ASPECTOS 
DA HISTÓRIA 
DA ANÁLISE 
MATEMÁTICA DE 
CAUCHY A LEBESGUE
ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI 
SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA



Aspectos dA HistóriA 
dA Análise MAteMáticA 

de cAucHy A lebesgue



CONSELHO EDITORIAL ACADÊMICO 

Responsável pela publicação desta obra 

Marcos Vieira Teixeira 

Miriam Godoy Penteado 

Roger Miarka 

Rosana Giaretta Sguerra Miskulin



ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI 
SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA 

Aspectos dA 
HistóriA dA Análise 

MAteMáticA de 
cAucHy A lebesgue 



© 2014 Editora Unesp

Cultura Acadêmica 
Praça da Sé, 108 
01001-900 – São Paulo – SP 
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Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ

B245a

Baroni, Rosa Lúcia Sverzut

 Aspectos da história da análise matemática de Cauchy a Lebesgue 
[recurso eletrônico] / Rosa Lúcia Sverzut Baroni, Sílvio César Otero-Garcia. 
São Paulo: Cultura Acadêmica, 2014. 

recurso digital

Formato: ePDF

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Modo de acesso: World Wide Web

Inclui bibliografia

ISBN 978-85-7983-601-5 (recurso eletrônico)

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Matemática – História. 3. Livros
eletrônicos. I. Otero-Garcia, Sílvio César. II. Título.

14-18667 CDD: 510.9 
CDU: 51(09)

Este livro é publicado pelo Programa de Publicações Digitais da Pró-Reitoria de 
Pós-Graduação da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” (Unesp)

Editora afiliada:



Sumário

Introdução 7

1 O conceito de função 15
2 As contribuições de Cauchy 25
3 Gauss, Bolzano e Abel 51
4 Séries de Fourier e o teorema de Cauchy 65
5 Weierstrass e o movimento do rigor 77
6 A moderna teoria da integração 91
 Sílvio César Otero-Garcia

7 Construções dos números reais 129

Referências 151





introdução

A disciplina de análise, oferecida em cursos de graduação em 
matemática, é, em geral, tida como geradora de grande ansiedade 
nos alunos (Bortoloti, 2003). Concebemos a análise matemática 
"não apenas como uma tentativa de fornecer rigor e fundamento ao 
Cálculo, mas como um conjunto de objetos histórico-matemáticos 
que criaram necessidades que não existiam, e para elas dispensaram 
esforços que culminaram em uma crise de fundamentos e no esta-
belecimento de novas concepções’’ (Baroni; Teixeira; Nobre, 2009, 
p.181). Seu conteúdo trata primordialmente dos processos infinitos 
em cujo centro encontra-se o conjunto dos números reais, sendo 
que o formalismo e abstração presentes em sua estrutura causa forte 
impacto, e o índice de reprovação costuma ser alto. Vários outros 
aspectos referentes à disciplina de análise foram, também, alvo de 
investigações por pesquisadores brasileiros, tais como Reis (2001), 
Pinto (2001, 2009), Ávila (2002), Bolognezi (2003), Souza (2003), 
Moreira, Cury e Vianna (2005), Batarce (2006), Lima (2006), Ciani, 
Ribeiro e Junior (2006). A maioria desses trabalhos apresenta resul-
tados que diagnosticam e apontam as dificuldades dos alunos com a 
disciplina, mas não se percebem propostas explícitas para enfrentar 
os problemas detectados.



8  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

Dentro de um estudo abrangente a esse respeito, temos pesqui-
sado alguns aspectos, por exemplo, como a análise se constituiu 
como disciplina no Brasil; como a aritmetização da análise tem sido 
trabalhada, à luz da história, em cursos de licenciatura; que con-
teúdos podem ser caracterizados como componentes da estrutura 
da disciplina; a contribuição de matemáticos para o desenvolvi-
mento da análise, tanto no Brasil como em nível mundial; como 
as licenciaturas têm trabalhado com essa disciplina; qual o movi-
mento existente na busca da separação dessa disciplina nos cursos 
de licenciatura e de bacharelado; as condições de funcionamento 
da aprendizagem no ensino de análise; a formação matemática do 
professor enquanto um problema vinculado às políticas cognitivas; 
algumas propostas para o trabalho em sala de aula, dentre outros 
(Otero-Garcia, 2011; Martinês, 2012; Otero-Garcia; Cammarota, 
2013; Gomes, 2013). 

Este texto, mais um elemento dessa pesquisa, apresenta alguns 
aspectos históricos da análise, de forma a construir subsídios que pos-
sam colaborar com o aluno e o professor para uma compreensão mais 
profunda dos conceitos que fazem parte da disciplina de análise. Isso 
porque, conforme nos apontam Baroni, Teixeira e Nobre (2009), uti-
lizando argumentos presentes em Fauvel e Maanen (2000), reconhe-
cidos estudiosos das relações entre história e educação matemática, o 
desenvolvimento histórico da matemática:

[...] mostra que as ideias, dúvidas e críticas que foram surgindo não 
devem ser ignoradas diante de uma organização linear da mate-
mática. Ele revela que esse tipo de organização axiomática surge 
apenas após as disciplinas adquirirem maturidade, de forma que 
a matemática está em constante reorganização [...] a História pode 
evidenciar que a matemática não se limita a um sistema de regras e 
verdades rígidas, mas é algo humano e envolvente. (Baroni; Nobre; 
Teixeira, 2009, p.166-7)

Nesse contexto, com relação ao ensino de funções, por exemplo, 
a respeito de todo esforço para dar uma fundamentação poderosa a 



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  9

esse conceito fundamental da matemática (Capítulo 1), Eisenberg 
(1991) mostra que até hoje ele é considerado como um dos mais 
difíceis de ser ensinado/aprendido:

É um dos conceitos mais difíceis para o professor na sequên-
cia de ensino da matemática escolar. Em parte isso é devido aos 
diversos graus de complexidade e às numerosas noções subjacentes 
associadas com o conceito, mesmo funções do nível mais elementar 
podem ser abordadas em vários contextos, e dependendo da abor-
dagem feita, várias dificuldades emergem desde o início. (p.140)

Já Grugnetti (2000) defende que a rica história das funções pode 
fornecer valiosas ideias sobre como introduzir, sob diferentes abor-
dagens, esse conceito na escola básica, levando-se em conta, por 
exemplo, os diferentes níveis de representação, as diferentes no-
tações, os diferentes nomes (operação, correspondência, relação, 
transformação etc.). Esses aspectos refletem as circunstâncias his-
tóricas nas quais esses objetos apareceram nos campos da matemá-
tica, da física, da lógica. 

Enquanto dois séculos atrás funções eram pensadas como fór-
mulas que descreviam relações entre duas variáveis envolvendo 
expressões algébricas (na visão de Euler), a definição moderna de 
função não é tão limitada... Na educação matemática é frequente 
esquecer que o conceito de função foi o resultado de um longo 
encadeamento do pensamento matemático desenvolvido vagaro-
samente. Ao contrário, na escola básica esse conceito é em geral 
introduzido muito cedo como uma base para a introdução de outros 
conceitos. Mas essa base realmente foi bem compreendida? O que 
aconteceu durante sua longa história? (Grugnetti, 2000, p.34)

***
Um segundo exemplo está relacionado com o infinito, impor-

tante conceito tanto em filosofia, ciências e matemática. Entretan-
to, dependendo do contexto, o termo infinito assume significados 



10  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

diferentes, muitas vezes conflitantes. No caso da matemática, são 
inegáveis as dificuldades em seu uso, conforme veremos neste texto 
(Capítulo 7). Isso também se reflete na educação matemática, como 
aponta Tirosh (1991):

É claro que com essa grande variedade de significados técnicos 
[infinito potencial, infinito atual, infinito ordinal, infinitésimo], 
que frequentemente possuem propriedades diferentes, e mesmo 
conflitantes, os possíveis significados intuitivos que emergem em 
vários contextos também são variados e conflitantes. De fato, é 
bastante frequente encontrarmos ao longo de pesquisas de natureza 
cognitiva imagens conceituais associadas com infinito. Elas são 
geralmente transitórias, instáveis e conflitantes. (p.199)

Uma das conclusões do trabalho de Tirosh foi "que no caso da 
comparação de conjuntos infinitos, muitas das intuições primárias 
dos estudantes eram semelhantes àquelas experimentadas pelos 
matemáticos na história do desenvolvimento do conceito" (p.214).

***
Por fim, um último exemplo que gostaríamos de trazer, den-

tre os mais diversos possíveis em que a compreensão histórica de 
conceitos pode auxiliar em seu aprendizado, diz respeito à ideia de 
limite. Quando olhamos os aspectos relativos às questões de ensino 
e aprendizagem desse conceito (Capítulo 2), deparamo-nos com 
diversas pesquisas indicando a dificuldade que ele traz em si. Ci-
tamos, por exemplo, Cornu (1991), que realizou estudos a respeito 
dos vários obstáculos que aparecem no caminho dos alunos que vão 
aprender o conceito de limite:

O conceito matemático de limite é uma noção particularmente 
difícil, típica da natureza de pensamento matemático avançado. Ele 
ocupa uma posição central que permeia a análise matemática toda. 
[...] Uma das maiores dificuldades no [seu] ensino e aprendizagem 
está não somente em sua riqueza e complexidade, mas também na 



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  11

extensão para a qual os aspectos cognitivos não podem ser produzi-
dos puramente a partir da definição matemática. A diferença entre 
a definição e o próprio conceito [...] é didaticamente muito impor-
tante (Cornu, 1991, p. 153).

***
Ainda, se pensarmos que o ensino não se resume ao acúmulo 

de conteúdos e regras, mas a um conjunto de atitudes críticas em 
relação ao conhecimento, a história se manifesta como um dos mais 
importantes desafios para professores e alunos de matemática.

Uma análise histórica e epistemológica permite que profes-
sores compreendam porque determinado conceito é difícil para o 
estudante (como, por exemplo, o conceito de função, o conceito de 
limite, mas também frações, operações com zero etc.) e pode ajudar 
na abordagem e desenvolvimento didático. (Grugnetti, 2000, p.30)

Embora a área de pesquisa que trata das relações entre a história 
e a educação matemática seja relativamente nova, vários matemáti-
cos importantes, como Henri Poincaré e Felix Klein, já aclamavam 
essa importância.

Com as seguintes palavras, Poincaré (1908) começou sua pales-
tra no quarto Congresso Internacional de Matemática em Roma: 
"Para prever o futuro da matemática, o verdadeiro método é estudar 
a sua história e o seu estado presente" (Poincaré, 1908, p.930).1 Em-
bora ele próprio nunca tenha se dedicado à história da matemática, 
a partir de sua observação, tanto historiadores quanto pesquisado-
res puderam obter uma orientação metodológica valiosa; nem tanto 
para satisfazer uma profecia improvável sobre o estado futuro da 
matemática, mas, sobretudo, para encontrar na história as origens e 
motivações das teorias contemporâneas, e para achar no presente a 
exposição mais proveitosa possível dessas teorias (Bottazini, 1986).

1 Pour prévoir l’avenir des Mathématiques, la vraie méthode est d’en étudier 
l’histoire et l’état présent.



12  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

Já Félix Klein fez, em sua própria casa, seminários sobre a história  
da matemática para um seleto grupo de participantes. Esses seminá-
rios foram publicados posteriormente por Courant e Neugebauer 
(Klein, 1979) e são considerados até hoje como uma das mais valiosas 
e compreensíveis a respeito da história da matemática no último sé-
culo (Bottazini, 1986).

A concepção de história que Poincaré e Klein tinham não é, evi-
dentemente, a mesma contida neste texto, que, ao tentar valorizar 
um aspecto histórico/epistemológico, poderia se aproximar de uma 
abordagem típica da história conceitual.  No entanto, é importante 
destacar que, dentro dessa abordagem, temos consciência das fragi-
lidades inerentes a ela, muitas delas decorrentes da impossibilidade 
de se recuperar tanto a totalidade dos acontecimentos quanto o 
próprio passado, impossibilitando o despojamento e fazendo com 
que o nosso relato seja apenas um construto pessoal que contém 
reconstituições de coisas que talvez nunca tenham sido construídas 
como tal. Ademais, as fontes que aqui foram usadas podem indicar, 
àqueles que se sentirem impelidos e motivados a fazê-lo, caminhos 
de estudos mais profundos e essenciais.

Nessa direção, apresentamos alguns fatos que marcaram a con-
solidação de certos conceitos, no contexto do movimento chama-
do de aritmetização da análise, e que se constituíram no que hoje 
chamamos de análise matemática ou análise real, ou simplesmente 
análise. Focamo-nos, para isso, nos eventos ocorridos no decurso 
do século XIX – que representamos simbolicamente como o perío-
do compreendido entre a publicação do Cours d’Analyse de Cauchy, 
em 1821 e a tese de doutorado de Lebesgue, em 1902; obras essas 
escolhidas por conta da importância que tiveram nessa época e 
têm neste texto. Tomamos essa decisão por considerar que já há 
suficiente material histórico sobre o período anterior acessível em 
língua portuguesa. Isso não quer dizer que não faremos incursões a 
certos aspectos do desenvolvimento da análise referentes a séculos 
anteriores, até porque foi essa matemática que influenciou, estimu-
lou e serviu de base aos matemáticos que estudaremos.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  13

***
O que precedeu o que hoje denominamos de análise foi o desen-

volvimento do cálculo, que no período de Isaac Newton e Gottfried 
Leibniz "consistia de um conjunto de regras especiais e técnicas para 
diferenciação e integração, juntamente com a geometria de coor-
denadas desenvolvida desde Descartes" (Baron; Bos, 1974, p.43). 
Alguns autores consideram que a análise, pensada como um objeto 
independente, começou a se estabelecer em meados do século XVII 
durante a revolução científica, tendo vários nomes de destaque, 
como Johannes Kepler, Galileu Galilei, René Descartes, Pierre de 
Fermat, Christiaan Huygens; além dos já citados Newton e Lei-
bniz, contribuído para sua origem (Jahnke, 2003). Além desses, 
também outros matemáticos do mesmo período deram importantes 
contribuições com trabalhos que aplicavam métodos da análise em 
disciplinas das ciências naturais. Por exemplo, em mecânica e di-
nâmica temos os trabalhos de Leonhard Euler (1736), Jean le Rond 
d’Alembert (1743) e Joseph-Louis Lagrange (1788); em mecânica 
dos fluidos temos Daniel Bernoulli (1738); e em mecânica dos mo-
vimentos dos corpos celestes temos Pierre Simon Laplace (1799a, 
1799b, 1803, 1805, 1825). Outra teoria que recebeu contribuições 
com o desenvolvimento da análise foi a da probabilidade e estatísti-
ca, sobretudo com os trabalhos de Jacques Bernoulli (1713).

Esse processo iniciado no século XVII se consolidou no século 
XIX, e o nome de Augustin-Louis Cauchy (Capítulo 2) é peça 
fundamental nele, por ter sido o primeiro a defender e divulgar a 
nova forma rigorosa de se fazer matemática que invadiu quase toda 
a análise, tendo sido figura primordial no estabelecimento de certos 
conceitos como os de variável, limite, continuidade, convergência, 
derivada e integral. Apesar disso, com o passar do tempo e o apri-
moramento das ideias, perceberam-se algumas falhas nos trabalhos 
de Cauchy e imprecisões decorrentes da sua linguagem. Dentro 
do movimento em direção a dar mais precisão e/ou generalidade 
aos seus resultados, podemos destacar os nomes de Carl Friedrich 
Gauss, Bernard Bolzano e Niels Henrik Abel (Capítulo 3); Jean-
-Baptiste Joseph Fourier (Capítulo 4); Bernhard Riemann, Camille 
Jordan e Henri Lebesgue (Capítulo 6); e, claro, Karl Weierstrass 



14  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

(Capítulos 5 e 7). O último deles tem seu nome muitas vezes toma-
do como sinônimo de rigor; ele e seus seguidores deram continuida-
de ao trabalho iniciado por Cauchy com notável sucesso. É costume 
dizer que Weierstrass "aritmetizou a análise", ou seja, que ele liber-
tou a análise de seus argumentos geométricos e de sua compreensão 
intuitiva que prevaleciam na época, mas isso só foi possível com a 
ajuda de Richard Dedekind, Georg Cantor e David Hilbert que, 
juntamente com ele próprio, no fim do século XIX, apresentaram 
suas construções do conjunto dos números reais (Capítulo 7). 

Assim, num movimento com idas e vindas que se estendeu por 
pelo menos duzentos anos, a análise foi se estabelecendo como área 
da matemática, ganhando cada vez mais rigor e generalidade. Há 
quem considere que muitas das restrições geradas por esse movi-
mento são desnecessárias, uma vez que ele teria resolvido proble-
mas que ele mesmo criou. Seja como for, conforme veremos ao 
longo deste texto, não se pode negar que a maioria das ideias desen-
volvidas no século XX tiveram como base esse rigor e generalidade 
que foram aos poucos tomando conta da análise a partir dos séculos 
XVII e, principalmente, XIX.  

***
Antes de finalizarmos esta introdução, gostaríamos de ressaltar 

que na maior parte do tempo seguimos grandes autores de obras de 
história da matemática, como Burton (2011), Cajori (2007), Eves 
(2004), Katz (1998), Lintz (2007), Struik (1948), e Wussing (1998); 
e de história da análise, como Dugac (2003) e Jahnke (2003), além 
de outros livros, artigos, dissertações e teses. Dessa forma, nosso 
relato, em certo sentido, divulga algo já escrito. Apesar disso, sem-
pre que possível, também recorremos aos trabalhos originais, o que 
nos demandou muito tempo, mas acreditamos ter valido a pena:  
resultaram em numerosas citações, tanto em português como em 
suas línguas originais. E por falar nisso, observamos que todas as ci-
tações de obras em língua estrangeira foram traduzidas livremente 
por nós, de forma que quaisquer eventuais erros ou impropriedades 
são de nossa inteira responsabilidade.



1 
o conceito de função

Segundo alguns historiadores, a ideia de dependência funcio-
nal já podia ser identificada em textos antigos, como em algumas 
funções tabuladas empiricamente usadas na astronomia, em tábuas 
para achar raízes quadradas, cúbicas etc., mas, a essa época, ainda 
não tinham sido criadas noções gerais de quantidade variável ou de 
função. Também podemos encontrar, já no século XIV, uma suges-
tão do que hoje chamaríamos de representação gráfica de funções 
a partir das ideias de Nicole d’Oresme (1323-1382), Thomas Bra-
dwardine (1290-1349), ou das “escolas” de Oxford e Paris, com os 
estudos sobre “latitude de formas” que tornaram familiar a noção 
de dependência entre grandezas e quantidades, introduzindo os 
primeiros rudimentos de representação gráfica.

No entanto, a noção de função, como conhecemos hoje, começa 
a se manifestar quando se faz necessária uma ferramenta matemá-
tica para investigar fenômenos naturais – estudos iniciados por 
Galileu Galilei (1564-1642) e Johannes Kepler (1571-1630). Seu 
desenvolvimento se deu, sobretudo, graças às várias possibilidades 
permitidas pela notação algébrica criada por François Viète (1540-
1603) e pela geometria analítica introduzida por René Descartes 
(1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665).



16  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

Descartes já havia estabelecido que uma equação em duas va-
riáveis, geometricamente representada por uma curva, indicava 
uma dependência. Todavia, essa ideia ficava restrita ao contexto 
das curvas, ou seja, essas variáveis geométricas estavam associadas 
à própria curva e não entre si. Entretanto, esse foi um momento 
importante. O estudo das quantidades variáveis veio a ser o divisor 
de águas entre a matemática clássica e a matemática moderna. De 
acordo com o matemático alemão Hermann Hankel (1839-1873), 

[...] a matemática moderna data do momento quando Descartes foi 
além do tratamento puramente algébrico das equações para estudar 
a variação das grandezas que uma expressão algébrica sofre quando 
uma de suas grandezas, dada de forma geral, passa através de uma 
série contínua de valores. (Hankel, 1870, p.1)1

Neste texto, vamos tratar do conceito de função a partir do sécu-
lo XVII, enfatizando, porém, seu desenvolvimento no século XIX, 
e as várias tentativas de esclarecimento desse conceito que levaram 
à aritmetização da análise, ou, segundo termo cunhado por Felix 
Klein (1849-1925),2 aritmetização da matemática (Arithmetisie-
rung der Mathematik) (Klein, 1895). 

O conceito de função no século XVIII

Há inúmeras diferenças entre o cálculo da época de Isaac 
Newton (1642-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716) e o cálculo 
que veio depois da época de Augustin-Louis Cauchy (1789-1857), 
e uma dessas diferenças recai sobre o conceito de função. Por volta 

1 [...] neuere Mathematik von dem Augenblicke, als Descartes von der rein 
algebraischen Behandlung der Gleichungen, dazu fortschritt, die Grössen 
Veränderungen zu untersuchen, welche ein algebraischer Ausdruck er leidet, 
indem eine in ihm allgemein bezeichnete Grösse eine stetige Folge von Werten 
durchläuft.

2 Para mais detalhes, ver Bottazzini (2003).



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  17

de 1700, o cálculo lidava com a noção de variáveis e pelos anos 1800 
já se usava a ideia de função. Veremos mais adiante que o conceito 
de função foi usado por Cauchy para esclarecer o conceito de limite 
e tornar possível uma definição rigorosa de derivada.

Figura 1 – Gottfried Leibniz e Isaac Newton3

Baseado em motivações físicas (movimento de corpos), Newton 
estabeleceu uma relação íntima entre os conceitos de função, va-
riação e cálculo fluxional. O método de fluxões descreve as varia-
ções em termos de grandezas fluentes (funções) e só tem sentido 
se pensado em contextos naturais. Já Leibniz teve seu interesse 
despertado pelo estudo de curvas e o problema de tangentes; e foi 
nesse contexto que elaborou os conceitos fundamentais do cálculo. 
Tanto a ideia de função como a distinção entre curvas algébricas 
e transcendentes ocorreram a Leibniz quando ele se deparou com 
problemas de natureza geométrica ligados ao cálculo. 

A palavra função apareceu, pela primeira vez, num artigo escrito 
por Leibniz em 1692 (Leibniz, 1692). Ele chamava de funções as 
quantidades geométricas variáveis relacionadas a uma curva, tais 
como coordenadas, tangentes, subtangentes, normais, raios de cur-

3 Todas as figuras presentes neste livro estão em domínio público.



18  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

vatura etc. Mas foi juntamente com Johann Bernoulli (1667-1748) 
que o conceito e a simbologia usados para representar funções fica-
ram estabelecidos. Isso porque Bernoulli, em um artigo sobre um 
problema isoperimétrico (1698) – originalmente em latim, republi-
cado em francês alguns anos depois (Bernoulli, 1706; 1707) –, usava 
o termo fonctions quelconques de appliquées4 para quaisquer expres-
sões que contivessem as ordenadas como variáveis. Leibniz não se 
opôs ao uso do termo por Bernoulli e os dois discutiram, por cartas, 
como designar simbolicamente as “funções”. Finalmente, em 1718, 
Bernoulli (1718; 1741) definiu o conceito formalmente pela primei-
ra vez, e essa definição foi usada e padronizada por Leonhard Euler 
(1707-1783) em sua obra Introductio in analysin infinitorum (1748) 
da seguinte maneira:  “Uma função de uma quantidade variável é 
uma expressão analítica formada de qualquer modo por tal quan-
tidade variável e por números ou quantidades constantes” (Euler, 
1748, p.4).5 Euler não explicita o que seja expressão analítica, mas 
subentende-se que incluíam expressões algébricas (compostas por 
somas, subtrações, produtos, quocientes e raízes), expressões que 
envolviam funções elementares transcendentes (exponencial, lo-
garítmica, trigonométricas), e também séries de potências e outras 
expressões que envolviam limites (Bottazzini, 1986; Jahnke, 2003). 

Essa obra de Euler representou um importante momento na 
história da análise porque o conceito de função foi colocado em seu 
centro, ou seja, foram as funções (ao invés das curvas) os princi-
pais objetos de estudo que permitiram a algebrização da geometria 
e a consequente separação da análise infinitesimal da geometria 
propriamente dita. Em sua outra obra, Institutiones Calculi Diffe-
rentialis, Euler (1755) retoma o conceito de função com mais ge-
nialidade: “Aquelas quantidades que dependem de outras, isto 
é, aquelas quantidades que experimentam uma variação quando 

4 Literalmente, funções quaisquer de ordenadas. O termo “appliquée”, nesse 
contexto, pode ser traduzido como “ordenadas” – ainda que literalmente não 
tenha esse sentido.

5 Functio quantitatis variabilis, est expressio analytica quomodocunque com-
posita ex illa quantitate variabili et numeris seu quantitatibus constantibus.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  19

outras variam, chamam-se funções dessas quantidades” (Euler, 
1755, p.vi),6 mais próximo, portanto, não só do conceito atual de 
função, como também do conceito que seria adotado por Cauchy 
no século seguinte. 

Figura 2 – Johann Bernoulli e Leonhard Euler

O conceito de função a partir do século XIX

Cauchy (1821), em seu Cours d’analyse, obra percursora da nova 
era de rigor que caracterizou o século XIX,7 escreveu:

Quando quantidades variáveis estão de tal forma ligadas entre 
si que, os valores de algumas sendo dados, podemos determinar os 
valores de todas aquelas outras, imaginamos essas diversas quanti-
dades expressas por meio de algumas dentre elas, as quais recebem 
então o nome de variáveis independentes; e as quantidades res-

6 Quae autem quantitates hoc modo ab aliis pendent, ut his mutatis etiam ipsae 
mutationes subeant, eae harum functiones appellari solent.

7 Para mais detalhes sobre o conceito de função na obra de Euler, recomenda-
mos a leitura de Martínez (2008).

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20  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

tantes, expressas por meio das variáveis independentes, são o que 
chamamos de funções dessas variáveis. (Cauchy, 1821, p.19-20)8

Além disso, introduziu a ideia de função explícita (por exemplo  
senlog  ,   , ,  x x x y xyz+  etc.) e de função implícita (quando somente 

as relações entre as funções e as variáveis são dadas, ou seja, as 
funções não podem ser expressas diretamente em termos das va-
riáveis), mas sempre indicando que funções são dadas por meio de 
alguma equação ou expressão. Isso também ocorre quando ele defi-
ne funções simples e compostas. Dessa forma, mesmo que Cauchy 
tenha suprimido o termo expressões analíticas de sua definição, essa 
noção ainda estava presente em sua mente – por outro lado, confor-
me veremos em As contribuições de Cauchy, nem todas as suas de-
monstrações e conceitos relacionados a funções estavam baseados 
na ideia de expressão analítica.

Também Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), um ano 
depois de Cauchy, apresentou seu conceito de função:

Em geral, a função fx  representa uma sequência de valores ou 
de ordenadas das quais cada uma é arbitrária. A abscissa x  podendo 
receber uma infinidade de valores, haverá um mesmo número de 
ordenadas fx. Todas têm valores numéricos reais, ou positivos, 
ou negativos, ou zero. Não supomos que essas ordenadas estejam 
sujeitas a uma lei comum; elas se sucedem de uma maneira qual-
quer, e cada uma delas é dada como se fosse uma única quantidade. 
(Fourier, 1822, p.552)9

 8 Lorsque des quantités variables sont tellement liées entre elles que, les valeurs 
de quelques-unes étant données, on puisse en conclure celles de toutes des 
autres, on conçoit ces diverses quantités exprimées au moyen de plusieurs 
d’entre elles, que prennent alors le nom de variables indépendantes; et les 
quantités restantes, exprimées au moyen des variables indépendantes, sont ce 
qu’on appelle des fonctions de ces mêmes variables.

 9 En général, la fonction fx  représente une suite de valeurs ou d’ordonnées dont 
chacune est arbitraire. L’abscisse x  pouvant recevoir une infinité de valeurs, 
il y a un pareil nombre d’ordonnées fx . Toutes ont des valeurs numériques 
actuelles, ou positives, ou négatives, ou nulles. On ne suppose point que ces 



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  21

Diferentemente de Cauchy, Fourier, ao se referir a função como 
uma sucessão de valores quaisquer, evitou conscientemente a ideia 
de que as ordenadas devessem seguir uma lei matemática única. 
Como resultado, a identificação, até então em voga de função como 
expressão analítica, também passou a ser discutida (Wussing, 
1998). Entretanto, Fourier, em sua demonstração da convergência 
da série (de Fourier) de uma função arbitrária, explicitamente usou 
o fato de que se dois valores a  e x  diferem muito pouco (um valor
infinitamente pequeno), então os valores ( )f a  e ( )f x  coincidem, ou 
seja, Fourier ainda atrelava ao conceito de função o de continuidade 
(Fourier, 1822; Lützen, 2003). 

Figura 3 – Nicolas Lobachevskiy

Os primeiros passos mais claros dados na direção de, num pri-
meiro momento, retirar a exigência de uma expressão analítica para 
a definição de função, foram dados pelos matemáticos Nicolas Iva-
novich Lobachevskiy (1793-1856) e Johann Peter Gustav Lejeune 

ordonnées soient assujetties à une loi commune; elles se succèdent d’une 
manière quelconque, et chacune d’elles est donnée comme le serait une seule 
quantité.



22  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

Dirichlet (1805-1859). Em 1834, Lobachevskiy, em seu trabalho 
sobre séries trigonométricas, escreveu:

O conceito geral sugere que como função de se denomine um 
número dado para todo x e que varia progressivamente com ele. 
O valor da função pode tanto ser obtido por meio de uma expres-
são analítica, quanto por meio de uma condição que ofereça uma 
maneira de se examinar todos os números e de eleger um dentre 
eles; bem, por último, pode existir uma dependência que perma-
neça desconhecida. (apud Youschkevitch, 1976, p.77, em inglês e 
russo)10

Três anos mais tarde, Dirichlet (1837) conceituou função, basean-
do-se na definição de Fourier:

Vamos supor que a  e b  são dois valores dados e  seja uma quan-
tidade variável que assume, gradualmente, todos os valores entre 
a  e b. Agora, se a cada x  corresponde um único, finito y  de modo 
que, conforme x  varia continuamente através do intervalo de a  
até ,b  ( )y f x=  varia do mesmo modo gradualmente, então y  é 
chamado uma função contínua de x  para esse intervalo. (p.152)11

Como se nota, tanto Lobachevskiy (para todo x  e que varia pro-
gressivamente com ele), quanto Dirichlet (x  seja uma quantidade 

 10 Общее понятие требует, чтобы функцией от x называть число, которое 
дается для каждого x и вместе с x постепенно изменяется. Значение 
функции может быть дано и аналитическим выражением, или условием, 
которое подает средство испытывать все числа и выбирать одно из 
них; или, наконец, зависимость может существовать, и оставаться 
неизвестной.

 11 Man denke sich unter a  und b  zwei feste Werthe und unter xeine veränderli-
che Grösse, welche nach und nach alle zwischen a und b liegenden Werthe 
annehmen soll. Entspriecht unn jedem x ein einziges endliches y und zwar so, 
dass, während x das Intervall von a bis b stetig durchläuft, ( )y f x= sieh eben-
falls ällmählich verändert, so heisst y eine stetige oder continuirliche Function 
von x für dieses Intervall.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  23

que assume, gradualmente, todos os valores entre a  e b ), tinham em 
mente exclusivamente funções contínuas. Assim, uma vez que a 
questão das expressões analíticas fora resolvida, restava a da conti-
nuidade para que uma definição mais geral de função fosse obtida; e 
esse segundo e decisivo passo foi dado por Hankel (1870, 1871) em 
seus dois trabalhos Grenze e Untersuchungen über die unendlich oft 
oszillierenden und unstetigen Funktionen (Hawkins, 1970; Wussing, 
1998). 

Nesses trabalhos, Hankel analisa a noção de função dada por 
Dirichlet (e a compara com a dada por Euler), que, para ele, não 
permitia que as funções possuíssem propriedades mais gerais, uma 
vez que as relações existentes entre seus diferentes valores simples-
mente desapareciam. A partir disso, apresenta uma nova definição, 
muito próxima da noção moderna de correspondência entre dois 
conjuntos de números:

Uma função se diz y  de x  se a cada valor da magnitude variável 
x  que se move dentro de um certo intervalo, corresponde-lhe um 

determinado valor de ;y  não importa se y  depende de x  em todo 
o intervalo segundo a mesma lei ou não; se a dependência pode
ser expressa por meio de operações matemáticas ou não. (Hankel, 
1870, p.5)12

Vale ressaltar, no entanto, que nem o conceito de “conjunto” 
nem o de “número” estavam estabelecidos na época. Na verdade, 
a definição em termos de conjuntos arbitrários apareceu apenas 
no início do século XX, quando Georg Cantor (1845-1918), com 
a teoria dos conjuntos, definiu função como um subconjunto do 

 12 Eine Function heisst y von x , wenn jedem Werthe der veränderlichen 
Grösse, x  innerhalb eines gewissen Intervalles ein bestimmter Werth von y
entspricht; gleichviel, ob y in dem ganzen Intervalle nach demselben Gesetze 
von x  abhängt oder nicht; ob die Abhängigkeit durch mathematische Oper-
stionen ausgedrückt werden kann oder nicht.



24  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

produto cartesiano de dois ou mais conjuntos com determinadas 
propriedades (Wussing, 1998). 

Figura 4 – Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet e Hermann Hankel



2 
As contribuições de cAuchy

Figura 5 – Augustin-Louis Cauchy

Cauchy apresentou um novo estilo de rigor que formou o prin-
cípio guia para grande parte do desenvolvimento da análise no 
século XIX. (Baron; Bos, 1985, p.45)

Para terminar nossos breves comentários sobre a influência de 
Cauchy na Matemática ocidental, iremos colocá-lo dentro da pers-
pectiva histórica apropriada. Assim, ele pertence ao período prévio 
ao “estágio de arte” de nossa Matemática, sendo um de seus pre-
cursores. Ocupa, portanto, a posição que Eudoxo ocupou na Mate-
mática grega. Com mais precisão, Eudoxo resolveu o “impasse dos 
incomensuráveis” na Geometria grega com sua “teoria das mag-
nitudes”, como exposta no Livro V dos Elementos de Euclides, e 
Cauchy resolveu o “impasse dos infinitésimos” com sua “teoria dos 



26  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

limites”. Esses fatos fundamentais são em geral obscurecidos por-
que não são colocados dentro de uma perspectiva histórica correta, 
isto é, como períodos correspondentes na evolução de duas Cultu-
ras Históricas distintas: a Grega e a Ocidental. (Lintz, 2007, p.357)

Como já foi observado, o século XIX é chamado de “era do 
rigor”. Esse rigor podemos compreender como sendo algo que in-
vadiu quase toda a análise, transformando-a na disciplina que hoje 
em dia é ensinada nas universidades; não foi apenas uma questão 
de tornar mais claros determinados conceitos básicos e mudar as 
demonstrações de uns poucos teoremas. Foi um processo de criação 
que produziu novas áreas e conceitos na matemática como, por 
exemplo, continuidade uniforme e pontual, convergência uniforme 
e pontual, compacidade, completude etc.

Mas o rigor em si não era o objetivo dos matemáticos da época; 
eles estavam voltados a resolver questões técnicas e desenvolver 
novos teoremas. Um exemplo disso é o interesse despertado pelas 
séries de Fourier, que acabou mudando velhas ideias a respeito de 
funções, integral, convergência, continuidade etc. Também pode-
mos citar o desenvolvimento das equações diferenciais, teoria do 
potencial e funções elípticas como outras áreas que contribuíram 
com o processo de rigorização (Lützen, 2003). 

Também podemos olhar o aspecto educacional como um grande 
motivador no que dizia respeito ao rigor, uma vez que vários pro-
fessores buscavam mudanças ao ensinar os fundamentos da análise. 
Esse foi o pano de fundo para as reformas promovidas por Cau-
chy e Karl Weierstrass (1815-1897) e da construção dos números 
reais por Richard Dedekind (1831-1916) (Lützen, 2003, Grabiner, 
1981, Bottazzini, 1986). 

* * *
No século XVIII e começo do século XIX, na França, a análi-

se estava bastante ligada à física teórica; por outro lado, sobretu-
do na Alemanha, na primeira metade do século XIX, as escolas e 
universidades tomaram o lugar das escolas técnicas com relação a 
formação e pesquisa em matemática (Schubring, 1983). Esse ce-



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  27

nário, combinado com o movimento neo-humanista, culminou no 
desenvolvimento da matemática como campo independente. Ao 
mesmo tempo, a análise estava se separando da geometria: Newton 
e Leibniz são considerados os pais do cálculo, mas inconsistências 
em suas teorias fundamentadas nos infinitésimos,1 cuja base maior 
era a geometria, fizeram com que se procurasse uma alternativa 
para constituir a análise: os números. Os reais foram construídos 
a partir dos racionais, que, por sua vez, foram construídos a partir 
dos naturais, e a análise passou a se basear diretamente nessas novas 
ideias, desligando-se, assim, completamente da geometria (veja o 
Capítulo 7) (Lützen, 2003; Reis, 2001).

O movimento de rigorização da análise pode ser dividido, se-
gundo Lützen (2003), em dois períodos: o francês –– dominado 
por Cauchy, tratado neste capítulo; e o alemão – dominado por 
Weierstrass, que será tratado no Capítulo 5. É evidente que ou-
tros matemáticos tiveram importante papel nesse processo; muitos 
deles serão lembrados no decorrer de nossas colocações. 

* * *
Augustin-Louis Cauchy nasceu em Paris, em 21 de agosto de 

1789, logo depois da queda da Bastilha, e faleceu em Sceaux, próxi-
mo a Paris, em 22 de maio de 1857. Seu pai ocupou várias posições 
de destaque na administração pública, e Cauchy sempre viveu em 
ambientes de alto nível cultural. Em 1805, foi estudar na École 
Polytechnique e, a partir de 1810, atuou como engenheiro numa 
base naval em Cherbourg até 1813, quando voltou a Paris para 
dedicar-se a seus estudos nas ciências matemáticas. Após a restau-
ração da monarquia na França, Cauchy foi contratado, em 1816, 
para ensinar análise na mesma École Polytechnique onde estudara 
e, nesse mesmo ano se tornou membro da Académie Royale des 
Sciences. Durante o período de quinze anos em que foi professor 
na École, Cauchy produziu grande parte de seus trabalhos ligados à 

1 Euler (1755) definiu infinitésimos como quantidades menores que qualquer 
outra quantidade dada. Modernamente, *,x∈ em que *

 é uma extensão do 
conjunto dos números reais, é um infinitesimal se | |x r< , para todo real posi-
tivo r (Keisler, 1976). Voltaremos a tratar desse ponto mais adiante.



28  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

fundamentação da análise. Isso se deve, em parte, ao compromisso 
estabelecido pelos professores dessa escola de escreverem textos em 
todos os níveis (didático, científico). Cauchy seguiu essa tradição 
e, nesse período, escreveu três livros: Cours d’analyse de l’École 
Polytechnique (1821); Résume des leçons sur le calcul infinitésimal 
(1823), e Leçons sur le calcul différentiel (1829).2 Apesar de gostar 
muito de lecionar, Cauchy nem sempre era bem aceito, tanto pelos 
seus alunos, que não apreciavam seu estilo teórico, quanto pelos seus 
próprios colegas e superiores, que consideravam que ele gastava 
muito tempo com detalhes na parte introdutória, em detrimento 
das aplicações. Mas foram exatamente essas características que o 
tornaram famoso e iniciaram o movimento em torno do rigor (Cau-
chy, 1929; Diedonné, 2012; Gilain, 1989).

Cauchy tem trabalhos em diversas áreas, tais como na teoria 
de funções complexas, álgebra (permutações), teoria dos erros, 
mecânica celeste, física matemática, mas seu nome está associado 
definitivamente à análise, pela contribuição que deu em seus fun-
damentos. Na verdade, foi a obra de Cauchy sobre o cálculo, como 
um todo, e não seus elementos separadamente, que a fizeram tão 
diferente da de seus predecessores. Talvez, por isso, alguns autores 
indicam que Cauchy “tomou” várias ideias de Bernard Bolzano 
(1781-1848) – é fato que ideias semelhantes às de Cauchy a respeito 
do cálculo foram desenvolvidas ao mesmo tempo por Bolzano, um 
padre tcheco que sempre viveu em Praga. Tudo indica, no entan-
to, que durante o período em que Bolzano viveu lá, Cauchy não 
o encontrou, e que a semelhança entre as ideias de ambos foi uma
simples coincidência; retomaremos esse assunto no item 3.2. Além 
disso, são encontradas várias semelhanças entre certos pontos de 
seus trabalhos com os de Euler, Joseph-Louis Lagrange (1736-
1813), Sylvestre François Lacroix (1765-1843) e Siméon Denis 

2 De início, os professores deveriam, antes de ensinar cálculo diferencial e inte-
gral, apresentar por escrito o que chamavam de “análise algébrica”, correspon-
dendo mais ou menos ao volume um do Introductio de Euler (1828). O famoso 
Cours d’analyse de Cauchy teve, a princípio, esse papel.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  29

Poisson (1781-1840); indicando, de certa forma, raízes naturais 
para seus conceitos, teoremas e demonstrações (Jourdain, 1913). 

Euler assumia que toda expressão algébrica tinha um significado 
também para as variáveis complexas – era função dos matemáticos 
achar esses valores, ou seja, Euler, assim como Lagrange, aceitava 
a generalidade dessas expressões. Já Cauchy defendia que uma ex-
pressão analítica somente assumia valores onde havia sido definida. 
Se se quisesse estender além do domínio inicialmente dado, seria 
necessário dar uma nova definição. Na própria introdução do Cours 
d’analyse, ele menciona isso como algo que seus leitores poderiam 
ter dificuldade de aceitar. Assim, mesmo que Cauchy confundisse 
o conceito de função com o de expressão analítica, ele não aceitava a 
generalidade dessas expressões. 

Vamos, agora, semelhantemente a Lützen (2003), detalhar um 
pouco mais alguns conceitos da análise de Cauchy, listando uma 
série de definições que aparecem em seu Cours d’analyse (variável, 
limite, quantidade infinitamente pequena, continuidade) (Cauchy, 
1821) e em seu Résumé (derivada, integral) (Cauchy, 1823).

Variáveis e limites

Nomeamos quantidade variável aquela que se considera como 
passível de receber sucessivamente muitos valores diferentes uns 
dos outros. [...] Chamamos, ao contrário, quantidade constante [...] 
toda quantidade que recebe um valor fixo e determinado. Quando 
os valores sucessivamente atribuídos a uma mesma variável se 
aproximam indefinidamente de um valor fixo, de maneira a ter-
minar por dele diferir tão pouco quanto queiramos, esse último é 
chamado o limite de todos os outros. (Cauchy, 1821, p.4)3

3 On nome quantité variable celle que l’on considère comme devant recevoir 
successivement plusieurs valeurs différentes les unes des autres. [...] On 
appelle au contraire quantité constante [...] toute quantité qui reçoit une valeur 
fixe et déterminée. Lorsque les valeurs successivement attribuées à une même 



30  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

A definição de Cauchy de variável diferencia-se da de Euler em 
alguns aspectos. Por exemplo, Euler (1748, p.4) definiu variável 
como “uma quantidade numérica indeterminada, ou geral, que 
abrange todos os valores determinados”,4 enquanto para Cauchy 
as variáveis assumem diferentes valores, mas não necessariamente 
todos, ou seja, podem estar limitadas a um certo intervalo. Além 
disso, o conceito de Cauchy é dinâmico já que, em particular, as va-
riáveis podem ter limites, enquanto o conceito de Euler se aproxima 
mais do sentido moderno de elemento arbitrário ou genérico de um 
conjunto. Porém, deve ser observado que, diferentemente do que 
temos hoje, Cauchy permitia, em alguns casos, que uma variável 
(ou sequência) pudesse ter mais do que um limite. Isso pode ser 
visto em sua formulação do teste da raiz para convergência de séries 
de termos positivos, mais propriamente na demonstração desse 
resultado em que o limite, no caso, é o que hoje consideramos um 
ponto de acumulação,5 e o maior valor desses limites é exatamente o 
que chamamos de lim sup (Lützen, 2003). 

Primeiro Teorema: procura o limite, ou os limites, para os quais 
converge, ao mesmo tempo em que n  cresce indefinidamente, a 
expressão 1/( ) n

nu ; e designa por k  o maior desses limites, ou, em 
outros termos, o limite dos maiores valores da expressão da qual se 
trata. A série 0 1 2[ , , , , , ]nu u u u… …  será convergente, se se tem 1k < , e 
divergente se se tem 1k > .  (Cauchy, 1821, p.132)6

variable s’approchent indéfiniment d’une valeur fixe, de manière à finir par 
en différer aussi peu que l’on voudra, cette dernière est appelée la limite de 
toutes les autres.

4 Cum ergo omnes valores determinati numeris exprimi queant, quantitas 
variabilis omnes numeros cujusvis generis involvit.

5 Dizemos que a∈ é ponto de acumulação do conjunto X ⊂  se todo aberto 
Acontendo a contém pelo menos um ponto de X distinto de a .

6 Premier Théorème. Cherchez la limite ou les limites vers lesquelles converge, 
tandis que n croit indéfiniment, l’expression 1/( ) n

nu ; et désignez par k la plus 
grande de ces limites, ou, en d’autres termes, la limite des plus grandes valeurs 
de l’expression dont il s’agit. La série série 0 1 2[ , , , , , ]nu u u u… …  sera convergente, 
si l’on 1k < , et divergente, si l’on a 1k > .



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  31

O conceito de limite de Cauchy, conforme aponta Grabiner 
(2005), se aproxima muito da correspondente concepção moderna 
quando consideramos não propriamente a maneira como limite 
foi definido por ele, mas como de fato operava com essa definição. 
Quando provava algum resultado, Cauchy traduzia sua definição 
de limite em termos de desigualdades e épsilons e deltas, como se 
faz atualmente. Para efeitos comparativos, definições comuns no 
século XVIII, como a de Jean le Rond d’Alembert (1717-1783) e 
Jean-Baptiste de La Chapelle (1710-1792) (na Encyclopédie) nunca 
foram traduzidas em termos de inequações e, também, nunca 
foram usadas para provar nenhum resultado substancial (Grabi-
ner, 2005).

Figura 6 – Jean le Rond d’Alembert



32  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

Quantidade infinitamente pequena

Dizemos que uma quantidade variável torna-se infinitamente 
pequena, quando seu valor numérico decresce indefinidamente de 
maneira a convergir para o limite zero. (Cauchy, 1821, p.26)7

A noção de grandeza infinitamente pequena já pode ser percebi-
da na matemática antiga dos gregos em suas tentativas de superar as 
dificuldades lógicas encontradas em expressar razões e proporções 
de segmentos (vaga ideia de continuidade), em termos de números 
(para eles sempre discretos). Todavia, o rigor grego excluía o infini-
tamente pequeno das demonstrações geométricas e o que prevaleceu 
na época foi o chamado método de exaustão. Problemas de variação 
não eram abordados quantitativamente pelos cientistas gregos. 
Também podemos perceber algumas aproximações desse concei-
to, por exemplo, com os filósofos escolásticos, nos indivisíveis de 
Bonaventura Cavalieri (1598-1647) e na introdução da geometria 
analítica e representação de quantidades variáveis, no século XVII 
(Bourbaki, 2007; Thiele, 2003). 

Mas foi com a constituição do cálculo, sobretudo com Newton e 
Leibniz, que os infinitésimos tomaram importância. Newton, em-
bora os usasse, dizia que seu cálculo (fluxões) não dependia deles; já 
Leibniz trabalhou bastante com essas quantidades, sobretudo com 
as diferenciais. Sabemos ainda que as ideias de Newton e Leibniz 
receberam várias críticas, e esse processo acabou por estabelecer um 
movimento de aprimoramento das noções do cálculo. Euler defen-
dia que uma quantidade infinitamente pequena (ou evanescente) 
era simplesmente algo que viria a ser zero, mas também recebeu 
críticas. E assim foi com d’Alembert, Lagrange e outros, até che-
garmos a Cauchy que, como vimos, escreveu que uma variável que 
tem zero como limite se torna infinitamente pequena. Esse conceito 

7 On dit qu’une quantité variable devient infiniment petite, lorsque sa valeur 
numérique décroit indéfiniment de manière à converger vers la limite zéro.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  33

é usado por Cauchy em várias de suas obras, mas hoje muitos histo-
riadores defendem que a centralidade está no conceito de limite e os 
infinitésimos seriam apenas abreviações úteis para as variáveis que 
têm limite nulo. Assim, devemos ressaltar que, mesmo aceitando 
a simplicidade dos infinitésimos, Cauchy redefiniu esse conceito, 
sobretudo em relação às concepções de Euler e Leibniz, para quem 
os infinitésimos eram constantes. Para Cauchy, essas quantidades 
eram variáveis.

Por fim, apesar dos avanços que Cauchy conseguiu na direção 
do rigor pretendido a sua época, ressalta-se que os seus infinitési-
mos também não foram aceitos, pois ainda se baseavam em ideias 
e conceitos em vigor desde o século XVIII. Além disso, o atrela-
mento dos infinitésimos à geometria (considerada pouco rigorosa) 
não havia sido totalmente superado. Conforme já apontamos, esse 
problema só seria resolvido com o movimento que ficou conhecido 
como aritmetização da análise, a partir do qual a base dos conceitos 
foi dos infinitésimos para os limites e, consequentemente, da geo-
metria para os números. 

Continuidade

Seja ( )f x  uma função da variável x , e suponhamos que, para 
cada valor de x  entre dois limites dados, essa função admita cons-
tantemente um valor único e finito. Se, partindo de um valor de 
x  compreendido entre esses limites, atribuímos à variável x  um 

acréscimo infinitamente pequeno ,α a função receberá ela mesma 
por acréscimo a diferença ( ) ( ),f x f xα+ −  que dependerá ao 
mesmo tempo da nova variável α  e do valor de x . Isso posto, a fun-
ção ( )f x  será, entre os dois limites fixados para a variável x , função 
contínua dessa variável, se, para cada valor de x  central entre esses 
limites, o valor numérico da diferença ( ) ( ),f x f xα+ −  decresce inde-
finidamente com o de α. Em outros termos, a função ( )f x  perma-
necerá contínua em relação a x entre os limites dados se, entre esses 



34  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

limites, um acréscimo infinitamente pequeno da variável produzir 
sempre um acréscimo infinitamente pequeno da própria função. 
Dizemos ainda que a função ( )f x  é, na vizinhança de um valor 
particular atribuído a variável x , função contínua dessa variável, 
todas as vezes que ela for contínua entre dois limites de x , mesmo 
muito próximos, que contêm o valor a que se referem. (Cauchy, 
1821, p.34-35)8

A maior novidade, e talvez o conceito mais central na obra de 
Cauchy, é a noção de continuidade, notadamente diferente da de 
Euler, que na época era a mais aceita. Por exemplo, para Euler a 
função

(2.1) 
, se 0

( )
, se 0

x x
f x

x x
− <

=  ≥

era descontínua, já que era representada por mais de uma expressão 
analítica.9 Essa concepção levava a algumas incoerências, como 
observou Cauchy (1844). Ao se escrever a série de Fourier da fun-
ção anterior obtém-se uma expressão analítica que indica que essa 

8 Soit ( )f x  une fonction de la variable x , et supposons que, pour chaque valeur 
de x intermédiaire entre deux limite données, cette fonction admette constam-
ment une valeur unique et finie. Si, en partant d’une valeur de x comprise entre 
ces limites, on attribue à la variable x un accroissement infiniment petitα , la 
fonction elle-même recevra pour accroissement la différence ( ) ( ),f x f xα+ −
qui dépendra en même temps de la nouvelle variable α  et de la valeur de .x
Cela posé, la fonction ( )f x  sera, entre les deux limites assignées à la variable ,x
fonction continue de cette variable, si, pour chaque valeur de x intermédiaire 
entre ces limites, la valeur numérique de la différence ( ) ( )f x f xα+ − décroit 
indéfiniment avec celle deα . En d’autres termes, la fonction ( )f x restera con-
tinue par rapport à x entre les limites données, si, entre ces limites, un accrois-
sement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infi-
niment petit de la fonction elle-même. On dit encore que la fonction ( )f x  est, 
dans la voisinage d’une valeur particulière attribuée à la variable ,x fonction 
continue de cette variable, toutes les fois qu’elle est continue entre deux limites 
de x, même très-rapprochées, qui renferment la valeur dont il s’agit.

9 Segundo nos esclarece Jahnke (2003), para Euler eram contínuas as funções 
que podiam ser representadas por uma única expressão analítica, e as demais, 
descontínuas.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  35

função poderia ser contínua segundo a própria definição de Euler 
(Lützen, 2003):

(2.2)      2, 0 2( )
, 0

x se x
f x x

x se x π
− <

= = = ≥ 0

∞

∫
2

2 2 , x dt
t x+

ou seja, “uma simples mudança de notação é suficiente para trans-
formar uma função contínua no sentido de Euler em uma função 
descontínua no sentido de Euler, e vice-versa”. (Lützen, 2003, 
p.165)

* * *
A alternativa de Cauchy para a definição de Euler, segundo en-

tende Lützen (2003), foi concebida por meio do estudo das funções 
com saltos. O matemático francês Louis François Antoine Arbo-
gast (1759-1803) já havia trabalhado com a definição de (des)con-
tinuidade nesse tipo de função, tendo dado ao conceito o nome de 
“(des)contiguidade” (Arbogast, 1791; Jourdain, 1913). Entretan-
to, tratava-se, ainda, apenas de uma generalização da definição de 
Euler. Cauchy foi além. Alguns anos antes de seu Cours d’Analyse, 
em suas investigações sobre integrais definidas, Cauchy (1814; 
1827) escreveu:

A primeira dificuldade que se apresenta concerne as funções 
de uma só variável. Se uma integral indefinida é expressa por uma 
certa função da variável aumentada de uma constante arbitrária, 
a mesma integral, tomada entre dois limites dados, a  e b , será 
expressa em geral pela diferença dos valores da função relativa a 
esses dois limites. Todavia, esse teorema não é verdadeiro, senão no 
caso em que a função encontrada cresce ou decresce de uma maneira 
continua entre os dois limites em questão. Mas, se, quando fazemos 
crescer a variável em graus imperceptíveis, a função encontrada 
passe subitamente de um valor a outro, a diferença estando sempre 
compreendida entre os limites de integração, a diferença desses dois 
valores deverá ser retirada da integral definida, como de costume, e 



36  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

cada um dos saltos bruscos que poderá fazer a função necessitará de 
uma correção de mesma natureza. (p.614-615)10

E mais adiante:

Se a função ( )zϕ  cresce ou decresce de uma maneira contínua 
entre os limites ´z b= , ´́z b= , o valor da integral será representado, 
como de costume, por

( ) ( ) ( ).
b

b
z dz b bϕ ϕ ϕ

′′

′
 ′ ′′ ′= −  ∫ ( ) ( ) ( ).

b

b
z dz b bϕ ϕ ϕ

′′

′
 ′ ′′ ′= −  ∫ ( ) ( ) ( ).

b

b
z dz b bϕ ϕ ϕ

′′

′
 ′ ′′ ′= −  ∫ ( ) ( ) ( ).

b

b
z dz b bϕ ϕ ϕ

′′

′
 ′ ′′ ′= −  ∫

Mas, se para um certo valor de z  representado por Z  e compreen-
dido entre os limites de integração, a função ( )zϕ  passa subitamente 
de um valor determinado a outro valor sensivelmente diferente do 
primeiro, de sorte que designando por ξ  uma quantidade muito 
pequena, tenhamos ( ) ( ) ,Z Zϕ ξ ϕ ξ δ+ − − = então o valor ordi-
nário da integral definida, a saber, ( ´́ ) ( )́,b bϕ ϕ− deverá ser dimi-
nuído da quantidade ,δ como se pode facilmente demonstrar. 
(p.687-688)11

 10 La première difficulté que se présente regarde les fonctions d’une seule varia-
ble. Si une intégrale indéfinie est exprimée par une certaine fonction de la 
variable augmentée d’une constante arbitraire, la même intégrale, prise entre 
deux limites donnés, a  e ,b sera exprimée en général par la différence des 
valeurs de la fonction relative à ces deux limites. Toutefois ce théorème n’est 
vrais que dans le cas où la fonction trouvée croit ou décroit d’une manière con-
tinue entre les deux limites dont il s’agit. Mais si, lorsqu’on fait croitre la varia-
ble par degrés insensibles, la fonction trouvée passe subitement d’une valeur à 
une autre, la variable étant toujours comprise entre les limites de l’intégration, 
la différence de ces deux valeurs devra être retranchée de l’intégrale définie 
prise à l’ordinaire, et chacun des sauts brisques que pourra faire la fonction 
trouvée nécessitera une correction de même nature.

 11 Si la fonction ( )zϕ croit ou décroit d’une manière continue entre les limi-
tes ,́z b= ´́ ,z b= la valeur de l’intégrale sera représentée, à l’ordinaire, par

( ´́ ) ( )́.b bϕ ϕ− Mais, si, pour certaine valeur de z représentée par Z et comprise 
entre les limites de l’intégration, la fonction ( )zϕ passe subitement d’une valeur 
déterminée à une autre valeur sensiblement différent de la première, en sorte 
qu’en désignant par ξ une quantité très-petite, on ait ( ) ( ) ,Z Zϕ ξ ϕ ξ δ+ − − =



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  37

Assim, o que Cauchy fez em 1814 foi definir descontinuidade 
por meio de uma tradução de propriedades das funções com salto. 
Entretanto, essa formulação algébrica de 1814 não é, embora possa 
parecer, inconsistente com a definição de continuidade que apare-
ceria anos depois em seu Cours (Grabiner, 2005). São definições de 
naturezas diversas. Vamos analisar essa afirmação com um pouco 
mais de cuidado. 

Em sua definição de 1821, Cauchy especifica claramente um 
valor da variável x  e estabelece que ( ) ( )f x f xα+ −  tende a zero 
quando α  tende a zero. Isso lembra o conceito atual de continuida-
de pontual. Por outro lado, na definição de 1814, não se fala em um 
valor específico de x , mas do acréscimo da função. Isso pode reme-
ter à ideia de continuidade uniforme. Embora Cauchy trabalhasse 
com as duas definições e conseguisse estabelecer sua análise com 
elas, ele não conseguia distingui-las claramente. Isso só seria feito 
por Bolzano em 1830; entretanto, esse trabalho só seria publicado 
cem anos depois (Bolzano, 1830; 1930; Grabiner, 2005; Lützen, 
2003). Voltaremos a falar disso em 3.2.

Convergência

Chamamos série uma sequência indefinida de quantidades 

0 1 2 3, , , ,u u u u … que derivam umas das outras segundo uma lei 
determinada. Essas quantidades são os diferentes termos da série 
que consideramos. Seja 0 1 2 1n ns u u u u −= + + + +  a soma dos n
primeiros termos, n  designando um número inteiro qualquer. Se, 
para valores de n  sempre crescentes, a soma ns  se aproxima inde-
finidamente de um certo limite s , a série será dita convergente, e 
o limite em questão se chamará a soma da série. Ao contrário, se,
ao mesmo tempo que n  cresce indefinidamente, a soma ns  não se 

alors la valeur ordinaire de l’intégrale définie, savoir, ( ´́ ) ( )́b bϕ ϕ− , devra être 
diminuée de la quantité ,δ comme on peut aisément s’en assurer.



38  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

aproxima de algum limite fixo, a série será divergente e não terá 
soma. (Cauchy, 1821, p.123)12

Durante o século XVIII, era comum definir a convergência ou 
divergência de uma série em termos de seu n-ésimo termo. Assim, 
a série cujo n-ésimo termo tendia a zero, convergia; do contrário, 
não. Sabemos que essa condição não é sempre verdadeira, e a série 
harmônica 1/ n∑  talvez seja o contraexemplo mais emblemático.
Esse resultado já era conhecido desde pelo menos Nicole d’Oresme, 
mas isso não era exatamente um problema, já que a própria ideia de 
convergência era outra, ou seja, a série harmônica convergia mesmo 
que sua soma não fosse finita (Grabiner, 2005).

Na definição de Cauchy, a atenção se desloca dos termos da série 
(convergindo para zero) para sua própria soma (convergindo para 
um valor fixo). É evidente que essa noção gerou problemas, já que 
uma mesma série poderia divergir no sentido de Cauchy e conver-
gir no sentido descrito no parágrafo anterior. Ou seja, o desafio ia 
além da definição matemática, perpassava pela própria definição do 
conceito; em outros termos, não bastava explicitar rigorosa e mate-
maticamente o conceito de convergência, era necessário também 
se estabelecer o que se entendia por ele. E Cauchy, de fato, não foi 
o precursor dessa nova ideia de convergência; Euler, por exemplo,
às vezes operava com ela em seu Institutiones Calculi Differentialis 
(1755). 

 12  On appelle série une suite indéfinie de quantités 0 1 2 3, , , ,u u u u … qui dérivent les 
unes des autres suivant une loi déterminée. Ces quantités elles-mêmes sont les 
différens termes de la série que l’on considère. Soit 0 1 2 1n ns u u u u −= + + + + la 
somme des n premiers termes, n désignanant un nombre entier quelconques. 
Si, pour des valeurs de n toujours croissantes, la somme ns s’approche indéfi-
niment d’une certaine limite s , la série sera dite convergente, et la limite en 
question s’appellera la somme de la série. Au contraire, si, tandis que n croit 
indéfiniment, la somme ns ne s’approche d’aucune limite fixe, la série sera 
divergente, et n’aura plus de somme.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  39

Figura 7 – Nicole d’Oresme

Então, qual foi, de fato, a contribuição de Cauchy? Nossa res-
posta poderá ser restritiva, mas, ainda que sob esse risco, destacare-
mos alguns dos pontos que Lützen (2003) e Grabiner (2005) trazem 
sobre o assunto: a caracterização da convergência de séries, em 
várias demonstrações, por meio do par Nε −  e, em particular, sua 
insistência em afirmar que séries divergentes não têm soma. Essa 
posição “chocou” os matemáticos da época, de modo que Cauchy 
se sentiu impelido a, antes de encontrar as somas das séries, melhor 
caracterizar (ou estabelecer) a convergência. A partir disso, provou 
diversos testes de convergência, como o da raiz, o do quociente 
e aquele que, por vezes, é conhecido como critério de Cauchy.13 
Alguns desses testes já eram conhecidos, entretanto, Cauchy ino-

 13 Uma série iu∑  converge se, e somente se, para todo 0ε >  existe um natural
N  tal que 1| | ,n n n pu u u ε+ ++ + + < para todo .n N> Ou, equivalentemente, a série 

converge se, e somente se, suas somas parciais formam uma sequência de 
Cauchy. Entretanto, Cauchy apenas demonstrou a suficiência desse resultado. 
E isso é compreensível, pois a necessidade é um resultado derivado da com-
pletude do conjunto dos números reais. Por fim, vale ressaltar que, por vezes, 
damos o nome de Cauchy ao teste da raiz, então convém não confundir esse 
teste com o que chamamos aqui de critério de Cauchy.



40  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

vou realmente nas provas rigorosas desses testes e na importância 
fundamental que deu a eles pela preocupação estabelecida com a 
questão da convergência das séries.

Apesar da incontestável contribuição dada por Cauchy no que 
diz respeito ao parágrafo anterior, o teorema que liga os conceitos 
de continuidade e convergência obteve mais destaque dentro do seu 
Cours.

Quando os diferentes termos da série 0 1 2 1[ , , , , , ]n nu u u u u +…  são 
funções de uma mesma variável ,x contínuas em relação a essa vari-
ável em uma vizinhança de um valor particular para o qual a série é 
convergente, a soma s  da série é também, na vizinhança desse valor 
particular, função contínua de x.  (p.131-132)14

Como já adiantamos, esse teorema seria alvo de algumas con-
trovérsias, tendo sua demonstração, alguns anos depois, contestada 
por Niels Henrik Abel (1802-1829) (veja o item 3.3). Moderna-
mente, por um lado, alguns historiadores consideram que Cauchy 
cometeu um erro, pois se consideramos os modernos significados 
atribuídos a alguns elementos da demonstração, esse teorema é 
falso. Por outro lado, se considerarmos que Cauchy tinha à mente 
à época convergência uniforme numa vizinhança de x , o resultado 
é verdadeiro (Lützen, 2003; Schubring, 1983). Voltaremos a tratar 
desse assunto nos próximos capítulos.

Derivada

Quando a função ( )y f x= permanece contínua entre dois limi-
tes dados da variável ,x  e quando determinamos a essa variável 

 14 Lorsque les différens termes de la série (1) sont des fonctions d’unes même varia-
ble ,x continues par rapport à cette variable dans le voisinage d’une valeur particu-
lière pour laquelle la série est convergente, la somme s  de la série est aussi, dans le 
voisinage de cette valeur particulière, fonction continue de .x



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  41

um valor compreendido entre os dois limites a que se referem, um 
acréscimo infinitamente pequeno, atribuído à variável, produz um 
acréscimo infinitamente pequeno da própria função. Por consequên- 
cia, se pusermos então ,x i∆ = os dois termos do quociente das 
diferenças

( ) ( )y f x i f x
x i

∆ + −
=

∆
,

serão quantidades infinitamente pequenas. Mas, enquanto esses 
dois termos se aproximam indefinidamente e simultaneamente do 
limite zero, o quociente poderá ele mesmo convergir rumo a um 
outro limite, seja positivo, seja negativo. Esse limite, quando existe, 
tem um valor determinado para cada valor particular de ,x mas ele 

varia com .x  [...] a forma da função nova que servirá de limite ao 

quociente ( ) ( )f x i f x
i

+ −  dependerá da forma da função proposta 

( )y f x= . Para indicar essa dependência, damos à nova função o 
nome de função derivada, e a designamos adicionando a ela um 
acento, pela notação ´y  ou (́ )f x . (Cauchy, 1823, p.9)15

Embora Cauchy tenha usado de Lagrange o termo “derivada” e 
até mesmo a sua notação ,́f “rejeitou” a definição (de Lagrange) em 

 15 Lorsque la fonction ( )y f x=  reste continue entre deux limites données de la 
variable ,x et que l’on assigne à cette variable une valeur comprise entre les 
deux limites dont il s’agit, un accroissement infiniment petit, attribué à la 
variable, produit un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. 
Par conséquent, si l’on pode alors ,x i∆ = les deux termes du rapport aux diffé-
rences ( ) ( ) ,y f x i f x

x i
∆ + −

=
∆

seront des quantités infiniment petites. Mais, tan-
dis que ces deux termes s’approcheront indéfiniment et simultanément de la 
limite zéro, le rapport lui-même pourra converger vers une autre limite, soit 
positive, soit négative. Cette limite, lorsqu’elle existe, a une valeur détermi-
née, pour chaque valeur particulière de ;x mais elle varie avec .x  [...] la forme de 
la fonction nouvelle qui servira de limite au rapport ( ) ( )f x i f x

i
+ −  dépendra de 

la forme de la fonctions proposée ( ).y f x= Pour indiquer cette dépendance, on 
donne à la nouvelle fonctions le nom de fonctions dérivée, et on la désigne, à 
l’aide d’un accent, par la notation ´y ou (́ ).f x



42  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

termos de expansões de séries de potências – , ( ) ( ) (́ ) ,f x i f x if x iV+ = + +

em que V  é uma função que tende a zero junto com i  –, optando por 
traduzi-la a partir de uma percepção semelhante à de Lacroix, que 
definiu derivada em termos do quociente das diferenças16 (Grabi-
ner, 2005; Katz, 1998; Lacroix, 1820; Lagrange, 1797). Entretanto, 
foi além e tratou esse quociente como um limite, eliminando assim 
a ideia de quociente de infinitésimos – presente nos trabalhos de 
Euler. Inclusive, o próprio termo infinitésimo (ou quantidade in-
finitamente pequena) é bastante evitado na obra de Cauchy, apare-
cendo mais como um recurso estilístico (linguagem abreviada) ou 
para indicar um limite que tende a zero (ver item 2.2) (Lintz, 2007). 

Cauchy calculou a derivada de um grande número de funções, 
como ( )f x = sen ,x ,( ) af x x= com a  real. Para Katz (1998), no que 
diz respeito à definição de derivada, Cauchy não fez nada de par-
ticularmente relevante. Grande parte de suas demonstrações, por 
exemplo, já haviam sido feitas por Lagrange. Entretanto, a defi-
nição de Lagrange presumia que toda função podia ser expandida 
em séries de potências. Esse falso resultado, conjuntamente com o 
fato de Cauchy ter traduzido boa parte dessa linguagem e de outros 
matemáticos contemporâneos seus em uma definição conveniente 
para se demonstrar teoremas, fez com que sua abordagem prevale-
cesse por tanto tempo, estando ainda em considerável parte presen-
te em textos universitários modernos (Eves, 2004).

 16 Sobre a vida e obra de Lacroix em língua portuguesa, recomendamos a leitura 
de Andrade (2012).



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  43

Figura 8 – Joseph-Louis Lagrange e Sylvestre-François Lacroix

Integral

Suponhamos que a função ( )y f x=  seja contínua com relação 
à variável x  entre dois limites finitos 0 ,x x= ,x X= designamos por 

1 2 1, , , nx x x −…  os novos valores de x  interpostos entre esses limites, 
e que estejam sempre crescendo ou decrescendo desde o primeiro 
limite até o segundo. Poderemos nos servir desses valores para divi-
dir a diferença 0X x−  em elementos 1 0 2 1 3 2 1, , , , ,nx x x x x x X x −− − − … −

que serão todos de mesmo sinal. Isso posto, concebemos que multi-
plicamos cada elemento pelo valor de ( )f x  correspondente à origem 
desse mesmo elemento, a saber, o elemento 1 0x x−  por 0( ),f x o ele-
mento 2 1x x−  por 1( )f x , …, enfim, o elemento 1nX x −−  por 1( );nf x −

e  s e j a  1 0 0 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nS x x f x x x f x X x f x− −= − + − + + −

a soma dos produtos assim obtidos. A quantidade S  dependerá, 
evidentemente, primeiro do número n  de elementos dentro dos 
quais tivermos dividido a diferença 0 ,X x− segundo dos próprios 
valores desses elementos, e, por consequência, do modo de divisão 



44  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

adotado. Ora, é importante notar que, se os valores numéricos dos 
elementos tornam-se muito pequenos e o número n  muito signi-
ficativo, o modo de dividir não terá mais sobre o valor de S  uma 
influência senão imperceptível; [...] o valor de S  terminará por 
ser sensivelmente constante, ou, em outros termos, ele terminará 
por alcançar um certo limite que dependerá unicamente da forma 
da função ( )f x  e dos valores extremos, 0 ,x ,X atribuídos à variável 

.x Esse limite é o que chamamos uma integral definida. (Cauchy,
1823, p.81-83)17

Se Cauchy não apresentou grandes inovações em relação às de-
rivadas, o mesmo não podemos dizer quanto ao tratamento dado 
por ele às integrais. Seus antecessores (século XVIII) aceitavam a 
ideia, advinda principalmente de Newton, de integração como o in-
verso da diferenciação. Cauchy apresentou um novo enfoque, mais 
inspirado em Leibniz – que havia considerado as integrais como 
somas de infinitésimos, definindo a integral como um somatório 
que tende a um limite. A ideia de integral como inversa da deriva-

 17 Supposons que, la fonctions ( )y f x=  étant continue par rapport à la varia-
ble x  entre deux limites finies 0 ,x x= ,x X= on désigne par 1 2 1, , , nx x x −…  de 
nouvelles valeurs de x  interposées entre ces limites, et qui aillent toujours 
en croissant ou en décroissant depuis la première limite jusqu’à la seconde. 
On pourra se servir de ces valeurs, pour diviser la différence 0X x−  en éle-
ments 1 0 2 1 3 2 1, , , , ,nx x x x x x X x −− − − … − qui seront tous de même signe. Cela 
posé, concevons que l’on multiplie chaque élément par la valeur de ( )f x  
correspondante à l’ origine de ce même élément, savoir, l’élément 1 0x x−  par

0( ),f x l’élément 2 1x x−  par 1( ),f x … , enfin l’élément 1nX x −−  par 1( );nf x − et 
soi 1 0 0 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n nS x x f x x x f x X x f x− −= − + − + + −  la somme des produits 
ainsi obtenus. La quantité S  déprendra évidentemente, 1o . du nombre n  
des éléments dans lesquels on aura divise la différence 0 ,X x− 2 o . des valeurs 
mêmes de ces élémens, et par conséquent du mode de division adopté. Or, il 
importe de remarquer que, si les valeurs numériques des éléments deviennent 
très-petites et le nombre n  très-considerable, le mode de division n’aura plus 
sur la valeur de S qu’une influente insensible; [...] la valeur de S finira par être 
sensiblement constante, ou, en d’autres termes, elle finira par atteindre une 
certaine limite qui dépendra uniquement de la forme de la fonction ( ),f x et 
les valeurs extrêmes 0 ,x X  attribuées à la variable .x  Cette limite est ce qu’on 
appelle une intégrale définie.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  45

da tornava o cálculo integral uma espécie de apêndice do cálculo 
diferencial. Cauchy rompe com esse ponto de vista, já que define 
a integral de maneira independente da derivada. Por conta disso, 
Cauchy teve que provar a relação de dependência, e o fez por meio 
do Teorema do Valor Médio, que já era conhecido à sua época (ver 
próximo item). 

Seja como for, devemos observar que foi Fourier, em um traba-
lho de 1822, quem primeiro mudou esse cenário, ao perceber que 
para calcular certos coeficientes – que hoje levam seu nome (veja 
o item 4.1) – de funções arbitrárias, ele não poderia usar o cálculo
diferencial, que não se aplicava a determinados tipos de funções. 
Assim, ele focou nas integrais definidas e estabeleceu seu signifi-
cado como a área entre a curva e o eixo. Também foi Fourier quem 
estabeleceu a notação ( )

b

a
f x dx∫  colocando os limites de integração

a  e b  na parte superior e inferior do símbolo da integral (Fourier, 
1822). 

Cauchy, de certa forma, seguiu Fourier, mas foi mais longe ao 
definir sua integral como o limite de uma soma à esquerda. Isso 
se mostrou mais preciso e permitiu que ele provasse que a conti-
nuidade era uma condição suficiente para a integrabilidade. Essa 
demonstração, segundo Lützen (2003, p.170), “é uma das obras- 
-primas do Calculus de Cauchy”. 

Cauchy (1823) ainda define a integral de funções descontínuas 
num conjunto finito de valores. Essa definição pode ser comparada 
com a de Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que, 
por outro lado, em 1854 se baseou na definição de integral de Cau-
chy para estendê-la a uma classe mais abrangente de funções que 
as contínuas (Lützen, 2003; Riemann, 1854; 1876). Voltaremos a 
tratar disso em 6.1.



46  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

Teorema Fundamental do Cálculo

Se na integral definida 
0

( )
X

x
f x dx∫ fizermos variar um dos dois

limites, por exemplo, a quantidade ,X a integral variará com essa 
quantidade; e, se substituirmos o limite ,X tornado variável, por

,x obteremos por resultado uma nova função de ,x que será o que 
chamamos de uma integral tomada a partir da origem 0 .x x= Seja

(1)    
0

( ) ( )
x

x
x f x dx= ∫F

essa nova função. Obtemos da fórmula (19) [Lição 22]18

(2) 0 0 0 0( ) ( ) [ ( )], ( ) 0,x x x f x x x xθ= − + − =F F 0 0 0 0( ) ( ) [ ( )], ( ) 0,x x x f x x x xθ= − + − =F F

θ  sendo um número inferior à unidade; e da fórmula (7) [Lição 23]19

0 0

( ) ( ) ( ) ( ),
x x x

x x x
f x dx f x dx f x dx f x

α α
α θα

+ +
− = = +∫ ∫ ∫ ou

(3)  ( ) ( ) ( ),x x f xα α θα+ − = +F F

segue das equações (2) e (3) que, se a função ( )f x  é finita e contínua 
na vizinhança de um valor particular arbitrário da variável ,x a nova 
função ( )xF  será não somente finita, mas também contínua na vizi-
nhança desse valor, pois um incremento infinitamente pequeno de
x corresponderá um incremento infinitamente pequeno de ( ).xF

Portanto, se a função ( )f x  permanece finita e contínua desde 

0x x=  até ,x X=  o mesmo ocorrerá com a função ( ).xF  Acrescen-
temos ainda que, se dividirmos por α  os dois membros da fórmula 
(3), concluiremos, passando o limite, que

 18 Isto é,
0

0 0 0( ) ( ) [ ( )]
X

x
f x dx X x f x X xθ= − + −∫ .

 19  Isto é,
0 0

( ) ( ) ( ) ,
X X

x x
f x dx f x dx f x dx

ξ

ξ
= +∫ ∫ ∫ em que 0 .x Xξ≤ ≤



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  47

(4) ( ) ( ).x f x′ =F

Portanto a integral (1 ), considerada como função de x , tem por 
derivada a função ( )f x  contida abaixo do sinal ∫  dessa integral. 
(Cauchy, 1823, p.101)20

Uma vez que Cauchy definiu as operações de integração e de-
rivação de modo independente, foi necessário estabelecer a relação 
existente entre esses dois conceitos, o que se deu por meio da de-
monstração do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC).21 Ele mos-
trou que se ( )f x  é uma função contínua, então 

0

( ) ( )
x

x
F x f x dx= ∫

tem por derivada a função f .  Newton e Leibniz já haviam formu-
lado o TFC,22 mas foi Cauchy o primeiro, ao que se sabe, a trazer 

 20 Si, dans l’intégrale défine
0

( ) ,
X

x
f x dx∫ on fait varier l’une des deux limites, par exemple, 

la quantité ,X l’intégrale variera elle-même avec cette quantité; et, si l’on remplace la 
limite X devenue variable par ,x  on obtiendra pour résultat une nouvelle fonction 
de ,x qui sera ce qu’on appelle une intégrale prise à partir de l’origine 0.x x=  Soit (1) 

0

( ) ( )
x

x
x f x dx= ∫F cette fonction nouvelle. On tirera de la formule (19) [[22.e  leçon] (2 )

0 0 0 0( ) ( ) [ ( )], ( ) 0,x x x f x x x xθ= − + − =F F 0 0 0 0( ) ( ) [ ( )], ( ) 0,x x x f x x x xθ= − + − =F F θ  étant um nombre inférieur à l’unité; et 
de la formule (7)  [23.e  leçon]

0 0

( ) ( ) ( ) ( ),
x x x

x x x
f x dx f x dx f x dx f x

α α
α θα

+ +
− = = +∫ ∫ ∫

ou (3) ( ) ( ) ( ),x x f xα α θα+ − = +F F Il suit des équations (2) et (3)  que, si la fonc-
tion ( )f x est finie et continue dans le voisinage d’une valeur particulière attri-
buée à la variable ,x la nouvelle fonction ( )xF sera non-seulement finie, mais 
encore continue dans le voisinage de cette valeur, puisqu’à un accroissement 
infiniment petit de x correspondra un accroissement infiniment petit de ( ).xF  
Donc, si la fonction ( )f x reste finie et continue depuis 0x x= jusqu’à ,x X=
il en sera de même de la fonction ( ).xF Ajoutons que, si l’on divise parα les 
deus membres de la formule (3), on en conclura, en passant aux limites, (4) 

( ) ( ).x f x′ =F Donc l’intégrale (1), considérée comme fonction de ,x a pour déri-
vée la fonction ( )f x renfermée sous le signe ∫  dans cette intégrale.

 21 Vale salientar que essa denominação para o referido teorema é mais moderna. 
Segundo Sriraman (2012), o nome desse teorema conforme hoje o conhecemos 
provavelmente se deve à tradição francesa de utilizar a palavra fondamentale 
(fundamental) para designar algo básico.

 22 Segundo Toeplitz e Bressound (2007), foi o matemático Isaac Barrow, ainda 
em 1667, o primeiro a demonstrar esse teorema. Para mais detalhes, consultar 
a referida obra (p.95-99).



48  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

uma prova rigorosa desse importante teorema para o cálculo e para 
a análise (Boyer, 1949).

Em sua prova, Cauchy utilizou essencialmente dois conceitos: 
o do Teorema do Valor Médio para integrais, resultado bem conhe-
cido atribuído a Lagrange; e a linearidade da integração para com 
a operação de adição, resultado este que, para Cauchy, resultou 
imediatamente da sua definição de integral. Na realidade, Cauchy 
não utilizou somente o resultado de Lagrange para o Teorema do 
Valor Médio para Integrais (TVMI),23 mas também a sua própria 
demonstração do TFC (Grabiner, 2005). 

Lagrange, em sua demonstração do TVMI, definiu a integral 
como o inverso da derivada, e estabeleceu esse teorema como uma 
variação do Teorema do Valor Médio para Derivadas.24 Como Cau-
chy definiu a integração por meio de uma soma, não pôde usar do 
mesmo artifício. Ele derivou o seu TVMI a partir de alguns dos 
passos da sua própria definição de integral. Com relação ao TFC, 
a demonstração de Lagrange possuía diversas limitações, uma vez 
que ele não havia definido o conceito de integral definida e, em sua 
prova, exigiu que a função tomada fosse monótona. Mais uma vez, 
como no caso do TVMI, Cauchy tomou esse resultado já dado, deu 
a ele uma base lógica distinta e tornou-o suficientemente rigoroso 
(Grabiner, 2005). 

Assim, Cauchy, baseando-se numa prova aceitável do TVMI, 
estabeleceu uma prova do TFC que pode ser utilizada mesmo nos 
dias de hoje. Mais que isso, de uma maneira mais geral, refletindo 
sobre seus conceitos de derivada, integral e sua demonstração do 
TFC, podemos dizer que ele iniciou um processo que primeiro 

 23 Se :[ , ]f a b → é contínua em seu intervalo de definição, então existe um 
valor ,z com a z b< < tal que ( ) ( )( ).

b

a
f x dx f z b a= −∫ Geometricamente, esse

teorema nos garante que existe um valor z tal que o retângulo de base ( )b a− e 
altura ( )f z tem exatamente a mesma área da região sob a curva de .f

 24  Se :[ , ]f a b → é contínua em seu intervalo de definição, e derivável em ( , ),a b  
então existe ( , )c a b∈ tal que ( ) ( )( ) .f b f af c

b a
−′ =
−

 Geometricamente, esse teo-
rema nos diz que existe um ponto c no gráfico de f cuja reta tangente tem 
exatamente a mesma inclinação do segmento .AB



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  49

converteu o cálculo integral, antes entendido apenas como inverso 
do cálculo diferencial, em uma disciplina autônoma, e, posterior-
mente, com contribuições sobretudo de Riemann e Henri Léon Le-
besgue (1875-1941) (veja no Capítulo 6), no estudo de uma classe 
de funções que possuem ou não integral, seja qual for a concepção 
de integral usada.





3 
Gauss, Bolzano e aBel

Escolhemos falar desses três matemáticos, no contexto da fun-
damentação da análise, porque tanto Johann Carl Friedrich Gauss 
(1777-1855) quanto Bolzano tiveram ideias a esse respeito bastan-
te semelhantes às de Cauchy, e Abel teve papel importante nesse 
início de reformas nos fundamentos da matemática. Além disso, 
Gauss, Bolzano e Abel, assim como seu contemporâneo Cauchy, 
foram pioneiros do moderno rigor da matemática. O século XVII 
tinha sido essencialmente um período de experimentação, no qual 
os resultados surgiram com grande abundância. Tinha chegado 
a época de se refletir sobre o significado dos resultados... (Struik, 
1948).

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss nasceu em Brunswick, na Alemanha, 
em 1777. Estudou em Göttingen de 1795 a 1798 e lá permaneceu 
trabalhando ativamente, de 1807 até sua morte em 1855. Jamais 
saiu da Alemanha, mas esse isolamento não o impediu de produzir 
grandes resultados, com ideias tão inovadoras que indicavam que 



52  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

um novo período para a matemática estava se abrindo. Entretanto, 
perfeccionista que era, não publicava nenhuma de suas obras antes 
que estivessem completas, concisas, acabadas e convincentes; ado-
tando o lema Pauca sed matura (poucos, porém maduros). Em de-
corrência disso, as publicações oficiais de Gauss não refletem toda 
a grandeza de suas descobertas: os diários e cartas encontrados após 
sua morte mostram que ele guardou para si muitos resultados que 
não teve disposição de revelar publicamente, como as geometrias 
não-euclidianas (Eves, 2004).

Figura 9 – Carl Friedrich Gauss

Gauss trabalhou em diversas áreas, como teoria dos números, 
álgebra, geometria, astronomia, cristalografia, magnetismo, e aná-
lise. No que tange a última, Lützen (2003) observa que há grande 
semelhança entre a introdução de Cauchy, no seu Cours d’Analyse, 
e as ideias de Gauss contidas numa carta endereçada a Heinrich 
Christian Schumacher (1780-1850), no que diz respeito ao ataque 
que fazem à crença na generalidade do mecanismo da análise e a 
uma especial repulsa [pelos matemáticos] às séries divergentes.

Embora essa carta tenha sido escrita em 1850, bem depois da 
publicação do Cours d’Analyse, as ideias expressas nela eram da 
época da juventude de Gauss, portanto bastante anteriores ao 



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  53

Cours. Por exemplo, por volta de 1800, numa discussão sobre sé-
ries trigonométricas, Gauss começou a analisar os fundamentos da 
teoria das séries infinitas e, em uma de suas anotações, já aparecem 
as noções de limsup  e liminf  para séries, de forma bastante precisa e 
“até mais rigorosa que a encontrada mais tarde no Cours d’Analyse 
de Cauchy” (Lützen, 2003, p.174).1

A relutância de Gauss em publicar seus resultados fez com que 
ele tivesse pouco impacto no desenvolvimento dos fundamentos 
da análise. Entretanto, ele levantou a questão das séries infinitas 
em sua tese de doutorado (Gauss, 1799; 1866) quando tratava do 
teorema fundamental da álgebra e também em seu artigo (Gauss, 
1813) sobre séries hipergeométricas. 

Bernard Bolzano

Filho de um vendedor de artes italiano que escolheu Praga como 
seu novo lar depois do casamento com a filha de um comerciante 
daquela cidade, Bolzano nasceu em 1781 em meio a um contur-
bado momento histórico na Europa. No ano da chegada de seu 
pai à Boêmia, cinco anos antes, o despotismo esclarecido de Maria 
Teresa e José II juntamente com os tímidos reflexos das tendências 
iluministas da França pré-revolução fizeram-se abater sobre a vida 
cultural, social e, sobretudo, educacional da Boêmia. No próprio 
ano de seu nascimento, a servidão foi abolida, bem como garantida 
a liberdade religiosa aos não católicos. Bolzano se formou na escola 
secundária, com honras, em 1796, tendo, em seguida, iniciado seus 
estudos em filosofia na Universidade Carolina de Praga. A essa 
altura, o Iluminismo de José III já vinha sendo substituído por um 
crescente medo da monarquia austríaca, com relação às possíveis 
influências da Revolução Francesa. Em decorrência disso, a re-
pressão e endurecimento da censura e do regime policial alteraram 

1 Esses conceitos aparecem em Cauchy quando ele tenta tornar mais clara a 
prova do teste da raiz.



54  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

radicalmente a vida por lá. Esse quadro mudaria só em 1848 com 
a Revolução Burguesa. Uma das instituições mais ativas na cam-
panha antirrevolução foi a Igreja Católica – Bolzano chegou a ser 
padre (Folta, 1981). 

Figura 10 – Bernard Bolzano

À parte da própria importância histórica dessas fatos, esse qua-
dro como um todo influenciou fortemente a vida e a obra de Bolza-
no, muitas vezes prejudicando sua carreira profissional. Com efei-
to, apesar de Bolzano ter ido mais longe nos fundamentos da análise 
do que qualquer outro de seus contemporâneos – e hoje ser conside-
rado um dos pioneiros em estabelecer bases rigorosas aos conceitos 
do cálculo, observadas em sua aritmetização e no estudo cuidadoso 
sobre o infinito –, a maneira como conduziu sua carreira, com um 
quase absoluto isolamento, o fato de Praga não ser um centro ma-
temático importante à época e de boa parte dos mais importantes 
resultados seus não terem sido publicados em vida fizeram com que 
seus trabalhos permanecessem praticamente desconhecidos por 
cerca de cinquenta anos (Folta, 1981; Lützen, 2003).

Segundo Lützen (2003), uma das mais importantes obras de 
Bolzano é o seu Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes, dass zwis-
chen je zwei Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewähren, 



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  55

wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege (1817). Nesse tra-
balho são provados diversos resultados e dadas diversas defini-
ções, como a de função contínua, que, à primeira vista, indicava 
claramente que a ideia básica de continuidade estava no conceito 
de limite: 

[...] uma função ( )f x  varia de acordo com a lei de continuidade 
para todos os valores x  dentro e fora de certos limites da seguinte 
maneira: se x é algum tal valor, a diferença ( ) ( )f x f xω+ −  pode 
se tornar menor do que qualquer quantidade dada, desde que ω  
pode ser tomado tão pequeno quanto se quiser. (Bolzano, 1817, 
p.11-12)2

Essa definição não é essencialmente diferente da dada por Cau-
chy, em 1821, mas, na opinião de alguns, como de Grabiner (2005), 
é muito mais elegante. A partir dela, Bolzano provou o teorema 
do valor intermediário. A prova, consideravelmente diferente da 
apresentada por Cauchy, usou o que modernamente chamamos de 
propriedade dos números reais de Bolzano-Weierstrass (Grabiner, 
2005).

Outra semelhança com Cauchy está nas sequências fundamen-
tais (hoje também conhecidas como sequências de Cauchy). Bolza-
no as definiu e “provou” que elas convergem para uma quantidade 
constante, porém essa demonstração não foi satisfatória. De fato,  
Bolzano provou, em primeiro lugar, possível assumir que o limite 
seja uma constante e, em segundo lugar, que esse limite é único e 
pode ser determinado de forma tão precisa quanto desejarmos. Seja 
como for, a partir desse resultado, Bolzano demonstrou a existência 
do supremo de um conjunto não vazio limitado superiormente, 
i.e., a propriedade de Bolzano-Weierstrass de que há pouco fala-

 2 [...] eine Function fx für alle Werthe von ,x die inner- oder außerhalb gewisser 
Grenzen liegen, nach dem Gesetze der Stetigkeit sich ändre, nur so viel daß, 
wenn x irgend ein solcher Werth ist, der Unterschied ( ) ( )f x f xω+ − kleiner als 
jede gegebene Größe gemacht werden könne, wenn manω  so klein, als man 
nur immer will, annehmen kann.



56  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

mos. Hoje sabemos que esse resultado caracteriza a completude do 
conjunto dos números reais, mas na época de Bolzano isso ainda 
não estava em pauta. Nos livros modernos, uma das provas mais 
comumente encontradas é a que usa a propriedade dos intervalos 
encaixados, o que nada mais do que uma equivalência da proprie-
dade do supremo de Bolzano.

Para Bolzano, seu resultado principal era a demonstração do 
teorema do valor intermediário. Porém, resultados secundários 
advindos desse – como os que citamos – também possuem grande 
importância para a história da análise, muito embora tenham sido 
por muito tempo ignorados. 

Por fim, os últimos resultados que gostaríamos de destacar 
advêm de uma publicação póstuma de Bolzano, Funktionenlehre 
(Bolzano, 1830; 1930). Nela, Bolzano traz outra definição de con-
tinuidade pontual, mais precisa em relação à que havia apresentado 
em 1817, sendo adequada, inclusive, para os padrões atuais:

Se a função monótona de uma ou mais variáveis Fx é constituída 
de tal forma que a variação sofrida, quando uma de suas variáveis 
passa de um determinado valor x para um diferente valor x x+ ∆ , dimi-
nui infinitamente à medida que x∆ diminui infinitamente, isto é, 
quando ,Fx bem como ( )F x x+ ∆  – o último, pelo menos, para certos 
valores de x∆  e menores que ele – forem mensuráveis3 e o valor 
absoluto da diferença ( )F x x Fx+ ∆ −  tornar-se inferior a qualquer 
fração 1/ N  para x∆  suficientemente pequeno, que, no entanto, 
pode ser tomado ainda menor, então eu digo que a função Fx  é 
contínua em x  para um incremento positivo (ou em uma direção 
positiva), quando o que acabamos de dizer ocorre para um valor 
positivo de ;x∆ ; e contínua em x  para um incremento negativo (ou 
em uma direção negativa), por outro lado, quando o que acaba-
mos de dizer ocorre para um valor negativo de ;x∆ ; se, finalmente, 
a condição descrita é satisfeita tanto para um incremento positivo 

3 Não no sentido da teoria da medida, como veremos adiante; nesse contexto, 
reais e finitos.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  57

quanto negativo de ,x eu digo, simplesmente, que Fx  é contínua em 
x.  (Bolzano, 1830, 1930, p.14)4

Podemos notar que Bolzano define até mesmo continuidade à 
direita e à esquerda. Mais importante que essa definição de con-
tinuidade pontual, certamente é a distinção que Bolzano faz entre 
esse tipo de continuidade e a uniforme, conceitos que pareciam 
confusos da obra de Cauchy (ver item 3.2):

Não é porque uma função Fx  é contínua para todos os valores 
de sua variável x  que se encontra entre a  e b,  que para todo x  entre 
esses valores há um número fixo e  pequeno o suficiente que se 
possa afirmar que é necessário tomar x∆  em valor absoluto e<  
a fim de garantir que ( ) 1/F x x Fx N+ ∆ − < . (Bolzano, 1830; 1930, 
p.23-24)5

 4 Wenn eine einförmige Function Fx von einer oder auch mehreren Verän-
derlichen so beschaffen ist, daß die Veränderung, die sie erfährt, indem eine 
ihrer Veränderlichen x aus dem bestimmten Werthe x in den Veränderten
x x+ ∆  übergehet, in das Unendliche abnimmt, wenn x∆ in das Unendliche 

abnimmt, wenn also der Werth Fx sowohl als auch der Werth ( )F x x+ ∆ , der 
letztere wenigstens anzufangen von einem gewissen Werthe der Differenz

x∆ für alle kleineren abermahls meßbar ist, der Unterschied ( )F x x Fx+ ∆ −
aber seinem absoluten Werthe nach kleiner als jeder gegebene Bruch 1/ N wird 
und verbleibt, wenn man nur x∆ klein genug nimmt, und so klein man es dann 
auch noch ferner werden läßt: so sage ich, daß die Function Fx für den Werth
x stetig verändere, und zwar bey einem positiven Zuwachse oder im positiver 

Richtung, wenn das nur eben gesagte bey einem positiven Werthe von x∆ ein-
tritt: und daß sie dagegen sich stetig verändere bey einem negativen Zuwachse 
oder in negativer Richtung, wenn das Gesagte bey einem negativen Werthe 
von x∆  Statt hat: wenn endlich das Gesagte bey einem positiven sowohl als 
negativen Zuwachs von x∆ gilt: so sage ich schlechtweg nur, daß Fx stetig sey 
für den Werth x .

 5 Blos daraus, daß eine Function Fx für alle innerhalb a und b gelegenen 
Werthe ihrer Veränderlichen x stetig sey, folgt nicht, daß es für alle inner-
halb dieser Grenze gelegenen Werthe von x eine und eben dieselbe Zahl e  
geben müsse, klein genug, um behaupten zu können, daß man x∆ nach sei-
nem absoluten Werthe nie e< zu machen brauche, damit der Unterschied 

( ) 1 /F x x Fx N+ ∆ − < ausfalle.



58  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

Ou seja, Bolzano diz que não é por que uma função é contí-
nua em um intervalo que ela é necessariamente uniformemente 
contínua. 

Entretanto, embora originalmente escrita em 1830, essa obra 
de Bolzano só foi publicada cem anos depois. Por esse motivo que 
costumamos atribuir esses resultados ao matemático Eduard Heine 
(1821-1881), que teve sua obra publicada sessenta anos antes da de 
Bolzano (veja Capítulo 5) (Heine, 1871). 

Ainda em Funktionenlehre, Bolzano construiu uma função con-
tínua não diferenciável em um conjunto denso (na realidade, não 
diferenciável em ponto algum). Esse resultado, portanto, contra-
riaria as expectativas de Lagrange e André-Marie Ampère (1775-
1836), que por muito tempo tentaram provar que todas as funções 
contínuas, exceto por pontos isolados, eram diferenciáveis. Embora 
Cauchy não tenha tentado exatamente o mesmo que Lagrange e 
Ampère, podemos notar pelo seu trabalho (ver Capítulo 2) que 
muitas vezes ele passa essa impressão.

Essa função criada por Bolzano em 1830 poderia ter servido para 
a matemática como algo crucial naquele momento, mostrando, a 
despeito de todas as intuições geométricas e sugestões da física, 
que funções contínuas não necessariamente possuem derivadas. 
Todavia, destacamos o contrariaria e o poderia em linhas anteriores 
porque o trabalho de Bolzano não foi reconhecido naquele tempo 
e, conforme já apontamos, sua obra de 1830 só fui publicada muito 
tempo depois. Por esse motivo, assim como os louros da continui-
dade ficaram para Heine, o primeiro a publicar um exemplo de 
função não diferenciável em conjunto denso acabou sendo Weiers-
trass em 1872, quase quarenta anos depois de Bolzano, portanto 
(Weierstrass, 1872; 1895). 

De modo geral, pudemos observar que, embora as ideias de Bol-
zano indicassem a direção que deveriam seguir não só a formulação 
das leis do cálculo, mas também a maioria do pensamento do século 
XIX, elas não foram decisivas para isso. Seu trabalho permaneceu 
sem divulgação até ser redescoberto e publicado muitos anos de-



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  59

pois, quando Cauchy, Heine e Weierstrass, com ideias semelhantes, 
mas escritas de forma diferente, já haviam estabelecido os funda-
mentos da análise e traçado a história de outra maneira6.

Niels Henrik Abel

Figura 11 – Niels Henrik Abel

Terceiro nome importante no contexto da reforma dos funda-
mentos da matemática, Niels Henrik Abel (1802-1829), em sua 
curta vida interrompida pela tuberculose, sofreu muitas privações, 
mas apesar disso o seu grande talento manifestou-se por meio de 
trabalhos valiosos para a matemática. Esteve na Alemanha, Itália e 
França, mas pessoalmente estabeleceu poucos contatos matemáti-
cos. Morreu logo após retornar à Noruega e não teve tempo de ver 
o reconhecimento de seus trabalhos por parte de grandes figuras
da época, como Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Carl Gustav 
Jakob Jacobi (1804-1851) e Gauss. Um de seus mais famosos textos 

6 Para mais detalhes sobre o papel de Bolzano na história da análise matemática, 
recomendamos a leitura de Jarník (1981) e Rusnock e Kerr-Lawson (2005).



60  ROSA LÚCIA SVERZUT BARONI • SÍLVIO CÉSAR OTERO-GARCIA

(Abel, 1824) é o que prova a impossibilidade de resolver a equação 
geral do quinto grau por meio de radicais – um problema que tinha 
ocupado matemáticos como Rafael Bombelli (1526-1572), Viète e 
Paolo Ruffini (1765-1822) (Eves, 2004; Burton, 2011).

Durante o período de sua viagem, Abel escreveu vários artigos 
sobre convergência de séries, trazendo grande contribuição à ten-
tativa de definir de forma precisa esse conceito. Isso o coloca como 
um dos precursores, junto com Cauchy, da defesa de que algo de-
veria ser feito para fundamentar a Matemática em “bases sólidas e 
rigorosas”. É sobre esse aspecto de Abel que vamos discorrer.

Em março de 1826, numa carta a seu professor Christopher 
Hansteen (1784-1873), ele manifestava sua intenção de “trazer 
mais luz à vasta escuridão que, sem dúvida, existe na análise” 
(Abel, 1902, p.21).7 Dizia ainda que pouquíssimos teoremas ha-
viam sido provados com rigor convincente, e que em todo lugar ele 
encontrava métodos imprecisos que concluíam do particular para 
o geral. Também numa carta a seu amigo Bernt Michael Holmboe
(1745-1850), ele tece críticas à falta de fundamentação nos estudos 
das séries infinitas e questiona, por exemplo, o fato de que vários 
resultados eram aplicados a essas séries como se fossem finitas (di-
ferenciação, multiplicação, divisão etc.) (Stubhaug, 2002). Além 
disso, pontuava:

Nós podemos deduzir qualquer coisa que quisermos quando 
as usamos [séries divergentes], e elas têm feito muito dano e cau-
sado muitos paradoxos. Você pode pensar em algo mais terrível 
do que dizer que 0 1 2 3 4n n n= − + − +  etc. quando n  é um inteiro 
positivo. Meus olhos têm sido abertos da forma mais espantosa; de 
fato quando você excetua os casos simples, por exemplo, as séries 
geométricas, dificilmente existe em toda a matemática uma única 
série infinita cuja soma tenha sido determinada de maneira rigo-
rosa. Em outras palavras a parte mais importante da matemática 

 7 Alle mine Kræfter vil jeg anvende paa at bringe noget mere Lys i det uhyre 
Mørke som der uimodsigelig nu tindes i Analysen.



ASPECTOS DA HISTÓRIA DA ANÁLISE MATEMÁTICA...  61

está sem uma fundamentação. Muito disso está correto, é verdade, 
e é muito estranho. Eu tentarei encontrar as razões para isso. (Abel, 
1902, p.16)8

Nessa mesma carta, ele diz que encontrou uma prova rigorosa 
da convergência de ( ) ´ / 2 ´́x x x xϕ α ϕ αϕ α ϕ+ = + + +  no Resumé 
de Cauchy (1823). 

Figura 12 – Carl Gustav Jakob Jacobi e François Viète

Essas críticas de Abel mostram que ele apontava fraquezas nos 
argumentos de seus contemporâneos, como Cauchy e Gauss. Em 
algumas de suas cartas, anuncia que publicaria alguns pequenos ar-
tigos sobre essas questões, entretanto, sua morte prematura o impe-

 8 Man kan faae frem hvad man vil naar man bruger dem, og det er dem som 
har gjort saa megen Ulykke og saa mange Paradoxer. Kan der tænkes noget 
skrækkelige[re] end at sige at 0 1 2 3 4n n n= − + − + etc hvor n er et heelt positivt 
Tal. Risum teneatis amici. Jeg har i det