
 
Renata Ferreira Cajuela 
 
 
Funções Trigonométricas 

 
São José do Rio Preto 
2013 

 
Câmpus de São José do Rio Preto


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Cajuela, Renata Ferreira.
Funções trigonométricas / Renata Ferreira Cajuela. -- São 

José do Rio Preto, 2013
51 f. : il.

Orientador: Vanderlei Minori Horita
Dissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual 

Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e 
Ciências Exatas 

1. Matemática (Ensino médio) - Estudo e ensino. 2. Trigonometria
– Estudo e ensino. 3. Trigonometria - Ensino auxiliado por 
computador. 4. Ensino auxiliado por computador - Programas de 
computador. I. Horita, Vanderlei Minori. II. Universidade Estadual 
Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e 
Ciências Exatas. III. Título.

CDU – 51(07)
 

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE
UNESP - Campus de São José do Rio Preto 


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Agradecimentos

Primeiramente, gostaria de agradecer a Deus que se mostrou presente em
todos os momentos.

À Capes, pelo apoio financeiro.
Ao professor Vanderlei Minori Horita, pela orientação deste trabalho.
Ao meu esposo, Weigle pelo apoio incomensurável e por acreditar em

minha capacidade mesmo quando eu não acredito.
À minha filha querida, Ĺıgia, e a todos os familiares que me apoiaram ou

ajudaram de alguma forma.
Aos amigos de mestrado que, não só me auxiliaram nas disciplinas, mas

também deram-me lições de persistência, força de vontade, dedicação e prin-
cipalmente, bom humor mesmo em situações dif́ıcies; os nomes não ouso dizer
para não me esquecer de alguém.

Aos meus amigos de trabalho: Andréia, por me incentivar a participar
deste programa de mestrado, Dênis, José Augusto e Marcos, pelas dicas sobre
a edição do trabalho, Susette e Gilberto, pelo apoio diário.

Às minhas coordenadoras Andréa Capelli e Luciana Walkiria, pela paciên-
cia devido às minhas faltas nas reuniões pedagógicas, quando estas coincidiam
com as aulas do mestrado.

Aos meus alunos. Meus inspiradores.

1


Sumário

1 Introdução 4
1.1 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Público alvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Pré-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Materiais e tecnologias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Recomendações Metodológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6 Dificuldades previstas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Desenvolvimento 8
2.1 A História da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Trigonometria no triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.1 Atividade 1: Razões trigonométricas . . . . . . . . . . 11
2.2.2 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Atividade 2: Ângulos complementares e relação funda-

mental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.4 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 O número π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.1 Atividade 3: Circunferências e o número π. . . . . . . . 15
2.3.2 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 A Função de Euler e a medida de ângulos . . . . . . . . . . . 16
2.4.1 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 O grau e o radiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.1 Atividade 4: O ângulo central e a medida de seu arco

correspondente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.2 Atividade 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5.3 Atividade 6: valores em radianos dos ângulos de 90◦,

180◦, 270◦ e 360◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.4 Atividade 7: Medidas de ângulos em graus e radianos

e medida de arcos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.5 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.6 As funções seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2


3

2.6.1 Seno e cosseno no ćırculo unitário. . . . . . . . . . . . . 23
2.6.2 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6.3 Atividade 11: gráfico das funções seno e cosseno. . . . . 33
2.6.4 Atividade 12: Problema- altura da maré. . . . . . . . . 34

2.7 Função tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7.1 Atividade 13: tangente de um arco. . . . . . . . . . . . 35
2.7.2 Atividade 14: gráfico da função tangente. . . . . . . . . 36
2.7.3 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8 Demais funções trigonométricas: Fundamentação teórica. . . . 40
2.8.1 Função secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.2 Função cossecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.3 Função cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8.4 Atividade 15: gráficos das funções cossecante, cotan-

gente e secante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 Senóides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.9.1 Atividade 16: funções do tipo

h(x) = a+ b. cos(c.x+ d).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.9.2 Fundamentação teórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3 Considerações finais 47
3.1 Relato de experiências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2 Conclusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48


Caṕıtulo 1

Introdução

1.1 Objetivos

A trigonometria é um tópico de grande relevância na Matemática, que possui
muitas aplicações, que vão desde as mais elementares, no dia e dia, até as
mais complexas, na Ciência e na alta tecnologia. No Ensino Médio, este tema
é muito importante, pois possibilita que os alunos aprofundem seus conheci-
mentos na Geometria, nas Funções, e entendam conceitos da F́ısica Clássica:
no estudo de vetores e decomposição de forças aplicadas em um corpo, por
exemplo, é necessário que eles tenham uma noção de seno e cosseno. No
entanto, é percept́ıvel a dificuldade dos alunos em trigonometria, tanto em
relação aos seus conceitos básicos, quanto na resolução de problemas ineren-
tes a este assunto.

O objetivo deste trabalho é apresentar uma série de atividades para aju-
dar o professor a sanar essa dificuldade do aluno. Serão apresentados os
principais conceitos teóricos seguidos de atividades realizadas com um soft-
ware gratuito de Geometria Dinâmica, o GeoGebra; tais atividades estão
gravadas em CD-room acompanhando este trabalho. O GeoGebra é um efi-
caz complemento às aulas expositivas no quadro negro devido ao seu caráter
dinâmico: o aluno tem a possibilidade de manipular os objetos, arrastar,
entender suas propriedades e fazer investigações sobre eles. É a tecnologia
como aliada no processo ensino-aprendizagem.

As Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) estão, a cada
dia mais, presentes no nosso cotidiano, constituindo-se num in-
strumento de trabalho essencial, razão pela qual exercem um pa-
pel cada vez mais importante na educação, notadamente na Ed-
ucação Matemática. Pesquisas sobre o uso das TIC em sala de
aula ressaltam a sua relevância no ensino de Matemática (...).(LOPES,

4


5

2011)

Outrossim, é interessante desenvolver no aluno habilidades na utilização
dessas tecnologias. Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais para o
Ensino Médio (PCNEM), uma das habilidades a serem desenvolvidas em
matemática, no que concerne à representação e comunicação é:

Utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumen-
tos de produção e de comunicação.

E, em relação a contextualização sócio-cultural temos outra habilidade:

Utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo
suas limitações e potencialidades.

Neste trabalho serão abordados os seguintes temas: trigonometria no
triângulo retângulo; o número π; a Função de Euler e a medida de ângulos; o
grau e o radiano; as funções seno e cosseno; função tangente e demais funções
trigonométricas e as senóides.

As seções referentes às funções seno, cosseno e tangente constituem o tema
central deste texto, sendo as seções anteriores a estas, pré-requisitos para
seu desenvolvimento e as posteriores, uma complementação. Espera-se que o
software GeoGebra ajude o aluno a compreender as razões trigonométricas, o
comportamento do ćırculo trigonométrico e das funções de maneira dinâmica
e dedutiva, evitando a memorização de fórmulas e procedimentos.

1.2 Público alvo

O público alvo deste trabalho são os alunos da 2a série do Ensino Médio,
momento em que geralmente este conteúdo é abordado. Porém no 9◦ ano
do Ensino Fundamental o aluno já entra em contato com a trigonometria no
triângulo retângulo. Para este público é recomendado apenas o estudo da
Seção 2.2 deste trabalho.

1.3 Pré-requisitos

A trigonometria é um assunto que requer uma série de conhecimentos prévios.
Para o estudo da trigonometria no triângulo retângulo, o aluno deve conhecer
o Teorema de Pitágoras e semelhança de triângulos. Para estudar as funções
seno, cosseno, tangente e demais funções trigonométricas, é necessário um
sólido conhecimento sobre o aspectos gerais das funções como: domı́nio, i-
magem, máximos e mı́nimos, monotonicidade e transformações.


6

1.4 Materiais e tecnologias

Será necessário o uso de microcomputadores, de preferência, no máximo 2
alunos por máquina com o software GeoGebra instalado. O programa é gra-
tuito e pode ser encontrado através em: http : //www.geogebra.org. Porém,
é necessário que se tenha também a linguagem Java habilitada nos computa-
dores, através do “Java Runtime Envorinment” (JRE), que pode ser obtido
gratuitamente em http : //www.java.com.

1.5 Recomendações Metodológicas

Este trabalho tem o objetivo de apresentar ao aluno os conceitos básicos e
fundamentais da trigonometria em uma ambiente de geometria dinâmica, que
é muito atrativo e eficiente; portanto, temos em cada seção, para o aluno,
uma sequência de atividades produzidas no GeoGebra, que o instigará a tirar
suas próprias conclusões a respeito de conceitos imprescind́ıveis para o estudo
da trigonometria.

Há também, em cada seção, um texto matemático que chamamos de
Fundamentação teórica; este texto tem como alvo principal o professor
que queira relembrar ou aprofundar os conceitos teóricos envolvidos naquela
atividade. Para o professor utilizar a Fundamentação teórica em aula, ele
deve adaptá-la de acordo com o ńıvel de conhecimento da classe em que está
trabalhando.

Em algumas seções, mostramos também um texto sobre a história do
desenvolvimento matemático do assunto em questão. É interessante que o
professor trabalhe este aspecto em sala de aula, para que os alunos vejam
a matemática como uma produção humana, que se desenvolve ao longo dos
anos.

As atividades contidas neste trabalho são maneiras mais eficientes de
ensinar os conceitos básicos da trigonometria aos alunos sob um aspecto
geométrico.

1.6 Dificuldades previstas

Uma das dificuldades que o professor pode encontrar para a execução deste
trabalho é o recurso tecnológico. A escola precisa ter computadores instala-
dos em quantidade suficiente para os alunos e, preferencialmente, alguém que
dê algum suporte técnico para estas máquinas pois é necessário que sejam in-
stalados os softwares citados na Seção 1.4 em todos os computadores. Se não
houver alguém que faça este trabalho, esta tarefa fica destinada ao professor.


7

Outra questão: os alunos ficam eufóricos quando vão para o laboratório, ou
sala de informática; alguns vão querer jogar, usar a internet, talvez danificar
algum equipamento, etc. O professor deve ter um diálogo firme e claro sobre
os propósitos da aula e orientá-los quanto a isto. Mas todo o sacrif́ıcio com-
pensa nas expressões em seus rostos ao verem as construções se mexendo,
alguns sorriem, outros ficam boquiabertos, outros brilham os olhos. Me-
lhor ainda, os alunos começam a entender conceitos que não ficaram claros
com as aulas expositivas no quadro negro; assim, estamos desenvolvendo um
trabalho que traz um grande retorno no processo ensino-aprendizagem.


Caṕıtulo 2

Desenvolvimento

2.1 A História da Trigonometria

Em sua prática na sala de aula, é interessante que o professor conte sobre
a evolução histórica do conhecimento que transmite, valorizando quem o
produziu :

A educação clássica comete outro grande erro. Ela se esforça para
transmitir o conhecimento em sala de aula, mas raramente co-
menta sobre a vida do produtor do conhecimento. As informações
sobre qúımica, f́ısica, matemática, ĺınguas deveriam ter um rosto,
um identidade. (CURY, 2003).

A seguir, temos um breve resumo sobre a História da Trigonometria e
seus principais precursores.

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri
= três, gonos = ângulos e metron = medir. Dáı o seu signifi-
cado: medida dos triângulos. Inicialmente, então, a trigonometria
era considerada a parte da Matemática que tinha como objetivo
o cálculo das medidas dos elementos de um triângulo (lados e
ângulos). Como a trigonometria estabelece relações entre as me-
didas de ângulos e de segmentos, foi também considerada como
uma extensão da Geometria. (DANTE, 2008)

Associa-se o desenvolvimento inicial da trigonometria ao da Astronomia.

A trigonometria teve seu ińıcio na antiguidade remota, quando se
acreditava que os planetas descreviam órbitas circulares ao redor

8


9

da Terra, surgindo dáı o interesse de relacionar o comprimento
da corda de uma circunferência com o ângulo central por ela
subentendido. Se c é o comprimento da corda, α é o ângulo e r é
o raio da circunferência, então c = 2r. sen α

2
. Essa é a origem da

palavra seno, que provém de uma tradução equivocada do árabe
para o latim, quando se confundiu o termo jiba (corda) com jaib
(dobra, cavidade, sinus em latim). (LIMA, 1997).

Foram os astrônomos que estabeleceram os fundamentos da trigonome-
tria. Sabe-se que o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.- 125 a.C), empre-
gou, pela primeira vez, relações entre os lados e os ângulos de um triângulo
retângulo, por volta de 140 a.C. Dáı ser considerado o precursor da trigonome-
tria.

Graças a Ptolomeu (125 a.C), o mais célebre astrônomo da Antiguidade,
surge o documento mais antigo que trata da trigonometria, chamado ‘O al-
magesto’. Nele, Ptolomeu apresenta um verdadeiro tratado de trigonometria
retiĺınea e esférica.

Importantes trabalhos hindus foram traduzidos para o árabe, no final do
século VIII, mostrando o quanto aquele povo estava familiriazado com esse
ramo da Matemática, sendo os responsáveis pelas notáveis descobertas feitas
pelos matemáticos árabes.

No século XV, Purback, um matemático nascido na Baviera, procurou
restabelecer a obra de Ptolomeu, introduzindo o seno e a tangente na trigonome-
tria e construindo a primeira tábua trigonométrica. Porém, o primeiro
tratado de trigonometria feito de maneira sistemática é chamado ‘De tri-
angulis’ ou ‘Tratado dos triângulos’ e foi escrito pelo matemático alemão
Johann Muller, disćıpulo de Purback.

Atualmente, a trigonometria não se limita a estudar somente os triângulos;
sua aplicação se estende a vários ramos da Matemática (como a Geometria
e a Análise). Encontramos também aplicações da trigonometria em Eletrici-
dade, Mecânica Acústica, Música, Engenharia Civil, Topografia e em muitos
outros campos de atividades, aplicações estas envolvidas em conceitos que
dificilmente lembram os triângulos que deram origem a trigonometria.

2.2 Trigonometria no triângulo retângulo

Problema: distância da Terra à Lua.
Hiparco de Nicéia (190 a.C.- 120 a.C) foi o maior astrônomo da antigu-

idade e é considerado o inventor da trigonometria. A distância da Terra à
Lua foi estimada por Hiparco em 402.500km. O valor aceito atualmente é de


10

cerca de 360.000 km no perigeu, quando a Lua encontra-se mais próximo da
Terra; e 405.000 km no apogeu, quando situa-se mais longe.

Vamos efetuar este cálculo: suponha a Terra e a Lua com formato aprox-
imadamente esférico, com centros nos pontos T e L respectivamente. Con-
sidere um observador num ponto Z, sobre a superf́ıcie da Terra, alinhado
com os pontos T e L. No mesmo instante um outro observador em H na
mesma longitude de Z, vê a Lua nascer (veja a Figura 2.1). O ângulo α é a
diferença de latitude entre os dois obervadores. Sabe-se que o raio da Terra r
é de aproximadamente 6.371km e que o ângulo α é de 89, 1◦ . Como calcular
a distância da Terra à Lua com estas informações? Vamos aplicar uma razão
trigonométrica!

Figura 2.1: Distância da Terra à Lua

Nesta seção, serão abordados os conceitos de seno, cosseno e tangente, não
de maneira que o aluno apenas memorize estas razões, mas que ele consiga
visualizá-las.

Acompanhando este trabalho, há uma série de arquivos elaborados no
GeoGebra (extensão .ggb), com construções geométricas a serem utilizadas
com atividades para este estudo. Caso o leitor deseje conhecer os procedi-
mentos necessários para a construção das figuras, basta acessar, no menu, o
item ‘Exibir’, e em seguida, ‘Protocolo de Construção’.

Trata-se de uma abordagem muito interessante pois, no GeoGebra, ‘as
figuras constrúıdas com as propriedades que as definem, podem ser movi-
mentadas pela tela através de rotação, translação, ampliação ou redução de
seus tamanhos e elas mantém suas caracteŕısticas intŕınsecas.(...) Essa nova


11

abordagem no estudo da geometria é conhecida como Geometria Dinâmica.’
(DUCATTI, 2010).

2.2.1 Atividade 1: Razões trigonométricas

Abrir o arquivo atividade1.ggb. Na janela de visualização aparecerá um
triângulo ABC, retângulo em A, com as medidas de seus ângulos Â, B̂, e Ĉ,
e de seus lados AB, AC e BC. Faça o que se pede:

(a) Com o aux́ılio de uma calculadora, obtenha o resultado de AB/BC e
AC/BC.

(b) Mova o ponto A, ‘ampliando’ ou ‘reduzindo’ o triângulo; as medidas dos
segmentos serão alteradas. Repita o procedimento do item (a) quantas
vezes queira. O que ocorreu com as razões calculadas?

(c) O que ocorreu com os valores dos ângulos Â, B̂ e Ĉ?

Respostas esperadas:

(a) AB/BC = 9, 66/12, 58 ≈ 0, 768. AC/BC = 8, 05/12, 58 ≈ 0, 639.

(b) Ao ‘ampliar’ e ‘reduzir’ o triângulo, as medidas de seus lados se alteram,
porém as razões entre eles se mantém com os mesmos valores.

(c) Os ângulos também não se alteram.

2.2.2 Fundamentação teórica

Após esta atividade, com o aux́ılio do professor, o aluno concluirá que as
razões entre os lados, e os ângulos não se alteram qualquer que seja o tamanho
do triângulo. Neste momento, o docente pode esclarecer que, as razões
AB/BC e AC/BC são, respectivamente o seno e o cosseno do ângulo B̂.
Além disso, quando ampliamos e reduzimos o triângulo em questão, seus
ângulos não se alteram e obtemos assim inúmeros triângulos semelhantes.
Vamos formalizar este conhecimento.

Definição 1 Em um triângulo retângulo de hipotenusa a e ângulos agudos
B̂ e Ĉ, opostos respectivamente aos catetos b e c, como mostrado na Figura
2.2 têm-se as definições:

cos B̂ =
c

a
;

sen B̂ =
b

a
;


12

e

tg B̂ =
b

c
.

Figura 2.2: Triângulo retângulo

Observemos que cos B̂ e sen B̂ dependem apenas do ângulo B̂ e não do
tamanho do triângulo retângulo do qual B̂ é um dos ângulos agudos. Com
efeito, dois quaisquer triângulos retângulos que tenham um ângulo agudo
igual a B̂ são semelhantes, como mostra a Figura 2.3.

Se esses triângulos são ABC e DEF com Ê = B̂, então a semelhança
nos dá:

e

d
=

b

a
e

f

d
=

c

a
.

Logo, sen Ê = sen B̂ e cos Ê = cos B̂. Portanto, o seno e o cosseno ‘per-
tencem’ ao ângulo e não ao eventual triângulo que o contém.

Resolução do problema: Distância da Terra à Lua.

Neste problema, temos um triângulo THL, retângulo em H. Sendo: r =
raio da terra e D = distância à Lua, temos:

sen(90◦ − α) =
r

D
=

6371

D
.


13

Figura 2.3: Dois triângulos semelhantes

Como 90◦ − α = 0, 9◦ cujo seno (obtido em uma calculadora) é cerca de
0, 0157, temos:

6371

D
≈ 0, 0157 ⇒ D ≈ 405.796

Logo, a distância do centro da Terra ao centro da Lua é de aproximadamente
405.796 km.

2.2.3 Atividade 2: Ângulos complementares e relação
fundamental.

Ainda no arquivo atividade1.ggb, faça o que se pede:

(a) Qual é o valor da soma entre os ângulos B̂ e Ĉ? Você sabe se existe
algum nome especial para este par de ângulos?

(b) A partir da definição de seno e cosseno já dada, calcule, cos B̂, sen B̂, cos Ĉ, sen Ĉ.

(c) Qual a relação entre estes valores? O que você concluiu?

(d) Calcule sen2 B̂ + cos2 B̂.

Respostas esperadas:

(a) B̂ + Ĉ = 90o, são ângulos complementares.

(b) cos B̂ ≈ 0, 768, sen B̂ ≈ 0, 639, cos Ĉ ≈ 0, 639, sen Ĉ ≈ 0, 768.


14

(c) cos B̂ = sen Ĉ e cos Ĉ = sen B̂. O cosseno de um ângulo é igual ao seno
de seu complementar.

(d) sen2 B̂ + cos2 B̂ = 1.

2.2.4 Fundamentação teórica

Neste momento, o professor pode enunciar estas interessantes propriedades
já verificadas pelo aluno: a relação fundamental e seno e cosseno de ângulos
complementares. Também, pode observar que o seno e o cosseno são razões
que variam no intervalo real ]0, 1[; lembrando que, neste contexto, estamos
trabalhando com ângulos compreendidos entre 0◦ e 90◦, com exceção destes
dois valores.

Relação fundamental:

Seja o triângulo retângulo ABC com AB = c, AC = b e BC = a, temos que

cos2 B̂ + sen2 B̂ =
c2

a2
+

b2

a2
=

b2 + c2

a2
.

Pelo Teorema de Pitágoras,

a2 = b2 + c2.

Assim,

cos2 B̂ + sen2 B̂ =
a2

a2
= 1

Observação 1 Sendo Ĉ um ângulo agudo, medido em graus, temos:

• sen Ĉ = cos (90◦ − Ĉ) e cos Ĉ = sen (90◦ − Ĉ),

• 0 < sen Ĉ < 1 e 0 < cos Ĉ < 1.

2.3 O número π

Neste momento, é interessante o professor relembrar o significado do número
π, para dar prosseguimento ao nosso estudo.


15

2.3.1 Atividade 3: Circunferências e o número π.

Vamos acessar o arquivo atividade3.ggb. Há três circulos com os raios
medindo 1, 1, 5 e 2 unidades e peŕımetros de aproximadamente 6, 2832,
9, 4248 e 12, 5664 unidades, respectivamente. Em cada um deles, calcule
a razão entre o peŕımetro e o diâmetro. Qual valor foi obtido?

Resposta esperada:
Fazendo os cálculos corretamente, o aluno perceberá que todas as razões

resultam em aproximadamente 3, 1416, que é uma aproximação para o número
π.

2.3.2 Fundamentação teórica

Como todo o conhecimento matemático, o número π passou por uma série
de evoluções ao longo da História. Desde há muito tempo (cerca de 4000
anos) notou-se que o número de vezes em que o diâmetro está contido na cir-
cunferência é sempre o mesmo, seja qual for o tamanho dessa circunferência.
Este valor constante da razão comprimento

diametro
é um número que vale aproximada-

mente 3, 141592, o qual se representa pela letra grega π. Os babilônios já
tinham observado que o valor de π situa-se entre 3, 125 e 3, 142.

O Velho Testamento, que foi escrito cerca de 500 anos a.C. contém um
trecho segundo o qual π = 3, (Primeiro Livro dos Reis, VII: 23), em que está
escrito: ‘Fez também o mar de fundição, era redondo e media dez côvados
duma borda à outra, cinco côvados de altura e trinta de circunferência’.

Desde Arquimedes, que obteve o valor π = 3, 1416, matemáticos se tem
ocupado em calcular π com precisão cada vez maior. O inglês Willian Shanks
calculou π com 707 algarismos decimais exatos em 1873. Em 1947 descobriu-
se que o cálculo de Shanks errava no 527o algarismo e portanto nos seguintes.
Com aux́ılio de uma maquininha manual, o valor de π foi então calculado
com 808 algarismos decimais exatos. Depois vieram os computadores e, com
seu aux́ılio, em 1967, na França, calculou-se π com 500.000 algarismos dec-
imais exatos e, em 1984, nos Estados Unidos, com mais de dez milhões de
algarismos exatos.

Segue a definição:

Definição 2 O número π é o comprimento de um semićırculo de raio 1.

Desta forma, no ćırculo de raio 1, o comprimento c é dado por c = 2π
e consequentemente, no ćırculo de raio R, c = 2πR. Escrevendo c/2R = π
vemos que o número π é a razão entre o comprimento de qualquer ćırculo e
o seu diâmetro, sendo aproximadamente 3, 14159265.


16

Até aqui, o seno e o cosseno foram definidos para ângulos maiores do que
0◦ e menores do que 90◦. Vamos estender as definições estudadas para os
demais ângulos.

2.4 A Função de Euler e a medida de ângulos

Primeiramente vamos considerar a circunferência trigonométrica ou unitária,
definida a seguir e ilustrada na Figura 2.4.

Definição 3 A cincunferência unitária C é a circunferência de raio 1
e centro na origem de R2, ou seja,

C =
{
(x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1

}
.

Figura 2.4: Circunferência unitária

Agora, imagine a circunferência unitária C como um carretel no qual se
enrola a reta R, de modo que o zero fique sobre o ponto (1, 0). Assim, a
reta real está sendo imaginada como um longo fio que deverá ser enrolado no
carretel considerado. Ao enrolar o fio no carretel este coincidirá com algum
arco da circunferência. É esta a idéia da função E : R → C, que associa cada
número real t a um ponto P = E(t) localizado na circunferência C conforme
ilustrado na Figura 2.5. Em referência ao seu criador, o matemático súıço
Leonard Euler (1707-1783)- E é chamada Função de Euler. Na atividade
a seguir, vamos visualizar a função de Euler restrita no intervalo real [0, 2π],
e fazer uma correspondência entre o ângulo central, em graus, e a medida
correspondente de seu arco em radianos.


17

2.4.1 Fundamentação teórica

Definição 4 A Função de Euler E : R → C é a aplicação que faz cor-
responder a cada número real t o ponto E(t) = (cos t, sen t) da circunferência
unitária. Note que:

• E(0) = (1, 0).

• Se t > 0 percorremos sobre a circunferência C, a partir do ponto (1, 0),
um caminho de comprimento t, sempre andando no sentido positivo
(anti-horário, que nos leva de (1, 0) a (0, 1) pelo caminho mais curto
sobre C). O ponto final do caminho será chamado E(t).

• Se t < 0, E(t) será a extremidade final de um caminho sobre C, de com-
primento |t|, que parte do ponto (1, 0) e percorre C sempre no sentido
negativo (horário).

Figura 2.5: A Função Euler

A Função de Euler é periódica de peŕıodo 2π, ou seja, E(t) = E(t+2kπ),
para todo k ∈ Z.

Proposição 1 Tem-se E(t′) = E(t) se, e somente se, t′ = t + 2kπ, para
algum k ∈ Z. Quando t′ ≥ t vale k ≥ 0; quando t′ < t tem-se k < 0.

A demonstração desta proposição pode ser encontrada em (LIMA, 1997).


18

2.5 O grau e o radiano

Nesta seção e na próxima, estudaremos as unidades de medida para ângulos,
grau e radiano, respectivamente. Este aspecto deve ser muito bem trabalhado
em sala de aula, pois é comum os alunos não compreenderem a unidade
radiano para a medida de ângulos e sempre fazerem perguntas como: Este π
significa 180◦ ou 3, 14?

A intenção das próximas atividades é fazer com que o aluno saiba diferen-
ciar o ângulo central da medida de seu arco correspondente na circunferência.

2.5.1 Atividade 4: O ângulo central e a medida de seu
arco correspondente.

No arquivo atividade4.ggb, temos uma circunferência com centro em (0, 0) e
raio 1. Sobre ela, existe um ponto E. Conforme movemos este ponto, forma-
se um arco em verde, com origem no ponto A(1, 0) sobre esta circunferêcia, e
também um segmento de reta em azul partindo de (0, 0) e com uma extremi-
dade no ponto T . A medida do arco em verde, corresponde à medida
do segmento em azul. Note também que, aparece o ângulo central em
vermelho, correspondente ao arco em questão. Responda, quanto mede o
arco em verde ÂE quando seu ângulo central correspondente vale

(a) 90◦?

(b) 180◦?

(c) 270◦?

(d) 360◦?

Repostas esperadas: Usando a contrução, o aluno chegará nos resulta-
dos π/2, π, 3π/2 e 2π, respectivamente. Desta forma, ele perceberá a relação
entre o ângulo central, em graus, e a medida de seu arco correspondente na
circunferência unitária, escrita em função do número π. Será uma motivação
para o entendimento da unidade radiano.

2.5.2 Atividade 5.

No arquivo atividade5.ggb existe uma construção com a Circunferência 1 de
raio 4 u.c. (unidades de comprimento), e a Circunferência 2 de raio 6 u.c. Em

vermelho, destacam-se os arcos D̂B e F̂G. Conforme movemos os pontos B
e G, mudamos a medida em graus dos ângulos centrais, em verde, e a medida


19

dos arcos em unidades de comprimento. Na Circunferência 1, dê os valores
aproximados:

(a) do ângulo correspondente arco de 4 u.c.

(b) do ângulo correspondente ao arco 8 u.c.

(c) do arco correspondente ao ângulo de 45◦.

Da mesma forma, na Circunferência 2:

(d) do ângulo correspondente arco de 6 u.c.

(e) do ângulo correspondente ao arco de 12 u.c.

(f) do arco correspondente ao ângulo de 45◦.

Respostas esperadas:

(a) Aproximadamente 57, 293◦.

(b) Aproximadamente 114, 596◦.

(c) Aproximadamente 3, 142 u.c.

(d) Aproximadamente 57, 292◦

(e) Aproximadamente 114, 589◦

(f) Aproximadamente 4, 712 u.c.

Neste momento, pelos itens (a) e (d) é provável que o aluno perceba que,
quando a medida do arco da circunferência corresponde à medida de seu raio,
o ângulo central equivale a aproximadamente 57,3◦. Além disso, por (b) e
(e), percebe-se que, quando duplicamos a medida do arco, o ângulo também
duplica para aproximadamente 2× 57, 3◦ = 114, 6◦.

Agora, o professor também pode explicar que, o ângulo correspondente
a um arco, cuja medida é igual ao raio da circunferência, é chamado de
radiano (denota-se rad). E também observar que 1 rad corresponde, a
aproximadamente 57, 29577951◦.

Assim, na atividade 5, em (a) e (d) o ângulo central mede 1 rad, e em (b)
e (e) mede 2 rad.


20

2.5.3 Atividade 6: valores em radianos dos ângulos de
90◦, 180◦, 270◦ e 360◦.

De acordo com a definição anterior, em uma circunferência de raio unitário
(r = 1), o arco de comprimento k corresponde ao ângulo de k rad. Assim,
utilizando o arquivo atividade6.ggb, dê os valores em radianos dos ângulos
de 90◦, 180◦, 270◦ e 360◦.

Respostas esperadas
π/2, π, 3π/2, 2π, respectivamente.

Observação 2 Agora, podemos dizer que 180◦ corresponde a π rad.

2.5.4 Atividade 7: Medidas de ângulos em graus e ra-
dianos e medida de arcos.

(a) Na circunferência unitária, o arco de π
6
u.c. corresponde ao ângulo de π

6

rad.

– Escreva π
6
na forma decimal.

– Escreva π
6
rad em graus.

– No arquivo atividade7.ggb, verifique que os valores se correspon-
dem.

(b) Qual é o ângulo que corresponde ao arco de comprimento π
3
u.c. na

circunferência unitária?

– Resposta em radiano.

– Resposta em graus.

(c) Para o ângulo de 45◦ determine:

– Amedida do arco correspondente em decimal (utilize atividade7.ggb).

– A medida do ângulo correspondente em radianos. Faça em função
de π e em decimal.

– Verifique que as medidas dos dois itens anteriores se correspondem.

Respostas esperadas:

(a) – 3, 1416/6 = 0, 523, aproximadamente.

– 180◦/6 = 30◦.


21

– O ângulo central de 30◦ corresponde à medida aproximada de
0,524 do arco correspondente.

(b) – π/3 rad.

– 60◦.

(c) – Aproximadamente 0, 786.

– Em unidades π: π/4 rad. Em decimal 3, 1416/4 ≈ 0, 785.

Neste momento, espera-se que o aluno consiga diferenciar as unidades de
medidas graus e radianos, e entenda o significado desta última. Além disso,
com o aux́ılio do professor, ele pode aprender como converter a medida de
um ângulo de graus para radianos e vice-versa.

2.5.5 Fundamentação teórica

O RADIANO

A seguir, definimos a medida em radiano de um ângulo utilizando a Função
de Euler E(t).

Definição 5 (Medida em radiano): Consideremos a circunferência unitária
C, e os pontos A = (1, 0) e O = (0, 0). Para cada t ∈ R ponhamos B = E(t).
O ângulo AÔB mede t radianos.

Observação 3 • Pode-se ter B = E(t), com t < 0; é permitido a um
ângulo ter medida negativa.

• A medida do ângulo AÔB é determinada por um múltiplo inteiro de
2π, ou seja, B = E(t) = E(t+ 2kπ) para todo k ∈ Z.

• o ângulo AÔB mede 1 radiano se, e somente se, o arco ÂB da circun-
ferência C, por ele subentendido, tem comprimento igual ao raio da
circunferência.

De outra forma, podemos definir a medida de um ângulo central em
radianos.

Definição 6 Um ângulo central de uma circunferência, é um ângulo cujo
vértice encontra-se no centro da mesma.

Definição 7 A medida de um ângulo central em radianos, é igual à razão
entre o comprimento do arco subentendido por esse ângulo e a medida do
raio da circunferência.


22

O GRAU

Seja C a circunferência unitária e G uma função G : R → C, tal que

G(0) = (1, 0).

Para s > 0, G(s) é o ponto da circunferência unitária obtido quando
se percorre no sentido positivo, a partir do ponto (1, 0), ao longo de C, um
caminho de comprimento 2π

360
s; e para s < 0, G(s) é definida de forma análoga

à anterior, percorrendo a circunferência no sentido negativo. Temos que

G(t) = E(
2π

360
t).

Definição 8 Seja A = (1, 0), O = (0, 0) e B = G(s). O ângulo AÔB mede
s graus.

Observação 4 • O ângulo AÔB mede 1 grau quando B = G(1), ou

seja, quando o arco ÂB da circunferência unitária tem comprimento
igual a 2π

360
. O ângulo de 1 grau é aquele que subentende o arco igual a

1/360 da circunferência.

• Notação: 1 grau = 1◦.

• Como 2π rad = 360◦, temos que 1 rad= 360
2π

≈ 57, 29◦.

2.6 As funções seno e cosseno

Nesta seção, estudaremos as funções seno e cosseno, mostrando algumas de
suas aplicações, seus gráficos com suas propriedades e caracteŕısticas, e sua
definição proveniente da Função de Euler.

O objeto inicial da Trigonometria era o tradicional problema da
resolução de triângulos, que consiste em determinar os seis ele-
mentos dessa figura (três lados e três ângulos) quando se conhe-
cem três deles, sendo pelo menos um deles um lado. Posterior-
mente, surgiu a necessidade de atribuir às noções de seno, cosseno
e suas associadas tangente, cotangente, secante e cossecante o sta-
tus de função real de uma variável real. Assim, por exemplo, ao
lado de cos Â, o cosseno do ângulo Â, têm-se também cosx, o
cosseno do número real x, isto é, a função cos : R → R. Analoga-
mente, tem-se as funções sen, tg, cotg, sec, cossec, completando
as funções trigonométricas. Uma propriedade fundamental das


23

funções trigonométricas é que elas são periódicas. Por isso são
especialmente adaptadas para descrever os fenômeno de natureza
periódica, oscilatória ou vibratória, os quais abundam no uni-
verso: movimento de planetas, som, corrente elétrica alternada,
circulação de sangue, batimentos card́ıacos, etc. (LIMA, 1997).

Vamos conhecer uma aplicação:

A altura de maré:

Em certa cidade litorânea, a altura h da maré (em metro), em função do
tempo t, 0 ≤ t ≤ 24, é dada pela função

h(t) = 2 + 0, 5. cos(
π

6
.t),

na qual o tempo é medido em hora, a partir da meia-noite. Nessa situação,
aparece a função trigonométrica cosseno, que descreve um comportamento
do tipo periódico.

2.6.1 Seno e cosseno no ćırculo unitário.

Já conhecemos a função de Euler E : R → C, em que E(t) = P ; sendo t
um número real e P = E(t) um ponto na circunferência unitária. Define-se
nesta circunferência:

• cos t é a abcissa do ponto P ,

• sen t é a ordenada do ponto P ,

• P = (cos t, sen t)

Veja a Figura 2.6.
A propósito, o ciclo trigonométrico é dividido em quatro quadrantes,

analogamente ao plano cartesiano, como mostra a Figura 2.7:

Atividade 8: sinais de seno e cosseno na circunferência unitária.

Vamos para a seguinte atividade: no arquivo atividade8.ggb, temos uma
circunferência unitária onde destacam-se um arco de medida t em vermelho
e um ponto P , que é a imagem de t ∈ R pela função de Euler . Conforme
movemos o ponto P , alteram-se as medidas do arco ÂD em azul, e do arco ÂE
em verde. De acordo com a definição dada acima, AD = cos t e AE = sen t.
Assim, escolha um arco de cada quadrante e encontre os valores do seno e
do cosseno, com uma aproximação de três casas decimais (mova a ‘rodinha’
do mouse para aproximar a tela).


24

Figura 2.6: E(t) = P : o arco ÂP tem medida t.

(a) No Quadrante 1,

(b) No Quadrante 2,

(c) No Quadrante 3,

(d) No Quadrante 4.

O que você percebeu em relação aos sinais do seno e do cosseno em cada
um dos quadrantes da circunferência?

Resposta esperada:

Nos itens (a), (b), (c) e (d) o aluno escolherá aleatoriamente medidas de
ângulos em cada quadrante e encontrará seu valores de seno e cosseno. Ele
também deverá compreender os sinais do seno e do cosseno em cada qua-
drante. (Ver também Figura 2.8.)

• No Quadrante 1: senx > 0 e cosx > 0.

• No Quadrante 2: senx > 0 e cosx < 0.

• No Quadrante 3: senx < 0 e cosx < 0.

• No Quadrante 4: senx < 0 e cosx > 0.


25

Figura 2.7: Os quatro quadrantes do ciclo trigonométrico

Atividade 9: seno e cosseno de 0, π
2
, π e 3π

2
.

Ainda no arquivo atividade8.ggb, encontre os valores de:

(a) cos 0 e sen 0.

(b) cos π
2
e sen π

2
.

(c) cos π e sen π.

(d) cos 3π
2
e sen 3π

2
.

Respostas esperadas:

(a) 1 e 0

(b) 0 e 1

(c) −1 e 0

(d) 0 e −1

Atividade 10- Redução ao primeiro quadrante:

Nesta atividade, vamos identificar a simetria existente no ciclo trigronométrico,
ou seja, existem arcos que, mesmo situados em quadrantes diferentes possuem
seus valores para seno e cosseno iguais em módulo.


26

Figura 2.8: Sinais do seno e cosseno em cada quadrante

(a) No arquivo atividade10a.ggb, movimente o ponto P alterando a medida

do ângulo central do arco B̂P para 30◦, 45◦, 60◦. Em cada um deles,
dê a medida do ângulo correspondente no segundo quadrante. O que
ocorreu com as medidas e sinais dos respectivos senos e cossenos?

(b) Faça o mesmo em atividade10b.ggb, para o 3o quadrante;

(c) Faça também em atividade10c.ggb para o 4o quadrante.

Respostas esperadas

(a) 150o, 135o e 120o. Os senos são iguais e os cossenos têm mesmo valor
em módulo, com sinais diferentes.

(b) 210o, 225◦, 240◦. Senos e cossenos iguais em módulo mas com sinais
diferentes.

(c) 330◦, 315o e 300o. Os cossenos são iguais e os senos têm mesmo valor
em módulo, com sinais diferentes

2.6.2 Fundamentação teórica

Consideremos a Função de Euler E : R → C. Como já dissemos anterior-
mente, esta função pode ser imaginada como o processo de enrolar a reta real,
identificada a um fio inextenśıvel, sobre a circunferência C (pensada como


27

um carretel) de modo que o ponto 0 ∈ R esteja sobre o ponto (1, 0) ∈ C,
como mostra a Figura 2.5. Assim, a Função de Euler representa um ponto
bem definido da circunferência unitária C.

Por outro lado, dado um ponto P ∈ C, ele é a imagem da função E de
uma infinidade de números reais, ou seja, P = E(t). Todos estes números
são da forma

t+ 2kπ, k ∈ Z, 0 ≤ t ≤ 2π.

Dizemos que t+ 2kπ são as várias determinações de um ângulo ou que t
e t+ 2kπ são côngruos.

No sistema de coordenadas cuja origem é o centro de C, e sendo A =
(1, 0), definimos:

• cos t é a abcissa do ponto P .

• sen t é a ordenada do ponto P .

• tg t = sen t
cos t

, se cos t ̸= 0

Veja a Figura 2.6.
Formalizaremos assim a seguinte definição:

Definição 9 As funções cos : R → R e sen : R → R, chamadas função
cosseno e função seno, respectivamente, são definidas pondo-se para cada
t ∈ R

E(t) = P = (cos t, sen t)

Podemos obter os seguintes valores: (ver também Figura 2.9)

(a) Quando P1 = (1, 0), cos 0 = 1 e sen 0 = 0;

(b) Quando P2 = (0, 1), cos π
2
= 0 e sen π

2
= 1;

(c) Quando P3 = (−1, 0), cos π = −1 e sen π = 0

(d) Quando P4 = (0,−1), cos 3π
2
= 0 e sen 3π

2
= −1

(e) Como todo ponto P (cosx, senx) da circunferência C está a uma distância
1 da origem temos a relação fundamental:

cos2 t+ sen2 t = 1


28

Figura 2.9: senos e cossenos nas extremidades da circunferência unitária.
2.9

Periodicidade

Definição 10 Uma função f : R → R é periódica, se existir um número
p > 0 satisfazendo a condição

f(x+ p) = f(x), ∀x ∈ R.

O menor valor de p que satisfaz a condição acima é chamado peŕıodo de f .

As funções seno e cosseno são periódicas de peŕıodo 2π, de fato, pela
Proposição 1,

E(t+ 2kπ) = E(t).

Como E(t + 2kπ) = (cos (t+ 2kπ), sen (t+ 2kπ)) e E(t) = (cos t, sen t),
segue que

cos (t+ 2kπ) = cos t

e
sen (t+ 2kπ) = sen t.

Assim, se conhecemos o comportamento destas funções no intervalo [0, 2π],
passamos a conhecer imediatamente como estas funções se comportam em
todos os intervalos seguintes e anteriores de comprimento 2π.


29

Propriedades

As funções seno e cosseno, como coordenadas de um ponto, têm sinais que
dependem do quadrante em que se encontram, como está esquematizado na
Figura 2.8.

Na função seno:

(a) se P = E(t) é do primeiro ou do segundo quadrante, então sen t é
positivo,

(b) se P = E(t) é do terceiro ou quarto quadrante então sen t é negativo,

(c) se P = E(t) percorre o primeiro ou quarto quadrante então sen t é
crescente,

(d) se P = E(t) percorre o segundo ou terceiro quadrante então sen t é
decrescente.

Na função cosseno:

(a) se P = E(t) é do primeiro ou do quarto quadrante, então cos t é posi-
tivo,

(b) se P = E(t) é do segundo ou terceiro quadrante então cos t é negativo,

(c) se P = E(t) percorre o primeiro ou segundo quadrante então cos t é
decrescente,

(d) se P = E(t) percorre o terceiro ou quarto quadrante então cos t é
crescente.

Na Figura 2.10 temos a representação do seno e do cosseno na circunferência
trigonométrica.

Domı́nio e imagem

A Imagem das funções seno e cosseno é o intervalo [−1, 1], isto é, −1 ≤
sen t ≤ 1 e −1 ≤ cos t ≤ 1. De fato, se o ponto P está na circunferência
unitária, sua abcissa e ordenada podem variar apenas de −1 a 1.

O Domı́nio destas funções é conjunto de todos os números reais; de fato,
a função de Euler tem como domı́nio todos os números reais.


30

Figura 2.10: OM = sen t e ON = cos t.

Gráficos

Com as informações acima, podemos esboçar o seguinte gráfico, denominado
senóide, que nos indica como varia a função f(x) = senx (Figura 2.11).

Analogamente, podemos esboçar o gráfico da função f(x) = cosx deno-
minado cossenóide. (Figura 2.12).

Redução ao primeiro quadrante

Vamos mostrar como é posśıvel determinar o valor das funções seno e cosseno
em qualquer quadrante, conhecidos seus valores no primeiro quadrante. Us-
aremos a notação m(ÂB) a medida do arco ÂB, neste caso, m(ÂB) = t.

Consideremos separadamente os casos em que a extremidade B do arco ÂB,
de medida t, está no segundo, terceiro ou quarto quadrante.

Na função seno:

(a) B = E(t) está no segundo quadrante, isto é π/2 < t < π.

Traçamos por B uma reta r paralela ao eixo das abcissas que intersecta
novamente C em B′. Observemos que m(ÂB′) = m(B̂A′) = π − t, e
portanto, sen t = sen (π − t). (Figura 2.13).

(b) B = E(t) está no terceiro quadrante, isto é, π < t < 3π/2. Traçamos
por B uma reta r passando pela origem O, que intersecta novamente


31

Figura 2.11: f(x) = sen(x)

Figura 2.12: g(x) = cosx

C em B′. Observemos que m(ÂB′) = m(Â′B) = t − π. (Figura 2.14)
Assim, obtemos sen t = − sen (t− π).

(c) B = E(t) está no quarto quadrante, isto é 3π/2 < t < 2π.

Traçamos por B uma reta r paralela ao eixo das ordenadas, que inter-
secta novamente C em B′. Observemos que m(ÂB′) = m(B̂A) = 2π−t
e sen t = − sen (2π − t) (Figura 2.15).

Na função cosseno

Fazemos as construções análogas à função seno, e obtemos:

(a) Se o arco de medida t está no segundo quadrante, isto é π/2 < t < π
então cos t = − cos (π − t),


32

Figura 2.13: sen t = sen (π − t)

Figura 2.14: sen t = − sen (t− π)

(b) Se o arco de medida t está no terceiro quadrante, isto é, π < t < 3π/2
então cos t = − cos (t− π),

(c) Se o arco de medida t está no quarto quadrante, isto é 3π/2 < t < 2π
então cos t = cos (2π − t).

Como conclusão, temos que os valores absolutos das funções trigonométricas
estão determinados pelos valores destas funções no primeiro quadrante.


33

Figura 2.15: sen t = − sen (2π − t)

2.6.3 Atividade 11: gráfico das funções seno e cosseno.

Neste momento vamos mostrar os gráficos das funções seno e cosseno no
intervalo [0, 2π] bem como estudar suas caracteŕısicas. Aqui, o aluno deve
ter conhecimento básico em funções, em conceitos como monotonicidade,
máximos e mı́nimos e ráızes.

No arquivo atividade11seno.ggb, há uma construção em que, ao movermos
o ponto C, aparece o desenho de um trecho (peŕıodo) da função f(x) = sen x.
Vamos fazer um estudo desta função.

(a) Em quais intervalos a função é crescente?

(b) E decrescente?

(c) Quais são os valores máximo e mı́nimo desta função? E a sua imagem?

(d) Quais são as ráızes da função?

Respostas esperadas:

(a) A função é crescente para x ∈ [0, π/2] ou x ∈ [3π/2, 2π].

(b) A função é decrescente para x ∈ [π/2, 3π/2].

(c) Os valores máximo e mı́nimo são 1 e -1, respectivamente. Sua imagem
é o intervalo [−1, 1].


34

(d) As ráızes são: x = 0, x = π e x = 2π.

Repita a atividade para a função g(x) = cosx utilizando o arquivo ativi-
dade11cosseno.ggb.

Respostas esperadas:

(a) A função é crescente para x ∈ [π, 2π].

(b) A função é decrescente para x ∈ [0, π].

(c) Os valores máximo e mı́nimo são 1 e -1, respectivamente. Sua imagem
é o intervalo [−1, 1].

(d) As ráızes são: x = π/2 e x = 3π/2.

2.6.4 Atividade 12: Problema- altura da maré.

Vamos retomar o problema inicial desta seção:
Altura de maré: Em certa cidade litorânea, a altura h da maré (em

metro) em função do tempo t ≥ 0, é dada pela função

h(t) = 2 + 0, 5. cos (
π

6
.t),

na qual o tempo é medido em hora, a partir da meia-noite. No arquivo
atividade12.ggb temos o gráfico da função h(t) com domı́nio em todos os
reais, mas vamos considerar apenas a função restrita na região retangular
em vermelho. Fazemos isto porque o tempo é relacionado com as horas do
decorrer de um dia, devendo assim variar de 0 a 24.

(a) Utilizando a função h(t), determine as alturas máxima e mı́nima da
maré na situação dada. Lembre-se: pela Atividade 11, descobrimos
que, para a função f(x) = cosx o valor máximo é 1 e o valor mı́nimo
é −1.

(b) A partir do gráfico, responda em quais horários ocorreram as marés
altas e baixas. Lembrando que t = 0 equivale a meia-noite, t = 1 a
uma hora da manhã, etc.

(c) Identifique o peŕıodo desta função e interprete o resultado.


35

Respostas esperadas:

(a) Para obter o valor máximo, nesta função, vamos substituir o termo
cos (π

6
.t) por 1. Assim temos:

h(t) = 2 + 0, 5.1 = 2, 5.

Para o obtermos o valor mı́nimo, temos:

h(t) = 2 + 0, 5.(−1) = 1, 5.

(b) As marés altas ocorreram à meia-noite e ao meio-dia. As marés baixas,
às 6h da manhã e às 18h.

(c) O peŕıodo é de 12h; a cada 12h as alturas da maré se repetem, ou 12h
é tempo de uma oscilação para a altura.

2.7 Função tangente

Nesta seção vamos conhecer a interpretação geométrica da tangente na cir-
cunferência unitária e conhecer o gráfico de sua respectiva função.

2.7.1 Atividade 13: tangente de um arco.

No arquivo atividade13.ggb, temos uma circunferência unitária e uma reta
perpendicular ao eixo das abcissas tangenciando a mesma no ponto B(1, 0).
Inicialmente, vamos considerar um arco do primeiro qua- drante (entre 0 e
π
2
).
Traçamos a reta suporte do lado AC, e esta intersecta a reta tangente no

ponto D; temos, então, o triângulo ABD. De acordo com a Definição 1, a
tangente do ângulo central BÂC é dada por:

tgBÂC =
BD

AB
=

BD

1
= BD.

Em breve provaremos que a tangente dos arcos em qualquer quadrante é
dada pela medida do segmento BD. Considerando isto faça o que se pede:

(a) Mova o ponto C para o primeiro quadrante da circunferência no sentido
anti-horário. Conforme aumentamos a medida do arco, o que acontece
com a medida do segmento BD? O que acontece quando o arco é de
π
2
rad?


36

(b) Descreva o comportamento do segmento BD quando o ângulo central
se encontra no 2o, 3o e 4o quadrantes.

(c) Quais são os arcos para os quais a tangente não existe?

Respostas esperadas

(a) A medida do segmento BD, ou seja, a tangente do ângulo aumenta,
tendendo a valores muito grandes. Quando o arco é de π

2
rad, não existe

o ponto D, que é a intersecção entre as duas retas. Logo, a tangente
do arco de π/2 rad não existe.

(b) Movendo o ponto C no sentido anti-horário no 2o quadrante, percebe-
mos que a ordenada do ponto D assume valores negativos, inicialmente
muito pequenos e depois, aproximando-se cada vez mais de zero. Os
arcos do 3o quadrante tem o mesmo comportamento do 1o, e os do 4o

quadrante tem suas tangentes análogas aos do 2o.

(c) π
2
e 3π

2
.

2.7.2 Atividade 14: gráfico da função tangente.

No arquivo atividade14.ggb, há uma construção em que, ao movermos o
ponto C, é constrúıdo o gráfico da função f(x) = tg x restrita no domı́nio

D =

{
x ∈ R/0 ≤ x ≤ 2π, x ̸= π

2
, x ̸= 3π

2

}
.

Vamos fazer um estudo desta função.

(a) Qual é a imagem desta função? Ela possui valores máximos ou mı́nimos?

(b) O que ocorre com a função quando a medida do arco B̂C se aproxima
π
2
rad ? e de 3π

2
rad?

(c) Em quais intervalos a função é crescente ou decrescente?

(d) Qual é o peŕıodo desta função?


37

Respostas esperadas

(a) A imagem é o conjuntos dos números reais, a função não possui pontos
de máximos ou mı́nimos.

(b) Quando o arco se aproxima de π/2 rad ou 3π/2 rad, os valores de f(x)
ficam muito grandes, tendem ao infinito.

(c) A função é sempre crescente em todo o seu domı́nio.

(d) O peŕıodo é π.

2.7.3 Fundamentação teórica

A função tangente é definida por tg x = senx
cosx

, em que x ̸= π
2
+ kπ, para

todo k ∈ Z. Façamos sua interpretação geométrica.
Consideremos uma reta orientada tangente à circunferência unitária pelo

ponto A, como na Figura 2.16. Seja ÂB um arco de medida x. A reta r que
contém O e B determina B′ na circunferência e T no novo eixo. Mostremos
que tg x = m(AT ), em que mAT significa a medida algébrica do segmento
AT .

(a) Se B está no primeiro ou terceiro quadrante.

Figura 2.16: A unidade do novo eixo é o raio do ćırculo.

Suponhamos que x seja um arco do primeiro quadrante, e portanto,
x + π, do terceiro. Os triângulos OCB, OSB, OC ′B′ e OS ′B′ são


38

congruentes, e semelhantes ao triângulo OAT . Portanto,

tg x =
sen x

cosx
=

OS

OC
=

CB

OC
=

AT

OA
=

AT

1
= mAT,

e

tg(x+ π) =
sen(x+ π)

cos(x+ π)
=

−OS ′

−OC ′
=

C ′B′

OC ′
=

AT

OA
= mAT.

(b) Se B está no segundo ou quarto quadrante.

Figura 2.17:

Suponhamos que x seja um arco do segundo quadrante, e portanto,
x+ π, do quarto quadrante (Figura 2.17).

tg(x) =
sen(x)

cos(x)
=

OS

−OC
=

CB

−OC
=

−AT

OA
=

−AT

1
= −AT = mAT,

e

tg(x+ π) =
sen(x+ π)

cos(x+ π)
=

−OS ′

OC ′
=

−C ′B′

OC ′
=

−AT

OA
= −AT = mAT.

Assim, conclúımos que a tg x pode ser vista como a medida algébrica de
um segmento AT .


39

Propriedades

(a) O domı́nio da função tangente é D =
{
x ∈ R|x ̸= π

2
+ kπ, k ∈ Z

}
.

(b) A imagem da função tangente é R, isto é, para todo y real existe um x
real tal que tg x = y. De fato, dado y ∈ R, consideremos sobre o eixo
das tangentes o ponto T tal que mAT = y. Construindo a reta que
passa por O e T , observemos que ela intercepta o ćırculo unitário em
dois pontos B e B′, imagens dos reais x cuja tangente é y.

(c) Se x é do primeiro ou terceiro quadrante, então tg x é positiva. Se x é
do segundo ou do quarto quadrante, então tg x é negativa.

(d) tg x é crescente para todo x ∈ D.

(e) De acordo com as explicações dadas, em qualquer caso, tg x = tg (x+ π),
para todo x ∈ D, ou seja, a tangente é uma função periódica de peŕıodo
π.

Gráfico

Segue um esboço do gráfico da função f(x) = tg x na Figura 2.18.

Figura 2.18: f(x) = tg x


40

2.8 Demais funções trigonométricas: Funda-

mentação teórica.

Nesta seção, vamos estudar outras funções trigonométricas auxiliares, são
elas as funções: secante, cossecante e cotangente.

2.8.1 Função secante

Dado um número real x, x ̸= π
2
+ kπ seja P sua imagem no ćırculo unitário

pela Função de Euler. Consideremos a reta s tangente ao ćırculo em P e
seja S sua intersecção com o eixo dos cossenos. Denominamos secante de x
(e indicamos por secx) a abcissa OS do ponto S; como está representado na
Figura 2.19.

Figura 2.19: Representação geométrica da secante de x.

Denominamos função secante a função f : D → R que associa a cada real
x, x ̸= π

2
+ kπ, k ∈ Z o real OS = sec x isto é, f(x) = sec x.

Notemos que, para x = π
2
+ kπ, P é igual a B ou B′ e, então, a reta

s fica paralela ao eixo dos cossenos. Como neste caso não existe o ponto
intersecção com o eixo das abcissas, a função secx não está definida.

Propriedades:

(a) Se P = E(x) está no 1o ou 4o quadrante, secx é positiva; se P = E(x)
está no 2o ou 3o quadrante, secx é negativa.

(b) Se P = E(x) percorre o 1o ou 2o quadrante, secx é crescente; se P =
E(x) percorre o 3o ou 4o quadrante, secx é decrescente.

(c) Domı́nio: D =
{
x ∈ R|x ̸= π

2
+ kπ

}
.


41

(d) Imagem: R\]− 1, 1[.

(e) Peŕıodo: 2π.

Gráfico:

O gráfico da função f(x) = sec x está representado na Figura 2.20.

Figura 2.20: Gráfico da função f(x) = sec x.

2.8.2 Função cossecante

Dado um número real x, x ̸= kπ, seja P sua imagem no ćırculo unitário pela
Função de Euler. Consideremos a reta s tangente ao ćırculo em P e seja
C sua intersecção com o eixo dos senos. A cossecante de x (cossec x) é a
ordenada OC do ponto C. (Figura 2.21).

Denominamos função cossecante a função f : D → R que associa a
cada número real x, x ̸= kπ, k ∈ Z o número real OC = cossec x, isto é
f(x) = cossecx.

Notemos que, para x = kπ, P é igual a A ou A′ e, então, a reta s fica
paralela ao eixo dos senos. Como neste caso não existe o ponto de intersecção
com o eixo das ordenadas, a função cossecx não está definida.

Propriedades:

(a) Se P = E(x) está no é do 1o ou 2o quadrante, então cossecx é positiva;
se P = E(x) está no 3o ou 4o quadrante, então cossecx é negativa.


42

Figura 2.21: Representação geométrica da cossecante de x.

(b) Se P = (E(x) percorre o 2o ou 3o quadrante, então cossecx é crescente;
se P = E(x) percorre o 1o ou 4o quadrante, então cossecx é decrescente.

(c) Domı́nio: D = {x ∈ R|x ̸= kπ, k ∈ Z}.

(d) Imagem: R\]− 1, 1[.

(e) Peŕıodo: 2π.

Gráfico:

O gráfico da função f(x) = cossec x está representado na Figura 2.22.

2.8.3 Função cotangente

Dado um número real x ̸= kπ, k ∈ Z seja P sua imagem no ćırculo unitário.
Seja também a reta tangente ao ćırculo pelo ponto (0, 1), paralela ao eixo das
abcissas, doravante denominada eixo das cotangentes. Consideremos a reta
passando por O e P e seja D sua intersecção com o eixo das cotangentes.
A cotangente de x (cotg x) é a medida algébrica do segmento BD. (Figura
2.23)

Denominamos função cotangente a função f : D → R que associa a
cada número real x, x ̸= kπ, k ∈ Z o número real mBD = cotg x, isto é,
f(x) = cotg x.

Notemos que, para x = kπ, k ∈ Z, P = E(x) é igual a A ou A′, e a reta
que passa por O e P fica paralela ao eixo das cotangentes. Como neste caso
não existe o ponto de intersecção com o eixo das cotangentes, a cotg x não
está definida.


43

Figura 2.22: Gráfico da função f(x) = cossec x.

Propriedades:

(a) Se P = E(x) é do 1o ou 3o quadrante, então cotg x é positiva; se
P = E(x) é do 2o ou 4o quadrante, então cotg x é negativa.

(b) Se P = E(x) percorre qualquer um dos quatro quadrantes então cotg x
é decrescente.

(c) Domı́nio: D = {x ∈ R|x ̸= kπ, k ∈ Z}.

(d) Imagem: R.

(e) Peŕıodo: π.

Gráfico:

O gráfico da função f(x) = cotg x está representado na Figura 2.24.

Definições

As funções secante, cossecante e cotangente, são também, usualmente, definidas
como a seguir:

• secante de x:

sec x =
1

cos x
, cosx ̸= 0,


44

Figura 2.23: Representação geométrica da cotangente de x.

• cossecante de x:

cossecx =
1

senx
, senx ̸= 0,

• cotangente de x:

cotg x =
1

tg x
, tg x ̸= 0.

O professor pode utilizar a próxima atividade para mostrar as construções
e as propriedades das funções trigonométricas vistas nesta seção.

2.8.4 Atividade 15: gráficos das funções cossecante,
cotangente e secante.

Nos arquivos atividade15sec.ggb, atividade15cossec.ggb e atividade15cotg.ggb,
podemos obter os gráficos das funções secante, cossecante e cotangente, res-
pectivamente. Os gráficos estão restritos em [0, 2π]. Em cada um deles, mova
o ponto C e observe a construção e o gráfico obtido.

2.9 Senóides

Nesta seção, vamos observar o comportamento das senóides, que são funções
trigonométricas que envolvem o seno e o cosseno de um arco. Uma senóide
tem uma expressão do tipo

h(x) = a+ b. cos(c.x+ d),

ou
h(x) = a+ b. sen(c.x+ d),


45

Figura 2.24: Gráfico da função f(x) = cotg x.

em que a, b, c, e d são constantes reais. O gráfico de uma senóide é obtido
através de tranformações na função seno ou cosseno.

2.9.1 Atividade 16: funções do tipo

h(x) = a+ b. cos(c.x+ d).

No arquivo atividade16.ggb, temos o gráfico de uma função do tipo h(x), em
que através de controles deslizantes do GeoGebra podemos alterar os valores
dos parâmetros a, b, c, d.Vamos estudar esta função.

(a) Primeiramente, deslize os controles até obter a = 0, b = 1, c = 1 e
d = 0. Qual foi a função obtida?

Nos próximos itens (b), (c) e (d) e (e), responda qual foi a mudança
ocorrida em relação ao gráfico da função f(x) = cosx:

(b) Mantenha os parâmetros b = 1, c = 1 e d = 0 e altere o valor de a.

(c) Mantenha os parâmetros a = 0, b = 1, c = 1 e altere o valor d.

(d) Mantenha os parâmetros a = 0, c = 1 e d = 0 e altere o valor de b.

(e) Mantenha os parâmetros a = 0, b = 1 e d = 0 e altere o valor de c.


46

Respostas esperadas:

(a) g(x) = cosx.

(b) Ocorreu uma translação em relação ao eixo y.

(c) Ocorreu uma translação em relação ao eixo x.

(d) Ocorreu uma dilatação ou contração do gráfico em relação ao eixo y.
Há alterações na imagem da função.

(e) Ocorreu uma dilatação ou contração do gráfico em relação ao eixo x.
Há alterações no peŕıodo da função.

2.9.2 Fundamentação teórica

A partir da atividade 16, vamos entender o que ocorre na função

h(x) = a+ b. cos(cx+ d)

com as mudanças dos parâmetros a, b, c e d.

• O gráfico de funções trigonométricas do tipo h(x) = a + cos x sofre
uma translação vertical de |a| unidades em relação ao gráfico original
da seguinte forma: Se a > 0, então a translação é para cima; se a < 0,
então a translação é para baixo.

• O gráfico de funções do tipo h(x) = cos(x + d) sofre uma translação
horizontal de |d| unidades em relação ao gráfico original, de tal modo
que: se d > 0, a translação é para a esquerda e se d < 0, a translação
é para a direita.

• O gráfico de funções do tipo h(x) = b. cos x sofre uma contração ou
dilatação vertical, em relação ao gráfico original, sua amplitude é |b|.

• O gráfico de funções do tipo h(x) = cos (cx) sofre uma contração ou
diltação horizontal em relação ao gráfico original, e têm peŕıodo 2π

|c|

O racioćınio é análogo para funções do tipo h(x) = a+ b sen(cx+ d).


Caṕıtulo 3

Considerações finais

3.1 Relato de experiências

O presente trabalho foi aplicado em uma das classes da Escola Técnica Es-
tadual Philadelpho Gouvêa Netto, em São José do Rio Preto, SP.

Nesta unidade escolar, sou professora de duas turmas de 2a série de ensino
médio: a turma X, no matutino, e a turma Y, no vespertino, com 40 alunos
cada uma. Para fechamento de notas, as menções utilizadas em nossa U. E.
são : MB (muito bom), B (bom), R (regular) e I (insuficiente). Como sempre,
cada turma tem suas particularidades: em matemática, a turma X tem um
desempenho discretamente melhor do que a turma Y. Em cada bimestre, a
turma X apresenta, em média, 7 menções I, e a turma Y, 10; diferença não
muito grande. Percebe se que isso se deve ao fato de a turma X apresentar
um melhor hábito de estudo, quase todos os alunos fazem as tarefas de casa.

Por motivos diversos, algumas das atividades constantes neste trabalho
foram aplicadas somente para a turma X, pois nesta classe, a matéria estava
mais adiantada do que na turma Y, portanto, houve tempo em minhas aulas
para realizar tais atividades. Nesta escola, tenho uma facilidade: um portal
educacional. Neste portal temos uma ferramenta onde é posśıvel ao profes-
sor postar atividades pela internet para que o aluno responda às questões,
também on-line, e o docente tenha acesso a estas respostas.

Assim, foram aplicadas as atividades 11, 13, 14, 15 e 16 no horário da
aula de matemática. Os alunos interagiram bastante e responderam até com
certa facilidade, pois contaram com o meu aux́ılio e tinham a liberdade de
pedir ajuda aos colegas. O tempo gasto foi de 2 aulas de 50 minutos.

Na avaliação bimestral, dentre outras questões havia o seguinte exerćıcio:
Esboce os gráficos das funções trigonométricas:

(a) y = 3 sen x,

47


48

(b) y = sen(3x).

Uma questão simples, em que podemos avaliar se o aluno reconhece uma
função seno, e se ele tem uma ideia sobre as transformações no gráfico desta
função, decorrentes da variação de seus parâmetros.

A diferença de acertos entre a turma X, em que foi aplicada a atividade,
e a turma Y, que não a fez, foi muito significativa. Na turma X, 13 alunos
acertaram totalmente a questão, enquanto 12 acertaram parcialmente.

Na turma Y, apenas 3 alunos acertaram a questão, e parcialmente. A
maioria deixou a questão em branco, alguns esboçaram gráficos muito in-
corretos como segmentos de retas e outras curvas estranhas. Durante as
aulas ministradas nas duas turmas são utilizados os mesmos métodos de
ensino e materiais didáticos. A questão exigia um conhecimento básico de
funções, matéria vista na série anterior, também pelo mesmo professor nas
duas classes.

Como docente, acredito que ao visualizar as funções constrúıdas no Geo-
Gebra o aluno tem uma facilidade maior em compreender o comportamento
e o dinamismo de seus gráficos. No quadro negro, temos o hábito de cons-
truir os gráficos atribuindo pontos no plano cartesiano, é um procedimento
válido, mas quando o aluno aprende somente por este caminho, ele pode se
confundir ao marcar estas coordenadas incorretamente. É necessário que o
discente tenha uma idéia global do gráfico da função, e essa idéia pode ser
obtida através do uso de ferramentas computacionais.

3.2 Conclusão

A grande dificuldade no ensino da trigonometria ocorre na compreensão de
seus conceitos fundamentais: as noções de seno, cosseno e tangente, a cons-
trução da circunferência trigonométrica, e a notação para as medidas de
arcos e ângulos, muitas vezes são apresentadas aos alunos como elementos
vagos, sem muitas explicações. Uma abordagem dinâmica, apoiada nos uso
da Tecnologias de Informação e Comunicação é um dos meios de sanar estas
dificuldades.

Isto ocorre porque nossos alunos são os chamados ‘nativos digitais’, desde
pequenos eles têm acesso aos computadores, e portanto a um fascinante
universo repleto de cores, sons movimentos e sensações. Isto sem falar
nos videogames e jogos digitais, nos quais eles têm o controle sobre toda
a situação, dando-lhes a sensação de poder; o interessante é que, os jogos,
mesmo sendo dif́ıceis e desafiadores, fazem com que a criança ou adolescente
persista, tenha paciência e busque estratégias para vencê-los. Talvez seja este
um dos caminhos para melhorar o ensino ministrado a este público: fazê-los


49

construtores do próprio conhecimento e permitir que manipulem os objetos e
tirem suas próprias conclusões. Os softwares de geometria dinâmica, como o
GeoGebra, tem esta caracteŕıstica, sendo uma ferramenta muito útil a ser uti-
lizada no ensino da matemática, mais precisamente, em funções, trigonome-
tria, geometria plana e anaĺıtica. O desafio é que nós, como ‘imigrantes
digitais’ também entremos neste universo de tecnologia, que se transforma
todos os dias, a uma velocidade surpreendente.


Referências Bibliográficas

[1] BARROSO, J. M. Conexões com a matemática, v.2. São Paulo:
Moderna, 2010.

[2] CARMO, M. P. et al.Trigonometria e números complexos. 3.ed.
Rio de Janeiro: SBM, 2001.

[3] CURY, A.Pais brilhantes, professores fascinantes. Rio de Janeiro:
Sextante, 2003.

[4] DANTE, L.R. Matemática, volume único. 1.ed. São Paulo: Ática,
2008.

[5] DUCATTI, M. C. GeoGebra e Graphmatica, novos recursos
para o desenvolvimento de competências na sala de aula. São
Paulo: 2010.

[6] IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar, v.3. 8.ed. São
Paulo: Atual. 2009.

[7] LIMA, E. L. et al. A matemática do ensino médio. v.1. Rio de
Janeiro: SBM, 1997.

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< http : //portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/EnsMed/expensmat icap3.pdf. >

Acesso em: 01/08/2013.

[9] LOPES, M. M. Contribuições do software GeoGebra no ensino
a aprendizagem da trigonometria. Natal: UFRN, 2011.

[10] MOREIRA, L. S. e GOMES, C. S. Estudando trigonometria com
applets desenvolvidos noo software GeoGebra. Rio de Janeiro:
Instituto Federal de Ciência e Tecnologia Fluminense, 2008.

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51

[11] MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E CULTURA. Parâmetros curri-
culares nacionais para o ensino médio. Dispońıvel em:

< http : //portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf. >

Acesso em 19/09/2013.

[12] PEDROSO, H. A. História da Matemática. São José do Rio Preto-
SP: Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, 2009.

[13] QUINTANEIRO, W. Representações e definições formais em
trigonometria no ensino médio. Rio de Janeiro: UFRJ, 2010.