113 4.1 Primeiro Caso .....................................................................................................................115 4.2 Segundo Caso .....................................................................................................................121 5 CONCLUSÃO ............................................................................................................... 129 Referências ................................................................................................................................... 131 ANEXO A - Ajuste de Parâmetros Utilizando o Método dos Mínimos Quadrados .............. 135 27 1 INTRODUÇÃO E REVISÃO DA LITERATURA Uma das grandes preocupações dos setores industriais está relacionada com a disponibilidade dos processos de produção. Tais processos são compostos por uma cadeia de sistemas mecânicos destinados à realização de tarefas específicas que, em sua maioria, são essenciais para a harmonia de um regime produtivo. A simples falha de um componente mecânico pode resultar na quebra desta harmonia, que reflete em perdas de produção e prejuízos materiais e humanos. Este capítulo introduz os conceitos que acercam os tipos de falha que serão tratados neste trabalho, bem como a metodologia que o mesmo propõe na busca da predição de tais ocorrências, antes que estas proporcionem prejuízos maiores. 1.1 Diagnose de Falhas em Sistemas Mecânicos De acordo com Gertler (1988), a diagnose de uma falha consiste em três tarefas: 1. Detecção, i.e., a indicação de que alguma falha possa estar ocorrendo no sistema 2. Isolamento, i.e., a determinação do local exato da falha 3. Identificação, i.e., a determinação da gravidade da falha Segundo Isermann (1984), uma falha é entendida como um desvio não permitido de uma propriedade característica de um sistema que o leva a não realizar sua finalidade. O mesmo autor classifica as etapas de monitoramento de um sistema mecânico de acordo com o fluxograma da Figura 1. Se uma falha ocorre em um processo ou sistema, a mesma precisa ser detectada tão antecipadamente quanto possível. Esta etapa pode ser realizada através da análise de desvios das variáveis medidas ou estimadas com relação aos seus valores normais. Quando este desvio é considerado inaceitável, é detectada a ocorrência de falha, que conduz a análise para a próxima etapa; a diagnose da falha. O escopo do presente trabalho envolve até este ponto do fluxograma de monitoramento da Figura 1, visto que as etapas posteriores à diagnose da falha representam decisões tomadas de acordo com os resultados obtidos deste diagnóstico. De acordo com Gertler (1988), as técnicas de diagnose de falha podem ser separadas em dois grandes grupos: • Métodos que não usam de um modelo matemático da planta • Métodos que usam de um modelo matemático da planta. sendo que o último utiliza, em sua maioria, modelos lineares em tempo discreto ou discretizados de modelos em tempo contínuo. 28 Segundo Edwards et al. (1998), nos métodos baseados em modelos, o número de variáveis e parâmetros levados em conta deve ser o máximo possível para construir um modelo matemático detalhado do sistema em observação. Natke e Cempel (1991) partem da definição de que uma falha causará uma alteração no comportamento dinâmico do sistema e pode-se construir um modelo para detectar tais mudanças de modo a permitir sua detecção e seu diagnóstico. Diferentes métodos de detecção de falhas baseados em modelos tem sido desenvolvidos nos últimos vinte anos. Willsky (1976) estudou métodos para a detecção de mudanças abruptas em sistemas dinâmicos estocásticos, incluindo o uso de filtros sensitivos específicos a diferentes falhas. Frank (1990) estudou a detecção e o isolamento de falhas em processos automáticos utilizando técnicas de geração residual baseada em modelos usando identificação de parâmetros e métodos de estimação de estados. Figura 1- Fluxograma de um processo de monitoramento. Fonte: Isermann (1984). A utilização de modelos matemáticos obtidos da discretização de sistemas contínuos pelo FEM tem sido amplamente empregada em métodos de diagnose de falhas em sistemas contínuos. As delimitações físicas representadas pelos elementos finitos na estrutura permitem o isolamento de falhas na modelagem do sistema, permitindo a simulação de seu comportamento dinâmico na presença de falhas, que podem ser inseridas no modelo na forma de variação de parâmetros estruturais. Cacciola e Muscolino (2002) estudaram o comportamento determinístico de uma viga na presença de uma trinca transversal não propagante, obtendo uma modelagem para este tipo de falha em vigas discretizadas utilizando elementos finitos. 29 1.1.1 Diagnose de Falhas via Observadores de Estados Dentro do contexto das técnicas de diagnose de falhas baseadas em modelos, destaca-se a metodologia dos observadores de estado. Kalman (1960) e Luenberger (1963) mostraram que os estados de um sistema podem ser estimados conhecendo-se suas entradas e suas saídas, introduzindo assim as metodologias de projeto de observadores de estado para sistemas estocásticos e determinísticos, respectivamente. A metodologia de diagnose de falhas utilizando observadores de estado compara a saída medida do sistema real em análise com a saída estimada pelos observadores de estados, que contém as informações do sistema íntegro e das possíveis falhas que possam ocorrer no sistema. Garcia e Frank (1997) revisaram as principais aproximações de diagnose de falhas baseada em observadores aplicada a sistemas não lineares, utilizando a extensão dos métodos de diagnose aplicados a sistemas lineares. Ele mostra que o uso de aproximações lineares é limitado quando o sistema a ser monitorado é fortemente não linear, fato que ocorre com a natureza de muitos processos industriais. Os problemas devido à consideração de modelos mais generalizados, assim como o projeto de observadores correspondentes não-lineares, ainda são pertinentes por conta da dificuldade de se estimar o estado ou o vetor de medição de um sistema desta natureza, mesmo quando a linearidade é conhecida ou distúrbios não estão presentes. Melo (1998) desenvolveu uma metodologia para diagnose de falhas em sistemas mecânicos usando observadores de estado, onde parâmetros sujeitos a falhas são escolhidos e observadores robustos são projetados de modo a identificar tais falhas, sendo que o observador global destina-se a monitorar a condição de sistema íntegro. Melo e Araújo (2007) analisaram o desenvolvimento de uma trinca, através da metodologia dos observadores de estado, com simulações computacionais de uma viga engastada discretizada pelo Método dos Elementos Finitos (FEM). Esta técnica consiste no desenvolvimento de um modelo do sistema a ser analisado e na comparação dos dados obtidos com os dados estimados. A diferença entre esses dados gera um resíduo, que é o dado de análise. A capacidade deste método em reestruturar os estados não mensuráveis do sistema permite a estimação dos estados em localidades de difícil acesso. Marano (2002) aplicou a metodologia de detecção e localização de falhas via observadores de estado em sistemas mecânicos com variação de parâmetros. Watanabe (2010) aplicou a metodologia dos observadores de estados para detectar, localizar e acompanhar a propagação de trincas em estruturas reticuladas tridimensionais. A necessidade do domínio das entradas do sistema representa uma restrição à utilização destes observadores, visto que nem sempre estas informações estão disponíveis. Nos últimos anos, vários trabalhos têm sido feitos no sentido de se obter informações sobre as excitações de um sistema. Melo et al. (1994) e Pacheco (2001) recorreram ao uso de métodos no domínio temporal na solução de problemas de identificação de forças de excitação. Pacheco e Steffen Jr. (2003) utilizaram de funções ortogonais na representação dos sinais de entrada e saída de sistemas não lineares. Morais (2006) utilizou a metodologia dos observadores de estado na 30 diagnose de falhas em sistemas mecânicos com excitações desconhecidas, identificadas via funções ortogonais. Nas últimas três décadas, estudos foram iniciados na busca de observadores de estados com entradas desconhecidas (DAROUACH et al, 2003; HOU; PATTON, 1998; JIN E TAHK, 2005; KITANIDIS, 1987; SABERI et al, 2000; SUNDARAM E HADJICOSTIS, 2005). Os trabalhos mais recentes mostraram que a utilização de estimadores offline, ou seja, com estimação de estados em atraso com relação ao sinal de entrada, contorna algumas condições de existência que restringem a utilização de estimadores com entradas desconhecidas. Foi mostrado também que a utilização de estimadores offline ótimos, do tipo smoother, pode correlacionar os ruídos do sistema com os erros de estimação do observador de modo que estes se tornem coloridos. Sundaram e Hadjicostis (2006) propuseram uma solução para este problema, aumentando apropriadamente a dimensão do sistema de estimação. 1.2 Diagnose de Trincas em Sistemas de Rotativos Largamente empregados em sistemas mecânicos de processos produtivos, os sistemas rotativos têm se tornado cada vez mais leves e velozes, como resultado do progresso da engenharia nestas áreas. Dada a grande importância destes sistemas, o estudo e o desenvolvimento de técnicas de detecção de falhas crescem com o aumento da preocupação em relação às consequências de uma quebra repentina de um eixo girante, de modo que uma eventual trinca estrutural seja detectada antes que esta tenha se propagado para uma profundidade crítica. Sabnavis et al (2004) divide o processo de falha em eixos rotativos em três estágios cronológicos; 1. Iniciação da trinca 2. Propagação da trinca 3. Rompimento do eixo Segundo o autor, o primeiro estágio é causado por fatores geométricos e/ou metalúrgicos e está relacionado ao surgimento de minúsculas descontinuidades. O segundo estágio compreende o crescimento das descontinuidades como resultado da ciclagem das tensões atuantes no componente. Falhas de operação, tensões térmicas e/ou residuais, zonas termicamente afetadas por soldagem, presença de hidrogênio no aço, elevada temperatura de transição dúctil-frágil e condições ambientais são exemplos de propagadores de trinca. O terceiro e último estágio ocorre quando as tensões atuantes na seção de falha excedem a tensão admissível do material do eixo. Segundo Edwards et al. (1998), as técnicas modernas de monitoramento da condição de sistemas rotativos envolvem diferentes temas, sendo a análise de vibrações a mais importante e informativa. As técnicas de diagnose de trincas em sistemas rotativos baseadas em sinais de vibração representam uma porção significativa dos trabalhos relacionados ao monitoramento 31 da condição deste tipo de sistema. Destes trabalhos, vários autores têm direcionado seu estudo no desenvolvimento de técnicas baseadas em modelos. Wauer (1988) estudou o comportamento dinâmico de um componente de rotor com uma trinca utilizando o modelo de eixo de Timoshenko, que também considera a flexibilidade torcional e longitudinal. A trinca aberta é simulada usando um elemento complexo de mola com rigidez e amortecimento reduzidos que, junto com as modificações que simulam a trinca fechada, formulam as condições de abertura e fechamento da descontinuidade. As equações que governam o sistema são então obtidas e preparadas por aproximações especiais para a aplicação de métodos variacionais diretos, em uma forma simplificada substituindo a descontinuidade geométrica por uma descontinuidade de carregamento no local da trinca. Bachschmid et al. (2000) apresentaram um método robusto para identificar a localização e a profundidade de trincas em rotores, criando um modelo confiável de elementos finitos do sistema para estabelecer a relação entrada-saída provocada pelo sintoma da falha. Sekhar (2003) propôs um método baseado em modelos para a identificação em tempo real de trincas em um rotor, onde as mudanças no sistema provocadas pela falha são levadas em conta através do uso de forças equivalentes no modelo matemático. A metodologia dos observadores de estados tem sido amplamente empregada na diagnose de falhas em sistemas rotativos. Lemos (2004) aplicou esta técnica na detecção de falhas de sistemas rotativos considerando suas fundações. Outros trabalhos têm sido feitos também no sentido de solucionar o problema do não domínio das forças de excitação de sistemas rotativos autoexcitados. Melo (2008) identificou as forças de desbalanceamento em sistemas rotativos através do uso de funções ortogonais. Koroishi (2009) utilizou a mesma técnica de identificação dos sinais de entrada de um sistema rotativo autoexcitado ao utilizar a metodologia dos observadores de estados na diagnose de falhas. O Método dos Elementos Finitos representa uma poderosa ferramenta de discretização de sistemas contínuos no desenvolvimento de modelos numéricos para sistemas mecânicos estruturais. Lalanne e Ferraris (1990) apresentaram uma modelagem sistemática e prática para a predição do comportamento de sistemas rotativos, utilizando o Método dos Elementos Finitos. As técnicas de diagnose de falhas baseadas em modelos utilizam o conceito de elemento finito no sentido de isolar os efeitos estruturais causados por uma falha em um sistema contínuo. O isolamento desta influência é muito importante na construção dos modelos que serão utilizados no projeto dos observadores de estados robustos destinados a localizar e quantificar falhas. Quanto maior o número de elementos finitos considerados na discretização do sistema, mais precisa é a localização da falha. Porém, em contrapartida, a ordem do modelo numérico se eleva. 32 1.3 Ajuste de Incertezas de Modelos Numéricos Através do Ajuste da Resposta em Frequência via Métodos dos Mínimos Quadrados A obtenção de um modelo numérico confiável está relacionada com o domínio das incertezas do sistema real, visto que a obtenção de certos parâmetros pode ser impossível ou inviável. Uma técnica comum que visa à melhoria da confiabilidade dos modelos numéricos é através do ajuste baseado na minimização de funções, sobre um espaço de parâmetros que representam as incertezas deste modelo. O Método dos Mínimos Quadrados representa uma técnica de otimização numérica que busca o melhor ajustamento para um conjunto de informações através da minimização da soma dos quadrados das diferenças em relação aos valores de referência. O problema de mínimos quadrados ordinários exige que as variáveis do problema sejam lineares entre si, o que a torna perfeitamente aplicável no ajuste de modelos numéricos de sistemas lineares e invariantes no tempo. As técnicas de ajuste de modelos consistem na solução de um problema inverso, ou seja, conhecido o comportamento de um sistema físico, deseja-se determinar um modelo analítico que reproduza exatamente este comportamento. Desta forma, métodos matemáticos têm sido desenvolvidos no sentido de manipular as incertezas do modelo de forma a aproximar dados reais e dados numéricos (CAMPOS, 2002). O Método dos Mínimos Quadrados representa uma técnica de otimização numérica que busca a melhor aproximação entre duas curvas através da minimização da soma dos quadrados das diferenças entre valores de referência e os respectivos valores em ajuste. O ajuste de modelos numéricos utilizando respostas no domínio da frequência experimentais é interessante devido à grande quantidade de informações que contém do sistema em questão. O Método dos Elementos Finitos têm sido largamente utilizado para este fim, empregando-se tanto técnicas diretas de ajuste das matrizes de massa, rigidez e amortecimento, como através de métodos iterativos que ajustam os parâmetros incertos utilizados na modelagem (CAMPOS, 2002). A utilização de métodos iterativos refinados que buscam a minimização de uma função, linear ou não linear, sobre um espaço de parâmetros dentro de uma região de confiança, pode fornecer resultados ainda mais precisos. 1.4 Objetivos do Trabalho Embora muitos estudos tenham comprovado a eficácia numérica da metodologia dos observadores de estado na diagnose de falhas em sistemas mecânicos, esta metodologia ainda encontra obstáculos para a sua ampla aplicação na prática. Um dos fatos pode estar relacionado ao não domínio das forças de excitação atuantes no sistema, visto que tais informações são necessárias na dinâmica dos observadores de estados tradicionais. As forças de excitação podem ser originadas pela dinâmica do próprio sistema, como é o caso dos sistemas rotativos, ou por influência de sistemas ou fenômenos periféricos que estão fora do domínio de monitoramento. 33 Muitas técnicas têm sido desenvolvidas no sentido de se identificar as excitações desconhecidas de sistemas mecânicos. Embora tais técnicas têm oferecido bons resultados, o presente trabalho busca oferecer uma alternativa funcionalmente mais simplificada para a diagnose de falhas via observadores de estado, onde o conhecimento das forças de excitação não é mais necessário. A simplificação numérico-computacional é obtida através da redução da ordem do observador de estados através do truncamento modal, porém mantendo sua ordem completa de estimação dos estados. O ajuste das respostas no domínio da frequência, através do Método dos Mínimos Quadrados, é utilizado na obtenção de um modelo preciso de sistema rotativo, contornando as incertezas de alguns parâmetros estruturais presentes. Os principais objetivos do trabalho podem ser classificados como: • Introdução dos observadores de estados determinísticos (Observador de Luenberger) e estocásticos (Filtro de Kalman). • Introdução dos observadores de estados com entradas desconhecidas. • Simulação e análise das metodologias de diagnose de falhas utilizando observadores de estados, aplicadas em um modelo numérico de sistema massa-mola-amortecedor e em um modelo numérico de sistema rotativo discretizado por elementos finitos. • Aplicar a metodologia de diagnose de falhas proposta em um sistema rotativo experimental, representando um caso real de sistema estrutural com excitação desconhecida. 34 2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS 2.1 Sistemas de Controle A complexidade dos sistemas de engenharia atuais requer uma forma de análise e projeto que leve em conta a realização de tarefas complexas e precisas. A teoria de controle convencional é limitada no sentido de ser aplicável somente em sistemas de apenas uma entrada e uma saída. Esta teoria é baseada nas funções de transferência, ou seja, nas respostas no domínio da frequência. A teoria de controle moderno contrasta com a teoria de controle convencional no sentido de que a primeira é aplicável a sistemas com entradas e saídas múltiplas, lineares e não lineares e variantes ou invariantes no tempo (OGATA, 2002). Esta teoria moderna é fundamentada na descrição de um conjunto de equações de primeira ordem que podem ser combinadas numa equação matricial de primeira ordem, chamada de equação de estados. Esta representação, chamada de espaço de estados, fornece uma forma conveniente e compacta de análise e modelagem de sistemas multivariáveis. 2.1.1 Definição de Espaço de Estados O conceito de estado de um sistema dinâmico se refere a um conjunto de n variáveis, chamadas de variáveis de estado, que descrevem completamente um sistema e suas saídas para com as suas entradas. Uma descrição matemática de um sistema em termos das n de variáveis de estados, juntamente com o conhecimento destas variáveis em um tempo inicial t0 e das entradas deste sistema para o tempo t≥t0, são suficientes para predizer os estados futuros e as saídas deste sistema para todo o tempo t>0 (ROWELL, 2002). De uma forma geral, as equações de estados podem ser escritas na forma )),(),(()( )),(),(()( )),(),(()( 22 11 ttutxftx ttutxftx ttutxftx nn = = = = & MM & & (1) onde fi representa a i-ésima função generalizada em termos das variáveis de estado, das entradas do sistema e do tempo. Considerando o caso de sistemas lineares e invariantes no tempo, de ordem n e com r entradas, a equação (1) pode ser representada por uma equação matricial que representa o acoplamento das n equações diferenciais de primeira ordem com coeficientes constantes, na forma: 35                       +                         =             )( )( )( )( )( )( )( )( 1 1 221 111 2 1 21 22221 11211 2 1 tu tu bb bb bb tx tx tx aaa aaa aaa tx tx tx m nmn m m nnnnn n n n M L MOM L L M L MOMM L L & M & & (2) que podem ser escritas na forma compacta )()()( tButAxtx +=& (3) onde x(t) é um vetor coluna nx1, u(t) é um vetor coluna de ordem mx1, A é uma matriz quadrada nxn e B é uma matriz retangular nxm. A matriz A é chamada de matriz dinâmica, que tem a função de acoplar as variáveis de estado, e a matriz B é chamada de matriz de entradas, que tem a função de direcionamento e de peso das entradas do sistema. A equação (3) é chamada de equação matricial de estados. As saídas do sistema podem ser descritas como sendo uma combinação linear do vetor de estados x(t) e do vetor de entradas u(t). De uma forma geral, as equações de saídas podem ser escritas na forma )),(),(()( )),(),(()( )),(),(()( 22 11 ttutxgty ttutxgty ttutxgty pp = = = = MM (4) onde as funções gi são funções generalizadas em termos das variáveis de estado, das entradas do sistema e do tempo. O vetor de saídas y(t), que contém as p variáveis de saída do sistema, pode ser escrito na forma matricial generalizada                         +                           =               )( )( )( )( )( )( )( )( 1 1 221 111 2 1 21 22221 11211 2 1 tu tu dd dd dd tx tx tx ccc ccc ccc ty ty ty r pmp m m npnpp n n p M L MOM L L M L MOMM L L M (5) ou na forma compacta )()()( tDutCxty += (6) onde y(t) é um vetor coluna px1. A matriz C é chamada de matriz de saídas, que tem a função de direcionamento e de peso das variáveis de estado, e a matriz D é chamada de matriz de transmissão direta, que tem a função de direcionamento e de peso com relação à influência das entradas nas saídas do sistema. A equação (5) é chamada de equação matricial de saídas. O diagrama de blocos da Figura (2) representa o fluxo das informações de um sistema através das matrizes da representação em espaço de estados, no domínio temporal contínuo. 36 Figura 2 - Diagrama de blocos da representação em espaço de estados. Fonte: Elaboração do próprio autor. 2.1.2 Modelo de Sistema Dinâmico em Espaço de Estados Sistemas dinâmicos em geral podem ser descritos por equações diferenciais ordinárias lineares de ordem k onde o tempo é a variável independente. Estas equações podem ser rearranjadas e representadas na forma de equações matricial-vetoriais de primeira ordem. Considerando o sistema de ordem k )()()()()( 1 )1( 1 )( tutqatqatqatq kk kk =++++ − − &L , (7) tem-se que o conhecimento das condições iniciais )1( )0()0(),0( −k qqq L& , juntamente com o sinal de entrada u(t), prediz o comportamento do sistema. Desta forma, )1( )()(),( −k tqtqtq L& podem ser representados por um conjunto de k variáveis de estado, na forma )1( 2 1 )()( )()( )()( − = = = k n tqtx tqtx tqtx M & (8) Combinando (7) e (8), pode-se obter )()()()( )()( )()( 11 32 21 tutxatxatx txtx txtx kkn +−−−= = = L M (9) que pode ser escrita na forma de (3), onde 37                 −−−− = −− 121 1000 0100 0010 aaaa A kkk L L MOMMM L L (10)                 = 1 0 0 0 MB (11) A saída do sistema pode ser dada na forma [ ]             = )( )( )( 001)( 2 1 tx tx tx ty n M L (12) Que pode ser escrita na forma de (2.6), onde [ ]001 L=C (13) e D é uma matriz nula contendo o mesmo número de linhas que C e o mesmo número de colunas que B. O caso que envolve derivadas na excitação não é considerado, pois )1( )()(),( −k tqtqtq L& não podem ser classificados como um conjunto de variáveis de estado. Isto ocorre pelo motivo de o rearranjo feito em (9) não conduzir a uma solução única. 2.1.3 Modelo de Sistema Estrutural em Espaço de Estados Modelos analíticos de sistemas estruturais podem ser derivados das leis de movimento de Newton, das equações de movimento de Lagrange ou do princípio de D’Alembert. Um modelo estrutural pode ser construído através da discretização do sistema pelo Método dos Elementos Finitos ou identificado via métodos de identificação modal. Estes modelos são descritos por equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, que podem ser rearranjadas e descritas na forma de espaço de estados. 38 2.1.3.1 Modelo em Coordenadas Nodais Modelos analíticos de sistemas estruturais em coordenadas nodais podem ser descritos em termos dos deslocamentos, velocidades e acelerações dos pontos nodais do sistema discretizado. Um modelo estrutural descrito em coordenadas nodais é representado por uma equação diferencial matricial de segunda ordem na forma )()()()( 0 tuBtKqtqCtqM a =++ &&& (14) qCqCy ovoq &+= (15) onde )(tq&& representa o vetor de acelerações nodais, )(tq& o vetor de velocidades nodais e )(tq o vetor de deslocamentos nodais. A matriz M é uma matriz simétrica positiva definida que representa a massa do sistema. A matriz K é uma matriz simétrica positiva semi-definida que representa a rigidez do sistema. A matriz Ca é uma matriz positiva semi-definida, não necessariamente simétrica, que representa o amortecimento do sistema. Em sistemas estruturais, devido à inexatidão das naturezas de dissipação de energia, é comum considerar um amortecimento proporcional. Esta proporcionalidade considera que a matriz de amortecimento seja uma combinação linear das matrizes de massa e de rigidez, na forma KMCa '' βα += (15) onde α` e �` são grandezas escalares não negativas. A representação do modelo em espaço de estados em coordenadas nodais é obtida das equações (15) e (16), reescritas na forma )()()()( 0 111 tuBMtKqMtqCMtq a −−− =++ &&& (16) qCqCy ovoq &+= (17) onde as matrizes Coq e Cov representam as matrizes de saídas para deslocamentos e para velocidades, respectivamente. O modelo em espaço de estados de um sistema estrutural trata da representação de uma equação matricial diferencial ordinária de segunda ordem em uma equação matricial diferencial ordinária de primeira ordem. Desta forma, utilizando a notação de estados de (8), pode-se assumir que )()(1 tqtx = (18) )()(2 tqtx &= (19) 39 Desta forma, combinando com (16) e (17), obtém-se as seguintes equações diferenciais de primeira ordem )()( 21 txtx =& (20) )()()()( 0 1 2 1 1 1 2 tuBMtxCMtKxMtx a −−− +−−=& (21) )()( 21 txCtxCy ovoq += (22) Considerando o vetor de estados na forma       =       = )( )( )( )( )( 2 1 tq tq tx tx tx & (23) as equações (20) e (21) podem ser escritas na forma de (3), obtendo       −− = −− a n CMKM I A 11 0 (24)       = − 0 1 0 BM B (25) e a equação (22) na forma de (6), obtendo [ ]ovoq CCC = (26) [ ]nxmD 0= (27) 2.1.3.2 Modelo em Coordenadas Modais A equação matricial diferencial ordinária de segunda ordem que descreve a dinâmica de um sistema mecânico pode ser definida por coordenadas independentes. Esta representação é composta por n equações de movimento desacopladas que compõe a dinâmica do sistema completo, como uma composição de n sistemas de um grau de liberdade. A representação em coordenadas modais pode ser obtida por transformação linear do modelo em coordenadas nodais através da matriz modal. A matriz modal é obtida à partir do modelo em coordenadas nodais de (14) não amortecido (Ca=0) e não excitado (u(t)=0), na forma 0)()( =+ tKqtqM && (28) 40 Aplicando a transformada de Laplace em (28), considerando como nulas as condições iniciais do vetor q, tem-se 0)()( 2 =+ sKQssMQ (29) onde s é uma grandeza complexa cujas partes real e imaginária, neste caso, representam a convergência e a frequência de resposta do sistema livre, respectivamente. Para o presente caso de sistema não amortecido, a parte real é nula (s=jw). Reescrevendo (29), tem-se )()( 2 sQMssKQ −= (30) A equação acima representa um problema algébrico de autovalor e autovetor. Isto significa que existe um conjunto de n valores de s2 (chamados de autovalores) que, associados aos respectivos n vetores correspondentes Q(s) (chamados de autovetores), são soluções da referida igualdade em (30). Expressando (30) com todos os autovalores e respectivos autovetores do sistema, obtêm-se VMKV 2Ω= (31) sendo Ω uma matriz diagonal composta pelos autovalores generalizados e V uma matriz cujas colunas representam os autovetores correspondentes, nas formas:             =             − − − =Ω nn w w w s s s 0 0 0 0 2 1 2 1 KK (32) [ ]             == nnnn n n n qqq qqq qqq sQsQsQV K KKKK K K L 21 22212 12111 21 )()()( (33) onde qij representa o j-ésimo deslocamento do i-ésimo modo correspondente a i-ésima frequência natural wi do sistema. A matriz V tem a propriedade de diagonalizar as matrizes de massa e de rigidez em função do princípio da ortogonalidade do sistema não amortecido. Estas matrizes diagonalizadas são chamadas de matrizes modais de massa e de rigidez, respectivamente, e são obtidas nas formas MVVM T m = (34) KVVK T m = (35) 41 A mesma transformação pode ser aplicada no termo referente ao amortecimento em (14), obtendo assim a matriz modal de amortecimento, na forma VCVC a T ma = (26) A matriz de amortecimento modal é diagonal apenas quando a matriz de amortecimento do sistema em coordenadas nodais é simétrica. Em sistemas rotativos, por exemplo, a matriz modal de amortecimento não é diagonal, pois a matriz de efeito giroscópico não é simétrica. O vetor de deslocamento em coordenadas modais pode ser relacionado com o vetor de deslocamento em coordenadas nodais através da transformação linear )()( tVqtq m= (37) Substituindo (37) em (21) e (22), pré-multiplicando por VT, obtém-se )()()()( 0 tuBVtKVqVtqVCVtqMVV T m T ma T m T =++ &&& (38) )()( tqCtqCy mmvmmq &+= (39) onde VCC oqmq = (40) e VCC ovmv = (41) Substituindo (34), (35) e (36) em (38), pré-multiplicando por Mm -1, tem-se )()()()( 11 tuBtqKMtqCMtq mmmmmmamm =++ −− &&& (42) onde 0 1 BVMB T mm −= (43) A equação (42) pode ser representada na forma )()()(2)( 2 tuBtqtqZtq mmmm =Ω+Ω+ &&& (44) onde Z é uma matriz diagonal composta pelos fatores de amortecimento modais do sistema, que pode ser obtida na forma             ==Ω= −−−− n mammmam CKMCMZ ζ ζ ζ 0 0 5.05.0 2 1 5.05.011 O (45) 42 onde ζi representa o fator de amortecimento do i-ésimo modo. A diagonalidade das matrizes Ω e Z demonstra que o sistema em (44) é composto por n equações de estado desacopladas, que podem ser escritas na forma equivalente )()()(2)( 2 tubtqwtqwtq mimiimiimi =++ &&& ζ (46) onde bmi representa a i-ésima linha de Bm e qmi representa o deslocamento do i-ésimo modo do sistema. O mesmo pode ser considerado para a equação de saídas em (39), na forma )()()( tqctqcty mimvimimqi &+= (47) onde cmqi e cmvi representam a i-ésima coluna de Cmq e Cmv, respectivamente. Utilizando a notação de estados de (8), pode-se assumir que )()(1 tqtx m= (47) e )()(2 tqtx m&= (48) Desta forma, combinando com (44) e (39), obtém-se as seguintes equações diferenciais de primeira ordem )()( 21 txtx =& (49) )()(2)()( 21 1 2 tuBtxZtxtx m+Ω−Ω−= − & (50) )()( 21 txCtxCy mvmq += (51) Considerando o vetor de estados na forma       =       = )( )( )( )( )( 2 1 tq tq tx tx tx m m & (52) as equações (49) e (50) podem ser escritas na forma de (3), obtendo       Ω−Ω− = Z I A 2 0 2 (53)       = mB B 0 (54) e a equação (51) na forma de (6), obtendo [ ]mvmq CCC = (55) 43 [ ]nxmD 0= (56) O modelo em espaço de estados em coordenadas modais até então não favorece a redução modal. A forma de representação de espaço de estados em coordenadas modais é convenientemente apresentada na forma de blocos diagonais. Nesta representação, a matriz dinâmica é composta por n blocos diagonais 2x2, sendo que cada bloco representa o estado de um modo de vibração do sistema. O vetor de estados modal na representação em blocos diagonais é dado na forma               = )( )( )( )( 2 1 tx tx tx tx n M (57) Sendo que cada componente representa o deslocamento e a velocidade do i-ésimo modo, na forma       = )( )( )( tq tq tx mi mi i & (58) O vetor de estados em coordenadas modais na representação em blocos diagonais pode ser relacionado com o vetor de estados em coordenadas modais original através da transformação linear de coordenadas                                                 =                           =                       mn m m mn m m n n mn m m mn m m mn mn m m m m q q q q q q e e e e e e q q q q q q T q q q q q q & M & & M MM & M & & M & M & & 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ' 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 (59) onde ei é um vetor linha composto de n elementos nulos, com exceção do i-ésimo elemento, que é unitário. Aplicando esta transformação linear na equação matricial de estados e na equação matricial de saídas, na base modal, obtêm-se as matrizes do modelo em espaço de estados descrito em coordenadas modais em blocos diagonais, nas formas 44               === = − n i mbd mbd mbd nimbdmbd A A A AdiagATTA 0 0 )( 2 1 ,...,2,1 1'' O (60)               == nmbd mbd mbd mbd B B B BTB M 2 1 ' (61) [ ] nmbdmbdmbdmbd CCCCTC L 21 1' == − (62) onde       −− = iii mbd ww A i ξ2 10 2 (63)       = i i m mbd b B 0 (64) [ ] iii mvmqmbd ccC = (65) O subscrito “mbd” nas matrizes do modelo em espaço de estados indica que este se encontra descrito no domínio de coordenadas modais em blocos diagonais. As matrizes Ambdi, Bmbdi e Cmbdi representam a matriz dinâmica, a matriz de entradas e a matriz de saídas na base modal, respectivamente, do i-ésimo modo do sistema. Nota-se que a matriz de transmissão direta não sofre alteração na transformação da representação modal original para a representação modal em blocos diagonais. 2.1.4 Controlabilidade e Observabilidade A definição de controlabilidade de um sistema dinâmico descrito em espaço de estados está relacionada com a iteração das entradas do sistema com os seus estados. Um sistema linear, representado pelo par (A,B), é dito completamente controlável em t0 se for possível haver uma entrada contínua u(t), sendo to≤t≤t1, que levará o estado completo inicial x(t0) para x(t1) em um tempo finito, sendo t1>t0. Uma das formas de se determinar se um sistema é completamente controlável é através da análise do posto da matriz conhecida como matriz de controlabilidade, dada por [ ]BABAABBC n 12` −= L (66) 45 Se o posto da matriz de controlabilidade for n, o sistema é completamente controlável. A definição de observabilidade de um sistema dinâmico descrito em espaço de estados está relacionada com a iteração dos estados do sistema com as suas saídas. Um sistema linear, representado pelo par (A,C), é dito completamente observável em t0 se o estado completo inicial x(t0) puder ser determinado a partir da saída y(t), sendo to≤t≤t1 e t1>t0. Considerando um sistema discreto, uma das formas de se determinar se este sistema é ou não completamente observável, é através da análise do posto da matriz conhecida como matriz de observabilidade, dada por                 = −1 2` nCA CA CA C O M (67) Se o posto da matriz de observabilidade a n, o sistema é completamente observável. Estes critérios são limitados no sentido de fornecerem apenas uma informação binária com relação à controlabilidade e a observabilidade de um sistema, pois não são capazes de quantificar estas propriedades quando este sistema não é completamente controlável ou completamente observável. Outro problema surge com o aumento da ordem do sistema, que implica em grandes cálculos exponenciais matriciais que podem levar a erros de ordem numérica. Segundo Gawronski (2003), uma forma alternativa utiliza as matrizes grammianas de controlabilidade e de observabilidade para determinar estas propriedades do sistema expressando de forma qualitativa a controlabilidade e a observabilidade, respectivamente, de sistemas descritos na forma de espaço de estados. As matrizes grammianas de controlabilidade e observabilidade podem ser obtidas, respectivamente, da solução estacionária das equações matriciais algébricas de Lyapunov que seguem 0=++ TT cc BBAWAW (68) 0=++ CCAWWA T oo T (69) Se o sistema for controlável, ou pelo menos estabilizável, a matriz grammiana de controlabilidade será positiva definida. Se o sistema for observável, ou pelo menos detectável, a matriz grammiana de controlabilidade será positiva definida. 46 2.1.4.1 Princípio da Dualidade Segundo Ogata (2002), a controlabilidade e a observabilidade de um sistema dinâmico são relacionadas através do princípio da dualidade. Considerando um sistema descrito em espaço de estados, dado por S1, na forma    += += )()()( )()()( 1 tDutCxty tButAxtx S & (70) (71) tem-se que o seu sistema dual, dado por S2, é dado na forma:     += += )()()( )()()( * ** 2 tDutzBty tuCtzAtz S & (72) (73) onde o índice * indica o transposto conjugado da matriz. O princípio da dualidade estabelece que o sistema S1 será completamente controlável se o sistema S2 for completamente observável, e vice-versa. 2.1.5 Redução de Modelos Um sistema estrutural discretizado pelo Método dos Elementos Finitos pode resultar em um modelo com muitos graus de liberdade. Tipicamente, modelos com grande número de graus de liberdade causam dificuldades numéricas em análises dinâmicas, sem considerar os custos computacionais (GAWRONSKI, 2003). As técnicas de redução de modelos em geral têm o objetivo de fornecer um modelo reduzido que tenha a mesma essência do modelo completo. Uma das técnicas mais utilizadas é a do truncamento modal, que reduz um modelo em espaço de estados em coordenadas modais através da eliminação dos modos menos representativos do sistema. No entanto, há várias formas de avaliar a importância dos modos de um sistema em espaço de estados. As matrizes grammianas de controlabilidade e de observabilidade dependem diretamente do vetor de estados do sistema e seus autovalores sofrem alterações quando há alguma transformação de coordenadas. No entanto, os autovalores do produto entre as matrizes grammianas de controlabilidade e observabilidade são invariantes com relação à transformação de coordenadas. Estes valores são conhecidos como valores singulares de Hankel, e são amplamente usados na análise de redução modal de modelos de sistemas dinâmicos. Os métodos de redução de modelos que utilizam os valores singulares de Hankel mais empregados são os da realização balanceada e da norma Hankel. 47 2.1.5.1 Realização Balanceada Um caso específico ocorre quando as matrizes grammianas de controlabilidade e de observabilidade são matrizes diagonais idênticas. Esta propriedade representa que cada estado deste sistema é tão controlável quanto observável, da mesma forma que pode ser utilizada para avaliar a influência de cada estado na dinâmica do sistema. Um sistema em espaço de estados balanceado, ou em coordenadas balanceadas, pode ser obtido de um sistema em espaço de estados generalizado através da transformação linear )()( ' txTtx b= (74) onde a matriz T’, e sua inversa, são determinadas nas formas 5.0' −Γ= PUT (75) QVT T5.01' −− Γ= (76) As matrizes Γ, V e U são obtidas da decomposição em valores singulares da matriz H, que representa o produto das matrizes P e Q, na forma QPUVH T =Γ= (77) As matrizes P e Q também podem ser obtidas da decomposição dos grammianos de controlabilidade e observabilidade, respectivamente, nas formas T c PPW = (78) e QQW T o = (79) As matrizes grammianas de controlabilidade do sistema balanceado e do sistema generalizado podem ser relacionadas pela matriz de transformação R, na forma T ccb TWTW −−= '1' (80) Substituindo (75), (76) e (78) em (80), obtém-se 5.05.0' −− Γ= VQQPPVTW TTT cb (81) Utilizando (77), tem-se que 5.05.0'5.05.0' −−−− ΓΓΓ=Γ= VVUUVVTVHHVTW TTTTT cb (82) que, considerando que VTV=I e UTU=I , (82) pode ser escri