
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA
Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Campus de Rio Claro

Pedro Ivo de Oliveira Brasil

SATÉLITES COM ALTA EXCENTRICIDADE E/OU ALTA INCLINAÇÃO

Dissertação de Mestrado apresentada ao
Instituto de Geociências e Ciências
Exatas do Campus de Rio Claro, da
Universidade Estadual Paulista Júlio de
Mesquita Filho, como parte dos requisitos
para obtenção do tı́tulo de Mestre em
Fı́sica, área de Fı́sica Aplicada.

Orientador: Tadashi Yokoyama

Rio Claro - SP
2011


Pedro Ivo de Oliveira Brasil

SATÉLITES COM ALTA EXCENTRICIDADE E/OU ALTA INCLINAÇÃO

Dissertação de Mestrado apresentada ao
Instituto de Geociências e Ciências
Exatas do Campus de Rio Claro, da
Universidade Estadual Paulista Júlio de
Mesquita Filho, como parte dos requisitos
para obtenção do tı́tulo de Mestre em
Fı́sica, área de Fı́sica Aplicada.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Tadashi Yokoyama (orientador)
Prof. Dr. Rodney da Silva Gomes

Prof. Dr. Nelson Callegari Jr.

Rio Claro, 28 de fevereiro de 2011

Resultado: APROVADO


Dedico este trabalho à minha famı́lia:

Meus pais, João Alberto e Sandra Maria,

minha irmã Laila

e minha namorada Isabela.


Agradeço

A Deus, pelo dom da vida e por minha saúde.

Ao Professor Tadashi Yokoyama, pela orientação, discussões, amizade, pelo exemplo de

caráter, humildade e dedicação cientı́fica.

Aos colegas do grupo, professor Nelson Callegari Jr., Filipe Ribeiro, Mirian Molina e espe-

cialmente ao Diogo Sanchez por todo apoio, principalmente na minha adaptação ao grupo, e ao

Rogerio Deienno por todas as discussões, técnicas, dicas e companherismo.

Aos amigos da república “Toka do Shrek”: Carlos Escanhoela, Fábio Rossi, Denis Abreu,

Eduardo Santos, Juliano de Oliveira e especialmente a André Livorati, Felipe Rocha, João da

Fonseca e Márcio Pocay, por toda saudável (e saudosa!) convivência nestes anos. Em 2006 lá

entrei um garoto, hoje saio um homem.

Aos meus Professores da graduação e da pós graduação pelos incontáveis exemplos de

destreza, motivação e por transmitirem com amor e respeito uma parcela de sua sabedoria.

Em especial aos Professores Dimas Vollet, Ervino Ziemath, Edson Vasques, Roberto Hessel,

Vladmir Seixas, Tadashi Yokoyama, Roberto Lagos e Edson Denis Leonel.

A todos os meus amigos feitos durante este perı́odo da minha vida em Rio Claro. Especial-

mente à turma da Fı́sica de 2005 pelo exemplo de coletividade e pela máxima que cunhamos

juntos: “ninguém disse que seria fácil!”

Aos funcionários da Unesp que mantém toda a infraestrutura necessária ao nosso estudo e

trabalho. Em especial aos funcionários da seção de graduação, de pós graduação, do SAEPE,

da biblioteca, do restaurante universitário, vigias e funcionários da manutenção/limpeza.

A Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), pela bolsa de

mestrado concedida através do processo 2008/56961-0.

Finalmente, agradeço à minha famı́lia, a quem dedico este trabalho, por todo apoio e colaboração

nesta fase inicial da minha carreira. Obrigado por tudo!


Resumo

Neste trabalho analisamos a evolução de alguns satélites de Júpiter sob a ação da migração
planetária proposta por Tsiganis et al. (2005). Estudos de sobrevivência dos satélites além
da órbita de Calisto são feitos. Tais estudos são realizados seguindo uma técnica recente ap-
resentada em Deienno (2010). Nós também mostramos a plena possibilidade de captura de
planetesimais que passam próximo do planeta. Tais objetos podem se tornar satélites irregu-
lares de Júpiter. Realizamos uma análise destes planetesimais durante todo o tempo em que
permaneceram capturados e comparamos com os atuais satélites irregulares. Finalmente, fize-
mos um estudo semianalı́tico, considerando uma análise qualitativa através de curvas de nı́vel e
superfı́cies de seção de Poincaré. Mostramos brevemente uma generalização da ressonância de
Lidov-Kozai, onde aparecem dois novos centros.

Palavras Chaves: Satélites irregulares. Satélites regulares. Capturas. Estabilidade. Migração
planetária.


Abstract

In this work we analyse the evolution of some Jupiter’s satellites submitted to planetary mi-
gration scenario proposed by Tsiganis et al. (2005). Studies on the survival of satellites beyond
the orbit of Callisto are made. Such studies are done following a new and recent approach pre-
sented in Deienno (2010). We also show a clear possibility of capture of planetesimals that pass
close the planet. Such objects can become Jupiters irregular satellites. We performed analysis
of these captured planetesimals during entire period they were bound to Jupiter and compared
with the existing irregular satellites. Finally, semi-analytical studies were done. Qualitative
analysis through the level curves and Poincarés surfaces of section of some orbits were con-
sidered. We briefly show a generalization of Lidov-Kozai resonance where two new centers of
libration appear.

Key Words: Irregular satellites. Regular satellites. Captures. Stability. Planetary migration.


SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 9

2 OBJETIVOS 13

3 METODOLOGIA 14
3.1 Modelos de migração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Planetesimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Técnica de interpolação polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 RESULTADOS (I): SATÉLITES REGULARES - DINÂMICA 20
4.1 Satélites galileanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Satélites fictı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5 RESULTADOS (II): SATÉLITES IRREGULARES 29
5.1 Capturas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 RESULTADOS (III): ESTUDO SEMIANALÍTICO 38
6.1 Função perturbadora devida ao achatamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.2 Função perturbadora solar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.3 Função perturbadora em variáveis canônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.4.1 Análise do espaço de fase - satélites fictı́cios . . . . . . . . . . . . . . 45
6.4.2 Superfı́cies de seção de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

7 CONCLUSÃO 57

REFERÊNCIAS 59

APÊNDICES 62

A MÉDIA DE RJ2 63

B MÉDIA DE R� (EQUADOR) 65


C MÉDIA DE R∗
� (PLANO ORBITAL) 70

D MÉDIA DE R∗
� SOBRE l� 73


9

Capı́tulo 1

INTRODUÇÃO

Entender como o nosso Sistema Solar se formou é uma tarefa a que muitos pesquisadores
se dedicam continuamente. Vários modelos já foram propostos na tentativa de responder a
esta questão. Atualmente aceitam-se as hipóteses de que, numa primeira fase, uma nuvem de
gás e poeira que cercava o Sol colapsou, em um perı́odo que pode variar de 106 a 107 anos
(POLLACK et al., 1996) formando os gigantes gasosos Júpiter e Saturno e, após a dissipação
desta nebulosa solar, formaram-se os gigantes de gelo Urano e Netuno (e.g. FERNÁNDEZ &
IP, 1984) bem como os planetas terrestres, em processos muito mais lentos (∼ 108 anos) para
acresção de material sólido.

Após a formação dos planetas do Sistema Solar, ainda muitos corpos rochosos menores
sobraram além da órbita do último planeta (THOMMES et al., 1999). As configurações dos
planetas quando se formaram possivelmente não são as atualmente observadas. Diversos au-
tores afirmam que, depois de formados, os planetas interagiram entre si e com o disco de pla-
netesimais além da órbita de Netuno, trocando energia e momento angular (FERNÁNDEZ &
IP, 1984, 1996; GOMES, 1997; HAHN & MALHOTRA, 1999). Essas interações geraram o
fenômeno que é conhecido como migração planetária. As trocas de energia e momento angu-
lar fizeram com que Júpiter migrasse em direção ao Sol, enquanto Saturno, Urano e Netuno
migraram no sentido oposto, afastando-se do Sol.

O modelo que melhor explica as posições finais dos planetas gigantes, bem como o bom-
bardeamento lunar tardio, a formação dos asteróides Troianos de Júpiter, dentre outros fenômenos,
é o modelo de Nice (TSIGANIS et al., 2005; GOMES et al., 2005; MORBIDELLI et al., 2005,
2009; MORBIDELLI, 2010). Na primeira versão deste modelo, Tsiganis et al. (2005) repro-
duzem numericamente a formação do Sistema Solar através da interação dos planetas gigantes
já formados e um disco de partı́culas (que decresce em densidade com o inverso da distância
heliocêntrica). No decorrer da migração Júpiter e Saturno cruzam a ressonância 2S:1J em movi-
mentos médios, o que causa grande instabilidade no sistema e faz com que os gigantes de gelo
sejam impulsionados para o disco de planetesimais com altas excentricidades. Esta abrupta
entrada de planetas em uma região rica em pequenos corpos ou planetesimais gera um espalha-
mento do disco. Boa parte dos corpos menores é fragmentada por interação gravitacional com


10

os planetas e muitos desses fragmentos são lançados tanto no sentido para o Sol, em direção a
Júpiter e Saturno, bem como para fora do Sistema Solar. Por outro lado, a interação com o disco
de planetesimais gera o fenômeno conhecido como fricção dinâmica, circulariza as órbitas de
Urano e Netuno, e também reduz suas inclinações (TSIGANIS et al., 2005). Nessa fase os pla-
netas dirigem-se para suas configurações similares às atuais e como o sistema de planetesimais
encontra-se muito espalhado em relação ao inı́cio, a migração é bem mais lenta até que ao final
acabam atingindo as posições observadas.

Vale ressaltar que no Modelo de Nice há várias passagens próximas de planetesimais junto a
todos planetas gigantes, bem como algumas colisões. Existem também diversos encontros entre
os gigantes de gelo, trocas de posições entre eles (o que faz com que em algumas simulações
o planeta que começou mais internamente acabe como mais externo e vice-versa) e encontros
entre os planetas de gelo com Saturno ou Júpiter.

Satélites planetários podem ser divididos basicamente em duas classes: os regulares e os
irregulares. O estudo destes corpos também é de grande importância para o entendimento da
dinâmica passada do Sistema Solar. Acredita-se que os satélites regulares - aqueles próximos
ao planeta, com órbitas quase circulares, prógradas e com inclinações orbitais muito pequenas
em relação ao equador do planeta hospedeiro - sejam primordiais (PEALE, 1999; CANUP &
WARD 2002, 2006; MOSQUEIRA & ESTRADA 2003a,b, 2009). Há diversas razões para
se crer nesta afirmativa, como por exemplo, análise dos espectros de emissão e absorção são
compatı́veis com os espectros dos planetas hospedeiros. Existe também o fato de praticamente
todos os satélites regulares orbitarem próximos ao plano do equador de seus planetas, mesmo
os satélites de Urano, que tem alta obliquidade (ε ∼= 98o). Além disso, os sistemas de satélites
regulares dos planetas gigantes exibem, em geral, densidades nucleares decrescentes, provavel-
mente gerada pelo aumento na razão gelo/rocha com o aumento do raio orbital (SASAKI et
al., 2010). Sendo assim, os regulares se formaram provavelmente antes da migração planetária
e portanto sobreviveram aos efeitos dinâmicos da migração desde que não sofram encontros
próximos ou colisões com corpos muito grandes - da ordem de massa ou maiores que Plutão -
(BEAUGÉ, 2002; NOGUEIRA, 2008).

Por outro lado, satélites irregulares, em geral, têm grandes valores de semi-eixo, inclinação
e/ou excentricidade, se comparados aos regulares. A análise desses corpos por medidas ópticas
de cores (GRAV et al., 2003; JEWITT & HAGHIGHIPOUR, 2007) revela que o material é dife-
rente do planeta que os hospedam, assemelhando-se mais aos objetos observados no cinturão de
Kuiper (KBO’s). A importância destes objetos é ressaltada por Sheppard (2005), o qual afirma
que estes corpos podem auxiliar no entendimento dos mecanismos de formação planetária e
que independentemente de tais mecanismos os planetas gasosos e de gelo possivelmente têm
sistemas de satélites irregulares semelhantes.

O estudo de capturas de satélites irregulares pode ser dividido em três categorias: (i) arrasto
gasoso, (ii) “pull down capture” e (iii) interação de três corpos. Na primeira categoria, Pollack et
al. (1979) e Ćuk & Burns (2004) propuseram capturas por dissipação da energia orbital através


11

do arrasto gasoso do disco circumplanetário. Esse modelo é capaz de explicar apenas órbitas
de satélites irregulares prógrados em detrimento aos retrógrados que são maioria, além de não
conseguir explicar capturas para os gigantes de gelo. A segunda categoria inicialmente proposta
por Heppenheimer & Porco (1977) considera a captura por “puxão para baixo” (pull down cap-
ture) em que o crescimento abrupto do planeta favorece a captura de corpos em ressonância de
movimentos médios na razão 1:1 com o planeta. No entanto, os autores não consideraram os
efeitos do disco de gás circumplanetário que deveria estar presente nesta fase de crescimento
planetário. Uma vez levado em conta, seus efeitos tornam-se mais importantes que o cresci-
mento do planeta. Esse modelo também não explica capturas de satélites para Urano e Netuno,
que têm crescimento lento em relação a Júpiter e Saturno. Na terceira categoria, temos como
representantes o modelo de Colombo & Franklin (1971) que é baseado em capturas por colisões
entre planetesimais. Porém as alterações orbitais necessárias para reproduzir os satélites dese-
jados requerem corpos que excedem o limite para colisões catastróficas. Para explicar a captura
de Tritão por Netuno Agnor & Hamilton (2006) também utilizaram a metodologia de interação
de três corpos, na qual um binário entra na esfera de Hill do planeta e é rompido, permanecendo
um de seus componentes em órbita planetocêntrica. Os principais pontos fracos deste modelo
são que para haver o rompimento do sistema, a velocidade orbital do binário original deve ser
comparável à velocidade do encontro e uma vez que velocidades de encontro são geralmente da
ordem de km/s, uma massa relativamente alta é requerida para que o sistema binário esteja no
intervalo correto.

Ainda no contexto das reações de três corpos uma nova metodologia foi proposta por
Nesvorný et al. (2007), baseado em encontros planetários ocorridos no modelo de Nice. É
suposto que durante um encontro entre dois planetas gigantes, quando eles passam a distâncias
inferiores à soma de seus raios de Hill, a população de planetesimais em órbita heliocêntrica que
estivesse temporariamente naquela região seria fortemente perturbada. A maioria destes corpos
escaparia da esfera de Hill, porém alguns poderiam ser estabilizados em órbitas planetárias
distantes.

Considerando o modelo de Nice, Nesvorný et al. (2007) reproduziram dezenas de migrações
onde ocorrem vários encontros planetários. Cada simulação se estendeu por 130 milhões de
anos. Diferentes modelos migratórios foram gerados simplesmente alterando as condições ini-
ciais do disco de planetesimais (TSIGANIS et al., 2005). Todos os modelos são afetados pela
ressonância 2S:1J. Para cada simulação bem sucedida (aquela que reproduz o Sistema Solar
atual), foram coletadas as informações sobre os elementos orbitais dos quatro planetas gigantes
e de todos os planetesimais sempre que a distância entre dois planetas for inferior à soma de
seus raios de Hill. Nesvorný et al. (2007) não conseguiram detectar diretamente nenhuma ca-
ptura de planetesimal como satélite irregular de algum planeta durante o perı́odo de migração
considerado.

Numa segunda etapa eles trabalham individualmente com cada encontro entre planetas.
Tomam o primeiro encontro e integram todos os corpos retroativamente no tempo até que os


12

dois planetas em questão estejam separados por uma distâncida de 5 UA. Em geral este tempo
varia entre 10 e 30 anos. Neste ponto um disco contendo 3 milhões de partı́culas sem massa é
gerado, respeitando a distribuição original em semi-eixo, excentricidade e inclinação dos pla-
netesimais que estavam presentes naquele encontro planetário. Todo esse conjunto é então
integrado para frente no tempo por um perı́odo que é o dobro do que foi utilizado na integração
para trás. Ao final desta simulação as partı́culas são testadas para determinar se estão capturados
por algum dos planetas. Apenas as partı́culas capturadas em órbitas estáveis serão levadas em
conta nos processamentos dos próximos encontros planetários, que são modelados da mesma
maneira como descrito acima. Ao final da integração de todos os encontros, são levados em
conta apenas os satélites que puderem sobreviver em uma integração adicional de 1 milhão de
anos.

A metodologia empregada por Nesvorný et al. (2007) produz sistemas de satélites irregu-
lares capturados em torno de Saturno, Urano e Netuno que são relativamente semelhantes aos
satélites atualmente conhecidos. Porém, como Júpiter sofre poucos ou nenhum encontro du-
rante as simulações da primeira versão do modelo de Nice (TSIGANIS et al., 2005), são muito
raros os casos onde os autores conseguem capturas para este planeta. Como mencionado, as
populações de satélites irregulares são muito semelhantes fisicamente indicando que indepen-
dentemente do planeta, a eficiência e o modo de captura deveriam ser semelhantes.

Recentemente, Deienno (2010) mostrou uma metodologia diferente das anteriores. Tal
metodologia é baseada em encontros de planetesimais com os planetas gigantes durante o
perı́odo de migração planetária. Seus resultados mostram a possibilidade de capturas de satélites
irregulares para Urano e Saturno. Então, neste trabalho propomos uma técnica semelhante
àquela apresentada em Deienno (2010). Porém, no caso atual, o planeta Júpiter tem cara-
cterı́sticas bem distintas: tem poucos (ou nenhum) encontros planetários e um sistema de
satélites regulares com massas extremamente elevadas, se comparadas com o sistema de Urano.
Mostramos que os corpos capturados pela nossa técnica, representam muito bem a configuração
atual de satélites irregulares de Júpiter.


13

Capı́tulo 2

OBJETIVOS

Neste trabalho pretendemos apresentar alguns detalhes sobre estudos que realizamos para
satélites de Júpiter sujeitos à migração planetária proposta por Tsiganis et al. (2005) - aqui
reproduzidos no Capı́tulo 3. Desejamos mostrar para o conjunto de satélites regulares que
Calisto é o mais distante capaz de suportar os efeitos de tal migração, sendo portanto inviável a
sobrevivência de satélites regulares além desta órbita. Para esta finalidade, integramos o sistema
de satélites regulares de Júpiter (satélites galileanos) - Io, Europa, Ganimedes e Calisto - com
e sem a presença de outros satélites regulares fictı́cios além da órbita de Calisto. As análises e
discussões estão no Capı́tulo 4.

Paralelamente a isso, um outro importante foco deste trabalho serão os satélites irregula-
res, ou seja, satélites que em geral apresentam elevados valores de inclinação, excentricidade e
semi-eixo maior. Ainda dentro do cenário de migração, buscamos mostrar a possibilidade de
planetesimais espalhados do disco primordial passarem próximos a Júpiter e ficarem captura-
dos como satélites irregulares. Analisamos quais são os principais elementos que atuam neste
processo e qual a preponderância de cada um deles. Esses estudos numéricos são apresentados
no Capı́tulo 5.

Na tentativa de melhor entender a dinâmica de satélites irregulares, realizaremos um es-
tudo semianalı́tico envolvendo as funções perturbadoras do terceiro corpo e do achatamento
(YOKOYAMA, 1998; YOKOYAMA, 2002). Uma generalização da ressonância de Lidov-
Kozai é apresentada no Capı́tulo 6.


14

Capı́tulo 3

METODOLOGIA

Vamos apresentar aqui os alicerces sobre os quais se apoia boa parte do nosso trabalho:
os modelos de migração planetária que reproduzimos e a técnica de interpolação polinomial
que utilizamos. Após estes desenvolvimentos fomos capazes de realizar os estudos e obtermos
nossos principais resultados acerca dos sistemas de satélites regulares e irregulares de Júpiter.

3.1 Modelos de migração

Uma vez que pretendemos realizar estudos sobre satélites sofrendo efeitos da migração
planetária proposta por Tsiganis et al. (2005), o primeiro e mais natural passo a ser dado é
a reprodução desta migração. Sendo assim, utilizamos o pacote de integradores numéricos
Mercury (CHAMBERS 1999) incluindo os quatro planetas gigantes nas faixas de posições pro-
postas por Tsiganis et al. (2005) e um disco de planetesimais que se estende desde 1U.A. além
da posição do último planeta (∼ 15, 5U.A.) até 34U.A.. Este disco se inicia com 500 partı́culas
com massas da ordem da massa de Marte (m = 2, 10 × 10−7M�; M� ≡ massa do Sol) que
serão divididas após sofrerem encontros com os planetas, atingindo no máximo 10000 partı́culas
com massas próximas a 1

3
da massa da Lua - m = 1, 05 × 10−8M� - (GOMES et al., 2005;

TSIGANIS et al., 2005); a massa total do disco é mantida constante em 35MT (MT ≡ massa
terrestre).

Reproduzimos assim quatro cenários que exibem as caracterı́sticas gerais do modelo: inı́cio
com um sistema compacto, passagem pela ressonância 2S:1J entre os movimentos médios de
Júpiter e Saturno, planetas gigantes de gelo adentrando no disco e espalhando os planetesimais.
São observados ainda: encontros próximos entre os planetas e um sistema final onde persistem
todos os 4 planetas gigantes e próximos às suas órbitas de hoje. A única alteração nas condições
iniciais entre um cenário e outro é feita na anomalia média de Urano. Os quatro cenários estão
apresentados na Figura 3.1.

No modelo original o sistema leva milhões de anos até que Júpiter e Saturno cruzem a
ressonância 2S:1J de movimentos médios e se observe a fase de grande instabilidade antes do


15

Figura 3.1: Evolução temporal do semi-eixo maior, periélio e afélio (em unidades astronômicas,
U.A.) dos quatro modelos de migração planetária desenvolvidos. Em (a) M1, (b) M2, (c) M3
e (d) M4. Todos os cenários iniciam num sistema mais compacto e terminam com os planetas
próximos de suas posições atuais.


16

efeito de fricção dinâmica atenuar os valores de excentricidade e inclinação dos planetas. Nos
nossos modelos, como pode-se observar, o sistema inicia-se próximo da ressonância, cruza-a
e encerramos a integração numérica alguns milhões de anos (tipicamente 25Myr; 1Myr =

1× 106 anos) após seu inı́cio. As justificativas para optarmos por este procedimento são: (i) no
momento do fim da integração os planetas já estão estabilizados e sem mais possibilidades de
haver encontros planetários ou qualquer fenômeno de grande intensidade; (ii) porque estamos
interessados no estudo da sobrevivência e possibilidade de captura de satélites de Júpiter. Ou
seja, o perı́odo de maior interesse é o cruzamento da ressonância e sua vizinhança, onde há
mais passagens próximas de planetesimais e possibilidade de encontros com algum dos planetas
gigantes de gelo com Júpiter, fatores que influenciam decisivamente em nossos resultados e (iii)
tempo de máquina, pois as integrações numéricas além de considerarem um sistema onde há
milhares de corpos, é realizada com um passo de integração oito vezes menor que o utilizado
em Tsiganis (2005) a fim de viabilizar o cálculo dos coeficientes dos polinômios interpoladores
(seção 3.2).

3.1.1 Planetesimais

Durante a integração dos modelos (Nice) reproduzidos, a cada intervalo de 3, 5 anos veri-
ficamos se existem planetesimais com distâncias menores que 0, 8U.A. de Júpiter. Caso haja,
salvamos num arquivo separadamente o nome e os elementos cartesianos deste(s) corpo(s).
No final da integração temos um banco de dados contendo milhares de corpos que estavam
com distâncias menores que 0, 8U.A.. Contudo, é provável que muitos destes corpos tenham
sido marcados num instante em que respeitassem a condição de distância porém estivessem se
afastando do planeta. Ou seja, se lançarmos diretamente todos os corpos presentes na tabela ori-
ginal, certamente boa parte não terá qualquer efeito. Sendo assim, tomamos todos os corpos da
tabela original e, através do integrador numérico de Gauss-Radau, integramos retroativamente
considerando o problema de dois corpos (Júpiter-planetesimal) até que suas distâncias ao corpo
central (Júpiter) atinjam 1U.A.. Evidentemente há casos onde o planetesimal não atinge 1U.A.

(por já estar possivelmente capturado temporariamente numa órbita elı́ptica onde o apoastro é
menor que 1U.A.). Neste caso, interrompe-se a integração após 50.000 dias e tal planetesimal
também é guardado (com as condições que tinha no momento em que a integração foi inter-
rompida). Temos agora um segundo banco de dados com os corpos a uma nova distância e
com a garantia de que se realizarmos uma nova integração numérica com passo positivo, todos
diminuirão suas distâncias em relação a Júpiter. Tomamos este novo banco de dados e, mais uma
vez através do P2C, integramos todos os planetesimais com passo positivo e marcamos apenas
aqueles que atinjam uma distância igual ou ligeiramente inferior a 300RJ (∼ 0, 15U.A.). Esse
processo de seleção reduz substancialmente (∼ 90%) o número de corpos em relação ao banco
de dados original do modelo de Nice. Entretanto, são estes os planetesimais que têm maiores
chances de cruzar as órbitas dos satélites regulares ou serem capturados gravitacionalmente por


17

Júpiter.
Como são poucos encontros marcados para estas distâncias mais próximas, nos valemos de

um artifı́cio que é a divisão de uma partı́cula que teve um encontro em várias outras, em geral
entre 1000 e 2000. Assim “aumentamos” o número de passagens de planetesimais próximos ao
planeta, algo que seria esperado caso o disco de planetesimais do modelo de Nice fosse com-
posto por um número muito maior de partı́culas (mantendo-se as 35MT ). É importante ressaltar
que, apesar de dividirmos um planetesimal original em várias partı́culas, sua massa original é
sempre preservada, ou seja, mantemos as coordenadas de velocidade e posição originais en-
quanto a massa é distribuı́da entre as partı́culas de acordo com uma dada lei de distribuição, de
maneira semelhante ao que é feito em Nogueira (2008) e Deienno (2010). Para nossas divisões
utilizaremos:

m1,i = mplutão − δm× i (3.1)

onde: i representa o número do encontro original e δm é um incremento de massa (∼ 10−5×mplutão).

m2,i = m1,i × 0, 5 (3.2)

mdif,i = 1, 05× 10−8 − (m1,i +m2,i) (3.3)

onde: 1, 05 × 10−8 é a masa de um planetesimal original e mdif,i é a quantidade de massa
restante.

mdist,i =
mdif,i∑n=N

máx

n=1 n−3/q
(3.4)

onde: Nmáx representa quantos planetesimais serão gerados no intervalo [998,1998], além dos
dois criados em (3.1) e (3.2) e q = 1, 5.
E finalmente:

mn+2,i = mdist,i

n=N
máx∑

n=1

n−3/q (3.5)

Seguindo este procedimento podemos criar diferentes distribuições de massa, desde que
variemos δm, Nmáx e q.

Geramos, portanto, um novo banco de dados para as posições e velocidades dos planetesi-
mais, onde todos têm distâncias menores ou iguais a 300RJ em relação a Júpiter e um segundo
banco de dados contendo os valores das massas já divididas de acordo com a distribuição dada
pelas equações (3.1) a (3.5). Como cada condição de encontro próximo com Júpiter poderá ser
repetida milhares de vezes, geramos um terceiro banco de dados no qual escolhemos aleato-
riamente um encontro do primeiro banco de dados e atribuimos, também aleatoriamente, uma
massa do segundo. Assim, utilizando o banco de dados resultante, evitamos incluir no repro-


18

cessamento 2000 condições iniciais idênticas sequencialmente.
Partindo da simulação original pode-se mostrar que a frequência de ocorrência dos encon-

tros planetesimal-planeta durante a migração não é uniforme (e.g. Figura 3.2). Observa-se que
no inı́cio há poucos encontros de planetesimais devido às partı́culas estarem além de Netuno.
Os encontros aumentam significativamente quando Júpiter e Saturno cruzam a ressonância em
movimentos médios pois há grande espalhamento do disco de planetesimais e tendem a diminuir
a nı́veis próximos aos do inı́cio quando os planetas estão próximos às suas posições atuais.
Desta forma, nos reprocessamentos, durante as integrações numéricas variamos a frequência
de injeção dos planetesimais de modo a representar fielmente a porcentagem de ocorrência de
encontros observada na integração original quando coletamos os encontros desejados.

3.2 Técnica de interpolação polinomial

Até o momento os satélites regulares de Júpiter não foram considerados. Há duas razões
principais para isso: (i) o passo de integração usualmente estipulado é de 1

20
do menor perı́odo

- utilizamos inicialmente ∼ 0, 5 ano, que representa um vigésimo do perı́odo orbital de Júpiter
- ou seja, se os regulares estivessem presentes na integração original o passo deveria ser algo
próximo a 0, 1 dia, pois o perı́odo orbital de Io é de 1, 77 dias; (ii) em Deienno (2010) verificou-
se uma grande sensibilidade numérica dos modelos migratórios, isto é, quando outros corpos são
introduzidos na integração, ou uma simples mudança no passo do integrador, ou ambos, como é
este caso de inclusão de satélites, surgem resultados diferentes daqueles que consideram apenas
os quatro planetas gigantes e o disco de planetesimais integrados com passo de 0, 5 ano. Ou
seja, não reproduzirı́amos os modelos M1-M4 da Figura 3.1. Muitas vezes os planetas terminam
fora de suas posições atuais ou, pior ainda, algum deles é ejetado do sistema.

Pelas razões apresentadas e para podermos realizar nossos estudos incluindo satélites regu-
lares de planetas, tivemos que adaptar nossa metodologia a fim de preservarmos os modelos
M1-M4. Sendo assim, optamos pela técnica de interpolação polinomial, que é descrita em
maiores detalhes a seguir:

Uma vez tendo em mãos modelos que reproduzem com sucesso os parâmetros finais dos
planetas gigantes, geraramos bancos de dados contendo os valores de tempo e coordenadas
de acordo com a saı́da desejada durante a própria simulação da migração. Em nossos modelos
gravamos as saı́das de dados de todos os planetas a cada 7 anos. Assim, calculamos coeficientes
de um polinômio quadrático para cada elemento orbital de cada planeta, usando três saı́das de
integração que gerou um modelo de migração. A ideia é representar a evolução temporal dos
planetas via um polinômio do segundo grau em t, aproveitando as integrações já realizadas que
geraram M1-M4. A cada três saı́das vamos calculando novos coeficientes interpoladores, onde
o último ponto é usado como sendo o primeiro para o cálculo dos coeficientes do intervalo
posterior. Portanto, todos os elementos podem ser evoluı́dos externamente, exceto a anomalia
média que será evoluı́da keplerianamente para evitar descontinuidades. Desta forma, podemos


19

sempre recuperar o modelo de migração considerando que os elementos dos planetas evoluem
através de funções externas (pequenos trechos interpolados), com coeficientes atualizados a
cada perı́odo de 14 anos.

Sendo assim, utilizando esta técnica, recuperando a evolução dos planetas como funções
externas, sem precisarem ser integrados, podemos incluir os sistemas de satélites regulares e es-
tudar seu comportamento durante todo o perı́odo desejado, garantindo que todo o cenário apre-
sentado para os planetas será sempre reproduzido. Deste modo, pudemos gerar um conjunto de
dezenas de simulações, utilizando os quatro modelos, variando o tempo total de integração
(5Myr ou 25Myr), o número de divisões para cada planetesimal (entre 1000 e 2000), bem
como a ordem com que estes são incluidos, considerando ou não sistemas de satélites regulares
fictı́cios. Portanto, a partir de agora, quando nos referirmos a alguma simulação especı́fica, ela
será denotada por M“x” run“y”, onde “x” representa o número do modelo e “y” o número da
simulação daquele modelo. A partir de agora todas as simulações que realizaremos são plan-
etocêntricas e levarão em conta o efeito da perturbação causada pelo coeficiente harmônico J2
de Júpiter.

Figura 3.2: Número de encontros de planetesimais com Júpiter, contados em intervalos de
250000 anos, para o modelo M2. Nota-se que no intervalo de cruzamento da ressonância 2S:1J
há um pico no número de encontros.


20

Capı́tulo 4

RESULTADOS (I): SATÉLITES REGULARES - DINÂMICA

Uma vez desenvolvida toda a metodologia descrita no Capı́tulo 3, estamos em condições de
realizar estudos para satélites de Júpiter submetidos a todos os efeitos da migração planetária.
Neste capı́tulo vamos nos concentrar no comportamento dos satélites regulares de Júpiter.
Buscaremos a resposta para duas questões centrais: (i) Os satélites galileanos (Io, Europa,
Ganimede e Calisto) sobrevivem à migração planetária?; (ii) O sistema de satélites regulares
de Júpiter poderia ter possuı́do mais membros localizados além da órbita de Calisto?

4.1 Satélites galileanos

Para responder à primeira pergunta formulada, tomamos os 4 satélites galileanos com
todos elementos orbitais referentes à data 19/08/2009, segundo a base de dados da NASA (via
prompt: telnethorizons.jpl.nasa.gov6775). Portanto, em todas nossas simulações
numéricas as condições iniciais para estes quatro corpos são as mesmas e estão dadas pela
Tabela 4.1.

Condições iniciais dos satélites galileanos
Nome a (RJ ) e I (o) ω(o) Ω(o) l (o)

Io 5,903 3,691×10−3 4,58×10−2 195,72 137,24 139,41
Europa 9,390 8,953×10−3 0,491 78,66 68,87 252,58

Ganimede 14,979 2,091×10−3 0,154 262,92 51,11 139,95
Calisto 26,341 7,627×10−3 0,225 198,05 163,87 355,54

Tabela 4.1: Condições iniciais dos satélites galileanos. As colunas apresentam nome, semi-eixo, ex-
centricidade, inclinação, argumento do pericentro, argumento do nodo ascendente e anomalia média,
respectivamente. O semi-eixo é dado em raios de Júpiter (1RJ = 71492km), todos os ângulos são dados
em graus. As inclinações são medidas com relação ao equador de Júpiter. Já ω, Ω e l são medidos em
relação ao ICRF/J2000.0. Os valores de massa (expressos em massas solares, M�) que utilizamos foram:
mIo = 4, 491×10−8, mEuropa = 2, 412×10−8, mGanymede = 7, 451×10−8, mCalisto = 5, 409×10−8.

O que muda nas simulações é o modelo no qual os satélites são integrados (M1, M2, M3
ou M4), as massas dos planetesimais e a ordem com que estes são inseridos na integração


21

numérica. Como foi dito anteriormente, os modelos de migração são sensı́veis às condições ini-
ciais, número de corpos presentes, passo de integração, dentre outros; isso justifica a utilização
da técnica de interpolação. Ainda assim, observamos que a ordem de entrada dos planetesimais
pode gerar resultados diferentes, portanto, para aumentarmos nossas estastı́sticas de um mesmo
modelo interpolado realizamos o estudo com diferentes ordens de entrada dos planetesimais.

Em 56 simulações numéricas que fizemos foi observado que 93% dos casos (52 simulações)
os satélites galileanos não sofrem grandes variações em seus elementos orbitais dentro do con-
texto da migração. Este resultado nos leva a conclusão de que os satélites regulares existentes
atualmente em Júpiter são capazes de suportar a migração planetária proposta por Tsiganis et
al. (2005), pois na maioria das simulações nenhum “Plutão” colidiu ou interagiu fortemente
com os satélites regulares. Ou seja, esta é mais uma evidência de que, caso este seja o modelo
que de fato descreva a evolução do Sistema Solar, os satélites de Júpiter são primordiais. A
seguir mostramos a evolução temporal dos principais elementos orbitais dos satélites galileanos
de uma destas 52 simulações nas Figuras 4.1 a 4.4.

Figura 4.1: Semi-eixo, excentricidade e inclinação de Io em M1 run17. Integração numérica de 25
milhões de anos. Passo do integrador: 0, 125 dias.


22

Figura 4.2: Semi-eixo, excentricidade e inclinação de Europa em M1 run17. Integração numérica de
25 milhões de anos. Passo do integrador: 0, 125 dias.

Figura 4.3: Semi-eixo, excentricidade e inclinação de Ganimede em M1 run17. Integração numérica
de 25 milhões de anos. Passo do integrador: 0, 125 dias.


23

Figura 4.4: Semi-eixo, excentricidade e inclinação de Calisto em M1 run17. Integração numérica de
25 milhões de anos. Passo do integrador: 0, 125 dias.

Para ilustrar um pouco mais a questão da sobrevivência dos regulares, apresentamos a média
dos elementos excentricidade, inclinação e semi-eixo para as sete primeiras simulações do mo-
delo M1 na Tabela 4.2 e sete outros casos dos quatro modelos integrados numericamente por
25Myr na Tabela 4.3.

Io Europa Ganimede Calisto Io Europa Ganimede Calisto
M1 run1 M1 run2

ā(RJ ) 5,90163 9,3876 14,97505 26,30757 ā(RJ ) 5,90705 9,39502 14,9786 26,34391
ē 0,00425 0,00901 0,00231 0,00656 ē 0,0054 0,01017 0,00372 0,00566

Ī(o) 0,04599 0,45962 0,20377 0,74832 Ī(o) 0,15371 0,5249 0,20465 0,87589
M1 run3 M1 run4

ā(RJ ) 5,90186 9,38962 14,98347 26,32485 ā(RJ ) 5,89838 9,3842 14,7783 26,32629
ē 0,00479 0,00973 0,00449 0,01557 ē 0,00585 0,00852 0,00255 0,00427

Ī(o) 0,04108 0,4697 0,19382 0,78417 Ī(o) 0,05642 0,47159 0,21097 0,84181
M1 run5 M1 run6

ā(RJ ) 5,89979 9,38771 14,98505 26,35204 ā(RJ ) 5,90387 9,39034 14,97766 26,33872
ē 0,00403 0,00808 0,00231 0,00516 ē 0,00544 0,00952 0,00315 0,005

Ī(o) 0,03685 0,45705 0,27372 0,80996 Ī(o) 0,16326 0,46804 0,18345 0,67949
M1 run7

ā(RJ ) 5,90309 9,3915 14,98618 26,31789
ē 0,0051 0,00873 0,00271 0,00587

Ī(o) 0,06014 0,49797 0,20026 0,73936

Tabela 4.2: Médias dos valores de semi-eixo, excentricidade e inclinação para os satélites regulares de
sete rodadas do modelo M1. Integrações de 5Myr. Pode-se notar que há pouca variação nos valores,
comparando-os com os fornecidos na Tabela 4.1.

Nas Tabelas 4.2 e 4.3 fica evidente que nos nossos quatro modelos os satélites regulares não
são muito afetados pela migração sofrida pelo planeta hospedeiro, suportam as aproximações
com demais planetas, bem como passagens próximas (em alguns casos até colisões) com pla-


24

Io Europa Ganimede Calisto Io Europa Ganimede Calisto
M4 run6 M3 run7

ā(RJ ) 5,90419 9,39106 14,98776 26,30453 ā(RJ ) 5,9003 9,38721 14,97772 26,28746
ē 0,0091 0,01227 0,0053 0,0077 ē 0,00599 0,00942 0,00385 0,00578

Ī(o) 0,49183 0,66979 0,75251 2,90665 Ī(o) 0,11141 0,55238 0,29539 1,21442
M1 run9 M3 run12

ā(RJ ) 5,90108 9,38987 14,98882 26,31643 ā(RJ ) 590273, 9,38853 14,97389 26,32066
ē 0,00547 0,01034 0,00691 0,02504 ē 0,00466 0,00931 0,00215 0,00766

Ī(o) 0,0434 0,49164 0,19638 0,78062 Ī(o) 0,04621 0,47082 0,35061 1,19712
M1 run15 M1 run16

ā(RJ ) 5,90162 9,98734 14,97681 26,33481 ā(RJ ) 5,88066 9,38959 14,97775 26,29169
ē 0,00683 0,01137 0,00398 0,00446 ē 0,00624 0,00753 0,00298 0,02058

Ī(o) 0,23539 0,52008 0,28431 1,129 Ī(o) 0,10124 0,46011 0,14357 0,57393
M2 run11

ā(RJ ) 5,90413 9,39065 14,98178 26,29189
ē 0,00991 0,01345 0,00586 0,09554

Ī(o) 0,08686 0,40448 0,43538 2,10183

Tabela 4.3: Médias dos valores de semi-eixo, excentricidade e inclinação para os satélites regulares de
sete rodadas abrangendo os quatro modelos, Integrações de 25Myr. Pode-se notar que há pouca variação
nos valores, comparando-os com os fornecidos na Tabela 4.1.

netesimais. É possı́vel notar pequenas alterações em excentricidade e inclinação, porém é es-
perado que haja uma atenuação destes valores devido a um fenômeno similar ao de fricção
dinâmica ocorrido com os planetas na fase final do modelo de Nice. Em alguns ensaios por nós
realizados, constatamos que as colisões de planetesimais com o sistema de satélites regulares
são capazes de liberar uma quantidade de massa em torno de 5% a 10% da massa de Calisto, ao
redor destes corpos. Este valor pôde ser calculado utilizando-se a mesma abordagem empregada
em Bottke et al. (2010).

Há, porém, alguns poucos casos (7% de nossas simulações) onde o sistema de satélites regu-
lares é afetado seriamente. Na minoria das simulações observamos que Europa acaba colidindo
com Io. Em geral isso decorre do fato das órbitas de Io e Europa tornarem-se mais excêntricas
devido a passagens próximas (e em alguns casos colisão com um destes regulares) de plane-
tesimais da ordem de massa de Plutão. Como Io e Europa estão separados por pouco mais
de 3RJ e interagem mutuamente, as instabilidades causadas pelos planetesimais tendem a ser
amplificadas. Em um determinado momento as excentricidades elevam-se o suficiente para que
o periastro da órbita de Europa seja igual ao apoastro da órbita de Io e há colisão. O pacote
Mercury computa colisões entre dois corpos como sendo um choque inelástico em que são re-
calculadas a posição do centro de massa e a velocidade orbital do corpo resultante. O nome do
maior corpo envolvido na colisão é conservado para o resultante. A Figura 4.5 ilustra um destes
poucos casos.


25

Figura 4.5: Evolução temporal do semi-eixo, periastro e apoastro de Io em (a), Europa em (b),
Ganimede em (c) e Calisto em (d), medidos em raios de Júpiter, no modelo M4 run3. Devido a
passagens e colisões de planetesimais de massas elevadas, as órbitas de Io e Europa tornam-se mais
excêntricas e há colisão aproximadamente 4, 5Myr quando o periastro da órbita de Europa alcança o
apoastro da órbita de Io. O resultado é um novo corpo com a massa somada dos dois anteriores, algo
superior em ∼ 30% à massa de Calisto.

4.2 Satélites fictı́cios

No intuito de responder a segunda questão levantada, sobre a possibilidade de existência de
outros satélites regulares dinamicamente estáveis além de Calisto, criamos um conjunto de sete
satélites fictı́cios, todos com semi-eixo superiores a 30RJ (aCalisto ∼ 26, 3RJ ) e realizamos
uma série de testes para verificar tal possibilidade. Este novo conjunto de satélites tem suas
principais caracterı́sticas orbitais descritas na Tabela 4.4.

Nesta nova série de testes agregamos aos satélites galileanos este conjunto com sete satélites
fictı́cios e reprocessamos os modelos interpolados inserindo no decorrer da integração aqueles
planetesimais que se aproximaram a distâncias menores que 300RJ , previamente coletados
conforme já descrevemos no Capı́tulo 3. Realizamos integrações numéricas de 5Myr e 25Myr.
Via de regra, o sistema de satélites proposto não é capaz de suportar todos os efeitos da migração
planetária combinados com as interações mútuas entre si e com os galileanos.

Sucessivas colisões ocorrem neste sistema de 7 satélites, obedecendo a regra estabelecida no
pacote integrador de que o corpo menos massivo é aglutinado pelo mais massivo, gerando um
corpo maior com elementos orbitais diferentes de ambos. Porém, se considerarmos que colisões
entre dois corpos com massas da mesma ordem de grandeza são supercatastróficas (BOTTKE


26

Condições iniciais dos satélites fictı́cios
Nome massa (M�) e I (o) ω(o) Ω(o) l (o)
s31 1× 10−10 0,005 1 90 140 297
s33 8× 10−10 3, 69× 10−3 4, 58× 10−2 193,96 139 139,41
s36 6× 10−10 8, 95× 10−3 0,49 77,97 69,57 252,58
s40 2× 10−10 2, 09× 10−3 0,15 260,72 53,32 139,95
s44 1× 10−11 0,005 0,5 41,17 10,68 320,52
s45 1× 10−11 0,01 1 45 45 45
s50 3× 10−11 0,001 0,2 0 0 30

Tabela 4.4: Condições iniciais da configuração de satélites fictı́cios. As colunas apresentam nome, os
valores de massa (em massas solares, M�) e elementos orbitais. O semi-eixo, em raios de Júpiter, é dado
pelo número que acompanha cada nome de satélite fictı́cio. As inclinações são medidas com relação ao
equador de Júpiter. Já ω, Ω e l são valores aleatórios entre [0,360o], dados em relação ao ICRF/J2000.0.

et al., 2005) então ambos seriam destruı́dos. Esta última abordagem será adotada.
A Figura 4.6 mostra uma integração de 25Myr onde nenhum dos satélites fictı́cios inicial-

mente nas condições dadas pela Tabela 4.4 sobrevive até o final. Logo de inı́cio s31 é desestabi-
lizado por sua proximidade com Calisto e colide com s36 em menos de 5000 anos. Também por
sua relativa proximidade com Calisto e por sofrer três colisões com planetesimais, s33 colide
com este galileano em menos de 2Myr. Este é o mesmo destino de s36 e s44. S40, s45 e s50
por sua vez colidem com s36 antes deste colidir com Calisto. Além de s33, s36 também foi
atingido por um planetesimal, próximo a 1, 5Myr de integração numérica.

Figura 4.6: Evolução temporal do semi-eixo (em preto), periastro (em vermelho) e apoastro (em verde)
dos satélites fictı́cios dados pela Tabela 4.4, integrados no modelo M2 run13.


27

Realizamos a análise de sobrevivência para os satélites fictı́cios em todos os modelos pro-
postos e os resultados estão dados na Tabela 4.5. A maioria dos satélites fictı́cios propostos não
sobreviveu aos 12 ensaios realizados. A análise desta tabela leva a conclusão de que devido a
interação mútua entre todos os satélites, aos efeitos da migração planetária e especialmente à
presença de Calisto esta região é muito instável.

Tabela 4.5: � representa satélites que sobreviveram à integração numérica, � representa satélites que
não sobrevivem (colidem ou escapam). Calisto exerce uma grande influência nas sobrevivências. Isso é
nitidamente percebido entre as partes de cima e de baixo desta tabela.

Sobrevivência dos fictı́cios na presença dos 4 galileanos
s31 s33 s36 s40 s44 s45 s50

M1 run14 � � � � � � �

M1 run15 � � � � � � �

M1 run16 � � � � � � �

M1 run17 � � � � � � �

M1 run18 � � � � � � �

M1 run19 � � � � � � �

M2 run13 � � � � � � �

M3 run11 � � � � � � �

M3 run12 � � � � � � �

M3 run13 � � � � � � �

M3 run14 � � � � � � �

M4 run8 � � � � � � �

Sobrevivência dos fictı́cios na ausência de Calisto
s31 s33 s36 s40 s44 s45 s50

M1 run21 � � � � � � �

M1 run22 � � � � � � �

M1 run23 � � � � � � �

As únicas exceções são os satélites s50 e s40 que perduram em 4 (ou 33%) e 1 (ou 8, 3%),
respectivamente, das 12 simulações realizadas. Porém, apesar de serem dinamicamente estáveis,
possivelmente estes satélites não poderiam ser produzidos pelo disco de gás e poeira que Júpiter


28

possuia (MOSQUEIRA & ESTRADA, 2003a). Assim, um satélite além de 40RJ poderia ape-
nas ser fruto de captura, possuindo altos valores de excentricidade e inclinação. Porém, em
Jewitt. D. & Haghighipour (2007) é mostrado que satélites irregulares na região entre 30RJ e
80RJ não sobrevivem em órbita de Júpiter. Ressaltamos que aqui nosso interesse foi investi-
gar a estabilidade dinâmica de órbitas regulares além de Calisto, sem considerá-las formadas a
priori por algum modelo de acresção de satélites.


29

Capı́tulo 5

RESULTADOS (II): SATÉLITES IRREGULARES

Júpiter, além de seu conjunto de satélites regulares, também possui satélites irregulares.
Atualmente são conhecidos 55 destes corpos que orbitam a grandes distâncias do planeta -
todos com semi-eixo acima de 100RJ , como ilustra a Figura 5.1. Estes corpos têm órbitas muito
excêntricas se comparadas às dos galileanos e muito inclinadas em relação ao plano equatorial
de Júpiter, sendo a maioria (48

55
ou 87%) retrógrada.

Até agora em nosso modelo não trabalhamos com satélites irregulares. Em nossas simulações
consideramos apenas Júpiter, os outros três planetas gigantes, o sistema de satélites galileanos
e planetesimais que de tempos em tempos são inseridos próximos à Júpiter. Neste capı́tulo es-
tudaremos a possibilidade de ocorrerem capturas gravitacionais dos planetesimais por Júpiter.
Se isso for viável, os satélites irregulares deste planeta hoje poderiam ser vistos como produto
de capturas ocorridas no passado.

5.1 Capturas

Visando responder à questão proposta, vamos estudar os comportamentos dos planetesimais
que são lançados durante as integrações numéricas dos modelos de migração planetária gerados.
O pacote Mercury permite que acompanhemos os pequenos corpos durante a integração, da
mesma maneira como é feito com os corpos grandes (planetas e satélites). Passaremos agora a
tratar dos resultados gerados por nossas simulações.

Vamos mostrar que todos os nossos 4 modelos de migração utilizados geram sistemas de
satélites irregulares para Júpiter, provenientes de capturas gravitacionais de planetesimais vin-
dos do disco de partı́culas do Modelo de Nice.

Inicialmente trabalhamos com os quatro modelos em integrações numéricas por perı́odos de
5Myr, onde obtivemos a maioria de nossos resultados. Isso se explica, pois conforme o número
de capturas cresce, a integração numérica fica proporcionalmente mais lenta. Apesar disso,
nossos resultados mostram que existe uma ótima concordância entre os satélites existentes hoje
em dia com os planetesimais capturados por nossos modelos.


30

Figura 5.1: Esquema das órbitas dos satélites irregulares de Júpiter. A órbita de Calisto está re-
presentada, próximo a Júpiter. Pode-se distinguir claramente entre duas regiões: a de satélites ir-
regulares prógrados e retrógrados. Fonte: http://www.dtm.ciw.edu/users/sheppard/
satellites/

As Figuras 5.2, 5.3, 5.4 e 5.5 mostram os resultados das capturas para os modelos M1, M2,
M3 e M4, respectivamente. Em todos os casos podemos observar que as capturas assemelham-
se muito ao conjunto de satélites irregulares reais de Júpiter: o limite de semi-eixo para os
retrógrados é maior que o dos prógrados (HAMILTON & KRIVOV, 1997; YOKOYAMA et
al., 2008), bem como a proporção entre estes corpos também é observada, ou seja, sempre
tivemos mais satélites retrógrados capturados do que prógrados. Pelo menos metade de todos
os planetesimais capturados como satélites irregulares apresentados estão capturados por mais
de 1Myr. Ressaltamos que as demais simulações também apresentam padrões de capturas
como os mostrados nas Figuras de 5.2 a 5.5.


31

Figura 5.2: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados (pontos pre-
tos) com os elementos orbitais dos satélites irregulares conhecidos para Júpiter. Integração de 5Myr

do modelo M1 run1. Temos 88 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 28 são prógrados e 60
retrógrados. As cores dos triângulos representam: Temisto (vermelho), Carpo (verde), famı́lia de Himalia
(azul), famı́lia de Ananke (amarelo), famı́lia de Pasiphae (azul turquesa), famı́lia de Carme (magenta),
descobertos em 2003 (violeta). Os satélites galileanos estão representados por cruzes vermelhas.

Figura 5.3: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados com os
elementos orbitais dos satélites irregulares conhecidos para Júpiter. Integração de 5Myr do modelo
M2 run3. Temos 94 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 10 são prógrados e 84 retrógrados.
Para detalhes sobre o código de cores, vide Figura 5.2.


32

Figura 5.4: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados com os
elementos orbitais dos satélites irregulares conhecidos para Júpiter. Integração de 5Myr do modelo
M3 run4. Temos 22 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 5 são prógrados e 17 retrógrados.
Para detalhes sobre o código de cores, vide Figura 5.2.

Figura 5.5: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados com os
elementos orbitais dos satélites irregulares conhecidos para Júpiter. Integração de 5Myr do modelo
M4 run3. Temos 45 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 16 são prógrados e 29 retrógrados.
Para detalhes sobre o código de cores, vide Figura 5.2.


33

Também realizamos testes, em menor quantidade, para integrações de 25Myr e novamente
todos os modelos apresentaram capturas de planetesimais. A Figura 5.6 mostra um de nos-
sos melhores casos, onde temos ao final 49 planetesimais capturados, sendo 5 prógrados e 44

retrógrados, assemelhando-se muito à proporção real observada.
Para todos os casos de capturas apresentados, os principais mecanismos que favoreceram

a captura dos planetesimais como satélites irregulares possivelmente foram: (i) integração
numérica com passo curto (0, 125 dias) que favorece significativamente o número de captu-
ras bem como contribui para a concordância do limite inferior das capturas em ∼ 100RJ , (ii)
levarmos em conta o sistema de satélites regulares, o que justifica (i), (iii) possibilidade de troca
de energia e momento angular (ΔV ) com Júpiter, fazendo com que o corpo perca energia e fique
capturado e (iv) o fator q = 1, 5 utilizado que de certo modo inibe a presença de um número
exagerado de planetesimais com grandes massas (Plutões).

Independentemente do tipo de satélite capturado, pudemos constatar que basicamente dois
comportamentos são observados: um onde o argumento do pericentro circula, em ∼ 70% dos
casos, e outro onde este ângulo libra em torno de 90o e/ou 270o, em ∼ 30% das capturas. Ilus-
tramos estes dois comportamentos e também a evolução do semi-eixo e da excentricidade para
dois de nossos satélites irregulares capturados em M2 run9 (Figura 5.6) nas Figuras 5.7 e 5.8.
Um melhor entendimento destes comportamentos será visto na Seção 6.4.2, onde estudamos a
ressonância de Lidov-Kozai.

Figura 5.6: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados com os ele-
mentos orbitais dos satélites irregulares (pontos pretos) conhecidos para Júpiter. Integração de 25Myr

do modelo M2 run9. Temos 49 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 5 são prógrados e 44
retrógrados. Para detalhes sobre o código de cores, vide Figura 5.2.


34

Figura 5.7: Evolução temporal do semi-eixo em (a), excentricidade em (b) e do argumento do pericentro
em (c). Integração de 25Myr do modelo M2 run9. Observa-se que argumento do pericentro circula.

Figura 5.8: Evolução temporal do semi-eixo em (a), excentricidade em (b) e do argumento do pericentro
em (c). Integração de 25Myr do modelo M2 run9. Observa-se que argumento do pericentro libra por
milhões de anos em torno de 90o e de 270o.


35

Na seção 3.1.1 mostramos como foi feita a seleção dos planetesimais a serem injetados. O
uso do P2C “conduzindo” os planetesimais até 300RJ , aparentemente poderia envolver vı́cios
nas capturas, por lançarmos as partı́culas nas condições que foram geradas num problema de
dois corpos. Vamos então mostrar que este não é o caso. Em recentes testes mudamos a maneira
como escolhemos os planetesimais para serem lançados, tomando diretamente da tabela original
do modelo de Nice as coordenadas dos corpos que satisfazem a condição dJup < 300RJ e re-
processando alguns casos. Desta vez, todo planetesimal que passasse à distâncias menores que a
estipulada seria salvo num arquivo à parte, formando um novo banco de dados a ser processado
posteriormente às divisões de massa. Então os planetesimais deste banco têm parâmetros or-
bitais que estariam isentos de qualquer outra contaminação tal como feito no Capı́tulo 3, quando
usamos o P2C para conduzir e selecionar planetesimais que se aproximam de distâncias iguais
ou inferiores a 300RJ .

As caracterı́sticas básicas das capturas anteriores são mantidas: maioria dos satélites irre-
gulares retrógrados, intervalos de semi-eixos para os quais são capturados, dentre outras. A
maior diferença é o número de capturas, que diminui consideravelmente. Isso se justifica,
pois, ao selecionarmos os planetesimais desta nova maneira, a quantidade de corpos é cerca
de 90% menor do que quando fazı́amos a seleção pelo outro método. Portanto, menos planete-
simais são gerados no processo de divisão de massa e é esperado que menos capturas ocorram.
Novas simulações considerando esta última metodologia foram realizadas com a diferença de
dividirmos este menor número de planetesimais em mais partes ( 1

13700
em M1, 1

10125
em M2,

1
9200

em M3 e 1
10920

em M4) de modo a obter um banco de dados com um total de partı́culas a
serem incluı́das nas integrações próximo ao que tı́nhamos na primeira metodologia, para a qual
apresentamos os resultados acima. Nossos resultados são apresentados a seguir nas Figuras
5.9 - 5.11 e mostram que utilizando esta “nova” metodologia, resultados muito semelhantes às
Figuras 5.2 a 5.6 são observados, validando, portanto, os resultados que obtivemos.


36

Figura 5.9: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados com os el-
ementos orbitais dos satélites irregulares (pontos pretos) conhecidos para Júpiter. Integração de 5Myr

do modelo M1, utilizando a nova metodologia para seleção de planetesimais, onde cada planetesimal foi
dividido em 13700 partes. Temos 42 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 1 é prógrado e 41
são retrógrados. Para detalhes sobre o código de cores, vide Figura 5.2.


37

Figura 5.10: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados com os
elementos orbitais dos satélites irregulares (pontos pretos) conhecidos para Júpiter. Integração de 5Myr

do modelo M3, utilizando a nova metodologia para seleção de planetesimais, onde cada planetesimal foi
dividido em 9200 partes. Temos 39 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 3 são prógrados e
36 são retrógrados. Para detalhes sobre o código de cores, vide Figura 5.2.

Figura 5.11: Comparação entre os elementos orbitais médios dos planetesimais capturados com os
elementos orbitais dos satélites irregulares (pontos pretos) conhecidos para Júpiter. Integração de 5Myr

do modelo M4, utilizando a nova metodologia para seleção de planetesimais, onde cada planetesimal foi
dividido em 10920 partes. Temos 20 planetesimais que ficaram capturados, dos quais 9 são prógrados e
11 são retrógrados. Para detalhes sobre o código de cores, vide Figura 5.2.


38

Capı́tulo 6

RESULTADOS (III): ESTUDO SEMIANALÍTICO

Como parte do estudo semianalı́tico que pretendemos realizar, vamos agora desenvolver as
funções perturbadoras na dinâmica em questão. São elas: a função perturbadora do achatamento
do planeta e a função perturbadora de terceiro corpo (do Sol, em nosso caso). Apresentaremos
os resultados nos planos orbital e equador planetário. Faremos a média em relação à anomalia
média do satélite, no intuito de eliminar os termos de curto perı́odo, ficando com os termos de
longo perı́odo e secular. Da mesma maneira, realizaremos a média sobre a anomalia média do
Sol (Seção 6.2) no intuito de eliminar mais este perı́odo e obter uma Hamiltoniana com um grau
de liberdade.

6.1 Função perturbadora devida ao achatamento

Seja um sistema de referência cartesiano coincidente com o equador do planeta e com
origem em seu centro de massa, como mostrado na Figura 6.1. O potencial do achatamento é
dado por (BROUWER & CLEMENCE, 1961)

U =
k2MP

r

[
1−

∞∑
k=2

JkR
k
P

rk
Pk(sin β)

]
, (6.1)

onde: k2 é a constante gravitacional, MP é a massa do planeta, r é o módulo do raio vetor
planeta-satélite, Jk é o harmônico zonal de ordem k, RP é o raio equatorial médio do planeta e
Pk é o polinômio de Legendre de ordem k.

Levaremos em conta na expansão da série acima até o termo k = 2, ficando com

U =
k2MP

r

[
1− J2

(
RP

r

)2

P2(sin β)

]
, (6.2)

Podemos escrever (6.2) como U = U1 + U2, onde U1 é o potencial do problema de dois
corpos eU2 é o potencial devido ao achatamento. Utilizando o polinômio associado de Legendre


39

Figura 6.1: Geometria dos planos e ângulos necessários ao desenvolvimento das próximas seções. Aqui
�r é o raio vetor planeta-satélite, f é a anomalia verdadeira do satélite, ω é o argumento do pericentro da
órbita, Ω é o argumento do nodo ascendente, β é a latitude do satélite e I é a inclinação da órbita em
relação ao plano do equador planetário.

de ordem 2, obtemos

U2 =
k2MP

r

[
− J2R

2
P

r2

(
− 1

2
+

3

2
sin β

)]
, (6.3)

Com auxı́lio da trigonometria esférica (Figura 6.1) podemos escrever

sin β = sin(f + ω) sin I , (6.4)

Aplicando (6.4) em (6.3) e utilizando relações trigonométricas básicas, segue que

U2 = −k
2MPJ2R

2
P

a3
a3

r3

[(
1

4
− 3

4
cos2 I

)
+

(
− 3

4
+

3

4
cos2 I

)
cos(2f + 2ω)

]
, (6.5)

onde a representa o semi-eixo do planeta.


40

Tomando a média de (6.5) em relação à anomalia média1 do satélite ficamos com 2

RJ2 = 〈U2〉l = 1

4

n2J2R
2
P

(1− e2)
3

2

(
3 cos2 I − 1

)
, (6.6)

onde: n é o movimento médio do planeta em torno do Sol (n2 = k2(M� +MP )/a
3) e e é a

excentricidade da órbita planetária.
A equação (6.6) é a média do potencial do achatamento (expandido até ordem 2), com

referência no plano do equador do planeta.
Para obtermos a expressão do potencial do achatamento referida ao plano orbital do planeta

devemos, novamente auxiliados pela trigonometria esférica, tomar a seguinte relação

cos I = cos i cos ε− sin i sin ε cosΩ, (6.7)

onde: i é a inclinação da órbita do satélite referente ao plano orbital, ε é a obliquidade (ângulo
entre o plano do equador do planeta e o plano descrito pela órbita do planeta em torno do Sol)
e Ω a longitude do nodo ascendente da órbita do satélite.

Desta forma, tomando (6.7) em (6.6) podemos escrever

R∗
J2 =

1

8

n2J2R
2
P

(1− e2)
3

2

[(
3 cos2 i− 1

)(
3 cos2 ε− 1

)
−3 sin 2i sin 2ε cosΩ + 3 sin2 i sin2 ε cos 2Ω

]
, (6.8)

A equação (6.8) é análoga a (6.6), porém agora o plano de referência é o plano orbital do
planeta.

6.2 Função perturbadora solar

Considere agora um planeta que orbita o Sol e um satélite em órbita do primeiro. Seja,
portanto, o potencial do Sol, em coordenadas cartesianas, com referencial planetocêntrico, dado
por (BROUWER & CLEMENCE, 1961)

R̃� = k2M�

(
1

|�r − �r�| −
�r · �r�
| �r�|3

)
, (6.9)

onde: M� é a massa do Sol, �r é o vetor posição planeta-satélite, �r� é o vetor posição planeta-
Sol3.

1Define-se por média de uma função, F , em relação à anomalia média, l, a operação 1

2π

∫
2π

0
Fdl.

2Os detalhes do procedimento desta média estão no Apêndice A.
3O sı́mbolo � acompanhará todos os elementos que forem pertencentes ao Sol.


41

A expressão (6.9) pode ser expandida em termos de uma série de polinômios de Legendre.
Truncando-se esta série na ordem 2 para a razão (r/r�), obtemos

R̃� =
k2M�a

2

r3�

(
r2

a2

)(
− 1

2
+

3

2
cos2 S

)
, (6.10)

onde: S é a distância angular entre a posição do satélite e o Sol.
O cosseno da distância angular pode ser escrito no plano do equador como

cosS = Aa+Bb+ Cc+Dd+ Ee, (6.11)

onde:

A =
1

4
(1 + cos I)(1− cos I�);

B =
1

4
(1− cos I)(1 + cos I�);

C =
1

4
(1 + cos I)(1 + cos I�);

D =
1

4
(1− cos I)(1− cos I�);

E =
1

2
sin I sin I�; (6.12)

a = cos(f + ω + f� + ω� + Ω− Ω�);

b = cos(f + ω + f� + ω� − Ω + Ω�);

c = cos(f + ω − f� − ω� + Ω− Ω�);

d = cos(f + ω − f� + ω� − Ω + Ω�);

e = cos(f + ω − f� − ω�)− cos(f + ω +� +ω�).

Nas equações acima, I, f, ω e Ω são a inclinação, a anomalia verdadeira, o argumento do
pericentro e a longitude do nodo ascendente (ou apenas nodo) do satélite. Analogamente, os
termos com � são os elementos do Sol, neste caso, referidos ao equador do planeta.

Novamente, estamos interessados nos termos de longo perı́odo e secular da função pertur-
badora de terceiro corpo (ou solar). Desta forma, tomando o quadrado de (6.11), substituindo
em (6.10) e fazendo a média em relação à anomalia média do satélite, l, podemos obter a função
perturbadora solar média4

4Detalhes no Apêndice B.


42

R� = 〈R̃�〉l = k2M�a
2

2r3�

[
3

2
P

(
A2 +B2 + C2 +D2 + 2E2 − 2

3

)
+

+
3

2
A2Z cos(2ω + 2f� + 2ω� + 2Ω− 2Ω�) +

+
3

2
B2Z cos(2ω + 2f� + 2ω� − 2Ω + 2Ω�) +

+
3

2
C2Z cos(2ω − 2f� − 2ω� + 2Ω− 2Ω�) +

+
3

2
D2Z cos(2ω − 2f� − 2ω� − 2Ω + 2Ω�) +

+
3

2
Z(E2 + 2CD) cos(2ω − 2f� − 2ω�) +

+
3

2
Z(E2 + 2AB) cos(2ω + 2f� + 2ω�) +

+3Z(−E2 + AD +BC) cos(2ω) +

+3Z(−E2 + AC +BD) cos(2f� + 2ω�) +

+3Z(AB + CD) cos(2Ω− 2Ω�) + (6.13)

+3ACZ cos(2ω + 2Ω− 2Ω�) +

+3ADP cos(2f� + 2ω� + 2Ω− 2Ω�) +

+3EP (A−D) cos(2f� + 2ω� + Ω− Ω�) +

+3EP (A− B + C +D) cos(Ω− Ω�) +

+3EZ(A− C) cos(2ω + Ω− Ω�)−
−3AEZ cos(2ω + 2f� + 2ω� + Ω− Ω�) +

+3BCP cos(2f� + 2ω� − 2Ω + 2Ω�) +

+3BDZ cos(2ω − 2Ω + 2Ω�) +

+3EP (B − C) cos(2f� + 2ω� − Ω + Ω�) +

+3EZ(B −D) cos(2ω − Ω + Ω�)−
−3BEZ cos(2ω + 2f� + 2ω� − Ω + Ω�) +

+3CEZ cos(2ω − 2f� − 2ω� + Ω− Ω�) +

+3DEZ cos(2ω − 2f� − 2ω� − Ω + Ω�)

]
,

onde: P = 1+ 3
2
e2 e Z = 5

2
e2; com e representando agora a excentricidade da órbita do satélite.

No caso em que o plano de referência é o plano orbital do planeta, o desenvolvimento é
totalmente análogo ao feito com referência no equador, acima. Porém, agora o valor do cosS é
dado por

cosS = cos(f + ω) + cos(f� + ω�)+

sin(f + ω) + sin(f� + ω�) cos i, (6.14)


43

em 6.14, i representa a inclinação da órbita do satélite em relação ao plano orbital do perturbador
(Sol).

Utilizando (6.14) em (6.10) e calculando a média sobre a anomalia média do satélite5 che-
gamos a

R∗
� = ψ

{
1

4

[
P +

3

2
Z cos(2ω + 2f� + 2ω�) +

3

2
cos(2ω − 2f� − 2ω�)

]
+

+
3

8
Z cos i

[
cos(2ω − 2f� − 2ω�)− cos(2ω + 2f� + 2ω�)

]
+

+
3

8
sin2 i

[
1

2
Z cos(2ω + 2f� + 2ω�) +

1

2
Z cos(2ω − 2f� − 2ω�) +

+P cos(2f� + 2ω�) + cos(2f� + 2ω�) + Z cos(2ω)− P

]}
, (6.15)

onde ψ = k2M�a2

r3
�

.
A equação acima é, portanto, a função perturbadora solar média (em relação à anomalia

média do satélite), com o plano de referência coincidindo com o plano orbital do planeta. Nela
ainda aparecem termos com perı́odo relativamente curtos, representados pela anomalia ver-
dadeira do Sol, f�. É possı́vel efetuar uma segunda média sobre (6.15), desta vez em relação à
anomalia média do Sol (do problema de dois corpos é conhecido que f� = �(l�)), que resulta6

R†
� =

M�

M +M�

n2
�a

2

(1− e2�)
3

2

[
1

8

(
1 +

3

2
e2
)
(3 cos2 i− 1) +

15

16
e2 cos(2ω) sin2 i

]
, (6.16)

Finalmente, temos a função perturbadora solar, referida ao plano orbital do planeta, dupla-
mente mediada em relação às anomalias médias do satélite e do Sol, dada pela equação acima.
Logo, a partir de (6.6), (6.8), (6.14), (6.15) e (6.16), podemos realizar uma abordagem Hamil-
toniana sobre a influência destas perturbações na dinâmica de satélites. Uma breve visão da
análise Hamiltoniana será dada na Seção 6.3.

6.3 Função perturbadora em variáveis canônicas

Vamos considerar agora um caso onde o equador do planeta coincida com o plano orbital do
planeta em torno do Sol, ou seja, ε = 0 (como é o caso aproximado de Júpiter). A perturbação
sobre um satélite é dada por R = R∗

J2 + R†
�. Sejam agora as variáveis canônicas de Delaunay

(coordenada em minúsculo e momento conjugado em maiúsculo)
5O desenvolvimento está dado no Apêndice C.
6Detalhes no Apêndice D.


44

L =
√
μa,

G =
√
μa(1− e2),

H =
√
μa(1− e2) cos i, (6.17)

l,

g = ω,

h = Ω.

onde: μ = k2MP , l é a anomalia média, g é o argumento do pericentro e h o nodo.
Podemos, com auxı́lio deste conjunto de variávies canônicas, escrever R como

R =
1

4

μ4

L6
R2

P

(
G2

L2

)− 3

2

J2

(
3
H2

G2
− 1

)
+

+
M�

M +M�

n2
�L

4

μ2(1− e2�)
3

2

[
1

4

(
3
H2

G2
+ 9

H2

L2
− 1

)
+

+
15

16

(
G2

L2
− H2

L2

)
cos(2g)

]
(6.18)

Percebe-se facilmente que na relação acima não aparecem as coordenadas l e h. Portanto, seus
momentos conjugados são constantes. Assim, a equação (6.18) tem na realidade um grau de
liberdade, R = R(G, g). Desta maneira poderemos realizar uma análise do espaço de fase da
função perturbadora através de suas curvas de nı́vel.

É interessante notar que, uma vez que L e H são constantes, H2/L2 = (1− e2) cos2 i deve
se manter também constante. Esta consideração resulta na conhecida ressonância de Lidov-
Kozai, em que se acoplam as variações de e e i. Classicamente a ressonância de Lidov-Kozai é
estudada considerando-se apenas a perturbação solar. Neste caso o problema só tem um centro
de libração [90o ou 270o]. No caso atual, para ε = 0 podemos tomar também a contribuição
do achatamento e o problema continua com um único grau de liberdade. No entanto, conforme
veremos (Seção 6.4), a contribuição deR∗

J2 vai acarretar novos centros de libração. Desta forma
temos uma espécie de generalização da ressonância de Lidov-Kozai.


45

6.4 Resultados

Vamos agora apresentar um breve estudo semianalı́tico para satélites de Júpiter tomando a
função perturbadora obtida. Vamos também mostrar uma possı́vel generalização da ressonância
de Lidov-Kozai, onde novas estruturas de equilı́brio podem surgir. O semi-eixo crı́tico de Júpiter
pode ser calculado sem maiores dificuldades (fazendo RJ2 = R�) e encontramos o valor de
ac ∼ 33, 4RJ . A partir de agora iremos considerar interno todo satélite que tiver semi-eixo
menor que o semi-eixo crı́tico e externo aqueles que a > ac.

6.4.1 Análise do espaço de fase - satélites fictı́cios

Utilizando a equação (6.18) vamos construir espaços de fase para diversos satélites fictı́cios
de Júpiter (sem massa e com elementos orbitais hipotéticos), desde internos (a < ac) até exter-
nos (a > ac).

Vamos analisar diversos tipos de órbitas no plano (e, ω) na tentativa de obter todas as
possı́veis trajetórias geradas pela função perturbadora (Sol+achatamento). A ideia é varrer
várias condições de semi-eixo e inclinação nesta identificação que pretendemos fazer. Em nos-
sos testes notamos que a excentricidade inicial da órbita não tem tanta relevância quanto os
outros dois elementos citados (a, i).

Seja então um satélite interior de Júpiter, perturbado pelo achatamento deste planeta e pelo
Sol. Para as curvas da figura seguinte fixamos a constanteH de (6.18) utilizando a = 12RJ ; e =

0, 01 e i variando desde 60◦ até 125◦ (Figuras 6.2-(a) a 6.2-(h)). Para o Sol tomamos a� =

5.2023 U.A.; e� = 0, 0484; e para o coeficiente o achatamento de Júpiter consideramos J2 =

0, 01475. Em todas as outras simulações os elementos do Sol e do achatamento utilizados foram
os mesmos. Realizamos a aproximação ε = 0, ou seja, identificamos o equador de Júpiter
com seu plano orbital. Com tal consideração reduzimos o problema a um grau de liberdade.
Aparentemente isto seria plenamente justificável pois ε ∼ 3, 12o, no entanto, dependendo do
semi-eixo e da inclinação poderão haver algumas visı́veis mudanças (e.g. Figura 6.9). Os
espaços de fase para nosso primeiro caso testado estão apresentados na Figura 6.2.


46

Figura 6.2: Curvas de nı́vel para um satélite de Júpiter localizado a 12RJ , perturbado pelo achatamento
do planeta e pelo Sol. Para fixar a constante H utilizamos além do semi-eixo citado e = 0, 01 e em (a)
i = 60◦, em (b) i = 70◦, em (c) i = 80◦, em (d) i = 90◦, em (e) i = 105◦, em (f) i = 115◦, em (g)
i = 120◦ e em (h) i = 125◦.


47

Na Figura 6.2-a as trajetórias apresentam apenas regime de circulação do argumento do
pericentro, ou seja ω ∈ [0, 2π], e não mostra grandes variações em excentricidade. Ao aumen-
tarmos a inclinação para 70◦ (Figura 6.2-b) constata-se o surgimento de pequenas ilhas com
regime de libração do pericentro (90◦ e 270◦) para valores de excentricidade relativamente al-
tos (e ∼ 0, 65). Quando a inclinação inicial é 80◦ (Figura 6.2-c) os pontos fixos dos centros
de libração aumentam ainda mais e logo desaparecem, quando a inclinação é de 90◦ (Figura
6.2-d). Para as configurações retrógradas (da Figura 6.2-e a 6.2-h) o comportamento é similar.
Conseguimos um caso onde os pontos fixos dos centros de libração ocorrem para valores rela-
tivamente baixos de excentricidade, e ∼ 0, 3 (Figura 6.2-f ), porém as amplitudes das curvas
de libração não são pequenas. Isso quer dizer que órbitas com altas inclinações podem sofrer
variações grandes em excentricidade, portanto, caracterizando a ressonância de Lidov-Kozai.
Isto mostra que eventuais partı́culas, mesmo próximas do planeta (a ∼ 12RJ ) não poderiam
sobreviver se suas inclinações forem altas.

Escolhemos satélites com semi-eixo de 12RJ para fazermos os primeiros testes pois é um
valor pertencente a região dos semi-eixos dos satélites galileanos (Europa tem a ∼ 9, 39RJ

e Ganimede tem a ∼ 14, 98RJ ), mas as inclinações foram tomadas com intuito de investigar
a presença da ressonância de Lidov-Kozai que geralmente ocorre no intervalo [39◦, 141◦]. Ou
seja, os satélites galileanos não se enquadram nesta classe de ressonância, pois têm valores
muito baixos de inclinação (todos com menos de 1◦).

Um caso interessante surge quando aproximamos a órbita do satélite fictı́cio do semi-eixo
crı́tico de Júpiter. Devido a esta proximidade as perturbações tanto do Sol quanto do achata-
mento são de mesma ordem e uma espécie de generalização da ressonância de Lidov-Kozai é
observada, pois os centros clássicos (ω = 90◦ e ω = 270◦) são substituı́dos por centros em
ω = 0◦ e ω = 180◦. As Figuras 6.3, 6.4 e 6.5 ilustram tais situações.

Na Figura 6.3 temos um satélite com semi-eixo 28RJ . Nota-se que, conforme aumentamos
o valor da inclinação inicial, surgem os centros de libração clássicos (Figuras 2-a até 2-f ). Estes
têm seu valor de excentricidade de equilı́brio aumentando conforme eleva-se a inclinação (um
dos valores que define a constante de energia). Na Figura 6.3-f, onde a inclinação inicial é 75◦

estes centros estão em pontos superiores a e = 0, 8 e então, quando tomamos i = 80◦ surgem
os centros em 0◦ e 180◦. Uma análise cuidadosa permite verificar que os centros clássicos ainda
existem, mas para grandes valores de excentricidade. Para o semi-exo de 28RJ investigamos
apenas órbitas diretas.


48

Figura 6.3: Curvas de nı́vel para um satélite de Júpiter localizado a 28RJ ,perturbado pelo achatamento
do planeta e pelo Sol. Para fixar a constante H utilizamos além do semi-eixo citado e = 0, 02 e em (a)
i = 39◦, em (b) i = 50◦, em (c) i = 55◦, em (d) i = 65◦, em (e) i = 70◦, em (f) i = 75◦, em (g) i = 80◦

e em (h) i = 85◦.


49

No caso das Figuras 6.4 e 6.5 abordamos situações onde o satélite tem semi-eixo a = 37RJ ,
maior que o ac, e consideramos órbitas diretas e retrógradas. Assim como ocorria para satélites
com a = 28RJ também observamos o aparecimento dos centros incomuns em 0◦ e 180◦. Porém,
como podemos constatar por comparação com o caso anterior estes centros ocorrem para excen-
tricidades maiores. Entretanto, é interessante notar que os novos centros existem apenas para
inclinações entre i ∼ 80◦ e i ∼ 100◦, e como a vizinhança desta ressonância produz grandes
variações em excentricidade, é esperado que não sobrevivam satélites nesta região conforme já
vimos nas Figuras 5.2 a 5.6. Na realidade, estes novos centros de libração agravam ainda mais
a instabilidade que já existia anteriormente na clássica ressonância de Lidov-Kozai. Em testes
que fizemos encontramos resultados similares aos apresentados nas Figuras 6.3, 6.4 e 6.5 para
semi-eixos no intervalo [26RJ − 39RJ ].


50

Figura 6.4: Curvas de nı́vel para um satélite de Júpiter localizado a 37RJ , perturbado pelo achatamento
do planeta e pelo Sol. Para fixar a constante H utilizamos além do semi-eixo citado e = 0, 01 e em (a)
i = 39◦, em (b) i = 60◦, em (c) i = 70◦, em (d) i = 78◦, em (e) i = 79◦, em (f) i = 79, 3◦, em (g)
i = 80◦ e em (h) i = 85◦.


51

Figura 6.5: Semelhante à figura anterior, porém em (a) i = 99, 87◦, em (b) i = 102◦, em (c) i = 110◦,
em (d) i = 120◦, em (e) i = 130◦, em (f) i = 132◦, em (g) i = 133◦ e em (h) i = 135◦.


52

Figura 6.6: Curvas de nı́vel para um satélite de Júpiter localizado a 104RJ do planeta perturbado por
seu achatamento e pelo Sol. Para fixar a constante H utilizamos além do semi-eixo citado e = 0, 05 e
em (a) i = 49◦, em (b) i = 65◦, em (c) i = 75◦, em (d) i = 80◦, em (e) i = 85◦ e em (f) i = 88, 5◦.

Em outra simulação investigamos satélites ainda mais afastados, próximos ao inı́cio da
região de satélites irregulares de Júpiter. O maior perturbador neste caso é o Sol e, ao contrário
das órbitas próximas do semi-eixo crı́tico, não encontramos mais os centros de libração em
ω = 0◦ e ω = 180◦, o que é esperável pois o achatamento se torna desprezı́vel e recaı́mos
no caso clássico da ressonância de Lidov-Kozai. O semi-eixo que utilizamos para gerar as tra-
jetórias mostradas nas Figuras 6.6 e 6.7 foi de 104RJ , valor próximo ao de Themisto (primeiro
satélite irregular de Júpiter, localizado em 105RJ ).

Como se nota, uma grande variedade de satélites pode apresentar a estrutura de libração
caracterı́stica da ressonância de Lidov-Kozai com os centros clássicos; possivelmente alguns
satélites irregulares reais de Júpiter (e.g. Themisto, que tem i ∼ 45o e e ∼ 0, 25) apresentam


53

Figura 6.7: Semelhante à figura anterior, porém em (a) i = 92◦, em (b) i = 95◦, em (c) i = 105◦, em
(d) i = 120◦, em (e) i = 131◦ e em (f) i = 140◦.

este comportamento, que está intimamente ligado às inclinações das órbitas. Na maioria das
figuras quando a inclinação situa-se aproximadamente entre 40◦ e 135◦ as trajetórias sofrem
grandes variações de excentricidade e, em alguns casos, podem estar confinadas em regiões de
libração do pericentro. Assim, mostramos todas trajetórias possı́veis no espaço de fase (e, ω)
para satélites de Júpiter, no caso do problema (médio) de 3 corpos.


54

6.4.2 Superfı́cies de seção de Poincaré

Até agora nos valemos da aproximação ε = 0. Nesta seção vamos trabalhar com espaços de
fase oriundos de superfı́cies de seção de Poincaré, onde consideramos, portanto, dois graus de
liberdade tomando ε = 3.120. Assim, nossa hamiltoniana passa a ser do tipo:

R = R(G, g,H, h) =
1

8

μ4

L6
R2

P

(
G

L

)−3

J2

(
3
H2

G2
− 1

)(
3 cos2 ε− 1

)
−

−6
H

G

(
1− H2

G2

) 1

2

sin 2ε cosh+ 3

(
1− H2

G2

)
sin2 ε cos 2h+

+
M�

M +M�

n2
�L

4

μ2(1− e2�)
3

2

[
1

4

(
3
H2

G2
+ 9

H2

L2
− 1

)
+

+
15

16

(
G2

L2
− H2

L2

)
cos(2g)

]
(6.19)

Esse estudo é importante pois aproxima o modelo teórico dos casos reais. Realizamos qua-
tro superfı́cies de seção das quais três têm (a, e, i) iguais aos que foram tomados para definir a
constante H das Figuras 6.2a, 6.3d e 6.3g, e a última considera (a, e, i) de um satélite capturado
apresentado na Figura 5.6. Feito isso, integramos numericamente as equações da perturbação
solar somada à perturbação do achatamento, ambas mediadas em relação à anomalia média
e escritas em variáveis de Delaunay no plano do equador planetário. Varia-se então excen-
tricidade, argumento do pericentro e nodo, mantendo a energia constante, para gerar diversas
órbitas. Tomamos o plano Ω = 180o como superfı́cie para as seções.

A Figuras 6.8 mostra que o comportamento de circulação do argumento do pericentro pode
ser observados assim como no caso com um grau de liberdade (Figura 6.2a).

Figura 6.8: Superfı́cie de seção de Poicaré para um satélite com energia E = −186, 1213M�R
2
JAno−2,

definida tomando a = 12RJ , e = 0, 01, i = 60o, ω = 0o e Ω = 180o. Cortes feitos em Ω = 180o.
Comportamento de circulação do argumento do pericentro pode ser notado, analogamente ao observado
na Figura 6.2a.


55

A não-integrabilidade do sistema introduzida ao considerarmos ε = 3, 12o pode ser notada
a seguir (Figuras 6.9) quando geramos superfı́cies de seção para satélites com energia definida
com os mesmos parâmetros utilizados para determinar a constante H na Figura 6.3g. De certo
modo isso mostra que a obliquidade influi de forma importante na localizaçãodos pontos de
equilı́brio, embora qualitativamente as figuras abaixo traduzam a mesma ideia, isto é, os espaços
de fase são constituidos por curvas que sofrem grandes variações de excentricidade, em especial
se elas iniciam muito próximo de zero. A Figura 6.9 apresenta também claros indı́cios de
movimento caótico, o qual ocorre nos locais previstos, isto é, nas vizinhanças de onde ocorreria
a separatriz entre as ilhas em ω = 0o e ω = 90o.

0 90 180 270 360

Arg. do Pericentro (graus)
0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

Ex
ce

nt
ric

id
ad

e

Figura 6.9: Superfı́cie de seção de Poicaré para um satélite com energia E = −76.0023M�RJ
2Ano−2,

definida tomando a = 28RJ , e = 0, 02, i = 80o, ω = 0o e Ω = 180o. Comportamento de libração do
argumento do pericentro nos novos centros ω = 0o e Ω = 180o, tal como mostrado na Figura 6.3g. Nota-
se ainda outras ilhas menores não previstas em 6.3g e também a clara evidência de movimento caótico
pelo fato de ε não ser nulo. O valor do semi-eixo ser próximo do ac também favorece o surgimento de
caos.


56

Finalmente apresentamos a Figura 6.10, obtida tal como as Figuras 6.2 ou 6.3, usando a
Hamiltoniana (6.18). Aqui a constante H foi definida tomando a = 119RJ , e = 0.5 e i = 48o .
Em seguida temos a Figura 6.11, obtida com o método das superfı́cies de seção, cuja constante
de energia foi fixada tomando os memos parâmetros da Figura 6.10 e ω = 0o e Ω = 180o. Pode-
se notar que nesta região mais distante do semi-eixo crı́tico voltamos a ter uma boa concordância
entre os problemas com um e dois graus de liberdade.

Figura 6.10: Curvas de nı́vel para um satélite de Júpiter localizado a 119RJ do planeta perturbado por
seu achatamento e pelo Sol. Para fixar a constante H utilizamos além do semi-eixo citado e = 0, 5
e em (a) i = 48◦. Observa-se apenas a libração do argumento do pericentro nos centros clássicos da
ressonância de Lidov-Kozai.

Figura 6.11: Superfı́cie de seção de Poicaré para um satélite com energia E =
811, 6930M�RJ

2Ano−2, definida tomando a = 119RJ , e = 0, 5, i = 48o, ω = 0o e Ω = 180o.
Comportamento de libração do argumento do pericentro indicando presença da ressonância de Lidov-
Kozai pode ser notado, analogamente ao observado na Figura 5.8. Cortes feitos em Ω = 180o.


57

Capı́tulo 7

CONCLUSÃO

As principais conclusões que podemos tirar do desenvolvimento realizado podem ser sucinta-
mente resumidas como segue:

• Com a técnica da interpolação, desenvolvemos um procedimento eficiente onde podemos
simular o efeito dos planetesimais do modelo de Nice sobre os satélites regulares reais
e/ou fictı́cios.

• Nos estudos realizados com o sistema de satélites regulares de Júpiter, constatamos que
estes são capazes de suportar todos os efeitos da migração planetária, ou seja, um indı́cio
de que de fato são primordiais. Também concluimos que devido sua a grande massa e
intensa relevância até regiões próximas ao semi-eixo crı́tico, Calisto impediria que qual-
quer satélite regular que se formasse além de sua órbita sobrevivesse. Assim Calisto é o
último satélite regular de Júpiter.

• Os resultados permitem dizer que a origem dos satélites irregulares de Júpiter pode ser ex-
plicada como resultado de capturas de planetesimais que passam suficientemente próximos
do planeta.

* Mostramos ainda que a distribuição destas capturas nos planos (a x e) e (a x I)
concorda muito bem com o cenário atual de satélites.

• O breve estudo semianalı́tico realizado para as possı́veis órbitas de satélites de Júpiter
permite explicar claramente a existência de satélites irregulares aprisionados em centros
de libração temporária em ω = 90o e ω = 270o.

* Como no caso de Júpiter a obliquidade é muito pequena (ε = 3, 12o) então aproxi-
mando-a para zero, mesmo considerando a perturbação do achatamento, consegue-se um
problema de um único grau de liberdade. Assim, surgem novos centros de libração em
ω = 0o e ω = 180o. Curiosamente não se observou nenhum caso de satélite irregular apri-
sionado neste tipo de libração. Provavelmente a razão está no fato que, em geral, estes
centros ocorrem para valores muito altos de excentricidade, o que tornaria os satélites
altamente instáveis.


58

• Uma importante questão neste trabalho é a captura de planetesimais, o que poderia ex-
plicar a origem dos satélites irregulares de Júpiter. Conforme mencionado na introdução,
segundo a técnica de Nesvorný et al. (2007) as capturas para Saturno, Urano e Netuno
seriam possı́veis desde que durante a migração o planeta em questão sofra vários encon-
tros próximos com os demais planetas. No caso de Júpiter, este quase não tem encontros
planetários, o que significa que a origem dos seus satélites não poderia ser explicada con-
forme esta técnica aplicada ao modelo de Nice em sua primeira versão (TSIGANIS et al.,
2005). O modelo de Nesvorny et al. (2007) certamente resolve o problema das capturas
de satélites irregulares para Júpiter num cenário onde este planeta sofra mais encontros
planetários (e.g. MORBIDELLI et al., 2007). No nosso caso, a metodologia independe
de encontros próximos planetários e portanto as capturas foram possı́veis de serem obti-
das tal como feito em Nogueira (2008) e Deienno (2010). No entanto, aparentemente um
fator decisivo no processo de captura utilizado neste trabalho é a escolha de um passo
adequado para o integrador numérico, combinado com a inclusão dos satélites regulares
e do Sol (mais planetas gigantes) durante toda migração.


59

REFERÊNCIAS

AGNOR, C, B.; HAMILTON, D. P., Neptune’s capture of its moon Triton in a binary-planet
gravitational encounter, Nature, v.441, p.192-194, 2006.

BEAUGÉ, C.; ROIG, F. & NESVORNÝ, D., Effects of planetary migration on natural satellites
of outer planets, Icarus, v.158, p.483-498, 2002.

BOTTKE, W.F.,NESVORNÝ, D.; VOKROUHLICKY, D. & MORBIDELLI, A., The Irregular
Satellites: The most Collisionally Evolved Populations in the Solar System, The Astronomical
Journal, v.139, p.994-1014, 2010.

BROUWER, D. & CLEMENCE, G. M., Methods of Celestial Mechanics. New York: Aca-
demic Press, 1961.

CALLEGARI, N., Jr., Dinâmica de Satélites Fictı́cios Terrestres, Dissertação de Mestrado,
USP-IAG São Paulo, 1998.

CANUP, R.M. & WARD, R.W., A common mass scaling for satellite systems of gaseous plan-
ets , Nature, v.441, p.834-839, 2006.

CANUP, R. M. & WARD, W. R., Formation of the Galilean Satellites: Conditions of Accretion,
The Astronomical Journal, v. 124, p.3404-3423, 2002.

CHAMBERS, J. E., A hybrid sympletic integrator that permits close encounters between mas-
sive bodies,Mon. Notices of Royal Astronomical Society, v.304, p.793-799, 1999.

COLOMBO, G.; FRANKLIN, F. A., On the formation of the outer satellite groups of Jupiter,
Icarus, v.15, p.186-189, 1971.

ĆUK, M. & BURNS, J. A., Gas-drag-assisted capture of Himalia’s family, Icarus, v.167, p.369-
381, 2004.

DEIENNO, R., Dinâmica e Estabilidade de Satélites Regulares como Consequência da Migração
Planetária , Dissertação de Mestrado, Área de concentração em Fı́sica Aplicada, UNESP-
IGCE-Rio Claro, 2010.

FERNANDEZ, J. A. & IP, W. H., Some dynamical aspects of the accretion of Uranus and
Neptune: The exchange of orbital angular momentum with planetesimals, Icarus, v.58, p.109-


60

120,1984.

FERNANDEZ, J. A. & IP, W. H., Orbital expansion and ressonant trapping during late ac-
cretion stages of the outer planets, Planetary and Space Sciences, v.44, p.431-439, 1996.

GOMES, R. S., Origin of the cataclysmic Late Have-Bombardment period of the terrestrial
planets, Nature, v.435, p.466-470, 2005.

GOMES, R. S., Dynamical Effects pf Planetary migration on the primordial asteroidal belt,
The Astronomical Journal, v.114, p.396-401, 1997.

GOLDREICH, P., History of lunar orbit, Reviews of Geophysics, v.4, p.411-439, 1966.

GRAV, T., HOLMAN, M., GLADMAN, B.J., KAARE, A., Photometric survey of the irre-
gular satellites, Icarus, v.166 , p.33-45 , 2003.

HAHN, J. M. & MALHOTRA, R., Orbital evolution of planets emdedded in a planetesimal
disck, The Astronomical Journal, v.117, p.241-249, 1999.

HAMILTON, D. P. & KRIVOV, A.V., Dynamics of Distant Moons of Asteroids, Icarus, v.128,
p.435-366, 1999.

HEPPENHEIMER, T. A.; PORCO, C., New contributions to the problem of capture, Icarus,
v.30, p.385-401, 1977.

JEWITT, D., HAGHIGHIPOUR, N., Irregular Satellites of the Planets: Products of Capture
in the Early Solar System, Annual Review of Astronomy Astrophysics, vol.45, p.261-295,
2007.

KINOSHITA, H.; NAKAI, H., Secular Perturbations on Fictitious Satellites of Uranus, Ce-
lestial Mechanics and Dinamical Astronomy, v.49, p.43-47, 1991.

MANA, M. R., Possı́veis ressonâncias no sistema Marte-Phobos e Netuno-Triton-Proteus,Dissertação
de Mestrado, Área de concentração em Fı́sica Aplicada, UNESP-IGCE-Rio Claro, 2003.

MORBIDELLI, A,, Review: A Coherent and Comprehensive Model of the Evolution of the
Outer Solar System, CR Physique de l’Academie des Sciences,in press, 2010.

MORBIDELLI, A.; BRASSER, R.; TSIGANIS, K.; GOMES, R.; LEVISON, H. F., Con-
structing the secular architecture of the solar system. I. The giant planets, Astronomy and
Astrophysics, v.507, p.1041-1052, 2009.

MORBIDELLI, A.; TSIGANIS, K.; CRIDA, A.; LEVISON, H. F.; GOMES, R., Dynamics
of the Giant Planets of the Solar System in the Gaseous Protoplanetary Disk and Their Rela-
tionship to the Current Orbital Architecture, The Astronomical Journal, v.134, p.1790-1798,
2007.

MORBIDELLI, A.; LEVISON, H. F.; TSIGANIS, K.; GOMES, R., Chaotic capture of Jupiter’s


61

Trojan asteroids in the early Solar System, Nature, v.435, p.462-465, 2005.

MOSQUEIRA, I. & ESTRADA, P. R., Formation of the regular satellites of giant planets in an
extended gaseous nebula I: subnebula model and accretion of satellites, Icarus, v.163, p.198-
231, 2003.

MOSQUEIRA, I. & ESTRADA, P.R., Formation of the regular satellites of giant planets in
an extended gaseous nebula II: satellite migration and survival, Icarus, v.163, p.232-255 , 2003.

MOSQUEIRA, I, LISSAIUER, J.J., D’ANGELO, G., CRUIKSHANK, D. P., Formation of
Jupiter and Conditions for Accretion of the Galilean Satellites,Europa, p.27, ISBN: 9780816528448,
2009.

NESVORNÝ, D.; VOKROUHLICKY, D. & MORBIDELLI, A., Capture of Irregular Satel-
lites During Planetary Encounters, The Astronomical Journal, v.133, p.1962-1976, 2007.

PEALE, S. J., Origin and Evolution of the Natural Satellites, Annual Review of Astronomy
and Astrophysics, v.37, p.533-602, 1999.

NOGUEIRA, E. C., Efeitos da Migração Planetária Primordial Sobre a Estabilidade de Satélites
Regulares e a Possı́vel Captura de Satélites Irregulares, Tese de doutoramento, UFRJ, 2008.

POLLACK, J. B.; HUBICKYJ, O.; BODENHEIMER, P.; LISSAUER, J. J.; PODOLAK, M.;
GREENZWEIG, Y., Formation of the Giant Planets by Concurrent Accretion of Solids and Gas,
Icarus, v.124, p.62-85, 1996.

POLLACK, J. B.; BURNS, J. A.; TAUBER, M. E, Gas drag in primordial circumplanetary
envelopes - A mechanism for satellite capture, Icarus, v.37, p.587-611, 1979.

SASAKI, T., STEWART, G.R., IDA, S., Origin of the Different Architectures of the Jovian
and Saturnian Satellite Systems, The Astrophysical Journal, v.714, p.1052-1064, 2010.

SHEPPARD, S.S., Outer irregular satellites of the planets and their relationship with asteroids,
comets and Kuiper Belt objects, Proceedings IAU Symposium, v.229, p.319-334, 2005.

THOMMES, E. W.; DUNCAN, M. J.; LEVISON, H. F., The formation of Uranus and Nep-
tune in the Jupiter-Saturn region of the Solar System, Nature, v. 402, p. 635638, 1999.

TSIGANIS, K., GOMES, R., MORBIDELLI, A., LEVISON, H.F., Origin of the orbital ar-
chitecture of the giant planets of the Solar System, Nature, v.435, p.459-461, 2005.

VOKROUHLICKY, D.; NESVORNÝ; D. & LEVISON, H. F., Irregular Satellite Capture by
Exchange Reactions, The Astronomical Journal, v.134, p.1463-1476, 2008.

YOKOYAMA, T., VIEIRA NETO, E., WINTER, O.C., SANCHEZ, D.M., BRASIL, P.I.O,
On the Evection Resonance and its conection to the Stability of Outer Satellites , Mathemati-
cal Problems in Engineering, v.2008, 2008. doi:10.1155/2008/251978.


62

YOKOYAMA, T., Possible Effects of Secular Resonances in Phobos ant Triton, Planetary
and Space Science, v.50, p.63-77, 2002.

YOKOYAMA, T., Dinamics of Fictitious Satellites of Venus and Mars, Planetary and Space
Science, v.47, p.619-627, 1998.


63

Apêndice A

MÉDIA DE RJ2

Vamos desenvolver a média da Equação (6.5) , ou

U2 = −k
2MPJ2R

2
P

a3

[(
1

4
− 3

4
cos2 I

)〈
a3

r3

〉
l

+

+

(
− 3

4
+

3

4
cos2 I

)〈
a3

r3
cos(2f + 2ω)

〉
l

]
. (A.1)

Temos, por definição (variáveis canônicas de Delaunay e problema de dois corpos) que

G =
√
μa(1− e2) ;

n2 =
μ

a3
;

L2 = μa = n2a4 → n =
L

a2
;

l = n(t− t0) → dl = ndt→ dl =
L

a2
dt ;

r2
df

dt
= G→ dt =

r2

G
df ;

dl =
L

G

r2

a2
df , (A.2)

e que
a

r
=

1 + e cos f

(1− e2)
. (A.3)

Passemos ao cálculo das médias, utilizando (A.2) e (A.3).

〈
a3

r3

〉
l

=
1

2π

∫ 2π

0

a3

r3
dl =

1

2π

∫ 2π

0

a3

r3
L

G

r2

a2
df =

1

2π

L

G

∫ 2π

0

a

r
df ,

〈
a3

r3

〉
l

=
1

2π

L

G

∫ 2π

0

1 + e cos f

(1− e2)
df ,


64

〈
a3

r3

〉
l

=
1

2π

L

G
(1− e2)−1

[ ∫ 2π

0

e cos fdf +

∫ 2π

0

df

]
,

〈
a3

r3

〉
l

=
L

G
(1− e2)−1 = (1− e2)

3

2 . (A.4)

E a segunda média que aparece em (A.1)〈
a3

r3
cos(2f + 2ω)

〉
l

=

〈
a3

r3

(
cos 2f cos 2ω − sin 2f sin 2ω

)〉
l

;

〈
a3

r3
cos(2f + 2ω)

〉
l

=

〈
a3

r3
cos 2f

〉
l

cos 2ω −
〈
a3

r3
sin 2f

〉
l

sin 2ω . (A.5)

Façamos separadamente o cálculo das médias que aparecem na equação acima, como segue〈
a3

r3
cos 2f

〉
l

=
1

2π

∫ 2π

0

a3

r3
cos 2fdl =

1

2π

∫ 2π

0

L

G

1 + e cos f

(1− e2)
cos 2fdf ,

〈
a3

r3
cos 2f

〉
l

=
1

2π

L

G
(1− e2)−1

∫ 2π

0

(cos 2f + e cos f cos 2f) ,

〈
a3

r3
cos 2f

〉
l

= 0 . (A.6)

Analogamente: 〈
a3

r3
sin 2f

〉
l

= 0 , (A.7)

Logo, (A.5) torna-se 〈
a3

r3
cos(2f + 2)ω

〉
l

= 0 . (A.8)

Portanto, levando-se (A.4) e (A.8) em (A.1) obtemos

RJ2 = 〈U2〉l = 1

4

n2J2R
2
P

(1− e2)
3

2

(
3 cos2 I − 1

)
, (A.9)

que é a própria equação (6.6), como se queria demonstrar.


65

Apêndice B

MÉDIA DE R
 (EQUADOR)

Vamos agora realizar o desenvolvimento da equação (6.10) para obter (6.14). Representamos a
média, em relação à anomalia média, da função perturbadora solar no equador por

〈R̃�〉l = k2M�a
2

r3�

[
1

2

(
3

〈
r2

a2
cos2 S

〉
l

−
〈
r2

a2

〉
l

)]
. (B.1)

Do problema de dois corpos segue que

r = a(1− e cos u) , (B.2)

l = u− e sin u , (B.3)

onde: u é a anomalia excêntrica e (B.3) é a conhecida equação de Kepler.
Diferenciando (B.3) e substituindo em (B.2) resulta

r = a
dl

du
→ dl =

r

a
du . (B.4)

Podemos ainda relacionar as anomalias verdadeira e excêntrica por

r

a
cos f = cos u− e , (B.5)

r

a
sin f =

√
1− e2 sin u . (B.6)

Tomando a diferença entre os quadrados de (B.5) e (B.6), vem

r2

a2
cos 2f = (cos u− e)2 − (1− e2) sin2 u . (B.7)

O valor da segunda média em (B.1) já pode ser calculado como segue (CALLEGARI, 1998)


66

〈
r2

a2

〉
l

=
1

2π

∫ 2π

0

r2

a2
dl , (B.8)

usando (B.4),

〈
r2

a2

〉
l

=
1

2π

∫ 2π

0

r3

a3
du , (B.9)

aplicando (B.2),

〈
r2

a2

〉
l

=
1

2π

∫ 2π

0

(1− e cos u)3du , (B.10)

logo,

〈
r2

a2

〉
l

= 1 +
3

2
e2 . (B.11)

Considere agora o cálculo de uma média “genérica” que auxiliará no cálculo do primeiro termo
de (B.1): 〈

r2

a2
cos(2f + φ)

〉
l

=

〈
r2

a2
cos 2f

〉
l

cosφ−
〈
r2

a2
sin 2f

〉
l

sinφ , (B.12)

onde: φ é uma fase do cosseno, que não depende da anomalia verdadeira, f . Logo, auxiliados
por (B.2), (B.5) e (B.6), obtemos

〈
r2

a2
cos(2f + φ)

〉
l

=
5

2
e2 cosφ . (B.13)

Utilizando (6.11), da Seção 6.2, podemos escrever o cos2 S, que aparece em (B.1) como

cos2 S = A2a2 + 2ABab+ 2ACac+ 2ADad+ 2AEae

+B2b2 + 2BCbc+ 2BDbd+ 2BEbe

+C2c2 + 2CDcd+ 2CEce

+D2d2 + 2DEde

+E2e2 . (B.14)

Assim, podemos aplicar a equação acima em (B.1) e fazer as médias efetivamente. Começando


67

pelos termos quadrados, temos〈
a2
r2

a2

〉
l

=
1

2

[〈
r2

a2

〉
l

+

〈
cos(2f + 2ω + 2f� + 2ω� + 2Ω− 2Ω�)

〉]
,

utilizando os resultados dados por (B.11) e (B.13), obtemos〈
a2
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
1 +

3

2
e2 +

5

2
e2 cos(2ω + 2f� + 2ω� + 2Ω− 2Ω�)

]
. (B.15)

De maneira análoga, seguem todos os outros termos quadrados:〈
b2
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
1 +

3

2
e2 +

5

2
e2 cos(2ω + 2f� + 2ω� − 2Ω + 2Ω�)

]
, (B.16)

〈
c2
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
1 +

3

2
e2 +

5

2
e2 cos(2ω − 2f� − 2ω� + 2Ω− 2Ω�)

]
, (B.17)

〈
d2
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
1 +

3

2
e2 +

5

2
e2 cos(2ω − 2f� − 2ω� − 2Ω + 2Ω�)

]
, (B.18)

〈
e2
r2

a2

〉
l

=
1

2

{(
1 +

3

2
e2
)[

2− 2 cos(2f� + 2ω�)

]
+

+
5

2
e2
[
cos(2ω − 2f� − 2ω�) + cos(2ω + 2f� + 2ω�)− 2 cos(2ω)

]}
. (B.19)

E os termos mistos:〈
ab
r2

a2

〉
l

=

〈
r2

a2

[
cos(f + ω + f� + ω� + Ω− Ω�) cos(f + ω + f� + ω� − Ω + Ω�)

]〉
,

〈
ab
r2

a2

〉
l

=
1

2

[〈
r2

a2
cos(2f + 2ω + 2f� + 2ω�)

〉〈
r2

a2
cos(2Ω− 2Ω�)

〉]
,

〈
ab
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
5

2
e2 cos(2ω + 2f� + 2ω�) +

(
1 +

3

2
e2
)
cos(2Ω− 2Ω�)

]
. (B.20)

Os outros termos mistos tornam-se:〈
ac
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
5

2
e2 cos(2ω + 2Ω− 2Ω�) +

(
1 +

3

2
e2
)
cos(2f� + 2ω�)

]
, (B.21)


68

〈
ad
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
5

2
e2 cos(2ω) +

(
1 +

3

2
e2
)
cos(2f� + 2ω� + 2Ω− 2Ω�)

]
, (B.22)

〈
ae
r2

a2

〉
l

=
1

2

{
5

2
e2
[
cos(2ω + Ω− Ω�)− cos(2ω + 2f� + 2ω� + Ω− Ω�)

]
+

+

(
1 +

3

2
e2
)[

cos(2f� + 2ω� + Ω− Ω�)− cos(Ω− Ω�)

]}
, (B.23)

〈
bc
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
5

2
e2 cos(2ω) +

(
1 +

3

2
e2
)
cos(2f� + 2ω� − 2Ω + 2Ω�)

]
, (B.24)

〈
bd
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
5

2
e2 cos(2ω − 2Ω + 2Ω�) +

(
1 +

3

2
e2
)
cos(2f� + 2ω�)

]
, (B.25)

〈
be
r2

a2

〉
l

=
1

2

{
5

2
e2
[
cos(2ω − Ω + Ω�)−− cos(2ω + 2f� + 2ω� − Ω + Ω�)

]
+

+

(
1 +

3

2
e2
)[

cos(2f� + 2ω� − Ω + Ω�)− cos(Ω− Ω�)

]}
, (B.26)

〈
cd
r2

a2

〉
l

=
1

2

[
5

2
e2 cos(2ω − 2f� − 2ω�) +

(
1 +

3

2
e2
)
cos(2Ω− 2Ω�)

]
, (B.27)

〈
ce
r2

a2

〉
l

=
1

2

{
5

2
e2
[
cos(2ω − 2f� − 2ω� + Ω− Ω�)

]
− cos(2ω + Ω− Ω�) +

+

(
1 +

3

2
e2
)[

cos(Ω− Ω�)− cos(2f� − 2ω� + Ω− Ω�)

]}
, (B.28)

〈
de
r2

a2

〉
l

=
1

2

{
5

2
e2
[
cos(2ω − 2f� − 2ω� − Ω + Ω�)− cos(2ω − Ω + Ω�)

]
+

+

(
1 +

3

2
e2
)[

cos(Ω− Ω�)− cos(2f� + 2ω� + Ω− Ω�)

]}
, (B.29)


69

Desta forma, substituindo-se (B.11), (B.15) a (B.29) em (B.1), finalmente obtemos:

R� = 〈R̃�〉l = k2M�a
2

2r3�

[
3

2
P

(
A2 +B2 + C2 +D2 + 2E2 − 2

3

)
+

+
3

2
A2Z cos(2ω + 2f� + 2ω� + 2Ω− 2Ω�) +

+
3

2
B2Z cos(2ω + 2f� + 2ω� − 2Ω + 2Ω�) +

+
3

2
C2Z cos(2ω − 2f� − 2ω� + 2Ω− 2Ω�) +

+
3

2
D2Z cos(2ω − 2f� − 2ω� − 2Ω + 2Ω�) +

+
3

2
Z(E2 + 2CD) cos(2ω − 2f� − 2ω�) +

+
3

2
Z(E2 + 2AB) cos(2ω + 2f� + 2ω�) +

+3Z(−E2 + AD +BC) cos(2ω) +

+3Z(−E2 + AC +BD) cos(2f� + 2ω�) +

+3Z(AB + CD) cos(2Ω− 2Ω�) + (B.30)

+3ACZ cos(2ω + 2Ω− 2Ω�) +

+3ADP cos(2f� + 2ω� + 2Ω− 2Ω�) +

+3EP (A−D) cos(2f� + 2ω� + Ω− Ω�) +

+3EP (A− B + C +D) cos(Ω− Ω�) +

+3EZ(A− C) cos(2ω + Ω− Ω�)−
−3AEZ cos(2ω + 2f� + 2ω� + Ω− Ω�) +

+3BCP cos(2f� + 2ω� − 2Ω + 2Ω�) +

+3BDZ cos(2ω − 2Ω + 2Ω�) +

+3EP (B − C) cos(2f� + 2ω� − Ω + Ω�) +

+3EZ(B −D) cos(2ω − Ω + Ω�)−
−3BEZ cos(2ω + 2f� + 2ω� − Ω + Ω�) +

+3CEZ cos(2ω − 2f� − 2ω� + Ω− Ω�) +

+3DEZ cos(2ω − 2f� − 2ω� − Ω + Ω�)

]
,

onde: P = 1+ 3
2
e2 e Z = 5

2
e2. A expressão acima é a própria equação (6.14), como querı́am