FACULDADE DE ENGENHARIA DE BAURU PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÄNICA ÁREA DE PROJETO MECÂNICO FRANSBER SANTADE ANÁLISE DINÂMICA DE AMORTECEDORES NÃO LINEARES ASSIMÉTRICOS, COM HISTERESE E SUJEITOS A FOLGA E AVALIAÇÃO DO EFEITO TEMPERATURA Bauru, SP 2017 Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” i FRANSBER SANTADE ANÁLISE DINÂMICA DE AMORTECEDORES NÃO LINEARES ASSIMÉTRICOS, COM HISTERESE E SUJEITOS A FOLGA E AVALIAÇÃO DO EFEITO TEMPERATURA Tese apresentada à Faculdade de Engenharia de Bauru, programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica, na Área de Projeto Mecânico, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Doutor em Engenharia Mecânica. Orientador: Prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves Coorientador: Prof. Dr. Edson Antônio Capello Sousa Bauru, SP 2017 ii Santade, Fransber. Análise dinâmica de amortecedores não lineares assimétricos, com histerese e sujeitos a folga e avaliação do efeito temperatura / Fransber Santade, 2017 183 f. : il. Orientador: Paulo José Paupitz Gonçalves Coorientador: Edson Antônio Capello Sousa Tese (Doutorado)–Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia, Bauru, 2017 1. Amortecedores. 2. Não linearidades. 3. Assimetria. 4. Histerese. 5. Folga. 6. Análise de temperatura. I. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia. II. Título. iii iii iv Dedico esta tese a meus pais, Francisco O. do A. Santade e Juvenil B. Santade, e namorada, Patrícia M. M. Nalin, pelo incentivo, apoio e compreensão na busca do saber. v Após quatro anos de aprendizado, muitos são aqueles aos quais tenho a agradecer. De modo sinóptico: - Agradeço primeiramente a Deus, pela saúde, capacidade para vencer barreiras e alcançar objetivos; - Agradeço ao meu orientador, ilmo. prof. Dr. Paulo José Paupitz Gonçalves, do Departamento de Engenharia Mecânica da UNESP de Bauru, pela imensa confiança depositada em minha pessoa e pela grande oportunidade de trabalhar junto a si, compartilhando de vossos vastos conhecimentos e experiências, ao longo do caminho do “orientar”. Deveras grande pessoa, grande profissional, grande professor e grande orientador; - Agradeço à minha família, em especial a meus pais e irmãs, M.Sc. Silmara S. Masiero e M.Sc. Susimara Santade pelo apoio incondicional em todas as horas; - Agradeço aos ilmos. prof. Dr. Marcos Silveira e Dr. Bento Rodrigues de Pontes Júnior, do Departamento de Engenharia Mecânica da UNESP de Bauru, pelas valiosas e esclarecedoras aulas dentro do Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da FEB de Bauru, bem como as valiosas sugestões apresentadas na qualificação desta tese. Grande honra em poder dizer que os tive como catedráticos; - Agradeço à empresa EMBRAER, representada pelos ilmos. Dr. Breno M. Castro e M.Sc. Wellington L. P. Júnior pela grande parceria firmada com a UNESP- FEB, apoio financeiro e oportunidade de desenvolver pesquisa junto a eles. Grande empresa, grandes pessoas e grandes profissionais; - Agradeço ao ilmo. prof. Dr. Douglas D. Bueno, do Departamento de Matemática da UNESP de Ilha Solteira, inicialmente pertencente à EMBRAER, pela oportunidade de desenvolver pesquisa junto a ele. Igualmente grande pessoa e grande profissional; - Agradeço a profa. Dra. Núbia S. Saad, do Laboratório de Mecânica e Estruturas da UFU de Uberlândia, e aos Técnicos Mecânicos Jonas P. Borges e Reinaldo vi T. Paulino, também da UFU, pela colaboração na realização dos ensaios experimentais. Prestatividade e colaboração sem as quais a parte experimental desta tese não teria sido desenvolvida; - Agradeço ao amigo doutorando M.Sc. Eduardo A. Petrocínio, da UNESP de Bauru, pelo auxílio na execução e montagem do cabeamento da fonte do amortecedor MR. Grande pessoa, profissional “à moda antiga” e grande amigo; - Agradeço aos amigos doutorandos M.Sc. Silvia M. Nasser, M.Sc. Andréia Archangelo e M.Sc. José A. Massabki, da UNESP de Bauru, e ao M.Sc. Hanilton M. Nasser, da UTFPR de Cornélio Procópio, pelos conhecimentos e experiências discutidas e compartilhadas ao longo de nossas jornadas como docentes da Etec Jacinto Ferreira de Sá de Ourinhos; Discussões sempre com grande embasamento e diversidade de pontos de vista; Grandes pessoas, grandes profissionais “à moda antiga” e amigos para todas as horas; - Agradeço ao amigo e Técnico Mecânico Marcos A. Roque, da Etec Jacinto Ferreira de Sá de Ourinhos, pelo auxílio na confecção dos suportes de fixação dos amortecedores AP, AH e MR e também na desmontagem do amortecedor AH. Grande pessoa, grande profissional e grande amigo; - Agradeço aos colegas doutorandos da FEB - Programa de Pós-Graduação em Eng. Mecânica – Área de Projetos Mecânicos, que caminharam junto à minha jornada, cada um a seu horizonte: M.Sc. Lucas de H. Silva, M.Sc. Willian M. Kuhnert, M.Sc. Júlio C. de M. Fernandes, M.Sc. Fernando de H. Moraes pelos muitos conhecimentos discutidos e compartilhados durante os dias e madrugadas de aulas e estudo e a todos os demais pelo apoio e troca de experiências; - Agradeço aos ilmos. Doutores membros da banca pelas importantes contribuições a este simplório trabalho. vii “Existem muitas hipóteses na Ciência que estão erradas. Isso é perfeitamente aceitável: Elas são a abertura para achar as que estão certas. A Ciência é um processo de autocorreção. Para serem aceitas, novas ideias devem sobreviver aos mais rigorosos padrões de provas e exames minuciosos” COSMOS – Uma Viagem Pessoal, 1990 Episódio 4 – “Céu e Inferno” Carl Edward Sagan (1934-1996) Fonte: http://revistagalileu.globo.com/Ciencia/Espaco/noticia/2015/03/12-reflexoes-que-vao-te-introduzir-ao- pensamento-de-carl-sagan.html viii Análise Dinâmica de Amortecedores Não Lineares Assimétricos, com Histerese e Sujeitos a Folga e Avaliação do Efeito Temperatura O objetivo principal desta tese é a análise de amortecedores não lineares, incluindo os efeitos da folga, assimetria e histerese. A tese também apresenta um estudo sobre a influência da temperatura sobre esses efeitos. O estudo baseia-se em testes experimentais realizados em três diferentes amortecedores, incluindo um de atrito seco, um hidráulico e um do tipo magnetoreológico. Esses amortecedores foram testados em uma máquina de teste universal utilizando excitação cíclica para diferentes condições de amplitude, frequência e corrente elétrica no caso do amortecedor magnetoreológico. Três modelos paramétricos foram utilizados para representar as forças de amortecimento que foram medidas durante os ensaios experimentais, onde os parâmetros que definem esses modelos foram ajustados utilizando um algoritmo de otimização. A tese propõe uma contribuição para o campo de engenharia ao representar fenômenos não lineares típicos de amortecedores através de testes experimentais e descrevendo uma metodologia para representar as forças de amortecimento não linear e os efeitos da temperatura nestes modelos. Palavras-Chaves: Amortecedores. Não linearidades. Assimetria. Histerese. Folga. Análise de temperatura. ix Dynamic Analysis of Nonlinear Asymmetrical Dampers with Hysteresis and Subject to Clearance and Temperature Effect Evaluation The main objective of this thesis is the analysis of nonlinear dampers including the effects of clearance, asymmetry and hysteresis. The thesis also presents a study on the temperature influence over these effects. The study is based on experimental tests performed on three different damping devices (dashpots), including a dry friction, a hydraulic and a magnetorheological dashpots. Theses dampers were tested on an universal testing machine using cyclic excitation for different conditions of amplitude, frequency and current in the case of the magnetorheological damper. Three parametric models have been used to represent the damping forces that were measured during the experimental testes, where the parameters defining these models were adjusted using an optimization algorithm. The thesis proposes a contribution to the engineering field by representing typical nonlinear phenomena of dampers through experimental tests and describing a methodology to represent the nonlinear damping forces and the effects of temperature on these models. Keywords: Dampers. Nonlinearities. Asymmetry. Hysteresis. Clearance. Temperature analysis. x LISTA DE FIGURAS FIGURA 1 – EXEMPLOS DE OCORRÊNCIA DE FOLGA EM AMORTECEDORES DIANTEIROS DE AUTOMÓVEIS EM SUSPENSÕES TIPO MCPHERSON: A) FIXAÇÃO NOS BATENTES E COXINS E B) FIXAÇÃO NO BATENTE E COXIM E FIXAÇÃO NO PORTA-CUBO DA RODA. ................................ 1 FIGURA 2 – EXEMPLO DE POSSIBILIDADE DE OCORRÊNCIA DE FOLGA EM AMORTECEDORES EM MOTOCICLETAS: FIXAÇÃO DO CONJUNTO PARAFUSO-PORCA DA SUSPENSÃO TRASEIRA. ....... 2 FIGURA 3 – MODELO DE AMORTECIMENTO VISCOSO: A) REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO AMORTECEDOR; B) COMPORTAMENTO DINÂMICO E C) HISTÓRICOS DE DESLOCAMENTO E FORÇA NO TEMPO. .............................................................................................................. 16 FIGURA 4 – MODELO DE AMORTECIMENTO VISCOSO PARA ATUADOR DESCRITO POR RAO (1990). ............................................................................................................................... 17 FIGURA 5 – MODELO DE AMORTECIMENTO DE COULOMB: A) REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO AMORTECEDOR; B) COMPORTAMENTO DINÂMICO E C) HISTÓRICOS DE DESLOCAMENTO E FORÇA NO TEMPO. .............................................................................................................. 18 FIGURA 6 – MODELO DE AMORTECIMENTO QUADRÁTICO: A) REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO AMORTECEDOR; B) COMPORTAMENTO DINÂMICO E C) HISTÓRICOS DE DESLOCAMENTO E FORÇA NO TEMPO. .............................................................................................................. 20 FIGURA 7 – MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE: COMPORTAMENTOS PARA DIVERSOS VALORES DE ÍNDICES DE POTÊNCIA N: A) FORÇA EM FUNÇÃO DO DESLOCAMENTO; B) FORÇA EM FUNÇÃO DO TEMPO E C) FORÇA EM FUNÇÃO DA VELOCIDADE. ..................................................................................................................... 21 FIGURA 8 – MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE: A) REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO AMORTECEDOR; B) COMPORTAMENTO DINÂMICO E C) HISTÓRICOS DE DESLOCAMENTO E FORÇA NO TEMPO. ........................................................ 22 FIGURA 9 – EXEMPLO DE CICLO DE FORÇA POR VELOCIDADE DE UM ELEMENTO AMORTECEDOR: A) COMPORTAMENTO NÃO-HISTERÉTICO E B) COMPORTAMENTO HISTERÉTICO. ................ 23 FIGURA 10 – MODELO DE AMORTECIMENTO HISTERÉTICO: A) REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA DO AMORTECEDOR; B) COMPORTAMENTO DINÂMICO E C) HISTÓRICOS DE DESLOCAMENTO E FORÇA NO TEMPO. .............................................................................................................. 24 FIGURA 11 – EXEMPLO DE RESPOSTA DE VELOCIDADE POR TEMPO COM OCORRÊNCIA DO EFEITO STRIBECK NO MODELO DE AMORTECIMENTO DE COULOMB. ............................................... 25 xi FIGURA 12 – REPRESENTAÇÃO GLOBAL DOS EFEITOS DA FORÇA DE ATRITO PELA VELOCIDADE: A) MODELO VISCOSO; B) MODELO DE COULOMB; C) MODELO DE ATRITO STRIBECK; D) MODELO COMBINADO DE COULOMB MAIS AMORTECIMENTO VISCOSO E EFEITO STRIBECK. ........................................................................................................................................... 26 FIGURA 13 – MODELO DE BINGHAM: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. ............................ 29 FIGURA 14 – MODELO DE CORPO DE BINGHAM: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. ........... 30 FIGURA 15 – MODELO MODIFICADO DE BINGHAM: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. ...... 31 FIGURA 16 – MODELO DE TRÊS ELEMENTOS: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. ............... 31 FIGURA 17 – MODELO DE BINGMAX: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. ........................... 32 FIGURA 18 – MODELO VISCOELÁSTICO-PLÁSTICO NÃO LINEAR: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. A) MECANISMO VISCOELÁSTICO; B) MECANISMO VISCOSO. .................................... 33 FIGURA 19 – MODELO VISCOELÁSTICO-PLÁSTICO NÃO LINEAR ESTENDIDO: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. A) MECANISMO VISCOELÁSTICO COM ATRITO DE COULOMB PONDERADO POR UMA FUNÇÃO DE FORMA; B) MECANISMO INERCIAL. .............................. 34 FIGURA 20 – MODELO DE BOUC-WEN: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. ......................... 36 FIGURA 21 – MODELO MODIFICADO DE BOUC-WEN: ESTRUTURA REOLÓGICA DE UM AMR. ... 38 FIGURA 22 – CARACTERÍSTICA DA FORÇA DE AMORTECIMENTO SIMÉTRICO E ASSIMÉTRICO PARA A EXTENSÃO E COMPRESSÃO DE UM AMORTECEDOR TÍPICO. ............................................... 40 FIGURA 23 – MODELO DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA BILINEAR: A) FORÇA POR TEMPO; B) FORÇA POR VELOCIDADE E C) FORÇA POR DESLOCAMENTO. .......................................... 40 FIGURA 24 – MODELO BÁSICO DE FOLGA DE FIXAÇÃO NO AMORTECIMENTO. ............................ 41 FIGURA 25 – EXEMPLO DE CICLO DE FORÇA POR DESLOCAMENTO DE UM ELEMENTO AMORTECEDOR COM FOLGA DE FIXAÇÃO: A) PONTO DE INÍCIO (FOLGA TOTAL A PERCORRER); B) PRIMEIRO ESTADO (FOLGA SENDO PERCORRIDA); C) SEGUNDO ESTADO (FOLGA TODA PERCORRIDA E INÍCIO DO CONTATO E DA AÇÃO DE FORÇA) E POSTERIORMENTE TERCEIRO ESTADO; D) PONTO DE REVERSÃO (FOLGA TOTAL A PERCORRER); E) QUARTO ESTADO (FOLGA SENDO PERCORRIDA) E F) QUINTO ESTADO (FOLGA TODA PERCORRIDA E INÍCIO DO CONTATO E DA AÇÃO DE FORÇA) E POSTERIORMENTE SEXTO ESTADO. ..................................................................................... 42 FIGURA 26 – CARACTERÍSTICA NÃO LINEAR DO MODELO BÁSICO DE UM ELEMENTO TIPO AMORTECEDOR COM FOLGA DE FIXAÇÃO............................................................................ 43 FIGURA 27 – CARACTERÍSTICA NÃO LINEAR DE UM ELEMENTO TIPO AMORTECEDOR COM FOLGA DE FIXAÇÃO PELO MODELO EM DESENVOLVIMENTO DE CASTRO ET AL. ........................... 44 xii FIGURA 28 – REPRESENTAÇÃO GENERALIZADA DE ASSIMETRIAS E HISTERESE NO DIAGRAMA FORÇA-VELOCIDADE PELO MODELO DE WANG ET AL. (2004). .......................................... 47 FIGURA 29 – REPRESENTAÇÃO GENERALIZADA DE ASSIMETRIA EM FORÇA E FOLGA DE FIXAÇÃO NO DIAGRAMA FORÇA-DESLOCAMENTO.............................................................................. 49 FIGURA 30 – AMORTECEDORES UTILIZADOS: A) AMORTECEDOR AP (LU JIN MOD. LJ400AX); B) AMORTECEDOR AH (SCUD MOD. 10010006) E C) AMORTECEDOR MR (LORD MOD. RD-8040-1 CURSO CURTO). ............................................................................................... 51 FIGURA 31 – A) AMORTECEDOR AP: FABRICANTE LU JIN MOD. LJ400AX; B) APLICAÇÃO ORIGINAL DO AMORTECEDOR AP: BICICLETAS DO TIPO MONTAIN BIKE. .............................. 52 FIGURA 32 – A) AMORTECEDOR AH: FABRICANTE SCUD MOD. 10010006; B) APLICAÇÃO ORIGINAL DO AMORTECEDOR AH: MOTOCICLETAS FABRICANTE HONDA MODELOS TITAN/FAN FABRICADAS ENTRE OS ANOS DE 2000 A 2009. ............................................. 52 FIGURA 33 – A) AMORTECEDOR MR: FABRICANTE LORD MOD. RD-8040-1 (CURSO CURTO); B) EXEMPLO DE APLICAÇÃO DO AMORTECEDOR MR: APLICAÇÕES DIVERSAS AUTOMOTIVAS, INCLUINDO EM SUSPENSÃO DE VEÍCULOS MILITARES. ......................................................... 53 FIGURA 34 – SUPORTES DE FIXAÇÃO PARA OS AMORTECEDORES UTILIZADOS: A) PARA O AMORTECEDOR AP; B) PARA O AMORTECEDOR AH E C) PARA O AMORTECEDOR MR......... 54 FIGURA 35 – ESQUEMA DE REGULAGEM DE FOLGA NOS SUPORTES SUPERIORES. ....................... 55 FIGURA 36 - POSIÇÕES DE REFERÊNCIA DE FIXAÇÃO DOS TERMOPARES AOS AMORTECEDORES. MEDIDAS EM [MM]. ............................................................................................................ 56 FIGURA 37 – EXEMPLO DE MONTAGEM EXPERIMENTAL REALIZADO: ENSAIO E62 (AMORTECEDOR MR). ........................................................................................................ 58 FIGURA 38 – A) MÁQUINA DE ENSAIOS MTS MOD. 647 HYDRAULIC WEDGE GRIP #661.20H-03 BY 79, COM TRANSDUTOR DE FORÇA MTS MOD. 661.20H-03 SN 379538 CAP. 100KN; B) MICROCOMPUTADOR COM SOFTWARE DE AQUISIÇÃO DE DADOS MTS FLEXTEST 40 INSTALADO E OPERACIONAL E C) MÓDULO DE AQUISIÇÃO DE DADOS SWITCH PARA TEMPERATURA AGILENT MOD. 34970A .......................................................................... 58 FIGURA 39 – MONTAGEM EXPERIMENTAL PARA O AMORTECEDOR AP. ..................................... 59 FIGURA 40 – MONTAGEM EXPERIMENTAL PARA O AMORTECEDOR AH. .................................... 59 FIGURA 41 – MONTAGEM EXPERIMENTAL PARA O AMORTECEDOR MR. .................................... 59 FIGURA 42 – EXEMPLO DE ARQUIVO .DAT GERADO EXPERIMENTALMENTE: A PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA TEMPO, A SEGUNDA REPRESENTA DESLOCAMENTO E A TERCEIRA REPRESENTA FORÇA. ............................................................................................................................... 60 xiii FIGURA 43 – EXEMPLO DE ARQUIVO .CSV GERADO EXPERIMENTALMENTE: A PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA TEMPO, A SEGUNDA REPRESENTA TEMPERATURA DO TERMOPAR 1, A TERCEIRA REPRESENTA TEMPERATURA DO TERMOPAR 2, A QUARTA REPRESENTA TEMPERATURA DO TERMOPAR 3 E A QUINTA REPRESENTA TEMPERATURA DO TERMOPAR 4. ............................ 60 FIGURA 44 – EXEMPLO: RESULTADOS DE MODELAGEM COM OS MODELOS UTILIZADOS; A) CURVAS DE RESPOSTA EXPERIMENTAL, POR MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE E POR MODELO DE WANG ET AL. (2004) E B) CURVAS DE RESPOSTA EXPERIMENTAL E POR NOVO MODELO PROPOSTO DE ASSIMETRIA E FOLGA DE FIXAÇÃO. .... 66 FIGURA 45 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PARÂMETROS DO MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE OBTIDOS. A) EVOLUÇÃO DE CN1; B) EVOLUÇÃO DE CN2; C) EVOLUÇÃO DE NN1; D) EVOLUÇÃO DE NN2 E E) EVOLUÇÃO DE ERROF. ........................................................................................................................................... 68 FIGURA 46 – PRIMEIRO RESULTADO (EXEMPLO) PARA O AMORTECEDOR AP SEM FOLGA DE FIXAÇÃO, AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO DE 1MM E FREQUÊNCIA 1HZ: A) FORÇA E DESLOCAMENTO, B) FORÇA E TEMPO E C) FORÇA E VELOCIDADE. ....................................... 70 FIGURA 47 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA FORÇA POR DESLOCAMENTO, A SEGUNDA FORÇA POR TEMPO E A TERCEIRA FORÇA POR VELOCIDADE. ................................................................................... 71 FIGURA 48 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 0,35MM): PARÂMETROS DO NOVO MODELO PROPOSTO: A) EVOLUÇÃO DE CN3; B) EVOLUÇÃO DE NN3; C) EVOLUÇÃO DE FN3; D) EVOLUÇÃO DE FDN; E) EVOLUÇÃO DE FDP E F) EVOLUÇÃO DA DIFERENÇA PERCENTUAL DE ENERGIA (TRABALHO). ...................... 73 FIGURA 49 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 1,35MM): PARÂMETROS DO NOVO MODELO PROPOSTO: A) EVOLUÇÃO DE CN3; B) EVOLUÇÃO DE NN3; C) EVOLUÇÃO DE FN3; D) EVOLUÇÃO DE FDN; E) EVOLUÇÃO DE FDP E F) EVOLUÇÃO DA DIFERENÇA PERCENTUAL DE ENERGIA (TRABALHO). ...................... 74 FIGURA 50 – PRIMEIRO RESULTADO (EXEMPLO) PARA O AMORTECEDOR AP COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 0,35MM), AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 1MM E FREQUÊNCIA 1HZ: A) FORÇA E DESLOCAMENTO, B) FORÇA E TEMPO E C) FORÇA E VELOCIDADE. ..................................................................................................................... 77 FIGURA 51 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP COM FOLGA (APROXIMADAMENTE 0,35MM): PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA FORÇA POR DESLOCAMENTO, A SEGUNDA FORÇA POR TEMPO E A TERCEIRA FORÇA POR VELOCIDADE. ........................................................... 78 xiv FIGURA 52 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP COM FOLGA (APROXIMADAMENTE 1,35MM): PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA FORÇA POR DESLOCAMENTO, A SEGUNDA FORÇA POR TEMPO E A TERCEIRA FORÇA POR VELOCIDADE. ........................................................... 80 FIGURA 53 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PARÂMETROS DO MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE OBTIDOS. A) EVOLUÇÃO DE CN1 E CN2; B) EVOLUÇÃO DE NN1 E NN2; C) EVOLUÇÃO DE ERROF E FDMAX. .......................................... 81 FIGURA 54 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: EVOLUÇÃO DE FDMAX EM TERMOS DE TEMPO PELO MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. ........ 83 FIGURA 55 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP EM ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO PARA FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 4MM, SEM FOLGA DE FIXAÇÃO PARA OS CICLOS ADOTADOS COMO REFERÊNCIAS DE ANÁLISE 300, 600, 900. 1200, 1500 E 1800: A) RESULTADO EXPERIMENTAL DE FORÇA POR DESLOCAMENTO E B) MODELO DE N- ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE DE FORÇA POR DESLOCAMENTO; C) RESULTADO EXPERIMENTAL DE FORÇA POR VELOCIDADE E D) MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE DE FORÇA POR VELOCIDADE. ......................................................................... 84 FIGURA 56 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP EM ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO: EVOLUÇÃO DA TEMPERATURA EXTERNA DO CORPO PARA FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 4MM, SEM FOLGA DE FIXAÇÃO. A) MEDIÇÃO DE CADA TERMOPAR E B) MÉDIA ARITMÉTICA DOS QUATRO TERMOPARES E TENDÊNCIA LINEAR AJUSTADA. ............. 85 FIGURA 57 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AP EM ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO SEM FOLGA: EVOLUÇÃO DA TEMPERATURA EXTERNA DO CORPO PARA FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 4MM. CICLOS ADOTADOS COMO REFERÊNCIAS DE ANÁLISE 300, 600, 900. 1200, 1500 E 1800. ....................................................................... 86 FIGURA 58 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PARÂMETROS DO MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE OBTIDOS. A) EVOLUÇÃO DE CN1; B) EVOLUÇÃO DE CN2; C) EVOLUÇÃO DE NN1; D) EVOLUÇÃO DE NN2 E E) EVOLUÇÃO DE ERROF. ........................................................................................................................................... 87 FIGURA 59 – PRIMEIRO RESULTADO (EXEMPLO) PARA O AMORTECEDOR AH SEM FOLGA DE FIXAÇÃO, AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO DE 2,5MM E FREQUÊNCIA 1HZ: A) FORÇA E DESLOCAMENTO, B) FORÇA E TEMPO E C) FORÇA E VELOCIDADE. ....................................... 89 FIGURA 60 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA FORÇA POR DESLOCAMENTO, A SEGUNDA FORÇA POR TEMPO E A TERCEIRA FORÇA POR VELOCIDADE. ................................................................................... 90 xv FIGURA 61 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 1,1MM): PARÂMETROS DO NOVO MODELO PROPOSTO: A) EVOLUÇÃO DE CN3; B) EVOLUÇÃO DE NN3; C) EVOLUÇÃO DE FN3; D) EVOLUÇÃO DE FDN; E) EVOLUÇÃO DE FDP E F) EVOLUÇÃO DA DIFERENÇA PERCENTUAL DE ENERGIA (TRABALHO). ...................... 92 FIGURA 62 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 2,4MM): PARÂMETROS DO NOVO MODELO PROPOSTO: A) EVOLUÇÃO DE CN3; B) EVOLUÇÃO DE NN3; C) EVOLUÇÃO DE FN3; D) EVOLUÇÃO DE FDN; E) EVOLUÇÃO DE FDP E F) EVOLUÇÃO DA DIFERENÇA PERCENTUAL DE ENERGIA (TRABALHO). ...................... 93 FIGURA 63 – PRIMEIRO RESULTADO (EXEMPLO) PARA O AMORTECEDOR AH COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 1,1MM): AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 2,5MM E FREQUÊNCIA 1HZ. .............................................................................................................. 96 FIGURA 64 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH COM FOLGA (APROXIMADAMENTE 1,1MM): PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA FORÇA POR DESLOCAMENTO, A SEGUNDA FORÇA POR TEMPO E A TERCEIRA FORÇA POR VELOCIDADE. ........................................................... 97 FIGURA 65 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH COM FOLGA (APROXIMADAMENTE 2,4MM): PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA FORÇA POR DESLOCAMENTO, A SEGUNDA FORÇA POR TEMPO E A TERCEIRA FORÇA POR VELOCIDADE. ........................................................... 98 FIGURA 66 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PARÂMETROS DO MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE OBTIDOS. A) EVOLUÇÃO DE CN1 E CN2; B) EVOLUÇÃO DE NN1 E NN2; C) EVOLUÇÃO DE ERROF E FDMAX. ........................................ 101 FIGURA 67 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: EVOLUÇÃO DE FDMAX EM TERMOS DE TEMPO PELO MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. ...... 102 FIGURA 68 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH EM ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO PARA FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 7,5MM, SEM FOLGA DE FIXAÇÃO PARA OS CICLOS ADOTADOS COMO REFERÊNCIAS DE ANÁLISE 300, 600, 900. 1200, 1500 E 1740: A) RESULTADO EXPERIMENTAL DE FORÇA POR DESLOCAMENTO; B) MODELO DE N- ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE DE FORÇA POR DESLOCAMENTO; C) RESULTADO EXPERIMENTAL DE FORÇA POR VELOCIDADE E D) MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE DE FORÇA POR VELOCIDADE. ....................................................................... 103 FIGURA 69 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH EM ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO: EVOLUÇÃO DA TEMPERATURA EXTERNA DO CORPO PARA FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 7,5MM, SEM FOLGA DE FIXAÇÃO. A) MEDIÇÃO DE CADA TERMOPAR E B) MÉDIA ARITMÉTICA DOS QUATRO TERMOPARES E TENDÊNCIA LINEAR AJUSTADA. ....... 104 xvi FIGURA 70 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR AH EM ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO SEM FOLGA: EVOLUÇÃO DA TEMPERATURA EXTERNA DO CORPO PARA FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 7,5MM. CICLOS ADOTADOS COMO REFERÊNCIAS DE ANÁLISE 300, 600, 900. 1200, 1500 E 1740. ..................................................................... 105 FIGURA 71 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR MR SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PARÂMETROS DO MODELO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE OBTIDOS. A) EVOLUÇÃO DE CN1 EM FREQUÊNCIA E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO; B) EVOLUÇÃO DE CN2 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO; C) EVOLUÇÃO DE NN1 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO; D) EVOLUÇÃO DE NN2 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO E E) EVOLUÇÃO DE ERROF EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO. .............................................................................................................. 109 FIGURA 72 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR MR SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PRINCIPAIS PARÂMETROS DO MODELO DE WANG ET AL. (2004) OBTIDOS. A) EVOLUÇÃO DE A3 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO; B) EVOLUÇÃO DE K0 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO; C) EVOLUÇÃO DE K1C EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO; D) EVOLUÇÃO DE K1E EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO; E) EVOLUÇÃO DE K2 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO; F) EVOLUÇÃO DE K3 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO E G) EVOLUÇÃO DE K5 EM FREQUÊNCIA E DESLOCAMENTO. ........................................................................................................... 112 FIGURA 73 – PRIMEIRO RESULTADO (EXEMPLO) PARA O AMORTECEDOR MR SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO DE 2,5MM E FREQUÊNCIA 1HZ. .................... 115 FIGURA 74 – RESULTADOS PARA O AMORTECEDOR MR SEM FOLGA DE FIXAÇÃO: PRIMEIRA COLUNA REPRESENTA FORÇA POR DESLOCAMENTO, A SEGUNDA FORÇA POR TEMPO E A TERCEIRA FORÇA POR VELOCIDADE. ................................................................................. 116 FIGURA 75 – ASPECTOS BÁSICOS DO MRF: A) SEM EXPOSIÇÃO A CAMPO MAGNÉTICO H; B) COM EXPOSIÇÃO A CAMPO MAGNÉTICO H. ............................................................................... 144 FIGURA 76 – NORMA ISO 3448:1992 PARA ÓLEO LUBRIFICANTES PADRÃO: RELAÇÃO DE ENQUADRAMENTO DE VISCOSIDADE CINEMÁTICA POR TEMPERATURA. ............................ 146 FIGURA 77 – RESPOSTAS DE FORÇA POR VELOCIDADE DO AMORTECEDOR MR LORD MOD. RD-8040-1 (CURSO CURTO). ............................................................................................ 148 FIGURA 78 – AMORTECEDOR AP DESMONTADO. ..................................................................... 149 FIGURA 79 – AMORTECEDOR AH DESMONTADO. .................................................................... 150 FIGURA 80 – DESIGN BÁSICO DE UM AMR MONOTUBO. .......................................................... 151 FIGURA 81 – SUPORTES DE ADAPTAÇÃO PARA FIXAÇÃO DO AMORTECEDOR AP EM MÁQUINA DE ENSAIOS MTS MOD. 647: SUPORTE INFERIOR (COM FURO RETO). ..................................... 152 xvii FIGURA 82 – SUPORTES DE ADAPTAÇÃO PARA FIXAÇÃO DO AMORTECEDOR AP EM MÁQUINA DE ENSAIOS MTS MOD. 647: SUPORTE SUPERIOR (COM FURO OBLONGO). ............................. 153 FIGURA 83 – SUPORTES DE ADAPTAÇÃO PARA FIXAÇÃO DO AMORTECEDOR AH EM MÁQUINA DE ENSAIOS MTS MOD. 647: SUPORTE INFERIOR (COM FURO RETO). ..................................... 154 FIGURA 84 – SUPORTES DE ADAPTAÇÃO PARA FIXAÇÃO DO AMORTECEDOR AH EM MÁQUINA DE ENSAIOS MTS MOD. 647: SUPORTE SUPERIOR (COM FURO OBLONGO). ............................. 155 FIGURA 85 – SUPORTES DE ADAPTAÇÃO PARA FIXAÇÃO DO AMORTECEDOR MR EM MÁQUINA DE ENSAIOS MTS MOD. 647: SUPORTE INFERIOR (COM FURO RETO). ..................................... 156 FIGURA 86 – SUPORTES DE ADAPTAÇÃO PARA FIXAÇÃO DO AMORTECEDOR MR EM MÁQUINA DE ENSAIOS MTS MOD. 647: SUPORTE SUPERIOR (COM FURO OBLONGO). ............................. 157 xviii LISTA DE TABELAS TABELA 1 – RELAÇÕES ALTERNATIVAS AO MODELO EXPONENCIAL APRESENTADO PELA EQ. 23 CONTEMPLANDO VELOCIDADE STRIBECK: .......................................................................... 26 TABELA 2 - AMORTECEDORES COMERCIAIS UTILIZADOS EXPERIMENTALMENTE. ...................... 51 TABELA 3 - EQUIPAMENTOS E INSTRUMENTOS NECESSÁRIOS PARA OS ENSAIOS. ....................... 54 TABELA 4 - PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS NECESSÁRIOS PARA OS ENSAIOS. ..................... 56 TABELA 5 - AMPLITUDES DE DESLOCAMENTOS UTILIZADOS NOS ENSAIOS. ............................... 57 TABELA 6 – EXEMPLO: RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. ................................................ 64 TABELA 7 – EXEMPLO: RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE WANG ET AL. (2004). ...................................................................... 65 TABELA 8 – EXEMPLO: RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O NOVO MODELO DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA E FOLGA. .................................................................... 66 TABELA 9 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AP SEM FOLGA DE FIXAÇÃO, PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. 67 TABELA 10 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AP COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 0,35MM), PARA O NOVO MODELO DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA E FOLGA. ......................................................................................................... 73 TABELA 11 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AP COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 1,35MM), PARA O NOVO MODELO DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA E FOLGA. ......................................................................................................... 73 TABELA 12 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AP SEM FOLGA DE FIXAÇÃO NO ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO COM FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 4MM, PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. ..................................................................................................................... 81 TABELA 13 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AH SEM FOLGA DE FIXAÇÃO, PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. 87 TABELA 14 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AH COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 1,1MM), PARA O NOVO MODELO DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA E FOLGA. ......................................................................................................... 92 TABELA 15 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AH COM FOLGA DE FIXAÇÃO (APROXIMADAMENTE 2,4MM), PARA O NOVO MODELO DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA E FOLGA. ......................................................................................................... 92 xix TABELA 16 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AH SEM FOLGA DE FIXAÇÃO NO ENSAIO DE LONGA DURAÇÃO COM FREQUÊNCIA DE 3HZ E AMPLITUDE DE DESLOCAMENTO 7,5MM, PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. ................................................................................................................... 100 TABELA 17 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR MR SEM FOLGA DE FIXAÇÃO, PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE. ......................................................................................................................................... 106 TABELA 18 – RESUMO DOS PARÂMETROS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR MR SEM FOLGA DE FIXAÇÃO, PARA O MODELO DE AMORTECIMENTO DE WANG ET AL. (2004). .................... 107 TABELA 19 - ARQUIVOS DIGITAIS GERADOS NO ENSAIO E10. .................................................. 140 TABELA 20 - ARQUIVOS DIGITAIS GERADOS NO ENSAIO E12. .................................................. 141 TABELA 21 - ARQUIVOS DIGITAIS GERADOS NO ENSAIO E13. .................................................. 141 TABELA 22 - ARQUIVOS DIGITAIS GERADOS NO ENSAIO E22. .................................................. 141 TABELA 23 - ARQUIVOS DIGITAIS GERADOS NO ENSAIO E23. .................................................. 141 TABELA 24 - ARQUIVOS DIGITAIS GERADOS NO ENSAIO E24. .................................................. 141 TABELA 25 - ARQUIVOS DIGITAIS GERADOS NO ENSAIO E61. .................................................. 142 TABELA 26 – PROPRIEDADES TÍPICAS DOS ÓLEOS UTILIZADOS EM AMORTECEDORES. ............. 143 TABELA 27 – PROPRIEDADES DOS FLUIDOS MAGNETOREOLÓGICOS (MRF) DO FABRICANTE LORD CORPORATION. ................................................................................................... 145 TABELA 28 – PROPRIEDADES ELÉTRICAS DO AMORTECEDOR MR FABRICANTE LORD MOD. RD-8040-1 (CURSO CURTO). ............................................................................................ 147 TABELA 29 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DO AMORTECEDOR MR FABRICANTE LORD MOD. RD-8040-1 (CURSO CURTO). ............................................................................................ 147 TABELA 30 – PROPRIEDADES TÉCNICAS DO KIT CONTROLADOR LORD MOD. “WONDER BOX”. ......................................................................................................................................... 148 TABELA 31 – RESUMO DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E ASPECTOS CONSTRUTIVOS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AP. ............................................................................................. 149 TABELA 32 – RESUMO DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E ASPECTOS CONSTRUTIVOS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR AH. ............................................................................................. 150 TABELA 33 – RESUMO DOS PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E ASPECTOS CONSTRUTIVOS OBTIDOS PARA O AMORTECEDOR MR. ............................................................................................ 151 xx LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS .CSV Extensão de arquivo digital gerado pelo software BenchLink Data Logger 3 v. 4.3 .DAT Extensão de arquivo digital gerado pelo software FLEXTEST 40 ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas AER Amortecedor(s) eletroreológico(s) AF Amortecedor(s) fluídico(s) AFNL Amortecedor(es) fluídico(s) não linear(es) AGILENT Fabricante de equipamentos para aplicações em ciências e química envolvendo diagnósticos AH Amortecedor do fabricante SCUD mod. 10010006 AMR Amortecedor(es) magnetoreológico(es) AP Amortecedor do fabricante LU JIN mod. LJ400AX ASTM (American Society for Testing and Materials): Sociedade Americana de Testes e Materiais CONJ Conjunto (quantidade) DIN (German Institute for Standardization): Instituto Alemão de Padronização DNIT Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes Eq. Equação ER (Electrorheological): Eletroreológico ERF (Electrorheological Fluid): Fluido(s) eletroreológico(s) Freq. Frequência IHM Interface Homem-Máquina ISO (International Organization for Standardization): Organização Internacional de Padronização LORD (LORD Corporation): Empresa americana diversificada de tecnologia e fabricação de adesivos, revestimentos e dispositivos de gerenciamento de movimento de alta tecnologia e confiabilidade LU JIN Empresa chinesa fabricante de amortecedores para bicicletas ME1 a ME8 Equipamentos e/ou instrumentos utilizados nos ensaios MR Amortecedor do fabricante LORD mod. RD-8040-1 (curso curto) ou MRF (Magnetorheological Fluid): Fluido(s) magnetoreológico(s) xxi MTS (MTS Systems Corporation): Fabricante de equipamentos para testes e detecção NBR Norma Brasileira Regulamentadora Nelder-Mead Algoritmo de busca simplex para otimização de erro PM1 a PM6 Procedimentos metodológicos utilizados nos ensaios SAE (Society of Automotive Engineers): Sociedade dos Engenheiros Automotivos SCUD Empresa brasileira importadora de peças chinesas para o segmento de motocicletas UNID Unidade (quantidade) VG (Viscosity Grade): Índice de Viscosidade xxii LISTA DE SÍMBOLOS , 1, y, y, 2, 3, 4, 5, 6, , 1, 2, , , m, z1, 1, , c, a, b, C2, C3, C4, Cesp, Cbw1, Cbw2, Cbw3, Cn, Cn1, Cn2, Cn3, I0, f0w, I0, I1, a0, a1, a2, a3, a4, k0, k1c, k1e, k2, k3, k4, k5 e k6, h, n, n1, n2, nn1, nn2, nn3 Parâmetros de ajuste de modelos de amortecimento , 1 Folgas (distância), [m]  Frequência, [rad/s]  Massa específica (densidade), [kg/m3]  Viscosidade cinemática, [m2/s]  Ângulo de fase , 0 Coeficientes constantes (constantes elásticas), [N/m] 1, 2 Coeficientes constantes (termos de amortecimento), [kg/s] 1, 2, 3 Ângulos de simetria/assimetria tc Intervalo de amostragem de tempo para ciclagem, [s] tT Intervalo de amostragem de tempo para temperatura, [s] Ḟ, Ḟve Derivadas de força, [N/s] u, u1, u2, u3, umodelo, uf, u0, u2 *, umax, A, um, z Deslocamentos, [m] u̇, u̇1, u̇2, u̇3, u̇s, u̇*, vd Velocidades escalares, [m/s] ü Aceleração escalar, [m/s2] u Variação do deslocamento, [m] ∆u̇ Variação da velocidade, [m/s] ẏ Taxa de cisalhamento, [s-1] xxiii µ ou  Viscosidade dinâmica (absoluta), [Pa.s] µatrd, µatre Coeficientes de atrito, [adimensional] C, C0, C1, CC, CE, Ceq, Cv Coeficientes de amortecimento viscoso, [N.s/m] D Diâmetro do pistão, [m] d Distância entre o pistão e a parede interna do corpo, [m] Dext, Dext1, Dext2 Diâmetros externos, [m] eD Fator de transferência de força, [adimensional] F, fc ou Ff , fcd ou Ffd, fcs ou Ffe, FC, FD, FD*, FE, fdn, fdp, fd, f0, Ffmax, FDmax, fmax, fdma, fdmi, Fine, fk, Fm, fmax, FN, fn3, Fve, FveC, Fvi Forças de amortecimento, [N] fh, fi Funções do Modelo de TUSSET (2008) H Campo magnético induzido, [T] I, Imax Correntes elétricas, [A] K, K0, K1, K2, Kap Constantes elásticas (rigidez elástica), [N/m] L Espessura do embolo do pistão ou altura do pistão (ou válvula), [m] R Coeficiente de massa aparente, [kg] SC, Sve, Svi Função de forma, [adimensional], do Modelo Viscoelástico-Plástico Não Linear Estendido T Temperatura, [ºC] t Tempo, [s] ufcn, ufit Funções de ajuste paramétrico de erro V Tensão elétrica, [V] z1 Componente histerético do Modelo de Bouc-Wen Γ, P Tensões, [Pa] xxiv SUMÁRIO 1. INTRODUÇÃO ............................................................................................... 1 1.1. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .............................................................................................. 4 1.2. OBJETIVOS .................................................................................................................... 11 1.3. CONTEÚDO ORGANIZACIONAL .................................................................................... 11 2. REVISÃO TEÓRICA DE MODELOS DE AMORTECIMENTO ......... 14 2.1. MODELO DE AMORTECIMENTO VISCOSO ................................................................... 15 2.2. MODELO DE AMORTECIMENTO CLÁSSICO DE COULOMB .......................................... 17 2.3. MODELO DE AMORTECIMENTO QUADRÁTICO ............................................................ 19 2.4. MODELO DE AMORTECIMENTO DE N-ÉSIMA POTÊNCIA DA VELOCIDADE ................ 20 2.5. MODELO DE AMORTECIMENTO HISTERÉTICO ........................................................... 22 2.6. MODELO DE AMORTECIMENTO DE COULOMB COM EFEITO STRIBECK .................... 24 2.7. MODELO DE AMORTECIMENTO DE DAHL ................................................................... 26 2.8. MODELO DE AMORTECIMENTO DE LUGRE COM EFEITO STRIBECK ......................... 27 2.9. MODELOS TÍPICOS DE AMORTECIMENTO MAGNETOREOLÓGICO ............................. 28 2.9.1. Modelo Paramétrico Plástico de Bingham ............................................................ 29 2.9.2. Modelo Paramétrico de Corpo de Bingham .......................................................... 30 2.9.3. Modelo Paramétrico Modificado de Bingham (Modelo de Gamota-Filisko) ....... 31 2.9.4. Modelo Paramétrico de Três Elementos ............................................................... 31 2.9.5. Modelo Paramétrico de BingMax ......................................................................... 32 2.9.6. Modelo Paramétrico Viscoelástico-Plástico Não Linear ...................................... 33 2.9.7. Modelo Paramétrico Viscoelástico-Plástico Não Linear Estendido ..................... 34 2.9.8. Modelo Paramétrico de Bouc-Wen ....................................................................... 35 2.9.9. Modelo Paramétrico Modificado de Bouc-Wen (Modelo de Spencer) ................ 37 2.10. MODELOS DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA ................................................. 39 2.11. MODELO DE AMORTECIMENTO COM FOLGA DE FIXAÇÃO ....................................... 41 3. SOBREPOSIÇÃO DE MODELOS DE AMORTECIMENTO E NOVA PROPOSIÇÃO .................................................................................................. 46 3.1. MODELO DE HISTERESE E PROPRIEDADES MR COM DEPENDÊNCIA DA CORRENTE ELÉTRICA ............................................................................................................................ 46 3.2. MODELO DE ASSIMETRIAS, HISTERESE E PROPRIEDADES MR COM DEPENDÊNCIA DE CORRENTE ELÉTRICA ......................................................................................................... 46 3.3. PROPOSIÇÃO DE UM NOVO MODELO DE AMORTECIMENTO COM ASSIMETRIA EM FORÇA E FOLGA DE FIXAÇÃO ............................................................................................. 48 4. CARACTERIZAÇÃO EXPERIMENTAL ................................................ 51 4.1. AMORTECEDORES UTILIZADOS ................................................................................... 51 4.1.1. Amortecedor AP.................................................................................................... 52 4.1.2. Amortecedor AH ................................................................................................... 52 4.1.3. Amortecedor MR .................................................................................................. 53 xxv 4.2. EQUIPAMENTOS E INSTRUMENTOS UTILIZADOS ......................................................... 53 4.3. METODOLOGIA DE ENSAIOS ........................................................................................ 55 5. IDENTIFICAÇÃO PARAMÉTRICA ........................................................ 60 6. RESULTADOS E DISCUSSÕES ................................................................ 67 6.1. AMORTECEDOR SECO (AP) .......................................................................................... 67 6.1.1. Sem Folga de Fixação ........................................................................................... 67 6.1.2. Com Folga de Fixação .......................................................................................... 72 6.1.3. Ensaio de Longa Duração ..................................................................................... 81 6.2. AMORTECEDOR HIDROPNEUMÁTICO (AH) ................................................................. 86 6.2.1. Sem Folga de Fixação ........................................................................................... 86 6.2.2. Com Folga de Fixação .......................................................................................... 91 6.2.3. Ensaio de Longa Duração ................................................................................... 100 6.3. AMORTECEDOR MAGNETOREOLÓGICO (MR) .......................................................... 105 6.3.1. Sem Folga de Fixação ......................................................................................... 106 7. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .... 127 7.1. AMORTECEDOR AP E SUA MODELAGEM ................................................................... 128 7.2. AMORTECEDOR AH E SUA MODELAGEM .................................................................. 129 7.3. AMORTECEDOR MR E SUA MODELAGEM ................................................................. 131 7.4. SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS .................................................................. 132 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 133 APÊNDICE A. CODIFICAÇÃO DOS ENSAIOS ....................................... 140 AP.A1. ENSAIO E10: AMORTECEDOR AP (LU JIN MODELO LJ400AX) ....................... 140 AP.A2. ENSAIO E12: AMORTECEDOR AP (LU JIN MODELO LJ400AX) ....................... 140 AP.A3. ENSAIO E13: AMORTECEDOR AP (LU JIN MODELO LJ400AX) ....................... 141 AP.A4. ENSAIO E22: AMORTECEDOR AH (SCUD MODELO 10010006 COM MOLA RETIRADA) ......................................................................................................................... 141 AP.A5. ENSAIO E23: AMORTECEDOR AH (SCUD MODELO 10010006 COM MOLA RETIRADA) ......................................................................................................................... 141 AP.A6. ENSAIO E24: AMORTECEDOR AH (SCUD MODELO 10010006 COM MOLA RETIRADA) ......................................................................................................................... 141 AP.A7. ENSAIO E61: AMORTECEDOR MR (LORD MOD. RD-8040-1 CURSO CURTO) 142 AP.A8. ENSAIO E65: AMORTECEDOR AH (SCUD MODELO 10010006 COM MOLA RETIRADA) ......................................................................................................................... 142 AP.A9. ENSAIO E66: AMORTECEDOR AP (LU JIN MODELO LJ400AX) ....................... 142 APÊNDICE B. PROPRIEDADES DE FLUIDOS LÍQUIDOS TÍPICOS PARA AMORTECEDORES: REFERÊNCIA AOS AMORTECEDORES AH E MR .......................................................................................................... 143 AP.B1. AMORTECEDOR AH .............................................................................................. 143 AP.B2. AMORTECEDOR MR ............................................................................................. 144 xxvi AP.B3. NORMA ISO 3448:1992 ........................................................................................ 145 APÊNDICE C. PROPRIEDADES COMPLEMENTARES DO AMORTECEDOR MR FABRICANTE LORD MOD. RD-8040-1 (CURSO CURTO) ........................................................................................................... 147 APÊNDICE D. PARÂMETROS GEOMÉTRICOS PARA AP, AH E MR ........................................................................................................................... 149 AP.D1. AMORTECEDOR AP .............................................................................................. 149 AP.D2. AMORTECEDOR AH ............................................................................................. 150 AP.D3. AMORTECEDOR MR ............................................................................................. 151 APÊNDICE E. DESENHOS DOS SUPORTES DE FIXAÇÃO DOS AMORTECEDORES AP, AH E MR ............................................................ 152 1 1. INTRODUÇÃO Uma máquina ou equipamento pode ser entendido, sob aspecto de projeto, como sendo o resultado da interação de vários conjuntos, cada um dos quais reunindo subconjuntos que, por sua vez, se compõem de vários elementos (KAMINSKI, 2000). Este conceito é válido para máquinas ou equipamentos em qualquer segmento industrial da área de engenharia, desde a indústria automobilística, bens de consumo, aeronáutica, aeroespacial, naval e muitas outras. Em geral, máquinas são equipamentos sujeitos a esforços dinâmicos dos mais diversos tipos e por este motivo estão sujeitas ao fenômeno de vibração. O estudo da vibração diz respeito ao estudo dos movimentos oscilatórios de corpos e as forças que lhes são associadas (THOMSON, 1993) e o grande desafio de engenharia é manter os níveis de vibração em faixas toleráveis de operação do sistema, de modo que não interfiram no funcionamento adequado do equipamento. Ao longo do tempo de operação da máquina alguns fenômenos podem acarretar o aumento da vibração: desbalanceamento rotativo, turbulência do filme de óleo lubrificante, desalinhamento (paralelo e/ou angular) de eixos rotativos, presença de eixos defletidos e excesso de folgas entre elementos. Todo e qualquer sistema mecânico, mesmo que construído dentro de padrões rigorosos de tolerâncias de fabricação, ajuste e montagem, vai apresentar um determinado nível de folga entre seus elementos. Este fato também é o responsável pela possibilidade de conexão dos mesmos, pois afinal, sem folga seria limitado o encaixe e conexão de elementos (parafusos e porcas, pinos em furos e outros). Desta forma, sob o ponto de vista mecânico-geométrico, entende-se pelo termo “folga” afastamento entre as partes que compõem os elementos de um sistema de modo a respeitar a tolerância de ajuste entre eles. Figura 1 – Exemplos de ocorrência de folga em amortecedores dianteiros de automóveis em suspensões tipo McPherson: a) fixação nos batentes e coxins e b) fixação no batente e coxim e fixação no porta-cubo da roda. Fonte: a) Catálogo de Produtos 2015 TENNECO de Amortecedores MONROE OESpectrum e b) Treinamento Assistência Técnica VOLKS: Conceitos de Suspensão. a) b) 2 Certamente equipamentos de menor responsabilidade estarão relacionados a folgas maiores e maior tolerância de vibração presentes em sua operação e, equipamentos de responsabilidade merecerão maior cuidado de operação para que trabalhem em folgas mais reduzidas e níveis de vibração mais baixo (caso de rolamentos, por exemplo). Figura 2 – Exemplo de possibilidade de ocorrência de folga em amortecedores em motocicletas: fixação do conjunto parafuso-porca da suspensão traseira. Fonte: Manual do Proprietário HONDA nº D2203-MAN-0986-2015. Nos sistemas dinâmicos as folgas podem induzir ao aumento de ruídos e de vibrações. No caso de motocicletas ou bicicletas, por exemplo, quando é detectado ruído excessivo na suspensão dianteira ou na traseira, uma as possíveis causas são as fixações dos amortecedores soltas (folga de fixação). A modelagem de folga nos sistemas e elementos mecânicos têm sido objeto de estudo da comunidade científica e já foram dedicados esforços a esses problemas, principalmente no contexto de modelos lineares (aqueles que obedeçam ao princípio da sobreposição de efeitos). Tratam-se de modelos simplificados, mas que em muitos casos permitem obter resultados próximos às respostas reais sendo, portanto, considerados como satisfatórios em muitos casos. No entanto, alguns fenômenos vibratórios que surgem em determinadas condições de operação são associados a comportamentos ou características complexas que não podem ser descritos pelos modelos lineares de modo satisfatório. Uma das possibilidades de representar a característica não linear é a consideração de folga em uma mola ou em um conjunto mola- amortecedor. Novamente citando o caso da indústria aeronáutica, um exemplo prático válido para exemplificar este caso é a questão das folgas em sistemas de trem de pouso, folga em atuadores de superfície de comando e em pilones de fixação de motores em asas de aeronaves. Num contexto mais recente, os problemas não lineares ganharam mais destaque entre pesquisadores e engenheiros em virtude da otimização de máquinas e equipamentos modernos (aeronaves, por exemplo), numa tentativa constante de redução de massa dos sistemas para 3 obter-se benefícios de redução de potência necessária e, por consequência, a redução de consumo de combustível. Entre os amortecedores do tipo não lineares, os do tipo fluídicos (AFNL) estão presentes atualmente em inúmeras aplicações industriais, na forma de amortecedores eletroreológicos (AER) e também de amortecedores magnetoreológicos (AMR). Fluidos magnetoreológicos (MRF, do inglês Magnetorheological Fluids) são substâncias que apresentam mudanças nas propriedades reológicas (viscosidade, escoamento de matéria, fluxo de material e outras) quando submetidos a um campo magnético induzido “H”. Segundo CHOI & HAN (2012), a descoberta e o desenvolvimento dos fluidos magnetoreológicos é atribuída a Jacob Rabinow na década de 1940, nos Estados Unidos. Segundo BUTZ & VON STRYK (1999) os MRF apresentam vantagens sobre os fluidos ER tais como maior faixa de temperatura de operação e máxima tensão de escoamento vinte vezes maior. Como desvantagem em peso, em termos de massa específica os MRF apresentam o dobro de magnitude em relação aos ERF. Em essência, as características do fluxo do MRF se modificam. Tais características são ditas como “viscosidade aparente”. Sem aplicação de campo magnético, os MRF comportam-se como fluidos newtonianos (tensão diretamente proporcional à taxa de deformação), mas com aplicação de um campo magnético externo ativa-se os MRF, fazendo com que as micropartículas formem dipolos magnéticos ao longo das linhas de fluxo magnético, alterando assim seus parâmetros reológicos, principalmente viscosidade. A importância de tais mudanças se reflete na gama de utilização destes fluidos nos problemas da engenharia moderna, principalmente relativo às indústrias automobilística e aeroespacial e também com grandes aplicações na área de biomecânica, onde se busca economia energética, redução de desgastes, possibilidade de controle fino, eficiência, rápidas respostas e supressão de vibração. Em termos de complexidade, KWOK et al. (2007) salienta exatamente que esta é justamente uma das principais desvantagens no emprego deste tipo de fluido aplicado em amortecimento: sua relação não linear na resposta de força e deslocamento, bem como na resposta de força e velocidade. É importante lembrar que o amortecimento magnetoreológico é um caso de amortecimento eletromagnético, sendo que este é causado pela interrupção ou passagem de campos magnéticos em sistemas que são passíveis de serem influenciados por magnetismo e do ponto de vista de aplicabilidade, os AMR são uma possibilidade bastante promissora para utilização na indústria aeroespacial, seguindo o mesmo princípio da aplicabilidade na indústria automobilística: ótima relação custo/benefício e possibilidade de se desenvolver formas de controle do mesmo para os mais diversos problemas dinâmicos do segmento. 4 Outro aspecto inerente aos sistemas dinâmicos é a questão do atrito e seus efeitos. Dinamicamente o atrito resulta em dissipação de energia do sistema através da transmissão de calor e/ou trabalho à vizinhança do volume de controle adotado. A transmissão de calor se dá basicamente por mecanismos de condução e de convecção. A transferência por condução está relacionada ao contato entre meios (físicos) envolvendo diferencial de temperatura e é uma forma bastante cotidiana. É o caso, por exemplo, da transmissão de calor em uma barra metálica aquecida em uma de suas extremidades. A extremidade oposta receberá calor após um determinado intervalo de tempo. A transferência por convecção está relacionada a fluxo (movimento) entre os meios (físicos). É o caso, por exemplo, de climatização de ambientes fechados onde há circulação de ar forçado por exaustores ou ventiladores. Amortecedores são exemplos típicos de elementos onde as duas formas de transferência citadas são atuantes: a condução ocorre entre o corpo externo do atuador, fluido de trabalho e demais elementos fixados a ele e a convecção ocorre entre o corpo externo do atuador, fluido interno em escoamento e ambiente (ar em movimento ao redor). Este fato salienta também a importância do estudo deste mecanismo e qual a influência dessa dissipação térmica no comportamento do elemento. 1.1. Revisão Bibliográfica Inúmeros estudos importantes já foram e têm sido desenvolvidos no contexto de amortecimento e seus aspectos correlacionais, onde muitos deles representam estudos analíticos e computacionais, e o presente trabalho propõe também uma contribuição à engenharia, mas através de realização de procedimentos experimentais em sistemas físicos reais (elementos mecânicos tipo amortecedores comerciais de uso originalmente veicular, mas passíveis de inúmeras outras aplicações industriais) e possibilidade de verificação e estudo dos fenômenos que ocorrem ao longo de sua condição dinâmica, como por exemplo, condição de folga, assimetria e histerese de forma concomitante. Inserido nas temáticas propostas no presente trabalho, como breve justificativa ao seu estudo e abordagem, em termos de cronologia não se pode deixar de citar autores e seus respectivos estudos que representaram relevância ao desenvolvimento, tais como: RUZICKA & DERBY (1971) apresentam diversos tipos de amortecimento linear e não linear, incluindo viscoso, de Coulomb, quadrático e de n-ésima potência, considerando 5 principalmente aplicações de isolamento de vibrações devido a excitação harmônica. As informações são concisas em termos conceituais de efeitos entre estes modelos. DEGENER (1979) abordou em seu estudo os efeitos do amortecimento estrutural na resposta dinâmica em espaçonaves, dentre outros aspectos, a resposta dinâmica e já mencionava a ocorrência do caso de amortecimento não linear influente em estruturas aeroespaciais e a importância de sua investigação. Neste mesmo ano, OTTENS (1979) desenvolveu uma formulação matemática para amortecimento através de análise estrutural. O autor aborda os modelos viscoso e histerético, dentre outros. Como conclusões, o autor comenta que existem diversos modelos disponíveis para representar os mecanismos de amortecimento estrutural, mas o sucesso dependerá da escolha conveniente e adequada dos parâmetros envolvidos. SPENCER et al. (1997) apresentou seu modelo para amortecedores magnetoreológicos, abordando o comportamento típico harmônico de força por tempo e deslocamentos e forças características e proporcionais à variação da tensão elétrica de excitação. Como resultados do estudo os autores apresentaram comparações entre outros modelos (Bingham, Gamota e Filisko e Bouc-Wen) em termos de erro, demonstrando que, para o sistema proposto, o modelo próprio mostrou-se mais eficaz. BUTZ & VON STRYK (1999), em seu trabalho de modelagem e simulação envolvendo configurações de fluidos reológicos, abordaram uma gama substancial de modelos para amortecimento para fluidos reológicos (eletroreológicos e principalmente abordagem em magnetoreológicos), paramétricos e não paramétricos, bem como simulações numéricas para um modelo de 1/4 de veículo. Como parte de suas conclusões os autores concluem positivamente sobre a aplicabilidade destes fluidos devido às propriedades básicas dos mesmos, mas são precavidos ao lembrar que muito ainda há de se investigar, estudar e entender sobre o assunto. YANG et al. (2002) estudaram amortecedores magnetoreológicos em grande escala, incluindo considerações de modelagem e comportamento dinâmico. Os autores apresentaram a característica típica deste tipo de amortecedor (variação das curvas de força por deslocamento e força por velocidade em função da corrente elétrica aplicada) e a modelagem foi baseada no modelo de Bouc-Wen modificado. Como conclusão os mesmos deixam claro a efetividade da realização de controle neste tipo de amortecedor e a provisoriedade de aplicação deste tipo de tecnologia também na construção civil. WANG et al. (2004) também prosseguiram na investigação de amortecedores magnetoreológicos e em seu trabalho realizaram a modelagem das propriedades em termos de assimetria e histerese deste tipo de amortecedor. Apresentaram uma representação generalizada 6 de assimetria e características de histerese em termos de força por velocidade e concluíram que a formulação desenvolvida pode representar tanto sistemas simétricos como assimétricos com boa precisão, principalmente no que diz respeito a problemas envolvendo suspensões veiculares e seu controle. SAVARESI, BITTANTI & MONTIGLIO (2005) realizaram a identificação de modelos não lineares envolvendo aplicação de amortecedores magnetoreológicos em veículos. Foi utilizado um amortecedor fabricante LORD modelo RD-1094-09, similar a um dos amortecedores adotados nesta tese (mesmo fabricante e mesma faixa de força). Os modelos abordados pelos autores foram os de Bingham, Bouc-Wen modificado e outro não linear denominado modelo “caixa-preta”. Os autores deixam observado que, em corrente elétrica constante, ambos os modelos são passíveis de representar o elemento físico proposto, mas o modelo “caixa-preta” apresentou-se ligeiramente mais eficaz. Já em corrente elétrica variável o modelo “caixa-preta” supera significativamente o modelo de Bouc-Wen modificado. KWOK et al. (2006) desenvolveram um modelo histerético para amortecedores com fluido magnetoreológicos e um sistema de identificação paramétrica por otimização. Os autores abordaram os modelos padrão de Bingham, Bouc-Wen, Bouc-Wen modificado e também propuseram seu modelo e como conclusão observaram que há grande complexidade em muitos dos parâmetros dos modelos que descrevem o comportamento de amortecedores magnetoreológicos e a otimização é sempre uma opção viável. PRETI (2007) desenvolveu estudo sobre modelagem e simulação de um sistema hidráulico para funcionar como elemento amortecedor em pequenas amplitudes. Neste trabalho o autor aborda, dentre outros aspectos, a questão da diferenciação entre um elemento amortecedor ideal (linear) e os elementos amortecedores reais (com não linearidades). A publicação de DIXON (2007) envolve também a questão de elementos amortecedores, especificamente sobre os elementos deste tipo em aplicações veiculares, abordando sistematicamente vários aspectos relacionados, desde a teoria clássica sobre vibrações mecânicas passando posteriormente a conceitos mais complexos de modelagem de suspensões de automóveis e motocicletas, incluindo observações bastante relevantes sobre a composição e especificação dos fluidos destinados à confecção de amortecedores (até mesmo fluidos magnetoreológicos) e muitos outros aspectos. WOJEWODA et al. (2007) realizaram estudos experimentais e modelaram analiticamente o amortecimento em termos de efeitos histeréticos de atrito seco. Em seus resultados os autores demonstraram uma comparação concisa entre dados experimentais e numéricos obtidos, contudo, uma descrição mais precisa dos fenômenos em escala microscópica ainda necessitava de desenvolvimento. KWOK et al. (2007) abordaram 7 novamente a identificação paramétrica do amortecimento magnetoreológico no modelo de Bouc-Wen, mas agora através de otimização utilizando algoritmos genéticos. Neste estudo houve ocorrência de assimetria presente no amortecedor e em suas conclusões os autores deixam claro a vantagem e eficiência da aplicação correta de identificação paramétrica através de algoritmos genéticos em termos de ganho de precisão através da minimização do erro envolvido. ASTROM & WIT (2008) abordaram o modelo de amortecimento de LuGre e o efeito comportamental das mudanças nos parâmetros do mesmo e como conclusão principal apresentam que este modelo apresenta propriedades atrativas, passível de representar muitas propriedades de sistemas reais, mas com uma severa limitação de não possuir representatividade muito vasta em pontos de reversão de movimento. TUSSET (2008) realizou um estudo sobre controle ótimo aplicado em suspensão veicular não linear e para tanto, também utilizou como base as propriedades atrativas do fluido magnetoreológico para tais fins. COSTA & BRANCO (2009) realizaram estudo igualmente importante sobre fluidos magnetoreológicos incluindo efeitos de atrito entre o fluido e a parede. Tal estudo contemplou modelagem analítica e validação experimental e neste é possível observar a variação da velocidade do fluido à medida que o campo magnético sofre variação e também a variação de pressão com a variação também do campo magnético. Ainda em termos de fluidos magnetoreológicos e sua aplicabilidade, AVRAAM (2009) desenvolveu um estudo em biomecânica sobre a aplicação deste tipo de fluido em termos de dispositivos destinados a fins de reabilitação muscular. A capacidade de controle dos parâmetros deste tipo de fluido foi de suma importância e decisiva para sua seleção à finalidade proposta pelo autor. Seu estudo contemplou, dentre outros aspectos, modelos básicos de amortecimento magnetoreológico, composição e propriedades dos fluidos e também aplicabilidade em mecatrônica. Também no estudo de GEFFEN (2009) é abordado o estudo dos modelos de amortecimento envolvendo atrito. Dentre eles, o modelo de Coulomb, o modelo viscoso, o modelo Stribeck e os modelos de Dahl e LuGre e, em suas conclusões, o autor observa que os modelos dinâmicos são mais efetivos que os modelos estáticos mas envolvem maior complexidade e mais parâmetros e, portanto, maiores esforços computacionais, mas são muito úteis. ZEILMANN et al. (2010) realizaram estudo sobre teoria e experimentação de atrito em atuadores robóticos e, em seu trabalho, modelaram o atrito por modelo linear, modelo de Coulomb, modelo de Dahl, modelo de LuGre e um outro modelo denominado modelo de Gomes. Para cada modelo apresentado foi realizada a identificação paramétrica e, como conclusão, para o sistema físico proposto, segundo os autores a maior robustez nas simulações 8 foram o modelo de LuGre e o de Gomes sendo este último o mais significativo e ideal para amortecedores atuando a baixas velocidades. O trabalho destes autores permite a observação do efeito localizado Stribeck no modelo de Coulomb, tanto na condição experimental quanto na condição de simulação, mas não abordaram a questão de folga nem influência de temperatura. DE LIMA (2011) também seguiu a linha de estudo sobre fluidos magnetoreológicos. Detectada a importância do assunto o autor realizou a identificação experimental de um amortecedor comercial magnetoreológico, abordando os modelos matemáticos para tanto e dispositivos de controle associados a ele. O elemento comercial objeto de estudo deste autor foi um amortecedor LORD MR RD 1005-3, similar ao desta tese. Outro estudo relevante a citar é o realizado por WANG (2011) onde o autor desenvolveu a temática também de controle em um amortecedor uniaxial do tipo magnetoreológico para fins veiculares e industriais. Aspectos de controle, modelagem de amortecimento magnetoreológico foram seus objetivos e a execução experimental realizada confirmaram a aplicabilidade do fluido e suas possibilidades de emprego. HVOLDAL & OLESEN (2011) também estudaram os modelos de amortecimento envolvendo atrito e sua estimativa de parâmetros para cilindros hidráulicos assimétricos: modelo de Coulomb, efeito Stribeck, histerese, modelo de LuGre, entre outros. Em seu trabalho não foi possível verificar a condição do efeito Stribeck devido a uma resposta instável resultante do modelo dos autores, mas os demais modelos foram implementados. FILHO (2013) realizou seu estudo também identificada a importância envolvendo fluidos magnetoreológicos, tendo este desenvolvido controle semiativo de vibrações através da implementação de Lógica Fuzzy otimizada. YANG, LI & CHEN (2013) desenvolveram um novo e simples modelo histerético não linear para amortecedor magnetoreológico. Os autores utilizaram experimentalmente um amortecedor LORD RD 1097 e, para modelagem abordaram modelos de Bingham, bi viscoso histerético não linear, dentre outros, além da proposição de seu modelo próprio. Como resultados, na faixa de trabalho utilizada (frequências de 1 a 4Hz, amplitudes de deslocamento de -7,5 a 7,5mm e correntes de excitação de 0 a 0,4A) o erro em frequência demonstrou que o modelo proposto foi superior aos demais sendo, portanto, um modelo alternativo para representação de amortecedores magnetoreológicos, mas a grande vantagem de redução da complexidade em relação aos demais modelos. LIU et al. (2015) realizaram uma comparação experimental de modelos de amortecimento por atrito: modelo de Coulomb, modelo viscoso, modelo integrado de Coulomb e viscoso, modelo Stribeck, modelo de Dahl, modelo de LuGre e modelo elastoplástico. Através da implementação dos modelos e detecção paramétrica os autores obtiveram um perfil de 9 identificação de todos os parâmetros dos modelos de Coulomb, Stribeck, Dahl, LuGre e elastoplástico citados. Como conclusão os autores observam que o modelo de Coulomb não representou de forma adequada o sistema real, mas os demais modelos sim, onde o modelo de LuGre foi o mais eficaz. DO et al. (2015) realizou um estudo de biomecânica envolvendo uma abordagem de um modelo não linear de atrito em tendões e identificação paramétrica. O modelo-base do estudo foi o de LuGre com efeito Stribeck. O estudo abordou histerese e assimetria, bem como validação experimental para identificação paramétrica. Os ensaios foram realizados em baixa frequência de oscilação (abaixo de 0,5Hz) e os autores utilizaram uma função erro quadrática na identificação paramétrica. Não houve uma abordagem em termos de magnetoreologismo, folga ou influência de temperatura na dinâmica do sistema proposto. CAO et al. (2015) estudaram um dispositivo de controle estrutural baseado no mecanismo de freio veicular tipo duo-servo (tipo tambor e mola, com sapata e atuador hidráulico). Os autores realizaram a modelagem baseado no modelo de LuGre e realizaram também a validação experimental do dispositivo proposto. Pela análise da resposta dinâmica do sistema é possível observar a presença de um efeito com característica similar à de folga nas curvas de força por deslocamento e de força por velocidade. O estudo do modelo contemplou a identificação paramétrica (treze parâmetros) utilizando a função fminsearch no MATLAB e estes parâmetros foram abordados em termos de dependência de pressão e frequência, mas os autores não abordaram efeitos em termos de temperatura nem efeitos localizados como efeito Stribeck. SUN et al. (2016) em seu trabalho intitulado “Uma configuração experimental abrangente para identificação de parâmetros do modelo de atrito” abordaram o atrito em termos de modelos clássico, de Dahl, de LuGre com efeito Stribeck, dentre outro e realizaram um procedimento experimental para validar estes modelos para representar a força de atrito. O modelo de atrito clássico foi verificado em relação ao comportamento experimental em seus resultados no mapa de força por velocidade, e os modelos de Dahl e LuGre com efeito Stribeck foram representativos nos mapas de velocidade por tempo e força por deslocamento. No estudo a velocidade Stribeck determinada foi de 0,00194m/s na expansão e 0,0003365m/s na compressão, valores que denotam a região de ocorrência do efeito (região onde a velocidade igual a zero). Não houve uma abordagem em termos de magnetoreologismo, folga ou influência de temperatura na dinâmica do sistema proposto. CASTRO et al. (2016) abordam o modelamento de amortecedor com folga em sua conexão, de modo a representar este tipo de elemento nesta situação como possuindo uma parcela de amortecimento equivalente e uma parcela de rigidez aparente associada. A abordagem dos autores permite apenas uma análise quantitativa da força desenvolvida pelo 10 amortecedor com folga e não leva em consideração, por exemplo, a análise de temperatura externa do corpo do elemento, bem como os aspectos de não linearidades de assimetria e de histerese no elemento. KHAN, CHACKO & NAZIR (2017) abordaram a questão da folga, dentre outros aspectos. Em seu trabalho os autores focaram na modelagem de atrito correlacionada ao desenvolvimento de sistemas onde há interação de várias áreas de conhecimento (dinâmica, computação, design, controle, Tribologia e interação homem-máquina, IHM) de modo a almejar durabilidade e confiabilidade adequadas onde os modelos clássicos de mecanismos dinâmicos (articulados) não incorporavam a questão das não linearidades relacionadas ao efeito do atrito e contato (incluindo condição de impacto). O objeto de estudo foi o caso de um braço articulado (manipulador mecânico tipo pá carregadeira) com rotação horizontal na base e rotação vertical em três pontos articulados da estrutura do braço. Sua revisão de literatura englobou atrito de Coulomb, atrito viscoso, efeito Stribeck, atrito de Dahl, atrito de LuGre e outros. A questão da ocorrência da folga foi focada nas articulações, juntamente com outros efeitos nestas (penetração, impacto, contato contínuo e movimento livre). Dentre suas conclusões os autores apresentam que os modelos de atrito atuais e ainda em desenvolvimento foram desenvolvidos, em sua maioria, a partir dos modelos básicos (Coulomb, viscoso e Stribeck) e ainda há muitas lacunas de compreensão entre as relações de atrito-dinâmica- desgaste-lubrificação que governam os mecanismos e que requerem estudos. A quantificação e modelagem de folga não foi abordada pelos autores, bem como a de influência de temperatura do corpo dos elementos de articulação. WANG et al. (2017) realizaram a modelagem e investigação experimental de um novo amortecedor de atrito em seu trabalho. O amortecedor objeto de estudo foi um amortecedor seco (pneumático) com geometria construtiva interna em forma de arco que permitiu o estudo dos efeitos de atrito seco ao longo da condição dinâmica. Neste estudo o comportamento histerético do amortecedor foi observado e também pode-se observar um efeito com característica similar à de folga nas curvas de força por deslocamento e em termos de energia dissipada do sistema (trabalho absorvido pelo amortecedor). Os autores não abordaram análise em termos de força e velocidade para observação de eventual efeito localizado, como Stribeck por exemplo, tampouco em termos de variação de temperatura externa do corpo do atuador e sua influência no comportamento dinâmico do sistema. Esta tese vem a contribuir de modo a explorar não linearidades simultâneas em amortecedores seco, viscoso e magnetoreológico em termos de folga de fixação, histerese, magnetoreologismo e efeito de temperatura no corpo externo do atuador. 11 1.2. Objetivos Os objetivos desta tese são:  Desenvolver uma metodologia para identificação paramétrica de amortecedores com comportamento não linear incluindo histerese, assimetria e folga de fixação;  Implementar modelos paramétricos que descrevam o comportamento dinâmico dos amortecedores com comportamento não linear adotados (seco, viscoso e magnetoreológico);  Desenvolver um novo modelo paramétrico simplificado para representar as não linearidades de folga e assimetria de amortecedores;  Identificar e modelar o efeito da variável temperatura externa do corpo de amortecedor em relação ao seu comportamento dinâmico; 1.3. Conteúdo Organizacional O presente trabalho foi dividido em capítulos para uma melhor compreensão dos conteúdos abordados, conforme os seguintes tópicos:  CAPÍTULO 2 – REVISÃO TEÓRICA DE MODELOS DE AMORTECIMENTO: Este capítulo aborda uma contextualização do amortecimento e os principais modelos de dissipação de energia atuantes no elemento físico conhecido como amortecedor, presente na grande maioria dos sistemas físicos da engenharia mecânica. Alguns destes modelos apresentam características particulares convenientes para utilização em amortecedores específicos (seco, viscoso, magnetoreológico e outros) e alguns deles contemplam também a ideia de representação do efeito de folga de fixação;  CAPÍTULO 3 – SOBREPOSIÇÃO DE MODELOS DE AMORTECIMENTO E NOVA PROPOSIÇÃO: Este capítulo apresenta modelos já existentes de sobreposição de efeitos, como o caso do modelo de histerese e propriedades magnetoreológicas em função da corrente de excitação e modelo proposto por WANG et al. (2004) de assimetrias, histerese e também propriedades magnetoreológicas em função da corrente e apresenta também um novo modelo 12 paramétrico simplificado com seis elementos para representar assimetria em força e folga de fixação;  CAPÍTULO 4 – CARACTERIZAÇÃO EXPERIMENTAL: Este capítulo apresenta uma breve contextualização dos amortecedores objetos de estudo desta tese (um seco, um viscoso e um magnetoreológico), bem como a relação de equipamentos e procedimentos utilizados (metodologia de ensaios) no processo experimental realizado, para validação de alguns dos modelos matemáticos abordados nos CAPÍTULO 2 e 3 (modelo de n-ésima potência da velocidade, modelo de Wang et al. (2004) e novo modelo proposto);  CAPÍTULO 5 – IDENTIFICAÇÃO PARAMÉTRICA: Este capítulo aborda aspectos da identificação paramétrica dos modelos utilizados, incluindo os computacionais envolvidos;  CAPÍTULO 6 – RESULTADOS E DISCUSSÕES: Este capítulo aborda os resultados analíticos e experimentais para os amortecedores estudados, levando-se em consideração os parâmetros identificados nos modelos propostos e suas tendências de comportamento (crescimento ou decaimento) ao longo da variação das condições de frequência de excitação, deslocamento, corrente elétrica e folga de fixação, incluindo ensaios de ciclos longos e evolução da temperatura de corpo externa e seus efeitos na força e parâmetros dos modelos;  CAPÍTULO 7 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS: Este capítulo apresenta as conclusões finais quanto aos objetivos propostos da tese, em termos de modelagem do amortecimento não linear envolvendo não linearidades de histerese, assimetria, folga de fixação e efeito de temperatura, bem como sugestões para complementação dos trabalhos realizados;  APÊNDICE A - CODIFICAÇÃO DOS ENSAIOS: Este apêndice relaciona informações sobre a codificação criada para os ensaios experimentais, que serviu de base para toda a estrutura organizacional dos dados utilizados;  APÊNDICE B – PROPRIEDADES TÍPICAS DE FLUIDOS LÍQUIDOS PARA AMORTECEDORES: REFERÊNCIA AOS AMORTECEDORES AH E MR: Apresenta informações complementares referentes aos fluidos típicos empregados em amortecedores como alguns dos utilizados nesta tese (amortecedor viscoso);  APÊNDICE C – PROPRIEDADES COMPLEMENTARES DO AMORTECEDOR MR FABRICANTE LORD MOD. RD-8040-1 (CURSO 13 CURTO): Apresenta dados técnicos construtivos adicionais referentes ao amortecedor magnetoreológico utilizado nesta tese (dados elétricos e dados mecânicos);  APÊNDICE D – PARÂMETROS GEOMÉTRICOS PARA AP, AH E MR: Apresenta basicamente informações construtivas internas sobre o amortecedor seco (AH) e viscoso (AH) obtidas por desmontagem e medição para fins de verificação de seus mecanismos internos de funcionamento;  APÊNDICE E - DESENHOS DOS SUPORTES DE FIXAÇÃO DOS AMORTECEDORES AP, AH E MR: Este apêndice relaciona os desenhos técnicos dos suportes de fixação idealizados e fabricados para os amortecedores utilizados. 14 2. REVISÃO TEÓRICA DE MODELOS DE AMORTECIMENTO O amortecimento é a dissipação de energia do sistema vibratório sob a forma de calor e/ou som (formas mais comuns) e é comumente associado ao elemento mecânico conhecido por amortecedor. Contudo, deve-se ter em mente que este não é característica exclusiva de um único elemento mecânico pois na prática qualquer elemento físico em estado dinâmico ou que interaja com sua vizinhança, pode dissipar ou receber energia do meio, sendo que a dissipação é mais comum, principalmente na forma de calor. Vários são os critérios possíveis de classificação do amortecimento. PUTHANPURAYIL et al. (2011) comentam que existem inúmeros mecanismos capazes de dissipar energia e receber a designação de amortecimento (Coulomb, deslizamento, atrito estrutural, viscoso, histerético e muitos outros), podendo ser representados por modelos lineares ou não lineares. Uma classificação conveniente seria primariamente agrupá-los nestas duas grandes classes: linear e não linear. Ainda, é possível considerar três subclasses: interno, estrutural e viscoso (PUTHANPURAYIL et al., 2011; WOODHOUSE, 1998; RODRÍGUEZ, 2006; SILVA, 2007; COSSOLINO & PEREIRA, 2010). Sob o aspecto de modelagem, existem inúmeros modelos de amortecimento (tipos de amortecedores). Pode-se destacar como principais (RUZICKA & DERBY, 1971):  Amortecimento Viscoso (não linear);  Amortecimento Clássico de Coulomb (não linear);  Amortecimento Quadrático (não linear);  Amortecimento de N-ésima Potência da Velocidade (não linear);  Amortecimento Histerético (não linear). Além dos modelos citados, pode-se também complementar as descrições com os principais modelos de amortecimento:  Amortecimento de Coulomb com Efeito Stribeck (não linear);  Amortecimento de Dahl (não linear);  Amortecimento de LuGre com Efeito Stribeck (não linear);  Amortecimento Magnetoreológico (não linear);  Amortecimento com Assimetria (não linear); 15  Amortecimento com Folga (não linear);  Amortecimento com Influência de Temperatura (não linear);  Amortecimento com Sobreposição de Modelos (não linear). 2.1. Modelo de Amortecimento Viscoso O amortecimento viscoso é o tipo mais comum de ocorrência (RUZICKA & DERBY, 1971; ZEILMANN et al., 2010). Este provém da dissipação de energia associada com forças de atrito e está envolvido principalmente com o movimento do sistema mecânico em fluidos. No amortecimento viscoso ideal (aquele onde a força de amortecimento é função apenas da velocidade), a equação que rege o movimento oscilatório do sistema tem a relação entre a força de amortecimento e a velocidade de forma linear e é dada por (PRETI, 2007; GEFFEN, 2009; CHOPRA, 2012; LIU et al., 2015): FD = Cu̇ Eq. 1 sendo FD a força de amortecimento, C o coeficiente de amortecimento e u̇ a velocidade. Graficamente analisando-se a resposta deste modelo dado pela Eq. 1 em termos da força FD e deslocamento u, a curva característica é de uma elipse, figura geométrica que pode ser matematicamente parametrizada pela Eq. 2 (RUZICKA & DERBY, 1971). FD 2 FDmax 2 + u2 umax2 = 1 Eq. 2 sendo FDmax um valor máximo de força (-FDmax  FD  FDmax), u o deslocamento e umax um valor de máximo de deslocamento (-umax  u  umax). Os valores de forças FD e FDmax, por sua vez, também podem ser calculados adotando- se, por exemplo, um comportamento harmônico. Neste caso tem-se que (RUZICKA & DERBY, 1971): FD = FDmaxcos⁡(ωt) Eq. 3 16 e, FDmax = Cωumax Eq. 4 sendo FD a força de amortecimento, FDmax o valor máximo de força,  a frequência de movimento, t o tempo, C o coeficiente de amortecimento e umax um valor de máximo de deslocamento. Esta suposição de comportamento harmônico é conveniente pois proporciona uma condição inicial u(0) = 0 e FD(0) = FDmax e nos instantes de tempo onde u = |umax| a força FD é nula. A Figura 3 apresenta o modelo de amortecimento viscoso em termos de idealização, comportamento dinâmico de força por deslocamento e históricos de deslocamento e força no tempo. Figura 3 – Modelo de amortecimento viscoso: a) Representação esquemática do amortecedor; b) Comportamento dinâmico e c) Históricos de deslocamento e força no tempo. Fonte: Baseado em RUZICKA & DERBY, 1971. Esta forma de amortecimento ocorre em situações de baixa velocidade de escoamento do fluido e, segundo WU et al. (2007), o amortecimento viscoso é normalmente não linear nos sistemas mecânicos. Ainda envolvendo amortecimento viscoso linear, RAO (1990) apresenta uma forma de calcular o coeficiente de amortecimento C: segundo este autor, a Eq. 5 apresenta a modelagem para um atuador idealizado pela Figura 4 de modo a fornecer sua constante de amortecimento em termos de parâmetros geométricos e parâmetro de viscosidade dinâmica do fluido de trabalho. C = μ [ 3πD3L 4d3 (1 + 2d D )] Eq. 5 a) b) c) 17 sendo C a constante de amortecimento, µ a viscosidade dinâmica (absoluta) do fluido, e D, L e d parâmetros dimensionais construtivos do amortecedor (conforme Figura 4). Figura 4 – Modelo de amortecimento viscoso para atuador descrito por RAO (1990). Fonte: Baseado em RAO, 1990. Substituindo a Eq. 5 na Eq. 1 tem-se que: FD = μ [ 3πD3L 4d3 (1 + 2d D )] u̇ Eq. 6 Apesar de normalmente não lineares, os sistemas mecânicos reais muitas vezes são estudados com o emprego do modelo linear devido a menor complexidade envolvida de modelagem e, muitas vezes, esta adoção (modelagem simplificada) converge para resultados considerados satisfatórios ao sistema objeto de estudo, mas isto não pode ser tomado como regra: deve-se proceder análises de cada problema particular para se concluir se é ou não viável ao sistema a adoção de tal simplificação. 2.2. Modelo de Amortecimento Clássico de Coulomb O amortecimento clássico de Coulomb é também outro exemplo de comum ocorrência nos sistemas dinâmicos de engenharia. Ele é um fenômeno não linear já que existem descontinuidades no histórico do tempo na força de amortecimento devido a mudanças na direção da velocidade relativa do sistema. Essas mudanças resultam numa equação não linear de movimento do sistema vibratório, segundo RUZICKA & DERBY (1971) e ZEILMANN et al. (2010). No amortecimento de Coulomb a equação que rege o movimento oscilatório do sistema tem a relação entre a força de amortecimento e a velocidade dada por (WOJEWODA, 2007; GEFFEN, 2009; LIU et al. 2015): 18 FD = Ff⁡sgn(u̇) Eq. 7 A força de amortecimento de Coulomb pode ser descrita como de magnitude constante e independente do deslocamento. Pelo coeficiente de atrito entre duas superfícies envolvendo um problema de movimento relativo entre elas a força de amortecimento de Coulomb pode ser calculada pela força normal atuante de modo que (DIXON, 2007; GEFFEN, 2009; LIU et al., 2015): Ff = μatrdFN Eq. 8 sendo atrd o coeficiente de atrito (dinâmico) e FN a força normal atuante. Analisando-se graficamente a resposta deste modelo em termos de força FD e deslocamento u esta pode ser matematicamente parametrizada pela Eq. 9. FD = { −Ffmax⁡se⁡u̇ < 0 +Ffmax⁡se⁡u̇ > 0 Eq. 9 sendo Ffmax um valor máximo de força (-Ffmax  FD  Ffmax) e ocorre em –umax  u  umax. Pela Eq. 9 é também correto afirmar que: |FDmax| = |±Ffmax| Eq. 10 A Figura 5 apresenta o modelo de amortecimento de Coulomb em termos de sua idealização, comportamento dinâmico de força por deslocamento e históricos de deslocamento e força no tempo: Figura 5 – Modelo de amortecimento de Coulomb: a) Representação esquemática do amortecedor; b) Comportamento dinâmico e c) Históricos de deslocamento e força no tempo. Fonte: Baseado em RUZICKA & DERBY, 1971. a) b) c) 19 2.3. Modelo de Amortecimento Quadrático O amortecimento quadrático é também outro exemplo de um modelo não linear onde a força de amortecimento é proporcional ao quadrado da velocidade relativa do sistema (RUZICKA & DERBY, 1971). No amortecimento quadrático a equação que rege o movimento oscilatório do sistema tem a relação entre a força de amortecimento e a velocidade dada por (RUZICKA & DERBY, 1971; DIXON, 2007): FD = C2u̇ 2sgn(u̇) Eq. 11 sendo FD a força amortecimento, C2 uma constante de proporcionalidade e u̇ a velocidade. Graficamente, analisando-se a resposta deste modelo dado pela Eq. 11 em termos de força FD e deslocamento u, nota-se que as extremidades em –umax e +umax convergem de forma mais abrupta do que numa geometria tipo elíptica (devido ao termo quadrático), figura geométrica que pode ser matematicamente parametrizada pela Eq. 12 (RUZICKA & DERBY, 1971). ± FD FDmax + u2 umax2 = 1 Eq. 12 Os valores de FD e FDmax, por sua vez, também podem ser calculados adotando-se a entrada do tipo harmônica no deslocamento onde, por exemplo, tem-se que (RUZICKA & DERBY, 1971): FD = ±FDmaxcos 2(ωt) Eq. 13 e, FDmax = C2ω 2umax 2 Eq. 14 A Figura 6 apresenta o modelo de amortecimento quadrático em termos de representação esquemática do amortecedor, comportamento dinâmico de força por deslocamento e históricos de deslocamento e força no tempo. 20 Figura 6 – Modelo de amortecimento quadrático: a) Representação esquemática do amortecedor; b) Comportamento dinâmico e c) Históricos de deslocamento e força no tempo. Fonte: Baseado em RUZICKA & DERBY, 1971. 2.4. Modelo de Amortecimento de N-ésima Potência da Velocidade O amortecimento de n-ésima potência da velocidade é um exemplo generalizado de um fenômeno não linear, onde a força de amortecimento é proporcional n-ésima potência da velocidade relativa do sistema. (RUZICKA & DERBY, 1971) No amortecimento de n-ésima potência da velocidade a equação que rege o movimento oscilatório do sistema tem a relação entre a força de amortecimento e a velocidade dada por (RUZICKA & DERBY, 1971): FD = Cn|u̇| nsgn(u̇) Eq. 15 sendo FD a força amortecimento, Cn uma constante de proporcionalidade, n um índice de potência e u̇ a velocidade. O comportamento dinâmico relacionado à Eq. 15 será altamente dependente do índice n de potência, mas não deixa de possuir um aspecto bem característico. Por exemplo, para alguns valores típicos de n:  n = 0: este modelo representará o amortecimento de Coulomb;  n = 1: este modelo representará o amortecimento viscoso;  n = 2: este modelo representará o amortecimento quadrático Demais valores de n poderão representar outros modelos de amortecimento não lineares. Segundo RUZICKA & DERBY (1971), problemas de amortecimento não linear a) b) c) 21 envolvendo líquidos em tubos fechados e canais abertos em “U” já foram representados utilizando intervalo 1 < n < 2. Analisando-se graficamente a resposta deste modelo em termos de força FD e deslocamento u, a curva característica é de uma geometria bem delimitada em termos de área (um retângulo de delimitação para ser mais preciso). A figura geométrica resultante só pode ser definida com o termo n de potência, mas, de forma generalizada, esta que pode ser matematicamente parametrizada pela Eq. 16 (RUZICKA & DERBY, 1971). FD FDmax = ±(1 − u2 umax2 ) n 2 Eq. 16 Os valores de FD e FDmax, por sua vez, também podem ser quantizados sem maiores problemas. Adotando-se um comportamento de entrada tipo harmônica ao deslocamento, por exemplo, tem-se que (RUZICKA & DERBY, 1971): FD = ±FDmaxcos n(ωt) Eq. 17 e, FDmax = Cnω numax n Eq. 18 A Figura 7 apresenta alguns comportamentos para diversos valores de n em termos de força em função do tempo, força em função da velocidade e força em função do deslocamento: Figura 7 – Modelo de amortecimento de n-ésima potência da velocidade: comportamentos para diversos valores de índices de potência n: a) Força em função do deslocamento; b) Força em função do tempo e c) Força em função da velocidade. a) b) c) Fonte: próprio autor. 22 A Figura 8 apresenta o modelo de amortecimento de n-ésima potência da velocidade em termos de representação esquemática do amortecedor, comportamento dinâmico de força por deslocamento e históricos de deslocamento e força no tempo. Figura 8 – Modelo de amortecimento de n-ésima potência da velocidade: a) Representação esquemática do amortecedor; b) Comportamento dinâmico e c) Históricos de deslocamento e força no tempo. Fonte: Baseado em RUZICKA & DERBY, 1971. 2.5. Modelo de Amortecimento Histerético O termo histerese, originalmente de origem grega, está relacionado com a ideia de “atraso”. Seu conceito está ligado a sistemas não lineares, onde o comportamento depende tanto do estado de solicitação atual quanto de sua história passada (ALMEIDA & COSTA, 2000). Na engenharia mecânica, área de dinâmica, ele representa a capacidade de preservar seu comportamento ao longo de ciclos de trabalho em termos de representação de força por velocidade. Se um elemento (amortecedor por exemplo) é submetido a um estímulo externo de força e seu comportamento (caminho) é o mesmo ao longo da extensão e também da compressão, então este é dito como não histerético. CASALOTTI & LACARBONARA (2016) observam que os ciclos fechados apresentam uma divisão em quatro diferentes estados (dois na extensão e dois na compressão):  Primeiro estado (compressão): ∆�̇�  0 e FD  0;  Segundo estado (compressão): ∆�̇� < 0 e FD < 0;  Terceiro estado (extensão): ∆�̇� > 0 e FD < 0;  Quarto estado (extensão): ∆�̇� > 0 e FD > 0. Caso o elemento não possua característica histerética, o primeiro estado coincide com o quarto e o segundo coincide com o terceiro. A Figura 9 apresenta um exemplo de ciclos de força por velocidade de um elemento amortecedor sem e com histerese. a) b) c) 23 Figura 9 – Exemplo de ciclo de força por velocidade de um elemento amortecedor: a) Comportamento não-histerético e b) Comportamento histerético. Fonte: próprio autor. O amortecimento histerético é um exemplo de fenômeno não linear, onde a força de amortecimento está em fase com a velocidade relativa do sistema e é proporcional ao deslocamento relativo. Este tipo foi idealizado para servir de base para descrever propriedades de amortecimento interno de materiais sólidos e é bastante conveniente para estes fins, principalmente envolvendo vibrações harmônicas (RUZICKA & DERBY, 1971). No amortecimento histerético a equação que rege o movimento oscilatório do sistema tem a relação entre a força de amortecimento e a velocidade dada por (RUZICKA & DERBY, 1971): FD = C(ω)u̇ = ( h ω ) u̇ Eq. 19 sendo C() um coeficiente de amortecimento viscoso que varia inversamente com a frequência  e h uma constante de proporcionalidade denominada coeficiente de amortecimento histerético. Analisando-se graficamente a resposta deste modelo em termos de FD e deslocamento u a curva característica é também de uma elipse, figura geométrica esta que pode ser matematicamente parametrizada pela Eq. 2 já descrita anteriormente. O valor da força FD pode ser calculado também pela Eq. 3. O valor da força FD0 pode ser também calculado pela Eq. 4 e incorporando agora a relação entre C, h e  da Eq. 19 tem- se que (RUZICKA & DERBY, 1971): a) b) 24 FDmax = humax Eq. 20 A Figura 10 apresenta o modelo de amortecimento de histerético em termos de idealização, comportamento dinâmico de força por deslocamento e históricos de deslocamento e força no tempo. Figura 10 – Modelo de amortecimento histerético: a) Representação esquemática do amortecedor; b) Comportamento dinâmico e c) Históricos de deslocamento e força no tempo. Fonte: Baseado em RUZICKA & DERBY, 1971. Em termos de modelos paramétricos para descrever o amortecimento histerético pode- se citar, como relevantes, o Modelo Paramétrico de Bouc-Wen e também o modelo proposto por WANG et al. (2004), originalmente utilizados para representação de amortecimento tipo magnetoreológico. 2.6. Modelo de Amortecimento de Coulomb com Efeito Stribeck Sobre o modelo de amortecimento de Coulomb clássico pode-se considerar ainda que o coeficiente de atrito não é um valor constante, mas sim representa a existência de dois valores: um estático, atre, e um dinâmico (seco), atrd. O valor estático (válido apenas para o repouso) estaria associado a uma força de amortecimento de Coulomb que pode ser designada força de atrito seca e o valor dinâmico (válido apenas para a condição de movimento) estaria associado a uma força de amortecimento e Coulomb que pode ser designada força de atrito, de modo que a Eq. 8 torna-se agora duas: Ffe = μatreFN Eq. 21 e, Ffd = μatrdFN Eq. 22 sendo atre o coeficiente de atrito estático e atrd o coeficiente de atrito dinâmico. a)