
Roberto Alvarenga Jr.

Teorema de Riemann-Roch, Morfismos
de Frobenius e a Hipótese de Riemann

São José do Rio Preto
2014


Roberto Alvarenga Jr.

Teorema de Riemann-Roch, Morfismos de Frobenius e a Hipótese de Riemann

Dissertação apresentada para obtenção do t́ıtulo de
Mestre em Matemática, área de Geometria Algébrica,
junto ao Programa de Pós Graduação em Matemática
do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas
da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita
Filho”, Câmpus São José do Rio Preto.

Orientador: Prof. Dr. Parham Salehyan

São José do Rio Preto
2014


Roberto Alvarenga Jr.

Teorema de Riemann-Roch, Morfismos de Frobenius e a Hipótese de Riemann

Dissertação apresentada para obtenção do t́ıtulo de
Mestre em Matemática, área de Geometria Algébrica,
junto ao Programa de Pós Graduação em Matemática
do Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas
da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita
Filho”, Câmpus São José do Rio Preto.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Parham Salehyan
Professor Assistente Doutor
UNESP - São José do Rio Preto
Orientador

Prof. Dr. Eduardo Tengan

Professor Associado - SMA

Livre-Docente (MS5) - RDIDP

ICMC-USP-São Carlos

Prof. Dr. Trajano Pires da Nóbrega Neto
Professor Adjunto
UNESP - São José do Rio Preto


Aos meus pais,
Roberto e Elza,

dedico.


Agradecimentos

Agradeço a todos que contribúıram de alguma forma para minha formação. Em especial
agradeço:
Ao Prof. Dr. Parham Salehyan, pela excelente e valiosa orientação desde a
graduação. Pelos conhecimentos transmitidos, pela disponibilidade, atenção e dedicação
indispensáveis para não só a concretização deste trabalho mas também para minha
formação matemática.
Ao Prof. Dr João Carlos, pelo conhecimento transmitido, incentivo e pelas tão valiosas
conversas matemáticas ou não.
Aos verdadeiros mestres Enio Ricardo Crema e Danilo Marangão, fontes de inspiração
desde meu primeiro dia de graduação.
À Banca Examinadora, por terem aceito o meu convite.
Aos meus pais Roberto e Elza, minha eterna gratidão pelo amor incondicional e pelos
sacrif́ıcios realizados afim de que minha única preocupação sempre fosse os estudos.
Aos meus irmãos Weinner e Isabella pela preciosidade na minha vida.
À minha noiva Natália, agradeço o apoio inestimável, companheirismo, carinho e cuidado.
Aos grandes amigos que ganhei durante todo esse tempo, em especial: Jhony, Juliana,
Let́ıcia, Liliam, Rafael, Ricardo, Robson, Rodrigo, Vanessa, Victor e Wanderson.
À FAPESP, pelo apoio financeiro.


”E mesmo que meus passos sejam falsos, mesmo que os meus caminhos sejam errados, mesmo que
meu jeito de levar a vida incomoda, eu sei quem sou e sei pelo que devo lutar. Se você acha que

meu orgulho é grande, é porque nunca viu o tamanho da minha fé!”.

Tião Carreiro


Resumo

O objetivo desde trabalho é estimar um cota para o número de pontos racionais de
uma curva. Observando as várias semelhanças entre o anel dos inteiros e o anel dos
polinômios em uma variável, iremos usar ferramentas da teoria dos números para resolver
um problema da geometria algébrica. Desta fusão nasce uma das mais nobres áreas da
matemática: a geometria aritmética. Fazendo uso do célebre teorema de Riemann-Roch
e das ferramentas da teoria dos números demonstraremos a hipótese de Riemann para
a função-zeta de uma curva não singular e qual consequência tal hipótese tem para a
contagem de pontos racionais de uma curva.

Palavras-chave: Geometria Algébrica, Geometria Aritmética, Teorema de Riemann-
Roch, Hipótese de Riemann e Funções-Zeta.


Abstract

The aim of this work is to estimate a bound for the number of rational points of
a curve. Observing the various similarities between the ring of integers and the ring
of polynomials in one variable, we use tools from number theory to solve a problem of
algebraic geometry. From this merger is born one of the noblest areas of mathematics:
arithmetic geometry. Making use of the famous Riemann-Roch’s theorem and tools
of number theory we demonstrate the Riemann hypothesis for the zeta-function of a
nonsingular curve and which consequence this hypothesis has to count rational points
on a curve.

Keywords: Algebraic Geometry, Arithmetic Geometry, Riemann-Roch’s theorem,
Riemann Hypothesis and Zeta-Functions


Sumário

Introdução 11

0 Preliminares 15
0.1 Álgebra Comutativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

0.1.1 Lema de Gauss e Mais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.1.2 Módulos Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
0.1.3 Sequências Exatas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.2 Curvas Planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
0.2.1 Anel de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.2.2 Pontos e Ideais Maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
0.2.3 Morfismos de Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.2.4 Pontos Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1 O Fecho Integral 21
1.1 Elementos Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Produto de Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.3 Anéis Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4 Localização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5 Anéis de Dimensão Um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6 Domı́nios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7 Caso A = k[x] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Fatoração de Ideais 45
2.1 Fatoração Única de Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Índice de Ramificação e Grau Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Fatorações Explicitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4 Primos Ramificados e Não Ramificados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.5 Extensões Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6 Extensões de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.7 Cobertura de Galois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3 Discriminantes 74
3.1 Discriminante como uma Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2 Discriminante de uma Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Ideal Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.4 Aplicação Norma em Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9


Sumário 10

4 Grupo de Classe de Ideais 89
4.1 Anéis com Quocientes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Valor Absoluto e Valorizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.3 Valor Absoluto Arquimediano e a Fórmula do Produto . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.4 Corpos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5 Curvas Projetivas e Completas 107
5.1 Funções em um Curva Projetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.2 Curvas Projetivas e Valorizações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3 Curva Completa Não Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
5.4 Curvas Não Singulares e Domı́nios de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
5.5 Ações de Galois em Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.6 Corpos de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.7 Morfismos de Curvas Completas Não-Singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.8 Corpo de Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
5.9 O Divisor do Grupo de Classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

6 Funções-Zeta 139
6.1 A Função−ζ de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.2 Função-ζ e o Produto de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
6.3 A Função-ζ de uma Curva Não Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.4 A Racionalidade da Função-Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
6.5 A Equação Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

7 Os Teoremas de Riemann 157
7.1 Teorema de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
7.2 Teorema de Riemann-Roch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
7.3 Gênero de um Curva Plana Não Singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
7.4 A Fórmula de Riemann-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8 Morfismos de Frobenius e a Hipótese de Riemann 175
8.1 Extensões Inseparáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 Morfismos de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
8.3 Endomorfismo de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
8.4 Elemento de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
8.5 Hipóteses de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Referências 196


Introdução

O objetivo principal deste trabalho é dar boas estimativas para o número de pontos

racionais de uma curva completa não singular definida sobre um corpo finito. Para

isto, estudaremos numa maneira unificada, alguns conceitos e ferramentas fundamentais

na teoria dos números, álgebra comutativa e geometria algébrica e mostraremos a

analogia e relação profunda entre estas áreas. Introduziremos nos cinco primeiros

caṕıtulos ferramentas que serão úteis para a resolução deste problema nos ultimos três

caṕıtulos. Veremos que tal estimativa decorre diretamente do análogo da hipótese de

Riemann, para o caso de curvas sobre corpos finitos. Para alcançar tal objetivo, entre

outos assuntos estudaremos: da teoria dos números: fecho integral, discriminante e

ramificações, grupo de classe de ideais; da álgebra comutativa: localizações, domı́nios de

Dedekind, valorizações; da geometria algébrica e aritmética: curvas algébricas, teorema

de Riemann-Roch, funções-zeta e a hipótese de Riemann.

No caṕıtulo zero introduziremos alguns resultados clássicos que serão úteis no decorrer

do texto. São resultados conhecidos e básicos da álgebra comutativa e da teoria de curvas

planas afins, por isso serão apenas enunciados com referências para suas demonstrações.

Começaremos nosso estudo com um assunto clássico da teoria dos números: o fecho

integral de um anel. Como frequentemente acontece na história da matemática, definições

abstratas são dadas a partir de concretos exemplos bem entendidos. A definição de fecho

integral dada num cenário abstrato de álgebra comutativa por Noether por volta de 1927

veio somente após casos concretos de corpos de números e corpos de funções estudados

em grandes detalhes. No primeiro caṕıtulo, dada uma extensão de anéis, veremos quando

um elemento é integral sobre o anel de base e, assim, definiremos o fecho integral de

um anel. Após a definição do fecho integral de um anel, buscaremos responder quais

propriedades o fecho integral herda do anel. Daremos exemplos que contextualizarão

estas definições para o caso de corpos de números e o caso de corpos de funções. Além

disso, introduziremos alguns outros conceitos de álgebra, tais como produto de ideais e

11


Introdução 12

domı́nios de Dedekind.

O segundo caṕıtulo é caracterizado por reunir conceitos e resultados da teoria dos

números, álgebra comutativa e teoria de Galois. O primeiro objetivo deste caṕıtulo

é demonstrar um teorema sobre fatoração única de ideais, cujo enunciado é dado no

primeiro caṕıtulo. Definiremos na segunda seção o ı́ndice de ramificação e o grau residual

associados a um ideal e a uma extensão de seu anel, além disso, daremos uma fórmula que

associará estes dois números com o grau da extensão. Depois estudaremos os conceitos

de ramificação e não ramificação de um ideal e usaremos tal conceito para dar, em alguns

casos, a fatoração explicita de ideais no fecho integral de seu anel. Definidos tais conceitos

acima, estudaremos como eles se comportam em dois casos particulares de extensão do

corpo de frações do anel dado, discutiremos o caso de extensões simples e de extensões

de Galois. Terminaremos este caṕıtulo contextualizando a teoria de Galois para o caso

de curvas planas.

Para dar sequência no estudo do caṕıtulo anterior e fornecer alguns critérios para um ideal

ser ramificado ou não, estudaremos no terceiro caṕıtulo os discriminantes. Discutiremos

neste caṕıtulo as diversas definições de discriminante e veremos quais consequências possui

sobre o estudo de tais ideais. Com essa ferramenta, veremos quando um ponto sobre

uma curva é ramificado no fecho integral do anel dos polinômios, numa extensão do

corpo de funções polinomiais em uma variável. Mais geralmente, usaremos os conceitos

de discriminante para definir o discriminante de uma base e o ideal discriminante, que

nos fornecerá um importante critério para saber quando um ideal é ramificado no fecho

integral de seu anel. Finalizaremos este caṕıtulo introduzindo uma generalização de norma

de um elemento para um ideal, este conceito será usado no próximo caṕıtulo.

No quarto caṕıtulo, estudaremos um invariante associado a um domı́nio de Dedekind, o

grupo de classe de ideais. O principal objetivos é mostrar que este grupo é finito nos

casos dos fechos integrais de Z e k[x], com k um corpo finito. Para isto, primeiramente

definiremos quando um domı́nio possui quocientes finitos e mostraremos que nos dois casos

mencionados acima, os domı́nios possuem quocientes finitos. Assim, teremos condições

de mostrar a finitude para o caso do fecho integral de Z. Para o caso do fecho integral

de k[x], introduziremos os importantes conceitos que serão úteis para mostrar a finitude

do grupo de classe de ideais neste caso e que também serão úteis nos próximos caṕıtulos,

trata-se das valorizações e valores absolutos. Encerraremos o caṕıtulo demonstrando a

finitude do grupo de classe de ideais para o caso de k[x] com k corpo finito.

Estudados nos primeiros quatro caṕıtulos algumas ferramentas da teoria dos números e

álgebra comutativa, iniciaremos no quinto caṕıtulo o estudo de curvas projetivas planas e

curvas completas não singulares. Este último por sinal, é uma classe de objetos algébricos

(geométricos) que contém as curvas projetivas planas, por este motivo, discutiremos os


Introdução 13

resultados nos próximos caṕıtulos para essa classe mais ampla. Começaremos o caṕıtulo

definindo curvas projetivas e logo em seguida trataremos o caso das cônicas. Entendido

bem este caso, passaremos a estudar as funções sobre uma curva projetiva. Definiremos

o corpo das funções sobre uma curva e em seguida caracterizaremos as valorizações sobre

uma curva, que não será nada mais do que as valorizações do corpo de funções sobre uma

curva. Em seguida, começaremos nosso estudo sobre as curvas completas não singulares.

Usando as ações do grupo de Galois de uma extensão caracterizaremos as curvas projetivas

e afins planas em termo de domı́nios locais principais contidos nos corpos de funções e

do conjunto das valorizações discretas destes corpos. Estudaremos ainda como relacionar

duas curvas completas através de uma aplicação, para isso, definiremos um morfismo de

curvas completas e estudaremos quando um ponto de um curva é um ponto de ramificação

de um morfismo dado, fazendo aqui, forte analogia com o caṕıtulo dois. Já visando o

objetivo principal, definiremos na penúltima seção, o corpo de definição de um ponto de

uma curva completa e o conceito de pontos racionais de uma curva. Por fim, discutiremos

na última seção deste caṕıtulo o divisor do grupo de classe. Estudamos no quarto caṕıtulo

o grupo de classe de ideais para um domı́nio de Dedekind, aqui associaremos a uma curva

completa, um grupo abeliano chamado do grupo de classe divisor ou grupo de Picard, este

grupo desempenhará um papel important́ıssimo no próximo caṕıtulo, como por exemplo

na prova da racionalidade da função-zeta.

Agora, com quase todas as ferramentas em mãos, atacaremos nos últimos três caṕıtulos

o problema de contar o números de pontos racionais de uma curva completa não singular

sobre um corpo finito.

Como dissemos acima, uma boa estimativa para o número de pontos racionais de uma

curva sobre um corpo finito está diretamente ligado com a versão para curvas sobre

corpos finitos da chamada hipótese de Riemann. Tal hipótese afirma que os zeros da

função-zeta de Riemann compreendidos em um determinando conjunto possuem todos o

mesmo módulo. Dito isto, dedicaremos o sexto caṕıtulo ao estudo das funções-zeta de

Riemann. Iniciaremos com a definição geral da função-zeta e algumas propriedades. Em

seguida, associaremos a um domı́nio de Dedekind com quocientes finitos uma função-zeta,

usaremos fortemente o fato deste domı́nio possuir fatoração única de ideais e a norma

de um ideal(discutida anteriormente) para dar a esta função-zeta uma caracterização

chamada de produto de Euler. Estudado os casos acima, definiremos a função-zeta para:

uma curva afim plana não singular, curva projetiva plana não singular e finalmente para

uma curva completa não singular. Definida a função-zeta para uma curva completa não

singular discutiremos como a hipótese de Riemann neste caso implica em boas estimativas

para o número de pontos racionais desta curva. Além disso, mostraremos (utilizando o

teorema de Riemann-Roch) a racionalidade da função-zeta de uma curva completa e


Introdução 14

daremos explicitamente sua forma para o caso das cúbicas.

O sétimo caṕıtulo é dedicado aos teoremas de Riemann, em especial ao teorema de

Riemann-Roch. Este teorema terá suma importância na prova de que a hipótese de

Riemann vale para o caso de curvas sobre corpos finitos, sem contar que ele é usado

fortemente na prova da racionalidade da função-zeta. A motivação para este teorema é

verificar se existe uma função racional sobre um curva com zeros e polos pré-determinados.

A afirmação do teorema de Riemann-Roch é uma identidade cujo um dos termos é um

inteiro positivo associado a curva dada, chamado gênero. A determinação do gênero de

uma curva completa dada será o motivo de estudo nas duas última seções deste caṕıtulo,

primeiro investigaremos como determinar o gênero de uma curva plana não singular e em

seguida de uma curva completa através da fórmula de Riemann-Hurwitz.

No oitavo e último caṕıtulo, adicionaremos a priori alguns conceitos que serão úteis para

o desfecho do problema central deste trabalho e a posteriori demonstraremos a validade

da hipótese de Riemann para curvas sobre corpos finitos, e assim, dar boas estimativas

para o número de pontos racionais de uma curva sobre um corpo finito. Começaremos

discutindo alguns casos de extensões inseparáveis, em seguida definiremos e estudaremos

conceitos importantes tais como: morfismos, endomorfismos e elementos de Frobenius.

Assim teremos condições de na última seção provar a hipótese de Riemann para o caso

citado acima. Esta prova será feita em dois passos, primeiro mostraremos um resultado

onde sob certas condições a hipótese de Riemann é garantida e depois mostraremos que

tais condições são sempre verificadas.


Caṕıtulo

0

Preliminares

Reservamos este caṕıtulo inicial para listar algumas definições e resultados básicos da álgebra

comutativa e das curvas planas.

0.1 Álgebra Comutativa

Nesta seção listaremos alguns resultados da álgebra comutativa que serão utilizados ao longo deste

trabalho.

0.1.1 Lema de Gauss e Mais

Introduziremos agora alguns resultados importantes devido a Gauss. Seja A um domı́nio fatorial

com corpo de frações K. Diremos que um elemento de K é o conteúdo de f ∈ K[y] e denotaremos

por cont(f) o elemento que, a menos de um inverśıvel de A, satisfazer f(y) = cont(f)f1(y) tal que

f1(y) ∈ A[y] e o maior divisor comum dos coeficientes de f1 seja um. O polinômio f1(y) é único a

menos de um inverśıvel em A e é chamado de polinômio primitivo associado a f.

Lema 0.1.1 (Versão de Gauss) Sejam A um domı́nio fatorial, K seu corpo de frações e g, h

polinômios mônicos em K[x]. Se os coeficientes de g e h não estão todos em A, então os coeficientes

de gh não podem estar todos em A.

Lema 0.1.2 (Versão Moderna) Seja A um domı́nio fatorial com corpo de frações K. Sejam g, h ∈
K[x]. Então o cont(gh) = cont(g)cont(h).

Corolário 0.1.1 Seja f(y) ∈ A[y] fatorável em K[y] como f(y) = g(y)h(y), com g, h ∈ K[y].

Escreva g(y) = cont(g)g1(y) e h(y) = cont(h)h1, com g1, h1 ∈ A[y]. Então f(y) = cont(f)g1h1 é um

fatoração de f(y) em A[y].

As demonstrações desses fatos podem ser encontradas em [1] , página 181.

15


0.1 Álgebra Comutativa 16

Lema 0.1.3 Seja A um domı́nio de dimensão um. Seja M ⊆ A um ideal maximal gerado por dois

elementos x e y. São equivalentes:

1. AM é um domı́nio de ideais principais.

2. Existem dois elementos u, v ∈ A tal que ux + vy = 0 onde pelo menos um dos elementos u, v

não pertencem a M.

3. x ou y gera MAM .

Demonstração: Veja [6], página 70.

Proposição 0.1.1 Seja A um anel. As seguintes afirmações são equivalentes:

(1) Todo ideal de A é principal.

(2) Todo ideal primo de A é principal.

Demonstração: Veja [6], página 68.

Lema 0.1.4 Seja E|k uma extensão de grau n. Suponha que existe α ∈ E tal que E = k(α). Seja

g = mink(α) ∈ k[y]. São equivalentes:

1. E|k é separável.

2. g tem n ráızes distintas em k.

3. (g, g′) = 1.

4. g′ �= 0.

5. Se char(k) = 0 ou char(k) = p > 0, então g �= hp em k[y] para qualquer h ∈ k[y].

6. g′(α) �= 0.

Demonstração: Veja [6], página 376.

Lema 0.1.5 Sejam J ⊆ I dois ideais do anel A. Então J = I se, e somente se, JM = IM para todo

ideal maximal M de A que contém J .
Demonstração: Veja [6], página 87. �

Proposição 0.1.2 Seja A um domı́nio comutativo. Então

A =
⋂

P∈Spec(A)

AP =
⋂

P∈Max(A)

AP .

Demonstração: Veja [6], página 74.


0.1 Álgebra Comutativa 17

0.1.2 Módulos Noetherianos

Teorema 0.1.1 Seja A um anel comutativo. Seja M um A−módulo qualquer. As seguintes

afirmações são equivalentes:

1. Todo submódulo de M é finitamente gerado como A−módulo.

2. Todo cadeia crescente M1 ⊆M2 ⊆ · · · ⊆Mn ⊆ · · · de submódulos de M é estacionária, isto é,

existe n tal que Mn =Mn+1 = · · · .

3. Todo subconjunto não vazio de submódulos de M tem elemento maximal.

Demonstração: Veja [6], página 23.

Definição 0.1.1 Um A−módulo M é chamado de Noetheriano se satisfaz as propriedades

equivalentes do teorema anterior.

Um anel A é Noetheriano se, e somente se, é um A−módulo Noetheriano. De fato, os submódulos

de A como A−módulo são seus ideais.

0.1.3 Sequências Exatas

Definição 0.1.2 Um conjunto de A−módulos {Mi}i∈Z e um conjunto de homomorfismo de

A−módulos ξi : Mi −→ Mi+1 são chamados de sequência ou complexo se Im(ξi−1) ⊆ ker(ξi). Uma

sequência

· · · →Mi−1
ξi−1→ Mi

ξi→Mi+1 → · · ·

de A−módulos e A−módulos homomorfismo é exata em Mi se Im(ξi−1) = ker(ξi). A sequência é

exata se é exata em cada Mi.

Definição 0.1.3 Uma sequencia exata curta é uma sequência exata de cinco termos da forma

0→M ′ f→M
g→M ′′ → 0.

Equivalentemente, uma sequência de cinco termos como acima é um sequência exata curta se f é

injetiva, g sobrejetiva e Ker(g) = Im(f).

Lema 0.1.6 Seja 0→ M ′ f→ M
g→ M ′′ → 0 uma sequência exata de A−módulos. Se M ′ e M ′′ são

finitamente gerados, então M é finitamente gerado. Além disso, se M é um A−módulo finitamente

gerado, então M ′′ também é um A−módulo finitamente gerado.
Demonstração: Veja [6], página 25.

Proposição 0.1.3 Seja 0 → M ′ f→ M
g→ M ′′ → 0 uma sequência exata de A−módulos. Então M

é Noetheriano se, e somente se, M ′ e M ′′ são Noetherianos.
Demonstração: Veja [6], página 25.


0.1 Álgebra Comutativa 18

Corolário 0.1.2 Seja {Mi}ni=1 um conjunto de A−módulos Noetherianos. Então, o A−móduloM =⊕n
i=1Mi é Noetheriano.

Demonstração: Veja [6], página 25.

Proposição 0.1.4 Seja M ′ f→ M
g→ M ′′ uma sequência de A−módulos. As seguintes afirmações

são equivalentes:

(1) A sequência M ′ f→M
g→M ′′ é exata em M .

(2) A sequência M ′
P

fP→MP
gP→M ′′

P é exata em MP para todo P ∈ Spec(A).

(3) A sequência M ′
P

fP→MP
gP→M ′′

P é exata em MP para todo P ∈ Max(A).
Demonstração: Veja [6], página 73.

Corolário 0.1.3 Sejam f : M → N uma aplicação de A−módulos. A aplicação f é injetiva (resp.

sobrejetica) se, e somente se, as aplicações fP são injetivas (resp. sobrejetiva) para todo P ∈ Max(A).
Demonstração: Veja [6], página 73.

Lema 0.1.7 Sejam P um ideal primo e I, J dois ideais tais que IJ ⊆ P, então I ⊆ P ou J ⊆ P .
Demonstração: Veja [6], página 89.

Lema 0.1.8 Seja A um anel. Sejam I1, . . . , In ideais de A tais que Ii e Ij são coprimos se i �= j.

Então,

(1) I1 · · · Is é coprimo com Is+1, para s = 1, . . . , n− 1.

(2) I1 · · · In = I1 ∩ . . . ∩ In.
Demonstração: Veja [6], página 89.

0.2 Curvas Planas

Sejam k ⊆ F ⊆ k corpos. Seja f ∈ k[x, y] um polinômio em duas variáveis com coeficientes em k.

Defina Zf (F ) := {(a, b) ∈ F × F |f(a, b) = 0}.

Definição 0.2.1 O conjunto Zf (k) é chamado de curva afim plana , e Zf (F ) é o conjunto dos

pontos com coordenadas em F da curva afim plana definida por f.

Definição 0.2.2 Seja k um corpo. Uma curva afim sobre k é um par (Max(A), A). Onde A é uma

k−álgebra finitamente gerado de dimensão um. Quando A é um domı́nio a curva (Max(A), A) é

chamada integral.


0.2 Curvas Planas 19

0.2.1 Anel de Funções

Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. Considere a curva afim plana definida por f Zf (k) e o anel Cf :=

k[x, y]/〈f〉. Estes dois objetos estão fortemente relacionados. Considerando em Zf (k) e k a topologia

de Zariski, podemos ver o anel Cf como o anel das funções cont́ınuas sobre a curva Zf (k).

Proposição 0.2.1 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. Um conjunto não vazio C ⊆ Zf (k) é fechado com a

topologia de Zariski se, e somente se, é a união finita de pontos de Zf (k) ou C = Zf (k).
Demonstração: Veja [6], página 40.

Corolário 0.2.1 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. Sejam g e h dois polinômios tais que g=h como

funções em Zf (k). Então f |g − h. Em particular, g e h definem o mesmo elemento em Cf .
Demonstração: Veja [6], página 43.

Tomando Zf (k) e k com a topologia de Zariski. Seja C(Zf (k), k) o conjunto das funções cont́ınuas

de Zf (k) em k. O corolário 0.2.1 mostra que a aplicação

if : Cf −→ C(Zf (k), k)

que leva um polinômio g na função polinomial g definida por g é injetiva.

Definição 0.2.3 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel de modo que Cf é um domı́nio. Denotaremos por k(Zf )

o corpo de frações de Cf . Chamaremos este corpo de corpo das funções racionais da curva afim

definida por f. Os elementos de k(Zf ) são chamados de funções racionais de Zf (k).

Lema 0.2.1 Seja α ∈ k(Zf )
∗. Existe uma quantidade finita de pontos P1, . . . , Ps ∈ Zf (k) tal que α

define um aplicação cont́ınua α: Zf (k) \ P1, . . . , Ps → k.
Demonstração: Veja [6], página 44.

0.2.2 Pontos e Ideais Maximais

Aqui, estabeleceremos uma relação entre os pontos da curva Zf (k) e os maximais de Cf . Seja

If : Zf (k) −→ Max(Cf )

que leva um ponto (a, b) nas funções de Cf que se anulam em (a, b). Para cada ponto em Zf (k) o

conjunto If (a, b) é de fato um maximal de Cf , logo nossa aplicação If está bem definida. Quando

dizemos que um função se anula em um ponto estamos dizendo que:

Definição 0.2.4 Seja g ∈ Cf . O valor de g no ponto (a, b) ∈ Zf (k) é o elemento g(a, b) ∈ k, onde
g ∈ k[x, y] é tal que sua classe em Cf é g.

Lema 0.2.2 Seja f ∈ k[x, y] \ k. Então 〈f〉 �∈ Max(k[x, y]).
Demonstração: Veja [6], página 46.


0.2 Curvas Planas 20

Corolário 0.2.2 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. M é um ideal maximal de Cf := k[x, y]/〈f〉 se, e

somente se, M é gerado pela imagem de 〈x− a, y− b〉 � k[x, y] em Cf , com f(a, b) = 0. Seja If (a, b)

o ideal de Cf gerado pelas imagens de x− a e y − b em Cf . A aplicação

If : (a, b) 	→ If (a, b)

é uma bijeção entre Zf (k) e Max(Cf ).
Demonstração: Veja [6], página 47.

0.2.3 Morfismos de Curvas

Seja ϕ : Zf (k) → Zg(k) um aplicação entre duas curvas. A aplicação ϕ define unicamente duas

aplicações

ϕ1, ϕ2 : Zf (k) −→ k

tal que ϕ(a, b) := (ϕ1(a, b), ϕ2(a, b)).

Definição 0.2.5 A aplicação ϕ : Zf (k)→ Zg(k) entre duas curvas planas é um morfismo de curvas

planas afins se existem α, β ∈ k[x, y] tais que ϕ1(a, b) = α(a, b) e ϕ2(a, b) = β(a, b). Além disso, se

existe ψ : Zg(k) → Zf (k) um morfismo tal que ϕ ◦ ψ = idZg(k)
e ψ ◦ ϕ = idZf (k)

, então diremos que

ϕ é um isomorfismo.

Lema 0.2.3 Seja ϕ : Zf (k)→ Zg(k) um morfismo de curvas planas. Considere Zf (k) e Zg(k) com

a topologia de Zariski. Então ϕ é uma aplicação cont́ınua.
Demonstração: Veja [6], página 48.

0.2.4 Pontos Singulares

Definição 0.2.6 Um ponto (a, b) ∈ Zf (k) é um ponto singular se (∂f/∂x)(a, b) = (∂f/∂y)(a, b) = 0.

Se existe (a, b) ∈ Zf (k) ponto singular diremos que a curva Zf (k) é singular. Caso contrário diremos

que Zf (k) é não singular.

Seja 	(x, y) = fx(a, b)(x− a) + fy(a, b)(y− b), onde fx, fy são as derivadas parciais de f . Quando

(a, b) ∈ Zf (k) é não singular, a reta Z�(k) é chamada de reta tangente de Zf (k) no ponto (a, b).

Proposição 0.2.2 O ponto (a, b) ∈ Zf (k) é não singular se, e somente se, o ideal maximal de (Cf )M

é gerado por um elemento.
Demonstração: Veja [6], página 67.

Proposição 0.2.3 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. A curva Zf (k) é não singular se, e somente se, o

domı́nio Cf é tal que sua localização em todo ideal maximal é um domı́nio local de ideais principais.
Demonstração: Veja [6], página 69.

.


Caṕıtulo

1

O Fecho Integral

Neste caṕıtulo introduziremos alguns conceitos tais como, elementos e fecho integrais,

produto de ideais e domı́nios de Dedekind. Apresentaremos vários resultados e

propriedades que envolvem estes conceitos.

Durante este caṕıtulo a tripla (A,K,L) sempre representa uma extensão de corpos L|K
e A um subanel de K.

1.1 Elementos Integrais

Sejam L|K uma extensão finita de corpos e α ∈ L. Pela finitude da extensão, α é algébrico

sobre K. Denotaremos o polinômio minimal de α sobre K por minKα.

Lema 1.1.1 Sejam L|K uma extensão de Galois e G = Gal(L|K) seu grupo de Galois.

Seja R ⊆ L um subanel tal que σ(R) = R para todo σ ∈ G. Então para todo r ∈ R, os

coeficientes de minKr pertencem a R ∩K.
Demonstração: Como a extensão L|K é de Galois, logo normal, todas as ráızes de f

pertencem a L. Considere α1 = α, . . . , αn as ráızes de f . Por [8], página 34, existem

σi ∈ G tal que σi(α) = αi, i = 1, . . . , n. Escreva

f =
n∏

i=0

(y − αi).

Como f(y) = minKα, por definição os coeficientes de f estão em K, uma vez que

escrevemos cada αi como σi(α) para algum σi ∈ G e σi(R) = R, ∀σi ∈ G, conclúımos que

21


1.1 Elementos Integrais 22

cada αi ∈ R, i = 1, . . . , n e assim os coeficientes de f estão também em R, portanto em

K ∩R. �

Definição 1.1.1 Seja A um subanel do anel L. Um elemento α ∈ L é dito integral sobre

A se ele é raiz de um polinômio mônico f(y) ∈ A[y]. Quando A = Z, o elemento α é dito

um inteiro algébrico em L. Se todo elemento de L for integral sobre A, diremos que L é

integral sobre A.

Observação 1.1.1 Nas condições do lema 1.1.1, todo elemento de R é integral sobre

R ∩K ou, equivalentemente, R é uma extensão integral de R ∩K.

Dada a tripla (A,K,L), a duas maneiras de construir subanéis de L associados a A : R1

o menor subanel de L que contém todos os elementos integrais sobre A; e R2 o menor

subanel de L que contém todos os subanéis de L integrais sobre A. Claramente R2 ⊆ R1.

A seguir mostraremos que de fato, R1 = R2.

Antes de provarmos este fato, faremos uma observação e alguns exemplos para determinar

explicitamente o conjunto dos integrais algébricos de L|Q.

Observação 1.1.2 Sejam K o corpo das frações de A, L|K uma extensão finita e α ∈ L.
Claramente se g(y) = minKα ∈ A[y], então α é integral sobre A. Suponha agora que α

é integral sobre A e seja f(y) ∈ A[y] um polinômio mônico tal que f(α) = 0. Então

g(y)|f(y) em K[y]. O lema 0.1.2 garante que se A é fatorial, então g(y) ∈ A[y]. Isto é,

quando A é fatorial, α é integral sobre A se, e somente se, minKα ∈ A[y].

Exemplo 1.1.1 Sejam K o corpo de frações do domı́nio A e α ∈ K, então minKα =

y−α. Pela observação anterior se A é fatorial, então α é integral sobre A se, e somente

se, y−α ∈ A[y], isto é, se e só se, α ∈ A. Em particular os elementos de Z são os únicos

inteiros algébricos em Q.

Exemplo 1.1.2 (Corpo de Número Quadrático) Sejam d ∈ Z(d �= 0, 1) livre de quadrado

e L = Q(
√
d). Os elementos de L integrais sobre Z formam o anel B, dado por:

B =

{
Z[
√
d] se d ≡ 2, 3(mod4),

Z[(1 +
√
d)/2] se d ≡ 1(mod4).

Seja α = m+ n
√
d ∈ Q[

√
d]. Se n = 0, então pelo exemplo anterior α é integral sobre Z

se, e só se, m ∈ Z. Seja n �= 0, então

f(y) = minQα = y2 − 2my +m2 − n2d.


1.1 Elementos Integrais 23

Pela observação anterior α é integral sobre Z se, e somente se, f(y) ∈ Z[y], isto é,

2m,m2 − n2d ∈ Z. Sejam m = a/2 e m2 − n2d = b com a, b ∈ Z.

Suponha primeiramente a = 2t+ 1, t ∈ Z. Assim,

t2 + t+ 1/4− n2d = b

⇒ 1/4− n2d = c ∈ Z.

Considere n = p/q com (p, q) = 1, então

q2 − 4p2d = 4q2c⇒ 4|q2 ⇒ 2|q.

Segue que 2 � p e q = 2q1, substituindo na equação acima temos,

4q1
2 − 4p2d = 16q1

2c⇒ q1
2 − dp2 = 4q1

2c (��),

então q1
2 − dp2 é par, portanto a duas possibilidades:

(1)

{
2|q12 e

2|dp2 ⇒ 2|d⇒ d ≡ 2(mod4)

(2)

{
2 � q12 e

2 � dp2 ⇒ 2 � d ⇒ d ≡ 1(mod4) ou d ≡ 3(mod4).

CASO (1) Então q1 é par. Escreva q1 = 2q2, substituindo em (��)

4q2
2 − dp2 = 16cq2

2 ⇒ 4|dp2,

como d é livre de quadrado 4 � d, então pelo menos 2|p o que é absurdo pois (p, q) = 1 e

q = 2q1. Assim conclúımos que este caso não ocorre.

CASO (2) Agora consideremos 2 � q12 e 2 � d. Suponha d = 4k + 3. Em (��)

q1
2 − p2(4k + 3) = 4q1

2c⇒ q1
2 − p24k − 3p2 = 4q1

2c

⇒ 4|q12 − 3p2 ⇒ q1
2 ≡ 3p2(mod4)

⇒ q1
2 − 3p2 ≡ 0(mod4) (� � �).

Uma vez que 2 � q12 e 2 � p:{
q1 pode ser 1 ou 3(mod4)

p pode ser 1 ou 3(mod4).

Facilmente verifica-se para estes valores de q1 e p que (� � �) não tem solução, logo não

pode ocorrer d ≡ 3(mod4). Como um dos casos deve ocorrer conclúımos que d ≡ 1(mod4).


1.1 Elementos Integrais 24

De fato, para d ≡ 1(mod4) existem soluções para (� � �), tome por exemplo q1 = p = 1.

Observe ainda que como q = 2q1 e (p, q) = 1,então (p, q1) = 1. A priori sab́ıamos que

a2/4− n2d = b ∈ Z, assim a2q1
2 − p2d = 4q1

2, o que implica que q1
2|p2d, como d é livre

de quadrados q1|p2, logo q1|p, mas (p, q1) = 1 e portanto q1 = 1.

Conclúımos que quando a é ı́mpar (m = a/2),então q = 2, n = p/2 e d ≡ 1(mod4). Assim

o anel dos elementos integrais de Q[
√
d] sobre Z é Z[(1+

√
d)/2] quando d ≡ 1(mod4) pois

dado α = m + n
√
d com m,n ∈ Q integral sobre Z conclúımos que m = a/2 e n = p/2

com a, p ∈ Z.

Suponha agora a = 2t, t ∈ Z. Sabemos que d ≡ 2(mod4) ou d ≡ 3(mod4). Como a = 2k,

então m = a/2 ∈ Z, logo n2d ∈ Z. Escreva n = p/q, (p, q) = 1, então p2d = bq2, b ∈ Z,

assim q2|p2d o que implica que q2|d, uma vez que d é livre de quadrados conclúımos que

q = 1, portanto n ∈ Z. Neste caso α = m + n
√
d com m,n ∈ Z o que conclui nossa

descrição do anel dos elementos de Q[
√
d] integrais sobre Z.

Claramente
√
d e (1 +

√
d)/2 são integrais sobre Z quando d ≡ 1(mod4), de fato, seu

polinômio minimal é y2 − y − (d− 1)/4 ∈ Z[y].

O anel Z[
√
d] é sempre um subanel de Z[(1 +

√
d)/2]. Quando d ≡ 1(mod4), o anel

Z[(1 +
√
d)/2] possui boas propriedades aritméticas, por exemplo, este anel pode ser

fatorial, ao contrário o anel Z[
√
d] é nunca fatorial.

Exemplo 1.1.3 Sejam k um corpo, A = k[x], K = k(x) e k(x) = K o fecho algébrico

de K. Um polinômio não constante em k[x] é livre de quadrado se ele se fatora em

k[x] como produto de distintos polinômios irredut́ıveis. Sejam f(x) ∈ k[x] um polinômio

livre de quadrados e
√
f a raiz em K do polinômio mônico y2 − f(x) ∈ A[y]. Tome

L := K(
√
f), o elemento

√
f é claramente integral sobre k[x]. E mais, todo elemento

de k[x][
√
f ] é integral sobre k[x]. De fato, tome α ∈ k[x][

√
f ], então α = g + h

√
f com

g, h ∈ k[x], logo α é raiz do polinômio y2 − 2yg + g2 − h2f ∈ k[x][y] e portanto todo

elemento de k[x][
√
f ] é integral sobre k[x]. Agora considere k um corpo algebricamente

fechado de caracteŕıstica �= 2. Nós afirmamos que o conjunto de elementos de K(
√
f) que

são integrais sobre k[x] é igual ao anel:

B := k[x][
√
f ] = {m+ n

√
f |m,n ∈ k[x]}.

A prova desta afirmação é análoga ao exemplo anterior, uma vez que o domı́nio A é

fatorial. Seja α = m+ n
√
f ∈ k(x)(√f), com m,n ∈ k(x). Se n = 0, então pelo exemplo

1.1.1 tem-se que α é integral sobre k[x] se, e somente se, m ∈ k[x]. Se n �= 0,

mink(x)α = y2 − 2my +m2 − n2f.


1.1 Elementos Integrais 25

A observação 1.1.2 mostra que α é integral sobre k[x] se, e somente se, 2m ∈ k[x] e

m2 − n2f ∈ k[x]. Uma vez que a caracteŕıstica de k é diferente de dois, o elemento 2

é invert́ıvel em k. Assim 2m ∈ k[x] se, e só se, m ∈ k[x]. Segue que necessariamente

n2f ∈ k[x]. Como n ∈ k(x), escreva n = p/q com p, q ∈ k[x] e (p, q) = 1, então p2f = hq2,

para algum h ∈ k[x]. Segue que q2|p2f , como (p, q) = 1, então q2|f. Uma vez que f é

livre de quadrado tem-se q = 1. Portanto n ∈ k[x] e α ∈ B. Assim segue que B é gerado,

como k[x]−módulo por 1 e
√
f.

Em ambos os exemplos acima o conjunto dos elementos integrais de L sobre A é um anel.

De fato, o fecho integral é sempre um anel, a próxima proposição é o principal resultado

para mostrar esse fato em geral.

Proposição 1.1.1 Sejam A um subanel de um corpo L e α ∈ L. São equivalentes:

1. O elemento α é integral sobre A.

2. O subanel A[α] de L, gerado por A e α é finitamente gerado como A−módulo.

3. Existe um A−submódulo finitamente gerado M de L tal que αM ⊆M .

Demonstração: (1 ⇒ 2) Seja α integral sobre A, então existem a0, . . . an−1 ∈ A tais

que,

αn + an−1αn−1 + · · ·+ a1α + a0 = 0.

Afirmamos que o A−módulo A[α] é gerado por 1, α, . . . , αn−1. Uma vez que qualquer

elemento β ∈ A[α] é da forma,

β =
m∑
i=0

ciα
i, com ci ∈ A, ∀i.

Para mostrar nossa afirmação resta mostrar que αi, i � 1 pode ser expressado como

combinação linear de 1, α, . . . , αn−1 com coeficientes A. Vamos proceder a prova por

indução sobre i � n. Se i = n, então

αn = −an−1αn−1 − · · ·+ a1α− a0 (�)

Para i > n, tome j � i − 1, assim por hipótese de indução αj pode ser expressado em

termos de 1, α, . . . , αn−1. multiplique (�) por αi−n

αi = −a0αi−n − a1α
i−n+1 − . . .− an−1αi−1.

Como todos os αj, j = i−n, . . . , i− 1 são todos expressados em termos de 1, α, . . . , αn−1,

portanto conclúımos que A[α] é gerado por 1, α, . . . , αn−1 como A−módulo.


1.1 Elementos Integrais 26

(2 ⇒ 3) Basta tomar M = A[α].

(3 ⇒ 1) Sejam e1, . . . , en os geradores de M como A−módulo. Como αei ∈ M, i =

1, . . . , n podemos expressar tais elementos como combinação linear dos ej, j = 1, . . . , n.

αei =
n∑

j=1

bijej, bij ∈ A, 1 � i, j � n. (�)

Sejam N := (bij)1�i,j�n e E := [e1 · · · en]
t. As igualdades em (�) implicam que

αE = NE, ou, (αId−N)E = 0. Como E �= 0, conclúımos que det(αId−N) = 0. Então,

0 = det(αId−N) = αn +
n−1∑
i=0

aiα
i,

onde a0, . . . , an−1 são expressões em termo das entradas de N, portanto elementos de A.

Logo α é integral sobre A. �

Corolário 1.1.1 Seja A um subanel do corpo L. O conjunto B de todos os elementos de

L integrais sobre A é um anel.

Demonstração: Todo elemento α ∈ A é integral sobre A, uma vez que o mesmo é raiz

do polinômio linear y − α ∈ A[y]. Então A ⊆ B, em particular 0, 1 ∈ B. Para mostrar

que B é um subanel de L resta mostrar que se α e β são integrais sobre A, então α− β e

αβ são integrais sobre A. Como α, β são integrais sobre A, os subanéis A[α] e A[β] são

finitamente gerados como A−módulos (proposição 1.1.1). Sejam e1, . . . , er geradores para

A[α] e f1, . . . , fs geradores para A[β] como A−módulos. Tome M = A[α, β] subanel de L,

M é finitamente gerado como A−módulo, de fato, o conjunto {eifj|1 � i � r; 1 � j � s}
é gerador de M . Uma vez que (α − β)M ⊆ M e (αβ)M ⊆ M, segue da equivalência 3

⇔ 1 da proposição 1.1.1 que α− β e αβ são integrais sobre A. �

O corolário anterior motiva a seguinte definição chave:

Definição 1.1.2 Seja A um subanel do corpo L. O fecho integral B de A em L é o anel

dos elementos de L integrais sobre A. Quando L é um corpo numérico o fecho integral B

de Z é chamado o anel dos integrais algébricos de L. Por vezes denotado de OL.

Definição 1.1.3 Um domı́nio é dito ser integralmente fechado se ele é igual a seu fecho

integral em seu corpo de frações.

Exemplo 1.1.4 Os anéis Z e k[x] são integralmente fechados. Este fato segue do exemplo

1.1.1 e da observação 1.1.2. O próximo lema fornece uma prova diferente destes fatos

sem usar a observação 1.1.2.


1.1 Elementos Integrais 27

Exemplo 1.1.5 Quando d ≡ 1(mod4) o anel Z[
√
d] não é integralmente fechado. De

fato, o elemento (1+
√
d)/2 é integral sobre Z[

√
d] pois é integral sobre Z, mas (1+

√
d)/2

não pertence a Z[
√
d]. Segue do próximo lema também que o anel Z[

√
d] não é fatorial

também.

Lema 1.1.2 Os domı́nios fatoriais são integralmente fechados.

Demonstração: Sejam A um domı́nio fatorial e K seu corpo de frações. Seja z ∈ K

integral sobre A. Sem perda de generalidade podemos supor que z = b/c, com b, c coprimos

em A. Considere,

(b/c)n + an−1(b/c)n−1 + · · ·+ a1(b/c) + a0 = 0

a relação integral de b/c sobre A. Então

−bn = c(an−1bn−1 + an−2bn−2c+ · · ·+ a1bc
n−2 + a0c

n−1).

Portanto c|bn. Uma vez que b, c são coprimos, conclúımos que c deve ser inverśıvel em

A, o que implica que c−1 ∈ A, logo z ∈ A. �

A rećıproca do lema anterior de fato não é válida. Para ver isso, basta tomar A = Z[
√
5].

Pelo exemplo 1.1.2, o fecho integral de A em Q(
√
5) é Z[(1 +

√
5)/2] �= Z[

√
5].

A seguir mostraremos que a afirmação da observação 1.1.2 vale para domı́nios

integralmente fechados.

Lema 1.1.3 Sejam A um domı́nio integralmente fechado, K seu corpo de frações e L|K
uma extensão de corpos. Seja α ∈ L algébrico sobre K. Então α é integral sobre A, se,

e somente se, os coeficientes de minK(α) pertencem a A.

Demonstração: Se minK(α) ∈ A[y], por definição α é integral sobre A. Para a

rećıproca, suponha α ∈ L integral sobre A. Sejam f(y) ∈ A[y] um polinômio mônico

tal que f(α) = 0, M o corpo de ráızes de minK(α) e α1, . . . , αn os conjugados de α em

M. Como minK(α) =
n∏

i=1

(y− αi)|f(y), segue que cada αi, i = 1, . . . , n é integral sobre A.

Visto que o conjunto dos elementos integrais sobre A é um subanel B de M, conclúımos

que os coeficiente de minK(α) pertencem a B, portanto integrais sobre A. Como A é

integralmente fechado B ∩K = A o qual implica que minK(α) ∈ A[y]. �

Proposição 1.1.2 Sejam A ⊆ B ⊆ C domı́nios. Então C é integral sobre A, se,e

somente se, C é integral sobre B e B integral sobre A.

Demonstração: Suponha C integral sobre A. Pela inclusões A ⊆ B ⊆ C, claramente C

é integral sobre B e B é integral sobre A.


1.1 Elementos Integrais 28

Suponha agora C integral sobre B e B integral sobre A. Seja α ∈ C, como C é

integral sobre B podemos encontrar g(y) = yn + bn−1yn−1 + · · · + b0 ∈ B[y] tal que

g(α) = 0. Tome B′ := A[b0. . . . , bn−1], este é o menor subanel de C gerado por A

e o conjunto {b0. . . . , bn−1}. Afirmamos que B′ é finitamente gerado como A−módulo.

Como B é integral sobre A, os b′is são integrais sobre A. Pela proposição 1.1.1 A[b0] é

finitamente gerado como A−módulo e por indução A[b0. . . . , bn−1] é finitamente gerado

como A−módulo: suponha A[b0. . . . , bn−2] finitamente gerado como A−módulo e considere

um conjunto gerador {e1, . . . , er}. Como bn−1 é integral sobre A, pela proposição 1.1.1,

A[bn−1] é finitamente gerado como A−módulo, tome {f1, . . . , fs} um conjunto gerador

para A[bn−1] como A−módulo, assim A[b0. . . . , bn−2, bn−1] é gerado por {eifj|1 � i �
r; 1 � j � s} como A−módulo e portanto finitamente gerado. Considere agora B′[α] o

menos subanel de C contendo B′ e α. Então B′[α] é um A−módulo gerado pelo conjunto:

{eifjαk|1 � i � r; 1 � j � s; 0 � k � n− 1}.

Uma vez que αB′[α] ⊆ B′[α], pela proposição 1.1.1, que α é integral sobre A. �

Proposição 1.1.3 Sejam A um domı́nio, K seu corpo de frações e L|K uma extensão

finita. Seja B o fecho integral de A em L.

1. Seja α ∈ L. Então existe b ∈ B e a ∈ A tal que α = b/a. Em particular, L é o corpo

de frações de B.

2. O anel B é integralmente fechado.

3. Se A é integralmente fechado, então B ∩K = A.

4. Se L|K é Galois com grupo de Galois G, então σ(B) = B para todo σ ∈ G. Além

disso, se A é integralmente fechado, então A = BG := {b ∈ B|σ(b) = b, ∀σ ∈ G}.
Demonstração: 1- Sejam α ∈ L e g(y) = minK(α). Como K é o corpo de frações de

A podemos escrever:

g(y) = yn +
cn−1
dn−1

yn−1 + · · ·+ c1
d1
y +

c0
d0
, ci, di ∈ A, ∀i.

Tome a :=
∏n−1

i=0 di ∈ A, uma vez que ang(α) = 0,

(aα)n +
cn−1
dn−1

a(aα)n−1 + · · ·+ c1
d1
an−1(aα) +

c0
d0
an = 0.

Claramente ci
di
a ∈ A, i = 0, . . . n − 1. Assim a equação acima é a relação integral de aα

sobre A. Então, b = aα ∈ B, pois B é o fecho integral de A, logo α = b/a com b ∈ B e

a ∈ A como queŕıamos.


1.1 Elementos Integrais 29

2- Sejam B não integralmente fechado e B′ é o fecho integral de B em L. Como B é

integral sobre A e B′ integral sobre B, pela proposição 1.1.2, B′ é integral sobre A, o

que é absurdo, pois neste caso B não seria o fecho integral de A em L. Portanto B é

integralmente fechado.

3- Como B é o fecho integral de A, então B ∩ K é integral sobre A. Mas B ∩ K ⊆ K

e por A ser integralmente fechado, todos os elementos de K que são integrais sobre A

pertencem a A, logo B ∩K ⊆ A. Portanto B ∩K = A.

4- Sejam α ∈ B e f(y) ∈ A[y] tal que f(α) = 0. Tome σ ∈ G, então 0 = σ(f(α)) =

f(σ(α)), ou seja, σ(α) é integral sobre A, portanto σ(α) ∈ B. Pela hipótese K = LG,

então BG = LG ∩ B = K ∩ B e quando A é integralmente fechado, pelo item (3),

BG = B ∩K = A �

Corolário 1.1.2 Sejam A um domı́nio e K seu corpo de frações. Seja L|K uma extensão

de grau n e considere B o fecho integral de A em L. Então existe uma base {e1, . . . , en}
de L sobre K dos elementos de B.

Demonstração: Seja {f1, . . . , fn} uma base para L sobre K, pelo item (1) da proposição

anterior podemos encontrar c1, . . . , cn ∈ A e e1, . . . , en ∈ B tais que fi = ei/ci, i =

1, . . . , n. Então {e1, . . . , en} é uma base para L sobre K contida em B. �

1.2 Produto de Ideais

Como foi comentado anteriormente, existem domı́nios que não são fatoriais e portanto

não principais. Um exemplo simples é Z[
√−5]. De fato, basta observar que

6 = 2 · 3 = (1 +
√−5)(1−√−5).

Demonstrar que 2, 3, (1+
√−5) e (1−√−5) são irredut́ıveis e não associados é elementar.

Lembramos que por definição a e b são associados se a = ub para algum u inverśıvel.

Mostraremos que os únicos inverśıveis de Z[
√−5] são 1 e −1. Suponha,

1 = (a+ b
√−5)(c+ d

√−5).

Logo, {
ac− 5bd = 1 (�)

ad+ bc = 0 (��)

Então (a, b) = (a, d) = (c, b) = (c, d) = 1 e ad = −bc. Desta última conclúımos a|c, c|a, b|d
e d|b, portanto c = ±a e b = ±d. Da segunda equação acima, 2(ab) = 0, logo a = 0 ou


1.2 Produto de Ideais 30

b = 0. Se a = 0, então 4 ± 5b2 = 1, que é absurdo. Portanto b = d = 0 e a2 = 1, isto é,

a = ±1.
Para mostrar a irredutibilidade de 2, 3, (1+

√−5) e (1−√−5) usaremos a função norma

definida em Z[
√−5] por N(a + b

√−5) = a2 − 5b2. Por exemplo, no caso de 1 +
√−5,

observe que N(1 +
√−5) = 6 = 1 · 6 = 2 · 3. Se 1 +

√−5 = αβ, no primeiro caso

N(α) = 1, isto é, α = ±1 e no segundo caso N(α) = 2 o que é imposśıvel. Uma

vez que os únicos elementos inverśıveis de Z[
√−5] são 1 e −1 claramente os elementos

2, 3, (1+
√−5), (1−√−5) não são associados. Portanto o elemento 6 tem duas fatorações

distintas em Z[
√−5].

A busca para substituir a propriedade de fatoração única de elementos levou Dedekind

ao estudo da propriedade de fatoração única de ideais. Nesta seção introduziremos

as definições chaves necessárias para enunciar o principal teorema de Dedekind sobre

fatoração única de ideais.

Definição 1.2.1 Dois ideais I, J de um anel A são ditos coprimos, se I + J = A. Note

que isto é equivalente a existência de x ∈ I e y ∈ J tais que x+ y = 1.

Lema 1.2.1 Se I e J são coprimos, então IJ = I ∩ J.
Demonstração: Sabemos que sempre IJ ⊆ I ∩ J. Dado z ∈ I ∩ J considere x ∈ I e

y ∈ J tais que x+ y = 1, então z = zx+ zy ∈ IJ . �

Observação 1.2.1 Sejam P,Q dois ideais primos do anel A. Se P é maximal e Q �⊆
P , então P,Q são coprimos. De fato, o ideal P + Q contém estritamente o ideal P

o qual é maximal, logo P + Q = A. Entretanto, em geral dois ideais primos não são

necessariamente coprimos. Por exemplo, considere o domı́nio Z[x] e seja p ∈ Z primo.

Como p é irredut́ıvel em Z[x] o ideal P := 〈p〉 é primo em Z[x]. Considere agora o ideal

Q = 〈x〉 em Z[x],uma vez que x é irredut́ıvel Q também é um ideal primo, mas o ideal

P + Q = 〈p, x〉 �= Z[x]. De fato, P + Q é maximal pois Z[x]/〈p, x〉 ∼= ZP . Portanto P e

Q não são coprimos.

Definição 1.2.2 Um domı́nio R é dito ter a propriedade da fatoração única de ideais se

todo ideal não trivial I de R pode ser escrito unicamente como I = P1 · · ·Ps, onde cada

Pi é um ideal primo, isto é, se I = Q1 · · ·Qn, então s = n e {P1, . . .Ps} = {Q1, . . . ,Qn}.

Note que esta definição é parecida com a definição de fatoração única para elementos um

domı́nio de fatoração única. Nesta nova definição ideais substituem os elementos e os

ideais primos substituem os elementos irredut́ıveis.


1.2 Produto de Ideais 31

Exemplo 1.2.1 Um domı́nio A de ideais principais tem a propriedade de fatoração única

de ideais. De fato, todo domı́nio de ideais principais é fatorial, veja [1], página 112.

Sejam I = 〈a〉 � A e a = α1 · · ·αn, onde αi, . . . , αn ∈ A irredut́ıveis. É fácil ver que

I = 〈a〉 = 〈α1〉 · · · 〈αn〉 e cada 〈αi〉 é primo.

O próximo teorema cuja demonstração será feita no final deste caṕıtulo, fornece exemplo

para domı́nios que possuem a propriedade da fatoração única de ideais.

Teorema 1.2.1 Seja L|K uma extensão separável. Seja A ⊆ K um domı́nio principal,

então o fecho integral B de A em L tem propriedade da fatoração única de ideais.

Um caso particular e interessante deste teorema é quando A = Z e K = Q, ou seja, o

fecho integral de Z em qualquer extensão de Q sempre possui a propriedade de fatoração

única de ideais.

A seguir veremos um exemplo de um domı́nio que não possui a propriedade de fatoração

única de ideais.

Exemplo 1.2.2 Seja ∂ := 1+
√
5

2
.Observe que Z ⊆ Z[

√
5] ⊆ Z[∂]. Mostraremos que o

domı́nio Z[
√
5] não tem a propriedade da fatoração única de ideais. O ideal Q = 〈2〉 em

Z[∂] é maximal. Para provar este fato basta mostrar que Z[∂]
〈2〉 é corpo. De fato,

Z[∂]
〈2〉 � Z[y]/〈y2−y−1〉

〈2〉

� Z[y]
〈2,y2−y−1〉

� Z2[y]
〈y2−y−1〉 .

O polinômio y2−y−1 não tem ráızes em Z2 portanto é irredut́ıvel sobre Z2, e 〈y2−y−1〉
é maximal, Assim Z2[y]

〈y2−y−1〉 é corpo, a saber F4. Logo Q é maximal. Observe que ∂ é

inverśıvel em Z[∂] pois
(1 +

√
5)

2
· (−1 +

√
5)

2
= 1

e o inverso de ∂ é ∂ − 1. Desde que 1−√5 = (−∂−1) · 2, observamos que 1−√5 ∈ Q.

Afirmamos agora que o ideal P = 〈2, 1−√5〉 é maximal em Z[
√
5]. De fato,

Z[
√
5]

P
� Z2[y]

〈1− y, y2 − 5〉 =
Z2[y]

〈1− y〉 � Z2.

Considere o ideal I := 〈2〉 · Z[√5], claramente I ⊆ P. Afirmamos que P é o único ideal

primo de Z[
√
5] que contém I. De fato,

Z[
√
5]

〈2〉 � Z2[y]〈(y − 1)2〉.


1.2 Produto de Ideais 32

Uma vez que o ideal principal 〈y−1〉 é o único ideal primo de Z2[y] que contém 〈(y−1)2〉
segue que P é o único ideal primo de Z[

√
5] que contém I, o que prova nossa afirmação.

Desde que Z[
√
5]/I não é domı́nio e Z[

√
5]/P é um corpo, conclúımos que I � P. Suponha

que I pode ser escrito como I = P1 · · ·Pn, com P1, . . . ,Pn ideais primos de Z[
√
5]. Como

P1 · · ·Pn ⊆ P1∩· · ·∩Pn, conclúımos que I ⊆ Pi, ∀i. Portanto Pi = P, ∀i. Logo I = Pn.

Afirmamos que P2 ⊆ I:

P2 = 〈22, 2(1−√5), (1−√5)2〉
= 〈4, 2(1−√5), 6− 2

√
5〉

= 〈4, 2(1−√5)〉 ⊆ I,

essa inclusão ainda é própria, isto é, P2 � I = Pn, que é posśıvel apenas para n = 1. O

que é absurdo uma vez que I �= P.

1.3 Anéis Noetherianos

Pelo exemplo 1.1.2 e o exemplo discutido no ińıcio da seção 1.2 conclúımos que o fecho

integral de um domı́nio principal não é sempre principal. O objetivo principal desta seção

é mostrar que todos os ideais deste fecho são finitamente gerados, mais precisamente, se

A é um domı́nio principal, K seu corpo de frações e L|K uma extensão separável, então

todos ideais do fecho integral de A em L são finitamente gerados.

Definição 1.3.1 Um anel é chamado de anel Noetherianos se todos os ideais são

finitamente gerados.

Exemplo 1.3.1 1. Os corpos são exemplos de anéis Noetherianos, uma vez que

possuem apenas os ideais triviais.

2. Um domı́nio principal é um anel Noetheriano.

3. Sejam K um corpo e R := K[x]
〈x2〉 . Este anel possui apenas um ideal não trivial, a

saber, o ideal gerado pela classe de x, portanto Noetheriano.

4. Em geral, se A é anel Noetheriano e I ideal de A, então A/I é Noetheriano.

Proposição 1.3.1 Sejam A um anel Noetheriano e M um A−módulo finitamente

gerado, então M é Noetheriano, isto é, todo submódulo de M é finitamente gerado.

Demonstração: Veja [11], página 75.

Corolário 1.3.1 Sejam A ⊆ B anéis. Se A é Noetheriano e B é finitamente gerado

como A−módulo, então B é Noetheriano.

Demonstração: Basta observar que os ideais de B são submódulos de B visto como

A−módulo.


1.3 Anéis Noetherianos 33

Para mostrar o nosso resultado principal desta seção, precisamos da seguinte proposição.

Proposição 1.3.2 Sejam A um domı́nio integralmente fechado no seu corpo de frações

K, L|K uma extensão separável de grau n e B o fecho integral de A em L. Considere

{e1, . . . , en} ⊆ B uma base para L sobre K. Então existe d ∈ A\{0} tal que o A−módulo

B está contido no A−módulo livre gerado por e1
d
, . . . , en

d
, isto é,

Ae1 ⊕ · · · ⊕ Aen ⊆ B ⊆ A
e1
d
⊕ · · · ⊕ A

en
d
⊆ L.

Demonstração: A existência da base para L|K contido em B foi mostrada no corolário

1.1.2. A primeira inclusão claramente é satisfeita. Seja α ∈ B, como B ⊆ L,

α = x1e1 + · · ·+ xnen, x1, . . . , xn ∈ K.

Então para todo d′ ∈ A \ 0,

α = d′x1
e1
d′

+ · · ·+ d′xn
en
d′
.

Basta mostrar a existência de um elemento d �= 0 tal que dxi ∈ A, i = 1, . . . , n

e para todo α ∈ B. Seja K o fecho algébrico de K. Pela separabilidade de L|K,

existem n monomorfismos distintos σ1, . . . , σn de L em K(veja [9], pág. 33). Seja

M := (σi(ej))1�i,j�n. Observe,⎛⎜⎜⎝
σ1(α)

...

σn(α)

⎞⎟⎟⎠ =M ·

⎛⎜⎜⎝
x1
...

xn

⎞⎟⎟⎠ .
Seja M∗ a adjunta da matriz M . Então

M∗ ·

⎛⎜⎜⎝
σ1(α)

...

σn(α)

⎞⎟⎟⎠ =MM ∗ ·

⎛⎜⎜⎝
x1
...

xn

⎞⎟⎟⎠ =

⎛⎜⎜⎝
det(M)x1

...

det(M)xn

⎞⎟⎟⎠ .
Como as entradas de M∗ são os determinantes das sub-matrizes (n − 1) × (n − 1) de

M , elas são integrais sobre A. Uma vez que α ∈ B, σi(α) ∈ B, logo det(M)xi é integral

sobre A para todo i. Mas det(M) �∈ K. De fato, pela finitude de L|K, esta extensão é

algébrica, portanto L ⊆ K. Para cada i, seja ηi a extensão de σi a K. Por outro lado,

para todo i, ηi(det(M)) = ±det(M), ou seja, ηi permuta as linhas da matriz M . Isto

mostra que det(M) pode não pertencer a K. Mas o elemento d := det2(M) ∈ K pois é

invariante sobre todo automorfismo η de K tal que η|K = idK . Por A ser integralmente


1.3 Anéis Noetherianos 34

fechado e d ∈ K é integral sobre A, conclúımos que d ∈ A e então para todo i, dxi ∈ K e

dxi = det(M)det(M)xi é integral sobre A. Para concluir observamos que d = det(M) �= 0

uma vez que {e1, . . . , en} é uma base para L|K. �

Teorema 1.3.1 Sejam A um domı́nio Noetheriano integralmente fechado no seu corpo de

frações K e L|K uma extensão separável. Então o fecho integral de A em L é finitamente

gerado como A−módulo, em particular, é um anel Noetheriano.

Demonstração: Seja B o fecho integral de A em L. Como A é Noetheriano, pela

proposição 1.3.1 para mostrar que B é um A−módulo finitamente gerado, basta mostrar

que B é um submódulo de um A−módulo finitamente gerado. Pela proposição anterior,

B é um A−submódulo do A−módulo A e1
d
⊕ · · ·⊕A en

d
que é livre de posto finito. E assim

completaremos nossa demonstração. �

Relembrando que um elemento m ∈ M , onde M é um A−módulo é de torção se existe

a ∈ A \ {0}, tal que am = 0. Um A−módulo M é um módulo de torção se todo elemento

de M é de torção. Por exemplo, seja I um ideal não trivial de A. O A−módulo A/I é

sempre de torção. Se zero é o único elemento de torção de M , então M é dito livre de

torção. Quando A é um domı́nio de ideais principais, qualquer A−módulo finitamente

gerado é isomorfo a soma direta de A−módulos de torção finitamente gerado e A−módulos

livres finitamente gerados, esta afirmação se deve ao teorema de estrutura de para módulos

finitamente gerados sobre domı́nios principais.

Corolário 1.3.2 Seja A um domı́nio de ideais principais. Seja L uma extensão separável

do corpo de frações de A. Então o fecho integral B de A em L é um A−módulo livre de

posto finito.

Demonstração: O teorema 1.3.1 mostra que B é um A−módulo finitamente gerado.

Desde que B é um domı́nio, o A−módulo B não contém um elemento de torção não

trivial. De fato, seja a ∈ A, a �= 0, e seja b ∈ B. Se ab = 0, então b = 0, pois B é

domı́nio. Assim, B é livre de torção. Portanto, pelo resultado mencionado acima sobre

a estrutura desses tipos de módulos, conclúımos que B é um A−módulo livre. �

O posto de B sobre A pode ser calculado usando o seguinte lema:

Lema 1.3.1 Seja K o corpo de frações do domı́nio A. Seja L|K uma extensão finita

de grau n. Seja B o fecho integral de A em L. Se B é um A−módulo livre finitamente

gerado, então o posto de B sobre A é igual a n.

Demonstração: Seja {b1, . . . , bs} uma base para B sobre A. Dada uma relação

K−linear entre b1, . . . , bs, colocando em evidência o maior divisor comum dos


1.3 Anéis Noetherianos 35

denominadores temos uma relação A−linear, por isso, os elementos b1, . . . , bs são

linearmente independentes sobre K e s � n. A proposição 1.1.3 mostra que todo elemento

de L é da forma b/a para algum b ∈ B e a ∈ A. Dado α ∈ L, α = b/a para algum

b ∈ B e a ∈ A, como b1, . . . , bs é base para B sobre A, b = a1b1 + · · · + asbs e assim

α = 1
a
(a1b1 + · · · + asbs). Portanto b1, . . . , bs gera L como K−espaço vetorial e assim

s = n. �

Definição 1.3.2 Sejam A um subanel do corpo L e B o fecho integral de A em L. Se

B é um A−módulo livre de posto finito, as bases de B sobre A são chamadas de bases

integrais sobre B.

Nas condições do lema 1.3.1 uma base integral também é uma base para L sobre K.

Exemplo 1.3.2 Os conjuntos {1,√d} e {1, (1+√d)/2} são bases integrais sobre Z para

o fecho integral de Z em Q(
√
d), quando d ≡ 2, 3(mod4) e d ≡ 1(mod4) respectivamente.

Exemplo 1.3.3 Sejam k = k de caracteŕıstica 2 e f ∈ k[x] \ k sem ráızes duplas em k.

A extensão L := k(x)(
√
f) não é separável sobre K := k(x) uma vez que o polinômio

minimal y2 − f = (y − √f)2 de
√
f tem uma raiz dupla. Assim, o teorema 1.3.1

sobre o fecho integral B de k[x] em L não se aplica. Contudo mostraremos que B é

um k[x]−módulo livre de posto 2.

Primeiramente descreveremos B usando o mesmo método do exemplo 1.1.3. Seja α =

m+ n
√
f ∈ L, α �∈ k(x). O polinômio minimal de α sobre k(x) é

y2 + 2my +m2 − n2f = y2 + (m2 + n2f).

Como k[x] é domı́nio principal, logo um domı́nio fatorial (veja [1] pág 112), pelo lema

1.1.2 é integralmente fechado e pelo lema 1.1.3 α ∈ B se, e somente se, m2+n2f ∈ k[x].
Sem perda de generalidade podemos assumir que m = a/c e n = b/c com a, b, c ∈ k[x]

e mdc(a, b, c) = 1. Assim, α é integral sobre k[x] se, e somente se, c2|a2 + b2f . Como

queremos descrever B, consideremos α ∈ B, logo existe h ∈ k[x] tal que hc2 = a2 + b2f.

Então

h′c2 + 2cc′h = 2aa′ + 2bb′f + b2f ′ ⇐⇒ h′c2 = b2f ′,

então conclúımos que quando α ∈ B, c2|b2f ′. Consequentemente, se f ′ não é diviśıvel

por nenhum quadrado em k[x], então c|b. Portanto, b/c ∈ k[x] e assim b
√
f/c é integral

sobre k[x]. Por α e b
√
f/c serem integrais sobre k[x] conclúımos que α− b√f/c = a/c ∈

k(x) também é integral sobre k[x], como k[x] é integralmente fechado a/c ∈ k[x] e por

mdc(a, b, c) = 1, segue que c ∈ k∗ e B = k[x][
√
f ]. Logo B é gerado por {1,√f} sobre


1.3 Anéis Noetherianos 36

k[x], ou seja, B é uma k[x]−módulo livre de posto dois no caos em que f ′ não é diviśıvel

por nenhum quadrado em k[x].

Agora analisaremos o caso em que f ′ é diviśıvel por algum quadrado em k[x].

Afirmação 1: Se f ′ = g2h, isto é, f ′′ ≡ 0, então f ′ = g2, para algum g ∈ k[x].
Seja f(x) =

∑s
i=0 aix

i, então f ′(x) =
∑s−1

i=0 ai+1x
i e f ′′(x) = 0. Como k = k, k é perfeito

e char(k) = 2, então k contém a raiz quadrada de qualquer um dos seus elementos, logo

f ′(x) = (
∑

2j+1�s

√
a2j+1x

j)2. Isso prova nossa afirmação.

Como k = k e f ′ é um quadrado, podemos escreve-lo f ′(x) := (
∏t

i=1(x − bi)
ri)2. Os

elementos

αi :=

√
f(bi)−

√
f(x)

(x− bi)ri
, i = 1, . . . , t,

são integrais sobre k[x]. De fato, cada αi é raiz do polinômio

h(y) = y2 − f(bi)− f(x)

(x− bi)2ri
∈ k[x][y].

Observamos que bi é raiz de multiplicidade 2ri do polinômio g(x) = f(bi) − f(x), pois

g(bi) = 0 e g′(x) = −f ′(x) = −∏t
i=1(x − bi)

2ri. Logo (f(bi) − f(x))/(x − bi)
2ri ∈ k[x] e

αi é integral sobre k[x].

Afirmação 2: O conjunto {α0 = 1, α1, . . . , αt} gera o fecho integral B sobre k[x].

De fato, seja α = m + n
√
f ∈ L, como antes α ∈ B se, e somente se, c2|a2 + b2f em

k[x], onde a, b, c ∈ k[x],m = a/c, n = b/c e mdc(a, b, c) = 1. Assim, existe h ∈ k[x] tal

que hc2 = a2 + b2f , ou:

h′c2 = b2f ′.

Logo c2 = b2f ′/h′ e assim c = b
√
f ′/
√
h′. Voltando em hc2 = a2 + b2f , tem-se a2(bi) +

b2(bi)f(bi) = 0, como mdc(a, b, c) = 1 segue b2(bi) �= 0 e então
√
f(bi) = a(bi)/b(bi).

Portanto

α =
a+ b

√
f

c
=
b(a/b+

√
f)

c
=

√
h′b(
√
f(bi)−

√
f)

b
√
f ′

=

√
h′(
√
f(bi)−

√
f)√

f ′
,

como desejado.

Se provarmos que o conjunto {α0 = 1, α1, . . . , αt} gera o fecho integral B sobre k[x],

saberemos que B é um k[x]−módulo finitamente gerado. Desde que k[x] é um domı́nio

de ideais principais, segue do corolário 1.3.2 que B é um k[x]−módulo livre finitamente

gerado. Pelo lema 1.3.1 B pode ser gerado sobre k[x] por dois elementos. Quais ? Se

deg(f) = 1 ou 2, então f ′ ∈ k e B = k[x][
√
f ]. Se deg(f) = 3 ou 4, então f ′(x) = (x−b)2

e {1, (√f(b)−√f(x))/(x− b)} é uma base para B sobre k[x]. Para encontrar uma base


1.3 Anéis Noetherianos 37

inteira para B sobre k[x] que contém dois elementos, vamos proceder como segue. Escreva,

f(x) = g(x)f ′(x) + r(x), com deg(r) < deg(f ′) ou r ≡ 0.

Derivando ambos os lados,

f ′(x) = g′(x)f ′(x) + g(x)f ′′(x) + r(x).

Portanto, f ′(x)(1 − g′(x)) = r′(x) (pois f ′′(x) = 0), isso implica que r′(x) = 0 e então

g′(x) = 1. Escreva f ′ = h2ϕ, onde h, ϕ ∈ k[x]. Assim,

√
gϕ =

√
f −√r
h

∈ k(x)(
√
f).

Pela construção, k(x)(
√
gϕ) = k(x)(

√
f).

Afirmação 3: B = k[x][
√
gϕ]

O elemento
√
gϕ = (

√
f−√r)/h é integral sobre k[x], desde que h2 divide (

√
f)2−(

√
r)2,

disso k[x][
√
gϕ] ⊆ B. Como (gϕ)′ = g′ϕ = ϕ, nós conclúımos que (gϕ)′ é livre de

quadrados em k[x]. Portanto k[x][
√
gϕ] é integralmente fechado e assim é igual a B.

Mostraremos que B é um k[x]−módulo finitamente gerado. Seja h ∈ k[x] o polinômio

de grau mı́nimo tal que k(x)(
√
h) = k(x)(

√
f). Afirmamos que {1,√h} é base para B

sobre k[x]. Por construção
√
h é integral sobre k[x] e assim, pertence a B. Seja α :=

a/c + b
√
h/c ∈ B, com a, b, c ∈ k[x] e mdc(a, b, c) = 1. Seja deg(c) > 0. Subtraindo (se

necessário) um elemento de k[x]+k[x]
√
f , podemos assumir que deg(c) > deg(b), deg(a).

Como α é integral, existe um polinômio 	 tal que c2	 = a2+ b2h, esta equação mostra que

k(x)(
√
	) = k(x)(

√
h) e assim deg(	) = deg(h). Por deg(c) > deg(b), deg(c2	) = deg(a2),

mas isso não é posśıvel uma vez que deg(c) > deg(a). Portanto deg(c) = 0 e {1,√h} é

uma base, como desejado.

Se k é um corpo de caracteŕıstica p > 0, estudaremos em 8.1 as propriedades do fecho

integral B do anel k[x] numa extensão finita e inseparável de k(x). E o teorema 8.1.1 nos

garantirá que o anel B é sempre um k[x]−módulo finitamente gerado.

1.4 Localização

Definição 1.4.1 Seja A um anel comutativo com unidade. Um subconjunto S de A é

multiplicativo se

1. 0 �∈ S e 1 ∈ S,
2. se a, b ∈ S, então ab ∈ S.


1.4 Localização 38

Considere no conjunto A× S a seguinte relação:

(a, s) ≈ (b, t)⇔ ∃λ ∈ S : λ(at− bs) = 0.

Observe que quando A é domı́nio, a equação λ(at − bs) = 0 implica que at − bs = 0.

Claramente a relação ≈ em A× S é uma relação de equivalência.

Denote por a
s
a classe de equivalência de (a, s) ∈ A × S. Seja S−1A = A × S/ ≈. O

conjunto S−1A tem estrutura de anel com as seguintes operações:

a

s
+
b

t
=
at+ bs

ts
,
a

s
· b
t
=
ab

ts
.

O anel S−1A é chamado do anel de frações do A com respeito a S. A aplicação

jS : A −→ S−1A

a 	−→ a
1

é um homomorfismo de anéis. Quando não causar confusão denotaremos jS simplesmente

por j. A aplicação j e o anel S−1A satisfazem as seguintes propriedades:

1. Seja s ∈ S. O elemento j(s) ∈ S−1A é inverśıvel e seu inverso é 1
s
.

2. Se A é um domı́nio, então j é injetiva. De fato, j(a) = a
1
= 0

1
implica que existe

λ ∈ S tal que λa = 0. Como A é domı́nio e λ �= 0, a = 0.

3. Quando A é um domı́nio o anel S−1A também é. De fato, se a
s
· b
t
= 0 em S−1A,

então existe λ ∈ S tal que λ(ab−0) = 0. Por A ser domı́nio e λ �= 0, a = 0 ou b = 0.

4. Quando A é domı́nio, o corpo de frações K de A é o anel S−1A com S = A \ {0}.

Propriedade Universal de Anéis de Frações. Sejam A um anel comutativo com

unidade e S ⊆ A multiplicativo. Seja g : A → B um homomorfismo de anéis tal que

g(s) é inverśıvel em B para todo s ∈ S. Então existe um único homomorfismo de anéis

g′ : S−1A→ B tal que g = g′ ◦ j. Onde,

j : A −→ S−1A

a 	−→ a/1.

Proposição 1.4.1 Se A é um domı́nio integralmente fechado e S ⊆ A multiplicativo,

então S−1A é um domı́nio integralmente fechado.

Demonstração: Seja K o corpo de frações de A (e de S−1A). Seja α ∈ K∗ e escreva

α = a
b
, a, b ∈ A. Suponha que α seja integral sobre S−1A e considere f(y) = yn +∑n−1

i=0
ai
si
yi ∈ (S−1A)[y] mônico tal que f(α) = 0. Tome s :=

∏n−1
i=0 si, assim snf(a

b
) = 0 e


1.4 Localização 39

portanto sa
b
∈ K é integral sobre A, pois

(
sa

b
)n +

an−1s
sn−1

(
sa

b
)n−1 + · · ·+ a1s

n−1

s1
(
sa

b
) +

a0s
n

s0
= 0.

Como A é integralmente fechado, sa
b
∈ A, logo α = a

b
∈ S−1A, como desejado. �

Corolário 1.4.1 Seja B o fecho integral de A no corpo L. Seja S ⊂ A multiplicativo.

Então o anel S−1B é o fecho integral de S−1A em L.

Demonstração: Pela proposição 1.4.1 S−1B é integralmente fechado em L. Portanto

para provar este corolário devemos mostrar que todo elemento de S−1B é integral sobre

S−1A. Sejam b
s
∈ S−1B e f(y) = yn +

∑n−1
i=0 aiy

i ∈ A[y] tal que f(b) = 0. Tome,

g(y) := yn +
n−1∑
i=0

ai
sn−i

yi ∈ (S−1A)[y].

Uma vez que g( b
s
) = 0, segue que b

s
é integral sobre S−1A. �

A propriedade de um domı́nio ser integramente fechado é local. De fato:

Corolário 1.4.2 Seja A um domı́nio. As seguintes afirmações são equivalentes:

(1) A é integralmente fechado.

(2) AP é integralmente fechado para todo P ∈ Spec(A).

(3) AP é integralmente fechado para todo P ∈ Max(A).

A prova pode ser vista [11].

1.5 Anéis de Dimensão Um

Definição 1.5.1 Seja A um anel. Uma cadeia de ideais primos de comprimento n é um

conjunto de n + 1 ideais primos distintos P0, . . . , Pn de A tais que Pn ⊆ · · · ⊆ P1 ⊆ P0.

A altura do ideal primo P , 	(P ), é o supremo dos comprimentos das cadeias de ideais

primos onde P0 = P. A dimensão de Krull de A é definida por

dimA := sup{	(P )|P é ideal primo de A}.

Iremos frequentemente referir a dimensão de Krull de A simplesmente por dimensão de

A.

Exemplo 1.5.1 1. dimZ = 1.


1.5 Anéis de Dimensão Um 40

2. Os corpos possuem dimensão zero, uma vez que em um corpo o ideal zero é o único

ideal primo.

3. Seja k um corpo. O anel R = k[x]/〈x2〉 claramente não é domı́nio e sua dimensão

é zero pois 〈x〉 é o único ideal primo de R.

4. Sejam k um corpo e R = k[x1, . . . , xn] o anel dos polinômio s em n variáveis. Então

dimR = n. Em geral, se A for um anel Noetheriano, então dimA[x1, . . . , xn] =

dimA+ n. Veja [12], corolário 10.12 pág. 240.

Lema 1.5.1 Seja R um domı́nio. Sejam P1 = 〈p1〉 e P2 = 〈p2〉 dois ideais primos não

triviais e distintos de R. Então P1 � P2. Em particular, um domı́nio de ideais principais

possui dimensão um.

Demonstração: Suponha por absurdo que P1 ⊆ P2. Então existe a ∈ R tal que p1 = ap2.

Em particular ap2 ∈ P1, por P1 ser primo p2 ∈ P1 ou a ∈ P1. No primeiro caso conclúımos

que P1 = P2 o que é imposśıvel pois são distintos. Escreva a = bp1, então p1(1−bp2) = 0.

Como R é um domı́nio, p1 = 0 então P1 = 〈0〉 ou 1− bp2 = 0 o que implica que P2 = R

e em todos os casos temos um absurdo, logo P1 � P2. �

Lema 1.5.2 Sejam R um domı́nio fatorial e P �= 〈0〉 um ideal primo. Então 	(P ) = 1

se, e somente se, P é principal.

Demonstração: Seja 0 �= x ∈ P , por R ser fatorial x = upα1
1 · · · pαs

s , com 〈p1〉, . . . , 〈ps〉
ideais primos de R e u inverśıvel. Como P é primo e x ∈ P , então pi ∈ P para

algum i = 1, . . . , s. Portanto, 〈0〉 ⊆ 〈pi〉 ⊆ P. Se P tem altura um, então P = 〈pi〉.
Reciprocamente, suponha P um ideal principal e que P contenha um ideal não trivial Q.

Pela discussão acima existe um elemento q ∈ R tal que 〈q〉 ⊆ Q ⊆ P , pelo lema 1.5.1

conclúımos que 〈q〉 = P , portanto 	(P ) = 1. �

Proposição 1.5.1 Um domı́nio Noetheriano fatorial tem dimensão um se, e somente se,

é um domı́nio de ideais principais.

Demonstração: Seja R um domı́nio Noetheriano fatorial de dimensão um. Seja P �=
〈0〉 um ideal primo. Pela hipótese 	(P ) = 1, logo pelo lema 1.5.2 é principal. Agora seja

I � R, por R ser Noetheriano, I é finitamente gerado. Escreva I = 〈a1, . . . , an〉. Vamos

mostrar que I é principal por indução sobre n. Se n = 1, então I = 〈a1〉. Suponha que

o resultado é válido para n > 1. Por hipótese de indução o ideal J := 〈a1, . . . , an−1〉 é
principal, isto é, existe a ∈ R tal que J = 〈a〉. Então I = 〈a, an〉. Para cada ideal primo

P de R, seja p o gerador de P , assim considere P o conjunto de todos os geradores dos

ideais primos. Usando o fato de R ser fatorial podemos escrever

a = u
∏
p∈P

pmp e an = un
∏
p∈P

pnp ,


1.5 Anéis de Dimensão Um 41

com u, un inverśıveis em R e mp, np ∈ N, ∀p ∈ P . Observe que mp e np são zeros a menos

de uma quantidade finita. Seja

c := mdc(a, an) =
∏
p∈P

pmin(mp,np).

Existem d, dn ∈ R,mdc(d, dn) = 1 tais que a = cd e an = cdn. Afirmamos que D :=

〈d, dn〉 = R. De fato, se D �= R, então D está contido em algum ideal maximal P de R.

Como todo ideal maximal é um ideal primo, logo todo ideal maximal é também principal.

Assim escreva P = 〈p〉 para algum elemento primo p ∈ P . Assim D ⊆ 〈p〉, logo p|d e p|dn
uma contradição pelo fato de mdc(d, dn) = 1. Logo D = R e podemos encontrar α, β ∈ R
tal que

αd+ βdn = 1.

Assim,

c = c · 1 = c(αd+ βdn) = αcd+ βcdn ∈ I.

Como I = 〈a, an〉 ⊆ 〈c〉, conclúımos que I = 〈c〉 e portanto todo ideal de R é principal.

Para a rećıproca, seja R um domı́nio de ideais principais, logo é fatorial, veja [1] página

112) e claramente Noetheriano. Ainda, todo ideal primo é maximal, logo dimR = 1. �

A proposição seguinte mostra que o fecho integral de um domı́nio de ideais principais

também tem dimensão um.

Proposição 1.5.2 Sejam A ⊆ B domı́nios, dimA = 1 e B é integral sobre A. Então

dimB = 1.

Demonstração: Basta mostrar que todo ideal primo não trivial de B possui

comprimento um e para isso basta mostrar que é maximal. Sejam P um ideal primo

não trivial de B e P = P ∩ A. Por P �= B, P �= A é um ideal primo. Mostraremos

que P �= 〈0〉. Seja α ∈ P, α �= 0, como α é integral sobre A existe um polinômio mônico

f ∈ A[y] de grau mı́nimo tal que

f(α) = αn + an−1αn−1 + · · ·+ a1α + a0 = 0.

Pela minimalidade de n, a0 �= 0. De a0 = −αn − an−1αn−1 − · · · − a1α ∈ P, conclúımos

a0 ∈ A ∩ P = P , logo P ⊇ 〈a0〉 �= 〈0〉. Então 	(P ) � 1 e pelo fato que dimA = 1,

conclúımos que 	(P ) = 1, portanto P é maximal.

Agora mostraremos que P é maximal ou equivalentemente que B/P é corpo o que

completa nossa demonstração. O domı́nio B/P contém o corpo A/P . Como todo

elemento de B é integral sobre A, então todo elemento de B/P é integral sobre A/P .


1.5 Anéis de Dimensão Um 42

Seja γ ∈ B/P um elemento não nulo, devemos mostrar que γ é inverśıvel em B/P.

Considere,

γn + cn−1γn−1 + · · ·+ c1γ + c0 = 0

a relação integral de γ sobre A/P de grau mı́nimo. Pelo mesmo argumento feito para

mostrar que a0 �= 0, c0 �= 0. Portanto, c0 é inverśıvel em A/P e podemos escrever

γ(−c−10 γn−1 − c−10 cn−1γn−2 − · · · − c−10 c1) = 1.

Portanto γ é inverśıvel e B/P é corpo, como desejado. �

Observação 1.5.1 Sejam A e B como na proposição 1.5.2. Segue da proposição 1.5.2

e de sua demonstração que se P é um ideal maximal de B, então P ∩A = P é maximal

em A.

A proposição 1.5.2 vale para dimensão maior, isto é, se A e B são Noetherianos e B é

integral sobre A, então dim(B) = dim(A).

Corolário 1.5.1 Sejam K o corpo de frações do domı́nio A e L|K uma extensão finita.

Se dimA = 1, então B o fecho integral de A em L também tem dimensão um.

1.6 Domı́nios de Dedekind

Definição 1.6.1 Um domı́nio é chamado de domı́nio de Dedekind se é Noetheriano, tem

dimensão um e é integralmente fechado.

Todo domı́nio de ideais principais é um domı́nio de Dedekind, este fato segue diretamente

dos lemas 1.1.2 e 1.5.1. Reunindo as afirmações do teorema 1.3.1 e da proposição 1.5.2,

obtemos:

Teorema 1.6.1 Sejam A um domı́nio de Dedekind, K seu corpo de frações e L|K uma

extensão finita e separável. Então o fecho integral B de A em L é um domı́nio de

Dedekind.

O seguinte e importante teorema sobre domı́nio de Dedekind é provado no caṕıtulo 2.

Teorema 1.6.2 Seja R um domı́nio Noetheriano de dimensão um. O anel R é um

domı́nio de Dedekind se, e somente se, R tem a propriedade de fatoração única de ideais.

O teorema 1.2.1 segue imediatamente dos teoremas 1.6.1 e 1.6.2.


1.7 Caso A = k[x] 43

1.7 Caso A = k[x]

O objetivo desta seção é determinar o fecho integral de k[x] em algumas extensões de k(x).

Mais precisamente, estamos interessados nas extensões de k(x) dadas da seguinte forma:

sejam f ∈ k[x, y] irredut́ıvel e Zf (k) a curva afim definida por f . Pela irredutibilidade de

f , Cf := k[x, y]/〈f〉 é um domı́nio. Seja k(Zf ) o corpo de frações de Cf . Observe que

existe o seguinte diagrama de corpos e anéis

k(Zf )

| �

k(x) k[x, y]/〈f〉
� |

k[x]

Estudaremos o fecho integral de k[x] em k(Zf ).

Proposição 1.7.1 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. Então dimk[x,y]
〈f〉 = 1.

Demonstração: Pelo fato de k[x, y]/〈f〉 ser um domı́nio e pelo lema 0.2.2,

dimk[x, y]/〈f〉 > 0. Seja ϕ : k[x, y] → k[x, y]/〈f〉 a aplicação quociente. Considere

uma cadeia de ideais primos de k[x, y]/〈f〉 :

〈0〉 � P1 � · · · � Pn.

Então,

〈0〉 � 〈f〉 � ϕ−1(P1) � · · · � ϕ−1(Pn)

é uma cadeia de ideais primos em k[x, y]. Pelo exemplo 1.5.1, n � 1. Logo

dimk[x, y]/〈f〉 = 1 �

Corolário 1.7.1 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. Então todo ideal primo de Cf é maximal e

gerado pela imagem de 〈x− a, y − b〉 � k[x, y] em Cf , para algum (a, b) ∈ Zf (k).

Demonstração: Segue diretamente do corolário 0.2.2 e da proposição 1.7.1.

Teorema 1.7.1 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel. Então Cf é integralmente fechado em k(Zf )

se, e somente se, a curva Zf (k) é não singular.

Demonstração: Pelo corolário 1.4.2, Cf é integralmente fechado se, e somente se,

(Cf )M é integralmente fechado para todo M ∈ Max(Cf ). O corolário 1.7.1 implica

que um ideal maximal M de Cf é gerado pelas imagens de x − a e y − b para algum

(a, b) ∈ Zf (k). Por 0.2.3, (Cf )M é um domı́nio local de ideais principais se, e só se, o


1.7 Caso A = k[x] 44

ponto (a, b) é não singular em Zf (k). Claro que se (Cf )M é principal (logo fatorial), então

é integralmente fechado (veja 1.1.1). Para a rećıproca, veja 2.1.2. �

Observação 1.7.1 No caso em que Zf (k) é uma curva não singular, a proposição 1.7.1

e o teorema 1.7.1 garantem que Cf é um domı́nio de Dedekind.

Corolário 1.7.2 Seja f ∈ k[x, y] irredut́ıvel e mônico em y. Então Cf é o fecho integral

de k[x] em k(Zf ) se, e somente se, Zf (k) é uma curva não singular.

Demonstração: Por 1.1.1 Cf é integral sobre sobre k[x]. Portanto, Cf é o fecho integral

de k[x] em k(Zf ) se, e somente se, Cf é integralmente fechado em k(Zf ). Assim, este

corolário segue diretamente do teorema 1.7.1. �


Caṕıtulo

2

Fatoração de Ideais

Os exemplos mais simples de anéis estudados num primeiro curso de álgebra são fatoriais,

tais como Z,Z[i] e k[x]. Foi somente em meados do século 19 que os matemáticos

observaram que a fatoração única de elementos nem sempre é válida para anéis da

forma Z[α], onde α é um integral algébrico. Dedekind, por volta de 1871, expandiu

o importante trabalho de Kummer sobre propriedades de fatoração dos anéis Z[e2πi/n] e

definiu a propriedade de fatoração única de ideais como uma generalização da fatoração

única de elementos, como visto na seção 1.2.

Neste caṕıtulo, primeiramente provaremos o teorema 1.6.2 que afirma que um domı́nio

Noetheriano de dimensão um é integralmente fechado se, e somente se, tem a propriedade

de fatoração única de ideais. Depois disso, tentaremos descrever explicitamente, nos anéis

da forma B = Z[α] a fatoração do ideal I gerado por um primo p ∈ Z. Mais geralmente,

dados um domı́nio de Dedekind A, uma extensão finita e separável L|K de seu corpo de

frações e B o fecho integral de A em L, estudaremos a fatoração em B do ideal I gerado

por elementos do ideal primo P de A. O caso de extensões de Galois será tratado na

seção 2.6.

Exemplo 2.0.1 Sejam k um corpo algebricamente fechado e f ∈ k[x, y] irredut́ıvel.

Considere Cf := k[x, y]/〈f〉 e tome a ∈ k. Seja I o ideal de Cf gerado por x − a.

Estudaremos neste exemplo o problema de fatoração do ideal I como produto de ideais

primos de Cf .

Observe inicialmente que se x−a é inverśıvel em Cf , então I = Cf e nenhum ideal primo

ocorre na decomposição de I. Por exemplo, x−a é inverśıvel em k[x, y]/〈(x−a)y−1〉 e seu
inverso é y. O elemento x − a é inverśıvel em Cf se, e somente se, f(a, y) = c ∈ k \ 0.

45


46

Suponha x − a não inverśıvel em Cf . O primeiro passo é descrever os ideais primos

de Cf que contenham I. Pois, se I = M e1
1 · · ·M es

s , então I ⊆ Mi, i = 1, . . . , s. Seja

f(a, y) = c
∏s

i=1(y − bi)
ei ∈ k[y], com bi �= bj se i �= j, então

f(x, y) = (x− a)g(x, y) + c

s∏
i=1

(y − bi)
ei ,

para algum g ∈ k[x, y]. Considere o anel Cf/〈x − a〉 ∼= k[y]/〈f(a, y)〉. Como os únicos

ideais maximais de k[y] que contém f(a, y) são os ideais gerados por 〈y− bi〉, i = 1, . . . , s,

segue que os únicos ideais maximais de Cf que contém 〈x− a〉 são os ideais:

Mi := 〈x− a, y − bi〉, i = 1, . . . , s.

Mostremos agora que
s∏

i=1

M ei
i ⊆ ICf .

Note primeiramente que o ideal M ei
i é gerado pelos elementos,

(x− a)ei , (x− a)ei−1(y − bi), . . . , (y − bi)
ei .

Em particular, M ei
i ⊆ 〈x− a, (y − bi)

ei〉. Portanto,
s∏

i=1

M ei
i ⊆ 〈x− a,

s∏
i=1

(y − bi)
ei〉.

Assim, em Cf

0 = f(x, y) = (x− a)g(x, y) + c
s∏

i=1

(y − bi)
ei ,

ou seja,
∏s

i=1(y − bi)
ei ∈ ICf e portanto

∏s
i=1M

ei
i ⊆ ICf .

Seja J :=
∏s

i=1M
ei
i . A igualdade J = ICf não é verdadeira sem hipóteses adicionais.

De fato, mostraremos que uma condição suficiente é que os pontos (a, bi), i = 1, . . . , s

sejam não singulares. Pelo lema 0.1.5 é suficiente mostrar que JMi
= (ICf )Mi

, para todo

i = 1, . . . , s. Para encontrar qual é a localização JMi
, usaremos os seguintes fatos:

Fato (1) Seja A um anel e S ⊆ A um conjunto multiplicativo. Sejam I, J dois ideais de

A. Então S−1(IJ) = S−1(I)S−1(J) no anel S−1(A).

Fato (2) Se A é um anel de dimensão um e J um ideal de A que pode ser fatorado como

produto de ideais maximais, digamos J = P α1
1 · · ·P αs

s . Seja M um ideal maximal de A,

então JM = (MAM)αi se M = Pi para algum i ∈ {1, . . . , s}, e JM = AM se M �= Pi para


47

todo i = 1, . . . , s.

Para concluir o exemplo, primeiro suponha que ei = 1, para todo i = 1, . . . , s. Uma vez

que J ⊆ ICf ⊆Mi,

JMi
=Mi(Cf )Mi

⊆ IMi
⊆Mi(Cf )Mi

,

logo JMi
= IMi

, para todo i = 1, . . . , s.

Considere agora as derivadas parciais de f(x, y) ∈ k[x, y] :

fx = g(x, y) + (x− a)gx, fy = (x− a)gy +
s∑

i=1

(
ei(y − bi)

ei−1
∏
j �=i

(y − bj)
ej

)
.

Como cada ponto (a, bi) é um ponto não singular, então g(a, bi) �= 0 ou ei = 1, para

i = 1, . . . , s. Portanto, quando ei > 1, g(x, y) �∈ Mi, pois g(a, bi) �= 0. Assim, g(x, y) é

inverśıvel em (Cf )Mi
. Como,

0 = (x− a)g(x, y) + c
∏

(y − bj)
ej em Cf ,

⇒ x− a ∈ (y − bi)
ei(Cf )Mi

⊆M ei
i (Cf )Mi

= JMi
.

Logo, JMi
= (ICf )Mi

quando ei > 1 também. Portanto, pelo lema 0.1.5, conclúımos a

prova de que ICf = J .

2.1 Fatoração Única de Ideais

O objetivo desta seção é provar o teorema 1.6.2. No exemplo 1.2.2 discutimos o fato

do anel Z[
√
5] não ter a propriedade de fatoração única de ideais. Para isso, mostramos

que o ideal I := 〈2〉 em Z[
√
5] não pode ser fatorado como produto de ideais primos de

Z[
√
5] pois P 2 � I � P , onde P := 〈2, 1 +√5〉 é um ideal primo de Z[

√
5]. Inicialmente

procuraremos condições sobre o anel pelas quais possua a propriedade de fatoração única

de ideais. Antes disso, vale observar alguns fatos triviais neste sentido. Lembramos

que todo ideal não trivial está contido num ideal maximal e isto pode ser visto como um

produto de ideais primos. Por outro lado, o ideal zero num domı́nio é primo e está contido

em qualquer ideal, ou seja, qualquer ideal num domı́nio contém um ideal primo. Visto

estas observações, procuraremos condições pelas quais um ideal contenha um produto de

ideais primos não triviais. A seguir mostraremos que uma condição suficiente é que o anel

seja Noetheriano e usaremos este fato para provar o teorema 1.6.2.

Proposição 2.1.1 Sejam A um anel Noetheriano e I � A não trivial. Então existem

ideais primos P1, . . . , Ps e a1, . . . , as ∈ N tais que, P a1
1 · · ·P as

s ⊆ I ⊆ P1 ∩ · · · ∩ Ps.

Demonstração: Seja Σ o conjunto dos ideais de A que não satisfazem a afirmação da


2.1 Fatoração Única de Ideais 48

proposição. Suponha Σ �= ∅. Usando o lema de Zorn e o fato de A ser Noetheriano, Σ

possui elemento maximal, digamos I. O ideal I não pode ser primo pois Σ não contém

nenhum ideal primo por sua definição. Portanto, existem x, y ∈ A tais que xy ∈ I e

x �∈ I, y �∈ I. Considere os ideais Ix := 〈I, x〉 e Iy := 〈I, y〉. Por construção,

〈I2, Ix, Iy, xy〉 = Ix · Iy ⊆ I ⊆ Ix ∩ Iy.

A inclusão Ix ·Iy ⊆ I mostra que ambos Ix e Iy são não triviais, pois I � Ix e I � Iy. Por

I ser maximal em Σ os ideais Ix e Iy não pertencem a Σ. Portanto, podemos escrever

P a1
1 · · ·P as

s ⊆ I ⊆ P1 ∩ · · · ∩ Ps e Qb1
1 · · ·Qbr

r ⊆ I ⊆ Q1 ∩ · · · ∩Qr,

para alguns P1, . . . , Ps, Q1, . . . , Qr ideais primos e a1, . . . , as, b1, . . . , br inteiros positivos.

Então,

P a1
1 · · ·P as

s ·Qb1
1 · · ·Qbr

r ⊆ Ix · Iy ⊆ I ⊆ Ix ∩ Iy ⊆ P1 ∩ · · · ∩ Ps ∩Q1 ∩ · · · ∩Qr

o qual mostra que I �∈ Σ, absurdo. Logo Σ = ∅. �

Corolário 2.1.1 Sejam A um domı́nio Noetheriano de dimensão um e I um ideal não

trivial. Então o conjunto dos ideais maximais que contém I é finito. Se {M1, . . . ,Ms}
é este conjunto, então existem inteiros positivos a1, . . . , as tais que Ma1

1 · · ·Mas
s ⊆ I ⊆

M1 · · ·Ms.

Demonstração: Com dimA = 1, todo ideal primo é maximal. A proposição 2.1.1

garante a existência dos ideais maximais M1, . . . ,Ms e inteiros a1, . . . , as tais que

Ma1
1 · · ·Mas

s ⊆ I ⊆M1∩· · ·Ms. SejaM um ideal maximal de A que contém I, aplicando o

lema 0.1.7 à inclusãoM ⊇Ma1
1 · · ·Mas

s conclúımos que existe um inteiro i ∈ {1, . . . , s} tal
que M ⊇Mi. Uma vez que Mi é maximal, M =Mi. Portanto, o conjunto {M1, . . . ,Ms}
é o conjunto de ideais maximais de A que contém I. �

Observação 2.1.1 A prova do corolário 2.1.1 implica o seguinte e importante fato: Se

um ideal I de A pode ser fatorado como produto Ma1
1 · · ·Mas

s de ideias maximais (ai >

0, ∀i), então {M1, . . . ,Ms} é o conjunto do ideais maximais de A que contém I. Em

particular, todo ideal maximal que contém I aparece na fatoração de I.

Proposição 2.1.2 Seja A um domı́nio Noetheriano de dimensão um. As seguintes

afirmações são equivalentes:

(1) A tem a propriedade da fatoração única de ideais.

(2) AM tem a propriedade da fatoração única de ideais para todo M ∈ Max(A).


2.1 Fatoração Única de Ideais 49

Demonstração: (1)⇒ (2) Seja M ∈ Max(A) e considere a aplicação natural ϕ : A −→
AM . Seja I um ideal de AM , como A tem a propriedade da fatoração única de ideais,

podemos fatorar ϕ−1(I) como produto de ideais maximais:

ϕ−1(I) := P a1
1 · · ·P as

s .

Uma vez que ϕ−1(I) ⊆ M , pelo lema 0.1.7, Pi ⊆ M , para algum i = 1, . . . , s. Por Pi ser

maximal, conclúımos M = Pi, assim

I = (ϕ−1(I))M = (MAM)ai ,

o que mostra que I pode ser fatorado como produto de ideais maximais em AM . Para

mostrar que a fatoração é única tome a � 0 um inteiro e M ∈ Max(A), os ideais Ma+1

e Ma são distintos em A pois o mesmo tem a propriedade da fatoração única de ideais.

Como Ma+1 ⊆ Ma e M é o único ideal maximal de A que contém Ma+1, pelo lema

0.1.5, (MAM)a+1 �= (MAM)a. Assim, o anel AM tem a propriedade de fatoração única

de ideais.

(2) ⇒ (1) Sejam I um ideal de A não trivial e {M1, . . . ,Ms} o conjunto dos ideais

maximais de A quem contém I (que este conjunto é finito já foi mostrado no corolário

2.1.1). Seja ϕi : A −→ AMi
a aplicação natural, como AMi

tem a propriedade da fatoração

única de ideais ϕi(I) = (MiAMi
)ai para um único inteiro ai > 0, i = 1, . . . , s. Afirmamos

que I =Ma1
1 · · ·Mas

s . Por construção,

I ⊆ ϕ−11 ((M1AM1)
a1) ∩ · · · ∩ ϕ−1s ((MsAMs)

as).

Desde que Mai
i ⊆ ϕ−1i ((MiAMi

)ai) e Mi é o único ideal maximal de A que contém Mai
i ,

pelo lema 0.1.5, Mai
i = ϕ−1i ((MiAMi

)ai). Como os ideais Mai
i e M

aj
j são coprimos se

i �= j, pelo lema 0.1.8,

Ma1
1 ∩ · · · ∩Mas

s =Ma1
1 · · ·Mas

s .

Segue que I ⊆Ma1
1 · · ·Mas

s . Portanto,

IMi
= (MiAMi

)ai = (Ma1
1 · · ·Mas

s )Mi

e novamente pelo lema 0.1.5, I =Ma1
1 · · ·Mas

s . Para mostrar que está fatoração é única,

note que qualquer fatoração de I deve ser da formaM b1
1 · · ·M bs

s (observação 2.1.1). Então

IMi
= (MiAMi

)ai = (MiAMi
)bi, que implica ai = bi, i = 1, . . . , s. �

Proposição 2.1.3 Seja (A,M) um domı́nio Noetheriano local de dimensão um. As


2.1 Fatoração Única de Ideais 50

seguintes afirmações são equivalentes:

(1) A tem a propriedade da fatoração única de ideais.

(2) A é um domı́nio de ideais principais.

(3) A é integralmente fechado.

Demonstração: (1) ⇒ (2) Pela proposição 0.1.1 e pelo fato que M é o único ideal

primo de A, basta mostrar que M é principal. Seja x ∈ M \M2. O ideal 〈x〉 pode ser

fatorado como produto de ideais primos de A. Como A é um domı́nio local de dimensão

um, o ideal M é o único ideal primo de A não trivial e, portanto, 〈x〉 =M.

(2)⇒ (1) É óbvia.

(2)⇒ (3) Segue diretamente do lema 1.1.2.

(3) ⇒ (2) Pela proposição 0.1.1 e pelo fato que M é o único ideal primo de A, basta

mostrar que M é principal. Seja x ∈ M,x �= 0. Se 〈x〉 = M , não há nada a provar.

Se 〈x〉 �= M , pelo corolário 2.1.1 existe n ∈ N tal que Mn ⊆ 〈x〉 e Mn−1 �⊆ 〈x〉. Sejam

y ∈ Mn−1 \ 〈x〉 e K o corpo de frações de A. Então y
x
∈ K \ A pois y �∈ 〈x〉. Como

A é integralmente fechado, y/x não é integral sobre A. Por A ser Noetheriano, M é

um A−módulo finitamente gerado e uma vez que M ⊆ K, pela proposição 1.1.1, (y/x) ·
M �⊆ M . Assim, por construção yM ⊆ Mn ⊆ 〈x〉, donde conclúımos (y/x)M ⊆ A.

Logo, (y/x)M é um ideal de A não contido em M , por M ser o único maximal de A,

(y/x)M = A. Portanto M = (x/y)A é um ideal principal. �

Agora temos todos os resultados necessários para provar o teorema 1.6.2:

Teorema 2.1.1 Seja A um domı́nio Noetheriano de dimensão um. As seguintes

afirmações são equivalentes:

(1) A é um domı́nio de Dedekind.

(2) A tem a propriedade da fatoração única de ideais.

Demonstração: Como A é um domı́nio Noetheriano de dimensão um, por definição,

A é domı́nio de Dedekind se, e somente se, A é integralmente fechado. Pelo corolário

1.4.2, A é integralmente fechado se, e somente se, AM é integralmente fechado para todo

ideal maximal M de A. Portanto nosso teorema segue diretamente das proposições 2.1.2

e 2.1.3. �

O teorema 2.1.1 possui uma versão mais forte: Um domı́nio é Dedekind se, e somente se,

todo ideal é um produto de ideais primos, veja [10], vol. I.


2.1 Fatoração Única de Ideais 51

Seja A um domı́nio de Dedekind. Vamos introduzir a seguinte terminologia: sejam I � A

e P ∈ Max(A), diremos que P divide I e, denotaremos por P |I, se I pode ser fatorado

em A como I = PJ , para algum J � A. Dados I e P , definimos a ordem de I em P

por ser o inteiro ordP (I) como segue: fatorando I = P a1
1 · · ·P as

s , então ordP (I) := ai se

P = Pi para algum i e ordP (I) := 0 se P �= Pi para todo i, neste caso diremos que P

não divide I. Lembramos que pelo corolário 2.1.1, a ordP (I) = 0 exceto para um número

finito de ideais maximais. Então podemos escrever

I =
∏

P∈Max(A)

P ordP (I) =
∏
P |I

P ordP (I).

Observe que ordP (I) é um invariante local de I, ou seja, para todo S ⊆ A conjunto

multiplicativo tal que S ∩ P = ∅, ordP (I) = ordS−1P (S
−1I).

Seja P ∈ Spec(A) tal que AP é domı́nio de Dedekind. Lembrando que AP é um anel local

cujo ideal maximal é PAP podemos definir ordP (I) como sendo ordPAP
(IAP ).

Finalizaremos esta seção com alguns resultados sobre o número de geradores de ideais

num domı́nio de Dedekind. Nas demonstrações utilizaremos o teorema do Resto Chinês

cuja prova pode ser encontrada em [1] :

Teorema 2.1.2 Sejam A um anel comutativo, I1, . . . , In ideais de A dois a dois coprimos.

Sejam y1, . . . , yn ∈ A. Então existe um elemento y ∈ A tal que y − yj ∈ Ij para todo

j = 1, . . . , n.

Corolário 2.1.2 A aplicação natural ϕ : A → ∏n
i=1A/Ii é sobrejetiva e seu núcleo é∏n

i=1 Ii. Isto é, A/〈I1 · · · In〉 ∼=
∏n

i=1A/Ii.

Demonstração: A sobrejetividade de ϕ segue imediatamente do teorema 2.1.2. O núcleo

de ϕ é
⋂n

i=1 Ii, o qual pelo lema 0.1.8 é igual a
∏n

i=1 Ii. �

A prova da seguinte proposição é feita utilizando o teorema do resto chinês e a existência

de fatoração de ideais num domı́nio de Dedekind, a prova detalhada pode ser encontrada

em [6], página 92.

Proposição 2.1.4 Todo ideal de um domı́nio de Dedekind pode ser gerado por dois

elementos.

Proposição 2.1.5 Seja A um domı́nio semi-local de dimensão um que possui a

propriedade da fatoração única de ideais. Então A é um domı́nio principal.

Demonstração: Seja M ∈ Max(A). Por A ter a propriedade da fatoração única de

ideais, M 2 �= M. Sejam m ∈ M \M 2 e M1, . . . ,Ms os ideais maximais de A diferentes


2.1 Fatoração Única de Ideais 52

de M . Uma vez que os ideais M2,M1, . . . ,Ms são coprimos dois a dois, o teorema 2.1.2

nos garante que existe um elemento x ∈ A tal que x ≡ m modM2 e x ≡ 1 modMi, ∀i.
Afirmamos que M = 〈x〉. Como x − 1 ∈ Mi, conclúımos que 〈x〉 �⊆ Mi, ∀i. Então

〈x〉 = Ma para algum a � 0. Por x − m ∈ M2 e m ∈ M \M2, segue 〈x〉 ⊆ M , mas

〈x〉 �⊂M2. Assim, 〈x〉 =M e isto mostra que todo ideal maximal de A é principal. Como

todo ideal de A é produto de ideals maximais, conclúımos que todo ideal de A é principal.

�

2.2 Índice de Ramificação e Grau Residual

Sejam A um domı́nio de Dedekind e K seu corpo de frações. Seja B o fecho integral

de A numa extensão finita L|K. Suponhamos que B seja finitamente gerado como

A−módulo (e assim, um domı́nio de Dedekind). Por exemplo, pelo teorema 1.3.1 B é um

A−módulo finitamente gerado quando a extensão L|K é separável. Dado P ∈ Max(A),

mostraremos que o ideal PB nunca é um ideal trivial em B. E como B é um domı́nio

de Dedekind, o ideal PB é fatorado em B como produto
∏s

i=1M
ei
i de ideais primos de

B. Estabeleceremos uma relação entre os inteiros e1, . . . , es e o grau da extensão. E na

próxima seção, descreveremos a fatoração de PB no caso especial quando o domı́nio de

Dedekind B é dado como A[α], onde α é raiz de um polinômio mônico f ∈ A[y].

Lema 2.2.1 Sejam A um domı́nio de Dedekind, K seu corpo de frações e B o fecho

integral de A numa extensão finita L|K. Dado P ∈ Max(A), PB �= B.

Demonstração: Inicialmente verificaremos o caso em que P é principal, ou seja, P =

〈p〉. Suponha PB = B, então existe b ∈ B tal que pb = 1. Como P �= A, segue que

b �∈ A. Seja f(y) = yn + an−1yn−1 + · · · + a1y + a0 ∈ A[y] o polinômio mônico de grau

mı́nimo tal que f(b) = 0. Como pb = 1,

pf(b) = yn−1 + an−1yn−2 + · · ·+ a1 + a0p = 0,

absurdo pela minimalidade do grau de f . Logo PB �= B. No caso geral, usando a

localização reduziremos ao caso em que P é principal. Seja S := A \ P , então PB �= B

se, e somente se, S−1P · S−1B �= S−1B. Lembramos que S−1A = AP é um domı́nio de

ideais principais pois A é um domı́nio de Dedekind (veja 2.1.5). �

Definição 2.2.1 Nas condições do lema 2.2.1, escreva PB como produto de ideais

maximais:

PB =M e1
1 · · ·M es

s , para alguns inteiros positivos e1, . . . , es.


2.2 Índice de Ramificação e Grau Residual 53

O inteiro eMi/P := ei é chamado de ı́ndice de ramificação de Mi em P .

Um caso mais frequente da definição 2.2.1 é o seguinte:

Definição 2.2.2 Sejam A um domı́nio de Dedekind com corpo de frações K, L|K uma

extensão finita e B o fecho integral de A em L. Suponha B um A−módulo finitamente

gerado. Seja M um ideal maximal de B. O ideal primo P := M ∩ A é maximal (veja

1.5.1). Chamaremos o inteiro ordM(PB) de ı́ndice de ramificação de M sobre P , e

denotaremos por eM/P .

Considere Mi ∩ A = P, a inclusão A ⊆ B induz a seguinte injeção

A/P −→ B/Mi, para i = 1, . . . , s.

Por B ser um A−módulo finitamente gerado, o corpo B/Mi é um extensão finita do

corpo A/P. Seja fMi/P := [B/Mi : A/P ] a dimensão de B/Mi como A/P−espaço vetorial.
Quando não causar confusão escreveremos apenas fi ao invés de fMi/P .

Definição 2.2.3 O corpo A/P é chamado de corpo residual de A em P . O inteiro fMi/P

é chamado de grau residual de Mi sobre P .

Exemplo 2.2.1 Sejam A = Z e B = Z[i]. Tome P := 〈2〉Z. Em Z[i], 2 = i(i− 1)2 e i é

um elemento inverśıvel. Seja M := 〈i− 1〉Z[i], assim PZ[i] =M2. Para mostrar que M

é maximal, basta observar B/M é corpo:

Z[i]/〈i− 1〉 ∼= (Z[y]/〈y2 + 1〉)/〈y − 1〉 ∼= Z[y]/〈y2 + 1, y − 1〉 ∼= Z[y]/〈2, y − 1〉 ∼=
Z2[y]/〈y − 1〉 ∼= Z2.

Então Z/P ∼= Z2
∼= Z[i]/M . Em particular, fM/P = 1. Uma vez que M é maximal e

PZ[i] =M2, eM/P = 2.

Sejam q ≡ 3(mod4) um número primo, Q := 〈q〉Z e N := 〈q〉Z[i]. Observamos que

Z[i]/N ∼= (Z[y]/〈y2 + 1〉)/〈q〉 ∼= Z[y]/〈y2 + 1, q〉 ∼= Zq[y]/〈y2 + 1〉,

e y2+1 é um polinômio irredut́ıvel em Zq[y] se q ≡ 3(mod4), portanto 〈y2+1〉 é maximal

o que implica que N é maximal. Em particular, o corpo Zq[y]/〈y2 + 1〉 é um extensão de

grau 2 de Zq, assim fN/Q = 2. Além disso, por N ser maximal e QZ[i] = N , eN/Q = 1.


2.2 Índice de Ramificação e Grau Residual 54

O ı́ndice de ramificação eM/P pode ser definido numa maneira mais geral. Sejam ϕ : A→
B um homomorfismo de anéis, M ∈ Spec(B) e P := ϕ−1(M). Considere a sequência

A
ϕ→ B → BM . A imagem de todo elemento de A\P é inverśıvel emBM . Pela Propriedade

Universal de Anéis de Frações (proposição 1.4), existe um único homomorfismo de anéis

ϕ′ : AP → BM tal que o seguinte diagrama é comutativo

A
ϕ−→ B

↓ ↓
AP

ϕ′−→ BM .

Vamos assumir que BM é um domı́nio local de ideais principais e assim a aplicação ordMBM

estará bem definida. Se ϕ(P )BM �= 〈0〉, chamamos o inteiro ordMBM
(ϕ(P )BM) de ı́ndice

de ramificação de M sobre P e denotamos por eM/P . Pela unicidade de ϕ′, este ı́ndice

está bem definido.

Lema 2.2.2 Sejam A um anel e P ∈ Max(A). Seja S ⊆ A \ P um conjunto

multiplicativo. Então os corpos A/P ∼= S−1A/S−1P como corpos.

Demonstração: Como S ⊆ A \ P , S−1P é um ideal maximal de S−1A e, portanto

S−1A/S−1P é corpo. Considere a composição

A
j−→ S−1A π−→ (S−1A/S−1P ).

Desde que (π◦j)(P ) = 0, a plicação π◦j se fatora em termos da aplicação η : A −→ A/P.

Seja h : A/P −→ S−1A/S−1P é o único homomorfismo de anéis tal que h ◦ η = π ◦ j.
Como A/P é corpo, a aplicação h é injetiva (a aplicação h não é nula). Para mostrar a

sobrejetividade, sejam a/s+S−1P uma classe em S−1A/S−1P e t ∈ A tal que st−1 ∈ P .
Afirmamos que h(at+P ) = a/s+ S−1P. De fato, uma vez que ts− 1 ∈ P , a(ts− 1)/s =

at/1− a/s ∈ S−1P. �

Teorema 2.2.1 Sejam A um domı́nio de Dedekind com corpo de frações K e L|K uma

extensão finita. Seja B o fecho integral de A em L. Se B é um A−módulo finitamente

gerado, então