

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA

FILHO

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Câmpus Rio Claro

Leis de escala e transientes no mapa
logistic-like perturbado

ANDERSON ANTÔNIO APARECIDO DA SILVA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em F́ısica do Instituto de Geociências

e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista,

câmpus Rio Claro, como parte dos requisitos para

obtenção do t́ıtulo de Mestre em F́ısica.

Orientador: Prof. Dr. Juliano Antonio de Oliveira

Rio Claro - SP

2020


S586l
Silva, Anderson Antônio Aparecido da

    Leis de escala e transientes no mapa logistic-like perturbado /

Anderson Antônio Aparecido da Silva. -- Rio Claro, 2020

    65 p.

    Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista (Unesp),

Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro

    Orientador: Juliano Antonio de Oliveira

    1. Sistemas dinâmicos diferenciais. 2. mapa logistic-like

perturbado. 3. Transientes. 4. Leis de escala. I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JÚLIO DE MESQUITA

FILHO

Instituto de Geociências e Ciências Exatas

Câmpus Rio Claro

Leis de escala e transientes no mapa
logistic-like perturbado

ANDERSON ANTÔNIO APARECIDO DA SILVA

Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em F́ısica do Instituto de Geociências

e Ciências Exatas da Universidade Estadual Paulista,

câmpus Rio Claro, como parte dos requisitos para

obtenção do t́ıtulo de Mestre em F́ısica.

Comissão Examinadora

Prof. Dr. Juliano Antonio de Oliveira

Prof. Dr. José Antônio Mendez Bermúdes

Prof. Dr. Edson Denis Leonel

Resultado: Aprovado

Rio Claro - SP, 29 Julho de 2020


Onde você vê um obstáculo,

alguém vê o término da viagem

e o outro vê uma chance de crescer.

Onde você vê um motivo pra se irritar,

alguém vê a tragédia total

e o outro vê uma prova para sua paciência.

Onde você vê a morte,

alguém vê o fim

e o outro vê o começo de uma nova etapa...

Onde você vê a fortuna,

alguém vê a riqueza material,

e o outro pode encontrar por trás de tudo, a dor e a miséria total.

Onde você vê a teimosia,

alguém vê a ignorância,

um outro compreende as limitações do companheiro,

percebendo que cada qual caminha em seu próprio passo.

E que é inútil querer apressar o passo do outro,

a não ser que ele deseje isso.

Cada qual vê o que quer, pode ou consegue enxergar.

Porque eu sou do tamanho do que vejo.

E não do tamanho da minha altura.

Fernando Pessoa.


Agradecimentos

Com enorme carinho e gratidão que agradeço:

• Primeiramente quero agradecer à Deus por ter me dado força para conseguir chegar até

aqui.

• A minha famı́lia, em especial aos meus pais José Henrique e Roseimar e minha avó Maria

por todo apoio e confiança que sempre depositam em mim.

• A minha namorada Tiene pela compreensão que sempre teve comigo, pelos conselhos

dados e por todo apoio que sempre me concede.

• Ao meu Orientador prof. Dr. Juliano Antonio de Oliveira, com grande carinho que digo

que tive mais que um orientador, tive um amigo. Agradeço não somente pela grande

ajuda nesta dissertação mas também pelas conversas e conselhos que o senhor me deu,

com certeza irão contribuir para minha vida e para minha carreira acadêmica. Obrigado

por confiar em mim.

• A todos os professores do departamento, em especial aqueles com quem tive a

oportunidade de ter aulas. Obrigado por toda ajuda!

• Aos pesquisadores do grupo de Estudos de Sistemas Complexos e Dinâmica não Linear,

gostaria de enfatizar o meu carinho por todos do grupo e em especial ao nosso chefe e ĺıder

do grupo prof. Dr. Edson D. Leonel, Dr. André L. P. Livorati, Dr. Diogo R. da Costa

por sempre estarem dispońıveis a ajudar. Não poderia deixar de agradecer as pessoas

com que passo maior parte do tempo no laboratório Célia Mayumi Kuwana e Laura pelas

conversas compartilhadas.

• Aos meus professores da graduação Joelson, Flávio e Valdir por todas as conversas e

conselhos dados durante a Pós graduação.

• A todos os funcionários do departamento em F́ısica de modo especial aos técnicos André

e Leandro por todo suporte quando necessitei.


• Aos amigos que fiz durante este tempo em Rio Claro em especial aos meus colegas de

Pós, José, Pedro, Rodrigo, Laura, Adriano. Queria dizer que levarei nossa amizade para

vida toda.

• Ao meu colega de Pós Adriano com quem div́ıduo casa em Rio Claro, queria te agradecer

por toda ajuda, pelas conversas e discussões diariamente. Sempre serei grato.

• À UNESP-Câmpus de Rio Claro, pela oportunidade de poder estudar nesta instituição.

• O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de

Pessoal de Nı́vel Supereior - Brasil (Capes) - Código de Financiamento 001.


Resumo

Nesta dissertação consideramos o mapa logistic-like com parâmetro de controle perturbado

por uma pequena função periódica. Fazendo uma escolha apropriada de alguns parâmetros

podemos recuperar mapeamentos diferentes conhecidos na literatura. Propomos construir

numericamente o diagrama de órbitas para analisar o comportamento dinâmico do sistema.

Mostramos que considerando pequenas perturbações novos atratores podem aparecer no

diagrama de órbitas de acordo com a escolha das condições iniciais, de modo que o

comportamento do sistema passou a apresentar descontinuidade associadas a mudança de bacia

de atração. Notamos que essas mudanças ocorrem quando as condições iniciais são atráıdas

para um novo atrator a medida que o parâmetro R se aproxima de um valor cŕıtico Rc. Assim

caracterizamos o transiente por uma lei de potência definida como τ = |Rc −R|−δ, onde δ é

o expoente do transiente. Determinamos o expoente de transiente para valores diferentes dos

parâmetros de controle. Avançamos nossos estudos na investigação da convergência de órbitas

para os pontos de equiĺıbrio próximo a bifurcação transcŕıtica. Utilizamos o formalismo de leis

de escala descrito por uma função homogênea generalizada. Encontramos os expoentes cŕıticos

anaĺıtica e numericamente para determinar a classe de universalidade da bifurcação.

Palavras Chave: Mapa logistic-like perturbado, Transientes, Leis de escala.


Abstract

In this dissertation we consider the logistic-like map with control parameter perturbed by

a small periodic function. Making the appropriate choice of some of the parameters we can

recover different mappings well known in the literature. We built to numerically construct the

orbits diagram to analyse the dynamical behavior of the system. We show that considering

small perturbations a new attractor may surge in the orbits diagram according to the choice

of the initial conditions, so that the behavior of the system shows a discontinuity associated

with the change of basins of attraction. We note that these changes occur when the initial

conditions are attracted to a new attractor as the parameter R approaches a critical value Rc.

We characterize the transient by a power law defined as τ = |Rc −R|−δ, where δ is the transient

exponent. We determine the transient exponent for different values of the control parameter.

We advance our studies to the investigation of the convergence of the orbits to the equilibria

points close to a transcritical bifurcation. We use the scaling laws formalism described by a

generalized homogeneous function. We find the critical exponents analytically and numerically

to determine the universality of the bifurcation.

Key Words: Logistic-like map perturbed, Transients, Scaling laws.


Sumário

Lista de Figuras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

Lista de Tabelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Introdução 14

Introdução 14

2 Propriedades dinâmicas de mapas unidimensionais 18

2.1 Pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Análise de estabilidade para mapas unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Expoentes de Lyapunov para mapas unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Estudo do mapa loǵıstico 24

3.1 O mapa Loǵıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Análise de estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3 Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Convergência das órbitas para o ponto fixo x∗ = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Mapa logistic-like 35

4.1 O modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5 Estudo do mapa logistic-like perturbado 39

5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 . . . . . . . . . . . 49

5.3 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 considerando o caso em que µ 6= 0 . . . . 58

6 Considerações Finais 61


Lista de Figuras

2.1 Esquema da estabilidade do ponto fixo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1 Diagrama de bifurcações para os pontos fixos x∗1, x
∗
2, x

∗
3 e x∗4. . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Diagrama de órbitas utilizando a condição inicial x0 = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 (a)Diagrama de bifurcações. (b)Diagrama de bifurcações sobreposto ao diagrama de

órbitas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 (a)Diagrama de órbita, (b)Expoentes de Lyapunov para o mapa loǵıstico. . . . . . . . 32

3.5 Diagrama de órbitas, considerando diferentes iterações. . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1 Diagrama de órbitas para o mapa logistic-like: (a)Para γ = 0, 5, (b)Para γ = 2. . . . . 36

5.1 Diagramas de órbita para o mapa logistic-like perturbado considerando a condição

inicial sendo x0 = 0, 5 e valores diferentes dos parâmetros γ e ε conforme mostra

legenda nas figuras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2 Diagrama de órbitas considerando diferentes iterações e a condição inicial x0 = 0.5. . . 44

5.3 Diagrama de órbita juntamente com seus respectivos expoentes de Lyapunov. . . . . 45

5.4 Convergências das órbitas para o novo atrator onde consideremos valores cada vez mais

próximos de Rc = 2, 09112. Em (a) consideramos γ = 0, 5, ε = 0, 01 e x0 = 0, 5. Em

(b) γ = 2, ε = 0, 02 e x0 = 0, 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.5 Diagrama das convergências das órbitas para o novo atrato,r onde consideremos valores

diferentes cada vez mais próximos de Rc = 2, 09112. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.6 Valores do expoente de transiente δ para diferentes valores de γ e ε, considerando

x0 = 0, 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.7 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 para γ = 0, 5 considerando ε = 0, 01. . . . . . . 49

9


5.8 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 considerando γ = 1 considerando ε = 0, 01. . . 50

5.9 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 para γ = 2 considerando ε = 0, 01. . . . . . . . 50

5.10 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0, considerando a mesma distância x e variando

o parâmetro γ considerando ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.11 Condição inicial x0 como função do número crossover nx para γ = 0.5 considerando

ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.12 Condição inicial x0 como função do número crossover nx para γ = 1 considerando

ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.13 Condição inicial x0 como função do número crossover nx para γ = 2 considerando

ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.14 Colapso das curvas para γ = 0, 5 considerando ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.15 Colapso das curvas para γ = 1 considerando ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.16 Colapso das curvas para γ = 2 considerando ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.17 Tempo de relaxação δ para γ = 0, 5 considerando ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . 58

5.18 Tempo de relaxação δ para γ = 1 considerando ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.19 Tempo de relaxação δ para γ = 2 considerando ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . 59


Lista de Tabelas

5.1 Oscilação de cos(nπ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Oscilação da perturbação ε. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3 Valores encontrados para Rc para diferentes valores de γ e considerando o mesmo

valor de ε = 0, 01. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4 Valores encontrados para Rc para diferentes valores de γ e considerando o mesmo

valor de ε = 0, 038. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.5 Expoente de transiente δ relacionados a figura 5.6(a). . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.6 Expoente de transiente δ relacionados a figura 5.6(b). . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.7 Expoentes cŕıticos α, β e z para valores diferentes de γ. . . . . . . . . . . . . . . 54

11


Caṕıtulo

1

Introdução

O objetivo da ciência é encontrar leis deterministas e imutáveis que possam governar

a realidade. Fazendo uso destas leis, torna-se posśıvel prever a evolução de um determinado

sistema real, extrapolando as funções e as regras matemáticas das mesmas a partir de valores

iniciais [1, 2]. Assim, temos os chamados sistemas dinâmicos, os quais podem ser caracterizados

pela previsibilidade do comportamento do sistema [3, 4].

Nas últimas décadas o estudo sobre sistemas dinâmicos não lineares tem se tornado

um tema de grande repercussão no meio cient́ıfico [5, 6, 7, 8]. Muitas pesquisas estão

sendo desenvolvidas para tratar de sistemas dinâmicos regidos por modelos matemáticos

simples. Embora simples estes modelos podem apresentar um comportamento complexo e

muito interessante. De acordo com Savi [9] existem, matematicamente, dois tipos de modelos

dinâmicos: equações diferenciais, que são cont́ınuos no tempo e no espaço, e mapas, que

descrevem a evolução no tempo de um sistema em passos discretos expressando seu estado

como uma função do instante anterior. Desta forma, um mapa é um sistema dinâmico discreto

e uma de suas principais caracteŕısticas é auxiliar na análise de sistemas descritos por equações

diferenciais.

Um dos motivos que impulsionou o estudo sobre sistemas dinâmicos, é o fato de que

esses modelos podem ser usados para modelar e fazer previsões de modelos f́ısicos, biológicos,

financeiros, dentre tantas outras áreas da ciência [10, 11]. Estes sistemas são descritos por leis

matemáticas, de modo que muitos desses sistemas podem apresentar comportamento caótico,

14


15

ou seja, irregular, caracterizada pela imprevisibilidade e por possuir sensibilidade as condições

iniciais, o que pode provocar no sistema alterações devidas a pequenas perturbações também

chamado de parâmetro do sistema [9, 12, 13].

Mesmo sendo um tema que vem se lapidando nas últimas décadas, este

comportamento no qual chamamos caótico já tinha sido identificado no fim do século XIX

pelo matemático francês Poincaré, onde ele estudava o famoso problema de três corpos [14, 15].

Poincaré mostrou que a evolução do sistema apresentava sensibilidade às condições iniciais, de

modo que uma pequena mudança na posição inicial do corpo levaria a uma mudança radical em

seu estado final. Apesar de que as ideias sobre sensibilidade às condições iniciais tenham sido

apresentadas por Poincaré naquela época, somente com a criação e o avanço dos computadores

voltou a ser observado em 1963 pelo meteorologista americano Edward Lorenz [9, 16, 17]. Em

seus estudos sobre problemas atmosféricos, Lorenz deparou com a senśıvel depêndencia nas

condições iniciais. Utilizando equações diferenciais com o intuito de modelar a evolução do

tempo, Lorenz percebeu, ao fazer simulações, que pequenas perturbações nas condições iniciais

afetaria a evolução do sistema. Este fenômeno da sensibilidade às condições iniciais fez com que

surgisse a seguinte frase: “O bater das asas de uma borboleta no Brasil pode causar um tornado

no Texas” , esta frase tornou-se famosa e ficou conhecido como efeito borboleta [18, 19].

A partir da década de 60, tendo como pioneiro o americano Lorenz a teoria do caos,

na qual buscamos estudar sistemas dinâmicos não lineares, ou seja, sistemas que apresentam

sensibilidades as condições iniciais, vem cada vez mais sendo objeto de inúmeras pesquisas.

Um dos grandes motivos que impulsionou pesquisadores a estudarem estes sistemas, é o fato de

que modelos descritos por leis matemáticas, aparentemente bastante simples, podem apresentar

comportamentos totalmente complexos [18].

Geralmente os mapas são mais simples de serem analisados do que as equações

diferenciais. Nomeamos mapa um sistema dinâmico que evolui no tempo de maneira discreta.

Um mapa pode ser descrito da seguinte maneira

xn+1 = f(xn), (1.1)

de modo que f é uma função não linear de x e n representa os passos discretos no tempo.

Uma órbita pode ser interpretada como sendo uma sequência de pontos gerada pelas sucessivas

iteradas da equação de um mapa a partir de uma dada condição inicial x0, ou seja, essa sequência


16

pode ser formada pelos pontos do mapa (1.1) da seguinte forma x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1), ....

.Assim podemos denotar uma órbita como sendo a sequência cronológica de valores:

x0, x1, x2, x3, ...., xn. (1.2)

Os primeiros pontos de uma órbita caracterizam o seu comportamento. Este

comportamento inicial é chamado de transiente. Uma órbita geralmente necessita de uma

quantidade grande de iterações para que possa ser atráıda para o atrator. Como normalmente

estamos interessados no comportamento assintótico da dinâmica do mapa, este transiente é

descartado para uma posterior análise da órbita [20]. Denomina-se atrator, um conjunto de

pontos para o qual, quando evolúımos o sistema as órbitas convergem para ele. Se a órbita

não diverge, ela é atráıda por um atrator A, de tal modo que o atrator possa ser periódico ou

caótico, de acordo com Monteiro [16]. Sendo assim, o que chamamos de bacia de atração, é um

conjunto de condições iniciais que ao longo do tempo convergem para o atrator.

Uma mapa normalmente depende de um ou mais coeficientes, chamado de parâmetro

de controle. A medida que os parâmetros de controle são variados, eles descrevem o que

chamamos de diagrama de órbitas. Toda vez que há uma mudança qualitativa no diagrama

de órbitas têm-se uma bifurcação [21]. O termo Bifurcação foi introduzido no ano de 1885 por

Poincaré [16]. Um exemplo de um modelo descrito por uma equação simples, mas que apresenta

grande complexidade é o mapa loǵıstico, que está relacionado com o crescimento populacional

de insetos, peixes, dentre outros. O mapa loǵıstico, foi introduzido pelo biólogo Robert May

no ano de 1976. Este modelo avalia a população em um ano xn+1 a partir do ano anterior

xn [4, 5, 9, 11, 16]. A ideia deste modelo consiste em imaginarmos que, a cada primavera, os

insetos botam ovos. Assim os insetos nascem, comem, crescem, amadurecem, botam ovos e

depois morrem. A não linearidade apresentada no estudo de Robert May prevê que, conforme

a população se torna muito grande, os insetos irão exaurir seus alimentos fazendo com que

provocasse a morte de alguns deles antes de atingir a maturidade necessária para colocar ovos.

Desta maneira, o número de ovos iria se reduzir, de modo que o crescimento da espécie seria

reduzido [16]. Este é um modelo para nos depararmos com caracteŕısticas caóticas, dentre os

quais podemos citar, regularidade e rotas para o caos.

Para melhor compreender o que será tratado nesta dissertação, será apresentada

uma descrição de como foi dado a estruturação da mesma.


17

No segundo Caṕıtulo serão abordadas algumas propriedades dinâmicas de mapas

unidimensionais tais como: conceito de ponto fixo, análise de estabilidade e as classificações

dos pontos fixos, o conceito de Expoente de Lyapunov, o qual é amplamente utilizado para

indicar quais as regiões periódicas e quais as regiões caóticas apresentadas no sistema.

No terceiro Caṕıtulo vamos aplicar tais conceitos no mapeamento loǵıstico, a equação

que descreve este modelo é: xn+1 = Rxn(1− xn), onde R é o parâmetro de controle.

No quarto Caṕıtulo apresentaremos o mapa logistic-like, que é uma generalização do

mapa loǵıstico convencional. A expressão que rege este mapa é dado por: xn+1 = Rxn(1− xγn),

onde R e γ são parâmetros de controle.

No quinto Caṕıtulo vamos trabalhar com o mapa logistic-like perturbado dado

pela seguinte equação: xn+1 = R(1 + ε cosnπ)xn(1 − xγn), de modo que R e γ são

parâmetros de controle e ε é o parâmetro que controla a amplitude da perturbação no sistema.

Conseguimos perceber que a perturbação inserida afetou a dinâmica do sistema, apresentando

descontinuidades associadas a mudança de bacia de atração. Estas mudanças ocorrem quando

as condições iniciais são atráıdas para um novo atrator a medida que o parâmetro de controle

R se aproxima de um valor cŕıtico Rc
∗, com isso podemos supor que o tempo de transiente

na qual está relacionada com o número de iterações gasto até haver a mudança de uma bacia

para a outra pode ser caracterizado por uma lei de potência definida como: τ = µ−δ, onde

δ é o expoente de transiente [22]. O nosso objetivo é investigar se para valores diferentes dos

parâmetros γ e ε se os valores de δ permanecerão os mesmos ou serão afetado conforme variamos

os parâmetros de controle. Neste Caṕıtulo faremos também uso do formalismo de escala para

estudar o decaimento de órbitas para o ponto fixo x∗ = 0 considerando a bifurcação transcŕıtica.

No sexto Caṕıtulo apresentamos os comentários finais sobre a realização da

dissertação e as perspectivas para um trabalho futuro.

∗O termo Rc esta relacionado ao parâmetro cŕıtico onde acontece a mudança entre uma bacia de atração e
bacia, o ind́ıce c é para identificar o parâmetro como sendo um parâmetro cŕıtico.


Caṕıtulo

2

Propriedades dinâmicas de mapas

unidimensionais

Neste Caṕıtulo será feita uma abordagem sobre algumas propriedades dinâmicas de

mapas unidimensionais, dentre os quais, o conceito de ponto fixo, análise de estabilidade e os

expoentes de Lyapunov.

2.1 Pontos fixos

Considere o mapa unidimensional definido na equação (1.1) escrito da seguinte forma,

xn+1 = f(xn),

tal que f(xn) é uma função não linear de sua variável.

Para obtermos os pontos fixos podemos utilizar o seguinte método [23]. Dado x0

iteramos f(x0) e encontramos um novo valor x1 = f(x0), tendo x1, basta iterar novamente f(x1)

18


2.1 Pontos fixos 19

e encontrar x2 = f(x1) e assim sucessivamente. Esquematicamente este método é descrito como:

x1 = f(x0),

x2 = f(x1),

x3 = f(x2),

x4 = f(x3),

...
...

xn+1 = f(xn). (2.1)

Dizemos que x∗ é um ponto fixo da equação xn+1 = f(xn) se

x∗ = f(x∗). (2.2)

2.2 Análise de estabilidade para mapas unidimensionais

Na seção 2.1 mostramos a definição de pontos fixos. No entanto os pontos fixos

podem apresentar caracteŕısticas distintas. Para tal estudo faremos uma análise de estabilidade.

Para investigar a estabilidade de x∗ deve-se verificar o que ocorre com as sucessivas iterações a

partir de um ponto xn próximo de x∗ [16, 21, 24].

Dependendo do comportamento da sequência de iterações perto do ponto fixo

x∗, podemos classificá-los da seguinte maneira, assintoticamente estável, estável ou instável

conforme mostra a figura 2.1. A figura 2,1(a) mostra que dada uma condição inicial x0, ao

iterarmos o mapa e se sua sequência aproximar de x∗ o ponto fixo é classificado como ponto

fixo assintoticamente estável, se a sequência se afasta de x∗, o ponto fixo é dito instável ver na

figura 2.1(b), mas se acontecer de iterarmos o mapa e a sequência não se aproxima e não se

afasta de x∗, dizemos que o ponto fixo é estável [21] ver na figura 2.1(c).

Como pode ser visto nas referências [9, 21, 24], se nosso objetivo é analisar a

estabilidade do ponto fixo x∗, devemos considerar um ponto xn na vizinhança de x∗, ou seja,


2.2 Análise de estabilidade para mapas unidimensionais 20

Figura 2.1: Esquema da estabilidade do ponto fixo.

xn = x∗ + εn, (2.3)

tal que εn é pequeno. Se estamos interessados em analisar precisamos saber se

xn+1 = F (xn) = F (x∗ + εn) = x∗ + εn+1, (2.4)

se afasta ou se aproxima de x∗, portanto temos de verificar se εn+1 é maior ou menor que εn

(em módulo). Para tal análise podemos expandir a equação (2.4) em série de Taylor em torno

de x∗. Expandindo temos:

x∗ + εn+1 = F (x∗ + εn) = F (x∗) +
dF

dx

∣∣∣∣
x=x∗

εn +
1

2

d2F

dx2

∣∣∣∣
x=x∗

ε2n.... (2.5)

Sabendo que F (x∗) = x∗ e considerando a expansão até o termo de primeira ordem, obtemos

x∗ + εn+1 = x∗ +
dF

dx

∣∣∣∣
x=x∗

εn,

εn+1 =
dF

dx

∣∣∣∣
x=x∗

εn, (2.6)

considerando
dF

dx

∣∣∣∣
x=x∗

= C, (2.7)

ficamos com

εn+1 = Cεn. (2.8)


2.2 Análise de estabilidade para mapas unidimensionais 21

Portanto, |εn+1| < |εn| se −1 < C < 1 ou ainda |C| < 1.

Com isso podemos concluir que:

a) |C| < 1 - Ponto fixo do tipo assitoticamente estável ;

b) |C| > 1 - Ponto fixo do tipo instável ;

c) C = 1 - Comportamento neutro. Se o mapa é linear o ponto fixo é um centro, porém se o

mapa não é linear deve-se considerar termos de ordem superior.

2.3 Expoentes de Lyapunov para mapas unidimensionais

A principal caracteŕıstica de sistemas caóticos é a sensibilidade às condições iniciais.

Existem métodos para se caracterizar um sistema como caótico ou regular, entre estes métodos

o que se destaca é o expoente de Lyapunov ou número de Lyapunov [5, 7]. Tais números são

utilizados como indicadores de caos e são obtidos a partir da distância das trajetórias de duas

condições iniciais distintas. Segundo [21] a definição dos expoentes de Lyapunov para mapas

unidimensionais, é dada da seguinte forma:

Seja um mapa unidimensional (1.1) dada por:

xn+1 = f(xn),

consideremos dois pontos iniciais x0 e y0 e a distância entre eles é dada por:

δ0 = y0 − x0. (2.9)

Após uma iteração a nova distância é:

δ1 = y1 − x1, (2.10)

tal que δ1 = eLδ0, onde L mede a taxa de divergência da expansão δ0 até a distância δ1 como

resultado de apenas uma iteração. Temos que y1 = f(y0) e x1 = f(x0), então a equação (2.10)

pode ser reescrita como:

δ1 = f(y0)− f(x0) (2.11)


2.3 Expoentes de Lyapunov para mapas unidimensionais 22

usando a equção (2.9) reescrevemos a equação (2.11) da seguinte maneira:

|δ1| = |f(x0 + δ0)− f(x0)|, (2.12)

após iterar o mapa N vezes tem-se:

δN = |fN(x0 + δ0)− fN(x0)|, (2.13)

que podemos reescrever da seguinte forma:

L =
1

N
ln

∣∣∣∣fN(x0 + δ0)− fN(x0)

δ0

∣∣∣∣ . (2.14)

Podemos notar que na expressão acima L depende de N e δ0, considerando uma

distância infinitesimal onde δ0 −→ 0, depois de um número infinito de iterações, ou seja,

(N −→∞) chegamos à:

λ(x0) ≡ L(x0) = lim
N→∞

lim
δ0→0

1

N
ln

∣∣∣∣fN(x0 + δ0)− fN(x0)

δ0

∣∣∣∣ , (2.15)

que ainda pode ser reescrita como:

λ(x0) = lim
N→∞

1

N
ln

∣∣∣∣dfN(x0)

dx0

∣∣∣∣ . (2.16)

A equação (2.16) pode ainda ser escrita fazendo uso da regra da cadeia, de tal modo

que:

d

dx0
fN(x0) =

d

dx0
f(xn−1)

d

dx0
f(xn−2) · · · ·

d

dx0
f(x0), (2.17)

onde xi = f i(x0) é o resultado da i-ésima iteração do mapa. Substituindo a equação (2.16) na

equação (2.17) obtemos:

λ(x0) = lim
N→∞

1

N
ln

∣∣∣∣∣
N−1∏
i=0

d

dx0
f(xi)

∣∣∣∣∣ , (2.18)


2.3 Expoentes de Lyapunov para mapas unidimensionais 23

de modo que pode ser reescrita como:

λ(x0) = lim
N→∞

1

N

N−1∑
i=0

ln|f ′(xi)|. (2.19)

A equação (2.19) é o expoente de Lyapunov para mapas unidimensionais e constitui uma medida

de divergência exponencial (λ > 0) da órbita ou da contração (λ < 0). Podemos ressaltar que

para (λ = 0) temos um ponto de bifurcação.


Caṕıtulo

3

Estudo do mapa loǵıstico

Neste Caṕıtulo serão apresentadas algumas propriedades do mapa loǵıstico, tais

como a essência do mapa, ponto fixo, estabilidade, diagrama de órbita e o expoente de

Lyapunov.

3.1 O mapa Loǵıstico

Com o objetivo de conseguir prever a dinâmica de uma determinada população, o

economista e demógrafo Thomas Robert Malthus (1766 − 1834) apresentou um modelo linear

que dependia exclusivamente das taxas de natalidade (A), da mortalidade (B) e do número de

indiv́ıduos. Tal modelo é descrito pela seguinte expressão:

dN

dt
= (A−B)N. (3.1)

Este modelo foi retomado pelo matemático belga, François Verhulst (1804−1849) no

ano de 1845, onde ele prôpos uma equação não-linear em que a mortalidade seria proporcional ao

quadrado do número de indiv́ıduos. Podemos expressar este modelo na forma de uma equação

diferencial descrita por:

dN

dt
= AN −BN2, (3.2)

24


3.1 O mapa Loǵıstico 25

de forma que N é o número de indiv́ıduos, A é a taxa de natalidade e B a taxa de mortalidade.

No ano de 1976 o pesquisador e biólogo Robert May retomou o modelo não-linear

proposto anteriormente por Verhulst. O objetivo do pesquisador até então era simplesmente

uma tentativa de criar um modelo, que, pudesse descrever o crescimento populacional de insetos,

porém não na forma diferencial mas em forma de mapa. Este modelo avalia a população em

uma geração xn a partir do ano xn+1. Considerando a forma discreta do modelo de verhulst,

temos:

N1 = AN0 −BN2
0 , (3.3)

N2 = AN1 −BN2
1 , (3.4)

.

.

.

Nn+1 = ANn −BN2
n. (3.5)

O maior valor positivo de N será no limite onde a população será extinta, portanto podemos

reescrever a equação (3.5) da seguinte forma:

ANmax −BN2
max = 0, (3.6)

de modo que se resolvemos a expressão (3.6), obtemos:

Nmax = 0, (3.7)

ou

Nmax =
A

B
. (3.8)

Dividindo a equação (3.6) por Nmax, temos:

Nn+1

Nmax

=
ANn

Nmax

− BN2
n

Nmax

Nmax

Nmax

, (3.9)


3.1 O mapa Loǵıstico 26

adotando
Nn

Nmax

= xn e lembrando que Nmax =
A

B
, obtemos que:

xn+1 = Axn −Bx2n
A

B
, (3.10)

assumindo A = R, ficamos com a equação do mapa loǵıstico dada por:

xn+1 = Rxn(1− xn), (3.11)

onde xn é o número de ı́ndiv́ıduos na enésima geração e R é o parâmetro de controle de

modo que R ∈ [0, 4]. Um dos fatos que fazem este modelo aparecer com destaque quando

estudamos sistemas dinâmicos é o fato de tal sistema, extremamente simples, apresentar um

comportamento complexo [16]. O mapa loǵıstico é uma equação determińıstica, ou seja, sua

situação futura será determinada a partir das condições presentes. Um dos motivos que chamou

a atenção de Robert May foi o fato de que o comportamento do mapa oscila bruscamente para

diferentes valores de R. De fato, esse sistema passa de periódico a caótico devido a mı́nimas

variações do parâmetro de controle R [11, 12].

Os pontos fixos da equação (3.11), podem ser encontradas a partir da seguinte

condição xn+1 = xn = x∗. Assim obtemos a seguinte expressão:

x∗ = Rx∗(1− x∗),

x∗ −Rx∗ +Rx∗
2

= 0, (3.12)

então os pontos fixos são:

x∗1 = 0, (3.13)

e

x∗2 = 1− 1

R
. (3.14)

Para encontrar os pontos fixos de peŕıodo 2, ou seja, da segunda iteração do mapa (3.11),


3.1 O mapa Loǵıstico 27

podemos prosseguir da seguinte maneira:

xn+2 = Rxn+1(1− xn+1), (3.15)

substituindo (3.11) em (3.15), ficamos com:

xn+2 = R[Rxn(1− xn)]{1− [Rxn(1− xn)]},

= R2xn −R2x2n −R3x2n + 2R3x3n −R3x4n. (3.16)

Análogo ao feito para o caso anterior, devemos considerar que, xn+2 = xn = x∗, portanto

obtemos que:

x∗ = R2x∗ −R2x∗
2 −R3x∗

2

+ 2R3x∗
3 −R3x∗

4

R3x∗
4 − 2R3x∗

3

+ (R3 +R2)x∗
2 −R2x∗ + x∗ = 0. (3.17)

Colocando o termo x em evidência, temos:

x∗[R3x∗
3 − 2R3x∗

2

+ (R3 +R2)x∗ −R2 + 1] = 0. (3.18)

Para encontrarmos os pontos fixos, o que fazemos é que achar a ráız da função, desse modo

podemos aplicar o teorema de D’alembert para divisão de polinômio, o qual afirma que dado

um polinômio p(x) de grau ≥ 1, se p(u1) = 0, ou seja, u1 é ráız de p(x), então p(x) é div́ısivel

por (x − u1), resultando em um quociente q1(x), que é um polinômio de grau (n − 1). Desse

modo temos que:

R3x3 − 2R3x2 + [R3 +R2]x−R2 + 1

x− 1 + 1
R

,

= R3x2 + (−R3 −R2)x+ (R2 +R). (3.19)

Logo para encontrar os pontos fixos basta resolver,

R3x2 + (−R3 −R2)x+R2 +R = 0. (3.20)


3.1 O mapa Loǵıstico 28

Dividindo a equação (3.21) por R temos:

R2x2 − (R2 +R)x+R + 1 = 0. (3.21)

Resolvendo a expressão (3.22) obtemos os pontos fixos do peŕıodo 2. Assim os pontos fixos são

descritos por:

x∗3 =
R + 1 +

√
R2 − 2R− 3

2R
, (3.22)

e

x∗4 =
R + 1−

√
R2 − 2R− 3

2R
. (3.23)

Após calcular os pontos fixos, vamos representá-los graficamente. Na figura 3.1

apresentamos o diagrama de bifurcações para os pontos fixos x∗1, x
∗
2, x

∗
3 e para x∗4, e na figura

3.2 mostramos o diagrama de órbitas para a condição inicial x0 = 0, 5. Podemos notar na figura

3.2 que para valores de R ∈ (0, 1) um comportamento periódico de peŕıodo 1, sendo atráıdas

para o ponto fixo x∗1=0. Quando olhamos para o intervalo em que R ∈ (1, 3), também podemos

observar uma órbita periódica de peŕıodo 1, que é o ponto fixo x∗2 = 1 − 1

R
. Observando no

intervalo em que R ∈ (3; 3, 5), notamos que existe uma órbita de peŕıodo 2, onde há uma

alternância entre os dois valores fixos, que são os pontos fixos x∗3 e x∗4. Vale a pena também

ressaltar que para valores de R onde estes pontos fixos perderam a estabilidade as curvas

continuam a aparecer, porém são instáveis. Para peŕıodos maiores que dois a abordagem

anaĺıtica se torma muito complicada, uma vez que o grau do polinômio tende a crescer muito,

portanto usaremos o método numérico.

Fazendo agora uma analogia do diagrama de órbitas mostrado na figura 3.2 com o

modelo criado por Robert May para descrever uma determinada população, podemos imaginar

que para o intervalo de R ∈ (0, 1) a população seria nula, já para R ∈ (1, 3) a população

tenderia para um valor estável, agora se pegarmos R ∈ (3; 1 +
√

6), temos que a população

oscilará entre dois determinados valores, pois a taxa de crescimento deve diminuir quando a

população aumenta. Se considerarmos no parâmetro R como sendo como sendo por exemplo

o “alimento” dispońıvel, conforme a população tende a crescer a comida tenderá a diminuir


3.1 O mapa Loǵıstico 29

Figura 3.1: Diagrama de bifurcações para os pontos fixos x∗1, x
∗
2, x

∗
3 e x∗4.

Figura 3.2: Diagrama de órbitas utilizando a condição inicial x0 = 0, 5.

cada vez mais, fazendo com que oscile o número de pessoas. Conforme a “fecundidade” vai

aumentando o comportamento vai se tornando cada vez mais complexo ainda, pois podemos


3.1 O mapa Loǵıstico 30

observar que após R = 1 +
√

6 a população passa a oscilar entre quatro valores, depois oito

até que para valores maiores que R ' 3, 57, o comportamento do sistema começa a preencher

densamente as regiões, fazendo com que o comportamento seja caótico, isto é, já não se torna

posśıvel algum tipo de previsão. Embora apresente um comportamento caótico no intervalo de

R ∈ (3, 57; 4), existem algumas regiões que apresentam previsibilidade conforme pode ser visto

em uma ampliação na figura 3.2.

3.2 Análise de estabilidade

Agora que encontramos os pontos fixos para a primeira e a segunda iterações do

mapa, podemos fazer uma análise de estabilidade para os pontos fixos encontrados.

O primeiro ponto fixo encontrado foi x∗1 = 0. Como foi visto na seção 2.1 temos que se

|F ′(x∗) < 1|, dizemos que o ponto fixo é assintoticamente estável e se |F ′(x∗) > 1| o ponto fixo

é instável.

Considere uma função de x dada por:

F (x∗) = Rx∗ −Rx∗2 . (3.24)

Derivando a equação (3.25), temos:

F ′(x) = R− 2Rx∗. (3.25)

Aplicando o ponto fixo x∗1 = 0, obtemos,

F ′(x∗1) = R. (3.26)

Analisando temos:

|R| < 1,

−1 < R < 1. (3.27)

Considerando o mapa loǵıstico, temos que R ∈ [0, 4], conclúımos que o ponto fixo

x∗1 = 0 é estável no intervalo de 0 < R < 1 e para R > 1 o ponto fixo x∗1 = 0 torna-se instável.


3.2 Análise de estabilidade 31

De maneira análoga faremos a análise para o segundo ponto fixo x∗2 = 1− 1
R

.

Fazendo uso da expressão (3.26), que nos fornece a derivada de F (x), podemos

aplicar o ponto fixo x∗2 = 1− 1
R

, logo:

F ′(x∗) = R− 2Rx∗,

F ′(x∗2) = R− 2R

[
1− 1

R

]
,

F ′(x∗2) = 2−R. (3.28)

Sendo assim temos que:

| −R + 2| < 1,

1 < R < 3. (3.29)

Desse modo para valores de 1 < R < 3 o ponto fixo x∗2 = 1− 1
R

é dito assintoticamente

estável, e para valores de R > 3 o ponto fixo x∗2 = 1− 1
R

é classificado como instável.

A figura 3.3(a) ilustra o diagrama de bifurcações já a figura 3.3(b) mostra o diagrama

de bifurcações sobreposto ao diagrama de órbitas, assim é posśıvel notar que os resultados

numéricos confirmam bem os resultados encontrados analiticamente.

Figura 3.3: (a)Diagrama de bifurcações. (b)Diagrama de bifurcações sobreposto ao
diagrama de órbitas.


3.3 Expoentes de Lyapunov 32

3.3 Expoentes de Lyapunov

O prinćıpio básico de obtenção dos expoentes de Lyapunov consiste em verificar

se duas órbitas se aproximam ou afastam-se uma da outra com o decorrer do tempo. Como

destacamos na seção 2.3 os expoentes de Lyapunov são uma forma de caracterizar um sistema

como caótico ou não. Constrúımos o gráfico do expoente de Lyapunov para o mapa loǵıstico a

fim de verificar onde o comportamento é caótico e também as regiões onde o sistema é regular.

A figura 3.4 mostra o diagrama de bifurcações juntamente com o expoente de

Lyapunov associado ao respectivo mapa. Analisando a figura 3.4 é posśıvel observar que nos

intervalos em que o expoente de Lyapunov é negativo o comportamento do sistema apresenta

regularidade e onde o mesmo é positivo o comportamento do sistema se torna caótico, ou seja,

perdemos a previsibilidade do sistema. Vale ressaltar que onde o expoente de Lyapunov é zero

o sistema apresenta uma bifurcação.

Figura 3.4: (a)Diagrama de órbita, (b)Expoentes de Lyapunov para o mapa loǵıstico.


3.4 Convergência das órbitas para o ponto fixo x∗ = 0 33

3.4 Convergência das órbitas para o ponto fixo x∗ = 0

Temos que a convergência das órbitas para o ponto fixo é descrita pela variável x(n),

tal variável representa a distância que se está do ponto fixo. Deste modo devemos investigar

o comportamento de x na vizinhança da bifurcação de interesse. A convergência para o ponto

fixo está relacionada ao número de iterações n de uma dada condição inicial x0 e de µ, onde tal

parâmetro está relacionado com a distância na qual se está do ponto de bifurcação. Para explicar

um pouco mais de como se dá a convergência do ponto fixo para a bifurcação, mostramos na

figura 3.5 o diagrama de órbita para o mapa loǵıstico onde consideremos o transiente pequeno.

Em nossos estudos realizamos as simulações numéricas considerando um transiente igual a 50

e aumentamos o número de iterações n conforme mostrado a legenda da figura. Podemos

notar que para n = 10 a um aglomerado de pontos mais afastados da bifurcação. Uma

explicação é que considerando um transiente pequeno não houve tempo suficiente para que os

pontos convergissem para o atrator. Notamos que conforme aumentando o número de iterações

esses pontos aglomerados convergiram para o ponto de bifurcação, conforme mostramos nas

ampliações na figuras 3.5. Assim, podemos dizer que quanto maior o número de iterações mais

próximo estaremos da bifurcação.

Figura 3.5: Diagrama de órbitas, considerando diferentes iterações.


3.4 Convergência das órbitas para o ponto fixo x∗ = 0 34

Um estudo mais aprofundado sobre a convergência das órbitas para o ponto fixo

x∗ = 0, está apresentada em [25].


Caṕıtulo

4

Mapa logistic-like

Neste Caṕıtulo apresentaremos o mapa logistic-like. Tal mapa é uma generalização

do mapa loǵıstico analisado no Caṕıtulo 3. Constrúımos os diagramas de órbitas para

parâmetros diferentes e analisaremos a estabilidade dos pontos fixos.

4.1 O modelo

O mapa logistic-like é uma generalização do mapa loǵıstico, escrito como [25]:

xn+1 = Rxn(1− xγn), (4.1)

de modo que γ ≥ 0 e o parâmetro de controle R ≥ 0. Se considerarmos γ = 1, retomamos

o mapa loǵıstico convencional. Para a escolha de γ = 0, 5 recuperamos modelos não lineares

com aplicações em economia [26]. Considerando γ = 1 temos os mapas quadrátrico e loǵıstico

convencional [27] e [28] respectivamente, enquanto que para γ = 2 retomamos o mapa cúbico

[28]

Os pontos fixos da equação (4.1) podem ser encontrados realizando o mesmo

procedimento usado para encontrar os pontos fixos do mapa loǵıstico, ou seja, considerando

a condição:

xn+1 = xn = x∗, (4.2)

35


4.1 O modelo 36

Figura 4.1: Diagrama de órbitas para o mapa logistic-like: (a)Para γ = 0, 5, (b)Para
γ = 2.

e realizando algumas manipulações algébricas determinamos

x∗1 = 0, (4.3)

e

x∗2 =

[
1− 1

R

]1

γ (4.4)

para γ par e

x∗3 = ±
[
1− 1

R

]1

γ
, (4.5)

para qualquer outro valor de γ. Conhecidos x∗1, x
∗
2 e x∗3, podemos realizar a análise da


4.1 O modelo 37

estabilidade dos pontos fixos. Logo temos que:

f ′(x∗) = R(1− (γ + 1)x∗
γ

). (4.6)

Aplicando o ponto fixo x∗1 = 0, temos

f ′(x∗1) = R. (4.7)

No entanto, para o ponto fixo x∗1 ser assintoticamente estável devemos ter que:

| R |< 1

−1 < R < 1. (4.8)

Como R ≥ 0, conclúımos que o ponto fixo é estável para R ∈ (0, 1]. Considerando agora o caso

em que γ é ı́mpar, racional ou irracional, vamos analisar o ponto fixo x∗2 = (1− 1

R
)

1

γ , assim

f ′(x∗2) = γ −Rγ + 1. (4.9)

Como visto anteriormente para que x∗2 seja classificado como assintoticamente estável, deve-se

ter que:

| γ −Rγ + 1 |< 1, (4.10)

ou seja,

2 + γ

γ
> R > 1. (4.11)

Assim, podemos concluir que o ponto fixo x∗2 é assintoticamente estável para R ∈ (1,
2 + γ

γ
).

Vale a pena ressaltar que em R = 1 ocorre uma troca de estabilidade entre os pontos fixos

x∗1 e x∗2, o que é uma caracteŕıstica de uma bifurcação transcŕıtica. Agora vamos analisar a


4.1 O modelo 38

estabilidade para o caso em que γ é par, ou seja, para os pontos fixos

x∗2,3 = ±(1− 1

R
)

1

γ . (4.12)

Sabemos pela equação (4.6) que a derivada de f é dada por:

f ′(x∗) = R(1− (γ + 1)x∗
γ

). (4.13)

Aplicando os pontos fixos x∗2,3 em f
′
, temos:

f ′(x∗2,3) = R{1− (γ + 1)[(1− 1

R
)γ]

1

γ },

f ′(x∗2,3) = γ −Rγ + 1 (4.14)

Assim, para que o ponto fixo x∗2,3 seja assintoticamente estável, devemos considerar que:

f ′(x∗2,3) < 1. (4.15)

Portanto, podemos escrever a seguinte inequação

| γ −Rγ + 1 |< 1,

−1 < γ −Rγ + 1 < 1,

−1− (γ + 1) < −Rγ < 1− (γ + 1),

2 + γ

γ
> R > 1. (4.16)

Deste modo conclúımos que o ponto fixo x∗2,3 é assintoticamente estável para R ∈ (1,
2 + γ

γ
).

Portanto, o ponto fixo x∗2,3 sendo ele positivo ou negativo, será visitado conforme a escolha das

condições inicial.

Um estudo detalhado sobre o decaimento de órbitas para os pontos fixos nas

bifurcações transcŕıtica e de forquilha utilizando leis de escala é discutido na referência [29, 30].


Caṕıtulo

5

Estudo do mapa logistic-like perturbado

Neste Caṕıtulo introduziremos o mapa logistic-like perturbado. Inserimos

perturbação paramétrica no mapa, com o intuito de analisar os efeitos causados na

dinâmica. Foi posśıvel perceber que houve uma mudança nos diagramas de órbitas, tal como

descontinuidades associadas a mudança de bacia de atração. O nosso principal objetivo será

investigar a transição entre as duas bacias de atração e encontrar numericamente o expoente

do transiente para os valores diferentes dos parâmetros de controle.

5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades

O mapa unidimensional que será investigado neste Caṕıtulo é o mapa logistic-like

perturbado onde consideramos a pertubação definida por uma pequena função periódica. O

objetivo é inserir uma perturbação ao mapa logistic-like apresentado no caṕıtulo 5 e analisar

qual será o efeito desta perturbação. Tal mapa é descrito pela seguinte expressão:

xn+1 = Rnxn(1− xγn), (5.1)

onde Rn é uma função periódica dada por Rn = R(1 + ε cos(nπ)), de modo que R e γ são

parâmetros de controle e ε é um parâmetro que controla a intensidade de perturbação. Para

valores apropriados do parâmetro γ podemos recuperar alguns modelos que já são conhecidos na

39


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 40

literatura. Por exemplo se escolhermos γ = 1 retomamos o mapa loǵıstico dependente do tempo

[31, 22]. Se considerarmos ε = 0 obtemos o mapa logistic-like [29, 30]. Para a escolha de γ = 0, 5

recuperamos modelos não lineares com aplicações em economia [26]. Considerando ε = 0 e γ = 1

temos os mapas quadrátrico e loǵıstico convencional [27] e [28] respectivamente, enquanto que

para ε = 0 e γ = 2 retomamos o mapa cúbico [28]. Em nossos estudos consideraremos os

parâmetros γ = 0, 5, γ = 1 e γ = 2.

Como foi visto na seção 2.1 para que possamos encontrar um ponto fixo do mapa

(5.1) devemos obedecer a seguinte condição f(x∗) = x∗. No entanto, mostramos na tabela 5.1

que a oscilação do termo cos(nπ) ocorre a cada duas iteradas da equação (5.1).

Tabela 5.1: Oscilação de cos(nπ).

n xn + 1 cos(nπ) = (−1)n

n = 0 x1 1
n = 1 x2 −1
n = 2 x3 1
n = 3 x4 −1

...
...

...

Como cos(nπ) = (−1)n, o termo cos(nπ) assume valores 1 e −1 dependo da iteração a

qual estamos considerando. Assim analisamos qual é o efeito da perturbação no ponto fixo.

Observando a equação (5.1) podemos notar que a amplitude de perturbação ε multiplica o termo

cos(nπ). Portanto, o parâmetro ε também irá oscilar. A tabela 5.2 mostra o comportamento

da oscilação.

Tabela 5.2: Oscilação da perturbação ε.

n f(x∗n) = x∗n + 1
n = 0 (r + ε)x∗1
n = 1 (r − ε)(r + ε)x∗2
n = 2 (r + ε)(r − ε)(r + ε)x∗3
n = 3 (r − ε)(r + ε)(r − ε)(r + ε)x∗4

...
...

Dessa forma a equação (5.1) vai se repetir a cada dois peŕıodos de acordo com as

oscilações mostradas nas tabelas (5.1) e (5.2). Com isso, mostramos a seguir a maneira anaĺıtica

de calcular o ponto fixo x∗ da equação (5.1). Sendo assim, consideremos:


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 41

F (F (x∗)) = x∗, (5.2)

que é a segunda iterada do mapa. Fazendo uma manipulação algébrica com o mapa (5.1)

encontramos

F (F (x∗)) = R2(1− ε2)x∗(1− x∗γ)[1− (1 + ε)x∗(1− x∗γ)] = x∗. (5.3)

Portanto,

x∗{R2(1− ε2)(1− x∗γ)[1− (1+)x∗(1− x∗γ)]− 1} = 0. (5.4)

A partir da equação (5.4) podemos observar que x∗ = 0 é um ponto fixo da equação

(5.1). Uma vez encontrado o ponto fixo vamos fazer o análogo ao que foi feito na seção 3.1 e

analisar a estabilidade para o ponto fixo encontrado. Para tal estudo considere o seguinte:

∣∣∣∣(d(F ◦ F )

dx

)
x=x∗

∣∣∣∣< 1, (5.5)

de modo que F ◦ F é uma função composta de F em F dada pela equação (5.3). Seguindo

nossos estudos vamos aplicar o ponto fixo x∗ = 0 na inequação (5.4). Fazendo isso obtemos:

(
d(F ◦ F )

dx

)
x=x∗

= R2(1− ε2). (5.6)

Analisando a expressão (5.6) com base na equação (5.5) temos que esse ponto fixo será

assintoticamente estável se:

− 1 < R2(1− ε2) < 1. (5.7)

Logo o ponto fixo x∗ = 0 será assintoticamente estável se R2(1 − ε2) ∈ [0, 1). Quando R =
1√

1− ε2
temos uma bifurcação transcŕıtica. A seguir mostraremos na figura 5.1 os diagramas

de órbita para valores diferentes dos parâmetros γ e ε, conforme mostra a legenda nas figuras.

Os diagramas mostrados na figura 5.1(a), (b), (c), correspondem respectivamente a

γ = 0, 5, γ = 1 e γ = 2, onde mantivemos o valor do parâmetro ε = 0, 01 e x0 = 0, 5 fixos. Já

os diagramas mostrados na figura 5.1(d), (e), (f), correspondem aos mesmos valores de γ e o

mesmo valor para a condição inicial x0 = 0, 5, porém nas figuras 5.1(d), (e) usamos ε = 0, 038


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 42

Figura 5.1: Diagramas de órbita para o mapa logistic-like perturbado considerando a
condição inicial sendo x0 = 0, 5 e valores diferentes dos parâmetros γ e ε conforme mostra
legenda nas figuras.

e na figura 5.1(f) escolhemos ε = 0, 021. Na figura 5.1 podemos notar que uma pequena

perturbação interfere no comportamento da dinâmica do sistema, já que descontinuidades


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 43

podem ser observadas. As descontinuidades estão associadas a mudanças de bacia de atração.

Tais mudanças acontecem a medida que as condições iniciais passam a serem atráıdas para um

novo atrator a medida que o parâmetro R se aproxima de um valor cŕıtico denotado por Rc.

Observando as figuras constrúıdas para γ = 0, 5 e γ = 1 percebemos, que, os diagramas

de órbitas ficaram semelhantes. No entanto, para γ = 1 a descontinuidade demorou um

número maior de iterações até acontecer a transição de uma bacia para a outra. Podemos

observar também na figura 6.1 que a mudança no comportamento do sistema não implicou no

desaparecimento das regiões caóticas.

Através do método de Newton Raphson foi posśıvel encontrar os valores de Rc para

cada diagrama da figura 5.1. As tabelas 5.3 e 5.4 mostram os valores de Rc para valores

diferentes dos parâmetros de controle.

Tabela 5.3: Valores encontrados para Rc para diferentes valores de γ e considerando
o mesmo valor de ε = 0, 01.

γ ε Rc

0,5 0,01 5,2467315
1 0,01 3,14439
2 0,01 2,09112

Tabela 5.4: Valores encontrados para Rc para diferentes valores de γ e considerando
o mesmo valor de ε = 0, 038.

γ ε Rc

0,5 0,038 5,6357044
1 0,038 3,372405
2 0,038 2,1533515

Com o intuito de compreender a descontinuidade apresentada nos diagramas de órbita visto

na figura 5.1, mostramos na figura 5.2 o diagrama de órbita considerando γ = 0, 5, ε = 0, 01 e

a condição inicial x0 = 0, 5, na cor preta foi plotado o diagrama de órbitas para o logistic-like

perturbado convencional, onde consideramos um transiente alto∗, já para as cores em vermelho,

verde e azul, consideremos um transiente baixo. Podemos observar na figura 5.2 que há uma

mudança na bacia de atração. Esse efeito fica evidente no diagrama em cor vermelha. Notamos

que próximo a R = 5 acontece a mudança na bacia de atração.

∗Para o diagrama em preto consideramos o transiente igual a 1000 e iteramos 1000 vezes, já para os diagramas
em vermelho, verde e azul adotamos o transiente sendo 15 e fomos variando a número de iterações conforme
legenda da figura 5.2


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 44

Figura 5.2: Diagrama de órbitas considerando diferentes iterações e a condição inicial
x0 = 0.5.

Na seção 2.3 foi discutido que o expoente de Lyapunov permite verificar as regiões

onde o sistema apresenta comportamentos caóticos e regulares. Com o intuito de analisar o

efeito da perturbação inserida no sistema, constrúımos o diagrama de órbita juntamente com

o respectivo expoente de Lyapunov. Os diagramas de órbitas mostrados nas figuras 5.3(a) e

5.3(b) foram constrúıdos para γ = 1 e ε = 0, 01, de modo que consideramos condições iniciais

x0 = 0.1 e x0 = 0.6 respectivamente. As figuras (c) e (d) mostram os respectivos expoentes de

Lyapunov.

Uma vez observado que a perturbação inserida afeta o comportamento do sistema,

o nosso objetivo agora será considerar um valor de R e a partir de uma determinada condição

inicial, investigar o número de iterações que a órbita gasta em torno do novo atrator oriundo

da transição entre as duas bacias de atração. Fizemos também uma análise para valores de R

próximo a descontinuidade, ou seja, próximo do valor cŕıtico Rc conforme apresenta a figura

5.4. Com isso, conseguimos verificar que a órbita fica “presa” por um determinado tempo até

que possa decair para o novo atrator. A figura 5.4 mostra a evolução da órbita para valores


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 45

Figura 5.3: Diagrama de órbita juntamente com seus respectivos expoentes de Lyapunov.

do parâmetro R próximo da descontinuidade em Rc = 2, 09112. Na figura 5.4(a) usamos

γ = 0, 5, ε = 0, 01 e x0 = 0, 5 já na figura 5.4(b) escolhemos γ = 2, ε = 0.021 e x0 =

0, 5. Analisando a figura 5.4 podemos observar que as órbitas ficam presas por um número

suficientemente grande de iterações até haver um escape e as órbitas decairem para o ponto

fixo. Algo interessante e que vale ressaltar é que o número de iterações que a órbita fica “presa”

até acontecer a transição depende da distância que estamos do valor cŕıtico Rc. Para ilustrar

este acontecimento, realizamos simulações numéricas com os mesmos valores dos parâmetros

de controle γ, ε, mesma condição inicial x0 e consideramos valores diferentes R, porém valores

próximos de Rc = 2, 09112, como podemos observar na figura 5.5.


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 46

Figura 5.4: Convergências das órbitas para o novo atrator onde consideremos valores cada
vez mais próximos de Rc = 2, 09112. Em (a) consideramos γ = 0, 5, ε = 0, 01 e x0 = 0, 5.
Em (b) γ = 2, ε = 0, 02 e x0 = 0, 5.

Figura 5.5: Diagrama das convergências das órbitas para o novo atrato,r onde
consideremos valores diferentes cada vez mais próximos de Rc = 2, 09112.


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 47

A partir do comportamento mostrado na figura 5.5 podemos observar que para

valores cada vez mais próximos da descontinuidade, ou seja, valores de R < Rc = 2, 09112 a

óbita fica mais tempo confinada, de modo que há um número maior de iterações até acontecer a

transição. Podemos perceber que para R = 2, 09111, preciso de um número menor de iterações

até que aconteça a transição. Já para R = 2, 0911193 que é um valor mais próximo de Rc =

2, 09112 a órbita leva um tempo maior até haver a transição.

Com as análises feitas até agora percebemos que a perturbação paramétrica fez

com que a dinânica do sistema se alterasse como pode ser visto na figura 5.1. Foi posśıvel

perceber uma descontinuidade que está relacionada com o aparecimento de uma nova bacia de

atração, a medida que as condições iniciais passam a ser atráıdas para um novo atrator quando

o parâmetro R se aproxima do valor cŕıtico RC .

Podemos caracterizar a transição de uma bacia de atração para outra por um tempo

de transiente τ . Assim podemos supor que o transiente pode ser caracterizado por uma lei de

potência que é descrita da seguinte maneira:

τ =
1

µδ
(5.8)

onde µ = |Rc−R| e o expoente δ é o expoente do transiente. Com o objetivo de encontrarmos

o expoente δ, consideramos um valor do parâmetro R e a partir de uma condição inicial x0.

Investigamos o número de iterações que a órbita gasta em torno do novo atrator resultante da

transição entre as duas bacias de atração. Realizamos simulações numéricas para obtermos o

expoente de transiente δ, para diferentes valores do parâmetro ε e γ como mostrado nas legendas

das figuras 5.6 (a) e (b).

As tabelas 5.5 e 5.6 mostram os expoentes de transiente δ obtidos para valores

diferentes dos parâmetros de controle γ e ε.

Tabela 5.5: Expoente de transiente δ relacionados a figura 5.6(a).

γ ε δ
0,5 0,01 0,500(1)
1 0,01 0,500(1)
2 0,01 0,5000(6)

Assim podemos concluir que para valores diferentes dos parâmetros γ e ε, os

expoentes de transiente δ são os mesmos, ou seja a pertubação paramétrica inserida no mapa


5.1 O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades 48

Figura 5.6: Valores do expoente de transiente δ para diferentes valores de γ e ε,
considerando x0 = 0, 5 .

Tabela 5.6: Expoente de transiente δ relacionados a figura 5.6(b).

γ ε δ
0,5 0,038 0,5056(2)
1 0,038 0,5031(2)
2 0,038 0,5039(7)

logistic-like, apresenta uma mudança no comportamento do sistema, como podemos observar

na figura 5.1. Porém independente dos valores escolhidos para γ e ε o expoente permanecerá

sendo δ ≈ 0, 5 conforme determinado para o mapa loǵıstico perturbado [22, 32].


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 49

5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0

Nesta seção investigamos a convergência de órbitas para o mapa logistic-like

perturbado descrito pela equação (5.1). Considerando valores diferentes de γ, sendo eles

γ = 0, 5, γ = 1 e γ = 2.Ressaltamos que devido a perturbação paramétrica inserida no mapa

logistic-like, consideraremos a segunda iteração do mapa (5.1).

Para podermos investigar o comportamento do decaimento das órbitas para o ponto

fixo x∗, devemos analisar o comportamento de x próximo do ponto fixo. A convergência para

o ponto fixo está relacionada ao número de iterações n de uma dada condição inicial x0 e

de µ, onde tal parâmetro nos mostra a distância do ponto de bifurcação. Para nossa análise

consideraremos µ = 0, ou seja estamos no ponto de bifurcação já que R = Rc, uma vez que

µ = R−Rc.

As figuras 5.7, 5.8 e 5.9 mostram os decaimentos de órbitas para o ponto fixo em

x∗ = 0 próximo as bifurcações transcŕıtica e forquilha. Consideramos valores diferentes do

parâmetro γ e considerando condições iniciais diferentes conforme legenda na figura.

Figura 5.7: Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 para γ = 0, 5 considerando ε = 0, 01.


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 50

Figura 5.8: Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 considerando γ = 1 considerando
ε = 0, 01.

Figura 5.9: Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 para γ = 2 considerando ε = 0, 01.


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 51

A partir das figuras 5.7, 5.8 e 5.9 podemos notar que mesmo para condições iniciais

x0 diferentes as curvas apresentam comportamentos semelhantes. Dado um valor de x0 as

permanecem em regime constante até atingirem um número de iterações que denotamos por

nx, chamado de número de crossover. Depois as órbitas decaem em uma lei de potência. A

partir do comportamento observado podemos supor três hipóteses de escala, sendo elas:

1. Para n suficientemente curto, ou seja, n << nx, temos

x(n) ∝ xα0 . (5.9)

onde α é um expoente cŕıtico. Como temos que x(n) ∝ xα0 podemos concluir que α = 1.

2. Para n suficientemente longo, ou seja, n >> nx, temos

x(n) ∝ nβ. (5.10)

onde β é um expoente cŕıtico.

3. O número de crossover n(x) é obtido através de

n(x) ∝ xz0, (5.11)

onde denominamos z como sendo o expoente dinâmico.

Fazendo uso das 3 hipóteses de escalas e observando o comportamento das figuras

5.7, 5.8 e 5.9, podemos supor uma funcão homogênea generalizada do tipo:

x(x0, n) = lx(lax0, l
bn), (5.12)

de modo que l é um fator de escala, a e b são expoentes caracteŕısticos

Como sabe-se l é um fator de escala, podemos escolher lax0 = 1, o que nos leva a


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 52

obter l = x
− 1
a

0 , assim

x(x0, n) = x
− 1
a

0 X(1, x
− b
a

0 n), (5.13)

escolhendo x(1, x
− b
a

0 n) como sendo um valor constante para n << nx e comparando com a

hipótese de escala 1, ficamos com o seguinte:

x
− 1
a

0 = xα0 , (5.14)

logo temos que

α = −1

a
. (5.15)

De maneira análoga, porém assumindo agora lbn = 1, temos que l = n−1
b
, portanto

x(x0, n) = n−
1
bx(n−

a

b
x0, 1), (5.16)

Adotando que x(n− a
b
x0, 1) como sendo uma contante para n >> nx, e comparando com a

hipótese de escala 2, temos que:

n−
1
b = nβ, (5.17)

que nos conduz a concluir que:

β = −1

b
. (5.18)

Por fim faremos uso das expressões de l, dada por nβ = xα0 , temos:

nx = x
α
β

0 , (5.19)

comparando com a hipótese de escala 3, obtemos a lei de escala

z =
α

β
. (5.20)


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 53

Olhando para a equação (5.20) podemos perceber uma relação entre os expoentes

cŕıticos e consequentemente é estabelecida uma lei de escala. Assim podemos concluir que uma

vez conhecido os valores de dois dos três expoentes cŕıticos α, β e z o terceiro é facilmente

obtido através da relação descrita pela expressão (5.20).

Realizamos simulações numéricas para analisar o decaimento das órbitas para

o ponto fixo considerando µ = 0, de modo que um ajuste em lei de potência fornece

numericamente o valor do expoente β para cada um dos valores estabelecidos para o parâmetro

γ. Para γ = 0, 5 o valor de β = −1, 999(2), para γ = 1 encontramos β = −0, 999(1) e finalmente

para γ = 2 obtemos β = 0, 499(2). Analisando os valores de β encontrados, podemos afirmar

que tal expoente depende do valor de γ. De acordo com Leonel [25] temos que o expoente β é um

expoente cŕıtico no qual o mesmo define a velocidade com que se dá a convergência para o estado

de equiĺıbrio. Com o objetivo de tentar compreender como o parâmetro γ influencia no quão

rápido ocorre a convergência mostraremos na figura 5.10 o decaimento das órbitas considerando

a mesma distância x do ponto de bifurcação para ambos os valores de γ conforme legenda

figura. Podemos observar que a convergência ocorre mais rápido para γ = 0, 5 correspondendo

ao expoente β = −1, 999(2) quando comparado com os valores de γ = 1 e γ = 2. Com isso

conclúımos que quanto menor o valor do expoente β mais rápido ocorre a convergência.

Encontramos também numericamente o valor do expoente z conforme mostrado

nas figuras 5.11, 5.12 e 5.13, o comportamento de nx versus x0. Para γ = 0, 5 obtemos que

z = −0, 499(2), para a escolha de γ = 1 encontramos o valor de z = −0, 9979(5), e para o

expoente sendo γ = 2 determinamos z = −1, 995(2).


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 54

Figura 5.10: Convergência para o ponto fixo x∗ = 0, considerando a mesma distância x
e variando o parâmetro γ considerando ε = 0, 01.

A tabela 5.7 mostra os valores dos expoentes cŕıticos α, β e z para os respectivos

valores de γ.

Tabela 5.7: Expoentes cŕıticos α, β e z para valores diferentes de γ.

γ α β z
0,5 1 -1,999(2) -0,499(2)
1 1 -0,999(1) -0,9979(5)
2 1 -0,499(2) -1,995(2)

Uma vez determinado os expoentes cŕıticos, podemos usá-los para fazer uma

mudança nos eixos coordenados das figuras 5.7, 5.8 e 5.9 do tipo x −→ x/xα0 e n −→ n/xz0

como mostrado nas figuras 5.14, 5.15 e 5.16. Assim podemos observar um colapso universal de

todas curvas mostradas nas figuras 5.7, 5.8 e 5.9.


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 55

’

Figura 5.11: Condição inicial x0 como função do número crossover nx para γ = 0.5
considerando ε = 0, 01.

Figura 5.12: Condição inicial x0 como função do número crossover nx para γ = 1
considerando ε = 0, 01.


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 56

Figura 5.13: Condição inicial x0 como função do número crossover nx para γ = 2
considerando ε = 0, 01.

Figura 5.14: Colapso das curvas para γ = 0, 5 considerando ε = 0, 01.


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 57

Figura 5.15: Colapso das curvas para γ = 1 considerando ε = 0, 01.

Figura 5.16: Colapso das curvas para γ = 2 considerando ε = 0, 01.

Assim podemos concluir que a lei de escala encontrada é valida e que as curvas são


5.2 Convergência para o ponto fixo x∗ para o caso em que µ = 0 58

invariantes as condições iniciais permitindo definir a universalidade das bifurcações.

5.3 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 considerando o caso em

que µ 6= 0

Investigaremos nesta seção a convergência para o ponto fixo considerando a

vizinhança de R =
1√

1− ε2
definido no estudo da ánalise da estabilidade na seção 5.1. A

convergência na vizinhança da bifurcação é dado por um decaimento exponencial descrito por:

X(x, µ) ∼ e−
n
τ , (5.21)

de modo que τ ∼ µδ, o termo τ é o tempo de relaxação e δ é um expoente de transiente.

Em nossas investigações consideramos γ = 0, 5, γ = 1 e γ = 2 e ε = 0, 01, conforme

mostrado nas figuras 5.17, 5.18 e 5.19.

Figura 5.17: Tempo de relaxação δ para γ = 0, 5 considerando ε = 0, 01.


5.3 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 considerando o caso em que µ 6= 0 59

Figura 5.18: Tempo de relaxação δ para γ = 1 considerando ε = 0, 01.

Figura 5.19: Tempo de relaxação δ para γ = 2 considerando ε = 0, 01.


5.3 Convergência para o ponto fixo x∗ = 0 considerando o caso em que µ 6= 0 60

Para que possamos determinar numericamente o valor do expoente δ devemos

prosseguir da seguinte forma, conforme discutido em [25]. Primeiramente devemos considerar

um conjunto de condições iniciais próximas de x0 e evoluir a dinâmica no tempo, feito isso

verificamos o número de iterações que a trajetória gastou até que fosse atingido uma tolerância,

usualmente considerada menor que 10−8 do ponto fixo. Quando este processo é atingido

guardamos o valor obtido e refazemos todo o processo considerando um outro valor do parâmetro

de controle. Nossos resultados mostram que para valores diferentes de γ o expoente δ ' −1,

conforme encontrado para o mapa loǵıstico [25, 32]. Com isso percebemos que o valor obtido

para o expoente δ não depende do valor de γ.


Caṕıtulo

6

Considerações Finais

Neste trabalho fizemos uma breve revisão sobre algumas propriedades dinâmicas

para mapas unidimensionais. Revisamos os pontos fixos, análise de estabilidade e os expoentes

de Lyapunov ou número de Lyapunov. Uma vez descrita tais propriedades, apresentamos o

mapa loǵıstico e investigamos as propriedades dinâmicas que ele apresenta. Encontramos os

pontos fixos e analisamos a estabilidade de tais pontos. Constrúımos o diagrama de órbitas e

para caracterizar o comportamento de determinadas regiões como sendo periódicas ou caóticas

usamos o expoente de Lyapunov.

Avançamos os nossos estudos considerando o mapa logistic-like e introduzimos uma

perturbação periódica com o intuito de investigar as consequências causadas na dinâmica do

sistema.

O nosso principal objetivo de estudar nessa dissertação, foi investigar o efeito de

transiente e leis de escala no mapa logistic-like perturbado. Para isso constrúımos os diagramas

de órbitas para valores diferentes dos parâmetros γ e ε. Assim foi posśıvel observar uma

descontinuidade relacionada a transição de uma bacia de atração para outra, esta mudança

ocorre à medida que as condições iniciais passam a ser atráıdas para um novo atrator quando

o parâmetro R se aproxima de um valor cŕıtico Rc. Deste modo notamos que a transição gasta

para que uma condição inicial seja atráıda de uma bacia para outra pode ser descrita por uma

61


62

lei de potência do tipo: τ = µ−δ, onde τ é o tempo de transiente. Realizamos simulações

considerando para valores diferentes de γ e também para valores diferentes de ε, com o intuito

de investigar se a perturbação afetaria o valor do expoente de transiente δ. Mostramos que

independente dos parâmetros de controle δ ≈ 0, 5.

Estendemos nossos estudos na investigação da convergência para o ponto fixo x∗ = 0

considerando as bifurcações transcŕıtica e forquilha em R =
1√

1− ε2
. Para o caso em que

µ = 0 encontramos os mesmos expoentes cŕıticos, α, β e z encontrados para o mapa logistic-like

[29, 30]. Para valores diferentes do parâmetro de controle γ, observamos que os expoentes β e

z não são os mesmos e que dependem do valor escolhido para γ. Para o caso em que µ 6= 0,

encontramos os valores para o expoente δ ≈ −1. Observamos que os valores de δ encontrados

não dependem dos parâmetros de controle e são os mesmos encontrados na literatura para o

mapa loǵıstico [31].

Como perspectiva de continuidade pretendemos construir os espaços de parâmetros

utilizando os expoentes de Lyapunov. A construção dos espaços de parâmetros consiste em

relacionar os parâmetros do sistemas e investigar a organização das janelas de periodicidade

ilustradas pelas estruturas conhecidas como shrimps (camarões) [33].


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	Lista de Figuras
	Lista de Tabelas
	Introdução
	Introdução
	Propriedades dinâmicas de mapas unidimensionais
	Pontos fixos
	Análise de estabilidade para mapas unidimensionais
	Expoentes de Lyapunov para mapas unidimensionais

	Estudo do mapa logístico
	O mapa Logístico
	Análise de estabilidade
	Expoentes de Lyapunov
	Convergência das órbitas para o ponto fixo x*=0 

	Mapa logistic-like 
	O modelo

	Estudo do mapa logistic-like perturbado
	O mapa logistic-like perturbado e suas propriedades
	Convergência para o ponto fixo x* para o caso em que =0
	Convergência para o ponto fixo x*=0 considerando o caso em que =0

	Considerações Finais