Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Vagner Figueira de Faria O triângulo e o tetraedro aritméticos: os teoremas binomial e multinomial e seus padrões geométricos Rio Claro 2020 Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro O triângulo e o tetraedro aritméticos: os teoremas binomial e multinomial e seus padrões geométricos Vagner Figueira de Faria Dissertação apresentada como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemática, junto ao Programa de Pós-Graduação � Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional, do Instituto de Geociên- cias e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, Câmpus de Rio Claro. Orientadora Profa. Dra. Érika Capelato FCL - UNESP - Araraquara (SP) Rio Claro 2020 F224t Faria, Vagner Figueira de O triângulo e o tetraedro aritméticos: os teoremas binomial e multinomial e seus padrões geométricos / Vagner Figueira de Faria. -- Rio Claro, 2020 108 p. : il., tabs., fotos Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro Orientadora: Érika Capelato 1. Álgebra. 2. Teorema binomial. 3. Coeficientes binomiais. 4. Pascal, Triângulo de. 5. Análise combinatória. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. TERMO DE APROVAÇÃO Vagner Figueira de Faria O triângulo e o tetraedro aritméticos: os teoremas binomial e multinomial e seus padrões geométricos Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação � Mestrado Pro�ssi- onal em Matemática em Rede Nacional, do Instituto de Geociên- cias e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examinadora: Profa. Dra. Érika Capelato FCL - UNESP - Araraquara (SP) Orientadora Prof. Dr. Thiago de Melo IGCE - UNESP - Rio Claro (SP) Prof. Dra. Denise de Mattos ICMC - USP - São Carlos (SP) Rio Claro, 03 de fevereiro de 2020 Aos meus pais, Geny e João Adelino, com amor. AGRADECIMENTOS Agradeço aos meus caros professores Luiz Antonio Ponce Alonso e Carlos Mc- Dowell por terem lido as minhas primeiras descobertas sobre os Tetraedros Arit- méticos e me incentivado em 1995, quando eu estudava no terceiro ano do Ensino Médio e no curso pré-vestibular. Agradeço aos professores da UNESP: Prof. Dr. Thiago de Melo e Prof. Dr. Ja- mil Viana Pereira por terem avaliado de início minha proposta de tema para esta dissertação. Agradeço aos professores do PROFMAT UNESP campus Rio Claro, Prof. Dr. Rawlilson de Oliveira Araujo, Prof. Dr. Thiago de Melo, Prof. Dr. Jamil Viana Pereira e Prof. Dra. Érika Capelato pelas aulas bem preparadas e por terem seguido a bibliografia recomendada pelo PROFMAT; isso ajudou muito na minha preparação para o Exame Nacional de Qualificação e no resultado que obtive: aprovado com nota máxima. Agradeço especialmente à minha orientadora, Prof. Dra. Érika Capelato por ter sugerido artigos, temas e demonstrações que deram estrutura sólida para esta dis- sertação. Além disso, é importante agradecê-la pela disposição e motivação para ler e corrigir as versões deste trabalho, mesmo em dias e horários diversos. Sem seu incentivo esse projeto não teria se concretizado. Em especial, agradeço ao saudoso Prof. Dr. Elon Lages Lima por ter idealizado o programa PROFMAT, possibilitando, assim, a oportunidade de realizar meu sonho de fazer o Mestrado em Matemática. Agradeço a todos os professores e autores dos livros do PROFMAT por terem sido tão caprichosos e precisos na execução desse grandioso projeto. À Sociedade Brasileira de Matemática e ao IMPA, cen- tros de excelência em Matemática, que nos orgulham e nos guiam na Educação Matemática há décadas. A todos os envolvidos o meu muito obrigado! A Matemática é a rainha das ciências e a Aritmética é a rainha das matemáticas. Carl Friedrich Gauss Resumo Neste trabalho, com o objetivo de adquirir diferentes conhecimentos e novas for- mas de abordagem, estudamos diversas demonstrações para os teoremas binomial e multinomial. Estas demonstrações possibilitaram explorar técnicas matemáticas como a indução matemática, análise combinatória, probabilidades e cálculo diferencial. Re- sultados interessantes foram apresentados neste trabalho com relação à expansão do triângulo de Pascal para outras dimensões como o tetraedro aritmético formado por todas as camadas triangulares associadas às expansões trinomiais e os tetraedros que são associados às expansões tetranomiais. Palavras-chave: Teorema Binomial, Teorema Multinomial, Triângulo de Pascal, Te- traedro Aritmético, Análise Combinatória. Abstract In this work, aiming to acquire di�erent knowledge and new ways of approach, we study several demonstrations for the binomial and multinomial theorems. These de- monstrations made it possible to explore mathematical techniques such as mathemati- cal induction, combinatorial analysis, probabilities and di�erential calculus. Interesting results have been presented in this paper regarding the expansion of the Pascal triangle to other dimensions such as the arithmetic tetrahedron formed by all the triangular layers associated with trinomial expansions and the tetrahedra that are associated with tetranomial expansions. Keywords: Binomial Theorem, Multinomial Theorem, Pascal's Triangle, Arithmetical Tetrahedron, Combinatorial Analysis. Lista de Figuras 1.1 Diagramação usada por Montmort para o Triângulo Aritmético, 1708. Fonte: [7], p. xiv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2 Os Números Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3 Números triangulares no triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.4 A soma dos seis primeiros naturais resulta um número triangular. . . . 25 1.5 Os Números Quadrados ou Quadrados Perfeitos . . . . . . . . . . . . . 26 1.6 Sequências de números tetraédricos, triangulares e naturais consecutivos. Fonte: [7], p.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.7 Sequências de números tetraédricos, triangulares e naturais consecutivos. 27 1.8 Visualização de (a+ b)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.9 Visualização a2 + b2 = 2ab+ (a− b)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.10 Michael Stifel, 1487�1567. Fonte: [26]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.11 Die Coss, Rudol�s e Stifel: o Triângulo Aritmético e a Relação de Stifel como ele a apresentou em 1553 (RUDOLFFS, STIFEL, 1553, p.168). . 31 1.12 1553: Die Coss, Rudol�s e Stifel: o Triângulo Aritmético e a Relação de Stifel como ele a apresentou; nesta página vemos a explicação do mecanismo da soma ou Relação de Stifel (RUDOLFFS, STIFEL, 1553, p.169). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1.13 Blaise Pascal, 1623�1662. Fonte: [25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.14 Capa da primeira edição do Traité du triangle arithmétique de Pascal, (PASCAL, 1665) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1.15 Apresentação original do triângulo aritmético de Pascal, (PASCAL, 1665). 35 1.16 Jakob Bernoulli (também escrito como �Jacques Bernoulli�, �Jacobi Ber- noulli� ou ainda �James Bernoulli�). Fonte: [23]. . . . . . . . . . . . . . 36 1.17 Capa do livro Ars Conjectandi, de Jakob Bernoulli, 1713. Fonte: [24]. . 37 1.18 O Triângulo Aritmético apresentado por Jakob Bernoulli, em seu livro Ars Conjectandi, publicado em 1713. (BERNOULLI, 1713, p.87). . . . 38 2.1 Triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Triângulo de Pascal com coe�cientes binomiais . . . . . . . . . . . . . . 46 2.3 Teorema das colunas. Fonte: [15], p. 99. . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Teorema das colunas. Fonte: [15], p. 96. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.1 (a+ b+ c)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 5.2 (a+ b+ c)3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.3 (a+ b+ c)4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.4 Coe�cientes de (a+ b+ c)4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.5 (a+ b+ c)5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.6 Coe�cientes de (a+ b+ c)5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.7 Princípio multiplicativo para obtenção da camada correspondente a n = 4 86 5.8 Princípio multiplicativo para obtenção da camada correspondente a n = 5 86 5.9 O Tetraedro Aritmético, com os coe�cientes de (a+ b+ c)n, até n = 5 . 89 5.10 O Tetraedro Aritmético, com os coe�cientes de (a+ b+ c)n, até n = 5 - segunda visão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 5.11 O Tetraedro Aritmético, com os coe�cientes de (a+ b+ c)n, até n = 5 - terceira visão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.12 Tetraedro com os coe�cientes de (a+ b+ c+ d)5 . . . . . . . . . . . . . 93 5.13 Tetraedro: princípio multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.14 Uma representação parcial do Hipertetraedro da expansão de (a + b + c+ d+ e)5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.1 Os Números Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2 Os Números Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.3 Números triangulares no triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4 A soma 1 + 2 + · · ·+ n no triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . 104 6.5 Números tetraédricos no triângulo de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.6 A soma dos números triangulares resulta em um número tetraédrico: 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 = 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Sumário 1 Introdução 21 2 O Triângulo Aritmético 43 2.1 Relação de Stifel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.2 Teoremas relacionados aos termos do Triângulo Aritmético . . . . . . . 49 3 O Teorema Binomial 55 3.1 Demonstração por Indução Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.2 Demonstração usando Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3 Demonstração usando Probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 Demonstração usando Cálculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4 O Teorema Multinomial 65 4.1 Demonstração usando Análise Combinatória . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2 Demonstração probabilística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3 Demonstração usando Cálculo Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais 73 5.1 Expansão Trinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.2 Expansão Tetranomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 5.3 Passos futuros para novas dimensões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6 Atividades para sala de aula 97 6.1 Atividade 1 - O Triângulo de Pascal e a Relação de Stifel . . . . . . . . 97 6.2 Atividade 2 - Os Números Triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3 Atividade 3 - Números Tetraédricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Referências 109 1 Introdução De acordo com Edwards (2019), o Triângulo Aritmético é o mais famoso de todos os padrões de números. À primeira vista parece tratar apenas dos coe�cientes binomiais. Porém, ele contém os números triangulares e piramidais da Grécia Antiga, os números combinatórios que vieram com os estudos Hindus de arranjos e seleções de objetos e ainda, de forma um pouco velada, os números de Fibonacci1 da Itália medieval. Ele revela padrões que agradam os olhos, levanta questões que instigam os estudiosos de Teoria dos Números e, sobretudo, �Há tantas relações presentes que quando alguém descobre uma nova identidade, não há mais tantas pessoas que se empolguem a seu respeito, exceto o descobridor!� - Knuth (1973). O Triângulo Aritmético foi escrito pela primeira vez muito antes de 1654, ano em que Blaise Pascal escreveu o seu Traité du triangle arithmétique, mas foi o seu trabalho que uniu todos os diferentes aspectos dos números pela primeira vez. Nele, Pascal desenvolveu as propriedades dos números como uma peça de matemática pura (fre- quentemente usando indução matemática em suas demonstrações) e então, numa série de apêndices, mostrou como essas propriedades são relevantes para o estudo dos núme- ros �gurados, para a teoria de combinações, para a expansão das expressões binomiais e para a solução de um importante problema da teoria das probabilidades. É, portanto, muito apropriado que o Triângulo Aritmético seja conhecido como Triângulo de Pascal. O subsequente �orescimento da teoria das probabilidades aumentou a importân- cia dos coe�cientes binomiais através da principal aplicação na distribuição binomial. Durante o desenvolvimento da análise no século XVII, esses coe�cientes com grande frequência vinham à tona in�uenciando diretamente as descobertas de Wallis2, Newton3 e Leibniz4. Mais recentemente, o crescimento da importância da análise combinatória tem fomentado novo interesse nos coe�cientes binomiais. Para contarmos a história desses números, é importante distinguirmos três caminhos pelos quais eles vieram. Temos então que distinguir três tipo de números: 1Leonardo Fibonacci, também conhecido como Leonardo de Pisa, Leonardo Pisano ou ainda Le- onardo Bigollo, (c.1170�c.1250), mais reconhecido como Fibonacci, foi um matemático italiano. É considerado o mais talentoso matemático ocidental da Idade Média. Ficou conhecido pela grande descoberta da Sequência de Fibonacci e pela sua participação na introdução dos algarismos arábicos na Europa. 2John Wallis (1616�1703) foi um clérigo inglês e matemático, a quem é dado crédito por parte do desenvolvimento do Cálculo In�nitesimal. 3Isaac Newton (1643�1727) foi um astrônomo, alquimista, �lósofo natural, teólogo e cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático. Sua obra, Princípios Matemáticos da Filoso�a Natural é considerada uma das mais in�uentes na história da ciência. 4Gottfried Wilhelm (von) Leibniz (1646�1716) foi um proeminente polimatemático alemão e um dos mais importantes lógicos, matemáticos e �lósofos naturais do Iluminismo. Leibniz e Newton criaram o Cálculo Diferencial e Integral independentemente um do outro. 21 22 Introdução 1. Os números �gurados. São sequências de números associados a agrupamentos de pontos (ou objetos) que formam alguma �gura ou padrão geométrico. Os números triangulares apresentados na Figura 1.2 são um exemplo de números �gurados. Podemos de�nir os Números Figurados como sendo os números que ocorrem numa certa família de progressões nas quais o l-ésimo número da k-ésima progressão, denotado por f l k, é a soma dos primeiros l números da progressão anterior (a (k − 1)-ésima progressão), sendo a primeira dessas progressões, a sequência dos números inteiros: 1, 2, 3, 4, . . . . 2. Números Combinatórios : são aqueles que dão o número de maneiras de se escolher k elementos de um conjunto com n elementos, simbolizado atualmente como Ck n ou nCk ou ainda Cn,k. Algebricamente, a de�nição de combinação é dada por Ck n = nCk = Cn,k = n! k!(n− k)! . (1.1) 3. Números Binomiais : são os coe�cientes que ocorrem na expansão da n-ésima potência da expressão binomial (a + b); o coe�ciente de um termo an−kbk dessa expansão é normalmente denotado por ( n k ) 5. Algebricamente temos: ( n k ) = n! k!(n− k)! . (1.2) De maneira análoga, uma diagramação de números será chamada de Triângulo Fi- gurado, Triângulo Combinatório ou Triângulo Binomial de acordo com o contexto no qual estiver inserido. Essas diagramações de números não estarão necessariamente em formato triangular � de fato, como esses padrões podem ser estendidos inde�nidamente, não raramente �cará difícil atribuir um determinado formato geométrico a eles � mas é conveniente e consistente trabalharmos com a forma triangular. Claro que todos esses triângulos mostraram tratar das mesmas coisas; são de fato uma coisa só. Mas �zemos esse diferenciação para facilitar a apresentação de sua história. Ao pesquisarmos os estudos e descobertas ao longo da história, notamos que cada descobridor do Triân- gulo Aritmético estava mergulhado em um ambiente de estudo: Números Figurados, Números Combinatórios ou Números Binomiais. Segundo Edwards (2019), foi Montmort6 que, em 1708, pela primeira vez atrelou o nome de Pascal ao Triângulo Combinatório (�Table de M. Pascal pour les combinai- sons�). No entanto Montmort apresenta o Triângulo Aritmético com uma con�guração um pouco diferente: 5Note que Ck n = nCk = Cn,k = n! k!(n− k)! = ( n k ) . Para usar notações distintas para contex- tos diferentes, alguns autores usam as notações Ck n, nCk e Cn,k para se refererirem aos números combinatórios e a notação ( n k ) para se refererirem aos coe�cientes binomiais. 6Pierre Rémond de Montmort, matemático francês, 1678�1719. Introdução 23 1 . 1 . 1 . 1 . 1 . . . 1 . 2 . 3 . 4 . . . 1 . 3 . 6 . . . 1 . 4 . . . 1 . . . Figura 1.1: Diagramação usada por Montmort para o Triângulo Aritmético, 1708. Fonte: [7], p. xiv. Depois disso, em �Miscellanea Analytica� de 1730, De Moivre7 perpetuou a forma de Pascal batizando o triângulo aritmético como �Triangulum Arithmeticum PASCA- LIANUM�, reservando o termo �TRIANGULUM ARITHMETICUM� para o formato apresentado por Montmort. Os Números Figurados A linha de raciocínio mais longa que Pascal desenvolveu em seu Tratado do triângulo aritmético foi sobre os números �gurados, os quais remontam aos tempos da Escola Pitagórica que se dedicou muito a estudar padrões para os números 540 anos antes de Cristo. Os pitagóricos estudaram os padrões numéricos formados por objetos (como peque- nas pedras, esferas ou pontos) arrumados em forma de triângulos ou quadrados. Disposição de objetos formando triângulos 1 1 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21; 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 Figura 1.2: Os Números Triangulares A sequência dos números triangulares é 1, 1+2 = 3, 1+2+3 = 6, 1+2+3+4 = 10, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15, . . . , f l−1 2 + l = f l 2, . . . , onde f l 2 representa o l-ésimo número 7Abraham de Moivre, matemático francês, conhecido pelas �Fórmulas de De Moivre� para os Números Complexos, 1667�1754. 24 Introdução triangular. O índice 2 indica 2 duas dimensões. Se o índice for 3, então estaremos falando sobre os números �piramidais� (o mais apropriado seria o termo: números tetraédricos). Note que a sequência dos primeiros números triangulares associada à sequência dos primeiros números naturais, se escritos em disposição adequada, já gerariam naquela época (entre o século VI a.C. e o século II d.C.) uma parte do triângulo aritmético, ver Figura 1.6. Note ainda que a soma dos seis primeiros números naturais, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, resulta no número triangular 21, ver Figura 1.4. Do mesmo modo, a soma dos n primeiros números naturais resulta um número triangular. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 Figura 1.3: Números triangulares no triângulo de Pascal Introdução 25 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 Figura 1.4: A soma dos seis primeiros naturais resulta um número triangular. A Figura 1.5 mostra disposições de objetos formando quadrados. Essas disposições em �guras representam uma das maneiras mais antigas de se enxergar os números conhecidos por �Quadrados Perfeitos�. 26 Introdução Disposição de objetos formando quadrados 12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 = 16 52 = 25 62 = 36 72 = 49 Figura 1.5: Os Números Quadrados ou Quadrados Perfeitos Segundo Edwards (2019), mais adiante, no século II d.C., Theon de Smyrna8 e Nicomachus9 já sabiam que a soma de dois números triangulares resulta um quadrado perfeito. Além de conhecer os números triangulares, Nicomachus escreveu sobre os números tetraédricos. 1 4 10 20 35 56 84 120 165 . . . 1 3 6 10 15 21 28 36 45 . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . Figura 1.6: Sequências de números tetraédricos, triangulares e naturais consecutivos. Fonte: [7], p.4. Note que cada linha pode ser obtida a partir da anterior, por diferenças entre termos consecutivos. Nem Nicomachus nem Theon parecem ter percebido as relações entre os números tetraédricos, triangulares e naturais consecutivos. Muito menos parecem ter escrito esses números de maneira tabelada, como apresentamos na Figura 1.6. Note que se as sequências que apresentamos na Figura 1.6 fossem reescritas com ordem inversa das linhas, teríamos: 8Theon de Smyrna (por volta de 100 d.C.) foi um matemático e �lósofo grego, mas pouco se sabe sobre ele. Seus trabalhos foram fortemente in�uenciados pela Escola Pitagórica. Sua obra que sobreviveu aos dias atuais �Sobre a Matemática útil para o entendimento de Platão� é uma fonte introdutória à matemática grega. Theon é citado por Ptolomeu várias vezes em sua obra �Almagesto� como �Theon, o Matemático� (Observação: não deve ser confundido com �Theon de Alexandria�). 9Nicomachus de Gerasa (aproximadamente 60�120 d.C.) foi um importante matemático antigo, mais conhecido por suas obras �Introdução à Aritmética e Manual de Harmônicos, ambas em grego. Introdução 27 1 2 3 4 5 6 7 . . . 0 1 1 1 1 1 1 1 . . . 1 1 2 3 4 5 6 7 . . . 2 1 3 6 10 15 21 28 . . . 3 1 4 10 20 35 56 84 . . . Figura 1.7: Sequências de números tetraédricos, triangulares e naturais consecutivos. Essa disposição dos números �gurados forma um diagrama (ou tabela) muito próximo da versão de Pascal do Triângulo Aritmético Essa disposição dos números �gurados forma um diagrama (ou tabela) muito pró- ximo da versão que Blaise Pascal escolheu para o Triângulo Aritmético que apresenta em Traité du Triangle Arithmétique, 1665. Coolidge (1949) aponta que o Teorema Binomial é bastante conhecido por todos os estudantes de Álgebra, pelo menos em seus aspectos elementares. A maioria das pessoas associam esse teorema ao nome de Sir Isaac Newton: ele o teria inventado (ou descoberto) ou o Teorema Binomial teria sido gravado em sua tumba. No entanto, nenhuma dessas expectativas é verdadeira. De fato, o Teorema Binomial não foi in- venção de Newton, mas os seus trabalhos marcaram um importante avanço em sua teoria geral. A história do Teorema Binomial remonta a pelo menos 2000 anos antes de Newton, em Os Elementos de Euclides10, século III a.C. (BICUDO, 2009). Encontramos um dos primeiros traços do Teorema Binomial em Os Elementos de Euclides, livro II, proposição 4: �Caso uma linha reta seja cortada, ao acaso, o quadrado sobre a reta toda é igual aos quadrados sobre os segmentos e também duas vezes o re- tângulo contido pelos segmentos.� (BICUDO, 2009, p.137) Em linguagem algébrica, o trecho acima signi�ca que, se os segmentos tiverem medidas a e b então obtemos: (a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab (1.3) 10Euclides de Alexandria (em torno de 300 a.C.) foi um professor, matemático e escritor grego, muitas vezes referido como o "Pai da Geometria". Seu livro mais famoso �Os Elementos� é o livro mais editado da história, depois da Bíblia. 28 Introdução (a+ b)2 a+ b a+ b a2 ab b2ab a b a b Figura 1.8: Visualização de (a+ b)2 Na Figura 1.8 apresentamos uma visualização geométrica para a equação (1.3). São apresentados dois quadrados, congruentes um ao outro, de lados de medida a + b. O quadrado à esquerda, foi construído com lados de comprimento a + b; assim, possui área (a + b)2. O quadrado à direita tem os lados com a mesma medida (a + b) e, portanto, com área igual à do primeiro, (a + b)2. Nesse segundo quadrado dividimos cada segmento horizontal em duas partes, de medidas a saber: a e b. O mesmo foi feito com os segmentos na posição vertical. Dessa maneira temos a �gura original dividida em dois retângulos de dimensões a por b, um quadrado de lado a e outro quadrado de lado b. Ao somarmos as áreas desses dois quadrados a2 + b2 com as desses dois retângulos ab + ab, obtemos a área do segundo quadrado. Da equivalência dos dois quadrados de lados (a+ b) obtemos a equação (1.3). A equação correspondente para o quadrado da diferença é encontrada em Os Ele- mentos de Euclides, livro II, proposição 7: �Caso uma linha reta seja cortada, ao acaso, os quadrados ambos juntos, o sobre a reta toda e o sobre um dos segmentos, são iguais a duas vezes o retângulo contido pela reta toda e pelo dito segmento e também o quadrado sobre o segmento restante.� (BICUDO, 2009, p.141). Assim, se a representa o todo e b representa o primeiro segmento, temos: a2 + b2 = 2ab+ (a− b)2 (1.4) Introdução 29 a2 a a b2 b b D A B E N H F IG (a− b)2 a− b b a− b b Figura 1.9: Visualização a2 + b2 = 2ab+ (a− b)2 Na Figura 1.9 apresentamos uma visualização geométrica para a equação (1.4). Nas versões que conhecemos de Os Elementos, Euclides nos apresenta �guras semelhantes a essas como parte do argumento, porém as medidas indicadas na �gura são notações atuais que nós colocamos por motivos didáticos. À esquerda vemos o quadrado de lado a e o quadrado de lado b. Suas áreas somadas são a2 + b2. À direita temos o quadrado AGIN de lado a, que é congruente ao quadrado (amarelo) de lado a da esquerda e que, portanto, tem a mesma área: a2. O quadrado ABED, de lado a− b tem área (a− b)2. Note que há dois retângulos (cor laranja), DGIF e BHIN , que têm dimensões a por b; suas áreas somadas, portanto, podem ser dadas por 2ab. Note que o quadrado EHIF tem área b2, mas estamos contando esta área duas vezes ao fazermos a soma anterior. Dessa forma, notamos que (ABED) + (DGIF ) + (BHIN)− (EHIF ) = (AGIN), ou seja, (a− b)2 + ab+ ab− b2 = a2. De forma equivalente, podemos escrever: a2 + b2 = 2ab+ (a− b)2. Teria sido perfeitamente fácil para Euclides ir adiante e provar a fórmula para o cubo de um binômio, mas isso teria quebrado a sua linha de raciocínio. Nos livros II e X ele estava prodigiosamente interessado nos quadrados de binômios; qualquer generalização deles não parece ter-lhe de fato interessado. A moderna tendência de generalizar tão amplamente quanto possível, e estender cada teorema à sua forma mais geral, era quase algo estranho ao pensamento dos gregos em matemática; clareza e precisão eram as qualidades soberanas que sempre eram solicitadas. Em Coolidge (1949) o autor escreve, como fato curioso, que um dos primeiros usos das fórmulas das potências binomiais tenha sido para descobrir as raízes aproximadas de números. O método de Heron11 é a simplicidade por si mesma. Se desejamos encontrar uma aproximação para √ A e a1 é um primeiro valor, o valor mais próximo será a2 = 1 2 ( a1 + A a1 ) . (1.5) De acordo com Struik (1969), o triângulo de Pascal aparece pela primeira vez (até 11Heron de Alexandria, ou ainda Hero ou Herão (século I d.C.) foi um matemático e mecânico grego. 30 Introdução onde sabemos) em um livro de 1261 escrito por Yang Hui, um dos matemáticos da dinastia Sung na China. As propriedades dos coe�cientes binomiais foram discutidas pelo matemático persa Jamshid Al-Kashi em �Chave para a aritmética� de c.1425. De acordo com Struik (1969), Chu Shi-kié (nativo de Yen-shan, na China) escreveu sua segunda obra intitulada O precioso espelho dos quatro elementos em 1303. Ele começa essa obra com o triângulo aritmético, apresentando os valores dos coe�cientes binomiais e se referindo ao esquema (do triângulo) como se fosse antigo. Tanto na China quanto na Pérsia o conhecimento dessas propriedades pode ter sido muito mais antigo. Esse conhecimento foi compartilhado por alguns matemáticos da Renascença, e nós vemos o triângulo de Pascal na página do título �Aritmética�, de Peter Apian (ou Petrus Apianus) escrito em 1527, como menciona Smith (1958). Essa obra nos chama a atenção especialmente por ser a primeira versão impressa do triângulo aritmético. Essa obra apareceu anos antes de Michael Stifel tocar no assunto. Michael Stifel, 1487�1567 Figura 1.10: Michael Stifel, 1487�1567. Fonte: [26]. Em 1553, Michael Stifel publicou uma nova edição da obra de Christo�s Rudol�s chamada Die Coss. Nessa nova edição, o próprio Stifel acrescentou e complementou assuntos e, como resultado �nal, a nova edição foi publicada com mais do que o dobro do número de páginas da edição anterior. Podemos observar na Figura 1.11 duas páginas em que Stifel apresenta o triângulo aritmético e explica o padrão da soma para se obter os coe�cientes da linha seguinte. Introdução 31 Figura 1.11: Die Coss, Rudol�s e Stifel: o Triângulo Aritmético e a Relação de Stifel como ele a apresentou em 1553 (RUDOLFFS, STIFEL, 1553, p.168). 32 Introdução Figura 1.12: 1553: Die Coss, Rudol�s e Stifel: o Triângulo Aritmético e a Relação de Stifel como ele a apresentou; nesta página vemos a explicação do mecanismo da soma ou Relação de Stifel (RUDOLFFS, STIFEL, 1553, p.169). Depois de Stifel, encontramos o triângulo e as propriedades dos coe�cientes bino- miais em muitos outros autores. Um exemplo é Johann Scheubel (1494�1570), que apresentou o triângulo aritmético um século antes de Pascal escrever sobre ele. Em seu trabalho, Scheubel extraiu raízes de índices até 24 (raízes 24-ésimas) por um processo similar ao processo de extração de raízes que utiliza o Teorema Binomial. Introdução 33 �Traité du Triangle Arithmétique� de Blaise Pascal, de 1665 Figura 1.13: Blaise Pascal, 1623�1662. Fonte: [25]. De acordo com Struik (1969), o chamado Triângulo de Pascal aparece no famoso tratado de Blaise Pascal (1623�1662), publicado postumamente em 1665, sob o tí- tulo Traité du Triangle Arithmétique, avec quelques autres petits traités sur la mesme matière. Esse tratado é importante, não somente por examinar cuidadosamente as proprie- dades dos coe�cientes binomiais, mas também por suas aplicações em jogos de azar. Outro ponto muito importante de sua obra é que, em determinada parte, Pascal ex- pressa de maneira clara e correta o Princípio da Indução Completa ou Princípio da 34 Introdução Indução Matemática. Smith (1958) aponta que Blaise Pascal escreveu de maneira tão extensa e completa sobre o arranjo triangular dos coe�cientes das potências de um binômio, que a partir dessa obra esse arranjo passou a ser chamado de �Triângulo de Pascal�. A Figura 1.14 apresenta a capa desta obra e a Figura 1.15 mostra a apresentação original do triângulo aritmético. Figura 1.14: Capa da primeira edição do Traité du triangle arithmétique de Pascal, (PASCAL, 1665) Introdução 35 Figura 1.15: Apresentação original do triângulo aritmético na obra Traité du triangle arithmétique de Blaise Pascal, (PASCAL, 1665) 36 Introdução �Ars Conjectandi�, de Jakob Bernoulli, de 1713 Figura 1.16: Jakob Bernoulli (também escrito como �Jacques Bernoulli�, �Jacobi Ber- noulli� ou ainda �James Bernoulli�). Fonte: [23]. Em 1713 foi publicada a obra póstuma de Jakob Bernoulli: Ars Conjectandi. Essa obra foi publicada por seu �lho, Nicolaus Bernoulli, 8 anos após a morte de Jakob. De acordo com Edwards (2019), esta famosa obra é notada especialmente pelo primeiro te- orema sobre limite em Probabilidade; o �Teorema de Bernoulli�. Outro ponto de grande destaque dessa obra são os tratamentos que Bernoulli dá à Distribuição Binomial, à Teoria Combinatória e aos Números Figurados (especialmente sobre como usá-los nas somas de potências, que o leva à descoberta dos Números de Bernoulli da Análise). Introdução 37 Figura 1.17: Capa do livro Ars Conjectandi, de Jakob Bernoulli, 1713. Fonte: [24]. Na primeira parte de seu livro Bernoulli dedica uma seção para desenvolver a Dis- tribuição Binomial para probabilidades gerais, encontrando a expressão para obter no mínimo m sucessos em n provas (ou experimentos - os experimentos de Bernoulli). 38 Introdução Figura 1.18: O Triângulo Aritmético apresentado por Jakob Bernoulli, em seu livro Ars Conjectandi, publicado em 1713. (BERNOULLI, 1713, p.87). Na Figura 1.18 observa-se o Triângulo Aritmético apresentado por Jakob Bernoulli na segunda parte de seu livro Ars Conjectandi, 1713. (BERNOULLI, 1713, p.87). Já na segunda parte, ele apresenta a sua versão do Triângulo Aritmético em seu Ars Conjectandi ; porém, de acordo com Edwards (2019), pela maneira única com que Bernoulli escreveu e pelas citações que faz ao longo do texto, �ca evidente que ele não havia tomado conhecimento do Traité du Triangle Arithmétique de Pascal. Bernoulli descobriu por conta própria o Triângulo Aritmético e muitas de suas propriedades. Nessa obra, Bernoulli detalha como usar os Números Combinatórios e chega a calcular( 100 20 ) - o maior número combinatório escrito em um livro até então. Por curiosidade, apresentamos o resultado:( 100 20 ) = 535.983.370.403.809.682.970. Introdução 39 Objetivo e motivação do tema O triângulo aritmético é um tema extremamente rico em aplicações e em propri- edades matemáticas. Normalmente os estudantes têm acesso a esse tema somente no Ensino Médio. Os cronogramas e planejamentos escolares acabam por deixar pouco tempo ou quase nenhum para explorar algumas das principais propriedades que o tri- ângulo de Pascal, como é mais conhecido, apresenta. A maioria dos livros para o Ensino Médio apresentam o triângulo de Pascal e a expansão binomial logo após Análise Combinatória e Probabilidade. Dessa forma, os alunos acabam deixando de ver relações entre a expansão binomial e a análise combina- tória, pois o assunto já passou. Poucas vezes vemos questões de Análise Combinatória que levem os alunos a encontrar os termos de uma linha do triângulo de Pascal, por exemplo. Uma obra que é uma ótima exceção à regra é o livro �Análise Combinatória e Probabilidade� de Morgado et al (1991), da Coleção do Professor de Matemática, da SBM. O triângulo aritmético apresenta uma quantidade muito grande de propriedades: propriedade das linhas, propriedade das colunas, das diagonais, os números triangulares e sua soma, os números tetraédricos e sua soma, entre tantas. Até mesmo a famosa sequência de Fibonacci aparece no triângulo aritmético. Em Green (2012 e 2015), encontramos uma quantidade enorme de propriedades e atividades sobre o triângulo aritmético ao longo de mais de 500 páginas, somando os dois volumes. Por ser um tema que pode ser explorado em vários níveis de profundidade, poderia ser apresentado já no Ensino Fundamental, ainda que de modo mais simples, adequado à faixa etária dos alunos, e também de maneira mais ampla no Ensino Médio, pois hoje fala-se muito pouco sobre esse assunto. As propriedades com os números que �guram no triângulo de Pascal, quando bem apresentadas, podem despertar o interesse de muitos estudantes. Dentre os muitos aspectos que podemos investigar e escrever sobre o triângulo de Pascal, escolhemos dois pontos de vista que a nosso ver são bastante ricos: o entendi- mento dos teoremas binomial e multinomial assim como os padrões geométricos que as expansões trinomiais e tetranomiais nos sugerem. A seguir pretendo contar um pouco da minha experiência com o triângulo de Pas- cal no último ano do Ensino Médio e assim, espero apontar melhor para a primeira motivação para este trabalho. Em 1995, quando eu estudava no terceiro ano do Ensino Médio e também em um curso pré-vestibular, comecei a me interessar pelas expansões binomiais e sua relação com o triângulo de Pascal. Em determinado momento, divagando sobre o assunto, eu me �z as seguintes perguntas: �Como seriam as expansões de (a+b+c)n? Que padrões geométricos teriam essas expansões?�. Não havia livros a respeito (que estivessem ao meu alcance pelo menos), muito menos fontes na internet, a qual estava apenas começando a se popularizar e com a qual tive contato apenas em meados de 1996. Como estudante curioso, vi que só saberia a resposta se tentasse descobrir por meios próprios. Então comecei a calcular as expansões trinomiais na ponta do lápis, através de seguidas aplicações da propriedade distributiva. O primeiro padrão que encontrei foi para (a+ b+ c)3: percebi que se eu encontrasse uma maneira de dispor as parcelas da expansão desse trinômio numa folha de papel de modo que os expoentes de a �cassem em ordem crescente, assim como os de b e de c, 40 Introdução as próprias parcelas me �diriam� como deveria ser a geometria dessa con�guração. Se fosse uma con�guração boa, valeria para todos os casos (todos os valores de n). Quando �nalmente consegui encontrar o padrão geométrico procurado, �quei maravilhado com a simetria e com a elegância: era a Matemática elegante e simples por natureza, a meu ver. Depois fui variando n até n = 5 ou n = 6. Lembro de apresentar as ideias para três professores que me falaram que o assunto era muito interessante e nunca tinham visto algo parecido. O meu sentimento era o de estar em mares ainda não navegados. A sensação que tive foi de muita empolgação. Ao enxergar os padrões triangulares para (a+ b+ c)n comecei a investigar (sempre por conta própria) as suas relações com o triângulo de Pascal original, o que me levou a descobrir o que chamamos de �princípio multiplicativo� no Capítulo 5 deste traba- lho. Além disso, descobri um padrão de organização que me levou a construir o que chamamos neste trabalho de �tetraedro aritmético�. A curiosidade só aumentava, então passei a investigar os padrões para (a + b + c+ d)n, descobrindo que a melhor geometria para organizar as parcelas das expansões tetranomiais, respeitando as ordens crescentes dos expoentes de a, b, c e d, seriam tetraedros, um para cada n não-negativo escolhido. Continuei a fazer várias investigações interessantes a respeito de (a+b+c+d+e)n e acabei por descobrir o que hoje alguns chamam de �hipertetraedro�, ou seja, o análogo para 4 dimensões do que é o tetraedro para 3 dimensões - ou do triângulo, para 2 dimensões. Observação: o hipertetraedro não apresentaremos neste trabalho. Em 2017, quando terminei de cursar as matérias do PROFMAT na Unesp de Rio Claro, apresentei esse assunto como proposta para a minha dissertação. Confesso que apresentei a ideia ainda de maneira tímida porque não sabia ao certo se o assunto seria de interesse de algum orientador. Aqui agradeço muito ao Prof. Dr. Thiago de Melo e à minha orientadora, Prof. Dra. Érika Capelato, por aceitarem a proposta e por terem me incentivado. A Prof. Dra. Érika foi de fundamental importância para dar rumo, orientação e profundidade para essa dissertação de mestrado. Penso que compartilhar um pouco dessa história e desse tema possa ter algum proveito em sala de aula. Talvez seja uma leitura agradável para quem queira ver um pouco além do tradicional triângulo de Pascal. Talvez seja o ponto de partida para enxergar relações matemáticas ainda não vistas. O mais importante para que haja o aprendizado é que a pessoa se sinta envolvida pelo tema, não importa qual seja. Estrutura da dissertação Além desta introdução esta dissertação possui outros cinco capítulos. No Capítulo 2 descrevemos sobre o Triângulo Aritmético, também conhecido como Triângulo de Pas- cal. Neste capítulo de�nimos os coe�cientes binomiais e demonstramos a Relação de Stifel, além de outros teoremas relacionados ao Triângulo Aritmético. No Capítulo 3 apresentamos quatro demonstrações para o Teorema Binomial. A pri- meira demonstração, utilizando indução matemática, e a segunda, utilizando argumen- tos de análise combinatória, foram retiradas de Ross (2014). A terceira demonstração, retirada de Rosalsky (2007), usa resultados probabilísticos e a quarta demonstração, proposta por Hwang (2009) usa conceitos do cálculo diferencial. Introdução 41 No Capítulo 4 apresentamos três demonstrações para o Teorema Multinomial. A primeira demonstração foi feita utilizando conceitos de Análise Combinatória, a se- gunda por argumentos probabilísticos proposta por Kataria (2016) e a última foi uma generalização que �zemos baseada na demonstração para o caso binomial feita por Rosalsky (2007). No Capítulo 5 apresentamos padrões geométricos para as expansões de trinômios, bem como uma relação com o triângulo de Pascal tradicional para a obtenção dos coe- �cientes dos termos dessas expansões trinomiais. Nesse mesmo capítulo, apresentamos padrões geométricos para as expansões tetranomiais. No Capítulo 6 apresentaremos três atividades para a sala de aula do Ensino Mé- dio. A primeira atividade está relacionada com a identi�cação da Relação de Stifel no Triângulo de Pascal. A segunda atividade, refere-se à observação dos �números triangulares�, o que são e qual a sua relação com o triângulo de Pascal. Na terceira atividade apresentamos uma extensão da segunda atividade, ou seja, uma atividade para os �números tetraédricos�. 2 O Triângulo Aritmético Neste capítulo faremos uma apresentação didática introdutória e despretensiosa do Triângulo Aritmético de Pascal. Os resultados apresentados aqui foram baseados no Tratado do Triângulo Aritmético de Blaise Pascal (1665), em Morgado et al (1991), em Carvalho et al (2014), em Knuth et al (1994) e em Ross (2014). 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 (28 + 8) = 36 (5 + 10) = 15 (1 + 2) = 3 Figura 2.1: Triângulo de Pascal O Triângulo Aritmético, Figura 2.1 pode ser obtido através das seguintes regras: 1. O Triângulo é formado por linhas de números escritos como numa lista, sem vírgulas. A primeira contém um termo, a segunda dois, a terceira três e assim sucessivamente. 43 44 O Triângulo Aritmético 2. A primeira linha, que para nós será a linha 0 ou ainda n = 0, apresenta apenas o número 1. 3. A segunda linha, n = 1, apresenta dois números: 1 e 1; o primeiro um pouco à esquerda e o segundo um pouco à direita do 1 da primeira linha. 4. Cada linha seguinte será montada da seguinte maneira: Comece com 1 (um pouco à esquerda do primeiro 1 da linha de cima) e termine com 1 (um pouco à direita do último 1 da linha de cima). Os demais números são iguais à soma dos dois números da linha de cima que estão mais próximos de sua posição, ver Figura 2.1. Depois de montado o Triângulo Aritmético até algum n > 4 de preferência, podemos notar alguns fatos interessantes: 1. Note que a linha n tem n+1 termos, ou seja, a linha n = 0 tem 1 termo, a linha n = 1 tem 2 termos e assim sucessivamente. 2. Note que cada linha apresenta simetria em relação à distribuição de seus termos. Exemplos: Na linha n = 5 temos os termos 1, 5, 10, 10, 5, 1. Na linha n = 6 temos os termos 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. Agora considere as potências do tipo (a+ b)n, com a ∈ R , b ∈ R e n ∈ N. Podemos observar que cada potência de (a + b) pode ser obtida a partir da multiplicação por (a+ b) da potência imediatamente anterior, isto é: (a+ b)0 = 1 (a+ b)1 = a+ b (a+ b)2 = (a+ b)1(a+ b) = 1a2 + 2ab+ 1b2 (a+ b)3 = (a+ b)2(a+ b) = 1a3 + 3a2b+ 3ab2 + 1b3 (a+ b)4 = (a+ b)3(a+ b) = 1a4 + 4a3b+ 6a2b2 + 4ab3 + 1b4 ... (a+ b)n+1 = (a+ b)n(a+ b) Notemos que (a + b)0 = 1 é o primeiro número que aparece na linha n = 0 do Triângulo Aritmético; já a linha n = 1 (segunda linha do Triângulo Aritmético) é formada pelos coe�cientes de (a + b)1 = a + b, a linha n = 2 (terceira linha) pelos coe�cientes de (a+ b)2 e assim sucessivamente. Como observamos, para obtermos (a + b)3 basta multiplicarmos (a + b)2 = 1a2 + 2ab+1b2 por (a+ b). Podemos organizar a multiplicação de duas expressões algébricas de forma análoga à que usamos nas contas elementares no algoritmo de multiplicação para números com dois algarismos ou mais. A diferença é que a disposição deverá apresentar em uma mesma coluna as parcelas que apresentem a e b com os mesmos expoentes, como no exemplo a seguir. Essa maneira de dispor os resultados parciais da distributiva pode ser visto na obra de Lenhard Eüler, Elements of Algebra, Chapter X - Of the higher Powers of Compound Quantities, p. 106, article 341 [8]. O Triângulo Aritmético 45 1a2 + 2ab+ 1b2 × 1a+ 1b + 1a2b1 + 2a1b2 + 1a0b3 + 1a3b0 + 2a2b1 + 1a1b2 1a3b0 + 3a2b1 + 3a1b2 + 1a0b3 ou ainda, 1a3 + 3a2b+ 3ab2 + 1b3. Podemos observar que os coe�cientes resultantes são os números da quarta linha (linha n = 3) do Triângulo Aritmético, ver Figura 2.1. Observe, como exemplo, o processo para obtermos (a+ b)4. Para isto basta multi- plicarmos (a+ b)3, que já obtivemos, por (a+ b): 1a3b0+3a2b1+3a1b2+1a0b3 × 1a + 1b 1a3b1+3a2b2+3a1b3+1a0b4 1a4b0+3a3b1+3a2b2+1a1b3 1a4b0+4a3b1+6a2b2+4a1b3+1a0b4. Observe que os coe�cientes resultantes são os números da quinta linha (linha n = 4) do Triângulo Aritmético, ver Figura 2.1. Observe, como exemplo, o processo para obtermos (a + b)5. Para isso, basta mul- tiplicarmos (a+ b)4, que já obtivemos, por (a+ b): 1a4 + 4a3b1 + 6a2b2 +4a1b3+1b4 × 1a + 1b 1a4b1+ 4a3b2 + 6a2b3 +4a1b4+1b5 +1a5+4a4b1+ 6a3b2 + 4a2b3 +1a1b4 1a5+5a4b1+10a3b2+10a2b3+5a1b4+1b5. Novamente, observe que os coe�cientes resultantes são os números da sexta linha (linha n = 5) do Triângulo Aritmético, ver Figura 2.1. 46 O Triângulo Aritmético Assim, chamamos de Triângulo Aritmético, ou Triângulo Aritmético de Tartaglia- Pascal, ou simplesmente Triângulo de Pascal cada um dos dois quadros apresentados lado a lado na Figura 2.2. C0 0 1 C0 1 C1 1 1 1 C0 2 C1 2 C2 2 1 2 1 C0 3 C1 3 C2 3 C3 3 1 3 3 1 C0 4 C1 4 C2 4 C3 4 C4 4 1 4 6 4 1 C0 5 C1 5 C2 5 C3 5 C4 5 C5 5 1 5 10 10 5 1 C0 6 C1 6 C2 6 C3 6 C4 6 C5 6 C6 6 1 6 15 20 15 6 1 C0 7 C1 7 C2 7 C3 7 C4 7 C5 7 C6 7 C7 7 1 7 21 35 35 21 7 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , Figura 2.2: Triângulo de Pascal com coe�cientes binomiais Os números Cp n são chamados de Números Binomiais, Coe�cientes Binomiais ou ainda, Números Combinatórios. Para p, n ∈ N, 0 ≤ p ≤ n, de�nimos Cp n = ( n p ) = n! p!(n− p)! . (2.1) O número Cp n é lido como �combinação de n objetos tomados p a p� ou ainda �n escolhe p�. Por convenção, 0! é de�nido como sendo 1. Logo, ( n 0 ) = ( n n ) = 1. Temos ainda, por convenção, que ( n i ) é igual a zero quando i < 0 ou i > n. Relação de Stifel 47 Desta forma, podemos reescrever o quadro anterior com os termos ( n p ) : p=0 p=1 p=2 p=3 p=4 p=5 p=6 p=7 . . . n=0 ( 0 0 ) n=1 ( 1 0 ) ( 1 1 ) n=2 ( 2 0 ) ( 2 1 ) ( 2 2 ) n=3 ( 3 0 ) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) n=4 ( 4 0 ) ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) n=5 ( 5 0 ) ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 5 ) n=6 ( 6 0 ) ( 6 1 ) ( 6 2 ) ( 6 3 ) ( 6 4 ) ( 6 5 ) ( 6 6 ) n=7 ( 7 0 ) ( 7 1 ) ( 7 2 ) ( 7 3 ) ( 7 4 ) ( 7 5 ) ( 7 6 ) ( 7 7 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Observe que, enumerando tanto as linhas quanto as colunas a partir de 0, o termo( n p ) aparece na linha n e coluna p. A propriedade dos números binomiais que nos permite a rápida construção do Triângulo é conhecida como Relação de Stifel3 . Na próxima seção apresentaremos esta relação. 2.1 Relação de Stifel Nesta seção enunciamos o teorema que trata da relação de Stifel e apresentamos duas demonstrações para ele. Teorema 2.1 (Relação de Stifel). Se p, n ∈ N e 0 ≤ p ≤ n− 1, entãon p +  n p+ 1  = n+ 1 p+ 1  . (2.2) 3Stifel, Michael (1487�1567), algebrista alemão que apresentou a relação atualmente conhecida por Relação de Stifel em Die Coss, 1553, p. 354�355 (fol. 168) [19]. 48 O Triângulo Aritmético Ou seja, somando dois elementos consecutivos de uma mesma linha obtemos o elemento situado abaixo da última parcela. Primeira demonstração. Pela de�nição de número binomial, temos que n p +  n p+ 1  = n! p! (n− p)! + n! (p+ 1)! (n− (p+ 1))! = n! p! (n− p) (n− p− 1)! + n! (p+ 1) p! (n− p− 1)! = n! p! (n− p− 1)! ( 1 n− p + 1 p+ 1 ) = n! p! (n− p− 1)! ( p+ 1 (p+ 1) (n− p) + n− p (p+ 1) (n− p) ) = n! p! (n− p− 1)! ( n+ 1 (p+ 1) (n− p) ) = (n+ 1)n! (p+ 1) p! (n− p) (n− p− 1)! = (n+ 1)! (p+ 1)! (n− p)! = (n+ 1)! (p+ 1)! ((n+ 1)− (p+ 1))! = n+ 1 p+ 1  . Segunda demonstração. Considere um conjunto A de n+ 1 elementos, um dos quais é x. O número de subconjuntos de A com p + 1 elementos é n+ 1 p+ 1 . Esse número é igual à soma do número de subconjuntos nos quais x está presente, ou seja, n p , com o número de subconjuntos em que x está ausente, ou seja,  n p+ 1 . Logo, n+ 1 p+ 1  = n p +  n p+ 1  . A seguir apresentaremos outros teoremas relacionados aos termos do Triângulo Aritmético. Teoremas relacionados aos termos do Triângulo Aritmético 49 2.2 Teoremas relacionados aos termos do Triângulo Aritmético Teorema 2.2 (Teorema das Linhas). A soma dos números da �linha n� do Triângulo de Pascal é igual a 2n, ou seja,n 0 + n 1 + n 2 + · · ·+ n n  = 2n. (2.3) Demonstração. Consideremos um conjunto A com n elementos. Para calcularmos o número de subconjuntos de A podemos considerar que, num dado subconjunto, cada elemento de A, de duas, uma: estará �presente� ou estará �ausente� no subconjunto. Isso equivale a termos 2 possibilidades para cada elemento, resultando: 2 · 2 · 2 · 2 · · · · · 2 = 2n. Isso equivale ao lado direito da equação (2.3). Podemos considerar um outro caminho lógico para determinarmos o número de subconjuntos de A. O número de maneiras de escolhermos p elementos dentre n ele- mentos de A é igual a n p . Então o total de subconjuntos de A com p elementos, com p = 0, 1, 2, . . . , n, é dado por: n∑ p=0 n p  = n 0 + n 1 + n 2 + · · ·+ n n  , isso equivale ao lado esquerdo da equação (2.3) Logo,n 0 + n 1 + n 2 + · · ·+ n n  = 2n. Observe que, no Triângulo Aritmético, a linha n começa em Cn 0 e termina em Cn n . Portanto, Cp n (que está na linha n avançado em p colunas em relação ao início da linha) e Cn−p n (que está na linha n atrasado em p colunas em relação ao �m da linha) são elementos da linha n que estão situados em posições equidistantes dos extremos. Nú- meros como Cp n e Cn−p n são chamados de Combinações Complementares. Por exemplo, a combinação complementar de C2 7 é C5 7 . Teorema 2.3 (Simetria das Linha do Triângulo Aritmético). Em uma mesma linha do Triângulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos são iguais, ou seja, Cp n = Cn−p n . Primeira demonstração. Devemos mostrar quen p  =  n n− p  . (2.4) 50 O Triângulo Aritmético O número n p  representa as possibilidades de escolher, entre n objetos, p objetos para usar. Isto equivale ao número  n n− p , que denota a quantidade de maneiras de escolher, entre n objetos, (n− p) objetos para não usar. Uma demonstração imediata, dada em [15] (1991, p. 97), é apresentada a seguir. Segunda demonstração.n p  = n! p!(n− p)! = n! (n− p)!p! =  n n− p  . (2.5) Ao contrário das linhas do Triângulo de Pascal, que sempre possuem uma quanti- dade �nita de elementos, veja que cada uma de suas colunas possui uma quantidade in�nita de entradas. Sendo assim, não faz sentido calcularmos a soma de todos os elementos de uma coluna. Assim, o próximo teorema surge naturalmente e, a demons- tração que apresentamos, é baseada na encontrada em [15]. Teorema 2.4 (Teorema das Colunas). Dados inteiros não negativos p e n, a soma dos n+ 1 primeiros termos da coluna p do Triângulo de Pascal ép p + p+ 1 p + p+ 2 p + · · ·+ p+ n− 1 p + p+ n p  = p+ n+ 1 p+ 1  . (2.6) Ou seja, a soma dos n+1 primeiros elementos de uma coluna do Triângulo é igual ao elemento que está avançado uma linha e uma coluna sobre a última parcela da soma. Veja Figura 2.3. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Figura 2.3: Teorema das colunas. Fonte: [15], p. 99. Demonstração. Aplicando a Relação de Stifel para os elementos da coluna p + 1, ob- temos: Teoremas relacionados aos termos do Triângulo Aritmético 51 p+ 1 p+ 1  =  p p+ 1  + p p  p+ 2 p+ 1  = p+ 1 p+ 1  + p+ 1 p  p+ 3 p+ 1  = p+ 2 p+ 1  + p+ 2 p  ... ... ...p+ n p+ 1  = p+ n− 1 p+ 1  + p+ n− 1 p  p+ n+ 1 p+ 1  = p+ n p+ 1  + p+ n p  . Adicionando as equações acima membro a membro e simpli�cando parcelas iguais que aparecem em membros opostos, obtemos:p+ n+ 1 p+ 1  =  p p+ 1 + p p + p+ 1 p + p+ 2 p +· · ·+ p+ n− 1 p + p+ n p  . Sendo  p p+ 1  = 0, obtemos: p+ n+ 1 p+ 1  = p p + p+ 1 p + p+ 2 p + · · ·+ p+ n− 1 p + p+ n p  . No próximo teorema, quando nos referimos a uma diagonal (paralela a uma hi- potenusa) no Triângulo de Pascal, estamos nos referindo a uma sequência de termos que começa na coluna zero com o termo n 0  e, os termos seguintes são obtidos avançando-se um passo, tanto na coluna como na linha do triângulo, ou seja, n+ 1 1 ,n+ 2 2  , . . . são os elementos da diagonal n. Teorema 2.5 (Teorema das Diagonais). Dados n e p inteiros não-negativos, a soma dos p+ 1 primeiros números da diagonal n do Triângulo de Pascal é 52 O Triângulo Aritmético n 0 + n+ 1 1 + n+ 2 2 + · · ·+ n+ p p  = n+ p+ 1 p  . (2.7) Ou seja, a soma de uma quantidade �nita de elementos de uma diagonal (isto é, de uma paralela à hipotenusa) do Triângulo de Pascal (começando no primeiro elemento da diagonal) é igual ao elemento que está imediatamente abaixo da última parcela. Veja Figura 2.4. 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 Figura 2.4: Teorema das colunas. Fonte: [15], p. 96. É importante observarmos que o teorema das diagonais é praticamente idêntico ao teorema das colunas. Quando o Triângulo de Pascal é escrito na forma de triângulo retângulo, apresentada na Figura 2.2, colunas e diagonais parecem �las numéricas distintas, pelo menos pela disposição no triângulo; porém, se observarmos o Triângulo de Pascal na forma de triângulo isósceles, como apresentamos na Figura 2.1, observamos claramente a simetria das �guras e que as tais colunas e as tais diagonais são na verdades �las formadas por elementos simétricos de cada linha do triângulo. Dessa forma, para demonstrar o teorema das diagonais, basta provarmos que esse equivale ao das colunas. Demonstração. Retomemos à equação (2.6) do teorema das colunasp p + p+ 1 p + p+ 2 p + · · ·+ p+ n− 1 p + p+ n p  = p+ n+ 1 p+ 1  . (2.8) Usando sucessivamente as combinações complementares, (elementos simétricos de cada linha do triângulo), a equação (2.8) é equivalente a p p− p +  p+ 1 (p+ 1)− p +  p+ 2 (p+ 2)− p + · · ·+ · · ·+  p+ n− 1 (p+ n− 1)− p +  p+ n (p+ n)− p  =  p+ n+ 1 (p+ n+ 1)− (p+ 1)  . (2.9) Teoremas relacionados aos termos do Triângulo Aritmético 53 Simpli�cando, temos:p 0 + p+ 1 1 + p+ 2 2 + · · ·+ p+ n− 1 n− 1 + p+ n n  = p+ n+ 1 n  . (2.10) Para que a equação (2.10) �que idêntica à equação (2.7) podemos, sem perda de equivalência, trocar p por n e n por p, o que nos leva a:n 0 + n+ 1 1 + n+ 2 2 + · · ·+ n+ p− 1 p− 1 + n+ p p  = n+ p+ 1 p  . 3 O Teorema Binomial Em Matemática, expandir o produto de duas ou mais somas de termos algébricos signi�ca expressá-lo como uma soma de produtos. Normalmente a primeira forma é mais compacta, mais curta e, a segunda, mais extensa. Por esse motivo, a segunda forma é comumente chamada de expansão algébrica da primeira. Como exemplo, a terceira potência da soma de a e b é (a + b)3. Aplicando a pro- priedade distributiva da multiplicação sobre a adição e agrupando termos semelhantes, obtemos uma soma de produtos: 1a3 + 3a2b+ 3ab2 + 1b3. Como a primeira expressão, (a+ b)3, é a potência de um binômio, a segunda expressão, 1a3 + 3a2b+ 3ab2 + 1b3, é chamada de expansão binomial, ou ainda mais precisamente, expansão da potência de um binômio. A seguir, enunciamos o teorema binomial, que é um resultado matemático que permite escrever a expansão algébrica de uma potência de expoente inteiro e positivo da soma de dois termos de forma mais direta, sem que seja preciso aplicar sucessivas vezes a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição e o agrupamento de termos semelhantes. Teorema 3.1 (Teorema Binomial). Para todos os inteiros n ≥ 1 e a, b ∈ R, (a+ b)n = n∑ p=0 n p  an−pbp. (3.1) Se a ou b é zero, então 00 será interpretado como igual a 1. Ao longo das de- monstrações usaremos expansões equivalentes à expansão binomial, ou seja, notemos que n p  =  n n− p  . (3.2) Isso é o mesmo que dizer que cada linha do Triângulo de Pascal tem simetria, como já descrevemos no Capítulo 2. Dessa forma, temos algumas maneiras equivalentes de escrever a expansão binomial. � Coe�cientes n p  escritos em ordem crescente de p e expoentes de a em ordem decrescente: (a+ b)n = n∑ p=0 n p  an−pbp; (3.3) 55 56 O Teorema Binomial � Coe�cientes n p  escritos em ordem crescente de p e expoentes de a em ordem crescente: (a+ b)n = n∑ p=0 n p  apbn−p; (3.4) � Coe�cientes  n n− p  escritos em ordem decrescente de n− p e expoentes de a em ordem decrescente: (a+ b)n = n∑ p=0  n n− p  an−pbp; (3.5) � Coe�cientes  n n− p  escritos em ordem decrescente de n− p e expoentes de a em ordem crescente: (a+ b)n = n∑ p=0  n n− p  apbn−p. (3.6) As quatro maneiras de escrevermos as expansões de (a + b)n descritas acima são equivalentes. É importante deixar isso claro para o leitor porque, nas demonstrações a seguir, ora uma maneira de escrever facilitará os cálculos, ora será outra maneira que facilitará, a depender do ambiente algébrico da demonstração. Neste capítulo, nosso objetivo é estudar diversas demonstrações para este teorema. Segundo Rosalsky (2007) a demonstração mais tradicional do teorema binomial é por indução matemática. A seguir, apresentaremos quatro demonstrações para o teorema binomial. A primeira será feita por indução matemática e a segunda estará baseada em argumentos de análise combinatória; ambas podem ser encontradas no livro de Ross (2014). A terceira, proposta por Rosalsky (2007) usa resultados probabilísticos e a quarta, proposta por Hwang (2009), usa conceitos do cálculo diferencial. 3.1 Demonstração por Indução Matemática Em Indução Matemática, para provarmos que uma dada proposição matemática P (n) é verdadeira para todo n ∈ {1, 2, . . . }, dividimos a prova em duas etapas: 1. Provar que �P (1)� é verdadeira; 2. Provar que �P (k) =⇒ P (k + 1)� é verdadeira. Demonstração por Indução Matemática 57 Demonstração. 1. Para n = 1 a equação (3.1) se reduz a (a+ b)1 = 1 0  a1−0 · b0 + 1 1  a1−1 · b1 = a+ b, que é verdadeira. 2. Suponhamos que (a+ b)k = k∑ p=0 k p  ak−p · bp (3.7) seja válida para um certo k > 1 natural e mostremos que (a+ b)k+1 = k+1∑ p=0 k + 1 p  ak+1−p · bp é verdadeira também. Multiplicando por (a+ b) ambos os membros de (3.7), temos: (a+ b)k · (a+ b) =  k∑ p=0 k p  ak−p · bp  · (a+ b) =  k∑ p=0 k p  ak−p · bp  · a+  k∑ p=0 k p  ak−p · bp  · b = k∑ p=0 k p  ak+1−p · bp + k∑ p=0 k p  ak−p · bp+1. Fazendo p = i no primeiro somatório e p = i− 1 no segundo somatório teremos (a+ b)k+1 = k∑ i=0 k i  ak+1−i · bi + k+1∑ i=1  k i− 1  ak−(i−1) · b(i−1)+1 = k∑ i=0 k i  ak+1−i · bi + k+1∑ i=1  k i− 1  ak+1−i · bi. Separando a parcela correspondente a i = 0 no primeiro somatório e a parcela correspondente a i = k + 1 no segundo teremos (a+ b)k+1 = k 0  ak+1 · b0 + k∑ i=1 k i  ak+1−i · bi + k∑ i=1  k i− 1  ak+1−i · bi + k k  a0 · bk+1. 58 O Teorema Binomial Agora que os contadores dos dois somatórios têm os mesmos extremos, podemos juntá-los em um único somatório. Também podemos colocar em evidência o fator comum ak+1−i · bi e obtermos (a+ b)k+1 = 1 · ak+1 · 1 + k∑ i=1 k i +  k i− 1  · ak+1−i · bi + 1 · 1 · bk+1. Da Relação de Stifel, temos que:  k i− 1 + k i  = k + 1 i . Logo, obtemos: (a+ b)k+1 = ak+1 + k∑ i=1 k + 1 i  · ak+1−i · bi + bk+1. Note que podemos reescrever a expressão acima como: (a+ b)k+1 = k + 1 0  ak+1 + k∑ i=1 k + 1 i  · ak+1−i · bi + k + 1 k + 1  bk+1. Inserindo os termos k + 1 0  ak+1 e k + 1 k + 1  bk+1 no somatório, obtemos (a+ b)k+1 = k+1∑ i=0 k + 1 i  · ak+1−i · bi. Assim, provamos a equação (3.1) por indução. 3.2 Demonstração usando Análise Combinatória Demonstração. Considere o produto (a1 + b1) · (a2 + b2) · · · · · (an + bn) . (3.8) Esta expansão consiste na soma de 2n termos, cada termo sendo o produto de n fatores. Consequentemente, cada um dos 2n termos da soma conterá apenas um dos fatores ai ou bi, para cada i = 1, 2, . . . , n. Por exemplo, (a1 + b1) (a2 + b2) = a1a2 + a1b2 + b1a2 + b1b2. Quantos dos 2n termos da soma (3.8) terá p fatores do tipo bi's e (n− p) fatores do tipo ai's? A resposta corresponde a uma escolha de p elementos dentre os n elementos Demonstração usando Probabilidade 59 de {b1, b2, . . . , bn}. Ou seja, há n p  termos. Em outras palavras, temos n parênteses em (3.8). Dessa forma, para uma dada parcela �nal na distributiva, sempre haverá uma de duas possibilidades: ou um ai ou um bi do i-ésimo parêntese. De quantas maneiras podemos ter p fatores bi? Basta escolhermos p parênteses dentre os n disponíveis para tomarmos os bi's. Automaticamente, dos n− p parênteses dos quais não tomamos os bi's nós tomaremos os ai's. Fazendo bi = b e aj = a, para i, j = 1, 2, . . . , n, temos que (a+ b)n = n∑ p=0 n p  an−p · bp. 3.3 Demonstração usando Probabilidade A seguir apresentaremos a demonstração que consta no artigo de Andrew Rosalsky (2007). A ideia geral dessa demonstração é: (i) estabelecer a validade do teorema para o caso particular em que 0 < a < 1 e b = 1− a e (ii) mostrar que a validade desse caso particular do teorema leva à validade do caso geral para todos a, b ∈ R. Antes da demonstração apresentaremos algumas de�nições, resultados e exemplos sobre distribuição binomial, os quais podem ser encontrados com mais detalhes em (ROSALSKY, 2007) e em (COSTA NETO, CYMBALISTA, 2006). Experimento de Bernoulli Considere um experimento aleatório onde só podem ocorrer dois resultados: �su- cesso� ou �fracasso�. Associaremos uma variável X aos possíveis resultados, de forma que X = { 1 se o resultado do experimento for �sucesso�; 0 se o resultado do experimento for �fracasso�. (3.9) Este experimento recebe o nome de Ensaio de Bernoulli ou Experimento de Ber- noulli ou, ainda, Prova de Bernoulli. Dizemos que uma variável segue o modelo de Bernoulli se atribui 0 ou 1 à ocorrência de �fracasso� ou �sucesso�, respectivamente. Sendo 0 ≤ p ≤ 1 a probabilidade de ocorrer um �sucesso�, a probabilidade de ocorrer um �fracasso� será 1 − p. A função discreta de probabilidade da distribuição de Bernoulli será P (X) =  1− p para X = 0 p para X = 1 0 para X 6= 0 e X 6= 1 (3.10) ou, de modo resumido, P (X = x) = px(1 − p)1−x, com x = 0 (�fracasso�) ou x = 1 (�sucesso�). 60 O Teorema Binomial Distribuição de Bernoulli Considere agora as seguintes condições: 1. São realizados n experimentos (provas) independentes; 2. Cada experimento é um Ensaio de Bernoulli, ou seja, só pode levar a �sucesso� ou �fracasso� e 3. A probabilidade p de �sucesso� em cada prova é sempre a mesma, ou seja, cons- tante (em consequência, a probabilidade 1− p de �fracasso� também o será). Associando uma variável aleatória X igual ao número de �sucessos� nessas n provas, vamos determinar a distribuição de probabilidades dessa variável X, dada através da probabilidade de um número genérico k de �sucessos�. Suponhamos que ocorram apenas �sucessos� nas k primeiras provas e apenas �fra- cassos� nas n−k provas restantes. Indicando �sucesso� em cada prova por 1 e �fracasso� por 0, teremos: 1, 1, 1, ..., 1︸ ︷︷ ︸ k , 0, 0, 0, ..., 0︸ ︷︷ ︸ n-k . Como as provas são independentes, a probabilidade de ocorrência desse evento é: pk · (1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n. Porém, o evento k �sucessos� em n provas pode acontecer em outras ordens dis- tintas, todas com a mesma probabilidade. Como o número de ordens é o número de combinações de n elementos tomados k a k, a probabilidade de ocorrerem k �sucessos� em n provas será: P (X = k) = n k  pk · (1− p)n−k, k = 0, 1, 2, . . . , n. (3.11) À expressão (3.11) chamamos �função de probabilidade Binomial �. Note que a expressão que de�ne essa função, n k  pk · (1− p)n−k, equivale ao (k+1)-ésimo termo do desenvolvimento da n-ésima potência do binômio (p+(1− p)), ou seja, é o (k+1)- ésimo termo do desenvolvimento de (p+ (1− p))n. Usaremos a notação X ∼ b(n, p) para indicar que a variável aleatória X segue o modelo Binomial com parâmetros n e p. A seguir, faremos a demonstração do teorema binomial usando probabilidade e análise combinatória. Demonstração. Por um argumento de indução simples, para todo n ∈ N, n ≥ 1, existem inteiros positivos C (n, 0) , ..., C (n, n) tais que, para todos a, b ∈ R, (a+ b)n = n∑ p=0 C (n, p) apbn−p. (3.12) Demonstração usando Probabilidade 61 Para provarmos (3.1) a partir de (3.12) precisamos mostrar que C (n, p) = n p  , com p = 0, ..., n. (3.13) Para isso, vamos tomar 0 < a < 1 e Sn = ∑n i=1Xi, onde X1, ..., Xn são variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com:{ P{Xi = 1} = a P{Xi = 0} = 1− a A soma Sn = ∑n i=1Xi tem distribuição binomial com parâmetros n e a, ou seja, Sn ∼ b(n, a) . Por (3.11), temos: P{Sn = p} = n p  ap (1− a)n−p , com p = 0, ..., n. (3.14) Então: 1 = n∑ p=0 P{Sn = p} = n∑ p=0 n p  ap (1− a)n−p , (3.15) estabelecendo assim o teorema no caso particular de 0 < a < 1 e b = 1 − a. Logo, de (3.12), temos 1 = (a+ (1− a))n = n∑ p=0 C (n, p) ap (1− a)n−p (3.16) De (3.16) subtraímos (3.15) membro a membro, o que resulta em n∑ p=0 C (n, p)− n p  ap (1− a)n−p = n∑ p=0 C (n, p)− n p  ap (1− a)n (1− a)p = 0 e, consequentemente, n∑ p=0 C (n, p)− n p  ap (1− a)p (1− a)n = 0 n∑ p=0 C (n, p)− n p ( a 1− a )p (1− a)n = 0. Como o fator (1− a)n aparece igualmente em todas as parcelas do somatório e não depende de p, podemos colocá-lo em evidência: (1− a)n · n∑ p=0 C (n, p)− n p ( a 1− a )p = 0 62 O Teorema Binomial Como (1− a)n 6= 0, podemos dividir os dois membros por (1− a)n: n∑ p=0 C (n, p)− n p ( a 1− a )p = 0. Como 0 < a < 1 é arbitrário, fazendo a 1−a = x, temos n∑ p=0 C (n, p)− n p xp = 0, com 0 < x <∞. (3.17) Notemos que (3.17) nos apresenta um polinômio de grau n identicamente nulo. Isso ocorre se, e somente se, cada coe�ciente do polinômio for nulo. Algebricamente:C (n, p)− n p  = 0, para cada p = 0, . . . , n. Portanto, C (n, p) = n p  , para cada p = 0, . . . , n, que é a identidade (3.13), como queríamos. 3.4 Demonstração usando Cálculo Diferencial Nesta seção apresentaremos a demonstração do teorema binomial dada por Leng- Cheng Hwang (2009). Em seu trabalho, o autor usou o conceito de derivada parcial do Cálculo Diferencial para fazer tal demonstração. Demonstração. Considere o produto (a+ b)n = (a+ b) (a+ b) ... (a+ b) . (3.18) Por uma expansão direta do lado direito da equação (3.18), para todo n ∈ N, n ≥ 1, existem inteiros positivos C (n, 0) , ..., C (n, n) tais que, para todos a, b ∈ R, (a+ b)n = n∑ p=0 C (n, p) apbn−p. (3.19) Para todo k = 0, 1, 2, ..., n, nós calculamos as derivadas parciais de ambos os lados da equação (3.19), k vezes em relação a a e n− k vezes em relação a b. Assim, a derivada parcial para o lado esquerdo da equação (3.19) é ∂n ∂ak∂bn−k (a+ b)n = n!. (3.20) Demonstração usando Cálculo Diferencial 63 Agora, para todos os inteiros k e p no intervalo [0, n], temos ∂n ∂ak∂bn−k C (n, p) apbn−p = 0, k 6= p e ∂n ∂ak∂bn−k C (n, k) akbn−k = k! (n− k)!C (n, k) , k = p. Portanto, ∂n ∂ak∂bn−k n∑ p=0 C (n, p) apbn−p = k! (n− k)!C (n, k) . (3.21) Segue de (3.20) e (3.21) que, para todo k = 0, ..., n, n! = k! (n− k)!C (n, k) , ou seja, C(n, k) = n! k!(n− k)! = n k  . Isso completa a demonstração do teorema. 4 O Teorema Multinomial Os Números Multinomiais ou Coe�cientes Multinomiais Consideraremos o seguinte problema de Contagem. Dado um conjunto A com n elementos, de quantas maneiras podemos montar subconjuntos de A de modo que � o primeiro conjunto tenha n1 elementos, � o segundo conjunto tenha n2 elementos, � o terceiro conjunto tenha n3 elementos, ... � e o k -ésimo conjunto tenha nk elementos, de modo que n1 + n2 + · · ·+ nk = n? Para resolvermos esse problema, podemos raciocinar da seguinte maneira: 1. Colocamos os n elementos de A numa �la. Há n! maneiras de se en�leirarem n objetos. 2. Os n1 primeiros elementos serão destinados ao primeiro subconjunto de A; os próximos n2 elementos serão destinados ao segundo subconjunto de A e assim por diante, até os últimos nk elementos que serão destinados ao k -ésimo subconjunto de A. 3. As trocas de ordem entre elementos de um mesmo subconjunto não geram novos subconjuntos. (Por exemplo, apesar de haver 3! = 6 maneiras de se ordenar os elementos de = {a, b, c}, como {a, b, c} = {a, c, b} = {b, a, c} = {b, c, a} = {c, a, b} = {c, b, a}, devemos contar esse conjunto apenas uma vez). Então deve- mos dividir o total de permutações entre os n elementos de A, isto é, n!, por n1! para eliminarmos as contagens repetidas devidas às permutações entre os n1 ele- mentos do primeiro subconjunto. Da mesma forma, devemos dividir o resultado anterior por n2! devido às permutações dos elementos do segundo subconjunto e assim por diante, até o k-ésimo subconjunto. Logo, o número de maneiras de montar esses subconjuntos é dado por n! n1!n2! . . . nk! . (4.1) 65 66 O Teorema Multinomial Consideremos n1 + n2 + · · ·+ nk = n. De�nimos  n n1, n2, . . . , nk  como  n n1, n2, . . . , nk  = n! n1!n2! . . . nk! . (4.2)  n n1, n2, . . . , nk  representa o número de divisões de um conjunto de n elementos distintos em k subconjuntos distintos de tamanhos n1, n2, . . . , nk, respectivamente. O teorema multinomial é um resultado matemático que permite escrever a expansão algébrica de uma potência de expoente inteiro e positivo da soma de �múltiplos� ou �muitos� termos de forma mais direta, ou seja, sem que seja preciso aplicar sucessivas vezes a propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição e o agrupamento de termos semelhantes. O teorema multinomial é uma generalização do teorema binomial no seguinte sen- tido: como seria o desenvolvimento de uma potência de uma soma algébrica da forma (x1 + x2 + · · ·+ xk) n, com n inteiro não-negativo? A seguir, enunciamos o teorema multinomial. Teorema 4.1 (Teorema Multinomial). Se x1, x2, . . . , xk, são k números reais e n é um número natural então (x1 + x2 + · · ·+ xk) n = ∑ (n1,n2,...,nk)  n n1, n2, . . . , nk xn1 1 x2 n2 . . . xnk k , (4.3) com n1, n2, . . . , nk números inteiros não-negativos tais que n1 + n2 + · · ·+ nk = n. Neste capítulo apresentaremos três demonstrações do Teorema Multinomial. A primeira, usando análise combinatória, foi desenvolvida pelo autor e está baseada na demonstração apresentada por Ross(2014) para o Teorema Binomial. A segunda de- monstração usa argumentos probabilísticos e foi retirada de Kataria (2016). Final- mente, a partir da demonstração do Teorema Binomial por Cálculo Diferencial que apresentamos no Capítulo 3, apresentaremos uma demonstração nossa para o Teorema Multinomial. 4.1 Demonstração usando Análise Combinatória Como o raciocínio ao longo da demonstração pode ser um tanto denso para a leitura e compreensão, vamos apresentar dois exemplos para exibir o raciocínio combinatório que aplicaremos. Exemplo 4.2. Considere a expansão de (a+ b+ c)4 = (a+ b+ c) · (a+ b+ c) · (a+ b+ c) · (a+ b+ c)︸ ︷︷ ︸ 4 parênteses . (4.4) Demonstração usando Análise Combinatória 67 Sabe-se que a expansão de (4.4) pode ser obtida aplicando-se a propriedade distri- butiva e, depois disso, agrupar os termos (parcelas) semelhantes. Para obtermos o termo a4, que é o mesmo que a · a · a · a, só há uma maneira: é necessário que tomemos o a do primeiro parêntese multiplicado pelo a do segundo, multiplicado pelo a do terceiro e multiplicado pelo a do quarto parêntese. Como a·a·a·a só pode ser obtido de uma maneira, então seu coe�ciente é 1. Um outro exemplo. Considere todas as distributivas de (4.4) que dêem como re- sultado a3b1c0. Se por um momento escrevermos os produtos que geram esse termo mantendo as letras ordenadas de modo que a posição de cada letra no produto corres- ponda à posição do parêntese de sua origem, teremos as seguintes possibilidades: a · a · a · b a · a · b · a a · b · a · a b · a · a · a. Logo, a parcela que apresenta a3b1c0 é 4a3b1c0. Note que podemos encontrar o coe�ciente 4 fazendo análise combinatória. Em (4.4) temos 4 parênteses. Para que obtenhamos a3 = a · a · a temos 4 3  maneiras de escolhermos 3 parênteses dentre os 4 como �origem� de cada a. A partir disso, resta apenas 1 parêntese para ser a �origem� do b que falta. Exemplo 4.3. Considere a expansão de (a+ b+ c)6 = (a+ b+ c) · (a+ b+ c) · (a+ b+ c) · (a+ b+ c) · (a+ b+ c) · (a+ b+ c)︸ ︷︷ ︸ 6 parênteses (4.5) Desejamos saber qual será o valor do coe�ciente numérico de a3b2c1. 1. Dos 6 parênteses do produto, temos 6 3  maneiras de escolhermos os 3 parên- teses que servirão de �origem� para os 3 a's. Restam 6− 3 = 3 parênteses. 2. Desses 3 parênteses, temos 3 2  maneiras de escolhermos os 2 parênteses que servirão como �origem� para os 2 b's. Resta 3− 2 = 1 parêntese. 3. Finalmente temos 1 1  maneira de escolhermos o parêntese para servir de �ori- gem� para o c. 68 O Teorema Multinomial Portanto, o coe�ciente numérico de a3b2c1 é dado por6 3  · 3 2  · 1 1  = 6! 3!3! · 3! 2!1! · 1! 1!0! = 6! 3!2!1! =  6 3, 2, 1 . (4.6) Agora voltaremos ao Teorema Multinomial e à sua demonstração usando análise combinatória. Demonstração. Primeiramente, note que (x1 + x2 + · · ·+ xk) n é o produto de n fatores (parênteses), da seguinte forma: (x1 + · · ·+ xk) · (x1 + · · ·+ xk) . . . (x1 + · · ·+ xk)︸ ︷︷ ︸ n parênteses . (4.7) Em cada parêntese há as mesmas k parcelas: x1, x2, . . . , xk. Aplicando a propriedade distributiva aos n parênteses e agrupando os termos seme- lhantes, desejamos saber qual será o valor do coe�ciente numérico de uma determinada parcela xn1 1 x2 n2 . . . xnk k , com n1 + n2 + · · ·+ nk = n. Os argumentos de contagem que podemos utilizar são os seguintes: 1. Dos n parênteses do produto, temos  n n1  maneiras de escolhermos os n1 parên- teses que servirão de �origem� para os n1 fatores x1. Restam n− n1 parênteses. 2. Desses n − n1 parênteses, temos n− n1 n2  maneiras de escolhermos os n2 pa- rênteses que servirão como �origem� para os n2 fatores x2. Restam n − n1 − n2 parênteses. 3. Desses n − n1 − n2 parênteses, temos n− n1 − n2 n3  maneiras de escolhermos os n3 parênteses que servirão como �origem� para os n3 fatores x3. Restam n− n1 − n2 − n3 parênteses. 4. Assim procedemos com todos os xi, 1 ≤ i ≤ k. 5. Para o k-ésimo termo xnk k , terão restado n−n1−n2 · · ·−nk−1 parênteses. Como n1 + n2 + · · ·+ nk = n, então n− n1 − n2 · · · − nk−1 = nk. Portanto, o coe�ciente numérico de xn1 1 x2 n2 . . . xnk k é dado por n n1 n− n1 n2 n− n1 − n2 n3  . . . n− n1 − · · · − nk−1 nk . (4.8) Aplicando a de�nição n p  = n! p!(n− p)! , Demonstração probabilística 69 temos:  n n1 n− n1 n2 n− n1 − n2 n3  . . . n− n1 − · · · − nk−1 nk  = = n! ��� ��(n− n1)!n1! ��� ��(n− n1)! ((( (((( ( (n− n1 − n2)!n2! (((( (((((n− n1 − n2)! (((( (((( ((( (n− n1 − n2 − n3)!n3! . . .(((( (((( (((( ((( (n− n1 − n2 − · · · − nk−1)! 0!nk! = n! n1!n2! . . . nk! =  n n1, n2, . . . , nk . Logo, podemos concluir que (x1 + x2 + · · ·+ xk) n = ∑ (n1,n2,...,nk)  n n1, n2, . . . , nk xn1 1 x2 n2 . . . xnk k . 4.2 Demonstração probabilística No Capítulo 3 apresentamos uma demonstração do teorema binomial usando a distribuição binomial. Para fazermos a demonstração do teorema multinomial, com argumentos probabilísticos, devemos usar a distribuição multinomial a qual é modelada como segue. Consideremos um experimento que consista de n provas independentes. O resul- tado de cada prova é a ocorrência de um dos m eventos independentes e mutuamente exclusivos E1, E2, . . . , Em. Para cada i = 1, 2, . . . ,m, seja pi a probabilidade constante de ocorrência do evento Ei e Xi a variável aleatória que denota o número de vezes que o evento Ei ocor- reu. Então, a função densidade de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X1, X2, . . . , Xm é dada por P (X1 = k1, X2 = k2, . . . , Xm = km) = n! m∏ j=1 pj kj kj! , (4.9) onde ∑m j=1 kj = n. Dessa forma, como a de�nição dada na equação (4.9) é uma distribuição estatística válida, temos 1 = ∑ ∑m i=1 ki=n n! m∏ j=1 pj kj kj! (4.10) Munidos desta de�nição, a seguir apresentaremos a demonstração do teorema mul- tinomial, Teorema 4.1. 70 O Teorema Multinomial Demonstração. Vamos considerar (x1 + x2 + · · ·+ xm) n = = (x1 + x2 + · · ·+ xm) · (x1 + x2 + · · ·+ xm) · · · · · (x1 + x2 + · · ·+ xm)︸ ︷︷ ︸ n fatores . (4.11) Aplicando a propriedade distributiva ao lado direito da equação (4.11), segue que para todos os xi's reais temos (x1 + x2 + · · ·+ xm) n = ∑ ∑m i=1 ki=n C(n, k1, k2, . . . , km)x k1 1 xk2 2 . . . xkm m , (4.12) onde os coe�cientes C(n, k1, k2, . . . , km) são inteiros positivos e os ki's são inteiros não- negativos que satisfazem ∑m i=1 ki = n. Para concluirmos a demonstração precisamos mostrar que C(n, k1, k2, . . . , km) = n! k1!k2! . . . km! . (4.13) Suponhamos xi > 0 para todo i = 1, 2, . . . ,m e de�nemos pi = xi x1 + x2 + · · ·+ xm . (4.14) Da maneira como de�nimos pi e assumindo que xi > 0, claramente temos que 0 < pi < 1 e também ∑m i=1 pi = 1. Substituindo a equação (4.14) na equação (4.10), temos: 1 = ∑ ∑m i=1 ki=n n! m∏ j=1 ( xj x1+x2+···+xm )kj kj! . (4.15) Em relação à equação (4.15), notemos as seguintes equivalências: m∏ j=1 ( xj x1 + x2 + · · ·+ xm )kj = m∏ j=1 x kj j (x1 + x2 + · · ·+ xm) kj = xk1 1 xk2 2 . . . xkm m (x1 + x2 + · · ·+ xm) k1+k2+···+km = x1 k1x2 k2 . . . xm km (x1 + x2 + · · ·+ xm) n . (4.16) Temos ainda, que m∏ j=1 1 kj! = 1 k1!k2! . . . km! . (4.17) Então, a equação (4.15) pode ser reescrita da seguinte forma: Demonstração usando Cálculo Diferencial 71 1 = ∑ ∑m i=1 ki=n n! 1 k1!k2! . . . km! · x1 k1x2 k2 . . . xm km (x1 + x2 + · · ·+ xm) n , (4.18) a qual é equivalente a (x1 + x2 + · · ·+ xm) n = ∑ ∑m i=1 ki=n n! k1!k2! . . . km! · x1 k1x2 k2 . . . xm km (4.19) Subtraindo, membro a membro, a equação (4.19) da equação (4.12), obtemos:∑ ∑m i=1 ki=n ( C(n, k1, k2, . . . , km)− n! k1!k2! . . . km! ) · x1 k1x2 k2 . . . xm km = 0, (4.20) para todo xi > 0 real. Da igualdade polinomial obtida na equação (4.20), obtemos a equação (4.13) e, portanto, está provado o teorema. 4.3 Demonstração usando Cálculo Diferencial Nesta seção apresentaremos a demonstração do teorema multinomial usando as ideias da demonstração dada por Hwang (2009) para o teorema binomial, apresentado neste trabalho na Seção 3.4. A demonstração está baseada no conceito de derivada parcial. Demonstração. Aplicando a propriedade distributiva ao segundo membro da equação (4.11), obtemos (x1 + x2 + · · ·+ xm) n = ∑ ∑m i=1 ki=n C(n, k1, k2, . . . , km)x1 k1x2 k2 . . . xm km , (4.21) onde os coe�cientes C(n, k1, k2, . . . , km) são inteiros positivos e os ki's são inteiros não- negativos que satisfazem ∑m i=1 ki = n. Para concluirmos a demonstração, precisamos mostrar que C(n, k1, k2, . . . , km) = n! k1!k2! . . . km! . (4.22) Para todo ri = 0, 1, 2, . . . , n, com i = 1, . . . ,m e com ∑m i=1 ri = n, calculamos as derivadas parciais de ambos os membros da equação (4.21), (r1 vezes em relação a x1, r2 vezes em relação a x2, . . . , rm vezes em relação a xm). A derivada parcial do lado esquerdo da equação (4.21) é sempre igual a ∂n ∂x1 r1∂x2 r2 . . . ∂xm rm (x1 + x2 + · · ·+ xm) n = n!. (4.23) Quanto às derivadas parciais do lado direito da equação (4.21), para todos os inteiros ri pertencentes ao intervalo [0, n], temos ∂n ∂x1 r1∂x2 r2 . . . ∂xm rm C(n, k1, k2, . . . , km)x1 k1x2 k2 . . . xm km = 0, 72 O Teorema Multinomial se ri 6= ki para algum i, e ∂n ∂x1 r1∂x2 r2 . . . ∂xm rm C(n, r1, r2, . . . , rm)x1 r1x2 r2 . . . xm rm = r1!r2! . . . rm!C(n, r1, r2, . . . , rm), (4.24) se ri = ki para todo i. Portanto, temos ∂n ∂x1 r1∂x2 r2 . . . ∂xm rm  ∑ ∑m i=1 ki=n C(n, k1, k2, . . . , km)x1 k1x2 k2 . . . xm km  = = r1!r2! . . . rm! · C(n, r1, r2, . . . , rm). (4.25) Segue das equações (4.23) e (4.25) que para todo ki = 0, 1, . . . , n e para todo i = 0, 1, . . . ,m, temos: n! = k1!k2! . . . km! · C(n, k1, k2, . . . , km), (4.26) o que equivale à igualdade da equação (4.22), completando assim a nossa demonstração. 5 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais Neste capítulo usaremos o termo expansões trinomiais para as expansões algébricas de potências de trinômios. Ou seja, para a, b e c números reais e n ∈ N a expansão trinomial se refere à expansão algébrica de potências do tipo (a+ b+ c)n. Analogamente, usaremos o termo expansões tetranomiais para as expansões algé- bricas de potências de tetranômios. Ou seja, para a, b, c e d números reais e n ∈ N a expansão tetranomial se refere à expansão algébrica de potências do tipo (a+b+c+d)n. É importante observarmos que se aplicássemos correta e repetidamente as propri- edades distributiva da multiplicação sobre a adição e a associativa da adição sem nos importarmos com algum tipo de ordenação das parcelas �nais, talvez não fosse possí- vel enxergar a conexão entre o triângulo aritmético e os coe�cientes da dita expansão. Para darmos um exemplo, imagine que tivéssemos que efetuar a expansão de, digamos, (a+ b)4 e, depois de muitas operações, déssemos como resposta �nal o seguinte: (a+ b)4 = 6a2b2 + b4 + 4b3a+ 4a3b+ a4. (5.1) Perceber que esse resultado está associado a uma linha do triângulo de Pascal �caria, no mínimo, um pouco mais complicado, ou ainda, não enxergaríamos conexão alguma entre uma coisa e outra. Porém, quando estabelecemos algumas regras para escrevermos as parcelas do re- sultado e para ordená-las, as chances de encontrarmos uma conexão (caso haja) entre o triângulo de Pascal e a expansão encontrada aumentam bastante. O fato de, histori- camente, terem sido usadas duas regras simples permitiu que enxergássemos a conexão entre as expansões de binômios e os números do triângulo aritmético. Essas duas simples regras para (a+ b)n podem ser: 1. Escrever cada parcela da expansão apresentando coe�ciente numérico (mesmo que seja igual a 1), potência de a e potência de b, nessa ordem, com os seus expoentes devidamente apresentados (mesmo que sejam 0 ou 1) e 2. Ordenar as parcelas de modo que os expoentes de a apareçam em ordem decres- cente. Então, pelas regras, o resultado do nosso exemplo será apresentado da seguinte maneira: (a+ b)4 = 1a4b0 + 4a3b1 + 6a2b2 + 4a1b3 + 1a0b4. (5.2) Essas regras nos levam a notar com mais facilidade pelo menos três aspectos: 73 74 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais 1. As somas dos expoentes de a e de b é igual a 4; 2. Os expoentes de b aparecem na ordem inversa à dos expoentes de a, isto é, em ordem crescente; 3. Os coe�cientes numéricos nessa ordem são claramente identi�cados com os termos de uma linha do triângulo de Pascal. Quando notamos aspectos interessantes, como esses, que não parecem ocorrer por mero acaso, somos levados a nos perguntar: �Será que esse padrão ocorre para outros casos?� �Que casos seriam esses?� Sabemos que, em assuntos de matemática, mesmo que um padrão se repita mil vezes, não quer dizer que se repita para o milésimo primeiro caso. Além disso, antes de provarmos um certo padrão em matemática, ele precisa ser descoberto! Sem a descoberta do padrão, não haveria novidade alguma a ser apreciada, muito menos provada. Os padrões ou conexões descobertas, enquanto ainda não demonstradas, são chamadas de conjecturas. Conjecturas são, ao pé da letra, ligações, conexões. Uma conjectura, ou seja, uma a�rmação do tipo Se �isso ocorre�, então �aquilo ocorre�, se provada verdadeira dentro do rigor matemático, então deixa o status de conjectura para o status de teorema. A seguir, vamos estabelecer algumas regras para a escrita de expansões de trinômios (e depois de tetranômios) e vamos tentar observar se há algum padrão que nos chame a atenção e então, que nos leve a algumas conexões. 5.1 Expansão Trinomial Sejam a, b e c números reais e n inteiro não-negativo. O teorema multinomial para três termos pode ser escrito da seguinte maneira: (a+ b+ c)n = ∑ na+nb+nc=n  n na, nb, nc  anabnbcnc , (5.3) com na, nb, nc números inteiros não-negativos tais que na + nb + nc = n. Apresentaremos a seguir as expansões trinomiais (a + b + c)n para n = 2, 3, 4 e 5 e apontaremos um possível padrão geométrico e aritmético para a expansão trinomial. Este padrão é análogo aos padrões das linhas do Triângulo Aritmético, obtido para a expansão Binomial. Expansão trinomial (a+ b+ c)2 Seguindo a expressão apresentada na equação (5.3), temos (a+ b+ c)2 =  2 2, 0, 0  a2b0c0 +  2 1, 1, 0  a1b1c0 +  2 1, 0, 1  a1b0c1+ +  2 0, 2, 0  a0b2c0 +  2 0, 1, 1  a0b1c1 +  2 0, 0, 2  a0b0c2. Expansão Trinomial 75 Na expansão acima consideremos: a2b0c0 = aa, a1b1c0 = ab, a1b0c1 = ac, a0b2c0 = bb, a0b1c1 = bc, a0b0c2 = cc. Uma tentativa de usar a ordem alfabética para ordenar os termos nos dá aa, ab, ac, bb, bc, cc. Note que a tradicional técnica de ordenação alfabética nos dá uma maneira de escrever os termos em certa ordem, porém sem apresentar resultados ou padrões notórios. O padrão que descobri em 1995 para ordenar os termos dessa expansão é um pouco mais so�sticado do que a ordem alfabética e o resultado �nal se tornou muito interes- sante. �Como devemos então organizar os termos (ou parcelas) da expansão de (a+b+c)n?� Vamos procurar seguir as seguintes regras de escrita para as parcelas dessa expansão: 1. Todos os expoentes de a, b e c deverão ser apresentados explicitamente (incluindo 0 e 1); 2. Os coe�cientes serão os coe�cientes trinomiais (ou seja, os coe�cientes multino- miais para três termos); 3. Cada parcela será escrita com os fatores na seguinte ordem: coe�ciente, potência de a, potência de b e potência de c; 4. As parcelas devem ser ordenadas de modo que os expoentes de a sejam apresen- tados em ordem decrescente (ou crescente). A mesma regra deverá ser cumprida para os expoentes de b e para os expoentes de c. Da quarta regra vem a parte mais difícil: Como ordenar parcelas em que os expo- entes de três fatores estejam, de algum modo, em ordem decrescente? Ao resolver esse �quebra-cabeças� encontrei, como melhor �encaixe das peças�, a disposição que apresentamos a seguir.  2 2, 0, 0  a2b0c0  2 1, 1, 0  a1b1c0  2 1, 0, 1  a1b0c1  2 0, 2, 0  a0b2c0  2 0, 1, 1  a0b1c1  2 0, 0, 2  a0b0c2 Fazendo os cálculos, temos: 76 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais  2 2, 0, 0  = 2! 2!0!0! = 1,  2 0, 2, 0  = 2! 0!2!0! = 1,  2 0, 0, 2  = 2! 0!0!2! = 1,  2 1, 1, 0  = 2! 1!1!0! = 2,  2 0, 1, 1  = 2! 0!1!1! = 2 e  2 1, 0, 1  = 2! 1!0!1! = 2. Logo, podemos fazer o triângulo acima da seguinte forma: 1a2b0c0 2a1b1c0 1a0b2c0 2a1b0c1 2a0b1c1 1a0b0c2 Figura 5.1: (a+ b+ c)2 Expansão Trinomial 77 Expansão trinomial (a+ b+ c)3 Seguindo a expressão apresentada na equação (5.3) temos (a+ b+ c)3 =  3 3, 0, 0  a3b0c0 +  3 2, 1, 0  a2b1c0 +  3 1, 2, 0  a1b2c0+ +  3 0, 3, 0  a0b3c0 +  3 0, 2, 1  a0b2c1 +  3 0, 1, 2  a0b1c2+ +  3 0, 0, 3  a0b0c3 +  3 1, 0, 2  a1b0c2 +  3 2, 0, 1  a0b1c2+ +  3 1, 1, 1  a1b1c1 78 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais Ao observarmos os valores dos expoentes de a, b e c, é possível reorganizarmos esses termos numa estrutura triangular como a que segue:  3 3, 0, 0  a3b0c0  3 2, 1, 0  a2b1c0  3 2, 0, 1  a2b0c1  3 1, 2, 0  a1b2c0  3 1, 1, 1  a1b1c1  3 1, 0, 2  a1b0c2  3 0, 3, 0  a0b3c0  3 0, 2, 1  a0b2c1  3 0, 1, 2  a0b1c2  3 0, 0, 3  a0b0c3 Fazendo os cálculos temos:  3 3, 0, 0  =  3 0, 3, 0  =  3 0, 0, 3  = 1,  3 2, 1, 0  =  3 1, 2, 0  =  3 0, 2, 1  =  3 0, 1, 2  =  3 2, 0, 1  =  3 1, 0, 2  = 3 e  3 1, 1, 1  = 6. Logo, podemos reescrever o triângulo acima da seguinte forma: Expansão Trinomial 79 1a3b0c0 3a2b1c0 3a1b2c0 1a0b3c0 3a2b0c1 6a1b1c1 3a0b2c1 3a1b0c2 3a0b1c2 1a0b0c3 Figura 5.2: (a+ b+ c)3 Expansão trinomial (a+ b+ c)4 Seguindo a expressão apresentada na equação (5.3) o triângulo correspondente será: 4 4, 0, 0  a4b0c0  4 3, 1, 0  a3b1c0  4 3, 0, 1  a3b0c1  4 2, 2, 0  a2b2c0  4 2, 1, 1  a2b1c1  4 2, 0, 2  a2b0c2  4 1, 3, 0  a1b3c0  4 1, 2, 1  a1b2c1  4 1, 1, 2  a1b1c2  4 1, 0, 3  a1b0c3  4 0, 4, 0  a0b4c0  4 0, 3, 1  a0b3c1  4 0, 2, 2  a0b2c2  4 0, 1, 3  a0b1c3  4 0, 0, 4  a0b0c4 80 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais Fazendo os cálculos e substituindo os números trinomiais por seus respectivos va- lores numéricos, temos: 1a4b0c0 4a3b1c0 6a2b2c0 4a1b3c0 1a0b4c0 4a3b0c1 12a2b1c1 12a1b2c1 4a0b3c1 6a2b0c2 12a1b1c2 6a0b2c2 4a1b0c3 4a0b1c3 1a0b0c4 Figura 5.3: (a+ b+ c)4 Esses primeiros exemplos podem dar uma ideia do padrão geométrico que desejamos apresentar para as expansões dos trinômios (a + b + c)n. Note que para cada n, a expansão de (a+ b+ c)n se apresenta com uma con�guração triangular, de acordo com os expoentes de a, b e c. Observe ainda os seguintes pontos, a partir da Figura 5.3: 1. Vértices. No vértice superior, temos o termo correspondente a a4; no vértice inferior à esquerda, temos o termo correspondente a b4 e, no vértice inferior à direita, temos o termo correspondente a c4. 2. Linhas paralelas horizontais. Observando as linhas horizontais, no sentido de cima para baixo, notamos que começamos com um ponto: o vértice em que temos a4 e, à medida que descemos, temos a linha correspondente aos termos em que aparece a3, depois a2, a1 e, na última linha, os termos correspondentes a a0. 3. Linhas paralelas à linha dos vértices a4 e c4. Observando a partir do vértice do b4, notamos que a linha seguinte apresenta os termos em b3. Nas linhas seguintes, temos os termos em b3, depois b2, depois b1 e, �nalmente, os termos com b0. 4. Linhas paralelas à linha dos vértices a4 e b4. Observando a partir do vértice c4. Na linhas seguintes, temos os termos de c3, depois de c2 até c0. Expansão Trinomial 81 Por um momento, retiramos os termos literais ana , bnb e cnc que aparecem na Fi- gura 5.3, e construímos a Figura 5.4 para observarmos um pouco melhor os coe�cientes numéricos. 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1 Figura 5.4: Coe�cientes de (a+ b+ c)4 Todos os pontos observados acima podem ser notados se ainda �zermos a expansão trinomial (a+ b+ c)5, conforme apresentamos a seguir: Expansão trinomial (a+ b+ c)5 Seguindo a expressão apresentada na equação (5.3) e, apresentando diretamente o triângulo correspondente com os cálculos dos coe�cientes trinomias realizados, temos: 82 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais 1a5b0c0 5a4b1c0 10a3b2c0 10a2b3c0 5a1b4c0 1a0b5c0 5a4b0c1 20a3b1c1 30a2b2c1 20a1b3c1 5a0b4c1 10a3b0c2 30a2b1c2 30a1b2c2 10a0b3c2 10a2b0c3 20a1b1c3 10a0b2c3 10a1b0c4 10a0b1c4 1a0b0c5 Figura 5.5: (a+ b+ c)5 Expansão Trinomial 83 Conforme �zemos anteriormente, retiramos os termos literais ana , bnb e cnc que aparecem na Figura 5.5, e construímos a Figura 5.6 para observarmos um pouco melhor os coe�cientes numéricos. 1 5 10 10 5 1 5 20 30 20 5 10 30 30 10 10 20 10 10 10 1 Figura 5.6: Coe�cientes de (a+ b+ c)5 84 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais Podemos notar que a estrutura dos coe�cientes trinomiais de (a+ b+ c)n para cada n ∈ {0, 1, 2, . . .} pode ser representada por uma camada triangular (exceto, obviamente, quando temos n = 0 cuja camada é um ponto, não um triângulo). Observe: n = 0 : (a+ b+ c)0 1 n = 1 : (a+ b+ c)1 1 1 1 n = 2 : (a+ b+ c)2 1 2 1 2 2 1 n = 3 : (a+ b+ c)3 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 Expansão Trinomial 85 n = 4 : (a+ b+ c)4 1 4 6 4 1 4 12 12 4 6 12 6 4 4 1 n = 5 : (a+ b+ c)5 1 5 10 10 5 1 5 20 30 20 5 10 30 30 10 10 20 10 10 10 1 A seguir pretendemos explicar como podemos obter cada camada triangular corres- pondente a cada valor de n para (a+ b+ c)n, a partir do triângulo aritmético original (triângulo de Pascal). Vamos analisar, por exemplo, a expansão de (a + b + c)4. Essa camada triangular é formada da seguinte maneira: 86 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais Figura 5.7: Princípio multiplicativo para obtenção da camada correspondente a n = 4 1. À esquerda, conforme Figura 5.7, escrevemos o triângulo de Pascal até a linha correspondente à 4a potência de (x+ y)n. 2. A seguir, logo à direita do triângulo, escrevemos numa linha vertical os números da linha correspondente à 4a potência de (x+ y)n no triângulo de Pascal. 3. Multiplicando cada número de cada linha do triângulo à esquerda pelo fator correspondente escrito na linha vertical à mesma altura, obtemos o triângulo da direita que é a camada triangular dos coe�cientes da expansão de (a+ b+ c)4. Vejamos ainda, outro exemplo, apresentando como é formada a camada triangular correspondente aos coe�cientes da expansão de (a+b+c)5. Para isto veja a Figura 5.8. Figura 5.8: Princípio multiplicativo para obtenção da camada correspondente a n = 5 As questões naturais que podemos fazer são: Este padrão geométrico de construção das camada vale para todo n na expansão trinonial (a+b+c)n? Qual seria o argumento matemático que justi�ca esse método de construção das camadas triangulares? Expansão Trinomial 87 A resposta está na expansão parcial de (a + (b + c))n, ou seja, considerando num primeiro momento que (a+ (b+ c))n seja um binômio com suas duas parcelas iguais a a e (b+ c). Nos números multinomiais  n n1, n2, . . . , nm  os valores numéricos n1, n2, . . . , nm são, respectivamente, iguais aos expoentes de sua parte literal xn1 1 xn2 2 . . . xnm m . Assim, por exemplo para n = 4, temos: (a+ b+ c)4 = (a+ (b+ c))4 =  4 4, 0  a4(b+ c)0 +  4 3, 1  a3(b+ c)1 +  4 2, 2  a2(b+ c)2 +  4 1, 3  a1(b+ c)3 +  4 0, 4  a0(b+ c)4 . (5.4) Observe que aqui usamos a notação  n na, nb  para o número binomial n nb  por motivos didáticos. Essa notação que adotamos para o número binomial se enquadra melhor no modelo de notação que é normalmente usado para os números multinomiais. Agora, expandindo os termos (b+ c)0, (b+ c)1, (b+ c)2, (b+ c)3 e (b+ c)4, temos 4 4, 0  a4(b+ c)0 =  4 4, 0  a4 ×  0 0, 0  b0c0   4 3, 1  a3(b+ c)1 =  4 3, 1  a3 ×  1 1, 0  b1c0 +  1 0, 1  b0c1   4 2, 2  a2(b+ c)2 =  4 2, 2  a2 ×  2 2, 0  b2c0 +  2 1, 1  b1c1 +  2 0, 2  b0c2   4 1, 3  a1(b+c)3 =  4 1, 3  a1×  3 3, 0  b3c0 +  3 2, 1  b2c1 +  3 1, 2  b1c2 +  3 0, 3  b0c3   4 0, 4  a0(b+ c)4 = =  4 0, 4  a1 ×  4 4, 0  b4c0 +  4 3, 1  b2c1 +  4 2, 2  b1c2 +  4 1, 3  b1c3 +  4 0, 4  b0c4  . Fazendo o cálculo dos números binomiais e substituindo as expansões acima na equação (5.4), temos: (a+(b+ c))4 = 1a4(b+ c)0+4a3(b+ c)1+6a2(b+ c)2+4a1(b+ c)3+1a0(b+ c)4. (5.5) 88 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais Consequentemente, do lado direito da equação (5.5) obtemos: 1a4(b+ c)0 = 1a4 × ( 1b0c0 ) 4a3(b+ c)1 = 4a3 × ( 1b1c0 + 1b0c1 ) 6a2(b+ c)2 = 6a2 × ( 1b2c0 + 2b1c1 + 1b0c2 ) 4a1(b+ c)3 = 4a1 × ( 1b3c0 + 3b2c1 + 3b1c2 + 1b0c3 ) 1a0(b+ c)4 = 1a0 × ( 1b4c0 + 4b2c1 + 6b1c2 + 4b1c3 + 1b0c4 ) . Isso equivale a: 1a4(b+ c)0 = a4 × ( 1b0c0 ) 4a3(b+ c)1 = a3 × ( 4b1c0 + 4b0c1 ) 6a2(b+ c)2 = a2 × ( 6b2c0 + 12b1c1 + 6b0c2 ) 4a1(b+ c)3 = a1 × ( 4b3c0 + 12b2c1 + 12b1c2 + 4b0c3 ) 1a0(b+ c)4 = a0 × ( 1b4c0 + 4b2c1 + 6b1c2 + 4b1c3 + 1b0c4 ) . Finalmente, temos: 1a4(b+ c)0 = 1a4b0c0 4a3(b+ c)1 = 4a3b1c0 + 4a3b0c1 6a2(b+ c)2 = 6a2b2c0 + 12a2b1c1 + 6a2b0c2 4a1(b+ c)3 = 4a1b3c0 + 12a1b2c1 + 12a1b1c2 + 4a1b0c3 1a0(b+ c)4 = 1a0b4c0 + 4a0b2c1 + 6a0b1c2 + 4a0b1c3 + 1a0b0c4. Assim como na expansão binomial as linhas podem ser colocadas uma abaixo da outra, formando o triângulo aritmético, na expansão trinomial as camadas triangulares podem ser colocadas uma abaixo da outra formando um tetraedro aritmético. Na Figura 5.9 apresentamos o Tetraedro Aritmético com as 6 primeiras camadas das expansões de (a + b + c)n, para n = 0, 1, . . . , 5. Nas Figuras 5.10 e 5.11 temos outros ângulos de visão para o mesmo resultado: o Tetraedro Aritmético. Expansão Trinomial 89 Figura 5.9: O Tetraedro Aritmético, com os coe�cientes de (a+ b+ c)n, até n = 5 90 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais Figura 5.10: O Tetraedro Aritmético, com os coe�cientes de (a + b + c)n, até n = 5 - segunda visão Expansão Trinomial 91 Figura 5.11: O Tetraedro Aritmético, com os coe�cientes de (a + b + c)n, até n = 5 - terceira visão 92 Padrões geométricos para as expansões trinomiais e tetranomiais 5.2 Expansão Tetranomial Chamamos expansão tetranomial à expansão de potências de uma soma de quatro termos algébricos, ou seja, potências do tipo (a+ b+ c+ d)n. Apresentaremos a seguir um possível padrão geométrico e aritmético para a expan- são tetranomial análoga aos padrões das linhas do triângulo aritmético e das camadas triangulares do tetraedro aritmético, que são os padrões obtidos para as expansões binomiais e trinomiais, respectivamente. Para chegarmos ao resultado deste padrão geométrico, podemos seguir uma sequên- cia análoga de passos, como �zemos anteriormente para as expansões trinomiais. Po- rém