UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “Júlio de Mesquita Filho” Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá G249s Dissertação de Mestrado Satélites Irregulares de Júpiter: Configurações propícias do processo de captura de asteróides binários Helton da Silva Gaspar Prof. Dr. Othon Cabo Winter (Orientador) Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto (Co-Orientador) LATEX2ε Guaratinguetá – 2009 – HELTON DA SILVA GASPAR SATÉLITES IRREGULARES DE JÚPITER: CONFIGURAÇÕES PROPÍCIAS DO PROCESSO DE CAPTURA DE ASTERÓIDES BINÁRIOS Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, da Universidade Estadual Paulista, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Física na área de Dinâmica Orbital & Planetologia. Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter Co-Orientador: Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto Guaratinguetá 2009 G249s Gaspar, Helton da Silva Satélites Irregulares de Júpiter: Configurações propícias do processo de captura de asteróides binários / Helton da Silva Gaspar – Guaratinguetá: [s.n], 2009 44 f. :il Bibliografia: f. 37 Dissertação (mestrado) – Universidade Estadual Paulista, Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, 2009 Orientador: Prof. Dr. Othon Cabo Winter Co-Orientador: Prof. Dr. Ernesto Vieira Neto 1. Satélites 2. Asteróides I. Título CDU 629.783 DADOS CURRICULARES HELTON DA SILVA GASPAR NASCIMENTO 20.1.1981 – SÃO PAULO / SP FILIAÇÃO Antonio Gaspar Sobrinho Helena da Silva Gaspar 1996 – 2000 Técnico em Eletrônica CEETEPS - E.T.E. Albert Einstein – São Paulo 2003 – 2007 Bacharel em Física UNESP – Guaratinguetá 2008 – 2009 Mestre em Física UNESP – Guaratinguetá In memoriam de meu grande amigo, e avô, Paulo Gaspar AGRADECIMENTOS Aos meus pais Antonio Gaspar Sobrinho e Helena da Silva Gaspar pelo apoio eterno e incon- dicional. À minha namorada Ricely de Araujo Ramos pela paciência e compreensão. A todos os meus amigos pelos momentos de distração, sem os quais seriamos consumidos pelo trabalho. Aos meus orientadores Othon Cabo Winter e Ernesto Vieira Neto pela confiança, compreensão, paciência e trabalho e tempo dedicados. Apoio Financeiro Agradeço o apoio do CNPq e da Capes concedido através da bolsa de mestrado, bem como o apoio da FAPESP concedido através do financiamento do projeto temático. “ ...And you run and you run to catch up with the Sun, but it is sinking and racing around to come up behind you again. The Sun is the same in a relative way, but you are older, shorter of breath and one day closer to death... ” (WATERS, R.; GILMOUR, D.; MASON, R.; WRIGHT, R.) GASPAR, H. S., Satélites Irregulares de Júpiter: Configurações propícias do processo de captura de asteróides binários, 2009, 44 f., Dissertação (Mestrado em Física) – Faculdade de Engenharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá. RESUMO A existência de satélites irregulares é um tema de interesse científico há muito tempo devido às suas características peculiares, isto é, órbitas bem excêntricas, distantes do planeta e ge- ralmente com altas inclinações em relação ao plano equatorial de seu planeta, chegando a ser em grande parte retrógradas. A existência de famílias de satélites irregulares, caracterizadas pela semelhança dos elementos orbitais dos satélites que as compõem é, ainda hoje, um fato não explicado. Tais características sugerem que os satélites irregulares não tenham sido for- mados juntamente com os planetas que estes orbitam, como se acredita ser o caso dos satélites regulares. Deste modo, uma explicação coerente para a existência dos mesmos é a captura gravitacional de corpos, formados em outras regiões, a partir de órbitas heliocêntricas após a ocorrência de um encontro próximo com o planeta. Entretanto, sob a dinâmica do Problema Circular Restrito de Três Corpos - PCR3C - capturas gravitacionais têm carater temporário, o que torna necessária a existência de um mecanismo de captura auxiliar. Isto tem incentivado, por anos, à proposição de vários modelos para explicar a existência dos satélites irregulares através da captura gravitacional, dentre os quais três se destacam na literatura: Dissipação por arrasto em gás, Pull-down capture – captura por puxão, interação colisional ou por encontros próximos com satélites pré-existentes, capturas de planetesimais durante encontros planetários e captura de asteróides binários. Considerando a dinâmica de 4-Corpos, investigamos numeri- camente a viabilidade de um modelo no qual um ente de um asteróide binário é capturado após sofrer um encontro próximo com um Júpiter, avaliando as condições que propiciam a captura de cada um dos membros, realizando um mapeamento dos parâmetros de modo a identificar as configurações mais favoráveis. Dentre os principais resultados, destaca-se uma probabilidade considerável do menor asteróide permanecer capturado quando a ruptura do asteróide binário ocorre em uma configuração propícia de “quadratura”com Sol e Júpiter, resultado que reflete a importância da presença do Sol na dinâmica de captura. Finalmente, verificamos que o meca- nismo de captura pode ser explicado através das trocas de energia. PALAVRAS-CHAVE: Satélites Irregulares – Asteróides binários – Captura gravitacional – En- contros próximos GASPAR, H. S., Jupiter Irregular Satellites: Suitable configurations of binary asteroids capture process, 2009, 44 f., Dissertation (Master’s degree in Physics) – Faculdade de Enge- nharia do Campus de Guaratinguetá, Universidade Estadual Paulista, Guaratinguetá. ABSTRACT The existence of irregular satellites has been the focus of scientific interest for many years. That is due to their peculiar orbital features, i.e., highly eccentric orbits, large distance from the planet and, usually, with high inclination and many of them are retrograde. There are very well characterized families of irregular satellites, whose origin were not explained yet. These features suggest that irregular satellites were not formed together with the planet, during its formation stage, as were the regular ones. Therefore, an explanation for their existence is the gravitational capture of asteroids, originally in heliocentric orbits, that had a close encounter with the planet. However, considering only the Restrict Three Body Problem dynamics, it is not possible to accomplish permanent captures, being necessary the existence of an auxiliary mechanism. Then, several models were proposed in order to generate a permanent capture. Among the most important we found Gas drag dissipation, Pull-down capture, collisional and close encounters interactions with regular satellites, capture during planetary encounters and capture of binary asteroids. The current research had assessed how viable is a 4-body mecha- nism in which a member body of a binary asteroid remain captured after a close encounter with Jupiter. In order to accomplish that, we have mapped a set o parameters in order to find the proper conditions to yield the capture of one member. From the main results it is shown a very well permanent capture probability of the minor member when the primordial binary asteroid disrupts at a suitable “quadrature” configuration. Finally, it is also shown that this capture me- chanism is well explained through energy exchanges. KEYWORDS: Irregular Satellites – Binary Asteroids – Gravitational Capture – Close encon- ters. Sumário 1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Satélites Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Satélites Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Satélites Irregulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Origens dos satélites planetários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Modelos de mecanismos de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Captura por arrasto em gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.2 Captura por “Puxão” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.3 Interação por encontros próximos . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.4 Captura de asteróides binários . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.5 Captura durante encontros planetários . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Asteróides binários . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Modelo de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1 Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.1 Condições iniciais propícias . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Modelo de asteróide binário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Simulações de Captura de asteróides binários . . . . . . . . . . . . . . 20 3 Resultados do estudo inicial - Caso Planar progrado . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1 Resultados da análise do instante T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Resultados da análise do instante T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3.3 Results at T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.4 Capturas de asteróides binários em números . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Resultados do estudo generalizado - Casos inclinados . . . . . . . . . . . . . . 31 4.1 Resultados da análise do instante T1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.2 Resultados da análise do instante T2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.3 Resultados da análise do instante T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.4 Configuração final dos asteróides capturados . . . . . . . . . . . . . . 33 5 Conclusões e considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Lista de Figuras 1 Famílias de satélites irregulares de Júpiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Dactyl & Ida - Primeiro Binário . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3 Trajetória de escape na integração reversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 4 Mapas de tempos de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Histogramas condições iniciais propícias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 Condições iniciais propícias em termos de (a, e e I). . . . . . . . . . . . . . . 19 7 Esboço da grade de condições iniciais do binário . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 Diagrama a×Δa no instante T1- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 9 Exemplo de trajetória de captura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 10 Diagrama a× e do instante T1- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 11 Diagrama a× e do instante T2- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 12 Esboço da configuração angular entre os corpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 13 Histogramas angulares - caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 14 Diagrama a× e do instante T3- caso planar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 15 Mapas de tempos de captura - casos especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 16 Diagrama a×Δa no instante T1- caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . 31 17 Diagrama angular - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 18 Diagrama a× e do instante T3 - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 19 Diagrama polar no instante T3 - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 20 Diagrama a× e da configuração final - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . 34 21 Diagrama polar da configuração final - caso inclinado . . . . . . . . . . . . . . 34 22 Condições iniciais propícias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 23 Mapa de tempo de captura para I = 20o, I = 40o, I = 60o. . . . . . . . . . . . 42 24 Mapa de tempo de captura para I = 80o, I = 90o, I = 100o. . . . . . . . . . . 43 25 Mapa de tempo de captura para I = 120o, I = 140o, I = 160o. . . . . . . . . . 44 Lista de Tabelas 1 Número de satélites planetários do Sistema Solar . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Satélites irregulares de Júpiter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Binários próximos à Terra (NEA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 4 Binários do Cinturão Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 5 Binários Transnetunianos (TNO) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6 Números de simulações, capturas e colisões. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1 1 INTRODUÇÃO Entender as origens do universo é, há muito tempo, uma grande curiosidade humana. A ciência, por sua vez, o faz através de seu método ortodoxo de estudar as partes com o objetivo de enten- der o todo. As origens do Sistema Solar é uma parte importante deste todo dada a “facilidade” com a qual podemos explorá-lo, uma vez que o habitamos, bem como seu vínculo com nossa existência. O estudo das origens do Sistema Solar, entretanto, é uma tarefa nada simples que, por sua vez, também é realizada por partes. Neste contexto insere-se nosso trabalho, o qual está relacionado com as origens dos satélites irregulares dos planetas gigantes do Sistema Solar. 1.1 SATÉLITES NATURAIS Ao tentar descrever de modo hierárquico nosso sistema, colocamos o Sol como o corpo central e os planetas, asteróides e cometas, entre outros que o orbitam, como corpos celestes primários. Seguindo esta hierarquia, satélites naturais, também chamados de luas, são corpos celestes que orbitam os corpos primários. Atualmente são conhecidos mais de 350 satélites naturais do Sis- tema Solar, dentre os quais cerca de 167 são satélites planetários (solarsystem.nasa.gov, 2009). No sistema solar, apenas os planetas Mercúrio e Vênus não possuem satélites. A Tabela (1) apresenta o número de satélites planetários conhecidos atualmente. Os satélites planetários são classificados como Regulares e Irregulares (Kuiper, 1956; Peale, 1999), sendo a primeira classe subdividida em dois tipos: satélites regulares clássicos e destroços colisionais. Estudos de es- tabilidade ao redor de planetas mostram que satélites têm órbitas estáveis quando confinadas dentro de uma região esférica cujo raio é uma fração do raio de Hill rH do mesmo. A definição Tabela 1: Número de satélites planetários do Sistema e solar, e algumas constantes relacionadas. Adaptado de (Murray & Dermott, 1999). As colunas mP, rP, aP, rH e J2 são a massa, o raio médio equatorial, o semi-eixo maior, o raio de Hill e coeficiente de achatamento do planeta, respectivamente Planeta mp rP aP rH J2 Regulares Irregulares (kg) (×103 km) (UA) (UA) Terra 5,97×1024 6,38 1,00 1,00×10−2 1083 1 0 Marte 6,42×1023 3,39 1,52 7,23×10−3 1960 2 0 Jupiter 1,90×1027 71,40 5,20 3,55×10−1 14736 8 55 Saturno 5,68×1026 60,33 9,54 4,36×10−1 16298 22 39 Urano 8,68×1025 26,20 19,19 4,68×10−1 3343 18 9 Netuno 1,02×1026 25,23 30,07 7,75×10−1 3411 6 7 2 do raio de Hill, como encontrada em (Murray & Dermott, 1999), é dada por: rH = (mp 3M )1/3 ap (1) em que M , ap, e mp, são a massa do Sol, o semi-eixo maior e a massa do planeta, respectiva- mente. Os valores, em unidades astronômicas, do raio de Hill dos planetas do Sistema Solar estão contidos na Tabela (1). 1.1.1 Satélites Regulares Os satélites regulares conhecidos atualmente estão confinados em uma região de até 0,05rH. Suas órbitas são aproximadamente circulares, prógradas e com baixas inclinações (Sheppard, 2006; www.dtm.ciw.edu, 2009). Titã, um dos 22 satélites regulares de Saturno, é o satélite regular com maior excentricidade (e = 0, 029) do Sistema Solar. O também saturniano Iapetus, é o satélite regular com maior inclinação orbital (I = 7, 570o). Os regulares clássicos, em geral, são relativamente grandes variando de centenas a milhares de quilômetros, ao passo que destroços colisionais são muito menores e atingem poucas centenas de quilômetros de diâmetro. 1.1.2 Satélites Irregulares Os satélites irregulares, por sua vez, caracterizam-se por suas órbitas excêntricas, com valores de semi-eixo maiores, superiores a 0,05rH, chegando a atingir distâncias de até 0,65rH no apo- centro (Sheppard, 2006). Destacam-se também suas altas inclinações. No Sistema Solar, todos os satélites irregulares têm inclinações maiores que (I = 25o), sendo única exceção o netuniano Nereide com pouco mais 7o de inclinação. Grande parte dos satélites irregulares atualmente co- nhecidos é retrógrada, isto é, têm inclinações superiores à 90o. Altas excentricidades também os caracterizam. Com exceção do netuniano Tritão, todos os satélites irregulares do Sistema Solar têm excentricidades maiores que (e = 0, 112), excentricidade do joviano Lysithea. 3 Tabela 2: Relação dos satélites irregulares de Júpiter conhe- cidos atualmente. As linhas separam as famílias de satéli- tes. Extraído de (www.dtm.ciw.edu, 2009). As colunas a, e, I, Ω e ω são semi-eixo maior, excentricidade, inclinação, longitude do nodo ascendente e argumento do pericentro do satélite em relação à Júpiter, respectivamente. Nome a e I Ω ω Raio Descoberta (×10−1rH) (×10−1) (graus) (graus) (graus) (km) (ano) Themisto 1,41 2,42 43,08 201,50 240,70 4,50 2000 Carpo 3,20 4,30 51,40 60,90 90,00 1,50 2003 Leda 2,10 1,64 27,46 217,10 272,30 9,00 1974 Himalia 2,16 1,62 27,50 57,20 332,00 80,00 1904 Lysithea 2,21 1,12 28,30 5,50 49,50 19,00 1938 Elara 2,21 2,17 26,63 109,40 143,60 39,00 1905 S/2000 J11 2,36 2,48 28,30 290,90 178,00 2,00 2000 Euporie 3,63 1,44 145,80 64,90 74,60 1,00 2001 Orthosie 3,90 2,81 145,90 223,60 230,50 1,00 2001 Euanthe 3,92 2,32 148,90 271,00 316,00 1,50 2001 Thyone 3,94 2,29 148,50 243,00 89,10 2,00 2001 Mneme 3,97 2,27 148,60 18,10 41,70 1,00 2003 Harpalyke 3,97 2,26 148,60 40,00 129,90 2,00 2000 Hermippe 3,98 2,10 150,70 347,20 298,70 2,00 2001 Praxidike 3,98 2,30 149,00 285,20 209,70 3,50 2000 Thelxinoe 3,98 2,21 151,40 206,20 179,80 1,00 2003 Iocaste 4,00 2,16 149,40 271,30 80,00 2,50 2000 Ananke 4,01 2,44 148,90 7,60 100,60 14,00 1951 Arche 4,32 2,59 165,00 350,70 161,10 1,50 2002 Pasithee 4,35 2,67 165,10 338,70 253,30 1,00 2001 Chaldene 4,36 2,51 165,20 148,70 282,50 2,00 2000 Kale 4,37 2,60 165,00 56,40 44,40 1,00 2001 Isonoe 4,37 2,46 165,20 149,80 145,60 2,00 2000 Aitne 4,37 2,64 165,10 24,50 122,20 1,50 2001 Erinome 4,38 2,66 164,90 321,70 356,00 1,50 2000 Taygete 4,40 2,52 165,20 313,30 241,10 2,50 2000 Carme 4,41 2,53 164,90 113,70 28,20 23,00 1938 Kalyke 4,44 2,45 165,20 38,70 216,60 2,50 2000 Eukelade 4,45 2,72 165,50 206,30 325,60 2,00 2003 Continua na próxima página. . . 4 Tabela 2 – Continuação Nome a e I Ω ω Raio Descoberta Kallichore 4,53 2,64 165,50 41,50 18,50 1,00 2003 Helike 4,00 1,56 154,80 100,30 314,70 2,00 2003 Eurydome 4,30 2,76 150,30 307,40 241,60 1,50 2001 Autonoe 4,34 3,34 152,90 275,60 60,20 2,00 2001 Sponde 4,42 3,12 151,00 129,10 79,10 1,00 2001 Pasiphae 4,45 4,09 151,40 313,00 170,50 29,00 1908 Megaclite 4,48 4,21 152,80 304,60 302,30 3,00 2000 Sinope 4,51 2,50 158,10 303,10 346,40 19,00 1914 Hegemone 4,51 3,28 155,20 327,60 235,40 1,50 2003 Aoede 4,51 4,32 158,30 187,10 74,50 2,00 2003 Callirrhoe 4,54 2,83 147,10 281,10 49,30 3,50 1999 Cyllene 4,58 3,19 149,30 266,40 214,00 1,00 2003 Kore 4,62 3,25 145,00 324,70 152,40 1,00 2003 S/2003J2 5,38 3,80 151,80 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J3 3,45 2,41 143,70 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J4 4,38 2,04 144,90 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J5 4,53 2,10 165,00 0,00 0,00 2,00 2003 S/2003J9 4,22 2,69 164,50 0,00 0,00 0,50 2003 S/2003J10 4,56 2,14 164,10 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J12 3,58 3,76 145,80 0,00 0,00 0,50 2003 S/2003J15 4,14 1,10 140,80 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J16 3,95 2,70 148,60 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J17 4,14 1,90 163,70 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J18 3,90 1,19 146,50 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J19 4,29 3,34 162,90 0,00 0,00 1,00 2003 S/2003J23 4,53 3,09 149,20 0,00 0,00 1,00 2003 Uma característica bastante peculiar destes satélites, ainda não explicada, é a existência de famílias, isto é, grupos de satélites irregulares com órbitas semelhantes. A Tabela (2), relaciona os satélites irregulares de Júpiter, destacando as famílias. A Figura (1) ilustra as famílias de satélites irregulares de Júpiter através de um diagrama polar. Embora não exista uma definição exata de satélites irregulares, encontramos na literatura um semi-eixo maior crítico, acrit ≈ (2μJ2r 2 Pa 3 P) 1/5 (Goldreich, 1966), em que μ é a razão entre as massas do planeta e do Sol. Classificam-se como irregulares, satélites cujo semi-eixo maior excede ao valor crítico. 5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 S e m i - e i x o m a i o r . s e n o ( I n c ) ( r H ) Semi-eixo maior . co-seno(Inc) (rH) rH = 5.31195458 x 10 7 km rH = 0.35508223 UA Themisto Carpo Grupo de Himalia Grupo de Ananke Grupo de Carme Grupo de Pasiphae Grupo de 2003 Figura 1: Famílias de satélites irregulares de Júpiter. As extremidades das barras mais próximas e mais afastadas da origem representam o pericentro e o apocentro da órbita, e as inclinações das mesmas representam as inclinações orbitais. 1.2 ORIGENS DOS SATÉLITES PLANETÁRIOS Características dos satélites regulares, como valores relativamente pequenos de semi-eixo maior e baixas excentricidades e inclinações, são fatores que corroboram com a teoria de formação local, isto é, a hipótese de que os mesmos formaram-se através da acreção de matéria do disco circumplanetário equatorial na mesma época de formação de seus planetas pais (Vieira Neto & Winter, 2001; Sheppard & Jewitt, 2003). Por outro lado, os satélites irregulares apresentam características exatamente opostas, indicando que os mesmos não se formaram ao redor dos planetas que hoje orbitam, através do processo de acreção de matéria do disco circumplanetário. A hipótese mais coerente é que estes são objetos formados em outras regiões do Sistema Solar, que foram gravitacionalmente capturados a partir de órbitas heliocêntricas (Kuiper, 1956). Estudos apontam que tais capturas ocorreram, muito provavelmente, durante o estágio final de formação dos planetas durante o período de colapso da nuvem de gás do disco circumplanetário (Pollack et al., 1979; Vieira Neto et al., 2004). Mo- delos atuais de formação planetária, como por exemplo o modelo de Nice (Tsiganis et al., 2005; Morbidelli et al., 2005; Gomes et al., 2005), admitem a hipótese de que ao final do período de formação planetária, capturas temporárias de corpos sofrendo encontros próximos com os pla- netas eram freqüentes. Entretanto, capturas gravitacionais sob a dinâmica do problema restrito de três corpos têm caráter temporário (Everhart, 1973; Heppenheimer & Porco, 1977; Carusi & Valsecchi, 1979; Benner & Mckinnon, 1995; Vieira Neto & Winter, 2001; Winter & Vieira Neto, 2001), fazendo-se necessária a atuação de um mecanismo para tornar permanente uma captura temporária. Este fato, há anos, motiva pesquisadores a estudar modelos auxiliares de captura compatíveis com as observadas características orbitais dos satélites irregulares existen- 6 tes. Kuiper (1956), inicialmente propôs que tais corpos eram satélites regulares que em algum momento puderam escapar da esfera de Hill devido a uma diminuição de massa do planeta e passaram a orbitar o Sol em uma órbita similar à do mesmo. Isto possibilitaria um encontro posterior entre os mesmos, resultando em uma “recaptura” deste satélite perdido em um tipo de órbita irregular. Atualmente, esta hipótese está descartada devido ao argumento de que nunca houvera uma perda de massa significante para possibilitar tais escapes dos satélites regulares. Outra hipótese, também já descartada, propunha uma transição de uma captura temporária para uma permanente através da dissipação de energia por efeitos de maré. Entretanto, os efeitos de maré sobre corpos tão pequenos e tão afastados do planeta, como são os satélites irregulares, não são suficientes para dissipar a energia necessária e torná-los permanentemente capturados (Sheppard, 2006). 1.3 MODELOS DE MECANISMOS DE CAPTURA Dentre os modelos de captura gravitacional atualmente conhecidos, existem cinco mecanismos que explicam de maneira dinamicamente eficaz à origem dos satélites irregulares. Dedicaremos, aqui, uma seção para cada um dos mesmos. 1.3.1 Captura por arrasto em gás Baseado na idéia de dissipar energia do corpo temporariamente capturado de modo a tornar a captura permanente, isto é, fazer com que a energia do corpo capturado torne-se menor que a energia mínima de escape, é proposto o mecanismo de arrasto em gás. Diminuir a velocidade do corpo é uma forma de dissipar sua energia, e uma maneira de tornar isto possível, é através do arrasto gasoso. Este mecanismo sustenta a hipótese de que o corpo ao ser temporariamente capturado imerge no disco circumplanetário remanescente, composto por gás e poeira, e so- fre tal arrasto (Pollack et al., 1979; Ćuk & Burns, 2004). Esta força de arrasto, contrária ao movimento, é responsável pela diminuição da velocidade do objeto, e funciona como um filtro: • Para corpos muito massivos o gás não oferece resistência suficiente para dissipar a energia necessária para torná-lo um satélite, ao passo que; • A resistência oferecida para corpos pequenos é demasiadamente grande, fazendo com que estes espiralem e sejam conduzidos a uma rápida colisão com o planeta. Assim, apenas corpos de uma determinada faixa de tamanho/massa sofrem a dissipação ideal para se tornarem permanentemente capturados (Pollack et al., 1979). Este mecanismo restringe o período de ocorrência de tais capturas ao período final de formação do planeta, durante o colapso do disco circumplanetário gasoso. Isto porque que as mesmas deveriam ocorrer em 7 poucos milhares de anos após a captura para que o então satélite não entrasse em uma órbita espiralada, o que lhe conduziria a uma colisão com o planeta. 1.3.2 Captura por “Puxão” Um segundo mecanismo, conhecido por “Pull-Down capture” – captura por “Puxão” – (Heppe- nheimer & Porco, 1977) baseia-se na idéia de que um corpo temporariamente capturado poder tornar-se um satélite devido ao aumento do raio de Hill do planeta. Este aumento na extensão da esfera de Hill torna a região de estabilidade maior, de modo a abranger a região onde se encon- tram os corpos temporariamente capturados. Um aumento do raio de Hill pode ocorrer devido a um aumento da massa do planeta, diminuição da massa Solar e/ou migração planetária para distâncias mais afastadas do Sol (Brunini, 1995). Pollack et al. (1996), argumentaram que a viabilidade deste mecanismo dependeria de uma variação de massa de aproximadamente 40%, entretanto, estudos mais recentes, como por exemplo (Vieira Neto et al., 2004, 2006), mostram que uma variação da ordem de 10% torna tal mecanismo viável. Por outro lado, a hipótese do um aumento do raio de Hill ser devido à migração planetária para distâncias mais afastada do Sol é pouco provável dado que tal migração deveria ser grande e ocorrer em um pequeno intervalo de tempo, processo que acarretaria em uma desestabilização dos satélites existentes (Beaugé et al., 2002). 1.3.3 Interação por encontros próximos Outro mecanismo, estudado por Colombo & Franklin (1971); Tsui (2000); Astakhov et al. (2003); Funato et al. (2004), trata, não exatamente de dissipação de energia, mas sim de in- terações de trocas. O modelo propõe que os elementos orbitais de um corpo temporariamente capturado podem ser alterados devido a interações com corpos existentes no interior da esfera de Hill do planeta. Deste modo, devido a trocas de energia e momento, este se torna per- manentemente capturado. Tais interações podem ocorrer devido a encontros entre asteróides temporariamente capturados ou entre um asteróide temporariamente capturado e satélites do planeta já existentes. Este modelo considera a dinâmica de quatro corpos, em que o Sol e o pla- neta são corpos primários, e o asteróide capturado bem como o satélite já existente do planeta, são partículas de massa negligenciável em relação aos primários. Dada a base na dinâmica de quatro corpos, o modelo agrega a vantagem de não ser necessário supor migrações planetárias, variações de massa, ou a presença de discos de gás, o que torna o viável em qualquer período da formação do Sistema Solar. 8 1.3.4 Captura de asteróides binários Desde 2006, quando Agnor & Hamilton apresentaram um novo modelo de captura, em parti- cular para o netuniano Tritão (Agnor & Hamilton, 2006), o mecanismo de captura a partir de asteróides binários tem sido bastante estudado (Vokrouhlický et al., 2008, e.g.). Este modelo é baseado na dinâmica do problema de três corpos considerando, entretanto, um único corpo primário (o planeta), e duas partículas de massas negligenciáveis em relação ao primeiro. Ele propõe um mecanismo de captura no qual um asteróide binário sofre um encontro próximo com o planeta, e se rompe devido a forças de maré que atuam sobre o par durante a passagem. Na ruptura, um dos membros sofre uma variação de velocidade negativa de modo que, ao fi- nal do processo, sua velocidade em relação ao planeta é menor que a velocidade de escape o que o mantém capturado. Outra forma de visualizar este processo, consiste em perceber que o membro capturado sofre uma troca de par, isto é, como se este formasse com o planeta um novo par binário. Neste modelo, o asteróide binário aproxima-se do planeta através de uma trajetória hiperbólica sem perturbação solar. A ausência de perturbação solar favorece a captura dos corpos uma vez que qualquer órbita com velocidade de pericentro inferior à velocidade de escape permanecerá fechada. Este fator, entretanto, torna o modelo pouco robusto, apesar de dinamicamente eficaz. 1.3.5 Captura durante encontros planetários Nesvorný et al. (2007), em seu trabalho, apresentam um modelo de captura bem diferente dos modelos, até então, conhecidos. Este mecanismo de captura considera o cenário de migração planetária do modelo de Nice (Tsiganis et al., 2005; Morbidelli et al., 2005; Gomes et al., 2005), o qual postula que os planetas se formaram em um sistema compacto (entre 5 e 18 UA), e alcançaram a configuração atualmente conhecida através de migrações em um disco de planetesimais. Sob este cenário de migrações planetárias devido à interações com um disco de planetesimais, o autor mostra que planetesimais do mesmo são capturados no instante em que dois planetas sofrem um encontro próximo. O mecanismo de captura explica, satisfatoriamente, a origem dos satélites irregulares de Saturno, Urano e Netuno. Contudo, como o próprio autor argumenta, no modelo de Nice típico, Júpiter não sofre encontros próximos com outros planetas, o que torna necessária a existência de outro mecanismo para explicar a origens dos satélites irregulares do mesmo. 1.4 ASTERÓIDES BINÁRIOS O termo “asteróide binário” basicamente refere-se a um sistema no qual um par de asteróides orbita seu baricentro comum, ou ainda um asteróide que possui um pequeno satélite. No pri- 9 meiro caso, em que as massas são equivalentes utilizam-se também os termos asteróides duplos e asteróides dubletos (Noll, 2006). Dois séculos de história de busca por eventuais por aste- róides binários estão atualmente resumidos em dois trabalhos principais (Merline et al., 2002; Richardson & Walsh, 2006). Estas buscas começaram imediatamente após a descoberta de (1) Ceres em 1801, a primeira evidência de existência de asteróides binários. Durante aproximada- mente dois séculos, observadores procuraram sem sucesso por asteróides binários até que em 1993, através da sonda Galileu, foi possível detectar um satélite de (243)Ida batizado de Dactyl (Belton & Carlson, 1994). A Figura (2.a) mostra a primeira imagem de um asteróide binário, trata-se de (243) Ida/Dactyl obtida pela sonda Galileu. A Figura (2.b) mostra uma concepção artística5 do asteróide dubleto (90) Antiope (www.eso.org, www.eso.org). A Figura (2) destaca a diferença entre um asteróide dubleto e um asteróide com um satélite. Os asteróides biná- rios atualmente conhecidos do Sistema Solar são encontrados nas três principais populações de corpos menores: • Cinturão principal de asteróides: Asteróides cujas órbitas são externas à órbita de Marte e Internas à órbita de Júpiter; • NEA “Near Earth Asteroids” - Asteróides próximos à Terra: Asteróides que orbitam as regiões próximas à órbita terrestre; • TNO “Trans-Neptunian Objects” - Objetos Trans-Netunianos: Objetos cujas órbitas são mais distantes do Sol que a órbita de netuno; As Tabelas (3), (4) e (5) relacionam os asteróides binários conhecidos atualmente que se encon- tram entre os NEA’s, no Cinturão Principal de asteróides e entre os TNO’s, respectivamente. 10 Tabela 3: Asteróides binários próximos à Terra (NEA). FONTE: (Noll, 2006). Nas colunas, aB, rP1 e rP2 são semi-eixo maior do binário e os raios médios dos asteróides primário e secundário, respectivamente. Nome aB aB/rP1 rP2/rP1 Período (km) (horas) 2000 DP107 2,6 6,5 0,41 42,2 2000 UG11 0,3 2,6 0,36 18,4 (66391) 1999 KW4 0,3 – 0,4 17,44 1998 ST27 <7 <9 0,15 2002 BM26 0,2 <72 2002 KK8 0,2 (5381) Sekhmet 1,54 3,1 0,3 12,5 2003 SS84 0,5 24 (69230)Hermes 0,6 2,5 – 4 0,9 13,894 1990 OS >0,6 >4 0,15 18 – 24 2003 YT1 2,7 5 0,29 30 2002 CE26 5 3 0,05 16 1994 AW1 0,49 22,33 (35107) 1991 VH 6,5 5,4 0,37 32,66 (3671) Dionysus 4,5 0,20 27,74 1996 FG3 3,2 0,29 16,135 (5407) 1992 AX 0,2 13,520 (31345) 1998 PG 0,3 14,005 (88710) 2001 SL9 0,28 16,40 1999 HF1 4,0 0,22 14,02 (66063) 1998 RO1 0,48 14,54 (65803) Didymos 1,1 2,9 0,22 11,91 (85938) 1999 DJ4 0,7 3 0,5 17,73 2005 AB ≥0,24 17,9 11 Tabela 4: Asteróides binários próximos no Cinturão Principal. FONTE: (Noll, 2006). Nas colunas, aB, rP1 e rP2 são semi-eixo maior do binário e os raios médios dos asteróides primário e secundário, respectivamente. Nome aB aB/rP1 rP2/rP1 Período (km) (horas) (243) Ida 108 7,0 0,045 1,54 (45) Eugenia 1196 11,1 0,06 4,7244 (90) Antiope 170 3,1 0,99 0,68862 (762) Pulcova 810 11,6 0,14 4,0 (87) Sylvia 1356 17,6 0,12 3,6496 (107) Camilla 1235 11 0,040 3,710 (22) Kalliope 1065 11,8 0,22 3,590 (3749) Balam 310 52 0,22 110 (121) Hermione 768 7,4 0,06 2,582 (1509) Escalonga 0,33 (283) Huenna 596 8 0,08 3,360 (130) Elektra 1252 13,5 0,02 3,92 (22899) 1999 TO14 0,3 (17246) 2000 GL74 0,4 (4674) Pauling 0,3 (3782) Celle 0,42 1,5238 (1089) Tama 0,7 0,6852 (1313) Berna 1,061 (4492) Debussy 1,108 (854) Frostia 0,4 1,565 (5905) Johnson 0,40 0,907708 (76818) 2000 RG79 0,37 0,5885 (3982) Kastel (809) Lundia 1 0,64 (9069) Hovland 0,3 (617) Patroclus 685 11 0,92 2,391 ou 4,287 12 Tabela 5: Asteróides binários Trans-netunianos (TNO). FONTE: (Noll, 2006). Nas colunas, aB, eB, rP1, rP2 são semi-eixo maior e excentricidade do binário, e os raios médios dos asteróides primário e secundário, respectivamente. Nome aB aB/rP1 rP2/rP1 eB Período (km) (horas) (88611) 2001 QT297 27,300 410 0,72 0,240 825 1998 WW31 22,300 300 0,83 0,82 574 (58534) 1997 CQ29 8,010 200 0,91 0,45 312 (66652) 1999 RZ253 4,660 56 1,0 0,460 46,263 2001 QW322 1,0 2000 CF105 0,73 2000 CQ114 0,81 2003 UN284 0,76 2003 QY90 0,95 2005 EO304 0,58 (80806) 2000 CM105 0,5 2000 OJ67 0,69 (79360) 1997 CS29 0,95 1999 OJ4 0,54 2003 EL61 49,500 0,22 0,050 49,12 2001 QC298 3,690 0,79 19,2 (82075) 2000 YW134 0,55 (48639) 1995 TL8 0,46 2003 UB313 0,13 PLUTÃO/CARONTE 19,636 16,7 0,53 0,0076 6,38722 (26308) 1998 SM165 11,310 0,42 130 (47171) 1999 TC36 7,640 0,39 50,4 13 (a) (b) Figura 2: Em (a), (243)Ida e seu satélite Dactyl, imagem do primeiro asteróide binário des- coberto no Sistema Solar obtida pela sonda Galileu em 1994. FONTE: (NASA/JPL). Em (b), Concepção artística do asteróide dubleto (90) Antiope. Creditos: Copyright European Southern Observatory. 2 MODELO DE CAPTURA Dada a característica temporária da captura gravitacional sob a dinâmica do problema de Três Corpos, optamos por realizar nosso estudo sob a dinâmica do problema de Quatro Corpos, con- siderando Sol e Júpiter, como corpos primários, e um par de asteróides, com massas menores porém não negligenciáveis, constituindo um asteróide binário. Este estudo propõe, basica- mente, um modelo de captura no qual um asteróide binário torna-se temporariamente capturado por Júpiter, em um primeiro momento, se rompe, em um segundo momento, e tem um de seus membros permanentemente capturado por Júpiter ao final do processo, enquanto o outro membro escapa das vizinhanças de Júpiter. Para estudar este modelo, concentramo-nos primei- ramente na obtenção de condições iniciais apropriadas que resultassem em capturas temporárias do asteróide binário por Júpiter. Capturas temporárias, bem como encontros próximos com o planeta, são características intrínsecas das teorias de formação planetárias (Pollack et al., 1996; Tsiganis et al., 2005; Morbidelli et al., 2005; Gomes et al., 2005). Estudar um modelo de captura de asteróides binários considerando a captura temporária inicial dos mesmos, agrega a vantagem do tempo de interação entre o binário e o planeta ser maior comparado ao curto tempo proporcionado por uma simples passagem em um encontro próximo. Na seção seguinte, 2.1, descrevemos em detalhes o método adotado. Em contrapartida, focamos este estudo na análise do processo de captura a fim de compreender que fatores inerentes ao mesmo caracterizam con- dições propícias para que um asteróide, membro de um asteróide binário primordial, se torne um possível satélite planetário. Este enfoque acarreta a desvantagem de não ser possível esti- mar a probabilidade real dos satélites irregulares serem provenientes da captura de asteróides 14 binários. 2.1 MÉTODO O método adotado neste estudo pode, basicamente, ser descrito em três passos: i) Primeira- mente, realizamos um estudo de tempos de captura no sistema Sol-Júpiter-asteróide, através do qual obtivemos as, de agora em diante chamadas, condições iniciais propícias. Estas, são condições iniciais do problema de Três Corpos que resultam em capturas temporárias de um as- teróide por Júpiter. ii) Uma vez obtidas as condições propícias, adicionamos outro asteróide ao problema, orbitando o primeiro, de modo a produzir um asteróide binário. Estas novas condi- ções iniciais, as quais chamaremos simplesmente de condições iniciais, são condições iniciais, do problema de Quatro Corpos, utilizadas para realizar o estudo de capturas de asteróides bi- nários. Finalmente, iii) realizamos o estudo de capturas de asteróides binários, sob a dinâmica do problema de Quatro Corpos, considerando o sistema Sol-Júpiter-asteróide binário adotando diferentes condições iniciais do asteróide binário derivadas de cada condição inicial propícia. 2.1.1 Condições iniciais propícias A obtenção das condições iniciais propícias resultou de um estudo de tempos de captura que realizamos seguindo o método descrito por Vieira Neto & Winter (2001). O método consiste, basicamente, em integrar a trajetória de um asteróide, reversamente no tempo, sob a dinâmica do problema de três corpos considerando Sol e Júpiter como corpos primários. O sistema é configurado de maneira que o asteróide esteja, inicialmente, orbitando as vizinhanças de Júpiter. O tempos, inicial e final, de integração são ajustados para 0 e −103 anos, respectivamente, de modo a resultar na integração reversa do sistema. Esta integração resulta em três possíveis resultados: i) O asteróide colide com Júpiter. ii) O asteróide permanece orbitando Júpiter até o final da integração (−103 anos), o que caracteriza uma condição inicial estável, i.e., a condição inicial primárias resulta em uma órbita estável. iii) O asteróide escapa das vizinhanças de Júpiter e passa a orbitar o Sol. Considerando que o estudo é realizado com integração reversa no tempo, as condições iniciais que resultam em (iii) nos são de interesse particular para obtenção das condições iniciais pro- pícias. Isto é, dada a reversibilidade das leis de Newton, trajetórias de escape em integrações reversas no tempo, são trajetórias de captura quando consideradas na ordem temporal normal. A rigor, dada a imprecisão numérica do integrador, bem como comportamento caótico das simu- lações, as órbitas não são exatamente reversíveis, i.e., as trajetórias, resultantes das integrações diretas e indiretas no tempo, não são idênticas. Contudo, é bastante razoalvel esperar que a trajetórias resultantes de integrações diretas no tempo, de órbitas do tipo (iii), sejam, ao menos, trajetórias de encontros próximos do asteróide com Júpiter. Deste modo, tomamos, então, a con- 15 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Y ( U A ) X (UA) C.I. primaria Figura 3: Exemplo de uma trajetória de escape na integração reversa. A trajetória tem sentido horário e Júpiter está localizado na origem. O ponto inicial, indicado pelo ‘x’ azul corresponde à condição inicial primária (ao redor de Júpiter). O ponto final, denotado por ‘+’ laranja, cor- responde à condição inicial propícia. figuração do sistema após o escape1 como sendo as condições iniciais propícias já mencionadas. Na prática, adotamos os elementos orbitais de Júpiter e do asteróide em relação ao Sol, deter- minados após o escape, como condições iniciais propícias. A Figura (3) ilustra o mencionado em termos da configuração espacial. A fim de facilitar a compreensão do texto, denominaremos as condições iniciais, tomadas nas vizinhanças de Júpiter, cujas integrações resultam em escape por condições iniciais primárias. Resumindo: • Condições iniciais primárias: Condições iniciais do problema de três corpos que são integradas reversamente no tempo para obtenção das condições iniciais propícias; • Condições iniciais propícias: Condições iniciais do problema de três corpos que resul- tam em uma captura temporária do asteróide por Júpiter. Adicionando ao um segundo asteróide em órbita do primeiro, de modo a caracterizar um asteróide binário obtemos as condições iniciais; • Condições iniciais: Condições iniciais do problema de Quatro Corpos, considerando Sol, Júpiter e o asteróide binário, utilizadas para realizar o estudo de captura de asteróides binários; O resultado completo do estudo de tempos de captura (método dado em (Vieira Neto & Winter, 2001)) é apresentado na forma de um mapa, como ilustra a Figura (4.a). Este mapa consiste na relação das condições iniciais de uma trajetória, dadas em função dos elementos orbitais 1A configuração do sistema é tomada em um instante de tempo, posterior ao escape, menor que um ano. Isto é dado por considerarmos o escape do asteróide quando a energia, do problema de dois corpos, da mesma em relação à Júpiter se torna positiva, e esta energia, por sua vez, ser calculada em intervalos de integração de um ano. 16 variáveis (a e e), com o tempo de captura resultante da integração da mesma. Os elementos orbitais restantes (I,Ω, � e f ) são sempre tomados como constantes, bem como os elementos orbitais Júpiter em relação ao Sol. No caso particular da Figura (4.a), estudo do caso plano prógrado, os elementos orbitais constantes foram inicialmente tomados iguais à zero, ao passo que os elementos variáveis foram configurados ajustados para gerar uma grade (a × e) com 0, 1 rH � a � 1, 0 rH, de largura Δa = 0, 005 rH e 0 � e � 1, 0, de largura Δe = 0, 005. A região amarela do diagrama é uma região de estabilidade, isto é, região das condições iniciais cujas integrações resultaram na permanência do asteróide capturado por Júpiter durante todo o tempo de integração. O trabalho de Domingos et al. (2006), apresenta uma expressão que delimita esta região de estabilidade para o caso plano. Esta expressão, denominada pelos autores por valor crítico de semi-eixo maior, é dada por: aE ≈ 0, 4895(1, 0000− 1, 0305eP − 0, 2738esat); esat � 0, 5 (2) em que eP e esat são as excentricidades do planeta e do satélite, respectivamente. Em nosso estudo tomamos eP = 0. Para obter esta expressão, os autores seguiram o mesmo procedimento dado por Vieira Neto & Winter (2001), e também ajustaram os elementos orbitais iniciais cons- tantes para zero. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (b) Figura 4: (a) Mapa de tempos de captura. A escala de cores relaciona as condições iniciais dada pelos elementos orbitais variáveis, a e e, ao tempo de captura resultante da integração da trajetó- ria. Para gerar este mapa, todos os elementos orbitais constantes, (I,Ω, �, f ), foram ajustados para zero. Os pontos denotados por ‘+‘ são condições iniciais que resultam em colisões. A região amarela, indica as condições iniciais de estabilidade. As regiões não amarelas, indicam as condições iniciais que resultam em escape. (b) Diagrama das condições iniciais primárias utilizadas para obter as condições iniciais propícias. Os pontos denotados por ‘x‘ verde e ‘+‘ preto, são casos cujos tempos de capturas são menores e maiores que 103 anos, respectivamente. 17 Concluindo a análise do mapa da Figura (4.a), as regiões não amarelas relacionam as condições iniciais primárias que resultam no escape do asteróide. Destas regiões são tomadas as condições iniciais primárias, as quais integradas reversamente no tempo permitem a obtenção das condi- ções propícias. Dada grande quantidade de trajetórias simuladas na realização deste estudo, é inviável tomar todas as trajetórias de escape como condições iniciais propícias. Contudo, notamos que o número de trajetórias de escape com tempo de captura superior à 103 era perfei- tamente factível de ser estudado. Para o caso planar progrado2 , estudo inicial, constatamos 45 casos com tempo de captura superior à 103 anos. Estas, entretanto, são originadas de condições iniciais primárias situadas em uma região bem especifica do mapa a×e, isto é, a borda da região de estabilidade, como ilustram os pontos denotados com ‘+‘ preto na Figura (4.b). Deste modo, a fim de obter um conjunto de condições iniciais propícias mais representativo, selecionamos outras 36 condições iniciais primárias, de modo a abranger a região a× e de tempos curtos com pontos igualmente espaçados, como denotam os ‘x‘ verdes na Figura (4.b). A reta pontilhada lilás na Figura (4.b) representa o semi-eixo maior crítico dado por Domingos et al. (2006), como mostra a equação Equação (2). Generalizando o estudo, aplicamos o mesmo procedimento aos casos não planares, i.e., casos cuja órbita do asteróide não é coplanar à órbita de Júpiter. A análise revelou que o número de trajetórias de escape com tempos longos3 de captura variam amplamente com a inclinação como mostra o gráfico da Figura (5), resultado que está de acordo com (Vieira Neto & Win- ter, 2001). Visando realizar o estudo dos casos inclinados de maneira compatível ao estudo inicial do caso planar progrado, selecionamos, uniformemente, 50 condições iniciais primá- rias oriundas de trajetórias tempos longos. Excepcionalmente para os casos com inclinação I = 90o e I = 100o, utilizamos todos os casos oriundos de trajetórias de tempos longos dado que os mesmos eram inferiores a 50. As condições primárias relativas às trajetórias de tempos curtos4 foram, da mesma maneira, selecionadas tomando pontos igualmente espaçados. O his- tograma da Figura (5) indica o número de condições primárias selecionadas para as respectivas inclinações. Neste texto, apresentaremos os resultados dos estudos feitos para as inclinações 20o, 40o, 60o, 80o, 90o, 100o, 120o, 140o e 160o. O Apêndice A contém os mapas de tempo de captura, bem como os diagramas com as condições iniciais primárias para os casos das incli- nações citadas. O gráfico da Figura (6) mostra as condições iniciais propícias, em termos dos elementos orbitais a, e e I , do asteróide em relação à Júpiter. No mesmo, também estão plotadas as curvas do pericentro e apocentro da partícula, as quais indicam que as capturas do asteróide por Júpiter ocorrem, preferencialmente, quando o este se aproxima do planeta, através do ponto lagrangiano L1, pelo apocentro de sua órbita ou, através do ponto lagrangiano L2, pelo pericen- tro de sua órbita. No Apêndice A, o gráfico da Figura (22) mostra as condições propícias em termos dos elementos orbitais, a, Ω, � e i. 2Casos cujas órbitas dos asteróides são coplanares à órbita de Júpiter. 3Tempo de captura superior, ou igual, à 103 anos. 4Tempos de captura inferior à 103 anos. 18 0 100 200 300 400 500 600 700 800 0 o 10 20 o 30 o 40 o 50 o 60 o 70 o 80 o 90 o 100 o 110 o 120 o 130 o 140 o 150 o 160 o 170 o T o t a l d e t r a j e t ó r i a s c o m t e m p o s l o n g o s Inclinação 10 20 30 40 50 C o n d i ç õ e s p r i m á r i a s s e l e c i o n a d a s Tempos curtos Tempos longos Figura 5: No gráfico inferior, número total de trajetórias com tempos de captura superiores à 103 anos, para as respectivas inclinações. No gráfico superior, número de condições iniciais primárias selecionadas para o estudo. Caixas verdes e pretas indicam o número de condições propícias com tempos curtos (t < 103anos) e tempos longos (t � 103), respectivamente. Nestes mapas, adotamos o raio de Hill de Júpiter (rH) como escala para o semi-eixo maior. 19 a J L 1 L 2 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 a (U.A.) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 e 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) Figura 6: Diagrama (a × e) das condições iniciais propícias, em relação ao Sol, adotadas para o asteróide principal. As curvas cheias e pontilhadas, em preto, denotam o apocentro e o pe- ricentro do asteróide, respectivamente. Estas curvas indicam que as capturas ocorrem, prefe- rencialmente, quando o asteróide se aproxima de Júpiter, através do ponto lagrangiano L1, pelo apocentro de sua órbita ou, através do ponto lagrangiano L2, pelo pericentro de sua órbita. 2.2 MODELO DE ASTERÓIDE BINÁRIO Como já mencionado, para criar um asteróide binário a partir das condições iniciais propícias, adicionamos ao problema um segundo asteróide orbitando o primeiro. Chamaremos, de agora em diante, os asteróides principal e secundário de P1 e P2, respectivamente. Isto é, P1 é o asteróide primordial com condições iniciais propícias, e P2 o novo asteróide que orbita P1. Para tornar mais simples a modelagem do asteróide binário, definimos sua órbita, em termos de seus elementos orbitais, ao redor de P1. Os elementos orbitais de P2 em relação à P1, serão referenciados, de agora em diante, por elementos orbitais do asteróide binário, ou simplesmente elementos do binário. Para cada condição inicial propícia, geramos 108 condições iniciais do binário. Para tanto, variamos a anomalia verdadeira fB inicial do binário de 0 a 330o, a cada 30o, e o semi-eixo maior inicial do mesmo, de 0,1rh a 0,5rh a cada 0,05rh. Aqui, ‘rh’ é escrito com h minúsculo para diferenciar de ‘rH’, escrito com H maiúsculo. A unidade ‘rh’ representará o raio de Hill do asteróide P1 em relação ao Sol no instante inicial da integração, ao passo que ‘rH’ representa o raio de Hill de Júpiter. Para todos os casos estudados, a excentricidade inicial do binário foi inicialmente ajustada em zero (eB = 0). A inclinação do binário, dada em relação ao plano orbital de Júpiter, foi também inicialmente ajustada para 0 (I = 0). A Figura (7) esboça, geometricamente, a distribuição das condições iniciais do binário. Dado nosso interesse particular nos satélites irregulares de Júpiter, ajustamos a massa do aste- róide P2 comom2 = 10 19 kg, baseado na massa de Himalia, o maior satélite irregular de Júpiter 20 Figura 7: Esboço em perspectiva, fora de escala, da grade de condições iniciais de P2 em relação à P1. As posições iniciais do asteróide P2, em azul, em relação ao asteróide P1, em vermelho, são dadas pelas intersecções entres os raios e as circunferências. (Emelyanov, 2005). A massa do asteróide P1 foi ajustada, com base no trabalho de Agnor & Hamilton (2006), comom1 = 10m2 = 10 20 kg. 2.3 SIMULAÇÕES DE CAPTURA DE ASTERÓIDES BINÁRIOS Para realizar nossos estudos numéricos, utilizamos um integrador com espaçamento tipo Gauss- Radau (Everhart, 1985). O tempo de integração de cada trajetória foi ajustado para 104 anos e o passo de saída para 10 horas. Para evitar o armazenamento da grande quantidade de dados oriundos das integrações desenvolvemos um algoritmo para identificar e armazenar apenas os dados dos principais estágios de cada trajetória integrada. Definiremos os instantes de integra- ção referentes a cada um dos principais estágios como segue: T1: instante em que o asteróide binário se torna capturado por Júpiter; T2: instante em que o asteróide binário se rompe; T3: instante em que um dos membros do asteróide binário primordial escapa das vizinhanças de Júpiter5; Ao identificar cada um dos três instantes, as configurações de todos os corpos são armazenadas em três arquivos distintos. Pelas diferenças entre T1 e T3 ou Tf , o tempo final de integração, obtemos o tempo de captura para cada trajetória. O algoritmo adotado para identificar os princi- pais instantes de integração consiste, basicamente, em analisar a energia de dois corpos, a cada passo de integração, como descrito abaixo: O asteróide binário se aproxima de Júpiter através de uma órbita quase-hiperbólica, dado que o mesmo inicialmente orbita o Sol. Deste modo, as energias de dois corpos individuais de ambos 5T3 é um instante crucial da integração dado que após o mesmo as interações entre P1 e P2 serão totalmente negligenciáveis. 21 os asteróides P1 e P2 com relação à Júpiter são positivas. No instante em que ambas se tornam negativas, o instante T1 é identificado. De modo similar, dado que P2 orbita P1, a energia mútua entre mesmos é inicialmente negativa. Assim, no instante em que esta se tornar positiva, o instante T2 é identificado, dado que P2 não tem mais uma órbita fechada em torno de P1. Por final, dado que a ruptura, de modo geral, ocorre sempre após a captura inicial do asteróide binários, o sistema apresenta-se em um estado no qual ambas as energias de dois corpos de P1 e P2 em relação à Júpiter são negativas, e energia mútua, do problema de dois corpos de P1 e P2 é positiva. Isto é, P1 e P2 orbitam Júpiter individualmente, de maneira que as interações mútuas entre os mesmos são negligenciáveis, o que lhes permitem escapar, individualmente, das vizinhanças de Júpiter. Assim, no instante em que a energia de dois corpos de P1 ou P2 em relação à Júpiter se torna positiva, enquanto a energia de dois corpos de P2 ou P1, respectivamente em relação à Júpiter, se mantém negativa, o instante T3 é identificado. Após a instante T3, a órbita do asteróide remanescente ao redor de Júpiter, pode ser instável. Deste modo, três possíveis resultados sucedem o instante: 1. O asteróide remanescente colide com Júpiter, caracterizando uma colisão; 2. O asteróide remanescente escapa das vizinhanças de Júpiter, caracterizando um escape duplo; 3. O asteróide remanescente se mantém capturado durante todo o tempo de integração, ca- racterizando uma captura permanente; 22 3 RESULTADOS DO ESTUDO INICIAL - CASO PLANAR PROGRADO Nesta seção apresentamos alguns gráficos gerados a partir dos dados armazenados nos instantes T1, T2 e T2 em três subseções respectivas. Também discutiremos alguns dados estatísticos na quarta subseção. 3.1 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T1 Os gráficos da Figura (8) comparam a separação do asteróide binário no instante T1 com sua variação, através dos valores de semi-eixo maior do mesmo aB nos instantes inicial e T1Ṅo gráfico (a) estão plotados os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em vermelho e azul, respectivamente. No gráfico (b) estão plotados os casos que resultaram em escapes duplos ou colisões, em verde e laranja, respectivamente. Estes gráficos nos permitem compreender mais sobre a evolução do asteróide binário desde o instante inicial da integração até o instante T1. -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 Δa B ( r h ) H i s t o g r a m a aB inicial (rh) (a) -0.20 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 Δa B ( r h ) H i s t o g r a m a aB inicial (rh) (b) Figura 8: Semi-eixo maior do binário pela variação do mesmo no instante T1. O gráfico (a) representa os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em vermelho ou azul, respectivamente. O gráfico (b) representa os casos que resultaram em escapes duplos ou co- lisões, em verde e laranja, respectivamente. As linhas cheias são histogramas com valores relacionados na escala à direita. As linhas cheias vermelhas e azuis são histogramas dos casos em que P1 ou P2 permaneceu capturado, respectivamente. Estes histogramas revelam que i) a probabilidade de ocorrência de captura permanente é muito maior para o asteróide P2. De modo mais geral, o membro menor do asteróide binário tem maior probabilidade de captura. Os histogramas ainda nos permitem concluir que, asteróides binários mais próximos são mais suscetíveis as capturas permanentes que os asteróides com grandes separações. Comparando os gráficos (a) e (b), notamos que para valores de semi-eixo maior do binário superiores à aB = 0, 35rh o número de capturas perma- nentes para variações positivas de semi-eixo maior diminui ao contrário do número de escapes duplos com variações também positivas de semi-eixo maior. Conseqüentemente, verificamos que iii) a separação do asteróide binário, dada em termos de seu semi-eixo maior, tende ao li- 23 mite bem estabelecido a∗ ≈ 0, 5rh, alem do qual as órbitas são instáveis. Isso significa que é possível classificar os binários suscetíveis à captura através de sua separação no instante T1, ou seja, através do semi-eixo maior do binário no instante em que ele é capturado. Com base nos resultados de Tsui (1999, 2000), os quais mostram que um asteróide pode se tornar permanentemente capturado devido a reações de troca com um satélite do planeta, pode- mos, a partir destes resultados, explicar o mecanismo de captura através de trocas de energia, como segue: 1. Consideremos um asteróide binário, inicialmente em órbita heliocêntrica, que será captu- rado por Júpiter. Uma vez que este asteróide binário esta inicialmente orbitando o Sol, a energia individual de cada um de seus membros é maior que a energia de escape ε0, isto é, a energia mínima necessária para permitir que um asteróide, individualmente, escape de uma captura por Júpiter; 2. Entretanto, dado que os asteróides orbitam a uma distância muito pequena de seu bari- centro comum, trocas de momento angular e energia ocorrem constantemente. Por outro lado, após ser capturado por Júpiter (T1), o asteróide binário passa a sofrer fortes pertur- bações do planeta. Conseqüentemente, as reações de trocas de tornam mais intensas; 3. Devido às perturbações de Júpiter, o binário irá se romper (T2). Entretanto, as trocas de energia ocorridas até então, entre os asteróides resultaram em estados de energia nos quais a energia de ummembro é inferior à energia de escape ε0. Nestas condições, este membro de menor energia permanecerá capturado, uma vez que, após a ruptura as interações de troca entre os asteróides serão negligenciáveis; O gráfico (b) da Figura (9) ilustra este processo de troca de energias para a trajetória mostrada no gráfico (a). Ambos os gráficos denotam os instantes T1, T2 e T3 através de um triangulo azul claro, um quadrado verde e um triangulo lilás, respectivamente. 24 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 Y ( U A ) X (UA) Jupiter P1 P2 T1 T2 T3 -0.1 -0.1 -0.0 0.0 0.0 0.1 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 Zoom (a) -2.0x10 -2 -1.5x10 -2 -1.0x10 -2 -5.0x10 -3 0.0x10 0 5.0x10 -3 1.0x10 -2 1.5x10 -2 2.0x10 -2 0 2 4 6 8 10 12 14 -9x10 -7 -6x10 -7 -3x10 -7 0x10 0 3x10 -7 6x10 -7 9x10 -7 E n e r g i a d e d o i s c o r p o s d o a s t e r o i d e e m r e l a c a o a J u p i t e r E n e r g i a d e d o i s c o r p o s d o b i n a r i o Tempo (anos) T1 T2 T3 P1 P2 Binario (b) Figura 9: Um exemplo de um processo de captura. No gráfico (a), ‘+’ vermelho e ‘x’ azul, representam a trajetória de P1 e P2, respectivamente, no sistema de referência de Júpiter (círculo preto). O asteróide binário é temporariamente capturado por Júpiter (triangulo azul claro), se rompe (quadrado verde) e tem, finalmente, seu menor membro permanentemente capturado enquanto o maior escapa das vizinhanças de Júpiter (triangulo lilás). O gráfico (b) mostra a evolução da energia para a trajetória do gráfico (a). ‘+’ vermelho e ‘x’ representam a energia de dois corpos de P1 e P2 em relação à Júpiter, respectivamente, ao passo que a linha lilás representa a energia de dois corpos do binário, isto é, de P2 em relação à P1. 25 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 e B H i s t o g r a m a aB (rh) (a) 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 e B H i s t o g r a m a aB (rh) (b) Figura 10: Diagramas de semi-eixo maior versus excentricidade do binário no instante T1. O gráfico (a) apresenta os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em vermelho e azul, respectivamente. No gráfico (b), ‘x’ verde e ‘+’ preto representam os casos que resul- taram em escapes duplos e colisões, respectivamente. As linhas cheias são histogramas, com valores na escala à direita Note que estas conclusões concordam com os resultados: Elas concordam com a maior proba- bilidade de captura do menor membro do asteróide binário uma vez que, menor massa significa menor inércia, então, conseqüentemente é mais fácil para o asteróide menor perder a energia necessária para permanecer capturado. A maior probabilidade de ocorrência de captura per- manente para asteróides mais próximos também concorda com estas conclusões dado que as interações de trocas entre corpos mais próximos são mais intensas que para corpos com maior separação. Finalmente, o limite de separação, dados por a∗B ≈ 0, 5rh, também concorda com as conclusões pois a separação do binário é proporcional à energia de ligação entre os mesmos, a qual, por sua vez, está relacionada com a máxima energia que os asteróides podem trocar. Em outras palavras, binários com grandes separações não conseguem trocar energia suficiente para produzir capturas permanentes. Os gráficos (a) e (b) na Figura (10) são diagramas aB×ee do instante T1. O gráfico (a), relaciona os caos que resultaram em captura permanente de P1 (vermelho) ou P2 (azul). No gráfico (b), ‘x’ verde indicam casos que resultaram em escapes duplos e ‘+’ preto casos que resultaram em colisões. As linhas cheias são histogramas. 26 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 e a (rH) (a) 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 e a (rH) (b) Figura 11: Diagramas de semi-eixo maior versus excentricidade dos asteróides no instante T2. O gráfico (a) mostra os casos que resultaram em captura permanente de P1 ou P2, em vermelho e azul, respectivamente. O gráfico (b) mostra os casos que resultaram em escapes duplos. Pontos denotados por ‘+’ verde representam os asteróides que escaparam após o instante T3. A linha lilás é o semi-eixo maior crítico encontrado por Domingos et al. (2006) (veja Equação (2)) para eP = 0. Comparando os gráficos (a) e (b) da Figura (10), confirmamos o valor limite de semi-eixo maior, a∗B ≈ 0, 5rh, uma vez que o gráfico (b) apresenta um quantidade notável de casos de escapes duplos nos quais o semi-eixo maior do binário excede a∗B. O principal resultado deste gráfico, entretanto, é a relação da excentricidade com o semi-eixo maior do binário. Comparando os gráficos(a) e (b), notamos, que mesmo para pequenos valores de semi-eixo maior, a captura permanente não ocorre se a excentricidade estiver acima de um limite associado ao respectivo valor de semi-eixo maior. 3.2 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T2 Com já definido antes, o instante T2 é caracterizado pela ruptura do asteróide binário. Deste modo, os gráficos desta subseção apresentam os elementos individuais de cada asteróide em relação à Júpiter. O gráfico (a) da Figura (11) é um diagrama a×e, no instante T2, dos asteróides que permaneceram capturados por Júpiter. O gráfico (b) mostra o mesmo diagrama para o último asteróide a escapar de Júpiter nos casos de escapes duplos. Da comparação de (a) e (b), encontramos uma região no espaço a×e na qual um asteróide permanece capturado no instante da ruptura T2. Ajustando uma expressão para esta região do espaço a × e encontramos um limite de semi-eixo maior dado em termos da excentricidade, com segue: a∗(e) = 0.4500(1.0000− 0.2046e) (3) Em outras palavras, no instante da ruptura, podemos prever se o asteróide permanecerá captu- rado verificando se o semi-eixo maior do mesmo obedece a < a∗(e). Contudo, não afirmamos que probabilidade de ocorrência de captura permanente fora dessa região é nula. 27 O segundo gráfico do instante T2 é um histograma angular. Este nos permite determinar a probabilidade ocorrência de captura permanente de P2 para uma dada configuração angular do sistema no instante da ruptura. Para tornar esta análise mais fácil, definimos um sistema conveniente que nos permite determinar as posições angulares dos asteróides através de dois ângulos, como ilustra a Figura (12). O θ1 mede o ângulo entre as direções Sol-Júpiter e Júpiter- P1, ao passo que, θ2 mede o ângulo entre as direções Júpiter-P1 e P1-P2. Note que neste sistema, P1 orbita Júpiter no sentido anti-horário e P2 orbita P1 também no sentido anti-horário. Os gráficos da Figura (13) apresentam os histogramas de probabilidade da seguinte forma: Os círculos vermelhos representam a posição angular de P1 em relação à direção Sol-Júpiter (θ1) com intervalos de 30o. As seções angulares ao redor de cada círculo vermelho representam a posição angular de P2 em relação à direção Júpiter-P1 (θ2), também, para intervalos de 30o. As cores das seções relacionam as porcentagens de captura permanente ou escapes através das escalas de cores nos histogramas (a) e (b), respectivamente. As seções brancas representam um número nulo absoluto de eventos. O gráfico (a) mostra as porcentagens em relação ao total de capturas de P2, e o gráfico (b) a porcentagem de escapes em relação número total de casos de escapes. Figura 12: Esboço da configuração angular entre os corpos. 28 (a) (b) Figura 13: Histograma angular do instante T2. Os círculos vermelhos indica a posição de P1 em relação à Júpiter (θ1). As seções angulares ao redor de cada circulo vermelho indicam a posição de P2 em relação à P1 (θ2). As cores das seções relacionam as probabilidades de captura permanente de P2 através da escala em (a). Analogamente, em (b) as seções relacionam a probabilidade de escape duplo. Observando os histogramas notamos que: i) as rupturas ocorrem preferencialmente quando Júpiter, P1 e P2 estão aproximadamente alinhados, isto é, θ2 ≈ 0 ou θ2180 0. A maior pro- babilidade observada para θ1 ≈ 1800 no histograma de escapes duplos (b), comparada com a pequena probabilidade para θ1 ≈ 180o no diagrama de capturas permanentes (a) indicam que ii) rupturas que ocorrem quando o asteróide binário está alinhado entre Júpiter e o Sol, muito provavelmente, resultam em escapes duplos. Por outro lado, o histograma (a) mostra que iii) capturas permanentes de P2 resultam com grande probabilidade de asteróides binários que se rompem em uma posição angular de aproximadamente 90o após cruzar a direção Sol-Júpiter (θ1 ≈ 270o). Finalmente, do histograma de captura (a) também observamos que as capturas permanentes de P2 sucedem de rupturas que ocorrem qual P2 está em conjunção inferior com P1, visto de Júpiter (θ2 ≈ 180o). Estes resultados reforçam a importância da presença do Sol na dinâmica de captura de asteróides binários dado que estas posições angulares características estão intrinsecamente vinculadas à posição de Júpiter em relação ao Sol, isto é, a linha da direção Sol-Júpiter. 3.3 RESULTS AT T3 Os dados armazenados no instante T3, mostram a configuração final do asteróide capturado, dados que este não irá sofrer interações com o outro asteróide. O gráfico da Figura (14), é um diagrama a × e dos asteróides permanentemente capturados no instante T3. Pontos denotados por ‘+’ vermelho e ‘x’ azul relacionam os casos em que P1 ou P2 permaneceu capturado, res- pectivamente. Os círculos pretos representam os satélites irregulares progrados reais de Júpiter. A linha lilás é o semi-eixo maior crítico encontrado por Domingos et al. (2006), dado pela Equação (2). O contorno lilás é uma borda de uma de uma região de estabilidade estendida 29 obtida através de um estudo mais geral de tempos de captura. Este estudo mais geral consistiu em seguir os mesmos passos desenvolvidos por Vieira Neto & Winter (2001), considerando, entretanto, valores iniciais diferentes para longitude do pericentro �0 e anomalia verdadeira f0. Dos resultados deste estudo, mostrados em Figura (4), descobri- mos que para os pares de valores iniciais (�0 = 0, f0 = 180o) e (�0 = 180o, f0 = 180o), os mapas de tempo de captura têm regiões de estabilidade maiores. Combinando as bordas das regiões de estabilidade dos mapas (a) e (b) da Figura (4), de modo a obter uma região mais abrangente, obtivemos a borda de estabilidade mais geral mostrada na Figura (14). Os pontos no gráfico Figura (14) mostram que os elementos orbitais a e e dos asteróides perma- nentemente capturados abrangem uma larga região do espaço a× e. Apesar deste estudo só ter considerado o caso planar, alguns asteróides permaneceram capturados com órbitas similares, em semi-eixo e excentricidade, as órbitas reis dos satélites irregulares progrados de Júpiter. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 e a (rH) Figura 14: Mesmo gráfico da Figura (11.1) para os dados do instante T3. Os pontos denotados por ‘+’ vermelho e ‘x’ azul representam os casos em que P1 ou P2 permaneceu capturado, respectivamente. As circunferências pretas representam os satélites irregulares progrados reais de Júpiter. O contorno lilás é a borda de uma região de estabilidade mais geral 30 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (a) (b) Figura 15: Mesmo mapa da figura Figura (4), gerado para diferentes pares de condições iniciais. Mapa (a) ω0 = 0 e λ0 = 180 o e mapa (b) ω0 = 180 o e λ0 = 180 o. 3.4 CAPTURAS DE ASTERÓIDES BINÁRIOS EM NÚMEROS Das 8 748 trajetórias simuladas, 4 860 foram provenientes de condições iniciais primárias de tempos longos e 3 888 de tempos curtos. Tabela (6) apresenta as quantidades de capturas per- manentes e colisões. A segunda e a terceira colunas mostram os valores com relacionados às trajetórias de condições iniciais provenientes de tempos curtos e longos, respectivamente. Como mostrado na Tabela (6), apesar da probabilidade de captura permanente para os casos derivados das condições de tempos curtos ser baixa, a probabilidade de captura permanente para trajetórias provenientes de condições de tempos longos é bastante expressiva (20%). As probabilidades de colisões, para ambos os casos tem a mesma ordem. Tabela 6: Números de simulações, capturas e colisões. Descrição Tempos curtos de captura Tempos longos de captura Simulations 3 888 4 860 Captures 7 972 Captures of P1 1 5 Captures of P2 6 966 Double captures6 0 1 Collisions 180 143 31 4 RESULTADOS DO ESTUDO GENERALIZADO - CASOS INCLINADOS Nesta seção apresentaremos os gráficos dos resultados do estudo mais geral, no qual estudamos os casos não planares. Os gráficos serão dispostos, como na seção anterior, em três subseções relativas aos instantes T1, T2 e T3. Adicionalmente, uma quarta subseção apresenta os gráficos relativos às configurações no instante final da integração. 4.1 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 aB inicial (rh) −1x10 −1 −1x10 −2 −1x10 −3 −1x10 −4 0 1x10 −4 1x10 −3 1x10 −2 1x10 −1 Δa B ( r h ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (a) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 aB inicial (rh) −1x10 −1 −1x10 −2 −1x10 −3 −1x10 −4 0 1x10 −4 1x10 −3 1x10 −2 1x10 −1 Δa B ( r h ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (b) Figura 16: Semi-eixo maior inicial do binário versus a variação do mesmo no instante T1. Os gráficos (a) e (b) representam os casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2, respectivamente. As cores dos pontos relacionam a inclinação do binário, no instante T1 através da escala de cores. Os gráficos da Figura (16), da mesma forma que os gráficos da Figura (8), comparam a sepa- ração do asteróide binário no instante inicial da integração com sua variação até o instante T1, através dos valores de semi-eixo maior do mesmo aB nos instantes inicial e T1. Os gráficos (a) e (b) da Figura (16) representam os casos que resultaram na captura permanente do aste- róide P1 e P2, respectivamente. Primeiramente, notamos que, da mesma forma que no caso planar prógrado, a probabilidade de captura do asteróide de menor massa é maior. Entretanto, a probabilidade de captura do asteróide P1 para caso inclinado, é ligeiramente maior que a probabilidade de captura do mesmo para o caso planar prógrado. Um resultado novo surge da comparação dos gráficos da Figura (16) com o gráfico (a) da Figura (8). Isto é, o último aponta a existência de um limite no valor de semi-eixo maior (aB ≈ 0, 35rh), acima do qual a probabili- dade de captura diminuía expressivamente. Entretanto, os gráficos da Figura (16) mostram que este limite é valido apenas para os casos do asteróide de menor massa, P2. A distribuição dos pontos no gráfico (a), não indica uma queda apreciável da probabilidade de captura do asteróide P1 para valores superiores a aB ≈ 0, 35rh. 32 4.2 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T2 O aumento dos graus de liberdade do problema proveniente da inclinação agrega dificuldade à análise dos resultados. Para fazer um estudo comparativo à análise dos histogramas angulares da Figura (13), optamos por estudar a projeção das distâncias angulares no plano orbital de Jú- piter. Os gráficos (a) e (b) da Figura (17), são diagramas angulares dos casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2, respectivamente. Estes gráficos confirmam os principais resultados obtidos da Figura (13.a). Isto é, a grande densidade de pontos na região da “quadra- tura” (θ1 ≈ 270o) no gráfico (b), indica a maior probabilidade de captura do asteróide P2 para esta configuração. Do mesmo modo, notamos que a configuração mais favorável é a conjunção inferior de P2 com P1, visto de Júpiter, isto é, θ2 ≈ 180o. 0 60 120 180 240 300 360 θ1 (graus) 0 60 120 180 240 300 360 θ 2 ( g r a u s ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (a) 0 60 120 180 240 300 360 θ1 (graus) 0 60 120 180 240 300 360 θ 2 ( g r a u s ) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (b) Figura 17: Projeção das distâncias angulares θ1 versus θ2, conforme mostra o esboço da Fi- gura (12). Os gráficos (a) e (b) representam os casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2, respectivamente. As cores dos pontos relacionam a inclinação do binário, no instante T2, através da escala de cores. 4.3 RESULTADOS DA ANÁLISE DO INSTANTE T3 A Figura (18) mostra os diagramas a × e com a configuração dos asteróides capturados no instante T3. Os gráficos (a) e (b) relacionam os casos que resultaram em captura permanente de P1 e P2, respectivamente. Os asteróides capturados em órbitas prógradas estão distribuídos de maneira semelhante aos casos observados no estudo inicial do caso planar prógrado. Os diagramas polares da Figura (19) apresentam a distribuição dos asteróides capturados com uma ênfase maior na inclinação. Como nas outras figuras, (a) e (b) representam os casos em que P1 e P2 ficaram permanentemente capturados, respectivamente. Estão destacados nos diagramas, com arcos verdes pontilhados, o máximo e o mínimo valor de semi-eixo maior dos satélites 33 irregulares reais de Júpiter. Estão destacados também, com arcos na cor lilás, o menor pericentro e o maior apocentro das órbitas dos satélites irregulares reais de Júpiter. Estes diagramas podem ser comparados ao diagrama da Figura (1), que mostra a distribuição dos satélites irregulares de Júpiter. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 aP1 (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 e P 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (a) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 aP2 (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 e P 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (b) Figura 18: Semi-eixo maior versus excentricidade do asteróide no instante T3. Os gráficos (a) e (b) representam os casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2, respectivamente. As cores dos pontos relacionam a inclinação do binário, no instante T3 através da escala de cores. Da Figura (19.b), notamos uma quantidade expressivamente maior de asteróides capturados em órbitas prógradas. Associando isto ao fato do número de condições iniciais simuladas para os casos progrados e retrógrados serem da mesma ordem, concluímos que o asteróide menor tem maior probabilidade de ser capturados em uma órbita prógrada. Por outro lado, notamos uma ligeira tendência do asteróide maior ser capturado em órbita retrógrada. Verificando os dados, pudemos constatar que entre os casos em que P1 permaneceu capturado, 56,36% das órbitas são retrógradas, ao passo que entre os casos de captura permanente de P2, 91,42% das órbitas são prógradas. 4.4 CONFIGURAÇÃO FINAL DOS ASTERÓIDES CAPTURADOS No estudo inicial, caso planar prógrado, nos surgiu a dúvida de quão estável seria a órbita final do asteróide capturado, isto é, quão diferente seria a órbita ao final da integração em relação à órbita conhecida no instante T3. Isto não pode ser verificado dado que não havíamos armazenado as configurações do sistema no instante final da integração. Ao iniciar o estudo general com inclinações, tomamos então, o cuidado de também armazenar a configuração do sistema ao final da integração. A título de comparação, apresentamos nesta subseção a mesma análise gráfica da subseção anterior, 4.3, para as configurações finais dos asteróides capturados. Comparando os gráficos das figuras 20 e 21 com os gráficos das figuras 18 e 19, notamos que os valores médios não variam substancialmente. 34 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 a P 1 . s e n ( I P 1 ) ( r H ) aP1.cos(IP1) (rH) (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 a P 2 . s e n ( I P 2 ) ( r H ) aP2.cos(IP2) (rH) (b) Figura 19: Diagrama polar da distribuição dos asteróides no instante T3. Os gráficos (a) e (b) representam os casos que resultaram na captura permanente de P1 e P2, respectivamente. As extremidades das barras representam o apocentro e o pericentro da órbita, e suas inclinações, contada a partir do eixo horizontal no sentido anti-horário, representam as inclinações orbi- tais. As semicircunferências verdes, a título de comparação, representam os valores mínimo e máximo de semi-eixo maior dos satélites irregulares reais de Júpiter. Também a título de com- paração, as circunferências de cor lilás representam o menor pericentro e o maior apocentro das órbitas dos satélites irregulares reais de Júpiter. 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 aP1 (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 e P 1 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (a) 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 aP2 (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 e P 2 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) (b) Figura 20: Mesma análise gráfica da Figura (18), para a configuração no instante final da inte- gração. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 a P 1 . s e n ( I P 1 ) ( r H ) aP1.cos(IP1) (rH) (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 a P 2 . s e n ( I P 2 ) ( r H ) aP2.cos(IP2) (rH) (b) Figura 21: Mesma análise gráfica da Figura (19), para a configuração no instante final da inte- gração. 35 5 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste trabalho, estudamos a dinâmica de captura de asteróides binários procurando pelas con- dições favoráveis que tornam uma captura permanente. Nossos resultados apresentam novas perspectivas a respeito do problema de captura de asteróides binários enfatizando a importân- cia do papel do Sol na dinâmica. Os resultados obtidos nos permite compreender características intrínsecas do processo, bem como, características relativas à configuração do asteróide binário. Em uma primeira abordagem, na qual estudamos o caso planar prógrado, constatamos que asteróides binários com pequenas separações são mais suscetíveis a capturas permanentes que asteróides com maior separação. Contudo, considerando uma abordagem mais geral, na qual estudamos encontros de asteróides binários fora do plano orbital de Júpiter, constatamos que este resultado é um caso particular do resultado mais geral. Isto é, i) em asteróides binários com pequenas separações, o menor membro é mais suscetível à captura permanente. Entretanto, os novos resultados indicam que, ii) considerando capturas fora do plano orbital de Júpiter, asteróides binários com grandes separações resultam em uma maior susceptibilidade à captura permanente do seu maior membro. Contudo, a probabilidade global de captura permanente é maior para o menor membro do asteróide binário. Ainda sobre as considerações dos membros do binário, os resultados indicam uma probabilidade expressivamente maior do menor membro do binário ser capturado em uma órbita prógrada, enquanto o maior membro tem uma probabilidade ligeiramente maior de ser capturado em uma órbita retrógrada. Estes resultados refletem a necessidade de se avaliar o modelo para diferentes valores e razões de massas do asteróide binário. Em relação às características relativas ao processo de captura, o estudo mais geral concorda com os primeiros resultados, os quais indicam que à posição angular dos corpos no instante da ruptura tem forte influência na probabilidade de ocorrência de captura permanente. Resumindo: iii) Rupturas ocorrem preferencialmente quando ambos os asteróides, membros do binário, es- tão aproximadamente alinhados com Júpiter; Contudo, iv) rupturas que ocorrem quando P2 está entre Júpiter e P1 resultam mais freqüentemente em capturas permanentes; iv) A probabilidade de ocorrência de capturas permanentes é consideravelmente maior para rupturas que ocorrem em “quadratura ”com Júpiter, isto é, quando o binário se encontra em uma posição angular de aproximadamente 90o após sua passagem pela linha que une Sol-Júpiter. Ponderando o estudo realizado e os resultados alcançados, concluímos que a dinâmica do mo- delo proposto é eficiente no que tange ao objetivo de se capturar permanentemente corpos a partir de órbitas heliocêntricas. Por outro lado, temos observado que cada novo resultado su- gere novas hipóteses e a necessidade de se avaliar novos parâmetros, o que tende a ramificar consideravelmente o estudo. Dentre as perspectivas futuras, destacamos: • A necessidade se analisar as razões de massas; • Um estudo considerando as inclinações relativas do binário, isto é, a inclinação de P2 em 36 relação à P1; • Considerar um tratamento de colisões mútuas entre os membros do binário, dado que no presente estudo as integrações foram interrompidas em tais ocorrências. Colisões mútuas geram fragmentos que, de maneira semelhante aos binários, podem ser permanentemente capturados; • Por fim, há de se considerar a possibilidade de se estudar a captura de grupos de asterói- des; Referências Bibliográficas Agnor C. B., Hamilton D. P., 2006, Nature, 441, 192 Astakhov S. A., Burbanks A. D., Wiggins S., Farrelly D., 2003, Nature, 423, 264 Beaugé C., Roig F., Nesvorný D., 2002, Icarus, 158, 483 Belton M., Carlson R., 1994, IAUC, 5948, 2 Benner L. A., Mckinnon W. B., 1995, Icarus, 118, 155 Brunini A., 1995, Earth Moon and Planets, 71, 281 Carusi A., Valsecchi G., 1979, Numerical Simulations of Close Encounters Between Jupiter and Minor Bodies, 2 edn. The University of Arizona Press, Tucson, pp 391–416 Colombo G., Franklin F. A., 1971, Icarus, 15, 186 Ćuk M., Burns J. A., 2004, Icarus, 167, 369 Domingos R. C., Winter O. 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C., Vieira Neto E., 2001, Astronomy & Astrophysics, 377, 1119 www.dtm.ciw.edu, 2009, The Jupiter Satellite Page www.eso.org, ESO - 2007 APÊNDICE 41 Apêndice A a (U.A.) Ω ( g r a u s ) 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 0 60 120 180 240 300 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 I n c l i n a ç ã o ( g r a u s ) a (U.A.) ϖ ( g r a u s ) 60 120 180 240 300 a (U.A.) f ( g r a u s ) aJL1 L2 60 120 180 240 300 360 Figura 22: Condições iniciais propícias. Diagramas (a×Ω), (a×�) e (a× f ), do asteróide P1 em relação ao Sol, de baixo para címa, respectivamente. 42 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (b) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (c) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (d) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (e) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (f) Figura 23: Mapas de tempo de captura na coluna à esquerda. Na coluna à direita, condições iniciais primárias selecionadas, em que pontos denotados por “x” verde e “+” preto representam os casos com tempos de captura menores e maiores que 103 anos. Do topo para baixo, os mapas são referentes às inclinações de 20o, 40o e 60o, respectivamente 43 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (b) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (c) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (d) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (e) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (f) Figura 24: Mapas de tempo de captura na coluna à esquerda. Na coluna à direita, condições iniciais primárias selecionadas, em que pontos denotados por “x” verde e “+” preto representam os casos com tempos de captura menores e maiores que 103 anos. Do topo para baixo, os mapas são referentes às inclinações de 80o, 90o e 100o, respectivamente 44 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (a) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (b) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (c) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (d) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Semi-eixo maior (rH) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 E x c e n t r i c i d a d e 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 T e m p o d e c a p t u r a ( a n o s ) (e) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 E x c e n t r i c i d a d e Semi-eixo maior (rH) (f) Figura 25: Mapas de tempo de captura na coluna à esquerda. Na coluna à direita, condições iniciais primárias selecionadas, em que pontos denotados por “x” verde e “+” preto representam os casos com tempos de captura menores e maiores que 103 anos. Do topo para baixo, os mapas são referentes às inclinações de 120o, 140o e 160o, respectivamente CAPA FOLHA DE ROSTO FICHA CATALOGRÁFICA COMISSÃO EXAMINADORA DADOS CURRICULARES DEDICATÓRIA AGRADECIMENTOS EPÍGRAFE RESUMO ABSTRACT SUMÁRIO LISTA DE FIGURAS, TABELAS LISTA DE TABELAS 1 INTRODUÇÃO 1.1 Satélites naturais 1.2 Origens dos satélites planetários 1.3 Modelos de mecanismos de captura 1.4 Asteróides binários 2 MODELO DE CAPTURA 2.1 Método 2.2 Modelo de asteróide binário 2.3 Simulações de captura de asteróides binários 3 RESULTADOS DO ESTUDO INICIAL - CASO PLANAR PROGRADO 3.1 Resultados da análise do instante T1 3.2 Resultados da análise do instante T2 3.3 Results at T3 3.4 Capturas de asteróides binários em números 4 RESULTADOS DO ESTUDO GENERALIZADO - CASOS INCLINADOS 4.1 Resultados da análise do instante T1 4.3 Resultados da análise do instante T2 4.3 Resultados da análise do instante T3 4.4 Configuração final dos asteróides capturados 5 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS BIBLIOGRAFIA APÊNDICE