PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA “Características de Sistemas de Transmissão Tetrafásicos Submetidos a Transitórios Lentos e Rápidos” IVAN SCHEROLE BRANDT Orientador: Prof. Dr. Sérgio Kurokawa Ilha Solteira - SP Março/2012 PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA “Características de Sistemas de Transmissão Tetrafásicos Submetidos a Transitórios Lentos e Rápidos” IVAN SCHEROLE BRANDT Orientador: Prof. Dr. Sérgio Kurokawa Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Elétrica. Área de Conhecimento: Automação. Ilha Solteira - SP Março/2012 FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira. Brandt, Ivan Scherole. B821c Características de sistemas de transmissão tetrafásicos submetidos a transitórios lentos e rápidos / Ivan Scherole Brandt. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2012 108 f. : il. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Automação, 2012 Orientador: Sérgio Kurokawa Inclui bibliografia 1. Energia elétrica – Transmissão. 2. Sistemas de transmissão tetrafásico. 3. Decomposição modal. 4. Domínio da frequência. 5. Domínio do tempo. 6. Transitórios eletromagnéticos e impulsivos. “Dedico esse trabalho a minha esposa Pâmella Barbosa Bomfim Brandt e aos meus pais, Armando Brandt e Vera Lúcia Scherole Brandt e toda minha querida família. Sou-lhes grato por todo amor, paciência, carinho e apoio”. Primeiramente agradeço a Deus por estar me abençoando durante toda esta minha trajetória, que nos momentos difíceis me deu forças para superar os obstáculos, e principalmente por ter salvado a minha vida em um acidente ocorrido em 25/10/2009 e continuar a caminhar e vencer mais este obstáculo na vida. São inúmeras as pessoas a quem gostaria de pessoalmente dizer o quanto sou imensamente grato pela contribuição e apoio na realização desse trabalho, meus sinceros agradecimentos: A minha esposa, Pâmella Barbosa Bomfim Brandt, que com paciência e amor me apoiou nesta empreitada que exige dedicação e tempo, que soube compreender meus momentos de ausência e as madrugadas no computador empenhado nesse trabalho; Aos meus pais, Armando Brandt e Vera Lúcia Scherole Brandt, e meus irmãos Eder Scherole Brandt e Vitor Scherole Brandt pelo amor, apoio, compreensão e incentivo nos momentos difíceis; A toda minha família em especial aos meus sogros, Sidney Bomfim Pinheiro e Lucimar Barbosa da Silva, e minhas cunhadas Luana Barbosa Bomfim e Quesia Gonçalves Brandt pelo amor, incentivo e compreensão; Minha profunda gratidão, ao professor e orientador Sérgio Kurokawa pela paciência, dedicação, atenção, ensinamentos e principalmente pela amizade, que contribuíram na minha formação profissional e na realização deste trabalho; Aos meus amigos e companheiros de laboratório do departamento de engenharia elétrica (LETEL), que sempre estiveram dispostos a me ajudar da melhor maneira possível. AGRADECIMENTOS A todos os docentes, funcionários da biblioteca e seção de pós-graduação da FEIS/UNESP que direta ou indiretamente, colaboraram para a realização deste trabalho; À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), que forneceu suporte financeiro para o desenvolvimento do presente trabalho. Um forte abraço a todos, que Deus os abençoe grandiosamente. “A humildade é o primeiro degrau para sabedoria”. (Tómas de Aquino) Entre tantas tecnologias alternativas desenvolvidas ao longo das últimas décadas, procurando aumentar a eficácia das técnicas convencionais ou propondo novas técnicas não convencionais na transmissão da energia elétrica a longas distâncias e lugares de difícil acesso, o estudo proposto apresenta alguns conceitos e características para sistemas de transmissão constituídos por quatro fases genéricas. O sistema de transmissão tetrafásico tem sido tema de diversos estudos e aplicações em alguns países da Europa e Ásia, apresentando algumas vantagens quando comparado ao sistema de transmissão trifásico convencional. Esse sistema pode ser facilmente integrado ao sistema trifásico por meio de transformadores, amplamente abordado por diversas referências bibliográficas. Nesse estudo foi realizado uma análise comparativa das possíveis sobretensões ocorridas nos domínios da frequência e do tempo entre os sistemas de transmissão trifásico e tetrafásico, avaliando as características elétricas e as respostas transitórias eletromagnética e impulsiva, mostrando novas vantagens sobre esta tecnologia, fornecendo uma avaliação completa sobre o tema. Palavras chave: Sistema de transmissão tetrafásico. Decomposição modal. Domínio da Frequência. Domínio do tempo. Transitórios eletromagnéticos e impulsivos. RESUMO Among the many alternative technologies developed over the past decades, seeking to increase the effectiveness of conventional techniques or proposing new non-conventional techniques in the transmission of electricity over long distances and places of difficult access, the proposed study presents some concepts and features to transmission systems that are constituted of four generic phases. The four-phase transmission system has been subject of numerous studies and applications in some countries in Europe and Asia, presenting some advantages compared to the conventional three-phase transmission system. This system can be easily integrated into the three-phase system through transformers, thoroughly approached by several bibliographical references. In this study was made a comparative analysis of the possible overvoltages that occurred in the areas of frequency and time between the transmission systems of three-phase and four-phase, evaluating the electrical characteristics and the transient answers, electromagnetic and impulsive, showing new advantages over this technology, providing a complete evaluation of this issue. Keywords: Four-phase transmission system. Modal decomposition. Frequency domain. Time domain. Electromagnetic transients and impulsive. ABSTRACT Figura 01 – Defasagens dos sistemas de transmissão tetrafásico (I) e trifásico (II) 23 Figura 02 – Conversão entre os sistemas de transmissão trifásico/tetrafásico/trifásico 24 Figura 03 – Sistemas: trifásico (I), tetrafásico (II) e hexafásico (III) 25 Figura 04 – Condutores i e k e suas respectivas imagens i’ e k’ sobre solo ideal 29 Figura 05 – Condutores i e k e suas respectivas imagens i’ e k’ sobre solo não ideal 34 Figura 06 – Capacitâncias parciais em uma linha polifásica de n condutores 38 Figura 07 – Linha de transmissão monofásica de comprimento d 44 Figura 08 – Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha 45 Figura 09 – Representação das correntes e tensões nos terminais em uma linha monofásica 49 Figura 10 – Tensões e correntes de fase em uma linha de transmissão tetrafásica 53 Figura 11 – Representação do k-ésimo modo de propagação de uma linha tetrafásica 56 Figura 12 – Representação modal de uma linha de transmissão tetrafásica. 59 Figura 13 – Linhas de transmissão: (a) trifásica e (b) tetrafásica 62 Figura 14 – Resistência própria da fase 2, devido ao efeito do solo considerando resistividades iguais a 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3) 63 Figura 15 – Resistência própria da fase 2, devido ao efeito pelicular 64 Figura 16 – Resistência própria da fase 2, considerando resistividades iguais a 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3) 64 Figura 17 – Resistências mútuas entre as fases 2 e 3, devido efeito solo, considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3) 65 Figura 18 – Indutância própria da fase 2, devido ao efeito do solo, considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3) 66 Figura 19 – Indutância própria da fase 2, devido o efeito pelicular 66 LISTA DE FIGURAS Figura 20 – Indutância externa própria da fase 2 67 Figura 21 – Indutância própria da fase 2, considerando resistividades iguais a 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3) 68 Figura 22 – Indutâncias mútuas entre as fases 2 e 3, devido ao efeito do solo considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3) 69 Figura 23 – Indutâncias externas mútuas entre as fases 2 e 3 69 Figura 24 – Indutâncias mútuas entre as fases 2 e 3, considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3) 70 Figura 25 – Energização da linha tetrafásica com um impulso 72 Figura 26 – Energização da linha trifásica com um impulso 72 Figura 27 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 10 Ωm 73 Figura 28 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 100 Ωm 73 Figura 29 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 1000 Ωm 74 Figura 30 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 10 Ωm 74 Figura 31 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 100 Ωm 75 Figura 32 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 1000 Ωm 75 Figura 33 – Energização da linha tetrafásica 77 Figura 34 – Energização da linha trifásica 77 Figura 35 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm 78 Figura 36 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando solo o com resistividade igual a 10 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms 78 Figura 37 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, 79 considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm Figura 38 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms 79 Figura 39 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm 80 Figura 40 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms 80 Figura 41 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm 81 Figura 42 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms 81 Figura 43 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 1000 Ωm 82 Figura 44 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando solo com resistividade igual a 1000 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms 82 Figura 45 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 1000 Ωm 83 Figura 46 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando solo com resistividade igual a 1000 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms 83 Figura 47 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 500 km, considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm 84 Figura 48 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 500 km, considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm 84 Figura 49 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 500 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm 85 Figura 50 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 500 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm 85 Figura 51 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 500 km, considerando o solo com resistividade igual a 1000 Ωm 86 Figura 52 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 500 km, considerando o solo com resistividade igual a 1000 Ωm 86 Figura 53 – Função de dupla exponencial representando uma descarga atmosférica 88 Figura 54 – Incidência de uma descarga atmosférica na linha tetrafásica com o terminal receptor em aberto 88 Figura 55 – Incidência de uma descarga atmosférica na linha trifásica com o terminal receptor em aberto 89 Figura 56 – Tensão na fase 1 no terminal receptor em aberto das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, para a resistividade do solo de 10 Ωm 89 Figura 57 – Tensão na fase 1 no terminal receptor em aberto das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, para a resistividade do solo de 100 Ωm 90 Figura 58 – Tensão na fase 1 no terminal receptor em aberto das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, para a resistividade do solo de 1000 Ωm 90 Figura 59 – Tensão na fase 1 no terminal receptor em aberto das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, para a resistividade do solo de 10 Ωm 91 Figura 60 – Tensão na fase 1 no terminal receptor em aberto das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, para a resistividade do solo de 100 Ωm 91 Figura 61 – Tensão na fase 1 no terminal receptor em aberto das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, para a resistividade do solo de 1000 Ωm 92 Figura 62 – Incidência de uma descarga atmosférica na linha tetrafásica considerando que a mesma alimenta uma carga de alta impedância 92 Figura 63 – Incidência de uma descarga atmosférica na linha tetrafásica considerando que a mesma alimenta uma carga de alta impedância 93 Figura 64 – Tensão na fase 1 alimentada por uma carga das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, para a resistividade do solo de 10 Ωm 93 Figura 65 – Tensão na fase 1 alimentada por uma carga das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, para a resistividade do solo de 100 Ωm 94 Figura 66 – Tensão na fase 1 alimentada por uma carga das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, para a resistividade do solo de 1000 Ωm 94 Figura 67 – Tensão na fase 1 alimentada por uma carga das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, para a resistividade do solo de 10 Ωm 95 Figura 68 – Tensão na fase 1 alimentada por uma carga das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, para a resistividade do solo de 100 Ωm 95 Figura 69 – Tensão na fase 1 alimentada por uma carga das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, para a resistividade do solo de 1000 Ωm 96 CHESF Companhia Hidrelétrica do São Francisco LPNE Linha com Potência Natural Elevada HSIL High Surge Impedance Loading Line SIN Sistema Interligado Nacional HVDC High Voltage Direct Current CA Corrente alternada R Resistência L Indutância C Capacitância G Condutância Z Impedância longitudinal Y Admitância transversal extZ Impedância externa intZ Impedância interna soloZ Impedância devido ao retorno através do solo )ii(extZ Impedância externa própria do condutor i )kk(extZ Impedância externa própria do condutor k )ik(extZ Impedâncias externas mútuas dos condutores i e k extR Resistência externa extL Indutância externa )ii(extL Indutância externa própria do condutor i )kk(extL Indutância externa própria do condutor k )kk(extL Indutâncias externas mútuas dos condutores i e k ω Frequência angular 0 Permeabilidade do vácuo r Permeabilidade relativa do ar NOTAÇÃO E SIMBOLOGIA Permeabilidade magnética ir Raio do condutor i kr Raio do condutor k ih Altura do condutor i em relação ao solo kh Altura do condutor k em relação ao solo ikD Distância entre os condutores i e k’ ikd Distância entre os condutores i e k ik Ângulo entre as imagens do condutor i’e k’ r Raio Resistividade do solo ber Abreviação de “Bessel Real” bei Abreviação de “Bessel Imaginário” intR Resistência interna intL Indutância interna ii Parâmetro relativo à impedância própria ik Parâmetro relativo à impedância mútua R e X Termos de correção de Carson para efeitos com retorno pelo solo; )ii(soloR Resistência própria do condutor i )kk(soloR Resistência própria do condutor k )ik(soloR Resistências mútuas dos condutores i e k )ii(soloL Indutância própria do condutor i )kk(soloL Indutância própria do condutor k )ik(soloL Indutâncias mútuas dos condutores i e k 0 Permissividade do vácuo [V] Vetor com o potencial de cada condutor em relação ao solo [C] Matriz de capacitância [Q] Matriz com as cargas dos condutores [P] Matriz de coeficiente de potencial ou matriz de coeficientes de campo elétrico AV Tensão no terminal A de uma linha monofásica BV Tensão no terminal B de uma linha monofásica AI Corrente no terminal A de uma linha monofásica BI Corrente no terminal B de uma linha monofásica d Distância da linha em (km) Função de propagação cZ Impedância característica 1V , 2V , 3V e 4V Tensões nas fases 1, 2, 3 e 4 1I , 2I , 3I e 4I Correntes nas fases 1, 2, 3 e 4 ]Z[ m Matriz de impedância longitudinal no domínio modal ]Y[ m Matriz de admitância transversal no domínio modal ]V[ m Vetor de tensão modal da linha ]I[ m Vetor de corrente modal da linha ]T[ I Matriz cujas colunas são autovetores associados ao produto [Y][Z] 1 I ]T[ Inversa de ]T[ I T I ]T[ Transposta de ]T[ I T I ]T[ Inversa de T I ]T[ AmkV Tensão transversal no terminal A da linha do k-ésimo modo BmkV Tensão transversal no terminal B da linha do k-ésimo modo AmkI Corrente longitudinal no terminal A da linha do k-ésimo modo BmkI Corrente longitudinal no terminal B da linha do k-ésimo modo k Referente aos modos de propagação 1, 2, 3 e 4 ]A[ m , ]B[ m , ]C[ m e ]D[ m Sub-matrizes quadradas e diagonais, calculadas em função dos parâmetros da linha oV Fonte de tensão aplicada no terminal emissor t tempo CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1 Evolução histórica da energia elétrica 19 1.2 Sistema de transmissão tetrafásico 22 1.3 Algumas características do sistema de transmissão tetrafásico 26 1.4 Conclusão 27 CAPÍTULO 2 PARÂMETROS DE LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO 2.1 Introdução 28 2.2 Impedâncias longitudinais da linha 28 2.2.1 Impedância externa 29 2.2.2 Impedância interna 32 2.2.3 Impedância devido ao efeito do solo 34 2.3 Admitâncias transversais da linha 38 2.4 Conclusão 42 CAPÍTULO 3 MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 3.1 Introdução 43 3.2 Correntes e tensões em uma linha de transmissão monofásica 44 3.3 Correntes e tensões em uma linha de transmissão polifásica 50 3.4 Conclusão 51 CAPÍTULO 4 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA TETRAFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL 4.1 Introdução 52 SUMÁRIO 4.2 Decomposição modal de uma linha de transmissão tetrafásica 52 4.3 Conclusão 59 CAPÍTULO 5 CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA TETRAFÁSICO DURANTE O REGIME TRANSITÓRIO 5.1 Introdução 61 5.2 Descrição das linhas trifásica e tetrafásica analisadas 61 5.3 Comportamento dos parâmetros longitudinais e transversais 62 5.3.1 Parâmetros longitudinais 62 5.3.2 Parâmetros transversais 71 5.4 Resposta da linha no domínio da frequência 71 5.5 Resposta da linha no domínio do tempo 76 5.5.1 Sobretensões resultantes da energização da linha 76 5.5.2 Sobretensões resultantes da incidência de uma descarga atmosférica na linha 87 5.6 Conclusão 97 CAPÍTULO 6 CONCLUSÕES 98 REFERÊNCIAS 101 ANEXO A OBTENÇÃO DA MATRIZ DE TRANSFORMAÇÃO MODAL UTILIZANDO O MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON A.1 Introdução 104 A.2 Método de Newton-Raphson 104 19 1.1 Evolução histórica da energia elétrica No final do século XIX, entre os anos de 1879 e 1880, o uso da energia elétrica teve início com a invenção da lâmpada incandescente por Thomas A. Edison, que em 1882 inaugurou a central elétrica de Pearl para fornecimento de energia destinada à iluminação pública e alimentação de motores em Nova York, graças aos trabalhos de cientistas como Siemens, Gramme e Pacinotti, que possibilitaram a obtenção de energia elétrica em quantidades razoáveis a partir da energia mecânica (FUCHS, 1979). A partir disso começaram a surgir sistemas comerciais de eletricidade em diversos países do mundo, cuja expansão provocou problemas com o transporte dessa energia elétrica, gerada e consumida em corrente contínua (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979). As primeiras linhas de transmissão foram monofásicas, onde a energia era geralmente usada somente para iluminação, devido à queda de tensão e ao efeito Joule. Para evitar a utilização de condutores de seções maiores, as centrais elétricas eram construídas relativamente próximas umas das outras, pois a energia era consumida na tensão em que era produzida, não havendo solução imediata para os problemas de corrente contínua (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979). Por volta de 1884/1885, foi inventado o transformador, que permitia elevar e abaixar a tensão com alto grau de rendimento. Nessas condições, o problema de transmissão em tensões mais elevadas, e com menores perdas de energia, estava resolvido (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979). Destacam-se, nesse período, duas realizações que podem ser consideradas notáveis para a época: em 1886, foi construída na Itália uma linha monofásica com 29,5 km, conduzindo 2700 HP em Roma e, em 1888, foi construída uma linha trifásica de 11 kV e 180 km na Alemanha (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979). CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 20 A invenção do transformador e dos motores de indução por Ferraris e Tesla em 1888, resultou em um novo impulso aos sistemas de corrente alternada que se difundiram, em detrimento dos sistemas de corrente contínua. A primeira linha CA nos Estados Unidos foi posta em operação em 1890, e tinha comprimento de 20,92 km (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979). O aumento do uso da eletricidade motivou o aumento da potência das centrais elétricas, cujas localizações encontravam-se cada vez mais remotas. Este fato exigiu a adoção de tensões cada vez mais elevadas e linhas mais longas, aumentando os problemas. Em 1903, a tensão de 60 kV era atingida e por volta de 1922, entrou em operação a primeira linha de 230 kV. Em 1936, uma linha de 287 kV. Essa linha somente foi suplantada em 1950, com a entrada em serviço de uma linha de cerca de 1000 km de comprimento e tensão de 400 kV na Suécia (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979). Por volta de 1955, nos Estados Unidos, foram construídas as primeiras linhas em 345 kV, dando início a estudos e experiências visando à implantação de linhas de 500 kV. Entre 1964 e 1967, no Canadá, foram projetadas e construídas as primeiras linhas de 735 kV (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979). No Brasil, onde a evolução das tensões de transmissão foi relativamente mais lenta até o fim da primeira metade do século XX, procurou-se acompanhar a evolução nos países desenvolvidos. A primeira linha de transmissão de que se tem registro no Brasil foi construída por volta de 1883, na cidade de Diamantina, Minas Gerais. Esta linha transportava energia gerada em uma usina hidroelétrica, constituída de duas rodas d’água e dois dínamos Gramme, a uma distância de 2 km, aproximadamente. A energia transmitida através desta linha acionava bombas hidráulicas em uma mina de diamantes (CHIPMAN, 1972; FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978). Em 1901, com a entrada em serviço da central Hidroelétrica de Santana do Parnaíba, a então The San Paulo Tramway Light and Power Co. Ltd. construiu as primeiras linhas de seus sistemas de 40 kV. Em 1914, com a entrada em serviço da Usina Hidroelétrica de Utupararanga, a mesma empresa introduziu o padrão 88 kV. Esse padrão de tensão foi, em seguida, adotado pela Companhia Paulista de Estradas de Ferro, Estrada de Ferro Sorocabana e, através desta, pela USELPA, que futuramente viria a integrar o sistema CESP (FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978). Entre os anos de 1945 e 1947 construiu-se a primeira linha de 230 kV no Brasil, com um comprimento aproximado de 330 km. Esta linha estava destinada a interligar os sistemas 21 Rio Light e São Paulo Light, operava inicialmente em 170 kV, passando, em 1950, a operar com 230 kV. Foi também a primeira interligação, de dois sistemas importantes, realizada no Brasil. Vieram, a partir daí, em rápida sucessão, as linhas de 230 kV do sistema da Cia. Hidroelétrica de São Francisco, 161 e 345 kV da CEMIG e FURNAS, 460 kV da CESP, as linhas de 500 kV de FURNAS e 800 kV do sistema Itaipu (CHIPMAN, 1976; FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978). Nas últimas décadas, devido ao aumento global na demanda de energia elétrica e das preocupações sobre o impacto ambiental das atividades humanas, uma estratégia adequada para resolver esses problemas seria a implantação de novas usinas geradoras e novas linhas de transmissão no sistema de potência, mas atualmente, torna-se difícil devido ao custo elevado e às rígidas restrições impostas pela legislação ambiental (SAMORODOV, 1998). A demora na construção de unidades de geração e nas linhas de transmissão, aliada à necessidade de maior eficiência na gestão dos sistemas elétricos, faz com que os pesquisadores busquem soluções alternativas para o problema de suprimento elétrico através de inovações tecnológicas, melhorando o controle dos sistemas existentes (MAZZANTI, QUAIA, 2007; SAMORODOV, 1998). A importância das linhas de transmissão para o sistema elétrico e para a economia do país é confirmada pelo fato dos novos potenciais hidrelétricos a serem explorados, na maioria dos casos, encontrarem-se afastados dos centros consumidores, tendo como exemplos os futuros aproveitamentos hidrelétricos no Rio Xingu (Belo Monte) e Rio Madeira (PINTO et al., 2011a). Algumas tecnologias alternativas e relativamente recentes vêm sendo utilizada no sistema de transmissão da CHESF (Companhia Hidrelétrica do São Francisco), no Nordeste brasileiro, no projeto da linha Banabuiu-Fortaleza. Essa linha é caracterizada pela configuração assimétrica dos feixes de subcondutores das fases, otimizando a distribuição do campo elétrico nas mesmas e então aumentando a potência natural da linha. Essas linhas são denominadas HSIL (High Surge Impedance Loading Line) ou linhas com potência natural elevada (FARAG et al., 1998). Esse desenvolvimento é derivado do conceito de linhas compactas proposto na Rússia, com o objetivo não somente de aumentar a capacidade de transmissão do sistema, mas também diminuir a faixa de servidão sob a linha. Para esse fim, foi proposta a utilização de condutores múltiplos compostos por quatro ou mais subcondutores com distâncias maiores 22 que as usuais entre si e fases distribuídas de forma compacta, ou seja, mais próximas entre si, reduzindo substancialmente a largura das torres (WEI-GANG, 2003). Visando à otimização dos recursos técnicos e econômicos na transmissão de energia elétrica no Brasil, outras técnicas não convencionais, têm sido continuamente propostas para situações específicas. Vale citar o caso da linha Tucurui-Manaus-Macapá, na região norte do Brasil, que irá conectar o sistema elétrico da região amazônica ao sistema interligado nacional (SIN), contendo trechos compostos por torres metálicas com aproximadamente 250 metros de altura, cruzando longos trechos de floresta tropical e o rio Amazonas (PINTO et al., 2011b). Outras técnicas já amplamente estudadas e empregadas na transmissão de energia elétrica, porém não convencionais quando comparadas as linhas tradicionais em CA, são também destacadas, como por exemplo, as linhas HVDC (High-Voltage Direct Current). O link DC da usina hidrelétrica de Itaipu e a linha de transmissão com aproximadamente 2.500 km, em fase de construção, entre Porto Velho (Rondônia) e Araraquara (São Paulo), são os maiores exemplos dessa última tecnologia (SAMORODOV et al., 2011). Entre tantas novas tecnologias aplicadas à transmissão de energia elétrica no mundo, a utilização de linhas aéreas tetrafásicas tem sido tema de diversos estudos relativamente recentes. Essa tecnologia vem sendo estudada e aplicada em alguns países da Europa e Ásia como uma solução alternativa para a expansão do sistema elétrico, por meio do aumento da confiabilidade e estabilidade na transmissão em longas distâncias, apresentando algumas vantagens quando comparado aos convencionais sistemas de transmissão existentes (MAZZANTI, QUAIA, 2007, 2010; SAMORODOV, 1998). Essas diversas inovações tecnológicas contribuem para o desenvolvimento sustentável e de responsabilidade ambiental, na qual estão diretamente ligados ao crescimento econômico, industrial e melhoria na qualidade de vida (SAMORODOV, 1998). 1.2 Sistema de transmissão tetrafásico O sistema de transmissão de energia elétrica mais utilizado no mundo é o sistema de transmissão trifásico, sendo constituído pela composição de três tensões de mesmo módulo, defasadas em 3/2 radianos, ou seja, 120°. No entanto, em alguns lugares da Europa e Ásia, a transmissão de energia elétrica é realizada por meio de um sistema de transmissão tetrafásico, que consiste em quatro tensões 23 abV 12V 1V 3V abV 12V bV cV aV 2V 4V de mesmo módulo, porém, defasadas em 2/ radianos, ou seja, 90°, conforme mostra a figura 01 (SAMORODOV, 1998). Figura 01 – Defasagens dos sistemas de transmissão tetrafásico (I) e trifásico (II). Fonte: Samorodov (1998). Para a tensão de linha do sistema de transmissão tetrafásico são consideradas duas afirmações em relação ao sistema de transmissão trifásico: As tensões 12V , 23V , 34V e 14V são menores em relação às tensões de linha abV , bcV e caV do sistema trifásico. No entanto, as tensões de linha 13V e 24V do sistema tetrafásico são maiores do que as do sistema trifásico, pois apresenta comportamento de duas vezes a tensão de fase. O sistema de transmissão tetrafásico caracteriza-se pelo fato de todas as fases serem simplesmente obtidas a partir de um sistema de transmissão trifásico, através de dois transformadores. O primeiro transformador converte o sistema trifásico (a, b, c) em um sistema bifásico nas fases 1 e 3, o segundo transformador converte novamente o sistema trifásico para um sistema bifásico, no entanto nas fases 2 e 4, porém com polaridade contrária, e transformadores inversos conforme mostra a figura 02 (SAMORODOV, 1998, 2011). F12 V2V F24 V2V Fab V3V 90 120 (I) (II) 24 Figura 02 – Conversão entre os sistemas de transmissão trifásico/tetrafásico/trifásico. Fonte: Samorodov (2011). A função básica desse transformador é de conversor de fases trifásicas para tetrafásicas e transformador inverso, podendo ser constituído de maneira simples e bem conhecido por meio das configurações de Scott e Le Blanc, sendo esse equipamento a ferramenta chave para a aplicação do sistema de transmissão tetrafásico (GUANGYE, 2002a; SAMORODOV, 1998). O transformador trifásico/tetrafásico pode ser conectado por dois tipos de ligação: estrela ou triângulo (GUANGYE, YANG 2002a). A conversão do sistema de transmissão trifásico para um sistema de transmissão tetrafásico, mostra-se também um sistema mais prático e simples do que a conversão de linhas DC, os quais fazem uso de complexos aparatos utilizando eletrônica de potência (MAZZANTI, QUAIA, 2010). Em relação à disposição dos condutores de alguns sistemas de transmissão polifásicos, os mesmos são organizados na forma de um polígono simétrico, ou seja, os condutores não podem ser suspensos por apenas uma única torre com pólos simétricos em ambos os lados, sendo necessário utilizar torres com pólos assimétricos ou pólos simétricos de estrutura complexa, sendo difícil suspender condutores de seis, doze ou mais fases tornando os custos dessas linhas inviáveis (GUANGYE, YANG, 2002b; MAZZANTI, 2010). A figura 03 mostra a estrutura física dos condutores de alguns sistemas de transmissão polifásicos existentes (GUANGYE, YANG, 2002b). Sistema Trifásico Sistema Tetrafásico Sistema Trifásico a b c c b a 1 2 3 4 25 Figura 03 – Sistemas: trifásico (I), tetrafásico (II) e hexafásico (III). 2 Fonte: Guangye e Yang (2002b). No entanto, a disposição dos condutores em um sistema de transmissão tetrafásico mantém uma estrutura simples e excelente simetria, sendo seus condutores suspensos por ambos os lados utilizando torres com pólos simétricos (uniformemente distribuídos), reduzindo a faixa de servidão da linha em relação ao sistema de transmissão trifásico (GUANGYE, YANG, 2002b; SAMORODOV, 1998). No entanto, as aplicações físicas referentes ao sistema de transmissão tetrafásico no mundo encontra-se na Ásia e na Europa. Na Ásia, especificamente no leste da China a interligação proposta teve como objetivo transmitir energia elétrica utilizando linhas aéreas de transmissão de 500 kV da usina hidrelétrica de Três Gargantas localizada no rio Yangtzé até Suzhou (100 km ao Leste de Xangai), com uma subestação intermediária localizada em Wuhan, correspondendo a um total de 1080 km de comprimento de linha (SAMORODOV, 1998). E na Europa, devido a um forte desequilíbrio progressivo na capacidade de geração, causando fragilidade e instabilidade, testemunhados pelos apagões ocorridos na Itália em 2003 e, na União Européia em 2006, tornando se cada vez mais necessário as relações de interligações entre países vizinhos, onde a produção supera a demanda e outros países onde ocorre o oposto (MAZZANTI, QUAIA, 2007, 2010). (III) (II) (I) 1 23 4 1 2 3 4 5 6 26 1.3 Algumas características do sistema de transmissão tetrafásico Como em outras diversas referências, vale ressaltar as principais características do sistema de transmissão tetrafásico em relação aos convencionais sistemas de transmissão existentes (GUANGYE, YANG, 2002b; MAZZANTI, QUAIA, 2007, 2010; SAMORODOV, 1998, 2011): As disposições dos condutores de fases das linhas aéreas de transmissão tetrafásicas formam dois sistemas bifásicos independentes simétricos, onde as fases de corrente e tensão são opostas para cada sistema; No sistema de transmissão tetrafásico quando ocorrem falhas monofásicas ou bifásicas adjacentes, os dois correspondentes condutores adjacentes que apresentam defeitos ou possíveis falhas do próprio condutor são desligados, e os outros condutores adjacentes restantes permanecem operando normalmente; Confiabilidade da transmissão no caso de falhas monofásicas, reduzindo o risco de ocorrer blackouts (estatísticas comprovam que grandes blackouts aconteceram em sistemas de transmissão a partir de uma falha monofásica); Margem de estabilidade transitória, no caso de falhas monofásicas, sendo a principal vantagem sobre o sistema de transmissão trifásico. Mesmo aumentando o número de fases para quatro, a reatância permanece constante, sendo que o limite da potência transmitida para sistema tetrafásico aumenta 1,33 vezes em relação ao sistema de transmissão trifásico. O sistema de transmissão tetrafásico apresenta também desvantagem (GUANGYE, YANG, 2002b; MAZZANTI, QUAIA, 2007, 2010; SAMORODOV, 1998): O transformador trifásico/tetrafásico e transformador inverso, ambos instalados nas extremidades da linha e nas subestações, necessitam de um aparato especial, elevando os custos do sistema de transmissão tetrafásico. 27 1.4 Conclusão A inserção de um transformador trifásico/tetrafásico e transformador inverso requerem um custo adicional. Este custo depende dos transformadores exigidos em ambas as extremidades da linha e nas subestações; onde neste trabalho será tratado como um parâmetro desconhecido. O sistema de transmissão tetrafásico pode realmente ser competitivo com o sistema de transmissão trifásico no caso de transmissão de energia elétrica para longas distâncias, ou seja, onde o comprimento da linha torna-se necessário para recuperação do custo do transformador. Este trabalho pretende realizar uma análise comparativa referente ao comportamento do sistema de transmissão tetrafásico em relação aos parâmetros longitudinais e transversais, submetido a manobras de energização, como também a incidência de uma descarga atmosférica, com o sistema de transmissão trifásico submetido às mesmas. 28 2.1 Introdução No estudo do desempenho de linhas de transmissão, bem como no desenvolvimento de novas técnicas para aperfeiçoamento no potencial de transmissão, verifica-se que o transporte de energia elétrica é decisivamente influenciado pelos valores de seus parâmetros elétricos, geometria da linha e a composição dos cabos (FUCHS, 1979). Os parâmetros longitudinais são representados pela resistência e indutância, enquanto que os parâmetros transversais são representados pela condutância e capacitâncias. Geralmente, para linhas aéreas, despreza-se o efeito das condutâncias (KUROKAWA et al., 2007; MARTINEZ et al., 2005). Neste capítulo será descrito de forma detalhada os cálculos dos parâmetros próprios e mútuos de uma linha polifásica genérica, considerando a distribuição dos mesmos. 2.2 Impedâncias longitudinais da linha Em uma linha de transmissão, existem as equações de impedâncias próprias e mútuas representadas no domínio da frequência, podendo ser obtidas através das equações de Maxwell, levando em consideração as condições de contorno de três materiais, caracterizados por uma resistência, por uma permeabilidade magnética e por uma permissividade dielétrica, mostrando que as impedâncias da linha podem ser escritas em função das propriedades físicas do sistema (ar, solo e condutor) e da frequência (HOLFMANN, 2003). Para fins de cálculo, a impedância longitudinal de uma linha de transmissão é divida em três componentes: impedância externa, impedância interna e impedância devido ao retorno da corrente através do solo. A soma desses três componentes corresponde à impedância longitudinal total da linha (CARVALHO, 2007). CAPÍTULO 2 PARÂMETROS DE LINHAS AÉREAS DE TRANSMISSÃO 29 )(Z)(Z)(Z)(Z solointext (1) 2.2.1 Impedância externa A impedância externa está relacionada à ação do campo magnético no ar considerando que os condutores e a linha são ideais, ou seja, sem perdas (HOLFMANN, 2003). Considere os condutores i e k de uma linha polifásica genérica, sobre um solo ideal, conforme mostra a figura 04. Figura 04 – Condutores i e k e suas respectivas imagens i’ e k’ sobre solo ideal. Fonte: Holfmann (2003). Os raios dos condutores i e k são descritos genericamente como sendo ir e kr , respectivamente. Os condutores fictícios i’ e k’ são as respectivas imagens dos condutores i e k. A impedância externa pode ser representada pela seguinte equação (MARTINEZ et al., 2005): )(Lj)(R)(Z extextext (2) ih i’ i kh ikd k’ k ik 'ikD Solo ideal 30 Considerando que os condutores e a linha são ideais, a resistência )R( ext na equação (2) corresponde à zero. Logo, as equações das impedâncias próprias e mútuas são dadas por ]km[ 1 (HOLFMANN, 2003): i i )ii(ext r h2ln 2 j)(Z (3) k k )kk(ext r h2ln 2 j)(Z (4) ki ki )ik(ext d D ln 2 j)(Z (5) Vale ressaltar que nas equações (3) a (5), a função (ω) representa a velocidade angular relacionada à frequência (f), e ( ) representa a permeabilidade magnética do meio em que a linha está imersa, dadas pelas seguintes equações: f2 [Hz] (6) r0 ]km/H[ (7) Onde: 4 0 104 ]km/H[ 1r Nas equações (3) a (5), a parte imaginaria é dada pelas reatâncias indutivas, assim podemos definir as indutâncias externas próprias e mútuas da linha na seguinte forma: i i0 )ii(ext r h2ln 2 L (8) 31 k k0 )kk(ext r h2ln 2 L (9) ik ik0 )ik(ext d Dln 2 L (10) Para uma linha genérica com n fases, considerando que cada fase é constituída de um único condutor, assim podemos escrever a matriz de impedância externa da linha na seguinte forma (CARVALHO, 2007): n n 2n 2n 1n 1n n2 n2 2 2 21 21 n1 n1 12 12 1 1 0 ext r h2ln d Dln d Dln d Dln r h2ln d Dln d Dln d Dln r h2ln 2 j]Z[ (11) A equação (11) pode ser escrita sob a forma resumida: ]L[j]Z[ extext (12) A partir da equação (12) podemos descrever a matriz de indutâncias externas próprias e mútuas para n fases, na forma matricial por (CARVALHO, 2007): n n 2n 2n 1n 1n n2 n2 2 2 21 21 n1 n1 12 12 1 1 0 ext r h2ln d Dln d Dln d Dln r h2ln d Dln d Dln d Dln r h2ln 2 ]L[ (13) A matriz ]L[ ext está em função das características geométricas da linha, sendo independente da frequência. 32 2.2.2 Impedância interna A impedância interna ou impedância devido ao efeito pelicular (skin effect) está relacionada quando um condutor é percorrido por uma corrente contínua. Quando percorrido por corrente alternada ocorre uma distribuição não uniforme de corrente elétrica na área da seção transversal do condutor, causando um aumento na resistência efetiva do condutor e diminuição na indutância interna à medida que a frequência aumenta (STEVENSON, 1978). O cálculo da impedância interna de um condutor genérico pode ser feita por meio das equações de Bessel. Desse modo, a impedância interna pode ser descrita por (STEVENSON, 1978): )mr('jber)mr('bei )mr(jbei)mr(ber r2 m)(Zint (14) Sendo: m (15) Os termos ber e bei são abreviações de “Bessel Real” e “Bessel Imaginário”. Existem duas soluções independentes chamadas funções de Bessel de primeira e segunda classe, respectivamente. Nesse trabalho foi apenas admissível à solução de primeira classe, uma vez que a de segunda representa uma condição impossível, pela densidade de corrente infinita no centro do condutor (STEVENSON, 1978). A impedância interna de um condutor pode ser determinada para qualquer frequência, desde que sejam conhecidos: o raio, resistividade do condutor e a permeabilidade magnética do condutor (STEVENSON, 1978). A impedância interna de um condutor genérico é constituída pela resistência e reatância indutiva. A parcela real da impedância complexa é a resistência efetiva podendo ser determinada pela manipulação da equação (14), separando as partes reais das partes imaginárias, são dadas por (STEVENSON, 1978): 22int ))mr('ber())mr('bei( )mr('ber)mr(bei)mr('bei)mr(ber r2 m)(R [ 1m ] (16) 33 22int ))mr('ber())mr('bei( )mr('ber)mr(ber)mr('bei)mr(bei r2 m)(L [ 1Hm ] (17) Portanto, para uma linha genérica polifásica constituída com n fases, para um único condutor, podemos escrever as seguintes matrizes para as resistências e indutâncias: )nn(int )22(int )11(int int R00 0R0 00R )](R[ (18) )nn(int )22(int )11(int int L00 0L0 00L )](L[ (19) A matriz de impedância interna )](Z[ int é dada por: )nn(int )22(int )11(int int Z00 0Z0 00Z )](Z[ (20) A equação (20) pode ser escrita na forma complexa genérica por: )](L[j)](R[)](Z[ intintint (21) Ressaltando que as matrizes relativas à impedância interna são todas matrizes diagonais, não existindo interação com os componentes mútuos, sendo variáveis em função da frequência. 34 2.2.3 Impedância devido ao efeito do solo A impedância devido ao efeito do solo resulta do fato de que o solo sob a qual a linha foi construída não é ideal. A interação do campo magnético com o solo resulta em impedâncias próprias e mútuas constituídas de componentes reais e imaginárias, assumindo características mais acentuadas em altas frequências. Este fenômeno é denominado efeito do solo. Os parâmetros longitudinais sobre efeito do solo podem ser calculados por meio das equações de Carson e Pollaczek, ambas as equações podem ser aplicadas em linhas aéreas de transmissão e cabos subterrâneos (DOMMEL, 1996; KUROKAWA, 2003). Considere os condutores i e k de uma linha polifásica genérica, sobre um solo não ideal, conforme mostra a figura 05. Figura 05 – Condutores i e k e suas respectivas imagens i’ e k’ sobre um solo não ideal. Fonte: Holfmann (2003). Considerando os condutores i e k dispostos sobre um solo não ideal, mostrados na figura 05, a parcela das impedâncias próprias e mútuas relativas ao efeito solo desses condutores pode ser calculada em função dos termos de correção R e X, podendo ser representada de forma simplificada, dada por (DERI et al., 1981; FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978): ih i’ i kh ikd k’ k ik 'ikD Solo não ideal 35 ikiksolo XjRZ (22) Por meio dos termos de correção de Carson é possível determinar a resistência e reatância indutiva do solo, denominadas como sendo fatores de correção da impedância total R e X, respectivamente (STEVENSON, 1978). Os termos de correção de Carson na equação (22) são funções do ângulo , indicadas na figura 05. Considerando as impedâncias próprias e mútuas relativas aos condutores i e k ( 0 , para impedâncias próprias e ik , para o cálculo das impedâncias mútuas) e o parâmetro dado por (FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978): ik s 4 ik i s 4 ii D πρ2 ω10 5π4δ h πρ ω10 5π4δ (23) As impedâncias próprias e mútuas de circuitos com retorno pelo solo são iguais às impedâncias para um circuito envolvendo um solo ideal representado pela figura 05, no qual, considera se um condutor e sua respectiva imagem a mesma profundidade que a altura do condutor acima do solo, acrescentando um fator de correção aplicável a ambas as impedâncias (FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978). Para as resistências e reatâncias indutivas próprias e mútuas, Carson considerou condutores paralelos ao solo, onde os termos de correção R e X são iguais a zero quando , ou seja, a resistividade do solo é muito pequena (FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978). Para o cálculo desses termos, Carson desenvolveu uma somatória baseada em uma série infinita de termos trigonométricos. Logo, considerando 5 , os termos de correção de Carson são dados como (STEVENSON, 1978): ...}8cosd7cosb ]6sen6cos)lnc[(b5cosb4cosd3cos b]2.sen)lnc(2cos[bcosb 8 {104R ik 8 ik8ik 7 ik7 ik 6 ikikik 6 ikik66ik 5 ik5ik 4 ik4ik 3 ik3ikik 2 ikik2ik 2 ik2ikik1 4 ik (24) 36 ...}]8sen8cos)lnc[(b 7cosb6cosd5cosb4sen4cos)lnc( b3cosb2cosdcosb)ln6159315.0( 2 1{104X ik 8 ikikik 8 ikik88 ik 7 ik7ik 6 ik6ik 5 ik5ik 4 ikikik 4 ikik4 4ik 3 ik3ik 2 ik2ikik1ik 4 ik (25) Os coeficientes b, c e d são constantes e podem ser obtidos a partir das fórmulas recursivas (STEVENSON, 1978): )2i(i bb 2ii (26) 2i 1 i 1cc 2ii (27) ii b 4 d (28) Onde: 6/2b1 16/1b2 3659315,1c2 A função )( alterna-se em quatro termos sucessivos ( = +1, para i = 1, 2, 3, 4) e ( = -1, para i = 5, 6, 7, 8). Para 5 , têm-se (STEVENSON, 1978): 2 104 )( 7cos45 )( 5cos3 )( 3cos )( 2cos2cos R 4 7 ik ik 5 ik ik 3 ik ik 2 ik ik ik ik ik (29) 2 104 )( 7cos45 )( 5cos3 )( 3coscos X 4 7 ik ik 5 ik ik 3 ik ik ik ik ik (30) 37 Para sistemas com baixas frequências, apenas alguns termos das séries infinitas de R e X são necessários para obtenção de um resultado satisfatório. No entanto, para sistemas com altas frequências são necessários mais termos e conforme incremento da frequência, maior a quantidade de termos requeridos. Portanto, a partir do equacionamento descrito anteriormente, podemos representar a matriz de impedâncias de uma linha onde existe o retorno de corrente através do solo, como sendo (HOLFMANN, 2003): )nn(Solo)2n(Solo)1n(Solo )n2(Solo)22(Solo)21(Solo )n1(Solo)12(Solo)11(Solo Solo ZZZ ZZZ ZZZ )](Z[ (31) As matrizes de impedâncias próprias e mútuas de )](Z[ Solo podem ser decompostas em componentes reais e componentes imaginários, resultando em: )(Lj)(R)(Z )ii(solo)ii(solo)ii(solo (32) )(Lj)(R)(Z )kk(solo)kk(solo)kk(solo (33) )(Lj)(R)(Z )ik(solo)ik(solo)ik(solo (34) Portanto, para uma linha genérica de n fases, considerando que cada fase é constituída de apenas um único condutor, podemos escrever a matriz de impedância devido ao efeito do solo na seguinte forma genérica: )(Lj)(R)(Z solosolosolo (35) Na equação (35), )](R[ solo é a matriz de resistências devido ao efeito solo, enquanto que )](L[ solo é a matriz de indutâncias devido ao efeito solo, onde os elementos dessas matrizes são variáveis em relação à frequência. 38 2.3 Admitâncias transversais da linha Em uma linha aérea de transmissão, além da capacitância existe também, uma condutância entre os condutores e o solo. Esta condutância é denominada condutância de dispersão, para alguns tipos de transitórios eletromagnéticos, a condutância transversal geralmente é desprezada no cálculo dos parâmetros da linha (FUCHS, 1979; STEVENSON, 1978). A figura 06 mostra as capacitâncias parciais associadas aos condutores de uma linha polifásica de n fases. Figura 06 – Capacitâncias parciais em uma linha polifásica de n condutores. Fonte: Fuchs (1979). Considerando que os condutores mostrados na figura 06, estão nos potenciais elétricos 1V , ,V2 ..., nV em relação ao solo, é possível escrever as cargas armazenadas em cada um dos seus respectivos condutores, como sendo (FUCHS, 1979): nn12121n112101 VCVCV)CCC(q (36) nn22n221201212 VCV)CCC(VCq (37) nnn1n0n22n11nn V)CCC(VCVCq (38) C12 Condutor 1 C10 C20 Condutor n Cn0 C2n Condutor 2 C1n Solo 39 As equações (36) a (38) podem ser escritas na forma matricial da seguinte forma: n 2 1 nn1n0n2n1n n2n2212012 n112n11210 n 2 1 V V V )CCC(CC C)CCC(C CC)CCC( q q q (39) Sendo: )CCC(CC C)CCC(C CC)CCC( ]C[ nn1n0n2n1n n2n2212012 n112n11210 (40) A equação matricial (39) pode ser escrita na forma genérica: ]V][C[]Q[ (41) Para se obter a matriz de capacitância a partir da equação (41), é necessário calcular a capacitância entre cada um dos condutores e o solo e as capacitâncias entre os condutores. No entanto, a matriz de capacitância [C] pode também ser obtida a partir da definição da matriz de coeficiente de potencial ou matriz de coeficientes de campo elétrico [P], baseada no cálculo dos potenciais de cada condutor da linha que está submetido. De acordo com Fuchs (1979), a diferença de potencial do condutor 1 em relação ao solo é dada por: n1 n1 n 12 12 2 1 1 1 0 1 d Dlnq d Dlnq r h2lnq 2 1V (42) Na equação (42), os elementos ,q1 2q e nq representam respectivamente as cargas no primeiro, segundo e n-ésimo condutor. Esses condutores apresentam raios (r) com índices 1, 2,...,n para o primeiro, segundo e n-ésimo termo respectivamente. O termo 0 é a permissividade do vácuo. 40 De forma análoga, podemos escrever as equações para os demais condutores (FUCHS, 1979): n2 n2 n 2 2 2 12 12 1 0 2 d D lnq r h2 lnq d D lnq 2 1V (43) n n n n2 n2 2 n1 n1 1 0 n r h2 lnq d D lnq d D lnq 2 1V (44) Escrevendo na forma matricial as equações (42) a (44), obtém-se: n 2 1 n n n2 n2 n1 n1 n2 n2 2 2 12 12 n1 n1 12 12 1 1 0 n 2 1 q q q r h2ln d Dln d Dln d Dln r h2ln d Dln d D ln d D ln r h2 ln 2 1 V V V (45) De maneira simplificada a equação matricial (45) pode ser escrita como sendo: ]Q][P[]V[ (46) Sendo: n 2 1 V V V V (47) 41 n n n2 n2 n1 n1 n2 n2 2 2 12 12 n1 n1 12 12 1 1 0 r h2 ln d D ln d D ln d D ln r h2 ln d D ln d D ln d D ln r h2 ln 2 1P (48) n 2 1 q q q Q (49) A partir da equação (46), obtém-se: ]V[]P[]Q[ 1 (50) Comparando as equações (50) e (41), verificamos que a matriz de capacitância é da seguinte forma: 1]P[]C[ (51) Portanto, a matriz de capacitâncias pode ser escrita da seguinte forma: nn2n1n n22221 n11211 CCC CCC CCC C (52) Comparando as equações (52) e (40), podemos concluir que os elementos da diagonal principal correspondem à soma das capacitâncias existentes entre os n condutores e a capacitância entre o n-ésimo condutor e o solo, sendo os demais elementos da matriz [C] capacitâncias mútuas entre os pares de condutores. Com base na definição de admitância, usando a notação matricial, temos (FUCHS, 1979): 42 ]C[j]Y[ (53) Na equação (53), [C] é a matriz de capacitâncias obtida na equação (52). 2.4 Conclusão Neste capítulo, foram descritos os procedimentos aplicados para o cálculo dos parâmetros elétricos, obtendo os conceitos de impedância longitudinal (Z) e admitância transversal (Y), devidamente equacionados para uma linha de transmissão polifásica genérica. A impedância longitudinal é determinada a partir da soma de parcelas determinadas pelas impedâncias: externa, interna (representada pelas equações de Bessel) e impedância devido ao retorno da corrente através do solo (representada pelas equações de Carson e Pollaczek). No entanto, a admitância transversal pode ser representada por uma capacitância. Porém, considerando que a condutância do ar é desprezível, apresentou-se apenas a expressão que determina a capacitância. A partir das capacitâncias transversais próprias e mútuas, foi possível determinar a matriz de potencial elétrico, sendo constante e invariável em função da frequência, dependendo exclusivamente da geometria da linha. 43 3.1 Introdução Existem várias representações para modelos de linhas de transmissão, quanto à técnica de simulação utilizada, ou a partir do desenvolvimento em dois grandes modelos: domínio do tempo ou domínio da frequência (KUROKAWA, 2003; MARTI, 1982). No entanto, o sistema elétrico, no qual as linhas de transmissão estão inseridas, possui diversos elementos cujas características não permitem que os mesmos sejam representados como sendo elementos lineares, dificultando a representação do sistema elétrico no domínio da frequência (FARIA et al., 2002; MARTI, 1982). No primeiro modelo, a solução é obtida diretamente em função do tempo sem o uso de transformadas inversas (Fourier ou Laplace), enquanto o segundo modelo sua solução é primeiramente obtida no domínio da frequência, em seguida, convertida para o domínio do tempo através das transformadas inversas (MARTI, 1982). As linhas de transmissão também podem ser classificadas quanto à natureza de seus parâmetros, sendo modelos a parâmetros concentrados e modelos a parâmetros distribuídos (MARTI, 1982). Os modelos a parâmetros concentrados são de fácil utilização, e podem ser representados por elementos discretos de circuito. No entanto, os modelos com parâmetros distribuídos são dependentes da frequência, considerados mais precisos que os modelos que consideram os parâmetros constantes (FARIA et al., 2002; MARTI, 1982). Os modelos com parâmetros concentrados à dependência da frequência são representados através da associação em série e paralela dos elementos R e L (KUROKAWA, 2003). Uma análise rigorosa desse problema exigiria uma aplicação das equações de Maxwell nos problemas de campo, sendo representada por meio de seus parâmetros R, L, G e C. CAPÍTULO 3 MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO 44 Entretanto, as equações de Maxwell demonstram que, em certas condições, podemos utilizar uma aproximação muito mais simples. 3.2 Correntes e tensões em uma linha de transmissão monofásica Uma linha de transmissão pode ser definida com sendo um sistema de dois condutores metálicos, retilíneos e completamente isolados, que conduz um sinal elétrico, entre dois ou mais terminais, por meio de campo magnético e um campo elétrico, presentes no sistema. Em algumas situações um dos condutores pode ser substituído pelo solo ou condutor de retorno. A figura 07 mostra a representação de uma linha de transmissão monofásica, de comprimento d em (km), onde o retorno da corrente se apresenta através do solo (FUCHS, 1979; GREENWOOD, 1977). Figura 07 – Linha de transmissão monofásica de comprimento d. Fonte: Produção do próprio autor. Como mostrado na figura 07, Av , Bv , Ai e Bi são as tensões e correntes nos terminais A e B da linha, respectivamente. Os parâmetros elétricos longitudinais e transversais de uma linha de transmissão são uniformemente distribuídos ao longo de seu comprimento. Dessa forma podemos representar um elemento infinitesimal da linha, conforme mostra a figura 08 (CHIPMAN, 1972; GREENWOOD, 1977). A )t(iA B )t(iB d Solo )t(vA )t(vB 45 Figura 08 – Circuito equivalente para um elemento infinitesimal da linha. Fonte: Chipman (1972). No circuito mostrado na figura 08, R e L são respectivamente, a resistência e a indutância longitudinais da linha, por unidade de comprimento e os elementos G e C são, respectivamente, a condutância e a capacitância transversais da linha por unidade de comprimento. Podemos escrever as equações de corrente e tensão para o circuito mostrado na figura 08, na seguinte forma: t )t,xx(vxC)t,xx(vxG)t,xx(i)t,x(i (54) t )t,x(ixL)t,x(ixR)t,xx(v)t,x(v (55) As equações (54) e (55) podem ser reescritas da seguinte forma: t )t,xx(vxC)t,xx(vxG)t,x(i)t,xx(i (56) v (x + )t,x i (x,t) i (x + )t,x xR xL 1x 2x v (x,t) xG xC 46 t )t,x(ixL)t,x(ixR)t,x(v)t,xx(v (57) Dividindo as equações (56) e (57) por Δx, obtêm-se: t )t,xx(vC)t,xx(vG x )t,x(i)t,xx(i (58) t )t,x(iL)t,x(iR x )t,x(v)t,xx(v (59) Calculando o limite das equações (56) e (57) para Δx tendendo a zero, obtêm-se (SWOKOWSKI, 1995): t )t,x(vC)t,x(vG x )t,x(i)t,xx(i lim 0x (60) t )t,x(iL)t,x(iR x )t,x(v)t,xx(vlim 0x (61) O lado esquerdo das equações (60) e (61) são as derivadas parciais de i(x,t) e v(x,t) respectivamente, em relação à x. Portanto, as equações (60) e (61) serão escritas como sendo (CHIPMAN, 1972): t )t,x(vC)t,x(vG x )t,x(i (62) t )t,x(iL)t,x(iR x )t,x(v (63) 47 As equações (62) e (63) são equações diferenciais de primeira ordem, e descrevem o comportamento de propagação da corrente e tensão de uma linha monofásica no domínio do tempo. A solução analítica dessas equações é apenas conhecida para o caso de linha sem perdas (R = 0 e G = 0). No entanto, para o caso de linhas com perdas (R 0 e G 0), essas equações são de difícil solução no domínio do tempo, mas podem ser resolvidas no domínio da frequência. Desse modo, aplicando a transformada de Laplace nas equações (62) e (63), considerando as condições iniciais nulas, obtêm-se: )s,x(LIs)s,x(IR dx )s,x(dV (64) )s,x(sCV)s,x(VG dx )s,x(dI (65) Substituindo s = jω, na equação (64), temos: )x(LIj)x(IR dx )x(dV (66) )x(I)LjR( dx )x(dV (67) Fazendo LjRZ , e substituindo na equação (67) temos: )x(IZ dx )x(dV (68) Utilizando s = jω, na equação (65), temos: )x(CVj)x(VG dx )x(dI (69) 48 )x(V)CjG( dx )x(dI (70) Fazendo CjGY , e substituindo na equação (70) temos: )x(VY dx )x(dI (71) Derivando as equações (68) e (71) em relação à x, obtêm-se: dx )x(IdZ dx )x(dV 2 2 (72) dx )x(VdY dx )x(dI 2 2 (73) Substituindo as equações (71) em (72) e (68) em (73), obtêm-se: )x(VYZ dx )x(dV 2 2 (74) )x(IZY dx )x(dI 2 2 (75) As equações (74) e (75) são as equações diferenciais de segunda ordem de uma linha de transmissão monofásica, escritas no domínio da frequência. A partir da solução das equações (74) e (75) são obtidas as equações das correntes e tensões nos terminais de uma linha monofásica (CHIPMAN, 1972; MARTI, 1982): d)(γsenhIZd)(γcoshVV BcBA (76) )d(senh Z V)d(coshII c B BA (77) 49 Sendo: YZ (78) Y ZZc (79) Nas equações (78) e (79), é a função de propagação e cZ é a impedância característica. As equações (76) e (77), permitem calcular as tensões e correntes nos terminais da linha monofásica, conforme mostra a figura 09 (CHIPMAN, 1972; MARTI, 1982): Figura 09 – Representação das correntes e tensões nos terminais em uma linha monofásica. Fonte: Produção do próprio autor. Na figura 09, AV e AI representam a tensão e corrente no terminal emissor da linha, enquanto, BV e BI representam a tensão e corrente no terminal receptor para uma determinada distância d em km. As equações diferenciais no domínio do tempo podem ser resolvidas no domínio da frequência utilizando a transformada de Laplace, apresentando soluções mais simples. Em seguida, utilizando a transformada inversa de Laplace, obtêm-se novamente a solução das equações no domínio do tempo (MORENO, RAMIREZ, 2008). Solo )0x(VVA )dx(VVB A )0x(IIA B )dx(IIB 50 3.3 Correntes e tensões em uma linha de transmissão polifásica Foi visto anteriormente que uma linha monofásica pode ser caracterizada pela impedância longitudinal e pela admitância transversal por unidade de comprimento da linha, sendo escrita da seguinte forma: LjRZ (80) CjGY (81) Um conjunto semelhante de equações pode ser desenvolvido para o caso de uma linha de transmissão polifásica com n fases, sendo as matrizes de impedância longitudinal [Z] e de admitância transversal [Y], escritas da seguinte forma: nn2n1n n22221 n11211 ZZZ ZZZ ZZZ ]Z[ (82) nn2n1n n22221 n11211 YYY YYY YYY ]Y[ (83) Para uma linha de transmissão polifásica com n fases, as tensões e correntes podem ser escritas na seguinte forma: n 2 1 V V V )]x(V[ (84) 51 n 2 1 I I I )]x(I[ (85) Substituindo as equações (82) à (85) nas equações (74) e (75) respectivamente, obtêm- se: )]x(V][Y][Z[ dx )x(dV 2 2 (86) )]x(I][Z][Y[ dx )x(dI 2 2 (87) As equações (86) e (87) são equações diferenciais de uma linha polifásica com n fases. As soluções dessas equações não podem ser facilmente obtidas, devido ao acoplamento mútuo e a diferença entre os produtos [Z][Y] e [Y][Z]. No entanto, conforme será mostrado no próximo capítulo utilizaremos uma transformação de similaridade para desacoplar essas equações (CHEN, 1984). 3.4 Conclusão Neste capítulo, foi mostrado o processo de obtenção das soluções das equações diferencias que representam as linhas de transmissão monofásica e polifásica, cujos parâmetros são uniformemente distribuídos ao longo da linha e dependentes da frequência. Sendo essas equações, escritas no domínio do tempo e no domínio da frequência, como expressões da tensão e corrente em dois pontos consecutivos da linha de transmissão. 52 4.1 Introdução As equações diferenciais de segunda ordem que descrevem uma linha de transmissão polifásica são de difícil solução devido ao acoplamento entre as fases. Uma importante ferramenta utilizada em análises de sistemas polifásicos é a técnica que desacopla as fases das mesmas: a representação modal. Desta maneira, uma linha de transmissão tetrafásica com quatro fases acopladas pode ser decomposta em quatro modos de propagação, ou seja, uma linha constituída de quatro fases se transforma em quatro linhas monofásicas independentes, que são matematicamente idênticas a linha tetrafásica original (CHEN, 1984). A partir do cálculo dos autovalores do produto matricial envolvendo as matrizes de impedâncias longitudinais e admitâncias transversais, foi apresentado um método numérico baseado no algoritmo de Newton-Raphson (ANEXO A), para obtenção de uma matriz de decomposição modal, para uma linha de transmissão polifásica (BUDNER, 1970; KUROKAWA, 2003). Este capítulo mostrará de forma simplificada, o processo de decomposição modal de uma linha de transmissão tetrafásica, em seus quatro modos de propagação, representando um método matemático para a simplificação dos cálculos dos transitórios eletromagnéticos e impulsivos. 4.2 Decomposição modal de uma linha de transmissão tetrafásica Para uma linha de transmissão tetrafásica, as tensões e correntes podem ser representadas na seguinte forma, conforme mostra a figura 10. CAPÍTULO 4 REPRESENTAÇÃO DE UMA LINHA TETRAFÁSICA NO DOMÍNIO MODAL 53 Figura 10 – Tensões e correntes de fase em uma linha de transmissão tetrafásica. Fonte: Produção do próprio autor. Na figura 10, 1V , 2V , 3V e 4V , são respectivamente as tensões nas fases 1, 2, 3 e 4, e 1I , 2I , 3I e 4I , são respectivamente as correntes nas fases 1, 2, 3 e 4. Como visto anteriormente no capítulo 3, foram descritas as equações diferenciais de segunda ordem que descrevem uma linha de transmissão monofásica (BUDNER, 1970): ]V][Y][Z[ dx ]V[ d 2 2 (88) ]I][Z][Y[ dx ]I[ d 2 2 (89) Onde: ]Z[ – Matriz de impedância longitudinal da linha; ]Y[ – Matriz de admitância transversal da linha; ]V[ – Vetor de tensão de fase da linha; ]I[ – Vetor de corrente de fase da linha. 4V 1V Solo 2V 3V Fase 1 1I A B Fase 2 2I 3I Fase 3 Fase 4 4I 54 Nas equações (88) e (89), as matrizes de impedância longitudinal e de admitância transversal, assim como os vetores de corrente e tensão, são variáveis em relação à frequência. Essas equações estão no domínio das fases e são de difícil resolução, uma vez que os produtos matriciais [Z][Y] e [Y][Z] são de maneira genérica, distintos (DOMMEL, 1969; MARTI, 1982). No entanto, os produtos [Z][Y] e [Y][Z] podem ser transformados em matrizes diagonais a partir da utilização da transformação de similaridade e obter as equações diferenciais da linha no domínio modal (CHEN, 1984). No domínio modal, as equações (88) e (89) podem ser escritas como sendo (DALTIN et al., 2005): ]V][Y][Z[ dx ]V[d mmm2 m 2 (90) ]I][Z][Y[ dx ]I[d mmm2 m 2 (91) Sendo: ]T][Z[]T[]Z[ I T Im (92) T I T Im ]T][Y[]T[]Y[ (93) ]V[]T[]V[ T Im (94) ]I[]T[]I[ 1 Im (95) Onde: ]Z[ m – Matriz de impedância longitudinal no domínio modal; ]Y[ m – Matriz de admitância transversal no domínio modal; 55 ]V[ m – Vetor de tensão modal da linha; ]I[ m – Vetor de corrente modal da linha. A matriz ]T[ I é uma matriz cujas colunas são autovetores associados ao produto [Y][Z], enquanto que 1 I ]T[ é a inversa de ]T[ I , T I ]T[ é a transposta de ]T[ I e T I ]T[ é a inversa de T I ]T[ . As matrizes ]Z[ m e ]Y[ m podem ser escritas da seguinte forma: 44m 33m 22m 11m m Z000 0Z00 00Z0 000Z Z (96) 44m 33m 22m 11m m Y000 0Y00 00Y0 000Y Y (97) Na equação (96), 11mZ , 22mZ , 33mZ e 44mZ são as impedâncias longitudinais dos modos 1, 2, 3 e 4. Na equação (97), 11mY , 22mY , 33mY e 44mY são as admitâncias transversais dos modos 1, 2, 3 e 4, respectivamente. Multiplicando as equações (90) e (91), verifica-se que os produtos ]Y][Z[ mm e ]Z][Y[ mm são idênticos. Portanto, as matrizes ]Y][Z[ mm são matrizes diagonais (BUDNER, 1970; DALTIN et al., 2005): As equações (90) e (91) são as equações diferenciais modais da linha. Uma vez que as matrizes ]Z[ m e ]Y[ m são diagonais. Logo, estão desacopladas e suas soluções são conhecidas (BUDNER, 1970). Assim, com as fases totalmente desacopladas umas das outras, uma linha tetrafásica pode ser representada por meio de quatro modos de propagação, onde cada modo de propagação se comporta como quatro linhas monofásicas independentes, conforme mostra a figura 11 (KUROKAWA, 2003). 56 Figura 11 – Representação do k-ésimo modo de propagação de uma linha tetrafásica. Fonte: Produção do próprio autor. Na figura 11, AmkV e BmkV são respectivamente, as tensões transversais nos terminais A e B da linha do k-ésimo modo, enquanto que, AmkI e BmkI , são as correntes longitudinais nos terminais A e B da linha do k-ésimo modo, observando que o subscrito k é referente aos modos de propagação 1, 2, 3 e 4. A relação entre as tensões e correntes dos modos de propagação de uma linha tetrafásica pode ser obtida através das equações (76) a (79), utilizadas no capítulo 3 para uma linha monofásica (BUDNER, 1970). Portanto, com base nas equações (76) a (79), para uma linha tetrafásica, obtêm-se: )d(cosh000 0)d(cosh00 00)d(cosh0 000)d(cosh V V V V V V V V 44m 33m 22m 11m 4Bm 3Bm 1Bm 1Bm 4Am 3Am 2Am 1Am )d(senhZ000 0)d(senhZ00 00)d(senhZ0 000)d(senhZ 44m44Cm 33m33Cm 22m22Cm 11m11Cm 4Bm 3Bm 2Bm 1Bm I I I I (98) A AmkI B BmkI AmkV BmkV k–ésimo modo 57 )d(cosh000 0)d(cosh00 00)d(cosh0 000)d(cosh I I I I I I I I 44m 33m 22m 11m 4Bm 3Bm 2Bm 1Bm 4Am 3Am 2Am 1Am )d(senh Z 1000 0)d(senh Z 100 00)d(senh Z 10 000)d(senh Z 1 44m 44Cm 33m 33Cm 22m 22Cm 11m 11Cm 4Bm 3Bm 2Bm 1Bm V V V V (99) Sendo: )d(cosh000 0)d(cosh00 00)d(cosh0 000)d(cosh ]A[ 44m 33m 22m 11m m (100) )d(senhZ000 0)d(senhZ00 00)d(senhZ0 000)d(senhZ ]B[ 44m44Cm 33m33Cm 22m22Cm 11m11Cm m (101) 58 )d(senh Z 1000 0)d(senh Z 100 00)d(senh Z 10 000)d(senh Z 1 ]C[ 44m 44Cm 33m 33Cm 22m 22Cm 11m 11Cm m (102) )d(cosh000 0)d(cosh00 00)d(cosh0 000)d(cosh ]D[ 44m 33m 22m 11m m (103) As equações (98) e (99), podem ser escritas resumidamente, da seguinte forma: Bm Bm mm mm Am Am I V DC BA I V (104) Particularmente, para uma linha tetrafásica, os elementos das matrizes ]A[ m , ]B[ m , ]C[ m e ]D[ m podem ser descritos como sub-matrizes quadradas e diagonais, sendo calculadas em função dos parâmetros da linha. A partir da equação (104), podemos expressar as tensões e correntes modais no extremo A da linha em função das correntes e tensões modais no extremo B de uma linha tetrafásica. No entanto, esses valores devem ser analisados no domínio das fases e em função da frequência, dessa forma as correntes e tensões nas fases podem ser obtidas a partir de transformadas modais inversas, utilizando a matriz de transformação modal aplicada nas equações (94) e (95). A figura 12 mostra uma representação esquemática de uma linha de transmissão tetrafásica representada no domínio modal. 59 Figura 12 – Representação modal de uma linha de transmissão tetrafásica. Fonte: Produção do próprio autor. Na figura 12, as grandezas de tensão e corrente no domínio das fases são convertidas para grandezas modais através da matriz de transformação modal ]T[ I . Em seguida, realizam- se as simulações em cada modo da linha levando em consideração que cada um destes modos comporta-se como uma linha monofásica sem nenhum acoplamento com os demais modos. Uma vez que as grandezas modais são conhecidas, podemos converter as mesmas para o domínio das fases através de uma matriz de transformação modal inversa 1 I ]T[ . 4.3 Conclusão Neste capítulo, foi apresentado o processo de decomposição modal de uma linha de transmissão tetrafásica. A representação modal permite que uma linha de transmissão com quatro fases seja decomposta em seus quatro modos de propagação. A vantagem de se representar a linha por meio de seus modos de propagação está no fato de que cada um dos modos comporta-se como uma linha monofásica. Dessa maneira, uma linha tetrafásica pode ser representada como sendo quatro linhas monofásicas independentes, e posteriormente, calculadas as correntes e tensões em cada um dos modos de propagação da linha. As matrizes [Z] e [Y] da linha são variáveis em função da frequência, assim obtendo um conjunto de autovetores para cada frequência. No entanto, a matriz de transformação é Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 1 I ]T[ Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 ]T[ I Modo 1 Modo 2 Modo 3 Modo 4 60 uma matriz cujas colunas correspondem a um conjunto de autovetores do produto matricial [Y][Z]. Os autovetores do produto [Y][Z] são obtidos por meio de métodos numéricos a partir das soluções de equações algébricas. Dentre os métodos numéricos existentes, optou-se pelo método de Newton-Raphson (ANEXO A), pois permite a obtenção de autovetores que não variam bruscamente em função da frequência e os elementos obtidos da matriz de decomposição modal, são utilizados para determinar os parâmetros modais da linha de transmissão. 61 5.1 Introdução Neste capítulo serão realizadas comparações entre uma linha de transmissão trifásica convencional de 440 kV e uma linha de transmissão tetrafásica também de 440 kV. Inicialmente serão realizadas comparações entre os parâmetros longitudinais e transversais destas duas linhas. Em seguida serão mostradas as respostas na frequência de ambas as linhas, considerando frequências compreendidas entre 0,01 Hz e 1 MHz. A última comparação consistirá em comprovar, no domínio do tempo, os resultados obtidos no domínio da frequência. Para isto serão realizadas simulações, no domínio do tempo, das sobretensões que surgem nos terminais das linhas quando as mesmas são submetidas às operações de energização (transitórios de baixa frequência) e à incidência de descargas atmosféricas (transitórios de alta frequência). Todas as comparações serão realizadas considerando as linhas com diversos comprimentos e diversos valores de resistividade do solo sobre o qual as linhas foram construídas. 5.2 Descrição das linhas trifásica e tetrafásica analisadas Neste capítulo serão realizadas comparações entre uma linha trifásica de 440 kV de circuito simples e uma linha tetrafásica cujas silhuetas são mostradas na figura 13 (KUROKAWA, 2003; SAMORODOV, 1998). CAPÍTULO 5 CARACTERÍSTICAS DE UM SISTEMA TETRAFÁSICO DURANTE O REGIME TRANSITÓRIO 62 Figura 13 – Linhas de transmissão: (a) trifásica e (b) tetrafásica. Fonte: Kurokawa (2003) e Samorodov (1998). Nas figuras 13a e 13b são mostradas as silhuetas de uma linha trifásica e de uma linha tetrafásica, respectivamente, com tensões nominais de 440 kV, sendo que cada uma das fases da linha representa um condutor múltiplo constituído de 4 subcondutores dispostos na forma de um quadrado de 0,4 m de lado. Os subcondutores que constituem as fases são do tipo Grosbeak, com raio de 0.01021 m. Para efeito de simulação, consideramos que a fase 1 da linha trifásica e as fases 1 e 4 da linha tetrafásica estão a uma mesma altura em relação ao solo. O mesmo ocorre para as fases 2 e 3 das duas linhas. Ambas as linhas foram consideradas sem transposição. 5.3 Comportamento dos parâmetros longitudinais e transversais 5.3.1 - Parâmetros longitudinais Os parâmetros longitudinais das linhas mostradas na figura 14 foram calculados levando em contas os efeitos solo, pelicular e externa. Os parâmetros longitudinais devido ao efeito do solo foram calculados considerando solos com resistividade iguais a 10 Ωm, 100 2 1 3 24.4 m 28 m 18.54 m (a) (b) 18.54 m 28 m 24.4 m 23 4 1 63 Ωm e 1000 Ωm. Serão mostrados os parâmetros longitudinais próprios da fase 2 e os parâmetros mútuos entre as fases 2 e 3 das duas linhas mostradas anteriormente. A figura 14 mostra o comportamento da resistência própria da fase 2, devido ao efeito solo, das linhas mostradas na figura 13 considerando resistividades do solo iguais a 10 Ωm, 100 Ωm e 1000 Ωm. Figura 14 – Resistência própria da fase 2, devido ao efeito do solo considerando resistividades iguais a 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3). 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 10 2 10 4 Frequência (Hz) R es is tê nc ia ( O hm s/ km ) Trifásico Tetrafásico (3) (2) (1) Fonte: Produção do próprio autor. A figura 14 mostra que, considerando um determinado valor para a resistividade do solo, as duas linhas possuem resistências próprias devido ao efeito solo praticamente idênticas. Este fato ocorre porque as alturas das duas linhas são iguais. Verifica-se também que para frequências superiores a 1 kHz o valor da resistividade do solo influencia o comportamento das resistências próprias da linha devido ao efeito solo. A figura 15 mostra o comportamento da resistência própria da fase 2, devido ao efeito pelicular, das linhas mostradas na figura 13. Enquanto que, a figura 16 mostra o comportamento da resistência própria da fase 2 das duas linhas, dada pela soma das resistências próprias devido ao efeito solo (figura 14) e devido ao efeito pelicular (figura 15). 64 Figura 15 – Resistência própria da fase 2, devido ao efeito pelicular. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 Frequência (Hz) R es is tê nc ia ( O hm s/ km ) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. Figura 16 – Resistência própria da fase 2, considerando resistividades iguais a 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3). 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Frequência (Hz) R es is tê nc ia ( O hm s/ km ) Trifásico Tetrafásico (3) (2) (1) Fonte: Produção do próprio autor. 65 A figura 15 mostra que as resistências devido ao efeito pelicular das duas linhas são idênticas. Este fato ocorre porque as fases de ambas as linhas são constituídas do mesmo tipo de subcondutores. Verifica-se também que este parâmetro é praticamente constante em aproximadamente 100 Hz e aumenta em função da frequência quando se considera frequências mais elevadas. Na figura 16, observa-se que as resistências próprias das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho), formadas pela soma dos efeitos pelicular e solo, variam em função da frequência. Para uma frequência aproximadamente de 100 Hz, as resistências são praticamente constantes, mas quando se aumenta o valor da frequência apresentam aumento correspondente. No entanto, acima de 1 kHz aproximadamente, aumentam de valores, conforme aumenta se o valor da resistividade. A figura 17 mostra a resistências mútuas, entre as fases 2 e 3 das linhas, devido ao efeito do solo. Figura 17 – Resistências mútuas entre as fases 2 e 3, devido efeito solo, considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3). 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -6 10 -4 10 -2 10 0 10 2 10 4 Frequência (Hz) R es is tê nc ia ( O hm s/ km ) Trifásico Tetrafásico (3) (2) (1) Fonte: Produção do próprio autor. A figura 18 mostra a indutância própria da fase 2, devido ao efeito solo, enquanto que a figura 19 mostra a indutância própria na fase 2, devido ao efeito pelicular conforme mostra as linhas da figura 13. 66 Figura 18 – Indutância própria da fase 2, devido ao efeito do solo, considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3). 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Frequência (Hz) Im du tâ nc ia ( m H en ry /k m ) Trifásico Tetrafásico (3) (2) (1) Fonte: Produção do próprio autor. Figura 19 – Indutância própria da fase 2, devido o efeito pelicular. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 Frequência (Hz) In du tâ nc ia ( m H en ry /k m ) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. 67 Na figura 18, observa-se que as indutâncias próprias da fase 2 das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho), devido ao efeito solo, diminuem à medida que a frequência aumenta. Observa-se também que para frequências inferiores a 1 MHz este parâmetro é influenciado pela resistividade do solo. A figura 19 mostra que, a indutância própria da fase 2, devido ao efeito pelicular, é praticamente constante em baixas frequências e, a partir de 100 Hz, começa a diminuir à medida que a frequência aumenta e torne se praticamente constante novamente em frequências superiores a 1 MHz. A figura 20 mostra a indutância externa própria da fase 2 das linhas trifásica e tetrafásicas. Figura 20 – Indutância externa própria da fase 2. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 1.237 1.2372 1.2374 1.2376 1.2378 1.238 1.2382 1.2384 1.2386 1.2388 1.239 Frequência (Hz) In du tâ nc ia ( m H en ry /k m ) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. As indutâncias externas próprias da fase 2 da figura 20 são praticamente iguais e constantes, pois dependem somente da geometria da linha. A figura 21 mostra o comportamento da indutância própria da fase 2, dada pela soma das indutâncias próprias devidos ao efeito solo (figura 18), efeito pelicular (figura 19) e indutância externa (figura 20). 68 Figura 21 – Indutância própria da fase 2, considerando resistividades iguais a 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3). 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 Frequência (Hz) In du tâ nc ia ( m H en ry /k m ) Trifásico Tetrafásico (1) (2) (3) Fonte: Produção do próprio autor. Na figura 21 observa-se que, as indutâncias próprias da fase 2 das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho), formadas pela soma dos efeitos solo, pelicular e indutância externa são praticamente idênticas e influenciadas pelo incremento da frequência apresentando diminuição correspondente. No entanto, esse parâmetro está diretamente relacionado à resistividade do solo, podendo ser visíveis para frequências até 1 MHz e acima desse valor tornam se praticamente constantes. A figura 22 mostra as indutâncias mútuas, entre as fases 2 e 3 das linhas, devido ao efeito do solo, enquanto que a figura 23 mostra as indutâncias externas mútuas em função da frequência. 69 Figura 22 – Indutâncias mútuas entre as fases 2 e 3, devido ao efeito do solo considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3). 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 Frequência (Hz) In du tâ nc ia ( m H en ry /k m ) Trifásico Tetrafásico (3) (2) (1) Fonte: Produção do próprio autor. Figura 23 – Indutâncias externas mútuas entre as fases 2 e 3. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 0.206 0.2062 0.2064 0.2066 0.2068 0.207 0.2072 0.2074 0.2076 0.2078 0.208 Frequência (Hz) In du tâ nc ia ( m H en ry /k m ) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. 70 As indutâncias mútuas das fases 2 e 3, devido efeito solo conforme mostra a figura 22, apresentam comportamento semelhante em relação à indutância própria da fase 2 (figura 18), pois ambos os parâmetros estão em função do aumento da frequência e influenciados pela resistividade do solo. Na figura 23 observa-se que, as indutâncias externas mútuas das fases 2 e 3 são idênticas e constantes, esse fato ocorre, pois dependem apenas da geometria da linha. A figura 24 mostra as indutâncias mútuas entre as fases 2 e 3, considerando a soma do efeito solo (figura 22) e as indutâncias externas mútuas (figura 23). Figura 24 – Indutâncias mútuas entre as fases 2 e 3, considerando resistividades de 10 Ωm (curva 1), 100 Ωm (curva 2) e 1000 Ωm (curva 3). 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Frequência (Hz) In du tâ nc ia ( m H en ry s/ km ) Trifásico Tetrafásico (1) (2) (3) Fonte: Produção do próprio autor. O comportamento das indutâncias mútuas das fases 2 e 3 das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho), formadas pela soma do efeito solo e pela indutância externa são praticamente iguais, conforme mostra a figura 24. Verificou-se também uma diminuição correspondente em função do incremento da frequência, sendo essa diminuição diretamente relacionada a cada respectivo valor da resistividade do solo, para faixa de frequências até 1 MHz, acima de valor são praticamente constantes. 71 5.3.2 Parâmetros transversais Para o cálculo das capacitâncias transversais das linhas de transmissão trifásica e tetrafásica foi necessário obter as matrizes dos coeficientes de campo elétrico como descrito no capítulo 2. As matrizes das capacitâncias aparentes tetrafásicas e trifásicas, respectivamente, são dadas por: 11,17764,46017,69980,9215 4,460110,97900,75847,6998 7,69980,758410,97904,4601 0,92157,69984,460111,1776 ][C4F ]km/Fη[ (105) 7858,90059,13272,2 0059,17858,93272,2 3272,23272,20253,10 ][C3F ]km/Fη[ (106) As capacitâncias aparentes próprias das linhas tetrafásica e trifásica relativa à fase 2 são 10,9790 e 9,7858 km/F , respectivamente. No entanto, as capacitâncias aparentes mútuas das fases 2 e 3 são -0,7584 e -1,0059 km/F . As variações desses valores foram consideravelmente diferentes, devido ao aumento do número de fases na linha tetrafásica ou o tipo de geometria da linha na qual foi construída. 5.4 Resposta da linha no domínio da frequência Para verificar a resposta da linha tetrafásica no domínio da frequência, e comparar a resposta da mesma com a resposta da linha trifásica, tais linhas tiveram uma de suas fases energizadas por um impulso de acordo com os esquemas mostrados nas figuras 25 e 26. As simulações das tensões nas linhas mostradas nas figuras 25 e 26 foram realizadas utilizando a representação modal das linhas, ou seja, inicialmente foram calculadas as tensões em cada um dos modos de propagação das linhas, comportando-se como linhas monofásicas desacopladas, e em seguida tais tensões foram convertidas em tensões de fase. 72 Figura 25 – Energização da linha de tetrafásica com um impulso. Fonte: Produção do próprio autor. Figura 26 – Energização da linha trifásica com um impulso. Fonte: Produção do próprio autor. As figuras de 27 a 32 mostram o comportamento da tensão no terminal da fase 1 das linhas tetrafásicas e trifásicas para o comprimento de 100 km e 500 km, conforme mostra o esquema das figuras 25 e 26, considerando o solo na qual as mesmas foram construídas com as resistividades de 10 Ωm, 100 Ωm e 1000 Ωm, respectivamente. B A Fase 3 Fase 2 Fase 1 Solo Fase 4 V(ω) = 1 V(ω) = 1 B A Fase 3 Fase 2 Fase 1 Solo 73 Figura 27 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 10 Ωm. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequência (Hz) M ód ul o da T en sã o (p .u .) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. Figura 28 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 100 Ωm. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequência (Hz) M ód ul o da T en sã o (p .u .) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. 74 Figura 29 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 100 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 1000 Ωm. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequência (HZ) M ód ul o da T en sã o (p .u .) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. Figura 30 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 10 Ωm. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequência (Hz) M ód ul o da T en sã o (p .u .) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. 75 Figura 31 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 100 Ωm. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequência (Hz) M ód ul o da T en sã o (p .u .) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. Figura 32 – Tensão na fase 1 no terminal receptor das linhas trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) com 500 km de comprimento, considerando a resistividade do solo de 1000 Ωm. 10 -2 10 0 10 2 10 4 10 6 10 8 10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Frequência (Hz) M ód ul o da T en sã o (p .u .) Trifásico Tetrafásico Fonte: Produção do próprio autor. 76 Em todas as simulações realizadas para energização a partir de um impulso mostram que em baixas frequências as linhas de transmissão trifásica (azul) e tetrafásica (vermelho) apresentam aproximadamente a mesma resposta, independentemente do comprimento das linhas e do valor da resistividade do solo sobre as quais estas linhas foram construídas. No entanto, para maiores frequências observa-se que a amplitude da tensão no terminal da linha tetrafásica (vermelho) é menor que a tensão no terminal da linha trifásica (azul). O significado do comportamento da linha tetrafásica, em comparação com a linha trifásica, será melhor analisado no item 5.5. 5.5 Resposta da linha no domínio do tempo Para analisar o comportamento da linha tetrafásica no domínio do tempo, considerou- se o processo de energização da linha e também a incidência de uma descarga atmosférica em uma fase da mesma. Em ambas as situações, as tensões nos terminais da linha foram inicialmente realizadas no domínio da frequência e em seguida, utilizando a transformada inversa de Laplace, foram obtidas as tensões no domínio do tempo (MORENO, RAMIREZ, 2008). As simulações no domínio da frequência foram realizadas a partir da separação da linha em seus modos de propagação. Os resultados obtidos para a linha tetrafásica foram comparados com os resultados obtidos, nas mesmas condições, para a linha trifásica. Todas as simulações foram realizadas com o software Matlab. 5.5.1 Sobretensões resultantes da energização da linha As simulações das sobretensões resultantes do processo de energização da linha tetrafásica foram realizadas a partir da aplicação de quatro tensões senoidais tetrafásicas no terminal emissor da linha para uma frequência de 60 Hz. Foi considerado também que a linha alimenta uma carga de alta impedância, conforme mostra a figura 33. 77 Figura 33 – Energização da linha tetrafásica. Fonte: Produção do próprio autor. Para obter conclusões a respeito das sobretensões resultantes do processo de energização da linha tetrafásica, tais valores foram comparados com as sobretensões resultantes da energização da linha trifásica clássica de 440 kV. A energização da linha trifásica de 440 kV foi feita considerando que a mesma alimenta uma carga de alta impedância, de acordo com o esquema mostrado na figura 34. Figura 34 – Energização da linha trifásica. Fonte: Produção do próprio autor. As simulações do processo de energização das linhas mostradas nas figuras 33 e 34 foram realizadas considerando comprimentos de 100 km e de 500 km para as mesmas. Para analisar a influência do solo no comportamento das linhas, considerou-se que as mesmas foram construídas sobre solos com resistividades iguais a 10 Ωm, 100 Ωm e 1000 Ωm. Solo Carga de alta impedância B A Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fase 3 B Fase 2 Solo A Fase 1 Carga de alta impedância 78 Figura 35 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fonte: Produção do próprio autor. Figura 36 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando solo o com resistividade igual a 10 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms. 0 5 10 15 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fonte: Produção do próprio autor. 79 Figura 37 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fonte: Produção do próprio autor. Figura 38 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 10 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms. 0 5 10 15 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fonte: Produção do próprio autor. 80 Figura 39 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fonte: Produção do próprio autor. Figura 40 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms 0 5 10 15 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fonte: Produção do próprio autor. 81 Figura 41 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fonte: Produção do próprio autor. Figura 42 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 100 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms. 0 5 10 15 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fonte: Produção do próprio autor. 82 Figura 43 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 1000 Ωm. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fonte: Produção do próprio autor. Figura 44 – Tensões no terminal receptor da linha trifásica de 100 km, considerando solo com resistividade igual a 1000 Ωm, no intervalo de tempo compreendido entre 0 e 15 ms. 0 5 10 15 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fonte: Produção do próprio autor. 83 Figura 45 – Tensões no terminal receptor da linha tetrafásica de 100 km, considerando o solo com resistividade igual a 1000 Ωm. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -1000 -800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800 1000 Tempo (ms) T en sã o (k V ) Fase 1 Fase 2 Fase 3 Fase 4 Fonte: Produção do próprio autor. Figura 46 – Te