UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA FILHO

CAMPUS DE SÃO JOÃO DA BOA VISTA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA

ANTONIO ELCIO FERREIRA JÚNIOR

Caracterização não linear de sistemas aeroelásticos por meio da Função

Densidade de Probabilidade Conjunta

São João da Boa Vista

2021



ANTONIO ELCIO FERREIRA JÚNIOR

Caracterização não linear de sistemas aeroelásticos por meio da Função

Densidade de Probabilidade Conjunta

Versão original

Dissertação apresentada à Universidade
Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho,
Campus de São João da Boa Vista para
obtenção do t́ıtulo de Mestre em Engenharia
Elétrica pelo Programa de Pós-graduação em
Engenharia Elétrica.

Área de concentração: Automação.

Orientador: Prof. Dr. Rui Marcos Grombone
de Vasconcellos

Coorientador: Prof. Dr. André Alves Ferreira

São João da Boa Vista

2021



F383c
Ferreira Júnior, Antonio Elcio

    Caracterização não linear de sistemas aeroelásticos por meio da Função

Densidade de Probabilidade Conjunta / Antonio Elcio Ferreira Júnior. -- São

João da Boa Vista, 2021

    131 p. : il., tabs., fotos

    Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Câmpus

Experimental de São João da Boa Vista, São João da Boa Vista

    Orientador: Rui Marcos Grombone de Vasconcellos

    Coorientador: André Alves Ferreira

    1. Aeroelasticidade. 2. Estabilidade dos aviões. 3. Sistemas não lineares. 4.

Análise de séries temporais. 5. Estatística. I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Câmpus Experimental de São

João da Boa Vista. Dados fornecidos pelo autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.



UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
 

Câmpus de Sorocaba 
 
 
 

CERTIFICADO DE APROVAÇÃO 
 
 

TÍTULO DA DISSERTAÇÃO: Caracterização não linear de Sistemas Aeroelásticos por meio da Função 
Densidade de Probabilidade Conjunta 

 
 
 
AUTOR: ANTONIO ELCIO FERREIRA JÚNIOR 

ORIENTADOR: RUI MARCOS GROMBONE DE VASCONCELLOS 
COORIENTADOR: ANDRE ALVES FERREIRA 

 
 
 
 
Aprovado como parte das exigências para obtenção do Título de Mestre em ENGENHARIA 
ELÉTRICA, área: Automação pela Comissão Examinadora: 
 

 
 
 
Prof. Dr. RUI MARCOS GROMBONE DE VASCONCELLOS (Participação Virtual) 
Coordenadoria de Curso de Engenharia Aeronáutica / Câmpus de São João da Boa Vista 
 
 

 
 
Prof.Dr. FLÁVIO DONIZETI MARQUES (Participação Virtual) 
Departamento Engenharia Mecânica / EESC/USP 
 
 
 

 
Prof. Dr. JOSÉ AUGUSTO DE OLIVEIRA (Participação Virtual) 
- / UNESP - Campus de São João da Boa Vista 

 
 
 
Sorocaba, 19 de julho de 2021 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

Instituto de Ciência e Tecnologia - Câmpus de Sorocaba - 
Três de Março, 511, 18087180, Sorocaba - São Paulo 

http://www.sorocaba.unesp.br/#!/pos-graduacao/--engenharia-eletrica-local/CNPJ: 48031918003573. 



Dedico este trabalho aos meus pais, que sempre incentivaram o meu crescimento

profissional e me apoiaram durante estes dois anos.



Agradecimentos

Agradeço, primeiramente, à Deus por sempre me guiar e me dar forças nos momentos

mais dif́ıceis e ser responsável por todas as minhas oportunidades e conquistas.

Agradeço à minha famı́lia, especialmente aos meus pais, Elcio e Luciene, pelos

exemplos, integridade apoio e todos os esforços que fazem para que eu possa alcançar

meus objetivos ao longo da vida.

Agradeço também ao Prof. Dr. José Augusto de Oliveira e ao Prof. Dr. Ivan Aritz

Aldaya Garde, não apenas pelas orientações nas pesquisas em que realizei, mas também

pelas conversas e apoio ao longo dos anos.

Por fim, agradeço imensamente ao meu orientador, Prof. Dr. Rui Marcos Grom-

bone de Vasconcellos, não apenas pela oportunidade de realizar este trabalho, mas pelo

companheirismo e dedicação no meu aprendizado.



“A única forma dos homens chegarem a algum lugar é deixando algo para trás.”

Christopher E. Nolan



Resumo

JUNIOR, Antonio Elcio Ferreira. Caracterização não linear de sistemas
aeroelásticos por meio da Função Densidade de Probabilidade Conjunta. 2021.
133 f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Elétrica), Universidade Estadual Paulista
(UNESP), Campus Experimental de São João da Boa Vista, São João da Boa Vista, 2021.

A indústria aeronáutica realiza investimentos significativos na manutenção de aeronaves,
devido a diversos fenômenos aeroelásticos que podem ocorrer ao longo das suas vidas úteis,
incluindo danos à integridade estrutural. A mantenabilidade é um campo de operação
responsável por analisar tal integridade por meio de estudos do ciclo de um componente,
desenvolvendo processos ótimos de manutenção de uma estrutura, a fim de evitar posśıveis
acidentes. Para garantir a confiabilidade de um sistema, a previsibilidade de eventuais
problemas ao longo de sua operação torna-se fundamental na pretensão de disponibilidade
e desempenho de uma aeronave, a partir do monitoramento de sinais obtidos por sensores
distribúıdos pela estrutura. Uma alternativa de atingir tal requisito é a análise dos sinais
por meio da Função Densidade de Probabilidade Conjunta (Joint Probability Density
Function, J-PDF), um método estat́ıstico que realiza mensurações do comportamento de
variáveis conjuntas ao longo de um intervalo de tempo. Logo, a probabilidade da variável
em determinado estado pode indicar a possibilidade de futuras anormalidades no sistema.
A presente pesquisa propôs a análise da J-PDF e a avaliação da sua eficiência na área
da Aeroelasticidade por meio de sinais não lineares oriundos de estruturas aeronáuticas,
evidenciando a potencialidade da J-PDF para a previsão de anormalidades em uma
aeronave e apresentando as vantagens que tal metodologia estat́ıstica possui, não apenas
nos processos de mantenabilidade, mas também em diversas áreas de pesquisa. Os resultados
demonstram a eficiência da J-PDF quando aplicada em sistemas aeroelásticos não lineares,
em séries temporais numéricas e experimentais, de forma que o espaço de fase gerado
demonstra a probabilidade do comportamento das variáveis ao longo do tempo. Com isso,
é posśıvel detectar futuras anormalidades e demais efeitos quando o sistema é submetido a
condições espećıficas.

Palavras-chaves: Aeroelasticidade, Função Densidade de Probabilidade Conjunta. Mante-
nabilidade. Não linearidade.



Abstract

JUNIOR, Antonio Elcio Ferreira.Nonlinear characterization of aeroelastic systems
using the Joint Probability Density Function. 2021. 133 p. Dissertation (Master of
Eletric Engineering), São Paulo State University (UNESP), Campus of São João da Boa
Vista, São João da Boa Vista, 2020.

The aeronautical industry conducts significant investments in aircraft maintenance due to
several aeroelastic phenomena that can occur during an aircraft’s life, including damage
to structural integrity. Maintainability is an operating field responsible for analyzing
such integrity through studies of the component’s cycle, developing optimal processes for
maintaining a structure to avoid possible accidents. In order to guarantee the accuracy of
a system the predictability of eventual problems during its operation becomes essential
in the pretension of an aircraft’s availability and performance by monitoring the signals
obtained by sensors distributed throughout the structure. An alternative to achieve this
requirement is the analysis of the signals through the Joint Probability Density Function,
J-PDF, a statistical method that measures the behavior of joint variables over a period of
time. Thus, the probability of the variable in a given state may indicate the possibility of
future abnormalities in the system. This research aimed to analyze J-PDF and evaluate
its efficiency in the Aeroelasticity extent through non-linear signals from aeronautical
structures, intending to highlight the potential of J-PDF for the prediction of abnormalities
in an aircraft and presenting the advantages that such statistical methodology can assist
not only in the processes of maintainability but also in several research areas. The results
prove the efficiency of J-PDF when applied to non-linear aeroelastic systems, so that the
generated phase space demonstrates the probability of the variables behavior over time.
Thereby it is possible to detect future abnormalities and another effects when the system
is subjected to specific conditions.

Keywords: Aeroelasticity, Joint Probability Density Function, Maintainability, Nonlinearity.



Lista de figuras

Figura 1 – Representação do triângulo de Collar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 2 – Caracteŕısticas e nomenclatura de um aerofólio. . . . . . . . . . . . . . 23

Figura 3 – Forças atuantes devido a incidência do aerofólio. . . . . . . . . . . . . . 24

Figura 4 – Não linearidades estruturais comuns em sistemas dinâmicos. . . . . . . 27

Figura 5 – Representação da separação do escoamento e geração de vórtices. . . . 28

Figura 6 – Fases de elaboração do projeto de mantenabilidade. . . . . . . . . . . . 30

Figura 7 – Processos de uma ACV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Figura 8 – Distribuição de materiais na estrutura de uma aeronave Airbus A350. . 32

Figura 9 – Processos para a aplicação do SHM em estruturas aeronáuticas. . . . . 34

Figura 10 – Esquematização de uma rede de sensores instalados na estrutura de

uma asa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Figura 11 – Representação de um ponto fixo para a) Poço, b) Fonte e c) Sela. . . . 41

Figura 12 – Ponto fixo em um sistema bidimensional para a) Poço, b) Fonte, c) Sela

tipo 1, d) Sela tipo 2 e comportamento oscilatório para e) Centro, f)

Espiral estável e g) Espiral instável. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Figura 13 – Atrator de Lorenz com condições inicias definidas. . . . . . . . . . . . . 44

Figura 14 – Onda de pulso quadrado periódico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Figura 15 – Espectro de Fourier do pulso quadrado periódico. . . . . . . . . . . . . 47

Figura 16 – Trajetórias do sistema baseado em uma esfera. . . . . . . . . . . . . . . 57

Figura 17 – Procedimento para cálculo do expoente de Lyapunov. . . . . . . . . . . 58

Figura 18 – Comportamento das trajetórias em um sistema. . . . . . . . . . . . . . 59

Figura 19 – Expoente de Lyapunov no mapa loǵıstico de uma série não linear. . . . 60

Figura 20 – Exemplificação na determinação das variáveis (número de pontos e

aspecto de similaridade) para o cálculo da entropia . . . . . . . . . . . 64

Figura 21 – Caracterização de sinais lineares e não lineares por meio do cálculo

da entropia, variando o número de pontos e mantendo o aspecto de

similaridade fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

Figura 22 – Representação de um espaço amostral com uma variável aleatória. . . . 69

Figura 23 – Probabilidade do arremesso de um dado não viciado. . . . . . . . . . . 72

Figura 24 – Distribuição cont́ınua de Weibull. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72



Figura 25 – Distribuição de uma PDF com P (x1 < X < x2). . . . . . . . . . . . . . 73

Figura 26 – Representação de uma distribuição binomial. . . . . . . . . . . . . . . . 75

Figura 27 – Representação de uma distribuição de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . 76

Figura 28 – Representação das distribuições de probabilidade conjunta, marginal e

condicional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Figura 29 – Desenvolvimento da J-PDF a partir de uma distribuição binomial. . . . 83

Figura 30 – Dispersão das variáveis e histograma da série temporal. . . . . . . . . . 83

Figura 31 – Tratamento de dados coletados e aplicação da J-PDF em duas dimensões. 85

Figura 32 – Mensuração da densidade de probabilidade conjunta. . . . . . . . . . . 86

Figura 33 – Representação da aplicação do método KDE. . . . . . . . . . . . . . . 86

Figura 34 – Aplicação da KDE em uma série com o fenômeno do Estol Dinâmico. . 87

Figura 35 – Projeção bidimensional do atrator de Lorenz através das séries temporais. 90

Figura 36 – J-PDF utilizada para analisar as séries temporais provindas do atrator

de Lorenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

Figura 37 – Análise do atrator de Lorenz com a contaminação de rúıdo. . . . . . . 91

Figura 38 – Aplicação da J-PDF em um atrator de Lorenz contaminado por rúıdo. 92

Figura 39 – Modelo aeroelástico com folga na estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Figura 40 – Momento restaurador da torção e da superf́ıcie de comando. . . . . . . 94

Figura 41 – Série temporal da superf́ıcie de comando. . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Figura 42 – Análise do primeiro cenário de folga na estrutura, com rigidez 20kβ e

J-PDF igual a 1, 609× 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Figura 43 – Segundo cenário de folga na estrutura, com rigidez 50kβ e J-PDF

equivalente a 1, 325× 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Figura 44 – Terceiro cenário de folga na estrutura, sendo a rigidez igual a 100kβ e a

J-PDF média igual a 0, 398× 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Figura 45 – Quarto cenário de dupla folga na estrutura, com 100kα e 100kβ, e J-PDF

média resultante igual a 0, 197× 10−3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Figura 46 – Variação da J-PDF média e máxima com o aumento da rigidez. . . . . 101

Figura 47 – Aparato utilizado para os testes de estol dinâmico. . . . . . . . . . . . 103

Figura 48 – Determinação da frequência natural de oscilação e do momento restau-

rador da mola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Figura 49 – J-PDF para o estol dinâmico para a) primeira velocidade analisada

(10, 52m/s) e b) velocidade posterior (10, 96m/s), respectivamente. . . 105



Figura 50 – Caracterização da não linearidade causada pelo estol dinâmico em

0◦ por meio da a) Entropia e b) J-PDF média, bem como o espaço

tridimensional da J-PDF em c) 11, 24m/s e d) 13, 22m/s. . . . . . . . 106

Figura 51 – Diferença da J-PDF no caso de 5◦ em 9, 92m/s e 13, 55m/s. . . . . . . 107

Figura 52 – Variação da entropia e J-PDF em 5◦ com a velocidade do escoamento. 108

Figura 53 – Complexidade do sinal demonstrada na entropia e na J-PDF com

incidência de 10◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Figura 54 – Variação da entropia e J-PDF na indução do estol dinâmico em 15◦. . . 110

Figura 55 – Representação de uma seção t́ıpica com três graus de liberdade. . . . . 111

Figura 56 – Aparato experimental para os testes de folga na estrutura. . . . . . . . 112

Figura 57 – Encoder utilizado para a detecção de movimentos na superf́ıcie de

comando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Figura 58 – Amplitudes da superf́ıcie de comando para as velocidades analisadas. . 114

Figura 59 – Série temporal e respectiva J-PDF para a deflexão da superf́ıcie de

comando a 13, 58m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Figura 60 – Séries temporais da deflexão da superf́ıcie de comando e aumento da

J-PDF média para o incremento da velocidades. . . . . . . . . . . . . . 116

Figura 61 – Séries temporais da deflexão da superf́ıcie de comando e diminuição da

J-PDF média para o decremento da velocidades. . . . . . . . . . . . . . 117

Figura 62 – Séries temporais reconstrúıdas e J-PDF resultantes para as velocidades

13, 32m/s e 13, 14m/s, também referentes ao decremento na superf́ıcie

de comando. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Figura 63 – Variação da J-PDF média para os dados da superf́ıcie de comando,

onde o incremento da velocidade gera uma J-PDF maior que os dados

coletados no decremento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Figura 64 – Série temporal não estacionária para β em 12, 26m/s e aplicação da

J-PDF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Figura 65 – Aplicação da ferramenta em um sinal referente a torção do modelo

aeroelástico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Figura 66 – Séries temporais reconstrúıdas e J-PDF resultantes para as velocidades

de incremento na torção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

Figura 67 – Séries temporais reconstrúıdas e J-PDF resultantes para as velocidades

de decremento na torção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123



Figura 68 – Séries temporais reconstrúıdas e J-PDF resultantes para as velocidades

13, 32m/s e 13, 14m/s, também referentes ao decremento da velocidade

na torção. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Figura 69 – Análise da J-PDF média para os dados da torção ao longo do incremento

e do decremento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125



Lista de tabelas

Tabela 1 – Definição do atrator bidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Tabela 2 – Distribuição de probabilidade de um evento. . . . . . . . . . . . . . . . 71

Tabela 3 – Parâmetros considerados para a análise aeroelástica. . . . . . . . . . . 97

Tabela 4 – Dados obtidos referentes a J-PDF nas simulações implementadas. . . . 100

Tabela 5 – Dados obtidos referentes a entropia e a J-PDF média na indução de

estol dinâmico para 0◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Tabela 6 – Dados referentes a entropia e a J-PDF média para o estol dinâmico em 5◦.108

Tabela 7 – Dados obtidos referentes a entropia e a J-PDF média na indução de

estol dinâmico para 10◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Tabela 8 – Dados obtidos referentes a entropia e a J-PDF média na indução de

estol dinâmico para 15◦. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Tabela 9 – Velocidades utilizadas na análise experimental. . . . . . . . . . . . . . 113

Tabela 10 – Resultados obtidos na análise da superf́ıcie de comando (β). . . . . . . 115

Tabela 11 – Resultados obtidos na análise da torção (α). . . . . . . . . . . . . . . . 121



Lista de abreviaturas e siglas

ACV Avaliação do Ciclo de Vida Singulares

AICV Avaliação de Impacto do Ciclo de Vida

CCV Custo do Ciclo de Vida

CDF Função de Densidade Acumulativa

DFT Transformada Discreta de Fourier

FDA Função de Distribuição Acumulada

FFT Transformada Rápida de Fourier

J-PDF Função Densidade de Probabilidade Conjunta

KDE Estimativa de Densidade de Kernel

LCO Oscilação Ciclo Limite

MC Monte Carlo

PDF Função Densidade de Probabilidade

PFM Função Probabilidade de Massa

PZT Transdutor Piezoelétrico

SHM Sistema de Monitoramento Estrutural

SNR Relação Sinal-Rúıdo

SVD Decomposição em Valores Singulares



Lista de śımbolos

Cd(r) Integral de correlação

c Deslocamento

ċ Velocidade

De Dimensão de imersão

f0 Frequência fundamental

g Gravidade

K Distribuição de Kernel

L Comprimento da haste

Mα Momento de restauração

N0 Número de amostras

nin(r) Número de padrões similares

pn(i) Janela de um sinal

r Distância

T0 Peŕıodo fundamental

U Velocidade de escoamento

Uf Velocidade de Flutter

xn Estados do sistema

ẋ Sistema de uma dimensão

α Deslocamento angular da torção

β Deslocamento angular da superf́ıcie de comando

γ Parâmetro de forma

∆t Intervalo de duas amostras



θ Parâmetro de escala

Λ Matriz de covariância

λ Autovalor

µ Média de uma variável aleatória

Ω Frequência no tempo discreto

ω Movimento de flexão

σ2 Variância

τ Tempo de defasagem

ϕ Tempo de defasagem



Sumário

1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1 Aeroelasticidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.2 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3 Áreas de aplicação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.1 Mantenabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.3.2 A Avaliação do Ciclo de Vida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.3 Monitoramento de Integridade Estrutural (SHM) . . . . . . . . . . 33

1.4 Organização da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2 Sistemas não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1 A dinâmica não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Sistemas dinâmicos unidimensionais e bidimensionais . . . . . . . . . 40

2.3 Sistemas dinâmicos tridimensionais e a relação com o caos . . . . . . 43

3 Ferramentas tradicionais de análise de séries temporais não

lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.1 Análise em frequência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2 Reconstrução do espaço de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3 Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 A Função Densidade de Probabilidade Conjunta . . . . . . . . 66

4.1 Definição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2 Variáveis aleatórias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Distribuições de probabilidade usuais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.4 Desenvolvimento da ferramenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.5 Implementação computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5 Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.1 Implementação da J-PDF em simulações numéricas . . . . . . . . . . 89

5.1.1 Aplicação a séries temporais provindas do atrator de Lorenz . . . . 89



5.1.2 Aplicação em um sistema aeroelástico simulado com folga na su-

perf́ıcie de comando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2 Implementação da J-PDF em séries experimentais . . . . . . . . . . . 102

5.2.1 Análise a partir de séries provindas do estol dinâmico . . . . . . . . 102

5.2.2 Análise a partir casos experimentais de um modelo com folga na

estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6 Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128



19

1 Introdução

O campo da aeroelasticidade analisa e estuda a interação entre a deformação de

estruturas flex́ıveis expostas a um escoamento aerodinâmico e o esforço inercial resultante.

Alguns fenômenos aeroelásticos podem provocar deformações significativas, comporta-

mentos pouco previśıveis, mas potencialmente catastróficos. Consequentemente, torna-se

extremamente importante o seu estudo, a fim de solucionar e buscar melhorias no projeto

aeronáutico, aumentando a confiabilidade e a eficiência de uma aeronave.

Os sistemas aeroelásticos são inerentemente não lineares, especialmente no caso das

aeronaves que possuem estruturas leves e aerodinamicamente eficientes, estando sujeitas à

comportamentos distintos dos previstos por meio de métodos convencionais de aproximação

linear das equações de movimento (BISPLINGHOFF; ASHLEY; HALFMAN, 1996). A

investigação dos problemas aeroelásticos pode ser realizada através de modelos matemáticos

do processo f́ısico ou por métodos experimentais para a inspeção direta dos fenômenos. Os

resultados dos experimentos, por sua vez, podem ser utilizados em modelos semi-emṕıricos.

As metodologias para o desenvolvimento de modelos matemáticos com a finalidade

de analisar problemas aeroelásticos apresentam deficiências, principalmente pelo fato de

envolver dois meios de comportamento dinâmico diferentes, ou seja: o meio elástico que

corresponde à estrutura e o meio flúıdico que envolve tal aparato.

Os modelos matemáticos utilizados para o estudo prático da aeroelasticidade acabam

sendo viabilizados a partir de modelos independentes, tratando o problema da estrutura e

da aerodinâmica não estacionária e uma lei de acoplamento para relacionar os estados e

esforços nos respectivos modelos.

Por outro lado, ensaios experimentais permitem a observação direta do compor-

tamento de um sistema, contabilizando e analisando todos os efeitos significativos. Os

experimentos realizados na área da aeroelasticidade necessitam de uma série de medidas

simultâneas de sinais, como por exemplo o deslocamento de superf́ıcies móveis, a ace-

leração em pontos da estrutura e variações de pressões não estacionárias nas superf́ıcies

aerodinâmicas.

Em diversos casos, as medidas necessárias para o desenvolvimento do experimento

normalmente são complexas e possuem um alto custo. No entanto, para a análise de

sistemas dinâmicos não lineares, os ensaios experimentais ainda representam o método de



20

maior eficiência para resgatar caracteŕısticas importantes do sistema, por meio de respostas

no tempo de variáveis significativas (SAVI, 2006).

Na tentativa de compreender fenômenos e comportamentos, observações são fre-

quentemente feitas de maneira sequencial durante um certo peŕıodo, onde valores futuros

podem desencadear em uma série de relações com observações presentes. Esta dependência

torna viável o acesso e o entendimento da dinâmica do sistema, a qual geralmente está

contida nos dados informativos.

Nesses casos, os dados coletados são pertencentes a sistemas lineares ou não lineares.

Os sistemas lineares produzem resultados regulares, ou seja, pequenas variações geram

pequenos efeitos que são facilmente previstos por modelos matemáticos. Os sistemas não

lineares, por sua vez, possuem uma resposta que pode ou não ser irregular, complexa

e dependente das condições iniciais do experimento, apesar de serem resultados de um

processo determińıstico e não estocástico (SCHREIBER; SCHMITZ, 1997).

O termo Caos é utilizado para descrever os comportamentos complexos supracitados,

os quais têm influenciado muitos ramos da ciência, visto que os sistemas caóticos podem

apresentar uma dinâmica rica e surpreendente, permitindo explicar comportamentos

irregulares observados em sistemas aparentemente simples e determińısticos nas mais

diversas áreas de pesquisa (KANTZ; SCHREIBER, 2000).

A ligação mais direta entre o caos e o mundo real é a análise de dados provindos

de séries temporais, em termos da dinâmica não linear (KANTZ; SCHREIBER, 2004).

Um conjunto de equações diferenciais, ou um mapa, pode modelar um sistema apenas da

forma suficiente para fornecer informações relevantes (SAVI, 2002).

Desta forma, torna-se importante analisar sistemas dinâmicos a fim de conhecer

detalhes importantes sobre as suas caracteŕısticas e particularidades, não possuindo,

portanto, um modelo matemático estabelecido. Para isso, utiliza-se um conjunto de técnicas

de análise de séries temporais não lineares, com a finalidade de se obter caracteŕısticas

fundamentais do sistema que são resgatadas a partir de um conjunto discreto, numerável

de valores de uma variável de estado de um sistema dinâmico, análises no domı́nio da

frequência, reconstrução do espaço de estados, estudo de recorrência e quantificação de

invariantes, por exemplo.

Tendo em vista a necessidade de uma metodologia robusta, que seja capaz de

coletar informações importantes sobre o comportamento do sistema não linear com base



21

em uma ou mais séries temporais medidas, sugere-se a aplicação da Função Densidade de

Probabilidade Conjunta (Joint Probability Density Function, J-PDF).

A J-PDF é uma operação estat́ıstica que realiza mensurações do comportamento de

variáveis analisadas ao longo de um determinado intervalo de tempo (VENKATRAMANI;

SARKAR; GUPTA, 2018). Por meio de representações em espaços de fase, a J-PDF é

capaz de mensurar caracteŕısticas do estado atual de um sistema por meio das densidades

de probabilidades cruzadas das variáveis analisadas, permitindo a detecção de pequenas

variações no comportamento.

A partir das caracteŕısticas citadas, espera-se que, após a implementação da J-

PDF, seja posśıvel caracterizar um sistema aeroelástico e detectar pequenas flutuações

comportamentais causadas por variações de parâmetros ou mesmo aparecimento de danos

estruturais, como trincas ou fadiga, as quais, considerando-se as não linearidades presentes

no sistema, podem levar a variações significativas de amplitude de movimento da estrutura

ou mesmo falha catastrófica.

Devido a sua potencialidade, a J-PDF mostra-se adequada para ser aplicada na

forma de ferramenta anaĺıtica em processos de manutenção, como o Monitoramento da

Integridade Estrutural (Structural Health Monitoring, SHM), por exemplo, no qual a

estrutura é monitorada para que danos sejam detectados de modo simultâneo (INMAN et

al., 2005).

Implementada em diversas áreas da Engenharia, o SHM possui a finalidade, ba-

sicamente, de detectar danos estruturais em uma estrutura. Utilizando-se de sensores e

sistemas de aquisição de dados acoplados ao corpo em operação, esses dados são obtidos

e analisados a fim de determinar a existência de problemas na integridade estrutural do

objeto de estudo.

Contudo, esta técnica não possui capacidade de apontar futuras divergências

decorrentes de mudança de estados causados por anomalias não lineares. Consequentemente,

o SHM pode analisar de forma incoerente determinados resultados quando há a presença de

efeitos não lineares. Devido a isso, a integração da J-PDF com tal sistema pode ampliar e

otimizar resultados úteis para a determinação da integridade de uma estrutura, analisando

as probabilidades das variáveis e, consequentemente, a previsibilidade do sistema.



22

1.1 Aeroelasticidade

Quando um sistema aeronáutico em condições de voo sofre deformações que modi-

ficam a aerodinâmica da aeronave devido a fatores relacionados a mecânica dos fluidos,

mecânica dos sólidos ou dinâmica inercial, torna-se necessário analisar os fenômenos

ocorridos tendo como base os conceitos da aeroelasticidade.

A aeroelasticidade abrange a ciência que estuda as interações existentes entre as

forças aerodinâmicas, inerciais e elásticas que influenciam no estado de uma estrutura

aeroelástica (WRIGHT; COOPER, 2007). As aeronaves atualmente apresentam flexibilida-

des estruturais que podem resultar no surgimento de fenômenos aeroelásticos, capazes de

causar a alteração da distribuição de sustentação e deformações estruturais, logo, a análise

de um sistema aeroelástico busca obter respostas do sistema acoplado aeroestrutural, a

fim de caracterizar posśıveis efeitos estruturais e evitar danos significativos.

Uma descrição conhecida por representar os conceitos que envolvem a aeroelastici-

dade é o triângulo aeroelástico de Collar, conforme a Figura 1, por evidenciar de forma

clara todos as relações existentes entre as forças presentes na aeroelasticidade (COLLAR,

1946).

As forças decorrentes do escoamento do fluido, da aceleração e das deformações,

quando relacionadas separadamente, podem resultar em casos de estabilidade e controle,

dinâmica estrutural e aeroelasticidade estática. Quando analisa-se o efeito conjunto,

o resultado é um sistema acoplado aerodinâmica e estruturalmente, de forma que as

deformações provocam alterações no carregamento aerodinâmico, que por sua vez podem

provocar mais deformações. Sob a ação de forças iniciais, o comportamento resultante é

chamado de aeroelasticidade dinâmica.

A integridade de uma estrutura diante do efeito do escoamento de um fluido é

considerada como um dos problemas mais comuns na aeroelasticidade. Basicamente, a

variação da velocidade de escoamento faz com que forças aerodinâmicas que atuam no

sistema possam interagir com a estrutura, podendo causar excitação e acoplamento de

modos de vibração até ocasionar uma instabilidade em uma condição de voo.

O sistema aeroelástico mais comum é o constitúıdo por uma seção t́ıpica de uma

asa, ou aerofólio, com ao menos um grau de liberdade exposta à um escoamento. Um

aerofólio, como pode ser visto na Figura 2 apresenta algumas caracteŕısticas importantes



23

Figura 1 – Representação do triângulo de Collar.

Fonte: (COLLAR, 1946).

que recebem nomenclaturas espećıficas na aeronáutica, como o bordo de ataque, onde se

inicia a divisão do fluxo e altera as caracteŕısticas do escoamento do fluido ao longo das

superf́ıcies, e o bordo de fuga, região da parte traseira do aerofólio. Os pontos citados

definem a linha média do aerofólio, a qual divide a superf́ıcie inferior e superior da estrutura.

Além disso, existe também a corda, referente a linha reta entre os bordos e é representada

por c, o arqueamento que é indicado pela distância entre a linha média e a corda, e a

espessura que representa a distância entre as superf́ıcies.

Figura 2 – Caracteŕısticas e nomenclatura de um aerofólio.

Fonte: (ANDERSON, 2015).

A Figura 3, por sua vez, demonstra o aumento do ângulo de ataque do aerofólio. É

posśıvel verificar o ângulo de ataque (α), representado pela inclinação entre o vento relativo

e a corda, as forças de sustentação, aerodinâmica, arrasto e a velocidade do escoamento,



24

definida por U∞, Além disso, a distribuição da pressão resulta no momento indicado por

M .

Figura 3 – Forças atuantes devido a incidência do aerofólio.

Fonte: (ANDERSON, 2015).

A aeroelasticidade pode ser dividida em estática e dinâmica. A aeroelasticidade

estática estuda a relação entre os efeitos aerodinâmicos produzidos por um escoamento

onde a velocidade e pressão não variam com o tempo, denominado por escoamento

estacionário (BISPLINGHOFF; ASHLEY, 2013). Um exemplo de fenômeno aeroelástico

estático é a divergência, que ocorre quando uma superf́ıcie sofre o processo de deflexão

estática causada por um carregamento aerodinâmico estacionário, resultando no aumento

da carga e da deformação até o ponto de gerar falhas na estrutura da superf́ıcie. Como os

efeitos do escoamento não variam com o tempo na aeroelasticidade estática, é posśıvel

representá-los por meio de um conjunto de equações lineares.

Por outro lado, a aeroelasticidade dinâmica envolve os efeitos não estacionários

gerados pela interação entre o carregamento aerodinâmico e as deformações causadas pelas

forças inerciais e elásticas da superf́ıcie sustentadora. O Flutter é um fenômeno presente

na aeroelasticidade dinâmica que envolve um movimento oscilatório autossustentado,

de amplitude crescente que ocorre a partir de uma velocidade cŕıtica do escoamento.

Ao ultrapassar tal velocidade, qualquer pertubação é capaz de resultar no aumento

da amplitude das oscilações da superf́ıcie sustentadora (BISPLINGHOFF; ASHLEY;

HALFMAN, 1996).



25

Além do Flutter, é comum os fenômenos de Buffeting e Galloping na aeroelastici-

dade dinâmica. O Buffeting é a resposta transitória dos componentes estruturais devido a

impulsos aerodinâmicos produzidos pela fuselagem ou pela esteira atrás das asas (SER-

RANO, 2010). O Galloping, por sua vez, representa uma instabilidade comum relacionada

à cabos de linhas de transmissão, uma deformação causada por exemplo pelo acúmulo de

gelo causa o aparecimento de forças aerodinâmicas que interagem com os cabos e provocam

um movimento caracteŕıstico, podendo causar rompimento de cabos ou quebra de torres

de transmissão de energia.

Muitas vezes, os fenômenos aeroelásticos dinâmicos geram comportamentos nos

quais as teorias e equações lineares não podem ser utilizadas. Em um sistema linear, o

entendimento das suas condições iniciais permite que um estado futuro seja conhecido,

algo que não ocorre com facilidade em sistemas não lineares. Esses sistemas por sua vez,

são gerados a partir de fontes conhecidas de efeitos não lineares em aeroelasticidade,

como a separação do escoamento, a turbulência, efeitos de compressibilidade e problemas

estruturais como grandes deformações e folgas. (JUNIOR; VASCONCELLOS; MARQUES,

2018).

As aeronaves atuais possuem caracteŕısticas que buscam incremento da velocidade

e leveza, resultando em estruturas altamente flex́ıveis expostas à um escoamento de alta

energia. Inevitavelmente, as estruturas estão sujeitas a grandes deformações e, conse-

quentemente, à efeitos não lineares (FILHO, 2020). Como consequência, a aeronave pode

apresentar movimentos autossustentados, por exemplo, como a Oscilação Ciclo Limite,

que ocorre quando ocorre após uma instabilidade o sistema converge para uma oscilação

com amplitude finita, tal efeito é denominado LCO, do inglês Limit Cycle Oscillation

(ALONSO; JAMESON, 1994). Por outro lado, quando as oscilações não são periódicas e

senśıveis a condições iniciais do sistema, o comportamento é caracterizado como caótico.

O comportamento caótico é caracterizado por oscilações não periódicas, que possuem

múltiplas frequências e pode apresentar grande variação de amplitude. Nessa situação, o sis-

tema, apesar de determińıstico perde previsibilidade com a evolução temporal. Um sistema

caótico é dependente da condição inicial, ou seja, as soluções geradas a partir de pequenas

mudança das condições iniciais passam a demonstrar comportamentos aparentemente

descorrelacionados entre si com a evolução temporal (SIMONI, 2007).

Como mencionado previamente, as não linearidades em sistemas aeronáuticos

podem ser classificadas entre estruturais e aerodinâmicas. Normalmente, não linearidades



26

estruturais se originam a partir de grandes deformações e problemas de junção, como

articulações e fixações. Devido a isso, a não linearidade estrutural pode ser classificada como

distribúıda ou concentrada. Para o caso das não linearidades distribúıdas, os efeitos são

considerados como espalhados ao longo de uma estrutura, enquanto que as não linearidades

concentradas relacionam-se à efeitos localizados (VASCONCELLOS, 2007). Os efeitos de

não linearidade concentradas normalmente são relacionados a momentos de restauração

elástica em junções ou articulações, onde podem surgir folgas, histerese e outras respostas

não lineares, como descritas a seguir.

Dentre as não linearidades concentradas, destacam-se os efeitos relacionados a

rigidez polinomial, onde o comportamento da mola varia com a amplitude do deslocamento,

tornando a mola mais ou menos ŕıgida, comumente indicada por hardening e softening,

respectivamente, e o amortecimento não linear seguido por folga. O comportamento de

cada efeito pode ser observado na Figura 4.

Dentre as não linearidades de origem aerodinâmica, além dos que surgem a partir

de efeitos de compressibilidade, um dos principais efeitos amplamente estudado devido aos

seus comportamentos de caracteŕısticas complexas é conhecido por estol dinâmico (VAS-

CONCELLOS; PEREIRA; MARQUES, 2016).

Basicamente, o estol dinâmico é gerado devido ao efeito da separação do escoamento,

no qual um aerofólio se movimenta, de modo que em um baixo ângulo de ataque, a carga

viabilize o aumento do ângulo de torção do aerofólio. Contudo, se tal movimento persiste,

o ângulo de ataque ocasionado pela torção irá aumentar, gerando um atraso de estol

provocado pelo vórtice de separação ocorrido no bordo de ataque, conforme a Figura 5.

Consequentemente, surge uma região de baixa pressão no extradorso do aerofólio.

O processo do fenômeno prossegue com o vórtice seguindo do bordo de ataque para

o bordo de fuga, resultando na separação completa do escoamento e gerando um momento

de arfagem negativo que reduz de forma impactante o ângulo de ataque. Tal efeito pode

provocar sérios danos estruturais ou até mesmo graves acidentes. O estol dinâmico ocorre

de modo frequente em pás de helicópteros. (LEISHMAN; BEDDOES, 1989)

O fenômeno possui grande complexidade, dificultando ou até inviabilizando a

elaboração de modelos matemáticos de alta fidelidade. Modelos de ordem reduzida ou

semi-emṕıricos têm sido empregados, no entanto, a análise de dados experimentais ainda

representa a melhor forma de entender e buscar informações úteis para a elaboração de

modelos mais precisos. Dentre as possibilidades de abordagem de sistemas aeroelásticos



27

Figura 4 – Não linearidades estruturais comuns em sistemas dinâmicos.

Fonte: (WORDEN; TOMLINSON, 2001).

não lineares, pode-se citar o uso de técnicas de análise de séries temporais que podem

ser aplicadas a dados de modelos matemáticos e experimentos. Novas ferramentas que

possam contribuir com o conjunto de análises já existentes, de maneira eficiente, na

extração informações úteis para a caracterização, identificação ou monitoramento de

sistemas aeroelásticos são de suma importância. Tendo em vista os fatos abordados, é

evidente e compreenśıvel a importância do desenvolvimento de técnicas para o estudo

de sistemas aeroelásticos não lineares, visando aumentar a confiabilidade, segurança e o

desenvolvimento de sistemas aeronáuticos mais eficientes.



28

Figura 5 – Representação da separação do escoamento e geração de vórtices.

Fonte: (MCDOWELL, 2013).

1.2 Objetivo

O objetivo do presente trabalho envolve a implementação e prospecção da viabilidade

da utilização da J-PDF em séries temporais aeroelásticas não lineares, a fim de verificar a

sua potencialidade na caracterização de sistemas aeroelásticos. As séries temporais são

provindas de modelos simulados e coletadas por experimentos realizados pelo grupo de

pesquisa. Para tanto, implementou-se a J-PDF por meio de um algoritmo robusto e eficiente,

capaz de representar o espaço de fase em termos de densidade de probabilidade conjunta,

com capacidade de análise qualitativa por observação e quantificação de indicadores que

podem caracterizar o comportamento não linear e detectar transições de comportamento.

1.3 Áreas de aplicação

1.3.1 Mantenabilidade

A mantenabilidade é um conceito vasto, no qual pode ser implementado em diversas

áreas onde envolvem processos de produção (SERRANO, 2010). Na engenharia estudam-se

formas de otimizar os procedimentos para a execução de manutenção, envolvendo estudos

loǵısticos e de otimização desde a fase de projeto até a utilização final do produto, incluindo

situações e cenários em que determinados reparos devem ser realizados, para que o produto

apresente a máxima confiabilidade com o menor custo de operação durante seu ciclo de

vida (KARDEC; NASCIF, 2009).



29

Especialmente no segmento aeronáutico, os conceitos associados à mantenabilidade

são important́ıssimos e devem ser aplicados desde a fase de projeto, de forma a garantir

a confiabilidade e a redução dos custos de manutenção, incluindo-se o tempo em que a

aeronave ficará fora de operação.

Durante a fase operacional, torna-se importante a capacidade de previsão de falhas,

de forma que a partir da detecção da falha ou a possibilidade de falha iminente, todas as

providências relativas à segurança sejam tomadas e toda a cadeia loǵıstica seja mobilizada,

possibilitando uma manutenção rápida e efetiva, garantindo segurança, disponibilidade e

evitando maiores prejúızos aos operadores.

A prática da mantenabilidade em um produto ou um processo está associada a dois

panoramas, de modo que a aplicação do conceito ocorre a fim de eliminar a probabilidade

de futuras falhas ou quando a execução transcorre apenas quando um problema é detectado

e deve ser solucionado (SERRANO, 2010). Para ambos os casos, a qualidade e o custo

da manutenção são considerados como questões extremamente relevantes na análise da

integridade estrutural do produto, de forma que o cenário ideal ocorre quando a manutenção

é feita no menor custo posśıvel, mas, mantendo o produto com uma alta qualidade de

duração e operação (LEMOS; ALBERNAZ; CARVALHO, 2011).

As manutenções podem ser divididas entre manutenção preditiva, preventiva e

corretiva. A manutenção preditiva envolve a inspeção dos equipamentos presentes em uma

máquina ou produto de forma periódica. A partir de tal análise, é posśıvel acompanhar de

forma detalhada a vida útil do material, verificando se existem posśıveis causas que estejam

antecipando o seu tempo de operação (SERRANO, 2010). Normalmente, em aeronaves,

são realizados testes de vibração.

A aplicação da manutenção preditiva garante alguns fatores, como a indicação de

uma manutenção antecipada a fim de garantir a integridade da estrutura e reduzir o tempo

de inatividade, reduzindo de forma significativa os custos de manutenção.

A manutenção preventiva, por sua vez, envolve a prevenção de uma falha ou dano

na estrutura. Desse modo, atividades como revisão sistemática e inspeção de equipamentos

são realizados. Apesar de possuir certa similaridade, a manutenção preventiva também é

utilizada para corrigir posśıveis falhas no sistema, fator que não ocorre nas manutenções

preditivas, de modo que esta última realiza processos para evitar danos e não corrigi-los.

Devido a isso, as atividades realizadas na manutenção preditiva se diferem das realizadas

na manutenção preventiva.



30

Por fim, a manutenção corretiva ocorre quando o equipamento apresenta alguma

irregularidade e necessita de um reparo. Isso significa que tal manutenção é realizada

somente quando a falha é detectada. Apesar de ser crucial para manter a integridade

e confiabilidade de um sistema, a manutenção corretiva pode causar um maior tempo

de inatividade, visto que as manutenções preventiva e preditiva não foram realizadas

corretamente.

A Figura 6 ilustra um fluxograma onde se resumem as ações efetuadas durante

a aplicação da mantenabilidade. A priori, são elaboradas propostas de mantenabilidade,

onde todas as questões fundamentais para garantir a eficiência do processo de manutenção

são estudados. Posteriormente, o melhor plano é aplicado no projeto de mantenabilidade,

com a ideia de evitar posśıveis danos no produto causados principalmente por falhas de

processos, elétricas ou mecânicas. Por fim, é feita a avaliação do sistema e avaliar se de

fato a técnica de mantenabilidade foi empregada de modo efetivo.

Figura 6 – Fases de elaboração do projeto de mantenabilidade.

Fonte: (SERRANO, 2010).

Associando o conceito citado com o presente trabalho, a J-PDF deve ser aplicada

no terceiro bloco do fluxograma. Com isso, a medição e avaliação do método é realizada

investigando as caracteŕısticas dos sinais coletados, de modo que a densidade da função

representa a probabilidade de mudanças no comportamento do sistema, tornando-se

posśıvel a previsão de futuras falhas. Por fim, analisa-se o resultado das medições, de

forma que se for detectado posśıveis falhas, é necessário retornar para o plano inicial de

mantenabilidade.

1.3.2 A Avaliação do Ciclo de Vida

A indústria aeronáutica possui diversos padrões de tecnologia e técnicas que pro-

porcionam a operação de uma aeronave com uma alta eficiência e a segurança de quem



31

a utiliza. Contudo, a aplicação da Avaliação do Ciclo de Vida (ACV) em equipamentos

aeronáuticos tem ganhado destaque na área atualmente (JOHANNING; SCHOLZ, 2014).

A ACV é uma área responsável por avaliar o ciclo de vida de um produto, apontando

estágios onde ocorrem atividades com alto potencial de impactos ambientais. Além disso,

a ACV permite a avaliação de melhorias e alternativas que garantam o desenvolvimento e

a operação de um dispositivo com processos sustentáveis (COLTRO, 2007).

Inicialmente, existiam diversas metodologias para a implementação da ACV, o que

resultava em diferentes conclusões perante um mesmo objeto. Logo, para a realização da

avaliação são definidos quatro processos básicos para a análise dos impactos existentes,

conforme a Figura 7.

Figura 7 – Processos de uma ACV.

Fonte: (BARROS; LIBRELOTTO, 2017).

A primeira ação a ser feita na elaboração da ACV é a Definição do Objetivo e

Escopo, onde o produto e o objetivo a ser analisado são definidos, além do direcionamento

do método de estudo a ser desenvolvido. Apesar das determinações serem feitas nesta fase,

o objetivo e os procedimentos realizados podem ser alterados de acordo com as informações

coletadas ao longo do estudo.

Posteriormente, é aplicada a etapa de Análise de Inventário, designada por conter um

fluxograma dos processos a serem analisados, além das informações de todas as atividades

necessárias para a extração do material, manufatura do produto, manutenção, informações

de operação e técnicas de descarte. Nesta fase, destaca-se principalmente o levantamento



32

de dados do consumo de energia e as caracteŕısticas do produto em determinados cenários,

sendo considerados como dados significativos para o entendimento do estado do material

e, consequentemente, alternativas para a diminuição de impactos ambientais.

A próxima fase do processo envolve a Avaliação de Impacto do Ciclo de Vida

(AICV), onde os dados coletados são interpretados e ponderados de acordo com o ńıvel de

impacto detectado. Porém, o estudo realizado pode haver diversas modificações, desde

a normalização de dados até melhorias de análises com a adição de dados no inventário.

Para isso, é feita a última fase da ACV denominada interpretação, onde a integridade do

sistema e as conclusões finais da avaliação são abordadas.

Apesar de acesśıvel para alguns objetos de análise, a elaboração de uma ACV

pode ser extremamente complexa quando um produto é formado por diversos materiais e

dispositivos. A complexidade e a quantidade de ńıveis na cadeia produtiva são alguns dos

principais desafios para a aplicação da ACV na aeronáutica.

Somente a estrutura de uma aeronave Airbus A350 representada na Figura 8,

por exemplo, contém quatro materiais na sua estrutura, sendo eles o alumı́nio, carbono,

monolito e vidro. Desse modo, a execução de uma ACV tomando como base um elemento e

admitindo que os outros materiais que compõe o restante da aeronave são irrelevantes para

uma avaliação, podem resultar em conclusões incorretas, mascarando posśıveis impactos

ambientais.

Figura 8 – Distribuição de materiais na estrutura de uma aeronave Airbus A350.

Fonte: Adaptado de (MCCONNELL, 2011).

Em cenários como esse, a alternativa se dá em aplicar a ACV em etapas do ciclo de

vida do produto, como a extração de matéria prima, a manufatura, o uso e o descarte. Uma

das subetapas da fase de uso da aeronave é a manutenção, por apresentar significativos



33

impactos no Custo do Ciclo de Vida (CCV), e por ter relação direta com a extensão

ou redução do ciclo de vida da aeronave, sugerindo significativos potenciais de impactos

ambientais. Sendo assim, a J-PDF pode auxiliar tanto na subfase de manutenção, como

também na análise de dados na fase do inventário, gerando informações valiosas nos

materiais utilizados em uma estrutura.

Desse modo, o presente trabalho associa a ACV na etapa da mantenabilidade,

uma área extremamente importante não apenas para a indústria aeronáutica, mas para o

desenvolvimento de qualquer dispositivo ou processo.

1.3.3 Monitoramento de Integridade Estrutural (SHM)

Os sistemas de Monitoramento de Integridade Estrutural possuem o objetivo de

detectar danos estruturais, não necessariamente sendo obrigatória a identificação do

dano de modo simultâneo. Existem diversos campos de aplicação, como a aeronáutica

e a aeroespacial na análise de estruturas de aviões, helicópteros e satélites, a área civil

para projetos de edif́ıcios e estradas, ou até mesmo a área mecânica para a avaliação de

estruturas automotivas.

De forma sucinta, a realização do SHM se dá na instalação de sensores capazes

de detectar os danos ocorridos e de dispositivos cujo objetivo envolve analisar os sinais

coletados pelos sensores e fornecer informações relevantes da integridade estrutural do

sistema analisado, conforme o esquemático apresentado na Figura 9, onde ambos os

aparatos são instalados na estrutura observada.

O dano pode ser entendido como qualquer tipo de alteração na estrutura capaz de

afetar o seu desempenho ao longo do seu estado de operação. A alteração causada por um

dano pode ser constatada por aspectos encontrados na rigidez e na dissipação de energia,

por exemplo (BAPTISTA; FILHO, 2010).

Inicialmente, é necessário caracterizar o que é um dano. A avaliação de tal efeito é

realizada por meio de comparações entre dois estágios distintos da estrutura, sendo eles o

estado ı́ntegro do sistema e as suas variações após eventos distintos. Consequentemente, a

influência do dano resulta na variação da resposta dinâmica da estrutura.

A importância da aplicação do SHM pode ser relacionada no âmbito cientifico, por

meio de pesquisas voltadas para métodos de monitoramento e detecção de danos estruturais



34

Figura 9 – Processos para a aplicação do SHM em estruturas aeronáuticas.

Fonte: (YANG et al., 2019).

visando sistemas mais seguros, como também ao associar pontos de vista econômicos, de

modo que os sistemas nos quais possuem monitoramento de integridade estrutural permitem

uma economia significativa quando necessária a prática da manutenção (BAPTISTA;

FILHO, 2010). Em sistemas avançados de monitoramento, segundo Rytter (1993) é preciso

realizar determinados passos para a realização da detecção, sendo eles:

• Detecção da existência de dano;

• Localização do dano na estrutura;

• Identificação do dano;

• Avaliação da sua extensão;

• Determinação do tempo restante de vida útil da estrutura.

O campo aeronáutico, atualmente, possui um elevado ńıvel de segurança quando

avaliada a estrutura dos aparatos, contudo, tal área é considerada como uma das que mais

aplicam o conceito do SHM, de modo que os custos de manutenção podem ser reduzidos

cerca 27% do custo do ciclo de vida (KESSLER; SPEARING; SOUTIS, 2002).

Os custos que incluem os processos de manutenção são reduzidos por meio da

detecção de danos em um estágio inicial. Por outro lado, os gastos indiretos que envolvem

o tempo em que a aeronave ficaria sem operação também são diminúıdos (BAPTISTA;

FILHO, 2010).

Uma técnica utilizada amplamente para o monitoramento estrutural é nomeada

por uso de ondas guiadas. Tais ondas guiadas são definidas como ondas mecânicas nas



35

quais se propagam ao longo da estrutura ou em elementos estruturais, cujas dimensões são

comparáveis ao comprimento da onda guiada (CHARUTZ et al., 2013).

Para a detecção dos danos, podem-se utilizar sensores de transdução piezoelétrica

de transmissão ativa (PZT), localizados em regiões espećıficas da estrutura. Basicamente,

um hardware gera e recebe as ondas guiadas, informando as caracteŕısticas da estrutura.

Posteriormente, são realizados processamentos digitais nos sinais registrados pelos trans-

dutores e realizados métodos avaliativos da integridade do sistema (YANG et al., 2019). A

Figura 10 ilustra parte de uma asa onde são aplicados dispositivos piezoelétricos ao longo

da estrutura, formando uma rede de sensores.

A técnica proposta no presente trabalho poderia ser incorporada às técnicas de

processamento para detecção dos danos à partir dos sinais gerados, auxiliando na caracte-

rização de posśıveis danos estruturais.

Figura 10 – Esquematização de uma rede de sensores instalados na estrutura de uma asa.

Fonte: (YANG et al., 2019).

1.4 Organização da Dissertação

A continuação do trabalho consiste em cinco Caṕıtulos. No Caṕıtulo 2, é introduzida

a fundamentação teórica referente aos sistemas não lineares, onde são apresentadas carac-

teŕısticas, posśıveis comportamentos e desafios de análise. No Caṕıtulo 3, são apresentadas

as ferramentas tradicionais que são utilizadas atualmente para classificar e compreender

fenômenos complexos gerados por efeitos não lineares a partir de séries temporais. No

Caṕıtulo 4, é abordada a teoria por trás do método estat́ıstico proposto para analisar séries

não lineares, bem como a sua implementação computacional. Os resultados obtidos após a

realização de simulações em modelos teóricos e práticos são encontrados no Caṕıtulo 5.



36

Finalmente, as principais conclusões da pesquisa e sugestões para trabalhos futuros são

apresentadas no Caṕıtulo 6.



37

2 Sistemas não lineares

Neste Caṕıtulo é desenvolvida uma breve fundamentação teórica referente a sistemas

não lineares, com a finalidade de demonstrar a importância de analisar fenômenos f́ısicos

considerando os efeitos não lineares. Sendo assim, é abordada na Seção 2.1 a definição de

sistemas não lineares, na Seção 2.2 a definição de sistemas dinâmicos unidimensionais e

bidimensionais, e por fim, a Seção 2.3 demonstra a relação de um sistema de três dimensões

com o comportamento caótico.

2.1 A dinâmica não linear

Um sistema dinâmico, normalmente, é representado por meio de equações diferenci-

ais, capazes de descrever a evolução do sistema ao longo do tempo. Uma outra alternativa

de indicar um sistema dinâmico seria a utilização de mapas iterativos, porém, há uma

diferença significativa entre as metodologias, de modo que as equações diferenciais são

usadas no tempo cont́ınuo, enquanto que nos mapas iterativos, o sistema é analisado no

tempo discreto (YEUNG; STROGATZ, 1998).

Independentemente do método de análise, um sistema dinâmico evolui no tempo,

permitindo a sua caracterização por uma equação diferencial:

dxn
dt

= fn(x1, ..., xn) (1)

onde x1, ..., xn são os estados do sistema e fn determinam as caracteŕısticas do mesmo, e

consequentemente, indicam se o sistema é considerado como linear ou não linear.

A definição de linearidade parte do prinćıpio da superposição de efeitos, na qual

estabelece que um dado efeito pode ser avaliado por meio da superposição de efeitos

decorrentes de várias causas. De um modo geral, isto não pode ser considerado em sistemas

não lineares (SAVI, 2006).

Os sistemas dinâmicos lineares estão presentes em diversos campos de pesquisa,

devido a facilidade de detectar eventos frequentes com caracteŕısticas lineares. Os sinais

que compõe comportamentos lineares podem ser classificados como autônomos, ou seja,

sem dependência espećıfica do tempo. Nesses casos, a evolução do sistema no tempo é



38

identificada por meio da função dos autovalores da matriz de coeficientes (THIELO, 2000).

Por meio do desenvolvimento de oscilações periódicas é posśıvel encontrar a sua solução.

Supondo uma matriz Anxn com valores randômicos, existe um valor cuja variável

denominada por λ é conhecida por ser o valor caracteŕıstico, ou então o autovalor de A se

existe um vetor não nulo x ∈ Rn, onde:

Ax = λx (2)

sendo que os vetores x não nulos que cumprem a equação (2) são denominados autovetores.

Os sistemas em geral descrevem diversos fenômenos e conceitos explicados pela f́ısica.

Basicamente, um sistema é constitúıdo de componentes caracteŕısticas interconectadas,

caracterizadas pelas relações de entrada e sáıda, ou seja, os sinais são analisados de acordo

com as suas condições iniciais e o comportamento do seu estado após a sua aplicação a

determinado cenário.

De forma conveniente, um sistema dinâmico pode ser classificado como uma caixa

preta, onde são aplicadas as fontes de entrada x1(t), x2(t), ..., xn(t), gerando-se as variáveis

y1(t), y2(t), ..., yn(t) que posteriormente serão analisadas. Quando a sáıda de um sistema é

proporcional a sua entrada, classifica-se o sistema como linear (LATHI, 2006). Além da

condição de proporcionalidade, um sistema também é determinado por um comportamento

aditivo, de forma que o resultado obtido na sáıda do sistema é equivalente a soma de todas

as suas entradas. Desse modo, se:

x1 → y1;x2 → y2 (3)

x1 + y1 → x2 + y2 (4)

Um sistema dinâmico linear também respeita a propriedade da homogeneidade, na

qual envolve a proporção das variáveis. Se uma constante k é multiplicada pela entrada x,

a sáıda y também é multiplicada por k:

x→ y (5)

kx→ ky (6)



39

Diferentemente dos sistemas lineares supracitados, os sistemas não lineares descre-

vem com maior precisão os fenômenos naturais analisados pela f́ısica, visto que tais eventos

ocorrem devido a inúmeros fatores e comportamentos de diferentes fontes. Suas análises

podem ser feitas por meio de equações anaĺıticas, diferenciais ordinárias e integrais, por

exemplo.

O modelo matemático de um sistema dinâmico proporciona uma descrição quadro

a quadro da realidade, possuindo duas possibilidades distintas: equações diferenciais, que

são fluxos cont́ınuos no tempo e no espaço; e mapas, que descrevem a evolução no tempo

de um sistema expressando seu estado como uma função do instante anterior. Dessa forma,

um mapa é um sistema dinâmico discreto e uma de suas utilidades é auxiliar na análise

de modelos descritos por equações diferenciais. Trata-se de uma versão discreta de uma

equação diferencial.

Por sua vez, as equações diferenciais podem ser divididas em dois grupos: equações

diferenciais parciais, que possuem caracteŕısticas espaço-temporais e equações diferenciais

ordinárias que descrevem apenas as caracteŕısticas temporais do sistema.

O modelo matemático do sistema dinâmico é uma equação de movimento que

governa a evolução do sistema dinâmico desde um instante até outro, proporcionando

uma descrição quadro a quadro da realidade. No estudo da dinâmica não linear e caótica,

muitas pesquisas são desenvolvidas para tratar sistemas dinâmicos descritos por modelos

matemáticos simples. A respeito da simplicidade desses modelos, sua resposta pode exibir

um comportamento complexo e bastante interessante. Cada um desses sistemas possui

uma dinâmica muito rica, pasśıvel de exibir um comportamento caótico.

Basicamente, um sistema dinâmico não linear pode ser indicado como um sistema

com um elo de retroalimentação no qual a sáıda de um elemento não é proporcional à sua

entrada (DRAZIN; DRAZIN, 1992). Os sistemas não lineares, como supracitado, pode ser

descrito por meio de uma equação diferencial:

xn+1 = f(xn) + g(t) (7)

onde f(xn) é uma variável que pode variar constantemente de acordo com as condições

iniciais do sistema. A análise de uma série não linear, diferentemente dos sistemas lineares

cujas soluções são obtidas por meio de resoluções das séries algébricas, necessitam de

ferramentas robustas de análise devido a sua complexidade. Uma das primeiras alternativas



40

de análise, por exemplo, envolve a discretização do sinal, no qual pode ser feito por meio

do mapa de Poincaré.

Os sistemas não lineares possuem um alto grau de complexidade, o que impossibilita

a aplicação de algumas técnicas implementadas em sistemas dinâmicos lineares. Assim, em

diversos casos a solução anaĺıtica do sinal não é viável, fazendo com que seja necessária a

coleta de informações do sistema, capazes de descrever as caracteŕısticas que o sistema

possui.

As soluções de um sistema dinâmico não linear são indicadas por curvas no espaço

de diversas dimensões, conhecidas por trajetórias. O espaço de n-dimensões por sua vez

é denominado de espaço de estados. A partir do espaço de estados é obtido informações

relevantes que auxiliam no entendimento do sistema analisado. Para a determinação

do espaço de estados, além da resolução do sistema anaĺıtico, utilizam-se técnicas de

reconstrução do espaço de estados por meio de séries experimentais (SIMONI, 2007).

2.2 Sistemas dinâmicos unidimensionais e bidimensionais

Define-se um sistema como um conjunto de informações agrupadas devido a efeitos

que geram a interação ou interdependência entre elas, gerando relações de causa e efeito

nos fenômenos consequentes com os elementos desse conjunto (MONTEIRO, 2002). A

caracterização das informações presentes em um sistema é realizada a partir de grandezas

que sofrem variações ao longo do tempo.

Como supracitado, um sistema dinâmico é representado por equações diferenciais,

logo, a quantidade de variáveis presentes no sistema definem a sua dimensão no espaço

de estados. Os sistemas dinâmicos unidimensionais, por exemplo, descrevem equações

loǵısticas para uma única espécie (mapa loǵıstico unidimensional) e pontos fixos, visto que

os mesmos necessitam de uma variável para solucionar a equação diferencial. Sendo assim,

os sistemas de apenas uma dimensão podem ser descritos por meio de:

ẋ = f(x) (8)

A equação (8) define que f é influente diante das variações de estado de x, definindo

o instante no tempo posterior. A partir do momento em que tem-se o ponto fixo do sistema



41

para os pontos de x, as trajetórias próximas ao ponto fixo podem ser atráıdas ou repelidas,

visto que o mesmo pode ser classificado de formas distintas.

O ponto fixo pode ser classificado como poço, ponto de sela e fonte, como pode

ser visto na Figura 11. Quando as trajetórias são atráıdas para um ponto fixo estável,

define-se que o sistema é atráıdo por um ponto fixo do tipo poço, considerando-o como um

atrator. Por outro lado, quando o ponto fixo repele as trajetórias que passam próximas por

ele, classifica-se como fonte. Além disso, existem os casos em que determinadas trajetórias

são repelidas, enquanto que outras são atráıdas para um ponto. Nesse caso, o ponto fixo é

do tipo sela (VASCONCELLOS, 2007).

Figura 11 – Representação de um ponto fixo para a) Poço, b) Fonte e c) Sela.

Fonte: (STROGATZ, 2018).

A estabilidade de um ponto fixo depende dos autovalores do sistema, normalmente

indicados por λ′, conceito que será abordado com maior detalhamento posteriormente. O

termo da derivada presente no autovalor permite identificar o tipo de ponto fixo presente

no sistema, de forma que se a operação resultar em um valor positivo, significa que o

ponto fixo é do tipo fonte, indicando uma instabilidade no sistema. Da mesma forma, se a

derivada gera um valor negativo, o ponto fixo é do tipo poço, referente a um comportamento

estável, e por fim, se o valor final for igual a zero, o ponto fixo é do tipo sela.

A determinação do tipo de ponto fixo possibilita a dedução do comportamento

das trajetórias ao longo do espaço de estados, assim, em sistemas unidimensionais as

trajetórias possuem apenas um direcionamento, ou seja, existe somente a atração para

pontos fixos estáveis ou então repulsão de pontos fixos instáveis (VASCONCELLOS, 2007).

Os sistemas dinâmicos bidimensionais, por sua vez, podem possuir maiores variações de

comportamento ao longo da evolução do tempo, o que resulta em um outro exemplo de

atrator.



42

Para um melhor entendimento, sugere-se a análise de sistemas referentes a pêndulos

e osciladores harmônicos, no qual é descrito por equações de segunda ordem. A equação

do balanço de um pêndulo, também conhecida por equação de Mathieu, é dada por:

ẍ+
g

L
sen(x) = 0 (9)

onde g representa a gravidade, L o comprimento da haste, x representa o ângulo atual e ẋ

a velocidade angular do sistema.

Para solucionar tal equação, é preciso de duas variáveis que caracterizem o espaço

de estados, assim, é posśıvel representar o sistema dinâmico bidimensional a partir de duas

equações:

ẋ1 = f1(x1, x2) (10)

ẋ2 = f2(x1, x2) (11)

Em um caso bidimensional, o sistema é dependente de duas variáveis, logo, consideram-

se quatro derivadas parciais. Portanto, o comportamento do ponto fixo deste sistema

depende das quatro derivadas, sendo que cada ponto fixo possui dois autovalores reais

ou complexos (HILBORN et al., 2000). A resolução do sistema é realizada por meio de

uma expansão em séries de Taylor nas vizinhanças do ponto fixo e ignorando termos de

derivada que são maiores que 1. O resultado de tal método são duas equações lineares de

primeira ordem com coeficientes constantes, os quais são utilizados para a formulação da

matriz Jacobiana, definida por:

f11 f12

f21 f22

 (12)

A identificação do ponto fixo pode ser vista na Tabela 1, na qual apresenta o

traço das matriz Jacobiana resultante da somatória dos termos na diagonal principal,

representado por TrJ e o valor determinante da matriz, indicado por ∆.

A Figura 12 apresenta as possibilidades para os pontos fixos no espaço de estados de

um sistema bidimensional, sendo os quatro comportamentos não oscilatórios das trajetórias

supracitados na Tabela 1, além dos casos onde há oscilação.



43

Tabela 1 – Definição do atrator bidimensional.

Condição TrJ < 0 TrJ > 0
∆ > (1/4)(TrJ)2 poço espiral (atrator) fonte espiral (repulsor)

0 < ∆ < (1/4)(TrJ)2 poço (atrator) fonte (repulsor)
∆ < 0 ponto sela (tipo 1) ponto sela (tipo 2)

Fonte: (VASCONCELLOS, 2007).

Figura 12 – Ponto fixo em um sistema bidimensional para a) Poço, b) Fonte, c) Sela tipo 1,
d) Sela tipo 2 e comportamento oscilatório para e) Centro, f) Espiral estável
e g) Espiral instável.

Fonte: (SAVI, 2006).

2.3 Sistemas dinâmicos tridimensionais e a relação com o caos

Devido a sensibilidade as condições iniciais do sistema, um efeito não linear pode

apresentar variações significativas devido a pequenas variações do seu sistema. Assim,

os modelos não lineares são mais reaĺısticos quando são comparados aos modelos com

aproximações lineares (SAVI, 2006).

Um sistema considerado como não linear evolui de forma aperiódica em grande

parte da sua evolução temporal. Desse modo, torna-se extremamente complexo obter uma

solução anaĺıtica para tais sistemas. Como alternativa, utilizam-se métodos numéricos,

capazes de auxiliar na análise do sistema ao longo do tempo, descrevendo o problema real

por meio de uma discretização (SAVI, 2006).

Apesar da complexidade do sistema, é posśıvel prever o seu comportamento, se as

condições iniciais não forem alteradas. Como um exemplo de comportamento não linear,

pode-se citar o atrator de Lorenz. Na Figura 13, é posśıvel verificar o comportamento do



44

sistema em termos da taxa de convecção (c), bem como a previsão da sua trajetória, mas

somente pelo fato de conhecer as condições iniciais impostas.

Figura 13 – Atrator de Lorenz com condições inicias definidas.

Fonte: próprio autor.

O atrator de Lorenz determinado por um comportamento caótico, permite demons-

trar como o estado de um sistema dinâmico evolui no tempo em um padrão complexo e

sem repetições. É posśıvel indicar este sistema determińıstico por:

dx

dt
= σ(y − x) (13)

dy

dt
= x(ρ− z)y (14)

dz

dt
= xy − βz (15)

onde σ refere-se ao número de Prandtl e ρ refere-se ao número de Rayleigh. Usualmente, os

valores de σ e β são iguais a 10 e 8/3, respectivamente, enquanto que ρ varia (HILBORN

et al., 2000).

Além da sensibilidade às condições iniciais, um efeito que consiste de comportamento

caótico determińıstico pode ser encontrado em sistemas com pelo menos três graus de

liberdade, ou seja, os sistemas dinâmicos tridimensionais podem possuir duas ou mais

equações não lineares.



45

Para o sistema tridimensional, surge o conceito de atrator superf́ıcie toroidal

(toro) e atrator estranho. O atrator estranho é detectado quando as linhas de fluxo

dependem sensitivamente das condições iniciais (TAKENS, 1981). Visto que as variações

das condições iniciais ocorrem frequentemente devido a imprecisões ou atuação de rúıdo,

a posição indefinida de uma trajetória no atrator estranho o torna impreviśıvel, fator

resultante de divergências exponenciais entre trajetórias vizinhas. A taxa de divergência

entre as trajetórias vizinhas é analisada por meio do expoente de Lyapunov, conceito que

será abordado na Seção 3.3, contudo, é importante entender que é posśıvel identificar o

comportamento de um atrator por meio do valor resultante do expoente.

Considerando um atrator tridimensional, são encontrados três expoentes, assim, se

o atrator for um ponto fixo, todos os expoentes possuirão um valor negativo, de forma que

as trajetórias convergem para um único ponto. Caso o atrator for ciclo limite, um expoente

será nulo e os outros serão negativos, onde o expoente nulo representa a direção ao longo

da trajetória. Para um atrator toroidal, dois expoentes são nulos e apenas um é negativo,

e por fim, para um atrator estranho, ao menos um expoente é positivo. Desse modo, se o

sistema possuir um atrator estranho com um expoente positivo e possui dependência das

condições iniciais, o sistema possui uma dinâmica caótica.

A caracterização de comportamentos não lineares é de suma importância para

eficiência e segurança em engenharia. O desenvolvimento ou aperfeiçoamento de técnicas

que permitam tal caracterização deve ser constante, frente aos desafios e ao surgimento de

novas tecnologias.



46

3 Ferramentas tradicionais de análise de séries temporais não lineares

Devido à complexidade existente em um sistema não linear, torna-se necessário

a aplicação técnicas capazes de resgatar informações importantes. Neste caṕıtulo serão

abordadas ferramentas tradicionais que são utilizadas no estudo de séries temporais não

lineares, bem como as vantagens e desvantagens referentes às suas implementações.

3.1 Análise em frequência

Em determinados cenários, os sinais que compõem um sistema dinâmico apresentam

caracteŕısticas que dificultam a sua análise no domı́nio do tempo, ou até mesmo o espaço

de fase apresenta informações que não são relevantes para um estudo espećıfico. Para isso,

podem ser utilizadas ferramentas que analisam o sinal no seu domı́nio da frequência.

A conversão dos domı́nios requer de métodos que mantenham a integridade das

informações do sistema. A Figura 14 apresenta um sinal de periódico de onda quadrada no

domı́nio do tempo. Por outro lado, a Figura 15 apresenta a mesma onda quadrada, porém

no domı́nio da frequência, onde tal comportamento da onda é denominado por sinc. Em

ambas as figuras, é posśıvel observar que nos dois domı́nios é posśıvel extrair informações

valiosas que indicam as caracteŕısticas de um sinal.

Figura 14 – Onda de pulso quadrado periódico.

Fonte: (LATHI; DING, 2012).

A passagem de um sinal no domı́nio do tempo para o domı́nio da frequência é

realizada por meio das séries de Fourier, quando é analisado sinais periódicos e cont́ınuos

no tempo, e a Transformada de Fourier para sinais sem periodicidade. Com tal aplicação, é

posśıvel obter a representação dos espectros dos sinais, bem como as frequências dominantes

e relativas.



47

Figura 15 – Espectro de Fourier do pulso quadrado periódico.

Fonte: (LATHI; DING, 2012).

Dado um sinal cuja função é x(t), define-se que o sinal é periódico se um valor de

peŕıodo T 6= 0 respeita a seguinte condição:

x(t+ T ) = f(t) (16)

O peŕıodo fundamental do sinal é dado por T0, logo, a frequência fundamental f0 é

dada por:

f0 =
1

T0

(17)

Contudo, a análise frequencial depende também de uma metodologia distinta, capaz

de adequar o sinal e evitar a perda de informações relevantes. Para isso, são implementadas

conversões a partir das séries de Fourier, as quais representam o sinal a partir de uma

soma de funções periódicas, representada por:

x(t) =
∞∑
i=0

aisen(ωit) + bicos(ωit) (18)

onde ai e bi são os coeficientes da série, e ω é dado por:

ω =
2π

T
(19)

Assim, a representação exponencial de uma série de Fourier de x(t) de peŕıodo T0 é:

x(t) =
∞∑

i=−∞

cie
jiω0t (20)



48

De modo que o coeficiente ci é calculado por:

ci =
1

T0

∫
T0

x(t)e−jiω0tdt (21)

Quando utilizamos o peŕıodo fundamental e k = 0 na equação (21), tem-se:

c0 =
1

T0

∫
T0

x(t)dt (22)

indicando que c0 é denominado o valor médio de x(t) sobre um peŕıodo.

Quando a função analisada não é periódica, não é posśıvel representá-la por meio

por meio de uma somatória de senos e cossenos. Logo, utiliza-se a transformada de Fourier,

dada por:

X(ω) =

∫ ∞
−∞

x(t)e−iωtdt (23)

Para um sinal discreto e aperiódico x[n], a transformada de Fourier com duração

finita é dada por:

X(Ω) = ζ {x[n]} =
∞∑

n=−∞

x[n]e−jΩn (24)

sendo Ω a frequência no tempo discreto.

Como a transformada de Fourier é aplicada de modo computacional, utilizam-se

sinais discretos com duração finita, assim aplica-se a Transformada de Fourier Discreta

(Discrete Fourier Transform, DFT). O método que apresenta resultados satisfatórios em

um curto tempo para calcular a DFT é a Transformada Rápida de Fourier (Fast Fourier

Transform, FFT).

A FFT é capaz de gerar informações significativas para uma análise qualitativa da

dinâmica do sistema por meio de técnicas de análise espectral (VASCONCELLOS, 2007).

Desse modo, informações como as frequências de oscilação do sistema são essenciais para a

caracterização de um comportamento caótico.

Apesar de apresentar resultados satisfatórios para sistemas que possuem três graus

de liberdade, a FFT não gera resultados que trazem alta confiabilidade para a caracterização

de caos quando sinais com maiores graus de liberdade são analisados (MOON, 1992).

O caos caracteriza-se por possuir harmônicos de uma frequência fundamental, o

qual gera um espectro de banda limitada. Em sinais aleatórios, normalmente as frequências



49

estão distribúıdas ao longo de todo o espectro, resultando em uma banda infinita (SAVI,

2006), porém em casos espećıficos, pode ocorrer de um sinal aleatório possuir um espectro

similar ao de um sinal caótico. Com isso, nem sempre é posśıvel diferenciar sinais de um

sistema aleatório e de um sistema caótico.

Portanto, a análise em frequência é considerada como uma ferramenta qualitativa

de caracterização do caos. Contudo, outras metodologias são utilizadas para apresentar

uma caracterização quantitativa, como por exemplo os expoentes de Lyapunov e a medida

de entropia (SIMONI, 2007). Além disso, a implementação da análise em frequência pode

possuir limitações, de acordo com a banda analisada.

3.2 Reconstrução do espaço de estados

Quando um sistema dinâmico é analisado, nem sempre é posśıvel detectar e mensurar

todas as variáveis presentes.

A reconstrução utiliza como base o teorema de imersão de Takens. Apesar do espaço

resultante não ser idêntico ao espaço de fases original do sistema, o método é capaz de

representar o atrator do sistema, mantendo suas principais caracteŕısticas.

Dentre os principais métodos de reconstrução do espaço de estado, destacam-se o

método das derivadas, o método das coordenadas defasadas e o método da Decomposição

em Valores Singulares (SVD).

Na implementação do método das derivadas, a reconstrução do espaço se dá pela

aproximação numérica das derivadas de ordem superior de uma variável presente no

sistema (PACKARD et al., 1980). Assim, o método é aplicado por meio da seguinte

equação:

ḟ(t) =
f(t0 + ∆t(n+ 1))− f(t0 + ∆tn)

∆t
(25)

sendo que f(t0 + ∆tn) é a função de acordo com o intervalo de análise, n o número

de amostras, t0 o tempo inicial e ∆t o intervalo entre duas amostras. Desse modo, cada

intervalo do espaço de estados é calculado, gerando a reconstrução com aspectos semelhantes

ao sistema original.

Apesar de apresentar vantagens como velocidade de processamento devido a simpli-

cidade dos cálculos e a ampla utilização em diversos sinais, tal método possui uma alta



50

sensibilidade ao rúıdo, ou seja, sistemas contaminados pelo rúıdo que são reconstrúıdos

pelo método da derivada possuem uma alta probabilidade de apresentar caracteŕısticas

divergentes quando comparado o sistema obtido e o sinal real.

Para a aeroelasticidade, onde os fenômenos não lineares são causados por diversas

condições do estado e a alta presença do rúıdo, o método das derivadas não apresenta

resultados satisfatórios. Uma solução pra isso seria a aplicação de técnicas de filtragem

que eliminem parte do rúıdo antes da utilização do método das derivadas.

A reconstrução por meio do método das coordenadas defasadas possuiu diversos

estudos, como os propostos por Ruelle 1979, Packard et al. 1980, Takens 1981 e Sauer et

al. 1991. Basicamente, a ideia por trás da metodologia implica em reconstruir o espaço de

estados a partir de defasagens no tempo (SAVI, 2006).

Com base no teorema de Takens, todos os cruzamentos de órbitas são eliminados

quando um atrator cuja dimensão DA é inserido em uma dimensão onde De > 2DA, sendo

que De indica a dimensão de imersão, ou seja, tal variável define quantas defasagens são

necessárias para realizar a reconstrução do sistema dinâmico.

A partir do momento em que uma dimensão possua a condição supracitada, a

mesma é denominada de dimensão de mergulho ou dimensão de imersão. Com isso, ao De

possuir um valor alto, definido por De > 2DA + 1, o espaço reconstrúıdo é equivalente ao

espaço de estados original do sinal. Analisando de forma anaĺıtica, o sistema é reconstrúıdo

a partir da seguinte equação:

y(t) = [s(t), s(t+ τ), ..., s(t+ τ(d− 1))] (26)

onde y(t) indica o espaço reconstrúıdo na imersão, t o instante temporal de análise e τ o

tempo de defasagem, definido por:

τ = ϕ∆t (27)

Sendo ϕ um valor múltiplo da amostragem e ∆t o intervalo de tempo em que contém a

amostragem.

Quando o rúıdo é predominante no sistema dinâmico, ocasionando no aumento da

complexidade para a compreensão das caracteŕısticas do sinal, é vital a escolha da dimensão

e do tempo de defasagem na reconstrução do espaço de estado. Contudo, a determinação



51

desses parâmetros de imersão são considerados como as principais dificuldades para a

aplicação do método das coordenadas defasadas.

Desse modo, o teorema de Takens foi estendido para que cenários onde os efeitos

do rúıdo são significativos sejam analisados por meio de métodos estat́ısticos, levando em

conta erros de estimativa (CASDAGLI et al., 1991).

Existem três metodologias que viabilizam a determinação da dimensão mı́nima

de imersão, denominadas de método da saturação dos invariantes do sistema, método da

decomposição em valores singulares e o método das falsas vizinhanças.

O método das falsas vizinhanças determina uma dimensão mı́nima espećıfica em

que não existem cruzamentos da órbita no próprio espaço de estado. Basicamente a técnica

consiste em classificar se um ponto vizinho é verdadeiro ou falso quando projetado o

sistema na dimensão escolhida.

Em um pequeno espaço, onde a dimensão D é menor que De, um determinado ponto

do sinal pode ser considerado com um vizinho, mesmo não sendo, logo, o mesmo é consi-

derado como falso vizinho. Por outro lado, quando o espaço está imerso em uma dimensão

onde De ≥ D, os pontos vizinhos de todas as órbitas são vizinhos verdadeiros (KENNEL;

BROWN; ABARBANEL, 1992).

O método da saturação dos invariantes do sistema estima a dimensão D por meio

do cálculo de um dos invariantes do sistema para um valor espećıfico de D. Posteriormente,

o valor de D é incrementado e o invariante do sistema é recalculado para que seja feita

uma comparação entre o valor atual e o anterior (GRASSBERGER; PROCACCIA, 1983).

Se a diferença entre os resultados está dentro de um limite de tolerância estipulado, o

valor de D é considerado como válido. Caso contrário, o processo é repetido até que a

variação entre os invariantes seja pequena.

A dimensão de imersão De pode ser definida pela divisão entre a integral de

correlação Cd(r) e a distância r:

De =
log(Cd(r))

log(r)
(28)

A integral de correlação Cd(r) possui uma relação de outros conceitos necessários

para a aplicação do método, sendo que a mesma define a fração média do número de



52

pontos presentes em um atrator com distâncias menores que r (ANDERSON; NAYFEH;

BALACHANDRAN, 1996):

Cd(r) =
1

M2

M∑
i 6=j

H(r − |yi − yj|) (29)

M = N0 − τ(d− 1) (30)

sendo que N0 indica o número de amostras e τ é a defasagem do sinal. Além disso, H(t)

representa a função Heaviside, indicada por:

H(t) =

1 se t ≥ 0

0 se t ≤ 0
(31)

Por fim, |yi − yj| é a matriz Euclidiana, calculada por:

|yi − yj| =

√√√√ d∑
t=1

(si+τ(t−1) − sj+τ(t−1))2 (32)

onde s indica a série experimental presente no sistema dinâmico analisado.

Apesar de eficiente em diversos casos, o método da defasagem deve ser utilizado

quando a série temporal em questão não possui rúıdo, ou então se o mesmo é desconsiderado

no sistema. Quando o rúıdo prevalece no sistema dinâmico, existe a possibilidade dos

atratores resultantes apresentarem distorções. Esse evento ocorre devido ao fato de que os

métodos para a definição do tempo de defasagem são senśıveis ao rúıdo.

Do mesmo modo que o método das falsas vizinhanças, a utilização de filtros são

úteis para atenuar o rúıdo da série e viabilizar os cálculos, porém, a aplicação do mesmo

pode inferir na defasagem e posśıveis distorções na série temporal (SMITH, 2013). Sendo

assim, torna-se interessante a utilização da Decomposição em Valores Singulares (SVD).

O método da reconstrução do espaço de estado por meio da decomposição em valores

singulares foi proposto por Broomhead & King, onde não é necessária a determinação

do tempo de defasagem para a realização dos cálculos. Assim, a dimensão de imersão

é determinada e o sinal não sofre distorções para a implementação da reconstrução do

espaço, resultando na diminuição da probabilidade de erros significativos (BROOMHEAD;

KING, 1986).

O SVD utiliza das propriedades da matriz de covariância para gerar coordenadas

descorrelacionadas (VASCONCELLOS, 2007). Inicialmente, é necessário determinar a



53

variância da variável aleatória. Indicada por σ2, a variância indica a dispersão de uma

determinada distribuição em relação a sua média. Em outras palavras, a variância mensura

quanto a variável se desvia em relação a média. O cálculo da variância é dada por:

σ2 =
1

n− 1

n∑
i=1

(Xi − µ)2 (33)

onde µ é a média da variável e n o número de elementos da variável.

Quando a variância possui um valor pequeno, é indicado que ocorre a massa da

distribuição na média está concentrada, e quando a variância possui um valor igual a zero,

significa que a distribuição está inteiramente na média.

Quando mais de uma variável aleatória é analisada, aplica-se a covariância, definida

por σxy, responsável por mensurar o grau de interdependência entre duas variáveis aleatórias.

Assim, a covariância indica a relação entre as variáveis analisados, de modo que quanto

maior é o seu valor, maior é a dependência entre as variáveis. Assim a covariância das

variáveis x e y é dada por:

σxy =
n∑
i=1

(Xi − µx)(Yi − µy) (34)

Quando mais de duas variáveis são relacionadas, é comumente utilizada a chamada

matriz de covariância Λ, definida por:

Λ = E
{

(X −mχ)(X −mχ)T
}

(35)

onde E é o operador do valor esperado, X é o vetor coluna que compõe os valores de

X1, X2, ..., Xn e mχ representa as respectivas médias das variáveis na matriz (SOONG,

2004).

Em geral, uma série temporal possui informações relevantes sobre o comportamento e

os estados do sistema. A matriz de covariância possui um alto potencial para a reconstrução

do espaço de estados, de forma que a sua implementação possibilita na detecção da diferença

entre as projeções da trajetória, de forma que o que estado que contém o maior valor de

variância indica onde estão as informações do sistema. De modo semelhante, a trajetória

onde há o menor valor de variância representa o estado do sinal em que o rúıdo é

predominante. Consequentemente, tal operação permite realizar a separação e definição da

melhor projeção para a reconstrução do espaço de estados.



54

Supondo uma matriz com trajetória X definida por:

{X} =


xT1

xT2

...

xTn

 (36)

onde xT1 representa um vetor transposto por n elementos da série analisada. Assim, as

colunas da matriz indicam os vetores de um estados em uma trajetória reconstrúıda.

A finalidade da implementação da matriz se dá em detectar um conjunto de vetores

independentes capazes de descrever de modo satisfatório o espaço de estados.

Os vetores constituem parte de uma base ortonormal (ei, i = 1, 2, 3, ..., n) perten-

cente ao espaço de imersão e relacionados possuem a condição:

sTi X = σic
T
i (37)

onde si e ci são autovetores do sistema e σi indicam os autovalores.

O teorema da decomposição em valores singulares afirma que os vetores ci e si são

os autovetores das matrizes XXT e XTX da trajetória (MEYER, 2000). Tal fato pode ser

indicado a partir das relações:

XXT si = σ2
i si (38)

XTXci = σ2
i ci (39)

Assim, os vetores si e ci são definidos como os vetores singulares de X e σi é

considerado como os valores singulares. Reescrevendo a relação da matriz X, é posśıvel

calculá-la a partir de:

X = SDCT (40)

sendo que S e C representam o conjunto dos vetores [s1, s2, ..., sn] e [c1, c2, ..., cn] e D

significa a matriz diagonal dos autovalores [σ1, σ2, ..., σn].

Sabe-se que o número de autovalores da matriz XXT que não são iguais a zero

é equivalente ao número de autovalores não nulos na matriz de covariância XTX. Além

disso, o número de autovetores que são independentes de ci que descrevem o sistema



55

dinâmico, e consequentemente, o sistema de imersão, é igual ao número de autovalores

não nulos (VASCONCELLOS, 2007). Logo, pode-se concluir que:

(XC)TXC = D2 (41)

A Equação (41) indica que cada σ2
i indica a projeção da média quadrática da

trajetória existente no sistema dinâmico, assim, o autovalor possui dados da trajetória

relacionada a cada vetor ci no espaço de imersão.

Nos casos em que o sinal estudo apresenta comportamentos gerados pelo rúıdo, os

valores de σi são mascarados, principalmente nos autovalores pequenos e iguais a zero, de

forma que a prevalência do rúıdo interfere na análise estat́ıstica dos dados. Nestes cenários,

os autovalores podem ser expressos por meio dos autovalores relacionados com a dinâmica

determińıstica σ̄i
2 e a presença do rúıdo na matriz de covariância ξ2 por:

σ2
i σ̄i

2 +
〈
ξ2
〉
, i = 1, 2, ..., n (42)

A Equação (42) indica que no caso de rúıdo branco, a existência de um piso

constante não nulo, em um diagrama chamado espectro singular, que relaciona o tamanho

do valor singular com seu ı́ndice, é uma caracteŕıstica que pode ser usada para separar as

componentes determińısticas, somente as componentes acima desse piso são utilizadas na

formação de uma nova matriz de trajetória:

A Equação (42) demonstra que para o caso de um rúıdo branco, a presença de

um limiar constante não nulo em um espectro singular que relaciona o seu ı́ndice com o

tamanho do valor singular, pode ser considerada como é uma caracteŕıstica usada para

separar as componentes determińısticas do sistema (BROOMHEAD; KING, 1986). Assim,

somente as componentes acima de tal limiar são utilizadas na geração da nova matriz de

trajetória reconstrúıda X̄, ou seja:

X̄ =
∑

σi>ruido

(Xci)c
T
i (43)

Por meio de tal método, é viável a reconstrução do espaço de estado de sistemas

lineares e não lineares que possuem a contaminação do rúıdo, de forma que a nova trajetória

não possui comportamentos ruidosos na sua série temporal. O fato de não apresentar o

rúıdo na reconstrução do espaço de estado indica que o SVD também pode ser considerada



56

com uma técnica de filtragem, o que justificam as vantagens do método e a razão pela

qual é utilizada no atual estudo.

De modo sucinto, é necessária a coleta da série temporal presente no sistema

dinâmico para a aplicação do método da SVD e obtenção do espaço de estado do sinal.

Isso significa que a janela temporal utilizada na análise é de extrema importância para

encontrar resultados satisfatórias. O número de amostras na janela determinada por n

pode ser encontrada a partir da análise frequencial do sinal:

n =
2π

fcTs
=
ωs
fc

(44)

onde fc representa a frequência principal do sinal (de maior magnitude) em rad/s e Ts o

intervalo de amostragem (BROOMHEAD; KING, 1986).

3.3 Expoente de Lyapunov

Utilizados amplamente em séries não lineares por meio de ferramentas computacio-

nais, o expoente de Lyapunov possui a finalidade de indicar o ńıvel de sensibilidade quando

as condições iniciais de um sistema são aplicadas, determinando divergências exponenciais

nas trajetórias de um sinal.

Os resultados obtidos podem ser utilizados para determinar a caoticidade de sistemas

dinâmicos não lineares, devido ao fato de que a presença de ao menos um expoente de

Lyapunov positivo indica a presença de um comportamento caótico no sistema.

Basicamente, o expoente de Lyapunov representa uma medida da razão exponencial

média do afastamento de pontos de trajetórias no espaço de fase. A sua finalidade envolve

em representar o ńıvel de pertubação em que uma determinada trajetória pode aumentar

ou diminuir ao longo do tempo no espaço de fase (NAYFEH; BALACHANDRAN, 1995).

A partir das informações obtidas quando aplicado tal conceito, é posśıvel caracterizar se

um sistema dinâmico composto por equações não lineares possui comportamentos caóticos.

Em um sistema dinâmico com um determinado número de dimensões de imersão, os

expoentes de Lyapunov são detectados devido as variações comportamentais apresentadas

pela fase do sinal no espaço de estados. O maior expoente de Lyapunov encontrado no

sistema indica a divergência exponencial entre trajetórias localizadas no espaço de estados.

Devido a isso, afirma-se que se o maior expoente de Lyapunov na série de análise é positivo,



57

o sistema é classificado como proveniente de comportamentos caóticos, e consequentemente,

o mesmo apresenta sensibilidade as condições iniciais do sistema. Por outro lado, se o

expoente de Lyapunov calculado é negativo, significa que a série temporal analisada

apresenta comportamentos lineares.

A Figura 16 apresenta a suposição um sistema dinâmico cujas trajetórias próximas

umas das outras são indicadas por φ(x, t) e uma esfera que relaciona o fluxo das trajetórias,

cujo diâmetro é equivalente a d0.

Figura 16 – Trajetórias do sistema baseado em uma esfera.

Fonte: (SAVI, 2002).

A ideia do expoente de Lyapunov parte da ideia de avaliar o quanto a trajetória

φ(x2, t) diverge da sua trajetória vizinha φ(x1, t) enquanto o sistema dinâmico evolui ao

longo do tempo. Com isso, o expoente de Lyapunov avalia a evolução no tempo a partir

dos eixos de uma esfera suficientemente pequena de estados do sistema dinâmico (SAVI,

2002).

Entre as diversas técnicas utilizadas para o cálculo do expoente de Lyapunov,

destaca-se o método proposto por Wolf et al. 1985a. Ao longo do processo, são definidas

duas órbitas yn e zn, sendo que yn é classificada como a órbita de referência. Espera-se

encontrar um vetor distância (uk) dado por:

uk = zn−k − yn+k (45)

de forma que as órbitas z0 e y0 são as primeiras a serem analisadas.

Após os cálculos, percebe-se que o vetor calculado direciona para o maior expoente

de Lyapunov, indicado por λ1 (WOLF et al., 1985b). A Figura 17 apresenta o procedimento

para a aplicação de tal método.



58

Figura 17 – Procedimento para cálculo do expoente de Lyapunov.

Fonte: (SIMONI, 2007).

Além do método proposto por Wolf et al. (1985a), as séries temporais também

podem ser analisadas levando em conta o crescimento exponencial médio da distância

entre as órbitas vizinhas da dimensão de imersão por meio de:

p(k) =
1

Ts

N∑
n=1

log2

(∥∥yn1+k − yn2+k
∥∥

‖yn1 − yn2‖

)
(46)

sendo que N e mts indicam o número de amostras e o peŕıodo de amostragem, respectiva-

mente, y1 é uma amostra e y2 a sua órbita vizinha.

A função p(k) possui uma dependência com o número de passos referente a um

tempo k que pode ser dividido em três fases, sendo que o transiente, indicado pela órbita

vizinha que converge na direção do maior expoente de Lypaunov é a primeira fase. A

segunda fase envolve o aumento da distância entre as órbitas de forma exponencial,

dada por eλ1tsk até o ponto em que tal distanciamento seja maior que o limiar do fluxo

da órbita yn+k (VASCONCELLOS, 2012). Por fim, a última fase implica no aumento

seguido da diminuição do distanciamento devido a existência de dobras no espaço de

estados (PARLITZ, 1998).



59

Como visto nos métodos elaborados por Wolf e Sato, o cálculo do expoente de

Lyapunov pode ser calculado de formas distintas, porém, ambos os momentos utilizam o

mesmo prinćıpio, que é a análise das órbitas e as suas respectivas trajetórias. Analisando

matematicamente, a existência de duas trajetórias próximas permite a definição de x(t)

como um determinado ponto de uma das trajetórias, x(t) + δ(t) o ponto da trajetória

vizinha e δ o vetor distância, conforme a Figura 18. A evolução do sistema ao longo

do tempo demonstra que estas trajetórias se afastam a um comportamento exponencial,

independente da técnica implementada.

Figura 18 – Comportamento das trajetórias em um sistema.

Fonte: (YEUNG; STROGATZ, 1998).

Após tais definições, basta analisar a distância entre as trajetórias, denominada por

λ, em uma iteração espećıfica. Consequentemente, o valor da iteração é conhecido como o

Expoente de Lyapunov. É posśıvel demonstrar como é feita análise do conceito, partindo

da ideia do distanciamento da trajetória até a definição do expoente:

|δ(t)| = |δ(0)| eλt

|δ(t)|
|δ(0)|

= eλt

ln(eλt) = ln
|δ(t)|
|δ(0)|

λt = ln
|δ(t)|
|δ(0)|

Alterando a ordem das variáveis, tem-se:

λ =
1

t
ln
|δ(t)|
|δ(0)|

(47)



60

Assim, se o resultado obtido apresentar um valor de λ positivo e maior que zero,

define-se que as trajetórias estão se afastando e o sistema dinâmico estudado apresenta

comportamentos caóticos. Por outro lado, se o valor do expoente for negativo, significa

que as trajetórias estão aproximando, mostrando uma estabilidade no sistema.

A Figura 19 ilustra o comportamento do expoente de Lyapunov em um mapa