PATRICIA PASQUALI DOTTO 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VERIFICAÇÃO DA PROPORÇÃO ÁUREA EM MEDIDAS 
CEFALOMÉTRICAS LATERAIS DE INDIVÍDUOS COM 

SÍNDROME DE DOWN 
 

 

 
Tese apresentada à Faculdade de Odontologia 
de São José dos Campos, Universidade 
Estadual Paulista, como parte dos requisitos 
para obtenção do título de DOUTOR, pelo 
Programa de Pós-Graduação em 
BIOPATOLOGIA BUCAL, Área Radiologia 
Odontológica. 

 



PATRICIA PASQUALI DOTTO 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VERIFICAÇÃO DA PROPORÇÃO ÁUREA EM MEDIDAS 
CEFALOMÉTRICAS LATERAIS DE INDIVÍDUOS COM 

SÍNDROME DE DOWN 
 
 
 
Tese apresentada à Faculdade de Odontologia de São José dos Campos, 
Universidade Estadual Paulista, como parte dos requisitos para a 
obtenção do título de DOUTOR, pelo Programa de Pós-Graduação em 
BIOPATOLOGIA BUCAL, Área Radiologia Odontológica. 
 

 

Orientador Professor Titular Luiz Cesar de Moraes 

 
 
 
 

São José dos Campos 

2006 

 



DEDICATÓRIA 

 

 

 

 

 

A Deus 

“Você se fez presente em todos os momentos, firmes ou trêmulos. E passo a passo 

pude sentir a tua mão transmitindo-me a segurança necessária para enfrentar 

meu caminho e seguir. A sua presença é qualquer coisa como a luz e a vida, e eu 

sinto que, em meu gesto, existe o seu gesto e em minha voz, a sua voz”. 

Vinícius de Moraes 

 

Ao meu amor Gustavo 

“Alguém que não me pede nada em troca, alguém que alivia os maiores temporais 

da vida, alguém que me estende a mão nos momentos mais difíceis, que me 

acalma, me tranqüiliza, me traz força para encarar tudo, alguém que me faz ver 

o mundo sem maldades, alguém com brilho no olhar que me faz acordar todos os 

dias, alguém que me dá coragem, que me faz ver sempre o lado bom das coisas, 

que me ensinou a conhecer o amor, que me apresentou a vida de uma maneira tão 

pura, tão linda ... tão mágica. Alguém que compartilha meus sonhos, minhas 

ansiedades, que alivia minhas incertezas, que sempre me faz perceber que sou 

capaz, e me faz acreditar que chegarei a ser mais do que sonhei. Um amor maior 

do que tudo. Hoje encerro um sonho, um ideal. Fizestes parte de cada momento 

dessa conquista. A ti meu amor, amigo, a quem admiro tão profundamente como 

pessoa e como o brilhante profissional que és, permita-me dizer-te obrigada, 

dizer-te que te amo e que hoje essa vitória é tua também”. 



Aos meus amados pais Yara e Alfredo 

“Amor incondicional, companheiros de todas as horas, amigos em qualquer 

situação, minha base mais sólida, meu grande tesouro, meu mais precioso exemplo 

nessa vida, meu porto seguro. Vocês foram imprescindíveis para hoje eu estar 

aqui. Iluminaram meu caminho com a luz mais brilhante, me incentivaram a 

seguir em frente sempre, e me apoiaram em todos os sentidos! Saibam que antes 

de todas as coisas, além de toda a ciência, eu não teria chegado até aqui, sem 

vocês”.  

 

Aos meus queridos irmãos Ângelo e Mariane 

Meus melhores amigos. Nossa união me deu força para prosseguir. Para mim 

vocês representam proteção, companheirismo, carinho, afeto. O necessário para 

mesmo distante sentir-me abraçada, sentir-me perto, sentir-me segura. Obrigada 

por todo amor, por todos os momentos alegres, por serem os anjos que Deus 

escolheu para mim aqui na terra. 

 

Aos meus sogros Irma e Sidney  

Agradeço a vocês todo o apoio, toda a amizade, todos os momentos em que foram 

pais, amigos e companheiros. Vocês foram uma força, uma luz muito grande para 

nós, e mesmo distantes, sempre estiveram por perto. Obrigada por me acolherem 

com amor e muito carinho, sempre. 

 

A todos os meus familiares. Vocês foram guias. Sempre prontos a apoiar, 

aconselhar e incentivar para que eu seguisse em frente! Todos vocês tiveram uma 

participação especial nessa jornada. Muito obrigada, de coração! 



Uma dedicatória especial ... 

 

 

 

 

 

Aos pacientes com síndrome de Down 

Quando iniciei meus estudos sobre a síndrome de Down, percebi que não foi por 

acaso que entrei nessa linha de pesquisa. O assunto me interessava cada vez 

mais, e quando menos esperava já estava totalmente envolvida. Junto a isso, fui 

tomada por uma grande vontade de ajudá-los de alguma forma. Quero agradecer 

a todos vocês que participaram dessa pesquisa, como instrumentos preciosos para 

que eu pudesse desenvolver esse trabalho. Quero agradecer por ter conhecido 

muito sobre vocês, e por terem acontecido dessa forma tão especial em minha 

vida. Fica aqui o resultado desse trabalho, para todos vocês e a todos os seus 

familiares. Meu agradecimento por existirem e a certeza de que ainda tenho 

muito o que fazer por vocês. É apenas o começo. 

 



AGRADECIMENTO ESPECIAL 

 

 

 

 

 

Ao meu Orientador Professor Titular Luiz Cesar de Moraes 

Acreditar. Esse foi o maior ensinamento que sem querer me passastes. 

Primeiramente porque acreditastes em mim, na minha capacidade, sem ao menos 

me conhecer direito. E vendo isso, eu coloquei em mim todas as forças, para 

jamais decepcioná-lo. Porque se alguém acredita na gente, o que mais podemos 

querer ... É a maior prova de que o nosso caráter, a nossa credibilidade está acima 

de qualquer coisa. Me ensinastes também a acreditar mais em mim, em meu 

potencial e quanto a isso, não tenho palavras para expressar minha gratidão. Em 

todo o período que estive sob tua orientação me senti segura, apoiada em todos os 

momentos, em horas difíceis, e nas mais alegres também. Fostes meu grande 

amigo, um “paizão”, que em nenhum momento me deixou desamparada. Hoje esse 

nosso trabalho está concretizado, fruto de muita dedicação, de muito cuidado, de 

muitos ajustes para chegarmos onde queríamos. Hoje essa vitória é nossa, e eu só 

quero dizer-te muito obrigada. Obrigada pela oportunidade, por todas as vezes 

que esteve ao meu lado, por todos os ensinamentos, pela disponibilidade 

constante, obrigada simplesmente por tudo o que fizestes. Nossa amizade é um 

tesouro que guardarei em meu coração. Formamos uma família, e pode ter certeza 

que, como uma boa filha, retornarei sempre para relembrar-mos todos os 

momentos que fizeram parte dessa história.  



AGRADECIMENTOS ESPECIAIS 

 

 

 

 

 

À Professora Assistente Doutora Mari Eli Leonelli de Moraes 

Fostes acima de tudo, minha grande amiga e companheira. Uma pessoa com um 

coração bondoso que acolheu-nos sempre com muito carinho, muita generosidade. 

Obrigada por todos os momentos maravilhosos. Por ter me recebido de braços 

abertos. Por ter nos permitido conviver com a doce Luisa. E por partilhar comigo, 

sempre, teus conhecimentos sobre os pacientes especiais e, principalmente, por 

todas as contribuições que fizestes para que esse trabalho se concretizasse.  

 

Ao Professor Titular Edmundo Medici Filho 

Sempre disponível, sempre dedicado, sempre preocupado em ensinar e conduzir os 

trabalhos da melhor maneira. Para mim, uma pessoa especial. Um amigo com o 

qual pude dividir muitos momentos. Obrigada pela grande ajuda que me destes 

na tese e durante todo o curso. Obrigada pelos conselhos e pelos preciosos 

ensinamentos. Hoje, o resultado de todo esse trabalho tem também teu esforço. 

 

Ao Professor Adjunto Julio Cezar de Melo Castilho 

Por tudo o que pude aprender, por todas as coisas que levarei comigo. Obrigada. 

 



Ao Professor Assistente Doutor João Carlos da Rocha 

Um bom exemplo a gente sempre segue e guarda com carinho em nossos corações. 

Para mim, tua dedicação, preocupação e carinho com esses pacientes tão 

especiais, é um dos exemplos mais preciosos que levarei comigo para sempre. 

Fostes um grande incentivador do meu trabalho. Como banca do meu Exame 

Geral de Qualificação, fizestes considerações importantes que o enriqueceram 

muito. O que tenho a dizer é simplesmente, obrigada. Por mim, e por todos eles 

também! 

 

Aos grandes amigos Evelise e Jefferson 

A vida nos apresenta pessoas, que aos poucos vamos percebendo serem muito 

parecidas com a gente. Aí começamos a nutrir um carinho especial por elas e de 

repente, nasce uma grande e verdadeira amizade. E foi assim com vocês dois. 

Amigos verdadeiros, nos momentos mais difíceis e nos mais alegres também. 

Amigos de todas as horas, companheiros leais, sinceros, honestos. Além de 

grandes companheiros foram para mim indispensáveis para que esse trabalho se 

concretizasse. Só tenho a agradecer por todos os ensinamentos a mim 

dispensados, não medindo esforços para que eu chegasse ao final. Obrigada por 

terem passado por minha vida dessa forma tão especial. Vocês irão ficar 

guardados para sempre, do lado esquerdo do peito, dentro do meu coração. 

 

À doce Lawrenne 

Tu amiga, fostes uma pessoa indispensável para mim, para que tudo sempre desse 

certo, para que eu sempre me sentisse protegida, amparada ... uma amizade 

sincera, no mais profundo sentido da palavra. Minha grande amiga e irmã pra 

sempre! Obrigada por seres a pessoa que és, continues assim. Sentirei tua falta ... 

 



Às queridas amigas Lawrenne, Carol Evelise e Aline 

Falar de vocês e dizer só coisas boas ... Foram amigas de verdade, com o 

sentimento mais sincero. Em vocês encontrei a segurança, o apoio, nos momentos 

em que mais precisei. Mesmo sem saber, vocês foram meus anjinhos protetores. 

Juntas, dividimos as angústias, compartilhamos a felicidade, sorrimos e choramos 

muito. Nos encontramos porque assim tinha que ser. Estaremos sempre lado a 

lado. Mesmo longe, nossos corações estarão unidos, sempre!  

 

Aos amigos, Milton e Janaina, Luciano e Francine 

Quantas lembranças boas vocês deixaram em minha vida! Grandes amigos, de 

corações maravilhosos, que aos poucos foram tornando-se tão especiais. Coisas 

que a vida não explica. Tínhamos que nos encontrar. Quero agradecer por todo o 

apoio, por todos os momentos alegres, todas as risadas, por tantas coisas que 

acabaram fazendo parte de nossas vidas, e que levarei para sempre comigo. Eu, 

Gu, Vocês, Eve, Jeff, Lawre e Carol formamos uma grande família, somos irmãos 

de coração para sempre. Obrigada! 

 

Aos amigos Sandra e David 

Fomos colegas e amigos, acima de tudo. Quero agradecer por terem passado em 

minha vida. Tenho muita gratidão e respeito por vocês. Saibam sempre da 

importância e do carinho que tenho por esse casal tão admirado. Sandra, quero te 

agradecer em especial, por tão carinhosamente ter se disposto a passar teus 

conhecimentos sobre cefalometria a mim, e à toda nossa turma. És um bom 

exemplo a ser seguido!  

 



Queridas colegas e amigas Carola, Gisele e Priscila 

Agradeço pela amizade, pelos bons momentos e principalmente pelos estudos 

incansáveis que juntas realizamos. Aprendi muito com vocês. Desejo muita sorte 

e sucesso a todas!  

 

Aos sempre queridos amigos Professora Doutora Cristiane Yumi Koga Ito e 

família, e ao casal tão especial Clélia e Rogério 

Nossa amizade começou durante o meu mestrado e, podem ter certeza, vocês 

foram as melhores recordações que trago comigo daquele tempo. Obrigada pela 

força que sempre tive de vocês, pelo carinho, pelas palavras de apoio e pela linda 

amizade que construímos, a qual ficará para sempre em meu coração. Vocês são 

especiais demais para mim! 

 

Aos amigos Giselle e Lincoln 

Minha querida colega de faculdade, acabamos nos reencontrando em São José 

dos Campos.  Agradeço a amizade e carinho sempre a mim dispensados. Saiba 

sempre de toda minha admiração por ti! Boa sorte a ti e à tua linda família. 

 

Aos meus queridos colegas de mestrado Luciana Fernandes, Fabio Shigueo Eto, 

Ana Posch, Patricia Pecoraro, Suzane A Raslan, Alessandra Porto, Alessandro 

Ceschin, João Carlos Jardim, Ilizabete, Renata lameira e José Chibebe Junior 

Vocês foram e serão sempre boas lembranças em minha vida ... De um tempo 

muito bom, de uma fase que para todos foi muito importante. Obrigada pelo 

carinho de sempre e pela amizade, mesmo que de longe. 

 



AGRADECIMENTOS 
 

 

 

 

 

À Faculdade de Odontologia de São José dos Campos-Universidade 

Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, na pessoa de seu diretor 

Professor Adjunto Paulo Villela Santos Júnior, agradeço a 

receptividade e a estrutura oferecida para que fosse possível trabalhar da 

melhor maneira, sempre. Levo uma bonita recordação do período em que 

estive aqui e um grande respeito por essa instituição. 

 

À Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Biopatologia Bucal 

da Faculdade de Odontologia de São José dos Campos - Universidade 

Estadual Paulista, Professora Adjunta Rosilene Fernandes da Rocha 

por todo empenho dispensado ao curso. 

 
À Diretora Técnica de Serviços de Biblioteca e Documentação, Ângela de 

Brito Bellini, pela normalização da minha tese. Obrigada pela amizade, 

atenção, compreensão e disposição sempre que precisei da tua ajuda.  

 

Aos colegas da Pós-Graduação Cleber Frigi Bissoli, Wilton Mitsunari 

Takeshita, Sandra Helena dos Santos, Myrna Lícia Gelle Oliveira, 

Luis Roque Araújo dos Santos, Marcos André dos Santos Silva, 

Márcia Valéria Martins, Elaine Félix, Luiz Roberto Coutinho Manhães 

Júnior. Obrigada pela convivência, por todos os momentos. Boa sorte e 

sucesso a todos vocês! 



Às estagiárias Diana, Priscila e aos monitores da disciplina de Radiologia 

Odontológica Helton, Lylian, Maurício, Nataly, Aline e Heloisa. 

 
Às queridas funcionárias e amigas da Disciplina de Radiologia 

Odontológica, Conceição, Eliana e Madalena. Nossa amizade foi além 

da faculdade. Saibam que foram fundamentais para que tudo sempre 

desse certo, para que meu trabalho se concretizasse. Aprendi muito com 

vocês. Sentirei saudades. 

 

Às secretárias do Programa de Pós-Graduação, Rose, Erena e Cida, 

pela atenção e dedicação sempre a mim dispensadas. E a todos os 

funcionários dessa instituição pelo imenso carinho e disponibilidade 

que sempre encontrei em todos vocês. 

 

Ao querido Camilo Daleles Rennó. Meus sinceros agradecimentos por 

ter feito, incansavelmente, a estatística de meu trabalho. Além de ser um 

excelente profissional fostes para nós também um amigo, nos acolhendo 

sempre em tua casa para esclarecer as dúvidas, sempre disposto a nos 

auxiliar. 

 

À Empresa Radiomemory muito obrigada por gentilmente ter cedido o 

programa Radiocef 4.0, fundamental para a concretização desse estudo. 

 

À CAPES pelo auxílio financeiro a mim dispensado no período em que 

cursei o doutorado. Um importante e indispensável apoio, ao qual serei 

eternamente grata. 

 

E a todos aqueles que de uma forma ou outra foram importantes para que esse 

trabalho se concretizasse. Meus mais sinceros agradecimentos, de coração!



Para pais de filhos muito especiais .....  

 

"Bem vindos à Holanda" 

Freqüentemente me pedem que descreva o que é a experiência de criar um filho 
com necessidades especiais. Para ajudar aqueles que nunca tiveram 
oportunidade de entender o que esta experiência significa e imaginar o que se 
pode sentir. O que lhes digo é o seguinte: 

Quando se vai ter um bebê, é como planejar uma fabulosa viagem de férias à 
Itália. Compra-se um montão de guias turísticos e se faz planos maravilhosos 
para conhecer o Coliseu, o David de Michelangelo, as gôndolas de Veneza. Uns 
se preparam inclusive para aprender algumas palavras em italiano. Todos os 
preparativos são muito emocionantes. Depois de vários meses de expectativa e 
preparação, chega finalmente o esperado dia. Você arruma suas malas e se 
dirige ao aeroporto. Horas mais tarde, o avião aterrisa  e a comissária de bordo 
anuncia: "Bem vindos à Holanda!".  

"Holanda!?!?" você se pergunta. "Como Holanda? Meu vôo era para Itália, deve 
haver um erro. Claro que deveria estar na Itália. Minha vida toda sonhei em ir à 
Itália." Porém houve uma mudança no plano de vôo e o avião aterrisou na 
Holanda e você deve ficar aqui ... O importante é que não te levaram para um 
lugar horrível, desagradável e sujo, cheio de doenças e fome. É só um lugar 
diferente ... 

Então você deve sair, fazer compras e adquirir novos guias turísticos. Aprenderá 
um novo idioma e conhecerá um monte de gente que provavelmente nunca iria 
conhecer. É só um lugar diferente. Com um ritmo menos frenético que o da Itália, 
menos agitado e glamuroso. Porém, uma vez que a agitação tenha passado e 
que esteja mais alentada, você olha ao se redor e começa a dar-se conta que 
Holanda tem moinhos de vento, e tulipas... Holanda inclusive, tem Rembrandts e 
Van Gogh! 

Porém todos o que você conhece estão muito ocupados indo e vindo da Itália, e 
todos se ufanam das maravilhosas férias que passaram lá. E pelo resto de sua 
vida, você dirá: "Sim, é ali que eu deveria ter ido. Isto é o que eu havia 
planejado!". E essa dor, nunca, nunca, jamais se irá, pois a perda desse sonho é 
uma perda muito significativa. Mas... se você passa a vida lamentando o fato de 
não poder ter ido a Itália, nunca terá o espírito livre para desfrutar de tudo aquilo 
que faz da Holanda um lugar especial e muito bonito .... 

Por Emily Pearl Kingsley (mãe de Jason, co-autor do livro "Count Us In: Growing Up with Down 
Syndrome", 1994), Traduzido pelo Prof. Marcus Renato de Carvalho. Disponível em: 
http://www.aleitamento.com/a_artigos.asp?id=3&id_artigo=692&id_subcategoria=4



 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

“Ando devagar porque já tive pressa  
Levo esse sorriso, porque já chorei demais  

Hoje me sinto mais forte, mais feliz quem sabe  
Só levo a certeza de que muito pouco eu sei, eu nada sei ... 

 
É preciso o amor pra poder pulsar, 

É preciso paz pra poder sorrir, 
É preciso a chuva para florir ... 

 
Penso que cumprir a vida seja simplesmente  

compreender a marcha, e ir tocando em frente  
... Um dia a gente chega, no outro vai embora ... 

 
Cada um de nós compõe a sua história,  

e cada ser em si, carrega o dom de ser capaz,   
De ser feliz!” 

 
Almir Sater 

 



SUMÁRIO 
 

 

 

 

 

RESUMO         16 

1 INTRODUÇÃO        17 

2 REVISÃO DA LITERATURA      24 

2.1 Proporção áurea       24 

2.1.1 Histórico da proporção áurea     24 

2.1.2 A proporção        32 

2.1.3 A proporção áurea e os números de Fibonacci  35 

2.1.4 A proporção áurea no corpo humano    42 

2.1.5 A proporção áurea na análise dentária   45 

2.1.6 A proporção áurea relacionada à beleza e à estética 49 

2.1.7 A proporção áurea em medidas craniofaciais  56 

2.2 Síndrome de Down       66 

2.2.1 Histórico        66 

2.2.2 Definição        71 

2.2.3 Prevalência e Incidência      72 

2.2.4 Etiologia, patogênese e risco     73 

2.2.5 Características gerais      76 

2.2.6 Características bucais      79 

2.2.6.1 Periodonto        79 

2.2.6.2 Cárie dentária       80 

2.2.6.3 Dentes        81 

2.2.6.4 Língua        82 

2.2.6.5 Palato        83 

2.2.6.6 Oclusão        84 

2.2.6.7 Lesões periorais       86



2.2.7 Características craniofaciais     87 

2.3 Crescimento craniofacial e curva de crescimento puberal 98 

2.3.1 Curva de crescimento para indivíduos com síndrome de 
Down         107 

2.4 A radiografia cefalométrica lateral, a marcação dos pontos 
cefalométricos e a reprodutibilidade    109 

3 PROPOSIÇÃO        115 

4 MATERIAL E MÉTODOS      116 

4.1 Material         116 

4.2 Métodos         117 

4.2.1 Seleção da amostra      117 

4.2.2 Classificação da amostra      118 

4.2.2.1 Anatomia da mão e punho     119 

4.2.2.2 Estágios epifisários      121 

4.2.3 Digitalização das radiografias cefalométricas laterais 128 

4.2.4 Análise da proporção áurea     128 

4.2.5 Identificação das razões utilizadas no estudo  135 

4.2.6 Análise estatística       144 

5 RESULTADOS        145 

5.1 Dados referentes à amostra do estudo    145 

5.2 Análise dos resultados do erro intra-examinador  147 

5.3 Avaliação das razões nas diferentes fases de crescimento 150 

6 DISCUSSÃO        160 

7 CONCLUSÕES        200 

8 REFERÊNCIAS        202 

ANEXOS         218 

ABSTRACT         220 

 



DOTTO, P.P. Verificação da proporção áurea em medidas 
cefalométricas laterais de indivíduos com síndrome de Down. 2006. 
221f. Tese (Doutorado em Biopatologia Bucal, Área Radiologia 
Odontológica) - Faculdade de Odontologia de São José dos Campos, 
Universidade Estadual Paulista, São José dos Campos, 2006. 
 
 
 

RESUMO 
 

O propósito no presente estudo foi verificar a existência da proporção 
áurea entre algumas medidas cefalométricas laterais de indivíduos com 
síndrome de Down (SD), bem como, observar se houve variações nas 
razões avaliadas em diferentes períodos de crescimento de acordo com a 
curva de crescimento puberal (CCP), e entre os sexos. Para tanto, foram 
analisadas 52 radiografias cefalométricas laterais e 52 radiografias de 
mão e punho de indivíduos com SD entre seis e 33 anos de idade. A 
divisão da amostra foi realizada no programa Curva de Crescimento 1.0 
(Radiomemory®). Foram selecionados 16 segmentos craniofaciais, 
gerando 17 razões. As medidas foram calculadas no programa Radiocef 
4.0 (Radiomemory®). O erro intra-examinador foi verificado pelo teste de 
Análise de Regressão Linear (r>0,95). Os resultados obtidos foram 
submetidos à Análise de Regressão Linear Múltipla e teste t de Student 
(5%). Das 17 razões, três apresentaram tendência à proporção áurea em 
todas as fases tanto para o sexo masculino quanto para o feminino (S-
AcrS/N-Ena; S-AcrS/Ena-Enp e N-ASPt/Sf1/-C1MS). A razão N-
POMxN/Or-POMx-Or foi áurea para os dois sexos após o período do pico 
do surto de crescimento puberal. Em Po-N/Co-Go e Co-Gn/N-POMxN, a 
tendência foi verificada para o sexo feminino em todas as fases, quanto 
ao sexo masculino, houve variação na ocorrência durante as fases. Para 
Co-Gn/Go-Pog, essa tendência foi observada para o sexo masculino no 
final do crescimento. A razão Co-Go/Sf1/-C1MS apresentou variações na 
ocorrência para ambos os sexos. O autor concluiu que indivíduos com SD 
apresentaram algumas medidas do crânio em proporção áurea e que para 
algumas razões analisadas houve variações na ocorrência com relação às 
fases de crescimento e diferenças entre os sexos foram observadas. 
 
 
PALAVRAS-CHAVE: Síndrome de Down; ortodontia; proporção áurea; 

cefalometria, crescimento. 
 



1 INTRODUÇÃO 
 

 

 

 

 

O ser humano é uma espécie biológica dinâmica que sob 

ação de processos metabólicos sucessivos evolui, segundo os fatores 

individuais e ambientais, devido aos mecanismos de crescimento e 

desenvolvimento (ATTIZZANNI & ARAÚJO9, 1980). O crescimento não é 

um mero processo de aumento de tamanho. Envolve também, uma 

sucessão desconcertante de mudanças regionais nas proporções, e 

requer incontáveis ajustes localizados para alcançar a devida função e 

estabilidade entre todas as partes (ENLOW33, 1993). O que se observa é 

que o corpo humano tem em sua formação e crescimento seqüências e 

regras próprias, as quais vêm sendo observadas e estudadas sob vários 

aspectos. 

Um desses aspectos consiste numa proporção constante, 

identificada em muitos eventos que ocorrem na natureza, e que se 

relaciona também com o crescimento e desenvolvimento do corpo 

humano, sendo denominada de proporção áurea. Essa constante é uma 

proporção que parece dirigir o crescimento, a harmonia, a reprodução e a 

estabilidade das formas na natureza e vem sendo constatada durante 

toda história do homem por diversos estudiosos, filósofos, matemáticos, 

botânicos, escultores, pintores, arquitetos, ortodontistas, cirurgiões-

dentistas que trabalham com estética, entre outros (GIL50, 2001). 

Muitos estudiosos que, historicamente foram importantes 

para a arte, filosofia e matemática, utilizaram a proporção áurea em suas 

obras e estudos. O matemático Pitágoras de Samos observou que certas 

proporções ligadas a padrões de beleza, harmonia e estética poderiam 

ser descritas matematicamente e que, quando relacionadas ao corpo e 



 

 

18

crescimento humano, são chamadas de formas homotéticas (GIL49, 

1999). Então, relacionou essas proporções com a geometria harmônica, 

tendo como base a divisão desigual de uma reta. Euclides de Alexandria 

também teve grande importância para história da matemática. Explicou a 

proporção áurea a partir da divisão de um segmento de reta em média e 

extrema razão da seguinte forma: “ao se dividir uma reta de maneira 

assimétrica em duas porções desiguais, mantém-se uma proporção tal 

que, o segmento maior está para o menor assim como a soma de ambos 

está para o segmento maior” (TORRES136, 1970; BAKER & WOODS10, 

2001; GIL & MEDICI FILHO51, 2002).  

Essa proporção é gerada a partir da proporcionalidade 

que se expressa pelo número incomensurável 1,618033 ... (sendo 

geralmente utilizado 1,618) denominado de número áureo e expresso 

pelo caractere grego Φ (phi), podendo ser encontrado em estruturas que 

estão em harmonia e equilíbrio funcional. 

A proporção áurea pode ser observada também em uma 

série matemática denominada de seqüência de Fibonacci. Em 1202, o 

matemático Fibonacci ao investigar a reprodução de coelhos em 

condições ideais, observou que um número era sempre igual à soma de 

seus dois antecessores e que ao se dividir um número pelo seu 

antecessor, o coeficiente era próximo do número áureo, sendo que 

quanto mais se avançava a série, essa se tornava constante em 1,618. 

Essa seqüência proporciona embasamento matemático para a proporção 

áurea. Curiosamente essa seqüência e a proporção estão interligadas 

pelo número áureo. Podem ser encontradas com freqüência na natureza 

como: na reprodução de animais, distribuição de folhas nas árvores, no 

número de pétalas das flores, no corpo humano, em figuras geométricas 

como o retângulo áureo, entre outros (TORRES136, 1970; RICKETTS115, 

1982; GIL50, 2001; KNOTT et al.66, 2004). 

O ser humano parece ser atraído por objetos e estruturas 

que se encontram em proporção áurea. Conforme citado por Ricketts115 



 

 

19

(1982) a proporção áurea parece ter alguma maravilhosa e única 

propriedade. É a qualidade que por alguma razão atrai a atenção e é 

gravada no sistema límbico como bonito, harmônico e equilibrado. Essa 

confirmação da atração e preferência dos seres humanos por objetos e 

estruturas que se encontram em proporção, foi observada em estudos 

realizados na área da Psicologia por autores como Hintz & Nelson56 

(1971) e BENJAFIELD14 (1976). 

Por acreditar que estruturas em proporção áurea sejam 

mais estáveis, esteticamente agradáveis e funcionalmente eficientes, 

sendo um dos mais eficientes recursos de proporcionalidade estética, 

muitas áreas da saúde como Cirurgia Plástica, Ortopedia Facial, 

Ortodontia, Dentística, Prótese e Cirurgia Bucomaxilofacial têm 

demonstrado interesse em estudar esse assunto. Especificamente na 

área Odontológica onde cada vez mais se objetiva devolver ao paciente a 

função, juntamente com harmonia e estética facial, muitos estudos têm 

sido realizados. Autores como Ricketts114,115 (1981 e 1982), Amoric6 

(1995), Gil & Medici Filho51 (2002), Martins79 (2003) e Araújo7 (2003) 

observaram por meio de radiografias cefalométricas laterais, a existência 

da proporção áurea em algumas medidas. Em 1981, Ricketts114 afirmou 

que a proporção áurea pode ser utilizada na análise da morfologia dos 

dentes, do tecido esquelético, dos tecidos moles da face pois, segundo o 

autor, é um instrumento válido para avaliação estética nessas regiões.  

Estudos de Ricketts114,115 (1981 e 1982), Gil49,50 (1999 e 

2001) e Gil & Medici Filho51 (2002), verificaram que o crânio humano de 

indivíduos adultos com oclusão normal, os quais possuem em sua 

constituição craniofacial estruturas mais estáveis e funcionalmente mais 

eficientes, apresenta medidas em proporção áurea. Esses achados 

impulsionaram a realização do presente estudo.  

Tendo conhecimento que essa proporção está 

relacionada ao crescimento das estruturas e à sua função, sua 

observação pode auxiliar no planejamento de condutas terapêuticas, pois 



 

 

20

conhecendo as estruturas que estão em proporção áurea é possível 

devolver ao paciente as medidas que lhes são mais harmônicas. Na 

verdade, a proporção áurea consiste em uma forma de individualizar a 

análise cefalométrica, trazendo para cada indivíduo proporções com base 

em suas próprias medidas, visto que a maioria das análises existentes e 

realizadas rotineiramente, baseiam-se em padrões médios da população.  

A partir disso, surgiu o interesse em verificar se há 

ocorrência da proporção áurea em medidas cefalométricas laterais de 

indivíduos com síndrome de Down (SD). Observou-se que, estudos têm 

sido realizados em indivíduos adultos e em fase de crescimento e 

desenvolvimento, entretanto há na literatura, poucos trabalhos 

relacionando SD e proporção áurea. 

A SD, é resultado de uma anormalidade cromossômica, 

ou seja, a causa é o excesso de material genético no cromossomo 21. 

Esse cromossomo adicional, muda o desenvolvimento ordenado do corpo 

e do cérebro. John Langdon Haydon Down descreveu clinicamente a 

síndrome pela primeira vez em 1866, mas sua causa permaneceu um 

mistério durante quase um século. Em 1959, Lejeune e colaboradores, 

confirmaram que a maioria das crianças com SD têm 47 cromossomos 

apresentando um cromossomo acrocêntrico pequeno, designado 

cromossomo 21.  

Estima-se que haja, entre os 170 milhões de brasileiros, 

cerca de 300 mil pessoas que nasceram com a SD (PIMENTEL104, 2005). 

A incidência é variável e oscila entre 1:660 a um para mil ou mais 

nascidos vivos (FLOREZ & RUIZ45, 2005). Pode ocorrer em todos os 

grupos étnicos e classes sociais. Os indivíduos apresentam certos traços 

fenotípicos que lhes são peculiares. Além disso, muitas alterações de 

ordem sistêmica, bem como, alterações bucais e craniofaciais são 

observadas. 

Dentre as características craniofaciais são verificadas 

freqüentemente braquicefalia, hipoplasia do terço médio da face 



 

 

21

envolvendo maxila e ossos nasais, distância da margem infra-orbital à 

crista óssea alveolar mais curta, a testa geralmente é mais proeminente e 

a porção posterior da cabeça apresenta-se achatada. A região da órbita 

apresenta-se com alterações como prega do epicanto larga e fissura 

palpebral oblíqua. O crescimento craniofacial é menor nos indivíduos com 

SD quando comparado aos indivíduos sem síndrome. A maxila 

geralmente está subdesenvolvida e um pseudoprognatismo mandibular é 

geralmente observado. A cavidade bucal geralmente encontra-se com 

tamanho reduzido (SPITZER et al.128, 1961; ATTIZZANNI & ARAÚJO9, 

1980; ALLANSON et al.5, 1993; LOPEZ71, 2005). Sabe-se que as 

alterações craniofaciais têm reflexos consideráveis na oclusão e 

conseqüências prejudiciais ao sistema estomatognático, levando a uma 

adaptação das funções de fonação, respiração, deglutição e mastigação.  

É observado que a incidência e prevalência de indivíduos 

com SD tem aumentado, e junto a isso, a expectativa de vida cresce. O 

convívio com eles tem se tornado cada vez mais comum, e a inclusão 

social dessa população é cada vez mais freqüente. Diante disso, os 

profissionais da saúde devem estar cada vez mais esclarecidos e 

preparados para atendê-los, oferecendo-lhes melhora nas condições e na 

qualidade de vida. Em especial os Cirurgiões-dentistas devem buscar 

conhecer cada vez mais as alterações bucais e craniofaciais envolvidas 

nessa síndrome, para devolver-lhes uma melhora na função. Nesse 

sentido, tratamentos ortopédicos e/ou ortodônticos têm sido 

desenvolvidos com uma freqüência cada vez maior. Na área médica, mais 

precisamente na área de Cirurgia Plástica, têm sido propostas cirurgias 

plásticas corretivas a fim de minimizar as características fenotípicas 

desses indivíduos, bem como, proporcionar-lhes melhora na fala, 

respiração, deglutição, entre outras.  

A análise da proporção áurea seria uma forma de 

conhecer melhor a arquitetura craniofacial desses indivíduos, verificar 

como as diferentes estruturas avaliadas, que encontram-se em proporção 



 

 

22

áurea em indivíduos com oclusão normal, apresentam-se com relação à 

proporção, fornecendo aos profissionais uma informação a mais, no 

diagnóstico e plano de tratamento a eles dispensado, visto que, muitas 

vezes, a realização de traçados cefalométricos usuais é uma das 

dificuldades encontradas por parte dos profissionais. 

Em estudos de Farkas et al.34-37 (2001, 2002), os quais 

observaram proporções da face de indivíduos com SD em diferentes 

faixas etárias, verificou-se que, após a maturidade, o efeito remediador do 

crescimento ocasionou melhora de algumas medidas que estavam em 

desproporção. Os autores consideraram que a tendência à normalidade 

após a maturação, sugere que cirurgias reconstrutivas, por exemplo, 

possam ser realizadas após esse período. Em 1977, Ghyka48 observou 

que a presença da proporção áurea na divisão da altura humana, a partir 

do umbigo, já mostrava-se evidente aos 13 anos de idade. Araújo7 (2003) 

e Martins79 (2003) encontraram medidas em proporção áurea em 

indivíduos com oclusão normal, na curva ascendente e descendente do 

surto de crescimento puberal, respectivamente. Com base nesses 

conhecimentos, surgiu o interesse em observar como se apresentam as 

proporções avaliadas em indivíduos com SD, em diferentes períodos de 

crescimento, ou seja, observar a tendência ou não à proporção áurea, e 

se a mesma estiver presente, analisar em que fase da vida desses 

indivíduos ocorre. 

Sabe-se que o crescimento facial, tende a seguir em seu 

ritmo, a curva de crescimento em altura sendo que as mudanças nas 

proporções faciais tendem a acentuar-se em períodos de 

desenvolvimento acelerado (ELGOYHEN31, 1999). O indicador mais 

comumente utilizado em estudos a respeito do crescimento e 

desenvolvimento, é a idade óssea (TAVANO133, 2004), sendo que nesse 

sentido, a radiografia de mão e punho representa ser um auxiliar na 

avaliação da idade óssea individual, detectando, por meio dos eventos de 



 

 

23

ossificação, o período de surto de crescimento puberal (MERCADANTE82, 

1996). 

Sendo assim, o intuito deste trabalho foi verificar a 

existência de proporção áurea em medidas do crânio por meio de 

radiografias cefalométricas laterais e observar se há variações nas 

proporções analisadas em diferentes fases de crescimento de acordo com 

a curva de crescimento puberal, bem como, se ocorrem diferenças entre 

os sexos. 

 

 
 



2 REVISÃO DA LITERATURA 
 

 

 

 

 

Para um melhor entendimento, a revisão da literatura foi 

dividida em quatro assuntos, com a intenção de facilitar a compreensão e 

a leitura. Primeiramente abordaram-se aspectos relativos à proporção 

áurea, após foi realizada revisão a respeito da síndrome de Down. Em 

seguida, aspectos relacionados ao crescimento facial e a curva de 

crescimento puberal. No último tópico, foram realizadas considerações 

sobre a radiografia cefalométrica lateral, marcação dos pontos 

cefalométricos e reprodutibilidade das marcações. 

 

 

 

2.1 Proporção áurea 
 

 

 

2.1.1 Histórico da proporção áurea 

 

 

 

Os Egípcios consideravam o número de ouro sagrado, 

tendo uma importância extrema em sua religião. Utilizavam-no para a 

construção de templos e sepulcros para os mortos, pois consideravam 

que, caso isso não acontecesse, o templo poderia não agradar aos 

Deuses ou a alma não conseguiria chegar ao Além. No Templo de 

Dendara, por exemplo, as arcadas são proporcionais ao retângulo de 



 

 

25

ouro, no interior existe uma escadaria em espiral, com uma forma muito 

semelhante à da espiral de ouro (RANULFO109, 2005). 

O historiador grego Heródoto relatou que os sacerdotes 

egípcios lhe haviam dito que as dimensões da pirâmide de Gizé haviam 

sido escolhidas de maneira que a área de um quadrado, cujo lado é a 

altura da grande pirâmide fosse igual à área da face triangular. Uma 

álgebra bastante simples pode ser utilizada para mostrar que a razão 

entre a altura de uma face triangular e a metade do comprimento da base 

é igual a Φ (phi). Medições reais da pirâmide parecem resultar em um 

valor muito próximo dessa razão (Figura 1) (GIL49, 1999). Conforme citado 

por Ranulfo109 (2005), o Papiro de Ahmes mostra os planos para a 

construção da Grande Pirâmide de Gizé (4700 a.C.), com proporções de 

acordo com o "número sagrado". 

    
FIGURA 1 – Esquema representativo da construção das pirâmides de Gizé81. 

 

Os Egípcios consideravam o número de ouro muito 

agradável esteticamente, usando-o também em seu sistema de escrita. 

Muitos hieróglifos têm proporções baseadas no número de ouro. 

Utilizavam-nos para que fosse mais fácil que todos conseguissem 

escrever de acordo com as mesmas proporções (RANULFO109, 2005). 

Na Grécia surgiram as origens dos pensamentos 

matemáticos como ciência teórica. Pitágoras de Samos (582 a.C. - 497 

a.C.), considerado o fundador da geometria teórica (FERRAZ39, 2004), 

nutria certa admiração mística e sagrada pelo pentágono regular e pelo 

pentagrama, o polígono regular estrelado de cinco pontas inscrito no 



 

 

26

pentágono. Definiu, então, uma relação de proporção particular que se 

encontra no pentágono regular e no pentagrama: a divisão de um 

segmento em média e extrema razão (Figuras 2 e 3) (BARKI et al.11, 

2005). 

 
FIGURA 2 –Pentágono regular apresentava medidas em proporção áurea69. 

 

     
FIGURA 3 - No primeiro pentagrama observa-se que o triângulo azul tem seus 

lados em relação dourada com a base, e o vermelho tem a base em 

relação dourada com os lados. É uma das construções geométricas 

que mais fascinou os estudiosos em todos os tempos102. 

 

Euclides de Alexandria (365 a.C. - 300 a.C.) também teve 

grande importância para a história da geometria. Elaborou a teoria da 

proporção áurea, onde dois números (X e Y, por exemplo) estão em 

proporção áurea se a razão entre o menor deles (X) sobre o maior (Y) for 

igual ao maior sobre a soma dos dois (ou seja, X/Y = Y/X+Y). Essa 

proporção estabelece um coeficiente áureo, onde se pode analisar que, 



 

 

27

basicamente, tudo que se encontra na natureza está inscrito nessa 

proporção, seja no corpo humano, numa colméia de abelhas, na estrela 

do mar, nas conchas, etc. (Figura 4) (FERRAZ39, 2004). 

 

 

 

 
 

FIGURA 4 - Euclides de Alexandria e seus raciocínios sobre o número áureo. O 

retângulo áureo pode se dividir em quadrados e retângulos 

menores (sempre áureos). Além disso, se forem traçados um 

quarto de circunferência em cada quadrado interno ao retângulo 

áureo obtém-se a espiral áurea39. 

 

Nos séculos V e IV a.C., a escultura grega alcançou sua 

plenitude. O mais famoso escultor grego desse período, Phidias, construiu 

um dos maiores templos gregos, o Parthenon (430-440aC). Foi ele 

também, autor da estátua de Atena existente no Parthenon (Figura 5) e 

da estátua de Zeus existente no Olímpia (SOUZA et al.127, 2003). A planta 

baixa do Parthenon mostra que o templo foi construído tendo como base 

o retângulo áureo, sendo que a proporção áurea é observada nas 

distâncias entre as colunas e também nos ambientes internos 

(PETRONZELLI102, 2003). 

 



 

 

28

    
FIGURA 5 – Na estrutura do Parthenon, observa-se que a fachada é um 

retângulo áureo 17. 

 

As esculturas de Apollo Belvedere e Aphrodite de Melos 

(Vênus de Milo) podem ser consideradas dois grandes exemplos da 

beleza facial grega da época. Após os gregos, o homem do Período 

Helenístico minimizou o culto pelo belo. O fanatismo religioso destruiu 

alguns trabalhos artísticos clássicos e condenou como pagão os 

admiradores da beleza artística. Essa nova fase ficou conhecida como 

“Os Anos da Escuridão”, que durou até os primórdios do Renascimento 

(PECK & PECK101, 1970). 

O Renascimento ocasionou novo interesse pelos 

conhecimentos da Antigüidade, e reavivou o estudo das proporções 

pitagóricas. Um estudo de Leonardo da Vinci mostra as relações de 

proporção no rosto humano (Figura 6) (BARKI et al.11, 2005). 

 



 

 

29

 
FIGURA 6 – No desenho de Leonardo da Vinci representando um senhor, 

provavelmente um auto-retrato, o artista sobrepôs ao esboço um 

quadrado dividido em retângulos, alguns dos quais se 

aproximam do retângulo áureo127. 

 

No entanto, o ressurgimento pelo interesse na divisão 

proporcional de Pitágoras de média e extrema razão se deve ao 

matemático Lucca Pacciolli di Borgo. No seu livro (De Divina Proportione) 

apresentado em Veneza em 1509 e ilustrado por Leonardo da Vinci, vai 

denominá-la proportio divinae. Essa divisão proporcional, mais tarde veio 

a ser chamada de seção áurea pelo próprio Leonardo da Vinci (BARKI et 

al.11, 2005). Nesse período, artistas como Leonardo da Vinci, Albrecht 

Dürer e Michelangelo passaram a utilizar a equação matemática, 

chamada proporção áurea, para ilustrar o conceito de que muito da 

beleza de homens e mulheres dependia das proporções entre a cabeça e 

o corpo (SOUZA et al.127, 2003). 

No Renascimento, os ensinamentos de Vitrúvio passam a 

ganhar grande importância. Os dados antropométricos apresentados por 

ele, foram desenhados por Leonardo da Vinci, em seu célebre trabalho 



 

 

30

“L’Uomo di Vitruvio” (O Homem de Vitrúvio). Uma de suas teorias foi 

colocar um homem com os braços e mãos bem estendidos. A medida 

obtida entre uma mão até a outra era equivalente à medida de sua altura. 

Com isso, Vitrúvio demonstrou a proporcionalidade entre as partes do 

corpo humano (Figura 7) (LOPES FILHO & SILVA70, 2005). 

 
FIGURA 7 – Leonardo da Vinci estudou exaustivamente as proporções da 

forma humana de onde resultou o famoso desenho onde o corpo 

humano se encontra inserido na forma ideal do círculo e nas 

perfeitas proporções do quadrado. É a representação do homem 

em forma de estrela de cinco pontas baseada nos pentágonos, 

estrelado e regular, inscritos na circunferência70. 

 

Após o Renascimento, a concepção platônica de beleza 

foi criticada (BARKI et al.11, 2005). Nesse período, alguns artistas e 

arquitetos começaram a propor formas particulares para interpretar a 

proporção. Em 1946, o arquiteto francês Le Corbusier (1887-1965), 

estabeleceu o “Modulor”. Tratava-se da escala humana para o homem de 



 

 

31

Vitrúvio, para a “figura humana bem constituída” (Figura 8) (LOPES 

FILHO & SILVA70, 2005). 

 
FIGURA 8 – Le Corbusier acreditava que o seu sistema de medidas satisfaria 

tanto às exigências de beleza – por ser derivado da seção áurea – 

quanto às funcionais – por ser adequado às dimensões humanas. 

Para ele, esse era um instrumento universal, e que poderia ser 

utilizado para obter beleza e racionalidade nas proporções de tudo 

o que é produzido pelo homem. No esquema acima, o homem tem 

altura igual a 175 cm e com o braço levantado 216 cm11,126. 

 

Na verdade, por mais que se neguem ou se afirmem os 

conceitos em diversos momentos históricos, não podemos dizer que um 

sistema proporcional é correto e não os outros. No período medieval, 

acreditava-se que a regra estava dada e tanto no homem, na natureza, ou 

qualquer outro tema observado devia-se aplicar esta regra. O 

Renascimento fez o caminho inverso: foi da observação da natureza e do 



 

 

32

homem que se buscou retirar as regras já existentes em sua constituição 

buscando assim, uma harmonia entre as partes e o todo. Não existe um 

sistema correto em meio a tantos outros. Para cada momento histórico 

uma situação gerou ideologias dominantes. O que muda são apenas os 

contextos, enquanto as filosofias acabam por completar ao longo dos 

séculos, engrandecendo a história da humanidade (FERRAZ39, 2004). 

 

 

 

2.1.2 A proporção 

 

 

 

Em termos matemáticos, proporção é uma igualdade 

entre razões. Uma razão é o resultado de uma divisão, de uma 

distribuição fracionária. Quando essa distribuição não deixa sobras, diz-se 

que é exata. Quando duas razões são iguais, diz-se que são 

proporcionais. Ou seja, uma proporção refere-se a uma equivalência 

fracionária (TAVARES et al.134, 2003). É evidente que, se quiséssemos 

dividir um segmento AB em duas partes desiguais, teríamos uma 

infinidade de maneiras de fazê-la. Há uma, porém, que parece ser mais 

agradável ao espírito, como se traduzisse uma operação harmoniosa para 

os nossos sentidos (CARNEIRO*, 2004). É a divisão em média e extrema 

razão, a qual foi chamada de secção áurea por Leonardo da Vinci, secção 

divina por Kepler, proporção divina por Pacioli, etc. Gil49, em 1999, 

denominou-a em seu trabalho de proporção áurea, e assim será chamada 

no presente estudo. 

                                                 
* CARNEIRO, L. Divisão áurea. Disponível em: 
http://www.hmat.hpg.ig.com.br/curiosidades/divaurea.htm. Acesso em: 09 jun. 
2004. 
 



 

 

33

Quando temos um segmento de reta com extremidades A 

e B, podemos determinar um ponto D neste segmento, dividindo-o em 

média e extrema razão. O objetivo é encontrar um ponto D entre A e B tal 

que a razão entre o segmento AB e o segmento AD seja Ф (1,61803...) 

(Figura 9) (SODRÉ & TOFFOLLI126, 2004). 

 

  
FIGURA 9 - Isso significa que o maior segmento AD é 1,61803... vezes a medida 

do menor segmento DB126. 

 

Geometricamente, a proporção áurea é encontrada por 

meio de um segmento de reta dividido em duas partes de diferentes 

tamanhos, sendo que a medida do segmento da reta completo está para 

a medida da parte maior, na mesma proporção em que a medida da parte 

maior está para a medida da parte menor (Figura 10) (TORRENS135, 

2005). 

 

 
FIGURA 10 – Segmento de reta dividido em média e extrema razão: A=1,618; 

B=1; C=0,618. Sendo B/C=A/B=1,618. 

 

A proporção áurea é gerada a partir da proporcionalidade 

que se expressa pelo número incomensurável 1,618033... (geralmente 

utilizado 1,618), obtido aplicando a fórmula: Ф = (1+51/2)/2, sendo seu 

recíproco aproximadamente 0,618. O caractere grego Ф (phi) é utilizado 

em virtude de ter o escultor grego Phidias utilizado largamente a 



 

 

34

proporção em suas obras, razão pela qual o símbolo da mesma passou a 

ser o daquela letra do alfabeto grego (GIL49, 1999). 

Duas grandezas diferentes, e somente duas, podem 

fornecer uma proporção contínua. Sejam as grandezas a e b, sua soma 

a+b fornece o termo requerido: a+b/a = a/b, que é uma proporção célebre 

e que se funda na seção de ouro, que se obtém quando a/b=1,618 (Figura 

11) (SOUZA et al.127, 2003). 

 

 
FIGURA 11 – Equação matemática para obtenção do número áureo96 

 

Do segmento áureo, surge o retângulo áureo com os 

lados proporcionais a 1 e 1,618. Esse retângulo é considerado a fórmula 

geométrica mais agradável aos olhos (Figura 12) (SOUZA et al.127, 2003). 

 



 

 

35

 
FIGURA 12 – Desenho esquematizando o retângulo áureo. Seja ABCD um 

quadrado, ACGH é um retângulo áureo*. 

 

 

 

2.1.3 A proporção áurea e os números de Fibonacci 

 

 

 

Leonardo de Pisa (Fibonacci=filius Bonacci) matemático 

da Idade Média, escreveu em 1202 um livro denominado Líber Abaci. 

Esse livro contém assuntos relacionados à aritmética e álgebra da época 

e teve importante papel no desenvolvimento matemático da Europa nos 

séculos seguintes pois, foi por meio dele, que os europeus vieram a 

conhecer os algarismos indus, também denominados arábicos. A teoria 

contida no Líber Abaci é ilustrada com muitos problemas os quais 

representam uma grande parte do livro. Um deles é o dos pares de 

coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser 

                                                 
* MATEMÁTICA HOJE. O retângulo áureo. Disponível em: 
http://www.matematicahoje.com.br/telas/mat_hoje/livro/oitava.asp?aux=B. 
Acesso em: 30 set. 2005. 
 



 

 

36

gerados de um par de coelhos em um ano? (SODRÉ & TOFFOLLI126, 

2004). 

Diante disso, Fibonacci propôs o seguinte problema: 

supondo que um par de coelhos (uma fêmea e um macho) sejam 

colocados em um campo cercado, e que eles fiquem sexualmente 

maduros em um mês, então ao final do segundo mês, a fêmea pode 

produzir um novo par de coelhos. Levando em consideração que os 

coelhos nunca morram e que a fêmea sempre produza um novo par todo 

mês (uma fêmea e um macho), então observaremos que: a partir do 

primeiro mês eles cruzam, mas continuam sendo apenas um par; ao final 

do segundo mês, a fêmea produz um novo par, então agora são dois 

pares. Ao final do terceiro mês a fêmea original produz um segundo par, 

formando três pares; ao fim do quarto mês a fêmea original produz um 

novo par. A fêmea nascida no segundo mês produz seu primeiro, par, 

formando cinco pares. Assim, obtém-se a seguinte seqüência: zero, um, 

um, dois, três, cinco, oito, 13,21,34,..... infinitamente (Figura 13) (KNOTT*, 

2004). 

 

 

 



 

 

37

 
FIGURA 13– Esquema representando a reprodução de coelhos, segundo 

Fibonacci*. 

 

Ao resolver esse problema, transcreveu o que seria uma 

das seqüências mais instigantes da matemática, que ficou conhecida 

como seqüência Fibonacci: é uma série de números infinitos, onde os 

primeiros números são zero e um, e onde cada número é igual à soma de 

seus dois antecessores. Dividindo dois termos consecutivos da sucessão 

(o número maior pelo menor) vamos obter as sucessivas aproximações 

de phi (1:1 = 1; 2:1 = 2; 3:2 = 1.5; 5:3 = 1.6666...; 8:5 = 1.6; 13:8 = 1.625; 

21:13 = 1.61538...; 34:21 = 1.61904...; 89:55 = 1,618; etc...) (Figura 14) 

(KNOTT et al.66, 2004). 

 

 

 

 

                                                 
* KNOTT, R. The Fibonacci numbers and golden section in nature. Disponível 
em:http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/r.Knott/Fibonacci/fibnat.html. Acesso 
em: 22 dez. 2004. 
 



 

 

38

n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... 

Fib(n): 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987  

FIGURA 14 – Exemplo da sucessão de Fibonacci. Somando-se o número oito 

com o número cinco, o resultado será 13. Dividindo-se 89 por 55, 

o resultado será 1,61866. 

 

Colocando-se essas medidas em um gráfico, observa-se 

que quanto mais avança a série, mais este se aproxima para depois se 

tornar constante em 1,618 (Figura 15) (KNOTT et al.66, 2004). 

 

FIGURA 15 – Exemplo da razão entre os termos consecutivos de Fibonacci66. 

 

Na verdade, a seqüência de Fibonacci proporciona um 

embasamento matemático para a razão áurea. Curiosamente essa 

seqüência e a proporção áurea, estão interligadas por meio do número 

áureo (ARAÚJO7, 2003). 

A presença da seqüência de Fibonacci pode ser 

observada em inúmeras formas. Usando-se a série 1,1,2,3,5,8,13, ... e 

considerando o primeiro quadrado de tamanho igual a um, um em cima do 

outro, (1+1=2, 2+1=3, 3+2=5, ....) pode-se construir uma espiral de 

Fibonacci (GIL50, 2001). Conforme descrito por Sodré & Toffoli126 (2004), 

o caramujo Nautilus marinho possui sua forma espiral demonstrada por 



 

 

39

meio da espiral de Fibonacci a qual se dá da seguinte maneira: partindo 

de um quadrado com lado 1X1, anexando um quadrado semelhante ao 

lado, têm-se um retângulo 2X1, sendo o lado maior igual à soma dos 

lados dos quadrados anteriores. Anexando um quadrado com lado igual a 

dois, têm-se um retângulo 3X2, se continuarmos a adicionar quadrados 

com lados iguais ao maior dos comprimentos do retângulo obtido no 

passo anterior, a seqüência dos lados dos próximos quadrados será: três, 

cinco, oito, treze....... que é a seqüência de Fibonacci. Com o uso de um 

compasso, se for traçado um quarto de círculo no quadrado de lado treze 

por exemplo, depois no quadrado de lado oito, e assim sucessivamente, 

com a concordância dessas curvas, obtém-se uma espiral como a do 

Nautilus marinho (Figura 16). 

 

 
FIGURA 16 – Espiral de Fibonacci. Os desenhos acima mostram que é possível 

construir uma espiral unindo quartos de círculos, um em cada 

novo quadrado. Obtém-se assim, a espiral de Fibonacci, presente 

na forma de caramujos como, por exemplo, o Nautilus marinho96. 

 

Esse é um dos pontos de contato entre a série de 

Fibonacci e a natureza. Os sucessivos compartimentos das conchas são 

construídos na forma de uma espiral logarítmica. Além da espiral, 

encontrada em inúmeras formas na natureza como nas conchas 

marinhas, nos chifres de mamíferos, no trabeculado de vários ossos, a 

série de Fibonacci pode também ser encontrada com freqüência: na 



 

 

40

distribuição das folhas e galhos em uma árvore, na reprodução de 

animais, no corpo humano, na distribuição de sementes nas flores, no 

número de pétalas das flores, na distribuição das folhas em uma planta, 

na organização das colméias de abelhas, nos galhos das plantas, entre 

outros (GIL50, 2001; BRITTON17, 2004). Também podem ser observadas 

na formação e crescimento dos seres vivos e dos inanimados, desde um 

inseto até a galáxia (LEVIN69, 2004; JEFFERSON62, 2004). Sodré & 

Toffolli126 (2004) relataram que essa seqüência numérica aparece em 

outras situações da vida como no comportamento da luz, dos átomos, na 

ascensão e queda da bolsa de valores, nas ondas do oceano, nas 

medidas de cartões de crédito, entre outros. Meisner81 (2004), citou que a 

proporção se encontra no formato da orelha, apresentando a espiral de 

Fibonacci que é a forma aplicada do número áureo, no ecocardiograma, 

(os batimentos cardíacos estão em proporção) e na estrutura do DNA. 

Nas Figuras de 17 a 20 estão alguns exemplos dessa observação. 

 

     
FIGURA 17 - A proporção áurea na forma dos animais81,62. 

 

 

 

 



 

 

41

     
FIGURA 18 – A proporção áurea também pode ser encontrada na distribuição 

das sementes das flores, como no padrão espiral do girassol, na 

distribuição dos galhos de plantas69, na forma das flores62. 

     
FIGURA 19 – A proporção na formação das galáxias e nos anéis de saturno62. 

   
FIGURA 20 – O pavilhão auricular tem a forma da espiral de Fibonacci96 e as 

espirais do DNA estão em proporção áurea81. 

 

 

 



 

 

42

2.1.4 A proporção áurea no corpo humano 

 

 

 

Em 1946, Brodie et al.19 analisou o crescimento de cada 

parte da face em relação ao crescimento total e constatou que, apesar de 

haver uma grande variação individual, as partes conservam sua 

proporcionalidade independente para cada indivíduo. O padrão de 

crescimento, segundo o autor, é proporcional. 

De acordo com Torres136 (1970) a proporção áurea pode 

ser encontrada no crescimento das estruturas que estão em harmonia e 

equilíbrio funcional. O organismo cresce mantendo sua forma, e a 

proporção áurea se manifesta quando esse crescimento é harmonioso. 

Em seu trabalho, o autor faz uma descrição da presença da proporção 

áurea no ser humano: o umbigo divide a altura total do corpo em 

proporção áurea; o braço estendido ao lado do corpo divide em proporção 

áurea, na altura do maior dedo; os ossos da mão estão em proporção 

áurea: metacarpos e falanges; distância entre o subnasal-comissura labial 

está em proporção com a distância comissura-gnátio; a distância linha da 

pupila-ponta do nariz está em proporção com a distância ponta do nariz-

comissura; conduto auditivo-comissura está em proporção com comissura 

–gnátio (divide a mandíbula entre corpo e ramo) (Figura 21). 



 

 

43

 
FIGURA 21 – Segmentos áureos no corpo humano96. 

 

Ricketts113 (1972) realizou estudo com o objetivo de 

descrever uma forma para o crescimento mandibular utilizando, para 

tanto, quarenta radiografias cefalométricas frontais e laterais de indivíduos 

com idade inicial de oito anos. Metade da amostra era do sexo feminino e 

a outra metade era do sexo masculino. Vinte indivíduos possuíam oclusão 

normal, os demais apresentavam má-oclusão Classe II. Um estudo 

computadorizado de 362 medidas cefalométricas foi realizado durante 

cinco anos, para acompanhar o crescimento mandibular. Foi observado 

que a mandíbula se desenvolve com crescimento arquial, o qual descreve 

uma espiral logarítmica, que representa uma forma aplicada do número 

áureo (Figura 22). 

 



 

 

44

 
FIGURA 22 – Crescimento da mandíbula na forma da espira de Fibonacci 113 

 

Em estudo de Moss et al.91 (1974) sobre o crescimento 

mandibular ativo e passivo, os autores descreveram o crescimento 

mandibular obedecendo a uma espiral logarítmica, uma forma aplicada do 

número áureo da seguinte forma: o crescimento mandibular se mostra 

logarítmico, assim sendo, possui três atributos logarítmicos: a) apresenta 

um crescimento alométrico (expresso por uma equação de crescimento 

relativo); b) todo crescimento mandibular humano pode ser acuradamente 

descrito por uma única espiral logarítmica; c) o seu crescimento é 

gnomônico, isto é, muda o seu tamanho enquanto retém a sua forma. A 

síntese do crescimento mandibular é representada pela interrelação entre 

o processo ativo e passivo de crescimento e suas propriedades 

logarítmicas. 



 

 

45

Em 1977, Ghyka48 esclareceu um estudo realizado por 

Zeysing (1850), o qual acompanhou o crescimento de crianças desde o 

nascimento até 21 anos de idade e observou que ao se dividir o corpo 

humano na altura do umbigo, quando dividida a parte maior pela menor, 

este encontra-se em proporção áurea. O autor relatou ainda que essa 

relação se estabelece aos 13 anos de idade e que, até essa idade, os 

indivíduos não apresentam suas estruturas em proporção, pois ao 

nascimento o umbigo divide o corpo humano em duas partes iguais. 

Considerou ainda que os esqueletos humanos mostram detalhes e acima 

de tudo formas mais rigorosas que os homens vivos. O corpo onde temos 

pele, músculos, apresenta flutuações mais difíceis de se traduzir em 

medidas precisas.  

Em trabalho de Ricketts115 (1982), dentre outras medidas 

que foram apresentadas, demonstrou-se que a mandíbula cresce sobre 

um arco e que esse arco muito proximamente se conforma a uma espiral 

logarítmica, que tem como base a secção áurea. 

 

 

 

2.1.5 A proporção áurea na análise dentária 

 

 

 

Para Torres136 (1970), a proporção áurea aparece na 

dentição decídua da seguinte forma: 

a) a largura entre as fossas dos segundos molares 

superiores está em proporção áurea com as 

seguintes medidas: rafe palatal-cúspide do canino; 

rafe palatal-cúspide palatina do primeiro molar; rafe 

palatal-colo do segundo molar; 



 

 

46

b) traçando-se linhas paralelas à rafe palatal, tangentes 

às faces distais dos incisivos centrais, laterais e 

cúspides dos caninos, verifica-se que essas linhas se 

encontram em proporção áurea; 

Na dentição permanente, segundo o autor ocorre o 

seguinte: 

a) tomando-se a distância entre as fossas dos primeiros 

molares, observa-se que: essa distância corresponde 

à distância entre a fossa do primeiro molar e cúspide 

do canino do lado oposto. Ao verificar essa medida, 

observa-se que o ponto de intersecção da rafe com a 

linha interfossa do primeiro molar está em proporção 

áurea com essa medida; a mesma distância se 

observa na rafe desde a distal do segundo molar até 

o ponto interincisivo; ao tomarmos a medida anterior, 

observamos que está em proporção áurea com uma 

linha que passa pelas fossas dos primeiros pré-

molares; está em proporção áurea com a distância 

rafe-cúspide do canino; 

b) as linhas traçadas paralelas à rafe palatal e tangentes 

à distal dos dentes anteriores estão em proporção 

áurea. 

 

Em 1978, Levin68 publicou um artigo a respeito de estética 

dentária e proporção áurea e descreveu a aplicação dessa proporção na 

estética dentária. Verificou em fotografia em norma frontal, por exemplo, 

que a largura do incisivo central superior encontra-se em proporção com a 

largura do incisivo lateral superior. 

Ricketts114 (1981) relatou a existência de proporções 

áureas em arcos dentários harmônicos da seguinte forma: a largura dos 

incisivos centrais inferiores (10,8mm) está em proporção com a largura 



 

 

47

dos incisivos centrais superiores (17,5mm); a largura dos incisivos 

centrais superiores (17,5mm) está em proporção com a largura dos 

incisivos laterais superiores (28,3mm); a distância entre pré-molares 

(45,7mm) está em proporção com a distância entre os incisivos laterais 

superiores. A largura dos quatro incisivos inferiores (centrais e laterais – 

22,1mm) está em proporção com a distância entre os caninos superiores 

(35,7mm); a largura da mesial do segundo molar superior (57,8mm) está 

em proporção com a distância intercanina (35,7mm); a distância entre as 

faces distais dos caninos inferiores (31,5mm) está em proporção com a 

distância entre os primeiros molares inferiores (50,2mm) (Figura 23). 

 
FIGURA 23 – Esquema representativo das relações áureas dentárias descritas 

por Ricketts114. 

 

Preston107 (1993) realizou um estudo sobre a aplicação da 

proporção áurea na estética dental. O autor se propôs avaliar a relação da 



 

 

48

proporção entre a largura do incisivo central superior e o incisivo central 

ou lateral inferior. Após medir essa relação em 58 modelos ortodônticos 

de alunos da Universidade da Califórnia, concluiu que a proporção áurea 

não foi encontrada entre aqueles dentes, sendo que houve a ocorrência 

da mesma em 25% dos casos quando se relacionou incisivo central 

superior com o incisivo central inferior. Quando avaliada essa relação 

entre o incisivo central superior e o incisivo lateral inferior, não verificou-se 

a ocorrência da proporção áurea. 

Para Snow125 (1999), com o aumento da aplicação do 

tratamento dental cosmético, tornou-se necessário o melhor entendimento 

dos princípios estéticos. A simetria da linha média, e a regressão 

seguindo a proporção áurea de anterior para posterior dos elementos 

dentários, são requeridos para se criar unidade e um sorriso 

esteticamente agradável. A proporção áurea foi sugerida como uma 

ferramenta matemática possível, para avaliar o crescimento e a proporção 

na norma frontal dos dentes maxilares. Segundo o autor, a aplicação dos 

conceitos da proporção áurea na Odontologia, proporciona simetria e 

sorrisos esteticamente agradáveis. 

Em 2004, Levin69 descreveu por meio do uso do 

compasso áureo, proporções em estruturas dentárias. Encontrou no arco 

superior, que a largura do incisivo central está em proporção com a 

largura do incisivo lateral. Demonstrou também que a largura do incisivo 

lateral está em proporção com a do canino e que o mesmo encontra-se 

em proporção áurea com a largura do primeiro pré-molar. 

Mazur et al.80 (2005) consideraram que a 

proporcionalidade entre os dentes anteriores é notada a partir dos 

incisivos centrais em direção aos dentes posteriores, definida como 

"proporção áurea". Essa proporção baseia-se nos tamanhos dos dentes 

vistos frontalmente, e não em seus tamanhos reais ou individuais. O 

sorriso, quando visto frontalmente, é considerado esteticamente mais 

agradável se cada dente apresentar, aproximadamente, sessenta por 



 

 

49

cento do tamanho do dente mesialmente localizado (a proporção do 

canino para o incisivo central é da ordem de 0,618 para 1). A proporção 

largura/comprimento do incisivo central superior deve ser considerada em 

torno de oitenta por cento. Essas proporções relativas e aparentes dos 

dentes podem ser quebradas com o mau posicionamento ou giroversão 

dental.  

Issas58 (2005) descreveu um caso clínico, no qual 

utilizaram a proporção áurea no planejamento. Segundo o autor, um 

detalhe importante que contribuiu para o sucesso desse caso foi que, ao 

se planejar a confecção das facetas, realizou-se um enceramento do caso 

em modelo de estudo com base na proporção áurea. Nesse relato clínico, 

quando da realização do exame clínico, constatou-se que somente com a 

confecção das facetas e substituição das resinas nos dentes anteriores 

não se conseguiria um resultado satisfatório, ficaria faltando alguma coisa, 

algo mais, um pequeno detalhe que faria a diferença no final do 

tratamento. Segundo o autor, é importante que o profissional tenha olhos 

para ver, tenha sensibilidade e esteja disposto a solucionar o caso em sua 

totalidade. O resultado final, de acordo com o autor, foi bastante 

satisfatório. 

 

 

 

2.1.6 A proporção áurea relacionada à beleza e estética 

 

 

 

Wuerpel141 (1932) destacou a importância da beleza para 

o ser humano. Relatou também que é a mais fina expressão das emoções 

humanas, sendo de difícil definição por meio de palavras. É uma 

concepção, um êxtase, uma reação que nos convém. Ao avaliar o 

comportamento humano frente aos conceitos de beleza, desde a idade da 



 

 

50

pedra até os dias atuais, concluiu que as reações do passado, frente a 

esses conceitos, mudaram com o passar dos tempos. 

Em 1937, Wuerpel142 considerou que não deve haver 

padronização nos tratamentos. Isto seria contra a natureza e a arte. O 

profissional da Ortodontia deve ter como objetivo final, não somente a 

restauração da oclusão normal, é preciso buscar também a melhor 

aparência facial, ou seja, buscar o balanço e a harmonia facial. 

Considerou ainda que indivíduos que apresentam oclusão normal, não 

são necessariamente belos, com base nisso, os profissionais deveriam 

analisar além da anatomia da cabeça, sua forma e proporção. 

Para Ricketts112 (1957) a definição dos conceitos sobre 

estética facial muitas vezes seria subjetiva, representando o conceito de 

beleza para determinados grupos sociais, variando no tempo e espaço. O 

autor enfatizou também que a estética deve ser um dos objetivos do 

tratamento ortodôntico, e que há necessidade de se conhecer dois 

conceitos para avaliar o padrão de beleza, sendo eles: balanço e 

harmonia facial. O termo balanço corresponde a uma proporção correta 

entre os elementos faciais e a harmonia facial corresponde à adaptação, 

ao ajuste desses elementos. 

De acordo com Baum13 (1966), as faces humanas variam 

infinitamente, sendo que a progressão das mudanças segue um modelo 

que pode ser medido e classificado com propósito científico. Cada 

paciente segue sua individualidade. Com base nisso, o Ortodontista não 

pode praticar sua profissão por meio de números, pois o paciente não é a 

média de um grupo. Ressaltou ainda que o conceito de estética facial é 

variável, sendo representado por um conjunto de características inerentes 

à cultura, época e moda porém, normalmente, as faces consideradas 

belas, apresentam estruturas em equilíbrio. 

Peck & Peck101 (1970) realizaram estudo, utilizando 

fotografias frontais e de perfil e radiografias cefalométricas laterais de 52 

indivíduos adultos, com oclusão Classe I de molar, todos 



 

 

51

reconhecidamente bonitos, vencedores de concursos de beleza, oriundos 

de 13 diferentes países europeus. Observaram que o público prefere um 

padrão dentofacial mais protrusivo, ao preconizado pelos traçados 

cefalométricos mais usuais, e destacaram a importância que deve ser 

dada às preferências estéticas individuais ao se realizar um tratamento 

ortodôntico, analisando as qualidades faciais de simetria, harmonia e 

proporção. Relataram ainda que, independente de sexo, idade, raça ou 

condição social, as pessoas têm a mesma base para a classificação de 

beleza facial. A diferença encontrada é a cultural, ou seja, os negros 

norte-americanos, por exemplo, apresentam o mesmo gosto estético que 

os brancos americanos apreciando faces brancas e negras. Já os negros 

africanos, sem contato com a cultura branca, preferem sempre as faces 

negras.  

Hintz & Nelson56 (1971) analisaram a preferência estética 

pelo retângulo áureo, por meio visual e do tato de indivíduos cegos por 

natureza, cegos por aquisição, indivíduos sem deficiência visual, com os 

olhos vendados, e sem deficiência visual, sem venda nos olhos. Os 

indivíduos do estudo deveriam selecionar o retângulo esteticamente mais 

agradável e o menos agradável. Observou-se que os indivíduos dos 

grupos cegos por aquisição, olhos vendados e olhos não vendados 

confirmaram a preferência estética pela proporção áurea, selecionando 

por meio do tato os retângulos áureos como aqueles esteticamente mais 

agradáveis. Os indivíduos do grupo cegos por natureza, classificaram o 

retângulo áureo como uma figura satisfatória. Os autores consideraram 

que a imagem visual prévia pode ser determinante para essa preferência. 

Na área da Psicologia, Benjafield14, em 1976, estudou a 

preferência estética por retângulos áureos em um grupo de cento e 

oitenta indivíduos, divididos em pequenos grupos com 15 homens e 15 

mulheres cada. Os avaliadores deveriam separar os retângulos 

considerados mais agradáveis e menos agradáveis. Houve uma tendência 

a preferir os retângulos maiores aos pequenos e retângulos próximos à 



 

 

52

razão áurea. O autor considerou que, ao que tudo indica, a proporção 

áurea é ainda a mais preferível e agradável proporção. 

Em estudo de Boselie15, em 1984, foi observada a 

preferência estética de cinqüenta psicólogos por desenhos com ângulos e 

proporções em razão áurea, sendo que 12 pares de figuras foram 

apresentados aos avaliadores. Após a análise dos resultados, o autor 

concluiu que nenhuma preferência em especial foi dada às figuras que 

encontravam-se em proporção áurea. 

Conforme citado por Czarnecki et al.28 (1993), os 

conceitos atuais de diagnóstico e plano de tratamento enfocam balanço e 

harmonia de várias características faciais. Segundo os autores, a 

avaliação da estética facial é um tanto quanto subjetiva, pois o balanço e 

harmonia dos componentes faciais não necessariamente significam uma 

face atrativa. Reconhecendo a considerável confusão existente com 

relação à padronização de uma face normal padrão, o estudo foi realizado 

para construir um perfil que estabelecesse critérios objetivos de estética 

facial. O propósito foi desenvolver uma série de perfis faciais para serem 

avaliados por 545 cirurgiões dentistas. Pela variação do tamanho dos 

lábios, nariz, queixo e convexidade facial, procurou-se encontrar as 

combinações faciais mais aceitáveis, bem como as menos desejáveis. 

Dentre todas as combinações, as menos desejáveis foram as que 

apresentaram o queixo extremamente retraído ou a face excessivamente 

convexa. Uma protrusão labial foi considerada aceitável tanto para faces 

masculinas quanto para femininas, quando nariz e queixos largos 

estavam presentes. Os autores consideraram que beleza e harmonia 

facial não são conceitos fixos. Padrões de beleza variam muito entre 

pessoas, grupos étnicos e nível sócio-econômico. Como conclusão, 

sugeriram que o objetivo do tratamento ortodôntico seja direcionado para 

a obtenção do balanço e harmonia facial ao invés de parâmetros rígidos 

esqueléticos e dentais pré-determinados, sendo essa filosofia de 

tratamento, considerada um erro pelos autores. 



 

 

53

De acordo com Mack72 (1996), a percepção de uma face 

bonita está baseada na harmonia e proporção craniofacial, bem como nas 

suas formas e contornos externos. A razão áurea, determinada pelo 

número 1,618 estabelece uma base matemática e geométrica do que é 

percebido como belo. O autor relacionou o balanço facial com a razão 

áurea e mostrou a dependência da relação entre a dimensão vertical da 

oclusão e a altura facial, considerada para ele como um segredo para a 

melhoria da beleza da face. A proporção facial, perfil mole, a relação entre 

perfil mole e posição dos lábios e a relação dos lábios com o sorriso, 

seriam uma espécie de “guia visual” que, em conjunto com a avaliação da 

oclusão, seriam a base para se restabelecer função e estética. Concluiu 

ainda que a estética sempre deve acompanhar a restauração da função. 

Suguino et al.130 (1996) relataram que os conceitos hoje 

vigentes para o diagnóstico e plano de tratamento, remetem ao equilíbrio 

e harmonia dos traços faciais. O planejamento das mudanças estéticas 

faciais é difícil, especialmente quanto à sua integração com a correção da 

oclusão. Segundo o autor, infelizmente o tratamento da má-oclusão nem 

sempre leva à correção ou mesmo à manutenção da estética facial. 

Algumas vezes, o entusiasmo de se alcançar um correto relacionamento 

dentário pode comprometer o equilíbrio facial. Isso pode acontecer, em 

parte, pela falta de atenção à estética, ou simplesmente pela falta de 

compreensão do que se deseja como um objetivo estético. A habilidade 

de se conhecer uma face bela é inata, porém traduzí-la em medidas 

terapêuticas objetivas e definidas, torna-se tarefa mais árdua. A 

percepção da beleza é uma preferência individual, com influência cultural. 

Com o avanço e popularidade dos procedimentos cirúrgico/ortognáticos, a 

busca pelo equilíbrio facial recebeu maior destaque. Isso, segundo os 

autores, resultou na intensificação da necessidade de se estudar as faces 

esteticamente equilibradas e a harmonia entre os diferentes elementos 

faciais. 



 

 

54

Conforme Gil50, em 2001, o ser humano tem um padrão 

estético comum, apesar das diferenças entre eles, e que a apreciação da 

beleza facial é uma preocupação muito antiga e marcante. Assim, 

conforme citado pelo autor, não podemos nos limitar apenas ao estudo da 

oclusão e da cefalometria, ao planejar um tratamento. A estética facial 

deve ocupar uma posição de destaque, sendo muitas vezes o ponto 

central do planejamento. 

A estética da face, conforme citado por Vedovello et al.139 

(2001), tornou-se, juntamente com a oclusão normal, a saúde dos tecidos 

periodontais e a estabilidade, um dos principais objetivos do tratamento 

ortodôntico. A qualidade da estética facial é beneficiada pelas relações 

dentárias esqueléticas harmoniosas, sendo imprescindível que a análise 

da face seja realizada, cefalometricamente, por meio da radiografia 

cefalométrica lateral e finalizada pelo exame clínico, que deve levar em 

conta o padrão facial, a raça e a cultura do indivíduo. Destacaram que a 

estética proporcionada ao paciente não se resume a um correto 

alinhamento dentário, mas também em harmonia entre as linhas faciais, 

considerando o padrão de beleza que varia com a cultura e a raça de uma 

população. A forma da fronte, a dimensão e a proporção do nariz e o 

desenvolvimento da parte inferior da face determinam as características 

do perfil facial. A beleza facial pode ser definida como um estado de 

harmonia e equilíbrio das proporções faciais, estabelecidas pelas 

estruturas esqueléticas, dentais e tecido tegumentar. Para os autores, ao 

ortodontista cabe preservá-la ou melhorá-la, pois o tratamento ortodôntico 

freqüentemente enseja mudanças visíveis nos tecidos tegumentares da 

face. 

Uma equação biológica aplicável a todos os seres 

humanos, independente de raça, sexo, idade e outras variáveis foi 

apresentada por Jefferson61,em 2004, da seguinte forma: proporção 

divina = beleza facial = saúde das ATMs = saúde fisiológica = harmonia 

fisiológica = fertilidade = saúde e bem estar geral = qualidade de vida. O 



 

 

55

autor considerou que indivíduos em proporção divina são atraentes e 

tendem a ser fortes e saudáveis, e que a face humana também deve estar 

em proporção divina para ser bonita e biologicamente eficiente. Segundo 

o autor, o perfil considerado como padrão universal de perfil agradável e 

onde a proporção divina é encontrada é aquele em que ocorre um 

equilíbrio entre o posicionamento ântero-posterior da mandíbula e da 

maxila. 

Oliveira Júnior97 (2005) analisou a relação entre as 

diversas regras estéticas descritas na leitura e a percepção da beleza, a 

fim de obter subsídios para o correto diagnóstico estético dos pacientes. 

Para tanto, participaram sessenta voluntários de ambos sexos, com faixa 

etária de vinte a trinta anos, dos quais foram realizadas duas fotografias 

(face e sorriso). Essas foram inicialmente pareadas, de um a sessenta 

para face e de 61 a 120 para sorrisos e, submetidas a duas análises 

estéticas conforme descritas a seguir: a) percepção de beleza: as 120 

fotografias foram misturadas e apresentadas a vinte examinadores que as 

classificaram, segundo seus critérios e gostos pessoais, em bonitas e não 

bonitas; b) em seguida, foram fixadas folhas de papel vegetal previamente 

recortadas sobre as fotografias e realizou-se o traçado e as mensurações 

de oito normas de simetria e proporcionalidade: proporção áurea vertical 

da face, proporção áurea horizontal de face, linha interpupilar, linha 

mediana, plano incisal, proporção áurea dos dentes anteriores/superiores, 

linha do sorriso, relação de contato interdental. Observou-se que os 

voluntários classificados como mais belos apresentam uma confirmação 

de presença das normas estéticas em 73,33% das avaliações, enquanto 

que os voluntários percebidos como não bonitos confirmaram as regras 

estéticas em apenas 38,33% dos casos. O autor concluiu que as normas 

de simetria e proporcionalidade influenciam diretamente a percepção da 

beleza independente de gostos pessoais; os voluntários perceptivelmente 

mais belos tiveram uma correspondência com as normas estéticas de 

73,33%, enquanto que os não bonitos apresentaram uma taxa de 



 

 

56

confirmação às normas de apenas 38,33%. As normas mais influentes na 

percepção da beleza foram: proporção áurea horizontal da face e linha do 

sorriso com freqüência de 86,6%. Apesar de apresentar-se com a maior 

freqüência das normas nos voluntários considerados bonitos (43,3%), a 

proporção áurea dos dentes estava presente em apenas 13,3% dos 

considerados não bonitos. 

 

 

 

2.1.7 A proporção áurea em medidas craniofaciais 

 

 

 

Para Ricketts114 (1981), a proporção áurea pode ser 

aplicada no tratamento ortodôntico em relação aos dentes, ossos e 

tecidos moles e também no planejamento de Cirurgias Bucomaxilofaciais 

e Cirurgias Plásticas, propondo um tratamento com uma análise 

individualizada, em contraposição às medidas médias da população. 

Descreveu proporções áureas nos tecidos moles da face: a largura da asa 

do nariz, a largura da boca, do canto lateral dos olhos e a largura da 

cabeça na altura das sobrancelhas, estão em proporção áurea. Por meio 

de uma amostra de trinta indivíduos do sexo masculino, considerados 

bonitos e com oclusão normal, verificou oito relações áureas no crânio, 

em radiografias cefalométricas laterais, dentre elas: A (ponto 

subespinhal)-Borda incisal do incisivo inferior Φ Borda incisal do incisivo 

inferior-Ponto Pm (protuberância mental da mandíbula); Or (borda inferior 

da órbita)-A Φ A-Ponto Pm; Ponto Pm-Xi (centro geométrico do ramo da 

mandíbula) Φ Xi-Co (região posterior da cabeça do côndilo), e encontrou 

relações áureas na região anterior (Sela-Násio) e posterior da base do 

crânio (Sela-Básio), entre outras. Com relação aos tecidos moles, em 

faces consideradas bonitas, foram verificados vários segmentos verticais 



 

 

57

em proporção áurea como: mento-boca (na altura da comissura labial) Φ 

boca-canto externo dos olhos; canto externo dos olhos-tríquio (parte mais 

superior do contorno da testa) Φ canto externo dos olhos-mento, entre 

outros. 

Em 1982, Ricketts115 citou que as estruturas que se 

encontram em proporção áurea são mais estáveis, esteticamente 

agradáveis e funcionalmente eficientes. O autor propôs a utilização da 

proporção divina, utilizada em esculturas e pinturas desde a Grécia antiga 

para reabilitar os segmentos da face. Para tanto, analisou dez fotografias 

frontais das faces de modelos de tipos raciais diferentes, considerados 

bonitos, além de radiografias cefalométricas laterais de peruanos do sexo 

masculino e radiografias frontais de pacientes selecionados pela 

Fundação de Pesquisas Ortodônticas. Todos os indivíduos da amostra 

eram adultos e apresentavam oclusão normal. Foram encontradas 

medidas verticais e horizontais da face em proporção áurea, tanto em 

estruturas ósseas, como em tecidos moles. Como conclusão de seu 

trabalho, citou que a proporção áurea está relacionada com a harmonia e 

à beleza da face e que a Ortodontia contemporânea não deveria 

preocupar-se somente em ajustar os dentes, mas procurar também 

harmonizar a dentição com as estruturas esqueléticas faciais, utilizando a 

proporção áurea como um auxiliar no plano de tratamento. 

Enacar et al.32 (1994) utilizaram em seu estudo vinte 

radiografias cefalométricas laterais para analisar a existência de 

proporção áurea em mudanças ocorridas depois do tratamento 

ortodôntico e cirúrgico em indivíduos com má-oclusão de Classe III. Os 

autores concluíram que a proporção áurea poderia ser utilizada como guia 

no plano de tratamento de indivíduos que serão submetidos a tratamento 

cirúrgico e ortodôntico. 

A existência de uma possível relação entre a proporção 

áurea e vários segmentos faciais, foi observada por Amoric6, em 1995, a 

partir de uma série de traçados realizados em indivíduos franceses, com 



 

 

58

oclusão normal desde a infância até a idade adulta, além de traçados 

anuais de indivíduos norte americanos, com idades entre quatro e 18 

anos, os quais também apresentavam oclusão normal. Com o uso de um 

compasso áureo, relacionou os segmentos que poderiam se apresentar 

em proporção. O autor encontrou vários segmentos craniofaciais em 

proporção áurea em muitas medidas cefalométricas e em vários estágios 

de crescimento facial. Considerou a possibilidade do ortodontista realizar 

o plano de tratamento ortodôntico e cirúrgico com base na proporção 

áurea. 

Jacobson59 (1995) considerou a importância da 

cefalometria no diagnóstico e plano do tratamento ortodôntico, e ressaltou 

que a interpretação da comparação da cefalometria individual com a do 

padrão da média deve ser muito criteriosa. De acordo com o autor, o 

planejamento do tratamento deve procurar atingir o melhor da estética e 

função para cada paciente, mais do que enquadrá-lo às normas 

anatômicas de oclusão e configuração facial. A oclusão ideal e a 

proporção áurea dos tecidos moles e ósseos, podem determinar o melhor 

caminho para o planejamento do tratamento e isto deve ser feito dentro 

da norma individual. 

Alguns tópicos relacionados à Proporção Divina e o 

posicionamento maxilo-mandibular foram discutidos no estudo de 

Jefferson60, em 1996. De acordo com o autor, na maioria dos casos, 

tratamentos ortopédicos/ortodônticos para disfunção e dor crânio-

mandibular requerem maxila e mandíbula em uma posição ideal. O autor 

acredita que todas as criaturas, incluindo o homem, são geneticamente 

codificadas a desenvolver uma proporção ideal e definitiva, e estão 

relacionadas com um fenômeno biológico conhecido como proporção 

divina. Entretanto, fatores ambientais podem, até certo grau, desviar os 

seres vivos desse ideal. O tratamento de pacientes visando o 

posicionamento ideal dos maxilares traz benefícios como harmonia 

funcional e saúde das articulações têmporo-mandibulares, o que leva ao 



 

 

59

alívio das dores de cabeça crônicas, otite, dores miofaciais e da 

respiração. O autor considerou também que, quando os ossos da face 

são posicionados idealmente, a estética facial também é melhorada. Uma 

vez que a beleza da face é diretamente relacionada com a proporção 

divina, e essa por sua vez é universal, o padrão de beleza também pode 

ser universal, independente das diferenças culturais, geográficas, étnicas, 

sexo, idade, etc. 

Zietsman et al.144 (1997) analisaram a proporção áurea no 

crânio, em uma amostra de radiografias cefalométricas laterais, realizadas 

antes do tratamento ortodôntico em um total de cem indivíduos. Com base 

nas avaliações a partir de pontos cefalométricos, encontraram algumas 

medidas em proporção áurea e concluíram que esta pode ser utilizada 

para diagnóstico e plano de tratamento, em diversas áreas da 

odontologia. 

A proporção áurea em segmentos da face foi observada 

por Piccin103 (1997), em 121 indivíduos adultos jovens, totalmente 

dentados, por meio de medidas em fotografias. Para tanto, os indivíduos 

foram posicionados no cefalostato e fotografados de perfil, em posição 

habitual de repouso fisiológico. Os seguintes segmentos foram 

selecionados: A = Lc-Sbn (canto do olho à base do nariz), B = Sbn-St 

(base do nariz à linha divisória dos lábios) e C = St-Gn (linha divisória dos 

lábios ao ponto mais inferior e anterior do mento). O autor encontrou 

proporção áurea entre os segmentos avaliados e considerou que a 

comprovação dessas proporções na face de indivíduos dentados pode 

auxiliar na reabilitação oral, mais especificamente na obtenção da 

dimensão vertical em indivíduos desdentados parciais ou totais que 

possuem diminuição dessa dimensão, podendo-se verificar se já havia a 

presença destas proporções anteriormente, por meio de fotografias 

antigas desses pacientes. 

Garbin & Passeri47 (1999) desenvolveram um estudo com 

o objetivo de verificar a existência da proporção áurea entre medidas 



 

 

60

realizadas por meio de radiografias cefalométricas laterais, de indivíduos 

jovens com oclusão normal, e se essas proporções apresentavam 

diferenças entre os sexos. Para tanto, foram utilizadas quarenta 

radiografias cefalométricas laterais de indivíduos entre 18 a 25 anos de 

idade, sendo esses brasileiros e leucodermas. As medidas utilizadas 

foram: Ba-S/S-N; Ar-Cc/Cc-N; R-Enp/Enp-Ena; PFr-A/A-Pm; Co-Xi/Xi-Pm 

e A-1/1-Pm. Os traçados cefalométricos foram realizados manualmente, 

sendo cada medida mensurada três vezes, com um intervalo de sete dias 

entre as marcações. Aplicou-se o teste t de Student para verificar se as 

médias calculadas e observadas diferiam entre si. O autor concluiu que, 

somente uma medida avaliada (Basio-Sela em relação com Sela-Násio), 

não apresentou proporção nos dois sexos. A medida A-1/1-Pm não foi 

proporcional para ambos os sexos. A diferença entre as medidas 

observadas e calculadas não foi estatisticamente significativa para o sexo 

masculino. Houve também dimorfismo sexual para a proporção Co-Xi/Xi-

Pm, pois os jovens do sexo feminino apresentaram-se proporcionais, o 

que não ocorreu com o sexo masculino. As demais proporções 

apresentaram-se em proporção tanto no sexo masculino quanto no sexo 

feminino. 

Conforme citado por Araújo et al.8 (2001), acredita-se que 

a mente humana é atraída pela proporção que está relacionada com a 

“secção áurea” e que a série de Fibonacci expressa precisamente essa 

proporção. Com base nisso, observou em três proporções divinas de 

Fibonacci, descritas por Ricketts115 (1982), a ocorrência da proporção 

áurea em dez indivíduos tanto do sexo masculino quanto do feminino, 

com idades entre 16 a 44 anos portadores de má-oclusão Classe II de 

Angle, que seriam submetidos à cirurgia ortognática, por meio de 

radiografias cefalométricas laterais nos períodos pré e pós-operatório. Os 

pacientes apresentaram respostas diferentes. Houve diferença estatística 

entre os dados pré e pós-operatórios nas proporções A-1/1-Pm e Co-

Xi/Xi-Pm, sendo que o mesmo não ocorreu na proporção PFr-A/A-Pm. A 



 

 

61

situação de a proporção estar ausente na radiografia pré-operatória e 

presente na pós-operatória, ocorreu em dois pacientes nas medidas PFr-

A/A-Pm e Co-Xi/Xi-Pm e em um paciente na medida A-1/1-Pm. O autor 

concluiu que a proporção áurea não se aplicou às alterações esqueléticas 

advindas da cirurgia ortognática e considerou que cada indivíduo deve ser 

avaliado de maneira independente. 

Com a finalidade de verificar a hipótese de que, pacientes 

submetidos ao tratamento ortodôntico e cirurgia ortognática combinados 

estariam com a face mais estética e em proporção áurea, Baker & 

Woods10 (2001) avaliaram 46 pacientes sendo 36 mulheres e dez 

homens, com idades entre 15 e 46 anos, por meio de fotografias coloridas 

frontais e de perfil e radiografias cefalométricas laterais pré e pós-

tratamento. Dez razões foram mensuradas nas radiografias 

cefalométricas laterais e 11 nas fotografias frontais. Os autores relataram 

que parece não ter havido correlação entre o valor estético e a proporção 

áurea nas diferentes faces. Os pacientes foram considerados mais 

bonitos após o tratamento, porém nem sempre as medidas se 

apresentaram em proporção áurea. Com base nisso, concluíram que, se a 

proporção áurea for usada no plano de tratamento ortodôntico e cirurgia 

ortognática combinados, deverá ser em conjunto com outras análises 

cefalométricas. 

Acreditando que as estruturas mais estáveis, 

esteticamente agradáveis, equilibradas e funcionalmente eficientes 

seguem as leis da conservação da energia, da conservação dos tecidos e 

da profunda eficiência, apresentam-se em proporção áurea, o crânio 

humano, que se enquadra perfeitamente nessas qualificações, também 

deve apresentá-la, Gil & Medici Filho51 (2002) analisaram existência de 

proporção áurea na arquitetura craniofacial de 23 indivíduos adultos do 

sexo masculino e do sexo feminino, com oclusão normal, por meio de 

radiografias cefalométricas laterais, frontais e axiais, fotografias de frente, 

perfil, intrabucais e modelos de estudo. A pesquisa foi realizada em áreas 



 

 

62

de distribuição de forças e pilares ósseos, bem como, em áreas de 

inserções musculares e divisões naturais do crânio, por acreditar que a 

proporção é um fator que dirige o crescimento equilibrado e harmonioso, 

estando relacionado às funções das estruturas. Os valores das medidas 

selecionadas foram obtidos com o programa Radiocef 2.0 (Radiomemory). 

Os autores encontraram 619 pares de medidas em proporção áurea, em 

pelo menos oitenta por cento da amostra, sendo 34 pares na incidência 

axial, 287 pares na frontal e 298 na lateral. Concluíram que o crânio 

humano apresenta arquitetura áurea conferindo a este um eficiente 

equilíbrio e harmonia. Os autores relataram ainda que, conhecendo as 

estruturas que estão em proporção áurea, é possível devolver ao paciente 

(tanto na Ortodontia, Cirurgia ou Prótese), as medidas que lhes são 

harmônicas pois a proporção áurea é uma forma de individualizar a 

avaliação a partir das características próprias de cada indivíduo, ao 

contrário do que ocorre com a maioria das análises cefalométricas, que 

baseiam-se em padrões da média da população. 

Araújo7 (2003) verificou a presença da proporção áurea 

em indivíduos entre seis a 13 anos de idade que se encontravam na curva 

ascendente do surto de crescimento puberal, com oclusão normal e que 

não foram submetidos ao tratamento ortodôntico prévio. Foram utilizadas 

33 radiografias cefalométricas laterais e 33 radiografias de mão e punho, 

sendo que as medidas foram realizadas no software Radiocef 2.0® 

(Radiomemory). Para a classificação da amostra, foi utilizado o programa 

da Curva de Crescimento, versão 1.0 (Radiomemory), sendo que a 

mesma foi dividida em três grupos. O autor concluiu que 20,5% das 

razões avaliadas encontraram-se em proporção áurea e que não houve 

diferença estatisticamente significante nos valores quantitativos das 

razões em proporção áurea entre os três grupos estudados na curva 

ascendente do surto de crescimento puberal. 

A presença da proporção áurea em segmentos do 

esqueleto craniofacial de indivíduos com oclusão normal que se 



 

 

63

encontravam na fase de pico do surto de crescimento puberal até antes 

do término da maturação esquelética (curva descendente do surto), em 

radiografias cefalométricas laterais de trinta indivíduos com oclusão 

normal, com idades cronológicas entre nove e 16 anos, foi o propósito do 

estudo de Martins79 (2003). As mensurações foram realizadas no software 

Radiocef 2.0® (Radiomemory). A amostra foi dividida em dois grupos, 

sendo que no grupo um, estavam os indivíduos que se encontravam no 

pico ou até dois anos após o pico do surto de crescimento puberal e no 

grupo dois estavam os indivíduos que se encontravam entre dois a três 

anos após o pico, mas que ainda não haviam atingido a maturidade 

esquelética, para tanto foi utilizado o programa da Curva de Crescimento, 

versão 1.0 (Radiomemory). Os resultados mostraram que dos 34 

segmentos analisados, 31 apresentaram-se em proporção áurea, em pelo 

menos oitenta por cento dos indivíduos com oclusão normal que se 

encontravam na fase do pico do surto de crescimento. O autor concluiu 

que não houve diferença estatisticamente significativa na quantidade de 

razões áureas estabelecidas pelos segmentos avaliados entre os dois 

grupos. 

Silva124 (2003) avaliou como se apresentam as medidas 

cefalométricas em relação à proporção divina em um total de 52 

proporções, formadas por 28 pontos cefalométricos, utilizando para tal 

avaliação, radiografias cefalométricas laterais de quarenta indivíduos na 

faixa etária de 17 a 45 anos de idade, sendo 13 do sexo masculino e 27 

do sexo feminino que apresentavam má-oclusão Classe II de Angle. As 

mensurações foram realizadas utilizando-se o software Radiocef Studio. 

O autor concluiu que uma média de 65,48% das medidas cefalométricas 

se encontravam em proporção áurea. Quando foram utilizadas relações 

envolvidas em áreas do crânio mais sujeitas a variações decorrentes da 

má-oclusão, houve redução da porcentagem de proporções áureas. O 

terço inferior da cabeça, juntamente com as áreas nas arcadas dentárias 

dos indivíduos da amostra, foram as regiões em que as proporções, entre 



 

 

64

as medidas cefalométricas estudadas, apresentaram as menores 

porcentagens de proporção áurea. 

Piselli105 (2003) analisou as possíveis alterações nas 

proporções faciais dos pacientes antes e após o tratamento ortodôntico e 

sua relação de proximidade com a proporção áurea. Foram avaliadas 36 

telerradiografias realizadas antes e após tratamento ortodôntico de 18 

pacientes do sexo feminino com idades entre 12 anos e 11 meses ao 

início e 15 anos e quatro meses no término do tratamento que 

apresentavam má-oclusão Classe II, divisão 1. O autor concluiu que, das 

quatro proporções áureas avaliadas, somente uma (Ena-Enp Φ Enp-

posterior da mandíbula) foi encontrada em proporção na amostra antes e 

após o tratamento. A proporção Pog-A Φ A-HF encontrou-se em 

proporção áurea no início do tratamento, mas distanciou-se ao término do 

mesmo. Foi observado que, após o tratamento, os indivíduos 

apresentaram oclusão estável e harmonia facial. Considerou que, se a 

proporção áurea for utilizada, deverá ser como auxiliar, juntamente com 

outros métodos de diagnóstico. 

Takeshita131 (2004) verificou a proporção áurea em 

radiografias cefalométricas laterais de 37 indivíduos portadores de má-

oclusão Classe II de Angle, com idades entre nove e 21 anos, antes e 

depois do tratamento ortodôntico, utilizando para tanto o programa 

Radiocef Studio® (Radiomemory, Belo Horizonte, Brasil). O autor concluiu 

que, das 19 razões estudadas, oito diferiram de forma estatisticamente 

significante, sendo que dessas, sete se aproximaram do número áureo 

após o tratamento. As razões que envolviam dentes foram as que 

sofreram maior alteração devido ao tratamento ortodôntico. 

Castilho21 (2005) avaliou a proporção áurea de estruturas 

do crânio e da face em indivíduos no início e no final do tratamento 

ortopédico/ortodôntico por meio de noventa radiografias cefalométricas 

laterais de 45 indivíduos tratados ortopédica/ortodônticamente. Foram 

criadas duas análises baseadas no trabalho de Gil & Medici Filho51 



 

 

65

(2002), considerando determinante para a escolha das razões a 

importância no planejamento do tratamento ortodôntico/ortopédico. Esse 

procedimento foi realizado em duas etapas com radiografias antes e após 

o tratamento do respectivo paciente obtendo assim 14 razões antes e 14 

razões após o tratamento. Como se tratava de 45 indivíduos, obteve-se 

630 medidas antes e após o tratamento, totalizando 1260 medidas. O 

autor concluiu que, em cinco razões, observou-se diferenças 

estatisticamente significativas de forma favorável, ou seja, após o 

tratamento se aproximaram em direção ao número áureo, em sete razões, 

as diferenças não foram estatisticamente significantes e em três, 

observou-se diferenças estatisticamente significantes de forma 

desfavorável, ou seja após o tratamento, distanciaram-se do número 

áureo. 

Conhecendo-se a importância estética e funcional de uma 

face considerada como sendo bela Porto106, em 2005, realizou um estudo 

com o propósito de colaborar com o Cirurgião-Dentista na busca do belo 

em indivíduos de dois grupos faciais: dolicofaciais e mesofaciais. Sendo 

assim, verificou por meio de radiografias cefalométricas laterais de 

indivíduos na faixa etária entre 17 e 25 anos de idade e com oclusão 

Classe I de Angle, se algumas medidas apresentavam-se em proporção 

áurea no esqueleto craniofacial de 24 indivíduos dolicofaciais e 24 

mesofaciais. As análises foram realizadas no programa Radiocef Studio® 

(Radiomemory, Belo Horizonte, Brasil). Com base nos resultados obtidos 

o autor concluiu que, das oito razões estudadas, a proporção áurea 

esteve presente em quatro razões (Ena-Enp/Or-Me; Co-Pog/Or-Me; N-

Ena/Ena-AA e Ena-Enp/S.O.-POOr) no grupo de indivíduos mesofaciais e 

em apenas uma razão (A-Pog/Or-Me) no grupo de indivíduos 

dolicofaciais. No grupo mesofaciais, as razões que mais se aproximaram 

do número áureo foram: Co-Pog/Or-Me e Ena-Enp/S.O.-POOr e no grupo 

dolicofaciais, a razão A-Pog/Or-Me foi a razão que mais se aproximou de 

1,618. 



 

 

66

Considerando a proporção áurea como uma forma de 

individualizar a análise cefalométrica a partir das características próprias 

de cada pessoa, Ono98 (2005) propôs em seu trabalho verificar a 

existência da proporção áurea em indivíduos meso e braquifaciais, e 

assim identificar padrões que caracterizam esses tipos faciais auxiliando 

no plano tratamento. Foram utilizadas radiografias cefalométricas laterais 

de 48 indivíduos braquifaciais e 43 mesofaciais, com idades entre 17 e 25 

anos e oclusão Classe I de Angle. Para a análise das medidas, foi 

utilizado o programa Radiocef Studio® (Radiomemory, Belo Horizonte, 

Brasil). Foi realizado o erro intra-examinador, sendo o período entre as 

duas marcações de trinta dias. Das oito razões avaliadas, quatro diferiram 

estatisticamente entre os dois grupos, sendo as razões Or-Me/A-Pog, Or-

Me/Co-Go, Ena-AA/N-Ena e SO-POOr/Ena-Enp, áureas nos indivíduos 

mesofaciais. O autor observou também que o grupo braquifacial não 

apresentou nenhuma das razões estudadas em proporção áurea. 

 

 

 

2.2 Síndrome de Down 
 

 

 

2.2.1 Histórico 

 

 

 

Coelho & Loevy24 (1982) citaram que a primeira descrição 

das características de crianças com trissomia do cromossomo 21 ocorreu 

em 1866, pelo médico inglês John Langdon Down, que na ocasião a 

denominou de idiotia mongoliana, devido às semelhanças físicas dos 

indivíduos portadores dessa síndrome com a raça mongólica. Nos anos 



 

 

67

seguintes, várias autoridades consideraram o médico como o descobridor 

da anomalia, e a designaram de síndrome de Down (SD).  

Segundo Desai29 (1997) a SD é conhecida como trissomia 

do 21, trissomia G e mongolismo. A primeira descrição de uma criança 

que provavelmente apresentava a SD foi realizada por Esquirol em 1838. 

Oito anos após, Seguin descreveu um paciente com características que 

sugeriam a anomalia, que mais tarde ficou conhecida como síndrome de 

Down.  

Moreira et al.90 (2000), citaram que John Langdon Haydon 

Down apresentou cuidadosa descrição clínica da síndrome, entretanto 

erroneamente estabeleceu associações com