Convergência para estados assintóticos em mapeamentos não lineares Danilo Silva Rando RIO CLARO - SP 2024 Danilo Silva Rando Convergência para estados assintóticos em mapeamentos não lineares Tese apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho", como parte dos requisitos para a obtenção do título de Doutor(a) em Física. Orientador: Edson Denis Leonel Coorientador: Diego Fregolent Mendes de Oliveira Rio Claro - SP 2024 R192c Rando, Danilo Silva Convergência para estados assintóticos em mapeamentos não lineares / Danilo Silva Rando. -- Rio Claro, 2024 71 p. : il., tabs. Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista (UNESP), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro Orientador: Edson Denis Leonel Coorientador: Diego Fregolent Mendes de Oliveira 1. Mapeamentos não lineares. 2. Leis de escala. 3. Caos. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca da Universidade Estadual Paulista (UNESP), Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho” Instituto de Geociências e Ciências Exatas Câmpus de Rio Claro Convergência para estados assintóticos em mapeamentos não lineares Danilo Silva Rando Tese apresentada ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas do Câmpus de Rio Claro, da Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, como parte dos requisitos para a obtenção do t́ıtulo de Doutor em F́ısica. Comissão Examinadora Prof. Dr. Edson Denis Leonel IGCE / UNESP / Rio Claro (SP) Prof. Dr. Antonio Marcos Batista UEPG / Ponta Grossa (PR) Prof. Dr. Denis Gouvêa Ladeira UFSJ / Ouro Branco (MG) Prof. Dr. André Luis Prando Livorati IGCE / UNESP / Rio Claro (SP) Dr. Matheus Rolim Sales DF / UNESP / Rio Claro (SP) Conceito: Aprovado Rio Claro-SP, 16 de julho de 2024. À Agradecimentos Em primeiro lugar, agradeço a Deus por me conceder a vida, a famı́lia e os amigos que me sustentam em cada passo da jornada. minha universidade, expresso minha sincera gratidão: ao corpo docente, à direção e à administração, que abriram para mim uma janela de oportunida- des, permitindo-me vislumbrar um horizonte pleno, iluminado pela confiança no mérito e na ética que aqui se cultivam. Com profunda admiração e respeito, dedico um especial agradecimento ao meu orientador e amigo, Prof. Dr. Edson Denis Leonel, cuja dedicação incansável e amor pela profissão inspiram todos ao seu r edor. Sua orientação foi essencial em cada fase deste trabalho e de minha trajetória. Agradeço também à minha famı́lia, parentes e amigos, cujo apoio ina- balável e incentivo foram fundamentais para que eu alcançasse mais esta conquista em minha carreira. Um agradecimento especial à minha amada namorada, Ana Laura, que com amor, apoio e compreensão esteve ao meu lado em cada momento. Sem você, este trabalho jamais teria sido conclúıdo. Todo o meu coração é grato a você. Agradeço ainda ao Prof. Dr. Diego F. M. Oliveira pela valiosa oportuni- dade de vivenciar uma experiência enriquecedora na Universidade da Dakota do Norte, cuja contribuição foi essencial para o desenvolvimento deste traba- lho. A todos que, de alguma forma, participaram direta ou indiretamente de minha formação e da conclusão deste projeto, deixo o meu sincero e profundo obrigado. O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aper- feiçoamento de Pessoal de Nı́vel Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001. Resumo Nesta tese nós fizemos uma investigação da dinâmica de alguns mapea- mentos discretos, cuja evolução converge para o estado estacionário em dife- rentes tipos de bifurcações e próximas a elas. Para bifurcações locais, ocorre uma convergência para o estado estacionário feita pelo uso de uma função homogênea e generalizada, levando a um conjunto de três expoentes cŕıticos. Perto da bifurcação, a convergência é descrita por um decaimento exponen- cial onde o tempo de relaxação é caracterizado por uma lei de potência. Para bifurcação global, como notado para uma crise de fronteira, onde um atrator caótico é repentinamente substitúıdo por um transiente caótico após uma pequena mudança nos parâmetros de controle, a dinâmica tem uma evolução que fornece a probabilidade de sobrevivência descrita por um decaimento exponencial cujo tempo transitório é dado por uma lei de potência. Palavras-chave: Mapeamentos não lineares, Leis de escala, Caos. Abstract We investigated the dynamics of discrete mappings, whose evolution con- verges to the steady state at different types of bifurcations and near to them. For local bifurcations, a convergence to the steady state occurs by using a homogeneous and generalized function, leading to three critical exponents. Near the bifurcation, the convergence is described by an exponential decay, where the relaxation time is determineted by a power law. For a global bifur- cation, as noted for a boundary crisis, where a chaotic attractor is suddenly replaced by a chaotic transient after a small change in the control parame- ters, the dynamics have an evolution that gives the probability of survival described by an exponential decay, where the time transient is given by a power law. Keywords: Nonlinear mappings, Scaling laws, Chaos. Sumário 1 Introdução 7 2 Convergência para estados assintoticamente estáveis em ma- peamentos unidimensionais 11 2.1 Pontos Fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Diagrama de Órbita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Expoente de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 Escalas no logistic-like . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.5 Mapa logistic-like com µ = 0 em R=1 . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 Mapa logistic-like com o caso de µ ̸= 0 na primeira bifurcação 25 2.7 Mapa logistic-like com o caso de µ = 0 na bifurcação de du- plicação de peŕıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.8 Mapa logistic-like com o caso de µ ̸= 0 na bifurcação de du- 31plicação de peŕıodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 O Modelo do acelerador de Fermi 34 3.1 O modelo e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.1 Parâmetros e variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1.2 Atualização da velocidade . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.3 Atualização da fase angular . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.4 Interpretação f́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.1.5 Comportamento dinâmico . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Dinâmica com choques inelásticos. . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.3 Convergência para o estado estacionário em uma bifurcação local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3.1 Convergência na bifurcação . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.2 Convergência próximo à bifurcação . . . . . . . . . . . 45 3.4 Investigação de uma bifurcação global - uma crise de fronteira 47 4 Aplicação para o modelo kicked-rotator 51 4.1 Introdução ao Standard Map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 anala Riscado 4.1.1 Interpretação F́ısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.2 Transição do Comportamento Integrável para o Caótico 52 4.1.3 Importância e Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.1.4 Explicação dos Termos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.1.5 Integração entre Dinâmicas Conservativas e Dissipativas 54 4.1.6 Transição para Dinâmicas Caóticas . . . . . . . . . . . 54 4.2 Transição do Caso Conservativo para o Caso Dissipativo . . . 54 4.2.1 Sistema Conservativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.2.2 Introdução de Dissipação . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.2.3 Comportamento Dinâmico no Caso Dissipativo . . . . 56 4.2.4 Bifurcações no Caso Dissipativo . . . . . . . . . . . . . 57 4.3 Convergência para o estado estacionário . . . . . . . . . . . . 58 4.3.1 Convergência na bifurcação . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3.2 Convergência próxima a bifurcação . . . . . . . . . . . 60 5 Conclusões e Perspectivas 65 Caṕıtulo 1 Introdução Os sistemas dinâmicos têm uma longa e distinta história como um ramo da matemática[1]. A partir da obra fundamental de Isaac Newton[2], as equações tornaram-se a principal técnica matemática para descrever proces- sos que evoluem continuamente no tempo. Durante os séculos posteriores, os matemáticos criaram técnicas para resolver problemas diferenciais, den- tre elas estão transformadas de Laplace [3], séries de potência [4] e métodos algébricos lineares [5]. Muitos dos processos mais importantes da natureza são inerentemente não lineares. Um exemplo disso é fornecido pelas leis de Newton[2], nas quais podemos descrever o movimento dos planetas no sis- tema solar, conhecido como o problema de n-corpos. Essas leis nos dão um sistema de equações diferenciais cujas soluções descrevem o movimento de n “massas pontuais” movendo-se no espaço sujeito apenas a atração gravitaci- onal mútua. Se conhecermos as posições e velocidades iniciais dessas massas, então tudo o que temos a fazer é resolver as equações de Newton para poder prever onde e como essas massas se moverão no futuro. Isso acaba sendo uma tarefa formidável. Se houver apenas um ou dois corpos com massas, então essas equações podem ser resolvidas explicitamente, como geralmente é feito nos cursos de F́ısica. Porém, quando introduzimos mais corpos no problema, a situação muda completamente. É verdade que as soluções numéricas de equações diferenciais por computadores nos permitiram aproximar o compor- tamento das soluções reais em muitos casos [6], mas ainda existem regimes no problema onde as soluções são tão complicadas ou caóticas que eles desafiam até mesmo a computação. Embora a solução expĺıcita de equações diferen- ciais ordinárias não lineares nem sempre seja posśıvel, houve vários eventos marcantes nos últimos tempos que revolucionaram a forma como estudamos sistemas dinâmicos. Em 1890, o Rei Oscar II da Suécia anunciou um prêmio para o primeiro matemático que conseguisse resolver o sistema de n-corpos, e provar a estabilidade do sistema solar. Ninguém resolveu o problema original, 7 mas Henri Poincaré[7] chegou mais perto. Poincaré revolucionou a maneira como lidamos com equações diferenciais ordinárias não lineares. Em vez de buscar soluções expĺıcitas para essas equações, Poincaré defendeu trabalhar qualitativamente, usando técnicas topológicas e geométricas, para descobrir as estruturas globais de todas as soluções [9]. Para ele, o conhecimento de to- dos os comportamentos posśıveis do sistema sob investigação era muito mais importante do que o estudo especializado de soluções individuais. Mais tarde o meteorologista americano E. N. Lorenz [10], usando um computador muito rudimentar, descobriu que equações diferenciais muito simples poderiam exi- bir o tipo de caos que Poincaré observou. Lorenz passou a observar que seu modelo meteorológico simples (agora chamado de sistema de Lorenz) exibiu o que é chamado de dependência senśıvel de condições iniciais. Para ele, isso significava que a previsão do tempo a longo prazo era quase imposśıvel e mostrou que o tópico matemático do caos era importante em todas as outras áreas da ciência. Nos sistemas caóticos, nós temos os atratores, que são padrões complexos e impreviśıveis que surgem em sistemas dinâmicos não lineares [1]. Eles são um resultado da sensibilidade às condições iniciais e à complexidade das interações entre as diferentes variáveis do sistema [1]. Um atrator é uma região no espaço de estados do sistema para a qual o sistema evolui ao longo do tempo. Em sistemas dinâmicos não caóticos, os atratores são geralmente estáveis e previśıveis. Por exemplo, em um pêndulo forçado e amortecido[8], o atrator é um ciclo limite estável em que o pêndulo oscila de um lado para o outro. No entanto, em sistemas caóticos, os atratores são complexos e irregulares [10]. O exemplo mais conhecido de um atrator caótico é o atrator de Lorenz, ele descreve o comportamento do sistema meteorológico e é caracterizado por trajetórias não periódicas que formam uma estrutura tridimensional complexa. Os atratores caóticos exibem algumas propriedades interessantes, como a sensibilidade às condições iniciais, o que significa que pequenas variações nas condições iniciais podem levar a grandes diferenças nas trajetórias futuras do sistema. No estudo dos sistemas dinâmicos, geralmente nos deparamos com ma- pas ou mapeamentos, funções que evoluem ao longo do tempo. De forma discreta, essas funções são descritas por equações que representam o mape- amento do sistema. O parâmetro de controle governa a evolução do mapa, determinando seu comportamento. O conjunto de soluções pode variar con- forme a modificação desses parâmetros. Um tipo de comportamento [11, 12], denominado bifurcação [13, 14, 15], divide-se em duas classes: (i) bifurcações locais; e (ii) bifurcações globais. Nas bifurcações locais [3, 4], o conhecimento dos pontos fixos (ou de uma órbita periódica) e da estabilidade do sistema é suficiente para identificar e classificar cada tipo de bifurcação, que pode 8 ser: transcŕıtica, forquilha, sela-nó e duplicação de peŕıodo, entre outras. No caso de uma bifurcação global [16], geralmente há uma mudança abrupta nos atratores, que podem aumentar drasticamente ou até serem destrúıdos, levando a uma crise de fronteira. No mapeamento unidimensional, a convergência para o estado estacionário na bifurcação é descrita por uma equação homogênea generalizada. Uma lei de escala surge quando a função homogênea é aliada com um conjunto de hipóteses de escala. Existem três expoentes cŕıticos que descrevem o com- portamento da convergência para o estado estacionário, ambos estão ligados entre si por uma lei de escala. Os expoentes são universais para a caso da bifurcação de duplicação de peŕıodo [17], mas dependem do tipo de não line- aridade para o caso da bifurcação transcŕıtica e do tipo forquilha [18]. Muito próximo da bifurcação, a convergência não é mais descrita por uma função homogênea, mas sim por um decaimento exponencial [19]. O tempo de re- laxação é descrito por uma lei de potência [20, 21] cujo o argumento da lei é a distância no parâmetro onde ocorreu a bifurcação. A descrição foi aplicada em mapeamentos unidimensionais [18], e recentemente também foi utilizada em mapeamentos bidimensionais por nós [22]. Portanto, um dos objetivos do presente trabalho é demonstrar nosso es- tudo sobre a convergência para o estado estacionário em dois mapas bidimen- sionais e dissipativos. Entre as investigações aplicadas nas bifurcações locais, também investigamos a dinâmica perto de uma bifurcação global, particular- mente em uma crise de fronteira. Na crise, uma variedade estável emergindo de um ponto fixo de sela intercepta uma variedade instável do mesmo ponto fixo do tipo sela [16]. Se o ponto fixo for do tipo sela, consideraremos o valor absoluto dos autovalores a partir da matriz jacobiana. O valor absoluto dos autovalores da matriz jacobiana é crucial porque fornece informações sobre a taxa de crescimento ou decrescimento das trajetórias em torno do ponto fixo. Isso reflete a estabilidade global do sistema e é essencial para entender a natureza do ponto fixo no contexto de mapas bidimensionais. Antes da crise, um atrator caótico coexiste com uma órbita periódica. Após a crise, o atrator caótico é destrúıdo e um transiente caótico é observado [16]. A probabilidade de sobrevivência da part́ıcula na região onde o atrator caótico existia antes da crise é descrita por um decaimento exponencial [24]. O tempo de relaxação é uma lei de potência, cujo expoente cŕıtico foi medido numericamente. Vamos investigar a convergência para o estado estacionário perto de duas bifurcações diferentes, em um modelo de acelerador de Fermi dissipativo [25, 26], e a convergência também em um kicked rotator model[27]. No caso do mapeamento do tipo Fermi-Ulam, uma das bifurcações é local, mais 9 especificamente uma duplicação de peŕıodo, enquanto a outra é global, le- vando a uma crise de fronteira. O mapeamento é descrito por duas variáveis dinâmicas: a velocidade da part́ıcula após o impacto com a parede e a fase da parede no instante da colisão. A dissipação é introduzida por um coeficiente de restituição levando à perda de fração da energia na colisão. Esta tese está organizada da seguinte forma. No caṕıtulo 2 temos o estudo da convergência para estados assintoticamente estáveis em mapea- mentos unidimensionais, e suas propriedades, demonstrada pela análise ma- temática e simulações numéricas. No caṕıtulo 3, abrangemos o estudo da convergência para um mapeamento bidimensional, utilizando um mapa do tipo Fermi-Ulam como exemplo, no caṕıtulo 4 temos a convergência no caso do kicked-rotator model, e no caṕıtulo. 5, temos as conclusões do trabalho. 10 Caṕıtulo 2 Convergência para estados assintoticamente estáveis em mapeamentos unidimensionais Mapeamentos discretos são frequentemente utilizados para caracterizar a evolução temporal de diversos sistemas dinâmicos. Um mapeamento discreto bastante conhecido é o mapa loǵıstico. O mapa foi estudado por Robert May [28] com o intuito de descrever a dinâmica de populações. O mape- amento tem uma série de comportamentos dinâmicos relevantes, dentre os quais incluem-se regularidade, diversos tipos de bifurcações, assim como rotas para o caos via cascata de duplicação de peŕıodo. Ao longo das bifurcações de duplicação de peŕıodo, existem dois expoentes conhecidos como expoentes de Feigenbaum [29] que descrevem comportamentos de escala conduzindo a uma universalidade. Nas proximidades das bifurcações, a dinâmica exibe um comportamento cŕıtico. No ponto de bifurcação, uma órbita evolui para o ponto de equiĺıbrio, a partir de uma lei de potência em n, onde n é o número de iterações. Ligeiramente distante do ponto de bifurcação, a órbita evolui para o ponto de equiĺıbrio de forma exponencial, com um tempo de relaxação descrito por uma lei de potência no parâmetro de controle [30]. 2.1 Pontos Fixos O mapeamento loǵıstico é definido pela equação xn+1 = F (xn) = Rxn(1− xn), (2.1) onde R é o parâmetro de controle. Este parâmetro pode assumir qualquer va- lor real, embora os valores de interesse encontram-se no intervalo R ∈ [0, 4], 11 devido às propriedades dinâmicas do sistema dentro desse intervalo. Sendo assim, a variável x fica limitada a assumir valores em [0,1], de modo que a aplicação de F (x) é fechada, pois F : [0, 1] → [0, 1]. O mapeamento é estudado pelo processo iterativo, de modo que dado um ponto inicial x0, encontra-se x1 = F (x0), x2 = F (x1) = F 2(x0),..., xn = F n(x0). Aqui F 2(x0) indica a segunda iteração do mapeamento, ou seja F (F (x0)). A órbita ou trajetória de x0 é a sequência de pontos [30]. x0, x1, x2, ..., xn, xn+1, .... (2.2) Ela representa a evolução do sistema a partir da condição inicial x0. Se o sistema evolui de tal maneira que permanece sempre no mesmo valor de x tem-se um ponto fixo. Os pontos fixos são encontrados resolvendo-se a seguinte equação F (x∗) = x∗. (2.3) Então, para a equação (2.1) encontra-se soluções dadas por x∗1 = 0, (2.4) x∗2 = R− 1 R . (2.5) Um ponto fixo x∗ é dito ser estável (instável) caso a evolução da condição inicial x∗ + ϵ0, onde ϵ0 é pequeno, se aproximar (afastar) de x∗. Isso é caracterizado pela derivada de F (x) em relação a x, ou seja F ′(x) = dF (x) dx . Considerando x0 = x∗ + ϵ0 e mantendo termos de ordem ϵ0, a primeira iteração fornece x1 = F (x0) = x∗ + ϵ0F ′(x∗). (2.6) Observando que ϵ1 = ϵ0F ′(x∗), pode-se iterar a equação anterior, bastando trocar ϵ0 por ϵ1. Assim obtém-se para a enésima interação que xn = F n(x0) = x∗ + ϵ0[F ′(x∗)]n. (2.7) Portanto, quando F ′(x) tiver módulo menor que 1 o ponto fixo é dito ser estável, se for maior que 1 é instável e caso seja exatamente 1 tem-se que considerar derivadas de ordem superiores. Para o caso espećıfico do mapea- mento loǵıstico tem-se que [30] F ′(x∗) = R(1− 2x∗). (2.8) O ponto fixo x∗ = 0 é estável para 0 < R < 1, tornando-se instável a partir de R > 1. Em R = 1 o ponto fixo dado pela equação (2.5) tem o valor 0 e o módulo da derivada de F (x) é igual a 1. Para R entre 1 e 3, 12 esse ponto fixo é estável e para R > 3 é instável. Para R > 3 o sistema apresenta novo tipo de comportamento, onde o ponto fixo (2.5) é instável e surge um novo ponto periódico: uma órbita de peŕıodo 2 ou um ciclo 2. Isso significa que assintoticamente o sistema apresenta a órbita ..., x1, x2, x1, x2, .... A mudança de comportamento que ocorre em R = 3, quando um ponto fixo desestabiliza-se, surge uma órbita de peŕıodo 2, classificada como uma bifurcação de duplicação de peŕıodo. Quando a órbita de peŕıodo 2 fica instável, nova bifurcação de duplicação de peŕıodo ocorre e surge uma órbita de peŕıodo 4 e esse processo continua até ocorrência de caos. Órbitas de peŕıodos maiores são definidas analogamente. Assim num ciclo 3 o sistema oscila entre 3 valores x1, x2, x3. Um ponto fixo corresponde a um ciclo 1. Semelhante a obtenção do ponto fixo, os pontos x1 e x2 associados a órbita de peŕıodo 2 são obtidos resolvendo-se a equação de ponto fixo para F 2(x), ou seja F 2(x∗) = x∗. (2.9) Para o mapeamento loǵıstico, a expressão para F 2(x) é dada por: F 2(x) = (R2x−R2x2)− (1−Rx+Rx2). (2.10) Os pontos fixos que foram obtidos fazendo-se F (x∗) = x∗, são também soluções de F 2(x∗) = x∗, portanto pode-se simplificar a relação definindo uma função g(x∗) = F 2(x∗)− x∗ F (x∗)− x∗ . (2.11) ou de forma simplificada g(x) = Rx2 − (R2 +R)x+R + 1. (2.12) As soluções de g(x) são x∗1 = 1 2 (1 + 1 R + 1 R √ R2 − 2R− 3), (2.13) x∗2 = 1 2 (1 + 1 R − 1 R √ R2 − 2R− 3). (2.14) Estas soluções são reais somente se R2 − 2R− 3 ≥ 0, o que nos leva a obter R1 ≥ 3, (2.15) R2 ≤ −1. (2.16) A solução R2 é descartada, pois R2 /∈ [0, 4]. Com o resultado acima, tem-se que R1 é o valor que determina o ińıcio da região de ciclo 2, enquanto que 13 o valor que determina o término da região de estabilidade do ciclo 2 será obtido por meio do estudo da estabilidade deste ciclo. Necessita-se avaliar agora (F 2(x2)) ′. Através da regra da cadeia mostra-se que (F 2(x2)) ′ = F ′(x1)F ′(x2). (2.17) Caso | (F 2(x2)) ′ |< 1, a solução é estável. Se | (F 2(x2)) ′ |> 1 a solução é instável. Usando x1 e x2 das relações (2.13) e (2.14), obtém-se (F 2(x2)) ′ = R2((1− 2x1)(1− 2x2)), (2.18) que simplificando leva a (F 2(x2)) ′ = −R2 + 2R + 4. (2.19) Daqui tira-se que | (F 2(x2)) ′− |≥ 1 se R3 ≥ 1 + √ 6, (2.20) R4 ≤ 4− √ 6, (2.21) mas R4 < 0 é sem interesse, já que R4 ∈ [0, 4]. Com esse resultado encontrado para R3, conclúı-se que a região de peŕıodo 2 fica completamente especificada para qualquer x0 ∈ (0, 1), desde que R ∈ [3, 1 + √ 6], sendo este último intervalo, o indicador da região de ciclo 2 estável. Generalização imediata é feita para o obtenção dos pontos pertencentes a ciclos de ordem n, onde a equação é da forma F n(x∗) = x∗. (2.22) A estabilidade agora é verificada por | (F n(xa))′ | = | F ′(x1)F ′(x2)F ′(x3)...F ′(xn) | ≤ 1, (2.23) onde a assume qualquer valor inteiro entre 1 e n. 2.2 Diagrama de Órbita Agora que é conhecido o procedimento para a obtenção dos pontos fixos e ciclos de ordem n, pode-se introduzir o diagrama de órbita. O diagrama de órbita mostra o comportamento assintótico de uma trajetória a partir de uma dada condição inicial x0 para cada valor do parâmetro de controle. A região do espaço de fase para onde trajetórias convergem assintoticamente é dita ser um atrator. No mapeamento loǵıstico, quando 1 < R < 3, as trajetórias convergem para o ponto fixo estável dado pela equação (2.5) desde que a 14 Figura 2.1: Diagrama de órbita para o mapa loǵıstico. No eixo horizontal tem-se o parâmetro de controle enquanto que no eixo vertical é representada a variável x. A condição inical usada foi x0 = 1 2 . condição inicial x0 ∈ (0, 1). Dessa forma, o ponto fixo x∗2 é o atrator. Para 3 ≤ R ≤ 1 + √ 6 o atrator é um ciclo 2, definido pelos pontos cujas equações são (2.13) e (2.14). Dessa forma, a partir da condição inicial x0, a trajetória evolui convergindo para os pontos x∗1, x ∗ 2 estabelecendo o ciclo 2 estável. Na figura 2.1 tem-se um diagrama t́ıpico, onde o eixo horizontal representa o parâmetro de controle e no eixo vertical é representado a variável x. O procedimento utilizado na obtenção deste diagrama é o seguinte. Como condição inicial escolhe-se arbitrariamente x0 = 1 2 . A seguir itera-se o mapeamento dado pela equação (2.1) 100.000 vezes salvando apenas os últimos 100 pontos. O eixo horizontal foi dividido em 800 partes igualmente espaçadas. 2.3 Expoente de Lyapunov Quando estudamos um sistema dinâmico, uma das questões mais frequentes que se coloca é a da existência de caos em tal sistema. Existem muitas de- finições de caos, mas a maioria delas concorda no que diz respeito à presença de sensibilidade nas condições iniciais. Para medir a taxa de divergência de trajetórias e portanto quantificar a dependência sensitiva às condições iniciais, utilizam-se os expoentes caracteŕısticos de Lyapunov [30]. Seja a evolução temporal de um sistema dinâmico a partir de suas condições inici- ais próximas, x0 e x0 + ϵ. Decorrido um intervalo de tempo t temos que a 15 distância entre as trajetórias é d(t) ∼ ϵe(λt). (2.24) onde o expoente de Lyapunov λ fornece a taxa média de divergência das trajetórias. Para um tempo t finito, o expoente de Lyapunov depende de x0. No caso de mapas unidimensionais o cálculo do expoente de Lyapunov é obtido de [30] λ(x0) = lim N→∞ 1 N N−1∑ i=0 ln |F ′(xi)|, (2.25) onde xi = F (i)(x0) é o resultado da i-ésima iteração do mapa F a partir da condição inicial x0 e F ′(xi) = (dF/dx)(xi). No limite de N tendendo ao infinito o expoente de Lyapunov não deve mais depender da condição inicial x0. Na prática trabalhamos com N finito, então é necessário calcular o expoente para várias condições iniciais e fazer uma média dos valores obtidos. A função F que define o mapa depende geralmente de um parâmetro de controle R. Então o valor de λ também dependerá desse parâmetro, ou seja, λ = λ(R). Ao construir o gráfico da dependência desse parâmetro, identifica-se os valores de R, para os quais, tem-se dependência em relação às condições iniciais (λ > 0) e, portanto, sob quais condições o sistema apresenta comportamento caótico (figura 2.2). Figura 2.2: (a) Diagrama de órbita para o mapa loǵıstico. (b) Expoente de Lyapunov referente ao diagrama de órbita mostrado em (a). 16 Discutiremos, neste caṕıtulo, a convergência para o estado estacionário em uma famı́lia de mapeamentos discretos unidimensionais. 2.4 Escalas no logistic-like Apresentaremos uma discussão de como se dá a convergência para os estados estacionários no mapeamento unidimensional. Considerando o mapa loǵıstic- like, escrito como x(n+1) = Rxn(1− xγn), (2.26) onde γ ≥ 1 e R ≥ 0 é um parâmetro de controle. O parâmetro R é defi- nido nesse intervalo para abranger uma faixa completa de comportamentos dinâmicos, desde estabilidade e periodicidade até caos, enquanto garante que as trajetórias permaneçam dentro do intervalo válido de xn. Os pontos fixos são obtidos de x(n+1) = xn = x, logo Rx(1− xγ) = x, (2.27) o primeiro ponto fixo é dado por x = 0, (2.28) Para γ ı́mpar [17], o segundo é obtido por R(1− xγ) = 1, (2.29) conduzindo a x = [1− 1 R ] 1 γ , (2.30) Quando γ [17] é par, temos x = ±[1− 1 R ] 1 γ , (2.31) Das expressões dos pontos fixos determinamos as suas estabilidades fa- zendo [31] ∣∣∣∣ dfdx ∣∣∣∣ x∗ < 1, (2.32) onde f = Rx(1− xγ), (2.33) logo temos df dx = R(1− xγ(1 + γ)). (2.34) 17 Analizando agora a estabilidade do ponto fixo x = 0 df dx |x=0 = R, (2.35) temos como resultado que esse ponto fixo é assintoticamente estável para −1 < R < 1. (2.36) Como R ≥ 0, o ponto fixo fica assintoticamente estável para R ∈ (0, 1). Para continuar a análise, consideraremos o caso que γ é ı́mpar, racional ou irracional. x = [1− 1 R ] 1 γ , (2.37) logo temos df dx = R[1− xγ(1 + γ)], (2.38) que quando analizada no ponto fixo leva a∣∣∣∣ dfdx ∣∣∣∣ x∗ = 1 + γ − γR. (2.39) Para ser assintoticamente estável∣∣∣∣ dfdx ∣∣∣∣ x∗ < 1, (2.40) logo −1 < 1 + γ − γR < 1, (2.41) −1− (1 + γ) < −γR < 1− (1− γ), (2.42) −2− γ < −γR < −γ, (2.43) 2 + γ γ > R > 1, (2.44) então x = [1− 1 R ] 1 γ é assintoticamente estável para R ∈ ( 1, 2 + γ γ ) . (2.45) Em R = 1 ocorre a troca de estabilidade entre x = 0 e x = [1 − 1 R ] 1 γ , o que caracteriza uma bifurcação transcŕıtica. Para γ ı́mpar, racional ou irracional os pontos fixos são: x = 0, assintoticamente estável para R ∈ [0, 1] 18 e x = [1− 1 R ] 1 γ , assintoticamente estável para R ∈ [1, 2+γ γ ], em R = 1 ocorre uma bifurcação transcŕıtica. Considernado agora o caso de γ par temos que os pontos fixos são x = ±[1− 1 R ] 1 γ , (2.46) estudando a estabilidade desses pontos fixos temos df dx = R[1− xγ(1 + γ)], (2.47) finalmente chegamos em df dx |x∗ = 1 + γ − γR. (2.48) Para ser assintoticamente estável devemos ter∣∣∣∣ dfdx ∣∣∣∣ x∗ < 1, (2.49) logo −1 < 1 + γ − γR < 1, (2.50) 2 + γ γ > R > 1, (2.51) então x = [1− 1 R ] 1 γ é assintoticamente estável para R ∈ ( 1, 2 + γ γ ) . (2.52) Em R = 1 ocorre uma bifurcação de forquilha. Cada ponto fixo positivo ou negativo é visitado conforme valor de γ, para valores ı́mpar, temos somente a parte positiva, e para valores par, temos a parte negativa juntamente com a parte positiva (figura 2.3). O ponto fixo x = [1− 1 R ] 1 γ perde estabilidade em R = 2+γ γ . Nesta circunstância, F ′(x∗) = −1, o que caracteriza um ponto flip incipiente marcando assim o nascimento de uma bifurcação de duplicação de peŕıodo [24]. Vamos agora considerar a convergência para o ponto de equiĺıbrio em duas situações distintas, a primeira sendo no ponto de bifurcação e a segunda sendo imediatamente antes do ponto de bifurcação. A variável relevante para a descrição é a distância em relação ao ponto de equiĺıbrio, que é escrita como uma função dependente de n(número de iterações), x0(condição inicial) e µ = Rc − R, onde Rc identifica o ponto de 19 Figura 2.3: (a)Ilustração das bifurcações do tipo transcŕıtica e duplicação de peŕıodo considerando γ par. (b) Ilustração das bifurcações do tipo forquilha e duplicação de peŕıodo, considerando γ ı́mpar. bifurcação (Rc = 1 na bifurcação transcŕıtica) e R < Rc. Se µ = 0 então R = Rc, estamos exatamente na bifurcação. Neste caso a evolução dinâmica para o ponto fixo deve ser dada por uma função homogênea generalizada [25] de suas variáveis, ou seja: X(x0, n) = lX(lax0, l bn), (2.53) onde l é um fator de escala, a e b são expoentes caracteŕısticos. Para µ ̸= 0, R < Rc, a convergência para o ponto fixo é dada [17] por X(x, µ) ∼ e −n τ , (2.54) onde τ ∼ µδ sendo δ um expoente cŕıtico. 20 Vamos começar com o caso 1, onde µ = 0. Uma descrição fenomenológica baseada na figura 2.4 pode ser feita. Propomos três hipóteses, onde Figura 2.4: Evolução de x vs. n para diversos valores de x0 considerando: (a) γ = 1 e (b) γ = 2. 1. x(n) ∼ xα0 , para n << nx 2. x(n) ∼ nβ, para n >> nx 3. nx ∼ xz0 onde nx define o número de iterações de crossover que marca a mudança do platô constante para o decaimento em lei de potência nβ. Com base nas três hipóteses de escala e da função homogênea generalizada, podemos relacionar os expoentes caracteŕısticos com os expoentes cŕıticos. 21 Escolhendo lax0 = 1, temos l = x − 1 a 0 , logo x(x0, n) = x −1/a 0 x(1, x − b a 0 n). (2.55) Assumindo que x(1, x − b a 0 n) como constante para n << nx, e comparando com a hipótese 1 temos que x − 1 a 0 = xα0 , logo α = −1 a . (2.56) Escolhendo agora lbn = 1, l = n− 1 b , x(x0, n) = n− 1 bx(n−a b x0, 1). (2.57) Assumindo que x(n−a b x0, 1) constante para n >> nx, e comparando com a segunda hipótese temos que n− 1 b = nβ, assim β = −1 b . (2.58) Utilizando agora as duas expressões de l temos nβ = xα0 , logo nx = x α β 0 . (2.59) Comparando a última equação com a hipótese 3, temos z = α β . (2.60) Esta relação define uma lei de escala, conhecendo quaisquer dois expoentes o terceiro é determinado pela relação acima (figura 2.5). Fazendo algumas simulações numéricas com µ = 0, obtivemos alguns dos expoentes citados anteriormente, como exemplo, no caso da bifurcação transcŕıtica, para γ = 1, encontramos, α = −1, β = −0, 9668(4), z = −1, como um exemplo de bifurcação pitchfork, usamos γ = 2, e obtemos α = −1, e β = −0, 4970(5), z = −2 (tabela 3.1) e por último caso temos a bifurcação de duplicação de peŕıodo, que obtemos α = −1, β = −0, 4951(6), z = −2, fazendo agora uma simulação com µ ̸= 0, chegamos em um δ = −0, 994(1). O expoente δ é obtido da seguinte forma. Evolúımos uma condição inicial nas vizinhanças do ponto fixo para um parâmetro de controle próximo da bifurcação. Medimos o número de iterações que a trajetória gasta até atingir uma distância menor que 10−9 do ponto fixo. Quando essa condição era atingida, o número de iterações gasto até aquele ponto era salvo em um arquivo de sáıda e uma nova simulação era iniciada com outro valor de parâmetro de controle. Variamos µ entre [10−4, 10−2] e nossos resultados computacionais levam a crer que δ ∼= −1. 22 Tabela 2.1: Resultados numéricos de β e z para distintos valores de γ. γ 1 2 3 4 5 6 z -1,0002(3) -2,0001(2) -3,0002(4) -4,0002(1) -5,0001(3) -6,0003(1) β -0,9992(4) -0,4995(3) -0,3336(3) -0,2503(1) -0,1995(4) -0,1662(3) 2.5 Mapa logistic-like com µ = 0 em R=1 Para o primeiro caso começaremos com a expressão do mapeamento xn+1 = Rxn(1− xγn). (2.61) No ponto de bifurcação, R = 1, o mapeamento fica escrito como xn+1 = xn − xγ+1 n . (2.62) Podemos fazer a seguinte aproximação xn+1 − xn = xn+1 − xn (n+ 1)− n ∼= dx dn = −xγ+1. (2.63) Muito próximo do ponto fixo, consideramos que a dinâmica da variável x é praticamente cont́ınua, com isso chegamos em uma EDO de primeira ordem, Fazendo separação de variáveis, temos, dx xγ+1 = −dn, (2.64) integrando de os ambos os lados∫ x(n) x0 1 xγ+1 dx = − ∫ n 0 dn, (2.65) e rearranjando os termos encontramos x(n) = x0 (xγ0γn+ 1) 1 γ . (2.66) Interpretando a equação acima: Se (xγ0γn) << 1, para (n << nx), (2.67) logo x(n) ∼ x10. (2.68) 23 Figura 2.5: (a) Convergência para o ponto fixo x∗ = 2/3 para γ = 1 consi- derando R = 3. (b) Convergência de todas as curvas de (a) em uma curva universal. Comparando com a primeira hipótese de escala que fizemos da seção, temos que α = 1. (2.69) Para o caso (xγ0γn) >> 1, para (n >> nx), (2.70) x(n) ∼ n −1 γ . (2.71) Comparando com a segunda hipótese da seção, temos β = −1 γ . (2.72) 24 Para o caso (xγ0γn) = 1, (2.73) logo nx ∼ x−γ 0 . (2.74) Comparando com a terceira hipótese da seção temos z = −γ. (2.75) Os resultados obtidos aqui, confirmam a validade da nossa hipótese de lei de escala proposta. Da lei de escala temos que z = α β , (2.76) E obtemos que α = 1, (2.77) β = −1 γ , (2.78) z = −γ. (2.79) Levando α e β na expressão de z temos z = 1 − 1 γ = −γ. (2.80) Confirmando o resultado acima. 2.6 Mapa logistic-like com o caso de µ ̸= 0 na primeira bifurcação Vamos agora considerar a dinâmica nas vizinhanças do ponto de bifurcação, ou seja R ≲ Rc, onde Rc = 1, respeitando os limites do parâmetro R. Da expressão do mapeamento temos xn+1 = Rxn −Rxγ+1 n . (2.81) Reescrevendo a expressão acima de forma conveniente temos xn+1 − xn = Rxn − xn −Rxγ+1 n . (2.82) Da mesma forma como resolvido anteriormente xn+1 − xn = xn+1 − xn (n+ 1)− n ∼= dx dn , (2.83) 25 dx dn = x(R− 1)−Rxγ+1. (2.84) É importante mencionar que para γ > 1 e no regime de x suficientemente próximo ao ponto fixo, x = 0, xγ+1 vai a zero mais rapidamente que x, portanto a equação acima pode ser aproximada por xn+1 − xn ∼ xn(R− 1), (2.85) dx dn = −x(1−R), (2.86) chamando 1−R = µ, (2.87) temos dx x = −µdn, (2.88) logo ∫ x(n) x0 1 x dx = −µ ∫ n 0 dn. (2.89) Portanto ln [ x(n) x0 ] = −µn, (2.90) x(n) = x0e −µn. (2.91) Do estudo fenomenológico temos que (figura 2.6) x(n, µ) ∼ e −n τ , (2.92) e que τ ∼ µδ. (2.93) Portanto, temos que e−µn = e −n τ , (2.94) então τ = µ−1, (2.95) δ = −1. (2.96) Comparando o resultado anaĺıtico com o resultado numérico, temos um valor satisfatório para δ 2.6. 26 Figura 2.6: Relaxação para os pontos fixos como uma função de µ no mapa logistic-like para os expoentes:(a)γ = 1 e; (b)γ = 2. 2.7 Mapa logistic-like com o caso de µ = 0 na bifurcação de duplicação de peŕıodo No ponto de bifurcação, o decaimento para o ponto fixo obedece a uma função homogênea generalizada com expoentes cŕıticos bem definidos, o objetivo é determinar tais expoentes. Próximo ao ponto de bifurcação, o decaimento é exponencial e o tempo de relaxação é dado por uma lei de potência em µ = R−Rc, R ≲ Rc. (2.97) Tentaremos uma abordagem próximo ao ponto fixo de tal forma que x = x∗ + y e R = Rc + µ, (2.98) 27 onde y é a distância do ponto fixo. Da segunda iterada do mapeamento, temos xn+2 = F (2)(xn) = R[Rxn(1− xγn)][1− [Rxn(1− xγn)] γ]. (2.99) Assim devemos expandir F (2)(x) em série de Taylor em torno de x = x∗ + y e R = Rc + µ. Logo, temos: F (2) = F (2)(Rc, x ∗) + (x− x∗) ∂F (2) ∂x |x∗,Rc + (R−Rc) ∂F (2) ∂R |x∗,Rc + (x− x∗)2 1 2 ∂2F (2) ∂x2 |x∗,Rc + (R−Rc) 21 2 ∂2F (2) ∂R2 |x∗,Rc + (x− x∗)(R−Rc) ∂2F (2) ∂x∂R |x∗,Rc + (x− x∗)3 1 6 ∂3F (2) ∂x3 |x∗,Rc + (R−Rc) 31 6 ∂3F (2) ∂R3 |x∗,Rc + (x− x∗)2(R−Rc) 1 2 ∂3F (2) ∂x2dR |x∗,Rc + (x− x∗)(R−Rc) 21 2 ∂3F (2) ∂xdR2 |x∗,Rc + .... (2.100) Precisamos então determinar as expressões de j0 = F (2)(Rc, x ∗) = [ 2 2 + γ ] 1 γ , (2.101) j1 = ∂F (2) ∂x |x∗ = 1, (2.102) j2 = ∂F (2) ∂R |x∗ = 0, (2.103) j3 = 1 2 ∂2F (2) ∂x2 |x∗ = 0, (2.104) j4 = 1 2 ∂2F (2) ∂R2 |x∗,Rc , (2.105) j5 = ∂2F (2) ∂xdR |x∗,Rc , = 2γ (2.106) j6 = 1 6 ∂3F (2) ∂x3 |x∗,Rc , (2.107) j7 = 1 6 ∂3F (2) ∂R3 |x∗,Rc , (2.108) j8 = 1 2 ∂3F (2) ∂x2∂R |x∗,Rc , (2.109) 28 j9 = 1 2 ∂3F (2) ∂x∂R2 |x∗,Rc , = γ2. (2.110) As expressões de j4, j6, j7, j8, são extensas e não precisam ser apresentadas. Em vez disso, fizemos uma simulação numérica de seu comportamento em função de γ, e percebemos que eles são bem definidos e suaves. A partir dáı, chamando y = x− x∗, e µ = R−Rc, temos uma nova função dependente de µ e y, que são as variáveis de interesse. G(y, µ) = F (2)(R, x)− F (2)(Rc, x ∗), (2.111) temos G(y, µ) = y + µ2j4 + 2γyµ+ y3j6 + µ3j7 + y2µj8 + yµ2γ2. (2.112) Estamos interessados na investigação de quando µ = 0, logo: G(y, 0) = y + y3j6. (2.113) Fazendo a aproximação G(y)− y = dy dn , (2.114) dy dn = y3j6, (2.115) assim temos que dy y3 = j6dn, (2.116) integrando de ambos os lados, temos∫ y(n) y0 y−3dy = ∫ n 0 j6dn, (2.117) y2 = y20 1− 2j6ny20 , (2.118) Parece estranho o sinal negativo no denominador, entretando j6 < 0, como pode ser visto na figura 2.7, o que permite que a expressão acima seja escrita como y(n) = y0√ 1 + 2|j6|y20n , (2.119) Podemos concluir que para 2|j6|y20n << 1, (2.120) 29 Figura 2.7: Comportamento de j6 para diferentes valores de γ. então y(n) ∼ y10. (2.121) Da primeira hipótese de escala y ∼ yα0 , n << nx, (2.122) logo α = 1. (2.123) Considerando agora 2|j6|y20n >> 1, (2.124) então y(n) ∼ y0√ y02|j6|n , (2.125) y(n) ∼ 1√ 2|j6| n− 1 2 . (2.126) Da hipótese de escala y ∼ nβ n >> nx, (2.127) β = −1 2 . (2.128) E o último caso 2|j6|y20n = 1, (2.129) 30 temos n = 1 2|j6|y20 , (2.130) logo n ∼ y−2 0 , (2.131) Da hipótese de escala nx ∼ yz0, (2.132) z = −2. (2.133) 2.8 Mapa logistic-like com o caso de µ ̸= 0 na bifurcação de duplicação de peŕıodo Vamos agora descrever o decaimento para µ ̸= 0. Para tal escolheremos apenas os termos mais simples de µ, os demais serão desprezados. Assim encontramos G(y, µ) = y + 2γyµ+ j6y 3, (2.134) G(y, µ)− y = dy dn , (2.135) dy dn = y(2γµ+ j6y 2), (2.136) dy y(2γµ+ j6y2) = dn. (2.137) Integrando de ambos os lados obtemos∫ y y0 dy y(2γµ+ j6y2) = ∫ n 0 dn, (2.138) Aplicando os limites e reagrupando apropriadamente encontramos y2 = 2µγy20 |j6|y20 + (2µγ − |j6|y20)e−4µγn . (2.139) Tirando a ráız dos dois lados, temos y(n) = √ 2µγy20 |j6|y20 + (2µγ − |j6|y20)e−4µγn , (2.140) o que conduz a y(n) = √ 2µγ |j6| [1 + ( 2µγ y20|j6| − 1)e−4µγn]− 1 2 . (2.141) 31 Para ter uma melhor compreensão da equação anterior, é conveniente expandi- la em série de Taylor. Assim, obtemos y(n) = √ 2µγ |j6| [ 1− 1 2 ( 2µγ y20|j6| − 1)e−4µγn ] , (2.142) y(n) = √ 2µγ |j6| − µγ y20|j6| √ 2µγ |j6| e−4µγn + √ µγ 2|j6| e−4µγn, (2.143) Considerando apenas o termo linear de µ, portanto, desconsiderando termos da ordem µ √ µ y(n)− √ 2µγ |j6| = √ µγ 2|j6| e−4µγn. (2.144) Com isso a relaxação para o equiĺıbrio é dada por y(n) ∼ e−4µγn, (2.145) das hipóteses de escala y(n) ∼ e −n τ , (2.146) τ ∼ µδ. (2.147) Aqui provamos que δ = −1, de acordo com a relaxação para outras bi- furcações. 32 Figura 2.8: (a) Convergência para o ponto fixo de duplicação de peŕıodo, para γ = 1. (b)Sobreposição das curvas mostradas em (a) em um único gráfico e, portanto, universal. 33 Caṕıtulo 3 O Modelo do acelerador de Fermi Neste caṕıtulo, apresentaremos uma discussão sobre o modelo do acelera- dor de Fermi e o mapeamento que descreve sua dinâmica. Em 1949, Enrico Fermi [32], propôs que os raios cósmicos são acelerados no meio intereste- lar, por conta dos campos magnéticos, dependentes do tempo. Desde então, diferentes versões deste modelo foram propostas e estudadas por diversos au- tores [33]. Um deles é o chamado modelo de Fermi-Ulam (FUM) [34], que consiste em uma bola de massa m confinada entre uma parede ŕıgida fixa e outra em movimento periódico com as quais sofre colisões. As colisões com a parede permitem que a part́ıcula troque energia e momento, fazendo uma clara alusão às interações dos raios cósmicos - part́ıculas clássicas - com os campos magnéticos em movimento - parede em movimento. A parede fixa funciona como um mecanismo de rebote para reinjetar a part́ıcula para uma nova colisão com a parede em movimento, reforçando a ideia de um conjunto grande de campos magnéticos no cosmos. Figura 3.1: Desenho ilustrativo do modelo Fermi-Ulam. Figura retirada da ref. [35]. A dinâmica é dada por um mapeamento que descreve a velocidade da part ı́cula e a fase da parede após cada colisão com a parede móvel. A ve-locidade da part́ıcula pode aumentar ou diminuir, um regime dinâmico que 34 depende da fase do movimento da parede no instante do impacto. Este tra- balho considera uma aproximação de parede estática para a dinâmica. Isto assume que ambas as paredes são fixas, mas no instante do impacto com uma das paredes, digamos aquela colocada à esquerda(vide figura 3.1), a part́ıcula troca energia como se a parede estivesse se movendo. Esta aproximação tem duas implicações: (i) isso diminui substancialmente o tempo de simulação já que nenhuma equação transcendental deve ser resolvida para a determinação do instante do impacto, pois elas estão no modelo completo; (ii) permite tratamentos anaĺıticos simples, como localização de pontos fixos e mantém a não linearidade do modelo e as principais propriedades, quando comparado ao modelo completo. 3.1 O modelo e suas propriedades O mapeamento bidimensional de Fermi-Ulam é utilizado para descrever o comportamento de uma part́ıcula colidindo com uma barreira oscilante. Este modelo é governado por duas equações não-lineares que atualizam a veloci- dade Vn e a fase angular φn da part́ıcula após cada colisão. Assumimos também que existem duas paredes, uma fixa em x = 0 com a qual a part́ıcula pode trocar energia, enquanto a outra parede é posicionada em x = 1. As equações que regem este mapeamento são: T : { Vn+1 = |γ2Vn − (1 + γ)ϵ sin(ϕn+1)| ϕn+1 = [ϕn + 1 Vn + 1 γVn ] mod 2π , (3.1) 3.1.1 Parâmetros e variáveis � Vn: Velocidade da part́ıcula antes da colisão n. � ϕn: Fase angular da part́ıcula no instante n, que está associada à posição relativa da part́ıcula no ciclo da barreira. � γ: Parâmetro relacionado ao coeficiente de restituição. � ϵ: Amplitude de oscilação da barreira, que determina a influência da barreira móvel na velocidade da part́ıcula. � 1 Vn corresponde ao intervalo de tempo em que a part́ıcula gasta viajando da parede estabelecida na esquerda até a parede da direita, � 1 γVn é o tempo para a particula voltar até a parede da esquerda. 35 � γ2 corresponde a uma perda de energia fracionária devido a uma dupla colisão. � sin(ϕn+1): Termo oscilatório que modela a variação periódica da velo- cidade da barreira no momento da colisão. � mod 2π: Garantia de que a fase angular φ permanece dentro do in- tervalo [0, 2π], caracterizando a natureza ćıclica do sistema. 3.1.2 Atualização da velocidade A equação de atualização da velocidade é dada por: Vn+1 = ∣∣γ2Vn − (1 + γ)ϵ sin(ϕn+1) ∣∣ , (3.2) onde a velocidade Vn da part́ıcula é atualizada levando em conta dois componentes principais: o termo γ2Vn, que representa a contribuição da velocidade anterior, e o termo (1 + γ)ϵ sin(ϕn+1), que descreve a influência da barreira oscilante sobre a part́ıcula. O valor absoluto é utilizado para garantir que a velocidade resultante seja sempre positiva. 3.1.3 Atualização da fase angular A equação de atualização da fase angular é dada por: ϕn+1 = [ ϕn + 1 Vn + 1 γVn ] mod 2π, (3.3) onde a fase ϕn da part́ıcula é atualizada a cada colisão. Esta equação contém termos que dependem inversamente da velocidade Vn, representando o tempo entre colisões. O uso de mod 2π garante que a fase angular per- maneça dentro de um intervalo de 0 a 2π, caracterizando o ciclo periódico do sistema. 3.1.4 Interpretação f́ısica Estas equações descrevem a dinâmica de uma part́ıcula colidindo com uma barreira oscilante em um sistema bidimensional. A cada colisão, a velocidade da part́ıcula pode aumentar ou diminuir, dependendo da interação com a barreira. O termo oscilatório sin(ϕn+1) introduz uma dependência periódica, que pode resultar em comportamento caótico ou periódico, dependendo dos valores dos parâmetros γ, ϵ, e das condições iniciais de V0 e ϕ0. 36 3.1.5 Comportamento dinâmico Dependendo das condições iniciais e dos parâmetros do sistema, o mapea- mento pode exibir diferentes tipos de comportamento dinâmico: � Aceleração cont́ınua: a part́ıcula aumenta sua velocidade após cada colisão. � Flutuações: a velocidade oscila entre valores altos e baixos. � Dinâmica caótica: pequenas variações nas condições iniciais resultam em trajetórias completamente diferentes ao longo do tempo, um com- portamento t́ıpico de sistemas dinâmicos não-lineares. O determinante da matriz Jacobiana é det(J) = γ, e como γ < 1, isso implica na criação de atratores no espaço de fase. O espaço de fase em sistemas não lineares é uma representação matemática multidimensional que descreve todos os posśıveis estados do sistema ao longo do tempo. É uma ferramenta para visualizar e analisar a dinâmica complexa desses sistemas e desempenha um papel importante no estudo da teoria do caos. A figura 3.2 mostra o espaço de fase considerando o caso conservativo para γ = 1 e dois diferentes valores para o parâmetro ϵ, nomeados: (a) ϵ = 5 × 10−3 e (b) ϵ = 10−2. A estrutura presente no espaço de fase é do tipo misto. Em regiões de baixas energias (ou baixas velocidades), observa- se um ”mar de caos”. Esse mar de caos é caracterizado por trajetórias altamente senśıveis às condições iniciais e impreviśıveis, resultando em um comportamento desordenado e irregular. Nesse regime, pequenas variações nas condições iniciais podem levar a trajetórias muito diferentes, refletindo uma difusão estocástica das part́ıculas. Enquanto isso, em regiões de altas energias (ou altas velocidades), exis- tem as ”ilhas de periodicidade”e os ”toros invariantes”. As ilhas de peri- odicidade são áreas onde as trajetórias são regulares e fechadas, indicando um comportamento ordenado e previśıvel. Os toros invariantes, por sua vez, são superf́ıcies fechadas no espaço de fase que confinam as part́ıculas à tra- jetórias regulares, funcionando como barreiras que separam o mar de caos das regiões de periodicidade. A presença de toros invariantes, particularmente a curva mais baixa do tipo spanning, serve como uma barreira para impedir que as part́ıculas no mar de caos atravessem para as regiões de alta energia, limitando a difusão de energia das part́ıculas. Essas estruturas no espaço de fase mostram que o sistema não leva a dinâmica a ser ilimitada na energia. A presença de toros invariantes desem- penha um papel crucial na dinâmica da difusão, estabelecendo uma escala 37 para o comportamento da velocidade média quadrática [36]. Tais curvas blo- queiam o crescimento ilimitado de energia, que era o principal objetivo do trabalho de Fermi [25]. Figura 3.2: Gráfico do espaço de fase para o caso conservativo considerando γ = 1, e dois diferentes valores para ϵ: (a) ϵ = 5× 10−3 e (b) ϵ = 10−2. 3.2 Dinâmica com choques inelásticos. Os sistemas dinâmicos podem ser classificados em duas grandes categorias: conservativos e dissipativos. O mapeamento Fermi-Ulam, um modelo funda- mental na teoria do caos e dinâmica não linear, oferece uma visão clara de como essas duas classes de sistemas se manifestam e interagem. No caso conservativo, o sistema é definido por um determinante da matriz jacobiana com um valor que reflete a preservação do volume no espaço de fase. Por outro lado, no caso dissipativo, o sistema não conserva o volume no espaço de fase. O determinante da matriz jacobiana é menor que 1, refletindo a presença de dissipação de energia. Em sistemas dissipativos, há uma perda 38 Figura 3.3: Diagrama de órbita do mapeamento (4.2) considerando γ = 0, 85. Gráficos (a) e (b) são para V vs. ϵ enquanto (c) e (d) mostram ϕ vs. ϵ. A condição inicial escolhida foi (V0, ϕ) = (2, 1, π + 0.01), e iteramos até 106, salvando as 100 últimas colisões. cont́ınua de energia ao longo do tempo, geralmente devido a efeitos como atrito, resistência, ou outras formas de dissipação. Esta perda de energia tende a reduzir o ”volume”das regiões acesśıveis no espaço de fase, levando a uma eventual convergência para atratores de menor dimensionalidade, como pontos fixos, ciclos limite ou estranhas formas de atratores. No mapeamento Fermi-Ulam dissipativo, a introdução de dissipação altera significativamente a dinâmica do sistema. As part́ıculas perdem energia ao longo do tempo devido à interação com uma barreira móvel ou um amortecimento introdu- zido, o que faz com que o sistema se aproxime de estados estacionários ou periódicos. Em vez de um mar de caos amplo, o sistema pode apresentar um espaço de fase dominado por regiões de atratores, onde as part́ıculas eventualmente se agrupam. Quando γ < 1, as figuras 3.3 mostram o comportamento do diagrama de órbita [3] para o mapeamento (4.2) considerando γ = 0.85. As figuras (a) e (c) são para V vs. ϵ enquanto (b) e (d) mostram ϕ vs. ϵ. A condição inicial escolhida foi (V0, ϕ) = (2.1, π+ 0.01), e iteramos até 106, salvando apenas as 39 Figura 3.4: Diagrama de órbita para o mapeamento (4.2) considerando γ = 0, 85 para as variáveis: (a) V vs. ϵ e (b) ϕ vs. ϵ. Figura (c) mos- tra o comportamento do expoente de Lyapunov considerando os mesmos parâmetros de (a) e (b). Uma bifurcação de duplicação de peŕıodo é obser- vada em ϵ = 0, 11506218. 100 ultimas colisões. Uma ampliação da figura 3.3 (a,c) é mostrada na figura 3.4 considerando γ = 0.85 para as variáveis: (a) V vs. ϵ enquanto (b) ϕ vs. ϵ. Figura (c) mostra o comportamento do expoente de Lyapunov. O expoente de Lyapunov é calculado considerando um par de trajetórias próximas no espaço de fase e medindo a taxa de divergência ou convergência entre elas ao longo do tempo. Em um sistema caótico, pequenas diferenças iniciais podem levar a grandes diferenças futuras. Isso é indicado por um expoente de Lyapunov positivo, que reflete a sensibilidade às condições iniciais. Na bifurcação, o expoente de Lyapunov tem valor nulo. Esta observação é feita considerando o mesmo intervalo usado em (a) e (b) [12]. Uma bifurcação de duplicação de peŕıodo é obtida em ϵ = 0.11506218. Desde que o autovalor da matrix Jacobiana é igual a um na bifurcação [6], o expoente de Lyapunov é nulo naquela bifurcação, como mostrado na figura 3.4(c) exatamente no parâmetro ϵ = 0.11506218. 40 Na próxima seção, discutiremos a convergência para o estado estacionário exatamente na bifurcação e em suas proximidades. Para mapeamentos bidimensionais os expoentes de Lyapunov são obtidos a partir da expressão [23]: λj = lim n→∞ 1 n ln ∣∣Λj n ∣∣ . (3.4) com j=1,2, em que Λj n representa os autovalores da matriz jacobiana M = Πn i=1Ji (Vi, ϕi) = JnJn−1Jn−2 . . . J2J1. (3.5) A convergência ocorre para valores elevados de n e devido ao acúmulo de matrizes Ji pode gerar indeterminação dos coeficientes, tornando inviável o cálculo de λ. Para evitar esse problema, pode-se utilizar o algoritmo de triangularização, no qual a matriz J é reescrita como J = ΘT , em que Θ é uma matriz ortogonal e T é uma matriz triangular superior. Dessa forma tem-se que: θ = ( cos (θ) − sin (θ) sin (θ) cos (θ) ) . (3.6) De modo que: T = ( T11 T12 0 T22 ) . (3.7) Para utilizar essas duas matrizes, nota-se que a matrizM pode ser escrita da forma: M = JnJn−1Jn−2 . . . J2J1 = JnJn−1Jn−2 . . . J2θ1θ −1 1 J1. (3.8) Considerando T1 = θ−1 1 J1 e J̃2 = J2θ1, pode-se determinar os coeficientes da matriz T1 como:( T11 T12 0 T22 ) = ( cos (θ) sin (θ) − sin (θ) cos (θ) )( j11 j12 j21 j22 ) . (3.9) Ao compararmos o coeficiente T21 = 0, temos que 0 = −j11 sin (θ) + j21 cos (θ) , (3.10) o que permite obter a seguinte equação: j21 j11 = sin (θ) cos (θ) . (3.11) 41 Ao invés de calcularmos θ = arctan ( j21 j11 ) , o que demanda mais tempo computacional, as funções sin (θ) e cos (θ) podem ser escritas diretamente das relações de J , de forma que: cos (θ) = j11√ j211 + j221 , sin (θ) = j21√ j211 + j221. (3.12) Assim, as expressões para T11 e T22 podem ser escritas como T11 = j11 cos (θ) + j21 sin (θ) e T22 = −j12 sin (θ) + j22 cos (θ) , (3.13) as quais levam às equações: T11 = j211 + j221√ j211 + j221 , T22 = j11j22 − j12j21√ j211 + j221 . (3.14) Como as expressões de T11 e T22 são conhecidas, pode-se determinar a matriz J̃2 como J̃2 = J2Θ1, de forma que:( j̃11 j̃12 j̃21 j̃22 ) = ( j11 j12 j21 j22 )( cos (θ) − sin (θ) sin (θ) cos (θ) ) . (3.15) O procedimento para determinar T11 e T22 para a primeira iteração do mapeamento deve ser repetido até que toda série de matrizes Jn,Jn−1,Jn−2, e assim por diante seja percorrida. Após todas as matrizes jacobianas ao longo da órbita serem percorridas, os expoentes de Lyapunov podem ser escritos como: Λj = lim n→∞ 1 n n∑ i=1 ln ∣∣∣T (i) jj ∣∣∣ , j = 1, 2. (3.16) 3.3 Convergência para o estado estacionário em uma bifurcação local Nesta seção, descrevemos a evolução do estado estacionário próximo a uma bifurcação de duplicação de peŕıodo. Como a dinâmica está no plano (V vs. ϕ), devemos primeiro definir uma métrica para medir a distância que a part́ıcula está do estado estacionário. A Figura 3.5(a) mostra um gráfico do espaço de fase para os parâmetros de controle ϵ = 10−2 e γ = 1. A estrutura mista é clara com a existência de regiões periódicas e dinâmicas caóticas. Uma ampliação da Fig (a) é 42 Figura 3.5: (a) Gráfico do espaço de fase para o caso conservativo com o parâmetro de controle ϵ = 10−2. (b) Ampliação da região de peŕıodo um. (c) Ampliação da região destacada em (b) enquanto os marcadores internos ilustram alguns passos em direção à convergência para o estado estacionário. O parâmetro de dissipação que leva à convergência para o estado estacionário foi γ = 0, 99. mostrada na Figura 3.5(b), que será usada para ilustrar a evolução para o estado estacionário. É uma amplificação de uma região de peŕıodo um. Uma ampliação ainda maior de (b) é mostrado na Figura 3.5(c). Os pontos internos correspondem à evolução da dinâmica dissipativa com γ = 0, 99 e alguns passos para a evolução para o estado estacionário. O marcador (V ∗, ϕ∗) identifica o ponto fixo de atração para a dinâmica, que é obtido para a dinâmica de tempos longos. Como a convergência para a dinâmica estacionária está no plano, a distância da part́ıcula às coordenadas do ponto fixo deve ser medida considerando esta informação. Portanto nós definimos d(n) = √ (Vn − V ∗)2 + (ϕn − ϕ∗)2, (3.17) que dá a distância que a part́ıcula está do ponto fixo. 43 3.3.1 Convergência na bifurcação O objetivo é investigar o comportamento da convergência para o estado esta- cionário em uma bifurcação. De fato, uma investigação cuidadosa por meio da estabilidade do peŕıodo um, aliada ao comportamento do expoente de Lyapunov, fornece uma bifurcação de duplicação de peŕıodo observada em ϵc = 0, 11506218, que é o parâmetro que examinamos. O comportamento de d versus n para diferentes condições iniciais, considerando ϵc e γ = 0.85, é mostrado na Figura 3.6(a). As curvas mostradas na Figura 3.6(a) exibem o seguinte comportamento. Por um curto peŕıodo de tempo, tipicamente n ≪ nx, as curvas ficam limi- tadas a um platô estacionário que pode ser descrito considerando d(n) ∝ dα0 , onde α é um expoente cŕıtico. A partir da figura, fica claro que o platô é estacionário em d0, o que implica que o expoente cŕıtico é α = 1. Em outras palavras, durante esse peŕıodo inicial, o valor de d(n) permanece constante em d0, independentemente do número de iterações. Eventualmente, a dinâmica do sistema deixa o platô após um número de iterações nx e converge para um regime decrescente descrito por d(n) ∝ nβ, onde n ≫ nx e β é um expoente cŕıtico. Um ajuste da lei de potência mostrado na Figura 3.6(a) resulta em β = −0, 5030(5) ≈ −1/2. Isso indica que, após o platô, o valor de d(n) decai com uma taxa proporcional a n−1/2. Finalmente, o número de iterações do cruzamento, que marca a mudança do domı́nio de platô constante para o decaimento da lei de potência, é dado por nx ∝ dz0, onde z é um terceiro expoente cŕıtico. Esse expoente caracteriza como o ponto de transição nx depende do valor inicial d0. Podemos assumir que a convergência ao estado estacionário pode ser des- crita por uma função homogênea e generalizada do tipo d(n, d0) = ℓd(ℓan, ℓbd0), (3.18) onde ℓ é um fator de escala e a e b são expoentes caracteŕısticos. Como ℓ é um fator de escala, pode ser escolhido como ℓan = 1, o que leva a ℓ = n−1/a. Uma comparação com a hipótese de escala que leva ao decaimento dá β = −1/a. Outra escolha é ℓbd0 = 1, resultando em ℓ = d −1/b 0 . Novamente, comparar a hipótese de escala do platô fornece α = −1/b. Das duas expressões de ℓ terminamos com uma expressão nx = d α/β 0 . Uma comparação com a hipótese de escala nos mostra o cruzamento leva a uma lei do tipo z = α β . (3.19) Como α = 1 e o expoente cŕıtico β = −1/2, resulta que o expoente cŕıtico z = −2. 44 Figura 3.6: (a) Gráfico de d vs. n para diferentes distâncias iniciais do ponto fixo. (b) Sobreposição de todas as curvas mostradas em (a) em um gráfico único e universal após as transformações de escala apropriadas. O conhecimento dos três expoentes cŕıticos e as transformações de escala apropriadas fazem com que todas as curvas mostradas na Figura 3.6(a) se sobreponham umas às outras em um gráfico único e, portanto, universal, conforme mostrado na Figura 3.6(b). As transformações são d → d/dα0 e n → n/dz0, e comprovam a invariância de escala para a convergência da dinâmica em direção ao ponto fixo. 3.3.2 Convergência próximo à bifurcação Perto da bifurcação, a dinâmica não é mais descrita por uma função ho- mogênea e generalizada, mas sim um decaimento exponencial [37] do tipo que nos dá a evolução para o estado estacionário d(n) = d0e −n/τ , (3.20) onde d0 da a distância inicial do ponto fixo e τ ∝ µδ com µ = ϵc − ϵ para ϵ ≲ ϵc. 45 Figura 3.7: Gráfico de τ vs. µ considerando γ = 0, 85. Um ajuste de lei de potência leva a δ = −0, 944(2). O tempo de relaxação τ pode ser obtido por simulação numérica. Para determiná-lo numericamente, iniciamos uma condição inicial no limite da ba- cia do ponto fixo atrativo e deixamos a dinâmica evoluir. Quando a distância do ponto fixo for menor que 10−6, paramos a dinâmica, medimos o número de iterações que a part́ıcula gastou até atingir essa condição e iniciamos uma nova condição inicial com o mesmo parâmetro de controle. Este procedimento permite medir o tempo de relaxação usando um ensemble de 106 diferentes condições iniciais. Uma vez esgotado o conjunto, o tempo médio de relaxação pode ser determinado e o procedimento é repetido para um parâmetro de con- trole diferente. Figura 3.7 mostra o comportamento de τ vs. µ considerando γ = 0, 85. Ajustar uma lei de potência à curva resulta em δ = −0, 944(2). Uma discussão feita na Ref. [20] provou analiticamente que δ = −1 para mapeamentos unidimensionais. 46 3.4 Investigação de uma bifurcação global - uma crise de fronteira Uma crise de fronteira [20] é caracterizada quando uma variedade estável gerada a partir de um ponto fixo de sela intercepta uma variedade instável produzida a partir do mesmo ponto fixo de sela. Sabe-se que um único cruza- mento implica um número infinito de cruzamentos [20]. Consequentemente, um atrator caótico é repentinamente destrúıdo e substitúıdo por um transi- ente caótico [20]. Isso significa que se uma condição inicial é dada na região onde o atrator caótico existia antes da crise, a dinâmica sobrevive nessa região por um tempo. Eventualmente, a part́ıcula encontra a rota apropriada e es- capa de tal domı́nio, movendo-se na direção do outro atrator, no nosso caso, um ponto fixo atrativo [19]. A figura 3.8(a) mostra um gráfico das variedades estáveis e instáveis pro- duzidas a partir do mesmo ponto fixo do tipo sela, marcado como uma estrela na figura. Um ramo das variedades instáveis evolui em direção ao atrator caótico, enquanto o outro se move em direção ao ponto fixo assintoticamente estável. Os outros dois estáveis definem o limite da bacia onde as condições inicias convergem. Os parâmetros de controle utilizados foram γ = 0, 85 e ϵ = 0, 0845, correspondendo à dinâmica imediatamente anterior à crise de fronteira. A Figura 3.8(b) mostra uma ampliação de (a) para elucidar que os cruzamentos das variedades ainda não aconteceram. A Figura 3.8(c) mostra a mesma região de (b) mas logo após a crise de fronteira onde os cruzamentos são facilmente vistos. O parâmetro de controle usado em (c) foi ϵ = 0, 0849. Após a crise de fronteira [38], o atrator caótico é substitúıdo por um transiente caótico. Suponha que uma condição inicial seja dada na região onde o atrator caótico existia antes da crise. Nesse caso, a dinâmica fica presa em tal domı́nio até encontrar a rota apropriada e sair dessa região em direção ao ponto fixo assintoticamente estável. A probabilidade de uma part́ıcula sobreviver dentro de tal domı́nio é dada [37, 39] por P (n) = e− n τ̃ , (3.21) onde n corresponde ao número de colisões que uma part́ıcula tem com a parede, e τ̃ identifica o tempo de relaxação, que é escrito como τ̃ ∝ µδ̃, (3.22) e µ = ϵb − ϵ com ϵb correspondente ao parâmetro onde ocorreu a crise de fronteira. Considerando a primeira região periódica viśıvel da Figura 3.2(a), um parâmetro de controle cŕıtico que leva a uma crise de fronteira foi ϵb = 47 0, 0845 . . .. A figura 3.9 mostra o comportamento de τ̃ vs. µ. A construção da figura foi a seguinte. Um conjunto de 105 condições iniciais foi dado em uma região onde o atrator caótico existia antes da crise. Cada condição inicial evoluiu no tempo até um máximo de 108 colisões. Se a part́ıcula escapasse do domı́nio caótico e evolúısse para o ponto fixo atrativo, o número de colisões até aquele ponto era identificado e uma nova condição inicial era iniciada. Depois de esgotar o ensemble, um ajuste de lei de potência dá uma inclinação de δ̃ = −1.99(26) ∼= −2, que é notavelmente próximo do valor numérico medido em [19] e teoricamente previsto em [39]. 48 Figura 3.8: (a) gráfico das variedades estáveis e instáveis produzidas a partir do mesmo ponto fixo do tipo sela, marcado como uma estrela na figura. Os parâmetros de controle utilizados foram γ = 0, 85 e ϵ = 0, 0845, correspon- dendo à dinâmica imediatamente anterior à crise de fronteira. (b) Ampliação de (a) para mostrar que os cruzamentos ainda não aconteceram. (c) A mesma região de (b) mas logo após a crise de fronteira, os cruzamentos são facilmente vistos para o parâmetro de controle ϵ = 0, 0849. 49 Figura 3.9: Gráfico de τ̃ vs. µ considerando γ = 0, 85 e ϵb = 0, 0845 . . .. Um ajuste de lei de potência fornece δ̃ = −1, 99(26) ∼= −2. 50 Caṕıtulo 4 Aplicação para o modelo kicked-rotator Neste caṕıtulo, exploraremos o modelo do kicked rotator, uma ferramenta fundamental para o estudo de sistemas dinâmicos não lineares. Utilizaremos uma versão desse mapeamento previamente estudada por outros autores [27], mas com um foco espećıfico na análise da convergência para o estado esta- cionário. O kicked rotator é uma generalização do famoso standard map para siste- mas que consideram efeitos dissipativos. O modelo original, o standard map, é amplamente utilizado para estudar a transição entre comportamentos in- tegráveis e caóticos em sistemas dinâmicos. 4.1 Introdução ao Standard Map O standard map, também conhecido como mapa de Chirikov-Taylor, é um dos modelos mais estudados em sistemas dinâmicos não lineares, particularmente em relação à transição entre comportamentos integráveis e caóticos. Ele foi inicialmente introduzido para descrever a dinâmica de part́ıculas carregadas em campos magnéticos oscilantes, mas sua simplicidade e riqueza dinâmica tornaram-no um paradigma para o estudo do caos em sistemas discretos. O standard map é definido por um mapeamento discreto das variáveis an- gulares e de momento em um sistema bidimensional, que descreve a evolução de um pêndulo impulsionado periodicamente: θn+1 = θn + In mod 2π, In+1 = In +K sin(θn+1), (4.1) onde θn é a variável angular, In é o momento, e K é um parâmetro de 51 controle que mede a intensidade do impulso periódico aplicado ao sistema. 4.1.1 Interpretação F́ısica Fisicamente, o standard map pode ser pensado como um modelo para a dinâmica de um pêndulo que recebe impulsos regulares em intervalos discre- tos de tempo. A variável θ representa a posição angular do pêndulo, enquanto I corresponde ao momento conjugado. O parâmetro K regula a força dos impulsos. Quando K = 0, o sistema é completamente integrável, com órbitas regulares e não caóticas, o que significa que o pêndulo oscila de forma pre- viśıvel. À medida que K aumenta, a dinâmica torna-se progressivamente mais complexa, eventualmente levando ao caos. 4.1.2 Transição do Comportamento Integrável para o Caótico Uma caracteŕıstica notável do standard map é que ele permite o estudo de como sistemas dinâmicos podem transitar entre comportamentos ordenados e caóticos. Quando K é pequeno, as órbitas no espaço de fase permanecem confinadas em curvas fechadas, que são indicativas de movimento integrável. À medida que K aumenta, começam a aparecer regiões caóticas no espaço de fase, onde as trajetórias não seguem mais padrões regulares, mas se espalham de maneira aparentemente aleatória. Essa transição para o caos é um fenômeno t́ıpico em muitos sistemas dinâmicos não lineares e está relacionada ao fenômeno de interseção trans- versal das variedades estáveis e instáveis associadas a órbitas periódicas instáveis, um mecanismo descrito matematicamente pelo teorema de Poin- caré-Birkhoff. 4.1.3 Importância e Aplicações O standard map tem grande importância teórica e prática. Ele serve como uma base para o estudo de inúmeros problemas em mecânica clássica, f́ısica de plasmas, aceleradores de part́ıculas, e sistemas de controle. Sua simplici- dade matemática o torna uma ferramenta poderosa para a compreensão de conceitos fundamentais da teoria do caos, como a mistura caótica, difusão no espaço de fase, e comportamento quase-periódico. Além disso, devido à sua estrutura discreta, o standard map é amplamente utilizado em simulações numéricas para estudar sistemas complexos. Em resumo, o standard map desempenha um papel central na investigação de como pequenas mudanças nas condições iniciais ou nos parâmetros do 52 sistema podem levar a grandes variações no comportamento dinâmico ao longo do tempo, ilustrando assim uma das propriedades mais intrigantes dos sistemas caóticos. No entanto, para descrever fenômenos mais complexos, como part́ıculas imersas em um fluido ou sujeitas a forças dissipativas, o mapeamento precisa ser modificado. O mapeamento inclui a dissipação de energia, tornando-se um modelo mais realista para diversas situações f́ısicas. Neste mapeamento, as part́ıculas são sujeitas a impulsos periódicos, que podem ser de força, energia ou torque, e ocorrem em intervalos regulares de tempo. Ao mesmo tempo, essas part́ıculas estão imersas em um fluido viscoso, o que introduz um efeito dissipativo. A combinação desses fatores leva a uma evolução não linear complexa, que pode ser usada para descrever uma ampla gama de fenômenos dinâmicos, como transições entre movimento regular e caótico, a formação de atratores e a dissipação de energia ao longo do tempo. Podemos descrever o modelo[27] usando um mapeamento bidimensional, com as variáveis θ e I, de modo que: S : { θn+1 = [θn + In√ 1+(ρIn)2 − ξIn] mod 2π In+1 = (1− ψ)In +Ksin(θn+1) , (4.2) onde cada termo possui uma interpretação f́ısica importante, que será explicada em detalhes a seguir. 4.1.4 Explicação dos Termos θn: Ângulo de Rotação O termo θn representa o ângulo de rotação da part́ıcula imediatamente antes do n-ésimo kick (impulso). Esse ângulo é atu- alizado de maneira não linear em cada iteração do mapeamento. A evolução do ângulo depende do momento In e dos efeitos dissipativos (ξ) e (ψ). In: Momento Angular In representa o momento angular da part́ıcula imediatamente antes do n-ésimo kick. O momento é atualizado por um termo não linear K sin(θn+1) e pela dissipação de energia ψ. Quando ψ = 0, o sis- tema é conservativo, e o momento é atualizado apenas pelo termo impulsivo K sin(θn+1). Quando ψ ̸= 0, o momento decai a cada iteração, representando a perda de energia. ρ: Parâmetro Relativ́ıstico O parâmetro ρ controla a transição entre as dinâmicas newtoniana e relativ́ıstica. Quando ρ→ 0, o termo √ 1 + (ρIn)2 se 53 aproxima de 1, e o mapeamento relativ́ıstico se reduz ao mapeamento padrão. No limite ultrarrelativ́ıstico (ρ→ ∞), o sistema tende à integrabilidade. ξ: Parâmetro de Dissipação O termo ξIn introduz dissipação devido à viscosidade do fluido em que a part́ıcula está imersa. O parâmetro ξ é proporcional à viscosidade do fluido, de modo que ξ = 0 corresponde a um sistema sem dissipação, enquanto valores maiores de ξ correspondem a maior dissipação. ψ: Fração de Dissipação por Chute O parâmetro ψ representa a fração de energia que a part́ıcula perde após cada chute. Para ψ = 0, o sistema é conservativo. Para ψ ̸= 0, o momento decai, representando a perda de energia após cada chute. 4.1.5 Integração entre Dinâmicas Conservativas e Dis- sipativas O mapeamento descreve sistemas conservativos e dissipativos, dependendo dos valores de ξ e ψ. Para ξ = ψ = 0, o sistema é conservativo e preserva a área no espaço de fase (det(J) = 1). Quando ψ ̸= 0, a área não é preservada, e o sistema torna-se dissipativo. 4.1.6 Transição para Dinâmicas Caóticas À medida que K aumenta, o sistema passa de um comportamento regu- lar para caótico. O parâmetro K controla a força dos chutes aplicados ao sistema, e quando K aumenta, o comportamento do sistema torna-se mais complexo, com órbitas caóticas e bifurcações. 4.2 Transição do Caso Conservativo para o Caso Dissipativo Em sistemas dinâmicos, a transição do regime conservativo para o regime dissipativo é um tema amplamente estudado, especialmente em relação ao comportamento de sistemas caóticos. Um sistema conservativo é caracte- rizado pela preservação de quantidades como a energia total ou a área no espaço de fase, enquanto um sistema dissipativo é caracterizado pela perda gradual de energia ou pela contração do volume de fase, o que eventualmente pode levar à formação de atratores. 54 4.2.1 Sistema Conservativo No regime conservativo, a dinâmica do sistema é descrita por equações que preservam uma quantidade conservada, como a energia. Para mapas bidi- mensionais, um exemplo clássico de sistema conservativo é o mapa padrão (standard map) com K > 0, mas sem termos dissipativos. Nesse caso, o determinante da matriz Jacobiana associada ao mapeamento é igual a 1, o que indica que a área no espaço de fase é preservada. Isso implica que, inde- pendentemente da complexidade da dinâmica, o volume total ocupado pelas órbitas das part́ıculas permanece constante ao longo do tempo. Em sistemas conservativos, podemos observar tanto órbitas periódicas quanto regiões caóticas, mas o caos observado nesses sistemas é chamado de caos conservativo, uma vez que ele não leva a uma perda de energia, e as part́ıculas podem se mover indefinidamente em regiões caóticas do espaço de fase. Isso significa que, embora o comportamento possa ser caótico, as part́ıculas não se ”fixam”em nenhum ponto espećıfico e continuam a percorrer o espaço de fase. Para o caso conservativo onde ψ = 0 e ξ ̸= 0. O sistema exibe um espaço de fase misto apresentando ilhas KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), regiões caóticas e curvas invariantes spanings, como ilustrado na Figura 4.1. Figura 4.1: Gráfico do espaço de fases para o caso conservativo, ψ = 0 , ξ = 0, 4, ρ = 0, 15 e K = 1, 55 . 55 4.2.2 Introdução de Dissipação Quando um sistema passa a incluir dissipação, ele perde gradualmente ener- gia, e o comportamento dinâmico se altera significativamente. A dissipação é frequentemente modelada por termos adicionais nas equações que introduzem uma perda de energia a cada iteração do mapeamento. No contexto de um mapa como o standard map, a dissipação pode ser modelada pela introdução de um parâmetro de perda de energia δ, que modifica a dinâmica do sistema ao longo do tempo. A equação para o momento In+1, por exemplo, pode ser modificada para incluir a dissipação: In+1 = (1− ψ)In +K sin(θn+1), (4.3) onde ψ ∈ [0, 1) é o parâmetro de dissipação. Quando ψ = 0, o sistema é conservativo. À medida que ψ aumenta, o sistema perde progressivamente energia a cada iteração. A dissipação implica que o determinante da matriz Jacobiana se torna menor que 1, ou seja, det(J) < 1, o que significa que o volume do espaço de fase está se contraindo. Isso cria uma tendência para as part́ıculas cáırem em um atrator, que pode ser um ponto fixo, um ciclo limite ou mesmo um atrator caótico. Em contraste com o caos conservativo, o caos dissipativo é caracterizado pela convergência das part́ıculas para um conjunto atrativo, onde elas permanecem confinadas. 4.2.3 Comportamento Dinâmico no Caso Dissipativo No regime dissipativo, a presença de atratores é um aspecto fundamental. Atratores são conjuntos no espaço de fase para os quais as trajetórias do sistema convergem ao longo do tempo. Dependendo da intensidade da dis- sipação e dos parâmetros do sistema, podem surgir diferentes tipos de atrato- res, desde ciclos limites até atratores caóticos. Isso contrasta com o compor- tamento no regime conservativo, onde as part́ıculas continuam a percorrer o espaço de fase sem convergir para nenhuma região espećıfica. No caso de atratores caóticos, a dissipação desempenha um papel impor- tante na formação de padrões dinâmicos complexos. No espaço de fase, um atrator caótico pode parecer uma estrutura irregular e altamente senśıvel às condições iniciais. No entanto, ao contrário do caos conservativo, onde as part́ıculas podem se mover indefinidamente, no regime dissipativo o atrator ”captura”as part́ıculas e as mantém confinadas em uma região limitada do espaço de fase. Além disso, em sistemas dissipativos, as bifurcações são frequentemente observadas à medida que os parâmetros são variáveis. Uma bifurcação t́ıpica 56 é a bifurcação de duplicação de peŕıodo, onde o sistema passa de um com- portamento periódico estável para um comportamento caótico à medida que a dissipação é ajustada. Para o caso dissipativo onde ψ ̸= 0 o cenário da evolução temporal muda, e os atratores dominam a dinâmica do sistema. A figura 4.2 mostra um exemplo do diagrama de bifurcações para o mapeamento (4.2), considerando os parâmetros ψ = 0, 01 , ξ = 0, 4, ρ = 0, 15 e K = 1, 55. Figura 4.2: Gráfico para o caso dissipativo com os parâmetros ψ = 0, 01 , ξ = 0, 4, ρ = 0, 15 e K = 1, 55. 4.2.4 Bifurcações no Caso Dissipativo Em sistemas dinâmicos, as bifurcações representam mudanças qualitativas na estrutura das órbitas de um sistema à medida que os parâmetros de controle são modificados. No caso de sistemas conservativos, essas transições podem alterar a natureza das órbitas, mas não envolvem perda de energia ou volume no espaço de fase. No entanto, no caso de sistemas dissipativos, as bifurcações assumem caracteŕısticas ainda mais ricas e complexas devido à presença de atratores e à contração do volume de fase causada pela dissipação. A figura 4.3 mostra uma região onde ocorre uma bifurcação juntamente com os valores do expoente de Lyapunov, indicando um valor nulo para o expoente, onde ocorre uma bifurcação de duplicação de peŕıodo. O parâmetro de controle K na bifurcação tem o valor de 3, 999999997. 57 4.3 Convergência para o estado estacionário A convergência para um estado estacionário desempenha um papel crucial na compreensão do comportamento e da estabilidade de sistemas dinâmicos. Refere-se à tendência das variáveis de um sistema se estabilizar em torno de valores ou trajetórias espećıficas ao longo do tempo, fornecendo insights sobre o comportamento de longo prazo e as propriedades de estabilidade de sistemas não lineares. O processo de convergência para um estado estacionário pode assumir várias formas, dependendo das caracteŕısticas e da dinâmica do sistema. Pode envolver o decaimento gradual do comportamento transitório até que o sistema atinja um equiĺıbrio estável ou órbita periódica. Alternativamente, pode levar ao surgimento de comportamentos complexos e não periódicos, como atratores caóticos. Em nossa análise do estado estacionário para uma bifurcação de du- plicação de peŕıodo, focamos no plano (Ivs.θ), onde a dinâmica ocorre. Para quantificar a proximidade da part́ıcula ao estado estacionário, é crucial esta- belecer uma métrica que incorpore a distância da part́ıcula das coordenadas do ponto fixo em nossa medida. Assim, definimos: d(n) = √ (In − I∗)2 + (θn − θ∗)2. (4.4) Essa formalização nos permite medir a distância entre as trajetórias do sis- tema e o estado estacionário, facilitando a compreensão da dinâmica de con- vergência até o ponto de bifurcação. 4.3.1 Convergência na bifurcação Quando discutimos a convergência ao estado estacionário durante bifurcações, estamos especificamente estudando como o sistema se comporta à medida que se aproxima e estabiliza em estados estacionários próximos a esses pon- tos cŕıticos no espaço de parâmetros. Esse fenômeno é de particular interesse porque lança luz sobre como o comportamento do sistema muda em res- posta a pequenas variações em seus parâmetros, potencialmente levando a transições entre diferentes estados qualitativos de comportamento. Compre- ender esse comportamento de convergência é crucial para prever e analisar o comportamento de sistemas dinâmicos, especialmente em sistemas complexos onde as bifurcações desempenham um papel significativo. No contexto da explicação da convergência aos estados estacionários du- rante bifurcações, o uso de funções homogêneas e generalizadas pode ofere- cer ferramentas matemáticas robustas para capturar e analisar a dinâmica intŕınseca. Isso é exemplificado pela equação: 58 d(n, d0) = ℓd(ℓan, ℓbd0). (4.5) Nosso principal objetivo é explorar o processo de convergência em direção ao estado estacionário durante um evento de bifurcação. Especificamente, nosso foco está em entender as complexidades de uma bifurcação por du- plicação de peŕıodo, que ocorre no valor cŕıtico de Kc = 3, 999999997. Essa bifurcação marca um momento crucial, indicando uma mudança significativa na dinâmica comportamental do sistema. Para entender essa transição, reali- zamos uma análise de estabilidade de peŕıodo um para avaliar a estabilidade de órbitas que demonstram comportamento de peŕıodo um. Simultanea- mente, exploramos a dinâmica dos expoentes de Lyapunov, que fornecem insights sobre as taxas exponenciais de divergência ou convergência de tra- jetórias próximas. Essa investigação nos permite entender as sutis complexi- dades de como as trajetórias próximas evoluem ao longo do tempo. Ao reunir esses métodos anaĺıticos, obtemos uma compreensão profunda de como o sis- tema se move em direção a um estado estacionário durante o processo de bifurcação. Essa integração nos ajuda a explorar a dinâmica complexa en- volvida, observando as pequenas mudanças e transições que ocorrem dentro do sistema à medida que ele passa por diferentes estados. Com essa com- preensão detalhada, podemos descobrir as razões por trás do processo de bifurcação, esclarecendo os fatores que afetam o comportamento do sistema e sua eventual estabilização. Além disso, para ilustrar esse comportamento, mostramos a relação entre d e n, onde diferentes condições iniciais são con- sideradas mantendo Kc e os parâmetros ψ = 0, 8, ξ = 0, 4 e ρ = 0, 15 fixos. Essa visualização ajuda a enfatizar como o sistema se comporta de forma diferente sob várias condições iniciais, oferecendo percepções valiosas sobre como ele converge ao longo do tempo. As curvas plotadas na Figura 4.4 revelam diferentes comportamentos, cada uma mostrando caracteŕısticas únicas. Primeiramente, quando n é muito menor que nx, há um platô constante. Esse platô, que é t́ıpico do comportamento do sistema, segue o padrão d(n) ∝ dα0 , onde α representa o expoente para o patamar constante. Curiosamente, o platô constante em torno de d0 é observado em várias ordens de magnitude, sugerindo forte- mente que o expoente α para o platô constante seja igual a 1. Após isso, pode-se observar uma mudança de comportamento de um platô para uma lei de potência, caracterizada por um ponto de mudança nx. Esse regime de decaimento pode ser descrito por d(n) ∝ nβ, onde β representa o expoente de decaimento. Após um ajuste de lei de potência na região de decaimento na Figura 4.4, encontramos que β = −0.50624(5) ≈ −1/2. Finalmente, o número de crossover nx, marcando a mudança do platô constante para a lei 59 de potência, pode ser obtido assumindo que no ponto de crossover temos nx ∝ dz0, onde z é o expoente de crossover. Observe que a equação (4.5) captura um aspecto fundamental do compor- tamento do sistema. Ela articula a quantidade d(n, d0) às suas contrapartes escaladas d(ℓan, ℓbd0). Aqui, ℓ é um fator de escala crucial que governa a lei de escala, com a e b sendo expoentes cŕıticos, determinando como o sistema reage a mudanças nos parâmetros. Esses expoentes contêm informações cru- ciais sobre a sensibilidade do sistema a mudanças em seus parâmetros, ofere- cendo insights sobre sua dinâmica subjacente. Ao explorar duas hipóteses de escala distintas, assumimos ℓan = 1 e ℓbd0 = 1, encontramos as relações entre ℓ, n e d0, a partir das quais surgem expressões para α e β. Essas formulações surgem da comparação de hipóteses de escala com leis de escala bem estabe- lecidas que regulam diferentes aspectos do comportamento do sistema. A lei de escala resultante, nx ∝ dz0, onde z = α β , não apenas resume como o sistema se comporta em torno do ponto de crossover, mas também serve como uma ferramenta potente para prever seu comportamento em diferentes condições. 4.3.2 Convergência próxima a bifurcação Ao explorar a convergência próxima do ponto de bifurcação, a dinâmica se desvia de uma função uniforme e generalizada e, em vez disso, exibe um com- portamento que se assemelha a um decaimento exponencial, como observado nos mapas anteriores. Nesse caso, a distância é agora descrita por: d(n) = d0e −n/τ , (4.6) O padrão de decaimento, descrito pela Equação (4.6), controla a pro- gressão em direção ao estado estacionário. Aqui, d0 representa a distância inicial do ponto de bifurcação, e τ caracteriza o tempo de relaxamento. Im- portante, τ é proporcional a µδ, onde µ = Kc − K, para K ≲ Kc. Deter- minar o tempo de relaxamento τ requer extensa simulação numérica. Para fazer isso, iniciamos part́ıculas na fronteira da bacia de atração do ponto fixo e deixamos a dinâmica evoluir. Quando a distância do ponto fixo atinge uma tolerância pré-definida, geralmente 10−6, a simulação é interrompida e registramos o número de iterações. Este procedimento se repete para um conjunto de 106 diferentes condições iniciais. Ao calcular a média dos tem- pos de relaxamento deste conjunto, encontramos o tempo de relaxamento médio. Repetimos este processo para vários parâmetros de controle. Os da- dos resultantes proporcionam uma compreensão detalhada da dinâmica nas proximidades do ponto de bifurcação, contribuindo para uma análise apro- fundada do comportamento de convergência. 60 A Figura 4.5 mostra o comportamento de τ em função de µ, considerando valores de ψ = 0.8, ξ = 0.4, ρ = 0.15. Após um ajuste de lei de potência, obtemos δ = −0.9811(5). Vale ressaltar que a mesma discussão foi feita para o caso unidimensional, mostra analiticamente que δ = −1 se aplica a mapeamentos unidimensionais. Esse resultado destaca a importância do parâmetro de ajuste obtido e suas implicações para entender a dinâmica do sistema próximo a pontos de bifurcação. 61 Figura 4.3: Gráficos do diagrama de órbita para o mapeamento (4.2) con- siderando ψ = 0.8, ξ = 0.4, ρ = 0.15 para as variáveis: I versus K e θ versus K mostram o comportamento do expoente de Lyapunov (λ) conside- rando a mesma faixa de parâmetros utilizada para θ e I. Uma bifurcação de duplicação de peŕıodo é medida em K = 3.999999997. 62 Figura 4.4: Comportamento de d vs. n para diferentes condições iniciais a partir do ponto de bifurcação. 63 Figura 4.5: Behaviour of τ vs. µ considering ψ = 0, 8, ξ = 0, 4, ρ = 0, 15. A power law fitting gives slope δ = −0, 9811(5). 64 Caṕıtulo 5 Conclusões e Perspectivas Investigamos propriedades dinâmicas para a convergência no estado esta- cionário em mapeamentos unidimensionais (loǵıstic-like) e mais recente, em um mapeamento bidimensional do tipo Fermi-Ulam e um modelo kicked- rotator. Estudamos algumas propriedades dinâmicas desses mapeamentos como, seus pontos fixos, diagrama de órbita, e em particular, analisamos o comportamento da convergência para o ponto de equiĺıbrio utilizando uma função homogênea generalizada com argumentos (x0, n). Para o caso do mapeamento do tipo Fermi-Ulam, fizemos em dois tipos de bifurcações: (i) duplicação de peŕıodo local; (ii) global - crise de fronteira. A dinâmica do mapeamento é descrita pelas variáveis ângulo e velocidade da part́ıcula. A dissipação foi introduzida por colisões inelásticas levando a uma perda fra- cionária de energia na colisão da part́ıcula com as paredes. O caso con- servativo tem um espaço de fase que exibe uma estrutura mista contendo dinâmicas caóticas, periódicas e quase periódicas. Na dinâmica dissipativa, o diagrama de órbita, mostrando a dinâmica estacionária, tem bifurcações locais e globais. Em uma bifurcação local, o fluxo topológico das soluções de um ponto fixo (ou órbita periódica) muda com a variação do parâmetro de controle. Uma análise da estabilidade do ponto fixo nos permite prever a mudança de estabilidade e identificar o tipo de bifurcação. A evolução para o estado estacionário em uma bifurcação de duplicação de peŕıodo é conhecida por ser descrita como uma função homogênea generalizada, levando a uma lei de escala. Os três expoentes cŕıticos foram descritos em um mapeamento unidimensional [19] como α = 1, β = −1/2 e z = −2. No entanto, mesmo para o mapeamento bidimensional, na bifurcação de duplicação de peŕıodo, a evolução para o estado estacionário levou ao mesmo conjunto de expoen- tes cŕıticos observados para o caso unidimensional. Perto da bifurcação, a dinâmica não é mais descrita por uma função homogênea, mas um decai- mento exponencial no qual o tempo de relaxação é escrito como τ ∝ µδ, 65 e o expoente cŕıtico δ = −0, 944(2) ∼= −1, que é o mesmo observado para mapeamentos unidimensionais. A bifurcação global estudada, particularmente a crise de fronteira, é ca- racterizada pelo cruzamento de uma variedade instável com uma variedade estável gerada a partir do mesmo ponto de sela. A probabilidade de uma part́ıcula sobreviver ao longo da região onde existia o atrator caótico antes da crise é descrita por um decaimento exponencial. O tempo de relaxação tem uma lei de potência com expoente δ̃ = −1, 99(26) ∼= −2, conforme pre- visto analiticamente para mapeamentos bidimensionais [16]. No caso do modelo kicked rotator, nosso estudo teve como alvo especifi- camente a versão dissipativa desse mapeamento, permitindo um exame de- talhado dos comportamentos de convergência tanto no ponto de bifurcação quanto próximo a ele. Ao aplicar uma lei de escala, fomos capazes de de- terminar numericamente o expoente cŕıtico β = 1/2. Essa determinação nos levou aos valores de α = 1 e z = −2, consistentes com as expectativas de estudos anteriores no campo. Ao examinarmos as proximidades da bifurcação, identificamos um fenômeno de decaimento exponencial, indicando de um processo de relaxamento. Esse decaimento deu origem ao surgimento de um tempo de relaxamento carac- terizado pelo expoente cŕıtico δ = −1. Esses achados não apenas confir- mam nossas expectativas derivadas de mapeamentos unidimensionais, mas também se alinham com insights obtidos a partir de estudos sobre o modelo Fermi-Ulam. Esta examinação meticulosa destaca a natureza intricada dos comportamentos dinâmicos próximos aos pontos de bifurcação e contribui para uma compreensão mais profunda da dinâmica de sistemas complexos. Como perspectiva deste trabalho, temos a análise matemática em aberto para os casos bidimensionais. 66 Referências Bibliográficas [1] R. L. Devaney, A first course in chaotic dynamical systems: theory and experiment. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, Inc, (1992). [2] Newton, Isaac, and N. W. Chittenden. Newton’s principia: The mathe- matical principles of natural philosophy. Geo. P. Putnam, 1850. [3] M. de Laplace, P. Simon, Théorie analytique des probabilités (1749-1827) [4] Villate, Jaime E. (2011). Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto, 120 páginas. [5] Ferreira, Maria Teodora. Métodos lineares e não lineares de análise de séries temporais e sua aplicação no estudo da variabilidade da frequência card́ıaca de jovens saudáveis. 2010. 120 f. 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