UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA - UNESP
“JÚLIO DE MESQUITA FILHO”
Programa de Pós-graduação em Ciência e Tecnologia de Materiais
POSMAT
MARCIA YUMI TERUYA
“ESPECTROSCOPIA DE IMPEDÂNCIA EM SOLUÇÕES
IÔNICAS E MISTURA DE ETANOL/ÁGUA”
PRESIDENTE PRUDENTE
2008
MÁRCIA YUMI TERUYA
“ESPECTROSCOPIA DE IMPEDÂNCIA EM SOLUÇÕES
IÔNICAS E MISTURA DE ETANOL/ÁGUA”
Tese apresentada a Universidade Estadual
Paulista – Faculdade de Ciência e
Tecnologia. Curso de Doutorado, como
requisito à obtenção do título de Doutor
em Ciência e Tecnologia de Materiais.
Orientador: Prof. Dr. José Alberto
Giacometti.
PRESIDENTE PRUDENTE
2008
Teruya, Marcia Yumi
T318e Espectroscopia de impedância em soluções iônicas e de misturas
de etanol/água. / Marcia Yumi Teruya. - Presidente Prudente : [s.n],
2008
83 f.
Tese (doutorado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de
Ciências.
Orientador: José Alberto Giacometti
Banca: Neri Alves, Margarida Juri Saeki, Antonio Jose Feliz de
Carvalho, Luis Humberto da Cunha Andrade e José Alberto
Giacometti
Inclui bibliografia
1. Capacitores. 2. Espectroscopia de impedância. 3. Dupla
camada. I. Autor. II. Título. III. Presidente Prudente - Faculdade de
Ciências e Tecnologia.
CDD(18.ed.) 530
Ficha catalográfica elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação –
Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação - UNESP, Campus de Presidente Prudente.
Dedico esta tese aos meus pais Paulo e
Nobuko, meus irmãos André e Gerson por
serem meu alicerce em todos os momentos de
minha vida.
E a Jorge Duarte pelo amor e paciência.
AGRADECIMENTOS
Ao Prof. Dr. José Alberto Giacometti, por ser uma referência como
pesquisador, pela paciência, apoio, amizade e confiança, sem os quais esse trabalho
não teria realizado.
Aos Prof. Dr. Paulo A. Ribeiro e Drª. Fátima Raposo por me acolherem e
terem possibilitado minhas pesquisas na Universidade Nova de Lisboa em Portugal.
Aos meus pais Paulo e Nobuko, que acreditaram em mim e estiveram ao
meu lado me dando força que muitas vezes me faltou e principalmente pelo exemplo
de vida que sempre me mostraram.
Aos meus irmãos André e Gerson, que apesar da distância sempre me
apoiaram e ajudaram a tomar atitudes importantes pelos exemplos de dedicação,
esforço e trabalho.
A Maria Rangon pelos bons conselhos que foram de muita importância.
A Renata pela amizade, sabedoria, sinceridade e companhia nas viagens e
principalmente pelas aventuras que elas proporcionaram.
Aos amigos do departamento de Física, Química e Biologia: Juliana,
Andréia, Maikon, Juvanir, Dalton, Alberny, Felipe, Flávio pelo ótimo ambiente de
trabalho, cooperação, carinho e inúmeras discussões que fortaleceram minha
formação.
A todos os professores do departamento de Física, Química e Biologia.
Ao Sr. Eng. Jorge Duarte, pela disponibilidade demonstrada para o
desenvolvimento deste estudo, preocupação inerente ao meu estado físico e
psicológico e ajuda prestada no decorrer das tarefas do cotidiano com seu amor
incondicional.
TERUYA, M. Y. Espectroscopia de impedância em soluções iônicas e misturas de
etanol/água. 2008. 83f. Tese (Programa de Pós-graduação em Ciência e Tecnologia de
Materiais). UNESP, Bauru, 2008.
RESUMO
Apresentam-se medidas de espectroscopia de impedância elétrica, na faixa de freqüência de
0,1 mHz a 10 MHZ, obtidas com a solução de KCl em diferentes concentrações e com a
mistura de etanol e água variando-se a porcentagem. Foram utilizados capacitores de placas
paralelas e com eletrodos interdigitados. Os principais resultados experimentais obtidos com
as soluções e as misturas, para o capacitor de placas paralelas, mostraram a existência de dois
picos na curva da impedância imaginária em função da freqüência: o da região de alta
freqüência (região de MHz) e outro na região de baixa freqüência (região de mHz) que ainda
não era conhecido na literatura. Nas medidas com a mistura de etanol/água usando capacitor
com eletrodos interdigitados não foi observado o pico na região de baixa freqüência. Os
resultados experimentais foram interpretados usando-se circuitos equivalentes com o
elemento de impedância de Cole-Cole (para representar a formação da dupla camada de
cargas junto ao eletrodo) em série com o circuito RC em paralelo (para representar o volume
da solução). O circuito com o elemento de Cole-Cole permitiu determinar com sucesso a
mobilidade dos íons da solução e a espessura da dupla camada de cargas. O mesmo circuito
foi usado para analisar os resultados da mistura de etanol e água obtendo-se grandezas
adequadas para o volume da mistura, mas a espessura da dupla camada foi muito maior que o
valor esperado. As medidas realizadas com o capacitor de eletrodos interdigitados para
mistura de etanol/água foram analisadas substituindo-se o elemento de Cole-Cole pelo
elemento CPE. Os resultados foram de grande importância para compreensão dos fenômenos
físicos em sensores capacitivos e há um grande interesse do uso destes sensores para analisar
a qualidade do etanol combustível.
TERUYA, M. Y. Impedance Spectroscopy studies of ionic solutions and ethanol/water
mixtures. 2008. 83f. Tese (Programa de Pós-graduação em Ciência e Tecnologia de
Materiais). UNESP, Bauru, 2008.
ABSTRACT
Electric impedance spectroscopy was employed to investigate ionic solutions of potassium
chloride and mixtures of ethanol-water in the frequency range from 0,1 mHz to 10 MHz.
Experimental results obtained for the solutions and mixtures with a capacitor with parallel
plates showed two peaks in imaginary impedance curves: one at high-frequency (at MHz
range) and the other at low-frequency (mHz range). Such low-frequency peak was not
observed in measurements performed with ethanol-water mixtures using an interdigitated
capacitor. Impedance curves were analyzed employing equivalent circuits containing linear
and non-linear impedance elements. A parallel RC circuit was used to represent the volume of
the ionic solution and of the ethanol-water mixture. The Cole-Cole element, connected in
series with the RC circuit, was used to represent the double layer of charges near the
electrode. The equivalent circuit allowed us to obtain the mobility of the ions in the ionic
solution and the thickness of the double layer. The same circuit was also used to analyze the
results obtained for the ethanol-water mixtures giving a good description of the bulk
properties but the thickness of the double layer was much larger than the expected one.
Results of the measurements performed with the interdigitated capacitor for the ethanol-water
mixtures were analyzed employing a circuit containing a constant-phase distribution element
instead of the Cole-Cole one. Results presented here are of large importance for the
comprehension of the physical-chemical phenomenona in capacitive sensors that have great
interest to analyze the quality of the ethanol fuel.
CONTEÚDO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 1
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO TEÓRICA ............................................................................................. 3
2.1. ESPECTROSCOPIA DE IMPEDÂNCIA ............................................................................................ 3
2.2. MODELO DE DEBYE E EQUAÇÕES EMPÍRICAS ......................................................................... 5
2.2.1. Modelo de Debye ............................................................................................................................. 6
2.2.2. Equação de Cole-Cole ..................................................................................................................... 8
2.2.3. Equação de Cole-Davidson ........................................................................................................... 10
2.2.4. Equação empírica de Havriliak-Negami ....................................................................................... 11
2.3. FENÔMENOS NA INTERFACE METAL/LÍQUIDO ...................................................................... 13
2.4. CAPACITOR PREENCHIDO COM UM LÍQUIDO ......................................................................... 16
2.4.1. Modelo de Becchi - camada de Helmholtz .................................................................................... 16
2.4.2. Modelo de Barbero - adsorção/dessorção ..................................................................................... 19
2.5. CIRCUITOS EQUIVALENTES ........................................................................................................ 21
2.5.1. Circuito equivalente ao modelo de Becchi - Helmholtz ................................................................. 22
2.5.2. Circuito equivalente com o elemento de Havriliak-Negami (HN) ................................................. 24
2.5.3. Circuito equivalente com o elemento de fase constante (CPE) ..................................................... 28
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................................. 31
CAPÍTULO 3 – MATERIAIS E MÉTODOS .......................................................................................... 33
3.1. SOLUÇÃO DE KCL .......................................................................................................................... 33
3.2. MISTURA DE ETANOL E ÁGUA .................................................................................................... 34
3.3. CAPACITOR DE ELETRODOS INTERDIGITADOS ..................................................................... 34
3.4. CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS ....................................................................................... 35
3.5. O ANALISADOR DE IMPEDÂNCIA .............................................................................................. 36
3.5.1. Medidas de espectroscopia de impedância sem a interface 1296A ............................................... 38
3.5.2. Medidas com a interface 1296A .................................................................................................... 39
3.6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS PARA A REALIZAÇÃO DE MEDIDAS ........................ 40
3.6.1. Controle de Temperatura .............................................................................................................. 40
3.6.2. Configurações de uso dos equipamentos e conexões..................................................................... 40
3.7. SOFTWARE ZVIEW ........................................................................................................................... 42
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................................. 45
CAPÍTULO 4 – RESULTADOS E DISCUSSÕES – SOLUÇÃO DE KCL ................................... 46
4.1. REPRODUTIBILIDADE DAS MEDIDAS DE IMPEDÂNCIA ....................................................... 46
4.2. RESULTADOS DAS MEDIDAS DE IMPEDÂNCIA....................................................................... 48
4.3. ANÁLISE DAS CURVAS EXPERIMENTAIS ................................................................................. 50
4.3.1. Propriedades de Volume ............................................................................................................... 54
4.3.2. Propriedades da Dupla Camada ................................................................................................... 56
4.4. CONCLUSÕES .................................................................................................................................. 59
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................................................. 62
CAPÍTULO 5 – RESULTADOS E DISCUSSÕES – MISTURAS ÁGUA E ETANOL ............. 64
5.1. RESULTADOS EXPERIMENTAIS .................................................................................................. 65
5.1.1. Capacitor de placas paralelas ....................................................................................................... 65
5.1.2. Capacitor interdigitado ................................................................................................................. 67
5.1.3. Comparação dos resultados obtidos com os dois capacitores ...................................................... 69
5.2. ANÁLISE DAS CURVAS EXPERIMENTAIS ................................................................................. 70
5.2.1. Capacitor de placas paralelas ....................................................................................................... 70
5.2.2. Capacitor de eletrodos interdigitados ........................................................................................... 75
5.3. CONCLUSÕES .................................................................................................................................. 80
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................................................................. 82
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 2.1 - (a) Curvas da permissividade real, (b) imaginária em função freqüência e (c) o
semicírculo no plano de ε” versus ε’; onde ε∞ /ε0 = 2, εs /ε0 = 10 e τ = 10-3 s. ................... 7
Figura 2.2 - (a) Curvas de permissividade real, (b) imaginária versus a freqüência e (c) a curva
de ε” versus ε’; onde ε∞ /ε0 = 2, εs /ε0 = 10 e τ = 10-3 s. ..................................................... 9
Figura 2.3 - (a) Curvas da permissividade real, (b) imaginária versus da freqüência e (c) a
curva de ε” versus ε’; onde ε∞ /ε0=2, εs /ε0=10 e τ = 10-3 s. .............................................. 11
Figura 2.4 - (a) Curvas da permissividade real, (b) imaginária versus da freqüência e (c) a
curva de ε” versus ε’; onde ε∞ /ε0=2, εs /ε0=10 e τ =10-3 s. ............................................... 13
Figura 2.5 - Dupla camada de cargas formada na superfície do eletrodo. Na figura é mostrada
a posição do plano externo de Helmholtz, PEH. .............................................................. 15
Figura 2.6 - Curvas da impedância: (a) parte real Z’ e (b) parte imaginária Z” em função da
freqüência, e (c) curva de impedância real versus imaginaria; onde β = 0,99, Cs = 42,63
μC2/N2m e CB = 0,1094 nC2/N2m. ................................................................................... 18
Figura 2.7 - Curvas da impedância:(a) parte real Z’, (b)parte imaginária Z” em função da
freqüência e (c) a impedância real versus a imaginária; onde D = 1,98x10-10 m2/s, ε =
78,5ε0, N = 2,02x1023 m-3, k = 3,65x10-7 (ms)-1, τ = 0,02 s e d = 2,03x10-3 m. ............... 21
Figura 2.8 - Circuito elétrico equivalente do modelo de Becchi - Helmholtz. ......................... 22
Figura 2.9 - (a) Curvas da impedância real e (b) imaginária em função da freqüência, e (c) o
semicírculo de Z”versus Z’; onde R = 5 kΩ e C1 = 0,1 nF. ............................................. 24
Figura 2.10 - Circuito equivalente: circuito R1C1 em paralelo e em série com o elemento de
HN. ................................................................................................................................... 25
Figura 2.11 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência; onde R1 =
50 KΩ, C1 = 10 pF, RHN = 300 KΩ, τ = 6 s e α = 0,7. ..................................................... 26
Figura 2.12 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência; onde R1 =
50 KΩ, C1 = 2 pF, τ = 6 s, β = 1, α = 0,7. ........................................................................ 27
Figura 2.13 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência, C1 = 2 pF,
RHN = 300 KΩ, τ = 6 s, e α = 0,6.β = 1 ............................................................................ 28
Figura 2.14 - Circuito equivalente: circuito R1C1 em paralelo e em série com o elemento CPE.
.......................................................................................................................................... 29
Figura 2.15 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência, R1 = 10 kΩ,
C1 = 0,1 nF, P = 0,77. ....................................................................................................... 30
Figura 3.1 - Fotografia do capacitor interdigitado. No lado direito são mostrados os dois
contatos elétricos e no lado esquerdo os micro-eletrodos interdigitados. ........................ 34
Figura 3.2 - (a) Vista em perspectiva e (b) corte lateral do capacitor interdigitado. ................ 35
Figura 3.3 - Fotografia do capacitor de placas paralelas. ......................................................... 36
Figura 3.4 - Analisador de impedâcia Solartron 1260A acoplado a interface 1296A e o
reservatório de água com paredes de isolador térmico para manter a temperatura da
amostra constante. ............................................................................................................ 37
Figura 3.5 - Janela principal do programa ZPlot. ..................................................................... 38
Figura 3.6 - Janela principal para programação da interface 1296A. ....................................... 39
Figura 3.7 - Casador de impedância utilizado com o analisador de impedância
Solartron1260A para realizar medidas na faixa de freqüência entre 1 a 10 MHz. ........... 41
Figura 3.8 - Janela do programa ZView para mostrar as curvas da parte real, Z’, e da parte
imaginária, Z”, da impedância versus a freqüência. Na esquerda é para mostrar a curva
de Z”versus Z”. ................................................................................................................. 42
Figura 3.9 - Janela de exibição do “circuito” e entrada de informações para a simulação e
ajuste de curvas com o programa ZView. ........................................................................ 44
Figura 4.1 - (a) Curvas de impedância real e (b) imaginária em função da freqüência para
solução de KCl para diferentes valores de tempo. No detalhe da figura (a) é mostrado as
curvas de Z’ em função do tempo em minutos para freqüência de 100 Hz. .................... 47
Figura 4.2 - (a) Curvas de impedância elétrica real, Z’, (b) impedância elétrica imaginária, Z”
versus a freqüência: para a solução de KCl. No detalhes da figura (b) são mostradas as
curvas de Z” em escala linear para realçar o pico na freqüência de 1 mHz. .................... 49
Figura 4.3 - Curvas de impedância elétrica Z” versus Z’ para a solução de KCl com diferentes
concentrações. .................................................................................................................. 50
Figura 4.4 - Circuito equivalente RC em paralelo em série com o elemento de Cole-Cole. .... 51
Figura 4.5 - Impedância em função da freqüência para a solução de KCl. (a) parte real da
impedância, (b) parte imaginária versus a freqüência. No detalhe da figura (b) é mostrado
a curva de Z”e seu ajuste em escala linear para realçar o pico na freqüência de 1 mHz. 52
Figura 4.6 - Resultados de Z” versus Z’. Os círculos são os pontos experimentais e a linha é a
curva ajustada. .................................................................................................................. 53
Figura 4.7 - (a) Valores da resistência R1 versus a concentração, (b) Valores da resistência R1
versus o inverso da concentração. .................................................................................... 54
Figura 4.8 - Mobilidade dos íons versus a concentração da solução de KCl. .......................... 56
Figura 4.9 - Valores de (1-α) em função da concentração de KCl. .......................................... 56
Figura 4.10 - Resultados para a dupla camada: (a) tempo de relaxação e (b) em função da
concentração de KCl. ........................................................................................................ 57
Figura 4.11 - (a) Espessura da dupla camada e (b) comprimento de Debye em função da
concentração de KCl. ........................................................................................................ 58
Figura 4.12 - Resistividade elétrica da dupla camada em função da concentração de KCl. .... 59
Figura 5.1 - Curvas de (a) impedância real, (b) imaginária da mistura de etanol/água versus a
freqüência e (c) Z”versus Z’. No detalhe do gráfico (b) são mostradas as curvas de Z”
com a ampliação do pico de baixa freqüência. ................................................................. 66
Figura 5.2 - Curvas de capacitância e resistência de misturas de etanol/água versus a
freqüência. ........................................................................................................................ 67
Figura 5.3 - Curvas da (a) impedância real, (b) imaginária da mistura de etanol/água versus a
freqüência e (c) Z”versus Z’. No detalhe do gráfico (b) são mostradas as curvas de Z” em
escala logarítmica para capacitor interdigitado. ............................................................... 68
Figura 5.4 - Comparação das curvas de impedância obtidas com os capacitores de placas
paralelas e com eletrodos interdigitados para a mistura com 40% de etanol. .................. 69
Figura 5.5 - Circuito equivalente com a resistência em série ................................................... 71
Figura 5.6 - Exemplo do ajuste das curvas (a) Z”, (b) Z’ versus a freqüência e (c) Z”versus Z’
obtidas para a mistura com 40% de etanol/água. .............................................................. 71
Figura 5.7 - (a) Valores da capacitância C1 (b) da resistência R1 versus a porcentagem de
água. .................................................................................................................................. 73
Figura 5.8 - Valores do expoente de Cole-Cole em função da porcentagem de água. ............. 74
Figura 5.9 - (a) Valores da resistência RC e (b) valores do tempo de relaxação em função da
porcentagem de etanol. ..................................................................................................... 74
Figura 5.10 - Exemplo do ajuste das curvas de Z’ e Z“ em função da freqüência, obtidas para
a mistura etanol/água para capacitor interdigitado. .......................................................... 76
Figura 5.11 - Exemplo de ajuste das curvas (a) Z”, (b) Z’ versus a freqüência e (c) Z”versus
Z’ obtidas para a mistura com 40% de etanol/água para capacitor interdigitado. ............ 78
Figura 5.12 - (a) Valores da capacitância C1 (b) da resistência R1 versus a porcentagem de
água para capacitor interdigitado. ..................................................................................... 79
Figura 5.13 - (a) Valores de Q e (b) valores do tempo de relaxação em função da porcentagem
de etanol para capacitor interdigitado. .............................................................................. 80
TABELA
Tabela 3.1 - Configurações experimentais utilizadas nos experimentos. ................................. 42
Tabela 3.2 - Principais variáveis elétricas do programa ZView. .............................................. 43
Tabela 4.1 - Valores dos parâmetros e os erros relativos obtidos nos ajustes (água/KCl). Na
última coluna mostra-se o desvio padrão dos ajustes. Os ajustes foram feitos deixando
todos os parâmetros livres. ............................................................................................... 53
Tabela 5.1 - Valores dos parâmetros e os erros relativos obtidos nos ajustes (etanol/água). Na
última coluna mostra-se o desvio padrão dos ajustes. Os ajustes foram feitos deixando
todos os parâmetros livres. ............................................................................................... 72
Tabela 5.2 - Valores dos parâmetros e os erros relativos obtidos nos ajustes (etanol/água). Na
última coluna mostra-se o desvio padrão dos ajustes. Os ajustes foram feitos deixando
todos os parâmetros livres. ............................................................................................... 78
LISTA DE ABREVIATURAS
AEHC Álcool Etílico Combustível Hidratado
CC Cole-Cole
CD Cole-Davidson
CenPRA Centro de Pesquisa Renato Archer
CPE Elemento de fase constante
HN Havriliak-Negami
PEH Plano Externo de Helmholtz
TOC Teor de Carbono
LISTA DE SÍMBOLOS
α, β Constantes
βS Constante relacionada à mobilidade de íons na
solução
ε* Permissividade dielétrica complexa
ε´ Componente real da permissividade
ε” Componente imaginária da permissividade
εS Constante dielétrica da dupla camada
εs Permissividade dielétrica estática
ε∞ Permissividade dielétrica para alta freqüência
ka Coeficiente de adsorção
λD Comprimento de Debye
μ Mobilidade elétrica
τd Coeficiente de dessorção
τ Tempo de relaxação
φ Ângulo de fase
ω Freqüência angular
A Área do eletrodo
c Concentração molar
C* Capacitância complexa
C´ Componente real da capacitância
C” Componente imaginária da capacitância
C1 Capacitância de volume
C2 Capacitância da dupla camada
CS Capacitância da dupla camada
CV Capacitância elétrica de volume
D Coeficiente de difusão
d Distância dos eletrodos
G* Condutância complexa
I* Corrente de resposta
I0 Amplitude da corrente elétrica
K Constante de Boltzmann
l Espessura
L Espessura
M Massa molecular
n Densidade de íons
N Densidade de íons
n* Densidade de íons na presença de fenômenos de
adsorção
q Unidade de carga elementar
R1 Resistência elétrica de volume
T Temperatura
V Volume
V* Tensão aplicada
V0 Amplitude da tensão
Y* Admitância complexa
Z* Impedância elétrica complexa
Z´ Componente real da impedância
Z” Componente imaginária da impedância
Capítulo 1 - Introdução 1
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO
Sensores capacitivos é uma designação geral usada para referir a dispositivos
construídos de um capacitor elétrico de um material transdutor de sinal colocado entre duas
placas metálicas. Neste tipo de sensor o sinal de transdução é obtido através de medidas
elétricas da corrente elétrica, impedância elétrica, capacitância etc. Exemplos deste tipo de
sensores são os microfones capacitivos, sensores de pressão, sensores piezoelétricos, sensores
para “línguas e narizes eletrônicos” etc. No caso de sensores utilizados em uma “língua
eletrônica” a transdução é feita através de medidas de capacitâncias elétricas dos sensores e
suas variações quando os sensores são imersos em diferentes líquidos.
Este trabalho tem como motivação compreender os fenômenos físicos envolvidos
em sensores capacitivos que são utilizados em “línguas eletrônicas” e para avaliar a
porcentagem de água no etanol (álcool etílico combustível hidratado - AEHC) e a qualidade
dessa mistura. O interesse no estudo do etanol está relacionado ao uso crescente do AEHC
como biocombustível em motores de veículos, o que requer o desenvolvimento de sensores de
baixo custo que permitam uma rápida avaliação do AEHC.
A determinação da capacitância elétrica é feita a partir de medidas de impedância
elétrica do sensor e o interesse específico deste trabalho é estudar os fenômenos elétricos que
ocorrem no volume desses líquidos e nas interfaces dos eletrodos de capacitores. Será
mostrado que:
i) a resposta em alta freqüência (de 10 kHz a 10 MHz) está relacionada com as
propriedades de volume da solução iônica e das misturas de etanol e água;
Capítulo 1 - Introdução 2
ii) a resposta em baixa freqüência (de 0,1 mHz a 10 kHz) está relacionada com a
formação de duplas camadas de carga, freqüentemente denominada de dupla camada
elétrica, nas interfaces do líquido com os eletrodos do capacitor.
Na primeira parte deste trabalho estudaram-se as propriedades da solução de
cloreto de potássio (KCl) para se melhor compreender os fenômenos interfaciais uma vez que
este tipo de medida é relativamente bem conhecida na literatura e existem vários modelos
teóricos para a interpretação dos resultados experimentais. Na segunda parte foram estudadas
as misturas de etanol e água. A contribuição deste trabalho foi realizar as medidas na região
de freqüências de 0,1 mHz a 10 MHz.
Mostrar-se-á que as curvas de impedância imaginária, tanto para a solução iônica
como para as misturas de etanol e água, apresentam um pico em torno da freqüência de
10 mHz, fato este que ainda não tem sido descrito na literatura pois as medidas eram restritas
ao intervalo de freqüência de ~1 Hz até 10 MHz. A existência do pico na região de 10 mHz
foi interpretado empiricamente usando-se um circuito elétrico equivalente com um elemento
de Cole-Cole e os resultados mostram que a descrição é coerente dos resultados em relação ao
problema estudado.
Esta tese está organizada da seguinte forma: No capítulo 2 apresenta-se uma breve
revisão da literatura sobre a relaxação dielétrica, a formação interfacial de duplas camadas de
cargas na superfície de eletrodos imersos em líquidos, os resultados e modelos teóricos para
as medidas de espectroscopia de impedância elétrica em soluções de KCl. No capítulo 3
apresenta-se os procedimentos experimentais, os materiais utilizados, a preparação das
soluções e misturas, equipamentos e os programas para as medidas. Nos capítulos 4 e 5
apresentam-se os resultados experimentais obtidos com a solução de KCl e misturas de etanol
e água, a interpretação desses resultados e as conclusões.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 3
CAPÍTULO 2 – INTRODUÇÃO TEÓRICA
Na seção 2.1 são apresentadas as equações básicas da técnica de espectroscopia de
impedância elétrica. Na seção 2.2 são apresentadas o modelo de Debye e as equações de Cole-
Cole, Cole-Davidson e Havriliak-Negami e na seção 2.3, o modelo de Helmholtz para a
formação de duplas camadas de cargas elétricas na interface metal/líquido. Na seção 2.4 são
apresentados de forma resumida dois modelos físicos para descrever o comportamento de
capacitores preenchidos com uma solução iônica. Na última seção são apresentados dois
circuitos elétricos que serão utilizados para a interpretação dos resultados experimentais.
2.1. ESPECTROSCOPIA DE IMPEDÂNCIA
A técnica de espectroscopia de impedância é um método de caracterização elétrica
desenvolvido para o estudo dos processos elétricos em materiais [1], circuitos [2], dispositivos
eletrônicos [3,4], processos eletroquímicos [5], entre outros. Ressalta-se que a medida de
impedância elétrica é não destrutiva e possui uma precisão adequada para o estudo de
materiais e dispositivos [6]. Nas medidas de espectroscopia de impedância, a freqüência se
estende de 0,1 mHz a 100 GHz sendo que no intervalo de freqüência entre 0,1 mHz a
100 MHz, na maioria dos casos, a medida relativamente é simples de ser feita. Ela pode ser
automatizada controlando-se a varredura de freqüência, a amplitude do sinal, a tensão de
polarização, a precisão da medida etc.
Escrevendo-se a tensão e a corrente elétrica alternada como grandezas complexas:
Capítulo 2 – Introdução Teórica 4
*
0( ) j tV t V e ω= e * ( )
0( ) j tI t I e ω φ−= [2.1]
onde V0 é a amplitude da tensão, I0 é a amplitude da corrente elétrica, ω é a freqüência angular
(ω=2πf, f é a freqüência) e φ é o ângulo de fase entre a corrente e a tensão elétrica. A
impedância complexa, Z*, é definida como:
" [2.2]
onde Z’ é a parte real e Z” é a parte imaginária da impedância elétrica. O ângulo de fase é
dado por:
1 "tan
'
Z
Z
φ − ⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
[2.3]
Quando se estuda amostras dielétricas sob tensão alternada descrevem-se os
resultados através da permissividade elétrica complexa. Os valores das partes real, ε´, e
imaginária, ε”, da permissividade elétrica são obtidos a partir da capacitância elétrica
complexa da amostra, definida como:
* ' "C C jC= − [2.4]
Usando que a corrente elétrica através de um capacitor é
*
* * dVI C
dt
= e as
equações 2.1, 2.2 e 2.3, a parte real e imaginária da capacitância elétrica complexa, em termos
da impedância elétrica real e imaginária, são escritas como:
( ) ( )2 2
1 "'
' "
ZC
Z Zω
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
[2.5]
( ) ( )2 2
1 '"
' "
ZC
Z Zω
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
[2.6]
Estas relações permitem calcular os valores das partes real e imaginária da
Capítulo 2 – Introdução Teórica 5
capacitância complexa e posteriormente os valores das permissividades real e imaginária. Por
exemplo, se for usado um capacitor de placas paralelas de área A e a separação entre os
eletrodos, d, tem-se e " ".
Como foi mencionado, no estudo de dielétricos se utilizam as curvas da
permissividade elétrica real, ε’, e a imaginária, ε”, em função da freqüência. Entretanto,
muitas vezes as curvas experimentais são representadas através das curvas de ε’ e a tangente
do ângulo de perda é determinada por "tan '
εδ ε= . Esta grandeza fornece a energia
dissipada na amostra em cada ciclo da tensão elétrica.
Há ainda outras grandezas que podem ser derivadas da impedância elétrica
complexa, as quais são importantes para a técnica de espectroscopia de impedância elétrica.
Na Tabela 2.1, mostram-se as principais grandezas utilizadas e os valores de suas partes reais
e imaginárias.
Tabela 1.1 - Grandezas complexas em medidas de impedância e suas relações.
Função Complexa Símbolo Componente Real Componente Imaginária
Impedância Z* "
Admitância Y*
"
"
"
Condutância G* " "
Capacitância C*
( ) ( )2 2
1 "'
' "
ZC
Z Zω
⎛ ⎞−
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠ ( ) ( )2 2
1 '"
' "
ZC
Z Zω
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝ ⎠
2.2. MODELO DE DEBYE E EQUAÇÕES EMPÍRICAS
Há na literatura vários modelos e equações empíricas para estudar a relaxação
Capítulo 2 – Introdução Teórica 6
dielétrica de materiais. O modelo de Debye [7] é o mais simples e descreve um material com
um único tempo de relaxação dipolar. A partir da equação de Debye os pesquisadores Cole-
Cole [8], Cole-Davidson [9] e Havriliak-Negami [10] propuseram equações empíricas para
descrever curvas experimentais [11,12].
2.2.1. Modelo de Debye
O primeiro modelo de relaxação dielétrica foi proposto por Debye (1929) que
assumiu que as moléculas dipolares possuíam a forma esférica e se encontravam num solvente
não polar [7]. As esferas são sujeitas ao atrito devido a forças viscosas entre a superfície das
esferas e o solvente. Debye assumiu também que a concentração de esferas na solução é
pequena para garantir que não haja interação entre as mesmas. A permissividade dielétrica ε*
obtida pelo modelo de Debye tem a forma:
1
sj
j
ε εε ε ε ε
ωτ
∞
∞
−′ ′′∗ = − = +
+
[2.7]
onde, τ é o tempo de relaxação do dipolo, εs e ε∞ são respectivamente a permissividade
dielétrica estática ( )0ω → e para alta freqüência ( )ω → ∞ .
A parte real e imaginária da permissividade dielétrica em função da freqüência
angular são:
( )21
sε εε ε
ωτ
∞
∞
−′ = +
+
[2.8]
( )21
sε εε ωτ
ωτ
∞−′′ =
+
[2.9]
As Figuras 2.1a e 2.1b mostram as curvas da permissividade real e imaginária em
função da freqüência associadas ao modelo de Debye. A permissividade real decresce do
Capítulo 2 – Introdução Teórica 7
valor estático, εs, até o valor de alta freqüência, ε∞, e a curva da permissividade imaginária
apresenta um pico de formato simétrico em relação à posição do seu máximo, denominado de
pico de relaxação dielétrica, e a sua posição é determinada pela relação ω 1.
Eliminando-se ω das equações da permissividade real e imaginária (equações 2.8
e 2.9) encontra-se que:
( )
2 2
2
2 2
s sε ε ε εε ε −∞ ∞⎛ + ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′′− + =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
[2.10]
que corresponde a equação de um círculo com raio
2
2
sR ε ε∞−⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
e o seu centro localizado
nas coordenadas:
2
s
s'
ε εε ∞+⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
e ε" 0, como é mostrado na Figura 2.1c.
10-4 10-2 100 102 104 106
0
2
4
6
8
10
12
εs /ε0
f (Hz)
ε
ε'/
ε 0
8
(a)
/ε
0
10-4 10-2 100 102 104 106
0
1
2
3
4
ε"
/ε
0
f (Hz)
(b)
0 2 4 6 8 10
0
2
4
8ε
ε"
/ε
0
ε'/ε0
R
εs
(c)
Figura 2.1 - (a) Curvas da permissividade real, (b) imaginária em função freqüência e (c) o semicírculo no
plano de ε” versus ε’; onde ε∞ /ε0 = 2, εs /ε0 = 10 e τ = 10-3 s.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 8
2.2.2. Equação de Cole-Cole
Cole-Cole (CC) [8] modificaram a equação de Debye introduzindo o expoente
(1 – α) no termo jωτ (0 ≤ α < 1) propondo assim uma equação empírica para descrever a
permissividade dielétrica complexa. O objetivo foi interpretar resultados experimentais que
não podiam ser descritos pelo modelo de Debye. A permissividade complexa é escrita como:
A parte real é escrita como:
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
1 sen
2
1 sen cos
2 2
s
α
α α
παε ε ωτ
ε ε
πα παωτ ωτ
−
∞
∞
− −
⎛ ⎞⎛ ⎞− + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠′ = +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
[2.12]
e a parte imaginária:
( )11
s
j α
ε εε ε
ωτ
∞
∞ −
−
∗ = +
+
[2.11]
( )( )
( ) ( )
1
2 2
1 1
cos
2
1 cos
2 2
s
sen
α
α α
παε ε ωτ
ε
πα παωτ ωτ
−
∞
− −
⎛ ⎞− ⎜ ⎟
⎝ ⎠′′ =
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
[2.13]
Capítulo 2 – Introdução Teórica 9
10-4 10-2 100 102 104 106
0
2
4
6
8
10
12
α = 0,1
0,5 ε'/
ε 0
f (Hz)
0,8
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
0
1
2
3
4
α = 0,1
0,5
0,8
f (Hz)
ε"
/ε
0
(b)
0 2 4 6 8 10 12
2
4
α = 0,1
0,5
0,8
ε"
/ε
0
ε'/ε08ε εs
(c)
Figura 2.2 - (a) Curvas de permissividade real, (b) imaginária versus a freqüência e (c) a curva de ε” versus ε’;
onde ε∞ /ε0 = 2, εs /ε0 = 10 e τ = 10-3 s.
Na Figura 2.2a são mostradas as curvas de permissividade real e na Figura 2.2b as
curvas de permissividade imaginária em função da freqüência. As diferenças entre as curvas
de CC e de Debye são que o pico da curva de ε” versus a freqüência se alarga quando α
aumenta e a curva de ε’ real decresce mais suavemente com a freqüência. Como mostrado na
Figura 2.2c se obtém um arco de círculo para ε” versus ε’ mas o centro do círculo está
localizado em
2 2
s tgε ε παε ∞+⎛ ⎞′′ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
e
2
sε εε ∞+′ = e seu raio é igual a sec
2 2
sR ε ε πα∞−
= .
Capítulo 2 – Introdução Teórica 10
2.2.3. Equação de Cole-Davidson
Cole-Davidson (CD) [9] propuseram outro tipo de modificação da equação de
Debye introduzindo que o termo (1 + jωτ) é elevado ao expoente β (0 < β ≤ 1), ou seja:
( )1
s
j β
ε εε ε
ωτ
∞
∞
−
∗ = +
+
[2.14]
A parte real da permissividade elétrica é dada por:
( )cos coss
βε ε ε ε ϕ ϕβ∞ ∞′ = + − [2.15]
e a parte imaginária é dada por:
( )cos sens
βε ε ε ϕ ϕβ∞′′ = − [2.16]
As Figuras 2.3a e 2.3b mostram que as curvas da impedância real e imaginária são
distintas das obtidas com os modelos anteriores. A curva de ε” versus a freqüência tem um
pico assimétrico em relação ao seu máximo e saliente-se que o pico decresce mais
suavemente no seu lado à direita. Além disto, como é mostrado na Figura 2.3c é ε” versus ε’
uma curva que não tem mais o formato de um arco de um semicírculo.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 11
10-4 10-2 100 102 104 106
0
2
4
6
8
10
12
0,9
0,5
β = 0,1
ε'/
ε 0
f (Hz)
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
0
1
2
3
4
0,1
0,5
β = 0,9
f (Hz)
ε"
/ε
0
(b)
0 2 4 6 8 10 12
2
4
0,1
0,5
β = 0,9
ε'/ε0
ε"
/ε
0
8ε 8ε εs
(c)
Figura 2.3 - (a) Curvas da permissividade real, (b) imaginária versus da freqüência e (c) a curva de ε” versus
ε’; onde ε∞ /ε0=2, εs /ε0=10 e τ = 10-3 s.
2.2.4. Equação empírica de Havriliak-Negami
Havriliak-Negami (HN) [10] propuseram uma equação empírica mais geral que
englobou as equações CC e CD. A equação de HN é escrita como:
( )(1 )1
s
j
βα
ε εε ε
ωτ
∞
∞ −
−
∗ = +
⎡ ⎤+⎣ ⎦
[2.17]
onde (1-α) e β são as duas constantes previamente definidas nas equações de CC e CD.
Assim, o expoente α produz o alargamento da curva de ε’ enquanto que a constante β
introduz a assimetria do pico na curva de ε”. No caso particular de 1β = a equação de HN se
reduz a equação de Cole-Cole e se 0α = ela se reduz a equação de Cole-Davidson e quando
1β = e 0α = obtém-se a equação de Debye.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 12
As partes real e a imaginária de ε∗ são dadas como:
( ) coss
M β
ε ε
ε ε βφ∞
∞
−
′ = + [2.18]
e
( ) sens
M β
ε ε
ε ε βφ∞
∞
−
′′ = +
[2.19]
onde M vale:
( ) ( )
1
2 2 2
(1 ) (1 )1 cos sen
2 2
M α ααπ απωτ ωτ− −⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
[2.20]
onde o angulo φ é:
(1 )
(1 )
( ) cos( / 2)arctan
1 ( ) ( / 2)sen
α
α
ωτ απφ
ωτ απ
−
−=
+
[2.21]
As Figuras 2.4a e 2.4b mostram respectivamente as curvas de impedância real e
imaginária em função da freqüência. Na Figura 2.4c, as curvas de ε” versus ε’ apresentam
formatos que dependem dos valores dos expoentes α e β.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 13
10-4 10-2 100 102 104 106
2
4
6
8
10
12
α = 0,1 e β = 0,8
α = 0,3 e β = 0,4
α = 0,6 e β = 0,3
ε'/
ε 0
f (Hz)
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
2
3
4
5
α = 0,1 e β = 0,8
α = 0,3 e β = 0,4
α = 0,6 e β = 0,3ε'/
ε 0
f (Hz)
(b)
0 2 4 6 8 10 12
2
4
6
α = 0,1 e β = 0,8 α = 0,3 e β = 0,4
α = 0,6 e β = 0,3ε"
/ε
0
ε'/ε0
8
ε
8
ε εs
(c)
Figura 2.4 - (a) Curvas da permissividade real, (b) imaginária versus da freqüência e (c) a curva de ε” versus
ε’; onde ε∞ /ε0=2, εs /ε0=10 e τ =10-3 s.
As funções de HN e os seus casos particulares (CC e CD) são freqüentemente
utilizadas na interpretação de resultados experimentais de medidas dielétricas. Entretanto,
essas funções são utilizadas também para representar elementos de impedância elétrica em
circuitos elétricos equivalentes [6].
2.3. FENÔMENOS NA INTERFACE METAL/LÍQUIDO
Nas soluções iônicas os íons e as moléculas de água (no caso de solvente aquoso)
estão em equilíbrio térmico e são submetidas a forças que na média temporal são
independentes da direção e da posição no volume da solução iônica. Os dipolos permanentes
das moléculas de água estão orientados aleatoriamente e os íons positivos e negativos são
Capítulo 2 – Introdução Teórica 14
distribuídos uniformemente no volume da solução iônica e há neutralidade de cargas elétricas.
Quando eletrodos são imersos na solução iônica cria-se a interface solução iônica/metal o que
leva quebra da simetria na interface eletrodo/solução iônica e as forças nessa região se tornam
anisotrópicas, provocando um rearranjo das moléculas e dos íons. Se o eletrodo for polarizado
eletricamente os íons de carga contrária são atraídos para as suas proximidades gerando um
excesso de íons na interface enquanto que o volume da solução iônica permanece neutro.
Uma descrição simplificada da interface eletricamente carregada é descrita a
seguir. O eletrodo polarizado eletricamente gera um campo elétrico o qual produz a
orientação dos dipolos da água. Os íons solvatados são atraídos pelos eletrodos carregados e
como mostrado na Figura 2.5 eles se depositam sobre a primeira camada de moléculas de
água que estão imobilizadas e orientadas na superfície do eletrodo. A camada monomolecular
de água sobre o eletrodo é denominada de camada de hidratação do eletrodo e a camada de
íons solvatados formada na proximidade do eletrodo forma o plano externo de Helmholtz
(PEH). A condição de equilíbrio na interface é atingida quando a densidade de íons do plano
PEH for igual à densidade de cargas no eletrodo e como as densidades de cargas das camadas
têm sinais opostos o campo elétrico fora das camadas de carga é praticamente nulo. Na
literatura, essas duas camadas de cargas são denominadas de dupla camada de cargas e ela é,
portanto, equivalente a um capacitor de placas paralelas.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 15
Figura 2.5 - Dupla camada de cargas formada na superfície do eletrodo. Na figura é mostrada a posição do
plano externo de Helmholtz, PEH.
De acordo com essa descrição simplificada formam-se duas camadas de cargas
separadas por moléculas de água e a dupla camada tem a espessura d. O potencial elétrico ao
longo da região da dupla camada varia linearmente com a posição relativa ao eletrodo e é nulo
no volume da solução iônica. Em geral, a diferença de potencial sobre a dupla camada é da
ordem de um volt e distância entre as camadas é da ordem de uma dezena de angstroms.
Assim, o campo elétrico que atua sobre as moléculas de água da camada de hidratação é
muito grande, da ordem de 107 Vcm-1. É interessante salientar que a densidade de cargas
elétricas da dupla camada e a polarização elétrica resultante na camada de hidratação são
dependentes da diferença de potencial aplicada aos eletrodos.
Na literatura existem modelos mais elaborados que foram desenvolvidos por
Gouy e Chapman (GOUY, 1903 e CHAPMAN, 1913 aput BOCKRIS, 1973, p.737) [13],
Stern [14], Grahame [15] e Bockris, Devanathan e Müller [16] os quais são detalhadamente
descritos em vários livros de eletroquímica [13,17,18]. Eles levam em conta outros detalhes
do fenômeno de formação da dupla camada que não serão aqui descritos, pois as discussões
realizadas neste trabalho serão baseadas no modelo simplificado de Helmholtz.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 16
2.4. CAPACITOR PREENCHIDO COM UM LÍQUIDO
Descrevem-se de forma resumida os princípios e as equações dos modelos físicos
para descrever os resultados obtidos em medidas de impedância complexa em função da
freqüência de um capacitor plano preenchido com a solução iônica de água e o sal de KCl
[19,20].
2.4.1. Modelo de Becchi - camada de Helmholtz
Seja um capacitor de placas paralelas preenchido por uma solução de KCl.
Assume-se que os íons de potássio e de cloro possuem a mesma mobilidade e que sob uma
diferença de potencial os íons migram para as proximidades da superfície do eletrodo
formando a dupla camada de cargas [21]. Assume-se que os eletrodos não injetam cargas na
solução, a condução elétrica no volume é ôhmica e que a densidade volumétrica de íons da
solução é suficientemente grande e para que a sua densidade não varie quando os íons migram
do volume para a superfície para formar as duplas camadas de cargas junto ao eletrodo.
Supõe-se que a dupla camada possui constante dielétrica, , e resistência elétrica infinita.
Portanto, no modelo de Becchi o capacitor é dividido em três regiões: duas duplas camadas de
íons de espessuras L e o volume da solução iônica de espessura l e constante dielétrica .
O cálculo da impedância complexa do capacitor é feito resolvendo-se as equações
eletrostáticas unidimensionais [21]. As partes real e imaginária da impedância complexa do
capacitor são escritas como:
2 ω /2 [2.22]
e
Capítulo 2 – Introdução Teórica 17
"
ω /2
ω ω /2 [2.23]
onde ε /l é a capacitância elétrica do volume, A é a área do eletrodo, / é a
capacitância da dupla camada, βS = εSd/4μγqnL onde 1/γ =1+2(LεB)/dεS. Na constante βS, μ é
a mobilidade dos íons na solução, q é a unidade de carga e n é a densidade dos íons na
solução, os quais estão em equilíbrio termodinâmico na solução.
As curvas de Z’ e Z” em função da freqüência são mostradas nas Figuras 2.6a e
2.6b. Elas foram obtidas utilizando os valores dos parâmetros fornecido no trabalho de Becchi
et al. [19] para ajustar as curvas experimentais medidas com a solução de KCl. A Figura 2.6a
mostra que a impedância real é constante na região de baixa freqüência e tende para zero no
limite de alta freqüência. Na Figura 2.6b é mostrado que a curva de impedância imaginária
apresenta um pico em alta freqüência e o valor da Z” diverge quando a freqüência tende para
zero. Na Figura 2.6c mostra-se que a dependência de Z” com Z’ é caracterizado por um
semicírculo ligeiramente deformado e uma reta vertical justaposta ao semicírculo. O
semicírculo é determinado pelas características elétricas do volume da solução enquanto que a
reta vertical do lado direito do semicírculo é devida a existência das duplas camadas de cargas
formadas junto aos eletrodos do capacitor preenchido com a solução.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 18
10-1 101 103 105 107
0.0
0.5
1.0
1.5
Z'
(k
Ω
)
f (Hz)
(a)
10-1 101 103 105 107
1
2
3
4
5
- Z
"
(k
Ω
)
f (Hz)
(b)
0.0 0.4 0.8 1.2 1.6
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
- Z
"
(k
Ω
)
Z' (kΩ)
(c)
Figura 2.6 - Curvas da impedância: (a) parte real Z’ e (b) parte imaginária Z” em função da freqüência, e (c)
curva de impedância real versus imaginaria; onde β = 0,99, Cs = 42,63 μC2/N2m e CB = 0,1094 nC2/N2m.
Este modelo descreve parcialmente os resultados experimentais obtidos [20] para
a solução de KCl, pois no intervalo de 1 Hz a 10 MHz, as curvas experimentais mostram que
a impedância real aumenta com a diminuição da freqüência (f < 100 HZ), fato este não
previsto pelo modelo de Becchi. Por esta razão, Barbero et al. [20] propuseram outro modelo
considerando a existência de fenômenos de adsorção e dessorção [13] de íons para descrever a
formação da dupla camada.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 19
2.4.2. Modelo de Barbero - adsorção/dessorção
No modelo alternativo proposto por Barbero et al. [20] os fenômenos de adsorção
e dessorção de íons da solução são os responsáveis pela formação da camada de Helmholtz na
superfície do eletrodo. Adsorção e dessorção descrevem a cinética de processos que produzem
a acumulação de íons e moléculas com ou sem momento dipolares sobre uma superfície de
um eletrodo metálico.
A resolução do modelo de adsorção/dessorção [20] mostra que a admitância
elétrica complexa, Y, é dada como:
0
2 cosh sinh
2 1 2
a dkq d dY j A P C
i
β τβ βω ε
β ωτ
⎧ ⎫⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎩ ⎭
[2.24]
onde
2
2
1 1 , , *
2 * 1 2( / )
D
D
D a d
KT Nj n
D n q k d
λ εβ ω λ
λ τ
= + = =
+
[2.25]
onde n* é a densidade de íons na presença de fenômenos de adsorção, d a distância entre os
eletrodos, N densidade de íons no volume da solução iônica sem a presença do campo
elétrico, as constantes ka e τd representam respectivamente os coeficientes de adsorção e de
dessorção, D é o coeficiente de difusão, K é a constante de Boltzmann, T é a temperatura, ε é
a constante dielétrica da solução e λD é o comprimento de Debye [20]. Os parâmetros P0 e C
na equação 2.24 são determinados pelas equações:
0
* / ( )1 tanh( / 2) 0
1 ( / ) cosh( / 2)
k n q KTd P j C
i D d
τβ β
ωτ ω β β
⎧ ⎫+ − =⎨ ⎬+⎩ ⎭
[2.26]
e
Capítulo 2 – Introdução Teórica 20
02
12 sinh
2 2 2
q d dP Cβ
εβ
⎛ ⎞− + =⎜ ⎟
⎝ ⎠
[2.27]
A Figura 2.7 mostra as curvas da parte real e imaginária de impedância elétrica
em função da freqüência para as quais foram utilizados os valores dos parâmetros fornecidos
no trabalho de Barbero et al. [20] para ajustar as curvas experimentais obtidas com a solução
de água e KCl. Na Figura 2.7a é mostrado que na região de baixa freqüência há um aumento
da amplitude na curva de Z’ quando a freqüência decresce. Na Figura 2.7b é mostrado que Z”
cresce quando se diminui a freqüência e apresenta um pico em alta freqüência. Como
discutido no trabalho de Barbero et al. [20] este modelo descreve os resultados experimentais
para a solução de KCl pois ele leva ao aumento de Z’ quando a freqüência decresce. Na
Figura 2.7c mostra-se a dependência de Z” versus Z’ obtendo-se também um semicírculo
ligeiramente deformado e do lado direito do semicírculo tem-se uma curva com crescimento
muito acentuado e não uma reta vertical como encontrado no modelo da seção anterior (veja
Figura 2.6c).
Capítulo 2 – Introdução Teórica 21
1 2 3 4 5 6 7
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
f (Hz)
Z'
(
kΩ
)
(a)
1 2 3 4 5 6 7
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
- Z
"
(k
Ω
)
f (Hz)
(b)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
- Z
"
(k
Ω
)
Z' (kΩ)
(c)
Figura 2.7 - Curvas da impedância:(a) parte real Z’, (b)parte imaginária Z” em função da freqüência e (c) a
impedância real versus a imaginária; onde D = 1,98x10-10 m2/s, ε = 78,5ε0, N = 2,02x1023 m-3, k = 3,65x10-7
(ms)-1, τ = 0,02 s e d = 2,03x10-3 m.
As curvas das Figuras 2.7 foram obtidas utilizando os valores dos parâmetros dos
modelos que permitiram descrever as curvas experimentais da impedância da solução de KCl.
Por esta razão as curvas apresentadas na Figura 2.7 representam com boa precisão os
resultados experimentais obtidos utilizando a solução de KCl [20] no intervalo de freqüência
de 1 Hz a 10 MHz.
2.5. CIRCUITOS EQUIVALENTES
Uma abordagem comum em medidas de impedância é ajustar os resultados com
de um circuito elétrico equivalente com aqueles obtidos experimentalmente para descrever o
Capítulo 2 – Introdução Teórica 22
comportamento do sistema físico. Os circuitos equivalentes são importantes para o
entendimento dos fenômenos elétricos que ocorrem no sistema em estudo.
2.5.1. Circuito equivalente ao modelo de Becchi - Helmholtz
Considerando as hipóteses feitas no modelo de Becchi descrito na secção 2.4.1, o
volume da solução iônica pode ser representado por um capacitor em paralelo com um
resistor, que é o modelo de Maxwell para um material dielétrico que apresenta uma condução
do tipo ôhmica. Por outro lado, no modelo de Becchi foi assumido que a dupla camada de
Helmholtz [19] se comporta como um capacitor ideal. Assim, o capacitor com a solução
iônica pode ser representado pelo um circuito elétrico mostrado na Figura 2.8, onde R1 e C1
são a resistência e a capacitância do volume da solução e C2 representa a soma das duas
capacitâncias das duplas camadas de Helmholtz que se formam junto aos eletrodos.
Figura 2.8 - Circuito elétrico equivalente do modelo de Becchi - Helmholtz.
A impedância elétrica do circuito da Figura 2.8 é escrita como:
1 ω
ω
1 ω
1
ω
[2.28]
onde a parte real da impedância elétrica é:
Capítulo 2 – Introdução Teórica 23
1 ω
[2.29]
e a parte imaginária é:
"
ω
1 ω
1
ω
[2.30]
As curvas da impedância real e imaginária versus a freqüência são mostradas nas
Figuras 2.9a e 2.9b. Para se melhor compreender o comportamento do circuito as figuras
mostram as curvas variando-se o valor de C2 nas condições C2 < C1, C2 = C1 e C2 > C1. A
Figura 2.9a mostra que as curvas de Z’ versus a freqüência não dependem do valor de C2 (veja
a equação 2.29) e valor de Z’ é constante em baixa freqüência. As curvas de Z” mostram um
comportamento dependente do valor de C2. Na condição de C2 > C1 vê-se que se reproduz os
resultados mostrados na Figura 2.6b obtidos com o modelo de Becchi considerando a dupla
camada de Helmholtz (seção 2.4.1). A Figura 2.9c mostra a dependência de Z” versus Z’ para
os diferentes valores de C2 e no caso em que C2 > C1 este circuito reproduz a forma da curva
do modelo de Becchi, um semicírculo justaposto a uma reta vertical.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 24
10-4 10-2 100 102 104 106
0
1
2
3
4
5
Z'
(
kΩ
)
f (Hz)
C2=10-10 F
10-9 F
10-6 F
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
0
2
4
6
8
10
C2=10-10 F
10-9
f (Hz)
- Z
"
(k
Ω
)
10-6
(b)
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
C2=10-10 F
10-9
10-6
- Z
"
(k
Ω
)
Z' (kΩ)
(c)
Figura 2.9 - (a) Curvas da impedância real e (b) imaginária em função da freqüência, e (c) o semicírculo de
Z”versus Z’; onde R = 5 kΩ e C1 = 0,1 nF.
2.5.2. Circuito equivalente com o elemento de Havriliak-Negami (HN)
Como será mostrado no capítulo 4 as curvas experimentais da impedância
imaginária da solução de KCl obtidas no intervalo de freqüência de 0,1 mHz a 10 MHz
apresentam um pico em muito baixa freqüência (em torno de 10 mHz). Este comportamento
não é previsto pelos modelos de Becchi e Barbero [19,20] os quais foram apresentados nas
seções 2.4.1 e 2.4.2.
Para interpretar a existência do pico na freqüência de 10 mHz propõe-se substituir
o capacitor C2 do circuito equivalente da Figura 2.8 por um elemento de impedância de HN.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 25
Este elemento produz um pico na curva da impedância imaginária em função da freqüência.
A impedância do elemento de HN é caracterizada por uma equação análoga à
equação 2.17, proposta para a permissividade elétrica. Como um elemento de impedância a
equação é escrita como:
1 ωτ
[2.31]
onde o valor de RHN é uma resistência elétrica, (1-α) e β são os expoentes de HN e τ
é o tempo de relaxação e C é uma capacitância elétrica.
A seguir é analisado o comportamento do circuito da Figura 2.10 em termos de
parâmetros do circuito visando a sua aplicação para interpretar os resultados experimentais.
Por esta razão serão usados valores de parâmetros que geram curvas de impedância com o
formato similar às curvas experimentais que serão mostradas no capítulo 4, cuja característica
principal é a separação entre as respostas para a região de baixa e de alta freqüência.
Figura 2.10 - Circuito equivalente: circuito R1C1 em paralelo e em série com o elemento de HN.
O resistor R1 e o capacitor C1 representam o volume da solução (resposta em alta
freqüência) enquanto que o elemento de HN representa o comportamento da dupla camada de
Helmholtz (resposta em baixa freqüência). Na região de alta freqüência se obtêm curvas que
são equivalentes ao modelo de Becchi et al. da seção 2.4.1 e ao circuito da seção 2.5.1.
As Figuras 2.11a e 2.11b mostram as curvas de Z’ e Z” versus a freqüência
variando-se o valor do expoente β do elemento de HN (mantendo-se fixos os outros
Capítulo 2 – Introdução Teórica 26
parâmetros do circuito e do elemento de HN). No limite de baixíssima freqüência Z’ tende
para um valor constante, diminui até atingir um patamar e depois decresce para o valor nulo.
As curvas de Z” versus a freqüência mostram um pico em baixa freqüência de formato
assimétrico (β < 1) cuja amplitude e posição dependem do valor de β. Saliente-se que o valor
de β afeta a assimetria do pico levando a uma curva com variação mais suave no seu lado à
direita.
10-4 10-2 100 102 104 106
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
β = 1
f (Hz)
Z'
(
M
Ω
)
0,8
0,6
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
0
20
40
60
80
100
0,6
- Z
" (
k
Ω
)
f (Hz)
β = 1
0,8
(b)
Figura 2.11 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência; onde R1 = 50 KΩ,
C1 = 10 pF, RHN = 300 KΩ, τ = 6 s e α = 0,7.
A Figura 2.12 mostra as curvas de Z’ e Z” versus a freqüência variando-se a
resistência RHN do elemento de HN e mantendo-se todos os outros parâmetros do circuito e do
elementos de HN constantes. No limite de baixíssima freqüência o valor de Z’ é dependente
do valor de RHN e as curvas de Z” mostram que a amplitude do pico em baixa freqüência
aumenta de amplitude com RHN.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 27
10-4 10-2 100 102 104 106
0.1
0.2
0.3
0.4
RHN = 320 kΩ
280
f (Hz)
Z'
(
Μ
Ω
)
300
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
0
20
40
60
80
100
280
RHN = 320 kΩ
f (Hz)
- Z
" (
k
Ω
)
300
(b)
Figura 2.12 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência; onde R1 = 50 KΩ, C1 = 2 pF,
τ = 6 s, β = 1, α = 0,7.
No circuito poder-se-ia variar também o tempo de relaxação τ e fixando
os outros parâmetros do circuito equivalente, o que corresponde variar o valor de C
mantendo-se RHN constante. Neste caso, nas curvas de Z” versus a freqüência (não mostradas)
a posição do pico depende de C enquanto que a sua amplitude não varia.
Na análise a seguir discute-se a variação dos parâmetros R1 e C1 do circuito que
afetam a resposta na região de alta freqüência. Na Figura 2.13 mostra-se que as curvas de Z”
apresentam picos de alta freqüência cuja posição e amplitude dependem do valor de R1. As
curvas de Z’ mostram que o valor de Z’ no patamar, região de freqüência intermediária, é
dependente de R1, fato este esperado pois R1 representa a resistência elétrica do volume da
solução iônica.
O aumento do valor de C1 provoca o deslocamento do pico de alta freqüência na
curva de Z” para freqüências menores sua amplitude permanece constante (resultados não
apresentados). As amplitudes das curvas de Z’ decrescem em função da freqüência e elas se
deslocam para a região de baixas freqüências quando se aumenta o valor de C.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 28
10-4 10-2 100 102 104 106
0
100
200
300
400
50
Z'
(
kΩ
)
f (Hz)
R1=70 kΩ 60
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
0
20
40
60
80
100
- Z
" (
k
Ω
)
f (Hz)
R1=70 kΩ
60
50
(b)
Figura 2.13 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência, C1 = 2 pF, RHN = 300 KΩ,
τ = 6 s, e α = 0,6.β = 1
As curvas apresentadas para o circuito com o elemento de HN foram obtidas para
a condição na qual as respostas em alta e baixa freqüência do circuito são independentes, isto
é, o circuito R1C1 fornece a resposta em alta freqüência enquanto que o elemento de HN
fornece a resposta em baixa freqüência.
2.5.3. Circuito equivalente com o elemento de fase constante (CPE)
O elemento CPE (constant-phase distribution element) [22] é usado em circuitos
elétricos equivalentes para ajustar os dados experimentais de impedância. O comportamento
de CPE geralmente é atribuído a reatividade distribuída da superfície, a não homogeneidade
de superfície, aspereza ou geometria de fractal, porosidade de eletrodo, e às distribuições de
corrente e potenciais associada com a geometria de eletrodo [23]. O elemento CPE é definido
pela equação:
1
[2.32]
onde T e P são duas constantes. Se P = 1, o elemento CPE atua como um capacitor, se P = 1
Capítulo 2 – Introdução Teórica 29
o elemento CPE atua como um resistor, se P = 0,5 uma linha inclinada de 45º é produzida no
diagrama de Z” versus Z’. Quando o elemento CPE é colocado em paralelo com um resistor
produz se um semicírculo no diagrama de Z” versus Z’, que corresponde ao elemento de Cole
[8]. Geralmente, o CPE é usado em um circuito em substituição a um capacitor a fim de
compensar eventuais heterogeneidades no sistema. Como por exemplo, uma superfície rugosa
ou porosa pode originar o aparecimento de uma capacitância de dupla camada com um
elemento de fase constante com um valor de P entre 0,9 e 1.
Na Figura 2.14 mostra se o circuito elétrico equivalente RC com elemento CPE:
Figura 2.14 - Circuito equivalente: circuito R1C1 em paralelo e em série com o elemento CPE.
O resistor R1 e o capacitor C1 representam o volume da solução (resposta em alta
freqüência), como já foi discutido anteriormente, enquanto que o elemento CPE representa o
comportamento em baixa freqüência.
Nas Figuras 2.15a e 2.15b são mostradas as curvas de Z’ e Z” versus a freqüência
variando-se o valor da constante T do elemento CPE (mantendo-se fixos os outros parâmetros
do circuito e do valor de P do CPE). Na região de baixa freqüência (< 100 Hz) Z’ varia
linearmente com a freqüência (em escala logarítmica) e seu valor, para uma determinada
freqüência, diminui com o aumento da constante T. As curvas de Z” versus a freqüência
mostram o mesmo comportamento linear na região de baixa freqüência (< 1 kHz) e o valor de
Z” também diminui com o aumento da constante T.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 30
10-4 10-2 100 102 104 106
100
103
106
109
T=10-9
T=10-8
f (Hz)
Z'
(Ω
)
T=10-10
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
101
104
107
1010 (a)
T=10-8
T=10-9
T=10-10
f (Hz)
- Z
"
(Ω
)
Figura 2.15 - Curvas de impedância (a) real e (b) imaginária versus a freqüência, R1 = 10 kΩ, C1 = 0,1 nF,
P = 0,77.
Quando se aumenta o valor de P (0 ≤ P ≤ 1) (mantendo-se fixos os outros
parâmetros) tem se o aumento da inclinação da reta em baixa freqüência com seu
deslocamento para alta freqüência, tanto para a parte real como para a parte imaginária.
O embasamento teórico apresentado neste capítulo é de extrema importância pois
é através dos modelos empíricos (Debye, CC, CD e HN) e do modelos fenomenológicos
como o de Becchi e Barbeiro permitirá, nos capítulos 4 e 5, a interpretação dos resultados
experimentais. Outra forma de se estudar o comportamento físico de um sistema é se utilizar
circuitos elétricos equivalentes que permite obter os parâmetros do circuito para interpretar os
fenômenos físicos.
Capítulo 2 – Introdução Teórica 31
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Capítulo 3 – Materiais e Métodos 33
CAPÍTULO 3 – MATERIAIS E MÉTODOS
Neste capítulo são apresentados os materiais utilizados nos experimentos, a
técnica de medida da impedância e os programas computacionais utilizados para controlar as
medidas e interpretar os resultados experimentais. Nas seções de 3.1 a 3.4 são apresentadas as
metodologias de preparação das soluções e misturas e os tipos capacitores utilizados nas
medidas. Nas seções 3.5 e 3.6 são descritos o analisador de impedância elétrica e as condições
experimentais nas quais foram realizadas as medidas de impedância com os capacitores
interdigitado e de placas paralelas. Finalmente na seção 3.7 é apresentado o programa ZView,
o qual foi utilizado para analisar as curvas experimentais de impedância.
3.1. SOLUÇÃO DE KCL
Para preparar soluções iônicas foi utilizado o cloreto de potássio, Sigma Aldrich,
e a água ultrapura Milli-Q obtida do sistema de purificação Millipore “Direct-Q System”.
Esse sistema produz água com resistividade de 18,2 MΩcm a 25 ºC e teor de carbono (TOC)
menor que 10 ppb.
Foram preparadas soluções de KCl com as concentrações de 0,3, 0,45, 0,6, 0,75 e
0,9 mmolL-1, onde a massa molecular do KCl (74,56 gmol-1). Para medir a massa de KCl foi
utilizada uma balança analítica da Mettler Toledo, modelo AB204-S, com precisão de 0,1
mg. Antes da preparação da solução a vidraria foi lavada com água e detergente, enxaguada
com água destilada e seca.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 34
3.2. MISTURA DE ETANOL E ÁGUA
Na preparação de misturas etanol/água foi utilizado o etanol absoluto PA, da
Merck, com 99,9% de pureza e a água Milli-Q ultrapura obtida do sistema de purificação
“Direct-Q System”. As misturas de etanol e água foram preparadas com o volume total de
100 mL. Os volumes dos líquidos foram medidos usando-se uma proveta de 100 mL
graduada em 1 mL.
Nos cálculos das porcentagens das misturas, se for assumido que o etanol etílico
absoluto possui 0,1% de água como principal tipo de impureza, dever-se-ia considerar esse
porcentual. Entretanto, por ser menor que o erro na determinação do volume com a proveta,
esta porcentagem de impurezas foi desprezada.
3.3. CAPACITOR DE ELETRODOS INTERDIGITADOS
O capacitor interdigitado foi fabricado pelo Centro de Pesquisa Renato Archer –
CenPRA [2]. Na Figura 3.1 é mostrada a fotografia do capacitor interdigitado e como
mostrado no desenho esquemático da Figura 3.2, ele possui dois micro-eletrodos com 50
dígitos, de 5 mm de comprimento o espaçamento é de 10 μm, largura de 10 μm e espessura de
100 nm. Os micro-eletrodos são de ouro e foram depositados sobre uma lâmina de vidro de
dimensões de 20x5x2 mm.
Figura 3.1 - Fotografia do capacitor interdigitado. No lado direito são mostrados os dois contatos elétricos e no
lado esquerdo os micro-eletrodos interdigitados.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 35
Antes de cada medida os micro-eletrodos foram previamente limpos com solução
sulfocrômica, enxaguados em água Milli-Q e secos em fluxo de nitrogênio.
(a)
(b)
w = 10 μm, largura do dígito
g = 10 μm, espaçamento entre os dígitos
h = 100 nm, espessura do dígito
Figura 3.2 - (a) Vista em perspectiva e (b) corte lateral do capacitor interdigitado.
Para a realização da medida de impedância elétrica o capacitor interdigitado foi
inserido em um conector elétrico preso na tampa do recipiente da solução o qual também
permitiu fazer a conexão com o analisador de impedância. O capacitor interdigitado foi
imerso na mistura de etanol/água contida em um recipiente cuidadosamente fechado para
evitar a evaporação do etanol durante a medida. Durante as medidas a temperatura foi mantida
constante em (22,0 ± 0,5) ºC.
3.4. CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS
O capacitor de placas paralelas é composto de duas placas circulares de latão
recobertas com ouro depositado eletro quimicamente. O diâmetro dos eletrodos é de 2 cm e a
distância entre eles varia entre 1 a 2 mm, dependendo do experimento. A relação entre o
diâmetro do eletrodo e a distância de separação entre eles deve ser muito grande para
minimizar o efeito de borda. O invólucro do capacitor foi construído em poli(metil
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 36
metacrilato) e possui um anel de borracha para vedação. Assim, a solução foi mantida dentro
do sistema evitando a evaporação do etanol.
Na Figura 3.3 são mostradas duas fotografias do sistema de capacitor de placas
paralelas. A Figura 3.3a mostra sistema pronto para o uso e a Figura 3.3b mostra o sistema
com os eletrodos de placas paralelas separados.
(a) (b)
Figura 3.3 - Fotografia do capacitor de placas paralelas.
Antes de se realizar uma medida o capacitor foi lavado utilizando água e
detergente, enxaguado com água Milli-Q e seco com fluxo de gás nitrogênio. Após o
capacitor ter sido preenchido com o líquido e fixado através dos parafusos (veja Figura 3.3)
ele foi envolvido em uma gaiola de faraday a qual foi conectado ao terra dos equipamentos
para minimizar interferências de ruídos nas medidas. A temperatura durante as medidas foi
mantida constante em (22,0 ± 0,5) oC.
3.5. O ANALISADOR DE IMPEDÂNCIA
As medidas por espectroscopia de impedância elétrica foram realizadas usando-se
o analisador de impedância Solartron, modelo SI 1260A, mostrado na Figura 3.4. Ele opera na
Capítu
faixa
altern
parâm
(veja
eleva
inter
interm
foram
Fig
etano
tensã
temp
nece
most
ulo 3 – Materi
a de freqüên
nada, permi
metros da m
a Figura 3.4
ado (até 100
face 1296A
mediários (
m conectado
gura 3.4 - Ana
com
As
ol/água fora
ão ac de am
po de integr
ssário para
traram que
ais e Métodos
ncia de 10 μ
ite a aplicaç
medida. O a
4), o qual é u
0 TΩ) quand
A garante
(de 10 a 10
os a um mic
lisador de imp
paredes de is
medidas de
am realizada
mplitude de
ação é um p
realizar um
o tempo co
s
μHz a 32 M
ção de uma
analisador p
um amplific
do compara
maior prec
00 MΩ). O
cro computa
pedâcia Solar
solador térmic
e impedânc
as na faixa
e 60 mV, s
parâmetro im
ma medida.
orresponden
Hz, possibi
tensão dc d
pode ser ac
cador que p
ado com o S
cisão para
analisador
ador através
rtron 1260A a
co para mante
cia com as
de freqüên
sem tensão
mportante p
Testes cuid
nte a um pe
ilita a escolh
de polarizaç
oplado à in
permite med
Solartron 12
as medida
de impedâ
s de uma int
coplado a inte
er a temperatu
s soluções
cia de 0,1 m
de polariz
para garanti
dadosos, va
eríodo do si
ha da ampli
ão e ainda p
nterface diel
dir uma imp
260A (até 10
as de impe
ância 1260A
terface GPI
erface 1296A
ura da amostr
de KCl e
mHz a 10 M
zação dc. E
ir a precisão
ariando-se o
inal aplicad
itude da ten
podem-se v
létrica, mod
pedância de
00 MΩ). Al
edâncias co
A e a interf
B.
e o reservató
ra constante.
com as m
MHz aplican
Em baixa fr
o e determin
o tempo de
do é suficie
nsão elétrica
ariar outros
delo 1296A
e valor mais
lém disto, a
om valores
face 1296A
rio de água
misturas de
ndo-se uma
reqüência o
nar o tempo
integração,
ente para se
37
a
s
A
s
a
s
A
e
a
o
o
,
e
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 38
obter as medidas de impedâncias com boa precisão. Usando-se apenas um período do sinal
como tempo de integração, a duração do experimento para se medir a impedância elétrica na
faixa de 0,1 mHz até 10 MHz é de aproximadamente 28 horas.
3.5.1. Medidas de espectroscopia de impedância sem a interface 1296A
Para realizar as medidas de espectroscopia de impedância elétrica com o
analisador Solartron 1260A, sem o uso da interface 1296A, foi utilizado o programa ZPlot
(Scriber Assoc. Inc.) [3] que permite ao usuário programar todas as funções do analisador de
impedância. O programa ZPlot deve ser configurado antes de cada medida especificando os
parâmetros experimentais. A janela gráfica do programa ZPlot é mostrada na Figura 3.5.
Figura 3.5 - Janela principal do programa ZPlot.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 39
3.5.2. Medidas com a interface 1296A
A interface 1296A é um amplificador que permite estender a faixa de operação do
Solartron 1260A para valores maiores de impedância elétrica [4]. Neste trabalho ela permitiu
realizar as medidas em freqüências de até 0,1 mHz aonde o valor da impedância do capacitor
pode chegar a 10 MΩ que é muito elevado para ser medido com boa precisão sem o uso da
interface 1296A.
Para realizar as medidas com o Solartron acoplado a interface 1296A, foi utilizado
o programa da Solartron “Impedance Measurement Software” cuja janela é mostrada na
Figura 3.6. Os recursos deste programa são similares aos existentes no programa ZPlot.
Figura 3.6 - Janela principal para programação da interface 1296A.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 40
3.6. PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS PARA A
REALIZAÇÃO DE MEDIDAS
3.6.1. Controle de Temperatura
Para se manter a temperatura constante durante as medidas de impedância a
primeira tentativa foi utilizar um banho termostático. O circuito elétrico do controlador de
temperatura induz ruídos que inviabilizaram o uso deste tipo de equipamento. Para resolver
este problema, o sistema com o capacitor de placas paralelas (ou o recipiente fechado com o
capacitor interdigitado) foi mergulhado em água contida dentro de um reservatório de 20
litros e isolado termicamente com paredes de isopor. Como a massa de água tem uma inércia
térmica grande conseguiu-se obter, durante um período de dezena de horas, temperatura com
uma variação de aproximadamente ±0,5 ºC, mesmo que a temperatura da sala variasse alguns
graus. Como cada medida durou mais de um dia para ser realizada, a temperatura foi
monitorada e quando necessário o seu valor foi corrigido adicionando-se água mais quente ou
mais fria que a existente no reservatório.
3.6.2. Configurações de uso dos equipamentos e conexões
Como será mostrado nos capítulos 4 e 5, foi necessário realizar as medidas de
impedância até a freqüência de 10 MHz. Entretanto, na faixa de freqüência de 1 a 10 MHz as
medidas do Solartron 1260A (com ou sem a interface 1296A) não produzem resultados
confiáveis quando se usa cabos coaxiais na configuração padrão dos aparelhos [4]. Para sanar
este problema de operação do Solartron foi necessário se utilizar o casador de impedância
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 41
representado na Figura 3.7 [5] que foi construído colocando-se os resistores no interior de
uma pequena caixa metálica.
Figura 3.7 - Casador de impedância utilizado com o analisador de impedância Solartron1260A para realizar
medidas na faixa de freqüência entre 1 a 10 MHz.
Como o casador de impedância só pode ser utilizado acima da freqüência de 1
MHz todas as medidas foram realizadas em duas etapas. Na primeira mediu-se a impedância
na faixa de freqüência de 0,1 mHz a 1 MHz usando-se cabos coaxiais com a conexão padrão
do Solartron (ou da interface) e na segunda etapa na faixa freqüência de 1 a 10 MHZ usou-se
o casador de impedância para conexão da amostra. Após a conclusão das medidas usou-se o
programa ZView para justapor os resultados contidos nos dois arquivos em um único para se
obter as curvas da impedância na faixa de 0,1 mHz a 10 MHz.
Na Tabela 3.1 mostram-se as configurações experimentais utilizadas para a
realização das medidas das soluções de KCl e das misturas etanol/água com os capacitores
interdigitado e de placas paralelas.
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 42
Tabela 3.1 - Configurações experimentais utilizadas nos experimentos.
Tipo de capacitor Faixa Freqüência Configuração
Experimental
Água e KCl Capacitor de placas
paralelas
1 a 10 MHz Solartron e casador
0,1 mHz a 1 MHz Solartron e interface
Etanol e água Capacitor
interdigitado
1 a 10 MHz Solartron e casador
0,1 Hz a 1 MHz Solartron
0,1 mHz a 0,1 Hz Solartron e interface
Capacitor de placas
paralelas
1 a 10 MHz Solartron e casador
0,1 mHz a 1 MHz Solartron e interface
3.7. SOFTWARE ZView
O ZView é um programa fornecido pelo fabricante para permitir o monitoramento
da medida de impedância em tempo real e analisar os resultados experimentais. A janela de
acesso ao programa é mostrada na Figura 3.8. O programa é baseado no Microsoft Windows e
permite mostrar de forma gráfica, analisar e exportar os resultados experimentais.
Figura 3.8 - Janela do programa ZView para mostrar as curvas da parte real, Z’, e da parte imaginária, Z”, da
impedância versus a freqüência. Na esquerda é para mostrar a curva de Z”versus Z”.
O programa ZView é muito prático pois permite ao usuário visualizar os
resultados mostrando vários tipos de variáveis elétricas das medidas de impedância, tais
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 43
como: capacitância, condutância, admitância e módulo da impedância e a fase entre a tensão e
a corrente elétrica. Outra opção é apresentar os resultados em termos de componentes de
circuitos equivalentes (veja Tabela 3.2). Por exemplo, usando-se o método de circuito
equivalente RC são fornecidos os valores da resistência R e da capacitância elétrica C do
capacitor (o valor de C é a parte real da capacitância e igual à calculada pela expressão 2.5).
Tabela 3.2 - Principais variáveis elétricas do programa ZView.
Método de Medida Coordenadas Representa
Impedância (Z’,Z”) Parte real e imaginária
(|Z|,theta) Magnitude e o ângulo de fase da impedância
(Y', Y'') Admitância real e imaginária
(|Y|, theta) Magnitude e o ângulo de fase da admitância
(M',M'') Modulo real e imaginária
(E',E'') Permissividade dielétrica real e imaginária
(|E|,theta) Magnitude e o ângulo de fase da permissividade
(|E|,tanδ) Magnitude e o tangente de perda da permissividade
Circuitos equivalentes (C,R) Capacitância e resistência
(C,Q) Capacitância e fator de qualidade
(C,D) Capacitância e dissipação
(L,R) Indutância e resistência
(L,Q) Indutância e fator de qualidade
(L,D) Indutância e dissipação
Como mostrada na janela da Figura 3.9, o programa ZView apresenta duas
possibilidades para o estudo de circuitos elétricos: a simulação da resposta elétrica de um
circuito e a modelagem dos resultados experimentais com o uso de um circuito equivalente.
Escolhendo-se um determinado circuito, o programa ZView permite ajustar as curvas de
resposta do circuito à curva obtida experimentalmente. Os parâmetros do circuito podem ser
mantidos fixos a valores pré-determinados ou deixados para variar livremente durante o ajuste
(se deve fornecer apenas o valor inicial).
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 44
Figura 3.9 - Janela de exibição do “circuito” e entrada de informações para a simulação e ajuste de curvas
com o programa ZView.
Na Figura 3.9 mostra-se a janela que permite a definição dos parâmetros e
controle do processo de ajuste. Pode-se também escolher o intervalo de freqüência a ser usado
no ajuste o que é muito útil, pois se pode simplificar o circuito com o objetivo de se analisar a
resposta experimental em determinadas regiões de freqüência. No lado direito da janela
mostrada na Figura 3.9, o programa fornece o valor do desvio padrão do ajuste de cada
parâmetro (e o seu valor percentual) e o valor do desvio padrão do ajuste (coeficiente “Chi-
quadrado”).
Capítulo 3 – Materiais e Métodos 45
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] BROWN, T.L. et al. Química a Ciência Central, 9ª Ed., São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2005.
[2] Disponível no site . Acessado em 20/07/2008.
[3] Software ZPlot e ZView. Disponível no site . Acessado em
01/12/2007.
[4] Manual operacional 1260 Impedance/Gain-Phase Analyzer. Solartron analytical, 2001.
[5] Manual operacional do ZPlot e do ZView para Windows, Electrochemical Impedance
Software. Version 2.6. Scribner Associates, Inc.: 2001.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 46
CAPÍTULO 4 – RESULTADOS E DISCUSSÕES –
SOLUÇÃO DE KCl
Neste capítulo são apresentados os resultados de medidas de impedância elétrica
obtidos para a solução de KCl. Elas foram realizadas no intervalo de freqüência de 0,1 mHz a
10 MHz e mostram a existência de um pico, em torno de 10 mHz, nas curvas de Z” versus a
freqüência. A existência deste pico ainda é desconhecida na literatura pois nos trabalhos
publicados as medidas foram feitas na faixa de freqüência de ~1 Hz a 10 MHz [1,2,3]. A
interpretação dos resultados é feita utilizando-se um circuito equivalente, uma prática corrente
neste tipo de estudo quando se busca a interpretação semi-empírica. Será mostrado que o
circuito equivalente com um elemento de Cole-Cole é consistente com as propriedades
esperadas do capacitor preenchido com a solução de KCl.
Na seção 4.1 apresenta-se a reprodutibilidade das medidas de impedância, na
seção 4.2 apresentam-se os resultados, na seção 4.3 a análise dos resultados e na seção 4.4
apresentam-se as conclusões.
4.1. REPRODUTIBILIDADE DAS MEDIDAS DE IMPEDÂNCIA
Para se avaliar a reprodutibilidade das medidas de impedância elétrica foi
investigada a sua dependência com o tempo de imersão dos eletrodos na solução, que é
principal causa de erros neste tipo de medida [4]. As medidas foram iniciadas após o
preenchimento do capacitor com a solução e são apresentados apenas os resultados obtidos
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 47
para a solução de KCl com a concentração de 0,6 mmolL-1 uma vez que os resultados para
outras concentrações foram muito semelhantes.
100 102 104 106
101
102
103
104
105
0 10 20 30 40
360
362
364
366
368
370
Tempo de medida (min)
Z'
(
Ω
)
0 min
5
10
15
20
25
30
35
40
Z'
(Ω
)
f (Hz)
(a)
100 102 104 106
10-2
10-1
100
101 (b)
0 min
5
10
15
20
25
30
35
40
- Z
"
(k
Ω
)
f (Hz)
Figura 4.1 - (a) Curvas de impedância real e (b) imaginária em função da freqüência para solução de KCl para
diferentes valores de tempo. No detalhe da figura (a) é mostrado as curvas de Z’ em função do tempo em
minutos para freqüência de 100 Hz.
Na Figura 4.1 são mostradas as curvas de Z’ e Z” versus a freqüência. Como as
curvas são praticamente coincidentes, na detalhe da Figura 4.1a são mostrados os valores de
Z’ em função do tempo para a freqüência de 100 Hz. Os resultados mostram que Z’ varia
muito pouco após tempo de imersão de 15 minutos e nota-se que a variação dos valores é da
ordem de 1% em relação ao valor inicial, fato este muito adequado para os experimentos.
Com objetivo de se garantir a máxima reprodutibilidade, após o capacitor ter sido preenchido
com a solução, sempre se aguardou pelo menos 15 minutos antes de se iniciar as medidas de
impedância.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 48
4.2. RESULTADOS DAS MEDIDAS DE IMPEDÂNCIA
Nesta seção são apresentados os resultados de medidas utilizando as soluções com
diferentes concentrações de KCl, entre 0,3 a 0,9 mmolL-1. As medidas foram realizadas
apenas para o capacitor de placas paralelas, pois um dos interesses é comparar os resultados
obtidos anteriormente por Becchi et al. [5] e Barbero et al. [6,7], os quais foram descritos na
seção 2.4. Além disto, os valores das concentrações de KCl utilizados nas nossas medidas
foram escolhidos por serem próximos ao valor de 0,6 mmolL-1, o qual foi utilizado nos
trabalhos acima citados.
A Figura 4.3 mostra as curvas da impedância elétrica real e imaginária em função
da freqüência para as soluções no intervalo de freqüência de 0,1 mHz a 10 MHz. A
Figura 4.3a mostra que o valor de Z’, em baixa freqüência, diminui com o aumento da
freqüência, a curva apresenta um patamar na região de freqüência intermediária (100 Hz a
1 MHz) e tende para o valor nulo para alta freqüência. Na Figura 4.3a ilustra-se também que o
patamar das curvas de Z’ tem amplitude decrescente com a concentração de KCl.
A Figura 4.3b mostra que as curvas de Z” apresentam dois picos. O primeiro em
torno da freqüência de 1 MHz (denominado de pico de alta freqüência) e o segundo pico em
torno de 10 mHz (denominado de pico de baixa freqüência). O detalhe da Figura 4.3b mostra
que a amplitude do pico de baixa freqüência aumenta com a concentração de KCl e é
assimétrico em relação a posição do seu máximo, pois apresenta uma variação mais suave no
seu lado esquerdo.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 49
10-4 10-2 100 102 104 106
101
102
103
104
105
106
Z'
(Ω
)
0,3 mMolL-1
0,45
0,6
0,75
0,9
f (Hz)
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
101
102
103
104
105
106
10-4 10-2 100 102
0
20
40
60
80
100
120
140
f (Hz)
-
Z"
(k
Ω
)
f (Hz)
0,3 mMolL-1
0,45
0,6
0,75
0,9
-
Z"
(Ω
)
(b)
Figura 4.2 - (a) Curvas de impedância elétrica real, Z’, (b) impedância elétrica imaginária, Z” versus a
freqüência: para a solução de KCl. No detalhes da figura (b) são mostradas as curvas de Z” em escala linear
para realçar o pico na freqüência de 1 mHz.
Na Figura 4.4 são mostrados que as curvas de Z” versus Z’ são semicírculos
ligeiramente deformados que correspondem aos resultados da região de alta freqüência e
quanto maior for a concentração de KCl na solução menor é o raio do semicírculo. A região
de baixa freqüência corresponde às curvas que aparecem justapostas à direita dos
semicírculos. Os semicírculos interceptam o eixo Z” = 0 na freqüência de 10 MHz a esquerda
e em ~30 kHz a direita. A Figura 4.3a mostra que a freqüência de 30 kHz corresponde à
posição mediana do patamar e delimita, portanto, as regiões de baixa e alta freqüência nas
medidas de impedância.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 50
0 200 400 600 800 1000
0
200
400
600
800
1000
0,3 mMolL-1
0,45
0,6
0,75
0,9
- Z
"
(Ω
)
Z' ( Ω )
Figura 4.3 - Curvas de impedância elétrica Z” versus Z’ para a solução de KCl com diferentes concentrações.
4.3. ANÁLISE DAS CURVAS EXPERIMENTAIS
Como discutido na seção 2.5.1 a resposta em alta freqüência do capacitor com a
solução iônica é devida ao volume da solução enquanto que a resposta em baixa freqüência é
devido à dupla camada de Helmholtz formada próxima a superfície do eletrodo [8,9,10]. A
resposta em alta freqüência, portanto, pode ser representada por um capacitor e um resistor
conectados em paralelo.
Na seção 2.5.2 foram apresentadas as curvas de impedância do circuito
equivalente com o elemento de Havriliak-Negami e como discutido a seguir, o circuito
possui características adequadas para se analisar de forma empírica os resultados
experimentais obtidos com a solução de KCl.
As Figuras 2.11a a 2.13a mostram que as curvas de impedância real do circuito
têm como comportamento: na região de baixa freqüência decrescem com o aumento da
freqüência, apresentam um patamar na região de freqüência intermediária e tendem para zero
na região de alta freqüência. Além disto, a Figura 2.13a mostra que o valor da impedância no
patamar é proporcional ao valor da resistência R1 enquanto que os resultados experimentais
mostram, de forma coerente, que a impedância cresce com a diminuição da concentração de
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 51
íons da solução (maior resistência elétrica). Portanto, os resultados experimentais de Z’ da
Figura 4.3 mostram o mesmo tipo de comportamento das curvas do circuito.
As Figuras 2.11b a 2.13b mostram que as curvas de impedância imaginária do
circuito apresentam o pico de baixa e de alta freqüência. Nos resultados experimentais os
picos de baixa freqüência tem amplitude crescente com a concentração de KCl que
corresponde ao aumento da resistência RHN (veja Figura 2.12b). Nos resultados experimentais
os picos de alta freqüência se deslocam para freqüências menores quando se diminui a
concentração de KCl enquanto que a Figura 2.13b mostra, de forma coerente, que esse tipo
de deslocamento ocorre quando se aumenta o valor de R1.
É importante salientar que os pontos experimentais de Z” mostrados na Figura 4.3
e as curvas obtidas do circuito equivalente da Figura 2.10 mostram uma assimetria invertida
no pico de baixa freqüência. No resultado experimental (Figura 4.3a) o pico tem variação
mais suave no seu lado esquerdo enquanto que as curvas simuladas (Figura 2.11a) a
assimetria é no lado direito do pico. Nos ajustes das curvas teóricas e experimentais
verificou-se que o valor da constante β era sempre muito próximo de β = 1. Devido a essa
assimetria invertida só é possível ajustar a curva teórica a um dos lados do pico da região de
baixa freqüência. Por estas razões, o elemento de HN do circuito foi substituído pelo
elemento de CC (β = 1), como mostrado no circuito da Figura 4.5.
Figura 4.4 - Circuito equivalente RC em paralelo em série com o elemento de Cole-Cole.
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 52
A Figura 4.6 mostra um exemplo dos resultados experimentais (pontos) para a
solução de KCl com a concentração de 0,3 mmolL-1 e a curva teórica obtida no ajuste (linha).
A Figura 4.6a mostra que os pontos experimentais de Z’ se ajustam de forma adequada
enquanto que na curva Z” o ajuste não é adequado na região esquerda do pico pois a equação
de Cole-Cole prevê um pico simétrico.
10-4 10-2 100 102 104 106
101
102
103
104
105
106
0,3 mMolL-1
Ajuste
Z'
(Ω
)
f (Hz)
(a)
10-4 10-2 100 102 104 106
101
102
103
104
105
10-4 10-2 100 102
0
25
50
75
100
f (Hz)
- Z
' (
kΩ
)
(b)
f (Hz)
- Z
"
(Ω
)
0,3 mMolL-1
Ajuste
Figura 4.5 - Impedância em função da freqüência para a solução de KCl. (a) parte real da impedância, (b)
parte imaginária versus a freqüência. No detalhe da figura (b) é mostrado a curva de Z”e seu ajuste em escala
linear para realçar o pico na freqüência de 1 mHz.
Na Figura 4.7 mostra-se que o semicírculo teórico descreve razoavelmente os
pontos experimentais de Z” versus Z’ e ocorre um afastamento maior do semicírculo teórico
para os pontos experimentais no lado esquerdo (alta freqüência), quando comparado com o
lado direito do semicírculo. O afastamento maior no lado esquerdo do semicírculo pode ser
devido a imprecisão de medida do analisador Solartron em alta freqüência. Além disso, ocorre
um grande afastamento da curva teórica justaposta a direita do semicírculo. Como o diâmetro
do semicírculo é igual ao valor da resistência R1, a Figura 4.7 mostra que os pontos
experimentais fornecem R1 ~850 Ω, o qual é um valor próximo ao que será obtido do ajuste
das curvas de Z’ e Z” versus a freqüência (veja Tabela 4.1).
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 53
0 200 400 600 800 1000
0
200
400
600
800
1000
(c) 0,3 mMolL-1
Ajuste
- Z
"
(Ω
)
Z' (Ω)
Figura 4.6 - Resultados de Z” versus Z’. Os círculos são os pontos experimentais e a linha é a curva ajustada.
Na Tabela 4.1 mostram-se os valores dos parâmetros de ajuste das curvas e os
correspondentes erros, quando todos os parâmetros do circuito foram deixados livres durante
o ajuste das curvas teóricas com os pontos experimentais, exceto o valor de C1 que foi
determinado diretamente das curvas de capacitância à freqüência de 200 kHz. Os valores dos
desvios padrões (Chi2) para o ajuste das curvas teóricas são relativamente pequenos (< 0,1)
para os valores de concentrações menores e para as concentrações mais elevadas são da
ordem de 0,2. Os erros dos parâmetros ajustados foram da ordem de 3% exceto para o valor
de τ, que é da ordem de 10%. Nota-se que a constante (1-α) é obtida com o menor erro, 1%, e
a razão disso é que o seu valor depende essencialmente da largura e da amplitude do pico de
baixa freqüência.
Tabela 4.1 - Valores dos parâmetros e os erros relativos obtidos nos ajustes (água/KCl). Na última coluna
mostra-se o desvio padrão dos ajustes. Os ajustes foram feitos deixando todos os parâmetros livres.
Concentração
(mmolL-1)
R1
(Ω)
Erro
(%)
C1
(pF)
RC
(kΩ)
Erro
(%)
τ
(s)
Erro
(%)
1-α Erro
(%)
Chi2
0,30 803 2 181 323 3 6,1 10 0,69 1 0,07
0,45 580 2 179 308 3 4,1 9 0,70 1 0,06
0,60 449 3 172 337 3 4,7 10 0,73 1 0,10
0,75 307 4 169 246 5 2,5 13 0,75 1 0,21
0,90 261 3 154 266 4 3,1 9 0,81 1 0,17
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 54
Nos próximos parágrafos será mostrada a análise dos resultados encontrados nos
ajustes, isto é, os valores dos parâmetros mostrados na Tabela 4.1. Na primeira parte serão
discutidos os resultados de R1 e C1 referentes às propriedades do volume do capacitor (região
de alta freqüência) e a seguir serão discutidos os resultados referentes à dupla camada (região
de baixa freqüência).
4.3.1. Propriedades de Volume
Na Figura 4.8a mostra-se que o valor da resistência R1 decresce em função da
concentração de KCl em água. Este resultado é esperado, pois a condução elétrica depende da
densidade de íons no volume do líquido, como mostrado a seguir.
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
R
1
(
kΩ
)
Concentração de KCl (mM)
(a)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
(b)
R
1
(
kΩ
)
1/concentração (mM-1)
Figura 4.7 - (a) Valores da resistência R1 versus a concentração, (b) Valores da resistência R1 versus o inverso
da concentração.
A condutividade elétrica da solução [11] é expressa por:
σ 2 μ [4.1]
Capítulo 4 – Resultados e Discussões – Solução de KCl e água 55
onde os sinais + e - indicam os valores das densidades e mobilidades dos íons positivos e
negativos, e assumiu-se que n+ = n- = n e as mobilidades μ+ = μ- = μ. O valor de R1 é:
1
2
1 1
2
10 1
[4.2]
onde c é a concentração em mol.L-1, NA é o número de Avogrado, n é a densidade, q é a carga
elétrica e μ é a mobilidade dos íons na solução. A Figura 4.8b mostra que a dependência de R1
versus o inverso da concentração é linear, o que indica também que o valor da mobilidade é
independente da concentração de íons.
Conhecendo-se o valor de R1, da equação 4.2 determinou-se também o valor da
mobilidade dos portadores e os resu