Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 44, e20220122 (2022) Artigos Gerais www.scielo.br/rbef cb DOI: https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0122 Licença Creative Commons Solução de um potencial exponencial via superálgebra Solution to an exponential potential via superalgebra Leonan Augusto Massete Pera1 , João Vitor Santos Perles*1 , Eder Juno Nicolau Terra1, Raimundo Pereira da Silva1, Elso Drigo Filho1 1Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita Filho”, Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, São José do Rio Preto, SP, Brasil. Recebido em 26 de abril de 2022. Revisado em 23 de setembro de 2022. Aceito em 25 de setembro de 2022. Esse artigo traz uma revisão do formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica e mostra sua aplicação para solucionar um potencial exponencial que, com uma escolha apropriada de parâmetros, é identificado como o potencial de Morse. A solução da equação de Schrödinger para esse potencial é encontrada via fatorização e construção de uma hierarquia de Hamiltonianos, e com o uso dessas ferramentas são encontrados os autovalores de energia e suas respectivas autofunções. A partir do resultado encontrado, fixamos valores de parâmetros com intuito de resgatar os resultados para estados ligados presentes na literatura. Palavras-chave: Supersimetria, Mecânica Quântica, Operadores Bosônicos, Potencial de Morse. This article provides a review of the Supersymmetric Quantum Mechanics formalism and shows its application to solve an exponential potential that, with an appropriate choice of parameters, is identified as the Morse potential. The solution of the Schrödinger equation for this potential is found via factorization and construction of a hierarchy of Hamiltonians, with the use of these tools the energy eigenvalues and their respective eigenfunctions are found. From the obtained result, we fixed parameter values in order to retrieve the results for bound states present in the literature. Keywords: Supersymmetry, Quantum Mechanics, Bosonic operators, Morse Potential. 1. Introdução Dentro do atual panorama da Mecânica Quântica, a equação de Schrödinger (ES) possui lugar de desta- que [1–5], sendo uma equação de onda usada para des- crever a natureza em um aspecto fundamental (atômico, subatômico e molecular). Assim, determinar as soluções da ES é fundamental para a compreensão de sistemas quânticos. Nesse artigo, é estudado um potencial exponencial tal que usando um conjunto adequado dos parâmetros o potencial de Morse é obtido. Esse nome faz referência a Philip M. Morse, que introduziu esse potencial em 1929 no estudo de vibrações de moléculas diatômicas [6]. Desde então, há na literatura diversos trabalhos relacionados a esse tipo de potencial, tanto relativos à sua reso- lução por diferentes métodos matemáticos (analíticos e numéricos) [7–9] quanto às aplicações em problemas físicos [10, 11]. Diferente da abordagem convencional para resolução da ES [12–14], utiliza-se como metodologia a hierarquia de Hamiltonianos, que é descrita pela fatorização das equações diferenciais e construção das autofunções por * Endereço de correspondência: vitor.perles@unesp.br intermédio dos operadores bosônicos [15–18], como mos- trado na próxima seção. A metodologia apresentada permite fatorizar por meio dos chamados operadores supersimétricos o Hamiltoniano original que descreve o sistema estudado. A inversão da ordem desses operadores permite identificar o parceiro supersimétrico. Com o uso desse formalismo, constrói-se uma cadeia de Hamiltonianos ligados entre si, através dos operadores supersimétricos, denominada de hierarquia de Hamiltonianos [14, 17]. Além disso, é importante salientar que a abordagem utilizada nesse trabalho é focada em potenciais com soluções analíticas/exatas. Porém, nos casos em que a equação diferencial para o sistema sujeito ao potencial não pode ser resolvido dessa maneira, há a possibilidade de aplicar métodos aproximativos, como o método variacional [9, 19, 20]. O presente trabalho está organizado como se segue. Na seção 2, apresenta-se o formalismo da hierarquia de Hamiltonianos, descrito com algumas de suas caracte- rísticas abordadas de forma detalhada. Na seção 3, o potencial exponencial proposto é resolvido via hierarquia de Hamiltonianos. Na seção 4 são apresentados os resultados e a restrição dos parâmetros que leva ao caso particular do potencial de Morse, conhecido na litera- tura. Por fim, na seção 5 são apresentadas as conclusões. Copyright by Sociedade Brasileira de Física. Printed in Brazil. www.scielo.br/rbef https://orcid.org/0000-0002-7289-0255 https://orcid.org/0000-0002-1210-6545 emailto:vitor.perles@unesp.br e20220122-2 Solução de um potencial exponencial via superálgebra 2. Formalismo De acordo com o formalismo seguido, o ponto de partida é a equação de Schrödinger, Hoψ(x) = ( − d2 dx2 + V0(x) ) ψ(x) = Eψ(x), (1) sendo que consideramos ~ = 2m = 1 como uma simplificação. A solução com o uso do formalismo da Mecânica Quântica Supersimétrica (MQS) se baseia na fatorização do Hamiltoniano em dois operadores de primeira ordem [18], Ho = − d2 dx2 + V0(x) = A+A− + E (1) 0 , (2) em que E(1) 0 é o autovalor de energia do estado fun- damental para o Hamiltoniano em questão – primeiro membro da hierarquia – e A+ e A− são os operadores de primeira ordem que aqui serão chamados de operadores bosônicos. Os operadores bosônicos são definidos como A+ m = − d dx +W (x, bm) (3) e A−m = d dx +W (x, bm), (4) onde W (x, bm) é um superpotencial dependente da variável x e de um conjunto de parâmetros bm. A ordem de aplicação dos operadores determina os Hamiltonianos companheiros supersimétricos, sendo que essa definição pode levar à construção de uma hierarquia de Hamiltonianos relacionados entre si através da super- simetria [16, 18]. Dessa forma, o primeiro Hamiltoniano e seu companheiro supersimétrico são dados, respectiva- mente, por H1,− = Ho − E(1) 0 = A+ 1 A − 1 = − d2 dx2 + V0(x) (5) e H1,+ = A−1 A + 1 = − d2 dx2 + V1(x), (6) sendo que, quando há solução exata/analítica para o estado fundamental, V0(x) difere do potencial original por uma constante que corresponde a energia do estado fundamental do problema, E0 (1). Uma diferença entre os espectros dos companheiros supersimétricos, quando não há quebra de supersimetria, é o espectro de energia. Para H1,+ o nível mais baixo de energia corresponde ao primeiro estado excitado de H1,−. Com a substituição das equações (3) e (4) na equação (5) encontramos a equação de Ricatti [21], W1 2(x, b1)− d dxW1(x, b1) = V0(x)− E(1) 0 , (7) de forma que, conhecendo um superpotencial que satisfaça a equação (7), é possível encontrar o estado fundamental do Hamiltoniano da equação (5). Assim, pela fatorização proposta, é encontrado o menor auto- valor de energia para o problema estudado. Além disso, com as considerações feitas na equação (6), se define V1(x) como: V1(x) = W1 2(x) + d dxW1(x). (8) Para continuar com a construção da hierarquia, vamos construir H2,− pela fatorização de H1,+, H2,− = H1,+ − E(2) 0 = A+ 2 A − 2 , (9) sendo os operadores bosônicos A+ 2 e A−2 construídos com um superpotencial W2(x) que é dependente da variável x e um novo conjunto de parâmetros b2. Destarte, a solução da equação (9) também é obtida pela solução de uma equação de Ricatti que fornece E(2) 0 . Além de encontrar H2,−, também se contrói seu com- panheiro supersimétrico invertendo a ordem de aplicação dos operadores bosônicos, H2,+ = − d2 dx2 + V2(x) = A−2 A + 2 , (10) em que V2(x) = W2 2 + d dxW2. Os demais Hamiltonianos dessa hierarquia são cons- truídos seguindo os mesmos passos, ou seja, identificando o superpotencial para cada membro. Deve-se ficar atento para o fato de que conforme a hierarquia aumenta, os espectros de energia dos Hamiltonianos são deslocados. Dessa forma, o nível mais baixo de energia de um membro da hierarquia corresponde ao primeiro estado excitado do Hamiltoniano do anterior. Para H1,− e H2,− a relação entre o espectro de energia é E (2) 0 = E (1) 1 . (11) Generalizando esse caso para um espectro com n esta- dos de energia em uma hierarquia de m Hamiltonianos, temos [16, 18] E(m) n = E (m−1) n+1 = . . . = E (1) n+m−1, (12) com n = 0, 1, 2, 3 . . . representando o nível de energia e m = 1, 2, 3 . . . os Hamiltonianos da hierarquia. Por meio da utilização dos operadores bosônicos é possível obter também a autofunção para cada Hamil- toniano construído. Considerando que, por definição, A+ 1 A − 1 tem autovalor nulo [18], é condição suficiente para que A−1 ψ (1) 0 = 0. (13) Dessa forma, a autofunção pode ser obtida pela equação diferencial de primeira ordem, vide a definição do operador A+ na equação (3). Temos então ψ (1) 0 ∝ exp [ − ∫ x W1(x)dx ] . (14) Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 44, e20220122, 2022 DOI: https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0122 Pera et al. e20220122-3 Para os demais Hamiltonianos a autofunção do estado fundamental é encontrada de forma análoga [22], o que leva a ψ (m) 0 ∝ exp [ − ∫ x Wmdx ] . (15) O estado fundamental de cada Hamiltoniano que compõe a hierarquia corresponde a um nível de energia do Hamiltoniano anterior, e por consequência também tem um correspondente em H1,−. O mesmo se aplica às autofunções e, em potenciais exatamente ou parcial- mente solúveis, é possível encontrar as autofunções de estados excitados, vide [18], pelas relações ψ(m) n ∝ A−m−1 . . . A − 1 ψ (1) n+m−1 (16) e ψ (1) n+m−1 ∝ A + 1 . . . A + m−1ψ (m) n . (17) Aplicando este formalismo em problemas de poten- ciais exatamente ou parcialmente solúveis, conseguimos encontrar a solução para a ES via fatorização do Hamil- toniano, como no caso trabalhado a seguir, por exemplo. 3. Potencial Exponencial O potencial de interesse, estudado nessa seção, é dado por V (x) = αe−2ax + βe−ax + γ, (18) sendo que α, β e γ são constantes relacionadas com a profundidade do poço e a com a largura. Vamos discutir casos mais imediatos, em que α ≥ 0, β e γ são reais, e também restringimos a > 0 e real. A ES a ser resolvida corresponde à equação (1) para o potencial acima. Seguindo o formalismo da MQS mostrado na se- ção anterior, para fatorizar o primeiro Hamiltoniano da hierarquia é necessário um superpotencial que satisfaça a equação de Ricatti (7) para o potencial trabalhado. Dessa forma, temos W1 2(x)−W1 ′(x) + E (1) 0 = αe−2ax + βe−ax + γ, (19) que é satisfeita por W1(x) = − √ αe−ax + b1. (20) O superpotencial acima satisfaz a equação (19) com o parâmetro b1 = −(a2 + β 2 √ α ). A constante √ α também pode ser determinada considerando-a como um parâ- metro adicional e fixado a posteriori. Entretanto, como esse parâmetro é sempre o mesmo ao longo da hierar- quia, optou-se por fixá-lo de início, sem sobrecarregar a notação. Com isso, o autovalor de energia do estado fundamental é E (1) 0 = γ − b1 2. (21) A autofunção do primeiro Hamiltoniano pode ser obtida a partir da equação (15): ψ (1) 0 (x) ∝ exp [ − √ α a e−ax − b1x ] . (22) A construção do companheiro supersimétrico de H1,− é feita como na equação (6) e H2,− é construído como visto na equação (9). Sendo assim, temos: W2 2(x)−W2 ′(x) + E (2) 0 = αe−2ax + ( √ αa− 2 √ αb1)e−ax + γ. (23) Pode ser observado que o potencial do companheiro supersimétrico tem a mesma forma funcional do poten- cial original (shape invariant) [23, 24]. Dessa maneira, o superpotencial que satisfaz a equação (23) é similar a W1(x) [18, 23], sendo W2(x) = − √ αe−ax + b2. (24) A solução do estado fundamental para o segundo Hamiltoniano da hierarquia, de forma análoga ao pri- meiro, é exata para o parâmetro b2 = −( 3a 2 + β 2 √ α ), com a energia valendo E (2) 0 = γ − b2 2. (25) A função de onda ψ (2) 0 (x), assim como ψ (1) 0 (x), é obtida pela equação (15): ψ (2) 0 (x) ∝ exp [ − √ α a e−ax − b2x ] . (26) Aplicando o operador A+ 1 sobre ψ(2) 0 (x) obtém-se a função de onda para o primeiro estado excitado de H1,−, ψ (1) 1 (x) ∝ −( √ αe−ax − b2) exp [ − √ α a e−ax − b2x ] − √ α exp [ − (a+ b2)x− √ α a e−ax ] + b1 exp [ − √ α a e−ax − b2x ] . (27) Para obter as próximas funções de onda e níveis de energia para os estados excitados é necessário a constru- ção dos próximos membros da hierarquia de Hamiltoni- anos, como explicitado nas equações (16) e (17). Como já mencionado, há uma invariância na forma funcional, sendo assim os superpotenciais são generalizados da seguinte maneira: Wm(x) = − √ αe−ax + bm. (28) Na equação (28) os membros da hierarquia são repre- sentados por m = 1, 2, 3 . . . DOI: https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0122 Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 44, e20220122, 2022 e20220122-4 Solução de um potencial exponencial via superálgebra Os autovalores de energia são escritos de acordo com a equação (12), por consequência a expressão geral para a energia do primeiro Hamiltoniano é E(1) n = γ − bm2, (29) onde a representação dos níveis de energia é dada por n = 0, 1, 2, 3 . . .; m = 1, 2, 3 . . . está relacionado com a hierarquia. Na generalização conseguimos estabelecer o vínculo para um espectro de energia de forma que m = n+ 1. O parâmetro b é generalizado como bm = − [( m− 1 2 ) a+ β 2 √ α ] . (30) A função de onda geral para o estado fudamental dos membros da hierarquia tem a seguinte forma: ψ (m) 0 ∝ exp [ − √ α a e−ax − bmx ] . (31) Para construir os estados excitados, usamos as auto- funções encontradas em (31) na relação (17), de modo que ψ(1) n ∝ A+ 1 . . . A + n ( exp [ − √ α a e−ax − bmx ]) . (32) Assim, a solução geral é dada pelos autovalores de energia apresentados na equação (29) e pelas autofun- ções associadas, descritas nas equações (31) e (32). 4. Potencial de Morse Usual A solução apresentada até aqui é válida para qualquer valor de α, β, γ e a para o potencial original. A fim de verificar essa solução, consideramos as constantes α = D, β = −2D e γ = 0 para um caso particular do potencial de Morse [6]: VM (x) = De−2ax − 2De−ax. (33) O autovalor de energia do estado fundamental (n = 0) para o primeiro Hamiltoniano do caso particular é dado também pela equação (29). Todavia, agora a energia estará relacionada com o parâmetro D de forma que E (1) 0 = − (a 2 − √ D )2 . (34) A função de onda para esse estado, seguindo a indica- ção da equação (22), é dada pela expressão: ψ (1) 0 (x) ∝ exp [ − √ D a e−ax + (a 2 − √ D ) x ] . (35) Os demais níveis de energia são obtidos pela equação (29), com bm, da equação (30), reescrito como bm = − [( m− 1 2 ) a− √ D ] , (36) para m = 1, 2, 3 . . .. Sendo assim, os autovalores são En = −bm2, (37) com n = 0, 1, 2, 3 . . ., e o vínculo m = n+ 1. De forma análoga às equações (31) e (32), as autofun- ções para o estado fundamental de cada Hamiltoniano neste caso são ψ (m) 0 ∝ exp [ − √ D a e−ax − bmx ] , (38) e para os estados excitados temos ψ(1) n ∝ A+ 1 . . . A + n ( exp [ − √ D a e−ax − bmx ]) . (39) Como esperado, os resultados encontrados para esse caso particular presentes na literatura [6, 25, 26] estão de acordo com a solução apresentada aqui. 5. Conclusões Neste trabalho, foi feito uma revisão do formalismo da MQS aplicado na fatorização e construção de uma hierarquia de Hamiltonianos. Com os resultados obti- dos, encontramos a solução para um tipo de potencial exponencial generalizado. Partindo da solução geral, encontramos também a solução para um caso particular, atribuindo valores aos parâmetros α, β e γ que restringe o caso mais geral para o potencial de Morse usual [6]. Assim, foi identificado uma classe de potenciais que correspondem a uma generalização do potencial de Morse. Na literatura encontramos alguns trabalhos que abordam essa generalização por outros formalismos [27, 28]. Entretanto, até onde vai o conhecimento dos auto- res, não se encontrou nenhuma discussão via Mecânica Quântica Supersimétrica do resultado aqui apresentado. O formalismo discutido pode ser usado como um método alternativo de obtenção da solução da equação de Schrödinger, podendo ser usado em outros proble- mas. Também é possível ampliar sua aplicação para outros tipos de problemas, como potenciais parcial- mente solúveis ou mesmo potenciais que exigem métodos aproximativos. Em especial, para o potencial tratado aqui, o for- malismo permite a construção analítica dos operadores supersimétricos. Com essa solução, também se pode aplicar a metodologia para sistemas com condições de contorno não usuais e obter soluções aproximadas. O caso particular do potencial de Morse confinado [29] é um exemplo. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 44, e20220122, 2022 DOI: https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0122 Pera et al. e20220122-5 Agradecimentos Os autores agradecem pelo suporte financeiro parcial da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES), processos números 88887.641424/ 2021-00, 88887.606561/2021-00 e 88887.606562/2021-00; e do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) pelo processo número 130527/ 2021-1. Referências [1] W. Jaskólski, Physics Reports 271, 1 (1996). [2] Y.P. Kravchenko, M.A. Liberman e B. Johansson, Physical Review A 54, 287 (1996). [3] S.W. Doescher e M.H. Rice, American Journal of Physics 37, 1246 (1969). [4] A.I. Ahmadov, M. Naeem, M.V. Qocayeva e V.A. Tarverdiyeva, Journal of Physics: Conference Series 965, 012001 (2018). [5] L.D. Landau e E.M. Lifshitz, Quantum mechanics: non- relativistic theory (Elsevier, Amsterdam, 2013). [6] P.M. Morse, Physical Review 34, 57 (1929). [7] C. Berkdemir e J. Han, Chemical Physics Letters 409, 203 (2005). [8] J. Yu, S. Dong e G. Sun, Physics Letters A 322, 290 (2004). [9] A. Sharma e O.S.K. Sastri, International Journal of Quantum Chemistry 121, e26682 (2021). [10] H. Taseli, Journal of Physics A: Mathematical and General 31, 779 (1998). [11] H. Ulrich e P. Hess, Chemical Physics Letters 61, 380 (1979). [12] L.I. Schiff, A Textbook of Quantum Mechanics (McGraw-Hill, New York, 1949). [13] D.J. Griffiths e D.F. Schroeter, Introduction to quantum mechanics (Cambridge University Press, Cambridge, 2018). [14] A. Algozini Junior, Diferentes métodos de resolução da equação de Schrödinger independente do tempo, disponí- vel em: https://repositorio.unesp.br/handle/11449/18 3646. [15] G. Junker, Supersymmetric methods in quantum and statistical physics (Springer Science & Business Media, Berlin, 2012). [16] F. Cooper, A. Khare e U. Sukhatme, Physics Reports 251, 267 (1995). [17] J.M.C. Monteiro, A. Algozini Júnior e E. Drigo Filho, Revista Brasileira de Ensino de Física 41, e20180315 (2019). [18] E. Drigo Filho, Supersimetria aplicada à mecânica quântica: estudo da equação de Schrödinger (Editora Unesp, São Paulo, 2009). [19] J.C.B. Araujo, G.R.P. Borges e E. Drigo Filho, Revista Brasileira de Ensino de Física 28 41 (2006). [20] D.E. Ellis e G.S. Painter, Physical Review B 2, 2887 (1970). [21] D.G. Zill e M.R. Cullen, Equações diferenciais (Pearson Makron Books, São Paulo, 2005), v. 1. [22] G.R.P. Borges, E. Drigo Filho e R.M. Ricotta, Physica A 389, 3892 (2010). [23] E. Drigo Filho e R.M. Ricotta, Physics Letters A 269, 269 (2000). [24] H.O. Batael, J.F. Silva, A.N. Silva, S.F.M. Santos e E. Drigo Filho, Revista Brasileira de Ensino de Física 40, e2305 (2018). [25] A. Del Sol Mesa, C. Quesne e Y.F Smirnov, Journal of Physics A: Mathematical and General 31, 321 (1998). [26] S.H. Dong, R. Lemus e A. Frank, International Journal Of Quantum Chemistry 86, 433 (2002). [27] P.H.F. Nogueira e A.S. Castro, Journal of Mathematical Chemistry 54, 1783 (2016). [28] M.G. Garcia, A.S. Castro, P. Alberto e L.B. Castro, Physics Letters A 381, 2050 (2017). [29] J.F. Silva, Interações íon-dipolo e vibracional dentro de cavidades esféricas via método variacional, disponível em: https://repositorio.unesp.br/handle/11449/180802. DOI: https://doi.org/10.1590/1806-9126-RBEF-2022-0122 Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 44, e20220122, 2022 https://repositorio.unesp.br/handle/11449/183646 https://repositorio.unesp.br/handle/11449/183646 https://repositorio.unesp.br/handle/11449/180802 Introdução Formalismo Potencial Exponencial Potencial de Morse Usual Conclusões