Universidade Estadual Paulista FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NO ESCOAMENTO POTENCIAL EM CONTRAÇÕES Luís Henrique Gazeta de Souza Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos exigidos para a obtenção do título de MMeessttrree eemm EEnnggeennhhaarriiaa MMeeccâânniiccaa. Orientador: Prof. Dr. João Batista Aparecido Ilha Solteira, Julho de 2009. UUnneesspp FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP – Ilha Solteira. Souza, Luís Henrique Gazeta de. S729a Aplicação da transformada integral generalizada no escoamento potencial em contrações / Luís Henrique Gazeta de Souza. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2009 123 f. : il. Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de conhecimento: Ciências Térmi- cas, 2009 Orientador: João Batista Aparecido 1. Contrações. 2. Transformadas integrais. 3. Potencial de escoamento. Dedico este trabalho a minha mãe Nilza Gazeta, meu pai Mauro de Souza (in memorian) e as minhas avós Maria (in memorian) e Albertina, estímulos que me impulsionaram a buscar meus ideais. AGRADECIMENTOS Primeiramente a Deus pela vida, pelas oportunidades, força e coragem. A toda minha família pelo apoio, amor, carinho, confiança, disponibilidade em todos os momentos, pela compreensão nos momentos de ausência. A você que fez tanta coisa por mim, que me ajudou nos momentos que mais precisei, que acreditou que eu poderia vir a ser um mestre, a você sou e serei sempre grato .Muito obrigado por todo o aprendizado Professor Titular João Batista Aparecido. À banca examinadora, por aceitar contribuir na discussão e certamente no enriquecimento deste trabalho. Ao Professor Doutor João Batista Campos Silva, pela confiança, amizade e contribuições oferecidas ao meu trabalho. Aos Professores Doutores Edson Del Rio Vieira e Sergio Said Mansur pelo pioneirismo em iniciar estudos que contribuíram para a construção desta dissertação. A Inês Aparecido pela amizade, por sempre fortalecer meu espírito em muitas situações em que precisei contribuindo assim para o meu trabalho. A Dirigente Regional de Ensino da Diretoria de Ensino de Andradina, Selênia Witter de Melo pelo apoio e confiança. Aos amigos professores coordenadores: Paulo Sérgio e Lia Carvalho e a Supervisora Yara por incentivar os meus estudos e a toda Oficina Pedagógica da Diretoria de Ensino de Andradina pelos momentos de formação e contribuição. A professora coordenadora de Matemática da Diretoria de Ensino de Andradina Silvania Cintra pela sua firme atitude de me incentivar e contribuir. A equipe escolar da E.E Nasib Cury pelo incentivo e confiança. As amigas Rejane Monteiro e Isabel Sanches pela amizade, ânimo e força que vocês me deram durante todo o processo. Ao meu avô Francisco e meu padrasto Gilberto Marques pela amizade e compreensão. Aos amigos da Republica: Gustavo Musardo, Leonildo Vioto, Rafael Polido, Jean Felix Cabette, Lucas Giroto, Ricardo Agudo Romão, Eli Jorge, Ruddy e Fredy Franco por todos os momentos de compreensão, amizade, coragem e força que vocês me deram contribuindo para que eu conquistasse meu objetivo, obrigado amigos. A muitos de vocês serei eternamente grato. Na vida, sempre há a necessidade de companheirismo, doses de afeto, sinceridade e de pessoas que sempre lembram suas boas características e que tecem elogios sempre na hora que é preciso. Isso foi colocado em minha vida em Ilha Solteira por cinco mulheres que fizeram a diferença. Por isso é que agradeço a oportunidade dessa amizade que tenho com a Adriana Vieira, Fabiana de Oliveira, Ceci, Mariza e Jussara Zachi. Aos amigos Odacir Neves, Alexandre Belletti, Adriano Domingues, Márcia Regina, Diego por todos os momentos felizes compartilhados. Aos amigos João Paulo e Luiz Fernando pela amizade duradoura, confiança, conquistas e apoio na continuidade de meus estudos. Aos meus primos Eli Carlos e Flávia de Souza por todo o carinho, amizade e confiança que em mim depositaram. Ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, professores da FEIS – Unesp campus de Ilha Solteira. Aos funcionários da FEIS- Unesp campus de Ilha Solteira, Elias Amaral, Elaine, Fátima, Adelaide, Onilda e Márcia que me forneceram apoio e condições para o desenvolvimento deste projeto. “Os problemas significativos que enfrentamos não podem ser resolvidos no mesmo nível de pensamento em que estávamos quando o criamos” Albert Einstein _________________________________________RESUMO Realiza-se a formulação matemática do escoamento potencial no interior de contrações bidimensionais usando sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas. Para tal considera-se que as geometrias das contrações sejam bidimensionais no sistema de coordenadas cartesianas e bidimensionais com simetria axial no sistema de coordenadas cilíndricas. A formulação é adaptada a partir das equações tridimensionais de Euler em coordenadas cartesianas e cilíndricas, fazendo-se as hipóteses de bidimensionalidade, regime permanente, fluido invíscido e escoamento irrotacional. O formalismo diferencial do escoamento potencial no interior de contrações bidimensionais é formalmente resolvido utilizando-se a Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG – cuja fundamentação está na expansão de funções-quadrado-integráveis em séries de funções ortogonais. Desenvolveu-se algoritmos computacionais, em linguagem computacional Fortran 95, para simular as soluções formais obtidas e produzir resultados numéricos que possibilitassem a análise do escoamento potencial nas referidas contrações. Realizou-se extensivos testes numéricos para quatro famílias de geometrias das contrações, sendo que cada família ainda possuía diferentes funções modeladoras do formato de suas paredes, bem como os parâmetros razão e esbeltez e razão de contração. Analisou-se os resultados visando sintetizar aspectos e características de como as contrações operam e que formatos são mais adequados ou não. Palavras-chave: Contrações, transformadas integrais, potencial de escoamento. ________________________________________ABSTRACT It was done the mathematical formulation for potential flow inside two-dimensional contractions using both Cartesian and cylindrical coordinate systems. To achieve such aim it was considered that contraction geometries are two-dimensional in the Cartesian coordinate system and two-dimensional with axial symmetry in cylindrical system. Formulation is adapted from tri-dimensional Euler equations in Cartesian and cylindrical coordinate systems, doing hypothesis such as: two-dimensionality, steady flow regime, inviscid fluid and irrotational flow. Differential formulae that models potential flow inside two-dimensional contraction is formally solved using Generalized Integral Transform Technique – GITT – which is based upon orthogonal series expansion of square-integrable functions. It was developed some computational algorithms, using Fortran 95 computational language, to simulate the obtained formal solutions and to produce numerical results that allows potential flow analysis for referred contractions. It was done comprehensive numerical tests for four families of contraction geometries, being that each family yet has different contraction wall modeling functions, as well length and contraction ratios. Results were analyzed aiming to synthesize aspects and characteristics of how contractions operate and which forms are more adequate or not. Keywords: Contractions, integral transform, potential flow ________________________________LISTA DE FIGURAS FIGURA 3.1– GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO. .................................................................... 27 FIGURA 3.2– GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM CONDIÇÕES DE CONTORNO. ..................... 28 FIGURA 3.3– GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EIXOS ADIMENSIONAIS. ............................ 28 FIGURA 3.4- CONDIÇÕES DE CONTORNO ADIMENSIONAIS E GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO. ... 29 FIGURA 3.5- CONDIÇÕES DE CONTORNO NA VARIÁVEL DEPENDENTE MODIFICADA. ............. 30 FIGURA 3.6 - PRESSÃO AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE. ..................................... 37 FIGURA 4.1- GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM SIMETRIA CILÍNDRICA. ............................... 42 FIGURA 4.2– GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM CONDIÇÕES DE CONTORNO. ..................... 43 FIGURA 4.3– GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EIXOS ADIMENSIONAIS. ............................ 44 FIGURA 4.4- CONDIÇÕES DE CONTORNO ADIMENSIONAIS E GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO. ... 45 FIGURA 4.5 CONDIÇÕES DE CONTORNO NA VARIÁVEL DEPENDENTE MODIFICADA. .............. 46 FIGURA 5.1– FUNÇÕES DE PAREDE PARA CONTRAÇÃO: A) COM ε I∈ε ; E B) COM ε I∉ε . .................................................................................................................................. 58 FIGURA 5.2 DIFERENTES CASOS DA FUNÇÃO F(X). ......................................................... 61 FIGURA 5.3- DERIVADA DE PRIMEIRA ORDEM PARA AS VÁRIAS FUNÇÕES F(X). .................. 62 FIGURA 5.4- DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM PARA AS VÁRIAS FUNÇÕES F(X). .................. 63 FIGURA 5.5- GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA ENTRADA. ........................... 64 FIGURA 5.6- FUNÇÕES F(X) PARA A PAREDE, COM EXTENSÃO NA ENTRADA DA CONTRAÇÃO. .................................................................................................................................. 66 FIGURA 5.7- DERIVADAS PRIMEIRAS DAS FUNÇÕES F(X), PARA CONTRAÇÕES COM EXTENSÃO NA ENTRADA. ............................................................................................................... 67 FIGURA 5.8- DERIVADAS SEGUNDAS DAS FUNÇÕES F(X), PARA CONTRAÇÕES COM EXTENSÃO NA ENTRADA. ............................................................................................... 68 FIGURA 5.9- GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA SAÍDA. ................................ 69 FIGURA 5.10- FUNÇÕES F(X) PARA A PAREDE, COM EXTENSÃO NA SAÍDA DA CONTRAÇÃO. . 71 FIGURA 5.11- DERIVADAS PRIMEIRAS DAS FUNÇÕES F(X), PARA CONTRAÇÕES COM EXTENSÃO NA SAÍDA. .................................................................................................... 72 FIGURA 5.12- DERIVADAS SEGUNDAS DAS FUNÇÕES F(X), PARA CONTRAÇÕES COM EXTENSÃO NA SAÍDA. .................................................................................................... 73 FIGURA 5.13- GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA ENTRADA E NA SAÍDA. ........ 74 FIGURA 5.14- FUNÇÕES F(X) PARA A PAREDE, COM EXTENSÃO NA ENTRADA E NA SAÍDA DA CONTRAÇÃO. ............................................................................................................... 76 FIGURA 5.15- DERIVADAS PRIMEIRAS DAS FUNÇÕES F(X), PARA CONTRAÇÕES COM EXTENSÃO NA ENTRADA E NA SAÍDA. .............................................................................. 77 FIGURA 5.16- DERIVADAS SEGUNDAS DAS FUNÇÕES F(X), PARA CONTRAÇÕES COM EXTENSÃO NA ENTRADA E NA SAÍDA. .............................................................................. 78 FIGURA 6.1- TESTE DE CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES DE mss UYRU ,/),( E )(XCpw , PARA N = 5, 10, 15, 20, 25 E 30. .......................................................................................... 83 FIGURA 6.2- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A1, 1e,8 1 == sc RR . .................................... 85 FIGURA 6.3- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A1, 1e,8 1 == sc RR . .................................... 86 FIGURA 6.4- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE ),( YRU s E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA: FUNÇÃO A1, 3.,2,1e,8 1 == sc RR ...................................................................... 87 FIGURA 6.5- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( PARA: FUNÇÃO A1, 3.,2,1e,8 1 == sc RR ................................................................................................... 88 FIGURA 6.6- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA: FUNÇÃO A3, 3,2,1e,8 1 == sc RR . ................................................. 89 FIGURA 6.7- CAMPO VETORIAL DE VELOCIDADE GRAFADO SOBRE O CAMPO DE VELOCIDADE AXIAL PARA: FUNÇÃO A3, 1=sR (A) E 3=sR (B). ........................................................... 90 FIGURA 6.8- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A1, 1e,2 1 == sc RR . .................................... 91 FIGURA 6.9 -DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE ),( YRU s E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA: FUNÇÃO A1, 1e,,,, 8 1 4 1 2 1 4 3 16 15 == sc RR . .......................................................... 92 FIGURA 6.10- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( PARA: FUNÇÃO A1, 1e,,,, 8 1 4 1 2 1 4 3 16 15 == sc RR . ................................................................................. 93 FIGURA 6.11- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA: FUNÇÃO A3, 1e,,,, 8 1 4 1 2 1 4 3 16 15 == sc RR . ................................. 94 FIGURA 6.12- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A2, 1e; 8 1 ==+= scc RRεε . ......................... 95 FIGURA 6.13- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A2, 1e; 8 1 ==−= scc RRεε . ......................... 96 FIGURA 6.14- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A2, 1e;803,0 8 1 ==−= scc RRεε . ................. 97 FIGURA 6.15- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A3, 1e8 1 == sc RR . ..................................... 98 FIGURA 6.16- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A4, 1e8 1 == sc RR . ..................................... 99 FIGURA 6.17- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA: FUNÇÕES A1-A4, 1e8 1 == sc RR . .......................................... 100 FIGURA 6.18- LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO B2, cεε 803,0−= , 1e;1,0 8 1 === sc RRα . .. 101 FIGURA 6.19- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO B1, 3,0;2,0;1,0,1,8 1 === αsc RR . ............................ 102 FIGURA 6.20 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO B2, 3,0;2,0;1,0,1,,803,0 8 1 ===−= αεε scc RR . ........ 102 FIGURA 6.21 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO B2, 3,0;2,0;1,0,1,, 8 1 ===−= αεε scc RR . ................ 103 FIGURA 6.22 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO B3, 3,0;2,0;1,0,1,8 1 === αsc RR . ............................ 104 FIGURA 6.23 - LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO C2, cεε 803,0−= , 1e;1,0 8 1 === sc RRβ . .. 105 FIGURA 6.24 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO C1, 3,0;2,0;1,0,1,8 1 === βsc RR . ............................ 106 FIGURA 6.25 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO C2, 3,0;2,0;1,0,1,,803,0 8 1 ===−= βεε scc RR . ........ 106 FIGURA 6.26 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO C2, 3,0;2,0;1,0,1,, 8 1 ===−= βεε scc RR . ................ 107 FIGURA 6.27 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO C3, 3,0;2,0;1,0,1,8 1 === βsc RR . ............................ 107 FIGURA 6.28 - LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO D2, cεε 803,0−= , 1e;05,0 8 1 === sc RRγ .. 109 FIGURA 6.29 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO D1, 15,0;1,0;05,0,1,8 1 === γsc RR ........................... 110 FIGURA 6.30 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO D2, 803,0−=ε , 15,0;1,0;05,0,1,8 1 === γsc RR . ......... 110 FIGURA 6.31- DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO D2, 15,0;1,0;05,0,1,, 8 1 ===−= γεε scc RR . ............. 111 FIGURA 6.32 - DISTRIBUIÇÃO DE VELOCIDADE NORMALIZADA mss UYRU ,/),( E COEFICIENTE DE PRESSÃO pwC PARA FUNÇÃO D3, 15,0;1,0;05,0,1,8 1 === γsc RR ........................... 111 FIGURA 7.1 - LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A2, 1e,8 1 == sc RR . .................................. 113 FIGURA 7.2 - LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A2, 3e,8 1 == sc RR . .................................. 114 FIGURA 7.3 - LINHA DE CORRENTE, COMPONENTES DO VETOR VELOCIDADE E CAMPO DE PRESSÃO PARA CONTRAÇÃO COM: FUNÇÃO A2, 1e,2 1 == sc RR . .................................. 115 ______________________________LISTA DE SÍMBOLOS SÍMBOLOS ARÁBICOS A1 função polinomial de 3o grau que descreve uma geometria de contração de forma simplificada. A2 função polinomial de 4o grau que descreve uma geometria de contração de forma simplificada. A3 função polinomial de 5o grau que descreve uma geometria de contração de forma simplificada. A4 função cossenoidal que descreve uma geometria de contração de forma simplificada. B1 função polinomial de 3o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada. B2 função polinomial de 4o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada. B3 função polinomial de 5o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada. B4 função cossenoidal que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada. C1 função polinomial de 3o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na saída. C2 função polinomial de 4o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na saída. C3 função polinomial de 5o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na saída. C4 função cossenoidal que descreve uma geometria de contração com extensão na saída. pwC coeficiente de pressão junto à parede de contração. D1 função polinomial de 3o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada e na saída da contração. D2 função polinomial de 4o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada e na saída da contração. D3 função polinomial de 5o grau que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada e na saída da contração. D4 função cossenoidal que descreve uma geometria de contração com extensão na entrada e na saída da contração. )(XF função prescrita para parede de contração adimensionalizada Iε intervalo ao qual pertence ε arbitrado. 1 3,L L comprimento indicador na geometria de contração. 2L comprimento ao longo da linha de centro da contração. N ordem de truncamento da serie. ( , )p x y pressão no escoamento. CR razão de contração. eR comprimento da extensão na parede de contração. SR razão de esbeltez. SU velocidade uniforme calculada na saída da contração. wU componente do vetor velocidade na direção x na parede de contração. ( , )U x y componente do vetor velocidade na direção x. wV componente do vetor velocidade na direção y na parede de contração. ( , )V x y componente do vetor velocidade na direção y. ( )LC xy coordenada y ao longo de uma dada linha de corrente. SÍMBOLOS GREGOS , ,α β γ extensão adimensional na geometria de contração. ε parâmetro a ser arbitrado ao polinômio de 4o grau que descreve a parede da contração. Cε parâmetro crítico. mΦ autofunções ortonormais. ,µ λ autovalores dos problemas auxiliares. i +Ψ% variável dependente transformada . δ delta de Kronecker. *Ψ linhas de corrente de referência. zyx ,,ω vorticidade nas direções x, y e z. ( )2∇ laplaciano. 16 _________________________________________SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................. 18 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS ................................................................................. 18 1.2 OBJETIVOS .............................................................................................................. 20 1.3 ESCOPO DO TRABALHO ....................................................................................... 20 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................................. 22 3 FORMULAÇÃO EM COORDENADAS CARTESIANAS .................................. 25 3.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................................... 25 3.2 A FUNÇÃO F(X) QUE DESCREVE A PAREDE DA CONTRAÇÃO. ................. 30 3.3 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO DO EIXO Y. ............................................................... 31 3.4 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO X ................................................................................. 34 3.5 DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO .............................................................................. 36 3.6 COMPONENTES DA VELOCIDADE JUNTO A PAREDE E COEFICIENTE DE PRESSÃO ............................................................................................................................ 38 3.7 MEDIDA DA UNIFORMIDADE DA VELOCIDADE NA SAÍDA DA CONTRAÇÃO ..................................................................................................................... 39 4 FORMULAÇÃO EM COORDENADAS CILINDRICAS..................................... 40 4.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA ........................................................................... 40 4.2 A FUNÇÃO F(Z) QUE DESCREVE A PAREDE DA CONTRAÇÃO. .................. 46 4.3 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO R. ................................................................................ 46 4.4 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO Z ................................................................................. 49 4.5 COMPONENTES DA VELOCIDADE JUNTO A PAREDE E COEFICIENTE DE PRESSÃO ............................................................................................................................ 52 4.6 . MEDIDA DA UNIFORMIDADE DA VELOCIDADE NA SAÍDA DA CONTRAÇÃO ..................................................................................................................... 53 5 FUNÇÕES USADAS PARA MODELAR O FORMATO DA PAREDE DA CONTRAÇÃO ....................................................................................................... 54 5.1 CASO A: GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO NA FORMA SIMPLIFICADA ........ 54 5.1.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DE TERCEIRO GRAU – A1 .................................. 55 5.1.2 FUNÇÃO POLINOMIAL DE QUARTO GRAU – A2 ..................................... 56 5.1.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DE QUINTO GRAU – A3 ...................................... 59 5.1.4 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA COSSENOIDAL – A4 ................................. 60 5.1.5 COMPARAÇÃO DAS FUNÇÕES DO CASO “A” .......................................... 60 5.2 CASO B: GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA ENTRADA 63 5.3 CASO C: GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA SAÍDA ....... 68 5.4 CASO D: GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA ENTRADA E NA SAÍDA .......................................................................................................................... 73 5.5 RELEITURA DA FUNÇÃO F(X) ............................................................................ 78 5.6 FUNÇÕES DE PAREDE PARA CONTRAÇÕES USANDO COORDENADAS CILÍNDRICAS. ................................................................................................................... 80 17 6 RESULTADOS E SUA ANÁLISE PARA ESCOAMENTO POTENCIAL EM CONTRAÇÕES CARTESIANAS .......................................................................... 81 6.1 CONVERGÊNCIA DAS SÉRIES ............................................................................. 82 6.2 RESULTADOS E SUA ANÁLISE PARA O CASO “A” ........................................ 83 6.2.1 INFLUÊNCIA DA RAZÃO DE ESBELTEZ .................................................... 84 6.2.2 INFLUÊNCIA DA RAZÃO DE CONTRAÇÃO .............................................. 90 6.2.3 INFLUÊNCIA DA FUNÇÃO DE PAREDE DA CONTRAÇÃO .................... 94 6.3 RESULTADOS E SUA ANÁLISE PARA O CASO “B” ...................................... 100 6.4 RESULTADOS E SUA ANÁLISE PARA O CASO “C” ...................................... 104 6.5 RESULTADOS E SUA ANÁLISE PARA O CASO “D” ...................................... 108 7 RESULTADOS E SUA ANÁLISE PARA ESCOAMENTO POTENCIAL EM CONTRAÇÕES CILÍNDRICAS COM SIMETRIA AXIAL ................................... 112 8 CONCLUSÃO ................................................................................................. 116 18 ______________________________________________CAPÍTULO 1 1 INTRODUÇÃO 1.1 CONSIDERAÇÕES INICIAIS O estudo de escoamento de fluidos sempre foi e continuará sendo realizado e discutido em razão de sua grande importância nas aplicações industriais e materiais. Problemas de transportes, energia elétrica, combustão, irrigação, controle de inundação, abastecimento de água, disposição de esgoto, movimento de projéteis, oleodutos, gasodutos, dentre inúmeros outros, envolvem o movimento e transportes de fluidos. Durante muito tempo, técnicas analíticas clássicas foram aplicadas para a obtenção de solução de problemas diversos da engenharia, como um todo. No entanto, para os problemas que envolvem geometrias de contração, apesar de se tratar de um problema geometricamente simples, apresenta grande complexidade hidrodinâmica e não possui solução analítica. Desta forma, a solução do problema por métodos numéricos permite a caracterização do escoamento. Assim, diante da necessidade de se obter soluções de problemas mais realísticos, diversas técnicas numéricas foram e continuam sendo desenvolvidas, tais como: Método de Elementos Finitos, Diferenças Finitas, Volumes Finitos dentre outros. A Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG por fornecer solução analítica, permite a obtenção de soluções mais precisas para este tipo de problema. O estudo da contração em escoamentos é importante, pois há uma necessidade comum nas indústrias em geral, mais especificamente, indústrias químicas e petrolíferas de se abordar nesse contexto, o comportamento da dinâmica dos fluidos. Pesquisas experimentais em mecânica dos fluidos podem ser validadas cientificamente na medida em que se estudam geometrias de contração. 19 As contrações são parte integrante de todos os túneis aerodinâmicos e hidrodinâmicos, utilizados para pesquisas básicas, ensaios ou modelamento de escoamentos. A contração é responsável pela uniformização das linhas de corrente, objetivando um perfil uniforme, de baixa intensidade turbulenta e de camada limite de pequena espessura na seção de testes. Uma vez que a pressão total permanece constante a velocidade média é reduzida. Informações sobre contração em túneis aerodinâmicos podem ser obtidas em Bradshaw & Pankhurst, (1964) e Gorecki (1989). Segundo Doolan & Morgans, (2007), o principal propósito de se estudar estruturas de contrações é a melhoria na qualidade de teste. Em seus experimentos conseguiram obter resultados satisfatórios. Apesar da simplicidade da geometria do problema, uma complexidade no estudo da dinâmica do fluido através da contração se instala, fornecendo uma difícil solução analítica das equações que regem o problema, necessitando assim de uma solução numérica aproximada. As equações que modelam o problema, a equação de Laplace, por possuir derivadas de quarta ordem devido a função corrente eliminar a equação da continuidade, requerem uma análise computacional mais apurada. Computacionalmente, para se obter resultados satisfatórios, deve-se realizar a discretização das equações que modelam o problema que se pretende estudar, utilizando para isso, uma ferramenta matemática específica. Nesse sentido, a Técnica da Transformada Integral Generalizada (TTIG) será utilizada para se obter valores do perfil de velocidades nas direções x e y do campo de escoamento. O método será aplicado em um modelo de contração em coordenadas retangulares e cilíndricas bidimensional para um fluido ideal. A Técnica da Transformada Integral Generalizada (TTIG), é uma ferramenta que permite a solução das mais variadas geometrias de contração. Basicamente, essa técnica consiste em transformar a equação diferencial parcial ou conjunto de equações diferenciais parciais, em um sistema de equações diferenciais ordinárias acoplado e infinito, o qual é truncado em uma ordem suficientemente grande e resolvido numericamente. Esse método tem sido utilizado com êxito em vários problemas da área de ciências térmicas e também nos problemas que envolvem geometrias de contração, alcançando-se excelentes resultados não só do ponto de vista da precisão de solução, mas também se tem mostrado bastante eficiente sob a ótica de custos computacionais demonstrado ainda 20 viabilidade na solução de problemas típicos em engenharia, com taxas de convergência satisfatórias. 1.2 OBJETIVOS Nessa pesquisa tem-se por objetivos: • Efetuar a formulação matemática das equações diferenciais parciais que modelam o escoamento potencial no sistema de coordenadas cartesianas bidimensional, bem como no sistema de coordenadas cilíndricas bidimensional com simetria axial; • Estabelecer conjunto pertinente de condições de contorno para o escoamento potencial em contrações descritas nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas; • Aplicar a Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG na obtenção de solução formal das equações diferenciais que modelam o escoamento potencial no interior de contrações bidimensionais; • Desenvolver código computacional para simular o formalismo desenvolvido utilizando a TTIG, visando obter resultado para o escoamento potencial em contrações; • Analisar os resultados obtidos visando entender e explicitar a influência dos parâmetros razão de esbeltez e razão de contração; e da função que modela o formato da parede da contração. 1.3 ESCOPO DO TRABALHO Este trabalho é composto de oito capítulos, cujos assuntos são resumidos a seguir. Capítulo 1. Introdução. Neste capítulo apresenta-se uma motivação abordando os principais aspectos da pesquisa desenvolvida, apresentando alguns conceitos e justificativa para o estudo de Contrações e a utilização da Técnica da Transformada Integral Generalizada. As metas principais dessa pesquisa também foram descritas aqui. 21 Capítulo 2. Revisão Bibliográfica. Neste capítulo é apresentado algumas referências sobre o tema abordado para enriquecer, contribuir e subsidiar o estudo sobre contrações e técnicas de resoluções. Capítulo 3. Formulação em Coordenadas Cartesianas. Apresenta-se neste capítulo a formulação matemática do problema estudado, abordando as equações governantes em coordenadas cartesianas, a definição do modelo de contração a ser utilizado, e as considerações empregadas na solução do problema. Capítulo 4. Formulação em Coordenadas Cilíndricas. Assim como feito no capítulo 3, é apresentada aqui a formulação matemática para o problema, abordando as equações governantes do problema estudado em coordenadas cilíndricas. Capítulo 5. Funções Usadas para Modelar o Formato da Parede da Contração. Neste capítulo é feita uma análise das funções que podem descrever a parede da Contração utilizando derivadas de primeira e segunda ordem, pois é desejável que a função seja de classe C2, em seu intervalo de definição. Capítulo 6. Resultados e sua análise para o Escoamento Potencial em Contrações Cartesianas. Pretende-se, neste capítulo, apresentar e analisar parte dos resultados obtidos na simulação numérica do escoamento potencial no interior de contrações descritas utilizando-se o sistema de coordenadas cartesiano. Capítulo 7. Resultados e sua Análise para Escoamento Potencial em Contrações Cilíndricas com Simetria Axial. Assim como feito no capítulo 6, pretende-se analisar parte dos resultados obtidos na simulação numérica do escoamento potencial no interior de contrações descritas utilizando-se o sistema de coordenadas cilíndrico. Capítulo 8. Conclusão. Apresenta-se neste capítulo as principais conclusões, dos resultados encontrados com relação a convergência da expansão em séries, e influência das razões de contração e esbeltez, bem como sugestões para trabalhos futuros. 22 _______________________________________________CAPÍTULO 2 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Existem muitos modelos que são utilizados para se abordar as geometrias de contração. Algumas aproximações analíticas ou métodos numéricos estão sendo aplicados na intenção de melhorar e aperfeiçoar a investigação das diversas vertentes que circundam esse assunto. De forma mais particular, a resolução de problemas de contração por meio de simulações numéricas se torna importante para o avanço científico – tecnológico já que conseguem caracterizar e mapear de maneira geral um escoamento. Também é possível economizar muitas horas de experimentação produzindo resultados computacionais. Muitas soluções analíticas obtidas através de modelamentos e aproximações, tem sido propostos na literatura no intuito de conseguir estudar e testar diferentes seções transversais de geometria de contração. Geralmente, trabalha-se com a solução das equações de Stokes-Beltrami para a função corrente de duas dimensões com eixo geométrico axissimétrico. Tulapurkara & Bhalla, (1998) relacionaram quinze diferentes formas de geometrias de contração axissimétricas. Essas soluções produziram uma infinidade de linhas de corrente no escoamento com gradientes de pressão toleráveis. Durst e Loy (1985) realizaram testes em escoamentos laminares e newtonianos comparando dados experimentais e numéricos através de uma contração. Monpean (2002) produziu uma simulação numérica de escoamentos de fluidos newtonianos e viscoelásticos com baixo número de Reynolds através de uma contração plana. Para isso, utilizou-se um modelo denominado Oldroyd – B obtendo-se ótimos resultados. Aboubacar et al (2002) utilizou contrações axissimétricas e planares para se estudar o escoamento viscoelástico. Para esses escoamentos utilizou-se a condição de creeping flow, ou seja, com Reynolds nulo. Foi comparado as linhas de corrente apresentadas durante o escoamento e o desprendimento e a geração de vórtices. 23 É importante ressaltar que toda a análise do comportamento dos escoamentos através de contrações só é possível devido ao tratamento que se realiza nas equações governantes do problema para que seja viabilizada uma simulação numérica em um ambiente de programação. A Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG, é uma das principais ferramentas numéricas utilizadas para se obter soluções aproximadas de problemas matemáticos que partem de um modelo físico, como por exemplo, os problemas de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente neste trabalho, as contrações. Por isso, é necessário um estudo mais profundo sobre sua aplicabilidade em diversas vertentes para enriquecer ainda mais o trabalho proposto. A Técnica da Transformada Integral Generalizada consiste em transformar a equação diferencial parcial que modela a situação problema que se pretende resolver em um sistema infinito de equações diferenciais acopladas que deve ser truncado com uma ordem suficientemente grande para depois ser resolvido numericamente. Em seguida utiliza-se a fórmula de inversão para se obter o potencial original. & Murray (1974) foram um dos pioneiros a utilizar a TTIG que consistia em tratar coeficientes de contorno variáveis. Muitas idéias foram surgindo com o objetivo de estender esse procedimento para problemas mais complexos. Assim, segundo (Cotta, 1993) a Técnica da Transformada Integral Generalizada abrange problemas da seguinte categoria: • Problemas envolvendo equações com coeficientes variáveis; • Problemas envolvendo condições de contorno com coeficientes variáveis; • Problemas com contornos móveis; • Problemas em que a complexidade esta associada ao problema auxiliar; • Problemas não-lineares. Para a aplicação da TTIG, Cotta (1993), apresenta alguns passos básicos: 1. Escolher um problema auxiliar associado, (evitando-se problemas computacionalmente complexos); 2. Obter o par transformada – inversa apropriado; 3. Aplicar a transformada Integral na equação diferencial parcial original, resultando em um sistema de equações diferenciais ordinárias; 24 4. Resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias acopladas, truncando-o com uma ordem suficientemente grande para então resolvê-lo numericamente; 5. Utilizar a fórmula da inversa para construir o potencial original. Muitos outros pesquisadores utilizaram a TTIG para resolver os mais variados problemas. Muitos desses resultados podem ser encontrados em Cotta (1993). Como a TTIG tem a capacidade de tratar dificuldades especiais, tais como: não linearidades, coeficientes variáveis não separáveis e domínios irregulares ela tem atraído uma atenção muito considerável e o número de pesquisadores atuando nessa área tem aumentado. Uma indicação deste crescimento foi o aparecimento de três outros textos sobre o assunto (Cotta e Mikhailov, 1997), (Cotta, 1998) e (Santos, Quaresma e Lima, 2001). Utilizando a TTIG, problemas de autovalores descritos por equações diferenciais parciais também podem ser transformados em problemas de autovalores algébricos, os quais são resolvidos utilizando códigos computacionais disponíveis na literatura. Mikhailov e Cotta (1994) apresentaram uma formulação para os operadores que frequentemente aparecem em fenômenos de difusão de calor e massa. Campos Silva et al (1992) utilizou a TTIG no problema de desenvolvimento simultâneo da velocidade e temperatura em escoamento laminar de fluido newtoniano, em um canal de placas paralelas. Aparecido, Vieira e Silva (2000) aplicaram a TTIG para estudar os campos de velocidades de escoamentos subsônicos e incompressíveis na geometria de contração de um túnel de vento com seção transversal retangular em coordenadas cartesianas. A TTIG também foi utilizada com sucesso na solução de problemas inversos de convecção, termicamente em desenvolvimento, em dutos retos de seção transversal em forma de setor circular segundo trabalho de & Aparecido (1998,1999a,b; 2001) e na solução de problemas não lineares unidimensionais de difusão térmica em sólidos, com mudança de fase na fronteira, por Diniz & Aparecido (1990), Diniz et al (1992) e Diniz et al (1993). Após essas considerações, fica claro que a Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG é uma ferramenta que dá suporte ao objeto de estudo, sistematiza toda a problematização e compatibiliza a descrição das equações governantes do problema em um ambiente de programação computacional. O estudo do comportamento de fluidos escoando em contração com certeza pode ser melhor analisado e discutido quando abordado utilizando a TTIG. 25 ______________________________________________CAPÍTULO 3 3 FORMULAÇÃO EM COORDENADAS CARTESIANAS A formulação matemática do escoamento em regime permanente, incompressível, invíscido e irrotacional no interior de contrações utilizando o sistema de coordenadas cartesianas é apresentada. A solução do equacionamento é realizada usando a Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG. 3.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Para obter um modelo numérico que forneça dados sobre as componentes do vetor velocidade, pressão e linha de corrente no escoamento de fluidos dentro de uma contração, a respectiva formulação matemática deve ser desenvolvida. Neste trabalho, a situação a ser estudada, neste capítulo, será a de escoamento irrotacional bidimensional, a ser representado em coordenadas cartesianas no interior de contrações, de fluido invíscido utilizando o conceito de linha de corrente. A função linha de corrente é definida de tal forma que atenda a equação da continuidade. A equação da continuidade para escoamentos em regime permanente pode ser escrita como jiuu ),(),(,0 yxvyxu y v x u +≡= ∂ ∂ + ∂ ∂ =•∇ . (3.1.1a-b) Assim, pode-se escrever uma definição para a função linha de corrente, ),( yxΨ , como segue y u ∂ Ψ∂ = , x v ∂ Ψ∂ −= . (3.1.2a-b) 26 O vetor vorticidade ω para escoamentos bidimensionais pode ser escrito da seguinte forma k kji kjiuω       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =++=×∇= y u x v vu zyxzyx 0 )()()( detωωω (3.1.3) então 0,0 ≡≡ yx ωω e y u x v z ∂ ∂ − ∂ ∂ ≡ω . (3.1.4a-c) Sob a hipótese de irrotacionalidade a equação (3.1.4c) torna-se 0= ∂ ∂ − ∂ ∂ = y u x v zω . (3.1.5) Substituindo as definições de u e v, Eqs. (3.1.2a-b), na equação (3.1.5), tem-se 0=            ∂ Ψ∂ ∂ ∂ +      ∂ Ψ∂ ∂ ∂ −=      ∂ Ψ∂ ∂ ∂ −      ∂ Ψ∂ − ∂ ∂ = yyxxyyxxzω . (3.1.6) Desta forma consegue-se escrever a equação para a função linha de corrente na forma apresentada a seguir 0),( 2 2 2 2 2 = ∂ Ψ∂ + ∂ Ψ∂ =Ψ∇ yx yx . (3.1.7) A equação (3.1.7) é chamada de Equação de Laplace. Contém derivadas de segunda ordem e portanto, para sua solução são necessárias duas condições de contorno para cada eixo. Particularmente, o problema a ser modelado aqui consiste num escoamento no interior da contração apresentada logo em seguida. L1 e L3 são respectivamente comprimentos 27 indicados na figura 3.1, L2 é o comprimento ao longo da linha de centro da contração e )(xf é função unidimensional prescrita. Figura 3.1– Geometria da contração. A Equação de Laplace que modela o escoamento e as condições de contorno para esse tipo de problema são: ,0 ),(),( 2 2 2 2 = ∂ Ψ∂ + ∂ Ψ∂ y yx x yx (3.1.8a) ),,0(),0( 1Lyyuy o ∈=Ψ (3.1.8b) ),,0(0 ),( 3 2 Ly x yx Lx ∈= ∂ Ψ∂ = (3.1.8c) ],,0[0)0,( 2Lxx ∈=Ψ (3.1.8d) ].,0[))(,( 21 LxLuxfx o ∈=Ψ (3.1.8e) 28 Figura 3.2– Geometria da contração com condições de contorno. Pode-se definir variáveis adimensionais como segue: 1 * 11 3 11 2 1 ),( ),(e )( )(,,,, Lu yx YX L xf XF L L R L y Y L L R L x X o cs Ψ ≡Ψ≡≡≡≡≡ . (3.1.9a-f) Os parâmetros Rc, equações (3.1.9b), e Rs, equações (3.1.9d), são denominadas, respectivamente, de razão de contração e razão de esbeltez. Figura 3.3– Geometria da contração com eixos adimensionais. Re-escrevendo as equações (3.1.8a-e) e considerando as adimensionalizações, tem-se: 29 0 ),(),( 2 *2 2 *2 = ∂ Ψ∂ + ∂ Ψ∂ Y YX X YX , (3.1.10a) ),0(,0 ),( e)1,0(,),0( * * c RX RY X YX YYY s ∈= ∂ Ψ∂ ∈=Ψ = (3.1.10b-c) ],0[,1))(,(e0)0,( ** sRXXFXX ∈=Ψ=Ψ . (3.1.10d-e) Figura 3.4- Condições de contorno adimensionais e geometria da contração. Como conseqüência da adimesionalização dos parâmetros que compõem o equacionamento, as componentes do vetor velocidade tornam-se: X YX u yxv YXV Y YX u yxu YXU oo ∂ Ψ∂ −=≡ ∂ Ψ∂ =≡ ),(),( ),(e, ),(),( ),( ** . (3.1.11a-b) As condições de contorno (3.1.10b-e) não são homogêneas, sendo assim é possível torná-las homogêneas já que o problema de auto-valor necessita. Desta forma, altera-se a variável dependente Ψ*(X,Y) da seguinte forma )( ),(),(* XF Y YXYX +Ψ=Ψ + (3.1.12) Assim, as equações (3.1.9a-e) são modificadas para: 30 )( ),(),( 2 2 2 2 XHY Y YX X YX = ∂ Ψ∂ + ∂ Ψ∂ ++ , (3.1.13a) ],0[,0))(,(e0)0,( sRXXFXX ∈=Ψ=Ψ ++ , (3.1.13b-c) ),0(,0 )( )( ),( e)1,0(,0),0( 2 c RXRX RY dx XdF XF Y X YX YY ss ∈== ∂ Ψ∂ ∈=Ψ == + + (3.1.13d-e) Na qual H(X) é representa a seguinte expressão de classe C2       −=−≡ − dX XdF XFdX XFd XFdX XFd XH )( )( 2)( )( 1)( )( 2 2 2 22 12 . (3.1.14) Desta forma, as novas condições de contorno dispostas na Figura 3.5, da geometria da contração apresenta-se, Figura 3.5- Condições de contorno na variável dependente modificada. 3.2 A FUNÇÃO F(X) QUE DESCREVE A PAREDE DA CONTRAÇÃO. F(X) é uma função que descreve um dos contornos da contração em estudo. Essa função deve ter algumas características especiais, pois como se pode observar, existe na formulação (3.1.14) derivadas de segunda ordem e por isso para que o sistema de 31 equações não seja singular, essa função deve ser pelo menos de classe C2 dentro do intervalo [0,Rs], ou seja, )()( 2 Ω∈CXF e 0)( >XF , significando que suas primeira e segunda derivadas devem ser continuas nesse domínio. Consequentemente, F(X) deve ter uma transição contínua entre a entrada e a saída da contração. Note também que é necessário para se obter a condição homogênea em (3.1.13e) que o formato da parede da contração, F(X), atenda à restrição (3.1.13e). Então, para definir a geometria de contração no mínimo as seguintes restrições devem ser satisfeitas: 0 )( ,0 )( ,)(,1)0( 0 ==== == sRXX cs dX XdF dX XdF RRFF . (3.2.1a-d) 3.3 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO DO EIXO Y. Com o objetivo de preparar a equação (3.1.13a) e suas condições de contorno (3.1.13b-e) que regem o escoamento invíscido e irrotacional no interior de uma dada contração, para produzir simulações numéricas, pode-se escolher, de acordo com Aparecido (1997), o seguinte problema auxiliar de autovalor, na direção Y: )(0,0),()( ),( 2 2 2 XFYYXX dY YXd <<=+ ψλ ψ . (3.3.1a) A equação (3.3.1a) estará sujeita às seguintes condições de contorno: 0)](,[e0)0,( == XFXX ψψ . (3.3.1b-c) Resolvendo a equação diferencial ordinária, com X parametrizado, tem-se como solução as seguintes autofunções ortonormais ∞== ,...,2,1],)(sin[ )( 2 ),( iYX XF YX ii λψ , (3.3.2a) na qual 32 ∞== ,...,2,1, )( )( i XF i Xi π λ , (3.3.2b) são os autovalores. Usando o conjunto das autofunções ortonormais ∞= ,...,2,1),( iXiψ pode-se definir uma transformada integral relacionada ao eixo Y, e também a respectiva transformada inversa (Cotta,1993), como segue: Transformada: ∞=Ψ=Ψ ∫ ++ ,...,3,2,1,),(),()( ~ )( 0 idYYXYXX XF ii ψ , (3.3.3) Transformada Inversa: ∑ ∞ = ++ Ψ=Ψ 1 )( ~ ),(),( i ii XYXYX ψ . (3.3.4) Visando transformar a equação diferencial original (3.1.12a), deve-se multiplicá-la pelas autofunções ∞= ,...,2,1),( iXiψ . A equação do problema de autovalor auxiliar (3.3.1a) deve ser multiplicada pela variável dependente da equação (3.1.12a), ),( YX+Ψ . As equações resultantes são subtraídas uma da outra e a equação final é integrada sobre domínio [0, F(X)], levando em consideração as condições de contorno, associadas ao eixo Y, das equações (3.1.12a e 3.3.1.a). A equação resultante desse processo torna-se ∞==Ψ−         Ψ+ Ψ + Ψ + ∞ = + ++ ∑ ,...,2,1),(~)()( ~ )()( ~ )( )( ~ )( )( ~ 2 1 2 2 iXgXHXXXXC dX Xd XB dX Xd iii j jij j ij i λ (3.3.5) na qual        ≠     − − = = ∂ ∂ = + ∫ jipara XF dX XdF ji ij jipara dY X YX YXXB ji XF j iij , )( )( )( )1(4 ,0 ),( ),(2)( 22 )( 0 ψ ψ (3.3.6) 33          ≠       ++      − − − =   + − = = ∂ ∂ = ++ ∫ ., )( )(/ )()()( )(/ )( 3 )( )()1(2 ;),(/ )( 12 )(43 ),( ),()( 2 2 2 2 2 22 2 222 212 2 22 )( 0 2 2 ji XF XF dX XdF dX XFd j dX XFd XF dX XdF i ji ij jiXF dX XdFi dY X YX YXXC ji XF j iij π π ψ ψ (3.3.7) e ∫= )( 0 ),()()(~ XF ii dYYXXHXg ψ . (3.3.8) A equação (3.3.5) define um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes variáveis descritos nas equações (3.3.6-7). Para se obter as condições de contorno para o sistema de equações (3.3.5), é necessário transformar as condições de contorno primitivas associadas à direção X, equações (3.1.12d-e). Para que isso seja possível, basta multiplicar as referidas equações por )(Xiψ e integrar ao longo do intervalo [0,F(X)]. O resultado desse processo são as equações a seguir: 0)0( ~ 0),0(),( )( 0 =Ψ⇒=Ψ ++∫ i XF i dYYYXψ , (3.39a) ⇒= ∂ Ψ∂ = + ∫ 0 ),( ),( )( 0 sRX XF i dY X YX YXψ 0= Ψ = + sRX i dX )X( ~ d . (3.3.9b) 34 3.4 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO X Para transformar o sistema de equações diferenciais ordinárias (3.3.5) submetido às condições de contorno (3.3.8a-b) escolheu-se, segundo Aparecido (1997), um problema auxiliar de autovalor definido no eixo X conforme segue sRXX dX Xd <<=+ 0,0)( )( 2 2 2 φµ φ (3.4.1a) sujeito às condições de contorno 0)0( =φ e 0 )( = = sRXdX Xdφ . (3.4.1b-c) A solução da equação diferencial ordinária (3.4.1a) sujeita às condições de contorno (3.4.1b-c) leva à obtenção das autofunções ortonormais associadas ao eixo X ∞== ,...,2,1),sin( 2 )( mX R X m s m µφ , ( 3.4.2) na qual ∞= − = ,...,2,1, 2 )12( m R m s m π µ , (3.4.3) são os autovalores. Usando o conjunto das autofunções ortonormais ∞= ,...,2,1),( mXmφ , pode-se definir a transformada integral associada ao eixo X e a respectiva transformada inversa Transformada: ∞=Ψ=Ψ ∫ ++ ,...,2,1,)( ~ )( ~ 0 mdXXX sR imim φ , (3.4.4) Transformada Inversa: ∑ ∞ = ++ Ψ=Ψ 1 ~ )()( ~ m immi XX φ . (3.4.5) Para transformar o sistema de equações diferenciais ordinárias (3.3.5) basta multiplicá- las pelas autofunções ∞= ,..,2,1),( mXmφ . Adicionalmente, a equação auxiliar do problema de autovalor na direção X, deve ser multiplicada por ∞=Ψ+ ,..,2,1),( ~ iXi . As equações 35 resultantes são subtraídas e integradas no domínio [0, Rs]. Após a integração e considerando as condições de contorno, (3.4.1.b,c), associadas ao eixo X, a equação resultante é ....3,2,1,,~~ )( 1 1 2 ==Ψ−−+∑∑ ∞ = ∞ = + migDCB im j n jnmnijmijiimnijmnijmn δδµδ (3.4.6) O sistema de equações acima é constituído por um sistema algébrico infinito. Para obter resultados numéricos, o sistema (3.4.6) deve ser truncado em uma ordem finita suficientemente grande de acordo com a precisão desejada ou conforme os recursos computacionais disponíveis. Deste modo, truncando cada uma das expansões em série, (3.3.4) e (3.4.5), para números de termos iguais a N, cada, tem-se um sistema algébrico finito, como segue NmigDCB im N j N n jnmnijmijiimnijmnijmn ,...,3,2,1,,~~ )( 1 1 2 ==Ψ−−+∑∑ = = +δδµδ (3.4.7) na qual dXXX sR jnjn ∫ ++ Ψ=Ψ 0 )( ~ )( ~ φ , (3.4.8a) ∫ φ φ= sR n mijijmn dX dX )X(d )X()X(BB 0 , ∫ φφ= sR nmijijmn dX)X()X()X(CC 0 , (3.4.8b-c) ∫= sR nm iimn dX XP XX iD 0 2 2 )( )()( )( φφ π , dXXgXHXg sR imim ∫= 0 )(~)()(~ φ . (3.4.8d-e) A equação (3.4.7) é um sistema linear algébrico e pode ser escrito na forma matricial como gA =ΦΦΦΦ , (3.4.9) na qual A é uma matriz quadrada e representa a contribuição dos coeficientes mnijmijiimnijmnijmn DCB δδµδ 2e,,, . Os δ´s são os deltas de Kronecker, os vetores ΦΦΦΦ e g são definidos como T NNNNNN ] ~ ...,, ~ , ~ ...,, ~ ...,, ~ , ~ , ~ ...,, ~ , ~ [ 212222111211 ΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΦΦΦΦ ≡ , (3.4.10a) T NNNNNN ggggggggg ]...,,,...,,...,,,,...,,,[ 212222111211≡g . (3.4.10b) 36 A solução simbólica do sistema linear algébrico é dado por gA 1−=ΦΦΦΦ . (3.4.11) Após a obtenção de ΦΦΦΦ com a solução do sistema algébrico linear, equação (3.4.9), tem-se os elementos + imΨΨΨΨ ~ e então, utilizando as fórmulas de inversão para as expressões correspondentes aos eixos X e Y, obtém-se a função linha de corrente que resulta )( ~ )(),(),( 1 1 * XF Y XYXYX N i N m immi +Ψ=Ψ ∑∑ = = +φψ . (3.4.12) Tendo obtido a função linha de corrente (3.4.12), é possível calcular os componentes do campo de velocidade U e V do escoamento no interior da contração. Usando as relações entre campo de velocidade e linha de corrente, tem-se ∑∑ = = +− Ψ ∂ ∂ += ∂ Ψ∂ = N i N m imm i X Y YX XF Y YX YXU 1 1 1 * ~ )( ),( )( ),( ),( φ ψ , (3.4.13a) ∑∑ = = +Ψ    + ∂ ∂ −= ∂ Ψ∂ −= N i N m im m im i dX Xd YXX X YX dX XdF XF Y X YX YXV 1 1 2 * ~)( ),()( ),()( )( ),( ),( φ ψφ ψ . (3.4.13b) 3.5 DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÃO Para calcular a pressão em um dado ponto do escoamento no interior de uma contração, utiliza-se aqui, a equação de Euler Dt D p V g ρρ =∇− (3.5.1) na qual z v w y v v x v u t v Dt D ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = V . A equação (3.5.1) pode ser escrita para o escoamento bidimensional, em regime permanente, invíscido e irrotacional na entrada da contração, x = 0, da seguinte forma 0 0 ≡      ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ = y v v x v u y p x ρ . (3.5.2) 37 Integrando a equação (3.5.2) no intervalo [0,y], tem-se que ],0[,)0,0(),0(0)0,0(),0(0 1 0 0 Lyctepyppypdy y p y x ∈==⇒=−⇒= ∂ ∂ ∫ = . (3.5.3) Na Figura 3.6 apresenta-se, simbolicamente, a distribuição de pressão ao longo de uma linha de corrente. Note que em conformidade com a equação (3.5.3) a pressão na entrada da contração é constante, em conseqüência das condições de contorno estabelecidas para o campo de velocidade e para a função linha de corrente. Figura 3.6 - Pressão ao longo de uma linha de corrente. Na Figura 3.6, yLC(x) significa um dado y ao longo de uma dada linha de corrente - LC. Aplicando a equação de Bernoulli, ao longo de uma linha de corrente tem-se ( )222 0 2 0)( 22 )( 2 )0,0(),( 2 ),0( 22 ),( uvupyxp uypuvyxp xLCxLC −−+=⇒+=++ ρ ρρ (3.5.4) Para adimensionalisar a expressão (3.5.2), basta realizar as substituições 11 , YLyXLx == , 0Uuu = e 0Vvv= . Desta forma, tem-se: ⇒ ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ ⇒ ∂ ∂ − ∂ ∂ −= ∂ ∂ )(2 0 1 2 0 1 2 0 1 Y V V X V Uu Y p Y V V L u X V U L u YL p ρρ )( )/( 2 0 Y V V X V U Y up ∂ ∂ + ∂ ∂ −= ∂ ∂ ⇒ ρ . (3.5.5) 38 Portanto, neste a distribuição de pressão adimensional é dada por )2//( 2 0upP ρ= . Dividindo a equação de Bernoulli, (3.5.4), por 2 0uρ , resulta ( ) 2 )(1 )0,0(),( 2 )0,0(),( 22 222 02 0 2 0 2 0 UV PYXPuvu uu p u yxp +− +=⇒−−+= ρ ρ ρρ . (3.5.6) Com isso tem-se uma expressão que possibilita o cômputo da distribuição de pressão no escoamento dentro da contração. 3.6 COMPONENTES DA VELOCIDADE JUNTO A PAREDE E COEFICIENTE DE PRESSÃO As componentes do campo de velocidade na parede e o coeficiente de pressão são representados aqui, respectivamente, por Uw(X), Vw(X) e Cpw(X). Utilizando as expressões de U(X,Y) e V(X,Y) descritas em (3.4.13a-b), consegue-se escrever Uw(X) e Vw(X) aplicando Y = F(X). A partir da equação (3.5.6) que possibilita o cálculo da distribuição de pressão, consegue-se obter o coeficiente de pressão junto à parede, de acordo com a sua definição )()(1)0,0())(,( )]0,0())(,([2 )( 22 2 0 XVXUPXFXP u pxfxp XCp www −−=−= − ≡ ρ , (3.6.1) na qual ∑∑ = = + = − Ψ ∂ ∂ +=≡ N i N m imm XFY i w X Y YX XFXFXUXU 1 1 )( 1 ~ )( ),( )())(,()( φ ψ . (3.6.2) ∑∑ = = + = Ψ      + ∂ ∂ −=≡ N i N m im XFY m im i w dX Xd YXX X YX dX XdF XF Y XFXVXV 1 1 )( 2 ~)( ),()( ),()( )( ))(,()( φ ψφ ψ . (3.6.3) 39 3.7 MEDIDA DA UNIFORMIDADE DA VELOCIDADE NA SAÍDA DA CONTRAÇÃO É desejável que na saída da contração a distribuição de velocidade seja a mais uniforme possível. Isto se deve ao fato de que, em geral, logo após o final da contração vem a seção de testes. Pode-se então definir um indicador de qualidade baseado no quanto uma dada contração consegue produzir distribuição de velocidade próxima àquela uniforme obtida usando o principio da conservação da massa. Definindo a componente U(X,Y) do campo de velocidade, na saída da contração, X = Rs, como segue ),()( YRUYU sS ≡ , (3.7.1) e sabendo que a velocidade uniforme, SU , segundo o princípio da conservação, na saída da contração é 1−= cS RU . (3.7.2) Assim, pode-se definir uma medida, ou seja, uma norma para quantificar a não-uniformidade da distribuição de velocidade, ∆US, não saída da contração ∫ ∫ −= − ≡∆ c c R SS cS R SS S dYUYU RU dYUYU U 0 0 )( )( . (3.7.3) 40 _______________________________________________CAPÍTULO 4 4 FORMULAÇÃO EM COORDENADAS CILINDRICAS A formulação matemática do escoamento em regime permanente, incompressível, invíscido e irrotacional no interior de contrações utilizando o sistema de coordenadas cilíndricas é também outra vertente apresentada. A solução do equacionamento é realizada usando a Técnica da Transformada Integral Generalizada – TTIG, assim como feito no Capítulo 3. 4.1 FORMULAÇÃO MATEMÁTICA Para obter um modelo numérico que forneça dados sobre as componentes do vetor velocidade, o campo de pressão e linha de corrente no escoamento de um fluido ideal no interior de uma contração com simetria cilíndrica, a respectiva formulação matemática deve ser desenvolvida. Para esse desenvolvimento, é considerada a geometria da contração com simetria axial, ou seja, o escoamento segue o mesmo padrão quando visto em qualquer plano meridional utilizando como referência o eixo Z. Da mesma forma que utilizamos a equação da continuidade para a obtenção da formulação que refere ao capítulo 3, será empregada aqui a equação da continuidade em sua formulação cilíndrica utilizando o conceito de linhas de corrente. A equação da continuidade em sua formulação em coordenadas cilíndricas se apresenta na forma 0 1)(1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ z uw rr rv r θ . (4.1.1) 41 Como hipótese, o escoamento não possui velocidades e variações tangenciais, assim, w = 0 e 0 )( = ∂ ∂ θ . Escrevendo a equação (3.1.1a), novamente, tem-se 0 )(1 = ∂ ∂ + ∂ ∂ z u r rv r . (4.1.2) Pode-se agora calcular o vetor ω para esse tipo de escoamento fazendo θθθθ θθθθ θθθθ       ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ =++=×∇= r u z v uv zrrzr 0 )()(1)( det θ ωωω θ zr zruω (4.1.3) então r u z v r ∂ ∂ − ∂ ∂ ≡≡ θωω ,0 e 0≡zω . (4.1.4a-c) Sob a hipótese de irrotacionalidade a equação (3.1.4b) torna-se 0= ∂ ∂ − ∂ ∂ ≡ r u z v θω . (4.1.5) Assim, pode-se escrever uma definição para a função linha de corrente ),( rzΨ , como segue, rr u zr v ∂ Ψ∂ = ∂ Ψ∂ −= 1 , 1 . (4.1.6a-b) Substituindo as igualdades (3.1.6a-b) na equação (3.1.5) tem-se 0 11 =      ∂ Ψ∂ ∂ ∂ −      ∂ Ψ∂ − ∂ ∂ rrrzrz ou 0 11 =      ∂ Ψ∂ ∂ ∂ −      ∂ Ψ∂ ∂ ∂ − rrrzzr . (4.1.7a-b) Multiplicando a equação (3.1.7b) por –r, escreve-se, finalmente, a equação governante para o escoamento com geometria axial no interior da contração que apresenta como 42 0 ),(1),( 2 2 =    ∂ Ψ∂ ∂ ∂ + ∂ Ψ∂ r rz rr r z rz . (4.1.8) A equação (4.1.8) contém derivadas de segunda ordem e por, portanto, para sua solução são necessárias duas condições de contorno para cada eixo. Supõem-se para esse escoamento que as forças inerciais prevalecem sob as viscosas. Também é bem conhecido que este modelo falha próximo das paredes sólidas, mas neste caso o maior interesse é sobre a região distante da parede, para qual essa aproximação é suficientemente boa. Fisicamente, o problema consiste de um escoamento que está chegando à face r1 e saindo pela face r2. L é o comprimento ao longo da linha de centro da contração e )(zf é a função prescrita unidimensional que descreve a parede da contração. A Figura 4.1 mostra a geometria para o problema. Figura 4.1- Geometria da contração com simetria cilíndrica. A Equação que modela o escoamento e as condições de contorno para esse tipo de problema são: 0 ),(1),( 2 2 =    ∂ Ψ∂ ∂ ∂ + ∂ Ψ∂ r rz rr r z rz (4.1.9a) 43 ),,0( 2 ),0( 1 2 rr r ur o ∈=Ψ (4.1.9b) ),,0(0 ),( 2rr z rz Lz ∈= ∂ Ψ∂ = (4.1.9c) ],,0[0 ),( 0 Lz r rz r ∈= ∂ Ψ∂ = (4.1.9d) ].,0[ 2 )](,[ 2 1 Lz r uzfz o ∈=Ψ (4.1.9e) Figura 4.2– Geometria da contração com condições de contorno. Pode-se definir variáveis adimensionais como segue: 2 1 * 1 2 1 2 111 ),( ),(e )( )(,,,, ru rz RZ r zf ZF r r R r r R r L R r z Z o cs Ψ ≡Ψ≡      ≡≡≡≡ . (4.1.10a-f) 44 Os parâmetros Rc, equações (4.1.10b), e Rs, equações (4.1.10d), são denominadas, respectivamente, de razão de contração e razão de esbeltez. Figura 4.3– Geometria da contração com eixos adimensionais. Re-escrevendo as equações (4.1.9a-e) e considerando as adimensionalizações, tem-se: 0 ),(1),( * 2 *2 =      ∂ Ψ∂ ∂ ∂ + ∂ Ψ∂ R RZ RR R Z RZ , (4.1.11a) ),0(,0 ),( e)1,0(, 2 ),0( *2 * c RZ RR Z RZ R R R s ∈= ∂ Ψ∂ ∈=Ψ = ; (4.1.11b-c) ],0[, 2 1 )](,[e],0[,0 ),( * 0 * SS R RZZPZRZ R RZ ∈=Ψ∈= ∂ Ψ∂ = . (4.1.11d-e) 45 Figura 4.4- Condições de contorno adimensionais e geometria da contração. Como conseqüência da adimesionalização dos parâmetros que compõem o equacionamento, as componentes do vetor velocidade tornam-se: Z RZ Ru rzv RZV R RZ Ru rzu RZU oo ∂ Ψ∂ −=≡ ∂ Ψ∂ =≡ ),(1),( ),(e, ),(1),( ),( ** (4.1.12a-b) As condições de contorno (4.1.11b-e) não são homogêneas, sendo assim é possível torná-las homogêneas alterando a variável dependente Ψ*(X,Y) da seguinte forma )(2 ),(),( 2 2 * ZF R RZRZ +Ψ=Ψ + . (4.1.13) Assim, as equações (4.1.11a-e) são modificadas para:               −==      ∂ Ψ∂ ∂ ∂ + ∂ Ψ∂ ++ 2 42 2 3 2 2 2 31 ),( ),(1),( dZ dF FdZ Fd F RRZG R RZ RR R Z RZ , (4.1.14a) ],0[,0)](,[e],0[,0 ),( 0 ss R RZZFZRZ R RZ ∈=Ψ∈= ∂ Ψ∂ + = + , (4.1.14b-c) ),0(,0 ),( e)1,0(,0),0( c RZ RR Z RZ RR s ∈= ∂ Ψ∂ ∈=Ψ = + + . (4.1.14d-e) 46 Desta forma, as novas condições de contorno dispostas na Figura 4.5, da geometria da contração, apresentam-se, Figura 4.5 Condições de contorno na variável dependente modificada. 4.2 A FUNÇÃO F(Z) QUE DESCREVE A PAREDE DA CONTRAÇÃO. A função F(Z) deve atender todos os aspectos que mencionados para a função F(X), no capítulo 3. No Capítulo 5, algumas opções para a F(X) e F(Z) serão estabelecidas. 4.3 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO R. A fim de transformar as equações que governam o problema, apresentado acima, é escolhido, de acordo com Aparecido (1997) o seguinte problema de autovalor )(0,0),()( ),(1 2 ZPRRZZ R RZ RR R <<=+      ∂ ∂ ∂ ∂ ψλ ψ . (4.3.1a) 47 A equação (4.3.1a) estará sujeita às seguintes condições de contorno: 0),(e0 ),( )( 0 == ∂ ∂ = = ZFR R RZ R RZ ψ ψ . (4.3.1b-c) Resolvendo a equação diferencial ordinária, com Z parametrizado, tem-se como solução as seguintes autofunções ortonormais ∞== ,...,2,1),( )]([)( 2 ),( 1 0 iRRJ ZFJZF RZ i i i λ λ ψ , (4.3.2a) na qual os autovalores são obtidos através da seguinte equação 0)]([1 =ZFJ iλ ⇒ ∞== ,...2,1 , )( J de raiz ésima-i )( 1 i ZF Ziλ . (4.3.2b) J0 e J1 são funções de Bessel do primeiro tipo e ordens zero e um, respectivamente. Usando o conjunto das autofunções ortonormais ∞= ,...,2,1),,( iRZiψ pode-se definir uma transformada integral relacionada ao eixo R, e também a respectiva transformada inversa (Cotta,1993), como segue: Transformada: ∞=Ψ=Ψ ∫ ++ ,...3,2,1,),(),( 1 )( ~ )( 0 idRRZRZ R Z ZF ii ψ , (4.3.3) Transformada Inversa: ∑ ∞ = ++ Ψ=Ψ 1 )( ~ ),(),( i ii ZRZRZ ψ . (4.3.4) Visando transformar a equação diferencial parcial original (4.1.14a), deve-se multiplicá-la pelas autofunções ∞= ,...,2,1, ),( i R RZiψ . Paralelamente, a equação do problema de autovalor auxiliar (4.3.1a) deve ser multiplicada pela variável dependente da 48 equação (4.1.14a), R RZ ),(+Ψ . As equações resultantes são subtraídas uma da outra e a equação resultante é integrada sobre domínio [0, F(Z)], levando em consideração as condições de contorno, associadas ao eixo R, das equações (4.1.14a e 4.3.1.a). A equação resultante desse processo torna-se ∞==Ψ−         Ψ+ Ψ + Ψ + ∞ = + ++ ∑ ....2,1,~)( ~ )()( ~ )( )( ~ )( )( ~ 2 1 2 2 igZZZZb dZ Zd Za dZ Zd iii j jij j ij i λ (4.3.5) na qual dR Z RZ RZ R Za ZF j iij ∫ ∂ ∂ = )( 0 ),( ),( 1 2)( ψ ψ ⇔      − = = dZ dF F Za Za ji i ij ii 14 )( 0)( 2*2* * λλ λ (4.3.6a) dR Z RZ RZ R Zb ZF j iij ∫ ∂ ∂ = )( 0 2 2 ),( ),( 1 )( ψ ψ (4.3.6b) e *λ é a raiz das funções de Bessel, então        ≠         −              − + − − = =      −= jipara dZ Fd FdZ dF F Zb jipara dZ dF F Zb ji i ji ji ij i ii , 114 3 2 )( , 1 3 )( 2 22 22*2* * 2*2* ** 2 2 * λλ λ λλ λλ λ (4.3.6c) e               −−== ∫ 2 22 2 * )(F 0 312 ),(),( 1 )(~ dZ dF FdZ Fd F dRRZGRZ R Zg i Z ii λ ψ . (4.3.7) A equação (4.3.5) define um sistema infinito de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem com coeficientes variáveis descritos nas equações (4.3.6-7). Para se obter as condições de contorno para o sistema de equações (4.3.5), é necessário transformar as condições de contorno primitivas associadas à direção R, equações 49 (4.1.14d-e). Para que isso seja possível, basta multiplicar as referidas equações por R RZi ),(ψ e integrar ao longo do intervalo [0,F(Z)]. O resultado desse processo são as equações a seguir: 0)0( ~ 0),0(),( 1)(F 0 =Ψ⇒=Ψ ++∫ i Z i dRRRZ R ψ , (4.3.8a) ⇒= ∂ Ψ∂ = + ∫ 0 ),( ),( 1)( 0 sRZ ZF i dR Z RZ RZ R ψ 0 )( ~ = Ψ = + sRZ i dZ Zd . (4.3.8b) 4.4 APLICANDO A TÉCNICA DA TRANSFORMADA INTEGRAL GENERALIZADA NA DIREÇÃO Z Para transformar o sistema de equações diferenciais ordinárias (4.3.5) submetido às condições de contorno (4.3.8a-b) escolheu-se, segundo Aparecido (1997), um problema auxiliar de autovalor definido no eixo Z conforme segue sRZZ dZ Zd <<=+ 0,0)( )( 2 2 2 φµ φ (4.4.1a) sujeito às condições de contorno 0)0( =φ e 0 )( = = sRZdZ Zdφ . (4.4.1b-c) A solução da equação diferencial ordinária (4.4.1a) sujeita às condições de contorno (4.4.1b-c) leva à obtenção das autofunções ortonormais associadas ao eixo Z )( 2 )( Zsin R Z m s m µφ = ; (4.4.2a) na qual ∞= − = ,....2,1, 2 )12( m R m s m π µ , (3.4.2b) são os autovalores. 50 Usando o conjunto das autofunções ortonormais ∞= ,...,2,1),( mZmφ , pode-se definir a transformada integral associada ao eixo Z e a respectiva transformada inversa Transformada: ∞=Ψ=Ψ ∫ ++ ,...3,2,1,)( ~ )( ~ 0 mdZZZ sR imim φ , (4.4.3a) Transformada Inversa: ∑ ∞ = ++ Ψ=Ψ 1 ~ )()( ~ m immi ZZ φ . (4.4.3b) Para transformar o sistema de equações diferenciais ordinárias (4.3.5) basta multiplicá- las pelas autofunções ∞= ,..,2,1),( mZmφ . Adicionalmente, a equação auxiliar do problema de autovalor na direção Z, deve ser multiplicada por ∞=Ψ + ,..,2,1),( ~ iZi . As equações resultantes são subtraídas e integradas no domínio [0, Rs]. Após a integração e considerando as condições de contorno, (4.4.1.b,c), associadas ao eixo Z, a equação resultante é ....3,2,1,,~~ )( 1 1 2 ==Ψ−−+∑∑ ∞ = ∞ = + migCBA im j n jnmnijmijiimnijmnijmn δδµδ (4.4.4) O sistema de equações acima define um sistema algébrico infinito. Para obter resultados numéricos, o sistema (4.4.4) deve ser truncado em uma ordem finita suficientemente grande de acordo com a precisão desejada ou conforme os recursos computacionais disponíveis. Para números de termos iguais a N, tem-se um sistema algébrico finito, como segue NmigCBA im N j N n jnmnijmijiimnijmnijmn ,...,3,2,1,,~~ )( 1 1 2 ==Ψ−−+∑∑ = = +δδµδ (4.4.5) na qual dZZZ sR jnjn ∫ ++ Ψ=Ψ 0 )( ~ )( ~ φ , (4.4.6a) ∫= sR n mijijmn dZ dZ Zd ZZaA 0 )( )()( φ φ , ∫= sR nmijijmn dZZZZbB 0 )()()( φφ , (4.4.6b-c) 51 ∫= sR nm iimn dZ ZF ZZ D 0 2 2 1 )( )()( )J de raiz ésima-i ( φφ , dZZgZg sR imim ∫= 0 )(~)(~ φ . (4.4.6d-e) A equação (4.4.5) é um sistema linear algébrico e pode ser escrito na forma matricial como gA =ΦΦΦΦ , (4.4.7) na qual A é uma matriz quadrada que representa a contribuição dos coeficientes mnijmijiimnijmnijmn DCB δδµδ 2e,,, . Os δ´s são os deltas de Kronecker, os vetores ΦΦΦΦ e g são definidos como T NNNNNN ] ~ ...,, ~ , ~ ...,, ~ ...,, ~ , ~ , ~ ...,, ~ , ~ [ 212222111211 ΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΨΦΦΦΦ ≡ , (4.4.8a) T NNNNNN ggggggggg ]...,,,...,,...,,,,...,,,[ 212222111211≡g . (4.4.8b) A solução simbólica do sistema linear algébrico é dada por gA 1−=ΦΦΦΦ . (4.4.9) Após a obtenção de ΦΦΦΦ com a solução do sistema algébrico linear, equação (4.4.7), tem-se os elementos + imΨΨΨΨ ~ e então, utilizando as fórmulas de inversão para as expressões correspondentes aos eixos Z e R, obtém-se a função linha de corrente que resulta )(2 ~ )(),(),( 2 2 1 1 * ZF R ZRZRZ N i N m immi +Ψ=Ψ ∑∑ = = +φψ . (4.4.10) Tendo obtido a função linha de corrente (3.4.10), é possível calcular os componentes do campo de velocidade U e V do escoamento no interior da contração. Usando as relações entre campo de velocidade e linha de corrente, tem-se ∑∑ = = +− Ψ ∂ ∂ += ∂ Ψ∂ = N i N j imm i Z RR RZ ZF R RZ R RZU 1 1 2 * ~ )( ),( )( ),(1 ),( φ ψ (4.4.11a) 52 ∑∑ = = +Ψ    + ∂ ∂ −= ∂ Ψ∂ −= N i N j im m im i RdZ Zd RZZ ZR RZ ZF ZF R Z RZ R RZV 1 1 3 * ~)( ),()( ),( )( )('),(1 ),( φ ψφ ψ (4.4.11b) 4.5 COMPONENTES DA VELOCIDADE JUNTO A PAREDE E COEFICIENTE DE PRESSÃO As componentes do campo de velocidade na parede e o coeficiente de pressão são representados aqui, respectivamente, por Uw(Z), Vw(Z) e Cpw(Z). Utilizando as expressões de U(Z,R) e V(Z,R) descritas em (4.4.11a-b), consegue-se escrever Uw(Z) e Vw(Z) aplicando em R = F(Z) assim: ∑∑ = = + = − Ψ ∂ ∂ +=≡ N i N j imm ZFR i w Z R RZ ZFZFZUZU 1 1 )( 2 ~ )( ),( )()](,[)( φ ψ (4.5.1) ∑∑ = = + = Ψ ∂ ∂ −=≡ N i N j imm ZFR i w Z ZR RZ ZF ZF ZFZVZV 1 1 )( 2 ~ )( ),( )( )(' ))(,()( φ ψ . (4.5.2) Consegue-se também obter o cálculo da distribuição de pressão na parede de acordo com a definição )()(1 )(2 )( 22 2 0 ZVZU u pp ZCp ww ow w −−= − ≡ ρ (4.5.3) na qual 0p é a pressão na entrada, Z = 0. 53 4.6 MEDIDA DA UNIFORMIDADE DA VELOCIDADE NA SAÍDA DA CONTRAÇÃO Semelhante ao que ocorre em contrações cartesianas, também em contrações cilíndricas é desejável que na saída distribuição de velocidade seja a mais uniforme possível. Isto se deve ao fato de que, em geral, logo após o final da contração vem a seção de testes. Pode-se, em analogia ao desenvolvido no capítulo 3, então definir um indicador de qualidade baseado no quanto uma dada contração consegue produzir distribuição de velocidade próxima àquela uniforme obtida usando o principio da conservação da massa. Definindo a componente U(Z,R) do campo de velocidade, na saída da contração, Z = Rs, como segue ),()( RRURU sS ≡ , (4.6.1) e sabendo que a velocidade uniforme, SU , segundo o princípio da conservação, na saída da contração é 1−= cS RU . (4.6.2) Assim, pode-se definir uma medida, norma, para quantificar a não-uniformidade da distribuição de velocidade, ∆US, não saída da contração e que leve em consideração a curvatura existente em coordenadas cilíndricas ∫ ∫ −= − ≡∆ c c R SS cS R SS S RdRURU RU RdRURU U 0 0 )(2 )(2 . (4.6.3) 54 ______________________________________________CAPÍTULO 5 5 FUNÇÕES USADAS PARA MODELAR O FORMATO DA PAREDE DA CONTRAÇÃO Conforme mencionado, rapidamente, no capítulo 3, a função que modela o formato da parede da contração deve atender a certos requisitos de continuidade. Como na formulação apresentada nos capítulos 3 e 4 aparecem a função e suas derivadas de primeira e segunda ordem, então é desejável, é importante que a função seja de classe C2, em seu intervalo de definição. A seguir apresenta-se o desenvolvimento de algumas funções de natureza polinomial e uma trigonométrica. Também se desenvolve funções polinomiais e trigonométrica, mas que são continuas por partes. Apresenta-se também a formulação da função de parede e suas respectivas derivadas utilizando o sistema de coordenadas cartesiano. A formulação obtida é muito semelhante à obtida para coordenadas cilíndricas. Ao final do capítulo apresenta-se as modificações necessárias para se adaptar a formulação para contrações modeladas em coordenadas cilíndricas. 5.1 CASO A: GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO NA FORMA SIMPLIFICADA Nesse caso A, trata-se de modelar a geometria da contração tal como apresentada na Figura 3.3. As restrições relativamente à função da parede da contração são: cs RRFF == )(e1)0( . (5.1.1a-b) 55 Contração é acessório que faz a ligação entre duas partes de tubulações, as quais possuem paredes paralelas. Assim, a derivada primeira da função de parede é nula na tubulação imediatamente antes da contração e na tubulação imediatamente após a contração. Por continuidade a primeira derivada da função deve ser nula na entrada e na saída da contração. Assim, as restrições para as primeiras derivadas da função tornam-se: 0 )( e0 )( 0 == == sRXX dX XdF dX XdF . (5.1.2a-b) Para as derivadas de segunda ordem pode-se realizar arrazoado semelhante ao efetuado para as de primeira ordem. Nesse caso as restrições são: 0 )( e0 )( 2 2 0 2 2 == == sRXX dX XFd dX XFd . (5.1.3a-b) As restrições apresentadas anteriormente são as mais importantes. Seria possível também fazer restrições sobre derivadas acima de segunda ordem. 5.1.1 FUNÇÃO POLINOMIAL DE TERCEIRO GRAU – A1 Um polinômio de terceiro grau possui quatro parâmetros e, portanto, pode representar até quatro restrições. Aplicando ao polinômio 32)( dXcXbXaXF +++= , (5.1.1.1a) as restrições (5.1.1a-b) e (5.1.2a-b) obtém-se a função de parede e em conseqüência suas respectivas derivadas apresentadas a seguir       −−+=      −−+= )(23))(1(1)(2)(3)1(1)( 232 ss c ss c R X R X R R X R X RXF , (5.1.1.1b) 56       − − =      − − = )(1)( )1(6 )()( )1(6)( 2 sss c sss c R X R X R R R X R X R R dX XdF , (5.1.1.1c)       − − = )(21 )1(6)( 22 2 ss c R X R R dX XFd . (5.1.1.1d) Nesse caso, como não houve restrições sobre as segundas derivadas elas assumem os seguintes valores nas extremidades do intervalo de definição 22 2 2 0 2 2 )1(6)( e )1(6)( s c RXs c X R R dX XFd R R dX XFd s −− = − = == (5.1.1.2a-b) A segunda derivada do polinômio de terceiro grau anula-se para 2/sRXX == ∗ , ou seja, na metade do intervalo ],0[ sR . No intervalo )2/,0[ sR a derivada segunda será negativa e no intervalo ],2/( ss RR será positiva porque 1−=−−=⇒≡−+= == cciccic sXX RRR RdX XFd εε . (5.1.2.2a-b) Ao arbitrar-se 0, >= icεε na equação (5.1.2.1d), a derivada segunda terá duas raízes já que é um polinômio de segunda ordem. Uma raiz está em X = X* = 0 conforme foi considerado inicialmente, a outra raiz está em X =X* = 2Rs/3, significando que a função de parede terá dois pontos de inflexão dentro do intervalo, um deles na extremidade X = 0 e o outro a dois terços do comprimento adimensional da contração. Da mesma forma pode-se encontrar um valor crítico associado ao deslocamento do ponto de inflexão da curvatura para o final do intervalo X = X* = Rs denominado de fc,ε para 58 ε. Para essa posição a segunda derivada do polinômio de quarta ordem sob essa condição torna-se 0)1(30}6)]1([6)]1(3{[ 2)( ,,,,2 * 2 2 <−=⇒≡+−+−−+= == cfcfccfccfc sRXX RRR RdX XFd s εεεε . (5.1.2.2c-d) Note-se que 0)1(3,,,, >−≡≡−=⇔−= ccfcicicfc Rεεεεε . Destes resultados, conclui-se que o parâmetro ε deve pertencer ao seguinte intervalo, Iε }{}{I ,,ε ccicfc εεεεεε +≤≤−=≤≤= , (5.1.2.2e) caso contrário a função de parede produzida não representará uma contração, conforme pode ser visto nas Figuras 5.1a,b. Figura 5.1– Funções de parede para contração: a) Com ε I∈ε ; e b) Com ε I∉ε . A figura (5.1a) mostra que as diferentes funções possuem um comportamento monótono aceitável para ε dentro do intervalo Iε. As funções na figura (5.1b) para ε fora do intervalo Iε mostram um comportamento divergente inaceitável para a contração. 59 5.1.3 FUNÇÃO POLINOMIAL DE QUINTO GRAU – A3 O polinômio de terceiro grau desenvolvido anteriormente atende às restrições (5.1.1a- b) e (5.1.2a-b) e não atende às restrições (5.1.3a-b). O polinômio de quarto grau, apresentado anteriormente, também atende às restrições (5.1.1a-b) e (5.1.2a-b) e pode atender mais uma restrição conforme o valor arbitrado para o parâmetro ε, dentro de seu intervalo de definição. Mas, não pode atender às condições (5.1.3a- b) simultaneamente. Os polinômios que podem fazê-lo são os de quinto grau 5432)( fXeXdXcXbXaXF +++++= , (5.1.3.1a) o qual após a aplicação das restrições (5.1a,b), (5.2a,b) e (5.3a,b), torna-se       +−−+= 543 )(6)(15)(10)1(1)( sss c R X R X R X RXF , (5.1.3.1b) cujas primeira e segunda derivadas são:       +− − = 432 )()(2)( )1(30)( ssss c R X R X R X R R dX XdF , (5.1.3.1c)       +− − = 32 2 2 )(2)(3)( )1(60)( ssss c R X R X R X R R dX XFd . (5.1.3.1d) Note-se que o polinômio de quinto grau também apresenta ponto de inflexão de curvatura na metade do intervalo ],0[ sR , isto é, na posição X = X* = Rs/2, semelhante ao que ocorre com o polinômio de terceiro grau. 60 5.1.4 FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA COSSENOIDAL – A4 Uma das funções trigonométricas que pode ser usada para representar a geometria de uma contração é )cos()( dcXbaXF ++= , (5.1.4.1a) a qual possui quatro parâmetros e, portanto pode atender a quatro restrições, no caso aquelas expressas nas equações (5.1.1a-b) e (5.1.2a-b). Após aplicação das referidas restrições a função e suas respectivas primeira e segunda derivadas tornam-se )]cos(1[ 2 )1( 1)( s c R XR XF π− − += , (5.1.4.1b) )(sen 2 )1()( s c s R XR RdX XdF π π − = , (5.1.4.1c) )cos( 2 )1( )( )( 2 2 2 s c s R XR RdX XFd π π − = . (5.1.4.1d) 5.1.5 COMPARAÇÃO DAS FUNÇÕES DO CASO “A” Na Figura 5.2 apresenta-se os gráficos das quatro funções desenvolvidas para o Caso A, sendo que a função A2 é apresentada para dois valores do parâmetro ε. Os dois casos da função A2, para cεε += e cεε −= , são os extremos. A primeira tem menor taxa de mudança próximo da entrada da contração e maior taxa de mudança próximo da saída. A segunda tem comportamento inverso: muda rapidamente no início e lentamente no final. Entre esses dois extremos estão o polinômio de terceiro grau e a função trigonométrica cossenoidal. Ligeiramente diferenciada dessas duas está o polinômio de quinta ordem, o qual tem variações mais suaves na entrada e na saída e maior taxa de variação na região central do intervalo. Note-se que em todos os casos as funções iniciam com valor igual à unidade, no início do intervalo, e variam monotonamente até o final da contração onde terminam com valor igual a Rc. 61 Figura 5.2 Diferentes casos da função F(X). As taxas de variações das funções F(X) podem ser observadas na Figura 5.3 onde se apresenta os gráficos de suas derivadas. Nota-se que todos os valores das derivadas são negativos, isso se deve ao fato das funções serem monótonas decrescentes. Todas as derivadas são continuas, iniciando com o valor nulo e terminando também com valor nulo, em conformidade com as restrições impostas às funções. Os polinômios de terceiro e quinto graus, e a função cossenoidal apresentam derivadas simétricas em relação à posição X = Rs/2. As funções representadas pelo polinômio de quarto grau, nos casos em que cεε += e cεε −= , não apresentam simetria em suas primeiras derivadas em relação à posição X = Rs/2. Note que o polinômio de quarto grau, para cεε += , apresenta maiores valores absolutos de sua derivada para X > Rs/2, e que o polinômio para cεε −= apresenta os maiores valores absolutos para X < Rs/2. O polinômio de quinto grau é a função que apresenta o maior valor absoluto de sua derivada, sendo que esse máximo ocorre na posição X < Rs/2. Em conseqüência esse polinômio apresenta as menores derivadas, em valor absoluto, em ambas as partes inicial e final da contração. 62 Figura 5.3- Derivada de primeira ordem para as várias funções F(X). As derivadas segundas das funções F(X) são apresentadas na Figura 5.3. Todas são continuas no intervalo de definição, mas apenas o polinômio do quinto grau atende completamente às restrições (5.1.3a-b). O polinômio de quarto grau para cεε += atende à restrição (5.1.3a), mas não atende à (5.1.3b), enquanto para cεε −= atende à restrição (5.1.3b) e não atende à (5.1.3a). O polinômio de terceiro grau e a função cossenoidal não atendem às restrições (5.1.3a) e (5.1.3b). Excetuando as posições das extremidades do intervalo, X = 0 e X = Rs, todas as segundas derivadas anulam-se apenas uma vez dentro do intervalo [0,Rs], significando que no domínio mudam de curvatura negativa para positiva apenas uma vez. Essa propriedade é fundamental para a definição de funções de parede para contrações. Os polinômios de terceiro e quinto grau, e a função cossenoidal apresentam antissimetria em relação à posição X = Rs/2. O polinômio de quarto grau, nas duas versões apresentadas, não apresenta em suas segundas derivadas nem simetria, nem antissimetria. Os valores numéricos para as segundas derivadas de todas as funções analisadas mostram que no início do intervalo a curvatura da parede é negativa, depois passa por um ponto de inflexão intermediário e finalmente passa a ter curvatura positiva. 63 Figura 5.4- Derivada de segunda ordem para as várias funções F(X). 5.2 CASO B: GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA ENTRADA O denominado caso “B” refere-se à geometria mostrada na Figura 5.5 cuja principal diferença em relação ao caso “A” é que na região de entrada da contração existe uma parte, comprimento Re, cujas paredes são paralelas, e, portanto F(X) para essa parte é igual à unidade. Essa extensão tem por objetivo verificar se a adição de uma extensão na região de entrada melhora, ou não, a uniformidade do escoamento na saída da contração. A fração de Rs ocupada por Re foi definida α, como segue se s e RR R R αα =⇔≡ . (5.2.1a-b) Essencialmente, as funções usadas no caso “B” são “as mesmas” utilizadas no caso “A”, porém no caso “A” a função F(X) está definida sobre o intervalo ],0[ sR , enquanto no caso “B” a função F(X), redenominada de F*(X), está definida sobre o intervalo ],[ se RR . No intervalo ),0[ eR a função F(X) é igual à unidade. Matematicamente, então define-se    ≤≤ <≤ = se e RXRseXF RXse XF ),(* 0,1 )( . (5.2.2) 64 Figura 5.5- Geometria da contração com extensão na entrada. As restrições (5.1.1a-b), (5.1.2a-b) e (5.1.3a-b) que se aplicam para a função F(X) devem ser adaptadas para a função F*(X), resultando cse RRFRF == ∗∗ )(e1)( , (5.2.3a-b) 0 )( e0 )( == = ∗ = ∗ se RXRX dX XdF dX XdF , (5.2.4a-b) 0 )( e0 )( 2 2 2 2 == = ∗ = ∗ se RXRX dX XFd dX XFd . (5.2.5a-b) O desenvolvimento das funções F*(X) é semelhante àquele já apresentado, anteriormente, nesse capítulo. Assim, nas próximas seções o procedimento não é repetido apresentando-se apenas as funções resultantes. Polinômio de terceiro grau – B1 – e respectivas primeira e segunda derivadas:       − − − − − −+= 32 )(2)(3)1(1)(* es e es e c RR RX RR RX RXF , (5.2.6a) 65       − − − − − − − = 2)()( )1(6)(* es e es e es c RR RX RR RX RR R dX XdF , (5.2.6b)       − − − − − = )(21 )( )1(6)(* 2 2 es e es c RR RX RR R dX XFd . (5..2.6c) Polinômio de quarto grau – B2 – e respectivas derivadas: [ ] [ ] 432 )()()1(2)()1(31)(* es e es e c es e c RR RX RR RX R RR RX RXF − − + − − −+− − − −++= εεε , (5.2.7a) [ ] [ ]       − − + − − −+− − − −+ − = 32 )(2)()1(3)()1(3 2)(* es e es e c es e c es RR RX RR RX R RR RX R RRdX XdF εεε , (5.2.7b) [ ] [ ]       − − + − − −+−−+ − = 2 22 2 )(6)()1(6)1(3 )( 2)(* es e es e cc es RR RX RR RX RR RRdX XFd εεε . (5.2.7c) Função e derivadas de primeira e segunda ordem para o polinômio de quinto grau – B3:       − − + − − − − − −+= 543 )(6)(15)(10)1(1)(* es e es e es e c RR RX RR RX RR RX RXF , (5.2.8a)       − − + − − − − − − − = 432 )()(2)( )1(30)(* es e es e es e es c RR RX RR RX RR RX RR R dX XdF , (5.2.8b)       − − + − − − − − − − = 32 22 2 )(2)(3)( )( )1(60)(* es e es e es e es c RR RX RR RX RR RX RR R dX XFd . (5.2.8c) A função trigonométrica cossenoidal – B4 – e suas derivadas de primeira e segunda ordem são apresentadas a seguir: 66 )]cos(1[ 2 )1( 1)(* es ec RR RXR XF − − − − += π , (5.2.9a) )(sen 2 )1()(* es ec es RR RXR RRdX XdF − −− − = π π , (5.2.9b) )cos( 2 )1( )( )(* 2 2 2 es ec es RR RXR RRdX XFd − −− − = π π . (5.2.9c) Conforme mencionado anteriormente as funções do caso “B” são assemelhadas com as do caso “A”, com a diferença que na região a partir da entrada da contração até o comprimento Re a função permanece unitária e após essa posição passa a variar e essa variação é qualitativamente semelhante àquela descrita para as funções do caso “A”. O comportamento das funções do caso “B” pode ser observado na Figura 5.6. Figura 5.6- Funções F(X) para a parede, com extensão na entrada da contração. Na Figura 5.7 pode-se visualizar as derivadas primeiras das funções F(X). Todas são contínuas no intervalo de definição ],0[ sR e todas apresentam valores negativos ou nulos mostrando a monotonicidade das funções. 67 Figura 5.7- Derivadas primeiras das funções F(X), para contrações com extensão na entrada. As derivadas segundas das funções F(X) podem ser analisadas na Figura 5.8. A única derivada segunda totalmente contínua no intervalo ],0[ sR e que atende ambas as restrições (5.2.5a-b) é aquela correspondente ao polinômio de quinto grau – B3. O polinômio de quarto grau – B2 – para cεε −= , atende apenas a restrição (5.2.5b), apresentando uma descontinuidade no intervalo ],0[ sR , na posição X = Re. Para cεε += o polinômio de quarto grau é continuo sobre todo o intervalo ],0[ sR , mas não atende à restrição (5.2.5b). O polinômio de terceiro grau e a função cossenoidal não atendem às restrições (5.2.514a-b) e ainda apresentam uma descontinuidade na posição X = Re. 68 Figura 5.8- Derivadas segundas das funções F(X), para contrações com extensão na entrada. 5.3 CASO C: GEOMETRIA DA CONTRAÇÃO COM EXTENSÃO NA SAÍDA Na Figura 5.9 é mostrada a geometria do chamado caso “C” cuja principal diferença em relação ao caso “B” é que a parte constante da função F(X), no caso “C”, está na região de saída da contração, em região com comprimento Re, cujas paredes são paralelas, e F(X) é igual a Rc, no intervalo ],( ses RRR − . O objetivo desse acréscimo é verificar se a adição de uma extensão na região de saí melhora a uniformidade do escoamento na saída daquela região. A fração de Rs ocupada por Re foi definida β, como segue se s e RR R R ββ =⇔≡ . (5.3.1a-b) As funções usadas no caso “C” são assemelhadas àquelas utilizadas no caso “B”, porém no caso “B” o trecho constante da função F(X) está definido sobre o intervalo ),0[ eR , enquanto no caso “C” a parte constante da função F(X), está definida sobre o intervalo ],( ses RRR − . Então se pode definir 69    ≤<− −≤≤ = sesc es RXRRR RRXXF XF )(se, )(0se),(* )( . (5.3.2) Figura 5.9- Geometria da contração com extensão na saída. As restrições (5.2.3a-b), (5.2.4a-b) e (5.2.5a-b) que se aplicam para o caso “B” podem ser adaptadas para o caso “C”, resultando ces RRRFF =−= ∗∗ )(e1)0( , (5.3.3a-b) 0 )( e0 )( 0 == −= ∗ = ∗ es RRXX dX XdF dX XdF , (5.3.4a-b) 0 )( e0 )( 2 2 0 2 2 == −= ∗ = ∗ es RRXX dX XFd dX XFd . (5.3.5a-b) Realizando-se procedimentos semelhantes aqueles efet