
 
UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
“JULIO DE MESQUITA FILHO” 

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS E CIÊNCIAS EXATAS 

  
Trabalho de Conclusão de Curso 

 
Curso de Graduação em Física 

 
UM ESTUDO DE TRANSIÇÃO DE FASES EM SISTEMAS DINÂMICOS 

 
Lucas Kenji Arima Miranda 

 
Prof. Dr. Edson Denis Leonel 

 
Rio Claro (SP) 

 
2021 


UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA  

Instituto de Geociências e Ciências Exatas  

Câmpus de Rio Claro  

 
Lucas Kenji Arima Miranda 

 
Um estudo de transição de fases em sistemas dinâmicos 

 
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado 

ao Instituto de Geociências e Ciências Exatas - 

Câmpus de Rio Claro, da Universidade 

Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho, 

como requisito parcial para obtenção do grau 

de Bacharel em Física. Orientador: Prof. Dr. 

Edson Denis Leonel.  
 

Rio Claro - SP 

2021 

 
M672e
Miranda, Lucas Kenji Arima

    Um estudo de transição de fases em sistemas dinâmicos / Lucas

Kenji Arima Miranda. -- Rio Claro, 2021

    48 f. : il.

    Trabalho de conclusão de curso (Bacharelado - Física) -

Universidade Estadual Paulista (Unesp), Instituto de Geociências e

Ciências Exatas, Rio Claro

    Orientador: Edson Denis Leonel

    1. Física. 2. Comportamento caótico nos sistemas. 3.

Transformações de fase (Física estatística). I. Título.

Sistema de geração automática de fichas catalográficas da Unesp. Biblioteca do Instituto de
Geociências e Ciências Exatas, Rio Claro. Dados fornecidos pelo autor(a).

Essa ficha não pode ser modificada.


AGRADECIMENTOS

Agradeço do fundo do coração por toda oportunidade, atenção, apoio e cuidado dado

por meu orientador, Prof. Edson Denis Leonel. Sou muit́ıssimo grato por todo trabalho

realizado até agora e por todo este novo mundo me proporcionado.

Sou eternamente grato a minha famı́lia, minha mãe; meu pai e; meu irmão, por todo

apoio direto, ou indiretamente me atribúıdo. Jamais teria sido capaz de realizar tais feitos

sem a ajuda e apoio de todos.

Agradeço também o apoio ao projeto de iniciação cient́ıfica pela Fundação de Amparo

à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP), processo n° 2020/10602-1, sendo este o

principal pilar para confecção deste Trabalho de Conclusão de Curso.

4


RESUMO

O tema abordado é a transição de fase dinâmica em sistemas Hamiltonianos, que é a

transição de integrabilidade para não integrabilidade. Utilizando a dinâmica definida por

um mapeamento discreto nas variáveis de ação I e ângulo θ, realizamos uma descrição

do comportamento da difusão caótica das part́ıculas para o mar de caos utilizando duas

metodologias. A primeira é uma descrição fenomenológica obtendo os expoentes cŕıticos

através de simulações numéricas, e a segunda é um resultado anaĺıtico obtido a partir da

solução da equação da difusão. A invariância de escala é observada no mar de caos levando

a uma difusão caótica universal. Esta é uma assinatura clara de que o sistema passa por

uma transição de fase. Nós investigamos também um conjunto de quatro perguntas que

caracterizam uma transição de fase: (1) identificar a quebra de simetria; (2) definir o

parâmetro de ordem; (3) identificar quem são as excitações elementares e; (4) detectar os

defeitos topológicos que impactam na difusão das part́ıculas.

Palavras-chave: Sistemas dinâmicos; Caos; Transição de fase; Difusão de part́ıculas.

5


ABSTRACT

The subject approached here is a dynamical phase transition observed in Hamiltonian

systems, which is a transition from integrability to non-integrability. Using the dyna-

mics defined by a discrete mapping on the variables action I and angle θ, we perform a

description of the behaviour of the chaotic diffusion to particles in the chaotic sea using

two methods. One is a phenomenological description obtaining the critical exponents via

numerical simulation, and the other is an analytical result obtained by the solution of

the diffusion equation. The scaling invariance is observed in the chaotic sea leading to an

universal chaotic diffusion. This is a clear signature that the system is passing through a

phase transition. We investigate a set of four questions that characterize a phase transi-

tion: (1) identify the broken symmetry; (2) define the order parameter; (3) identify what

are the elementary excitations and; (4) detect the topological defects which impact on the

transport of the particles.

Keywords: Dynamics systems; Chaos; Phase transition; Particles diffusion.

6


Sumário

1 Introdução 8

1.1 Sistemas dinâmicos, caos e transições de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Organização do trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Famı́lia de mapeamentos discretos e suas propriedades 11

2.1 Obtenção do mapeamento conservativo bidimensional . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Conservação de área no espaço de fases para o mapeamento de estudo . . . 15

2.3 Expoentes de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Obtenção dos pontos fixos eĺıpticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Posição da primeira curva invariante do tipo spanning . . . . . . . . . . . . 21

3 Descrição da difusão caótica de part́ıculas no mar de caos 25

3.1 Abordagem fenomenológica e os expoentes cŕıticos . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Simulações numéricas e obtenção dos três expoentes cŕıticos . . . . 28

3.2 Descrição anaĺıtica da ação quadrática média . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.1 Equação da Difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2.2 Solução da equação da difusão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Um insight sobre a transição de fase 39

4.1 (1) Quebra de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 (2) Parâmetro de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3 (3) Excitações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4 (4) Defeitos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5 Discussões e conclusão 43

6 Referências Bibliográficas 45

7


Caṕıtulo 1

Introdução

Neste primeiro Caṕıtulo introduziremos os conceitos básicos sobre sistemas dinâmicos

e suas principais caracteŕısticas. Abordaremos também uma breve caracterização das

transições de fases de forma a conectar como este estudo será aplicado neste trabalho.

1.1 Sistemas dinâmicos, caos e transições de fase

Em meados dos séculos XV e XVI, após as primeiras investigações sobre os sistemas

dinâmicos, Isaac Newton, utilizando o formalismo de leis matemáticas e equações do

movimento, introduziu o conceito de um sistema evoluindo no tempo [1, 2]. Esta ideia

orientou a f́ısica para o conceito conhecido como sistemas dinâmicos. Em um sistema

dinâmico descrito por leis e equações matemáticas temos que, a partir do conhecimento de

um estado configuracional inicial x0, dado em um instante de tempo t0, torna-se posśıvel

a obtenção de qualquer estado subsequente a este para qualquer tempo t > t0. Desta

forma, um sistema dinâmico refere-se essencialmente a mudanças [3], ou então, sistemas

que evoluem no tempo. De forma geral, estes sistemas podem ser classificados como

lineares e não lineares. Os lineares são majoritariamente caracterizados por possúırem

potências de primeira ordem em suas equações dinâmicas. Por outro lado, os não lineares

são aqueles que apresentam ordens diferentes de 1 em suas equações, ou mesmo, aqueles

descritos por funções do tipo seno; cosseno; exponenciais; logaŕıtmicas e; entre outras

funções não lineares.

Pode-se dizer que Henri Poincaré [4] foi o responsável pela grande revolução no que diz

respeito ao estudo dos sistemas dinâmicos. Ele trouxe um pensamento mais qualitativo

sobre estes sistemas, questionando a duração da estabilidade dos corpos presentes no

sistema solar [3]. Neste sentido, verificou também a sensibilidade às condições iniciais e

como esta impactaria em toda evolução do sistema estudado para longos tempos. Esta

abordagem encaminhou-se para um moderno assunto da dinâmica, cujas aplicações estão

8


muito além do estudo da mecânica celeste, o estudo sobre Caos.

A invenção dos computadores de alta velocidade, em meados de 1950, permitiram a

experimentação com modelos de equações que jamais seriam posśıveis anteriormente. Este

fato levou Edward Lorenz [5] a descobrir, em 1963, o movimento caótico de um ”atrator

estranho” em sua tentativa de entender os fenômenos de imprevisibilidade sobre a mete-

orologia do tempo. Desta forma, Lorenz verificou em seus trabalhos [5] que a solução de

suas equações oscilavam de maneira irregular e não periódica. Posteriormente confirmou

também a sensibilidade às condições iniciais, percebendo que simulações com duas con-

dições iniciais infinitesimalmente diferentes levavam a resultados imensamente distintos,

concluindo assim que os fenômenos meteorológicos seriam intrinsecamente impreviśıveis,

pois pequenos erros nas medidas dos estados atuais da atmosfera resultariam em previ-

sões completamente errôneas. Este último resultado recebeu o nome popular de efeito

borboleta (sensibilidade às condições iniciais).

Lorenz apresentou uma marcante estrutura no que diz respeito ao estudo de caos: ao

suas soluções de equações fossem graficadas em um plano tridimensional, estas trariam

um formato similar a de asas de uma borboleta, como pode ser observado pela Figura 1.1.

Este ficou conhecido como o atrator de Lorenz.

Figura 1.1: Ilustração do atrator de Lorenz em um plano tridimensional. Imagem extráıda e

modificada da Ref. [3].

Em determinados sistemas, como por exemplo os fluidos, a densidade e viscosidade

são parâmetros que podem colaborar com termos não lineares em suas equações dinâmi-

9


cas [1, 2]. Conforme será observado neste trabalho, a modificação destes parâmetros de

controle, em uma criticalidade espećıfica, poderá levar o sistema a uma transição de fase.

Uma transição de fase é facilmente identificada por uma mudança, às vezes abrupta, de

propriedades entre estados dinâmicos de um sistema, ou mesmo, nas estruturas espaciais

deste [6, 7]. Os fluidos clássicos constituem os exemplos mais familiares de transições de

fases, tais como: vapor-ĺıquido; vapor-sólido; ĺıquido-sólido e; entres outras.

As transições de fases podem ser classificadas em duas no que diz respeito ao comporta-

mento das derivadas da energia livre de Gibbs [8,9]. As transições que são acompanhadas

por uma descontinuidade nas derivadas de primeira ordem da energia livre do sistema são

chamadas de transições de fase de primeira ordem. Já aquelas que são acompanhadas por

descontinuidades de ordens superiores a 1 são denominadas transições de fase cont́ınuas.

Neste projeto utilizaremos um formalismo proposto em [10], que caracteriza uma tran-

sição de fase a partir de uma análise feita sobre quatro perguntas essenciais para esta des-

crição: (1) qual é a quebra de simetria do sistema; (2) qual é o parâmetro de ordem; (3)

quem são as excitações elementares e; (4) quais são os defeitos topológicos que impactam

no transporte de part́ıculas.

1.2 Organização do trabalho

Primeiramente, no Caṕıtulo 2 será apresentada uma famı́lia de mapeamentos discre-

tos obtidos a partir de uma função Hamiltoniana. Também mostraremos as principais

propriedades e caracteŕısticas do mapeamento conservativo estudado neste trabalho, tais

como: o espaço de fases; as ilhas periódicas e seus pontos fixos eĺıpticos; as curvas in-

variantes spanning e; o comportamento dos expoentes de Lyapunov. Seguindo para o

Caṕıtulo 3 faremos uma abordagem completa sobre a difusão das part́ıculas no mar de

caos utilizando duas metodologias. A primeira (Seção 3.1) é uma abordagem fenomenoló-

gica através de simulações numéricas em busca dos expoentes cŕıticos. A outra (Seção 3.2)

é uma descrição anaĺıtica a partir da solução da equação da difusão. Faremos também

uma comparação entre estes dois métodos identificando suas propriedades de escala, bem

como mostraremos a invariância de escala desta difusão presente no mar de caos. Já no

Caṕıtulo 4 responderemos às 4 perguntas essenciais que caracterizam uma transição de

fase, são elas: (1) qual é a quebra de simetria do sistema; (2) quem é o parâmetro de

ordem; (3) quais seriam as excitações elementares e; (4) quais são os defeitos topológicos

que impactam no transporte de part́ıculas. Por fim, no Caṕıtulo 5 é abordada uma dis-

cussão geral sobre os principais resultados obtidos neste trabalho, concluindo a descrição

da transição de fase observada para o mapeamento estudado.

10


Caṕıtulo 2

Famı́lia de mapeamentos discretos e suas

propriedades

Neste Caṕıtulo serão apresentados os passos que levam à obtenção de uma famı́lia de

mapeamentos discretos, que são descritos através de duas variáveis dinâmicas, ação I e

ângulo θ, a partir de uma função Hamiltoniana com dois graus de liberdade. Mostraremos

também algumas propriedades destes mapeamentos, tais como as condições que levam a

estes mapeamentos serem conservativos, os espaços de fases na transição estudada, bem

como suas principais estruturas: o mar de caos, as ilhas periódicas, os pontos fixos eĺıpticos

e as curvas invariantes do tipo spanning. O mar de caos será justificado a partir dos

resultados obtidos para os expoentes de Lyapunov na Seção 2.3.

2.1 Obtenção do mapeamento conservativo bidimensional

Nesta Seção discutiremos as propriedades dinâmicas apresentadas por uma famı́lia de

mapeamentos discretos. Estes mapeamentos serão obtidos através de uma função Hamil-

toniana com dois graus de liberdade [11]. Este sistema genérico pode ser caracterizado

por dois pares de variáveis canônicas:

(Ii, θi) i = 1, 2,

sendo I a ação do sistema e θ o ângulo.

A função Hamiltoniana genérica pode ser escrita como:

H(I1, θ1, I2, θ2) = H0(I1, I2) + εH1(I1, θ1, I2, θ2), (2.1)

onde H0 identifica a parte integrável do sistema e H1 caracteriza sua parte não integrável.

Este último é acompanhado de um parâmetro ε que será responsável por controlar a

transição de integrabilidade para não integrabilidade do sistema. De fato pode-se perceber

11


que ao passo em que o parâmetro de controle ε = 0, temos que não apenas a energia do

sistema é conservada como a ação I também é, de forma que:

H(I1, θ1, I2, θ2) −→ H(I1, I2) = H0(I1, I2). (2.2)

Em outras palavras, o número de graus de liberdade é igual ao número de constantes

do movimento, caracterizando assim um sistema integrável. É importante notarmos que

nestas condições a função Hamiltoniana torna-se independente das variáveis angulares θ1

e θ2, portanto temos que:

∂H0

∂θ1

=
∂H0

∂θ2

= 0. (2.3)

Por outro lado, quando ε 6= 0, temos uma quebra da integrabilidade, visto que apenas a

energia é conservada.

Pela expressão (2.1) podemos observar um fluxo quadridimensional de soluções para o

espaço de fases, contudo como a energia independe do tempo, temos que esta passa a ser

uma constante para o sistema, portanto é posśıvel eliminarmos uma das quatro variáveis.

É escolhida a variável I2, resultando assim em um fluxo tridimensional de soluções:

H = E −→ H = H(I1, θ1, E, θ2). (2.4)

É posśıvel também realizarmos uma interceptação deste fluxo por um plano constante

em θ2, sendo esta uma superf́ıcie de seção de Poincaré [11], levando assim este fluxo

tridimensional à um fluxo bidimensional de soluções (I1 vs. θ1) no espaço de fases.

Figura 2.1: Ilustração de um ”corte” feito pela superf́ıcie de seção de Poincaré em um fluxo

tridimensional. Figura retirada e adaptada de [12].

Um mapeamento genérico [11] que descreve esta dinâmica é dado por:In+1 = In + εh(θn, In+1)

θn+1 = [θn +K(In+1) + εp(θn, In+1)] mod(2π)
. (2.5)

12


Aqui o ı́ndice n representa o processo iterativo do mapeamento, h(θn, In+1), K(In+1) e

p(θn, In+1) são quaisquer funções não lineares em suas variáveis e ε identifica o parâmetro

que controla a intensidade da não linearidade do sistema. É importante notar também

que a variável angular θn+1 está modulada em [0, 2π].

Como o mapeamento (2.5) foi obtido através de um Hamiltoniano, a área em seu

espaço de fases deve ser preservada [1, 2, 13]. Esta condição será satisfeita quando a

determinante da matriz Jacobiana for igual a unidade. Esta matriz pode ser dada pela

seguinte expressão:

J =

[
∂In+1

∂In

∂In+1

∂θn
∂θn+1

∂In

∂θn+1

∂θn

]
, (2.6)

em que os termos da matriz são dados por:

• ∂In+1

∂In
= 1 + ∂εh(θn,In+1)

∂In+1

∂In+1

∂In
= 1

1− ∂εh(θn,In+1)

∂In+1

;

• ∂In+1

∂θn
=
�
��

0
∂In
∂θn

+ ∂εh(θn,In+1)
∂In+1

∂In+1

∂θn
+ ∂εh(θn,In+1)

∂θn �
��

1
∂θn
∂θn

= ∂εh(θn,In+1)
∂In+1

∂In+1

∂θn
+ ∂εh(θn,In+1)

∂θn
;

• ∂θn+1

∂In
=
�
��

0
∂θn
∂In

+ ∂Kn+1

∂In+1

∂In+1

∂In
+ ∂εp(θn,In+1)

∂In+1

∂In+1

∂In
=
[
∂Kn+1

∂In+1
+ ∂εp(θn,In+1)

∂In+1

]
∂In+1

∂In
e;

• ∂θn+1

∂θn
= 1 + ∂Kn+1

∂In+1

∂In+1

∂θn
+ ∂εp(θn,In+1)

∂In+1

∂In+1

∂θn
+ ∂εp(θn,In+1)

∂θn �
��

1
∂θn
∂θn

−→

−→ ∂θn+1

∂θn
=
(

1 + ∂εp(θn,In+1)
∂θn

)
+
[
∂Kn+1

∂In+1
+ ∂εp(θn,In+1)

∂In+1

]
∂In+1

∂θn
.

A determinante da matriz Jacobiana pode ser escrita por:

detJ = det

[
∂In+1

∂In

∂In+1

∂θn
∂θn+1

∂In

∂θn+1

∂θn

]
=
∂In+1

∂In

∂θn+1

∂θn
− ∂In+1

∂θn

∂θn+1

∂In
. (2.7)

Substituindo apenas os termos J12 e J21 temos que:

detJ =
(

1 + ∂εp(θn,In+1)
∂θn

)
∂In+1

∂In
+
(((

((((
(((

((((
((([

∂Kn+1

∂In+1
+ ∂εp(θn,In+1)

∂In+1

]
∂In+1

∂θn

∂In+1

∂In
−

−
(((

((((
(((

((((
((([

∂Kn+1

∂In+1
+ ∂εp(θn,In+1)

∂In+1

]
∂In+1

∂θn

∂In+1

∂In
, (2.8)

desta forma temos que:

detJ =
1 + ∂εp(θn,In+1)

∂θn

1− ∂εh(θn,In+1)
∂In+1

(2.9)

Este mapeamento genérico preserva área somente sobre a condição em que detJ = 1,

portanto:

13


∂p(θn, In+1)

∂θn
+
∂h(θn, In+1)

∂In+1

= 0. (2.10)

Considerando p(θn, In+1) = 0 e h(θn, In+1) = sin (θn) obtemos diferentes sistemas

dinâmicos bem conhecidos na literatura, tais como:

• K(In+1) = In+1, chamado de mapeamento padrão [14–16];

• K(In+1) = 2/In+1, que é o modelo de Fermi-Ulam [17,18];

• K(In+1) = ζIn+1, que descreve o modelo bouncer [19], com ζ sendo uma constante ;

• K(In+1) = In+1 + ζI2
n+1, é obtido o mapa loǵıstico twist [20] e;

• para o caso em que

K(In+1) =

4ζ2(In+1 −
√
I2
n+1 − 1/ζ2) In+1 > 1/ζ

4ζ2In+1 In+1 ≤ 1/ζ
,

com ζ constante, obtemos o modelo de Fermi-Ulam bouncer [21–23].

Para este projeto são consideradas as seguintes transformações: h(θn, In+1) = sin(θn),

p(θn, In+1) = 0 e K(In+1) = 1
|In+1|γ , sendo γ > 0. Portanto, é obtido o seguinte mapea-

mento de estudo: In+1 = In + ε sin θn

θn+1 =
[
θn + 1

|In+1|γ

]
mod(2π)

. (2.11)

Nota-se que para este mapeamento temos a existência de dois diferentes parâmetros de

controle. Um deles é ε, que controla a intensidade da não linearidade do sistema. Para

ε = 0 o espaço de fases apresenta apenas estruturas regulares e periódicas, portanto

simétricas, como pode ser observado pela Figura 2.2(a). Por outro lado, para ε 6= 0 a

regularidade é quebrada e o espaço de fases passa a ser misto, composto pelo mar de caos,

ilhas de periodicidade e por curvas invariantes spanning, como visto pela Figura 2.2(b).

O outro é γ > 0, esta escolha é feita para controlar a velocidade da divergência

do ângulo θ no limite em que a ação I é suficientemente pequena. De fato, percebe-se

que no momento em que a ação I é muito pequena, o termo θn + 1
|In+1|γ diverge, não

apresentando correlação entre θn+1 e θn. Assim, o comportamento de sin (θn) torna-se

totalmente aleatório, trazendo então órbitas caóticas para a dinâmica do sistema. Na

medida em que I passa a crescer, estas variáveis angulares passam a apresentar correlação

entre si e portanto passam a apresentar regularidade no espaço de fases, sendo identificada

pelas ilhas periódicas e curvas invariantes.

14


Figura 2.2: Espaço de fases para o mapeamento (2.11) com γ = 1 e: (a) ε = 0 e; (b) ε =

10−3. Em (a) o espaço de fases apresenta uma dinâmica periódica e regular, e é

simétrico. Em (b) o espaço de fases torna-se misto, com a presença do mar de caos,

ilhas periódicas (centradas por pontos fixos eĺıpticos demarcados em vermelho) e as

primeiras curvas invariantes do tipo spanning identificadas pelas curvas azuis. A

letra m caracteriza a frequência da função seno.

2.2 Conservação de área no espaço de fases para o mapea-

mento de estudo

Os coeficientes da matriz Jacobiana para o mapeamento (2.11) serão dados por:

• ∂In+1

∂In
= ∂(In+ε sin θn)

∂In
= 1;

• ∂In+1

∂θn
= ∂(In+ε sin θn)

∂θn
= ε cos (θn);

• ∂θn+1

∂In
= ∂(θn+|In+1|−γ)

∂In
= − γ

|In+1|γ+1

∂|In+1|
∂In

= − γ
|In+1|γ+1 (±1) e;

• ∂θn+1

∂θn
= ∂(θn+|In+1|−γ)

∂θn
= 1− γ

|In+1|γ+1

∂|In+1|
∂θn

= 1− γ
|In+1|γ+1 ε cos (θn)(±1).

Igualmente que em (2.7), temos que a determinante da matriz Jacobiana detJ pode

ser escrita por:

detJ = det

[
∂In+1

∂In

∂In+1

∂θn
∂θn+1

∂In

∂θn+1

∂θn

]
=
∂In+1

∂In

∂θn+1

∂θn
− ∂In+1

∂θn

∂θn+1

∂In
. (2.12)

Substituindo na equação (2.12) os termos da matriz encontrados, obtemos que:

15


detJ = 1−
���

���
���

���γ

|In+1|γ+1
ε cos (θn)(±1)

((((
((((

(((
((((

(

−
[
−ε cos (θn)

γ

|In+1|γ+1
(±1)

]
,

=⇒ detJ = 1 . (2.13)

Segundo o Teorema de Liouville [24], seja dAn = dIndθn um elemento infinitesimal de

área no espaço de fases, ao realizarmos uma transformação nas variáveis ação I e ângulo

θ de um instante n para n+ 1, a transformação de área nesses instantes será dada por:

dAn+1 = (detJ)dAn, (2.14)

desta forma, como observado pela Eq. (2.13), temos que detJ = 1, portanto podemos

concluir que existe uma conservação de área no espaço de fases, embora a forma geométrica

possa variar.

2.3 Expoentes de Lyapunov

Os expoentes de Lyapunov são utilizados para determinação de caos nos sistemas

dinâmicos [1,2]. Estes indicarão se as órbitas estudadas são senśıveis às condições iniciais.

Seguindo o mesmo procedimento que em [25], primeiramente será realizado o cálculo

teórico dos expoentes de Lyapunov para mapeamentos unidimensionais, e posteriormente

este conceito será expandido para o caso bidimensional.

Dado um mapa unidimensional escrito pela seguinte expressão:

xn+1 = f(xn), (2.15)

em que x são os posśıveis estados configuracionais do sistema e f é uma função de operação

do mapeamento. Ao evoluirmos este mapeamento para a n-ésima iteração, terá sido criada

uma órbita. Desta forma, é definida a distância entre duas órbitas, na n-ésima iteração

como:

d = |f (n)(x0 + ε)− f (n)(x0)|, (2.16)

onde x0 identifica uma condição inicial e ε é uma pequena perturbação sobre x0.

Podemos definir também a distância relativa d/ε e admitir que esta razão tenha um

comportamento exponencial do tipo d/ε ≡ eλn, sendo que λ é definido como o expoente

de Lyapunov. Como mencionado, ε é um fator muito pequeno, portanto considerando

ε→ 0 temos que:

lim
x→0

d

ε
= lim

x→0

∣∣∣∣f (n)(x0 + ε)− f (n)(x0)

ε

∣∣∣∣ = eλn. (2.17)

16


Da equação (2.17), podemos notar que ao passo em que o expoente de Lyapunov λ

for positivo (λ > 0), temos um afastamento exponencial das órbitas geradas a partir do

fornecimento de duas condições iniciais muito próximas, portanto uma confirmação de

caos (sensibilidade à condições iniciais). Por outro lado, se λ ≤ 0 teremos que as órbitas

permanecem próximas (λ < 0), ou então sofrerão um afastamento linear (λ = 0), estes

dois casos indicam órbitas não caóticas pelo sistema.

Podemos notar que o limite escrito em (2.17) é exatamente a definição de derivada,

portanto podemos reescrevê-la da seguinte forma:

lim
x→0

∣∣∣∣f (n)(x0 + ε)− f (n)(x0)

ε

∣∣∣∣ = |f ′(n)(x0)| = eλn. (2.18)

Tomando a função logaŕıtmica de ambos os lados da equação (2.18) temos que:

λn = ln |f ′(n)(x0)| = ln |f ′(xn−1)f ′(xn−2)f ′(xn−3)...f ′(x0)|. (2.19)

Pela propriedade logaŕıtmica (ln (A.B) = ln (A) + ln (B)) e também isolando o expoente

de Lyapunov λ, temos que:

λ =
1

n

n−1∑
i=0

ln |f ′(xi)|. (2.20)

A convergência do expoente de Lyapunov será dada para um número de iterações sufici-

entemente grande, portanto:

λ = lim
n→∞

1

n

n−1∑
i=0

ln |f ′(xi)|. (2.21)

Agora, para estender este procedimento para mapeamentos bidimensionais, como por

exemplo o estudado neste trabalho (2.11), os expoentes de Lyapunov serão dados pela

seguinte expressão:

λj = lim
n→∞

1

n
ln |Λ(j)

n |, (2.22)

em que o ı́ndice j = 1, 2 e Λ
(j)
n identifica os autovalores da matriz M =

∏n
i=1 Ji(Ii, θi) =

JnJn−1Jn−2...J2J1, sendo que J é a matriz Jacobiana do mapeamento avaliada na órbita

(Ii, θi). Como os expoentes de Lyapunov são avaliados para um número grande de ite-

rações n, o produtório das matrizes Jacobianas Ji pode levar a uma indeterminação de

seus coeficientes (overflow), não sendo viável esta aplicação. Contudo, um algoŕıtimo de

triangularização criado por Eckmann e Ruelle [26] nos permite reescrevermos a matriz

Jacobiana J em termos do produto J = ΘT , em que Θ é uma matriz ortogonal, i.e. sua

inversa é igual a transposta [27] (Θ−1 = Θt) e; T é uma matriz triangular superior. Estes

últimos são escritos por:

17


Θ =

(
cos (θ) − sin (θ)

sin (θ) cos (θ)

)
, (2.23)

e que,

T =

(
T11 T12

0 T22

)
. (2.24)

A matriz M pode ser reescrita convenientemente da seguinte forma:

M = Jn−1Jn−2...J2(I)J1 = Jn−1Jn−2...J2Θ1Θ−1
1 J1, (2.25)

desta forma podemos definir T1 = Θ−1
1 J1 e J̃2 = J2Θ1, assim temos que:

M = Jn−1Jn−2...J3Θ2Θ−1
2 J̃2T1. (2.26)

Agora realizando o mesmo procedimento para T2 = Θ−1
2 J̃2. Podemos perceber que

o algoritmo resumiria-se a analisar os elementos de T . Desta forma, para que possamos

obtê-los, usaremos que T1 = Θ−1
1 J1, portanto:(

T11 T12

0 T22

)
=

(
cos (θ) sin (θ)

− sin (θ) cos (θ)

)(
j11 j12

j21 j22

)
. (2.27)

O elemento T21 da matriz T1 nos leva a seguinte relação:

−j11 sin (θ) + j21 cos (θ) = 0 =⇒

=⇒ sin (θ)

cos (θ)
=
j21

j11

. (2.28)

Elevando todos os termos da Eq. (2.28) ao quadrado e utilizando a relação fundamental

da trigonometria (cos2 (θ) = 1− sin2 (θ)), temos que:

sin2 (θ)

1− sin2 (θ)
=
j2

21

j2
11

=⇒ sin2 (θ)[j2
11 + j2

21] = j2
21 =⇒

=⇒ sin (θ) =
j21√

j2
11 + j2

21

, (2.29)

consequentemente,

cos (θ) =
j11√

j2
11 + j2

21

(2.30)

Desta forma, como temos que T11 = j11 cos (θ) + j21 sin (θ) e T22 = −j12 sin (θ) + j22 cos (θ)

pela Eq.(2.27), podemos utilizar as equações (2.29) e (2.30) para obter os elementos da

diagonal principal da matriz T1 (T11 e T22), portanto:

18


T11 = j11
j11√

j2
11 + j2

21

+ j21
j21√

j2
11 + j2

21

=
j2

11 + j2
21√

j2
11 + j2

21

, (2.31)

e também,

T22 = −j12
j21√

j2
11 + j2

21

+ j22
j11√

j2
11 + j2

21

=
j11j22 − j12j21√

j2
11 + j2

21

. (2.32)

Agora basta obtermos J̃2 = J2Θ1, que pode ser dado pela expressão:(
j̃11 j̃12

j̃21 j̃22

)
=

(
j11 j12

j21 j22

)(
cos (θ) − sin (θ)

sin (θ) cos (θ)

)
, (2.33)

desta forma este procedimento utilizado para a obtenção dos elementos T11 e T22 da matriz

Tn=1 (primeira iteração) deve ser repetido até o final da série de matriz J1J2...Jn−2Jn−1Jn.

Portanto, os expoente de Lyapunov serão dados por:

λj = lim
n→∞

n∑
i=1

ln |T (i)
jj |, j = 1, 2. (2.34)

Em sistemas Hamiltonianos (como é o caso deste trabalho), os expoentes de Lyapunov

aparecerão em pares e com sinais contrários [25], de forma que λ1 +λ2 +λ3 + ...+λnpar = 0,

ou mesmo,
∑npar

i=1 λi = 0.

Figura 2.3: Convergência do expoente de Lyapunov positivo para 5 diferentes condições iniciais

de θ0 evolúıdas 108 iterações para I0 = 10−4ε. Os parâmetros utilizados foram

ε = 10−3 e γ = 1. O valor médio do expoente obtido foi λ̄ = 1, 63(1).

19


A Figura 2.3 mostra a convergência do expoente de Lyapunov positivo dado pela

equação (2.34) para cinco diferentes condições iniciais de θ0, iteradas 108 vezes na região

de mais baixa ação do espaço de fases (I0 = 10−3ε), o mar de caos. O valor assintótico

obtido no regime de saturação das curvas foi de λ̄ = 1, 63(1), portanto indicando um

comportamento caótico para o mapeamento (2.11).

Podemos também avaliar o comportamento de λ̄ em função do parâmetro de controle

ε, como pode ser visto pela Figura 2.4. Podemos notar que o expoente de Lyapunov médio

não exibe variação representativa em resposta ao parâmetro de controle ε.

Figura 2.4: Comportamento de λ̄ em função do parâmetro de controle ε para γ = 1.

2.4 Obtenção dos pontos fixos eĺıpticos

Um ponto fixo pode ser definido da seguinte forma [28]: seja uma função f : S −→ S

sendo S um conjunto genérico, dado que x∗ ∈ S, se f(x∗) = x∗ então x∗ é dito um ponto

fixo de f .

Como visto em [1], podemos tomar este conceito para avaliar os pontos fixos de um

mapa discreto iterativo genérico, que é dado por:

xn+1 = f(xn). (2.35)

A obtenção dos pontos fixos x∗ deste mapeamento unidimensional pode ser feita a partir

da condição:

x∗ = xn+1 = xn, (2.36)

desta forma, os pontos fixos para o mapeamento bidimensional (2.11) são obtidos pelas

condições [1, 3, 28]:

20


In+1 = In = I∗,

θn+1 = θn = θ∗ + 2mπ, m = 1, 2, 3, ...
(2.37)

Aqui I∗ e θ∗ são as coordenadas para os pontos fixos apresentados pelo mapeamento

(2.11). O termo 2mπ refere-se à periodicidade da segunda expressão dada no mapa mo-

dulada em 2π. Aplicando o resultado da equação (2.37) no mapeamento (2.11), temos

que:

SSI = SSI + ε sin (θ∗),

AAθ + 2mπ = AAθ +
1

|I∗|γ
,

=⇒
sin(θ∗) = 0,

I∗ = ±
(

1

2mπ

) 1
γ

,

logo temos que:

=⇒

θ∗ = kπ k = 0, 1, 2, ...

I∗ = ±
(

1
2mπ

) 1
γ

. (2.38)

Pode-se notar que pelo mapeamento (2.11) a variável angular θn+1 está modulada em

2π, desta forma pela equação (2.38) o espaço de fases possuiria apenas pontos fixos para

valores de k = 0, 1, portanto temos que as coordenadas de ação e ângulo que definem os

pontos fixos serão dados por:

(θ∗, I∗) =

0,±
(

1
2mπ

) 1
γ

π,±
(

1
2mπ

) 1
γ︸ ︷︷ ︸

Pontos F ixos

. (2.39)

Observando a Figura 2.2(b) podemos notar a existência de um grupo de ilhas periódi-

cas. Os pontos centrais à estas ilhas, identificados em vermelho, são denominados pontos

fixos eĺıpticos. As condições iniciais dadas nas proximidades de um ponto fixo eĺıptico for-

mam as ilhas periódicas ao serem iteradas pelo mapeamento. A Figura 2.2(b) nos mostra

alguns destes pontos fixos eĺıpticos (m = 5, 6 e 7) em boa concordância com a Eq. (2.39).

2.5 Posição da primeira curva invariante do tipo spanning

O mar de caos visto no espaço de fases é limitado pelas primeiras curvas invariantes

do tipo spanning. Elas previnem que uma órbita caótica se difunda ilimitadamente. A

curva mais baixa determina uma região de transição de um caos local (acima da curva)

para um caos global (abaixo da curva).

21


Figura 2.5: Parte do gráfico do espaço de fases para ε = 10−3 e γ = 1, comparando o resultado

teórico da equação (2.52) obtido para a posição da primeira curva invariante do tipo

spanning Ĩ (curva em vermelho), com o observacional, através da identificação da

quebra de estruturas (curva azul).

A partir da Figura 2.5, nota-se que considerando ε = 10−3 e para I >> ε, as flutuações

da curva invariante spanning são muito pequenas ao serem comparadas com o mar de

caos. Portanto, torna-se posśıvel assumirmos [13,25] que em sua proximidade, a dinâmica

apresentada pela ação I pode ser dada por:

In = Ĩ + ∆In, (2.40)

consequentemente,

In+1 = Ĩ + ∆In+1, (2.41)

onde Ĩ corresponde a um valor caracteŕıstico de I ao longo da curva invariante spanning

e ∆I é uma pequena perturbação feita sobre Ĩ. É importante acentuar que esta apro-

ximação teórica é apenas adequada para pequenos valores de ε, i.e. perto da transição

22


de integrabilidade (ε = 0) para não integrabilidade (ε 6= 0), não sendo eleǵıvel em outros

casos.

Utilizando o resultado apresentado pela Eq. (2.41), a primeira equação do mapeamento

em (2.11) pode ser escrita como:

AÃI + ∆In+1 = AÃI + ∆In + ε sin θn =⇒ ∆In+1 = ∆In + ε sin θn . (2.42)

Considerando esta mesma aproximação para a segunda equação do mapeamento (2.11)

temos que:

θn+1 = θn +
1[

Ĩ + ∆In+1

]γ =⇒ θn+1 = θn +
[
Ĩ + ∆In+1

]−γ
=⇒

=⇒ θn+1 = θn +
1

Ĩγ

[
1 +

∆In+1

Ĩ

]−γ
. (2.43)

Como ∆In+1 é assumido infinitesimalmente pequeno temos que ∆In+1

Ĩ
→ 0, portanto

torna-se posśıvel realizarmos uma expansão em série de Taylor em torno de ∆In+1

Ĩ
= 0

(série de Maclaurin):

(
1 +

∆In+1

Ĩ

)−γ
= (1 + [0])−γ +

[
−γ(1 + [0])−(γ+1)

] ∆In+1

Ĩ
+

Ordens superiores︷ ︸︸ ︷... =⇒

=⇒
(

1 +
∆In+1

Ĩ

)−γ
= 1− γ∆In+1

Ĩ
. (2.44)

Desta forma, substituindo a expressão destacada em (2.44) na equação (2.43) temos

que:

θn+1 = θn +
1

Ĩγ

[
1− γ∆In+1

Ĩ

]
=⇒ θn+1 = θn +

1

Ĩγ
− γ∆In+1

Ĩγ+1
. (2.45)

Agora, para estabelecermos uma relação com o “mapa padrão” [14–16], a equação

(2.41) será multiplicada pelo termo −γ
Ĩγ+1 , assim temos que:

− γ∆In+1

Ĩγ+1
= −γ∆In

Ĩγ+1
− γε sin θn

Ĩγ+1
, (2.46)

também somaremos 1
Ĩγ

em ambos os lados da equação (2.46), adquirindo:

1

Ĩγ
− γ∆In+1

Ĩγ+1
=

1

Ĩγ
− γ∆In

Ĩγ+1
− γε sin θn

Ĩγ+1
. (2.47)

23


Por conveniência, são definidas as seguintes variáveis:Jn+1 = 1
Ĩγ
− γ∆In+1

Ĩγ+1 ,

φn = θn + π.
(2.48)

Portanto torna-se posśıvel reescrevermos as equações (2.47) e (2.45) da seguinte forma:Jn+1 = Jn + γε

Ĩγ+1 sin (φn)

φn+1 = φn + Jn+1

. (2.49)

Podemos observar que a última definição em (2.48) (φn = θn + π), ao ser aplicada no

argumento da função seno, de fato é verificada através da propriedade trigonométrica da

soma de dois arcos, retornando assim o valor positivo no fator conjunto ao seno, observado

na primeira equação em (2.49):

sin (θn) = sin (φn − π) = sin (φn)���
��:−1

cos (−π) +���
��:0

sin (−π) cos (φn) = − sin (φn). (2.50)

Observando o novo mapeamento obtido em (2.49) podemos verificar que o mapeamento

inicial (2.11), nas proximidades de uma curva invariante do tipo spanning, é descrito pelo

mapa padrão. Também podemos identificar um parâmetro de controle efetivo, dado por:

Kef =
γε

Ĩγ+1
. (2.51)

Como discutido em [11,14,29], próximo a transição de um caos local para o global (i.e.

nas proximidades da primeira curva invariante spanning), Kef ' 0, 9716..., portanto o

valor teórico obtido para a posição da primeira curva invariante do tipo spanning Ĩ pode

ser dado por:

Ĩ =

[
γε

0, 9716

] 1
γ+1

. (2.52)

A Figura 2.5 mostra que o resultado teórico Ĩ obtido pela equação (2.52) está bem de

acordo com a posição da curva invariante spanning (fisc) identificada observacionalmente

para o espaço de fases do mapeamento (2.11) para os parâmetros de ε = 10−3 e γ = 1. As

órbita caóticas no mar de caos não podem adentrar às ilhas periódicas, ao mesmo tempo

em que também não poderão cruzar pelas primeiras curvas invariantes spanning, em troca

de violar o teorema de Liouville.

24


Caṕıtulo 3

Descrição da difusão caótica de part́ıculas

no mar de caos

Neste Caṕıtulo serão abordados duas metodologias para investigarmos a caracterização

da difusão das part́ıculas no mar de caos para o espaço de fases referente ao mapeamento

conservativo (2.11). A primeira é uma abordagem fenomenológica através de processos

iterativos e simulacionais. A outra será uma descrição anaĺıtica a partir da solução da

equação da difusão. Faremos também uma comparação entre estes dois métodos de forma

a identificar suas propriedades de escala, bem como mostrar a invariância de escala pre-

sente no mar de caos, sendo este um grande indicativo de que o sistema experimenta uma

transição de fase.

3.1 Abordagem fenomenológica e os expoentes cŕıticos

Aqui discutiremos algumas propriedades que são observados para o mar de caos através

de uma descrição fenomenológica [24]. Como visto no espaço de fase, o mar de caos é

limitado pela primeira curva invariante spanning. Ele permite que a part́ıcula se espalhe ao

longo do eixo da ação. A fim de caracterizar as propriedades de escala da ação média, ou

seja, a difusão de part́ıculas no mar caótico, usamos o mesmo procedimento de [1,2,13,25],

uma vez que este formalismo já foi aplicado para diversos outros sistemas e mapeamentos

com grande êxito [30–38].

Podemos verificar que como a parte positiva (I > 0) é simétrica a parte negativa

(I < 0) no espaço de fases, fica claro que a ação média I = 0, não sendo um bom candidato

à descrever as propriedades de escala. Desta forma, será utilizada a ação quadrática média

I2, que define então Irms =
√
I2. O observável Irms será dado através de duas médias:

25


Irms =

√√√√ 1

M

M∑
i=1

[
1

n

n∑
j=1

I2
i,j

]
, (3.1)

em que M identifica o número de condições iniciais utilizadas, e n caracteriza o número de

iterações do mapeamento. O somatório em i identifica a média do conjunto de condições

iniciais utilizadas, já o somatório em j corresponde a média das órbitas produzidas pela

iteração do mapeamento. É definido então uma média no ensemble de condições iniciais

do sistema.

Figura 3.1: Gráfico de Irms vs. n para γ = 1; 3 diferentes parâmetros de controle ε e; 2 diferentes

números de condições iniciais M . Os śımbolos preenchidos identificam as curvas

para um conjunto de M = 1000 condições iniciais, já os śımbolos não preenchidos

representam as curvas feitas para um ensemble de M = 10 condições iniciais. Todas

as condições iniciais utilizadas foram de M valores de θ ∈ [0, 2π] uniformemente

distribúıdos para um valor inicial I0 = 10−3ε.

A Figura 3.1 mostra o gráfico de Irms × n para γ = 1, três diferentes parâmetros de

controle ε e dois diferentes números de condições iniciais M . Foram utilizados M valores

iniciais de ângulo θ ∈ [0, 2π] escolhidos uniformemente distribúıdos para uma ação inicial

fixa I0 = 10−3ε.

Nesta figura foram apresentadas três curvas considerando M = 1000, identificadas

pelos śımbolos preenchidos, e três curvas para M = 10 (śımbolos não preenchidos). Esta

26


comparação foi realizada para identificarmos a influência apresentada pelo número de

condições iniciais M ao serem feitas as médias no ensemble de condições iniciais. Desta

forma, dado um número pequeno de condições iniciais a curva da ação quadrática mé-

dia Irms pelo tempo n passam a apresentar certas irregularidades e oscilações ao longo

da mesma. Por outro lado, aquelas associadas à números maiores de condições iniciais

denotam maior simetria e atenuação. Verifica-se assim que, quanto maior o número de

condições iniciais utilizadas para a realização das médias, melhor é o resultado esperado

no que diz respeito a realidade da natureza apresentada pela curva.

Observando a Figura 3.1, é posśıvel notarmos que, para tempos pequenos da iteração

(n << nx), as curvas apresentam um regime de crescimento acelerado. Por outro lado,

para valores de n muito grandes (n >> nx) passamos a ter um regime constante de

saturação. A mudança do primeiro regime de crescimento para o de um platô constante

é dado por um número caracteŕıstico de tempo nx, identificando assim o número de

crossover. Estes três comportamentos apresentados pelas curvas de Irms em função do

tempo n serão caracterizados por três expoentes cŕıticos (α, β e γ). Para obtermos estes

três expoentes cŕıticos nós assumimos as seguintes hipóteses de escala [13,25]:

1-) Para valores de n << nx, o comportamento de Irms é dado por:

Irms ∝ (nε2)β, (3.2)

em que β identifica o expoente cŕıtico de aceleração.

2-) Para valores de n >> nx, as curvas atingem um regime de saturação, podendo ser

descritas por:

Irms,sat ∝ εα, (3.3)

em que α é o expoente de sarutação.

3-) E por último, temos a mudança do regime de crescimento acelerado para o de um

platô constante, identificados pelo número de crossover nx, dado por:

nx ∝ εz, (3.4)

em que z é o expoente de crossover.

Portanto a partir destas três hipóteses de escala, podemos descrever o comportamento

de Irms pela função homogênea generalizada. Tal função é dada por:

Irms(nε
2, ε) = lIrms(l

anε2, lbε), (3.5)

em que l é um fator de escala e a e b são expoentes caracteŕısticos. Primeiramente, é

escolhido de forma conveniente que lanε2 = 1, portanto temos também que:

27


lanε2 = 1 =⇒ l = (nε2)−
1
a . (3.6)

Levando este último resultado (3.6) na equação (3.5), temos que:

Irms(nε
2, ε) = (nε2)−

1
a Irms(1, (nε

2)−
b
a ε), (3.7)

em que Irms(1, (nε
2)−

b
a ε) é assumido constante para valores de n << nx, portanto com-

parando a equação (3.7) com a primeira hipótese de escala (3.2), fica claro que (nε2)−
1
a =

(nε2)β → β = −1/a.

Realizando o mesmo procedimento, contudo agora escolhendo lbε = 1, temos que:

lbε = 1 =⇒ l = ε−
1
b . (3.8)

Levando este resultado na equação (3.5), temos que:

Irms(nε
2, ε) = ε−

1
b Irms(ε

−a
bnε2, 1), (3.9)

em que Irms(ε
−a
bnε2, 1) é considerado constante para valores de n >> nx (regime de

saturação). Desta forma comparando a equação (3.9) com a segunda hipótese de escala

(3.3), temos que εα = ε−
1
b → α = −1/b.

Por fim, o expoente cŕıtico z pode ser obtido através de uma combinação entre os dois

fatores de escala (3.6) e (3.8). Considerando que α = −1/b e β = −1/a obtemos:

(nε2)β = εα =⇒ nx = ε
α
β
−2 , (3.10)

em que nx corresponde ao número de iteração n no qual ocorrerá a mudança de um

regime de crescimento para o de um platô constante de saturação, portanto comparando

a equação (3.10) com a última hipótese de escala (3.4), temos:

εz = ε
α
β
−2 =⇒ z =

α

β
− 2︸ ︷︷ ︸

Lei de Escala

. (3.11)

A equação (3.11) nos dá uma expressão anaĺıtica para os três expoentes cŕıticos de-

finindo então uma lei de escala. De fato, pelo conhecimento de dois expoentes ćıticos,

pode-se também obter o terceiro.

3.1.1 Simulações numéricas e obtenção dos três expoentes cŕıticos

Através de simulações numéricas, foi posśıvel calcularmos o expoente β a partir de um

ajuste em lei de potência dada pelo gráfico de Irms×nε2 (Figura 3.2(a) e (b)). Esta figura

28


estabelece a relação proposta pela primeira hipótese de escala (3.2) em que para valores

de n << nx temos que Irms ∝ (nε2)β. O valor obtido para o expoente foi de β = 0, 501(5).

Figura 3.2: (a) Mesmo plot realizado para a Figura 3.1, para dois parâmetros de controle ε e

com M = 1000 condições iniciais, depois da transformação de n → nε2. (b) Ajuste

linear do regime de crescimento apresentado em (a). O expoente cŕıtico obtido foi

β = 0, 501(5).

O expoente α pode ser obtido pela relação proposta para a segunda hipótese de escala

(Irms,sat ∝ εα), em que temos um regime de saturação no limite em que n >> nx. Portanto

foi posśıvel graficarmos o comportamento de Irms,sat para diferentes valores do parâmetro

de controle ε, como é visto na Figura 3.3. O valor encontrado para o expoente foi de

α = 0, 515(6).

Por último temos o expoente cŕıtico z, que pode ser obtido a partir da relação dada pela

terceira hipótese de escala (nx ∝ εz), em que nx é um número caracteŕıstico da iteração

que indica a mudança do comportamento de crescimento acelerado para um regime de

saturação, desta forma a partir do gráfico de nx×ε apresentado pela Figura 3.4, foi obtido

o valor de z = −0, 97(2).

29


Figura 3.3: Comportamento de Irms,sat × ε para n >> nx. O expoente cŕıtico obtido foi de

α = 0, 515(6).

Figura 3.4: Comportamento de nx × ε. O expoente cŕıtico obtido foi z = −0, 97(2).

30


Por outro lado, podemos também analisar o resultado destacado em (3.11) juntamente

aos valores obtidos para os expoentes α e β simulacionalmente, portanto temos que:

z =
0, 515(6)

0, 501(5)
− 2 =⇒ z = −0, 97(2) . (3.12)

O valor obtido para z pela lei de escala está de acordo com aquele encontrado numerica-

mente através do ajuste para a lei de potência visto pela Figura 3.4.

O conjunto dos expoentes cŕıticos obtidos confirmam a invariância de escala encontrada

no mar de caos do espaço de fases. Para tal verificação podemos realizar uma sobreposição

das curvas de Irms para quaisquer diferentes valores de ε em uma única curva universal.

A transformação a ser feita deve ser Irms → Irms/ε
α e n→ n/εz.

A Figura 3.5(a) mostra o gráfico de Irms×n para cinco diferentes valores do parâmetro

de controle ε. Já a Figura 3.5(b) apresenta todas as curvas exibidas em (a) sobrepostas em

uma curva universal após a transformação de escala mencionada. Está é uma confirmação

evidente da invariância de escala apresentada no mar de caos para o mapeamento (2.11),

sendo este um importante indicador de que o sistema está passando por uma transição de

fase. De fato, temos uma transição de fase de integrabilidade para não integrabilidade.

Figura 3.5: (a) Gráfico de Irms × n para cinco diferentes parâmetros de controle ε. (b) Sobre-

posição das curvas apresentadas em (a) em uma única curva universal depois da

transformação de Irms → Irms/ε
α e de n→ n/εz.

31


3.2 Descrição anaĺıtica da ação quadrática média

Nesta Seção será visto como podemos obter uma descrição das curvas de Irms × n a

partir da ação quadrática média I2, contudo ao invés da metodologia utilizada anteri-

ormente, em que fora realizada uma caracterização fenomenológica, será utilizada uma

descrição anaĺıtica através da solução da equação da difusão (como feito em [39–41]).

3.2.1 Equação da Difusão

A equação da difusão [42], é escrita como:

∂P (I, n)

∂n
= D

∂2P (I, n)

∂I2
, (3.13)

em que P é a probabilidade de observarmos uma determinada ação I em um instante n

conhecido e D é o coeficiente de difusão. Como pode ser observado pela Figura 3.6, a

difusão das part́ıculas no mar de caos é limitada pelas primeiras curvas invariantes do

tipo spanning marcadas pelas linhas em azul, de forma em que Icaos ∈ [−Ifisc,+Ifisc].

Figura 3.6: Espaço de fases para o mapeamento (2.11) com parâmetros de controle γ = 1 e

ε = 10−2. As curvas em azul representam as primeiras curvas invariantes spanning,

são responsáveis por delimitar o mar de caos em uma região limitada e fechada.

Vemos também que dada uma condição inicial fornecida ao longo destas curvas, as par-

32


t́ıculas permanecem confinadas nas mesmas para qualquer tempo n ≥ 0, portanto temos

como condição de contorno que:

∂P (I, n)

∂I

∣∣∣∣∣
I=±Ifisc

= 0. (3.14)

Também as condições iniciais são escolhidas de forma em que todas estão centradas

em I = I0 e n = 0, portanto P (I0, n) = δ(I − I0).

3.2.2 Solução da equação da difusão

Primeiramente será determinado o coeficiente D a partir da primeira equação do ma-

peamento. Elevando ao quadrado ambos os lados da primeira equação do mapeamento

(2.11), temos que:

I2
n+1 = I2

n + ε2 sin2 (θn), (3.15)

a média desta expressão nos fornece o valor para o coeficiente de difusão:

D =
I2
n+1 − I2

n

2
=
ε2

4
. (3.16)

Para resolvermos a equação da difusão, será utilizada o método de separação de va-

riáveis [42], portanto defini-se:

P (I, n) = X(I)Y (n), (3.17)

sendo X(I) e Y (n) funções quaisquer que dependem respectivamente somente de I e n.

Reagrupando a equação (3.13), temos que:

1

Y (n)

∂Y (n)

∂n
=

D

X(I)

∂2X(I)

∂I2
= −η, (3.18)

desta forma torna-se posśıvel separarmos a expressão (3.18) em duas equações diferencias

ordinárias da seguinte forma:

dY (n)

dn
= −ηY (n), (3.19)

e

D
d2X(I)

dI2
+ ηX(I) = 0. (3.20)

A solução para a equação (3.19) pode ser dada da seguinte forma:

33


∫ Y (n)

Y0

dY ′(n)

Y ′(n)
= −η

∫ n

0

dn =⇒

=⇒ ln

(
Y (n)

Y0

)
= −ηn =⇒ Y (n) = Y0e

−ηn . (3.21)

Para a solução da equação (3.20), iremos considerar que X(I) = AeRI , em que R

assume duas ráızes a serem determinadas e A é uma constante. Desta forma suas derivadas

ficam:

dX(I)

dI
= AReRI , (3.22)

e também,

d2X(I)

dI2
= AR2eRI . (3.23)

Agora reescrevendo a equação (3.20), temos que:

D��AR
2
�
�eRI + η��A�

�eRI = 0 =⇒ DR2 + η = 0 =⇒

=⇒ R1,2 = ±i
√
η

D
, em que i =

√
−1. (3.24)

A solução geral para X(I) pode ser escrita como AeR1I +BeR2I , portanto:

X(I) = Aei
√

η
D
I +Be−i

√
η
D
I . (3.25)

Utilizando a relação de Euler, e±iθ = cos (θ)± i sin (θ), podemos reescrever o resultado de

(3.25) da seguinte forma:

X(I) = A

[
cos

(√
η

D
I

)
+ i sin

(√
η

D
I

)]
+B

[
cos

(√
η

D
I

)
− i sin

(√
η

D
I

)]
. (3.26)

Agora reagrupando os termos em comum, temos que:

X(I) = (A+B) cos

(√
η

D
I

)
+ (A−B)i sin

(√
η

D
I

)
. (3.27)

Com o objetivo de termos apenas soluções reais é feito A = B, desta forma obtemos:

X(I) = 2A cos

(√
η

D
I

)
. (3.28)

34


Utilizando os resultados das equações (3.21) e (3.28), temos como posśıvel solução

para a probabilidade P (I, n) como:

P (I, n) = 2A cos

(√
η

D
I

)
Y0e

−ηn. (3.29)

Aplicando a condição de contorno (3.14), temos que:

∂P (I, n)

∂I

∣∣∣∣∣
I=±Ifisc

= −2A

√
η

D
sin

(√
η

D
Ifisc

)
Y0e

−ηn = 0, (3.30)

que só será nula quando
√

η
D
Ifisc = kπ, com k = 1, 2, 3.... Portanto temos que:

η =
k2π2

I2
fisc

D. (3.31)

Contudo para o caso espećıfico de k = 0 → η = 0, desta forma podemos obter novas

soluções para as EDOs apresentadas na equação (3.18). Assim, as novas soluções são

dadas por:

Y (n) = Y0, (3.32)

X(I) = X0 + cI, (3.33)

portanto a nova solução para a equação (3.17) é dada por:

P (I, n) = Y0(X0 + cI), (3.34)

com Y0, X0 e c constantes. Desta forma, aplicando novamente a condição de contorno de

(3.14), obtemos:

dP (I, n)

dI
= Y0c = 0 =⇒ c = 0. (3.35)

Podemos então escrevermos uma solução geral para P (I, n) da seguinte forma:

P (I, n) = C0 +
∞∑
k=1

Ck cos

[
kπI

Ifisc

]
e
− k

2π2D

I2
fisc

n

, (3.36)

em que C0 e Ck são coeficientes a serem determinados. Como visto em [39], os coeficientes

podem ser obtidos através de simples integrações e também utilizando a normalização da

probabilidade em que
∫ +Ifisc
−Ifisc

P (I, n)dI = 1, o que nos leva:

C0 =
1

2Ifisc
, (3.37)

35


Ck =
1

Ifisc
. (3.38)

Reescrevendo a equação (3.36) temos que:

P (I, n) =
1

2Ifisc
+

1

Ifisc

∞∑
k=1

cos

[
kπI

Ifisc

]
e
− k

2π2D

I2
fisc

n

. (3.39)

Por fim, podemos calcular o observável Irms analiticamente. Na Seção 3.1 vemos que

I = 0, portanto não sendo um bom candidato para a descrição do fenômeno. Assim

temos como um bom candidato para a descrição da difusão das part́ıculas no mar de caos

a ação quadrática média I2. A média no ensemble de condições inicias via solução da

equação de difusão é dada por:

I2(n) =

∫ +Ifisc

−Ifisc
I2P (I, n)dI = I2

fisc

[
1

3
+

4

π2

∞∑
k=1

(−1)k

k2
e
− k

2π2D

I2
fisc

n

]
. (3.40)

Igualmente ao que foi realizado para descrição fenomenológica, t́ınhamos uma média no

conjunto de condições iniciais e também uma média referente as orbitas produzidas pela

iteração do mapeamento. Portanto nos resta realizar a média em n, referente às órbitas
1
n

∞∑
j=1

I2
j . Vale notar que apenas o último termo da expressão (3.40) possui dependência

com n, logo esta média pode ser dada por:

1

n

∞∑
j=1

e
− k

2π2D

I2
fisc

j

=
1

n

[
e
− k

2π2D

I2
fisc + e

− k
2π2D

I2
fisc

2

+ ...+ e
− k

2π2D

I2
fisc

n

]
,

=
1

n

e− k2π2DI2
fisc

1− e
− k

2π2D

I2
fisc

n

1− e
− k2π2D

I2
fisc


 . (3.41)

Reescrevendo a equação (3.40), temos que:

I2(n) = I2
fisc

1

3
+

4

π2

∞∑
k=1

(−1)k

k2

1

n

e− k2π2DI2
fisc

1− e
− k

2π2D

I2
fisc

n

1− e
− k2π2D

I2
fisc



 . (3.42)

Por fim podemos descrever analiticamente o comportamento de Irms =
√
I2(n):

Irms = Ifisc

√√√√√√1

3
+

4

π2

∞∑
k=1

(−1)k

k2

1

n

e− k2π2DI2
fisc

1− e
− k2π2D

I2
fisc

n

1− e
− k2π2D

I2
fisc


 . (3.43)

36


Este último resultado apresentado pela Eq. (3.43) descreve analiticamente o compor-

tamento da difusão das part́ıculas dadas no mar de caos do espaço de fases.

A Figura 3.7 nos mostra um gráfico de Irms × n para cinco diferentes parâmetros de

controle ε comparando as duas diferentes metodologias utilizadas (simulacional e anaĺı-

tica). Os ćırculos representam as simulações numéricas obtidas a partir das equações do

mapeamento (2.11) (descrição fenomenológica) e as linhas cont́ınuas descrevem os resul-

tados anaĺıticos, realizados a partir da solução da equação da difusão.

Figura 3.7: Gráfico de Irms vs. n para 5 diferentes parâmetros de controle ε. Os ćırculos

representam uma descrição fenomenológica da ação quadrática média, já as linhas

cont́ınuas representam este mesmo observável, contudo para uma descrição anaĺıtica

através da solução da equação da difusão.

A Figura 3.8 apresenta todas as curvas exibidas em Fig. 3.7 sobrepostas em uma

curva universal após as transformações de escala Irms → Irms/ε
α e n→ n/εz, a partir dos

expoentes cŕıticos obtidos na Subseção 3.1.1.

37


Figura 3.8: Sobreposição das curvas apresentadas na Figura 3.7 em um única curva universal

depois da transformação Irms → Irms/ε
α e n→ n/εz.

38


Caṕıtulo 4

Um insight sobre a transição de fase

Como proposto inicialmente, devemos responder a 4 perguntas essenciais propostas

em [10] que levam a caracterização de uma transição de fase, são elas: (1) qual é a quebra

de simetria do sistema; (2) quem seria um bom candidato para parâmetro de ordem; (3)

quais são as excitações elementares e; (4) quais são os defeitos topológicos que dificultam

o transporte de part́ıculas.

4.1 (1) Quebra de simetria

A primeira pergunta pode ser respondida ao observarmos os espaços de fases das

Figura 2.2(a) e (b) encontradas na Seção 2.1. Foi apresentado que, dada uma mudança

do parâmetro de controle de ε = 0 (sistema integrável) para ε = 10−3 (sistema não

integrável), o espaço de fases que possúıa curvas simétricas e regulares, transforma-se em

um espaço de fases misto com estruturas caracteŕısticas e bem definidas, são elas: o mar

de caos, que por sua vez rodeia as ilhas de periodicidade, e que também é limitado pelas

primeiras curvas invariantes do tipo spanning. Desta forma, é identificada a quebra de

simetria do sistema no que diz respeito ao espaço de fases, sendo este um dos fatores que

caracterizam uma transição de fase.

4.2 (2) Parâmetro de ordem

Como visto em [10] o parâmetro de ordem pode ser definido como as importantes

variáveis que descrevem um determinado sistema. O parâmetro de ordem escolhido deve

ir a zero continuamente a medida em que ε→ 0.

O expoente de Lyapunov apresentado na Seção 2.3, não é um bom candidato a pa-

râmetro de ordem, visto que pela Figura 2.4 podemos observar que λ̄ não vai a zero

continuamente ao passo em que o parâmetro de controle da transição de fase ε vai a zero.

39


Neste sentido, pode-se verificar que um ótimo observável à ser parâmetro de ordem é

Irms,sat.

Para tal verificação iremos primeiramente retomar o resultado já apresentado posteri-

ormente na Seção 2.5 sobre a posição da primeira curva invariante do tipo spanning :

Ĩ =

[
γε

Kef

] 1
γ+1

, (4.1)

ou então,

Ĩ =

[
γ

Kef

] 1
γ+1

ε
1

γ+1 , (4.2)

em que Kef ' 0, 9716 é o parâmetro de controle efetivo.

A posição das primeiras curvas invariantes delimitam a região do mar de caos, e como

visto em [13], Ĩ está diretamente relacionado com o comportamento apresentado por Irms,

de fato, para n >> nx. Desta forma, Ĩ define uma regra de Irms para valores grandes

de n como uma função de ε (este já visto pela Figura 3.3). Portanto torna-se posśıvel

compararmos a equação (4.2) com a segunda hipótese de escala (3.3), Irms,sat ∝ εα, situada

na Seção 3.1, o que nos leva:

α =
1

γ + 1
onde γ > 0. (4.3)

Portanto, reescrevendo a segunda hipótese de escala temos que:

Irms,sat ∝ ε
1

γ+1 (4.4)

Para que possamos justificar a escolha do parâmetro de ordem Irms,sat, duas condições

devem ser satisfeitas:

1. Primeiramente devemos ter que, ao passo em que o parâmetro de controle do sis-

tema ε tende a zero (ε → 0), o parâmetro de ordem escolhido deve se aproximar

continuamente de zero (definindo assim um parâmetro de ordem);

2. O resultado de uma perturbação externa sobre o parâmetro de ordem deve divergir

em seu limite (ε→ 0), ou seja, a susceptibilidade χ→∞. Este último por sua vez

caracteriza uma transição de fase de segunda ordem.

Podemos notar pela nova segunda hipótese de escala (Irms,sat ∝ ε
1

γ+1 ) e pela Figura 3.3,

que ao passo em que o parâmetro de controle ε→ 0, o termo escolhido (Irms,sat) aproxima-

se de zero continuamente, portanto sendo um bom candidato à parâmetro de ordem deste

sistema. Por fim, a segunda proposição pode ser verificada da seguinte forma:

40


χ =
∂Irms,sat
∂ε

∣∣∣∣∣
ε→0

=⇒ χ = lim
ε→0

[
1

γ + 1

]
ε−

γ
γ+1 =⇒

=⇒ χ = lim
ε→0

[
1

γ + 1

]
1

ε
γ
γ+1

. (4.5)

Como γ é sempre um número maior que zero, temos que no limite em que ε → 0 a

susceptibilidade χ→∞. Este um fator caracteŕıstico de uma transição de fase de segunda

ordem (transição de fase cont́ınua).

4.3 (3) Excitações elementares

Para a investigação das excitações elementares devemos relembrar algumas caracteŕıs-

ticas já discutidas anteriormente sobre o mapeamento (2.11) apresentado no Caṕıtulo 2.

Foi observado a presença de dois diferentes parâmetros de controle. Um deles é ε, que

controla a intensidade da não linearidade do sistema. Este fato se dá à existência do termo

não linear sin (θn). O segundo parâmetro é dado por γ > 0, este último controla a veloci-

dade da divergência do ângulo θ para o limite de I suficientemente pequeno. De fato, foi

posśıvel percebermos que ao passo em que I é muito pequeno o termo θn + 1
|In+1|γ diverge,

o que faz com que não ocorra correlação entre θn+1 e θn. Desta forma, o comportamento

de sin (θn) na primeira equação do mapeamento (2.11) apresentaria um comportamento

totalmente aleatório (random walk [10,24]), trazendo então uma difusão de órbitas caóti-

cas para o espaço de fases (como pode ser visto pela Figura 2.2 (b)). Conforme I passa a

crescer, as variáveis angulares passam a apresentar correlação, trazendo regularidade para

o espaço de fases (presença de ilhas periódicas e curvas invariantes).

A amplitude média Ia para este comportamento aleatório pode ser obtida a partir de

uma média feita sobre a primeira equação do mapeamento (2.11), portanto analogamente

a (3.15) temos que:

I2
n+1 = I2

n + ε2 sin2 θn, (4.6)

assim, realizando a média dos valores para cada termo da equação (4.6), e considerando

que as condições iniciais fornecidas estão próximas a zero obtemos:

I2
n+1 =�

�7
0

I2
n + ε2���

�:
1
2

sin2 θn =⇒ I2
a =

ε2

2
=⇒ Ia =

ε√
2
. (4.7)

Estes fatos nos levam a concluir que a excitação elementar deste sistema é definida

pela função não linear ε sin (θ), encontrada na primeira equação do mapeamento (2.11),

cuja amplitude média é dada por Ia = ε/
√

2. Este termo leva a uma dinâmica totalmente

41


aleatória no limite de baixos valores da ação I, trazendo assim as primeiras órbitas caóticas

para espaço de fases.

4.4 (4) Defeitos topológicos

Os defeitos topológicos estão diretamente relacionados com a probabilidade de distri-

buição das part́ıculas ao longo do espaço de fases. A presença das ilhas de estabilidade,

centradas por um ponto fixo eĺıptico, serão as principais estruturas responsáveis por estes

defeitos. Este fato se dá devido a perda de previsibilidade da distribuição das part́ıculas

nestas regiões. Esta perda de previsibilidade na dinâmica do sistema ocorre devido ao

efeito de stickiness [43]. Este, por sua vez, é caracterizado como um aprisionamento tem-

porário sobre a trajetória de órbitas caóticas presentes nas fronteiras destas estruturas

regulares (ilhas periódicas). Portanto, temos uma distribuição de part́ıculas mais densa

nestas regiões.

Devemos analisar também a probabilidade de sobrevivência ρ, que define a probabi-

lidade de uma part́ıcula sobreviver ao longo da dinâmica caótica sem que esta escape

desta região. Como visto em [40], foi percebido uma modificação desta probabilidade em

resposta ao efeito de stickiness, sendo este identificado pela transição de um decaimento

exponencial, de ρ ao longo do tempo n, para um decaimento desacelerado em lei de potên-

cia. O decaimento exponencial desta probabilidade define um sistema cuja a dinâmica do

transporte das part́ıculas é normal (difusão Browniana [43]), por outro lado, a mudança

para um decaimento desacelerado em lei de potência caracteriza a presença do efeito de

stickiness, em que as órbitas caóticas permanecem temporariamente aprisionadas próxi-

mas a estas ilhas periódicas. Portanto as ilhas periódicas podem ser classificadas como

sendo os defeitos topológicos que impactam no transporte de part́ıculas do sistema.

42


Caṕıtulo 5

Discussões e conclusão

Utilizando a dinâmica de um mapeamento discreto sob as variáveis ação I e ângulo

θ, caracterizamos uma transição de fase dinâmica de integrabilidade para não integrabili-

dade, a qual ocorre na variação do parâmetro de controle ε. Para ε = 0 temos um sistema

integrável, já para ε 6= 0 o sistema passa a ser não integrável. No ińıcio desta descrição

foi caracterizada uma famı́lia de mapeamentos discretos e suas principais propriedades,

tais como a construção dos espaços de fases e a descrição de suas estruturas (mar de caos,

ilhas periódicas e curvas invariantes spanning). Mais adiante fizemos uma abordagem

completa sobre a caracterização da difusão das part́ıculas apresentadas no mar de caos

do espaço de fases através de duas diferentes metodologias. Primeiramente recorremos a

uma descrição fenomenológica utilizando um processo simulacional. Assim, analisando as

curvas de Irms×n, assumindo três hipóteses de escala e utilizando uma função homogênea

generalizada foi posśıvel a obtenção da lei de escala que correlaciona os três expoentes

cŕıticos responsáveis pela descrição da dinâmica desta difusão: α (expoente de saturação),

β (expoente de aceleração) e z (expoente de crossover). Estes três expoentes de escala são

também obtidos numericamente confirmando a lei de escala. O segundo método é anaĺı-

tico, através da solução da equação da difusão. A comparação destas duas metodologias é

feita na Seção 3.2, em que é posśıvel observarmos uma boa concordância entre esses dois

formalismos. Utilizando a transformação Irms → Irms/ε
α e de n → n/εz a invariância de

escala é mostrada para o mar de caos, sendo este um bom indicador de que o sistema esta

passando por uma transição de fase.

Por fim, no Caṕıtulo 4 a transição de fase é caracterizada, respondendo à quatro

perguntas propostas em [10]. Primeiramente, a quebra de simetria dada pelo espaço de

fases com o parâmetro de controle ε próximo a transição de integrabilidade (ε = 0) para

não integrabilidade (ε 6= 0). Segundo, o parâmetro de ordem identificado por Irms,sat ∝
ε

1
γ+1 , pois Irms,sat → 0 quando ε → 0. Também temos que a susceptibilidade χ → ∞ no

limite de ε→ 0. Esta última é uma assinatura clara de uma transição de fases de segunda

43


ordem (cont́ınua). Em terceiro, as excitações elementares são definidas pela função não

linear ε sin (θn), que trás um comportamento semelhante a uma caminhada aleatória para

a dinâmica no limite de valores pequenos de I, portanto criando órbitas caóticas para o

espaço de fases. Os defeitos topológicos que impactam na difusão das part́ıculas são dados

pelas estruturas regulares presentes no espaço de fases, as ilhas periódicas. A trajetória de

uma órbita caótica evoluindo próxima à superf́ıcie de uma ilha periódica sofre do efeito de

stickiness, comprometendo o transporte das part́ıculas. Todos estes fatores nos permitem

concluir que a transição de fase de integrabilidade para não integrabilidade deste sistema

é uma transição de segunda ordem.

Com base no sucesso da descrição da transição de fase apresentada neste projeto, temos

como perspectiva, entender a aplicabilidade deste formalismo para o estudo da transição

de fase de difusão limitada para ilimitada em um sistema dissipativo.

44


Caṕıtulo 6

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	Introdução
	Sistemas dinâmicos, caos e transições de fase
	Organização do trabalho

	Família de mapeamentos discretos e suas propriedades
	Obtenção do mapeamento conservativo bidimensional
	Conservação de área no espaço de fases para o mapeamento de estudo
	Expoentes de Lyapunov
	Obtenção dos pontos fixos elípticos
	Posição da primeira curva invariante do tipo spanning

	Descrição da difusão caótica de partículas no mar de caos
	Abordagem fenomenológica e os expoentes críticos
	Simulações numéricas e obtenção dos três expoentes críticos

	Descrição analítica da ação quadrática média
	Equação da Difusão
	Solução da equação da difusão


	Um insight sobre a transição de fase
	(1) Quebra de simetria
	(2) Parâmetro de ordem
	(3) Excitações elementares
	(4) Defeitos topológicos

	Discussões e conclusão
	Referências Bibliográficas