UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Faculdade de Ciências e Tecnologia Câmpus de Presidente Prudente Um estudo sobre polinômios auto-recíprocos e auto-inversíveis Susan Jerlin Ayala Lopez Orientadora Profa. Dra. Vanessa Avansini Botta Pirani Programa Matemática Aplicada e Computacional Presidente Prudente-SP Maio de 2025 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Faculdade de Ciências e Tecnologia de Presidente Prudente Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional Um estudo sobre polinômios auto-recíprocos e auto-inversíveis Susan Jerlin Ayala Lopez Orientadora Profa. Dra. Vanessa Avansini Botta Pirani Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Computacional da Faculdade de Ciências e Tecnologia da UNESP para a obtenção do título de Mestre em Matemática Aplicada e Computacional. Presidente Prudente-SP Maio de 2025 L864e Lopez, Susan Jerlin Um estudo sobre polinômios auto-recíprocos e auto-inversíveis / Susan Jerlin Lopez. -- Presidente Prudente, 2025 92 p. : il., tabs. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (UNESP), Faculdade de Ciências e Tecnologia, Presidente Prudente Orientadora: Vanessa Avansini Botta Pirani 1. Polinômios. 2. Zeros de Polinômios. 3. Círculo unitário. 4. Polinômios auto-recíprocos. 5. Polinômios auto-inversíveis.. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Dados fornecidos pelo autor(a). UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA Câmpus de Presidente Prudente UM ESTUDO SOBRE POLINÔMIOS AUTO-RECÍPROCOS E AUTO- INVERSÍVIES TÍTULO DA DISSERTAÇÃO: CERTIFICADO DE APROVAÇÃO AUTORA: SUSAN JERLIN AYALA LOPEZ ORIENTADORA: VANESSA AVANSINI BOTTA PIRANI Aprovada como parte das exigências para obtenção do Título de Mestra em Matemática Aplicada e Computacional, pela Comissão Examinadora: Profa. Dra. VANESSA AVANSINI BOTTA PIRANI (Participaçao Virtual) Departamento de Matemática e Computação / Faculdade de Ciencias e Tecnologia de Presidente Prudente - FCT/Unesp Prof. Dr. DANIEL OLIVEIRA VERONESE (Participaçao Virtual) Departamento de Matemática Aplicada / Universidade Federal do Triângulo Mineiro Profa. Dra. VANESSA GONÇALVES PASCHOA FERRAZ (Participaçao Virtual) Câmpus São José dos Campos / Universidade Federal de São Paulo Presidente Prudente, 24 de fevereiro de 2025 Faculdade de Ciências e Tecnologia - Câmpus de Presidente Prudente - Roberto Simonsen, 305, 19060900, Presidente Prudente - São Paulo http://www.fct.unesp.br/pos-graduacao/--matematica-aplicada-e-computacional/CNPJ: 48.031.918/0009-81. Para o meu Negrito e minha Blanquita, meus amados cães, que sempre estiveram ao meu lado durante minha jornada universitária no Peru. Mesmo agora que já não estão mais aqui, sua presença continua viva em meu coração. Agradecimentos Em primeiro lugar, agradeço a Deus, que me mostrou que sua graça não tem fim. Estudar um mestrado era apenas um sonho durante a minha trajetória universitária, um sonho que Deus tornou realidade. Meu mais profundo agradecimento também é para a minha Virgem Maria, que sempre intercede por mim. À minha mãe, agradeço por ser o meu maior exemplo de perseverança e esforço. Graças a ela, pude estudar uma carreira e conquistar tantas coisas. Seu amor incondicional e seus sacrifícios foram fundamentais para cada passo que dei. Ao meu pai, que me ensinou a confiar em mim mesma. Cada vez que eu dizia que não podia, ele me fazia sentir que eu poderia, que não existia o "não posso". À minha irmã, por confiar em mim, pelo apoio incondicional em cada passo que dei, e por sempre pedir a Deus pelo meu bem-estar. À minha orientadora de mestrado, professora Vanessa Avansini Botta Pirani, por todo seu apoio, por me incentivar a apresentar trabalhos acadêmicos em diferentes eventos e por confiar em mim. Obrigada pela paciência, por ser mais que uma orientadora, por ser como uma amiga. Agradeço aos meus professores do Peru, Sotelo Pejerrey, Paulo Seminario e Franco Díaz Vega, e também à professora Patricia Tacuri, pela orientação e apoio. À minha família, em especial às minhas tias Reyna, Hilda e Paola, aos meus tios Antonio e Víctor, por cuidarem do meu pai na minha ausência e me ajudarem a tornar esse sonho possível. À minha prima Liz Hilario, por ser como uma irmã para mim, por ajudar sempre meus pais e por cuidar do meu peluche. A Elard, pelo apoio incondicional, pela paciência e por todas as vezes que me ajudou com dúvidas acadêmicas. Nunca esquecerei todas as vezes que me incentivou a continuar, fazendo- me acreditar em mim mesma. Obrigada por tornar este capítulo da minha vida tão especial. Às pessoas do retiro da paróquia São Gabino, pela linda carta que fizeram quando fui para o Brasil. Obrigada por aquele terço que tantas vezes me acompanhou nos momentos difíceis. Aos meus amigos e colegas, tanto do Brasil quanto do Peru, agradeço profundamente pelo apoio, e amizade ao longo dessa jornada. Agradeço também aos meus colegas de mestrado pelo apoio incondicional e por tornar essa etapa tão significativa. Finalmente, aos meus professores de mestrado, especialmente ao professor Fabiano Borges da Silva e ao professor Marcos Tadeu de Oliveira, agradeço pelo apoio e orientação, e por me motivarem a continuar com o meu sonho de realizar um doutorado. O presente trabalho foi realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior do Brasil (CAPES)-código de financiamento 001. Por fim, quero expressar minha gratidão a todos que, de uma forma ou de outra, fizeram parte desta jornada. Cada palavra de encorajamento contribuiu para que esse sonho se tornasse realidade. Obrigada de todo coração. “O Senhor é o meu pastor: nada me faltará. Ele me faz descansar em pastos verdes e me leva a águas tranquilas. O Senhor renova as minhas forças e me guia por caminhos certos, como Ele mesmo prometeu. Ainda que eu ande por um vale escuro, como a morte, não terei medo de nada. Pois tu, ó Senhor Deus, estás comigo; tu me proteges e me diriges.” Salmo 23:1-4 Resumo Este trabalho apresenta um estudo sobre propriedades de polinômios, com ênfase nos polinômios auto-recíprocos e auto-inversíveis, incluindo casos especiais como os polinômios auto-recíprocos R(λ) n (z), S (λ) n (z) e A (λ,δ) n (z). Realizamos uma análise detalhada da localização de seus zeros no plano complexo, investigando como essa localização se relaciona com os valores dos parâmetros λ e δ e o grau do polinômio em questão. O estudo combina uma abordagem teórica com exemplos ilustrativos, permitindo uma compreensão mais profunda das propriedades dos polinômios e de seus zeros. Portanto, este trabalho enriquece a base teórica existente e oferece uma nova perspectiva sobre a relevância dos polinômios auto-recíprocos e auto-inversíveis. Palavras-Chave: Polinômios, Zeros de Polinômios, Círculo unitário, Polinômios auto- recíprocos, Polinômios auto-inversíveis. Abstract This work presents a study on the properties of polynomials, with an emphasis on self- reciprocal and self-inversive polynomials, including special cases such as the self-reciprocal polynomials R (λ) n (z), S(λ) n (z), and A (λ,δ) n (z). We conduct a detailed analysis of the location of their zeros in the complex plane, investigating how this location relates to the values of the parameters λ and δ and the degree of the polynomial in question. The study combines a theoretical approach with illustrative examples, allowing for a deeper understanding of the properties of polynomials and their zeros. Therefore, this work enriches the existing theoretical foundation and offers a new perspective on the relevance of self-reciprocal and self-inversive polynomials. Keywords: Polynomials, Zeros of Polynomials, Unit Circle, Self-Reciprocal Polynomials, Self- Inversive Polynomials. Lista de Figuras 2.3.1 Polinômios de Jacobi de graus 1, 2, 3 e 4 para α = 2 e β = 1. . . . . . . . . . . . 21 2.3.2 Polinômios de Jacobi de graus 2 e 3 para α = 2 e β = 1. . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.3 Polinômios de Jacobi de grau 4 para α = 1.5, 2, 2.5 e β = 1. . . . . . . . . . . . 22 2.3.4 Polinômios de Jacobi de grau 4 para α = 2 e β = 0, 0.5, 1, 1.5. . . . . . . . . . 22 2.3.5 Polinômios de Chebyshev de 1a espécie Tn(x) para n = 1, 2, 3, 4, 5. . . . . . . . . 24 2.3.6 Polinômios de Chebyshev de 2a espécie Un(x) para n = 1, 2, 3, 4. . . . . . . . . . 27 2.3.7 Relação entre os pontos críticos do polinômio U2(x) com os pontos de T3(x). . . . 29 3.1.1 Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z). . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.1.2 Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z). . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.3 Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z). . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1.4 Os zeros de P (z) são simétricos em relação à reta real e ao círculo unitário. . . . . 39 3.1.5 Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z) = iz2 + iz + i. . . . . . . . . 39 3.1.6 Os zeros de P (z) se localizam dentro e fora do círculo unitário. . . . . . . . . . . 44 3.2.1 Transformação do polinômio auto-inversível P (z) em um polinômio auto-conjugado Q(z). 48 4.1.1 Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z) no círculo unitário. . . . . . . 53 4.2.1 Representação gráfica dos zeros do polinômio R (1) 5 (z) no círculo unitário. . . . . . 58 4.3.1 Representação gráfica dos zeros do polinômio S (2) 4 (z) no círculo unitário. . . . . . 65 4.3.2 Representação gráfica dos zeros do polinômio S (−3) 4 (z). . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4.1 Representação gráfica dos zeros do polinômio A (λ,δ) 4 (z) com δ = −4 e λ = −7. . . 68 4.4.2 Representação gráfica dos zeros do polinômio A (λ,δ) 6 (z) com δ = 1/2 e λ = 1/4. . 69 4.4.3 Representação gráfica dos zeros do polinômio A (λ,δ) 4 (z) com δ = 1 e λ = 1, 3. . . . 71 4.4.4 Representação gráfica dos zeros do polinômio A (λ,δ) 7 (z) com δ = 1 e λ = 3/2. . . . 73 4.4.5 Representação gráfica dos zeros do polinômio A (λ,δ) 9 (z) com δ = −3 e λ = −1. . . 74 4.4.6 Representação gráfica dos zeros do polinômio A (λ,δ) 7 (z) com δ = −1 e λ = −2 . . 75 8 Lista de Tabelas 4.2.1 Os valores dos zeros de R (1) 5 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Os valores dos zeros de S (2) 4 (z). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Sumário Resumo 5 Abstract 7 Lista de Figuras 8 Lista de Tabelas 9 Sumário 10 1 Introdução 11 2 Resultados Preliminares 13 2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 Transformação de Möbius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Polinômios Ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3.1 Polinômios Ortogonais Clássicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3.1.1 Polinômios de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3.1.1.1 Polinômios de Chebyshev de 1a espécie . . . . . . . 23 2.3.1.1.2 Polinômios de Chebyshev de 2a espécie . . . . . . . 26 3 Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 31 3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Polinômios obtidos através da transformação de Möbius . . . . . . . . . . . . . 44 4 Classes especiais de polinômios 49 4.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Análise das propriedades de R (λ) n (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Análise das propriedades de S (λ) n (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4.4 Análise das propriedades de A (λ,δ) n (z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 Considerações finais 79 Referências 81 CAPÍTULO 1 Introdução No campo da matemática, os polinômios desempenham um papel fundamental em diversas áreas, desde Álgebra até Análise Matemática. Ao longo da história, esses polinômios têm capturado a atenção dos matemáticos por suas características. Dentre elas, podemos destacar a simetria. Nosso objetivo é realizar uma análise dos polinômios auto-recíprocos e auto-inversíveis, explorando suas propriedades, estruturas e relações. A metodologia incluirá uma abordagem teórica que combinará análise algébrica e exemplos ilustrativos, com o fim de proporcionar uma melhor compreensão. Este trabalho está organizado da seguinte maneira: No segundo capítulo, discutiremos alguns conceitos preliminares que servirão como base para a compreensão dos tópicos abordados nos capítulos posteriores. Dentro deste capítulo, destacaremos a importância do Teorema Fundamental da Álgebra, da transformação de Möbius e dos polinômios de Chebyshev de primeira e segunda espécies, que serão utilizados ao longo do nosso estudo. Cabe destacar que, neste texto, o termo “círculo unitário” será usado para designar somente sua borda. No terceiro capítulo, abordaremos o estudo de polinômios com características especiais, tais como auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis. Para abordar essos polinômios, é necessário um conhecimento sólido dos conceitos básicos relacionados aos polinômios conjugados, recíprocos e inversíveis. Também abordaremos um teorema clássico chamado Teorema de Cohn. Este teorema é um importante resultado na teoria dos polinômios que fornece uma condição necessária e suficiente para que um polinômio seja auto-inversível. Além disso, observaremos como, através da transformação de Möbius, podemos compreender a relação entre os polinômios auto-conjugados e os polinômios auto-inversíveis. Essa mesma transformação também nos permitirá explorar outros tipos de polinômios. No quarto capítulo, analisaremos os polinômios auto-recíprocos R(λ) n (z), S (λ) n (z) e A(λ,δ) n (z), apresentando condições necessárias para que os zeros desses polinômios estejam localizados no círculo unitário. Dentro desse contexto, discutiremos também a relação entre os zeros dos polinômios com os valores assumidos por λ e δ e o grau do polinômio. Em resumo, este estudo tem como objetivo realizar uma análise dos polinômios auto- recíprocos e auto-inversíveis, explorando suas propriedades. Através desta pesquisa, espera-se contribuir para o entendimento desses polinômios e sua relevância no contexto matemático. 11 CAPÍTULO 2 Resultados Preliminares Este capítulo apresenta uma série de resultados que serão necessários para facilitar a leitura e compreender com mais profundidade as ideias apresentadas neste trabalho. Para isso, utilizaremos as referências [1], [3], [4], [5], [10], [11], [12], [13], [17], [18] e [19]. 2.1 Introdução Um polinômio complexo é uma função P : C −→ C, definida da seguinte maneira: P (z) = n∑ k=0 akz k, onde ak são coeficientes complexos, nem todos nulos, e z ∈ C. Se an ̸= 0, dizemos que o polinômio tem grau n. Além disso, P (z) é um polinômio real se e somente se satisfaz a seguinte igualdade: P (z̄) = P (z), ∀z ∈ C. A multiplicidade algébrica do zero de um polinômio é definida como o número de vezes que esse zero aparece como solução do polinômio. Se considerarmos um polinômio P (z) que pode ser expresso na forma: P (z) = (z − ξ)mQ(z), onde ξ é zero do polinômio e m é um número inteiro positivo, então ξ possui multiplicidade algébrica m. Na teoria dos polinômios, a análise dos zeros e suas multiplicidades é fundamental para entender o comportamento dos polinômios. A multiplicidade de um zero de um polinômio pode ser caracterizada da seguinte maneira: seja r ∈ N∗ (N∗ = N − {0} ), P ∈ Pn(C) 1 e a ∈ C. O número a é um zero de multiplicidade r do polinômio P se, e somente se: P (a) = P ′(a) = . . . = P (r−1)(a) = 0 e P (r)(a) ̸= 0. Essa condição, conhecida como caracterização da multiplicidade de um zero, indica que todas as derivadas do polinômio até a ordem r − 1 avaliadas em a são iguais a zero, enquanto a derivada de ordem r não é igual a zero. A seguir, apresentamos dois resultados da referência [19], importantes no contexto do estudo dos zeros de polinômios. 1Pn(C) é o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes em C. 13 2. Resultados Preliminares 14 Teorema 2.1.1 (O Teorema Fundamental da Álgebra). Cada polinômio P (z) = n∑ k=0 akz k, de grau n tem representação única da seguinte forma: P (z) = an n∏ k=1 (z − zk), (2.1.1) onde an ̸= 0 e zk são os zeros de P (z). De [19], Todo polinômio não constante tem pelo menos um zero. Seja P (z) um polinômio de grau n. Se ζ1, ζ2, . . . , ζm denotam os zeros distintas de P (z) com multiplicidades r1, r2, . . . , rm respectivamente, então podemos reescrever a equação (2.1.1) como: P (z) = an m∏ k=1 (z − ζk) rk , m∑ k=1 rk = n. O seguinte teorema é um caso particular do Teorema do Valor Intermediário. Para mais detalhes, consulte [4]. Teorema 2.1.2 (Bolzano). Seja f uma função de valor real e contínua em um intervalo compacto [a, b] em R. Suponha também que f(a) e f(b) tenham sinais opostos, ou seja, que f(a)f(b) < 0. Nesse caso, podemos afirmar que existe pelo menos um ponto c dentro do intervalo aberto (a, b) tal que f(c) = 0. 2.2 Transformação de Möbius Nesta seção, vamos abordar as propriedades das transformações de Möbius, que recebem o nome do matemático alemão August Ferdinand Möbius, famoso por sua descoberta da faixa de Möbius. A principal referência utilizada para esta seção foi [13]. Definição 2.2.1. Uma transformação de Möbius é uma função racional expressa como F(z) = az + b cz + d , onde a, b, c, d ∈ C e ∆ = ad− bc ̸= 0. A condição ∆ = ad − bc ̸= 0 assegura que o domínio D(F) da função F é um conjunto não-vazio. Isso ocorre porque D(F) = ∅ se, e somente se, cz + d = 0 para todo z ∈ C. Em termos equivalentes, isso se dá quando c = d = 0 e então ∆ = ad− bc = 0. Além disso, se z1 e z2 pertencem a D(F), temos que F(z1) = F(z2) se, e somente se, (ad− bc)z1 = (ad− bc)z2. Isso indica que F é injetora em seu domínio quando ad − bc ̸= 0. Em particular, F é não- constante. Quando compomos transformações de Möbius, surgem pontos do plano complexo que podem ser problemáticos, pois não estão incluídos no domínio ou na imagem de algumas dessas transformações. Para evitar tais problemas, consideremos o plano complexo completado, representado por C∞ = C ∪ ∞ (esfera de Riemann). Podemos analisar a transformação de 2. Resultados Preliminares 15 Möbius dada por F(z) = az + b cz + d , com ∆ = ad − bc ̸= 0 e c ̸= 0. Neste caso, definimos a transformação em C∞ levando em conta que F ( −d c ) = ∞. O ponto w = a c , que não era a imagem de nenhum ponto de C por F , agora será considerado como F(∞), ou seja, F(∞) = a c . Dessa forma, F se torna uma bijeção de C∞ em C∞. Por outro lado, se c = 0, podemos afirmar que F é uma bijeção de C em C. Definindo F(∞) = ∞, concluímos que F também é uma bijeção de C∞ em C∞. Assim, uma transformação de Möbius é uma bijeção F : C∞ → C∞ dada por: F(z) = az + b cz + d , com ∆ = ad− bc ̸= 0, onde:F(∞) = a c e F ( − d c ) = ∞, se c ̸= 0, F(∞) = ∞, se c = 0. Vale a pena observar que as transformações elementares no plano complexo, que são definidas a seguir, constituem casos especiais da transformação de Möbius: (i) Seja β ∈ C fixo. A translação por β é expressa como Tβ(z) = z + β. (ii) Seja α ∈ C com α ̸= 0. A multiplicação por α é dada por H(z) = αz. (iii) Seja θ ∈ R. A rotação de θ radianos é dada por Rθ(z) = eiθz. (iv) A inversão é representada como J(z) = 1 z . Teorema 2.2.1. Toda transformação de Möbius é obtida por composição de translações, multiplicação por números complexos e a inversão. Dado que toda transformação de Möbius resulta da composição de transformações elementares, que são inversíveis, podemos concluir o seguinte resultado. Corolário 2.2.1. Toda transformação de Möbius é inversível. Outra característica que decorre do fato de que toda transformação de Möbius é uma composição de transformações elementares é que essas transformações, ao atuarem sobre C∞, convertem círculos em círculos. Por meio de cálculos simples, podemos determinar que a inversa da transformação de Möbius é expressa por F−1(z) = −dz + b cz − a , com ∆ = ad− bc ̸= 0, onde F−1 (a c ) = ∞ e F−1(∞) = −d c , se c ̸= 0, F−1(∞) = ∞, se c = 0. Definimos um elemento z0 ∈ C∞ como um ponto fixo da transformação de Möbius F se, e somente se, F(z0) = z0. É evidente que todos os pontos de C∞ são pontos fixos da transformação identidade em C∞. 2. Resultados Preliminares 16 Proposição 2.2.1. Uma transformação de Möbius distinta da identidade tem um ou dois pontos fixos em C∞. Corolário 2.2.2. Uma transformação de Möbius com mais de dois pontos fixos é a identidade. Para duas séries de pontos distintos z1, z2, z3 e w1, w2, w3, se houver uma transformação de Möbius F que satisfaça F(zi) = wi, para i = 1, 2, 3, então essa transformação é única. O resultado a seguir demonstra a existência de tal transformação. Portanto, uma transformação de Möbius é completamente determinada pela ação sobre três pontos distintos. Teorema 2.2.2. Dados dois pares de ternas de pontos distintos z1, z2, z3 e w1, w2, w3 em C∞, existe uma única transformação de Möbius F tal que F(zi) = wi para i = 1, 2, 3. Uma característica relevante da transformação de Möbius F é que ela estabelece uma transformação conforme em C, o que significa que preserva ângulos no plano complexo. Essa propriedade decorre do fato de que, se uma função analítica F(z) tem uma derivada F ′(z) que é finita e diferente de zero em uma região do plano, então F é conforme em todos os pontos dessa região. No caso específico da transformação de Möbius F , ela é analítica, e sua derivada é finita e não nula em todos os pontos de C, com exceção nos pontos z = −d c (quando c ̸= 0) e ∞ (quando c = 0). Ao longo deste trabalho, faremos uso da transformação de Möbius que mapeia o círculo de raio η, com η > 0, na reta real. Considerando os pontos z1 = ηi, z2 = η, z3 = −ηi e w1 = η, w2 = 0, w3 = −η, é simples demonstrar que a função F é expressa por: F(z) = −ηi ( z − η z + η ) . Desta forma, a inversa da transformação é dada por: F−1(z) = −η ( z − ηi z + ηi ) . Para simplificar a notação, quando mencionarmos x, nos referimos a uma relação com a reta real, enquanto z está associado ao plano complexo. Portanto, utilizaremos x(z) para representar a transformação de Möbius que leva o círculo de raio η para a reta real, definida como: x(z) = −ηi ( z − η z + η ) , e a notação z(x) que transforma a reta real no círculo de raio η, é expressa por: z(x) = −η ( x− ηi x+ ηi ) . 2.3 Polinômios Ortogonais Os polinômios ortogonais são uma classe especial de polinômios que têm um papel fundamental em diversas áreas, como análise numérica, teoria das funções e física. A principal característica central desses polinômios é a sua relação de ortogonalidade em relação a um produto interno específico definido em um espaço funcional. Existem diversos polinômios ortogonais, como os polinômios de Legendre, Chebyshev, Hermite, Laguerre, entre 2. Resultados Preliminares 17 outros. Cada um relacionado a diferentes tipos de problemas e domínios. Esses polinômios oferecem ferramentas poderosas para simplificar e resolver problemas complexos. Nesta seção, realizaremos um breve estudo dos polinômios ortogonais clássicos, pois os polinômios de Chebyshev serão úteis ao longo deste trabalho. Utilizaremos as referências [1], [3], [11], [17] e [18]. Os polinômios ortogonais formam uma sequência de polinômios que atendem à condição de ortogonalidade em relação a uma função peso em um determinado intervalo [a, b]. A função peso w(x) desempenha um papel fundamental na definição e na avaliação das propriedades ortogonais desses polinômios. Definição 2.3.1. Consideremos um intervalo [a, b] ⊂ R onde −∞ ≤ a < b ≤ +∞. A função w(x) é uma função não negativa que é mensurável no sentido de Lebesgue, e satisfaz a condição∫ b a w(x) dx > 0. Chamaremos w(x) de uma função de peso sobre o intervalo [a, b]. Esta função peso permite a definição do produto interno em C [a, b], ⟨f, g⟩ = b∫ a f(x)g(x)w(x)dx. (2.3.1) Definição 2.3.2. Uma sequência de polinômios {Pn(x)}∞n=0 , Pn ∈ Pn(C) de grau n, é uma sequência de polinômios ortogonais, em relação à função peso w(x) em um intervalo (a, b) se satisfaz as seguintes condições: 1. O grau exato de Pn(x) deve ser n, onde n ≥ 0. 2. ⟨Pn, Pm⟩ = { 0, se n ̸= m, ϱn ̸= 0, se n = m. Observa-se que, ϱn > 0, pois P 2 n(x)w(x) ≥ 0 em (a, b) . Além disso, usando o delta de Kronecker δij = { 1, se i = j 0, se i ̸= j, podemos escrever o item 2 da seguinte forma: ⟨Pn, Pm⟩ = b∫ a Pn(x) Pm(x) w(x)dx = δnm ϱn. (2.3.2) Corolário 2.3.1. Dados duas sequências de polinômios ortogonais {qn(x)}∞n=0 e {Pn(x)}∞n=0, em relação à função peso w(x) em um intervalo (a, b). Então, qj(x) = cj Pj(x), j = 0, 1, . . . , onde cj é una constante que depende de j. A seguir, apresentaremos o importante teorema conhecido como relação de recorrência de três termos, que é uma propriedade essencial dos polinômios ortogonais. Essa relação permite calcular os valores dos polinômios ortogonais e entender suas propriedades de uma maneira mais simples e rápida. 2. Resultados Preliminares 18 Teorema 2.3.1 (Relação de recorrência de três termos). Se {Pn(x)}∞n=0 é uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo (a, b) em relação à função peso w(x), então, Pn+1(x) = (γn+1x− βn+1)Pn(x)− αn+1Pn−1(x), n ≥ 0, (2.3.3) onde P0(x) = 1, P−1(x) = 0, αn+1, βn, γn ∈ R, com n ≥ 1, e γn+1 = an+1,n+1 an,n ̸= 0, βn+1 = γn+1 ⟨xPn, Pn⟩ ⟨Pn, Pn⟩ , e αn+1 = γn+1 γn ⟨Pn, Pn⟩ ⟨Pn−1, Pn−1⟩ ̸= 0. A seguir, enunciaremos algumas características dos zeros dos polinômios ortogonais. Teorema 2.3.2. Se {Pj(x)}∞j=0 é uma sequência de polinômios ortogonais, então dois polinômios consecutivos quaisquer dessa sequência não têm zeros em comum. Os próximos resultados são inspirados nas referências [5] e [11]. Teorema 2.3.3 (Teorema da separação dos zeros). Se {Pj(x)}∞j=0 é uma sequência de polinômios ortogonais, então entre dois zeros consecutivos do polinômio Pn(x) existe somente um zero de Pn−1(x). Na seguinte observação, vamos apresentar outro tipo de relação de recorrência de três termos que foi estudada na referência [20], no artigo intitulado ‘Polynomials generated by a three term recurrence relation: bounds for complex zeros’. Esta relação de recorrência é diferente da relação de recorrência de três termos para os polinômios ortogonais reais. Observação 2.3.1. Consideramos a sequência de polinômios {Qm} gerada pela relação de recorrência de três termos: Qm+1(z) = (z + βm+1)Qm(z)− αm+1zQm−1(z), m = 1, 2, . . . , (2.3.4) com Q0 = 1 e Q1(z) = z + β1, onde αm e βm são números complexos tais que αm ̸= 0 para m = 2, 3, . . . e βm ̸= 0 para m = 1, 2, 3, . . . . Essa relação de recorrência tem sido amplamente estudada quando: αm+1 > 0 e βm < 0 para m ≥ 1. (2.3.5) A referência [14] motivou o estudo desse caso particular da relação de recorrência. Quando a condição (2.3.5) é satisfeita, foi demonstrado em [14] que os polinômios correspondentes satisfazem a propriedade de ortogonalidade de Laurent (L-ortogonalidade):∫ t−m+sQm(t)dϕ(t) = 0, s = 0, 1, . . . ,m− 1, onde dϕ é uma medida positiva forte definida no eixo real positivo. A palavra "forte" é usada para indicar que os momentos µm = ∫ tmdϕ(t) existem também para todos os valores negativos de m. A partir da relação de recorrência de três termos (2.3.4), observa-se que: Qm(0) = β1β2 · · · βm ̸= 0, m ≥ 1. Além disso, a equação (2.3.4) pode ser reescrita da seguinte forma: (i) α2z = (z + β2)Q1(z)−Q2(z), (2.3.6) (ii) αm+1z = (z + βm+1) Qm(z) Qm−1(z) − Qm+1(z) Qm−1(z) m ≥ 2. (2.3.7) 2. Resultados Preliminares 19 A seguir, enunciamos um lema importante sobre os polinômios Qm. Lema 2.3.1. Para qualquer m ≥ 1, dois polinômios consecutivos Qm e Qm+1 não possuem zeros em comum. Demonstração. Inicialmente, consideremos o caso base m = 1. Suponhamos, por absurdo, que exista um ω ∈ C tal que Q1(ω) = Q2(ω) = 0. De acordo com a relação de recorrência (2.3.7), temos: α2ω =(ω + β2) Q1(ω) Q0(ω) − Q2(ω) Q0(ω) −α2ωQ0(ω) = Q2(ω), e como Q0 = 1 e α2 ̸= 0, isso implica que ω = 0. Como ω = 0 não é zero de nenhum polinômio Qm, obtemos uma contradição. Portanto, Q1 e Q2 não possuem zeros em comum. Prosseguimos agora com o passo indutivo. Suponhamos que, para algum m ≥ 2, os polinômios Qm−1 e Qm não compartilham zeros (hipótese de indução). Seja ω ∈ C tal que Qm(ω) = 0. Pela hipótese de indução, temos Qm−1(ω) ̸= 0. Aplicando novamente a relação (2.3.7) e avaliando-a em ω, obtemos: Qm+1(ω) = −αm+1ωQm−1(ω). Dado que Qm−1(ω) ̸= 0 e ω ̸= 0 (pois w não é zero de nenhum Qm), concluímos que Qm+1(ω) ̸= 0. Assim, Qm e Qm+1 não possuem zeros em comum. Pelo princípio da indução, segue que, para todo m ≥ 1, os polinômios Qm e Qm+1 não têm zeros em comum. ■ A partir da equação (2.3.4), é possível verificar que, para qualquer n ≥ 1, temos: Qn(z) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ z + β1 −α2 0 · · · 0 0 −z z + β2 −α3 · · · 0 0 0 −z z + β3 · · · 0 0 ... ... ... . . . ... ... 0 0 0 · · · z + βn−1 −αn 0 0 0 · · · −z z + βn ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . Com base nessa expressão, da referência [20], observa-se que os zeros de Qn correspondem aos autovalores da matriz de Hessenberg inferior Hn =  η1 α2 0 · · · 0 0 η1 η2 α3 · · · 0 0 η1 η2 η3 . . . ... ... ... ... ... . . . αn−1 0 η1 η2 η3 · · · ηn−1 αn η1 η2 η3 · · · ηn−1 ηn  , onde ηm = αm − βm para m = 1, 2, . . . , n, com α1 = 0. 2.3.1 Polinômios Ortogonais Clássicos Os polinômios ortogonais de Jacobi, Legendre, Gegenbauer, Chebyshev, Laguerre e Hermite são chamados polinômios ortogonais clássicos. Nesta seção abordaremos as propriedades mais importantes dos polinômios de Jacobi. Isso nos ajudará a entender os polinômios de Chebyshev. Esses últimos polinômios serão usados posteriormente no estudo dos polinômios auto-recíprocos. Utilizaremos as referências [1], [3] e [11]. 2. Resultados Preliminares 20 Definição 2.3.3. Os polinômios ortogonais em relação ao produto interno no intervalo (a, b) são denominados polinômios ortogonais clássicos se a função de peso w(x) satisfaz a seguinte equação diferencial, chamada equação de Pearson: d dx (M(x) · w(x)) = N(x)w(x), onde M(x) =  1− x2, se (a, b) = (−1, 1), x, se (a, b) = (0,∞), 1, se (a, b) = (−∞,∞), e N(x) é um polinômio de grau 1. Definiremos, agora, alguns tipos de polinômios ortogonais clássicos. 2.3.1.1 Polinômios de Jacobi De acordo com [18], os polinômios de Jacobi foram introduzidos pelo alemão Carl Gustav Jakob Jacobi. Ele foi o primeiro matemático judeu a ser designado professor em uma universidade alemã. Jacobi contribuiu significativamente para as funções elípticas, equações diferenciais e a teoria dos números. Os Polinômios de Jacobi são uma classe de polinômios ortogonais clássicos e são denotados como P (α,β) n (x). Além disso, estão definidos através da fórmula de Rodrigues: P (α,β) n (x) = (−1)n 2nn! (1− x)−α(1 + x)−β dn dxn [(1− x)α+n(1 + x)β+n]. Observaremos que esses polinômios são ortogonais no intervalo [−1, 1] em relação à função peso w(x) = (1 − x)α(1 + x)β, α, β > −1, α, β ∈ R. Temos que o coeficiente do termo de maior grau dos polinômios de Jacobi é an,n = 1 2n n∑ k=0 (−1)k k! (n− k)! (α+n)(α+n−1) . . . (α+k+1)(β+n)(β+n−1) . . . (β+n−k+1). Esse coeficiente também pode ser escrito utilizando a função gama. Assim, an,n = 1 2n n∑ k=0 1 k! (n− k)! Γ(α + n+ 1) Γ(α + k + 1) Γ(β + n+ 1) Γ(β + n− k + 1) = 1 2nn! Γ(α + β + 2n+ 1) Γ(α + β + n+ 1) . Os polinômios de Jacobi satisfazem a seguinte relação de ortogonalidade: ⟨P (α,β) n , P (α,β) m ⟩ =  0, se m ̸= n, 2α+β+1Γ(α + n+ 1)Γ(β + n+ 1) (α + β + 2n+ 1)n! Γ(α + β + n+ 1) , se m = n. Além disso, a relação de recorrência de três termos para os polinômios de Jacobi é dada por: P (α,β) n+1 (x) = (γn+1 − βn+1)P (α,β) n (x)− αn+1P (α,β) n−1 (x), n ≥ 0, onde P0(x) = 1, P−1(x) = 0 e γn+1 = (α + β + 2n+ 2) (α + β + 2n+ 1) 2(n+ 1) (α + β + n+ 1) , 2. Resultados Preliminares 21 βn+1 = (β2 − α2)(α + β + 2n+ 1) 2(n+ 1)(α + β + n+ 1)(α + β + 2n) , αn+1 = (α + n)(β + n)(α + β + 2n+ 2) (n+ 1)(α + β + n+ 1)(α + β + 2n) . Agora, mostraremos os gráficos dos polinômios de Jacobi do grau 1 a 4, para os mesmos valores de α e β (ver Figura 2.3.1). Figura 2.3.1: Polinômios de Jacobi de graus 1, 2, 3 e 4 para α = 2 e β = 1. Na Figura 2.3.2, apresentamos os polinômios de Jacobi de graus 2 e 3 com os mesmos valores de α = 2 e β = 1. Note que, entre dois zeros consecutivos do polinômio de grau 2, existe um único zero do polinômio de grau 3. Figura 2.3.2: Polinômios de Jacobi de graus 2 e 3 para α = 2 e β = 1. 2. Resultados Preliminares 22 Na Figura 2.3.3, estão representados os polinômios de Jacobi de grau 4, com valores diferentes de α. Se os valores de α crescem, para cada i = 1, 2, 3, 4, o zero x4,i decresce. Figura 2.3.3: Polinômios de Jacobi de grau 4 para α = 1.5, 2, 2.5 e β = 1. A Figura 2.3.4 mostra os polinômios de Jacobi de grau 4, com valores diferentes de β. Se os valores de β crescem, para cada i = 1, 2, 3, 4, o zero x4,i cresce. Figura 2.3.4: Polinômios de Jacobi de grau 4 para α = 2 e β = 0, 0.5, 1, 1.5. Propriedades 2.3.1. As seguintes igualdade são válidas: Pn (α,β)(1) = Γ(α + n+ 1) n! Γ(α + 1) = ( α + n n ) . (2.3.8) 2. Resultados Preliminares 23 Pn (α,β)(−1) = (−1)n n! Γ(β + n+ 1) Γ(β + 1) = (−1)n ( β + n n ) . (2.3.9) A seguir, abordaremos dois tipos de polinômios de Jacobi, os chamados Polinômios de Chebyshev de 1a espécie, Tn(x), e de 2a espécie, Un(x). Em [17], os polinômios de Chebyshev têm o nome do matemático russo Pafnuty Lvovich Chebyshev. Em seu artigo intitulado “Théorie des mécanismes connus sous le nom de parallélogrammes”, publicado em 1854, surge pela primeira vez seus famosos polinômios de Chebyshev. 2.3.1.1.1 Polinômios de Chebyshev de 1a espécie Em [3], os polinômios de Chebyshev de 1a espécie são uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo [−1, 1] com relação à função peso w(x) = 1√ 1− x2 com α = β = −1/2. Os polinômios de Chebyshev podem ser definidos através das identidades trigonométricas, da seguinte forma Tn(x) = cos(n arccosx), n = 0, 1, 2, . . . , x ∈ [−1, 1], (2.3.10) e fazendo x = cos θ, onde θ ∈ [0, π], obtemos pela definição de funções trigonométricas inversas que θ = arccos(x). Logo, substituímos na equação (2.3.10) obtendo Tn(x) = cos(nθ). (2.3.11) Além disso, Tn+1(x) = cos((n+ 1)θ) e Tn−1(x) = cos((n− 1)θ), agora substituindo na seguinte relação trigonométrica, cos(n+ 1)θ + cos(n− 1)θ = 2 cos(nθ) cos θ, obtemos a relação de recorrência de três termos para os polinômios de Chebyshev de 1a espécie Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), n ≥ 1, com T0(x) = 1 e T1(x) = x. Observaremos os primeiros polinômios de Chebyshev de 1a espécie Tn(x) (ver Figura 2.3.5) e analisaremos como os coeficientes dos termos de maior grau se comportam, (a) T0(x) = cos(0 arc cosx) = cos(0) = 1, (b) T1(x) = cos(arc cosx) = cos(θ) = x = 20x, (c) T2(x) = 2xT1(x)− T0(x) = 2x2 − 1, (d) T3(x) = 2xT2(x)− T1(x) = 2x(2x2 − 1)− x = 4x3 − 3x = 22x3 − 3x, (e) T4(x) = 2xT3(x)−T2(x) = 2x(4x3−3x)−(2x2−1) = 8x4−8x2+1 = 23x4−23x2+1, (f) T5(x) = 2xT4(x)− T3(x) = 2x(8x4 − 8x2 + 1)− (4x3 − 3x) = 24x5 − 20x3 + 5x, 2. Resultados Preliminares 24 portanto, an,n = 2n−1, n ≥ 1. (2.3.12) Figura 2.3.5: Polinômios de Chebyshev de 1a espécie Tn(x) para n = 1, 2, 3, 4, 5. Do gráfico, observe que os mínimos e máximos dos polinômios de Chebyshev no [−1, 1] são iguais a 1. Teorema 2.3.4. Os polinômios de Chebyshev de 1a espécie, Tn(x), verificam a relação de ortogonalidade da seguinte maneira: ⟨Tn, Tm⟩ =  π, se m = n = 0, π 2 , se m = n > 0, 0, se m ̸= n. Demonstração. Como ⟨Tn, Tm⟩ = ∫ 1 −1 Tn(x) Tm(x)w(x) dx = ∫ 1 −1 cos(n arc cosx) cos(m arccosx) 1√ 1− x2 dx, realizaremos a mudança de variável x = cos θ, onde dx = −senθ dθ, substituindo na equação acima, temos: ⟨Tn, Tm⟩ = − ∫ 0 π cos(nθ) cos(mθ) senθ√ 1− cos2 θ dθ = ∫ π 0 cos(nθ) cos(mθ) dθ. A seguir, analisaremos os três casos: 1. Para m = n = 0, obtemos: ⟨T0, T0⟩ = ∫ π 0 cos2(0) dθ = π. 2. Resultados Preliminares 25 2. Para m = n > 0, temos: ⟨Tn, Tn⟩ = ∫ π 0 cos2(nθ) dθ. Logo, usando a identidade trigonométrica para o cosseno do arco duplo, temos cos2(nθ) = cos(2nθ) + 1 2 , substituindo na equação acima,∫ π 0 cos2(nθ) dθ = ∫ π 0 cos(2nθ) + 1 2 dθ = ∫ π 0 cos(2nθ) 2 dθ + ∫ π 0 1 2 dθ = π 2 . Portanto, ⟨Tn, Tn⟩ = π 2 . 3. Para m ̸= n, usaremos as seguintes identidades trigonométricas: (i) cos((m+ n)θ) = cos(mθ) cos(nθ)− sen(mθ) sen(nθ), (ii) cos((m− n)θ) = cos(mθ) cos(nθ) + sen(mθ) sen(nθ). Somando e integrando, temos:∫ π 0 [cos((m+ n)θ) + cos((m− n)θ)] dθ = 2 ∫ π 0 cos(mθ) cos(nθ) dθ = 2⟨Tn, Tm⟩. Assim, 2⟨Tn, Tm⟩ = ∫ π 0 cos((m+ n)θ) dθ + ∫ π 0 cos((m− n)θ) dθ = 0. ■ Observação 2.3.2. Mostraremos algumas características que os polinômios de Chebyshev de 1a espécie, Tn(x), possuem em relação aos seus coeficientes, zeros e seus pontos extremos. (a) Observe que, fazendo α = β = −1/2 na função peso dos polinômios de Jacobi, temos que w(x) = 1√ 1− x2 . Assim, Tn(x) = 22n ( 2n n )−1 Pn (−1/2,−1/2)(x). De fato, pelo Corolário 2.3.1, temos que Tn(x) = cnP (−1/2,−1/2) n (x). Tendo em conta que aTn,i, i = 1, 2, . . . , n, para os coeficientes do polinômio de Chebyshev e aPn,i, i = 1, 2, . . . , n, para os coeficientes do polinômio de Jacobi com α = β = −1/2, então, aTn,nx n + aTn,n−1x n−1 + . . .+ aTn,0 = cn(a P n,nx n + aPn,n−1x n−1 + . . .+ aPn,0), logo, cn = aTn,n aPn,n = 2n−1 1 n! 2n Γ(2n) Γ(n) . (2.3.13) 2. Resultados Preliminares 26 Lembrando que o coeficiente binomial é definido como( n k ) = n! k! (n− k)! , então, substituindo (2.3.12) e usando a Proposição 2.3.1 na equação (2.3.13), obtemos: 2n−1 1 n! 2n Γ(2n) Γ(n) = 2n2−1 1 n! 2n (2n− 1)! (n− 1)! = 22n2−1 2n (2n− 1)! n 2n n! (n− 1)! n = 22n2−1 (2n)! n 2n n! n! = 22n (2n)! n! n! = 22n ( 2n n )−1 . Portanto, Tn(x) = 22n ( 2n n )−1 Pn (−1/2,−1/2)(x). (b) Para calcular os zeros dos polinômios de Chebyshev de 1a espécie Tn(x), precisamos resolver a equação cos(nθ) = 0, onde os valores do ângulo θ podem variar entre 0 e π. A solução é dada por (nθ)k = π 2 + kπ, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1, onde, θk = (2k + 1)π 2n , k = 0, 1, 2, . . . , n− 1. Dessa forma, os zeros dos polinômios de Chebyshev de 1a espécie Tn(x), são: xn,k = cos ((2k + 1)π 2n ) , para, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1, com 0 ≤ (2k + 1)π 2n ≤ π. (c) Os pontos de máximo e mínimo dos polinômios de Chebyshev de 1a espécie Tn(x) são aqueles pontos onde cos(nθ) = ±1, para valores do ângulo θ que variam entre 0 e π. Além disso, θk = kπ n , k = 0, 1, 2, . . . , n. Portanto, os pontos extremos são: mn,k = cos (kπ n ) , k = 0, 1, 2, . . . , n. 2.3.1.1.2 Polinômios de Chebyshev de 2a espécie Em [3], os polinômios de Chebyshev de 2a espécie são uma sequência de polinômios ortogonais no intervalo [−1, 1] com relação à função peso w(x) = √ 1− x2 com α = β = 1/2 e são definidos por Un(x) = sen((n+ 1)arc cosx)√ 1− x2 = sen((n+ 1)θ) senθ , x ∈ [−1, 1], onde n = 0, 1, 2, . . . , e x = cos θ, com θ ∈ [0, π]. Além disso, Un+1(x) = sen((n+ 2)θ) senθ e Un−1(x) = sen(nθ) senθ . 2. Resultados Preliminares 27 A relação de ortogonalidade está definida da seguinte maneira: ⟨Un, Um⟩ = { 0, se m ̸= n, π 2 , se m = n. A relação de recorrência de três termos é Un+1(x) = 2x Un(x)− Un−1(x), com n ≥ 1. Observaremos os primeiros polinômios de Chebyshev de 2a espécie (ver Figura 2.3.6) e analisaremos como os coeficientes dos termos de maior grau se comportam, ou seja: (1) U0(x) = senθ senθ = 1, (2) U1(x) = sen(2θ) senθ = 2senθ cos θ senθ = 2 cos θ = 2x, (3) U2(x) = 2xU1(x)− U0(x) = 22x2 − 1, (4) U3(x) = 2xU2(x)− U1(x) = 23x3 − 4x, (5) U4(x) = 2xU3(x)− U2(x) = 24x4 − 12x2 + 1, (6) U5(x) = 2xU4(x)− U3(x) = 25x5 − 32x3 + 6x, portanto, an,n = 2n, n ≥ 0. (2.3.14) Figura 2.3.6: Polinômios de Chebyshev de 2a espécie Un(x) para n = 1, 2, 3, 4. Observação 2.3.3. Mostraremos algumas características que os polinômios de Chebyshev de 2a espécie Un(x): (a) Observe que, fazendo α = β = 1/2 na função peso dos polinômios de Jacobi, temos que w(x) = √ 1− x2. Assim, Un(x) = 22n ( 2n+ 1 n+ 1 )−1 Pn (1/2,1/2)(x). 2. Resultados Preliminares 28 De fato, pelo Corolário 2.3.1, temos que Un(x) = cnPn (−1/2,−1/2)(x). Considerando aUn,i, i = 1, 2, . . . , n, para os coeficientes do polinômio de Chebyshev e aPn,i,, i = 1, 2, . . . , n, para os coeficientes do polinômio de Jacobi com α = β = 1/2, então, aUn,nx n + aUn,n−1x n−1 + . . .+ aUn,0 = cn(a P n,nx n + aPn,n−1x n−1 + . . .+ aPn,0), logo, cn = aUn,n aPn,n = 2n 1 n! 2n Γ(2n+ 2) Γ(n+ 2) . (2.3.15) Substituindo (2.3.14) e usando a Proposição 2.3.1 na equação (2.3.15), obtemos: 2n 1 n! 2n Γ(2n+ 2) Γ(n+ 2) = 2n 1 n! 2n (2n+ 1)! (n+ 1)! = 2n2n 1 n! 2n+ 1! n+ 1! = 22n ( 2n+ 1 n+ 1 )−1 . Portanto, Un(x) = 22n ( 2n+ 1 n+ 1 )−1 Pn (1/2,1/2)(x). (b) Para encontrar os zeros dos polinômios de Chebyshev de 2a espécie Un(x), precisamos resolver a equação sen((n+ 1)θ) senθ = 0, onde os valores do ângulo θ podem variar entre 0 e π. Isso implica que: sen((n+ 1)θ) = 0. Os ângulos para os quais a condição anterior é satisfeita é (n+ 1)θk = k π, k = 1, 2, . . . , n, daqui obtemos: θk = kπ n+ 1 , k = 1, 2, . . . , n. Dessa forma, os zeros dos polinômios de Chebyshev de 2a espécie Un(x), são: xn,k = cos ( kπ n+ 1 ) , para, k = 0, 1, 2, . . . , n. (c) Derivando os polinômios de de Chebyshev de 1a espécie Tn(x) = cos(n arc cosx), T ′ n(x) =− sen(n arc cosx) n (arc cosx)′ =− sen(n arc cosx) n ( −1√ 1− x2 ) =sen(n arc cosx) n√ 1− x2 , obtemos, T ′ n(x) = n Un−1(x). Observamos que os zeros de Un−1(x) são os pontos de máximo e mínimo de Tn(x). Vejamos o seguinte exemplo. 2. Resultados Preliminares 29 Exemplo 2.3.1. Para o polinômio de Chebyshev de 1a espécie de grau 3, T3(x) = 4x3 − 3x, a primeira derivada é T ′ 3(x) = 12x2 − 3. Igualando T ′ 3(x) = 0 para encontrar os pontos críticos, obtemos x = ±0, 5. Depois, substituímos esses pontos na segunda derivada T ′′(x) = 24x, para determinar quais dos pontos são máximos ou mínimos, temos que x = 0, 5 é um mínimo local e x = −0, 5 é um máximo local para T3(x). Observe que os zeros de U2(x) são os pontos locais de máximo e mínimo de T3(x) (ver Figura 2.3.7). Figura 2.3.7: Relação entre os pontos críticos do polinômio U2(x) com os pontos de T3(x). CAPÍTULO 3 Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis O objetivo deste capítulo é estudar os polinômios auto-recíprocos, auto-conjugados e auto-inversíveis, apresentando alguns resultados fundamentais. Além disso, analisaremos um teorema clássico relacionado aos polinômios auto-inversíveis, conhecido como Teorema de Cohn. Também estudaremos os polinômios obtidos através da transformação de Möbius. Para isso, usaremos as referências [6], [7], [9], [21] e [22]. 3.1 Introdução Vamos considerar o polinômio P (z) = a0 + a1z + · · · + an−1z n−1 + anz n de grau n com coeficientes complexos. Este polinômio será usado para definir o polinômio conjugado P̄ (z), recíproco P ∗(z) e inversível P †(z). Definimos esses polinômios da seguinte maneira: P̄ (z)= ā0 + ā1z + · · ·+ ān−1z n−1 + ānz n, (3.1.1) P ∗(z)= an + an−1z + · · ·+ a1z n−1 + a0z n, (3.1.2) P †(z)= ān + ān−1z + · · ·+ ā1z n−1 + ā0z n, (3.1.3) onde os coeficientes que possuem barra são coeficientes conjugados. No resultado a seguir observamos que esses polinômios também podem ser definidos sem o uso dos coeficientes de P (z). Proposição 3.1.1. Sendo P (z) um polinômio de grau n, temos as seguintes afirmações: 1. P̄ (z) = P (z̄). 2. P ∗(z) = znP (1 z ). 3. P †(z) = znP (1 z̄ ). Demonstração. Usaremos as definições dos polinômios conjugados, recíproco e inversível das equações (3.1.1), (3.1.2) e (3.1.3) respectivamente. 31 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 32 1. Para provar a primeira afirmação usaremos a definição do polinômio conjugado P̄ (z) da equação (3.1.1). Temos: P̄ (z) =ā0 + ā1(¯̄z) + · · ·+ ān−1(¯̄z) n−1 + ān(¯̄z) n =ā0 + ā1(¯̄z) + · · ·+ ān−1((z̄)n−1) + ān((z̄)n) =ā0 + a1z̄ + · · ·+ an−1(z̄)n−1 + an(z̄)n =a0 + a1z̄ + · · ·+ an−1(z̄)n−1 + an(z̄)n =P (z̄). 2. Para provar a segunda afirmação, usaremos a definição do polinômio recíproco P ∗(z) da equação (3.1.2). Segue que: P ∗(z) =an + an−1z + · · ·+ a1z n−1 + a0z n =an zn zn + an−1 zn zn−1 + · · ·+ a1 zn z + a0z n =zn ( an 1 zn + an−1 1 zn−1 + · · ·+ a1 1 z + a0 ) =zn ( an ( 1 z )n + an−1 ( 1 z )n−1 + · · ·+ a1 ( 1 z ) + a0 ) =znP ( 1 z ) . 3. Na terceira afirmação usaremos a definição do polinômio inversível P †(z) da equação (3.1.3). Obtemos que: P †(z) =ān + ān−1z + · · ·+ ā1z n−1 + ā0z n =ān zn zn + ān−1 zn zn−1 + · · ·+ ā1 zn z + ā0z n =zn ( ān 1 zn + ān−1 1 zn−1 + · · ·+ ā1 1 z + ā0 ) =zn ( ān 1 (¯̄z)n + ān−1 1 (¯̄z)n−1 + · · ·+ ā1 1 (¯̄z)1 + ā0 ) =zn ( ān (( 1 z̄ ))n + ān−1 (( 1 z̄ ))n−1 + · · ·+ ā1 (( 1 z̄ )) + ā0 ) =zn ( ān (( 1 z̄ )n) + ān−1 (( 1 z̄ )n−1) + · · ·+ ā1 ( 1 z̄ ) + ā0 ) =zn ( an ( 1 z̄ )n + an−1 ( 1 z̄ )n−1 + · · ·+ a1 ( 1 z̄ ) + ā0 ) =zn ( an ( 1 z̄ )n + an−1 ( 1 z̄ )n−1 + · · ·+ a1 ( 1 z̄ ) + a0 ) =znP ( 1 z̄ ) . ■ 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 33 Observação 3.1.1. De acordo com [22], P †(z) e P ∗(z), são simplesmente o polinômio conjugado do outro, ou seja, temos a seguinte propriedade: P †(z) = P ∗(z) = P ∗(z̄) e P ∗(z) = P †(z) = P †(z̄). (3.1.4) De fato, usaremos os polinômios (3.1.2), (3.1.3) e, também, as propriedades dos complexos conjugados. Mostraremos apenas duas igualdades. Na relação (3.1.4), as outras igualdades seguem as mesmas ideias. 1. P †(z) =ān + ān−1z + . . .+ ā1z n−1 + ā0z n =ān + ān−1z̄ + . . .+ ā1(z̄) n−1 + ā0(z̄) n =ān + ān−1z̄ + . . .+ ā1((z̄)n−1) + ā0((z̄)n) =an + an−1z̄ + . . .+ a1(z̄)n−1 + a0(z̄)n =P ∗(z̄). 2. P ∗(z) =an + an−1z + · · ·+ a1z n−1 + a0z n =ān + ān−1z̄ + · · ·+ ā1(z̄) n−1 + ā0(z̄) n =ān + ān−1z̄ + · · ·+ ā1((z̄)n−1) + ā0((z̄)n) =ān + ān−1z̄ + · · ·+ ā1(z̄)n−1 + ā0(z̄)n =P †(z̄). As definições a seguir que serão apresentadas exploram conceitos fundamentais sobre polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis. A referência utilizada para essas definições foram extraídas da fonte [22]. Inicialmente, abordaremos algumas definições, observações e teoremas fundamentais para o desenvolvimento deste capítulo. Definição 3.1.1. P (z) é um polinômio auto-conjugado, se para qualquer zero ξ de P (z) o conjugado complexo ξ̄ é zero de P (z). Isto é, os zeros de qualquer polinômio auto-conjugado são todos simétricos em relação à reta real R. Exemplo 3.1.1. O polinômio P (z) = z2+1 cujos zeros são z1 = i e z2 = −i, é um polinômio auto-conjugado. Na imagem 3.1.1, observamos uma simetria entre os zeros de P (z). Figura 3.1.1: Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z). 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 34 Definição 3.1.2. P (z) é um polinômio auto-recíproco, se para qualquer zero ξ de P (z), o inverso 1 ξ é zero de P (z). Exemplo 3.1.2. O polinômio P (z) = z2 + 3 2i z + 1 cujos zeros são z1 = 2i e z2 = 1 2i , é um polinômio auto-recíproco. Figura 3.1.2: Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z). Definição 3.1.3. P (z) é um polinômio auto-inversível, se para qualquer zero ξ de P (z), o inverso do conjugado complexo 1 ξ̄ é zero de P (z). Isto é, os zeros de qualquer polinômio auto- inversível são simétricos no círculo unitário S1. Exemplo 3.1.3. O polinômio P (z) = z2 − 5i 2 z − 1 cujos zeros são z1 = 2i e z2 = i 2 , é um polinômio auto-inversível. Figura 3.1.3: Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z). O teorema a seguir, baseado em [22], apresenta uma condição suficiente para que P (z) seja auto-conjugado, auto-inversível ou auto-recíproco. 1S = {z ∈ C : |z|= 1} 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 35 Teorema 3.1.1. Um polinômio complexo P (z) é auto-conjugado, auto-recíproco, ou auto- inversível se, e somente se, existe um número complexo w1, w2, w3 de módulo 1, de modo que as seguintes relações sejam respectivamente: 1. P (z) = w1P̄ (z). 2. P (z) = w2P ∗(z). 3. P (z) = w3P †(z). Demonstração. Usaremos a definição dos polinômios conjugados, recíprocos e inversíveis da equação (3.1.1), (3.1.2) e (3.1.3) respectivamente. Também usaremos a Proposição 3.1.1 e o Teorema 2.1.1. (1) Vamos supor que P (z) é auto-conjugado. Com esta suposição, a Definição 3.1.1 nos diz que se ξ é zero de P (z), então o conjugado complexo ξ̄ também é zero de P (z). Assim escrevemos, P (z) =an n∏ k=1 (z − ξ̄k) = an n∏ k=1 (z̄ − ξk) = an ( ān ān ) n∏ k=1 (z̄ − ξk) = ( an ān ) an n∏ k=1 (z̄ − ξk) = ( an ān ) P (z̄) = w1P̄ (z), onde w1 = an ān . Além disso, |w1|= ∣∣∣∣∣anān ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣anān anan ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣(an)2|an|2 ∣∣∣∣∣ = 1. (2) Agora, suponha que P (z) é auto-recíproco. Com esta suposição, a Definição 3.1.2 nos diz que se ξ é zero de P (z) , então o recíproco 1 ξ também é zero de P (z). Assim, P (z) = an n∏ k=1 ( z − 1 ξk ) = an [( z − 1 ξ1 ) . . . ( z − 1 ξn )] , que também pode ser escrito da seguinte maneira: P (z) = an [ (−1) ( 1 ξ1 − z ) . . . (−1) ( 1 ξn − z )] = an (−1)n [( 1 ξ1 − z ) . . . ( 1 ξn − z )] . Após algumas manipulações, temos: P (z) =an (−1)n [ z ( 1 zξ1 − 1 ) . . . z ( 1 zξn − 1 )] =an (−1)n (z)n [( 1 zξ1 − 1 ) . . . ( 1 zξn − 1 )] =an (−1)n (z)n [ 1 ξ1 ( 1 z − ξ1 ) . . . 1 ξn ( 1 z − ξn )] =an (−1)n (z)n 1 ξ1 . . . ξn [( 1 z − ξ1 ) . . . ( 1 z − ξn )] = (−1)n(z)n ξ1 . . . ξn [ an n∏ k=1 ( 1 z − ξk )] , 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 36 e pelo Teorema 2.1.1, obtemos: (−1)n(z)n ξ1 . . . ξn [ an n∏ k=1 ( 1 z − ξk )] = (−1)n(z)n ξ1 . . . ξn P ( 1 z ) = (−1)n ξ1 . . . ξn [ zn P ( 1 z )] . Através da Proposição 3.1.1 (2), segue que: P (z) =w2P ∗(z), onde w2 = (−1)n ξ1 . . . ξn . Além disso, para qualquer zero ξ de P (z) (que é necessariamente diferente de zero, pois P (z) é auto-recíproco), haverá outro zero cujo valor é 1 ξ de modo que |ξ1 . . . ξn|= 1 e isso implica que |w2|= 1. (3) E por último, suponha que P (z) é auto-inversível. Com esta suposição, a Definição 3.1.3 nos diz que se ξ é zero de P (z) , então o recíproco conjugado complexo 1 ξ̄ também é zero de P (z). Assim, escrevemos, P (z) =an n∏ k=1 ( z − 1 ξk ) = an [( z − 1 ξ1 ) . . . ( z − 1 ξn )] , que também pode ser escrito da seguinte maneira: P (z) =an [ (−1) ( 1 ξ1 − z ) . . . (−1) ( 1 ξn − z )] =an (−1)n [( 1 ξ1 − z ) . . . ( 1 ξn − z )] . Após algumas manipulações, obtemos: P (z) =an (−1)n [ z ( 1 ξ1z − 1 ) . . . z ( 1 ξnz − 1 )] =an (−1)n (z)n [( 1 ξ1z − 1 ) . . . ( 1 ξnz − 1 )] =an (−1)n (z)n [ 1 ξ1 ( 1 z − ξ1 ) . . . 1 ξn ( 1 z − ξn )] = an (−1)n (z)n ξ1 . . . ξn [( 1 z − ξ1 ) . . . ( 1 z − ξn )] . 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 37 Também observamos que: an (−1)n (z)n ξ1 . . . ξn [( 1 z − ξ1 ) . . . ( 1 z − ξn )] = an (−1)n (z)n ξ1 . . . ξn [( 1 z − ξ1 ) . . . ( 1 z − ξn )] = an (−1)n (z)n ξ1 . . . ξn [( 1 z̄ − ξ1 ) . . . ( 1 z − ξn )] = an (−1)n (z)n ξ1 . . . ξn [( 1 z − ξ1 ) . . . ( 1 z − ξn )] = an (−1)n zn ξ1 . . . ξn n∏ k=1 ( 1 z − ξk ) = (−1)n zn ξ1 . . . ξn ān n∏ k=1 ( 1 z − ξk ) , e pelo Teorema 2.1.1, (−1)n zn ξ1 . . . ξn ān n∏ k=1 ( 1 z − ξk ) = (−1)n zn ξ1 . . . ξn P ( 1 z ) = (−1)n ξ1 . . . ξn [ zn P ( 1 z ) ] . Logo, (−1)n ξ1 . . . ξn [ zn P ( 1 z ) ] = w3 P †(z), onde w3 = (−1)n ξ1 . . . ξn . Além disso, para qualquer zero ξ de P (z) (que é necessariamente diferente de zero pois P (z) é auto-inversível), haverá outro zero cujo valor é 1 ξ de modo que |ξ1 . . . ξn|= 1 e isso implica que |w3|= 1. Agora vamos demonstrar o recíproco. Para provar que um polinômio complexo P (z) é auto- conjugado, auto-recíproco, ou auto-inversível, usaremos a Proposição 3.1.1 e as equações (3.1.1), (3.1.2), e (3.1.3) respectivamente. Vamos supor que ξ é zero de P (z). (a) Suponha que existe um número complexo w1 de módulo 1, tal que: P ( ξ ) = w1P̄ ( ξ ) . Logo, ∣∣∣P(ξ)∣∣∣ = ∣∣∣w1P̄ ( ξ )∣∣∣ = |w1| ∣∣∣P̄(ξ)∣∣∣ = ∣∣∣P̄(ξ)∣∣∣ = ∣∣∣∣∣P(ξ) ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣P (ξ) ∣∣∣ =0, e então P ( ξ ) = 0. Portanto, P (z) é um polinômio auto-conjugado. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 38 (b) Suponha que existe um número complexo w2 de módulo 1, tal que: P ( 1 ξ ) = w2P ∗ ( 1 ξ ) . Logo,∣∣∣∣∣P ( 1 ξ )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣w2P ∗ ( 1 ξ )∣∣∣∣∣ = |w2| ∣∣∣∣∣P ∗ ( 1 ξ )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣P ∗ ( 1 ξ )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣(1ξ)nP (ξ) ∣∣∣∣∣ = 0, e então P ( 1 ξ ) = 0. Portanto, P (z) é um polinômio auto-recíproco. (c) Suponha que existe um número complexo w3 de módulo 1, tal que: P ( 1 ξ̄ ) = w3P † ( 1 ξ̄ ) . Assim,∣∣∣∣∣P ( 1 ξ̄ )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣w3P † ( 1 ξ̄ )∣∣∣∣∣ = |w3| ∣∣∣∣∣P † ( 1 ξ̄ )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣P † ( 1 ξ̄ )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ( 1 ξ̄ )n P ( 1 (1 ξ̄ ) )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ( 1 ξ̄ )n P ( 1 (1 ξ ) )∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ( 1 ξ̄ )n P (ξ) ∣∣∣∣∣ = 0, e então P ( 1 ξ̄ ) = 0. Portanto, P (z) é um polinômio auto-inversível. ■ Agora, apresentaremos alguns exemplos, utilizando apenas o teorema anterior, a fim de entender melhor o seu conceito. Exemplo 3.1.4. Seja o polinômio P (z) = z2 − 1. Observamos que: P̄ (z) = z2 − 1 e P ∗(z) = P †(z) = 1− z2. Agora verificamos: • P (z) = w1P̄ (z) = (1)(z2 − 1), com |w1|= 1. • P (z) = w2P ∗(z) = (−1)(1− z2), com |w2|= 1. • P (z) = w3P †(z) = (−1)(1− z2), com |w3|= 1. Portanto, pelo teorema anterior, concluímos que o polinômio P (z) é: • Auto-conjugado, com w1 = 1; • Auto-recíproco e auto-inversível, com w2 = w3 = −1. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 39 Os zeros do polinômio P (z) são z = 1 e z = −1. Como esses zeros estão no eixo real, eles possuem simetria em relação à reta real e também simetria em relação ao círculo unitário (ver Figura 3.1.4). Figura 3.1.4: Os zeros de P (z) são simétricos em relação à reta real e ao círculo unitário. Exemplo 3.1.5. Seja o polinômio P (z) = iz2 + iz + i. Observamos que: P ∗(z) = i+ iz + iz2 e P̄ (z) = P †(z) = −i− iz − iz2. Agora verificamos: • P (z) = w1P̄ (z) = (−1)(−i− iz − iz2), com |w1|= 1. • P (z) = w2P ∗(z) = (1)(i+ iz + iz2), com |w2|= 1. • P (z) = w3P †(z) = (−1)(−i− iz − iz2), com |w3|= 1. Portanto, pelo Teorema anterior, concluímos que o polinômio P (z) é: • Auto-conjugado e auto-inversível, com w1 = w3 = −1; • Auto-recíproco, com w2 = 1. Figura 3.1.5: Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z) = iz2 + iz + i. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 40 Observação 3.1.2. Do teorema anterior, observemos a relação entre o polinômio P (z) com os coeficientes dos polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis. (1) Consideremos a relação dada por: P (z) = w1P̄ (z), onde: P (z) = a0 + a1z + a2z 2 + . . .+ anz n, e P̄ (z) = ā0 + ā1z + ā2z 2 + . . .+ ānz n. Isso pode ser expresso como: a0 + a1z + a2z 2 + . . .+ anz n = w1 ( ā0 + ā1z + ā2z 2 + . . .+ ānz n ) . Dessa forma, estabelece-se a relação entre os coeficientes: ak = w1āk para k = 0, 1, . . . , n. (2) Consideremos a relação dada por: P (z) = w2P ∗(z), onde: P (z) = a0 + a1z + a2z 2 + . . .+ anz n, e P ∗(z) = an + an−1z + · · ·+ a1z n−1 + a0z n. Isso pode ser expresso como: a0 + a1z + a2z 2 + . . .+ anz n = w2 ( an + an−1z + · · ·+ a1z n−1 + a0z n ) . Dessa forma, estabelece-se a relação entre os coeficientes: ak = w2an−k para k = 0, 1, . . . , n. (3) Consideremos a relação dada por: P (z) = w3P †(z), onde: P (z) = a0 + a1z + a2z 2 + . . .+ anz n, e P †(z) = ān + ān−1z + · · ·+ ā1z n−1 + ā0z n. Isso pode ser expresso como: a0 + a1z + a2z 2 + . . .+ anz n = w3 ( ān + ān−1z + · · ·+ ā1z n−1 + ā0z n ) . Dessa forma, estabelece-se a relação entre os coeficientes: ak = w3ān−k para k = 0, 1, . . . , n. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 41 Definição 3.1.4. Um polinômio auto-recíproco P (z) = n∑ k=0 akz k será um polinômio auto- recíproco real se todos os seus coeficientes ak pertencem ao conjunto dos números reais. Note que um polinômio auto-recíproco real é também chamado de palindrômico, isto é, se P (z) = n∑ k=0 akz k é palíndromo, então ak = an−k, para k = 0, 1, . . . , n. Observação 3.1.3. Apresentamos algumas observações importantes sobre os polinômios auto- recíprocos reais: (a) De acordo com [9], é possível construir polinômios reais auto-recíprocos a partir de combinações lineares de polinômios de Chebyshev de primeira espécie. Considerando um polinômio real auto-recíproco P (z) = a0 + a1z + . . .+ a2nz 2n de grau 2n, do Teorema 3.1.1 (2) e da Observação 3.1.2 (2) com w2 = 1, pode-se verificar que: P (z) = 2n∑ j=0 ajz j = 2zn [ a2n 2 ( zn + 1 zn ) + . . .+ an+1 2 ( z + 1 z ) + an 2 ] . (3.1.5) Para z = eiθ, consideramos a transformação: x = x(z) = 1 2 ( z + 1 z ) = cos θ. A partir dessa transformação, podemos estendê-la para potências de z. Para zj , temos: zj = eijθ e 1 zj = e−ijθ, o que leva a: xj = 1 2 ( zj + 1 zj ) = 1 2 ( eijθ + e−ijθ ) = cos(jθ). Os polinômios de Chebyshev de primeira espécie Tj(x) da equação (2.3.11) são definidos pela relação: Tj(cos θ) = cos(jθ). Assim, ao substituir x = cos θ, estabelece-se que: Tj(x) = cos(j arccos(x)) = cos(jθ) = 1 2 ( zj + 1 zj ) . Portanto, podemos concluir que: 1 2 ( zj + 1 zj ) = Tj(x), j = 0, 1, 2, . . . . Assim, a equação (3.1.5) pode ser expressa da seguinte forma: P (z) = 2zn { a2nTn(x) + a2n−1Tn−1(x) + . . .+ an+1T1(x) + an 2 T0(x) } . A seguir, apresentaremos um exemplo. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 42 Exemplo 3.1.6. Considere o seguinte polinômio real auto-recíproco: P (z) = z4 + 3z3 + 5z2 + 3z + 1. Para reescrever o polinômio, agrupamos os termos simétricos da forma zj + 1 zj : P (z) = z4 + 3z3 + 5z2 + 3z + 1 = 2z2 [ 1 2 ( z2 + 1 z2 ) + 3 2 ( z + 1 z ) + 5 2 ] . Sabemos que 1 2 ( zj + 1 zj ) = Tj(x), onde Tj(x) são os polinômios de Chebyshev de primeira espécie. Assim, substituímos cada termo: (i) 1 2 ( z2 + 1 z2 ) = T2(x), (ii) 1 2 ( z + 1 z ) = T1(x), (iii) T0(x) = 1. Dessa forma, o polinômio P (z) = z4 + 3z3 + 5z2 + 3z + 1 pode ser representado como: P (z) = 2z2 [ T2(x) + 3T1(x) + 5 2 T0(x) ] , x = 1 2 ( z + 1 z ) . (b) Os polinômios auto-recíprocos reais são também polinômios auto-inversíveis. De fato, da Definição 3.1.4, seja P (z) = n∑ k=0 akz k, um polinômio auto-recíproco real (ak ∈ R). Então do Teorema 3.1.1(2), P (z) = w2P ∗(z), e da Proposição 3.1.1, w2P ∗(z) = w2 ( znP (1 z )) . Assim, |P (z)|=|w2| ∣∣∣znP(1 z )∣∣∣ = |zn| ∣∣∣P(1 z )∣∣∣. (3.1.6) Suponha que ξ é zero de P (z) então, |P (ξ)|= |ξn| ∣∣∣P(1 ξ )∣∣∣ = 0. (3.1.7) Como os coeficientes de P (z) são números reais, a seguinte igualdade é satisfeita, |P (ξ)|= |P (ξ̄)|. (3.1.8) Logo, substituindo 1 ξ̄ na equação (3.1.6), e usando as equações (3.1.7) e (3.1.8), temos: ∣∣∣P(1 ξ̄ )∣∣∣ =∣∣∣(1 ξ̄ )n∣∣∣|P (ξ̄)|= 0. Portanto, pela Definição 3.1.3, temos que P (z) é um polinômio auto-inversível. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 43 Definição 3.1.5. Um polinômio real auto-recíproco P (z) que satisfaz a relação P (z) = w2 znP (1 z ) será chamado polinômio auto-recíproco positivo se w2 = 1 e será chamado polinômio auto-recíproco negativo se w2 = −1. Observação 3.1.4. Algumas propiedades elementares dos polinômios auto-recíproco positivo e auto-recíproco negativo são as seguintes: (a) Se ξ é zero de qualquer polinômio P (z) auto-recíproco positivo ou auto-recíproco negativo de grau n ≥ 4, então os números complexos 1 ξ , ξ̄ e 1 ξ̄ também são zeros de P (z). (b) Qualquer polinômio auto-recíproco negativo tem z = 1 como zero e P (z) z − 1 é um polinômio auto-recíproco positivo. Ademais, se P (z) tem grau par, então z = −1 também é zero de P (z) e P (z) z2 − 1 é um polinômio auto-recíproco positivo de grau par. De maneira semelhante, qualquer polinômio auto-recíproco positivo P (z) de grau ímpar tem z = −1 como zero e P (z) z + 1 é também um polinômio auto-recíproco positivo. (c) O produto de dois polinômios auto-recíprocos positivos, ou dois polinômios auto- recíprocos negativos, é um polinômio auto-recíproco positivo. Agora, iremos apresentar um teorema clássico que relaciona a localização dos zeros de um polinômio com a condição de que ele seja auto-inversível. Esse teorema pode ser encontrado na referência [22]. O teorema de Cohn é um resultado importante sobre as condições para que um polinômio auto-inversível tenha todos os seus zeros no círculo unitário S. Em [6] F. F. Bonsall e Morris Marden fornecem uma prova desse resultado. Teorema 3.1.2. Uma condição necessária e suficiente para que todos os zeros de um polinômio complexo P (z) estejam localizados em S é que P (z) seja um polinômio auto-inversível e que sua derivada P ′(z) não tenha nenhum zero fora de S. Observação 3.1.5. Se um polinômio tiver todos seus zeros no círculo unitário S, então é um polinômio auto-inversível. O recíproco não é necessariamente verdadeiro. Ou seja, se um polinômio é auto-inversível, isso não garante que todos os seus zeros estejam no círculo unitário, eles podem estar dentro e fora, sempre que respeitem a simetria. Para uma melhor compreensão, observe o exemplo seguinte. Exemplo 3.1.7. Seja o polinômio: P (z) = (z − 2) ( z − 1 2 ) . Os zeros são: ξ1 = 2, ξ2 = 1 2 . Observamos que 1 ξ̄1 = 1 2 e 1 ξ̄2 = 2 são zeros de P (z), o que significa que P (z) é um polinômio auto-inversível. Mas isso não garante que os zeros de P (z) estejam no círculo unitário, pois ξ1 e ξ2 estão fora e dentro do círculo unitário respectivamente (ver Figura 3.1.6). Porém, esses zeros mantêm sua simetria em relação ao círculo unitário S. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 44 Figura 3.1.6: Os zeros de P (z) se localizam dentro e fora do círculo unitário. 3.2 Polinômios obtidos através da transformação de Möbius Argumentando como em [22], uma maneira de revelar sua conexão é utilizar um par adequado de transformações de Mobius, que mapeiam o círculo unitário na reta real e vice- versa, o que costuma ser chamado transformações de Cayley, definidas pelas fórmulas: M (z) = (z − i) z + i e W (z) = −i(z + 1) z − 1 . (3.2.1) Além disso, M (∞) = 1, M (−i) = ∞, W (1) = ∞, e W (∞) = −i. Cada transformação torna-se o inverso da outra no plano complexo estendido C∞ = C∪{∞} e M (z) mapeia a reta real R no círculo unitário complexo S, enquanto W (z) mapeia o círculo unitário complexo S na reta real R. Como mostrado em [21] , M (z) envia qualquer ponto no plano médio superior (meio inferior) para o interior (exterior) de S, então W (z) envia qualquer ponto dentro (fora) de S para o semi-plano superior (semi-plano inferior). Seja um polinômio P (z) de grau n. Definimos dois polinômios transformados pela transformada de Möbius: Q(z) = (z + i)n P (M (z)) e T (z) = (z − 1)n P (W (z)). (3.2.2) O teorema a seguir tem como base a referência [22] e nos mostra como os zeros de Q(z) e T (z) estão relacionados com os zeros de P (z). Teorema 3.2.1. Sejam ζ1, . . . , ζn os zeros de um polinômio complexo P (z) e η1, . . . , ηn os zeros do polinômio transformado Q(z). Se P (1) ̸= 0 então, η1 = W (ζ1), . . . , ηn = W (ζn). Do mesmo modo, seja τ1, . . . , τn os zeros do polinômio transformado T (z), então τ1 = M (ζ1), . . . , τn = M (ζn), com a condição P (−i) ̸= 0. Demonstração. Sejam ζk, ηk e τk com k = 1, . . . , n, os zeros de P (z), Q(z) e T (z), respectivamente. A partir do polinômio transformado Q(z) da equação (3.2.2) determinaremos P (z) : Q(z) (z + i)n = P (M (z)). 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 45 Substituindo M (z) da equação (3.2.1) na igualdade anterior, obtemos: Q(z) (z + i)n =P ( z − i z + i ) . (3.2.3) Logo, através de uma mudança de variável em P ( z − i z + i ) , temos: ζk = z − i z + i ζkz + ζki =z − i z = −i(1 + ζk) (ζk − 1) . Agora, substituímos o novo valor de z na equação (3.2.3), e obtemos: Q ( −i(1 + ζk) (ζk − 1) ) ( −i(1 + ζk) (ζk − 1) + i )n = P (ζk), vamos substituir a variável de Q por W (ζk), P (ζk) = Q(W (ζk))( −i(1 + ζk) + i(ζk − 1) ζk − 1 )n = Q(W (ζk))( −2i ζk − 1 )n = (ζk − 1)n Q(W (ζk)) (−2i)n , multiplicando numerador e denominador por i4n, segue que P (ζk) = i4n (ζk − 1)n Q(W (ζk)) i4n (−2i)n = i3n (ζk − 1)n Q(W (ζk)) i4n (−2)n = (i3)n (ζk − 1)n Q(W (ζk)) (i4)n (−2)n = (−i)n (ζk − 1)n Q(W (ζk)) (1)n (−2)n . Portanto, P (ζk) = ( i 2 )n (ζk − 1)n Q(W (ζk)), para todo 1 ≤ k ≤ n. Como 1 não é zero de P (z), i.e., P (1) ̸= 0 (note que para z = 1 temos que ζk ̸= 1), portanto ηk = W (ζk) é zero de Q(z). Também, a partir do polinômio transformado T (z) da equação (3.2.2), determinaremos P (z) : T (z) (z − 1)n = P (W (z)). 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 46 Substituindo W (z) da equação (3.2.1) na igualdade anterior, T (z) (z − 1)n =P ( −i(z + 1) z − 1 ) . (3.2.4) Logo, através de uma mudança de variável em P ( −i(z + 1) z − 1 ) , temos: ζk = −i(z + 1) z − 1 ζkz − ζk =− iz − i z = −i+ ζk ζk + i . Agora, substituímos o novo valor de z na equação (3.2.4), T (z) (z − 1)n =P ( −i(z + 1) z − 1 ) T ( ζk − i ζk + i ) ( ζk − i ζk + i − 1 )n = P (ζk). Substituíndo a variável de T por M (ζk), segue que P (ζk) = T (M (ζk))( ζk − i− (ζk + i) ζk + i )n = T (M (ζk))( −2i ζk + i )n = (ζk + i)n T (M (ζk)) (−2i)n , multiplicando o numerador e denominador por i4n, temos P (ζk) = i4n (ζk + i)n T (M (ζk)) i4n (−2i)n = i3n (ζk + i)n T (M (ζk)) i4n (−2)n = (i3)n (ζk + i)n T (M (ζk)) (i4)n (−2)n = (−i)n (ζk + i)n T (M (ζk)) (1)n (−2)n . Portanto, P (ζk) = ( i 2 )n (ζk + i)n T (M (ζk)), para todo 1 ≤ k ≤ n. Como −i não é zero de P (z), i.e., P (−i) ̸= 0 (note que para z = −i temos que ζk ̸= −i), portanto τk = M (ζk) é zero de T (z). ■ 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 47 Observação 3.2.1. As seguintes igualdades serão usadas no próximo teorema, para provar que o conjunto de polinômios auto-inversíveis é isomorfo ao conjunto de polinômios auto- conjugados. Temos : (a) Suponhamos que 1 ζ̄ zero de um polinômio auto-inversível P (z) e η zero de Q(z), então, W ( 1 ζ̄ ) = η̄. De fato, substituíndo 1 ζ̄ na transformada de Cayley W (z) de (3.2.1) e usando o Teorema 3.2.1, temos W ( 1 ζ̄ ) = −i ( 1 ζ̄ + 1 ) ( 1 ζ̄ − 1 ) = −i ( 1 + ζ̄ ζ̄ ) ( 1− ζ̄ ζ̄ ) = −i ( 1 + ζ̄ ) ( 1− ζ̄ ) = i ( ζ̄ + 1 ) ( ζ̄ − 1 ) = −i (ζ + 1) (ζ − 1) = −i (ζ + 1) (ζ − 1) = ( −i (ζ + 1) ζ − 1 ) = W (ζ) = η̄. (b) Suponhamos que ζ̄ zero de um polinômio auto-conjugado P (z) e τ zero de T (z), então, M (ζ̄) = 1 τ̄ . De fato, substituíndo ζ̄ na transformada de Cayley M (z) de (3.2.1) e usando o Teorema 3.2.1, temos: M (ζ̄) = ζ̄ − i ζ̄ + i = 1 1 ζ̄ + i ζ̄ − i = 1( ζ − i ζ + i ) = 1( ζ − i ζ + i ) = 1 M (ζ) = 1 τ̄ . O teorema a seguir tem como base a referência [22] e demonstra que o conjunto de polinômios auto-inversíveis é isomorfo ao conjunto de polinômios auto-conjugados. Teorema 3.2.2. Seja P (z) um polinômio auto-inversível. Então, o polinômio transformado Q(z) = (z + i)n P (M (z)) é um polinômio auto-conjugado. Da mesma forma, se P (z) for um polinômio auto-conjugado, então o polinômio transformado T (z) = (z − 1)n P (W (z)) será um polinômio auto-inversível. Demonstração. Sejam ζ e 1 ζ̄ dois zeros de um polinômio auto-inversível P (z). De acordo com o Teorema 3.2.1 e a Observação 3.2.1, os zeros correspondentes de Q(z) serão: W (ζ) = −i (ζ + 1) ζ − 1 = η e W ( 1 ζ̄ ) = −i ( 1 ζ̄ + 1 ) ( 1 ζ̄ − 1 ) = η̄. Assim, qualquer par de zeros simétricos de P (z) no círculo unitário também são zeros simétricos de Q(z) na reta real, pois P (z) é um polinômio auto-inversível, portanto Q(z) é um polinômio auto-conjugado. 3. Polinômios auto-conjugados, auto-recíprocos e auto-inversíveis 48 Além disso, se ζ e ζ̄ são dois zeros de um polinômio conjugado P (z), então de acordo com o Teorema 3.2.1 e a Observação 3.2.1, os zeros correspondentes de T (z) serão: M (ζ) = ζ − i ζ + i = τ e M (ζ̄) = ζ̄ − i ζ̄ + i = 1 τ̄ . Portanto, qualquer par de zeros simétricos de P (z) na reta real também são zeros simétricos de T (z) no círculo unitário , porque P (z) é um polinômio auto-conjugado. Portanto, T (z) é um polinômio auto-inversível. ■ Exemplo 3.2.1. Seja o polinômio P (z) = (z − 2) ( z − 1 2 ) , um polinômio auto-inversível. Aplicando a transformação Q(z) = (z + i)2 · P (M (z)), onde M (z) = z − i z + i , obtemos um polinômio auto-conjugado. Ao substituir M (z) no polinômio P (z), temos: P (M (z)) = (−z − 3i)(z − 3i) 2(z + i)2 . Sustituindo em Q(z), obtemos: Q(z) = (z + i)2 · (−z − 3i)(z − 3i) 2 = −z2 − 9 2 . Os zeros de Q(z) são z = ±3i, que estão simetricamente localizadas em relação ao eixo real. Isso confirma que Q(z) é um polinômio auto-conjugado. Portanto, transformamos o polinômio auto-inversível P (z) = (z − 2) ( z − 1 2 ) em um polinômio auto-conjugado Q(z) = −z2 − 9 2 (ver Figura 3.2.1). Figura 3.2.1: Transformação do polinômio auto-inversível P (z) em um polinômio auto-conjugado Q(z). CAPÍTULO 4 Classes especiais de polinômios Neste capítulo, vamos estudar os polinômios auto-recíprocos reais R (λ) n (z), S (λ) n (z) e A (λ,δ) n (z), com foco nas suas propriedades em função de parâmetros específicos. Começaremos com os polinômios R(λ) n (z) e S (λ) n (z), utilizando as referências [7] e [8]. Iniciaremos com uma análise detalhada das propriedades do polinômio R(λ) n (z) = 1 + λ(z + z2 + . . .+ zn−1) + zn, n ≥ 2 com λ ∈ R, focando nas características que definem esse tipo especial de polinômio. Depois, exploraremos os polinômios S(λ) n (z) = n∑ k=0 s (λ) k zk, n ≥ 2, λ ∈ R, com s (λ) 0 = s (λ) n = 1 e (i) s (λ) n−k = s (λ) k = 1 + kλ, k = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋ quando n é ímpar, (ii) s (λ) n−k = s (λ) k = 1 + kλ, k = 1, 2, . . . , n/2− 1, s (λ) n/2 = (n/2)λ quando n é par. Além disso daremos as condições suficientes para garantir que todos os zeros dos polinômios S (λ) n (z) estejam no círculo unitário. Por último, abordaremos o polinômio A (λ,δ) n (z) = zn+λzn−1+δ (zn−2 + zn−3 + · · ·+ z2)+ λz + 1 com parâmetros λ e δ ∈ R. 4.1 Introdução Começaremos apresentando alguns exemplos dos polinômios R (λ) n (z), S (λ) n (z) e A (λ,δ) n (z). Para isso, será necessário introduzir as seguintes notações: • o maior número inteiro menor ou igual a n/2, ⌊n/2⌋ := max (−∞, n/2] ∩ Z. • o menor número inteiro maior ou igual a n/2, ⌈n/2⌉ := min [n/2,∞) ∩ Z. 49 4. Classes especiais de polinômios 50 Exemplo 4.1.1. Para n = 3, a forma de R (λ) n (z) varia conforme o valor de λ. A seguir, apresentamos as expressões correspondentes para dois casos específicos. • Quando λ = 1, temos: R (1) 3 (z) = 1 + (z + z2) + z3. • Quando λ = −1, obtemos: R (−1) 3 (z) = 1− (z + z2) + z3. Exemplo 4.1.2. Para n = 6 e λ = −1, que corresponde a um caso em que n é par. O polinômio S (−1) 6 (z) é dado por: S (−1) 6 (z) = 6∑ k=0 s (λ) k zk, e os seus coeficientes verificam as seguintes condições: (i) s (−1) 0 = s (−1) 6 = 1, (ii) Para k = 1, 2, temos s(−1) k = s (−1) 6−k = 1 + k(−1); assim, os valores para cada k são: • Quando k = 1 : s (−1) 1 = s (−1) 5 = 1 + 1(−1) = 0. • Quando k = 2 : s (−1) 2 = s (−1) 4 = 1 + 2(−1) = −1. (iii) Para k = 3, temos s(−1) 3 = 3(−1) = −3. Portanto, o polinômio S (−1) 6 (z) é dado por: S (−1) 6 (z) = 1 + 0z − z2 − 3z3 − z4 + 0z5 + z6 = 1− z2 − 3z3 − z4 + z6. Exemplo 4.1.3. Para n = 5, mostramos como a escolha dos valores de λ e δ determina a forma do polinômio A (λ,δ) n (z). • Para n = 5, δ = −2 e λ = −1: A (−1,−2) 5 (z) = z5 − z4 − 2z3 − 2z2 − z + 1. • Para n = 5, δ = −7 e λ = −3: A (−3,−7) 5 (z) = z5 − 3z4 − 7z3 − 7z2 − 3z + 1. Observação 4.1.1. Para facilitar a compreensão deste capítulo, introduzimos algumas notações e definições utilizando a referência [16]. • As expressões m(a) e m(a) são determinadas da seguinte forma: m(a) := aσ(⌈n/2⌉) e m(a) := aσ(⌊n/2⌋). • Se n for par, então: m(a) = m(a). 4. Classes especiais de polinômios 51 • Vamos considerar a seguinte função L : Rn−1 −→ R, definida por L(a) := min y∈R n−1∑ j=1 |aj − y|, (4.1.1) onde a = (a1, a2, . . . , an−1) ∈ Rn−1 e os aj são os coeficientes de um polinômio P (z). Além disso, a sequência a tem uma permutação σ em {1, 2, . . . , n− 1} para o qual aσ(1) ≤ aσ(2) ≤ . . . ≤ aσ(n−1). (4.1.2) A função L(a) busca minimizar a soma das distâncias |aj−y|, e o valor y que a minimiza é o mediano do conjunto ordenado de aj . É importante destacar: (a) Se n é par, então L(a) = n−1∑ j=1 |aj − aσ(n/2)|. (4.1.3) (b) Se n é ímpar, então L(a) = n−1∑ j=1 |aj − y|, (4.1.4) para cada y pertencente ao intervalo fechado [ aσ(⌊n/2⌋), aσ(⌈n/2⌉) ] . Para uma melhor compreensão, vamos apresentar dois exemplos. Exemplo 4.1.4. Seja o polinômio P (z) = 9z6 + 6z5 + 5z4 + 4z3 + 3z2 + 2z + 1 , a sequência a ∈ R5 é dada por a = (a1, a2, a3, a4, a5) = (2, 3, 4, 5, 6). Assim, de (4.1.2), aσ(1) = 2 ≤ aσ(2) = 3 ≤ aσ(3) = 4 ≤ aσ(4) = 5 ≤ aσ(5) = 6. Por outro lado, (a) m(a) = aσ(⌊6/2⌋) = aσ(max(−∞,6/2]∩Z) = aσ(3) = 4, (b) m(a) = aσ(⌈6/2⌉) = aσ(min[6/2,∞)∩ Z) = aσ(3) = 4. Portanto m(a) = m(a) = aσ(3) = 4. Como n é par, de (4.1.3) , temos: L(a) = 5∑ j=1 |aj − aσ(3)|=|a1 − aσ(3)|+|a2 − aσ(3)|+|a3 − aσ(3)|+|a4 − aσ(3)|+|a5 − aσ(3)| =|2− 4| + |3− 4| + |4− 4| + |5− 4| + |6− 4| =6. Exemplo 4.1.5. Seja o polinômio P (z) = 5z5 + 2z4 + 4z3 + z2 + 3z + 4, a sequência a ∈ R4 é dada por a = (a1, a2, a3, a4) = (3, 1, 4, 2). Assim, de (4.1.2), aσ(1) = 1 ≤ aσ(2) = 2 ≤ aσ(3) = 3 ≤ aσ(4) = 4. Por outro lado, 4. Classes especiais de polinômios 52 (a) m(a) = aσ(⌊5/2⌋) = aσ(max(−∞,5/2]∩Z) = aσ(2) = 2, (b) m(a) = aσ(⌈5/2⌉) = aσ(min[5/2,∞)∩ Z) = aσ(3) = 3. Como n = 5 é ímpar, os valores de y que minimizam a função L(a) devem estar no intervalo [ aσ(⌊n/2⌋), aσ(⌈n/2⌉) ] . Portanto, y deve estar no intervalo [2, 3]. Da equação (4.1.4) calculamos o valor da função L(a), tomamos y = 2, 5, que está no intervalo [2, 3]: L(a) = 4∑ j=1 |aj − y|=|a1 − 2, 5|+|a2 − 2, 5|+|a3 − 2, 5|+|a4 − 2, 5| =|3− 2, 5| + |1− 2, 5| + |4− 2, 5| + |2− 2, 5| =4. O teorema a ser apresentado tem como referência [8] e [16]. Este teorema é a base para apresentar as propriedades do polinômio A (λ,δ) n (z). Teorema 4.1.1. Seja P (z) = anz n+an−1z n−1+. . .+a0 ∈ Pn(R) um polinômio auto-recíproco de grau n com an > 0, e a = (a1, a2, . . . , an−1). 1. Suponha que m(a) + L(a) ≤ 2an. (a) Se P (1) ≥ 0, então todos os zeros de P estão no círculo unitário. Nesse caso, há pelo menos dois zeros da forma eiθcom −2π n ≤ θ ≤ 2π n . (b) Se P (1) < 0, então P tem zeros reais β > 1 e β−1 e os outros zeros estão no círculo unitário. 2. Suponha que m(a) ≥ L(a) + 2an. Então, uma das seguintes situações é válida: (a) Todos os zeros de P estão no círculo unitário. Além disso: (i) Quando n é ímpar, há três ou cinco zeros da forma eiθ com (n− 1)π n ≤ θ ≤ (n+ 1)π n . (ii) Quando n é par, -1 é um zero com multiplicidade 2 ou 4. (b) P tem zeros reais β < −1 e β−1, e os outros zeros estão no círculo unitário. Exemplo 4.1.6. Seja o polinômio P (z) = z4 − 2z2 + 1 = (z − 1)2 (z + 1)2 , com a4 = 1 e a = (a1, a2, a3) = (0,−2, 0). Calculemos m(a) e L(a): (a) m(a) = aσ(⌊4/2⌋) = aσ(max(−∞,2]∩Z) = aσ(2) = 0, (a) L(a) := 3∑ j=1 |aj − aσ(3)|= |a1 − aσ(2)|+|a2 − aσ(2)|+|a3 − aσ(2)|= |−2− 0|= 2. 4. Classes especiais de polinômios 53 Observamos que: m(a) + L(a) = 0 + 2 = 2 ≤ 2 · 1 = 2. Os zeros de P (z), que são 1 e −1 com multiplicidade 2, estão localizados no círculo unitário. Estes podem ser representados como: 1 = ei0 e −1 = eiπ. Além disso, para n = 4 : −2π n = −π 2 e 2π n = π 2 . Observamos que θ = 0 está no intervalo [ −π 2 , π 2 ] , o que cumpre com as condições do Teorema 4.1.1 (1a)(ver Figura 4.1.1). Figura 4.1.1: Representação gráfica dos zeros do polinômio P (z) no círculo unitário. 4.2 Análise das propriedades de R (λ) n (z) Nesta seção, abordaremos as propriedades mais importantes dos polinômios R(λ) n (z). Além disso, é importante mencionar que, de acordo com a Observação 2.3.1, a sequência de polinômios {R(λ) n (z)}∞n=0 é gerada pela relação de recorrência de três termos: R (λ) n+1(z) = (z + 1)R(λ) n (z)− αn+1zR (λ) n−1(z), n ≥ 1, onde R (λ) 0 (z) = 1, R(λ) 1 (z) = z + 1, α2 = 2− λ, λ ∈ R, e αn = 1 para n ≥ 3. Com base no Lema 2.3.1, para qualquer n ≥ 1, os polinômios consecutivos R (λ) n (z) e R (λ) n+1(z) não possuem zeros em comum. Quando n é ímpar, o polinômio auto-recíproco R (λ) n (z), com λ ∈ R, apresenta algumas propriedades interessantes, que serão apresentadas no próximo resultado. O seguinte lema deriva da referência [8]. 4. Classes especiais de polinômios 54 Lema 4.2.1. Seja um polinômio R (λ) n (z) = 1 + λ(z + z2 + . . . + zn−1) + zn de grau ímpar. Então 1. z = −1 é um zero de R (λ) n (z) = (z + 1)Q(z), onde Q(z) = n−1∑ i=0 qiz i, com qi = { 1, se i é par, λ− 1, se i é ímpar. 2. Se λ = 2n n− 1 , n > 1, então z = −1 é um zero de R (λ) n (z) de multiplicidade 3 e R (λ) n (z) = (z + 1)3U(z), onde U(z) = n−3∑ i=0 uiz i, com ui =  (i+ 2)(n− 1− i) 2(n− 1) , se i é par, −(i+ 1)(n− 1− (i+ 1)) 2(n− 1) , se i é ímpar. Demonstração. Seja R (λ) n (z) = 1+ λz+ λz2 + λz3 + . . .+ λzn−1 + zn um polinômio de grau ímpar. A seguir, vamos demonstrar os dois itens, 1. Sabendo que R(λ) n (−1) = 1 + λ (−1 + 1− 1 + . . .+ 1)︸ ︷︷ ︸ 0 −1 = 0, podemos afirmar que, R(λ) n (z) =(z + 1)Q(z) = (z + 1) n−1∑ i=0 qiz i =(z + 1) [ q0 + q1z + q2z 2 + q3z 3 + . . .+ qn−1z n−1 ] =(z + 1)q0 + (z + 1)q1z + (z + 1)q2z 2 + . . .+ (z + 1)qn−1z n−1 =q0 + (q0 + q1)z + (q1 + q2)z 2 + (q2 + q3)z 3 + . . .+ (qn−2 + qn−1)z n−1 + qn−1z n. (4.2.1) Comparando os coeficientes do polinômio R (λ) n (z) com (4.2.1), temos que: q0 = 1, q0 + q1 = λ, q1 + q2 = λ, q2 + q3 = λ, . . . , qn−2 + qn−1 = λ, qn−1 = 1. Assim, q1 = λ− 1, q2 = 1, q3 = λ− 1, . . . , qn−2 = λ− 1, qn−1 = 1. Portanto, qi = { 1, se i é par, λ− 1, se i é ímpar. 2. Do Lema 4.2.1 item 1, temos R(λ) n (z) = (z + 1)Q(z), onde Q(z) = n−1∑ i=0 qiz i, com qi = { 1, se i é par, λ− 1, se i é ímpar. 4. Classes especiais de polinômios 55 Substituímos z = −1 para calcular Q(−1), Q(−1) = n−1∑ i=0 qi(−1)i, separamos os termos par e ímpar, Q(−1) = n−1∑ i=0 qi(−1)i︸ ︷︷ ︸ i: par + n−1∑ i=0 qi(−1)i︸ ︷︷ ︸ i: ímpar = (n+ 1 2 ) (1)− (n− 1 2 ) (λ− 1). Para λ = 2n n− 1 , n > 1, Q(−1) = (n+ 1 2 ) (1)− (n− 1 2 ) (λ− 1) = (n+ 1 2 ) (1)− (n− 1 2 )( 2n n− 1 − 1 ) =0. Logo, Q(z) = (z + 1)T (z), (4.2.2) com T (z) = n−2∑ i=0 tiz i, ti = tn−2−i = n− 1− i n− 1 , i par. A expressão T (z) = n−2∑ i=0 tiz i é desenvolvida para assegurar que Q(z) seja auto- recíproco. Para i par, definimos ti = n− 1− i n− 1 . Isso garante que os coeficientes sejam proporcionais ao grau e preservem sua estrutura, já que o grau de T (z) é n− 2. Por outro lado, desenvolvendo Q(z), temos: Q(z) =(z + 1)T (z) = (z + 1) n−2∑ i=0 tiz i =t0 + (t0 + t1)z 1 + (t1 + t2)z 2 + . . .+ (tn−3 + tn−2)z n−2 + tn−2z n−1. Usando a afirmação anterior notamos que T (−1) = 0 e então, T (z) = (z + 1)U(z), (4.2.3) onde, U(z) = n−3∑ i=0 uiz i, ui =  (i+ 2)(n− 1− i) 2(n− 1) , se i é par, −(i+ 1)(n− 1− (i+ 1)) 2(n− 1) , se i é ímpar. 4. Classes especiais de polinômios 56 A função U(z) é composta por uma série de termos, cada um com um coeficiente ui que varia conforme o índice seja par ou ímpar. Isso significa que os coeficientes possuem uma simetria. Essa simetria é importante para que o polinômio R (λ) n (z) apresente determinadas propriedades. Do Lema 4.2.1 (item 1) e das equações (4.2.3) e (4.2.2), temos: R(λ) n (z) =(z + 1)Q(z) =(z + 1)((z + 1)T (z)) =(z + 1)((z + 1)((z + 1)U(z))) =(z + 1)3U(z). ■ A seguir, apresentaremos a demonstração do teorema, tomando como referência [8]. Teorema 4.2.1. Os zeros do polinômio R (λ) n (z) = 1 + λ(z + z2 + . . .+ zn−1) + zn, λ ∈ R, de grau n > 1, estão no círculo unitário se e somente se 1. − 2 n− 1 ≤ λ ≤ 2, se n é par; 2. − 2 n− 1 ≤ λ ≤ 2 + 2 n− 1 , se n é ímpar. Demonstração. Do Teorema 4.1.1, a = (λ, λ, . . . , λ), m(a) = m(a) = λ e L(a) = 0. Se m(a) + L(a) = λ+ 0 = λ ≤ 2an = 2, ou seja, λ ≤ 2, como R(λ) n (1) =1 + λ ( (1) + (1)2 + . . .+ (1)n−1 ) + (1)n = 1 + λ(n− 1) + 1 =2 + λ(n− 1) ≥0, quando λ ≥ −2 n− 1 , do item 1(a) do Teorema 4.1.1 pode-se observar que todos os zeros de R (λ) n (z) estão localizados no círculo unitário quando − 2 n− 1 ≤ λ ≤ 2. Ademais, se m(a) + L(a) = λ ≤ 2 e R (λ) n (1) = 2 + λ(n − 1) < 0, quando λ < −2 n− 1 , então R (λ) n (z) tem um zero real no intervalo (1,∞). De fato, lim z→1 R(λ) n (z) = 2 + (n− 1)λ < 0 (4.2.4) lim z→+∞ R(λ) n (z) = ∞ > 0. (4.2.5) De (4.2.5), por definição de limite, existe x1 > 0 tal que R(λ) n (x1) > 0. A partir de (4.2.4), existe x2 ∈ R e considerando que R (λ) n (z) é um polinômio real contínuo em R tal que R (λ) n (x2) < 0, portanto podemos aplicar o Teorema 2.1.2 para afirmar que existe uma mudança de sinal de R (λ) n (z) no intervalo (1,∞), portanto, existe um zero real nesse intervalo. Assim do item 1(b) do Teorema 4.1.1, existem zeros no círculo unitário. Note que as observações anteriores se aplicam a todos os valores de n. A seguir, analisaremos os casos quando n é par e n é ímpar, seguindo o raciocínio que apresentamos anteriormente: 4. Classes especiais de polinômios 57 (i) Para n par, se λ > 2 (m(a) > L(a)+2), R (λ) n (z) tem um zero real no intervalo (−∞,−1). De fato, como lim z→−∞ R(λ) n (z) = ∞ > 0 e lim z→−1 R(λ) n (z) = 2− λ < 0. (4.2.6) A partir de (4.2.6) e considerando que R (λ) n (z) é um polinômio real contínuo em R, podemos aplicar o Teorema 2.1.2 para afirmar que existe uma mudança de sinal de R (λ) n (z) no intervalo (−∞,−1). Assim, do item 2(b) do Teorema 4.1.1, existem zeros no círculo unitário. Logo, para n par, os zeros de R (λ) n (z) estão localizados no círculo unitário se, e somente se, − 2 n− 1 ≤ λ ≤ 2. (ii) Para n ímpar, se λ > 2 (m(a) > L(a) + 2), consideramos as seguintes situações: (a) Se λ > 2n n− 1 , R (λ) n (z) tem um zero real no intervalo (−∞,−1). De fato, podemos escrever R(λ) n (z) = (z + 1)Q(z), então temos que: lim z→−∞ Q(z) > 0 e lim z→−1 Q(z) = n− n− 1 2 λ < 0. (4.2.7) A partir de (4.2.7) e considerando que Q(z) é um polinômio real contínuo em R, podemos aplicar o Teorema 2.1.2 para afirmar que existe uma mudança de sinal de Q(z) no intervalo (−∞,−1), e, consequentemente, R(λ) n (z) tem um zero real em (−∞,−1), de acordo com o item 2(b) do Teorema 4.1.1. (b) Se λ < 2n n− 1 , com R (λ) n (z) = (z + 1)Q(z), então temos que: lim z→−∞ Q(z) > 0 e lim z→−1 Q(z) = n− (n− 1 2 ) λ > 0, (4.2.8) isso quer dizer que não ocorre mudança de sinal de Q(z) em (−∞,−1) e todos os zeros de R(z) estão no círculo unitário, de acordo com o item 2(a) do Teorema 4.1.1. (c) Se λ = 2n n− 1 , do Lema 4.2.1 (item 2) z = −1 é um zero de multiplicidade 3 de R (λ) n (z) e temos que R (λ) n (z) = (z + 1)3U(z). Além disso, lim z→−∞ U(z) = ∞ > 0 e lim z→−1 U(z) > 0, (4.2.9) isso quer dizer que não ocorre mudança de sinal de U(z) no intervalo (−∞,−1) e de 2(a) do Teorema 4.1.1 R (λ) n (z) possui todos seus zeros no círculo unitário. Assim, para n ímpar, os zeros de R (λ) n (z) estão no círculo unitário se, e somente se − 2 n− 1 ≤ λ ≤ 2 (demonstrado no início desta prova) ou 2 < λ ≤ 2n n− 1 (conforme as considerações acima). A partir dessas desigualdades, temos: − 2 n− 1 ≤ λ ≤ 2n n− 1 , ou, de forma equivalente, − 2 n− 1 ≤ λ ≤ 2 + 2 n− 1 . ■ 4. Classes especiais de polinômios 58 A seguir, apresentamos um exemplo que ilustra o teorema. Exemplo 4.2.1. Seja o polinômio: R (1) 5 (z) = 1 + λ(z + z2 + . . .+ zn−1) + zn. De acordo com o teorema anterior, os zeros do polinômio estão no círculo unitário se certas condições sobre λ forem satisfeitas. Como n = 5, temos: −1 2 ≤ λ ≤ 5 2 . Portanto, concluímos que para λ = 1 todos os zeros do polinômio R (1) 5 (z) estão localizados no círculo unitário no plano complexo. A seguir, apresentaremos uma tabela com os zeros do polinômio R (1) 5 (z) e o gráfico correspondente, para que se possa verificar que o teorema realmente se aplica. Tabela 4.2.1: Os valores dos zeros de R (1) 5 (z). z z1 ≈ −1 z2 ≈ −1/2− i √ 3/2 z3 ≈ −1/2 + i √ 3/2 z4 ≈ 1/2 + i √ 3/2 z5 ≈ 1/2− i √ 3/2 Figura 4.2.1: Representação gráfica dos zeros do polinômio R (1) 5 (z) no círculo unitário. Da referência [7], apresentaremos um teorema que aborda o principal resultado sobre o comportamento dos dois zeros positivos de R (λ) n (z) e dos dois zeros negativos de R (λ) n (z), quando esses zeros existem. Teorema 4.2.2. Seja o polinômio R (λ) n (z), então, (1) Se λ < −2 n−1 , com n > 1, R(λ) n (z) possui dois zeros positivos z(λ)k e 1 z (λ) k , onde z(λ)k ∈ (1,∞) e 1 z (λ) k ∈ (0, 1). Além disso, z(λ)k é uma função decrescente de λ e, consequentemente, 1 z (λ) k é uma função crescente de λ. 4. Classes especiais de polinômios 59 (2) Se λ > 2 (quando n > 1 é par) ou λ > 2 + 2 n−1 (quando n > 1 é ímpar), R(λ) n (z) possui dois zeros negativos z(λ)k e 1 z (λ) k , onde z(λ)k ∈ (−∞,−1) e 1 z (λ) k ∈ (−1, 0). Além disso, z(λ)k é uma função decrescente de λ e, consequentemente, 1 z (λ) k é uma função crescente de λ. (3) Se λ ∈ ( − ∞, −2 n−1 ) , R(λ) n (z) possui dois zeros positivos z (λ) k e 1 z (λ) k , e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. (4) Se λ ∈ (2,∞) (caso par) e λ ∈ ( 2 + 2 n−1 ,∞ ) (caso ímpar), R(λ) n (z) possui dois zeros negativos z(λ)k e 1 z (λ) k , e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. Observação 4.2.1. De acordo com [8], se n for par e λ = 2, temos R(λ) n (−1) = 0 e z = −1 é um zero de multiplicidade 2 de R (λ) n (z), conforme descrito no item 2(a) do Teorema 4.1.1. A seguir, apresentamos um exemplo que ilustra essa observação Exemplo 4.2.2. Seja o polinômio: R (2) 4 (z) = 1 + 2(z + z2 + z3) + z4. Verificamos: R(2) n (−1) = 1 + 2(−1 + 1− 1) + 1 = 0. Assim, z = −1 é um zero do polinômio. O polinômio pode ser fatorado como: R(2) n (z) = (z + 1)2(z2 + 1). Portanto, conforme a análise, temos que R (2) n (−1) = 0 e z = −1 é um zero de multiplicidade 2 do polinômio. 4.3 Análise das propriedades de S (λ) n (z) Como consequência do estudo realizado por Kim e Park [15], temos um resultado relacionado com a localização dos zeros do polinômio auto-recíproco real S(λ) n (z) = n∑ k=0 s (λ) k zk, onde s (λ) k = 1 + kλ para k = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋ (n ímpar), e para alguns valores de λ ∈ R. Os autores mencionam que, nos casos onde: • 2 < λ < 2 + 2 ⌊n/2⌋ (⌊n/2⌋ ímpar), • λ = 2 + 2 ⌊n/2⌋ (⌊n/2⌋ ímpar), • λ = − 2 ⌊n/2⌋ , 4. Classes especiais de polinômios 60 a localização dos zeros de S (λ) n (z) era um problema aberto, mas foi demonstrado (veja [7]). Nesta seção, apresentamos uma demonstração sobre a localização dos zeros de S (λ) n (z) no caso em que n é ímpar e λ ∈ R, assim como quando n é par. Esses resultados podem ser vistos com mais detalhes em [7]. Para alcançar esse objetivo, é necessário considerar alguns conceitos, como os descritos na referência [7]. Os polinômios W(λ) n (x) são definidos por W(λ) n (x) = W(λ) n (x(z)) = z−n/2R(λ) n (z) = Un(x)− (1− λ)Un−2(x), n ≥ 1, (4.3.1) onde os polinômios Un(x), para n ≥ 0 e U−1(x) = 0, são os polinômios de Chebyshev de segunda espécie. De fato, R(λ) n (z) = 1 + λ(z + z2 + · · ·+ zn−1) + zn = 1 + z + · · ·+ zn + (λ− 1)z(1 + z + · · ·+ zn−2) = zn+1 − 1 z − 1 + (λ− 1)z ( zn−1 − 1 z − 1 ) = zn/2(z(n+1)/2 − z−(n+1)/2) z1/2 − z−1/2 + (λ− 1) zn/2(z(n−1)/2 − z−(n−1)/2) z1/2 − z−1/2 . Utilizando que z1/2+z−1/2 2 = cos(θ/2) = x, obtemos W(λ) n (x) = z−n/2R(λ) n (z) = z(n+1)/2 − z−(n+1)/2 z1/2 − z−1/2 + (λ− 1) ( z(n−1)/2 − z−(n−1)/2 z1/2 − z−1/2 ) = sin ( (n+1)θ 2 ) sin ( θ 2 ) + (λ− 1) sin ( (n−1)θ 2 ) sin ( θ 2 ) = Un(x)− (1− λ)Un−2(x). Como Un(x) − Un−2(x) = 2Tn(x), para n ≥ 2, onde o polinômio Tn(x) é o polinômio de Chebyshev de primeira espécie, também podemos escrever W(λ) n (x) = λUn(x) + 2(1− λ)Tn(x). (4.3.2) Observação 4.3.1. Para −2 n− 1 ≤ λ ≤ 2 (n par) ou −2 n− 1 ≤ λ ≤ 2+ 2 n− 1 (n ímpar), sabemos que os zeros de R (λ) n (z) localizados no primeiro e segundo quadrantes são representados por z(λ)n,r = eiθ (λ) n,r , r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋, com 0 ≤ θ (λ) n,r ≤ π, onde θ(λ)n,r = 2arccos(ξ(λ)n,r), e ξ (λ) n,r são os zeros não negativos de W(λ) n (x). Se n é ímpar, r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋ + 1 e θ (λ) n,⌊n/2⌋+1 = π. Agora, analisaremos alguns dos valores que λ pode assumir: 4. Classes especiais de polinômios 61 (a) Se λ = 0, a partir da equação (4.3.2), temos: z− n 2R(0) n (z) = W(0) n (x) = 2Tn(x). Então, os zeros de W(0) n (x) são representados por ξ(0)n,r = cos ( (2r − 1)π 2n ) , r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋. Consequentemente, obtemos: θ(0)n,r = 2arccos(ξ(0)n,r) = (2r − 1)π n . E, para n ímpar, temos: θ (0) n,⌊n/2⌋+1 = π. (b) Se λ = 1, a partir da equação (4.3.1), temos: W(1) n (x) = Un(x). Então, os zeros de W(1) n (x) são representados por ξ(1)n,r = cos ( rπ n+ 1 ) , r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋. Consequentemente, obtemos: θ(1)n,r = 2arccos(ξ(1)n,r) = 2rπ n+ 1 . E, para n ímpar, temos: θ (1) n,⌊n/2⌋+1 = π. (c) Se λ = 2, a partir da equação (4.3.1), temos: W(2) n (x) = Un(x)− Tn(x). Então, todos os zeros de W(2) n (x) são representados por ξ(2)n,r = cos (rπ n ) , r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋ e ξ (2) n,⌊n/2⌋+1 = cos (π 2 ) (para n ímpar). Por conseguinte, θ(2)n,r = 2arccos(ξ(2)n,r) = 2rπ n , r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋ e θ (2) n,⌊n/2⌋+1 = π (para n ímpar). Observe que, se λ = 2 e n é par, segue que z = −1 é zero de multiplicidade 2 de R (λ) n (z) e, consequentemente, θ (2) n,⌊n/2⌋ = θ (2) n,⌊n/2⌋+1 = π. A seguir, apresentaremos a demonstração do teorema principal desta seção baseado em [7]. 4. Classes especiais de polinômios 62 Teorema 4.3.1. Os zeros do polinômio S (λ) n (z), n ≥ 2, estão localizados no círculo unitário se, e somente se, 1. − 2 ⌊n/2⌋ ≤ λ ≤ 2, se ⌊n/2⌋ é ímpar, 2. − 2 ⌊n/2⌋ ≤ λ ≤ 2 + 2 ⌊n/2⌋ , se ⌊n/2⌋ é par. Além disso, (i) Se λ ∈ ( −∞,− 2 ⌊n/2⌋ ) , S (λ) n (z) tem dois zeros positivos z(λ)k ∈ (1,+∞) e 1 z (λ) k ∈ (0, 1), e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. (ii) Se λ ∈ (2,+∞) ( λ ∈ ( 2 + 2 ⌊n/2⌋ ,+∞ )) e ⌊n/2⌋ é ímpar ( ⌊n/2⌋ é par ) , S(λ) n (z) possui dois zeros negativos z (λ) k ∈ (−∞,−1) e 1 z (λ) k ∈ (−1, 0), e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. Demonstração. Para realizar esta prova, consideraremos dois casos: quando n é par e quando n é ímpar. 1. Por indução, se n é par, note que: S(λ) n (z) = (zn/2 − 1 z − 1 ) R (λ) n/2+1(z) = R (1) n/2−1(z) ·R (λ) n/2+1(z), onde, R(1) 0 (z) = 1, R (1) 1 (z) = z + 1, e para n ≥ 2, R (λ) n (z) = 1 + λ(z + z2 + . . . + zn−1) + zn. Assim, precisamos analisar os zeros de R (1) n/2−1(z) e R (λ) n/2+1(z). A partir dos Teoremas 4.2.1, 4.2.2 e da Observação 4.3.1, temos que os zeros de R (1) n/2−1(z) estão localizados no círculo unitário e são dados por: z (1) n,r = eiθ (1) n,r , onde θ (1) n/2−1,r = 2rπ n/2−1+1 = 4rπ n , e • r = 1, 2, . . . , n/2−1 2 = n−2 4 , se n/2− 1 é par, • r = 1, 2, . . . , n/2−1 2 + 1 = n+2 4 , se n/2− 1 é ímpar. Observe que 0 ≤ θ (1) n/2−1,r ≤ π (estamos considerando apenas os zeros no primeiro e no segundo quadrantes, os demais zeros são os conjugados complexos. Isso ocorre porque, se z0 é um zero de R(1) n/2−1, então R (1) n/2−1(z0) = 0, mas R(1) n/2−1(z0) = R (1) n/2−1(z) = 0. Isso se deve ao fato de que os coeficientes do polinômio R (1) n/2−1(z) são reais). Além disso, note que os zeros de R (1) n/2−1(z) são fixos. Agora analisaremos o polinômio R (λ) n/2+1(z). O grau n é par, mas n/2 pode ser par ou ímpar, então do Teorema 4.2.1, sabemos que os zeros de R (λ) n/2+1(z) estão localizados no círculo unitário se: • n/2 + 1 é par (com n/2 ímpar), obtemos: − 2 (n/2 + 1)− 1 ≤λ ≤ 2, então, − 2 n/2 ≤ λ ≤ 2. 4. Classes especiais de polinômios 63 • n/2 + 1 é ímpar (com n/2 par), temos: − 2 n/2 ≤λ ≤ 2 + 2 (n/2 + 1)− 1 , então, − 2 n/2 ≤ λ ≤ 2 + 2 n/2 . Além disso, do Teorema 4.2.2 itens (1) e (3), se λ ∈ ( −∞,− 2 n/2 ) , então R (λ) n/2+1(z) tem dois zeros positivos z(λ)k ∈ (1,+∞) e 1 z (λ) k ∈ (0, 1), e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. De maneira similar, do Teorema 4.2.2 itens (2) e (4), se λ ∈ (2,+∞) quando n 2 é ímpar, e λ ∈ ( 2 + 2 n/2 ,+∞ ) quando n 2 é par, R(λ) n/2+1(z) tem dois zeros negativos z (λ) k ∈ (−∞,−1) e 1 z (λ) k ∈ (−1, 0), e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. 2. Por indução, se n é ímpar, note que: S(λ) n (z) = (z⌊n/2⌋+1 − 1 z − 1 ) R (λ) ⌊n/2⌋+1(z) = R (1) ⌊n/2⌋(z) ·R (λ) ⌊n/2⌋+1(z), onde, R(1) ⌊n/2⌋(z) = 1, R (1) ⌊3/2⌋(z) = z+1. Assim, precisamos analisar os zeros de R(1) ⌊n/2⌋(z) e R (λ) ⌊n/2⌋+1(z). A partir dos Teorema 4.2.1, 4.2.2 e da Observação 4.3.1, temos que os zeros de R(1) ⌊n/2⌋(z) estão localizados no círculo unitário e são dados por: z(1)⌊n/2⌋,r = eiθ (1) ⌊n/2⌋,r , onde θ(1)⌊n/2⌋,r = 2rπ ⌊n/2⌋+1 , e • r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋ 2 , se ⌊n/2⌋ é par, • r = 1, 2, . . . , ⌊n/2⌋ 2 + 1, se⌊n/2⌋ é ímpar. Observe que 0 ≤ θ (1) n/2−1,r ≤ π (outra vez, consideraremos apenas os zeros no primeiro e no segundo quadrantes). Agora analisaremos o polinômio R (λ) ⌊n/2⌋+1(z). O grau n é ímpar, mas ⌊n/2⌋ pode ser par ou ímpar, então do Teorema 4.2.1, sabemos que os zeros de R(λ)⌊n/2⌋+1(z) estão localizados no círculo unitário se: • ⌊n/2⌋+ 1 é par (com ⌊n/2⌋ ímpar), temos: − 2 (⌊n/2⌋+ 1)− 1 ≤λ ≤ 2, então, − 2 ⌊n/2⌋ ≤ λ ≤ 2. • ⌊n/2⌋+ 1 é ímpar (com ⌊n/2⌋ par), obtemos: − 2 ⌊n/2⌋ ≤λ ≤ 2 + 2 (⌊n/2⌋+ 1)− 1 , então, − 2 ⌊n/2⌋ ≤ λ ≤ 2 + 2 ⌊n/2⌋ . 4. Classes especiais de polinômios 64 Além disso, dos Teoremas 4.2.2 (1) e 4.2.2 (3), se λ ∈ ( −∞,− 2 ⌊n/2⌋ ) , R(λ) ⌊n/2⌋+1(z) tem dois zeros positivos z(λ)k ∈ (1,+∞) e 1 z (λ) k ∈ (0, 1), e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. De maneira similar, do Teorema 4.2.2 itens (2) e (4), se λ ∈ (2,+∞) quando ⌊n/2⌋ é ímpar, e λ ∈ ( 2 + 2 ⌊n/2⌋ ,+∞ ) quando ⌊n/2⌋ é par, R(λ) ⌊n/2⌋+1(z) tem dois zeros negativos z(λ)k ∈ (−∞,−1) e 1 z (λ) k ∈ (−1, 0), e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. ■ A seguir, mostraremos um exemplo no qual examinaremos o Teorema 4.3.1 (2). Exemplo 4.3.1. Seja o polinômio S (λ) 4 (z) para n = 4 e λ = 2. De acordo com as definições, temos: S (2) 4 (z) = 4∑ k=0 s (2) k zk. Sabemos que s (2) 0 = s (2) 4 = 1. Para n = 4 (par), aplicamos as regras para calcular os coeficientes s(2)k : (i) Para k = 1: s (2) 1 = s (2) 3 = 1 + 1 · 2 = 3, (ii) Para k = 2: s (2) 2 = 4 2 · 2 = 4. Assim, obtemos: S (2) 4 (z) = s (2) 0 z0 + s (2) 1 z1 + s (2) 2 z2 + s (2) 3 z3 + s (2) 4 z4 = 1 + 3z + 4z2 + 3z3 + 1z4. Logo, para n = 4, temos ⌊n/2⌋ = 2, que é par. Portanto, de acordo com a condição fornecida, verificamos: −1 ≤ λ ≤ 3. Assim, os zeros do polinômio S (2) 4 (z) estão localizados no círculo unitário. A seguir, apresentaremos uma tabela com os zeros do polinômio e o gráfico correspondente. Tabela 4.3.1: Os valores dos zeros de S (2) 4 (z). z z1 ≈ −1 (multiplicidade 2) z2 ≈ −1/2 + i √ 3/2 z3 ≈ −1/2− i √ 3/2 4. Classes especiais de polinômios 65 Figura 4.3.1: Representação gráfica dos zeros do polinômio S (2) 4 (z) no círculo unitário. A seguir, mostraremos um exemplo em que analisaremos o Teorema 4.3.1 (i). Exemplo 4.3.2. Seja o polinômio S (−3) 4 (z), onde n = 4 e λ = −3. Usando as definições dadas, temos: S (−3) 4 (z) = 4∑ k=0 s (−3) k zk = s (−3) 0 + s (−3) 1 z + s (−3) 2 z2 + s (−3) 3 z3 + s (−3) 4 z4, calculando os coeficientes: s (−3) 0 = s (−3) 4 = 1. (i) Para k = 1, temos: s (−3) 1 = s (−3) 3 = 1 + 1 · (−3) = −2. (ii) Para k = 2, temos: s (−3) 2 = 4 2 · (−3) = −6. Então, o polinômio S (−3) 4 (z) é dado por: S (−3) 4 (z) = 1− 2z − 6z2 − 2z3 + z4 = (z + 1)2 ( z − ( 2 + √ 3 ))( z − ( 2− √ 3 )) . Das condições de localização dos zeros, para λ = −3 : − 2 ⌊n/2⌋ = − 2 ⌊4/2⌋ = −2 2 = −1. Assim, λ ∈ ( −∞,− 2 ⌊n/2⌋ ) = (−∞,−1). Portanto, de acordo com o teorema anterior, S (−3) 4 (z) tem dois zeros positivos z ∈ (1,+∞) e 1 z ∈ (0, 1), e os outros zeros estão localizados no círculo unitário. Analisando os zeros do polinômio S (−3) 4 (z), observamos que: 4. Classes especiais de polinômios 66 • z1 = −1 (de multiplicidade 2), é um zero localizado no círculo unitário, • z2 = 2 + √ 3 ∈ (1,+∞), • z3 = 2− √ 3 ∈ (0, 1) e z3 = 1 z2 . A partir da análise dos zeros do polinômio S (−3) 4 (z), é possível confirmar o Teorema 4.3.1(i)(ver Figura 4.3.2). Figura 4.3.2: Representação gráfica dos zeros do polinômio S (−3) 4 (z). 4.4 Análise das propriedades de A (λ,δ) n (z) Neste seção, apresentaremos novos resultados relacionados ao polinômio auto-recíproco A (λ,δ) n (z) = zn + λzn−1 + δ (zn−2 + zn−3 + · · ·+ z2) + λz + 1, baseado no Teorema 4.1.1. Esses resultados dependem dos parâmetros reais λ, δ e do grau n, e tratam da distribuição dos zeros de A (λ,δ) n (z) no plano complexo de acordo com determinadas condições. Embora seja verdade que para muitos desses polinômios dessa forma, podem ser usados os demais teoremas das outras seções do capítulo para determinar a localização de seus zeros, muitos desses teoremas exigem condições como m(a) + L(a) ≤ 2an, a = (λ, δ, . . . , δ,︸ ︷︷ ︸ n−3 λ), que são bastante tediosas de calcular. Por esse motivo, os teoremas que apresentaremos são ideais para entender as propriedades dos zeros de um polinômio. Os Teoremas 4.4.1 e 4.4.2 são válidos para os polinômio A (λ,δ) n (z) com n par e n ≥ 4. Não consideramos o caso n = 2, pois, nesse caso, o polinômio A (λ,δ) 2 (z) não estaria bem definido em função dos parâmetros. Por outro lado, os Teoremas 4.4.3 e 4.4.4 são válidos apenas para polinômios da forma A (λ,δ) n (z), com n ímpar e n ≥ 5. Para n = 3, o polinômio A (λ,δ) 3 (z) não estaria bem definido em função dos parâmetros. 4. Classes especiais de polinômios 67 Teorema 4.4.1. Seja A (λ,δ) n (z) = zn+λzn−1+δ (zn−2 + zn−3 + · · ·+ z2)+λz+1 um polinômio auto-recíproco real de grau n ≥ 4, n par, onde λ ≤ δ. Considerando: 3δ − 2 2 ≤ λ, é possível afirmar que: 1. Se A (λ,δ) n (1) ≥ 0, então todos os zeros de A (λ,δ) n estão no círculo unitário. Nesse caso, há pelo menos dois zeros da forma eiθcom −2π n ≤ θ ≤ 2π n . 2. Se A (λ,δ) n (1) < 0, então A (λ,δ) n tem zeros reais β > 1 e β−1 e os outros zeros estão no círculo unitário. Demonstração. Como λ ≤ δ, ao ordenar os coeficientes do polinômio A (λ,δ) n , obtemos: aσ(1)︸︷︷︸ λ ≤ aσ(2)︸︷︷︸ λ ≤ aσ(3)︸︷︷︸ δ . . . ≤ aσ(n−1)︸ ︷︷ ︸ δ . Dado que n é par, segue que m(a) = m(a). A partir disso, realizaremos a seguinte análise: • Se n = 4, então m(a) = m(a) = λ. • Se n > 4, então m(a) = m(a) = δ. Agora, verificaremos que m(a) + L(a) ≤ 2. (a) Se n = 4, então o polinômio é da forma A (λ,δ) 4 (z) = z4 + λz3 + δ(z2) + λz + 1. Da equação (4.1.3), temos que: L(a) = |a1 − aσ(