Danilo Cardoso Ferreira

ELABORAÇÃO DE UM MATERIAL DIDÁTICO APLICADO
AO ENSINO DE FÍSICA PARA UTILIZAÇÃO DO
EXPERIMENTO VIRTUAL DA DUPLA FENDA

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
Graduação em Ensino de Física da Faculdade
de Ciências e Tecnologias da Universidade Esta-
dual Paulista, Campus Presidente Prudente, no
Curso de Mestrado Profissional de Ensino de Fí-
sica (MNPEF), como parte dos requisitos neces-
sários à obtenção do título de Mestre em Ensino
de Física.

Presidente Prudente/SP
Dezembro de 2015



 
 

 



 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

FICHA CATALOGRÁFICA 

 
  

Ferreira, Danilo Cardoso. 

F44e Elaboração de um Material Didático Aplicado ao Ensino de Física para 

Utilização do Experimento Virtual da Dupla Fenda / Danilo Cardoso Ferreira. 

- Presidente Prudente: [s.n], 2015  

 143 f.  

  

 Orientador: Moacir Pereira de Souza Filho 

 Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista, Faculdade de 

Ciências e Tecnologia 

 Inclui bibliografia 

  

 1. Ensino de mecânica quântica. 2. Experimento da dupla fenda. 3. 

Experimentos virtuais. I. Ferreira, Danilo Cardoso. II. Souza Filho, Moacir 

Pereira de . III. Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Ciências e 

Tecnologia. IV. Elaboração de um Material Didático Aplicado ao Ensino de 

Física para Utilização do Experimento Virtual da Dupla Fenda. 

  

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 



Dedico esta dissertação a minha esposa Mi-
chelle de Souza Prado a qual prometi dentro
do sacramento do matrimônio “Eu derramo
o meu sangue, mas não desisto de você”.



Agradecimentos

Agradeço a Deus Pai por ter me concedido o dom da vida. Mais do que isto, o Senhor
me concedeu os dons do Espírito Santo pois sou herdeiro de Seu Filho, o Cristo. Ao meu
bom Senhor Jesus Cristo agradeço por ter deixado que eu depositasse em Seu Coração
Santo todas as angústias, tristezas e momentos de desespero. Ainda agradeço ao Espírito
Santo e ao meu Anjo da Guarda, pois em nenhum momento, não me deixaram sozinho.

Agradeço a intercessão da Sagrada Família. Ao menino Jesus que sempre passeia pela
minha casa, a minha Mãe Maria Santíssima a quem sou consagrado e São José, meu
exemplo de como se comportar e pensar como esposo e pai.

A minha esposa, Michelle de Souza Prado, agradeço por sua dedicação e apoio em todo
o desenvolvimento deste trabalho. Mesmo cansada, para que eu não viajasse sozinho, me
acompanhava e acompanha. Agradeço pela paciência em inúmeras viagens exaustivas,
me esperando longas horas durante disciplinas e reuniões, sempre cuidando de mim. E
também por aceitar a jornada de ser uma só carne e se unir em um só espírito comigo.
Michelle, eu te amo.

Ao meu orientador, o prof. Moacir Pereira de Souza Filho, agradeço por ter aceitado
me orientar. Pela paciência e dedicação em inúmeras correções. E também por ser um
exemplo de educação, respeito e ética.

Agradeço ao meu sogro Sr. Miguel e a minha sogra Dona Vilma pelo carinho e apoio.
Agradeço a Capes pelo apoio financeiro e a Sociedade Brasileira de Física pelo desen-

volvimento deste projeto especial denominado MNPEF.
Não posso deixar de agradecer à secretaria de pós – graduação pela paciência, orien-

tação e agilidade em atender com presteza e respeito.
Agradeço ao meu avô, José Ferreira (in memorian) que infelizmente não pode par-

ticipar da celebração do meu matrimônio e nem pode me ver defendendo este título.
Obrigado vô por ter acreditado em mim. Agradeço ao meu tio Rodnei (in memorian).

Ao Instituto Federal do Paraná (IFPR) agradeço pelo afastamento neste último pe-
ríodo de estudo.

Agradeço a todos os professores que lecionaram disciplinas no MNPEF e se dedicaram
para este projeto ser excelência.

Consagro este trabalho ao Sagrado Coração de Jesus, ao Coração Imaculado da Virgem
Maria e a São José, rogando que o abençoe.



“Porém, ainda que a fé esteja acima da ra-
zão, não poderá jamais haver verdadeira de-
sarmonia entre uma e outra, porquanto o
mesmo Deus que revela os mistérios e in-
funde a fé dotou o espírito humano da luz
da razão; e Deus não poderia negar-se a si
mesmo, nem a verdade jamais contradizer
a verdade”. “Portanto, se a pesquisa metó-
dica, em todas as ciências, proceder de ma-
neira verdadeiramente científica, segundo as
leis morais, na realidade nunca será oposta a
fé”.
(Catecismo da Igreja Católica, §159)



RESUMO

ELABORAÇÃO DE UM MATERIAL DIDÁTICO APLICADO AO
ENSINO DE FÍSICA PARA UTILIZAÇÃO DO EXPERIMENTO

VIRTUAL DA DUPLA FENDA

Danilo Cardoso Ferreira

Orientador:

Prof. Dr. Moacir Pereira de Souza Filho

Dissertação de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Fí-
sica da Faculdade de Ciências e Tecnologias da Universidade Estadual Paulista, Campus
Presidente Prudente, no Curso de Mestrado Profissional de Ensino de Física (MNPEF),
como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Ensino de Física.

A mecânica quântica é uma das áreas da Física que surgiu em meados de 1900 e
permanece em desenvolvimento até os dias atuais. Diversos aparatos tecnológicos são
consequência deste importante ramo da Física que também contribui com a Medicina,
Matemática, Filosofia, Literatura e Biologia. Logo, é imprescindível que o contato com
esta ciência ocorra no contexto do ensino médio. Para inserir o estudante no mundo da
mecânica quântica, isto é, na física do infinitamente pequeno, o aluno deve abandonar
o pensamento clássico e pensar em termos do comportamento quântico e do indetermi-
nismo no processo de medida, isto é, desenvolver a capacidade de abstração. Sendo este,
o objetivo deste trabalho. Para tanto, foi escolhido o experimento da dupla fenda que
permite trabalhar com a dualidade onda-partícula do elétron e do fóton. Por meio deste
experimento, o aluno pode ser inserido paulatinamente numa trajetória rumo a descrição
quântica necessária para o exame dos fenômenos subatômicos. A análise experimental
é cuidadosamente realizada com o auxílio de laboratórios virtuais, disponibilizados gra-
tuitamente em sítios eletrônicos, os quais representam um recurso que permite realizar
procedimentos experimentais que necessitariam de grande aparato laboratorial. O expe-
rimento da dupla fenda é analisado em três etapas, relatadas a seguir: (i) a dupla fenda
com partículas clássicas; (ii) a dupla fenda com ondas clássicas e; (iii) a dupla fenda com
objetos quânticos como elétrons e fótons. O objetivo é demonstrar o comportamento dual
do elétron. Posteriormente, para concluir de forma precisa e justificar o comportamento
quântico do elétron é apresentado o princípio da indeterminação de Heisenberg e suas
implicações filosóficas. Sendo assim, o objetivo central desta pesquisa é buscar integrar
o comportamento quântico, que acontece na escala atômica, principalmente no contexto
do ensino médio. Algumas orientações sobre como aplicar este trabalho em outros níveis



de ensino aparecem no decorrer do texto e nos apêndices. Apresentando o comporta-
mento dual, onda–partícula, do elétron, a interpretação probabilística e o princípio de
incerteza. Acreditamos que o aluno será capaz de compreender um grande número de
fenômenos que acontece em escalas que não são do domínio da mecânica clássica quando,
em contato com estes temas. Este tema faz parte do conteúdo de física moderna contem-
porânea que vem sendo abordado em livros textos e vestibulares. Além disso, algumas
das novas tecnologias utilizam a física quântica, desde microscópios eletrônicos, nanotec-
nologia, computação quântica, semicondutores, diodos (incluindo o LED), transistores,
computadores, tablets, GPS, satélites, radares, aviões, lasers, scanners de código de bar-
ras, sistemas militares de defesa, CD e Blu-Ray players, criptografia, células fotoelétricas,
sensores diversos, basicamente, tudo que é eletrônico. Um dos objetivos do trabalho é
verificar quais os conhecimentos prévios o corpo discente possui, antes do contato com o
conteúdo de física quântica, ou seja, o que faz parte do senso comum sobre este tema.
Além disso, pretendemos verificar se o aluno consegue: i) distinguir, no final da aplicação
desta pesquisa, que as leis da física em escalas atômicas são diferentes das leis da física
clássica, ii) a importância da mecânica quântica na tecnologia e na sociedade.

Palavras chave: Ensino de mecânica quântica, Experimento da dupla fenda, Expe-
rimentos virtuais.

Presidente Prudente/SP
Dezembro de 2015



ABSTRACT

PREPARATION OF A DIDACTIC MATERIAL TO THE PHYSICAL
EDUCATION FOR USE OF VIRTUAL EXPERIMENT OF DOUBLE-SLIT

Danilo Cardoso Ferreira

Supervisor:

Prof. Dr. Moacir Pereira de Souza Filho

Master’s dissertation submitted to the Post-Graduate Program in Physical Education,
Faculty of Science and Technology of the Universidade Estadual Paulista, Campus Pre-
sidente Prudente, in the Course of Professional Master of Physical Education (MNPEF)
as part of the requirements for obtaining the Master’s degree in Physics Teaching.

Quantum mechanics is one of the areas of physics that emerged in mid-1900 and re-
mains in development to the current day. Several technological devices are a result of this
important branch of physics that also helps to Medicine, Mathematics, Philosophy, Litera-
ture and Biology. Therefore, it is essential that contact with this science occurs at the high
school level, what actually occurs in a limited way, when it happens. To place the student
in the world of quantum mechanics, that is, the infinitely small of physics, the student
must leave the classical thought and think in terms of the quantum behavior and inde-
terminacy in the measurement process, namely to develop the capacity for abstraction.
This is accurately the aim of this work. Thus, the double-slit experiment that lets you
work with the wave-particle duality of the electron and the photon was chosen. Through
this experiment, students can be gradually inserted on a path toward quantum descrip-
tion necessary for the examination of subatomic phenomena. The experimental analysis
is carefully performed with the aid of virtual laboratories, available for free in electronic
sites, which represent a resource to perform experimental procedures that would require
large laboratory apparatus. The double slit experiment is analyzed in the following three
steps, reported: (i) the slit paired with classical particles; (ii) the double slit and with
classical waves; (iii) the double slit with quantum objects such as electrons and photons.
The goal is to demonstrate the electron dual behavior. Later to complete accurately and
justify the electron quantum behavior shows the principle of indeterminacy of Heisenberg
and its philosophical implications. Thus, the main objective of this research is to seek to
integrate quantum behavior, which takes place at the atomic scale, especially in the high
school level. Some guidance on how to apply this work in other levels of education appear
throughout the text and in the appendices. Introducing the dual behavior wave-particle,
the electron, the probabilistic interpretation and the uncertainty principle. We believe
that students will be able to understand a number of phenomena that occurs on scales



that are not the classical mechanics of the domain when in contact with these topics. This
topic is part of the contemporary modern physics content that is being addressed in texts
and entrance exam books. In addition, some of the new technologies using quantum phy-
sics, from electronic microscopes, nanotechnology, quantum computing, semiconductors,
diodes (including LED), transistors, computers, tablets, GPS, satellites, radar, aircraft,
lasers, code scanners bars, military defense systems, CD and Blu-Ray players, encryption,
photoelectric cells, various sensors, basically, everything is electronic. One of the goals
of the work is to check what prior knowledge the student body has, before contact with
quantum physics content, so the part of common sense on this issue. In addition, we
intend to verify that the student is able to: i) distinguish, at the end of the application
of this research, that the laws of physics at atomic scales are different from the laws of
classical physics, ii) the importance of quantum mechanics in technology and society.

Keywords: Quantum mechanics teaching, the double-slit experiment, virtual expe-
riments.

Presidente Prudente/SP
December 2015



Lista de Figuras

2.1 Experimento de Feynman e colaboradores com projéteis sem o detector de
partículas (visão em perspectiva). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Experimento de Feynman e colaboradores usando projéteis (nesta figura
aparece o detector de partículas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3 Questão 1 do questionário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Questão 2 do questionário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5 Questão 3 do questionário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.6 Questão 4 do questionário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.7 Experimento da dupla fenda com partículas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.8 Probabilidades com as duas fendas abertas. a) probabilidades P1 e P2

separadamente. b) a soma de P1 + P2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Experimento virtual Onda em corda. Visão de abertura do experimento
antes do início da atividade. (Retirado do PHET e adaptado pelo autor) . 41

3.2 Experimento virtual Onda em corda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3 Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da

esquerda é aproximadamente 9 cm (as setas de orientação são nossas). . . . 43
3.4 Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da

direita é aproximadamente 18 cm (setas de orientação são nossas). . . . . . 43
3.5 Experimento virtual Onda em corda. Superposição dos dois pulsos. O

valor da amplitude resultante é aproximadamente 27 cm. . . . . . . . . . . 44
3.6 Após a interferência os dois pulsos retornam suas características iniciais

como se nada houvesse ocorrido (as setas de orientação do movimento do
pulso são nossas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da
esquerda é aproximadamente 18 cm (setas de orientação nossas). . . . . . . 46

3.8 Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da
direita é aproximadamente 9 cm (as setas de orientação do movimento do
pulso e as representações das amplitudes por a1 e a2 são nossas). . . . . . . 46

3.9 Experimento virtual Onda em corda. Superposição dos dois pulsos. O
valor da amplitude resultante é aproximadamente 9 cm. . . . . . . . . . . . 47

11



3.10 Experimento virtual Onda em Corda. Após a interferência os dois pulsos
retornam suas características iniciais como se nada houvesse ocorrido (as
setas de orientação do movimento dos pulsos são nossas). . . . . . . . . . . 47

3.11 Experimento virtual Onda em Corda. Mostra a linha de referência móvel. 48
3.12 Experimento virtual Onda em Corda. Os dois pulsos invertidos possuem

amplitudes iguais (as setas de orientação do movimento dos pulsos são
nossas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.13 Experimento virtual Onda em Corda. Quando ocorre interferência destru-
tiva total é destruído todos os efeitos que onda produziria. . . . . . . . . . 49

3.14 Experimento virtual Onda em Corda. Os dois pulsos recuperam suas carac-
terísticas anteriores a superposição (as setas de orientação do movimento
dos pulsos são nossas). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.15 Efeito da Difração em um trem de ondas retas. O tamanho do orifício deve
ser menor ou igual ao comprimento de onda do trem de ondas. . . . . . . . 50

3.16 Efeito da Difração em um trem de ondas retas que atravessou um orifício.
O tamanho do orifício deve ser menor ou igual ao comprimento de onda do
trem de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.17 Representação de uma onda qualquer destacando a crista, o vale e o com-
primento de onda λ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.18 Questão 1 do questionário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.19 Questão 2 do questionário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.20 Questão 3 do questionário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.21 Representação do experimento de Feynman e colaboradores usando ondas

de água. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.22 Interferência bidimensional. Vista lateral na parte superior da figura e vista

de cima na parte inferior. F é uma fonte de ondas igual a de Feynman
(representamos cristas por linhas contínuas e vales por linhas tracejadas). . 55

3.23 Representação das duas ondas difratadas nas fendas 1 e 2. I é a intensidade
da onda. O valor mínimo de intensidade está na ordenada x (representamos
cristas por linhas contínuas e vales por linhas tracejadas mudamos a cor
da onda para distinguir a onda difratada na fenda 1 da onda difratada na
fenda 2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Gráfico de probabilidade com as duas fendas abertas. . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Gráfico de intensidade da onda. I1(x) é a intensidade quando a fenda 2

está coberta. I2(x) é a intensidade quando a fenda 1 está coberta. . . . . . 60
4.3 Gráfico de interferência de duas ondas difratadas no experimento de Feynman. 61
4.4 Questão 1 do questionário 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.5 Questão 2 do questionário 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

12



4.6 Questão 3 do questionário 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.7 Experimento virtual Interferência de Ondas com uma fenda. . . . . . . . . 64
4.8 Experimento virtual Interferência de Ondas com uma fenda. Com nossas

alterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9 Experimento virtual Interferência de Ondas com duas fendas abertas. Com

nossas alterações. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.10 Experimento virtual Interferência de Ondas mostrando a interferência da

luz de uma lâmpada que atravessa duas fendas. . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.11 Experimento virtual Interferência de Ondas. a) a fenda da direita foi tam-

pada. O comportamento do fóton volta a ser clássico. b) a fenda da es-
querda foi tampada. O comportamento do fóton volta a ser clássico . . . . 66

4.12 Experimento virtual Interferência Quântica. Podemos observar a interfe-
rência de elétrons com a formação das três colunas espaçadas por espaços
vazios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.13 Experimento virtual Interferência Quântica. Podemos observar a destrui-
ção do padrão de interferência devido a maior concentração de partículas
em um ponto especifico da tela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1 Elétron sai de s passa pela fenda 1 espalha um fóton no detector D1. . . . 78
5.2 Elétron sai de s passa pela fenda 2 espalha um fóton no detector D1. . . . 78
5.3 Elétron sai de s passa pela fenda 2 espalha um fóton no detector D2. . . . 79
5.4 Elétron sai de s passa pela fenda 1 espalha um fóton no detector D2. . . . 79

7.1 Questão 1 do questionário 1 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 90
7.2 Questão 2 do questionário 1 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 90
7.3 Questão 3 do questionário 1 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 91
7.4 Questão 4 do questionário 1 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 91
7.5 Questão 5 do questionário 1 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 91
7.6 Questão 6 do questionário 1 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 92
7.7 Questão 1 do questionário 2 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 92
7.8 Questão 2 do questionário 2 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 93
7.9 Questão 3 do questionário 2 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 93
7.10 Questão 4 do questionário 2 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 93
7.11 Questão 1 do questionário 3 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 94
7.12 Questão 2 do questionário 3 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 95
7.13 Questão 3 do questionário 3 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 95
7.14 Questão 4 do questionário 3 respondida por quatro alunos. . . . . . . . . . 95
7.15 Experimento virtual da dupla fenda com partículas desenvolvido por um

grupo de alunos do ensino médio. a) fenda 2 está coberta b) as duas fendas
estão abertas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

13



A.1 Slide 1 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.2 Slide 2 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.3 Slide 3 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A.4 Slide 4 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.5 Slide 5 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A.6 Slide 6 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.7 Slide 7 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
A.8 Slide 8 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.9 Slide 9 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
A.10 Slide 10 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.11 Slide 11 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
A.12 Slide 12 do Produto Final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

B.1 Questão 1 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
B.2 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
B.3 Questões de 4 a 6 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
B.4 Questão 1 - Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
B.5 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
B.6 Questões de 4 a 6 - Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B.7 Questão 1 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
B.8 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.9 Questões de 4 a 6 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
B.10 Questão 1 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
B.11 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
B.12 Questões de 4 a 6 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

C.1 Questão 1 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
C.2 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C.3 Questão 4 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
C.4 Questão 1 - Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
C.5 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
C.6 Questão 4- Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
C.7 Questão 1 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
C.8 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.9 Questão 4 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.10 Questão 1 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.11 Questões 2 e 3 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
C.12 Questão 4 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

D.1 Questões 1 e 2 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

14



D.2 Questões 3 e 4 - Aluno aleatório I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
D.3 Questões 1 e 2 - Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
D.4 Questões 3 e 4 - Aluno aleatório II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
D.5 Questões 1 e 2 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
D.6 Questões 3 e 4 - Aluno aleatório III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
D.7 Questões 1 e 2 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
D.8 Questões 3 e 4 - Aluno aleatório IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143



Lista de Tabelas

4.1 Leitura das notações lógicas para o experimento da dupla fenda com par-
tículas quânticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Leitura das notações lógicas para o experimento da dupla fenda com par-
tículas quânticas e o acréscimo de instrumentos nas regiões das fendas. . . 70

4.3 Leitura das notações lógicas para o experimento da dupla fenda com par-
tículas quânticas e o acréscimo de instrumentos nas regiões das fendas
utilizando notação sintética. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.1 Vetores de estado das amplitudes de probabilidade dos elétrons que passam
pela fenda F1 e espalha um fóton no detector D1. . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Vetores de estado das amplitudes de probabilidade dos elétrons que passam
pela fenda F2 e espalha um fóton no detector D1. . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Vetores de estado das amplitudes de probabilidade dos elétrons que passam
pelas fendas F1 e F2 e espalham fótons no detector D1. . . . . . . . . . . . 77

5.4 Vetores de estado das amplitudes de probabilidade dos elétrons que passam
pelas fendas F1 e F2 e espalham fótons no detector D2. . . . . . . . . . . . 79



Sumário

1 Introdução 19
1.1 O problema de pesquisa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2 Justificativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4 Estrutura da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Experimento da Dupla Fenda com Partículas 27
2.1 Partículas em Experimentos com Uma e Duas Fendas . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Questionário 1 – Partículas no Experimento da Dupla Fenda . . . . . . . . 33
2.3 Explicação do Experimento da Dupla Fenda com Partículas Clássicas . . . 36

3 Experimento da Dupla Fenda com Ondas Clássicas 40
3.1 Interferência de Ondas Unidimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2 Difração de Ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3 Questionário 2 – Ondas no Experimento da Dupla Fenda . . . . . . . . . . 52
3.4 Análise Matemática das Intensidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Experimento da Dupla Fenda com Objetos Quânticos 59
4.1 Questionário 3 – Elétrons no Experimento da Dupla Fenda . . . . . . . . . 59
4.2 Comportamento Quântico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Experimento Virtual da Dupla Fenda com Detectores . . . . . . . . . . . . 66
4.4 Realismo Dualista Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Escola de Copenhagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 O Formalismo Matemático da Mêcanica Quântica 73
5.1 Vetores de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2 O Padrão de Interferência de Duas Fendas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Metodologia 81
6.1 Processo de Escolha do Experimento Virtual . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.2 Justificativas do uso de Experimentos Virtuais no Ensino de Física . . . . . 83
6.3 Quanto a Cognição com Experimentos Virtuais . . . . . . . . . . . . . . . 86

17



7 Resultados e Considerações Finais 89
7.1 Análise da Aplicação do Questionário 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2 Análise da Aplicação do Questionário 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.3 Análise da Aplicação do Questionário 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4 Experimento Virtual da Dupla Fenda com Projéteis (desenvolvido pelos

alunos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.5 Considerações finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

Referências 99

A Produto Final 105

B Amostragem do Questionário 1 112

C Respostas do Questionário 2 124

D Respostas do Questionário 3 136

18



Capítulo 1

Introdução

Esta dissertação trata da proposta do uso de experimentos virtuais para o ensino de
física. Escolhemos como assunto: introdução a mecânica quântica através do experi-
mento da dupla fenda com partículas, ondas e elétrons proposto por Richard Feynman1

(1918 − 1988) e colaboradores (FEYNMAN et. al., 2008). Para a referida aplicação de
atividades experimentais virtuais elaboramos uma apostila, disponibilizada no apêndice
A. Tal trabalho foi aplicado em duas escolas da rede de ensino público, na terceira série
do ensino médio em uma escola que pertence a Secretária da Educação do Estado de
São Paulo, na quarta série do ensino médio em um Instituto Federal de Educação do
Paraná. Embora está pesquisa tenha sido elaborada para o Ensino Médio, ela pode ser
facilmente adequada para cursos de graduação em física e química. Tanto no decorrer
do texto, quanto nos apêndices, mostramos como este trabalho pode ser ampliado para o
nível universitário.

O interesse no ensino de mecânica quântica surgiu na soma de quatro fatores: i)

a importância da dualidade onda-partícula para a evolução teórica, filosófica, histórica
e tecnológica da física. Consequentemente esta evolução corroborou com as distintas
interpretações da mecânica quântica, sejam elas: interpretação realista e interpretação
de Copenhagen2 ; ii) a importância na tecnologia, como a informática e a eletrônica,
atualmente tão relevantes na sociedade, surgiram através dos avanços deste ramo da
física; iii) a formulação matemática da teoria que explica perfeitamente os resultados
experimentais; iv) os atuais Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio -
Física (PCN+), prevê uma divisão da física por temas: 1. Movimentos: variações e
conservações; 2. Calor, ambiente e usos de energia; 3. Som, imagem e informação; 4.

1Escolhemos a abordagem realizada por Feynman devido a questões didáticas contidas neste trabalho.
Outros autores como LOPES e NUSSENZVEIG também fazem uso da sequência partículas clássicas,
ondas clássicas e objetos quânticos no experimento da dupla fenda.

2Existem outras interpretações como: teoria de variáveis ocultas, interpretação dos muito mundos e
posição agnóstica. Está última acredita não ser necessário responder questões como localidade. Discutire-
mos mais no capítulo 4. Optamos pelas duas interpretações por se relacionarem melhor com os objetivos
desta pesquisa.

19



Equipamentos elétricos e telecomunicações; 5. Matéria e radiação e; 6. Universo, Terra
e vida. A mecânica quântica pode ser discutida em todos os seis temas estruturadores,
principalmente nos temas 3 a 63. Sendo assim, acreditamos que está inserção pode ser
realizada sem profundas dificuldades. Pelo contrário, a interação entre matéria e radiação,
apenas pode ser explicada, satisfatoriamente, através da mecânica quântica.

Entendemos ainda que o ensino de mecânica quântica deve acontecer no ensino médio
de forma mais intensa, pois privilegia competências como: i) investigação e compreensão
dos fenômenos físicos ii) respeito à utilização da linguagem física e de sua comunicação
e; iii) contextualização histórico e social. Estas competências, que possuem a finali-
dade de estabelecer vínculos com outras áreas, são exaltadas nos Parâmetros Curriculares
Nacionais para o Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 2013). Durante está dissertação,
discutiremos como está proposta de trabalho, através de experimentos virtuais sobre fenô-
menos com aparatos da dupla fenda, podem colaborar com as expectativas do PCNEM
(BRASIL, 2013).

1.1 O problema de pesquisa

Até meados de 1900, o determinismo da mecânica clássica de Newton era aplicado
em todas as situações que necessitavam da análise do movimento (GREF, 2007). Com
as leis de conservação da quantidade de movimento linear, lei da conservação da quan-
tidade de movimento angular e o teorema da conservação da energia mecânica, pratica-
mente qualquer sistema mecânico poderia ser analisado. Além disso, em 1831, William
Rowan Hamilton (1805− 1865) já havia proposto uma analogia entre a ótica geométrica
e a mecânica clássica (NUSSENZVEIG, 1998), ou seja, as fronteiras da mecânica clás-
sica foram ampliadas com a fusão entre a mecânica e a ótica. Em 1864, James Clerk
Maxwell (1831 − 1879), em seu trabalho “Uma Teoria Dinâmica do Campo Eletromag-
nético” (NUSSENZVEIG, 1998), descreveu todo o eletromagnetismo no vácuo através de
quatro equações, consistentes com os princípios da eletricidade, como a conservação da
carga elétrica. Estes são apenas alguns exemplos de como a física aparentava convergir
para uma ciência acabada (CARRON, 2002) e que explicava os fenômenos da natureza
em intervalos de tempo curtos, com excelente precisão. Entretanto, o efeito fotoelétrico
descoberto por Franck e Hertz (CHESMAN et. al., 2004) a teoria atômica (HALLIDAY,
et. al., 2007) a radiação do corpo negro e alguns outros fenômenos ainda não haviam
explicações consistentes.

Em 1905 (CLÁSSICOS DA CIÊNCIA, 2001) Albert Einstein (1879 − 1955) publica
três celebres artigos de extrema importância para a ciência. Um artigo faz referência

3Especificamente o tema 1 trata do ensino de mecânica clássica e o tema 2 poderiam ser tratados
assuntos de radiação do corpo negro, por exemplo. Logo, a restrição aos temas de 3 a 6 é devido ao
conteúdo deste trabalho.

20



ao movimento browniano das moléculas, consequentemente a existência de átomos era a
justificativa para ocorrer este fenômeno. O segundo trabalho, sobre relatividade especial
(RESNICK, 1971), vinha acoplar as equações descobertas por Lorentz em referenciais
inerciais ao eletromagnetismo e a mecânica clássica de Newton. Este artigo veio con-
frontar as teorias de Newton e Maxwell rivalizando-as. Se a teoria de Newton estivesse
correta consequentemente a teoria de Maxwell estaria errada em alguns pontos, o con-
trário também era válido. A relatividade especial de Einstein não foi aceita de imediato
pois questionava fortemente a teoria de Newton (REIS, et. al., 2002; WOLFF, 2005),
consequentemente questionava o determinismo que carrega consigo implicações filosóficas
e religiosas. O terceiro trabalho explicava o efeito fotoelétrico (TIPLER, LLEWELLYN;
2001), trabalho que rendeu a Einstein o prémio Nobel de 1921. Neste artigo, Abert
Einstein usa o fato da energia não poder ser analisada como continua, quando observada
em meios atômicos. Nesta experiência, considera-se o fato da energia ser quantizada e
os fótons se comportarem como partículas que tiram elétrons do metal, dependendo da
frequência da luz e do material. Desta forma, pode se explicar teoricamente a descoberta
de Hertz (CHESMAN et. al., 2004) sobre o efeito fotoelétrico.

Max Planck (1858− 1947), em 1900, foi o primeiro a propor na análise da radiação do
corpo negro a equação que relacionava a energia com a frequência, a mesma utilizada por
Einstein para interpretar o efeito fotoelétrico. Este momento marca a divisão histórico-
didática da Física (CALÇADA, SAMPAIO; 2001), a qual foi denominada Física Moderna
e Contemporânea (FMC). Após tantos trabalhos, que mudaram o rumo da física e da afir-
mação irrefutável da existência do átomo (CLÁSSICOS DA CIÊNCIA, 2001), iniciou-se a
proposta de trabalhos propondo modelos atômicos que abandonassem as teorias clássicas
para responder aos resultados experimentais das inúmeras experiências daquela época,
por exemplo, os espectros de emissão dos elementos. Neste momento, J. J. Thomson
(1856− 1940) já havia descoberto o elétron e Ernest Rutherford (1871− 1937), em 1910,
havia descoberto o núcleo do átomo (TIPLER, LLEWELLYN; 2001). Em 1912, Niels
Bohr (1885− 1962), fez uso das teorias de Planck e Einstein sobre quantização, afinal as
teorias da mecânica clássica não explicavam o problema de um elétron orbitando um pró-
ton no átomo de hidrogênio sujeito apenas à força coulombiana (NUSSENZVEIG, 1998;
REIS, et. al., 2002). Bohr propõe quatro postulados que explicavam porque o elétron
não realizava um movimento elíptico até colidir com o núcleo do átomo. Estes postulados
funcionavam muito bem para o átomo de hidrogênio, contudo, para átomos com mais elé-
trons a teoria falhava. Entretanto, o modelo atômico de Bohr trouxe o primeiro número
quântico n, o número quântico principal. Em 1923, o físico Louis de Broglie, fazendo
uso da teoria de Bohr, ou seja, que inclui a quantização de Einstein-Planck e a analogia
ótico-mecânica de Hamilton, propôs que partículas como fótons que manifestavam efeitos
que as caracterizavam como partículas, mas que ao mesmo tempo dependiam de proprie-
dades ondulatórias (FEYNMAN et. al., 2008). Com de Broglie, surgiu um novo modelo

21



atômico que incluía também o movimento ondulatório do elétron. Entretanto, aceitar
este modelo significa afirmar que o elétron, que sempre foi encarado como partícula e, que
afinal possuía massa bem definida, se comportava como uma onda.

Para entender o contraste entre os diferentes tipos de comportamentos, isto é, on-
dulatório e corpuscular, foi proposto a análise do experimento da dupla fenda (DICKE,
WITTKE, 1961; COHEN-TANNOUUDJI et. al., 1977; GASIOROWICZ, 1979; LOPES,
1992; MERBACHER, 1997; PESSOA Jr., 2003; NUSSENZVEIG, 2008; MAHON, 2011)
em termos de conceitos clássicos de ondas e partículas e também objetos quânticos. Re-
alizar o experimento da dupla fenda com partículas clássicas não necessita de aparatos
tecnológicos caros. Quando se usa ondas clássicas, verificar a interferência das ondas
exige mais do experimentador. Mas, quando experimento da dupla fenda é feito com luz,
por exemplo, o aparto experimental necessita de mais tecnologia e os custos podem ser
dispendiosos. Devido a estes fatos escolhemos realizar toda a análise com experimentos
virtuais.

O experimento da fenda dupla com ondas clássicas, experimento de Young, mostra
a interferência entre as ondas difratadas. Para que isto ocorra é necessário que a lar-
gura da fenda seja igual ou menor que a ordem de grandeza do comprimento da onda
que atravessa as fendas. A experiência da dupla fenda e partículas clássicas, quando
analisado em termos de probabilidade, não mostra interferência. Sendo o elétron uma
partícula, esperava-se que quando fosse realizado o experimento da dupla fenda, o elétron
não apresentasse interferência, como acontece com partículas clássicas, porém, o elétron
apresenta interferência colocando seu comportamento ondulatório em evidência. Além
deste resultado absurdo, quando tentamos observar o elétron iluminando as fendas por
onde ele passa, o resultado da experiência é o comportamento corpuscular do elétron. Ou
seja, o elétron é uma partícula que se comporta como onda, em alguns casos, mas, quando
observado, volta a se comportar como partícula. Para compreender o que acontece com
elétron neste experimento, é necessário abandonar o determinismo da teoria clássica de
Newton e realizar uma análise estatística e consequentemente aplicar a teoria de probabi-
lidade no experimento. É exatamente isto que esta pesquisa pretende. Inserir o estudante
em um meio que é necessário pensar quanticamente devido a escala da ordem atômica e,
consequentemente, distinguir os fenômenos clássicos dos quânticos.

A mecânica quântica possui profunda relevância no ensino de física. Entretanto, quase
que exclusivamente este ramo tem sido ensinado apenas nos cursos de graduação ou pós
– graduação nas áreas de ciências exatas. Uma única afirmação, dentre algumas que des-
tacaremos, torna este assunto indispensável: “Temos a eletrônica e a informática graças
a mecânica quântica”4. Pode parecer um exagero, mais os desenvolvimentos da nanotec-

4Esta afirmação é feita pelo prof. Eduardo Cantera Marino em sua palestra “Quem tem medo de
mecânica quântica”. Disponível em https://www.youtube.com/watch?v=eqtSjQKp0hM. Tal afirmação
é corroborada com o artigo da Revista da USP do prof. Antônio José Roque da Silva disponível em:
http://www.revistas.usp.br/revusp/article/viewFile/13641/15459 ambos acessado em 10/12/2015.

22



nologia e eletrônica moderna estão intimamente ligados aos desenvolvimentos da física
quântica. Não seria este um argumento plausível para se ensinar mecânica quântica no
ensino médio? Ora, uma resposta negativa a esta questão seria destacar que a formulação
teórica e matemática da mecânica quântica não conduz diretamente a explicações das
novas tecnologias de forma tão explícita como as leis de Newton. Sabemos, pelas leis de
Newton, que são necessárias forças externas para colocar um dado objeto em movimento
e aplicamos estas leis a diversas situações. E a mecânica quântica, quais leis poderão ser
aplicadas a tantas situações como as leis de Newton? De fato, a mecânica quântica não
possui está aplicação tão objetiva como as leis newtonianas. Entretanto, são necessárias
estabelecer consideráveis condições iniciais para se aplicar as leis de Newton, como: ex-
tinguir a resistência do ar, atrito, solo perfeitamente polido e horizontal, dentre tantos
exemplos. Um trunfo da mecânica quântica neste aspecto é que seus postulados explicam
perfeitamente os experimentos relacionados a teoria, além de possuir um grau de precisão
muito maior que a mecânica de Newton.

Entendemos que é necessário mostrar este novo mundo de fenômenos que ocorrem na
escala subatômica. Todavia, se ainda todas as argumentações anteriores não fundamen-
tarem a importância da mecânica quântica, comparamos a necessidade do estudo deste
ramo da física com a astronomia. Para isto, citamos Poincaré (1998) que defende a im-
portância da astronomia destacando os feitos que foram possíveis devido ao avanço do
entendimento desta ciência tão antiga. Através de comparações e exemplos, ele explica o
porquê a astronomia deve ser estudada.

A astronomia é útil porque nos eleva acima de nós mesmos; é útil porque
é grande; é útil porque é bela; é isso que precisa se dizer. É ela que nos
mostra como quão pequeno é o homem no corpo e quão grande é no
espírito, já que essa imensidão resplandecente, onde seu corpo não passa
de ponto obscuro, sua inteligência pode abarcar inteira, e dela fruir a
silenciosa harmonia (POINCARÉ, 1998, p.101).

Não obstante, refletindo sobre a mecânica quântica como Poincaré dialogou sobre a
astronomia: a mecânica quântica nos faz questionar a inquestionável, como as noções de
localidade, realidade e causalidade; é útil na tecnologia, como eletrônica e informática; é
bela como se afunila perfeitamente com sua formulação matemática. É ela que mostra
que somos constituídos de partículas que se comportam de uma forma misteriosa e o
quão pequenos somos, pois não conseguimos nem ao menos explicar o comportamento
das partículas fundamentais que nos constituem.

1.2 Justificativas

Para a compreensão da dualidade onda-partícula do elétron, o corpo discente necessita
abandonar o pensamento clássico e determinístico. Abandonar as leis da física clássica,

23



não significa imputar que a mesma esteja errada. Apenas que na escala atômica necessita-
se utilizar a mecânica quântica e, em velocidades acima de 10% da velocidade da luz
(EINSTEIN, 1999; 2003), é necessário utilizar a teoria da relatividade especial de Einstein.
É válido lembrar que, em baixas velocidades, ou seja, aquelas em que as velocidades são
inferiores à 10% da velocidade da luz, a teoria da relatividade restrita retorna a mecânica
clássica e, quando se usa o princípio da correspondência, a mecânica quântica também
retorna a mecânica newtoniana. Logo, a mecânica clássica continua válida e se torna um
caso nos limites da relatividade einsteiniana e da mecânica quântica.

Atualmente somos absorvidos por novas tecnologias quase que constantemente. A
exemplo das tecnologias que utilizam a mecânica quântica para seu desenvolvimento,
temos desde microscópios eletrônicos, nanotecnologia, computação quântica, semicondu-
tores, diodos e transistores. A mecatrônica, automação e robótica também fazem uso da
mecânica quântica como ciência fundamental para desenvolver aparatos tecnológicos para
suprir as diferentes necessidades da sociedade.

Como já foi mencionado a mecânica quântica está intimamente ligada com as novas
tecnologias. Portanto, o ensino de física quântica pretende dar cidadania ao aluno para
que este, não faça parte do grupo de analfabetos científicos. A forma pela qual preten-
demos alcançar a aprendizagem significativa do corpo discente é o ensino de mecânica
quântica através do experimento da dupla fenda. Iniciar a física quântica com a análise
deste experimento não é algo inédito no ensino de física. Contudo, apenas os livros textos
da graduação são privilegiados com esta sequência didática. No contexto do ensino mé-
dio, a sequência quase que uniforme nos livros textos são (GASPAR, 2007; CALÇADA,
SAMPAIO, 2000; BÔAS et. al., 2010; HALLIDAY et. al., 2007; LIMA, MIOTO, 2007):
i) Radiação do corpo negro (Planck); ii) Lei de Wien; iii) Lei de Stefan-Boltzman; iv)
Efeito fotoelétrico; v) Efeito Compton; vi) Átomo de Bohr; vii) Dualidade onda-partícula
(de Broglie). A discussão desta pesquisa não é impor que o começo de física quântica
seja com o comportamento dual do elétron que não pode ser explicado pela física clássica.
Esta pesquisa destaca a importância correta da apresentação e do enfoque no comporta-
mento ondulatório de partículas. Acreditamos que a dualidade onda-partícula do elétron
é “porta de entrada” para a física quântica.

Esta pesquisa tem como objetivo central buscar integrar o comportamento quântico,
que acontece na escala atômica, no contexto do ensino médio. Apresentando o compor-
tamento dual, onda–partícula, do elétron, a interpretação probabilística e o princípio de
incerteza, acreditamos que o aluno será capaz de compreender um grande número de fenô-
menos que acontece em escalas que não são do domínio da mecânica clássica quando, em
contato com estes temas.

Espera-se verificar quais os conhecimentos que o corpo discente possui, antes do con-
tato com o conteúdo de física quântica, ou seja, o que faz parte do senso comum sobre
este tema. Além disso, pretendemos verificar se o aluno consegue distinguir, no final da

24



aplicação desta pesquisa, que as leis da física em escalas atômicas são diferentes das leis
da física clássica.

1.3 Objetivos

Sendo assim, estabelecemos os seguintes objetivos:

• Propor um material didático, utilizando experimentos virtuais, para que os estudan-
tes possam ser submetidos ao experimento da dupla fenda, que quando realizado
com elétrons, nos revela o principal mistério da mecânica quântica (FEYNMAN et.
al., 2008);

• Incentivar o uso de recursos tecnológicos, como o experimento virtual, no ensino de
física;

• Propor uma forma de trabalhar o formalismo matemático da mecânica quântica da
forma mais simples possível;

• Discutir as duas principais linhas de interpretação da mecânica quântica: interpre-
tação realista e interpretação de Copenhagen;

1.4 Estrutura da Dissertação

1. Na Introdução, conduzimos o leitor aos objetivos da pesquisa, materiais utilizados,
sujeitos investigados e na importância do tema no ensino de física;

2. A Fundamentação Teórica é dividida de forma a apresentar o experimento da dupla
fenda com partículas clássicas, ondas clássicas e objetos quânticos;

3. O Experimento da dupla fenda com partículas é o único analisado de forma intuitiva,
sem o recurso do experimento virtual. Iniciamos a discussão da importância da
probabilidade na física nesta seção. No final é aplicado um questionário estruturado
sobre a atividade;

4. Já o Experimento da dupla fenda com ondas é o totalmente discutido com labo-
ratórios virtuais. Ao final é aplicado um questionário no qual pretendemos que o
estudante consiga obter o padrão de franjas de interferência;

5. Na seção sobre o Experimento da dupla fenda com objetos quânticos, iniciamos com
o questionário. Utilizamos um novo experimento virtual e mostramos o resultado do
experimento. Nesta fase, mostramos que o observador pode influenciar no resultado
da medida;

25



6. Encerramos a fundamentação teórica com a discussão sobre duas Interpretações
da mecânica quântica. Nesta seção convergimos a discussão para o princípio da
complementariedade;

7. Continuando a discussão sobre experimento da fenda dupla com elétrons, discutimos
de forma básica a Formulação matemática da mecânica quântica. Esta seção mostra
que toda dificuldade que encontramos ao tentar analisar o experimento não aparece
na estrutura formal da teoria;

8. No terceiro capítulo, discutimos a Metodologia para o uso do experimento virtual.
Neste capítulo discutimos as vantagens e desvantagens do uso de atividades experi-
mentais simuladas;

9. Propomos ainda neste capítulo, técnicas e procedimentos para escolher e aplicar
atividades experimentais virtuais no ensino de física;

10. O sétimo capítulo é dedicado a discussão dos Resultados da aplicação dos questio-
nários, experimentos virtuais e a apostila que elaboramos;

11. Neste último capítulo mostramos as respostas esperadas dos questionários do capí-
tulo 2, 3 e 4.

26



Capítulo 2

Experimento da Dupla Fenda com
Partículas

Como referencial teórico escolhemos os livros: Lições de Física de Feynman: Mecânica
Quântica de (FEYNMAN et. al., 2008) e Conceitos de Física Quântica – volume 1 de
Osvaldo Pessoa Jr. (PESSOA Jr, 2003). O livro de Feynman e colaboradores é base teó-
rica principal apontada neste trabalho. Já o livro de Pessoa Jr. (2003) fecha a discussão
aprofundando ainda mais o mistério sobre a mecânica quântica com as diferentes inter-
pretações e as escolas de pensamentos. Entendemos que o experimento da dupla fenda
com elétrons contém todos os elementos necessários para explicar as características da
mecânica quântica. Feynman1 sintetiza a importância deste experimento a seguir:

Selecionamos o fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de
explicar em qualquer maneira tradicional e que tem a mecânica quântica
em seu âmago. Na verdade, ele contém o único mistério. Não fazemos
o mistério desaparecer ao “explicar” como ele funciona. Vamos simples-
mente dizer como ele funciona. Ao dizer como ele atua, teremos falado
sobre a peculiaridade básica de toda a mecânica quântica. (FEYNMAN
et. al., 2008, p.1-1).

Existem trabalhos que tratam deste mesmo assunto utilizando experimentos mentais
(SORENSEN, 1979; GEORGIOU, 2005; KIORANIUS, 2009). Nós optamos no uso de
experimentos virtuais devido a acessibilidade e facilidade de manipulação de tal ferramenta
(FERREIRA, SOUZA FILHO; 2015). Segundo Feynman et. al., 2008 e colaboradores
“Nós sabemos como as coisas grandes se comportam, mas numa escala pequena elas não
se comportam dessa forma. Então precisamos aprender sobre elas de uma forma abstrata
ou imaginativa e não por analogia com nossa experiência direta”. Esta asserção causa

1A numeração do livro Lições de Física de Feynman não possui uma estrutura de numeração tradi-
cional. Cada capítulo possui uma numeração com o número do capítulo acompanhado de um traço e o
número da página. A cada novo capítulo a contagem da página se inicia. Por exemplo, a página 3˘5 é a
quinta página do terceiro capítulo 3, mas está página não é a quinta página do livro.

27



profunda limitação no sentido de transposição didática2 sobre a física quântica. Surgem
questionamentos como: Qual exemplo possuo como recurso para explicar no ensino médio
o comportamento quântico das partículas? Qual sequência didática é a mais ideal no
sentido do ensino de mecânica quântica? E por fim, o questionamento que aparenta ser
incoerente, mas é uma realidade: Porque ensinar mecânica quântica no ensino médio? A
estas questões, este trabalho pretende responder, de forma convincente, a importância de
tal assunto no ensino médio.

De forma sintética respondemos as questões anteriores que encontrarão uma resposta
completa no decorrer deste trabalho. A primeira pergunta denota a limitação que a
mecânica quântica impõe a todos: os fenômenos não podem ser observados de forma
direta. Portanto, um exemplo, como um experimento, ou uma analogia com algo do
cotidiano, não é factível de realização. Sendo assim, como já foi destacado por Feynman
e colaboradores, não adianta tentar realizar analogias. O que se pode fazer é ensinar os
postulados de forma abstrata e mostrar aos estudantes que esta ciência é profundamente
importante para a tecnologia atual, além de ser o assunto mais bem sucedido da física.3

Para a segunda questão, este trabalho propõe, um caminho para o ensino de mecânica
quântica no ensino médio, que entendemos possa compor a ordem de assuntos mais pró-
ximo do ideal para se ensinar física quântica. Entretanto, não há um consenso de qual a
sequência de assuntos seja ideal para ensinar física quântica4. Sendo assim, a sequência
ao final deste trabalho é uma proposta.

A terceira questão é uma realidade no ensino de física proposto nos livros didáticos,
ou seja, a mecânica quântica, quando tratada, é de forma superficial, salvo algumas raras
exceções. No ano passado, 2014, a escolha do livro didático de física ocorreu em âmbito
nacional (BRASIL, 2014). Foram enviadas quatorze coleções com três volumes para es-
colas através do Programa Nacional do Livro Didático PNLD (BRASIL, 2014)5. Não há
dúvidas que o ensino de física não se restringe apenas a estes materiais. Dispomos de
artigos, livros e revistas cientificas. Entretanto, o que realmente chega as escolas públicas
são livros didáticos do PNLD (BRASIL, 2014) e/ou apostilas elaboradas pela Secretária
de Educação do Estado de São Paulo SEE/SP. Assim como os outros materiais citados,
este trabalho é mais uma forma de melhorar o ensino de física.

Mas ainda não respondemos a terceira questão. Compreendemos que o ensino de
mecânica quântica é essencial à sociedade atual. Graças ao desenvolvimento da física

2Não aprofundaremos este trabalho no sentido de expor as dificuldades sobre transposição didática da
mecânica quântica.

3A eletrodinâmica quântica é o ramo da física que surgiu devido a junção da mecânica quântica com a
relatividade restrita, denominado teoria quântica de campos. Atualmente, a eletrodinâmica quântica é o
assunto mais exato da física, isto é, possui precisão de até dez casas decimais. Como este assunto é uma
consequência da mecânica quântica, a mesma ostenta o patamar de ramo mais bem-sucedido da física.

4Referimo-nos aqui aos livros textos para a graduação.
5As afirmações que realizamos durante este texto sobre materiais didáticos referem-se a estas coleções

e as apostilas do governo do Estado de São Paulo.

28



moderna, principalmente da física quântica, temos a eletrônica e a informática. Apenas
estes dois argumentos sobre amplos desenvolvimentos tecnológicos já seriam suficientes
para justificar o ensino de mecânica quântica, ou seja, argumentar que a eletrônica e a
informática são consequências diretas deste ramo da física, é afirmar que muito das tec-
nologias de telecomunicação e os aparelhos tecnológicos que já se tornaram indispensáveis
para o nosso bem estar, e até mesmo para manutenção da qualidade de vida, são con-
sequências desta ciência. Além destas características, não podemos esquecer que corpos,
objetos, sistemas e até nós, seres humanos, somos compostos de átomos, que a bem da
facilidade de explicação, estes são compostos de: prótons, nêutrons e elétrons. Este último
é nosso objeto de estudo neste trabalho. Mas o comportamento do elétron, quando não
observado, é totalmente diferente de qualquer objeto macroscópico que seja submetido ao
experimento da dupla fenda, e somos constituídos destas partículas.

Compreendemos que propor uma abordagem diferente de um dado conteúdo no ensino
médio ou até mesmo o acréscimo de algum assunto parece ser audacioso. Os materiais
didáticos que nos referimos no parágrafo anterior deixam a desejar no assunto que trata-
mos aqui. Não podemos criticar os autores destes livros e apostilas, pois é bem sabido
que tanto o governo quanto as editoras impõem restrições de páginas e assuntos. Con-
tudo, fica a questão, até quando deixaremos de ensinar o assunto mais bem-sucedido da
física? Este trabalho vem auxiliar, como muitos outros (CAVALCANTE, TAVOLARO,
2002; PINTO, ZANETIC, 1999; GASPAR, 2007), a carência de textos que tratam sobre
a mecânica quântica no ensino médio de forma mais profunda.

Iniciaremos este trabalho utilizando a sequência proposta por Feynman et. al., 2008 e
amplamente desenvolvida na literatura (DICKE,WITTKE, 1961; COHEN-TANNOUUDJI
et. al., 1977; GASIOROWICZ, 1979; LOPES, 1992; MERZBACHER, 1997; PESSOA Jr.,
2003; NUSSENZVEIG, 2008; MAHON, 2011). Inicialmente propomos um experimento
mental com partículas num dado arranjo que será conveniente nas próximas seções. Não
há experimento virtual6 que reproduza a situação descrita nas próximas subseções. En-
tretanto, o experimento com partículas é de fácil compreensão e o resultado esperado
não contrasta com o senso comum, isto é, acreditamos que com facilidade, a maioria dos
alunos conseguirão concluir o resultado certo, sem dificuldades.7

Na próxima seção exporemos o questionário de levantamento do conhecimento pré-
vio dos estudantes. Portanto, as próximas seções os diálogos estabelecidos através do
questionário são entre professor e aluno. O questionário desta seção não tem objetivo
de mensurar algum grau de conhecimento do aluno, mas sim, ao final da aplicação deste
trabalho, verificar se houve alguma mudança no pensamento sobre as leis da física e suas

6Durante a aplicação deste trabalho um grupo de alunos desenvolveu um experimento virtual que
reproduz o experimento da dupla fenda com partículas clássicas. Mostramos o referido experimente no
capítulo sobre resultados.

7Durante a aplicação deste trabalho o assunto que os alunos mais tiveram dificuldades foi justamente
a seção de partículas clássicas. Ver capítulo 7 sobre resultados.

29



limitações.
Seguindo as subseções dedicamos um espaço para discutir o experimento com partícu-

las quando atravessam uma fenda e posteriormente com duas fendas. Em ambas seções
mostramos os gráficos de probabilidade do resultado final da experiência que pode ser
concebido utilizando a teoria de probabilidades (IEZZI, HAZZAN, 1985; LIMA et. al.,
2006). Alertamos que as discussões nas subseções posteriores ao questionário, respondem
o mesmo, tal qual, com o objetivo de afirmar os resultados que os estudantes encontraram
ou de mostrar qual o raciocínio deveria ter sido utilizado.

2.1 Partículas em Experimentos com Uma e Duas Fen-

das

A situação exposta a seguir é retirada do livro Lições de Física de Feynman: Mecânica
Quântica de Feynman et. al., (2008), onde é proposto um arranjo experimental com
projéteis de uma metralhadora,

Temos uma metralhadora que atira uma sequência de projéteis. Não é
uma boa metralhadora, pois atira os projéteis em uma varredura de ân-
gulo muito amplo, como mostrado na figura. Na frente da metralhadora
existe uma parede (feita com uma placa blindada) que tem dois orifícios
que são suficientemente grandes para deixar passar um projétil. Após a
parede existe um anteparo (digamos uma parede grossa de madeira) que
vai “absorver” os projéteis que ao atingirem. (FEYNMAN et. al., 2008,
p.1-1, p.1-2).

Pode-se propor para os alunos a construam de uma figura inicial explicando o que foi
imaginado na leitura deste trecho. Uma resposta que normalmente acontece é desenhar os
orifícios como “furos” na parede. A solicitação desta figura possui dois objetivos distintos
que cabe ao professor mediar e escolher qual o caminho é mais ideal para determinada
sala.

A primeira proposta é sobre a imagem construída pelos estudantes seja livre, sem
nenhuma restrição. Esta escolha, permite analisar com mais precisão o grau de abstração
do aluno sobre o assunto que se inicia pois não impõem regras, ou seja, o resultado com
esta proposta permite fazer suposições sobre futuras dificuldades e, consequentemente, o
docente pode preparar estratégias para superar esta hipotética situação. Já a segunda
proposta restringe a abstração do aluno sobre o assunto, mas o benefício encontra-se em
estabelecer condições iniciais que conduzam a imaginação mais rapidamente na resposta
desejada. Por exemplo: i) solicitar que a figura tenha fendas; ii) Reproduzir a figura em
perspectiva, isto é, como se a imagem estivesse esboçada sobre um plano tridimensional.
Enfim, está etapa depende do docente e seu corpo discente.

30



A figura a seguir representa em perspectiva o arranjo experimental proposto por Feyn-
man et. al., (2008). Destacamos que a Figura 2.1 pode ser reproduzida com inúmeras
variações. O que necessita ser preservado é a ordem do arranjo, isto é, metralhadora,
parede com orifícios ou fendas, e o anteparo.

Figura 2.1: Experimento de Feynman e colaboradores com projéteis sem o detector de
partículas (visão em perspectiva).

Este arranjo está incompleto, pois não possui o detector de projéteis que, neste caso
específico, permite determinar a probabilidade de um dado projétil ser encontrado em
uma região da parede, como Feynman8 et. al., (2008) explica:

Na frente da parede temos um objeto que vamos chamar de um “detector”
de projéteis, que poderia ser uma caixa de areia. Qualquer projétil que
entrar no detector será parado e acumulado. Quando quisermos podemos
esvaziar a caixa e contar o número de projéteis que foram capturados.
O detector pode se mover para frente e para trás (no que vamos chamar
de direção x). (FEYNMAN et. al., 2008, p.1-2).

É importante enfatizar que o arranjo permite medir a probabilidade de encontrar o
projétil na parede. Sendo assim, por mais que o experimento apresente uma construção
clássica e seja avaliado de tal forma, o conceito de probabilidade começa a ser inserido
nesta etapa. Einstein e colaboradores (EINSTEIN, INFELD; 2008) em A Evolução da
Física, explicam como surge a análise probabilística em alguns casos da física usando um
exemplo de partículas que se movem em um gás,

Caso se tentasse, então, aplicar os métodos conhecidos da mecânica clás-
sica para calcular as posições finais das partículas, as dificuldades seriam
insuperáveis. Em princípio, é possível usar o método empregado para o
movimento dos planetas, mas, na prática, ele é inútil, devendo ceder lu-
gar ao método estatístico. Esse método dispensa qualquer conhecimento
exato dos estados iniciais. (EINSTEIN; INFELD, 2008, p.233).

8Para frente e para trás... denota o sentido de movimento da caixa na figura que aparece no livro
de Feynman et. al., 2008. Uma figura similar há referência citada seria a Figura 2.2 com a seguinte
mudança: uma rotação de 90o no sentido direito do plano da página deste trabalho.

31



Para justificar o uso da probabilidade em alguns assuntos da física e qual a sua real
funcionalidade, Einstein e Infeld (EINSTEIN, INFELD; 2008) continuam o discurso rela-
tando que:

Não nos preocupamos com indivíduos. O que buscamos determinar são
os valores médios representativos do agregado inteiro. Está claro que
só poderia haver um propósito em um método de raciocínio estatístico
quando o sistema consiste de grande número de indivíduos. Aplicando
o método estatístico, não podemos predizer o comportamento de um in-
divíduo em uma multidão, podemos apenas predizer a possibilidade, a
probabilidade, de que ele se comporte de algum modo particular. (EINS-
TEIN; INFELD, 2008, p.233).

Retornando ao experimento com projéteis proposto por Feynman e colaboradores, o
caráter probabilístico é notadamente importante para entender como encontrar o resultado
final para este distinto arranjo experimental. Continuando a exposição deste experimento,
Feynman também enfatiza de forma definitiva a importância da probabilidade,

Primeiro, você deve perceber que devemos falar de probabilidade, porque
não podemos definitivamente dizer aonde um determinado projétil irá.
Um projétil que atinja um orifício e por acaso acerte sua beirada pode
ser refletido e ir parar em algum lugar qualquer. Por “probabilidade”
queremos dizer a chance que um projétil tem de chegar no detector e
que podemos medir e contar o número que chega num certo intervalo de
tempo como uma fração do número total que atinge o anteparo durante
esse mesmo tempo. Ou, se assumimos que a metralhadora atira com uma
taxa uniforme durante a medição, então a probabilidade que queremos é
apenas proporcional ao número de projéteis que chega no medidor num
certo intervalo de tempo padrão. (FEYNMAN et al., 2008, p.1-1,1-2).

Portanto, após a explicação do experimento, a reprodução da imagem que os alunos
produziram (com ou sem restrições), deve-se explicar o caráter probabilístico deste aparato
experimental. Enfatizando a fala anterior de Feynman e colaboradores sobre o que pode
de fato ocorrer com os projéteis.

É necessário destacar as seguintes condições idealizadas para a realização adequada do
experimento: i) As balas são indestrutíveis, ou seja, sempre chegam ao detector 9 inteiras
e nunca uma fração de projétil; ii) Todos os projéteis tem a mesma velocidade e a mesma
energia; iii) A metralhadora produz uma rajada de disparos lenta, de tal forma que seja
possível a cada disparo verificar se chegou ao detector um projétil, ou não, devido ao fato
do projétil ter seu movimento bloqueado na parede blindada. Estas três considerações
nos permitem constatar que nunca chegará, por exemplo, dois projéteis ao mesmo tempo
na caixa de areia e, quando chega algo no detector tem que ser uma bala inteira, ou seja,

9O detector móvel pode ser uma caixa de areia que pode se mover no eixo x.

32



nunca encontraremos na caixa de areia pedaços do projétil. Esta afirmação pode parecer
simples e desnecessária. Entretanto, quando formos utilizar a luz no experimento da dupla
fenda, será necessário revisar e contrastar estas assertivas com os resultados encontrados
entre fótons e projéteis de uma metralhadora.

Figura 2.2: Experimento de Feynman e colaboradores usando projéteis (nesta figura apa-
rece o detector de partículas).

Mostramos a parte da figura10 que aparece no livro11 Lições de Física de Feynman:
Mecânica Quântica de Feynman et. al, (2008), esta figura é uma reprodução da original e
não conta com a segunda parte que mostram os gráficos de probabilidades de chegada dos
projéteis quando orifício 2 está fechado e um segundo gráfico sobreposto com o orificio 1

fechado.
Enfatizamos que nesta etapa ainda não expomos a Figura 2.2 devido a aspectos didá-

ticos. Neste momento estamos coletando quais conhecimentos prévios os alunos possuem,
ou utilizam, quando submetidos a analisar o arranjo experimental da dupla fenda com
partículas clássicas.

2.2 Questionário 1 – Partículas no Experimento da Du-

pla Fenda

Texto de Apoio
O cientista norte americano Feynman e colaboradores propôs em uma aula de física na década

de 60 o seguinte experimento mental: “Temos uma metralhadora que atira uma sequência de

projéteis. Não é uma boa metralhadora, pois atira os projéteis em uma varredura de ângulo

muito amplo, como mostrado na figura. Na frente da metralhadora existe uma parede (feita com

10A espessura da parede deve ser da mesma ordem de grandeza do projétil.
11A figura a seguir aparece no livro de Feynman et. al., (2008) sobre uma rotação de 90o para a direita

quando comparada a nossa figura.

33



uma placa blindada) que tem dois orifícios que são suficientemente grandes para deixar passar

um projétil. Após a parede existe um anteparo (digamos uma parede grossa de madeira) que vai

“absorver” os projéteis que a atingirem”

Questão 1 - No quadro abaixo reproduza através de uma figura o experimento pro-
posto por Feynman e colaboradores: Observe a imagem a seguir que mostra o experimento
da dupla fenda numa visão superior:

Figura 2.3: Questão 1 do questionário 1

Nas questões a seguir reproduzimos o anteparo com uma visão frontal no quadro
quadriculado de respostas. Para responder as questões utilize a seguinte regra: o local
que há maior possiblidade (probabilidade) de que o projétil chegue, deve ter maior número
de quadrados pintados de baixo para cima no quadro quadriculado. Por exemplo, se na
posição - 8 no meio da figura você acredita que haverá a maior probabilidade de que ocorra
incidência de projéteis, pinte os quadrados de baixo para cima no quadro quadriculado e
não especificamente na região onde você acredita que as balas chegarão.

Questão 2 - Antes do início do experimento cobrimos a fenda cuja sombra é R de
forma que por esta fenda nenhum projétil possa passar. Sabendo que o experimento mede
a probabilidade de chegada em unidades idênticas de projéteis, pinte na figura abaixo,
qual seria o local onde possivelmente os projéteis atingirão o anteparo.

Questão 3 – Da mesma forma que na Questão 2, antes do início do experimento co-
brimos a fenda S de forma que por esta fenda nenhum projétil possa passar. Sabendo que
o experimento mede a probabilidade de chegada em unidades idênticas de projéteis, pinte
na figura abaixo qual será o local onde possivelmente os projéteis atingirão o anteparo.

Questão 4 – Agora as duas fendas estão livres sem nada que interrompa a passagem
de projéteis. Sabendo que o experimento mede a probabilidade de chegada dos projé-
teis, pinte na figura abaixo qual será o local onde possivelmente os projéteis atingirão o
anteparo.

Questão 5 – Caso seja trocado projéteis por bolas de gude, o resultado do experimento
mental sofreria alguma mudança?

34



Figura 2.4: Questão 2 do questionário 1

Figura 2.5: Questão 3 do questionário 1

Figura 2.6: Questão 4 do questionário 1

Questão 6 – É possível encontrar um outro resultado para este experimento? Se a
sua resposta for afirmativa, reproduza uma figura com este resultado.

35



2.3 Explicação do Experimento da Dupla Fenda com

Partículas Clássicas

Levando em consideração as três condições idealizadas na seção 2.1, pode-se perguntar,
depois de um período de tempo de realização do experimento, qual a probabilidade em
função da distância x de um projétil, que passou pelas fendas, chegar no anteparo (Figura
2.7a) quando: i) a fenda 2 está coberta e a fenda 1 está aberta? (Figura 2.7b) ii) a fenda
1 está coberta e a fenda 2 está aberta? (Figura 2.7c) e iii) as duas fendas estão abertas?
(Figura 2.7d). A resposta aparece na Figura 2.712 , que ilustra as possibilidades descritas
anteriormente:

Figura 2.7: Experimento da dupla fenda com partículas.

O triângulo AOB revela a região com maior densidade de projéteis que atravessa a
fenda 1 e chega no anteparo sobre o segmento AB. Consequentemente a região contida no
segmento AB possui maior probabilidade de chegada de projéteis. Conforme a caixa de
areia se move sobre o eixo x, durante a realização do experimento, percebe-se que poucos
projéteis que atravessaram a fenda 1 foram encontrados na extremidade oposta e distante

12a) mostra o aparato experimental. b) a probabilidade P1(x) quando a fenda 1 está aberta e a fenda
2 está coberta. c) a probabilidade P2(x) quando a fenda 1 está coberta e a fenda 2 está aberta. d) a
probabilidade P12(x) quando a fenda 1 e a fenda 2 estão abertas.

36



do segmento AB. Isto se deve ao fato de existir uma pequena probabilidade das balas
ricochetearem na fenda 1 e, consequentemente, serem encontradas em qualquer ponto do
eixo x. Contudo, a probabilidade de encontrar projéteis fora da região compreendida pelo
segmento AB diminui exponencialmente devido ao fato destes eventos serem esporádicos.
Após está analise, podemos intuir o gráfico de probabilidade P1 que é uma curva com seu
máximo na projeção da ponta da metralhadora até o anteparo passando pela fenda 1 na
parede, ou seja, segmento AB.

Quando a fenda 1 é fechada e a fenda 2 é aberta, a análise é semelhante a que acabamos
de realizar para encontrar o resultado para a probabilidade P2. O resultado na Figura
2.7c mostra o gráfico de probabilidade P2 que é simétrico a curva P1 mas com seu máximo
na linha reta entre a metralhadora e o orifício 2, isto é, o segmento CD. O triângulo
COD mostra a região na qual há maior densidade de projéteis, que atravessam a fenda 2

e chegam no anteparo sobre o segmento CD, quando a fenda 1 está fechada.
Quando as duas fendas estão abertas, temos o gráfico de P12, mostrado na Figura 2d,

que é a combinação das curvas P1 e P2. Na literatura, normalmente (FEYNMAN et. al.,
2008; LOPES, 1992) este resultado é ampliado como na Figura 2.8 devido às finalidades
didáticas que residem na demonstração de que:

P12 (x) = P1 (x) + P2 (x) (2.1)

O resultado na expressão (2.1) mostra que a combinação das curvas P1(x) e P2(x) sig-

Figura 2.8: Probabilidades com as duas fendas abertas. a) probabilidades P1 e P2 sepa-
radamente. b) a soma de P1 + P2

nifica a simples soma das probabilidades para cada orifício aberto separadamente. Caso
o objetivo fosse encontrar o resultado mostrado na expressão (2.1), sem necessidade de
conhecer os gráficos de P1(x) e P2(x), poderíamos realizar a seguinte análise: como as ba-
las ou atravessam a fenda 1 (que denominaremos evento A) ou atravessam a fenda 2 (que
denominaremos evento B), segundo o teorema da probabilidade da união de dois eventos
(IEZZI e HAZZAN, 1985; LIMA et. al., 2006) mutuamente excludentes A ∩ B = �, isto

37



é, os eventos A e B não ocorrem simultaneamente13 temos:

P (A ∪B) = P (A) + P (B) (2.2)

o resultado na expressão 2.2 pode ser entendido da seguinte forma: se dois eventos A e B
são mutuamente excludentes, isso significa que não existe a probabilidade deles ocorrerem
ao mesmo tempo (é impossível que um único projétil atravesse as fendas 1 e 2 ao mesmo
tempo. Como a metralhadora é lenta, apenas uma bala é disparada por vez). Sendo
assim, a intersecção entre os eventos A e B nunca pode ocorrer, isto é, A∩B = �. Como
ocorre apenas o evento A (atravessar a fenda 1) ou o evento B (atravessar a fenda 2),
simbolicamente, podemos escrever P (A ∪ B). Está probabilidade pode ser rescrita como
a probabilidade de ocorrer o evento A mas não ocorrer o evento B, isto é, P (A− B), ou
ocorrer o evento B, P (B):

P (A ∪B) = P [(A−B) ∪ P (B)] (2.3)

como A−B e B são mutuamente excludentes, podemos separar numa soma de probabi-
lidades:

P (A ∪B) = P (A−B) + P (B) (2.4)

a probabilidade A−B pode ser reescrita como a probabilidade de ocorrer apenas o evento
A, P (A), menos a probabilidade de ocorrer o evento A simultaneamente ao evento B, ou
seja, P (A ∩B), desta forma:

P (A−B) = P (A)− P (A ∩B) (2.5)

substituindo a expressão (2.5) na expressão (2.4) e rearranjando os termos, teremos

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B) (2.6)

entretanto, a probabilidade P (A ∩ B) = 0, o que faz a expressão (2.6) se reduzir a
expressão (2.2), P (A ∪ B) = P (A) + P (B). Que substituindo as letras que representam
os eventos, pelo número que representa a fenda que o projétil atravessou, isto é, fazendo
P (A) = P1(x), P (B) = P2(x) e P (A∪B) = P12(x) o resultado se reduz a expressão (2.1)

encontrada quando intuímos os gráficos de probabilidade.
A Figura 2.7 mostra um gráfico com curvas de probabilidades contínuas que represen-

tam o resultado de experimento realizado com partículas clássicas, isto é, um experimento
13O termo simultaneidade usado neste contexto refere-se a teoria de probabilidades e restringe-se apenas

a dois eventos ocorrendo ao mesmo tempo. Diferentemente do princípio da simultaneidade da relatividade
especial.

38



discreto. Este fato pode causar problemas caso não seja identificado que o resultado é dis-
creto, mas a representação foi feita por uma linha contínua de densidade de probabilidade,
ou seja, o resultado discreto do experimento pode ser confundido devido a representação
escolhida. Está asserção que realizamos evidencia o porquê de escolhermos um quadro
quadriculado e impormos a regra de pintar quadrado por quadrado. O resultado não será
uma linha contínua. A linha contínua é uma aproximação do resultado.

39



Capítulo 3

Experimento da Dupla Fenda com
Ondas Clássicas

Antes de iniciarmos esta seção destacamos que a ordem da aplicação dos capítulos 2 e
3 pode ser invertida, isto é, pode-se inicialmente apresentar o experimento da dupla fenda
com ondas e em seguida o experimento da fenda dupla com partículas. Está opção de
ordem de assuntos, com ondas clássicas primeiro e, posteriormente partículas clássicas,
aparece em Nussenzveig (1998). A ordem deste trabalho é o mesmo seguido por Feynman
et. al., (2008). Nesta seção trabalharemos com o experimento da dupla fenda com ondas.
Inicialmente expomos a superposição de ondas e as condições de interferência construtiva
e destrutiva. Neste momento, usamos o primeiro experimento virtual denominado Onda
em Corda disponível no sítio eletrônico do PHET1 para mostrar visualmente, de forma
dinâmica, o benefício que o uso da atividade experimental simulada proporciona (FER-
REIRA, SOUZA FILHO; 2015), a superposição de ondas em uma corda. Em seguida,
discutimos o princípio de Huygens e a difração de ondas de água para uma fenda. Pro-
pomos a aplicação do questionário nesta etapa. Após esta etapa, utilizaremos o segundo
experimento virtual denominado Interferência de Ondas que também está disponível no
PHET com o objetivo de mostrar como surge franjas de interferência. O caminho se-
guido por Feynman et. al., (2008) em Lições de Física de Feynman: Mecânica Quântica é
uma experiência com ondas de água, que possui um arranjo experimental similar ao cons-
truído no experimento com partículas clássicas. Apresentaremos a versão de Feynman no
formulário desta seção.

3.1 Interferência de Ondas Unidimensionais

Inicialmente discutimos a interferência de ondas unidimensionais. Para tanto, de forma
simplificada Calçada e Sampaio (2001) define:

1Disponível em: https://phet.colorado.edu/pt_BR/. Acessado em 05 de outubro de 2015.

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Quando duas (ou mais) ondas atingem simultaneamente um dado ponto
de um meio no qual se propagam, esse ponto sofre um efeito resultante da
“soma” dos efeitos que cada onda produziria isoladamente no ponto. A
esse fenômeno dá-se o nome de interferência. A interferência é um fenô-
meno localizado, ficando restrito ao local onde ocorre a superposição das
ondas. Vale o denominado princípio da independência das ondas: nos
demais pontos do meio em que não há superposição, os efeitos produzi-
dos por uma onda ocorrem como se a outra não existisse.(CALÇADA;
SAMPAIO, 2001, p.416-17)

Para mostrar a interferência unidimensional de ondas utilizamos o experimento virtual
denominado Onda em Corda. A figura a seguir mostra a imagem de abertura do referido
aplicativo.

Figura 3.1: Experimento virtual Onda em corda. Visão de abertura do experimento antes
do início da atividade. (Retirado do PHET e adaptado pelo autor)

As discussões metodológicas para uso do experimento virtual estão no capítulo 6 deste
trabalho. Neste mesmo capítulo tentamos responder aos questionamentos sobre as limi-
tações desta ferramenta, impacto no ensino com este recurso e a viabilidade da atividade
experimental simulada. Por enquanto faremos uso da mesma sem uma prévia defesa de
suas potencialidades. Entretanto, no decorrer desta seção, as funcionalidades do uso de
atividades experimentais simuladas em aulas de física, se evidenciaram paulatinamente.

Quando apresentado o experimental virtual, sem nenhum receio, pode-se solicitar aos
alunos que explorem seus recursos. No caso especifico do recorrente aplicativo, ele se
inicia com uma dica de uso “Agite a Chave Inglesa!”. Aparece neste momento as primeiras
qualidades do experimento virtual, ele não quebra, é rápido, não consome material e pode
ser reiniciado a qualquer momento, ou de onde parou, ou desde o seu início como se nada
tivesse interagido com a experiência estudada.

Nosso objetivo é mostrar interferência unidimensional de uma onda. Para tanto, redu-
ziremos o experimento a uma situação ideal. Pode causar estranheza de início estabelecer
condições ideais ao experimento virtual, afinal, por ser uma atividade experimental simu-
lada não é o objetivo principal simular experiências ideais? Na verdade está resposta não é

41



trivial. Cada experimento virtual possui uma finalidade. Apenas explorando o aplicativo
saberemos com qual objetivo o mesmo foi construído. Entretanto, o experimento virtual
pode sim ser utilizado para experiências que não podem ser realizadas na bancada de um
laboratório.

Por estabelecer as condições ideais entendemos diminuir o amortecimento a um valor
nulo no botão amortecimento do aplicativo. Gerando um pulso, na função pulse, temos
três condições que poderão provocar ou não o retorno do pulso: i) Extremidade Fixa;
ii) Extremidade Solta; e iii) Infinita. As duas primeiras possibilidades retornam o pulso
para sua origem com a seguinte distinção: na extremidade fixa o pulso retorna invertido
devido a colisão com a parede. Já na extremidade solta o pulso retorna com a mesma
orientação que foi gerado. A terceira opção o pulso não retorna por não haver nenhum
meio refletor.

A primeira situação que pretendemos demonstrar é a interferência construtiva de on-
das. Para tanto, além de reduzir o amortecimento a zero, alteramos o valor da amplitude
para o valor máximo, isto é, 100. Escolhemos a extremidade solta e geramos o primeiro
pulso. Usamos a função pare para interromper o experimento e provocarmos o segundo
pulso, entretanto com amplitude 50. Continuamos o experimento solicitando a função
siga. A Figura 3.22 mostra o resultado destas condições iniciais solicitadas no Onda em
Corda.

Figura 3.2: Experimento virtual Onda em corda

Observe que a amplitude não possui unidade. Sendo assim, é necessário que façamos
esta inserção. Graças a função réguas podemos medir o tamanho do pulso. Quando
esta função é solicitada aparecem duas réguas, uma na vertical outra na horizontal, como
mostrado na Figura 3.3. Podemos assim medir o valor de a1 da Figura 3.2. Uma limitação
deste aplicativo é não possuir a opção de inserir sucessivas réguas.

2Dois pulsos a1 e a2 são mostrados na figura com suas respectivas orientações (as setas de orientação
do movimento do pulso e as representações das amplitudes por a1 e a2 são nossas).

42



Figura 3.3: Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da
esquerda é aproximadamente 9 cm (as setas de orientação são nossas).

Para o referencial das medidas de amplitudes, consideramos que o traçado amarelado
é o início da amplitude da onda e a parte superior da bolinha é o fim desta amplitude.
Este sistema de referência será adotado durante toda esta seção. Temos que a medida
da amplitude do pulso da esquerda na Figura 3.3 corresponde a aproximadamente 9 cm.
Caso houvesse a opção de inserir uma segunda régua, poderíamos medir simultaneamente
o pulso da direita e o pulso da esquerda. Diante desta limitação elaboramos a Figura 3.3

que mostra a medida da amplitude do pulso da esquerda. Como este laboratório virtual
disponibiliza a possibilidade de mover a régua com o experimento em pausa, apenas
carregamos a régua da Figura 3.3 para o pulso da direita e medimos sua amplitude, como
mostrado na Figura 3.4.

Figura 3.4: Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da direita
é aproximadamente 18 cm (setas de orientação são nossas).

Através da Figura 3.4 podemos observar que o pulso da direita possui medida de

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amplitude aproximadamente 18 cm. Sendo assim temos os seguintes dados:

a1 ≈ 9cm

a2 ≈ 18cm (3.1)

Calçada e Sampaio (2001) afirma que observaremos no momento da interferência a “soma”
dos efeitos que cada onda produziria isoladamente. Portanto, espera-se que encontremos
uma onda com amplitude de 27 cm, pois

a = a1 + a2 ≈ 9cm+ 18cm = 27cm (3.2)

munidos destas informações podemos verificar o que acontece na superposição dos dois
pulsos que aparecem na Figura 3.5. Aproximadamente, encontramos um valor próximo
de 27 cm. Demonstrando a seguinte relação nas situações que ocorrem interferência
construtiva

a = a1 + a2 (3.3)

onde a grandeza a é denominada amplitude resultante. Mostramos assim, como pode-se
chegar a uma relação matemática entre as amplitudes utilizando o recurso de atividade
experimental simulada.

Figura 3.5: Experimento virtual Onda em corda. Superposição dos dois pulsos. O valor
da amplitude resultante é aproximadamente 27 cm.

Para finalizar a discussão sobre interferência construtiva, mostramos o que ocorre com
os dois pulsos na Figura 3.6 depois da interferência na Figura 3.5.

A discussão para interferência destrutiva é similar com o que foi discutido na in-
terferência construtiva. Sendo assim, faremos as seguintes atividades: i) produziremos
dois pulsos invertidos e mediremos suas amplitudes antes da superposição (Figuras 3.7 e
3.8); ii) mediremos a amplitude resultante na figura de interferência (Figura 3.9) e; iii)

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Figura 3.6: Após a interferência os dois pulsos retornam suas características iniciais como
se nada houvesse ocorrido (as setas de orientação do movimento do pulso são nossas).

verificaremos se as características iniciais são recuperadas após o instante que ocorreu
a superposição das ondas (Figura 3.10). Realizada estas etapas analisaremos um caso
especial de interferência destrutiva para amplitudes iguais.

Para iniciar o experimento e verificarmos a interferência destrutiva definimos nova-
mente as condições na atividade experimental simulada Onda em Corda: i) reduzir o
amortecimento a zero; ii) alterar o valor da amplitude para o valor máximo, isto é, 100.
Escolhemos a extremidade solta e provocamos o primeiro pulso. Diferente do que foi
feito na interferência construtiva, esperamos o primeiro pulso retornar refletir com a base
do oscilador e se transformar em um pulso invertido; iii) utilizamos a função pare nova-
mente para interromper o experimento e provocarmos o segundo pulso, entretanto com
amplitude 50. Após realizada estas etapas produzimos as Figuras 3.7 e 3.8 que possuem
as réguas graduadas em centímetros para medirmos a amplitude nesta escala para cada
pulso. A Figura 3.8 ainda conta com as grandezas a1 e a2 indicadas para distinguirmos
as amplitudes do pulso da esquerda e da direita antes da superposição.

Através das Figuras 3.7 e 3.8 obtemos os valores aproximados das amplitudes dos dois
pulsos no experimento da interferência destrutiva. Obtemos os seguintes dados

a1 ≈ 18cm

a2 ≈ 9cm (3.4)

É importante ressaltar que o termo “soma” de efeitos nesta etapa revela-se como a sub-
tração das amplitudes. Isto deve-se ao fato de que um pulso está invertido em relação ao
outro. A superposição das ondas diminuirá a amplitude da onda resultante e este valor
respeitará a seguinte condição:

a1 > a ≥ a1 (3.5)

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Figura 3.7: Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da
esquerda é aproximadamente 18 cm (setas de orientação nossas).

Figura 3.8: Experimento virtual Onda em corda. O valor da amplitude do pulso da
direita é aproximadamente 9 cm (as setas de orientação do movimento do pulso e as
representações das amplitudes por a1 e a2 são nossas).

Esperamos que o valor da amplitude da onda resultante seja aproximadamente 9 cm.
Portanto, espera-se que encontremos uma onda com amplitude de 27 cm, pois:

a = a1 − a2 ≈ 18cm− 9cm = 9cm (3.6)

Enfim, podemos verificar o que acontece na superposição dos dois pulsos que é mostrado
na Figura 3.9. Aproximadamente, encontramos o valor de amplitude igual a 9 cm. Este
valor é aproximadamente o mesmo obtido por nossas suposições. Desta forma mostramos
a seguinte relação nas situações que ocorrem interferência destrutiva

a = a1 − a2 (3.7)

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Onde a grandeza a é novamente denominada amplitude resultante. Mostramos assim, as
duas relações de interferência unidimensionais. Para finalizar a discussão sobre inter-

Figura 3.9: Experimento virtual Onda em corda. Superposição dos dois pulsos. O valor
da amplitude resultante é aproximadamente 9 cm.

Figura 3.10: Experimento virtual Onda em Corda. Após a interferência os dois pulsos re-
tornam suas características iniciais como se nada houvesse ocorrido (as setas de orientação
do movimento dos pulsos são nossas).

ferência destrutiva, mostramos o que ocorre com os dois pulsos na Figura 3.10, depois
da interferência na Figura 3.9. Antes de analisarmos o último tópico da discussão sobre
interferência de ondas unidimensionais, discutimos uma limitação do experimento vir-
tual Onda em Corda. Realizamos sucessivas medidas de amplitudes de ondas para várias
posições diferentes dos pulsos provocados pelo oscilador. Ao final de tantas medidas,
preservar as condições iniciais estabelecidas no referencial de mensuração de amplitudes,
isto é, o traçado amarelado é o início da amplitude da onda e a parte superior da bolinha
é o fim desta amplitude, torna-se quase que inviável. Quando solicitada a ferramenta
Ver Ajuda deste aplicativo, aparecerá uma linha de referência móvel, como mostrado na

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Figura 3.11. Mesmo com esta ferramenta não podemos abandonar o termo aproximado
para cada medida de amplitude que é realizada. Duas possíveis soluções seriam:

a) Com plano de fundo do aplicativo uma grade fixa graduada ou;
b) Um vetor que medisse a amplitude a qualquer instante.

Figura 3.11: Experimento virtual Onda em Corda. Mostra a linha de referência móvel.

Destacamos ainda dois pontos. Primeiro, a limitação referida não inviabiliza o aplica-
tivo. Pelo contrário, sem grandes dificuldades pode ser mostrado as relações de interferên-
cia de ondas unidimensionais como acabamos de fazer. Segundo, este experimento virtual
pode ser utilizado para outros fins como: perda de energia devido ao amortecimento,
medidas de frequência com a função Cronômetro e, o importante estudo do movimento
harmônico simples.

O último ponto de interesse sobre interferência de ondas unidimensionais neste tra-
balho é quando temos dois pulsos invertidos com amplitudes iguais. Esta situação é
mostrada na Figura 3.12. Pela relação que encontramos anteriormente para interferência
destrutiva e sabendo que a1 = a2, temos:

a = a1 − a2 = 0 (3.8)

Quando a medida da amplitude resultante é nula, temos a denominada interferência
destrutiva total Calçada e Sampaio (2001). Para produzir este tipo de interferência,
estabelecemos as seguintes condições iniciais no experimento virtual Onda em Corda: i)
reduzir o amortecimento a zero; ii) manter o valor da amplitude em 50; iii) escolher
a extremidade solta. Neste momento provocamos o primeiro pulso e esperamos que ele
mude para um pulso invertido após o contato com o oscilador; iv) utilizamos a função pare
para interromper o experimento e provocarmos o segundo pulso, com a mesma amplitude
50. O momento da superposição das ondas é mostrado na Figura 3.13.

A Figura 3.14 evidencia o princípio da independência das ondas, isto é, os pulsos recu-
peram as características que possuíam antes da superposição. A interferência destrutiva

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Figura 3.12: Experimento virtual Onda em Corda. Os dois pulsos invertidos possuem
amplitudes iguais (as setas de orientação do movimento dos pulsos são nossas).

Figura 3.13: Experimento virtual Onda em Corda. Quando ocorre interferência destrutiva
total é destruído todos os efeitos que onda produziria.

total será útil nas discussões que se referem a interferência com ondas na dupla fenda.

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Figura 3.14: Experimento virtual Onda em Corda. Os dois pulsos recuperam suas carac-
terísticas anteriores a superposição (as setas de orientação do movimento dos pulsos são
nossas).

3.2 Difração de Ondas

Quando um trem de ondas retas de comprimento de onda λ encontra uma barreira
com um orifício, desde que este orifício seja da mesma ordem de grandeza de λ, as ondas
se “encurvam”. Este fenômeno que é mostrado na Figura 3.15 é denominado difração.

Figura 3.15: Efeito da Difração em um trem de ondas retas. O tamanho do orifício deve
ser menor ou igual ao comprimento de onda do trem de ondas.

Para explicar o fenômeno da difração, partimos do princípio de Huygens segundo
Calçada e Sampaio (2001):

Cada ponto de uma frente de onda comporta-se como fonte de “peque-
nas” ondas secundárias, que se propagam em todas as direções, com
velocidade igual à da onda principal. Após um intervalo de tempo ∆t, a
nova posição da frente de onda é a envoltória das frentes das ondas se-
cundárias. Por “envoltória das frentes das ondas secundárias” entende-se
a superfície que tangencia as frentes de ondas secundárias (CALÇADA;
SAMPAIO, 2001, p.409).

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Para entender o princípio de Huygens observemos a Figura 3.16 que mostra uma frente
de ondas S que se propaga num dado instante. Para descobrir a posição da frente de onda
S depois de um curto intervalo de tempo, Calçada e Sampaio (2001) propõem:

[...] S é a frente de onda no instante t, para uma onda que se propaga
com velocidade v. Para obter a posição S da frente de onda no ins-
tante t′ = t + ∆t, consideramos cada ponto de S como um emissor de
onda secundárias. Supondo que o meio seja homogêneo e isotrópico, a
velocidade de propagação será a mesma em todas as direções. Assim,
no instante t′, as frentes de ondas secundárias serão circunferências (ou
superfícies esféricas), de raio r = v · ∆t. A frente de onda S, no ins-
tante t′, é a superfície (ou linha) que tangencia todas as frentes de onda
secundárias (CALÇADA; SAMPAIO, 2001, p.409).

A Figura 3.16 sintetiza a asserção de Calçada

Figura 3.16: Efeito da Difração em um trem de ondas retas que atravessou um orifício. O
tamanho do orifício deve ser menor ou igual ao comprimento de onda do trem de ondas.

No experimento proposto por Feynman et. al. (2008) com ondas de água atravessando
duas fendas, as ondas sofrem difração nas fendas e, quando encontram o absorvedor (termo
que Feynman utiliza para uma parede que não reflete as ondas de água) temos um padrão
de franjas de interferência no detector. Optamos por não apresentarmos de forma direta
e objetiva este resultado que não é trivial, com a finalidade do aluno investigar a resposta
a um dado experimento “novo” que propomos na próxima seção.

Apresentamos agora a definição de difração segundo Bôas et. al. (2010) e colabora-
dores sobre o efeito de difração,

Chama-se difração de uma onda o encurvamento sofrido por seus raios
quando a onda encontra obstáculos à sua propagação. O fenômeno de
difração prova ser incorreta a generalização de que os raios de onda são
retilíneos (ainda que em meios homogêneos e isótopos) (Bôas et. al.,
2010, p.226).

Tendo em vista o término desta seção, realizamos a segunda observação: Os textos
referenciados nesta seção são de livros de física para o ensino médio. Caso este projeto
seja aplicado em um curso de graduação, sugerimos que esta etapa seja realizada de forma

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direta com a apresentação do experimento de ondas luminosas de Young.

3.3 Questionário 2 – Ondas no Experimento da Dupla

Fenda

Antes de prosseguirmos, revisamos a seguinte nomenclatura para ondas que aparece
na Figura 3.17. Tal denominação será útil na aplicação deste questionário

Figura 3.17: Representação de uma onda qualquer destacando a crista, o vale e o com-
primento de onda λ.

Na Figura 3.17, λ é o comprimento de onda. O comprimento de onda pode ser en-
tendido facilmente como a distância entre dois vales ou a distância entre duas cristas.
Entretanto, a distância entre dois pontos na onda, que tenha completado um ciclo, equi-
vale a λ.

Questão 1 Nas figuras a seguir determine qual o tipo de interferência e qual o valor
da amplitude resultante em função da amplitude a1 para cada situação

Figura 3.18: Questão 1 do questionário 2

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Texto de Apoio
Feynman sugere que pensemos agora em uma experiência com ondas de água: “Temos um

tanque raso com água. Um pequeno objeto chamado “fonte de ondas” é balançado para cima e

para baixo por um motor e faz ondas circulares. À direita da fonte temos de novo uma parede

com dois orifícios e mais adiante está a segunda parede, que para manter as coisas simples, é

um “absorvedor”, de forma que não há reflexão das ondas que chegam nele. Isso pode ser feito

construindo um tanque onde o nível de água gradualmente diminui. Na frente do absorvedor

colocamos o detector que pode ser movimentado para cima e para baixo na direção x, como

antes. O detector é agora um dispositivo que mede a “intensidade” do movimento ondulatório.

Você pode imaginar um aparelho que meça a altura do movimento ondulatório, mas cuja escala

seja calibrada proporcional ao quadrado da altura real, de forma que a leitura do aparelho é a

intensidade da onda. O detector lê então em proporção à energia sendo transportada pela onda

– ou seja, a taxa com que a energia é levada ao detector”.

Nas questões a seguir reproduzimos o anteparo com uma visão frontal no quadro
quadriculado de respostas. Para responder as questões utilize a seguinte regra: o local
que há maior possiblidade (intensidade) de que o projétil chegue, deve ter maior número
de quadrados pintados de baixo para cima no quadro quadriculado. Por exemplo, se na
posição−8 no meio da figura você acredita que haverá a maior probabilidade de que ocorra
incidência de projéteis, pinte os quadrados de baixo para cima no quadro quadriculado e
não especificamente na região onde você acredita que as balas chegarão.

Questão 2 - Antes do início do experimento cobrimos a fenda R de forma que por
esta fenda, nenhuma onda possa passar. Sabendo que o experimento mede a intensidade
do movimento ondulatório através da medida da altura, calibrada ao quadrado, pinte na
figura abaixo, qual será o local onde possivelmente as ondas atingirão o anteparo.

Figura 3.19: Questão 2 do questionário 2

Questão 3 – Da mesma forma que na Questão 2, antes do início do experimento
cobrimos a fenda S de forma que por esta fenda nenhuma onda possa passar. Sabendo

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que o experimento mede a intensidade do movimento ondulatório através da medida da
altura, calibrada ao quadrado, pinte na figura abaixo, qual será o local onde possivelmente
as ondas atingirão o anteparo.

Figura 3.20: Questão 3 do questionário 2

Questão 4 – Como no questionário sobre partículas, o experimento proposto por
Feynman pode ser representado de forma simples, como a seguir:

Figura 3.21: Representação do experimento de Feynman e colaboradores usando ondas
de água.

Observe que tanto na fenda 1 quanto na fenda 2 as ondas sofrem o efeito de difração.
Considere que as duas ondas difratadas, nas fendas 1 e 2, possuam a mesma frequência
e o mesmo comprimento de onda. Na Figura 3.21, utilizaremos a seguinte representação
que será adotada para responder a Questão 4 que aparece na Figura 3.22: cristas são
representadas por linhas contínuas e vales por linhas tracejadas.

Na Figura 3.23 pinte as bolinhas que representem interferência construtiva. O encontro
de duas ondas que provoquem uma interferência destrutiva não precisa ser pintado. Se a
interferência for construtiva existe um dado valor de intensidade que diminui conforme o

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Figura 3.22: Interferência bidimensional. Vista lateral na parte superior da figura e vista
de cima na parte inferior. F é uma fonte de ondas igual a de Feynman (representamos
cristas por linhas contínuas e vales por linhas tracejadas).

gráfico se afasta do centro. Se a interferência for destrutiva total, o valor de intensidade
é nulo. Definido todos os pontos do gráfico, plote o gráfico da onda que representa este
fenômeno.

Figura 3.23: Representação das duas ondas difratadas nas fendas 1 e 2. I é a intensidade
d