UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E CIÊNCIAS EXATAS LARISSA DE OLIVEIRA FIGUEIRA Fotoassociação caótica no Oscilador de Morse Rio Claro 2014 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro LARISSA DE OLIVEIRA FIGUEIRA FOTOASSOCIAÇÃO CAÓTICA NO OSCILADOR DE MORSE Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Física. Área de Concentração: Física Aplicada Orientador: Emanuel Fernandes de Lima VERSÃO ORIGINAL Rio Claro 2014 LARISSA DE OLIVEIRA FIGUEIRA FOTOASSOCIAÇÃO CAÓTICA NO OSCILADOR DE MORSE Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Física. Comissão Examinadora Prof. Dr. Emanuel Fernandes de Lima Prof. Dr. Felipe Fanchini Prof. Dr. Ricardo Egydio de Carvalho Rio Claro, SP de de Dedico essa dissertação aos meus pais. Agradecimentos Primeiramente agradeço aos meus pais por todo esforço, dedicação, compreensão, incentivo e apoio em toda essa jornada e que sempre, com muito amor, não me deixaram desistir e nem desanimar. Agradeço aos meus irmãos e minha avó por todo esse amor e cuidado. Aos meus amigos que nesses seis anos de UNESP me ajudaram a construir uma segunda família, em especial a Everlin, Thais, Taina, Sabrina e Kelly. Aos meus amigos Rodrigo, Rafael, Felipe e Augusto por esses 16 anos de amizade. Aos amigos de laboratório, em especial ao Ivan pela ajuda em todas as horas. Agradeço o Professor Emanuel por toda paciência e ensinamentos compartilhados e, principalmente, por esses cinco anos de orientação investidos em mim e sempre com muita paciência me ajudou e incentivou a crescer como física e profissional. Ao programa de pós-graduação em física e a CNPq pelo apoio financeiro. “Não sei como pareço aos olhos do mundo, mas eu mesmo me vejo como um pobre garoto que brincava na praia e se divertia em encontrar uma pedrinha mais lisa uma vez por outra, ou uma concha mais bonita do que de costume, enquanto o grande oceano da verdade se estendia totalmente inexplorado diante de mim.” Isaac Newton, físico inglês. http://www.mensagenscomamor.com/frases_de_isaak_newton.htm Resumo Oliveira, L.F. Fotoassociação caótica no Oscilador de Morse 2014 Dissertação (Mestrado em Física Aplicada) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro, 2014. Na presente dissertação investigamos a fotoassociação de moléculas diatômicas com pulsos de laser sob o ponto de vista da mecânica clássica, onde esta consiste na formação de moléculas a partir de átomos em colisão pela interação com campos externos. Esse sistema é modelado pelo oscilador de Morse forçado que apresenta dinâmica caótica. Resolvemos as equações clássicas de movimento e definimos uma probabilidade de fotoassociação que permite fazer comparações com resultados quânticos. Dessa forma investigamos o comportamento caótico da dinâmica da formação de moléculas com laser e analisamos os pulsos adequados para a fotoassociação através da aplicação de algumas técnicas de controle, que incluem pulsos com forma pré – determinada e pulsos obtidos com uma técnica de controle local. Encontramos que pulsos com duas frequências modulada são igualmente capazes de promover a formação de uma quantidade relevante de moléculas a partir de átomos livres. Palavras chaves: Fotoassociação, caos, oscilador de Morse, técnicas de controle. Abstract Oliveira, L.F. Photoassociation in chaotic oscillator Morse 2014. Dissertation (Master in Applied Physics) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Rio Claro, 2014. In this work we investigate the laser-pulse photoassociation of diatomic molecules laser from the point of view of classical mechanics, the photoassociation consists of the formation of diatomic molecule from a pair of colliding atoms by the action of external fields. This system is modeled by the driven Morse oscillator. We solve the classical equations of motion and we define a probability of photoassociation we define a photoassociation probability allowing comparisons with quantum results. Thus we investigated the chaotic behavior of the dynamics of formation of molecules with laser and analyze appropriate schemes for photoassociation by applying certain control techniques, which include pulse of pre-defined shape as well as control pulses locally determined . Key words: photoassociation, chaos, driven Morse oscillator, control techniques. SUMÁRIO 1 Introdução 11 2 Modelos e Métodos 14 2.1 Problema de dois corpos. 14 2.2 Potencial de Morse não perturbado 15 2.2.1 Energias negativas 20 2.2.2 Energias positivas 23 2.2.3 Frequência de pequenas oscilações 26 2.2.4 Transformação para variáveis adimensionais 28 2.2.5 Transformação para variável ação ângulo 30 2.3 Oscilador de Morse Forçado 36 2.3.1 Fotoassociação 38 3 Espalhamento caótico 40 4 Controle com Pulso de Forma Fixa 57 4.1 Condições iniciais 57 4.2 Pulsos Bicromáticos 59 4.2.1 Resultados 60 4.3 Chirped Pulse 64 4.3.1 Resultados 66 5 Técnica de Controle Local 73 5.1 Método de Euler 75 5.2 Runge-Kutta de segunda ordem 76 5.3 Resultados 78 5.3.1 Para uma única trajetória 80 5.3.2 Para duas trajetórias 87 6 Conclusões 104 7 Referências 106 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO O estudo da dinâmica de átomos e moléculas bem como sua interação com campos externos dependentes do tempo tornou-se ao longo dos anos uma fascinante área de estudo. De uma forma geral as interações e a dinâmica dos processos colisionais é o que as torna significativamente interessante um exemplo da importância desse processo é que entender a dinâmica de colisões (espalhamento) é fundamental para o estudo da matéria. Dois átomos em colisão podem formar uma molécula devido à emissão de fótons (a fotoassociação pode haver tanto pela emissão de fótons como pela absorção deles. Se os átomos em colisão absorvem um fóton eles ganham energia e formam uma molécula no estado eletrônico excitado, por outro lado se há emissão durante a colisão os átomos podem formar uma molécula no estado eletrônico fundamental) provenientes de um campo externo. Esse processo é chamado de fotoassociação [1]. Entre as motivações para estudar tal processo está o controle das reações químicas [2] e a espectroscopia precisa de colisões fotoassociativas. A fotoassociação de moléculas em um gás ultrafrio foi a primeira abordagem bem sucedida para criar um gás de moléculas no estado fundamental em temperaturas da ordem de microkelvin [3,4]. Um gás molecular ultrafrio é um sistema que oferece aplicações promissoras tais como novas plataformas para a computação quântica e o controle preciso da dinâmica molecular [4- 6] e de condensado de Bose-Einstein moleculares [7]. Em uma primeira aproximação, a interação de uma molécula diatômica heteronuclear com um laser pode ser modelada através do estudo de uma partícula em um potencial unidimensional. Para realizar o presente estudo utilizamos o potencial de Morse. Este potencial foi proposto em 1929 por Philip Morse descrevendo a interação entre os núcleos de uma molécula diatômica [8], sendo fundamental para o estudo da dinâmica molecular, pois reproduz de forma realista a anarmonicidade das vibrações moleculares. O espectro do potencial de Morse é composto por duas partes disjuntas. Uma parte contém os estados ligados, representando a molécula em movimento de vibração. A outra parte contém os estados livres ou não ligados, representando uma molécula dissociada ou um par de átomos em colisão. No modelo do oscilador de Morse só há a possibilidade dos átomos emitirem fótons perdendo energia, ou seja, durante o processo de colisão haverá a emissão de um ou mais fótons. A interação entre a molécula e o laser pode ser tratada na aproximação de dipolo através da interação de dipolo, dessa forma, um termo adicional é adicionado a Hamiltoniana, consistindo do produto entre o dipolo permanente da molécula e o componente do campo elétrico do laser na direção do dipolo [9-10]. Com a adição desse termo o oscilador de Morse passa a ser forçado. Um ponto a ser destacado é o fato de que as soluções clássicas do potencial de Morse forçado apresentam em geral comportamento caótico, o que torna esse sistema um paradigma no estudo do caos quântico [11-14] bem como para as comparações clássico-quântica [15-18]. De maneira análoga ao processo da dissociação, a fotoassociação clássica no oscilador de Morse apresenta dinâmica caótica e desse modo ocorre através de rotas caóticas, para campos fracos o espaço de fase é dominado por tori KAM (Kolmogorov- Arnold-Moser) e as regiões caóticas, relacionadas as orbitas periódicas instáveis das ressonâncias não lineares, cobrem uma área relativamente pequena do espaço de fases (caos local)[19]. Quando a intensidade do campo aumenta, as ilhas de ressonância se alargam e eventualmente se sobrepõem, enquanto a maioria dos tori desaparece. O espaço de fases é então dominado por orbitas caóticas (caos global) o que leva a dissociação da molécula. O espalhamento caótico é um tema de interesse fundamental na física não-linear devido a inúmeras aplicações existentes em áreas como a mecânica celeste, física atômica e nuclear, mecânica dos fluidos entre outros [20]. Apesar de sua grande importância teórica e pratica, existem até o presente momento poucos trabalhos que aplicam o potencial de Morse em uma abordagem clássica do problema da fotoassociação. A identificação apropriada dos campos externos otimizados e dos mecanismos físicos relacionados é imprescindível para o controle eficiente dos processos de fotoassociação. O objetivo deste trabalho consiste em estudar o controle da fotoassociação entre os átomos através da aplicação de um campo externo dependente do tempo sob o ponto de vista da mecânica clássica. Assim, investigamos o comportamento caótico da dinâmica da formação de moléculas com laser e analisamos os pulsos adequados para a fotoassociação através da aplicação de algumas técnicas de controle. A presente dissertação esta organizada do seguinte modo: O capítulo 2 é dedicado a apresentar o modelo do potencial de Morse, o problema de dois corpos, o cálculo da probabilidade de Fotoassociação e as mudanças de variáveis. No capítulo 3 apresentamos as evidências de que o problema apresenta caos no processo de espalhamento, já no capítulo 4 apresentamos o método de controle com pulsos de forma fixa. Utilizamos pulsos bicromáticos e pulsos de frequência modulada que hoje são ferramentas disponíveis em laboratórios [14-16,21-22]. Já no capítulo 5 utilizaremos técnica de controle local. O controle local recebe esse nome, pois o campo elétrico é construído durante a própria evolução do sistema e, portanto é determinado localmente no tempo, ou seja, o pulso de laser se molda conforme as necessidades do sistema e finalmente deixamos as conclusões para o capítulo 6. CAPÍTULO 2 MODELOS E MÉTODOS 2.1 Problema de dois corpos O presente problema consiste em dois átomos em colisão, ou seja, a tentativa para que haja a formação de uma molécula diatômica e neste caso os átomos escolhidos foram o hidrogênio e o flúor. Faremos uma analogia à formação de uma molécula diatômica a um problema de dois corpos. Sendo duas partículas de massa 𝑚1 e massa 𝑚2 e coordenadas de posição 𝑥1⃗⃗ ⃗ e 𝑥2⃗⃗⃗⃗ em relação à origem do sistema. A massa reduzida do sistema é dada por 𝑚𝑟 = 𝑚1𝑚2 𝑚1 + 𝑚2 , (2.01) e a massa total é fornecida pela relação abaixo 𝑀 = 𝑚1 + 𝑚2 , (2.02) a coordenada do centro de massa é expressa como 𝑥 𝑐𝑚 = 𝑚1𝑥1⃗⃗ ⃗ + 𝑚2𝑥2⃗⃗⃗⃗ 𝑚1 + 𝑚2 , (2.03) já a coordenada relativa entre o átomo 1 e o átomo 2 é definida por: 𝑥 = 𝑥1⃗⃗ ⃗ − 𝑥2⃗⃗⃗⃗ . (2.04) Neste trabalho estamos interessados apenas no movimento vibracional da molécula então iremos desprezar qualquer contribuição rotacional, desse modo as coordenas do centro de massa não terão importância significativa, reduzindo nosso problema a apenas as coordenadas relativas. Dessa forma a energia do sistema que era definida por: 𝐸 = 1 2 𝑀ẋ𝑐𝑚 2 + 1 2 𝑚𝑟�̇� 2 + 𝑉(𝑥𝑐𝑚) + 𝑉(𝑥) (2.05) Passa a ser definida por: 𝐸 = 1 2 𝑚𝑟�̇� 2 + 𝑉(𝑥) (2.06) Logo um problema de dois corpos foi reduzido a um problema de um único corpo. Dessa forma a Hamiltoniana livre do nosso problema (na ausência de campos externos) pode ser escrita como: 𝐻0(𝑥, 𝑝) = 𝑝2 2𝑚𝑟 + 𝑉(𝑥), (2.07) onde 𝑝 = 𝑚𝑟�̇�, 𝑉(𝑥) é o potencial que utilizamos para descrever o problema, 𝑚𝑟 é a massa reduzida de dois átomos e a 𝑥 é a distância internuclear. Sabendo que o movimento relativo de um par de átomos é análogo a uma partícula sujeita ao potencial de Morse. Podemos partir para a discussão da seção 2.5 2.2 Potencial de Morse não perturbado A função potencial 𝑉(𝑥) para o movimento relativo de dois núcleos atômicos na presença das nuvens eletrônicas é uma função complicada de 𝑥. Para que 𝑉(𝑥) seja fisicamente aceitável, ela deve preencher os seguintes requisitos: deve ir a um valor constante para 𝑥 → ∞, deve ter um ponto mínimo em 𝑥 = 𝑥0 , ir para infinito em 𝑥 = 0 e descrever o espectro vibracional corretamente. Assim Philip Morse propôs a seguinte forma funcional: 𝑽(𝒙) = 𝑫[𝒆−𝟐𝒂(𝒙−𝒙𝒆) − 𝟐𝒆−𝒂(𝒙−𝒙𝒆)], (2.08) 𝑎 – alcance do potencial (largura do poço potencial), 𝑥𝑒 – posição de equilíbrio (Ponto no eixo x onde o potencial tem o seu menor valor), 𝐷- energia de dissociação (profundidade do poço), 𝑥 − é a distância internuclear. onde os parâmetros 𝐷, 𝑎 podem ser determinados a partir de dados espectroscópicos. Na figura 2.1 podemos notar o comportamento gráfico do potencial de Morse e identificar os parâmetros mencionados na equação 2.08 e sua influência neste comportamento. Figura 2.1 - Potencial de Morse para 𝒙𝟎 = 𝟎, 𝒂 = 𝟏 𝒆 𝑫 = 𝟏 𝟐 Figure 2.2- Imagem ilustrativa dos níveis energéticos do potencial de Morse. Existem duas regiões onde as condições de contorno são distintas para as energias positivas e negativas. Podemos notar que se trata de um potencial atrativo para distâncias acima da posição de equilíbrio e repulsivo para distâncias abaixo dessa posição. A figura 2.1 mostra o potencial de Morse onde podemos notar uma região que para os valores de energia negativa temos o que chamamos de estados ligados, que são estados de energia discreta, para os quais a molécula esta formada (equação 2.09). O número de estados ligados depende exclusivamente dos parâmetros da molécula e isso está ilustrado também na figura 2.2. Para o caso de energias positivas temos um contínuo de energias que se estende desde zero até o infinito. É interessante observar que a equação (2.13) foi obtida por meios puramente matemáticos. As soluções físicas que representam as autofunções devem satisfazer as condições de contorno do potencial. O número de estados ligados depende exclusivamente dos parâmetros da molécula. Como foi mencionado no capítulo anterior o oscilador de Morse sob a ação de campos externos em uma abordagem quântica vem sido intensamente investigado á décadas. Apesar de sua importância teórica e prática existe até o presente momento poucos trabalhos que aplicam o potencial de Morse em uma abordagem clássica do problema de fotoassociação. Portanto, todos os estudos neste trabalho serão realizados sob um ponto de vista da mecânica clássica. A partir do potencial (equação 2.08) é possível calcular a Força atuante no sistema derivando-o com respeito à posição. [25] 𝐹 = − 𝑑𝑉𝑚(𝑥) 𝑑𝑥 = − 𝑑 (𝐷(1 − 𝑒−𝑎(𝑥−𝑥0)) 2 − 𝐷) 𝑑𝑥 , = − 𝑑(𝐷 − 2𝐷𝑒−𝑎(𝑥−𝑥0) + 𝐷𝑒−2𝑎(𝑥−𝑥0) − 𝐷) 𝑑𝑥 , = − 𝑑(−2𝐷𝑒−𝑎(𝑥−𝑥0) + 𝐷𝑒−2𝑎(𝑥−𝑥0)) 𝑑𝑥 , 𝐹 = −2𝐷𝑎 ∑(−1)𝑛𝑒−𝑎(3−𝑛)(𝑥−𝑥0) . (2.14) 2 𝑛=1 Podemos obter a equação de movimento de uma partícula sujeita ao potencial de Morse pela segunda lei de Newton 𝐹 = 𝑚 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 , (2.15) 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + ∑ 4𝐷𝑎 2𝑚 (−1)𝑛𝑒−𝑎(3−𝑛)(𝑥−𝑥0) = 0. (2.16) 2 𝑛=1 Definindo 𝛼 = 4𝐷𝑎 𝑚 , (2.17) teremos que 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 + ∑ 𝛼 2 (−1)𝑛𝑒−𝑎(3−𝑛)(𝑥−𝑥0) = 0, 2 𝑛=1 (2.18) reorganizando os termos e integrando a equação temos que: 1 2 ( 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ) 2 − ∑ 𝛼(−1)𝑛 2𝑎(3 − 𝑛) 𝑒−𝑎(3−𝑛)(𝑥−𝑥0) = 휀 . (2.19) 2 𝑛=1 Onde 휀 é uma constante de integração e pode ser relacionada diretamente com a energia do sistema (essa relação pode ser obtida lembrando que a energia do sistema é dada pela soma da energia cinética com a energia potencial), onde: 𝐸 = 𝑚 2 휀 . (2.20) Reescrevendo as equações temos ( 𝑑𝑥 𝑑𝑡 ) 2 = 휀 − 𝛼 2𝑎 𝑒−2𝑎(𝑥−𝑥0) + 𝛼 𝑎 𝑒−𝑎(𝑥−𝑥0). (2.21) Declarando como nova variável 𝑦 = 𝑒𝑎(𝑥−𝑥0) 𝑒 𝑑𝑦 = 𝑎𝑒−𝑎(𝑥−𝑥0)𝑑𝑥, (2.22) temos que ( 𝑑𝑦 𝑑𝑡 ) 2 = 휀 − 𝛼 2𝑎𝑦2 + 𝛼 𝑎𝑦 , (2.23) 𝑑𝑦 𝑎𝑦 (휀 − 𝛼 2𝑎𝑦2 + 𝛼 𝑎𝑦 ) 1 2 = 𝑑𝑡, (2.24) 1 𝑎 𝑑𝑦 (휀𝑦2 − 𝛼 2𝑎 + 𝛼𝑦 𝑎 ) 1/2 = 𝑑𝑡, (2.25) 1 𝑎 ∫ 𝑑𝑦 (휀𝑦2 + 𝛼𝑦 𝑎 − 𝛼 2𝑎) 1/2 = ∫ 𝑑𝑡 𝑡 𝑡𝑖 𝑦 𝑦𝑖 . (2.26) Assim obtemos 1 𝑎 ∫ 𝑑𝑦 (휀𝑦2 + 𝛼 𝑎 𝑦 − 𝛼 2𝑎) 1/2 = 𝑡 − 𝑡𝑖 𝑦 𝑦𝑖 , (2.27) A solução de tal equação depende do coeficiente 𝑦2 no denominador do integrando. De acordo com o valor dado a 휀 encontra-se soluções diferentes para tal equação. Como já foi dito anteriormente o valor de 휀 depende diretamente do valor da energia 𝐸 e será calculada separadamente de tal forma que seja dada uma solução para os casos de energia (maior e menor que zero). Foi realizada uma comparação da solução analítica com a solução numérica onde a solução numérica foi obtida através do algoritmo de Runge Kutta de quarta ordem. 2.2.1 Energias negativas Para o oscilador de Morse, trajetórias com energia E tal que 𝐸 < 0 são oscilatórias, representando o movimento relativo da vibração molecular. Este movimento relativo é análogo à partícula confinada no poço. 1 𝑎 ∫ 𝑑𝑦 (휀𝑦2 + 𝛼 𝑎 𝑦 − 𝛼 2𝑎 ) 1/2 = 𝑡 − 𝑡𝑖 , (2.28) 𝑦 𝑦𝑖 1 𝑎 1 𝑎 ∫ 𝑑𝑦 (− 𝑚 2𝐸) 1/2 (− 2𝐸 𝑚 𝑦2 + 4𝐷 𝑚 𝑦 − 2𝐷 𝑚 ) 1/2 = 𝑡 − 𝑡𝑖 (− 𝑚 2𝐸) 1/2 𝑦 𝑦𝑖 , (2.29) organizando os termos chegamos em ∫ 𝑑𝑦 (𝑦2 − 2𝐷 𝐸 𝑦 + 𝐷 𝐸) 1/2 = 𝑖𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖) (− 𝐸 𝐷 ) 1 2𝑦 𝑦𝑖 . (2.30) Reescrevendo 1 (𝑦1 − 𝑦2) ∫ [( 𝑦 − 𝑦2 𝑦 − 𝑦1 ) 1/2 − ( 𝑦 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦2 ) 1/2 ] 𝑑𝑦 = 𝑖 ( −𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖) 𝑦 𝑦𝑖 , (2.31) não esquecendo que 𝑦1 𝑒 𝑦2 são raízes do polinômio presente na integral 𝑦1 = 𝐷 |𝐸| + 𝐷 |𝐸| ( 𝐷 + 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝑒 𝑦2 = 𝐷 |𝐸| − 𝐷 |𝐸| ( 𝐷 + 𝐸 𝐷 ) 1 2 . (2.32) Definindo 𝜔2 = 𝑦 − 𝑦1 e sendo 𝑢2 = 𝜔2 (𝑦1−𝑦2) , temos que, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 [( 𝑦1 − 𝑦 𝑦1 − 𝑦2 ) 1/2 ] − 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 [( 𝑦 − 𝑦𝑖 𝑦1 − 𝑦2 ) 1 2 ] = −(− 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0 2 (𝑡 − 𝑡𝑖 ′), (2.33) ou ainda , 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 [( 𝑦1 − 𝑦 𝑦1 − 𝑦2 ) 1/2 ] = −(− 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0 2 (𝑡 − 𝑡𝑖 ′), (2.34) tal que, 𝑡𝑖 ′ = 𝑡𝑖 + 2 (− 𝐸 𝐷) 1/2 𝜔0 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠 [( 𝑦1 − 𝑦𝑖 𝑦1 − 𝑦2 ) 1/2 ], (2.35) organizando os termos 𝑦 = 𝑦1 + (𝑦1 − 𝑦2)𝑐𝑜𝑠2 [(− 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0 2 (𝑡 − 𝑡𝑖 ′)], (2.36) relembrando a relação 𝑐𝑜𝑠2(𝑎) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑎) = 1. E substituindo os valores de 𝑦 (𝑦 = 𝑒𝑎(𝑥−𝑥0)), 𝑦1 𝑒 𝑦2 aplicando o logaritmo natural temos que 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 1 𝑎 𝑙𝑛 [ − 𝐷 𝐸 ( 1 − √ 𝐸 + 𝐷 𝐷 𝑐𝑜𝑠((− 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖 ′)) ) ] . (2.37) Do mesmo modo que expandimos o potencial de Morse em série de Taylor conseguimos obter a relação da posição em função do tempo para o oscilador harmônico se expandirmos a equação 2.37 do mesmo modo. Sendo ln (1 − 𝑥) ≈ 𝑥 e próximo ao ponto de equilíbrio 𝐸 ≈ −𝐷 , conseguimos obter 𝑥(𝑡) = 1 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖 ′)) (2.38) De tal modo podemos notar que o comportamento será igual ao de um oscilador harmônico próximo ao ponto de equilíbrio, podemos evidenciar esse comportamento na figura 2.3 que mostra como a posição se comporta em função do tempo. 2.2.2 Energias positivas Figura 2.3- Comportamento da posição em função do tempo para energias menores que zero. Comparação da solução analítica com a solução numérica para o potencial de Morse livre 𝒙𝟎 = 𝟎,𝒂 = 𝟏,𝒎 = 𝟏,𝑫 = 𝟏 𝟐 Já as trajetórias com energias positivas com energia maior que zero escapam para o infinito, representando uma molécula dissociada ou dois átomos em colisão, ou seja, a situação na qual a molécula não esta formada e os átomos podem se afastar indefinidamente. E isso fica evidenciado na figura 2.4 onde fica claro que x tende a infinito no decorrer do tempo. 1 𝑎 ∫ 𝑑𝑦 (휀𝑦2 + 𝛼 𝑎 𝑦 − 𝛼 2𝑎) 1/2 = 𝑡 − 𝑡𝑖, 𝑦 𝑦𝑖 (2.40) 1 𝑎 ∫ 𝑑𝑦 ( 2𝐸 𝑚 𝑦2 + 4𝐷𝑎 𝑚𝑎 𝑦 − 4𝐷𝑎 2𝑚𝑎) 1 2 = 𝑡 − 𝑡𝑖 𝑦 𝑦𝑖 , (2.41) Assim temos que ∫ 𝑑𝑦 (𝑦 − 𝑦1)(𝑦 − 𝑦2) = 𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖) ( 𝐸 𝐷 ) 1 2 , 𝑦 𝑦𝑖 (2.42) sendo 𝑦1 = −𝐷 𝐸 + 𝐷 𝐸 ( 𝐷 + 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝑒 𝑦2 = −𝐷 𝐸 − 𝐷 𝐸 ( 𝐷 + 𝐸 𝐷 ) 1 2 . (2.43) Resolvendo pelo método de integração de frações parciais 1 (𝑦1 − 𝑦2) ∫ ( 𝑦 − 𝑦2 𝑦 − 𝑦1 )𝑑𝑦 𝑦 𝑦𝑖 − 1 (𝑦1 − 𝑦2) ∫ ( 𝑦 − 𝑦1 𝑦 − 𝑦2 )𝑑𝑦 𝑦 𝑦𝑖 = ( 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖), (2.44) Declarando 𝜔2 = 𝑦 − 𝑦2 e sendo 𝑢2 = 𝜔2 (𝑦1−𝑦2) . Temos que ∫ 𝑢2 (𝑦 − 𝑦1) 𝑑𝑦 𝑦 𝑦𝑖 − 1 (𝑦1 − 𝑦2) ∫ (𝑦 − 𝑦1) 𝜔2 𝑦 𝑦𝑖 𝑑𝑦 = ( 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖), (2.45) e resulta em 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ [( 𝑦 − 𝑦2 𝑦1 − 𝑦2 ) 1/2 ] = ( 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0 2 (𝑡 − 𝑡𝑖 ′), (2.46) onde 𝑡𝑖 ′ = 𝑡𝑖 − 2 ( 𝐸 𝐷) 1 2 𝜔0 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠ℎ [( 𝑦𝑖 − 𝑦2 𝑦1 − 𝑦2 ) 1 2 ]. (2.47) Organizando os termos 𝑦 = 𝑦2 + (𝑦1 − 𝑦2)𝑐𝑜𝑠ℎ2 [( 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0 2 (𝑡 − 𝑡𝑖 ′)], (2.48) relembrando a relação 𝑐𝑜𝑠ℎ2(𝑎) = cosh(2𝑎) + 1 2 , substituindo os valores de 𝑦, 𝑦1 𝑒 𝑦2 e utilizando o logaritmo natural temos que 𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 1 𝑎 𝑙𝑛 [ 𝐷 𝐸 (√ 𝐸 + 𝐷 𝐷 𝑐𝑜𝑠ℎ (( 𝐸 𝐷 ) 1 2 𝜔0(𝑡 − 𝑡𝑖 ′)) − 1)] (2.49) Figure 2.4- Comparações da solução analítica com a solução numérica para o potencial de Morse livre 𝑬 > 𝟎, 𝒙𝟎 = 𝟎,𝝎𝟎 𝟐 = 𝟏,𝒎 = 𝟏,𝑫 = 𝟏 𝟐 Uma vez identificada à posição e o momento inicial é possível construir as trajetórias do espaço de fase, já que o espaço de fases é definido como o espaço formado pelas posições iguais e seus respectivos momentos conjugados. E fisicamente quando falamos de espaço de fases falamos sobre a representação de um possível estado do sistema mecânico. Figure 2.5- Momento pela posição (Espaço de fase do potencial de Morse), para energias menores que zero temos as órbitas ligadas e para as maiores que zero as órbitas de espalhamento. Na figura 2.5 podemos observar trajetórias fechadas que são as órbitas ligadas que surgem quando temos a energia menor que zero (isso indica que a partícula esta confinada no poço) e órbitas abertas para o caso da energia ser maior que zero, ou seja, para energias positivas o sistema consiste de estados não ligados, figura 2.5. 2.2.3 Frequência de pequenas oscilações Próximo ao ponto de equilíbrio o potencial de Morse se comporta da mesma forma que um oscilador harmônico e para verificarmos isso vamos calcular a frequência para pequenas oscilações. Expandindo o potencial em serie de Taylor sobre 𝑥 = 𝑥𝑒, temos que: 𝑉(𝑥) = 𝑉(𝑥𝑒) + 1 1! 𝑑 𝑑𝑥 𝑉(𝑥)(𝑥 − 𝑥𝑒) + 1 2! 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑉(𝑥)(𝑥 − 𝑥𝑒) 2 + ⋯, (2.50) e sendo a primeira derivada zero em 𝑥 = 𝑥𝑒 , 𝑉(𝑥) ≈ 𝑉(𝑥𝑒) + 1 2 𝑑2 𝑑𝑥2 𝑉(𝑥)(𝑥 − 𝑥𝑒) 2. (2.51) A aproximação para a expansão tem a seguinte forma: 𝑉(𝑥) ≈ 1 2 𝑘(𝑥 − 𝑥𝑒) 2 (2.52) O potencial do oscilador harmônico por 𝑉𝑜𝐻 = 1 2 𝑘𝑥2 e a frequência é definida por 𝜔0 = √ 𝑘 𝑚𝑟 . Assim igualando os potencias 1 2 𝑘𝑥2 = 1 2 𝑑2 𝑑𝑥2 [𝐷(𝑒−2𝛼(𝑥−𝑥𝑒) − 2𝑒−𝛼(𝑥−𝑥𝑒))] , (2.53) 𝑘 = 2𝛼𝐷[2𝛼𝑒−2𝛼(𝑥−𝑥𝑒) − 𝛼𝑒(𝑥−𝑥𝑒)] . (2.54) Na posição de equilíbrio 𝑥 = 𝑥𝑒 dessa forma 𝑘 = 2𝛼2𝐷 . (2.55) Assim: 𝜔0 = √ 2𝛼2𝐷 𝑚1 + 2𝛼2𝐷 𝑚2 = √2𝛼2𝐷 𝑚1 + 𝑚2 𝑚1𝑚2 = √2𝛼2𝐷 1 𝑚𝑟 , (2.56) 𝜔0 = 𝛼( 2𝐷 𝑚𝑟 ) 1 2, (2.57) 2.2.4 Transformação para variáveis adimensionais Na realização dos cálculos computacionais é conveniente trabalhar com variáveis adimensionais, para tanto consideraremos a seguinte mudança de variáveis: posição 𝑟 = 𝑎(𝑥 − 𝑥𝑒), (2.58) momento 𝑝 = 𝑃 √2𝑚𝐷 , (2.59) tempo 𝜏 = 𝜔0𝑡 , (2.60) onde 𝜔0 foi deduzido no inicio do capítulo. Assim reescrevendo as equações de Hamilton 𝐻 = 𝑃2 2𝑚 + 𝐷(𝑒−2𝑎(𝑥−𝑥𝑒) − 2𝑒−𝑎(𝑥−𝑥𝑒)) − 𝜇(𝑥)휀(𝑡), (2.61) 𝐻 = √𝑃2 √2𝑚𝐷 + 𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟 − 𝜇(𝑟)휀(𝑡), (2.62) 𝐻 = 𝑝 + 𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟 − 𝜇(𝑟)휀(𝑡). (2.63) Sabendo �̇� = 𝑑𝑟 𝑑𝑡 , (2.64) temos que 𝑟 𝛼 = (𝑥 − 𝑥𝑒) → 𝑥 = 𝑟 𝛼 + 𝑟𝑒 , (2.65) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 1 𝛼 𝑑𝜏 𝑑𝑡 𝑑𝑟 𝑑𝜏 , (2.66) 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝜔0 𝛼 �̇�. ( 2.67) Sabendo as equações de Hamilton temos que: 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝑝 = 𝜔0 𝛼 �̇�, (2.67) √ 2𝐷 𝑚 �̇� = 𝑝√2𝑚𝐷 𝑚 , (2.68) �̇� = 𝑝. (2.69) Agora analisando o momentum �̇� = 𝑝√2𝑚𝐷, (2.70) temos que 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = √2𝑚𝐷 𝑑𝑝 𝑑𝑡 , (2.71) �̇� = √2𝑚𝐷 𝜔0 𝑑𝑝 𝑑𝜏 . (2.72) Sendo �̇� = − 𝑑𝐻 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 [𝐷(𝑒−2𝑎(𝑥−𝑥𝑒) − 2𝑒−𝑎(𝑥−𝑥𝑒))] − 𝑑 𝑑𝑥 (𝜇(𝑥)휀(𝑡)) (2.73) Dessa forma temos que �̇� = (𝑒−2𝑟 − 𝑒−𝑟) − 𝑑 𝑑𝑟 (𝜇(𝑟)휀(𝑡)) (2.74) 2.2.5 Transformação para variável ação ângulo Uma forma útil de se apresentar os resultados numéricos é através dos mapas estroboscópicos, que consiste no registro da posição e o momentum do sistema a cada período da onda (𝑇 = 𝑛 2𝜋 𝜔 , onde n é um inteiro positivo). Este mapeamento simplifica o reconhecimento de movimentos ordenados ou caóticos do sistema: os primeiros aparecem sobre curvas bem definidas no plano (posição e momento), enquanto os últimos preenchem de forma irregular regiões mais extensas do espaço de fase. Para que fosse possível realizar uma melhor análise dos mapas estroboscópicos realizarmos a conversão das coordenadas posição e momento para as variáveis: isso, pois as coordenas ação e ângulo permite uma melhor analise nos sistemas oscilantes e também uma maior facilidade em visualizar a dinâmica dos estados ligados. Aplicando a transformação canônica para 𝐻0 <(𝜃, 𝐼) 𝐻(𝑟, 𝑃) = 𝐸, (2.75) sendo 𝐸 = 𝑃2 2 + 1 2 (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟) = 𝐻(𝑟, 𝑃), (2.76) 𝑃 = √2𝐸 − (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟) → 𝑃 = ±(2𝐸 − (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟)) 1 2 . (2.77) Calculando a ação por: 𝐼 = 1 2𝜋 ∮ 𝑃(𝑟, 𝐸)𝑑𝑟 = 1 2𝜋 [∫ 𝑃(𝑟, 𝐸)𝑑𝑟 + ∫ −𝑃(𝑟, 𝐸)𝑑𝑟 𝑟1 𝑟2 𝑟2 𝑟1 ] (2.78) 𝐼 = 1 𝜋 ∫ 𝑃(𝑟, 𝐸)𝑑𝑟 𝑟2 𝑟1 . (2.79) Os limites da integral serão dados pelos pontos de retorno já que estamos considerando um único valor para a energia e como não há variação da energia cinética logo: 𝐸 = 1 2 (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟) → 2𝐸 = (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟 + 1) − 1, (2.80) 2𝐸 − 1 = (𝑒−𝑟 − 1)2 → 𝑒−𝑟 − 1 = ±(2𝐸 + 1) 1 2, (2.81) 𝑒−𝑟 = 1 ± (2𝐸 + 1) 1 2 . (2.82) Aplicando o logaritmo natural temos: 𝑟1 = − ln (1 + (2𝐸 + 1) 1 2), (2.83) 𝑟2 = − ln (1 − (2𝐸 + 1) 1 2) . (2.84) Que são os pontos de retorno do qual precisávamos 𝐼 = 1 𝜋 ∫ (2𝐸 − (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟)) 1 2 𝑑𝑟, −ln(1−(2𝐸+1) 1 2) − ln(1+(2𝐸+1) 1 2) (2.85) Definindo (𝑒−𝑟 − 1) = 𝑦 → 𝑒−𝑟 = 𝑦 + 1, (2.86) 𝑑𝑦 = −𝑒−𝑟𝑑𝑟. (2.87) Substituindo nos limites de integração 𝑦1=𝑒 𝑙𝑛(1+(2𝐸+1) 1 2) − 1, (2.88) 𝑦1=1 + (2𝐸 + 1) 1 2 − 1 = (2𝐸 + 1) 1 2, (2.89) 𝑦2=𝑒 𝑙𝑛(1−(2𝐸+1) 1 2) − 1, (2.89) 𝑦2=1 − (2𝐸 + 1) 1 2 − 1 = −(2𝐸 + 1) 1 2 , (2.90) Dessa forma: 𝐼(𝐸) = 1 𝜋 ∫ ((2𝐸 − 1) − 𝑦2) 1 2 ( −𝑑𝑦 𝑒−𝑟 ) = 1 𝜋 ∫ ((2𝐸 − 1) − 𝑦2) 1 2 (𝑦 + 1) 𝑑𝑦 𝑦2 𝑦1 −(2𝐸+1) 1 2 (2𝐸+1) 1 2 , (2.91) 𝐼(𝐸) = 1 − √−2𝐸. (2.92) Isolando a energia 1 − 𝐼 = (−2𝐸) 1 2 → (1 − 𝐼)2 = −2𝐸 → 𝐸 = − (1 − 𝐼)2 2 , (2.93) 𝑬 = − 𝟏 𝟐 (𝟏 − 𝑰)𝟐. (2.94) Assim para os estados ligados temos que 𝐻0 <(𝜃, 𝐼) = − 1 2 (1 − 𝐼)2. (2.95) A variável ângulo é calculada por: 𝜃 = 𝜕𝑆(𝑟, 𝐼) 𝜕𝐼 , (2.96) onde 𝑆(𝑟, 𝐼) é a função geratriz e dessa forma: 𝐸 = 1 2 (𝑃2 + (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟)) → − 1 2 (1 − 𝐼)2 = 1 2 (𝑃2 + (𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟)), (2.97) 𝑰 = 𝟏 − √𝟐𝒆−𝒓 − 𝒆−𝟐𝒓 − 𝑷𝟐, (2.98) onde 𝐼 = 𝐼(𝑟, 𝑃). Calculando a função geratriz 𝑆(𝑟, 𝐼) = ∫ 𝑃(𝑟, 𝐸(𝐼))𝑑𝑟 → 𝑆(𝑦, 𝐼) = ∫ (2𝐸 + 1 − 𝑦2) 1 2 (𝑦 + 1) 𝑑𝑦, (2.99) 𝜃 = 𝜕𝑆(𝑦, 𝐸(𝐼)) 𝜕𝐸(𝐼) 𝜕𝐸(𝐼) 𝜕𝐼 , (2.100) 𝜃 = −∫ 1 (2𝐸 − 1 − 𝑦2) 1 2(𝑦 + 1) (1 − 𝐼)𝑑𝑦 → 𝜃 = −∫ (1 − 𝐼) (2𝐸 − 1 − 𝑦2) 1 2(𝑦 + 1) 𝑑𝑦 . (2.101) Substituindo 𝑒−𝑟 − 1 = 𝑦 𝜃 = −(1 − 𝐼)∫ 𝑑𝑟 (−(−2𝐸 − 2𝑒−𝑟 + 𝑒−2𝑟) 1 2) = (1 − 𝐼) 𝑖 ∫ 𝑑𝑟 (−2𝐸 − 2𝑒−𝑟 + 𝑒−2𝑟) 1 2 , (2.102) 𝜃 = arctan ( 1 2 √ 2 𝐸 (1 + 2𝐸𝑒𝑟) √(−2𝐸(𝑒𝑟)2 + 1 − 2𝑒−𝑟) ). (2.103) Sabendo que: arctan = ( 𝑎 𝑏 ) 𝑒 𝑞𝑢𝑒 arcsen =( 𝑎 (𝑎2 + 𝑏2) 1 2 ) (2.104) Definindo 𝑒𝑥 = 𝐵 𝜃 = arctan ( 1 2 √2 √𝐸 (1 + 2𝐸𝐵) [2 (−𝐸𝐵2 + 1 2 − 𝐵)] 1 2 ) = arctan 1 2√𝐸 (1 + 2𝐸𝐵) [−𝐸𝐵2 + 1 2 − 𝐵] 1 2 (2.105) Colocando em função do arcoseno temos que: 𝑎 (𝑎2 + 𝑏2) 1 2 = 𝐸𝐵 + 1 2 [(𝐸𝐵 + 1 2) 2 + (((𝐸𝐵)2 + 𝐸 2 − 𝐸𝐵) 1 2 ) 2 ] 1 2 = 𝐸𝐵 + 1 2 ( 𝐸 2 + 1 4) 1 2 (2.106) Colocando em função de r e I 𝜃 = arcsin ( 1 − 𝑒𝑟(1 − 𝐼)2 (1 − (1 − 𝐼)2) 1 2 ), (2.107) 𝜽 = 𝜽𝟎 + 𝐚𝐫𝐜𝐬𝐞𝐧( 𝟏 − 𝒆𝒓(𝟏 − 𝑰)𝟐 (𝟏 − (𝟏 − 𝑰)𝟐) 𝟏 𝟐 ) . (2.108) 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜃0 = 𝜋 2 . Dessa maneira podemos escrever 𝑟(𝐼, 𝜃) 𝑒 𝑃(𝐼, 𝜃) 𝑠𝑖𝑛 (𝜃 − 𝜋 2 ) = −𝑐𝑜𝑠 𝜃, (2.109) −𝑐𝑜𝑠(𝜃) = −1 + 𝑒−𝑟(1 − 𝐼)2 (1 − 𝐼2 + 2𝐼 − 1) 1 2 = −1 + 𝑒−𝑟(1 − 𝐼)2 (2𝐼 − 𝐼2) 1 2 , (2.110) 𝑒−𝑟 = 1 − 𝑐𝑜𝑠𝜃(2𝐼 − 𝐼2) 1 2 (𝐼 − 1)2 , (2.111) 𝑟 = ln [ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃(2𝐼 − 𝐼2) 1 2 (𝐼 − 1)2 ], (2.112) 𝑟(𝐼, 𝜃) = ln [ 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜃(1 − (𝐼 − 1)2) 1 2 (𝐼 − 1)2 ]. (2.113) Do mesmo modo podemos encontrar 𝑃 𝑃2 = 2𝐸 − 𝑒−2𝑟 + 2𝑒−𝑟, (2.114) 𝑃2 = 2 (− 1 2 (𝐼 − 1)2) − 𝑒−2𝑟 + 2𝑒−𝑟, (2.115) 𝑃2 = −(1 − 𝐼)2 − 𝑒−2𝑟 + 2𝑒−𝑟, (2.116) Dessa forma, 𝑃2 = 2 (1 − √1 − (1 − 𝐼)2𝑐𝑜𝑠𝜃) (1 − 𝐼)2 − 1 ( 1 − √1 − (1 − 𝐼)2𝑐𝑜𝑠𝜃 (1 − 𝐼)2 ) 2 −(𝐼 − 1)2, (2.117) 𝑃2 = (1 − 𝐼)2 1 − √1 − (1 − 𝐼)2𝑐𝑜𝑠𝜃 ( (1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)(1 − (1 − 𝐼)2) 1 − √1 − (1 − 𝐼)2𝑐𝑜𝑠𝜃 ). (2.118) Tomando 1 − 𝐼 = 𝛿 e sendo 1 = 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑃2 = 𝛿2 1 − √1 − 𝛿2𝑐𝑜𝑠𝜃 ( 𝛿2𝑠𝑖𝑛2𝜃(1 − 𝛿2) 1 − √1 − 𝛿2𝑐𝑜𝑠𝜃 ) = 𝛿2𝑠𝑖𝑛2𝜃(1 − 𝛿2) (1 − √1 − 𝛿2𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 , (2.119) 𝑃 = √ 𝛿2𝑠𝑖𝑛2𝜃(1 − 𝛿2) (1 − √1 − 𝛿2𝑐𝑜𝑠𝜃) 2 , (2.120) 𝑷(𝜹, 𝜽) = 𝜹 𝒔𝒊𝒏𝜽 √𝟏 − 𝜹𝟐 𝟏 − √𝟏 − 𝜹𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 . (2.121) 2.3 Oscilador de Morse Forçado Um sistema formado de duas cargas elétricas de valores absolutos iguais e de sinais opostos (+q e -q), separadas por uma distancia d, geram um dipolo elétrico. Essa distribuição de cargas muito simples tem muita importância no eletromagnetismo porque pode ser usada como modelo para varias situações de interesse. Em uma molécula heteronuclear neutra, o átomo mais eletronegativo atrai mais a nuvem eletrônica o que causa um desbalanceamento na distribuição da carga elétrica da molécula. Em primeira ordem de aproximação essa distribuição de cargas pode ser representada por um termo de dipolo. Na aproximação de Born-Oppenheimmer (ou seja, com os elétrons se movendo bem mais rapidamente que os núcleos) a cada valor de r (distância internuclear) os elétrons se adaptam quase que instantaneamente, resultando em um valor para o dipolo da molécula. Assim, para cada distância internuclear tem-se um valor para o dipolo da molécula. A relação funcional entre o valor do dipolo e a distancia internuclear é dado o nome de função momento de dipolo 𝜇(𝑟). A partir do momento em que o campo externo começa a atuar sobre o sistema temos uma Hamiltoniana de interação adicionada a Hamiltoniana livre, e ela surge devido a interação entre a molécula e o laser que consiste do produto entre o dipolo permanente da molécula e a componente do campo elétrico do laser na direção do dipolo. 𝐻𝑖𝑛𝑡 = −𝜇(𝑟)휀(𝑡), (2.122) onde 𝜇𝑟 é o momento de dipolo permanente e 휀(𝑡) o campo elétrico. Neste trabalho utilizaremos dois momentos de dipolos distintos, um momento de dipolo linear 𝜇𝑙 = 𝑞. 𝑥, (2.123) e o momento de dipolo do fluoreto de hidrogênio (HF) que no caso é a molécula que estudamos neste trabalho 𝜇𝐻𝐹 = 𝑞. 𝑥. 𝑒−𝜉𝑥4 . (2.124) Usaremos estes dois momentos distintos, pois o dipolo linear representa um caso que o momento não tenderá a zero quando a distância entre os átomos vai a infinito, diferente do caso em que utilizamos o momento de dipolo do HF, 𝜇𝑟 = 𝑞. 𝑥. 𝑒−𝜉𝑥4 já que tem uma representação exponencial que faz com que ele tenda a zero para grandes distâncias . De tal modo a Hamiltoniana do nosso problema será: 𝑯 = 𝑯𝟎 + 𝑯𝒊𝒏𝒕, (2.125) 𝑯 = 𝑷𝟐 𝟐𝒎𝒓 + 𝑽𝒎(𝒙) − 𝝁(𝒙)𝜺(𝒕), (2.126) onde 𝑝 é a quantidade de movimento, 𝜇𝑟 é o momento de dipolo permanente e 휀(𝑡) o campo elétrico do laser. Sendo as equações de Hamilton determinada por: �̇� = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝑝 (2.126) �̇� = 𝑑𝑝 𝑑𝑡 = − 𝜕𝐻 𝜕𝑥 . (2.127) Sendo a nossa Hamiltoniana determinada pela equação (2.103) temos que: �̇� = 𝑝 𝑚 , (2.129) �̇� = [𝑒−2𝑟 − 2𝑒−𝑟] − 𝑑 𝑑𝑟 (𝜇𝑟휀(𝑡)) . (2.130) 2.3.1 Fotoassociação O estudo da dinâmica de átomos e moléculas sob a ação de campos externos dependentes do tempo vem ganhando cada vez mais destaque e atraindo mais olhares da comunidade científica nas últimas décadas, processos como a fotoassociação e a fotodissociação vem sido intensamente investigado, tanto teoricamente quanto experimentalmente. A fotodissociação consiste na quebra de uma ligação química de uma molécula induzida pela ação de um laser e já a fotoassociação é o processo inverso. Analisando o que foi evidenciado anteriormente conseguimos notar que o problema da fotodissociação pode ser estudado classicamente como um problema do escape de partículas de dentro do poço representado pelo potencial de Morse sob a ação de campos externos. De modo análogo, a fotoassociação pode ser estudada como o problema de colisão de uma partícula com o potencial de Morse na presença de campos externos dependentes do tempo. [12,26] O objetivo central deste trabalho é estudar a fotoassociação e um interesse especial é dado ao cálculo da probabilidade de fotoassociação clássica e como ela se comporta em função da variação do campo externo, sendo que a probabilidade de Fotoassociar nada mais é do que o número de partículas que ficam confinadas dentro do poço potencial, ou seja, aquelas partículas que possuem energia menor que zero após o pulso de laser ser desligado. E isso nos permitirá fazer comparações com a mecânica quântica. Essa probabilidade de fotoassociar é calculada pela fração de trajetórias inicialmente livres que são transferidas para o poço potencial após a ação do campo externo. 𝑷𝒂 = 𝒏 𝑵 . (2.131) Onde 𝒏 é o número de partículas fotoassociadas, N é o número total de partículas e 𝑷𝒂 a probabilidade de Fotoassociar. Claramente a probabilidade de fotoassociação depende do campo externo e a ideia então é controlar 𝑃𝑎 pela escolha apropriada do campo 휀(𝑡). Já que a probabilidade de fotoassociação depende diretamente do comportamento do campo externo foram testadas algumas técnicas de controle para que o pulso de laser pudesse ser otimizado e assim a probabilidade de fotoassociação aumentasse. Neste trabalho foram utilizadas três técnicas de controle: (i) Pulsos bicromático (ii) Pulsos de frequência modulada (Chirped Pulses) (iii) Técnica de Controle local CAPÍTULO 3 ESPALHAMENTO CAÓTICO “Caos é o comportamento aperiódico em um sistema determinístico que exibe dependência sensível as condições iniciais” Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus, 1994) PNc. Strogatz S. H. Ao abordar o comportamento do oscilador de Morse temos que destacar que as soluções clássicas deste apresentam comportamento caótico. Dessa forma neste capítulo evidenciaremos as marcas que o caos deixa presente no problema da fotoassociação. Para realizarmos este estudo inicialmente posicionamos a partícula longe da região de interação com o potencial e o campo externo escolhido para esta análise foi: 휀(𝑡) = 𝐸0 𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) A primeiro momento fixamos uma amplitude nula e a cada simulação foi escolhido um momento linear diferente para a partícula. Após isso foi calculado o tempo necessário para que a partícula retorne ao ponto de partida após a colisão com o potencial. A este intervalo de tempo damos o nome de tempo de colisão (𝜏𝑐). [27,28] Figura 3.1-Tempo de colisão versus o momento inicial da partícula sem a ação do campo externo Podemos perceber através da análise da figura 3.1 que quando o valor do campo externo é nulo a representação gráfica é caracterizada por uma curva monotônica suave, e que quanto mais próximo de zero esta o valor do momento inicial maior é o valor do tempo de colisão. Após isso foi realizada uma análise para valores de amplitude diferentes de zero e analisamos o comportamento do problema. Figura 3.2– Tempo de colisão em função do momento inicial para ω=1.0 e 𝑬𝟎=0.001 A figura 3.2 mostra o tempo de colisão para a partícula inicialmente em x=20 e com momentos variando de -0.6 a -0.0, onde a frequência esta fixa em 1.0 e a amplitude fixada em 0.001. Observamos que o tempo de colisão possui diversos picos para certos momentos iniciais da partícula. Nesses picos, o tempo de colisão chega a ter varias ordens de magnitude maior do que o tempo de colisão da base da curva e isso se dá, pois o sistema possui sensibilidade às condições inicias. Também é possível observar que para valores de momento próximo a zero há um aumento no número de picos assim podemos evidenciar que para estes valores temos maiores chances de fotoassociar. Após isso começamos uma análise dos parâmetros do campo externo, variando os valores da frequência e mantendo a amplitude constante com o valor de 0,001. Figura 3.3– Tempo de colisão em função do momento inicial para ω=0.08ua e 𝑬𝟎=0.001 Figura 3.4– Tempo de colisão em função do momento inicial para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.001 Figura 3.5 – Tempo de colisão em função do momento inicial para ω=1.5 e 𝑬𝟎=0.001 Através da comparação das figuras 3.3, 3.4 e 3.5 conseguimos verificar que o comportamento geral do gráfico não se altera para diversos valores de momentos e que a diferença consiste nos máximos valores de tempo de colisão, ou seja, no tempo que a partícula permaneceu confinada no poço. Desse modo definimos como melhor valor de frequência é 0.8, pois observando as figuras 33, 3.4 e 3.5 foi a que conseguimos evidenciar uma quantidade maior de picos e um maior valor de tempo de colisão. Após a comparação dos valores da frequência começamos uma análise a respeito da amplitude promovendo a sua variação e fixando a frequência em 0.8 e assim obtivemos os gráficos abaixo, figuras 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9. Figura 3.6 – Tempo de colisão em função do momento inicial para 𝑬𝟎= 0.0005 e ω=0.8 Figura 3.7 – Tempo de colisão em função do momento inicial para 𝑬𝟎= 0.008 e ω=0.8 Figura 3.8 – Tempo de colisão em função do momento inicial para 𝑬𝟎 = 0.01 e ω=0.8 Figura 3.9 – Tempo de colisão em função do momento inicial para 𝑬𝟎 = 0.08 e ω=0.8 Conseguimos verificar que altos valores de amplitude fazem com que apareça um maior número de picos, mas também faz com que eles tenham uma magnitude menor, ou seja, mais partículas entram no poço, mas permanecem lá por um período de tempo pequeno. É possível notar que a figura 3.9 possui uma queda brusca e o tempo de colisão cai a zero quando o valor do momento inicial se aproxima de zero e isso se deve ao fato de que a amplitude do campo externo é grande e o valor do momento inicial é muito pequeno e dessa forma a partícula não tem chance de ir em direção ao poço potencial e acaba indo no sentido contrário, ou seja, o campo é forte o suficiente para mudar a direção da trajetória da partícula logo no inicio da evolução. Isso fica claro quando comparamos as figuras 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9, pois o valor do tempo de colisão vai a zero cada vez num valor de momento mais distante de zero, mas que possui um valor de amplitude maior. Desse modo escolhemos valores para 𝐸0 e 𝜔 que apresentam um razoável número de picos e um intervalo de tempo considerável dentro do poço, pois dessa forma há mais chances de que a probabilidade de fotoassociação aumente e esses valores foram selecionados para que fosse possível traçar os mapas estroboscópicos. A análise do tempo de colisão versus momento inicial revela uma grande sensibilidade do sistema às condições iniciais. Foi possível verificar que pequenas variações no momento inicial da partícula podem causar mudanças de mais de uma ordem de magnitude no tempo de colisão com o potencial. Esse fato evidencia a existência de caos no processo de espalhamento. Os mapas estroboscópicos para quando desligamos o pulso de laser evidencia o comportamento ordenado de uma partícula para certos valores de momento em função de certos valores de posição, figura 3.10. Figura 3.10 – Seção de Poincaré para a Hamiltoniana sem a ação do campo externo Feito isso traçamos o espaço de fase para o mesmo intervalo de momento, contudo neste caso o laser permanecerá ligado durante todo o percurso da partícula, figura 3.11. Figura 3.11- Sessão de Poincaré para a partícula sob a ação do campo externo para ω=1.0 e 𝑬𝟎=0.001 Conseguimos evidenciar que o pulso de laser ligado causa perturbações na trajetória da partícula (figura 3.11), e que apresenta algumas cristas onde estas são justificadas devido estar próximo a região limiar, ou seja, próximo de zero. Analisando as figuras 3.10 e 3.11 pode ser notada certa semelhança e a partir disso podemos notar o comportamento caótico que o campo externo gerou no sistema. Como foi mencionado anteriormente o sistema possui sensibilidade às condições inicias, isso é uma evidência de que há marcas de caos no problema. Para comprovar que o sistema é caótico foram feitas algumas sessões de Poincaré utilizando variáveis distintas. Nas figuras 3.13, 3.15, 3.16 e 3.18 foi verificado como a variável posição se comporta em função do momento já para 3.12, 3.14, 3.17 e 3.19 foi evidenciado o comportamento da variável ação em função da variável ângulo. Inicialmente fixamos o valor da amplitude e analisamos o comportamento para alguns valores distintos de frequência, isso pode ser observado nas figuras 3.12, 3.13, 3.14 e 3.15. Figura 3.12-Mapa estroboscópico para ω=0.08 e 𝑬𝟎 =0.001 Figura 3.13 - Seção de Poincaré para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.001 Figura 3.14-Mapa estroboscópico para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.001 Figura 3.15- Seção de Poincaré para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.001 Após isso fixamos a frequência e verificamos os mapas para alguns valores de amplitude e isso pode ser observado nas figuras 3.16, 3.17, 3.18 e 3.19. Figura 3.16-Seção de Poincaré para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.0005 Figura 3.17-Mapa estroboscópico para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.0005 Figura 3.18-Seção de Poincaré para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.08 Figura 3.19- Mapa estroboscópico para ω=0.8 e 𝑬𝟎=0.08 Analisando os gráficos conseguimos verificar que quando a amplitude está fixa em 0.001 e variamos a frequência de ω=0.08 para ω=0.8 notamos que quanto menor o valor da frequência menor a profundidade que as particulas alcançam no poço. Pode-se verificar através da equação 2.94 que para o menor valor de ação 𝐸 = − 1 2 (valor da energia em torno do ponto de oscilação). Ou seja, quanto mais próximo de zero está o valor de ação, mais próximo a partícula se encontra da posição de equilibrio e isso fica evidente quando comparamos os valores da ação nas figuras 3.12 e 3.14. Buscando a conexão com os graficos em função do tempo de colisão é possivel notar nas figuras 3.3 e 3.4 que quanto maior o valor da frequência maior a magnitude dos picos ou seja maior o tempo que a partícula permanece no poço . Tambem pode ser notado que o maior valor da ação gira em torno de 0.8 e há o surgimento das ilhas de ressonância que são resultado da ressonância entre o campo externo e as frequências naturais do sistema. Conclui-se então que as particulas ficam confinadas nessa região e não conseguem ultrapassar essa barreira. Já para o segundo caso que é quando fixamos a frequência e variamos a amplitude percebemos que quanto maior seu valor maior o número de picos mas o tempo que elas permanecem confinados é menor isso pode ser verificado analisando as figuras 3.6, 3.7 , 3.8 e 3.9 . Já quando fazemos uma correspondência aos mapas estroboscopicos podemos perceber que a variação da amplitude influência significativamente para que as partículas cheguem ao fundo do poço e isso fica evidenciado quando analisamntrado nas figuras 3.17 e 3.19 sendo que na figura 2.19 verificamos que o menor valor de ação é 0 e isso significa que elas atingiram o fundo do poço. É interessante mostrar também que a figura 3.20 que surge através de um zoom da figura 3.3 o aspecto dessa imagem sugere a presença de uma estrutura fractal. Figura 3.20 – Tempo de colisão em função do momento inicial para ω=0.8ua e 𝑬𝟎== 0.08ua CAPÍTULO 4 CONTROLE COM PULSO DE FORMA FIXA Nesse capitulo, escolhemos formas funcionais para o campo elétrico oscilante, chamamos de pulso de forma fixa, que dependem de alguns parâmetros de controle. Investigamos a Probabilidade de Fotoassociação em função dos diversos parâmetros de controle. 4.1 Condições inicias Nesta parte do trabalho as condições iniciais foram distribuídas em forma de um pacote de onda gaussiana isso a fim de facilitar as comparações clássico-quânticas. No instante t=0, um pacote de onde representando uma partícula que irá colidir com o potencial pode ser escrito como: 𝜓(𝑟) = ( 2𝛽 𝜋 ) 1 4 𝑒−𝛽(𝑟−𝑟0)2+ 𝑖𝑝0(𝑟−𝑟0) ћ , (4.01) onde 𝑟0𝑒 𝑝0 são respectivamente a posição e o momento inicial e β indica a largura do pacote de onda. Normalizando esta função de onda obtivemos a função distribuição gaussiana 𝜌(𝑟𝑖 . 𝑝𝑖) = 1 4𝜋ћ 𝑒 − 𝛽 2 (𝑟𝑖−𝑟0)2+ (𝑝𝑖−𝑝0)2 8𝛽ћ2 , (4.02) tomando 𝑦 = √ 𝛽 2 (𝑟𝑖 − 𝑟0), (4.03) 𝑧 = (𝑝𝑖 − 𝑝0) √8𝛽ћ2 , (4.04) dessa forma �̃�(𝑦, 𝑧) = 1 √𝜋 𝑒−(𝑦2+𝑧2) . (4.05) Definindo y e z em coordenadas polares 𝑦 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜃) 𝑒 𝑧 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 (𝜃), (4.06) e introduzindo duas novas variáveis 𝜂 = 𝜃 2𝜋 𝑒 𝜉 = 2∫ 𝑅𝑒−𝑅2 𝑑𝑅 = 1 − 𝑒−𝑟2 , 𝑟 0 (4.07) que resultam em 𝑟 = √−𝑙𝑛 (1 − 𝜉) e 𝜃 = 2𝜋𝜂. (4.08) Um grande número de pares de 𝜉𝑖 e 𝜂𝑖 são escolhidos desde que η e ξ estejam distribuídos entre 0 e 1 o que resulta em 𝜃𝑖 distribuídos entre 0 e 2π. A figura 4.1 representa como as partículas estão agrupadas inicialmente. Figure 4.1-Distribuição das condições iniciais 4.2 Pulsos bicromático Escolhemos uma forma de pulso que pudesse ser reproduzida em laboratório. Neste caso escolhemos um pulso de laser que possui frequência ω e 2ω afim de comparar como a Probabilidade de Fotoassociação se comportaria em função da variação dos parâmetros deste campo. 휀(𝑡) = 𝑓(𝑡)[𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑡) + 𝜆 𝑠𝑖𝑛(2𝜔 + 𝜙)], (4.09) onde λ fornece a relação entre as amplitudes das duas frequências e ϕ é a fase relativa. 𝑓(𝑡) = { 𝑉, 𝑠𝑒 0 < 𝑡 < 𝑡𝑚𝑎𝑥 0 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑡 } Testamos o modelo para o momentos de dipolo do HF ( 𝜇𝑟 = 𝑞𝑟𝑒−𝜉𝑟4) 4.2.1 Resultados Para testarmos essa técnica de controle os parâmetros escolhidos são aqueles do fluoreto de Hidrogênio (HF), feita a partir [Guldberg e Billing, 1992]. Em unidades atômicas, a massa reduzida 𝑚𝑟 = 1732𝑎𝑢 e os parâmetros de Morse que são 𝐷𝑒 = 0.2101𝑎𝑢, 𝛼 = 1.22𝑎𝑢 𝑒 𝑥0 = 1.75𝑎𝑢 e para estes parâmetros a frequência de pequenas oscilações é 𝜔0 = 0.019𝑎𝑢. Os parâmetros para o momento de dipolo 𝑞 = 0.4541𝑎𝑢 𝑒 𝜉 = 0.064𝑎𝑢. Assim para produzir os gráficos seguintes usamos um número total de trajetórias igual a 5000 (𝑁𝑡𝑟𝑎𝑗 = 5000) e fixamos o valor inicial de posição e momento onde 𝑟0 = 14.05 e 𝑝0 = −1.75𝑎𝑢 respectivamente [29]. Na figura 4.2 mostramos a probabilidade de Fotoassociação em função de frequência para o campo externo. Figura 4.2- Probabilidade de Fotoassociar em função da frequência para quando λ=0 V=0,074. Já na figura 4.3 verificamos como a probabilidade de fotoassociação se comporta em função da amplitude do campo externo podemos notar que fora as pequenas oscilações a probabilidade de fotoassociação cresce com a amplitude para 𝑉 = 0.02 e 𝑉 = 0.01, para amplitudes maiores há uma saturação da probabilidade de fotoassociação que fica em torno do valor de 0.18. Esse mesmo comportamento pode ser verificado nas figuras 4.2, 4.4 e 4.5. Figura 4.3- Probabilidade de Fotoassociar em função da Amplitude para quando λ=0, ω=0.65𝝎𝟎 Como no pulso bicromático o campo externo depende de quatro parâmetros, verificamos também como a probabilidade de fotoassociação se comporta em função de λ e em função da fase relativa ϕ e isso pode ser verificado na figura 4.4 e 4.5 respectivamente. Figura 4.4- Probabilidade de Fotoassociar em função de lambda para quando ω=0.65𝝎𝟎, V=0.14ua Figura 4.5- Probabilidade de Fotoassociar em função de ϕ para quando ω=0.65𝝎𝟎, F=0.14ua, λ=0.23ua. 4.3 Pulsos de Frequência Modulada (Chirped Pulse) Esta técnica de consiste em uma modelagem do campo elétrico onde o pulso pode fazer com que a molécula deixe o estado excitado indo assim a baixos níveis vibracionais, ou seja, o campo elétrico é modulado. O que é um campo elétrico modulado? Consiste em um campo na qual a frequência se altera no tempo, esse tipo de campo foi muito utilizado no estudo da fotodissociação, isso porque, um pulso de frequência modulada pode dissociar uma molécula com maior probabilidade (com maior facilidade) do que um pulso de frequência fixa com a mesma amplitude. Isso por sua vez, deve-se ao fato do espaçamento entre os níveis de energia vizinhos do potencial de Morse e vai diminuindo conforme o oscilador ganha energia. Assim para manter a frequência do campo externo sempre em ressonância com a frequência de transição dos níveis fazendo com que o sistema transicione entre esses estados é necessário que a frequência do campo diminua com o tempo. Já no problema da fotoassociação as transições tem que seguir na ordem inversa e a frequência tem que aumentar com o tempo. No caso clássico também temos uma situação análoga, pois a frequência natural de oscilação do potencial de Morse depende da energia 𝜔(𝐼) = 1 − 𝐼 = √2|𝐸|. Assim para que o campo permaneça próximo da ressonância conforme a energia do oscilador cai, deve-se aumentar a frequência gradativamente. Figura 4.8- Ilustração da partícula indo para os estados discretos A forma do pulso é definida como 휀(𝑡) = 𝑉𝑠𝑖𝑛(𝛺(𝑡)𝑡), (4.10) onde escolhemos uma modulação linear para a frequência do campo: 𝛺(𝑡) = 𝜔 + 𝛾𝑡 2 . (4.11) Calculando a taxa de variação da frequência no tempo temos: 𝑑 𝑑𝑡 𝛺(𝑡) = 𝛾 2 . (4.12) Para a técnica do Chirped pulse foi utilizado o momento de dipolo do fluoreto de hidrogênio. 4.3.1 Resultados Do mesmo modo que no pulso bicromático os parâmetros utilizados foram o do fluoreto de hidrogênio, também foram realizados os testes com o número total de 5000 trajetórias. Dessa forma realizamos uma análise para verificar o comportamento da Probabilidade de Fotoassociação em função dos parâmetros do campo externo. Na figura 4.9 mostramos como a Probabilidade de Fotoassociação se comporta em função da frequência para 𝛾 = 0 e 𝑉 = 0.05. Figura 4.9-Probabilidade de Fotoassociação em função da frequência para quando γ=0 V=0,05. Após isso selecionamos um valor de pico da frequência (𝜔 = 0.0025𝜔0) e analisamos como a probabilidade de fotoassociação se comporta em função da amplitude e isso pode ser verificado na figura 4.10. Já na figura 4.11 evidencia o comportamento da probabilidade de Fotoassociar em função de 𝛾 para os melhores valores de frequência e amplitude (𝜔 = 0.0025𝜔0, 𝑉 = 0.05). Figura 4.10-Probabilidade de Fotoassociação em função da amplitude para quando γ=0 ω=0,0025𝝎𝟎 Figura 4.11-Probabilidade de Fotoassociação em função de 𝜸 para quando ω=0,0025𝝎𝟎 e V=0,05. Dessa forma através da análise na figura 4,12 escolhemos um valor de 𝛾 para analisar como se comporta para 𝛾 ≠ 0. Assim foram plotados os gráficos abaixo (figura 4.12 e figura 4.13 ) para ver como a probabilidade de fotoassociação varia em função da frequência e da amplitude respectivamente. Figura 4.12-Probabilidade de Fotoassociação em função da frequência para quando γ=0,011 V=0,0567. Figura 4.13-Probabilidade de Fotoassociação em função da amplitude para quando γ=0,011 ω=0,08𝝎𝟎 Dessa forma escolhemos um bom valor de frequência e amplitude e vemos como se a Probabilidade de Fotoassociação se comporta em função de 𝛾. Isso pode ser observado na figura 4.14 para 𝜔 = 0.08𝜔0 e 𝑉 = 0.08 Figura 4.14-Probabilidade de Fotoassociação em função de 𝜸 para quando ω=0,08𝝎𝟎 e V=0,08. Da mesma forma repetimos a análise a fim de comparação e obtivemos as figuras 4.15, 4.16 e 4.17. Figura 4.15-Probabilidade de Fotoassociação em função da frequência para quando γ=0.01 V=0,08. Figura 4.16-Probabilidade de Fotoassociação em função da amplitude para quando γ=0,001 ω=0,28𝝎𝟎 Figura 4.17-Probabilidade de Fotoassociação em função de 𝜸 para quando ω=0,27𝝎𝟎 e V=0,021. Na técnica do pulso bicromático o campo depende de quatro parâmetros distintos e podemos facilmente notar que a variação de lambda e da fase relativa foi onde obtivemos os melhores valores da probabilidade de fotoassociação. Já o uso de campos com frequência modulada tem como principal diferença o fato da frequência variar no tempo 𝛺(𝑡) = 𝜔 + 𝛾𝑡 2 Desse modo além de verificarmos o comportamento da amplitude e da frequência temos que lembrar que verificar como γ irá influenciar na probabilidade de fotoassociação. Assim foi possível notar que os melhores valores da Probabilidade de Fotoassociação surgem quando variamos γ e que os melhores valores surgem em torno de 0.01. CAPÍTULO 5 TÉCNICA DE CONTROLE LOCAL Nesta abordagem o campo de controle é construído durante a própria evolução do sistema. Neste caso para que ocorra o processo de fotoassociação é necessário que a energia do oscilador diminua em função do tempo [24, 30], ou seja, 𝑑 𝑑𝑡 𝐻0 < 0. (5.01) De tal modo que 𝐻0 é o oscilador sem o campo externo atuante 𝐻0 = 𝑝2 2𝑚𝑟 + 𝑉(𝑟), (5.02) 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝑝2 2𝑚𝑟 + 𝑉(𝑟)), (5.03) 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝑝2 2𝑚𝑟 ) + 𝑑 𝑑𝑡 (𝑉(𝑟)), (5.04) 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 2𝑝 2𝑚𝑟 �̇� + 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟)�̇�. (5.05) Utilizando as equações de Hamilton que foram demostrada no capitulo 2 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 𝑝 𝑚𝑟 (− 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟) + 휀(𝑡) 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟)) + 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟) 𝑝 𝑚 , (5.06) 𝒅 𝒅𝒕 (𝑯𝟎) = 𝒑 𝒎𝒓 (𝜺(𝒕) 𝒅 𝒅𝒓 𝝁(𝒓)). (5.07) Para que 𝑑𝐻0 𝑑𝑡 < 0 deve se escolher 휀(𝑡) de modo que 𝑝 𝑚𝑟 (휀(𝑡) 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟)) < 0 . (5.08) Por exemplo, para um momento de dipolo linear 𝜇(𝑟) = 𝑞𝑟 temos que 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 𝑝 𝑚𝑟 (휀(𝑡) 𝑑 𝑑𝑟 (𝑞𝑟)), (5.09) 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 𝑝 𝑚𝑟 (휀(𝑡)𝑞)), (5.10) 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) < 0, (5.11) 휀(𝑡) = − 𝑞 𝑚𝑟 . 𝑝. (5.12) Já para o outro momento de dipolo 𝜇𝑟 = 𝑞𝑟𝑒−𝜒𝑟4 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 𝑝 𝑚𝑟 (휀(𝑡) 𝑑 𝑑𝑟 (𝑞𝑟𝑒−𝜒𝑟4 )), (5.13) 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) = 𝑝 𝑚𝑟 (휀(𝑡)𝑒−𝜒𝑟4 (1 − 𝜉𝑟4)), (5.14) 𝑑 𝑑𝑡 (𝐻0) < 0, (5.15) 휀(𝑡) = −𝑞 𝑚𝑟 𝑝𝑒−𝜉𝑟4 (1 − 𝜉𝑟4). (5.16) Para a implementação desta técnica utilizamos dois propagadores temporais afim de comparação já que neste método o tempo é discretizado. 5.1 Método de Euler É o procedimento numérico para aproximar a solução da equação diferencial 𝑦′ = 𝑓(𝑡, 𝑦) que satisfaz a condição inicial 𝑦(𝑡0) = 𝑦0 (Admitindo que a equação é suficientemente bem comportada de forma a garantir a existência de uma única solução num intervalo que contenha o ponto 𝑡 0 e os pontos 𝑡𝑖). Sabemos que o gráfico da solução passa pelo ponto (𝑡0, 𝑦0) com inclinação igual a 𝑦′(𝑡0), ou seja, com inclinação igual a 𝑓(𝑡0, 𝑦0). Isto serve de ponto de partida para achar uma aproximação da solução. Começando pelo ponto (𝑡0, 𝑦0). Podemos seguir na direção dada pela inclinação. Usando um pequeno passo ℎ, seguimos ao longo da reta tangente até chegar ao ponto (𝑡1, 𝑦1), onde, 𝑡1 = 𝑡0 + ℎ 𝑒 𝑦1 = 𝑦0 + ℎ𝑓(𝑡0, 𝑦0) Tomando (𝑡1, 𝑦1), como novo ponto de partida, pode-se obter o processe e obter um segundo ponto. 𝑡2 = 𝑡1 + ℎ 𝑒 𝑦2 = 𝑦1 + ℎ𝑓(𝑡1, 𝑦1) O método de Euler consiste na repetição deste processo e gera a sucessão de pontos 𝑡𝑛+1 = 𝑡𝑛 + ℎ 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑡𝑛, 𝑦𝑛) Para determinar o valor aproximado da solução que satisfaz 𝑦(𝑡0) = 𝑦0, num instante prescrito τ, temos que dividir o intervalo [𝑡0,𝜏] num número finito de intervalos de igual amplitude ℎ. O passo ℎ determina quantas vezes vamos ter que iterar o processo para seguir a solução desde 𝑡0 até τ. Escrevendo as equações em termos das variáveis do nosso problema temos que: 𝑟𝑛+1 = 𝑟𝑛 + 𝛥𝑡 𝑝𝑛 𝑚𝑟 (5.17) 𝑝𝑛+1 = 𝑝𝑛 + 𝛥𝑡 [− 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟𝑛) + 휀(𝑡0) 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟𝑛)] (5.18) 휀(𝑡𝑛+1) = − 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟𝑛+1)𝑝𝑛+1 (5.19) 5.2 Runge Kutta de segunda ordem O método de Runge-Kutta é provavelmente um dos métodos mais populares. O método de Runge-Kutta de quarta ordem também é um dos mais preciosos para obter soluções aproximadas de valor inicial. Cada método de Runge-Kutta consiste em comparar um polinômio de Taylor apropriado para eliminar o cálculo das derivadas. Fazendo-se várias avaliações da função 𝑓 a cada passo. Estes métodos podem ser construídos para qualquer ordem 𝛿. Pelo polinômio de Taylor com resto, se uma função 𝑦(𝑥) tiver 𝑘 + 1 derivadas contínuas em um intervalo aberto contendo 𝑎 e 𝑥, poderemos escrever: 𝑦(𝑥) = 𝑦(𝑎) + 𝑦′(𝑎) 𝑥 − 𝑎 1! + ⋯ + 𝑦(𝑘)(𝑎) (𝑥 − 𝑎)𝑘 𝑘! + 𝑦(𝑘+1)(𝑐) (𝑥 − 𝑎)(𝑘+1) (𝑘 + 1)! , onde 𝑐 é algum número entre 𝑎 e 𝑥. Se substituirmos 𝑎 por 𝑥𝑛 e 𝑥 por 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + ℎ, a fórmula acima se torna: 𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛 + ℎ) = 𝑦(𝑥𝑛) + ℎ𝑦′(𝑥𝑛) + ℎ2 2! 𝑦′′(𝑥𝑛) + ⋯ + ℎ𝑘+1 (𝑘 + 1)! 𝑦(𝑘+1)(𝑐), onde 𝑐 é agora algum número entre 𝑥𝑛 e 𝑥𝑛+1. Se 𝑘 = 1 (Runge-Kutta de primeira ordem) e se considerarmos o ultimo termo infinitamente pequeno, obtemos a fórmula de Euler: 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑦𝑛 ′ = 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) Podemos então concluir que o procedimento de Runge-Kutta de primeira ordem é o método de Euler Básico. Já se tomamos 𝑘 = 2 (Runge- Kutta de segunda ordem) na equação temos que: 𝑦(𝑥𝑛+1) = 𝑦(𝑥𝑛 + ℎ) = 𝑦(𝑥𝑛) + ℎ𝑦′(𝑥𝑛) + ℎ2 2! 𝑦′′(𝑥𝑛) + ⋯+ ℎ𝑘+3 3! 𝑦′′′(𝑐), Fazendo uma aproximação com o polinômio de Taylor , obtemos : 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + ℎ𝑓 (𝑥𝑛 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑛+ 1 2 ) E dessa forma uma estimativa do valor 𝑦 𝑛+ 1 2 é encontrado com o auxilio do método de Euler, e d temos: 𝑘1 = ℎ𝑓(𝑥𝑛, 𝑦𝑛) 𝑘2 = ℎ𝑓(𝑥𝑛 + ℎ, 𝑦𝑛 + 𝑘1) 𝑦𝑛+1 = 𝑦𝑛 + 1 2 (𝑘1 + 𝑘2) Escrevendo as variáveis em termos das variáveis do nosso problema temos: 𝑘1 = 𝛥𝑡 ( 𝑝𝑛 − 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟𝑛) + 휀(𝑡𝑛) 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟𝑛) ) (5.20) 𝑘1 1 = 𝛥𝑡𝑝𝑛 (5.21) 𝑘1 2 = 𝛥𝑡 (− 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟𝑛) + 휀(𝑡𝑛) 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟𝑛)) (5.22) 𝑘2 = 𝛥𝑡 ( 𝑝𝑛 + 𝑘1 2 − 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟𝑛 + 𝑘1 1) + 휀(𝑡𝑛 + 𝛥𝑡) 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟𝑛) ) (5.23) 𝑘2 1 = 𝛥𝑡(𝑝𝑛 + 𝑘1 2) (5.24) 𝑘2 2 = 𝛥𝑡 (− 𝑑 𝑑𝑟 𝑉(𝑟𝑛 + 𝑘1 1) + 휀(𝑡𝑛 + 𝛥𝑡) 𝑑 𝑑𝑟 𝜇(𝑟𝑛)) (5.25) Dessa forma: ( 𝑟𝑛+1 𝑝𝑛+1 ) = ( 𝑟𝑛 𝑝𝑛 ) + 1 2 ( 𝑘1 1 + 𝑘2 1 𝑘1 2 + 𝑘2 2). (5.26) 5.3 Resultados 5.3.1 Para uma única trajetória A um primeiro momento para testar a eficiência do método aplicamos a teoria de controle local para apenas uma trajetória e utilizamos dois momentos de dipolos distintos, o momento de dipolo linear e o momento de dipolo do fluoreto de hidrogênio, também analisamos a dinâmica do problema para quando utilizamos o método de Euler como propagador temporal e também quando é utilizado o método de Runge-Kutta de segunda ordem. A figura 5.1, 5.2 e 5.3 corresponde ao uso do momento de dipolo linear e o método de Euler como ferramenta na evolução temporal. 5.3.1.1 Método de Euler  Momento de dipolo linear Na figura 5.1 podemos verificar como o campo elétrico se comporta no decorrer do tempo. Figura 5.1- Variação do campo elétrico em função do tempo para uma única trajetória Já na figura 5.2 comparamos como os valores de energia se alteram no decorrer do tempo e podemos notar que a partícula atinge o menor valor de energia neste problema (-0,5), ou seja, ela chegou ao fundo do poço potencial. Figura 5.2- Variação da energia da partícula em função do tempo para uma única trajetória Na figura 5.3 podemos verificar como é a dinâmica do momento em função da posição. Figura 5.3- Variação do momento em função da posição Após isso fizemos a mesma analise, mas agora utilizando o momento de dipolo do fluoreto de hidrogênio (HF).  Momento de dipolo do HF Figura 5.4- Variação do campo elétrico em função do tempo para uma única trajetória Na figura 5.4 notamos o campo variando em função do tempo e na figura 5.5 também conseguimos verificar que a energia da partícula vai a -0.5, ou seja, ela foi para o fundo do poço potencial e permaneceu confinada lá. Figura 5.5- Variação da energia da partícula em função do tempo para uma única trajetória Na figura 5.6 a partícula vai para a posição de equilíbrio e se mantem oscilando como era o comportamento esperado. Figura 5.6-Variação do momento em função da posição ligado Após isso verificamos a eficiência do método para quando utilizamos como propagador temporal o Runge-Kutta de segunda ordem. 5.3.1.2 Runge Kutta de segunda ordem  Momento de dipolo linear Na figura 5.7 podemos notar que o tempo que a partícula atingir o menor valor de energia é muito maior do que no caso anterior, já na figura 5.8 notamos o campo variando em função do tempo. Figura 5.7- Variação da energia da partícula em função do tempo para uma única trajetória Na figura 5.9 a partícula foi para a posição de equilíbrio. Figura 5.8- Variação do campo elétrico em função do tempo para uma única trajetória Figura 5.9 - Variação do momento em função da posição  Momento de dipolo do HF Figura 5.10- Variação do campo elétrico em função do tempo para uma única trajetória Na figura 5.10 podemos ver como o campo elétrico se comporta no decorrer do tempo quando utilizamos o momento de dipolo do fluoreto de hidrogênio e para quando utilizamos o método de Runge-Kutta. Figura 5.11- Variação da energia em função do tempo para uma única trajetória Na figura 5.11 podemos notar que o valor da energia da partícula primeiro aumento até sofrer uma queda e atingir o seu menor valor, já na figura 5.12 a partícula foi para a posição de equilíbrio. Figura 5.12- Variação do momento em função da posição para uma única trajetória 5.3.2 Para duas trajetórias Após a análise com uma única trajetória foi realizada uma média de valores de momentos para assim criar um novo campo externo com base nos valores dessa média. 𝐸(𝑡) = 〈𝑃〉 𝑑𝜇(𝑟) 𝑑𝑟 , onde 〈𝑃〉 = 𝑃1 + 𝑃2 2 . Sabendo que o método de Runge Kutta de segunda ordem possui uma precisão melhor que o método de Euler , foi utilizado apenas o Runge Kutta. 5.3.2.1 Runge Kutta de segunda ordem:  Momento de dipolo linear Em primeiro momento escolhemos duas partículas com valores de posição e momento quase idênticos, como é evidenciado abaixo: Partícula 1 (vermelha) Partícula 2 (verde) Posição 7,9ua 7,9001ua Momento -0,51ua -0,5001ua Tabela 5.1- Comparação entre a posição e o momento de duas partículas. De tal modo obtivemos os gráficos abaixo a fim de comparação, na figura 5.13 fizemos uma análise como o campo externo se comporta no decorrer do tempo. Figura 5.13- Comportamento do campo elétrico no decorrer do tempo As figuras 5.14 e 5.15 mostram que para as duas partículas os resultados convergem, tanto na figura 5.14 que mostra a variação do momento em função da posição e isso também fica claro na figura 5.15 que mostra a variação da energia no decorrer do tempo. Figura 5.14- Comparação das duas trajetórias quando variamos o momento em função da posição Figura 5.15- Comparando duas trajetórias no decorrer da variação da energia em função do tempo Após isso foram selecionadas duas partículas onde os valores de posição e momento possuem uma pequena diferença. Partícula 1 (verde) Partícula 2 (Vermelha) Posição 7,9ua 7,8ua Momento -0,51ua -0,52ua Tabela 5.2- Comparação entre a posição e o momento de duas partículas. Figura 5.16 - variação do campo elétrico em função do tempo De tal modo obtivemos os gráficos abaixo a fim de comparação, na figura 5.16 fizemos uma análise como o campo externo se comporta no decorrer do tempo. Figura 5.17- Comparando duas trajetórias no decorrer da variação da energia em função do tempo As figuras 5.16 e 5.17 mostram que para as duas partículas nesse caso os resultados não convergem tanto na figura 5.16 que mostra a variação do momento em função da posição e isso também na figura 5.17 que mostra a variação da energia no decorrer do tempo. Figura 5.18- Comparação de duas trajetórias quando variamos o momento em função da posição Na figura 5.18 também fica evidente que o método utilizado não foi eficaz para que as duas partículas convergissem para a posição de equilíbrio. E por ultimo foram selecionadas duas partículas com valores de posição e momento com uma diferença maior, como é evidenciado abaixo: Partícula 1 (verde) Partícula 2 (vermelha) Posição 8,0ua 10,0ua Momento -0,5ua -1,5ua Tabela 5.3- Comparação entre a posição e o momento de duas partículas. De tal modo obtivemos os gráficos abaixo a fim de comparação, na figura 5.19 fizemos uma análise como o campo externo se comporta no decorrer do tempo. Figura 5.19- Variação do campo elétrico no decorrer do tempo As figuras 5.20 e 5.21 mostram que para as duas partículas nesse caso os resultados não convergem tanto na figura 5.20 que mostra a variação do momento em função da posição e isso também na figura 5.21 que mostra a variação da energia no decorrer do tempo. Figura 5.20- Comparando duas trajetórias no decorrer da variação da energia em função do tempo Figura 5.21-Comparação de duas trajetórias quando variamos o momento em função da posição  Momento de dipolo do HF Em primeiro momento escolhemos duas partículas com valores de posição e momento quase idênticos, como é evidenciado abaixo: Partícula 1 Partícula 2 Posição 7,9ua 7,9001ua Momento -0,51ua -0,5001ua Tabela 5.4- Comparação entre a posição e o momento de duas partículas. Figura 5.22- Comparando duas trajetórias no decorrer da variação da energia em função do tempo As figuras 5.22 e 5.24 mostram que para as duas partículas os resultados convergem, tanto na figura 5.24 que mostra a variação do momento em função da posição e isso também fica claro na figura 5.22 que mostra a variação da energia no decorrer do tempo. Figura 5.23- Variação do campo elétrico no decorrer do tempo De tal modo obtivemos os gráficos abaixo a fim de comparação, na figura 5.23 fizemos uma análise como o campo externo se comporta no decorrer do tempo. Figura 5.24-Comparação de duas trajetórias quando variamos o momento em função da posição Após isso foram selecionadas duas partículas onde os valores de posição e momento possuem uma pequena diferença. Partícula 1 (verde) Partícula 2 (vermelha) Posição 7,9ua 7,8ua Momento -0,51ua -0,52ua Tabela 5.5- Comparação entre a posição e o momento de duas partículas. Figura 5.25-Comparação de duas trajetórias quando variamos o momento em função da posição As figuras 5.25 e 5.26 mostram que para as duas partículas os resultados estão muito próximos diferente do que aconteceu quando o momento de dipolo era linear, tanto na figura 5.25 que mostra a variação do momento em função da posição e quanto na figura 5.26 que mostra a variação da energia no decorrer do tempo. Figura 5.26- Comparando duas trajetórias no decorrer da variação da energia em função do tempo De tal modo obtivemos os gráficos abaixo a fim de comparação, na figura 5.27 fizemos uma análise como o campo externo se comporta no decorrer do tempo. Figura 5.27-Variação do campo elétrico no decorrer do tempo E por ultimo foram selecionadas duas partículas com valores de posição e momento com uma diferença maior, como é evidenciado abaixo: Partícula 1 (vermelha) Partícula 2 (verde) Posição 8,0ua 10,0ua Momento -0,5ua -1,5ua Tabela 5.6- Comparação entre a posição e o momento de duas partículas. Figura 5.28- Comparando duas trajetórias no decorrer da variação da energia em função do tempo As figuras 5.28 e 5.29 mostram que para as duas partículas nesse caso os resultados não convergem tanto na figura 5.29 que mostra a variação do momento em função da posição e isso também na figura 5.28 que mostra a variação da energia no decorrer do tempo. Figura 5.29-Comparação de duas trajetórias quando variamos o momento em função da posição De tal modo obtivemos os gráficos abaixo a fim de comparação, na figura 5.30 fizemos uma análise como o campo externo se comporta no decorrer do tempo. Figura 5.30-Variação do campo elétrico no decorrer do tempo Conseguimos verificar que o método é muito eficiente para uma única partícula tanto para o momento de dipolo linear quanto para o momento de dipolo do HF. Já para duas partículas percebemos que o método só é eficiente para quando os valores de momento são muito próximos, mas para momentos distintos as trajetórias não convergem. Neste caso pode-se notar que quando utilizamos o momento de dipolo do HF, a diferença entre os momentos pode ser um pouco maior e ainda assim o método é eficiente. CAPÍTULO 6 Conclusões Na presente dissertação, investigamos a fotoassociação caótica tendo como modelo o oscilador de Morse forçado. Inicialmente consideramos pulsos de forma senoidal simples, simulando a ação de lasers de onda continua. Evidenciamos o caráter caótico do problema, através de sua sensibilidade as condições inicias, a análise dos mapas estroboscópicos e das sessões de Poincaré e conseguimos evidenciar que os parâmetros do campo externo como frequência e amplitude interferem significativamente em nosso problema. A partir desse momento podemos perceber que encontrar um campo elétrico adequado e parâmetros ajustados influenciaria significativamente na probabilidade de fotoassociação. Em seguida, investigamos a fotoassociação com campos externos com forma um pouco mais complexa que permite controle que vão além daquele para o laser senoidal. No capítulo 4 consideramos pulsos com duas frequências principais (pulsos bicromáticos) e pulsos com frequência modulada (Chirped pulses). Assim estudamos a probabilidade de fotoassociação em função dos parâmetros do campo externo. Para pulsos bicromáticos, é possível perceber que os melhores valores foram encontrados quando analisamos a probabilidade em função da fase relativa, aonde a probabilidade de fotoassociação chegou a quase quarenta e cinco por cento. Para pulsos de frequência variável, obtivemos probabilidades de fotoassociação máxima em torno de quarenta e cinco por cento para alguns valores da taxa de variação da frequência. Destacamos ainda que a fotoassociação clássica com pulsos de frequência modulada guarda muitas analogias com a fotoassociação quântica e que o estudo no caso da fotoassociação caótica, pelo menos até o certo momento e com nosso embasamento na literatura é inédito e servirá como base para uma futura publicação. Finalmente passamos para a aplicação de uma técnica de controle local para a fotoassociação onde o valor do campo externo é calculado a cada iteração temporal. Conseguimos verificar que o método é consistente e extremamente interessante para o modelo da fotoassociação, sendo que para uma única partícula o método mostrou total eficácia, isso pode ser evidenciado quando analisamos o valor final de energia. Quando se trata de duas partículas ele se mostra inconsistente para valores distantes de momento linear, independente do método utilizado como propagador temporal. Um desafio futuro que se coloca a formulação de uma teoria de controle local para um ensemble de trajetórias. Que certamente resultará em campos externos mais eficientes, porém mais complexos. REFERÊNCIAS [1] THORSHEIM, H.; WEINER, J.; JULIENNE, P. Laser-induced photoassociation of ultracold sodium atoms. Physical review letters, APS, v. 58, n. 23, p. 2420-2423, 1987. [2] ZARE, R. N. Laser control of chemical reactions. Science, American Association for the Advancement of Science, v. 279, n. 5358, p. 1875-1879, 1998. 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