Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho� Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro O Teorema de Classi�cação das Cônicas - uma aplicação no Ensino Médio Mauricio Evandro Eloy Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação � Mestrado Pro�ssional em Mate- mática em Rede Nacional como requisito par- cial para a obtenção do grau de Mestre Orientador Prof. Dr. João Peres Vieira 2013 516.3 E48t Eloy, Mauricio Evandro O Teorema de Classi�cação das Cônicas - uma aplicação no En- sino Médio / Mauricio Evandro Eloy- Rio Claro: [s.n.], 2013. 65 f.: il., �gs., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Insti- tuto de Geociências e Ciências Exatas. Orientador: João Peres Vieira 1. Geometria Analítica. 2. Álgebra Linear. 3. Cônicas. 4. Movimentos Rígidos. I. Título Ficha Catalográ�ca elaborada pela STATI - Biblioteca da UNESP Câmpus de Rio Claro/SP TERMO DE APROVAÇÃO Mauricio Evandro Eloy O Teorema de Classificação das Cônicas - uma aplicação no Ensino Médio Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional do Instituto de Geociências e Ciências Exatas da Uni- versidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examinadora: Prof. Dr. João Peres Vieira Orientador Profa. Dra. Denise de Mattos ICMC/USP - São Carlos Prof. Dr. Wladimir Seixas UFSCar - Sorocaba Rio Claro, Agosto de 2013 À minha família. Agradecimentos Agradeço primeiramente a Deus por mostrar quais caminhos deveria seguir e colocar pessoas especiais em minha vida. À minha família, em especial meu pai Mauricio, minha avó Maria Rute e meu tio Marcio, que foram os pilares da minha formação como pessoa. Aos amigos de turma, especialmente Leandro e Denis Gisoldi, que tornaram essa caminhada menos árdua através de horas de estudo e divertimento. Aos docentes do Departamento de Matemática da Unesp Rio Claro, especialmente o professor Dr. João Peres Vieira, pelo acolhimento, orientação, dedicação e incentivo. À CAPES, pelo auxílio �nanceiro. Por �m, aos idealizadores do PROFMAT, que �zeram do meu sonho uma realidade. Existe um paralelismo �el entre o progresso social e a atividade matemática, os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula. Jacques Chapellon Resumo Nesta dissertação apresentamos o estudo do caso geral das cônicas e o Teorema de Classi�cação das Cônicas via Geometria Analítica e Álgebra Linear. Também apresen- tamos uma proposta didática para as cônicas aos docentes do Ensino Médio. Palavras-chave: Geometria Analítica, Álgebra Linear, Cônicas, Movimentos Rígidos. Abstract In this work we present the study of conics, in general case, and the Theorem Classi�cation of Conics via Analytic Geometry and Linear Algebra. We also present a didactic proposal of conics to the high school teachers. Keywords: Analytic Geometry, Linear Algebra, Conical, Rigid Motions. Lista de Figuras 2.1 Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5 Cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.6 Circunferência a partir da secção do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7 Parábola a partir da secção do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 Elipse a partir da secção do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.9 Hipérbole a partir da secção do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.10 Ponto a partir da secção do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.11 Reta a partir da secção do cone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.12 Reunião de duas retas concorrentes a partir da secção do cone . . . . . 29 Lista de Tabelas 3.1 Ângulos entre os vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Redução da equação geral de uma cônica via Geometria Analítica e Álgebra Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Sumário 1 Introdução 19 2 Cônicas 21 2.1 Origens históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 De�nições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Obtenção das cônicas a partir de secções no cone . . . . . . . . . . . . 26 3 Classi�cação das cônicas 31 3.1 Pré-requisitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.1 Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.1.2 Equações de translação e rotação no plano . . . . . . . . . . . . 32 3.2 Aplicação das translações e rotações do plano no estudo das cônicas . . 35 3.2.1 Simpli�cação da equação de uma cônica através de uma translação 35 3.2.2 Simpli�cação da equação de uma cônica através de uma rotação 36 3.2.3 Classi�cação das cônicas após uma translação . . . . . . . . . . 39 3.2.4 Classi�cação das cônicas após uma rotação . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4 Proposta Didática 53 4.1 Sequência Didática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Referências 55 A Plano de Aula: De�nições 57 B Plano de Aula: As secções cônicas e suas origens 59 C Plano de Aula: A utilização das cônicas nos dias atuais 61 D Plano de Aula: Translação e rotação 63 E Plano de Aula: Classi�cando as cônicas 65 1 Introdução As cônicas são frequentemente apresentadas em cursos regulares de Ensino Médio, como sendo a circunferência, a elipse, a hipérbole e a parábola. Pretendemos, com este trabalho, fazer um estudo do caso geral das cônicas, mos- trando que além das cônicas regularmente apresentadas também temos como cônicas o ponto, o vazio, a reta, a reunião de duas retas concorrentes e a reunião de duas retas paralelas. No capítulo 2, falaremos das origens históricas das cônicas, de suas de�nições e de como obtê-las a partir de secções no cone. No capítulo 3, exibiremos toda a teoria do caso geral das cônicas e o teorema de classi�cação das cônicas, via Geometria Analítica e Álgebra Linear. Por �m, no capítulo 4, apresentaremos uma proposta didática, tornando possível a abordagem de todas as cônicas aos alunos do Ensino Médio. 19 2 Cônicas 2.1 Origens históricas Ao que tudo indica a história das secções cônicas se iniciou na Grécia antiga com as tentativas de resolução de um dos "três problemas clássicos"da antiguidade, o da duplicação do cubo, que se enuncia da seguinte forma: dada a aresta de um cubo, construir com o uso de régua e compasso a aresta de um segundo cubo cujo volume é o dobro do primeiro. Existem duas passagens históricas que mostram o surgimento de tal problema, a primeira nos diz que um certo poeta grego antigo, leigo em matemática, deu uma solução errada para o problema da dobra do tamanho do túmulo de Glauco (�lho do rei Minos), a segunda se refere a resposta dada pelo oráculo aos delianos, onde deveriam dobrar o altar cúbico de Apolo para se livrar de uma peste que os amedrontava. Hipócrates de Chios (470 - 410 a.C.) revelou que a duplicação do cubo poderia ser resolvida encontrando curvas com propriedades expressas na proporção contínua entre dois segmentos a x = x y = y b , no caso em que b = 2a. Menaecmus (380 - 320 a.C.) por sua vez, percebeu que tais curvas (ou família de curvas), podiam ser obtidas a partir de secções entre um cone circular reto e um plano perpendicular a um elemento do cone, dando origem ao que chamamos hoje de elipse, parábola e hipérbole. Mais tarde, Papus (290 - 350 d.C.) em sua obra Tesouro da Análise, cita dois tratados sobre as secções cônicas: as Cônicas de Euclides (325 - 265 a.C.) e Lugares Sólidos de Aristeu (370 - 300 a.C.). Eis que aparece a �gura de Apolônio (262 - 190 a.C.) escrevendo o tratado sobre as Cônicas. Esse trabalho de Apolônio marcou a história das cônicas, por substituir todos os trabalhos anteriores e permanecer na antiguidade sem aperfeiçoamentos. Dois nomes do século XVII descobriram uma aplicação para uma das cônicas. Tal aplicação nos diz que os planetas se movem em elipses. Kepler (1571 - 1630) utilizou de observações astronômicas e Newton (1642 - 1727) uma prova matemática baseada na lei da gravitação universal. As aplicações das cônicas vem sendo utilizadas no cotidiano desde a antiguidade 21 22 Cônicas até os dias atuais. 2.2 De�nições De�nição 2.1. Por um plano entendemos o conjunto dos pares ordenados (x, y) de números reais. De�nição 2.2. Sejam P um ponto de um plano α e r um número real estritamente positivo. O lugar geométrico dos pontos de α que distam r de P é chamado de circun- ferência, que denotaremos por C. Em outras palavras, X ∈ C ⇔ d(P,X) = r. Figura 2.1: Circunferência Podemos encontrar, através da de�nição (2.2), a equação reduzida de uma circun- ferência. Sejam P = (0, 0), X = (x, y) um ponto pertencente a circunferência e r um número real estritamente positivo. Então a equação reduzida da circunferência é: d(P,X) = r√ x2 + y2 = r x2 + y2 = r2 (2.1) De�nição 2.3. Sejam F1 e F2 dois pontos distintos tais que d(F1, F2) = 2f e considere o número real 2a tal que 2a > 2f . O lugar geométrico de todos os pontos do plano tais que a soma das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a é chamado de elipse, que denotaremos por E. Em outras palavras, P ∈ E ⇔ d(P, F1) + d(P, F2) = 2a. De�nições 23 Figura 2.2: Elipse Podemos encontrar, através da de�nição (2.3), uma equação reduzida da elipse. Sejam C = (0, 0) o centro da elipse, F1 = (f, 0) e F2 = (−f, 0). Então a equação reduzida da elipse é: d(P, F1) + d(P, F2) = 2a√ (x− f)2 + y2 + √ (x+ f)2 + y2 = 2a√ (x+ f)2 + y2 = 2a− √ (x− f)2 + y2 Elevando ao quadrado ambos os membros, obtemos: (x+ f)2 + y2 = 4a2 − 4a √ (x− f)2 + y2 + (x− f)2 + y2 x2 + 2xf + f 2 + y2 = 4a2 − 4a √ (x− f)2 + y2 + x2 − 2xf + f 2 + y2 4xf = 4a2 − 4a √ (x− f)2 + y2 Dividindo por 4 ambos os membros, obtemos: xf = a2 − a √ (x−f)2 + y2 a2 − xf = a √ (x− f)2 + y2 Elevando novamente ao quadrado ambos os membros, obtemos:( a2 − xf )2 = a2 [ (x− f)2 + y2 ] a4 − 2a2xf + x2f 2 = a2x2 − 2a2xf + a2f 2 + a2y2 a2y2 + a2x2 − x2f 2 = a4 − a2f 2 (a2 − f 2)x2 + a2y2 = a2(a2 − f 2) x2 a2 + y2 b2 = 1, (2.2) onde b2 = a2 − f 2. 24 Cônicas De�nição 2.4. Sejam F1 e F2 dois pontos distintos tais que d(F1, F2) = 2f e considere o número real 2a tal que 0 < 2a < 2f . O lugar geométrico de todos os pontos do plano tais que a diferença das distâncias a F1 e F2, em módulo, é constante e igual a 2a é chamado hipérbole, que denotaremos por H. Em outras palavras, P ∈ H ⇔ |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a. Figura 2.3: Hipérbole Podemos encontrar, através da de�nição (2.4), uma equação reduzida da hipérbole. Sejam C = (0, 0) o centro da hipérbole, F1 = (f, 0) e F2 = (−f, 0). Então a equação reduzida da hipérbole é: |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a d(P, F1)− d(P, F2) = ±2a√ (x− f)2 + y2 − √ (x+ f)2 + y2 = ±2a Multiplicando ambos os membros por (−1), obtemos: − √ (x− f)2 + y2 + √ (x+ f)2 + y2 = ∓2a√ (x+ f)2 + y2 = √ (x− f)2 + y2 ∓ 2a Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: x2 + 2xf + f 2 + y2 = x2 − 2xf + f 2 + y2 ∓ 4a √ (x− f)2 + y2 + 4a2 4xf = ∓4a √ (x− f)2 + y2 + 4a2 Dividindo ambos os membros por 4, obtemos: xf = ∓a √ (x− f)2 + y2 + a2 a2 − xf = ±a √ (x− f)2 + y2 De�nições 25 Elevando novamente ambos os membros ao quadrado, obtemos:( a2 − xf )2 = [ ±a √ (x− f)2 + y2 ]2 f 2x2 − a2x2 − a2y2 = a2f 2 − a4 (f 2 − a2)x2 − a2y2 = a2(f 2 − a2) x2 a2 − y2 b2 = 1, (2.3) onde b2 = f 2 − a2. De�nição 2.5. Seja s uma reta e P um ponto não pertencente a s. O conjunto de todos os pontos do plano equidistante da reta s e do ponto P é chamado de parábola, que denotaremos por P. Em outras palavras, P ∈ P ⇔ d(P, s) = d(P, F ). Figura 2.4: Parábola Podemos encontrar, através da de�nição (2.5), uma equação reduzida da parábola. Sejam V = (0, 0) o vértice da parábola, F = (0, p) e y = −p a equação da reta s. Então a equação reduzida da parábola é: d(P, F ) = d(P, s)√ x2 + (y − p)2 = |y + p| Elevando ambos os membros ao quadrado, obtemos: x2 + (y − p)2 = (y + p)2 x2 + y2 − 2yp+ p2 = y2 + 2yp+ p2 x2 = 4py (2.4) Veremos nas subseções (3.2.3) e (3.2.4) que além das cônicas citadas nas de�nições anteriores, temos também aquelas que chamaremos de cônicas degeneradas, a saber: o vazio, a reta, a reunião de duas retas paralelas, a reunião de duas retas concorrentes e o ponto. 26 Cônicas 2.3 Obtenção das cônicas a partir de secções no cone Vimos na seção (2.2) as de�nições de cônicas na Geometria Plana. Nesta seção veremos as de�nições de cônicas na Geometria Espacial. Por um cone de eixo e (reta que passa por O e o centro da circunferência), reta geratriz I e vértice O, entendemos, a reunião das retas I que passam por O e um ponto da circunferência conforme a �gura Figura 2.5: Cone Por uma secção cônica entendemos a curva formada pela intersecção entre um plano π e o cone da �gura (2.5). Desta forma temos: i) a circunferência: quando o plano π for perpendicular ao eixo e, não passando pelo vértice O (�gura (2.6)); Figura 2.6: Circunferência a partir da secção do cone Obtenção das cônicas a partir de secções no cone 27 ii) a parábola: quando o plano π for paralelo a geratriz I, não passando por ela (�gura (2.7)); Figura 2.7: Parábola a partir da secção do cone iii) a elipse: quando o plano π for oblíquo ao eixo e, não contendo o vértice O e não paralelo a geratriz I (�gura (2.8)); Figura 2.8: Elipse a partir da secção do cone 28 Cônicas iv) a hipérbole: quando o plano π for paralelo ao eixo e, não passando por ele (�gura (2.9)); Figura 2.9: Hipérbole a partir da secção do cone v) o ponto: quando o plano π passar somente pelo vértice O (�gura (2.10)); Figura 2.10: Ponto a partir da secção do cone Obtenção das cônicas a partir de secções no cone 29 vi) a reta: quando o plano π passar pelo vértice O, contendo a reta geratriz I (�gura (2.11)); Figura 2.11: Reta a partir da secção do cone vii) a reunião de duas retas concorrentes: quando o plano π passar pelo vértice O, não contendo a reta geratriz I e seccionando o cone (�gura (2.12)); Figura 2.12: Reunião de duas retas concorrentes a partir da secção do cone 3 Classi�cação das cônicas 3.1 Pré-requisitos Nesta seção apresentaremos algumas de�nições e deduziremos as equações de trans- lação e rotação no plano, para que possamos utilizá-las na próxima seção. 3.1.1 Considerações Gerais De�nição 3.1. Seja ~u = [ x y ] um vetor do plano. De�nimos a norma do vetor ~u, denotada por ||~u||, por ||~u|| = √ x2 + y2. De�nição 3.2. Sejam ~u = [ x y ] e ~v = [ x′ y′ ] vetores do plano. De�nimos o produto escalar entre os vetores ~u e ~v, denotado por 〈~u,~v〉, por 〈~u,~v〉 = x.x′ + y.y′. De�nição 3.3. Sejam ~u e ~v vetores não nulos do plano. De�nimos o ângulo entre os vetores ~u e ~v como sendo o ângulo θ entre 0 e π tal que cos θ = 〈~u,~v〉 ||~u||.||~v|| . De�nição 3.4. Chamaremos de discriminante δ o determinante da matriz M =[ a b c d ] , ou seja, δ= ∣∣∣∣∣a b c d ∣∣∣∣∣ = ad− cb. De�nição 3.5. Seja M uma matriz de ordem 2. Se existem ~v = [ a b ] , ~v 6= [ 0 0 ] e λ ∈ R, tais que M~v = λ~v, ou equivalentemente, (M − λ.I)~v = ~0 = [ 0 0 ] , dizemos que λ é um autovalor de M e ~v é um autovetor de M associado a λ. Proposição 3.1. Se M é uma matriz de ordem 2 e M t denota a sua transposta, então〈 M [ x y ] , [ z w ]〉 = 〈[ x y ] ,M t [ z w ]〉 . Demonstração. Sejam M = [ a b c d ] e M t = [ a c b d ] , então: 31 32 Classi�cação das cônicas i) 〈 M [ x y ] , [ z w ]〉 = 〈[ a b c d ][ x y ] , [ z w ]〉 = 〈[ ax+ by cx+ dy ] , [ z w ]〉 = axz + byz + cxw + dyw ii) 〈[ x y ] ,M t [ z w ]〉 = 〈[ x y ] , [ a c b d ][ z w ]〉 = 〈[ x y ] , [ az + cw bz + dw ]〉 = axz + cxw + byz + dyw = axz + byz + cxw + dyw De (i) e (ii) podemos concluir que 〈 M [ x y ] , [ z w ]〉 = 〈[ x y ] ,M t [ z w ]〉 . Proposição 3.2. Se M é uma matriz simétrica e ~e1, ~e2 são autovetores de M associa- dos a autovalores distintos λ1, λ2, respectivamente, então ~e1 e ~e2 são vetores ortogonais. Demonstração. Da proposição (3.1) temos que 〈M~e1, ~e2〉 = 〈~e1,M t~e2〉. Como a matriz M é simétrica, temos M = M t e assim 〈M~e1, ~e2〉 = 〈~e1,M ~e2〉. Utilizando a de�nição (3.5), obtemos: 〈M~e1, ~e2〉 = 〈~e1,M ~e2〉 〈λ1~e1, ~e2〉 = 〈~e1, λ2~e2〉 λ1 〈~e1, ~e2〉 = λ2 〈~e1, ~e2〉 λ1 〈~e1, ~e2〉 − λ2 〈~e1, ~e2〉 = 0 (λ1 − λ2) 〈~e1, ~e2〉 = 0 Como λ1 6= λ2 concluímos que 〈~e1, ~e2〉 = 0, ou seja, ~e1 e ~e2 são vetores ortogonais. Proposição 3.3. Sejam M uma matriz simétrica de ordem 2, λ1 e λ2 autovalores de M , ~v1 = [ d f ] e ~v2 = [ e g ] autovetores ortonormais associados a λ1 e λ2 respectivamente e B = [ d e f g ] , então: BtMB = [ λ1 0 0 λ2 ] Demonstração. Primeiramente iremos calcular o produto matricialMB = M [ d e f g ] = [ M ~v1 M ~v2 ] = [ λ1 ~v1 λ2 ~v2 ] = [ λ1d λ2e λ1f λ2g ] . Assim, temos queBtMB = [ d f e g ][ λ1d λ2e λ1f λ2g ] =[ λ1(d 2 + f 2) λ2(de+ gf) λ1(ed+ gf) λ2(e 2 + g2) ] = [ λ1||~v1||2 λ2 〈~v1, ~v2〉 λ1 〈~v2, ~v1〉 λ2||~v2||2 ] = [ λ1.1 λ2.0 λ1.0 λ2.1 ] = [ λ1 0 0 λ2 ] 3.1.2 Equações de translação e rotação no plano De�nição 3.6. Por um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais no plano, Σ, entendemos o par (O,B) onde O é a origem do sistema e B é uma base ortonormal. Pré-requisitos 33 Muitos problemas que aparecem em Geometria Analítica podem ser facilitados se a origem do sistema de coordenadas cartesianas fosse trocada por um ponto conveniente. Nosso objetivo agora é mostrar como podemos passar de um sistema de coorde- nadas cartesianas ortogonais no plano Σ = (O,~i,~j) para outro Σ′ = (O′, ~i′, ~j′), mais conveniente. Sejam B = (~i,~j) e B′ = (~i′, ~j′) bases ortonormais dos sistemas de coordenadas cartesianas Σ = (O,B) e Σ′ = (O′, B′), respectivamente. Denotemos [−→ OP ] B = [ x y ] as coordedanadas de um ponto P qualquer do plano no sistema Σ, [−−→ OO′ ] B = [ x0 y0 ] as coordenadas do ponto O′ no sistema Σ e [−−→ O′P ] B′ = [ x′ y′ ] as coordenadas do ponto P no sistema Σ′. Sabemos da Geometria Analítica (vide [1], p.62) que[−−→ O′P ] B = MBB′ [−−→ O′P ] B′ (3.1) onde MBB′ é a matriz de mudança da base B para a base B′. Sabemos também das operações com vetores que[−→ OP ] B = [−−→ OO′ ] B + [−−→ O′P ] B ⇔ [−−→ O′P ] B = [−→ OP ] B − [−−→ OO′ ] B (3.2) De (3.1) e (3.2) temos [−→ OP ] B − [−−→ OO′ ] B = MBB′ [−−→ O′P ] B′ ⇔ [ x y ] − [ x0 y0 ] = MBB′ [ x′ y′ ] e portanto [ x− x0 y − y0 ] = MBB′ [ x′ y′ ] (3.3) De�nição 3.7. Uma translação consiste em uma transformação do sistema de coorde- nadas cartesianas usual em outro, onde a origem se localiza em um outro ponto, sendo mantida a base, ou seja, as respectivas direções dos eixos. Vejamos agora como podemos mudar do sistema de coordenadas cartesianas Σ = (O,B) para o sistema Σ′ = (O′, B), ou seja, estaremos apenas mudando a origem do sistema de coordenadas cartesianas. De (3.3) temos: [ x− x0 y − y0 ] = MBB [ x′ y′ ] . Como a base não se altera a matriz MBB é igual a matriz identidade I, assim:[ x− x0 y − y0 ] = MBB [ x′ y′ ] = I [ x′ y′ ] = [ x′ y′ ] . Logo, { x = x0 + x′ y = y0 + y′ (3.4) O sistema (3.4) é chamado de Sistema de Equações de Translação. 34 Classi�cação das cônicas De�nição 3.8. Uma rotação consiste em uma transformação do sistema de coordena- das cartesianas habitual em outro, onde a base do sistema de coordenadas é rotacionada e a origem não. Vejamos agora como podemos mudar do sistema de coordenadas cartesianas Σ = (O,B) para o sistema Σ′ = (O,B′), ou seja, estaremos apenas movimentando a base, onde B = (~i,~j) e B′ = (~i′, ~j′) são bases ortonormais. Para isso consideremos como conhecidos os ângulos que formam cada um dos vetores ~i, ~j com os vetores ~i′, ~j′, a saber ~i ~j ~i′ θ α ~j′ γ β Tabela 3.1: Ângulos entre os vetores Como B é uma base temos ~i′ = λ1~i+ λ2~j, onde λ1 e λ2 são univocamente determi- nados. Para encontrar λ1, sendo B uma base ortonormal, basta calcularmos o produto escalar 〈~i′,~i〉, pois 〈~i′,~i〉 = 〈(λ1~i+ λ2~j),~i〉 = 〈λ1~i,~i〉+ 〈λ2~j,~i〉 = λ1〈~i,~i〉+ λ2〈~j,~i〉 = λ1.1 + λ2.0 = λ1. De modo análogo 〈~i′,~j〉 = λ2. Mas 〈~i′,~i〉 = cos θ e 〈~i′,~j〉 = cosα. Portanto ~i′ = cos θ~i+ cosα~j Da mesma forma também obtemos: ~j′ = cos γ~i+ cos β~j Assim MBB′ = [ cos θ cos γ cosα cos β ] . Como α = π 2 − θ, γ = π 2 + θ e β = θ, temos cosα = sen θ, cos γ = − sen θ e cos β = cos θ e portanto MBB′ = [ cos θ − sen θ sen θ cos θ ] Logo, segue de (3.1) que [ x y ] = [ cos θ − sen θ sen θ cos θ ][ x′ y′ ] , (3.5) onde a matriz Rθ= [ cos θ − sen θ sen θ cos θ ] é chamada de matriz de rotação. Aplicação das translações e rotações do plano no estudo das cônicas 35 Se preferirmos podemos escrever a equação matricial (3.5) na forma de sistema,{ x = x′ cos θ − y′ sen θ y = x′ sen θ + y′ cos θ , (3.6) chamado de Sistema de Equações de Rotação Observação 1. A matriz Rθ faz uma rotação de θ radianos do sistema Σ = (O,B) no sentido anti-horário. 3.2 Aplicação das translações e rotações do plano no estudo das cônicas De�nição 3.9. Uma cônica em R2 é o conjunto dos pontos do plano, cujas coordenadas cartesianas x e y satisfazem uma equação do 2◦ grau do tipo f(x, y) = ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0 (3.7) onde os coe�cientes a, b, c, d, e e f não são todos nulos. Na equação (3.7) temos um termo quadrático, q(x, y) = ax2 + bxy + cy2 =, onde o termo bxy pode ser chamado de termo quadrático misto, um termo linear, l(x, y) = dx + ey, e um termo constante f . Assim temos que a equação (3.7) pode ser escrita como: f(x, y) = q(x, y) + l(x, y) + f = 0 (3.8) Pretendemos mostrar através das subseções seguintes que a equação (3.7) pode ser simpli�cada. 3.2.1 Simpli�cação da equação de uma cônica através de uma translação Consiste em descobrir um novo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais Σ′ = (O′, B), mais conveniente do que o anterior Σ = (O,B), onde B = (~i,~j), de modo que na equação (3.7) o termo linear possa ser eliminado. Assim a equação (3.7) se transforma em uma equação da forma: f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d′x′ + e′y′ + f ′ = 0 (3.9) Substituindo as equações (3.4) na equação (3.7), obtemos: f ′(x′, y′) = f(x0 +x′, y0 +y′) = a(x0 +x′)2 + b(x0 +x′)(y0 +y′)+ c(y0 +y′)2 +d(x0 + x′) + e(y0 + y′) + f = 0, ou equivalentemente, f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + (2ax0 + by0 + d)x′ + (bx0 + 2cy0 + e)y′ + ax20 + bx0y0 + cy20 + dx0 + ey0 + f = 0 (3.10) 36 Classi�cação das cônicas Note que f(x0, y0) = ax20 + bx0y0 + cy20 + dx0 + ey0 + f é o termo independente da equação (3.10), assim podemos escrevê-la da seguinte forma: f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′+ c(y′)2 +(2ax0 + by0 +d)x′+(bx0 +2cy0 +e)y′+f(x0, y0) = 0 (3.11) Como o que nos interessa após a translação é a eliminação do termo linear na equação (3.11), temos que encontrar x0 e y0 tais que 2ax0+by0+d = 0 e bx0+2cy0+e = 0, o que é equivalente a resolver o sistema de equações{ 2ax0 + by0 + d = 0 bx0 + 2cy0 + e = 0 ⇔  ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 (3.12) Seja M= [ a b 2 b 2 c ] a matrix de coe�cientes do sistema de equações (3.12). Sabemos que as únicas possibilidades para o discriminante δ são: δ = 0 ou δ 6= 0. Se δ = 0, o sistema (3.12) pode ser possível e indeterminado (assumindo in�nitas so- luções) ou impossível (não assumindo nenhuma solução), sendo que no caso impossível não podemos eliminar o termo linear através de uma translação. Se δ 6= 0, o sistema (3.12) é possível e determinado (assumindo uma única solução). Suponhamos que essa solução seja o par (x0, y0) e calculemos f(x0, y0) novamente: f(x0, y0) = ax20 + bx0y0 + cy20 + dx0 + ey0 + f = ax20 + b 2 x0y0 + b 2 x0y0 + cy20 + d 2 x0 + d 2 x0 + e 2 y0 + e 2 y0 + f Agrupando os termos de forma a encontrar as equações do sistema (3.12), temos: f(x0, y0) = x0 ( ax0 + b 2 y0 + d 2 ) + y0 ( cy0 + b 2 x0 + e 2 ) + d 2 x0 + e 2 y0 + f = = x0.0 + y0.0 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = d 2 x0 + e 2 y0 + f (3.13) Substituindo (3.13) e (3.12) em (3.11), obtemos: f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 (3.14) que é a equação de uma cônica no sistema de coordenadas Σ′ = (O′, B). Observemos, comparando a equação geral da cônica (3.7) com a equação da cônica transladada (3.14), que os coe�cientes a, b e c dos termos quadráticos não se alteram, ou seja, após uma translação os coe�cientes do termo quadrático �cam inalterados. 3.2.2 Simpli�cação da equação de uma cônica através de uma rotação Consiste em descobrir um novo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais Σ′ = (O,B′), mais conveniente do que o anterior Σ = (O,B), onde O é a origem do sistema, Aplicação das translações e rotações do plano no estudo das cônicas 37 de modo que na equação (3.7) o termo quadrático misto possa ser eliminado. Assim a equação (3.7) se transforma na equação (3.9). Desde que q(x, y) = ax2 + bxy+ cy2 = 〈 [ a b 2 b 2 c ][ x y ] , [ x y ] 〉 e l(x, y) = dx+ ey =〈 [ d e ] , [ x y ] 〉 , podemos utilizar a equação (3.7) na sua forma matricial, ou seja: f(x, y) = 〈 [ a b 2 b 2 c ][ x y ] , [ x y ] 〉 + 〈 [ d e ] , [ x y ] 〉 + f = 0 (3.15) Escrevendo M = [ a b 2 b 2 c ] e usando a equação matricial de rotação do sistema de coordenadas cartesianas [ x y ] = [ cos θ − sen θ sen θ cos θ ][ x′ y′ ] = Rθ [ x′ y′ ] em (3.15), obtemos: f ′(x′, y′) = 〈 MRθ [ x′ y′ ] , Rθ [ x′ y′ ] 〉 + 〈 [ d e ] , Rθ [ x′ y′ ] 〉 + f = 0 (3.16) Observe que se Rt θ é a matriz transposta de Rθ, temos: f ′(x′, y′) = 〈 Rt θMRθ [ x′ y′ ] , [ x′ y′ ] 〉 + 〈 Rt θ [ d e ] , [ x′ y′ ] 〉 + f = 0 (3.17) Colocando ~v = [ x y ] na equação (M − λ.I)~v = ~0 da de�nição (3.5), temos: (M − λ.I) [ x y ] = [ 0 0 ] [ a− λ b 2 b 2 c− λ ][ x y ] = [ 0 0 ] (3.18) Podemos escrever a equação (3.18) na forma de sistema linear, obtendo:{ (a− λ)x+ b 2 y = 0 b 2 x+ (c− λ)y = 0 (3.19) Chamemos W = [ a− λ b 2 b 2 c− λ ] a matriz de coe�cientes do sistema de equações (3.19) e δ o discriminante da matriz W . Como estamos interessados em encontrar valores de x e y que satisfaçam as condi- ções da de�nição (3.5), ou seja, ~v = [ x y ] 6= [ 0 0 ] , devemos ter δ = 0, e assim o sistema 38 Classi�cação das cônicas (3.19) pode ser possível e indeterminado (assumindo in�nitas soluções) ou impossível (não assumindo nenhuma solução). Ao desenvolvermos δ encontraremos um polinômio Pλ(M) na variável λ, que é chamado de polinômio característico de M . Assim, esse polinômio deve ser igual a 0. Desta forma: δ = 0 det(M − λ.I) = 0 Pλ(M) = 0 (a− λ).(c− λ)− b2 4 = 0 λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 (3.20) Resolvendo a equação (3.20), temos: ∆ = (a+ c)2 − 4 ( ac− b2 4 ) = a2 + 2ac+ c2 − 4ac+ b2 = a2 − 2ac+ c2 + b2 = = (a− c)2 + b2 ≥ 0 (3.21) Assim podemos concluir que ∆ = 0 ou ∆ > 0. Se ∆ = 0 então a = c e b = 0. Logo, obtemos λ1 = λ2 = a = c. Resolvendo a equação (3.19) com o valor λ1 = λ2 = a = c, obtemos:{ (a− c)x+ b 2 y = 0 b 2 x+ (c− c)y = 0 ⇔ { 0x+ 0y = 0 0x+ 0y = 0 (3.22) Assim todo par (x, y) é solução do sistema (3.22), e como (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1), logo ~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1) são autovetores ortonormais relativos a λ1 = λ2 = a = c. Se ∆ > 0, λ1 6= λ2 e assim obtemos os autovetores ~e1 e ~e2 relativos a λ1 e λ2, resolvendo o sistema (M − λj.I) [ x y ] = [ 0 0 ] , j = 1, 2. Como a matrizM é simétrica e λ1 6= λ2, segue da proposição (3.2) que os autovetores ~e1 e ~e2 relativos a λ1 e λ2, respectivamente, são ortogonais. Mas procuramos dois vetores ortonormais e assim basta tomarmos esses vetores ~e1 e ~e2 normalizados, ou seja, ~e1 ||~e1|| e ~e2 ||~e2|| . Logo, podemos escrever, ~e1 ||~e1|| e ~e2 ||~e2|| na forma [ cos θ sen θ ] e [ − sen θ cos θ ] , respectivamente. Portanto, em ambos os casos ∆ = 0 e ∆ > 0, conseguimos exibir autovetores ortonormais ~e1 e ~e2 relativos aos autovalores λ1 e λ2 respectivamente. Aplicação das translações e rotações do plano no estudo das cônicas 39 Utilizando a proposição (3.3) e colocando Rt θ [ d e ] = [ d′ e′ ] na equação (3.17), obte- mos: f ′(x′, y′) = 〈 [ λ1 0 0 λ2 ][ x′ y′ ] , [ x′ y′ ] 〉 + 〈 [ d′ e′ ] , [ x′ y′ ] 〉 + f = = 〈 [ λ1x ′ λ2y ′ ] , [ x′ y′ ] 〉 + d′x′ + e′y′ + f = 0 = λ1(x ′)2 + λ2(y ′)2 + d′x′ + e′y′ + f = 0 (3.23) que é a equação de uma cônica no sistema de coordenadas Σ′ = (O,B′). Observemos, comparando a equação geral da cônica (3.7) com a equação da cônica rotacionada (3.23), que o termo constante f não se altera, ou seja, após uma rotação o coe�ciente f �ca inalterado. 3.2.3 Classi�cação das cônicas após uma translação Pretendemos mostrar nesta subseção um meio de classi�car as cônicas após uma translação. Esta classi�cação será feita a partir de algumas modi�cações da equação (3.14). Aplicando uma rotação na equação (3.14), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 (3.24) onde f ′ = d 2 x0 + e 2 y0 + f . Dividiremos o estudo da equação (3.24) nos seguintes casos: quando λ1λ2 > 0, ou λ1λ2 < 0 ou ainda λ1λ2 = 0. Se λ1λ2 > 0 na equação (3.24), temos: λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 (x′′)2 λ2 + (y′′)2 λ1 = − f ′ λ1λ2 (3.25) Analisando a equação (3.25) podemos concluir que: i) Se f ′ > 0, então a equação (3.25) representa o vazio; ii) Se f ′ = 0, então a equação (3.25) representa o ponto O′′ = (0, 0); iii) Se f ′ < 0, então a equação (3.25) representa uma elipse ou uma circunferência (quando λ1 = λ2). Se λ1λ2 < 0 na equação (3.25), temos: 40 Classi�cação das cônicas i) Se f ′ 6= 0, então a equação (3.25) representa uma hipérbole; ii) Se f ′ = 0, obtemos: (x′′)2 λ2 + (y′′)2 λ1 = 0 (y′′)2 = −λ1 λ2 (x′′)2 y′′ = ± √ −λ1 λ2 .x′′ que é a equação que representa a reunião de duas retas concorrentes. Se λ1λ2 = 0 com λ1 = 0 e λ2 6= 0 (poderíamos utilizar λ1 6= 0 e λ2 = 0 sem alterar as conclusões) na equação (3.24),temos: λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 (y′′)2 = − f ′ λ2 (3.26) Analisando a equação (3.26) podemos concluir que: i) Se λ2f ′ > 0, então a equação (3.26) representa o vazio; ii) Se λ2f ′ < 0, então a equação (3.26) representa a reunião de duas retas paralelas, a saber, y′′ = ± √ − f ′ λ2 ; iii) Se λ2f ′ = 0, então a equação (3.26) representa uma reta, a saber, y′′ = 0. 3.2.4 Classi�cação das cônicas após uma rotação Pretendemos mostrar nesta subseção um meio de classi�car as cônicas após uma rotação. Esta classi�cação será feita a partir de algumas modi�cações da equação (3.23). Desta forma, se λ1λ2 6= 0, dividindo por λ1λ2 e fazendo o completamento de qua- drados, obtemos: λ1(x ′)2 + λ2(y ′)2 + d′x′ + e′y′ + f = 0 (x′)2 λ2 + (y′)2 λ1 + d′ λ1λ2 x+ e′ λ1λ2 y + f λ1λ2 = 0 (x′)2 λ2 + (y′)2 λ1 + (d′)2 4λ21λ2 + d′ λ1λ2 x+ e′ λ1λ2 y + (e′)2 4λ22λ1 = − f λ1λ2 + (d′)2 4λ21λ2 + (e′)2 4λ22λ1( x′ + d′ 2λ1 )2 λ2 + ( y′ + e′ 2λ2 )2 λ1 = − f λ1λ2 + (d′)2 4λ21λ2 + (e′)2 4λ22λ1 (3.27) Aplicação das translações e rotações do plano no estudo das cônicas 41 Efetuando as seguintes translações: x = x′+ d′ 2λ1 e y = y′+ e′ 2λ2 em (3.27), obtemos: x2 λ2 + y2 λ1 = − f λ1λ2 + (d′)2 4λ21λ2 + (e′)2 4λ22λ1 (3.28) Dividiremos o estudo da equação (3.28) nos seguintes casos: quando λ1λ2 > 0, ou λ1λ2 < 0. Se λ1λ2 > 0 na equação (3.28), temos: x2 λ2 + y2 λ1 = − f λ1λ2 + (d′)2 4λ21λ2 + (e′)2 4λ22λ1 x2 λ2 + y2 λ1 = −4λ1λ2f + λ2(d ′)2 + λ1(e ′)2 4λ21λ 2 2 (3.29) Seja M = −4λ1λ2f + λ2(d ′)2 + λ1(e ′)2, então a equação (3.29) pode ser escrita da seguinte forma: x2 λ2 + y2 λ1 = M 4λ21λ 2 2 (3.30) Analisando a equação (3.30) podemos concluir que: i) Se M = 0, então a equação (3.30) representa o ponto O = (x, y) = (0, 0); ii) Se M > 0, então a equação (3.30) representa uma elipse ou uma circunferência (quando λ1 = λ2); iii) Se M < 0, então a equação (3.30) representa o vazio. Se λ1λ2 < 0 na equação (3.28), temos: x2 λ2 + y2 λ1 = − f λ1λ2 + (d′)2 4λ21λ2 + (e′)2 4λ22λ1 x2 λ2 + y2 λ1 = −4λ1λ2f + λ2(d ′)2 + λ1(e ′)2 4λ21λ 2 2 x2 −λ2 − y2 λ1 = 4λ1λ2f − λ2(d′)2 − λ1(e′)2 4λ21λ 2 2 (3.31) Seja M = 4λ1λ2f − λ2(d′)2 − λ1(e′)2, então a equação (3.31) pode ser escrita da seguinte forma: x2 −λ2 − y2 λ1 = M 4λ21λ 2 2 (3.32) Analisando a equação (3.32) podemos concluir que: i) Se M 6= 0, então a equação (3.32) representa uma hipérbole; 42 Classi�cação das cônicas ii) Se M = 0, temos a equação (3.32) da seguinte forma: x2 −λ2 − y2 λ1 = 0 y2 λ1 = x2 −λ2 y2 = −λ1 λ2 x2 y = ± √ −λ1 λ2 x (3.33) Concluímos então que a (3.33) representa a reunião de duas retas concorrentes. Se λ1λ2 = 0, λ1 = 0 e λ2 6= 0 (poderíamos utilizar λ1 6= 0 e λ2 = 0 sem alterar as conclusões) na equação (3.23), temos: λ2(y ′)2 + d′x+ e′y + f = 0 (3.34) Dividiremos o estudo da equação (3.34) nos seguintes casos: quando d′ 6= 0 ou d′ = 0. Se d′ 6= 0 na equação (3.34), temos: λ2(y ′)2 + d′x+ e′y + f = 0 (y′)2 + d′ λ2 x′ + e′ λ2 y′ + f λ2 = 0 (y′)2 + d′ λ2 x′ + e′ λ2 y′ + f λ2 + (e′)2 4λ22 = (e′)2 4λ22( y′ + e′ 2λ2 )2 = (e′)2 4λ22 − f λ2 − d′ λ2 x′( y′ + e′ 2λ2 )2 = 4 ( − d′ 4λ2 )[ x′ + λ2 d′ ( f λ2 − (e′)2 4λ22 )] (3.35) Efetuando as seguintes translações: y = y′+ e′ 2λ2 , p = − d′ 4λ2 e x = x′+ λ2 d′ ( f λ2 − (e′)2 4λ22 ) em (3.35), obtemos: y2 = 4px (3.36) que é a equação de uma parábola. Aplicação das translações e rotações do plano no estudo das cônicas 43 Se d′ = 0 na equação (3.34), temos: λ2(y ′)2 + e′y + f = 0 (y′)2 + e′ λ2 y′ + f λ2 = 0 (y′)2 + e′ λ2 y′ + f λ2 + (e′)2 4λ22 = (e′)2 4λ22( y′ + e′ 2λ2 )2 = (e′)2 4λ22 − f λ2( y′ + e′ 2λ2 )2 = (e′)2 − 4λ2f 4λ22 (3.37) Dividiremos o estudo da equação (3.37) nos seguintes casos: i Se (e′)2−4λ2f > 0, então a equação representa um reunião de duas retas paralelas, a saber, y′ = −e′ ± √ (e′)2 − 4λ2f 2λ2 ; ii Se (e′)2 − 4λ2f < 0, então a equação representa o vazio; iii Se (e′)2 − 4λ2f = 0, então a equação representa uma reta, a saber, y′ = −e′ 2λ2 . Assim, a partir da união de resultados desta subseção com os da subseção anterior obtemos o Teorema 3.1. (Teorema de classi�cação das cônicas): Dada uma cônica de�nida pela equação ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, esta equação no plano só pode represen- tar: o ponto, a elipse, a circunferência, o vazio, a hipérbole, a reunião de duas retas concorrentes, a parábola, a reunião de duas retas paralelas e a reta Observação 2. Observamos que as cônicas vazio e reunião de duas retas paralelas foram obtidas a partir do estudo algébrico e não a partir das secções do cone. Esta discussão pode ser resumida da seguinte forma: 44 Classi�cação das cônicas Redução da equação geral de uma cônica via Geometria Analítica e Álgebra Linear 1◦ Dada a equação ax2 + bxy + cy2 + dx+ ey + f = 0, calcule seu discriminante δ = ∣∣∣∣∣ a b/2 b/2 c ∣∣∣∣∣ e discuta o sistema  ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 2◦ Para δ = 0 e sistema impossível: Para δ = 0 e sistema possível indeterminado ou δ 6= 0: Encontre as raízes λ1 e λ2 Encontre O ′ = (x0, y0), de modo que: do polinômio característico, ou seja,  ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 os valores admissíveis para λ em λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0. 3◦ Se a 6= c ou b 6= 0 substitua λ = λ1 no sistema Substitua os valores de x e y dados pela translação abaixo{ (a− λ)x+ b 2y = 0 b 2x+ (c− λ)y = 0 { x = x0 + x′ y = y0 + y′ na equação inicial e reagrupe para obter ~e1 = (x1, y1), autovetor associado para obter a equação a λ1. Repita esse processo com a raiz λ2 f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + f ′ = 0. para obter ~e2 = (−y1, x1). Caso contrário, onde f ′ = f(x0, y0) = d 2 x0 + e 2 y0 + f . λ1 = λ2 = a = c, ~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1). 4◦ Determine os vetores normalizados ~v1, ~v2 Finalize com a rotação através dos passos fazendo 2◦, 3◦, 4◦ e 5◦ da coluna ao lado ~v1 = ( x1 ‖ ~e1 ‖ , y1 ‖ ~e1 ‖ ) para obter uma equação da forma: ~v2 = ( −y1 ‖ ~e2 ‖ , x1 ‖ ~e2 ‖ ) λ1(x ′)2 + λ2(y ′)2 + f ′ = 0 5◦ Substitua os valores de x e y dados pela rotação abaixo Por meio de mudança de coordenadas e análise de sinais x = x1 ‖ ~e1 ‖ x′ − y1 ‖ ~e2 ‖ y′ y = y1 ‖ ~e1 ‖ x′ + x1 ‖ ~e2 ‖ y′ identi�que a cônica. na equação inicial e reagrupe para obter a equação na forma: λ1(x ′)2 + λ2(y ′)2 + d′x′ + e′y′ + f = 0, onde  d′ = x1 ‖ ~e1 ‖ d+ y1 ‖ ~e1 ‖ e e′ = − y1 ‖ ~e2 ‖ d+ x1 ‖ ~e2 ‖ e 6◦ Por meio do completamento de quadrados e análise de sinais identi�que a cônica. Tabela 3.2: Redução da equação geral de uma cônica via Geometria Analítica e Álgebra Linear Aplicações 45 3.3 Aplicações Nesta seção faremos uso da teoria desenvolvida na seção (3.2) para identi�car al- gumas cônicas. O processo utilizado será o de aplicar a Tabela 3.2. Exemplo 3.1. Identi�que a cônica 5x2 + 4xy + y2 − 6x− 2y + 2 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣5 2 2 1 ∣∣∣∣∣ 6= 0, devemos eliminar o termo linear por meio de uma translação. Para isso, devemos encontrar a única solução do sistema de equações (3.12), ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔ { 5x0 + 2y0 = 3 2x0 + y0 = 1 ⇔ { x0 = 1 y0 = −1 e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = 5(x′)2 + 4x′y′ + (y′)2 − 3.1− 1.(−1) + 2 = 0 f ′(x′, y′) = 5(x′)2 + 4x′y′ + (y′)2 = 0 Agora devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 λ2 − 6λ+ 1 = 0 que é λ1 = 3 + 2 √ 2 e λ2 = 3− 2 √ 2. Aplicando esta solução em (3.23), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 (3 + 2 √ 2)(x′′)2 + (3− 2 √ 2)(y′′)2 = 0, que é a equação que representa o ponto de coordenadas (0, 0). Exemplo 3.2. Identi�que a cônica 5x2 + 6xy + 5y2 + 2x− 4y + 1 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣5 3 3 5 ∣∣∣∣∣ 6= 0, devemos eliminar o termo linear por meio de uma translação. Para isso, devemos encontrar a única solução do sistema de equações (3.12), ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔ { 5x0 + 3y0 = −1 3x0 + 5y0 = 2 ⇔  x0 = −11 16 y0 = 39 48 46 Classi�cação das cônicas e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = 5(x′)2 + 6x′y′ + 5(y′)2 − 11 16 − 2. 39 48 + 1 = 0 f ′(x′, y′) = 5(x′)2 + 6x′y′ + 5(y′)2 − 21 16 = 0 Agora devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 λ2 − 10λ+ 16 = 0 que é λ1 = 8 e λ2 = 2. Aplicando esta solução em (3.23), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 f ′′(x′′, y′′) = 8(x′′)2 + 2(y′′)2 − 21 16 = 0 (x′′)2 512 21 + (y′′)2 2048 21 = 1, que é a equação de uma elipse. Exemplo 3.3. Identi�que a cônica 16x2 + 16y2 − 16x+ 8y − 54 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣16 0 0 16 ∣∣∣∣∣ 6= 0, devemos eliminar o termo linear por meio de uma translação. Para isso, devemos encontrar a única solução do sistema de equações (3.12), ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔ { 16x0 + 0y0 = 8 0x0 + 16y0 = −4 ⇔  x0 = 1 2 y0 = −1 4 e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = 16(x′)2 + 0x′y′ + 16(y′)2 − 16 2 . 1 2 − 8 2 . 1 4 − 54 = 0 f ′(x′, y′) = 16(x′)2 + 16(y′)2 − 59 = 0 16(x′)2 + 16(y′)2 = 59 (x′)2 + (y′)2 = 59 16 , que é a equação de uma circunferência. Aplicações 47 Exemplo 3.4. Identi�que a cônica 19x2 + 6xy + 11y2 + 38x+ 6y + 29 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣19 3 3 11 ∣∣∣∣∣ 6= 0, devemos eliminar o termo linear por meio de uma translação. Para isso, devemos encontrar a única solução do sistema de equações (3.12), ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔ { 19x0 + 3y0 = −19 3x0 + 11y0 = −3 ⇔ { x0 = −1 y0 = 0 e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = 19(x′)2 + 6x′y′ + 11(y′)2 + 38 2 .(−1) + 6 2 .0 + 29 = 0 f ′(x′, y′) = 19(x′)2 + 6x′y′ + 11(y′)2 + 10 = 0 Agora devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 λ2 − 30λ+ 200 = 0 que é λ1 = 20 e λ2 = 10. Aplicando esta solução em (3.23), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 f ′′(x′′, y′′) = 20(x′′)2 + 10(y′′)2 + 10 = 0 (x′′)2 + (y′′)2 2 = −1 2 , que é a equação que representa o vazio. Exemplo 3.5. Identi�que a cônica x2 − 5xy − 11y2 − x+ 37y + 52 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣ 1 −5 2 −5 2 −11 ∣∣∣∣∣ 6= 0, devemos eliminar o termo linear por meio de uma translação. Para isso, devemos encontrar a única solução do sistema de equações (3.12),  ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔  x0 − 5 2 y0 = −1 2 −5 2 x0 − 11y0 = 37 2 ⇔ { x0 = −3 y0 = −1 48 Classi�cação das cônicas e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = (x′)2 − 5x′y′ − 11(y′)2 − 1 2 .(−3) + 37 2 .(−1) + 52 = 0 f ′(x′, y′) = (x′)2 − 5x′y′ − 11(y′)2 + 35 = 0 Agora devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 4λ2 + 40λ− 69 = 0 que é λ1 = 3 2 e λ2 = −23 2 . Aplicando esta solução em (3.23), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 f ′′(x′′, y′′) = 3 2 (x′′)2 − 23 2 (y′′)2 + 35 = 0 (y′′)2 3 − (x′′)2 23 = 70 69 , que é a equação de uma hipérbole. Exemplo 3.6. Identi�que a cônica 7x2 + 6xy − y2 + 28x+ 12y + 28 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣7 3 3 −1 ∣∣∣∣∣ 6= 0, devemos eliminar o termo linear por meio de uma translação. Para isso, devemos encontrar a única solução do sistema de equações (3.12), ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔ { 7x0 + 3y0 = −14 3x0 − y0 = −6 ⇔ { x0 = −2 y0 = 0 e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = 7(x′)2 + 6x′y′ − (y′)2 + 28 2 .(−2) + 12 2 .0 + 28 = 0 f ′(x′, y′) = 7(x′)2 + 6x′y′ − (y′)2 = 0 Agora devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 λ2 − 6λ− 16 = 0 Aplicações 49 que é λ1 = 8 e λ2 = −2. Aplicando esta solução em (3.23), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 f ′′(x′′, y′′) = 8(x′′)2 − 2(y′′)2 = 0 y′′ = ±2x′′, que é equação que representa a reunião de duas retas concorrentes. Exemplo 3.7. Identi�que a cônica 4x2 + 12xy + 9y2 + 8x+ 6y + 1 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣4 6 6 9 ∣∣∣∣∣ = 0, devemos eliminar (se possível) o termo linear por meio de uma translação. Vemos que o sistema de equações (3.12) não assume nenhuma solução, desta forma se torna impossível eliminar o terno linear através de uma translação. Portanto devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontrar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 λ2 − 13λ = 0 que é λ1 = 13 e λ2 = 0 e aplicar na teoria desenvolvida na seção (4.2.2), em outras pa- lavras, devemos encontrar dois vetores ortonormais ~v1 = ~e1 ||~e1|| e ~v2 = ~e2 ||~e2|| associados a λ1 e λ2, através da resolução da equação (3.19). Para λ1 = 13 temos:{ (a− λ)x+ b 2 y = 0 b 2 x+ (c− λ)y = 0 ⇔ { (4− 13)x+ 12 2 y = 0 12 2 x+ (9− 13)y = 0 ⇔ { −9x+ 6y = 0 6x− 4y = 0 ⇔ { x = 2y 3 ⇔ ⇔ { x = 2 y = 3 ⇒ { ~e1 = (2, 3) ⇒ { ~v1 = ~e1 ||~e1|| = ( 2 √ 13 13 , 3 √ 13 13 ) Para λ2 = 0 temos:{ (a− λ)x+ b 2 y = 0 b 2 x+ (c− λ)y = 0 ⇔ { (4− 0)x+ 12 2 y = 0 12 2 x+ (9− 0)y = 0 ⇔ { 4x+ 6y = 0 6x+ 9y = 0 ⇔ { x = −3y 2 ⇔ ⇔ { x = −3 y = 2 ⇒ { ~e2 = (−3, 2) ⇒ { ~v2 = ~e2 ||~e2|| = ( −3 √ 13 13 , 2 √ 13 13 ) Aplicando estas informações na equação (3.23), obtemos: λ1(x ′)2 + λ2(y ′)2 + d′x′ + e′y′ + f = 0 13(x′)2 + 0(y′)2 + 34 √ 13 13 x′ − 12 √ 13 13 y′ + 1 = 0(√ 13x′ + 17 13 )2 = 120 + 156 √ 13y′ 169 , 50 Classi�cação das cônicas que é a equação que representa uma parábola. Exemplo 3.8. Identi�que a cônica 4x2 − 4xy + y2 − 6x+ 3y + 2 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣ 4 −2 −2 1 ∣∣∣∣∣ = 0, devemos eliminar (se possível) o termo linear por meio de uma translação. Vemos que o sistema de equações (3.12) assume in�nitas soluções, iremos encontrar uma delas, ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔  4x0 − 2y0 = 3 −2x0 + y0 = −3 2 ⇔  x0 = 5 4 y0 = 1 e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = 4(x′)2 − 4x′y′ + (y′)2 − 6 2 . 5 4 + 3 2 .1 + 2 = 0 f ′(x′, y′) = 4(x′)2 − 4x′y′ + (y′)2 − 1 4 = 0 Agora devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 λ2 − 5λ = 0 que é λ1 = 5 e λ2 = 0. Aplicando esta solução em (3.23), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 f ′′(x′′, y′′) = 5(x′′)2 + 0(y′′)2 − 1 4 = 0 x′′ = ± √ 1 20 , que é a equação que representa a reunião de duas retas paralelas. Exemplo 3.9. Identi�que a cônica 4x2 + 12xy + 9y2 + 4x+ 6y + 1 = 0. Como o discriminante da equação desta cônica é δ = ∣∣∣∣∣4 6 6 9 ∣∣∣∣∣ = 0, devemos eliminar (se possível) o termo linear por meio de uma translação. Vemos que o sistema de equações (3.12) assume in�nitas soluções, iremos encontrar uma delas, ax0 + b 2 y0 + d 2 = 0 b 2 x0 + cy0 + e 2 = 0 ⇔ { 4x0 + 6y0 = −2 6x0 + 9y0 = −3 ⇔ { x0 = −2 y0 = 1 Aplicações 51 e aplicar na equação (3.14). f ′(x′, y′) = a(x′)2 + bx′y′ + c(y′)2 + d 2 x0 + e 2 y0 + f = 0 f ′(x′, y′) = 4(x′)2 + 12x′y′ + 9(y′)2 + 4 2 .(−2) + 6 2 .1 + 1 = 0 f ′(x′, y′) = 4(x′)2 + 12x′y′ + 9(y′)2 = 0 Agora devemos eliminar o termo quadrático misto por meio de uma rotação. Assim, devemos encontar a solução da equação (3.20), λ2 − (a+ c)λ+ ( ac− b2 4 ) = 0 λ2 − 13λ = 0 que é λ1 = 13 e λ2 = 0. Aplicando esta solução em (3.23), obtemos: f ′′(x′′, y′′) = λ1(x ′′)2 + λ2(y ′′)2 + f ′ = 0 f ′′(x′′, y′′) = 13(x′′)2 + 0(y′′)2 = 0 x′′ = 0, que é a equação que representa uma reta. 4 Proposta Didática Neste capítulo apresentaremos aos professores de Matemática uma proposta didá- tica de como podemos apresentar as cônicas aos alunos do Ensino Médio. 4.1 Sequência Didática A partir de agora pretendemos desenvolver uma sequência didática inovadora a respeito das cônicas, cabendo ao professor analisar todas as etapas deste trabalho e veri�car se é pertinente e aplicável em sua turma, podendo esta ser adaptada em caso de necessidade. Espera-se que neste momento os alunos já dominem todos os conteúdos analíticos sobre ponto e reta. Desta forma o professor deve iniciar o processo dando as de�nições/desenhos da ge- ometria plana sobre circunferência, elipse, hipérbole e parábola, como está apresentado no Apêndice A. Acreditamos que a visualização tridimensional de determinados conceitos pode im- pressionar os alunos e fazer com que se interessem mais pelo assunto. Pensando nisto, o professor deve seguir com seu trabalho aplicando as idéias apresentadas no Apêndice B, após trabalhar juntamente com os alunos todas as secções no cone observando que algumas delas já foram estudadas em sua vida escolar embora não fossem apresentadas desta forma, ou seja, o vazio ocorre quando não é possível encontrar a solução de uma equação, o ponto, a reta, a reunião de duas retas concorrentes e a reunião de duas retas paralelas são os primeiros conceitos analíticos estudados detalhadamente pelos alunos. No �nal do Apêndice B aparece um detalhamento didático que consideramos ser de grande importância aos alunos, a saber, as origens históricas das cônicas. Percebemos que quando os alunos conhecem a história de determinados assuntos começam a dar mais valor a eles e percebem que os mesmos não surgiram ao acaso e sim para solucionar algum problema cotidiano. Por último, com o objetivo de entreter os alunos no estudo das cônicas pretendemos mostrar a eles as aplicações/utilizações cotidianas dos assuntos apresentados, conforme é feito no Apêndice C. 53 54 Proposta Didática Nesta etapa do processo o professor deve fazer todo o estudo analítico da circunfe- rência, da elipse, da hipérbole e da parábola apoiando-se num material didático de sua preferência. Para �nalizar o estudo das cônicas o professor deve seguir as instruções apresentadas nos Apêndices D e E. A avaliação será feita diariamente através de uma análise participativa de cada aluno e compreendida como: • Elemento integrador entre aprendizagem e ensino; • Conjunto de ações cujo objetivo é o ajuste e a orientação da intervenção peda- gógica para que o aluno aprenda da melhor forma; • Conjunto de ações que busque obter informações sobre o que foi aprendido e como; • Elemento de re�exão contínua para o professor sobre sua prática educativa; • Instrumento que possibilite ao aluno consciência de seus avanços. Referências [1] BOULOS, P.; CAMARGO, I. Geometria Analítica. 3. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005. [2] BOLDRINI, J. S. et al. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980. [3] BOYER, C. B. História da Matemática. 2. ed. São Paulo: Editora Edgard Blucher Ltda, 1996. [4] CORREIA, J. M. Superfícies Quádricas. Transformação das Coordenadas. Disser- tação (Mestrado) � Universidade Estadual Paulista, 2010. [5] EVES, H. Introdução à história da matemática. 5. ed. Campinas, SP: Editora da Unicamp, 2011. [6] LOPES, J. F. Cônicas e Aplicações. Dissertação (Mestrado) � Universidade Esta- dual Paulista, 2011. [7] STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pear- son Makron Books, 1987. 55 A Plano de Aula: De�nições Público Alvo: Alunos do Ensino Médio Recursos Didáticos: Lousa e materiais de desenho. Objetivo: Atribuir signi�cado aos conceitos de circunferência, de elipse, de hipér- bole e de parábola na geometria plana. Conteúdo: Lugares geométricos. O tempo necessário para realização desta atividade é de uma aula. Inicie a aula procedendo da seguinte forma: 1. (a) Dê a de�nição de circunferência: Sejam P um ponto de um plano α e r um número real estritamente positivo. O lugar geométrico dos pontos de α que distam r de P é chamado de circunferência, que denotaremos por C. Em outras palavras, X ∈ C ⇔ d(P,X) = r. (b) Desenhe a circunferência a partir da de�nição. 2. (a) Dê a de�nição de elipse: Sejam F1 e F2 dois pontos distintos tais que d(F1, F2) = 2f e considere o número real 2a tal que 2a > 2f . O lugar geométrico de todos os pontos do plano tais que a soma das distâncias a F1 e F2 é constante e igual a 2a é chamado de elipse, que denotaremos por E . Em outras palavras, P ∈ E ⇔ d(P, F1) + d(P, F2) = 2a. (b) Desenhe a elipse a partir da de�nição. 3. (a) Dê a de�nição de hipérbole: Sejam F1 e F2 dois pontos distintos tais que d(F1, F2) = 2f e considere o número real 2a tal que 0 < 2a < 2f . O lugar geométrico de todos os pontos do plano tais que a diferença das distâncias a F1 e F2, em módulo, é constante e igual a 2a é chamado hipérbole, que denotaremos por H. Em outras palavras, P ∈ H ⇔ |d(P, F1)− d(P, F2)| = 2a. (b) Desenhe a hipérbole a partir da de�nição. 4. (a) Dê a de�nição de parábola: Seja s uma reta e P um ponto não pertencente a s. O conjunto de todos os pontos do plano equidistante da reta s e do ponto P é chamado de parábola, que denotaremos por P . Em outras palavras, P ∈ P ⇔ d(P, s) = d(P, F ). 57 58 Plano de Aula: De�nições (b) Desenhe a parábola a partir da de�nição. Para esta aula, consulte a seção F do Capítulo 22 de ([1], p.339), antes de realizar seus desenhos. B Plano de Aula: As secções cônicas e suas origens Público Alvo: Alunos do Ensino Médio Recursos Didáticos: Data show e software de geometria dinâmica(o importante é que o software escolhido permita construir um cone duplo e um plano que o intersec- cione). Objetivo: Reconhecer todas as secções cônicas a partir da intersecção entre um cone duplo e um plano, bem como, conhecer a origem histórica das secções cônicas. Conteúdo: Secções cônicas. O tempo necessário para realização desta atividade é de uma aula. Inicie esta aula a partir de algumas instruções e/ou indagações aos alunos: 1. Imagine um cone; 2. Agora imagine um cone duplo; 3. Pense em um plano; 4. Agora corte esse cone duplo com esse plano; 5. Quais são as secções encontradas a partir da intersecção entre o cone duplo e o plano? Neste momento o professor deve nortear as discussões de modo que os alunos con- sigam visualizar todas as secções cônicas apresentadas na seção (2.3). Para isso é aconselhável que após algumas conclusões iniciais dos alunos, o professor utilize um vídeo mostrando algumas secções cônicas a partir do software de geometria dinâmica de sua preferência. Após a visualização de todas as cônicas o professor deve apresentar as origens históricas como foi feito na seção (2.1). Sugestões: • vídeo disponível no youtube sobre secções cônicas: http://www.youtube.com/watch?v=1wTe0VJBAZ8 (20/05/2013 às 10:30 h) 59 60 Plano de Aula: As secções cônicas e suas origens • softwares de geometria dinâmica: Geogebra 3D e Microsoft Mathematics. C Plano de Aula: A utilização das cônicas nos dias atuais Público Alvo: Alunos do Ensino Médio Recursos Didáticos: Laboratório de informática e recursos utilizados por cada grupo em suas exposições. Objetivo: Mostrar aos alunos que a descoberta das cônicas foi de grande impor- tância para o desenvolvimento tecnológico da sociedade. Conteúdo: Cônicas O tempo necessário para realização desta atividade é de quatro aulas. Nas duas aulas iniciais o professor deve dividir a sala em oito grupos da seguinte forma: • Grupo 1 e 2: trabalharão com aplicações da circunferência no cotidiano. • Grupo 3 e 4: trabalharão com aplicações da elipse no cotidiano. • Grupo 5 e 6: trabalharão com aplicações da hipérbole no cotidiano. • Grupo 7 e 8: trabalharão com aplicações da parábola no cotidiano. O professor deverá orientar os alunos sobre a pesquisa/apresentação desejada. Desta forma, o professor deve salientar que a pesquisa deve conter exemplos detalhados de aplicações cotidianas das cônicas previamente selecionadas e a apresentação deve ser clara, de modo que todos os outros alunos possam veri�car/entender a aplicação ex- posta pelo grupo. Feito isso, o professor deve ir ao laboratório de informática com os alunos, para que os mesmos façam o desenvolvimento da pesquisa/montagem do trabalho em grupo. As outras duas aulas �carão reservadas para exposição/argumentação dos grupos. Por �m, o professor deve �nalizar a atividade com um debate de opiniões e idéias sobre a aplicação das cônicas. 61 D Plano de Aula: Translação e rotação Público Alvo: Alunos do Ensino Médio Recursos Didáticos: Lousa, data show e software de geometria dinâmica. Objetivo: Apresentar(visualmente e algebricamente) aos alunos os movimentos de translação e rotação. Conteúdo: Movimentos de translação e rotação. O tempo necessário para realização desta atividade é de duas aulas. Inicialmente, o professor deve utilizar seu software de geometria dinâmica de pre- ferência para mostrar visualmente os movimentos de translação e rotação de �guras. A seguir, o professor deve desenvolver com os alunos o conteúdo apresentado na seção (3.1.2) da maneira que achar mais conveniente. O importante é que os alunos conheçam neste momento os sistemas (3.4) e (3.6). Então, o professor deve aplicar os sistemas (3.4) e (3.6) em algumas cônicas, de modo que as equações iniciais sejam modi�cadas. Posteriormente, o professor deve desenhar as cônicas iniciais e as modi�cadas inse- rindo suas equações no software de geometria dinâmica. Desta forma os alunos poderão compará-las visualmente. O professor deve �nalizar sua aula perguntando aos alunos se podemos fazer o processo inverso, ou seja, a partir de uma cônica transladada/rotacionada, encontrar qual foi a cônica que a gerou. 63 E Plano de Aula: Classi�cando as cônicas Público Alvo: Alunos do Ensino Médio Recursos Didáticos: Lousa. Objetivo: Mostrar como é possível classi�car uma cônica tendo apenas sua equa- ção. Conteúdo: Classi�cação das cônicas. O tempo necessário para realização desta atividade é de cinco aulas. O professor deve apresentar aos alunos a teoria desenvolvida nas seções (3.2.1) e (3.2.2) da forma mais adequada possível para o entendimento dos alunos. O importante é que os alunos conheçam e saibam identi�car os elementos formadores das equações (3.12), (3.14), (3.20) e (3.23). Desenvolva neste momento todos os exemplos feitos na seção (3.3). 65 FOLHA DE ROSTO FICHA CATALOGRÁFICA COMISSÃO EXAMINADORA DEDICATÓRIA AGRADECIMENTOS EPÍGRAFE RESUMO ABSTRACT LISTA DE FIGURAS LISTA DE TABELAS SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO 2 CÔNICAS 3 CLASSIFICAÇÃO DAS CÔNICAS 4 PROPOSTA DIDÁTICA REFERÊNCIAS ANEXO