UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA �JÚLIO DE MESQUITA FILHO� Campus de Presidente Prudente Programa de Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) Rodrigo Felipe da Silva Função exponencial e logarítmica Presidente Prudente 2016 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA �JÚLIO DE MESQUITA FILHO� Campus de Presidente Prudente Programa de Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT) Função exponencial e logarítmica Rodrigo Felipe da Silva Dissertação apresentada como parte dos re- quisitos para obtenção do título de Mestre, junto ao programa de Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional da Facul- dade de Ciências e Tecnologia da Universi- dade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Fi- lho�, Campus de Presidente Prudente. Orientador Prof. Dr. Marco Antônio Piteri 2016 Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do IBILCE UNESP - Câmpus de São José do Rio Preto Silva, Rodrigo Felipe da. Função exponencial e logarítmica / Rodrigo Felipe da Silva. -- São José do Rio Preto, 2016 118 p. : il., tabs. Orientador: Marco Antônio Piteri Dissertação (mestrado profissional) – Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas 1. Matemática (Ensino médio) - Estudo e ensino. 2. Funções (Matemática) - Estudo e ensino. 3. Funções exponenciais. 4. Funções logarítmicas. 5. Aprendizagem baseada em problemas. 6. Tecnologia educacional. 7. Matemática – Metodologia. I. Piteri, Marco Antônio. II. Universidade Estadual Paulista "Júlio de Mesquita Filho". Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. IV. Título. CDU – 517.5(07) TERMO DE APROVAÇÃO Rodrigo Felipe da Silva Função exponencial e logarítmica Dissertação aprovada como requisito parcial para a obtenção do grau de Mestre no Curso de Pós-Graduação Mestrado Pro�ssional em Matemática em Rede Nacional da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Estadual Paulista �Júlio de Mesquita Filho�, pela seguinte banca examina- dora: Prof. Dr. Marco Antônio Piteri Orientador Prof. Dr. Rodrigo da Silva Rodrigues UFSCAR - São Carlos Prof. Dr. Aylton Pagamisse UNESP - Presidente Prudente Presidente Prudente, 08 de julho de 2016 Dedico este trabalho a minha esposa Mayara Miralha, aos meus pais Luiz Edval e Maria Marluce e irmã Laise Felipe. Amo vocês! Agradecimentos A realização do presente trabalho foi possível devido à colaboração de muitas pes- soas que me auxiliaram durante o processo. Manifesto assim minha gratidão: Em primeiro lugar a minha esposa Mayara Faria Miralha que esteve comigo em todos os momentos, me apoiando e ajudando diante de cada etapa dessa caminhada. Obrigado por estar ao meu lado. A minha família que me apoiaram e incentivaram durante o curso. Aos meus amigos, principalmente os companheiros de curso que juntos através de companherismo e ajuda mútua conseguimos alcançar nossos objetivos. Agradeço à SBM pela iniciativa do Profmat e à CAPES pelo suporte Financeiro. Finalmente, agradeço aos professores do Departamento de Matemática da UNESP de Presidente Prudente por tudo que me ensinaram durante esse processo, em especial meu orientador Marco Antônio Piteri pelo apoio e paciência em todos os momentos de difculdades e me animando para a conclusão deste trabalho. A Matemática não mente. Mente quem faz mau uso dela. Albert Einstein Resumo No ensino da matemática um dos assuntos mais desa�adores aos alunos do Ensino Médio é o de funções exponenciais e logarítmicas, sendo que grande parte dos alunos possuem di�culdades de compreensão e resolução dos exercícios propostos. Dessa ma- neira o trabalho em tela tem como objetivo precípuo o ensino de funções exponenciais e logarítmicas, visando apresentar aos docentes a possibilidade de ensinar o conteúdo de maneira mais atrativa e acessível aos seus alunos. Para tanto, a pesquisa se valeu de levantamento bibliográ�co e documental acerca da temática abordada. Salienta-se que ao iniciar o ensino de funções é preciso fazer um resgate histórico do conteúdo, buscando desvelar suas origens. Posteriormente o trabalho traz as concepções do tema segundo os documentos o�ciais. A �m de concretizar o estudo trabalha-se com o uso das de�nições aritméticas e geométricas, pois são fundamentais para o entendimento das funções, e também com situações problema contextualizadas, buscando envolver os alunos no processo de ensino aprendizagem promovendo o levantamento de hipóteses e consolidando a aprendizagem. Essas situações problemas serão difundidas por meio de atividades propostas nas quais pretende-se explorar a caracterização da função logarít- mica e exponencial, buscando relacioná-las ao contexto do educando, em situações que poderiam ocorrer em seu cotidiano, para isso propomos alguns exemplos de atividades, como: a utilização do BRO�ce Calc no Ensino de potenciação com números irracio- nais, o jogo de xadrez, mágica do baralho e a resolução de problemas da OBMEP e do ENEM. Palavras-chave: Matemática, Funções, Logaritmo e Exponencial, Aplicações. Abstract In teaching mathematics one of most challenging subjects to middle school students is of exponential and logarithmic functions, being that most of the students have di�- culties in understanding and addressing the proposed exercises. In this way the work on canvas aims foremost teaching of exponential and logarithmic functions, n order to present to teachers the possibility to teach the content more attractive and accessible to his students. To this end, the research used for bibliographical and documental about the theme addressed.It should be noted that the starting teaching duties must make a historic rescue of the contents, looking for their origins unveiling. In order to implement the study works with the use of arithmetic and geometric de�nitions, because they are fundamental to the understanding of the functions, and also with contextualized problem situations, seeking to engage students in teaching learning pro- cess promoting the survey of hypotheses and consolidating learning. These problems will be disseminated through activities in which it is intended to explore the characte- rization of logarithmic and exponential function, seeking to relate them to the context of educating, in situations that could occur in their daily lives, for this we propose some examples of activities, such as: libreo�ce Calc use in teaching empowerment with irrational numbers, the game of chess, magic of the deck and the troubleshooting of OBMEP and ENEM. Keywords: Mathematics, Functions, Logarithm and exponential, Applications. Lista de Figuras 2.1 Aspectos geométricos da concepção do logaritmo or Napier. . . . . . . . 29 2.2 Exemplo de uma Tábua de Napier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4.1 Comportamento dos custos das companhias de taxi . . . . . . . . . . . 43 4.2 f(x) = ax+ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 f(x) = ax2 + bx+ c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 f(x) = ax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.5 f(x) = ax+c + b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.6 f(x) = logax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.7 f(x) = loga(bx+ c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.8 Faixa da Hb a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.9 Os retângulos hachurados têm a mesma área. . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.10 Os polígonos retangulares P e P ′ possuem mesma área. . . . . . . . . . 69 5.1 Tabela inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Tabela com expoente entre 0 e 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Tabela com expoente entre 3,1 e 3,9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.4 Tabela com expoente entre 3,31 e 3,39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.5 Tabela com expoente entre 3,321 e 3,329 . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 5.6 Diagrama para i iterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.7 Diagrama para i− 1 iterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.8 Diagrama para i− 2 iterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.9 Diagrama para i− 3 iterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Lista de Tabelas 2.1 Ilustração das ideias de Stifel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.1 Valores pagos nas companhias de taxi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2 Relação entre tempo e quantidade de bactérias . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Relação entre Montante (M) e o tempo(n) . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.4 1 x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.5 ln1, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 4.6 ln2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.1 Relação entre Número de casa e quantidade de grãos . . . . . . . . . . 81 Sumário 1 Introdução 19 1.1 Objetivos do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 Logaritmos: contextualização histórica 23 2.1 Os logaritmos de John Napier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 O Ensino médio: concepção de documentos o�ciais 33 3.1 O Ensino de matemática: parâmetros curriculares nacionais para o En- sino Médio (PCNEM) e diretrizes curriculares nacionais (DCN) . . . . 34 3.2 O Ensino de funções segundo o PCNEM e DCN . . . . . . . . . . . . . 37 3.3 O programa São Paulo faz escola e o ensino das funções exponenciais e logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 O Ensino de funções 41 4.1 Potenciação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.1 Potência de expoente inteiro positivo . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.2 Potência de expoente inteiro negativo . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.3 Potência com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.1.4 Potência com expoente Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2 Função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 4.2.1 Grá�co de função exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.1 Mudança de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.4 Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4.1 Grá�co de função logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 4.5 O número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.6 Os logaritmos decimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.7 Representação geométrica de logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.7.1 Área de uma faixa da hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.8 Séries de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5 Intervenção didática no ensino de funções exponencial e logarítmica 75 5.1 O uso do BRO�ce Calc no ensino de potenciação com números irracionais 77 5.2 O jogo de xadrez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.3 Baralho mágico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.4 A escala Richter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 5.5 Intensidade sonora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5.6 Questões do ENEM e OBMEP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6 Conclusão 97 Referências 99 A Tábua de Logaritmos Decimais 103 B A lenda do xadrez 107 C Experimento da mágica 113 C.1 Folha do aluno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 1 Introdução O ensino relacionado à função exponencial e logarítmica faz parte dos conteúdos a serem abordados no primeiro ano do Ensino Médio. O tema é considerado desa�ador de ser apresentado, discutido e ensinado aos alunos, pois é complexo e árduo. Dessa maneira, denota-se que grande parte dos alunos demonstram di�culdades na aprendi- zagem/compreensão desses conteúdos. Os PCNEM (Brasil, 2002) e os PCN+ (Brasil, 2002) retratam a proposta do ensino de função baseado em situações problemas e fenô- menos naturais determinados/relacionados à essas funções, salientando a busca de um aprendizado que seja útil na vida dos educandos, promovendo o desenvolvimento de co- nhecimentos contextualizados, e também amplos e mais abstratos, visando contemplar as necessidades especí�cas da vida contemporânea. Com base nos documentos o�ciais norteadores da educação (PCNEM e DCN) pode- se depreender que o tema de ensino relacionado às funções possuem caráter interdis- ciplinar, podendo ser aplicado na construção/interpretação/leitura de grá�cos e em outras áreas, como a Física, Geogra�a e Economia, entre outras. Dessa maneira, cum- pre salientar que o ensino de funções é fundamental para construção do conhecimento do educando, e cabe aos docentes ministrar um ensino que garanta aos alunos a possi- bilidade de aplicar seus conhecimentos relacionados ao conteúdo de funções em diversas situações de sua vida cotidiana. Pode-se conjecturar que grande parte das di�culdades dos estudantes, ao longo da Escola Básica e no Ensino Superior, se assenta sobre o fato de que os mesmos não conseguem coordenar sobre um determinado conhecimento matemático os diversos registros de representação. Eles possuem o domínio isolado de determinada representação e o trata- mento especí�co que a mesma requer, mas tornam-se incapazes de articular estas representações para estabelecer uma apreensão do ob- jeto matemático.(ANDRADE, KAIBER 2011, p.10) No entanto, percebe-se que muitas vezes o ensino das funções tem como base a resolução de equações e cálculos que são desvinculados às orientações de abordagem do tema por meio de situações problemas contextualizadas determinadas nos documentos o�ciais. 19 20 Introdução 1.1 Objetivos do trabalho Objetivo Geral A pesquisa em tela propõe que o ensino de funções (propriedades, ideias, de�nições e caracterizações) seja explanado a partir de problemas/atividades contextualizadas, provando sua aplicabilidade em situações concretas de seu dia a dia. Objetivos Especí�cos • Explorar aspectos da história matemática, mostrando o desenvolvimento de seus conceitos com o decorrer do tempo; • Apresentar a de�nição dos logaritmos buscando relacioná-la a fenômenos encon- trados/vivenciados no cotidiano do aluno; • Mostrar a relação estreita entre o conceito de logaritmos e fenômenos físicos, químicos, biológicos, econômicos e sociais; • Ressaltar a importância do trabalho de logaritmos por meio de situações proble- mas. 1.2 Organização do trabalho Visando contemplar os objetivos da pesquisa o presente trabalho se organiza em capítulos sistematizados e relevantes acerca do tema em estudo. No Capítulo 2 julgou-se necessário fazer uma contextualização histórica relacionada do conceito de logaritmos, buscando retratar suas origens e os principais pensadores que contribuiram para o seu desenvolvimento. No Capitulo 3, denominado �Ensino Médio: concepções de documentos o�ciais� buscou-se abordar o que os documentos o�ciais entendem por Ensino Médio, bem como, quais são suas particularidades, conteúdos e objetivos a serem alcançados. Ainda dentro desse capítulo salientou-se o ensino de matemática de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) e Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN), o ensino de funções de acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) e Diretrizes Curriculares Nacionais (DCN), a proposta curricular do Estado de São Paulo �Programa São Paulo faz Escola� e o ensino das funções exponenciais e logarítmicas. Por sua vez, no Capítulo 4, contempla-se o estudo do ensino de funções desvelando seus conceitos prévios sobre potenciação, potência de expoente natural, potência de expoente inteiro negativo, potência com expoente racional, potência com expoente irracional e potência com expoente real, potencializando a aprendizagem de função exponencial, analisando seu grá�co e comportamento, além de contextualizar o tema. De�niu-se logaritmo, função logarítmica e seu grá�cos analisando também sua forma e propriedades e aplicando tais conceitos em situações adversas, de�ne-se o número Organização do trabalho 21 �e�, realça-se a sua importância, os logaritmos decimais, a de�nição geométrica de logaritmo a partir da área de uma faixa da Hipérbole. Na sequência, o Capítulo 5 apresenta algumas propostas de atividades como: a utilização do BRO�ce Calc no Ensino de potenciação com números irracionais, o jogo de xadrez, mágica do baralho, a escala Ricther, a intensidade sonora e a resolução de problemas da OBMEP e do ENEM. Por �m, no Capítulo 6 são apresentadas as considerações gerais acerca do trabalho, buscando sistematizar os conhecimentos e as possíveis deduções sobre o que foi discutido ao longo do estudo realizado. Para facilitar a compreensão de alguns aspectos discutidos ao longo do trabalho, essa dissertação ainda possui três anexos, denominados: �A evolução da Escrita�; �A história do Jogo de Xadrez�; e �Tábua de Logaritmos Decimais�. 2 Logaritmos: contextualização histórica Ao longo do processo de civilização e da evolução humana, foi possível elaborar e re�nar o pensamento cientí�co que norteou o desenvolvimento de diferentes áreas do conhecimento, tornando alcançável atingir os níveis em que se encontram a ciên- cia e a tecnologia nos dias de hoje. Entretanto, é necessário mencionar que inúmeras preocupações teóricas já existentes há milhares de anos entre os povos antigos (egíp- cios, sumérios, feníncios, babilônios, gregos, romanos, judeos, maias, chineses, hindus e árabes, ...), motivaram o descobrimento e a formalização de conceitos que se tornaram reais somente a partir do século XV ou XVI. Para ser mais preciso, as modernas noções de exponencial e logaritmos, objeto central deste trabalho, possui origem que remonta há 4000 a.C. Por volta desse período, os babilônios já dominavam técnicas para o cálculos de áreas, de superfícies, de volume, de capacidade e de peso. Também foram eles os pri- meiros a demonstrarem métodos e técnicas que in�uenciaram na criação dos logaritmos, lembrando que todos os cálculos realizados por eles faziam uso do sistema sexagesimal. Os babilônios estenderam o princípio posicional numérico, bem como as frações, sendo assim eles demonstravam grande domínio matemático equivalente até o que ocorre na atualidade com a moderna notação decimal para frações. Na Universidade de Yale nos EUA existe uma grande tabela de argila babilônica contendo o cálculo de √ 2 com três casas sexagesimais, a resposta seria escrita como 1;24,51,10, onde o "ponto e vírgula" faz a separação da parte inteira da fracionária, enquanto a vírgula, separa os símbolos sexagesimais. Vale mencionar que ao converter os resultados obtidos pelos babilônios para o sistema de numeração posicional na base 10, obtém-se aproximada- mente 1,414222 para a raiz quadrada de dois (Boyer, 2003), ou seja, quatro dígitos de precisão, o que é notável e certamente su�ciente para inúmeras aplicações, mesmo nos dias de hoje. Segundo Boyer (2003), entre outras conquistas dos babilônios também é possível veri�car outras tabelas (tabletas) feitas de argila com exponenciais semelhantes às tabelas de logaritmos desenvolvidas milhares de anos depois, nas quais se observa as primeiras dez potências. 23 24 Logaritmos: contextualização histórica Avançando um pouco no tempo, Arquimedes (287 � 212 a.C.) em sua obra Psammites- contador de areia, tentou quanti�car as dimensões do universo, a�rmando que seria possível preenchê-lo com grãos de areia e para isso precisava encontrar um número e encontrou a solução 1051, que não podia ser escrita na numeração utilizada na altura (alfabética), que permitia apenas escrever números até 10000 (uma miríade). Arqui- medes criou então um novo sistema onde considerou os números de 1 a 108, ou seja, até uma miríade de miríade (10000·10000 = 108), que era escrito na numeração grega como sendo de primeira ordem; depois, os números de 108 até 1016 como sendo de segunda ordem, em que a unidade é 108, e assim sucessivamente. É importante observar que nesse trabalho, Arquimedes cria o princípio que in�uenciaria Napier séculos depois. Foi em conexão com esse trabalho sobre números imensos que Arqui- medes mencionou, muito incidentalmente, o princípio que mais tarde levou à invenção dos logaritmos - a adição das �ordens� dos núme- ros (o equivalente de seus expoentes quando a base é 100.000.000) corresponde a achar o produto dos números (BOYER, 2003, p.86). Por sua vez, os árabes desempenharam um papel primordial na evolução da mate- mática ocidental, desenvolvendo a aritmética e a álgebra, onde sua trigonometria foi fortemente in�uenciada pelo sistema dos hindus. Por exemplo, foram, os árabes ibn- Yunus e ibn-al-Haitham que elaboraram a fórmula descrita pela Equação (2.1), que transforma o produto de cossenos numa soma de cosseno (BOYER, 2003, p.212). 2 cosx cos y = cos(x+ y) + cos(x− y) (2.1) Como se sabe, essa é uma das fórmulas que permitem transformar produto de fun- ções em somas de funções e que foram úteis na Europa no século XVI para facilitar os cálculos nos observatórios astronômicos e desenvolvidas muito antes da criação dos logaritmos por Napier. O método utilizado era genericamente denominado prosthapha- eresis, que em grego signi�ca adição e subtração. Essas regras também são conhecidas por Fórmulas de Werner, que era um astrônomo europeu. Com o propósito de ilustrar, vale lembrar as identidades trigonométricas para o seno da soma dos arcos (Equação (2.2)), o seno da diferença dos arcos (Equação (2.3)), assim como o cosseno da soma dos arcos (Equação (2.4)) e o cosseno da diferença dos arcos (Equação (2.5)). sen(a+ b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) (2.2) sen(a− b) = sen(a) cos(b)− sen(b) cos(a) (2.3) cos(a+ b) = cos(a) cos(b)− sen(a) sen(b) (2.4) cos(a− b) = cos(a) cos(b) + sen(a) sen(b) (2.5) Fazendo-se algumas manipulações algébricas sobre essas identidades, chega-se fa- cilmente ao que se denomina por Fórmulas de Werner. 25 Adicionando as Equações (2.2) e (2.3) obtém-se a Equação (2.6). Por sua vez, subtraindo as Equações (2.2) e (2.3) obtém-se a Equação (2.7). Do mesmo modo, somando-se as Equações (2.4) e (2.5) obtém-se a Equação (2.8), e, realizando a diferença entre as Equações (2.4) e (2.5) obtém-se a Equação (2.9). sen(a+ b) + sen(a− b) = 2 sen(a) cos(b) (2.6) sen(a+ b)− sen(a− b) = 2 sen(b) cos(a) (2.7) cos(a+ b) + cos(a− b) = 2 cos(a) cos(b) (2.8) cos(a+ b)− cos(a− b) = −2 sen(a) sen(b) (2.9) Pode-se avançar ainda mais por meio de uma mudança de variável, do seguinte modo: a+ b = p e a− b = q. Logo, resolvendo-se o sistema linear associado encontra-se os valores das variáveis a e b, respectivamente, pelas Equações (2.10) e (2.11). a = p+ q 2 (2.10) b = p− q 2 (2.11) Finalmente, substituindo os valores de a e b nas Fórmulas de Werner dadas pelas Equações (2.2), (2.3), (2.4) e (2.5), chega-se de�nitivamente nas Fórmulas de Prostafé- rese dadas pela Equação (2.12). Considerando-se a existência de fórmulas envolvendo senos e cossenos, é fácil obter fórmulas para a tangente da soma dos arcos e para a tangente da diferença dos arcos. sen(p) + sen(q) = 2 sen( p+ q 2 ) cos( p− q 2 )) (2.12) (2.13) sen(p)− sen(q) = 2 sen( p− q 2 )) cos( p+ q 2 )) (2.14) cos(p) + cos(q) = 2 cos( p+ q 2 )) cos( p− q 2 )) (2.15) cos(p)− cos(q) = −2 sen( p+ q 2 )) sen( p− q 2 )) Ao �nal do século XIII (1360), o bispo francês Nicole Oresme deixou inúmeros manuscritos e regras sistematizadas para operar com potências, onde os expoentes eram racionais e irracionais. Nessa mesma época, Nicolas Chuquet utilizou notações para potências com expoente zero, escrevendo também a obra Triparty em La science, na qual ele elabora tabelas de valores com as potências de 2, similares as tabelas de logaritmos. 26 Logaritmos: contextualização histórica Chuquet também observou que as potências do número dois se relacionavam com o princípio associado à Equação (2.1), onde é possível reescrever produtos por meio de somas. Nesse trabalho, os índices das potências de 2 eram colocados em uma tabela de 0 a 20, no qual as somas dos índices correspondiam aos produtos das potências. Se por acaso não houvesse grandes lacunas entre as colunas isso seria uma miniatura de uma tabela de logaritmos. Como pode ser visto, essas descobertas foram repetidas diversas vezes e se tornaram fundamentais para a de�nitiva invenção dos logaritmos que conhecemos na atualidade (BOYER, 2003). É fácil observar que mesmo antes da invenção dos logaritmos por Napier, muitos conceitos relevantes para a matemática já estavam disponíveis. Além do mais, como se sabe, as idéias de logaritmo, potências e sequências aritméticas e geométricas, estão fortemente relacionados entre si. A invenção dos logaritmos que conhecemos nos dias de hoje, inicia-se com a publi- cação em 1614 da obra Miri�ci logarithmorum por John Napier. Desde então, o termo �logaritmo� passa a integrar a matemática e se torna um tema importante e, portanto, estudado por cientistas da Europa, China e posteriormente, de todo o mundo. Considera-se como imprescindível destacar o período no qual John Napier viveu, bem como suas criações, motivações e contribuições para a matemática. Não apenas os conceitos matemáticos foram se desenvolvendo no decorrer dos anos, mas a escrita também teve mudanças, observe a tabela da evolução de como foi se modi�cando a representação de potenciação. 2.1 Os logaritmos de John Napier John Napier nasceu na Escócia no ano de 1550. Durante sua infância estudou religião e quando adulto demonstrou interesse pela prática religiosa, sendo protestante, mantinha posição oposta ao papado. Considerando suas origens, possuía título de nobreza, sendo Barão de Merchiston, também era proprietário de terras e possuia interesses em várias áreas do saber, entre elas a militar. Conhecendo as histórias de Arquimedes, chegou a projetar espelhos gigantes para incendiar navios. Um outro exemplo de sua genialidade foi a invenção de um �parafuso hidráulico para controlar o nível da água em minas de carvão�. Apesar de ser apenas um matemático curioso e não um matemático pro�ssional, Napier é considerado um grande cientista e é lembrado essencialmente por seu trabalho de vinte anos relacionado ao desenvolvimento dos logaritmos. Ao se convencer que não há nada mais trabalhoso no campo matemático do que as operações de multiplicação, divisão e extração de raízes quadradas e cúbicas de números grandes, passou a se preo- cupar em como contornar essas di�culdades, ou seja, em como resolver essas operações de uma forma mais simples e em menor tempo (MAOR, 2003). A ideia central era transformar uma operação mais complexa em uma mais simples, disponibilizando ta- Os logaritmos de John Napier 27 belas com valores previamente calculados, vindo a simpli�car o trabalho dos cientistas, em particular dos astrônomos. Embora essas preocupações já estivessem presentes desde a antiguidade, os estu- dos de Napier foram embasados fundamentalmente nos trabalhos de Arquimedes e Stifel, que já haviam desenvolvidos trabalhos com potências sucessivas de um dado número. Deve-se mencionar também que era de seu conhecimento as regras chamadas prosthaphaeresis e as regras de Werner, discutidas previamente. Observando resultados desenvolvidos ao longo de milhares de anos e partindo da premissa que as operações aritméticas de soma e a subtração são mais fáceis do que a multiplicação e a divisão, Napier notou que seus problemas poderiam ser solucionados se transformasse um produto em uma soma e a divisão, em uma subtração. Embora o conceito de função ainda não estivesse completamente formalizado, ele buscava por relações matemáticas do tipo descritas pelas Equações (2.16) e (2.17). f(x.y) = f(x) + f(y) (2.16) f( x y ) = f(x)− f(y) (2.17) Naquela altura, Napier não dispunha do conceito de base, portanto não utilizava uma base decimal (potências de dez), por exemplo. A palavra logaritmo era usada com o sentido de descrever uma proporcionalidade, ou seja, um quociente. A rigor, essa palavra foi criada a partir da junção de duas palavras gregas, a saber: logos e arithmos. A primeira tem o signi�cado de razão, enquanto a segunda está associada a ideia de número. Com o propósito de ilustrar um outro uso da palavra arithmos, vale mencionar que Pitagoras já tinha observado que haviam dois tipos de arithmos, os protoi arithmós que seriam números primários e os deuterói arithmós que seriam os números secundários. Aqui, os termos primários e secundários se referem a possibilidade dos números serem escritos ou não por meio da multiplicação entre outros números. Assim, números do primeiro tipo seriam, por exemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, · · · , enquanto 4, 10, 15, 18, · · · seriam do segundo tipo. É fácil perceber que Pitagoras estava se referindo ao que se conhece hoje como números primos e compostos e praticamente enuncia o Teorema Fundamental da Aritmética, proposto e provado por Gauss no �nal do século XVIII, mais precisamente em 1796. Ao iniciar o trabalho de montagem de suas tabelas, como observado anteriormente, Napier pensou nos logaritmos como razões entre segmentos, como valores de uma sequência geométrica e mais uma vez, baseado em resultados previamente estabele- cidos. Michael Stifel (1487-1567) havia estabelecido, anos antes, uma relação entre os termos de uma progressão geométrica e os expoentes dos res- pectivos termos. Considere a sequência geométrica (1, q, q2, q3, ..., qn 28 Logaritmos: contextualização histórica Tabela 2.1: Ilustração das ideias de Stifel. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 q = 2 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 q = 3 1 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049 q = 4 1 4 16 64 256 1024 4096 16384 65536 262144 1048576 , ..., qm, ...). Stifel percebeu que qn.qm = qm+n e que qn qm = qn−m. Além disso, ele havia percebido que os expoentes formavam uma pro- gressão aritmética. Napier, ao que parece, inspirou-se nestes resulta- dos obtidos por Stifel. (SANTOS, p.19, 2008). A Tabela 2.1 ilustra em cada uma de suas linhas sequências numéricas formadas com 11 termos. Na primeira linha tem-se uma PA de razão 1, enquanto nas demais linhas, PG's de razão 2, 3 e 4, respectivamente. Como pode ser observado na Tabela 2.1 os expoentes são somente inteiros e a diferença entre termos consecutivos de uma PG é relativamente signi�cativa, conforme se aumenta o expoente. Assim, Napier desejava escrever os expoentes em forma de uma faixa contínua de valores, sabendo a priori que para manter os termos próximos na sequência, não poderia trabalhar com valores altos na base, tomando apenas valores pequenos. Um valor que correspondesse a uma fração da unidade, escolhendo assim a unidade 10 e baseado na trigonometria de sua época, escolheu o valor (1 − 1 107 ) = 0, 9999999 . Dessa maneira seria capaz de conservar os termos de sua progressão geométrica de potências inteiras. Os termos de sua sequência eram obtidos com a subtração do termo anterior a sua 107 parte, assim Napier montou sua primeira tabela de 101 elementos. Sabe-se que o estudo de Napier durou aproximadamente duas décadas e foi total- mente realizado com pena e papel, já que naquele tempo não havia calculadoras ou quaisquer artefatos mecânicos para auxiliar nessa tarefa. Entretanto, é importante mencionar que os logaritmos de Napier eram diferentes daqueles que se manipula nos dias atuais, considerando que Napier não dispunha do conceito de base. Assim, todos os princípios utilizados eram explicados em termos geométricos. Uma outra forma de ver os logaritmos imaginados por Napier era pensar em termos de segmentos, semirretas e em velocidades, como pode ser observado no conjunto de premissas descritas a seguir e retiradas de Boyer (2003). 1. Suponha, por exemplo, o segmento de reta AB e a semirreta passando por DX, com origem no ponto D, conforme Figura 2.1; 2. Admita o segmento AB como a unidade. No caso de Napier era adotado o valor 107; Os logaritmos de John Napier 29 3. Suponha um ponto C percorrendo o segmento AB e um ponto F percorrendo a semirreta com suporte no segmentoDX de forma que ambas iniciam o movimento simultaneamente a partir dos extremos A e D, respectivamente; 4. Admita ainda que os pontos C e F possuam a mesma velocidade inicial; 5. Suponha que a velocidade do ponto C seja dada pela medida do segmento CB e que a velocidade F seja constante e igual a velocidade inicial de C; 6. Nessas condições, Napier concebeu a noção de logaritmo do número x = CB como sendo o número y = DF . Aqui, o conceito de base não interfere nesta de�nição (Boyer, 2003). Figura 2.1: Vetor Nesse contexto, o ponto C inicia seu movimento a partir do ponto A ao longo do segmento AB com uma velocidade variável, diminuindo cada vez mais sua distância do ponto B. A velocidade do ponto F , apesar de ser constante, está diretamente relacionada a velocidade inicial do ponto C. A de�nição geométrica de Napier concorda, é claro, com a descrição numérica dada acima. Para mostrar isto, seja PB = x e CQ = y. Se AB é tomado como 107 e se a velocidade inicial de P também é tomada como 107, então em notações modernas temos dx dt = −x e dy dt = 107, xq = 107, yq = 0. Então dy dx = −107 x ou y = −107lncx, onde das condições iniciais resulta c = 10−7. Logo y = 107ln( x 107 ) ou y 107 = log 1 e ( x 107 ). Isto é, se as distâncias PB e CQ fossem divididas por 107, a de�nição de Napier levaria precisamente a um sistema de logaritmos de base 1 e , (BOYER, 2003, p.214). Ainda de acordo com Boyer (2003), o conceito de função logarítmica estava implícito na de�nição de Napier, mas o conceito não se concretizou porque o objetivo maior de Napier era somente simpli�car as cálculos numéricos. Formalmente, o aparecimento dos logaritmos se deu somente no ano de 1614, com a publicação do artigo Miri�ci logarithmorum cononis descriptio, assim como a publicação de suas primeiras tábuas e isso representou uma capacidade de se realizar cálculos de forma mais simpli�cada jamais observada anteriormente. 30 Logaritmos: contextualização histórica Um tábua (tabela) de logaritmos consiste essencialmente de duas colunas de núme- ros formadas por um conjunto de linhas. A cada número da coluna à esquerda corres- ponde um número à sua direita, na mesma linha, chamado o seu logaritmo. Logo, para multiplicar dois números, basta somar seus logaritmos (coluna à direita), tendo como resultado o logaritmo do produto. Na sequência, para encontrar o produto basta ler na tábua, da direita para a esquerda, qual o número que possui aquele valor de logaritmo. Por outro lado, na divisão, o processo ocorre de forma semelhante. Para se dividir dois números, basta subtrair os respectivos logaritmos. Para elevar um número a uma potência n é su�ciente multiplicar o logaritmo pelo mesmo valor n. Do mesmo modo, para extrair a m�ésima raiz basta dividir o logaritmo por m. É claro que após essas operações era necessário ir até a tábua e encontrar os números que possuiam os respectivos logaritmos. Essas e outras propriedades estão devidamente enunciadas e provadas no Capítulo 4. É importante observar ainda que, a relação que Napier fazia entre cada uma das linhas das colunas de suas tábuas é exatamente aquilo que hoje é referenciado por função. Como se sabe, a gênese do conceito de logaritmmo precede a noção de função no desenvolvimento da Matemática. No Anexo A pode-se encontrar uma tabela com logaritmos decimais onde inúmeras atividades envolvendo operações de multiplicação e divisão poderiam ser exploradas, mostrando aos alunos como eram realizados os cálculos no século XVI, motivando-os a re�etir e contrastar com a realidade dos dias de hoje, com o advento dos modernos computadores. Figura 2.2: Tábua de Napier Logo após o aparecimento das primeiras tábuas de logaritmos e a comunidade ci- entí�ca percebendo a importância e utilidade delas, conjuntamente com o matemático inglês Henry Briggs (1561 � 1631), Napier elaborou uma nova tábua, bem mais simples de ser utilizada e onde se fazia uso apenas da base 10, o que é conhecido popularmente hoje como logaritmos decimais ou logaritmos ordinários. [...]Brigs começou com log 10 = 1 e depois achou outros logaritmos tomando raízes sucessivas. Calculando que √ 10 = 3, 162277, Briggs tinha que log 3, 162277 = 0, 5000000, e de 10 3 4 = √ 31, 62277 = 5, 623413 tinha que log 5, 623413 = 0, 750000. (Boyer, 2003, pp.215) Os logaritmos de John Napier 31 É importante observar como uma ideia básica inicial que se concentrava essenci- almente em "simpli�car cálculos", motivada por povos antigos há milhares de anos, evoluiu sistematicamente ao longo da civilização, foi re�nada e deu origem ao conceito de logaritmos, e, posteriormente ao de funções logarítmicas, que, conjuntamente com funções a�ns, quadráticas e exponenciais se constituem nos modelos matemáticos mais simples e amplamente utilizados numa vasta gama de problemas. Desde a gênese dos logaritmos até os dias atuais, sua utilidade se revelou decisiva no desenvolvimento de várias áreas do conhecimento humano. O conceito de logaritmos como se conhece hoje, foi forjado ao longo de milha- res de anos e com a contribuição direta e indireta de inúmeros personagens. Essa mesma busca pelo conhecimento fez com que o homem desenvolvesse artefatos mecâ- nicos, eletrônicos e digitais que passaram a substituir as "tábuas de logaritmos"como instrumento de cálculo. Atualmente, calculadoras digitais disponíveis em notebooks, tablets e celulares são capazes de realizar cálculos extremamente complexos e em tempo real. Entretanto, o legado conceitual subjacente a noção de logaritmo continuará para sempre a contribuir para a evolução da matemática e das ciências em geral. Diferentes pesquisas apontam para a importância de se utilizar abordagens metodo- lógicas alternativas que possam auxiliar e facilitar o processo de ensino-aprendizagem da matemática, entre elas o uso de recursos da história da matemática, de jogos, de novas tecnologias, modelagem matemática (situações problema). Explorar o uso da História da Matemática como um recurso adicional no processo de ensino-aprendizagem da matemática é algo que está presente nos documentos o�ciais. Tentar fazer com que o aluno consiga enxergar que a matemática é uma criação humana, que não é fruto da mente de um único indivíduo e de um simples desejo de se criar algo completamente desconectado da realidade, mas que suas origens estão relacionadas a diferentes povos, muitas vezes sem contato entre eles e foi desenvolvida para resolver problemas práticos relevantes no cotidiano dessas civilizações. Entretanto, a história não pode se limitar a fatos isolados ou simplesmente de bibliogra�as de matemáticos famosos (BRASIL, 1998). É importante salientar ao aluno que a moderna tecnologia existente hoje nada mais é do que a transformação do conhecimento acumulado de várias áreas do saber em produtos e processos e que a matemática está presente no projeto, desenvolvimento e materialização de um aparelho celular, de um carro ou um avião. Por outro lado, diferentes fenômenos físicos, químicos, biológicos, econômicos e sociais que envolvem grandes ou pequenas variações ao longo do tempo são modela- dos por funções logarítmicas e pela sua inversa � a função exponencial, ilustrando a interdisciplinariedade e transversalidade do conceito de logaritmos. Problemas como desintegração radioativa, cultura de bactérias, crescimento populacional, juros, absor- ção/eliminação do teor alcólico pelo corpo humano, são alguns exemplos. No Capítulo 5 são explorados problemas dessa natureza. 3 O Ensino médio: concepção de documentos o�ciais Como o objetivo precípuo do trabalho é discutir/analisar o ensino de funções expo- nenciais e logarítmicas, conteúdo que é abordado no Ensino Médio, nesse capítulo será feito uma análise a cerca dos documentos o�ciais que norteiam o trabalho docente a ser realizado nesta etapa de ensino. Segundo a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional - LDB, o ensino médio se consiste na etapa �nal da educação básica, com duração mínima de três anos, tendo como �nalidade: a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos que foram adquiridos no ensino fundamental, tornando possível o prosseguimento dos estudos, a preparação básica para o mercado de trabalho, e para a cidadania do educando, para que este possa continuar aprendendo, sendo capaz de se adaptar com facilidade a novas condições de trabalho ou aperfeiçoamento, o aprimoramento como pessoa em sua formação ética, com o desenvolvimento de sua autonomia intelectual e o pensa- mento crítico, e a compreensão de fundamentos técnicos cientí�cos relacionando teoria e prática no ensino das diversas disciplinas (Brasil, 1996). O Ensino Médio, ao ser instituído como última etapa da Educação Básica, tem objetivo de complementar e aprofundar o aprendizado iniciado no Ensino Fundamental, dessa maneira a LDB/96 determina que o currículo dessa etapa consista de alguns pressupostos: I - destacará a educação tecnológica básica, a compreensão do sig- ni�cado da ciência, das letras e das artes; o processo histórico de transformação da sociedade e da cultura; a língua portuguesa como instrumento de comunicação, acesso ao conhecimento e exercício da cidadania; II - adotará metodologias de ensino e de avaliação que estimulem a iniciativa dos estudantes; III - será incluída uma língua estrangeira moderna, como disciplina obrigatória, escolhida pela comunidade escolar, e uma segunda, em caráter optativo, dentro das disponibilidades da instituição (Brasil, 1996). As Diretrizes Curriculares Nacionais para o Ensino Médio dispõe a educação visando a promoção de valores, frisando que os atuais marcos legais subsidiados pela LDB/96 33 34 O Ensino médio: concepção de documentos o�ciais representam um divisor na construção da identidade do Ensino Médio, sendo dois as- pectos fundamentais, o primeiro deste dispõe sobre as �nalidades do Ensino Médio que seria o aprimoramento do educando como ser humano, em sua formação ética, promo- vendo o desenvolvimento de sua autonomia intelectual, de seu pensamento crítico, sua preparação para o mundo de trabalho e o desenvolvimento de novas competências para o mercado de trabalho. O segundo dispõe sobre a organização curricular com os seguintes componentes: uma base curricular nacional comum, sendo complementada em cada escola de acordo com suas especi�cidades regionais e locais, de sua sociedade, cultura e economia; o planejamento e desenvolvimento do currículo de modo a promover a interdisciplina- ridade entre as disciplinas escolares; uma gestão democrática, quando os professores participam ativamente da elaboração de normas comuns, e da proposta pedagógica da instituição (Brasil, 2006). Salienta-se que o grande avanço depreendido por tais diretrizes se constitui na possibilidade de organizar o trabalho das escolas a partir de suas especi�cidades e de sua realidade local, tendo como primordial a gestão democrática e o trabalho coletivo. Conclui-se a partir do exposto que a de�nição de tais propósitos para o Ensino Médio evidencia que a educação não pode se restringir ao ensino disciplinar isolado, mas deve abarcar um grande contingente de competências e habilidades a serem desenvolvidas no âmbito de todas as disciplinas. 3.1 O Ensino de matemática: parâmetros curricula- res nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) e diretrizes curriculares nacionais (DCN) Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) para o ensino médio, em seu volume três - Ciências da Natureza, Matemática e suas tecnologias, tem como objetivo precí- puo explicitar as habilidades e competências básicas a serem desenvolvidas por alunos do ensino médio, público alvo do presente estudo. No Ensino Médio destacamos que os objetivos envolvem o aprofundamento dos saberes disciplinares em Biologia, Fí- sica, Química e Matemática, com procedimentos cientí�cos comuns aos seus objetos de estudo, com metas formativas particulares, e com tratamentos didáticos especí�cos. Envolve também a articulação interdisciplinar desses saberes em várias circunstâncias, das quais se destacam os conteúdos tecnológicos e práticos. (Brasil, 2002). Contudo os PCNEM (2002) e os PCN+ (2002) propõem um aprendizado que seja útil na vida dos educandos, desenvolvendo conhecimentos práticos e contextualizados, visando também o desenvolvimento de conhecimentos mais amplos e abstratos. Dessa maneira o ensino tem por objetivo suprir as necessidades da vida contemporânea, bem como contemplar uma visão cientí�ca do ensino. O Ensino de matemática: parâmetros curriculares nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) e diretrizes curriculares nacionais (DCN) 35 Tendo em vista as novas aspirações da sociedade globalizada é imprescindível que a educação esteja voltada para o desenvolvimento das capacidades de comunicação, de re- solver problemas, de tomar decisões, fazer inferências, criar e aperfeiçoar conhecimentos trabalhando coletivamente. É importante a adequação do ensino para a promoção do desenvolvimento de todos os alunos, com diversas motivações, interesses e capacidades. A maneira de trabalhar os conteúdos deve agregar um valor formativo, no que se refere ao desenvolvimento do pensamento lógico matemático, colocando os alunos em um processo que valorize o raciocínio de formular questões, estabelecer hipóteses e tirar conclusões, apresentar exemplos, generalizar situações, abstrair regularidades, criar modelos e argumentar com fundamentação lógico-dedutiva. O ensino deve também valorizar a apresentação de propriedades matemáticas, acompanhadas de explicações de fórmulas acompanhadas de dedução, valorizando o uso da matemática para a resolução de problemas (Brasil, 2006). Destaca-se o papel da matemática no Ensino Médio enfatizando sua universalidade, considerando que outras ciências dependem da matemática, sendo que os alunos de- vem desenvolver habilidades relacionadas a representação, compreensão, comunicação, investigação e também contextualização sociocultural. [...] todas as áreas requerem alguma competência em Matemática e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos é necessária tanto para tirar conclusões e fazer argumentações, quanto para o cidadão agir como consumidor prudente ou tomar decisões em sua vida pessoal e pro�ssional. (Brasil, 2002). Segundo o PCNEM (2002) a matemática no Ensino Médio apresenta ainda, �valor formativo, que ajuda a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas especí�cas em quase todas as atividades humanas�. Em seu papel formativo a matemática �contribui para o desenvolvimento de pro- cessos de pensamento e a aquisição de atitudes, cuja utilidade e alcance transcendem o âmbito da própria matemática� , dessa maneira o ensino da matemática pode formar alunos com capacidade de resolução de problemas, com habilidades de investigação, com con�ança para a análise e enfrentamento de novas situações. Em seu caráter ins- trumental a matemática � deve ser vista pelo aluno como um conjunto de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, assim como para a atividade pro�ssional� (Brasil, 2002). As �nalidades do ensino de Matemática no nível médio indicam como objetivos levar o aluno a compreender os conceitos da disciplina, bem como procedimentos e estratégias matemáticas que permitam o desenvolvimento dos estudos posteriores adquirindo uma formação cientí�ca inicial; aplicar os conhecimentos matemáticos em diversas situações, em interpretação da ciência, na atividade tecnológica e em atividades cotidianas; fazer análise de informações provenientes de diversas fontes de acesso, formando um cidadão 36 O Ensino médio: concepção de documentos o�ciais com opinião própria que possa se expressar criticamente sobre problemas matemáticos e em outras áreas do conhecimento; o desenvolvimento da capacidade de raciocínio e resolução de problemas, de comunicação, bem como o senso crítico e criativo; o desenvolvimento da compreensão de conceitos matemáticos e sua aplicabilidade no cotidiano; conseguir se expressar oralmente, por escrito e gra�camente em diversas situações matemáticas; conseguir fazer conexões dentre os conceitos matemáticos e também com outras disciplinas do currículo; promover a realização pessoal do aluno, mediante ao sentimento de segurança em suas capacidades matemáticas (Brasil, 2002). O ensino de matemática possuí caráter instrumental amplo, além da investigação e invenção, ele se situa como linguagem, ou seja, instrumento de expressão e raciocínio, um espaço de elaboração e compreensão de ideias. Dessa maneira se torna fundamental a interlocução da matemática com as demais disciplinas promovendo uma aprendiza- gem ampla e signi�cativa aos alunos. Os conteúdos básicos a serem trabalhados ao longo do ano estão organizados em quatro blocos: Números e operações; Funções; Geometria; Análise de dados e probabi- lidade. Dentro desses conteúdos é imprescindível o desenvolvimento de outras habilida- des na área de representação e comunicação: ler e interpretar textos de Matemática; ler, interpretar e utilizar representações matemáticas (tabelas, grá�cos, expressões, etc); transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, grá�cos, diagramas, fórmulas, tabelas, etc.) e vice-versa; exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem matemática, usando a terminologia correta; produzir textos matemáticos adequados; utilizar adequadamente os recursos tecnológicos como instrumentos de produção e de comunicação; utilizar corretamente instrumentos de medição e de desenho. Na área de investigação e com- preensão: identi�car o problema (compreender enunciados, formular questões, etc); procurar, selecionar e interpretar informações relativas ao problema; formular hipóte- ses e prever resultados; selecionar estratégias de resolução de problemas; interpretar e criticar resultados numa situação concreta; distinguir e utilizar raciocínios dedutivos e indutivos; fazer e validar conjecturas, experimentando, recorrendo a modelos, esbo- ços, fatos conhecidos, relações e propriedades; discutir idéias e produzir argumentos convincentes. Na área de Contextualização sócio cultural: desenvolver a capacidade de utilizar a Matemática na interpretação e intervenção no real; aplicar conhecimentos e métodos matemáticos em situações reais, em especial em outras áreas do conheci- mento; relacionar etapas da história da Matemática com a evolução da humanidade; utilizar adequadamente calculadoras e computador, reconhecendo suas limitações e potencialidades (Brasil, 2002). Cumpre destacar que para suprir as novas necessidades educacionais é preciso supe- rar a visão conservadora de que cada disciplina é algo isolado e independente, é preciso a articulação de várias disciplinas em busca de um currículo mais �exível adequado às novas necessidades educacionais da contemporaneidade. O Ensino de funções segundo o PCNEM e DCN 37 Tendo em vista que essa etapa da escolaridade possa complementar a formação já iniciada na escola básica possibilitando o desenvolvimento de novas habilidades mate- máticas é preciso rever alguns temas que são tradicionalmente ensinados. Não basta apenas nos atentarmos a metodologias de ensino, se os conceitos matemáticos se res- tringirem apenas a transmissão ou a informação com de�nições e exemplos, deve-se veri�car se os conteúdos são passados de forma fragmentada, pois se forem, mesmo com uma profunda explicação o aluno não consegue compreender o signi�cado dessas ideias isoladas e desconectadas, podemos notar essa falta de compreensão escancarada no fracasso escolar principalmente no campo da matemática. Dessa maneira, a concepção do currículo deve corresponder a conteúdos e práti- cas previamente determinados como conteúdos mínimos da Base Nacional Comum, sendo que o currículo deve ser �exível de acordo com a realidade local das escolas. Evidencia-se que os temas escolhidos devem partir dos critérios estabelecidos anterior- mente, visando o desenvolvimento de atitudes e habilidades, �O critério central é o da contextualização e da interdisciplinaridade, ou seja, é o potencial de um tema permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático� (Brasil, p.43, 2002). 3.2 O Ensino de funções segundo o PCNEM e DCN A partir dos documentos norteadores o�ciais da educação (PCNEM e DCN) po- demos a�rmar que o ensino de funções possui caráter interdisciplinar, toma-se como exemplo a análise de grá�cos que pode ser utilizada em várias áreas do conhecimento. Além das conexões internas à própria Matemática, o conceito de fun- ção desempenha também papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de grá�cos, o comporta- mento de certos fenômenos tanto do cotidiano, como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geogra�a ou Economia. Cabe, por- tanto, ao ensino de Matemática garantir que o aluno adquira certa �exibilidade para lidar com o conceito de função em situações diversas e, nesse sentido, através de uma variedade de situações problema de Matemática e de outras áreas, o aluno pode ser incentivado a buscar a solução, ajustando seus conhecimentos sobre funções para construir um modelo para interpretação e investigação em Matemática. (Brasil, 2002) Em suma, denota-se que o conceito de função se constitui em um dos eixos de li- gação, dentro da própria matemática, bem como com outras áreas do conhecimento, o conceito de função transgride os conceitos matemáticos fomentando um importante papel para o estudo de grá�cos, por meio da leitura, interpretação e construção, bem como o comportamento de fenômenos de diversas áreas do conhecimento. Dessa ma- neira o ensino de matemática visa garantir �exibilidade do ensino de funções, para que os conhecimentos dos alunos possam ser aplicados em diferentes situações. 38 O Ensino médio: concepção de documentos o�ciais As funções devem ser trabalhadas inicialmente com uma exploração qualitativa en- tre duas grandezas diferentes, ou seja, uma relação de dependência entre duas variáveis, como por exemplo, área do círculo e o raio, medida do lado e o perímetro, entre ou- tras. É importante também fazer uma sondagem de conhecimentos prévios dos alunos, bem como incentivar para que eles levantem hipóteses, criem grá�cos que representem relações. Destacamos que é apropriado a interação dos alunos na compreensão do funciona- mento da função, explicando com suas próprias palavras uma função algébrica, por exemplo, f(x) = 5x− 1, quando é associado um valor real ao seu quíntuplo subtraído de uma unidade. A apresentação grá�ca das funções também se mostra importante na compreensão de seu signi�cado e identi�car as mudanças realizadas quando alteramos os coe�cientes de uma função. �O estudo de Funções pode prosseguir com os diferentes modelos que devem ser objeto de estudo na escola � modelos linear, quadrático e exponencial� (Brasil, 2006). No estudo das funções exponenciais o ideal é discutir fenômenos de crescimento, para então introduzir o modelo de crescimento/decrescimento, onde situações reais como crescimento de população de determinada bactéria pode ilustrar bem esse modelo ex- ponencial. Dentre as aplicações matemáticas podemos dar ênfase na matemática �- nanceira, onde o cálculo de juros e correção monetária fazem uso desse modelo. Nos problemas que envolvem equações exponenciais em geral necessita a função inversa ou função logarítmica. Os estudos das funções exponenciais e logarítmicas podem ser utilizados como um tema transversal, explorando aplicações em áreas como Física, Química, Biologia ou Matemática Financeira, onde pode-se modelar situações através das funções. Contudo a resolução e desenvolvimento da resolução das mesmas pode-se utilizar diferentes métodos, como algébrico, geométrico ou através de softwares e jogos. 3.3 O programa São Paulo faz escola e o ensino das funções exponenciais e logarítmicas O governo do Estado de São Paulo por meio da Secretaria do Estado da Educação (SEE) implementou o �Programa São Paulo Faz Escola�. Criado em 2007, o programa tem como foco a implantação de um currículo único para as mais de 5 mil escolas da rede pública estadual, todos os alunos da rede estadual recebem o mesmo material didático e seguem o mesmo plano de aula. O fato de todas as unidades escolares contarem com o mesmo currículo pedagógico auxilia na melhoria da qualidade de ensino da rede pública, uma vez que coloca todos os alunos da rede estadual no mesmo nível de aprendizado� (Portal Eletrônico da Secretaria Estadual de São Paulo SEE/SP). Em 2008 também chega às escolas públicas a �Proposta Curricular� com orientações a serem acatadas pelas unidades de ensino. Esta proposta se torna o novo Currículo O programa São Paulo faz escola e o ensino das funções exponenciais e logarítmicas39 O�cial do Estado. Em 2012 temos quatro documentos norteadores para a implantação da reforma curricular, sendo esses: a Proposta Curricular (currículo o�cial), o Caderno do Gestor, o Caderno do Professor e o Caderno do Aluno. O argumento adotado pela Secretaria para a implantação da Proposta Curricular se concentra no fato de que a autonomia conferida às esco- las pela LDB (Lei 9394/96) para de�nirem seus projetos pedagógicos, embora seja reconhecida como importante medida descentralizadora, mostrou-se insu�ciente do ponto de vista da garantia de um sistema educacional. A Proposta Curricular buscou uni�car ações em toda a rede na busca de �garantir a todos uma base comum de conhecimen- tos e competências�, segundo Maria Inês Fini, coordenadora geral da proposta (PONCE; LEITE, 2012) O argumento supracitado vai em contra mão aos preceitos democráticos estabele- cidos pela Lei de Diretrizes e Bases e nos remete ao fato de que as escolas perdem sua autonomia segundo eles por se mostrarem incapazes de se conduzir por si mesmos. Não se pode discordar de forma alguma de que parâmetros mínimos para a educação são necessários, no entanto, as particularidades de cada escola também deve ser respei- tada, e ao delimitar o trabalho docente passo a passo a escola perde a autonomia para efetivamente atender suas peculiaridades. Ao invés de investir tanto dinheiro em uma apostila pronta o governo deveria se preocupar com a formação dos docentes, com o plano de carreira e principalmente com a infraestrutura escolar. Os professores recebem o denominado �caderno do professor� e este contém ativida- des a serem executadas e orientações a serem seguidas pelos docentes. Os estudantes recebem um caderno de atividades, denominado �caderno do aluno�, enquanto os gesto- res recebem �o caderno do gestor� contendo orientações sobre as medidas relacionadas ao currículo escolar, a avaliação e expectativas de aprendizagem. O Currículo se completa com um conjunto de documentos dirigidos especialmente aos professores e aos alunos: os Cadernos do Professor e do Aluno, organizados por disciplina/série(ano)/bimestre. Neles, são apresentadas Situações de Aprendizagem para orientar o traba- lho do professor no ensino dos conteúdos disciplinares especí�cos e a aprendizagem dos alunos. Esses conteúdos, habilidades e compe- tências são organizados por série/ano e acompanhados de orientações para a gestão da aprendizagem em sala de aula e para a avaliação e a recuperação. Oferecem também sugestões de métodos e estratégias de trabalho para as aulas, experimentações, projetos coletivos, ativi- dades extraclasses e estudos interdisciplinares. (SECRETARIA DA EDUCAÇÃO, 2008) O Caderno do Professor de Matemática referente à primeira série do Ensino Médio em seu segundo volume traz os conteúdos determinados pelo PCN abordando diversas situações de aprendizagens, dentre elas destacaremos algumas que se tornam pertinen- tes ao nosso tema de trabalho. �As potências e o crescimento/decrescimento exponen- cial: a função exponencial�; �Quando o expoente é a questão, o logaritmo é a solução: a 40 O Ensino médio: concepção de documentos o�ciais força da ideia de logaritmo�; �As funções com variável no expoente: a exponencial e sua inversa, a logarítmica�; � As múltiplas faces das potências e dos logaritmos: problemas envolvendo equações e inequações em diferentes contextos�. As inovações apresentadas no caderno do professor são referentes a novas formas de abordagens e contextualização dos conteúdos, destacando as competências pessoais do educando, a leitura e a escrita matemática, bem como os elementos culturais que são internos ou externos à matemática. O caderno ainda contém materiais extras em sintonia com a abordagem proposta, visando enriquecer a aula do professor, como por exemplo, textos, softwares, sites, vídeos, entre outros. Os conteúdos básicos abordados no caderno é referente à ideia de crescimento e decrescimento exponencial, consolidando a linguagem das potências e introduzindo a ideia de logaritmo. O ensino de potência é intensi�cado no primeiro ano do ensino médio, visando solidi�car seu signi�cado, �As potências já foram apresentadas aos alunos do Ensino Fundamental (na 5a série/ 6o ano, as primeiras noções; na 7a série/8o ano, as potências com expoentes inteiros; na 8a série/ 9o ano, os expoentes racionais e reais)� (Brasil, 2008). O caderno busca articular as funções exponencial e logarítmicas, salientando o que a distinção entre elas é apenas uma troca de posição entre suas variáveis, como por exemplo: Se y = ax , considerando x a variável independente, escrevemos y = f(x) = ax e temos uma função exponencial; Quando y é a variável independente, escrevemos x = g(y) = loga y, e temos uma função logarítmica. Observa-se como fundamental que o professor conheça diversos tipos de contextuali- zação dos logaritmos como calculo de juros, graus de terremotos, ondas sonoras, dentre outros visando enriquecer o aprendizado, tais problemas serão explorados e discutidos no Capitulo 5. 4 O Ensino de funções O Ensino de função é um dos conteúdos da matemática que pode ser trabalhado em diversas áreas do conhecimento. Salientando o estudo sobre os PCNs anteriormente abordado destaca-se a importância da multidisciplinaridade durante a construção dos saberes escolares, buscando permitir com que o aluno faça essa interação dos conhe- cimentos matemáticos em diferentes aplicações no dia a dia e em situações diversas. Uma função é uma maneira de associar a cada valor de um conjunto A à um único va- lor do conjunto B. Isto pode ser feito especi�cando através de uma fórmula ou relação entre os conjuntos A e B, essa relação (<) pode ser apresentada através de grá�cos, diagramas, tabelas entre outros. Entende-se por função f uma terna (A,B, a 7→ b) Onde A e B são dois conjuntos e a 7→ b uma regra que nos permite associar a cada elemento a de A um único b de B. O conjunto A é o domínio de f e indica-se por Df , assim A = Df . O conjunto B é o contradomínio de f . O único b de B associado ao elemento a de A é indicado por f(a); diremos que f(a) é o valor que assume em a ou que f(a) é o valor que f associado ao a. Uma função f de domínio A e contradomínio B é usualmente indicada por f : A→ B. Uma função pode ser classi�cada como: -Crescente: ∀x, y ∈ A, se x ≤ y ⇒ f(x) ≤ f(y). -Decrescente: ∀x, y ∈ A, se x ≤ y ⇒ f(x) ≥ f(y). Para compreender o ensino de função é preciso explorar diversas habilidades, como por exemplo, a numérica, geométrica e algébrica. Através de diferentes situações pro- blemas os alunos podem aplicar tais conceitos matemáticos adquiridos para solucionar o que foi proposto. Observe um exemplo de função relacionada com o cotidiano de qualquer pessoa. Exemplo Um trabalhador de classe média precisa economizar, pois com o aumento da in�ação sua renda tem �cado insu�ciente, e como não tem carro gasta uma pequena quantia com taxi. Em sua cidade tem duas companhias de taxi a Companhia A e a Companhia 41 42 O Ensino de funções Tabela 4.1: Valores pagos nas companhias de taxi Km rodado Custo na companhia A Custo na companhia B 0 R$ 13, 00 R$ 6, 00 5 R$ 16, 50 R$ 10, 75 10 R$ 20, 00 R$ 15, 50 15 R$ 23, 50 R$ 20, 25 20 R$ 27, 00 R$ 25, 00 25 R$ 30, 50 R$ 29, 75 26 R$ 31, 20 R$ 30, 70 27 R$ 31, 90 R$ 31, 65 28 R$ 32, 60 R$ 32, 60 29 R$ 33, 30 R$ 33, 55 30 R$ 34, 00 R$ 34, 50 35 R$ 37, 50 R$ 39, 25 40 R$ 41, 00 R$ 44, 00 45 R$ 44, 50 R$ 48, 75 50 R$ 48, 00 R$ 53, 50 B onde o valor da bandeirada e do quilômetro rodado varia de uma empresa para outra, a Companhia A cobra R$ 13, 00 pela bandeirada e R$ 0, 70 por quilômetro rodado e a Companhia B cobra R$ 6, 00 pela bandeirada e R$ 0, 95 por quilômetro rodado. Determine qual é a melhor opção para obter uma economia de recursos. Resolução: Para a resolução do problema precisa-se escrever a situação citada algebricamente ou �matematicamente�. Conforme pode ser observado pela Tabela 4.1 do preço pago nas diferentes companhias de taxi de acordo com a quantidade de quilômetros rodados. Existe uma relação entre as grandezas distância e quantidade de dinheiro, ou seja, cada vez que aumenta a quantidade de quilômetros percorridos pelo taxi aumenta tam- bém a quantia paga pela corrida. Essa relação de dependência pode ser representada através de uma função onde o domínio será a quantidade de quilômetros (variável x) e a imagem será a quantia em reais pago pelo passegeiro (variável f(x)). A função f(x) é o valor gasto na companhia A, será de�nida da seguinte forma: Dados os conjuntos A e B, uma função f : A −→ B (lê-se uma função de A em B) é uma regra que diz como associar a cada elemento x ∈ A (quilômetros percorridos) um elemento f(x) ∈ B (preço a ser pago). f(x) = 13 + 7x 10 A função g(x) da companhia B será de�nida da seguinte forma: Dados os conjuntos A e B, uma função g : A −→ B (lê-se uma função de A em B) é uma regra que que diz como associar a cada elemento x ∈ A um elemento g(x) ∈ B. 43 g(x) = 6 + 95x 100 Note que pela Tabela 4.1 o valor de quilômetros rodados (x) que em ambas as companhias irão pagar a mesma quantia será de 28km, porém pode-se determinar com quantos quilômetros será pago a mesma quantia em ambas as companhias igualando as funções: f(x) = g(x) 13 + 7x 10 = 6 + 95x 100 95x 100 − 7x 10 = 13− 6 25x 100 = 7 x = 28 Portanto a quantidade de quilômetro percorrido pelo cliente para ser pago a mesma quantia será de 28km. Para qualquer valor menor que 28km a Companhia B será mais econômica e a partir disso será mais econômico a Companhia A. Na �gura 4.1 pode ser observado o comportamento grá�co das duas funções e analisar como elas se cruzam no ponto (28, 32.60). Figura 4.1: Comportamento dos custos das companhias de taxi Propriedades de função -Função injetora: elementos de A não tem a mesma imagem em B. 44 O Ensino de funções ∀x1, x2 ∈ A, x1 6= x2 então f(x1) 6= f(x2) -Função sobrejetora: Uma função é sobrejetora quando o conjunto imagem coincide com o contradomínio da função. ∀y ∈ B,∃x ∈ A/f(x) = y → Imf = B -Função bijetora: Uma função é dita bijetora quando ela for injetora e sobrejetora. As funções são classi�cadas de diferentes maneiras e sua representação grá�ca tam- bém muda em seu formato. O exemplo dado foi uma função a�m, veja alguns exemplos de diferentes funções que são estudadas no ensino médio: Função a�m Chama-se de função a�m a função de�nida da seguinte maneira: f : R −→ R , a, b ∈ R, a 6= 0, tais que f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R. Quando a = 0⇒ f(x) = b,∀x. Quando a > 0⇒ f(x) é crescente. Quando a < 0⇒ f(x) é descrescente. O grá�co de f(x) = ax + b é uma reta, sendo alguns pontos especiais, os pontos que cortam os eixos das coordenadas, que podem ser representados como ( −b a , 0) e o (0, b). Na Figura 4.2 podem ser observados diferentes grá�cos com o comportamento dessa função, quando tem a variação dos coe�cientes a e b. Modi�cando o valor de a por valores positivos o grá�co continua crescente, porém sua angulação ou inclinação sobre o eixo x varia, de acordo com a Figura 4.2(a). f1(x) = x; f2(x) = 3x; f3(x) = 1 5 x. Modi�cando o valor de a por valores negativos o grá�co se torna decrescente, e sua angulação sobre o eixo x também varia de acordo com esse valor, de acordo com a Figura 4.2(b). g1(x) = x; g2(x) = −x; g3(x) = −4x. Modi�cando o valor de b, o grá�co se desloca verticalmente, ou seja, em relação ao eixo y, observe de acordo com a Figura 4.2(c) h1(x) = x; h2(x) = x+ 5; h3(x) = x− 3. Função quadrática Uma funçaõ f : R −→ R chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a 6= 0, tais que f(x) = ax2 + bx + c para todo x ∈ R. Gra�camente uma função 45 (a) a > 0 e b = 0 (b) a < 0 e b = 0 (c) a > 0 e b ∈ R Figura 4.2: f(x) = ax+ b quadrática é representada através de uma parábola. a > 0⇒ a função f tem concavidade para cima; a < 0⇒ a função f tem concavidade para baixo. As raízes de uma função quadrática ou pontos que a função cruza o eixo das abs- cissas está relacionado com o valor de sua discriminate ∆ = b2 − 4 · a · c . ∆ = 0⇒ tem raiz única, f(xn) = 0 , f(x) = a(x− xn); ∆ > 0⇒ tem raiz dupla, f(x) = a(x− x1)(x− x2); ∆ < 0⇒ não tem raiz real. A Figura 4.3 ilustra exemplos do comportamento quando se tem uma variação dos coe�cientes a, b e c. Gra�camente o coe�ciente c representa o deslocameno vertical (ou através do eixo y) da parábola para cima ou para baixo, de acordo com a Figura 4.3(a), os grá�cos das funções fi(x) obteve um movimento vertical ao variar os valores c. 46 O Ensino de funções (a) Variação do coe�ciente c, �xado a > 0 (b) Variação do coe�ciente x0 (c) Variação do coe�ciente a < 0, �xado c Figura 4.3: f(x) = ax2 + bx+ c f1(x) = x2; f2(x) = x2 + 3; f3(x) = x2 − 2. Se representar a função g(x) = a(x + x0) 2 + bx + c o valor de x0 representa o deslocamento horizontal (ou através do eixo x) da parábola. Analisando os grá�cos de gi(x), tem-se o movimento no eixo x conforme a Figura 4.3(b). g1(x) = x2; g2(x) = (x+ 3)2; g3(x) = (x− 2)2. O valor de a em uma função quadrática representa a concavidade da parábola, quando a for positivo ela é voltada para cima e quando a for negativo a concavidade Potenciação 47 é voltada para baixo. De acordo com as funções hi os grá�cos apresentados na Figura 4.3(c). h1(x) = −x2; h2(x) = −x2 + 3; h3(x) = −(x2 + 2). Observe pelos grá�cos da Figura 4.3 que é formado uma parábola onde o valor de a representa a concavidade, o valor de c representa o deslocameno vertical da parábola. Quando a função quadrática f(x) = a(x + x0) + bx + c, o valor de x0 representa o deslocamento horizontal da parábola. Não há dúvidas que entre as funções citadas: lineares, quadráticas, exponenciais e logarítmica existe inumeras aplicações no decorrer da evolução humana ou situações diárias dos alunos. Na sequência, econsiderando que o objetivo do presente trabalho é explorar os conceitos de funções exponenciais e logarítmica, como uma das estratégias utiliza-se de um estudo prévio sobre potenciação. 4.1 Potenciação O estudo de potenciação é um dos pré requisitos para ajudar na compreesão do en- sino de função exponencial, a partir da compreensão das propriedades deste conteúdo abordado no ensino fundamental, com demonstrações, exemplos e situações proble- mas, sempre em busca de auxiliar os estudante a compreender melhor o conceito e a aplicabilidade do estudo abordado. Para as demonstrações das propriedades irá ser usado o método de indução �nita, que consiste de : Dada uma proposição P (n), n ∈ Z+, ela é verdadeira para todo n se: i) p(n0) for verdadeira; ii) Se n = k, k ≥ n0, supõe que p(k) é verdadeira, então prova-se que p(k + 1) é verdadeira. 4.1.1 Potência de expoente inteiro positivo Dados a ∈ R, a 6= 0, e n ∈ Z+. Dizemos que a potência an, tem base a e expoente n, então por de�nição: a0 = 1 an = an−1 · a,∀n, n > 1 Logo: 48 O Ensino de funções a1 = a0 · a = a a2 = a1 · a = a · a a3 = a2 · a = a · a · a De modo geral, tem-se que an, n>1, pode ser escrito como o produto da base a por n fatores iguais a ela. Algebricamente, an = a · a · a · ...a· (n fatores). Propriedades Seja a > 0, b ≥ 0, a ∈ R e n,m ∈ Z+. Então valem as seguintes propriedades: Produto de potências de mesma base : am · an = am+n Demonstração. Dado m ∈ Z+, por indução sobre n: Se n = 0, então : am+0 = am = am · 1 = am · a0 Supondo a veracidade da propriedade para n = k, onde k ≥ 0 qualquer, ou seja, am · ak = am+k, mostramos que seja válido para n = (k + 1). De fato: am · ak+1 = am · (ak · a) = (am · ak) · a = ak+m · a = am+k+1 = am+(k+1) Divisão de potências de mesma base : am an = am−n Demonstração. Como anteriormente, por indução sobre n: Se n = 0, tem-se : am−0 = am = am 1 = am a0 . Supondo que a igualdade seja verdadera para n = k, isto é, am ak = am−k, tem-se para n = k + 1: am−(k+1) = a(m−k)−1 = a(m−k)−1·a a = a(m−k)−1 · a a = am−k a = am−k a ·a k ak = am−k+k a · ak = am ak+1 Potenciação de potência : (a · b)m = am · bm Potenciação 49 Demonstração. Para n = 0, tem-se: (a · b)0 = 1 = 1 · 1 = a0 · b0 Supondo que a a�rmação seja verdadeira, para k ∈ Z+: (a · b)k = ak · bk. Tem-se para n = k + 1: (a · b)(k+1) = (a · b)k · (a · b)1 = ak · bk · a · b = (ak · a) · (bk · b) = ak+1 · bk+1. Potenciação de fração : ( a b )m = am bm Demonstração. Para n = 0, tem-se: ( a b )0 = 1 = a0 b0 Supondo que a a�rmação seja verdadeira, para k ∈ Z+: ( a b )k = ak bk , tem-se para n = k + 1: ( a b )k+1 = ( a b )k · (a b )1 = ak bk · a b = ak · a bk · b = ak+1 bk+1 . Potenciação de um produto : (am)n = am·n Demonstração. Para n = 0, tem-se: (am)0 = 1 = a0 = am·0 Supondo que a a�rmação seja verdadeira: (am)k = am·k. tem-se para n = k + 1: (am)k+1 = (am)k · (am)1 = am·k · am = am·k+m = am·(k+1) 50 O Ensino de funções 4.1.2 Potência de expoente inteiro negativo Dados a ∈ R, a 6= 0, e n ∈ Z+. De�ne-se a−n de modo que seja mantida a probriedade: a−n = 1 an Desta forma estende o conceito de potência com expoentes inteiros negativos quais- quer. 4.1.3 Potência com expoente racional Dados a ∈ R, a 6= 0 e n,m ∈ Z, n 6= 0. De�ne-se uma potência a m n como: a m n = n √ am Logo, a 1 n = n √ a A partir da de�nição todas as propriedades continuam verdadeiras. 4.1.4 Potência com expoente Real Dados a ∈ R, a 6= 0, e b ∈ Q ∪ I(racional ou irracional). Dizemos que a potência an, esta de�nida a potência ab como potência com expoente real. Com isso tem-se as seguintes propriedades para potência com expoente real: Produto de potências de mesma base: am · an = am+n; Divisão de potências de mesma base: am an = am−n; Potenciação de uma multiplicação : (a · b)m = am · bm; Potenciação de uma divisão: ( a b )m = am bm ; Potenciação de potência: (am)n = am·n. Com base nas propriedades e de�nição do conteúdo de potenciação, pode-se a partir deles de�nir e trabalhar com diferentes funções exponenciais. 4.2 Função exponencial De�nição: Chama-se função exponencial qualquer função f de R em R+, dado a ∈ R > 0, a 6= 1 dada por uma lei da forma f(x) = ax. O valor de a tem que ser diferente de 1 porque com a = 1 a função se torna constante, pois se a = 1 e m ∈ R, então am = a = 1. Como consequência das considerações das propriedades de potênciação, temos: i) Na função exponencial f(x) = ax, tem-se: x = 0⇒ f(x) = a0 = 1 Função exponencial 51 Com isso podemos dizer então que o par ordenado (0,1) pertence ao grá�co da função, ou seja, que o grá�co cartesiano de toda função exponencial corta o eixo das ordenadas no ponto (0,1). Lema 1: Sendo a ∈ R, a > 1 e n ∈ N, n 6= 0, tem-se: an > 1⇔ n ≥ 1 Demonstração. (⇒) Por contradição: Se n = 0⇒ a0 = 1. (Absurdo!) Se n < 0⇒ −n ≥ 1, então a−n > 1⇒ a−n · an = an ⇒ 1 > an. (Absurdo!) (⇐) ∀n ∈ N, n > 0 e a > 1. Para n = 1 temos: an = a1 = a > 1. Suponhamos pela hipótese de indução que ak > 1 e mostra-se que: ak+1 = ak · a > 1, pois a > 1 e an > 1. Portanto an+1 ≥ 1 Lema 2: Sendo a ∈ R, a > 1 e r ∈ Q, tem-se: ar > 1⇔ r > 0 A demonstração pode ser encontrado em Lima, 1996. Lema 3: Sendo a ∈ R, a > 1, r, s ∈ Q, tem-se: ar > as ⇔ r > s Demonstração. Como a−r > 0 tem-se, as > ar ⇔ as · a−r > ar · a−r ⇔ as−r > 1 ⇔ (pelo Lema 2) s− r > 0⇔ s > r. Lema 4: Sendo a ∈ R, a > 1, t ∈ I = R−Q, tem-se: at > 1⇔ t > 0 Demonstração. (⇐) t > 0⇒ at > 1 Para de�nição no número t irracional e positivo, existem r, s tal que 0 < r < t < s. Pelo Lema 2, como a > 1, r > 0 e s > 0, temos : ar > 1 e as > 1. Pelo Lema 3, como a > 1 e r < s, tem-se: 1 < ar < as e, tem-se: 1 < ar < at < as logo, 52 O Ensino de funções at > 1 (⇒) Provando por absurdo tem-se: at > 1⇒ t > 0 Suponhamos, t < 0, isto é −t > 0. Pela primeira parte deste lema tem-se: a > 1,−t ∈ I⇒ a−t > 1 e −t > 0⇒ a−t > 1 Multipliplicando ambos os lados pela desigualdade at > 0, tem-se: a−t · at > at ⇔ 1 > at Absurdo, pois contraria a hipótese, logo: t > 0 Teorema 1: Sendo a ∈ R, a > 1 e b ∈ R, tem-se: ab > 1⇔ b > 0 Demonstração. b ∈ R⇔  b ∈ Q⇔ (pelo Lema 2) (ab > 1⇔ b > 0), ou b ∈ I⇔ (pelo Lema 4) (ab > 1⇔ b > 0). Corolário 1: Sendo a ∈ R, a > 1 e r ∈ R e s ∈ R, tem-se: ar > as ⇔ r > s Demonstração. ax1 > ax2 ⇔ ax1 ax2 > 1⇔ ax1−x2 > 1⇔ (pelo Teorema 1) x1 − x2 > 0⇔ x1 > x2 Função exponencial 53 Teorema 2: Sendo a ∈ R, 0 < a < 1 e b ∈ R, tem-se: ab > 1⇔ b < 0 Demonstração. Se 0 < a < 1, então 1 a > 1, toma-se b ∈ R, logo ( 1 a )b > 1⇔ (a−1)b > 1⇔ −b > 0⇔ b < 0 Corolário 2: Sendo a ∈ R, 0 < a < 1 e r ∈ R e s ∈ R, tem-se: ar > as ⇔ r < s Demonstração. ax1 > ax2 ⇔ ax1 ax2 > 1⇔ ax1−x2 > 1⇔ (pelo Teorema 2) x1 − x2 < 0⇔ x1 < x2 4.2.1 Grá�co de função exponencial Dada uma função f(x) = ax, a > 0 e a 6= 1, a curva do grá�co esta toda acima do eixo x, pois f(x) = ax > 0, para todo x ∈ R. Como f(0) = 1, então a curva corta o eixo y no ponto de ordenada 1; se a > 1 é uma função crescente. Se 0 < a < 1 é uma função decrescente. Observe as funções representadas pelas �guras 4.4(a) e 4.4(b). (a) a > 1 (b) 0 < a, 1) Figura 4.4: f(x) = ax Por outro lado pode-se modi�car o comportamento do grá�co de uma função expo- nencial através do acrescimo de coe�cientes, ou seja, dado uma função f(x) = ax+c + b com a, b, c ∈ R; , a > 0 6= 1. Como dito o valor de a de�ne a curva como crescente ou decrescente, já o valor de b de�ne o deslocamento vertical e o valor de c o deslocamento horizontal. Observe os grá�cos os grá�cos apresentado na Figura 4.5(a) a variação da 54 O Ensino de funções curva de acordo com a mudanças da variável b e na Figura 4.5(b) a variação da curva de acordo com a mudança da variável c. (a) Variação do coe�ciente b (b) Variação do coe�ciente c Figura 4.5: f(x) = ax+c + b As aplicações no cotidiano do aluno são em diversas situações e em diferentes disciplinas, na biologia, onde geralmente, o crescimento de determinados seres vivos microscópicos, como as bactérias, acontece exponencialmente. Na química onde a de- composição ou desintegração de determinadas substâncias também acontece segundo um padrão exponencial. Na matemática �nanceira onde o sistema de juros compostos também funciona de forma exponencial. Observe alguns exemplos de contextualização do uso da função exponencial: Exemplo 1 A população de uma colônia de bactéria dobra a cada 30 minutos. Em um experi- mento, colocou-se inicialmente em um tubo de ensaio uma amostra com 1000 bactérias. Ao �nal do experimento obteve-se um total de 4, 096 · 106 bactérias. Qual foi o tempo do experimento? Resolução Para iniciar a resolução do problema, cria-se uma tabela que representa a situação, onde de acordo que o tempo vai passando a quantidade de bactérias também vai mu- dando, observando assim a relação ou �função� entre as grandezas tempo e quantidade de bactérias. Tabela 4.2: Relação entre tempo e quantidade de bactérias Tempo(x) Quantidade de bactérias(f(x)) 0 minutos 1000 30 minutos 2000 60 minutos 4000 90 minutos 8000 120 minutos 16000 ... ... Função exponencial 55 Observe que a cada 30 minutos dobra a quantidade de bactéria, representando essa situação algébricamente onde x representa a quantidade de minutos e f(x) a quantidade de bactérias, �caria da seguinte maneira: f(0) = 1000 f(30) = 21 · 1000 f(60) = 2 · (21 · 1000) = 22 · 1000 f(90) = 2 · (22 · 1000) = 23 · 1000 f(30n) = 2 · 2n−1 · 1000 = 2n · 1000 Apresentando como função a expressão tem-se: f(x) = 1000 · 2 x 30 Como f(x) = 4, 096 · 106 tem-se: 4, 096 · 106 = 1000 · 2 x 30 2 x 30 = 4, 096 · 106 1000 2 x 30 = 4, 096 · 103 2 x 30 = 212 x 30 = 12 x = 12 · 30 x = 360 Tem-se então que para ter um total de 4, 096 · 106 bactérias será necessário 360 minutos ou 6 horas após o início do experimento. Exemplo 2 (Unicamp-SP � 2007) O decaimento radioativo do estrôncio 90 é descrito pela função P (t) = P0 · 2−bt, onde t é o instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P0 é a concentração inicial de estrôncio 90, ou seja, a concentração inicial no instante t = 0. Se a concentração de estrôncio 90 cai pela metade em 29 anos, isto é, se a meia-vida do estrôncio 90 é de 29 anos, determine o valor da constante b. 56 O Ensino de funções Resolução Analizando o problemas tem-se que P (t) é igual a P0 2 para t =29 anos então repre- sentando algébricamente tem-se: P (t) = P0 · 2−bt P0 2 = P0 · 2−b·29 P0 · 2−1 = P0 · 2−29·b 2−1 = 2−29·b −1 = −29 · b b = 1 29 Tem-se então que a constante b é igual à 1 29 . Exemplo 3 Um capital de 1000, 00 reais é aplicado a juros mensais de 4% ao mês, gerando um montante de 1731, 68 reais. Determine o tempo em meses de aplicação desse capital. Resolução Um exemplo clássico matemática �nanceira de juros composto onde o valor total ou montante é dada pela equaçãoM = P ·(1+ i)t, ondeM é o montante, P o valor inicial, i é a taxa de juros e t é o tempo em mês da aplicação. Então tem-se M = 1731, 68, P = 1000, i = 4% ou 0, 04 e precisamos descobrir o valor do tempo t. Aplicando a fórmula tem-se: M = P · (1 + i)t 1731, 68 = 1000 · (1 + 0, 04)t (1, 04)t = 1731, 68 1000 (1, 04)t = 1, 733168 (1, 04)t = (1, 04)14 t = 14 Portanto tem-se que para obter um montante de 1731, 68 é preciso aplicar o valor inicial durante 14 meses ou 1 ano e 2 meses. Logaritmo 57 4.3 Logaritmo Sejam a e b ∈ R+, a 6= 1, chama-se logaritmo de a na base b, onde o logaritmo que se deve obter na base b de a, ou escrevendo em forma de potência seria qual o expoente que aplicado sobre a base b seja igual a a, ou seja: logb a = x⇐⇒ bx = a Para o logba = x dizemos que b é a base do logaritmo, a é o logaritmando e x é o logaritmo. Exemplos: log2 8 = 3, pois 23 = 8 log5 625 = 4, pois 54 = 625 log 1 3 1 9 = 2, pois 1 3 2 = 1 9 log34 1 = 0, pois 340 = 1 log14 14 = 1, pois 141 = 14 Seguem as seguintes a�rmações sobre o logaritmo que decorrem imediatamente da de�nição. i) O logaritmo da unidade em qualquer base é igual a zero. loga 1 = 0, pois a0 = 1 ii) O logaritmo da base a na base a é igual a um. loga a = 1, pois a1 = a iii) A potência de base a e expoente loga b é igual a b. aloga b = b iv) Dois logaritmos em uma mesma base são iguais se, e somente se, os logaritman- dos são iguais. loga b = loga c⇐⇒ b = c Demonstração. loga b = loga c⇐⇒(pela de�nição de logaritmo)aloga b = aloga c ⇐⇒(pela iii)) b = c Apartir das a�rmações tem-se as seguintes propriedades relacionadas aos logarit- mos. Propriedades: Logaritmo do produto Se a > 0, a 6= 1, b > 0 e c > 0, então loga(b · c) = loga b+ loga c 58 O Ensino de funções Demonstração. Seja loga b = x, loga c = y e loga(b · c) = z, tem-se: loga b = x⇒ ax = b loga c = y ⇒ ay = c loga(b · c) = z ⇒ az = b · c az = ax · ay = ax+y ⇒ z = x+ y Portanto loga(b · c) = loga b+ loga c Logaritmo do quociente Se a > 0, a 6= 1, b > 0 e c > 0, então loga( b c ) = loga b− loga c. Demonstração. Seja loga b = x, loga c = y e loga b c = z, tem-se: loga b = x⇒ ax = b loga c = y ⇒ ay = c loga b c = z ⇒ az = b c az = ax ay = ax−y ⇒ z = x− y Portanto loga b c = loga b− loga c. Logaritmo da potência Se a > 0, a 6= 1, b > 0 e α ∈ R, então loga b α = α · loga b. Demonstração. Seja loga b = x e loga b α = y , tem-se:{ loga b = x⇒ ax = b loga b α = y ⇒ ay = bα ay = (ax)α = ax·α ⇒ y = x · α Portanto loga b α = α · loga b. 4.3.1 Mudança de base Nos logaritmos pode se realizar a mudança de base, em diferentes situações necessita- se realizar cálculos com logaritmos em bases diferentes, para que seja possível utilizar as propriedades dos logaritmos, pois elas devem ser todas na mesma base. Para realizar esse processo que transforma a base de um logaritmo em outra base que seja conveniente aplica-se a seguinte propriedade: Propriedade: Mudança para a mesma base Seja a, b e c ∈ R+ , a 6= 1 e c 6= 1, então tem-se: loga b = logc b logc a Funções logarítmicas 59 Demonstração. Considere loga b = x, logc b = y e logc a = z e nota-se que z 6= 0 pois a 6= 1. Agora provaremos que x = y z . De fato: loga b = x⇒ ax = b logc b = y ⇒ cy = b logc a = z ⇒ cz = a ⇒ (cz)x = ax = b = cy ⇒ z · x = y ⇒ x = y z 4.4 Funções logarítmicas Seja a ∈ R , 0 < a 6= 1 chama-se função logarítmica de base a a função f de R+ em R que associa a cada x real o número loga x ou seja: f(x) = loga x A partir da de�nição de função logarítmica tem-se: i) Se 0 < a 6= 1, então a funções f(x) = loga x e g(x) = ax são inversas uma da outra. Demonstração. Para a demonstração da propriedade basta veri�ar que f(g(x)) = IdR∗ + e g(f(x)) = IdR. De fato: f(g(x)) = loga a x = x e g(f(x)) = af(x) = aloga x = x ii) A função logarítmica f(x) = loga x é crescente se a > 1 e é decrescente se 0 < a < 1. Demonstração. Por implicação tem-se: a > 1⇒ (para todo x1 e x2 ∈ R∗+), x2 > x1 ⇒ loga x2 > loga x1. De fato: Sabe-se que aloga x2 > aloga x1 ⇒ loga x2 > loga x1 Considerando loga x2 = y2 ⇒ x2 = ay2 loga x1 = y1 ⇒ x1 = ay1 Tem-se: y2 > y1 ⇒ ay2 > ay1 . Pelo fato da função exponencial ser crescente para base maior que um concluimos que a > 1. De forma análoga tem-se que a função logarítmica é decrescente se, e somente se, 0 < a < 1. 60 O Ensino de funções Uma função real, L : R+ → R, cujo domínio é o conjunto R+ dos números reais positivos, chama-se uma função logarítmica quando tem as seguintes a�rmações: iii) L é uma função crescente, isto é, x < y ⇒ L(x) < L(y); iv) L(xy) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y ∈ R+. Para todo x ∈ R+, o número L(x) chama�se logaritmo de x. (Se estivermos con- templando outras funções logrítmicas além de L, diremos que L(x) é o logaritmo de x segundo L, ou no sistema de logaritmos L). Segue uma lista de propriedades das funções logarítmicas, isto é, propriedades que são consequências de iii) e iv) enunciadas. Função injetiva Uma função logarítmica L : R+ → R é sempre injetiva, isto é, números positivos diferentes tem logaritmos diferentes. Demonstração. Com efeito, se x, y ∈ R+ são diferentes, então ou x < y ou y < x. No primeiro caso, resulta de iii) que L(x) < L(y). No segundo caso tem�se L(y) < L(x). Em qualquer hipótese, de x 6= y conclui-se que L(x) 6= L(y). O logaritmo de 1 é zero: log 1 = 0 Demonstração. Com efeito, por iv) tem-se: L(1) = L(1 · 1) = L(1) + L(1), logo L(1) = 0 Os números maiores do que 1 têm logaritmos positivos e os números positivos menores do que 1 têm logaritmos negativos: Seja n ∈ R, onde log n é positivo para n > 1 e é negativo para 0 < n < 1. Demonstração. Com efeito, sendo L crescendo, 0 < x < 1 < y resulta L(x) < L(1) < L(y), isto é L(x) < 0 < L(y). O logaritmo de 1 x é o oposto logaritmo de x: Para todo x > 0, tem�se L( 1 x ) = −L(x). Demonstração. Com efeito, de x · ( 1 x ) = 1 resulta que L(x) +L( 1 x ) = L(1) = 0, donde L( 1 x ) = −L(x). O logaritmo de x y é o logaritmo de x com o oposto do logaritmo de y: Para quaisquer x, y → R+, vale L( x y ) = L(x)− L(y). Demonstração. L( x y ) = L(x · (1 y )) = L(x) + L( 1 y ) = L(x)− L(y). L(xr) = r · L(x) : Para todo x ∈ R+ e todo número racional r = p q tem�se L(xr) = r · L(x). Funções logarítmicas 61 Demonstração. Tem-se pela propriedade que L(xr) = L(x · x · ... · x) = L(x) + L(x) + ...+ L(x) = r · L(x). Teorema 3: Dadas as funções logarítmicas L,M : R+ → R, existe uma constante c > 0 tal que M(x) = c · L(x) para todo x > 0 Demonstração. Seja a > 1 tal que L(a) = a ·M(a). Tem-se que L(ar) = r · L(a) = r ·M(a) = M(ar). Suponhamos, por absurdo, que existe um b > 0 tal que L(b) 6= M(b). Consideremos que L(b) < M(b). Seja k ∈ R+ tal que: k · (M(b)− L(b)) > L(a). Então: L(a 1 k ) = L(a) k < M(b)− L(b). Seja m · L(a 1 k ), pertencente ao interior do intervalo ]L(b),M(b)[, ou seja L(b) < m · L(a 1 k ) < M(b). Assim tem-se que: m · L(a 1 k ) = L(a m k ) = M(a m k ). Então: L(b) < L(a m k ) = M(a m k ) < M(b), Como L é crescente, tem-se que b < a m k . Como M também é crescente. tem-se que a m k < b. Pelas duas desigualdades tem-se um absurdo, sendo assim tem-se que M(x) = L(x), para todo x ∈ R+. Teorema 4: Toda função logarítmica L é sobrejetiva, isto é, dado qualquer número real c, existe sempre um (único) número real positivo x tal que L(x) = c. Teorema 5: Toda função logarítmica L é uma correspondência biunívoca (bijeção) entre R+ e R, isto é, dado qualquer número real c, existe sempre um único número real positivo x tal que f(x) = c. Demonstração. Como visto anteriormente que uma função logarítmica é sobrejetora e injetora, então tem-se que ela é bijetora. 62 O Ensino de funções 4.4.1 Grá�co de função logarítmica Dada uma função f logarítmica de�nida em R, e dada por f(x) = logax, a > 0 e a 6= 1, a curva do grá�co está todo a direita do eixo y(x > 0); corta o eixo x no ponto de abscissa 1 (loga1 = 0 para todo 0 < a 6= 1); de acordo com a Figura 4.6(a) se a > 1 é uma função crescente e se 0 < a < 1 é de uma função decrescente de acordo com a Figura 4.6(b). (a) f(x) = logax com a > 1 (b) f(x) = logax com 0 < a < 1 Figura 4.6: f(x) = logax O comportamento do grá�co de uma função logarítmica varia de acordo com os coe�cientes da função, ou seja, dado uma função f(x) = loga(bx + c) com a, b, c ∈ R, b, a > 0 e a 6= 1, como dito o valor de a de�ne a curva como crescente ou decrescente, já o valor de b de�ne o deslocamento vertical como pode ser observado na Figura 4.7(a) e o valor de c o deslocamento horizontal de acordo com a Figura 4.7(b). (a) variação do coe�ciente b (b) variação do coe�ciente c Figura 4.7: f(x) = loga(bx+ c) Como nas funções exponenciais pode-se realizar diversas aplicações em exemplos no cotidiano do aluno além de sua interdisciplinaridade ao ser aplicada em situações. Observe alguns exemplos de contextualização do uso da função exponencial: Exemplo 1 Em uma colônia de bactérias, a cada meia hora, o número de bactérias dobra. Se inicialmente havia 700 bactérias, após quanto tempo haverá 700000 bactérias, aproxi- madamente? (Considere log 2 = 0, 3). Funções logarítmicas 63 Resolução Como no exemplo anterior no estudo de funções exponenciais onde ele seria expres- sado da forma f(x) = 700 · 2 x 30 mas, o que queremos é a função inversa então como seria sua expressão? Ou para que valor de x tem-se f(x) = 700000? Precisa-se transformar as informações dadas em uma expressão algébrica para poder ser utilizado os conteúdos abordados. Então tem-se que: 700 · 2 x 30 = 700000 2 x 30 = 700000 700 2 x 30 = 1000 log 2 x 30 = log 103 x 30 · log 2 = 3 · log 10 x 30 · 0, 3 = 3 x 100 = 3 x = 300 Tem-se que após 300 minutos ou 5 horas haverá 700000 bactérias. Exemplo 2 Um capital de R$ 12000, 00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capita- lizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após dois anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. (use log 2 = 0, 301 e log 1, 08 = 0, 033). Resolução a) O capital acumulado após um ano pode ser calculado através da fórmula de juros compostos : M = C · (1 + i)t. Sendo C o capital inicial de R$ 12000, 00, i a taxa de juros de 0, 08 ao ano e t o tempo de 2 anos, tem-se: M = C · (1 + i)t M = 12000 · (1 + 0, 08)2 M = 12000 · 1, 082 M = 13996, 8 Então, após dois anos, o capital acumulado será de R$ 13996, 80. 64 O Ensino de funções b) Considere x como o número de anos, i como a taxa de juros de 8% = 8 100 = 0, 08, C como o capital inicial e M como o montante que deverá ser maior que o dobro do capital inicial, sendo assim, tem-se: C · (1 + i)t > M C · (1 + 0, 08)x > 2 1, 08x > 2 M 1, 08x > 2 log 1, 08x > log 2 x · log 1, 08 > log 2 x · 0, 033 > 0, 301 x > 0, 301 0, 033 x > 9, 121 Portanto, será necessário o mínimo de 10 anos para que o capital acumulado seja o dobro do capital inicial. 4.5 O número e Uma questão teve grande ênfase nos séculos passados com relação ao comporta- mento de um depósito bancário, como cresceria o montante ao longo do tempo se os juros seriam creditados em intervalos de tempo cada vez menor, até que o acréscimo seja considerado instantâneos e sobre eles as mesmas taxas de juros. Para melhor explicar a situação veja o exemplo: Suponha que um banco pague 100% ao ano. Após um ano, teria um montante de R$200,00 para cada R$100,00 aplicado. Se o juros fossem creditados semestralmente, após um ano tera um montante de R$225,00 para cada R$100,00 aplicado. Se fosse trimestralmente após um ano teria R$244,14 para cada R$100,00 aplicado. Note que o modelo matemático para esse cálculo é dada pela fórmula: M = (1 + 1 n )n Observe a relação de alguns valores n na Tabela 4.3 Com base na Tabela 4.3 consegue intuitivamente observar que a montante está se aproximando de um número cada vez que o valor de n vai aumentando, mas que número seria esse, se o valor de n fosse grande tanto quanto se queira? Esse número é chamado de número de Euler e representado pela letra e. Ele é o que chamado de base do sistema de logaritmos naturais, a qual de�niremos. Os logaritmos decimais 65 Tabela 4.3: Relação entre Montante (M) e o tempo(n) Valor de n Valor de M 1 2 2 2,25 3 2,37037 4 2,44141 5 2,48832 10 2,59374 100 2,70481 1000 2,71692 10000 2,71815 loge x = lnx . O número e é um número irracional, logo seu desenvolvimento decimal não termina e nem é periódico. Um valor aproximado de e com 6 algarismos decimais é 2,718281. Teorema 6: Seja r = p q um número racional, tem-se y = er se e somente se lny = r. Demonstração. (⇒) Se y = er, aplicando ln em ambos os lados obtem: lny = lner = r · lne = 1, segue que: lny = r (⇐) Seja y > 0 um número real tal que lny = r. Como lne = 1, pode-se escrever lny = r · lne. Pela propriedades dos logaritmos lny = lner. Como ln é uma função injetiva conclui-se que y = er. 4.6 Os logaritmos decimais Históricamente os logaritmos decimais (de base 10) teve uma grande importância para facilitar os cálculos antes da criação das calculadoras, para obter uma melhor ideia de grandeza dos números costuma representá-los da forma: a · 10n, 1 ≤ a < 10, n ∈ Z Então dado um valor x = a · 10n, tem-se: 66 O Ensino de funções log x = log a · 10n = log a+ log 10n = n+ log a Como 1 ≤ a < 10, tem-se que 1 ≤ log a < 10. Tem-se que: log a = mantissa do log x e n = característica de log x. Portanto tem-se: log x = característica + mantissa. Para facilitar as realizações dos cálculos foi elaborado uma tabela de alguns valores da mantissa, segue em anexo uma pequena tábua de logaritmos decimais dos números de duas casas decimais, desde 1 até 9, 99. Exemplo: Calcule log 23: Solução: Tem-se que 23 = 2, 3 · 10. Então log 23 = log(2, 3 · 10) = log 2, 3 + log 10 = log 2, 3 + 1 Analisando a tabua no Apêndice A, tem-se que log 2, 3 ≈ 0, 3617. Portanto: log 23 ≈ 1 + 0, 3617 = 1, 3617. Exemplo: Calcule log 7430: Solução: Tem-se que 7430 = 7, 43 · 103. Então: log 7430 = log 7, 43 · 103 = log 7, 43 + log 103 = 3 + log 7, 43 Analisando a tabua no Apêndice A, tem-se que log 7, 43 ≈ 0, 8710. Portanto: log 7430 ≈ 3 + 0, 8710 = 3, 871. Exemplo: Calcule log 0, 00562: Solução: Tem-se que 0, 00562 = 5, 62 · 10−3. Então: log 0, 00562 = log 5, 62 · 10−3 = log 5, 62 + log 10−3 = −3 + log 5, 62 Analisando a tabua no Apêndice A, tem-se que log 5, 62 ≈ 0, 7497. Portanto: log 0, 00562 ≈ −3 + 0, 7497 = −2, 2503. 4.7 Representação geométrica de logaritmo Com o intuito de melhorar a compreenção e obter um ensino de qualidade para todos os alunos, um grande desa�o do professor é saber diversi�car a apresentação dos conteúdos e explicar de diferentes maneiras um mesmo conceito. Na função logarítmica não é diferente, irá ser abordado a de�nição de uma função logarítmica de forma geométrica, interpretando seu comportamento e analizando-as, pois segundo Ávila, �O natural, como se vê, é levar o logaritmo para o contexto do Cálculo. Representação geométrica de logaritmo 67 A utilização na geometria para calcular a área de uma hipérbole teve sua impor- tância principalmente no século XVII e XVIII. Hoje podemos utilizá-la para de�nir as curvas no grá�co dos logaritmos naturais. 4.7.1 Área de uma faixa da hipérbole Para de�nir a área de uma faixa da hipérbole considera-se um sistema de eixos cartesianos �xado num plano, isto é, duas retas orientadas e perpendiculares entre si. Cada ponto do plano �cará então representado por um par ordenado (x; y). Seja H a parte positiva do grá�co y = 1 x , ou seja: H = {(x; y);x > 0, y = 1 x } Ao �xar dois números reais positivos a; b com a < b tomemos a região do plano limitada pelas duas retas verticais x = a e x = b, o eixo das abscissas e a parte H obtém-se uma faixa da hipérbole que será indicada por Hb a de acordo com Figura 4.8(a). Então Hb a = {f(x; y); a ≤ x ≤ b; 0 ≤ y ≤ 1 x }. Para realizar o cálculo da área aproximada dessa região, com pontos intermediários decompomos o intervalo [a, b] com um número �nito de intervalos justaposto. Seja [c, d] tal que a < c < d < b, um intervalo qualquer da decomposição, consideremos então o retângulo de altura 1 d , o vértice superior direito desse retângulo esta sobre a hipérbole H. Esse retângulo é o retângulo inscrito na faixa Hb a, a reunião desses retângulos inscritos constitui um polígono inscrito na faixa Hb a como pode ser analisado na Figura 4.8(b). (a) A região hachurada é a faixa Hb a (b) Polígono retangular inscrito na faixa Hb a Figura 4.8: Faixa da Hb a Figuras retiradas de Lima(2009) Quanto mais subdividirmos o intervalo [a; b] mais aproxi