U N I V E R S I D A D E E S T A D U A L P A U L I S T A PROGRAMA DE PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃOPÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICAEM FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA ÁREA DE CONCENTRAÇÃO EM FÍSICA APLICADA I N S T I T U T O D E G E O C I Ê N C I A S E C I Ê N C I A S E X A T A S RIO CLARO GABRIEL ANTONIO CARITÁ ANÁLISE DA ESTABILIDADE E RESSONÂNCIA DE ÓRBITAS RETRÓGRADAS PLANARES DO PROBLEMA DE TRÊS CORPOS EM SISTEMAS ESTELARES E PLANETÁRIOS 2022 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Análise da estabilidade e ressonância de órbitas retrógradas planares do problema de três corpos em sistemas estelares e planetários GABRIEL ANTONIO CARITÁ Orientadora: Dra. Maria Helena Moreira Morais Rio Claro - SP 2022 UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro GABRIEL ANTONIO CARITÁ Análise da estabilidade e ressonância de órbitas retrógradas planares do problema de três corpos em sistemas estelares e planetários Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Orientadora: Dra. Maria Helena Moreira Morais Rio Claro - SP 2022 C277a Caritá, Gabriel Antonio Análise da estabilidade e ressonância de órbitas retrógradas planares do problema de três corpos em sistemas estelares e planetários : Ressonâncias retrógradas / Gabriel Antonio Caritá. -- Rio Claro, 2022 113 p. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro Orientadora: Maria Helena Moreira Morais 1. Dinâmica Orbital. 2. Mecânica Celeste. 3. Ressonâncias. 4. Órbitas retrógradas. 5. Astronomia. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. Gabriel Antonio Caritá Análise da estabilidade e ressonância de órbitas retrógradas planares do problema de três corpos em sistemas estelares e planetários Dissertação de Mestrado apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Física Comissão Examinadora: Profa. Dra. Maria Helena Moreira Morais - UNESP/Rio Claro(SP) Prof. Dr. Othon Cabo Winter - UNESP/Guaratinguetá Prof. Dr. Ricardo Egydio de Carvalho - UNESP/Rio Claro(SP) Conceito : Aprovado Rio Claro, SP 23 de Fevereiro de 2022 Agradecimentos O presente trabalho foi realizado com o apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior – Brasil (CAPES) – Código de Financiamento 001. Resumo Neste projeto foi desenvolvido um estudo numérico sobre a dinâmica orbital de sistemas planetários e estelares em que um dos corpos tem o movimento opos­ tos aos demais, variando diferentes razões de massa e vetores de estado, a fim de observar a estabilidade e possíveis ressonâncias retrógradas, considerando as ressonâncias coorbitais 1/­2 e 2/­1. Verificou­se a estabilidade e as ressonâncias de órbitas retrógradas coplanares de sistemas planetários e estelares em diferen­ tes configurações iniciais, baseando­se nos ângulos ressonantes retrógrados críti­ cos e através de Análise de Fourier. Os cálculos computacionais foram realizados utilizando o integrador numérico de n­corpos REBOUND. A estabilidade foi verifi­ cada através do indicador caótico mean exponential growth factor of nearby orbits (MEGNO). Os resultados demonstraram a existência de famílias ressonantes re­ trógradas nos sistemas planetários de massas equiparáveis a joviana, saturniana, netuniana e suas razões, em diferentes regiões ressonantes. Já os sistemas es­ telares foram estudados somente nos casos circulares restritos, os quais, por sua vez, apresentaram a existência de ressonâncias em diferentes razões de massa e configurações de binários através do espaço de fase. O estudo visa comparar os resultados obtidos com ressonâncias retrógradas hipotéticas. Palavra­chave: Dinâmica Orbital, Estabilidade e Caos, Seções de Poincaré, Res­ sonância Retrograda. Abstract In this project a numerical study of the orbital dynamics of planetary and stellar counter­revolving systems was developed, varying different mass ratios and state vectors, in order to observe the stability and possible resonances, considering the coorbital, 1/2 and 2/1 retrograde ressonances. It was verified the stability of copla­ nar retrograde orbits of planetary and stellar systems in different initial configurations, based on the required retrograde resonant angles and Fourier Analysis. The com­ putational calculations were performed using the numerical n­body integrator called REBOUND. Stability has been verified using a chaotic indicator mean exponential growth factor of nearby orbits (MEGNO). The obtained results demonstrated the exis­ tence of retrograde resonant families in planetary systems with masses comparable to the Jovian, Saturnian, Neptunian and their combinations, in different resonant re­ gions. Star systems were studied only in restricted circular cases. We observed the existence of resonances in different masses values and binary configurations across phase space. This study aims to compare the results obtained with hypothetical re­ trograde resonances. Keyword: Orbital Dynamics, Stability and Chaos, Poincaré Sections, Retrograde Resonance. Lista de Figuras 2.1 Esquema ilustrativo do problema de três corpos planar considerando as coordenadas de Jacobi [33]. Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Exemplificação da seção de Poincaré dada pelo cruzamento da órbita no plano selecionado. Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Seção de Poincaré de x,y sendo ẋ = 0 e ẏ < 0 de um grid para órbita retrógrada com a razão de massa equivalente µ = 0.001. Fonte: Autor 30 2.4 Ilustração da interação gravitacional entre os vetores posição das massas mi e mj em relação a massa central mc Fonte: [25] . . . . . . 31 4.1 Exemplo de mapa de estabilidade para a região 2/­1 retrógrada do CR3BP. Fonte: Autor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 5.1 Gráficos de curva de nível para diferentes valores de µ e configura­ ções. As curvas são apresentadas da esquerda para a direita referen­ tes aos valores crescentes de constante de Jacobi segundo a tabela 5.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2 Seções de Poincaré para µ = 0.05. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.3 Seções de Poincaré para µ = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5.4 Plot do intervalo entre cruzamentos na seção de poincaré divido pelo número de órbitas/períodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.5 Análise dos elementos orbitais em função dos períodos para µ = 0.1. 61 5.6 Análise dos elementos orbitais em função dos períodos para µ = 0.1. 62 5.7 Orbitas no referencial sinódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 5.8 Seções de Poincaré para µ = 0.2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.9 Seções de Poincaré para µ = 0.2 para C=­1.3. . . . . . . . . . . . . . 66 5.10 Órbita no referencial girante para C=­1.3, x0 = −0.76 e µ = 0.2. . . . . 67 5.11 Órbita no referencial inercial para C=­1.3, x0 = −0.76 e µ = 0.2. . . . . 68 5.12 Seções de Poincaré para µ = 0.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.13 Seções de Poincaré para µ = 0.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.14 Seções de Poincaré para µ = 0.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.15 Espectro de Ressonâncias para µ = 0.05 . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.16 Espectro de Ressonâncias para µ = 0.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.17 Espectro de Ressonâncias para µ = 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.18 Espectro de Ressonâncias para µ = 0.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.19 Espectro de Ressonâncias para µ = 0.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.1 Mapas de estabilidade/ressonante da região ressonante 1/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mnep com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ∗ = 0, π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.2 Mapas de ressonante da região ressonante 1/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mnep com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ∗ = 0, π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.3 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ∗ = 0. . . . . 84 6.4 Mapas de amplitude da região ressonante 1/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = msat. Na configuração ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.5 Mapas de ressonante da região ressonante 1/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = msat com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ∗ = 0. 87 6.6 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de resso­ nância para o problema não restrito, o terceiro corpo assume amassa de Saturno na configuração ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = 0. . . . . . . . . . . . . . 88 6.7 Mapas ressonante da região ressonante 1/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mjup com ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = 0. . 89 6.8 Mapas de estabilidade da região ressonante 1/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mjup com ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = 0 na condição inicial ep = 0.9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.9 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito, onde o terceiro corpo assume a massa de Júpiter na configuração ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = 0. . . . . . . . . . 91 6.10 Órbitas no referencial sinódico das ressonância 1/­1. . . . . . . . . . 92 6.11 Mapas de amplitude da região ressonante 2/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mnep com ϕ∗ = 0, ∆ϖ∗ = 0, π. 94 6.12 Mapas de estabilidade da região ressonante 2/­1 para o problema não restrito para mp = 0.001 e mt = mnep com ep = 0.6, ϕ∗ = 0, ∆ϖ∗ = 0 . . 96 6.13 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ = 0. . . . . . 97 6.14 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ = π. . . . . 98 6.15 Mapas de estabilidade da região ressonante 2/­1 para o problema não restrito para mp = 0.001 e mt = mnep, ϕ∗ = 0, ∆ϖ∗ = 0 . . . . . . . . . 99 6.16 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ = 0. . . . . . 101 6.17 Mapas de amplitude da região ressonante 2/­1 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mjup com ϕ∗ = 0, π, ∆ϖ∗ = 0. 103 6.18 Mapas de estabilidade da região ressonante 2/­1 para o problema não restrito para mp = 0.001 e mt = mjup para ep = 0.5, ϕ∗ = 0 e ∆ϖ∗ = 0. 104 6.19 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = 0, ∆ϖ∗ = π. . . . . . 106 6.20 Órbitas no referencial sinódico das ressonância 2/­1. . . . . . . . . . 108 6.21 Mapas de estabilidade da região ressonante 1/­2 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mnep com ϕ∗ = 0, π e ∆ϖ∗ = 0, π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.22 Mapas de estabilidade da região ressonante 1/­2 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mnep com ϕ∗ = 0, π e ∆ϖ∗ = 0, π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.23 Mapas de ressonante da região ressonante 1/­2 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mnep com ϕ∗ = 0 e ∆ϖ∗ = 0. 113 6.24 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = 0, ∆ϖ∗ = 0, π. . . . 115 6.25 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = 0, π, ∆ϖ∗ = 0, π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 6.26 Mapas de estabilidade da região ressonante 1/­2 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mjup com ϕ∗ = 0, π, ∆ϖ∗ = 0. 118 6.27 Mapas de estabilidade da região ressonante 1/­2 para o problema não restrito considerando mp = 0.001 e mt = mjup com ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = π. 119 6.29 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = 0. . . . . . 121 6.30 Elementos orbitais em função do tempo no centro da região de res­ sonância para o problema não restrito com ϕ∗ = π, ∆ϖ∗ = 0. . . . . . 122 6.31 Orbita ressonante em ϕ∗ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.32 Órbitas no referencial sinódico das ressonância 1/­2. . . . . . . . . . 124 Lista de Tabelas 5.1 Tabela de valores de constante de Jacobi nos gráficos de nível . . . . 51 5.2 Tabela comparativa entre as frequências obtidas por meio da FFT com as esperadas para os valores da massa binária µ = 0.05 a µ = 0.4. As ressonâncias orbitais analisadas foram 1/­1, 1/­2, 2/­3 e 1/­3. . 55 5.3 Tabela referente a identificação de ressonâncias orbitais por meio do tempo de conjunção (frequência entre as ilhas). A primeira, segunda e terceira colunas indicam o conjunto de ilhas para cada ressonância, o tempo de conjunção (frequência da seção) e o total de ilhas (k) as­ sociadas. A quarta e quinta colunas apresentam a ressonância orbital e massa do binário, por fim a última coluna indica qual os resultados estão ilustrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.1 Tabela reportando os resultados sumarizados para a região coorbital, indicando quais tipos de ressonância foram observadas nas diferen­ tes configurações estudadas para cada massa considerada. . . . . . 80 6.2 Tabela reportando os resultados sumarizados para a região resso­ nante 2/­1, indicando quais tipos de ressonância foram observadas nas diferentes configurações estudadas para cada massa conside­ rada. Observamos librações isoladas de ângulos, como por exemplo, o ângulo do problema restrito (CR3BP) em Netuno e ϕ∗ 2 em Júpiter na configuração ϕ∗ = 0 e ∆ϖ∗ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.3 Tabela reportando os resultados sumarizados para a região resso­ nante 1/­2, indicando quais tipos de ressonância foram observadas nas diferentes configurações estudadas para cada massa considerada.114 Sumário 1 Introdução 17 1.1 Problema de Pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Fundamentos 21 2.1 Problema de n­corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Problema Geral de Três Corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Problema Planar Circular Restrito de Três Corpos ­ PCR3BP . . . . . 24 2.4 Referencial Sinódico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Seções de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Função perturbadora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3 Ressonância de movimento médio 33 3.1 Expansão da função perturbadora CR3BP . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Ressonância Retrógrada ­ CR3BP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Ressonância retrógrada do problema geral de três corpos . . . . . . . 36 4 Métodos Computacionais e Ferramentas 39 4.1 REBOUND e Integradores numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1.1 IAS15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.2 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1 Análise de frequências por Transformada Rápida de Fourier ­ FFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3 Estabilidade e Indicadores Caóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3.1 MEGNO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3.2 Mapas de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5 CR3BP retrógrado em sistemas estelares 49 6 Estabilidade do problema geral de três corpos retrógrado planar 77 6.1 Estabilidade da região coorbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 6.2 Estabilidade da região 2/­1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.3 Estabilidade da região 1/­2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7 Discussão 125 8 Considerações finais 129 Referências 131 A Resultados gerais 137 A.1 Seções de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A.2 Mapas de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 1 Introdução A formação de sistemas solares surge a partir de uma nuvem de gás e poeira em rotação interagindo gravitacionalmente entre si. As partículas em movimento se aglutinam e formam corpos com quantidade considerável de massa, afetando as de­ mais partículas que também estão em rotação. Após milhões de anos de interação, planetas, luas e asteroides surgem. Tal formação permite a estabilidade de órbi­ tas praticamente coplanares de planetas e asteroides. As teorias que descrevem a evolução do sistema solar não resolvem devidamente a existências de órbitas com inclinação elevadas em relação ao plano orbital, tornando­as problemáticas. Porém esses casos existem e estão, em maioria, em pequenos corpos entre as órbitas dos planetas gigantes (Centauros e Transneptunianos). Recentemente diversos estudos têm demonstrado certo interesse e relevância em órbitas retrógradas. Podemos citar, como exemplo, o desenvolvimento teórico para ressonâncias retrógradas, o estudo da estabilidade de determinadas ressonân­ cias retrógradas, a descoberta do asteroide 2015 BZ509 em órbita retrógrada dentro da região coorbital de Júpiter, o asteroide (514107) Ka‘epaoka‘awela na ressonância coorbital retrógrada com Júpiter possivelmente desde os primórdios do sistema so­ lar, entre outros [19, 22, 23, 42, 27, 32]. Desenvolvimentos recentes na modelagem analítica de configurações com inclinaçãomútua elevada demonstraram­se essenci­ ais para identificar objetos com órbitas retrógradas e polares que, por sua vez, estão em ressonâncias orbitais com os planetas gigantes [22, 21, 23, 42, 17, 24, 29, 31]. De forma geral, sistemas extrassolares possuem formação semelhante à forma­ ção do sistema Solar e, com isso, provavelmente terão, assim como o sistema solar, corpos em órbitas com inclinação relativa elevada em relação ao plano orbital. Por outro lado, encontros próximos entre corpos massivos como por exemplo, estrelas, 17 18 Introdução podem gerar sistemas planetários com órbitas de inclinação elevada [16]. Conforme discutido pelos autores [28, 30, 27], no problema de três corpos com dissipação, demonstrou­se que as ressonâncias retrógradas capturam objetos mais frequente­ mente do que ressonâncias prógradas. Dessa forma, é de esperar a existência d e objetos em ressonâncias retrógradas em sistemas extrassolares. Ademais, a re­ cente e elevada descoberta de exoplanetas expande ainda mais as possibilidades de sistemas com tais características existirem. Algumas técnicas e modelagens são utilizadas para se estimar e determinar res­ sonâncias nestes casos. O problema restrito de três corpos (CR3BP) consiste em uma modelagem prática para realizar estudos sobre a estabilidade orbital de sis­ temas estelares e planetários, permitindo, assim, investigar ressonâncias, sejam elas prógradas ou retrógradas, de corpos considerados pontos de massa, tais como asteroides. O desenvolvimento matemático determina uma integral de movimento denominada de constante de Jacobi, que se trata de uma função quadrimensional do tipo C(x, ẋ, y, ẏ). Essa função possibilita obter a seção de Poincaré, que permite analisar o espaço de fase de um sistema dinâmico. Ademais, a medida que o estudo avança para problemas mais complexos, como o problema restrito elíptico de três corpos (ER3BP) ou problema geral de três corpos (3BP), tal ferramenta não pode ser mais utilizada da mesma forma, necessitando modificações nas definições da variáveis do sistema. Nesse caso o uso de mapas de estabilidade em conjunto com indicadores caóticos se tornam necessários e, assim como as seções de Poincaré, trazem informações de grande importância do sistema analisado. Em sistemas extrassolares a relação entre massas dos corpos principais desse sistema pode variar significativamente, principalmente quando se trata de sistemas estelares binários. Tais sistemas são considerados binários estelares quando a ra­ zão de massa do corpo primário e secundário, denominado como µ, é maior que 0.01. Logo, a órbita instantânea deixa de ser kepleriana devido a perturbação das massas. Nessa situação os elementos orbitais, definidos como osculantes, se tor­ nam praticamente inutilizáveis e, portanto, a inserção de técnicas para a análise de ressonância são necessárias. Essas configurações de massa são interessantes, de forma que um planeta de massa considerável orbitando um sistema binário possa ter uma dinâmica orbital semelhante a um caso restrito. Problema de Pesquisa 19 A dinâmica orbital visa descrever fenômenos relacionados a dinâmica de n­ corpos, visando desde o comportamento de asteroides, bem como sistemas plane­ tários. Nesse sentido, este estudo teórico e numérico aborda possíveis fenômenos orbitais de ressonância retrógrada em sistemas planetários hipotéticos. Além disso, as crescentes descobertas de sistemas planetários extrassolares, com pelo menos dois planetas, aponta a possibilidade de arranjos ressonantes, sejam prógrados ou retrógrados. Nesse sentido, foi desenvolvido um estudo teórico sobre a dinâmica orbital de sistemas planetários e estelares extrassolares, com diferentes configura­ ções de massa, a fim de observar a estabilidade e ressonâncias de tais sistemas. Foram analisadas as regiões ressonantes circulares e elípticas 1/­1, 1/­2, 2/­1 de órbitas retrógradas coplanares de sistemas planetários e estelares. O integrador numérico REBOUND foi utilizado para a realização dos cálculos numéricos. Os re­ sultados apresentaram a existência de famílias de órbitas ressonantes. A razão de massa utilizada nos sistemas planetários para o binário estrela e planeta prin­ cipal foram da ordem joviana e a variação da massa do segundo planetoide foram os casos: pontual, neptuniana, saturniana e joviana. Os sistemas estelares foram estudados com a variação de massa do sistema binário até massas idênticas. 1.1 Problema de Pesquisa Segundo o que foi discutido até o momento, o estudo de órbitas retrógradas, se tornaram de suma importância para o entendimento tanto da formação do sistema Solar, como a explicação de corpos com inclinação elevada. Ademais, estabilida­ des de ressonâncias em sistemas extrassolares podem influenciar diretamente na compreensão da sua formação e de sua estabilidade. Neste quesito, é de se es­ perar que da mesma forma que existem casos ressonantes retrógrados no sistema solar, também possam existir em sistemas extrassolares. Este projeto visa estudar e analisar a estabilidade de ressonâncias retrógradas em sistemas extrassolares e estelares, identificando os sistemas mais favoráveis para a detecção destes objetos e relacionando eles com aqueles que conhecemos. 2 Fundamentos 2.1 Problema de n­corpos A mecânica celeste visa a descrição detalhada da dinâmica de corpos celestes. Para isso utilizamos o desenvolvimento das equações de movimento para o caso de n­corpos, com a finalidade de prever a posição, velocidade e aceleração de n corpos em órbita. Uma das possíveis aplicações é o estudo do movimento de aste­ roides, próximos ou distantes, em rota de colisão com a Terra. A força gravitacional resultante entre uma interação de n­corpos em um espaço tridimensional é descrita a partir de, F = n∑ j=1 mj γ⃗j (2.1) onde, γ⃗j é a aceleração de cada partícula. Supondo que os n­corpos estejam isola­ dos no espaço, é possível obter as equações de movimento no referencial inercial com o centro de massa localizado no corpo central a partir de r̈i = −G(m0 +mi) |ri|3 ri + ∑ j ̸=i Gmj( rj − ri |rj − ri|3 − rj |rj|3 ) (2.2) onde ri, rj são os vetores posição e mi, mj as massas dos corpos i e j, sendo G a constante gravitacional e m0 a massa relacionada ao corpo central. 2.2 Problema Geral de Três Corpos Considere o problema de três corpos a partir da relação de n­corpos, ou seja, o caso de n = 3, sendo as partículas Pk de massas mk > 0 e k = 1, 2, ..., n se 21 22 Fundamentos movendo em um espaço tridimensional x,y e z de acordo com a lei de gravita­ ção. As coordenadas cartesianas relacionadas a partícula k são dadas pelo vetor rk = (xk, yk, zk) ∈ R3. De forma geral, as equações de movimento da partícula, no referencial inercial, são dadas por [33]: r̈k = ∑ j=1 Gmj rjk3 rj − rk (2.3) Para j ̸= k e rjk sendo a distância euclidiana entre a partícula k e j. Porém, como o problema considerado será o planar, iremos adotar as seguintes condições rk ∈ R2, ṙk ∈ R2 para k = 3. Definindo o centro de massa ρ = M−1 ∑3 k=1mkrk e M = m1 +m2 +m3, escre­ vemos as equações de movimento como, r̈1 = Gm2 r312 (r2 − r1) + Gm3 r133 (r3 − r1) (2.4) r̈2 = Gm1 r123 (r1 − r2) + Gm3 r233 (r3 − r2) (2.5) r̈3 = Gm1 r133 (r1 − r3) + Gm2 r233 (r2 − r3) (2.6) ou seja, um sistema de seis equações diferenciais de segunda ordem. Levando em consideração que o centro de massa seja a origem ρ = 0, podemos simplificar o problema em um conjunto de quatro equações diferenciais de segunda ordem. A utilização de coordenadas de Jacobi permitem descrever determinados problemas com certa facilidade, entre eles um binário estelar por exemplo. As transformações podem ser verificadas com mais detalhes nos trabalhos de Pollard [33, 34] e Be­ augé [1]. Portanto, para realizar a transformação para as coordenadas de Jacobi definimos que: q = r2 − r1 Q = r3 − β (2.7) onde β = ν−1(m1r1 +m2r2) para ν = m1 +m2 é o centro de massa do vetor do par binário (m1 e m2), q é o vetor relativo entre P2 e P1, por fim, Q é o vetor de β. Problema Geral de Três Corpos 23 Figura 2.1: Esquema ilustrativo do problema de três corpos planar considerando as coordenadas de Jacobi [33]. Fonte: Autor Portanto, devido a transformação de coordenadas, temos que rk− rj , para k > j e k = 1, 2, 3. Logo, r3 − r1 = Q+m2ν −1q (2.8) r3 − r2 = Q−m1ν −1q (2.9) Sendo a Equação (2.8) obtida a partir de, r3 − r1 = Q+ β − r1 = Q+ ν−1(m1r1 +m2r2)− r1 (2.10) r3 − r1 = Q+m2(r2 − r1)ν−1 = Q+m2ν −1q (2.11) 24 Fundamentos E a Equação (2.9) de, r3 − r2 = Q+ β − r2 = Q+ ν−1(m1r1 +m2r2)− r2 (2.12) r3 − r2 = Q−m1(r2 − r1)ν−1 = Q+m2ν −1q (2.13) Usaremos então as expressões (2.8) e (2.9) substituindo­as em (2.4), (2.5) e 2.6. E dividindo a primeira equação diferencial (2.4) por m1 e (2.5) por m2, temos, q̈ = −Gνq |q|3 +Gm3 [ Q−m1ν −1q r233 − Q+m2ν −1q r133 ] (2.14) sendo que, r12 = |q|, r13 = |Q + m2ν −1q| e r23 = |Q − m1ν −1q|. Para obter a relação para Q, temos que estabelecer outra equação a partir de Q = r3 − β = r3 − ν−1(m1r1 +m2r2) = r3 − ν−1(−m3r3) = (1 + ν−1m3) = ν−1Mm3, implicando que r3 = νM−1Q. Então, dividindo a Equação 2.6 por m−1 3 ν−1M , Q̈ = −GMm1ν −1 r133 (Q+m2ν −1q)− GMm2ν −1 r233 (Q−m1ν −1q) (2.15) 2.3 Problema Planar Circular Restrito de Três Corpos ­ PCR3BP Neste momento iremos considerar o problema restrito de três corpos, onde m3 pode ser aproximado a zero. Portanto, adotando o problema planar de três cor­ pos em coordenadas de Jacobi. Utilizando as equações obtidas 2.14 e 2.15, temos q(t) que descreve o movimento de P2 em relação a P1 e Q(t), o qual, por sua vez, descreve o movimento relativo de P3 em torno do centro de massa do sistema bi­ nário (P1 e P2) sendo β = ν−1(m1r1 + m2r2) no sistema de coordenada inercial, conforme a figura 2.1, onde ρ é o centro de massa e origem desse sistema de três corpos. Se considerarmos P3 um corpo de massa irrelevante ao sistema, ou seja, por exemplo, um asteroide, e que P1 e P2 sejam equivalentes a sistemas binários como Sol­Júpiter, podemos concluir que a perturbação de P3 no sistema binário é desconsiderável e, portanto, aproximar a sua a massa a zero (m3 ≈ 0). Tal de­ finição permite assumir que, caso m3 ≈ 0, implica que M = ν e que, portanto, Problema Planar Circular Restrito de Três Corpos ­ PCR3BP 25 β = ρ = 0. Logo o sistema de coordenadas corresponde ao centro de massa do sistema binário. Entretanto, tal sistema irá perturbar o corpo P3 e seu movimento relativo representará o problema de dois corpos caso m3 = 0 [33, 25]. A fim de facilitar as relações, podemos escrever que ν = m1 + m2 = 1 e, por normalização, temos que m1 = 1 − µ e m2 = µ, sendo µ = m2 m1+m2 . Por fim, iremos considerar que o sistema binário descreve uma órbita circular, ou seja, de excentri­ cidade e = 0 e semieixo maior a = 1, o que irá definir o problema circular planar restrito de três corpos e que é descrito a seguir Q̈ = −1− µ r133 (Q−m2q(t)) + µ r233 (Q−m1q(t)) (2.16) sendo que, q(t) descreve um movimento circular de P2 em torno de P1 em um sis­ tema de coordenadas inerciais centradas em P1. Logo, a partir da relação de ano­ malia excêntrica, q1(t) = cos(t) q2(t) = sen(t) (2.17) E as distâncias relativas de P3 a P1 e P2 são descritas por, r13(t) = [(Q1 + µcos(t))2 + (Q2 + µsen(t))2] 1 2 (2.18) r23(t) = [(Q1 − (1− µ)cos(t))2 + (Q2 − (1− µ)sen(t))2] 1 2 (2.19) Escrevendo a energia potencial de m3, Ω = 1− µ r13 + µ r23 (2.20) A definição do problema restrito de três corpos é dada pela Equação (2.16), com a origem no centro de massa entre o sistema binário, para isso definimos a normalização das massas como m1 = 1 − µ e m2 = µ. Portanto, integrando a Equação (2.16) obtemos uma integral de energia denominada de Integral de Jacobi, a qual é uma integral adicional de movimento que se conserva e é descrita por, C = x2 + y2 − (ẋ2 + ẏ2) + 2(1− µ) r1 + 2µ r2 (2.21) 26 Fundamentos Podendo demonstrar a integral de Jacobi a partir de Q(t) descrita na Equação (2.16) no referencial inercial, Q̈ = ΩQ (2.22) admitindo que d dt C(Q, Q̇, t) = 0 (2.23) por sua vez, d dt C = (CQ, Q̇) + (CQ̇, Q̈) + Ct (2.24) = 2(ΩQ, Q̇)− 2(Q̇, Q̈) + 2(Q1Q̈2 −Q2Q̈1) + 2Ωt (2.25) = 2(Q1Q̈2 −Q2Q̈1) + 2Ωt (2.26) 1 2 d dt C = (Q1Q̈2 −Q2Q̈1) + Ωt (2.27) 1 2 d dt C = Q1ΩQ2 −Q2ΩQ1 + Ωt (2.28) Como Ċ = 0 − Ωt = Q1ΩQ2 −Q2ΩQ1 (2.29) C(Q1, Q̇1, Q2, Q̇2, t) = −Q̇2 1 − Q̇2 2 + 2(Q1Q̇2 −Q2Q̇1) + 2Ω (2.30) O termo 2(Q1Q̇2 −Q2Q̇1) é o momento angular de m3 e C a constante de Jacobi associada a energia somente de P3. 2.4 Referencial Sinódico O sistema discutido acima é descrito no referencial inercial, porém, a fim de estabelecer comparações e relações, será feita a transformação para um referencial Referencial Sinódico 27 sinódico, onde o problema de três corpos se torna um sistema autônomo, ou seja, independente do tempo. Como, por definição, o sistema P1 e P2 se movem em torno da origem com velocidade angular igual a um, é possível transformar para um novo sistema de coordenadas x1 e x2, sem perder as definições estabelecidas inicialmente, esse sistema é chamado de sinódico. A transformação é feita a partir da rotação da matriz ortogonal x = R(t)Q [33, 34, 25], R(t) =  cos(t) sen(t) −sen(t) cos(t)  (2.31) A transformação inversa é dada por, Q = R−1(t)x (2.32) Aplicando a substituição na equação 2.15, teremos Q1 = x1cos(t) − x2sen(t) e Q2 = x1sen(t)+x2cos(t). Logo, obtêm­se o problema restrito no referencial sinódico. Podemos também escrever que, ẍ1 − 2ẋ2 = x1 + Ω̃x1 (2.33) ẍ2 − 2ẋ1 = x2 + Ω̃x2 (2.34) Sendo que Ω̃ = Ω(R−1x). Por isso, r13 = [(x1 − µ)2 + x2 2] 1 2 (2.35) r23 = [(x1 − (−1 + µ))2 + x2 2] 1 2 (2.36) A substituição pode ser aplicada também na integral de Jacobi, permitindo obter tal relação no referencial sinódico C̃ = R−1(t)C, onde, C̃(x, ẋ) = −|ẋ|2 + r2 + 2Ω̃(x) (2.37) sendo r = |x| = |R(t)Q| = |Q|. No problema de três corpos elíptico o tempo na matriz de rotação não é mais a variável utilizada para se observar o referencial girante, fato que ocorre já que um 28 Fundamentos dos planetas não possui mais uma órbita circular. O elemento orbital θ (longitude verdadeira) assume o lugar da variável tempo, devido ao movimento relativo entre os dois corpos [10]. 2.5 Seções de Poincaré Podemos entender a Equação de (2.37) como uma superfície tridimensional em um espaço de fase quadridimensional para um dado valor de C (constante de Ja­ cobi) associado a órbita. Com a finalidade de visualizar parcialmente tais super­ fícies, é necessário escolher uma seção, ou seja, escolher que uma da variáveis seja zero para que seja possível observar um corte na figura toroidal. Para isso, é necessário utilizar­se de um processo que será descrito abaixo. Iniciando com a integral de Jacobi, devemos escolher uma coordenada que irá ser o corte das superfícies, neste caso a coordenada Q̇1 foi escolhida como nula de modo a observar seções de Q1 e Q2. Temos então que C(Q1, Q2, Q̇2). Conside­ raremos condições inicias de uma órbita, as quais, iremos definir a partir de Q1 e Q2, sabendo que Q̇1 = 0 e, Q̇2 irá ser determinado a partir da equação da integral de Jacobi e, para isso, a necessidade de escrever Q̇2 em função da constante de Jacobi, ou seja, Q̇2(Q1, Q2, C). Partindo da Equação (2.38), C(Q1, Q2, Q̇1, Q̇2, t) = C = −|Q̇|2 + 2(Q1Q̇2 −Q2Q̇1) + 2Ω (2.38) Como Q̇1 = 0, foi escolhido como seção de corte, temos então que, Q̇2 − 2Q1Q̇2 − 2Ω + C = 0 (2.39) Encontrando então os possíveis valores de Q̇2, Q̇2 = Q1 ± √ Q2 1 + 2Ω− C (2.40) A figura 2.2 representa uma ilustração do fenômeno descrito acima, onde Q cruza o plano demarcando as órbitas periódicas ou quasiperiódicas. Seções de Poincaré 29 Figura 2.2: Exemplificação da seção de Poincaré dada pelo cruzamento da órbita no plano selecionado. Fonte: Autor É de suma importância esclarecer que estas seções só podem ser construí­ das dessa forma para os casos do problema planar, circular, restrito de três corpos (CR3BP), devido a integral de Jacobi. A figura 2.3 representa uma seção de Poin­ caré. Os centros das ilhas aparentes correspondem a órbitas periódicas e possuem uma relação de Ressonância entre elas. É possível também obter seções através da Hamiltoniana do sistema. 30 Fundamentos Figura 2.3: Seção de Poincaré de x,y sendo ẋ = 0 e ẏ < 0 de um grid para órbita retrógrada com a razão de massa equivalente µ = 0.001. Fonte: Autor Nesta seção os pontos foram plotados a partir da exclusão de órbitas que coli­ diram ou escaparam (a > 10AU ). Dessa forma, as regiões caóticas que deveriam estar presentes devido as interações numéricas descartadas acima, as quais pre­ encheriam o espaço entre as ilhas, foram descartadas por motivos estéticos, de modo que exclusivamente neste caso estamos interessados em exemplificar o as ilhas relacionadas as órbitas periódicas no espaço de fase. Contudo, é de grande relevância enunciar que as órbitas caóticas no espaço de fase trazem consigo in­ formações que podem ser de suma importância para o entendimento e análise do espaço de fase. 2.6 Função perturbadora A partir do problema de três corpos, devemos considerar os efeitos que a intera­ ção gravitacional entre os corpos do sistema causam entre si. Para isso, conside­ ramos, novamente o problema de três corpos no sistema descrito abaixo e ilustrado na figura 2.4, a qual descreve um problema de três corpos [25]. Função perturbadora 31 Figura 2.4: Ilustração da interação gravitacional entre os vetores posição das mas­ sas mi e mj em relação a massa central mc Fonte: [25] Considerando os vetores posição do sistema temos, |r⃗i| = ri = (x2 i + y2i + z2i ) 1/2, |r⃗j| = rj = (x2 j + y2j + z2j ) 1/2 (2.41) |rj − ri| = [ (xj − xi) 2 + (yj − yi) 2 + (zj − zi) 2 ]1/2 (2.42) Utilizando a segunda lei de Newton podemos escrever as equações de movi­ mento para os corpos no referencial inercial com a origem no central, r̈i = −G(mc +mi) |ri|3 ri +Gmj ( rj − ri |rj − ri|3 − rj |rj|3 ) (2.43) sendo que i ̸= j. Podendo escrever as acelerações relativas como gradientes de funções escala­ res, r̈i = ∇i(Ui +Ri) r̈j = ∇j(Uj +Rj) (2.44) onde, Ui = G (mc +mi) ri Uj = G (mc +mj) rj (2.45) O termo R é a função perturbadora que representa o potencial relacionado com a interação entre as massas do sistema. Considerando os vetores r dos corpos, podemos escrever R para cada caso, 32 Fundamentos Ri = Gmj |rj − ri| −Gmj ri · rj rj3 (2.46) Rj = Gmi |ri − rj| −Gmi ri · rj ri3 (2.47) É de suma importância esclarecer que, nas equações citadas para a função perturbadora, existem termos que são considerados diretos e termos provenientes da escolha do sistema de coordenadas, os quais, por sua vez, são considerados indiretos. Se o centro massa do sistema for a origem os termos indiretos não irão aparecer. Essas equações podem ser descritas e utilizadas para n corpos. No caso particular de duas massas pontuais, sendo elas m e m′ e seus vetores posição r e r′ relativos a massa central mc, onde r < r′, temos que o movimento da partícula secundária interna é dada por, r̈+G(mc +m) r r3 = Gm′ ( r′ − r |r′ − r|3 − r′ r′3 ) (2.48) Portanto, a função perturbadora pode ser escrito como, R = µ′ |r′ − r| − µ′ r · r′ r′3 (2.49) onde µ′ = Gm′ e, de forma semelhante para a outra massa µ = Gm, no caso a externa, temos que, R = µ |r− r′| − µ r · r′ r3 (2.50) Ambos casos estão associados com os elementos orbitais osculantes pelas res­ pectivas equações n′2a′3 = G(mc +m′) e n2a3 = G(mc +m). Os ângulos ressonantes podem ser obtidos a partir de expansões da função perturbadora, como por exemplo, a expansão literal clássica [25] ou a retrógrada [22]. 3 Ressonância de movimento médio Um dos objetivos deste estudo é buscar compreender o comportamento de ór­ bitas ressonantes retrógradas de sistemas estelares e planetários. O fenômeno de ressonância na dinâmica orbital ocorre devido a interações gravitacionais que um ou mais corpos podem sofrer. Tais interações podem ocasionar possíveis relações entre as frequências de um sistema orbital. Podemos citar, como exemplo, alguns tipos de ressonância, sendo elas: ressonância de Kozai, Laplace, movimento médio e secular [15]. A ressonância de Laplace é uma ressonância entre três corpos com a razão de período 1:2:4. Um dos casos mais conhecidos é a ressonância das luas do planeta Júpiter. As ressonâncias seculares ocorrem quando a precessão do eixo definido, seja o nodo ascendente ou o perihélio de duas órbitas, ocorrem de forma sincro­ nizada. Tal ressonância pode ser interpretada como um oscilador harmônico aco­ plado. A título de exemplo, um pequeno corpo como um asteroide, em ressonância secular com um planeta gigante. Nesses casos é possível observar ao longo de milhões de anos mudanças na excentricidade e na inclinação da órbita deste corpo. Já a ressonância de Kozai ocorre quando a inclinação e a excentricidade de uma ór­ bita perturbada oscila de forma sincronizada. Esses casos são específicos a corpos que estão em órbitas significativamente inclinadas [15]. Este projeto tem como objetivo estudar em particular os casos de ressonância orbital, também denominada ressonância mean motion, obtendo uma relação de números inteiros entre dois corpos. Ressonâncias são capazes de estabilizar ou desestabilizar uma órbita, dependendo das interações gravitacionais e/ou sobrepo­ sições de ressonâncias [25]. A fim de identificar as ressonâncias mean motion (MMR) retrógradas/prógra­ 33 34 Ressonância de movimento médio das, deve­se considerar os termos existentes da expansão da função perturbadora, conforme discutido em 2.6. Esses termos foram expandidos e exemplificados por [25, 19] descrevendo sua associação com as ressonâncias. 3.1 Expansão da função perturbadora CR3BP Considerando o problema circular restrito de três corpos (CR3BP), podemos assumir que os corpos primário e secundário possuem a relação de frequência n2 = √ G(m+m2)/a32. Se escrita a equação de movimento com o referencial em relação ao primário é possível obter os termos relacionados as ressonâncias uti­ lizando as expansões elípticas. Contudo, tais expansões não são triviais e neste estudo iremos utilizar os resultados reportados por [25, 4]. Os termos de primeira ordem para o caso prógrado são: (j−1)λ1−jλ2+ϖ1 (termo 4D.1.1). Nos casos de j ≥ 2 os termos correspondem a ressonância prógrada j/(j − 1), sendo que, λ̇1 = n1, λ̇2 = n2 e a variação do ângulo no tempo é (j − 1)n1 − jn2 ≈ 0. Para os termos de segunda ordem de e1, observa­se termos do tipo (j−2)λ1−jλ2+2ϖ1 (termo 4D2.1), os quais correspondem a uma ressonância do tipo j/(j−2) prógrada para j ≥ 3. Os termos de terceira ordem de e1 são aqueles do tipo (j−3)λ1−jλ2+3ϖ1 (termo 4D3.1), que correspondem a uma ressonância prógrada j/(j−3) sendo j ≥ 4. Já os termos de quarta ordem de e1 são (j−4)λ1− jλ2+5ϖ1, referentes as ressonâncias prógradas do tipo j/j(j − 5) para j ≥ 6. É de grande relevância citar que estes resultados são válidos somente para pe­ quenas variações na inclinação do plano. Portanto, o ângulo ressonante prógrado pode ser descrito pela equação a seguir, θ = (j − k)λ1 − jλ2 + kϖ1, (3.1) onde consideramos uma ressonância prógrada no CR3BP de ordem j/(j − k). 3.2 Ressonância Retrógrada ­ CR3BP Uma órbita é considerada retrógrada quando a inclinação π/2 < I < π, pos­ suindo uma configuração onde, o sistema principal de n corpos para n ≥ 2 em torno Ressonância Retrógrada ­ CR3BP 35 de uma massa central está em movimento contrário entre si como, por exemplo, no caso de um sistema de três corpos estrela ­ planeta ­ asteroide, sendo que o planeta e o asteroide se movem em direções contrárias. Diversos estudos, como [23, 22, 36, 28], apontam para corpos celestes em órbitas retrógradas tanto no sis­ tema Solar quanto em sistemas extrassolares. Nesse sentido, partindo das relações obtidas da função perturbadora demonstra­ das no tópico 2.8, e admitindo os elementos orbitais osculantes, onde considera­se que λ̇ > 0 para o planeta e λ̇ ′ > 0 para o asteroide, podemos realizar as trans­ formações dos ângulos prógrados para os retrógrados, marcados com o símbolo (*). Desta forma, sendo I∗ = 180 − I, teremos também λ ′∗ = −λ ′, ω∗ = ω − π, Ω∗ = −Ω− π, e, por fim, a longitude do pericentro se transforma de ϖ = ω + Ω em ϖ∗ = ω − Ω e o mesmo vale para a longitude λ = M + ω + Ω em λ∗ = M + ω − Ω. Essas transformações permitem descrever o ângulo ressonante partindo de termos diretos e indiretos que surgem na expansão da função perturbadora. A expansão literal para as ressonâncias, válida para o caso prógrado, foram obtidas por [4]. Já nos caso retrógrado a transformação dos ângulos no caso literal permite obter as ressonâncias, conforme foi realizado por [22]. Para a ressonância retrógrada 2/­1 os termos ressonantes são do tipo, e3 cos (λ∗ − 2λ ′ − 3ϖ∗) termo [4D3.1, j = 2] (3.2) eα2 cos (λ∗ − 2λ ′ −ϖ∗ + 2Ω) termo [4D3.5, j = 2] (3.3) O caso da ressonância 1/­2 retrógrada é dada a partir dos termos ressonantes diretos e indiretos, e3 cos (2λ∗ − λ ′ − 3ϖ∗) termo [4D3.4, j = 2 e 4I3.6] (3.4) eα2 cos (2λ∗ − λ ′ −ϖ∗ + 2Ω) termo [4D3.10, j = 2 e 4E2.6] (3.5) A ressonância 1/­1 retrógrada é dada pelos termos diretos e indiretos que, por sua vez, se trata de um caso específico, já que os termos diretos não podem ser obtidos de forma literal a partir da expansão da função perturbadora. 36 Ressonância de movimento médio Portanto os termos indiretos da ressonância retrógrada 1/­1 são, e2 cos (λ∗ − λ ′ − 2ϖ∗) termo [4D2.1, j = 1 e 4E2.2] (3.6) α2 cos (λ∗ − λ ′ + 2Ω) termo [4D2.4, j = 1 e 4E2.6] (3.7) Para os ângulos diretos um modelo semi­analítico foi desenvolvido e apresen­ tado por [22]. Por meio dos exemplos citados até o momento, é possível obter uma relação sobre os termos ressonantes para qualquer órbita ressonante retrógrada do tipo p/q, sendo assim, ep+q−2kα2k cos (qλ∗ − pλ ′ − (p+ q − 2k)ϖ∗ + 2kΩ) (3.8) onde k = 0, 1, 2, ... e p + q ≥ 2k. Como o estudo se restringe somente a órbitas planares, escrevemos α = 0, restando somente o termo de ep+q cos (ϕ), que no caso é o ângulo ressonante. ϕ = qλ∗ − pλ ′ − (p+ q)ϖ∗. (3.9) 3.3 Ressonância retrógrada do problemageral de três corpos De forma semelhante ao caso do problema de três corpos restrito (CR3BP), os ângulos ressonantes do problema geral de três corpos (3BP) são obtidos através da função perturbadora, sendo este a função referente ao problema geral de três corpos. Esta expansão foi realizada e está definida em [20], possibilitando descrever os ângulos das ressonâncias de forma generalizada da seguinte maneira: Na ressonância coorbital : ϕcr3bp = −λ − λ ′ + 2ϖ, ϕ3bp 1 = −λ − λ ′ + 2ϖ ′, ϕ3bp 2 = −λ− λ ′ +ϖ ′ +ϖ. Para a ressonância 1/­2: ϕcr3bp = −2λ − λ ′ + 3ϖ, ϕ3bp 1 = −2λ − λ ′ + 3ϖ ′, ϕ3bp 2 = −2λ− λ ′ + 2ϖ ′ +ϖ, ϕ3bp 3 = −2λ− λ ′ +ϖ ′ + 2ϖ. Ressonância retrógrada do problema geral de três corpos 37 Para a ressonância 2/­1: ϕcr3bp = −λ − 2λ ′ + 3ϖ, ϕ3bp 1 = −λ − 2λ ′ + 3ϖ ′, ϕ3bp 2 = −λ− 2λ ′ +ϖ ′ + 2ϖ, ϕ3bp 3 = −λ− 2λ ′ + 2ϖ ′ +ϖ. A diferença nos ângulos definidos nesse estudo é devido ao fator que para o caso retrógrado, os ângulos devem ser medidos de acordo com a direção do plano orbital e, por sua vez, temos que θ = Ω + ω + f e λ = Ω + ω + M são redefinidos como θ = Ω−ω−f e λ = Ω−ω−M , o que explica a mudança de sinal nos ângulos ressonantes definidos acima. 4 Métodos Computacionais e Ferramentas Neste tópico serão apresentados os métodos, meios e ferramentas computaci­ onais utilizados neste estudo. Para todas as órbitas simuladas numericamente foi utilizado o pacote REBOUND, que se trata de um código disponibilizado nas lingua­ gens de programação C e Python para realizar simulações de sistema orbitais de n corpos, sendo que este pacote possui diversos integradores com diferentes fina­ lidades. No caso, o REBOUND é disponibilizado em uma biblioteca da linguagem Python e foi utilizado para todos os resultados numéricos que serão apresentados nesta dissertação. Todas as simulações foram realizadas com a finalidade do estudo de órbitas retrógradas do problema de três corpos, tanto o restrito quanto o não restrito. 4.1 REBOUND e Integradores numéricos Opacote REBOUNDpossui diversos integradores numéricos, sendo eles: IAS15, WHFast, SABA, JANUS, LEAPFROG, SEI, EOS, EULER e MERCURIUS. Todos eles são descritos e detalhados na documentação do software. Porém, somente dois deles possuem o indicador caótico MEGNO implementado, o qual é ferramenta de grande importância em estudos de estabilidade, sendo os integradores WHFast e IAS15. O IAS15 é um integrador de décima quinta ordem baseado no RADAU de passo adaptativo. Outro integrador implementado no REBOUND é o WHFast que, se trata de um integrador simplético e pode ser útil em alguns casos.[37, 38]. 39 40 Métodos Computacionais e Ferramentas 4.1.1 IAS15 Este integrador foi o utilizado para resolver todas as órbitas simuladas neste es­ tudo. O IAS15 é um integrador implícito que, segundo os autores [37], é baseado principalmente no integrador GauB­Radau (RADAU), porém utiliza de aspectos de outros integradores, como o algoritmo de Everhart (um integrador Runge­Kutta mo­ dificado) e SORSA Toolchain, o qual também é parcialmente utilizado [5, 41]. O funcionamento do algoritmo é baseado em resolver a equação a seguir: y′′ = F (y′, y, t) (4.1) Sendo y′′ a aceleração e y′ e y a velocidade e posição respectivamente. Essa equação permite utilizar de velocidades arbitrárias, e, por consequência, não é con­ servativa. Portanto não corresponde a um sistema hamiltoniano. Expandindo a equação 4.1, y′′ ≈ y′′0 + a0t+ a1t 2 + ...+ a6t 7 (4.2) Portanto, o primeiro timestep é obtido a partir da definição inicial de dt, que por padrão é de 0.001 no REBOUND. Considerando que h = t/dt e bk = akdt k+1 escre­ vemos a expansão da seguinte forma, y′′(h) = y′′0 + b0h+ b1h 2 + ...+ b6h 7 (4.3) Sendo h adimensional, podemos expandir novamente em series. y′′(h) = y′′0 + g1h+g2h(h−h2)+ g3h(h−h1)(h−h2)+ ...+ g8h(h−h1)...(h−h7) (4.4) Então temos que, h = h1 (4.5) g1 = y′′1 − y′′0 h1 (4.6) h = h2 (4.7) REBOUND e Integradores numéricos 41 g2 = y′′1 − y′′0h2 h2(h2 − h1) (4.8) As expansões são feitas até a oitava ordem (g8). Um dos principais motivos de se reescrever a equação novamente em séries, dessa forma, gk depende somente da força, implicando seu aspecto implícito. Para obter as equações de velocidade e posição integramos então a equação 4.3 de modo a obter as seguintes equações, y′(h) = y′0 + hdt ( y′′0 + h 2 ( b0 + 2h 3 (b1 + ...) )) (4.9) y(h) = y′0 + y′0hdt+ h2dt2 2 ( y′′0 + h 3 ( b0 + h 2 (b1 + ...) )) (4.10) O autor esclarece que para resolver as integrais com bastante precisão é esco­ lhido o espaçamento de GauB­Radau (GauBian quadrature) utilizando a quadrature com oito funções, apresentando os valores de espaçamento, os quais foram pro­ postos por Everhart. A estimativa do stepsize é obtida a partir de uma forma definida como razoável, ou seja, o timestep tem que ser comparável ao menor valor relevante de escala de tempo do problema. Com isso podemos associar erros locais e globais para cada caso. Erro global: b̄6 = maxi|b6,i| maxi|y′′i | . (4.11) Erro local: b̄6 = maxi |b6,i| |y′′i | (4.12) Sendo i o índice das componentes do problema. De modo geral, o REBOUND utiliza­se do erro global ao invés do local para estimar o stepsize. Ademais o mesmo procedimento, descrito nas equações acima, ocorre para determinar a precisão das constantes associadas ao stepsize. Erro global: 42 Métodos Computacionais e Ferramentas δ̄b6 = maxi|b6,i| maxi|y′′i | (4.13) Erro local: δ̄b6 = maxi |b6,i| |y′′i | (4.14) Ademais o parâmetro de comparação de ajuste do erro do integrador é definido como ϵR = ϵδb = 10−16 e a precisão da máquina na ordem de b6, a qual é insig­ nificante se comparado com o valor do ϵ, concluindo que δ̄b6 < ϵR. O integrador trabalha com a precisão da máquina utilizando de double floats com precisão de cerca de ≈ 2 ∗ 10−16. 4.2 Transformada de Fourier No sentindo de interpretar os dados desde projeto, é necessário introduzir uma ferramenta matemática poderosa, sendo ela a Análise de Fourier, a qual permite obter informações do problema que está sendo aplicada. Neste caso, a Análise de Fourier possibilitara analisar as frequências de um domínio espacial do problema que está sendo estudado. É possível interpretar determinados problemas de dinâ­ mica orbital como osciladores harmônicos e dessa forma obter as frequências do sistema com a finalidade de relacioná­las umas as outras para observar ressonân­ cias de movimento médio (mean motion). Sabendo que uma função unidimensional de uma variável espacial f(x) pode ser escrita como uma combinação linear de um número infinito de harmônicos, podemos escrever que[11, 7, 12], f(x) = 1 π [∫ ∞ 0 A(k)cos(kx)dk + ∫ ∞ 0 B(k)sin(kx)dk ] (4.15) sendo, A(k) e B(k) transformadas de Fourier de seno e cosseno da f(x), ou seja, fatores que carregam características da frequência espacial k. Considerando uma variável opcional x′ temos, A(k) = ∫ ∞ −∞ f(x′)cos(kx′)dx′ (4.16) Transformada de Fourier 43 B(k) = ∫ ∞ −∞ f(x′)sin(kx′)dx′ (4.17) Ambas funções não são explicitamente dependentes de x′. Podemos simplificar as expressões a partir da representação de uma função exponencial se substituir­ mos 4.16 e 4.17 em 4.15. Logo, f(x) = 1 π [∫ ∞ 0 cos(kx) ∫ ∞ −∞ f(x′)cos(kx′)dx′dk + ∫ ∞ 0 sin(kx) ∫ ∞ −∞ f(x′)sin(kx′)dx′dk ] (4.18) sabendo que, cos(k[x′ − x]) = cos kx cos kx′ + sen kx sen kx′, f(x) = 1 π ∫ ∞ 0 [∫ ∞ −∞ f(x′)cos(k[x′ − x])dx′ ] dk (4.19) Como 4.19 é uma função par de k, podemos reescreve­la da seguinte forma, f(x) = 1 2π ∫ ∞ −∞ [∫ ∞ −∞ f(x′)cos(k[x′ − x])dx′ ] dk (4.20) A partir da relação de Euler, podemos concluir que, neste caso, a parte imagi­ nária é nula, ou seja, i 2π ∫ ∞ −∞ [∫ ∞ −∞ f(x′)sin(k[x′ − x])dx′ ] dk = 0 (4.21) Fator que ocorre devido a paridade da função e sua propriedade ortogonal. Por­ tanto, escrevendo no formato exponencial temos, f(x) = 1 2π ∫ ∞ −∞ [∫ ∞ −∞ f(x′)eikx ′ dx′ ] e−ikxdk (4.22) E por fim, f(x) = 1 2π ∫ ∞ −∞ F (k)e−ikxdk (4.23) Onde, F (k) = 1 2π ∫ ∞ −∞ F (k)e−ikxdk (4.24) se considerarmos que x′ = x, então a função F (k) se torna a transformada de Fourier de f(x). 44 Métodos Computacionais e Ferramentas 4.2.1 Análise de frequências por Transformada Rápida de Fou­ rier ­ FFT Para realizarmos a análise de frequências do sistemas orbitais devemos utilizar de uma ferramenta, como a transformada rápida de Fourier ­ FFT, para obter as frequências associadas ao sistema. Como o sistema estudado neste projeto é o problema de três corpos de forma geral, existirá uma frequência associada a res­ sonância do sistema do segundo corpo com a partícula teste (terceiro corpo). Logo tomando a transformada de Fourier para ambos, pode­se obter a relação entre os períodos dos mesmos. A análise deve ser feita no sistema de referencial inercial para estabelecer a relação de rotação entre os corpos do sistema. Devido a pro­ priedade das órbitas com µ > 0.01 não podemos utilizar os elementos orbitais para obter as frequências, já que para sistemas próximos a estelares binários, as órbitas instantâneas deixam de ser keplerianas. Logo a variação dos elementos orbitais não retornam resultados válidos. A transformada rápida de Fourier (FFT) é umas das ferramentas mais importan­ tes na análise de sinais em diversas áreas da física, contudo para que um compu­ tador a calcule com eficiência é necessário utilizar­se da FFT discreta, que consiste em um algoritmo de ordem O[NlogN ] que determina uma somatória [12, 7], Xk = N−1∑ n=0 xne −i2πkn/N (4.25) O algoritmo utilizado nos cálculos numéricos desta dissertação foi o implemen­ tado na biblioteca NumPy da linguagem de programação Python [35] similar as ro­ tinas numéricas de métodos aplicados em FORTRAN. Como o integrador utilizado IAS15 é de passo adaptativo, o espaçamento entre os pontos, no caso, os relacionados ao tempo de integração, não são igualmente distantes. Logo a FFT não pode ser feita diretamente com os resultados reportados pelo software, o que implicaria em resultados falhos. Para isso é necessário realizar a interpolação dos dados. O método de interpolação de Spline foi utilizado para a análise de frequência. As coordenadas cartesianas escolhidas para cada caso se diferenciam para o caso do segundo corpo e da partícula teste. Como o problema estudado se trata Estabilidade e Indicadores Caóticos 45 de um problema circular de três corpos, a órbita do segundo corpo é descrita por um movimento circular, portanto, para a análise de frequências, a coordenada r em relação ao centro de massa não consegue fornecer informações suficientes sobre a frequência da órbita devido ao movimento circular. No caso do terceiro corpo, de­ vemos utilizar a coordenada r já que ela contém informações sobre as coordenadas cartesianas x e y. 4.3 Estabilidade e Indicadores Caóticos De modo geral, a estabilidade de um sistema dinâmico pode ser testada através de um indicador caótico. Podemos citar como exemplo: RLI (Relative Lyapunov indicator) , FLI (Fast Lyapunov indicador) ,LCN (Lyapunov Characterisc Number) , MEGNO (Mean Exponential Growth factor of Nearby Orbits), SALI/GALI (Smaller and the Generalized Alignment Index methods of chaos detection) [39, 6, 9, 3, 40]. Com a finalidade de estudar a estabilidade de órbitas, o pacote numérico RE­ BOUND disponibiliza a ferramenta MEGNO para determinar caos em órbitas, a qual foi utilizada na construção de mapas de estabilidade. 4.3.1 MEGNO A introdução do MEGNO inicialmente foi realizada por [3] para análises de siste­ mas galáticos e utilizada em aplicações em sistemas planetários por [9]. O desen­ volvimento do MEGNO surge a partir da dificuldade do LCN prover características da estrutura regular do espaço de fase do sistema, fator decorrente da própria defi­ nição do LCN, descrita pela equação 4.26 que segue abaixo. σ(γ) = lim t→∞ 1 t ln δ(γ(t)) δ0 (4.26) onde, se o limite existir, admitindo que δ0 seja pequenas variações de γ nos limites de integração, a função δ(γ(t)) satisfaz as equações variacionais de sua própria derivada δ̇. A equação 4.26 pode ser escrita na forma integral da seguinte forma, 46 Métodos Computacionais e Ferramentas σ(γ) = lim T→∞ 1 T ∫ T 0 δ̇(γ(t)) δ(γ(t)) dt ≡ ⟨ δ̇ δ ⟩ (4.27) O autor define como Mean Exponential Growth factor of Nearby Orbits a função ȷ, ȷ(γ(T )) = lim T→∞ 2 T ∫ T 0 δ̇(γ(t)) δ(γ(t)) tdt (4.28) Então, para as órbitas periódicas ou quasiperiódicas σr, ȷ(γ(T )) ≈ 2 ( 1− ln(1 + λγrT ) λγrT +O(γr(T )) ) (4.29) Sendo, λγr > 0 o termo linear de divergência na região vizinha das órbitas perió­ dicas e quasiperiódicas γr. Já o termo O(γr(T )) representa o termo oscilatório que, na média é nula. O termo regular δ(γ(t) é aproximado para δ ≈ δ0[1 + λt + tu(t)], onde u(t) é a função oscilatória de t que em módulo é limitada por λ. Nesse caso, é notório que a medida que T se torna grande o suficiente o valor da função do MEGNO ȷ oscila em torno de dois e para T → ∞ escrevemos sua amplitude como, |ȷ(γr(T ))− 2| < 4 ln λγr + b λγr − b (4.30) onde b é o termo variável presente na inequação que descreve a limitação de |u(t)| < b < λ. Logo, para as órbitas quasiperiódicas o termo O(γr(T )) representa pequenas oscilações que são desconsideradas, permitindo escrever, ȷ(γr) ≡ ȷr. No caso onde γr for, ou, estar bem próximo de uma órbita periódica, o termo O(γr(T )) apresenta pequena amplitude de característica periódica. O MEGNO também é descrito na literatura como < Y > 4.3.2 Mapas de Estabilidade Mapas de estabilidade por definição, consistem em grids de condições iniciais (CI), como, por exemplo, semieixo maior e excentricidade, onde cada ponto é inte­ grado numericamente no pacote REBOUND em um determinado período de tempo Estabilidade e Indicadores Caóticos 47 utilizando a funcionalidade do MEGNO. A cada passo de iteração, o MEGNO é cal­ culado a partir das equações variacionais do problema e retorna o valor associado ao indicador. Nos casos onde esse valor convergir para 2 é determinado que esta órbita é regular até o momento. Os casos caóticos são aqueles em que o valor é maior que 2 e/ou possui um comportamento exponencial ao longo tempo. As órbitas que escapam ou colidem também são apresentadas no mapa de estabilidade. Segundo os autores [23, 26] o tempo de integração necessário para observar resultados coerentes utilizando o MEGNO no problema de três corpos é de 5×104 ≈ 105 períodos orbitais de um sistema binário normalizado (Sol ­ Júpiter). A figura 4.1 exemplifica um mapa de estabilidade, considerando colisões e escapes. Figura 4.1: Exemplo de mapa de estabilidade para a região 2/­1 retrógrada do CR3BP. Fonte: Autor Vale ressaltar que em problemas coplanares é necessário uma modificação para garantir que não exista nenhuma contribuição do eixo z tanto nas equações variaci­ onais do MEGNO quanto na renormalização do vetor posição, pois, a medida que o tempo evolui numericamente, erros são acumulados nessa coordenada e isso causa efetivamente variações na determinação do indicador caótico. Erros de ordem 10−15 em z causam interferência nos resultados obtidos do MEGNO. 5 CR3BP retrógrado em sistemas estelares Para analisar o espaço de fase e as ressonâncias existentes no problema circular de três corpos em duas dimensões, o uso de seções de Poincaré se torna uma ferramenta importante, conforme discutido na seção 2.5. Os casos estudados neste projeto são uma extensão daqueles realizados em [23], os quais se limitam aos casos µ ≤ 0.01. Utilizando a equação de Jacobi 2.37 e escrevendo de forma usual para o CR3BP, C = x2 + y2 − (ẋ2 + ẏ2) + 2(1− µ) r1 + 2µ r2 (5.1) sendo µ a relação de massa entre o sistema binário (estrela­planeta), onde r21 = (x + µ)2 + y2 e r22 = (x− 1 + µ)2 + y2. As seções foram construídas no plano (x­y), assumindo ẋ0 = 0 e ẏ0 obtido a partir da equação 5.1. ẏ0 ± √ x2 0 + y20 + 2(1− µ) |x0 + µ| + 2µ |1− (x0 + µ)| − C (5.2) Transformações do referencial baricêntrico para o astrocêntrico foram utilizadas [23], x1 = x0 + µ ẋ1 = ẋ0 − y1 (5.3) y1 = y0 + µ ẏ1 = ẏ0 − x1 (5.4) Então, para garantir órbitas retrógradas, as coordenadas cartesianas devem as­ sumir as seguintes características x1 > 0 e ẏ0 < −x1 ou ẏ0 > −x1. Podemos obter o 49 50 CR3BP retrógrado em sistemas estelares limite do valor da constante de Jacobi para a órbita retrógrada a partir da substituição de ẏ0 = −x1 escrevemos, Cmin < 2(1− µ) |x0 + µ| + 2µ |x0 − 1 + µ| − µ(µ+ 2x0) (5.5) O valor de µ altera o valor mínimo da constante de Jacobi para a órbita retró­ grada. As condições iniciais para o grid da seção de Poincaré são: −3 < x < 3, variando de 0.1 a cada passo e 0 < ẋ0 < 0.8 variando de 0.1 a cada passo, defi­ nindo x = x0 + µ. As seções construídas na região de Cmin < C < (Cmin − K), sendoK ≤ 1.5, em passos de 0.1, os quais demonstraram ser suficientes para veri­ ficar a mudança no espaço de fase. Em casos esporádicosK pode assumir valores menores que 1.5 de acordo com µ. A escolha das condições iniciais em coordenadas cartesianas permite observar o comportamento das órbitas nas regiões de oposição (y = 0, x < 0) e conjunção (y = 0, x > 0). As seções de Poincaré foram determinadas definindo que C(x, y = 0, ẋ, ẏ), onde os valores de ẏ são obtidos a partir da equação de Jacobi. Para garantir as órbitas retrógradas, consideramos que x > 0, ẏ < 0 ou x < 0, ẏ > 0. Os pontos da seção para ẋ = 0 e y = 0 correspondem as órbitas no pericentro ou no apocentro, de acordo com os valores de x e da constante de Jacobi. As ressonâncias foram identificadas a partir da escolha de um dos lados da seção, sendo ẏ > 0. As equações de movimento para o CR3BP foram integradas numericamente até 104 períodos orbitais do corpo secundário planeta/estrela binário e as seções foram obtidas através do método da bisseção durante cada passo da iteração. Neste estudo, sistemas binários estelares (µ > 0.01) foram considerados. Uma busca pelo espaço de fase visando observar ressonâncias retrógradas do tipo: 2/­1, 1/­1, 1/­2, 3/­2, 2/­3 foi realizada. Todas as seções estão anexadas em um link no apêndice A junto a um arquivo do tipo gif que demonstra a evolução das figuras a medida que o valor da constante de Jacobi varia. Devido a elevada quantidade dados, somente serão abordados com imagens alguns casos, porém todos eles foram analisados e serão descritos no corpo do texto. CR3BP retrógrado em sistemas estelares 51 Tabela 5.1: Tabela de valores de constante de Jacobi nos gráficos de nível µ C 0.005 0.63 0.2 ­0.2 ­0.6 ­1.0 ­1.4 ­1.8 0.01 0.61 0.2 ­0.2 ­0.6 ­1.0 ­1.4 ­1.8 0.05 0.37 ­0.0 ­0.4 ­0.8 ­1.2 ­1.6 ­2.0 0.06 0.31 ­0.1 ­0.5 ­0.9 ­1.3 ­1.7 ­2.1 0.07 0.25 ­0.2 ­0.6 ­1.0 ­1.4 ­1.8 ­2.2 0.08 0.19 ­0.2 ­0.6 ­1.0 ­1.4 ­1.8 ­2.2 0.09 0.13 ­0.3 ­0.7 ­1.1 ­1.5 ­1.9 ­2.3 0.1 0.07 ­0.3 ­0.7 ­1.1 ­1.5 ­1.9 ­2.3 0.2 ­0.56 ­1.0 ­1.4 ­1.8 ­2.2 ­2.6 ­3.0 0.3 ­1.20 ­1.6 ­2.0 ­2.4 ­2.8 ­3.2 ­3.6 0.4 ­1.87 ­2.3 ­2.7 ­3.1 ­3.5 ­3.9 ­4.3 0.5 ­2.56 ­3.0 ­3.4 ­3.8 ­4.2 ­4.6 ­5.0 A tabela 5.1 apresenta os diferentes valores da constante de Jacobi com es­ paçamento 0.4 entre as curvas de nível para verificar se os mesmos cruzam as regiões de ressonância citadas. As linhas verticais vermelhas nas figuras de gráfico de nível apresentadas representam as regiões de ressonância 1/­1,2/­1,1/­2,3/­2 e 2/­3. A figura 5.1 apresenta as curvas de nível relacionadas a constante de Jacobi e as linhas de ressonâncias no grid de condições iniciais de semieixo maior por ex­ centricidade, implicando que em determinados valores da constante seja possível observar determinadas ressonâncias. 52 CR3BP retrógrado em sistemas estelares 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 e Conjunção e Pericentro Conjunção e Apocentro 0.5 1.0 1.5 2.0 a 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 e Oposição e Pericentro 0.5 1.0 1.5 2.0 a Oposição e Apocentro μ=0.1 (a) 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 e Conjunção e Pericentro Conjunção e Apocentro 0.5 1.0 1.5 2.0 a 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 e Oposição e Pericentro 0.5 1.0 1.5 2.0 a Oposição e Apocentro μ=0.3 (b) 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 e Conjunção e Pericentro Conjunção e Apocentro 0.5 1.0 1.5 2.0 a 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 e Oposição e Pericentro 0.5 1.0 1.5 2.0 a Oposição e Apocentro μ=0.5 (c) Figura 5.1: Gráficos de curva de nível para diferentes valores de µ e configurações. As curvas são apresentadas da esquerda para a direita referentes aos valores crescentes de constante de Jacobi segundo a tabela 5.1. CR3BP retrógrado em sistemas estelares 53 Foi realizada uma investigação nas seções de Poincaré nos valores de relação de massa entre o sistema binário 0.05 ≤ µ ≤ 0.1 em passos de 0.01 e 0.1 ≤ µ ≤ 0.5 em passos de 0.05. Devido ao número de figuras, somente asmais relevantes serão apresentadas e as demais serão anexadas no apêndice e disponibilizadas online. Em todos os casos com mu não nulo temos um sistema perturbado, portanto, a análise das ilhas ressonantes no espaço de fase fornecerá resultados referentes ao sistema perturbado. É notório que nesses casos existe a destruição das ilhas res­ sonantes presentes no espaço de fase conforme o aumento da massa do binário. Podemos descrever essa perturbação a partir da aproximação da partícula teste com o sistema binário estelar afetando diretamente a órbita da partícula, como a massa de ambas estrelas é de mesma ordem é de se esperar oscilações com am­ plitude significativa conforme a distância da partícula teste se aproxima do oscilador estelar, o mesmo efeito é observado em sistemas binários Sol­Planeta porém com amplitudes inferiores em tais variações. Nas seções apresentadas as órbitas rela­ cionadas a caos, escapes e colisões não foram descartadas, pois tais resultados podem trazer informações de grande relevância para o entendimento da dinâmica do sistema. Para garantir que a Análise de Fourier extraia todas as características da di­ nâmica da órbita da partícula teste, a Transformada Rápida de Fourier (FFT) foi realizada na coordenada r(x, y) (distância da partícula até o centro massa) e X no referencial inercial, as quais apresentaram resultados ligeiramente desviados do es­ perado. Contudo, a análise de Fourier não foi suficiente para determinar as resso­ nâncias em sistemas com características de binários/circumbinários, nesses casos a razão entre as frequências dos corpos sofre desvios impedindo a determinação de tais ressonâncias. Teste com periodogramas como o Lomb­Scargle também foram realizados e os resultados se assemelham. Neste capítulo as ressonâncias serão abordadas de duas formas, sendo a pri­ meira descrita por relações com o toro invariante analisado, ou seja, entre as ilhas ressonantes obtidas numericamente. Uma segunda abordagem de análise é a frequência da órbita que gerou tais ilhas. Conforme abordado, a frequência nas órbitas está desviada do esperado sendo que não foi possível determinar a causa tal efeito. Acreditamos que isso é causado pelo fato de não estar analisando exata­ 54 CR3BP retrógrado em sistemas estelares mente a órbita periódica. Este desvio começa a ser observado de forma significativa para órbitas e ressonâncias orbitais em casos de µ > 0.01. Iremos utilizar a nomenclatura de ressonância orbital para se referir das res­ sonâncias entre órbitas, e, entre as ilhas iremos nos referir de ressonância. Ambos casos possuem uma relação de conjunção e ressonância a qual será discutida com mais detalhes a frente. Nos casos de ressonâncias orbitais analisamos as condições iniciais nos cen­ tros das ilhas ressonantes, as quais seriam as soluções periódicas ou razoavel­ mente próximas de periódicas. É observado nas frequências obtidas pela FFT que para os casos estelares, apesar das condições iniciais serem referentes a soluções muito próximas as periódicas, existem diferenças nas frequências obtidas para res­ sonâncias orbitais de mesma ordem em diferentes condições iniciais, isso ocorre somente no referencial inercial, pois no caso do referencial sinódico as órbitas são exatamente periódicas. De acordo com Broucke [2], o CR3BP possui soluções periódicas de períodos variáveis, diferentemente do problema do elíptico (ER3BP) o qual, permite somente soluções múltiplas de 2π. Portanto, as variações nas frequências obtidas são es­ peradas no CR3BP. A tabela 5.2 apresenta uma série de frequências obtidas para diferentes condições iniciais em diferentes seções de Poincaré entre os valores de µ = 0.05 a µ = 0.4. A primeira coluna apresenta a frequência obtida, a segunda co­ luna a ressonância de movimento médio (ressonância orbital) esperada, a terceira coluna o valor de µ e por fim a variação em torno da frequência esperada. Algumas frequências apresentadas na tabela estarão associadas as seções de Poincaré no decorrer deste capítulo, sendo as ilhas referentes demarcadas pela nomenclatura f . CR3BP retrógrado em sistemas estelares 55 Tabela 5.2: Tabela comparativa entre as frequências obtidas por meio da FFT com as esperadas para os valores da massa binária µ = 0.05 a µ = 0.4. As ressonâncias orbitais analisadas foram 1/­1, 1/­2, 2/­3 e 1/­3. f MMR µ │∆f│ Figura f1 0.4867 1/­2 0.05 0.0133 5.2a f2 0.8122 2/­3 0.05 0.1522 5.2a f3 1.0393 1/­1 0.1 0.0393 5.3a f4 0.5105 1/­2 0.1 0.105 5.3b f5 1.1189 1/­1 0.2 0.1189 5.8a f6 0.7954 2/­3 0.2 0.1354 5.9 f7 0.5189 1/­2 0.2 0.0189 5.8b f8 0.8073 2/­3 0.3 0.1473 5.12a f9 0.5329 1/­2 0.3 0.0329 5.12b f10 0.342 1/­3 0.3 0.0086 5.13a f11 0.34274 1/­3 0.4 0.01406 5.14a A Figura 5.2 ilustra a seção de Poincaré para µ = 0.05. Na Figura 5.2a a condição se C = −1.3 e ẏ > 0. Observamos dois tipos de ressonância, sendo uma delas associada a frequência orbital f1, equivalente a uma ressonância orbital do tipo 1/­ 2, já o segundo caso é conjunto de cinco ilhas em torno de uma órbita circular, com a frequência f2 próximo a 0.8, indicando uma ressonância próxima a 2/­3 , tal ressonância será discutida com mais detalhes a frente em casos semelhantes para diferentes valores de µ. As frequências estão apresentadas na Tabela 5.2. 56 CR3BP retrógrado em sistemas estelares (a) C = ­1.3, ẏ > 0; Figura 5.2: Seções de Poincaré para µ = 0.05. A Figura 5.3 apresenta os casos de seções de Poincaré para µ = 0.1. É apre­ sentado na Figura 5.3a a condição se C = −1.2 e ẏ > 0, onde foi observado uma ressonância coorbital (1/­1) com libração em ϕ∗ = π, a qual está demarcada nas ilhas nas regiões de ẋ = 0, x ≈= −1.06 e x ≈ −0.85, sendo que as frequências associadas as ilhas estão descritas na Tabela 5.2. O valor neste caso da f3 é de aproximadamente 1, e as ilhas estão dispostas em configurações quasi­periódicas, o que indica uma solução muito próxima de periódica, portanto, é razoável assumir que a frequência obtida neste caso implica em tal ressonância orbital. As ressonân­ cias apresentadas na tabela 5.2 demarcadas por f2,f6 e f8 apresentaram osmaiores desvios observados se comparados com o esperado. CR3BP retrógrado em sistemas estelares 57 (a) C = ­1.2, ẏ > 0 (b) C = ­1.8, ẏ > 0 Figura 5.3: Seções de Poincaré para µ = 0.1. 58 CR3BP retrógrado em sistemas estelares Dado o total de ilhas k relacionados a ressonância do espaço de fase podemos escrever obter a ressonância orbital a partir da seguinte relação 1/(kTconj). Portanto, neste caso podemos estabelecer para as órbitas retrógradas a seguinte relação entre as ressonâncias entre ilhas e ressonâncias orbitais: • Ressonância no espaço de fase do CR3BP são do tipo Q/P onde Q e P são primos entre si, dados pelo tempo de conjunção, medidos a partir do intervalo de cruzamento entre cada ilha; • A transformação da ressonância do espaço de fase para a ressonância orbital no formato p/q é estabelecida a partir da relação de conjunção entre o período orbital e de conjunção, tal relação é dada por q = Q e p = P − q. A Figura 5.4 apresenta a diferença dos intervalos de cruzamento na seção de Poincaré por período de alguns exemplos de ressonâncias, as quais serão abor­ dadas neste capítulo. As linhas acinzentadas pontilhadas indicam as regiões de ressonância entre as ilhas de 3/4, 2/3 e 1/2. As frequências obtidas por meio da diferença do intervalo para cada ponto indica frequências próximas. Isso é cau­ sado pelo fato da escolha da condição inicial não estar exatamente na condição periódica, o que se mostrou nada trivial em tais sistemas. Nestes casos haverá um desvio associado a frequência das ilhas, as quais serão proporcionais a parâmetros do sistema como µ e ordem de ressonância e são esperados conforme já discu­ tido. Foram observados as seguintes frequências entre as ilhas: a frequência em cor verde próximo a 0.74 indica a ressonância orbital 1/­3 com frequências entre as ilhas próximas de 3/4, a qual pode ser obtida pela relação descrita acima por q = Q e p = P − q, sendo 3/4, Q = q = 3 e P = 4, isso implica que p = 1 e portanto a ressonância orbital é p/q = 1/3. De forma semelhante, para os demais casos podemos obter as ressonâncias orbitais 1/­1 e 1/­2 a partir das frequências entre as ilhas 1/2 e 2/3 respectivamente. A linha vermelha, próxima a 0.5, indica uma ressonância (2/­3) a qual não foi possível identificar por este método que, por sua vez, está relacionada as frequências com maiores desvios apresentados na tabela 5.2, iremos discutir esse caso não identificado logo a frente. CR3BP retrógrado em sistemas estelares 59 Figura 5.4: Plot do intervalo entre cruzamentos na seção de poincaré divido pelo número de órbitas/períodos. As linhas cinzas apresentam as frequências fixas de cruzamento e as cores: verde, laranja e azul estão associadas as ressonâncias orbitais retrógradas 1/3, 1/2 e 1/1 respectivamente. A linha vermelha indica uma ressonância, a qual não foi possível identificar através das frequências Neste caso é válido estabelecer a regra associada ao número total de ilhas des­ crita pelo autor Murray [25], com a ressalva de ser uma ressonância orbital retró­ grada, o que implica que tal ressonância será descrita da seguinte forma: p+q = ki, sendo k o número total de ilhas associadas no espaço de fase. A tabela 5.3 apresenta as ressonâncias identificadas utilizando o tempo de con­ junção relacionado com o número total de ilhas do espaço de fase. Contudo, existe um tipo de ressonância que é observada continuamente no espaço de fase para os valores de µ = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3 totalizando 5 ilhas apresentando uma órbita externa com o maior desvio observado, a qual se trata de uma ressonância 2/­3. Tal resso­ nância será discutida com mais detalhes no decorrer do texto. É notório que tanto os resultados apresentados pela FFT na Tabela 5.2 quanto os apresentados na Ta­ bela 5.3 demonstraram convergência, porém, em geral, a FFT não permite obter as frequências exatas/quasi­exatas em todos casos. Na Figura 5.3b para C = −1.8 e ẏ > 0 é possível identificar a ressonância orbital 1/­2 pelas duas ilhas em ẋ ≈ ±0.16, x ≈ −1.10 em conjunto a ilha localizada em 60 CR3BP retrógrado em sistemas estelares Tabela 5.3: Tabela referente a identificação de ressonâncias orbitais por meio do tempo de conjunção (frequência entre as ilhas). A primeira, segunda e terceira co­ lunas indicam o conjunto de ilhas para cada ressonância, o tempo de conjunção (frequência da seção) e o total de ilhas (k) associadas. A quarta e quinta colunas apresentam a ressonância orbital e massa do binário, por fim a última coluna indica qual os resultados estão ilustrados. f Tconjuno Total de Ilhas (k) Período da órbita periódica (1/(kTconjuno) µ Figura f1 2/3 3 1/­2 0.05 5.2a f2 1/2 5 ? 0.05 5.2a f3 1/2 2 1/­1 0.1 5.3a f4 2/3 3 1/­2 0.1 5.3b f5 1/2 2 1/­1 0.2 5.8a f6 1/2 5 ? 0.2 5.9 f7 2/3 3 1/­2 0.2 5.8b f8 1/2 5 ? 0.3 5.12a f9 2/3 3 1/­2 0.3 5.12b f10 3/4 4 1/­3 0.3 5.13a f11 3/4 4 1/­3 0.4 5.14a ẋ = 0 e x ≈ −1.50. Já a ilha singular em x ≈ −1.5 e ẋ = 0 associada a órbita circular. Nos casos citados as ressonâncias orbitais possuem libração de ϕ∗ = π. Esta ressonância em geral trata­se de um caso especial de ressonâncias de ordem 3, onde observa­se uma bifurcação relacionada ao tipo parabólica, surgindo de uma ilha ressonante 1/1 (ponto elíptico) e separando em uma ressonância 2/3 por pon­ tos hiperbólicos na borda da ilha formada [8]. Este fenômeno está presente em todos os valores de µ, estudados porém para valores da massa do binário iguais ou superiores a 0.4 tal fenômeno surge em cerca C = 2.0. Para µ = 0.1 as ressonâncias orbitais 1/­1 estão presentes nas seções para os valores de C = 0 até C = −1.2, já as ressonâncias orbitais 1/­2 começam a existir nos valores de C = −1.6 até C = −1.8. Nos casos de C = −1.9 e C = −2.0 foi possível observar ressonâncias do tipo 1/­3 com libração ϕ∗ = π, a ressonância orbital 1/­4 foi observada para C = −1.3 librando em π. A Figura 5.5a apresenta os elementos orbitais para a ressonância 1/­1 obser­ vada na seção de C=­1.2 para µ = 0.1. É observado que o ângulo ressonante coorbital neste caso possui um comportamento periódico de libração em 180 e cir­ CR3BP retrógrado em sistemas estelares 61 culação, é de verificar que o período de circulação está associado aos momentos que o semieixo está mais próximo ao par binário, o que poderia tornar aproximação dos elementos orbitais inválidos neste caso, explicando tal circulação. A transforma­ ção das condições iniciais dos elementos orbitais indica que o semieixo maior está desviado em 0.16 do esperado, já que pela terceira lei de Kepler para µ << 0.1, tal configuração deveria ser observada em aprev ≈ 1. Já na Figura 5.5b, é verificado que o ângulo referente a ressonância 1/­2 libra em 180 para a condição inicial x0 = 2.03 na seção C = −1.8 sem óbvios efeitos pertur­ bativos na aproximação de dois corpos. Também é verificado que a condição inicial em elementos orbitais está relativamente próximos do previsto para a ressonância 1/­2 (aprev ≈ 1.59). Existem variações periódicas no ângulo ressonante ocasionando amplitudes próximas a 80 graus, sendo possíveis efeitos causados pelo elevado va­ lor da massa do binário. Em ambos casos é possível verificar que os elementos orbitais não retornam resultados esperados já que os ângulos ressonantes possuem librações em mais de um dos ângulos, mesmo que a órbita indique um shape de ressonância orbital do tipo 1/­2, por exemplo. (a) C = ­1.2, x0 = −1.075, y0 = 0; a0 ≈ 1.16, e0 ≈ 0.073 (b) Referencial Girante Figura 5.5: Análise dos elementos orbitais em função dos períodos para µ = 0.1. Gráfico referente ao semieixo maior, excentricidade e ângulos ressonantes em função do tempo; a) Ângulos ressonantes 1/­1 em preto e 1/­2 em vermelho observada na seção C=­1.8; b) Referencial girante da orbita apresentada em (a); ambos casos possuem librações em 180, contudo a amplitude da 1/­1 é menor que a 1/­2. As condições iniciais estão descritas em cada caso em suas legendas. 62 CR3BP retrógrado em sistemas estelares (a) C = ­1.8, x0 = 2.03, y0 = 0; a0 ≈ 1.615, e0 ≈ 0.2507 Figura 5.6: Análise dos elementos orbitais em função dos períodos para µ = 0.1. Gráfico referente ao semieixo maior, excentricidade e ângulo ressonante 1/­2 em função do tempo; a) Ângulo ressonante 1/­2 observada na seção C=­1.8. As condições iniciais estão descritas em cada caso em suas legendas. No caso das ressonâncias coorbitais podemos utilizar a relação de cruzamento da seção ẏ > 0 ou ẏ < 0 para identificar a libração da ressonância. A ressonância 1/­1 é representada no espaço de fase da superfície como duas ilhas, se caso ẏ > 0 e ambas ilhas estarem simétricas em ẋ = 0. Isso implica que se trata de uma ressonância com libração em ϕ∗ = π caso elas sejam simétricas, mas para ẋ ̸= 0 sua libração é em ϕ∗ = 0. O contrário ocorre para ẏ < 0, caso as ilhas estejam em ẋ = 0 elas serão de libração ϕ∗ = 0, se elas estiverem dispostas em ẋ ̸= 0 serão do tipo libração ϕ∗ = 0. Essa análise foi observada de forma empírica para todas as ressonâncias do tipo coorbital existentes na investigação desse espaço de fase. Nem sempre é possível utilizar os elementos orbitais para observar o compor­ tamento do ângulo ressonante de forma semelhante, como é realizado para casos onde µ é de ordem 0.01. Os encontros próximos com o binário causam variações não desejadas pois o problema se torna perturbado e aproximações de dois cor­ pos são inválidas em certos momentos. Portanto, em casos que tal fator ocorre, o tipo de libração deve ser comparado com órbitas de casos onde a massa do binário é pequena, como, por exemplo, µ = 0.001. O sentido do ”laço”que as ressonân­ cias 1/­1, 1/­2 descrevem permite verificar qual seu tipo de libração, onde caso o ”laço”seja no sentido a esquerda ele é referente a uma órbita com libração ϕ = 0, já CR3BP retrógrado em sistemas estelares 63 1/−1 φ∗ = 0 φ∗ = π 1/−2 2/−1 Figura 5.7: Orbitas no referencial sinódico respectivamente: 1/­1, 1/­2 e ­2/1 nas configu­ rações ϕ∗ = 0 e π para a direita é de libração ϕ = π. Para as ressonâncias 2/­1 é necessário verificar o sentido entre ’laços’, podendo ocorrer tanto na vertical (ϕ∗ = π) quanto na hori­ zontal (ϕ∗ = 0), conforme pode ser observado na Figura 5.7, a qual descreve tais órbitas em casos periódicos. Este comportamento tende a se estender de acordo com a ordem de ressonância, logo uma ressonância externa, como por exemplo a 2/­3, tera um shape orbital similar a ressonância 1/­2, porém com mais ’laços’ e o mesmo ocorre para os casos de ressonâncias internas como 3/­2, a qual tera um shape semelhante a 2/­1 alterando somente a quantia de ’laços’ entrelaçados. A Figura 5.8 indica as seções de Poincaré onde a massa do binário assume o valor de µ = 0.2. Para o caso onde C = −1.2 e ẏ > 0, reportado na Figura 5.8a, foi observado somente uma ressonância próxima a coorbital referente ao centro das duas ilhas existentes nesse espaço de fase. A frequência obtida da órbita é de f5 ≈ 1.11, o que indicaria uma ressonância orbital 10/­9, porém isso só poderia ocorrer se fossem observadas ao menos 19 ilhas no espaço de fase, ou caso seja uma órbita quasi periódica, as ilhas estão dispostas nas condições iniciais de x ≈ −1.15 64 CR3BP retrógrado em sistemas estelares e x ≈ −0.65 para ẋ = 0, descrevendo uma libração do tipo ϕ∗ = π com órbita similar ao caso 1/­1 para µ = 0.1. CR3BP retrógrado em sistemas estelares 65 (a) C = ­1.1, ẏ > 0 (b) C = ­1.7, ẏ > 0 Figura 5.8: Seções de Poincaré para µ = 0.2. 66 CR3BP retrógrado em sistemas estelares De forma similar apresentado na figura 5.8b, para C = −1.7 e ẏ > 0 é observado a ilha referente a órbita circular em y = 0 e x ≈ 1.37, as duas ilhas observadas em ẋ ≈ ±0.21 e x ≈ −1.95 em conjunto com a localizada em ẋ = 0 e x ≈ −0.94 são referentes a uma ressonância próxima do tipo 1/­2, com frequência f7 ≈ 0.51, a qual descreve ilhas de ressonâncias 1/3 que por sua vez é 1/­2 orbital pela regra da conjunção citada anteriormente. As ilhas dispostas em torno da ressonância orbital 1/­2 descrevem um total de 15 ilhas as quais são uma ressonância do tipo externa sendo que não foi possível identifica­la, devido a efeitos semelhantes aos discutidos na Figura 5.4, os quais serão abordados com mais detalhes a seguir. Figura 5.9: Seções de Poincaré para µ = 0.2 para C=­1.3. No caso onde C = −1.3 e ẏ > 0 foram identificadas cinco ilhas referentes que possivelmente indicariam uma ressonância orbital do tipo 2/­3 ou 1/­4, porém a frequência obtida neste e em casos similares é de aproximadamente 0.8 o que indica uma ressonância com frequência próxima a 2/­3, sendo que sua órbita é semelhante a uma ressonância 2/­3. Uma análise para massas do binário inferior demonstrou que essa família surge em µ = 0.02 como consequência de uma bifurcação da órbita circular em conjunto com uma família de ressonância de mesmo tipo para excentri­ CR3BP retrógrado em sistemas estelares 67 cidades maiores, sendo que esta família existe nos valores limites de C = −1.3 a C = −1.35 até o limite de µ = 0.3. O semieixo maior desta orbita possui variações causados pela perturbação do sistema, não permitindo verificar seu comportamento ao longo do tempo, mesmo que para períodos curtos. Porém o total de ilhas não é 9. Esta ressonância também está presente para C = −1.4 com libração do tipo ϕ∗ = π, tal família surgem para valores da massa do binário de 0.02 em C = −1.3 até a massa do binário de 0.3. A frequência obtida neste caso é de f6 = 0.7954. A Figura 5.10 apresenta a órbita no referencial girante, contudo vale ressaltar que estes casos se tornam nada trivi­ ais e achar pontos que indicam órbitas periódicas torna­se uma tarefa complicada, portanto assumimos que nesse caso a órbita está muito próxima de ser periódica e que desvios na órbita/frequência podem ser causadas por tal motivo. Figura 5.10: Órbita no referencial girante para C=­1.3, x0 = −0.76 e µ = 0.2. Essa órbita tem o comportamento similar ao caso de uma ressonância orbital 2/­3. A Figura 5.11 apresenta a órbita citada anteriormente no referencial inercial. Observa­se que tal órbita aparenta ter uma configuração de ressonância depen­ dente de ambas estrelas, podendo ser ressonantes com as estrelas em momentos diferentes de sua órbita. Uma das possíveis configurações no espaço de fase de ressonância entre as ilhas são três cadeias de ressonância 1/2, o qual explicaria a 68 CR3BP retrógrado em sistemas estelares frequência entre os intervalos obtidos neste caso, que é aproximada de 0.5. Con­ tudo não foi possível explicar o motivo da frequência orbital f6 estar próxima de 0.8, o que implicaria em uma ressonância 4/­5. Figura 5.11: Órbita no referencial inercial para C=­1.3, x0 = −0.76 e µ = 0.2. As órbitas internas circulares são o par binário estrela­estrela, já a órbita em cor vermelha é a partícula teste. Para µ = 0.2, a ressonância orbital 1/­2 foram observadas paraC = −1.6 atéC = −1.8 com libração em ϕ∗ = π, emC = −1.9 atéC = −2.4 foi observado ressonâncias orbitais do tipo 1/­3 razoavelmente exatas. Para as constantes de Jacobi de C = −1.0 eC = −1.1 foi verificado que não existem órbitas circulares e foram observadas ressonâncias coorbitais em pequenas ilhas, implicando que sua existência é limitada a uma pequena região com condições iniciais equivalentes a a0 ≈ 1.075 e e0 ≈ 0.11. Também observamos 7 ilhas que formam uma ressonância orbital do tipo 3/­ 4 em C = −1.2, já em C = −1.4 observamos 8 ilhas que correspondem a uma ressonância 3/­5, sendo estas identificadas a partir da contagem total de ilhas em conjunto com frequência entre os períodos observados. A Figura 5.12 apresenta alguns casos de seções de Poincaré para a massa da binária estelar assumindo o valor de µ = 0.3. No primeiro cenário, onde C = −1.3 reportado na Figura 5.12a foi observado dentro da estrutura que envolve as ilhas, CR3BP retrógrado em sistemas estelares 69 um centro que se trata de uma órbita circular, uma orbita referente as cinco ilhas é observada na parte interna, similar ao caso de µ = 0.2 e µ = 0.1, a frequência f8 é próximo a 0.8, portanto assume­se a configuração é a mesma já que suas órbitas são similares. 70 CR3BP retrógrado em sistemas estelares (a) C = ­1.3, ẏ > 0 (b) C = ­1.6, ẏ > 0 Figura 5.12: Seções de Poincaré para µ = 0.3. CR3BP retrógrado em sistemas estelares 71 Já para C = −1.6 ilustrado na Figura 5.12b é possível observar uma ressonân­ cia próxima a 1/­2 de libração em ϕ∗ = π. Para µ = 0.3 não foram observadas ressonâncias coorbitais, as ilhas apresentadas por f8 são observadas nas seções onde C = −1.3 e C = −1.4, as ressonâncias orbitais próximas de 1/­2 estão pre­ sentes nas seções C = −1.5 até C = −1.9. A ressonância orbital 1/­3 foi observada nas seções C = −2.0 a C = −2.4, conforme pode ser observado na Figura 5.13 para C = −2.1 indicando a frequência orbital associada a f10. A ressonância 3/­5 observada para µ = 0.2 também aparece em µ = 0.3 para C = −1.4 (a) C = ­2.1, ẏ > 0; Figura 5.13: Seções de Poincaré para µ = 0.3. A Figura 5.14 apresenta a ressonância orbital do tipo 1/­3, sendo que esta tam­ bém está presente para C = −1.8 a C = −2.4 com libração do tipo ϕ∗ = 0. A ressonância orbital 1/­2 foi observado somente em C = −1.8. A ressonância orbital 2/­5 está presente para C = −1.8. 72 CR3BP retrógrado em sistemas estelares (a) C = ­1.8, ẏ > 0; Figura 5.14: Seções de Poincaré para µ = 0.4. Para µ = 0.5 o limite dos valores adotados para o espaço de parâmetros não é suficiente para observar ressonâncias com o centro de massa do circumbinário. Para isso seria necessário aumentar o limite do valor de x, bem como a constante de Jacobi. Dentre todas as ilhas ressonantes observadas nas seções de Poincaré, somente dois casos referentes a ressonâncias próximas a coorbitais e dois casos para 1/­3 libraram ϕ∗ em torno 0, todas as demais ressonâncias próximas/exatas observadas possuem librações do tipo ϕ∗ = π para µ ≥ 0.1. Portanto, órbitas com esse tipo de libração em órbitas retrógradas são dominantes no espaço de fase em casos de binários estelares. Uma análise em seções de µ = 0.01 e 0.05 demonstrou a existência de ressonân­ cias com libração em ϕ∗ = 0, sendo estas : 1/­1, 1/­2, 1/­3, 2/­3. O possível motivo de ressonâncias do tipo de libração em π não estarem presentes com frequência em sistemas binários é que a configuração inicial neste casos não é suficientemente estável devido a posição relativa com o par binário, que nestes caso, além de ser CR3BP retrógrado em sistemas estelares 73 massivo e perturbador, estará próximo o suficiente para destruir a estabilidade, logo, um motivo razoável para que somente os casos onde a libração é π de ordem ímpar existam em geral, é que nessas situações a partícula teste e o terceiro corpo estão anti alinhados permitindo assim sua estabilidade em tal região. Conforme citado anteriormente, existe uma perturbação da órbita que pode ser observada nos elementos orbitais em casos onde o movimento se comporta como uma órbita elíptica kepleriana ao longo de curtos períodos. Analisar os elementos orbitais em ressonâncias desse tipo pode, ou não, apresentar informações que se­ jam interessantes de ser analisadas, contudo estes resultados são relativos, sendo dependentes dos seguintes fatores: ordem da ressonância, da massa do binário µ e sua órbita. As Figuras a seguir apresentam as frequências obtidas para alguns casos de res­ sonância discutidos até o momento, considerando os valores de massa do binário µ = 0.05, 0.1, 0.2, 0.3 e 0.4 apresentados nas figuras 5.15,5.16,5.17,5.18 e 5.19 res­ pectivamente. As linhas vermelhas verticais opacas são referências para as confi­ gurações ressonantes 1/­3, 1/­2, 2/­3 e 1/­1. Os valores das frequências estão apre­ sentados em uma janela nos gráficos para cada curva e na tabela 5.2. A legenda das figuras apresenta quais são as ressonâncias. Os picos de maior intensidade nos gráficos demonstram a frequência dominante no sistema, e os picos múltiplos destes com intensidade menor descrevem os harmônicos. A Tabela 5.2 apresenta os resultados das frequências obtidas se comparados com as esperadas. Não é possível afirmar se o desvio observado é causado por µ ou pela órbita ser ou não mais próxima do par binário. Na ressonância 1/­2 e 1/­3 os desvios são na ordem ∆f = 0.0086 − 0.014 para os valores de µ = 0.3 e 0.4, o que implica uma proporcionalidade com µ. Contudo outros aspectos devem ser considerados para concluir o efeito de µ no desvio da frequência observada, sendo o mais importante deles a distância da órbita ao sistema binário, o que irá afetar significativamente a dinâmica da partícula. No que diz respeito a permanência das ressonâncias no espaço de fase, a me­ dida que a massa do binário aumenta é evidente que o espaço de fase irá sofrer alterações, principalmente relacionadas as órbitas estáveis e/ou ressonâncias, por­ tanto conforme a massa do binário varia ressonâncias podem ser deslocadas para 74 CR3BP retrógrado em sistemas estelares Figura 5.15: Espectro de Ressonâncias para µ = 0.05. Onde f1 e f2 são os valores de frequência associados aos picos mais intensos do gráfico separados por cor, sendo os picos menos intensos referentes aos harmônicos. Figura 5.16: Espectro de Ressonâncias para µ = 0.1. Onde f3 e f4 são os valores de frequência associados aos picos mais intensos do gráfico separados por cor, sendo os picos menos intensos referentes aos harmônicos. CR3BP retrógrado em sistemas estelares 75 Figura 5.17: Espectro de Ressonâncias para µ = 0.2. Onde f5, f6 e f7 são os valores de frequência associados aos picos mais intensos do gráfico separados por cor, sendo os picos menos intensos referentes aos harmônicos. Figura 5.18: Espectro de Ressonâncias para µ = 0.3. Onde f8, f9 e f10 são os valores de frequência associados aos picos mais intensos do gráfico separados por cor, sendo os picos menos intensos referentes aos harmônicos. 76 CR3BP retrógrado em sistemas estelares Figura 5.19: Espectro de Ressonâncias para µ = 0.4. Onde f11 é o valor de frequência associado ao picos mais intensos do gráfico, sendo os picos menos intensos referentes aos harmônicos. diferentes valores de energia ou sofrer bifurcações. Neste sentido observamos que as ressonâncias coorbitais (1/­1) existem até o limite de µ = 0.3, sendo que neste valor de massa do binário sua existência está limitada a pequenas ilhas no espaço de fase, possuindo soluções muito próximas de periódicas. A ressonância 1/­2 e 1/­3 foi observada até o valor limite de massa do binário de µ = 0.4. A ressonância 3/­5 foi verificada somente para µ = 0.2 e µ = 0.3. Já a ressonância 3/­4 foi obtida somente para µ = 0.2. 6 Estabilidade do problema geral de três corpos retrógrado planar Neste capítulo estudamos o problema geral de três corpos retrógrado planar bem como regiões de ressonância em diferentes configurações iniciais, sendo estas relacionadas aos ângulos ressonantes críticos ou de variação de massas. Contudo, a fim de buscar possíveis soluções existentes no universo, assumimos órbitas que estão muito próximas ao plano, ou seja, com inclinação inc = 180, porém assumindo erros na ordem de 10−16 excluindo soluções exclusivas do plano, já que no universo observável soluções planares são praticamente impossíveis. Para melhor entendimento dos dados apresentados é importante ressaltar que as variáveis com o índice p são referentes ao planeta do sistema principal (i.e Júpi­ ter no sistema Sol­Júpiter), e as unidades estão normalizadas em massas solares e unidades astronômicas considerando o sistema binário com 1 AU de distância. No estudo de estabilidade do problema planar retrógrado elíptico e circular, mapas de estabilidade de semieixo maior e excentricidade foram construídos. Nesse sentido, analisamos a estabilidade das órbitas elípticas e circulares variando a excentrici­ dade do planeta ep de 0 a 1. O parâmetro µ do sistema binário foi fixado em 0.001. Três regiões de ressonância foram exploradas, sendo elas 1/­1, 2/­1 e 1/­2. As regiões foram estudadas fixando o valor do ângulo ressonante inicial ϕ∗ como 0 ou π, sendo que o ângulo ressonante inicial retrógrado planar no caso restrito é dado por ϕ∗ = −qλ∗−pλ∗ p+(p+q)ϖ∗, onde λ e λp são as longitudes médias da partí­ cula teste/planeta e do planeta binário respectivamente e ϖ é definido por longitude do pericentro. Deve­se também levar em consideração os ângulos ressonantes do problema de três corpos. Estes ângulos serão apresentados nas figuras obtidas 77 78 Estabilidade do problema geral de três corpos retrógrado planar e serão definidos a partir da redefinição da órbita retrógrada utilizada para o caso restrito, conforme abordado em 3.3. Para uma análise completa do espaço de fase, também foram construídos dois tipos de figuras referentes a estabilidade das ressonâncias. A primeira referente a variação da excentricidade de ambos corpos (planeta binário e terceiro corpo) fi­ xando o semieixo maior na exata localização da ressonância, a qual foi determinada a partir da terceira lei de Kepler nas unidades normalizadas, ou seja, para a resso­ nância 1/­1: a1/1 = 1, já para ressonância 1/­2: a1/2 = 1.59 e para a ressonância 2/­1: a2/1 = 0.63. A partir disto, os mapas foram construídos variando a excentricidade do planeta ep, e a excentricidade e do terceiro corpo em um grid de 40 por 40. Esses gráficos permitem ter uma ideia geral do espaço de fase das ressonâncias desses corpos. Sendo estes realizados iterados numericamente por 200 mil períodos da binária. Os gráficos para as regiões de variação do semieixo maior das ressonâncias 1/­ 1, 2/­1 e 1/­2 foram construídos com 840 pontos, assumindo a variação em torno do raio de Hill(RH). Nos três casos o eixo y (excentricidade) possui 21 pontos, variando de 0 a 1 em passos de 0.05. Para a ressonância 1/­2 o eixo x foi variado de a = 1.59±0.2RH em passos de 0.01RH gerando 40 pontos. Já para a ressonância 2/­1 o eixo x foi variado de a = 0.63±0.3RH em passos de 0.01RH considerando 40 pontos nessa região. A ressonância 1/­1 foi construída com a variação do semieixo maior em torno de a = 1.0 ± 0.2 considerando 40 pontos no espaçamento total. Nestes mapas as equações de movimento foram integradas numericamente durante 50 mil períodos orbitais da binária, contudo, casos pontuais os quais não apresentaram convergência e/ou resolução suficientes foram refeitos para 200 mil períodos em um grid de resolução maior com 1600 pontos, tais ocasiões serão citadas com mais detalhes quando apresentadas nas regiões 1/­2 e 1/­1 Os centros de ressonância obtidos a partir da menor variação da amplitude dos ângulos ressonantes, as quais são referentes as ressonâncias citadas, estão apre­ sentados em dois tipos: ⋆ e ∧, onde estão sobrepostos nos mapas de amplitude do ângulo de ressonância. Caso todos os ângulos ressonantes do problema de três corpos librem com amplitude menor que 90 graus o símbolo ⋆ (estrela) é utilizado para indicar os centros de ressonância (pontos elípticos), caso somente um dos ân­ Estabilidade do problema geral de três corpos retrógrado planar 79 gulos relacionado ao símbolo ∧ libre sozinho com amplitude menor que 90 graus, tal símbolo será indicado nos mapas de amplitude ressonâncias. Em geral, a barra de cor apresentada nos mapas indicará somente a amplitude da variação do ângulo ressonante do problema restrito, ou seja, ϕ∗, a menos nos casos de librações sin­ gulares dos demais ângulos, neste cenário o mapa irá apresentar a amplitude de tal ângulo. Na determinação das colisões foi adotado o raio da estrela