UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO" CAMPUS DE SÃO JOÃO DA BOA VISTA JULIA DANIELLI DUARTE Códigos de Bloco Espaço-Tempo para Canais MIMO 2× 2 via Álgebras Cíclicas de Divisão São João da Boa Vista 2021 JULIA DANIELLI DUARTE Códigos de Bloco Espaço-Tempo para Canais MIMO 2× 2 via Álgebras Cíclicas de Divisão Trabalho de Graduação apresentado ao Conselho de Curso de Graduação em Engenharia Eletrônica e de Telecomunicações do Campus de São João da Boa Vista, Universidade Estatual Paulista "Júlio de Mesquita Filho", como parte dos requisitos para obtenção do diploma de Graduação em Engenharia Eletrônica e de Telecomunicações . Orientador: Profa. Dra. Cintya Wink de Oliveira Benedito São João da Boa Vista 2021 D812c Duarte, Julia Danielli Códigos de bloco espaço-tempo para canais mimo 2 x 2 via álgebras cíclicas de divisão / Julia Danielli Duarte. -- São João da Boa Vista, 2021 64 f. : il., tabs. Trabalho de conclusão de curso (Bacharelado - Engenharia de Telecomunicações) - Universidade Estadual Paulista (Unesp), Câmpus Experimental de São João da Boa Vista, São João da Boa Vista Orientadora: Cintya Wink de Oliveira Benedito 1. Codificação. 2. Sistemas MIMO. 3. Quaternios. 4. Telecomunicações. I. Título. Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Câmpus Experimental de São João da Boa Vista. Dados fornecidos pelo autor(a). Essa ficha não pode ser modificada. UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA “JÚLIO DE MESQUITA FILHO” CÂMPUS EXPERIMENTAL DE SÃO JOÃO DA BOA VISTA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELETRÔNICA E DE TELECOMUNICAÇÕES TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO CÓDIGOS DE BLOCO ESPAÇO-TEMPO PARA CANAIS MIMO 2 X 2 VIA CORPOS DE NÚMEROS Aluna: Julia Danielli Duarte Orientadora: Profª. Drª. Cintya Wink de Oliveira Benedito Banca Examinadora: - Cintya Wink de Oliveira Benedito (Orientadora) - Edgar Eduardo Benitez Olivo (Examinador) - Nelson Gomes Brasil Junior (Examinador) A ata da defesa com as respectivas assinaturas dos membros encontra-se no prontuário do aluno (Expediente nº 011/2020) São João da Boa Vista, 04 de maio de 2021 Aos meus pais Aparecida Duarte e José Carlos Duarte, dedico. AGRADECIMENTOS Aos meus pais e à minha família, por todo apoio, amor e confiança, em todos os momentos da minha vida. Ao Thiago, pela compreensão, amor e companheirismo. Á Amanda, Ana Letícia, Bia, Gabi, Letícia e Leonardo, amigos que fiz durante essa jornada e que foram essenciais para que para eu chegasse até aqui. À minha orientadora Profa Dra Cintya Wink de Oliveira Benedito, pela paciência, conhecimento e dedicação com nosso trabalho. À Letícia, Karina, Thais e Vitor Hugo que se fizeram presentes em todos os momentos, sempre me apoiando e incentivando com amor e carinho. Aos professores e funcionários da UNESP - São João da Boa Vista, pela dedicação e conhecimento transmitido. Aos membros da banca examinadora. À todos que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. RESUMO Este trabalho tem o objetivo de apresentar a construção do código de Ouro, que é um código de bloco espaço tempo (Space-Time Block Code - STBC) 2×2 perfeito construído a partir de uma álgebra cíclica de divisão. Este código é dito perfeito pois é de taxa e diversidade máximas, tem determinante diferente de zero, o que permite obter um limitante inferior para o determinante mínimo, e tem constelação em formato de shaping cúbico. Além disso, iremos definir STBC de uma forma geral, e mostrar que o código de Alamouti, precursor dos STBCs, pode ser construído via uma álgebra cíclica de divisão especial, a álgebra dos quatérnios de Hamilton. Após as construções, vamos apresentar análises desses códigos em sistemas de comunicação sem fio com múltiplas antenas no transmissor e receptor (Multiple-Input Multiple-Output - MIMO) 2 × 1 e 2 × 2 no caso do Alamouti e 2 × 2 no caso do código de Ouro, considerando que o receptor seja coerente, isto é, tenha informação do estado de canal (Channel State Information - CSI) perfeito e que estamos em um canal de desvanecimento Rayleigh quase-estático e plano de ruído AWGN. Utilizamos modulações de diferentes ordens M -QAM (M - ary Quadrature Amplitude Modulation) e um decodificador de máxima verossimilhança (Maximum Likelihood - ML) específico para cada codificação. As análises de desempenho dos códigos foram realizadas através de simulações computacionais, nas quais foram empregadas o método de Monte Carlo. Nessas simulações, são avaliadas as curvas da taxa de erro de símbolo (Symbol Error Rate - SER) pela relação sinal-ruído (Signal-to-Noise Ratio - SNR). Com os resultados obtidos, foi possível mostrar que o código de Ouro possui um desempenho superior em comparação ao código de Alamouti. Para a mesma ordem de modulação, o código de Ouro consegue ter o dobro da eficiência espectral com apenas 1 4 da energia média, em comparação ao código de Alamouti. E para o caso que ambos tenham a mesma eficiência espectral, o código de Ouro também tem performance superior, pois necessita de menos energia para transmissão. PALAVRAS-CHAVE: STBC. Código de Alamouti. Código de Ouro. Álgebra Cíclica de Divisão. MIMO. SER. ABSTRACT This work aims to present the construction of the Golden code, which is a perfect 2× 2 space-time block code (STBC) built from a cyclic division algebra. This code is said to be perfect because it is of full rate and full diversity, has non-zero determinant, which allows a lower bound for the minimum determinant, and has cubic shaping constellation. Furthermore, we will define STBC in general, and show that Alamouti’s code, the precursor to STBCs, can be constructed via a special division cyclic algebra, the algebra of Hamilton’s quaternions. After the constructions, we will present analyses of these codes in wireless communication systems with multiple antennas at the transmitter and receiver (Multiple-Input Multiple-Output - MIMO) 2× 1 and 2× 2 in the case of Alamouti and 2× 2 in the case of the Golden code, considering that the receiver is coherent, that is, has perfect Channel State Infomartion (CSI) and that we are in a quasi-static Rayleigh fading flat frequency channel with AWGN noise. We use modulations of different orders M -QAM (M -ary Quadrature Amplitude Modulation) and a maximum likelihood decoder (Maximum Likelihood - ML) specific to each encoding. The performance analyses of the codes were done through computer simulations, in which the Monte Carlo method was employed. In these simulations, the symbol error rate (SER) curves are evaluated by the signal-to-noise ratio (SNR). With the results obtained, it was possible to show that the Golden code has a superior performance compared to the Alamouti code. For the same modulation order, the Golden code can have twice the spectral efficiency with only 1 4 of the average energy, compared to the Alamouti code. And for the case that both have the same spectral efficiency, the Golden code is also superior, since it requires less energy for transmission. KEYWORDS: STBC. Alamouti Code. Golden Code. Cyclic Division Algebras. MIMO. SER LISTA DE ILUSTRAÇÕES Figura 1 Reticulado Z2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Figura 2 Reticulado do corpo Q( √ 5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Figura 3 Esquema sistema MIMO nt × nr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Figura 4 Esquema sistema MIMO 2× 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Figura 5 Esquema de Alamouti para sistema com uma antena receptora. . . . . . . . . . 34 Figura 6 Esquema de Alamouti para sistema com duas antenas receptoras. . . . . . . . . 37 Figura 7 Esquema de transmissão para sistema com uma antena receptora. . . . . . . . . 50 Figura 8 Esquema de transmissão para sistema com duas antenas receptoras. . . . . . . . 50 Figura 9 Fluxograma da rotina de simulação do código de Alamouti com modulações M -QAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Figura 10 Simulação da SER do código de Alamouti 2 × 1 com modulações 4, 16, 64 e 256-QAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Figura 11 Simulação da SER do código de Alamouti 2 × 2 com modulações 4, 16, 64 e 256-QAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Figura 12 Simulação da SER do código de Alamouti 2× 1 e 2× 2 com modulações M -QAM. 54 Figura 13 Fluxograma da rotina de simulação do código de Ouro com modulações M -QAM. 57 Figura 14 Simulação da SER do código de Alamouti e do código de Ouro 2 × 2 com modulação 4-QAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Figura 15 Simulação da SER do código de Alamouti e do código de Ouro 2 × 2 com modulações M -QAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 LISTA DE TABELAS Tabela 1 – Sequência de codificação e transmissão do esquema de Alamouti para 2 antenas de transmissão. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Tabela 2 – Coeficientes de canais entre as antenas transmissoras e receptoras do esquema de Alamouti 2× 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tabela 3 – Coeficientes de canais entre as antenas transmissoras e receptoras do esquema de Alamouti 2× 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Tabela 4 – Energia média da constelação M -QAM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS 5G Quinta geração das comunicações móveis AWGN Additive White Gaussian Noise bpcu bits por uso de canal CSI Channel State Information IoT Internet of Things MIMO Multiple-Input Multiple-Output MISO Multiple-Input Single-Output NVD Non-Vanishing Determitant SISO Single-Input Single-Output ML Maximum Likelihood M -QAM M -ary Quadrature Amplitude Modulation RF Radiofrequência SER Symbol Error Rate SNR Signal-to-Noise Ratio spcu símbolos por uso de canal STBC Space-Time Block Code STC Space-Time Code STTC Space-Time Trellis Code LISTA DE SÍMBOLOS nt Número de antenas transmissoras nr Número de antenas receptoras Y Matriz do sinal recebido X Matriz do sinal transmitido H Matriz do canal de desvanecimento Rayleigh quase-estático e plano Z Matriz do ruído AWGN T Período de símbolo C Capacidade de canal Inr Matriz identidade de ordem nr µ Módulo do ganho de canal x̃ Sinal recebido após passar pelo combinador x̂ Sinal recebido após passar pelo detector ML min Menor elemento det(·) Determinante de uma matriz log(·) Logaritmo || · || Norma de Frobenius (·)t Matriz transposta q̄ Complexo conjugado (·)† Conjugado transposto de uma matriz P (e) Probabilidade de erro P (X→ X̂) Probabilidade de erro aos pares |x| Módulo de x ∆ Determinante do código r Posto da matriz de diferença da palavra-código A Matriz de distância da palavra-código λj autovalores não-nulos da matriz A div Ganho de diversidade N0 Densidade espectral de potência de ruído ∆min Determinante mínimo do código C Código M Ordem de modulação M -QAM k Número de símbolos de informação codificados ηs Eficiência espectral (spcu) η Eficiência espectral (bpcu) G Grupo A,B Anel I Ideal 〈x〉 Ideal principal K, L Corpos L/K Extensão de corpos C Conjunto dos números complexos R Conjunto dos números reais Q Conjunto dos números racionais Z Conjunto dos números inteiros H Álgebra dos quatérnios de Hamilton [L : K] Grau da extensão L/K ϕ Homomorfismo de anel n Grau de um corpo de números σ Monomorfismo 〈σ〉 Grupo cíclico de Galois θ Elemento primitivo Gal(L/K) Grupo de Galois de L sobre K O Anel de inteiros Z[i] Conjunto dos inteiros Gaussiano {ωi}ni=1 Base integral NL/K(x) Norma de x ∈ L TrL/K(x) Traço de x ∈ L Nrd(q) Norma reduzida de q Trd(q) Traço reduzido de q dK Discriminante A Álgebra H Quatérnios de Hamilton q Elemento de uma álgebra dos quatérnios Λ Reticulado Λc Reticulado complexo Λ ′ Reticulado algébrico M Matriz geradora do reticulado v Vetor dos símbolos de informação G Matriz de Gram x0, x1, x2, x3 Símbolos de informação QAM N Número de símbolos simulados a, b ∼ N (0, 1) Variáveis aleatórias independente normalmente distribuída de média zero e variância unitária EM−QAM Energia média da constelação M -QAM dmin Distância Euclidiana mínima Re(a) Parte real de a Im(a) Parte imaginária de a F Matriz das partes real e imaginária dos símbolos modulados do código de Ouro SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 CONCEITOS ALGÉBRICOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1 Estruturas Algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Teoria Algébrica dos Números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Álgebra Cíclica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 CÓDIGOS DE BLOCO ESPAÇO-TEMPO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1 Sistema MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.2 Códigos de Bloco Espaço-Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.1 Código de Alamouti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Critérios de Análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4 STBC PARA MIMO 2× 2 VIA ÁLGEBRAS CÍCLICAS DE DIVISÃO . . . 41 4.1 Código de Alamouti via Álgebra dos Quatérnios de Hamilton . . . . . . . . . . . 41 4.2 STBC 2× 2 via Álgebra de Divisão sobre Corpos de Números . . . . . . . . . . 42 4.3 Códigos de Bloco Espaço-Tempo Perfeitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.3.1 Código de Ouro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5 RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.1 Simulações do Código de Alamouti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2 Simulações do Código de Ouro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 14 1 INTRODUÇÃO A comunicação sem fio é o setor das telecomunicações que se desenvolveu mais rapidamente nos últimos anos, surgindo sempre novos produtos e serviços e fazendo cada vez mais parte do nosso dia a dia. Desde o uso de sinal de fumaça até os dias atuais, com o uso de ondas eletromagnéticas, os sistemas de comunicação sem fio passaram por uma grande evolução e se tornaram essenciais em nossa vida. Em 2019, o número de assinantes de telefonia móvel em todo o mundo passou de 8 bilhões [ITU 2020], por exemplo. A demanda de usuários vem ficando cada vez maior, assim como o surgimento crescente de aplicações, dispositivos sem fio e novas tecnologias. Como exemplos do avanço desta tecnologia temos as redes móveis 5G (Quinta Geração), redes de sensores sem fio, rodovias e fábricas automatizadas, Internet das Coisas (Internet of Things - IoT), casas e aparelhos inteligentes e telemedicina remota. Dessa forma, é necessário projetar sistemas de comunicação que atinjam altas taxas de dados, alta eficiência espectral e de energia, transmissão confiável e sejam capazes de mitigar os efeitos de desvanecimento de multi-percurso, ruído e interferência. Para alcançar esses objetivos, podemos explorar a diversidade no tempo, na frequência ou no espaço [Falou 2013]. Uma forma de atender esse aumento de tráfego nos sistemas de comunicação sem fio, sem prejudicar a largura de banda ou potência do sinal, é utilizar a tecnologia de múltiplas entradas e múltiplas saídas (Multiple-Input Multiple-Output - MIMO). O MIMO aumenta a capacidade do canal, assim como a taxa de dados e eficiência espectral, pois explora a diversidade espacial pelo uso de múltiplas antenas no transmissor e no receptor. Seu ponto chave é a capacidade de transformar a propagação de multi-percurso, até então um efeito degradante do canal sem fio, em uma vantagem na comunicação [GESBERT et al. 2003]. A tecnologia MIMO foi ganhando espaço desde seus primeiros estudos [Chiurtu, Rimoldi e Telatar 2001, Foschini e Gans 1998] que mostraram os ganhos de capacidade dos sistemas MIMO em relação ao sistemas convencionais, conhecidos também como SISO (Single-Input Single-Output). Foi nesse período que os códigos de espaço-tempo (Space-Time Codes - STC) surgiram, esse termo é mais comumente usado para se referir a um tipo particular de esquema de transmissão MIMO cujo objetivo é maximizar o ganho de diversidade. Em 1998, Tarokh formalizou o conceito de um código de espaço- tempo, e introduziu códigos de treliça de espaço-tempo (Space-Time Trellis Code - STTC) [Tarokh, Seshadri e Calderbank 1998], um ponto negativo desse código é que para atingir a diversidade máxima é necessário aumentar o número de antenas, fazendo com que a treliça contenha exponencialmente mais estados, como a complexidade da decodificação é proporcional ao número de estados, isso tende a se tornar excessivamente caro em termos computacionais [Sibille, Oestges e Zanella 2011]. Na mesma época, Alamouti desenvolveu um esquema de transmissão simples e atrativo que alcança a diversidade máxima em sistemas MIMO 2 × nr, em que nr denota o número de antenas transmissoras [Alamouti 1998]. Esse esquema foi generalizado para um número arbitrário de antenas de transmissão, dando origem aos códigos de bloco espaço-tempo (Space-Time Block Code - STBC), teoria que foi formalizada em [Tarokh, Jafarkhani e Calderbank 1999], que mostrou que as propriedades desejáveis do esquema de Alamouti surgiram porque a matriz da palavra-código é uma matriz ortogonal. 15 O STBC é capaz de atingir a ordem de diversidade máxima para um determinado número de antenas de transmissão e recepção e manter a propriedade de ter um algoritmo de decodificação de máxima verossimilhança (Maximum Likelihood - ML) muito simples, baseado no processamento linear no receptor. Porém, desings ortogonais complexos fornecem taxa máxima apenas para duas antenas. A fim de obter códigos que fossem capazes de suprir as necessidades dos sistemas de comunicação sem fio com múltiplas antenas no transmissor e receptor (MIMO), os critérios de desing vão ficando cada vez mais rigorosos. Códigos com taxa e diversidade máximas, alta eficiência espectral e energética são requeridos, e isso demanda novas ferramentas e assim, as álgebras de divisão rapidamente se tornaram relevantes. O conceito de usar álgebras de divisão foi primeiramente iniciado em [Sethuraman e Rajan 2002] onde as álgebras de Brauer foram apresentadas, e em [Sethuraman e Rajan 2002], onde foi apresentado que o código de Alamouti pode ser construído a partir dos quatérnios de Hamilton. Em [Sethuraman, Rajan e Shashidhar 2003], foram construídos códigos baseados em extensão de corpos e álgebras cíclicas. Posteriormente, os STBCs perfeitos foram introduzidos em [Oggier et al. 2006, Elia, Sethuraman e Kumar 2005, BELFIORE J.-C.; Rekaya e Viterbo 2005]. Conforme os estudos sobre códigos baseados em álgebras de divisão evoluíram, foi mostrado que para se atingir o trade-off de ganho de diversidade-multiplexação de Zheng e Tse [LIZHONG ZHENG e Tse 2003] de um código 2× 2, é necessário ter um determinante diferente de zero [HUAN YAO e GREGORY W. WORNELL 2003] e que a estrutura algébrica de álgebras de divisão cíclica foi a solução para tal [BELFIORE J.-C.; Rekaya e Viterbo 2005]. Em [Elia et al. 2006] foi mostrado de forma mais geral, que códigos que utilizam álgebras de divisão são uma classe de códigos que conseguem atingir o trade-off ganho de diversidade-multiplexação devido a propriedade de determinante diferente de zero. Um código que é construído a partir de álgebras cíclicas de divisão e chama atenção pelas suas propriedades é o código de Ouro 2 × 2 [BELFIORE J.-C.; Rekaya e Viterbo 2005], considerado o melhor STBC para sistemas MIMO com duas antenas transmissoras [OUERTANI et al. 2006]. Este código possui todas as características definidas por [Oggier et al. 2006] para ser um código perfeito, ou seja, é um código de taxa e diversidade máximas, tem determinante diferente de zero (non-vanishing determinant - NVD) e é energeticamente eficiente (cubic shaping). Neste trabalho iremos apresentar a construção do código de Ouro via álgebras cíclicas de divisão, e também a construção do código de Alamouti via a álgebra dos quatérnios de Hamilton. Depois de apresentar as construções, iremos comparar o desempenho desses códigos em um canal MIMO 2× 2 de desvanecimento Rayleigh quase-estático e plano com ruído AWGN. A performance dos códigos será analisada através da relação da taxa de erro de símbolo (Symbol Error Rate - SER) pela relação sinal-ruído (Signal-to-Noise Ratio - SNR) para diferentes ordens de modulação M -QAM. Para tal proposta, este trabalho foi estruturado da seguinte forma. No Capítulo 2, abordamos conceitos algébricos importantes que serão utilizados nas construções dos códigos, como estruturas algébricas, a teoria algébrica dos números, álgebra cíclica de divisão e reticulados. No Capítulo 3, apresentamos o sistema MIMO e suas características, o esquema de Alamouti, que deu origem aos códigos de bloco espaço-tempo STBC e então apresentamos os critérios de análise de 16 código necessários que um STBC deve possuir. No Capítulo 4, iremos apresentar a construção do código de Alamouti via álgebras dos quatérnios de Hamilton e também de um STBC 2× 2 geral a partir de álgebras cíclicas de divisão. Em seguida, apresentamos os códigos de bloco espaço-tempo perfeitos e a construção do código de Ouro, que é um STBC perfeito, via uma álgebra cíclica de divisão específica. O Capítulo 5, tem o objetivo de apresentar os resultados obtidos das simulações e as análises do desempenho do código de Alamouti e do código de Ouro, realizadas a partir desses resultados. Por último, o Capítulo 6 apresentada as conclusões obtidas pelo presente trabalho. 17 2 CONCEITOS ALGÉBRICOS Este capítulo será dedicado em abordar alguns conceitos algébricos que serão de grande utilidade neste trabalho. Iremos apresentar definições, exemplos e alguns resultados importantes sobre estruturas algébricas, teoria algébrica dos números, álgebra cíclica e reticulados. Estes tópicos são muito amplos e para serem apresentados por completo seria necessário um estudo muito aprofundado que não é foco deste trabalho. Desta forma, iremos focar apenas nos conceitos essenciais para o desenvolvimento do mesmo. As principais referências utilizadas neste capítulo foram [Oggier, Belfiore e Viterbo 2007,Gonçalves 1999,Samuel 1970,Stewart e Tall 1987,Marcus 1977,Ferrari 2008,Benedito 2010, Benedito 2014]. 2.1 ESTRUTURAS ALGÉBRICAS Nesta seção iremos apresentar as definições de algumas estruturas algébricas importantes como grupos, anéis, ideais e corpos. Definição 2.1.1 Um conjunto não vazio G com uma operação · sobre G é chamado grupo se essa operação satisfaz as seguintes propriedades: 1. (a · b) · c = a · (b · c), para todo a, b, c ∈ G (associativa). 2. Existe e ∈ G tal que a · e = e · a, para todo a ∈ G (existência de um elemento neutro). 3. Para todo a ∈ G existe um elemento a′ ∈ G tal que a · a′ = a′ · a = e (existência do elemento simétrico). Se além disso a operação · for comutativa, isto é, a · b = b · a, para todo a, b ∈ G, o grupo é chamado abeliano ou comutativo. Exemplo 2.1.1 O conjunto G = {−1, 1} um grupo com a operação multiplicação usual. Definição 2.1.2 Um grupo cíclico G, denotado por G = 〈g〉, é um grupo gerado por um elemento, ou seja, todos os elementos do grupo são obtidos como potências de um elemento do grupo. Se G tem n elementos, tem-se que G = {1, g, g2, . . . , gn−1}. Definição 2.1.3 Um anel é um conjunto não vazio A composto por por duas operações + (adição) e · (multiplicação), tal que A é um grupo abeliano em relação à operação + e se a multiplicação satisfaz: 1. A operação · é associativa, ou seja, a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c ∈ A. 2. A operação · é distributiva em relação a +, ou seja, a·(b+c) = a·b+a·c e (a+b)·c = a·c+b·c para todo a, b, c ∈ A. Definição 2.1.4 Nas condições da Definição 2.1.3 ainda temos que: 18 1. Se a · b = b · a para todo a, b ∈ A, é dito que A é um anel comutativo. 2. A multiplicação pode admitir em elemento neutro, isto é, existe 1 ∈ A tal que 1 · a = a · 1 = a, para todo a ∈ A. Neste caso, dizemos que A é um anel com unidade. 3. Um anel cuja multiplicação é comutativa e possui unidade é chamado de anel comutativo com unidade. Exemplo 2.1.2 O conjunto dos números inteiros Z = {. . . ,−2,−1, 0, 1, 2, . . .} é um anel comutativo com unidade, sendo o número 1 a unidade em Z. Definição 2.1.5 Sejam A e B são anéis. Um homomorfismo de anel é uma função ϕ : A→ B que satisfaz, para todo a, b ∈ A, 1. ϕ(a+ b) = ϕ(a) + ϕ(b); 2. ϕ(a · b) = ϕ(a) · ϕ(b); 3. ϕ(1) = 1. Definição 2.1.6 Um homomorfismo injetor de anéis é chamado de monomorfismo e um homomor- fismo bijetor é chamado de isomorfismo. O isomorfismo de um anel A sobre si mesmo é chamado automorfismo. Definição 2.1.7 Um ideal I é um subconjunto de um anel que satisfaz as seguintes condições 1. x+ y ∈ I, para todo x, y ∈ I; 2. aI ⊆ I, para todo a ∈ A. Definição 2.1.8 Um ideal principal é um ideal gerado por apenas um elemento, isto é, I = 〈x〉 = {xy | y ∈ A, x ∈ I}. Exemplo 2.1.3 Temos que nZ = 〈n〉 é um ideal principal de Z para todo n. Definição 2.1.9 Um corpo K é um anel comutativo onde todo elemento não nulo possui um inverso multiplicativo, ou seja, para todo a ∈ A∗ = A\{0} existe b ∈ A tal que ab = 1 Exemplo 2.1.4 O conjunto dos números racionais Q = { a b |a, b ∈ Z, b 6= 0 } , dos números reais R e dos números complexos C, com as operações usuais de adição e de multiplicação, são exemplos de corpos. 19 2.2 TEORIA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS Nesta seção vamos apresentar conceitos e alguns exemplos de extensão de corpos, corpos de números, anel dos inteiros, grupo de Galois, norma, traço e discriminante. Iremos apresentar também um exemplo muito importante de corpo de números, os corpos quadráticos, que são de interesse deste trabalho. Definição 2.2.1 Sejam K e L corpos. Se K ⊆ L, é dito que L é uma extensão de corpos de K e denotamos por L/K. Definição 2.2.2 Seja L/K uma extensão de corpos. O grau da extensão de L sobre K é a dimensão de L como visto como espaço vetorial sobre K, isto é, o número de elementos da base de L sobre K, e denotamos por [L : K]. Se [L : K] é finito, então L é uma extensão finita de K, caso contrário, L é uma extensão infinita de K. Definição 2.2.3 Uma extensão de corpos finita de Q é chamado de um corpo de números. Neste trabalho estamos interessados em corpos de números de grau dois, conhecido como corpos quadráticos. Definição 2.2.4 Um corpo de números de grau dois sobre Q é chamado de um corpo quadrático. Proposição 2.2.1 Um corpo quadrático tem a forma Q( √ d), onde d é um inteiro livre de quadrados. Exemplo 2.2.1 O corpo K = Q( √ −1) = Q(i) = {a+ bi | a, b ∈ Q} é um corpo quadrático pois é uma extensão de grau dois de Q, já que i é solução da equação de grau dois x2 + 1 = 0 Q(i) 2| Q . Exemplo 2.2.2 O corpo L = Q( √ 5) = {a + b √ 5 | a, b ∈ Q} é um corpo quadrático pois é uma extensão de grau dois de Q, já que √ 5 é solução da equação de grau dois x2 − 5 = 0 Q( √ 5) 2| Q . Definição 2.2.5 Seja L/K uma extensão de corpos e θ ∈ L. Se existe um polinômio mônico (com coeficiente de maior grau igual a 1), irredutível e não nulo p ∈ K[X] tal que p(θ) = 0, então é dito que θ é algébrico sobre K. Este polinômio é conhecido como polinômio minimal. Exemplo 2.2.3 O polinômio p(X) = X2 + 1 é o polinômio minimal de i sobre Q. Assim como q(X) = X2 − 5 é o polinômio minimal de √ 5 sobre K = Q(i). 20 Definição 2.2.6 Se todos os elementos de L são algébricos sobre K, então é dito que L é uma extensão algébrica de K. Teorema 2.2.1 Se K é um corpo de números, então existe um número algébrico θ ∈ K tal que K = Q(θ). O número algébrico θ ∈ K é chamado de elemento primitivo de K. Além disso, pelo Teorema 2.2.1, tem-se que o corpo de números K é um Q-espaço vetorial gerado pelas potências de θ e se, K tem grau n sobre Q, então a base de K é {1, θ, θ2, . . . , θn−1}. Ou seja, x ∈ K pode ser escrito como x = ∑n−1 i=0 xiθ i, xi ∈ Q, onde n é grau do polinômio minimal de θ. Definição 2.2.7 Sejam K/Q e L/Q duas extensões de corpos de Q. Se ϕ é um homomorfismo de anel que satisfaz ϕ(a) = a para todo a ∈ Q, então a aplicação ϕ : K→ L é chamada de homomorfismo sobre Q. Teorema 2.2.2 Seja K = Q(θ) um corpo de números de grau n sobre Q. Existem n monomorfismos distintos de K em C, σi : K→ C, tais que σi(θ) = θi, i = 1, . . . , n, onde θi são os zeros distintos em C do polinômio minimal de θ sobre Q. Definição 2.2.8 Sejam K um corpo de números de grau n e σ1, . . . , σn os n-monomorfismos distintos de K em C. Temos que: 1. Se σi(K) ⊆ R dizemos que σi é um monomorfismo real. Caso contrário dizemos que σi é um monomorfismo imaginário. 2. Se σi(K) ⊆ R, para todo i = 1, . . . , n, dizemos que K é um corpo totalmente real. Caso contrário, dizemos que K é um corpo totalmente imaginário. Exemplo 2.2.4 Seja K = Q(i) = {a+ bi | a, b ∈ Q}. Uma vez que X2 + 1 = (X + i)(X − i), então existem dois monomorfismos dados por σ1 : Q(i) → C a+ bi 7→ a+ bi e σ2 : Q(i) → C a+ bi 7→ a− bi . Como σ1 e σ2 são imaginários, dizemos que K = Q(i) é um corpo totalmente imaginário. Exemplo 2.2.5 Seja K = Q( √ 5) = {a+b √ 5 | a, b ∈ Q}. Uma vez queX2−5 = (X+ √ 5)(X− √ 5), então existem dois monomorfismos dados por σ1 : Q( √ 5) → R a+ b √ 5 7→ a+ b √ 5 21 e σ2 : Q( √ 5) → R a+ b √ 5 7→ a− b √ 5 . Como σ1 e σ2 são reais, dizemos que K = Q( √ 5) é um corpo totalmente real. Observação 2.2.1 Quando σi são definidos de K para K, para todo i = 1, . . . , n, eles são chamados de Q-automorfismo de K. Exemplo 2.2.6 No Exemplo 2.2.4 observe que ambos os monomorfismos definidos podem ser também mapeamentos de Q(i) para ele mesmo, ou seja, ambas as raízes do polinômio minimal X2 + 1 pertencem a Q(i). Definição 2.2.9 Seja L/K uma extensão de corpos de grau n. Os n K-homomorfismos de L em C são chamados de monomorfismos relativos. Exemplo 2.2.7 Se adicionarmos o elemento √ 5 ao corpo Q(i), obtemos um corpo de números Q(i, √ 5) de grau 4 sobre Q. Considere a extensão de corpos relativa Q(i, √ 5)/Q(i). O polinômio p(x) = x2 − 5 é um polinômio minimal sobre Q(i) de grau dois Q(i, √ 5) 2| Q(i) . Como x2 − 5 = ( x− √ 5 )( x+ √ 5 ) , então ± √ 5 ∈ Q(i, √ 5). Logo, os monomorfismos relativos de Q(i, √ 5) sobre Q(i) são σ1 : Q(i, √ 5) → C a+ b √ 5 7→ a+ b √ 5 e σ2 : Q(i, √ 5) → C a+ b √ 5 7→ a− b √ 5 , para a, b ∈ Q(i). Definição 2.2.10 Seja K um corpo de números. Dizemos que θ ∈ K é um número inteiro algébrico se θ for uma raiz do polinômio mônico com coeficientes em Z. O conjunto de inteiros algébricos de K é um anel chamado de anel de inteiros de K, denotado por OK. Teorema 2.2.3 Seja K = Q( √ d) um corpo quadrático, então o seu anel de inteiros OK é dado por: 1. Se d ≡ 2 ou d ≡ 3 (mod 4), então OK = Z[ √ d] e sua Z-base é dada por {1, √ d}. 2. Se d ≡ 1 (mod 4), então OK = Z[1+ √ d 2 ] e sua Z-base é dada por {1, 1+ √ d 2 }. 22 Exemplo 2.2.8 Considere o corpo de números K = Q(i) = {a + bi | a, b ∈ Q}. Quando a e b são restritos a Z, obtém-se pelo Teorema 2.2.3 que o anel dos inteiros de K dado por OK = Z[i] = {a+ bi | a, b ∈ Z} chamado de anel dos inteiros Gaussiano. Observa-se que a constelação obtida a partir de uma modulação QAM pode ser rotulada a partir de Z[i] + (1 + i)/2. Exemplo 2.2.9 Seja K = Q( √ 5) um corpo quadrático, pelo Teorema 2.2.3, temos que seu anel de inteiros é dado por OK = Z[1+ √ 5 2 ] = { a+ b ( 1+ √ 5 2 ) | a, b ∈ Z } . Definição 2.2.11 Seja K um corpo de números. Dizemos que o conjunto {ω1, ω2, . . . , ωn} de OK é uma base integral de K, se qualquer elemento x de OK pode ser escrito de forma única como x = ∑n i=1 aiωi, com ai ∈ Z, para todo i. Definição 2.2.12 Seja L/K uma de extensão de corpos de grau n, onde σ1, . . . , σn representa os n monomorfismos relativos de L N(x) = n∏ i=1 σi(x), T r(x) = n∑ i=1 σi(x) (2.1) são chamados, respectivamente, a norma e o traço de x. Teorema 2.2.4 Seja L/K uma extensão de corpos. Para qualquer x ∈ L, temos NL/K(x) e TrL/K(x) ∈ K. Se x ∈ OL, temos NL/K(x) e TrL/K(x) ∈ OK. Definição 2.2.13 Seja I = 〈x〉 = xOL um ideal principal de OL e x 6= 0. A norma de I é definida por N(I) = |N(x)|. Definição 2.2.14 Seja {ω1, ω2, . . . , ωn} uma base integral de K. O discriminante de K é definido como dK = det[σj(ωi)] 2. Exemplo 2.2.10 Vamos calcular o discriminante dK do corpo Q( √ 5). Pelo Exemplo 2.2.5, aplicando os monomorfismos na base integral {ω1, ω2} = {1, 1+ √ 5 2 }, temos dK = det ( σ1(1) σ2(1) σ1( 1+ √ 5 2 ) σ2( 1+ √ 5 2 ) )2 = det ( 1 1 1+ √ 5 2 1+ √ 5 2 )2 = 5. (2.2) No caso de corpos quadráticos existe um resultado que fornece o discriminante. Proposição 2.2.2 Seja K = Q( √ d) é um corpo quadrático, então o discriminante de K sobre Q é dado por: 1. dK = d, se d ≡ 1 (mod 4). 2. dK = 4d, se d ≡ 2 ou 3 (mod 4). Exemplo 2.2.11 No caso do corpo Q(i), temos que √ −1 = i, logo d = −1. Então, seu discriminante, pela Proposição 2.2.2, é dK = −4. Uma vez que −1 ≡ 3 (mod 4). 23 Definição 2.2.15 Uma extensão de corpos de números L/K é uma extensão de Galois se todas as raízes de cada polinômio irredutível sobre K estão em L. O grupo de Galois da extensão L/K é o grupo de todos automorfismos de K sobre L e denotamos por Gal(L/K). Observação 2.2.2 Um grupo cíclico de Galois é representado por 〈σ〉, onde σ é o elemento gerador do grupo. 2.3 ÁLGEBRA CÍCLICA Nesta seção vamos apresentar conceitos de álgebra, álgebra de divisão e álgebra cíclica. Em especial, estamos interessados em álgebras cíclicas de divisão para construir STBC para 2× 2 antenas, dessa forma, a álgebra dos quatérnios será considerada. Definição 2.3.1 Uma álgebra A é um conjunto sobre o corpo K com operações de adição, multiplica- ção e multiplicação por elementos de K que satisfaz: 1. A é um espaço vetorial com respeito à adição e multiplicação pelos elementos do corpo. 2. A é um anel em relação à adição e multiplicação. 3. (λa)b = a(λb) = λ(ab) para qualquer λ ∈ K, a, b ∈ A. Exemplo 2.3.1 O conjuntoMn(R) de matrizes n × n com entradas em R é uma álgebra sobre R. É um espaço vetorial de dimensão n2 sobre R e é um anel não-comutativo em relação a adição e multiplicação usual de matrizes. Definição 2.3.2 Se em uma álgebra A todo elemento não nulo tem um inverso multiplicativo, então A é uma álgebra de divisão. Definição 2.3.3 Seja L/K uma extensão de Galois de grau n, tal que seu grupo de Galois G = Gal(L/K) é cíclico com gerador σ. Dado um elemento γ ∈ K diferente de zero, pode-se definir uma álgebra cíclica, denotada por A = (L/K, σ, γ), como segue A = L ⊕ eL ⊕ · · · ⊕ en−1L, (2.3) em que e satisfaz en = γ e λe = eσ(λ), para λ ∈ L e ⊕ representa a soma direta. Definição 2.3.4 Chamamos de álgebra cíclica de divisão, uma álgebra que seja cíclica e também de divisão. Teorema 2.3.1 Seja L/K uma extensão cíclica de grau n com Gal(L/K) = 〈σ〉. Se γ ∈ K diferente de zero não é uma norma de algum elemento de L, então A = (L/K, σ, γ) é uma álgebra de divisão cíclica. 24 Sejam A uma álgebra cíclica e x ∈ A escrito na base {1, e, e2, . . . , en−1}, ou seja, x = x0 + ex1 + x2e 2 + . . .+ xn−1e n−1. (2.4) A matriz de multiplicação à esquerda por x é dada por x0 γσ(xn−1) γσ2(xn−2) · · · γσn−1(x1) x1 σ(x0) γσ2(xn−1) · · · γσn−1(x2) ... ... ... . . . ... xn−2 σ(xn−3) σ2(xn−4) · · · γσn−1(xn−1) xn−1 σ(xn−2) σ2(xn−3) · · · σn−1(x0)  . (2.5) Para o caso de n = 2, sejam x = x0 + ex1, y = y0 + ey1 ∈ A na base {1, e}, tem-se que xy = (x0 + ex1)(y0 + ey1) = x0y0 + x0ey1 + ex1y0 + ex1ey1 = x0y0 + eσ(x0)y1 + ex1y0 + e2σ(x1)y1 = x0y0 + eσ(x0)y1 + ex1y0 + γσ(x1)y1 = (x0y0 + γσ(x1)y1) + e(σ(x0)y1 + x1y0), (2.6) uma vez que γ = e2. Na forma matricial, tem-se xy = ( x0 γσ(x1) x1 σ(x0) )( y0 y1 ) . (2.7) Além disso, temos que det ( x0 γσ(x1) x1 σ(x0) ) = x0σ(x0)− γx1σ(x1) = NL/K(x0)− γNL/K(x1). (2.8) Então det ( x0 γσ(x1) x1 σ(x0) ) = 0 ⇐⇒ γ = NL/K ( x0 x1 ) . (2.9) Assim, pelo Teorema 2.3.1, é preciso verificar se γ é uma norma de algum elemento de L para garantir que A é uma álgebra cíclica de divisão. O caso de interesse neste trabalho são álgebras cíclicas de divisão para n = 2. Para isso, iremos definir um caso particular dessas álgebras, a álgebra do quatérnios. Definição 2.3.5 Uma álgebra dos quatérnios A = (a, b)K sobre um corpo de números K é uma álgebra de dimensão 4 sobre K com base {1, i, j, k} que satisfaz a condição i2 = a, j2 = b, k2 = −ab e k = ij = −ji, onde a, b ∈ K\{0}. Um exemplo especial de álgebra dos quatérnios, que na verdade foi a percursora dessas álgebras, é 25 a hoje conhecida como álgebra dos quatérnios de Hamilton que definiremos a seguir. Definição 2.3.6 A álgebra dos quatérnios H = (−1,−1)R que satisfaz i2 = −1, j2 = −1, k2 = −1, e k = ij = −ji, é chamada de álgebra dos quatérnios de Hamilton. Os quatérnios de Hamilton podem ser representados pelo conjunto H = {x0 + x1i+ x2j + x3k | x0, x1, x2, x3 ∈ R}, (2.10) que possuem uma estrutura de anel com adição e multiplicação bem definidas. Definição 2.3.7 Para um elemento q = x0 +x1i+x2j+x3k de uma álgebra dos quatérnios podemos definir o conjugado de q como q̄ = x0 − x1i− x2j − x3k. (2.11) Definição 2.3.8 SejaA uma K-álgebra, definimos o traço reduzido e norma reduzida de um elemento q ∈ A por Trd(q) = q + q̄ e Nrd(q) = qq̄, (2.12) respectivamente. Exemplo 2.3.2 Se H = (−1,−1)R é a álgebra dos quatérnios de Hamilton então Trd(q) = q + q̄ = 2x0 e Nrd(q) = qq̄ = x20 + x21 + x22 + x23, (2.13) para todo q = x0 + x1i+ x2j + x3k ∈ H. Observe por (2.13) que Nrd(q) = 0 se, e somente se q = 0. Este resultado é válido em geral para toda álgebra dos quatérnios. Teorema 2.3.2 Seja A = (a, b)K uma álgebra dos quatérnios sobre K. A é uma álgebra de divisão se, e somente se, Nrd(q) = 0 apenas para q = 0. Observação 2.3.1 Nas condições das Definições 2.3.7 e 2.3.8, segue pelo Teorema 2.3.2 que para q = x0 + x1i + x2j + x3k ∈ A, a não ser que x0 = x1 = x2 = x3 = 0, tem-se qq̄ > 0, para todo x0, x1, x2, x3 ∈ K. Assim, temos que o inverso de q é dado da seguinte forma q−1 = q̄ qq̄ . (2.14) 2.4 RETICULADOS Nesta seção iremos apresentar conceitos básicos sobre reticulados algébricos construídos a partir do conhecido como homomorfismo canônico e ideais, apresentando suas matrizes geradoras e matriz de Gram. Neste trabalho, o interesse na construção de reticulados algébricos está relacionado com a propriedade de shaping de uma constelação que é obtida quando utilizamos reticulados munidos de certas propriedades. A teoria de reticulados e reticulados algébricos é muito ampla e por não ser foco 26 deste trabalho não serão apresentados os detalhes, para um estudo mais aprofundado ver [Benedito 2010, Ferrari 2008]. Definição 2.4.1 Sejam B = {ω1, . . . , ωn} um conjunto de vetores do Rn linearmente independentes sobre R . Chamamos de reticulado completo de dimensão n e base B ao subconjunto do Rn da forma Λ = { x ∈ Rn, tal que x = n∑ i=1 aiωi, com ai ∈ Z } . (2.15) Exemplo 2.4.1 Seja B = {(1, 0)(0, 1)} a base canônica de Z2. Temos que Λ = Z2 é reticulado gerado por B. Figura 1 – Reticulado Z2. Fonte: [?] Definição 2.4.2 Seja Λ ⊂ Rn um reticulado, com Z-base B = {ω1, . . . , ωn}. A matriz geradora do reticulado Λ é definida como sendo a matriz M =  ω11 ω12 · · · ω1n ω21 ω22 · · · ω2n ... ... . . . ... ωn1 ωn2 · · · ωnn  , (2.16) no qual ωi = (ω1i, · · · , ωni), para todo i = 1, · · · , n. Um reticulado Λ pode ser expresso por meio da sua matriz geradora M Λ = {x = λM ∈ Rn | λ ∈ Zn}, (2.17) 27 ou ainda por sua matriz de Gram que será definida a seguir. Definição 2.4.3 Sejam Λ um reticulado e M sua matriz geradora. Definimos a matriz de Gram associada a matriz geradora por G = M†M. (2.18) Definição 2.4.4 Sejam σ1, . . . , σn os n monomorfismos distintos de um corpo de números K de grau n. Podemos ordenar os σi’s de forma que para todo x ∈ K, σi(x) ∈ R, 1 ≤ i ≤ r1, ou seja, até o índice r1 os monomorfismos σ1, . . . , σr1 sejam reais e σj+r2(x) é o complexo conjugado de σj(x) para r1 + 1 ≤ j ≤ r1 + r2. Note que r1 + 2r2 = n. Chamamos de homomorfismo canônico σ : K→ Rn o homomorfismo definido por σ(x) = (σ1(x), . . . , σr1(x),Rσr1+1(x), Iσr1+1(x), . . . ,Rσr1+r2(x), Iσr1+r2(x)). (2.19) Exemplo 2.4.2 Sejam o corpo quadrático K = Q(i) e {σ1, σ2} os Q-monomorfismos de K em C dados no Exemplo 2.2.4, onde σ1 é a aplicação identidade e σ2(a+ bi) = a+ bi, com a, b ∈ Q. Neste caso, temos que r1 = 0 e r2 = 1, ou seja, K é um corpo totalmente imaginário. Para x = a+ bi ∈ K, com a, b ∈ Q, temos que o homomorfismo canônico é dado por σ = (Rσ1(x), Iσ1(x)) = (a, b). (2.20) Um reticulado algébrico Λ é um reticulado que pode ser construído como imagem do homo- morfismo canônico definido em (2.4.4) aplicado em uma base {ω1, . . . , ωn} de OK, sendo sua matriz geradora M dada por M =  σ1(ω1) · · · σr1(ω1) Rσr1+1(ω1), . . . ,Iσr1+r2(ω1) ... ... σ1(ωn) · · · σr1(ωn) Rσr1+1(ωn), . . . ,Iσr1+r2(ωn)  . (2.21) Esta construção resulta em um reticulado real. De forma semelhante, podemos definir um homomorfismo considerando uma extensão de corpos mais geral L/K da seguinte forma σ : L → Cn x 7→ σ(x) = (σ1(x), . . . , σn(x)), (2.22) onde σ1(x), . . . , σn(x) são os monomorfismos relativos de L/K. Assim, um reticulado complexo Λc é dado por Λc = {x = λM ∈ Cn | λ ∈ Z[i]n ou Z[j]n}. (2.23) 28 E sua matriz geradora é dada, usando o homomorfismo dado em (2.22), por M =  σ1(ω1) σ2(ω1) · · · σn(ω1) σ1(ω2) σ2(ω2) · · · σn(ω2) ... ... σ1(ωn) σ2(ωn) · · · σn(ωn)  , (2.24) onde {ω1, . . . , ωn} é uma base de OL sobre K, e σ1, . . . , σn são monomorfismos relativos de L/K. Exemplo 2.4.3 Seja o corpo quadrático K = Q( √ 5), com os monomorfismos σ1( √ 5) = √ 5 e σ2( √ 5) = − √ 5 obtidos no Exemplo 2.2.5 e seu anel de inteiros Z [ 1+ √ 5 2 ] no Exemplo 2.2.9. As- sim, aplicando o homomorfismo canônico nos elementos da base { 1, 1+ √ 5 2 } , a matriz geradora do reticulado algébrico Λ é dada por M = ( σ1(1) σ2(1) σ1( 1+ √ 5 2 ) σ2( 1+ √ 5 2 ) ) = ( 1 1 1+ √ 5 2 1− √ 5 2 ) . (2.25) E a representação deste reticulado é apresentado na Figura 2. Figura 2 – Reticulado do corpo Q( √ 5). Fonte: [Oggier, Belfiore e Viterbo 2007] Um reticulado algébrico Λ′ pode ser construído a partir de um ideal I ⊂ OL, sendo um sub- reticulado do reticulado algébrico Λ obtido a partir de OL. Se I = αOL, então a matriz geradora M 29 de Λ′ é dada por M =  σ1(αω1) σ2(αω1) · · · σn(αω1) σ1(αω2) σ2(αω2) · · · σn(αω2) ... ... σ1(αωn) σ2(αωn) · · · σn(αωn)  , (2.26) onde {ω1, . . . , ωn} é uma base de OL sobre K, e σ1, . . . , σn são monomorfismos relativos de L/K. Observe que, a matriz dada em (2.26) é a matriz dada em (2.24) multiplicada pela matriz diagonal σ1(α) 0 . . . 0 σn(α)  . (2.27) Conhecendo a matriz geradora do reticulado, é possível calcular o determinante do mesmo. Temos que det(Λ′) = | det(M)|2 = | det[σj(αωi)]|2 (2.28) = |N(α)|2| det[σj(ωi)]|2 (2.29) = |N(α)|2dK = |N(α)|2 det(Λ). (2.30) 30 3 CÓDIGOS DE BLOCO ESPAÇO-TEMPO Neste capítulo, iremos apresentar um estudo sobre o sistema MIMO e suas características, em seguida o esquema de Alamouti, que deu origem aos códigos de bloco espaço-tempo STBC será apresentado, além de critérios de análise utilizados para definir um STBC eficiente. As principais referências utilizadas neste capítulo foram [Sibille, Oestges e Zanella 2011, Falou 2013, Alamouti 1998, Oggier, Belfiore e Viterbo 2007, Biglieri et al. 2007, Salz, Winters e Gitlin 1994]. 3.1 SISTEMA MIMO O sistema MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) é uma tecnologia que utiliza múltiplas antenas transmissoras e receptoras, e que ganhou popularidade rapidamente na última década devido aos seus eficientes recursos de aprimoramento de desempenho [Biglieri et al. 2007]. Em um sistema de comunicação sem fio, os canais sofrem os efeitos degradantes do desvanecimento de multi-percurso. O multi-percurso consiste na chegada do sinal transmitido com ângulos, atrasos de tempo e mudanças de frequência (Efeito Doppler) diferentes. As causas desse fenômeno incluem difração de sinal, refração e reflexão, espalhamento e pela presença de obstruções, como edifícios, montanhas, etc., além da questão da mobilidade do transmissor ou receptor. Esses efeitos afetam gravemente a qualidade e a confiabilidade da comunicação sem fio. Ainda, temos as restrições impostas pela largura de banda de frequência escassa e potência limitada, que tornam ainda mais desafiador o trabalho de projetar sistemas de comunicação sem fio de alta confiabilidade e alta taxa de dados. A fim de mitigar os efeitos do desvanecimento, utilizamos algumas técnicas que estão relacionadas com o conceito de diversidade. A diversidade explora a natureza aleatória da propagação de rádio, transmitindo réplicas do mesmo dado com objetivo que elas sejam atenuadas independentemente das outras, assim, o receptor recebe múltiplas versões do mesmo sinal. Isso faz com que a probabilidade de todas as réplicas desvanecerem simultaneamente diminua à medida que o número de réplicas aumenta. A seguir, vamos apresentar dois tipos de esquema de diversidade em um sistema de comunicação sem fio. • Diversidade de tempo: consiste em transmitir o mesmo sinal em intervalos de tempo diferentes. Esses períodos devem ser espaçados de modo que os coeficientes de desvanecimento do canal mudem e diferentes ganhos de canal sejam obtidos. • Diversidade de espaço: consiste na transmissão do sinal por várias antenas de transmissão e recebido através de diferentes antenas de recepção. Isso é aplicável nos casos em que o espaçamento da antena é de pelo menos meio comprimento de onda da frequência da portadora, garantindo que o desvanecimento em cada caminho será independente (ou descorrelacionado) [Salz, Winters e Gitlin 1994]. Os códigos de espaço-tempo, como o nome já diz, exploram a diversidade no espaço e no tempo. Além disso, temos duas formas diferentes de diversidade de espaço. 31 • Diversidade de recepção: em canais do tipo SIMO (Single-Input Multiple-Output), é transmitido apenas uma versão do sinal, as réplicas do sinal transmitido são obtidas no receptor e, então, é feita a combinação dessas réplicas. No entanto, em telefones celulares torna-se caro e complicado sua implantação, por isso a diversidade de transmissão se tornou popular. • Diversidade de transmissão: em canais do tipo MISO (Multiple-Input Single-Output), são transmitidas várias réplicas do sinal para apenas um antena de recepção. Para isso, é necessário o uso de técnicas de processamento de sinais, como os códigos espaço-tempo. Por o canal MIMO ser de múltiplas antenas no transmissor e no receptor, é obtido ambas diversidade de espaço: a de transmissão e a de recepção. E esses canais que utilizam STBCs conseguem obter também a diversidade de tempo. Neste trabalho iremos considerar um canal com desvanecimento Rayleigh quase-estático e plano, em que desvanecimento quase-estático significa que o canal permanece constante dentro de cada período de transmissão de uma palavra-código, variando independentemente de um período para o próximo, e plano significa que a largura de banda de coerência do canal é maior do que a largura de banda do sinal, por isso todas as componentes de frequência do sinal sofrem um desvanecimento de magnitude igual. Considere um sistema MIMO com nt antenas no transmissor e nr antenas no receptor, conforme Figura 3, a matriz Y do sinal recebido é dada por Ynr×T = Hnr×ntXnt×T + Znr×T , (3.1) em que X é a matriz de símbolos transmitidos, H é a matriz do canal e seus elementos são modelados como uma variável aleatória complexa de média zero e variância unitária, e Z é a matriz do ruído Gaussiano branco aditivo. Isso para um único bloco de duração T , em que o canal permanece invariante no tempo e vamos assumir que T seja igual ao intervalo de tempo em que os coeficientes de canal são constantes. Figura 3 – Esquema sistema MIMO nt × nr. Fonte: Próprio autor. Considere o exemplo de um caso interessante, em que se tem duas antenas de transmissão e duas de recepção, conforme Figura 4. 32 Figura 4 – Esquema sistema MIMO 2× 2. Fonte: Próprio autor. Neste caso, a primeira antena transmite os símbolos x0 e x1 e a segunda antena transmite os símbolos x2 e x3. Os símbolos x0 e x2 são os primeiros a serem enviados, as duas antenas receptoras recebem os símbolos y0 e y2 que são uma combinação dos símbolos enviados pelo transmissor que sofreram os efeitos do canal. O mesmo acontece para os símbolos x1 e x3, produzindo então y1 e y3. A decodificação é feita pelo método de máxima verossimilhança (ML), onde o receptor escolhe a palavra-código X que minimiza: min X∈C ‖Y−HX‖2. (3.2) Para canais MIMO, como o modelado anteriormente, supondo que o receptor seja coerente, isto é, que ele tenha o conhecimento exato sobre o estado do canal ou um CSI (Channel State Information) perfeito. A sua capacidade pode ser expressa como [Gesbert et al. 2003] C(SNR) = log2 [ det ( Inr + SNR nt HH† )] , (3.3) em que Inr é a matriz identidade de tamanho nr e (·)† representa o conjugado transposto de uma matriz. Para atingir essa capacidade é necessário transmitir sinais gaussianos complexo de média zero e potência igual, codificados de forma que sejam independentes no espaço e no tempo. No caso de canais MIMO com SNRs mais altas, a capacidade de canal é dada por [Oggier, Belfiore e Viterbo 2007] C(nt, nr,SNR) ∼ min(nt, nr) log2(SNR). (3.4) Pela Equação 3.4 vemos a efetividade do sistema MIMO, pois proporciona aproximadamente min(nt, nr) canais espaciais independentes, obtendo uma ordem de diversidade espacial de ntnr, possibilitando o aumento da taxa de dados. 3.2 CÓDIGOS DE BLOCO ESPAÇO-TEMPO Como apresentado na Seção 3.1, o sistema MIMO pode ser usado como técnica de diversidade, fazendo uso de múltiplas antenas de transmissão e de recepção. E, para realizar a transmissão de múltiplas cópias, os códigos de bloco espaço-tempo (STBCs) são utilizados para codificar os símbolos antes de serem transmitidos. Esse tipo de codificação permite que o receptor obtenha o máximo de informação possível dos símbolos recebidos. 33 Os STBCs têm essa nomenclatura pois, para códigos de sistemas MIMO, o espaço e o tempo são realmente codificados, já que várias antenas (devidamente espaçadas) são utilizadas, e os dados são transmitidos em intervalos de tempo diferentes. Em 1998, Siavash M. Alamouti publicava seu artigo "A Simple Transmit Diversity Technique for Wireless Communications" [Alamouti 1998], dando origem aos Códigos de Bloco Espaço-Tempo. Os STBCs são uma generalização do esquema de Alamouti para uma quantidade arbitrária de antenas e podem atingir a diversidade máxima para um determinado número de antenas de transmissão e recepção. Neste trabalho estamos interessados em construções algébricas de STBCs que serão apresentadas no Capítulo 4, porém a seguir apresentamos estes códigos de modo geral. 3.2.1 Código de Alamouti O código de Alamouti é o mais simples e famoso código de bloco espaço-tempo. Este esquema proporciona diversidade máxima de transmissão para sistemas de duas antenas transmissoras e uma receptora, sem a necessidade de obter informação do estado de canal (ou seja, não é necessário saber os coeficientes de canal) no transmissor. O esquema proposto por Alamouti proporciona um aumento na capacidade de sistemas de comunicação sem fio, pois diminui o efeito do desvanecimento causado pelos múltiplos percursos fazendo uso de múltiplas antenas no lado do transmissor. Além disso, o código de Alamouti possui baixa complexidade computacional. Na Figura 5 é apresentado o esquema para duas antenas transmissoras e uma receptora. É possível observar a codificação e transmissão dos símbolos de informação modulados, o esquema de combinação no receptor e a detecção por máxima verossimilhança. No processo de codificação e transmissão, os símbolos X = [ x0 x1 −x̄1 x̄0 ] , (3.5) são enviados. Em um determinado instante (t), x0 é transmitido pela antena TX 0 e x1 pela antena TX 1, simultaneamente. No instante seguinte (t+ T ), a antena TX 0 transmite o símbolo −x̄1 e a antena TX 1 transmite o símbolo x̄0, também de forma simultânea. A Tabela 1 exemplifica o processo de codificação e transmissão do esquema. Tabela 1 – Sequência de codificação e transmissão do esquema de Alamouti para 2 antenas de trans- missão. Antena TX 0 Antena TX 1 Tempo t x0 x1 Tempo t+ T −x̄1 x̄0 34 Figura 5 – Esquema de Alamouti para sistema com uma antena receptora. h00 h10 TX 0 TX 1 RX 0 x0 x1 x0 z0 z1 Ruído e Interferência Estimador de Canal Combinador h00 h10 Detector de Máxima Verossimilhança h00 h10 x̃1x̃0 x̂1x̂0 y0 y1 -x1 Fonte: Próprio autor. Como apresentado na Seção 3.1, esses sinais passam pelo canal de desvanecimento do tipo Rayleigh, com coeficientes de canal H = [ h00 h10 ] , sendo h00 e h10 modelados como uma variável aleatória complexa de média zero e variância unitária. Assumindo que o canal é constante dentro de cada 35 período de transmissão, os coeficientes podem ser escritos como h00(t) = h00(t+ T ) = h00 = µ0e jθ0 h10(t) = h10(t+ T ) = h10 = µ1e jθ1 , (3.6) em que h00 e h10 podem ser modelados por uma distorção multiplicativa complexa composta por µ0 e µ1, que são as amplitudes e, θ0 e θ1 que são as fases dos canais. Os sinais transmitidos sofrem os efeitos do ruído gaussiano branco aditivo (AWGN) Z = [ z0 z1 ] , e assim, como na Equação 3.1 que modela o canal MIMO, os sinais recebidos, na forma matricial, é dado por Y = [ y0 y1 ] = [ x0 x1 −x̄1 x̄0 ] · [ h00 h10 ] + [ z0 z1 ] . (3.7) Os símbolos, y0 é recebido no tempo t e y1 no tempo t+ T , podem ser dados também por y0(t) = y(t) = h00x0 + h10x1 + z0 y1(t) = y(t+ T ) = −h00x̄1 + h10x̄0 + z1, (3.8) em que T é o período de símbolo. Após isso, os sinais recebidos alimentam o estimador de canal e o combinador, obtendo-se x̃0 = h̄00y0 + h10ȳ1 x̃1 = h̄10y0 − h00ȳ1. (3.9) Substituindo as Equações 3.6 e 3.8 em 3.9, temos x̃0 = µ0e −jθ0(µ0e jθ0x0 + µ1e jθ1x1 + z0) + µ1e jθ1(−µ0e −jθ0x1 + µ1e −jθ1x0 + z̄1) x̃1 = µ1e −jθ1(µ0e jθ0x0 + µ1e jθ1x1 + z0)− µ0e jθ0(−µ0e −jθ0x1 + µ1e −jθ1x0 + z̄1) , (3.10) multiplicando, temos x̃0 = µ2 0x0 + µ0e −jθ0µ1e jθ1x1 + µ0e −jθ0z0 − µ0e −jθ0µ1e jθ1x1 + µ2 1x0 + µ1e jθ1 z̄1 x̃1 = µ0e jθ0µ1e −jθ1x0 + µ2 1x1 + µ1e −jθ1z0 + µ2 0x1 − µ0e jθ0µ1e −jθ1x0 − µ0e jθ0 z̄1 . (3.11) Dessa forma, obtemos x̃0 = (µ2 0 + µ2 1)x0 + h̄00z0 + h10z̄1 x̃1 = (µ2 0 + µ2 1)x1 − h00z̄1 + h̄10z0 , (3.12) e os sinais x̃0 e x̃1 são enviados para um detector de máxima verossimilhança. Na Equação 3.12, é possível observar como os símbolos x0 e x1 são multiplicados por (µ2 0 + µ2 1), que são os módulos dos ganhos dos canais, sendo µ0 e µ1 números reais e positivos. Isso mostra que o esquema proposto por Alamouti explora os efeitos de multi-percussos, obtendo ganhos, por meio da técnica de diversidade. Vemos também que o símbolo x1 não faz parte do sinal x̃0 assim como x0 36 não faz parte de x̃1, ou seja, não há interferência entre antenas. Isso significa que os sinais podem ser decodificados de forma independente. Para o caso de duas antenas de transmissão e nr de recepção, o esquema de Alamouti proporciona uma ordem de diversidade de 2nr. Esquemas 2× nr são utilizados em sistemas onde múltiplas antenas receptoras são praticáveis pois assim proporcionam uma ordem de diversidade mais alta. Vamos abordar o caso do esquema de duas antenas transmissoras e duas antenas receptoras que possui ordem de diversidade 4, que é o foco do estudo desse trabalho. A Figura 6 mostra o esquema de Alamouti de duas antenas de transmissão e duas antenas de recepção. As etapas de codificação e de transmissão dos símbolos de informação são iguais às do esquema 2× 1 apresentado anteriormente na Figura 5 e exemplificado na Tabela 1. Neste esquema, temos quatro coeficientes de canais diferentes H = [ h00 h01 h10 h11 ] , ou seja, quatro caminhos diferentes para a transmissão dos sinais de informação. A Tabela 2 define tais coeficientes entre as antenas transmissoras e receptoras. Tabela 2 – Coeficientes de canais entre as antenas transmissoras e receptoras do esquema de Alamouti 2× 2. Antena RX 0 Antena RX 1 Antena TX 0 h00 h01 Antena TX 1 h10 h11 Os sinais recebidos em cada antena são organizados conforme Tabela 3. Tabela 3 – Coeficientes de canais entre as antenas transmissoras e receptoras do esquema de Alamouti 2× 2. Antena RX 0 Antena RX 1 Tempo t y0 y2 Tempo t+ T y1 y3 Similarmente ao caso anterior, os sinais transmitidos sofrem os efeitos do ruído gaussiano branco aditivo Z = [ z0 z2 z1 z3 ] . Assim, os sinais recebidos podem ser expressados por Y = [ y0 y2 y1 y3 ] = [ x0 x1 −x̄1 x̄0 ] · [ h00 h01 h10 h11 ] + [ z0 z2 z1 z3 ] . (3.13) Realizando os cálculos das matrizes, obtemos y0 = h00x0 + h10x1 + z0 y1 = −h00x̄1 + h10x̄0 + z1 y2 = h01x0 + h11x1 + z2 y3 = −h01x̄1 + h11x̄0 + z3. (3.14) 37 Figura 6 – Esquema de Alamouti para sistema com duas antenas receptoras. h00 h10 TX 0 TX 1 RX 0 x0 x1 z0 z1 Ruído e Interferência Estimador de Canal Combinador h00 h10 Detector de Máxima Verossimilhança h00 h10 x̃1x̃0 RX 1 z2 z3 Ruído e Interferência h11 h01 Estimador de Canal h01 h11 h01 h11 x̂1x̂0 y0 y1 y2 y3 -x1 x0 Fonte: Próprio autor. Estes sinais passam pelo estimador de canal e pelo combinador para que então possam ser enviados para o detector de ML, obtendo-se x̃0 = h̄00y0 + h10ȳ1 + h̄01y2 + h11ȳ3 x̃1 = h̄10y0 − h00ȳ1 + h̄11y2 − h01ȳ3. (3.15) 38 Substituindo os coeficientes de canais da Tabela 2 e as Equações 3.14 em (3.15), temos x̃0 = µ0e −jθ0(µ0e jθ0x0 + µ1e jθ1x1 + z0) + µ1e jθ1(−µ0e −jθ0x1 + µ1e −jθ1x0 + z̄1) + µ2e −jθ2(µ2e jθ2x0 + µ3e jθ3x1 + z2) + µ3e jθ3(−µ2e −jθ2x1 + µ3e −jθ3x0 + z̄3) x̃1 = µ1e −jθ1(µ0e jθ0x0 + µ1e jθ1x1 + z0)− µ0e jθ0(−µ0e −jθ0x1 + µ1e −jθ1x0 + z̄1) + µ3e −jθ3(µ2e jθ2x0 + µ3e jθ3x1 + z2)− µ2e jθ2(−µ2e −jθ2x1 + µ3e −jθ3x0 + z̄3) , (3.16) multiplicando, temos x̃0 = µ2 0x0 + µ0e −jθ0µ1e jθ1x1 + µ0e −jθ0z0 − µ0e −jθ0µ1e jθ1x1 + µ2 1x0 + µ1e jθ1 z̄1 + µ2 2x0 + µ2e −jθ2µ3e jθ3x1 + µ2e −jθ2z2 − µ2e −jθ2µ3e jθ3x1 + µ2 3x0 + µ3e jθ3 z̄3 x̃1 = µ0e jθ0µ1e −jθ1x0 + µ2 1x1 + µ1e −jθ1z0 + µ2 0x1 − µ0e jθ0µ1e −jθ1x0 − µ0e jθ0 z̄1 + µ2 3x1 + µ2e jθ2µ3e −jθ3x0 + µ3e −jθ3z2 + µ2 2x1 − µ2e jθ2µ3e −jθ3x0 − µ2e jθ2 z̄3 . (3.17) Dessa forma, obtemos x̃0 = (µ2 0 + µ2 1 + µ2 2 + µ2 3)x0 + h̄00z0 + h10z̄1 + h̄01z2 + h11z̄3 x̃1 = (µ2 0 + µ2 1 + µ2 2 + µ2 3)x1 − h00z̄1 + h̄10z0 − h01z̄3 + h̄11z2. (3.18) Observando as construções matemáticas das equações acima, vemos que os sinais combinados de duas antenas receptoras (x̃0 e x̃1) são a soma dos sinais combinados de cada antena de recepção (y0, y1, y2 e y3), o que acontece também no caso de apenas uma antena receptora. Isso mostra que o esquema de combinação utilizado em ambos os casos, de uma antena receptora e de duas antenas receptoras, é igual. Como já dito anteriormente, os STBCs são uma generalização do esquema de Alamouti. Em [Tarokh, Jafarkhani e Calderbank 1999], foi introduzido o termo STBC construídos a partir de designs ortogonais. Definição 3.2.1 Um STBC é um conjunto finito C de matrizes complexas X de tamanho nt × T . Em que cada linha representa a quantidade de antenas transmissoras e cada coluna representa um intervalo de tempo. 3.3 CRITÉRIOS DE ANÁLISE Nesta seção iremos apresentar os critérios de análise de um STBC, assumindo um canal de desvanecimento Rayleigh quase-estático e plano, isto é, o canal permanece constante dentro de cada período de transmissão, variando independentemente de um período para o próximo. E assumindo que o receptor seja coerente, isto é, que o mesmo tenha o conhecimento exato sobre o estado do canal ou um CSI (Channel State Information) perfeito. A probabilidade de erro P (e) pode ser estimada utilizando a união limitada, que mostra que a probabilidade de P (e) ocorrer é menor que a soma das probabilidades de erros aos pares P (e) ≤ 1 |C| ∑ X∈C ∑ X̂6=X P (X→ X̂), (3.19) 39 no qual P (X → X̂) é a probabilidade de erro aos pares, ou seja, a probabilidade do receptor ML decidir erroneamente por uma palavra-código X̂, quando na verdade foi transmitido X. Após algumas manipulações algébricas, que podem ser encontradas em [Oggier, Belfiore e Viterbo 2007], é possível obter a seguinte expressão para SNRs altas P (X→ X̂) ≤ ∆−nr ( 1 4N0 )−rnr , (3.20) no qual ∆ = ∏r j=1 λj , r denota o posto da matriz de diferença da palavra-código e λj são os autovalores não-nulos da matriz de distância da palavra-código A = (X− X̂)(X− X̂)†. (3.21) Chamamos um código de posto máximo, se r = nt. E, para este tipo de código temos que ∆ = ∏nt j=1 λj = det(A) 6= 0 , para todo A, (3.22) o que nos permite dizer que este código tem diversidade máxima, possibilitando explorar a indepen- dência dos ntnr canais do sistema MIMO. Definição 3.3.1 O ganho de diversidade de um código é dado por div = min{rnr}. (3.23) Definição 3.3.2 Para códigos de diversidade máxima, podemos definir o determinante mínimo do código como, ∆min = min X6=X̂ det(A). (3.24) Em que (∆min)1/nt é chamado de ganho de codificação. Definição 3.3.3 Um STBC linear é definido como STBC C que, para todo X e X’ pertencente ao código C, X ± X’ pertence a C, ou seja, a soma ou diferença de qualquer par de palavras-código é uma palavra-código. Por conta da definição de código linear, a expressão do limite de união pode ser reduzido para P (e) ≤ 1 |C| ∑ X̂ 6=0 P (0→ X), (3.25) e assim temos ∆min = min X6=0nt×T det(XX†). (3.26) A fim de aumentar a confiabilidade, o objetivo é obter códigos lineares de diversidade máxima com determinante mínimo grande. 40 Para o esquema de modulação M -QAM, em que M = 2m para um número inteiro positivo m. Vamos considerar que os m bits de informação são mapeados utilizando o código de Gray. Seja k o número de símbolos de informação QAM codificados, a eficiência espectral do sistema MIMO é ηs = k/T símbolos por uso de canal (spcu) ou η = km/T bits por uso de canal (bpcu). Definição 3.3.4 Chamamos um código de taxa máxima, se k = nrT . Para códigos de taxa máxima, temos que a eficiência espectral é ηs = n spcu ou η = nm bpcu, sendo n = nt = nr = T . As palavras-código são pontos que formam a constelação. A performance de uma constelação está relacionada com sua região delimitadora, assim, as palavras-código devem ser empacotadas de forma eficiente. Para otimizar a eficiência energética dos códigos, introduzimos uma restrição de modelagem, shaping, na constelação de sinais. Para realizar um shaping no formato da constelação, é necessário que uma matriz M unitária seja aplicada em um vetor de valores discretos contendo símbolos de informação QAM, gerando assim uma rotação na constelação. De modo a otimizar a eficiência energética, esta matriz M pode ser interpretada como pontos geradores de um reticulado, como definido em (2.4.2). Sendo que para símbolos QAM, obtemos o reticulado Zn cúbico e portanto, o formato da constelação é chamado de shaping cúbico. Na Seção 4.3 iremos mostrar como obter o formato de shaping cúbico utilizando álgebras cíclicas de divisão. Outra característica importante requerida é a de que ∆min 6= 0, ou seja, a propriedade de determi- nante diferente de zero (Non-Vanishing Determinant - NVD). Dessa forma o aumento no tamanho constelação não diminui ∆min, pois quando o determinante mínimo é igual a zero, o ganho geral é reduzido extremamente. Para atingir o trade-off de diversidade-multiplexação, é necessário que a propriedade de NVD seja satisfeita. Resumindo, os critérios de design para STBCs que estamos procurando são: • Código de bloco espaço-tempo linear com nt = nr = T . • Diversidade máxima e determinante mínimo grande, para aumentar a confiabilidade. • Taxa máxima, para maximar a eficiência espectral. • Constelação cúbica, para economizar energia média transmitida. • E determinante diferente de zero, para atingir um trade-off de diversidade-multiplexação. Nesse trabalho estamos interessados em códigos STBC com duas antenas transmissoras e duas antenas receptoras, ou seja, nt = nr = T = 2. Vamos considerar construções via álgebras cíclicas de divisão que garantem códigos com diversidade máxima, taxa máxima e determinante diferente de zero. Além disso, sob certas condições temos também a propriedade de constelação cúbica e um limitante inferior diferente de zero para o determinante mínimo. 41 4 STBC PARA MIMO 2× 2 VIA ÁLGEBRAS CÍCLICAS DE DIVISÃO Neste capítulo, iremos apresentar na Seção 4.1 a construção do código de Alamouti 2× 2 via a álgebra dos quatérnios de Hamilton H e depois, como uma generalização deste caso, apresentamos a construção mais geral de um STBC 2×2 a partir de álgebra de divisão cíclica sobre corpos de números. Na Seção 4.3, as condições para que códigos de bloco espaço-tempo sejam considerados perfeitos são apresentadas, para então na Subseção 4.3.1 apresentarmos a construção e propriedades do código de Ouro que é um exemplo de STBC 2× 2 perfeito e foco deste trabalho. As principais referências utilizadas neste capítulo foram [Alamouti 1998, BELFIORE J.-C.; Rekaya e Viterbo 2005, Oggier, Belfiore e Viterbo 2007, Tarokh, Jafarkhani e Calderbank 1999, Oggier et al. 2006]. 4.1 CÓDIGO DE ALAMOUTI VIA ÁLGEBRA DOS QUATÉRNIOS DE HAMILTON Seja H = (−1,−1)R a álgebra dos quatérnios de Hamilton definida em (2.3.6) e seja q = x0 + x1i+ x2j + x3k um elemento de H, onde i2 = −1, j2 = −1 e k = ij. Podemos escrever q da seguinte forma q = (x0 + x1i) + (x2j + x3ij) = (x0 + x1i) + (x2j − x3ji) = (x0 + x1i) + j(x2 − x3i) = αq + jβq, (4.1) onde αq = x0 + x1i ∈ C e βq = x2 − x3i ∈ C. Portanto, A é um espaço vetorial à direita sobre C, o que significa que escalares se multiplicam à direita, com base {1, j} em C e q = (αq, βq). O homomorfismo ϕ : H→MC(2) relaciona um elemento q da álgebra dos quatérnios de Hamilton H com uma matriz 2× 2 com coeficientes em C. Considerando MC(2) o espaço vetorial das matrizes 2× 2 com coeficientes em C e com base ϕ(1) = ( 1 0 0 1 ) , ϕ(i) = ( i 0 0 −i ) , ϕ(j) = ( 0 1 −1 0 ) , ϕ(k) = ( 0 i i 0 ) , (4.2) temos que ϕ : H → MC(2) q 7→ ϕ(x0 + x1i+ x2j + x3k) = x0ϕ(1) + x1ϕ(i) + x2ϕ(j) + x3ϕ(k) . (4.3) 42 E assim, x0 ( 1 0 0 1 ) + x1 ( i 0 0 −i ) + x2 ( 0 −1 1 0 ) + x3 ( 0 −i −i 0 ) = ( x0 + x1i −(x2 + x3i) x2 − x3i x0 − x1i ) . (4.4) Como αq = x0 + x1 e βq = x2 − x3i, obtemos a seguinte matriz( αq −β̄q βq ᾱq ) . (4.5) Dessa forma, o conjunto destas matrizes forma um código STBC 2× 2 C = { X = ( α −β̄ β ᾱ ) | α, β ∈ C } , (4.6) em que estas matrizes correspondem as palavras-código do Código de Alamouti como em (3.5). A diversidade máxima do código de Alamouti derivado da álgebra dos quatérnios de Hamilton como em (4.6) também é obtida pelo fato de H ser uma álgebra de divisão. Ou seja, se q = α + jβ ∈ H então X = ( α −β̄ β ᾱ ) ∈ C, (4.7) é uma palavra-código. Assim, det(X) = |α|2 + |β|2 = x20 + x21 + x22 + x23 = Nrd(q) 6= 0, (4.8) pois pelo Teorema 2.3.2, Nrd(q) = 0 se, e somente se, q = 0. 4.2 STBC 2× 2 VIA ÁLGEBRA DE DIVISÃO SOBRE CORPOS DE NÚMEROS Como apresentado na Seção 3.2, os códigos STBC são uma generalização dos códigos de Alamouti. Nas construções algébricas de códigos STBC, esta generalização segue de forma análoga. Assim como apresentamos na Seção 4.1 que o código de Alamouti pode ser derivado da álgebra dos quatérnios de Hamilton, nesta seção mostraremos que um código STBC geral para 2× 2 antenas pode ser derivado de uma álgebra dos quatérnios sobre um corpo de números K, ou analogamente por uma álgebra cíclica de divisão sobre uma extensão L/K de grau 2. O foco deste trabalho são álgebras cíclicas de divisão tal que o grau da extensão L/K é n = 2 porém de forma geral, códigos construídos a partir de álgebras cíclicas utilizando (2.4) são ditos de taxa máxima, pois transmitem n2 sinais que codificam n2 símbolos de informação. Seja A = (a, b)K uma álgebra dos quatérnios sobre um corpo de números K tal que Nrd(q) 6= 0 para todo q 6= 0, com q ∈ A. Ou seja, A é um álgebra cíclica de divisão. Podemos construir códigos de bloco espaço-tempo 2× 2 com diversidade máxima considerando um homomorfismo análogo ao apresentado em (4.3). Seja MK(2) o espaço vetorial das matrizes 2× 2 com coeficientes no corpo de números K e com base 43 ϕ(1) = ( 1 0 0 1 ) , ϕ(i) = (√ a 0 0 − √ a ) , ϕ(j) = ( 0 1 b 0 ) , ϕ(k) = ( 0 √ a b √ a 0 ) , (4.9) tem-se que ϕ : A → MK(2) q 7→ ϕ(x0 + x1i+ x2j + x3k) = ( x0 + x1 √ a x2 + x3 √ a b(x2 − x3 √ a) x0 − x1 √ a ) . (4.10) Logo, o conjunto das matrizes 2× 2 com coeficientes em K forma um código STBC 2× 2 C = { X = ( x0 + x1 √ a x2 + x3 √ a b (x2 − x3 √ a) x0 − x1 √ a ) ;x0, x1, x2, x3 ∈ OK } , (4.11) no qual b não é uma norma dos elementos de OK e det(X) 6= 0, para todo X 6= 0. Usualmente para termos símbolos QAM, utilizamos corpos de números do tipo K = Q(i) e então o anel dos inteiros sendo OK = Z[i]. Códigos de bloco espaço-tempo 2 × 2 conhecidos que utilizam essa estrutura são o código de Ouro que pode ser gerado pela álgebra dos quatérnios A = (5, i)Q(i) [BELFIORE J.-C.; Rekaya e Viterbo 2005], e o código de Prata que utiliza a álgebra A = (7, i)Q(i) [Hollanti et al. 2008]. Neste trabalho estamos interessados no código de Ouro, que será apresentado na Seção 4.3. Exemplo 4.2.1 Seja A = (−1,−1)K uma álgebra dos quatérnios sobre um corpo de números K = Q( √ 2). As palavras-código dos códigos de bloco espaço-tempo obtidos a partir de A = (−1,−1)K são X = ( x0 + x1i x2 + x3i − (x2 − x3i) x0 − x1i ) (4.12) no qual x0, x1, x2, x3 ∈ K = Q( √ 2). Observe que, xl = al + bl √ 2, l = 0, 1, 2, 3. (4.13) Então, x0 + x1i = (a0 + b0 √ 2) + (a1 + b1 √ 2)i = (a0 + a1i) + (b0 + b1i) √ 2 = y0 + y1 √ 2, (4.14) em que y0, y1 ∈ Q(i). Da mesma forma, x2 + x3i = y2 + y3 √ 2, (4.15) onde y2, y3 ∈ Q(i). Portanto, se tomarmos xl ∈ K então yl ∈ Z[i], para todo l = 0, 1, 2, 3. Assim, 44 temos um código de bloco espaço-tempo dado por C = { X = ( x0 + x1 √ 2 x2 + x3 √ 2 − ( x2 − x3 √ 2 ) x0 − x1 √ 2 ) ; x0, x1, x2, x3 ∈ Z[i] } (4.16) com diversidade máxima porque det(X) 6= 0, para todo X 6= 0. Agora considere uma álgebra cíclica de divisãoA = (L/K, σ, γ) sobre uma extensão L/K qualquer de grau 2, σ um monomorfismo de L/K e γ um elemento que não é uma norma de algum elemento de L. Assim, por (2.7), as palavras-código de um STBC para sistemas MIMO de 2 × 2 antenas, construídas a partir de álgebras cíclicas de divisão tem a seguinte forma: C = X = {( x0 γσ(x1) x1 σ(x0) )t | x0, x1 ∈ OL } . (4.17) Exemplo 4.2.2 Seja A = (L/K, σ, γ) uma álgebra cíclica de divisão, onde L = Q(i, √ 5), K = Q(i) e σ = a− b √ 5 como em (2.2.7). Então x0 = a0 + b0 √ 5, x1 = a1 + b1 √ 5, a0, a1, b0, b1 ∈ Q(i). (4.18) Dessa forma, tem-se C = {( a0 + b0 √ 5 γ(a1 − b1 √ 5) a1 + b1 √ 5 a0 − b0 √ 5 )t | a0, a1, b0, b1 ∈M−QAM } . (4.19) onde γ será escolhido a fim de otimizar o desempenho do código. Uma vez que símbolos QAM podem ser vistos como elementos de Q(i), eles pertencem a base do corpo K = Q(i). Então x0 e x1 codificam dois símbolos de informação QAM, a0, b0 e a1, b1, respectivamente. 4.3 CÓDIGOS DE BLOCO ESPAÇO-TEMPO PERFEITOS Nesta seção iremos definir um código de bloco espaço-tempo perfeito, utilizando as teorias algébricas estudadas no Capítulo 2 em conjunto com os critérios de análise do Capítulo 3. E então vamos apresentar um tipo de STBC perfeito, o código de Ouro, sua construção e características. Antes de apresentar o código de Ouro e suas propriedades, vamos definir o que é um Código de Bloco Espaço-Tempo STBC perfeito. Definição 4.3.1 Um STBC quadrado de nt × nt é dito perfeito se, e somente se: • For um código linear de taxa máxima, que utiliza n2 t símbolos de informação modulados QAM. • O determinante mínimo de um código infinito é diferente de zero, atendendo o critério de posto. • Formato de constelação cúbica, assim há uma otimização na eficiência energética. 45 • Energia média uniforme transmitida por antena, ou seja, todos os símbolos codificados possuem a mesma energia média. Para mostrar que um STBC satisfaz as condições da Definição 4.3.1, vamos considerar L = Q(θ) uma extensão quadrática de K = Q(i). Como apresentamos em (4.17), um STBC infinito C pode ser definido como o conjunto de matrizes da forma C = { X = ( x0 + x1θ x2 + x3θ γ(x2 − x3θ) x0 + x1θ ) ; x0, x1, x2, x3 ∈ Z[i] } , (4.20) onde γ é um elemento que não é uma norma em L. Temos inicialmente que C é um código linear se X1,X2 ∈ C então X1 + X2 ∈ C. O código finito C é obtido limitando os símbolos de informação x0, x1, x2, x3 ∈ S, onde assumimos que a constelação de sinal S sendo M −QAM , logo temos um código linear de taxa máxima. No Exemplo 4.2.2 apresentamos um código C desta forma tomando L = Q(i, √ 5) uma extensão quadrática de K = Q(i). A diversidade máxima é obtida se o código possuir a propriedade do determinante diferente de zero (NVD - Non-Vanishing Determinant). O determinante da diferença entre duas palavras-código é diferente de zero se | det(Xi −Xj)|2 6= 0, para Xi 6= Xj ∈ C. (4.21) Pela linearidade, essa expressão é simplificada para | det(X)|2 6= 0, para toda palavra-código X ∈ C diferente de zero . Como uma álgebra cíclica de divisão herda um conjunto estruturado de matrizes invertíveis, a diversidade máxima do STBC C é alcançada. Já o determinante mínimo de um STBC C, que maximiza a vantagem de codificação, é dado por ∆min(C) = min 0 6=X∈C | det(X)|2. (4.22) No determinante diferente de zero, temos um limite inferior no determinante mínimo que não depende do tamanho da constelação. A propriedade de informação sem perdas está relacionada com o shaping como apresentado na Seção 3.3. Códigos lineares associados a uma matriz unitária fornecem informações sem perdas. O formato da constelação cúbica de um STBC C construído a partir de uma álgebra cíclica de divisão, é uma propriedade obtida aplicando uma matriz unitária em um vetor de valores discretos, podendo ser interpretada como pontos geradores em um reticulado algébrico. Como estamos utilizando símbolos QAM, obtemos o reticulado cúbico Zn e portanto, a condição de shaping cúbico. A seguir, iremos apresentar o exemplo de um STBC, o chamado código de Ouro, que satisfaz todas as condições acima citadas e portanto é um STBC perfeito. 4.3.1 Código de Ouro Em [BELFIORE J.-C.; Rekaya e Viterbo 2005] os autores mostraram que o código de Ouro é um STBC 2× 2 perfeito, pois é um código de taxa e diversidade máximas, tem determinante diferente de zero (non-vanishing determinant) e é energeticamente eficiente (cubic shaping), o que está de acordo 46 com a Definição 4.3.1. Além disso, o código de ouro considerado o melhor STBC para sistemas MIMO com duas antenas transmissoras [OUERTANI et al. 2006]. A seguir iremos apresentar uma construção do código de ouro que possui tais características utilizando uma álgebra de divisão cíclica que está relacionada com o número de ouro θ = 1+ √ 5 2 , por isso o nome código de Ouro. Vamos considerar o corpo de números L = Q(i, √ 5) = {a+ bθ|a, b ∈ Q(i)}, (4.23) como uma extensão quadrática relativa de K = Q(i), com polinômio minimal p(X) = X2−X−1. As raízes deste polinômio minimal sobre K = Q(i) são θ = 1+ √ 5 2 e θ̄ = 1− θ = 1− √ 5 2 . O anel de inteiros de é OL = Z[i][θ], com base integral BL/K = {1, θ}. Agora, vamos considerar a extensão absoluta L/Q. Neste caso, L = {a+ bi+ cθ + diθ|a, b, c, d ∈ Q}, com base integral BL/Q = {1, i, θ, iθ}. A fim de garantir que a mesma energia média seja transmitida de cada antena em cada canal de uso, é necessário escolher γ tal que |γ| = 1 e que não seja uma norma de qualquer elemento de OL. Nessas condições, temos as seguintes opções γ = ±1 ou γ = ±i. Escolhemos γ = i, para satisfazer a condição de determinante diferente de zero (NVD). Assim, o código de Ouro será um STBC 2× 2 construído utilizando a álgebra de divisão cíclica A = (L/K, σ, i), em que σ(θ) = θ̄, ou equivalentemente, a álgebra dos quatérnios A = (5, i)K sobre K = Q(i). A = (5, i)Q(i) | 2 L = Q( √ 5, i) | 2 K = Q (i) | 2 Q Antes da análise do shaping, uma palavra-código do código STBC construído a partir desta álgebra tem a seguinte forma: X = ( x0 + x1θ x2 + x3θ i (x2 − x3θ) x0 − x1θ ) , (4.24) no qual θ = 1+ √ 5 2 e x0, x1, x2, x3 ∈ Z[i]. Neste momento, já temos um código linear de taxa máxima e de diversidade máxima pois det(X) 6= 0, para todo X 6= 0. Agora, vamos ver como adicionar a propriedade de shaping nas palavras-código construídas em (4.24). Para isso, iremos construir um reticulado complexo MZ[i]2, em que M deve ser uma matriz unitária complexa para que não haja perda no formato da constelação do sinal. Equivalente a esse reticulado, é um Z4-reticulado rotacionado que denotaremos por Λ′, ou seja, uma rotação do reticulado RZ4, em que R é uma matriz ortogonal obtida de um ideal de OL. Temos por (2.28) que det(Λ) = |NK/L(α)|2|dQ( √ 5)| = 5|NK/L(α)|2, (4.25) 47 Procuramos, portanto, por um elemento α ∈ L tal que |NL/K(α)|2 = 5. A fim de encontrar tal elemento, olhamos para a fatoração de 5 em OL 5OL = (1 + i− iθ)2(1− i+ iθ)2, (4.26) em que θ = 1+ √ 5 2 . Assim, escolhemos α = 1 + i− iθ. (4.27) Vamos verificar se de fato obtivemos o reticulado correto. Por (2.26) sua matriz geradora é dada por M = ( α αθ σ(α) σ(αθ) ) = ( 1 + i(1− θ) θ − i 1 + i(1− θ̄) θ̄ − i ) (4.28) Um cálculo direto mostra que MMt = 5I2. Assim, 1√ 5 M é uma matriz unitária, que nos fornece a propriedade de shaping. A palavra-código X pertencente ao código de Ouro tem assim, adicionando a propriedade de shaping, a forma: X = 1√ 5 ( α(x0 + x1θ) α(x2 + x3θ) iσ(α) (x2 − x3σ(θ)) σ(α)(x0 − x1σ(θ)) ) , (4.29) em que θ = 1+ √ 5 2 e x0, x1, x2, x3 são símbolos QAM. Por fim, vamos calcular o determinante e o determinante mínimo do código de Ouro. Uma vez que ασ(α) = 2 + i, (4.30) temos det(X) = 2 + i 5 [(x0 + x1θ)(x0 + x1σ2(θ))− i(x2 + x3θ)(x2 + x3σ2(θ))] = 1 2− i [x20 + x0x1 − x21 − i(x22 + x2x3 − x23)] 6= 0, (4.31) para todo x0, x1, x2, x3 não todos nulos. Como o valor mínimo de [x20 +x0x1−x21− i(x22 +x2x3−x23)] é 1, segue que ∆min(C) ≥ min 06=X∈C | det(X)|2 = 1 5 . (4.32) Resumindo, o código de Ouro é um código perfeito, pois possui: • Diversidade máxima: nt · nr = 2 · 2 = 4 canais independentes que podem ser explorados. • Taxa máxima: o número de sinais transmitidos corresponde ao número de símbolos de informa- ção a serem enviados. 48 • Determinante diferente de zero e determinante mínimo limitado inferiormente por 1 5 independente do tamanho da constelação M -QAM. • Formato (shaping) cúbico: matriz M complexa unitária, a fim de otimizar a eficiência energética. • Energia média uniforme transmitida por antena: todos os símbolos codificados na matriz X da palavra-código têm a mesma energia média uma vez que |i|2 = 1. 49 5 RESULTADOS E DISCUSSÃO Neste capítulo, iremos apresentar os resultados obtidos das simulações realizadas no software MATLAB. A princípio, vamos realizar na Seção 5.1 as simulações do código de Alamouti para sistemas de duas antenas de transmissão e uma de recepção (2× 1) e para duas antenas de transmissão e duas de recepção (2× 2). Em seguida, na Seção 5.2, vamos realizar as simulações para o código de Ouro para duas antenas de transmissão e duas de recepção (2 × 2). O foco das simulações é analisar o desempenho de cada um dos códigos citados através da relação da taxa de erro de símbolo (Symbol Error Rate - SER) pela relação sinal ruído (Signal-to-Noise Ratio - SNR). Além disso, iremos fazer uma comparação entre os dois códigos para analisar desempenho de ambos para modulações M -QAM de ordens diferentes. Para realizar as simulações, foi empregado o método de Monte Carlo que é baseado na seleção de número aleatórios [Jacoboni e Lugli 2011]. Nesse método, a mesma rotina de caráter aleatório é simulada por um número elevado de vezes com o objetivo de descobrir o comportamento do sistema e assim obter um resultado numérico aproximado, podemos dizer que quanto maior o número de repetições mais preciso será o resultado. As rotinas foram simuladas 106 vezes devido a capacidade da memória RAM do computador utilizado, no entanto, para obter curvas mais suaves com menos erros de ponto flutuante, seria necessário aumentar o número de simulações de Monte Carlo. As rotinas do código de Alamouti e do código Ouro geram N símbolos de inteiros (de 1 até M − 1) aleatórios uniformemente distribuídos que são modulados utilizando o esquema M -QAM, estes símbolos modulados são codificados e enviados, passando por um canal de desvanecimento Rayleigh com ruído do tipo AWGN, ambos utilizando números aleatórios normalmente distribuídos. O sinal recebido é demodulado e decodificado por um decodificador de máxima verossimilhança (ML - Maximum Likelihood) de força bruta. 5.1 SIMULAÇÕES DO CÓDIGO DE ALAMOUTI O código de Alamouti foi o código que deu origem aos STBCs. Este esquema de codificação, para um sistema 2× 1, possibilita obter diversidade máxima sem penalizar a taxa de dados. Na Seção 3.2.1 o código de Alamouti 2 × 1 e 2 × 2 foi estudado com mais detalhes. E como visto na Seção 4.1, o código de Alamouti 2× 2 também pode ser apresentado a partir da álgebra dos quatérnios de Hamilton H. Nos esquemas 2× 1, os sinais são transmitidos conforme a Figura 7. A palavra-código X, dada pela Equação 3.5, é transmitida pelo canal de desvanecimento Rayleigh quase-estático e plano. Nesse esquema temos dois canais cujos coeficientes seguem a distribuição de Rayleigh, onde tal distribuição pode ser relacionada com a distribuição gaussiana através de duas variáveis aleatórias independentes normalmente distribuídas a ∼ N (0, 1) e b ∼ N (0, 1), assim temos que a variável aleatória distribuída de Rayleigh é h = a + ib [Fletcher]. Ao chegar no receptor, os sinais recebidos, obtidos na Equação 3.7, passam pelo combinador e pelo estimador de canal, dessa forma obtemos os sinais dados pela Equação 3.12, que então são enviados ao 50 decodificador ML. Figura 7 – Esquema de transmissão para sistema com uma antena receptora. Fonte: Próprio autor. O mesmo ocorre para os esquemas 2×2, como pode ser visto na Figura 8. A mesma palavra-código é transmitida, nesse caso, temos quatro canais cujos coeficientes seguem a distribuição de Rayleigh, isto é, h = a + ib, em que a e b são variáveis aleatórias gaussianas de média zero e variância unitária. Os sinais recebidos, conforme Equação 3.13, passam também pelo combinador e pelo estimador de canal, e assim obtemos os sinais da Equação 3.18 que são enviados para o decodificador ML. Figura 8 – Esquema de transmissão para sistema com duas antenas receptoras. Fonte: Próprio autor. A Figura 9 apresenta o fluxograma da rotina implementada no MATLAB para a simulação do código de Alamouti, tanto no esquema 2× 1 quanto no esquema 2× 2. 51 Figura 9 – Fluxograma da rotina de simulação do código de Alamouti com modulações M -QAM. Geração de N símbolos utilizando inteiros (de 1 até M-1) aleatórios uniformemente distribuídos Modulação M-QAM dos símbolos gerados Geração da matriz dos símbolos a serem transmitidos: x0 -x1 x1 x0 X = É obtida a matriz Y dos símbolos recebidos conforme Equação (3.7) (esquema 2x1) e Equação (3.13) (esquema 2x2) [ ] Início da Simulação Geração da matriz H do canal de desvanecimento Rayleigh com coeficientes: h = a + ib, sendo a e b gerados usando números aleatórios de distribuição normal padrão Esses sinais são demodulados e passam pelo decodificador ML É calculada a taxa de erro de símbolo Gráfico da SER versus SNR é obtido Fim da Simulação Matriz X das palavras- código são enviadas pelo canal de desvanecimento Rayleigh com ruído AWGN Geração da matriz Z do ruído AWGN utilizando números aleatórios normalmente distribuídos Os símbolos recebidos passam pelo estimador de canal e combinador, e assim obtemos os sinais da Equação (3.12) (esquema 2x1) e Equação (3.18) (esquema 2x2) Fonte: Próprio autor. As simulações foram realizadas para os códigos de Alamouti 2× 1 e 2× 2 para modulações 4, 16, 64 e 256-QAM com uma SNR de 0 a 35 dB. Em cada simulação foi considerada a energia média da constelação respectiva de cada ordem de modulação M -QAM, podemos calcular essa energia para constelações quadradas pela equação a seguir [Kamalov 2016] EM−QAM = (M − 1) 6 d2min (5.1) 52 Considerando que a distância Euclidiana dmin = 2, temos a energia média das constelações 4, 16, 64 e 256-QAM apresentadas na Tabela 4. Tabela 4 – Energia média da constelação M -QAM. M EM−QAM 4 2 16 10 64 42 256 170 Como temos duas antenas transmissoras, foi utilizado nas simulações o dobro da energia EM−QAM para cada M -QAM. A Figura 10 apresenta as curvas da simulação do código de Alamouti 2 × 1, a Figura 11 apresenta as curvas da simulação do código de Alamouti 2× 2 e a Figura 12 apresenta uma comparação entre as curva das simulações anteriores. Figura 10 – Simulação da SER do código de Alamouti 2× 1 com modulações 4, 16, 64 e 256-QAM. 0 5 10 15 20 25 30 35 Relação Sinal Ruído (SNR) [dB] 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 T ax a de E rr o de S ím bo lo ( SE R ) sim 4-QAM sim 16-QAM sim 64-QAM sim 256-QAM Fonte: Próprio autor. É possível observar que conforme aumentamos a modulação maior é a taxa de erro de símbolo, ou seja, quanto mais aumentamos a ordem da modulação mais energia é necessária para alcançar uma dada SER [Mindaudu e Miyim 2012]. Isso se deve ao fato que cada modulação M -QAM tem uma energia média da constelação utilizada para transmissão. 53 Figura 11 – Simulação da SER do código de Alamouti 2× 2 com modulações 4, 16, 64 e 256-QAM. 0 5 10 15 20 25 30 35 Relação Sinal Ruído (SNR) [dB] 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 T ax a de E rr o de S ím bo lo ( SE R ) sim 4-QAM sim 16-QAM sim 64-QAM sim 256-QAM Fonte: Próprio autor. Pela Figura 12 vemos que para mesma ordem de modulação, o caso 2× 2 possui uma melhor taxa de erro de símbolo em comparação ao caso 2× 1. Para ser obter uma taxa de erro de símbolo de 10−4, em uma modulação 4-QAM, é necessária uma SNR de 14 dB para o caso 2× 2, já para o caso 2× 1 é necessária uma SNR de 24 dB. Essa diferença ocorre pela aumento do número de antenas receptoras, para o caso 2 × 1 temos apenas dois canais independentes, já para o caso 2× 2 temos quatro canais independentes, é possível observar este fato pela Figura 7 e Figura 8. Isso aumenta a ordem de diversidade de 2nr [Alamouti 1998], isto é, para o esquema 2× 1 temos uma diversidade de 2 e para esquema o 2× 2 temos uma diversidade de 4. 54 Figura 12 – Simulação da SER do código de Alamouti 2× 1 e 2× 2 com modulações M -QAM. 0 5 10 15 20 25 30 35 Relação Sinal Ruído (SNR) [dB] 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 T ax a de E rr o de S ím bo lo ( SE R ) sim 4-QAM 2x1 sim 16-QAM 2x1 sim 64-QAM 2x1 sim 256-QAM 2x1 sim 4-QAM 2x2 sim 16-QAM 2x2 sim 64-QAM 2x2 sim 256-QAM 2x2 Fonte: Próprio autor. 5.2 SIMULAÇÕES DO CÓDIGO DE OURO O código de Ouro é um código de bloco espaço-tempo de dispersão linear construído a partir de álgebras de divisão cíclica e está relacionado com o número de Ouro θ = 1+ √ 5 2 [BELFIORE J.-C.; Rekaya e Viterbo 2005]. Na Seção 4.3, apresentamos a definição de STBC perfeito e depois construímos o código de Ouro via álgebra de divisão cíclica. Essa estrutura algébrica proporciona as principais características de um código perfeito: taxa máxima, posto máximo, diversidade máxima, determinante diferente de zero e shaping cúbico. Tais características são critérios importantes para a eficiência do código, como já explorado na Seção 3.3. Como visto na Seção 4.3, o código de Ouro é construído utilizando uma álgebra de divisão cíclica do tipo A = (L/K = Q(i, √ 5)/Q(i), σ, γ), (5.2) com σ : √ 5 7→ − √ 5 e γ = i. Com a matriz da palavra-código X dada pela Equação 4.29, temos que θ = 1+ √ 5 2 (número de 55 Ouro), σ(θ) = 1− √ 5 2 , α = 1 + iσ(θ) e σ(α) = 1 + iθ. Podemos reescrever a matriz da palavra-código usando as relações de θσ(θ) = −1 e θ + σ(θ) = 1, assim temos X = 1√ 5 [ [1 + iσ(θ)]x0 + [θ − i]x1 [1 + iσ(θ)]x2 + [θ − i]x3 [i− θ]x2 + [1 + iσ(θ)]x3 [1 + iθ]x0 + [σ(θ)− i]x1 ] . (5.3) Dessa forma, podemos remodelar X, empilhando a matriz coluna a coluna, para obter uma matriz 4× 1: X = 1√ 5  [1 + iσ(θ)]x0 + [θ − i]x1 [i− θ]x2 + [1 + iσ(θ)]x3 [1 + iσ(θ)]x2 + [θ − i]x3 [1 + iθ]x0 + [σ(θ)− i]x1  . (5.4) Agora, pegamos a matriz que foi remodelada e separamos a parte real da parte imaginária, obtendo uma matriz de tamanho 8× 1: X = 1√ 5  Re(x0)− σ(θ)Im(x0) + θRe(x1) + Im(x1) σ(θ)Re(x0) + Im(x0)− Re(x1) + θIm(x1) −θRe(x2)− Im(x2) + Re(x3)− σ(θ)Im(x3) Re(x2)− θIm(x2) + σ(θ)Re(x3) + Im(x3) Re(x2)− σ(θ)Im(x2) + θRe(x3) + Im(x3) σ(θ)Re(x2) + Im(x2)− Re(x3) + θIm(x3) Re(x0)− θIm(x0) + σ(θ)Re(x1) + Im(x1) θRe(x0) + Im(x0)− Re(x1) + σ(θ)Im(x1)  , (5.5) que pode ser reescrita como X = 1√ 5  1 −σ(θ) θ 1 0 0 0 0 σ(θ) 1 −1 θ 0 0 0 0 0 0 0 0 −θ −1 1 σ(θ) 0 0 0 0 1 −θ σ(θ) 1 0 0 0 0 1 −σ(θ) θ 1 0 0 0 0 σ(θ) 1 −1 θ 1 −θ σ(θ) 1 0 0 0 0 θ 1 −1 σ(θ) 0 0 0 0  ·  Re(x0) Im(x0) Re(x1) Im(x1) Re(x2) Im(x2) Re(x3) Im(x3)  . (5.6) 56 E assim, podemos dizer que X = MF, em que M = 1√ 5  1 −σ(θ) θ 1 0 0 0 0 σ(θ) 1 −1 θ 0 0 0 0 0 0 0 0 −θ −1 1 σ(θ) 0 0 0 0 1 −θ σ(θ) 1 0 0 0 0 1 −σ(θ) θ 1 0 0 0 0 σ(θ) 1 −1 θ 1 −θ σ(θ) 1 0 0 0 0 θ 1 −1 σ(θ) 0 0 0 0  e F =  Re(x0) Im(x0) Re(x1) Im(x1) Re(x2) Im(x2) Re(x3) Im(x3)  , (5.7) sendo M a matriz geradora do código de Ouro e F a matriz que contém as partes real e imaginária dos símbolos modulados. Para a simulação do código de Ouro 2× 2, a matriz X é transmitida pelo canal H, e assim temos que a matriz do sinal recebido é Y = HX + Z, sendo que a matriz H pode ser expandida para uma matriz 8× 8 com valores reais, como se segue H =  Re(h00) −Im(h00) Re(h10) −Im(h10) 0 0 0 0 Im(h00) Re(h00) Im(h10) Re(h10) 0 0 0 0 Re(h01) −Im(h01) Re(h11) −Im(h11) 0 0 0 0 Im(h01) Re(h01) Im(h11) Re(h11) 0 0 0 0 0 0 0 0 Re(h00) −Im(h00) Re(h10) −Im(h10) 0 0 0 0 Im(h00) Re(h00) Im(h10) Re(h10) 0 0 0 0 Re(h01) −Im(h01) Re(h11) −Im(h11) 0 0 0 0 Im(h01) Re(h01) Im(h11) Re(h11)  (5.8) E assim, a matriz X = MF, então a matriz do sinal recebido se torna Y = HMF + Z. A Figura 13 apresenta o fluxograma da rotina implementada no MATLAB para a simulação do código de Ouro 2× 2. As simulações foram realizadas para o código de Ouro 2× 2 para modulação 4-QAM em compara- ção ao código de Alamouti para modulações 4 e 16-QAM com uma SNR de 0 a 20 dB. Assim como nas simulações anteriores, foi considerada a energia média da constelação respectiva de cada ordem de modulação M -QAM, calculada utilizando a Equação 5.1. Porém, por se tratar de um STBC perfeito e ter uma constelação de formato cúbico, foi considerada a distância Euclidiana dmin = 1, então temos a energia média da constelação 4-QAM é dada por E4−QAM = (M − 1) 6 d2min = (4− 1) 6 12 = 0, 5. (5.9) E por temos duas antenas transmissoras, foi utilizado nas simulações o dobro da energia (EM−QAM ). 57 Figura 13 – Fluxograma da rotina de simulação do código de Ouro com modulações M -QAM. Início da Simulação Geração da matriz H do canal de desvanecimento Rayleigh com coeficientes: h = a + ib, sendo a e b gerados usando números aleatórios de distribuição normal padrão É obtido a matriz Y dos símbolos recebidos: Y = HMF + Z Os símbolos recebidos são demodulados e passam pelo decodificador ML É calculada a taxa de erro de símbolo Gráfico da SER versus SNR é obtido Fim da Simulação Matriz X das palavras- código são enviadas pelo canal de desvanecimento Rayleigh com ruído AWGN Matriz H é obtida conforme Equação (5.8) Construção da matriz M geradora de tamanho 8x8, conforme Equação (5.7) Geração de N símbolos de inteiros (de 1 até M-1) aleatórios uniformemente distribuídos Geração da matriz dos símbolos a serem transmitidos X = MF, conforme Equação (5.6) Geração da matriz F que contém as partes real e imaginária dos símbolos modulados, conforme Equação (5.7) Modulação M-QAM dos símbolos gerados Geração da matriz Z do ruído AWGN utilizando números aleatórios normalmente distribuídos Fonte: Próprio autor. A seguir, a Figura 14 apresenta as curvas da simulação do código de Ouro 2× 2 em comparação com o código de Alamouti 2× 2, ambos utilizando a modulação 4-QAM. 58 Figura 14 – Simulação da SER do código de Alamouti e do código de Ouro 2 × 2 com modulação 4-QAM. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Relação Sinal Ruído (SNR) [dB] 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 T ax a de E rr o de S ím bo lo ( SE R ) sim Código de Ouro (4-QAM) sim Código de Alamouti (4-QAM) Fonte: Próprio autor. Podemos notar, exclusivamente pelas curvas, que o código de Ouro tem um desempenho levemente superior ao de Alamouti. No entanto, temos que levar em consideração que o código de Ouro consegue esse resultado utilizando apenas 1 4 da energia média que o Alamouti gasta. O código de Ouro transmite 4 símbolos modulados por 4-QAM, ou seja, cada símbolo envia 2 bits, com um total de 8 bits de informação sendo enviados com apenas 1 4 da energia média que o Alamouti utiliza para enviar 2 símbolos modulados por 4-QAM, isto é, apenas 4 bits de informação. Com essa análise, vemos que o código de Ouro tem uma performance muito elevada, já que tem o dobro da eficiência espectral com somente 1 4 da energia média, em relação ao código de Alamouti. A Figura 15 apresenta as curvas das simulações do código de Ouro 2× 2 com modulação 4-QAM em comparação com o código de Alamouti 2× 2 com modulação 16-QAM. 59 Figura 15 – Simulação da SER do código de Alamouti e do código de Ouro 2× 2 com modulações M -QAM. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Relação Sinal Ruído (SNR) [dB] 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 100 T ax a de E rr o de S ím bo lo ( SE R ) sim Código de Ouro (4-QAM) sim Código de Alamouti (16-QAM) Fonte: Próprio autor. Por ser tratar de modulações de ordens diferentes, a princípio essa comparação pode não parecer justa, já que modulações de ordem superior necessitam de mais energia para transmissão. Porém, comparando a palavra-código X (Equação 4.29) pertencente ao código de Ouro com a do código de Alamouti (Equação 3.5), vemos que no caso do Alamouti há a transmissão de 2 símbolos modulados por vez, enquanto no caso do código de Ouro há a transmissão de 4 símbolos modulados por vez, ou seja, 8 bits de informação são transmitidos em ambos os casos. Portanto, é necessário o uso de modulações de ordem diferente a fim de obter a mesma eficiência espectral para os dois códigos. Dessa forma, no caso do código de Ouro temos a mesma quantidade de bits sendo enviados com apenas 1 20 da energia utilizada por Alamouti, ou seja, o esquema de Alamouti necessita de 20 vezes mais energia. Por isso essa diferença nas curvas de desempenho, para uma SER de aproximadamente 10−3, é necessário uma SNR de mais ou menos 11 dB para o código de Ouro, ao mesmo tempo que o código de Alamouti necessita de cerca de 19 dB. 60 6 CONCLUSÃO Neste trabalho, realizamos um estudo e analisamos o desempenho de códigos de bloco espaço- tempo em canais MIMO 2 × 2, com foco especial no código de Alamouti e no código de Ouro construídos utilizando álgebras de divisão cíclicas. Para isso estudamos alguns conceitos algébricos necessários para a construção dos STBCs via álgebras de divisão cíclicas, como teoria algébrica dos números, reticulados, estruturas algébricas, entre outros. Após isso, estudamos os canais do tipo MIMO, os códigos de bloco espaço-tempo, focando no código de Alamouti, e por fim, estudamos um pouco sobre os critérios necessários que um STBC deve ter para ser considerado eficiente. A partir destes estudos, apresentamos as construções do código de Alamouti via álgebra dos quatérnios de Hamilton e de STBC’s 2× 2 via álgebra cíclicas de divisão sobre corpos de números, e então falamos sobre códigos de bloco espaço-tempo perfeitos e a construção do código de Ouro. Para finalizar, apresentamos os resultados e uma análise das simulações realizadas para os códigos de Alamouti e de Ouro. No código de Alamouti, os dados a serem enviados são codificados no espaço e no tempo, pois os símbolos são transmitidos em períodos diferentes e por antenas diferentes. É um STBC com decodificação por ML de baixa complexidade, graças a sua propriedade de ortogonalidade. Para um esquema MISO 2× 1, consegue ser um código de diversidade e taxa máximas quando os símbolos pertencem a uma constelação complexa. Para casos MIMO 2 × nr, sempre oferece um código de diversidade máxima, mas não de taxa máxima. No caso específico de um esquema MIMO 2× 2, temos um código de taxa meia, dado que transmite apenas dois símbolos durante dois períodos de uso de canal em duas antenas. os STBCs ortogonais não atingem taxa máxima devido a sua propriedade de ortogonalidade. Então, para se obter todas as características de um STBC eficiente, temos os códigos de bloco espaço-tempo perfeitos. Um exemplo de STBC perfeito construído a partir de álgebras de divisão cíclica, para canais MIMO 2× 2, é o código de Ouro. Esse código é de taxa e diversidade máximas, possui determinante diferente de zero (non-vanishing determinant) e energeticamente eficiente, por conta da constelação no formato cúbico (cubic shaping). Para analisar o desempenho dos códigos de Alamouti e de Ouro, realizamos simulações computaci- onais no software MATLAB. Nessas simulações, consideramos que o receptor fosse coerente, ou seja, CSI perfeito, em um canal MIMO 2× 2 de desvanecimento Rayleigh quase-estático e plano com ruído AWGN. A performance dos códigos foi analisada através das curvas da taxa de erro de símbolo (SER) versus a relação sinal-ruído (SNR) para diferentes ordens de modulação M -QAM. Com os resultados obtidos, podemos concluir que o código de Ouro possui o desempenho superior comparado ao código de Alamouti. Na simulação realizada com modulação 4-QAM, o código de Ouro tem o dobro da eficiência espectral com apenas 1 4 da energia média de transmissão, em relação ao código de Alamouti. Isso ocorre pois o código de Alamouti é de meia taxa, diferente do de Ouro que é de taxa máxima, implicando na transmissão de 8 bits de informação para o código de Ouro, enquanto o de Alamouti transmite 4 bits de informação. E na simulação feita com modulações de 61 ordens diferentes, 4-QAM no de Ouro e 16-QAM no de Alamouti, temos a mesma eficiência espectral para ambos. No entanto, o código de Alamouti necessita de 20 vezes da energia utilizada pelo de Ouro para transmitir a m